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Das Intervall 100/99, 17.399 Cent gross und manchmal '''Ptolemäus-Komma''' genannt, ist der Unterschied zwischen den Intervallen, die zwischen dem zehnten und dem elften Oberton auftreten, also zwischen dem "kleinen Ganzton" 10/9 und der "grossen neutralen Sekunde" 11/10.

Das Austemperieren dieses Intervalls als Komma führt zu einem Intervall mit einer Art Doppelnatur, sowohl als grosse wie als neutrale Sekunde hörbar. Ein Beispiel ist [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Porcupine]].

Die Kombination dieser Doppelnatur-Sekunde mit einem Ganzton führt zu einer Terz, die ebenfalls eine Doppelnatur zwischen grosser und neutraler Terz haben kann. Diese Eigenschaft findet sich manchmal bei Tonsystemen, welche der Realisierung von [[arabisch,_türkisch,_persisch#Stufe 2|orientalischen, insbesondere türkischen]] Skalen dienen, etwa bei [[29edo|29edo]], [[34edo|34edo]] und [[41edo|41edo]].

Erwähnenswert in diesem Zusammenhang ist, dass der Charakter eines gewissen Terz-Intervalls ein Unterscheidungsmerkmal regional unterschiedlicher Ausprägungen orientalischer Tonsysteme ist - namentlich zwischen arabischen und türkischen Systemen. Namentlich kennen sowohl die arabische wie die türkische Musiktheorie einen Modus namens "Rast". Im arabischen Kulturraum ist dies in der Regel eine Tonleiter mit einer neutralen Terz, im türkischen jedoch mit einer reinen grossen Terz - gerade etwa das, was das Ptolemäus-Komma ausmacht. Man könnte also sagen, dass gewissermassen das Ptolemäus-Komma einen der Unterschiede zwischen arabischer und türkischer Musiktradition verkörpert.  [[Category:Komma]]</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2016-06-14 04:24:04 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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Das Intervall 100/99, 17.399 Cent gross und manchmal **Ptolemäus-Komma** genannt, ist der Unterschied zwischen den Intervallen, die zwischen dem zehnten und dem elften Oberton auftreten, also zwischen dem "kleinen Ganzton" 10/9 und der "grossen neutralen Sekunde" 11/10.

Das Austemperieren dieses Intervalls als Komma führt zu einem Intervall mit einer Art Doppelnatur, sowohl als grosse wie als neutrale Sekunde hörbar. Ein Beispiel ist [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Porcupine]].

Die Kombination dieser Doppelnatur-Sekunde mit einem Ganzton führt zu einer Terz, die ebenfalls eine Doppelnatur zwischen grosser und neutraler Terz haben kann. Diese Eigenschaft findet sich manchmal bei Tonsystemen, welche der Realisierung von [[arabisch, türkisch, persisch#Stufe%202|orientalischen, insbesondere türkischen]] Skalen dienen, etwa bei [[29edo]], [[34edo]] und [[41edo]].

Erwähnenswert in diesem Zusammenhang ist, dass der Charakter eines gewissen Terz-Intervalls ein Unterscheidungsmerkmal regional unterschiedlicher Ausprägungen orientalischer Tonsysteme ist - namentlich zwischen arabischen und türkischen Systemen. Namentlich kennen sowohl die arabische wie die türkische Musiktheorie einen Modus namens "Rast". Im arabischen Kulturraum ist dies in der Regel eine Tonleiter mit einer neutralen Terz, im türkischen jedoch mit einer reinen grossen Terz - gerade etwa das, was das Ptolemäus-Komma ausmacht. Man könnte also sagen, dass gewissermassen das Ptolemäus-Komma einen der Unterschiede zwischen arabischer und türkischer Musiktradition verkörpert.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Das Intervall 100/99, 17.399 Cent gross und manchmal &amp;lt;strong&amp;gt;Ptolemäus-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt, ist der Unterschied zwischen den Intervallen, die zwischen dem zehnten und dem elften Oberton auftreten, also zwischen dem &amp;amp;quot;kleinen Ganzton&amp;amp;quot; 10/9 und der &amp;amp;quot;grossen neutralen Sekunde&amp;amp;quot; 11/10.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Austemperieren dieses Intervalls als Komma führt zu einem Intervall mit einer Art Doppelnatur, sowohl als grosse wie als neutrale Sekunde hörbar. Ein Beispiel ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine#11-Limit-Porcupine"&amp;gt;11-Limit-Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Kombination dieser Doppelnatur-Sekunde mit einem Ganzton führt zu einer Terz, die ebenfalls eine Doppelnatur zwischen grosser und neutraler Terz haben kann. Diese Eigenschaft findet sich manchmal bei Tonsystemen, welche der Realisierung von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch#Stufe%202"&amp;gt;orientalischen, insbesondere türkischen&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen dienen, etwa bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Erwähnenswert in diesem Zusammenhang ist, dass der Charakter eines gewissen Terz-Intervalls ein Unterscheidungsmerkmal regional unterschiedlicher Ausprägungen orientalischer Tonsysteme ist - namentlich zwischen arabischen und türkischen Systemen. Namentlich kennen sowohl die arabische wie die türkische Musiktheorie einen Modus namens &amp;amp;quot;Rast&amp;amp;quot;. Im arabischen Kulturraum ist dies in der Regel eine Tonleiter mit einer neutralen Terz, im türkischen jedoch mit einer reinen grossen Terz - gerade etwa das, was das Ptolemäus-Komma ausmacht. Man könnte also sagen, dass gewissermassen das Ptolemäus-Komma einen der Unterschiede zwischen arabischer und türkischer Musiktradition verkörpert.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Das Intervall 100/99, 17.399 Cent gross und manchmal **Ptolemäus-Komma** genannt, ist der Unterschied zwischen den Intervallen, die zwischen dem zehnten und dem elften Oberton auftreten, also zwischen dem "kleinen Ganzton" 10/9 und der "grossen neutralen Sekunde" 11/10.

Das Austemperieren dieses Intervalls als Komma führt zu einem Intervall mit einer Art Doppelnatur, sowohl als grosse wie als neutrale Sekunde hörbar. Ein Beispiel ist [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Porcupine]].

Die Kombination dieser Doppelnatur-Sekunde mit einem Ganzton führt zu einer Terz, die ebenfalls eine Doppelnatur zwischen grosser und neutraler Terz haben kann. Diese Eigenschaft findet sich manchmal bei Tonsystemen, welche der Realisierung von [[arabisch, türkisch, persisch#Stufe%202|orientalischen, insbesondere türkischen]] Skalen dienen, etwa bei [[29edo]], [[34edo]] und [[41edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Das Intervall 100/99, 17.399 Cent gross und manchmal &amp;lt;strong&amp;gt;Ptolemäus-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt, ist der Unterschied zwischen den Intervallen, die zwischen dem zehnten und dem elften Oberton auftreten, also zwischen dem &amp;amp;quot;kleinen Ganzton&amp;amp;quot; 10/9 und der &amp;amp;quot;grossen neutralen Sekunde&amp;amp;quot; 11/10.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Austemperieren dieses Intervalls als Komma führt zu einem Intervall mit einer Art Doppelnatur, sowohl als grosse wie als neutrale Sekunde hörbar. Ein Beispiel ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine#11-Limit-Porcupine"&amp;gt;11-Limit-Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Kombination dieser Doppelnatur-Sekunde mit einem Ganzton führt zu einer Terz, die ebenfalls eine Doppelnatur zwischen grosser und neutraler Terz haben kann. Diese Eigenschaft findet sich manchmal bei Tonsystemen, welche der Realisierung von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch#Stufe%202"&amp;gt;orientalischen, insbesondere türkischen&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen dienen, etwa bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Das Austemperieren dieses Intervalls als Komma führt zu einem Intervall mit einer Art Doppelnatur, sowohl als grosse wie als neutrale Sekunde hörbar. Ein Beispiel ist [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Porcupine]].

Die Kombination dieser Doppelnatur-Sekunde mit einem Ganzton führt zu einer Terz, die ebenfalls eine Doppelnatur zwischen grosser und neutraler Terz haben kann. Diese Eigenschaft findet sich manchmal bei Tonsystemen, welche der Realisierung von [[arabisch, türkisch, persisch#Stufe%202|orientalischen, insbesondere türkischen]] Skalen dienen, etwa bei [[29edo]], [[34edo]] und [[41edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Austemperieren dieses Intervalls als Komma führt zu einem Intervall mit einer Art Doppelnatur, sowohl als grosse wie als neutrale Sekunde hörbar. Ein Beispiel ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine#11-Limit-Porcupine"&amp;gt;11-Limit-Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Kombination dieser Doppelnatur-Sekunde mit einem Ganzton führt zu einer Terz, die ebenfalls eine Doppelnatur zwischen grosser und neutraler Terz haben kann. Diese Eigenschaft findet sich manchmal bei Tonsystemen, welche der Realisierung von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch#Stufe%202"&amp;gt;orientalischen, insbesondere türkischen&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen dienen, etwa bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Das Intervall 100/99, 17.399 Cent gross und manchmal '''Ptolemäus-Komma''' genannt, ist der Unterschied zwischen den Intervallen, die zwischen dem zehnten und dem elften Oberton auftreten, also zwischen dem "kleinen Ganzton" 10/9 und der "grossen neutralen Sekunde" 11/10.

Das Austemperieren dieses Intervalls als Komma führt zu einem Intervall mit einer Art Doppelnatur, sowohl als grosse wie als neutrale Sekunde hörbar. Ein Beispiel ist [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Porcupine]].

Die Kombination dieser Doppelnatur-Sekunde mit einem Ganzton führt zu einer Terz, die ebenfalls eine Doppelnatur zwischen grosser und neutraler Terz haben kann. Diese Eigenschaft findet sich manchmal bei Tonsystemen, welche der Realisierung von [[arabisch,_türkisch,_persisch#Stufe 2|orientalischen, insbesondere türkischen]] Skalen dienen, etwa bei [[29edo|29edo]], [[34edo|34edo]] und [[41edo|41edo]].

Erwähnenswert in diesem Zusammenhang ist, dass der Charakter eines gewissen Terz-Intervalls ein Unterscheidungsmerkmal regional unterschiedlicher Ausprägungen orientalischer Tonsysteme ist - namentlich zwischen arabischen und türkischen Systemen. Namentlich kennen sowohl die arabische wie die türkische Musiktheorie einen Modus namens "Rast". Im arabischen Kulturraum ist dies in der Regel eine Tonleiter mit einer neutralen Terz, im türkischen jedoch mit einer reinen grossen Terz - gerade etwa das, was das Ptolemäus-Komma ausmacht. Man könnte also sagen, dass gewissermassen das Ptolemäus-Komma einen der Unterschiede zwischen arabischer und türkischer Musiktradition verkörpert.  [[Category:Komma]]</text>
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Das Intervall 100/99, 17.399 Cent gross und manchmal '''Ptolemäus-Komma''' genannt, ist der Unterschied zwischen den Intervallen, die zwischen dem zehnten und dem elften Oberton auftreten, also zwischen dem "kleinen Ganzton" 10/9 und der "grossen neutralen Sekunde" 11/10.

Das Austemperieren dieses Intervalls als Komma führt zu einem Intervall mit einer Art Doppelnatur, sowohl als grosse wie als neutrale Sekunde hörbar. Ein Beispiel ist [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Porcupine]].

Die Kombination dieser Doppelnatur-Sekunde mit einem Ganzton führt zu einer Terz, die ebenfalls eine Doppelnatur zwischen grosser und neutraler Terz haben kann. Diese Eigenschaft findet sich manchmal bei Tonsystemen, welche der Realisierung von [[arabisch,_türkisch,_persisch#Stufe 2|orientalischen, insbesondere türkischen]] Skalen dienen, etwa bei [[29edo|29edo]], [[34edo|34edo]] und [[41edo|41edo]].

Erwähnenswert in diesem Zusammenhang ist, dass der Charakter eines gewissen Terz-Intervalls ein Unterscheidungsmerkmal regional unterschiedlicher Ausprägungen orientalischer Tonsysteme ist - namentlich zwischen arabischen und türkischen Systemen. Namentlich kennen sowohl die arabische wie die türkische Musiktheorie einen Modus namens "Rast". Im arabischen Kulturraum ist dies in der Regel eine Tonleiter mit einer neutralen Terz, im türkischen jedoch mit einer reinen grossen Terz - gerade etwa das, was das Ptolemäus-Komma ausmacht. Man könnte also sagen, dass gewissermassen das Ptolemäus-Komma einen der Unterschiede zwischen arabischer und türkischer Musiktradition verkörpert.  [[Category:Komma]]</text>
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Das Intervall 100/99, 17.399 Cent gross und manchmal '''Ptolemäus-Komma''' genannt, ist der Unterschied zwischen den Intervallen, die zwischen dem zehnten und dem elften Oberton auftreten, also zwischen dem "kleinen Ganzton" 10/9 und der "grossen neutralen Sekunde" 11/10.

Das Austemperieren dieses Intervalls als Komma führt zu einem Intervall mit einer Art Doppelnatur, sowohl als grosse wie als neutrale Sekunde hörbar. Ein Beispiel ist [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Porcupine]].

Die Kombination dieser Doppelnatur-Sekunde mit einem Ganzton führt zu einer Terz, die ebenfalls eine Doppelnatur zwischen grosser und neutraler Terz haben kann. Diese Eigenschaft findet sich manchmal bei Tonsystemen, welche der Realisierung von [[arabisch,_türkisch,_persisch#Stufe 2|orientalischen, insbesondere türkischen]] Skalen dienen, etwa bei [[29edo|29edo]], [[34edo|34edo]] und [[41edo|41edo]].

Erwähnenswert in diesem Zusammenhang ist, dass der Charakter eines gewissen Terz-Intervalls ein Unterscheidungsmerkmal regional unterschiedlicher Ausprägungen orientalischer Tonsysteme ist - namentlich zwischen arabischen und türkischen Systemen. Namentlich kennen sowohl die arabische wie die türkische Musiktheorie einen Modus namens "Rast". Im arabischen Kulturraum ist dies in der Regel eine Tonleiter mit einer neutralen Terz, im türkischen jedoch mit einer reinen grossen Terz - gerade etwa das, was das Ptolemäus-Komma ausmacht. Man könnte also sagen, dass gewissermassen das Ptolemäus-Komma einen der Unterschiede zwischen arabischer und türkischer Musiktradition verkörpert.  [[Category:Komma]]</text>
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Das Intervall 100/99, 17.399 Cent gross und manchmal '''Ptolemäus-Komma''' genannt, ist der Unterschied zwischen den Intervallen, die zwischen dem zehnten und dem elften Oberton auftreten, also zwischen dem "kleinen Ganzton" 10/9 und der "grossen neutralen Sekunde" 11/10.

Das Austemperieren dieses Intervalls als Komma führt zu einem Intervall mit einer Art Doppelnatur, sowohl als grosse wie als neutrale Sekunde hörbar. Ein Beispiel ist [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Porcupine]].

Die Kombination dieser Doppelnatur-Sekunde mit einem Ganzton führt zu einer Terz, die ebenfalls eine Doppelnatur zwischen grosser und neutraler Terz haben kann. Diese Eigenschaft findet sich manchmal bei Tonsystemen, welche der Realisierung von [[arabisch,_türkisch,_persisch#Stufe 2|orientalischen, insbesondere türkischen]] Skalen dienen, etwa bei [[29edo|29edo]], [[34edo|34edo]] und [[41edo|41edo]].

Erwähnenswert in diesem Zusammenhang ist, dass der Charakter eines gewissen Terz-Intervalls ein Unterscheidungsmerkmal regional unterschiedlicher Ausprägungen orientalischer Tonsysteme ist - namentlich zwischen arabischen und türkischen Systemen. Namentlich kennen sowohl die arabische wie die türkische Musiktheorie einen Modus namens "Rast". Im arabischen Kulturraum ist dies in der Regel eine Tonleiter mit einer neutralen Terz, im türkischen jedoch mit einer reinen grossen Terz - gerade etwa das, was das Ptolemäus-Komma ausmacht. Man könnte also sagen, dass gewissermassen das Ptolemäus-Komma einen der Unterschiede zwischen arabischer und türkischer Musiktradition verkörpert.  [[Category:Komma]]</text>
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Die Unterteilung einer Oktave in 10 gleiche Teile ergibt ein Tonsystem mit einer vergleichbaren Anzahl Töne wie die Standardstimmung 12edo, jedoch mit der Eigenschaft, dass die wichtigen konsonanten Intervalle ausgesprochen schlecht angenähert werden. Die beste Näherung der reinen Quinte 3/2 ist mit 720 Cent rund 18 Cent höher als das reine Intervall und noch knapp als Quinte erkennbar. (Es ist übrigens dieselbe Quinte wie in [[15edo|5edo]], und ebenso die beste Näherung für 3/2 in jeder Unterteilung durch ein Vielfaches von 5 bis zu [[30edo|30edo]].) Die beste Näherung für die [[Naturterz|Naturterz 5/4]] hingegen, mit 360 Cents mehr als 24 Cents zu tief, geht nicht mehr als grosse Terz durch, sondern muss als neutrale Terz bezeichnet werden. Für quinten - und terzenbasierte Musik (also quasi jede traditionelle westliche) ist 10edo also nicht wirklich zu gebrauchen.

Etwas anders präsentiert sich das Bild aber, wenn zusätzliche reine Intervalle mit höheren Primzahlen ins Spiel kommen. Es zeigt sich da, das 10edo überraschend gute Approximationen für den 13., den 14. und den 15. Oberton aufweist, also oktavreduziert für die Intervalle 13/8, 7/4 und 15/8. (Übrigens für den 16. Oberton natürlich auch, der oktavreduziert mit deer Prim bzw. Oktave zusammenfällt.) 13/8 wird dabei sogar fast perfekt getroffen (nur ein halbes Cent daneben!), die anderen beiden mit Abweichungen zwischen 8 und 9 Cent.

[To do Tonbeispiel]

Als gutes Näherungssystem für den herkömmlichen 5-Limit-[[Intervallraum|Intervallraum]] kann 10edo wie gesagt nicht dienen; man kann es jedoch als Näherungssystem für den von 2, 7, 13 und 15 generierten Teilraum sehen (ein Teilraum des sechsdimensionalen 13- Limit-Intervallraums).

&lt;u&gt;#&lt;/u&gt; 

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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2018-02-12 10:04:10 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
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Die Unterteilung einer Oktave in 10 gleiche Teile ergibt ein Tonsystem mit einer vergleichbaren Anzahl Töne wie die Standardstimmung 12edo, jedoch mit der Eigenschaft, dass die wichtigen konsonanten Intervalle ausgesprochen schlecht angenähert werden. Die beste Näherung der reinen Quinte 3/2 ist mit 720 Cent rund 18 Cent höher als das reine Intervall und noch knapp als Quinte erkennbar. (Es ist übrigens dieselbe Quinte wie in [[15edo|5edo]], und ebenso die beste Näherung für 3/2 in jeder Unterteilung durch ein Vielfaches von 5 bis zu [[30edo]].) Die beste Näherung für die [[Naturterz|Naturterz 5/4]] hingegen, mit 360 Cents mehr als 24 Cents zu tief, geht nicht mehr als grosse Terz durch, sondern muss als neutrale Terz bezeichnet werden. Für quinten - und terzenbasierte Musik (also quasi jede traditionelle westliche) ist 10edo also nicht wirklich zu gebrauchen.

Etwas anders präsentiert sich das Bild aber, wenn zusätzliche reine Intervalle mit höheren Primzahlen ins Spiel kommen. Es zeigt sich da, das 10edo überraschend gute Approximationen für den 13., den 14. und den 15. Oberton aufweist, also oktavreduziert für die Intervalle 13/8, 7/4 und 15/8. (Übrigens für den 16. Oberton natürlich auch, der oktavreduziert mit deer Prim bzw. Oktave zusammenfällt.) 13/8 wird dabei sogar fast perfekt getroffen (nur ein halbes Cent daneben!), die anderen beiden mit Abweichungen zwischen 8 und 9 Cent.

[To do Tonbeispiel]

Als gutes Näherungssystem für den herkömmlichen 5-Limit-[[Intervallraum]] kann 10edo wie gesagt nicht dienen; man kann es jedoch als Näherungssystem für den von 2, 7, 13 und 15 generierten Teilraum sehen (ein Teilraum des sechsdimensionalen 13- Limit-Intervallraums).
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[todo]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die Unterteilung einer Oktave in 10 gleiche Teile ergibt ein Tonsystem mit einer vergleichbaren Anzahl Töne wie die Standardstimmung 12edo, jedoch mit der Eigenschaft, dass die wichtigen konsonanten Intervalle ausgesprochen schlecht angenähert werden. Die beste Näherung der reinen Quinte 3/2 ist mit 720 Cent rund 18 Cent höher als das reine Intervall und noch knapp als Quinte erkennbar. (Es ist übrigens dieselbe Quinte wie in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;5edo&amp;lt;/a&amp;gt;, und ebenso die beste Näherung für 3/2 in jeder Unterteilung durch ein Vielfaches von 5 bis zu &amp;lt;a class="wiki_link" href="/30edo"&amp;gt;30edo&amp;lt;/a&amp;gt;.) Die beste Näherung für die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz 5/4&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen, mit 360 Cents mehr als 24 Cents zu tief, geht nicht mehr als grosse Terz durch, sondern muss als neutrale Terz bezeichnet werden. Für quinten - und terzenbasierte Musik (also quasi jede traditionelle westliche) ist 10edo also nicht wirklich zu gebrauchen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Etwas anders präsentiert sich das Bild aber, wenn zusätzliche reine Intervalle mit höheren Primzahlen ins Spiel kommen. Es zeigt sich da, das 10edo überraschend gute Approximationen für den 13., den 14. und den 15. Oberton aufweist, also oktavreduziert für die Intervalle 13/8, 7/4 und 15/8. (Übrigens für den 16. Oberton natürlich auch, der oktavreduziert mit deer Prim bzw. Oktave zusammenfällt.) 13/8 wird dabei sogar fast perfekt getroffen (nur ein halbes Cent daneben!), die anderen beiden mit Abweichungen zwischen 8 und 9 Cent.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Unterteilung einer Oktave in 10 gleiche Teile ergibt ein Tonsystem mit einer vergleichbaren Anzahl Töne wie die Standardstimmung 12edo, jedoch mit der Eigenschaft, dass die wichtigen konsonanten Intervalle ausgesprochen schlecht angenähert werden. Die beste Näherung der reinen Quinte 3/2 ist mit 720 Cent rund 18 Cent höher als das reine Intervall und noch knapp als Quinte erkennbar. (Es ist übrigens dieselbe Quinte wir in [[15edo|5edo]], und ebenso die beste Näherung für 3/2 in jeder Unterteilung durch ein Vielfaches von 5 bis zu [[30edo]].) Die beste Näherung für die [[Naturterz|Naturterz 5/4]] hingegen, mit 360 Cents mehr als 24 Cents zu tief, geht nicht mehr als grosse Terz durch, sondern muss als neutrale Terz bezeichnet werden. Für quinten - und terzenbasierte Musik (also quasi jede traditionelle westliche) ist 10edo also nicht wirklich zu gebrauchen.

Etwas anders präsentiert sich das Bild aber, wenn zusätzliche reine Intervalle mit höheren Primzahlen ins Spiel kommen. Es zeigt sich da, das 10edo überraschend gute Approximationen für den 13., den 14. und den 15. Oberton aufweist, also oktavreduziert für die Intervalle 13/8, 7/4 und 15/8. (Übrigens für den 16. Oberton natürlich auch, der oktavreduziert mit der Prim bzw. Oktave zusammenfällt.) 13/8 wird dabei sogar fast perfekt getroffen (nur ein halbes Cent daneben!), die anderen beiden mit Abweichungen zwischen 8 und 9 Cent.

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Die Unterteilung einer Oktave in 10 gleiche Teile ergibt ein Tonsystem mit einer vergleichbaren Anzahl Töne wie die Standardstimmung 12edo, jedoch mit der Eigenschaft, dass die wichtigen konsonanten Intervalle ausgesprochen schlecht angenähert werden. Die beste Näherung der reinen Quinte 3/2 ist mit 720 Cent rund 18 Cent höher als das reine Intervall und noch knapp als Quinte erkennbar. (Es ist übrigens dieselbe Quinte wir in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;5edo&amp;lt;/a&amp;gt;, und ebenso die beste Näherung für 3/2 in jeder Unterteilung durch ein Vielfaches von 5 bis zu &amp;lt;a class="wiki_link" href="/30edo"&amp;gt;30edo&amp;lt;/a&amp;gt;.) Die beste Näherung für die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz 5/4&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen, mit 360 Cents mehr als 24 Cents zu tief, geht nicht mehr als grosse Terz durch, sondern muss als neutrale Terz bezeichnet werden. Für quinten - und terzenbasierte Musik (also quasi jede traditionelle westliche) ist 10edo also nicht wirklich zu gebrauchen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Etwas anders präsentiert sich das Bild aber, wenn zusätzliche reine Intervalle mit höheren Primzahlen ins Spiel kommen. Es zeigt sich da, das 10edo überraschend gute Approximationen für den 13., den 14. und den 15. Oberton aufweist, also oktavreduziert für die Intervalle 13/8, 7/4 und 15/8. (Übrigens für den 16. Oberton natürlich auch, der oktavreduziert mit der Prim bzw. Oktave zusammenfällt.) 13/8 wird dabei sogar fast perfekt getroffen (nur ein halbes Cent daneben!), die anderen beiden mit Abweichungen zwischen 8 und 9 Cent.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Die Unterteilung einer Oktave in 10 gleiche Teile ergibt ein Tonsystem mit einer vergleichbaren Anzahl Töne wie die Standardstimmung 12edo, jedoch mit der Eigenschaft, dass die wichtigen konsonanten Intervalle ausgesprochen schlecht angenähert werden. Die beste Näherung der reinen Quinte 3/2 ist mit 720 Cent rund 18 Cent höher als das reine Intervall und noch knapp als Quinte erkennbar. (Es ist übrigens dieselbe Quinte wir in [[15edo|5edo]], und ebenso die beste Näherung für 3/2 in jeder Unterteilung durch ein Vielfaches von 5 bis zu [[35edo]]. Die beste Näherung für die [[Naturterz|Naturterz 5/4]] hingegen, mit 360 Cents mehr als 24 Cents zu tief, geht nicht mehr als grosse Terz durch, sondern muss als neutrale Terz bezeichnet werden. Für quinten - und terzenbasierte Musik (also quasi jede traditionelle westliche) ist 10edo also nicht wirklich zu gebrauchen.

Etwas anders präsentiert sich das Bild aber, wenn zusätzliche reine Intervalle mit höheren Primzahlen ins Spiel kommen. Es zeigt sich da, das 10edo überraschend gute Approximationen für den 13., den 14. und den 15. Oberton aufweist, also oktavreduziert für die Intervalle 13/8, 7/4 und 15/8. (Übrigens für den 16. Oberton natürlich auch, der oktavreduziert mit der Prim bzw. Oktave zusammenfällt.) 13/8 wird dabei sogar fast perfekt getroffen (nur ein halbes Cent daneben!), die anderen beiden mit Abweichungen zwischen 8 und 9 Cent.

[todo]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;10edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/10edo"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt; - &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/10%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%BE%8B"&amp;gt;日本語&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Unterteilung einer Oktave in 10 gleiche Teile ergibt ein Tonsystem mit einer vergleichbaren Anzahl Töne wie die Standardstimmung 12edo, jedoch mit der Eigenschaft, dass die wichtigen konsonanten Intervalle ausgesprochen schlecht angenähert werden. Die beste Näherung der reinen Quinte 3/2 ist mit 720 Cent rund 18 Cent höher als das reine Intervall und noch knapp als Quinte erkennbar. (Es ist übrigens dieselbe Quinte wir in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;5edo&amp;lt;/a&amp;gt;, und ebenso die beste Näherung für 3/2 in jeder Unterteilung durch ein Vielfaches von 5 bis zu &amp;lt;a class="wiki_link" href="/35edo"&amp;gt;35edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Die beste Näherung für die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz 5/4&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen, mit 360 Cents mehr als 24 Cents zu tief, geht nicht mehr als grosse Terz durch, sondern muss als neutrale Terz bezeichnet werden. Für quinten - und terzenbasierte Musik (also quasi jede traditionelle westliche) ist 10edo also nicht wirklich zu gebrauchen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Etwas anders präsentiert sich das Bild aber, wenn zusätzliche reine Intervalle mit höheren Primzahlen ins Spiel kommen. Es zeigt sich da, das 10edo überraschend gute Approximationen für den 13., den 14. und den 15. Oberton aufweist, also oktavreduziert für die Intervalle 13/8, 7/4 und 15/8. (Übrigens für den 16. Oberton natürlich auch, der oktavreduziert mit der Prim bzw. Oktave zusammenfällt.) 13/8 wird dabei sogar fast perfekt getroffen (nur ein halbes Cent daneben!), die anderen beiden mit Abweichungen zwischen 8 und 9 Cent.&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2018-02-11 16:13:31 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Die Unterteilung einer Oktave in 10 gleiche Teile ergibt ein Tonsystem mit einer vergleichbaren Anzahl Töne wie die Standardstimmung 12edo, jedoch mit der Eigenschaft, dass die wichtigen konsonanten Intervalle ausgesprochen schlecht angenähert werden. Die beste Näherung der reinen Quinte 3/2 ist mit 720 Cent rund 18 Cent höher als das reine Intervall und noch knapp als Quinte erkennbar; die beste Näherung für die [[Naturterz|Naturterz 5/4]] hingegen, mit 360 Cens mehr als 24 Cents zu tief, geht nicht mehr als grosse Terz durch, sondern muss als neutrale Terz bezeichnet werden. Für quinten - und terzenbasierte Musik (also quasi jede traditionelle westliche) ist 10edo also nicht wirklich zu gebrauchen.

Etwas anders präsentiert sich das Bild aber, wenn zusätzliche reine Intervalle mit höheren Primzahlen ins Spiel kommen. Es zeigt sich da, das 10edo überraschend gute Approximationen für den 13., den 14. und den 15. Oberton aufweist, also oktavreduziert für die Intervalle 13/8, 7/4 und 15/8. (Übrigens für den 16. Oberton natürlich auch, der oktavreduziert mit der Prim bzw. Oktave zusammenfällt.) 13/8 wird dabei sogar fast perfekt getroffen (nur ein halbes Cent daneben!), die anderen beiden mit Abweichungen zwischen 8 und 9 Cent.

[todo]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Die Unterteilung einer Oktave in 10 gleiche Teile ergibt ein Tonsystem mit einer vergleichbaren Anzahl Töne wie die Standardstimmung 12edo, jedoch mit der Eigenschaft, dass die wichtigen konsonanten Intervalle ausgesprochen schlecht angenähert werden. Die beste Näherung der reinen Quinte 3/2 ist mit 720 Cent rund 18 Cent höher als das reine Intervall und noch knapp als Quinte erkennbar; die beste Näherung für die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz 5/4&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen, mit 360 Cens mehr als 24 Cents zu tief, geht nicht mehr als grosse Terz durch, sondern muss als neutrale Terz bezeichnet werden. Für quinten - und terzenbasierte Musik (also quasi jede traditionelle westliche) ist 10edo also nicht wirklich zu gebrauchen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Etwas anders präsentiert sich das Bild aber, wenn zusätzliche reine Intervalle mit höheren Primzahlen ins Spiel kommen. Es zeigt sich da, das 10edo überraschend gute Approximationen für den 13., den 14. und den 15. Oberton aufweist, also oktavreduziert für die Intervalle 13/8, 7/4 und 15/8. (Übrigens für den 16. Oberton natürlich auch, der oktavreduziert mit der Prim bzw. Oktave zusammenfällt.) 13/8 wird dabei sogar fast perfekt getroffen (nur ein halbes Cent daneben!), die anderen beiden mit Abweichungen zwischen 8 und 9 Cent.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Die Unterteilung einer Oktave in 10 gleiche Teile ergibt ein Tonsystem mit einer vergleichbaren Anzahl Töne wie die Standardstimmung 12edo, jedoch mit der Eigenschaft, dass die wichtigen konsonanten Intervalle ausgesprochen schlecht angenähert werden. Die beste Näherung der reinen Quinte 3/2 ist mit 720 Cent rund 18 Cent höher als das reine Intervall und noch knapp als Quinte erkennbar; die beste Näherung für die [[Naturterz|Naturterz 5/4]] hingegen, mit 360 Cens mehr als 24 Cents zu tief, geht nicht mehr als grosse Terz durch, sondern muss als neutrale Terz bezeichnet werden. Für quinten - und terzenbasierte Musik (also quasi jede traditionelle westliche) ist 10edo also nicht wirklich zu gebrauchen.

Etwas anders präsentiert sich das Bild aber, wenn zusätzliche reine Intervalle mit höheren Primzahlen ins Spiel kommen. Es zeigt sich da, das 10edo überraschend gute Approximationen für den 13., den 14. und den 15. Oberton aufweist, also oktavreduziert für die Intervalle 13/8, 7/4 und 15/8. (für den 16. Oberton natürlich auch, der oktavreduziert mit der Prim bzw. Oktave zusammenfällt.)

[todo]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Die Unterteilung einer Oktave in 10 gleiche Teile ergibt ein Tonsystem mit einer vergleichbaren Anzahl Töne wie die Standardstimmung 12edo, jedoch mit der Eigenschaft, dass die wichtigen konsonanten Intervalle ausgesprochen schlecht angenähert werden. Die beste Näherung der reinen Quinte 3/2 ist mit 720 Cent rund 18 Cent höher als das reine Intervall und noch knapp als Quinte erkennbar; die beste Näherung für die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz 5/4&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen, mit 360 Cens mehr als 24 Cents zu tief, geht nicht mehr als grosse Terz durch, sondern muss als neutrale Terz bezeichnet werden. Für quinten - und terzenbasierte Musik (also quasi jede traditionelle westliche) ist 10edo also nicht wirklich zu gebrauchen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Etwas anders präsentiert sich das Bild aber, wenn zusätzliche reine Intervalle mit höheren Primzahlen ins Spiel kommen. Es zeigt sich da, das 10edo überraschend gute Approximationen für den 13., den 14. und den 15. Oberton aufweist, also oktavreduziert für die Intervalle 13/8, 7/4 und 15/8. (für den 16. Oberton natürlich auch, der oktavreduziert mit der Prim bzw. Oktave zusammenfällt.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Die Unterteilung einer Oktave in 10 gleiche Teile ergibt ein Tonsystem mit einer vergleichbaren Anzahl Töne wie die Standardstimmung 12edo, jedoch mit der Eigenschaft, dass die wichtigen konsonanten Intervalle ausgesprochen schlecht angenähert werden. Die beste Näherung der reinen Quinte 3/2 ist mit 720 Cent rund 18 Cent höher als das reine Intervall und noch knapp als Quinte erkennbar; die beste Näherung für die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz 5/4&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen, mit 360 Cens mehr als 24 Cents zu tief, geht nicht mehr als grosse Terz durch, sondern muss als neutrale Terz bezeichnet werden. Für quinten - und terzenbasierte Musik (also quasi jede traditionelle westliche) ist 10edo also nicht wirklich zu gebrauchen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2018-02-06 07:09:45 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;626009377&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;[[xenharmonic/10edo|English]] - [[xenharmonic/10平均律|日本語]]

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&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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        <username>Mike Battaglia</username>
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      <comment>Textersetzung - „(\[\[\:(dev|es|purdal|de|en):[^[:space:]\|]*) (.*])“ durch „$1|$3“</comment>
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Die Unterteilung einer Oktave in 10 gleiche Teile ergibt ein Tonsystem mit einer vergleichbaren Anzahl Töne wie die Standardstimmung 12edo, jedoch mit der Eigenschaft, dass die wichtigen konsonanten Intervalle ausgesprochen schlecht angenähert werden. Die beste Näherung der reinen Quinte 3/2 ist mit 720 Cent rund 18 Cent höher als das reine Intervall und noch knapp als Quinte erkennbar. (Es ist übrigens dieselbe Quinte wie in [[15edo|5edo]], und ebenso die beste Näherung für 3/2 in jeder Unterteilung durch ein Vielfaches von 5 bis zu [[30edo|30edo]].) Die beste Näherung für die [[Naturterz|Naturterz 5/4]] hingegen, mit 360 Cents mehr als 24 Cents zu tief, geht nicht mehr als grosse Terz durch, sondern muss als neutrale Terz bezeichnet werden. Für quinten - und terzenbasierte Musik (also quasi jede traditionelle westliche) ist 10edo also nicht wirklich zu gebrauchen.

Etwas anders präsentiert sich das Bild aber, wenn zusätzliche reine Intervalle mit höheren Primzahlen ins Spiel kommen. Es zeigt sich da, das 10edo überraschend gute Approximationen für den 13., den 14. und den 15. Oberton aufweist, also oktavreduziert für die Intervalle 13/8, 7/4 und 15/8. (Übrigens für den 16. Oberton natürlich auch, der oktavreduziert mit deer Prim bzw. Oktave zusammenfällt.) 13/8 wird dabei sogar fast perfekt getroffen (nur ein halbes Cent daneben!), die anderen beiden mit Abweichungen zwischen 8 und 9 Cent.

[To do Tonbeispiel]

Als gutes Näherungssystem für den herkömmlichen 5-Limit-[[Intervallraum|Intervallraum]] kann 10edo wie gesagt nicht dienen; man kann es jedoch als Näherungssystem für den von 2, 7, 13 und 15 generierten Teilraum sehen (ein Teilraum des sechsdimensionalen 13- Limit-Intervallraums).

&lt;u&gt;#&lt;/u&gt; 

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Die Unterteilung einer Oktave in 10 gleiche Teile ergibt ein Tonsystem mit einer vergleichbaren Anzahl Töne wie die Standardstimmung 12edo, jedoch mit der Eigenschaft, dass die wichtigen konsonanten Intervalle ausgesprochen schlecht angenähert werden. Die beste Näherung der reinen Quinte 3/2 ist mit 720 Cent rund 18 Cent höher als das reine Intervall und noch knapp als Quinte erkennbar. (Es ist übrigens dieselbe Quinte wie in [[15edo|5edo]], und ebenso die beste Näherung für 3/2 in jeder Unterteilung durch ein Vielfaches von 5 bis zu [[30edo|30edo]].) Die beste Näherung für die [[Naturterz|Naturterz 5/4]] hingegen, mit 360 Cents mehr als 24 Cents zu tief, geht nicht mehr als grosse Terz durch, sondern muss als neutrale Terz bezeichnet werden. Für quinten - und terzenbasierte Musik (also quasi jede traditionelle westliche) ist 10edo also nicht wirklich zu gebrauchen.

Etwas anders präsentiert sich das Bild aber, wenn zusätzliche reine Intervalle mit höheren Primzahlen ins Spiel kommen. Es zeigt sich da, das 10edo überraschend gute Approximationen für den 13., den 14. und den 15. Oberton aufweist, also oktavreduziert für die Intervalle 13/8, 7/4 und 15/8. (Übrigens für den 16. Oberton natürlich auch, der oktavreduziert mit deer Prim bzw. Oktave zusammenfällt.) 13/8 wird dabei sogar fast perfekt getroffen (nur ein halbes Cent daneben!), die anderen beiden mit Abweichungen zwischen 8 und 9 Cent.

[To do Tonbeispiel]

Als gutes Näherungssystem für den herkömmlichen 5-Limit-[[Intervallraum|Intervallraum]] kann 10edo wie gesagt nicht dienen; man kann es jedoch als Näherungssystem für den von 2, 7, 13 und 15 generierten Teilraum sehen (ein Teilraum des sechsdimensionalen 13- Limit-Intervallraums).

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[todo]

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}}

Die Unterteilung einer Oktave in 10 gleiche Teile ergibt ein Tonsystem mit einer vergleichbaren Anzahl Töne wie die Standardstimmung 12edo, jedoch mit der Eigenschaft, dass die wichtigen konsonanten Intervalle ausgesprochen schlecht angenähert werden. Die beste Näherung der reinen Quinte 3/2 ist mit 720 Cent rund 18 Cent höher als das reine Intervall und noch knapp als Quinte erkennbar. (Es ist übrigens dieselbe Quinte wie in [[15edo|5edo]], und ebenso die beste Näherung für 3/2 in jeder Unterteilung durch ein Vielfaches von 5 bis zu [[30edo|30edo]].) Die beste Näherung für die [[Naturterz|Naturterz 5/4]] hingegen, mit 360 Cents mehr als 24 Cents zu tief, geht nicht mehr als grosse Terz durch, sondern muss als neutrale Terz bezeichnet werden. Für quinten - und terzenbasierte Musik (also quasi jede traditionelle westliche) ist 10edo also nicht wirklich zu gebrauchen.

Etwas anders präsentiert sich das Bild aber, wenn zusätzliche reine Intervalle mit höheren Primzahlen ins Spiel kommen. Es zeigt sich da, das 10edo überraschend gute Approximationen für den 13., den 14. und den 15. Oberton aufweist, also oktavreduziert für die Intervalle 13/8, 7/4 und 15/8. (Übrigens für den 16. Oberton natürlich auch, der oktavreduziert mit deer Prim bzw. Oktave zusammenfällt.) 13/8 wird dabei sogar fast perfekt getroffen (nur ein halbes Cent daneben!), die anderen beiden mit Abweichungen zwischen 8 und 9 Cent.

[To do Tonbeispiel]

Als gutes Näherungssystem für den herkömmlichen 5-Limit-[[Intervallraum|Intervallraum]] kann 10edo wie gesagt nicht dienen; man kann es jedoch als Näherungssystem für den von 2, 7, 13 und 15 generierten Teilraum sehen (ein Teilraum des sechsdimensionalen 13- Limit-Intervallraums).

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Die Unterteilung einer Oktave in 10 gleiche Teile ergibt ein Tonsystem mit einer vergleichbaren Anzahl Töne wie die Standardstimmung 12edo, jedoch mit der Eigenschaft, dass die wichtigen konsonanten Intervalle ausgesprochen schlecht angenähert werden. Die beste Näherung der reinen Quinte 3/2 ist mit 720 Cent rund 18 Cent höher als das reine Intervall und noch knapp als Quinte erkennbar. (Es ist übrigens dieselbe Quinte wie in [[15edo|5edo]], und ebenso die beste Näherung für 3/2 in jeder Unterteilung durch ein Vielfaches von 5 bis zu [[30edo|30edo]].) Die beste Näherung für die [[Naturterz|Naturterz 5/4]] hingegen, mit 360 Cents mehr als 24 Cents zu tief, geht nicht mehr als grosse Terz durch, sondern muss als neutrale Terz bezeichnet werden. Für quinten - und terzenbasierte Musik (also quasi jede traditionelle westliche) ist 10edo also nicht wirklich zu gebrauchen.

Etwas anders präsentiert sich das Bild aber, wenn zusätzliche reine Intervalle mit höheren Primzahlen ins Spiel kommen. Es zeigt sich da, das 10edo überraschend gute Approximationen für den 13., den 14. und den 15. Oberton aufweist, also oktavreduziert für die Intervalle 13/8, 7/4 und 15/8. (Übrigens für den 16. Oberton natürlich auch, der oktavreduziert mit deer Prim bzw. Oktave zusammenfällt.) 13/8 wird dabei sogar fast perfekt getroffen (nur ein halbes Cent daneben!), die anderen beiden mit Abweichungen zwischen 8 und 9 Cent.

[To do Tonbeispiel]

Als gutes Näherungssystem für den herkömmlichen 5-Limit-[[Intervallraum|Intervallraum]] kann 10edo wie gesagt nicht dienen; man kann es jedoch als Näherungssystem für den von 2, 7, 13 und 15 generierten Teilraum sehen (ein Teilraum des sechsdimensionalen 13- Limit-Intervallraums).

&lt;u&gt;#&lt;/u&gt; 

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Die Unterteilung einer Oktave in 10 gleiche Teile ergibt ein Tonsystem mit einer vergleichbaren Anzahl Töne wie die Standardstimmung 12edo, jedoch mit der Eigenschaft, dass die wichtigen konsonanten Intervalle ausgesprochen schlecht angenähert werden. Die beste Näherung der reinen Quinte 3/2 ist mit 720 Cent rund 18 Cent höher als das reine Intervall und noch knapp als Quinte erkennbar. (Es ist übrigens dieselbe Quinte wie in [[15edo|5edo]], und ebenso die beste Näherung für 3/2 in jeder Unterteilung durch ein Vielfaches von 5 bis zu [[30edo|30edo]].) Die beste Näherung für die [[Naturterz|Naturterz 5/4]] hingegen, mit 360 Cents mehr als 24 Cents zu tief, geht nicht mehr als grosse Terz durch, sondern muss als neutrale Terz bezeichnet werden. Für quinten - und terzenbasierte Musik (also quasi jede traditionelle westliche) ist 10edo also nicht wirklich zu gebrauchen.

Etwas anders präsentiert sich das Bild aber, wenn zusätzliche reine Intervalle mit höheren Primzahlen ins Spiel kommen. Es zeigt sich da, das 10edo überraschend gute Approximationen für den 13., den 14. und den 15. Oberton aufweist, also oktavreduziert für die Intervalle 13/8, 7/4 und 15/8. (Übrigens für den 16. Oberton natürlich auch, der oktavreduziert mit deer Prim bzw. Oktave zusammenfällt.) 13/8 wird dabei sogar fast perfekt getroffen (nur ein halbes Cent daneben!), die anderen beiden mit Abweichungen zwischen 8 und 9 Cent.

[To do Tonbeispiel]

Als gutes Näherungssystem für den herkömmlichen 5-Limit-[[Intervallraum|Intervallraum]] kann 10edo wie gesagt nicht dienen; man kann es jedoch als Näherungssystem für den von 2, 7, 13 und 15 generierten Teilraum sehen (ein Teilraum des sechsdimensionalen 13- Limit-Intervallraums).

&lt;u&gt;#&lt;/u&gt; 

[todo]

[[Kategorie:Edo]]</text>
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Die Unterteilung einer Oktave in 10 gleiche Teile ergibt ein Tonsystem mit einer vergleichbaren Anzahl Töne wie die Standardstimmung 12edo, jedoch mit der Eigenschaft, dass die wichtigen konsonanten Intervalle ausgesprochen schlecht angenähert werden. Die beste Näherung der reinen Quinte 3/2 ist mit 720 Cent rund 18 Cent höher als das reine Intervall und noch knapp als Quinte erkennbar. (Es ist übrigens dieselbe Quinte wie in [[15edo|5edo]], und ebenso die beste Näherung für 3/2 in jeder Unterteilung durch ein Vielfaches von 5 bis zu [[30edo|30edo]].) Die beste Näherung für die [[Naturterz|Naturterz 5/4]] hingegen, mit 360 Cents mehr als 24 Cents zu tief, geht nicht mehr als grosse Terz durch, sondern muss als neutrale Terz bezeichnet werden. Für quinten - und terzenbasierte Musik (also quasi jede traditionelle westliche) ist 10edo also nicht wirklich zu gebrauchen.

Etwas anders präsentiert sich das Bild aber, wenn zusätzliche reine Intervalle mit höheren Primzahlen ins Spiel kommen. Es zeigt sich da, das 10edo überraschend gute Approximationen für den 13., den 14. und den 15. Oberton aufweist, also oktavreduziert für die Intervalle 13/8, 7/4 und 15/8. (Übrigens für den 16. Oberton natürlich auch, der oktavreduziert mit deer Prim bzw. Oktave zusammenfällt.) 13/8 wird dabei sogar fast perfekt getroffen (nur ein halbes Cent daneben!), die anderen beiden mit Abweichungen zwischen 8 und 9 Cent.

[To do Tonbeispiel]

Als gutes Näherungssystem für den herkömmlichen 5-Limit-[[Intervallraum|Intervallraum]] kann 10edo wie gesagt nicht dienen; man kann es jedoch als Näherungssystem für den von 2, 7, 13 und 15 generierten Teilraum sehen (ein Teilraum des sechsdimensionalen 13- Limit-Intervallraums).

&lt;u&gt;#&lt;/u&gt; 

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Die Unterteilung einer Oktave in 10 gleiche Teile ergibt ein Tonsystem mit einer vergleichbaren Anzahl Töne wie die Standardstimmung 12edo, jedoch mit der Eigenschaft, dass die wichtigen konsonanten Intervalle ausgesprochen schlecht angenähert werden. Die beste Näherung der reinen Quinte 3/2 ist mit 720 Cent rund 18 Cent höher als das reine Intervall und noch knapp als Quinte erkennbar. (Es ist übrigens dieselbe Quinte wie in [[15edo|5edo]], und ebenso die beste Näherung für 3/2 in jeder Unterteilung durch ein Vielfaches von 5 bis zu [[30edo|30edo]].) Die beste Näherung für die [[Naturterz|Naturterz 5/4]] hingegen, mit 360 Cents mehr als 24 Cents zu tief, geht nicht mehr als grosse Terz durch, sondern muss als neutrale Terz bezeichnet werden. Für quinten - und terzenbasierte Musik (also quasi jede traditionelle westliche) ist 10edo also nicht wirklich zu gebrauchen.

Etwas anders präsentiert sich das Bild aber, wenn zusätzliche reine Intervalle mit höheren Primzahlen ins Spiel kommen. Es zeigt sich da, das 10edo überraschend gute Approximationen für den 13., den 14. und den 15. Oberton aufweist, also oktavreduziert für die Intervalle 13/8, 7/4 und 15/8. (Übrigens für den 16. Oberton natürlich auch, der oktavreduziert mit deer Prim bzw. Oktave zusammenfällt.) 13/8 wird dabei sogar fast perfekt getroffen (nur ein halbes Cent daneben!), die anderen beiden mit Abweichungen zwischen 8 und 9 Cent.

[To do Tonbeispiel]

Als gutes Näherungssystem für den herkömmlichen 5-Limit-[[Intervallraum|Intervallraum]] kann 10edo wie gesagt nicht dienen; man kann es jedoch als Näherungssystem für den von 2, 7, 13 und 15 generierten Teilraum sehen (ein Teilraum des sechsdimensionalen 13- Limit-Intervallraums).

&lt;u&gt;#&lt;/u&gt; 

[todo]

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| ja = 10平均律
}}
Die Unterteilung einer Oktave in 10 gleiche Teile, '''10 EDO''', ergibt ein Tonsystem mit einer vergleichbaren Anzahl Töne wie die Standardstimmung [[12 EDO]], jedoch mit der Eigenschaft, dass die wichtigen konsonanten Intervalle ausgesprochen schlecht angenähert werden. Die beste Näherung der reinen Quinte [[3/2]] ist mit 720 [[Cent]] rund 18 Cent höher als das reine Intervall und noch knapp als Quinte erkennbar. (Es ist übrigens dieselbe Quinte wie in [[15 EDO]], und ebenso die beste Näherung für 3/2 in jeder Unterteilung durch ein Vielfaches von 5 bis zu [[30 EDO]].) Die beste Näherung für die [[Naturterz|Naturterz 5/4]] hingegen, mit 360 Cents mehr als 24 Cents zu tief, geht nicht mehr als grosse Terz durch, sondern muss als neutrale Terz bezeichnet werden. Für quinten- und terzenbasierte Musik (also quasi jede traditionelle westliche) ist 10 EDO also nicht wirklich zu gebrauchen.

Etwas anders präsentiert sich das Bild aber, wenn zusätzliche reine Intervalle mit höheren Primzahlen ins Spiel kommen. Es zeigt sich da, das 10 EDO überraschend gute Approximationen für den 13., den 14. und den 15. Oberton aufweist, also [[oktavreduziert]] für die Intervalle 13/8, 7/4 und 15/8. (Übrigens für den 16. Oberton natürlich auch, der oktavreduziert mit der Prim bzw. Oktave zusammenfällt.) [[13/8]] wird dabei sogar fast perfekt getroffen (nur ein halbes Cent daneben!), die anderen beiden mit Abweichungen zwischen 8 und 9 Cent.

[To do Tonbeispiel]

Als gutes Näherungssystem für den herkömmlichen 5-Limit-[[Intervallraum]] kann 10 EDO wie gesagt nicht dienen; man kann es jedoch als Näherungssystem für den von 2, 7, 13 und 15 generierten Teilraum sehen (ein Teilraum des sechsdimensionalen 13-Limit-Intervallraums).

&lt;u&gt;#&lt;/u&gt; 

[todo]

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      <comment>Xenwolf verschob die Seite [[10 EDO]] nach [[10-EDO]]: Das ist die bessere Wahl (siehe [[XW:K]]), auch führte die Lücke optisch zum "Auseinanderbrechen".</comment>
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Die Unterteilung einer Oktave in 10 gleiche Teile, '''10 EDO''', ergibt ein Tonsystem mit einer vergleichbaren Anzahl Töne wie die Standardstimmung [[12 EDO]], jedoch mit der Eigenschaft, dass die wichtigen konsonanten Intervalle ausgesprochen schlecht angenähert werden. Die beste Näherung der reinen Quinte [[3/2]] ist mit 720 [[Cent]] rund 18 Cent höher als das reine Intervall und noch knapp als Quinte erkennbar. (Es ist übrigens dieselbe Quinte wie in [[15 EDO]], und ebenso die beste Näherung für 3/2 in jeder Unterteilung durch ein Vielfaches von 5 bis zu [[30 EDO]].) Die beste Näherung für die [[Naturterz|Naturterz 5/4]] hingegen, mit 360 Cents mehr als 24 Cents zu tief, geht nicht mehr als grosse Terz durch, sondern muss als neutrale Terz bezeichnet werden. Für quinten- und terzenbasierte Musik (also quasi jede traditionelle westliche) ist 10 EDO also nicht wirklich zu gebrauchen.

Etwas anders präsentiert sich das Bild aber, wenn zusätzliche reine Intervalle mit höheren Primzahlen ins Spiel kommen. Es zeigt sich da, das 10 EDO überraschend gute Approximationen für den 13., den 14. und den 15. Oberton aufweist, also [[oktavreduziert]] für die Intervalle 13/8, 7/4 und 15/8. (Übrigens für den 16. Oberton natürlich auch, der oktavreduziert mit der Prim bzw. Oktave zusammenfällt.) [[13/8]] wird dabei sogar fast perfekt getroffen (nur ein halbes Cent daneben!), die anderen beiden mit Abweichungen zwischen 8 und 9 Cent.

[To do Tonbeispiel]

Als gutes Näherungssystem für den herkömmlichen 5-Limit-[[Intervallraum]] kann 10 EDO wie gesagt nicht dienen; man kann es jedoch als Näherungssystem für den von 2, 7, 13 und 15 generierten Teilraum sehen (ein Teilraum des sechsdimensionalen 13-Limit-Intervallraums).

&lt;u&gt;#&lt;/u&gt; 

[todo]

[[Kategorie:EDO]]</text>
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| ja = 10平均律
}}
Die Unterteilung einer Oktave in 10 gleiche Teile, '''10-EDO''', ergibt ein Tonsystem mit einer vergleichbaren Anzahl Töne wie die Standardstimmung [[12-EDO]], jedoch mit der Eigenschaft, dass die wichtigen konsonanten Intervalle ausgesprochen schlecht angenähert werden. Die beste Näherung der reinen Quinte [[3/2]] ist mit 720 [[Cent]] rund 18 Cent höher als das reine Intervall und noch knapp als Quinte erkennbar. (Es ist übrigens dieselbe Quinte wie in [[15-EDO]], und ebenso die beste Näherung für 3/2 in jeder Unterteilung durch ein Vielfaches von 5 bis zu [[30-EDO]].) Die beste Näherung für die [[Naturterz|Naturterz 5/4]] hingegen, mit 360 Cents mehr als 24 Cents zu tief, geht nicht mehr als grosse Terz durch, sondern muss als neutrale Terz bezeichnet werden. Für quinten- und terzenbasierte Musik (also quasi jede traditionelle westliche) ist 10-EDO also nicht wirklich zu gebrauchen.

Etwas anders präsentiert sich das Bild aber, wenn zusätzliche reine Intervalle mit höheren Primzahlen ins Spiel kommen. Es zeigt sich da, das 10-EDO überraschend gute Approximationen für den 13., den 14. und den 15. Oberton aufweist, also [[oktavreduziert]] für die Intervalle 13/8, 7/4 und 15/8. (Übrigens für den 16. Oberton natürlich auch, der oktavreduziert mit der Prim bzw. Oktave zusammenfällt.) [[13/8]] wird dabei sogar fast perfekt getroffen (nur ein halbes Cent daneben!), die anderen beiden mit Abweichungen zwischen 8 und 9 Cent.

[To do Tonbeispiel]

Als gutes Näherungssystem für den herkömmlichen 5-Limit-[[Intervallraum]] kann 10-EDO wie gesagt nicht dienen; man kann es jedoch als Näherungssystem für den von 2, 7, 13 und 15 generierten Teilraum sehen (ein Teilraum des sechsdimensionalen 13-Limit-Intervallraums).

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[todo]

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Die Unterteilung einer Oktave in 10 gleiche Teile, '''10-EDO''', ergibt ein [[Tonsystem]] mit einer vergleichbaren Anzahl Töne wie die Standardstimmung [[12-EDO]], jedoch mit der Eigenschaft, dass die wichtigen konsonanten Intervalle ausgesprochen schlecht angenähert werden. Die beste Näherung der reinen Quinte [[3/2]] ist mit 720 [[Cent]] rund 18 Cent höher als das reine Intervall und noch knapp als Quinte erkennbar. (Es ist übrigens dieselbe Quinte wie in [[15-EDO]], und ebenso die beste Näherung für 3/2 in jeder Unterteilung durch ein Vielfaches von 5 bis zu [[30-EDO]].) Die beste Näherung für die [[Naturterz|Naturterz 5/4]] hingegen, mit 360 Cents mehr als 24 Cents zu tief, geht nicht mehr als grosse Terz durch, sondern muss als neutrale Terz bezeichnet werden. Für quinten- und terzenbasierte Musik (also quasi jede traditionelle westliche) ist 10-EDO also nicht wirklich zu gebrauchen.

Etwas anders präsentiert sich das Bild aber, wenn zusätzliche reine Intervalle mit höheren Primzahlen ins Spiel kommen. Es zeigt sich da, das 10-EDO überraschend gute Approximationen für den 13., den 14. und den 15. Oberton aufweist, also [[oktavreduziert]] für die Intervalle 13/8, 7/4 und 15/8. (Übrigens für den 16. Oberton natürlich auch, der oktavreduziert mit der Prim bzw. Oktave zusammenfällt.) [[13/8]] wird dabei sogar fast perfekt getroffen (nur ein halbes Cent daneben!), die anderen beiden mit Abweichungen zwischen 8 und 9 Cent.

[To do Tonbeispiel]

Als gutes Näherungssystem für den herkömmlichen 5-Limit-[[Intervallraum]] kann 10-EDO wie gesagt nicht dienen; man kann es jedoch als Näherungssystem für den von 2, 7, 13 und 15 generierten Teilraum sehen (ein Teilraum des sechsdimensionalen 13-Limit-Intervallraums).

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Die Unterteilung einer Oktave in 10 gleiche Teile, '''10-EDO''', ergibt ein [[Tonsystem]] mit einer vergleichbaren Anzahl Töne wie die Standardstimmung [[12-EDO]], jedoch mit der Eigenschaft, dass die wichtigen konsonanten Intervalle ausgesprochen schlecht angenähert werden. Die beste Näherung der reinen Quinte [[3/2]] ist mit 720 [[Cent]] rund 18 Cent höher als das reine Intervall und noch knapp als Quinte erkennbar. (Es ist übrigens dieselbe Quinte wie in [[15-EDO]], und ebenso die beste Näherung für 3/2 in jeder Unterteilung durch ein Vielfaches von 5 bis zu [[30-EDO]].) Die beste Näherung für die [[Naturterz|Naturterz 5/4]] hingegen, mit 360 Cents mehr als 24 Cents zu tief, geht nicht mehr als grosse Terz durch, sondern muss als neutrale Terz bezeichnet werden. Für quinten- und terzenbasierte Musik (also quasi jede traditionelle westliche) ist 10-EDO also nicht wirklich zu gebrauchen.

Etwas anders präsentiert sich das Bild aber, wenn zusätzliche reine Intervalle mit höheren Primzahlen ins Spiel kommen. Es zeigt sich da, dass 10-EDO überraschend gute Approximationen für den 13., den 14. und den 15. Oberton aufweist, also [[oktavreduziert]] für die Intervalle 13/8, 7/4 und 15/8. (Übrigens für den 16. Oberton natürlich auch, der oktavreduziert mit der Prim bzw. Oktave zusammenfällt.) [[13/8]] wird dabei sogar fast perfekt getroffen (nur ein halbes Cent daneben!), die anderen beiden mit Abweichungen zwischen 8 und 9 Cent.

Als gutes Näherungssystem für den herkömmlichen 5-Limit-[[Intervallraum]] kann 10-EDO wie gesagt nicht dienen; man kann es jedoch als Näherungssystem für den von 2, 7, 13 und 15 generierten Teilraum sehen (ein Teilraum des sechsdimensionalen 13-Limit-Intervallraums).

== MOS-Skalen ==

Die 360-Cent-Terz, als [[MOS-Skalen|MOS]]-Generator verwendet, produziert eine siebentönige MOS-Skala mit den Intervallen 1 2 1 2 1 2 1 (drei grosse und vier kleine Intervalle), welche der gewöhnlichen diatonischen Skala in 12edo einigermassen ähnelt. Daneben gibt es natürlich die völlig pentatonische Skala (Intervalle 2 2 2 2 2 - bestehend aus allen Tönen von [[12edo]].

[To do Tonbeispiel]

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Die Unterteilung einer Oktave in 10 gleiche Teile, '''10-EDO''', ergibt ein [[Tonsystem]] mit einer vergleichbaren Anzahl Töne wie die Standardstimmung [[12-EDO]], jedoch mit der Eigenschaft, dass die wichtigen konsonanten Intervalle ausgesprochen schlecht angenähert werden. Die beste Näherung der reinen Quinte [[3/2]] ist mit 720 [[Cent]] rund 18 Cent höher als das reine Intervall und noch knapp als Quinte erkennbar. (Es ist übrigens dieselbe Quinte wie in [[15-EDO]], und ebenso die beste Näherung für 3/2 in jeder Unterteilung durch ein Vielfaches von 5 bis zu [[30-EDO]].) Die beste Näherung für die [[Naturterz|Naturterz 5/4]] hingegen, mit 360 Cents mehr als 24 Cents zu tief, geht nicht mehr als grosse Terz durch, sondern muss als neutrale Terz bezeichnet werden. Für quinten- und terzenbasierte Musik (also quasi jede traditionelle westliche) ist 10-EDO also nicht wirklich zu gebrauchen.

Etwas anders präsentiert sich das Bild aber, wenn zusätzliche reine Intervalle mit höheren Primzahlen ins Spiel kommen. Es zeigt sich da, dass 10-EDO überraschend gute Approximationen für den 13., den 14. und den 15. Oberton aufweist, also [[oktavreduziert]] für die Intervalle 13/8, 7/4 und 15/8. (Übrigens für den 16. Oberton natürlich auch, der oktavreduziert mit der Prim bzw. Oktave zusammenfällt.) [[13/8]] wird dabei sogar fast perfekt getroffen (nur ein halbes Cent daneben!), die anderen beiden mit Abweichungen zwischen 8 und 9 Cent.

Als gutes Näherungssystem für den herkömmlichen 5-Limit-[[Intervallraum]] kann 10-EDO wie gesagt nicht dienen; man kann es jedoch als Näherungssystem für den von 2, 7, 13 und 15 generierten Teilraum sehen (ein Teilraum des sechsdimensionalen 13-Limit-Intervallraums).

== MOS-Skalen ==

Die 360-Cent-Terz, als [[MOS-Skalen|MOS]]-Generator verwendet, produziert eine siebentönige MOS-Skala mit den Intervallen 1 2 1 2 1 2 1 (drei grosse und vier kleine Intervalle), welche der gewöhnlichen diatonischen Skala in 12edo einigermassen ähnelt. Daneben gibt es natürlich die völlig pentatonische Skala (Intervalle 2 2 2 2 2 - bestehend aus allen Tönen von [[5edo]]).

[To do Tonbeispiel]

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Die Unterteilung einer Oktave in 10 gleiche Teile, '''10-EDO''', ergibt ein [[Tonsystem]] mit einer vergleichbaren Anzahl Töne wie die Standardstimmung [[12-EDO]], jedoch mit der Eigenschaft, dass die wichtigen konsonanten Intervalle ausgesprochen schlecht angenähert werden. Die beste Näherung der reinen Quinte [[3/2]] ist mit 720 [[Cent]] rund 18 Cent höher als das reine Intervall und noch knapp als Quinte erkennbar. (Es ist übrigens dieselbe Quinte wie in [[15-EDO]], und ebenso die beste Näherung für 3/2 in jeder Unterteilung durch ein Vielfaches von 5 bis zu [[30-EDO]].) Die beste Näherung für die [[Naturterz|Naturterz 5/4]] hingegen, mit 360 Cents mehr als 24 Cents zu tief, geht nicht mehr als grosse Terz durch, sondern muss als neutrale Terz bezeichnet werden. Für quinten- und terzenbasierte Musik (also quasi jede traditionelle westliche) ist 10-EDO also nicht wirklich zu gebrauchen.

Etwas anders präsentiert sich das Bild aber, wenn zusätzliche reine Intervalle mit höheren Primzahlen ins Spiel kommen. Es zeigt sich da, dass 10-EDO überraschend gute Approximationen für den 13., den 14. und den 15. Oberton aufweist, also [[oktavreduziert]] für die Intervalle 13/8, 7/4 und 15/8. (Übrigens für den 16. Oberton natürlich auch, der oktavreduziert mit der Prim bzw. Oktave zusammenfällt.) [[13/8]] wird dabei sogar fast perfekt getroffen (nur ein halbes Cent daneben!), die anderen beiden mit Abweichungen zwischen 8 und 9 Cent.

Als gutes Näherungssystem für den herkömmlichen 5-Limit-[[Intervallraum]] kann 10-EDO wie gesagt nicht dienen; man kann es jedoch als Näherungssystem für den von 2, 7, 13 und 15 generierten Teilraum sehen (ein Teilraum des sechsdimensionalen 13-Limit-Intervallraums).

== MOS-Skalen ==

Die 360-Cent-Terz, als [[MOS-Skalen|MOS]]-Generator verwendet, produziert eine siebentönige MOS-Skala mit den Intervallen 1 2 1 2 1 2 1 (drei grosse und vier kleine Intervalle), welche der gewöhnlichen diatonischen Skala in 12edo einigermassen ähnelt. Daneben gibt es natürlich die völlig gleichförmige pentatonische Skala (Intervalle 2 2 2 2 2 - bestehend aus allen Tönen von [[5edo]]).

[To do Tonbeispiel]

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Die Unterteilung einer Oktave in 10 gleiche Teile, '''10-EDO''', ergibt ein [[Tonsystem]] mit einer vergleichbaren Anzahl Töne wie die Standardstimmung [[12-EDO]], jedoch mit der Eigenschaft, dass die wichtigen konsonanten Intervalle ausgesprochen schlecht angenähert werden. Die beste Näherung der reinen Quinte [[3/2]] ist mit 720 [[Cent]] rund 18 Cent höher als das reine Intervall und noch knapp als Quinte erkennbar. (Es ist übrigens dieselbe Quinte wie in [[15-EDO]], und ebenso die beste Näherung für 3/2 in jeder Unterteilung durch ein Vielfaches von 5 bis zu [[30-EDO]].) Die beste Näherung für die [[Naturterz|Naturterz 5/4]] hingegen, mit 360 Cents mehr als 24 Cents zu tief, geht nicht mehr als grosse Terz durch, sondern muss als neutrale Terz bezeichnet werden. Für quinten- und terzenbasierte Musik (also quasi jede traditionelle westliche) ist 10-EDO also nicht wirklich zu gebrauchen.

Etwas anders präsentiert sich das Bild aber, wenn zusätzliche reine Intervalle mit höheren Primzahlen ins Spiel kommen. Es zeigt sich da, dass 10-EDO überraschend gute Approximationen für den 13., den 14. und den 15. Oberton aufweist, also [[oktavreduziert]] für die Intervalle 13/8, 7/4 und 15/8. (Übrigens für den 16. Oberton natürlich auch, der oktavreduziert mit der Prim bzw. Oktave zusammenfällt.) [[13/8]] wird dabei sogar fast perfekt getroffen (nur ein halbes Cent daneben!), die anderen beiden mit Abweichungen zwischen 8 und 9 Cent.

Als gutes Näherungssystem für den herkömmlichen 5-Limit-[[Intervallraum]] kann 10-EDO wie gesagt nicht dienen; man kann es jedoch als Näherungssystem für den von 2, 7, 13 und 15 generierten Teilraum sehen (ein Teilraum des sechsdimensionalen 13-Limit-Intervallraums).

== MOS-Skalen ==

Die 360-Cent-Terz, als [[MOS-Skalen|MOS]]-Generator verwendet, produziert eine siebentönige MOS-Skala mit den Intervallen 1 2 1 2 1 2 1 (drei grosse und vier kleine Intervalle), welche der gewöhnlichen diatonischen Skala in 12edo einigermassen ähnelt. Daneben gibt es natürlich die völlig gleichförmige pentatonische Skala (Intervalle 2 2 2 2 2 - bestehend aus allen Tönen von [[5edo]]).

[[Datei:10edo 3L4s.mp3|mini]]

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[[EDO|Übersicht EDO]]

Die Unterteilung einer Oktave in 10 gleiche Teile, '''10-EDO''', ergibt ein [[Tonsystem]] mit einer vergleichbaren Anzahl Töne wie die Standardstimmung [[12-EDO]], jedoch mit der Eigenschaft, dass die wichtigen konsonanten Intervalle ausgesprochen schlecht angenähert werden. Die beste Näherung der reinen Quinte [[3/2]] ist mit 720 [[Cent]] rund 18 Cent höher als das reine Intervall und noch knapp als Quinte erkennbar. (Es ist übrigens dieselbe Quinte wie in [[15-EDO]], und ebenso die beste Näherung für 3/2 in jeder Unterteilung durch ein Vielfaches von 5 bis zu [[30-EDO]].) Die beste Näherung für die [[Naturterz|Naturterz 5/4]] hingegen, mit 360 Cents mehr als 24 Cents zu tief, geht nicht mehr als grosse Terz durch, sondern muss als neutrale Terz bezeichnet werden. Für quinten- und terzenbasierte Musik (also quasi jede traditionelle westliche) ist 10-EDO also nicht wirklich zu gebrauchen.

Etwas anders präsentiert sich das Bild aber, wenn zusätzliche reine Intervalle mit höheren Primzahlen ins Spiel kommen. Es zeigt sich da, dass 10-EDO überraschend gute Approximationen für den 13., den 14. und den 15. Oberton aufweist, also [[oktavreduziert]] für die Intervalle 13/8, 7/4 und 15/8. (Übrigens für den 16. Oberton natürlich auch, der oktavreduziert mit der Prim bzw. Oktave zusammenfällt.) [[13/8]] wird dabei sogar fast perfekt getroffen (nur ein halbes Cent daneben!), die anderen beiden mit Abweichungen zwischen 8 und 9 Cent.

Als gutes Näherungssystem für den herkömmlichen 5-Limit-[[Intervallraum]] kann 10-EDO wie gesagt nicht dienen; man kann es jedoch als Näherungssystem für den von 2, 7, 13 und 15 generierten Teilraum sehen (ein Teilraum des sechsdimensionalen 13-Limit-Intervallraums).

== MOS-Skalen ==

Die 360-Cent-Terz, als [[MOS-Skalen|MOS]]-Generator verwendet, produziert eine siebentönige MOS-Skala mit den Intervallen 1 2 1 2 1 2 1 (drei grosse und vier kleine Intervalle), welche der gewöhnlichen diatonischen Skala in 12edo einigermassen ähnelt. Daneben gibt es natürlich die völlig gleichförmige pentatonische Skala (Intervalle 2 2 2 2 2 - bestehend aus allen Tönen von [[5edo]]).

[[File:10edo 3L4s.mp3]] [[:10edo 3L4s.mp3|10edo 3L4s.mp3]]

MOS-Skala 1 2 1 2 1 2 1 in 10-EDO

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[[EDO|Übersicht EDO]]

Die Unterteilung einer Oktave in 10 gleiche Teile, '''10-EDO''', ergibt ein [[Tonsystem]] mit einer vergleichbaren Anzahl Töne wie die Standardstimmung [[12-EDO]], jedoch mit der Eigenschaft, dass die wichtigen konsonanten Intervalle ausgesprochen schlecht angenähert werden. Die beste Näherung der reinen Quinte [[3/2]] ist, wie bei den Stimmungen der [[5n-EDO]]-Familie üblich, mit 720 [[Cent]] rund 18 Cent höher als das reine Intervall und noch knapp als Quinte erkennbar. Die beste Näherung für die [[Naturterz|Naturterz 5/4]] hingegen, mit 360 Cents mehr als 24 Cents zu tief, geht nicht mehr als grosse Terz durch, sondern muss als neutrale Terz bezeichnet werden. Für quinten- und terzenbasierte Musik (also quasi jede traditionelle westliche) ist 10-EDO also nicht wirklich zu gebrauchen.

Etwas anders präsentiert sich das Bild aber, wenn zusätzliche reine Intervalle mit höheren Primzahlen ins Spiel kommen. Es zeigt sich da, dass 10-EDO überraschend gute Approximationen für den 13., den 14. und den 15. Oberton aufweist, also [[oktavreduziert]] für die Intervalle 13/8, 7/4 und 15/8. (Übrigens für den 16. Oberton natürlich auch, der oktavreduziert mit der Prim bzw. Oktave zusammenfällt.) [[13/8]] wird dabei sogar fast perfekt getroffen (nur ein halbes Cent daneben!), die anderen beiden mit Abweichungen zwischen 8 und 9 Cent.

Als gutes Näherungssystem für den herkömmlichen 5-Limit-[[Intervallraum]] kann 10-EDO wie gesagt nicht dienen; man kann es jedoch als Näherungssystem für den von 2, 7, 13 und 15 generierten Teilraum sehen (ein Teilraum des sechsdimensionalen 13-Limit-Intervallraums).

== MOS-Skalen ==

Die 360-Cent-Terz, als [[MOS-Skalen|MOS]]-Generator verwendet, produziert eine siebentönige MOS-Skala mit den Intervallen 1 2 1 2 1 2 1 (drei grosse und vier kleine Intervalle), welche der gewöhnlichen diatonischen Skala in 12edo einigermassen ähnelt. Daneben gibt es natürlich die völlig gleichförmige pentatonische Skala (Intervalle 2 2 2 2 2 - bestehend aus allen Tönen von [[5edo]]).

[[File:10edo 3L4s.mp3]] [[:10edo 3L4s.mp3|10edo 3L4s.mp3]]

MOS-Skala 1 2 1 2 1 2 1 in 10-EDO

[[Kategorie:EDO]]</text>
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[[EDO|Übersicht EDO]]

[[5n-EDO|Übersicht gleichstufige Tonsysteme mit Vielfachen von 5]]

Die Unterteilung einer Oktave in 10 gleiche Teile, '''10-EDO''', ergibt ein [[Tonsystem]] mit einer vergleichbaren Anzahl Töne wie die Standardstimmung [[12-EDO]], jedoch mit der Eigenschaft, dass die wichtigen konsonanten Intervalle ausgesprochen schlecht angenähert werden. Die beste Näherung der reinen Quinte [[3/2]] ist, wie bei den Stimmungen der [[5n-EDO]]-Familie üblich, mit 720 [[Cent]] rund 18 Cent höher als das reine Intervall und noch knapp als Quinte erkennbar. Die beste Näherung für die [[Naturterz|Naturterz 5/4]] hingegen, mit 360 Cents mehr als 24 Cents zu tief, geht nicht mehr als grosse Terz durch, sondern muss als neutrale Terz bezeichnet werden. Für quinten- und terzenbasierte Musik (also quasi jede traditionelle westliche) ist 10-EDO also nicht wirklich zu gebrauchen.

Etwas anders präsentiert sich das Bild aber, wenn zusätzliche reine Intervalle mit höheren Primzahlen ins Spiel kommen. Es zeigt sich da, dass 10-EDO überraschend gute Approximationen für den 13., den 14. und den 15. Oberton aufweist, also [[oktavreduziert]] für die Intervalle 13/8, 7/4 und 15/8. (Übrigens für den 16. Oberton natürlich auch, der oktavreduziert mit der Prim bzw. Oktave zusammenfällt.) [[13/8]] wird dabei sogar fast perfekt getroffen (nur ein halbes Cent daneben!), die anderen beiden mit Abweichungen zwischen 8 und 9 Cent.

Als gutes Näherungssystem für den herkömmlichen 5-Limit-[[Intervallraum]] kann 10-EDO wie gesagt nicht dienen; man kann es jedoch als Näherungssystem für den von 2, 7, 13 und 15 generierten Teilraum sehen (ein Teilraum des sechsdimensionalen 13-Limit-Intervallraums).

== MOS-Skalen ==

Die 360-Cent-Terz, als [[MOS-Skalen|MOS]]-Generator verwendet, produziert eine siebentönige MOS-Skala mit den Intervallen 1 2 1 2 1 2 1 (drei grosse und vier kleine Intervalle), welche der gewöhnlichen diatonischen Skala in 12edo einigermassen ähnelt. Daneben gibt es natürlich die völlig gleichförmige pentatonische Skala (Intervalle 2 2 2 2 2 - bestehend aus allen Tönen von [[5edo]]).

[[File:10edo 3L4s.mp3]] [[:10edo 3L4s.mp3|10edo 3L4s.mp3]]

MOS-Skala 1 2 1 2 1 2 1 in 10-EDO

[[Kategorie:EDO]]</text>
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| ja = 10平均律
}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

[[5n-EDO|Übersicht gleichstufige Tonsysteme mit Vielfachen von 5]]

Die Unterteilung einer Oktave in 10 gleiche Teile, '''10-EDO''', ergibt ein [[Tonsystem]] mit einer vergleichbaren Anzahl Töne wie die Standardstimmung [[12-EDO]], jedoch mit der Eigenschaft, dass die wichtigen konsonanten Intervalle ausgesprochen schlecht angenähert werden. Die beste Näherung der reinen Quinte [[3/2]] ist, wie bei den Stimmungen der [[5n-EDO]]-Familie üblich, mit 720 [[Cent]] rund 18 Cent höher als das reine Intervall und noch knapp als Quinte erkennbar. Die beste Näherung für die [[Naturterz|Naturterz 5/4]] hingegen, mit 360 Cents mehr als 24 Cents zu tief, geht nicht mehr als grosse Terz durch, sondern muss als neutrale Terz bezeichnet werden. Für quinten- und terzenbasierte Musik (also quasi jede traditionelle westliche) ist 10-EDO also nicht wirklich zu gebrauchen.

Etwas anders präsentiert sich das Bild aber, wenn zusätzliche reine Intervalle mit höheren Primzahlen ins Spiel kommen. Es zeigt sich da, dass 10-EDO überraschend gute Approximationen für den 13., den 14. und den 15. Oberton aufweist, also [[oktavreduziert]] für die Intervalle 13/8, 7/4 und 15/8. (Übrigens für den 16. Oberton natürlich auch, der oktavreduziert mit der Prim bzw. Oktave zusammenfällt.) [[13/8]] wird dabei sogar fast perfekt getroffen (nur ein halbes Cent daneben!), die anderen beiden mit Abweichungen zwischen 8 und 9 Cent.

Als gutes Näherungssystem für den herkömmlichen 5-Limit-[[Intervallraum]] kann 10-EDO wie gesagt nicht dienen; man kann es jedoch als Näherungssystem für den von 2, 7, 13 und 15 generierten Teilraum sehen (ein Teilraum des sechsdimensionalen 13-Limit-Intervallraums).

== MOS-Skalen ==

Die 360-Cent-Terz, als [[MOS-Skalen|MOS]]-Generator verwendet, produziert eine siebentönige MOS-Skala mit den Intervallen 1 2 1 2 1 2 1 (drei grosse und vier kleine Intervalle), welche der gewöhnlichen diatonischen Skala in 12edo einigermassen ähnelt. Daneben gibt es natürlich die völlig gleichförmige pentatonische Skala (Intervalle 2 2 2 2 2 - bestehend aus allen Tönen von [[5-EDO]]).

[[File:10edo 3L4s.mp3]] [[:10edo 3L4s.mp3|10edo 3L4s.mp3]]

MOS-Skala 1 2 1 2 1 2 1 in 10-EDO

[[Kategorie:EDO]]</text>
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Das Intervall bzw. Komma 126/125 (13.79 Cent), auch '''Starling-Komma,''' '''septimales Semikomma''' oder '''kleines septimales Komma''' genannt, ist der Unterschied zwischen drei kleinen Terzen 6/5 und dem Komplement einer septimalen Terz 7/6.

[[Reguläre_Temperaturen|Reguläre Temperaturen]], die dieses Komma austemperieren, können zur Familie der '''Starling-Temperaturen''' zusammengefasst werden; ein historisch wichtiges Beispiel ist die [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönige]] Temperatur. Sie zeichnen sich aus durch die Existenz eines Vierklangs, der aus drei Approximationen von 6/5 und einer Approximation von 7/6 besteht, eine Art verminderter Septakkord, der auch '''Starling-Vierklang''' genannt wird.

[[File:StarlingTetrad_19edo.mp3]]

Starling-Vierklang in [[19edo|19edo]]. Das letzte Intervall ist leicht kleiner als die drei vorhergehenden.

In der Standardstimmung [[12edo|12edo]], wo auch der Unterschied zwischen 6/5 und 7/6 (der [[36/35|septimale Viertelton]]) austemperiert wird, zeigt sich der Starling-Vierklang als vollständig symmetrischer verminderter Septakkord.

[[File:StarlingTetrad12edo.mp3]]

Starling-Vierklang in 12edo: verminderter Septakkord mit vier identischen Intervallen

Siehe auch:

[https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_semicomma Septimal semicomma (Wikipedia, englisch)]  [[Category:Komma]]</text>
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Das Intervall bzw. Komma 126/125 (13.79 Cent), auch **Starling-Komma,** **septimales Semikomma** oder **kleines septimales Komma** genannt, ist der Unterschied zwischen drei kleinen Terzen 6/5 und dem Komplement einer septimalen Terz 7/6.

[[Reguläre Temperaturen]], die dieses Komma austemperieren, können zur Familie der **Starling-Temperaturen** zusammengefasst werden; ein historisch wichtiges Beispiel ist die [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönige]] Temperatur. Sie zeichnen sich aus durch die Existenz eines Vierklangs, der aus drei Approximationen von 6/5 und einer Approximation von 7/6 besteht, eine Art verminderter Septakkord, der auch **Starling-Vierklang** genannt wird.

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Starling-Vierklang in [[19edo]]. Das letzte Intervall ist leicht kleiner als die drei vorhergehenden.

In der Standardstimmung [[12edo]], wo auch der Unterschied zwischen 6/5 und 7/6 (der [[36_35|septimale Viertelton]]) austemperiert wird, zeigt sich der Starling-Vierklang als vollständig symmetrischer verminderter Septakkord.

[[media type="file" key="StarlingTetrad12edo.mp3"]]
Starling-Vierklang in 12edo: verminderter Septakkord mit vier identischen Intervallen

Siehe auch:
[[https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_semicomma|Septimal semicomma (Wikipedia, englisch)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Das Intervall bzw. Komma 126/125 (13.79 Cent), auch &amp;lt;strong&amp;gt;Starling-Komma,&amp;lt;/strong&amp;gt; &amp;lt;strong&amp;gt;septimales Semikomma&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;kleines septimales Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt, ist der Unterschied zwischen drei kleinen Terzen 6/5 und dem Komplement einer septimalen Terz 7/6.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In der Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, wo auch der Unterschied zwischen 6/5 und 7/6 (der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/36_35"&amp;gt;septimale Viertelton&amp;lt;/a&amp;gt;) austemperiert wird, zeigt sich der Starling-Vierklang als vollständig symmetrischer verminderter Septakkord.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Siehe auch:&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Intervall bzw. Komma 126/125 (13.79 Cent), auch **Starling-Komma,** **septimales Semikomma** oder **kleines septimales Komma** genannt, ist der Unterschied zwischen drei kleinen Terzen 6/5 und dem Komplement einer septimalen Terz 7/6.

[[Reguläre Temperaturen]], die dieses Komma austemperieren, können zur Familie der **Starling-Temperaturen** zusammengefasst werden; ein historisch wichtiges Beispiel ist die [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönige]] Temperatur. Sie zeichnen sich aus durch die Existenz eines Vierklangs, der aus drei Approximationen von 6/5 und einer Approximation von 7/6 besteht, eine Art verminderter Septakkord, der auch **Starling-Vierklang** genannt wird.

In der Standardstimmung [[12edo]], wo auch der Unterschied zwischen 6/5 und 7/6 (der [[36_35|septimale Viertelton]]) austemperiert wird, zeigt sich der Starling-Vierklang als vollständig symmetrischer verminderter Septakkord.

Siehe auch:
[[https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_semicomma|Septimal semicomma (Wikipedia, englisch)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Das Intervall bzw. Komma 126/125 (13.79 Cent), auch &amp;lt;strong&amp;gt;Starling-Komma,&amp;lt;/strong&amp;gt; &amp;lt;strong&amp;gt;septimales Semikomma&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;kleines septimales Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt, ist der Unterschied zwischen drei kleinen Terzen 6/5 und dem Komplement einer septimalen Terz 7/6.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;, die dieses Komma austemperieren, können zur Familie der &amp;lt;strong&amp;gt;Starling-Temperaturen&amp;lt;/strong&amp;gt; zusammengefasst werden; ein historisch wichtiges Beispiel ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/septimal-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;septimal-mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur. Sie zeichnen sich aus durch die Existenz eines Vierklangs, der aus drei Approximationen von 6/5 und einer Approximation von 7/6 besteht, eine Art verminderter Septakkord, der auch &amp;lt;strong&amp;gt;Starling-Vierklang&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, wo auch der Unterschied zwischen 6/5 und 7/6 (der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/36_35"&amp;gt;septimale Viertelton&amp;lt;/a&amp;gt;) austemperiert wird, zeigt sich der Starling-Vierklang als vollständig symmetrischer verminderter Septakkord.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Siehe auch:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_semicomma" rel="nofollow"&amp;gt;Septimal semicomma (Wikipedia, englisch)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&amp;lt;/span&amp;gt;
Das Intervall bzw. Komma 126/125 (13.79 Cent), auch **Starling-Komma,** **septimales Semikomma** oder **kleines septimales Komma** genannt, ist der Unterschied zwischen drei kleinen Terzen 6/5 und dem Komplement einer septimalen Terz 7/6.

[[Reguläre Temperaturen]], die dieses Komma austemperieren, können zur Familie der **Starling-Temperaturen** zusammengefasst werden; ein historisch wichtiges Beispiel ist die [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönige]] Temperatur. Sie zeichnen sich aus durch die Existenz eines Vierklangs, der aus drei Approximationen von 6/5 und einer Approximation von 7/6 besteht, eine Art verminderter Septakkord, der auch **Starling-Vierklang** genannt wird.

In der Standardstimmung [[12edo]], wo auch der Unterschied zwischen 6/5 und 7/6 (der [[36_35|septimale Viertelton]]) austemperiert wird, zeigt sich der Starling-Vierklang als vollständig symmetrischer verminderter Septakkord.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Das Intervall bzw. Komma 126/125 (13.79 Cent), auch &amp;lt;strong&amp;gt;Starling-Komma,&amp;lt;/strong&amp;gt; &amp;lt;strong&amp;gt;septimales Semikomma&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;kleines septimales Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt, ist der Unterschied zwischen drei kleinen Terzen 6/5 und dem Komplement einer septimalen Terz 7/6.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;, die dieses Komma austemperieren, können zur Familie der &amp;lt;strong&amp;gt;Starling-Temperaturen&amp;lt;/strong&amp;gt; zusammengefasst werden; ein historisch wichtiges Beispiel ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/septimal-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;septimal-mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur. Sie zeichnen sich aus durch die Existenz eines Vierklangs, der aus drei Approximationen von 6/5 und einer Approximation von 7/6 besteht, eine Art verminderter Septakkord, der auch &amp;lt;strong&amp;gt;Starling-Vierklang&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In der Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, wo auch der Unterschied zwischen 6/5 und 7/6 (der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/36_35"&amp;gt;septimale Viertelton&amp;lt;/a&amp;gt;) austemperiert wird, zeigt sich der Starling-Vierklang als vollständig symmetrischer verminderter Septakkord.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&amp;lt;/span&amp;gt;
Das Intervall bzw. Komma 126/125 (13.79 Cent), auch **Starling-Komma,** **septimales Semikomma** oder **kleines septimales Komma** genannt, ist der Unterschied zwischen drei kleinen Terzen 6/5 und dem Komplement einer septimalen Terz 7/6.

[[Reguläre Temperaturen]], die dieses Komma austemperieren, können zur Familie der **Starling-Temperaturen** zusammengefasst werden; ein historisch wichtiges Beispiel ist die [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönige]] Temperatur. Sie zeichnen sich aius durch die Existenz eines Vierklangs, der aus drei Approximationen von 6/5 und einer Approximation von 7/6 besteht, eine Art verminderter Septakkord, der auch **Starling-Vierklang** genannt wird. In der Standardstimmung [[12edo]], wo auch der Unterschied zwischen 6/5 und 7/6 (der [[36_35|septimale Viertelton]]) austemperiert wird, ergibt das einen vollständig symmetrischen verminderten Septakkord.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Das Intervall bzw. Komma 126/125 (13.79 Cent), auch &amp;lt;strong&amp;gt;Starling-Komma,&amp;lt;/strong&amp;gt; &amp;lt;strong&amp;gt;septimales Semikomma&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;kleines septimales Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt, ist der Unterschied zwischen drei kleinen Terzen 6/5 und dem Komplement einer septimalen Terz 7/6.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;, die dieses Komma austemperieren, können zur Familie der &amp;lt;strong&amp;gt;Starling-Temperaturen&amp;lt;/strong&amp;gt; zusammengefasst werden; ein historisch wichtiges Beispiel ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/septimal-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;septimal-mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur. Sie zeichnen sich aius durch die Existenz eines Vierklangs, der aus drei Approximationen von 6/5 und einer Approximation von 7/6 besteht, eine Art verminderter Septakkord, der auch &amp;lt;strong&amp;gt;Starling-Vierklang&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt wird. In der Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, wo auch der Unterschied zwischen 6/5 und 7/6 (der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/36_35"&amp;gt;septimale Viertelton&amp;lt;/a&amp;gt;) austemperiert wird, ergibt das einen vollständig symmetrischen verminderten Septakkord.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&amp;lt;/span&amp;gt;
Das Intervall bzw. Komma 126/125 (13.79 Cent), auch **Starling-Komma,** **septimales Semikomma** oder **kleines septimales Komma** genannt, ist der Unterschied zwischen drei kleinen Terzen 6/5 und dem Komplement einer septimalen Terz 7/6.

[[Reguläre Temperaturen]], die dieses Komma austemperieren, können zur Familie der **Starling-Temperaturen** zusammengefasst werden. Sie zeichnen sich aius durch die Existenz eines Vierklangs, der aus drei Approximationen von 6/5 und einer Approximation von 7/6 besteht, eine Art verminderter Septakkord, der auch **Starling-Vierklang** genannt wird. In der Standardstimmung [[12edo]], wo auch der Unterschied zwischen 6/5 und 7/6 (der [[36_35|septimale Viertelton]]) austemperiert wird, ergibt das einen vollständig symmetrischen verminderten Septakkord.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Intervall bzw. Komma 126/125 (13.79 Cent), auch &amp;lt;strong&amp;gt;Starling-Komma,&amp;lt;/strong&amp;gt; &amp;lt;strong&amp;gt;septimales Semikomma&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;kleines septimales Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt, ist der Unterschied zwischen drei kleinen Terzen 6/5 und dem Komplement einer septimalen Terz 7/6.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;, die dieses Komma austemperieren, können zur Familie der &amp;lt;strong&amp;gt;Starling-Temperaturen&amp;lt;/strong&amp;gt; zusammengefasst werden. Sie zeichnen sich aius durch die Existenz eines Vierklangs, der aus drei Approximationen von 6/5 und einer Approximation von 7/6 besteht, eine Art verminderter Septakkord, der auch &amp;lt;strong&amp;gt;Starling-Vierklang&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt wird. In der Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, wo auch der Unterschied zwischen 6/5 und 7/6 (der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/36_35"&amp;gt;septimale Viertelton&amp;lt;/a&amp;gt;) austemperiert wird, ergibt das einen vollständig symmetrischen verminderten Septakkord.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Das Intervall bzw. Komma 126/125 (13.79 Cent), auch '''Starling-Komma,''' '''septimales Semikomma''' oder '''kleines septimales Komma''' genannt, ist der Unterschied zwischen drei kleinen Terzen 6/5 und dem Komplement einer septimalen Terz 7/6.

[[Reguläre_Temperaturen|Reguläre Temperaturen]], die dieses Komma austemperieren, können zur Familie der '''Starling-Temperaturen''' zusammengefasst werden; ein historisch wichtiges Beispiel ist die [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönige]] Temperatur. Sie zeichnen sich aus durch die Existenz eines Vierklangs, der aus drei Approximationen von 6/5 und einer Approximation von 7/6 besteht, eine Art verminderter Septakkord, der auch '''Starling-Vierklang''' genannt wird.

[[File:StarlingTetrad_19edo.mp3]]

Starling-Vierklang in [[19edo|19edo]]. Das letzte Intervall ist leicht kleiner als die drei vorhergehenden.

In der Standardstimmung [[12edo|12edo]], wo auch der Unterschied zwischen 6/5 und 7/6 (der [[36/35|septimale Viertelton]]) austemperiert wird, zeigt sich der Starling-Vierklang als vollständig symmetrischer verminderter Septakkord.

[[File:StarlingTetrad12edo.mp3]]

Starling-Vierklang in 12edo: verminderter Septakkord mit vier identischen Intervallen

Siehe auch:

[https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_semicomma Septimal semicomma (Wikipedia, englisch)]  [[Category:Komma]]</text>
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Das Intervall bzw. Komma 126/125 (13.79 Cent), auch '''Starling-Komma,''' '''septimales Semikomma''' oder '''kleines septimales Komma''' genannt, ist der Unterschied zwischen drei kleinen Terzen 6/5 und dem Komplement einer septimalen Terz 7/6.

[[Reguläre_Temperaturen|Reguläre Temperaturen]], die dieses Komma austemperieren, können zur Familie der '''Starling-Temperaturen''' zusammengefasst werden; ein historisch wichtiges Beispiel ist die [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönige]] Temperatur. Sie zeichnen sich aus durch die Existenz eines Vierklangs, der aus drei Approximationen von 6/5 und einer Approximation von 7/6 besteht, eine Art verminderter Septakkord, der auch '''Starling-Vierklang''' genannt wird.

[[File:StarlingTetrad_19edo.mp3]]

Starling-Vierklang in [[19-EDO]]. Das letzte Intervall ist leicht kleiner als die drei vorhergehenden.

In der Standardstimmung [[12-EDO]], wo auch der Unterschied zwischen 6/5 und 7/6 (der [[36/35|septimale Viertelton]]) austemperiert wird, zeigt sich der Starling-Vierklang als vollständig symmetrischer verminderter Septakkord.

[[File:StarlingTetrad12edo.mp3]]

Starling-Vierklang in 12-EDO: verminderter Septakkord mit vier identischen Intervallen

Siehe auch:

[https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_semicomma Septimal semicomma (Wikipedia, englisch)]  [[Category:Komma]]</text>
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Das Intervall bzw. Komma 126/125 (13.79 Cent), auch '''Starling-Komma,''' '''septimales Semikomma''' oder '''kleines septimales Komma''' genannt, ist der Unterschied zwischen drei kleinen Terzen 6/5 und dem Komplement einer septimalen Terz 7/6.

[[Reguläre_Temperaturen|Reguläre Temperaturen]], die dieses Komma austemperieren, können zur Familie der '''Starling-Temperaturen''' zusammengefasst werden; ein historisch wichtiges Beispiel ist die [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönige]] Temperatur. Sie zeichnen sich aus durch die Existenz eines Vierklangs, der aus drei Approximationen von 6/5 und einer Approximation von 7/6 besteht, eine Art verminderter Septakkord, der auch '''Starling-Vierklang''' genannt wird.

[[File:StarlingTetrad_19edo.mp3]]

Starling-Vierklang in [[19-EDO]]. Das letzte Intervall ist leicht kleiner als die drei vorhergehenden.

In der Standardstimmung [[12-EDO]], wo auch der Unterschied zwischen 6/5 und 7/6 (der [[36/35|septimale Viertelton]]) austemperiert wird, zeigt sich der Starling-Vierklang als vollständig symmetrischer verminderter Septakkord.

[[File:StarlingTetrad12edo.mp3]]

Starling-Vierklang in 12-EDO: verminderter Septakkord mit vier identischen Intervallen

Siehe auch:

[https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_semicomma Septimal semicomma (Wikipedia, englisch)]  [[Category:Komma]]</text>
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Deutschsprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Di%C3%ABsis Diësis (Wikipedia)]

Das Intervall 128/125 (41.059 Cent), genannt '''Diësis''', '''kleine Diësis''' oder '''enharmonisches Komma''', ist der Unterschied zwischen

einer Oktave (2/1) und drei reinen grossen Terzen (5/4).

Wird dieses Komma austemperiert, bilden drei übereinandergeschichtete grosse Terzen genau eine Oktave, es folgt daraus also die Existenz eines vollsymmetrischen übermässigen Dreiklangs. [[Reguläre_Temperaturen|Reguläre Temperaturen]], welche die kleine Diësis austemperieren, kann man dementsprechend [[übermässige_Temperaturen|übermässige Temperaturen]] nennen. [[edo|n-EDO]]-Systeme mit dieser Eigenschaft sind solche, bei denen n durch 3 teilbar ist.

In der [[viertelkomma-mitteltönigen|viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung erscheint die kleine Diësis als Unterschied zwischen enharmonischen Wechseltönen, also zum Beispiel zwischen Dis und Es. Daher der Name "enharmonisches Komma". Wenn man sowohl das syntonische als auch das enharmonische Komma austemperiert, erhält man ein mitteltöniges Tonsystem, bei welchem Dis und Es identisch sind - das verbreitete [[12edo|12edo]] hat diese Eigenschaft.  [[Category:Komma]]</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-07-16 07:37:10 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Deutschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Di%C3%ABsis|Diësis (Wikipedia)]]

Das Intervall 128/125 (41.059 Cent), genannt **Diësis**, **kleine Diësis** oder **enharmonisches Komma**, ist der Unterschied zwischen
einer Oktave (2/1) und drei reinen grossen Terzen (5/4).

Wird dieses Komma austemperiert, bilden drei übereinandergeschichtete grosse Terzen genau eine Oktave, es folgt daraus also die Existenz eines vollsymmetrischen übermässigen Dreiklangs. [[Reguläre Temperaturen]], welche die kleine Diësis austemperieren, kann man dementsprechend [[übermässige Temperaturen]] nennen. [[edo|n-EDO]]-Systeme mit dieser Eigenschaft sind solche, bei denen n durch 3 teilbar ist.

In der [[viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung erscheint die kleine Diësis als Unterschied zwischen enharmonischen Wechseltönen, also zum Beispiel zwischen Dis und Es. Daher der Name "enharmonisches Komma". Wenn man sowohl das syntonische als auch das enharmonische Komma austemperiert, erhält man ein mitteltöniges Tonsystem, bei welchem Dis und Es identisch sind - das verbreitete [[12edo]] hat diese Eigenschaft.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Deutschsprachige Einführung:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Di%C3%ABsis" rel="nofollow"&amp;gt;Diësis (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Intervall 128/125 (41.059 Cent), genannt &amp;lt;strong&amp;gt;Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt;, &amp;lt;strong&amp;gt;kleine Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;enharmonisches Komma&amp;lt;/strong&amp;gt;, ist der Unterschied zwischen&amp;lt;br /&amp;gt;
einer Oktave (2/1) und drei reinen grossen Terzen (5/4).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wird dieses Komma austemperiert, bilden drei übereinandergeschichtete grosse Terzen genau eine Oktave, es folgt daraus also die Existenz eines vollsymmetrischen übermässigen Dreiklangs. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;, welche die kleine Diësis austemperieren, kann man dementsprechend &amp;lt;a class="wiki_link" href="/%C3%BCberm%C3%A4ssige%20Temperaturen"&amp;gt;übermässige Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; nennen. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;n-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;-Systeme mit dieser Eigenschaft sind solche, bei denen n durch 3 teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/viertelkomma-mittelt%C3%B6nigen"&amp;gt;viertelkomma-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung erscheint die kleine Diësis als Unterschied zwischen enharmonischen Wechseltönen, also zum Beispiel zwischen Dis und Es. Daher der Name &amp;amp;quot;enharmonisches Komma&amp;amp;quot;. Wenn man sowohl das syntonische als auch das enharmonische Komma austemperiert, erhält man ein mitteltöniges Tonsystem, bei welchem Dis und Es identisch sind - das verbreitete &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; hat diese Eigenschaft.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Deutschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Di%C3%ABsis|Diësis (Wikipedia)]]

Das Intervall 128/125 (41.059 Cent), genannt **Diësis**, **kleine Diësis** oder **enharmonisches Komma**, ist der Unterschied zwischen drei reinen grossen Terzen (5/4) und einer Oktave (2/1).

Wird dieses Komma austemperiert, bilden drei übereinandergeschichtete grosse Terzen genau eine Oktave, es folgt daraus also die Existenz eines vollsymmetrischen übermässigen Dreiklangs. [[Reguläre Temperaturen]], welche die kleine Diësis austemperieren, kann man dementsprechend [[übermässige Temperaturen]] nennen. [[edo|n-EDO]]-Systeme mit dieser Eigenschaft sind solche, bei denen n durch 3 teilbar ist.

In der [[viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung erscheint die kleine Diësis als Unterschied zwischen enharmonischen Wechseltönen, also zum Beispiel zwischen Dis und Es. Daher der Name "enharmonisches Komma". Wenn man sowohl das syntonische als auch das enharmonische Komma austemperiert, erhält man ein mitteltöniges Tonsystem, bei welchem Dis und Es identisch sind - das verbreitete [[12edo]] hat diese Eigenschaft.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Deutschsprachige Einführung:&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Intervall 128/125 (41.059 Cent), genannt &amp;lt;strong&amp;gt;Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt;, &amp;lt;strong&amp;gt;kleine Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;enharmonisches Komma&amp;lt;/strong&amp;gt;, ist der Unterschied zwischen drei reinen grossen Terzen (5/4) und einer Oktave (2/1).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wird dieses Komma austemperiert, bilden drei übereinandergeschichtete grosse Terzen genau eine Oktave, es folgt daraus also die Existenz eines vollsymmetrischen übermässigen Dreiklangs. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;, welche die kleine Diësis austemperieren, kann man dementsprechend &amp;lt;a class="wiki_link" href="/%C3%BCberm%C3%A4ssige%20Temperaturen"&amp;gt;übermässige Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; nennen. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;n-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;-Systeme mit dieser Eigenschaft sind solche, bei denen n durch 3 teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/viertelkomma-mittelt%C3%B6nigen"&amp;gt;viertelkomma-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung erscheint die kleine Diësis als Unterschied zwischen enharmonischen Wechseltönen, also zum Beispiel zwischen Dis und Es. Daher der Name &amp;amp;quot;enharmonisches Komma&amp;amp;quot;. Wenn man sowohl das syntonische als auch das enharmonische Komma austemperiert, erhält man ein mitteltöniges Tonsystem, bei welchem Dis und Es identisch sind - das verbreitete &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; hat diese Eigenschaft.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Deutschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Di%C3%ABsis|Diësis (Wikipedia)]]

Das Intervall 128/125, genannt **Diësis**, **kleine Diësis** oder **enharmonisches Komma**, ist der Unterschied zwischen drei reinen grossen Terzen (5/4) und einer Oktave (2/1).

Wird dieses Komma austemperiert, bilden drei übereinandergeschichtete grosse Terzen genau eine Oktave, es folgt daraus also die Existenz eines vollsymmetrischen übermässigen Dreiklangs. [[Reguläre Temperaturen]], welche die kleine Diësis austemperieren, kann man dementsprechend [[übermässige Temperaturen]] nennen. [[edo|n-EDO]]-Systeme mit dieser Eigenschaft sind solche, bei denen n durch 3 teilbar ist.

In der [[viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung erscheint die kleine Diësis als Unterschied zwischen enharmonischen Wechseltönen, also zum Beispiel zwischen Dis und Es. Daher der Name "enharmonisches Komma". Wenn man sowohl das syntonische als auch das enharmonische Komma austemperiert, erhält man ein mitteltöniges Tonsystem, bei welchem Dis und Es identisch sind - das verbreitete [[12edo]] hat diese Eigenschaft.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Das Intervall 128/125, genannt &amp;lt;strong&amp;gt;Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt;, &amp;lt;strong&amp;gt;kleine Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;enharmonisches Komma&amp;lt;/strong&amp;gt;, ist der Unterschied zwischen drei reinen grossen Terzen (5/4) und einer Oktave (2/1).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wird dieses Komma austemperiert, bilden drei übereinandergeschichtete grosse Terzen genau eine Oktave, es folgt daraus also die Existenz eines vollsymmetrischen übermässigen Dreiklangs. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;, welche die kleine Diësis austemperieren, kann man dementsprechend &amp;lt;a class="wiki_link" href="/%C3%BCberm%C3%A4ssige%20Temperaturen"&amp;gt;übermässige Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; nennen. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;n-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;-Systeme mit dieser Eigenschaft sind solche, bei denen n durch 3 teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/viertelkomma-mittelt%C3%B6nigen"&amp;gt;viertelkomma-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung erscheint die kleine Diësis als Unterschied zwischen enharmonischen Wechseltönen, also zum Beispiel zwischen Dis und Es. Daher der Name &amp;amp;quot;enharmonisches Komma&amp;amp;quot;. Wenn man sowohl das syntonische als auch das enharmonische Komma austemperiert, erhält man ein mitteltöniges Tonsystem, bei welchem Dis und Es identisch sind - das verbreitete &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; hat diese Eigenschaft.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/128_125|128_125]]

Deutschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Di%C3%ABsis|Diësis (Wikipedia)]]

Das Intervall 128/125, genannt **Diësis**, **kleine Diësis** oder **enharmonisches Komma**, ist der Unterschied zwischen drei reinen grossen Terzen (5/4) und einer Oktave (2/1).

Wird dieses Komma austemperiert, bilden drei übereinandergeschichtete grosse Terzen genau eine Oktave, es folgt daraus also die Existenz eines vollsymmetrischen übermässigen Dreiklangs. [[Reguläre Temperaturen]], welche die kleine Diësis austemperieren, kann man dementsprechend [[übermässige Temperaturen]] nennen. [[edo|n-EDO]]-Systeme mit dieser Eigenschaft sind solche, bei denen n durch 3 teilbar ist.

In der [[viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung erscheint die kleine Diësis als Unterschied zwischen enharmonischen Wechseltönen, also zum Beispiel zwischen Dis und Es. Daher der Name "enharmonisches Komma". Wenn man sowohl das syntonische als auch das enharmonische Komma austemperiert, erhält man mitteltöniges Tonsystem, bei welchem Dis und Es identisch sind - das verbreitete [[12edo]] hat diese Eigenschaft.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Wird dieses Komma austemperiert, bilden drei übereinandergeschichtete grosse Terzen genau eine Oktave, es folgt daraus also die Existenz eines vollsymmetrischen übermässigen Dreiklangs. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;, welche die kleine Diësis austemperieren, kann man dementsprechend &amp;lt;a class="wiki_link" href="/%C3%BCberm%C3%A4ssige%20Temperaturen"&amp;gt;übermässige Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; nennen. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;n-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;-Systeme mit dieser Eigenschaft sind solche, bei denen n durch 3 teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/viertelkomma-mittelt%C3%B6nigen"&amp;gt;viertelkomma-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung erscheint die kleine Diësis als Unterschied zwischen enharmonischen Wechseltönen, also zum Beispiel zwischen Dis und Es. Daher der Name &amp;amp;quot;enharmonisches Komma&amp;amp;quot;. Wenn man sowohl das syntonische als auch das enharmonische Komma austemperiert, erhält man mitteltöniges Tonsystem, bei welchem Dis und Es identisch sind - das verbreitete &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; hat diese Eigenschaft.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Deutschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Di%C3%ABsis|Diësis (Wikipedia)]]

Das Intervall 128/125, genannt **Diësis**, **kleine Diësis** oder **enharmonisches Komma**, ist der Unterschied zwischen drei reinen grossen Terzen (5/4) und einer Oktave (2/1).

Wird dieses Komma austemperiert, bilden drei übereinandergeschichtete grosse Terzen genau eine Oktave, es folgt daraus also die Existenz eines vollsymmetrischen übermässigen Dreiklangs. [[Reguläre Temperaturen]], welche die kleine Diësis austemperieren, kann man dementsprechend [[übermässige Temperaturen]] nennen. [[edo|n-EDO]]-Systeme mit dieser Eigenschaft sind solche, bei denen n durch 3 teilbar ist.

In der [[viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung erscheint die kleine Diësis als Unterschied zwischen enharmonischen Wechseltönen, also zum Beispiel zwischen Dis und Es. Daher der Name "enharmonisches Komma".&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Deutschsprachige Einführung:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Di%C3%ABsis" rel="nofollow"&amp;gt;Diësis (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Intervall 128/125, genannt &amp;lt;strong&amp;gt;Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt;, &amp;lt;strong&amp;gt;kleine Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;enharmonisches Komma&amp;lt;/strong&amp;gt;, ist der Unterschied zwischen drei reinen grossen Terzen (5/4) und einer Oktave (2/1).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wird dieses Komma austemperiert, bilden drei übereinandergeschichtete grosse Terzen genau eine Oktave, es folgt daraus also die Existenz eines vollsymmetrischen übermässigen Dreiklangs. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;, welche die kleine Diësis austemperieren, kann man dementsprechend &amp;lt;a class="wiki_link" href="/%C3%BCberm%C3%A4ssige%20Temperaturen"&amp;gt;übermässige Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; nennen. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;n-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;-Systeme mit dieser Eigenschaft sind solche, bei denen n durch 3 teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/viertelkomma-mittelt%C3%B6nigen"&amp;gt;viertelkomma-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung erscheint die kleine Diësis als Unterschied zwischen enharmonischen Wechseltönen, also zum Beispiel zwischen Dis und Es. Daher der Name &amp;amp;quot;enharmonisches Komma&amp;amp;quot;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Deutschsprachige Einführung:

[[http://de.wikipedia.org/wiki/Di%C3%ABsis|Diësis (Wikipedia)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Deutschsprachige Einführung:&amp;lt;br /&amp;gt;
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Deutschsprachige Eimnführung:

[[http://de.wikipedia.org/wiki/Di%C3%ABsis|Diësis (Wikipedia)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Deutschsprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Di%C3%ABsis Diësis (Wikipedia)]

Das Intervall 128/125 (41.059 Cent), genannt '''Diësis''', '''kleine Diësis''' oder '''enharmonisches Komma''', ist der Unterschied zwischen

einer Oktave (2/1) und drei reinen grossen Terzen (5/4).

Wird dieses Komma austemperiert, bilden drei übereinandergeschichtete grosse Terzen genau eine Oktave, es folgt daraus also die Existenz eines vollsymmetrischen übermässigen Dreiklangs. [[Reguläre_Temperaturen|Reguläre Temperaturen]], welche die kleine Diësis austemperieren, kann man dementsprechend [[übermässige_Temperaturen|übermässige Temperaturen]] nennen. [[edo|n-EDO]]-Systeme mit dieser Eigenschaft sind solche, bei denen n durch 3 teilbar ist.

In der [[viertelkomma-mitteltönigen|viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung erscheint die kleine Diësis als Unterschied zwischen enharmonischen Wechseltönen, also zum Beispiel zwischen Dis und Es. Daher der Name "enharmonisches Komma". Wenn man sowohl das syntonische als auch das enharmonische Komma austemperiert, erhält man ein mitteltöniges Tonsystem, bei welchem Dis und Es identisch sind - das verbreitete [[12edo|12edo]] hat diese Eigenschaft.  [[Category:Komma]]</text>
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Deutschsprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Di%C3%ABsis Diësis (Wikipedia)]

Das Intervall 128/125 (41.059 Cent), genannt '''Diësis''', '''kleine Diësis''' oder '''enharmonisches Komma''', ist der Unterschied zwischen

einer Oktave (2/1) und drei reinen grossen Terzen (5/4).

Wird dieses Komma austemperiert, bilden drei übereinandergeschichtete grosse Terzen genau eine Oktave, es folgt daraus also die Existenz eines vollsymmetrischen übermässigen Dreiklangs. [[Reguläre_Temperaturen|Reguläre Temperaturen]], welche die kleine Diësis austemperieren, kann man dementsprechend [[übermässige_Temperaturen|übermässige Temperaturen]] nennen. [[edo|n-EDO]]-Systeme mit dieser Eigenschaft sind solche, bei denen n durch 3 teilbar ist.

In der [[viertelkomma-mitteltönigen|viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung erscheint die kleine Diësis als Unterschied zwischen enharmonischen Wechseltönen, also zum Beispiel zwischen Dis und Es. Daher der Name "enharmonisches Komma". Wenn man sowohl das syntonische als auch das enharmonische Komma austemperiert, erhält man ein mitteltöniges Tonsystem, bei welchem Dis und Es identisch sind - das verbreitete [[12edo|12edo]] hat diese Eigenschaft.  [[Category:Komma]]

&lt;!-- interwiki: Links werden im Sidebar platziert--&gt;
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Wird dieses Komma austemperiert, bilden drei übereinandergeschichtete grosse Terzen genau eine Oktave, es folgt daraus also die Existenz eines vollsymmetrischen übermässigen Dreiklangs. [[Reguläre Temperaturen]], welche die kleine Diësis austemperieren, kann man dementsprechend [[übermässige Temperaturen]] nennen. [[edo|n-EDO]]-Systeme mit dieser Eigenschaft sind solche, bei denen n durch 3 teilbar ist.

In der [[viertelkomma-mitteltönigen|viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung erscheint die kleine Diësis als Unterschied zwischen enharmonischen Wechseltönen, also zum Beispiel zwischen Dis und Es. Daher der Name "enharmonisches Komma". Wenn man sowohl das syntonische als auch das enharmonische Komma austemperiert, erhält man ein mitteltöniges Tonsystem, bei welchem Dis und Es identisch sind - das verbreitete [[12edo]] hat diese Eigenschaft.

:''Siehe auch die deutschsprachige Einführung im Wikipedia-Artikel [http://de.wikipedia.org/wiki/Di%C3%ABsis Diësis].''

[[Category:Komma]]

&lt;!-- interwiki: Links werden im Sidebar platziert--&gt;
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Wird dieses Komma austemperiert, bilden drei übereinandergeschichtete grosse Terzen genau eine Oktave, es folgt daraus also die Existenz eines vollsymmetrischen übermässigen Dreiklangs. [[Reguläre Temperaturen]], welche die kleine Diësis austemperieren, kann man dementsprechend [[übermässige Temperaturen]] nennen. [[edo|n-EDO]]-Systeme mit dieser Eigenschaft sind solche, bei denen n durch 3 teilbar ist.

In der [[viertelkomma-mitteltönig|viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung erscheint die kleine Diësis als Unterschied zwischen enharmonischen Wechseltönen, also zum Beispiel zwischen Dis und Es. Daher der Name "enharmonisches Komma". Wenn man sowohl das syntonische als auch das enharmonische Komma austemperiert, erhält man ein mitteltöniges Tonsystem, bei welchem Dis und Es identisch sind - das verbreitete [[12edo]] hat diese Eigenschaft.

:''Siehe auch die deutschsprachige Einführung im Wikipedia-Artikel [http://de.wikipedia.org/wiki/Di%C3%ABsis Diësis].''

[[Category:Komma]]

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[[en:128/125]]</text>
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Wird dieses Komma austemperiert, bilden drei übereinandergeschichtete grosse Terzen genau eine Oktave, es folgt daraus also die Existenz eines vollsymmetrischen übermässigen Dreiklangs. [[Reguläre Temperaturen]], welche die kleine Diësis austemperieren, kann man dementsprechend [[übermässige Temperaturen]] nennen. [[edo|n-EDO]]-Systeme mit dieser Eigenschaft sind solche, bei denen n durch 3 teilbar ist.

In der [[viertelkomma-mitteltönig|viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung erscheint die kleine Diësis als Unterschied zwischen enharmonischen Wechseltönen, also zum Beispiel zwischen Dis und Es. Daher der Name "enharmonisches Komma". Wenn man sowohl das syntonische als auch das enharmonische Komma austemperiert, erhält man ein [[mitteltönig]]es [[Tonsystem]], bei welchem Dis und Es identisch sind - das verbreitete [[12edo]] hat diese Eigenschaft.

:''Siehe auch die deutschsprachige Einführung im Wikipedia-Artikel [http://de.wikipedia.org/wiki/Di%C3%ABsis Diësis].''

[[Category:Komma]]

&lt;!-- interwiki: Links werden im Sidebar platziert--&gt;
[[en:128/125]]</text>
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'''12edo''' ist ein Tonsystem, das je [[Oktave|Oktave]] zwölf verschiedene Töne bietet, die untereinander denselben [[Abstand|Abstand]] haben. Dieses System bietet derzeit für viele Menschen den einzig akzeptablen Tonvorrat.

Es kann als Weiterentwicklung der "Wohltemperierten Stimmungen" verstanden werden, seine Wurzeln gehen also auf die Bachzeit zurück. Dabei ist nicht auszuschließen, dass die Zwölfteilung auch bereits viel früher ausprobiert wurde, nur hat sie sich nach diesen frühen Versuchen nie so halten können.

Als Xenharmonie-Novize kann man zunächst die Tendenz haben, die Standardstimmung möglichst weit hinter sich zu lassen. Im Licht der im Reich der Xenharmonie neu gewonnenen Erkenntnisse kann man dann aber auch das alte 12edo neu entdecken.

[todo Einordnung bezügl. reine Intervalle]

Von der Perspektive der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] aus gesehen, temperiert 12edo die folgenden [[Komma|Kommas]] aus:

[[531441/524288|pythagoräisches Komma 3^12/2^19 bzw. 531441/524288]]

[[81/80|syntonisches Komma 81/80]]

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[[2048/2025|Diaschisma 2048/2025]]

[[64/63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]]

[[36/35|septimaler Viertelton 36/35]]

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[[126/125|kleines septimales Komma 126/125]]

[[225/224|septimales Kleisma 225/224]]

Jedes dieser Kommas hat, wie im Artikel über reguläre Temperaturen beschrieben, spezifische Auswirkungen auf die Intervallbeziehungen und melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe|Kommapumpen]]), die mit dem entsprechenden Tonsystem möglich sind. Andere Tonsysteme, welche eines oder mehrere der genannten Kommas austemperieren, haben dann dieselben für dieses Komma typischen Eigenschaften wie 12edo.

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-12edo.mp3]] [[:File:BWV779-12edo.mp3|info]]  [[Category:12edo]]
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-05-31 03:26:21 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;

**12edo** ist ein Tonsystem, das je [[Oktave]] zwölf verschiedene Töne bietet, die untereinander denselben [[Abstand]] haben. Dieses System bietet derzeit für viele Menschen den einzig akzeptablen Tonvorrat.

Es kann als Weiterentwicklung der "Wohltemperierten Stimmungen" verstanden werden, seine Wurzeln gehen also auf die Bachzeit zurück. Dabei ist nicht auszuschließen, dass die Zwölfteilung auch bereits viel früher ausprobiert wurde, nur hat sie sich nach diesen frühen Versuchen nie so halten können.

Als Xenharmonie-Novize kann man zunächst die Tendenz haben, die Standardstimmung möglichst weit hinter sich zu lassen. Im Licht der im Reich der Xenharmonie neu gewonnenen Erkenntnisse kann man dann aber auch das alte 12edo neu entdecken.

[todo Einordnung bezügl. reine Intervalle]

Von der Perspektive der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] aus gesehen, temperiert 12edo die folgenden [[Komma|Kommas]] aus:

[[531441_524288|pythagoräisches Komma 3^12/2^19 bzw. 531441/524288]]
[[81_80|syntonisches Komma 81/80]]
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Jedes dieser Kommas hat, wie im Artikel über reguläre Temperaturen beschrieben, spezifische Auswirkungen auf die Intervallbeziehungen und melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe|Kommapumpen]]), die mit dem entsprechenden Tonsystem möglich sind. Andere Tonsysteme, welche eines oder mehrere der genannten Kommas austemperieren, haben dann dieselben für dieses Komma typischen Eigenschaften wie 12edo.

Klangbeispiel:
[[media type="file" key="BWV779-12edo.mp3" width="240" height="20"]] [[http://xenharmonie.wikispaces.com/file/detail/BWV779-12edo.mp3|info]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;strong&amp;gt;12edo&amp;lt;/strong&amp;gt; ist ein Tonsystem, das je &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt; zwölf verschiedene Töne bietet, die untereinander denselben &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Abstand"&amp;gt;Abstand&amp;lt;/a&amp;gt; haben. Dieses System bietet derzeit für viele Menschen den einzig akzeptablen Tonvorrat.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Es kann als Weiterentwicklung der &amp;amp;quot;Wohltemperierten Stimmungen&amp;amp;quot; verstanden werden, seine Wurzeln gehen also auf die Bachzeit zurück. Dabei ist nicht auszuschließen, dass die Zwölfteilung auch bereits viel früher ausprobiert wurde, nur hat sie sich nach diesen frühen Versuchen nie so halten können.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als Xenharmonie-Novize kann man zunächst die Tendenz haben, die Standardstimmung möglichst weit hinter sich zu lassen. Im Licht der im Reich der Xenharmonie neu gewonnenen Erkenntnisse kann man dann aber auch das alte 12edo neu entdecken.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[todo Einordnung bezügl. reine Intervalle]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Von der Perspektive der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; aus gesehen, temperiert 12edo die folgenden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt; aus:&amp;lt;br /&amp;gt;
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Jedes dieser Kommas hat, wie im Artikel über reguläre Temperaturen beschrieben, spezifische Auswirkungen auf die Intervallbeziehungen und melodischen und harmonischen Wendungen (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Kommapumpe"&amp;gt;Kommapumpen&amp;lt;/a&amp;gt;), die mit dem entsprechenden Tonsystem möglich sind. Andere Tonsysteme, welche eines oder mehrere der genannten Kommas austemperieren, haben dann dieselben für dieses Komma typischen Eigenschaften wie 12edo.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Klangbeispiel:&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;

**12edo** ist ein Tonsystem, das je [[Oktave]] zwölf verschiedene Töne bietet, die untereinander denselben [[Abstand]] haben. Dieses System bietet derzeit für viele Menschen den einzig akzeptablen Tonvorrat.

Es kann als Weiterentwicklung der "Wohltemperierten Stimmungen" verstanden werden, seine Wurzeln gehen also auf die Bachzeit zurück. Dabei ist nicht auszuschließen, dass die Zwölfteilung auch bereits viel früher ausprobiert wurde, nur hat sie sich nach diesen frühen Versuchen nie so halten können.

Als Xenharmonie-Novize kann man zunächst die Tendenz haben, die Standardstimmung möglichst weit hinter sich zu lassen. Im Licht der im Reich der Xenharmonie neu gewonnenen Erkenntnisse kann man dann aber auch das alte 12edo neu entdecken.

[todo Einordnung bezügl. reine Intervalle]

Von der Perspepktive der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] aus gesehen, temperiert 12edo die folgenden [[Komma|Kommas]] aus:

[[531441_524288|pythagoräisches Komma 3^12/2^19 bzw. 531441/524288]]
[[81_80|syntonisches Komma 81/80]]
[[128_125|Diësis 128/125]]
[[2048_2025|Diaschisma 2048/2025]]
[[64_63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]]
[[36_35|septimaler Viertelton 36/35]]
[[50_49|Jubilisma, 50/49]]
[[126_125|kleines septimales Komma 126/125]]
[[225_224|septimales Kleisma 225/224]]

Jedes dieser Kommas hat, wie im Artikel über reguläre Temperaturen beschrieben, spezifische Auswirkungen auf die Intervallbeziehungen und melodischen und harmonischen Wendungen, die mit dem entsprechenden Tonsystem möglich sind. Andere Tonsysteme, welche eines oder mehrere der genannten Kommas austemperieren, haben dann dieselben für dieses Komma typischen Eigenschaften wie 12edo.

Klangbeispiel:
[[media type="file" key="BWV779-12edo.mp3" width="240" height="20"]] [[http://xenharmonie.wikispaces.com/file/detail/BWV779-12edo.mp3|info]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Als Xenharmonie-Novize kann man zunächst die Tendenz haben, die Standardstimmung möglichst weit hinter sich zu lassen. Im Licht der im Reich der Xenharmonie neu gewonnenen Erkenntnisse kann man dann aber auch das alte 12edo neu entdecken.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Von der Perspepktive der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; aus gesehen, temperiert 12edo die folgenden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt; aus:&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/126_125"&amp;gt;kleines septimales Komma 126/125&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;septimales Kleisma 225/224&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Jedes dieser Kommas hat, wie im Artikel über reguläre Temperaturen beschrieben, spezifische Auswirkungen auf die Intervallbeziehungen und melodischen und harmonischen Wendungen, die mit dem entsprechenden Tonsystem möglich sind. Andere Tonsysteme, welche eines oder mehrere der genannten Kommas austemperieren, haben dann dieselben für dieses Komma typischen Eigenschaften wie 12edo.&amp;lt;br /&amp;gt;
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-08-06 02:55:20 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;

**12edo** ist ein Tonsystem, das je [[Oktave]] zwölf verschiedene Töne bietet, die untereinander denselben [[Abstand]] haben. Dieses System bietet derzeit für viele Menschen den einzig akzeptablen Tonvorrat.

Es kann als Weiterentwicklung der "Wohltemperierten Stimmungen" verstanden werden, seine Wurzeln gehen also auf die Bachzeit zurück. Dabei ist nicht auszuschließen, dass die Zwölfteilung auch bereits viel früher ausprobiert wurde, nur hat sie sich nach diesen frühen Versuchen nie so halten können.

Als Xenharmonie-Novize kann man zunächst die Tendenz haben, die Standardstimmung möglichst weit hinter sich zu lassen. Im Licht der im Reich der Xenharmonie neu gewonnenen Erkenntnisse kann man dann aber auch das alte 12edo neu entdecken.

[todo Einordnung bezügl. reine Intervalle]

Von der Perspepktive der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] aus gesehen, temperiert 12edo die folgenden [[Komma|Kommas]] aus:

[[531441_524288|pythagoräisches Komma 3^12/2^19 bzw. 531441/524288]]
[[81_80|syntonisches Komma 81/80]]
[[128_125|Diësis 128/125]]
[[2048_2025|Diaschisma 2048/2025]]
[[64_63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]]
[[36_35|septimaler Viertelton 36/35]]
[[50_49|Jubilisma, 50/49]]
[[126_125|kleines septimales Komma 126/125]]
[[225_224|septimales Kleisma 225/224]]

Jedes dieser Kommas hat, wie im Artikel über reguläre Temperaturen beschrieben, spezifische Auswirkungen auf die Intervallbeziehungen und melodischen und harmonischen Wendungen, die mit dem entsprechenden Tonsystem möglich sind. Andere Tonsysteme, welche eines oder mehrere der genannten Kommas austemperieren, haben dann dieselben für dieses Komma typischen Eigenschaften wie 12edo.

Klangbeispiel:
[[media type="file" key="BWV779-12edo.mp3" width="240" height="20"]] [[http://xenharmonie.wikispaces.com/file/detail/BWV779-12edo.mp3|info]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;strong&amp;gt;12edo&amp;lt;/strong&amp;gt; ist ein Tonsystem, das je &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt; zwölf verschiedene Töne bietet, die untereinander denselben &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Abstand"&amp;gt;Abstand&amp;lt;/a&amp;gt; haben. Dieses System bietet derzeit für viele Menschen den einzig akzeptablen Tonvorrat.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Es kann als Weiterentwicklung der &amp;amp;quot;Wohltemperierten Stimmungen&amp;amp;quot; verstanden werden, seine Wurzeln gehen also auf die Bachzeit zurück. Dabei ist nicht auszuschließen, dass die Zwölfteilung auch bereits viel früher ausprobiert wurde, nur hat sie sich nach diesen frühen Versuchen nie so halten können.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als Xenharmonie-Novize kann man zunächst die Tendenz haben, die Standardstimmung möglichst weit hinter sich zu lassen. Im Licht der im Reich der Xenharmonie neu gewonnenen Erkenntnisse kann man dann aber auch das alte 12edo neu entdecken.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[todo Einordnung bezügl. reine Intervalle]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Von der Perspepktive der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; aus gesehen, temperiert 12edo die folgenden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt; aus:&amp;lt;br /&amp;gt;
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Jedes dieser Kommas hat, wie im Artikel über reguläre Temperaturen beschrieben, spezifische Auswirkungen auf die Intervallbeziehungen und melodischen und harmonischen Wendungen, die mit dem entsprechenden Tonsystem möglich sind. Andere Tonsysteme, welche eines oder mehrere der genannten Kommas austemperieren, haben dann dieselben für dieses Komma typischen Eigenschaften wie 12edo.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Klangbeispiel:&amp;lt;br /&amp;gt;
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-08-04 09:30:35 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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**12edo** ist ein Tonsystem, das je [[Oktave]] zwölf verschiedene Töne bietet, die untereinander denselben [[Abstand]] haben. Dieses System bietet derzeit für viele Menschen den einzig akzeptablen Tonvorrat.

Es kann als Weiterentwicklung der "Wohltemperierten Stimmungen" verstanden werden, seine Wurzeln gehen also auf die Bachzeit zurück. Dabei ist nicht auszuschließen, dass die Zwölfteilung auch bereits viel früher ausprobiert wurde, nur hat sie sich nach diesen frühen Versuchen nie so halten können.

Als Xenharmonie-Novize kann man zunächst die Tendenz haben, die Standardstimmung möglichst weit hinter sich zu lassen. Im Licht der im Reich der Xenharmonie neu gewonnenen Erkenntnisse kann man dann aber auch das alte 12edo neu entdecken.

[todo Einordnung bezügl. reine Intervalle]

Von der Perspepktive der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] aus gesehen, temperiert 12edo die folgenden [[Komma|Kommas]] aus:

[[531441_524288|pythagoräisches Komma 3^12/2^19 bzw. 531441/524288]]
[[81_80|syntonisches Komma 81/80]]
[[128_125|Diësis 128/125]]
[[2048_2025|Diaschisma 2048/2025]]
[[64_63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]]
[[36_35|septimaler Viertelton 36/35]]
[[50_49|Jubilisma, 50/49]]
[[126_125|kleines septimales Komma 126/125]]
[[225_224|septimales Kleisma 225/224]]

Jedes dieser Kommas hat, wie im Artikel über reguläre Temperaturen beschrieben, spezifische Auswirkungen auf die Intervallbeziehungen und melodischen und harmonischen Wendungen, die mit dem entsprechenden Tonsystem möglich sind. Andere Tonsysteme, welche eines oder mehrere der genannten Kommas austemperieren, haben dann dieselben für dieses Komma typischen Eigenschaften wie 12edo.

Klangbeispiel:
[[media type="file" key="BWV779-12edo.mp3" width="240" height="20"]] [[http://xenharmonie.wikispaces.com/file/detail/BWV779-12edo.mp3|info]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;strong&amp;gt;12edo&amp;lt;/strong&amp;gt; ist ein Tonsystem, das je &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt; zwölf verschiedene Töne bietet, die untereinander denselben &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Abstand"&amp;gt;Abstand&amp;lt;/a&amp;gt; haben. Dieses System bietet derzeit für viele Menschen den einzig akzeptablen Tonvorrat.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Es kann als Weiterentwicklung der &amp;amp;quot;Wohltemperierten Stimmungen&amp;amp;quot; verstanden werden, seine Wurzeln gehen also auf die Bachzeit zurück. Dabei ist nicht auszuschließen, dass die Zwölfteilung auch bereits viel früher ausprobiert wurde, nur hat sie sich nach diesen frühen Versuchen nie so halten können.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als Xenharmonie-Novize kann man zunächst die Tendenz haben, die Standardstimmung möglichst weit hinter sich zu lassen. Im Licht der im Reich der Xenharmonie neu gewonnenen Erkenntnisse kann man dann aber auch das alte 12edo neu entdecken.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[todo Einordnung bezügl. reine Intervalle]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Von der Perspepktive der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; aus gesehen, temperiert 12edo die folgenden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt; aus:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräisches Komma 3^12/2^19 bzw. 531441/524288&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_80"&amp;gt;syntonisches Komma 81/80&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/128_125"&amp;gt;Diësis 128/125&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Archytas- oder Leipziger Komma 64/63&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/36_35"&amp;gt;septimaler Viertelton 36/35&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/126_125"&amp;gt;kleines septimales Komma 126/125&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;septimales Kleisma 225/224&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Jedes dieser Kommas hat, wie im Artikel über reguläre Temperaturen beschrieben, spezifische Auswirkungen auf die Intervallbeziehungen und melodischen und harmonischen Wendungen, die mit dem entsprechenden Tonsystem möglich sind. Andere Tonsysteme, welche eines oder mehrere der genannten Kommas austemperieren, haben dann dieselben für dieses Komma typischen Eigenschaften wie 12edo.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Klangbeispiel:&amp;lt;br /&amp;gt;
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        <username>Wikispaces&gt;xenwolf</username>
        <id>0</id>
      </contributor>
      <comment>**Imported revision 550797608 - Original comment: **</comment>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2015-05-12 19:14:51 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Es kann als Weiterentwicklung der "Wohltemperierten Stimmungen" verstanden werden, seine Wurzeln gehen also auf die Bachzeit zurück. Dabei ist nicht auszuschließen, dass die Zwölfteilung auch bereits viel früher ausprobiert wurde, nur hat sie sich nach diesen frühen Versuchen nie so halten können.

Als Xenharmonie-Novize kann man zunächst die Tendenz haben, die Standardstimmung möglichst weit hinter sich zu lassen. Im Licht der im Reich der Xenharmonie neu gewonnenen Erkenntnisse kann man dann aber auch das alte 12edo neu entdecken.

[todo Einordnung bezügl. reine Intervalle]

Von der Perspepktive der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] aus gesehen, temperiert 12edo die folgenden [[Komma|Kommas]] aus:

[[531441_524288|pythagoräisches Komma 3^12/2^19 bzw. 531441/524288]]
[[81_80|syntonisches Komma 81/80]]
[[128_125|Diësis 128/125]]
[[2048_2025|Diaschisma 2048/2025]]
[[64_63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]]
[[36_35|septimaler Viertelton 36/35]]
[[50_49|Jubilisma, 50/49]]
[[126_125|kleines septimales Komma 126/125]]
[[225_224|septimales Kleisma 225/224]]

Jedes dieser Kommas hat, wie im Artikel über reguläre Temperaturen beschrieben, spezifische Auswirkungen auf die Intervallbeziehungen und melodischen und harmonischen Wendungen, die mit dem entsprechenden Tonsystem möglich sind. Andere Tonsysteme, welche eines oder mehrere der genannten Kommas austemperieren, haben dann dieselben für dieses Komma typischen Eigenschaften wie 12edo.

Klangbeispiel:
[[media type="file" key="BWV779-12edo.mp3"]] [[http://xenharmonie.wikispaces.com/file/detail/BWV779-12edo.mp3|info]]
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Es kann als Weiterentwicklung der &amp;amp;quot;Wohltemperierten Stimmungen&amp;amp;quot; verstanden werden, seine Wurzeln gehen also auf die Bachzeit zurück. Dabei ist nicht auszuschließen, dass die Zwölfteilung auch bereits viel früher ausprobiert wurde, nur hat sie sich nach diesen frühen Versuchen nie so halten können.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als Xenharmonie-Novize kann man zunächst die Tendenz haben, die Standardstimmung möglichst weit hinter sich zu lassen. Im Licht der im Reich der Xenharmonie neu gewonnenen Erkenntnisse kann man dann aber auch das alte 12edo neu entdecken.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[todo Einordnung bezügl. reine Intervalle]&amp;lt;br /&amp;gt;
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Jedes dieser Kommas hat, wie im Artikel über reguläre Temperaturen beschrieben, spezifische Auswirkungen auf die Intervallbeziehungen und melodischen und harmonischen Wendungen, die mit dem entsprechenden Tonsystem möglich sind. Andere Tonsysteme, welche eines oder mehrere der genannten Kommas austemperieren, haben dann dieselben für dieses Komma typischen Eigenschaften wie 12edo.&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2014-01-20 08:44:38 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;484011980&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
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Es kann als Weiterentwicklung der "Wohltemperierten Stimmungen" verstanden werden, seine Wurzeln gehen also auf die Bachzeit zurück. Dabei ist nicht auszuschließen, dass die Zwölfteilung auch bereits viel früher ausprobiert wurde, nur hat sie sich nach diesen frühen Versuchen nie so halten können.

Als Xenharmonie-Novize kann man zunächst die Tendenz haben, die Standardstimmung möglichst weit hinter sich zu lassen. Im Licht der im Reich der Xenharmonie neu gewonnenen Erkenntnisse kann man dann aber auch das alte 12edo neu entdecken.

[todo Einordnung bezügl. reine Intervalle]

Von der Perspepktive der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] aus gesehen, temperiert 12edo die folgenden [[Komma|Kommas]] aus:

[[531441_524288|pythagoräisches Komma 3^12/2^19 bzw. 531441/524288]]
[[81_80|syntonisches Komma 81/80]]
[[128_125|Diësis 128/125]]
[[2048_2025|Diaschisma 2048/2025]]
[[64_63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]]
[[36_35|septimaler Viertelton 36/35]]
[[50_49|Jubilisma, 50/49]]
[[126_125|kleines septimales Komma 126/125]]
[[225_224|septimales Kleisma 225/224]]

Jedes dieser Kommas hat, wie im Artikel über reguläre Temperaturen beschrieben, spezifische Auswirkungen auf die Intervallbeziehungen und melodischen und harmonischen Wendungen, die mit dem entsprechenden Tonsystem möglich sind. Andere Tonsysteme, welche eines oder mehrere der genannten Kommas austemperieren, haben dann dieselben für dieses Komma typischen Eigenschaften wie 12edo.

[todo Bespiele]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Es kann als Weiterentwicklung der &amp;amp;quot;Wohltemperierten Stimmungen&amp;amp;quot; verstanden werden, seine Wurzeln gehen also auf die Bachzeit zurück. Dabei ist nicht auszuschließen, dass die Zwölfteilung auch bereits viel früher ausprobiert wurde, nur hat sie sich nach diesen frühen Versuchen nie so halten können.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Als Xenharmonie-Novize kann man zunächst die Tendenz haben, die Standardstimmung möglichst weit hinter sich zu lassen. Im Licht der im Reich der Xenharmonie neu gewonnenen Erkenntnisse kann man dann aber auch das alte 12edo neu entdecken.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Von der Perspepktive der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; aus gesehen, temperiert 12edo die folgenden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt; aus:&amp;lt;br /&amp;gt;
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Jedes dieser Kommas hat, wie im Artikel über reguläre Temperaturen beschrieben, spezifische Auswirkungen auf die Intervallbeziehungen und melodischen und harmonischen Wendungen, die mit dem entsprechenden Tonsystem möglich sind. Andere Tonsysteme, welche eines oder mehrere der genannten Kommas austemperieren, haben dann dieselben für dieses Komma typischen Eigenschaften wie 12edo.&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-07-16 07:09:47 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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Es kann als Weiterentwicklung der "Wohltemperierten Stimmungen" verstanden werden, seine Wurzeln gehen also auf die Bachzeit zurück. Dabei ist nicht auszuschließen, dass die Zwölfteilung auch bereits viel früher ausprobiert wurde, nur hat sie sich nach diesen frühen Versuchen nie so halten können.

Als Xenharmonie-Novize kann man zunächst die Tendenz haben, die Standardstimmung möglichst weit hinter sich zu lassen. Im Licht der im Reich der Xenharmonie neu gewonnenen Erkenntnisse kann man dann aber auch das alte 12edo neu entdecken.

[todo Einordnung bezügl. reine Intervalle]

Von der Perspepktive der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] aus gesehen, temperiert 12edo die folgenden [[Komma|Kommas]] aus:

[[531441_524288|pythagoräisches Komma 3^12/2^19 bzw. 531441/524288]]
[[81_80|syntonisches Komma 81/80]]
[[128_125|Diësis 128/125]]
[[2048_2025|Diaschisma 2048/2025]]
[[64_63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]]
[[36_35|septimale Diësis oder septimaler Viertelton 36/35]]
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[[126_125|kleines septimales Komma 126/125]]
[[225_224|septimales Kleisma 225/224]]

Jedes dieser Kommas hat, wie im Artikel über reguläre Temperaturen beschrieben, spezifische Auswirkungen auf die Intervallbeziehungen und melodischen und harmonischen Wendungen, die mit dem entsprechenden Tonsystem möglich sind. Andere Tonsysteme, welche eines oder mehrere der genannten Kommas austemperieren, haben dann dieselben für dieses Komma typischen Eigenschaften wie 12edo.

[todo Bespiele]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Es kann als Weiterentwicklung der &amp;amp;quot;Wohltemperierten Stimmungen&amp;amp;quot; verstanden werden, seine Wurzeln gehen also auf die Bachzeit zurück. Dabei ist nicht auszuschließen, dass die Zwölfteilung auch bereits viel früher ausprobiert wurde, nur hat sie sich nach diesen frühen Versuchen nie so halten können.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Als Xenharmonie-Novize kann man zunächst die Tendenz haben, die Standardstimmung möglichst weit hinter sich zu lassen. Im Licht der im Reich der Xenharmonie neu gewonnenen Erkenntnisse kann man dann aber auch das alte 12edo neu entdecken.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräisches Komma 3^12/2^19 bzw. 531441/524288&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/126_125"&amp;gt;kleines septimales Komma 126/125&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;septimales Kleisma 225/224&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Jedes dieser Kommas hat, wie im Artikel über reguläre Temperaturen beschrieben, spezifische Auswirkungen auf die Intervallbeziehungen und melodischen und harmonischen Wendungen, die mit dem entsprechenden Tonsystem möglich sind. Andere Tonsysteme, welche eines oder mehrere der genannten Kommas austemperieren, haben dann dieselben für dieses Komma typischen Eigenschaften wie 12edo.&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-07-03 03:51:36 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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Es kann als Weiterentwicklung der "Wohltemperierten Stimmungen" verstanden werden, seine Wurzeln gehen also auf die Bachzeit zurück. Dabei ist nicht auszuschließen, dass die Zwölfteilung auch bereits viel früher ausprobiert wurde, nur hat sie sich nach diesen frühen Versuchen nie so halten können.

Als Xenharmonie-Novize kann man zunächst die Tendenz haben, die Standardstimmung möglichst weit hinter sich zu lassen. Im Licht der im Reich der Xenharmonie neu gewonnenen Erkenntnisse kann man dann aber auch das alte 12edo neu entdecken.

[todo Einordnung bezügl. reine Intervalle]

Von der Perspepktive der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] aus gesehen, temperiert 12edo die folgenden [[Komma|Kommas]] aus:
[[531441_524288|pythagoräisches Komma 3^12/2^19 bzw. 531441/524288]], [[81_80|syntonisches Komma 81/80]], [[128_125|Diësis 128/125]], [[2048_2025|Diaschisma 2048/2025]], [[64_63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]], [[36_35|septimale Diësis oder septimaler Viertelton 36/35]], [[50_49|Jubilisma, 50/49]], [[126_125|kleines septimales Komma 126/125]], [[225_224|septimales Kleisma 225/224]]. Jedes dieser Kommas hat, wie im Artikel über reguläre Temperaturen beschrieben, spezifische Auswirkungen auf die Intervallbeziehungen und melodischen und harmonischen Wendungen, die mit dem entsprechenden Tonsystem möglich sind. Andere Tonsysteme, welche eines oder mehrere der genannten Kommas austemperieren, haben dann dieselben für dieses Komma typischen Eigenschaften wie 12edo.

[todo Bespiele]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;12edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;strong&amp;gt;12edo&amp;lt;/strong&amp;gt; ist ein Tonsystem, das je &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt; zwölf verschiedene Töne bietet, die untereinander denselben &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Abstand"&amp;gt;Abstand&amp;lt;/a&amp;gt; haben. Dieses System bietet derzeit für viele Menschen den einzig akzeptablen Tonvorrat.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Es kann als Weiterentwicklung der &amp;amp;quot;Wohltemperierten Stimmungen&amp;amp;quot; verstanden werden, seine Wurzeln gehen also auf die Bachzeit zurück. Dabei ist nicht auszuschließen, dass die Zwölfteilung auch bereits viel früher ausprobiert wurde, nur hat sie sich nach diesen frühen Versuchen nie so halten können.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als Xenharmonie-Novize kann man zunächst die Tendenz haben, die Standardstimmung möglichst weit hinter sich zu lassen. Im Licht der im Reich der Xenharmonie neu gewonnenen Erkenntnisse kann man dann aber auch das alte 12edo neu entdecken.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Von der Perspepktive der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; aus gesehen, temperiert 12edo die folgenden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt; aus:&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-07-03 03:32:23 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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Es kann als Weiterentwicklung der "Wohltemperierten Stimmungen" verstanden werden, seine Wurzeln gehen also auf die Bachzeit zurück. Dabei ist nicht auszuschließen, dass die Zwölfteilung auch bereits viel früher ausprobiert wurde, nur hat sie sich nach diesen frühen Versuchen nie so halten können.

Als Xenharmonie-Novize kann man zunächst die Tendenz haben, die Standardstimmung möglichst weit hinter sich zu lassen. Im Licht der im Reich der Xenharmonie neu gewonnenen Erkenntnisse kann man dann aber auch das alte 12edo neu entdecken.

[todo Einordnung bezügl. reine Intervalle]

Von der Perspepktive der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] aus gesehen, temperiert 12edo die folgenden [[Komma|Kommas]] aus:
[[531441_524288|pythagoräisches Komma 3^12/2^19 bzw. 531441/524288]], [[81_80|syntonisches Komma 81/80]], [[128_125|Diësis 128/125]], [[2048_2025|Diaschisma 2048/2025]], [[64_63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]], [[36_35|septimaler Viertelton 36/35]], [[50_49|Jubilisma, 50/49]], [[126_125|septimales Semikomma 126/125]], [[225_224|septimales Kleisma 225/224]]. Jedes dieser Kommas hat, wie im Artikel über reguläre Temperaturen beschrieben, spezifische Auswirkungen auf die Intervallbeziehungen und melodischen und harmonischen Wendungen, die mit diesem Tonsystem möglich sind. Andere Tonsysteme, welche eines oder mehrere der genannten Kommas austemperieren, haben dann dieselben für dieses Komma typischen Eigenschaften wie 12edo.

[todo Bespiele]
[todo Terminologie: septimaler Viertelton, septimales Semikomma, septimales Kleisma]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Es kann als Weiterentwicklung der &amp;amp;quot;Wohltemperierten Stimmungen&amp;amp;quot; verstanden werden, seine Wurzeln gehen also auf die Bachzeit zurück. Dabei ist nicht auszuschließen, dass die Zwölfteilung auch bereits viel früher ausprobiert wurde, nur hat sie sich nach diesen frühen Versuchen nie so halten können.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Als Xenharmonie-Novize kann man zunächst die Tendenz haben, die Standardstimmung möglichst weit hinter sich zu lassen. Im Licht der im Reich der Xenharmonie neu gewonnenen Erkenntnisse kann man dann aber auch das alte 12edo neu entdecken.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Von der Perspepktive der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; aus gesehen, temperiert 12edo die folgenden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt; aus:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräisches Komma 3^12/2^19 bzw. 531441/524288&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_80"&amp;gt;syntonisches Komma 81/80&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/128_125"&amp;gt;Diësis 128/125&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/2048_2025"&amp;gt;Diaschisma 2048/2025&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Archytas- oder Leipziger Komma 64/63&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/36_35"&amp;gt;septimaler Viertelton 36/35&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;Jubilisma, 50/49&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/126_125"&amp;gt;septimales Semikomma 126/125&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;septimales Kleisma 225/224&amp;lt;/a&amp;gt;. Jedes dieser Kommas hat, wie im Artikel über reguläre Temperaturen beschrieben, spezifische Auswirkungen auf die Intervallbeziehungen und melodischen und harmonischen Wendungen, die mit diesem Tonsystem möglich sind. Andere Tonsysteme, welche eines oder mehrere der genannten Kommas austemperieren, haben dann dieselben für dieses Komma typischen Eigenschaften wie 12edo.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Es kann als Weiterentwicklung der "Wohltemperierten Stimmungen" verstanden werden, seine Wurzeln gehen also auf die Bachzeit zurück. Dabei ist nicht auszuschließen, dass die Zwölfteilung auch bereits viel früher ausprobiert wurde, nur hat sie sich nach diesen frühen Versuchen nie so halten können.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Es kann als Weiterentwicklung der &amp;amp;quot;Wohltemperierten Stimmungen&amp;amp;quot; verstanden werden, seine Wurzeln gehen also auf die Bachzeit zurück. Dabei ist nicht auszuschließen, dass die Zwölfteilung auch bereits viel früher ausprobiert wurde, nur hat sie sich nach diesen frühen Versuchen nie so halten können.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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'''12edo''' ist ein Tonsystem, das je [[Oktave|Oktave]] zwölf verschiedene Töne bietet, die untereinander denselben [[Abstand|Abstand]] haben. Dieses System bietet derzeit für viele Menschen den einzig akzeptablen Tonvorrat.

Es kann als Weiterentwicklung der "Wohltemperierten Stimmungen" verstanden werden, seine Wurzeln gehen also auf die Bachzeit zurück. Dabei ist nicht auszuschließen, dass die Zwölfteilung auch bereits viel früher ausprobiert wurde, nur hat sie sich nach diesen frühen Versuchen nie so halten können.

Als Xenharmonie-Novize kann man zunächst die Tendenz haben, die Standardstimmung möglichst weit hinter sich zu lassen. Im Licht der im Reich der Xenharmonie neu gewonnenen Erkenntnisse kann man dann aber auch das alte 12edo neu entdecken.

[todo Einordnung bezügl. reine Intervalle]

Von der Perspektive der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] aus gesehen, temperiert 12edo die folgenden [[Komma|Kommas]] aus:

[[531441/524288|pythagoräisches Komma 3^12/2^19 bzw. 531441/524288]]

[[81/80|syntonisches Komma 81/80]]

[[128/125|Diësis 128/125]]

[[2048/2025|Diaschisma 2048/2025]]

[[64/63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]]

[[36/35|septimaler Viertelton 36/35]]

[[50/49|Jubilisma, 50/49]]

[[126/125|kleines septimales Komma 126/125]]

[[225/224|septimales Kleisma 225/224]]

Jedes dieser Kommas hat, wie im Artikel über reguläre Temperaturen beschrieben, spezifische Auswirkungen auf die Intervallbeziehungen und melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe|Kommapumpen]]), die mit dem entsprechenden Tonsystem möglich sind. Andere Tonsysteme, welche eines oder mehrere der genannten Kommas austemperieren, haben dann dieselben für dieses Komma typischen Eigenschaften wie 12edo.

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-12edo.mp3]] [[:File:BWV779-12edo.mp3|info]]  [[Category:12edo]]
[[Category:edo]]</text>
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'''12edo''' ist ein Tonsystem, das je [[Oktave|Oktave]] zwölf verschiedene Töne bietet, die untereinander denselben [[Abstand|Abstand]] haben. Dieses System bietet derzeit für viele Menschen den einzig akzeptablen Tonvorrat.

Es kann als Weiterentwicklung der "Wohltemperierten Stimmungen" verstanden werden, seine Wurzeln gehen also auf die Bachzeit zurück. Dabei ist nicht auszuschließen, dass die Zwölfteilung auch bereits viel früher ausprobiert wurde, nur hat sie sich nach diesen frühen Versuchen nie so halten können.

Als Xenharmonie-Novize kann man zunächst die Tendenz haben, die Standardstimmung möglichst weit hinter sich zu lassen. Im Licht der im Reich der Xenharmonie neu gewonnenen Erkenntnisse kann man dann aber auch das alte 12edo neu entdecken.

[todo Einordnung bezügl. reine Intervalle]

Von der Perspektive der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] aus gesehen, temperiert 12edo die folgenden [[Komma|Kommas]] aus:

[[531441/524288|pythagoräisches Komma 3^12/2^19 bzw. 531441/524288]]

[[81/80|syntonisches Komma 81/80]]

[[128/125|Diësis 128/125]]

[[2048/2025|Diaschisma 2048/2025]]

[[64/63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]]

[[36/35|septimaler Viertelton 36/35]]

[[50/49|Jubilisma, 50/49]]

[[126/125|kleines septimales Komma 126/125]]

[[225/224|septimales Kleisma 225/224]]

Jedes dieser Kommas hat, wie im Artikel über reguläre Temperaturen beschrieben, spezifische Auswirkungen auf die Intervallbeziehungen und melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe|Kommapumpen]]), die mit dem entsprechenden Tonsystem möglich sind. Andere Tonsysteme, welche eines oder mehrere der genannten Kommas austemperieren, haben dann dieselben für dieses Komma typischen Eigenschaften wie 12edo.

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-12edo.mp3]] [[:File:BWV779-12edo.mp3|info]]  [[Category:12edo]]
[[Category:edo]]</text>
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        <username>Xenwolf</username>
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'''12edo''' ist ein Tonsystem, das je [[Oktave]] zwölf verschiedene Töne bietet, die untereinander denselben [[Abstand]] haben. Dieses System bietet derzeit für viele Menschen den einzig akzeptablen Tonvorrat.

Es kann als Weiterentwicklung der "Wohltemperierten Stimmungen" verstanden werden, seine Wurzeln gehen also auf die Bachzeit zurück. Dabei ist nicht auszuschließen, dass die Zwölfteilung auch bereits viel früher ausprobiert wurde, nur hat sie sich nach diesen frühen Versuchen nie so halten können.

Als Xenharmonie-Novize kann man zunächst die Tendenz haben, die Standardstimmung möglichst weit hinter sich zu lassen. Im Licht der im Reich der Xenharmonie neu gewonnenen Erkenntnisse kann man dann aber auch das alte 12edo neu entdecken.

[todo Einordnung bezügl. reine Intervalle]

Von der Perspektive der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] aus gesehen, temperiert 12edo die folgenden [[Komma|Kommas]] aus:

* [[531441/524288|pythagoräisches Komma 3^12/2^19 bzw. 531441/524288]]
* [[81/80|syntonisches Komma 81/80]]
* [[128/125|Diësis 128/125]]
* [[2048/2025|Diaschisma 2048/2025]]
* [[64/63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]]
* [[36/35|septimaler Viertelton 36/35]]
* [[50/49|Jubilisma, 50/49]]
* [[126/125|kleines septimales Komma 126/125]]
* [[225/224|septimales Kleisma 225/224]]

Jedes dieser Kommas hat, wie im Artikel über reguläre Temperaturen beschrieben, spezifische Auswirkungen auf die Intervallbeziehungen und melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe|Kommapumpen]]), die mit dem entsprechenden Tonsystem möglich sind. Andere Tonsysteme, welche eines oder mehrere der genannten Kommas austemperieren, haben dann dieselben für dieses Komma typischen Eigenschaften wie 12edo.

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-12edo.mp3]] [[:File:BWV779-12edo.mp3|info]]

[[Category:12edo]]
[[Category:edo]]

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'''12edo''' ist ein Tonsystem, das je [[Oktave]] zwölf verschiedene Töne bietet, die untereinander denselben [[Abstand]] haben. Dieses System bietet derzeit für viele Menschen den einzig akzeptablen Tonvorrat.

Es kann als Weiterentwicklung der "Wohltemperierten Stimmungen" verstanden werden, seine Wurzeln gehen also auf die Bachzeit zurück. Dabei ist nicht auszuschließen, dass die Zwölfteilung auch bereits viel früher ausprobiert wurde, nur hat sie sich nach diesen frühen Versuchen nie so halten können.

Als Xenharmonie-Novize kann man zunächst die Tendenz haben, die Standardstimmung möglichst weit hinter sich zu lassen. Im Licht der im Reich der Xenharmonie neu gewonnenen Erkenntnisse kann man dann aber auch das alte 12edo neu entdecken.

[todo Einordnung bezügl. reine Intervalle]

Von der Perspektive der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] aus gesehen, temperiert 12edo die folgenden [[Komma|Kommas]] aus:

* [[531441/524288|pythagoräisches Komma 3^12/2^19 bzw. 531441/524288]]
* [[81/80|syntonisches Komma 81/80]]
* [[128/125|Diësis 128/125]]
* [[2048/2025|Diaschisma 2048/2025]]
* [[64/63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]]
* [[36/35|septimaler Viertelton 36/35]]
* [[50/49|Jubilisma, 50/49]]
* [[126/125|kleines septimales Komma 126/125]]
* [[225/224|septimales Kleisma 225/224]]

Jedes dieser Kommas hat, wie im Artikel über reguläre Temperaturen beschrieben, spezifische Auswirkungen auf die Intervallbeziehungen und melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe|Kommapumpen]]), die mit dem entsprechenden Tonsystem möglich sind. Andere Tonsysteme, welche eines oder mehrere der genannten Kommas austemperieren, haben dann dieselben für dieses Komma typischen Eigenschaften wie 12edo.

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-12edo.mp3]] [[:File:BWV779-12edo.mp3|info]]

[[Category:12edo]]
[[Category:edo]]

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'''12edo''' ist ein Tonsystem, das je [[Oktave]] zwölf verschiedene Töne bietet, die untereinander denselben [[Abstand]] haben. Dieses System bietet derzeit für viele Menschen den einzig akzeptablen Tonvorrat.

Es kann als Weiterentwicklung der "Wohltemperierten Stimmungen" verstanden werden, seine Wurzeln gehen also auf die Bachzeit zurück. Dabei ist nicht auszuschließen, dass die Zwölfteilung auch bereits viel früher ausprobiert wurde, nur hat sie sich nach diesen frühen Versuchen nie so halten können.

Als Xenharmonie-Novize kann man zunächst die Tendenz haben, die Standardstimmung möglichst weit hinter sich zu lassen. Im Licht der im Reich der Xenharmonie neu gewonnenen Erkenntnisse kann man dann aber auch das alte 12edo neu entdecken.

[todo Einordnung bezügl. reine Intervalle]

Von der Perspektive der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] aus gesehen, temperiert 12edo die folgenden [[Komma|Kommas]] aus:

* [[531441/524288|pythagoräisches Komma 3^12/2^19 bzw. 531441/524288]]
* [[81/80|syntonisches Komma 81/80]]
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Jedes dieser Kommas hat, wie im Artikel über reguläre Temperaturen beschrieben, spezifische Auswirkungen auf die Intervallbeziehungen und melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe|Kommapumpen]]), die mit dem entsprechenden Tonsystem möglich sind. Andere Tonsysteme, welche eines oder mehrere der genannten Kommas austemperieren, haben dann dieselben für dieses Komma typischen Eigenschaften wie 12edo.

Klangbeispiel:

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[[Category:12edo]]
[[Category:edo]]

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'''12edo''' ist ein Tonsystem, das je [[Oktave]] zwölf verschiedene Töne bietet, die untereinander denselben [[Abstand]] haben. Dieses System bietet derzeit für viele Menschen den einzig akzeptablen Tonvorrat.

Es kann als Weiterentwicklung der "Wohltemperierten Stimmungen" verstanden werden, seine Wurzeln gehen also auf die Bachzeit zurück. Dabei ist nicht auszuschließen, dass die Zwölfteilung auch bereits viel früher ausprobiert wurde, nur hat sie sich nach diesen frühen Versuchen nie so halten können.

Als Xenharmonie-Novize kann man zunächst die Tendenz haben, die Standardstimmung möglichst weit hinter sich zu lassen. Im Licht der im Reich der Xenharmonie neu gewonnenen Erkenntnisse kann man dann aber auch das alte 12edo neu entdecken.

[todo Einordnung bezügl. reine Intervalle]

Von der Perspektive der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] aus gesehen, temperiert 12edo die folgenden [[Komma|Kommas]] aus:

* [[531441/524288|pythagoräisches Komma 3^12/2^19 bzw. 531441/524288]]
* [[81/80|syntonisches Komma 81/80]]
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* [[126/125|kleines septimales Komma 126/125]]
* [[225/224|septimales Kleisma 225/224]]

Jedes dieser Kommas hat, wie im Artikel über reguläre Temperaturen beschrieben, spezifische Auswirkungen auf die Intervallbeziehungen und melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe|Kommapumpen]]), die mit dem entsprechenden Tonsystem möglich sind. Andere Tonsysteme, welche eines oder mehrere der genannten Kommas austemperieren, haben dann dieselben für dieses Komma typischen Eigenschaften wie 12edo.

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-12edo.mp3]] [[:File:BWV779-12edo.mp3|info]]

[[Category:12edo]]
[[Category:edo]]

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| ja = 12平均律
}}

'''12edo''' ist ein Tonsystem, das je [[Oktave]] zwölf verschiedene Töne bietet, die untereinander denselben [[Abstand]] haben. Dieses System bietet derzeit für viele Menschen den einzig akzeptablen Tonvorrat.

Es kann als Weiterentwicklung der "Wohltemperierten Stimmungen" verstanden werden, seine Wurzeln gehen also auf die Bachzeit zurück. Dabei ist nicht auszuschließen, dass die Zwölfteilung auch bereits viel früher ausprobiert wurde, nur hat sie sich nach diesen frühen Versuchen nie so halten können.

Als Xenharmonie-Novize kann man zunächst die Tendenz haben, die Standardstimmung möglichst weit hinter sich zu lassen. Im Licht der im Reich der Xenharmonie neu gewonnenen Erkenntnisse kann man dann aber auch das alte 12edo neu entdecken.

[todo Einordnung bezügl. reine Intervalle]

Von der Perspektive der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] aus gesehen, temperiert 12edo die folgenden [[Komma|Kommas]] aus:

* [[531441/524288|pythagoräisches Komma 3^12/2^19 bzw. 531441/524288]]
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Jedes dieser Kommas hat, wie im Artikel über reguläre Temperaturen beschrieben, spezifische Auswirkungen auf die Intervallbeziehungen und melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe|Kommapumpen]]), die mit dem entsprechenden Tonsystem möglich sind. Andere Tonsysteme, welche eines oder mehrere der genannten Kommas austemperieren, haben dann dieselben für dieses Komma typischen Eigenschaften wie 12edo.

Klangbeispiel:

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| ja = 12平均律
}}
'''12edo''' ist ein Tonsystem, das je [[Oktave]] zwölf verschiedene Töne bietet, die untereinander denselben [[Abstand]] haben. Dieses System bietet derzeit für viele Menschen den einzig akzeptablen Tonvorrat.

Es kann als Weiterentwicklung der "Wohltemperierten Stimmungen" verstanden werden, seine Wurzeln gehen also auf die Bachzeit zurück. Dabei ist nicht auszuschließen, dass die Zwölfteilung auch bereits viel früher ausprobiert wurde, nur hat sie sich nach diesen frühen Versuchen nie so halten können.

Als Xenharmonie-Novize kann man zunächst die Tendenz haben, die Standardstimmung möglichst weit hinter sich zu lassen. Im Licht der im Reich der Xenharmonie neu gewonnenen Erkenntnisse kann man dann aber auch das alte 12edo neu entdecken.

[todo Einordnung bezügl. reine Intervalle]

Von der Perspektive der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] aus gesehen, temperiert 12edo die folgenden [[Komma|Kommas]] aus:

* [[531441/524288|pythagoräisches Komma 3^12/2^19 bzw. 531441/524288]]
* [[81/80|syntonisches Komma 81/80]]
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Jedes dieser Kommas hat, wie im Artikel über reguläre Temperaturen beschrieben, spezifische Auswirkungen auf die Intervallbeziehungen und melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe|Kommapumpen]]), die mit dem entsprechenden Tonsystem möglich sind. Andere Tonsysteme, welche eines oder mehrere der genannten Kommas austemperieren, haben dann dieselben für dieses Komma typischen Eigenschaften wie 12edo.

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-12edo.mp3]] [[:File:BWV779-12edo.mp3|info]]

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'''12edo''' ist ein Tonsystem, das je [[Oktave]] zwölf verschiedene Töne bietet, die untereinander denselben [[Abstand]] haben. Dieses System bietet derzeit für viele Menschen den einzig akzeptablen Tonvorrat.

Es kann als Weiterentwicklung der "Wohltemperierten Stimmungen" verstanden werden, seine Wurzeln gehen also auf die Bachzeit zurück. Dabei ist nicht auszuschließen, dass die Zwölfteilung auch bereits viel früher ausprobiert wurde, nur hat sie sich nach diesen frühen Versuchen nie so halten können.

Als Xenharmonie-Novize kann man zunächst die Tendenz haben, die Standardstimmung möglichst weit hinter sich zu lassen. Im Licht der im Reich der Xenharmonie neu gewonnenen Erkenntnisse kann man dann aber auch das alte 12edo neu entdecken.

[todo Einordnung bezügl. reine Intervalle]

Von der Perspektive der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] aus gesehen, temperiert 12edo die folgenden [[Komma|Kommas]] aus:

* [[531441/524288|pythagoräisches Komma 3^12/2^19 bzw. 531441/524288]]
* [[81/80|syntonisches Komma 81/80]]
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* [[2048/2025|Diaschisma 2048/2025]]
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Jedes dieser Kommas hat, wie im Artikel über reguläre Temperaturen beschrieben, spezifische Auswirkungen auf die Intervallbeziehungen und melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe|Kommapumpen]]), die mit dem entsprechenden Tonsystem möglich sind. Andere Tonsysteme, welche eines oder mehrere der genannten Kommas austemperieren, haben dann dieselben für dieses Komma typischen Eigenschaften wie 12edo.

Klangbeispiel:

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'''12edo''' ist ein Tonsystem, das je [[Oktave]] zwölf verschiedene Töne bietet, die untereinander denselben [[Abstand]] haben. Dieses System bietet derzeit für viele Menschen den einzig akzeptablen Tonvorrat.

Es kann als Weiterentwicklung der "Wohltemperierten Stimmungen" verstanden werden, seine Wurzeln gehen also auf die Bachzeit zurück. Dabei ist nicht auszuschließen, dass die Zwölfteilung auch bereits viel früher ausprobiert wurde, nur hat sie sich nach diesen frühen Versuchen nie so halten können.

Als Xenharmonie-Novize kann man zunächst die Tendenz haben, die Standardstimmung möglichst weit hinter sich zu lassen. Im Licht der im Reich der Xenharmonie neu gewonnenen Erkenntnisse kann man dann aber auch das alte 12edo neu entdecken.

[todo Einordnung bezügl. reine Intervalle]

Von der Perspektive der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] aus gesehen, temperiert 12edo die folgenden [[Komma|Kommas]] aus:

* [[531441/524288|pythagoräisches Komma 3^12/2^19 bzw. 531441/524288]]
* [[81/80|syntonisches Komma 81/80]]
* [[128/125|Diësis 128/125]]
* [[2048/2025|Diaschisma 2048/2025]]
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* [[225/224|septimales Kleisma 225/224]]

Jedes dieser Kommas hat, wie im Artikel über reguläre Temperaturen beschrieben, spezifische Auswirkungen auf die Intervallbeziehungen und melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe|Kommapumpen]]), die mit dem entsprechenden Tonsystem möglich sind. Andere Tonsysteme, welche eines oder mehrere der genannten Kommas austemperieren, haben dann dieselben für dieses Komma typischen Eigenschaften wie 12edo.

Klangbeispiel:

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'''12 EDO''' ist ein Tonsystem, das je [[Oktave]] zwölf verschiedene Töne bietet, die untereinander denselben [[Abstand]] haben. Dieses System bietet derzeit für viele Menschen den einzig akzeptablen Tonvorrat.

Es kann als Weiterentwicklung der "Wohltemperierten Stimmungen" verstanden werden, seine Wurzeln gehen also auf die Bachzeit zurück. Dabei ist nicht auszuschließen, dass die Zwölfteilung auch bereits viel früher ausprobiert wurde, nur hat sie sich nach diesen frühen Versuchen nie so halten können.

Als Xenharmonie-Novize kann man zunächst die Tendenz haben, die Standardstimmung möglichst weit hinter sich zu lassen. Im Licht der im Reich der Xenharmonie neu gewonnenen Erkenntnisse kann man dann aber auch das alte 12edo neu entdecken.

[todo Einordnung bezügl. reine Intervalle]

Von der Perspektive der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] aus gesehen, temperiert 12edo die folgenden [[Komma]]s aus:

* [[531441/524288|pythagoräisches Komma 3^12/2^19 bzw. 531441/524288]]
* [[81/80|syntonisches Komma 81/80]]
* [[128/125|Diësis 128/125]]
* [[2048/2025|Diaschisma 2048/2025]]
* [[64/63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]]
* [[36/35|septimaler Viertelton 36/35]]
* [[50/49|Jubilisma, 50/49]]
* [[126/125|kleines septimales Komma 126/125]]
* [[225/224|septimales Kleisma 225/224]]

Jedes dieser Kommas hat, wie im Artikel über reguläre Temperaturen beschrieben, spezifische Auswirkungen auf die Intervallbeziehungen und melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe]]n), die mit dem entsprechenden Tonsystem möglich sind. Andere Tonsysteme, welche eines oder mehrere der genannten Kommas austemperieren, haben dann dieselben für dieses Komma typischen Eigenschaften wie 12 EDO.

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-12edo.mp3]] [[:File:BWV779-12edo.mp3|info]]

[[Category:12edo]]
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| de = 12 EDO
| en = 12edo
| es = 12 EDO
| ja = 12平均律
}}
'''12 EDO''' ist ein Tonsystem, das je [[Oktave]] zwölf verschiedene Töne bietet, die untereinander denselben [[Abstand]] haben. Dieses System bietet derzeit für viele Menschen den einzig akzeptablen Tonvorrat.

Es kann als Weiterentwicklung der "Wohltemperierten Stimmungen" verstanden werden, seine Wurzeln gehen also auf die Bachzeit zurück. Dabei ist nicht auszuschließen, dass die Zwölfteilung auch bereits viel früher ausprobiert wurde, nur hat sie sich nach diesen frühen Versuchen nie so halten können.

Als Xenharmonie-Novize kann man zunächst die Tendenz haben, die Standardstimmung möglichst weit hinter sich zu lassen. Im Licht der im Reich der Xenharmonie neu gewonnenen Erkenntnisse kann man dann aber auch das alte 12edo neu entdecken.

[todo Einordnung bezügl. reine Intervalle]

Von der Perspektive der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] aus gesehen, temperiert 12edo die folgenden [[Komma]]s aus:

* [[531441/524288|pythagoräisches Komma 3^12/2^19 bzw. 531441/524288]]
* [[81/80|syntonisches Komma 81/80]]
* [[128/125|Diësis 128/125]]
* [[2048/2025|Diaschisma 2048/2025]]
* [[64/63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]]
* [[36/35|septimaler Viertelton 36/35]]
* [[50/49|Jubilisma, 50/49]]
* [[126/125|kleines septimales Komma 126/125]]
* [[225/224|septimales Kleisma 225/224]]

Jedes dieser Kommas hat, wie im Artikel über reguläre Temperaturen beschrieben, spezifische Auswirkungen auf die Intervallbeziehungen und melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe]]n), die mit dem entsprechenden Tonsystem möglich sind. Andere Tonsysteme, welche eines oder mehrere der genannten Kommas austemperieren, haben dann dieselben für dieses Komma typischen Eigenschaften wie 12 EDO.

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-12edo.mp3]] [[:File:BWV779-12edo.mp3|info]]

[[Kategorie:12 EDO| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;
[[Kategorie:EDO]]</text>
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| ja = 12平均律
}}
'''12 EDO''' ist ein Tonsystem, das je [[Oktave]] zwölf verschiedene Töne bietet, die untereinander denselben [[Abstand]] haben. Dieses System bietet derzeit für viele Menschen den einzig akzeptablen Tonvorrat.

Es kann als Weiterentwicklung der "Wohltemperierten Stimmungen" verstanden werden, seine Wurzeln gehen also auf die Bachzeit zurück. Dabei ist nicht auszuschließen, dass die Zwölfteilung auch bereits viel früher ausprobiert wurde, nur hat sie sich nach diesen frühen Versuchen nie so halten können.

Als Xenharmonie-Novize kann man zunächst die Tendenz haben, die Standardstimmung möglichst weit hinter sich zu lassen. Im Licht der im Reich der Xenharmonie neu gewonnenen Erkenntnisse kann man dann aber auch das alte 12edo neu entdecken.

[todo Einordnung bezügl. reine Intervalle]

Von der Perspektive der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] aus gesehen, temperiert 12edo die folgenden [[Komma]]s aus:

* [[531441/524288|pythagoräisches Komma 3^12/2^19 bzw. 531441/524288]]
* [[81/80|syntonisches Komma 81/80]]
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* [[225/224|septimales Kleisma 225/224]]

Jedes dieser Kommas hat, wie im Artikel über reguläre Temperaturen beschrieben, spezifische Auswirkungen auf die Intervallbeziehungen und melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe]]n), die mit dem entsprechenden Tonsystem möglich sind. Andere Tonsysteme, welche eines oder mehrere der genannten Kommas austemperieren, haben dann dieselben für dieses Komma typischen Eigenschaften wie 12 EDO.

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-12edo.mp3]] [[:File:BWV779-12edo.mp3|info]]

[[Kategorie:12 EDO| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;
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}}
'''12 EDO''' ist ein Tonsystem, das je [[Oktave]] zwölf verschiedene Töne bietet, die untereinander denselben [[Abstand]] haben. Dieses System bietet derzeit für viele Menschen den einzig akzeptablen Tonvorrat.

Es kann als Weiterentwicklung der "Wohltemperierten Stimmungen" verstanden werden, seine Wurzeln gehen also auf die Bachzeit zurück. Dabei ist nicht auszuschließen, dass die Zwölfteilung auch bereits viel früher ausprobiert wurde, nur hat sie sich nach diesen frühen Versuchen nie so halten können.

Als Xenharmonie-Novize kann man zunächst die Tendenz haben, die Standardstimmung möglichst weit hinter sich zu lassen. Im Licht der im Reich der Xenharmonie neu gewonnenen Erkenntnisse kann man dann aber auch das alte 12edo neu entdecken.

[todo Einordnung bezügl. reine Intervalle]

Von der Perspektive der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] aus gesehen, temperiert 12edo die folgenden [[Komma]]s aus:

* [[531441/524288|pythagoräisches Komma 3^12/2^19 bzw. 531441/524288]]
* [[81/80|syntonisches Komma 81/80]]
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* [[126/125|kleines septimales Komma 126/125]]
* [[225/224|septimales Kleisma 225/224]]

Jedes dieser Kommas hat, wie im Artikel über reguläre Temperaturen beschrieben, spezifische Auswirkungen auf die Intervallbeziehungen und melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe]]n), die mit dem entsprechenden Tonsystem möglich sind. Andere Tonsysteme, welche eines oder mehrere der genannten Kommas austemperieren, haben dann dieselben für dieses Komma typischen Eigenschaften wie 12 EDO.

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-12edo.mp3]] [[:File:BWV779-12edo.mp3|info]]

[[Kategorie:12-EDO| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;
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'''12-EDO''' ist ein Tonsystem, das je [[Oktave]] zwölf verschiedene Töne bietet, die untereinander denselben [[Abstand]] haben. Dieses System bietet derzeit für viele Menschen den einzig akzeptablen Tonvorrat.

Es kann als Weiterentwicklung der "Wohltemperierten Stimmungen" verstanden werden, seine Wurzeln gehen also auf die Bachzeit zurück. Dabei ist nicht auszuschließen, dass die Zwölfteilung auch bereits viel früher ausprobiert wurde, nur hat sie sich nach diesen frühen Versuchen nie so halten können.

Als Xenharmonie-Novize kann man zunächst die Tendenz haben, die Standardstimmung möglichst weit hinter sich zu lassen. Im Licht der im Reich der Xenharmonie neu gewonnenen Erkenntnisse kann man dann aber auch das alte 12-EDO neu entdecken.

[todo Einordnung bezügl. reine Intervalle]

Von der Perspektive der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] aus gesehen, temperiert 12-EDO die folgenden [[Komma]]s aus:

* [[531441/524288|pythagoräisches Komma 3^12/2^19 bzw. 531441/524288]]
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* [[2048/2025|Diaschisma 2048/2025]]
* [[64/63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]]
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Jedes dieser Kommas hat, wie im Artikel über reguläre Temperaturen beschrieben, spezifische Auswirkungen auf die Intervallbeziehungen und melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe]]n), die mit dem entsprechenden Tonsystem möglich sind. Andere Tonsysteme, welche eines oder mehrere der genannten Kommas austemperieren, haben dann dieselben für dieses Komma typischen Eigenschaften wie 12-EDO.

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-12edo.mp3]] [[:File:BWV779-12edo.mp3|info]]

[[Kategorie:12-EDO| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;
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'''12-EDO''' ist ein [[Tonsystem]], das je [[Oktave]] zwölf verschiedene Töne bietet, die untereinander denselben [[Abstand]] haben. Dieses System bietet derzeit für viele Menschen den einzig akzeptablen Tonvorrat.

Es kann als Weiterentwicklung der "Wohltemperierten Stimmungen" verstanden werden, seine Wurzeln gehen also auf die Bachzeit zurück. Dabei ist nicht auszuschließen, dass die Zwölfteilung auch bereits viel früher ausprobiert wurde, nur hat sie sich nach diesen frühen Versuchen nie so halten können.

Als Xenharmonie-Novize kann man zunächst die Tendenz haben, die Standardstimmung möglichst weit hinter sich zu lassen. Im Licht der im Reich der Xenharmonie neu gewonnenen Erkenntnisse kann man dann aber auch das alte 12-EDO neu entdecken.

[todo Einordnung bezügl. reine Intervalle]

Von der Perspektive der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] aus gesehen, temperiert 12-EDO die folgenden [[Komma]]s aus:

* [[531441/524288|pythagoräisches Komma 3^12/2^19 bzw. 531441/524288]]
* [[81/80|syntonisches Komma 81/80]]
* [[128/125|Diësis 128/125]]
* [[2048/2025|Diaschisma 2048/2025]]
* [[64/63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]]
* [[36/35|septimaler Viertelton 36/35]]
* [[50/49|Jubilisma, 50/49]]
* [[126/125|kleines septimales Komma 126/125]]
* [[225/224|septimales Kleisma 225/224]]

Jedes dieser Kommas hat, wie im Artikel über reguläre Temperaturen beschrieben, spezifische Auswirkungen auf die Intervallbeziehungen und melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe]]n), die mit dem entsprechenden Tonsystem möglich sind. Andere Tonsysteme, welche eines oder mehrere der genannten Kommas austemperieren, haben dann dieselben für dieses Komma typischen Eigenschaften wie 12-EDO.

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-12edo.mp3]] [[:File:BWV779-12edo.mp3|info]]

[[Kategorie:12-EDO| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;
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[[edo|Übersicht EDO]]

'''15edo''', das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12edo|12edo]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit|Limit]]s, wie die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15edo auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12edo. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 hingegen ist mit 720 Cent geradezu extrem hoch - noch als Quinte erkennbar, aber für Verwendung im traditionellen Sinn eher ungeeignet (was auch daran liegt, dass sie höher ist als die reine Quinte, womit 15edo die [[mitteltönig|mitteltönige Temperatur]] nicht unterstützt).

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15edo als Teilmengen 3edo (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5edo|5edo]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Die 15edo-Approximation der Quinte ist übrigens dieselbe wie in 5edo, und das gilt ebenso für die Quinten in [[10edo|10edo]], [[20edo|20edo]], [[25edo|25edo]] und 30edo (wobei letzteres über zwei unterschiedliche, jedoch gleich schlechte Quinten verfügt). Das kleinste durch 5 teilbare gleichstufige Tonsystem mit einer besseren Quinte als der von 5edo ist erst [[35edo|35edo]] (und auch dort ist die Approximation der Quinte nicht besonders gut...). Aufeinanderstapeln von 5 Quinten, wie auch von 5 Quarten, führt oktavbereinigt zum Ursprung zurück. Wenn man daher die Saiten einer Gitarre in solchen Quarten stimmt, erhält man eine wie bei 12edo von E nach e' gehende, jedoch vollständig regelmässige Gitarrenstimmung.

Auf dem Gebiet der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] sticht 15edo als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala ist und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden - siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]

Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15edo eine gewisse Popularität - es verfügt sogar einen [https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament englischsprachigen Wikipedia-Eintrag].  [[Category:edo]]</text>
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[xenharmonie/edo|Übersicht EDO]]

**15edo**, das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12edo]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit]]s, wie die [[xenharmonie/Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15edo auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12edo. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 hingegen ist mit 720 Cent geradezu extrem hoch - noch als Quinte erkennbar, aber für Verwendung im traditionellen Sinn eher ungeeignet (was auch daran liegt, dass sie höher ist als die reine Quinte, womit 15edo die [[mitteltönig|mitteltönige Temperatur]] nicht unterstützt).

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15edo als Teilmengen 3edo (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5edo]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Die 15edo-Approximation der Quinte ist übrigens dieselbe wie in 5edo, und das gilt ebenso für die Quinten in [[10edo]], [[20edo]], [[25edo]] und 30edo (wobei letzteres über zwei unterschiedliche, jedoch gleich schlechte Quinten verfügt). Das kleinste durch 5 teilbare gleichstufige Tonsystem mit einer besseren Quinte als der von 5edo ist erst [[35edo]] (und auch dort ist die Approximation der Quinte nicht besonders gut...). Aufeinanderstapeln von 5 Quinten, wie auch von 5 Quarten, führt oktavbereinigt zum Ursprung zurück. Wenn man daher die Saiten einer Gitarre in solchen Quarten stimmt, erhält man eine wie bei 12edo von E nach e' gehende, jedoch vollständig regelmässige Gitarrenstimmung.

Auf dem Gebiet der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] sticht 15edo als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine]]-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala ist und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden - siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]]

Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15edo eine gewisse Popularität - es verfügt sogar einen [[https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament|englischsprachigen Wikipedia-Eintrag]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;strong&amp;gt;15edo&amp;lt;/strong&amp;gt;, das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Reine Intervalle in höheren &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;s, wie die &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; und das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa 11/8&amp;lt;/a&amp;gt;, werden von 15edo auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12edo. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 hingegen ist mit 720 Cent geradezu extrem hoch - noch als Quinte erkennbar, aber für Verwendung im traditionellen Sinn eher ungeeignet (was auch daran liegt, dass sie höher ist als die reine Quinte, womit 15edo die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; nicht unterstützt).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15edo als Teilmengen 3edo (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/5edo"&amp;gt;5edo&amp;lt;/a&amp;gt; enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die 15edo-Approximation der Quinte ist übrigens dieselbe wie in 5edo, und das gilt ebenso für die Quinten in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/10edo"&amp;gt;10edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/20edo"&amp;gt;20edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/25edo"&amp;gt;25edo&amp;lt;/a&amp;gt; und 30edo (wobei letzteres über zwei unterschiedliche, jedoch gleich schlechte Quinten verfügt). Das kleinste durch 5 teilbare gleichstufige Tonsystem mit einer besseren Quinte als der von 5edo ist erst &amp;lt;a class="wiki_link" href="/35edo"&amp;gt;35edo&amp;lt;/a&amp;gt; (und auch dort ist die Approximation der Quinte nicht besonders gut...). Aufeinanderstapeln von 5 Quinten, wie auch von 5 Quarten, führt oktavbereinigt zum Ursprung zurück. Wenn man daher die Saiten einer Gitarre in solchen Quarten stimmt, erhält man eine wie bei 12edo von E nach e' gehende, jedoch vollständig regelmässige Gitarrenstimmung.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Auf dem Gebiet der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; sticht 15edo als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala ist und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden - siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15edo eine gewisse Popularität - es verfügt sogar einen &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament" rel="nofollow"&amp;gt;englischsprachigen Wikipedia-Eintrag&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-08-14 11:28:08 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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[[xenharmonie/edo|Übersicht EDO]]

**15edo**, das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12edo]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit]]s, wie die [[xenharmonie/Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15edo auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12edo. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 hingegen ist mit 720 Cent geradezu extrem hoch - noch als Quinte erkennbar, aber für Verwendung im traditionellen Sinn eher ungeeignet (was auch daran liegt, dass sie höher ist als die reine Quinte, womit 15edo die [[mitteltönig|mitteltönige Temperatur]] nicht unterstützt).

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15edo als Teilmengen 3edo (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5edo]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Die 15edo-Approximation der Quinte ist übrigens dieselbe wie in 5edo, und das gilt ebenso für die Quinten in [[10edo]], [[20edo]], [[25edo]] und 30edo (wobei letzteres über zwei unterschiedliche, jedoch gleich schlechte Quinten verfügt). Das kleinste durch 5 teilbare gleichstufige Tonsystem mit einer besseren Quinte als der von 5edo ist erst [[35edo]] (und auch dort ist die Approximation der Quinte nicht besonders gut...). Aufeinanderstapeln von 5 Quinten, wie auch von 5 Quarten, führt oktavbereinigt zum Ursprung zurück. Wenn man daher die Saiten einer Gitarre in solchen Quarten stimmt, erhält man eine wie bei 12edo von E nach e' gehende, jedoch vollständig regelmässige Gitarrenstimmung.

Auf dem Gebiet der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] sticht 15edo als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine]]-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala ist und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden - siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]]

Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15edo eine gewisse Popularität - es verfügt sogar einen [[https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament|englischsparchigen Wikipedia-Eintrag]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;strong&amp;gt;15edo&amp;lt;/strong&amp;gt;, das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Reine Intervalle in höheren &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;s, wie die &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; und das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa 11/8&amp;lt;/a&amp;gt;, werden von 15edo auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12edo. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 hingegen ist mit 720 Cent geradezu extrem hoch - noch als Quinte erkennbar, aber für Verwendung im traditionellen Sinn eher ungeeignet (was auch daran liegt, dass sie höher ist als die reine Quinte, womit 15edo die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; nicht unterstützt).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15edo als Teilmengen 3edo (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/5edo"&amp;gt;5edo&amp;lt;/a&amp;gt; enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die 15edo-Approximation der Quinte ist übrigens dieselbe wie in 5edo, und das gilt ebenso für die Quinten in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/10edo"&amp;gt;10edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/20edo"&amp;gt;20edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/25edo"&amp;gt;25edo&amp;lt;/a&amp;gt; und 30edo (wobei letzteres über zwei unterschiedliche, jedoch gleich schlechte Quinten verfügt). Das kleinste durch 5 teilbare gleichstufige Tonsystem mit einer besseren Quinte als der von 5edo ist erst &amp;lt;a class="wiki_link" href="/35edo"&amp;gt;35edo&amp;lt;/a&amp;gt; (und auch dort ist die Approximation der Quinte nicht besonders gut...). Aufeinanderstapeln von 5 Quinten, wie auch von 5 Quarten, führt oktavbereinigt zum Ursprung zurück. Wenn man daher die Saiten einer Gitarre in solchen Quarten stimmt, erhält man eine wie bei 12edo von E nach e' gehende, jedoch vollständig regelmässige Gitarrenstimmung.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Auf dem Gebiet der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; sticht 15edo als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala ist und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden - siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15edo eine gewisse Popularität - es verfügt sogar einen &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament" rel="nofollow"&amp;gt;englischsparchigen Wikipedia-Eintrag&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/edo|Übersicht EDO]]

**15edo**, das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12edo]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit]]s, wie die [[xenharmonie/Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15edo auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12edo. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 hingegen ist mit 720 Cent geradezu extrem hoch - noch als Quinte erkennbar, aber für Verwendung im traditionellen Sinn eher ungeeignet (was auch daran liegt, dass sie höher ist als die reine Quinte, womit 15edo die [[mitteltönig|mitteltönige Temperatur]] nicht unterstützt).

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15edo als Teilmengen 3edo (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5edo]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Die 15edo-Approximation der Quinte ist übrigens dieselbe wie in 5edo, und das gilt ebenso für die Quinten in [[10edo]], [[20edo]], [[25edo]] und 30edo (wobei letzteres über zwei unterschiedliche, jedoch gleich schlechte Quinten verfügt). Das kleinste durch 5 teilbare gleichstufige Tonsystem mit einer besseren Quinte als der von 5edo ist erst [[35edo]] (und auch dort ist die Approximation der Quinte nicht besonders gut...). Aufeinanderstapeln von 5 Quinten, wie auch von 5 Quarten, führt oktavbereinigt zum Ursprung zurück. Wenn man daher die Saiten einer Gitarre in solchen Quarten stimmt, erhält man eine wie bei 12edo von E nach e' gehende, jedoch vollständig regelmässige Gitarrenstimmung.

Auf dem Gebiet der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] sticht 15edo als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine]]-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]]

Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15edo eine gewisse Popularität - es verfügt sogar einen [[https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament|englischsparchigen Wikipedia-Eintrag]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15edo als Teilmengen 3edo (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/5edo"&amp;gt;5edo&amp;lt;/a&amp;gt; enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die 15edo-Approximation der Quinte ist übrigens dieselbe wie in 5edo, und das gilt ebenso für die Quinten in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/10edo"&amp;gt;10edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/20edo"&amp;gt;20edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/25edo"&amp;gt;25edo&amp;lt;/a&amp;gt; und 30edo (wobei letzteres über zwei unterschiedliche, jedoch gleich schlechte Quinten verfügt). Das kleinste durch 5 teilbare gleichstufige Tonsystem mit einer besseren Quinte als der von 5edo ist erst &amp;lt;a class="wiki_link" href="/35edo"&amp;gt;35edo&amp;lt;/a&amp;gt; (und auch dort ist die Approximation der Quinte nicht besonders gut...). Aufeinanderstapeln von 5 Quinten, wie auch von 5 Quarten, führt oktavbereinigt zum Ursprung zurück. Wenn man daher die Saiten einer Gitarre in solchen Quarten stimmt, erhält man eine wie bei 12edo von E nach e' gehende, jedoch vollständig regelmässige Gitarrenstimmung.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Auf dem Gebiet der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; sticht 15edo als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15edo eine gewisse Popularität - es verfügt sogar einen &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament" rel="nofollow"&amp;gt;englischsparchigen Wikipedia-Eintrag&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/edo|Übersicht EDO]]

**15edo**, das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12edo]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit]]s, wie die [[xenharmonie/Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15edo auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12edo. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 hingegen ist mit 720 Cent geradezu extrem hoch - noch als Quinte erkennbar, aber für Verwendung im traditionellen Sinn eher ungeeignet (was auch daran liegt, dass sie höher ist als die reine Quinte, womit 15edo die [[mitteltönig|mitteltönige Temperatur]] nicht unterstützt).

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15edo als Teilmengen 3edo (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5edo]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Die 15edo-Approximation der Quinte ist übrigens dieselbe wie in 5edo, und das gilt ebenso für die Quinten in [[10edo]], [[20edo]], [[25edo]] und 30edo (wobei letzteres über zwei unterschiedliche, jedoch gleich schlechte Quinten verfügt). Das kleinste durch 5 teilbare gleichstufige Tonsystem mit einer besseren Quinte als der von 5edo ist erst [[35edo]] (und auch dort ist die Approximation der Quinte nicht besonders gut...). Aufeinanderstapeln von 5 Quinten, wie auch von 5 Quarten, führt oktavbereinigt zum Ursprung zurück. Wenn man daher die Saiten einer Gitarre in solchen Quarten stimmt, erhält man eine wie bei 12edo von E nach e' gehende, jedoch vollständig regelmässige Gitarrenstimmung.

Auf dem Gebiet der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] sticht 15edo als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine]]-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]]

Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15edo eine gewisse Popularität - es verfügt sogar einen [[https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament|englischsparchigen Wikipedia-Eintrag]].

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&amp;lt;strong&amp;gt;15edo&amp;lt;/strong&amp;gt;, das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Reine Intervalle in höheren &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;s, wie die &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; und das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa 11/8&amp;lt;/a&amp;gt;, werden von 15edo auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12edo. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 hingegen ist mit 720 Cent geradezu extrem hoch - noch als Quinte erkennbar, aber für Verwendung im traditionellen Sinn eher ungeeignet (was auch daran liegt, dass sie höher ist als die reine Quinte, womit 15edo die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; nicht unterstützt).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15edo als Teilmengen 3edo (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/5edo"&amp;gt;5edo&amp;lt;/a&amp;gt; enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die 15edo-Approximation der Quinte ist übrigens dieselbe wie in 5edo, und das gilt ebenso für die Quinten in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/10edo"&amp;gt;10edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/20edo"&amp;gt;20edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/25edo"&amp;gt;25edo&amp;lt;/a&amp;gt; und 30edo (wobei letzteres über zwei unterschiedliche, jedoch gleich schlechte Quinten verfügt). Das kleinste durch 5 teilbare gleichstufige Tonsystem mit einer besseren Quinte als der von 5edo ist erst &amp;lt;a class="wiki_link" href="/35edo"&amp;gt;35edo&amp;lt;/a&amp;gt; (und auch dort ist die Approximation der Quinte nicht besonders gut...). Aufeinanderstapeln von 5 Quinten, wie auch von 5 Quarten, führt oktavbereinigt zum Ursprung zurück. Wenn man daher die Saiten einer Gitarre in solchen Quarten stimmt, erhält man eine wie bei 12edo von E nach e' gehende, jedoch vollständig regelmässige Gitarrenstimmung.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Auf dem Gebiet der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; sticht 15edo als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15edo eine gewisse Popularität - es verfügt sogar einen &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament" rel="nofollow"&amp;gt;englischsparchigen Wikipedia-Eintrag&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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[[xenharmonie/edo|Übersicht EDO]]

**15edo**, das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12edo]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit]]s, wie die [[xenharmonie/Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15edo auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12edo. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 hingegen ist mit 720 Cent geradezu extrem hoch - noch als Quinte erkennbar, aber für Verwendung im traditionellen Sinn eher ungeeignet (was auch daran liegt, dass sie höher ist als die reine Quinte, womit 15edo die [[mitteltönig|mitteltönige Temperatur]] nicht unterstützt).

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15edo als Teilmengen 3edo (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5edo]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Die 15edo-Approximation der Quinte ist übrigens dieselbe wie in 5edo, und das gilt ebenso für die Quinten in [[10edo]], [[20edo]], [[25edo]] und 30edo (wobei letzteres über zwei unterschiedliche, jedoch gleich schlechte Quinten verfügt). Das kleinste durch 5 teilbare gleichstufige Tonsystem mit einer besseren Quinte als der von 5edo ist erst [[35edo]] (und auch dort ist die Approximation der Quinte nicht besonders gut...). Aufeinanderstapeln von 5 Quinten (wie auch von 5 Quarten) führt oktavbereinigt zum Ursprung zurück. Wenn man daher die Saiten einer Gitarre in solchen Quarten stimmt, erhält man eine wie bei 12edo von E nach e' gehende, jedoch vollständig regelmässige Gitarrenstimmung.

Auf dem Gebiet der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] sticht 15edo als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine]]-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]]

Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15edo eine gewisse Popularität - es verfügt sogar einen [[https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament|englischsparchigen Wikipedia-Eintrag]].

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Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15edo als Teilmengen 3edo (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/5edo"&amp;gt;5edo&amp;lt;/a&amp;gt; enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die 15edo-Approximation der Quinte ist übrigens dieselbe wie in 5edo, und das gilt ebenso für die Quinten in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/10edo"&amp;gt;10edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/20edo"&amp;gt;20edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/25edo"&amp;gt;25edo&amp;lt;/a&amp;gt; und 30edo (wobei letzteres über zwei unterschiedliche, jedoch gleich schlechte Quinten verfügt). Das kleinste durch 5 teilbare gleichstufige Tonsystem mit einer besseren Quinte als der von 5edo ist erst &amp;lt;a class="wiki_link" href="/35edo"&amp;gt;35edo&amp;lt;/a&amp;gt; (und auch dort ist die Approximation der Quinte nicht besonders gut...). Aufeinanderstapeln von 5 Quinten (wie auch von 5 Quarten) führt oktavbereinigt zum Ursprung zurück. Wenn man daher die Saiten einer Gitarre in solchen Quarten stimmt, erhält man eine wie bei 12edo von E nach e' gehende, jedoch vollständig regelmässige Gitarrenstimmung.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Auf dem Gebiet der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; sticht 15edo als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15edo eine gewisse Popularität - es verfügt sogar einen &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament" rel="nofollow"&amp;gt;englischsparchigen Wikipedia-Eintrag&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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[[xenharmonie/edo|Übersicht EDO]]

**15edo**, das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12edo]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit]]s, wie die [[xenharmonie/Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15edo auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12edo. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 hingegen ist mit 720 Cent geradezu extrem hoch - noch als Quinte erkennbar, aber für Verwendung im traditionellen Sinn eher ungeeignet (was auch daran liegt, dass sie höher ist als die reine Quinte, womit 15edo die [[mitteltönig|mitteltönige Temperatur]] nicht unterstützt).

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15edo als Teilmengen 3edo (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5edo]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Die 15edo-Approximation der Quinte ist übrigens dieselbe wie in 5edo, und das gilt ebenso für die Quinten in [[10edo]], [[20edo]], [[25edo]] und 30edo (wobei letzteres über zwei unterschiedliche, jedoch gleich schlechte Quinten verfügt). Das kleinste durch 5 teilbare gleichstufige Tonsystem mit einer besseren Quinte als der von 5edo ist erst [[35edo]] (und auch dort ist die Approximation der Quinte nicht besonders gut...).

Auf dem Gebiet der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] sticht 15edo als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine]]-Temperatur hervor.

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Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15edo als Teilmengen 3edo (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/5edo"&amp;gt;5edo&amp;lt;/a&amp;gt; enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Auf dem Gebiet der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; sticht 15edo als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur hervor.&amp;lt;br /&amp;gt;
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[[edo|Übersicht EDO]]

'''15edo''', das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12edo|12edo]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit|Limit]]s, wie die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15edo auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12edo. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 hingegen ist mit 720 Cent geradezu extrem hoch - noch als Quinte erkennbar, aber für Verwendung im traditionellen Sinn eher ungeeignet (was auch daran liegt, dass sie höher ist als die reine Quinte, womit 15edo die [[mitteltönig|mitteltönige Temperatur]] nicht unterstützt).

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15edo als Teilmengen 3edo (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5edo|5edo]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Die 15edo-Approximation der Quinte ist übrigens dieselbe wie in 5edo, und das gilt ebenso für die Quinten in [[10edo|10edo]], [[20edo|20edo]], [[25edo|25edo]] und 30edo (wobei letzteres über zwei unterschiedliche, jedoch gleich schlechte Quinten verfügt). Das kleinste durch 5 teilbare gleichstufige Tonsystem mit einer besseren Quinte als der von 5edo ist erst [[35edo|35edo]] (und auch dort ist die Approximation der Quinte nicht besonders gut...). Aufeinanderstapeln von 5 Quinten, wie auch von 5 Quarten, führt oktavbereinigt zum Ursprung zurück. Wenn man daher die Saiten einer Gitarre in solchen Quarten stimmt, erhält man eine wie bei 12edo von E nach e' gehende, jedoch vollständig regelmässige Gitarrenstimmung.

Auf dem Gebiet der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] sticht 15edo als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala ist und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden - siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]

Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15edo eine gewisse Popularität - es verfügt sogar einen [https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament englischsprachigen Wikipedia-Eintrag].  [[Category:edo]]</text>
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[[edo|Übersicht EDO]]

'''15edo''', das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12edo]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit|Limits]], wie die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15edo auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12edo. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 hingegen ist mit 720 Cent geradezu extrem hoch - noch als Quinte erkennbar, aber für Verwendung im traditionellen Sinn eher ungeeignet (was auch daran liegt, dass sie höher ist als die reine Quinte, womit 15edo die [[mitteltönig|mitteltönige Temperatur]] nicht unterstützt).

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15edo als Teilmengen 3edo (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5edo]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Die 15edo-Approximation der Quinte ist übrigens dieselbe wie in 5edo, und das gilt ebenso für die Quinten in [[10edo]], [[20edo]], [[25edo]] und 30edo (wobei letzteres über zwei unterschiedliche, jedoch gleich schlechte Quinten verfügt). Das kleinste durch 5 teilbare gleichstufige Tonsystem mit einer besseren Quinte als der von 5edo ist erst [[35edo]] (und auch dort ist die Approximation der Quinte nicht besonders gut...). Aufeinanderstapeln von 5 Quinten, wie auch von 5 Quarten, führt oktavbereinigt zum Ursprung zurück. Wenn man daher die Saiten einer Gitarre in solchen Quarten stimmt, erhält man eine wie bei 12edo von E nach e' gehende, jedoch vollständig regelmässige Gitarrenstimmung.

Auf dem Gebiet der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] sticht 15edo als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine]]-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala ist und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden - siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]

Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15edo eine gewisse Popularität - es verfügt sogar einen [https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament englischsprachigen Wikipedia-Eintrag].  

[[Kategorie:edo]]

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[[en:15edo]]</text>
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}}

[[edo|Übersicht EDO]]

'''15edo''', das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12edo]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit|Limits]], wie die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15edo auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12edo. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 hingegen ist mit 720 Cent geradezu extrem hoch - noch als Quinte erkennbar, aber für Verwendung im traditionellen Sinn eher ungeeignet (was auch daran liegt, dass sie höher ist als die reine Quinte, womit 15edo die [[mitteltönig|mitteltönige Temperatur]] nicht unterstützt).

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15edo als Teilmengen 3edo (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5edo]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Die 15edo-Approximation der Quinte ist übrigens dieselbe wie in 5edo, und das gilt ebenso für die Quinten in [[10edo]], [[20edo]], [[25edo]] und 30edo (wobei letzteres über zwei unterschiedliche, jedoch gleich schlechte Quinten verfügt). Das kleinste durch 5 teilbare gleichstufige Tonsystem mit einer besseren Quinte als der von 5edo ist erst [[35edo]] (und auch dort ist die Approximation der Quinte nicht besonders gut...). Aufeinanderstapeln von 5 Quinten, wie auch von 5 Quarten, führt oktavbereinigt zum Ursprung zurück. Wenn man daher die Saiten einer Gitarre in solchen Quarten stimmt, erhält man eine wie bei 12edo von E nach e' gehende, jedoch vollständig regelmässige Gitarrenstimmung.

Auf dem Gebiet der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] sticht 15edo als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine]]-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala ist und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden - siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]

Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15edo eine gewisse Popularität - es verfügt sogar einen [https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament englischsprachigen Wikipedia-Eintrag].  

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[[edo|Übersicht EDO]]

'''15edo''', das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12edo]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit|Limits]], wie die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15edo auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12edo. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 hingegen ist mit 720 Cent geradezu extrem hoch - noch als Quinte erkennbar, aber für Verwendung im traditionellen Sinn eher ungeeignet (was auch daran liegt, dass sie höher ist als die reine Quinte, womit 15edo die [[mitteltönig|mitteltönige Temperatur]] nicht unterstützt).

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15edo als Teilmengen 3edo (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5edo]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Die 15edo-Approximation der Quinte ist übrigens dieselbe wie in 5edo, und das gilt ebenso für die Quinten in [[10edo]], [[20edo]], [[25edo]] und 30edo (wobei letzteres über zwei unterschiedliche, jedoch gleich schlechte Quinten verfügt). Das kleinste durch 5 teilbare gleichstufige Tonsystem mit einer besseren Quinte als der von 5edo ist erst [[35edo]] (und auch dort ist die Approximation der Quinte nicht besonders gut...). Aufeinanderstapeln von 5 Quinten, wie auch von 5 Quarten, führt oktavbereinigt zum Ursprung zurück. Wenn man daher die Saiten einer Gitarre in solchen Quarten stimmt, erhält man eine wie bei 12edo von E nach e' gehende, jedoch vollständig regelmässige Gitarrenstimmung.

Auf dem Gebiet der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] sticht 15edo als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine]]-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala ist und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden - siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]

Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15edo eine gewisse Popularität - es verfügt sogar einen [https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament englischsprachigen Wikipedia-Eintrag].  

[[Kategorie:EDO]]</text>
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[[edo|Übersicht EDO]]

'''15edo''', das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12edo]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit|Limits]], wie die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15edo auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12edo. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 hingegen ist mit 720 Cent geradezu extrem hoch - noch als Quinte erkennbar, aber für Verwendung im traditionellen Sinn eher ungeeignet (was auch daran liegt, dass sie höher ist als die reine Quinte, womit 15edo die [[mitteltönig|mitteltönige Temperatur]] nicht unterstützt).

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15edo als Teilmengen 3edo (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5edo]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Die 15edo-Approximation der Quinte ist übrigens dieselbe wie in 5edo, und das gilt ebenso für die Quinten in [[10edo]], [[20edo]], [[25edo]] und 30edo (wobei letzteres über zwei unterschiedliche, jedoch gleich schlechte Quinten verfügt). Das kleinste durch 5 teilbare gleichstufige Tonsystem mit einer besseren Quinte als der von 5edo ist erst [[35edo]] (und auch dort ist die Approximation der Quinte nicht besonders gut...). Aufeinanderstapeln von 5 Quinten, wie auch von 5 Quarten, führt oktavbereinigt zum Ursprung zurück. Wenn man daher die Saiten einer Gitarre in solchen Quarten stimmt, erhält man eine wie bei 12edo von E nach e' gehende, jedoch vollständig regelmässige Gitarrenstimmung.

Auf dem Gebiet der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] sticht 15edo als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine]]-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala ist und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden - siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]

Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15edo eine gewisse Popularität - es verfügt sogar einen [https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament englischsprachigen Wikipedia-Eintrag].  

[[Kategorie:EDO]]</text>
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}}

[[EDO|Übersicht EDO]]

'''15 EDO''', das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12&amp;nbsp;EDO]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit]]s, wie die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15 EDO auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12 EDO. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 hingegen ist mit 720 Cent geradezu extrem hoch - noch als Quinte erkennbar, aber für Verwendung im traditionellen Sinn eher ungeeignet (was auch daran liegt, dass sie höher ist als die reine Quinte, womit 15 EDO die [[mitteltönig]]e Temperatur nicht unterstützt).

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15 EDO als Teilmengen [[3 EDO]] (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5 EDO]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Die 15 EDO-Approximation der Quinte ist übrigens dieselbe wie in 5 EDO, und das gilt ebenso für die Quinten in [[10 EDO]], [[20 EDO]], [[25 EDO]] und 30 EDO (wobei letzteres über zwei unterschiedliche, jedoch gleich schlechte Quinten verfügt). Das kleinste durch 5 teilbare gleichstufige Tonsystem mit einer besseren Quinte als der von 5 EDO ist erst [[35 EDO]] (und auch dort ist die Approximation der Quinte nicht besonders gut...). Aufeinanderstapeln von 5 Quinten, wie auch von 5 Quarten, führt oktavbereinigt zum Ursprung zurück. Wenn man daher die Saiten einer Gitarre in solchen Quarten stimmt, erhält man eine wie bei 12 EDO von E nach e' gehende, jedoch vollständig regelmässige Gitarrenstimmung.

Auf dem Gebiet der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] sticht 15 EDO als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine]]-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala ist und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden - siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]

Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15-EDO eine gewisse Popularität - es verfügt sogar einen [https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament englischsprachigen Wikipedia-Eintrag].  

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}}

[[EDO|Übersicht EDO]]

'''15 EDO''', das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12&amp;nbsp;EDO]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit]]s, wie die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15 EDO auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12 EDO. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 hingegen ist mit 720 Cent geradezu extrem hoch - noch als Quinte erkennbar, aber für Verwendung im traditionellen Sinn eher ungeeignet (was auch daran liegt, dass sie höher ist als die reine Quinte, womit 15 EDO die [[mitteltönig]]e Temperatur nicht unterstützt).

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15 EDO als Teilmengen [[3 EDO]] (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5 EDO]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Die 15 EDO-Approximation der Quinte ist übrigens dieselbe wie in 5 EDO, und das gilt ebenso für die Quinten in [[10 EDO]], [[20 EDO]], [[25 EDO]] und 30 EDO (wobei letzteres über zwei unterschiedliche, jedoch gleich schlechte Quinten verfügt). Das kleinste durch 5 teilbare gleichstufige Tonsystem mit einer besseren Quinte als der von 5 EDO ist erst [[35 EDO]] (und auch dort ist die Approximation der Quinte nicht besonders gut...). Aufeinanderstapeln von 5 Quinten, wie auch von 5 Quarten, führt oktavbereinigt zum Ursprung zurück. Wenn man daher die Saiten einer Gitarre in solchen Quarten stimmt, erhält man eine wie bei 12 EDO von E nach e' gehende, jedoch vollständig regelmässige Gitarrenstimmung.

Auf dem Gebiet der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] sticht 15 EDO als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine]]-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala ist und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden - siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]

Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15-EDO eine gewisse Popularität - es verfügt sogar einen [https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament englischsprachigen Wikipedia-Eintrag].  

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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''15-EDO''', das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit]]s, wie die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15-EDO auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12-EDO. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 hingegen ist mit 720 Cent geradezu extrem hoch - noch als Quinte erkennbar, aber für Verwendung im traditionellen Sinn eher ungeeignet (was auch daran liegt, dass sie höher ist als die reine Quinte, womit 15-EDO die [[mitteltönig]]e Temperatur nicht unterstützt).

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15-EDO als Teilmengen [[3-EDO]] (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5-EDO]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Die 15-EDO-Approximation der Quinte ist übrigens dieselbe wie in 5-EDO, und das gilt ebenso für die Quinten in [[10-EDO]], [[20-EDO]], [[25-EDO]] und 30-EDO (wobei letzteres über zwei unterschiedliche, jedoch gleich schlechte Quinten verfügt). Das kleinste durch 5 teilbare gleichstufige Tonsystem mit einer besseren Quinte als der von 5-EDO ist erst [[35-EDO]] (und auch dort ist die Approximation der Quinte nicht besonders gut...). Aufeinanderstapeln von 5 Quinten, wie auch von 5 Quarten, führt oktavbereinigt zum Ursprung zurück. Wenn man daher die Saiten einer Gitarre in solchen Quarten stimmt, erhält man eine wie bei 12-EDO von E nach e' gehende, jedoch vollständig regelmässige Gitarrenstimmung.

Auf dem Gebiet der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] sticht 15-EDO als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine]]-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala ist und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden - siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]

Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15-EDO eine gewisse Popularität - es verfügt sogar einen [https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament englischsprachigen Wikipedia-Eintrag].  

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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''15-EDO''', das [[Tonsystem]] der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit]]s, wie die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15-EDO auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12-EDO. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 hingegen ist mit 720 Cent geradezu extrem hoch - noch als Quinte erkennbar, aber für Verwendung im traditionellen Sinn eher ungeeignet (was auch daran liegt, dass sie höher ist als die reine Quinte, womit 15-EDO die [[mitteltönig]]e Temperatur nicht unterstützt).

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15-EDO als Teilmengen [[3-EDO]] (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5-EDO]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Die 15-EDO-Approximation der Quinte ist übrigens dieselbe wie in 5-EDO, und das gilt ebenso für die Quinten in [[10-EDO]], [[20-EDO]], [[25-EDO]] und 30-EDO (wobei letzteres über zwei unterschiedliche, jedoch gleich schlechte Quinten verfügt). Das kleinste durch 5 teilbare gleichstufige Tonsystem mit einer besseren Quinte als der von 5-EDO ist erst [[35-EDO]] (und auch dort ist die Approximation der Quinte nicht besonders gut...). Aufeinanderstapeln von 5 Quinten, wie auch von 5 Quarten, führt oktavbereinigt zum Ursprung zurück. Wenn man daher die Saiten einer Gitarre in solchen Quarten stimmt, erhält man eine wie bei 12-EDO von E nach e' gehende, jedoch vollständig regelmässige Gitarrenstimmung.

Auf dem Gebiet der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] sticht 15-EDO als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine]]-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala ist und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden - siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]

Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15-EDO eine gewisse Popularität - es verfügt sogar einen [https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament englischsprachigen Wikipedia-Eintrag].  

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[[EDO|Übersicht EDO]]
=Definition, elementare Eigenschaften=
'''15-EDO''', das [[Tonsystem]] der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit]]s, wie die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15-EDO auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12-EDO. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 hingegen ist mit 720 Cent geradezu extrem hoch - noch als Quinte erkennbar, aber für Verwendung im traditionellen Sinn eher ungeeignet (was auch daran liegt, dass sie höher ist als die reine Quinte, womit 15-EDO die [[mitteltönig]]e Temperatur nicht unterstützt).

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15-EDO als Teilmengen [[3-EDO]] (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5-EDO]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Die 15-EDO-Approximation der Quinte ist übrigens dieselbe wie in 5-EDO, und das gilt ebenso für die Quinten in [[10-EDO]], [[20-EDO]], [[25-EDO]] und 30-EDO (wobei letzteres über zwei unterschiedliche, jedoch gleich schlechte Quinten verfügt). Das kleinste durch 5 teilbare gleichstufige Tonsystem mit einer besseren Quinte als der von 5-EDO ist erst [[35-EDO]] (und auch dort ist die Approximation der Quinte nicht besonders gut...). Aufeinanderstapeln von 5 Quinten, wie auch von 5 Quarten, führt oktavbereinigt zum Ursprung zurück. Wenn man daher die Saiten einer Gitarre in solchen Quarten stimmt, erhält man eine wie bei 12-EDO von E nach e' gehende, jedoch vollständig regelmässige Gitarrenstimmung.

Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15-EDO eine gewisse Popularität - es verfügt sogar einen [https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament englischsprachigen Wikipedia-Eintrag].  

=Reguläre Temperaturen=
Auf dem Gebiet der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] sticht 15-EDO als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine]]-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala ist und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden - siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .

Als Mitglied der 5n-EDO-Familie unterstützt 15-EDO ausserdem die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. Es bietet als kleinstes EDO eine nichttriviale zehntönige Blackkwood-Skala an.

[ToDo Klangbeispiele]

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[[EDO|Übersicht EDO]]
=Definition, elementare Eigenschaften=
'''15-EDO''', das [[Tonsystem]] der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit]]s, wie die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15-EDO auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12-EDO. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 hingegen ist mit 720 Cent geradezu extrem hoch - noch als Quinte erkennbar, aber für Verwendung im traditionellen Sinn eher ungeeignet (was auch daran liegt, dass sie höher ist als die reine Quinte, womit 15-EDO die [[mitteltönig]]e Temperatur nicht unterstützt).

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15-EDO als Teilmengen [[3-EDO]] (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5-EDO]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Die 15-EDO-Approximation der Quinte ist übrigens dieselbe wie in 5-EDO, und das gilt ebenso für die Quinten in [[10-EDO]], [[20-EDO]], [[25-EDO]] und 30-EDO (wobei letzteres über zwei unterschiedliche, jedoch gleich schlechte Quinten verfügt). Das kleinste durch 5 teilbare gleichstufige Tonsystem mit einer besseren Quinte als der von 5-EDO ist erst [[35-EDO]] (und auch dort ist die Approximation der Quinte nicht besonders gut...). Aufeinanderstapeln von 5 Quinten, wie auch von 5 Quarten, führt oktavbereinigt zum Ursprung zurück. Wenn man daher die Saiten einer Gitarre in solchen Quarten stimmt, erhält man eine wie bei 12-EDO von E nach e' gehende, jedoch vollständig regelmässige Gitarrenstimmung.

Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15-EDO eine gewisse Popularität - es verfügt sogar einen [https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament englischsprachigen Wikipedia-Eintrag].  

=Reguläre Temperaturen=
Auf dem Gebiet der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] sticht 15-EDO als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine]]-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala ist und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden - siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .

Als Mitglied der 5n-EDO-Familie unterstützt 15-EDO ausserdem die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. Es bietet als kleinstes EDO eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala an.

[ToDo Klangbeispiele]

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[[EDO|Übersicht EDO]]
=Definition, elementare Eigenschaften=
'''15-EDO''', das [[Tonsystem]] der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit]]s, wie die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15-EDO auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12-EDO. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 hingegen ist mit 720 Cent geradezu extrem hoch - noch als Quinte erkennbar, aber für Verwendung im traditionellen Sinn eher ungeeignet (was auch daran liegt, dass sie höher ist als die reine Quinte, womit 15-EDO die [[mitteltönig]]e Temperatur nicht unterstützt).

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15-EDO als Teilmengen [[3-EDO]] (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5-EDO]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Die 15-EDO-Approximation der Quinte ist übrigens dieselbe wie in 5-EDO, und das gilt ebenso für die Quinten in [[10-EDO]], [[20-EDO]], [[25-EDO]] und 30-EDO (wobei letzteres über zwei unterschiedliche, jedoch gleich schlechte Quinten verfügt). Das kleinste durch 5 teilbare gleichstufige Tonsystem mit einer besseren Quinte als der von 5-EDO ist erst [[35-EDO]] (und auch dort ist die Approximation der Quinte nicht besonders gut...). Aufeinanderstapeln von 5 Quinten, wie auch von 5 Quarten, führt oktavbereinigt zum Ursprung zurück. Wenn man daher die Saiten einer Gitarre in solchen Quarten stimmt, erhält man eine wie bei 12-EDO von E nach e' gehende, jedoch vollständig regelmässige Gitarrenstimmung.

Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15-EDO eine gewisse Popularität - es verfügt sogar einen [https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament englischsprachigen Wikipedia-Eintrag].  

=Reguläre Temperaturen=
Auf dem Gebiet der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] sticht 15-EDO als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine]]-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala ist und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden - siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .
[[Datei:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3|mini|Porcupine Dur-Skala Lssssss in 15edo]]



Als Mitglied der 5n-EDO-Familie unterstützt 15-EDO ausserdem die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. Es bietet als kleinstes EDO eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala an.

[ToDo Klangbeispiele]

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[[EDO|Übersicht EDO]]
=Definition, elementare Eigenschaften=
'''15-EDO''', das [[Tonsystem]] der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit]]s, wie die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15-EDO auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12-EDO. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 hingegen ist mit 720 Cent geradezu extrem hoch - noch als Quinte erkennbar, aber für Verwendung im traditionellen Sinn eher ungeeignet (was auch daran liegt, dass sie höher ist als die reine Quinte, womit 15-EDO die [[mitteltönig]]e Temperatur nicht unterstützt).

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15-EDO als Teilmengen [[3-EDO]] (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5-EDO]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Die 15-EDO-Approximation der Quinte ist übrigens dieselbe wie in 5-EDO, und das gilt ebenso für die Quinten in [[10-EDO]], [[20-EDO]], [[25-EDO]] und 30-EDO (wobei letzteres über zwei unterschiedliche, jedoch gleich schlechte Quinten verfügt). Das kleinste durch 5 teilbare gleichstufige Tonsystem mit einer besseren Quinte als der von 5-EDO ist erst [[35-EDO]] (und auch dort ist die Approximation der Quinte nicht besonders gut...). Aufeinanderstapeln von 5 Quinten, wie auch von 5 Quarten, führt oktavbereinigt zum Ursprung zurück. Wenn man daher die Saiten einer Gitarre in solchen Quarten stimmt, erhält man eine wie bei 12-EDO von E nach e' gehende, jedoch vollständig regelmässige Gitarrenstimmung.

Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15-EDO eine gewisse Popularität - es verfügt sogar einen [https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament englischsprachigen Wikipedia-Eintrag].  

=Reguläre Temperaturen=
Auf dem Gebiet der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] sticht 15-EDO als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine]]-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala ist und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden - siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .

[[Datei:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3|mini|Porcupine Dur-Skala Lssssss in 15edo]]

Als Mitglied der 5n-EDO-Familie unterstützt 15-EDO ausserdem die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. Es bietet als kleinstes EDO eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala an.

[ToDo Klangbeispiele]

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[[EDO|Übersicht EDO]]
=Definition, elementare Eigenschaften=
'''15-EDO''', das [[Tonsystem]] der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit]]s, wie die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15-EDO auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12-EDO. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 hingegen ist mit 720 Cent geradezu extrem hoch - noch als Quinte erkennbar, aber für Verwendung im traditionellen Sinn eher ungeeignet (was auch daran liegt, dass sie höher ist als die reine Quinte, womit 15-EDO die [[mitteltönig]]e Temperatur nicht unterstützt).

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15-EDO als Teilmengen [[3-EDO]] (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5-EDO]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Die 15-EDO-Approximation der Quinte ist übrigens dieselbe wie in 5-EDO, und das gilt ebenso für die Quinten in [[10-EDO]], [[20-EDO]], [[25-EDO]] und 30-EDO (wobei letzteres über zwei unterschiedliche, jedoch gleich schlechte Quinten verfügt). Das kleinste durch 5 teilbare gleichstufige Tonsystem mit einer besseren Quinte als der von 5-EDO ist erst [[35-EDO]] (und auch dort ist die Approximation der Quinte nicht besonders gut...). Aufeinanderstapeln von 5 Quinten, wie auch von 5 Quarten, führt oktavbereinigt zum Ursprung zurück. Wenn man daher die Saiten einer Gitarre in solchen Quarten stimmt, erhält man eine wie bei 12-EDO von E nach e' gehende, jedoch vollständig regelmässige Gitarrenstimmung.

Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15-EDO eine gewisse Popularität - es verfügt sogar einen [https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament englischsprachigen Wikipedia-Eintrag].  

=Reguläre Temperaturen=
Auf dem Gebiet der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] sticht 15-EDO als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine]]-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala ist und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden - siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .

[[File:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]] [[:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3|PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 15-EDO-Stimmung


Als Mitglied der 5n-EDO-Familie unterstützt 15-EDO ausserdem die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. Es bietet als kleinstes EDO eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala an.

[ToDo Klangbeispiel]

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[[EDO|Übersicht EDO]]
=Definition, elementare Eigenschaften=
'''15-EDO''', das [[Tonsystem]] der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit]]s, wie die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15-EDO auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12-EDO. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 hingegen ist mit 720 Cent geradezu extrem hoch - noch als Quinte erkennbar, aber für Verwendung im traditionellen Sinn eher ungeeignet (was auch daran liegt, dass sie höher ist als die reine Quinte, womit 15-EDO die [[mitteltönig]]e Temperatur nicht unterstützt).

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15-EDO als Teilmengen [[3-EDO]] (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5-EDO]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Die 15-EDO-Approximation der Quinte ist übrigens dieselbe wie in 5-EDO, und das gilt ebenso für die Quinten in [[10-EDO]], [[20-EDO]], [[25-EDO]] und 30-EDO (wobei letzteres über zwei unterschiedliche, jedoch gleich schlechte Quinten verfügt). Das kleinste durch 5 teilbare gleichstufige Tonsystem mit einer besseren Quinte als der von 5-EDO ist erst [[35-EDO]] (und auch dort ist die Approximation der Quinte nicht besonders gut...). Aufeinanderstapeln von 5 Quinten, wie auch von 5 Quarten, führt oktavbereinigt zum Ursprung zurück. Wenn man daher die Saiten einer Gitarre in solchen Quarten stimmt, erhält man eine wie bei 12-EDO von E nach e' gehende, jedoch vollständig regelmässige Gitarrenstimmung.

Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15-EDO eine gewisse Popularität - es verfügt sogar einen [https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament englischsprachigen Wikipedia-Eintrag].  

=Reguläre Temperaturen=
Auf dem Gebiet der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] sticht 15-EDO als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine]]-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala ist und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden - siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .

[[File:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]] [[:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3|PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 15-EDO-Stimmung


Als Mitglied der 5n-EDO-Familie unterstützt 15-EDO ausserdem die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. Es bietet als kleinstes EDO eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala an.
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[[EDO|Übersicht EDO]]
=Definition, elementare Eigenschaften=
'''15-EDO''', das [[Tonsystem]] der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit]]s, wie die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15-EDO auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12-EDO. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 hingegen ist mit 720 Cent geradezu extrem hoch - noch als Quinte erkennbar, aber für Verwendung im traditionellen Sinn eher ungeeignet (was auch daran liegt, dass sie höher ist als die reine Quinte, womit 15-EDO die [[mitteltönig]]e Temperatur nicht unterstützt).

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15-EDO als Teilmengen [[3-EDO]] (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5-EDO]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Die 15-EDO-Approximation der Quinte ist übrigens dieselbe wie in 5-EDO, und das gilt ebenso für die Quinten in [[10-EDO]], [[20-EDO]], [[25-EDO]] und 30-EDO (wobei letzteres über zwei unterschiedliche, jedoch gleich schlechte Quinten verfügt). Das kleinste durch 5 teilbare gleichstufige Tonsystem mit einer besseren Quinte als der von 5-EDO ist erst [[35-EDO]] (und auch dort ist die Approximation der Quinte nicht besonders gut...). Aufeinanderstapeln von 5 Quinten, wie auch von 5 Quarten, führt oktavbereinigt zum Ursprung zurück. Wenn man daher die Saiten einer Gitarre in solchen Quarten stimmt, erhält man eine wie bei 12-EDO von E nach e' gehende, jedoch vollständig regelmässige Gitarrenstimmung.

Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15-EDO eine gewisse Popularität - es verfügt sogar einen [https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament englischsprachigen Wikipedia-Eintrag].  

=Reguläre Temperaturen=
Auf dem Gebiet der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] sticht 15-EDO als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine]]-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala ist und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden - siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .

[[File:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]] [[:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3|PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 15-EDO-Stimmung


Als Mitglied der 5n-EDO-Familie unterstützt 15-EDO ausserdem die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. Es bietet als kleinstes EDO eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala an.

[[File:BlackwoodMajor 15edo.mp3]] [[:BlackwoodMajor 15edo.mp3|BlackwoodMajor 15edo.mp3]]

Blackwood-Dur-Skala in 15-EDO-Stimmung

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[[EDO|Übersicht EDO]]
=Definition, elementare Eigenschaften=
'''15-EDO''', das [[Tonsystem]] der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit]]s, wie die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15-EDO auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12-EDO. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 hingegen ist mit 720 Cent geradezu extrem hoch - noch als Quinte erkennbar, aber für Verwendung im traditionellen Sinn eher ungeeignet (was auch daran liegt, dass sie höher ist als die reine Quinte, womit 15-EDO die [[mitteltönig]]e Temperatur nicht unterstützt).

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15-EDO als Teilmengen [[3-EDO]] (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5-EDO]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Die 15-EDO-Approximation der Quinte ist übrigens dieselbe wie in 5-EDO, und das gilt ebenso für die Quinten in [[10-EDO]], [[20-EDO]], [[25-EDO]] und 30-EDO (wobei letzteres über zwei unterschiedliche, jedoch gleich schlechte Quinten verfügt). Das kleinste durch 5 teilbare gleichstufige Tonsystem mit einer besseren Quinte als der von 5-EDO ist erst [[35-EDO]] (und auch dort ist die Approximation der Quinte nicht besonders gut...). Aufeinanderstapeln von 5 Quinten, wie auch von 5 Quarten, führt oktavbereinigt zum Ursprung zurück. Wenn man daher die Saiten einer Gitarre in solchen Quarten stimmt, erhält man eine wie bei 12-EDO von E nach e' gehende, jedoch vollständig regelmässige Gitarrenstimmung.

Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15-EDO eine gewisse Popularität - es verfügt sogar einen [https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament englischsprachigen Wikipedia-Eintrag].  

=Reguläre Temperaturen=
Auf dem Gebiet der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] sticht 15-EDO als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine]]-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala ist und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden - siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .

[[File:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]] [[:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3|PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 15-EDO-Stimmung


Als Mitglied der [[5n-EDO]]-Familie unterstützt 15-EDO ausserdem die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. Es bietet als kleinstes EDO eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala an.

[[File:BlackwoodMajor 15edo.mp3]] [[:BlackwoodMajor 15edo.mp3|BlackwoodMajor 15edo.mp3]]

Blackwood-Dur-Skala in 15-EDO-Stimmung

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[[EDO|Übersicht EDO]]
=Definition, elementare Eigenschaften=
'''15-EDO''', das [[Tonsystem]] der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt als Mitglied der [[5n-EDO]]-Stimmungsfamilie über deren eher schlechte, rund 18 [[Cent]] zu hohe Approximation der reinen Quinte 3/2, dagegen über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit]]s, wie die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15-EDO auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12-EDO.

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15-EDO als Teilmengen [[3-EDO]] (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5-EDO]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15-EDO eine gewisse Popularität - es verfügt sogar einen [https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament englischsprachigen Wikipedia-Eintrag].

=Reguläre Temperaturen=
Auf dem Gebiet der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] sticht 15-EDO als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine]]-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala ist und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden - siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .

[[File:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]] [[:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3|PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 15-EDO-Stimmung


Als Mitglied der [[5n-EDO]]-Familie unterstützt 15-EDO ausserdem die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. Es bietet als kleinstes EDO eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala an.

[[File:BlackwoodMajor 15edo.mp3]] [[:BlackwoodMajor 15edo.mp3|BlackwoodMajor 15edo.mp3]]

Blackwood-Dur-Skala in 15-EDO-Stimmung

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[[EDO|Übersicht EDO]]
=Definition, elementare Eigenschaften=
'''15-EDO''', das [[Tonsystem]] der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt als Mitglied der [[5n-EDO]]-Stimmungsfamilie über deren eher schlechte, rund 18 [[Cent]] zu hohe Approximation der reinen Quinte 3/2, dagegen über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit]]s, wie die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15-EDO auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12-EDO.

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15-EDO als Teilmengen [[3-EDO]] (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5-EDO]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15-EDO eine gewisse Popularität - es verfügt sogar einen [https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament englischsprachigen Wikipedia-Eintrag].

=Reguläre Temperaturen=
Auf dem Gebiet der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] unterstützt 15-EDO, wieder als Mitglied der [[5n-EDO]]-Familie, prominent die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. Es bietet als kleinstes EDO eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala an.

[[File:BlackwoodMajor 15edo.mp3]] [[:BlackwoodMajor 15edo.mp3|BlackwoodMajor 15edo.mp3]]

Blackwood-Dur-Skala in 15-EDO-Stimmung

Ferner sticht 15-EDO als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine]]-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen Porcupine-[[MOS-Skala]] genau eine achttönige Porcupine-MOS-Skala ist und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden - siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .

[[File:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]] [[:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3|PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 15-EDO-Stimmung

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[[EDO|Übersicht EDO]]
=Definition, elementare Eigenschaften=
'''15-EDO''', das [[Tonsystem]] der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt als Mitglied der [[5n-EDO]]-Stimmungsfamilie über deren eher schlechte, rund 18 [[Cent]] zu hohe Approximation der reinen Quinte 3/2, dagegen über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit]]s, wie die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15-EDO auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12-EDO.

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15-EDO als Teilmengen [[3-EDO]] (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5-EDO]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15-EDO eine gewisse Popularität, nicht zuletzt, wie generell [[5n-EDO]]-Stimmungen, in der Gitarrenmusik (siehe [[5n-EDO]] für Details). Es verfügt sogar einen [https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament englischsprachigen Wikipedia-Eintrag].

=Reguläre Temperaturen=
Auf dem Gebiet der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] unterstützt 15-EDO, wieder als Mitglied der [[5n-EDO]]-Familie, prominent die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. Es bietet als kleinstes EDO eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala an.

[[File:BlackwoodMajor 15edo.mp3]] [[:BlackwoodMajor 15edo.mp3|BlackwoodMajor 15edo.mp3]]

Blackwood-Dur-Skala in 15-EDO-Stimmung

Ferner sticht 15-EDO als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine]]-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen Porcupine-[[MOS-Skala]] genau eine achttönige Porcupine-MOS-Skala ist und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden - siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .

[[File:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]] [[:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3|PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 15-EDO-Stimmung

[[Kategorie:EDO]]</text>
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[[EDO|Übersicht EDO]]

[[5n-EDO|Übersicht gleichstufige Tonsysteme mit Vielfachen von 5]]
=Definition, elementare Eigenschaften=
'''15-EDO''', das [[Tonsystem]] der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt als Mitglied der [[5n-EDO]]-Stimmungsfamilie über deren eher schlechte, rund 18 [[Cent]] zu hohe Approximation der reinen Quinte 3/2, dagegen über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit]]s, wie die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15-EDO auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12-EDO.

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15-EDO als Teilmengen [[3-EDO]] (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5-EDO]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15-EDO eine gewisse Popularität, nicht zuletzt, wie generell [[5n-EDO]]-Stimmungen, in der Gitarrenmusik (siehe [[5n-EDO]] für Details). Es verfügt sogar einen [https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament englischsprachigen Wikipedia-Eintrag].

=Reguläre Temperaturen=
Auf dem Gebiet der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] unterstützt 15-EDO, wieder als Mitglied der [[5n-EDO]]-Familie, prominent die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. Es bietet als kleinstes EDO eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala an.

[[File:BlackwoodMajor 15edo.mp3]] [[:BlackwoodMajor 15edo.mp3|BlackwoodMajor 15edo.mp3]]

Blackwood-Dur-Skala in 15-EDO-Stimmung

Ferner sticht 15-EDO als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine]]-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen Porcupine-[[MOS-Skala]] genau eine achttönige Porcupine-MOS-Skala ist und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden - siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .

[[File:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]] [[:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3|PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 15-EDO-Stimmung

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[[EDO|Übersicht EDO]]

[[5n-EDO|Übersicht gleichstufige Tonsysteme mit Vielfachen von 5]]
=Definition, elementare Eigenschaften=
'''15-EDO''', das [[Tonsystem]] der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt als Mitglied der [[5n-EDO]]-Stimmungsfamilie über deren eher schlechte, rund 18 [[Cent]] zu hohe Approximation der reinen Quinte 3/2, dagegen über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit]]s, wie die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15-EDO auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12-EDO.

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15-EDO als Teilmengen [[3-EDO]] (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5-EDO]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15-EDO eine gewisse Popularität, nicht zuletzt, wie generell [[5n-EDO]]-Stimmungen, in der Gitarrenmusik (siehe [[5n-EDO]] für Details). Es gibt sogar einen [https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament englischsprachigen Wikipedia-Eintrag] dazu.

=Reguläre Temperaturen=
Auf dem Gebiet der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] unterstützt 15-EDO, wieder als Mitglied der [[5n-EDO]]-Familie, prominent die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. Es bietet als kleinstes EDO eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala an.

[[File:BlackwoodMajor 15edo.mp3]] [[:BlackwoodMajor 15edo.mp3|BlackwoodMajor 15edo.mp3]]

Blackwood-Dur-Skala in 15-EDO-Stimmung

Ferner sticht 15-EDO als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine]]-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen Porcupine-[[MOS-Skala]] genau eine achttönige Porcupine-MOS-Skala ist und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden - siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .

[[File:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]] [[:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3|PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 15-EDO-Stimmung

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[[EDO|Übersicht EDO]]

[[5n-EDO|Übersicht gleichstufige Tonsysteme mit Vielfachen von 5]]
=Definition, elementare Eigenschaften=
'''15-EDO''', das [[Tonsystem]] der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt als Mitglied der [[5n-EDO]]-Stimmungsfamilie über deren eher schlechte, rund 18 [[Cent]] zu hohe Approximation der reinen Quinte 3/2, dagegen über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit]]s, wie die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15-EDO auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12-EDO.

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15-EDO als Teilmengen [[3-EDO]] (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5-EDO]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15-EDO eine gewisse Popularität, nicht zuletzt, wie generell [[5n-EDO]]-Stimmungen, in der Gitarrenmusik (siehe [[5n-EDO]] für Details). Es gibt sogar einen [https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament englischsprachigen Wikipedia-Eintrag] dazu.

=Reguläre Temperaturen=
Auf dem Gebiet der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] unterstützt 15-EDO, wieder als Mitglied der [[5n-EDO]]-Familie, prominent die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. Es bietet als kleinstes EDO eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala an.


Blackwood-Dur-Skala in 15-EDO-Stimmung

Ferner sticht 15-EDO als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine]]-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen Porcupine-[[MOS-Skala]] genau eine achttönige Porcupine-MOS-Skala ist und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden - siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .

[[File:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]] [[:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3|PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 15-EDO-Stimmung

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[[EDO|Übersicht EDO]]

[[5n-EDO|Übersicht gleichstufige Tonsysteme mit Vielfachen von 5]]
=Definition, elementare Eigenschaften=
'''15-EDO''', das [[Tonsystem]] der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt als Mitglied der [[5n-EDO]]-Stimmungsfamilie über deren eher schlechte, rund 18 [[Cent]] zu hohe Approximation der reinen Quinte 3/2, dagegen über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit]]s, wie die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15-EDO auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12-EDO.

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15-EDO als Teilmengen [[3-EDO]] (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5-EDO]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15-EDO eine gewisse Popularität, nicht zuletzt, wie generell [[5n-EDO]]-Stimmungen, in der Gitarrenmusik (siehe [[5n-EDO]] für Details). Es gibt sogar einen [https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament englischsprachigen Wikipedia-Eintrag] dazu.

=Reguläre Temperaturen=
Auf dem Gebiet der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] unterstützt 15-EDO, wieder als Mitglied der [[5n-EDO]]-Familie, prominent die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. Es bietet als kleinstes EDO eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala an.

[[File:BlackwoodMajor 15edo.mp3]] [[:BlackwoodMajor 15edo.mp3|BlackwoodMajor 15edo.mp3]]

Blackwood-Dur-Skala in 15-EDO-Stimmung

Ferner sticht 15-EDO als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine]]-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen Porcupine-[[MOS-Skala]] genau eine achttönige Porcupine-MOS-Skala ist und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden - siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .

[[File:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]] [[:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3|PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 15-EDO-Stimmung

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[[EDO|Übersicht EDO]]

[[5n-EDO|Übersicht gleichstufige Tonsysteme mit Vielfachen von 5]]
=Definition, elementare Eigenschaften=
'''15-EDO''', das [[Tonsystem]] der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt als Mitglied der [[5n-EDO]]-Stimmungsfamilie über deren eher schlechte, rund 18 [[Cent]] zu hohe Approximation der reinen Quinte 3/2, dagegen über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit]]s, wie die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15-EDO auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12-EDO.

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15-EDO als Teilmengen [[3-EDO]] (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5-EDO]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15-EDO eine gewisse Popularität, nicht zuletzt, wie generell [[5n-EDO]]-Stimmungen, in der Gitarrenmusik (siehe [[5n-EDO]] für Details). Es gibt sogar einen [https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament englischsprachigen Wikipedia-Eintrag] dazu.

=Reguläre Temperaturen=
Auf dem Gebiet der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] unterstützt 15-EDO, wieder als Mitglied der [[5n-EDO]]-Familie, prominent die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. Es bietet als kleinstes EDO eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala an.

[[File:BlackwoodMajor_15edo.mp3]] [[:BlackwoodMajor_15edo.mp3|BlackwoodMajor_15edo.mp3]]

Blackwood-Dur-Skala in 15-EDO-Stimmung

Ferner sticht 15-EDO als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine]]-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen Porcupine-[[MOS-Skala]] genau eine achttönige Porcupine-MOS-Skala ist und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden - siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .

[[File:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]] [[:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3|PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 15-EDO-Stimmung

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[[EDO|Übersicht EDO]]

[[5n-EDO|Übersicht gleichstufige Tonsysteme mit Vielfachen von 5]]
=Definition, elementare Eigenschaften=
'''15-EDO''', das [[Tonsystem]] der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt als Mitglied der [[5n-EDO]]-Stimmungsfamilie über deren eher schlechte, rund 18 [[Cent]] zu hohe Approximation der reinen Quinte 3/2, dagegen über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit]]s, wie die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15-EDO auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12-EDO.

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15-EDO als Teilmengen [[3-EDO]] (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5-EDO]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15-EDO eine gewisse Popularität, nicht zuletzt, wie generell [[5n-EDO]]-Stimmungen, in der Gitarrenmusik (siehe [[5n-EDO]] für Details). Es gibt sogar einen [https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament englischsprachigen Wikipedia-Eintrag] dazu.

=Reguläre Temperaturen=
==Blackwood==
Auf dem Gebiet der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] unterstützt 15-EDO, wieder als Mitglied der [[5n-EDO]]-Familie, prominent die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. Es bietet als kleinstes EDO eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala an.

[[File:BlackwoodMajor_15edo.mp3]]
Blackwood-Dur-Skala in 15-EDO-Stimmung
==Porcupine==
Ferner sticht 15-EDO als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine]]-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen Porcupine-[[MOS-Skala]] genau eine achttönige Porcupine-MOS-Skala ist und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden - siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .

[[File:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 15-EDO-Stimmung

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[[EDO|Übersicht EDO]]

[[5n-EDO|Übersicht gleichstufige Tonsysteme mit Vielfachen von 5]]
=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
'''15-EDO''', das [[Tonsystem]] der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt als Mitglied der [[5n-EDO]]-Stimmungsfamilie über deren eher schlechte, rund 18 [[Cent]] zu hohe Approximation der reinen Quinte 3/2, dagegen über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit]]s, wie die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15-EDO auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12-EDO.

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15-EDO als Teilmengen [[3-EDO]] (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5-EDO]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15-EDO eine gewisse Popularität, nicht zuletzt, wie generell [[5n-EDO]]-Stimmungen, in der Gitarrenmusik (siehe [[5n-EDO]] für Details). Es gibt sogar einen [https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament englischsprachigen Wikipedia-Eintrag] dazu.

=Reguläre Temperaturen=
==Blackwood==
Auf dem Gebiet der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] unterstützt 15-EDO, wieder als Mitglied der [[5n-EDO]]-Familie, prominent die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. Es bietet als kleinstes EDO eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala an.

[[File:BlackwoodMajor_15edo.mp3]]
Blackwood-Dur-Skala in 15-EDO-Stimmung
==Porcupine==
Ferner sticht 15-EDO als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine]]-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen Porcupine-[[MOS-Skala]] genau eine achttönige Porcupine-MOS-Skala ist und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden - siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .

[[File:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 15-EDO-Stimmung

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[[EDO|Übersicht EDO]]

[[5n-EDO|Übersicht gleichstufige Tonsysteme mit Vielfachen von 5]]
=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
'''15-EDO''', das [[Tonsystem]] der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt als Mitglied der [[5n-EDO]]-Stimmungsfamilie über deren eher schlechte, rund 18 [[Cent]] zu hohe Approximation der reinen Quinte 3/2, dagegen über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit]]s, wie die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15-EDO auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12-EDO.

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15-EDO als Teilmengen [[3-EDO]] (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5-EDO]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15-EDO eine gewisse Popularität, nicht zuletzt, wie generell [[5n-EDO]]-Stimmungen, in der Gitarrenmusik (siehe [[5n-EDO]] für Details). Es gibt sogar einen [https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament englischsprachigen Wikipedia-Eintrag] dazu.

=Reguläre Temperaturen=
==Blackwood==
Auf dem Gebiet der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] unterstützt 15-EDO, wieder als Mitglied der [[5n-EDO]]-Familie, prominent die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. Es bietet als kleinstes EDO eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala an.

[[File:BlackwoodMajor_15edo.mp3]]
Blackwood-Dur-Skala in 15-EDO-Stimmung
==Porcupine==
Ferner sticht 15-EDO als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine]]-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen Porcupine-[[MOS-Skala]] genau eine achttönige Porcupine-MOS-Skala ist und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden - siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .

[[File:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]]
"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 15-EDO-Stimmung

=Weitere Skalen=
==Nicetone==
Approximation einer [[Durtonleiter|reinen Durtonleiter]] in 15-EDO ergibt eine Skala mit 3 verschiedenen Intervallgrössen (keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] also), vom "Nicetone"-Typ. 15-EDO ist das kleinste gleichstufige Tonsystem, welches eine Nicetone-Skala enthält.

[ToDo Klangbeispiel]

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[[EDO|Übersicht EDO]]

[[5n-EDO|Übersicht gleichstufige Tonsysteme mit Vielfachen von 5]]
=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
'''15-EDO''', das [[Tonsystem]] der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt als Mitglied der [[5n-EDO]]-Stimmungsfamilie über deren eher schlechte, rund 18 [[Cent]] zu hohe Approximation der reinen Quinte 3/2, dagegen über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit]]s, wie die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15-EDO auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12-EDO.

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15-EDO als Teilmengen [[3-EDO]] (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5-EDO]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15-EDO eine gewisse Popularität, nicht zuletzt, wie generell [[5n-EDO]]-Stimmungen, in der Gitarrenmusik (siehe [[5n-EDO]] für Details). Es gibt sogar einen [https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament englischsprachigen Wikipedia-Eintrag] dazu.

=Reguläre Temperaturen=
==Blackwood==
Auf dem Gebiet der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] unterstützt 15-EDO, wieder als Mitglied der [[5n-EDO]]-Familie, prominent die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. Es bietet als kleinstes EDO eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala an.

[[File:BlackwoodMajor_15edo.mp3]]
Blackwood-Dur-Skala in 15-EDO-Stimmung
==Porcupine==
Ferner sticht 15-EDO als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine]]-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen Porcupine-[[MOS-Skala]] genau eine achttönige Porcupine-MOS-Skala ist und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden - siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .

[[File:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]]
"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 15-EDO-Stimmung

=Weitere Skalen=
==Nicetone==
Approximation einer [[Durtonleiter|reinen Durtonleiter]] in 15-EDO ergibt eine Skala mit 3 verschiedenen Intervallgrössen (keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] also), vom "Nicetone"-Typ. 15-EDO ist das kleinste gleichstufige Tonsystem, welches eine Nicetone-Skala enthält.

[[Datei:15edo nicetone.mp3|mini|Nicetone-Durskala (LMsLMLs) in 15-EDO-Stimmung]]

[ToDo Klangbeispiel]

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[[EDO|Übersicht EDO]]

[[5n-EDO|Übersicht gleichstufige Tonsysteme mit Vielfachen von 5]]
=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
'''15-EDO''', das [[Tonsystem]] der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt als Mitglied der [[5n-EDO]]-Stimmungsfamilie über deren eher schlechte, rund 18 [[Cent]] zu hohe Approximation der reinen Quinte 3/2, dagegen über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit]]s, wie die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15-EDO auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12-EDO.

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15-EDO als Teilmengen [[3-EDO]] (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5-EDO]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15-EDO eine gewisse Popularität, nicht zuletzt, wie generell [[5n-EDO]]-Stimmungen, in der Gitarrenmusik (siehe [[5n-EDO]] für Details). Es gibt sogar einen [https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament englischsprachigen Wikipedia-Eintrag] dazu.

=Reguläre Temperaturen=
==Blackwood==
Auf dem Gebiet der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] unterstützt 15-EDO, wieder als Mitglied der [[5n-EDO]]-Familie, prominent die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. Es bietet als kleinstes EDO eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala an.

[[File:BlackwoodMajor_15edo.mp3]]
Blackwood-Dur-Skala in 15-EDO-Stimmung
==Porcupine==
Ferner sticht 15-EDO als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine]]-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen Porcupine-[[MOS-Skala]] genau eine achttönige Porcupine-MOS-Skala ist und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden - siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .

[[File:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]]
"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 15-EDO-Stimmung

=Weitere Skalen=
==Nicetone==
Approximation einer [[Durtonleiter|reinen Durtonleiter]] in 15-EDO ergibt eine Skala mit 3 verschiedenen Intervallgrössen (keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] also), vom "Nicetone"-Typ. 15-EDO ist das kleinste gleichstufige Tonsystem, welches eine Nicetone-Skala enthält.

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[[EDO|Übersicht EDO]]

[[5n-EDO|Übersicht gleichstufige Tonsysteme mit Vielfachen von 5]]
=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
'''15-EDO''', das [[Tonsystem]] der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt als Mitglied der [[5n-EDO]]-Stimmungsfamilie über deren eher schlechte, rund 18 [[Cent]] zu hohe Approximation der reinen Quinte 3/2, dagegen über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit]]s, wie die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15-EDO auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12-EDO.

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15-EDO als Teilmengen [[3-EDO]] (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5-EDO]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15-EDO eine gewisse Popularität, nicht zuletzt, wie generell [[5n-EDO]]-Stimmungen, in der Gitarrenmusik (siehe [[5n-EDO]] für Details). Es gibt sogar einen [https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament englischsprachigen Wikipedia-Eintrag] dazu.

=Reguläre Temperaturen=
==Blackwood==
Auf dem Gebiet der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] unterstützt 15-EDO, wieder als Mitglied der [[5n-EDO]]-Familie, prominent die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. Es bietet als kleinstes EDO eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala an.

[[File:BlackwoodMajor_15edo.mp3]]
Blackwood-Dur-Skala in 15-EDO-Stimmung
==Porcupine==
Ferner sticht 15-EDO als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine]]-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen Porcupine-[[MOS-Skala]] genau eine achttönige Porcupine-MOS-Skala ist und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden - siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .

[[File:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]]
"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 15-EDO-Stimmung

=Weitere Skalen=
==Nicetone==
Approximation einer [[Durtonleiter|reinen Durtonleiter]] in 15-EDO ergibt eine Skala mit 3 verschiedenen Intervallgrössen (keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] also), vom "Nicetone"-Typ. 15-EDO ist das kleinste gleichstufige Tonsystem, welches eine Nicetone-Skala enthält.

[[Datei:15edo nicetone.mp3|Nicetone-Durskala (LMsLMLs) in 15-EDO-Stimmung]]

Nicetone-Durskala (LMsLMLs) in 15-EDO-Stimmung

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[[EDO|Übersicht EDO]]

[[5n-EDO|Übersicht gleichstufige Tonsysteme mit Vielfachen von 5]]
=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
'''15-EDO''', das [[Tonsystem]] der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt als Mitglied der [[5n-EDO]]-Stimmungsfamilie über deren eher schlechte, rund 18 [[Cent]] zu hohe Approximation der reinen Quinte 3/2, dagegen über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit]]s, wie die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15-EDO auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12-EDO.

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15-EDO als Teilmengen [[3-EDO]] (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5-EDO]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15-EDO eine gewisse Popularität, nicht zuletzt, wie generell [[5n-EDO]]-Stimmungen, in der Gitarrenmusik (siehe [[5n-EDO]] für Details). Es gibt sogar einen [https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament englischsprachigen Wikipedia-Eintrag] dazu.

=Reguläre Temperaturen=
==Blackwood==
Auf dem Gebiet der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] unterstützt 15-EDO, wieder als Mitglied der [[5n-EDO]]-Familie, prominent die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. Es bietet als kleinstes EDO eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala an.

[[File:BlackwoodMajor_15edo.mp3]]
Blackwood-Dur-Skala in 15-EDO-Stimmung
==Porcupine==
Ferner sticht 15-EDO als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine]]-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen Porcupine-[[MOS-Skala]] genau eine achttönige Porcupine-MOS-Skala ist und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden - siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .

[[File:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]]
"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 15-EDO-Stimmung

=Weitere Skalen=
==Nicetone==
Approximation einer [[Durtonleiter|reinen Durtonleiter]] in 15-EDO ergibt eine Skala mit 3 verschiedenen Intervallgrössen (keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] also), vom "Nicetone"-Typ. 15-EDO ist das kleinste gleichstufige Tonsystem, welches eine Nicetone-Skala enthält.

[[Datei:15edo nicetone.mp3|Nicetone-Durskala (LMsLMLs) in 15-EDO-Stimmung]]
Nicetone-Durskala (LMsLMLs) in 15-EDO-Stimmung

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[[EDO|Übersicht EDO]]

[[5n-EDO|Übersicht gleichstufige Tonsysteme mit Vielfachen von 5]]
=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
'''15-EDO''', das [[Tonsystem]] der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt als Mitglied der [[5n-EDO]]-Stimmungsfamilie über deren eher schlechte, rund 18 [[Cent]] zu hohe Approximation der reinen Quinte 3/2, dagegen über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit]]s, wie die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15-EDO auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12-EDO.

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15-EDO als Teilmengen [[3-EDO]] (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5-EDO]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15-EDO eine gewisse Popularität, nicht zuletzt, wie generell [[5n-EDO]]-Stimmungen, in der Gitarrenmusik (siehe [[5n-EDO]] für Details). Es gibt sogar einen [https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament englischsprachigen Wikipedia-Eintrag] dazu.

=Reguläre Temperaturen=
==Blackwood==
Auf dem Gebiet der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] unterstützt 15-EDO, wieder als Mitglied der [[5n-EDO]]-Familie, prominent die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. Es bietet als kleinstes EDO eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala an.

[[File:BlackwoodMajor_15edo.mp3]]
Blackwood-Dur-Skala in 15-EDO-Stimmung
==Porcupine==
Ferner sticht 15-EDO als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine]]-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen Porcupine-[[MOS-Skala]] genau eine achttönige Porcupine-MOS-Skala ist und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden - siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .

[[File:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]]
"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 15-EDO-Stimmung

=Weitere Skalen=
==Nicetone==
Approximation einer [[Durtonleiter|reinen Durtonleiter]] in 15-EDO ergibt eine Skala mit 3 verschiedenen Intervallgrössen (keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] also), vom [[Durtonleiter#Eigenschaften,_"Nicetone"|Nicetone]]-Typ. 15-EDO ist das kleinste gleichstufige Tonsystem, welches eine Nicetone-Skala enthält.

[[Datei:15edo nicetone.mp3|Nicetone-Durskala (LMsLMLs) in 15-EDO-Stimmung]]
Nicetone-Durskala (LMsLMLs) in 15-EDO-Stimmung

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[[EDO|Übersicht EDO]]

[[5n-EDO|Übersicht gleichstufige Tonsysteme mit Vielfachen von 5]]
=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
'''15-EDO''', das [[Tonsystem]] der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt als Mitglied der [[5n-EDO]]-Stimmungsfamilie über deren eher schlechte, rund 18 [[Cent]] zu hohe Approximation der reinen Quinte 3/2, dagegen über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit]]s, wie die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15-EDO auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12-EDO.

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15-EDO als Teilmengen [[3-EDO]] (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5-EDO]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15-EDO eine gewisse Popularität, nicht zuletzt, wie generell [[5n-EDO]]-Stimmungen, in der Gitarrenmusik (siehe [[5n-EDO]] für Details). Es gibt sogar einen [https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament englischsprachigen Wikipedia-Eintrag] dazu.

=Reguläre Temperaturen=
==Blackwood==
Auf dem Gebiet der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] unterstützt 15-EDO, wieder als Mitglied der [[5n-EDO]]-Familie, prominent die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. Es bietet als kleinstes EDO eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala an.

[[File:BlackwoodMajor_15edo.mp3]]
Blackwood-Dur-Skala in 15-EDO-Stimmung
==Porcupine==
Ferner sticht 15-EDO als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine]]-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen Porcupine-[[MOS-Skala]] genau eine achttönige Porcupine-MOS-Skala ist und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden - siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .

[[File:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]]
"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 15-EDO-Stimmung

=Weitere Skalen=
==Nicetone==
Approximation einer [[Durtonleiter|reinen Durtonleiter]] in 15-EDO ergibt eine Skala mit 3 verschiedenen Intervallgrössen - keine [[MOS-Skalen|MOS]]-Skala also, sondern eine [[Durtonleiter#Eigenschaften,_"Nicetone"|Nicetone]]-Skala. 15-EDO ist das kleinste gleichstufige Tonsystem, welches eine Nicetone-Skala enthält.

[[Datei:15edo nicetone.mp3|Nicetone-Durskala (LMsLMLs) in 15-EDO-Stimmung]]
Nicetone-Durskala (LMsLMLs) in 15-EDO-Stimmung

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[[EDO|Übersicht EDO]]

[[5n-EDO|Übersicht gleichstufige Tonsysteme mit Vielfachen von 5]]
=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
'''15-EDO''', das [[Tonsystem]] der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt als Mitglied der [[5n-EDO]]-Stimmungsfamilie über deren eher schlechte, rund 18 [[Cent]] zu hohe Approximation der reinen Quinte 3/2, dagegen über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit]]s, wie die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15-EDO auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12-EDO.

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15-EDO als Teilmengen [[3-EDO]] (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5-EDO]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15-EDO eine gewisse Popularität, nicht zuletzt, wie generell [[5n-EDO]]-Stimmungen, in der Gitarrenmusik (siehe [[5n-EDO]] für Details). Es gibt sogar einen [https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament englischsprachigen Wikipedia-Eintrag] dazu.

=Reguläre Temperaturen=
==Blackwood==
Auf dem Gebiet der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] unterstützt 15-EDO, wieder als Mitglied der [[5n-EDO]]-Familie, prominent die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. Es bietet als kleinstes EDO eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala an.

[[File:BlackwoodMajor_15edo.mp3]]
Blackwood-Dur-Skala in 15-EDO-Stimmung
==Porcupine==
Ferner sticht 15-EDO als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine]]-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen Porcupine-[[MOS-Skala]] genau eine achttönige Porcupine-MOS-Skala ist und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden - siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .

[[File:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]]
"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 15-EDO-Stimmung
==Hanson==
[Todo]

=Weitere Skalen=
==Nicetone==
Approximation einer [[Durtonleiter|reinen Durtonleiter]] in 15-EDO ergibt eine Skala mit 3 verschiedenen Intervallgrössen - keine [[MOS-Skalen|MOS]]-Skala also, sondern eine [[Durtonleiter#Eigenschaften,_"Nicetone"|Nicetone]]-Skala. 15-EDO ist das kleinste gleichstufige Tonsystem, welches eine Nicetone-Skala enthält.

[[Datei:15edo nicetone.mp3|Nicetone-Durskala (LMsLMLs) in 15-EDO-Stimmung]]
Nicetone-Durskala (LMsLMLs) in 15-EDO-Stimmung

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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

[[5n-EDO|Übersicht gleichstufige Tonsysteme mit Vielfachen von 5]]
=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
'''15-EDO''', das [[Tonsystem]] der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt als Mitglied der [[5n-EDO]]-Stimmungsfamilie über deren eher schlechte, rund 18 [[Cent]] zu hohe Approximation der reinen Quinte 3/2, dagegen über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit]]s, wie die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15-EDO auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12-EDO.

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15-EDO als Teilmengen [[3-EDO]] (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5-EDO]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15-EDO eine gewisse Popularität, nicht zuletzt, wie generell [[5n-EDO]]-Stimmungen, in der Gitarrenmusik (siehe [[5n-EDO]] für Details). Es gibt sogar einen [https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament englischsprachigen Wikipedia-Eintrag] dazu.

=Reguläre Temperaturen=
==Blackwood==
Auf dem Gebiet der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] unterstützt 15-EDO, wieder als Mitglied der [[5n-EDO]]-Familie, prominent die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. Es bietet als kleinstes EDO eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala an.

[[File:BlackwoodMajor_15edo.mp3]]
Blackwood-Dur-Skala in 15-EDO-Stimmung
==Porcupine, Nautilus==
Ferner sticht 15-EDO als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine]]-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen Porcupine-[[MOS-Skala]] genau eine achttönige Porcupine-MOS-Skala ist und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden - siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .

[[File:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]]
"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 15-EDO-Stimmung

Der Generator für die Porcupine-Skalen ist zwei 15-EDO-Schritte gross. Halb so gross, also gerade ein Schritt, ist der Generator für [[Nautilus]]. Hier ist 15-EDO allerdings unter melodisch ein Grenzfall - das Übereinanderschichten des Generator-Intervalls produziert einfach nacheinander alle Töne des Tonsystems. Die vierzehntönige MOS-Skala ist fast völlig gleichförmig (sie besteht aus dem ganzen 15-EDO, bei dem ein Ton entfernt wurde).

==Hanson==
[Todo]

=Weitere Skalen=
==Nicetone==
Approximation einer [[Durtonleiter|reinen Durtonleiter]] in 15-EDO ergibt eine Skala mit 3 verschiedenen Intervallgrössen - keine [[MOS-Skalen|MOS]]-Skala also, sondern eine [[Durtonleiter#Eigenschaften,_"Nicetone"|Nicetone]]-Skala. 15-EDO ist das kleinste gleichstufige Tonsystem, welches eine Nicetone-Skala enthält.

[[Datei:15edo nicetone.mp3|Nicetone-Durskala (LMsLMLs) in 15-EDO-Stimmung]]
Nicetone-Durskala (LMsLMLs) in 15-EDO-Stimmung

[[Kategorie:EDO]]</text>
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[[EDO|Übersicht EDO]]

[[5n-EDO|Übersicht gleichstufige Tonsysteme mit Vielfachen von 5]]
=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
'''15-EDO''', das [[Tonsystem]] der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt als Mitglied der [[5n-EDO]]-Stimmungsfamilie über deren eher schlechte, rund 18 [[Cent]] zu hohe Approximation der reinen Quinte 3/2, dagegen über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit]]s, wie die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15-EDO auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12-EDO.

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15-EDO als Teilmengen [[3-EDO]] (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5-EDO]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15-EDO eine gewisse Popularität, nicht zuletzt, wie generell [[5n-EDO]]-Stimmungen, in der Gitarrenmusik (siehe [[5n-EDO]] für Details). Es gibt sogar einen [https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament englischsprachigen Wikipedia-Eintrag] dazu.

=Reguläre Temperaturen=
==Blackwood==
Auf dem Gebiet der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] unterstützt 15-EDO, wieder als Mitglied der [[5n-EDO]]-Familie, prominent die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. Es bietet als kleinstes EDO eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala an.

[[File:BlackwoodMajor_15edo.mp3]]
Blackwood-Dur-Skala in 15-EDO-Stimmung
==Porcupine, Nautilus==
Ferner sticht 15-EDO als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine]]-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen Porcupine-[[MOS-Skala]] genau eine achttönige Porcupine-MOS-Skala ist und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden - siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .

[[File:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]]
"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 15-EDO-Stimmung

Der Generator für die Porcupine-Skalen ist zwei 15-EDO-Schritte gross. Halb so gross, also gerade ein Schritt, ist der Generator für [[Nautilus]]. Hier ist 15-EDO allerdings zunindest melodisch ein Grenzfall - das Übereinanderschichten des Generator-Intervalls produziert einfach nacheinander alle Töne des Tonsystems. Die vierzehntönige MOS-Skala ist fast völlig gleichförmig (sie besteht aus dem ganzen 15-EDO, bei dem ein Ton entfernt wurde).

==Hanson==
[Todo]

=Weitere Skalen=
==Nicetone==
Approximation einer [[Durtonleiter|reinen Durtonleiter]] in 15-EDO ergibt eine Skala mit 3 verschiedenen Intervallgrössen - keine [[MOS-Skalen|MOS]]-Skala also, sondern eine [[Durtonleiter#Eigenschaften,_"Nicetone"|Nicetone]]-Skala. 15-EDO ist das kleinste gleichstufige Tonsystem, welches eine Nicetone-Skala enthält.

[[Datei:15edo nicetone.mp3|Nicetone-Durskala (LMsLMLs) in 15-EDO-Stimmung]]
Nicetone-Durskala (LMsLMLs) in 15-EDO-Stimmung

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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

[[5n-EDO|Übersicht gleichstufige Tonsysteme mit Vielfachen von 5]]
=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
'''15-EDO''', das [[Tonsystem]] der Unterteilung einer Oktave in 15 gleiche Teile, verfügt als Mitglied der [[5n-EDO]]-Stimmungsfamilie über deren eher schlechte, rund 18 [[Cent]] zu hohe Approximation der reinen Quinte 3/2, dagegen über dieselbe, recht gute Approximation der grossen Terz 5/4 wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Reine Intervalle in höheren [[Limit]]s, wie die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], werden von 15-EDO auch recht ordentlich getroffen, teils besser als in 12-EDO.

Aus der Primzahlzerlegung der Zahl 15 ergibt sich, dass 15-EDO als Teilmengen [[3-EDO]] (d.h. einen übermässigen Dreiklang) und [[5-EDO]] enthält - letzteres eine Skala, die eine deutliche Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Skala aufweist und recht gut verwendbar ist.

Als klar xenharmonisches System mit vergleichsweise wenig Tönen hat 15-EDO eine gewisse Popularität, nicht zuletzt, wie generell [[5n-EDO]]-Stimmungen, in der Gitarrenmusik (siehe [[5n-EDO]] für Details). Es gibt sogar einen [https://en.wikipedia.org/wiki/15_equal_temperament englischsprachigen Wikipedia-Eintrag] dazu.

=Reguläre Temperaturen=
==Blackwood==
Auf dem Gebiet der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] unterstützt 15-EDO, wieder als Mitglied der [[5n-EDO]]-Familie, prominent die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. Es bietet als kleinstes EDO eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala an.

[[File:BlackwoodMajor_15edo.mp3]]
Blackwood-Dur-Skala in 15-EDO-Stimmung
==Porcupine, Nautilus==
Ferner sticht 15-EDO als die quasi einfachste gleichstufige Realisierung der [[Porcupine]]-Temperatur hervor. Es gilt die besondere Beziehung, dass das Komplement einer siebentönigen Porcupine-[[MOS-Skala]] genau eine achttönige Porcupine-MOS-Skala ist und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden - siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .

[[File:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]]
"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 15-EDO-Stimmung

Der Generator für die Porcupine-Skalen ist zwei 15-EDO-Schritte gross. Halb so gross, also gerade ein Schritt, ist der Generator für [[Nautilus]]. Hier ist 15-EDO allerdings etwas ein Grenzfall - das Übereinanderschichten des Generator-Intervalls produziert einfach nacheinander alle Töne des Tonsystems. Die vierzehntönige MOS-Skala ist fast völlig gleichförmig (sie besteht aus dem ganzen 15-EDO, bei dem ein Ton entfernt wurde).

==Hanson==
[Todo]

=Weitere Skalen=
==Nicetone==
Approximation einer [[Durtonleiter|reinen Durtonleiter]] in 15-EDO ergibt eine Skala mit 3 verschiedenen Intervallgrössen - keine [[MOS-Skalen|MOS]]-Skala also, sondern eine [[Durtonleiter#Eigenschaften,_"Nicetone"|Nicetone]]-Skala. 15-EDO ist das kleinste gleichstufige Tonsystem, welches eine Nicetone-Skala enthält.

[[Datei:15edo nicetone.mp3|Nicetone-Durskala (LMsLMLs) in 15-EDO-Stimmung]]
Nicetone-Durskala (LMsLMLs) in 15-EDO-Stimmung

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[[edo|Übersicht EDO]]

'''16edo''', das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 16 gleiche Teile, ist eine mögliche Realisierung der [[Mavila|Mavila]]-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12edo|12edo]]. Dies macht 16edo im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systeme wie [[19edo|19edo]] oder [[31edo|31edo]].

Die Approximationen für [[Naturterz|Naturterz]] und [[Naturseptime|Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12edo, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 Cent, einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

16edo hat deshalb eine gewisse Popularität in der xenharmonischen Gemeinde. Siehe etwa:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat.

Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue_armonia englischen Xenharmonic Wiki]].&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16edo gehalten ist.&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Siehe auch Musikbeispiele im [[:en:16edo-Compositions englischen Xenharmonic Wiki]].

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16edo unterstützt, ist die erwähnte [[Mavila|Mavila]] vielleicht die wichtigste. Daneben unterstützt 16edo unter anderem auch die [[Verminderte_Temperaturen|verminderte]] und die [[Magische_Temperaturen|magische]] Temperatur. Weitere Informationen siehe im [[:en:16edo-Rank_two_temperaments englischen Xenharmonic Wiki]].

[todo Musikbeispiele]

=Tastatur-Layouts für 16edo=
16edo lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila|Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16edo herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] oder [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]  [[Category:edo]]</text>
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[[edo|Übersicht EDO]]

**16edo**, das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 16 gleiche Teile, ist eine mögliche Realisierung der [[Mavila]]-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12edo]]. Dies macht 16edo im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systeme wie [[19edo]] oder [[31edo]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12edo, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 Cent, einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

16edo hat deshalb eine gewisse Popularität in der xenharmonischen Gemeinde. Siehe etwa:
* [[http://www.armodue.com|www.armodue.com]] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat.
&amp;gt; Lesenswert ist namentlich [[http://www.armodue.com/armonia.htm|Elementi di base di armonia]], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[xenharmonic/Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [[https://lastsacrament.bandcamp.com/|Last Sacrament]], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [[https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia|Enantiodromia]] gänzlich in 16edo gehalten ist.

Siehe auch Musikbeispiele im [[xenharmonic/16edo#Compositions|englischen Xenharmonic Wiki]].

An [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16edo unterstützt, ist die erwähnte [[Mavila]] vielleicht die wichtigste. Daneben unterstützt 16edo unter anderem auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] und die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur. Weitere Informationen siehe im [[xenharmonic/16edo#Rank%20two%20temperaments|englischen Xenharmonic Wiki]].

[todo Musikbeispiele]

=Tastatur-Layouts für 16edo= 
16edo lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16edo herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:
[[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]] oder [[http://www.armodue.com/istruzioni.htm]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;strong&amp;gt;16edo&amp;lt;/strong&amp;gt;, das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 16 gleiche Teile, ist eine mögliche Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Dies macht 16edo im Charakter um einiges fremdartiger als die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Approximationen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime&amp;lt;/a&amp;gt; andererseits sind deutlich besser als in 12edo, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 Cent, einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
16edo hat deshalb eine gewisse Popularität in der xenharmonischen Gemeinde. Siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.armodue.com" rel="nofollow"&amp;gt;www.armodue.com&amp;lt;/a&amp;gt; - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat.&amp;lt;br /&amp;gt;
Lesenswert ist namentlich &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.armodue.com/armonia.htm" rel="nofollow"&amp;gt;Elementi di base di armonia&amp;lt;/a&amp;gt;, mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Armodue%20armonia"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://lastsacrament.bandcamp.com/" rel="nofollow"&amp;gt;Last Sacrament&amp;lt;/a&amp;gt;, eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia" rel="nofollow"&amp;gt;Enantiodromia&amp;lt;/a&amp;gt; gänzlich in 16edo gehalten ist.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Siehe auch Musikbeispiele im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/16edo#Compositions"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
An &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;, die 16edo unterstützt, ist die erwähnte &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt; vielleicht die wichtigste. Daneben unterstützt 16edo unter anderem auch die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verminderte%20Temperaturen"&amp;gt;verminderte&amp;lt;/a&amp;gt; und die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Magische%20Temperaturen"&amp;gt;magische&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur. Weitere Informationen siehe im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/16edo#Rank%20two%20temperaments"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Tastatur-Layouts für 16edo"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Tastatur-Layouts für 16edo&amp;lt;/h1&amp;gt;
 16edo lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus den Eigenschaften der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16edo herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.armodue.com/istruzioni.htm" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.armodue.com/istruzioni.htm&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-11-26 06:19:15 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[edo|Übersicht EDO]]

**16edo**, das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 16 gleiche Teile, ist eine mögliche Realisierung der [[Mavila]]-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12edo]]. Dies macht 16edo im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systeme wie [[19edo]] oder [[31edo]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12edo, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 Cent, einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

16edo hat deshalb eine gewisse Popularität in der xenharmonischen Gemeinde. Siehe etwa:
* [[http://www.armodue.com|www.armodue.com]] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat.
&amp;gt; Lesenswert ist namentlich [[http://www.armodue.com/armonia.htm|Elementi di base di armonia]], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[xenharmonic/Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [[https://lastsacrament.bandcamp.com/|Last Sacrament]], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [[https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia|Enantiodromia]] gänzlich in 16edo gehalten ist.

Siehe auch Musikbeispiele im [[xenharmonic/16edo#Compositions|englischen Xenharmonic Wiki]].

An [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16edo unterstützt, ist die erwähnte [[Mavila]] vielleicht die wichtigste. Daneben unterstützt 16edo unter anderem auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] und die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur. Weitere Informationen siehe im [[xenharmonic/16edo#Rank%20two%20temperaments|englischen Xenharmonic Wiki]]

=Tastatur-Layouts für 16edo= 
16edo lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16edo herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:
[[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]] oder [[http://www.armodue.com/istruzioni.htm]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;16edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/16edo"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt; - &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/16%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%BE%8B"&amp;gt;日本語&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;Übersicht EDO&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;strong&amp;gt;16edo&amp;lt;/strong&amp;gt;, das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 16 gleiche Teile, ist eine mögliche Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Dies macht 16edo im Charakter um einiges fremdartiger als die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Approximationen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime&amp;lt;/a&amp;gt; andererseits sind deutlich besser als in 12edo, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 Cent, einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
16edo hat deshalb eine gewisse Popularität in der xenharmonischen Gemeinde. Siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.armodue.com" rel="nofollow"&amp;gt;www.armodue.com&amp;lt;/a&amp;gt; - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat.&amp;lt;br /&amp;gt;
Lesenswert ist namentlich &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.armodue.com/armonia.htm" rel="nofollow"&amp;gt;Elementi di base di armonia&amp;lt;/a&amp;gt;, mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Armodue%20armonia"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://lastsacrament.bandcamp.com/" rel="nofollow"&amp;gt;Last Sacrament&amp;lt;/a&amp;gt;, eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia" rel="nofollow"&amp;gt;Enantiodromia&amp;lt;/a&amp;gt; gänzlich in 16edo gehalten ist.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Siehe auch Musikbeispiele im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/16edo#Compositions"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
An &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;, die 16edo unterstützt, ist die erwähnte &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt; vielleicht die wichtigste. Daneben unterstützt 16edo unter anderem auch die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verminderte%20Temperaturen"&amp;gt;verminderte&amp;lt;/a&amp;gt; und die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Magische%20Temperaturen"&amp;gt;magische&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur. Weitere Informationen siehe im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/16edo#Rank%20two%20temperaments"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Tastatur-Layouts für 16edo"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Tastatur-Layouts für 16edo&amp;lt;/h1&amp;gt;
 16edo lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus den Eigenschaften der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16edo herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.armodue.com/istruzioni.htm" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.armodue.com/istruzioni.htm&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[edo|Übersicht EDO]]

**16edo**, das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 16 gleiche Teile, ist eine mögliche Realisierung der [[Mavila]]-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12edo]]. Dies macht 16edo im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systeme wie [[19edo]] oder [[31edo]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12edo, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 Cent, einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

16edo hat deshalb eine gewisse Popularität in der xenharmonischen Gemeinde. Siehe etwa:
* [[http://www.armodue.com|www.armodue.com]] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat.
&amp;gt; Lesenswert ist namentlich [[http://www.armodue.com/armonia.htm|Elementi di base di armonia]], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[xenharmonic/Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [[https://lastsacrament.bandcamp.com/|Last Sacrament]], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [[https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia|Enantiodromia]] gänzlich in 16edo gehalten ist.

Siehe auch Musikbeispiele im [[xenharmonic/16edo#Compositions|englischen Xenharmonic Wiki]].

An [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16edo unterstützt, ist die erwähnte [[Mavila]] vielleicht die wichtigste. Daneben unterstützt 16edo unter anderem auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] und die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur. Weitere Informationen siehe im [[xenharmonic/16edo#Rank%20two%20temperaments|englischen Xenahrmonic Wiki]]

=Tastatur-Layouts für 16edo= 
16edo lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16edo herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:
[[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]] oder [[http://www.armodue.com/istruzioni.htm]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;16edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/16edo"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt; - &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/16%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%BE%8B"&amp;gt;日本語&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Approximationen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime&amp;lt;/a&amp;gt; andererseits sind deutlich besser als in 12edo, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 Cent, einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
16edo hat deshalb eine gewisse Popularität in der xenharmonischen Gemeinde. Siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.armodue.com" rel="nofollow"&amp;gt;www.armodue.com&amp;lt;/a&amp;gt; - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat.&amp;lt;br /&amp;gt;
Lesenswert ist namentlich &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.armodue.com/armonia.htm" rel="nofollow"&amp;gt;Elementi di base di armonia&amp;lt;/a&amp;gt;, mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Armodue%20armonia"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://lastsacrament.bandcamp.com/" rel="nofollow"&amp;gt;Last Sacrament&amp;lt;/a&amp;gt;, eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia" rel="nofollow"&amp;gt;Enantiodromia&amp;lt;/a&amp;gt; gänzlich in 16edo gehalten ist.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Siehe auch Musikbeispiele im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/16edo#Compositions"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
An &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;, die 16edo unterstützt, ist die erwähnte &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt; vielleicht die wichtigste. Daneben unterstützt 16edo unter anderem auch die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verminderte%20Temperaturen"&amp;gt;verminderte&amp;lt;/a&amp;gt; und die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Magische%20Temperaturen"&amp;gt;magische&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur. Weitere Informationen siehe im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/16edo#Rank%20two%20temperaments"&amp;gt;englischen Xenahrmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Tastatur-Layouts für 16edo"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Tastatur-Layouts für 16edo&amp;lt;/h1&amp;gt;
 16edo lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus den Eigenschaften der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16edo herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.armodue.com/istruzioni.htm" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.armodue.com/istruzioni.htm&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-11-14 15:01:59 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[edo|Übersicht EDO]]

**16edo**, das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 16 gleiche Teile, ist eine mögliche Realisierung der [[Mavila]]-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12edo]]. Dies macht 16edo im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systeme wie [[19edo]] oder [[31edo]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12edo, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 Cent, einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

16edo hat deshalb eine gewisse Popularität in der xenharmonischen Gemeinde. Siehe etwa:
* [[http://www.armodue.com|www.armodue.com]] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat.
&amp;gt; Lesenswert ist namentlich [[http://www.armodue.com/armonia.htm|Elementi di base di armonia]], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[xenharmonic/Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [[https://lastsacrament.bandcamp.com/|Last Sacrament]], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [[https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia|Enantiodromia]] gänzlich in 16edo gehalten ist.

Siehe auch Musikbeispiele im [[xenharmonic/16edo#Compositions|englischen Xenharmonic Wiki]].

=Tastatur-Layouts für 16edo= 
16edo lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16edo herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:
[[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]] oder [[http://www.armodue.com/istruzioni.htm]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;Übersicht EDO&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;strong&amp;gt;16edo&amp;lt;/strong&amp;gt;, das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 16 gleiche Teile, ist eine mögliche Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Dies macht 16edo im Charakter um einiges fremdartiger als die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Approximationen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime&amp;lt;/a&amp;gt; andererseits sind deutlich besser als in 12edo, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 Cent, einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
16edo hat deshalb eine gewisse Popularität in der xenharmonischen Gemeinde. Siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.armodue.com" rel="nofollow"&amp;gt;www.armodue.com&amp;lt;/a&amp;gt; - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat.&amp;lt;br /&amp;gt;
Lesenswert ist namentlich &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.armodue.com/armonia.htm" rel="nofollow"&amp;gt;Elementi di base di armonia&amp;lt;/a&amp;gt;, mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Armodue%20armonia"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://lastsacrament.bandcamp.com/" rel="nofollow"&amp;gt;Last Sacrament&amp;lt;/a&amp;gt;, eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia" rel="nofollow"&amp;gt;Enantiodromia&amp;lt;/a&amp;gt; gänzlich in 16edo gehalten ist.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Siehe auch Musikbeispiele im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/16edo#Compositions"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Tastatur-Layouts für 16edo"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Tastatur-Layouts für 16edo&amp;lt;/h1&amp;gt;
 16edo lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus den Eigenschaften der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16edo herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.armodue.com/istruzioni.htm" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.armodue.com/istruzioni.htm&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-11-13 13:26:45 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[edo|Übersicht EDO]]

**16edo**, das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 16 gleiche Teile, ist eine mögliche Realisierung der [[Mavila]]-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12edo]]. Dies macht 16edo im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systeme wie [[19edo]] oder [[31edo]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12edo, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 Cent, einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

16edo hat deshalb eine Reihe Anhänger. Siehe etwa:
* [[http://www.armodue.com|www.armodue.com]] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat.
&amp;gt; Lesenswert ist namentlich [[http://www.armodue.com/armonia.htm|Elementi di base di armonia]], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[xenharmonic/Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [[https://lastsacrament.bandcamp.com/|Last Sacrament]], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [[https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia|Enantiodromia]] gänzlich in 16edo gehalten ist.

Siehe auch Musikbeispiele im [[xenharmonic/16edo#Compositions|englischen Xenharmonic Wiki]].

=Tastatur-Layouts für 16edo= 
16edo lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16edo herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:
[[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]] oder [[http://www.armodue.com/istruzioni.htm]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;16edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/16edo"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt; - &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/16%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%BE%8B"&amp;gt;日本語&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;Übersicht EDO&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;strong&amp;gt;16edo&amp;lt;/strong&amp;gt;, das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 16 gleiche Teile, ist eine mögliche Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Dies macht 16edo im Charakter um einiges fremdartiger als die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Approximationen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime&amp;lt;/a&amp;gt; andererseits sind deutlich besser als in 12edo, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 Cent, einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.&amp;lt;br /&amp;gt;
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16edo hat deshalb eine Reihe Anhänger. Siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.armodue.com" rel="nofollow"&amp;gt;www.armodue.com&amp;lt;/a&amp;gt; - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat.&amp;lt;br /&amp;gt;
Lesenswert ist namentlich &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.armodue.com/armonia.htm" rel="nofollow"&amp;gt;Elementi di base di armonia&amp;lt;/a&amp;gt;, mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Armodue%20armonia"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://lastsacrament.bandcamp.com/" rel="nofollow"&amp;gt;Last Sacrament&amp;lt;/a&amp;gt;, eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia" rel="nofollow"&amp;gt;Enantiodromia&amp;lt;/a&amp;gt; gänzlich in 16edo gehalten ist.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Siehe auch Musikbeispiele im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/16edo#Compositions"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Tastatur-Layouts für 16edo"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Tastatur-Layouts für 16edo&amp;lt;/h1&amp;gt;
 16edo lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Aus den Eigenschaften der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16edo herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.armodue.com/istruzioni.htm" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.armodue.com/istruzioni.htm&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[edo|Übersicht EDO]]

**16edo**, das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 16 gleiche Teile, ist eine mögliche Realisierung der [[Mavila]]-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12edo]]. Dies macht 16edo im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systeme wie [[19edo]] oder [[31edo]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12edo, was andersartige Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt.

16edo hat deshalb eine Reihe Anhänger. Siehe etwa:
* [[http://www.armodue.com|www.armodue.com]] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat.
&amp;gt; Lesenswert ist namentlich [[http://www.armodue.com/armonia.htm|Elementi di base di armonia]], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[xenharmonic/Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [[https://lastsacrament.bandcamp.com/|Last Sacrament]], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [[https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia|Enantiodromia]] gänzlich in 16edo gehalten ist.

Siehe auch Musikbeispiele im [[xenharmonic/16edo#Compositions|englischen Xenharmonic Wiki]].

=Tastatur-Layouts für 16edo= 
16edo lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16edo herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:
[[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]] oder [[http://www.armodue.com/istruzioni.htm]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;16edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/16edo"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt; - &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/16%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%BE%8B"&amp;gt;日本語&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;Übersicht EDO&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;strong&amp;gt;16edo&amp;lt;/strong&amp;gt;, das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 16 gleiche Teile, ist eine mögliche Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Dies macht 16edo im Charakter um einiges fremdartiger als die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Approximationen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime&amp;lt;/a&amp;gt; andererseits sind deutlich besser als in 12edo, was andersartige Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
16edo hat deshalb eine Reihe Anhänger. Siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.armodue.com" rel="nofollow"&amp;gt;www.armodue.com&amp;lt;/a&amp;gt; - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat.&amp;lt;br /&amp;gt;
Lesenswert ist namentlich &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.armodue.com/armonia.htm" rel="nofollow"&amp;gt;Elementi di base di armonia&amp;lt;/a&amp;gt;, mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Armodue%20armonia"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://lastsacrament.bandcamp.com/" rel="nofollow"&amp;gt;Last Sacrament&amp;lt;/a&amp;gt;, eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia" rel="nofollow"&amp;gt;Enantiodromia&amp;lt;/a&amp;gt; gänzlich in 16edo gehalten ist.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Siehe auch Musikbeispiele im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/16edo#Compositions"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Tastatur-Layouts für 16edo"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Tastatur-Layouts für 16edo&amp;lt;/h1&amp;gt;
 16edo lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus den Eigenschaften der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16edo herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.armodue.com/istruzioni.htm" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.armodue.com/istruzioni.htm&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[edo|Übersicht EDO]]

**16edo**, das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 16 gleiche Teile, ist eine mögliche Realisierung der [[Mavila]]-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12edo]]. Dies macht 16edo im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systeme wie [[19edo]] oder [[31edo]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12edo, was andersartige Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt.

16edo hat deshalb eine Reihe Anhänger. Siehe etwa:
* [[http://www.armodue.com|www.armodue.com]] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat.
&amp;gt; Lesenswert ist namentlich [[http://www.armodue.com/armonia.htm|Elementi di base di armonia]], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[xenharmonic/Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [[https://lastsacrament.bandcamp.com/|Last Sacrament]], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [[https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia|Enantiodromia]] gänzlich in 16edo gehalten ist.

Siehe auch Musikbeispiele im [[xenharmonic/16edo#Compositions|englischen Xenharmonic Wiki]].

=Tastatur-Layouts für 16edo= 
16edo lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein soclhes globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16edo herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:
[[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]] oder [[http://www.armodue.com/istruzioni.htm]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;Übersicht EDO&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;strong&amp;gt;16edo&amp;lt;/strong&amp;gt;, das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 16 gleiche Teile, ist eine mögliche Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Dies macht 16edo im Charakter um einiges fremdartiger als die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Approximationen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime&amp;lt;/a&amp;gt; andererseits sind deutlich besser als in 12edo, was andersartige Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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16edo hat deshalb eine Reihe Anhänger. Siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.armodue.com" rel="nofollow"&amp;gt;www.armodue.com&amp;lt;/a&amp;gt; - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat.&amp;lt;br /&amp;gt;
Lesenswert ist namentlich &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.armodue.com/armonia.htm" rel="nofollow"&amp;gt;Elementi di base di armonia&amp;lt;/a&amp;gt;, mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Armodue%20armonia"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://lastsacrament.bandcamp.com/" rel="nofollow"&amp;gt;Last Sacrament&amp;lt;/a&amp;gt;, eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia" rel="nofollow"&amp;gt;Enantiodromia&amp;lt;/a&amp;gt; gänzlich in 16edo gehalten ist.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Siehe auch Musikbeispiele im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/16edo#Compositions"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 16edo lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein soclhes globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Aus den Eigenschaften der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16edo herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.armodue.com/istruzioni.htm" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.armodue.com/istruzioni.htm&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-10-29 07:04:29 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[edo|Übersicht EDO]]

**16edo**, das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 16 gleiche Teile, ist eine mögliche Realisierung der [[Mavila]]-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12edo]]. Dies macht 16edo im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systeme wie [[19edo]] oder [[31edo]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12edo, was andersartige Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt.

16edo hat deshalb eine Reihe Anhänger. Siehe etwa:

* [[http://www.armodue.com|www.armodue.com]] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat.
* [[https://lastsacrament.bandcamp.com/|Last Sacrament]], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [[https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia|Enantiodromia]] gänzlich in 16edo gehalten ist.

=Tastatur-Layouts für 16edo= 
16edo lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein soclhes globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16edo herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:
[[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]] oder [[http://www.armodue.com/istruzioni.htm]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Die Approximationen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime&amp;lt;/a&amp;gt; andererseits sind deutlich besser als in 12edo, was andersartige Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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16edo hat deshalb eine Reihe Anhänger. Siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.armodue.com" rel="nofollow"&amp;gt;www.armodue.com&amp;lt;/a&amp;gt; - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://lastsacrament.bandcamp.com/" rel="nofollow"&amp;gt;Last Sacrament&amp;lt;/a&amp;gt;, eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia" rel="nofollow"&amp;gt;Enantiodromia&amp;lt;/a&amp;gt; gänzlich in 16edo gehalten ist.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Tastatur-Layouts für 16edo"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Tastatur-Layouts für 16edo&amp;lt;/h1&amp;gt;
 16edo lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein soclhes globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus den Eigenschaften der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16edo herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.armodue.com/istruzioni.htm" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.armodue.com/istruzioni.htm&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-10-29 06:52:46 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;620512535&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/16edo|English]] - [[xenharmonic/16平均律|日本語]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[edo|Übersicht EDO]]

**16edo**, das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 16 gleiche Teile, ist eine mögliche Realisierung der [[Mavila]]-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12edo]]. Dies macht 16edo im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systeme wie [[19edo]] oder [[31edo]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12edo, was andersartige Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt.

16edo hat deshalb eine Reihe Anhänger. Siehe etwa:

* [[http://www.armodue.com|www.armodue.com]] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat.
* [[https://lastsacrament.bandcamp.com/|Last Sacrament]], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [[https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia|Enantiodromia]] gänzlich in 16edo gehalten ist.

=Tastatur-Layouts für 16edo= &lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;16edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/16edo"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt; - &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/16%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%BE%8B"&amp;gt;日本語&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;Übersicht EDO&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;strong&amp;gt;16edo&amp;lt;/strong&amp;gt;, das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 16 gleiche Teile, ist eine mögliche Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Dies macht 16edo im Charakter um einiges fremdartiger als die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Approximationen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime&amp;lt;/a&amp;gt; andererseits sind deutlich besser als in 12edo, was andersartige Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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16edo hat deshalb eine Reihe Anhänger. Siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.armodue.com" rel="nofollow"&amp;gt;www.armodue.com&amp;lt;/a&amp;gt; - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://lastsacrament.bandcamp.com/" rel="nofollow"&amp;gt;Last Sacrament&amp;lt;/a&amp;gt;, eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia" rel="nofollow"&amp;gt;Enantiodromia&amp;lt;/a&amp;gt; gänzlich in 16edo gehalten ist.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-08-09 14:42:03 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/16edo|English]] - [[xenharmonic/16平均律|日本語]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[edo|Übersicht EDO]]

**16edo**, das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 16 gleiche Teile, ist eine mögliche Realisierung der [[Mavila]]-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12edo]]. Dies macht 16edo im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systeme wie [[19edo]] oder [[31edo]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12edo, was andersartige Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt.

16edo hat deshalb eine Reihe Anhänger. Siehe etwa:

[[http://www.armodue.com|www.armodue.com]] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;16edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/16edo"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt; - &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/16%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%BE%8B"&amp;gt;日本語&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;Übersicht EDO&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;strong&amp;gt;16edo&amp;lt;/strong&amp;gt;, das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 16 gleiche Teile, ist eine mögliche Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Dies macht 16edo im Charakter um einiges fremdartiger als die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Approximationen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime&amp;lt;/a&amp;gt; andererseits sind deutlich besser als in 12edo, was andersartige Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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16edo hat deshalb eine Reihe Anhänger. Siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.armodue.com" rel="nofollow"&amp;gt;www.armodue.com&amp;lt;/a&amp;gt; - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/16edo|English]] - [[xenharmonic/16平均律|日本語]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[edo|Übersicht EDO]]

**16edo** ist eine mögliche Realisierung der [[Mavila]]-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12edo]]. Dies macht 16edo im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systeme wie [[19edo]] oder [[31edo]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12edo, was andersartige Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt.

16edo hat deshalb eine Reihe Anhänger. Siehe etwa:

[[http://www.armodue.com|www.armodue.com]] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;16edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/16edo"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt; - &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/16%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%BE%8B"&amp;gt;日本語&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;strong&amp;gt;16edo&amp;lt;/strong&amp;gt; ist eine mögliche Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Dies macht 16edo im Charakter um einiges fremdartiger als die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Approximationen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime&amp;lt;/a&amp;gt; andererseits sind deutlich besser als in 12edo, was andersartige Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
16edo hat deshalb eine Reihe Anhänger. Siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.armodue.com" rel="nofollow"&amp;gt;www.armodue.com&amp;lt;/a&amp;gt; - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/16edo|16edo]]

**16edo** ist eine mögliche Realisierung der [[Mavila]]-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12edo]]. Dies macht 16edo im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systeme wie [[19edo]] oder [[31edo]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12edo, was andersartige Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt.

16edo hat deshalb eine Reihe Anhänger. Siehe etwa:

[[http://www.armodue.com|www.armodue.com]] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;16edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;strong&amp;gt;16edo&amp;lt;/strong&amp;gt; ist eine mögliche Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Dies macht 16edo im Charakter um einiges fremdartiger als die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Approximationen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime&amp;lt;/a&amp;gt; andererseits sind deutlich besser als in 12edo, was andersartige Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
16edo hat deshalb eine Reihe Anhänger. Siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.armodue.com" rel="nofollow"&amp;gt;www.armodue.com&amp;lt;/a&amp;gt; - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-15 07:06:31 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/16edo|16edo]]

**16edo** ist eine mögliche Realisierung der [[Mavila]]-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12edo]]. Dies macht 16edo im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systeme wie [[19edo]] oder [[31edo]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12edo, was andersartige Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt.

16edo hat deshalb durchaus eine Reihe Anhänger Siehe etwa:

[[http://www.armodue.com|www.armodue.com]] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;16edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;strong&amp;gt;16edo&amp;lt;/strong&amp;gt; ist eine mögliche Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Dies macht 16edo im Charakter um einiges fremdartiger als die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Approximationen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime&amp;lt;/a&amp;gt; andererseits sind deutlich besser als in 12edo, was andersartige Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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16edo hat deshalb durchaus eine Reihe Anhänger Siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.armodue.com" rel="nofollow"&amp;gt;www.armodue.com&amp;lt;/a&amp;gt; - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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**16edo** ist eine mögliche Realisierung der [[Mavila]]-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12edo]]. Dies macht 16edo im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systeme wie [[19edo]] oder [[31edo]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12edo.

[[http://www.armodue.com|www.armodue.com]] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;strong&amp;gt;16edo&amp;lt;/strong&amp;gt; ist eine mögliche Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Dies macht 16edo im Charakter um einiges fremdartiger als die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Approximationen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime&amp;lt;/a&amp;gt; andererseits sind deutlich besser als in 12edo.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.armodue.com" rel="nofollow"&amp;gt;www.armodue.com&amp;lt;/a&amp;gt; - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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16edo ist eine mögliche Realisierung der [[Mavila]]-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12edo]]. Dies macht 16edo im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systeme wie [[19edo]] oder [[31edo]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12edo.

[[http://www.armodue.com|www.armodue.com]] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
16edo ist eine mögliche Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Dies macht 16edo im Charakter um einiges fremdartiger als die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Approximationen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime&amp;lt;/a&amp;gt; andererseits sind deutlich besser als in 12edo.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.armodue.com" rel="nofollow"&amp;gt;www.armodue.com&amp;lt;/a&amp;gt; - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/16edo|16edo]]

16edo ist eine mögliche Realisierung der [[Mavila]]-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12edo]]. Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12edo.

[[http://www.armodue.com|www.armodue.com]] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;16edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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16edo ist eine mögliche Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Die Approximationen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime&amp;lt;/a&amp;gt; andererseits sind deutlich besser als in 12edo.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.armodue.com" rel="nofollow"&amp;gt;www.armodue.com&amp;lt;/a&amp;gt; - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/16edo|16edo]]

[[http://www.armodue.com|www.armodue.com]] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.armodue.com" rel="nofollow"&amp;gt;www.armodue.com&amp;lt;/a&amp;gt; - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[edo|Übersicht EDO]]

'''16edo''', das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 16 gleiche Teile, ist eine mögliche Realisierung der [[Mavila|Mavila]]-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12edo|12edo]]. Dies macht 16edo im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systeme wie [[19edo|19edo]] oder [[31edo|31edo]].

Die Approximationen für [[Naturterz|Naturterz]] und [[Naturseptime|Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12edo, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 Cent, einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

16edo hat deshalb eine gewisse Popularität in der xenharmonischen Gemeinde. Siehe etwa:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat.

Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue_armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16edo gehalten ist.&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Siehe auch Musikbeispiele im [[:en:16edo-Compositions|englischen Xenharmonic Wiki]].

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16edo unterstützt, ist die erwähnte [[Mavila|Mavila]] vielleicht die wichtigste. Daneben unterstützt 16edo unter anderem auch die [[Verminderte_Temperaturen|verminderte]] und die [[Magische_Temperaturen|magische]] Temperatur. Weitere Informationen siehe im [[:en:16edo-Rank_two_temperaments|englischen Xenharmonic Wiki]].

[todo Musikbeispiele]

=Tastatur-Layouts für 16edo=
16edo lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila|Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16edo herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] oder [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]  [[Category:edo]]</text>
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[[edo|Übersicht EDO]]

'''16edo''', das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 16 gleiche Teile, ist eine mögliche Realisierung der [[Mavila|Mavila]]-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12edo|12edo]]. Dies macht 16edo im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systeme wie [[19edo|19edo]] oder [[31edo|31edo]].

Die Approximationen für [[Naturterz|Naturterz]] und [[Naturseptime|Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12edo, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 Cent, einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

16edo hat deshalb eine gewisse Popularität in der xenharmonischen Gemeinde. Siehe etwa:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat.

Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue_armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16edo gehalten ist.&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Siehe auch Musikbeispiele im [[:en:16edo-Compositions|englischen Xenharmonic Wiki]].

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16edo unterstützt, ist die erwähnte [[Mavila|Mavila]] vielleicht die wichtigste. Daneben unterstützt 16edo unter anderem auch die [[Verminderte_Temperaturen|verminderte]] und die [[Magische_Temperaturen|magische]] Temperatur. Weitere Informationen siehe im [[:en:16edo-Rank_two_temperaments|englischen Xenharmonic Wiki]].

[todo Musikbeispiele]

=Tastatur-Layouts für 16edo=
16edo lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila|Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16edo herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

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[[edo|Übersicht EDO]]

'''16edo''', das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 16 gleiche Teile, ist eine mögliche Realisierung der [[Mavila|Mavila]]-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12edo|12edo]]. Dies macht 16edo im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systeme wie [[19edo|19edo]] oder [[31edo|31edo]].

Die Approximationen für [[Naturterz|Naturterz]] und [[Naturseptime|Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12edo, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 Cent, einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

16edo hat deshalb eine gewisse Popularität in der xenharmonischen Gemeinde. Siehe etwa:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat.

Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue_armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16edo gehalten ist.&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Siehe auch Musikbeispiele im [[:en:16edo-Compositions|englischen Xenharmonic Wiki]].

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16edo unterstützt, ist die erwähnte [[Mavila|Mavila]] vielleicht die wichtigste. Daneben unterstützt 16edo unter anderem auch die [[Verminderte_Temperaturen|verminderte]] und die [[Magische_Temperaturen|magische]] Temperatur. Weitere Informationen siehe im [[:en:16edo-Rank_two_temperaments|englischen Xenharmonic Wiki]].

[todo Musikbeispiele]

=Tastatur-Layouts für 16edo=
16edo lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila|Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16edo herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] oder [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]  [[Category:edo]]</text>
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[[edo|Übersicht EDO]]

'''16edo''', das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 16 gleiche Teile, ist eine mögliche Realisierung der [[Mavila|Mavila]]-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12edo|12edo]]. Dies macht 16edo im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systeme wie [[19edo|19edo]] oder [[31edo|31edo]].

Die Approximationen für [[Naturterz|Naturterz]] und [[Naturseptime|Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12edo, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 Cent, einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

16edo hat deshalb eine gewisse Popularität in der xenharmonischen Gemeinde. Siehe etwa:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat.

Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue_armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16edo gehalten ist.&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Siehe auch Musikbeispiele im [[:en:16edo-Compositions|englischen Xenharmonic Wiki]].

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16edo unterstützt, ist die erwähnte [[Mavila|Mavila]] vielleicht die wichtigste. Daneben unterstützt 16edo unter anderem auch die [[Verminderte_Temperaturen|verminderte]] und die [[Magische_Temperaturen|magische]] Temperatur. Weitere Informationen siehe im [[:en:16edo-Rank_two_temperaments|englischen Xenharmonic Wiki]].

[todo Musikbeispiele]

=Tastatur-Layouts für 16edo=
16edo lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila|Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16edo herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] oder [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

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[[edo|Übersicht EDO]]

'''16edo''', das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 16 gleiche Teile, ist eine mögliche Realisierung der [[Mavila|Mavila]]-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12edo|12edo]]. Dies macht 16edo im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systeme wie [[19edo|19edo]] oder [[31edo|31edo]].

Die Approximationen für [[Naturterz|Naturterz]] und [[Naturseptime|Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12edo, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 Cent, einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

16edo hat deshalb eine gewisse Popularität in der xenharmonischen Gemeinde. Siehe etwa:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat.

Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue_armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16edo gehalten ist.&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Siehe auch Musikbeispiele im [[:en:16edo-Compositions|englischen Xenharmonic Wiki]].

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16edo unterstützt, ist die erwähnte [[Mavila|Mavila]] vielleicht die wichtigste. Daneben unterstützt 16edo unter anderem auch die [[Verminderte_Temperaturen|verminderte]] und die [[Magische_Temperaturen|magische]] Temperatur. Weitere Informationen siehe im [[:en:16edo-Rank_two_temperaments|englischen Xenharmonic Wiki]].

[todo Musikbeispiele]

=Tastatur-Layouts für 16edo=
16edo lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila|Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16edo herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] oder [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''16 EDO''', das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 16 gleiche Teile, ist eine mögliche Realisierung der [[Mavila]]-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12 EDO]]. Dies macht 16 EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19 EDO]] oder [[31 EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12 EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

16 EDO hat deshalb eine gewisse Popularität in der xenharmonischen Gemeinde. Siehe etwa:

* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16edo gehalten ist.

Siehe auch Musikbeispiele im [[:en:16edo-Compositions|englischen Xenharmonic Wiki]].

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16edo unterstützt, ist die erwähnte [[Mavila]] vielleicht die wichtigste. Daneben unterstützt 16edo unter anderem auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] und die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur. Weitere Informationen siehe im [[:en:16edo-Rank two temperaments|englischen Xenharmonic Wiki]].

[todo Musikbeispiele]

== Tastatur-Layouts für 16edo ==
16edo lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16edo herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

[[Kategorie:EDO]]</text>
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      <comment>Xenwolf verschob die Seite [[16 EDO]] nach [[16-EDO]]: Das ist die bessere Wahl (siehe [[XW:K]]), auch führte die Lücke optisch zum "Auseinanderbrechen".</comment>
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| ja = 16平均律
}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

'''16 EDO''', das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 16 gleiche Teile, ist eine mögliche Realisierung der [[Mavila]]-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12 EDO]]. Dies macht 16 EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19 EDO]] oder [[31 EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12 EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

16 EDO hat deshalb eine gewisse Popularität in der xenharmonischen Gemeinde. Siehe etwa:

* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16edo gehalten ist.

Siehe auch Musikbeispiele im [[:en:16edo-Compositions|englischen Xenharmonic Wiki]].

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16edo unterstützt, ist die erwähnte [[Mavila]] vielleicht die wichtigste. Daneben unterstützt 16edo unter anderem auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] und die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur. Weitere Informationen siehe im [[:en:16edo-Rank two temperaments|englischen Xenharmonic Wiki]].

[todo Musikbeispiele]

== Tastatur-Layouts für 16edo ==
16edo lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16edo herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''16-EDO''', das Tonsystem der Unterteilung einer Oktave in 16 gleiche Teile, ist eine mögliche Realisierung der [[Mavila]]-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

16-EDO hat deshalb eine gewisse Popularität in der xenharmonischen Gemeinde. Siehe etwa:

* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

Siehe auch Musikbeispiele im [[:en:16edo-Compositions|englischen Xenharmonic Wiki]].

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist die erwähnte [[Mavila]] vielleicht die wichtigste. Daneben unterstützt 16-EDO unter anderem auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] und die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur. Weitere Informationen siehe im [[:en:16edo-Rank two temperaments|englischen Xenharmonic Wiki]].

[todo Musikbeispiele]

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''16-EDO''', das [[Tonsystem]] der Unterteilung einer Oktave in 16 gleiche Teile, ist eine mögliche Realisierung der [[Mavila]]-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

16-EDO hat deshalb eine gewisse Popularität in der xenharmonischen Gemeinde. Siehe etwa:

* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

Siehe auch Musikbeispiele im [[:en:16edo-Compositions|englischen Xenharmonic Wiki]].

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist die erwähnte [[Mavila]] vielleicht die wichtigste. Daneben unterstützt 16-EDO unter anderem auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] und die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur. Weitere Informationen siehe im [[:en:16edo-Rank two temperaments|englischen Xenharmonic Wiki]].

[todo Musikbeispiele]

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

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[[EDO|Übersicht EDO]]

== Definition, Approximation reiner Intervalle ==
'''16-EDO''', das [[Tonsystem]] der Unterteilung einer Oktave in 16 gleiche Teile, ist eine mögliche Realisierung der [[Mavila]]-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

16-EDO hat deshalb eine gewisse Popularität in der xenharmonischen Gemeinde. Siehe etwa:

* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

Siehe auch Musikbeispiele im [[:en:16edo-Compositions|englischen Xenharmonic Wiki]].

== Reguläre Temperaturen ==

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist die erwähnte [[Mavila]] vielleicht die wichtigste. Daneben unterstützt 16-EDO unter anderem auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] und die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur. Weitere Informationen siehe im [[:en:16edo-Rank two temperaments|englischen Xenharmonic Wiki]].

[todo Musikbeispiele]

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

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[[EDO|Übersicht EDO]]

== Definition, Approximation reiner Intervalle ==
'''16-EDO''', das [[Tonsystem]] der Unterteilung einer Oktave in 16 gleiche Teile, ist eine mögliche Realisierung der [[Mavila]]-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

16-EDO hat deshalb eine gewisse Popularität in der xenharmonischen Gemeinde. Siehe etwa:

* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

Siehe auch Musikbeispiele im [[:en:16edo-Compositions|englischen Xenharmonic Wiki]].

== Reguläre Temperaturen ==

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist die erwähnte [[Mavila]] vielleicht die wichtigste. Daneben unterstützt 16-EDO unter anderem auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] und die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur. Weitere Informationen siehe im [[:en:16edo-Rank two temperaments|englischen Xenharmonic Wiki]].

[todo Musikbeispiele]

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

== Links ==
* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

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[[EDO|Übersicht EDO]]

== Definition, Approximation reiner Intervalle ==
'''16-EDO''', das [[Tonsystem]] der Unterteilung einer Oktave in 16 gleiche Teile, ist eine mögliche Realisierung der [[Mavila]]-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

16-EDO hat deshalb eine gewisse Popularität in der xenharmonischen Gemeinde. Siehe Links unten.

== Reguläre Temperaturen ==

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist die erwähnte [[Mavila]] vielleicht die wichtigste. Daneben unterstützt 16-EDO unter anderem auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] und die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur. Weitere Informationen siehe im [[:en:16edo-Rank two temperaments|englischen Xenharmonic Wiki]].

[todo Musikbeispiele]

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

== Links ==
* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

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[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDaO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Definition, Approximation reiner Intervalle ==
'''16-EDO''', das [[Tonsystem]] der Unterteilung einer Oktave in 16 gleiche Teile, ist eine mögliche Realisierung der [[Mavila]]-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

16-EDO hat deshalb eine gewisse Popularität in der xenharmonischen Gemeinde. Siehe Links unten.

== Reguläre Temperaturen ==

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist die erwähnte [[Mavila]] vielleicht die wichtigste. Daneben unterstützt 16-EDO unter anderem auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] und die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur. Weitere Informationen siehe im [[:en:16edo-Rank two temperaments|englischen Xenharmonic Wiki]].

[todo Musikbeispiele]

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

== Links ==
* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

[[Kategorie:EDO]]</text>
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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDaO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Definition, Approximation reiner Intervalle ==
'''16-EDO''', das [[Tonsystem]] der Unterteilung einer Oktave in 16 gleiche Teile, ist eine mögliche Realisierung der [[Mavila]]-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

== Reguläre Temperaturen ==

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist die erwähnte [[Mavila]] vielleicht die wichtigste. Daneben unterstützt 16-EDO unter anderem auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] und die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur. Weitere Informationen siehe im [[:en:16edo-Rank two temperaments|englischen Xenharmonic Wiki]].

[todo Musikbeispiele]

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

== Links ==
* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

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[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDaO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
'''16-EDO''', das [[Tonsystem]] der Unterteilung einer Oktave in 16 gleiche Teile, ist eine mögliche Realisierung der [[Mavila]]-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

== Reguläre Temperaturen ==

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist die erwähnte [[Mavila]] vielleicht die wichtigste. Daneben unterstützt 16-EDO unter anderem auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] und die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur. Weitere Informationen siehe im [[:en:16edo-Rank two temperaments|englischen Xenharmonic Wiki]].

[todo Musikbeispiele]

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

== Links ==
* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

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[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
'''16-EDO''', das [[Tonsystem]] der Unterteilung einer Oktave in 16 gleiche Teile, ist eine mögliche Realisierung der [[Mavila]]-Temperatur und verfügt daher insbesondere über deren relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

== Reguläre Temperaturen ==

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist die erwähnte [[Mavila]] vielleicht die wichtigste. Daneben unterstützt 16-EDO unter anderem auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] und die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur. Weitere Informationen siehe im [[:en:16edo-Rank two temperaments|englischen Xenharmonic Wiki]].

[todo Musikbeispiele]

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

== Links ==
* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

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[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

== Reguläre Temperaturen ==

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist die erwähnte [[Mavila]] vielleicht die wichtigste. Daneben unterstützt 16-EDO unter anderem auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] und die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur. Weitere Informationen siehe im [[:en:16edo-Rank two temperaments|englischen Xenharmonic Wiki]].

[todo Musikbeispiele]

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

== Links ==
* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

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[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

== Reguläre Temperaturen ==
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste.

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in 16edo
[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in [[16edo|16edo]]

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL) in [[16edo|16edo]]

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .


 Daneben unterstützt 16-EDO unter anderem auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] und die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur. Weitere Informationen siehe im [[:en:16edo-Rank two temperaments|englischen Xenharmonic Wiki]].

[todo Musikbeispiele]

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

== Links ==
* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen [[MOS-Skalen]]. 

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in 16-EDO
[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in 16-EDO

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Interne in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus. zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt .


=== Magisch ===
Schliesslich unterstützt 16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 auchdie [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur.

[todo Musikbeispiele]

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

== Links ==
* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

[[Kategorie:EDO]]</text>
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| ja = 16平均律
}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen [[MOS-Skalen]]. 

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in 16-EDO
[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in 16-EDO

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Interne in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus. zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt.

[[File:htgt16edo.mp3]]
Verminderte achttönige Skala in 16-EDO

=== Magisch ===
Schliesslich unterstützt 16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 auchdie [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur.

[todo Musikbeispiele]

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

== Links ==
* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

[[Kategorie:EDO]]</text>
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| ja = 16平均律
}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen [[MOS-Skalen]]. 

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in 16-EDO
[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in 16-EDO

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Interne in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus. zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt.

[[File:htgt16edo.mp3]]

Verminderte achttönige Skala in 16-EDO

=== Magisch ===
Schliesslich unterstützt 16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 auchdie [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur.

[todo Musikbeispiele]

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

== Links ==
* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

[[Kategorie:EDO]]</text>
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| ja = 16平均律
}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen" [[MOS-Skalen]]. 

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in 16-EDO
[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in 16-EDO

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Interne in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus. zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt.

[[File:htgt16edo.mp3]]

Verminderte achttönige Skala in 16-EDO

=== Magisch ===
Schliesslich unterstützt 16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 auchdie [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur.

[todo Musikbeispiele]

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

== Links ==
* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

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[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen" [[MOS-Skalen]]. 

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in 16-EDO

[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in 16-EDO

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Interne in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus. zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt.

[[File:htgt16edo.mp3]]

Verminderte achttönige Skala in 16-EDO

=== Magisch ===
Schliesslich unterstützt 16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 auchdie [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur.

[todo Musikbeispiele]

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

== Links ==
* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen" [[MOS-Skalen]]. 

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in 16-EDO

[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in 16-EDO

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Oktave in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt.

[[File:htgt16edo.mp3]]

Verminderte achttönige Skala in 16-EDO

=== Magisch ===
Schliesslich unterstützt 16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 auchdie [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur.

[todo Musikbeispiele]

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

== Links ==
* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen" [[MOS-Skalen]]. 

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in 16-EDO

[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in 16-EDO

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Oktave in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt.

[[File:htgt16edo.mp3]]

Verminderte achttönige Skala in 16-EDO

=== Magisch/Muggel/Astrology ===
Schliesslich unterstützt 16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 auch die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur, in der  [[Magische Temperaturen#Muggel|Muggel]] -Variante, ferner als ganztägiges EDO auch in der [[Magische Temperaturen#Astrology|Astrology]] -Variante.

[todo Musikbeispiele]

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

== Links ==
* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

[[Kategorie:EDO]]</text>
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[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen" [[MOS-Skalen]]. 

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in 16-EDO

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Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in 16-EDO

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Oktave in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt.

[[File:htgt16edo.mp3]]

Verminderte achttönige Skala in 16-EDO

=== Magisch/Muggel/Astrology ===
Schliesslich unterstützt 16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 auch die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur, in der  [[Magische Temperaturen#Muggel|Muggel]] -Variante, ferner als ganztägiges EDO auch in der [[Magische Temperaturen#Astrology|Astrology]] -Variante.

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige magische/Muggel-Skala (LsLsLss)

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

== Links ==
* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

[[Kategorie:EDO]]</text>
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[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen" [[MOS-Skalen]]. 

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in 16-EDO

[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in 16-EDO

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Oktave in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt.

[[File:htgt16edo.mp3]]

Verminderte achttönige Skala in 16-EDO

=== Magisch/Muggel/Astrology ===
Schliesslich unterstützt 16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 auch die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur, in der  [[Magische Temperaturen#Muggel|Muggel]] -Variante, ferner als ganztägiges EDO auch in der [[Magische Temperaturen#Astrology|Astrology]] -Variante.

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige magische/Muggel-Skala (LsLsLss)

[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3|mini|Zehntönige magische/Muggel-Skala (LssLssLsss) in 16-EDO]]

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

== Links ==
* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

[[Kategorie:EDO]]</text>
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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen" [[MOS-Skalen]]. 

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in 16-EDO

[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in 16-EDO

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Oktave in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt.

[[File:htgt16edo.mp3]]

Verminderte achttönige Skala in 16-EDO

=== Magisch/Muggel/Astrology ===
Schliesslich unterstützt 16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 auch die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur, in der  [[Magische Temperaturen#Muggel|Muggel]] -Variante, ferner als ganztägiges EDO auch in der [[Magische Temperaturen#Astrology|Astrology]] -Variante.

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige magische/Muggel-Skala (LsLsLss)

[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3]]

Zehntönige magische/Muggel-Skala (LssLssLsss) in 16-EDO
[[Datei:16EdoAstrology.mp3|mini]]


== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

== Links ==
* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

[[Kategorie:EDO]]</text>
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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen" [[MOS-Skalen]]. 

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in 16-EDO

[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in 16-EDO

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Oktave in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt.

[[File:htgt16edo.mp3]]

Verminderte achttönige Skala in 16-EDO

=== Magisch/Muggel/Astrology ===
Schliesslich unterstützt 16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 auch die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur, in der  [[Magische Temperaturen#Muggel|Muggel]] -Variante, ferner als ganztägiges EDO auch in der [[Magische Temperaturen#Astrology|Astrology]] -Variante.

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige magische/Muggel-Skala (LsLsLss)


[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3]]

Zehntönige magische/Muggel-Skala (LssLssLsss) in 16-EDO


[[Datei:16EdoAstrology.mp3]]

Sechstönige Astrology-Skala (LsLLsL) in 16-EDO

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

== Links ==
* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

[[Kategorie:EDO]]</text>
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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen" [[MOS-Skalen]]. 

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in 16-EDO

[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in 16-EDO

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Oktave in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt.

[[File:htgt16edo.mp3]]

Verminderte achttönige Skala in 16-EDO

=== Magisch/Muggel/Astrology ===
Schliesslich unterstützt 16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 auch die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur, in der  [[Magische Temperaturen#Muggel|Muggel]] -Variante, ferner als ganztägiges EDO auch in der [[Magische Temperaturen#Astrology|Astrology]] -Variante.

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige magische/Muggel-Skala (LsLsLss)


[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3]]

Zehntönige magische/Muggel-Skala (LssLssLsss) in 16-EDO


[[Datei:16EdoAstrology.mp3]]

Sechstönige Astrology-Skala (LsLLsL) in 16-EDO

Weitere Informationen zu regulären Temperaturen siehe im [[:en:16edo|englischen Xenwiki]] 

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

== Links ==
* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

[[Kategorie:EDO]]</text>
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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen" [[MOS-Skalen]]. 

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in 16-EDO

[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in 16-EDO

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Oktave in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt.

[[File:htgt16edo.mp3]]

Verminderte achttönige Skala in 16-EDO

=== Magisch/Muggel/Astrology ===
Schliesslich unterstützt 16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 auch die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur, in der  [[Magische Temperaturen#Muggel|Muggel]] -Variante, ferner als ganzzahliges EDO auch in der [[Magische Temperaturen#Astrology|Astrology]] -Variante.

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige magische/Muggel-Skala (LsLsLss)


[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3]]

Zehntönige magische/Muggel-Skala (LssLssLsss) in 16-EDO


[[Datei:16EdoAstrology.mp3]]

Sechstönige Astrology-Skala (LsLLsL) in 16-EDO

Weitere Informationen zu regulären Temperaturen siehe im [[:en:16edo|englischen Xenwiki]] 

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

== Links ==
* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

[[Kategorie:EDO]]</text>
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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen" [[MOS-Skalen]]. 

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in 16-EDO

[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in 16-EDO

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Oktave in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt.

[[File:htgt16edo.mp3]]

Verminderte achttönige Skala in 16-EDO

=== Magisch/Muggel/Astrology ===
Schliesslich unterstützt 16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 auch die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur, in der  [[Magische Temperaturen#Muggel|Muggel]] -Variante, ferner als ganzzahliges EDO auch in der [[Magische Temperaturen#Astrology|Astrology]] -Variante.

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige magische/Muggel-Skala (LsLsLss)


[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3]]

Zehntönige magische/Muggel-Skala (LssLssLsss) in 16-EDO


[[Datei:16EdoAstrology.mp3]]

Sechstönige Astrology-Skala (LsLLsL) in 16-EDO

Weitere Informationen zu regulären Temperaturen siehe im [[:en:16edo#Regular_temperament_properties|englischen Xenwiki]] 

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

== Links ==
* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

[[Kategorie:EDO]]</text>
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[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen" [[MOS-Skalen]]. 

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in 16-EDO

[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in 16-EDO

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Oktave in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt.

[[File:htgt16edo.mp3]]

Verminderte achttönige Skala in 16-EDO

=== Magisch/Muggel/Astrology ===
Schliesslich unterstützt 16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 auch die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur, in der  [[Magische Temperaturen#Muggel|Muggel]] -Variante, ferner als ganzzahliges EDO auch in der [[Magische Temperaturen#Astrology|Astrology]] -Variante.

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige Muggel-Skala (LsLsLss) in 16-EDO


[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3]]

Zehntönige Muggel-Skala (LssLssLsss) in 16-EDO


[[Datei:16EdoAstrology.mp3]]

Sechstönige Astrology-Skala (LsLLsL) in 16-EDO

Weitere Informationen zu regulären Temperaturen siehe im [[:en:16edo#Regular_temperament_properties|englischen Xenwiki]]

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

== Links ==
* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

[[Kategorie:EDO]]</text>
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[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen" [[MOS-Skalen]]. 

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in 16-EDO

[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in 16-EDO

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Oktave in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt.

[[File:htgt16edo.mp3]]

Verminderte achttönige Skala in 16-EDO

=== Magisch/Muggel/Astrology/Lemba ===
Schliesslich unterstützt 16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 auch die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur, in der  [[Magische Temperaturen#Muggel|Muggel]] -Variante, ferner als ganzzahliges EDO auch in der [[Magische Temperaturen#Astrology|Astrology]] -Variante.

Die Astrology-Temperatur fällt in 16-EDO (mir hier) ausserdem mit der [[Slendric#Lemba|Lemba]]-Temoeratur zusammen.

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige Muggel-Skala (LsLsLss) in 16-EDO


[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3]]

Zehntönige Muggel-Skala (LssLssLsss) in 16-EDO


[[Datei:16EdoAstrology.mp3]]

Sechstönige Astrology- bzw. Lemba-Skala (LsLLsL) in 16-EDO

Weitere Informationen zu regulären Temperaturen siehe im [[:en:16edo#Regular_temperament_properties|englischen Xenwiki]]

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

== Links ==
* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

[[Kategorie:EDO]]</text>
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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen" [[MOS-Skalen]]. 

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in 16-EDO

[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in 16-EDO

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Oktave in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt.

[[File:htgt16edo.mp3]]

Verminderte achttönige Skala in 16-EDO

=== Magisch/Muggel/Astrology/Lemba ===
Schliesslich unterstützt 16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 auch die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur, in der  [[Magische Temperaturen#Muggel|Muggel]] -Variante, ferner als ganzzahliges EDO auch in der [[Magische Temperaturen#Astrology|Astrology]] -Variante.

Die Astrology-Temperatur fällt in 16-EDO (nur dort) ausserdem mit der [[Slendric#Lemba|Lemba]]-Temoeratur zusammen.

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige Muggel-Skala (LsLsLss) in 16-EDO


[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3]]

Zehntönige Muggel-Skala (LssLssLsss) in 16-EDO


[[Datei:16EdoAstrology.mp3]]

Sechstönige Astrology- bzw. Lemba-Skala (LsLLsL) in 16-EDO

Weitere Informationen zu regulären Temperaturen siehe im [[:en:16edo#Regular_temperament_properties|englischen Xenwiki]]

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

== Links ==
* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

[[Kategorie:EDO]]</text>
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      <comment>/* Magisch/Muggel/Astrology/Lemba */</comment>
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| de = 16-EDO
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| ja = 16平均律
}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen" [[MOS-Skalen]]. 

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in 16-EDO

[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in 16-EDO

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Oktave in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt.

[[File:htgt16edo.mp3]]

Verminderte achttönige Skala in 16-EDO

=== Magisch/Muggel/Astrology/Lemba ===
Schliesslich unterstützt 16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 auch die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur, in der  [[Magische Temperaturen#Muggel|Muggel]] -Variante, ferner als ganzzahliges EDO auch in der [[Magische Temperaturen#Astrology|Astrology]] -Variante.

Die Astrology-Temperatur fällt in 16-EDO (nur dort) ausserdem mit der [[Slendric#Lemba|Lemba]]-Temoeratur zusammen.

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige Magic- bzw. Muggel-Skala (LsLsLss) in 16-EDO


[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3]]

Zehntönige Magic- bzw. Muggel-Skala (LssLssLsss) in 16-EDO


[[Datei:16EdoAstrology.mp3]]

Sechstönige Astrology- bzw. Lemba-Skala (LsLLsL) in 16-EDO

Weitere Informationen zu regulären Temperaturen siehe im [[:en:16edo#Regular_temperament_properties|englischen Xenwiki]]

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

== Links ==
* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

[[Kategorie:EDO]]</text>
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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen" [[MOS-Skalen]]. 

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in 16-EDO

[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in 16-EDO

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Oktave in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt.

[[File:htgt16edo.mp3]]

Verminderte achttönige Skala in 16-EDO

=== Magisch/Muggel/Astrology/Lemba ===
Schliesslich unterstützt 16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 auch die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur, in der  [[Magische Temperaturen#Muggel|Muggel]] -Variante, ferner als ganzzahliges EDO auch in der [[Magische Temperaturen#Astrology|Astrology]] -Variante.

Die Astrology-Temperatur fällt in 16-EDO (nur dort) ausserdem mit der [[Slendrisch#Lemba|Lemba]]-Temoeratur zusammen.

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige Magic- bzw. Muggel-Skala (LsLsLss) in 16-EDO


[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3]]

Zehntönige Magic- bzw. Muggel-Skala (LssLssLsss) in 16-EDO


[[Datei:16EdoAstrology.mp3]]

Sechstönige Astrology- bzw. Lemba-Skala (LsLLsL) in 16-EDO

Weitere Informationen zu regulären Temperaturen siehe im [[:en:16edo#Regular_temperament_properties|englischen Xenwiki]]

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

== Links ==
* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

[[Kategorie:EDO]]</text>
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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen" [[MOS-Skalen]]. 

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in 16-EDO

[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in 16-EDO

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Oktave in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt.

[[File:htgt16edo.mp3]]

Verminderte achttönige Skala in 16-EDO

=== Magisch, Muggel, Astrology ===
16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 unterstützt auch die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur, in der [[Magische Temperaturen#Muggel|Muggel]] -Variante, ferner als ganzzahliges EDO auch in der halboktavischen [[Magische Temperaturen#Astrology|Astrology]] -Variante.

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige Magic- bzw. Muggel-Skala (LsLsLss) in 16-EDO


[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3]]

Zehntönige Magic- bzw. Muggel-Skala (LssLssLsss) in 16-EDO


[[Datei:16EdoAstrology.mp3]]

Sechstönige Astrology-Skala (LsLLsL) in 16-EDO

Weitere Informationen zu regulären Temperaturen siehe im [[:en:16edo#Regular_temperament_properties|englischen Xenwiki]]

=== Slendrisch, Gorgo, Lemba ===
16-EDO unterstützt die [[Slendrisch#slendrische]]-Temperatur, in der [[Slendrisch#Gorgo|Gorgo]]-Variante, ferner in der halboktavischen [[Slendrisch#Lemba|Lemba]]-Variante. Letztere fällt in 16-EDO mit Astrology zusammen. 

[[Todo Klangbeispiel]]

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

== Links ==
* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

[[Kategorie:EDO]]</text>
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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen" [[MOS-Skalen]]. 

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in 16-EDO

[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in 16-EDO

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Oktave in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt.

[[File:htgt16edo.mp3]]

Verminderte achttönige Skala in 16-EDO

=== Magisch, Muggel, Astrology ===
16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 unterstützt auch die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur, in der [[Magische Temperaturen#Muggel|Muggel]] -Variante, ferner als ganzzahliges EDO auch in der halboktavischen [[Magische Temperaturen#Astrology|Astrology]] -Variante.

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige Magic- bzw. Muggel-Skala (LsLsLss) in 16-EDO


[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3]]

Zehntönige Magic- bzw. Muggel-Skala (LssLssLsss) in 16-EDO


[[Datei:16EdoAstrology.mp3]]

Sechstönige Astrology-Skala (LsLLsL) in 16-EDO

=== Slendrisch, Gorgo, Lemba ===
16-EDO unterstützt die [[Slendrisch#slendrische]]-Temperatur, in der [[Slendrisch#Gorgo|Gorgo]]-Variante, ferner in der halboktavischen [[Slendrisch#Lemba|Lemba]]-Variante. Letztere fällt in 16-EDO mit Astrology zusammen. 

[[Todo Klangbeispiel]]

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

== Links ==
* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

[[Kategorie:EDO]]</text>
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| de = 16-EDO
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| ja = 16平均律
}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen" [[MOS-Skalen]]. 

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in 16-EDO

[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in 16-EDO

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Oktave in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt.

[[File:htgt16edo.mp3]]

Verminderte achttönige Skala in 16-EDO

=== Magisch, Muggel, Astrology ===
16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 unterstützt auch die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur, in der [[Magische Temperaturen#Muggel|Muggel]] -Variante, ferner als ganzzahliges EDO auch in der halboktavischen [[Magische Temperaturen#Astrology|Astrology]] -Variante.

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige Magic- bzw. Muggel-Skala (LsLsLss) in 16-EDO


[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3]]

Zehntönige Magic- bzw. Muggel-Skala (LssLssLsss) in 16-EDO


[[Datei:16EdoAstrology.mp3]]

Sechstönige Astrology-Skala (LsLLsL) in 16-EDO

=== Slendrisch, Gorgo, Lemba ===
16-EDO unterstützt die [[Slendrisch#slendrische]]-Temperatur, in der [[Slendrisch#Gorgo|Gorgo]]-Variante, ferner in der halboktavischen [[Slendrisch#Lemba|Lemba]]-Variante. Letztere fällt in 16-EDO mit Astrology zusammen. 

[[Todo Klangbeispiel]]

Weitere Informationen zu regulären Temperaturen siehe im [[:en:16edo#Regular_temperament_properties|englischen Xenwiki]]

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

== Links ==
* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

[[Kategorie:EDO]]</text>
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| ja = 16平均律
}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen" [[MOS-Skalen]]. 

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in 16-EDO

[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in 16-EDO

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Oktave in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt.

[[File:htgt16edo.mp3]]

Verminderte achttönige Skala in 16-EDO

=== Magisch, Muggel, Astrology ===
16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 unterstützt auch die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur, in der [[Magische Temperaturen#Muggel|Muggel]] -Variante, ferner als ganzzahliges EDO auch in der halboktavischen [[Magische Temperaturen#Astrology|Astrology]] -Variante.

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige Magic- bzw. Muggel-Skala (LsLsLss) in 16-EDO


[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3]]

Zehntönige Magic- bzw. Muggel-Skala (LssLssLsss) in 16-EDO


[[Datei:16EdoAstrology.mp3]]

Sechstönige Astrology-Skala (LsLLsL) in 16-EDO

=== Slendrisch, Gorgo, Lemba ===
16-EDO unterstützt die [[Slendrisch#slendrische]]-Temperatur, in der [[Slendrisch#Gorgo|Gorgo]]-Variante, ferner in der halboktavischen [[Slendrisch#Lemba|Lemba]]-Variante. Letztere fällt in 16-EDO mit Astrology zusammen. 

[[Todo Klangbeispiel]]

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

== Links ==
* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

[[Kategorie:EDO]]</text>
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[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==

Detaillierte Informationen zu regulären Temperaturen siehe im [[:en:16edo#Regular_temperament_properties|englischen Xenwiki]]
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen" [[MOS-Skalen]]. 

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in 16-EDO

[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in 16-EDO

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Oktave in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt.

[[File:htgt16edo.mp3]]

Verminderte achttönige Skala in 16-EDO

=== Magisch, Muggel, Astrology ===
16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 unterstützt auch die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur, in der [[Magische Temperaturen#Muggel|Muggel]] -Variante, ferner als ganzzahliges EDO auch in der halboktavischen [[Magische Temperaturen#Astrology|Astrology]] -Variante.

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige Magic- bzw. Muggel-Skala (LsLsLss) in 16-EDO


[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3]]

Zehntönige Magic- bzw. Muggel-Skala (LssLssLsss) in 16-EDO


[[Datei:16EdoAstrology.mp3]]

Sechstönige Astrology-Skala (LsLLsL) in 16-EDO

=== Slendrisch, Gorgo, Lemba ===
16-EDO unterstützt die [[Slendrisch#slendrische]]-Temperatur, in der [[Slendrisch#Gorgo|Gorgo]]-Variante, ferner in der halboktavischen [[Slendrisch#Lemba|Lemba]]-Variante. Letztere fällt in 16-EDO mit Astrology zusammen. 

[[Todo Klangbeispiel]]

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

== Links ==
* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

[[Kategorie:EDO]]</text>
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| ja = 16平均律
}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==

Detaillierte Informationen zu regulären Temperaturen siehe im [[:en:16edo#Regular_temperament_properties|englischen Xenwiki]]
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen" [[MOS-Skalen]]. 

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (3223222) in 16-EDO

[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (122212222) in 16-EDO

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (221222122) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Oktave in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt.

[[File:htgt16edo.mp3]]

Verminderte achttönige Skala in 16-EDO

=== Magisch, Muggel, Astrology ===
16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 unterstützt auch die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur, in der [[Magische Temperaturen#Muggel|Muggel]] -Variante, ferner als ganzzahliges EDO auch in der halboktavischen [[Magische Temperaturen#Astrology|Astrology]] -Variante.

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige Magic- bzw. Muggel-Skala (LsLsLss) in 16-EDO


[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3]]

Zehntönige Magic- bzw. Muggel-Skala (LssLssLsss) in 16-EDO


[[Datei:16EdoAstrology.mp3]]

Sechstönige Astrology-Skala (LsLLsL) in 16-EDO

=== Slendrisch, Gorgo, Lemba ===
16-EDO unterstützt die [[Slendrisch#slendrische]]-Temperatur, in der [[Slendrisch#Gorgo|Gorgo]]-Variante, ferner in der halboktavischen [[Slendrisch#Lemba|Lemba]]-Variante. Letztere fällt in 16-EDO mit Astrology zusammen. 

[[Todo Klangbeispiel]]

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

== Links ==
* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

[[Kategorie:EDO]]</text>
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| de = 16-EDO
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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==

Detaillierte Informationen zu regulären Temperaturen siehe im [[:en:16edo#Regular_temperament_properties|englischen Xenwiki]]
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen" [[MOS-Skalen]]. 

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (3223222) in 16-EDO

[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (122212222) in 16-EDO

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (221222122) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Oktave in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt.

[[File:htgt16edo.mp3]]

Verminderte achttönige Skala (1313313) in 16-EDO

=== Magisch, Muggel, Astrology ===
16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 unterstützt auch die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur, in der [[Magische Temperaturen#Muggel|Muggel]] -Variante, ferner als ganzzahliges EDO auch in der halboktavischen [[Magische Temperaturen#Astrology|Astrology]] -Variante.

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige Magic- bzw. Muggel-Skala (LsLsLss) in 16-EDO


[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3]]

Zehntönige Magic- bzw. Muggel-Skala (LssLssLsss) in 16-EDO


[[Datei:16EdoAstrology.mp3]]

Sechstönige Astrology-Skala (LsLLsL) in 16-EDO

=== Slendrisch, Gorgo, Lemba ===
16-EDO unterstützt die [[Slendrisch#slendrische]]-Temperatur, in der [[Slendrisch#Gorgo|Gorgo]]-Variante, ferner in der halboktavischen [[Slendrisch#Lemba|Lemba]]-Variante. Letztere fällt in 16-EDO mit Astrology zusammen. 

[[Todo Klangbeispiel]]

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

== Links ==
* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

[[Kategorie:EDO]]</text>
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      <comment>/* Magisch, Muggel, Astrology */</comment>
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| de = 16-EDO
| en = 16edo 
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| ja = 16平均律
}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==

Detaillierte Informationen zu regulären Temperaturen siehe im [[:en:16edo#Regular_temperament_properties|englischen Xenwiki]]
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen" [[MOS-Skalen]]. 

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (3223222) in 16-EDO

[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (122212222) in 16-EDO

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (221222122) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Oktave in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt.

[[File:htgt16edo.mp3]]

Verminderte achttönige Skala (1313313) in 16-EDO

=== Magisch, Muggel, Astrology ===
16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 unterstützt auch die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur, in der [[Magische Temperaturen#Muggel|Muggel]] -Variante, ferner als ganzzahliges EDO auch in der halboktavischen [[Magische Temperaturen#Astrology|Astrology]] -Variante.

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige Magic- bzw. Muggel-Skala (LsLsLss) in 16-EDO


[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3]]

Zehntönige Magic- bzw. Muggel-Skala (LssLssLsss) in 16-EDO


[[Datei:16EdoAstrology.mp3]]

Sechstönige Astrology-Skala (323323) in 16-EDO

=== Slendrisch, Gorgo, Lemba ===
16-EDO unterstützt die [[Slendrisch#slendrische]]-Temperatur, in der [[Slendrisch#Gorgo|Gorgo]]-Variante, ferner in der halboktavischen [[Slendrisch#Lemba|Lemba]]-Variante. Letztere fällt in 16-EDO mit Astrology zusammen. 

[[Todo Klangbeispiel]]

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

== Links ==
* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

[[Kategorie:EDO]]</text>
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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==

Detaillierte Informationen zu regulären Temperaturen siehe im [[:en:16edo#Regular_temperament_properties|englischen Xenwiki]]
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen" [[MOS-Skalen]]. 

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (3223222) in 16-EDO

[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (122212222) in 16-EDO

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (221222122) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Oktave in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt.

[[File:htgt16edo.mp3]]

Verminderte achttönige Skala (1313313) in 16-EDO

=== Magisch, Muggel, Astrology ===
16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 unterstützt auch die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur, in der [[Magische Temperaturen#Muggel|Muggel]] -Variante, ferner als ganzzahliges EDO auch in der halboktavischen [[Magische Temperaturen#Astrology|Astrology]] -Variante.

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige Magic- bzw. Muggel-Skala (4141411) in 16-EDO


[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3]]

Zehntönige Magic- bzw. Muggel-Skala (3113113111) in 16-EDO


[[Datei:16EdoAstrology.mp3]]

Sechstönige Astrology-Skala (323323) in 16-EDO

=== Slendrisch, Gorgo, Lemba ===
16-EDO unterstützt die [[Slendrisch#slendrische]]-Temperatur, in der [[Slendrisch#Gorgo|Gorgo]]-Variante, ferner in der halboktavischen [[Slendrisch#Lemba|Lemba]]-Variante. Letztere fällt in 16-EDO mit Astrology zusammen. 

[[Todo Klangbeispiel]]

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

== Links ==
* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

[[Kategorie:EDO]]</text>
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| ja = 16平均律
}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==

Detaillierte Informationen zu regulären Temperaturen siehe im [[:en:16edo#Regular_temperament_properties|englischen Xenwiki]]
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen" [[MOS-Skalen]]. 

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (3223222) in 16-EDO

[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (122212222) in 16-EDO

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (221222122) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Oktave in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt.

[[File:htgt16edo.mp3]]

Verminderte achttönige Skala (13131313) in 16-EDO

=== Magisch, Muggel, Astrology ===
16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 unterstützt auch die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur, in der [[Magische Temperaturen#Muggel|Muggel]] -Variante, ferner als ganzzahliges EDO auch in der halboktavischen [[Magische Temperaturen#Astrology|Astrology]] -Variante.

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige Magic- bzw. Muggel-Skala (4141411) in 16-EDO


[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3]]

Zehntönige Magic- bzw. Muggel-Skala (3113113111) in 16-EDO


[[Datei:16EdoAstrology.mp3]]

Sechstönige Astrology-Skala (323323) in 16-EDO

=== Slendrisch, Gorgo, Lemba ===
16-EDO unterstützt die [[Slendrisch#slendrische]]-Temperatur, in der [[Slendrisch#Gorgo|Gorgo]]-Variante, ferner in der halboktavischen [[Slendrisch#Lemba|Lemba]]-Variante. Letztere fällt in 16-EDO mit Astrology zusammen. 

[[Todo Klangbeispiel]]

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

== Links ==
* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

[[Kategorie:EDO]]</text>
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| ja = 16平均律
}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==

Detaillierte Informationen zu regulären Temperaturen siehe auch im [[:en:16edo#Regular_temperament_properties|englischen Xenwiki]]
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen" [[MOS-Skalen]]. 

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (3223222) in 16-EDO

[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (122212222) in 16-EDO

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (221222122) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Oktave in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt.

[[File:htgt16edo.mp3]]

Verminderte achttönige Skala (13131313) in 16-EDO

=== Magisch, Muggel, Astrology ===
16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 unterstützt auch die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur, in der [[Magische Temperaturen#Muggel|Muggel]] -Variante, ferner als ganzzahliges EDO auch in der halboktavischen [[Magische Temperaturen#Astrology|Astrology]] -Variante.

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige Magic- bzw. Muggel-Skala (4141411) in 16-EDO


[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3]]

Zehntönige Magic- bzw. Muggel-Skala (3113113111) in 16-EDO


[[Datei:16EdoAstrology.mp3]]

Sechstönige Astrology-Skala (323323) in 16-EDO

=== Slendrisch, Gorgo, Lemba ===
16-EDO unterstützt die [[Slendrisch#slendrische]]-Temperatur, in der [[Slendrisch#Gorgo|Gorgo]]-Variante, ferner in der halboktavischen [[Slendrisch#Lemba|Lemba]]-Variante. Letztere fällt in 16-EDO mit Astrology zusammen. 

[[Todo Klangbeispiel]]

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

== Links ==
* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

[[Kategorie:EDO]]</text>
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| ja = 16平均律
}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==

Detaillierte Informationen zu regulären Temperaturen siehe auch im [[:en:16edo#Regular_temperament_properties|englischen Xenwiki]]
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen" [[MOS-Skalen]]. 

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (3223222) in 16-EDO

[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (122212222) in 16-EDO

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (221222122) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Oktave in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt.

[[File:htgt16edo.mp3]]

Verminderte achttönige Skala (13131313) in 16-EDO

=== Magisch, Muggel, Astrology ===
16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 unterstützt auch die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur, in der [[Magische Temperaturen#Muggel|Muggel]] -Variante, ferner als ganzzahliges EDO auch in der halboktavischen [[Magische Temperaturen#Astrology|Astrology]] -Variante.

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige Magic- bzw. Muggel-Skala (4141411) in 16-EDO


[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3]]

Zehntönige Magic- bzw. Muggel-Skala (3113113111) in 16-EDO


[[Datei:16EdoAstrology.mp3]]

Sechstönige Astrology-Skala (323323) in 16-EDO

=== Slendrisch, Gorgo, Lemba ===
16-EDO unterstützt die [[Slendrisch|slendrische]]-Temperatur, in der [[Slendrisch#Gorgo|Gorgo]]-Variante, ferner in der halboktavischen [[Slendrisch#Lemba|Lemba]]-Variante. Letztere fällt in 16-EDO mit Astrology zusammen. 

[[Todo Klangbeispiel]]

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

== Links ==
* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

[[Kategorie:EDO]]</text>
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| ja = 16平均律
}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==

Detaillierte Informationen zu regulären Temperaturen siehe auch im [[:en:16edo#Regular_temperament_properties|englischen Xenwiki]]
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen" [[MOS-Skalen]]. 

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (3223222) in 16-EDO

[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (122212222) in 16-EDO

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (221222122) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Oktave in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt.

[[File:htgt16edo.mp3]]

Verminderte achttönige Skala (13131313) in 16-EDO

=== Magisch, Muggel, Astrology ===
16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 unterstützt auch die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur, in der [[Magische Temperaturen#Muggel|Muggel]] -Variante, ferner als ganzzahliges EDO auch in der halboktavischen [[Magische Temperaturen#Astrology|Astrology]] -Variante.

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige Magic- bzw. Muggel-Skala (4141411) in 16-EDO


[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3]]

Zehntönige Magic- bzw. Muggel-Skala (3113113111) in 16-EDO


[[Datei:16EdoAstrology.mp3]]

Sechstönige Astrology-Skala (323323) in 16-EDO

=== Slendrisch, Gorgo, Lemba ===
16-EDO unterstützt die [[Slendrisch|slendrische]]-Temperatur, in der [[Slendrisch#Gorgo|Gorgo]]-Variante, ferner in der halboktavischen [[Slendrisch#Lemba|Lemba]]-Variante. Letztere fällt in 16-EDO mit Astrology zusammen. 
[[Datei:16edoGorgo.mp3|mini|Sechstönige Slendrisch-/Gorgo-Skala in 16-EDO]]

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

== Links ==
* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

[[Kategorie:EDO]]</text>
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[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==

Detaillierte Informationen zu regulären Temperaturen siehe auch im [[:en:16edo#Regular_temperament_properties|englischen Xenwiki]]
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen" [[MOS-Skalen]]. 

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (3223222) in 16-EDO

[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (122212222) in 16-EDO

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (221222122) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Oktave in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt.

[[File:htgt16edo.mp3]]

Verminderte achttönige Skala (13131313) in 16-EDO

=== Magisch, Muggel, Astrology ===
16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 unterstützt auch die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur, in der [[Magische Temperaturen#Muggel|Muggel]] -Variante, ferner als ganzzahliges EDO auch in der halboktavischen [[Magische Temperaturen#Astrology|Astrology]] -Variante.

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige Magic- bzw. Muggel-Skala (4141411) in 16-EDO


[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3]]

Zehntönige Magic- bzw. Muggel-Skala (3113113111) in 16-EDO


[[Datei:16EdoAstrology.mp3]]

Sechstönige Astrology-Skala (323323) in 16-EDO

=== Slendrisch, Gorgo, Lemba ===
16-EDO unterstützt die [[Slendrisch|slendrische]]-Temperatur, in der [[Slendrisch#Gorgo|Gorgo]]-Variante, ferner in der halboktavischen [[Slendrisch#Lemba|Lemba]]-Variante. Letztere fällt in 16-EDO mit Astrology zusammen. 

[[Datei:16edoGorgo.mp3|Sechstönige Slendrisch-/Gorgo-Skala in 16-EDO]]

Sechstönige Slendrisch-/Gorgo-Skala und slendrischer Fünfklang in 16-EDO

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

== Links ==
* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

[[Kategorie:EDO]]</text>
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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==

Detaillierte Informationen zu regulären Temperaturen siehe auch im [[:en:16edo#Regular_temperament_properties|englischen Xenwiki]]
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen" [[MOS-Skalen]]. 

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (3223222) in 16-EDO

[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (122212222) in 16-EDO

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (221222122) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Oktave in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt.

[[File:htgt16edo.mp3]]

Verminderte achttönige Skala (13131313) in 16-EDO

=== Magisch, Muggel, Astrology ===
16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 unterstützt auch die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur, in der [[Magische Temperaturen#Muggel|Muggel]] -Variante, ferner als ganzzahliges EDO auch in der halboktavischen [[Magische Temperaturen#Astrology|Astrology]] -Variante.

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige Magic- bzw. Muggel-Skala (4141411) in 16-EDO


[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3]]

Zehntönige Magic- bzw. Muggel-Skala (3113113111) in 16-EDO


[[Datei:16EdoAstrology.mp3]]

Sechstönige Astrology-Skala (323323) in 16-EDO

=== Slendrisch, Gorgo, Lemba ===
16-EDO unterstützt die [[Slendrisch|slendrische]]-Temperatur, in der [[Slendrisch#Gorgo|Gorgo]]-Variante.

[[Datei:16edoGorgo.mp3|Sechstönige Slendrisch-/Gorgo-Skala in 16-EDO]]

Sechstönige Slendrisch-/Gorgo-Skala und slendrischer Fünfklang in 16-EDO

16-EDO unterstützt auch [[Slendrisch#Lemba|Lemba]], die halboktavische Variante von Slendro. Diese fällt in 16-EDO mit Astrology zusammen.

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

== Links ==
* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

[[Kategorie:EDO]]</text>
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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==

Detaillierte Informationen zu regulären Temperaturen siehe auch im [[:en:16edo#Regular_temperament_properties|englischen Xenwiki]]
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen" [[MOS-Skalen]]. 

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (3223222) in 16-EDO

[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (122212222) in 16-EDO

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (221222122) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Oktave in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt.

[[File:htgt16edo.mp3]]

Verminderte achttönige Skala (13131313) in 16-EDO

=== Magisch, Muggel, Astrology ===
16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 unterstützt auch die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur, in der [[Magische Temperaturen#Muggel|Muggel]] -Variante, ferner als ganzzahliges EDO auch in der halboktavischen [[Magische Temperaturen#Astrology|Astrology]] -Variante.

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige Magic- bzw. Muggel-Skala (4141411) in 16-EDO


[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3]]

Zehntönige Magic- bzw. Muggel-Skala (3113113111) in 16-EDO


[[Datei:16EdoAstrology.mp3]]

Sechstönige Astrology-Skala (323323) in 16-EDO

=== Slendrisch, Gorgo, Lemba ===
16-EDO unterstützt die [[Slendrisch|slendrische]]-Temperatur, in der [[Slendrisch#Gorgo|Gorgo]]-Variante.

[[Datei:16edoGorgo.mp3|Sechstönige Slendrisch-/Gorgo-Skala in 16-EDO]]

Sechstönige Slendrisch-/Gorgo-Skala und slendrischer Fünfklang in 16-EDO

16-EDO unterstützt auch [[Slendrisch#Lemba|Lemba]], die halboktavische Variante von Slendro. Diese fällt in 16-EDO mit Astrology zusammen.

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

[[Kategorie:EDO]]</text>
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        <username>Hstraub</username>
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| de = 16-EDO
| en = 16edo 
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| ja = 16平均律
}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

Als dezidiert xenharmonisches System, das dabei überschaubarer Grösse ist, hat 16-EDO eine gewisse Verbreitung gefunden. Beispiele:

* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==

Detaillierte Informationen zu regulären Temperaturen siehe auch im [[:en:16edo#Regular_temperament_properties|englischen Xenwiki]]
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen" [[MOS-Skalen]]. 

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (3223222) in 16-EDO

[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (122212222) in 16-EDO

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (221222122) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Oktave in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt.

[[File:htgt16edo.mp3]]

Verminderte achttönige Skala (13131313) in 16-EDO

=== Magisch, Muggel, Astrology ===
16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 unterstützt auch die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur, in der [[Magische Temperaturen#Muggel|Muggel]] -Variante, ferner als ganzzahliges EDO auch in der halboktavischen [[Magische Temperaturen#Astrology|Astrology]] -Variante.

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige Magic- bzw. Muggel-Skala (4141411) in 16-EDO


[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3]]

Zehntönige Magic- bzw. Muggel-Skala (3113113111) in 16-EDO


[[Datei:16EdoAstrology.mp3]]

Sechstönige Astrology-Skala (323323) in 16-EDO

=== Slendrisch, Gorgo, Lemba ===
16-EDO unterstützt die [[Slendrisch|slendrische]]-Temperatur, in der [[Slendrisch#Gorgo|Gorgo]]-Variante.

[[Datei:16edoGorgo.mp3|Sechstönige Slendrisch-/Gorgo-Skala in 16-EDO]]

Sechstönige Slendrisch-/Gorgo-Skala und slendrischer Fünfklang in 16-EDO

16-EDO unterstützt auch [[Slendrisch#Lemba|Lemba]], die halboktavische Variante von Slendro. Diese fällt in 16-EDO mit Astrology zusammen.

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

[[Kategorie:EDO]]</text>
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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

Als dezidiert xenharmonisches System, das dabei überschaubarer Grösse ist, hat 16-EDO eine gewisse Verbreitung gefunden. Beispiele:

* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==

Detaillierte Informationen zu regulären Temperaturen siehe auch im [[:en:16edo#Regular_temperament_properties|englischen Xenwiki]]
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen" [[MOS-Skalen]]. 


[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (3223222) in 16-EDO


[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (122212222) in 16-EDO


[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (221222122) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Oktave in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt.

[[File:htgt16edo.mp3]]

Verminderte achttönige Skala (13131313) in 16-EDO

=== Magisch, Muggel, Astrology ===
16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 unterstützt auch die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur, in der [[Magische Temperaturen#Muggel|Muggel]] -Variante, ferner als ganzzahliges EDO auch in der halboktavischen [[Magische Temperaturen#Astrology|Astrology]] -Variante.

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige Magic- bzw. Muggel-Skala (4141411) in 16-EDO


[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3]]

Zehntönige Magic- bzw. Muggel-Skala (3113113111) in 16-EDO


[[Datei:16EdoAstrology.mp3]]

Sechstönige Astrology-Skala (323323) in 16-EDO

=== Slendrisch, Gorgo, Lemba ===
16-EDO unterstützt die [[Slendrisch|slendrische]]-Temperatur, in der [[Slendrisch#Gorgo|Gorgo]]-Variante.

[[Datei:16edoGorgo.mp3|Sechstönige Slendrisch-/Gorgo-Skala in 16-EDO]]

Sechstönige Slendrisch-/Gorgo-Skala und slendrischer Fünfklang in 16-EDO

16-EDO unterstützt auch [[Slendrisch#Lemba|Lemba]], die halboktavische Variante von Slendro. Diese fällt in 16-EDO mit Astrology zusammen.

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

[[Kategorie:EDO]]</text>
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| ja = 16平均律
}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

Als dezidiert xenharmonisches System, das dabei überschaubarer Grösse ist, hat 16-EDO eine gewisse Verbreitung gefunden. Beispiele:

* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==

Detaillierte Informationen zu regulären Temperaturen siehe auch im [[:en:16edo#Regular_temperament_properties|englischen Xenwiki]].
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen" [[MOS-Skalen]]. 


[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (3223222) in 16-EDO


[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (122212222) in 16-EDO


[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (221222122) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Oktave in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt.

[[File:htgt16edo.mp3]]

Verminderte achttönige Skala (13131313) in 16-EDO

=== Magisch, Muggel, Astrology ===
16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 unterstützt auch die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur, in der [[Magische Temperaturen#Muggel|Muggel]] -Variante, ferner als ganzzahliges EDO auch in der halboktavischen [[Magische Temperaturen#Astrology|Astrology]] -Variante.

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige Magic- bzw. Muggel-Skala (4141411) in 16-EDO


[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3]]

Zehntönige Magic- bzw. Muggel-Skala (3113113111) in 16-EDO


[[Datei:16EdoAstrology.mp3]]

Sechstönige Astrology-Skala (323323) in 16-EDO

=== Slendrisch, Gorgo, Lemba ===
16-EDO unterstützt die [[Slendrisch|slendrische]]-Temperatur, in der [[Slendrisch#Gorgo|Gorgo]]-Variante.

[[Datei:16edoGorgo.mp3|Sechstönige Slendrisch-/Gorgo-Skala in 16-EDO]]

Sechstönige Slendrisch-/Gorgo-Skala und slendrischer Fünfklang in 16-EDO

16-EDO unterstützt auch [[Slendrisch#Lemba|Lemba]], die halboktavische Variante von Slendro. Diese fällt in 16-EDO mit Astrology zusammen.

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

[[Kategorie:EDO]]</text>
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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

Als dezidiert xenharmonisches System, das dabei überschaubarer Grösse ist, hat 16-EDO eine gewisse Verbreitung gefunden. Beispiele:

* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==

Detaillierte Informationen zu regulären Temperaturen siehe auch im [[:en:16edo#Regular_temperament_properties|englischen Xenwiki]].
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen" [[MOS-Skalen]]. 


[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (3223222) in 16-EDO


[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (122212222) in 16-EDO


[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (221222122) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Oktave in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt.

[[File:htgt16edo.mp3]]

Verminderte achttönige Skala (13131313) in 16-EDO

=== Magisch, Muggel, Astrology ===
16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 unterstützt auch die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur, in der [[Magische Temperaturen#Muggel|Muggel]] -Variante, ferner als ganzzahliges EDO auch in der halboktavischen [[Magische Temperaturen#Astrology|Astrology]] -Variante.

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige Magic- bzw. Muggel-Skala (4141411) in 16-EDO


[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3]]

Zehntönige Magic- bzw. Muggel-Skala (3113113111) in 16-EDO


[[Datei:16EdoAstrology.mp3]]

Sechstönige Astrology-Skala (323323) in 16-EDO

=== Slendrisch, Gorgo, Lemba ===
16-EDO unterstützt die [[Slendrisch|slendrische]] Temperatur, in der [[Slendrisch#Gorgo|Gorgo]]-Variante.

[[Datei:16edoGorgo.mp3|Sechstönige Slendrisch-/Gorgo-Skala in 16-EDO]]

Sechstönige Slendrisch-/Gorgo-Skala und slendrischer Fünfklang in 16-EDO

16-EDO unterstützt auch [[Slendrisch#Lemba|Lemba]], die halboktavische Variante von Slendro. Diese fällt in 16-EDO mit Astrology zusammen.

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

* [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] (toter Link)
* [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

[[Kategorie:EDO]]</text>
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| ja = 16平均律
}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

Als dezidiert xenharmonisches System, das dabei überschaubarer Grösse ist, hat 16-EDO eine gewisse Verbreitung gefunden. Beispiele:

* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==

Detaillierte Informationen zu regulären Temperaturen siehe auch im [[:en:16edo#Regular_temperament_properties|englischen Xenwiki]].
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen" [[MOS-Skalen]]. 


[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (3223222) in 16-EDO


[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (122212222) in 16-EDO


[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (221222122) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Oktave in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt.

[[File:htgt16edo.mp3]]

Verminderte achttönige Skala (13131313) in 16-EDO

=== Magisch, Muggel, Astrology ===
16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 unterstützt auch die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur, in der [[Magische Temperaturen#Muggel|Muggel]] -Variante, ferner als ganzzahliges EDO auch in der halboktavischen [[Magische Temperaturen#Astrology|Astrology]] -Variante.

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige Magic- bzw. Muggel-Skala (4141411) in 16-EDO


[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3]]

Zehntönige Magic- bzw. Muggel-Skala (3113113111) in 16-EDO


[[Datei:16EdoAstrology.mp3]]

Sechstönige Astrology-Skala (323323) in 16-EDO

=== Slendrisch, Gorgo, Lemba ===
16-EDO unterstützt die [[Slendrisch|slendrische]] Temperatur, in der [[Slendrisch#Gorgo|Gorgo]]-Variante.

[[Datei:16edoGorgo.mp3|Sechstönige Slendrisch-/Gorgo-Skala in 16-EDO]]

Sechstönige Slendrisch-/Gorgo-Skala und slendrischer Fünfklang in 16-EDO

16-EDO unterstützt auch [[Slendrisch#Lemba|Lemba]], die halboktavische Variante von Slendro. Diese fällt in 16-EDO mit Astrology zusammen.

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

[http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

[[Kategorie:EDO]]</text>
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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

Als dezidiert xenharmonisches System, das dabei überschaubarer Grösse ist, hat 16-EDO eine gewisse Verbreitung gefunden. Beispiele:

* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==

Detaillierte Informationen zu regulären Temperaturen siehe auch im [[:en:16edo#Regular_temperament_properties|englischen Xenwiki]].
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen" [[MOS-Skalen]]. 


[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (3223222) in 16-EDO


[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (122212222) in 16-EDO


[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (221222122) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Oktave in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt.

[[File:htgt16edo.mp3]]

Verminderte achttönige Skala (13131313) in 16-EDO

=== Magisch, Muggel, Astrology ===
16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 unterstützt auch die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur, in der [[Magische Temperaturen#Muggel|Muggel]] -Variante, ferner als ganzzahliges EDO auch in der halboktavischen [[Magische Temperaturen#Astrology|Astrology]] -Variante.

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige Magic- bzw. Muggel-Skala (4141411) in 16-EDO


[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3]]

Zehntönige Magic- bzw. Muggel-Skala (3113113111) in 16-EDO


[[Datei:16EdoAstrology.mp3]]

Sechstönige Astrology-Skala (323323) in 16-EDO

=== Slendrisch, Gorgo, Lemba ===
16-EDO unterstützt die [[Slendrisch|slendrische]] Temperatur, in der [[Slendrisch#Gorgo|Gorgo]]-Variante.

[[Datei:16edoGorgo.mp3|Sechstönige Slendrisch-/Gorgo-Skala in 16-EDO]]

Sechstönige Slendrisch-/Gorgo-Skala (333331) und slendrischer Fünfklang in 16-EDO

16-EDO unterstützt auch [[Slendrisch#Lemba|Lemba]], die halboktavische Variante von Slendro. Diese fällt in 16-EDO mit Astrology zusammen.

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

[http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

[[Kategorie:EDO]]</text>
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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte, die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

Als dezidiert xenharmonisches System, das dabei überschaubarer Grösse ist, hat 16-EDO eine gewisse Verbreitung gefunden. Beispiele:

* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==

Detaillierte Informationen zu regulären Temperaturen siehe auch im [[:en:16edo#Regular_temperament_properties|englischen Xenwiki]].
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen" [[MOS-Skalen]]. 


[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (3223222) in 16-EDO


[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (122212222) in 16-EDO


[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (221222122) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Oktave in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt.

[[File:htgt16edo.mp3]]

Verminderte achttönige Skala (13131313) in 16-EDO

=== Magisch, Muggel, Astrology ===
16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 unterstützt auch die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur, in der [[Magische Temperaturen#Muggel|Muggel]] -Variante, ferner als ganzzahliges EDO auch in der halboktavischen [[Magische Temperaturen#Astrology|Astrology]] -Variante.

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige Magic- bzw. Muggel-Skala (4141411) in 16-EDO


[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3]]

Zehntönige Magic- bzw. Muggel-Skala (3113113111) in 16-EDO


[[Datei:16EdoAstrology.mp3]]

Sechstönige Astrology-Skala (323323) in 16-EDO

=== Slendrisch, Gorgo, Lemba ===
16-EDO unterstützt die [[Slendrisch|slendrische]] Temperatur, in der [[Slendrisch#Gorgo|Gorgo]]-Variante.

[[Datei:16edoGorgo.mp3|Sechstönige Slendrisch-/Gorgo-Skala in 16-EDO]]

Sechstönige Slendrisch-/Gorgo-Skala (333331) und slendrischer Fünfklang in 16-EDO


[[Datei:16EdoGorgoHendecatonic.mp3|Elftönige Slendrisch-/Gorgo-Skala in 16-EDO]]

Elftönige Slendrisch-/Gorgo-Skala in 16-EDO


16-EDO unterstützt auch [[Slendrisch#Lemba|Lemba]], die halboktavische Variante von Slendro. Diese fällt in 16-EDO mit Astrology zusammen.

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

[http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

[[Kategorie:EDO]]</text>
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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte (675 [[Cent]], beinahe 27 Cent zu tief), die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] und [[Naturseptime]] andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

Als dezidiert xenharmonisches System, das dabei überschaubarer Grösse ist, hat 16-EDO eine gewisse Verbreitung gefunden. Beispiele:

* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==

Detaillierte Informationen zu regulären Temperaturen siehe auch im [[:en:16edo#Regular_temperament_properties|englischen Xenwiki]].
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen" [[MOS-Skalen]]. 


[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (3223222) in 16-EDO


[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (122212222) in 16-EDO


[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (221222122) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Oktave in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt.

[[File:htgt16edo.mp3]]

Verminderte achttönige Skala (13131313) in 16-EDO

=== Magisch, Muggel, Astrology ===
16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 unterstützt auch die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur, in der [[Magische Temperaturen#Muggel|Muggel]] -Variante, ferner als ganzzahliges EDO auch in der halboktavischen [[Magische Temperaturen#Astrology|Astrology]] -Variante.

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige Magic- bzw. Muggel-Skala (4141411) in 16-EDO


[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3]]

Zehntönige Magic- bzw. Muggel-Skala (3113113111) in 16-EDO


[[Datei:16EdoAstrology.mp3]]

Sechstönige Astrology-Skala (323323) in 16-EDO

=== Slendrisch, Gorgo, Lemba ===
16-EDO unterstützt die [[Slendrisch|slendrische]] Temperatur, in der [[Slendrisch#Gorgo|Gorgo]]-Variante.

[[Datei:16edoGorgo.mp3|Sechstönige Slendrisch-/Gorgo-Skala in 16-EDO]]

Sechstönige Slendrisch-/Gorgo-Skala (333331) und slendrischer Fünfklang in 16-EDO


[[Datei:16EdoGorgoHendecatonic.mp3|Elftönige Slendrisch-/Gorgo-Skala in 16-EDO]]

Elftönige Slendrisch-/Gorgo-Skala in 16-EDO


16-EDO unterstützt auch [[Slendrisch#Lemba|Lemba]], die halboktavische Variante von Slendro. Diese fällt in 16-EDO mit Astrology zusammen.

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

[http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

[[Kategorie:EDO]]</text>
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| de = 16-EDO
| en = 16edo 
| es = 
| ja = 16平均律
}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte (675 [[Cent]], beinahe 27 Cent zu tief), die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] (375 Cent, 11.3 Cent Abweichung) und [[Naturseptime]] (975 Cent, 6.2 Cent Abweichung) andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

Als dezidiert xenharmonisches System, das dabei überschaubarer Grösse ist, hat 16-EDO eine gewisse Verbreitung gefunden. Beispiele:

* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==

Detaillierte Informationen zu regulären Temperaturen siehe auch im [[:en:16edo#Regular_temperament_properties|englischen Xenwiki]].
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen" [[MOS-Skalen]]. 


[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (3223222) in 16-EDO


[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (122212222) in 16-EDO


[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (221222122) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Oktave in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt.

[[File:htgt16edo.mp3]]

Verminderte achttönige Skala (13131313) in 16-EDO

=== Magisch, Muggel, Astrology ===
16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 unterstützt auch die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur, in der [[Magische Temperaturen#Muggel|Muggel]] -Variante, ferner als ganzzahliges EDO auch in der halboktavischen [[Magische Temperaturen#Astrology|Astrology]] -Variante.

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige Magic- bzw. Muggel-Skala (4141411) in 16-EDO


[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3]]

Zehntönige Magic- bzw. Muggel-Skala (3113113111) in 16-EDO


[[Datei:16EdoAstrology.mp3]]

Sechstönige Astrology-Skala (323323) in 16-EDO

=== Slendrisch, Gorgo, Lemba ===
16-EDO unterstützt die [[Slendrisch|slendrische]] Temperatur, in der [[Slendrisch#Gorgo|Gorgo]]-Variante.

[[Datei:16edoGorgo.mp3|Sechstönige Slendrisch-/Gorgo-Skala in 16-EDO]]

Sechstönige Slendrisch-/Gorgo-Skala (333331) und slendrischer Fünfklang in 16-EDO


[[Datei:16EdoGorgoHendecatonic.mp3|Elftönige Slendrisch-/Gorgo-Skala in 16-EDO]]

Elftönige Slendrisch-/Gorgo-Skala in 16-EDO


16-EDO unterstützt auch [[Slendrisch#Lemba|Lemba]], die halboktavische Variante von Slendro. Diese fällt in 16-EDO mit Astrology zusammen.

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

[http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

16-EDO ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Oktave in 16 gleiche Teile zu je 75 [[Cent]] entsteht.

== Approximation reiner Intervalle ==
16-EDO verfügt über eine relativ stark verminderte Quinte (675 [[Cent]], beinahe 27 Cent zu tief), die nicht so verwendbar ist wie in [[12-EDO]]. Dies macht 16-EDO im Charakter um einiges fremdartiger als die [[mitteltönig]]en Systeme wie [[19-EDO]] oder [[31-EDO]].

Die Approximationen für [[Naturterz]] (375 Cent, 11.3 Cent Abweichung) und [[Naturseptime]] (975 Cent, 6.2 Cent Abweichung) andererseits sind deutlich besser als in 12-EDO, was andersartige harmonische Möglichkeiten bietet, die es wiederum in der herkömmlichen Zwölftonstimmung nicht gibt. In melodischer Hinsicht attraktiv ist die Verfügbarkeit von drei verschiedenen Sekundenintervallen, einer sehr kleinen Sekunde mit 75 [[Cent]], einer neutralen mit 150 Cent und einer sehr großen mit 225 Cent.

Die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 ist dieselbe wie die der Standardstimmung 12-EDO, die Oktave in vier gleiche Teile teilend, was den bekannten vollsymmetrischen verminderten Septakkord ergibt.

Als dezidiert xenharmonisches System, das dabei überschaubarer Grösse ist, hat 16-EDO eine gewisse Verbreitung gefunden. Beispiele:

* [http://www.armodue.com www.armodue.com] - Webseite in italienischer Sprache, die sich der Förderung der sechzehntönigen Stimmung (auf Italienisch esadecafonia) verschrieben hat. &lt;br&gt; Lesenswert ist namentlich [http://www.armodue.com/armonia.htm Elementi di base di armonia], mit detaillierten Beschreibungen verschiedenster Eigenschaften des sechzehnstufigen Tonsystems sowie einer Reihe inspirierender Ideen zur Komposition. Eine englische Übersetzung findet sich im [[:en:Armodue armonia|englischen Xenharmonic Wiki]].
* [https://lastsacrament.bandcamp.com/ Last Sacrament], eine Death-Metal-Band aus Florida, deren Album [https://lastsacrament.bandcamp.com/album/enantiodromia Enantiodromia] gänzlich in 16-EDO gehalten ist.

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==

Detaillierte Informationen zu regulären Temperaturen siehe auch im [[:en:16edo#Regular_temperament_properties|englischen Xenwiki]].
=== Mavila ===
An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], die 16-EDO unterstützt, ist [[Mavila]] vielleicht die wichtigste, mit den durch Übereinanderschichten der kleinen Quinte erhaltenen "antidiatonischen" und "superdiatonischen" [[MOS-Skalen]]. 


[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (3223222) in 16-EDO


[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (122212222) in 16-EDO


[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (221222122) in 16-EDO

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

=== Vermindert ===
Als Unterteilung der Oktave in ein Vielfaches von 4 unterstützt 16-EDO auch die [[Verminderte Temperaturen|verminderte]] Temperatur und verfügt über eine achttönige verminderte Skala, welche sich aus zwei verminderten Septakkorden zusammensetzt.

[[File:htgt16edo.mp3]]

Verminderte achttönige Skala (13131313) in 16-EDO

=== Magisch, Muggel, Astrology ===
16-EDO mit seiner guten Approximation der reinen grossen Terz 5/4 unterstützt auch die [[Magische Temperaturen|magische]] Temperatur, in der [[Magische Temperaturen#Muggel|Muggel]] -Variante, ferner als ganzzahliges EDO auch in der halboktavischen [[Magische Temperaturen#Astrology|Astrology]] -Variante.

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige Magic- bzw. Muggel-Skala (4141411) in 16-EDO


[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3]]

Zehntönige Magic- bzw. Muggel-Skala (3113113111) in 16-EDO


[[Datei:16EdoAstrology.mp3]]

Sechstönige Astrology-Skala (323323) in 16-EDO

=== Slendrisch, Gorgo, Lemba ===
16-EDO unterstützt die [[Slendrisch|slendrische]] Temperatur, in der [[Slendrisch#Gorgo|Gorgo]]-Variante.

[[Datei:16edoGorgo.mp3|Sechstönige Slendrisch-/Gorgo-Skala in 16-EDO]]

Sechstönige Slendrisch-/Gorgo-Skala (333331) und slendrischer Fünfklang in 16-EDO


[[Datei:16EdoGorgoHendecatonic.mp3|Elftönige Slendrisch-/Gorgo-Skala in 16-EDO]]

Elftönige Slendrisch-/Gorgo-Skala in 16-EDO


16-EDO unterstützt auch [[Slendrisch#Lemba|Lemba]], die halboktavische Variante von Slendro. Diese fällt in 16-EDO mit Astrology zusammen.

== Tastatur-Layouts für 16-EDO ==

16-EDO lässt sich recht gut auf einer Standard-Klaviertastatur spielen - man muss natürlich im Kopf behalten, dass eine akustische Oktave nicht dort ist, wo man sie vom Klavier her erwartet, sondern 4 Halbtöne höher (und natürlich braucht man einen Tonerzeuger, der ein solches globales Umstimmen ermöglicht). Es ergibt sich dann auf den weissen Tasten (z.B. von c' bis e'') gerade eine superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL).

Aus den Eigenschaften der [[Mavila]]-Temperatur lässt sich auch auf natürliche Weise ein alternatives Tastaturlayout für 16-EDO herleiten. Es bildet nämlich das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Entsprechende Layouts könnten dann etwa so aussehen:

[http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]

[[Kategorie:EDO]]</text>
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__FORCETOC__
[[edo|Ûbersicht EDO]]

Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines [[Superpyth|superpythagoräischen]] Tonsystems. Die Quinte ist minimal höher als die reine [[Quinte|Quinte]], und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder [[mitteltönig|mitteltönigen]]) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in [[12edo|12edo]], die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.

In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]] Skalen geeignet macht.

[[File:17ed2-001-de.svg|alt=alt : Your browser has no SVG support.]]

[[:File:17ed2-001-de.svg|17ed2-001-de.svg]]

==Notation==
Musik im Siebzehnteltonsystem kann auf konsistente Weise mit traditioneller Notenschrift dargestellt werden. Zur Herleitung kann man sich vergegenwärtigen, dass die heutige Notenschrift wesentlich pythagoräischen Prinzipien folgt, genauer auf Übereinanderschichten von Quinten beruht (was für pythagoräische wie [[mitteltönig|mitteltönige]] Tonsysteme gleichermassen gilt). Die direkt durch ihre Position im Notensystem bestimmten Tonhöhen der Grundtöne C, D, E etc. bilden ja bekanntlich eine durch Übereinanderschichten von Quinten (beginnend bei F, endend bei H) erstellte diatonische Tonleiter. Zu den alterierten Noten (mit # bzw. b markiert) gelangt man durch Fortsetzung des Prozesses der Quintenschichtung: eine Quinte oberhalb des H liegt Fis, wieder eine Quinte oberhalb Cis etc., analog eine Quinte unterhalb des F das B, wieder eine Quinte unterhalb Es etc. Dies funktioniert beim superpythagoräischen 17edo gleichermassen, und man kann alle Töne von 17edo so erhalten - mit dem Unterschied, dass die #-Noten und die b-Noten in 17edo unterschiedliche Tonhöhen bezeichnen, im Gegensatz zum traditionellen 12edo. Die [http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung enharmonischen Verwechslungen] (in 12edo für jedes #/b-Paar, C#-Db, D#-Eb etc.) kommen in 17edo an andere Orte zu liegen: hier ist z.B. E-is (E#) enharmonisch äquivalent zu Ges (Gb), His (H#) zu Des (Db), Ais (A#) zu Ces (Cb) und Dis (D#) zu Fes (Fb).

Gewöhnungsbedürftig ist, dass Cis ''höher'' ist als Des, Dis höher als Es etc. - eine charakteristische Eigenschaft von pythagoräischen und superpythagoräischen Tonsystemen (im Gegensatz zu mitteltönigen, wo es genau umgekehrt ist!), was im Notenbild zu scheinbar "umgekehrter" Bewegungsrichtung führen kann.

Alle Töne von 17edo in aufsteigender Reihenfolge:

C, Db=H#, C#, D, Eb, D#=Fb, E, F, Gb=E#, F#, G, Ab, G#, A, B, A#=Cb, H

[[File:17edorast.png|alt=17edorast.png|17edorast.png]]

Approximation einer [[arabisch,_türkisch,_persisch|arabischen]] Rast-Skala in 17edo. Die Intervalle C-Dis und G-Ais sind neutrale Terzen.

[Todo Tonbeispiel]

==Layouts für Tasteninstrumente==
In analoger Weise zur Notation ergibt sich aus der pythagoräischen Organisation des siebzehnstufigen Tonsystems auch ein natürliches Tastanlayout mit weissen und schwarzen Tasten, das dem traditionellen Layout stark ähnelt - mit dem Unterschied, dass an der Stelle jeder schwarzen Taste des Zwölfton-Layouts zwei Tasten nötig sind. Man könnte also ein Instrument in der Art von gewissen [http://www.denzilwraight.com/florentine.htm Renaissance-/Barock-Cembalos] auf diese Weise stimmen.

Wenn 17edo auf einem "gewöhnlichen" Standard-Klavier gespielt werden soll, ist eine naheliegende Methode, zwei Klaviere zu verwenden, wobei die weissen Tasten bei beiden identisch gestimmt sind, die schwarzen hingegen einen Siebzehnerschritt auseinander. (Dies analog zur verbreiteten Standardmethode für [[24edo|24edo]].) Bei den divsersen Konzerten des [[:en:SeventeenTonePianoProject Seventeen Tone Piano Project]] kam genau dieses System zum Einsatz.

Eine Alternative mit einem völlig verschiedenen Layout als Resultat ist es, anstelle des superpythagoräischen Organisationsprinzip ein [[maqamisch|maqamisches]] zu verwenden, was für das Spielen von [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischen Maqam-Skalen]] sinnvoll sein kann. In maqamischen Temperaturen gibt es [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] mit sieben und zehn Tönen, und in 17edo hängen diese so zu sammen, dass jeweils die eine genau das Komplement der anderen ist (7 + 10 ergibt bekanntlich 17). Ein natürliches Layout für 17edo-maqamisch wären dann etwa 10 weisse und 7 schwarze Tasten, je eine MOS-Skala bildend - siehe [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .

==Beispiele==
[[File:BWV779-17edo.mp3]] [[:File:BWV779-17edo.mp3|info]]  [[Category:edo]]
[[Category:Prim-EDO]]</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-08-09 08:06:37 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;556380763&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[toc]]
[[edo|Ûbersicht EDO]]

Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines [[Superpyth|superpythagoräischen]] Tonsystems. Die Quinte ist minimal höher als die reine [[Quinte]], und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder [[mitteltönig|mitteltönigen]]) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in [[12edo]], die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.

In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischer]] Skalen geeignet macht.

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[[file:17ed2-001-de.svg]]

==Notation== 
Musik im Siebzehnteltonsystem kann auf konsistente Weise mit traditioneller Notenschrift dargestellt werden. Zur Herleitung kann man sich vergegenwärtigen, dass die heutige Notenschrift wesentlich pythagoräischen Prinzipien folgt, genauer auf Übereinanderschichten von Quinten beruht (was für pythagoräische wie [[mitteltönig|mitteltönige]] Tonsysteme gleichermassen gilt). Die direkt durch ihre Position im Notensystem bestimmten Tonhöhen der Grundtöne C, D, E etc. bilden ja bekanntlich eine durch Übereinanderschichten von Quinten (beginnend bei F, endend bei H) erstellte diatonische Tonleiter. Zu den alterierten Noten (mit # bzw. b markiert) gelangt man durch Fortsetzung des Prozesses der Quintenschichtung: eine Quinte oberhalb des H liegt Fis, wieder eine Quinte oberhalb Cis etc., analog eine Quinte unterhalb des F das B, wieder eine Quinte unterhalb Es etc. Dies funktioniert beim superpythagoräischen 17edo gleichermassen, und man kann alle Töne von 17edo so erhalten - mit dem Unterschied, dass die #-Noten und die b-Noten in 17edo unterschiedliche Tonhöhen bezeichnen, im Gegensatz zum traditionellen 12edo. Die [[http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung|enharmonischen Verwechslungen]] (in 12edo für jedes #/b-Paar, C#-Db, D#-Eb etc.) kommen in 17edo an andere Orte zu liegen: hier ist z.B. E-is (E#) enharmonisch äquivalent zu Ges (Gb), His (H#) zu Des (Db), Ais (A#) zu Ces (Cb) und Dis (D#) zu Fes (Fb).

Gewöhnungsbedürftig ist, dass Cis //höher// ist als Des, Dis höher als Es etc. - eine charakteristische Eigenschaft von pythagoräischen und superpythagoräischen Tonsystemen (im Gegensatz zu mitteltönigen, wo es genau umgekehrt ist!), was im Notenbild zu scheinbar "umgekehrter" Bewegungsrichtung führen kann.

Alle Töne von 17edo in aufsteigender Reihenfolge:
C, Db=H#, C#, D, Eb, D#=Fb, E, F, Gb=E#, F#, G, Ab, G#, A, B, A#=Cb, H

[[image:17edorast.png]]
Approximation einer [[arabisch, türkisch, persisch|arabischen]] Rast-Skala in 17edo. Die Intervalle C-Dis und G-Ais sind neutrale Terzen.

[Todo Tonbeispiel]

==Layouts für Tasteninstrumente== 
In analoger Weise zur Notation ergibt sich aus der pythagoräischen Organisation des siebzehnstufigen Tonsystems auch ein natürliches Tastanlayout mit weissen und schwarzen Tasten, das dem traditionellen Layout stark ähnelt - mit dem Unterschied, dass an der Stelle jeder schwarzen Taste des Zwölfton-Layouts zwei Tasten nötig sind. Man könnte also ein Instrument in der Art von gewissen [[http://www.denzilwraight.com/florentine.htm|Renaissance-/Barock-Cembalos]] auf diese Weise stimmen.

Wenn 17edo auf einem "gewöhnlichen" Standard-Klavier gespielt werden soll, ist eine naheliegende Methode, zwei Klaviere zu verwenden, wobei die weissen Tasten bei beiden identisch gestimmt sind, die schwarzen hingegen einen Siebzehnerschritt auseinander. (Dies analog zur verbreiteten Standardmethode für [[24edo]].) Bei den divsersen Konzerten des [[xenharmonic/SeventeenTonePianoProject|Seventeen Tone Piano Project]] kam genau dieses System zum Einsatz.

Eine Alternative mit einem völlig verschiedenen Layout als Resultat ist es, anstelle des superpythagoräischen Organisationsprinzip ein [[maqamisch|maqamisches]] zu verwenden, was für das Spielen von [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischen Maqam-Skalen]] sinnvoll sein kann. In maqamischen Temperaturen gibt es [[MOS-Skalen]] mit sieben und zehn Tönen, und in 17edo hängen diese so zu sammen, dass jeweils die eine genau das Komplement der anderen ist (7 + 10 ergibt bekanntlich 17). Ein natürliches Layout für 17edo-maqamisch wären dann etwa 10 weisse und 7 schwarze Tasten, je eine MOS-Skala bildend - siehe [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]] .

==Beispiele== 
[[media type="file" key="BWV779-17edo.mp3" width="240" height="20"]] [[http://xenharmonie.wikispaces.com/file/detail/BWV779-17edo.mp3|info]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;17edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/17edo"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt; - &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/17%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%BE%8B"&amp;gt;日本語&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:8:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@normal&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaToc&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/normal?w=225&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div id="toc"&amp;gt;&amp;lt;h1 class="nopad"&amp;gt;Table of Contents&amp;lt;/h1&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:8 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:9: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 2em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#x-Notation"&amp;gt;Notation&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:9 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:10: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 2em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#x-Layouts für Tasteninstrumente"&amp;gt;Layouts für Tasteninstrumente&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:10 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:11: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 2em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#x-Beispiele"&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:11 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:12: --&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:12 --&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;Ûbersicht EDO&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsystems. Die Quinte ist minimal höher als die reine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quinte"&amp;gt;Quinte&amp;lt;/a&amp;gt;, und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt;) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen geeignet macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:0:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/custom/24817188?h=0&amp;amp;amp;w=0&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaCustom&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;custom&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;24817188&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Custom Media&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;object id="example" type="image/svg+xml" data="http://xenharmonie.wikispaces.com/file/view/17ed2-001-de.svg"&amp;gt;alt : Your browser has no SVG support.&amp;lt;/object&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextFileRule:14:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file/17ed2-001-de.svg?h=52&amp;amp;amp;w=320&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@file@@17ed2-001-de.svg&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;File: 17ed2-001-de.svg&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;320&amp;amp;quot; height=&amp;amp;quot;52&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="objectEmbed"&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/17ed2-001-de.svg/481258406/17ed2-001-de.svg" onclick="ws.common.trackFileLink('/file/view/17ed2-001-de.svg/481258406/17ed2-001-de.svg');"&amp;gt;&amp;lt;img src="http://www.wikispaces.com/i/mime/32/empty.png" height="32" width="32" alt="17ed2-001-de.svg" /&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;div&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/17ed2-001-de.svg/481258406/17ed2-001-de.svg" onclick="ws.common.trackFileLink('/file/view/17ed2-001-de.svg/481258406/17ed2-001-de.svg');" class="filename" title="17ed2-001-de.svg"&amp;gt;17ed2-001-de.svg&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/detail/17ed2-001-de.svg"&amp;gt;Details&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/17ed2-001-de.svg/481258406/17ed2-001-de.svg"&amp;gt;Download&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li style="color: #666"&amp;gt;27 KB&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextFileRule:14 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Notation"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Notation&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Musik im Siebzehnteltonsystem kann auf konsistente Weise mit traditioneller Notenschrift dargestellt werden. Zur Herleitung kann man sich vergegenwärtigen, dass die heutige Notenschrift wesentlich pythagoräischen Prinzipien folgt, genauer auf Übereinanderschichten von Quinten beruht (was für pythagoräische wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsysteme gleichermassen gilt). Die direkt durch ihre Position im Notensystem bestimmten Tonhöhen der Grundtöne C, D, E etc. bilden ja bekanntlich eine durch Übereinanderschichten von Quinten (beginnend bei F, endend bei H) erstellte diatonische Tonleiter. Zu den alterierten Noten (mit # bzw. b markiert) gelangt man durch Fortsetzung des Prozesses der Quintenschichtung: eine Quinte oberhalb des H liegt Fis, wieder eine Quinte oberhalb Cis etc., analog eine Quinte unterhalb des F das B, wieder eine Quinte unterhalb Es etc. Dies funktioniert beim superpythagoräischen 17edo gleichermassen, und man kann alle Töne von 17edo so erhalten - mit dem Unterschied, dass die #-Noten und die b-Noten in 17edo unterschiedliche Tonhöhen bezeichnen, im Gegensatz zum traditionellen 12edo. Die &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung" rel="nofollow"&amp;gt;enharmonischen Verwechslungen&amp;lt;/a&amp;gt; (in 12edo für jedes #/b-Paar, C#-Db, D#-Eb etc.) kommen in 17edo an andere Orte zu liegen: hier ist z.B. E-is (E#) enharmonisch äquivalent zu Ges (Gb), His (H#) zu Des (Db), Ais (A#) zu Ces (Cb) und Dis (D#) zu Fes (Fb).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gewöhnungsbedürftig ist, dass Cis &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; ist als Des, Dis höher als Es etc. - eine charakteristische Eigenschaft von pythagoräischen und superpythagoräischen Tonsystemen (im Gegensatz zu mitteltönigen, wo es genau umgekehrt ist!), was im Notenbild zu scheinbar &amp;amp;quot;umgekehrter&amp;amp;quot; Bewegungsrichtung führen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Alle Töne von 17edo in aufsteigender Reihenfolge:&amp;lt;br /&amp;gt;
C, Db=H#, C#, D, Eb, D#=Fb, E, F, Gb=E#, F#, G, Ab, G#, A, B, A#=Cb, H&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:13:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/17edorast.png/504225124/17edorast.png&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/17edorast.png/504225124/17edorast.png" alt="17edorast.png" title="17edorast.png" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Approximation einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;arabischen&amp;lt;/a&amp;gt; Rast-Skala in 17edo. Die Intervalle C-Dis und G-Ais sind neutrale Terzen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Tonbeispiel]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Layouts für Tasteninstrumente"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Layouts für Tasteninstrumente&amp;lt;/h2&amp;gt;
 In analoger Weise zur Notation ergibt sich aus der pythagoräischen Organisation des siebzehnstufigen Tonsystems auch ein natürliches Tastanlayout mit weissen und schwarzen Tasten, das dem traditionellen Layout stark ähnelt - mit dem Unterschied, dass an der Stelle jeder schwarzen Taste des Zwölfton-Layouts zwei Tasten nötig sind. Man könnte also ein Instrument in der Art von gewissen &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.denzilwraight.com/florentine.htm" rel="nofollow"&amp;gt;Renaissance-/Barock-Cembalos&amp;lt;/a&amp;gt; auf diese Weise stimmen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wenn 17edo auf einem &amp;amp;quot;gewöhnlichen&amp;amp;quot; Standard-Klavier gespielt werden soll, ist eine naheliegende Methode, zwei Klaviere zu verwenden, wobei die weissen Tasten bei beiden identisch gestimmt sind, die schwarzen hingegen einen Siebzehnerschritt auseinander. (Dies analog zur verbreiteten Standardmethode für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/24edo"&amp;gt;24edo&amp;lt;/a&amp;gt;.) Bei den divsersen Konzerten des &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/SeventeenTonePianoProject"&amp;gt;Seventeen Tone Piano Project&amp;lt;/a&amp;gt; kam genau dieses System zum Einsatz.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine Alternative mit einem völlig verschiedenen Layout als Resultat ist es, anstelle des superpythagoräischen Organisationsprinzip ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/maqamisch"&amp;gt;maqamisches&amp;lt;/a&amp;gt; zu verwenden, was für das Spielen von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalischen Maqam-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; sinnvoll sein kann. In maqamischen Temperaturen gibt es &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; mit sieben und zehn Tönen, und in 17edo hängen diese so zu sammen, dass jeweils die eine genau das Komplement der anderen ist (7 + 10 ergibt bekanntlich 17). Ein natürliches Layout für 17edo-maqamisch wären dann etwa 10 weisse und 7 schwarze Tasten, je eine MOS-Skala bildend - siehe &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Beispiele"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/h2&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:1:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/BWV779-17edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;BWV779-17edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252FBWV779-17edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:1 --&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/file/detail/BWV779-17edo.mp3" rel="nofollow"&amp;gt;info&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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    <revision>
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      <timestamp>2015-06-10T07:52:36Z</timestamp>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/17edo]]
[[toc]]
Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines [[Superpyth|superpythagoräischen]] Tonsystems. Die Quinte ist minimal höher als die reine [[Quinte]], und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder [[mitteltönig|mitteltönigen]]) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in [[12edo]], die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.

In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischer]] Skalen geeignet macht.

[[media type="custom" key="24817188"]]
[[file:17ed2-001-de.svg]]

==Notation== 
Musik im Siebzehnteltonsystem kann auf konsistente Weise mit traditioneller Notenschrift dargestellt werden. Zur Herleitung kann man sich vergegenwärtigen, dass die heutige Notenschrift wesentlich pythagoräischen Prinzipien folgt, genauer auf Übereinanderschichten von Quinten beruht (was für pythagoräische wie [[mitteltönig|mitteltönige]] Tonsysteme gleichermassen gilt). Die direkt durch ihre Position im Notensystem bestimmten Tonhöhen der Grundtöne C, D, E etc. bilden ja bekanntlich eine durch Übereinanderschichten von Quinten (beginnend bei F, endend bei H) erstellte diatonische Tonleiter. Zu den alterierten Noten (mit # bzw. b markiert) gelangt man durch Fortsetzung des Prozesses der Quintenschichtung: eine Quinte oberhalb des H liegt Fis, wieder eine Quinte oberhalb Cis etc., analog eine Quinte unterhalb des F das B, wieder eine Quinte unterhalb Es etc. Dies funktioniert beim superpythagoräischen 17edo gleichermassen, und man kann alle Töne von 17edo so erhalten - mit dem Unterschied, dass die #-Noten und die b-Noten in 17edo unterschiedliche Tonhöhen bezeichnen, im Gegensatz zum traditionellen 12edo. Die [[http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung|enharmonischen Verwechslungen]] (in 12edo für jedes #/b-Paar, C#-Db, D#-Eb etc.) kommen in 17edo an andere Orte zu liegen: hier ist z.B. E-is (E#) enharmonisch äquivalent zu Ges (Gb), His (H#) zu Des (Db), Ais (A#) zu Ces (Cb) und Dis (D#) zu Fes (Fb).

Gewöhnungsbedürftig ist, dass Cis //höher// ist als Des, Dis höher als Es etc. - eine charakteristische Eigenschaft von pythagoräischen und superpythagoräischen Tonsystemen (im Gegensatz zu mitteltönigen, wo es genau umgekehrt ist!), was im Notenbild zu scheinbar "umgekehrter" Bewegungsrichtung führen kann.

Alle Töne von 17edo in aufsteigender Reihenfolge:
C, Db=H#, C#, D, Eb, D#=Fb, E, F, Gb=E#, F#, G, Ab, G#, A, B, A#=Cb, H

[[image:17edorast.png]]
Approximation einer [[arabisch, türkisch, persisch|arabischen]] Rast-Skala in 17edo. Die Intervalle C-Dis und G-Ais sind neutrale Terzen.

[Todo Tonbeispiel]

==Layouts für Tasteninstrumente== 
In analoger Weise zur Notation ergibt sich aus der pythagoräischen Organisation des siebzehnstufigen Tonsystems auch ein natürliches Tastanlayout mit weissen und schwarzen Tasten, das dem traditionellen Layout stark ähnelt - mit dem Unterschied, dass an der Stelle jeder schwarzen Taste des Zwölfton-Layouts zwei Tasten nötig sind. Man könnte also ein Instrument in der Art von gewissen [[http://www.denzilwraight.com/florentine.htm|Renaissance-/Barock-Cembalos]] auf diese Weise stimmen.

Wenn 17edo auf einem "gewöhnlichen" Standard-Klavier gespielt werden soll, ist eine naheliegende Methode, zwei Klaviere zu verwenden, wobei die weissen Tasten bei beiden identisch gestimmt sind, die schwarzen hingegen einen Siebzehnerschritt auseinander. (Dies analog zur verbreiteten Standardmethode für [[24edo]].) Bei den divsersen Konzerten des [[xenharmonic/SeventeenTonePianoProject|Seventeen Tone Piano Project]] kam genau dieses System zum Einsatz.

Eine Alternative mit einem völlig verschiedenen Layout als Resultat ist es, anstelle des superpythagoräischen Organisationsprinzip ein [[maqamisch|maqamisches]] zu verwenden, was für das Spielen von [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischen Maqam-Skalen]] sinnvoll sein kann. In maqamischen Temperaturen gibt es [[MOS-Skalen]] mit sieben und zehn Tönen, und in 17edo hängen diese so zu sammen, dass jeweils die eine genau das Komplement der anderen ist (7 + 10 ergibt bekanntlich 17). Ein natürliches Layout für 17edo-maqamisch wären dann etwa 10 weisse und 7 schwarze Tasten, je eine MOS-Skala bildend - siehe [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]] .

==Beispiele== 
[[media type="file" key="BWV779-17edo.mp3" width="240" height="20"]] [[http://xenharmonie.wikispaces.com/file/detail/BWV779-17edo.mp3|info]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;17edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/17edo"&amp;gt;xenharmonic/17edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:12 --&amp;gt;Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsystems. Die Quinte ist minimal höher als die reine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quinte"&amp;gt;Quinte&amp;lt;/a&amp;gt;, und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt;) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen geeignet macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:0:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/custom/24817188?h=0&amp;amp;amp;w=0&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaCustom&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;custom&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;24817188&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Custom Media&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;object id="example" type="image/svg+xml" data="http://xenharmonie.wikispaces.com/file/view/17ed2-001-de.svg"&amp;gt;alt : Your browser has no SVG support.&amp;lt;/object&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Notation"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Notation&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Musik im Siebzehnteltonsystem kann auf konsistente Weise mit traditioneller Notenschrift dargestellt werden. Zur Herleitung kann man sich vergegenwärtigen, dass die heutige Notenschrift wesentlich pythagoräischen Prinzipien folgt, genauer auf Übereinanderschichten von Quinten beruht (was für pythagoräische wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsysteme gleichermassen gilt). Die direkt durch ihre Position im Notensystem bestimmten Tonhöhen der Grundtöne C, D, E etc. bilden ja bekanntlich eine durch Übereinanderschichten von Quinten (beginnend bei F, endend bei H) erstellte diatonische Tonleiter. Zu den alterierten Noten (mit # bzw. b markiert) gelangt man durch Fortsetzung des Prozesses der Quintenschichtung: eine Quinte oberhalb des H liegt Fis, wieder eine Quinte oberhalb Cis etc., analog eine Quinte unterhalb des F das B, wieder eine Quinte unterhalb Es etc. Dies funktioniert beim superpythagoräischen 17edo gleichermassen, und man kann alle Töne von 17edo so erhalten - mit dem Unterschied, dass die #-Noten und die b-Noten in 17edo unterschiedliche Tonhöhen bezeichnen, im Gegensatz zum traditionellen 12edo. Die &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung" rel="nofollow"&amp;gt;enharmonischen Verwechslungen&amp;lt;/a&amp;gt; (in 12edo für jedes #/b-Paar, C#-Db, D#-Eb etc.) kommen in 17edo an andere Orte zu liegen: hier ist z.B. E-is (E#) enharmonisch äquivalent zu Ges (Gb), His (H#) zu Des (Db), Ais (A#) zu Ces (Cb) und Dis (D#) zu Fes (Fb).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gewöhnungsbedürftig ist, dass Cis &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; ist als Des, Dis höher als Es etc. - eine charakteristische Eigenschaft von pythagoräischen und superpythagoräischen Tonsystemen (im Gegensatz zu mitteltönigen, wo es genau umgekehrt ist!), was im Notenbild zu scheinbar &amp;amp;quot;umgekehrter&amp;amp;quot; Bewegungsrichtung führen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Alle Töne von 17edo in aufsteigender Reihenfolge:&amp;lt;br /&amp;gt;
C, Db=H#, C#, D, Eb, D#=Fb, E, F, Gb=E#, F#, G, Ab, G#, A, B, A#=Cb, H&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:13:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/17edorast.png/504225124/17edorast.png&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/17edorast.png/504225124/17edorast.png" alt="17edorast.png" title="17edorast.png" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Approximation einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;arabischen&amp;lt;/a&amp;gt; Rast-Skala in 17edo. Die Intervalle C-Dis und G-Ais sind neutrale Terzen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Tonbeispiel]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Layouts für Tasteninstrumente"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Layouts für Tasteninstrumente&amp;lt;/h2&amp;gt;
 In analoger Weise zur Notation ergibt sich aus der pythagoräischen Organisation des siebzehnstufigen Tonsystems auch ein natürliches Tastanlayout mit weissen und schwarzen Tasten, das dem traditionellen Layout stark ähnelt - mit dem Unterschied, dass an der Stelle jeder schwarzen Taste des Zwölfton-Layouts zwei Tasten nötig sind. Man könnte also ein Instrument in der Art von gewissen &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.denzilwraight.com/florentine.htm" rel="nofollow"&amp;gt;Renaissance-/Barock-Cembalos&amp;lt;/a&amp;gt; auf diese Weise stimmen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wenn 17edo auf einem &amp;amp;quot;gewöhnlichen&amp;amp;quot; Standard-Klavier gespielt werden soll, ist eine naheliegende Methode, zwei Klaviere zu verwenden, wobei die weissen Tasten bei beiden identisch gestimmt sind, die schwarzen hingegen einen Siebzehnerschritt auseinander. (Dies analog zur verbreiteten Standardmethode für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/24edo"&amp;gt;24edo&amp;lt;/a&amp;gt;.) Bei den divsersen Konzerten des &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/SeventeenTonePianoProject"&amp;gt;Seventeen Tone Piano Project&amp;lt;/a&amp;gt; kam genau dieses System zum Einsatz.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine Alternative mit einem völlig verschiedenen Layout als Resultat ist es, anstelle des superpythagoräischen Organisationsprinzip ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/maqamisch"&amp;gt;maqamisches&amp;lt;/a&amp;gt; zu verwenden, was für das Spielen von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalischen Maqam-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; sinnvoll sein kann. In maqamischen Temperaturen gibt es &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; mit sieben und zehn Tönen, und in 17edo hängen diese so zu sammen, dass jeweils die eine genau das Komplement der anderen ist (7 + 10 ergibt bekanntlich 17). Ein natürliches Layout für 17edo-maqamisch wären dann etwa 10 weisse und 7 schwarze Tasten, je eine MOS-Skala bildend - siehe &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Beispiele"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/h2&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:1:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/BWV779-17edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;BWV779-17edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252FBWV779-17edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:1 --&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/file/detail/BWV779-17edo.mp3" rel="nofollow"&amp;gt;info&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/17edo]]
[[toc]]
Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines [[Superpyth|superpythagoräischen]] Tonsystems. Die Quinte ist minimal höher als die reine [[Quinte]], und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder [[mitteltönig|mitteltönigen]]) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in [[12edo]], die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.

In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischer]] Skalen geeignet macht.

[[media type="custom" key="24817188"]]
[[file:17ed2-001-de.svg]]

==Notation== 
Musik im Siebzehnteltonsystem kann auf konsistente Weise mit traditioneller Notenschrift dargestellt werden. Zur Herleitung kann man sich vergegenwärtigen, dass die heutige Notenschrift wesentlich pythagoräischen Prinzipien folgt, genauer auf Übereinanderschichten von Quinten beruht (was für pythagoräische wie [[mitteltönig|mitteltönige]] Tonsysteme gleichermassen gilt). Die direkt durch ihre Position im Notensystem bestimmten Tonhöhen der Grundtöne C, D, E etc. bilden ja bekanntlich eine durch Übereinanderschichten von Quinten (beginnend bei F, endend bei H) erstellte diatonische Tonleiter. Zu den alterierten Noten (mit # bzw. b markiert) gelangt man durch Fortsetzung des Prozesses der Quintenschichtung: eine Quinte oberhalb des H liegt Fis, wieder eine Quinte oberhalb Cis etc., analog eine Quinte unterhalb des F das B, wieder eine Quinte unterhalb Es etc. Dies funktioniert beim superpythagoräischen 17edo gleichermassen, und man kann alle Töne von 17edo so erhalten - mit dem Unterschied, dass die #-Noten und die b-Noten in 17edo unterschiedliche Tonhöhen bezeichnen, im Gegensatz zum traditionellen 12edo. Die [[http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung|enharmonischen Verwechslungen]] (in 12edo für jedes #/b-Paar, C#-Db, D#-Eb etc.) kommen in 17edo an andere Orte zu liegen: hier ist z.B. E-is (E#) enharmonisch äquivalent zu Ges (Gb), His (H#) zu Des (Db), Ais (A#) zu Ces (Cb) und Dis (D#) zu Fes (Fb).

Gewöhnungsbedürftig ist, dass Cis //höher// ist als Des, Dis höher als Es etc. - eine charakteristische Eigenschaft von pythagoräischen und superpythagoräischen Tonsystemen (im Gegensatz zu mitteltönigen, wo es genau umgekehrt ist!), was im Notenbild zu scheinbar "umgekehrter" Bewegungsrichtung führen kann.

Alle Töne von 17edo in aufsteigender Reihenfolge:
C, Db=H#, C#, D, Eb, D#=Fb, E, F, Gb=E#, F#, G, Ab, G#, A, B, A#=Cb, H

[[image:17edorast.png]]
Approximation einer [[arabisch, türkisch, persisch|arabischen]] Rast-Skala in 17edo. Die Intervalle C-Dis und G-Ais sind neutrale Terzen.

[Todo Tonbeispiel]

==Layouts für Tasteninstrumente== 
In analoger Weise zur Notation ergibt sich aus der pythagoräischen Organisation des siebzehnstufigen Tonsystems auch ein natürliches Tastanlayout mit weissen und schwarzen Tasten, das dem traditionellen Layout stark ähnelt - mit dem Unterschied, dass an der Stelle jeder schwarzen Taste des Zwölfton-Layouts zwei Tasten nötig sind. Man könnte also ein Instrument in der Art von gewissen [[http://www.denzilwraight.com/florentine.htm|Renaissance-/Barock-Cembalos]] auf diese Weise stimmen.

Wenn 17edo auf einem "gewöhnlichen" Standard-Klavier gespielt werden soll, ist eine naheliegende Methode, zwei Klaviere zu verwenden, wobei die weissen Tasten bei beiden identisch gestimmt sind, die schwarzen hingegen einen Siebzehnerschritt auseinander. (Dies analog zur verbreiteten Standardmethode für [[24edo]].)

Eine Alternative mit einem völlig verschiedenen Layout als Resultat ist es, anstelle des superpythagoräischen Organisationsprinzip ein [[maqamisch|maqamisches]] zu verwenden, was für das Spielen von [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischen Maqam-Skalen]] sinnvoll sein kann. In maqamischen Temperaturen gibt es [[MOS-Skalen]] mit sieben und zehn Tönen, und in 17edo hängen diese so zu sammen, dass jeweils die eine genau das Komplement der anderen ist (7 + 10 ergibt bekanntlich 17). Ein natürliches Layout für 17edo-maqamisch wären dann etwa 10 weisse und 7 schwarze Tasten, je eine MOS-Skala bildend - siehe [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]] .

==Beispiele== 
[[media type="file" key="BWV779-17edo.mp3" width="240" height="20"]] [[http://xenharmonie.wikispaces.com/file/detail/BWV779-17edo.mp3|info]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;17edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/17edo"&amp;gt;xenharmonic/17edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:8:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@normal&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaToc&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/normal?w=225&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div id="toc"&amp;gt;&amp;lt;h1 class="nopad"&amp;gt;Table of Contents&amp;lt;/h1&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:8 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:9: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 2em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#x-Notation"&amp;gt;Notation&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:9 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:10: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 2em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#x-Layouts für Tasteninstrumente"&amp;gt;Layouts für Tasteninstrumente&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:10 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:11: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 2em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#x-Beispiele"&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:11 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:12: --&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:12 --&amp;gt;Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsystems. Die Quinte ist minimal höher als die reine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quinte"&amp;gt;Quinte&amp;lt;/a&amp;gt;, und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt;) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen geeignet macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:0:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/custom/24817188?h=0&amp;amp;amp;w=0&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaCustom&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;custom&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;24817188&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Custom Media&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;object id="example" type="image/svg+xml" data="http://xenharmonie.wikispaces.com/file/view/17ed2-001-de.svg"&amp;gt;alt : Your browser has no SVG support.&amp;lt;/object&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextFileRule:14:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file/17ed2-001-de.svg?h=52&amp;amp;amp;w=320&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@file@@17ed2-001-de.svg&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;File: 17ed2-001-de.svg&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;320&amp;amp;quot; height=&amp;amp;quot;52&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="objectEmbed"&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/17ed2-001-de.svg/481258406/17ed2-001-de.svg" onclick="ws.common.trackFileLink('/file/view/17ed2-001-de.svg/481258406/17ed2-001-de.svg');"&amp;gt;&amp;lt;img src="http://www.wikispaces.com/i/mime/32/empty.png" height="32" width="32" alt="17ed2-001-de.svg" /&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;div&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/17ed2-001-de.svg/481258406/17ed2-001-de.svg" onclick="ws.common.trackFileLink('/file/view/17ed2-001-de.svg/481258406/17ed2-001-de.svg');" class="filename" title="17ed2-001-de.svg"&amp;gt;17ed2-001-de.svg&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/detail/17ed2-001-de.svg"&amp;gt;Details&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/17ed2-001-de.svg/481258406/17ed2-001-de.svg"&amp;gt;Download&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li style="color: #666"&amp;gt;27 KB&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextFileRule:14 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Notation"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Notation&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Musik im Siebzehnteltonsystem kann auf konsistente Weise mit traditioneller Notenschrift dargestellt werden. Zur Herleitung kann man sich vergegenwärtigen, dass die heutige Notenschrift wesentlich pythagoräischen Prinzipien folgt, genauer auf Übereinanderschichten von Quinten beruht (was für pythagoräische wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsysteme gleichermassen gilt). Die direkt durch ihre Position im Notensystem bestimmten Tonhöhen der Grundtöne C, D, E etc. bilden ja bekanntlich eine durch Übereinanderschichten von Quinten (beginnend bei F, endend bei H) erstellte diatonische Tonleiter. Zu den alterierten Noten (mit # bzw. b markiert) gelangt man durch Fortsetzung des Prozesses der Quintenschichtung: eine Quinte oberhalb des H liegt Fis, wieder eine Quinte oberhalb Cis etc., analog eine Quinte unterhalb des F das B, wieder eine Quinte unterhalb Es etc. Dies funktioniert beim superpythagoräischen 17edo gleichermassen, und man kann alle Töne von 17edo so erhalten - mit dem Unterschied, dass die #-Noten und die b-Noten in 17edo unterschiedliche Tonhöhen bezeichnen, im Gegensatz zum traditionellen 12edo. Die &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung" rel="nofollow"&amp;gt;enharmonischen Verwechslungen&amp;lt;/a&amp;gt; (in 12edo für jedes #/b-Paar, C#-Db, D#-Eb etc.) kommen in 17edo an andere Orte zu liegen: hier ist z.B. E-is (E#) enharmonisch äquivalent zu Ges (Gb), His (H#) zu Des (Db), Ais (A#) zu Ces (Cb) und Dis (D#) zu Fes (Fb).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gewöhnungsbedürftig ist, dass Cis &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; ist als Des, Dis höher als Es etc. - eine charakteristische Eigenschaft von pythagoräischen und superpythagoräischen Tonsystemen (im Gegensatz zu mitteltönigen, wo es genau umgekehrt ist!), was im Notenbild zu scheinbar &amp;amp;quot;umgekehrter&amp;amp;quot; Bewegungsrichtung führen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Alle Töne von 17edo in aufsteigender Reihenfolge:&amp;lt;br /&amp;gt;
C, Db=H#, C#, D, Eb, D#=Fb, E, F, Gb=E#, F#, G, Ab, G#, A, B, A#=Cb, H&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:13:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/17edorast.png/504225124/17edorast.png&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/17edorast.png/504225124/17edorast.png" alt="17edorast.png" title="17edorast.png" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Approximation einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;arabischen&amp;lt;/a&amp;gt; Rast-Skala in 17edo. Die Intervalle C-Dis und G-Ais sind neutrale Terzen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Tonbeispiel]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Layouts für Tasteninstrumente"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Layouts für Tasteninstrumente&amp;lt;/h2&amp;gt;
 In analoger Weise zur Notation ergibt sich aus der pythagoräischen Organisation des siebzehnstufigen Tonsystems auch ein natürliches Tastanlayout mit weissen und schwarzen Tasten, das dem traditionellen Layout stark ähnelt - mit dem Unterschied, dass an der Stelle jeder schwarzen Taste des Zwölfton-Layouts zwei Tasten nötig sind. Man könnte also ein Instrument in der Art von gewissen &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.denzilwraight.com/florentine.htm" rel="nofollow"&amp;gt;Renaissance-/Barock-Cembalos&amp;lt;/a&amp;gt; auf diese Weise stimmen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wenn 17edo auf einem &amp;amp;quot;gewöhnlichen&amp;amp;quot; Standard-Klavier gespielt werden soll, ist eine naheliegende Methode, zwei Klaviere zu verwenden, wobei die weissen Tasten bei beiden identisch gestimmt sind, die schwarzen hingegen einen Siebzehnerschritt auseinander. (Dies analog zur verbreiteten Standardmethode für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/24edo"&amp;gt;24edo&amp;lt;/a&amp;gt;.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine Alternative mit einem völlig verschiedenen Layout als Resultat ist es, anstelle des superpythagoräischen Organisationsprinzip ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/maqamisch"&amp;gt;maqamisches&amp;lt;/a&amp;gt; zu verwenden, was für das Spielen von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalischen Maqam-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; sinnvoll sein kann. In maqamischen Temperaturen gibt es &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; mit sieben und zehn Tönen, und in 17edo hängen diese so zu sammen, dass jeweils die eine genau das Komplement der anderen ist (7 + 10 ergibt bekanntlich 17). Ein natürliches Layout für 17edo-maqamisch wären dann etwa 10 weisse und 7 schwarze Tasten, je eine MOS-Skala bildend - siehe &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Beispiele"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/h2&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:1:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/BWV779-17edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;BWV779-17edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252FBWV779-17edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:1 --&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/file/detail/BWV779-17edo.mp3" rel="nofollow"&amp;gt;info&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;xenwolf</username>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2015-05-12 19:13:10 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;550797518&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/17edo]]
[[toc]]
Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines [[Superpyth|superpythagoräischen]] Tonsystems. Die Quinte ist minimal höher als die reine [[Quinte]], und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder [[mitteltönig|mitteltönigen]]) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in [[12edo]], die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.

In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischer]] Skalen geeignet macht.

[[media type="custom" key="24817188"]]
[[file:17ed2-001-de.svg]]

==Notation== 
Musik im Siebzehnteltonsystem kann auf konsistente Weise mit traditioneller Notenschrift dargestellt werden. Zur Herleitung kann man sich vergegenwärtigen, dass die heutige Notenschrift wesentlich pythagoräischen Prinzipien folgt, genauer auf Übereinanderschichten von Quinten beruht (was für pythagoräische wie [[mitteltönig|mitteltönige]] Tonsysteme gleichermassen gilt). Die direkt durch ihre Position im Notensystem bestimmten Tonhöhen der Grundtöne C, D, E etc. bilden ja bekanntlich eine durch Übereinanderschichten von Quinten (beginnend bei F, endend bei H) erstellte diatonische Tonleiter. Zu den alterierten Noten (mit # bzw. b markiert) gelangt man durch Fortsetzung des Prozesses der Quintenschichtung: eine Quinte oberhalb des H liegt Fis, wieder eine Quinte oberhalb Cis etc., analog eine Quinte unterhalb des F das B, wieder eine Quinte unterhalb Es etc. Dies funktioniert beim superpythagoräischen 17edo gleichermassen, und man kann alle Töne von 17edo so erhalten - mit dem Unterschied, dass die #-Noten und die b-Noten in 17edo unterschiedliche Tonhöhen bezeichnen, im Gegensatz zum traditionellen 12edo. Die [[http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung|enharmonischen Verwechslungen]] (in 12edo für jedes #/b-Paar, C#-Db, D#-Eb etc.) kommen in 17edo an andere Orte zu liegen: hier ist z.B. E-is (E#) enharmonisch äquivalent zu Ges (Gb), His (H#) zu Des (Db), Ais (A#) zu Ces (Cb) und Dis (D#) zu Fes (Fb).

Gewöhnungsbedürftig ist, dass Cis //höher// ist als Des, Dis höher als Es etc. - eine charakteristische Eigenschaft von pythagoräischen und superpythagoräischen Tonsystemen (im Gegensatz zu mitteltönigen, wo es genau umgekehrt ist!), was im Notenbild zu scheinbar "umgekehrter" Bewegungsrichtung führen kann.

Alle Töne von 17edo in aufsteigender Reihenfolge:
C, Db=H#, C#, D, Eb, D#=Fb, E, F, Gb=E#, F#, G, Ab, G#, A, B, A#=Cb, H

[[image:17edorast.png]]
Approximation einer [[arabisch, türkisch, persisch|arabischen]] Rast-Skala in 17edo. Die Intervalle C-Dis und G-Ais sind neutrale Terzen.

[Todo Tonbeispiel]

==Layouts für Tasteninstrumente== 
[To do]

== Beispiele ==
[[media type="file" key="BWV779-17edo.mp3"]] [[http://xenharmonie.wikispaces.com/file/detail/BWV779-17edo.mp3|info]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;17edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/17edo"&amp;gt;xenharmonic/17edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:8:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@normal&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaToc&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/normal?w=225&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div id="toc"&amp;gt;&amp;lt;h1 class="nopad"&amp;gt;Table of Contents&amp;lt;/h1&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:8 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:9: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 2em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#x-Notation"&amp;gt;Notation&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:9 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:10: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 2em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#x-Layouts für Tasteninstrumente"&amp;gt;Layouts für Tasteninstrumente&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:12 --&amp;gt;Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsystems. Die Quinte ist minimal höher als die reine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quinte"&amp;gt;Quinte&amp;lt;/a&amp;gt;, und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt;) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen geeignet macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Musik im Siebzehnteltonsystem kann auf konsistente Weise mit traditioneller Notenschrift dargestellt werden. Zur Herleitung kann man sich vergegenwärtigen, dass die heutige Notenschrift wesentlich pythagoräischen Prinzipien folgt, genauer auf Übereinanderschichten von Quinten beruht (was für pythagoräische wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsysteme gleichermassen gilt). Die direkt durch ihre Position im Notensystem bestimmten Tonhöhen der Grundtöne C, D, E etc. bilden ja bekanntlich eine durch Übereinanderschichten von Quinten (beginnend bei F, endend bei H) erstellte diatonische Tonleiter. Zu den alterierten Noten (mit # bzw. b markiert) gelangt man durch Fortsetzung des Prozesses der Quintenschichtung: eine Quinte oberhalb des H liegt Fis, wieder eine Quinte oberhalb Cis etc., analog eine Quinte unterhalb des F das B, wieder eine Quinte unterhalb Es etc. Dies funktioniert beim superpythagoräischen 17edo gleichermassen, und man kann alle Töne von 17edo so erhalten - mit dem Unterschied, dass die #-Noten und die b-Noten in 17edo unterschiedliche Tonhöhen bezeichnen, im Gegensatz zum traditionellen 12edo. Die &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung" rel="nofollow"&amp;gt;enharmonischen Verwechslungen&amp;lt;/a&amp;gt; (in 12edo für jedes #/b-Paar, C#-Db, D#-Eb etc.) kommen in 17edo an andere Orte zu liegen: hier ist z.B. E-is (E#) enharmonisch äquivalent zu Ges (Gb), His (H#) zu Des (Db), Ais (A#) zu Ces (Cb) und Dis (D#) zu Fes (Fb).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gewöhnungsbedürftig ist, dass Cis &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; ist als Des, Dis höher als Es etc. - eine charakteristische Eigenschaft von pythagoräischen und superpythagoräischen Tonsystemen (im Gegensatz zu mitteltönigen, wo es genau umgekehrt ist!), was im Notenbild zu scheinbar &amp;amp;quot;umgekehrter&amp;amp;quot; Bewegungsrichtung führen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Alle Töne von 17edo in aufsteigender Reihenfolge:&amp;lt;br /&amp;gt;
C, Db=H#, C#, D, Eb, D#=Fb, E, F, Gb=E#, F#, G, Ab, G#, A, B, A#=Cb, H&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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Approximation einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;arabischen&amp;lt;/a&amp;gt; Rast-Skala in 17edo. Die Intervalle C-Dis und G-Ais sind neutrale Terzen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Tonbeispiel]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 [To do]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Beispiele"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt; Beispiele &amp;lt;/h2&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:1:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/BWV779-17edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;BWV779-17edo.mp3&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252FBWV779-17edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:1 --&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/file/detail/BWV779-17edo.mp3" rel="nofollow"&amp;gt;info&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2014-04-29 03:47:15 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/17edo]]
[[toc]]
Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines [[Superpyth|superpythagoräischen]] Tonsystems. Die Quinte ist minimal höher als die reine [[Quinte]], und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder [[mitteltönig|mitteltönigen]]) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in [[12edo]], die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.

In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischer]] Skalen geeignet macht.

[[media type="custom" key="24817188"]]
[[file:17ed2-001-de.svg]]

==Notation== 
Musik im Siebzehnteltonsystem kann auf konsistente Weise mit traditioneller Notenschrift dargestellt werden. Zur Herleitung kann man sich vergegenwärtigen, dass die heutige Notenschrift wesentlich pythagoräischen Prinzipien folgt, genauer auf Übereinanderschichten von Quinten beruht (was für pythagoräische wie [[mitteltönig|mitteltönige]] Tonsysteme gleichermassen gilt). Die direkt durch ihre Position im Notensystem bestimmten Tonhöhen der Grundtöne C, D, E etc. bilden ja bekanntlich eine durch Übereinanderschichten von Quinten (beginnend bei F, endend bei H) erstellte diatonische Tonleiter. Zu den alterierten Noten (mit # bzw. b markiert) gelangt man durch Fortsetzung des Prozesses der Quintenschichtung: eine Quinte oberhalb des H liegt Fis, wieder eine Quinte oberhalb Cis etc., analog eine Quinte unterhalb des F das B, wieder eine Quinte unterhalb Es etc. Dies funktioniert beim superpythagoräischen 17edo gleichermassen, und man kann alle Töne von 17edo so erhalten - mit dem Unterschied, dass die #-Noten und die b-Noten in 17edo unterschiedliche Tonhöhen bezeichnen, im Gegensatz zum traditionellen 12edo. Die [[http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung|enharmonischen Verwechslungen]] (in 12edo für jedes #/b-Paar, C#-Db, D#-Eb etc.) kommen in 17edo an andere Orte zu liegen: hier ist z.B. E-is (E#) enharmonisch äquivalent zu Ges (Gb), His (H#) zu Des (Db), Ais (A#) zu Ces (Cb) und Dis (D#) zu Fes (Fb).

Gewöhnungsbedürftig ist, dass Cis //höher// ist als Des, Dis höher als Es etc. - eine charakteristische Eigenschaft von pythagoräischen und superpythagoräischen Tonsystemen (im Gegensatz zu mitteltönigen, wo es genau umgekehrt ist!), was im Notenbild zu scheinbar "umgekehrter" Bewegungsrichtung führen kann.

Alle Töne von 17edo in aufsteigender Reihenfolge:
C, Db=H#, C#, D, Eb, D#=Fb, E, F, Gb=E#, F#, G, Ab, G#, A, B, A#=Cb, H

[[image:17edorast.png]]
Approximation einer [[arabisch, türkisch, persisch|arabischen]] Rast-Skala in 17edo. Die Intervalle C-Dis und G-Ais sind neutrale Terzen.

[Todo Tonbeispiel]

==Layouts für Tasteninstrumente== 
[To do]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;17edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/17edo"&amp;gt;xenharmonic/17edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:7 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:8: --&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:8 --&amp;gt;Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsystems. Die Quinte ist minimal höher als die reine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quinte"&amp;gt;Quinte&amp;lt;/a&amp;gt;, und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt;) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen geeignet macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Musik im Siebzehnteltonsystem kann auf konsistente Weise mit traditioneller Notenschrift dargestellt werden. Zur Herleitung kann man sich vergegenwärtigen, dass die heutige Notenschrift wesentlich pythagoräischen Prinzipien folgt, genauer auf Übereinanderschichten von Quinten beruht (was für pythagoräische wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsysteme gleichermassen gilt). Die direkt durch ihre Position im Notensystem bestimmten Tonhöhen der Grundtöne C, D, E etc. bilden ja bekanntlich eine durch Übereinanderschichten von Quinten (beginnend bei F, endend bei H) erstellte diatonische Tonleiter. Zu den alterierten Noten (mit # bzw. b markiert) gelangt man durch Fortsetzung des Prozesses der Quintenschichtung: eine Quinte oberhalb des H liegt Fis, wieder eine Quinte oberhalb Cis etc., analog eine Quinte unterhalb des F das B, wieder eine Quinte unterhalb Es etc. Dies funktioniert beim superpythagoräischen 17edo gleichermassen, und man kann alle Töne von 17edo so erhalten - mit dem Unterschied, dass die #-Noten und die b-Noten in 17edo unterschiedliche Tonhöhen bezeichnen, im Gegensatz zum traditionellen 12edo. Die &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung" rel="nofollow"&amp;gt;enharmonischen Verwechslungen&amp;lt;/a&amp;gt; (in 12edo für jedes #/b-Paar, C#-Db, D#-Eb etc.) kommen in 17edo an andere Orte zu liegen: hier ist z.B. E-is (E#) enharmonisch äquivalent zu Ges (Gb), His (H#) zu Des (Db), Ais (A#) zu Ces (Cb) und Dis (D#) zu Fes (Fb).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gewöhnungsbedürftig ist, dass Cis &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; ist als Des, Dis höher als Es etc. - eine charakteristische Eigenschaft von pythagoräischen und superpythagoräischen Tonsystemen (im Gegensatz zu mitteltönigen, wo es genau umgekehrt ist!), was im Notenbild zu scheinbar &amp;amp;quot;umgekehrter&amp;amp;quot; Bewegungsrichtung führen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Alle Töne von 17edo in aufsteigender Reihenfolge:&amp;lt;br /&amp;gt;
C, Db=H#, C#, D, Eb, D#=Fb, E, F, Gb=E#, F#, G, Ab, G#, A, B, A#=Cb, H&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Layouts für Tasteninstrumente"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Layouts für Tasteninstrumente&amp;lt;/h2&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2014-04-29 03:44:45 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;505205356&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[toc]]
Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines [[Superpyth|superpythagoräischen]] Tonsystems. Die Quinte ist minimal höher als die reine [[Quinte]], und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder [[mitteltönig|mitteltönigen]]) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in [[12edo]], die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.

In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischer]] Skalen geeignet macht.

[[media type="custom" key="24817188"]]
[[file:17ed2-001-de.svg]]

==Notation== 
Musik im Siebzehnteltonsystem kann auf konsistente Weise mit traditioneller Notenschrift dargestellt werden. Zur Herleitung kann man sich vergegenwärtigen, dass die heutige Notenschrift wesentlich pythagoräischen Prinzipien folgt, genauer auf Übereinanderschichten von Quinten beruht (was für pythagoräische wie [[mitteltönig|mitteltönige]] Tonsysteme gleichermassen gilt). Die direkt durch ihre Position im Notensystem bestimmten Tonhöhen der Grundtöne C, D, E etc. bilden ja bekanntlich eine durch Übereinanderschichten von Quinten (beginnend bei F, endend bei H) erstellte diatonische Tonleiter. Zu den alterierten Noten (mit # bzw. b markiert) gelangt man durch Fortsetzung des Prozesses der Quintenschichtung: eine Quinte oberhalb des H liegt Fis, wieder eine Quinte oberhalb Cis etc., analog eine Quinte unterhalb des F das B, wieder eine Quinte unterhalb Es etc. Dies funktioniert beim superpythagoräischen 17edo gleichermassen, und man kann alle Töne von 17edo so erhalten - mit dem Unterschied, dass die #-Noten und die b-Noten in 17edo unterschiedliche Tonhöhen bezeichnen, im Gegensatz zum traditionellen 12edo. Die [[http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung|enharmonischen Verwechslungen]] (in 12edo für jedes #/b-Paar, C#-Db, D#-Eb etc.) kommen in 17edo an andere Orte zu liegen: hier ist z.B. E-is (E#) enharmonisch äquivalent zu Ges (Gb), His (H#) zu Des (Db), Ais (A#) zu Ces (Cb) und Dis (D#) zu Fes (Fb).

Gewöhnungsbedürftig ist, dass Cis //höher// ist als Des, Dis höher als Es etc. - eine charakteristische Eigenschaft von pythagoräischen und superpythagoräischen Tonsystemen (im Gegensatz zu mitteltönigen, wo es genau umgekehrt ist!), was im Notenbild zu scheinbar "umgekehrter" Bewegungsrichtung führen kann.

Alle Töne von 17edo in aufsteigender Reihenfolge:
C, C#, Db=H#, D, D#, Eb, E=Fb, F, F#, Gb=E#, G, G#, Ab, A, B, A#=Cb, H

[[image:17edorast.png]]
Approximation einer [[arabisch, türkisch, persisch|arabischen]] Rast-Skala in 17edo. Die Intervalle C-Dis und G-Ais sind neutrale Terzen.

[Todo Tonbeispiel]

==Layouts für Tasteninstrumente== 
[To do]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:8 --&amp;gt;Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsystems. Die Quinte ist minimal höher als die reine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quinte"&amp;gt;Quinte&amp;lt;/a&amp;gt;, und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt;) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen geeignet macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Musik im Siebzehnteltonsystem kann auf konsistente Weise mit traditioneller Notenschrift dargestellt werden. Zur Herleitung kann man sich vergegenwärtigen, dass die heutige Notenschrift wesentlich pythagoräischen Prinzipien folgt, genauer auf Übereinanderschichten von Quinten beruht (was für pythagoräische wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsysteme gleichermassen gilt). Die direkt durch ihre Position im Notensystem bestimmten Tonhöhen der Grundtöne C, D, E etc. bilden ja bekanntlich eine durch Übereinanderschichten von Quinten (beginnend bei F, endend bei H) erstellte diatonische Tonleiter. Zu den alterierten Noten (mit # bzw. b markiert) gelangt man durch Fortsetzung des Prozesses der Quintenschichtung: eine Quinte oberhalb des H liegt Fis, wieder eine Quinte oberhalb Cis etc., analog eine Quinte unterhalb des F das B, wieder eine Quinte unterhalb Es etc. Dies funktioniert beim superpythagoräischen 17edo gleichermassen, und man kann alle Töne von 17edo so erhalten - mit dem Unterschied, dass die #-Noten und die b-Noten in 17edo unterschiedliche Tonhöhen bezeichnen, im Gegensatz zum traditionellen 12edo. Die &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung" rel="nofollow"&amp;gt;enharmonischen Verwechslungen&amp;lt;/a&amp;gt; (in 12edo für jedes #/b-Paar, C#-Db, D#-Eb etc.) kommen in 17edo an andere Orte zu liegen: hier ist z.B. E-is (E#) enharmonisch äquivalent zu Ges (Gb), His (H#) zu Des (Db), Ais (A#) zu Ces (Cb) und Dis (D#) zu Fes (Fb).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gewöhnungsbedürftig ist, dass Cis &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; ist als Des, Dis höher als Es etc. - eine charakteristische Eigenschaft von pythagoräischen und superpythagoräischen Tonsystemen (im Gegensatz zu mitteltönigen, wo es genau umgekehrt ist!), was im Notenbild zu scheinbar &amp;amp;quot;umgekehrter&amp;amp;quot; Bewegungsrichtung führen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Alle Töne von 17edo in aufsteigender Reihenfolge:&amp;lt;br /&amp;gt;
C, C#, Db=H#, D, D#, Eb, E=Fb, F, F#, Gb=E#, G, G#, Ab, A, B, A#=Cb, H&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:9:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/17edorast.png/504225124/17edorast.png&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/17edorast.png/504225124/17edorast.png" alt="17edorast.png" title="17edorast.png" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:9 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Approximation einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;arabischen&amp;lt;/a&amp;gt; Rast-Skala in 17edo. Die Intervalle C-Dis und G-Ais sind neutrale Terzen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Tonbeispiel]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Layouts für Tasteninstrumente"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Layouts für Tasteninstrumente&amp;lt;/h2&amp;gt;
 [To do]&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2014-04-24 02:37:52 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[toc]]
Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines [[Superpyth|superpythagoräischen]] Tonsystems. Die Quinte ist minimal höher als die reine [[Quinte]], und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder [[mitteltönig|mitteltönigen]]) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in [[12edo]], die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.

In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischer]] Skalen geeignet macht.

[[media type="custom" key="24817188"]]
[[file:17ed2-001-de.svg]]

==Notation== 
Musik im Siebzehnteltonsystem kann auf konsistente Weise mit traditioneller Notenschrift dargestellt werden. Zur Herleitung kann man sich vergegenwärtigen, dass die heutige Notenschrift wesentlich pythagoräischen Prinzipien folgt, genauer auf Übereinanderschichten von Quinten beruht (was für pythagoräische wie [[mitteltönig|mitteltönige]] Tonsysteme gleichermassen gilt). Die direkt durch ihre Position im Notensystem bestimmten Tonhöhen der Grundtöne C, D, E etc. bilden ja bekanntlich eine durch Übereinanderschichten von Quinten (beginnend bei F, endend bei H) erstellte diatonische Tonleiter. Zu den alterierten Noten (mit # bzw. b markiert) gelangt man durch Fortsetzung des Prozesses der Quintenschichtung: eine Quinte oberhalb des H liegt Fis, wieder eine Quinte oberhalb Cis etc., analog eine Quinte unterhalb des F das B, wieder eine Quinte unterhalb Es etc. Dies funktioniert beim superpythagoräischen 17edo gleichermassen, und man kann alle Töne von 17edo so erhalten - mit dem Unterschied, dass die #-Noten und die b-Noten in 17edo unterschiedliche Tonhöhen bezeichnen, im Gegensatz zum traditionellen 12edo. Die [[http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung|enharmonischen Verwechslungen]] (in 12edo für jedes #/b-Paar, C#-Db, D#-Eb etc.) kommen in 17edo an andere Orte zu liegen: hier ist z.B. E-is (E#) enharmonisch äquivalent zu Ges (Gb), His (H#) zu Des (Db), Ais (A#) zu Ces (Cb) und Dis (D#) zu Fes (Fb).

Gewöhnungsbedürftig ist, dass Cis //höher// ist als Des, Dis höher als Es etc. - eine charakteristische Eigenschaft von pythagoräischen und superpythagoräischen Tonsystemen (im Gegensatz zu mitteltönigen, wo es genau umgekehrt ist!), was im Notenbild zu scheinbar "umgekehrter "Bewegungsrichtung führen kann.

Alle Töne von 17edo in aufsteigender Reihenfolge:
C, C#, Db=H#, D, D#, Eb, E=Fb, F, F#, Gb=E#, G, G#, Ab, A, A#=Cb, B, H

[[image:17edorast.png]]
Approximation einer [[arabisch, türkisch, persisch|arabischen]] Rast-Skala in 17edo. Die Intervalle C-Dis und G-Ais sind neutrale Terzen.

[Todo Tonbeispiel]

==Layouts für Tasteninstrumente== 
[To do]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen geeignet macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Musik im Siebzehnteltonsystem kann auf konsistente Weise mit traditioneller Notenschrift dargestellt werden. Zur Herleitung kann man sich vergegenwärtigen, dass die heutige Notenschrift wesentlich pythagoräischen Prinzipien folgt, genauer auf Übereinanderschichten von Quinten beruht (was für pythagoräische wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsysteme gleichermassen gilt). Die direkt durch ihre Position im Notensystem bestimmten Tonhöhen der Grundtöne C, D, E etc. bilden ja bekanntlich eine durch Übereinanderschichten von Quinten (beginnend bei F, endend bei H) erstellte diatonische Tonleiter. Zu den alterierten Noten (mit # bzw. b markiert) gelangt man durch Fortsetzung des Prozesses der Quintenschichtung: eine Quinte oberhalb des H liegt Fis, wieder eine Quinte oberhalb Cis etc., analog eine Quinte unterhalb des F das B, wieder eine Quinte unterhalb Es etc. Dies funktioniert beim superpythagoräischen 17edo gleichermassen, und man kann alle Töne von 17edo so erhalten - mit dem Unterschied, dass die #-Noten und die b-Noten in 17edo unterschiedliche Tonhöhen bezeichnen, im Gegensatz zum traditionellen 12edo. Die &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung" rel="nofollow"&amp;gt;enharmonischen Verwechslungen&amp;lt;/a&amp;gt; (in 12edo für jedes #/b-Paar, C#-Db, D#-Eb etc.) kommen in 17edo an andere Orte zu liegen: hier ist z.B. E-is (E#) enharmonisch äquivalent zu Ges (Gb), His (H#) zu Des (Db), Ais (A#) zu Ces (Cb) und Dis (D#) zu Fes (Fb).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gewöhnungsbedürftig ist, dass Cis &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; ist als Des, Dis höher als Es etc. - eine charakteristische Eigenschaft von pythagoräischen und superpythagoräischen Tonsystemen (im Gegensatz zu mitteltönigen, wo es genau umgekehrt ist!), was im Notenbild zu scheinbar &amp;amp;quot;umgekehrter &amp;amp;quot;Bewegungsrichtung führen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Alle Töne von 17edo in aufsteigender Reihenfolge:&amp;lt;br /&amp;gt;
C, C#, Db=H#, D, D#, Eb, E=Fb, F, F#, Gb=E#, G, G#, Ab, A, A#=Cb, B, H&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:9:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/17edorast.png/504225124/17edorast.png&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/17edorast.png/504225124/17edorast.png" alt="17edorast.png" title="17edorast.png" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:9 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Approximation einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;arabischen&amp;lt;/a&amp;gt; Rast-Skala in 17edo. Die Intervalle C-Dis und G-Ais sind neutrale Terzen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Tonbeispiel]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Layouts für Tasteninstrumente"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Layouts für Tasteninstrumente&amp;lt;/h2&amp;gt;
 [To do]&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2014-04-24 02:36:38 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/17edo]]
[[toc]]
Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines [[Superpyth|superpythagoräischen]] Tonsystems. Die Quinte ist minimal höher als die reine [[Quinte]], und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder [[mitteltönig|mitteltönigen]]) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in [[12edo]], die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.

In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischer]] Skalen geeignet macht.

[[media type="custom" key="24817188"]]
[[file:17ed2-001-de.svg]]

==Notation== 
Musik im Siebzehnteltonsystem kann auf konsistente Weise mit traditioneller Notenschrift dargestellt werden. Zur Herleitung kann man sich vergegenwärtigen, dass die heutige Notenschrift wesentlich pythagoräischen Prinzipien folgt, genauer auf Übereinanderschichten von Quinten beruht (was für pythagoräische wie [[mitteltönig|mitteltönige]] Tonsysteme gleichermassen gilt). Die direkt durch ihre Position im Notensystem bestimmten Tonhöhen der Grundtöne C, D, E etc. bilden ja bekanntlich eine durch Übereinanderschichten von Quinten (beginnend bei F, endend bei H) erstellte diatonische Tonleiter. Zu den alterierten Noten (mit # bzw. b markiert) gelangt man durch Fortsetzung des Prozesses der Quintenschichtung: eine Quinte oberhalb des H liegt Fis, wieder eine Quinte oberhalb Cis etc., analog eine Quinte unterhalb des F das B, wieder eine Quinte unterhalb Es etc. Dies funktioniert beim superpythagoräischen 17edo gleichermassen, und man kann alle Töne von 17edo so erhalten - mit dem Unterschied, dass die #-Noten und die b-Noten in 17edo unterschiedliche Tonhöhen bezeichnen, im Gegensatz zum traditionellen 12edo. Die [[http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung|enharmonischen Verwechslungen]] (in 12edo für jedes #/b-Paar, C#-Db, D#-Eb etc.) kommen in 17edo an andere Orte zu liegen: hier ist z.B. E-is (E#) enharmonisch äquivalent zu Ges (Gb), His (H#) zu Des (Db), Ais (A#) zu Ces (Cb) und Dis (D#) zu Fes (Fb).

Gewöhnungsbedürftig ist, dass Cis //höher// ist als Des, Dis höher als Es etc. - eine charakteristische Eigenschaft von pythagoräischen und superpythagoräischen Tonsystemen (im Gegensatz zu mitteltönigen, wo es genau umgekehrt ist!), was im Notenbild zu scheinbar "umgekehrter "Bewegungsrichtung führen kann.

Alle Töne von 17edo in aufsteigender Reihenfolge:
C, C#, Db=H#, D, D#, Eb, E=Fb, F, F#, Gb=E#, G, G#, Ab, A, A#=Cb, B, H

[[image:17edorast.png]]
Approximation einer [[arabisch, türkisch, persisch|arabischen]] Rast-Skala in 17edo,

[Todo Tonbeispiel]

==Layouts für Tasteninstrumente== 
[To do]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;17edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/17edo"&amp;gt;xenharmonic/17edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen geeignet macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Gewöhnungsbedürftig ist, dass Cis &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; ist als Des, Dis höher als Es etc. - eine charakteristische Eigenschaft von pythagoräischen und superpythagoräischen Tonsystemen (im Gegensatz zu mitteltönigen, wo es genau umgekehrt ist!), was im Notenbild zu scheinbar &amp;amp;quot;umgekehrter &amp;amp;quot;Bewegungsrichtung führen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Alle Töne von 17edo in aufsteigender Reihenfolge:&amp;lt;br /&amp;gt;
C, C#, Db=H#, D, D#, Eb, E=Fb, F, F#, Gb=E#, G, G#, Ab, A, A#=Cb, B, H&amp;lt;br /&amp;gt;
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[Todo Tonbeispiel]&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2014-04-23 07:59:04 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
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[[toc]]
Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines [[Superpyth|superpythagoräischen]] Tonsystems. Die Quinte ist minimal höher als die reine [[Quinte]], und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder [[mitteltönig|mitteltönigen]]) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in [[12edo]], die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.

In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischer]] Skalen geeignet macht.

[[media type="custom" key="24817188"]]
[[file:17ed2-001-de.svg]]

==Notation== 
Musik im Siebzehnteltonsystem kann auf konsistente Weise mit traditioneller Notenschrift dargestellt werden. Zur Herleitung kann man sich vergegenwärtigen, dass die heutige Notenschrift wesentlich pythagoräischen Prinzipien folgt, genauer auf Übereinanderschichten von Quinten beruht (was für pythagoräische wie [[mitteltönig|mitteltönige]] Tonsysteme gleichermassen gilt). Die direkt durch ihre Position im Notensystem bestimmten Tonhöhen der Grundtöne C, D, E etc. bilden ja bekanntlich eine durch Übereinanderschichten von Quinten (beginnend bei F, endend bei H) erstellte diatonische Tonleiter. Zu den alterierten Noten (mit # bzw. b markiert) gelangt man durch Fortsetzung des Prozesses der Quintenschichtung: eine Quinte oberhalb des H liegt Fis, wieder eine Quinte oberhalb Cis etc., analog eine Quinte unterhalb des F das B, wieder eine Quinte unterhalb Es etc. Dies funktioniert beim superpythagoräischen 17edo gleichermassen, und man kann alle Töne von 17edo so erhalten - mit dem Unterschied, dass die #-Noten und die b-Noten in 17edo unterschiedliche Tonhöhen bezeichnen, im Gegensatz zum traditionellen 12edo. Die [[http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung|enharmonischen Verwechslungen]] (in 12edo für jedes #/b-Paar, C#-Db, D#-Eb etc.) kommen in 17edo an andere Orte zu liegen: hier ist z.B. E-is (E#) enharmonisch äquivalent zu Ges (Gb), His (H#) zu Des (Db), Ais (A#) zu Ces (Cb) und Dis (D#) zu Fes (Fb).

Gewöhnungsbedürftig ist, dass Cis //höher// ist als Des, Dis höher als Es etc. - eine charakteristische Eigenschaft von pythagoräischen und superpythagoräischen Tonsystemen (im Gegensatz zu mitteltönigen, wo es genau umgekehrt ist!), was im Notenbild zu scheinbar "umgekehrter "Bewegungsrichtung führen kann.

Alle Töne von 17edo in aufsteigender Reihenfolge:
C, C#, Db=H#, D, D#, Eb, E=Fb, F, F#, Gb=E#, G, G#, Ab, A, A#=Cb, B, H

[Todo Beispiel]

==Layouts für Tasteninstrumente== 
[To do]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;17edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/17edo"&amp;gt;xenharmonic/17edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen geeignet macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Musik im Siebzehnteltonsystem kann auf konsistente Weise mit traditioneller Notenschrift dargestellt werden. Zur Herleitung kann man sich vergegenwärtigen, dass die heutige Notenschrift wesentlich pythagoräischen Prinzipien folgt, genauer auf Übereinanderschichten von Quinten beruht (was für pythagoräische wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsysteme gleichermassen gilt). Die direkt durch ihre Position im Notensystem bestimmten Tonhöhen der Grundtöne C, D, E etc. bilden ja bekanntlich eine durch Übereinanderschichten von Quinten (beginnend bei F, endend bei H) erstellte diatonische Tonleiter. Zu den alterierten Noten (mit # bzw. b markiert) gelangt man durch Fortsetzung des Prozesses der Quintenschichtung: eine Quinte oberhalb des H liegt Fis, wieder eine Quinte oberhalb Cis etc., analog eine Quinte unterhalb des F das B, wieder eine Quinte unterhalb Es etc. Dies funktioniert beim superpythagoräischen 17edo gleichermassen, und man kann alle Töne von 17edo so erhalten - mit dem Unterschied, dass die #-Noten und die b-Noten in 17edo unterschiedliche Tonhöhen bezeichnen, im Gegensatz zum traditionellen 12edo. Die &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung" rel="nofollow"&amp;gt;enharmonischen Verwechslungen&amp;lt;/a&amp;gt; (in 12edo für jedes #/b-Paar, C#-Db, D#-Eb etc.) kommen in 17edo an andere Orte zu liegen: hier ist z.B. E-is (E#) enharmonisch äquivalent zu Ges (Gb), His (H#) zu Des (Db), Ais (A#) zu Ces (Cb) und Dis (D#) zu Fes (Fb).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gewöhnungsbedürftig ist, dass Cis &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; ist als Des, Dis höher als Es etc. - eine charakteristische Eigenschaft von pythagoräischen und superpythagoräischen Tonsystemen (im Gegensatz zu mitteltönigen, wo es genau umgekehrt ist!), was im Notenbild zu scheinbar &amp;amp;quot;umgekehrter &amp;amp;quot;Bewegungsrichtung führen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Alle Töne von 17edo in aufsteigender Reihenfolge:&amp;lt;br /&amp;gt;
C, C#, Db=H#, D, D#, Eb, E=Fb, F, F#, Gb=E#, G, G#, Ab, A, A#=Cb, B, H&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Beispiel]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Layouts für Tasteninstrumente"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Layouts für Tasteninstrumente&amp;lt;/h2&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2014-04-23 07:58:27 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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[[toc]]
Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines [[Superpyth|superpythagoräischen]] Tonsystems. Die Quinte ist minimal höher als die reine [[Quinte]], und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder [[mitteltönig|mitteltönigen]]) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in [[12edo]], die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.

In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischer]] Skalen geeignet macht.

[[media type="custom" key="24817188"]]
[[file:17ed2-001-de.svg]]

==Notation== 
Musik im Siebzehnteltonsystem kann auf konsistente Weise mit traditioneller Notenschrift dargestellt werden. Zur Herleitung kann man sich vergegenwärtigen, dass die heutige Notenschrift wesentlich pythagoräischen Prinzipien folgt, genauer auf Übereinanderschichten von Quinten beruht (was für pythagoräische wie [[mitteltönig|mitteltönige]] Tonsysteme gleichermassen gilt). Die direkt durch ihre Position im Notensystem bestimmten Tonhöhen der Grundtöne C, D, E etc. bilden ja bekanntlich eine durch Übereinanderschichten von Quinten (beginnend bei F, endend bei H) erstellte diatonische Tonleiter. Zu den alterierten Noten (mit # bzw. b markiert) gelangt man durch Fortsetzung des Prozesses der Quintenschichtung: eine Quinte oberhalb des H liegt Fis, wieder eine Quinte oberhalb Cis etc., analog eine Quinte unterhalb des F das B, wieder eine Quinte unterhalb Es etc. Dies funktioniert beim superpythagoräischen 17edo gleichermassen, und man kann alle Töne von 17edo so erhalten - mit dem Unterschied, dass die #-Noten und die b-Noten in 17edo unterschiedliche Tonhöhen bezeichnen, im Gegensatz zum traditionellen 12edo. Die [[http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung|enharmonischen Verwechslungen]] (in 12edo für jedes #/b-Paar, C#-Db, D#-Eb etc.) kommen in 17edo an andere Orte zu liegen: hier ist z.B. E-is (E#) enharmonisch äquivalent zu Ges (Gb), His (H#) zu Des (Db), Ais (A#) zu Ces (Cb) und Dis (D#) zu Fes (Fb).

Gewöhnungsbedürftig ist, dass Cis //höher// ist als Des, Dis höher als Es etc. - eine charakteristische Eigenschaft von pythagoräischen und superpythagoräischen Tonsystemen (im Gegensatz zu mitteltönigen, wo es genau umgekehrt ist!), was im Notenbild zu scheinbar "umgekehrter "Bewegungsrichtung führen kann.

Alle Töne von 17edo in aufsteigender Reihenfolge:
C, C#, Db=H#, D, D#, Eb, E=Fb, F, F#, Gb=E#, G, G#, Ab, A, A#=Cb, B, H, C

[Todo Beispiel]

==Layouts für Tasteninstrumente== 
[To do]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen geeignet macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Musik im Siebzehnteltonsystem kann auf konsistente Weise mit traditioneller Notenschrift dargestellt werden. Zur Herleitung kann man sich vergegenwärtigen, dass die heutige Notenschrift wesentlich pythagoräischen Prinzipien folgt, genauer auf Übereinanderschichten von Quinten beruht (was für pythagoräische wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsysteme gleichermassen gilt). Die direkt durch ihre Position im Notensystem bestimmten Tonhöhen der Grundtöne C, D, E etc. bilden ja bekanntlich eine durch Übereinanderschichten von Quinten (beginnend bei F, endend bei H) erstellte diatonische Tonleiter. Zu den alterierten Noten (mit # bzw. b markiert) gelangt man durch Fortsetzung des Prozesses der Quintenschichtung: eine Quinte oberhalb des H liegt Fis, wieder eine Quinte oberhalb Cis etc., analog eine Quinte unterhalb des F das B, wieder eine Quinte unterhalb Es etc. Dies funktioniert beim superpythagoräischen 17edo gleichermassen, und man kann alle Töne von 17edo so erhalten - mit dem Unterschied, dass die #-Noten und die b-Noten in 17edo unterschiedliche Tonhöhen bezeichnen, im Gegensatz zum traditionellen 12edo. Die &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung" rel="nofollow"&amp;gt;enharmonischen Verwechslungen&amp;lt;/a&amp;gt; (in 12edo für jedes #/b-Paar, C#-Db, D#-Eb etc.) kommen in 17edo an andere Orte zu liegen: hier ist z.B. E-is (E#) enharmonisch äquivalent zu Ges (Gb), His (H#) zu Des (Db), Ais (A#) zu Ces (Cb) und Dis (D#) zu Fes (Fb).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gewöhnungsbedürftig ist, dass Cis &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; ist als Des, Dis höher als Es etc. - eine charakteristische Eigenschaft von pythagoräischen und superpythagoräischen Tonsystemen (im Gegensatz zu mitteltönigen, wo es genau umgekehrt ist!), was im Notenbild zu scheinbar &amp;amp;quot;umgekehrter &amp;amp;quot;Bewegungsrichtung führen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Alle Töne von 17edo in aufsteigender Reihenfolge:&amp;lt;br /&amp;gt;
C, C#, Db=H#, D, D#, Eb, E=Fb, F, F#, Gb=E#, G, G#, Ab, A, A#=Cb, B, H, C&amp;lt;br /&amp;gt;
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[Todo Beispiel]&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2014-04-23 07:57:21 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;504013956&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[toc]]
Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines [[Superpyth|superpythagoräischen]] Tonsystems. Die Quinte ist minimal höher als die reine [[Quinte]], und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder [[mitteltönig|mitteltönigen]]) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in [[12edo]], die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.

In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischer]] Skalen geeignet macht.

[[media type="custom" key="24817188"]]
[[file:17ed2-001-de.svg]]

==Notation== 
Musik im Siebzehnteltonsystem kann auf konsistente Weise mit traditioneller Notenschrift dargestellt werden. Zur Herleitung kann man sich vergegenwärtigen, dass die heutige Notenschrift wesentlich pythagoräischen Prinzipien folgt, genauer auf Übereinanderschichten von Quinten beruht (was für pythagoräische wie [[mitteltönig|mitteltönige]] Tonsysteme gleichermassen gilt). Die direkt durch ihre Position im Notensystem bestimmten Tonhöhen der Grundtöne C, D, E etc. bilden ja bekanntlich eine durch Übereinanderschichten von Quinten (beginnend bei F, endend bei H) erstellte diatonische Tonleiter. Zu den alterierten Noten (mit # bzw. b markiert) gelangt man durch Fortsetzung des Prozesses der Quintenschichtung: eine Quinte oberhalb des H liegt Fis, wieder eine Quinte oberhalb Cis etc., analog eine Quinte unterhalb des F das B, wieder eine Quinte unterhalb Es etc. Dies funktioniert beim superpythagoräischen 17edo gleichermassen, und man kann alle Töne von 17edo so erhalten - mit dem Unterschied, dass die #-Noten und die b-Noten in 17edo unterschiedliche Tonhöhen bezeichnen, im Gegensatz zum traditionellen 12edo. Die [[http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung|enharmonischen Verwechslungen]] (in 12edo für jedes #/b-Paar, C#-Db, D#-Eb etc.) kommen in 17edo an andere Orte zu liegen: hier ist z.B. E-is (E#) enharmonisch äquivalent zu Ges (Gb), His (H#) zu Des (Db), Ais (A#) zu Ces (Cb) und Dis (D#) zu Fes (Fb).

Gewöhnungsbedürftig ist, dass Cis höher ist als Des, Dis höher als Es etc. - eine charakteristische Eigenschaft von pythagoräischen und superpythagotäischen Tonsystemen (im Gegensatz zu mitteltönigen, wo es genau umgekehrt ist!), was im Notenbild zu scheinbar "umgekehrter "Bewegungsrichtung führen kann.

Alle Töne von 17edo in aufsteigender Reihenfolge:
C, C#, Db=H#, D, D#, Eb, E=Fb, F, F#, Gb=E#, G, G#, Ab, A, A#=Cb, B, H, C

[Todo Beispiel]

==Layouts für Tasteninstrumente== 
[To do]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:8 --&amp;gt;Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsystems. Die Quinte ist minimal höher als die reine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quinte"&amp;gt;Quinte&amp;lt;/a&amp;gt;, und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt;) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen geeignet macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Musik im Siebzehnteltonsystem kann auf konsistente Weise mit traditioneller Notenschrift dargestellt werden. Zur Herleitung kann man sich vergegenwärtigen, dass die heutige Notenschrift wesentlich pythagoräischen Prinzipien folgt, genauer auf Übereinanderschichten von Quinten beruht (was für pythagoräische wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsysteme gleichermassen gilt). Die direkt durch ihre Position im Notensystem bestimmten Tonhöhen der Grundtöne C, D, E etc. bilden ja bekanntlich eine durch Übereinanderschichten von Quinten (beginnend bei F, endend bei H) erstellte diatonische Tonleiter. Zu den alterierten Noten (mit # bzw. b markiert) gelangt man durch Fortsetzung des Prozesses der Quintenschichtung: eine Quinte oberhalb des H liegt Fis, wieder eine Quinte oberhalb Cis etc., analog eine Quinte unterhalb des F das B, wieder eine Quinte unterhalb Es etc. Dies funktioniert beim superpythagoräischen 17edo gleichermassen, und man kann alle Töne von 17edo so erhalten - mit dem Unterschied, dass die #-Noten und die b-Noten in 17edo unterschiedliche Tonhöhen bezeichnen, im Gegensatz zum traditionellen 12edo. Die &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung" rel="nofollow"&amp;gt;enharmonischen Verwechslungen&amp;lt;/a&amp;gt; (in 12edo für jedes #/b-Paar, C#-Db, D#-Eb etc.) kommen in 17edo an andere Orte zu liegen: hier ist z.B. E-is (E#) enharmonisch äquivalent zu Ges (Gb), His (H#) zu Des (Db), Ais (A#) zu Ces (Cb) und Dis (D#) zu Fes (Fb).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gewöhnungsbedürftig ist, dass Cis höher ist als Des, Dis höher als Es etc. - eine charakteristische Eigenschaft von pythagoräischen und superpythagotäischen Tonsystemen (im Gegensatz zu mitteltönigen, wo es genau umgekehrt ist!), was im Notenbild zu scheinbar &amp;amp;quot;umgekehrter &amp;amp;quot;Bewegungsrichtung führen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Alle Töne von 17edo in aufsteigender Reihenfolge:&amp;lt;br /&amp;gt;
C, C#, Db=H#, D, D#, Eb, E=Fb, F, F#, Gb=E#, G, G#, Ab, A, A#=Cb, B, H, C&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Beispiel]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2014-04-23 07:56:30 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;504013838&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[toc]]

Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines [[Superpyth|superpythagoräischen]] Tonsystems. Die Quinte ist minimal höher als die reine [[Quinte]], und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder [[mitteltönig|mitteltönigen]]) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in [[12edo]], die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.

In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischer]] Skalen geeignet macht.

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[[file:17ed2-001-de.svg]]

==Notation== 
Musik im Siebzehnteltonsystem kann auf konsistente Weise mit traditioneller Notenschrift dargestellt werden. Zur Herleitung kann man sich vergegenwärtigen, dass die heutige Notenschrift wesentlich pythagoräischen Prinzipien folgt, genauer auf Übereinanderschichten von Quinten (was für pythagoräische wie [[mitteltönig|mitteltönige]] Tonsysteme gleichermassen gilt). Die direkt durch ihre Position im Notensystem bestimmten Tonhöhen der Grundtöne C, D, E etc. bilden ja bekanntlich eine durch Übereinanderschichten von Quinten (beginnend bei F, endend bei H) erstellte diatonische Tonleiter. Zu den alterierten Noten (mit # bzw. b markiert) gelangt man durch Fortsetzung des Prozesses der Quintenschichtung: eine Quinte oberhalb des H liegt Fis, wieder eine Quinte oberhalb Cis etc., analog eine Quinte unterhalb des F das B, wieder eine Quinte unterhalb Es etc. Dies funktioniert beim superpythagoräischen 17edo gleichermassen, und man kann alle Töne von 17edo so erhalten - mit dem Unterschied, dass die #-Noten und die b-Noten in 17edo unterschiedliche Tonhöhen bezeichnen, im Gegensatz zum traditionellen 12edo. Die [[http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung|enharmonischen Verwechslungen]] (in 12edo für jedes #/b-Paar, C#-Db, D#-Eb etc.) kommen in 17edo an andere Orte zu liegen: hier ist z.B. E-is (E#) enharmonisch äquivalent zu Ges (Gb), His (H#) zu Des (Db), Ais (A#) zu Ces (Cb) und Dis (D#) zu Fes (Fb).

Gewöhnungsbedürftig ist, dass Cis höher ist als Des, Dis höher als Es etc. - eine charakteristische Eigenschaft von pythagoräischen und superpythagotäischen Tonsystemen (im Gegensatz zu mitteltönigen, wo es genau umgekehrt ist!), was im Notenbild zu scheinbar "umgekehrter "Bewegungsrichtung führen kann.

Alle Töne von 17edo in aufsteigender Reihenfolge:
C, C#, Db=H#, D, D#, Eb, E=Fb, F, F#, Gb=E#, G, G#, Ab, A, A#=Cb, B, H, C

[Todo Beispiel]

==Layouts für Tasteninstrumente== 
[To do]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;17edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/17edo"&amp;gt;xenharmonic/17edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsystems. Die Quinte ist minimal höher als die reine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quinte"&amp;gt;Quinte&amp;lt;/a&amp;gt;, und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt;) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen geeignet macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Musik im Siebzehnteltonsystem kann auf konsistente Weise mit traditioneller Notenschrift dargestellt werden. Zur Herleitung kann man sich vergegenwärtigen, dass die heutige Notenschrift wesentlich pythagoräischen Prinzipien folgt, genauer auf Übereinanderschichten von Quinten (was für pythagoräische wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsysteme gleichermassen gilt). Die direkt durch ihre Position im Notensystem bestimmten Tonhöhen der Grundtöne C, D, E etc. bilden ja bekanntlich eine durch Übereinanderschichten von Quinten (beginnend bei F, endend bei H) erstellte diatonische Tonleiter. Zu den alterierten Noten (mit # bzw. b markiert) gelangt man durch Fortsetzung des Prozesses der Quintenschichtung: eine Quinte oberhalb des H liegt Fis, wieder eine Quinte oberhalb Cis etc., analog eine Quinte unterhalb des F das B, wieder eine Quinte unterhalb Es etc. Dies funktioniert beim superpythagoräischen 17edo gleichermassen, und man kann alle Töne von 17edo so erhalten - mit dem Unterschied, dass die #-Noten und die b-Noten in 17edo unterschiedliche Tonhöhen bezeichnen, im Gegensatz zum traditionellen 12edo. Die &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung" rel="nofollow"&amp;gt;enharmonischen Verwechslungen&amp;lt;/a&amp;gt; (in 12edo für jedes #/b-Paar, C#-Db, D#-Eb etc.) kommen in 17edo an andere Orte zu liegen: hier ist z.B. E-is (E#) enharmonisch äquivalent zu Ges (Gb), His (H#) zu Des (Db), Ais (A#) zu Ces (Cb) und Dis (D#) zu Fes (Fb).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gewöhnungsbedürftig ist, dass Cis höher ist als Des, Dis höher als Es etc. - eine charakteristische Eigenschaft von pythagoräischen und superpythagotäischen Tonsystemen (im Gegensatz zu mitteltönigen, wo es genau umgekehrt ist!), was im Notenbild zu scheinbar &amp;amp;quot;umgekehrter &amp;amp;quot;Bewegungsrichtung führen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Alle Töne von 17edo in aufsteigender Reihenfolge:&amp;lt;br /&amp;gt;
C, C#, Db=H#, D, D#, Eb, E=Fb, F, F#, Gb=E#, G, G#, Ab, A, A#=Cb, B, H, C&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Beispiel]&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2014-04-17 13:55:43 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;503073248&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines [[Superpyth|superpythagoräischen]] Tonsystems. Die Quinte ist minimal höher als die reine [[Quinte]], und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder [[mitteltönig|mitteltönigen]]) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in [[12edo]], die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.

In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischer]] Skalen geeignet macht.

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==Notation==
[To do]

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Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsystems. Die Quinte ist minimal höher als die reine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quinte"&amp;gt;Quinte&amp;lt;/a&amp;gt;, und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt;) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen geeignet macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2014-01-08 03:17:00 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines [[Superpyth|superpythagoräischen]] Tonsystems. Die Quinte ist minimal höher als die reine [[Quinte]], und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder [[mitteltönig|mitteltönigen]]) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in [[12edo]], die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.

In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischer]] Skalen geeignet macht.

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&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsystems. Die Quinte ist minimal höher als die reine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quinte"&amp;gt;Quinte&amp;lt;/a&amp;gt;, und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt;) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen geeignet macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2014-01-08 02:58:03 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines [[Superpyth|superpythagoräischen]] Tonsystems. Die Quinte ist minimal höher als die reine [[Quinte]], und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder [[mitteltönig|mitteltönigen]]) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in [[12edo]], die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.

In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischer]] Skalen geeignet macht.

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Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsystems. Die Quinte ist minimal höher als die reine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quinte"&amp;gt;Quinte&amp;lt;/a&amp;gt;, und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt;) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen geeignet macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-28 14:29:16 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines [[Superpyth|superpythagoräischen]] Tonsystems. Die Quinte ist minimal höher als die reine [[Quinte]], und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder [[mitteltönig|mitteltönigen]]) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in [[12edo]], die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.

In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischer]] Skalen geeignet macht.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsystems. Die Quinte ist minimal höher als die reine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quinte"&amp;gt;Quinte&amp;lt;/a&amp;gt;, und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt;) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen geeignet macht.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-28 13:30:59 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;434783172&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/17edo]]

Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines [[Superpyth|superpythagoräischen]] Tonsystems. Die Quinte ist minimal höher als die reine [[Quinte]], und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder [[mitteltönig|mitteltönigen]]) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in [[12edo]], die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.

In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation [[arabisch türkisch, persisch|orientalischer]] Skalen geeignet macht.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsystems. Die Quinte ist minimal höher als die reine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quinte"&amp;gt;Quinte&amp;lt;/a&amp;gt;, und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt;) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen geeignet macht.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-24 04:15:40 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/17edo]]

Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines [[Superpyth|superpythagoräischen]] Tonsystems. Die Quinte ist minimal höher als die reine [[Quinte]], und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder [[mitteltönig|mitteltönigen]]) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in [[12edo]], die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.

In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation orientalischer Skalen geeignet macht.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsystems. Die Quinte ist minimal höher als die reine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quinte"&amp;gt;Quinte&amp;lt;/a&amp;gt;, und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt;) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation orientalischer Skalen geeignet macht.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-23 12:19:47 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines [[Superpyth|superpythagoräischen]] Tonsystems. Die Quinte ist minim höher als die reine Quinte, und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder [[mitteltönig|mitteltönigen]]) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in [[12edo]], die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.

In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation orientalischer Skalen geeignet macht.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsystems. Die Quinte ist minim höher als die reine Quinte, und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt;) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation orientalischer Skalen geeignet macht.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/17edo]]

Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines [[Superpyth|superpythagoräischen]] Tonsystems. Die Quinte ist minim höher als die reine Quinte, und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder [[mitteltönig|mitteltönigen]]) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in [[12edo]], die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.

In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutralen Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation orientalischer Skalen geeignet macht.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsystems. Die Quinte ist minim höher als die reine Quinte, und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt;) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutralen Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation orientalischer Skalen geeignet macht.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-23 12:18:55 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;433824094&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/17edo]]

Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines [[Superpyth|superpythagoräischen]] Tonsystems. Die Quiinte ist minim höher als die reine Quinte, und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder [[mitteltönig|mitteltönigen]]) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in [[12edo]], die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.

In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutralen Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation orientalischer Skalen geeignet macht.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsystems. Die Quiinte ist minim höher als die reine Quinte, und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt;) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutralen Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation orientalischer Skalen geeignet macht.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: The original revision id was &lt;tt&gt;433822270&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/17edo]]

Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines [[Superpyth|superpythagoräischen]] Tonsystems. Die Quiinte ist minim höher als die reine Quinte, und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder [[mitteltönig|mitteltönigen]]) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in [[12edo]], die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsystems. Die Quiinte ist minim höher als die reine Quinte, und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt;) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[edo|Ûbersicht EDO]]

Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines [[Superpyth|superpythagoräischen]] Tonsystems. Die Quinte ist minimal höher als die reine [[Quinte|Quinte]], und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder [[mitteltönig|mitteltönigen]]) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in [[12edo|12edo]], die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.

In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]] Skalen geeignet macht.

[[File:17ed2-001-de.svg|alt=alt : Your browser has no SVG support.]]

[[:File:17ed2-001-de.svg|17ed2-001-de.svg]]

==Notation==
Musik im Siebzehnteltonsystem kann auf konsistente Weise mit traditioneller Notenschrift dargestellt werden. Zur Herleitung kann man sich vergegenwärtigen, dass die heutige Notenschrift wesentlich pythagoräischen Prinzipien folgt, genauer auf Übereinanderschichten von Quinten beruht (was für pythagoräische wie [[mitteltönig|mitteltönige]] Tonsysteme gleichermassen gilt). Die direkt durch ihre Position im Notensystem bestimmten Tonhöhen der Grundtöne C, D, E etc. bilden ja bekanntlich eine durch Übereinanderschichten von Quinten (beginnend bei F, endend bei H) erstellte diatonische Tonleiter. Zu den alterierten Noten (mit # bzw. b markiert) gelangt man durch Fortsetzung des Prozesses der Quintenschichtung: eine Quinte oberhalb des H liegt Fis, wieder eine Quinte oberhalb Cis etc., analog eine Quinte unterhalb des F das B, wieder eine Quinte unterhalb Es etc. Dies funktioniert beim superpythagoräischen 17edo gleichermassen, und man kann alle Töne von 17edo so erhalten - mit dem Unterschied, dass die #-Noten und die b-Noten in 17edo unterschiedliche Tonhöhen bezeichnen, im Gegensatz zum traditionellen 12edo. Die [http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung enharmonischen Verwechslungen] (in 12edo für jedes #/b-Paar, C#-Db, D#-Eb etc.) kommen in 17edo an andere Orte zu liegen: hier ist z.B. E-is (E#) enharmonisch äquivalent zu Ges (Gb), His (H#) zu Des (Db), Ais (A#) zu Ces (Cb) und Dis (D#) zu Fes (Fb).

Gewöhnungsbedürftig ist, dass Cis ''höher'' ist als Des, Dis höher als Es etc. - eine charakteristische Eigenschaft von pythagoräischen und superpythagoräischen Tonsystemen (im Gegensatz zu mitteltönigen, wo es genau umgekehrt ist!), was im Notenbild zu scheinbar "umgekehrter" Bewegungsrichtung führen kann.

Alle Töne von 17edo in aufsteigender Reihenfolge:

C, Db=H#, C#, D, Eb, D#=Fb, E, F, Gb=E#, F#, G, Ab, G#, A, B, A#=Cb, H

[[File:17edorast.png|alt=17edorast.png|17edorast.png]]

Approximation einer [[arabisch,_türkisch,_persisch|arabischen]] Rast-Skala in 17edo. Die Intervalle C-Dis und G-Ais sind neutrale Terzen.

[Todo Tonbeispiel]

==Layouts für Tasteninstrumente==
In analoger Weise zur Notation ergibt sich aus der pythagoräischen Organisation des siebzehnstufigen Tonsystems auch ein natürliches Tastanlayout mit weissen und schwarzen Tasten, das dem traditionellen Layout stark ähnelt - mit dem Unterschied, dass an der Stelle jeder schwarzen Taste des Zwölfton-Layouts zwei Tasten nötig sind. Man könnte also ein Instrument in der Art von gewissen [http://www.denzilwraight.com/florentine.htm Renaissance-/Barock-Cembalos] auf diese Weise stimmen.

Wenn 17edo auf einem "gewöhnlichen" Standard-Klavier gespielt werden soll, ist eine naheliegende Methode, zwei Klaviere zu verwenden, wobei die weissen Tasten bei beiden identisch gestimmt sind, die schwarzen hingegen einen Siebzehnerschritt auseinander. (Dies analog zur verbreiteten Standardmethode für [[24edo|24edo]].) Bei den divsersen Konzerten des [[:en:SeventeenTonePianoProject|Seventeen Tone Piano Project]] kam genau dieses System zum Einsatz.

Eine Alternative mit einem völlig verschiedenen Layout als Resultat ist es, anstelle des superpythagoräischen Organisationsprinzip ein [[maqamisch|maqamisches]] zu verwenden, was für das Spielen von [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischen Maqam-Skalen]] sinnvoll sein kann. In maqamischen Temperaturen gibt es [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] mit sieben und zehn Tönen, und in 17edo hängen diese so zu sammen, dass jeweils die eine genau das Komplement der anderen ist (7 + 10 ergibt bekanntlich 17). Ein natürliches Layout für 17edo-maqamisch wären dann etwa 10 weisse und 7 schwarze Tasten, je eine MOS-Skala bildend - siehe [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .

==Beispiele==
[[File:BWV779-17edo.mp3]] [[:File:BWV779-17edo.mp3|info]]  [[Category:edo]]
[[Category:Prim-EDO]]</text>
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[[edo|Ûbersicht EDO]]

Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines [[Superpyth|superpythagoräischen]] Tonsystems. Die Quinte ist minimal höher als die reine [[Quinte|Quinte]], und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder [[mitteltönig|mitteltönigen]]) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in [[12edo|12edo]], die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.

In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]] Skalen geeignet macht.

[[File:17ed2-001-de.svg|alt=alt : Your browser has no SVG support.]]

[[:File:17ed2-001-de.svg|17ed2-001-de.svg]]

==Notation==
Musik im Siebzehnteltonsystem kann auf konsistente Weise mit traditioneller Notenschrift dargestellt werden. Zur Herleitung kann man sich vergegenwärtigen, dass die heutige Notenschrift wesentlich pythagoräischen Prinzipien folgt, genauer auf Übereinanderschichten von Quinten beruht (was für pythagoräische wie [[mitteltönig|mitteltönige]] Tonsysteme gleichermassen gilt). Die direkt durch ihre Position im Notensystem bestimmten Tonhöhen der Grundtöne C, D, E etc. bilden ja bekanntlich eine durch Übereinanderschichten von Quinten (beginnend bei F, endend bei H) erstellte diatonische Tonleiter. Zu den alterierten Noten (mit # bzw. b markiert) gelangt man durch Fortsetzung des Prozesses der Quintenschichtung: eine Quinte oberhalb des H liegt Fis, wieder eine Quinte oberhalb Cis etc., analog eine Quinte unterhalb des F das B, wieder eine Quinte unterhalb Es etc. Dies funktioniert beim superpythagoräischen 17edo gleichermassen, und man kann alle Töne von 17edo so erhalten - mit dem Unterschied, dass die #-Noten und die b-Noten in 17edo unterschiedliche Tonhöhen bezeichnen, im Gegensatz zum traditionellen 12edo. Die [http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung enharmonischen Verwechslungen] (in 12edo für jedes #/b-Paar, C#-Db, D#-Eb etc.) kommen in 17edo an andere Orte zu liegen: hier ist z.B. E-is (E#) enharmonisch äquivalent zu Ges (Gb), His (H#) zu Des (Db), Ais (A#) zu Ces (Cb) und Dis (D#) zu Fes (Fb).

Gewöhnungsbedürftig ist, dass Cis ''höher'' ist als Des, Dis höher als Es etc. - eine charakteristische Eigenschaft von pythagoräischen und superpythagoräischen Tonsystemen (im Gegensatz zu mitteltönigen, wo es genau umgekehrt ist!), was im Notenbild zu scheinbar "umgekehrter" Bewegungsrichtung führen kann.

Alle Töne von 17edo in aufsteigender Reihenfolge:

C, Db=H#, C#, D, Eb, D#=Fb, E, F, Gb=E#, F#, G, Ab, G#, A, B, A#=Cb, H

[[File:17edorast.png|alt=17edorast.png|17edorast.png]]

Approximation einer [[arabisch,_türkisch,_persisch|arabischen]] Rast-Skala in 17edo. Die Intervalle C-Dis und G-Ais sind neutrale Terzen.

[Todo Tonbeispiel]

==Layouts für Tasteninstrumente==
In analoger Weise zur Notation ergibt sich aus der pythagoräischen Organisation des siebzehnstufigen Tonsystems auch ein natürliches Tastanlayout mit weissen und schwarzen Tasten, das dem traditionellen Layout stark ähnelt - mit dem Unterschied, dass an der Stelle jeder schwarzen Taste des Zwölfton-Layouts zwei Tasten nötig sind. Man könnte also ein Instrument in der Art von gewissen [http://www.denzilwraight.com/florentine.htm Renaissance-/Barock-Cembalos] auf diese Weise stimmen.

Wenn 17edo auf einem "gewöhnlichen" Standard-Klavier gespielt werden soll, ist eine naheliegende Methode, zwei Klaviere zu verwenden, wobei die weissen Tasten bei beiden identisch gestimmt sind, die schwarzen hingegen einen Siebzehnerschritt auseinander. (Dies analog zur verbreiteten Standardmethode für [[24edo|24edo]].) Bei den divsersen Konzerten des [[:en:SeventeenTonePianoProject|Seventeen Tone Piano Project]] kam genau dieses System zum Einsatz.

Eine Alternative mit einem völlig verschiedenen Layout als Resultat ist es, anstelle des superpythagoräischen Organisationsprinzip ein [[maqamisch|maqamisches]] zu verwenden, was für das Spielen von [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischen Maqam-Skalen]] sinnvoll sein kann. In maqamischen Temperaturen gibt es [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] mit sieben und zehn Tönen, und in 17edo hängen diese so zu sammen, dass jeweils die eine genau das Komplement der anderen ist (7 + 10 ergibt bekanntlich 17). Ein natürliches Layout für 17edo-maqamisch wären dann etwa 10 weisse und 7 schwarze Tasten, je eine MOS-Skala bildend - siehe [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .

==Beispiele==
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[[edo|Ûbersicht EDO]]

Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines [[Superpyth|superpythagoräischen]] Tonsystems. Die Quinte ist minimal höher als die reine [[Quinte|Quinte]], und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder [[mitteltönig|mitteltönigen]]) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in [[12edo|12edo]], die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.

In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]] Skalen geeignet macht.

[[File:17ed2-001-de.svg|alt=alt : Your browser has no SVG support.]]

[[:File:17ed2-001-de.svg|17ed2-001-de.svg]]

==Notation==
Musik im Siebzehnteltonsystem kann auf konsistente Weise mit traditioneller Notenschrift dargestellt werden. Zur Herleitung kann man sich vergegenwärtigen, dass die heutige Notenschrift wesentlich pythagoräischen Prinzipien folgt, genauer auf Übereinanderschichten von Quinten beruht (was für pythagoräische wie [[mitteltönig|mitteltönige]] Tonsysteme gleichermassen gilt). Die direkt durch ihre Position im Notensystem bestimmten Tonhöhen der Grundtöne C, D, E etc. bilden ja bekanntlich eine durch Übereinanderschichten von Quinten (beginnend bei F, endend bei H) erstellte diatonische Tonleiter. Zu den alterierten Noten (mit # bzw. b markiert) gelangt man durch Fortsetzung des Prozesses der Quintenschichtung: eine Quinte oberhalb des H liegt Fis, wieder eine Quinte oberhalb Cis etc., analog eine Quinte unterhalb des F das B, wieder eine Quinte unterhalb Es etc. Dies funktioniert beim superpythagoräischen 17edo gleichermassen, und man kann alle Töne von 17edo so erhalten - mit dem Unterschied, dass die #-Noten und die b-Noten in 17edo unterschiedliche Tonhöhen bezeichnen, im Gegensatz zum traditionellen 12edo. Die [http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung enharmonischen Verwechslungen] (in 12edo für jedes #/b-Paar, C#-Db, D#-Eb etc.) kommen in 17edo an andere Orte zu liegen: hier ist z.B. E-is (E#) enharmonisch äquivalent zu Ges (Gb), His (H#) zu Des (Db), Ais (A#) zu Ces (Cb) und Dis (D#) zu Fes (Fb).

Gewöhnungsbedürftig ist, dass Cis ''höher'' ist als Des, Dis höher als Es etc. - eine charakteristische Eigenschaft von pythagoräischen und superpythagoräischen Tonsystemen (im Gegensatz zu mitteltönigen, wo es genau umgekehrt ist!), was im Notenbild zu scheinbar "umgekehrter" Bewegungsrichtung führen kann.

Alle Töne von 17edo in aufsteigender Reihenfolge:

C, Db=H#, C#, D, Eb, D#=Fb, E, F, Gb=E#, F#, G, Ab, G#, A, B, A#=Cb, H

[[File:17edorast.png|alt=17edorast.png|17edorast.png]]

Approximation einer [[arabisch,_türkisch,_persisch|arabischen]] Rast-Skala in 17edo. Die Intervalle C-Dis und G-Ais sind neutrale Terzen.

[Todo Tonbeispiel]

==Layouts für Tasteninstrumente==
In analoger Weise zur Notation ergibt sich aus der pythagoräischen Organisation des siebzehnstufigen Tonsystems auch ein natürliches Tastanlayout mit weissen und schwarzen Tasten, das dem traditionellen Layout stark ähnelt - mit dem Unterschied, dass an der Stelle jeder schwarzen Taste des Zwölfton-Layouts zwei Tasten nötig sind. Man könnte also ein Instrument in der Art von gewissen [http://www.denzilwraight.com/florentine.htm Renaissance-/Barock-Cembalos] auf diese Weise stimmen.

Wenn 17edo auf einem "gewöhnlichen" Standard-Klavier gespielt werden soll, ist eine naheliegende Methode, zwei Klaviere zu verwenden, wobei die weissen Tasten bei beiden identisch gestimmt sind, die schwarzen hingegen einen Siebzehnerschritt auseinander. (Dies analog zur verbreiteten Standardmethode für [[24edo|24edo]].) Bei den divsersen Konzerten des [[:en:SeventeenTonePianoProject|Seventeen Tone Piano Project]] kam genau dieses System zum Einsatz.

Eine Alternative mit einem völlig verschiedenen Layout als Resultat ist es, anstelle des superpythagoräischen Organisationsprinzip ein [[maqamisch|maqamisches]] zu verwenden, was für das Spielen von [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischen Maqam-Skalen]] sinnvoll sein kann. In maqamischen Temperaturen gibt es [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] mit sieben und zehn Tönen, und in 17edo hängen diese so zu sammen, dass jeweils die eine genau das Komplement der anderen ist (7 + 10 ergibt bekanntlich 17). Ein natürliches Layout für 17edo-maqamisch wären dann etwa 10 weisse und 7 schwarze Tasten, je eine MOS-Skala bildend - siehe [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .

==Beispiele==
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[[edo|Ûbersicht EDO]]

Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines [[Superpyth|superpythagoräischen]] Tonsystems. Die Quinte ist minimal höher als die reine [[Quinte|Quinte]], und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder [[mitteltönig|mitteltönigen]]) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in [[12edo|12edo]], die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.

In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]] Skalen geeignet macht.

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[[:File:17ed2-001-de.svg|17ed2-001-de.svg]]

==Notation==
Musik im Siebzehnteltonsystem kann auf konsistente Weise mit traditioneller Notenschrift dargestellt werden. Zur Herleitung kann man sich vergegenwärtigen, dass die heutige Notenschrift wesentlich pythagoräischen Prinzipien folgt, genauer auf Übereinanderschichten von Quinten beruht (was für pythagoräische wie [[mitteltönig|mitteltönige]] Tonsysteme gleichermassen gilt). Die direkt durch ihre Position im Notensystem bestimmten Tonhöhen der Grundtöne C, D, E etc. bilden ja bekanntlich eine durch Übereinanderschichten von Quinten (beginnend bei F, endend bei H) erstellte diatonische Tonleiter. Zu den alterierten Noten (mit # bzw. b markiert) gelangt man durch Fortsetzung des Prozesses der Quintenschichtung: eine Quinte oberhalb des H liegt Fis, wieder eine Quinte oberhalb Cis etc., analog eine Quinte unterhalb des F das B, wieder eine Quinte unterhalb Es etc. Dies funktioniert beim superpythagoräischen 17edo gleichermassen, und man kann alle Töne von 17edo so erhalten - mit dem Unterschied, dass die #-Noten und die b-Noten in 17edo unterschiedliche Tonhöhen bezeichnen, im Gegensatz zum traditionellen 12edo. Die [http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung enharmonischen Verwechslungen] (in 12edo für jedes #/b-Paar, C#-Db, D#-Eb etc.) kommen in 17edo an andere Orte zu liegen: hier ist z.B. E-is (E#) enharmonisch äquivalent zu Ges (Gb), His (H#) zu Des (Db), Ais (A#) zu Ces (Cb) und Dis (D#) zu Fes (Fb).

Gewöhnungsbedürftig ist, dass Cis ''höher'' ist als Des, Dis höher als Es etc. - eine charakteristische Eigenschaft von pythagoräischen und superpythagoräischen Tonsystemen (im Gegensatz zu mitteltönigen, wo es genau umgekehrt ist!), was im Notenbild zu scheinbar "umgekehrter" Bewegungsrichtung führen kann.

Alle Töne von 17edo in aufsteigender Reihenfolge:

C, Db=H#, C#, D, Eb, D#=Fb, E, F, Gb=E#, F#, G, Ab, G#, A, B, A#=Cb, H

[[File:17edorast.png|alt=17edorast.png|17edorast.png]]

Approximation einer [[arabisch,_türkisch,_persisch|arabischen]] Rast-Skala in 17edo. Die Intervalle C-Dis und G-Ais sind neutrale Terzen.

[Todo Tonbeispiel]

==Layouts für Tasteninstrumente==
In analoger Weise zur Notation ergibt sich aus der pythagoräischen Organisation des siebzehnstufigen Tonsystems auch ein natürliches Tastanlayout mit weissen und schwarzen Tasten, das dem traditionellen Layout stark ähnelt - mit dem Unterschied, dass an der Stelle jeder schwarzen Taste des Zwölfton-Layouts zwei Tasten nötig sind. Man könnte also ein Instrument in der Art von gewissen [http://www.denzilwraight.com/florentine.htm Renaissance-/Barock-Cembalos] auf diese Weise stimmen.

Wenn 17edo auf einem "gewöhnlichen" Standard-Klavier gespielt werden soll, ist eine naheliegende Methode, zwei Klaviere zu verwenden, wobei die weissen Tasten bei beiden identisch gestimmt sind, die schwarzen hingegen einen Siebzehnerschritt auseinander. (Dies analog zur verbreiteten Standardmethode für [[24edo|24edo]].) Bei den divsersen Konzerten des [[:en:SeventeenTonePianoProject|Seventeen Tone Piano Project]] kam genau dieses System zum Einsatz.

Eine Alternative mit einem völlig verschiedenen Layout als Resultat ist es, anstelle des superpythagoräischen Organisationsprinzip ein [[maqamisch|maqamisches]] zu verwenden, was für das Spielen von [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischen Maqam-Skalen]] sinnvoll sein kann. In maqamischen Temperaturen gibt es [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] mit sieben und zehn Tönen, und in 17edo hängen diese so zu sammen, dass jeweils die eine genau das Komplement der anderen ist (7 + 10 ergibt bekanntlich 17). Ein natürliches Layout für 17edo-maqamisch wären dann etwa 10 weisse und 7 schwarze Tasten, je eine MOS-Skala bildend - siehe [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .

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      <comment>Xenwolf verschob die Seite [[17edo]] nach [[17 EDO]]: Großschreibung zur Verdeutlichung der Abkürzung, Lücke zur besseren Lesbarkeit (Weiterleitungen bleiben erhalten)</comment>
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}}__FORCETOC__
[[edo|Ûbersicht EDO]]

Die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines [[Superpyth|superpythagoräischen]] Tonsystems. Die Quinte ist minimal höher als die reine [[Quinte|Quinte]], und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder [[mitteltönig|mitteltönigen]]) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in [[12edo|12edo]], die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.

In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17edo nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17edo auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]] Skalen geeignet macht.

[[File:17ed2-001-de.svg|alt=alt : Your browser has no SVG support.]]

[[:File:17ed2-001-de.svg|17ed2-001-de.svg]]

==Notation==
Musik im Siebzehnteltonsystem kann auf konsistente Weise mit traditioneller Notenschrift dargestellt werden. Zur Herleitung kann man sich vergegenwärtigen, dass die heutige Notenschrift wesentlich pythagoräischen Prinzipien folgt, genauer auf Übereinanderschichten von Quinten beruht (was für pythagoräische wie [[mitteltönig|mitteltönige]] Tonsysteme gleichermassen gilt). Die direkt durch ihre Position im Notensystem bestimmten Tonhöhen der Grundtöne C, D, E etc. bilden ja bekanntlich eine durch Übereinanderschichten von Quinten (beginnend bei F, endend bei H) erstellte diatonische Tonleiter. Zu den alterierten Noten (mit # bzw. b markiert) gelangt man durch Fortsetzung des Prozesses der Quintenschichtung: eine Quinte oberhalb des H liegt Fis, wieder eine Quinte oberhalb Cis etc., analog eine Quinte unterhalb des F das B, wieder eine Quinte unterhalb Es etc. Dies funktioniert beim superpythagoräischen 17edo gleichermassen, und man kann alle Töne von 17edo so erhalten - mit dem Unterschied, dass die #-Noten und die b-Noten in 17edo unterschiedliche Tonhöhen bezeichnen, im Gegensatz zum traditionellen 12edo. Die [http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung enharmonischen Verwechslungen] (in 12edo für jedes #/b-Paar, C#-Db, D#-Eb etc.) kommen in 17edo an andere Orte zu liegen: hier ist z.B. E-is (E#) enharmonisch äquivalent zu Ges (Gb), His (H#) zu Des (Db), Ais (A#) zu Ces (Cb) und Dis (D#) zu Fes (Fb).

Gewöhnungsbedürftig ist, dass Cis ''höher'' ist als Des, Dis höher als Es etc. - eine charakteristische Eigenschaft von pythagoräischen und superpythagoräischen Tonsystemen (im Gegensatz zu mitteltönigen, wo es genau umgekehrt ist!), was im Notenbild zu scheinbar "umgekehrter" Bewegungsrichtung führen kann.

Alle Töne von 17edo in aufsteigender Reihenfolge:

C, Db=H#, C#, D, Eb, D#=Fb, E, F, Gb=E#, F#, G, Ab, G#, A, B, A#=Cb, H

[[File:17edorast.png|alt=17edorast.png|17edorast.png]]

Approximation einer [[arabisch,_türkisch,_persisch|arabischen]] Rast-Skala in 17edo. Die Intervalle C-Dis und G-Ais sind neutrale Terzen.

[Todo Tonbeispiel]

==Layouts für Tasteninstrumente==
In analoger Weise zur Notation ergibt sich aus der pythagoräischen Organisation des siebzehnstufigen Tonsystems auch ein natürliches Tastanlayout mit weissen und schwarzen Tasten, das dem traditionellen Layout stark ähnelt - mit dem Unterschied, dass an der Stelle jeder schwarzen Taste des Zwölfton-Layouts zwei Tasten nötig sind. Man könnte also ein Instrument in der Art von gewissen [http://www.denzilwraight.com/florentine.htm Renaissance-/Barock-Cembalos] auf diese Weise stimmen.

Wenn 17edo auf einem "gewöhnlichen" Standard-Klavier gespielt werden soll, ist eine naheliegende Methode, zwei Klaviere zu verwenden, wobei die weissen Tasten bei beiden identisch gestimmt sind, die schwarzen hingegen einen Siebzehnerschritt auseinander. (Dies analog zur verbreiteten Standardmethode für [[24edo|24edo]].) Bei den divsersen Konzerten des [[:en:SeventeenTonePianoProject|Seventeen Tone Piano Project]] kam genau dieses System zum Einsatz.

Eine Alternative mit einem völlig verschiedenen Layout als Resultat ist es, anstelle des superpythagoräischen Organisationsprinzip ein [[maqamisch|maqamisches]] zu verwenden, was für das Spielen von [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischen Maqam-Skalen]] sinnvoll sein kann. In maqamischen Temperaturen gibt es [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] mit sieben und zehn Tönen, und in 17edo hängen diese so zu sammen, dass jeweils die eine genau das Komplement der anderen ist (7 + 10 ergibt bekanntlich 17). Ein natürliches Layout für 17edo-maqamisch wären dann etwa 10 weisse und 7 schwarze Tasten, je eine MOS-Skala bildend - siehe [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .

==Beispiele==
[[File:BWV779-17edo.mp3]] [[:File:BWV779-17edo.mp3|info]]

[[Kategorie:EDO]]
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}}__FORCETOC__
[[EDO|Übersicht EDO]]

'''17 EDO''', die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines [[Superpyth|superpythagoräischen]] Tonsystems. Die Quinte ist minimal höher als die reine [[Quinte]], und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder [[mitteltönig]]en) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in [[12 EDO]], die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.

In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17 EDO nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17 EDO auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]] Skalen geeignet macht.

[[File:17ed2-001-de.svg]] [[:File:17ed2-001-de.svg|(Dateiinfo)]]

== Notation ==
Musik im Siebzehntonsystem kann auf konsistente Weise mit traditioneller Notenschrift dargestellt werden. Zur Herleitung kann man sich vergegenwärtigen, dass die heutige Notenschrift wesentlich pythagoräischen Prinzipien folgt, genauer auf Übereinanderschichten von Quinten beruht (was für pythagoräische wie [[mitteltönig]]e Tonsysteme gleichermassen gilt). Die direkt durch ihre Position im Notensystem bestimmten Tonhöhen der Grundtöne C, D, E etc. bilden ja bekanntlich eine durch Übereinanderschichten von Quinten (beginnend bei F, endend bei H) erstellte diatonische Tonleiter. Zu den alterierten Noten (mit # bzw. b markiert) gelangt man durch Fortsetzung des Prozesses der Quintenschichtung: eine Quinte oberhalb des H liegt Fis, wieder eine Quinte oberhalb Cis etc., analog eine Quinte unterhalb des F das B, wieder eine Quinte unterhalb Es etc. Dies funktioniert beim superpythagoräischen 17 EDO gleichermassen, und man kann alle Töne von 17 EDO so erhalten - mit dem Unterschied, dass die #-Noten und die b-Noten in 17 EDO unterschiedliche Tonhöhen bezeichnen, im Gegensatz zum traditionellen 12 EDO. Die [http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung enharmonischen Verwechslungen] (in 12 EDO für jedes #/b-Paar, C#-Db, D#-Eb etc.) kommen in 17 EDO an andere Orte zu liegen: hier ist z.B. E-is (E#) enharmonisch äquivalent zu Ges (Gb), His (H#) zu Des (Db), Ais (A#) zu Ces (Cb) und Dis (D#) zu Fes (Fb).

Gewöhnungsbedürftig ist, dass Cis ''höher'' ist als Des, Dis höher als Es etc. - eine charakteristische Eigenschaft von pythagoräischen und superpythagoräischen Tonsystemen (im Gegensatz zu mitteltönigen, wo es genau umgekehrt ist!), was im Notenbild zu scheinbar "umgekehrter" Bewegungsrichtung führen kann.

Alle Töne von 17 EDO in aufsteigender Reihenfolge:

C, Db=H#, C#, D, Eb, D#=Fb, E, F, Gb=E#, F#, G, Ab, G#, A, B, A#=Cb, H

[[File:17edorast.png|alt=17edorast.png|17edorast.png]]

Approximation einer [[arabisch,_türkisch,_persisch|arabischen]] Rast-Skala in 17 EDO. Die Intervalle C-Dis und G-Ais sind neutrale Terzen.

[Todo Tonbeispiel]

==Layouts für Tasteninstrumente==
In analoger Weise zur Notation ergibt sich aus der pythagoräischen Organisation des siebzehnstufigen Tonsystems auch ein natürliches Tastanlayout mit weissen und schwarzen Tasten, das dem traditionellen Layout stark ähnelt - mit dem Unterschied, dass an der Stelle jeder schwarzen Taste des Zwölfton-Layouts zwei Tasten nötig sind. Man könnte also ein Instrument in der Art von gewissen [http://www.denzilwraight.com/florentine.htm Renaissance-/Barock-Cembalos] auf diese Weise stimmen.

Wenn 17 EDO auf einem "gewöhnlichen" Standard-Klavier gespielt werden soll, ist eine naheliegende Methode, zwei Klaviere zu verwenden, wobei die weissen Tasten bei beiden identisch gestimmt sind, die schwarzen hingegen einen Siebzehnerschritt auseinander. (Dies analog zur verbreiteten Standardmethode für [[24 EDO]].) Bei den divsersen Konzerten des [[:en:SeventeenTonePianoProject|Seventeen Tone Piano Project]] kam genau dieses System zum Einsatz.

Eine Alternative mit einem völlig verschiedenen Layout als Resultat ist es, anstelle des superpythagoräischen Organisationsprinzip ein [[maqamisch]]es zu verwenden, was für das Spielen von [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischen Maqam-Skalen]] sinnvoll sein kann. In maqamischen Temperaturen gibt es [[MOS-MOS-Skalen]] mit sieben und zehn Tönen, und in 17 EDO hängen diese so zu sammen, dass jeweils die eine genau das Komplement der anderen ist (7 + 10 ergibt bekanntlich 17). Ein natürliches Layout für 17-EDO-maqamisch wären dann etwa 10 weisse und 7 schwarze Tasten, je eine MOS-Skala bildend - siehe [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .

==Beispiele==
[[File:BWV779-17edo.mp3]] [[:File:BWV779-17edo.mp3|info]]

[[Kategorie:EDO]]
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}}__FORCETOC__
[[EDO|Übersicht EDO]]

'''17 EDO''', die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines [[Superpyth|superpythagoräischen]] Tonsystems. Die Quinte ist minimal höher als die reine [[Quinte]], und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder [[mitteltönig]]en) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in [[12 EDO]], die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.

In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17 EDO nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17 EDO auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]] Skalen geeignet macht.

[[File:17ed2-001-de.svg]] [[:File:17ed2-001-de.svg|(Dateiinfo)]]

== Notation ==
Musik im Siebzehntonsystem kann auf konsistente Weise mit traditioneller Notenschrift dargestellt werden. Zur Herleitung kann man sich vergegenwärtigen, dass die heutige Notenschrift wesentlich pythagoräischen Prinzipien folgt, genauer auf Übereinanderschichten von Quinten beruht (was für pythagoräische wie [[mitteltönig]]e Tonsysteme gleichermassen gilt). Die direkt durch ihre Position im Notensystem bestimmten Tonhöhen der Grundtöne C, D, E etc. bilden ja bekanntlich eine durch Übereinanderschichten von Quinten (beginnend bei F, endend bei H) erstellte diatonische Tonleiter. Zu den alterierten Noten (mit # bzw. b markiert) gelangt man durch Fortsetzung des Prozesses der Quintenschichtung: eine Quinte oberhalb des H liegt Fis, wieder eine Quinte oberhalb Cis etc., analog eine Quinte unterhalb des F das B, wieder eine Quinte unterhalb Es etc. Dies funktioniert beim superpythagoräischen 17 EDO gleichermassen, und man kann alle Töne von 17 EDO so erhalten - mit dem Unterschied, dass die #-Noten und die b-Noten in 17 EDO unterschiedliche Tonhöhen bezeichnen, im Gegensatz zum traditionellen 12 EDO. Die [http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung enharmonischen Verwechslungen] (in 12 EDO für jedes #/b-Paar, C#-Db, D#-Eb etc.) kommen in 17 EDO an andere Orte zu liegen: hier ist z.B. E-is (E#) enharmonisch äquivalent zu Ges (Gb), His (H#) zu Des (Db), Ais (A#) zu Ces (Cb) und Dis (D#) zu Fes (Fb).

Gewöhnungsbedürftig ist, dass Cis ''höher'' ist als Des, Dis höher als Es etc. - eine charakteristische Eigenschaft von pythagoräischen und superpythagoräischen Tonsystemen (im Gegensatz zu mitteltönigen, wo es genau umgekehrt ist!), was im Notenbild zu scheinbar "umgekehrter" Bewegungsrichtung führen kann.

Alle Töne von 17 EDO in aufsteigender Reihenfolge:

C, Db=H#, C#, D, Eb, D#=Fb, E, F, Gb=E#, F#, G, Ab, G#, A, B, A#=Cb, H

[[File:17edorast.png|alt=17edorast.png|17edorast.png]]

Approximation einer [[arabisch,_türkisch,_persisch|arabischen]] Rast-Skala in 17 EDO. Die Intervalle C-Dis und G-Ais sind neutrale Terzen.

[Todo Tonbeispiel]

==Layouts für Tasteninstrumente==
In analoger Weise zur Notation ergibt sich aus der pythagoräischen Organisation des siebzehnstufigen Tonsystems auch ein natürliches Tastanlayout mit weissen und schwarzen Tasten, das dem traditionellen Layout stark ähnelt - mit dem Unterschied, dass an der Stelle jeder schwarzen Taste des Zwölfton-Layouts zwei Tasten nötig sind. Man könnte also ein Instrument in der Art von gewissen [http://www.denzilwraight.com/florentine.htm Renaissance-/Barock-Cembalos] auf diese Weise stimmen.

Wenn 17 EDO auf einem "gewöhnlichen" Standard-Klavier gespielt werden soll, ist eine naheliegende Methode, zwei Klaviere zu verwenden, wobei die weissen Tasten bei beiden identisch gestimmt sind, die schwarzen hingegen einen Siebzehnerschritt auseinander. (Dies analog zur verbreiteten Standardmethode für [[24 EDO]].) Bei den divsersen Konzerten des [[:en:SeventeenTonePianoProject|Seventeen Tone Piano Project]] kam genau dieses System zum Einsatz.

Eine Alternative mit einem völlig verschiedenen Layout als Resultat ist es, anstelle des superpythagoräischen Organisationsprinzip ein [[maqamisch]]es zu verwenden, was für das Spielen von [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischen Maqam-Skalen]] sinnvoll sein kann. In maqamischen Temperaturen gibt es [[MOS-MOS-Skalen]] mit sieben und zehn Tönen, und in 17 EDO hängen diese so zu sammen, dass jeweils die eine genau das Komplement der anderen ist (7 + 10 ergibt bekanntlich 17). Ein natürliches Layout für 17-EDO-maqamisch wären dann etwa 10 weisse und 7 schwarze Tasten, je eine MOS-Skala bildend - siehe [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .

==Beispiele==
[[File:BWV779-17edo.mp3]] [[:File:BWV779-17edo.mp3|info]]

[[Kategorie:EDO]]
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}}__FORCETOC__
[[EDO|Übersicht EDO]]

'''17-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines [[Superpyth|superpythagoräischen]] Tonsystems. Die Quinte ist minimal höher als die reine [[Quinte]], und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder [[mitteltönig]]en) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in [[12-EDO]], die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.

In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17-EDO nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17-EDO auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]] Skalen geeignet macht.

[[File:17ed2-001-de.svg]] [[:File:17ed2-001-de.svg|(Dateiinfo)]]

== Notation ==
Musik im Siebzehntonsystem kann auf konsistente Weise mit traditioneller Notenschrift dargestellt werden. Zur Herleitung kann man sich vergegenwärtigen, dass die heutige Notenschrift wesentlich pythagoräischen Prinzipien folgt, genauer auf Übereinanderschichten von Quinten beruht (was für pythagoräische wie [[mitteltönig]]e Tonsysteme gleichermassen gilt). Die direkt durch ihre Position im Notensystem bestimmten Tonhöhen der Grundtöne C, D, E etc. bilden ja bekanntlich eine durch Übereinanderschichten von Quinten (beginnend bei F, endend bei H) erstellte diatonische Tonleiter. Zu den alterierten Noten (mit # bzw. b markiert) gelangt man durch Fortsetzung des Prozesses der Quintenschichtung: eine Quinte oberhalb des H liegt Fis, wieder eine Quinte oberhalb Cis etc., analog eine Quinte unterhalb des F das B, wieder eine Quinte unterhalb Es etc. Dies funktioniert beim superpythagoräischen 17-EDO gleichermassen, und man kann alle Töne von 17-EDO so erhalten - mit dem Unterschied, dass die #-Noten und die b-Noten in 17-EDO unterschiedliche Tonhöhen bezeichnen, im Gegensatz zum traditionellen 12-EDO. Die [http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung enharmonischen Verwechslungen] (in 12-EDO für jedes #/b-Paar, C#-Db, D#-Eb etc.) kommen in 17-EDO an andere Orte zu liegen: hier ist z.B. E-is (E#) enharmonisch äquivalent zu Ges (Gb), His (H#) zu Des (Db), Ais (A#) zu Ces (Cb) und Dis (D#) zu Fes (Fb).

Gewöhnungsbedürftig ist, dass Cis ''höher'' ist als Des, Dis höher als Es etc. - eine charakteristische Eigenschaft von pythagoräischen und superpythagoräischen Tonsystemen (im Gegensatz zu mitteltönigen, wo es genau umgekehrt ist!), was im Notenbild zu scheinbar "umgekehrter" Bewegungsrichtung führen kann.

Alle Töne von 17-EDO in aufsteigender Reihenfolge:

C, Db=H#, C#, D, Eb, D#=Fb, E, F, Gb=E#, F#, G, Ab, G#, A, B, A#=Cb, H

[[File:17edorast.png|alt=17edorast.png|17edorast.png]]

Approximation einer [[arabisch,_türkisch,_persisch|arabischen]] Rast-Skala in 17-EDO. Die Intervalle C-Dis und G-Ais sind neutrale Terzen.

[Todo Tonbeispiel]

==Layouts für Tasteninstrumente==
In analoger Weise zur Notation ergibt sich aus der pythagoräischen Organisation des siebzehnstufigen Tonsystems auch ein natürliches Tastanlayout mit weissen und schwarzen Tasten, das dem traditionellen Layout stark ähnelt - mit dem Unterschied, dass an der Stelle jeder schwarzen Taste des Zwölfton-Layouts zwei Tasten nötig sind. Man könnte also ein Instrument in der Art von gewissen [http://www.denzilwraight.com/florentine.htm Renaissance-/Barock-Cembalos] auf diese Weise stimmen.

Wenn 17-EDO auf einem "gewöhnlichen" Standard-Klavier gespielt werden soll, ist eine naheliegende Methode, zwei Klaviere zu verwenden, wobei die weissen Tasten bei beiden identisch gestimmt sind, die schwarzen hingegen einen Siebzehnerschritt auseinander. (Dies analog zur verbreiteten Standardmethode für [[24-EDO]].) Bei den divsersen Konzerten des [[:en:SeventeenTonePianoProject|Seventeen Tone Piano Project]] kam genau dieses System zum Einsatz.

Eine Alternative mit einem völlig verschiedenen Layout als Resultat ist es, anstelle des superpythagoräischen Organisationsprinzip ein [[maqamisch]]es zu verwenden, was für das Spielen von [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischen Maqam-Skalen]] sinnvoll sein kann. In maqamischen Temperaturen gibt es [[MOS-MOS-Skalen]] mit sieben und zehn Tönen, und in 17-EDO hängen diese so zu sammen, dass jeweils die eine genau das Komplement der anderen ist (7 + 10 ergibt bekanntlich 17). Ein natürliches Layout für 17-EDO-maqamisch wären dann etwa 10 weisse und 7 schwarze Tasten, je eine MOS-Skala bildend - siehe [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .

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}}__FORCETOC__
[[EDO|Übersicht EDO]]

'''17-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines [[Superpyth|superpythagoräischen]] Tonsystems. Die Quinte ist minimal höher als die reine [[Quinte]], und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder [[mitteltönig]]en) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in [[12-EDO]], die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.

In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17-EDO nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17-EDO auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]] Skalen geeignet macht.

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== Notation ==
Musik im Siebzehntonsystem kann auf konsistente Weise mit traditioneller Notenschrift dargestellt werden. Zur Herleitung kann man sich vergegenwärtigen, dass die heutige Notenschrift wesentlich pythagoräischen Prinzipien folgt, genauer auf Übereinanderschichten von Quinten beruht (was für pythagoräische wie [[mitteltönig]]e Tonsysteme gleichermassen gilt). Die direkt durch ihre Position im Notensystem bestimmten Tonhöhen der Grundtöne C, D, E etc. bilden ja bekanntlich eine durch Übereinanderschichten von Quinten (beginnend bei F, endend bei H) erstellte diatonische Tonleiter. Zu den alterierten Noten (mit # bzw. b markiert) gelangt man durch Fortsetzung des Prozesses der Quintenschichtung: eine Quinte oberhalb des H liegt Fis, wieder eine Quinte oberhalb Cis etc., analog eine Quinte unterhalb des F das B, wieder eine Quinte unterhalb Es etc. Dies funktioniert beim superpythagoräischen 17-EDO gleichermassen, und man kann alle Töne von 17-EDO so erhalten - mit dem Unterschied, dass die #-Noten und die b-Noten in 17-EDO unterschiedliche Tonhöhen bezeichnen, im Gegensatz zum traditionellen 12-EDO. Die [http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung enharmonischen Verwechslungen] (in 12-EDO für jedes #/b-Paar, C#-Db, D#-Eb etc.) kommen in 17-EDO an andere Orte zu liegen: hier ist z.B. E-is (E#) enharmonisch äquivalent zu Ges (Gb), His (H#) zu Des (Db), Ais (A#) zu Ces (Cb) und Dis (D#) zu Fes (Fb).

Gewöhnungsbedürftig ist, dass Cis ''höher'' ist als Des, Dis höher als Es etc. - eine charakteristische Eigenschaft von pythagoräischen und superpythagoräischen Tonsystemen (im Gegensatz zu mitteltönigen, wo es genau umgekehrt ist!), was im Notenbild zu scheinbar "umgekehrter" Bewegungsrichtung führen kann.

Alle Töne von 17-EDO in aufsteigender Reihenfolge:

C, Db=H#, C#, D, Eb, D#=Fb, E, F, Gb=E#, F#, G, Ab, G#, A, B, A#=Cb, H

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Approximation einer [[arabisch,_türkisch,_persisch|arabischen]] Rast-Skala in 17-EDO. Die Intervalle C-Dis und G-Ais sind neutrale Terzen.

[Todo Tonbeispiel]

==Layouts für Tasteninstrumente==
In analoger Weise zur Notation ergibt sich aus der pythagoräischen Organisation des siebzehnstufigen Tonsystems auch ein natürliches Tastanlayout mit weissen und schwarzen Tasten, das dem traditionellen Layout stark ähnelt - mit dem Unterschied, dass an der Stelle jeder schwarzen Taste des Zwölfton-Layouts zwei Tasten nötig sind. Man könnte also ein Instrument in der Art von gewissen [http://www.denzilwraight.com/florentine.htm Renaissance-/Barock-Cembalos] auf diese Weise stimmen.

Wenn 17-EDO auf einem "gewöhnlichen" Standard-Klavier gespielt werden soll, ist eine naheliegende Methode, zwei Klaviere zu verwenden, wobei die weissen Tasten bei beiden identisch gestimmt sind, die schwarzen hingegen einen Siebzehnerschritt auseinander. (Dies analog zur verbreiteten Standardmethode für [[24-EDO]].) Bei den divsersen Konzerten des [[:en:SeventeenTonePianoProject|Seventeen Tone Piano Project]] kam genau dieses System zum Einsatz.

Eine Alternative mit einem völlig verschiedenen Layout als Resultat ist es, anstelle des superpythagoräischen Organisationsprinzip ein [[maqamisch]]es zu verwenden, was für das Spielen von [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischen Maqam-Skalen]] sinnvoll sein kann. In maqamischen Temperaturen gibt es [[MOS-Skalen]] mit sieben und zehn Tönen, und in 17-EDO hängen diese so zu sammen, dass jeweils die eine genau das Komplement der anderen ist (7 + 10 ergibt bekanntlich 17). Ein natürliches Layout für 17-EDO-maqamisch wären dann etwa 10 weisse und 7 schwarze Tasten, je eine MOS-Skala bildend - siehe [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .

==Beispiele==
[[File:BWV779-17edo.mp3]] [[:File:BWV779-17edo.mp3|info]]

[[Kategorie:EDO]]
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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''17-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 17 gleiche Teile, ergibt sozusagen das Paradebeispiel eines [[Superpyth|superpythagoräischen]] Tonsystems. Die Quinte ist minimal höher als die reine [[Quinte]], und durch Übereinanderschichten von Quinten erhält man Intervalle erkennbar derselben Kategorien wie bei reinen (oder [[mitteltönig]]en) Quinten, also kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten usw., das alles jedoch mit leicht anderem Charakter als gewohnt. Quinten, Quarten, Halbtöne, Ganztöne und kleine Terzen sind dabei vergleichbar gut wie in [[12-EDO]], die grosse Terz - und als Folge auch der Dur-Dreiklang - hingegen ist noch erkennbar, doch deutlich spannungsreicher.

In harmonischer Hinsicht, insbesondere wenn konsonante Intervalle gewünscht sind, ist 17-EDO nicht die erste Wahl - melodisch jedoch kann es interessant sein. Manche schätzen den pythagoräischen Touch der Sekunden mit grossen Ganztönen und kleinen Halbtönen; zusätzlich bietet 17-EDO auch neutrale Sekunden und Terzen an, was es als kleinstes gleichstufiges System für die Approximation [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]] Skalen geeignet macht.

[[File:17ed2-001-de.svg]] [[:File:17ed2-001-de.svg|(Dateiinfo)]]

== Notation ==
Musik im Siebzehntonsystem kann auf konsistente Weise mit traditioneller Notenschrift dargestellt werden. Zur Herleitung kann man sich vergegenwärtigen, dass die heutige Notenschrift wesentlich pythagoräischen Prinzipien folgt, genauer auf Übereinanderschichten von Quinten beruht (was für pythagoräische wie [[mitteltönig]]e Tonsysteme gleichermassen gilt). Die direkt durch ihre Position im Notensystem bestimmten Tonhöhen der Grundtöne C, D, E etc. bilden ja bekanntlich eine durch Übereinanderschichten von Quinten (beginnend bei F, endend bei H) erstellte diatonische Tonleiter. Zu den alterierten Noten (mit # bzw. b markiert) gelangt man durch Fortsetzung des Prozesses der Quintenschichtung: eine Quinte oberhalb des H liegt Fis, wieder eine Quinte oberhalb Cis etc., analog eine Quinte unterhalb des F das B, wieder eine Quinte unterhalb Es etc. Dies funktioniert beim superpythagoräischen 17-EDO gleichermassen, und man kann alle Töne von 17-EDO so erhalten - mit dem Unterschied, dass die #-Noten und die b-Noten in 17-EDO unterschiedliche Tonhöhen bezeichnen, im Gegensatz zum traditionellen 12-EDO. Die [http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung enharmonischen Verwechslungen] (in 12-EDO für jedes #/b-Paar, C#-Db, D#-Eb etc.) kommen in 17-EDO an andere Orte zu liegen: hier ist z.B. E-is (E#) enharmonisch äquivalent zu Ges (Gb), His (H#) zu Des (Db), Ais (A#) zu Ces (Cb) und Dis (D#) zu Fes (Fb).

Gewöhnungsbedürftig ist, dass Cis ''höher'' ist als Des, Dis höher als Es etc. - eine charakteristische Eigenschaft von pythagoräischen und superpythagoräischen Tonsystemen (im Gegensatz zu mitteltönigen, wo es genau umgekehrt ist!), was im Notenbild zu scheinbar "umgekehrter" Bewegungsrichtung führen kann.

Alle Töne von 17-EDO in aufsteigender Reihenfolge:

C, Db=H#, C#, D, Eb, D#=Fb, E, F, Gb=E#, F#, G, Ab, G#, A, B, A#=Cb, H

[[File:17edorast.png|alt=17edorast.png|17edorast.png]]

Approximation einer [[arabisch,_türkisch,_persisch|arabischen]] Rast-Skala in 17-EDO. Die Intervalle C-Dis und G-Ais sind neutrale Terzen.

[Todo Tonbeispiel]

==Layouts für Tasteninstrumente==
In analoger Weise zur Notation ergibt sich aus der pythagoräischen Organisation des siebzehnstufigen Tonsystems auch ein natürliches Tastanlayout mit weissen und schwarzen Tasten, das dem traditionellen Layout stark ähnelt - mit dem Unterschied, dass an der Stelle jeder schwarzen Taste des Zwölfton-Layouts zwei Tasten nötig sind. Man könnte also ein Instrument in der Art von gewissen [http://www.denzilwraight.com/florentine.htm Renaissance-/Barock-Cembalos] auf diese Weise stimmen.

Wenn 17-EDO auf einem "gewöhnlichen" Standard-Klavier gespielt werden soll, ist eine naheliegende Methode, zwei Klaviere zu verwenden, wobei die weissen Tasten bei beiden identisch gestimmt sind, die schwarzen hingegen einen Siebzehnerschritt auseinander. (Dies analog zur verbreiteten Standardmethode für [[24-EDO]].) Bei den divsersen Konzerten des [[:en:SeventeenTonePianoProject|Seventeen Tone Piano Project]] kam genau dieses System zum Einsatz.

Eine Alternative mit einem völlig verschiedenen Layout als Resultat ist es, anstelle des superpythagoräischen Organisationsprinzip ein [[maqamisch]]es zu verwenden, was für das Spielen von [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischen Maqam-Skalen]] sinnvoll sein kann. In maqamischen Temperaturen gibt es [[MOS-Skalen]] mit sieben und zehn Tönen, und in 17-EDO hängen diese so zu sammen, dass jeweils die eine genau das Komplement der anderen ist (7 + 10 ergibt bekanntlich 17). Ein natürliches Layout für 17-EDO-maqamisch wären dann etwa 10 weisse und 7 schwarze Tasten, je eine MOS-Skala bildend - siehe [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .

==Beispiele==
[[File:BWV779-17edo.mp3]] [[:File:BWV779-17edo.mp3|info]]

[[Kategorie:EDO]]
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19edo, die Unterteilung einer Oktave in 19 gleiche Teile, ist eine historisch wichtige Stimmung. Es ist eine mögliche Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]], welche die reine kleine Terz 6/5 aussergewöhnlich gut annähert (mit einem Fehler von nur 0.148 Cent) und so als beinahe perfekte Realisierung der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur gelten kann.

Deutschprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)]

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-19edo.mp3]] [[:File:BWV779-19edo.mp3|info]]

Daneben unterstützt 19edo eine Reihe von anderen [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], so [[Hanson_Kleismisch|Hanson]], [[Liese|Liese]], [[Magische_Temperaturen|magisch]], [[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Godzilla]], [[Sensi|Sensi]].  [[Category:edo]]
[[Category:Prim-EDO]]</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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19edo, die Unterteilung einer Oktave in 19 gleiche Teile, ist eine historisch wichtige Stimmung. Es ist eine mögliche Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]], welche die reine kleine Terz 6/5 aussergewöhnlich gut annähert (mit einem Fehler von nur 0.148 Cent) und so als beinahe perfekte Realisierung der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur gelten kann.

Deutschprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem|Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)]]

Klangbeispiel:
[[media type="file" key="BWV779-19edo.mp3" width="240" height="20"]] [[http://xenharmonie.wikispaces.com/file/detail/BWV779-19edo.mp3|info]]

Daneben unterstützt 19edo eine Reihe von anderen [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], so [[Hanson Kleismisch|Hanson]], [[Liese]], [[Magische Temperaturen|magisch]], [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Godzilla]], [[Sensi]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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19edo, die Unterteilung einer Oktave in 19 gleiche Teile, ist eine historisch wichtige Stimmung. Es ist eine mögliche Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]], welche die reine kleine Terz 6/5 aussergewöhnlich gut annähert (mit einem Fehler von nur 0.148 Cent) und so als beinahe perfekte Realisierung der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur gelten kann.

Deutschprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem|Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)]]

Klangbeispiel:
[[media type="file" key="BWV779-19edo.mp3" width="240" height="20"]] [[http://xenharmonie.wikispaces.com/file/detail/BWV779-19edo.mp3|info]]

Daneben unterstützt 19edo eine Reihe von anderen [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], so [[Hanson Kleismisch|Hanson]], [[Magische Temperaturen|magisch]], [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Godzilla]], [[Sensi]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Daneben unterstützt 19edo eine Reihe von anderen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;, so &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Hanson%20Kleismisch"&amp;gt;Hanson&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Magische%20Temperaturen"&amp;gt;magisch&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Semiphor%2C%20Semaphor%2C%20Godzilla"&amp;gt;Godzilla&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sensi"&amp;gt;Sensi&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <text bytes="4274" sha1="qubrizrm05prb5o69p4z9sxod9ohxat" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/19edo|English]] - [[xenharmonic/19平均律|日本語]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
19edo, die Unterteilung einer Oktave in 19 gleiche Teile, ist eine historisch wichtige Stimmung. Es ist eine mögliche Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]], welche die reine kleine Terz 6/5 aussergewöhnlich gut annähert (mit einem Fehler von nur 0.148 Cent) und so als beinahe perfekte Realisierung der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur gelten kann.

Deutschprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem|Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)]]

Klangbeispiel:
[[media type="file" key="BWV779-19edo.mp3" width="240" height="20"]] [[http://xenharmonie.wikispaces.com/file/detail/BWV779-19edo.mp3|info]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;19edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/19edo"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt; - &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/19%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%BE%8B"&amp;gt;日本語&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
19edo, die Unterteilung einer Oktave in 19 gleiche Teile, ist eine historisch wichtige Stimmung. Es ist eine mögliche Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;, welche die reine kleine Terz 6/5 aussergewöhnlich gut annähert (mit einem Fehler von nur 0.148 Cent) und so als beinahe perfekte Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;drittelkomma-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Deutschprachige Einführung:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem" rel="nofollow"&amp;gt;Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Klangbeispiel:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:0:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/BWV779-19edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;BWV779-19edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252FBWV779-19edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:0 --&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/file/detail/BWV779-19edo.mp3" rel="nofollow"&amp;gt;info&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/19edo|English]] - [[xenharmonic/19平均律|日本語]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
Deutschprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem|Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)]]

Klangbeispiel:
[[media type="file" key="BWV779-19edo.mp3" width="240" height="20"]] [[http://xenharmonie.wikispaces.com/file/detail/BWV779-19edo.mp3|info]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;19edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/19edo"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt; - &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/19%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%BE%8B"&amp;gt;日本語&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Deutschprachige Einführung:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem" rel="nofollow"&amp;gt;Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Klangbeispiel:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:0:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/BWV779-19edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;BWV779-19edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252FBWV779-19edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:0 --&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/file/detail/BWV779-19edo.mp3" rel="nofollow"&amp;gt;info&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <text bytes="2962" sha1="deh5m5pex6wdka6mkk31fy276c6l0pd" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/19edo]]

Deutschprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem|Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)]]

Klangbeispiel:
[[media type="file" key="BWV779-19edo.mp3"]] [[http://xenharmonie.wikispaces.com/file/detail/BWV779-19edo.mp3|info]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;19edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/19edo"&amp;gt;xenharmonic/19edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Deutschprachige Einführung:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem" rel="nofollow"&amp;gt;Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Klangbeispiel:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:0:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/BWV779-19edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;BWV779-19edo.mp3&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252FBWV779-19edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:0 --&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/file/detail/BWV779-19edo.mp3" rel="nofollow"&amp;gt;info&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;xenwolf</username>
        <id>0</id>
      </contributor>
      <comment>**Imported revision 550797422 - Original comment: **</comment>
      <origin>255</origin>
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      <text bytes="2954" sha1="fcz48bvdhpci642qc4upfpd5lbto19o" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/19edo]]

Deutschprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem|Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)]]

Beispiele:
[[media type="file" key="BWV779-19edo.mp3"]] [[http://xenharmonie.wikispaces.com/file/detail/BWV779-19edo.mp3|info]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;19edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/19edo"&amp;gt;xenharmonic/19edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Deutschprachige Einführung:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem" rel="nofollow"&amp;gt;Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispiele:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:0:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/BWV779-19edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;BWV779-19edo.mp3&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252FBWV779-19edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:0 --&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/file/detail/BWV779-19edo.mp3" rel="nofollow"&amp;gt;info&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <id>256</id>
      <timestamp>2013-04-24T08:18:51Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
        <id>0</id>
      </contributor>
      <comment>**Imported revision 425982894 - Original comment: **</comment>
      <origin>256</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1709" sha1="brn7hlu6i8tnl6okul62flxx8i8y04y" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-04-24 08:18:51 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;425982894&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/19edo]]

Deutschprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem|Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Deutschprachige Einführung:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem" rel="nofollow"&amp;gt;Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Deutschprachige Einführung:

[[http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem|Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Deutschprachige Einführung:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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19edo, die Unterteilung einer Oktave in 19 gleiche Teile, ist eine historisch wichtige Stimmung. Es ist eine mögliche Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]], welche die reine kleine Terz 6/5 aussergewöhnlich gut annähert (mit einem Fehler von nur 0.148 Cent) und so als beinahe perfekte Realisierung der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur gelten kann.

Deutschprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)]

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-19edo.mp3]] [[:File:BWV779-19edo.mp3|info]]

Daneben unterstützt 19edo eine Reihe von anderen [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], so [[Hanson_Kleismisch|Hanson]], [[Liese|Liese]], [[Magische_Temperaturen|magisch]], [[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Godzilla]], [[Sensi|Sensi]].  [[Category:edo]]
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}}

19edo, die Unterteilung einer Oktave in 19 gleiche Teile, ist eine historisch wichtige Stimmung. Es ist eine mögliche Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]], welche die reine kleine Terz 6/5 aussergewöhnlich gut annähert (mit einem Fehler von nur 0.148 Cent) und so als beinahe perfekte Realisierung der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur gelten kann.

Deutschprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)]

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-19edo.mp3]] [[:File:BWV779-19edo.mp3|info]]

Daneben unterstützt 19edo eine Reihe von anderen [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], so [[Hanson_Kleismisch|Hanson]], [[Liese|Liese]], [[Magische_Temperaturen|magisch]], [[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Godzilla]], [[Sensi|Sensi]].  [[Category:edo]]
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19edo, die Unterteilung einer Oktave in 19 gleiche Teile, ist eine historisch wichtige Stimmung. Es ist eine mögliche Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]], welche die reine kleine Terz 6/5 aussergewöhnlich gut annähert (mit einem Fehler von nur 0.148 Cent) und so als beinahe perfekte Realisierung der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur gelten kann.

Deutschprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)]

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-19edo.mp3]] [[:File:BWV779-19edo.mp3|info]]

Daneben unterstützt 19edo eine Reihe von anderen [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], so [[Hanson_Kleismisch|Hanson]], [[Liese|Liese]], [[Magische_Temperaturen|magisch]], [[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Godzilla]], [[Sensi|Sensi]].  [[Category:edo]]
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19edo, die Unterteilung einer Oktave in 19 gleiche Teile, ist eine historisch wichtige Stimmung. Es ist eine mögliche Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]], welche die reine kleine Terz 6/5 aussergewöhnlich gut annähert (mit einem Fehler von nur 0.148 Cent) und so als beinahe perfekte Realisierung der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur gelten kann.

Deutschprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)]

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-19edo.mp3]] [[:File:BWV779-19edo.mp3|info]]

Daneben unterstützt 19edo eine Reihe von anderen [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], so [[Hanson_Kleismisch|Hanson]], [[Liese|Liese]], [[Magische_Temperaturen|magisch]], [[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Godzilla]], [[Sensi|Sensi]].

[[Kategorie:EDO]]
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19edo, die Unterteilung einer Oktave in 19 gleiche Teile, ist eine historisch wichtige Stimmung. Es ist eine mögliche Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]], welche die reine kleine Terz 6/5 aussergewöhnlich gut annähert (mit einem Fehler von nur 0.148 Cent) und so als beinahe perfekte Realisierung der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur gelten kann.

Deutschprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)]

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-19edo.mp3]] [[:File:BWV779-19edo.mp3|info]]

Daneben unterstützt 19edo eine Reihe von anderen [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], so [[Hanson_Kleismisch|Hanson]], [[Liese|Liese]], [[Magische_Temperaturen|magisch]], [[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Godzilla]], [[Sensi|Sensi]], [[Negri]].

[[Kategorie:EDO]]
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}}
19edo, die Unterteilung einer Oktave in 19 gleiche Teile, ist eine historisch wichtige Stimmung. Es ist eine mögliche Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]], welche die reine kleine Terz 6/5 aussergewöhnlich gut annähert (mit einem Fehler von nur 0.148 Cent) und so als beinahe perfekte Realisierung der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur gelten kann.

Deutschprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)]

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-19edo.mp3]] [[:File:BWV779-19edo.mp3|info]]

Daneben unterstützt 19edo eine Reihe von anderen [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], so [[Hanson_Kleismisch|Hanson]], [[Liese|Liese]], [[Magische_Temperaturen|magisch]], [[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Godzilla]], [[Sensi|Sensi]], [[Negri]].

[[Kategorie:EDO]]
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'''19 EDO''', die Unterteilung einer Oktave in 19 gleiche Teile, ist eine historisch wichtige Stimmung. Es ist eine mögliche Realisierung der [[mitteltönig]]en Temperatur, welche die reine kleine Terz [[6/5]] aussergewöhnlich gut annähert (mit einem Fehler von nur 0.148 Cent) und so als beinahe perfekte Realisierung der [[drittelkomma-mitteltönig]]en Temperatur gelten kann.

Deutschprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)]

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-19edo.mp3]] [[:File:BWV779-19edo.mp3|info]]

Daneben unterstützt 19edo eine Reihe von anderen [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], so [[Hanson Kleismisch|Hanson]], [[Liese]], [[Magische Temperaturen|magisch]], [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Godzilla]], [[Sensi]], [[Negri]].

[[Kategorie:EDO]]
[[Kategorie:Prim-EDO]]</text>
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      <comment>Xenwolf verschob die Seite [[19 EDO]] nach [[19-EDO]]: Das ist die bessere Wahl (siehe [[XW:K]]), auch führte die Lücke optisch zum "Auseinanderbrechen".</comment>
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'''19 EDO''', die Unterteilung einer Oktave in 19 gleiche Teile, ist eine historisch wichtige Stimmung. Es ist eine mögliche Realisierung der [[mitteltönig]]en Temperatur, welche die reine kleine Terz [[6/5]] aussergewöhnlich gut annähert (mit einem Fehler von nur 0.148 Cent) und so als beinahe perfekte Realisierung der [[drittelkomma-mitteltönig]]en Temperatur gelten kann.

Deutschprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)]

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-19edo.mp3]] [[:File:BWV779-19edo.mp3|info]]

Daneben unterstützt 19edo eine Reihe von anderen [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], so [[Hanson Kleismisch|Hanson]], [[Liese]], [[Magische Temperaturen|magisch]], [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Godzilla]], [[Sensi]], [[Negri]].

[[Kategorie:EDO]]
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'''19-EDO''', die Unterteilung einer Oktave in 19 gleiche Teile, ist eine historisch wichtige Stimmung. Es ist eine mögliche Realisierung der [[mitteltönig]]en Temperatur, welche die reine kleine Terz [[6/5]] aussergewöhnlich gut annähert (mit einem Fehler von nur 0.148 Cent) und so als beinahe perfekte Realisierung der [[drittelkomma-mitteltönig]]en Temperatur gelten kann.

Deutschprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)]

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-19edo.mp3]] [[:File:BWV779-19edo.mp3|info]]

Daneben unterstützt 19-EDO eine Reihe von anderen [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], so [[Hanson Kleismisch|Hanson]], [[Liese]], [[Magische Temperaturen|magisch]], [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Godzilla]], [[Sensi]], [[Negri]].

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'''19-EDO''', die Unterteilung einer Oktave in 19 gleiche Teile, ist eine historisch wichtige Stimmung. Es ist eine mögliche Realisierung der [[mitteltönig]]en Temperatur, welche die reine kleine Terz [[6/5]] aussergewöhnlich gut annähert (mit einem Fehler von nur 0.148 Cent) und so als beinahe perfekte Realisierung der [[drittelkomma-mitteltönig]]en Temperatur gelten kann.

Deutschprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)]

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-19edo.mp3]] [[:File:BWV779-19edo.mp3|info]]

Daneben unterstützt 19-EDO eine Reihe von anderen [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], so [[Hanson-Kleismisch]], [[Liese]], [[Magische Temperaturen|magisch]], [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Godzilla]], [[Sensi]], [[Negri]].

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'''19-EDO''', die Unterteilung einer Oktave in 19 gleiche Teile, ist eine historisch wichtige Stimmung. Es ist eine mögliche Realisierung der [[mitteltönig]]en Temperatur, welche die reine kleine Terz [[6/5]] aussergewöhnlich gut annähert (mit einem Fehler von nur 0.148 Cent) und so als beinahe perfekte Realisierung der [[drittelkomma-mitteltönig]]en Temperatur gelten kann.

Deutschprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)]

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-19edo.mp3]] [[:File:BWV779-19edo.mp3|info]]

== Reguläre Temperaturen ==
Neben der drittelkomma-mitteltönigen unterstützt 19-EDO eine Reihe von anderen [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], so [[Hanson-Kleismisch]], [[Liese]], [[Magische Temperaturen|magisch]], [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Godzilla]], [[Sensi]], [[Negri]].


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'''19-EDO''', die Unterteilung einer Oktave in 19 gleiche Teile, ist eine historisch wichtige Stimmung. Es ist eine mögliche Realisierung der [[mitteltönig]]en Temperatur, welche die reine kleine Terz [[6/5]] aussergewöhnlich gut annähert (mit einem Fehler von nur 0.148 Cent) und so als beinahe perfekte Realisierung der [[drittelkomma-mitteltönig]]en Temperatur gelten kann.

Deutschprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)]

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-19edo.mp3]] [[:File:BWV779-19edo.mp3|info]]

== Reguläre Temperaturen ==
Neben der drittelkomma-mitteltönigen unterstützt 19-EDO eine Reihe von anderen [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], so [[Hanson-Kleismisch]], [[Liese]], [[Magische Temperaturen|magisch]], [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Godzilla]], [[Sensi]], [[Negri]].


[[File:sensi8_19edo.mp3]]

Sensi[8]-Skala ssLssLsL, in 19edo


[[Datei:19edoNegriSymmetricalMajor.mp3|Neuntönige Negri-Skala, Dur-Modus ssssLssss, in 19edo]]

Neuntönige Negri-Skala, Dur-Modus ssssLssss, in 19edo

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'''19-EDO''', die Unterteilung einer Oktave in 19 gleiche Teile, ist eine historisch wichtige Stimmung. Es ist eine mögliche Realisierung der [[mitteltönig]]en Temperatur, welche die reine kleine Terz [[6/5]] aussergewöhnlich gut annähert (mit einem Fehler von nur 0.148 Cent) und so als beinahe perfekte Realisierung der [[drittelkomma-mitteltönig]]en Temperatur gelten kann.

Deutschprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)]

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-19edo.mp3]] [[:File:BWV779-19edo.mp3|info]]

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
Neben der drittelkomma-mitteltönigen unterstützt 19-EDO eine Reihe von anderen [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], so [[Hanson-Kleismisch]], [[Liese]], [[Magische Temperaturen|magisch]], [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Godzilla]], [[Sensi]], [[Negri]].


[[File:sensi8_19edo.mp3]]

Sensi[8]-Skala ssLssLsL, in 19edo


[[Datei:19edoNegriSymmetricalMajor.mp3|Neuntönige Negri-Skala, Dur-Modus ssssLssss, in 19edo]]

Neuntönige Negri-Skala, Dur-Modus ssssLssss, in 19edo

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'''19-EDO''', die Unterteilung einer Oktave in 19 gleiche Teile, ist eine historisch wichtige Stimmung. Es ist eine mögliche Realisierung der [[mitteltönig]]en Temperatur, welche die reine kleine Terz [[6/5]] aussergewöhnlich gut annähert (mit einem Fehler von nur 0.148 Cent) und so als beinahe perfekte Realisierung der [[drittelkomma-mitteltönig]]en Temperatur gelten kann.

Deutschprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)]

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-19edo.mp3]] [[:File:BWV779-19edo.mp3|info]]

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
Neben der drittelkomma-mitteltönigen unterstützt 19-EDO eine Reihe von anderen [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], so [[Hanson-Kleismisch]], [[Liese]], [[Magische Temperaturen|magisch]], [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Godzilla]], [[Sensi]], [[Negri]].

=== [[Magische Temperaturen|magisch]] ===


=== [[Sensi]] ===

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Achttönige Sensi-Skala ssLssLsL, in 19edo

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Neuntönige Negri-Skala, Dur-Modus ssssLssss, in 19edo

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'''19-EDO''', die Unterteilung einer Oktave in 19 gleiche Teile, ist eine historisch wichtige Stimmung. Es ist eine mögliche Realisierung der [[mitteltönig]]en Temperatur, welche die reine kleine Terz [[6/5]] aussergewöhnlich gut annähert (mit einem Fehler von nur 0.148 Cent) und so als beinahe perfekte Realisierung der [[drittelkomma-mitteltönig]]en Temperatur gelten kann.

Deutschprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)]

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-19edo.mp3]] [[:File:BWV779-19edo.mp3|info]]

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
Neben der drittelkomma-mitteltönigen unterstützt 19-EDO eine Reihe von anderen [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], so [[Hanson-Kleismisch]], [[Liese]], [[Magische Temperaturen|magisch]], [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Godzilla]], [[Sensi]], [[Negri]].

=== [[Magische Temperaturen|magisch]] ===

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'''19-EDO''', die Unterteilung einer Oktave in 19 gleiche Teile, ist eine historisch wichtige Stimmung. Es ist eine mögliche Realisierung der [[mitteltönig]]en Temperatur, welche die reine kleine Terz [[6/5]] aussergewöhnlich gut annähert (mit einem Fehler von nur 0.148 Cent) und so als beinahe perfekte Realisierung der [[drittelkomma-mitteltönig]]en Temperatur gelten kann.

Deutschprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)]

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-19edo.mp3]] [[:File:BWV779-19edo.mp3|info]]

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
Neben der drittelkomma-mitteltönigen unterstützt 19-EDO eine Reihe von anderen [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], so [[Hanson-Kleismisch]], [[Liese]], [[Magische Temperaturen|magisch]], [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semiphor/Godzilla]], [[Sensi]], [[Negri]].

=== [[Magische Temperaturen|magisch]] ===

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Siebentönige Magisch-Skala (LsLsLss) in 19-EDO


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=== [[Sensi]] ===

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'''19-EDO''', die Unterteilung einer Oktave in 19 gleiche Teile, ist eine historisch wichtige Stimmung. Es ist eine mögliche Realisierung der [[mitteltönig]]en Temperatur, welche die reine kleine Terz [[6/5]] aussergewöhnlich gut annähert (mit einem Fehler von nur 0.148 Cent) und so als beinahe perfekte Realisierung der [[drittelkomma-mitteltönig]]en Temperatur gelten kann.

Deutschprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)]

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-19edo.mp3]] [[:File:BWV779-19edo.mp3|info]]

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
Neben der drittelkomma-mitteltönigen unterstützt 19-EDO eine Reihe von anderen [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], so [[Hanson-Kleismisch]], [[Liese]], [[Magische Temperaturen|magisch]], [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semiphor-Godzilla]], [[Sensi]], [[Negri]].

=== [[Magische Temperaturen|magisch]] ===

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=== [[Sensi]] ===

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[[Datei:19edoNegriSymmetricalMajor.mp3|Neuntönige Negri-Skala, Dur-Modus ssssLssss, in 19edo]]

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'''19-EDO''', die Unterteilung einer Oktave in 19 gleiche Teile, ist eine historisch wichtige Stimmung. Es ist eine mögliche Realisierung der [[mitteltönig]]en Temperatur, welche die reine kleine Terz [[6/5]] aussergewöhnlich gut annähert (mit einem Fehler von nur 0.148 Cent) und so als beinahe perfekte Realisierung der [[drittelkomma-mitteltönig]]en Temperatur gelten kann.

Deutschprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)]

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-19edo.mp3]] [[:File:BWV779-19edo.mp3|info]]

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
Neben der drittelkomma-mitteltönigen unterstützt 19-EDO eine Reihe von anderen [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], so [[Hanson-Kleismisch|Hanson/Kleismisch]], [[Liese]], [[Magische Temperaturen|magisch]], [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semiphor/Godzilla]], [[Sensi]], [[Negri]].

=== [[Magische Temperaturen|magisch]] ===

[[Datei:Magic7-19edo.mp3]]

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[[Datei:Magic10-19edo.mp3]]

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[[Datei:19edoNegriSymmetricalMajor.mp3|Neuntönige Negri-Skala, Dur-Modus ssssLssss, in 19edo]]

Neuntönige Negri-Skala, Dur-Modus ssssLssss, in 19edo

[[Kategorie:EDO]]
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'''19-EDO''', die Unterteilung einer Oktave in 19 gleiche Teile, ist eine historisch wichtige Stimmung. Es ist eine mögliche Realisierung der [[mitteltönig]]en Temperatur, welche die reine kleine Terz [[6/5]] aussergewöhnlich gut annähert (mit einem Fehler von nur 0.148 Cent) und so als beinahe perfekte Realisierung der [[drittelkomma-mitteltönig]]en Temperatur gelten kann.

Deutschprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)]

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-19edo.mp3]] [[:File:BWV779-19edo.mp3|info]]

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
Neben der drittelkomma-mitteltönigen unterstützt 19-EDO eine Reihe von anderen [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], so [[Hanson-Kleismisch|Hanson/Kleismisch]], [[Liese]], [[Magische Temperaturen|magisch]], [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semiphor/Godzilla]], [[Sensi]], [[Negri]].

=== [[Magische Temperaturen|magisch]] ===

[[Datei:Magic7-19edo.mp3]]

Siebentönige Magisch-Skala (LsLsLss) in 19-EDO


[[Datei:Magic10-19edo.mp3]]

Zehntönige Magisch-Skala (LssLssLsss) in 19-EDO

=== [[Sensi]] ===

[[File:sensi8_19edo.mp3]]

Achttönige Sensi-Skala ssLssLsL, in 19edo

=== [[Negri]] ===
[[Datei:19edoNegriSymmetricalMajor.mp3|Neuntönige Negri-Skala, Dur-Modus ssssLssss, in 19edo]]

Neuntönige Negri-Skala, Dur-Modus ssssLssss, in 19edo

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}}
'''19-EDO''', die Unterteilung einer Oktave in 19 gleiche Teile, ist eine historisch wichtige Stimmung. Es ist eine mögliche Realisierung der [[mitteltönig]]en Temperatur, welche die reine kleine Terz [[6/5]] aussergewöhnlich gut annähert (mit einem Fehler von nur 0.148 Cent) und so als beinahe perfekte Realisierung der [[drittelkomma-mitteltönig]]en Temperatur gelten kann.

Deutschprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)]

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-19edo.mp3]] [[:File:BWV779-19edo.mp3|info]]

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
Neben der drittelkomma-mitteltönigen unterstützt 19-EDO eine Reihe von anderen [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], so [[Hanson-Kleismisch|Hanson/Kleismisch]], [[Liese]], [[Magische Temperaturen|magisch]], [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semaphor/Godzilla]], [[Sensi]], [[Negri]].

=== [[Magische Temperaturen|magisch]] ===

[[Datei:Magic7-19edo.mp3]]

Siebentönige Magisch-Skala (LsLsLss) in 19-EDO


[[Datei:Magic10-19edo.mp3]]

Zehntönige Magisch-Skala (LssLssLsss) in 19-EDO

=== [[Sensi]] ===

[[File:sensi8_19edo.mp3]]

Achttönige Sensi-Skala ssLssLsL, in 19edo

=== [[Negri]] ===
[[Datei:19edoNegriSymmetricalMajor.mp3|Neuntönige Negri-Skala, Dur-Modus ssssLssss, in 19edo]]

Neuntönige Negri-Skala, Dur-Modus ssssLssss, in 19edo

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}}
'''19-EDO''', die Unterteilung einer Oktave in 19 gleiche Teile, ist eine historisch wichtige Stimmung. Es ist eine mögliche Realisierung der [[mitteltönig]]en Temperatur, welche die reine kleine Terz [[6/5]] aussergewöhnlich gut annähert (mit einem Fehler von nur 0.148 Cent) und so als beinahe perfekte Realisierung der [[drittelkomma-mitteltönig]]en Temperatur gelten kann.

Deutschprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)]

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-19edo.mp3]] [[:File:BWV779-19edo.mp3|info]]

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
Neben der drittelkomma-mitteltönigen unterstützt 19-EDO eine Reihe von anderen [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], so [[Hanson-Kleismisch|Hanson/Kleismisch]], [[Liese]], [[Magische Temperaturen|magisch]], [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semaphor/Godzilla]], [[Sensi]], [[Negri]].

=== Kleismisch ===
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Siebentönige Kleismisch-Skala (sLsLsLL) in 19-EDO 

=== [[Magische Temperaturen|Magisch]] ===

[[Datei:Magic7-19edo.mp3]]

Siebentönige Magisch-Skala (LsLsLss) in 19-EDO


[[Datei:Magic10-19edo.mp3]]

Zehntönige Magisch-Skala (LssLssLsss) in 19-EDO

=== [[Sensi]] ===

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Achttönige Sensi-Skala ssLssLsL, in 19edo

=== [[Negri]] ===
[[Datei:19edoNegriSymmetricalMajor.mp3|Neuntönige Negri-Skala, Dur-Modus ssssLssss, in 19edo]]

Neuntönige Negri-Skala, Dur-Modus ssssLssss, in 19edo

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'''19-EDO''', die Unterteilung einer Oktave in 19 gleiche Teile, ist eine historisch wichtige Stimmung. Es ist eine mögliche Realisierung der [[mitteltönig]]en Temperatur, welche die reine kleine Terz [[6/5]] aussergewöhnlich gut annähert (mit einem Fehler von nur 0.148 Cent) und so als beinahe perfekte Realisierung der [[drittelkomma-mitteltönig]]en Temperatur gelten kann.

Deutschprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)]

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-19edo.mp3]] [[:File:BWV779-19edo.mp3|info]]

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
Neben der drittelkomma-mitteltönigen unterstützt 19-EDO eine Reihe von anderen [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], so [[Hanson-Kleismisch|Hanson/Kleismisch]], [[Liese]], [[Magische Temperaturen|magisch]], [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semaphor/Godzilla]], [[Sensi]], [[Negri]].

=== Kleismisch ===
[[Datei:Kleismic7-19edo.mp3]]

Siebentönige Kleismisch-Skala (sLsLsLL) in 19-EDO 

=== [[Magische Temperaturen|Magisch]] ===

[[Datei:Magic7-19edo.mp3]]

Siebentönige Magisch-Skala (LsLsLss) in 19-EDO


[[Datei:Magic10-19edo.mp3]]

Zehntönige Magisch-Skala (LssLssLsss) in 19-EDO

=== [[Sensi]] ===

[[File:sensi8_19edo.mp3]]

Achttönige Sensi-Skala ssLssLsL, in 19edo

=== [[Negri]] ===
[[Datei:19edoNegriSymmetricalMajor.mp3|Neuntönige Negri-Skala, Dur-Modus ssssLssss, in 19edo]]

Neuntönige Negri-Skala, Dur-Modus ssssLssss, in 19edo

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'''19-EDO''', die Unterteilung einer Oktave in 19 gleiche Teile, ist eine historisch wichtige Stimmung. Es ist eine mögliche Realisierung der [[mitteltönig]]en Temperatur, welche die reine kleine Terz [[6/5]] aussergewöhnlich gut annähert (mit einem Fehler von nur 0.148 Cent) und so als beinahe perfekte Realisierung der [[drittelkomma-mitteltönig]]en Temperatur gelten kann.

Deutschprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)]

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-19edo.mp3]] [[:File:BWV779-19edo.mp3|info]]

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
Neben der drittelkomma-mitteltönigen unterstützt 19-EDO eine Reihe von anderen [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], so [[Hanson-Kleismisch|Hanson/Kleismisch]], [[Liese]], [[Magische Temperaturen|magisch]], [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semaphor/Godzilla]], [[Sensi]], [[Negri]].

=== Kleismisch ===
[[Datei:Kleismic7-19edo.mp3]]

Siebentönige Kleismisch-Skala (sLsLsLL) in 19-EDO 

=== [[Magische Temperaturen|Magisch]] ===

[[Datei:Magic7-19edo.mp3]]

Siebentönige Magisch-Skala (LsLsLss) in 19-EDO


[[Datei:Kleismic11-19edo.mp3|mini]]


[[Datei:Magic10-19edo.mp3]]

Zehntönige Magisch-Skala (LssLssLsss) in 19-EDO

=== [[Sensi]] ===

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Achttönige Sensi-Skala ssLssLsL, in 19edo

=== [[Negri]] ===
[[Datei:19edoNegriSymmetricalMajor.mp3|Neuntönige Negri-Skala, Dur-Modus ssssLssss, in 19edo]]

Neuntönige Negri-Skala, Dur-Modus ssssLssss, in 19edo

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'''19-EDO''', die Unterteilung einer Oktave in 19 gleiche Teile, ist eine historisch wichtige Stimmung. Es ist eine mögliche Realisierung der [[mitteltönig]]en Temperatur, welche die reine kleine Terz [[6/5]] aussergewöhnlich gut annähert (mit einem Fehler von nur 0.148 Cent) und so als beinahe perfekte Realisierung der [[drittelkomma-mitteltönig]]en Temperatur gelten kann.

Deutschprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)]

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-19edo.mp3]] [[:File:BWV779-19edo.mp3|info]]

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
Neben der drittelkomma-mitteltönigen unterstützt 19-EDO eine Reihe von anderen [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], so [[Hanson-Kleismisch|Hanson/Kleismisch]], [[Liese]], [[Magische Temperaturen|magisch]], [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semaphor/Godzilla]], [[Sensi]], [[Negri]].

=== Kleismisch ===
[[Datei:Kleismic7-19edo.mp3]]

Siebentönige Kleismisch-Skala (sLsLsLL) in 19-EDO 

=== [[Magische Temperaturen|Magisch]] ===

[[Datei:Magic7-19edo.mp3]]

Siebentönige Magisch-Skala (LsLsLss) in 19-EDO


[[Datei:Magic10-19edo.mp3]]

Zehntönige Magisch-Skala (LssLssLsss) in 19-EDO

=== [[Sensi]] ===

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Achttönige Sensi-Skala ssLssLsL, in 19edo

=== [[Negri]] ===
[[Datei:19edoNegriSymmetricalMajor.mp3|Neuntönige Negri-Skala, Dur-Modus ssssLssss, in 19edo]]

Neuntönige Negri-Skala, Dur-Modus ssssLssss, in 19edo

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'''19-EDO''', die Unterteilung einer Oktave in 19 gleiche Teile, ist eine historisch wichtige Stimmung. Es ist eine mögliche Realisierung der [[mitteltönig]]en Temperatur, welche die reine kleine Terz [[6/5]] aussergewöhnlich gut annähert (mit einem Fehler von nur 0.148 Cent) und so als beinahe perfekte Realisierung der [[drittelkomma-mitteltönig]]en Temperatur gelten kann.

Deutschprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)]

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-19edo.mp3]] [[:File:BWV779-19edo.mp3|info]]

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
Neben der drittelkomma-mitteltönigen unterstützt 19-EDO eine Reihe von anderen [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], so [[Hanson-Kleismisch|Hanson/Kleismisch]], [[Liese]], [[Magische Temperaturen|magisch]], [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semaphor/Godzilla]], [[Sensi]], [[Negri]].

=== Kleismisch ===
[[Datei:Kleismic7-19edo.mp3]]

Siebentönige Kleismisch-Skala (sLsLsLL) in 19-EDO


[[Datei:Kleismic11-19edo.mp3]]

Elftönige Kleismisch-Skala (sLssLssLsLs) in 19-EDO

=== [[Magische Temperaturen|Magisch]] ===

[[Datei:Magic7-19edo.mp3]]

Siebentönige Magisch-Skala (LsLsLss) in 19-EDO


[[Datei:Magic10-19edo.mp3]]

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=== [[Sensi]] ===

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[[Datei:19edoNegriSymmetricalMajor.mp3|Neuntönige Negri-Skala, Dur-Modus ssssLssss, in 19edo]]

Neuntönige Negri-Skala, Dur-Modus ssssLssss, in 19edo

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'''19-EDO''', die Unterteilung einer Oktave in 19 gleiche Teile, ist eine historisch wichtige Stimmung. Es ist eine mögliche Realisierung der [[mitteltönig]]en Temperatur, welche die reine kleine Terz [[6/5]] aussergewöhnlich gut annähert (mit einem Fehler von nur 0.148 Cent) und so als beinahe perfekte Realisierung der [[drittelkomma-mitteltönig]]en Temperatur gelten kann.

Deutschprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)]

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-19edo.mp3]] [[:File:BWV779-19edo.mp3|info]]

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
Neben der drittelkomma-mitteltönigen unterstützt 19-EDO eine Reihe von anderen [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], so [[Hanson-Kleismisch|Hanson/Kleismisch]], [[Liese]], [[Magische Temperaturen|magisch]], [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semaphor/Godzilla]], [[Sensi]], [[Negri]].

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[[Datei:19edoNegriSymmetricalMajor.mp3|Neuntönige Negri-Skala, Dur-Modus ssssLssss, in 19edo]]

Neuntönige Negri-Skala, Dur-Modus ssssLssss, in 19edo

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'''19-EDO''', die Unterteilung einer Oktave in 19 gleiche Teile, ist eine historisch wichtige Stimmung. Es ist eine mögliche Realisierung der [[mitteltönig]]en Temperatur, welche die reine kleine Terz [[6/5]] aussergewöhnlich gut annähert (mit einem Fehler von nur 0.148 Cent) und so als beinahe perfekte Realisierung der [[drittelkomma-mitteltönig]]en Temperatur gelten kann.

Deutschprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)]

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-19edo.mp3]] [[:File:BWV779-19edo.mp3|info]]

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
Neben der drittelkomma-mitteltönigen unterstützt 19-EDO eine Reihe von anderen [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], so [[Hanson-Kleismisch|Hanson/Kleismisch]], [[Liese]], [[Magische Temperaturen|magisch]], [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semaphor/Godzilla]], [[Sensi]], [[Negri]].

=== Kleismisch ===
[[Datei:Kleismic7-19edo.mp3]]

Siebentönige Kleismisch-Skala (sLsLsLL) in 19-EDO


[[Datei:Kleismic11-19edo.mp3]]

Elftönige Kleismisch-Skala (sLssLssLsLs) in 19-EDO

=== [[Magische Temperaturen|Magisch]] ===

[[Datei:Magic7-19edo.mp3]]

Siebentönige Magisch-Skala (LsLsLss) in 19-EDO


[[Datei:Magic10-19edo.mp3]]

Zehntönige Magisch-Skala (LssLssLsss) in 19-EDO

=== [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semaphor/Godzilla]] ===

[[Datei:Semaphor5-19edo.mp3]]

Fünftönige Semaphor-/Godzilla-Skala (LLsLL) in 19-EDO
[[Datei:Semaphor9-19edo.mp3|mini]]




=== [[Sensi]] ===

[[File:sensi8_19edo.mp3]]

Achttönige Sensi-Skala ssLssLsL, in 19edo

=== [[Negri]] ===
[[Datei:19edoNegriSymmetricalMajor.mp3|Neuntönige Negri-Skala, Dur-Modus ssssLssss, in 19edo]]

Neuntönige Negri-Skala, Dur-Modus ssssLssss, in 19edo

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'''19-EDO''', die Unterteilung einer Oktave in 19 gleiche Teile, ist eine historisch wichtige Stimmung. Es ist eine mögliche Realisierung der [[mitteltönig]]en Temperatur, welche die reine kleine Terz [[6/5]] aussergewöhnlich gut annähert (mit einem Fehler von nur 0.148 Cent) und so als beinahe perfekte Realisierung der [[drittelkomma-mitteltönig]]en Temperatur gelten kann.

Deutschprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)]

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-19edo.mp3]] [[:File:BWV779-19edo.mp3|info]]

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
Neben der drittelkomma-mitteltönigen unterstützt 19-EDO eine Reihe von anderen [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], so [[Hanson-Kleismisch|Hanson/Kleismisch]], [[Liese]], [[Magische Temperaturen|magisch]], [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semaphor/Godzilla]], [[Sensi]], [[Negri]].

=== Kleismisch ===
[[Datei:Kleismic7-19edo.mp3]]

Siebentönige Kleismisch-Skala (sLsLsLL) in 19-EDO


[[Datei:Kleismic11-19edo.mp3]]

Elftönige Kleismisch-Skala (sLssLssLsLs) in 19-EDO

=== [[Magische Temperaturen|Magisch]] ===

[[Datei:Magic7-19edo.mp3]]

Siebentönige Magisch-Skala (LsLsLss) in 19-EDO


[[Datei:Magic10-19edo.mp3]]

Zehntönige Magisch-Skala (LssLssLsss) in 19-EDO

=== [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semaphor/Godzilla]] ===

[[Datei:Semaphor5-19edo.mp3]]

Fünftönige Semaphor-/Godzilla-Skala (LLsLL) in 19-EDO


[[Datei:Semaphor9-19edo.mp3]]

Neuntönige Semaphor-/Godzilla-Skala (LsLsLLsLs) in 19-EDO

=== [[Sensi]] ===

[[File:sensi8_19edo.mp3]]

Achttönige Sensi-Skala ssLssLsL, in 19edo

=== [[Negri]] ===
[[Datei:19edoNegriSymmetricalMajor.mp3|Neuntönige Negri-Skala, Dur-Modus ssssLssss, in 19edo]]

Neuntönige Negri-Skala, Dur-Modus ssssLssss, in 19edo

[[Kategorie:EDO]]
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| ja = 19平均律
}}
'''19-EDO''', die Unterteilung einer Oktave in 19 gleiche Teile, ist eine historisch wichtige Stimmung. Es ist eine mögliche Realisierung der [[mitteltönig]]en Temperatur, welche die reine kleine Terz [[6/5]] aussergewöhnlich gut annähert (mit einem Fehler von nur 0.148 Cent) und so als beinahe perfekte Realisierung der [[drittelkomma-mitteltönig]]en Temperatur gelten kann.

Deutschprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)]

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-19edo.mp3]] [[:File:BWV779-19edo.mp3|info]]

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
Neben der drittelkomma-mitteltönigen unterstützt 19-EDO eine Reihe von anderen [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], so [[Hanson-Kleismisch|Hanson/Kleismisch]], [[Liese]], [[Magische Temperaturen|magisch]], [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semaphor/Godzilla]], [[Sensi]], [[Negri]].

=== Kleismisch ===
[[Datei:Kleismic7-19edo.mp3]]

Siebentönige Kleismisch-Skala (1 4 1 4 1 4 4) in 19-EDO


[[Datei:Kleismic11-19edo.mp3]]

Elftönige Kleismisch-Skala (1 3 1 1 3 1 1 3 1 3 1) in 19-EDO

=== [[Magische Temperaturen|Magisch]] ===

[[Datei:Magic7-19edo.mp3]]

Siebentönige Magisch-Skala (LsLsLss) in 19-EDO


[[Datei:Magic10-19edo.mp3]]

Zehntönige Magisch-Skala (LssLssLsss) in 19-EDO

=== [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semaphor/Godzilla]] ===

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=== [[Sensi]] ===

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[[Datei:19edoNegriSymmetricalMajor.mp3|Neuntönige Negri-Skala, Dur-Modus ssssLssss, in 19edo]]

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}}
'''19-EDO''', die Unterteilung einer Oktave in 19 gleiche Teile, ist eine historisch wichtige Stimmung. Es ist eine mögliche Realisierung der [[mitteltönig]]en Temperatur, welche die reine kleine Terz [[6/5]] aussergewöhnlich gut annähert (mit einem Fehler von nur 0.148 Cent) und so als beinahe perfekte Realisierung der [[drittelkomma-mitteltönig]]en Temperatur gelten kann.

Deutschprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)]

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-19edo.mp3]] [[:File:BWV779-19edo.mp3|info]]

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
Neben der drittelkomma-mitteltönigen unterstützt 19-EDO eine Reihe von anderen [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], so [[Hanson-Kleismisch|Hanson/Kleismisch]], [[Liese]], [[Magische Temperaturen|magisch]], [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semaphor/Godzilla]], [[Sensi]], [[Negri]].

=== Kleismisch ===
[[Datei:Kleismic7-19edo.mp3]]

Siebentönige Kleismisch-Skala (1 4 1 4 1 4 4) in 19-EDO


[[Datei:Kleismic11-19edo.mp3]]

Elftönige Kleismisch-Skala (1 3 1 1 3 1 1 3 1 3 1) in 19-EDO

=== [[Magische Temperaturen|Magisch]] ===

[[Datei:Magic7-19edo.mp3]]

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=== [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semaphor/Godzilla]] ===

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Fünftönige Semaphor-/Godzilla-Skala (LLsLL) in 19-EDO


[[Datei:Semaphor9-19edo.mp3]]

Neuntönige Semaphor-/Godzilla-Skala (LsLsLLsLs) in 19-EDO

=== [[Sensi]] ===

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Achttönige Sensi-Skala ssLssLsL, in 19edo

=== [[Negri]] ===
[[Datei:19edoNegriSymmetricalMajor.mp3|Neuntönige Negri-Skala, Dur-Modus ssssLssss, in 19edo]]

Neuntönige Negri-Skala, Dur-Modus ssssLssss, in 19edo

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}}
'''19-EDO''', die Unterteilung einer Oktave in 19 gleiche Teile, ist eine historisch wichtige Stimmung. Es ist eine mögliche Realisierung der [[mitteltönig]]en Temperatur, welche die reine kleine Terz [[6/5]] aussergewöhnlich gut annähert (mit einem Fehler von nur 0.148 Cent) und so als beinahe perfekte Realisierung der [[drittelkomma-mitteltönig]]en Temperatur gelten kann.

Deutschprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)]

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-19edo.mp3]] [[:File:BWV779-19edo.mp3|info]]

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
Neben der drittelkomma-mitteltönigen unterstützt 19-EDO eine Reihe von anderen [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], so [[Hanson-Kleismisch|Hanson/Kleismisch]], [[Liese]], [[Magische Temperaturen|magisch]], [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semaphor/Godzilla]], [[Sensi]], [[Negri]].

=== Kleismisch ===
[[Datei:Kleismic7-19edo.mp3]]

Siebentönige Kleismisch-Skala (1 4 1 4 1 4 4) in 19-EDO


[[Datei:Kleismic11-19edo.mp3]]

Elftönige Kleismisch-Skala (1 3 1 1 3 1 1 3 1 3 1) in 19-EDO

=== [[Magische Temperaturen|Magisch]] ===

[[Datei:Magic7-19edo.mp3]]

Siebentönige Magisch-Skala (5 1 5 1 5 1 1) in 19-EDO


[[Datei:Magic10-19edo.mp3]]

Zehntönige Magisch-Skala (4 1 1 4 1 1 4 1 1 1) in 19-EDO

=== [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semaphor/Godzilla]] ===

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=== [[Sensi]] ===

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Achttönige Sensi-Skala ssLssLsL, in 19edo

=== [[Negri]] ===
[[Datei:19edoNegriSymmetricalMajor.mp3|Neuntönige Negri-Skala, Dur-Modus ssssLssss, in 19edo]]

Neuntönige Negri-Skala, Dur-Modus ssssLssss, in 19edo

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}}
'''19-EDO''', die Unterteilung einer Oktave in 19 gleiche Teile, ist eine historisch wichtige Stimmung. Es ist eine mögliche Realisierung der [[mitteltönig]]en Temperatur, welche die reine kleine Terz [[6/5]] aussergewöhnlich gut annähert (mit einem Fehler von nur 0.148 Cent) und so als beinahe perfekte Realisierung der [[drittelkomma-mitteltönig]]en Temperatur gelten kann.

Deutschprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)]

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-19edo.mp3]] [[:File:BWV779-19edo.mp3|info]]

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
Neben der drittelkomma-mitteltönigen unterstützt 19-EDO eine Reihe von anderen [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], so [[Hanson-Kleismisch|Hanson/Kleismisch]], [[Liese]], [[Magische Temperaturen|magisch]], [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semaphor/Godzilla]], [[Sensi]], [[Negri]].

=== Kleismisch ===
[[Datei:Kleismic7-19edo.mp3]]

Siebentönige Kleismisch-Skala (1 4 1 4 1 4 4) in 19-EDO


[[Datei:Kleismic11-19edo.mp3]]

Elftönige Kleismisch-Skala (1 3 1 1 3 1 1 3 1 3 1) in 19-EDO

=== [[Magische Temperaturen|Magisch]] ===

[[Datei:Magic7-19edo.mp3]]

Siebentönige Magisch-Skala (5 1 5 1 5 1 1) in 19-EDO


[[Datei:Magic10-19edo.mp3]]

Zehntönige Magisch-Skala (4 1 1 4 1 1 4 1 1 1) in 19-EDO

=== [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semaphor/Godzilla]] ===

[[Datei:Semaphor5-19edo.mp3]]

Fünftönige Semaphor-/Godzilla-Skala (4 4 3 4 4) in 19-EDO


[[Datei:Semaphor9-19edo.mp3]]

Neuntönige Semaphor-/Godzilla-Skala (3 1 3 1 3 3 1 3 1) in 19-EDO

=== [[Sensi]] ===

[[File:sensi8_19edo.mp3]]

Achttönige Sensi-Skala ssLssLsL, in 19edo

=== [[Negri]] ===
[[Datei:19edoNegriSymmetricalMajor.mp3]]

Neuntönige Negri-Skala, Dur-Modus 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2, in 19-EDO

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'''19-EDO''', die Unterteilung einer Oktave in 19 gleiche Teile, ist eine historisch wichtige Stimmung. Es ist eine mögliche Realisierung der [[mitteltönig]]en Temperatur, welche die reine kleine Terz [[6/5]] aussergewöhnlich gut annähert (mit einem Fehler von nur 0.148 Cent) und so als beinahe perfekte Realisierung der [[drittelkomma-mitteltönig]]en Temperatur gelten kann.

Deutschprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)]

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-19edo.mp3]] [[:File:BWV779-19edo.mp3|info]]

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
Neben der drittelkomma-mitteltönigen unterstützt 19-EDO eine Reihe von anderen [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], so [[Hanson-Kleismisch|Hanson/Kleismisch]], [[Liese]], [[Magische Temperaturen|magisch]], [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semaphor/Godzilla]], [[Sensi]], [[Negri]].

=== Kleismisch ===
[[Datei:Kleismic7-19edo.mp3]]

Siebentönige Kleismisch-Skala (1 4 1 4 1 4 4) in 19-EDO


[[Datei:Kleismic11-19edo.mp3]]

Elftönige Kleismisch-Skala (1 3 1 1 3 1 1 3 1 3 1) in 19-EDO

=== [[Magische Temperaturen|Magisch]] ===

[[Datei:Magic7-19edo.mp3]]

Siebentönige Magisch-Skala (5 1 5 1 5 1 1) in 19-EDO


[[Datei:Magic10-19edo.mp3]]

Zehntönige Magisch-Skala (4 1 1 4 1 1 4 1 1 1) in 19-EDO

=== [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semaphor/Godzilla]] ===

[[Datei:Semaphor5-19edo.mp3]]

Fünftönige Semaphor-/Godzilla-Skala (4 4 3 4 4) in 19-EDO


[[Datei:Semaphor9-19edo.mp3]]

Neuntönige Semaphor-/Godzilla-Skala (3 1 3 1 3 3 1 3 1) in 19-EDO

=== [[Sensi]] ===

[[File:sensi8_19edo.mp3]]

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[[Datei:19edoNegriSymmetricalMajor.mp3]]

Neuntönige Negri-Skala, Dur-Modus 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2, in 19-EDO

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'''19-EDO''', die Unterteilung einer Oktave in 19 gleiche Teile, ist eine historisch wichtige Stimmung. Es ist eine mögliche Realisierung der [[mitteltönig]]en Temperatur, welche die reine kleine Terz [[6/5]] aussergewöhnlich gut annähert (mit einem Fehler von nur 0.148 Cent) und so als beinahe perfekte Realisierung der [[drittelkomma-mitteltönig]]en Temperatur gelten kann.

Deutschprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)]

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-19edo.mp3]] [[:File:BWV779-19edo.mp3|info]]

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
Neben der drittelkomma-mitteltönigen unterstützt 19-EDO eine Reihe von anderen [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], so [[Hanson-Kleismisch|Hanson/Kleismisch]], [[Liese]], [[Magische Temperaturen|magisch]], [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semaphor/Godzilla]], [[Sensi]], [[Negri]].

=== Kleismisch ===
[[Datei:Kleismic7-19edo.mp3]]

Siebentönige Kleismisch-Skala (1 4 1 4 1 4 4) in 19-EDO


[[Datei:Kleismic11-19edo.mp3]]

Elftönige Kleismisch-Skala (1 3 1 1 3 1 1 3 1 3 1) in 19-EDO

=== [[Liese]] ===
[[Datei:Liese15-19edo.mp3|mini]]



=== [[Magische Temperaturen|Magisch]] ===

[[Datei:Magic7-19edo.mp3]]

Siebentönige Magisch-Skala (5 1 5 1 5 1 1) in 19-EDO


[[Datei:Magic10-19edo.mp3]]

Zehntönige Magisch-Skala (4 1 1 4 1 1 4 1 1 1) in 19-EDO

=== [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semaphor/Godzilla]] ===

[[Datei:Semaphor5-19edo.mp3]]

Fünftönige Semaphor-/Godzilla-Skala (4 4 3 4 4) in 19-EDO


[[Datei:Semaphor9-19edo.mp3]]

Neuntönige Semaphor-/Godzilla-Skala (3 1 3 1 3 3 1 3 1) in 19-EDO

=== [[Sensi]] ===

[[File:sensi8_19edo.mp3]]

Achttönige Sensi-Skala 2 2 3 2 2 3 2 3, in 19-EDO

=== [[Negri]] ===
[[Datei:19edoNegriSymmetricalMajor.mp3]]

Neuntönige Negri-Skala, Dur-Modus 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2, in 19-EDO

[[Kategorie:EDO]]
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'''19-EDO''', die Unterteilung einer Oktave in 19 gleiche Teile, ist eine historisch wichtige Stimmung. Es ist eine mögliche Realisierung der [[mitteltönig]]en Temperatur, welche die reine kleine Terz [[6/5]] aussergewöhnlich gut annähert (mit einem Fehler von nur 0.148 Cent) und so als beinahe perfekte Realisierung der [[drittelkomma-mitteltönig]]en Temperatur gelten kann.

Deutschprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Neunzehnstufiges_Tonsystem Neunzehnstufiges Tonsystem (Wikipedia)]

Klangbeispiel:

[[File:BWV779-19edo.mp3]] [[:File:BWV779-19edo.mp3|info]]

== Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen ==
Neben der drittelkomma-mitteltönigen unterstützt 19-EDO eine Reihe von anderen [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], so [[Hanson-Kleismisch|Hanson/Kleismisch]], [[Liese]], [[Magische Temperaturen|magisch]], [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semaphor/Godzilla]], [[Sensi]], [[Negri]].

=== Kleismisch ===
[[Datei:Kleismic7-19edo.mp3]]

Siebentönige Kleismisch-Skala (1 4 1 4 1 4 4) in 19-EDO


[[Datei:Kleismic11-19edo.mp3]]

Elftönige Kleismisch-Skala (1 3 1 1 3 1 1 3 1 3 1) in 19-EDO

=== [[Liese]] ===
[[Datei:Liese15-19edo.mp3]]

Fünfzehntönige Liese-Skala in 19-edo

=== [[Magische Temperaturen|Magisch]] ===

[[Datei:Magic7-19edo.mp3]]

Siebentönige Magisch-Skala (5 1 5 1 5 1 1) in 19-EDO


[[Datei:Magic10-19edo.mp3]]

Zehntönige Magisch-Skala (4 1 1 4 1 1 4 1 1 1) in 19-EDO

=== [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semaphor/Godzilla]] ===

[[Datei:Semaphor5-19edo.mp3]]

Fünftönige Semaphor-/Godzilla-Skala (4 4 3 4 4) in 19-EDO


[[Datei:Semaphor9-19edo.mp3]]

Neuntönige Semaphor-/Godzilla-Skala (3 1 3 1 3 3 1 3 1) in 19-EDO

=== [[Sensi]] ===

[[File:sensi8_19edo.mp3]]

Achttönige Sensi-Skala 2 2 3 2 2 3 2 3, in 19-EDO

=== [[Negri]] ===
[[Datei:19edoNegriSymmetricalMajor.mp3]]

Neuntönige Negri-Skala, Dur-Modus 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2, in 19-EDO

[[Kategorie:EDO]]
[[Kategorie:Prim-EDO]]</text>
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Das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 225/224 (7.7 Cents) wird '''septimales Kleisma''' genannt. Es erscheint als Unterschied zwischen den Halbtönen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Ferner erscheint es (oktavbereinigt), wenn man zwei [[Naturterz|reine grosse Terzen (5/4)]] und eine übergrosse septimale Terz (9/7) übereinanderschichtet.

Austemperieren dieses Kommas definiert eine Familie von [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche [[Marvel|Marvel]] getauft wurde. Das Intervall kann dementsprechend auch '''Marvel-Komma''' genannt werden. Konkrete Folgen des Austemperierens sind, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime|Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird, sowie dass es einen übermässigen Dreiklang aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz gibt. Diesen Dreiklang kann man entsprechend '''Marvel-Dreiklang''' nennen.

Da sich die septimale Terz 9/7 aus einem grossen Ganzton 9/8 und einem septimalen Ganzton 8/7 zusammensetzen lässt, folgt daraus ferner, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine Naturseptime ergeben.  [[Category:Komma]]
[[Category:marvel]]</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 225/224 (7.7 Cents) wird **septimales Kleisma** genannt. Es erscheint als Unterschied zwischen den Halbtönen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Ferner erscheint es (oktavbereinigt), wenn man zwei [[Naturterz|reine grosse Terzen (5/4)]] und eine übergrosse septimale Terz (9/7) übereinanderschichtet.

Austemperieren dieses Kommas definiert eine Familie von [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche [[Marvel]] getauft wurde. Das Intervall kann dementsprechend auch **Marvel-Komma** genannt werden. Konkrete Folgen des Austemperierens sind, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird, sowie dass es einen übermässigen Dreiklang aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz gibt. Diesen Dreiklang kann man entsprechend **Marvel-Dreiklang** nennen.

Da sich die septimale Terz 9/7 aus einem grossen Ganzton 9/8 und einem septimalen Ganzton 8/7 zusammensetzen lässt, folgt daraus ferner, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine Naturseptime ergeben.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 225/224 (7.7 Cents) wird &amp;lt;strong&amp;gt;septimales Kleisma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt. Es erscheint als Unterschied zwischen den Halbtönen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Ferner erscheint es (oktavbereinigt), wenn man zwei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reine grosse Terzen (5/4)&amp;lt;/a&amp;gt; und eine übergrosse septimale Terz (9/7) übereinanderschichtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Austemperieren dieses Kommas definiert eine Familie von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;, welche &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Marvel"&amp;gt;Marvel&amp;lt;/a&amp;gt; getauft wurde. Das Intervall kann dementsprechend auch &amp;lt;strong&amp;gt;Marvel-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt werden. Konkrete Folgen des Austemperierens sind, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime&amp;lt;/a&amp;gt;) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird, sowie dass es einen übermässigen Dreiklang aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz gibt. Diesen Dreiklang kann man entsprechend &amp;lt;strong&amp;gt;Marvel-Dreiklang&amp;lt;/strong&amp;gt; nennen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Da sich die septimale Terz 9/7 aus einem grossen Ganzton 9/8 und einem septimalen Ganzton 8/7 zusammensetzen lässt, folgt daraus ferner, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine Naturseptime ergeben.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 225/224 (7.7 Cents) wird **septimales Kleisma** genannt. Es erscheint als Unterschied zwischen den Halbtönen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Ferner erscheint es (oktavbereinigt), wenn man zwei [[Naturterz|reine grosse Terzen (5/4)]] und eine übergrosse septimale Terz (9/7) übereinanderschichtet.

Austemperieren dieses Kommas definiert eine Familie von [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche [[Marvel]] getauft wurde. Das Intervall kann dementsprechend auch **Marvel-Komma** genannt werden. Konkrete Folgen des Austemperierens sind, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird, sowie dass es einen übermässigen Dreiklang aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz gibt. Da sich die septimale Terz 9/7 aus einem grossen Ganzton 9/8 und einem septimalen Ganzton 8/7 zusammensetzen lässt, folgt daraus ferner, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine Naturseptime ergeben.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 225/224 (7.7 Cents) wird &amp;lt;strong&amp;gt;septimales Kleisma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt. Es erscheint als Unterschied zwischen den Halbtönen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Ferner erscheint es (oktavbereinigt), wenn man zwei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reine grosse Terzen (5/4)&amp;lt;/a&amp;gt; und eine übergrosse septimale Terz (9/7) übereinanderschichtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Austemperieren dieses Kommas definiert eine Familie von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;, welche &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Marvel"&amp;gt;Marvel&amp;lt;/a&amp;gt; getauft wurde. Das Intervall kann dementsprechend auch &amp;lt;strong&amp;gt;Marvel-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt werden. Konkrete Folgen des Austemperierens sind, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime&amp;lt;/a&amp;gt;) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird, sowie dass es einen übermässigen Dreiklang aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz gibt. Da sich die septimale Terz 9/7 aus einem grossen Ganzton 9/8 und einem septimalen Ganzton 8/7 zusammensetzen lässt, folgt daraus ferner, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine Naturseptime ergeben.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 225/224 (7.7 Cents) wird **septimales Kleisma** genannt. Es erscheint als Unterschied zwischen den Halbtönen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Ferner erscheint es (oktavbereinigt), wenn man zwei [[Naturterz|reine grosse Terzen (5/4)]] und eine übergrosse septimale Terz (9/7) übereinanderschichtet.

Austemperieren dieses Kommas definiert eine Familie von [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche [[xenharmonic/Marvel family|Marvel]] getauft wurde. Das Intervall kann dementsprechend auch **Marvel-Komma** genannt werden. Konkrete Folgen des Austemperierens sind, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird, sowie dass es einen übermässigen Dreiklang aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz gibt. Da sich die septimale Terz 9/7 aus einem grossen Ganzton 9/8 und einem septimalen Ganzton 8/7 zusammensetzen lässt, folgt daraus ferner, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine Naturseptime ergeben.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 225/224 (7.7 Cents) wird &amp;lt;strong&amp;gt;septimales Kleisma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt. Es erscheint als Unterschied zwischen den Halbtönen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Ferner erscheint es (oktavbereinigt), wenn man zwei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reine grosse Terzen (5/4)&amp;lt;/a&amp;gt; und eine übergrosse septimale Terz (9/7) übereinanderschichtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Austemperieren dieses Kommas definiert eine Familie von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;, welche &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Marvel%20family"&amp;gt;Marvel&amp;lt;/a&amp;gt; getauft wurde. Das Intervall kann dementsprechend auch &amp;lt;strong&amp;gt;Marvel-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt werden. Konkrete Folgen des Austemperierens sind, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime&amp;lt;/a&amp;gt;) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird, sowie dass es einen übermässigen Dreiklang aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz gibt. Da sich die septimale Terz 9/7 aus einem grossen Ganzton 9/8 und einem septimalen Ganzton 8/7 zusammensetzen lässt, folgt daraus ferner, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine Naturseptime ergeben.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 225/224 (7.7 Cents) wird **septimales Kleisma** genannt. Es erscheint als Unterschied zwischen den Halbtönen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Ferner erscheint es (oktavbereinigt), wenn man zwei reine grosse Terzen (5/4) und eine übergrosse septimale Terz 9/7 übereinanderschichtet.

Austemperieren dieses Kommas definiert eine Familie von [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche [[xenharmonic/Marvel family|Marvel]] getauft wurde. Das Intervall kann dementsprechend auch **Marvel-Komma** genannt werden. Konkrete Folgen des Austemperierens sind, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur Naturseptime) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird, sowie dass es einen übermässigen Dreiklang aus zwei grossen und einer übergrossen septimalen Terz gibt.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 225/224 (7.7 Cents) wird &amp;lt;strong&amp;gt;septimales Kleisma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt. Es erscheint als Unterschied zwischen den Halbtönen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Ferner erscheint es (oktavbereinigt), wenn man zwei reine grosse Terzen (5/4) und eine übergrosse septimale Terz 9/7 übereinanderschichtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Austemperieren dieses Kommas definiert eine Familie von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;, welche &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Marvel%20family"&amp;gt;Marvel&amp;lt;/a&amp;gt; getauft wurde. Das Intervall kann dementsprechend auch &amp;lt;strong&amp;gt;Marvel-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt werden. Konkrete Folgen des Austemperierens sind, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur Naturseptime) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird, sowie dass es einen übermässigen Dreiklang aus zwei grossen und einer übergrossen septimalen Terz gibt.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 225/224 (7.7 Cents) wird **septimales Kleisma** genannt. Es erscheint als Unterschied zwischen den Halbtönen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Ferner erscheint es (oktavbereinigt), wenn man zwei reine grosse Terzen (5/4) und eine übergrosse septimale Terz 9/7 übereinanderschichtet.

Austemperieren dieses Kommas definiert eine Familie von [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche [[xenharmonic/Marvel family|Marvel]] getauft wurde. Das Intervall kann dementscprechend auch **Marvel-Komma** genannt werden. Konkrete Folgen des Austemperierens sind, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur Naturseptime) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird, sowie dass es einen übermässigen Dreiklang aus zwei grossen und einer übergrossen septimalen Terz gibt.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 225/224 (7.7 Cents) wird &amp;lt;strong&amp;gt;septimales Kleisma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt. Es erscheint als Unterschied zwischen den Halbtönen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Ferner erscheint es (oktavbereinigt), wenn man zwei reine grosse Terzen (5/4) und eine übergrosse septimale Terz 9/7 übereinanderschichtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Austemperieren dieses Kommas definiert eine Familie von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;, welche &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Marvel%20family"&amp;gt;Marvel&amp;lt;/a&amp;gt; getauft wurde. Das Intervall kann dementscprechend auch &amp;lt;strong&amp;gt;Marvel-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt werden. Konkrete Folgen des Austemperierens sind, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur Naturseptime) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird, sowie dass es einen übermässigen Dreiklang aus zwei grossen und einer übergrossen septimalen Terz gibt.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 225/224 (7.7 Cents) wird **septimales Kleisma** genannt. Es erscheint als Unterschied zwischen den Halbtönen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Ferner erscheint es (oktavbereinigt), wenn man zwei reine grosse Terzen (5/4) und eine übergrosse septimale Terz 9/7 übereinanderschichtet.

Austemperieren dieses Kommas hat zur Folge, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur Naturseptime) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird, sowie dass es einen übermässigen Dreiklang aus zwei grossen und einer übergrossen septimalen Terz gibt.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 225/224 (7.7 Cents) wird &amp;lt;strong&amp;gt;septimales Kleisma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt. Es erscheint als Unterschied zwischen den Halbtönen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Ferner erscheint es (oktavbereinigt), wenn man zwei reine grosse Terzen (5/4) und eine übergrosse septimale Terz 9/7 übereinanderschichtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Austemperieren dieses Kommas hat zur Folge, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur Naturseptime) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird, sowie dass es einen übermässigen Dreiklang aus zwei grossen und einer übergrossen septimalen Terz gibt.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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      <text bytes="1376" sha1="pbs827rdniw9vn9nm6enz9xnpoawhj5" xml:space="preserve">English: [[:en:225/224|xenharmonic/225_224]]

Das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 225/224 (7.7 Cents) wird '''septimales Kleisma''' genannt. Es erscheint als Unterschied zwischen den Halbtönen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Ferner erscheint es (oktavbereinigt), wenn man zwei [[Naturterz|reine grosse Terzen (5/4)]] und eine übergrosse septimale Terz (9/7) übereinanderschichtet.

Austemperieren dieses Kommas definiert eine Familie von [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche [[Marvel|Marvel]] getauft wurde. Das Intervall kann dementsprechend auch '''Marvel-Komma''' genannt werden. Konkrete Folgen des Austemperierens sind, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime|Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird, sowie dass es einen übermässigen Dreiklang aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz gibt. Diesen Dreiklang kann man entsprechend '''Marvel-Dreiklang''' nennen.

Da sich die septimale Terz 9/7 aus einem grossen Ganzton 9/8 und einem septimalen Ganzton 8/7 zusammensetzen lässt, folgt daraus ferner, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine Naturseptime ergeben.  [[Category:Komma]]
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      <text bytes="1346" sha1="bj2tco5h9hiupbbune3bt6msxgey5os" xml:space="preserve">[[en:225/224]]

Das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 225/224 (7.7 Cents) wird '''septimales Kleisma''' genannt. Es erscheint als Unterschied zwischen den Halbtönen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Ferner erscheint es (oktavbereinigt), wenn man zwei [[Naturterz|reine grosse Terzen (5/4)]] und eine übergrosse septimale Terz (9/7) übereinanderschichtet.

Austemperieren dieses Kommas definiert eine Familie von [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche [[Marvel|Marvel]] getauft wurde. Das Intervall kann dementsprechend auch '''Marvel-Komma''' genannt werden. Konkrete Folgen des Austemperierens sind, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime|Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird, sowie dass es einen übermässigen Dreiklang aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz gibt. Diesen Dreiklang kann man entsprechend '''Marvel-Dreiklang''' nennen.

Da sich die septimale Terz 9/7 aus einem grossen Ganzton 9/8 und einem septimalen Ganzton 8/7 zusammensetzen lässt, folgt daraus ferner, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine Naturseptime ergeben.  [[Category:Komma]]
[[Category:marvel]]</text>
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Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Näherungen für eine Reihe wichtiger reiner [[Intervall|Intervalle]] - Quinten und [[Quarte|Quarten]] in vergleichbarer Qualität wie [[12edo|12edo]], grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Näherungen für die [[Naturseptime|harmonische Septime (7/4)]] sowie das "[[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]]" (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der attraktivsten Kandidaten.

Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das ''keine'' Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] liefert. Die Quinte von 22-EDO ist ''höher'' als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter, mit einer extrem grossen Terz, die eher 9/7 ähnelt als der reinen grossen Terz 5/4 oder der pythagoräischen grossen Terz 81/64. Die beste Approximation der reinen grossen Terz 5/4 ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das [[Syntonisches_Komma|syntonische Komma]] nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztöne]] einer rein gestimmten [[Durtonleiter|Durtonleiter]] erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist.)

[[File:22edomajor1.mp3]]

Approximation einer reinen Durtonleiter in 22edo

Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit [[15edo|15-EDO]], [[41edo|41-EDO]] oder [[53edo|53-EDO]], und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei [[19edo|19edo]] und [[31edo|31edo]] (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.

Eine relativ einfache Alternative zur mitteltönigen Temperatur und ein guter Einstiegspunkt für 22edo ist die [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Andere wichtige reguläre Temperaturen, die 22edo unterstützt, sind [[Pajara|Pajara]], [[Magische_Temperaturen|magisch]] und [[Orwell|Orwell]].

[[File:porcupineotonalmajor22edo.mp3]]

&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;"Obertonaler" Dur-Modus von Porcupine (Lssssss) in 22edo-Stimmung&lt;/span&gt;

[[File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3]]

&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;Symmetrischer Moll-Modus von Porcupine (sssLsss) in 22edo-Stimmung&lt;/span&gt;

[[File:pajarastandardpentachordmajor22edo.mp3]]

&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;Dekatonische Pajara-Durskala (ssLsssLsss) in 22edo-Stimmung&lt;/span&gt;

Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:

[[:en:22edo_Modes xenharmonic/22edo Modes]]

[[:en:22edo_tetrachords xenharmonic/22edo tetrachords]]

Musikbeispiele: [[:en:22edo-Music xenharmonic/22edo#Music]]

Eine lebendige Diskussionsgruppe zur Zweiundzwanzigtonstimmung (in englischer Sprache) ist die [https://www.facebook.com/groups/370122423186931/ 22-Tone Workgroup auf Facebook].  [[Category:edo]]</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Näherungen für eine Reihe wichtiger reiner [[Intervall|Intervalle]] - Quinten und [[Quarte|Quarten]] in vergleichbarer Qualität wie [[12edo]], grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Näherungen für die [[Naturseptime|harmonische Septime (7/4)]] sowie das "[[Alphorn-Fa]]" (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der attraktivsten Kandidaten.

Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das //keine// Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] liefert. Die Quinte von 22-EDO ist //höher// als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter, mit einer extrem grossen Terz, die eher 9/7 ähnelt als der reinen grossen Terz 5/4 oder der pythagoräischen grossen Terz 81/64. Die beste Approximation der reinen grossen Terz 5/4 ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztöne]] einer rein gestimmten [[Durtonleiter]] erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist.)

[[media type="file" key="22edomajor1.mp3" width="240" height="20"]]
Approximation einer reinen Durtonleiter in 22edo

Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit [[15edo|15-EDO]], [[41edo|41-EDO]] oder [[53edo|53-EDO]], und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei [[19edo]] und [[31edo]] (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.

Eine relativ einfache Alternative zur mitteltönigen Temperatur und ein guter Einstiegspunkt für 22edo ist die [[Porcupine]]-Temperatur. Andere wichtige reguläre Temperaturen, die 22edo unterstützt, sind [[Pajara]], [[Magische Temperaturen|magisch]] und [[Orwell]].

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;"Obertonaler" Dur-Modus von Porcupine (Lssssss) in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;

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&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Symmetrischer Moll-Modus von Porcupine (sssLsss) in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;

[[media type="file" key="pajarastandardpentachordmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Dekatonische Pajara-Durskala (ssLsssLsss) in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;

Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:
[[xenharmonic/22edo Modes]]
[[xenharmonic/22edo tetrachords]]

Musikbeispiele: [[xenharmonic/22edo#Music|xenharmonic/22edo#Music]]

Eine lebendige Diskussionsgruppe zur Zweiundzwanzigtonstimmung (in englischer Sprache) ist die [[https://www.facebook.com/groups/370122423186931/|22-Tone Workgroup auf Facebook]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Näherungen für eine Reihe wichtiger reiner &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt; - Quinten und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarten&amp;lt;/a&amp;gt; in vergleichbarer Qualität wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Näherungen für die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonische Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; sowie das &amp;amp;quot;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot; (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der attraktivsten Kandidaten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das &amp;lt;em&amp;gt;keine&amp;lt;/em&amp;gt; Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; liefert. Die Quinte von 22-EDO ist &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Charakter, mit einer extrem grossen Terz, die eher 9/7 ähnelt als der reinen grossen Terz 5/4 oder der pythagoräischen grossen Terz 81/64. Die beste Approximation der reinen grossen Terz 5/4 ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt; einer rein gestimmten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Durtonleiter"&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; ist.)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Approximation einer reinen Durtonleiter in 22edo&amp;lt;br /&amp;gt;
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Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41-EDO&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo%20Modes"&amp;gt;xenharmonic/22edo Modes&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Musikbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo#Music"&amp;gt;xenharmonic/22edo#Music&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine lebendige Diskussionsgruppe zur Zweiundzwanzigtonstimmung (in englischer Sprache) ist die &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://www.facebook.com/groups/370122423186931/" rel="nofollow"&amp;gt;22-Tone Workgroup auf Facebook&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/22edo|English]] - [[xenharmonic/22平均律|日本語]]
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Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Näherungen für eine Reihe wichtiger reiner [[Intervall|Intervalle]] - Quinten und [[Quarte|Quarten]] in vergleichbarer Qualität wie [[12edo]], grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Näherungen für die [[Naturseptime|harmonische Septime (7/4)]] sowie das "[[Alphorn-Fa]]" (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der attraktivsten Kandidaten.

Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das //keine// Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] liefert. Die Quinte von 22-EDO ist //höher// als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter, mit einer extrem grossen Terz, die eher 9/7 ähnelt als der reinen grossen Terz 5/4 oder der pythagoräischen grossen Terz 81/64. Die beste Approximation der reinen grossen Terz 5/4 ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztöne]] einer rein gestimmten [[Durtonleiter]] erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist.)

[[media type="file" key="22edomajor1.mp3" width="240" height="20"]]
Approximation einer reinen Durtonleiter in 22edo

Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit [[15edo|15-EDO]], [[41edo|41-EDO]] oder [[53edo|53-EDO]], und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei [[19edo]] und [[31edo]] (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.

Eine relativ einfache Alternative zur mitteltönigen Temperatur und ein guter Einstiegspunkt für 22edo ist die [[Porcupine]]-Temperatur. Andere wichtige reguläre Temperaturen, die 22edo unterstützt, sind [[Pajara]], [[Magische Temperaturen|magisch]] und [[Orwell]].

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;"Obertonaler" Dur-Modus von Porcupine (Lssssss) in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;

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&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Symmetrischer Moll-Modus von Porcupine (sssLsss) in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;

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&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Dekatonische Pajara-Durskala (ssLsssLsss) in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;

Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:
[[xenharmonic/22edo Modes]]
[[xenharmonic/22edo tetrachords]]

Musikbeispiele: [[xenharmonic/22edo#Music|xenharmonic/22edo#Music]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;22edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt; - &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%BE%8B"&amp;gt;日本語&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Näherungen für eine Reihe wichtiger reiner &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt; - Quinten und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarten&amp;lt;/a&amp;gt; in vergleichbarer Qualität wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Näherungen für die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonische Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; sowie das &amp;amp;quot;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot; (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der attraktivsten Kandidaten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das &amp;lt;em&amp;gt;keine&amp;lt;/em&amp;gt; Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; liefert. Die Quinte von 22-EDO ist &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Charakter, mit einer extrem grossen Terz, die eher 9/7 ähnelt als der reinen grossen Terz 5/4 oder der pythagoräischen grossen Terz 81/64. Die beste Approximation der reinen grossen Terz 5/4 ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt; einer rein gestimmten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Durtonleiter"&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; ist.)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41-EDO&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine relativ einfache Alternative zur mitteltönigen Temperatur und ein guter Einstiegspunkt für 22edo ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur. Andere wichtige reguläre Temperaturen, die 22edo unterstützt, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Magische%20Temperaturen"&amp;gt;magisch&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Orwell"&amp;gt;Orwell&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Dekatonische Pajara-Durskala (ssLsssLsss) in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo%20Modes"&amp;gt;xenharmonic/22edo Modes&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Musikbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo#Music"&amp;gt;xenharmonic/22edo#Music&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <id>270</id>
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      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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      <comment>**Imported revision 554836123 - Original comment: Reverted to Jun 10, 2015 4:54 am**</comment>
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Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Näherungen für eine Reihe wichtiger reiner [[Intervall|Intervalle]] - Quinten und [[Quarte|Quarten]] in vergleichbarer Qualität wie [[12edo]], grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Näherungen für die [[Naturseptime|harmonische Septime (7/4)]] sowie das "[[Alphorn-Fa]]" (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der attraktivsten Kandidaten.

Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das //keine// Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] liefert. Die Quinte von 22-EDO ist //höher// als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter, mit einer extrem grossen Terz, die eher 9/7 ähnelt als der reinen grossen Terz 5/4 oder der pythagoräischen grossen Terz 81/64. Die beste Approximation der reinen grossen Terz 5/4 ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztöne]] einer rein gestimmten [[Durtonleiter]] erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist.)

[[media type="file" key="22edomajor1.mp3" width="240" height="20"]]
Approximation einer reinen Durtonleiter in 22edo

Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit [[15edo|15-EDO]], [[41edo|41-EDO]] oder [[53edo|53-EDO]], und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei [[19edo]] und [[31edo]] (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.

Eine relativ einfache Alternative zur mitteltönigen Temperatur und ein guter Einstiegspunkt für 22edo ist die [[Porcupine]]-Temperatur. Andere wichtige reguläre Temperaturen, die 22edo unterstützt, sind [[Pajara]], [[Magische Temperaturen|magisch]] und [[Orwell]].

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;"Obertonaler" Dur-Modus von Porcupine (Lssssss) in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Symmetrischer Moll-Modus von Porcupine (sssLsss) in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;

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&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Dekatonische Pajara-Durskala (ssLsssLsss) in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;

Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:
[[xenharmonic/22edo Modes]]
[[xenharmonic/22edo tetrachords]]

Musikbeispiele: [[xenharmonic/22edo#Music|xenharmonic/22edo#Music]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Näherungen für eine Reihe wichtiger reiner &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt; - Quinten und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarten&amp;lt;/a&amp;gt; in vergleichbarer Qualität wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Näherungen für die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonische Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; sowie das &amp;amp;quot;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot; (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der attraktivsten Kandidaten.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das &amp;lt;em&amp;gt;keine&amp;lt;/em&amp;gt; Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; liefert. Die Quinte von 22-EDO ist &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Charakter, mit einer extrem grossen Terz, die eher 9/7 ähnelt als der reinen grossen Terz 5/4 oder der pythagoräischen grossen Terz 81/64. Die beste Approximation der reinen grossen Terz 5/4 ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt; einer rein gestimmten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Durtonleiter"&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; ist.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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Approximation einer reinen Durtonleiter in 22edo&amp;lt;br /&amp;gt;
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Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41-EDO&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine relativ einfache Alternative zur mitteltönigen Temperatur und ein guter Einstiegspunkt für 22edo ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur. Andere wichtige reguläre Temperaturen, die 22edo unterstützt, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Magische%20Temperaturen"&amp;gt;magisch&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Orwell"&amp;gt;Orwell&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Dekatonische Pajara-Durskala (ssLsssLsss) in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo%20Modes"&amp;gt;xenharmonic/22edo Modes&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo%20tetrachords"&amp;gt;xenharmonic/22edo tetrachords&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Musikbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo#Music"&amp;gt;xenharmonic/22edo#Music&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/22edo|22edo]]

[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Näherungen für eine Reihe wichtiger reiner [[Intervall|Intervalle]] - Quinten und [[Quarte|Quarten]] in vergleichbarer Qualität wie [[12edo]], grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Näherungen für die [[Naturseptime|harmonische Septime (7/4)]] sowie das "[[Alphorn-Fa]]" (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der attraktivsten Kandidaten.

Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das //keine// Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] liefert. Die Quinte von 22-EDO ist //höher// als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter, mit einer extrem grossen Terz, die eher 9/7 ähnelt als der reinen grossen Terz 5/4 oder der pythagoräischen grossen Terz 81/64. Die beste Approximation der reinen grossen Terz 5/4 ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztöne]] einer rein gestimmten [[Durtonleiter]] erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist.)

[[media type="file" key="22edomajor1.mp3" width="240" height="20"]]
Approximation einer reinen Durtonleiter in 22edo

Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit [[15edo|15-EDO]], [[41edo|41-EDO]] oder [[53edo|53-EDO]], und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei [[19edo]] und [[31edo]] (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.

Eine relativ einfache Alternative zur mitteltönigen Temperatur und ein guter Einstiegspunkt für 22edo ist die [[Porcupine]]-Temperatur. Andere wichtige reguläre Temperaturen, die 22edo unterstützt, sind [[Pajara]], [[Magische Temperaturen|magisch]] und [[Orwell]].

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;"Obertonaler" Dur-Modus von Porcupine (Lssssss) in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Symmetrischer Moll-Modus von Porcupine (sssLsss) in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;

[[media type="file" key="pajarastandardpentachordmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Dekatonische Pajara-Durskala (ssLsssLsss) in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;

Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:
[[xenharmonic/22edo Modes]]
[[xenharmonic/22edo tetrachords]]

Musikbeispiele: [[xenharmonic/22edo#Music|xenharmonic/22edo#Music]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;22edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Näherungen für eine Reihe wichtiger reiner &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt; - Quinten und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarten&amp;lt;/a&amp;gt; in vergleichbarer Qualität wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Näherungen für die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonische Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; sowie das &amp;amp;quot;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot; (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der attraktivsten Kandidaten.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das &amp;lt;em&amp;gt;keine&amp;lt;/em&amp;gt; Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; liefert. Die Quinte von 22-EDO ist &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Charakter, mit einer extrem grossen Terz, die eher 9/7 ähnelt als der reinen grossen Terz 5/4 oder der pythagoräischen grossen Terz 81/64. Die beste Approximation der reinen grossen Terz 5/4 ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt; einer rein gestimmten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Durtonleiter"&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; ist.)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine relativ einfache Alternative zur mitteltönigen Temperatur und ein guter Einstiegspunkt für 22edo ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur. Andere wichtige reguläre Temperaturen, die 22edo unterstützt, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Magische%20Temperaturen"&amp;gt;magisch&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Orwell"&amp;gt;Orwell&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo%20Modes"&amp;gt;xenharmonic/22edo Modes&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo%20tetrachords"&amp;gt;xenharmonic/22edo tetrachords&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Musikbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo#Music"&amp;gt;xenharmonic/22edo#Music&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/22edo|22edo]]

Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Näherungen für eine Reihe wichtiger reiner [[Intervall|Intervalle]] - Quinten und [[Quarte|Quarten]] in vergleichbarer Qualität wie [[12edo]], grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Näherungen für die [[Naturseptime|harmonische Septime (7/4)]] sowie das "[[Alphorn-Fa]]" (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der attraktivsten Kandidaten.

Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das //keine// Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] liefert. Die Quinte von 22-EDO ist //höher// als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter, mit einer extrem grossen Terz, die eher 9/7 ähnelt als der reinen grossen Terz 5/4 oder der pythagoräischen grossen Terz 81/64. Die beste Approximation der reinen grossen Terz 5/4 ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztöne]] einer rein gestimmten [[Durtonleiter]] erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist.)

[[media type="file" key="22edomajor1.mp3" width="240" height="20"]]
Approximation einer reinen Durtonleiter in 22edo

Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit [[15edo|15-EDO]], [[41edo|41-EDO]] oder [[53edo|53-EDO]], und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei [[19edo]] und [[31edo]] (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.

Eine relativ einfache Alternative zur mitteltönigen Temperatur und ein guter Einstiegspunkt für 22edo ist die [[Porcupine]]-Temperatur. Andere wichtige reguläre Temperaturen, die 22edo unterstützt, sind [[Pajara]], [[Magische Temperaturen|magisch]] und [[Orwell]].

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;"Obertonaler" Dur-Modus von Porcupine (Lssssss) in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Symmetrischer Moll-Modus von Porcupine (sssLsss) in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;

[[media type="file" key="pajarastandardpentachordmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Dekatonische Pajara-Durskala (ssLsssLsss) in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;

Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:
[[xenharmonic/22edo Modes]]
[[xenharmonic/22edo tetrachords]]

Musikbeispiele: [[xenharmonic/22edo#Music|xenharmonic/22edo#Music]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;22edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Näherungen für eine Reihe wichtiger reiner &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt; - Quinten und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarten&amp;lt;/a&amp;gt; in vergleichbarer Qualität wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Näherungen für die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonische Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; sowie das &amp;amp;quot;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot; (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der attraktivsten Kandidaten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das &amp;lt;em&amp;gt;keine&amp;lt;/em&amp;gt; Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; liefert. Die Quinte von 22-EDO ist &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Charakter, mit einer extrem grossen Terz, die eher 9/7 ähnelt als der reinen grossen Terz 5/4 oder der pythagoräischen grossen Terz 81/64. Die beste Approximation der reinen grossen Terz 5/4 ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt; einer rein gestimmten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Durtonleiter"&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; ist.)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine relativ einfache Alternative zur mitteltönigen Temperatur und ein guter Einstiegspunkt für 22edo ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur. Andere wichtige reguläre Temperaturen, die 22edo unterstützt, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Magische%20Temperaturen"&amp;gt;magisch&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Orwell"&amp;gt;Orwell&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo%20Modes"&amp;gt;xenharmonic/22edo Modes&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo%20tetrachords"&amp;gt;xenharmonic/22edo tetrachords&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Musikbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo#Music"&amp;gt;xenharmonic/22edo#Music&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner [[Intervall|Intervalle]] - Quinten und [[Quarte|Quarten]] in vergleichbarer Qualität wie [[12edo]], grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die [[Naturseptime|harmonische Septime (7/4)]] sowie das "[[Alphorn-Fa]]" (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der attraktivsten Kandidaten.

Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das //keine// Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] liefert. Die Quinte von 22-EDO ist //höher// als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter, mit einer extrem grossen Terz, die eher 9/7 ähnelt als der reinen grossen Terz5/4 oder der pythagoräischen grossen Terz 81/64. Die beste Approximation der reinen grossen Terz 5/4 ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztöne]] einer rein gestimmten [[Durtonleiter]] erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist.)

[[media type="file" key="22edomajor1.mp3" width="240" height="20"]]
Approximation einer reinen Durtonleiter in 22edo

Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit [[15edo|15-EDO]], [[41edo|41-EDO]] oder [[53edo|53-EDO]], und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei [[19edo]] und [[31edo]] (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.

Eine relativ einfache Alternative zur mitteltönigen Temperatur und ein guter Einstiegspunkt für 22edo ist die [[Porcupine]]-Temperatur. Andere wichtige reguläre Temperaturen, die 22edo unterstützt, sind [[Pajara]], [[Magische Temperaturen|magisch]] und [[Orwell]].

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;"Obertonaler" Dur-Modus von Porcupine (Lssssss) in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;

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&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Symmetrischer Moll-Modus von Porcupine (sssLsss) in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;

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&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Dekatonische Pajara-Durskala (ssLsssLsss) in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;

Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:
[[xenharmonic/22edo Modes]]
[[xenharmonic/22edo tetrachords]]

Musikbeispiele: [[xenharmonic/22edo#Music|xenharmonic/22edo#Music]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt; - Quinten und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarten&amp;lt;/a&amp;gt; in vergleichbarer Qualität wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonische Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; sowie das &amp;amp;quot;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot; (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der attraktivsten Kandidaten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das &amp;lt;em&amp;gt;keine&amp;lt;/em&amp;gt; Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; liefert. Die Quinte von 22-EDO ist &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Charakter, mit einer extrem grossen Terz, die eher 9/7 ähnelt als der reinen grossen Terz5/4 oder der pythagoräischen grossen Terz 81/64. Die beste Approximation der reinen grossen Terz 5/4 ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt; einer rein gestimmten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Durtonleiter"&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; ist.)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Approximation einer reinen Durtonleiter in 22edo&amp;lt;br /&amp;gt;
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Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41-EDO&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine relativ einfache Alternative zur mitteltönigen Temperatur und ein guter Einstiegspunkt für 22edo ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur. Andere wichtige reguläre Temperaturen, die 22edo unterstützt, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Magische%20Temperaturen"&amp;gt;magisch&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Orwell"&amp;gt;Orwell&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Dekatonische Pajara-Durskala (ssLsssLsss) in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo%20Modes"&amp;gt;xenharmonic/22edo Modes&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo%20tetrachords"&amp;gt;xenharmonic/22edo tetrachords&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Musikbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo#Music"&amp;gt;xenharmonic/22edo#Music&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-10-03 15:41:22 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner [[Intervall|Intervalle]] - Quinten und [[Quarte|Quarten]] in vergleichbarer Qualität wie [[12edo]], grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die [[Naturseptime|harmonische Septime (7/4)]] sowie das "[[Alphorn-Fa]]" (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der attraktivsten Kandidaten.

Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das //keine// Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] liefert. Die Quinte von 22-EDO ist //höher// als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter, mit einer extrem grossen Terz, die eher 9/7 ähnelt als der reinen grossen Terz5/4 oder der pythagoräischen grossen Terz 81/64. Die beste Approximation der reinen grossen Terz 5/4 ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztöne]] einer rein gestimmten [[Durtonleiter]] erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist.)

[[media type="file" key="22edomajor1.mp3" width="240" height="20"]]
Approximation einer reinen Durtonleiter in 22edo

Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit [[15edo|15-EDO]], [[41edo|41-EDO]] oder [[53edo|53-EDO]], und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei [[19edo]] und [[31edo]] (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.

Eine relativ einfache Alternative zur mitteltönigen Temperatur und ein guter Einstiegspunkt für 22edo ist die  [[Porcupine]]-Temperatur. Andere wichtige reguläre Temperaturen, die 22edo unterstützt, sind [[Pajara]] und [[Magische Temperaturen|magisch]] .

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;"Obertonaler" Dur-Modus von Porcupine (Lssssss) in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;

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&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Symmetrischer Moll-Modus von Porcupine (sssLsss) in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;

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Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:
[[xenharmonic/22edo Modes]]
[[xenharmonic/22edo tetrachords]]

Musikbeispiele: [[xenharmonic/22edo#Music|xenharmonic/22edo#Music]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt; - Quinten und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarten&amp;lt;/a&amp;gt; in vergleichbarer Qualität wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonische Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; sowie das &amp;amp;quot;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot; (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der attraktivsten Kandidaten.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das &amp;lt;em&amp;gt;keine&amp;lt;/em&amp;gt; Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; liefert. Die Quinte von 22-EDO ist &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Charakter, mit einer extrem grossen Terz, die eher 9/7 ähnelt als der reinen grossen Terz5/4 oder der pythagoräischen grossen Terz 81/64. Die beste Approximation der reinen grossen Terz 5/4 ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt; einer rein gestimmten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Durtonleiter"&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; ist.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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Approximation einer reinen Durtonleiter in 22edo&amp;lt;br /&amp;gt;
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Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41-EDO&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine relativ einfache Alternative zur mitteltönigen Temperatur und ein guter Einstiegspunkt für 22edo ist die  &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur. Andere wichtige reguläre Temperaturen, die 22edo unterstützt, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Magische%20Temperaturen"&amp;gt;magisch&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:1:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/porcupineotonalmajor22edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;porcupineotonalmajor22edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252Fporcupineotonalmajor22edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;&amp;amp;quot;Obertonaler&amp;amp;quot; Dur-Modus von Porcupine (Lssssss) in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Symmetrischer Moll-Modus von Porcupine (sssLsss) in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Dekatonische Pajara-Durskala (ssLsssLsss) in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo%20Modes"&amp;gt;xenharmonic/22edo Modes&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo%20tetrachords"&amp;gt;xenharmonic/22edo tetrachords&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Musikbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo#Music"&amp;gt;xenharmonic/22edo#Music&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/22edo|22edo]]

Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner [[Intervall|Intervalle]] - Quinten und [[Quarte|Quarten]] in vergleichbarer Qualität wie [[12edo]], grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die [[Naturseptime|harmonische Septime (7/4)]] sowie das "[[Alphorn-Fa]]" (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der attraktivsten Kandidaten.

Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das //keine// Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] liefert. Die Quinte von 22-EDO ist //höher// als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter, mit einer extrem grossen Terz, die eher 9/7 ähnelt als der reinen grossen Terz5/4 oder der pythagoräischen grossen Terz 81/64. Die beste Approximation der reinen grossen Terz 5/4 ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztöne]] einer rein gestimmten [[Durtonleiter]] erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist.)

[[media type="file" key="22edomajor1.mp3" width="240" height="20"]]
Approximation einer reinen Durtonleiter in 22edo

Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit [[15edo|15-EDO]], [[41edo|41-EDO]] oder [[53edo|53-EDO]], und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei [[19edo]] und [[31edo]] (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.

Relativ einfache Alternativen zur mitteltönigen Temperatur und gute Einstiegspunkte für 22edo sind die [[Porcupine]]- und die [[Pajara]]-Temperatur.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;"Obertonaler" Dur-Modus von Porcupine (Lssssss) in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Symmetrischer Moll-Modus von Porcupine (sssLsss) in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;

[[media type="file" key="pajarastandardpentachordmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Dekatonische Pajara-Durskala (ssLsssLsss) in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;

Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:
[[xenharmonic/22edo Modes]]
[[xenharmonic/22edo tetrachords]]

Musikbeispiele: [[xenharmonic/22edo#Music|xenharmonic/22edo#Music]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;22edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt; - Quinten und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarten&amp;lt;/a&amp;gt; in vergleichbarer Qualität wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonische Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; sowie das &amp;amp;quot;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot; (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der attraktivsten Kandidaten.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das &amp;lt;em&amp;gt;keine&amp;lt;/em&amp;gt; Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; liefert. Die Quinte von 22-EDO ist &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Charakter, mit einer extrem grossen Terz, die eher 9/7 ähnelt als der reinen grossen Terz5/4 oder der pythagoräischen grossen Terz 81/64. Die beste Approximation der reinen grossen Terz 5/4 ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt; einer rein gestimmten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Durtonleiter"&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; ist.)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo%20Modes"&amp;gt;xenharmonic/22edo Modes&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Musikbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo#Music"&amp;gt;xenharmonic/22edo#Music&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-08-19 02:26:12 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner [[Intervall|Intervalle]] - Quinten und [[Quarte|Quarten]] in vergleichbarer Qualität wie [[12edo]], grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die [[Naturseptime|harmonische Septime (7/4)]] sowie das "[[Alphorn-Fa]]" (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der attraktivsten Kandidaten.

Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das //keine// Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] liefert. Die Quinte von 22-EDO ist //höher// als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter, mit einer extrem grossen Terz, die eher 9/7 ähnelt als der reinen grossen Terz5/4 oder der pythagoräischen grossen Terz 81/64. Die beste Approximation der reinen grossen Terz 5/4 ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztöne]] einer rein gestimmten [[Durtonleiter]] erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist.)

[[media type="file" key="22edomajor1.mp3" width="240" height="20"]]
Approximation einer reinen Durtonleiter in 22edo

Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit [[15edo|15-EDO]], [[41edo|41-EDO]] oder [[53edo|53-EDO]], und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei [[19edo]] und [[31edo]] (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.

Relativ einfache Alternativen zur mitteltönigen Temperatur und gute Einstiegspunkte für 22edo sind die [[Porcupine]]- und die [[Pajara]]-Temperatur.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;"Obertonaler" Dur-Modus von Porcupine in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Symmetrischer Moll-Modus von Porcupine in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;

[[media type="file" key="pajarastandardpentachordmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Dekatonische Pajara-Durskala vom Typ ssLsssLsss in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;

Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:
[[xenharmonic/22edo Modes]]
[[xenharmonic/22edo tetrachords]]

Musikbeispiele: [[xenharmonic/22edo#Music|xenharmonic/22edo#Music]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;22edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt; - Quinten und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarten&amp;lt;/a&amp;gt; in vergleichbarer Qualität wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonische Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; sowie das &amp;amp;quot;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot; (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der attraktivsten Kandidaten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das &amp;lt;em&amp;gt;keine&amp;lt;/em&amp;gt; Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; liefert. Die Quinte von 22-EDO ist &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Charakter, mit einer extrem grossen Terz, die eher 9/7 ähnelt als der reinen grossen Terz5/4 oder der pythagoräischen grossen Terz 81/64. Die beste Approximation der reinen grossen Terz 5/4 ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt; einer rein gestimmten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Durtonleiter"&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; ist.)&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:0:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/22edomajor1.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;22edomajor1.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252F22edomajor1.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Approximation einer reinen Durtonleiter in 22edo&amp;lt;br /&amp;gt;
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Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41-EDO&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Relativ einfache Alternativen zur mitteltönigen Temperatur und gute Einstiegspunkte für 22edo sind die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;- und die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo%20Modes"&amp;gt;xenharmonic/22edo Modes&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo%20tetrachords"&amp;gt;xenharmonic/22edo tetrachords&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Musikbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo#Music"&amp;gt;xenharmonic/22edo#Music&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-08-17 09:21:23 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner [[Intervall|Intervalle]] - Quinten und [[Quarte|Quarten]] in vergleichbarer Qualität wie [[12edo]], grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die [[Naturseptime|harmonische Septime (7/4)]] sowie das "[[Alphorn-Fa]]" (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der attraktivsten Kandidaten.

Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das //keine// Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] liefert. Die Quinte von 22-EDO ist //höher// als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter, mit einer extrem grossen Terz, die eher 9/7 ähnelt als der reinen grossen Terz5/4 oder der pythagoräischen grossen Terz 81/64. Die beste Approximation der reinen grossen Terz 5/4 ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztöne]] einer rein gestimmten [[Durtonleiter]] erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist.)

[[media type="file" key="22edomajor1.mp3" width="240" height="20"]]
Approximation einer reinen Durtonleiter in 22edo

Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit [[15edo|15-EDO]], [[41edo|41-EDO]] oder [[53edo|53-EDO]], und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei [[19edo]] und [[31edo]] (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.

Relativ einfache Alternativen zur mitteltönigen Temperatur und gute Einstiegspunkte für 22edo sind die [[Porcupine]]- und die [[Pajara]]-Temperatur.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;"Obertonaler" Dur-Modus von Porcupine in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;

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&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Symmetrischer Moll-Modus von Porcupine in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;

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&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Dekatonische Pajara-Durskala vom Typ LsssLsssss in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;

Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:
[[xenharmonic/22edo Modes]]
[[xenharmonic/22edo tetrachords]]

Musikbeispiele: [[xenharmonic/22edo#Music|xenharmonic/22edo#Music]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt; - Quinten und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarten&amp;lt;/a&amp;gt; in vergleichbarer Qualität wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonische Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; sowie das &amp;amp;quot;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot; (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der attraktivsten Kandidaten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das &amp;lt;em&amp;gt;keine&amp;lt;/em&amp;gt; Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; liefert. Die Quinte von 22-EDO ist &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Charakter, mit einer extrem grossen Terz, die eher 9/7 ähnelt als der reinen grossen Terz5/4 oder der pythagoräischen grossen Terz 81/64. Die beste Approximation der reinen grossen Terz 5/4 ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt; einer rein gestimmten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Durtonleiter"&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; ist.)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Approximation einer reinen Durtonleiter in 22edo&amp;lt;br /&amp;gt;
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Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41-EDO&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Relativ einfache Alternativen zur mitteltönigen Temperatur und gute Einstiegspunkte für 22edo sind die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;- und die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Dekatonische Pajara-Durskala vom Typ LsssLsssss in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo%20Modes"&amp;gt;xenharmonic/22edo Modes&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo%20tetrachords"&amp;gt;xenharmonic/22edo tetrachords&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Musikbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo#Music"&amp;gt;xenharmonic/22edo#Music&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner [[Intervall|Intervalle]] - Quinten und [[Quarte|Quarten]] in vergleichbarer Qualität wie [[12edo]], grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die [[Naturseptime|harmonische Septime (7/4)]] sowie das "[[Alphorn-Fa]]" (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der attraktivsten Kandidaten.

Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das //keine// Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] liefert. Die Quinte von 22-EDO ist //höher// als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter, mit einer extrem grossen Terz, die eher 9/7 ähnelt als der reinen grossen Terz5/4 oder der pythagoräischen grossen Terz 81/64. Die beste Approximation der reinen grossen Terz 5/4 ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztöne]] einer rein gestimmten [[Durtonleiter]] erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist.)
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Approximation einer reinen Durtonleiter in 22edo

Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit [[15edo|15-EDO]], [[41edo|41-EDO]] oder [[53edo|53-EDO]], und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei [[19edo]] und [[31edo]] (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.

Relativ einfache Alternativen zur mitteltönigen Temperatur und gute Einstiegspunkte für 22edo sind die [[Porcupine]]- und die [[Pajara]]-Temperatur.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;"Obertonaler" Dur-Modus von Porcupine in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;

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&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Symmetrischer Moll-Modus von Porcupine in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;

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Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:
[[xenharmonic/22edo Modes]]
[[xenharmonic/22edo tetrachords]]

Musikbeispiele: [[xenharmonic/22edo#Music|xenharmonic/22edo#Music]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt; - Quinten und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarten&amp;lt;/a&amp;gt; in vergleichbarer Qualität wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonische Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; sowie das &amp;amp;quot;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot; (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der attraktivsten Kandidaten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das &amp;lt;em&amp;gt;keine&amp;lt;/em&amp;gt; Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; liefert. Die Quinte von 22-EDO ist &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Charakter, mit einer extrem grossen Terz, die eher 9/7 ähnelt als der reinen grossen Terz5/4 oder der pythagoräischen grossen Terz 81/64. Die beste Approximation der reinen grossen Terz 5/4 ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt; einer rein gestimmten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Durtonleiter"&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; ist.)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Approximation einer reinen Durtonleiter in 22edo&amp;lt;br /&amp;gt;
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Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41-EDO&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Relativ einfache Alternativen zur mitteltönigen Temperatur und gute Einstiegspunkte für 22edo sind die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;- und die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;&amp;amp;quot;Obertonaler&amp;amp;quot; Dur-Modus von Porcupine in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Dekatonische Pajara-Durskala vom Typ LsssLsssss in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo%20Modes"&amp;gt;xenharmonic/22edo Modes&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo%20tetrachords"&amp;gt;xenharmonic/22edo tetrachords&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Musikbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo#Music"&amp;gt;xenharmonic/22edo#Music&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-07-21 08:21:11 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/22edo|22edo]]

Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner [[Intervall|Intervalle]] - Quinten und [[Quarte|Quarten]] in vergleichbarer Qualität wie [[12edo]], grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die [[Naturseptime|harmonische Septime (7/4)]] sowie das "[[Alphorn-Fa]]" (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der attraktivsten Kandidaten.

Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das //keine// Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] liefert. Die Quinte von 22-EDO ist //höher// als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter, mit einer extrem grossen Terz, die eher 9/7 ähnelt als der reinen grossen Terz5/4 oder der pythagoräischen grossen Terz 81/64. Die beste Approximation der reinen grossen Terz 5/4 ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztöne]] einer rein gestimmten [[Durtonleiter]] erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist.)

Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit [[15edo|15-EDO]], [[41edo|41-EDO]] oder [[53edo|53-EDO]], und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei [[19edo]] und [[31edo]] (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.

Relativ einfache Alternativen zur mitteltönigen Temperatur und gute Einstiegspunkte für 22edo sind die [[Porcupine]]- und die [[Pajara]]-Temperatur.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;"Obertonaler" Dur-Modus von Porcupine (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;/span&amp;gt;

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Symmetrischer Moll-Modus von Porcupine (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;/span&amp;gt;

[[media type="file" key="pajarastandardpentachordmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Dekatonische Pajara-Durskala vom Typ LsssLsssss (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;/span&amp;gt;

Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:
[[xenharmonic/22edo Modes]]
[[xenharmonic/22edo tetrachords]]

Musikbeispiele: [[xenharmonic/22edo#Music|xenharmonic/22edo#Music]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;22edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt; - Quinten und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarten&amp;lt;/a&amp;gt; in vergleichbarer Qualität wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonische Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; sowie das &amp;amp;quot;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot; (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der attraktivsten Kandidaten.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das &amp;lt;em&amp;gt;keine&amp;lt;/em&amp;gt; Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; liefert. Die Quinte von 22-EDO ist &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Charakter, mit einer extrem grossen Terz, die eher 9/7 ähnelt als der reinen grossen Terz5/4 oder der pythagoräischen grossen Terz 81/64. Die beste Approximation der reinen grossen Terz 5/4 ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt; einer rein gestimmten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Durtonleiter"&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; ist.)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41-EDO&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Relativ einfache Alternativen zur mitteltönigen Temperatur und gute Einstiegspunkte für 22edo sind die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;- und die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo%20Modes"&amp;gt;xenharmonic/22edo Modes&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo%20tetrachords"&amp;gt;xenharmonic/22edo tetrachords&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Musikbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo#Music"&amp;gt;xenharmonic/22edo#Music&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner [[Intervall|Intervalle]] - Quinten und [[Quarte|Quarten]] in vergleichbarer Qualität wie [[12edo]], grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die [[Naturseptime|harmonische Septime (7/4)]] sowie das "[[Alphorn-Fa]]" (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der attraktivsten Kandidaten.

Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das //keine// Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] liefert. Die Quinte von 22-EDO ist //höher// als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter, mit einer extrem grossen Terz, die eher 9/7 ähnelt als der reinen grossen Terz5/4 oder der pythagoräischen grossen Terz 81/64. Die beste Approximation der reinen grossen Terz 5/4 ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztöne]] einer rein gestimmten [[Durtonleiter]] erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist.)

Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit [[15edo|15-EDO]], [[41edo|41-EDO]] oder [[53edo|53-EDO]], und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei [[19edo]] und [[31edo]] (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.

Relativ einfache Alternativen zur mitteltönigen Temperatur und gute Einstiegspunkte für 22edo sind die [[Porcupine]]- und die [[Pajara]]-Temperatur.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;"Obertonaler" Dur-Modus von Porcupine (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;/span&amp;gt;

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&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Symmetrischer Moll-Modus von Porcupine (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;/span&amp;gt;


[[media type="file" key="pajarastandardpentachordmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Dekatonische Pajara-Skala vom Typ LsssLsssss (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;/span&amp;gt;

Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:
[[xenharmonic/22edo Modes]]
[[xenharmonic/22edo tetrachords]]

Musikbeispiele: [[xenharmonic/22edo#Music|xenharmonic/22edo#Music]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt; - Quinten und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarten&amp;lt;/a&amp;gt; in vergleichbarer Qualität wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonische Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; sowie das &amp;amp;quot;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot; (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der attraktivsten Kandidaten.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das &amp;lt;em&amp;gt;keine&amp;lt;/em&amp;gt; Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; liefert. Die Quinte von 22-EDO ist &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Charakter, mit einer extrem grossen Terz, die eher 9/7 ähnelt als der reinen grossen Terz5/4 oder der pythagoräischen grossen Terz 81/64. Die beste Approximation der reinen grossen Terz 5/4 ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt; einer rein gestimmten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Durtonleiter"&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; ist.)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41-EDO&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Relativ einfache Alternativen zur mitteltönigen Temperatur und gute Einstiegspunkte für 22edo sind die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;- und die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Dekatonische Pajara-Skala vom Typ LsssLsssss (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo%20Modes"&amp;gt;xenharmonic/22edo Modes&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo%20tetrachords"&amp;gt;xenharmonic/22edo tetrachords&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Musikbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo#Music"&amp;gt;xenharmonic/22edo#Music&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-07-21 08:18:53 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner [[Intervall|Intervalle]] - Quinten und [[Quarte|Quarten]] in vergleichbarer Qualität wie [[12edo]], grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die [[Naturseptime|harmonische Septime (7/4)]] sowie das "[[Alphorn-Fa]]" (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der attraktivsten Kandidaten.

Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das //keine// Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] liefert. Die Quinte von 22-EDO ist //höher// als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter, mit einer extrem grossen Terz. Die beste Approximation der reinen grossen Terz (5/4) ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztöne]] einer rein gestimmten [[Durtonleiter]] erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist.)

Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit [[15edo|15-EDO]], [[41edo|41-EDO]] oder [[53edo|53-EDO]], und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei [[19edo]] und [[31edo]] (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.

Relativ einfache Alternativen zur mitteltönigen Temperatur und gute Einstiegspunkte für 22edo sind die [[Porcupine]]- und die [[Pajara]]-Temperatur.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;"Obertonaler" Dur-Modus von Porcupine (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;/span&amp;gt;

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Symmetrischer Moll-Modus von Porcupine (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;/span&amp;gt;


[[media type="file" key="pajarastandardpentachordmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Dekatonische Pajara-Skala vom Typ LsssLsssss (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;/span&amp;gt;

Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:
[[xenharmonic/22edo Modes]]
[[xenharmonic/22edo tetrachords]]

Musikbeispiele: [[xenharmonic/22edo#Music|xenharmonic/22edo#Music]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt; - Quinten und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarten&amp;lt;/a&amp;gt; in vergleichbarer Qualität wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonische Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; sowie das &amp;amp;quot;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot; (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der attraktivsten Kandidaten.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das &amp;lt;em&amp;gt;keine&amp;lt;/em&amp;gt; Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; liefert. Die Quinte von 22-EDO ist &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Charakter, mit einer extrem grossen Terz. Die beste Approximation der reinen grossen Terz (5/4) ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt; einer rein gestimmten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Durtonleiter"&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; ist.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41-EDO&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Relativ einfache Alternativen zur mitteltönigen Temperatur und gute Einstiegspunkte für 22edo sind die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;- und die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:0:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/porcupineotonalmajor22edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;porcupineotonalmajor22edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252Fporcupineotonalmajor22edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;&amp;amp;quot;Obertonaler&amp;amp;quot; Dur-Modus von Porcupine (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:1:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/porcupinesymmetricminor22edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;porcupinesymmetricminor22edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252Fporcupinesymmetricminor22edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Symmetrischer Moll-Modus von Porcupine (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Dekatonische Pajara-Skala vom Typ LsssLsssss (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo%20Modes"&amp;gt;xenharmonic/22edo Modes&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo%20tetrachords"&amp;gt;xenharmonic/22edo tetrachords&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Musikbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo#Music"&amp;gt;xenharmonic/22edo#Music&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/22edo|22edo]]

Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner [[Intervall|Intervalle]] - Quinten und [[Quarte|Quarten]] in vergleichbarer Qualität wie [[12edo]], grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die [[Naturseptime|harmonische Septime (7/4)]] sowie das "[[Alphorn-Fa]]" (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der atraktivsten Kandidaten.

Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das //keine// Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] liefert. Die Quinte von 22-EDO ist //höher// als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter, mit einer extrem grossen Terz. Die beste Approximation der reinen grossen Terz (5/4) ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztöne]] einer rein gestimmten [[Durtonleiter]] erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist.)

Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit [[15edo|15-EDO]], [[41edo|41-EDO]] oder [[53edo|53-EDO]], und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei [[19edo]] und [[31edo]] (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.

Relativ einfache Alternativen zur mitteltönigen Temperatur und gute Einstiegspunkte für 22edo sind die [[Porcupine]]- und die [[Pajara]]-Temperatur.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3"]]
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;"Obertonaler" Dur-Modus von Porcupine (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;/span&amp;gt;

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3"]]
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Symmetrischer Moll-Modus von Porcupine (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;/span&amp;gt;


[[media type="file" key="pajarastandardpentachordmajor22edo.mp3"]]

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Dekatonische Pajara-Skala vom Typ LsssLsssss (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;/span&amp;gt;

Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:
[[xenharmonic/22edo Modes]]
[[xenharmonic/22edo tetrachords]]

Musikbeispiele: [[xenharmonic/22edo#Music|xenharmonic/22edo#Music]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;22edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt; - Quinten und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarten&amp;lt;/a&amp;gt; in vergleichbarer Qualität wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonische Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; sowie das &amp;amp;quot;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot; (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der atraktivsten Kandidaten.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das &amp;lt;em&amp;gt;keine&amp;lt;/em&amp;gt; Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; liefert. Die Quinte von 22-EDO ist &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Charakter, mit einer extrem grossen Terz. Die beste Approximation der reinen grossen Terz (5/4) ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt; einer rein gestimmten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Durtonleiter"&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; ist.)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41-EDO&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Relativ einfache Alternativen zur mitteltönigen Temperatur und gute Einstiegspunkte für 22edo sind die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;- und die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo%20tetrachords"&amp;gt;xenharmonic/22edo tetrachords&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Musikbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo#Music"&amp;gt;xenharmonic/22edo#Music&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-24 05:38:29 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/22edo|22edo]]

Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner [[Intervall|Intervalle]] - Quinten und [[Quarte|Quarten]] in vergleichbarer Qualität wie [[12edo]], grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die [[Naturseptime|harmonische Septime (7/4)]] sowie das "[[Alphorn-Fa]]" (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der atraktivsten Kandidaten.

Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das //keine// Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] liefert. Die Quinte von 22-EDO ist //höher// als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter, mit einer extrem grossen Terz. Die beste Approximation der reinen grossen Terz (5/4) ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztöne]] einer rein gestimmten [[Durtonleiter]] erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist.)

Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit [[15edo|15-EDO]], [[41edo|41-EDO]] oder [[53edo|53-EDO]], und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei [[19edo]] und [[31edo]] (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.

Relativ einfache Alternativen zur mitteltönigen Temperatur und gute Einstiegspunkte für 22edo sind die [[Porcupine]]- und die [[Pajara]]-Temperatur.
Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:
[[xenharmonic/22edo Modes]]
[[xenharmonic/22edo tetrachords]]

Musikbeispiele: [[xenharmonic/22edo#Music|xenharmonic/22edo#Music]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt; - Quinten und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarten&amp;lt;/a&amp;gt; in vergleichbarer Qualität wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonische Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; sowie das &amp;amp;quot;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot; (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der atraktivsten Kandidaten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das &amp;lt;em&amp;gt;keine&amp;lt;/em&amp;gt; Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; liefert. Die Quinte von 22-EDO ist &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Charakter, mit einer extrem grossen Terz. Die beste Approximation der reinen grossen Terz (5/4) ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt; einer rein gestimmten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Durtonleiter"&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; ist.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41-EDO&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Relativ einfache Alternativen zur mitteltönigen Temperatur und gute Einstiegspunkte für 22edo sind die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;- und die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo%20Modes"&amp;gt;xenharmonic/22edo Modes&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo%20tetrachords"&amp;gt;xenharmonic/22edo tetrachords&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Musikbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo#Music"&amp;gt;xenharmonic/22edo#Music&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner [[Intervall|Intervalle]] - Quinten und [[Quarte|Quarten]] in vergleichbarer Qualität wie [[12edo]], grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die [[Naturseptime|harmonische Septime (7/4)]] sowie das "[[Alphorn-Fa]]" (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der atraktivsten Kandidaten.

Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das //keine// Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] liefert. Die Quinte von 22-EDO ist //höher// als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter, mit einer extrem grossen Terz. Die beste Approximation der reinen grossen Terz (5/4) ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztöne]] einer rein gestimmten [[Durtonleiter]] erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist.)

Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit [[15edo|15-EDO]], [[41edo|41-EDO]] oder [[53edo|53-EDO]], und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei [[19edo]] und [[31edo]] (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.

Relativ einfache Alternativen zur mitteltönigen Temperatur und gute Einstiegspunkte für 22edo ist die [[Porcupine]]- und die [[Pajara]]-Temperatur.
Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:
[[xenharmonic/22edo Modes]]
[[xenharmonic/22edo tetrachords]]

Musikbeispiele: [[xenharmonic/22edo#Music|xenharmonic/22edo#Music]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;22edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt; - Quinten und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarten&amp;lt;/a&amp;gt; in vergleichbarer Qualität wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonische Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; sowie das &amp;amp;quot;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot; (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der atraktivsten Kandidaten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das &amp;lt;em&amp;gt;keine&amp;lt;/em&amp;gt; Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; liefert. Die Quinte von 22-EDO ist &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Charakter, mit einer extrem grossen Terz. Die beste Approximation der reinen grossen Terz (5/4) ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt; einer rein gestimmten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Durtonleiter"&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; ist.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41-EDO&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Relativ einfache Alternativen zur mitteltönigen Temperatur und gute Einstiegspunkte für 22edo ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;- und die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo%20Modes"&amp;gt;xenharmonic/22edo Modes&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo%20tetrachords"&amp;gt;xenharmonic/22edo tetrachords&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Musikbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo#Music"&amp;gt;xenharmonic/22edo#Music&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-23 15:48:56 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner [[Intervall|Intervalle]] - Quinten und [[Quarte|Quarten]] in vergleichbarer Qualität wie [[12edo]], grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die [[Naturseptime|harmonische Septime (7/4)]] sowie das "[[Alphorn-Fa]]" (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zzur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der atraktivsten Kandidaten.

Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das //keine// Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] liefert. Die Quinte von 22-EDO ist //höher// als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter, mit einer extrem grossen Terz. Die beste Approximation der reinen grossen Terz (5/4) ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztöne]] einer rein gestimmten [[Durtonleiter]] erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist.)

Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit [[15edo|15-EDO]], [[41edo|41-EDO]] oder [[53edo|53-EDO]], und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei [[19edo]] und [[31edo]] (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.

Relativ einfache Alternativen zur mitteltönigen Temperatur und gute Einstiegspunkte für 22edo ist die [[Porcupine]]- und die [[Pajara]]-Temperatur.
Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:
[[xenharmonic/22edo Modes]]
[[xenharmonic/22edo tetrachords]]

Musikbeispiele: [[xenharmonic/22edo#Music|xenharmonic/22edo#Music]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt; - Quinten und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarten&amp;lt;/a&amp;gt; in vergleichbarer Qualität wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonische Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; sowie das &amp;amp;quot;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot; (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zzur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der atraktivsten Kandidaten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das &amp;lt;em&amp;gt;keine&amp;lt;/em&amp;gt; Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; liefert. Die Quinte von 22-EDO ist &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Charakter, mit einer extrem grossen Terz. Die beste Approximation der reinen grossen Terz (5/4) ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt; einer rein gestimmten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Durtonleiter"&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; ist.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41-EDO&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Relativ einfache Alternativen zur mitteltönigen Temperatur und gute Einstiegspunkte für 22edo ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;- und die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo%20Modes"&amp;gt;xenharmonic/22edo Modes&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo%20tetrachords"&amp;gt;xenharmonic/22edo tetrachords&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Musikbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo#Music"&amp;gt;xenharmonic/22edo#Music&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-23 15:45:09 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/22edo|22edo]]

Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner [[Intervall|Intervalle]] - Quinten und [[Quarte|Quarten]] in vergleichbarer Qualität wie [[12edo]], grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die [[Naturseptime|harmonische Septime (7/4)]] sowie das "[[Alphorn-Fa]]" (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zzur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der atraktivsten Kandidaten.

Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das //keine// Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] liefert. Die Quinte von 22-EDO ist //höher// als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter, mit einer extrem grossen Terz. Die beste Approximation der reinen grossen Terz (5/4) ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztöne]] einer rein gestimmten [[Durtonleiter]] erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist.)

Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit [[15edo|15-EDO]], [[41edo|41-EDO]] oder [[53edo|53-EDO]], und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei [[19edo]] und [[31edo]] (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.

Eine relativ einfache Alternative zur mitteltönigen Temperatur und ein guter Einstiegspunkt für 22edo ist die [[Porcupine]]-Temperatur.
Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:
[[xenharmonic/22edo Modes]]
[[xenharmonic/22edo tetrachords]]

Musikbeispiele: [[xenharmonic/22edo#Music|xenharmonic/22edo#Music]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;22edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt; - Quinten und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarten&amp;lt;/a&amp;gt; in vergleichbarer Qualität wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonische Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; sowie das &amp;amp;quot;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot; (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zzur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der atraktivsten Kandidaten.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das &amp;lt;em&amp;gt;keine&amp;lt;/em&amp;gt; Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; liefert. Die Quinte von 22-EDO ist &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Charakter, mit einer extrem grossen Terz. Die beste Approximation der reinen grossen Terz (5/4) ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt; einer rein gestimmten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Durtonleiter"&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; ist.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41-EDO&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine relativ einfache Alternative zur mitteltönigen Temperatur und ein guter Einstiegspunkt für 22edo ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo%20Modes"&amp;gt;xenharmonic/22edo Modes&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo%20tetrachords"&amp;gt;xenharmonic/22edo tetrachords&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Musikbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo#Music"&amp;gt;xenharmonic/22edo#Music&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner [[Intervall|Intervalle]] - Quinten und [[Quarte|Quarten]] in vergleichbarer Qualität wie [[12edo]], grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die [[Naturseptime|harmonische Septime (7/4)]] sowie das "[[Alphorn-Fa]]" (11/8).

Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das //keine// Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] liefert. Die Quinte von 22-EDO ist //höher// als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter, mit einer extrem grossen Terz. Die beste Approximation der reinen grossen Terz (5/4) ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztöne]] einer rein gestimmten [[Durtonleiter]] erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist.)

Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit [[15edo|15-EDO]], [[41edo|41-EDO]] oder [[53edo|53-EDO]], und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei [[19edo]] und [[31edo]] (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.

Eine relativ einfache Alternative zur mitteltönigen Temperatur und ein guter Einstiegspunkt für 22edo ist die [[Porcupine]]-Temperatur.
Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:
[[xenharmonic/22edo Modes]]
[[xenharmonic/22edo tetrachords]]

Musikbeispiele: [[xenharmonic/22edo#Music|xenharmonic/22edo#Music]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt; - Quinten und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarten&amp;lt;/a&amp;gt; in vergleichbarer Qualität wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonische Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; sowie das &amp;amp;quot;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot; (11/8).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das &amp;lt;em&amp;gt;keine&amp;lt;/em&amp;gt; Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; liefert. Die Quinte von 22-EDO ist &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Charakter, mit einer extrem grossen Terz. Die beste Approximation der reinen grossen Terz (5/4) ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt; einer rein gestimmten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Durtonleiter"&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; ist.)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41-EDO&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine relativ einfache Alternative zur mitteltönigen Temperatur und ein guter Einstiegspunkt für 22edo ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo%20Modes"&amp;gt;xenharmonic/22edo Modes&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo%20tetrachords"&amp;gt;xenharmonic/22edo tetrachords&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Musikbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo#Music"&amp;gt;xenharmonic/22edo#Music&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner [[Intervall|Intervalle]] - Quinten und [[Quarte|Quarten]] in vergleichbarer Qualität wie [[12edo]], grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die [[Naturseptime|harmonische Septime (7/4)]] sowie das "[[Alphorn-Fa]]" (11/8).

Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das //keine// Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] liefert. Die Quinte von 22-EDO ist //höher// als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter, mit einer extrem grossen Terz. Die beste Approximation der reinen grossen Terz (5/4) ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztöne]] einer rein gestimmten [[Durtonleiter]] erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist.)

Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit [[15edo|15-EDO]], [[41edo|41-EDO]] oder [[53edo|53-EDO]], und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei [[19edo]] und [[31edo]] (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.

Eine relativ einfache Alternative zur mitteltönigen Temperatur und ein guter Einstiegspunkt für 22edo ist die [[Porcupine]]-Temperatur.
Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:
[[xenharmonic/22edo Modes]]
[[xenharmonic/22edo tetrachords]]

Musikbeispiele: [[xenharmonic/22edo#Music|xenharmonic/22edo#Music]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;22edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt; - Quinten und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarten&amp;lt;/a&amp;gt; in vergleichbarer Qualität wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonische Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; sowie das &amp;amp;quot;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot; (11/8).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das &amp;lt;em&amp;gt;keine&amp;lt;/em&amp;gt; Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; liefert. Die Quinte von 22-EDO ist &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Charakter, mit einer extrem grossen Terz. Die beste Approximation der reinen grossen Terz (5/4) ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt; einer rein gestimmten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Durtonleiter"&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; ist.)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41-EDO&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine relativ einfache Alternative zur mitteltönigen Temperatur und ein guter Einstiegspunkt für 22edo ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo%20Modes"&amp;gt;xenharmonic/22edo Modes&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo%20tetrachords"&amp;gt;xenharmonic/22edo tetrachords&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Musikbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo#Music"&amp;gt;xenharmonic/22edo#Music&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-13 05:44:44 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner [[Intervall|Intervalle]] - Quinten und [[Quarte|Quarten]] in vergleichbarer Qualität wie [[12edo]], grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die [[Naturseptime|harmonische Septime (7/4)]] sowie das "[[Alphorn-Fa]]" (11/8).

Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das //keine// Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] liefert. Die Quinte von 22-EDO ist //höher// als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter, mit einer extrem grossen Terz. Die beste Approximation der reinen grossen Terz (5/4) ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das syntonische Komma nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztöne]] einer rein gestimmten [[Durtonleiter]] erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist.)

Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit [[15edo|15-EDO]], [[41edo|41-EDO]] oder [[53edo|53-EDO]], und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei [[19edo]] und [[31edo]] (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.

Eine relativ einfache Alternative zur mitteltönigen Temperatur und ein guter Einstiegspunkt für 22edo ist die [[Porcupine]]-Temperatur.
Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:
[[xenharmonic/22edo Modes]]
[[xenharmonic/22edo tetrachords]]

Musikbeispiele: [[xenharmonic/22edo#Music|xenharmonic/22edo#Music]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;22edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt; - Quinten und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarten&amp;lt;/a&amp;gt; in vergleichbarer Qualität wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonische Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; sowie das &amp;amp;quot;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot; (11/8).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das &amp;lt;em&amp;gt;keine&amp;lt;/em&amp;gt; Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; liefert. Die Quinte von 22-EDO ist &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Charakter, mit einer extrem grossen Terz. Die beste Approximation der reinen grossen Terz (5/4) ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das syntonische Komma nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt; einer rein gestimmten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Durtonleiter"&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; ist.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41-EDO&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine relativ einfache Alternative zur mitteltönigen Temperatur und ein guter Einstiegspunkt für 22edo ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo%20Modes"&amp;gt;xenharmonic/22edo Modes&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo%20tetrachords"&amp;gt;xenharmonic/22edo tetrachords&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Musikbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo#Music"&amp;gt;xenharmonic/22edo#Music&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner [[Intervall|Intervalle]] - Quinten und [[Quarte|Quarten]] in vergleichbarer Qualität wie [[12edo]], grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die [[Naturseptime|harmonische Septime (7/4)]] sowie das "[[Alphorn-Fa]]" (11/8).

Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das //keine// Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] liefert. Die Quinte von 22-EDO ist //höher// als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter, mit einer extrem grossen Terz. Die beste Approximation der reinen grossen Terz (5/4) ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das syntonische Komma nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztöne]] einer rein gestimmten [[Durtonleiter]] erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist.)

Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit [[15edo|15-EDO]], [[41edo|41-EDO]] oder [[53edo|53-EDO]], und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei [[19edo]] und [[31edo]] (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenhrmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.

Eine Liste mit Musikbeispielen befindet sich auf dem [[xenharmonic/22edo#Music|englischen xenharmonic wiki.]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt; - Quinten und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarten&amp;lt;/a&amp;gt; in vergleichbarer Qualität wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonische Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; sowie das &amp;amp;quot;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot; (11/8).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das &amp;lt;em&amp;gt;keine&amp;lt;/em&amp;gt; Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; liefert. Die Quinte von 22-EDO ist &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Charakter, mit einer extrem grossen Terz. Die beste Approximation der reinen grossen Terz (5/4) ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das syntonische Komma nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt; einer rein gestimmten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Durtonleiter"&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; ist.)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41-EDO&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenhrmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine Liste mit Musikbeispielen befindet sich auf dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo#Music"&amp;gt;englischen xenharmonic wiki.&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner [[Intervall|Intervalle]] - Quinten und [[Quarte|Quarten]] in vergleichbarer Qualität wie [[12edo]], grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die [[Naturseptime|harmonische Septime (7/4)]] sowie das "[[Alphorn-Fa]]" (11/8).

Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das //keine// Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] liefert. Die Quinte von 22-EDO ist //höher// als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter, mit einer extrem grossen Terz. Die beste Approximation der reinen grossen Terz (5/4) ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das syntonische Komma nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztöne]] einer rein gestimmten [[Durtonleiter]] erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist.)

Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit [[15edo|15-EDO]], [[41edo|41-EDO]] oder [[53edo|53-EDO]], und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei [[19edo]] und [[31edo]] (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenhrmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.

Eine Liste mit Musikbeispiele befindet sich auf dem [[xenharmonic/22edo#Music|englischen xenharmonic wiki.]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;22edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt; - Quinten und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarten&amp;lt;/a&amp;gt; in vergleichbarer Qualität wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonische Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; sowie das &amp;amp;quot;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot; (11/8).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das &amp;lt;em&amp;gt;keine&amp;lt;/em&amp;gt; Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; liefert. Die Quinte von 22-EDO ist &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Charakter, mit einer extrem grossen Terz. Die beste Approximation der reinen grossen Terz (5/4) ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das syntonische Komma nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt; einer rein gestimmten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Durtonleiter"&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; ist.)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41-EDO&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenhrmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine Liste mit Musikbeispiele befindet sich auf dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo#Music"&amp;gt;englischen xenharmonic wiki.&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-12 16:03:26 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner [[Intervall|Intervalle]] - Quinten und [[Quarte|Quarten]] in vergleichbarer Qualität wie [[12edo]], grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die [[Naturseptime|harmonische Septime (7/4)]] sowie das "[[Alphorn-Fa]]" (11/8).

Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das //keine// Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] liefert. Die Quinte von 22-EDO ist //höher// als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter, mit einer extrem grossen Terz. Die beste Approximation der reinen grossen Terz (5/4) ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das syntonische Komma nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztöne]] einer rein gestimmten [[Durtonleiter]] erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist.)

Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit [[15edo|15-EDO]], [[41edo|41-EDO]] oder [[53edo|53-EDO]], und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, zunächst ein bisschen frmdartig wirken kann. Mehr als bei [[19edo]] und [[31edo]] (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenhrmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt; - Quinten und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarten&amp;lt;/a&amp;gt; in vergleichbarer Qualität wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonische Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; sowie das &amp;amp;quot;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot; (11/8).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das &amp;lt;em&amp;gt;keine&amp;lt;/em&amp;gt; Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; liefert. Die Quinte von 22-EDO ist &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Charakter, mit einer extrem grossen Terz. Die beste Approximation der reinen grossen Terz (5/4) ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das syntonische Komma nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt; einer rein gestimmten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Durtonleiter"&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; ist.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41-EDO&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, zunächst ein bisschen frmdartig wirken kann. Mehr als bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenhrmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner [[Intervall|Intervalle]] - Quinten und [[Quarte|Quarten]] in vergleichbarer Qualität wie [[12edo]], grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die [[Naturseptime|harmonische Septime (7/4)]] sowie das "[[Alphorn-Fa]]" (11/8).

Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das //keine// Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] liefert. Die Quinte von 22-EDO ist höher als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter, mit einer extrem grossen Terz. Die beste Approximation der reinen grossen Terz (5/4) ist jedoch einen 22-Schritt tiefer. Das bedeutet, dass das syntonische Komma nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztöne]] einer rein gestimmten [[Durtonleiter]] erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist.)

Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit [[15edo|15-EDO]], [[41edo|41-EDO]] oder [[53edo|53-EDO]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt; - Quinten und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarten&amp;lt;/a&amp;gt; in vergleichbarer Qualität wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonische Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; sowie das &amp;amp;quot;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot; (11/8).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das &amp;lt;em&amp;gt;keine&amp;lt;/em&amp;gt; Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; liefert. Die Quinte von 22-EDO ist höher als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Charakter, mit einer extrem grossen Terz. Die beste Approximation der reinen grossen Terz (5/4) ist jedoch einen 22-Schritt tiefer. Das bedeutet, dass das syntonische Komma nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt; einer rein gestimmten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Durtonleiter"&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; ist.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41-EDO&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic:22edo|22edo]] 

Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner [[Intervall|Intervalle]] - Quinten und [[Quarte|Quarten]] in vergleichbarer Qualität wie [[12edo]], grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die [[Naturseptime|harmonische Septime (7/4)]] sowie das "[[Alphorn-Fa]]" (11/8).

Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das die beiden unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztöne]] einer rein gestimmten [[Durtonleiter]] in unterschiedlicher Größe wiedergeben: 4 3 2 4 3 4 2. Diese Eigenheit teilt es z.B. mit [[15edo|15-EDO]], [[41edo|41-EDO]] oder [[53edo|53-EDO]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt; - Quinten und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarten&amp;lt;/a&amp;gt; in vergleichbarer Qualität wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonische Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; sowie das &amp;amp;quot;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot; (11/8).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das die beiden unterschiedlichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt; einer rein gestimmten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Durtonleiter"&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/a&amp;gt; in unterschiedlicher Größe wiedergeben: 4 3 2 4 3 4 2. Diese Eigenheit teilt es z.B. mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41-EDO&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-12 14:31:02 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic:22edo|22edo]] 

Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner [[Intervall]]e - Quinten und [[Quarte|Quarten]] in vergleichbarer Qualität wie [[12edo]], grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die [[Naturseptime|harmonische Septime (7/4)]] sowie das "[[Alphorn-Fa]]" (11/8).

Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das die beiden unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztöne]] einer rein gestimmten [[Durtonleiter]] in unterschiedlicher Größe wiedergeben: 4 3 2 4 3 4 2. Diese Eigenheit teilt es z.B. mit [[15edo|15-EDO]], [[41edo|41-EDO]] oder [[53edo|53-EDO]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;22edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervall&amp;lt;/a&amp;gt;e - Quinten und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarten&amp;lt;/a&amp;gt; in vergleichbarer Qualität wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonische Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; sowie das &amp;amp;quot;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot; (11/8).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das die beiden unterschiedlichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt; einer rein gestimmten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Durtonleiter"&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/a&amp;gt; in unterschiedlicher Größe wiedergeben: 4 3 2 4 3 4 2. Diese Eigenheit teilt es z.B. mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41-EDO&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic:22edo|22edo]] 

Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner Intervalle - Quinten und Quarten in vergleichbarer Qualität wie [[12edo]], grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die harmonische Septime (7/4) sowie das "Alphorn-Fa" (11/8).

Gleichzeitig ist 22-EDO enes der Systeme, die es erlauben die [[Ganzton|Ganztöne]] einer rein gestimmten [[Durtonleiter]] in Intervalle unterschiedlicher Größe abzubilden: 4 3 2 4 3 4 2. 
Diese Eigenschaft bieten z.B. auch [[15edo|15-EDO]], [[41edo|41-EDO]] oder [[53edo|53-EDO]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;22edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Approximationen für eine Reihe wichtiger reiner Intervalle - Quinten und Quarten in vergleichbarer Qualität wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Approximationen für die harmonische Septime (7/4) sowie das &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot; (11/8).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichzeitig ist 22-EDO enes der Systeme, die es erlauben die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt; einer rein gestimmten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Durtonleiter"&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/a&amp;gt; in Intervalle unterschiedlicher Größe abzubilden: 4 3 2 4 3 4 2. &amp;lt;br /&amp;gt;
Diese Eigenschaft bieten z.B. auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41-EDO&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic:22edo|22edo]] 

== Hinweise ==
22-EDO ist eines der Systeme, die es erlauben die [[Ganzton|Ganztöne]] einer rein gestimmten [[Durtonleiter]] in Intervalle unterschiedlicher Größe abzubilden: 4 3 2 4 3 4 2. 
Diese Eigenschaft bieten z.B. auch [[15edo|15-EDO]], [[41edo|41-EDO]] oder [[53edo|53-EDO]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;22edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Hinweise"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt; Hinweise &amp;lt;/h2&amp;gt;
22-EDO ist eines der Systeme, die es erlauben die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt; einer rein gestimmten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Durtonleiter"&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/a&amp;gt; in Intervalle unterschiedlicher Größe abzubilden: 4 3 2 4 3 4 2. &amp;lt;br /&amp;gt;
Diese Eigenschaft bieten z.B. auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41-EDO&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-10 18:03:36 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic:22edo|22edo]] &lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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      <text bytes="3301" sha1="5zww1adllopccwfit1kox1bfafyfe4g" xml:space="preserve">&lt;span style="display: block; text-align: right;"&gt;[[:en:22edo|English]] - [[:en:22平均律|日本語]]&lt;/span&gt;

Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Näherungen für eine Reihe wichtiger reiner [[Intervall|Intervalle]] - Quinten und [[Quarte|Quarten]] in vergleichbarer Qualität wie [[12edo|12edo]], grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Näherungen für die [[Naturseptime|harmonische Septime (7/4)]] sowie das "[[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]]" (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der attraktivsten Kandidaten.

Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das ''keine'' Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] liefert. Die Quinte von 22-EDO ist ''höher'' als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter, mit einer extrem grossen Terz, die eher 9/7 ähnelt als der reinen grossen Terz 5/4 oder der pythagoräischen grossen Terz 81/64. Die beste Approximation der reinen grossen Terz 5/4 ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das [[Syntonisches_Komma|syntonische Komma]] nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztöne]] einer rein gestimmten [[Durtonleiter|Durtonleiter]] erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist.)

[[File:22edomajor1.mp3]]

Approximation einer reinen Durtonleiter in 22edo

Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit [[15edo|15-EDO]], [[41edo|41-EDO]] oder [[53edo|53-EDO]], und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei [[19edo|19edo]] und [[31edo|31edo]] (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.

Eine relativ einfache Alternative zur mitteltönigen Temperatur und ein guter Einstiegspunkt für 22edo ist die [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Andere wichtige reguläre Temperaturen, die 22edo unterstützt, sind [[Pajara|Pajara]], [[Magische_Temperaturen|magisch]] und [[Orwell|Orwell]].

[[File:porcupineotonalmajor22edo.mp3]]

&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;"Obertonaler" Dur-Modus von Porcupine (Lssssss) in 22edo-Stimmung&lt;/span&gt;

[[File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3]]

&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;Symmetrischer Moll-Modus von Porcupine (sssLsss) in 22edo-Stimmung&lt;/span&gt;

[[File:pajarastandardpentachordmajor22edo.mp3]]

&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;Dekatonische Pajara-Durskala (ssLsssLsss) in 22edo-Stimmung&lt;/span&gt;

Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:

[[:en:22edo_Modes|xenharmonic/22edo Modes]]

[[:en:22edo_tetrachords|xenharmonic/22edo tetrachords]]

Musikbeispiele: [[:en:22edo-Music|xenharmonic/22edo#Music]]

Eine lebendige Diskussionsgruppe zur Zweiundzwanzigtonstimmung (in englischer Sprache) ist die [https://www.facebook.com/groups/370122423186931/ 22-Tone Workgroup auf Facebook].  [[Category:edo]]</text>
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        <username>Xenwolf</username>
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}}

Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Näherungen für eine Reihe wichtiger reiner [[Intervall|Intervalle]] - Quinten und [[Quarte|Quarten]] in vergleichbarer Qualität wie [[12edo|12edo]], grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Näherungen für die [[Naturseptime|harmonische Septime (7/4)]] sowie das "[[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]]" (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der attraktivsten Kandidaten.

Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das ''keine'' Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] liefert. Die Quinte von 22-EDO ist ''höher'' als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter, mit einer extrem grossen Terz, die eher 9/7 ähnelt als der reinen grossen Terz 5/4 oder der pythagoräischen grossen Terz 81/64. Die beste Approximation der reinen grossen Terz 5/4 ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das [[Syntonisches_Komma|syntonische Komma]] nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztöne]] einer rein gestimmten [[Durtonleiter|Durtonleiter]] erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist.)

[[File:22edomajor1.mp3]]

Approximation einer reinen Durtonleiter in 22edo

Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit [[15edo|15-EDO]], [[41edo|41-EDO]] oder [[53edo|53-EDO]], und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei [[19edo|19edo]] und [[31edo|31edo]] (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.

Eine relativ einfache Alternative zur mitteltönigen Temperatur und ein guter Einstiegspunkt für 22edo ist die [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Andere wichtige reguläre Temperaturen, die 22edo unterstützt, sind [[Pajara|Pajara]], [[Magische_Temperaturen|magisch]] und [[Orwell|Orwell]].

[[File:porcupineotonalmajor22edo.mp3]]

&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;"Obertonaler" Dur-Modus von Porcupine (Lssssss) in 22edo-Stimmung&lt;/span&gt;

[[File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3]]

&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;Symmetrischer Moll-Modus von Porcupine (sssLsss) in 22edo-Stimmung&lt;/span&gt;

[[File:pajarastandardpentachordmajor22edo.mp3]]

&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;Dekatonische Pajara-Durskala (ssLsssLsss) in 22edo-Stimmung&lt;/span&gt;

Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:

[[:en:22edo_Modes|xenharmonic/22edo Modes]]

[[:en:22edo_tetrachords|xenharmonic/22edo tetrachords]]

Musikbeispiele: [[:en:22edo-Music|xenharmonic/22edo#Music]]

Eine lebendige Diskussionsgruppe zur Zweiundzwanzigtonstimmung (in englischer Sprache) ist die [https://www.facebook.com/groups/370122423186931/ 22-Tone Workgroup auf Facebook].  [[Category:edo]]</text>
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| de = 22edo
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| ja = 22平均律
}}
Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Näherungen für eine Reihe wichtiger reiner [[Intervall|Intervalle]] - Quinten und [[Quarte|Quarten]] in vergleichbarer Qualität wie [[12edo|12edo]], grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Näherungen für die [[Naturseptime|harmonische Septime (7/4)]] sowie das "[[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]]" (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der attraktivsten Kandidaten.

Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das ''keine'' Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] liefert. Die Quinte von 22-EDO ist ''höher'' als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter, mit einer extrem grossen Terz, die eher 9/7 ähnelt als der reinen grossen Terz 5/4 oder der pythagoräischen grossen Terz 81/64. Die beste Approximation der reinen grossen Terz 5/4 ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das [[Syntonisches_Komma|syntonische Komma]] nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztöne]] einer rein gestimmten [[Durtonleiter|Durtonleiter]] erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist.)

[[File:22edomajor1.mp3]]

Approximation einer reinen Durtonleiter in 22edo

Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit [[15edo|15-EDO]], [[41edo|41-EDO]] oder [[53edo|53-EDO]], und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei [[19edo|19edo]] und [[31edo|31edo]] (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.

Eine relativ einfache Alternative zur mitteltönigen Temperatur und ein guter Einstiegspunkt für 22edo ist die [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Andere wichtige reguläre Temperaturen, die 22edo unterstützt, sind [[Pajara|Pajara]], [[Magische_Temperaturen|magisch]] und [[Orwell|Orwell]].

[[File:porcupineotonalmajor22edo.mp3]]

&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;"Obertonaler" Dur-Modus von Porcupine (Lssssss) in 22edo-Stimmung&lt;/span&gt;

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&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;Symmetrischer Moll-Modus von Porcupine (sssLsss) in 22edo-Stimmung&lt;/span&gt;

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&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;Dekatonische Pajara-Durskala (ssLsssLsss) in 22edo-Stimmung&lt;/span&gt;

Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:

[[:en:22edo_Modes|xenharmonic/22edo Modes]]

[[:en:22edo_tetrachords|xenharmonic/22edo tetrachords]]

Musikbeispiele: [[:en:22edo-Music|xenharmonic/22edo#Music]]

Eine lebendige Diskussionsgruppe zur Zweiundzwanzigtonstimmung (in englischer Sprache) ist die [https://www.facebook.com/groups/370122423186931/ 22-Tone Workgroup auf Facebook].  [[Category:edo]]</text>
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Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Näherungen für eine Reihe wichtiger reiner [[Intervall|Intervalle]] - Quinten und [[Quarte|Quarten]] in vergleichbarer Qualität wie [[12edo|12edo]], grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Näherungen für die [[Naturseptime|harmonische Septime (7/4)]] sowie das "[[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]]" (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der attraktivsten Kandidaten.

Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das ''keine'' Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] liefert. Die Quinte von 22-EDO ist ''höher'' als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter, mit einer extrem grossen Terz, die eher 9/7 ähnelt als der reinen grossen Terz 5/4 oder der pythagoräischen grossen Terz 81/64. Die beste Approximation der reinen grossen Terz 5/4 ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das [[Syntonisches_Komma|syntonische Komma]] nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztöne]] einer rein gestimmten [[Durtonleiter|Durtonleiter]] erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist.)

[[File:22edomajor1.mp3]]

Approximation einer reinen Durtonleiter in 22edo

Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit [[15edo|15-EDO]], [[41edo|41-EDO]] oder [[53edo|53-EDO]], und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei [[19edo|19edo]] und [[31edo|31edo]] (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.

Eine relativ einfache Alternative zur mitteltönigen Temperatur und ein guter Einstiegspunkt für 22edo ist die [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Andere wichtige reguläre Temperaturen, die 22edo unterstützt, sind [[Pajara|Pajara]], [[Magische_Temperaturen|magisch]] und [[Orwell|Orwell]].

[[File:porcupineotonalmajor22edo.mp3]]

&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;"Obertonaler" Dur-Modus von Porcupine (Lssssss) in 22edo-Stimmung&lt;/span&gt;

[[File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3]]

&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;Symmetrischer Moll-Modus von Porcupine (sssLsss) in 22edo-Stimmung&lt;/span&gt;

[[File:pajarastandardpentachordmajor22edo.mp3]]

&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;Dekatonische Pajara-Durskala (ssLsssLsss) in 22edo-Stimmung&lt;/span&gt;

Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:

[[:en:22edo_Modes|xenharmonic/22edo Modes]]

[[:en:22edo_tetrachords|xenharmonic/22edo tetrachords]]

Musikbeispiele: [[:en:22edo-Music|xenharmonic/22edo#Music]]

Eine lebendige Diskussionsgruppe zur Zweiundzwanzigtonstimmung (in englischer Sprache) ist die [https://www.facebook.com/groups/370122423186931/ 22-Tone Workgroup auf Facebook].  

[[Kategorie::EDO]]</text>
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}}
Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Näherungen für eine Reihe wichtiger reiner [[Intervall|Intervalle]] - Quinten und [[Quarte|Quarten]] in vergleichbarer Qualität wie [[12edo|12edo]], grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Näherungen für die [[Naturseptime|harmonische Septime (7/4)]] sowie das "[[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]]" (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der attraktivsten Kandidaten.

Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das ''keine'' Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] liefert. Die Quinte von 22-EDO ist ''höher'' als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter, mit einer extrem grossen Terz, die eher 9/7 ähnelt als der reinen grossen Terz 5/4 oder der pythagoräischen grossen Terz 81/64. Die beste Approximation der reinen grossen Terz 5/4 ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das [[Syntonisches_Komma|syntonische Komma]] nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztöne]] einer rein gestimmten [[Durtonleiter|Durtonleiter]] erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist.)

[[File:22edomajor1.mp3]]

Approximation einer reinen Durtonleiter in 22edo

Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit [[15edo|15-EDO]], [[41edo|41-EDO]] oder [[53edo|53-EDO]], und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei [[19edo|19edo]] und [[31edo|31edo]] (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.

Eine relativ einfache Alternative zur mitteltönigen Temperatur und ein guter Einstiegspunkt für 22edo ist die [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Andere wichtige reguläre Temperaturen, die 22edo unterstützt, sind [[Pajara|Pajara]], [[Magische_Temperaturen|magisch]] und [[Orwell|Orwell]].

[[File:porcupineotonalmajor22edo.mp3]]

&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;"Obertonaler" Dur-Modus von Porcupine (Lssssss) in 22edo-Stimmung&lt;/span&gt;

[[File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3]]

&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;Symmetrischer Moll-Modus von Porcupine (sssLsss) in 22edo-Stimmung&lt;/span&gt;

[[File:pajarastandardpentachordmajor22edo.mp3]]

&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;Dekatonische Pajara-Durskala (ssLsssLsss) in 22edo-Stimmung&lt;/span&gt;

Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:

[[:en:22edo_Modes|xenharmonic/22edo Modes]]

[[:en:22edo_tetrachords|xenharmonic/22edo tetrachords]]

Musikbeispiele: [[:en:22edo-Music|xenharmonic/22edo#Music]]

Eine lebendige Diskussionsgruppe zur Zweiundzwanzigtonstimmung (in englischer Sprache) ist die [https://www.facebook.com/groups/370122423186931/ 22-Tone Workgroup auf Facebook].  

[[Kategorie::EDO]]</text>
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Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Näherungen für eine Reihe wichtiger reiner [[Intervall|Intervalle]] - Quinten und [[Quarte|Quarten]] in vergleichbarer Qualität wie [[12edo|12edo]], grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Näherungen für die [[Naturseptime|harmonische Septime (7/4)]] sowie das "[[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]]" (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22edo ohne Zweifel einer der attraktivsten Kandidaten.

Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das ''keine'' Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] liefert. Die Quinte von 22-EDO ist ''höher'' als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter, mit einer extrem grossen Terz, die eher 9/7 ähnelt als der reinen grossen Terz 5/4 oder der pythagoräischen grossen Terz 81/64. Die beste Approximation der reinen grossen Terz 5/4 ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das [[Syntonisches_Komma|syntonische Komma]] nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztöne]] einer rein gestimmten [[Durtonleiter|Durtonleiter]] erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist.)

[[File:22edomajor1.mp3]]

Approximation einer reinen Durtonleiter in 22edo

Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit [[15edo|15-EDO]], [[41edo|41-EDO]] oder [[53edo|53-EDO]], und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei [[19edo|19edo]] und [[31edo|31edo]] (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22edo gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.

Eine relativ einfache Alternative zur mitteltönigen Temperatur und ein guter Einstiegspunkt für 22edo ist die [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Andere wichtige reguläre Temperaturen, die 22edo unterstützt, sind [[Pajara|Pajara]], [[Magische_Temperaturen|magisch]] und [[Orwell|Orwell]].

[[File:porcupineotonalmajor22edo.mp3]]

&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;"Obertonaler" Dur-Modus von Porcupine (Lssssss) in 22edo-Stimmung&lt;/span&gt;

[[File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3]]

&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;Symmetrischer Moll-Modus von Porcupine (sssLsss) in 22edo-Stimmung&lt;/span&gt;

[[File:pajarastandardpentachordmajor22edo.mp3]]

&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;Dekatonische Pajara-Durskala (ssLsssLsss) in 22edo-Stimmung&lt;/span&gt;

Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:

[[:en:22edo_Modes|xenharmonic/22edo Modes]]

[[:en:22edo_tetrachords|xenharmonic/22edo tetrachords]]

Musikbeispiele: [[:en:22edo-Music|xenharmonic/22edo#Music]]

Eine lebendige Diskussionsgruppe zur Zweiundzwanzigtonstimmung (in englischer Sprache) ist die [https://www.facebook.com/groups/370122423186931/ 22-Tone Workgroup auf Facebook].  

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'''22-EDO''' teilt die Oktave in 22 gleiche Stufen von ungefähr 54.5 [[Cent]]. Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Näherungen für eine Reihe wichtiger reiner [[Intervall|Intervalle]] - Quinten und [[Quarte|Quarten]] in vergleichbarer Qualität wie [[12-EDO]], grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Näherungen für die [[Naturseptime|harmonische Septime (7/4)]] sowie das "[[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]]" (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22-EDO ohne Zweifel einer der attraktivsten Kandidaten.

Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das ''keine'' Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] liefert. Die Quinte von 22-EDO ist ''höher'' als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter, mit einer extrem grossen Terz, die eher 9/7 ähnelt als der reinen grossen Terz 5/4 oder der pythagoräischen grossen Terz 81/64. Die beste Approximation der reinen grossen Terz 5/4 ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das [[Syntonisches_Komma|syntonische Komma]] nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztöne]] einer rein gestimmten [[Durtonleiter|Durtonleiter]] erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist.)

[[File:22edomajor1.mp3]]

Approximation einer reinen Durtonleiter in 22-EDO

Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit [[15-EDO]], [[41-EDO]] oder [[53-EDO]], und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei [[19-EDO]] und [[31-EDO]] (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22-EDO gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.

Eine relativ einfache Alternative zur mitteltönigen Temperatur und ein guter Einstiegspunkt für 22-EDO ist die [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Andere wichtige reguläre Temperaturen, die 22-EDO unterstützt, sind [[Pajara|Pajara]], [[Magische_Temperaturen|magisch]] und [[Orwell|Orwell]].

[[File:porcupineotonalmajor22edo.mp3]]

&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;"Obertonaler" Dur-Modus von Porcupine (Lssssss) in 22edo-Stimmung&lt;/span&gt;

[[File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3]]

&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;Symmetrischer Moll-Modus von Porcupine (sssLsss) in 22-EDO-Stimmung&lt;/span&gt;

[[File:pajarastandardpentachordmajor22edo.mp3]]

&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;Dekatonische Pajara-Durskala (ssLsssLsss) in 22-EDO-Stimmung&lt;/span&gt;

Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:

[[:en:22edo_Modes|xenharmonic/22edo Modes]]

[[:en:22edo_tetrachords|xenharmonic/22edo tetrachords]]

Musikbeispiele: [[:en:22edo-Music|xenharmonic/22edo#Music]]

Eine lebendige Diskussionsgruppe zur Zweiundzwanzigtonstimmung (in englischer Sprache) ist die [https://www.facebook.com/groups/370122423186931/ 22-Tone Workgroup auf Facebook].  

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'''22-EDO''' teilt die Oktave in 22 gleiche Stufen von ungefähr 54.5 [[Cent]]. Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Näherungen für eine Reihe wichtiger reiner [[Intervall|Intervalle]] - Quinten und [[Quarte|Quarten]] in vergleichbarer Qualität wie [[12-EDO]], grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Näherungen für die [[Naturseptime|harmonische Septime (7/4)]] sowie das "[[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]]" (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22-EDO ohne Zweifel einer der attraktivsten Kandidaten.

Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das ''keine'' Realisierung der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] liefert. Die Quinte von 22-EDO ist ''höher'' als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter, mit einer extrem grossen Terz, die eher 9/7 ähnelt als der reinen grossen Terz 5/4 oder der pythagoräischen grossen Terz 81/64. Die beste Approximation der reinen grossen Terz 5/4 ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das [[Syntonisches_Komma|syntonische Komma]] nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztöne]] einer rein gestimmten [[Durtonleiter|Durtonleiter]] erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist.)

[[File:22edomajor1.mp3]]

Approximation einer reinen Durtonleiter in 22-EDO

Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit [[15-EDO]], [[41-EDO]] oder [[53-EDO]], und sie hat zur Folge, dass dieses Tonsystem für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei [[19-EDO]] und [[31-EDO]] (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22-EDO gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.

Eine relativ einfache Alternative zur mitteltönigen Temperatur und ein guter Einstiegspunkt für 22-EDO ist die [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Andere wichtige reguläre Temperaturen, die 22-EDO unterstützt, sind [[Pajara|Pajara]], [[Magische_Temperaturen|magisch]] und [[Orwell|Orwell]].

[[File:porcupineotonalmajor22edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus von Porcupine (Lssssss) in 22edo-Stimmung

[[File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3]]

Symmetrischer Moll-Modus von Porcupine (sssLsss) in 22-EDO-Stimmung

[[File:pajarastandardpentachordmajor22edo.mp3]]

Dekatonische Pajara-Durskala (ssLsssLsss) in 22-EDO-Stimmung

Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:

[[:en:22edo_Modes|xenharmonic/22edo Modes]]

[[:en:22edo_tetrachords|xenharmonic/22edo tetrachords]]

Musikbeispiele: [[:en:22edo-Music|xenharmonic/22edo#Music]]

Eine lebendige Diskussionsgruppe zur Zweiundzwanzigtonstimmung (in englischer Sprache) ist die [https://www.facebook.com/groups/370122423186931/ 22-Tone Workgroup auf Facebook].  

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      <text bytes="3100" sha1="jnjlxyohffzvpjedxyfmz68w79roriv" xml:space="preserve">{{interwiki
| de = 22-EDO
| en = 22edo
| es = 
| ja = 22平均律
}}
'''22-EDO''' teilt die Oktave in 22 gleiche Stufen von ungefähr 54.5 [[Cent]]. Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Näherungen für eine Reihe wichtiger reiner [[Intervall]]e - Quinten und [[Quarte]]n in vergleichbarer Qualität wie [[12-EDO]], grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Näherungen für die [[Naturseptime|harmonische Septime (7/4)]] sowie das "[[Alphorn-Fa]]" (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22-EDO ohne Zweifel einer der attraktivsten Kandidaten.

Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das ''keine'' Realisierung der [[mitteltönig]]en Temperatur liefert. Die Quinte von 22-EDO ist ''höher'' als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter, mit einer extrem grossen Terz, die eher 9/7 ähnelt als der reinen grossen Terz 5/4 oder der pythagoräischen grossen Terz 81/64. Die beste Approximation der reinen grossen Terz 5/4 ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztöne]] einer rein gestimmten [[Durtonleiter|Durtonleiter]] erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine [[MOS-Skala]] ist.)

[[File:22edomajor1.mp3]]

Approximation einer reinen Durtonleiter in 22-EDO

Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit [[15-EDO]], [[41-EDO]] oder [[53-EDO]], und sie hat zur Folge, dass dieses [[Tonsystem]] für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei [[19-EDO]] und [[31-EDO]] (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22-EDO gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.

Eine relativ einfache Alternative zur mitteltönigen Temperatur und ein guter Einstiegspunkt für 22-EDO ist die [[Porcupine]]-Temperatur. Andere wichtige reguläre Temperaturen, die 22-EDO unterstützt, sind [[Pajara]], [[Magische Temperaturen|magisch]] und [[Orwell]].

[[File:porcupineotonalmajor22edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus von Porcupine (Lssssss) in 22edo-Stimmung

[[File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3]]

Symmetrischer Moll-Modus von Porcupine (sssLsss) in 22-EDO-Stimmung

[[File:pajarastandardpentachordmajor22edo.mp3]]

Dekatonische Pajara-Durskala (ssLsssLsss) in 22-EDO-Stimmung

Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:

[[:en:22edo_Modes|xenharmonic/22edo Modes]]

[[:en:22edo_tetrachords|xenharmonic/22edo tetrachords]]

Musikbeispiele: [[:en:22edo-Music|xenharmonic/22edo#Music]]

Eine lebendige Diskussionsgruppe zur Zweiundzwanzigtonstimmung (in englischer Sprache) ist die [https://www.facebook.com/groups/370122423186931/ 22-Tone Workgroup auf Facebook].  

[[Kategorie:EDO]]</text>
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| en = 22edo
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| ja = 22平均律
}}
'''22-EDO''' teilt die Oktave in 22 gleiche Stufen von ungefähr 54.5 [[Cent]]. Die Unterteilung der Oktave in 22 gleiche Teile liefert gute Näherungen für eine Reihe wichtiger reiner [[Intervall]]e - Quinten und [[Quarte]]n in vergleichbarer Qualität wie [[12-EDO]], grosse Terzen sogar ein Stück besser und insbesondere gute Näherungen für die [[Naturseptime|harmonische Septime (7/4)]] sowie das "[[Alphorn-Fa]]" (11/8). Wenn ein System gesucht wird, das bei überschaubarer Grösse möglichst vielfältige konsonante Intervalle zur Verfügung stellen soll, ist 22-EDO ohne Zweifel einer der attraktivsten Kandidaten.

Gleichzeitig ist 22-EDO ein System, das ''keine'' Realisierung der [[mitteltönig]]en Temperatur liefert. Die Quinte von 22-EDO ist ''höher'' als die reine Quinte, aus Quintenschichtungen gebildete Skalen haben [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter, mit einer extrem grossen Terz, die eher 9/7 ähnelt als der reinen grossen Terz 5/4 oder der pythagoräischen grossen Terz 81/64. Die beste Approximation der reinen grossen Terz 5/4 ist jedoch einen 22-Schritt tiefer als die superpythagoräische. Das bedeutet, dass das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] nicht austemperiert wird - die beiden unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztöne]] einer rein gestimmten [[Durtonleiter|Durtonleiter]] erscheinen in unterschiedlicher Größe: 4 3 2 4 3 4 2. (Man beachte auch, dass dies keine [[MOS-Skala]] ist.)

[[File:22edomajor1.mp3]]

Approximation einer reinen Durtonleiter in 22-EDO

Diese Eigenheit teilt 22-EDO z.B. mit [[15-EDO]], [[41-EDO]] oder [[53-EDO]], und sie hat zur Folge, dass dieses [[Tonsystem]] für jemanden, der an die klassisch-westliche Musik gewohnt ist, trotz der vertrauten konsonanten Intervalle zunächst ein bisschen fremdartig wirken kann. Ein Stück mehr als bei [[19-EDO]] und [[31-EDO]] (welche mitteltönige Systeme sind) ist der Xenharmoniker bei 22-EDO gezwungen, Neuland zu beschreiten. - was natürlich umgekehrt sehr spannend sein kann.

Eine relativ einfache Alternative zur mitteltönigen Temperatur und ein guter Einstiegspunkt für 22-EDO ist die [[Porcupine]]-Temperatur. Andere wichtige reguläre Temperaturen, die 22-EDO unterstützt, sind [[Pajara]], [[Magische Temperaturen|magisch, Astrology]] und [[Orwell]].

[[File:porcupineotonalmajor22edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus von Porcupine (Lssssss) in 22edo-Stimmung

[[File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3]]

Symmetrischer Moll-Modus von Porcupine (sssLsss) in 22-EDO-Stimmung

[[File:pajarastandardpentachordmajor22edo.mp3]]

Dekatonische Pajara-Durskala (ssLsssLsss) in 22-EDO-Stimmung

Für eine Reihe anderer Möglichkeiten siehe unter anderem:

[[:en:22edo_Modes|xenharmonic/22edo Modes]]

[[:en:22edo_tetrachords|xenharmonic/22edo tetrachords]]

Musikbeispiele: [[:en:22edo-Music|xenharmonic/22edo#Music]]

Eine lebendige Diskussionsgruppe zur Zweiundzwanzigtonstimmung (in englischer Sprache) ist die [https://www.facebook.com/groups/370122423186931/ 22-Tone Workgroup auf Facebook].  

[[Kategorie:EDO]]</text>
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Deutschsprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Viertelton-Musik Viertelton-Musik (Wikipedia)]

Die Unterteilung der Oktave in 24 gleiche Teile ist das am weitesten verbreitete xenharmonische/mikrotonale Tonsystem. Vom westlichen Tonsystem ausgehend ist es wohl die naheliegendste und einfachste Idee, die bisherige kleinste Einheit ihrerseits in 2 Teile zu teilen. Alle vertrauten Intervalle von 12edo bleiben erhalten, und nicht zuletzt können Kompositionen in 24edo auf konventionellen Instrumenten gespielt werden - man benötigt allenfalls 2 Instrumente, die um einen Viertelton gegeneinander verstimmt sind.

In Bezug auf die Approximation [[Reine_Stimmungen|reiner Intervalle]] ist zu sagen, dass die traditionellen 5-[[Limit|Limit]]-Intervalle, also insbesondere Quinten, Quarten und Terzen, in 24edo genau gleich gut bzw.gleich schlecht repräsentiert sind wie in 12edo. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und andere 7-Limit-Intervalle erscheinen in 24edo auf anderen Tonhöhen als in 12edo, jedoch nicht wesentlich besser angenähert. Xenharmoniker, die Wert auf konsonante Intervalle legen, werden deshalb ggf. lieber mit [[22edo|22edo]] arbeiten, in welchem die Quinte vergleichbar gut, die grosse Terz leicht besser und die Naturseptime deutlich besser repräsentiert sind (und das erst noch mit weniger Tönen) - oder aber sie werden gleich auf [[31edo|31edo]] wechseln, welches mit moderat mehr Tönen deutlich bessere Approximationen für eine große Anzahl reiner Intervalle bietet. Wenn mehr Konsonanz in 5- und 7-Limit bei gleichzeitiger Verfügbarkeit der 12edo-Intervalle gewünscht wird, ist der nächste valable Kandidat erst [[72edo|72edo]].

24edo bietet jedoch eine gute Unterstützung für 11-Limit-Intervalle, namentlich das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]] sowie die neutralen Sekunden 12/11 und 11/10 (beide durch dasselbe Intervall angenähert). Die Verfügbarkeit einer neutralen Sekunde macht es auch geeignet für die Approximation [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]] Skalen - es ist eine mögliche Realisation der [[maqamisch|maqamischen]] bzw. [[Mohajira|Mohajira]]-Temperatur. Weitere unterstützte [[Reguläre_Temperaturen|reguläre Temperaturen]] sind [[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Semiphor/Godzilla]].  [[Category:edo]]</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2018-01-01 05:00:00 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;624334473&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/24edo|English]] - [[xenharmonic/24平均律|日本語]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
Deutschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Viertelton-Musik|Viertelton-Musik (Wikipedia)]]

Die Unterteilung der Oktave in 24 gleiche Teile ist das am weitesten verbreitete xenharmonische/mikrotonale Tonsystem. Vom westlichen Tonsystem ausgehend ist es wohl die naheliegendste und einfachste Idee, die bisherige kleinste Einheit ihrerseits in 2 Teile zu teilen. Alle vertrauten Intervalle von 12edo bleiben erhalten, und nicht zuletzt können Kompositionen in 24edo auf konventionellen Instrumenten gespielt werden - man benötigt allenfalls 2 Instrumente, die um einen Viertelton gegeneinander verstimmt sind.

In Bezug auf die Approximation [[Reine Stimmungen|reiner Intervalle]] ist zu sagen, dass die traditionellen 5-[[Limit]]-Intervalle, also insbesondere Quinten, Quarten und Terzen, in 24edo genau gleich gut bzw.gleich schlecht repräsentiert sind wie in 12edo. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und andere 7-Limit-Intervalle erscheinen in 24edo auf anderen Tonhöhen als in 12edo, jedoch nicht wesentlich besser angenähert. Xenharmoniker, die Wert auf konsonante Intervalle legen, werden deshalb ggf. lieber mit [[22edo]] arbeiten, in welchem die Quinte vergleichbar gut, die grosse Terz leicht besser und die Naturseptime deutlich besser repräsentiert sind (und das erst noch mit weniger Tönen) - oder aber sie werden gleich auf [[31edo]] wechseln, welches mit moderat mehr Tönen deutlich bessere Approximationen für eine große Anzahl reiner Intervalle bietet. Wenn mehr Konsonanz in 5- und 7-Limit bei gleichzeitiger Verfügbarkeit der 12edo-Intervalle gewünscht wird, ist der nächste valable Kandidat erst [[72edo]].

24edo bietet jedoch eine gute Unterstützung für 11-Limit-Intervalle, namentlich das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]] sowie die neutralen Sekunden 12/11 und 11/10 (beide durch dasselbe Intervall angenähert). Die Verfügbarkeit einer neutralen Sekunde macht es auch geeignet für die Approximation [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischer]] Skalen - es ist eine mögliche Realisation der [[maqamisch|maqamischen]] bzw. [[Mohajira]]-Temperatur. Weitere unterstützte [[reguläre Temperaturen]] sind [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semiphor/Godzilla]].  &lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Deutschsprachige Einführung:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Viertelton-Musik" rel="nofollow"&amp;gt;Viertelton-Musik (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Unterteilung der Oktave in 24 gleiche Teile ist das am weitesten verbreitete xenharmonische/mikrotonale Tonsystem. Vom westlichen Tonsystem ausgehend ist es wohl die naheliegendste und einfachste Idee, die bisherige kleinste Einheit ihrerseits in 2 Teile zu teilen. Alle vertrauten Intervalle von 12edo bleiben erhalten, und nicht zuletzt können Kompositionen in 24edo auf konventionellen Instrumenten gespielt werden - man benötigt allenfalls 2 Instrumente, die um einen Viertelton gegeneinander verstimmt sind.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In Bezug auf die Approximation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt; ist zu sagen, dass die traditionellen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-Intervalle, also insbesondere Quinten, Quarten und Terzen, in 24edo genau gleich gut bzw.gleich schlecht repräsentiert sind wie in 12edo. Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; und andere 7-Limit-Intervalle erscheinen in 24edo auf anderen Tonhöhen als in 12edo, jedoch nicht wesentlich besser angenähert. Xenharmoniker, die Wert auf konsonante Intervalle legen, werden deshalb ggf. lieber mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; arbeiten, in welchem die Quinte vergleichbar gut, die grosse Terz leicht besser und die Naturseptime deutlich besser repräsentiert sind (und das erst noch mit weniger Tönen) - oder aber sie werden gleich auf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; wechseln, welches mit moderat mehr Tönen deutlich bessere Approximationen für eine große Anzahl reiner Intervalle bietet. Wenn mehr Konsonanz in 5- und 7-Limit bei gleichzeitiger Verfügbarkeit der 12edo-Intervalle gewünscht wird, ist der nächste valable Kandidat erst &amp;lt;a class="wiki_link" href="/72edo"&amp;gt;72edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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24edo bietet jedoch eine gute Unterstützung für 11-Limit-Intervalle, namentlich das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa 11/8&amp;lt;/a&amp;gt; sowie die neutralen Sekunden 12/11 und 11/10 (beide durch dasselbe Intervall angenähert). Die Verfügbarkeit einer neutralen Sekunde macht es auch geeignet für die Approximation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen - es ist eine mögliche Realisation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/maqamisch"&amp;gt;maqamischen&amp;lt;/a&amp;gt; bzw. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mohajira"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur. Weitere unterstützte &amp;lt;a class="wiki_link" href="/regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Semiphor%2C%20Semaphor%2C%20Godzilla"&amp;gt;Semiphor/Godzilla&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Deutschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Viertelton-Musik|Viertelton-Musik (Wikipedia)]]

Die Unterteilung der Oktave in 24 gleiche Teile ist das am weitesten verbreitete xenharmonische/mikrotonale Tonsystem. Vom westlichen Tonsystem ausgehend ist es wohl die naheliegendste und einfachste Idee, die bisherige kleinste Einheit ihrerseits in 2 Teile zu teilen. Alle vertrauten Intervalle von 12edo bleiben erhalten, und nicht zuletzt können Kompositionen in 24edo auf konventionellen Instrumenten gespielt werden - man benötigt allenfalls 2 Instrumente, die um einen Viertelton gegeneinander verstimmt sind.

In Bezug auf die Approximation [[Reine Stimmungen|reiner Intervalle]] ist zu sagen, dass die traditionellen 5-[[Limit]]-Intervalle, also insbesondere Quinten, Quarten und Terzen, in 24edo genau gleich gut bzw.gleich schlecht repräsentiert sind wie in 12edo. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und andere 7-Limit-Intervalle erscheinen in 24edo auf anderen Tonhöhen als in 12edo, jedoch nicht wesentlich besser angenähert. Xenharmoniker, die Wert auf konsonante Intervalle legen, werden deshalb ggf. lieber mit [[22edo]] arbeiten, in welchem die Quinte vergleichbar gut, die grosse Terz leicht besser und die Naturseptime deutlich besser repräsentiert sind (und das erst noch mit weniger Tönen) - oder aber sie werden gleich auf [[31edo]] wechseln, welches mit moderat mehr Tönen deutlich bessere Approximationen für eine große Anzahl reiner Intervalle bietet. Wenn mehr Konsonanz in 5- und 7-Limit bei gleichzeitiger Verfügbarkeit der 12edo-Intervalle gewünscht wird, ist der nächste valable Kandidat erst [[72edo]].

24edo bietet jedoch eine gute Unterstützung für 11-Limit-Intervalle, namentlich das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]] sowie die neutralen Sekunden 12/11 und 11/10 (beide durch dasselbe Intervall angenähert). Die Verfügbarkeit einer neutralen Sekunde macht es auch geeignet für die Approximation [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischer]] Skalen (es ist eine mögliche Realisation der [[maqamisch|maqamischen]] bzw. [[Mohajira]]-Temperatur).&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Deutschsprachige Einführung:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Viertelton-Musik" rel="nofollow"&amp;gt;Viertelton-Musik (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 24 gleiche Teile ist das am weitesten verbreitete xenharmonische/mikrotonale Tonsystem. Vom westlichen Tonsystem ausgehend ist es wohl die naheliegendste und einfachste Idee, die bisherige kleinste Einheit ihrerseits in 2 Teile zu teilen. Alle vertrauten Intervalle von 12edo bleiben erhalten, und nicht zuletzt können Kompositionen in 24edo auf konventionellen Instrumenten gespielt werden - man benötigt allenfalls 2 Instrumente, die um einen Viertelton gegeneinander verstimmt sind.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In Bezug auf die Approximation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt; ist zu sagen, dass die traditionellen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-Intervalle, also insbesondere Quinten, Quarten und Terzen, in 24edo genau gleich gut bzw.gleich schlecht repräsentiert sind wie in 12edo. Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; und andere 7-Limit-Intervalle erscheinen in 24edo auf anderen Tonhöhen als in 12edo, jedoch nicht wesentlich besser angenähert. Xenharmoniker, die Wert auf konsonante Intervalle legen, werden deshalb ggf. lieber mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; arbeiten, in welchem die Quinte vergleichbar gut, die grosse Terz leicht besser und die Naturseptime deutlich besser repräsentiert sind (und das erst noch mit weniger Tönen) - oder aber sie werden gleich auf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; wechseln, welches mit moderat mehr Tönen deutlich bessere Approximationen für eine große Anzahl reiner Intervalle bietet. Wenn mehr Konsonanz in 5- und 7-Limit bei gleichzeitiger Verfügbarkeit der 12edo-Intervalle gewünscht wird, ist der nächste valable Kandidat erst &amp;lt;a class="wiki_link" href="/72edo"&amp;gt;72edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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24edo bietet jedoch eine gute Unterstützung für 11-Limit-Intervalle, namentlich das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa 11/8&amp;lt;/a&amp;gt; sowie die neutralen Sekunden 12/11 und 11/10 (beide durch dasselbe Intervall angenähert). Die Verfügbarkeit einer neutralen Sekunde macht es auch geeignet für die Approximation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen (es ist eine mögliche Realisation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/maqamisch"&amp;gt;maqamischen&amp;lt;/a&amp;gt; bzw. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mohajira"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur).&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Deutschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Viertelton-Musik|Viertelton-Musik (Wikipedia)]]


Die Unterteilung der Oktave in 24 gleiche Teile ist das am weitesten verbreitete xenharmonische/mikrotonale Tonsystem. Vom westlichen Tonsystem ausgehend ist es wohl die naheliegendste und einfachste Idee, die bisherige kleinste Einheit ihrerseits in 2 Teile zu teilen. Alle vertrauten Intervalle von 12edo bleiben erhalten, und nicht zuletzt können Kompositionen in 24edo auf konventionellen Instrumenten gespielt werden - man benötigt allenfalls 2 Instrumente, die um einen Viertelton gegeneinander verstimmt sind.

In Bezug auf die Approximation [[Reine Stimmungen|reiner Intervalle]] ist zu sagen, dass die traditionellen 5-[[Limit]]-Intervalle, also insbesondere Quinten, Quarten und Terzen, in 24edo genau gleich gut bzw.gleich schlecht repräsentiert sind wie in 12edo. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und andere 7-Limit-Intervalle erscheinen in 24edo auf anderen Tonhöhen als in 12edo, jedoch nicht wesentlich besser angenähert. Xenharmoniker, die Wert auf konsonante Intervalle legen, werden deshalb ggf. lieber mit [[22edo]] arbeiten, in welchem die Quinte vergleichbar gut, die grosse Terz leicht besser und die Naturseptime deutlich besser repräsentiert sind (und das erst noch mit weniger Tönen) - oder aber sie werden gleich auf [[31edo]] wechseln, welches mit moderat mehr Tönen deutlich bessere Approximationen für eine große Anzahl reiner Intervalle bietet. Wenn mehr Konsonanz in 5- und 7-Limit bei gleichzeitiger Verfügbarkeit der 12edo-Intervalle gewünscht wird, ist der nächste valable Kandidat erst [[72edo]].

24edo bietet jedoch eine gute Unterstützung für 11-Limit-Intervalle, namentlich das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]] sowie die neutralen Sekunden 12/11 und 11/10 (beide durch dasselbe Intervall angenähert). Die Verfügbarkeit einer neutralen Sekunde macht es auch geeignet für die Approximation [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischer]] Skalen (es ist eine mögliche Realisation der [[maqamisch|maqamischen]] bzw. [[Mohajira]]-Temperatur).&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;24edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/24edo"&amp;gt;xenharmonic/24edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Deutschsprachige Einführung:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Viertelton-Musik" rel="nofollow"&amp;gt;Viertelton-Musik (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 24 gleiche Teile ist das am weitesten verbreitete xenharmonische/mikrotonale Tonsystem. Vom westlichen Tonsystem ausgehend ist es wohl die naheliegendste und einfachste Idee, die bisherige kleinste Einheit ihrerseits in 2 Teile zu teilen. Alle vertrauten Intervalle von 12edo bleiben erhalten, und nicht zuletzt können Kompositionen in 24edo auf konventionellen Instrumenten gespielt werden - man benötigt allenfalls 2 Instrumente, die um einen Viertelton gegeneinander verstimmt sind.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In Bezug auf die Approximation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt; ist zu sagen, dass die traditionellen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-Intervalle, also insbesondere Quinten, Quarten und Terzen, in 24edo genau gleich gut bzw.gleich schlecht repräsentiert sind wie in 12edo. Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; und andere 7-Limit-Intervalle erscheinen in 24edo auf anderen Tonhöhen als in 12edo, jedoch nicht wesentlich besser angenähert. Xenharmoniker, die Wert auf konsonante Intervalle legen, werden deshalb ggf. lieber mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; arbeiten, in welchem die Quinte vergleichbar gut, die grosse Terz leicht besser und die Naturseptime deutlich besser repräsentiert sind (und das erst noch mit weniger Tönen) - oder aber sie werden gleich auf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; wechseln, welches mit moderat mehr Tönen deutlich bessere Approximationen für eine große Anzahl reiner Intervalle bietet. Wenn mehr Konsonanz in 5- und 7-Limit bei gleichzeitiger Verfügbarkeit der 12edo-Intervalle gewünscht wird, ist der nächste valable Kandidat erst &amp;lt;a class="wiki_link" href="/72edo"&amp;gt;72edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
24edo bietet jedoch eine gute Unterstützung für 11-Limit-Intervalle, namentlich das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa 11/8&amp;lt;/a&amp;gt; sowie die neutralen Sekunden 12/11 und 11/10 (beide durch dasselbe Intervall angenähert). Die Verfügbarkeit einer neutralen Sekunde macht es auch geeignet für die Approximation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen (es ist eine mögliche Realisation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/maqamisch"&amp;gt;maqamischen&amp;lt;/a&amp;gt; bzw. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mohajira"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur).&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Deutschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Viertelton-Musik|Viertelton-Musik (Wikipedia)]]


Die Unterteilung der Oktave in 24 gleiche Teile ist das am weitesten verbreitete xenharmonische/mikrotonale Tonsystem. Vom westlichen Tonsystem ausgehend ist es wohl die naheliegendste und einfachste Idee, die bisherige kleinste Einheit ihrerseits in 2 Teile zu teilen. Alle vertrauten Intervalle von 12edo bleiben erhalten, und nicht zuletzt können Kompositionen in 24edo auf konventionellen Instrumenten gespielt werden - man benötigt allenfalls 2 Instrumente, die um einen Viertelton gegeneinander verstimmt sind.

In Bezug auf die Approximation [[Reine Stimmungen|reiner Intervalle]] ist zu sagen, dass die traditionellen 5-[[Limit]]-Intervalle, also insbesondere Quinten, Quarten und Terzen, in 24edo genau gleich gut bzw.gleich schlecht repräsentiert sind wie in 12edo. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und andere 7-Limit-Intervalle erscheinen in 24edo auf anderen Tonhöhen als in 12edo, jedoch nicht wesentlich besser angenähert. Xenharmoniker, die Wert auf konsonante Intervalle legen, werden deshalb ggf. lieber mit [[22edo]] arbeiten, in welchem die Quinte vergleichbar gut, die grosse Terz leicht besser und die Naturseptime deutlich besser repräsentiert sind (und das erst noch mit weniger Tönen) - oder aber sie werden gleich auf [[31edo]] wechseln, welches mit moderat mehr Tönen deutlich bessere Approximationen für eine große Anzahl reiner Intervalle bietet. Wenn mehr Konsonanz in 5- und 7-Limit bei gleichzeitiger Verfügbarkeit der 12edo-Intervalle gewünscht wird, ist der nächste valable Kandidat erst [[72edo]].

24edo bietet jedoch eine gute Unterstützung für 11-Limit-Intervalle, namentlich das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]] sowie die neutralen Sekunden 12/11 und 11/10. Die Verfügbarkeit einer neutralen Sekunde macht es auch geeignet für die Approximation [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischer]] Skalen (es ist eine mögliche Realisation der [[maqamisch|maqamischen]] bzw. [[Mohajira]]-Temperatur).&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Deutschsprachige Einführung:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Viertelton-Musik" rel="nofollow"&amp;gt;Viertelton-Musik (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 24 gleiche Teile ist das am weitesten verbreitete xenharmonische/mikrotonale Tonsystem. Vom westlichen Tonsystem ausgehend ist es wohl die naheliegendste und einfachste Idee, die bisherige kleinste Einheit ihrerseits in 2 Teile zu teilen. Alle vertrauten Intervalle von 12edo bleiben erhalten, und nicht zuletzt können Kompositionen in 24edo auf konventionellen Instrumenten gespielt werden - man benötigt allenfalls 2 Instrumente, die um einen Viertelton gegeneinander verstimmt sind.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In Bezug auf die Approximation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt; ist zu sagen, dass die traditionellen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-Intervalle, also insbesondere Quinten, Quarten und Terzen, in 24edo genau gleich gut bzw.gleich schlecht repräsentiert sind wie in 12edo. Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; und andere 7-Limit-Intervalle erscheinen in 24edo auf anderen Tonhöhen als in 12edo, jedoch nicht wesentlich besser angenähert. Xenharmoniker, die Wert auf konsonante Intervalle legen, werden deshalb ggf. lieber mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; arbeiten, in welchem die Quinte vergleichbar gut, die grosse Terz leicht besser und die Naturseptime deutlich besser repräsentiert sind (und das erst noch mit weniger Tönen) - oder aber sie werden gleich auf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; wechseln, welches mit moderat mehr Tönen deutlich bessere Approximationen für eine große Anzahl reiner Intervalle bietet. Wenn mehr Konsonanz in 5- und 7-Limit bei gleichzeitiger Verfügbarkeit der 12edo-Intervalle gewünscht wird, ist der nächste valable Kandidat erst &amp;lt;a class="wiki_link" href="/72edo"&amp;gt;72edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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24edo bietet jedoch eine gute Unterstützung für 11-Limit-Intervalle, namentlich das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa 11/8&amp;lt;/a&amp;gt; sowie die neutralen Sekunden 12/11 und 11/10. Die Verfügbarkeit einer neutralen Sekunde macht es auch geeignet für die Approximation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen (es ist eine mögliche Realisation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/maqamisch"&amp;gt;maqamischen&amp;lt;/a&amp;gt; bzw. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mohajira"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur).&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/24edo]]

Deutschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Viertelton-Musik|Viertelton-Musik (Wikipedia)]]


Die Unterteilung der Oktave in 24 gleiche Teile ist das am weitesten verbreitete xenharmonische/mikrotonale Tonsystem. Vom westlichen Tonsystem ausgehend ist es wohl die naheliegendste und einfachste Idee, die bisherige kleinste Einheit ihrerseits in 2 Teile zu teilen. Alle vertrauten Intervalle von 12edo bleiben erhalten, und nicht zuletzt können Kompositionen in 24edo auf konventionellen Instrumenten gespielt werden - man benötigt allenfalls 2 Instrumente, die um einen Viertelton gegeneinander verstimmt sind.

In Bezug auf die Approximation [[Reine Stimmungen|reiner Intervalle]] ist zu sagen, dass die traditionellen 5-[[Limit]]-Intervalle, also insbesondere Quinten, Quarten und Terzen, in 24edo genau gleich gut bzw.gleich schlecht repräsentiert sind wie in 12edo. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und andere 7-Limit-Intervalle erscheinen in 24edo auf anderen Tonhöhen als in 12edo, jedoch nicht wesentlich besser angenähert. Xenharmoniker, die Wert auf konsonante Intervalle legen, werden deshalb ggf. lieber mit [[22edo]] arbeiten, in welchem die Quinte vergleichbar gut, die grosse Terz leicht besser und die Naturseptime deutlich besser repräsentiert sind (und das erst noch mit weniger Tönen) - oder aber sie werden gleich auf [[31edo]] wechseln, welches mit moderat mehr Tönen deutlich bessere Approximationen für eine große Anzahl reiner Intervalle bietet. Wenn mehr Konsonanz in 5- und 7-Limit bei gleichzeitiger Verfügbarkeit der 12edo-Intervalle gewünscht wird, ist der nächste valable Kandidat erst [[72edo]].

24edo bietet jedoch eine gute Unterstützung für 11-Limit-Intervalle, namentlich das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]] sowie die neutralen Sekunden 12/11 und 11/10. Die Verfügbarkeit einer neutralen Sekunde macht es auch geeignet für die Approximation [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischer]] Skalen (es ist eine mögliche Realisation der [[maqamisch|maqamischen Temperatur]]).&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 24 gleiche Teile ist das am weitesten verbreitete xenharmonische/mikrotonale Tonsystem. Vom westlichen Tonsystem ausgehend ist es wohl die naheliegendste und einfachste Idee, die bisherige kleinste Einheit ihrerseits in 2 Teile zu teilen. Alle vertrauten Intervalle von 12edo bleiben erhalten, und nicht zuletzt können Kompositionen in 24edo auf konventionellen Instrumenten gespielt werden - man benötigt allenfalls 2 Instrumente, die um einen Viertelton gegeneinander verstimmt sind.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In Bezug auf die Approximation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt; ist zu sagen, dass die traditionellen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-Intervalle, also insbesondere Quinten, Quarten und Terzen, in 24edo genau gleich gut bzw.gleich schlecht repräsentiert sind wie in 12edo. Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; und andere 7-Limit-Intervalle erscheinen in 24edo auf anderen Tonhöhen als in 12edo, jedoch nicht wesentlich besser angenähert. Xenharmoniker, die Wert auf konsonante Intervalle legen, werden deshalb ggf. lieber mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; arbeiten, in welchem die Quinte vergleichbar gut, die grosse Terz leicht besser und die Naturseptime deutlich besser repräsentiert sind (und das erst noch mit weniger Tönen) - oder aber sie werden gleich auf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; wechseln, welches mit moderat mehr Tönen deutlich bessere Approximationen für eine große Anzahl reiner Intervalle bietet. Wenn mehr Konsonanz in 5- und 7-Limit bei gleichzeitiger Verfügbarkeit der 12edo-Intervalle gewünscht wird, ist der nächste valable Kandidat erst &amp;lt;a class="wiki_link" href="/72edo"&amp;gt;72edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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24edo bietet jedoch eine gute Unterstützung für 11-Limit-Intervalle, namentlich das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa 11/8&amp;lt;/a&amp;gt; sowie die neutralen Sekunden 12/11 und 11/10. Die Verfügbarkeit einer neutralen Sekunde macht es auch geeignet für die Approximation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen (es ist eine mögliche Realisation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/maqamisch"&amp;gt;maqamischen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-12-26 06:34:25 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/24edo]]

Deutschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Viertelton-Musik|Viertelton-Musik (Wikipedia)]]


Die Unterteilung der Oktave in 24 gleiche Teile ist das am weitesten verbreitete xenharmonische/mikrotonale Tonsystem. Vom westlichen Tonsystem ausgehend ist es wohl die naheliegendste und einfachste Idee, die bisherige kleinste Einheit ihrerseits in 2 Teile zu teilen. Alle vertrauten Intervalle von 12edo bleiben erhalten, und nicht zuletzt können Kompositionen in 24edo auf konventionellen Instrumenten gespielt werden - man benötigt allenfalls 2 Instrumente, die um einen Viertelton gegeneinander verstimmt sind.

In Bezug auf die Approximation [[Reine Stimmungen|reiner Intervalle]] ist zu sagen, dass die traditionellen 5-[[Limit]]-Intervalle, also insbesondere Quinten, Quarten und Terzen, in 24edo genau gleich gut bzw.gleich schlecht repräsentiert sind wie in 12edo. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und andere 7-Limit-Intervalle erscheinen in 24edo auf anderen Tonhöhen als in 12edo, jedoch nicht wesentlich besser angenähert. Xenharmoniker, die Wert auf konsonante Intervalle legen, werden deshalb ggf. lieber mit [[22edo]] arbeiten, in welchem die Naturseptime sehr gut und Quinte und Terzen vergleichbar gut repräsentiert sind - oder aber sie werden gleich auf [[31edo]] wechseln, welches mit nur 7 zusätzlichen Tönen deutlich bessere Approximationen für eine große Anzahl reiner Intervalle bietet. Wenn mehr Konsonanz bei gleichzeitiger Verfügbarkeit der 12edo-Intervalle gewünscht wird, ist [[72edo]] der nächste valable Kandidat.

24edo bietet jedoch eine gute Unterstützung für 11-Limit-Intervalle, namentlich das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]] sowie die neutralen Sekunden 12/11 und 11/10. Die Verfügbarkeit einer neutralen Sekunde macht es auch geeignet für die Approximation [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischer]] Skalen (es ist eine mögliche Realisation der [[maqamisch|maqamischen Temperatur]]).&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;24edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/24edo"&amp;gt;xenharmonic/24edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Deutschsprachige Einführung:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Viertelton-Musik" rel="nofollow"&amp;gt;Viertelton-Musik (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Unterteilung der Oktave in 24 gleiche Teile ist das am weitesten verbreitete xenharmonische/mikrotonale Tonsystem. Vom westlichen Tonsystem ausgehend ist es wohl die naheliegendste und einfachste Idee, die bisherige kleinste Einheit ihrerseits in 2 Teile zu teilen. Alle vertrauten Intervalle von 12edo bleiben erhalten, und nicht zuletzt können Kompositionen in 24edo auf konventionellen Instrumenten gespielt werden - man benötigt allenfalls 2 Instrumente, die um einen Viertelton gegeneinander verstimmt sind.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In Bezug auf die Approximation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt; ist zu sagen, dass die traditionellen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-Intervalle, also insbesondere Quinten, Quarten und Terzen, in 24edo genau gleich gut bzw.gleich schlecht repräsentiert sind wie in 12edo. Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; und andere 7-Limit-Intervalle erscheinen in 24edo auf anderen Tonhöhen als in 12edo, jedoch nicht wesentlich besser angenähert. Xenharmoniker, die Wert auf konsonante Intervalle legen, werden deshalb ggf. lieber mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; arbeiten, in welchem die Naturseptime sehr gut und Quinte und Terzen vergleichbar gut repräsentiert sind - oder aber sie werden gleich auf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; wechseln, welches mit nur 7 zusätzlichen Tönen deutlich bessere Approximationen für eine große Anzahl reiner Intervalle bietet. Wenn mehr Konsonanz bei gleichzeitiger Verfügbarkeit der 12edo-Intervalle gewünscht wird, ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/72edo"&amp;gt;72edo&amp;lt;/a&amp;gt; der nächste valable Kandidat.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
24edo bietet jedoch eine gute Unterstützung für 11-Limit-Intervalle, namentlich das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa 11/8&amp;lt;/a&amp;gt; sowie die neutralen Sekunden 12/11 und 11/10. Die Verfügbarkeit einer neutralen Sekunde macht es auch geeignet für die Approximation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen (es ist eine mögliche Realisation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/maqamisch"&amp;gt;maqamischen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-12-26 06:19:52 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;479438416&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/24edo]]

Deutschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Viertelton-Musik|Viertelton-Musik (Wikipedia)]]


Die Unterteilung der Oktave in 24 gleiche Teile ist das am weitesten verbreitete xenharmonische/mikrotonale Tonsystem. Vom westlichen Tonsystem ausgehend ist es wohl die naheliegendste und einfachste Idee, die bisherige kleinste Einheit ihrerseits in 2 Teile zu teilen. Alle vertrauten Intervalle von 12edo bleiben erhalten, und nicht zuletzt können Kompositionen in 24edo auf konventionellen Instrumenten gespielt werden - man benötigt allenfalls 2 Instrumente, die um einen Viertelton gegeneinander verstimmt sind.

In Bezug auf die Approximation [[Reine Stimmungen|reiner Intervalle]] ist zu sagen, dass die traditionellen 5-[[Limit]]-Intervalle, also insbesondere Quinten, Quarten und Terzen, in 24edo genau gleich gut bzw.gleich schlecht repräsentiert sind wie in 12edo. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und andere 7-Limit-Intervalle erscheinen in 24edo auf anderen Tonhöhen als in 12edo, jedoch nicht wesentlich besser angenähert. Xenharmoniker, die Wert auf konsonante Intervalle legen, werden deshalb ggf. lieber mit [[22edo]] arbeiten, in welchem die Naturseptime sehr gut und Quinte und Terzen vergleichbar gut repräsentiert sind - oder aber sie werden gleich auf [[31edo]] wechseln, welches mit nur 6 zusätzlichen Tönen deutlich bessere Approximationen für eine große Anzahl reiner Intervalle bietet.

[Todo 11-Limit, 72edo]
.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Deutschsprachige Einführung:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Viertelton-Musik" rel="nofollow"&amp;gt;Viertelton-Musik (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Unterteilung der Oktave in 24 gleiche Teile ist das am weitesten verbreitete xenharmonische/mikrotonale Tonsystem. Vom westlichen Tonsystem ausgehend ist es wohl die naheliegendste und einfachste Idee, die bisherige kleinste Einheit ihrerseits in 2 Teile zu teilen. Alle vertrauten Intervalle von 12edo bleiben erhalten, und nicht zuletzt können Kompositionen in 24edo auf konventionellen Instrumenten gespielt werden - man benötigt allenfalls 2 Instrumente, die um einen Viertelton gegeneinander verstimmt sind.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In Bezug auf die Approximation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt; ist zu sagen, dass die traditionellen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-Intervalle, also insbesondere Quinten, Quarten und Terzen, in 24edo genau gleich gut bzw.gleich schlecht repräsentiert sind wie in 12edo. Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; und andere 7-Limit-Intervalle erscheinen in 24edo auf anderen Tonhöhen als in 12edo, jedoch nicht wesentlich besser angenähert. Xenharmoniker, die Wert auf konsonante Intervalle legen, werden deshalb ggf. lieber mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; arbeiten, in welchem die Naturseptime sehr gut und Quinte und Terzen vergleichbar gut repräsentiert sind - oder aber sie werden gleich auf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; wechseln, welches mit nur 6 zusätzlichen Tönen deutlich bessere Approximationen für eine große Anzahl reiner Intervalle bietet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo 11-Limit, 72edo]&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-12-26 05:36:06 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;479435326&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/24edo]]

Deutschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Viertelton-Musik|Viertelton-Musik (Wikipedia)]]


Die Unterteilung der Oktave in 24 gleiche Teile ist das am weitesten verbreitete xenharmonische/mikrotonale Tonsystem. Vom westlichen Tonsystem ausgehend ist es wohl die naheliegendste und einfachste Idee, die bisherige kleinste Einheit ihrerseits in 2 Teile zu teilen. Alle vertrauten Intervalle  von 12edo bleiben erhalten, und nicht zuletzt können Kompositionen in 24edo auf konventionellen Instrumenten gespielt werden - man benötigt allenfalls 2 Instrumente, die um einen Viertelton gegeneinander verstimmt sind.

[[Todo Eigenschaften bei Approximation reiner Intervalle]

.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;24edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/24edo"&amp;gt;xenharmonic/24edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Deutschsprachige Einführung:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Viertelton-Musik" rel="nofollow"&amp;gt;Viertelton-Musik (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Unterteilung der Oktave in 24 gleiche Teile ist das am weitesten verbreitete xenharmonische/mikrotonale Tonsystem. Vom westlichen Tonsystem ausgehend ist es wohl die naheliegendste und einfachste Idee, die bisherige kleinste Einheit ihrerseits in 2 Teile zu teilen. Alle vertrauten Intervalle  von 12edo bleiben erhalten, und nicht zuletzt können Kompositionen in 24edo auf konventionellen Instrumenten gespielt werden - man benötigt allenfalls 2 Instrumente, die um einen Viertelton gegeneinander verstimmt sind.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[[Todo Eigenschaften bei Approximation reiner Intervalle]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-04-24 08:21:19 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;425983576&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/24edo]]

Das häufigste xenharmonische/mikrotonale Tonsystem.

Deutschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Viertelton-Musik|Viertelton-Musik (Wikipedia)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;24edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/24edo"&amp;gt;xenharmonic/24edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das häufigste xenharmonische/mikrotonale Tonsystem.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Deutschsprachige Einführung:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Viertelton-Musik" rel="nofollow"&amp;gt;Viertelton-Musik (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <text bytes="2399" sha1="lud67mx5cyvny4c5xsuesy85dcmzs7s" xml:space="preserve">&lt;span style="display: block; text-align: right;"&gt;[[:en:24edo|English]] - [[:en:24平均律|日本語]]&lt;/span&gt;

Deutschsprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Viertelton-Musik Viertelton-Musik (Wikipedia)]

Die Unterteilung der Oktave in 24 gleiche Teile ist das am weitesten verbreitete xenharmonische/mikrotonale Tonsystem. Vom westlichen Tonsystem ausgehend ist es wohl die naheliegendste und einfachste Idee, die bisherige kleinste Einheit ihrerseits in 2 Teile zu teilen. Alle vertrauten Intervalle von 12edo bleiben erhalten, und nicht zuletzt können Kompositionen in 24edo auf konventionellen Instrumenten gespielt werden - man benötigt allenfalls 2 Instrumente, die um einen Viertelton gegeneinander verstimmt sind.

In Bezug auf die Approximation [[Reine_Stimmungen|reiner Intervalle]] ist zu sagen, dass die traditionellen 5-[[Limit|Limit]]-Intervalle, also insbesondere Quinten, Quarten und Terzen, in 24edo genau gleich gut bzw.gleich schlecht repräsentiert sind wie in 12edo. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und andere 7-Limit-Intervalle erscheinen in 24edo auf anderen Tonhöhen als in 12edo, jedoch nicht wesentlich besser angenähert. Xenharmoniker, die Wert auf konsonante Intervalle legen, werden deshalb ggf. lieber mit [[22edo|22edo]] arbeiten, in welchem die Quinte vergleichbar gut, die grosse Terz leicht besser und die Naturseptime deutlich besser repräsentiert sind (und das erst noch mit weniger Tönen) - oder aber sie werden gleich auf [[31edo|31edo]] wechseln, welches mit moderat mehr Tönen deutlich bessere Approximationen für eine große Anzahl reiner Intervalle bietet. Wenn mehr Konsonanz in 5- und 7-Limit bei gleichzeitiger Verfügbarkeit der 12edo-Intervalle gewünscht wird, ist der nächste valable Kandidat erst [[72edo|72edo]].

24edo bietet jedoch eine gute Unterstützung für 11-Limit-Intervalle, namentlich das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]] sowie die neutralen Sekunden 12/11 und 11/10 (beide durch dasselbe Intervall angenähert). Die Verfügbarkeit einer neutralen Sekunde macht es auch geeignet für die Approximation [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]] Skalen - es ist eine mögliche Realisation der [[maqamisch|maqamischen]] bzw. [[Mohajira|Mohajira]]-Temperatur. Weitere unterstützte [[Reguläre_Temperaturen|reguläre Temperaturen]] sind [[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Semiphor/Godzilla]].  [[Category:edo]]</text>
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Deutschsprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Viertelton-Musik Viertelton-Musik (Wikipedia)]

Die Unterteilung der Oktave in 24 gleiche Teile ist das am weitesten verbreitete xenharmonische/mikrotonale Tonsystem. Vom westlichen Tonsystem ausgehend ist es wohl die naheliegendste und einfachste Idee, die bisherige kleinste Einheit ihrerseits in 2 Teile zu teilen. Alle vertrauten Intervalle von 12edo bleiben erhalten, und nicht zuletzt können Kompositionen in 24edo auf konventionellen Instrumenten gespielt werden - man benötigt allenfalls 2 Instrumente, die um einen Viertelton gegeneinander verstimmt sind.

In Bezug auf die Approximation [[Reine_Stimmungen|reiner Intervalle]] ist zu sagen, dass die traditionellen 5-[[Limit|Limit]]-Intervalle, also insbesondere Quinten, Quarten und Terzen, in 24edo genau gleich gut bzw.gleich schlecht repräsentiert sind wie in 12edo. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und andere 7-Limit-Intervalle erscheinen in 24edo auf anderen Tonhöhen als in 12edo, jedoch nicht wesentlich besser angenähert. Xenharmoniker, die Wert auf konsonante Intervalle legen, werden deshalb ggf. lieber mit [[22edo|22edo]] arbeiten, in welchem die Quinte vergleichbar gut, die grosse Terz leicht besser und die Naturseptime deutlich besser repräsentiert sind (und das erst noch mit weniger Tönen) - oder aber sie werden gleich auf [[31edo|31edo]] wechseln, welches mit moderat mehr Tönen deutlich bessere Approximationen für eine große Anzahl reiner Intervalle bietet. Wenn mehr Konsonanz in 5- und 7-Limit bei gleichzeitiger Verfügbarkeit der 12edo-Intervalle gewünscht wird, ist der nächste valable Kandidat erst [[72edo|72edo]].

24edo bietet jedoch eine gute Unterstützung für 11-Limit-Intervalle, namentlich das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]] sowie die neutralen Sekunden 12/11 und 11/10 (beide durch dasselbe Intervall angenähert). Die Verfügbarkeit einer neutralen Sekunde macht es auch geeignet für die Approximation [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]] Skalen - es ist eine mögliche Realisation der [[maqamisch|maqamischen]] bzw. [[Mohajira|Mohajira]]-Temperatur. Weitere unterstützte [[Reguläre_Temperaturen|reguläre Temperaturen]] sind [[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Semiphor/Godzilla]].  [[Category:edo]]</text>
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Deutschsprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Viertelton-Musik Viertelton-Musik (Wikipedia)]

Die Unterteilung der Oktave in 24 gleiche Teile ist das am weitesten verbreitete xenharmonische/mikrotonale Tonsystem. Vom westlichen Tonsystem ausgehend ist es wohl die naheliegendste und einfachste Idee, die bisherige kleinste Einheit ihrerseits in 2 Teile zu teilen. Alle vertrauten Intervalle von 12edo bleiben erhalten, und nicht zuletzt können Kompositionen in 24edo auf konventionellen Instrumenten gespielt werden - man benötigt allenfalls 2 Instrumente, die um einen Viertelton gegeneinander verstimmt sind.

In Bezug auf die Approximation [[Reine_Stimmungen|reiner Intervalle]] ist zu sagen, dass die traditionellen 5-[[Limit|Limit]]-Intervalle, also insbesondere Quinten, Quarten und Terzen, in 24edo genau gleich gut bzw.gleich schlecht repräsentiert sind wie in 12edo. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und andere 7-Limit-Intervalle erscheinen in 24edo auf anderen Tonhöhen als in 12edo, jedoch nicht wesentlich besser angenähert. Xenharmoniker, die Wert auf konsonante Intervalle legen, werden deshalb ggf. lieber mit [[22edo|22edo]] arbeiten, in welchem die Quinte vergleichbar gut, die grosse Terz leicht besser und die Naturseptime deutlich besser repräsentiert sind (und das erst noch mit weniger Tönen) - oder aber sie werden gleich auf [[31edo|31edo]] wechseln, welches mit moderat mehr Tönen deutlich bessere Approximationen für eine große Anzahl reiner Intervalle bietet. Wenn mehr Konsonanz in 5- und 7-Limit bei gleichzeitiger Verfügbarkeit der 12edo-Intervalle gewünscht wird, ist der nächste valable Kandidat erst [[72edo|72edo]].

24edo bietet jedoch eine gute Unterstützung für 11-Limit-Intervalle, namentlich das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]] sowie die neutralen Sekunden 12/11 und 11/10 (beide durch dasselbe Intervall angenähert). Die Verfügbarkeit einer neutralen Sekunde macht es auch geeignet für die Approximation [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]] Skalen - es ist eine mögliche Realisation der [[maqamisch|maqamischen]] bzw. [[Mohajira|Mohajira]]-Temperatur. Weitere unterstützte [[Reguläre_Temperaturen|reguläre Temperaturen]] sind [[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Semiphor/Godzilla]].

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Die Unterteilung der Oktave in 24 gleiche Teile ist das am weitesten verbreitete xenharmonische/mikrotonale Tonsystem. Vom westlichen Tonsystem ausgehend ist es wohl die naheliegendste und einfachste Idee, die bisherige kleinste Einheit ihrerseits in 2 Teile zu teilen. Alle vertrauten Intervalle von 12edo bleiben erhalten, und nicht zuletzt können Kompositionen in 24edo auf konventionellen Instrumenten gespielt werden - man benötigt allenfalls 2 Instrumente, die um einen Viertelton gegeneinander verstimmt sind.

In Bezug auf die Approximation [[Reine_Stimmungen|reiner Intervalle]] ist zu sagen, dass die traditionellen 5-[[Limit|Limit]]-Intervalle, also insbesondere Quinten, Quarten und Terzen, in 24edo genau gleich gut bzw.gleich schlecht repräsentiert sind wie in 12edo. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und andere 7-Limit-Intervalle erscheinen in 24edo auf anderen Tonhöhen als in 12edo, jedoch nicht wesentlich besser angenähert. Xenharmoniker, die Wert auf konsonante Intervalle legen, werden deshalb ggf. lieber mit [[22edo|22edo]] arbeiten, in welchem die Quinte vergleichbar gut, die grosse Terz leicht besser und die Naturseptime deutlich besser repräsentiert sind (und das erst noch mit weniger Tönen) - oder aber sie werden gleich auf [[31edo|31edo]] wechseln, welches mit moderat mehr Tönen deutlich bessere Approximationen für eine große Anzahl reiner Intervalle bietet. Wenn mehr Konsonanz in 5- und 7-Limit bei gleichzeitiger Verfügbarkeit der 12edo-Intervalle gewünscht wird, ist der nächste valable Kandidat erst [[72edo|72edo]].

24edo bietet jedoch eine gute Unterstützung für 11-Limit-Intervalle, namentlich das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]] sowie die neutralen Sekunden 12/11 und 11/10 (beide durch dasselbe Intervall angenähert). Die Verfügbarkeit einer neutralen Sekunde macht es auch geeignet für die Approximation [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]] Skalen - es ist eine mögliche Realisation der [[maqamisch|maqamischen]] bzw. [[Mohajira|Mohajira]]-Temperatur. Weitere unterstützte [[Reguläre_Temperaturen|reguläre Temperaturen]] sind [[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Semiphor/Godzilla]].

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| en = 24edo
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Deutschsprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Viertelton-Musik Viertelton-Musik (Wikipedia)]

'''24 EDO''', die Unterteilung der Oktave in 24 gleiche Teile ist das am weitesten verbreitete xenharmonische/mikrotonale Tonsystem. Vom westlichen Tonsystem ausgehend ist es wohl die naheliegendste und einfachste Idee, die bisherige kleinste Einheit ihrerseits in 2 Teile zu teilen. Alle vertrauten Intervalle von 12 EDO bleiben erhalten, und nicht zuletzt können Kompositionen in 24 EDO auf konventionellen Instrumenten gespielt werden - man benötigt allenfalls 2 Instrumente, die um einen Viertelton gegeneinander verstimmt sind.

In Bezug auf die Approximation [[Reine_Stimmungen|reiner Intervalle]] ist zu sagen, dass die traditionellen 5-[[Limit|Limit]]-Intervalle, also insbesondere Quinten, Quarten und Terzen, in 24 EDO genau gleich gut bzw.gleich schlecht repräsentiert sind wie in 12 EDO. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und andere 7-Limit-Intervalle erscheinen in 24 EDO auf anderen Tonhöhen als in 12 EDO, jedoch nicht wesentlich besser angenähert. Xenharmoniker, die Wert auf konsonante Intervalle legen, werden deshalb ggf. lieber mit [[22 EDO]] arbeiten, in welchem die Quinte vergleichbar gut, die grosse Terz leicht besser und die Naturseptime deutlich besser repräsentiert sind (und das erst noch mit weniger Tönen) - oder aber sie werden gleich auf [[31 EDO]] wechseln, welches mit moderat mehr Tönen deutlich bessere Approximationen für eine große Anzahl reiner Intervalle bietet. Wenn mehr Konsonanz in 5- und 7-Limit bei gleichzeitiger Verfügbarkeit der 12 EDO-Intervalle gewünscht wird, ist der nächste valable Kandidat erst [[72 EDO]].

24 EDO bietet eine gute Unterstützung für 11-Limit-Intervalle, namentlich das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]] sowie die neutralen Sekunden 12/11 und 11/10 (beide durch dasselbe Intervall angenähert). Die Verfügbarkeit einer neutralen Sekunde macht es auch geeignet für die Approximation [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischer]] Skalen - es ist eine mögliche Realisation der [[maqamisch]]en bzw. [[Mohajira]]-Temperatur. Weitere unterstützte [[Reguläre Temperaturen|reguläre Temperaturen]] sind [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semiphor/Godzilla]].

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| de = 24 EDO
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Deutschsprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Viertelton-Musik Viertelton-Musik (Wikipedia)]

'''24 EDO''', die Unterteilung der Oktave in 24 gleiche Teile ist das am weitesten verbreitete xenharmonische/mikrotonale Tonsystem. Vom westlichen Tonsystem ausgehend ist es wohl die naheliegendste und einfachste Idee, die bisherige kleinste Einheit ihrerseits in 2 Teile zu teilen. Alle vertrauten Intervalle von 12 EDO bleiben erhalten, und nicht zuletzt können Kompositionen in 24 EDO auf konventionellen Instrumenten gespielt werden - man benötigt allenfalls 2 Instrumente, die um einen Viertelton gegeneinander verstimmt sind.

In Bezug auf die Approximation [[Reine_Stimmungen|reiner Intervalle]] ist zu sagen, dass die traditionellen 5-[[Limit|Limit]]-Intervalle, also insbesondere Quinten, Quarten und Terzen, in 24 EDO genau gleich gut bzw.gleich schlecht repräsentiert sind wie in 12 EDO. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und andere 7-Limit-Intervalle erscheinen in 24 EDO auf anderen Tonhöhen als in 12 EDO, jedoch nicht wesentlich besser angenähert. Xenharmoniker, die Wert auf konsonante Intervalle legen, werden deshalb ggf. lieber mit [[22 EDO]] arbeiten, in welchem die Quinte vergleichbar gut, die grosse Terz leicht besser und die Naturseptime deutlich besser repräsentiert sind (und das erst noch mit weniger Tönen) - oder aber sie werden gleich auf [[31 EDO]] wechseln, welches mit moderat mehr Tönen deutlich bessere Approximationen für eine große Anzahl reiner Intervalle bietet. Wenn mehr Konsonanz in 5- und 7-Limit bei gleichzeitiger Verfügbarkeit der 12 EDO-Intervalle gewünscht wird, ist der nächste valable Kandidat erst [[72 EDO]].

24 EDO bietet eine gute Unterstützung für 11-Limit-Intervalle, namentlich das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]] sowie die neutralen Sekunden 12/11 und 11/10 (beide durch dasselbe Intervall angenähert). Die Verfügbarkeit einer neutralen Sekunde macht es auch geeignet für die Approximation [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischer]] Skalen - es ist eine mögliche Realisation der [[maqamisch]]en bzw. [[Mohajira]]-Temperatur. Weitere unterstützte [[Reguläre Temperaturen|reguläre Temperaturen]] sind [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semiphor/Godzilla]].

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| ja = 24平均律
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Deutschsprachige Einführung:

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'''24-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 24 gleiche Teile ist das am weitesten verbreitete xenharmonische/mikrotonale Tonsystem. Vom westlichen Tonsystem ausgehend ist es wohl die naheliegendste und einfachste Idee, die bisherige kleinste Einheit ihrerseits in 2 Teile zu teilen. Alle vertrauten Intervalle von 12-EDO bleiben erhalten, und nicht zuletzt können Kompositionen in 24-EDO auf konventionellen Instrumenten gespielt werden - man benötigt allenfalls 2 Instrumente, die um einen Viertelton gegeneinander verstimmt sind.

In Bezug auf die Approximation [[Reine_Stimmungen|reiner Intervalle]] ist zu sagen, dass die traditionellen 5-[[Limit|Limit]]-Intervalle, also insbesondere Quinten, Quarten und Terzen, in 24-EDO genau gleich gut bzw.gleich schlecht repräsentiert sind wie in 12-EDO. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und andere 7-Limit-Intervalle erscheinen in 24-EDO auf anderen Tonhöhen als in 12-EDO, jedoch nicht wesentlich besser angenähert. Xenharmoniker, die Wert auf konsonante Intervalle legen, werden deshalb ggf. lieber mit [[22-EDO]] arbeiten, in welchem die Quinte vergleichbar gut, die grosse Terz leicht besser und die Naturseptime deutlich besser repräsentiert sind (und das erst noch mit weniger Tönen) - oder aber sie werden gleich auf [[31-EDO]] wechseln, welches mit moderat mehr Tönen deutlich bessere Approximationen für eine große Anzahl reiner Intervalle bietet. Wenn mehr Konsonanz in 5- und 7-Limit bei gleichzeitiger Verfügbarkeit der 12-EDO-Intervalle gewünscht wird, ist der nächste valable Kandidat erst [[72-EDO]].

24-EDO bietet eine gute Unterstützung für 11-Limit-Intervalle, namentlich das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]] sowie die neutralen Sekunden 12/11 und 11/10 (beide durch dasselbe Intervall angenähert). Die Verfügbarkeit einer neutralen Sekunde macht es auch geeignet für die Approximation [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischer]] Skalen - es ist eine mögliche Realisation der [[maqamisch]]en bzw. [[Mohajira]]-Temperatur. Weitere unterstützte [[Reguläre Temperaturen|reguläre Temperaturen]] sind [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semiphor/Godzilla]].

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'''24-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 24 gleiche Teile ist das am weitesten verbreitete xenharmonische/mikrotonale [[Tonsystem]]. Vom westlichen Tonsystem ausgehend ist es wohl die naheliegendste und einfachste Idee, die bisherige kleinste Einheit ihrerseits in 2 Teile zu teilen. Alle vertrauten Intervalle von 12-EDO bleiben erhalten, und nicht zuletzt können Kompositionen in 24-EDO auf konventionellen Instrumenten gespielt werden - man benötigt allenfalls 2 Instrumente, die um einen Viertelton gegeneinander verstimmt sind.

In Bezug auf die Approximation [[Reine_Stimmungen|reiner Intervalle]] ist zu sagen, dass die traditionellen 5-[[Limit|Limit]]-Intervalle, also insbesondere Quinten, Quarten und Terzen, in 24-EDO genau gleich gut bzw.gleich schlecht repräsentiert sind wie in 12-EDO. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und andere 7-Limit-Intervalle erscheinen in 24-EDO auf anderen Tonhöhen als in 12-EDO, jedoch nicht wesentlich besser angenähert. Xenharmoniker, die Wert auf konsonante Intervalle legen, werden deshalb ggf. lieber mit [[22-EDO]] arbeiten, in welchem die Quinte vergleichbar gut, die grosse Terz leicht besser und die Naturseptime deutlich besser repräsentiert sind (und das erst noch mit weniger Tönen) - oder aber sie werden gleich auf [[31-EDO]] wechseln, welches mit moderat mehr Tönen deutlich bessere Approximationen für eine große Anzahl reiner Intervalle bietet. Wenn mehr Konsonanz in 5- und 7-Limit bei gleichzeitiger Verfügbarkeit der 12-EDO-Intervalle gewünscht wird, ist der nächste valable Kandidat erst [[72-EDO]].

24-EDO bietet eine gute Unterstützung für 11-Limit-Intervalle, namentlich das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]] sowie die neutralen Sekunden 12/11 und 11/10 (beide durch dasselbe Intervall angenähert). Die Verfügbarkeit einer neutralen Sekunde macht es auch geeignet für die Approximation [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischer]] Skalen - es ist eine mögliche Realisation der [[maqamisch]]en bzw. [[Mohajira]]-Temperatur. Weitere unterstützte [[Reguläre Temperaturen|reguläre Temperaturen]] sind [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semiphor/Godzilla]].

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Deutschsprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Viertelton-Musik Viertelton-Musik (Wikipedia)]

'''24-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 24 gleiche Teile ist das am weitesten verbreitete xenharmonische/mikrotonale [[Tonsystem]]. Vom westlichen Tonsystem ausgehend ist es wohl die naheliegendste und einfachste Idee, die bisherige kleinste Einheit ihrerseits in 2 Teile zu teilen. Alle vertrauten Intervalle von 12-EDO bleiben erhalten, und nicht zuletzt können Kompositionen in 24-EDO auf konventionellen Instrumenten gespielt werden - man benötigt allenfalls 2 Instrumente, die um einen Viertelton gegeneinander verstimmt sind.

In Bezug auf die Approximation [[Reine_Stimmungen|reiner Intervalle]] ist zu sagen, dass die traditionellen 5-[[Limit|Limit]]-Intervalle, also insbesondere Quinten, Quarten und Terzen, in 24-EDO genau gleich gut bzw.gleich schlecht repräsentiert sind wie in 12-EDO. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] und andere 7-Limit-Intervalle erscheinen in 24-EDO auf anderen Tonhöhen als in 12-EDO, jedoch nicht wesentlich besser angenähert. Xenharmoniker, die Wert auf konsonante Intervalle legen, werden deshalb ggf. lieber mit [[22-EDO]] arbeiten, in welchem die Quinte vergleichbar gut, die grosse Terz leicht besser und die Naturseptime deutlich besser repräsentiert sind (und das erst noch mit weniger Tönen) - oder aber sie werden gleich auf [[31-EDO]] wechseln, welches mit moderat mehr Tönen deutlich bessere Approximationen für eine große Anzahl reiner Intervalle bietet. Wenn mehr Konsonanz in 5- und 7-Limit bei gleichzeitiger Verfügbarkeit der 12-EDO-Intervalle gewünscht wird, ist der nächste valable Kandidat erst [[72-EDO]].

24-EDO bietet eine gute Unterstützung für 11-Limit-Intervalle, namentlich das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]] sowie die neutralen Sekunden 12/11 und 11/10 (beide durch dasselbe Intervall angenähert). Die Verfügbarkeit einer neutralen Sekunde macht es auch geeignet für die Approximation [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischer]] Skalen - es ist eine mögliche Realisation der [[maqamisch]]en bzw. [[Mohajira]]-Temperatur. Weitere unterstützte [[Reguläre Temperaturen|reguläre Temperaturen]] sind [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semiphor/Godzilla]].

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Das Intervall 250/243 ist etwa 49.166 [[Cent|Cents]] gross und erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Die [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur temperiert dieses Intervall aus, es wird dementsprechend auch '''Porcupine-Komma''' genannt.  [[Category:Komma]]
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Das Intervall 250/243 ist etwa 49.166 [[Cent|Cents]] gross und erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Die [[Porcupine]]-Temperatur temperiert dieses Intervall aus, es wird dementsprechend auch **Porcupine-Komma** genannt.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Das Intervall 250/243 ist etwa 49.166 [[Cent|Cents]] gross und erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Die [[Porcupine]]-Temperatur temepriert dieses Intervall aus, es wird dementsprechend auch **Porcupine-Komma** genannt.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Das Intervall 250/243 ist etwa 49.166 [[Cent|Cents]] gross und erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Die [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur temperiert dieses Intervall aus, es wird dementsprechend auch '''Porcupine-Komma''' genannt.  [[Category:Komma]]
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Das Intervall 250/243 ist etwa 49.166 [[Cent|Cents]] gross und erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Die [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur temperiert dieses Intervall aus, es wird dementsprechend auch '''Porcupine-Komma''' genannt.  [[Category:Komma]]
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Das Intervall 250/243 ist etwa 49.166 [[Cent|Cents]] gross und erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Die [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur temperiert dieses Intervall aus, es wird dementsprechend auch '''Porcupine-Komma''' genannt.  [[Category:Komma]]
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Eine Unterteilung der reinen Duodezime (Frequenzverhältnis 3:1) in 27 gleiche Teile ergibt ein Tonsystem mit einem Basisintervall von 70.44 [[Cent|Cent]]s, beinahe identisch zum Basisintervall von [[17edo|17edo]] (70.59 Cents). Dieses System hat also mehr oder weniger dieselben melodischen und harmonischen Eigenschaften wie 17edo, mit dem Unterschied, dass die Unterteilung des Periodenintervalls keine [[Primzahlen|Primzahl]] ist.

27 ist bekanntlich die dritte Potenz von 3. Wir haben hier also das Intervall 3:1, geteilt in 3&lt;span style="font-size: 90%; vertical-align: super;"&gt;3&lt;/span&gt; Teile - ein Tonsystem, wo die Zahl 3 dominiert. Diese Eigenschaften lassen 27edt als prädestiniertes Tonsystem für [https://de.wikipedia.org/wiki/V%C3%B6lker_und_Gruppierungen_im_Star-Trek-Universum#Klingonen klingonische] Musik erscheinen, da das traditionelle klingonische Zahlensystem auf der 3 basiert. Der etwas rauhe harmonische Charakter von 27edt würde dazu auch sehr gut passen. Siehe etwa:

[http://launch.dir.groups.yahoo.com/group/tuning/message/86909 http://launch.dir.groups.yahoo.com/group/tuning/message/86909] und [http://www.klingon.org/smboard/index.php?topic=1810.0 http://www.klingon.org/smboard/index.php?topic=1810.0].  [[Category:edt]]</text>
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      <text bytes="4115" sha1="7u5kpjx3riqe464z70phlietxxcjx0y" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/27edt]]

Eine Unterteilung der reinen Duodezime (Frequenzverhältnis 3:1) in 27 gleiche Teile ergibt ein Tonsystem mit einem Basisintervall von 70.44 [[Cent]]s, beinahe identisch zum Basisintervall von [[17edo]] (70.59 Cents). Dieses System hat also mehr oder weniger dieselben melodischen und harmonischen Eigenschaften wie 17edo, mit dem Unterschied, dass die Unterteilung des Periodenintervalls keine [[Primzahlen|Primzahl]] ist.

27 ist bekanntlich die dritte Potenz von 3. Wir haben hier also das Intervall 3:1, geteilt in 3&amp;lt;span style="font-size: 90%; vertical-align: super;"&amp;gt;3&amp;lt;/span&amp;gt; Teile - ein Tonsystem, wo die Zahl 3 dominiert. Diese Eigenschaften lassen 27edt als prädestiniertes Tonsystem für [[https://de.wikipedia.org/wiki/V%C3%B6lker_und_Gruppierungen_im_Star-Trek-Universum#Klingonen|klingonische]] Musik erscheinen, da das traditionelle klingonische Zahlensystem auf der 3 basiert. Der etwas rauhe harmonische Charakter von 27edt würde dazu auch sehr gut passen. Siehe etwa:

[[http://launch.dir.groups.yahoo.com/group/tuning/message/86909]] und [[http://www.klingon.org/smboard/index.php?topic=1810.0]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Eine Unterteilung der reinen Duodezime (Frequenzverhältnis 3:1) in 27 gleiche Teile ergibt ein Tonsystem mit einem Basisintervall von 70.44 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;s, beinahe identisch zum Basisintervall von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; (70.59 Cents). Dieses System hat also mehr oder weniger dieselben melodischen und harmonischen Eigenschaften wie 17edo, mit dem Unterschied, dass die Unterteilung des Periodenintervalls keine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahl&amp;lt;/a&amp;gt; ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
27 ist bekanntlich die dritte Potenz von 3. Wir haben hier also das Intervall 3:1, geteilt in 3&amp;lt;span style="font-size: 90%; vertical-align: super;"&amp;gt;3&amp;lt;/span&amp;gt; Teile - ein Tonsystem, wo die Zahl 3 dominiert. Diese Eigenschaften lassen 27edt als prädestiniertes Tonsystem für &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://de.wikipedia.org/wiki/V%C3%B6lker_und_Gruppierungen_im_Star-Trek-Universum#Klingonen" rel="nofollow"&amp;gt;klingonische&amp;lt;/a&amp;gt; Musik erscheinen, da das traditionelle klingonische Zahlensystem auf der 3 basiert. Der etwas rauhe harmonische Charakter von 27edt würde dazu auch sehr gut passen. Siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://launch.dir.groups.yahoo.com/group/tuning/message/86909" rel="nofollow"&amp;gt;http://launch.dir.groups.yahoo.com/group/tuning/message/86909&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.klingon.org/smboard/index.php?topic=1810.0" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.klingon.org/smboard/index.php?topic=1810.0&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/27edt]]

Eine Unterteilung der reinen Duodezime (Frequenzverhältnis 3:1) in 27 gleiche Teile ergibt ein Tonsystem mit einem Basisintervall von 70.44 [[Cent]]s, beinahe identisch zum Basisintervall von [[17edo]] (70.59 Cents). Dieses System hat also mehr oder weniger dieselben melodischen und harmonischen Eigenschaften wie 17edo, mit dem Unterschied, dass die Unterteilung des Periodenintervalls keine [[Primzahlen|Primzahl]] ist.

27 ist bekanntlich die dritte Potenz von 3. Wir haben hier also das Intervall 3:1, geteilt in 3&amp;lt;span style="font-size: 90%; vertical-align: super;"&amp;gt;3&amp;lt;/span&amp;gt; Teile - ein Tonsystem, wo die Zahl 3 dominiert. Diese Eigenschaften lassen 27edt als prädestiniertes Tonsystem für [[https://de.wikipedia.org/wiki/V%C3%B6lker_und_Gruppierungen_im_Star-Trek-Universum#Klingonen|klingonische]] Musik erscheinen, da das traditionelle klingonische Zahlensystem auf der 3 basiert. Der etwas rauhe harmonische Charakter von 27edt passt auch sehr gut dazu. Siehe etwa:

[[http://launch.dir.groups.yahoo.com/group/tuning/message/86909]] und [[http://www.klingon.org/smboard/index.php?topic=1810.0]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Eine Unterteilung der reinen Duodezime (Frequenzverhältnis 3:1) in 27 gleiche Teile ergibt ein Tonsystem mit einem Basisintervall von 70.44 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;s, beinahe identisch zum Basisintervall von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; (70.59 Cents). Dieses System hat also mehr oder weniger dieselben melodischen und harmonischen Eigenschaften wie 17edo, mit dem Unterschied, dass die Unterteilung des Periodenintervalls keine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahl&amp;lt;/a&amp;gt; ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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27 ist bekanntlich die dritte Potenz von 3. Wir haben hier also das Intervall 3:1, geteilt in 3&amp;lt;span style="font-size: 90%; vertical-align: super;"&amp;gt;3&amp;lt;/span&amp;gt; Teile - ein Tonsystem, wo die Zahl 3 dominiert. Diese Eigenschaften lassen 27edt als prädestiniertes Tonsystem für &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://de.wikipedia.org/wiki/V%C3%B6lker_und_Gruppierungen_im_Star-Trek-Universum#Klingonen" rel="nofollow"&amp;gt;klingonische&amp;lt;/a&amp;gt; Musik erscheinen, da das traditionelle klingonische Zahlensystem auf der 3 basiert. Der etwas rauhe harmonische Charakter von 27edt passt auch sehr gut dazu. Siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://launch.dir.groups.yahoo.com/group/tuning/message/86909" rel="nofollow"&amp;gt;http://launch.dir.groups.yahoo.com/group/tuning/message/86909&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.klingon.org/smboard/index.php?topic=1810.0" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.klingon.org/smboard/index.php?topic=1810.0&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Eine Unterteilung der reinen Duodezime (Frequenzverhältnis 3:1) in 27 gleiche Teile ergibt ein Tonsystem mit einem Basisintervall von 70.44 [[Cent]]s, beinahe identisch zum Basisintervall von [[17edo]] (70.59 Cents). Dieses System hat also mehr oder weniger dieselben melodischen und harmonischen Eigenschaften wie 17edo, mit dem Unterschied, dass die Unterteilung des Periodenintervalls keine [[Primzahlen|Primzahl]] ist.

27 ist bekanntlich die dritte Potenz von 3. Wir haben hier also das Intervall 3:1, geteilt in 3&amp;lt;span style="font-size: 90%; vertical-align: super;"&amp;gt;3&amp;lt;/span&amp;gt; Teile - ein Tonsystem, wo die Zahl 3 dominiert. Diese Eigenschaften lassen 27edt als prädestiniertes Tonsystem für [[https://de.wikipedia.org/wiki/V%C3%B6lker_und_Gruppierungen_im_Star-Trek-Universum#Klingonen|klingonische]] Musik erscheinen, da das traditiojnelle klingonische Zahlensystem auf der 3 basiert. Der etwas rauhe harmonische Charakter passt auch sehr gut dazu. Siehe etwa:

[[http://launch.dir.groups.yahoo.com/group/tuning/message/86909]] und [[http://www.klingon.org/smboard/index.php?topic=1810.0]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Eine Unterteilung der reinen Duodezime (Frequenzverhältnis 3:1) in 27 gleiche Teile ergibt ein Tonsystem mit einem Basisintervall von 70.44 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;s, beinahe identisch zum Basisintervall von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; (70.59 Cents). Dieses System hat also mehr oder weniger dieselben melodischen und harmonischen Eigenschaften wie 17edo, mit dem Unterschied, dass die Unterteilung des Periodenintervalls keine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahl&amp;lt;/a&amp;gt; ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
27 ist bekanntlich die dritte Potenz von 3. Wir haben hier also das Intervall 3:1, geteilt in 3&amp;lt;span style="font-size: 90%; vertical-align: super;"&amp;gt;3&amp;lt;/span&amp;gt; Teile - ein Tonsystem, wo die Zahl 3 dominiert. Diese Eigenschaften lassen 27edt als prädestiniertes Tonsystem für &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://de.wikipedia.org/wiki/V%C3%B6lker_und_Gruppierungen_im_Star-Trek-Universum#Klingonen" rel="nofollow"&amp;gt;klingonische&amp;lt;/a&amp;gt; Musik erscheinen, da das traditiojnelle klingonische Zahlensystem auf der 3 basiert. Der etwas rauhe harmonische Charakter passt auch sehr gut dazu. Siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://launch.dir.groups.yahoo.com/group/tuning/message/86909" rel="nofollow"&amp;gt;http://launch.dir.groups.yahoo.com/group/tuning/message/86909&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.klingon.org/smboard/index.php?topic=1810.0" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.klingon.org/smboard/index.php?topic=1810.0&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-08-13 06:04:31 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;444567212&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/27edt]]

Eine Unterteilung der reinen Duodezime (Frequenzverhältnis 3:1) in 27 gleiche Teile ergibt ein Tonsystem mit einem Basisintervall von 70.44 [[Cent]]s, beinahe identisch zum Basisintervall von [[17edo]] (70.59 Cents). Dieses System hat also mehr oder weniger dieselben melodischen und harmonischen Eigenschaften wie 17edo, mit dem Unterschied, dass die Unterteilung des Periodenintervalls keine [[Primzahlen|Primzahl]] ist.

27 ist bekanntlich die dritte Potenz von 3. Wir haben hier also das Intervall 3:1, geteilt in 3&amp;lt;span style="font-size: 90%; vertical-align: super;"&amp;gt;3&amp;lt;/span&amp;gt; Teile - ein Tonsystem, wo die Zahl 3 dominiert. Diese Eigenschaften lassen 27edt als prädestiniertes Tonsystem für [[https://de.wikipedia.org/wiki/V%C3%B6lker_und_Gruppierungen_im_Star-Trek-Universum#Klingonen|klingonische]] Musik erscheinen, da das traditiojnelle klingonische Zahlensystem auf der 3 basiert. Der etwas rauhe harmonische Charakter passt auch sehr gut dazu. Siehe etwa:
[[http://launch.dir.groups.yahoo.com/group/tuning/message/86909]] und [[http://www.klingon.org/smboard/index.php?topic=1810.0]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Eine Unterteilung der reinen Duodezime (Frequenzverhältnis 3:1) in 27 gleiche Teile ergibt ein Tonsystem mit einem Basisintervall von 70.44 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;s, beinahe identisch zum Basisintervall von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; (70.59 Cents). Dieses System hat also mehr oder weniger dieselben melodischen und harmonischen Eigenschaften wie 17edo, mit dem Unterschied, dass die Unterteilung des Periodenintervalls keine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahl&amp;lt;/a&amp;gt; ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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27 ist bekanntlich die dritte Potenz von 3. Wir haben hier also das Intervall 3:1, geteilt in 3&amp;lt;span style="font-size: 90%; vertical-align: super;"&amp;gt;3&amp;lt;/span&amp;gt; Teile - ein Tonsystem, wo die Zahl 3 dominiert. Diese Eigenschaften lassen 27edt als prädestiniertes Tonsystem für &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://de.wikipedia.org/wiki/V%C3%B6lker_und_Gruppierungen_im_Star-Trek-Universum#Klingonen" rel="nofollow"&amp;gt;klingonische&amp;lt;/a&amp;gt; Musik erscheinen, da das traditiojnelle klingonische Zahlensystem auf der 3 basiert. Der etwas rauhe harmonische Charakter passt auch sehr gut dazu. Siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://launch.dir.groups.yahoo.com/group/tuning/message/86909" rel="nofollow"&amp;gt;http://launch.dir.groups.yahoo.com/group/tuning/message/86909&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.klingon.org/smboard/index.php?topic=1810.0" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.klingon.org/smboard/index.php?topic=1810.0&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/27edt]]

Eine Unterteilung der reinen Duodezime (Frequenzverhältnis 3:1) in 27 gleiche Teile ergibt ein Tonsystem mit einem Basisintervall von 70.44 [[Cent]]s, beinahe identisch zum Basisintervall von [[17edo]] (70.59 Cents). Dieses System hat also mehr oder weniger dieselben melodischen und harmonischen Eigenschaften wie 17edo, mit dem Unterschied, dass die Unterteilung des Periodenintervalls keine [[Primzahlen|Primzahl]] ist.

27 ist bekanntlich die dritte Potenz von 3. Wir haben hier also das Intervall 3:1, geteilt in 3&amp;lt;span style="font-size: 90%; vertical-align: super;"&amp;gt;3&amp;lt;/span&amp;gt; Teile - ein Tonsystem, wo die Zahl 3 dominiert. Diese Eigenschaften
lassen 27edt als prädestiniertes Tonsystem für [[https://de.wikipedia.org/wiki/V%C3%B6lker_und_Gruppierungen_im_Star-Trek-Universum#Klingonen|klingonische]] Musik erscheinen, da das traditiojnelle klingonische Zahlensystem auf der 3 basiert. Siehe hierzu etwa [[http://launch.dir.groups.yahoo.com/group/tuning/message/86909]] und [[http://www.klingon.org/smboard/index.php?topic=1810.0]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Eine Unterteilung der reinen Duodezime (Frequenzverhältnis 3:1) in 27 gleiche Teile ergibt ein Tonsystem mit einem Basisintervall von 70.44 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;s, beinahe identisch zum Basisintervall von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; (70.59 Cents). Dieses System hat also mehr oder weniger dieselben melodischen und harmonischen Eigenschaften wie 17edo, mit dem Unterschied, dass die Unterteilung des Periodenintervalls keine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahl&amp;lt;/a&amp;gt; ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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27 ist bekanntlich die dritte Potenz von 3. Wir haben hier also das Intervall 3:1, geteilt in 3&amp;lt;span style="font-size: 90%; vertical-align: super;"&amp;gt;3&amp;lt;/span&amp;gt; Teile - ein Tonsystem, wo die Zahl 3 dominiert. Diese Eigenschaften&amp;lt;br /&amp;gt;
lassen 27edt als prädestiniertes Tonsystem für &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://de.wikipedia.org/wiki/V%C3%B6lker_und_Gruppierungen_im_Star-Trek-Universum#Klingonen" rel="nofollow"&amp;gt;klingonische&amp;lt;/a&amp;gt; Musik erscheinen, da das traditiojnelle klingonische Zahlensystem auf der 3 basiert. Siehe hierzu etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://launch.dir.groups.yahoo.com/group/tuning/message/86909" rel="nofollow"&amp;gt;http://launch.dir.groups.yahoo.com/group/tuning/message/86909&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.klingon.org/smboard/index.php?topic=1810.0" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.klingon.org/smboard/index.php?topic=1810.0&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Eine Unterteilung der reinen Duodezime (Frequenzverhältnis 3:1) in 27 gleiche Teile ergibt ein Tonsystem mit einem Basisintervall von 70.44 [[Cent|Cent]]s, beinahe identisch zum Basisintervall von [[17edo|17edo]] (70.59 Cents). Dieses System hat also mehr oder weniger dieselben melodischen und harmonischen Eigenschaften wie 17edo, mit dem Unterschied, dass die Unterteilung des Periodenintervalls keine [[Primzahlen|Primzahl]] ist.

27 ist bekanntlich die dritte Potenz von 3. Wir haben hier also das Intervall 3:1, geteilt in 3&lt;span style="font-size: 90%; vertical-align: super;"&gt;3&lt;/span&gt; Teile - ein Tonsystem, wo die Zahl 3 dominiert. Diese Eigenschaften lassen 27edt als prädestiniertes Tonsystem für [https://de.wikipedia.org/wiki/V%C3%B6lker_und_Gruppierungen_im_Star-Trek-Universum#Klingonen klingonische] Musik erscheinen, da das traditionelle klingonische Zahlensystem auf der 3 basiert. Der etwas rauhe harmonische Charakter von 27edt würde dazu auch sehr gut passen. Siehe etwa:

[http://launch.dir.groups.yahoo.com/group/tuning/message/86909 http://launch.dir.groups.yahoo.com/group/tuning/message/86909] und [http://www.klingon.org/smboard/index.php?topic=1810.0 http://www.klingon.org/smboard/index.php?topic=1810.0].  [[Category:edt]]</text>
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Eine Unterteilung der reinen Duodezime (Frequenzverhältnis 3:1) in 27 gleiche Teile ergibt ein Tonsystem mit einem Basisintervall von 70.44 [[Cent|Cent]]s, beinahe identisch zum Basisintervall von [[17edo|17edo]] (70.59 Cents). Dieses System hat also mehr oder weniger dieselben melodischen und harmonischen Eigenschaften wie 17edo, mit dem Unterschied, dass die Unterteilung des Periodenintervalls keine [[Primzahlen|Primzahl]] ist.

27 ist bekanntlich die dritte Potenz von 3. Wir haben hier also das Intervall 3:1, geteilt in 3&lt;span style="font-size: 90%; vertical-align: super;"&gt;3&lt;/span&gt; Teile - ein Tonsystem, wo die Zahl 3 dominiert. Diese Eigenschaften lassen 27edt als prädestiniertes Tonsystem für [https://de.wikipedia.org/wiki/V%C3%B6lker_und_Gruppierungen_im_Star-Trek-Universum#Klingonen klingonische] Musik erscheinen, da das traditionelle klingonische Zahlensystem auf der 3 basiert. Der etwas rauhe harmonische Charakter von 27edt würde dazu auch sehr gut passen. Siehe etwa:

[http://launch.dir.groups.yahoo.com/group/tuning/message/86909 http://launch.dir.groups.yahoo.com/group/tuning/message/86909] und [http://www.klingon.org/smboard/index.php?topic=1810.0 http://www.klingon.org/smboard/index.php?topic=1810.0].  [[Category:edt]]</text>
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Eine Unterteilung der reinen Duodezime (Frequenzverhältnis 3:1) in 27 gleiche Teile ergibt ein Tonsystem mit einem Basisintervall von 70.44 [[Cent|Cent]]s, beinahe identisch zum Basisintervall von [[17-EDO]] (70.59 Cents). Dieses System hat also mehr oder weniger dieselben melodischen und harmonischen Eigenschaften wie 17-EDO, mit dem Unterschied, dass die Unterteilung des Periodenintervalls keine [[Primzahlen|Primzahl]] ist.

27 ist bekanntlich die dritte Potenz von 3. Wir haben hier also das Intervall 3:1, geteilt in 3&lt;span style="font-size: 90%; vertical-align: super;"&gt;3&lt;/span&gt; Teile - ein Tonsystem, wo die Zahl 3 dominiert. Diese Eigenschaften lassen 27-EDT als prädestiniertes Tonsystem für [https://de.wikipedia.org/wiki/V%C3%B6lker_und_Gruppierungen_im_Star-Trek-Universum#Klingonen klingonische] Musik erscheinen, da das traditionelle klingonische Zahlensystem auf der 3 basiert. Der etwas rauhe harmonische Charakter von 27-EDT würde dazu auch sehr gut passen. Siehe etwa:

[http://launch.dir.groups.yahoo.com/group/tuning/message/86909 http://launch.dir.groups.yahoo.com/group/tuning/message/86909] und [http://www.klingon.org/smboard/index.php?topic=1810.0 http://www.klingon.org/smboard/index.php?topic=1810.0].  [[Category:EDT]]</text>
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Eine Unterteilung der reinen Duodezime (Frequenzverhältnis 3:1) in 27 gleiche Teile ergibt ein Tonsystem mit einem Basisintervall von etwa 70.4 [[Cent]], beinahe identisch zum Basisintervall von [[17-EDO]] (ca. 70.6 Cents). Dieses System hat also mehr oder weniger dieselben melodischen und harmonischen Eigenschaften wie 17-EDO, mit dem Unterschied, dass die Unterteilung des Periodenintervalls keine [[Primzahl]] ist.

27 ist bekanntlich die dritte Potenz von 3. Wir haben hier also das Intervall 3:1, geteilt in 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; Teile - ein Tonsystem, wo die Zahl 3 dominiert. Diese Eigenschaften lassen 27-EDT als prädestiniertes Tonsystem für [https://de.wikipedia.org/wiki/V%C3%B6lker_und_Gruppierungen_im_Star-Trek-Universum#Klingonen klingonische] Musik erscheinen, da das traditionelle klingonische Zahlensystem auf der 3 basiert. Der etwas rauhe harmonische Charakter von 27-EDT würde dazu auch sehr gut passen. Siehe etwa:

* [http://launch.dir.groups.yahoo.com/group/tuning/message/86909 http://launch.dir.groups.yahoo.com/group/tuning/message/86909] und
* [http://www.klingon.org/smboard/index.php?topic=1810.0 http://www.klingon.org/smboard/index.php?topic=1810.0].

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Eine Unterteilung der reinen Duodezime (Frequenzverhältnis 3:1) in 27 gleiche Teile ergibt ein [[Tonsystem]] mit einem Basisintervall von etwa 70.4 [[Cent]], beinahe identisch zum Basisintervall von [[17-EDO]] (ca. 70.6 Cents). Dieses System hat also mehr oder weniger dieselben melodischen und harmonischen Eigenschaften wie 17-EDO, mit dem Unterschied, dass die Unterteilung des Periodenintervalls keine [[Primzahl]] ist.

27 ist bekanntlich die dritte Potenz von 3. Wir haben hier also das Intervall 3:1, geteilt in 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; Teile - ein Tonsystem, wo die Zahl 3 dominiert. Diese Eigenschaften lassen 27-EDT als prädestiniertes Tonsystem für [https://de.wikipedia.org/wiki/V%C3%B6lker_und_Gruppierungen_im_Star-Trek-Universum#Klingonen klingonische] Musik erscheinen, da das traditionelle klingonische Zahlensystem auf der 3 basiert. Der etwas rauhe harmonische Charakter von 27-EDT würde dazu auch sehr gut passen. Siehe etwa:

* [http://launch.dir.groups.yahoo.com/group/tuning/message/86909 http://launch.dir.groups.yahoo.com/group/tuning/message/86909] und
* [http://www.klingon.org/smboard/index.php?topic=1810.0 http://www.klingon.org/smboard/index.php?topic=1810.0].

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27 ist bekanntlich die dritte Potenz von 3. Wir haben hier also das Intervall 3:1, geteilt in 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; Teile - ein Tonsystem, wo die Zahl 3 dominiert. Diese Eigenschaften lassen 27-EDT als prädestiniertes Tonsystem für [https://de.wikipedia.org/wiki/V%C3%B6lker_und_Gruppierungen_im_Star-Trek-Universum#Klingonen klingonische] Musik erscheinen, da das traditionelle klingonische Zahlensystem auf der 3 basiert. Der etwas rauhe harmonische Charakter von 27-EDT würde dazu auch sehr gut passen. Siehe etwa:

* [http://launch.dir.groups.yahoo.com/group/tuning/message/86909 http://launch.dir.groups.yahoo.com/group/tuning/message/86909] und
* [http://www.klingon.org/smboard/index.php?topic=1810.0 http://www.klingon.org/smboard/index.php?topic=1810.0].

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29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12edo|12edo]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo '''keine''' [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch '''Ptolemäus-Sekunde''' genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100/99|Ptolemäus-Komma]], von 29edo austemperiert.

29edo kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29edo unterstützen, wäre die [[Schismatische_Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische_Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

Ferner ist der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar (die Quarte also durch 6 teilbar), was einen Generator für eine [[Nautilus|Nautilus]]-Temperatur ergibt. 29edo gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.

Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29edo für gewisse Arten [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29edo, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29edo nicht nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2|eine Stufe mehr]].</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12edo]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo **keine** [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch **Ptolemäus-Sekunde** genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100_99|Ptolemäus-Komma]], von 29edo austemperiert.

29edo kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

An [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29edo unterstützen, wäre die [[Schismatische Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

Ferner ist der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine]]-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar (die Quarte also durch 6 teilbar), was einen Generator für eine [[Nautilus]]-Temperatur ergibt. 29edo gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.

Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29edo für gewisse Arten [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29edo, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29edo nicht nur die [[arabisch, türkisch, persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch, türkisch, persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%202|eine Stufe mehr]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo &amp;lt;strong&amp;gt;keine&amp;lt;/strong&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz (5/4, 386.314 Cent)&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der &amp;amp;quot;kleine Ganzton&amp;amp;quot; hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch &amp;lt;strong&amp;gt;Ptolemäus-Sekunde&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/100_99"&amp;gt;Ptolemäus-Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, von 29edo austemperiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
29edo kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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An &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;, welche 29edo unterstützen, wäre die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Schismatische%20Temperaturen"&amp;gt;schismatische Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Schismatische%20Temperaturen#Garibaldi"&amp;gt;Garibaldi&amp;lt;/a&amp;gt;, bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ferner ist der &amp;amp;quot;kleine Ganzton&amp;amp;quot; bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar (die Quarte also durch 6 teilbar), was einen Generator für eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Nautilus"&amp;gt;Nautilus&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur ergibt. 29edo gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29edo für gewisse Arten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalischer&amp;lt;/a&amp;gt;, und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29edo, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29edo nicht nur die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201"&amp;gt;Mindestanforderungen&amp;lt;/a&amp;gt;, sondern sogar &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%202"&amp;gt;eine Stufe mehr&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12edo]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo **keine** [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch **Ptolemäus-Sekunde** genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100_99|Ptolemäus-Komma]], von 29edo austemperiert.

29edo kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

An [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29edo unterstützen, wäre die [[Schismatische Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

Ferner ist der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine]]-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar (die Quarte also durch 6 teilbar), was einen Generator für eine [[Porcupine#Nautilus|Nautilus]]-Temperatur ergibt. 29edo gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.

Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29edo für gewisse Arten [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29edo, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29edo nicht nur die [[arabisch, türkisch, persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch, türkisch, persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%202|eine Stufe mehr]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo &amp;lt;strong&amp;gt;keine&amp;lt;/strong&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz (5/4, 386.314 Cent)&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der &amp;amp;quot;kleine Ganzton&amp;amp;quot; hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch &amp;lt;strong&amp;gt;Ptolemäus-Sekunde&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/100_99"&amp;gt;Ptolemäus-Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, von 29edo austemperiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
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29edo kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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An &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;, welche 29edo unterstützen, wäre die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Schismatische%20Temperaturen"&amp;gt;schismatische Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Schismatische%20Temperaturen#Garibaldi"&amp;gt;Garibaldi&amp;lt;/a&amp;gt;, bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ferner ist der &amp;amp;quot;kleine Ganzton&amp;amp;quot; bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar (die Quarte also durch 6 teilbar), was einen Generator für eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine#Nautilus"&amp;gt;Nautilus&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur ergibt. 29edo gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29edo für gewisse Arten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalischer&amp;lt;/a&amp;gt;, und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29edo, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29edo nicht nur die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201"&amp;gt;Mindestanforderungen&amp;lt;/a&amp;gt;, sondern sogar &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%202"&amp;gt;eine Stufe mehr&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-05-18 03:13:45 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12edo]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo **keine** [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch **Ptolemäus-Sekunde** genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100_99|Ptolemäus-Komma]], von 29edo austemperiert.

29edo kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

An [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29edo unterstützen, wäre die [[Schismatische Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

Ferner ist der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine]]-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar, was einen Generator für eine [[Porcupine#Nautilus|Nautilus]]-Temperatur ergibt. 29edo gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.

Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29edo für gewisse Arten [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29edo, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29edo nicht nur die [[arabisch, türkisch, persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch, türkisch, persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%202|eine Stufe mehr]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;29edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/29edo"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo &amp;lt;strong&amp;gt;keine&amp;lt;/strong&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz (5/4, 386.314 Cent)&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der &amp;amp;quot;kleine Ganzton&amp;amp;quot; hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch &amp;lt;strong&amp;gt;Ptolemäus-Sekunde&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/100_99"&amp;gt;Ptolemäus-Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, von 29edo austemperiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
29edo kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
An &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;, welche 29edo unterstützen, wäre die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Schismatische%20Temperaturen"&amp;gt;schismatische Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Schismatische%20Temperaturen#Garibaldi"&amp;gt;Garibaldi&amp;lt;/a&amp;gt;, bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ferner ist der &amp;amp;quot;kleine Ganzton&amp;amp;quot; bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar, was einen Generator für eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine#Nautilus"&amp;gt;Nautilus&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur ergibt. 29edo gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29edo für gewisse Arten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalischer&amp;lt;/a&amp;gt;, und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29edo, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29edo nicht nur die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201"&amp;gt;Mindestanforderungen&amp;lt;/a&amp;gt;, sondern sogar &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%202"&amp;gt;eine Stufe mehr&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12edo]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo **keine** [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch **Ptolemäus-Sekunde** genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100_99|Ptolemäus-Komma]], von 29edo austemperiert.

29edo kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

An [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29edo unterstützen, wäre die [[Schismatische Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

Ferner ist der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine]]-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar, was einen Generator für eine [[Porcupine#Nautilus|Nautilus]]-Temperatur ergibt. 29edo gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.

Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29edo für gewisse Arten [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29edo, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29edo nicht nur die [[arabisch, türkisch, persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch, türkisch, persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%202|eine Stufe mehr]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo &amp;lt;strong&amp;gt;keine&amp;lt;/strong&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz (5/4, 386.314 Cent)&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der &amp;amp;quot;kleine Ganzton&amp;amp;quot; hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch &amp;lt;strong&amp;gt;Ptolemäus-Sekunde&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/100_99"&amp;gt;Ptolemäus-Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, von 29edo austemperiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
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29edo kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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An &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;, welche 29edo unterstützen, wäre die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Schismatische%20Temperaturen"&amp;gt;schismatische Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Schismatische%20Temperaturen#Garibaldi"&amp;gt;Garibaldi&amp;lt;/a&amp;gt;, bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ferner ist der &amp;amp;quot;kleine Ganzton&amp;amp;quot; bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar, was einen Generator für eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine#Nautilus"&amp;gt;Nautilus&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur ergibt. 29edo gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29edo für gewisse Arten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalischer&amp;lt;/a&amp;gt;, und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29edo, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29edo nicht nur die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201"&amp;gt;Mindestanforderungen&amp;lt;/a&amp;gt;, sondern sogar &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%202"&amp;gt;eine Stufe mehr&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2016-06-14 11:21:48 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12edo]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo **keine** [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch Ptolemäus-Sekunde genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100_99|Ptolemäus-Komma]], von 29edo austemperiert.

29edo kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

An [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29edo unterstützen, wäre die [[Schismatische Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

Ferner ist der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine]]-Temperatur.

Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29edo für gewisse Arten [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29edo, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29edo nicht nur die [[arabisch, türkisch, persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch, türkisch, persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%202|eine Stufe mehr]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;29edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/29edo"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo &amp;lt;strong&amp;gt;keine&amp;lt;/strong&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz (5/4, 386.314 Cent)&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (206.897 und 165.517 Cent). Der &amp;amp;quot;kleine Ganzton&amp;amp;quot; hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch Ptolemäus-Sekunde genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/100_99"&amp;gt;Ptolemäus-Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, von 29edo austemperiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
29edo kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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An &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;, welche 29edo unterstützen, wäre die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Schismatische%20Temperaturen"&amp;gt;schismatische Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Schismatische%20Temperaturen#Garibaldi"&amp;gt;Garibaldi&amp;lt;/a&amp;gt;, bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ferner ist der &amp;amp;quot;kleine Ganzton&amp;amp;quot; bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29edo für gewisse Arten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalischer&amp;lt;/a&amp;gt;, und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29edo, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29edo nicht nur die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201"&amp;gt;Mindestanforderungen&amp;lt;/a&amp;gt;, sondern sogar &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%202"&amp;gt;eine Stufe mehr&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12edo]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo **keine** [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch Ptolemäus-Sekunde genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100_99|Ptolemäus-Komma]], von 29edo austemperiert.

29edo kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

An [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29edo unterstützt, wäre die [[Schismatische Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

Ferner ist der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine]]-Temperatur.

Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29edo für gewisse Arten [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29edo, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29edo nicht nur die [[arabisch, türkisch, persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch, türkisch, persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%202|eine Stufe mehr]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo &amp;lt;strong&amp;gt;keine&amp;lt;/strong&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz (5/4, 386.314 Cent)&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (206.897 und 165.517 Cent). Der &amp;amp;quot;kleine Ganzton&amp;amp;quot; hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch Ptolemäus-Sekunde genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/100_99"&amp;gt;Ptolemäus-Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, von 29edo austemperiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
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29edo kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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An &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;, welche 29edo unterstützt, wäre die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Schismatische%20Temperaturen"&amp;gt;schismatische Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Schismatische%20Temperaturen#Garibaldi"&amp;gt;Garibaldi&amp;lt;/a&amp;gt;, bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ferner ist der &amp;amp;quot;kleine Ganzton&amp;amp;quot; bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29edo für gewisse Arten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalischer&amp;lt;/a&amp;gt;, und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29edo, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29edo nicht nur die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201"&amp;gt;Mindestanforderungen&amp;lt;/a&amp;gt;, sondern sogar &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%202"&amp;gt;eine Stufe mehr&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12edo]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo **keine** [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch Ptolemäus-Sekunde genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100_99|Ptolemäus-Komma]], von 29edo austemperiert.

29edo kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

An [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29edo unterstützt, wäre die [[Schismatische Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

Ferner ist der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine]]-Temperatur.

Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29edo für gewisse Arten [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. 29edo erfüllt dabei nicht nur die [[arabisch, türkisch, persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch, türkisch, persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%202|eine Stufe mehr]] - mit der Besonderheit, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde zur Approximation einer grossen Terz führen, was eine Eigenschaft türkischer Systeme ist im Gegensatz zu arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;29edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/29edo"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo &amp;lt;strong&amp;gt;keine&amp;lt;/strong&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz (5/4, 386.314 Cent)&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (206.897 und 165.517 Cent). Der &amp;amp;quot;kleine Ganzton&amp;amp;quot; hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch Ptolemäus-Sekunde genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/100_99"&amp;gt;Ptolemäus-Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, von 29edo austemperiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
29edo kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
An &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;, welche 29edo unterstützt, wäre die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Schismatische%20Temperaturen"&amp;gt;schismatische Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Schismatische%20Temperaturen#Garibaldi"&amp;gt;Garibaldi&amp;lt;/a&amp;gt;, bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ferner ist der &amp;amp;quot;kleine Ganzton&amp;amp;quot; bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29edo für gewisse Arten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalischer&amp;lt;/a&amp;gt;, und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. 29edo erfüllt dabei nicht nur die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201"&amp;gt;Mindestanforderungen&amp;lt;/a&amp;gt;, sondern sogar &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%202"&amp;gt;eine Stufe mehr&amp;lt;/a&amp;gt; - mit der Besonderheit, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde zur Approximation einer grossen Terz führen, was eine Eigenschaft türkischer Systeme ist im Gegensatz zu arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12edo]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo **keine** [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100_99|Ptolemäus-Komma]], von 29edo austemperiert.

29edo kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

An [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29edo unterstützt, wäre die [[Schismatische Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

Ferner ist der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine]]-Temperatur.

Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29edo für gewisse Arten [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. 29edo erfüllt dabei nicht nur die [[arabisch, türkisch, persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch, türkisch, persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%202|eine Stufe mehr]] - mit der Besonderheit, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde zur Approximation einer grossen Terz führen, was eine Eigenschaft türkischer Systeme ist im Gegensatz zu arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo &amp;lt;strong&amp;gt;keine&amp;lt;/strong&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz (5/4, 386.314 Cent)&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (206.897 und 165.517 Cent). Der &amp;amp;quot;kleine Ganzton&amp;amp;quot; hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/100_99"&amp;gt;Ptolemäus-Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, von 29edo austemperiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
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29edo kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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An &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;, welche 29edo unterstützt, wäre die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Schismatische%20Temperaturen"&amp;gt;schismatische Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Schismatische%20Temperaturen#Garibaldi"&amp;gt;Garibaldi&amp;lt;/a&amp;gt;, bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ferner ist der &amp;amp;quot;kleine Ganzton&amp;amp;quot; bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29edo für gewisse Arten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalischer&amp;lt;/a&amp;gt;, und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. 29edo erfüllt dabei nicht nur die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201"&amp;gt;Mindestanforderungen&amp;lt;/a&amp;gt;, sondern sogar &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%202"&amp;gt;eine Stufe mehr&amp;lt;/a&amp;gt; - mit der Besonderheit, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde zur Approximation einer grossen Terz führen, was eine Eigenschaft türkischer Systeme ist im Gegensatz zu arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <text bytes="9463" sha1="qt459i6i890wuslp6locwb78llaznix" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2016-06-14 07:04:06 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/29edo|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12edo]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo **keine** [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100_99|Ptolemäus-Komma]], von 29edo austemperiert.

29edo kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde gehört werden.

An [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29edo unterstützt, wäre die [[Schismatische Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

Ferner ist der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine]]-Temperatur.

Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29edo für gewisse Arten [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. 29edo erfüllt dabei nicht nur die [[arabisch, türkisch, persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch, türkisch, persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%202|eine Stufe mehr]] - mit der Besonderheit, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde zur Approximation einer grossen Terz führen, was eine Eigenschaft türkischer Systeme ist im Gegensatz zu arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;29edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/29edo"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo &amp;lt;strong&amp;gt;keine&amp;lt;/strong&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz (5/4, 386.314 Cent)&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (206.897 und 165.517 Cent). Der &amp;amp;quot;kleine Ganzton&amp;amp;quot; hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/100_99"&amp;gt;Ptolemäus-Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, von 29edo austemperiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
29edo kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde gehört werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
An &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;, welche 29edo unterstützt, wäre die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Schismatische%20Temperaturen"&amp;gt;schismatische Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Schismatische%20Temperaturen#Garibaldi"&amp;gt;Garibaldi&amp;lt;/a&amp;gt;, bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ferner ist der &amp;amp;quot;kleine Ganzton&amp;amp;quot; bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29edo für gewisse Arten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalischer&amp;lt;/a&amp;gt;, und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. 29edo erfüllt dabei nicht nur die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201"&amp;gt;Mindestanforderungen&amp;lt;/a&amp;gt;, sondern sogar &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%202"&amp;gt;eine Stufe mehr&amp;lt;/a&amp;gt; - mit der Besonderheit, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde zur Approximation einer grossen Terz führen, was eine Eigenschaft türkischer Systeme ist im Gegensatz zu arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2016-06-14 05:09:06 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12edo]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo **keine** [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100_99|Ptolemäus-Komma]], von 29edo austemperiert.

An [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29edo unterstützt, wäre die [[Schismatische Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

Ferner ist der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine]]-Temperatur.

[Todo türkisch]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo &amp;lt;strong&amp;gt;keine&amp;lt;/strong&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz (5/4, 386.314 Cent)&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (206.897 und 165.517 Cent). Der &amp;amp;quot;kleine Ganzton&amp;amp;quot; hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/100_99"&amp;gt;Ptolemäus-Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, von 29edo austemperiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
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An &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;, welche 29edo unterstützt, wäre die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Schismatische%20Temperaturen"&amp;gt;schismatische Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Schismatische%20Temperaturen#Garibaldi"&amp;gt;Garibaldi&amp;lt;/a&amp;gt;, bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ferner ist der &amp;amp;quot;kleine Ganzton&amp;amp;quot; bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
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29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12edo]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo **keine** [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100_99|Ptolemäus-Komma]], von 29edo austemperiert.

An [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29edo unterstützt, wäre die [[Schismatische Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

Ferner ist der kleine Ganzton von 29edo ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine]]-Temperatur.

[Todo türkisch]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo &amp;lt;strong&amp;gt;keine&amp;lt;/strong&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz (5/4, 386.314 Cent)&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (206.897 und 165.517 Cent). Der &amp;amp;quot;kleine Ganzton&amp;amp;quot; hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/100_99"&amp;gt;Ptolemäus-Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, von 29edo austemperiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
An &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;, welche 29edo unterstützt, wäre die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Schismatische%20Temperaturen"&amp;gt;schismatische Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Schismatische%20Temperaturen#Garibaldi"&amp;gt;Garibaldi&amp;lt;/a&amp;gt;, bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ferner ist der kleine Ganzton von 29edo ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2016-06-14 04:57:27 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12edo]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo **keine** [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" ist dabei gegenüber dem entsprechenden reinen Intervall 10/9 (182.40371 Cents) deutlich kleiner, beinahe eher eine neutrale Sekunde - in der Tat ist die beste Approximation der neutralen Sekunde 11/10 dasselbe Intervall. Das heisst, der Unterscheid zwischen 10/9 und 11/10, das [[100_99|Ptolemäus-Komma]], wird von 29edo austemperiert.

An [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29edo unterstützt, wäre die [[Schismatische Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

Ferner ist der kleine Ganzton von 29edo ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine]]-Temperatur.

[Todo türkisch]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;29edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/29edo"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo &amp;lt;strong&amp;gt;keine&amp;lt;/strong&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz (5/4, 386.314 Cent)&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (206.897 und 165.517 Cent). Der &amp;amp;quot;kleine Ganzton&amp;amp;quot; ist dabei gegenüber dem entsprechenden reinen Intervall 10/9 (182.40371 Cents) deutlich kleiner, beinahe eher eine neutrale Sekunde - in der Tat ist die beste Approximation der neutralen Sekunde 11/10 dasselbe Intervall. Das heisst, der Unterscheid zwischen 10/9 und 11/10, das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/100_99"&amp;gt;Ptolemäus-Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, wird von 29edo austemperiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
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An &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;, welche 29edo unterstützt, wäre die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Schismatische%20Temperaturen"&amp;gt;schismatische Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Schismatische%20Temperaturen#Garibaldi"&amp;gt;Garibaldi&amp;lt;/a&amp;gt;, bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ferner ist der kleine Ganzton von 29edo ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
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29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12edo]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo **keine** [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (206.897 und 165.517 Cent).

An [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29edo unterstützt, wäre die [[Schismatische Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

Ferner ist der kleine Ganzton von 29edo ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine]]-Temperatur.

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29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo &amp;lt;strong&amp;gt;keine&amp;lt;/strong&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz (5/4, 386.314 Cent)&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (206.897 und 165.517 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
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An &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;, welche 29edo unterstützt, wäre die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Schismatische%20Temperaturen"&amp;gt;schismatische Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Schismatische%20Temperaturen#Garibaldi"&amp;gt;Garibaldi&amp;lt;/a&amp;gt;, bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ferner ist der kleine Ganzton von 29edo ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
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29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12edo]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedrieger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo **keine** [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer (recht guten) Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne.

An [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29edo unterstützt, wäre die [[Schismatische Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

[Todo Porcupine, türkisch]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedrieger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo &amp;lt;strong&amp;gt;keine&amp;lt;/strong&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer (recht guten) Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64); die beste Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz (5/4)&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
An &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;, welche 29edo unterstützt, wäre die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Schismatische%20Temperaturen"&amp;gt;schismatische Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Schismatische%20Temperaturen#Garibaldi"&amp;gt;Garibaldi&amp;lt;/a&amp;gt;, bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).&amp;lt;br /&amp;gt;
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[Todo Porcupine, türkisch]&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-10-12 08:19:09 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12edo]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedrieger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo **keine** [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer (recht guten) Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne.

[Todo]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedrieger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo &amp;lt;strong&amp;gt;keine&amp;lt;/strong&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer (recht guten) Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64); die beste Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz (5/4)&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne.&amp;lt;br /&amp;gt;
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29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12edo]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag.

[Todo]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.&amp;lt;br /&amp;gt;
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29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12edo]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

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29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.&amp;lt;br /&amp;gt;
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29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12edo|12edo]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo '''keine''' [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch '''Ptolemäus-Sekunde''' genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100/99|Ptolemäus-Komma]], von 29edo austemperiert.

29edo kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29edo unterstützen, wäre die [[Schismatische_Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische_Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

Ferner ist der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar (die Quarte also durch 6 teilbar), was einen Generator für eine [[Nautilus|Nautilus]]-Temperatur ergibt. 29edo gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.

Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29edo für gewisse Arten [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29edo, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29edo nicht nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2|eine Stufe mehr]].</text>
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29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12edo|12edo]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo '''keine''' [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch '''Ptolemäus-Sekunde''' genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100/99|Ptolemäus-Komma]], von 29edo austemperiert.

29edo kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29edo unterstützen, wäre die [[Schismatische_Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische_Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

Ferner ist der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar (die Quarte also durch 6 teilbar), was einen Generator für eine [[Nautilus|Nautilus]]-Temperatur ergibt. 29edo gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.

Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29edo für gewisse Arten [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29edo, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29edo nicht nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2|eine Stufe mehr]].</text>
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29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12edo|12edo]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo '''keine''' [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch '''Ptolemäus-Sekunde''' genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100/99|Ptolemäus-Komma]], von 29edo austemperiert.

29edo kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29edo unterstützen, wäre die [[Schismatische_Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische_Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

Ferner ist der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar (die Quarte also durch 6 teilbar), was einen Generator für eine [[Nautilus|Nautilus]]-Temperatur ergibt. 29edo gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.

[[File:Nautilus14_29edo.mp3]]

Nautilus[14]-Skala (Lsssssssssssss) in 29edo

Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29edo für gewisse Arten [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29edo, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29edo nicht nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2|eine Stufe mehr]].</text>
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__FORCETOC__

29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12edo|12edo]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo '''keine''' [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch '''Ptolemäus-Sekunde''' genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100/99|Ptolemäus-Komma]], von 29edo austemperiert.

=Skalen, Temperaturen=

29edo kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

{| class="wikitable"
|+
|[[File:29edoSuperpythDiatonic.mp3]]
|[[File:12edoDiatonic.mp3]]
|-
|(Super-)pythagorean diatonic major scale and cadence in 29edo
|12edo diatonic major scale and cadence, for comparison
|}

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29edo unterstützen, wäre die [[Schismatische_Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische_Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

=Nautilus=

Ferner ist der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar (die Quarte also durch 6 teilbar), was einen Generator für eine [[Nautilus|Nautilus]]-Temperatur ergibt. 29edo gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.

[[File:Nautilus14_29edo.mp3]]

Nautilus[14]-Skala (Lsssssssssssss) in 29edo

[ToDo Nicetone]

=Orientalische Musik=

Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29edo für gewisse Arten [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29edo, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29edo nicht nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2|eine Stufe mehr]].</text>
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__FORCETOC__

29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12edo|12edo]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo '''keine''' [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch '''Ptolemäus-Sekunde''' genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100/99|Ptolemäus-Komma]], von 29edo austemperiert.

=Skalen, Temperaturen=

29edo kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

{| class="wikitable"
|+
|[[File:29edoSuperpythDiatonic.mp3]]
|[[File:12edoDiatonic.mp3]]
|-
|(Super-)pythagoräische Durskala unbd Kadenz in 29edo
|Traditionelle diatonische Durskala und Kadenz in 12edo, zum Vergleich|}

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29edo unterstützen, wäre die [[Schismatische_Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische_Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

=Nautilus=

Ferner ist der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar (die Quarte also durch 6 teilbar), was einen Generator für eine [[Nautilus|Nautilus]]-Temperatur ergibt. 29edo gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.

[[File:Nautilus14_29edo.mp3]]

Nautilus[14]-Skala (Lsssssssssssss) in 29edo

[ToDo Nicetone]

=Orientalische Musik=

Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29edo für gewisse Arten [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29edo, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29edo nicht nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2|eine Stufe mehr]].</text>
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__FORCETOC__

29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12edo|12edo]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo '''keine''' [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch '''Ptolemäus-Sekunde''' genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100/99|Ptolemäus-Komma]], von 29edo austemperiert.

=Skalen, Temperaturen=

29edo kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

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|[[File:29edoSuperpythDiatonic.mp3]]
|[[File:12edoDiatonic.mp3]]
|-
|(Super-)pythagoräische Durskala unbd Kadenz in 29edo
|Traditionelle diatonische Durskala und Kadenz in 12edo, zum Vergleich
|}

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29edo unterstützen, wäre die [[Schismatische_Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische_Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

=Nautilus=

Ferner ist der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar (die Quarte also durch 6 teilbar), was einen Generator für eine [[Nautilus|Nautilus]]-Temperatur ergibt. 29edo gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.

[[File:Nautilus14_29edo.mp3]]

Nautilus[14]-Skala (Lsssssssssssss) in 29edo

[ToDo Nicetone]

=Orientalische Musik=

Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29edo für gewisse Arten [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29edo, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29edo nicht nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2|eine Stufe mehr]].</text>
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__FORCETOC__

29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12edo|12edo]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo '''keine''' [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch '''Ptolemäus-Sekunde''' genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100/99|Ptolemäus-Komma]], von 29edo austemperiert.

=Skalen, Temperaturen=

29edo kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

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|[[File:29edoSuperpythDiatonic.mp3]]
|[[File:12edoDiatonic.mp3]]
|-
|(Super-)pythagoräische Durskala unbd Kadenz in 29edo
|Traditionelle diatonische Durskala und Kadenz in 12edo, zum Vergleich
|}

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29edo unterstützen, wäre die [[Schismatische_Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische_Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

=Nautilus=

Der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ist genau ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar (die Quarte also durch 6 teilbar), was einen Generator für eine [[Nautilus|Nautilus]]-Temperatur ergibt. 29edo gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.

[[File:Nautilus14_29edo.mp3]]

Nautilus[14]-Skala (Lsssssssssssss) in 29edo

=Nicetone=

[ToDo]

=Orientalische Musik=

Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29edo für gewisse Arten [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29edo, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29edo nicht nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2|eine Stufe mehr]].</text>
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29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12edo|12edo]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo '''keine''' [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch '''Ptolemäus-Sekunde''' genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100/99|Ptolemäus-Komma]], von 29edo austemperiert.

=(Super-)pyth=

29edo kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

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|[[File:29edoSuperpythDiatonic.mp3]]
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|(Super-)pythagoräische Durskala unbd Kadenz in 29edo
|Traditionelle diatonische Durskala und Kadenz in 12edo, zum Vergleich
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An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29edo unterstützen, wäre die [[Schismatische_Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische_Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

=Nautilus=

Der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ist genau ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar (die Quarte also durch 6 teilbar), was einen Generator für eine [[Nautilus|Nautilus]]-Temperatur ergibt. 29edo gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.

[[File:Nautilus14_29edo.mp3]]

Nautilus[14]-Skala (Lsssssssssssss) in 29edo

=Nicetone=

[ToDo]

=Orientalische Musik=

Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29edo für gewisse Arten [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29edo, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29edo nicht nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2|eine Stufe mehr]].</text>
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__FORCETOC__

29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12edo|12edo]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo '''keine''' [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch '''Ptolemäus-Sekunde''' genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100/99|Ptolemäus-Komma]], von 29edo austemperiert.

=(Super-)Pyth=

29edo kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

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|[[File:29edoSuperpythDiatonic.mp3]]
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|(Super-)pythagoräische Durskala unbd Kadenz in 29edo
|Traditionelle diatonische Durskala und Kadenz in 12edo, zum Vergleich
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An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29edo unterstützen, wäre die [[Schismatische_Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische_Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

=Nautilus=

Der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ist genau ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar (die Quarte also durch 6 teilbar), was einen Generator für eine [[Nautilus|Nautilus]]-Temperatur ergibt. 29edo gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.

[[File:Nautilus14_29edo.mp3]]

Nautilus[14]-Skala (Lsssssssssssss) in 29edo

=Nicetone=

[ToDo]

=Orientalische Musik=

Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29edo für gewisse Arten [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29edo, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29edo nicht nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2|eine Stufe mehr]].</text>
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__FORCETOC__

29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12edo|12edo]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo '''keine''' [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch '''Ptolemäus-Sekunde''' genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100/99|Ptolemäus-Komma]], von 29edo austemperiert.

=(Super-)Pyth=

29edo kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

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|[[File:29edoSuperpythDiatonic.mp3]]
|[[File:12edoDiatonic.mp3]]
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|(Super-)pythagoräische Durskala unbd Kadenz in 29edo
|Traditionelle diatonische Durskala und Kadenz in 12edo, zum Vergleich
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=Schismatisch, Garibaldi=

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29edo unterstützen, wäre die [[Schismatische_Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische_Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

=Nautilus=

Der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ist genau ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar (die Quarte also durch 6 teilbar), was einen Generator für eine [[Nautilus|Nautilus]]-Temperatur ergibt. 29edo gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.

[[File:Nautilus14_29edo.mp3]]

Nautilus[14]-Skala (Lsssssssssssss) in 29edo

=Nicetone=

[ToDo]

=Orientalische Musik=

Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29edo für gewisse Arten [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29edo, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29edo nicht nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2|eine Stufe mehr]].</text>
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__FORCETOC__

29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12edo|12edo]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo '''keine''' [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch '''Ptolemäus-Sekunde''' genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100/99|Ptolemäus-Komma]], von 29edo austemperiert.

=(Super-)Pyth=

29edo kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

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|[[File:29edoSuperpythDiatonic.mp3]]
|[[File:12edoDiatonic.mp3]]
|-
|(Super-)pythagoräische Durskala unbd Kadenz in 29edo
|Traditionelle diatonische Durskala und Kadenz in 12edo, zum Vergleich
|}

=Schismatisch, Garibaldi=

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29edo unterstützen, wäre die [[Schismatische_Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische_Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

=Nautilus=

Der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ist genau ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar (die Quarte also durch 6 teilbar), was einen Generator für eine [[Nautilus|Nautilus]]-Temperatur ergibt. 29edo gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.

[[File:Nautilus14_29edo.mp3]]

Nautilus[14]-Skala (Lsssssssssssss) in 29edo

=Nicetone=

Die Approximation der [[Durtonleiter|reinen Durtonleiter]] in 29edo mit der besten Approximation der grossen Terz 5/4 ergibt eine Skala der Form 5435453, die, wie man sieht, Intervalle in drei verschiedenen Grössen enthält (Sekunden in 3, 4 und 5 29edo-Schritte), also keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist. Die in ihr vorkommenden Terzen haben 7, 8 und 9 29edo-Schritte, wobei 8 und 9 den Approximationen von „herkömmlicher“ kleiner und grosser Terz entsprechen und 7 einer zusätzlichen, noch kleineren Terz, die sich als fast perfekte Approximation (kaum ein halbes Cent Unterschied) des Intervalls 13/11 präsentiert. Bei den Quarten gibt es neben solchen mit 12 (Approximation der reinen Quarte 4/3) und 14 Schritten (kleiner Tritonus) noch eine mit 13 Schritten, die weniger als 1 Cent vom reinen Intervall 15/11 entfernt liegt. Diese zusätzlichen Intervalke sowie die damit in der Skala gebildeten Dreiklänge können auf ihre eigene, leicht exotische Weise als konsonant gelten, und insgesamt ergibt sich eine Harmonik, die der traditionellen in [[12edo]] verblüffend ähnlich ist.

Für dieses Tonsystem wurde im englischen Xenwiki der (nicht besonders originelle) Begriff „Nicetone“ (nett-tönige Temperatur) geprägt.

[ToDo]

=Orientalische Musik=

Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29edo für gewisse Arten [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29edo, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29edo nicht nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2|eine Stufe mehr]].</text>
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__FORCETOC__

29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12edo|12edo]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo '''keine''' [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch '''Ptolemäus-Sekunde''' genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100/99|Ptolemäus-Komma]], von 29edo austemperiert.

=(Super-)Pyth=

29edo kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

{| class="wikitable"
|+
|[[File:29edoSuperpythDiatonic.mp3]]
|[[File:12edoDiatonic.mp3]]
|-
|(Super-)pythagoräische Durskala unbd Kadenz in 29edo
|Traditionelle diatonische Durskala und Kadenz in 12edo, zum Vergleich
|}

=Schismatisch, Garibaldi=

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29edo unterstützen, wäre die [[Schismatische_Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische_Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

=Nautilus=

Der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ist genau ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar (die Quarte also durch 6 teilbar), was einen Generator für eine [[Nautilus|Nautilus]]-Temperatur ergibt. 29edo gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.

[[File:Nautilus14_29edo.mp3]]

Nautilus[14]-Skala (Lsssssssssssss) in 29edo

=Nicetone=

Die Approximation der [[Durtonleiter|reinen Durtonleiter]] in 29edo mit der besten Approximation der grossen Terz 5/4 ergibt eine Skala der Form 5435453, die, wie man sieht, Intervalle in drei verschiedenen Grössen enthält (Sekunden in 3, 4 und 5 29edo-Schritten), also keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist. Die in ihr vorkommenden Terzen haben 7, 8 und 9 29edo-Schritte, wobei 8 und 9 den Approximationen von „herkömmlicher“ kleiner und grosser Terz entsprechen und 7 einer zusätzlichen, noch kleineren Terz, die sich als fast perfekte Approximation (kaum ein halbes Cent Unterschied) des Intervalls 13/11 präsentiert. Bei den Quarten gibt es neben solchen mit 12 (Approximation der reinen Quarte 4/3) und 14 Schritten (kleiner Tritonus) noch eine mit 13 Schritten, die weniger als 1 Cent vom reinen Intervall 15/11 entfernt liegt. Diese zusätzlichen Intervalke sowie die damit in der Skala gebildeten Dreiklänge können auf ihre eigene, leicht exotische Weise als konsonant gelten, und insgesamt ergibt sich eine Harmonik, die der traditionellen in [[12edo]] verblüffend ähnlich ist.

Für dieses Tonsystem wurde im englischen Xenwiki der (nicht besonders originelle) Begriff „Nicetone“ (nett-tönige Temperatur) geprägt.

=Nicetone=

29edo is not a meantone system, but it could nonetheless be used as a basis for common-practice music if one considers the superfourth as a consonant, alternative type of fourth, and the 11:13:16 as an alternative type of consonant "doubly minor" triad. We can then use a diatonic scale such as 5435453 (which resembles Didymus' 5-limit JI diatonic scale, but with the syntonic comma being exaggerated in size). This scale has a very similar harmonic structure to a meantone diatonic scale, except that one of its minor triads is doubly-minor.

Such a scale could be called "nicetone" as a play on meantone. Since it preserves most of the same 5-limit relationships, nicetone is only slightly xenharmonic (in contrast to [[Superpyth|superpyth]], which is quite blatantly so). The fact that 29edo's superfourth is within a cent of 15:11, and its 13:11 is within half a cent of a just 13:11, are both happy accidents. One just has to make that one is using a timbre that allows these higher-limit harmonic relationships to sound apparent and consonant enough to substitute for their simpler counterparts.

[[File:29edoNicetone.mp3]]

Nicetone-Skala 5435453 in 29edo

=Orientalische Musik=

Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29edo für gewisse Arten [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29edo, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29edo nicht nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2|eine Stufe mehr]].</text>
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__FORCETOC__

29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12edo|12edo]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo '''keine''' [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch '''Ptolemäus-Sekunde''' genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100/99|Ptolemäus-Komma]], von 29edo austemperiert.

=(Super-)Pyth=

29edo kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

{| class="wikitable"
|+
|[[File:29edoSuperpythDiatonic.mp3]]
|[[File:12edoDiatonic.mp3]]
|-
|(Super-)pythagoräische Durskala unbd Kadenz in 29edo
|Traditionelle diatonische Durskala und Kadenz in 12edo, zum Vergleich
|}

=Schismatisch, Garibaldi=

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29edo unterstützen, wäre die [[Schismatische_Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische_Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

=Nautilus=

Der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ist genau ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar (die Quarte also durch 6 teilbar), was einen Generator für eine [[Nautilus|Nautilus]]-Temperatur ergibt. 29edo gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.

[[File:Nautilus14_29edo.mp3]]

Nautilus[14]-Skala (Lsssssssssssss) in 29edo

=Nicetone=

Die Approximation der [[Durtonleiter|reinen Durtonleiter]] in 29edo mit der besten Approximation der grossen Terz 5/4 ergibt eine Skala der Form 5435453, die, wie man sieht, Intervalle in drei verschiedenen Grössen enthält (Sekunden in 3, 4 und 5 29edo-Schritten), also keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist. Die in ihr vorkommenden Terzen haben 7, 8 und 9 29edo-Schritte, wobei 8 und 9 den Approximationen von „herkömmlicher“ kleiner und grosser Terz entsprechen und 7 einer zusätzlichen, noch kleineren Terz, die sich als fast perfekte Approximation (kaum ein halbes Cent Unterschied) des Intervalls 13/11 präsentiert. Bei den Quarten gibt es neben solchen mit 12 (Approximation der reinen Quarte 4/3) und 14 Schritten (kleiner Tritonus) noch eine mit 13 Schritten, die weniger als 1 Cent vom reinen Intervall 15/11 entfernt liegt. Diese zusätzlichen Intervalke sowie die damit in der Skala gebildeten Dreiklänge können auf ihre eigene, leicht exotische Weise als konsonant gelten, und insgesamt ergibt sich eine Harmonik, die der traditionellen in [[12edo]] verblüffend ähnlich ist.

Für dieses Tonsystem wurde im englischen Xenwiki der (nicht besonders originelle) Begriff „Nicetone“ (nett-tönige Temperatur) geprägt.


=Nicetone=

29edo is not a meantone system, but it could nonetheless be used as a basis for common-practice music if one considers the superfourth as a consonant, alternative type of fourth, and the 11:13:16 as an alternative type of consonant "doubly minor" triad. We can then use a diatonic scale such as 5435453 (which resembles Didymus' 5-limit JI diatonic scale, but with the syntonic comma being exaggerated in size). This scale has a very similar harmonic structure to a meantone diatonic scale, except that one of its minor triads is doubly-minor.

Such a scale could be called "nicetone" as a play on meantone. Since it preserves most of the same 5-limit relationships, nicetone is only slightly xenharmonic (in contrast to [[Superpyth|superpyth]], which is quite blatantly so). The fact that 29edo's superfourth is within a cent of 15:11, and its 13:11 is within half a cent of a just 13:11, are both happy accidents. One just has to make that one is using a timbre that allows these higher-limit harmonic relationships to sound apparent and consonant enough to substitute for their simpler counterparts.

[[File:29edoNicetone.mp3]]

Nicetone-Skala 5435453 in 29edo

=Nicetone=

29edo is not a meantone system, but it could nonetheless be used as a basis for common-practice music if one considers the superfourth as a consonant, alternative type of fourth, and the 11:13:16 as an alternative type of consonant "doubly minor" triad. We can then use a diatonic scale such as 5435453 (which resembles Didymus' 5-limit JI diatonic scale, but with the syntonic comma being exaggerated in size). This scale has a very similar harmonic structure to a meantone diatonic scale, except that one of its minor triads is doubly-minor.

Such a scale could be called "nicetone" as a play on meantone. Since it preserves most of the same 5-limit relationships, nicetone is only slightly xenharmonic (in contrast to [[Superpyth|superpyth]], which is quite blatantly so). The fact that 29edo's superfourth is within a cent of 15:11, and its 13:11 is within half a cent of a just 13:11, are both happy accidents. One just has to make that one is using a timbre that allows these higher-limit harmonic relationships to sound apparent and consonant enough to substitute for their simpler counterparts.

[[File:29edoNicetone.mp3]]

Nicetone-Skala 5435453 in 29edo

=Orientalische Musik=

Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29edo für gewisse Arten [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29edo, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29edo nicht nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2|eine Stufe mehr]].</text>
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      <comment>Änderungen von [[Special:Contributions/Hstraub|Hstraub]] ([[User talk:Hstraub|Diskussion]]) wurden auf die letzte Version von [[User:Mike Battaglia|Mike Battaglia]] zurückgesetzt</comment>
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29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12edo|12edo]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo '''keine''' [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch '''Ptolemäus-Sekunde''' genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100/99|Ptolemäus-Komma]], von 29edo austemperiert.

29edo kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29edo unterstützen, wäre die [[Schismatische_Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische_Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

Ferner ist der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar (die Quarte also durch 6 teilbar), was einen Generator für eine [[Nautilus|Nautilus]]-Temperatur ergibt. 29edo gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.

Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29edo für gewisse Arten [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29edo, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29edo nicht nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2|eine Stufe mehr]].</text>
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__FORCETOC__

29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12edo|12edo]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo '''keine''' [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch '''Ptolemäus-Sekunde''' genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100/99|Ptolemäus-Komma]], von 29edo austemperiert.

=(Super-)Pyth=

29edo kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

{| class="wikitable"
|+
|[[File:29edoSuperpythDiatonic.mp3]]
|[[File:12edoDiatonic.mp3]]
|-
|(Super-)pythagoräische Durskala unbd Kadenz in 29edo
|Traditionelle diatonische Durskala und Kadenz in 12edo, zum Vergleich
|}

=Schismatisch, Garibaldi=

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29edo unterstützen, wäre die [[Schismatische_Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische_Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

=Nautilus=

Der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ist genau ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar (die Quarte also durch 6 teilbar), was einen Generator für eine [[Nautilus|Nautilus]]-Temperatur ergibt. 29edo gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.

[[File:Nautilus14_29edo.mp3]]

Nautilus[14]-Skala (Lsssssssssssss) in 29edo

=Nicetone=

Die Approximation der [[Durtonleiter|reinen Durtonleiter]] in 29edo mit der besten Approximation der grossen Terz 5/4 ergibt eine Skala der Form 5435453, die, wie man sieht, Intervalle in drei verschiedenen Grössen enthält (Sekunden in 3, 4 und 5 29edo-Schritten), also keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist. Die in ihr vorkommenden Terzen haben 7, 8 und 9 29edo-Schritte, wobei 8 und 9 den Approximationen von „herkömmlicher“ kleiner und grosser Terz entsprechen und 7 einer zusätzlichen, noch kleineren Terz, die sich als fast perfekte Approximation (kaum ein halbes Cent Unterschied) des Intervalls 13/11 präsentiert. Bei den Quarten gibt es neben solchen mit 12 (Approximation der reinen Quarte 4/3) und 14 Schritten (kleiner Tritonus) noch eine mit 13 Schritten, die weniger als 1 Cent vom reinen Intervall 15/11 entfernt liegt. Diese zusätzlichen Intervalke sowie die damit in der Skala gebildeten Dreiklänge können auf ihre eigene, leicht exotische Weise als konsonant gelten, und insgesamt ergibt sich eine Harmonik, die der traditionellen in [[12edo]] verblüffend ähnlich ist.

Für dieses Tonsystem wurde im englischen Xenwiki der (nicht besonders originelle) Begriff „Nicetone“ (nett-tönige Temperatur) geprägt.


=Nicetone=

29edo is not a meantone system, but it could nonetheless be used as a basis for common-practice music if one considers the superfourth as a consonant, alternative type of fourth, and the 11:13:16 as an alternative type of consonant "doubly minor" triad. We can then use a diatonic scale such as 5435453 (which resembles Didymus' 5-limit JI diatonic scale, but with the syntonic comma being exaggerated in size). This scale has a very similar harmonic structure to a meantone diatonic scale, except that one of its minor triads is doubly-minor.

Such a scale could be called "nicetone" as a play on meantone. Since it preserves most of the same 5-limit relationships, nicetone is only slightly xenharmonic (in contrast to [[Superpyth|superpyth]], which is quite blatantly so). The fact that 29edo's superfourth is within a cent of 15:11, and its 13:11 is within half a cent of a just 13:11, are both happy accidents. One just has to make that one is using a timbre that allows these higher-limit harmonic relationships to sound apparent and consonant enough to substitute for their simpler counterparts.

[[File:29edoNicetone.mp3]]

Nicetone-Skala 5435453 in 29edo

=Nicetone=

29edo is not a meantone system, but it could nonetheless be used as a basis for common-practice music if one considers the superfourth as a consonant, alternative type of fourth, and the 11:13:16 as an alternative type of consonant "doubly minor" triad. We can then use a diatonic scale such as 5435453 (which resembles Didymus' 5-limit JI diatonic scale, but with the syntonic comma being exaggerated in size). This scale has a very similar harmonic structure to a meantone diatonic scale, except that one of its minor triads is doubly-minor.

Such a scale could be called "nicetone" as a play on meantone. Since it preserves most of the same 5-limit relationships, nicetone is only slightly xenharmonic (in contrast to [[Superpyth|superpyth]], which is quite blatantly so). The fact that 29edo's superfourth is within a cent of 15:11, and its 13:11 is within half a cent of a just 13:11, are both happy accidents. One just has to make that one is using a timbre that allows these higher-limit harmonic relationships to sound apparent and consonant enough to substitute for their simpler counterparts.

[[File:29edoNicetone.mp3]]

Nicetone-Skala 5435453 in 29edo

=Orientalische Musik=

Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29edo für gewisse Arten [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29edo, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29edo nicht nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2|eine Stufe mehr]].</text>
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__FORCETOC__

29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12edo|12edo]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo '''keine''' [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch '''Ptolemäus-Sekunde''' genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100/99|Ptolemäus-Komma]], von 29edo austemperiert.

=(Super-)Pyth=

29edo kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

{| class="wikitable"
|+
|[[File:29edoSuperpythDiatonic.mp3]]
|[[File:12edoDiatonic.mp3]]
|-
|(Super-)pythagoräische Durskala unbd Kadenz in 29edo
|Traditionelle diatonische Durskala und Kadenz in 12edo, zum Vergleich
|}

=Schismatisch, Garibaldi=

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29edo unterstützen, wäre die [[Schismatische_Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische_Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

=Nautilus=

Der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ist genau ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar (die Quarte also durch 6 teilbar), was einen Generator für eine [[Nautilus|Nautilus]]-Temperatur ergibt. 29edo gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.

[[File:Nautilus14_29edo.mp3]]

Nautilus[14]-Skala (Lsssssssssssss) in 29edo

=Nicetone=

Die Approximation der [[Durtonleiter|reinen Durtonleiter]] in 29edo mit der besten Approximation der grossen Terz 5/4 ergibt eine Skala der Form 5435453, die, wie man sieht, Intervalle in drei verschiedenen Grössen enthält (Sekunden in 3, 4 und 5 29edo-Schritte), also keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist. Die in ihr vorkommenden Terzen haben 7, 8 und 9 29edo-Schritte, wobei 8 und 9 den Approximationen von „herkömmlicher“ kleiner und grosser Terz entsprechen und 7 einer zusätzlichen, noch kleineren Terz, die sich als fast perfekte Approximation (kaum ein halbes Cent Unterschied) des Intervalls 13/11 präsentiert. Bei den Quarten gibt es neben solchen mit 12 (Approximation der reinen Quarte 4/3) und 14 Schritten (kleiner Tritonus) noch eine mit 13 Schritten, die weniger als 1 Cent vom reinen Intervall 15/11 entfernt liegt. Diese zusätzlichen Intervalke sowie die damit in der Skala gebildeten Dreiklänge können auf ihre eigene, leicht exotische Weise als konsonant gelten, und insgesamt ergibt sich eine Harmonik, die der traditionellen in [[12edo]] verblüffend ähnlich ist.

Für dieses Tonsystem wurde im englischen Xenwiki der (nicht besonders originelle) Begriff „Nicetone“ (nett-tönige Temperatur) geprägt.

[ToDo]

=Orientalische Musik=

Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29edo für gewisse Arten [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29edo, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29edo nicht nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2|eine Stufe mehr]].</text>
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__FORCETOC__

29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12edo|12edo]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo '''keine''' [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch '''Ptolemäus-Sekunde''' genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100/99|Ptolemäus-Komma]], von 29edo austemperiert.

=(Super-)Pyth=

29edo kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

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|[[File:29edoSuperpythDiatonic.mp3]]
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|(Super-)pythagoräische Durskala unbd Kadenz in 29edo
|Traditionelle diatonische Durskala und Kadenz in 12edo, zum Vergleich
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=Schismatisch, Garibaldi=

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29edo unterstützen, wäre die [[Schismatische_Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische_Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

=Nautilus=

Der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ist genau ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar (die Quarte also durch 6 teilbar), was einen Generator für eine [[Nautilus|Nautilus]]-Temperatur ergibt. 29edo gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.

[[File:Nautilus14_29edo.mp3]]

Nautilus[14]-Skala (Lsssssssssssss) in 29edo

=Nicetone=

Die Approximation der [[Durtonleiter|reinen Durtonleiter]] in 29edo mit der besten Approximation der grossen Terz 5/4 ergibt eine Skala der Form 5435453, die, wie man sieht, Intervalle in drei verschiedenen Grössen enthält (Sekunden in 3, 4 und 5 29edo-Schritten), also keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist. Die in ihr vorkommenden Terzen haben 7, 8 und 9 29edo-Schritte, wobei 8 und 9 den Approximationen von „herkömmlicher“ kleiner und grosser Terz entsprechen und 7 einer zusätzlichen, noch kleineren Terz, die sich als fast perfekte Approximation (kaum ein halbes Cent Unterschied) des Intervalls 13/11 präsentiert. Bei den Quarten gibt es neben solchen mit 12 (Approximation der reinen Quarte 4/3) und 14 Schritten (kleiner Tritonus) noch eine mit 13 Schritten, die weniger als 1 Cent vom reinen Intervall 15/11 entfernt liegt. Diese zusätzlichen Intervalke sowie die damit in der Skala gebildeten Dreiklänge können auf ihre eigene, leicht exotische Weise als konsonant gelten, und insgesamt ergibt sich eine Harmonik, die der traditionellen in [[12edo]] verblüffend ähnlich ist.

Für dieses Tonsystem wurde im englischen Xenwiki der (nicht besonders originelle) Begriff „Nicetone“ (nett-tönige Temperatur) geprägt.

[ToDo]

=Orientalische Musik=

Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29edo für gewisse Arten [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29edo, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29edo nicht nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2|eine Stufe mehr]].</text>
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__FORCETOC__

29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12edo|12edo]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo '''keine''' [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch '''Ptolemäus-Sekunde''' genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100/99|Ptolemäus-Komma]], von 29edo austemperiert.

=(Super-)Pyth=

29edo kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

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|[[File:29edoSuperpythDiatonic.mp3]]
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|-
|(Super-)pythagoräische Durskala unbd Kadenz in 29edo
|Traditionelle diatonische Durskala und Kadenz in 12edo, zum Vergleich
|}

=Schismatisch, Garibaldi=

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29edo unterstützen, wäre die [[Schismatische_Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische_Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

=Nautilus=

Der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ist genau ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar (die Quarte also durch 6 teilbar), was einen Generator für eine [[Nautilus|Nautilus]]-Temperatur ergibt. 29edo gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.

[[File:Nautilus14_29edo.mp3]]

Nautilus[14]-Skala (Lsssssssssssss) in 29edo

=Nicetone=

Die Approximation der [[Durtonleiter|reinen Durtonleiter]] in 29edo mit der besten Approximation der grossen Terz 5/4 ergibt eine Skala der Form 5435453, die, wie man sieht, Intervalle in drei verschiedenen Grössen enthält (Sekunden in 3, 4 und 5 29edo-Schritten), also keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist. Die in ihr vorkommenden Terzen haben 7, 8 und 9 29edo-Schritte, wobei 8 und 9 den Approximationen von „herkömmlicher“ kleiner und grosser Terz entsprechen und 7 einer zusätzlichen, noch kleineren Terz, die sich als fast perfekte Approximation (kaum ein halbes Cent Unterschied) des Intervalls 13/11 präsentiert. Bei den Quarten gibt es neben solchen mit 12 (Approximation der reinen Quarte 4/3) und 14 Schritten (kleiner Tritonus) noch eine mit 13 Schritten, die weniger als 1 Cent vom reinen Intervall 15/11 entfernt liegt. Diese zusätzlichen Intervalke sowie die damit in der Skala gebildeten Dreiklänge können auf ihre eigene, leicht exotische Weise als konsonant gelten, und insgesamt ergibt sich eine Harmonik, die der traditionellen in [[12edo]] verblüffend ähnlich ist.

Für dieses Tonsystem wurde im englischen Xenwiki der (nicht besonders originelle) Begriff „Nicetone“ (nett-tönige Temperatur) geprägt.

[ToDo Hörbeispiel]

=Orientalische Musik=

Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29edo für gewisse Arten [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29edo, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29edo nicht nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2|eine Stufe mehr]].</text>
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__FORCETOC__

29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12edo|12edo]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo '''keine''' [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch '''Ptolemäus-Sekunde''' genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100/99|Ptolemäus-Komma]], von 29edo austemperiert.

=(Super-)Pyth=

29edo kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

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|[[File:29edoSuperpythDiatonic.mp3]]
|[[File:12edoDiatonic.mp3]]
|-
|(Super-)pythagoräische Durskala unbd Kadenz in 29edo
|Traditionelle diatonische Durskala und Kadenz in 12edo, zum Vergleich
|}

=Schismatisch, Garibaldi=

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29edo unterstützen, wäre die [[Schismatische_Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische_Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

=Nautilus=

Der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ist genau ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar (die Quarte also durch 6 teilbar), was einen Generator für eine [[Nautilus|Nautilus]]-Temperatur ergibt. 29edo gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.

[[File:Nautilus14_29edo.mp3]]

Nautilus[14]-Skala (Lsssssssssssss) in 29edo

=Nicetone=

Die Approximation der [[Durtonleiter|reinen Durtonleiter]] in 29edo mit der besten Approximation der grossen Terz 5/4 ergibt eine Skala der Form 5435453, die, wie man sieht, Intervalle in drei verschiedenen Grössen enthält (Sekunden in 3, 4 und 5 29edo-Schritten), also keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist. Die in ihr vorkommenden Terzen haben 7, 8 und 9 29edo-Schritte, wobei 8 und 9 den Approximationen von „herkömmlicher“ kleiner und grosser Terz entsprechen und 7 einer zusätzlichen, noch kleineren Terz, die sich als fast perfekte Approximation (kaum ein halbes Cent Unterschied) des Intervalls 13/11 präsentiert. Bei den Quarten gibt es neben solchen mit 12 (Approximation der reinen Quarte 4/3) und 14 Schritten (kleiner Tritonus) noch eine mit 13 Schritten, die weniger als 1 Cent vom reinen Intervall 15/11 entfernt liegt. Diese zusätzlichen Intervalke sowie die damit in der Skala gebildeten Dreiklänge können auf ihre eigene, leicht exotische Weise als konsonant gelten, und insgesamt ergibt sich eine Harmonik, die der traditionellen in [[12edo]] verblüffend ähnlich ist.

Für dieses Tonsystem wurde im englischen Xenwiki der (nicht besonders originelle) Begriff „Nicetone“ (nett-tönige Temperatur) geprägt.


[[File:29edoNicetone.mp3]] 

Nicetone-Skala und Kadenz

=Orientalische Musik=

Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29edo für gewisse Arten [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29edo, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29edo nicht nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2|eine Stufe mehr]].</text>
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__FORCETOC__

29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12edo|12edo]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo '''keine''' [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch '''Ptolemäus-Sekunde''' genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100/99|Ptolemäus-Komma]], von 29edo austemperiert.

=(Super-)Pyth=

29edo kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

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|[[File:29edoSuperpythDiatonic.mp3]]
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|(Super-)pythagoräische Durskala unbd Kadenz in 29edo
|Traditionelle diatonische Durskala und Kadenz in 12edo, zum Vergleich
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=Schismatisch, Garibaldi=

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29edo unterstützen, wäre die [[Schismatische_Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische_Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

=Nautilus=

Der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ist genau ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar (die Quarte also durch 6 teilbar), was einen Generator für eine [[Nautilus|Nautilus]]-Temperatur ergibt. 29edo gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.

[[File:Nautilus14_29edo.mp3]]

Nautilus[14]-Skala (Lsssssssssssss) in 29edo

=Nicetone=

Die Approximation der [[Durtonleiter|reinen Durtonleiter]] in 29edo mit der besten Approximation der grossen Terz 5/4 ergibt eine Skala der Form 5435453, die, wie man sieht, Intervalle in drei verschiedenen Grössen enthält (Sekunden in 3, 4 und 5 29edo-Schritten), also keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist. Die in ihr vorkommenden Terzen haben 7, 8 und 9 29edo-Schritte, wobei 8 und 9 den Approximationen von „herkömmlicher“ kleiner und grosser Terz entsprechen und 7 einer zusätzlichen, noch kleineren Terz, die sich als fast perfekte Approximation (kaum ein halbes Cent Unterschied) des Intervalls 13/11 präsentiert. Bei den Quarten gibt es neben solchen mit 12 (Approximation der reinen Quarte 4/3) und 14 Schritten (kleiner Tritonus) noch eine mit 13 Schritten, die weniger als 1 Cent vom reinen Intervall 15/11 entfernt liegt. Diese zusätzlichen Intervalle sowie die damit in der Skala gebildeten Dreiklänge können auf ihre eigene, leicht exotische Weise als konsonant gelten, und insgesamt ergibt sich eine Harmonik, die der traditionellen in [[12edo]] verblüffend ähnlich ist.

Für dieses Tonsystem wurde im englischen Xenwiki der (nicht besonders originelle) Begriff „Nicetone“ (nett-tönige Temperatur) geprägt.


[[File:29edoNicetone.mp3]] 

Nicetone-Skala und Kadenz

=Orientalische Musik=

Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29edo für gewisse Arten [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29edo, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29edo nicht nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2|eine Stufe mehr]].</text>
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__FORCETOC__

29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12edo|12edo]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo '''keine''' [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch '''Ptolemäus-Sekunde''' genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100/99|Ptolemäus-Komma]], von 29edo austemperiert.

=(Super-)Pyth=

29edo kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

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|Traditionelle diatonische Durskala und Kadenz in 12edo, zum Vergleich
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=Schismatisch, Garibaldi=

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29edo unterstützen, wäre die [[Schismatische_Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische_Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

=Nautilus=

Der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ist genau ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar (die Quarte also durch 6 teilbar), was einen Generator für eine [[Nautilus|Nautilus]]-Temperatur ergibt. 29edo gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.

[[File:Nautilus14_29edo.mp3]]

Nautilus[14]-Skala (Lsssssssssssss) in 29edo

=Nicetone=

Die Approximation der [[Durtonleiter|reinen Durtonleiter]] in 29edo mit der besten Approximation der grossen Terz 5/4 ergibt eine Skala der Form 5435453, die, wie man sieht, Intervalle in drei verschiedenen Grössen enthält (Sekunden in 3, 4 und 5 29edo-Schritten), also keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist. Die in ihr vorkommenden Terzen haben 7, 8 und 9 29edo-Schritte, wobei 8 und 9 den Approximationen von „herkömmlicher“ kleiner und grosser Terz entsprechen und 7 einer zusätzlichen, noch kleineren Terz, die sich als fast perfekte Approximation (kaum ein halbes Cent Unterschied) des Intervalls 13/11 präsentiert. Bei den Quarten gibt es neben solchen mit 12 (Approximation der reinen Quarte 4/3) und 14 Schritten (kleiner Tritonus) noch eine mit 13 Schritten, die weniger als 1 Cent vom reinen Intervall 15/11 entfernt liegt. Diese zusätzlichen Intervalle sowie die damit in der Skala gebildeten Dreiklänge können auf ihre eigene, leicht exotische Weise als konsonant gelten, und insgesamt ergibt sich eine Harmonik, die der traditionellen in [[12edo]] verblüffend ähnlich ist.

Für dieses Tonsystem wurde im englischen Xenwiki der (nicht besonders originelle) Begriff „Nicetone“ (nett-tönige Temperatur) geprägt.


[[File:29edoNicetone.mp3]] 

Nicetone-Skala und Kadenz

=Orientalische Musik=

Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29edo für gewisse Arten [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29edo, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29edo nicht nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2|eine Stufe mehr]].

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__FORCETOC__

29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12edo|12edo]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo '''keine''' [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch '''Ptolemäus-Sekunde''' genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100/99|Ptolemäus-Komma]], von 29edo austemperiert.

=(Super-)Pyth=

29edo kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

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=Schismatisch, Garibaldi=

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29edo unterstützen, wäre die [[Schismatische_Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische_Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

=Nautilus=

Der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ist genau ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar (die Quarte also durch 6 teilbar), was einen Generator für eine [[Nautilus|Nautilus]]-Temperatur ergibt. 29edo gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.

[[File:Nautilus14_29edo.mp3]]

Nautilus[14]-Skala (Lsssssssssssss) in 29edo

=Nicetone=

Die Approximation der [[Durtonleiter|reinen Durtonleiter]] in 29edo mit der besten Approximation der grossen Terz 5/4 ergibt eine Skala der Form 5435453, die, wie man sieht, Intervalle in drei verschiedenen Grössen enthält (Sekunden in 3, 4 und 5 29edo-Schritten), also keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist. Die in ihr vorkommenden Terzen haben 7, 8 und 9 29edo-Schritte, wobei 8 und 9 den Approximationen von „herkömmlicher“ kleiner und grosser Terz entsprechen und 7 einer zusätzlichen, noch kleineren Terz, die sich als fast perfekte Approximation (kaum ein halbes Cent Unterschied) des Intervalls 13/11 präsentiert. Bei den Quarten gibt es neben solchen mit 12 (Approximation der reinen Quarte 4/3) und 14 Schritten (kleiner Tritonus) noch eine mit 13 Schritten, die weniger als 1 Cent vom reinen Intervall 15/11 entfernt liegt. Diese zusätzlichen Intervalle sowie die damit in der Skala gebildeten Dreiklänge können auf ihre eigene, leicht exotische Weise als konsonant gelten, und insgesamt ergibt sich eine Harmonik, die der traditionellen in [[12edo]] verblüffend ähnlich ist.

Für dieses Tonsystem wurde im englischen Xenwiki der (nicht besonders originelle) Begriff „Nicetone“ (nett-tönige Temperatur) geprägt.


[[File:29edoNicetone.mp3]] 

Nicetone-Skala und Kadenz

=Orientalische Musik=

Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29edo für gewisse Arten [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29edo, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29edo nicht nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2|eine Stufe mehr]].

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'''29edo''', das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12edo]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo '''keine''' [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch '''Ptolemäus-Sekunde''' genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100/99|Ptolemäus-Komma]], von 29edo austemperiert.

=(Super-)Pyth=

29edo kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

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|[[File:29edoSuperpythDiatonic.mp3]]
|[[File:12edoDiatonic.mp3]]
|-
|(Super-)pythagoräische Durskala unbd Kadenz in 29edo
|Traditionelle diatonische Durskala und Kadenz in 12edo, zum Vergleich
|}

=Schismatisch, Garibaldi=

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29edo unterstützen, wäre die [[Schismatische_Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische_Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

=Nautilus=

Der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ist genau ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar (die Quarte also durch 6 teilbar), was einen Generator für eine [[Nautilus|Nautilus]]-Temperatur ergibt. 29edo gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.

[[File:Nautilus14_29edo.mp3]]

Nautilus[14]-Skala (Lsssssssssssss) in 29edo

=Nicetone=

Die Approximation der [[Durtonleiter|reinen Durtonleiter]] in 29edo mit der besten Approximation der grossen Terz 5/4 ergibt eine Skala der Form 5435453, die, wie man sieht, Intervalle in drei verschiedenen Grössen enthält (Sekunden in 3, 4 und 5 29edo-Schritten), also keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist. Die in ihr vorkommenden Terzen haben 7, 8 und 9 29edo-Schritte, wobei 8 und 9 den Approximationen von „herkömmlicher“ kleiner und grosser Terz entsprechen und 7 einer zusätzlichen, noch kleineren Terz, die sich als fast perfekte Approximation (kaum ein halbes Cent Unterschied) des Intervalls 13/11 präsentiert. Bei den Quarten gibt es neben solchen mit 12 (Approximation der reinen Quarte 4/3) und 14 Schritten (kleiner Tritonus) noch eine mit 13 Schritten, die weniger als 1 Cent vom reinen Intervall 15/11 entfernt liegt. Diese zusätzlichen Intervalle sowie die damit in der Skala gebildeten Dreiklänge können auf ihre eigene, leicht exotische Weise als konsonant gelten, und insgesamt ergibt sich eine Harmonik, die der traditionellen in [[12edo]] verblüffend ähnlich ist.

Für dieses Tonsystem wurde im englischen Xenwiki der (nicht besonders originelle) Begriff „Nicetone“ (nett-tönige Temperatur) geprägt.


[[File:29edoNicetone.mp3]] 

Nicetone-Skala und Kadenz

=Orientalische Musik=

Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29edo für gewisse Arten [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29edo, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29edo nicht nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2|eine Stufe mehr]].

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}}
'''29edo''', das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12edo]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo '''keine''' [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch '''Ptolemäus-Sekunde''' genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100/99|Ptolemäus-Komma]], von 29edo austemperiert.

=(Super-)Pyth=

29edo kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

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|[[File:29edoSuperpythDiatonic.mp3]]
|[[File:12edoDiatonic.mp3]]
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|(Super-)pythagoräische Durskala unbd Kadenz in 29edo
|Traditionelle diatonische Durskala und Kadenz in 12edo, zum Vergleich
|}

=Schismatisch, Garibaldi=

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29edo unterstützen, wäre die [[Schismatische_Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische_Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

=Nautilus=

Der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ist genau ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar (die Quarte also durch 6 teilbar), was einen Generator für eine [[Nautilus|Nautilus]]-Temperatur ergibt. 29edo gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.

[[File:Nautilus14_29edo.mp3]]

Nautilus[14]-Skala (Lsssssssssssss) in 29edo

=Nicetone=

Die Approximation der [[Durtonleiter|reinen Durtonleiter]] in 29edo mit der besten Approximation der grossen Terz 5/4 ergibt eine Skala der Form 5435453, die, wie man sieht, Intervalle in drei verschiedenen Grössen enthält (Sekunden in 3, 4 und 5 29edo-Schritten), also keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist. Die in ihr vorkommenden Terzen haben 7, 8 und 9 29edo-Schritte, wobei 8 und 9 den Approximationen von „herkömmlicher“ kleiner und grosser Terz entsprechen und 7 einer zusätzlichen, noch kleineren Terz, die sich als fast perfekte Approximation (kaum ein halbes Cent Unterschied) des Intervalls 13/11 präsentiert. Bei den Quarten gibt es neben solchen mit 12 (Approximation der reinen Quarte 4/3) und 14 Schritten (kleiner Tritonus) noch eine mit 13 Schritten, die weniger als 1 Cent vom reinen Intervall 15/11 entfernt liegt. Diese zusätzlichen Intervalle sowie die damit in der Skala gebildeten Dreiklänge können auf ihre eigene, leicht exotische Weise als konsonant gelten, und insgesamt ergibt sich eine Harmonik, die der traditionellen in [[12edo]] verblüffend ähnlich ist.

Für dieses Tonsystem wurde im englischen Xenwiki der (nicht besonders originelle) Begriff „Nicetone“ (nett-tönige Temperatur) geprägt.


[[File:29edoNicetone.mp3]] 

Nicetone-Skala und Kadenz

=Orientalische Musik=

Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29edo für gewisse Arten [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29edo, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29edo nicht nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2|eine Stufe mehr]].

[[Kategorie:EDO]]
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'''29 EDO''', das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12 EDO]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12 EDO (7 12-EDO-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29-EDO dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12 EDO niedriger ist als die reine, die von 29 EDO hingegen höher - woraus folgt, dass 29 EDO '''keine''' [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29-EDO-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29-EDO-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch '''Ptolemäus-Sekunde''' genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100/99|Ptolemäus-Komma]], von 29 EDO austemperiert.

== (Super-)Pyth ==

29 EDO kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

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| [[File:29edoSuperpythDiatonic.mp3]]
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|-
| (Super-)pythagoräische Durskala unbd Kadenz in 29 EDO
| Traditionelle diatonische Durskala und Kadenz in 12 EDO, zum Vergleich
|}

== Schismatisch, Garibaldi ==

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29 EDO unterstützen, wäre die [[Schismatische_Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische_Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29 EDO allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

== Nautilus ==

Der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29 EDO ist genau ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar (die Quarte also durch 6 teilbar), was einen Generator für eine [[Nautilus|Nautilus]]-Temperatur ergibt. 29 EDO gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.

[[File:Nautilus14_29edo.mp3]]

Nautilus[14]-Skala (Lsssssssssssss) in 29 EDO

== Nicetone ==

Die Approximation der [[Durtonleiter|reinen Durtonleiter]] in 29 EDO mit der besten Approximation der grossen Terz 5/4 ergibt eine Skala der Form 5435453, die, wie man sieht, Intervalle in drei verschiedenen Grössen enthält (Sekunden in 3, 4 und 5 29-EDO-Schritten), also keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist. Die in ihr vorkommenden Terzen haben 7, 8 und 9 29-EDO-Schritte, wobei 8 und 9 den Approximationen von „herkömmlicher“ kleiner und grosser Terz entsprechen und 7 einer zusätzlichen, noch kleineren Terz, die sich als fast perfekte Approximation (kaum ein halbes Cent Unterschied) des Intervalls 13/11 präsentiert. Bei den Quarten gibt es neben solchen mit 12 (Approximation der reinen Quarte 4/3) und 14 Schritten (kleiner Tritonus) noch eine mit 13 Schritten, die weniger als 1 Cent vom reinen Intervall 15/11 entfernt liegt. Diese zusätzlichen Intervalle sowie die damit in der Skala gebildeten Dreiklänge können auf ihre eigene, leicht exotische Weise als konsonant gelten, und insgesamt ergibt sich eine Harmonik, die der traditionellen in [[12 EDO]] verblüffend ähnlich ist.

Für dieses Tonsystem wurde im englischen Xenwiki der (nicht besonders originelle) Begriff „Nicetone“ (nett-tönige Temperatur) geprägt.


[[File:29edoNicetone.mp3]] 

Nicetone-Skala und Kadenz

== Orientalische Musik ==

Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29 EDO für gewisse Arten [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29 EDO, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29 EDO nicht nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2|eine Stufe mehr]].

[[Kategorie:EDO]]
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      <comment>Xenwolf verschob die Seite [[29 EDO]] nach [[29-EDO]]: Das ist die bessere Wahl (siehe [[XW:K]]), auch führte die Lücke optisch zum "Auseinanderbrechen".</comment>
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}}
'''29 EDO''', das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12 EDO]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12 EDO (7 12-EDO-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29-EDO dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12 EDO niedriger ist als die reine, die von 29 EDO hingegen höher - woraus folgt, dass 29 EDO '''keine''' [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29-EDO-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29-EDO-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch '''Ptolemäus-Sekunde''' genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100/99|Ptolemäus-Komma]], von 29 EDO austemperiert.

== (Super-)Pyth ==

29 EDO kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

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| [[File:29edoSuperpythDiatonic.mp3]]
| [[File:12edoDiatonic.mp3]]
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| (Super-)pythagoräische Durskala unbd Kadenz in 29 EDO
| Traditionelle diatonische Durskala und Kadenz in 12 EDO, zum Vergleich
|}

== Schismatisch, Garibaldi ==

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29 EDO unterstützen, wäre die [[Schismatische_Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische_Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29 EDO allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

== Nautilus ==

Der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29 EDO ist genau ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar (die Quarte also durch 6 teilbar), was einen Generator für eine [[Nautilus|Nautilus]]-Temperatur ergibt. 29 EDO gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.

[[File:Nautilus14_29edo.mp3]]

Nautilus[14]-Skala (Lsssssssssssss) in 29 EDO

== Nicetone ==

Die Approximation der [[Durtonleiter|reinen Durtonleiter]] in 29 EDO mit der besten Approximation der grossen Terz 5/4 ergibt eine Skala der Form 5435453, die, wie man sieht, Intervalle in drei verschiedenen Grössen enthält (Sekunden in 3, 4 und 5 29-EDO-Schritten), also keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist. Die in ihr vorkommenden Terzen haben 7, 8 und 9 29-EDO-Schritte, wobei 8 und 9 den Approximationen von „herkömmlicher“ kleiner und grosser Terz entsprechen und 7 einer zusätzlichen, noch kleineren Terz, die sich als fast perfekte Approximation (kaum ein halbes Cent Unterschied) des Intervalls 13/11 präsentiert. Bei den Quarten gibt es neben solchen mit 12 (Approximation der reinen Quarte 4/3) und 14 Schritten (kleiner Tritonus) noch eine mit 13 Schritten, die weniger als 1 Cent vom reinen Intervall 15/11 entfernt liegt. Diese zusätzlichen Intervalle sowie die damit in der Skala gebildeten Dreiklänge können auf ihre eigene, leicht exotische Weise als konsonant gelten, und insgesamt ergibt sich eine Harmonik, die der traditionellen in [[12 EDO]] verblüffend ähnlich ist.

Für dieses Tonsystem wurde im englischen Xenwiki der (nicht besonders originelle) Begriff „Nicetone“ (nett-tönige Temperatur) geprägt.


[[File:29edoNicetone.mp3]] 

Nicetone-Skala und Kadenz

== Orientalische Musik ==

Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29 EDO für gewisse Arten [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29 EDO, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29 EDO nicht nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2|eine Stufe mehr]].

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'''29-EDO''', das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12-EDO]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12-EDO (7 12-EDO-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29-EDO dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12-EDO niedriger ist als die reine, die von 29-EDO hingegen höher - woraus folgt, dass 29-EDO '''keine''' [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29-EDO-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29-EDO-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch '''Ptolemäus-Sekunde''' genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100/99|Ptolemäus-Komma]], von 29-EDO austemperiert.

== (Super-)Pyth ==

29-EDO kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

{| class="wikitable"
|+
| [[File:29edoSuperpythDiatonic.mp3]]
| [[File:12edoDiatonic.mp3]]
|-
| (Super-)pythagoräische Durskala unbd Kadenz in 29-EDO
| Traditionelle diatonische Durskala und Kadenz in 12-EDO, zum Vergleich
|}

== Schismatisch, Garibaldi ==

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29-EDO unterstützen, wäre die [[Schismatische_Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische_Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29-EDO allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

== Nautilus ==

Der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29-EDO ist genau ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar (die Quarte also durch 6 teilbar), was einen Generator für eine [[Nautilus|Nautilus]]-Temperatur ergibt. 29 EDO gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.

[[File:Nautilus14_29edo.mp3]]

Nautilus[14]-Skala (Lsssssssssssss) in 29-EDO

== Nicetone ==

Die Approximation der [[Durtonleiter|reinen Durtonleiter]] in 29-EDO mit der besten Approximation der grossen Terz 5/4 ergibt eine Skala der Form 5435453, die, wie man sieht, Intervalle in drei verschiedenen Grössen enthält (Sekunden in 3, 4 und 5 29-EDO-Schritten), also keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist. Die in ihr vorkommenden Terzen haben 7, 8 und 9 29-EDO-Schritte, wobei 8 und 9 den Approximationen von „herkömmlicher“ kleiner und grosser Terz entsprechen und 7 einer zusätzlichen, noch kleineren Terz, die sich als fast perfekte Approximation (kaum ein halbes Cent Unterschied) des Intervalls 13/11 präsentiert. Bei den Quarten gibt es neben solchen mit 12 (Approximation der reinen Quarte 4/3) und 14 Schritten (kleiner Tritonus) noch eine mit 13 Schritten, die weniger als 1 Cent vom reinen Intervall 15/11 entfernt liegt. Diese zusätzlichen Intervalle sowie die damit in der Skala gebildeten Dreiklänge können auf ihre eigene, leicht exotische Weise als konsonant gelten, und insgesamt ergibt sich eine Harmonik, die der traditionellen in [[12-EDO]] verblüffend ähnlich ist.

Für dieses Tonsystem wurde im englischen Xenwiki der (nicht besonders originelle) Begriff „Nicetone“ (nett-tönige Temperatur) geprägt.


[[File:29edoNicetone.mp3]] 

Nicetone-Skala und Kadenz

== Orientalische Musik ==

Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29-EDO für gewisse Arten [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29-EDO, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29-EDO nicht nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2|eine Stufe mehr]].

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'''29-EDO''', das [[Tonsystem]], bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12-EDO]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12-EDO (7 12-EDO-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29-EDO dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12-EDO niedriger ist als die reine, die von 29-EDO hingegen höher - woraus folgt, dass 29-EDO '''keine''' [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29-EDO-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29-EDO-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch '''Ptolemäus-Sekunde''' genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100/99|Ptolemäus-Komma]], von 29-EDO austemperiert.

== (Super-)Pyth ==

29-EDO kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

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| (Super-)pythagoräische Durskala unbd Kadenz in 29-EDO
| Traditionelle diatonische Durskala und Kadenz in 12-EDO, zum Vergleich
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== Schismatisch, Garibaldi ==

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29-EDO unterstützen, wäre die [[Schismatische_Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische_Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29-EDO allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

== Nautilus ==

Der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29-EDO ist genau ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar (die Quarte also durch 6 teilbar), was einen Generator für eine [[Nautilus|Nautilus]]-Temperatur ergibt. 29 EDO gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.

[[File:Nautilus14_29edo.mp3]]

Nautilus[14]-Skala (Lsssssssssssss) in 29-EDO

== Nicetone ==

Die Approximation der [[Durtonleiter|reinen Durtonleiter]] in 29-EDO mit der besten Approximation der grossen Terz 5/4 ergibt eine Skala der Form 5435453, die, wie man sieht, Intervalle in drei verschiedenen Grössen enthält (Sekunden in 3, 4 und 5 29-EDO-Schritten), also keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist. Die in ihr vorkommenden Terzen haben 7, 8 und 9 29-EDO-Schritte, wobei 8 und 9 den Approximationen von „herkömmlicher“ kleiner und grosser Terz entsprechen und 7 einer zusätzlichen, noch kleineren Terz, die sich als fast perfekte Approximation (kaum ein halbes Cent Unterschied) des Intervalls 13/11 präsentiert. Bei den Quarten gibt es neben solchen mit 12 (Approximation der reinen Quarte 4/3) und 14 Schritten (kleiner Tritonus) noch eine mit 13 Schritten, die weniger als 1 Cent vom reinen Intervall 15/11 entfernt liegt. Diese zusätzlichen Intervalle sowie die damit in der Skala gebildeten Dreiklänge können auf ihre eigene, leicht exotische Weise als konsonant gelten, und insgesamt ergibt sich eine Harmonik, die der traditionellen in [[12-EDO]] verblüffend ähnlich ist.

Für dieses Tonsystem wurde im englischen Xenwiki der (nicht besonders originelle) Begriff „Nicetone“ (nett-tönige Temperatur) geprägt.


[[File:29edoNicetone.mp3]] 

Nicetone-Skala und Kadenz

== Orientalische Musik ==

Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29-EDO für gewisse Arten [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29-EDO, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29-EDO nicht nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2|eine Stufe mehr]].

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'''29-EDO''', das [[Tonsystem]], bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12-EDO]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12-EDO (7 12-EDO-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29-EDO dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12-EDO niedriger ist als die reine, die von 29-EDO hingegen höher - woraus folgt, dass 29-EDO '''keine''' [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29-EDO-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29-EDO-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch '''Ptolemäus-Sekunde''' genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100/99|Ptolemäus-Komma]], von 29-EDO austemperiert.

== (Super-)Pyth ==

29-EDO kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

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| Traditionelle diatonische Durskala und Kadenz in 12-EDO, zum Vergleich
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== Schismatisch, Garibaldi ==

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29-EDO unterstützen, wäre die [[Schismatische_Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische_Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29-EDO allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

== Nautilus ==

Der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29-EDO ist genau ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar (die Quarte also durch 6 teilbar), was einen Generator für eine [[Nautilus|Nautilus]]-Temperatur ergibt. 29 EDO gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.

[[File:Nautilus14_29edo.mp3]]

Nautilus[14]-Skala (Lsssssssssssss) in 29-EDO

== Nicetone ==

Die Approximation der [[Durtonleiter|reinen Durtonleiter]] in 29-EDO mit der besten Approximation der grossen Terz 5/4 ergibt eine Skala der Form 5435453, die, wie man sieht, Intervalle in drei verschiedenen Grössen enthält (Sekunden in 3, 4 und 5 29-EDO-Schritten), also keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist, sondern eine '''Nicetone-Skala''' (siehe [[Durtonleiter]]). Die in ihr vorkommenden Terzen haben 7, 8 und 9 29-EDO-Schritte, wobei 8 und 9 den Approximationen von „herkömmlicher“ kleiner und grosser Terz entsprechen und 7 einer zusätzlichen, noch kleineren Terz, die sich als fast perfekte Approximation (kaum ein halbes Cent Unterschied) des Intervalls 13/11 präsentiert. Bei den Quarten gibt es neben solchen mit 12 (Approximation der reinen Quarte 4/3) und 14 Schritten (kleiner Tritonus) noch eine mit 13 Schritten, die weniger als 1 Cent vom reinen Intervall 15/11 entfernt liegt. Diese zusätzlichen Intervalle sowie die damit in der Skala gebildeten Dreiklänge können auf ihre eigene, leicht exotische Weise als konsonant gelten, und insgesamt ergibt sich eine Harmonik, die der traditionellen in [[12-EDO]] verblüffend ähnlich ist.

[[File:29edoNicetone.mp3]] 

Nicetone-Skala und Kadenz

== Orientalische Musik ==

Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29-EDO für gewisse Arten [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29-EDO, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29-EDO nicht nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2|eine Stufe mehr]].

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'''29-EDO''', das [[Tonsystem]], bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12-EDO]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12-EDO (7 12-EDO-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29-EDO dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12-EDO niedriger ist als die reine, die von 29-EDO hingegen höher - woraus folgt, dass 29-EDO '''keine''' [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29-EDO-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29-EDO-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch '''Ptolemäus-Sekunde''' genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100/99|Ptolemäus-Komma]], von 29-EDO austemperiert.

== (Super-)Pyth ==

29-EDO kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

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| Traditionelle diatonische Durskala und Kadenz in 12-EDO, zum Vergleich
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== Schismatisch, Garibaldi ==

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29-EDO unterstützen, wäre die [[Schismatische_Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische_Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29-EDO allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

== Nautilus ==

Der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29-EDO ist genau ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar (die Quarte also durch 6 teilbar), was einen Generator für eine [[Nautilus|Nautilus]]-Temperatur ergibt. 29 EDO gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.

[[File:Nautilus14_29edo.mp3]]

Nautilus[14]-Skala (Lsssssssssssss) in 29-EDO

== Nicetone ==

Die Approximation der [[Durtonleiter|reinen Durtonleiter]] in 29-EDO mit der besten Approximation der grossen Terz 5/4 ergibt eine Skala der Form 5435453, die, wie man sieht, Intervalle in drei verschiedenen Grössen enthält (Sekunden in 3, 4 und 5 29-EDO-Schritten), also keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist, sondern eine [[Durtonleiter#Eigenschaften,_"Nicetone"|Nicetone]]-Skala. Die in ihr vorkommenden Terzen haben 7, 8 und 9 29-EDO-Schritte, wobei 8 und 9 den Approximationen von „herkömmlicher“ kleiner und grosser Terz entsprechen und 7 einer zusätzlichen, noch kleineren Terz, die sich als fast perfekte Approximation (kaum ein halbes Cent Unterschied) des Intervalls 13/11 präsentiert. Bei den Quarten gibt es neben solchen mit 12 (Approximation der reinen Quarte 4/3) und 14 Schritten (kleiner Tritonus) noch eine mit 13 Schritten, die weniger als 1 Cent vom reinen Intervall 15/11 entfernt liegt. Diese zusätzlichen Intervalle sowie die damit in der Skala gebildeten Dreiklänge können auf ihre eigene, leicht exotische Weise als konsonant gelten, und insgesamt ergibt sich eine Harmonik, die der traditionellen in [[12-EDO]] verblüffend ähnlich ist.

[[File:29edoNicetone.mp3]] 

Nicetone-Skala und Kadenz

== Orientalische Musik ==

Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29-EDO für gewisse Arten [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29-EDO, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29-EDO nicht nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2|eine Stufe mehr]].

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[[EDO|Übersicht EDO]]


'''29-EDO''', das [[Tonsystem]], bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12-EDO]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12-EDO (7 12-EDO-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29-EDO dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12-EDO niedriger ist als die reine, die von 29-EDO hingegen höher - woraus folgt, dass 29-EDO '''keine''' [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29-EDO-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29-EDO-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch '''Ptolemäus-Sekunde''' genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100/99|Ptolemäus-Komma]], von 29-EDO austemperiert.

== (Super-)Pyth ==

29-EDO kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

{| class="wikitable"
|+
| [[File:29edoSuperpythDiatonic.mp3]]
| [[File:12edoDiatonic.mp3]]
|-
| (Super-)pythagoräische Durskala unbd Kadenz in 29-EDO
| Traditionelle diatonische Durskala und Kadenz in 12-EDO, zum Vergleich
|}

== Schismatisch, Garibaldi ==

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29-EDO unterstützen, wäre die [[Schismatische_Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische_Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29-EDO allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

== Nautilus ==

Der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29-EDO ist genau ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar (die Quarte also durch 6 teilbar), was einen Generator für eine [[Nautilus|Nautilus]]-Temperatur ergibt. 29 EDO gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.

[[File:Nautilus14_29edo.mp3]]

Nautilus[14]-Skala (Lsssssssssssss) in 29-EDO

== Nicetone ==

Die Approximation der [[Durtonleiter|reinen Durtonleiter]] in 29-EDO mit der besten Approximation der grossen Terz 5/4 ergibt eine Skala der Form 5435453, die, wie man sieht, Intervalle in drei verschiedenen Grössen enthält (Sekunden in 3, 4 und 5 29-EDO-Schritten), also keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist, sondern eine [[Durtonleiter#Eigenschaften,_"Nicetone"|Nicetone]]-Skala. Die in ihr vorkommenden Terzen haben 7, 8 und 9 29-EDO-Schritte, wobei 8 und 9 den Approximationen von „herkömmlicher“ kleiner und grosser Terz entsprechen und 7 einer zusätzlichen, noch kleineren Terz, die sich als fast perfekte Approximation (kaum ein halbes Cent Unterschied) des Intervalls 13/11 präsentiert. Bei den Quarten gibt es neben solchen mit 12 (Approximation der reinen Quarte 4/3) und 14 Schritten (kleiner Tritonus) noch eine mit 13 Schritten, die weniger als 1 Cent vom reinen Intervall 15/11 entfernt liegt. Diese zusätzlichen Intervalle sowie die damit in der Skala gebildeten Dreiklänge können auf ihre eigene, leicht exotische Weise als konsonant gelten, und insgesamt ergibt sich eine Harmonik, die der traditionellen in [[12-EDO]] verblüffend ähnlich ist.

[[File:29edoNicetone.mp3]] 

Nicetone-Skala und Kadenz

== Orientalische Musik ==

Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29-EDO für gewisse Arten [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29-EDO, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29-EDO nicht nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2|eine Stufe mehr]].

[[Kategorie:EDO]]
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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

'''29-EDO''', das [[Tonsystem]], bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12-EDO]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.
= Approximation reiner Intervalle =
Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12-EDO (7 12-EDO-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29-EDO dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12-EDO niedriger ist als die reine, die von 29-EDO hingegen höher - woraus folgt, dass 29-EDO '''keine''' [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29-EDO-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29-EDO-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch '''Ptolemäus-Sekunde''' genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100/99|Ptolemäus-Komma]], von 29-EDO austemperiert.
=Reguläre Temperaturen =
== (Super-)Pyth ==

29-EDO kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

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| [[File:29edoSuperpythDiatonic.mp3]]
| [[File:12edoDiatonic.mp3]]
|-
| (Super-)pythagoräische Durskala unbd Kadenz in 29-EDO
| Traditionelle diatonische Durskala und Kadenz in 12-EDO, zum Vergleich
|}

== Schismatisch, Garibaldi ==

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29-EDO unterstützen, wäre die [[Schismatische_Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische_Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29-EDO allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

== Nautilus ==

Der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29-EDO ist genau ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar (die Quarte also durch 6 teilbar), was einen Generator für eine [[Nautilus|Nautilus]]-Temperatur ergibt. 29 EDO gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.

[[File:Nautilus14_29edo.mp3]]

Nautilus[14]-Skala (Lsssssssssssss) in 29-EDO

= Weitere Eigenschaften =
== Nicetone ==
Die Approximation der [[Durtonleiter|reinen Durtonleiter]] in 29-EDO mit der besten Approximation der grossen Terz 5/4 ergibt eine Skala der Form 5435453, die, wie man sieht, Intervalle in drei verschiedenen Grössen enthält (Sekunden in 3, 4 und 5 29-EDO-Schritten), also keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist, sondern eine [[Durtonleiter#Eigenschaften,_"Nicetone"|Nicetone]]-Skala. Die in ihr vorkommenden Terzen haben 7, 8 und 9 29-EDO-Schritte, wobei 8 und 9 den Approximationen von „herkömmlicher“ kleiner und grosser Terz entsprechen und 7 einer zusätzlichen, noch kleineren Terz, die sich als fast perfekte Approximation (kaum ein halbes Cent Unterschied) des Intervalls 13/11 präsentiert. Bei den Quarten gibt es neben solchen mit 12 (Approximation der reinen Quarte 4/3) und 14 Schritten (kleiner Tritonus) noch eine mit 13 Schritten, die weniger als 1 Cent vom reinen Intervall 15/11 entfernt liegt. Diese zusätzlichen Intervalle sowie die damit in der Skala gebildeten Dreiklänge können auf ihre eigene, leicht exotische Weise als konsonant gelten, und insgesamt ergibt sich eine Harmonik, die der traditionellen in [[12-EDO]] verblüffend ähnlich ist.

[[File:29edoNicetone.mp3]] 

Nicetone-Skala und Kadenz

== Orientalische Musik ==
Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29-EDO für gewisse Arten [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29-EDO, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29-EDO nicht nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2|eine Stufe mehr]].

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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

'''29-EDO''', das [[Tonsystem]], bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12-EDO]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.
= Approximation reiner Intervalle =
Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12-EDO (7 12-EDO-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29-EDO dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12-EDO niedriger ist als die reine, die von 29-EDO hingegen höher - woraus folgt, dass 29-EDO '''keine''' [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. 

Übereinanderschichten von 4 29-EDO-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29-EDO-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch '''Ptolemäus-Sekunde''' genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100/99|Ptolemäus-Komma]], von 29-EDO austemperiert.

=Reguläre Temperaturen =
== (Super-)Pyth ==

29-EDO kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

{| class="wikitable"
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| [[File:29edoSuperpythDiatonic.mp3]]
| [[File:12edoDiatonic.mp3]]
|-
| (Super-)pythagoräische Durskala unbd Kadenz in 29-EDO
| Traditionelle diatonische Durskala und Kadenz in 12-EDO, zum Vergleich
|}

== Schismatisch, Garibaldi ==

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29-EDO unterstützen, wäre die [[Schismatische_Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische_Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29-EDO allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

== Nautilus ==

Der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29-EDO ist genau ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar (die Quarte also durch 6 teilbar), was einen Generator für eine [[Nautilus|Nautilus]]-Temperatur ergibt. 29 EDO gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.

[[File:Nautilus14_29edo.mp3]]

Nautilus[14]-Skala (Lsssssssssssss) in 29-EDO

= Weitere Eigenschaften =
== Nicetone ==
Die Approximation der [[Durtonleiter|reinen Durtonleiter]] in 29-EDO mit der besten Approximation der grossen Terz 5/4 ergibt eine Skala der Form 5435453, die, wie man sieht, Intervalle in drei verschiedenen Grössen enthält (Sekunden in 3, 4 und 5 29-EDO-Schritten), also keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist, sondern eine [[Durtonleiter#Eigenschaften,_"Nicetone"|Nicetone]]-Skala. Die in ihr vorkommenden Terzen haben 7, 8 und 9 29-EDO-Schritte, wobei 8 und 9 den Approximationen von „herkömmlicher“ kleiner und grosser Terz entsprechen und 7 einer zusätzlichen, noch kleineren Terz, die sich als fast perfekte Approximation (kaum ein halbes Cent Unterschied) des Intervalls 13/11 präsentiert. Bei den Quarten gibt es neben solchen mit 12 (Approximation der reinen Quarte 4/3) und 14 Schritten (kleiner Tritonus) noch eine mit 13 Schritten, die weniger als 1 Cent vom reinen Intervall 15/11 entfernt liegt. Diese zusätzlichen Intervalle sowie die damit in der Skala gebildeten Dreiklänge können auf ihre eigene, leicht exotische Weise als konsonant gelten, und insgesamt ergibt sich eine Harmonik, die der traditionellen in [[12-EDO]] verblüffend ähnlich ist.

[[File:29edoNicetone.mp3]] 

Nicetone-Skala und Kadenz

== Orientalische Musik ==
Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29-EDO für gewisse Arten [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29-EDO, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29-EDO nicht nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2|eine Stufe mehr]].

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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''29-EDO''', das [[Tonsystem]], bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12-EDO]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.
= Approximation reiner Intervalle =
Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12-EDO (7 12-EDO-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29-EDO dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12-EDO niedriger ist als die reine, die von 29-EDO hingegen höher - woraus folgt, dass 29-EDO '''keine''' [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. 

Übereinanderschichten von 4 29-EDO-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29-EDO-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch '''Ptolemäus-Sekunde''' genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100/99|Ptolemäus-Komma]], von 29-EDO austemperiert.

Die [[Naturseptime]] 7/4 wird mit 17.1 Cent Abweichung getroffen - besser als in der Standardstimmung 12-EDO, aber insgesamt nicht besonders gut. Erwähnenswert ist, dass diese temperierte Seine genau zwischen der Quinte von 29-EDO und der Oktave liegt, eine 29-EDO-Quarte also in zwei gleiche Teile geteilt wird. Siehe hierzu weiter unten [[29-EDO#Nautilus|Nautilus]].

=Reguläre Temperaturen =
== (Super-)Pyth ==

29-EDO kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

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| [[File:29edoSuperpythDiatonic.mp3]]
| [[File:12edoDiatonic.mp3]]
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| (Super-)pythagoräische Durskala unbd Kadenz in 29-EDO
| Traditionelle diatonische Durskala und Kadenz in 12-EDO, zum Vergleich
|}

== Schismatisch, Garibaldi ==

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29-EDO unterstützen, wäre die [[Schismatische_Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische_Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29-EDO allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

== Nautilus ==

Der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29-EDO ist genau ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar (die Quarte also durch 6 teilbar), was einen Generator für eine [[Nautilus|Nautilus]]-Temperatur ergibt. 29 EDO gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.

[[File:Nautilus14_29edo.mp3]]

Nautilus[14]-Skala (Lsssssssssssss) in 29-EDO

= Weitere Eigenschaften =
== Nicetone ==
Die Approximation der [[Durtonleiter|reinen Durtonleiter]] in 29-EDO mit der besten Approximation der grossen Terz 5/4 ergibt eine Skala der Form 5435453, die, wie man sieht, Intervalle in drei verschiedenen Grössen enthält (Sekunden in 3, 4 und 5 29-EDO-Schritten), also keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist, sondern eine [[Durtonleiter#Eigenschaften,_"Nicetone"|Nicetone]]-Skala. Die in ihr vorkommenden Terzen haben 7, 8 und 9 29-EDO-Schritte, wobei 8 und 9 den Approximationen von „herkömmlicher“ kleiner und grosser Terz entsprechen und 7 einer zusätzlichen, noch kleineren Terz, die sich als fast perfekte Approximation (kaum ein halbes Cent Unterschied) des Intervalls 13/11 präsentiert. Bei den Quarten gibt es neben solchen mit 12 (Approximation der reinen Quarte 4/3) und 14 Schritten (kleiner Tritonus) noch eine mit 13 Schritten, die weniger als 1 Cent vom reinen Intervall 15/11 entfernt liegt. Diese zusätzlichen Intervalle sowie die damit in der Skala gebildeten Dreiklänge können auf ihre eigene, leicht exotische Weise als konsonant gelten, und insgesamt ergibt sich eine Harmonik, die der traditionellen in [[12-EDO]] verblüffend ähnlich ist.

[[File:29edoNicetone.mp3]] 

Nicetone-Skala und Kadenz

== Orientalische Musik ==
Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29-EDO für gewisse Arten [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29-EDO, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29-EDO nicht nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2|eine Stufe mehr]].

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| de = 29-EDO
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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

'''29-EDO''', das [[Tonsystem]], bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12-EDO]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.
= Approximation reiner Intervalle =
Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12-EDO (7 12-EDO-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29-EDO dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12-EDO niedriger ist als die reine, die von 29-EDO hingegen höher - woraus folgt, dass 29-EDO '''keine''' [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. 

Übereinanderschichten von 4 29-EDO-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29-EDO-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch '''Ptolemäus-Sekunde''' genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100/99|Ptolemäus-Komma]], von 29-EDO austemperiert.

Die [[Naturseptime]] 7/4 wird mit 17.1 Cent Abweichung getroffen - besser als in der Standardstimmung 12-EDO, aber insgesamt nicht besonders gut. Erwähnenswert ist, dass diese temperierte Seine genau zwischen der Quinte von 29-EDO und der Oktave liegt, eine 29-EDO-Quarte also in zwei gleiche Teile geteilt wird. Siehe hierzu weiter unten [[29-EDO#Nautilus|Nautilus]].

=Reguläre Temperaturen =
== (Super-)Pyth ==

29-EDO kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

{| class="wikitable"
|+
| [[File:29edoSuperpythDiatonic.mp3]]
| [[File:12edoDiatonic.mp3]]
|-
| (Super-)pythagoräische Durskala unbd Kadenz in 29-EDO
| Traditionelle diatonische Durskala und Kadenz in 12-EDO, zum Vergleich
|}

== Schismatisch, Garibaldi ==

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29-EDO unterstützen, wäre die [[Schismatische_Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische_Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29-EDO allerdings wir gesagt nicht besonders gut getroffen wird).

== Nautilus ==

Der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29-EDO ist genau ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar (die Quarte also durch 6 teilbar), was einen Generator für eine [[Nautilus|Nautilus]]-Temperatur ergibt. 29 EDO gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.

[[File:Nautilus14_29edo.mp3]]

Nautilus[14]-Skala (Lsssssssssssss) in 29-EDO

= Weitere Eigenschaften =
== Nicetone ==
Die Approximation der [[Durtonleiter|reinen Durtonleiter]] in 29-EDO mit der besten Approximation der grossen Terz 5/4 ergibt eine Skala der Form 5435453, die, wie man sieht, Intervalle in drei verschiedenen Grössen enthält (Sekunden in 3, 4 und 5 29-EDO-Schritten), also keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist, sondern eine [[Durtonleiter#Eigenschaften,_"Nicetone"|Nicetone]]-Skala. Die in ihr vorkommenden Terzen haben 7, 8 und 9 29-EDO-Schritte, wobei 8 und 9 den Approximationen von „herkömmlicher“ kleiner und grosser Terz entsprechen und 7 einer zusätzlichen, noch kleineren Terz, die sich als fast perfekte Approximation (kaum ein halbes Cent Unterschied) des Intervalls 13/11 präsentiert. Bei den Quarten gibt es neben solchen mit 12 (Approximation der reinen Quarte 4/3) und 14 Schritten (kleiner Tritonus) noch eine mit 13 Schritten, die weniger als 1 Cent vom reinen Intervall 15/11 entfernt liegt. Diese zusätzlichen Intervalle sowie die damit in der Skala gebildeten Dreiklänge können auf ihre eigene, leicht exotische Weise als konsonant gelten, und insgesamt ergibt sich eine Harmonik, die der traditionellen in [[12-EDO]] verblüffend ähnlich ist.

[[File:29edoNicetone.mp3]] 

Nicetone-Skala und Kadenz

== Orientalische Musik ==
Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29-EDO für gewisse Arten [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29-EDO, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29-EDO nicht nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2|eine Stufe mehr]].

[[Kategorie:EDO]]
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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

'''29-EDO''', das [[Tonsystem]], bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12-EDO]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.
= Approximation reiner Intervalle =
Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12-EDO (7 12-EDO-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29-EDO dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12-EDO niedriger ist als die reine, die von 29-EDO hingegen höher - woraus folgt, dass 29-EDO '''keine''' [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. 

Übereinanderschichten von 4 29-EDO-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29-EDO-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch '''Ptolemäus-Sekunde''' genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100/99|Ptolemäus-Komma]], von 29-EDO austemperiert.

Die [[Naturseptime]] 7/4 wird mit 17.1 Cent Abweichung getroffen - besser als in der Standardstimmung 12-EDO, aber angesichts der Grösse von 29-EDO nicht besonders gut. Erwähnenswert ist, dass diese temperierte Septime genau zwischen der Quinte von 29-EDO und der Oktave liegt, eine 29-EDO-Quarte also in zwei gleiche Teile geteilt wird. Siehe hierzu weiter unten [[29-EDO#Nautilus|Nautilus]].

Erwähnenswert ist ferner, dass die Approximationen der Obertöne 5 ([[Naturterz]]), 7 ([[Naturseptime]]), 11 ([[Alphorn-Fa]] und 13 in 29-EDO alle tiefer sind als ihre reinen Äquivalente. Es kann daher von Vorteil sein, mit [[Gestreckte/gestauchte Stimmung|gestreckten]] Oktaven zu arbeiten (bei der die Approximation der Quinte umgekehrt etwas schlechter wird, was aber angesichts deren insgesamt sehr guten Approximation vertretbar ist).



=Reguläre Temperaturen =
== (Super-)Pyth ==

29-EDO kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

{| class="wikitable"
|+
| [[File:29edoSuperpythDiatonic.mp3]]
| [[File:12edoDiatonic.mp3]]
|-
| (Super-)pythagoräische Durskala unbd Kadenz in 29-EDO
| Traditionelle diatonische Durskala und Kadenz in 12-EDO, zum Vergleich
|}

== Schismatisch, Garibaldi ==

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29-EDO unterstützen, wäre die [[Schismatische_Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische_Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29-EDO allerdings wir gesagt nicht besonders gut getroffen wird).

== Nautilus ==

Der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29-EDO ist genau ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar (die Quarte also durch 6 teilbar), was einen Generator für eine [[Nautilus|Nautilus]]-Temperatur ergibt. 29 EDO gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.

[[File:Nautilus14_29edo.mp3]]

Nautilus[14]-Skala (Lsssssssssssss) in 29-EDO

= Weitere Eigenschaften =
== Nicetone ==
Die Approximation der [[Durtonleiter|reinen Durtonleiter]] in 29-EDO mit der besten Approximation der grossen Terz 5/4 ergibt eine Skala der Form 5435453, die, wie man sieht, Intervalle in drei verschiedenen Grössen enthält (Sekunden in 3, 4 und 5 29-EDO-Schritten), also keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist, sondern eine [[Durtonleiter#Eigenschaften,_"Nicetone"|Nicetone]]-Skala. Die in ihr vorkommenden Terzen haben 7, 8 und 9 29-EDO-Schritte, wobei 8 und 9 den Approximationen von „herkömmlicher“ kleiner und grosser Terz entsprechen und 7 einer zusätzlichen, noch kleineren Terz, die sich als fast perfekte Approximation (kaum ein halbes Cent Unterschied) des Intervalls 13/11 präsentiert. Bei den Quarten gibt es neben solchen mit 12 (Approximation der reinen Quarte 4/3) und 14 Schritten (kleiner Tritonus) noch eine mit 13 Schritten, die weniger als 1 Cent vom reinen Intervall 15/11 entfernt liegt. Diese zusätzlichen Intervalle sowie die damit in der Skala gebildeten Dreiklänge können auf ihre eigene, leicht exotische Weise als konsonant gelten, und insgesamt ergibt sich eine Harmonik, die der traditionellen in [[12-EDO]] verblüffend ähnlich ist.

[[File:29edoNicetone.mp3]] 

Nicetone-Skala und Kadenz

== Orientalische Musik ==
Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29-EDO für gewisse Arten [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29-EDO, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29-EDO nicht nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2|eine Stufe mehr]].

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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

'''29-EDO''', das [[Tonsystem]], bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12-EDO]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.
= Approximation reiner Intervalle =
Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12-EDO (7 12-EDO-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29-EDO dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12-EDO niedriger ist als die reine, die von 29-EDO hingegen höher - woraus folgt, dass 29-EDO '''keine''' [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. 

Übereinanderschichten von 4 29-EDO-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29-EDO-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch '''Ptolemäus-Sekunde''' genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100/99|Ptolemäus-Komma]], von 29-EDO austemperiert.

Die [[Naturseptime]] 7/4 wird mit 17.1 Cent Abweichung getroffen - besser als in der Standardstimmung 12-EDO, aber angesichts der Grösse von 29-EDO nicht besonders gut. Erwähnenswert ist, dass diese temperierte Septime genau zwischen der Quinte von 29-EDO und der Oktave liegt, eine 29-EDO-Quarte also in zwei gleiche Teile geteilt wird. Siehe hierzu weiter unten [[29-EDO#Nautilus|Nautilus]].
== Gestreckte Stimmungen ==
Die Approximationen der Obertöne 5 ([[Naturterz]]), 7 ([[Naturseptime]]), 11 ([[Alphorn-Fa]] und 13 in 29-EDO sind alle tiefer als ihre reinen Äquivalente. Es kann daher von Vorteil sein, mit [[Gestreckte/gestauchte Stimmung|gestreckten]] Oktaven zu arbeiten (bei der die Approximation der Quinte umgekehrt etwas schlechter wird, was aber angesichts deren insgesamt sehr guten Approximation vertretbar ist).

=Reguläre Temperaturen =
== (Super-)Pyth ==

29-EDO kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

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|+
| [[File:29edoSuperpythDiatonic.mp3]]
| [[File:12edoDiatonic.mp3]]
|-
| (Super-)pythagoräische Durskala unbd Kadenz in 29-EDO
| Traditionelle diatonische Durskala und Kadenz in 12-EDO, zum Vergleich
|}

== Schismatisch, Garibaldi ==

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29-EDO unterstützen, wäre die [[Schismatische_Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische_Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29-EDO allerdings wir gesagt nicht besonders gut getroffen wird).

== Nautilus ==

Der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29-EDO ist genau ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar (die Quarte also durch 6 teilbar), was einen Generator für eine [[Nautilus|Nautilus]]-Temperatur ergibt. 29 EDO gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.

[[File:Nautilus14_29edo.mp3]]

Nautilus[14]-Skala (Lsssssssssssss) in 29-EDO

= Weitere Eigenschaften =
== Nicetone ==
Die Approximation der [[Durtonleiter|reinen Durtonleiter]] in 29-EDO mit der besten Approximation der grossen Terz 5/4 ergibt eine Skala der Form 5435453, die, wie man sieht, Intervalle in drei verschiedenen Grössen enthält (Sekunden in 3, 4 und 5 29-EDO-Schritten), also keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist, sondern eine [[Durtonleiter#Eigenschaften,_"Nicetone"|Nicetone]]-Skala. Die in ihr vorkommenden Terzen haben 7, 8 und 9 29-EDO-Schritte, wobei 8 und 9 den Approximationen von „herkömmlicher“ kleiner und grosser Terz entsprechen und 7 einer zusätzlichen, noch kleineren Terz, die sich als fast perfekte Approximation (kaum ein halbes Cent Unterschied) des Intervalls 13/11 präsentiert. Bei den Quarten gibt es neben solchen mit 12 (Approximation der reinen Quarte 4/3) und 14 Schritten (kleiner Tritonus) noch eine mit 13 Schritten, die weniger als 1 Cent vom reinen Intervall 15/11 entfernt liegt. Diese zusätzlichen Intervalle sowie die damit in der Skala gebildeten Dreiklänge können auf ihre eigene, leicht exotische Weise als konsonant gelten, und insgesamt ergibt sich eine Harmonik, die der traditionellen in [[12-EDO]] verblüffend ähnlich ist.

[[File:29edoNicetone.mp3]] 

Nicetone-Skala und Kadenz

== Orientalische Musik ==
Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29-EDO für gewisse Arten [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29-EDO, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29-EDO nicht nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2|eine Stufe mehr]].

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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

'''29-EDO''', das [[Tonsystem]], bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung [[12-EDO]] - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.
= Approximation reiner Intervalle =
Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12-EDO (7 12-EDO-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29-EDO dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12-EDO niedriger ist als die reine, die von 29-EDO hingegen höher - woraus folgt, dass 29-EDO '''keine''' [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmung ist. 

Übereinanderschichten von 4 29-EDO-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der [[Naturterz|Naturterz (5/4, 386.314 Cent)]] hingegen ist einen 29-EDO-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch '''Ptolemäus-Sekunde''' genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das [[100/99|Ptolemäus-Komma]], von 29-EDO austemperiert.

Die [[Naturseptime]] 7/4 wird mit 17.1 Cent Abweichung getroffen - besser als in der Standardstimmung 12-EDO, aber angesichts der Grösse von 29-EDO nicht besonders gut. Erwähnenswert ist, dass diese temperierte Septime genau zwischen der Quinte von 29-EDO und der Oktave liegt, eine 29-EDO-Quarte also in zwei gleiche Teile geteilt wird. Siehe hierzu weiter unten [[29-EDO#Nautilus|Nautilus]].
== Gestreckte Stimmungen ==
Die Approximationen der Obertöne 5 ([[Naturterz]]), 7 ([[Naturseptime]]), 11 ([[Alphorn-Fa]] und 13 in 29-EDO sind alle tiefer als ihre reinen Äquivalente. Es kann daher von Vorteil sein, mit [[Gestreckte/gestauchte Stimmung|gestreckten]] Oktaven zu arbeiten (bei der die Approximation der Quinte umgekehrt etwas schlechter wird, was aber angesichts deren insgesamt sehr guten Approximation vertretbar ist).

=Reguläre Temperaturen =
== (Super-)Pyth ==

29-EDO kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

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| [[File:12edoDiatonic.mp3]]
|-
| (Super-)pythagoräische Durskala unbd Kadenz in 29-EDO
| Traditionelle diatonische Durskala und Kadenz in 12-EDO, zum Vergleich
|}

== Schismatisch, Garibaldi ==

An [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], welche 29-EDO unterstützen, wäre die [[Schismatische_Temperaturen|schismatische Temperatur]] zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung [[Schismatische_Temperaturen#Garibaldi|Garibaldi]], bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] ergeben (welche in 29-EDO allerdings wir gesagt nicht besonders gut getroffen wird).

== Porcupine/Nautilus ==

Der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29-EDO ist genau ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar (die Quarte also durch 6 teilbar), was einen Generator für eine [[Nautilus|Nautilus]]-Temperatur ergibt. 29 EDO gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.

[[File:Nautilus14_29edo.mp3]]

Nautilus[14]-Skala (Lsssssssssssss) in 29-EDO

= Weitere Eigenschaften =
== Nicetone ==
Die Approximation der [[Durtonleiter|reinen Durtonleiter]] in 29-EDO mit der besten Approximation der grossen Terz 5/4 ergibt eine Skala der Form 5435453, die, wie man sieht, Intervalle in drei verschiedenen Grössen enthält (Sekunden in 3, 4 und 5 29-EDO-Schritten), also keine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] ist, sondern eine [[Durtonleiter#Eigenschaften,_"Nicetone"|Nicetone]]-Skala. Die in ihr vorkommenden Terzen haben 7, 8 und 9 29-EDO-Schritte, wobei 8 und 9 den Approximationen von „herkömmlicher“ kleiner und grosser Terz entsprechen und 7 einer zusätzlichen, noch kleineren Terz, die sich als fast perfekte Approximation (kaum ein halbes Cent Unterschied) des Intervalls 13/11 präsentiert. Bei den Quarten gibt es neben solchen mit 12 (Approximation der reinen Quarte 4/3) und 14 Schritten (kleiner Tritonus) noch eine mit 13 Schritten, die weniger als 1 Cent vom reinen Intervall 15/11 entfernt liegt. Diese zusätzlichen Intervalle sowie die damit in der Skala gebildeten Dreiklänge können auf ihre eigene, leicht exotische Weise als konsonant gelten, und insgesamt ergibt sich eine Harmonik, die der traditionellen in [[12-EDO]] verblüffend ähnlich ist.

[[File:29edoNicetone.mp3]] 

Nicetone-Skala und Kadenz

== Orientalische Musik ==
Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29-EDO für gewisse Arten [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischer]], und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29-EDO, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29-EDO nicht nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|Mindestanforderungen]], sondern sogar [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2|eine Stufe mehr]].

[[Kategorie:EDO]]
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'''31-EDO''' ist ein System, das wie [[12edo|12edo]] die [[mitteltönig|mitteltönige Temperatur]] unterstützt, d.h. bei Verwendung in klassischer Diatonik die Unterschiede zwischen den beiden [[Ganzton|Ganztönen]] ausgleicht. Dabei werden deutlich bessere Näherungen für [[Große_Terz|große Terz (5/4)]] und [[Kleine_Terz|kleine Terz (6/5)]] erreicht als bei 12edo. ([[Durtonleiter|Durtonleiter]]: 5 5 3 5 5 5 3). Diese Eigenschaft besitzt insbesondere für kleine Terzen auch [[19edo|19-EDO]], welches als optimale Realisierung der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur (mit quasi reinen kleinen Terzen) gesehen werden kann. 31-EDO mit seinen quasi reinen grossen Terzen kann demgegenüber als optimale Realisierung der [[viertelkomma-mitteltönig|viertelkomma-mitteltönigen]] Temperatur gelten.

Darüber hinaus bietet die 31-Ton-Stimmung aber auch sehr gute Approximationen für eine Reihe zusätzlicher reiner Intervalle, bis zu 7- und 11-[[Limit|Limit]]. Diese Kombination der Merkmale "vielfältige konsonante Intervalle in hoher Qualität", "mitteltönig" und "relativ überschaubare Grösse" verleiht 31-EDO unter den gleichstufigen Tonsystemen eine ziemlich ausgezeichnete Position, die ihm zu einer gewissen Verbreitung verholfen hat - schon seit längerer Zeit sogar, die Wurzeln reichen bis ins 16. Jahrhundert zurück. Siehe hierzu die Links unter [[31edo#Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung|Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung]]

Die gute Unterstützung der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] macht 31-EDO zu einem [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigen]] System, die Unterstützung der neutralen Sekunden 12/11 und 11/10 sowie einer neutralen Terz, welche die Quinte in zwei gleiche Hälften teilt, macht es zu einer möglichen Realisierung der [[Mohajira|Mohajira]]-Temperatur, geeignet für [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalische]] Tonleitern. Und auch für Xenharmoniker, welche dezidiert Neuland abseits der mitteltönigen Pfade beschreiten wollen, bietet 31-EDO einiges, etwa in Form von alternativen regulären Temperaturen wie [[Orwell|Orwell]] oder [[Würschmidt|Würschmidt]].

=Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung=
[http://de.wikipedia.org/wiki/Clavemusicum_omnitonum Archicembalo (WIkipedia)]

[http://www.projektstudio31.com/ Projekt Studio 31], ein Projekt der Universität Basel  [[Category:edo]]
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**31-EDO** ist ein System, das wie [[12edo]] die [[mitteltönig|mitteltönige Temperatur]] unterstützt, d.h. bei Verwendung in klassischer Diatonik die Unterschiede zwischen den beiden [[Ganzton|Ganztönen]] ausgleicht. Dabei werden deutlich bessere Näherungen für [[Große Terz|große Terz (5/4)]] und [[Kleine Terz|kleine Terz (6/5)]] erreicht als bei 12edo. ([[Durtonleiter]]: 5 5 3 5 5 5 3). Diese Eigenschaft besitzt insbesondere für kleine Terzen auch [[19edo|19-EDO]], welches als optimale Realisierung der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur (mit quasi reinen kleinen Terzen) gesehen werden kann. 31-EDO mit seinen quasi reinen grossen Terzen kann demgegenüber als optimale Realisierung der [[viertelkomma-mitteltönig|viertelkomma-mitteltönigen]] Temperatur gelten.

Darüber hinaus bietet die 31-Ton-Stimmung aber auch sehr gute Approximationen für eine Reihe zusätzlicher reiner Intervalle, bis zu 7- und 11-[[Limit]]. Diese Kombination der Merkmale "vielfältige konsonante Intervalle in hoher Qualität", "mitteltönig" und "relativ überschaubare Grösse" verleiht 31-EDO unter den gleichstufigen Tonsystemen eine ziemlich ausgezeichnete Position, die ihm zu einer gewissen Verbreitung verholfen hat - schon seit längerer Zeit sogar, die Wurzeln reichen bis ins 16. Jahrhundert zurück. Siehe hierzu die Links unter [[31edo#Historische%20Informationen%20zur%2031-Ton-Stimmung|Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung]]

Die gute Unterstützung der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] macht 31-EDO zu einem [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigen]] System, die Unterstützung der neutralen Sekunden 12/11 und 11/10 sowie einer neutralen Terz, welche die Quinte in zwei gleiche Hälften teilt, macht es zu einer möglichen Realisierung der [[Mohajira]]-Temperatur, geeignet für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische]] Tonleitern. Und auch für Xenharmoniker, welche dezidiert Neuland abseits der mitteltönigen Pfade beschreiten wollen, bietet 31-EDO einiges, etwa in Form von alternativen regulären Temperaturen wie [[Orwell]] oder [[Würschmidt]].

=Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung= 
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Clavemusicum_omnitonum|Archicembalo (WIkipedia)]]
[[http://www.projektstudio31.com/|Projekt Studio 31]], ein Projekt der Universität Basel&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Darüber hinaus bietet die 31-Ton-Stimmung aber auch sehr gute Approximationen für eine Reihe zusätzlicher reiner Intervalle, bis zu 7- und 11-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;. Diese Kombination der Merkmale &amp;amp;quot;vielfältige konsonante Intervalle in hoher Qualität&amp;amp;quot;, &amp;amp;quot;mitteltönig&amp;amp;quot; und &amp;amp;quot;relativ überschaubare Grösse&amp;amp;quot; verleiht 31-EDO unter den gleichstufigen Tonsystemen eine ziemlich ausgezeichnete Position, die ihm zu einer gewissen Verbreitung verholfen hat - schon seit längerer Zeit sogar, die Wurzeln reichen bis ins 16. Jahrhundert zurück. Siehe hierzu die Links unter &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo#Historische%20Informationen%20zur%2031-Ton-Stimmung"&amp;gt;Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die gute Unterstützung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; macht 31-EDO zu einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/septimal-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;septimal-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; System, die Unterstützung der neutralen Sekunden 12/11 und 11/10 sowie einer neutralen Terz, welche die Quinte in zwei gleiche Hälften teilt, macht es zu einer möglichen Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mohajira"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, geeignet für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalische&amp;lt;/a&amp;gt; Tonleitern. Und auch für Xenharmoniker, welche dezidiert Neuland abseits der mitteltönigen Pfade beschreiten wollen, bietet 31-EDO einiges, etwa in Form von alternativen regulären Temperaturen wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Orwell"&amp;gt;Orwell&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/W%C3%BCrschmidt"&amp;gt;Würschmidt&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung: siehe Artikel [[http://de.wikipedia.org/wiki/Clavemusicum_omnitonum|Archicembalo (WIkipedia)]] .

**31-EDO** ist ein System, das wie [[12edo]] die [[mitteltönig|mitteltönige Temperatur]] unterstützt, d.h. bei Verwendung in klassischer Diatonik die Unterschiede zwischen den beiden [[Ganzton|Ganztönen]] ausgleicht. Dabei werden deutlich bessere Näherungen für [[Große Terz|große Terz (5/4)]] und [[Kleine Terz|kleine Terz (6/5)]] erreicht als bei 12edo. ([[Durtonleiter]]: 5 5 3 5 5 5 3). Diese Eigenschaft besitzt insbesondere für kleine Terzen auch [[19edo|19-EDO]], welches als optimale Realisierung der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur (mit quasi reinen kleinen Terzen) gesehen werden kann. 31-EDO mit seinen quasi reinen grossen Terzen kann demgegenüber als optimale Realisierung der [[viertelkomma-mitteltönig|viertelkomma-mitteltönigen]] Temperatur gelten.

Darüber hinaus bietet die 31-Ton-Stimmung aber auch sehr gute Approximationen für eine Reihe zusätzlicher reiner Intervalle, bis zu 7- und 11-[[Limit]]. Diese Kombination der Merkmale "vielfältige konsonante Intervalle in hoher Qualität", "mitteltönig" und "relativ überschaubare Grösse" verleiht 31-EDO unter den gleichstufigen Tonsystemen eine ziemlich ausgezeichnete Position, die ihm zu einer gewissen Verbreitung verholfen hat.

Die gute Unterstützung der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] macht 31-EDO zu einem [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigen]] System, die Unterstützung der neutralen Sekunden 12/11 und 11/10 sowie einer neutralen Terz, welche die Quinte in zwei gleiche Hälften teilt, macht es zu einer möglichen Realisierung der [[Mohajira]]-Temperatur, geeignet für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische]] Tonleitern. Und auch für Xenharmoniker, welche dezidiert Neuland abseits der mitteltönigen Pfade beschreiten wollen, bietet 31-EDO einiges, etwa in Form von alternativen regulären Temperaturen wie [[Orwell]] oder [[Würschmidt]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung: siehe Artikel &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Clavemusicum_omnitonum" rel="nofollow"&amp;gt;Archicembalo (WIkipedia)&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;strong&amp;gt;31-EDO&amp;lt;/strong&amp;gt; ist ein System, das wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; unterstützt, d.h. bei Verwendung in klassischer Diatonik die Unterschiede zwischen den beiden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztönen&amp;lt;/a&amp;gt; ausgleicht. Dabei werden deutlich bessere Näherungen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gro%C3%9Fe%20Terz"&amp;gt;große Terz (5/4)&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Kleine%20Terz"&amp;gt;kleine Terz (6/5)&amp;lt;/a&amp;gt; erreicht als bei 12edo. (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Durtonleiter"&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/a&amp;gt;: 5 5 3 5 5 5 3). Diese Eigenschaft besitzt insbesondere für kleine Terzen auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, welches als optimale Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;drittelkomma-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur (mit quasi reinen kleinen Terzen) gesehen werden kann. 31-EDO mit seinen quasi reinen grossen Terzen kann demgegenüber als optimale Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;viertelkomma-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur gelten.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Darüber hinaus bietet die 31-Ton-Stimmung aber auch sehr gute Approximationen für eine Reihe zusätzlicher reiner Intervalle, bis zu 7- und 11-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;. Diese Kombination der Merkmale &amp;amp;quot;vielfältige konsonante Intervalle in hoher Qualität&amp;amp;quot;, &amp;amp;quot;mitteltönig&amp;amp;quot; und &amp;amp;quot;relativ überschaubare Grösse&amp;amp;quot; verleiht 31-EDO unter den gleichstufigen Tonsystemen eine ziemlich ausgezeichnete Position, die ihm zu einer gewissen Verbreitung verholfen hat.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die gute Unterstützung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; macht 31-EDO zu einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/septimal-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;septimal-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; System, die Unterstützung der neutralen Sekunden 12/11 und 11/10 sowie einer neutralen Terz, welche die Quinte in zwei gleiche Hälften teilt, macht es zu einer möglichen Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mohajira"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, geeignet für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalische&amp;lt;/a&amp;gt; Tonleitern. Und auch für Xenharmoniker, welche dezidiert Neuland abseits der mitteltönigen Pfade beschreiten wollen, bietet 31-EDO einiges, etwa in Form von alternativen regulären Temperaturen wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Orwell"&amp;gt;Orwell&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/W%C3%BCrschmidt"&amp;gt;Würschmidt&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/31edo]]

Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung: siehe Artikel [[http://de.wikipedia.org/wiki/Clavemusicum_omnitonum|Archicembalo (WIkipedia)]] .

**31-EDO** ist ein System, das wie [[12edo]] die [[mitteltönig|mitteltönige Temperatur]] unterstützt, d.h. bei Verwendung in klassischer Diatonik die Unterschiede zwischen den beiden [[Ganzton|Ganztönen]] ausgleicht. Dabei werden deutlich bessere Näherungen für [[Große Terz|große Terz (5/4)]] und [[Kleine Terz|kleine Terz (6/5)]] erreicht als bei 12edo. ([[Durtonleiter]]: 5 5 3 5 5 5 3). Diese Eigenschaft besitzt insbesondere für kleine Terzen auch [[19edo|19-EDO]], welches als optimale Realisierung der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur (mit quasi reinen kleinen Terzen) gelten kann. 31-EDO mit seinen quasi reinen grossen Terzen kann demgegenüber als optimale Realisierung der [[viertelkomma-mitteltönig|viertelkomma-mitteltönigen]] Temperatur gelten.

Darüber hinaus bietet die 31-Ton-Stimmung aber auch sehr gute Approximationen für eine Reihe zusätzlicher reiner Intervalle, bis zu 7- und 11-[[Limit]]. Diese Kombination der Merkmale "vielfältige konsonante Intervalle in hoher Qualität", "mitteltönig" und "relativ überschaubare Grösse" verleiht 31-EDO unter den gleichstufigen Tonsystemen eine ziemlich ausgezeichnete Position, die ihm zu einer gewissen Verbreitung verholfen hat.

Die gute Unterstützung der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] macht 31-EDO zu einem [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigen]] System, die Unterstützung der neutralen Sekunden 12/11 und 11/10 sowie einer neutralen Terz, welche die Quinte in zwei gleiche Hälften teilt, macht es zu einer möglichen Realisierung der [[Mohajira]]-Temperatur, geeignet für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische]] Tonleitern. Und auch für Xenharmoniker, welche dezidiert Neuland abseits der mitteltönigen Pfade beschreiten wollen, bietet 31-EDO einiges, etwa in Form von alternativen regulären Temperaturen wie [[Orwell]] oder [[Würschmidt]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;31edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/31edo"&amp;gt;xenharmonic/31edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung: siehe Artikel &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Clavemusicum_omnitonum" rel="nofollow"&amp;gt;Archicembalo (WIkipedia)&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;strong&amp;gt;31-EDO&amp;lt;/strong&amp;gt; ist ein System, das wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; unterstützt, d.h. bei Verwendung in klassischer Diatonik die Unterschiede zwischen den beiden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztönen&amp;lt;/a&amp;gt; ausgleicht. Dabei werden deutlich bessere Näherungen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gro%C3%9Fe%20Terz"&amp;gt;große Terz (5/4)&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Kleine%20Terz"&amp;gt;kleine Terz (6/5)&amp;lt;/a&amp;gt; erreicht als bei 12edo. (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Durtonleiter"&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/a&amp;gt;: 5 5 3 5 5 5 3). Diese Eigenschaft besitzt insbesondere für kleine Terzen auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, welches als optimale Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;drittelkomma-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur (mit quasi reinen kleinen Terzen) gelten kann. 31-EDO mit seinen quasi reinen grossen Terzen kann demgegenüber als optimale Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;viertelkomma-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur gelten.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Darüber hinaus bietet die 31-Ton-Stimmung aber auch sehr gute Approximationen für eine Reihe zusätzlicher reiner Intervalle, bis zu 7- und 11-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;. Diese Kombination der Merkmale &amp;amp;quot;vielfältige konsonante Intervalle in hoher Qualität&amp;amp;quot;, &amp;amp;quot;mitteltönig&amp;amp;quot; und &amp;amp;quot;relativ überschaubare Grösse&amp;amp;quot; verleiht 31-EDO unter den gleichstufigen Tonsystemen eine ziemlich ausgezeichnete Position, die ihm zu einer gewissen Verbreitung verholfen hat.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die gute Unterstützung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; macht 31-EDO zu einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/septimal-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;septimal-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; System, die Unterstützung der neutralen Sekunden 12/11 und 11/10 sowie einer neutralen Terz, welche die Quinte in zwei gleiche Hälften teilt, macht es zu einer möglichen Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mohajira"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, geeignet für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalische&amp;lt;/a&amp;gt; Tonleitern. Und auch für Xenharmoniker, welche dezidiert Neuland abseits der mitteltönigen Pfade beschreiten wollen, bietet 31-EDO einiges, etwa in Form von alternativen regulären Temperaturen wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Orwell"&amp;gt;Orwell&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/W%C3%BCrschmidt"&amp;gt;Würschmidt&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung: siehe Artikel [[http://de.wikipedia.org/wiki/Clavemusicum_omnitonum|Archicembalo (WIkipedia)]] .

**31-EDO** ist ein System, das wie [[12edo]] die [[mitteltönig|mitteltönige Temperatur]] unterstützt, d.h. bei Verwendung in klassischer Diatonik die Unterschiede zwischen den beiden [[Ganzton|Ganztönen]] ausgleicht. Dabei werden deutlich bessere Näherungen für [[Große Terz|große Terz (5/4)]] und [[Kleine Terz|kleine Terz (6/5)]] erreicht als bei 12edo. ([[Durtonleiter]]: 5 5 3 5 5 5 3). Diese Eigenschaft besitzt insbesondere für kleine Terzen auch [[19edo|19-EDO]], welches als optimale Realisierung der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur (mit quasi reinen kleinen Terzen) gelten kann. 31-EDO mit seinen quasi reinen grossen Terzen kann demgegenüber als optimale Realisierung der [[viertelkomma-mitteltönig|viertelkomma-mitteltönigen]] Temperatur gelten.

Darüber hinaus bietet die 31-Ton-Stimmung aber auch sehr gute Approximationen für eine Reihe zusätzlicher reiner Intervalle, bis zu 7- und 11-[[Limit]]. Diese Kombination der Merkmale "vielfältige konsonante Intervalle in hoher Qualität", "mitteltönig" und "relativ überschaubare Grösse" verleiht 31-EDO unter den gleichstufigen Tonsystemen eine ziemlich ausgezeichnete Position, die ihm zu einer gewissen Verbreitung verholfen hat.

Die gute Unterstützung der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] macht 31-EDO zu einem [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigen]] System, die Unterstützung der neutralen Sekunden 12/11 und 11/10 sowie einer neutralen Terz, welche die Quinte in zwei gleiche Hälften teilt, macht es zu einer möglichen Realisierung der [[Mohajira]]-Temperatur, geeignet für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische]] Tonleitern.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung: siehe Artikel &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Clavemusicum_omnitonum" rel="nofollow"&amp;gt;Archicembalo (WIkipedia)&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;strong&amp;gt;31-EDO&amp;lt;/strong&amp;gt; ist ein System, das wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; unterstützt, d.h. bei Verwendung in klassischer Diatonik die Unterschiede zwischen den beiden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztönen&amp;lt;/a&amp;gt; ausgleicht. Dabei werden deutlich bessere Näherungen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gro%C3%9Fe%20Terz"&amp;gt;große Terz (5/4)&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Kleine%20Terz"&amp;gt;kleine Terz (6/5)&amp;lt;/a&amp;gt; erreicht als bei 12edo. (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Durtonleiter"&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/a&amp;gt;: 5 5 3 5 5 5 3). Diese Eigenschaft besitzt insbesondere für kleine Terzen auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, welches als optimale Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;drittelkomma-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur (mit quasi reinen kleinen Terzen) gelten kann. 31-EDO mit seinen quasi reinen grossen Terzen kann demgegenüber als optimale Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;viertelkomma-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur gelten.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Darüber hinaus bietet die 31-Ton-Stimmung aber auch sehr gute Approximationen für eine Reihe zusätzlicher reiner Intervalle, bis zu 7- und 11-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;. Diese Kombination der Merkmale &amp;amp;quot;vielfältige konsonante Intervalle in hoher Qualität&amp;amp;quot;, &amp;amp;quot;mitteltönig&amp;amp;quot; und &amp;amp;quot;relativ überschaubare Grösse&amp;amp;quot; verleiht 31-EDO unter den gleichstufigen Tonsystemen eine ziemlich ausgezeichnete Position, die ihm zu einer gewissen Verbreitung verholfen hat.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die gute Unterstützung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; macht 31-EDO zu einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/septimal-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;septimal-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; System, die Unterstützung der neutralen Sekunden 12/11 und 11/10 sowie einer neutralen Terz, welche die Quinte in zwei gleiche Hälften teilt, macht es zu einer möglichen Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mohajira"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, geeignet für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalische&amp;lt;/a&amp;gt; Tonleitern.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung: siehe Artikel [[http://de.wikipedia.org/wiki/Clavemusicum_omnitonum|Archicembalo (WIkipedia)]] .

**31-EDO** ist ein System, das wie [[12edo]] die [[mitteltönig|mitteltönige Temperatur]] unterstützt, d.h. bei Verwendung in klassischer Diatonik die Unterschiede zwischen den beiden [[Ganzton|Ganztönen]] ausgleicht. Dabei werden deutlich bessere Näherungen für [[Große Terz|große Terz (5/4)]] und [[Kleine Terz|kleine Terz (6/5)]] erreicht als bei 12edo. ([[Durtonleiter]]: 5 5 3 5 5 5 3). Diese Eigenschaft besitzt insbesondere für kleine Terzen auch [[19edo|19-EDO]], welches als optimale Realisierung der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur (mit quasi reinen kleinen Terzen) gelten kann. 31-EDO mit seinen quasi reinen grossen Terzen kann demgegenüber als optimale Realisierung der [[viertelkomma-mitteltönig|viertelkomma-mitteltönigen]] Temperatur gelten.

Darüber hinaus bietet die 31-Ton-Stimmung aber auch sehr gute Approximationen für eine Reihe zusätzlicher reiner Intervalle, bis zu 7- und 11-[[Limit]].

Die gute Unterstützung der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] macht 31-EDO zu einem [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigen]] System, die Unterstützung der neutralen Sekunden 12/11 und 11/10 sowie einer neutralen Terz, welche die Quinte in zwei gleiche Hälften teilt, macht es zu einer möglichen Realisierung der [[Mohajira]]-Temperatur, geeignet für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische]] Tonleitern.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;31edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/31edo"&amp;gt;xenharmonic/31edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;strong&amp;gt;31-EDO&amp;lt;/strong&amp;gt; ist ein System, das wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; unterstützt, d.h. bei Verwendung in klassischer Diatonik die Unterschiede zwischen den beiden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztönen&amp;lt;/a&amp;gt; ausgleicht. Dabei werden deutlich bessere Näherungen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gro%C3%9Fe%20Terz"&amp;gt;große Terz (5/4)&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Kleine%20Terz"&amp;gt;kleine Terz (6/5)&amp;lt;/a&amp;gt; erreicht als bei 12edo. (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Durtonleiter"&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/a&amp;gt;: 5 5 3 5 5 5 3). Diese Eigenschaft besitzt insbesondere für kleine Terzen auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;, welches als optimale Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;drittelkomma-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur (mit quasi reinen kleinen Terzen) gelten kann. 31-EDO mit seinen quasi reinen grossen Terzen kann demgegenüber als optimale Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;viertelkomma-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur gelten.&amp;lt;br /&amp;gt;
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**31-EDO** ist ein System, das wie [[12edo]] die [[mitteltönig|mitteltönige Temperatur]] unterstützt, d.h. bei Verwendung in klassischer Diatonik die Unterschiede zwischen den beiden [[Ganzton|Ganztönen]] ausgleicht. Dabei werden deutlich bessere Näherungen für [[Große Terz|große Terz (5/4)]] und [[Kleine Terz|kleine Terz (6/5)]] erreicht als bei 12edo. ([[Durtonleiter]]: 5 5 3 5 5 5 3). Diese Eigenschaft besitzt insbesondere für kleine Terzen auch [[19edo|19-EDO]].

Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung sind zu finden im Artikel [[http://de.wikipedia.org/wiki/Clavemusicum_omnitonum|Archicembalo (WIkipedia)]] .&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;31edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/31edo"&amp;gt;xenharmonic/31edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;strong&amp;gt;31-EDO&amp;lt;/strong&amp;gt; ist ein System, das wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; unterstützt, d.h. bei Verwendung in klassischer Diatonik die Unterschiede zwischen den beiden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztönen&amp;lt;/a&amp;gt; ausgleicht. Dabei werden deutlich bessere Näherungen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gro%C3%9Fe%20Terz"&amp;gt;große Terz (5/4)&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Kleine%20Terz"&amp;gt;kleine Terz (6/5)&amp;lt;/a&amp;gt; erreicht als bei 12edo. (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Durtonleiter"&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/a&amp;gt;: 5 5 3 5 5 5 3). Diese Eigenschaft besitzt insbesondere für kleine Terzen auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung sind zu finden im Artikel &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Clavemusicum_omnitonum" rel="nofollow"&amp;gt;Archicembalo (WIkipedia)&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-13 11:02:27 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/31edo]]

31-EDO ist ein System, das wie [[12edo]] die [[mitteltönig|mitteltönige Temperatur]] unterstützt, d.h. bei Verwendung in klassischer Diatonik die Unterschiede zwischen den beiden [[Ganzton|Ganztönen]] ausgleicht. Dabei werden deutlich bessere Näherungen für [[Große Terz|große Terz (5/4)]] und [[Kleine Terz|kleine Terz (6/5)]] erreicht als bei 12edo. ([[Durtonleiter]]: 5 5 3 5 5 5 3). Diese Eigenschaft besitzt insbesondere für kleine Terzen auch [[19edo|19-EDO]].

Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung sind zu finden im Artikel [[http://de.wikipedia.org/wiki/Clavemusicum_omnitonum|Archicembalo (WIkipedia)]] .&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
31-EDO ist ein System, das wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; unterstützt, d.h. bei Verwendung in klassischer Diatonik die Unterschiede zwischen den beiden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztönen&amp;lt;/a&amp;gt; ausgleicht. Dabei werden deutlich bessere Näherungen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gro%C3%9Fe%20Terz"&amp;gt;große Terz (5/4)&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Kleine%20Terz"&amp;gt;kleine Terz (6/5)&amp;lt;/a&amp;gt; erreicht als bei 12edo. (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Durtonleiter"&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/a&amp;gt;: 5 5 3 5 5 5 3). Diese Eigenschaft besitzt insbesondere für kleine Terzen auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung sind zu finden im Artikel &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Clavemusicum_omnitonum" rel="nofollow"&amp;gt;Archicembalo (WIkipedia)&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-13 11:01:21 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/31edo]]

31-EDO ist ein System, das wie [[12edo]] die mitteltönige Temperatur unterstützt, d.h. bei Verwendung in klassischer Diatonik die Unterschiede zwischen den beiden [[Ganzton|Ganztönen]] ausgleicht. Dabei werden deutlich bessere Näherungen für [[Große Terz|große Terz (5/4)]] und [[Kleine Terz|kleine Terz (6/5)]] erreicht als bei 12edo. ([[Durtonleiter]]: 5 5 3 5 5 5 3). Diese Eigenschaft besitzt in einem gewissen Grad auch [[19edo|19-EDO]].

Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung sind zu finden im Artikel [[http://de.wikipedia.org/wiki/Clavemusicum_omnitonum|Archicembalo (WIkipedia)]] .&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
31-EDO ist ein System, das wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; die mitteltönige Temperatur unterstützt, d.h. bei Verwendung in klassischer Diatonik die Unterschiede zwischen den beiden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztönen&amp;lt;/a&amp;gt; ausgleicht. Dabei werden deutlich bessere Näherungen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gro%C3%9Fe%20Terz"&amp;gt;große Terz (5/4)&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Kleine%20Terz"&amp;gt;kleine Terz (6/5)&amp;lt;/a&amp;gt; erreicht als bei 12edo. (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Durtonleiter"&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/a&amp;gt;: 5 5 3 5 5 5 3). Diese Eigenschaft besitzt in einem gewissen Grad auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung sind zu finden im Artikel &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Clavemusicum_omnitonum" rel="nofollow"&amp;gt;Archicembalo (WIkipedia)&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-13 10:13:42 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/31edo]]

==Hinweise== 
31-EDO ist ein System, das bei Verwendung in klassischer Diatonik die Unterschiede zwischen den beiden [[Ganzton|Ganztönen]] ausgleicht und recht gute Näherungen für [[Große Terz|große Terz (5/4)]] und [[Kleine Terz|kleine Terz (6/5)]] bietet ([[Durtonleiter]]: 5 5 3 5 5 5 3). Diese Eigenschaft besitzt in einem gewissen Grad auch [[19edo|19-EDO]].

Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung sind zu finden im Artikel [[http://de.wikipedia.org/wiki/Clavemusicum_omnitonum|Archicembalo (WIkipedia)]] .&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;31edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/31edo"&amp;gt;xenharmonic/31edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 31-EDO ist ein System, das bei Verwendung in klassischer Diatonik die Unterschiede zwischen den beiden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztönen&amp;lt;/a&amp;gt; ausgleicht und recht gute Näherungen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gro%C3%9Fe%20Terz"&amp;gt;große Terz (5/4)&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Kleine%20Terz"&amp;gt;kleine Terz (6/5)&amp;lt;/a&amp;gt; bietet (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Durtonleiter"&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/a&amp;gt;: 5 5 3 5 5 5 3). Diese Eigenschaft besitzt in einem gewissen Grad auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung sind zu finden im Artikel &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Clavemusicum_omnitonum" rel="nofollow"&amp;gt;Archicembalo (WIkipedia)&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic:31edo|xenharmonic/31edo]]

== Hinweise ==
31-EDO ist ein System, das bei Verwendung in klassischer Diatonik die Unterschiede zwischen den beiden [[Ganzton|Ganztönen]] ausgleicht und recht gute Näherungen für [[Große Terz|große Terz (5/4)]] und [[Kleine Terz|kleine Terz (6/5)]] bietet ([[Durtonleiter]]: 5 5 3 5 5 5 3). Diese Eigenschaft besitzt in einem gewissen Grad auch [[19edo|19-EDO]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;31edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/31edo"&amp;gt;xenharmonic/31edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Hinweise"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt; Hinweise &amp;lt;/h2&amp;gt;
31-EDO ist ein System, das bei Verwendung in klassischer Diatonik die Unterschiede zwischen den beiden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztönen&amp;lt;/a&amp;gt; ausgleicht und recht gute Näherungen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gro%C3%9Fe%20Terz"&amp;gt;große Terz (5/4)&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Kleine%20Terz"&amp;gt;kleine Terz (6/5)&amp;lt;/a&amp;gt; bietet (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Durtonleiter"&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/a&amp;gt;: 5 5 3 5 5 5 3). Diese Eigenschaft besitzt in einem gewissen Grad auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <text bytes="2473" sha1="iuuj1bkcdju5isvxchlp89bkes65nlt" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
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: The original revision id was &lt;tt&gt;430717356&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic:31edo|xenharmonic/31edo]]

== Hinweise ==
31-EDO ist ein System, das bei Verwendung in klassischer Diatonik die Unterschiede zwischen den beiden [[Ganzton|Ganztönen]] ausgleicht und recht gute Näherungen für [[Große Terz|große Terz (5/4)]] und [[Kleine Terz|kleine Terz (6/5)]] bietet (Dutonleiter: 5 5 3 5 5 5 3). Diese Eigenschaft besitzt in einem gewissen Grad auch [[19edo|19-EDO]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
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31-EDO ist ein System, das bei Verwendung in klassischer Diatonik die Unterschiede zwischen den beiden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztönen&amp;lt;/a&amp;gt; ausgleicht und recht gute Näherungen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gro%C3%9Fe%20Terz"&amp;gt;große Terz (5/4)&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Kleine%20Terz"&amp;gt;kleine Terz (6/5)&amp;lt;/a&amp;gt; bietet (Dutonleiter: 5 5 3 5 5 5 3). Diese Eigenschaft besitzt in einem gewissen Grad auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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'''31-EDO''' ist ein System, das wie [[12edo|12edo]] die [[mitteltönig|mitteltönige Temperatur]] unterstützt, d.h. bei Verwendung in klassischer Diatonik die Unterschiede zwischen den beiden [[Ganzton|Ganztönen]] ausgleicht. Dabei werden deutlich bessere Näherungen für [[Große_Terz|große Terz (5/4)]] und [[Kleine_Terz|kleine Terz (6/5)]] erreicht als bei 12edo. ([[Durtonleiter|Durtonleiter]]: 5 5 3 5 5 5 3). Diese Eigenschaft besitzt insbesondere für kleine Terzen auch [[19edo|19-EDO]], welches als optimale Realisierung der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur (mit quasi reinen kleinen Terzen) gesehen werden kann. 31-EDO mit seinen quasi reinen grossen Terzen kann demgegenüber als optimale Realisierung der [[viertelkomma-mitteltönig|viertelkomma-mitteltönigen]] Temperatur gelten.

Darüber hinaus bietet die 31-Ton-Stimmung aber auch sehr gute Approximationen für eine Reihe zusätzlicher reiner Intervalle, bis zu 7- und 11-[[Limit|Limit]]. Diese Kombination der Merkmale "vielfältige konsonante Intervalle in hoher Qualität", "mitteltönig" und "relativ überschaubare Grösse" verleiht 31-EDO unter den gleichstufigen Tonsystemen eine ziemlich ausgezeichnete Position, die ihm zu einer gewissen Verbreitung verholfen hat - schon seit längerer Zeit sogar, die Wurzeln reichen bis ins 16. Jahrhundert zurück. Siehe hierzu die Links unter [[31edo#Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung|Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung]]

Die gute Unterstützung der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] macht 31-EDO zu einem [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigen]] System, die Unterstützung der neutralen Sekunden 12/11 und 11/10 sowie einer neutralen Terz, welche die Quinte in zwei gleiche Hälften teilt, macht es zu einer möglichen Realisierung der [[Mohajira|Mohajira]]-Temperatur, geeignet für [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalische]] Tonleitern. Und auch für Xenharmoniker, welche dezidiert Neuland abseits der mitteltönigen Pfade beschreiten wollen, bietet 31-EDO einiges, etwa in Form von alternativen regulären Temperaturen wie [[Orwell|Orwell]] oder [[Würschmidt|Würschmidt]].

=Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung=
[http://de.wikipedia.org/wiki/Clavemusicum_omnitonum Archicembalo (WIkipedia)]

[http://www.projektstudio31.com/ Projekt Studio 31], ein Projekt der Universität Basel  [[Category:edo]]
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Darüber hinaus bietet die 31-Ton-Stimmung aber auch sehr gute Approximationen für eine Reihe zusätzlicher reiner Intervalle, bis zu 7- und 11-[[Limit]]. Diese Kombination der Merkmale "vielfältige konsonante Intervalle in hoher Qualität", "mitteltönig" und "relativ überschaubare Grösse" verleiht 31-EDO unter den gleichstufigen Tonsystemen eine ziemlich ausgezeichnete Position, die ihm zu einer gewissen Verbreitung verholfen hat - schon seit längerer Zeit sogar, die Wurzeln reichen bis ins 16. Jahrhundert zurück. Siehe hierzu die Links unter [[31edo#Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung|Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung]]

Die gute Unterstützung der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] macht 31-EDO zu einem [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigen]] System, die Unterstützung der neutralen Sekunden 12/11 und 11/10 sowie einer neutralen Terz, welche die Quinte in zwei gleiche Hälften teilt, macht es zu einer möglichen Realisierung der [[Mohajira]]-Temperatur, geeignet für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische]] Tonleitern. Und auch für Xenharmoniker, welche dezidiert Neuland abseits der mitteltönigen Pfade beschreiten wollen, bietet 31-EDO einiges, etwa in Form von alternativen regulären Temperaturen wie [[Orwell]] oder [[Würschmidt]].

== Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Clavemusicum_omnitonum Archicembalo (WIkipedia)]
* [http://www.projektstudio31.com/ Projekt Studio 31], ein Projekt der Universität Basel

[[Kategorie:edo]]
[[Kategorie:Prim-EDO]]

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Darüber hinaus bietet die 31-Ton-Stimmung aber auch sehr gute Approximationen für eine Reihe zusätzlicher reiner Intervalle, bis zu 7- und 11-[[Limit]]. Diese Kombination der Merkmale "vielfältige konsonante Intervalle in hoher Qualität", "mitteltönig" und "relativ überschaubare Grösse" verleiht 31-EDO unter den gleichstufigen Tonsystemen eine ziemlich ausgezeichnete Position, die ihm zu einer gewissen Verbreitung verholfen hat - schon seit längerer Zeit sogar, die Wurzeln reichen bis ins 16. Jahrhundert zurück. Siehe hierzu die Links unter [[31edo#Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung|Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung]]

Die gute Unterstützung der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] macht 31-EDO zu einem [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigen]] System, die Unterstützung der neutralen Sekunden 12/11 und 11/10 sowie einer neutralen Terz, welche die Quinte in zwei gleiche Hälften teilt, macht es zu einer möglichen Realisierung der [[Mohajira]]-Temperatur, geeignet für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische]] Tonleitern. Und auch für Xenharmoniker, welche dezidiert Neuland abseits der mitteltönigen Pfade beschreiten wollen, bietet 31-EDO einiges, etwa in Form von alternativen regulären Temperaturen wie [[Orwell]] oder [[Würschmidt]].

== Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Clavemusicum_omnitonum Archicembalo (WIkipedia)]
* [http://www.projektstudio31.com/ Projekt Studio 31], ein Projekt der Universität Basel

[[Kategorie:edo]]
[[Kategorie:Prim-EDO]]

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Darüber hinaus bietet die 31-Ton-Stimmung aber auch sehr gute Approximationen für eine Reihe zusätzlicher reiner Intervalle, bis zu 7- und 11-[[Limit]]. Diese Kombination der Merkmale "vielfältige konsonante Intervalle in hoher Qualität", "mitteltönig" und "relativ überschaubare Grösse" verleiht 31-EDO unter den gleichstufigen Tonsystemen eine ziemlich ausgezeichnete Position, die ihm zu einer gewissen Verbreitung verholfen hat - schon seit längerer Zeit sogar, die Wurzeln reichen bis ins 16. Jahrhundert zurück. Siehe hierzu die Links unter [[31edo#Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung|Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung]]

Die gute Unterstützung der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] macht 31-EDO zu einem [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigen]] System, die Unterstützung der neutralen Sekunden 12/11 und 11/10 sowie einer neutralen Terz, welche die Quinte in zwei gleiche Hälften teilt, macht es zu einer möglichen Realisierung der [[Mohajira]]-Temperatur, geeignet für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische]] Tonleitern. Und auch für Xenharmoniker, welche dezidiert Neuland abseits der mitteltönigen Pfade beschreiten wollen, bietet 31-EDO einiges, etwa in Form von alternativen regulären Temperaturen wie [[Orwell]] oder [[Würschmidt]].

== Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Clavemusicum_omnitonum Archicembalo (WIkipedia)]
* [http://www.projektstudio31.com/ Projekt Studio 31], ein Projekt der Universität Basel

[[Kategorie:EDO]]
[[Kategorie:Prim-EDO]]

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Darüber hinaus bietet die 31-Ton-Stimmung aber auch sehr gute Approximationen für eine Reihe zusätzlicher reiner Intervalle, bis zu 7- und 11-[[Limit]]. Diese Kombination der Merkmale "vielfältige konsonante Intervalle in hoher Qualität", "mitteltönig" und "relativ überschaubare Grösse" verleiht 31-EDO unter den gleichstufigen Tonsystemen eine ziemlich ausgezeichnete Position, die ihm zu einer gewissen Verbreitung verholfen hat - schon seit längerer Zeit sogar, die Wurzeln reichen bis ins 16. Jahrhundert zurück. Siehe hierzu die Links unter [[31edo#Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung|Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung]]

Die gute Unterstützung der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] macht 31-EDO zu einem [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigen]] System, die Unterstützung der neutralen Sekunden 12/11 und 11/10 sowie einer neutralen Terz, welche die Quinte in zwei gleiche Hälften teilt, macht es zu einer möglichen Realisierung der [[Mohajira]]-Temperatur, geeignet für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische]] Tonleitern. Und auch für Xenharmoniker, welche dezidiert Neuland abseits der mitteltönigen Pfade beschreiten wollen, bietet 31-EDO einiges, etwa in Form von alternativen regulären Temperaturen wie [[Orwell]] oder [[Würschmidt]].

== Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Clavemusicum_omnitonum Archicembalo (WIkipedia)]
* [http://www.projektstudio31.com/ Projekt Studio 31], ein Projekt der Universität Basel

[[Kategorie:EDO]]
[[Kategorie:Prim-EDO]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
[[en:31edo]]
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Darüber hinaus bietet die 31-Ton-Stimmung aber auch sehr gute Approximationen für eine Reihe zusätzlicher reiner Intervalle, bis zu 7- und 11-[[Limit]]. Diese Kombination der Merkmale "vielfältige konsonante Intervalle in hoher Qualität", "mitteltönig" und "relativ überschaubare Grösse" verleiht 31-EDO unter den gleichstufigen Tonsystemen eine ziemlich ausgezeichnete Position, die ihm zu einer gewissen Verbreitung verholfen hat - schon seit längerer Zeit sogar, die Wurzeln reichen bis ins 16. Jahrhundert zurück. Siehe hierzu die Links unter [[31edo#Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung|Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung]]

Die gute Unterstützung der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] macht 31-EDO zu einem [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigen]] System, die Unterstützung der neutralen Sekunden 12/11 und 11/10 sowie einer neutralen Terz, welche die Quinte in zwei gleiche Hälften teilt, macht es zu einer möglichen Realisierung der [[Mohajira]]-Temperatur, geeignet für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische]] Tonleitern. Und auch für Xenharmoniker, welche dezidiert Neuland abseits der mitteltönigen Pfade beschreiten wollen, bietet 31-EDO einiges, etwa in Form von alternativen regulären Temperaturen wie [[Orwell]] oder [[Würschmidt]].

== Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Clavemusicum_omnitonum Archicembalo (WIkipedia)]
* [http://www.projektstudio31.com/ Projekt Studio 31], ein Projekt der Universität Basel

[[Kategorie:EDO]]
[[Kategorie:Prim-EDO]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
[[en:31edo]]
[[es:31edo]]
[[ja:31平均律]]</text>
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Darüber hinaus bietet die 31-Ton-Stimmung aber auch sehr gute Approximationen für eine Reihe zusätzlicher reiner Intervalle, bis zu 7- und 11-[[Limit]]. Diese Kombination der Merkmale "vielfältige konsonante Intervalle in hoher Qualität", "mitteltönig" und "relativ überschaubare Grösse" verleiht 31-EDO unter den gleichstufigen Tonsystemen eine ziemlich ausgezeichnete Position, die ihm zu einer gewissen Verbreitung verholfen hat - schon seit längerer Zeit sogar, die Wurzeln reichen bis ins 16. Jahrhundert zurück. Siehe hierzu die Links unter [[31edo#Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung|Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung]]

Die gute Unterstützung der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] macht 31-EDO zu einem [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigen]] System, die Unterstützung der neutralen Sekunden 12/11 und 11/10 sowie einer neutralen Terz, welche die Quinte in zwei gleiche Hälften teilt, macht es zu einer möglichen Realisierung der [[Mohajira]]-Temperatur, geeignet für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische]] Tonleitern. Und auch für Xenharmoniker, welche dezidiert Neuland abseits der mitteltönigen Pfade beschreiten wollen, bietet 31-EDO einiges, etwa in Form von alternativen regulären Temperaturen wie [[Orwell]] oder [[Würschmidt]].

== Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Clavemusicum_omnitonum Archicembalo (WIkipedia)]
* [http://www.projektstudio31.com/ Projekt Studio 31], ein Projekt der Universität Basel

[[Kategorie:EDO]]
[[Kategorie:Prim-EDO]]

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'''31 EDO''' ist ein System, das wie [[12 EDO]] die [[mitteltönig]]e Temperatur unterstützt, d.h. bei Verwendung in klassischer Diatonik die Unterschiede zwischen den beiden [[Ganzton|Ganztönen]] ausgleicht. Dabei werden deutlich bessere Näherungen für [[Naturterz|große Terz (5/4)]] und [[Kleine Terz|kleine Terz (6/5)]] erreicht als bei 12 EDO. ([[Durtonleiter]]: 5 5 3 5 5 5 3). Diese Eigenschaft besitzt insbesondere für kleine Terzen auch [[19 EDO]], welches als optimale Realisierung der [[drittelkomma-mitteltönig]]en Temperatur (mit quasi reinen kleinen Terzen) gesehen werden kann. 31 EDO mit seinen quasi reinen grossen Terzen kann demgegenüber als optimale Realisierung der [[viertelkomma-mitteltönig]]en Temperatur gelten.

Darüber hinaus bietet die 31-Ton-Stimmung aber auch sehr gute Approximationen für eine Reihe zusätzlicher reiner Intervalle, bis zu 7- und 11-[[Limit]]. Diese Kombination der Merkmale "vielfältige konsonante Intervalle in hoher Qualität", "mitteltönig" und "relativ überschaubare Grösse" verleiht 31 EDO unter den gleichstufigen Tonsystemen eine ziemlich ausgezeichnete Position, die ihm zu einer gewissen Verbreitung verholfen hat - schon seit längerer Zeit sogar, die Wurzeln reichen bis ins 16. Jahrhundert zurück. Siehe hierzu die Links unter [[31 EDO #Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung|Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung]]

Die gute Unterstützung der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] macht 31 EDO zu einem [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigen]] System, die Unterstützung der neutralen Sekunden 12/11 und 11/10 sowie einer neutralen Terz, welche die Quinte in zwei gleiche Hälften teilt, macht es zu einer möglichen Realisierung der [[Mohajira]]-Temperatur, geeignet für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische]] Tonleitern. Und auch für Xenharmoniker, welche dezidiert Neuland abseits der mitteltönigen Pfade beschreiten wollen, bietet 31 EDO einiges, etwa in Form von alternativen regulären Temperaturen wie [[Orwell]] oder [[Würschmidt]].

== Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Clavemusicum_omnitonum Archicembalo (WIkipedia)]
* [http://www.projektstudio31.com/ Projekt Studio 31], ein Projekt der Universität Basel

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'''31 EDO''' ist ein System, das wie [[12 EDO]] die [[mitteltönig]]e Temperatur unterstützt, d.h. bei Verwendung in klassischer Diatonik die Unterschiede zwischen den beiden [[Ganzton|Ganztönen]] ausgleicht. Dabei werden deutlich bessere Näherungen für [[Naturterz|große Terz (5/4)]] und [[Kleine Terz|kleine Terz (6/5)]] erreicht als bei 12 EDO. ([[Durtonleiter]]: 5 5 3 5 5 5 3). Diese Eigenschaft besitzt insbesondere für kleine Terzen auch [[19 EDO]], welches als optimale Realisierung der [[drittelkomma-mitteltönig]]en Temperatur (mit quasi reinen kleinen Terzen) gesehen werden kann. 31 EDO mit seinen quasi reinen grossen Terzen kann demgegenüber als optimale Realisierung der [[viertelkomma-mitteltönig]]en Temperatur gelten.

Darüber hinaus bietet die 31-Ton-Stimmung aber auch sehr gute Approximationen für eine Reihe zusätzlicher reiner Intervalle, bis zu 7- und 11-[[Limit]]. Diese Kombination der Merkmale "vielfältige konsonante Intervalle in hoher Qualität", "mitteltönig" und "relativ überschaubare Grösse" verleiht 31 EDO unter den gleichstufigen Tonsystemen eine ziemlich ausgezeichnete Position, die ihm zu einer gewissen Verbreitung verholfen hat - schon seit längerer Zeit sogar, die Wurzeln reichen bis ins 16. Jahrhundert zurück. Siehe hierzu die Links unter [[31 EDO #Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung|Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung]]

Die gute Unterstützung der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] macht 31 EDO zu einem [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigen]] System, die Unterstützung der neutralen Sekunden 12/11 und 11/10 sowie einer neutralen Terz, welche die Quinte in zwei gleiche Hälften teilt, macht es zu einer möglichen Realisierung der [[Mohajira]]-Temperatur, geeignet für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische]] Tonleitern. Und auch für Xenharmoniker, welche dezidiert Neuland abseits der mitteltönigen Pfade beschreiten wollen, bietet 31 EDO einiges, etwa in Form von alternativen regulären Temperaturen wie [[Orwell]] oder [[Würschmidt]].

== Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Clavemusicum_omnitonum Archicembalo (WIkipedia)]
* [http://www.projektstudio31.com/ Projekt Studio 31], ein Projekt der Universität Basel

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'''31-EDO''' ist ein System, das wie [[12-EDO]] die [[mitteltönig]]e Temperatur unterstützt, d.h. bei Verwendung in klassischer Diatonik die Unterschiede zwischen den beiden [[Ganzton|Ganztönen]] ausgleicht. Dabei werden deutlich bessere Näherungen für [[Naturterz|große Terz (5/4)]] und [[Kleine Terz|kleine Terz (6/5)]] erreicht als bei 12-EDO. ([[Durtonleiter]]: 5 5 3 5 5 5 3). Diese Eigenschaft besitzt insbesondere für kleine Terzen auch [[19-EDO]], welches als optimale Realisierung der [[drittelkomma-mitteltönig]]en Temperatur (mit quasi reinen kleinen Terzen) gesehen werden kann. 31-EDO mit seinen quasi reinen grossen Terzen kann demgegenüber als optimale Realisierung der [[viertelkomma-mitteltönig]]en Temperatur gelten.

Darüber hinaus bietet die 31-Ton-Stimmung aber auch sehr gute Approximationen für eine Reihe zusätzlicher reiner Intervalle, bis zu 7- und 11-[[Limit]]. Diese Kombination der Merkmale "vielfältige konsonante Intervalle in hoher Qualität", "mitteltönig" und "relativ überschaubare Grösse" verleiht 31-EDO unter den gleichstufigen Tonsystemen eine ziemlich ausgezeichnete Position, die ihm zu einer gewissen Verbreitung verholfen hat - schon seit längerer Zeit sogar, die Wurzeln reichen bis ins 16. Jahrhundert zurück. Siehe hierzu die Links unter [[31-EDO #Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung|Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung]]

Die gute Unterstützung der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] macht 31-EDO zu einem [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigen]] System, die Unterstützung der neutralen Sekunden 12/11 und 11/10 sowie einer neutralen Terz, welche die Quinte in zwei gleiche Hälften teilt, macht es zu einer möglichen Realisierung der [[Mohajira]]-Temperatur, geeignet für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische]] Tonleitern. Und auch für Xenharmoniker, welche dezidiert Neuland abseits der mitteltönigen Pfade beschreiten wollen, bietet 31-EDO einiges, etwa in Form von alternativen regulären Temperaturen wie [[Orwell]] oder [[Würschmidt]].

== Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Clavemusicum_omnitonum Archicembalo (WIkipedia)]
* [http://www.projektstudio31.com/ Projekt Studio 31], ein Projekt der Universität Basel

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'''31-EDO''' ist ein System, das wie [[12-EDO]] die [[mitteltönig]]e Temperatur unterstützt, d.h. bei Verwendung in klassischer Diatonik die Unterschiede zwischen den beiden [[Ganzton|Ganztönen]] ausgleicht. Dabei werden deutlich bessere Näherungen für [[Naturterz|große Terz (5/4)]] und [[Kleine Terz|kleine Terz (6/5)]] erreicht als bei 12-EDO. ([[Durtonleiter]]: 5 5 3 5 5 5 3). Diese Eigenschaft besitzt insbesondere für kleine Terzen auch [[19-EDO]], welches als optimale Realisierung der [[drittelkomma-mitteltönig]]en Temperatur (mit quasi reinen kleinen Terzen) gesehen werden kann. 31-EDO mit seinen quasi reinen grossen Terzen kann demgegenüber als optimale Realisierung der [[viertelkomma-mitteltönig]]en Temperatur gelten.

Darüber hinaus bietet die 31-Ton-Stimmung aber auch sehr gute Approximationen für eine Reihe zusätzlicher reiner Intervalle, bis zu 7- und 11-[[Limit]]. Diese Kombination der Merkmale "vielfältige konsonante Intervalle in hoher Qualität", "mitteltönig" und "relativ überschaubare Grösse" verleiht 31-EDO unter den gleichstufigen Tonsystemen eine ziemlich ausgezeichnete Position, die ihm zu einer gewissen Verbreitung verholfen hat - schon seit längerer Zeit sogar, die Wurzeln reichen bis ins 16. Jahrhundert zurück. Siehe hierzu die Links unter [[31-EDO #Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung|Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung]]

Die gute Unterstützung der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] macht 31-EDO zu einem [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigen]] System, die Unterstützung der neutralen Sekunden 12/11 und 11/10 sowie einer neutralen Terz, welche die Quinte in zwei gleiche Hälften teilt, macht es zu einer möglichen Realisierung der [[Mohajira]]-Temperatur, geeignet für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische]] Tonleitern. Und auch für Xenharmoniker, welche dezidiert Neuland abseits der mitteltönigen Pfade beschreiten wollen, bietet 31-EDO einiges, etwa in Form von alternativen regulären Temperaturen wie [[Orwell]], [[Miracle]] oder [[Würschmidt]].

== Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Clavemusicum_omnitonum Archicembalo (WIkipedia)]
* [http://www.projektstudio31.com/ Projekt Studio 31], ein Projekt der Universität Basel

[[Kategorie:EDO]]
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'''31-EDO''' ist ein System, das wie [[12-EDO]] die [[mitteltönig]]e Temperatur unterstützt, d.h. bei Verwendung in klassischer Diatonik die Unterschiede zwischen den beiden [[Ganzton|Ganztönen]] ausgleicht. Dabei werden deutlich bessere Näherungen für [[Naturterz|große Terz (5/4)]] und [[Kleine Terz|kleine Terz (6/5)]] erreicht als bei 12-EDO. ([[Durtonleiter]]: 5 5 3 5 5 5 3). Diese Eigenschaft besitzt insbesondere für kleine Terzen auch [[19-EDO]], welches als optimale Realisierung der [[drittelkomma-mitteltönig]]en Temperatur (mit quasi reinen kleinen Terzen) gesehen werden kann. 31-EDO mit seinen quasi reinen grossen Terzen kann demgegenüber als optimale Realisierung der [[viertelkomma-mitteltönig]]en Temperatur gelten.

Darüber hinaus bietet die 31-Ton-Stimmung aber auch sehr gute Approximationen für eine Reihe zusätzlicher reiner Intervalle, bis zu 7- und 11-[[Limit]]. Diese Kombination der Merkmale "vielfältige konsonante Intervalle in hoher Qualität", "mitteltönig" und "relativ überschaubare Grösse" verleiht 31-EDO unter den gleichstufigen Tonsystemen eine ziemlich ausgezeichnete Position, die ihm zu einer gewissen Verbreitung verholfen hat - schon seit längerer Zeit sogar, die Wurzeln reichen bis ins 16. Jahrhundert zurück. Siehe hierzu die Links unter [[31-EDO #Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung|Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung]]

Die gute Unterstützung der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] macht 31-EDO zu einem [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigen]] System, die Unterstützung der neutralen Sekunden 12/11 und 11/10 sowie einer neutralen Terz, welche die Quinte in zwei gleiche Hälften teilt, macht es zu einer möglichen Realisierung der [[Mohajira]]-Temperatur, geeignet für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische]] Tonleitern. Und auch für Xenharmoniker, welche dezidiert Neuland abseits der mitteltönigen Pfade beschreiten wollen, bietet 31-EDO einiges, etwa in Form von alternativen regulären Temperaturen wie [[Orwell]], [[Miracle]] oder [[Würschmidt]].

== Historische Informationen zur 31-Ton-Stimmung ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Clavemusicum_omnitonum Archicembalo (WIkipedia)]
* [http://www.projektstudio31.com/ Projekt Studio 31], ein Projekt der Universität Basel

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&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29#Schisma" rel="nofollow"&amp;gt;Schisma (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-12-11 03:09:13 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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[[Kategorie:EDO]]
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      <comment>Xenwolf verschob die Seite [[34 EDO]] nach [[34-EDO]]: Das ist die bessere Wahl (siehe [[XW:K]]), auch führte die Lücke optisch zum "Auseinanderbrechen".</comment>
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[[Kategorie:EDO]]
[[Kategorie:todo:Definition]]</text>
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}}

Siehe [[:en:34edo]] (englische Fassung)

[[Kategorie:EDO]]
[[Kategorie:todo:Definition]]</text>
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Das Intervall 36/35, 48.77038 [[Cent|Cent]] gross, auch '''septimaler Viertelton''' genannt, tritt auf als Unterschied zwischen einer ganzen Reihe reiner Intervalle, namentlich [[10/9|10/9]] und [[8/7|8/7]], [[7/6|7/6]] und [[6/5|6/5]], [[5/4|5/4]] und [[9/7|9/7]], [[14/9|14/9]] und [[8/5|8/5]], [[5/3|5/3]] und [[12/7|12/7]], [[7/4|7/4]] und [[9/5|9/5]].

Das [[Reguläre_Temperaturen|Austemperieren]] dieses Kommas führt dann zum Beispiel dazu, dass 7/6 (kleine septimale Terz) und 6/5 ("herkömmliche" kleine Naturzterz) auf denselben Wert temperiert werden. Die Kombimation dieser beiden Terzen, das Intervall [[7/6|7/5]] (kleiner Tritonus), wird dann also in 2 gleich grosse Teile geteilt.

Wenn zusätzlich zu 36/35 noch das Komma [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] austemperiert wird, ist das Resultat eine [[Verminderte_Temperaturen|verminderte Temperatur]].

Siehe auch [https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_quarter_tone Wikipedia: Septimal quarter tone] (englischsprachiger Artikel).  [[Category:Komma]]</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-11-26 05:58:15 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/36_35|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
Das Intervall 36/35, 48.77038 [[Cent]] gross, auch **septimaler Viertelton** genannt, tritt auf als Unterschied zwischen einer ganzen Reihe reiner Intervalle, namentlich [[10_9|10/9]] und [[8_7|8/7]], [[7_6|7/6]] und [[6_5|6/5]], [[5_4|5/4]] und [[9_7|9/7]], [[14_9|14/9]] und [[8_5|8/5]], [[5_3|5/3]] und [[12_7|12/7]], [[7_4|7/4]] und [[9_5|9/5]].

Das [[Reguläre Temperaturen|Austemperieren]] dieses Kommas führt dann zum Beispiel dazu, dass 7/6 (kleine septimale Terz) und 6/5 ("herkömmliche" kleine Naturzterz) auf denselben Wert temperiert werden. Die Kombimation dieser beiden Terzen, das Intervall [[7_6|7/5]] (kleiner Tritonus), wird dann also in 2 gleich grosse Teile geteilt.

Wenn zusätzlich zu 36/35 noch das Komma [[50_49|50/49 (Jubilisma)]] austemperiert wird, ist das Resultat eine [[Verminderte Temperaturen|verminderte Temperatur]].

Siehe auch [[https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_quarter_tone|Wikipedia: Septimal quarter tone]] (englischsprachiger Artikel).&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;36_35&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/36_35"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Intervall 36/35, 48.77038 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt; gross, auch &amp;lt;strong&amp;gt;septimaler Viertelton&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt, tritt auf als Unterschied zwischen einer ganzen Reihe reiner Intervalle, namentlich &amp;lt;a class="wiki_link" href="/10_9"&amp;gt;10/9&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/8_7"&amp;gt;8/7&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/7_6"&amp;gt;7/6&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/6_5"&amp;gt;6/5&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/5_4"&amp;gt;5/4&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/9_7"&amp;gt;9/7&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/14_9"&amp;gt;14/9&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/8_5"&amp;gt;8/5&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/5_3"&amp;gt;5/3&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12_7"&amp;gt;12/7&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/7_4"&amp;gt;7/4&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/9_5"&amp;gt;9/5&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Austemperieren&amp;lt;/a&amp;gt; dieses Kommas führt dann zum Beispiel dazu, dass 7/6 (kleine septimale Terz) und 6/5 (&amp;amp;quot;herkömmliche&amp;amp;quot; kleine Naturzterz) auf denselben Wert temperiert werden. Die Kombimation dieser beiden Terzen, das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/7_6"&amp;gt;7/5&amp;lt;/a&amp;gt; (kleiner Tritonus), wird dann also in 2 gleich grosse Teile geteilt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wenn zusätzlich zu 36/35 noch das Komma &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;50/49 (Jubilisma)&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert wird, ist das Resultat eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verminderte%20Temperaturen"&amp;gt;verminderte Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_quarter_tone" rel="nofollow"&amp;gt;Wikipedia: Septimal quarter tone&amp;lt;/a&amp;gt; (englischsprachiger Artikel).&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/36_35|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
Das Intervall 36/35, 48.77038 [[Cent]] gross, auch **septimaler Viertelton** genannt, tritt auf als Unterschied zwischen einer ganzen Reihe reiner Intervalle, namentlich [[10_9|10/9]] und [[8_7|8/7]], [[7_6|7/6]] und [[6_5|6/5]], [[5_4|5/4]] und [[9_7|9/7]], [[14_9|14/9]] und [[8_5|8/5]], [[5_3|5/3]] und [[12_7|12/7]], [[7_4|7/4]] und [[9_5|9/5]].

Das [[Reguläre Temperaturen|Austemperieren]] dieses Kommas führt dann zum Beispiel dazu, dass 7/6 (kleine septimale Terz) und 6/5 ("herkömmliche" kleine Naturzterz) auf denselben Wert temperiert werden. Die Kombimation dieser beiden Terzen, das Intervall [[7_6|7/5]] (kleiner Tritonus), wird dann also in 2 gleich grosse Teile geteilt.

Siehe auch [[https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_quarter_tone|Wikipedia: Septimal quarter tone]] (englischsparchiger Artikel).&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;36_35&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/36_35"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Intervall 36/35, 48.77038 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt; gross, auch &amp;lt;strong&amp;gt;septimaler Viertelton&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt, tritt auf als Unterschied zwischen einer ganzen Reihe reiner Intervalle, namentlich &amp;lt;a class="wiki_link" href="/10_9"&amp;gt;10/9&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/8_7"&amp;gt;8/7&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/7_6"&amp;gt;7/6&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/6_5"&amp;gt;6/5&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/5_4"&amp;gt;5/4&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/9_7"&amp;gt;9/7&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/14_9"&amp;gt;14/9&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/8_5"&amp;gt;8/5&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/5_3"&amp;gt;5/3&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12_7"&amp;gt;12/7&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/7_4"&amp;gt;7/4&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/9_5"&amp;gt;9/5&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Austemperieren&amp;lt;/a&amp;gt; dieses Kommas führt dann zum Beispiel dazu, dass 7/6 (kleine septimale Terz) und 6/5 (&amp;amp;quot;herkömmliche&amp;amp;quot; kleine Naturzterz) auf denselben Wert temperiert werden. Die Kombimation dieser beiden Terzen, das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/7_6"&amp;gt;7/5&amp;lt;/a&amp;gt; (kleiner Tritonus), wird dann also in 2 gleich grosse Teile geteilt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_quarter_tone" rel="nofollow"&amp;gt;Wikipedia: Septimal quarter tone&amp;lt;/a&amp;gt; (englischsparchiger Artikel).&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
Das Intervall 36/35, 48.77038 [[Cent]] gross, auch **septimaler Viertelton** genannt, tritt auf als Unterschied zwischen einer ganzen Reihe reiner Intervalle, namentlich [[10_9|10/9]] und [[8_7|8/7]], [[7_6|7/6]] und [[6_5|6/5]], [[5_4|5/4]] und [[9_7|9/7]], [[14_9|14/9]] und [[8_5|8/5]], [[5_3|5/3]] und [[12_7|12/7]], [[7_4|7/4]] und [[9_5|9/5]].

Das [[Reguläre Temperaturen|Austemperieren]] dieses Kommas führt dann zum Beispiel dazu, dass 7/6 (kleine septimale Terz) und 6/5 ("herkömmliche" kleine Naturzterz) auf denselben Wert temperiert werden. Die Kombimation dieser beiden Terzen, das Intervall [[7_6|7/5]] (kleiner Tritonus), wird dann also in 2 gleich grosse Teile geteilt.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Intervall 36/35, 48.77038 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt; gross, auch &amp;lt;strong&amp;gt;septimaler Viertelton&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt, tritt auf als Unterschied zwischen einer ganzen Reihe reiner Intervalle, namentlich &amp;lt;a class="wiki_link" href="/10_9"&amp;gt;10/9&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/8_7"&amp;gt;8/7&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/7_6"&amp;gt;7/6&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/6_5"&amp;gt;6/5&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/5_4"&amp;gt;5/4&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/9_7"&amp;gt;9/7&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/14_9"&amp;gt;14/9&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/8_5"&amp;gt;8/5&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/5_3"&amp;gt;5/3&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12_7"&amp;gt;12/7&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/7_4"&amp;gt;7/4&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/9_5"&amp;gt;9/5&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Austemperieren&amp;lt;/a&amp;gt; dieses Kommas führt dann zum Beispiel dazu, dass 7/6 (kleine septimale Terz) und 6/5 (&amp;amp;quot;herkömmliche&amp;amp;quot; kleine Naturzterz) auf denselben Wert temperiert werden. Die Kombimation dieser beiden Terzen, das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/7_6"&amp;gt;7/5&amp;lt;/a&amp;gt; (kleiner Tritonus), wird dann also in 2 gleich grosse Teile geteilt.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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        <username>Mike Battaglia</username>
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      <comment>Textersetzung - „(\[\[\:(dev|es|purdal|de|en):[^[:space:]\|]*) (.*])“ durch „$1|$3“</comment>
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      <text bytes="1089" sha1="ajfef0ds3apimllzg9v6lsz0s6ngso5" xml:space="preserve">&lt;span style="display: block; text-align: right;"&gt;[[:en:36/35|English]]&lt;/span&gt;

Das Intervall 36/35, 48.77038 [[Cent|Cent]] gross, auch '''septimaler Viertelton''' genannt, tritt auf als Unterschied zwischen einer ganzen Reihe reiner Intervalle, namentlich [[10/9|10/9]] und [[8/7|8/7]], [[7/6|7/6]] und [[6/5|6/5]], [[5/4|5/4]] und [[9/7|9/7]], [[14/9|14/9]] und [[8/5|8/5]], [[5/3|5/3]] und [[12/7|12/7]], [[7/4|7/4]] und [[9/5|9/5]].

Das [[Reguläre_Temperaturen|Austemperieren]] dieses Kommas führt dann zum Beispiel dazu, dass 7/6 (kleine septimale Terz) und 6/5 ("herkömmliche" kleine Naturzterz) auf denselben Wert temperiert werden. Die Kombimation dieser beiden Terzen, das Intervall [[7/6|7/5]] (kleiner Tritonus), wird dann also in 2 gleich grosse Teile geteilt.

Wenn zusätzlich zu 36/35 noch das Komma [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] austemperiert wird, ist das Resultat eine [[Verminderte_Temperaturen|verminderte Temperatur]].

Siehe auch [https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_quarter_tone Wikipedia: Septimal quarter tone] (englischsprachiger Artikel).  [[Category:Komma]]</text>
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Das [[Reguläre_Temperaturen|Austemperieren]] dieses Kommas führt dann zum Beispiel dazu, dass 7/6 (kleine septimale Terz) und 6/5 ("herkömmliche" kleine Naturzterz) auf denselben Wert temperiert werden. Die Kombimation dieser beiden Terzen, das Intervall [[7/5]] (kleiner Tritonus), wird dann also in 2 gleich grosse Teile geteilt.

Wenn zusätzlich zu 36/35 noch das Komma [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] austemperiert wird, ist das Resultat eine [[Verminderte Temperaturen|verminderte Temperatur]].

Siehe auch [https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_quarter_tone Wikipedia: Septimal quarter tone] (englischsprachiger Artikel).

[[Category:Komma]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
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Das [[Reguläre_Temperaturen|Austemperieren]] dieses Kommas führt dann zum Beispiel dazu, dass 7/6 (kleine septimale Terz) und 6/5 ("herkömmliche" kleine Naturterz) auf denselben Wert temperiert werden. Die Kombination dieser beiden Terzen, das Intervall [[7/5]] (kleiner Tritonus), wird dann also in 2 gleich grosse Teile geteilt.

Wenn zusätzlich zu 36/35 noch das Komma [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] austemperiert wird, ist das Resultat eine [[Verminderte Temperaturen|verminderte Temperatur]].

Siehe auch [https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_quarter_tone Wikipedia: Septimal quarter tone] (englischsprachiger Artikel).

[[Category:Komma]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
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Das [[Reguläre_Temperaturen|Austemperieren]] dieses Kommas führt dann zum Beispiel dazu, dass 7/6 (kleine septimale Terz) und 6/5 ("herkömmliche" kleine Naturterz) auf denselben Wert temperiert werden. Die Kombination dieser beiden Terzen, das Intervall [[7/5]] (kleiner Tritonus), wird dann also in 2 gleich grosse Teile geteilt.

== Erweiterungen ==
Wenn im 7-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] zusätzlich zu 36/35 noch das Komma [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] austemperiert wird, ist das Resultat eine [[Verminderte Temperaturen|verminderte Temperatur]].

Wenn 36/35 und [[128/125]] austemperiert werden, ist das Resultat eine Variante einer [[Übermässige Temperaturen|übermässigen Temperatur]], welche auf den Namen'''August''' getauft wurde.

Siehe auch [https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_quarter_tone Wikipedia: Septimal quarter tone] (englischsprachiger Artikel).

[[Category:Komma]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
[[en:36/35]]</text>
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Das [[Reguläre_Temperaturen|Austemperieren]] dieses Kommas führt dann zum Beispiel dazu, dass 7/6 (kleine septimale Terz) und 6/5 ("herkömmliche" kleine Naturterz) auf denselben Wert temperiert werden. Die Kombination dieser beiden Terzen, das Intervall [[7/5]] (kleiner Tritonus), wird dann also in 2 gleich grosse Teile geteilt.

== Erweiterungen ==
Wenn im 7-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] zusätzlich zu 36/35 noch das Komma [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] austemperiert wird, ist das Resultat eine [[Verminderte Temperaturen|verminderte Temperatur]].

Wenn 36/35 und [[128/125]] austemperiert werden, ist das Resultat eine Variante einer [[Übermässige Temperaturen|übermässigen Temperatur]], welche auf den Namen '''August''' getauft wurde.

Siehe auch [https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_quarter_tone Wikipedia: Septimal quarter tone] (englischsprachiger Artikel).

[[Category:Komma]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
[[en:36/35]]</text>
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Das [[Reguläre_Temperaturen|Austemperieren]] dieses Kommas führt dann zum Beispiel dazu, dass 7/6 (kleine septimale Terz) und 6/5 ("herkömmliche" kleine Naturterz) auf denselben Wert temperiert werden. Die Kombination dieser beiden Terzen, das Intervall [[7/5]] (kleiner Tritonus), wird dann also in 2 gleich grosse Teile geteilt.

== Erweiterungen ==
Wenn im 7-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] zusätzlich zu 36/35 noch das Komma [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] austemperiert wird, ist das Resultat eine [[Verminderte Temperaturen|verminderte Temperatur]].

Wenn 36/35 und [[128/125]] austemperiert werden, ist das Resultat eine Variante einer [[Übermässige Temperaturen|übermässigen Temperatur]], welche auf den Namen '''August''' getauft wurde.

== Siehe auch ==
[https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_quarter_tone Wikipedia: Septimal quarter tone] (englischsprachiger Artikel).

[[Category:Komma]]

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Das [[Reguläre_Temperaturen|Austemperieren]] dieses Kommas führt dann zum Beispiel dazu, dass 7/6 (kleine septimale Terz) und 6/5 ("herkömmliche" kleine Naturterz) auf denselben Wert temperiert werden. Die Kombination dieser beiden Terzen, das Intervall [[7/5]] (kleiner Tritonus), wird dann also in 2 gleich grosse Teile geteilt.

== Erweiterungen ==
Wenn im 7-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] zusätzlich zu 36/35 noch das Komma [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] austemperiert wird, ist das Resultat eine [[Verminderte Temperaturen|verminderte Temperatur]].

Wenn 36/35 und [[128/125]] austemperiert werden, ist das Resultat eine Variante einer [[Übermässige Temperaturen|übermässigen Temperatur]], welche auf den Namen '''August''' getauft wurde.

Wenn 36/35 und [[1029/1024]] austemperiert werden, haben wir eine [[Slendrisch|slendrische]] Temperatur, die die als Name '''Gorgo''' gewählt wurde.

== Siehe auch ==
[https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_quarter_tone Wikipedia: Septimal quarter tone] (englischsprachiger Artikel).

[[Category:Komma]]

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Das [[Reguläre_Temperaturen|Austemperieren]] dieses Kommas führt dann zum Beispiel dazu, dass 7/6 (kleine septimale Terz) und 6/5 ("herkömmliche" kleine Naturterz) auf denselben Wert temperiert werden. Die Kombination dieser beiden Terzen, das Intervall [[7/5]] (kleiner Tritonus), wird dann also in 2 gleich grosse Teile geteilt.

== Erweiterungen ==
Wenn im 7-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] zusätzlich zu 36/35 noch das Komma [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] austemperiert wird, ist das Resultat eine [[Verminderte Temperaturen|verminderte Temperatur]].

Wenn 36/35 und [[128/125]] austemperiert werden, ist das Resultat eine Variante einer [[Übermässige Temperaturen|übermässigen Temperatur]], welche auf den Namen '''August''' getauft wurde.

Wenn 36/35 und [[1029/1024]] austemperiert werden, haben wir eine [[Slendrisch|slendrische]] Temperatur, für die als Name '''Gorgo''' gewählt wurde.

== Siehe auch ==
[https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_quarter_tone Wikipedia: Septimal quarter tone] (englischsprachiger Artikel).

[[Category:Komma]]

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[[Komma|Übersicht Komma]]

Das Intervall '''36/35''', 48.77038 [[Cent]] gross, auch '''septimaler Viertelton''' genannt, tritt auf als Unterschied zwischen einer ganzen Reihe reiner Intervalle, namentlich [[10/9]] und [[8/7]], [[7/6]] und [[6/5]], [[5/4]] und [[9/7]], [[14/9]] und [[8/5]], [[5/3]] und [[12/7]], [[7/4]] und [[9/5]].

Das [[Reguläre_Temperaturen|Austemperieren]] dieses Kommas führt dann zum Beispiel dazu, dass 7/6 (kleine septimale Terz) und 6/5 ("herkömmliche" kleine Naturterz) auf denselben Wert temperiert werden. Die Kombination dieser beiden Terzen, das Intervall [[7/5]] (kleiner Tritonus), wird dann also in 2 gleich grosse Teile geteilt.

== Erweiterungen ==
Wenn im 7-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] zusätzlich zu 36/35 noch das Komma [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] austemperiert wird, ist das Resultat eine [[Verminderte Temperaturen|verminderte Temperatur]].

Wenn 36/35 und [[128/125]] austemperiert werden, ist das Resultat eine Variante einer [[Übermässige Temperaturen|übermässigen Temperatur]], welche auf den Namen '''August''' getauft wurde.

Wenn 36/35 und [[1029/1024]] austemperiert werden, haben wir eine [[Slendrisch|slendrische]] Temperatur, für die als Name '''Gorgo''' gewählt wurde.

== Siehe auch ==
[https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_quarter_tone Wikipedia: Septimal quarter tone] (englischsprachiger Artikel).

[[Category:Komma]]

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[[Komma|Übersicht Komma]]

Das Intervall '''36/35''', 48.77038 [[Cent]] gross, auch '''septimaler Viertelton''' genannt, tritt auf als Unterschied zwischen einer ganzen Reihe reiner Intervalle, namentlich [[10/9]] und [[8/7]], [[7/6]] und [[6/5]], [[5/4]] und [[9/7]], [[14/9]] und [[8/5]], [[5/3]] und [[12/7]], [[7/4]] und [[9/5]].

Das [[Reguläre_Temperaturen|Austemperieren]] dieses Kommas führt dann zum Beispiel dazu, dass 7/6 (kleine septimale Terz) und 6/5 ("herkömmliche" kleine Naturterz) auf denselben Wert temperiert werden. Die Kombination dieser beiden Terzen, das Intervall [[7/5]] (kleiner Tritonus), wird dann also in 2 gleich grosse Teile geteilt.

== Temperatur -Varianten ==

Wenn im vierdimensionalen 7-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] nur das Komma 36/35 austemperiert wird, entsteht eine Temperatur, die '''Mint''' getauft wurde. Der Tonraum ist dort dreidimensional, es gibt also keine einfache Struktur mit Generator- und Periodenintervall. Diese spezielle Temperatur ist nicht besonders von Interesse. 

Interessanter wird es, wenn ein weiteres Komma austemperiert wird (dann bekommen wir auch zweidimensionale Räume mit Periode und Generator).

Wenn zusätzlich zu 36/35 noch das Komma [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] austemperiert wird, ist das Resultat eine [[Verminderte Temperaturen|verminderte Temperatur]].

Wenn 36/35 und [[128/125]] austemperiert werden, ist das Resultat eine Variante einer [[Übermässige Temperaturen|übermässigen Temperatur]], welche auf den Namen '''August''' getauft wurde.

Wenn 36/35 und [[1029/1024]] austemperiert werden, haben wir eine [[Slendrisch|slendrische]] Temperatur, für die als Name '''Gorgo''' gewählt wurde.

Weitere Varianten siehe im [https://en.xen.wiki/w/Mint_temperaments englischen Xrnwiki]
[[en:Mint temperaments]].
== Siehe auch ==
[https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_quarter_tone Wikipedia: Septimal quarter tone] (englischsprachiger Artikel).

[[Category:Komma]]

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[[Komma|Übersicht Komma]]

Das Intervall '''36/35''', 48.77038 [[Cent]] gross, auch '''septimaler Viertelton''' genannt, tritt auf als Unterschied zwischen einer ganzen Reihe reiner Intervalle, namentlich [[10/9]] und [[8/7]], [[7/6]] und [[6/5]], [[5/4]] und [[9/7]], [[14/9]] und [[8/5]], [[5/3]] und [[12/7]], [[7/4]] und [[9/5]].

Das [[Reguläre_Temperaturen|Austemperieren]] dieses Kommas führt dann zum Beispiel dazu, dass 7/6 (kleine septimale Terz) und 6/5 ("herkömmliche" kleine Naturterz) auf denselben Wert temperiert werden. Die Kombination dieser beiden Terzen, das Intervall [[7/5]] (kleiner Tritonus), wird dann also in 2 gleich grosse Teile geteilt.

== Temperatur -Varianten ==

Wenn im vierdimensionalen 7-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] nur das Komma 36/35 austemperiert wird, entsteht eine Temperatur, die '''Mint''' getauft wurde. Der Tonraum ist dort dreidimensional, es gibt also keine einfache Struktur mit Generator- und Periodenintervall. Diese spezielle Temperatur ist nicht besonders von Interesse. 

Interessanter wird es, wenn ein weiteres Komma austemperiert wird (dann bekommen wir auch zweidimensionale Räume mit Periode und Generator).

Wenn zusätzlich zu 36/35 noch das Komma [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] austemperiert wird, ist das Resultat eine [[Verminderte Temperaturen|verminderte Temperatur]].

Wenn 36/35 und [[128/125]] austemperiert werden, ist das Resultat eine Variante einer [[Übermässige Temperaturen|übermässigen Temperatur]], welche auf den Namen '''August''' getauft wurde.

Wenn 36/35 und [[1029/1024]] austemperiert werden, haben wir eine [[Slendrisch|slendrische]] Temperatur, für die als Name '''Gorgo''' gewählt wurde.

Weitere Varianten siehe im [https://en.xen.wiki/w/Mint_temperaments englischen Xenwiki]
[[en:Mint temperaments]].

== Siehe auch ==
[https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_quarter_tone Wikipedia: Septimal quarter tone] (englischsprachiger Artikel).

[[Category:Komma]]

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[[Komma|Übersicht Komma]]

Das Intervall '''36/35''', 48.77038 [[Cent]] gross, auch '''septimaler Viertelton''' genannt, tritt auf als Unterschied zwischen einer ganzen Reihe reiner Intervalle, namentlich [[10/9]] und [[8/7]], [[7/6]] und [[6/5]], [[5/4]] und [[9/7]], [[14/9]] und [[8/5]], [[5/3]] und [[12/7]], [[7/4]] und [[9/5]].

Das [[Reguläre_Temperaturen|Austemperieren]] dieses Kommas führt dann zum Beispiel dazu, dass 7/6 (kleine septimale Terz) und 6/5 ("herkömmliche" kleine Naturterz) auf denselben Wert temperiert werden. Ebenso wird die herkömmliche reine grosse Terz 5/4 auf denselben Wert temperiert wie die übergrosse septimale Terz 9/7.

Die Kombination der kleinen Terzen 6/5 und 7)6, das Intervall [[7/5]] (kleiner Tritonus), wird dann in 2 gleich grosse Teile geteilt.

== Temperatur -Varianten ==

Wenn im vierdimensionalen 7-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] nur das Komma 36/35 austemperiert wird, entsteht eine Temperatur, die '''Mint''' getauft wurde. Der Tonraum ist dort dreidimensional, es gibt also keine einfache Struktur mit Generator- und Periodenintervall. Diese spezielle Temperatur ist nicht besonders von Interesse. 

Interessanter wird es, wenn ein weiteres Komma austemperiert wird (dann bekommen wir auch zweidimensionale Räume mit Periode und Generator).

Wenn zusätzlich zu 36/35 noch das Komma [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] austemperiert wird, ist das Resultat eine [[Verminderte Temperaturen|verminderte Temperatur]].

Wenn 36/35 und [[128/125]] austemperiert werden, ist das Resultat eine Variante einer [[Übermässige Temperaturen|übermässigen Temperatur]], welche auf den Namen '''August''' getauft wurde.

Wenn 36/35 und [[1029/1024]] austemperiert werden, haben wir eine [[Slendrisch|slendrische]] Temperatur, für die als Name '''Gorgo''' gewählt wurde.

Weitere Varianten siehe im [https://en.xen.wiki/w/Mint_temperaments englischen Xenwiki]
[[en:Mint temperaments]].

== Siehe auch ==
[https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_quarter_tone Wikipedia: Septimal quarter tone] (englischsprachiger Artikel).

[[Category:Komma]]

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[[Komma|Übersicht Komma]]

Das Intervall '''36/35''', 48.77038 [[Cent]] gross, auch '''septimaler Viertelton''' genannt, tritt auf als Unterschied zwischen einer ganzen Reihe reiner Intervalle, namentlich [[10/9]] und [[8/7]], [[7/6]] und [[6/5]], [[5/4]] und [[9/7]], [[14/9]] und [[8/5]], [[5/3]] und [[12/7]], [[7/4]] und [[9/5]].

Das [[Reguläre_Temperaturen|Austemperieren]] dieses Kommas führt dann zum Beispiel dazu, dass 7/6 (kleine septimale Terz) und 6/5 ("herkömmliche" kleine Naturterz) auf denselben Wert temperiert werden. Ebenso wird die herkömmliche reine grosse Terz 5/4 auf denselben Wert temperiert wie die übergrosse septimale Terz 9/7.

Die Kombination der kleinen Terzen 6/5 und 7/6, das Intervall [[7/5]] (kleiner Tritonus), wird dann in 2 gleich grosse Teile geteilt.

== Temperatur -Varianten ==

Wenn im vierdimensionalen 7-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] nur das Komma 36/35 austemperiert wird, entsteht eine Temperatur, die '''Mint''' getauft wurde. Der Tonraum ist dort dreidimensional, es gibt also keine einfache Struktur mit Generator- und Periodenintervall. Diese spezielle Temperatur ist nicht besonders von Interesse. 

Interessanter wird es, wenn ein weiteres Komma austemperiert wird (dann bekommen wir auch zweidimensionale Räume mit Periode und Generator).

Wenn zusätzlich zu 36/35 noch das Komma [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] austemperiert wird, ist das Resultat eine [[Verminderte Temperaturen|verminderte Temperatur]].

Wenn 36/35 und [[128/125]] austemperiert werden, ist das Resultat eine Variante einer [[Übermässige Temperaturen|übermässigen Temperatur]], welche auf den Namen '''August''' getauft wurde.

Wenn 36/35 und [[1029/1024]] austemperiert werden, haben wir eine [[Slendrisch|slendrische]] Temperatur, für die als Name '''Gorgo''' gewählt wurde.

Weitere Varianten siehe im [https://en.xen.wiki/w/Mint_temperaments englischen Xenwiki]
[[en:Mint temperaments]].

== Siehe auch ==
[https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_quarter_tone Wikipedia: Septimal quarter tone] (englischsprachiger Artikel).

[[Category:Komma]]

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[[Komma|Übersicht Komma]]

Das Intervall '''36/35''', 48.77038 [[Cent]] gross, auch '''septimaler Viertelton''' genannt, tritt auf als Unterschied zwischen einer ganzen Reihe reiner Intervalle, namentlich [[10/9]] und [[8/7]], [[7/6]] und [[6/5]], [[5/4]] und [[9/7]], [[14/9]] und [[8/5]], [[5/3]] und [[12/7]], [[7/4]] und [[9/5]].

Das [[Reguläre_Temperaturen|Austemperieren]] dieses Kommas führt dann zum Beispiel dazu, dass 7/6 (kleine septimale Terz) und 6/5 ("herkömmliche" kleine Naturterz) auf denselben Wert temperiert werden. Ebenso wird die herkömmliche reine grosse Terz 5/4 auf denselben Wert temperiert wie die übergrosse septimale Terz 9/7.

Die Kombination der kleinen Terzen 6/5 und 7/6, das Intervall [[7/5]] (kleiner Tritonus), wird dann in 2 gleich grosse Teile geteilt.

== Temperatur -Varianten ==

Wenn im vierdimensionalen 7-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] nur das Komma 36/35 austemperiert wird, entsteht eine Temperatur, die '''Mint''' getauft wurde. Der Tonraum ist dort dreidimensional, es gibt also keine einfache Struktur mit Generator- und Periodenintervall. Diese spezielle Temperatur ist nicht besonders von Interesse. 

Interessanter wird es, wenn ein weiteres Komma austemperiert wird (dann bekommen wir auch zweidimensionale Räume mit Periode und Generator).

Wenn zusätzlich zu 36/35 noch das Komma [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] austemperiert wird, ist das Resultat eine [[Verminderte Temperaturen|verminderte Temperatur]].

Wenn 36/35 und [[128/125]] austemperiert werden, ist das Resultat eine Variante einer [[Übermässige Temperaturen|übermässigen Temperatur]], welche auf den Namen '''August''' getauft wurde.

Wenn 36/35 und [[1029/1024]] austemperiert werden, haben wir eine [[Slendrisch|slendrische]] Temperatur, für die als Name '''Gorgo''' gewählt wurde.

Wenn 36/35 und [[2187/2048]] (pythagoräischer chromatischer Halbton, Apotom) austemperiert werden, ergibt das [[Whitewood#7-Limit|7-Limit Whitewood]].

Weitere Varianten siehe im [https://en.xen.wiki/w/Mint_temperaments englischen Xenwiki]
[[en:Mint temperaments]].

== Siehe auch ==
[https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_quarter_tone Wikipedia: Septimal quarter tone] (englischsprachiger Artikel).

[[Category:Komma]]

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      <text bytes="1706" sha1="shn2glkn4zo0nqipeojzxmmgll1skfu" xml:space="preserve">&lt;span style="display: block; text-align: right;"&gt;[[:en:37edo English]]&lt;/span&gt;

Die Unterteilung der Oktave in 37 gleiche Teile zu je 32.43 Cent liefert ein Tonsystem, das sehr gute Approximationen für die Obertöne 5, 7, 11 und 13 liefert, jedoch eher mässige für den Oberton 3 - ausgerechnet das zentrale Intervall der reinen Quinte (3/2) ist damit nicht sehr gut repräsentiert. 37edo ist daher für traditionsorientierte Musik weniger geeignet, hat dafür aber einiges Potential für dezidiert xenharmonische Musik.

Eine Besonderheit zur Approximation der reinen Quinte ist, dass es deren zwei gibt, die in etwa "brauchbar" sind: eine grössere (22 Schritte von 37edo, 713.5 Cent, 11.56 Cent zu gross) und eine kleinere (21 Schritte, 681.1 Cent, 20.87 Cent zu klein). Generation von Skalen durch Übereinanderschichten der grösseren Quinte führt zu Skalen von stark [[Superpyth|superpythagoräischem]] Charakter, dasselbe mit der kleineren Quinte zu solchem vom [[Mavila|Mavila]]-Typ.

Die zur grösseren Quinte komplementäre (entsprechend natürlich kleinere) Quart ist 15 Schritte gross, also in drei gleich grosse Intervalle teilbar. Dies ist eine Eigenschaft von [[Porcupine|Porcupine]]-Systemen - und in der Tat wird in 37edo das [[Porcupine-Komma|Porcupine-Komma (250/243)]] austemperiert, 37edo ist also eine mögliche Realisierung der Porcupine-Temperatur.

Die grössere Quinte selbst ist mit 22 Schritten in zwei gleich grosse Intervalle teilbar, womit 37edo auch [[maqamisch|maqamische]] Temperaturen unterstützt, sie kann auch für [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalische Musik]] verwendet werden.

[todo mehr zu regulären Temperaturen]  [[Category:edo]]
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2016-06-07 03:32:21 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/37edo|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
Die Unterteilung der Oktave in 37 gleiche Teile zu je 32.43 Cent liefert ein Tonsystem, das sehr gute Approximationen für die Obertöne 5, 7, 11 und 13 liefert, jedoch eher mässige für den Oberton 3 - ausgerechnet das zentrale Intervall der reinen Quinte (3/2) ist damit nicht sehr gut repräsentiert. 37edo ist daher für traditionsorientierte Musik weniger geeignet, hat dafür aber einiges Potential für dezidiert xenharmonische Musik.

Eine Besonderheit zur Approximation der reinen Quinte ist, dass es deren zwei gibt, die in etwa "brauchbar" sind: eine grössere (22 Schritte von 37edo, 713.5 Cent, 11.56 Cent zu gross) und eine kleinere (21 Schritte, 681.1 Cent, 20.87 Cent zu klein). Generation von Skalen durch Übereinanderschichten der grösseren Quinte führt zu Skalen von stark [[Superpyth|superpythagoräischem]] Charakter, dasselbe mit der kleineren Quinte zu solchem vom [[Mavila]]-Typ.

Die zur grösseren Quinte komplementäre (entsprechend natürlich kleinere) Quart ist 15 Schritte gross, also in drei gleich grosse Intervalle teilbar. Dies ist eine Eigenschaft von [[Porcupine]]-Systemen - und in der Tat wird in 37edo das [[Porcupine-Komma|Porcupine-Komma (250/243)]] austemperiert, 37edo ist also eine mögliche Realisierung der Porcupine-Temperatur.

Die grössere Quinte selbst ist mit 22 Schritten in zwei gleich grosse Intervalle teilbar, womit 37edo auch [[maqamisch|maqamische]] Temperaturen unterstützt, sie kann auch für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische Musik]] verwendet werden.

[todo mehr zu regulären Temperaturen]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Unterteilung der Oktave in 37 gleiche Teile zu je 32.43 Cent liefert ein Tonsystem, das sehr gute Approximationen für die Obertöne 5, 7, 11 und 13 liefert, jedoch eher mässige für den Oberton 3 - ausgerechnet das zentrale Intervall der reinen Quinte (3/2) ist damit nicht sehr gut repräsentiert. 37edo ist daher für traditionsorientierte Musik weniger geeignet, hat dafür aber einiges Potential für dezidiert xenharmonische Musik.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine Besonderheit zur Approximation der reinen Quinte ist, dass es deren zwei gibt, die in etwa &amp;amp;quot;brauchbar&amp;amp;quot; sind: eine grössere (22 Schritte von 37edo, 713.5 Cent, 11.56 Cent zu gross) und eine kleinere (21 Schritte, 681.1 Cent, 20.87 Cent zu klein). Generation von Skalen durch Übereinanderschichten der grösseren Quinte führt zu Skalen von stark &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischem&amp;lt;/a&amp;gt; Charakter, dasselbe mit der kleineren Quinte zu solchem vom &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Typ.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die zur grösseren Quinte komplementäre (entsprechend natürlich kleinere) Quart ist 15 Schritte gross, also in drei gleich grosse Intervalle teilbar. Dies ist eine Eigenschaft von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Systemen - und in der Tat wird in 37edo das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine-Komma"&amp;gt;Porcupine-Komma (250/243)&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert, 37edo ist also eine mögliche Realisierung der Porcupine-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die grössere Quinte selbst ist mit 22 Schritten in zwei gleich grosse Intervalle teilbar, womit 37edo auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/maqamisch"&amp;gt;maqamische&amp;lt;/a&amp;gt; Temperaturen unterstützt, sie kann auch für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalische Musik&amp;lt;/a&amp;gt; verwendet werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2016-06-07 03:30:55 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
Die Unterteilung der Oktave in 37 gleiche Teile zu je 32.43 Cent liefert ein Tonsystem, das sehr gute Approximationen für die Obertöne 5, 7, 11 und 13 liefert, jedoch eher mässige für den Oberton 3 - ausgerechnet das zentrale Intervall der reinen Quinte (3/2) ist damit nicht sehr gut repräsentiert. 37edo ist daher für traditionsorientierte Musik weniger geeignet, hat dafür aber einiges Potential für dezidiert xenharmonische Musik.

Eine Besonderheit zur Approximation der reinen Quinte ist, dass es deren zwei gibt, die in etwa "brauchbar" sind: eine grössere (22 Schritte von 37edo, 713.5 Cent, 11.56 Cent zu gross) und eine kleinere (21 Schritte, 681.1 Cent, 20.87 Cent zu klein). Generation von Skalen durch Übereinanderschichten der grösseren Quinte führt zu Skalen von stark [[Superpyth|superpythagoräischem]] Charakter, dasselbe mit der kleineren Quinte zu solchem vom [[Mavila]]-Typ.

Die zur grösseren Quinte komplementäre (entsprechend natürlich kleinere) Quart ist 15 Schritte gross, also in drei gleich grosse Intervalle teilbar. Dies ist eine Eigenschaft von [[Porcupine]]-Systemen - und in der Tat wird in 37edo das [[Porcupine-Komma|Porcupine-Komma (250/243)]] austemperiert, 37edo ist also eine mögliche Realisierung der Porcupine-Temperatur.

Die grössere Quinte selbst ist mit 22 Schritten in zwei gleich grosse Intervalle teilbar, womit 37edo auch für [[maqamisch|maqamische]] Melodien geeignet ist.

[todo mehr zu regulären Temperaturen]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Unterteilung der Oktave in 37 gleiche Teile zu je 32.43 Cent liefert ein Tonsystem, das sehr gute Approximationen für die Obertöne 5, 7, 11 und 13 liefert, jedoch eher mässige für den Oberton 3 - ausgerechnet das zentrale Intervall der reinen Quinte (3/2) ist damit nicht sehr gut repräsentiert. 37edo ist daher für traditionsorientierte Musik weniger geeignet, hat dafür aber einiges Potential für dezidiert xenharmonische Musik.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine Besonderheit zur Approximation der reinen Quinte ist, dass es deren zwei gibt, die in etwa &amp;amp;quot;brauchbar&amp;amp;quot; sind: eine grössere (22 Schritte von 37edo, 713.5 Cent, 11.56 Cent zu gross) und eine kleinere (21 Schritte, 681.1 Cent, 20.87 Cent zu klein). Generation von Skalen durch Übereinanderschichten der grösseren Quinte führt zu Skalen von stark &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischem&amp;lt;/a&amp;gt; Charakter, dasselbe mit der kleineren Quinte zu solchem vom &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Typ.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die zur grösseren Quinte komplementäre (entsprechend natürlich kleinere) Quart ist 15 Schritte gross, also in drei gleich grosse Intervalle teilbar. Dies ist eine Eigenschaft von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Systemen - und in der Tat wird in 37edo das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine-Komma"&amp;gt;Porcupine-Komma (250/243)&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert, 37edo ist also eine mögliche Realisierung der Porcupine-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die grössere Quinte selbst ist mit 22 Schritten in zwei gleich grosse Intervalle teilbar, womit 37edo auch für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/maqamisch"&amp;gt;maqamische&amp;lt;/a&amp;gt; Melodien geeignet ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
Die Unterteilung der Oktave in 37 gleiche Teile zu je 32.43 Cent liefert ein Tonsystem, das sehr gute Approximationen für die Obertöne 5, 7, 11 und 13 liefert, jedoch eher mässige für den Oberton 3 - ausgerechnet das zentrale Intervall der reinen Quinte (3/2) ist damit nicht sehr gut repräsentiert. 37edo ist daher für traditionsorientierte Musik weniger geeignet, hat dafür aber einiges Potential für dezidiert xenharmonische Musik.

Eine Besonderheit zur Approximation der reinen Quinte ist, dass es deren zwei gibt, die in etwa "brauchbar" sind: eine grössere (22 Schritte von 37edo, 713.5 Cent, 11.56 Cent zu gross) und eine kleinere (21 Schritte, 681.1 Cent, 20.87 Cent zu klein). Generation von Skalen durch Übereinanderschichten der grösseren Quinte führt zu Skalen von stark [[Superpyth|superpythagoräischem]] Charakter, dasselbe mit der kleineren Quinte zu solchem vom [[Mavila]]-Typ.

Die zur grösseren Quinte komplementäre (entsprechend natürlich kleinere) Quart ist 15 Schritte gross, also in drei gleich grosse Intervalle teilbar. Dies ist eine Eigenschaft von [[Porcupine]]-Systemen - und in der Tat wird in 37edo das [[Porcupine-Komma|Porcupine-Komma (250/243)]] austemperiert, 37edo ist also eine mögliche Realisierung der Porcupine-Temperatur.

Die grössere Quinte selbst ist mit 22 Schritten zwei gleich grosse Intervalle teilbar, womit 37edo auch für [[maqamisch|maqamische]] Melodien geeignet ist.

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Die Unterteilung der Oktave in 37 gleiche Teile zu je 32.43 Cent liefert ein Tonsystem, das sehr gute Approximationen für die Obertöne 5, 7, 11 und 13 liefert, jedoch eher mässige für den Oberton 3 - ausgerechnet das zentrale Intervall der reinen Quinte (3/2) ist damit nicht sehr gut repräsentiert. 37edo ist daher für traditionsorientierte Musik weniger geeignet, hat dafür aber einiges Potential für dezidiert xenharmonische Musik.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine Besonderheit zur Approximation der reinen Quinte ist, dass es deren zwei gibt, die in etwa &amp;amp;quot;brauchbar&amp;amp;quot; sind: eine grössere (22 Schritte von 37edo, 713.5 Cent, 11.56 Cent zu gross) und eine kleinere (21 Schritte, 681.1 Cent, 20.87 Cent zu klein). Generation von Skalen durch Übereinanderschichten der grösseren Quinte führt zu Skalen von stark &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischem&amp;lt;/a&amp;gt; Charakter, dasselbe mit der kleineren Quinte zu solchem vom &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Typ.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die zur grösseren Quinte komplementäre (entsprechend natürlich kleinere) Quart ist 15 Schritte gross, also in drei gleich grosse Intervalle teilbar. Dies ist eine Eigenschaft von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Systemen - und in der Tat wird in 37edo das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine-Komma"&amp;gt;Porcupine-Komma (250/243)&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert, 37edo ist also eine mögliche Realisierung der Porcupine-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die grössere Quinte selbst ist mit 22 Schritten zwei gleich grosse Intervalle teilbar, womit 37edo auch für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/maqamisch"&amp;gt;maqamische&amp;lt;/a&amp;gt; Melodien geeignet ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 37 gleiche Teile zu je 32.43 Cent liefert ein Tonsystem, das sehr gute Approximationen für die Obertöne 5, 7, 11 und 13 liefert, jedoch eher mässige für den Oberton 3 - ausgerechnet das zentrale Intervall der reinen Quinte (3/2) ist damit nicht sehr gut repräsentiert. 37edo ist daher für traditionsorientierte Musik weniger geeignet, hat dafür aber einiges Potential für dezidiert xenharmonische Musik.

Eine Besonderheit zur Approximation der reinen Quinte ist, dass es deren zwei gibt, die in etwa "brauchbar" sind: eine grössere (22 Schritte von 37edo, 713.5 Cent, 11.56 Cent zu gross) und eine kleinere (21 Schritte, 681.1 Cent, 20.87 Cent zu klein). Generation von Skalen durch Übereinanderschichten der grösseren Quinte führt zu Skalen von stark [[Superpyth|superpythagoräischem]] Charakter, dasselbe mit der kleineren Quinte zu solchem vom [[Mavila]]-Typ.

Die zur grösseren Quinte komplementäre (entsprechend natürlich kleinere) Quart ist 15 Schritte gross, also in drei gleich grosse Intervalle teilbar. Dies ist eine Eigenschaft von [[Porcupine]]-Systemen - und in der Tat wird in 37edo das [[Porcupine-Komma|Porcupine-Komma (250/243)]] austemperiert, 37edo ist also eine mögliche Realisierung der Porcupine-Temperatur.

[todo mehr zu regulären Temperaturen]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Unterteilung der Oktave in 37 gleiche Teile zu je 32.43 Cent liefert ein Tonsystem, das sehr gute Approximationen für die Obertöne 5, 7, 11 und 13 liefert, jedoch eher mässige für den Oberton 3 - ausgerechnet das zentrale Intervall der reinen Quinte (3/2) ist damit nicht sehr gut repräsentiert. 37edo ist daher für traditionsorientierte Musik weniger geeignet, hat dafür aber einiges Potential für dezidiert xenharmonische Musik.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine Besonderheit zur Approximation der reinen Quinte ist, dass es deren zwei gibt, die in etwa &amp;amp;quot;brauchbar&amp;amp;quot; sind: eine grössere (22 Schritte von 37edo, 713.5 Cent, 11.56 Cent zu gross) und eine kleinere (21 Schritte, 681.1 Cent, 20.87 Cent zu klein). Generation von Skalen durch Übereinanderschichten der grösseren Quinte führt zu Skalen von stark &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischem&amp;lt;/a&amp;gt; Charakter, dasselbe mit der kleineren Quinte zu solchem vom &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Typ.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die zur grösseren Quinte komplementäre (entsprechend natürlich kleinere) Quart ist 15 Schritte gross, also in drei gleich grosse Intervalle teilbar. Dies ist eine Eigenschaft von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Systemen - und in der Tat wird in 37edo das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine-Komma"&amp;gt;Porcupine-Komma (250/243)&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert, 37edo ist also eine mögliche Realisierung der Porcupine-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2016-06-06 08:13:10 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
Die Unterteilung der Oktave in 37 gleiche Teile zu je 32.43 Cent liefert ein Tonsystem, das sehr gute Approximationen für die Obertöne 5, 7, 11 und 13 liefert, jedoch eher mässige für den Oberton 3 - ausgerechnet das zentrale Intervall der reinen Quinte (3/2) ist damit nicht sehr gut repräsentiert. 37edo ist daher für traditionsorientierte Musik weniger geeignet, hat dafür aber einiges Potential für dezidiert xenharmonische Musik.

Eine Besonderheit zur Approximation der reinen Quinte ist, dass es deren zwei gibt, die in etwa "brauchbar" sind: eine grössere (22 Schritte von 37edo, 713.5 Cent, 11.56 Cent zu gross) und eine kleinere (21 Schritte, 681.1 Cent, 20.87 Cent zu klein). Generation von Skalen durch Übereinanderschichten der grösseren Quinte führt zu Skalen von stark [[Superpyth|superpythagoräischem]] Charakter, dasselbe mit der kleineren Quinte zu solchem vom [[Mavila]]-Typ.

Die zur grösseren Quinte gehörige (entsprechend natürlich kleinere) Quart ist 15 Schritte gross, also in drei gleich grosse Intervalle teilbar. Dies ist eine Eigenschaft von [[Porcupine]]-Systemen - und in der Tat wird in 37edo das [[Porcupine-Komma|Porcupine-Komma (250/243)]] austemperiert, 37edo ist also eine mögliche Realisierung der Porcupine-Temperatur.

[todo mehr zu regulären Temperaturen]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Unterteilung der Oktave in 37 gleiche Teile zu je 32.43 Cent liefert ein Tonsystem, das sehr gute Approximationen für die Obertöne 5, 7, 11 und 13 liefert, jedoch eher mässige für den Oberton 3 - ausgerechnet das zentrale Intervall der reinen Quinte (3/2) ist damit nicht sehr gut repräsentiert. 37edo ist daher für traditionsorientierte Musik weniger geeignet, hat dafür aber einiges Potential für dezidiert xenharmonische Musik.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine Besonderheit zur Approximation der reinen Quinte ist, dass es deren zwei gibt, die in etwa &amp;amp;quot;brauchbar&amp;amp;quot; sind: eine grössere (22 Schritte von 37edo, 713.5 Cent, 11.56 Cent zu gross) und eine kleinere (21 Schritte, 681.1 Cent, 20.87 Cent zu klein). Generation von Skalen durch Übereinanderschichten der grösseren Quinte führt zu Skalen von stark &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischem&amp;lt;/a&amp;gt; Charakter, dasselbe mit der kleineren Quinte zu solchem vom &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Typ.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die zur grösseren Quinte gehörige (entsprechend natürlich kleinere) Quart ist 15 Schritte gross, also in drei gleich grosse Intervalle teilbar. Dies ist eine Eigenschaft von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Systemen - und in der Tat wird in 37edo das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine-Komma"&amp;gt;Porcupine-Komma (250/243)&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert, 37edo ist also eine mögliche Realisierung der Porcupine-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[todo mehr zu regulären Temperaturen]&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
Die Unterteilung der Oktave in 37 gleiche Teile zu je 32.43 Cent liefert ein Tonsystem, das sehr gute Approximationen für die Obertöne 5, 7, 11 und 13 liefert, jedoch eher mässige für den Oberton 3 - ausgerechnet das zentrale Intervall der reinen Quinte (3/2) ist damit nicht sehr gut repräsentiert. 37edo ist daher für traditionsorientierte Musik weniger geeignet, hat aber beträchtliches Potential für dezidiert xenharmonische Musik.

Eine Besonderheit zur Approximation der reinen Quinte ist, dass es deren zwei gibt, die in etwa "brauchbar" sind: eine grössere (22 Schritte von 37edo, 713.5 Cent, 11.56 Cent zu gross) und eine kleinere (21 Schritte, 681.1 Cent, 20.87 Cent zu klein). Generation von Skalen durch Übereinanderschichten der grösseren Quinte führt zu Skalen von stark [[Superpyth|superpythagoräischem]] Charakter, dasselbe mit der kleineren Quinte zu solchem vom [[Mavila]]-Typ.

[todo reguläre Temperaturen]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Unterteilung der Oktave in 37 gleiche Teile zu je 32.43 Cent liefert ein Tonsystem, das sehr gute Approximationen für die Obertöne 5, 7, 11 und 13 liefert, jedoch eher mässige für den Oberton 3 - ausgerechnet das zentrale Intervall der reinen Quinte (3/2) ist damit nicht sehr gut repräsentiert. 37edo ist daher für traditionsorientierte Musik weniger geeignet, hat aber beträchtliches Potential für dezidiert xenharmonische Musik.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine Besonderheit zur Approximation der reinen Quinte ist, dass es deren zwei gibt, die in etwa &amp;amp;quot;brauchbar&amp;amp;quot; sind: eine grössere (22 Schritte von 37edo, 713.5 Cent, 11.56 Cent zu gross) und eine kleinere (21 Schritte, 681.1 Cent, 20.87 Cent zu klein). Generation von Skalen durch Übereinanderschichten der grösseren Quinte führt zu Skalen von stark &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischem&amp;lt;/a&amp;gt; Charakter, dasselbe mit der kleineren Quinte zu solchem vom &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Typ.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2016-06-06 07:39:46 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
Die Unterteilung der Oktave in 37 gleiche Teile zu je 32.43 Cent liefert ein Tonsystem, das sehr gute Approximationen für die Obertöne 5, 7, 11 und 13 liefert, jedoch eher mässige für den Oberton 3. Ausgerechnet das zentrale Intervall der reinen Quinte (3/2) ist damit nicht sehr gut repräsentiert. 37edo ist daher für traditionsorientierte Musik weniger geeignet, hat aber beträchtliches Potenital für dezidiert xenharmonische Musik.

Eine Besonderheit zur Approximation der reinen Quinte ist, dass es deren zwei gibt, die in etwa "brauchbar" sind: eine grössere (22 Schritte von 37edo, 713.5 Cent, 11.56 Cent zu gross) und eine kleinere (21 Schritte, 681.1 Cent, 20.87 Cent zu klein). Generation von Skalen durch Übereinanderschichten der grösseren Quinte führt zu Skalen von stark [[Superpyth|superpythagoräischem]] Charakter, dasselbe mit der kleineren Quinte zu solchem vom [[Mavila]]-Typ.

[todo reguläre Temperaturen]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Unterteilung der Oktave in 37 gleiche Teile zu je 32.43 Cent liefert ein Tonsystem, das sehr gute Approximationen für die Obertöne 5, 7, 11 und 13 liefert, jedoch eher mässige für den Oberton 3. Ausgerechnet das zentrale Intervall der reinen Quinte (3/2) ist damit nicht sehr gut repräsentiert. 37edo ist daher für traditionsorientierte Musik weniger geeignet, hat aber beträchtliches Potenital für dezidiert xenharmonische Musik.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine Besonderheit zur Approximation der reinen Quinte ist, dass es deren zwei gibt, die in etwa &amp;amp;quot;brauchbar&amp;amp;quot; sind: eine grössere (22 Schritte von 37edo, 713.5 Cent, 11.56 Cent zu gross) und eine kleinere (21 Schritte, 681.1 Cent, 20.87 Cent zu klein). Generation von Skalen durch Übereinanderschichten der grösseren Quinte führt zu Skalen von stark &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischem&amp;lt;/a&amp;gt; Charakter, dasselbe mit der kleineren Quinte zu solchem vom &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Typ.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 37 gleiche Teile zu je 32.43 Cent liefert ein Tonsystem, das sehr gute Approximationen für die Obertöne 5, 7, 11 und 13 liefert, jedoch eher mässige für den Oberton 3 - ausgerechnet das zentrale Intervall der reinen Quinte (3/2) ist damit nicht sehr gut repräsentiert. 37edo ist daher für traditionsorientierte Musik weniger geeignet, hat dafür aber einiges Potential für dezidiert xenharmonische Musik.

Eine Besonderheit zur Approximation der reinen Quinte ist, dass es deren zwei gibt, die in etwa "brauchbar" sind: eine grössere (22 Schritte von 37edo, 713.5 Cent, 11.56 Cent zu gross) und eine kleinere (21 Schritte, 681.1 Cent, 20.87 Cent zu klein). Generation von Skalen durch Übereinanderschichten der grösseren Quinte führt zu Skalen von stark [[Superpyth|superpythagoräischem]] Charakter, dasselbe mit der kleineren Quinte zu solchem vom [[Mavila|Mavila]]-Typ.

Die zur grösseren Quinte komplementäre (entsprechend natürlich kleinere) Quart ist 15 Schritte gross, also in drei gleich grosse Intervalle teilbar. Dies ist eine Eigenschaft von [[Porcupine|Porcupine]]-Systemen - und in der Tat wird in 37edo das [[Porcupine-Komma|Porcupine-Komma (250/243)]] austemperiert, 37edo ist also eine mögliche Realisierung der Porcupine-Temperatur.

Die grössere Quinte selbst ist mit 22 Schritten in zwei gleich grosse Intervalle teilbar, womit 37edo auch [[maqamisch|maqamische]] Temperaturen unterstützt, sie kann auch für [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalische Musik]] verwendet werden.

[todo mehr zu regulären Temperaturen]  [[Category:edo]]
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Die Unterteilung der Oktave in 37 gleiche Teile zu je 32.43 Cent liefert ein Tonsystem, das sehr gute Approximationen für die Obertöne 5, 7, 11 und 13 liefert, jedoch eher mässige für den Oberton 3 - ausgerechnet das zentrale Intervall der reinen Quinte (3/2) ist damit nicht sehr gut repräsentiert. 37edo ist daher für traditionsorientierte Musik weniger geeignet, hat dafür aber einiges Potential für dezidiert xenharmonische Musik.

Eine Besonderheit zur Approximation der reinen Quinte ist, dass es deren zwei gibt, die in etwa "brauchbar" sind: eine grössere (22 Schritte von 37edo, 713.5 Cent, 11.56 Cent zu gross) und eine kleinere (21 Schritte, 681.1 Cent, 20.87 Cent zu klein). Generation von Skalen durch Übereinanderschichten der grösseren Quinte führt zu Skalen von stark [[Superpyth|superpythagoräischem]] Charakter, dasselbe mit der kleineren Quinte zu solchem vom [[Mavila|Mavila]]-Typ.

Die zur grösseren Quinte komplementäre (entsprechend natürlich kleinere) Quart ist 15 Schritte gross, also in drei gleich grosse Intervalle teilbar. Dies ist eine Eigenschaft von [[Porcupine|Porcupine]]-Systemen - und in der Tat wird in 37edo das [[Porcupine-Komma|Porcupine-Komma (250/243)]] austemperiert, 37edo ist also eine mögliche Realisierung der Porcupine-Temperatur.

Die grössere Quinte selbst ist mit 22 Schritten in zwei gleich grosse Intervalle teilbar, womit 37edo auch [[maqamisch|maqamische]] Temperaturen unterstützt, sie kann auch für [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalische Musik]] verwendet werden.

[todo mehr zu regulären Temperaturen]

[[Kategorie:EDO]]
[[Kategorie:Prim-EDO]]</text>
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      <comment>Xenwolf verschob die Seite [[37edo]] nach [[37 EDO]]: Großschreibung zur Verdeutlichung der Abkürzung, Lücke zur besseren Lesbarkeit (Weiterleitungen bleiben erhalten)</comment>
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Die Unterteilung der Oktave in 37 gleiche Teile zu je 32.43 Cent liefert ein Tonsystem, das sehr gute Approximationen für die Obertöne 5, 7, 11 und 13 liefert, jedoch eher mässige für den Oberton 3 - ausgerechnet das zentrale Intervall der reinen Quinte (3/2) ist damit nicht sehr gut repräsentiert. 37edo ist daher für traditionsorientierte Musik weniger geeignet, hat dafür aber einiges Potential für dezidiert xenharmonische Musik.

Eine Besonderheit zur Approximation der reinen Quinte ist, dass es deren zwei gibt, die in etwa "brauchbar" sind: eine grössere (22 Schritte von 37edo, 713.5 Cent, 11.56 Cent zu gross) und eine kleinere (21 Schritte, 681.1 Cent, 20.87 Cent zu klein). Generation von Skalen durch Übereinanderschichten der grösseren Quinte führt zu Skalen von stark [[Superpyth|superpythagoräischem]] Charakter, dasselbe mit der kleineren Quinte zu solchem vom [[Mavila|Mavila]]-Typ.

Die zur grösseren Quinte komplementäre (entsprechend natürlich kleinere) Quart ist 15 Schritte gross, also in drei gleich grosse Intervalle teilbar. Dies ist eine Eigenschaft von [[Porcupine|Porcupine]]-Systemen - und in der Tat wird in 37edo das [[Porcupine-Komma|Porcupine-Komma (250/243)]] austemperiert, 37edo ist also eine mögliche Realisierung der Porcupine-Temperatur.

Die grössere Quinte selbst ist mit 22 Schritten in zwei gleich grosse Intervalle teilbar, womit 37edo auch [[maqamisch|maqamische]] Temperaturen unterstützt, sie kann auch für [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalische Musik]] verwendet werden.

[todo mehr zu regulären Temperaturen]

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'''37 EDO''', die Unterteilung der Oktave in 37 gleiche Teile zu je 32.43 Cent liefert ein Tonsystem, das sehr gute Approximationen für die Obertöne 5, 7, 11 und 13 liefert, jedoch eher mässige für den Oberton 3 - ausgerechnet das zentrale Intervall der reinen Quinte (3/2) ist damit nicht sehr gut repräsentiert. 37 EDO ist daher für traditionsorientierte Musik weniger geeignet, hat dafür aber einiges Potential für dezidiert xenharmonische Musik.

Eine Besonderheit zur Approximation der reinen Quinte ist, dass es deren zwei gibt, die in etwa "brauchbar" sind: eine grössere (22 Schritte von 37 EDO, 713.5 Cent, 11.56 Cent zu gross) und eine kleinere (21 Schritte, 681.1 Cent, 20.87 Cent zu klein). Generation von Skalen durch Übereinanderschichten der grösseren Quinte führt zu Skalen von stark [[Superpyth|superpythagoräischem]] Charakter, dasselbe mit der kleineren Quinte zu solchem vom [[Mavila]]-Typ.

Die zur grösseren Quinte komplementäre (entsprechend natürlich kleinere) Quart ist 15 Schritte gross, also in drei gleich grosse Intervalle teilbar. Dies ist eine Eigenschaft von [[Porcupine]]-Systemen - und in der Tat wird in 37 EDO das [[Porcupine-Komma|Porcupine-Komma (250/243)]] austemperiert, 37 EDO ist also eine mögliche Realisierung der Porcupine-Temperatur.

Die grössere Quinte selbst ist mit 22 Schritten in zwei gleich grosse Intervalle teilbar, womit 37 EDO auch [[maqamisch|maqamische]] Temperaturen unterstützt, sie kann auch für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische Musik]] verwendet werden.

[todo mehr zu regulären Temperaturen]

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'''37 EDO''', die Unterteilung der Oktave in 37 gleiche Teile zu je 32.43 Cent liefert ein Tonsystem, das sehr gute Approximationen für die Obertöne 5, 7, 11 und 13 liefert, jedoch eher mässige für den Oberton 3 - ausgerechnet das zentrale Intervall der reinen Quinte (3/2) ist damit nicht sehr gut repräsentiert. 37 EDO ist daher für traditionsorientierte Musik weniger geeignet, hat dafür aber einiges Potential für dezidiert xenharmonische Musik.

Eine Besonderheit zur Approximation der reinen Quinte ist, dass es deren zwei gibt, die in etwa "brauchbar" sind: eine grössere (22 Schritte von 37 EDO, 713.5 Cent, 11.56 Cent zu gross) und eine kleinere (21 Schritte, 681.1 Cent, 20.87 Cent zu klein). Generation von Skalen durch Übereinanderschichten der grösseren Quinte führt zu Skalen von stark [[Superpyth|superpythagoräischem]] Charakter, dasselbe mit der kleineren Quinte zu solchem vom [[Mavila]]-Typ.

Die zur grösseren Quinte komplementäre (entsprechend natürlich kleinere) Quart ist 15 Schritte gross, also in drei gleich grosse Intervalle teilbar. Dies ist eine Eigenschaft von [[Porcupine]]-Systemen - und in der Tat wird in 37 EDO das [[Porcupine-Komma|Porcupine-Komma (250/243)]] austemperiert, 37 EDO ist also eine mögliche Realisierung der Porcupine-Temperatur.

Die grössere Quinte selbst ist mit 22 Schritten in zwei gleich grosse Intervalle teilbar, womit 37 EDO auch [[maqamisch|maqamische]] Temperaturen unterstützt, sie kann auch für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische Musik]] verwendet werden.

[todo mehr zu regulären Temperaturen]

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'''37 EDO''', die Unterteilung der Oktave in 37 gleiche Teile zu je 32.43 Cent liefert ein Tonsystem, das sehr gute Approximationen für die Obertöne 5, 7, 11 und 13 liefert, jedoch eher mässige für den Oberton 3 - ausgerechnet das zentrale Intervall der reinen Quinte (3/2) ist damit nicht sehr gut repräsentiert. 37 EDO ist daher für traditionsorientierte Musik weniger geeignet, hat dafür aber einiges Potential für dezidiert xenharmonische Musik.

Eine Besonderheit zur Approximation der reinen Quinte ist, dass es deren zwei gibt, die in etwa "brauchbar" sind: eine grössere (22 Schritte von 37 EDO, 713.5 Cent, 11.56 Cent zu gross) und eine kleinere (21 Schritte, 681.1 Cent, 20.87 Cent zu klein). Generation von Skalen durch Übereinanderschichten der grösseren Quinte führt zu Skalen von stark [[Superpyth|superpythagoräischem]] Charakter, dasselbe mit der kleineren Quinte zu solchem vom [[Mavila]]-Typ.

Die zur grösseren Quinte komplementäre (entsprechend natürlich kleinere) Quart ist 15 Schritte gross, also in drei gleich grosse Intervalle teilbar. Dies ist eine Eigenschaft von [[Porcupine]]-Systemen - und in der Tat wird in 37 EDO das [[Porcupine-Komma|Porcupine-Komma (250/243)]] austemperiert, 37 EDO ist also eine mögliche Realisierung der Porcupine-Temperatur.

Die grössere Quinte selbst ist mit 22 Schritten in zwei gleich grosse Intervalle teilbar, womit 37 EDO auch [[maqamisch|maqamische]] Temperaturen unterstützt, sie kann auch für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische Musik]] verwendet werden.

[todo mehr zu regulären Temperaturen]

[[Kategorie:EDO]]
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'''37-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 37 gleiche Teile zu je 32.43 Cent liefert ein Tonsystem, das sehr gute Approximationen für die Obertöne 5, 7, 11 und 13 liefert, jedoch eher mässige für den Oberton 3 - ausgerechnet das zentrale Intervall der reinen Quinte (3/2) ist damit nicht sehr gut repräsentiert. 37-EDO ist daher für traditionsorientierte Musik weniger geeignet, hat dafür aber einiges Potential für dezidiert xenharmonische Musik.

Eine Besonderheit zur Approximation der reinen Quinte ist, dass es deren zwei gibt, die in etwa "brauchbar" sind: eine grössere (22 Schritte von 37-EDO, 713.5 Cent, 11.56 Cent zu gross) und eine kleinere (21 Schritte, 681.1 Cent, 20.87 Cent zu klein). Generation von Skalen durch Übereinanderschichten der grösseren Quinte führt zu Skalen von stark [[Superpyth|superpythagoräischem]] Charakter, dasselbe mit der kleineren Quinte zu solchem vom [[Mavila]]-Typ.

Die zur grösseren Quinte komplementäre (entsprechend natürlich kleinere) Quart ist 15 Schritte gross, also in drei gleich grosse Intervalle teilbar. Dies ist eine Eigenschaft von [[Porcupine]]-Systemen - und in der Tat wird in 37-EDO das [[Porcupine-Komma|Porcupine-Komma (250/243)]] austemperiert, 37-EDO ist also eine mögliche Realisierung der Porcupine-Temperatur.

Die grössere Quinte selbst ist mit 22 Schritten in zwei gleich grosse Intervalle teilbar, womit 37-EDO auch [[maqamisch|maqamische]] Temperaturen unterstützt, sie kann auch für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische Musik]] verwendet werden.

[todo mehr zu regulären Temperaturen]

[[Kategorie:EDO]]
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'''37-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 37 gleiche Teile zu je 32.43 Cent liefert ein [[Tonsystem]], das sehr gute Approximationen für die Obertöne 5, 7, 11 und 13 liefert, jedoch eher mässige für den Oberton 3 - ausgerechnet das zentrale Intervall der reinen Quinte (3/2) ist damit nicht sehr gut repräsentiert. 37-EDO ist daher für traditionsorientierte Musik weniger geeignet, hat dafür aber einiges Potential für dezidiert xenharmonische Musik.

Eine Besonderheit zur Approximation der reinen Quinte ist, dass es deren zwei gibt, die in etwa "brauchbar" sind: eine grössere (22 Schritte von 37-EDO, 713.5 Cent, 11.56 Cent zu gross) und eine kleinere (21 Schritte, 681.1 Cent, 20.87 Cent zu klein). Generation von Skalen durch Übereinanderschichten der grösseren Quinte führt zu Skalen von stark [[Superpyth|superpythagoräischem]] Charakter, dasselbe mit der kleineren Quinte zu solchem vom [[Mavila]]-Typ.

Die zur grösseren Quinte komplementäre (entsprechend natürlich kleinere) Quart ist 15 Schritte gross, also in drei gleich grosse Intervalle teilbar. Dies ist eine Eigenschaft von [[Porcupine]]-Systemen - und in der Tat wird in 37-EDO das [[Porcupine-Komma|Porcupine-Komma (250/243)]] austemperiert, 37-EDO ist also eine mögliche Realisierung der Porcupine-Temperatur.

Die grössere Quinte selbst ist mit 22 Schritten in zwei gleich grosse Intervalle teilbar, womit 37-EDO auch [[maqamisch|maqamische]] Temperaturen unterstützt, sie kann auch für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische Musik]] verwendet werden.

[todo mehr zu regulären Temperaturen]

[[Kategorie:EDO]]
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'''41-EDO''' besticht durch die hohe Reinheit seiner [[Quinte|Quinten]] (702,44 [[Cent|Cent]]) und [[Quarte|Quarten]] (497,56 [[Cent|Cent]]). Genauer ist 41-EDO das zweitkleinste gleichstufige System, bei dem die Quinte reiner ist als bei [[12edo|12edo]] (das kleinste nach 12edo ist [[29edo|29edo]]).

Ferner ist 41-EDO das kleinste gleichstufige System, das gute Approximationen für sämtliche unteren sechzehn [[Obertonreihe|Obertöne]] bietet,

namentlich also eine "diatonische Obertonskala", bestehend aus den Obertönen 8 bis 16.

3 Schritte von 41-EDO liefern eine sehr gute Annäherung eines Grundschritts der [[88cET|88cET]]-Stimmung, 5 Schritte ferner eine sehr gute Annäherung eines Grundschritts der [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Skala.  [[Category:edo]]
[[Category:Prim-EDO]]</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-23 12:24:53 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;433825928&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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**41-EDO** besticht durch die hohe Reinheit seiner [[Quinte|Quinten]] (702,44 [[Cent]]) und [[Quarte|Quarten]] (497,56 [[Cent]]). Genauer ist 41-EDO das zweitkleinste gleichstufige System, bei dem die Quinte reiner ist als bei [[12edo]] (das kleinste nach 12edo ist [[29edo]]).

Ferner ist 41-EDO das kleinste gleichstufige System, das gute Approximationen für sämtliche unteren sechzehn [[Obertonreihe|Obertöne]] bietet,
namentlich also eine "diatonische Obertonskala", bestehend aus den Obertönen 8 bis 16.

3 Schritte von 41-EDO liefern eine sehr gute Annäherung eines Grundschritts der [[88cET]]-Stimmung, 5 Schritte ferner eine sehr gute Annäherung eines Grundschritts der [[Bohlen-Pierce]]-Skala.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Ferner ist 41-EDO das kleinste gleichstufige System, das gute Approximationen für sämtliche unteren sechzehn &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Obertonreihe"&amp;gt;Obertöne&amp;lt;/a&amp;gt; bietet,&amp;lt;br /&amp;gt;
namentlich also eine &amp;amp;quot;diatonische Obertonskala&amp;amp;quot;, bestehend aus den Obertönen 8 bis 16.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
3 Schritte von 41-EDO liefern eine sehr gute Annäherung eines Grundschritts der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/88cET"&amp;gt;88cET&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung, 5 Schritte ferner eine sehr gute Annäherung eines Grundschritts der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bohlen-Pierce"&amp;gt;Bohlen-Pierce&amp;lt;/a&amp;gt;-Skala.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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**41-EDO** besticht durch die hohe Reinheit seiner [[Quinte|Quinten]] (702,44 [[Cent]]) und [[Quarte|Quarten]] (497,56 [[Cent]]). Genauer ist 41-EDO das zweitkleinste gleichstufige System, bei dem die Quinte reiner ist als bei [[12edo]] (das kleinste nach 12edo ist [[29edo]]).

Ferner ist 41-EDO das kleinste gleichstufige System, das gute Approximationen für sämtlichen unteren sechzehn [[Obertonreihe|Obertöne]] bietet,
namentlich also eine "diatonische Obertonskala", bestehend aus den Obertönen 8 bis 16.

3 Schritte von 41-EDO liefern eine sehr gute Annäherung eines Grundschritts der [[88cET]]-Stimmung, 5 Schritte ferner eine sehr gute Annäherung eines Grundschritts der [[Bohlen-Pierce]]-Skala.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;strong&amp;gt;41-EDO&amp;lt;/strong&amp;gt; besticht durch die hohe Reinheit seiner &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quinte"&amp;gt;Quinten&amp;lt;/a&amp;gt; (702,44 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarten&amp;lt;/a&amp;gt; (497,56 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;). Genauer ist 41-EDO das zweitkleinste gleichstufige System, bei dem die Quinte reiner ist als bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; (das kleinste nach 12edo ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ferner ist 41-EDO das kleinste gleichstufige System, das gute Approximationen für sämtlichen unteren sechzehn &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Obertonreihe"&amp;gt;Obertöne&amp;lt;/a&amp;gt; bietet,&amp;lt;br /&amp;gt;
namentlich also eine &amp;amp;quot;diatonische Obertonskala&amp;amp;quot;, bestehend aus den Obertönen 8 bis 16.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
3 Schritte von 41-EDO liefern eine sehr gute Annäherung eines Grundschritts der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/88cET"&amp;gt;88cET&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung, 5 Schritte ferner eine sehr gute Annäherung eines Grundschritts der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bohlen-Pierce"&amp;gt;Bohlen-Pierce&amp;lt;/a&amp;gt;-Skala.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-22 09:18:44 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/41edo]]

**41-EDO** besticht durch die hohe Reinheit seiner [[Quinte|Quinten]] (702,44 [[Cent]]) und [[Quarte|Quarten]] (497,56 [[Cent]]). Genauer ist 41-EDO das zweitkleinste gleichstufige System, bei dem die Quinte reiner ist als bei 12edo (das kleinste nach 12edo ist [[29edo]]).

Ferner ist 41-EDO das kleinste gleichstufige System, das gute Approximationen für sämtlichen unteren sechzehn [[Obertonreihe|Obertöne]] bietet,
namentlich also eine "diatonische Obertonskala", bestehend aus den Obertönen 8 bis 16.

3 Schritte von 41-EDO liefern eine sehr gute Annäherung eines Grundschritts der [[88cET]]-Stimmung, 5 Schritte ferner eine sehr gute Annäherung eines Grundschritts der [[Bohlen-Pierce]]-Skala.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;strong&amp;gt;41-EDO&amp;lt;/strong&amp;gt; besticht durch die hohe Reinheit seiner &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quinte"&amp;gt;Quinten&amp;lt;/a&amp;gt; (702,44 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarten&amp;lt;/a&amp;gt; (497,56 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;). Genauer ist 41-EDO das zweitkleinste gleichstufige System, bei dem die Quinte reiner ist als bei 12edo (das kleinste nach 12edo ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ferner ist 41-EDO das kleinste gleichstufige System, das gute Approximationen für sämtlichen unteren sechzehn &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Obertonreihe"&amp;gt;Obertöne&amp;lt;/a&amp;gt; bietet,&amp;lt;br /&amp;gt;
namentlich also eine &amp;amp;quot;diatonische Obertonskala&amp;amp;quot;, bestehend aus den Obertönen 8 bis 16.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
3 Schritte von 41-EDO liefern eine sehr gute Annäherung eines Grundschritts der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/88cET"&amp;gt;88cET&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung, 5 Schritte ferner eine sehr gute Annäherung eines Grundschritts der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bohlen-Pierce"&amp;gt;Bohlen-Pierce&amp;lt;/a&amp;gt;-Skala.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/41edo]]

**41-EDO** besticht durch die hohe Reinheit seiner [[Quinte|Quinten]] (702,44 [[Cent]]) und [[Quarte|Quarten]] (497,56 [[Cent]]). Genauer ist 41-EDO das zweitkleinste gleichstufige System, bei dem die Quinte reiner ist als bei 12edo (das kleinste nach 12edo ist [[29edo]]).

Ferner ist 41-EDO das kleinste gleichstufige System, das gute Approximationen für sämtlichen unteren sechzehn [[Obertonreihe|Obertöne]] bietet,
namentlich also eine "diatonischen Obertonskala", bestehend aus den Obertönen 8 bis 16.

3 Schritte von 41-EDO liefern eine sehr gute Annäherung eines Grundschritts der [[88cET]]-Stimmung, 5 Schritte ferner eine sehr gute Annäherung eines Grundschritts der [[Bohlen-Pierce]]-Skala.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;strong&amp;gt;41-EDO&amp;lt;/strong&amp;gt; besticht durch die hohe Reinheit seiner &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quinte"&amp;gt;Quinten&amp;lt;/a&amp;gt; (702,44 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarten&amp;lt;/a&amp;gt; (497,56 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;). Genauer ist 41-EDO das zweitkleinste gleichstufige System, bei dem die Quinte reiner ist als bei 12edo (das kleinste nach 12edo ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ferner ist 41-EDO das kleinste gleichstufige System, das gute Approximationen für sämtlichen unteren sechzehn &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Obertonreihe"&amp;gt;Obertöne&amp;lt;/a&amp;gt; bietet,&amp;lt;br /&amp;gt;
namentlich also eine &amp;amp;quot;diatonischen Obertonskala&amp;amp;quot;, bestehend aus den Obertönen 8 bis 16.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
3 Schritte von 41-EDO liefern eine sehr gute Annäherung eines Grundschritts der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/88cET"&amp;gt;88cET&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung, 5 Schritte ferner eine sehr gute Annäherung eines Grundschritts der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bohlen-Pierce"&amp;gt;Bohlen-Pierce&amp;lt;/a&amp;gt;-Skala.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/41edo]]

**41-EDO** besticht durch die hohe Reinheit seiner [[Quinte|Quinten]] (702,44 [[Cent]]) und [[Quarte|Quarten]] (497,56 [[Cent]]). Genauer ist 41-EDO das zweitkleinste gleichstufige System, bei dem die Quinte reiner ist als bei 12edo (das kleinste nach 12edo ist [[29edo]]).

Ferner ist 41-EDO so ungefähr das kleinste gleichstufige System, das gute Approximationen für sämtlichen unteren sechzehn [[Obertonreihe|Obertöne]] bietet.

3 SChritte von 41-EDO liefern eine ziemlich genaue Annäherung eines Grundschritts der [[88cET]]-Stimmung, 5 Schritte ferner eine ziemlich genaue Annäherung eines Grundschritts der [[Bohlen-Pierce]]-Skala.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;strong&amp;gt;41-EDO&amp;lt;/strong&amp;gt; besticht durch die hohe Reinheit seiner &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quinte"&amp;gt;Quinten&amp;lt;/a&amp;gt; (702,44 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarten&amp;lt;/a&amp;gt; (497,56 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;). Genauer ist 41-EDO das zweitkleinste gleichstufige System, bei dem die Quinte reiner ist als bei 12edo (das kleinste nach 12edo ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ferner ist 41-EDO so ungefähr das kleinste gleichstufige System, das gute Approximationen für sämtlichen unteren sechzehn &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Obertonreihe"&amp;gt;Obertöne&amp;lt;/a&amp;gt; bietet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
3 SChritte von 41-EDO liefern eine ziemlich genaue Annäherung eines Grundschritts der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/88cET"&amp;gt;88cET&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung, 5 Schritte ferner eine ziemlich genaue Annäherung eines Grundschritts der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bohlen-Pierce"&amp;gt;Bohlen-Pierce&amp;lt;/a&amp;gt;-Skala.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/41edo]]

**41-EDO** besticht durch die hohe Reinheit seiner [[Quinte|Quinten]] (702,44 [[Cent]]) und [[Quarte|Quarten]] (497,56 [[Cent]]). Genauer ist 41-EDO das zweitkleinste gleichstufige System, bei dem die Quinte reiner ist als bei 12edo (das kleinste nach 12edo ist [[29edo]]).

Ferner ist 41-EDO so ungefähr das kleinste gleichstufige System, das gute Approximationen für sämtlichen unteren sechzehn [[Obertonreihe|Obertöne]] bietet.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;41edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/41edo"&amp;gt;xenharmonic/41edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;strong&amp;gt;41-EDO&amp;lt;/strong&amp;gt; besticht durch die hohe Reinheit seiner &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quinte"&amp;gt;Quinten&amp;lt;/a&amp;gt; (702,44 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarten&amp;lt;/a&amp;gt; (497,56 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;). Genauer ist 41-EDO das zweitkleinste gleichstufige System, bei dem die Quinte reiner ist als bei 12edo (das kleinste nach 12edo ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ferner ist 41-EDO so ungefähr das kleinste gleichstufige System, das gute Approximationen für sämtlichen unteren sechzehn &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Obertonreihe"&amp;gt;Obertöne&amp;lt;/a&amp;gt; bietet.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <comment>**Imported revision 431016636 - Original comment: **</comment>
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      <text bytes="1841" sha1="dlcfues9a7ylg7tn8ypwqfialn9ikcq" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/41edo]]

**41-EDO** besticht durch die hohe Reinheit seiner [[Quinte|Quinten]] (702,44 [[Cent]]) und [[Quarte|Quarten]] (497,56 [[Cent]]).&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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'''41-EDO''' besticht durch die hohe Reinheit seiner [[Quinte|Quinten]] (702,44 [[Cent|Cent]]) und [[Quarte|Quarten]] (497,56 [[Cent|Cent]]). Genauer ist 41-EDO das zweitkleinste gleichstufige System, bei dem die Quinte reiner ist als bei [[12edo|12edo]] (das kleinste nach 12edo ist [[29edo|29edo]]).

Ferner ist 41-EDO das kleinste gleichstufige System, das gute Approximationen für sämtliche unteren sechzehn [[Obertonreihe|Obertöne]] bietet,

namentlich also eine "diatonische Obertonskala", bestehend aus den Obertönen 8 bis 16.

3 Schritte von 41-EDO liefern eine sehr gute Annäherung eines Grundschritts der [[88cET|88cET]]-Stimmung, 5 Schritte ferner eine sehr gute Annäherung eines Grundschritts der [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Skala.  [[Category:edo]]
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'''41-EDO''' besticht durch die hohe Reinheit seiner [[Quinte|Quinten]] (702,44 [[Cent|Cent]]) und [[Quarte|Quarten]] (497,56 [[Cent|Cent]]). Genauer ist 41-EDO das zweitkleinste gleichstufige System, bei dem die Quinte reiner ist als bei [[12edo|12edo]] (das kleinste nach 12edo ist [[29edo|29edo]]).

Ferner ist 41-EDO das kleinste gleichstufige System, das gute Approximationen für sämtliche unteren sechzehn [[Obertonreihe|Obertöne]] bietet,

namentlich also eine "diatonische Obertonskala", bestehend aus den Obertönen 8 bis 16.

3 Schritte von 41-EDO liefern eine sehr gute Annäherung eines Grundschritts der [[88cET|88cET]]-Stimmung, 5 Schritte ferner eine sehr gute Annäherung eines Grundschritts der [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Skala.

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'''41-EDO''' besticht durch die hohe Reinheit seiner [[Quinte|Quinten]] (702,44 [[Cent|Cent]]) und [[Quarte|Quarten]] (497,56 [[Cent|Cent]]). Genauer ist 41-EDO das zweitkleinste gleichstufige System, bei dem die Quinte reiner ist als bei [[12edo|12edo]] (das kleinste nach 12edo ist [[29edo|29edo]]).

Ferner ist 41-EDO das kleinste gleichstufige System, das gute Approximationen für sämtliche unteren sechzehn [[Obertonreihe|Obertöne]] bietet,

namentlich also eine "diatonische Obertonskala", bestehend aus den Obertönen 8 bis 16.

3 Schritte von 41-EDO liefern eine sehr gute Annäherung eines Grundschritts der [[88cET|88cET]]-Stimmung, 5 Schritte ferner eine sehr gute Annäherung eines Grundschritts der [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Skala.

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'''41-EDO''' besticht durch die hohe Reinheit seiner [[Quinte|Quinten]] (702,44 [[Cent|Cent]]) und [[Quarte|Quarten]] (497,56 [[Cent|Cent]]). Genauer ist 41-EDO das zweitkleinste gleichstufige System, bei dem die Quinte reiner ist als bei [[12edo|12edo]] (das kleinste nach 12edo ist [[29edo|29edo]]).

Ferner ist 41-EDO das kleinste gleichstufige System, das gute Approximationen für sämtliche unteren sechzehn [[Obertonreihe|Obertöne]] bietet,

namentlich also eine "diatonische Obertonskala", bestehend aus den Obertönen 8 bis 16.

3 Schritte von 41-EDO liefern eine sehr gute Annäherung eines Grundschritts der [[88cET|88cET]]-Stimmung, 5 Schritte ferner eine sehr gute Annäherung eines Grundschritts der [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Skala.

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'''41 EDO''' besticht durch die hohe Reinheit seiner [[Quinte]]n (702,44 [[Cent]]) und [[Quarte]]n (497,56 Cent). Genauer ist 41 EDO das zweitkleinste gleichstufige System, bei dem die Quinte reiner ist als bei [[12 EDO]] (das kleinste nach 12 EDO ist [[29 EDO]]).

Ferner ist 41-EDO das kleinste gleichstufige System, das gute Approximationen für sämtliche unteren sechzehn [[Obertonreihe|Obertöne]] bietet,

namentlich also eine "diatonische Obertonskala", bestehend aus den Obertönen 8 bis 16.

3 Schritte von 41 EDO liefern eine sehr gute Annäherung eines Grundschritts der [[88cET]]-Stimmung, 5 Schritte ferner eine sehr gute Annäherung eines Grundschritts der [[Bohlen-Pierce]]-Skala.

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      <comment>Xenwolf verschob die Seite [[41 EDO]] nach [[41-EDO]]: Das ist die bessere Wahl (siehe [[XW:K]]), auch führte die Lücke optisch zum "Auseinanderbrechen".</comment>
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'''41 EDO''' besticht durch die hohe Reinheit seiner [[Quinte]]n (702,44 [[Cent]]) und [[Quarte]]n (497,56 Cent). Genauer ist 41 EDO das zweitkleinste gleichstufige System, bei dem die Quinte reiner ist als bei [[12 EDO]] (das kleinste nach 12 EDO ist [[29 EDO]]).

Ferner ist 41-EDO das kleinste gleichstufige System, das gute Approximationen für sämtliche unteren sechzehn [[Obertonreihe|Obertöne]] bietet,

namentlich also eine "diatonische Obertonskala", bestehend aus den Obertönen 8 bis 16.

3 Schritte von 41 EDO liefern eine sehr gute Annäherung eines Grundschritts der [[88cET]]-Stimmung, 5 Schritte ferner eine sehr gute Annäherung eines Grundschritts der [[Bohlen-Pierce]]-Skala.

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'''41-EDO''' besticht durch die hohe Reinheit seiner [[Quinte]]n (702,44 [[Cent]]) und [[Quarte]]n (497,56 Cent). Genauer ist 41-EDO das zweitkleinste gleichstufige System, bei dem die Quinte reiner ist als bei [[12-EDO]] (das kleinste nach 12-EDO ist [[29-EDO]]).

Ferner ist 41-EDO das kleinste gleichstufige System, das gute Approximationen für sämtliche unteren sechzehn [[Obertonreihe|Obertöne]] bietet,

namentlich also eine "diatonische Obertonskala", bestehend aus den Obertönen 8 bis 16.

3 Schritte von 41-EDO liefern eine sehr gute Annäherung eines Grundschritts der [[88cET]]-Stimmung, 5 Schritte ferner eine sehr gute Annäherung eines Grundschritts der [[Bohlen-Pierce]]-Skala.

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'''41-EDO''' besticht durch die hohe Reinheit seiner [[Quinte]]n (702,44 [[Cent]]) und [[Quarte]]n (497,56 Cent). Genauer ist 41-EDO das zweitkleinste gleichstufige System, bei dem die Quinte reiner ist als bei [[12-EDO]] (das kleinste nach 12-EDO ist [[29-EDO]]).

Ferner ist 41-EDO das kleinste gleichstufige System, das gute Approximationen für sämtliche unteren sechzehn [[Obertonreihe|Obertöne]] bietet,

namentlich also eine "diatonische Obertonskala", bestehend aus den Obertönen 8 bis 16.

3 Schritte von 41-EDO liefern eine sehr gute Annäherung eines Grundschritts der [[88cET]]-Stimmung, 5 Schritte ferner eine sehr gute Annäherung eines Grundschritts der [[Bohlen-Pierce]]-Skala.

Todo Reguläre Temperaturen

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'''41-EDO''' besticht durch die hohe Reinheit seiner [[Quinte]]n (702,44 [[Cent]]) und [[Quarte]]n (497,56 Cent). Genauer ist 41-EDO das zweitkleinste gleichstufige System, bei dem die Quinte reiner ist als bei [[12-EDO]] (das kleinste nach 12-EDO ist [[29-EDO]]).

Ferner ist 41-EDO das kleinste gleichstufige System, das gute Approximationen für sämtliche unteren sechzehn [[Obertonreihe|Obertöne]] bietet,

namentlich also eine "diatonische Obertonskala", bestehend aus den Obertönen 8 bis 16.

3 Schritte von 41-EDO liefern eine sehr gute Annäherung eines Grundschritts der [[88cET]]-Stimmung, 5 Schritte ferner eine sehr gute Annäherung eines Grundschritts der [[Bohlen-Pierce]]-Skala.

[[Reguläre Temperaturen]], welche von 41 unterstützt werden, sind unter anderem [[Magische Temperaturen|magisch]], [[Schismatische Temperaturen|Helmholtz, Garibaldi]], [[Tetracot]].

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'''41-EDO''' besticht durch die hohe Reinheit seiner [[Quinte]]n (702,44 [[Cent]]) und [[Quarte]]n (497,56 Cent). Genauer ist 41-EDO das zweitkleinste gleichstufige System, bei dem die Quinte reiner ist als bei [[12-EDO]] (das kleinste nach 12-EDO ist [[29-EDO]]).

Ferner ist 41-EDO das kleinste gleichstufige System, das gute Approximationen für sämtliche unteren sechzehn [[Obertonreihe|Obertöne]] bietet,

namentlich also eine "diatonische Obertonskala", bestehend aus den Obertönen 8 bis 16.

3 Schritte von 41-EDO liefern eine sehr gute Annäherung eines Grundschritts der [[88cET]]-Stimmung, 5 Schritte ferner eine sehr gute Annäherung eines Grundschritts der [[Bohlen-Pierce]]-Skala.

[[Reguläre Temperaturen]], welche von 41-EDO unterstützt werden, sind unter anderem [[Magische Temperaturen|magisch]], [[Schismatische Temperaturen|Helmholtz, Garibaldi]], [[Tetracot]].

[[Kategorie:EDO]]
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'''41-EDO''' besticht durch die hohe Reinheit seiner [[Quinte]]n (702,44 [[Cent]]) und [[Quarte]]n (497,56 Cent). Genauer ist 41-EDO das zweitkleinste gleichstufige System, bei dem die Quinte reiner ist als bei [[12-EDO]] (das kleinste nach 12-EDO ist [[29-EDO]]).

Ferner ist 41-EDO das kleinste gleichstufige System, das gute Approximationen für sämtliche unteren sechzehn [[Obertonreihe|Obertöne]] bietet, namentlich also eine "diatonische Obertonskala", bestehend aus den Obertönen 8 bis 16.

3 Schritte von 41-EDO liefern eine sehr gute Annäherung eines Grundschritts der [[88cET]]-Stimmung, 5 Schritte ferner eine sehr gute Annäherung eines Grundschritts der [[Bohlen-Pierce]]-Skala.

[[Reguläre Temperaturen]], welche von 41-EDO unterstützt werden, sind unter anderem [[Magische Temperaturen|magisch]], [[Schismatische Temperaturen|Helmholtz, Garibaldi]], [[Tetracot]].

[[Kategorie:EDO]]
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}}
'''41-EDO''' besticht durch die hohe Reinheit seiner [[Quinte]]n (702,44 [[Cent]]) und [[Quarte]]n (497,56 Cent). Genauer ist 41-EDO das zweitkleinste gleichstufige System, bei dem die Quinte reiner ist als bei [[12-EDO]] (das kleinste nach 12-EDO ist [[29-EDO]]).

Ferner ist 41-EDO das kleinste gleichstufige System, das gute Approximationen für sämtliche unteren sechzehn [[Obertonreihe|Obertöne]] bietet, namentlich also eine "diatonische Obertonskala", bestehend aus den Obertönen 8 bis 16.

3 Schritte von 41-EDO liefern eine sehr gute Annäherung eines Grundschritts der [[88cET]]-Stimmung, 5 Schritte ferner eine sehr gute Annäherung eines Grundschritts der [[Bohlen-Pierce]]-Skala.

[[Reguläre Temperaturen]], welche von 41-EDO unterstützt werden, sind unter anderem [[Magische Temperaturen|magisch]], [[Schismatische Temperaturen|schismatisch (Helmholtz, Garibaldi)]], [[Tetracot]].

[[Kategorie:EDO]]
[[Kategorie:Prim-EDO]]</text>
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}}
'''41-EDO''' besticht durch die hohe Reinheit seiner [[Quinte]]n (702,44 [[Cent]]) und [[Quarte]]n (497,56 Cent). Genauer ist 41-EDO das zweitkleinste gleichstufige System, bei dem die Quinte reiner ist als bei [[12-EDO]] (das kleinste nach 12-EDO ist [[29-EDO]]).

Ferner ist 41-EDO das kleinste gleichstufige System, das gute Approximationen für sämtliche unteren sechzehn [[Obertonreihe|Obertöne]] bietet, namentlich also eine "diatonische Obertonskala", bestehend aus den Obertönen 8 bis 16.

3 Schritte von 41-EDO liefern eine sehr gute Annäherung eines Grundschritts der [[88cET]]-Stimmung, 5 Schritte ferner eine sehr gute Annäherung eines Grundschritts der [[Bohlen-Pierce]]-Skala.

[[Reguläre Temperaturen]], welche von 41-EDO unterstützt werden, sind unter anderem [[Magische Temperaturen|magisch]], [[Schismatische Temperaturen|schismatisch (Helmholtz, Garibaldi)]], [[Tetracot]].

[[Kategorie:EDO]]
[[Kategorie:Prim-EDO]]</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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[[Kategorie:EDO]]
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[[Kategorie:EDO]]
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[[Kategorie:EDO]]
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Siehe [[:en:46edo]] (englische Fassung)

[[Kategorie:EDO]]
[[Kategorie:todo:Definition]]</text>
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[https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_diesis Wikipedia-Artikel (in englischer Sprache)]

Das Intervall mit Frequenzverhältnis 49/48 (35.6968 Cent), '''Slendro-Diësis''', '''septimale Diësis''' oder '''septimaler Sechstelton''' genannt, ist der Unterschied zwischen den Intervallen 7/6 (septimale kleine Terz) und 8/7 (grosser septimaler Ganzton), also den Intervallen, die in der [[Obertonreihe|Obertonreihe]] zwischen dem sechsten, dem siebten und dem achten Oberton auftreten.

[[Reguläre_Temperaturen|Austemperieren]] dieses Intervalls führt zu einer [[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Semiphor]]-Temperatur.  [[Category:Komma]]
[[Category:Semiphor]]</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_diesis|Wikipedia-Artikel (in englischer Sprache)]]

Das Intervall mit Frequenzverhältnis 49/48 (35.6968 Cent), **Slendro-Diësis**, **septimale Diësis** oder **septimaler Sechstelton** genannt, ist der Unterschied zwischen den Intervallen 7/6 (septimale kleine Terz) und 8/7 (grosser septimaler Ganzton), also den Intervallen, die in der [[xenharmonie/Obertonreihe|Obertonreihe]] zwischen dem sechsten, dem siebten und dem achten Oberton auftreten.

[[Reguläre Temperaturen|Austemperieren]] dieses Intervalls führt zu einer [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semiphor]]-Temperatur.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Intervall mit Frequenzverhältnis 49/48 (35.6968 Cent), &amp;lt;strong&amp;gt;Slendro-Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt;, &amp;lt;strong&amp;gt;septimale Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;septimaler Sechstelton&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt, ist der Unterschied zwischen den Intervallen 7/6 (septimale kleine Terz) und 8/7 (grosser septimaler Ganzton), also den Intervallen, die in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Obertonreihe"&amp;gt;Obertonreihe&amp;lt;/a&amp;gt; zwischen dem sechsten, dem siebten und dem achten Oberton auftreten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_diesis|Wikipedia-Artikel (in englischer Sprache)]]

Das Intervall mit Frequenzverhältnis 49/48 (35.6968 Cent), **Slendro-Diësis**, **septimale Diësis** oder **septimaler Sechstelton** genannt, ist der Unterschied zwischen dn Intervallen 7/6 (septimale kleine Terz) und 8/7 (grosser septimaler Ganzton), also den Intervallen, die in der [[xenharmonie/Obertonreihe|Obertonreihe]] zwischen dem sechsten, dem siebten und dem achten Oberton auftreten.

[[Reguläre Temperaturen|Austemperieren]] dieses Intervalls führt zu einer [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semiphor]]-Temperatur.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;49_48&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/49_48"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_diesis" rel="nofollow"&amp;gt;Wikipedia-Artikel (in englischer Sprache)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Intervall mit Frequenzverhältnis 49/48 (35.6968 Cent), &amp;lt;strong&amp;gt;Slendro-Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt;, &amp;lt;strong&amp;gt;septimale Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;septimaler Sechstelton&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt, ist der Unterschied zwischen dn Intervallen 7/6 (septimale kleine Terz) und 8/7 (grosser septimaler Ganzton), also den Intervallen, die in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Obertonreihe"&amp;gt;Obertonreihe&amp;lt;/a&amp;gt; zwischen dem sechsten, dem siebten und dem achten Oberton auftreten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Austemperieren&amp;lt;/a&amp;gt; dieses Intervalls führt zu einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Semiphor%2C%20Semaphor%2C%20Godzilla"&amp;gt;Semiphor&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_diesis|Wikipedia-Artikel (in englischer Sprache)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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[https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_diesis Wikipedia-Artikel (in englischer Sprache)]

Das Intervall mit Frequenzverhältnis 49/48 (35.6968 Cent), '''Slendro-Diësis''', '''septimale Diësis''' oder '''septimaler Sechstelton''' genannt, ist der Unterschied zwischen den Intervallen 7/6 (septimale kleine Terz) und 8/7 (grosser septimaler Ganzton), also den Intervallen, die in der [[Obertonreihe|Obertonreihe]] zwischen dem sechsten, dem siebten und dem achten Oberton auftreten.

[[Reguläre_Temperaturen|Austemperieren]] dieses Intervalls führt zu einer [[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Semiphor]]-Temperatur.  [[Category:Komma]]
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}}
Das Intervall mit Frequenzverhältnis '''49/48''' (35.6968 Cent), '''Slendro-Diësis''', '''septimale Diësis''' oder '''septimaler Sechstelton''' genannt, ist der Unterschied zwischen den Intervallen 7/6 (septimale kleine Terz) und 8/7 (grosser septimaler Ganzton), also den Intervallen, die in der [[Obertonreihe]] zwischen dem sechsten, dem siebten und dem achten Oberton auftreten.

[[Reguläre Temperaturen|Austemperieren]] dieses Intervalls führt zu einer [[Semiphor, Semaphor, _Godzilla|Semiphor]]-Temperatur.

:''siehe auch [https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_diesis Septimal diesis - Wikipedia] (in englischer Sprache)''

[[Category:Komma]]
[[Category:Semiphor]]</text>
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      <text bytes="670" sha1="12ye48m2ro52umeizmb6f4u5lbbcdci" xml:space="preserve">English: [[:en:50/49 xenharmonic/50_49]]

Das '''Jubilisma''' oder '''"Jubilee-Komma"''' - ein Intervall mit dem Schwingungsverhältnis '''50/49''' und der Grösse 34.98 [[Cents|Cents]] - erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" ([[7/5|7/5]]) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" ([[10/7|10/7]]).

Das Austemperieren dieses Intervalls hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Das gilt insbesondere für [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige Systeme]] mit Unterteilungen in eine gerade Anzahl Töne.  [[Category:Komma]]</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Das **Jubilisma** oder **"Jubilee-Komma"** - ein Intervall mit dem Schwingungsverhältnis **50/49** und der Grösse 34.98 [[Cents]] - erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" ([[7_5|7/5]]) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" ([[10_7|10/7]]).

Das Austemperieren dieses Intervalls hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Das gilt insbesondere für [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige Systeme]] mit Unterteilungen in eine gerade Anzahl Töne.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Das &amp;lt;strong&amp;gt;Jubilisma&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;&amp;amp;quot;Jubilee-Komma&amp;amp;quot;&amp;lt;/strong&amp;gt; - ein Intervall mit dem Schwingungsverhältnis &amp;lt;strong&amp;gt;50/49&amp;lt;/strong&amp;gt; und der Grösse 34.98 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cents"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; - erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen dem &amp;amp;quot;kleinen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/7_5"&amp;gt;7/5&amp;lt;/a&amp;gt;) und dessen Oktav-Komplement, dem &amp;amp;quot;grossen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/10_7"&amp;gt;10/7&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Austemperieren dieses Intervalls hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Das gilt insbesondere für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige Systeme&amp;lt;/a&amp;gt; mit Unterteilungen in eine gerade Anzahl Töne.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Das Intervall 50/49, von der Grösse 34.98 [[Cents]], erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" ([[7_5|7/5]]) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" ([[10_7|10/7]]).

Das Austemperieren dieses Intervalls hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Das gilt insbesondere für [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige Systeme]] mit Unterteilungen in eine gerade Anzahl Töne.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;50_49&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/50_49"&amp;gt;xenharmonic/50_49&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Intervall 50/49, von der Grösse 34.98 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cents"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt;, erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen dem &amp;amp;quot;kleinen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/7_5"&amp;gt;7/5&amp;lt;/a&amp;gt;) und dessen Oktav-Komplement, dem &amp;amp;quot;grossen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/10_7"&amp;gt;10/7&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Austemperieren dieses Intervalls hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Das gilt insbesondere für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige Systeme&amp;lt;/a&amp;gt; mit Unterteilungen in eine gerade Anzahl Töne.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-23 09:08:11 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;433762050&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/50_49]]

Das Intervall 50/49, von der Grösse 34.98 [[Cents]], erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" (7/5) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" (10/7).

Das Austemperieren dieses Intervalls hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Das gilt insbesondere für [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige Systeme]] mit Unterteilungen in eine gerade Anzahl Töne.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;50_49&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/50_49"&amp;gt;xenharmonic/50_49&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Intervall 50/49, von der Grösse 34.98 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cents"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt;, erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen dem &amp;amp;quot;kleinen Tritonus&amp;amp;quot; (7/5) und dessen Oktav-Komplement, dem &amp;amp;quot;grossen Tritonus&amp;amp;quot; (10/7).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Austemperieren dieses Intervalls hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Das gilt insbesondere für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige Systeme&amp;lt;/a&amp;gt; mit Unterteilungen in eine gerade Anzahl Töne.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Das Intervall 50/49, von der Grösse 34.98 [[Cents]], erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" (7/5) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" (10/7).

Das Austemperieren dieses Intervalls hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Das Intervall 50/49, von der Grösse 34.98 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cents"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt;, erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen dem &amp;amp;quot;kleinen Tritonus&amp;amp;quot; (7/5) und dessen Oktav-Komplement, dem &amp;amp;quot;grossen Tritonus&amp;amp;quot; (10/7).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Austemperieren dieses Intervalls hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Das Intervall 50/49, von der Grösse 34.98 [[Cents]], erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" (7/5) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Trizonus" (10/7).

Das Austemperieren dieses Intervalls hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Das Intervall 50/49, von der Grösse 34.98 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cents"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt;, erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen dem &amp;amp;quot;kleinen Tritonus&amp;amp;quot; (7/5) und dessen Oktav-Komplement, dem &amp;amp;quot;grossen Trizonus&amp;amp;quot; (10/7).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Austemperieren dieses Intervalls hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Das Intervall 50/49, von der Grösse 34.98 [[Cents]], erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" (7/5) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Trizonus" (10/7).

Das Austemperieren deises Intervalls hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Das Intervall 50/49, von der Grösse 34.98 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cents"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt;, erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen dem &amp;amp;quot;kleinen Tritonus&amp;amp;quot; (7/5) und dessen Oktav-Komplement, dem &amp;amp;quot;grossen Trizonus&amp;amp;quot; (10/7).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Austemperieren deises Intervalls hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Das '''Jubilisma''' oder '''"Jubilee-Komma"''' - ein Intervall mit dem Schwingungsverhältnis '''50/49''' und der Grösse 34.98 [[Cents|Cents]] - erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" ([[7/5|7/5]]) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" ([[10/7|10/7]]).

Das Austemperieren dieses Intervalls hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Das gilt insbesondere für [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige Systeme]] mit Unterteilungen in eine gerade Anzahl Töne.  [[Category:Komma]]</text>
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Das '''Jubilisma''' oder '''"Jubilee-Komma"''' - ein Intervall mit dem Schwingungsverhältnis '''50/49''' und der Grösse 34.98 [[Cents|Cents]] - erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" ([[7/5|7/5]]) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" ([[10/7|10/7]]).

Das Austemperieren dieses Intervalls hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Diese Halboktave bietet sich dabei auf natürliche Weise anstelle der vollen Oktave als Periodenintervall an. Beispiele solcher Temperaturen mit Halboktaven-Periode sind: [[Pajara]], [[Hedgehog]], [[Astrology]]. 
 [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierungen solcher Temperaturen sind natürlich typischerweise solche mit Unterteilungen in eine gerade Anzahl Töne.  [[Category:Komma]]</text>
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Das '''Jubilisma''' oder '''"Jubilee-Komma"''' - ein Intervall mit dem Schwingungsverhältnis '''50/49''' und der Grösse 34.98 [[Cents|Cents]] - erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" ([[7/5|7/5]]) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" ([[10/7|10/7]]).

Das Austemperieren dieses Intervalls hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Diese Halboktave bietet sich dabei auf natürliche Weise anstelle der vollen Oktave als Periodenintervall an. Beispiele solcher Temperaturen mit Halboktaven-Periode sind: [[Pajara]], [[Hedgehog]], [[Astrology]]. 
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Das '''Jubilisma''' oder '''"Jubilee-Komma"''' - ein Intervall mit dem Schwingungsverhältnis '''50/49''' und der Grösse 34.98 [[Cents|Cents]] - erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" ([[7/5|7/5]]) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" ([[10/7|10/7]]).

Das Austemperieren dieses Intervalls hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Diese Halboktave bietet sich dabei auf natürliche Weise anstelle der vollen Oktave als Periodenintervall an. Beispiele solcher Temperaturen mit Halboktaven-Periode sind: [[Pajara]], [[Hedgehog]], [[Astrology]].

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Das '''Jubilisma''' oder '''"Jubilee-Komma"''' - ein Intervall mit dem Schwingungsverhältnis '''50/49''' und der Grösse 34.98 [[Cents|Cents]] - erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" ([[7/5|7/5]]) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" ([[10/7|10/7]]).

Das Austemperieren dieses Intervalls hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Diese Halboktave bietet sich dabei auf natürliche Weise anstelle der vollen Oktave als Periodenintervall an. Beispiele solcher Temperaturen mit Halboktaven-Periode sind: [[Pajara]], [[Hedgehog]], [[Astrology]].

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Das '''Jubilisma''' oder '''"Jubilee-Komma"''' - ein Intervall mit dem Schwingungsverhältnis '''50/49''' und der Grösse 34.98 [[Cents|Cents]] - erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" ([[7/5|7/5]]) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" ([[10/7|10/7]]).

Das Austemperieren dieses Intervalls hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Diese Halboktave bietet sich dabei auf natürliche Weise anstelle der vollen Oktave als Periodenintervall an. Beispiele solcher Temperaturen mit Halboktaven-Periode sind: [[Pajara]], [[Porcupine|Hedgehog]], [[Magische Temperaturen|Astrology]].

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Das '''Jubilisma''' oder '''"Jubilee-Komma"''' - ein Intervall mit dem Schwingungsverhältnis '''50/49''' und der Grösse 34.98 [[Cents|Cents]] - erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" ([[7/5|7/5]]) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" ([[10/7|10/7]]).

Das Austemperieren dieses Intervalls hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Diese Halboktave bietet sich dabei auf natürliche Weise anstelle der vollen Oktave als Periodenintervall an. Beispiele solcher Temperaturen mit Halboktaven-Periode sind: [[Pajara]], [[Porcupine#Hedgehog|Hedgehog]], [[Magische Temperaturen#Astrology|Astrology]].

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Das '''Jubilisma''' oder '''"Jubilee-Komma"''' - ein Intervall mit dem Schwingungsverhältnis '''50/49''' und der Grösse 34.98 [[Cents|Cents]] - erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" ([[7/5|7/5]]) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" ([[10/7|10/7]]).

Das Austemperieren dieses Intervalls hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Diese Halboktave bietet sich dabei auf natürliche Weise anstelle der vollen Oktave als Periodenintervall an. Beispiele solcher Temperaturen mit Halboktaven-Periode sind: [[Pajara]], [[Porcupine#Hedgehog|Hedgehog]], [[Magische Temperaturen#Astrology|Astrology]], [[Lemba]].

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Realisierungen solcher Temperaturen sind natürlich typischerweise solche mit Unterteilungen in eine gerade Anzahl Töne.  [[Category:Komma]]</text>
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Das '''Jubilisma''' oder '''"Jubilee-Komma"''' - ein Intervall mit dem Schwingungsverhältnis '''50/49''' und der Grösse 34.98 [[Cents|Cents]] - erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" ([[7/5|7/5]]) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" ([[10/7|10/7]]).

Das Austemperieren dieses Intervalls hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Diese Halboktave bietet sich dabei auf natürliche Weise anstelle der vollen Oktave als Periodenintervall an. Beispiele solcher Temperaturen mit Halboktaven-Periode sind: [[Pajara]], [[Porcupine#Hedgehog|Hedgehog]], [[Magische Temperaturen#Astrology|Astrology]], [[Slendrisch#Lemba|Lemba]].

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Realisierungen solcher Temperaturen sind natürlich typischerweise solche mit Unterteilungen in eine gerade Anzahl Töne.  [[Category:Komma]]</text>
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Das '''Jubilisma''' oder '''"Jubilee-Komma"''' - ein Intervall mit dem Schwingungsverhältnis '''50/49''' und der Grösse 34.98 [[Cents|Cents]] - erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" ([[7/5|7/5]]) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" ([[10/7|10/7]]).

Das Austemperieren dieses Intervalls hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Diese Halboktave bietet sich dabei auf natürliche Weise anstelle der vollen Oktave als Periodenintervall an. Beispiele solcher Temperaturen mit Halboktaven-Periode sind: [[Pajara]], [[Porcupine#Hedgehog|Hedgehog]], [[Magische Temperaturen#Astrology|Astrology]], [[Slendrisch#Lemba|Lemba]], [[Übermässige Temperaturen#Hexe|Hexe]].

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Realisierungen solcher Temperaturen sind natürlich typischerweise solche mit Unterteilungen in eine gerade Anzahl Töne.  [[Category:Komma]]</text>
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Deutschsprachige Einführung: [http://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoreisches_Komma Pythagoräisches Komma (Wikipedia)]

Das pythagoräische Komma ist in der Intervallgrösse (23.460 Cents) beinahe identisch mit dem [[81/80|syntonischen Komma]] (21.506 Cents) - doch es sollte keinesfalls mit diesem verwechselt werden. Während das Austemperieren des syntonischen Kommas zu einem System führt, bei dem 4 übereinandergeschichtete Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, hat das Austemperieren des pythagoräischen Kommas zur Folge, dass man nach dem Übereinanderschichten von 12 Quinten oktavbereinigt wieder beim Ursprungston anlangt - woraus übrigens folgt, dass die gleichstufigen Systeme. welche dieses Komma austemperieren, genau diejenigen sind, welche die Oktave in ein Vielfaches von 12 unterteilen. Das verbreitete [[12edo|12edo]] ist natürlich der Prototyp eines solchen Systems - dort wird ja eine reine Quinte genau um ein Zwölftel des pythagoräischen Kommas vermindert.

12edo temperiert auch das syntonische Komma aus und ist somit auch ein [[mitteltönig|mitteltöniges]] System. Dies gilt jedoch nicht allgemein - andere mitteltönige Systeme wie [[19edo|19edo]] und [[31edo|31edo]] zum Beispiel temperieren das pythagoräische Komma nicht aus. Umgekehrt wird das pythagoräiusche Komma, nicht jedoch das syntonische Komma z.B. von [[72edo|72edo]] austemperiert.  [[Category:Komma]]</text>
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Deutschsprachige Einführung: [[http://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoreisches_Komma|Pythagoräisches Komma (Wikipedia)]]

Das pythagoräische Komma ist in der Intervallgrösse (23.460 Cents) beinahe identisch mit dem [[81_80|syntonischen Komma]] (21.506 Cents) - doch es sollte keinesfalls mit diesem verwechselt werden. Während das Austemperieren des syntonischen Kommas zu einem System führt, bei dem 4 übereinandergeschichtete Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, hat das Austemperieren des pythagoräischen Kommas zur Folge, dass man nach dem Übereinanderschichten von 12 Quinten oktavbereinigt wieder beim Ursprungston anlangt - woraus übrigens folgt, dass die gleichstufigen Systeme. welche dieses Komma austemperieren, genau diejenigen sind, welche die Oktave in ein Vielfaches von 12 unterteilen. Das verbreitete [[12edo]] ist natürlich der Prototyp eines solchen Systems - dort wird ja eine reine Quinte genau um ein Zwölftel des pythagoräischen Kommas vermindert.

12edo temperiert auch das syntonische Komma aus und ist somit auch ein [[mitteltönig|mitteltöniges]] System. Dies gilt jedoch nicht allgemein - andere mitteltönige Systeme wie [[19edo]] und [[31edo]] zum Beispiel temperieren das pythagoräische Komma nicht aus. Umgekehrt wird das pythagoräiusche Komma, nicht jedoch das syntonische Komma z.B. von [[72edo]] austemperiert.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Deutschsprachige Einführung: &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoreisches_Komma" rel="nofollow"&amp;gt;Pythagoräisches Komma (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das pythagoräische Komma ist in der Intervallgrösse (23.460 Cents) beinahe identisch mit dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_80"&amp;gt;syntonischen Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (21.506 Cents) - doch es sollte keinesfalls mit diesem verwechselt werden. Während das Austemperieren des syntonischen Kommas zu einem System führt, bei dem 4 übereinandergeschichtete Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, hat das Austemperieren des pythagoräischen Kommas zur Folge, dass man nach dem Übereinanderschichten von 12 Quinten oktavbereinigt wieder beim Ursprungston anlangt - woraus übrigens folgt, dass die gleichstufigen Systeme. welche dieses Komma austemperieren, genau diejenigen sind, welche die Oktave in ein Vielfaches von 12 unterteilen. Das verbreitete &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist natürlich der Prototyp eines solchen Systems - dort wird ja eine reine Quinte genau um ein Zwölftel des pythagoräischen Kommas vermindert.&amp;lt;br /&amp;gt;
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12edo temperiert auch das syntonische Komma aus und ist somit auch ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltöniges&amp;lt;/a&amp;gt; System. Dies gilt jedoch nicht allgemein - andere mitteltönige Systeme wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; zum Beispiel temperieren das pythagoräische Komma nicht aus. Umgekehrt wird das pythagoräiusche Komma, nicht jedoch das syntonische Komma z.B. von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/72edo"&amp;gt;72edo&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Deutschsprachige Einführung: [[http://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoreisches_Komma|Pythagoräisches Komma (Wikipedia)]]

Das pythagoräische Komma ist in der Intervallgrösse (23.460 Cents) beinahe identisch mit dem [[81_80|syntonischen Komma]] (21.506 Cents) - doch es sollte keinesfalls mit diesem verwechselt werden. Während das Austemperieren des syntonischen Kommas zu einem System führt, bei dem 4 übereinandergeschichtete Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, hat das Austemperieren des pythagoräischen Kommas zur Folge, dass man nach dem Übereinanderschichten von 12 Quinten oktavbereinigt wieder beim Ursprungston anlangt - woraus übrigens folgt, dass die gleichstufigen Systeme. welche dieses Komma austemperieren, genau diejenigen sind, welche die Oktave in ein Vielfaches von 12 unterteilen. Das verbreitete [[12edo]] ist natürlich der Prototyp eines solchen Systems - dort wird ja eine reine Quinte genau um ein Zwölftel des pythagoräischen Kommas vermindert.

12edo temperiert auch das syntonische Komma aus und ist somit auch ein [[mitteltönig|mitteltöniges]] System. Dies gilt jedoch nicht allgemein - für andere mitteltönige Systeme wie [[19edo]] und [[31edo]] zum Beispiel gilt dies nicht. Umgekehrt wird das pythagoräiusche Komma, nicht jedoch das syntonische Komma z.B. von [[72edo]] austemperiert.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Das pythagoräische Komma ist in der Intervallgrösse (23.460 Cents) beinahe identisch mit dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_80"&amp;gt;syntonischen Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (21.506 Cents) - doch es sollte keinesfalls mit diesem verwechselt werden. Während das Austemperieren des syntonischen Kommas zu einem System führt, bei dem 4 übereinandergeschichtete Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, hat das Austemperieren des pythagoräischen Kommas zur Folge, dass man nach dem Übereinanderschichten von 12 Quinten oktavbereinigt wieder beim Ursprungston anlangt - woraus übrigens folgt, dass die gleichstufigen Systeme. welche dieses Komma austemperieren, genau diejenigen sind, welche die Oktave in ein Vielfaches von 12 unterteilen. Das verbreitete &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist natürlich der Prototyp eines solchen Systems - dort wird ja eine reine Quinte genau um ein Zwölftel des pythagoräischen Kommas vermindert.&amp;lt;br /&amp;gt;
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12edo temperiert auch das syntonische Komma aus und ist somit auch ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltöniges&amp;lt;/a&amp;gt; System. Dies gilt jedoch nicht allgemein - für andere mitteltönige Systeme wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; zum Beispiel gilt dies nicht. Umgekehrt wird das pythagoräiusche Komma, nicht jedoch das syntonische Komma z.B. von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/72edo"&amp;gt;72edo&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Deutschsprachige Einführung: [[http://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoreisches_Komma|Pythagoräisches Komma (Wikipedia)]]

Das pythagoräische Komma ist in der Intervallgrösse (23.460 Cents) beinahe identisch mit dem [[81_80|syntonischen Komma]] (21.506 Cents) - doch es sollte keinesfalls mit diesem verwechselt werden. Während das Austemperieren des syntonischen Kommas zu einem System führt, bei dem 4 übereinandergeschichtete Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, hat das Austemperieren des pythagoräischen Kommas zur Folge, dass man nach dem Übereinanderschichten von 12 Quinten oktavbereinigt wieder beim Ursprungston anlangt - woraus übrigens folgt, dass die gleichstufigen Systeme. welche dieses Komma austemperieren, genau diejenigen sind, welche die Oktave in ein Vielfaches von 12 unterteilen. Das verbreitete [[12edo]] ist natürlich der Prototyp eines solchen Systems - dort wird ja eine reine Quinte genau um ein Zwölftel des pythagoräischen Kommas vermindert.

12edo temperiert auch das syntonische Komma aus und ist somit auch ein [[mitteltönig|mitteltöniges]] System. Dies gilt jedoch nicht allgemein - für andere bekannte mitteltönige Systeme wie [[19edo]] und [[31edo]] zum Beipsie, gitl dies nicht. Umgekehrt wird das pythagoräiusche Komma, nicht jedoch das syntonische Komma z.B. von [[72edo]] austemperiert.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Deutschsprachige Einführung: &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoreisches_Komma" rel="nofollow"&amp;gt;Pythagoräisches Komma (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das pythagoräische Komma ist in der Intervallgrösse (23.460 Cents) beinahe identisch mit dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_80"&amp;gt;syntonischen Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (21.506 Cents) - doch es sollte keinesfalls mit diesem verwechselt werden. Während das Austemperieren des syntonischen Kommas zu einem System führt, bei dem 4 übereinandergeschichtete Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, hat das Austemperieren des pythagoräischen Kommas zur Folge, dass man nach dem Übereinanderschichten von 12 Quinten oktavbereinigt wieder beim Ursprungston anlangt - woraus übrigens folgt, dass die gleichstufigen Systeme. welche dieses Komma austemperieren, genau diejenigen sind, welche die Oktave in ein Vielfaches von 12 unterteilen. Das verbreitete &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist natürlich der Prototyp eines solchen Systems - dort wird ja eine reine Quinte genau um ein Zwölftel des pythagoräischen Kommas vermindert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
12edo temperiert auch das syntonische Komma aus und ist somit auch ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltöniges&amp;lt;/a&amp;gt; System. Dies gilt jedoch nicht allgemein - für andere bekannte mitteltönige Systeme wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; zum Beipsie, gitl dies nicht. Umgekehrt wird das pythagoräiusche Komma, nicht jedoch das syntonische Komma z.B. von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/72edo"&amp;gt;72edo&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-07-04 09:20:09 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
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Deutschsprachige Einführung: [[http://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoreisches_Komma|Pythagoräisches Komma (Wikipedia)]]

Das pythagoräische Komma ist in der Intervallgrösse (23.460 Cents) beinahe identisch mit dem [[81_80|syntonischen Komma]] (21.506 Cents) - doch es sollte keinesfalls mit diesem verwechselt werden. Während das Austemperieren des syntonischen Kommas zu einem System führt, bei dem 4 übereinandergeschichtete Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, hat das Austemperieren des pythagoräischen Kommas zur Folge, dass man nach dem Übereinanderschichten von 12 Quinten oktavbereinigt wieder beim Ursprungston anlangt - woraus übrigens folgt, dass die gleichstufigen Systeme. welche dieses Komma austemperieren, genau diejenigen sind, welche die Oktave in ein Vielfaches von 12 unterteilen. Das verbreitete [[12edo]] ist natürlich der Prototyp eines solchen Systems - dort wird ja eine reine Quinte genau um ein Zwölftel des pythagoräischen Kommas vermindert.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Deutschsprachige Einführung: &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoreisches_Komma" rel="nofollow"&amp;gt;Pythagoräisches Komma (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das pythagoräische Komma ist in der Intervallgrösse (23.460 Cents) beinahe identisch mit dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_80"&amp;gt;syntonischen Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (21.506 Cents) - doch es sollte keinesfalls mit diesem verwechselt werden. Während das Austemperieren des syntonischen Kommas zu einem System führt, bei dem 4 übereinandergeschichtete Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, hat das Austemperieren des pythagoräischen Kommas zur Folge, dass man nach dem Übereinanderschichten von 12 Quinten oktavbereinigt wieder beim Ursprungston anlangt - woraus übrigens folgt, dass die gleichstufigen Systeme. welche dieses Komma austemperieren, genau diejenigen sind, welche die Oktave in ein Vielfaches von 12 unterteilen. Das verbreitete &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist natürlich der Prototyp eines solchen Systems - dort wird ja eine reine Quinte genau um ein Zwölftel des pythagoräischen Kommas vermindert.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Deutschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoreisches_Komma|Pythagoräisches Komma (Wikipedia)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Deutschsprachige Einführung:&amp;lt;br /&amp;gt;
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Deutschsprachige Einführung: [http://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoreisches_Komma Pythagoräisches Komma (Wikipedia)]

Das pythagoräische Komma ist in der Intervallgrösse (23.460 Cents) beinahe identisch mit dem [[81/80|syntonischen Komma]] (21.506 Cents) - doch es sollte keinesfalls mit diesem verwechselt werden. Während das Austemperieren des syntonischen Kommas zu einem System führt, bei dem 4 übereinandergeschichtete Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, hat das Austemperieren des pythagoräischen Kommas zur Folge, dass man nach dem Übereinanderschichten von 12 Quinten oktavbereinigt wieder beim Ursprungston anlangt - woraus übrigens folgt, dass die gleichstufigen Systeme. welche dieses Komma austemperieren, genau diejenigen sind, welche die Oktave in ein Vielfaches von 12 unterteilen. Das verbreitete [[12edo|12edo]] ist natürlich der Prototyp eines solchen Systems - dort wird ja eine reine Quinte genau um ein Zwölftel des pythagoräischen Kommas vermindert.

12edo temperiert auch das syntonische Komma aus und ist somit auch ein [[mitteltönig|mitteltöniges]] System. Dies gilt jedoch nicht allgemein - andere mitteltönige Systeme wie [[19edo|19edo]] und [[31edo|31edo]] zum Beispiel temperieren das pythagoräische Komma nicht aus. Umgekehrt wird das pythagoräiusche Komma, nicht jedoch das syntonische Komma z.B. von [[72edo|72edo]] austemperiert.  [[Category:Komma]]</text>
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12edo temperiert auch das syntonische Komma aus und ist somit auch ein [[mitteltönig|mitteltöniges]] System. Dies gilt jedoch nicht allgemein - andere mitteltönige Systeme wie [[19edo]] und [[31edo]] zum Beispiel temperieren das pythagoräische Komma nicht aus. Umgekehrt wird das pythagoräiusche Komma, nicht jedoch das syntonische Komma z.B. von [[72edo]] austemperiert.  

:''Siehe auch die deutschsprachige Einführung unter [http://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoreisches_Komma Pythagoräisches Komma - Wikipedia]''
 
[[Category:Komma]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
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12edo temperiert auch das syntonische Komma aus und ist somit auch ein [[mitteltönig|mitteltöniges]] System. Dies gilt jedoch nicht allgemein - andere mitteltönige Systeme wie [[19edo]] und [[31edo]] zum Beispiel temperieren das pythagoräische Komma nicht aus. Umgekehrt wird das pythagoräiusche Komma, nicht jedoch das syntonische Komma z.B. von [[72edo]] austemperiert.  

:''Siehe auch die deutschsprachige Einführung unter [http://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoreisches_Komma Pythagoräisches Komma - Wikipedia]''
 
[[Category:Komma]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
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Das '''pythagoräische Komma''' ([[Monzo-Notation]] {{Monzo| -19 12 }}) ist in der Intervallgrösse (23.460 [[Cent]]s) beinahe identisch mit dem [[81/80|syntonischen Komma]] (21.506 Cents) - doch es sollte keinesfalls mit diesem verwechselt werden. Während das Austemperieren des syntonischen Kommas zu einem System führt, bei dem 4 übereinandergeschichtete Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, hat das Austemperieren des pythagoräischen Kommas zur Folge, dass man nach dem Übereinanderschichten von 12 Quinten oktavbereinigt wieder beim Ursprungston anlangt - woraus übrigens folgt, dass die gleichstufigen Systeme, welche dieses Komma austemperieren, genau diejenigen sind, welche die Oktave in ein Vielfaches von 12 unterteilen. Das verbreitete [[12edo]] ist natürlich der Prototyp eines solchen Systems - dort wird ja eine reine Quinte genau um ein Zwölftel des pythagoräischen Kommas vermindert.

12edo temperiert auch das syntonische Komma aus und ist somit auch ein [[mitteltönig|mitteltöniges]] System. Dies gilt jedoch nicht allgemein - andere mitteltönige Systeme wie [[19edo]] und [[31edo]] zum Beispiel temperieren das pythagoräische Komma nicht aus. Umgekehrt wird das pythagoräiusche Komma, nicht jedoch das syntonische Komma z.B. von [[72edo]] austemperiert.  

:''Siehe auch die deutschsprachige Einführung unter [http://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoreisches_Komma Pythagoräisches Komma - Wikipedia]''
 
[[Category:Komma]]</text>
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Eine hervorstechende Eigenschaft von 53edo ist, dass darin sowohl die [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] als auch die pythagoräische grosse Terz (81/64) gut repräsentiert sind.

Die Approximation der reinen [[Quinte|Quinte]] ist beinahe perfekt (nur 0.07 [[Cent|Cent]]s Unterschied), und die durch Quintenschichtung hergeleiteten [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Intervalle sind ebenfalls sehr gut. Ein Schritt von 53edo ist 22.642 Cents gross, fast exakt ein [[Syntonisches_Komma|syntonisches Komma]] (21.506 Cents), was der Unterschied zwischen pythagoräischer und reiner grosser Terz ist. In derselben Weise unterscheidet 53edo zwischen kleinen und grossen [[Ganzton|Ganztönen]] - es ist also ''kein'' [[mitteltönig|mitteltöniges]] System - und bietet darüber hinaus zwei verschiedene Grössen von neutralen Sekunden an - eine Eigenschaft, die für die Intonation von [[arabisch,_türkisch,_persisch|arabischen]] Skalen bedeutsam ist.  [[Category:edo]]
[[Category:Prim-EDO]]</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-12-06 08:41:06 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;475212888&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Eine hervorstechende Eigenschaft von 53edo ist, dass darin sowohl die [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] als auch die pythagoräische grosse Terz (81/64) gut repräsentiert sind.

Die Approximation der reinen [[Quinte]] ist beinahe perfekt (nur 0.07 [[Cent]]s Unterschied), und die durch Quintenschichtung hergeleiteten [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Intervalle sind ebenfalls sehr gut. Ein Schritt von 53edo ist 22.642 Cents gross, fast exakt ein [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] (21.506 Cents), was der Unterschied zwischen pythagoräischer und reiner grosser Terz ist. In derselben Weise unterscheidet 53edo zwischen kleinen und grossen [[Ganzton|Ganztönen]] - es ist also //kein// [[mitteltönig|mitteltöniges]] System - und bietet darüber hinaus zwei verschiedene Grössen von neutralen Sekunden an - eine Eigenschaft, die für die Intonation von [[arabisch, türkisch, persisch|arabischen]] Skalen bedeutsam ist.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;53edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/53edo"&amp;gt;xenharmonic/53edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine hervorstechende Eigenschaft von 53edo ist, dass darin sowohl die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz (5/4)&amp;lt;/a&amp;gt; als auch die pythagoräische grosse Terz (81/64) gut repräsentiert sind.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Approximation der reinen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quinte"&amp;gt;Quinte&amp;lt;/a&amp;gt; ist beinahe perfekt (nur 0.07 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;s Unterschied), und die durch Quintenschichtung hergeleiteten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Intervalle sind ebenfalls sehr gut. Ein Schritt von 53edo ist 22.642 Cents gross, fast exakt ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (21.506 Cents), was der Unterschied zwischen pythagoräischer und reiner grosser Terz ist. In derselben Weise unterscheidet 53edo zwischen kleinen und grossen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztönen&amp;lt;/a&amp;gt; - es ist also &amp;lt;em&amp;gt;kein&amp;lt;/em&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltöniges&amp;lt;/a&amp;gt; System - und bietet darüber hinaus zwei verschiedene Grössen von neutralen Sekunden an - eine Eigenschaft, die für die Intonation von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;arabischen&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen bedeutsam ist.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-28 15:01:52 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Eine hervorstechende Eigenschaft von 53edo ist, dass darin sowohl die [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] als auch die pythagoräische grosse Terz (81/64) gut repräsentiert sind.

Die Approximation der reinen [[Quinte]] ist beinahe perfekt (nur 0.07 [[Cent]]s Unterschied), und die durch Quintenschichtung hergeleiteten [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Intervalle sind ebenfalls sehr gut (ganz leicht [[Superpyth|superpythagoräisch]]). Ein Schritt von 53edo ist 22.642 Cents gross, fast exakt ein [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] (21.506 Cents), was der Unterschied zwischen pythagoräischer und reiner grosser Terz ist. In derselben Weise unterscheidet 53edo zwischen kleinen und grossen [[Ganzton|Ganztönen]] - es ist also //kein// [[mitteltönig|mitteltöniges]] System - und bietet darüber hinaus zwei verschiedene Grössen von neutralen Sekunden an - eine Eigenschaft, die für die Intonation von [[arabisch, türkisch, persisch|arabischen]] Skalen bedeutsam ist.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine hervorstechende Eigenschaft von 53edo ist, dass darin sowohl die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz (5/4)&amp;lt;/a&amp;gt; als auch die pythagoräische grosse Terz (81/64) gut repräsentiert sind.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Approximation der reinen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quinte"&amp;gt;Quinte&amp;lt;/a&amp;gt; ist beinahe perfekt (nur 0.07 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;s Unterschied), und die durch Quintenschichtung hergeleiteten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Intervalle sind ebenfalls sehr gut (ganz leicht &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräisch&amp;lt;/a&amp;gt;). Ein Schritt von 53edo ist 22.642 Cents gross, fast exakt ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (21.506 Cents), was der Unterschied zwischen pythagoräischer und reiner grosser Terz ist. In derselben Weise unterscheidet 53edo zwischen kleinen und grossen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztönen&amp;lt;/a&amp;gt; - es ist also &amp;lt;em&amp;gt;kein&amp;lt;/em&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltöniges&amp;lt;/a&amp;gt; System - und bietet darüber hinaus zwei verschiedene Grössen von neutralen Sekunden an - eine Eigenschaft, die für die Intonation von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;arabischen&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen bedeutsam ist.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Eine hervorstechende Eigenschaft von 53edo ist, dass darin sowohl die [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] als auch die pythagoräische grosse Terz (81/64) gut repräsentiert sind.

Die Approximation der reinen [[Quinte]] ist beinahe perfekt (nur 0.07 [[Cent]]s Unterschied), und die durch Quintenschichtung hergeleiteten [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Intervalle sind ebenfalls sehr gut (ganz leicht [[Superpyth|superpythagoräisch]]). Ein Schritt von 53edo ist 22.642 Cents gross, fast exakt ein [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] (21.506 Cents), was der Unterschied zwischen pythagoräischer und reiner grosser Terz ist. In derselben Weise unterscheidet 53edo zwischen kleinen und grossen [[Ganzton|Ganztönen]] - es ist also //kein// [[mitteltönig|mitteltöniges]] System - und bietet darüber hinaus zwei verschiedene Grössen von neutralen Sekunden an - eine Eigenschaft, die für die Intonation von [[arabisch türkisch, persisch|arabischen]] Skalen bedeutsam ist.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine hervorstechende Eigenschaft von 53edo ist, dass darin sowohl die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz (5/4)&amp;lt;/a&amp;gt; als auch die pythagoräische grosse Terz (81/64) gut repräsentiert sind.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Approximation der reinen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quinte"&amp;gt;Quinte&amp;lt;/a&amp;gt; ist beinahe perfekt (nur 0.07 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;s Unterschied), und die durch Quintenschichtung hergeleiteten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Intervalle sind ebenfalls sehr gut (ganz leicht &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräisch&amp;lt;/a&amp;gt;). Ein Schritt von 53edo ist 22.642 Cents gross, fast exakt ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (21.506 Cents), was der Unterschied zwischen pythagoräischer und reiner grosser Terz ist. In derselben Weise unterscheidet 53edo zwischen kleinen und grossen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztönen&amp;lt;/a&amp;gt; - es ist also &amp;lt;em&amp;gt;kein&amp;lt;/em&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltöniges&amp;lt;/a&amp;gt; System - und bietet darüber hinaus zwei verschiedene Grössen von neutralen Sekunden an - eine Eigenschaft, die für die Intonation von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;arabischen&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen bedeutsam ist.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Eine hervorstechende Eigenschaft von 53edo ist, dass darin sowohl die [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] als auch die pythagoräische grosse Terz (81/64) gut repräsentiert sind.

Die Approximation der reinen [[Quinte]] ist beinahe perfekt (nur 0.07 [[Cent]]s Unterschied), und die durch Quintenschichtung hergeleiteten [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Intervalle sind ebenfalls sehr gut (ganz leicht [[Superpyth|superpythagoräisch]]). Ein Schritt von 53edo ist 22.642 Cents gross, fast exakt ein [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] (21.506 Cents), was der Unterschied zwischen pythagoräischer und reiner grosser Terz ist. In derselben Weise unterscheidet 53edo zwischen kleinen und grossen [[Ganzton|Ganztönen]] - es ist also //kein// [[mitteltönig|mitteltöniges]] System - und bietet darüber hinaus zwei verschiedene Grössen von neutralen Sekunden an - eine Eigenschaft, die für die Intonation von arabischen Skalen bedeutsam ist.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Eine hervorstechende Eigenschaft von 53edo ist, dass darin sowohl die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz (5/4)&amp;lt;/a&amp;gt; als auch die pythagoräische grosse Terz (81/64) gut repräsentiert sind.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Approximation der reinen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quinte"&amp;gt;Quinte&amp;lt;/a&amp;gt; ist beinahe perfekt (nur 0.07 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;s Unterschied), und die durch Quintenschichtung hergeleiteten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Intervalle sind ebenfalls sehr gut (ganz leicht &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräisch&amp;lt;/a&amp;gt;). Ein Schritt von 53edo ist 22.642 Cents gross, fast exakt ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (21.506 Cents), was der Unterschied zwischen pythagoräischer und reiner grosser Terz ist. In derselben Weise unterscheidet 53edo zwischen kleinen und grossen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztönen&amp;lt;/a&amp;gt; - es ist also &amp;lt;em&amp;gt;kein&amp;lt;/em&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltöniges&amp;lt;/a&amp;gt; System - und bietet darüber hinaus zwei verschiedene Grössen von neutralen Sekunden an - eine Eigenschaft, die für die Intonation von arabischen Skalen bedeutsam ist.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-15 10:03:40 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;431741278&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/53edo]]

Eine hervorstechende Eigenschaft von 53edo ist, dass darin sowohl die [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] als auch die pythagoräische grosse Terz (81/64) gut repräsentiert sind.

Die Approximation der reinen Quinte ist beinahe perfekt (nur 0.07 [[Cent]]s Unterschied), und die durch Quintenschichtung hergeleiteten pythagoräischen Intervalle sind ebenfalls sehr gut (ganz leicht [[Superpyth|superpythagoräisch]]). Ein Schritt von 53edo ist 22.642 Cents gross, fast exakt ein [[syntonisches Komma]] (21.506 Cents), was der Unterschied zwischen pythagoräischer und reiner grosser Terz ist. In derselben Weise unterscheidet 53edo zwischen kleinen und grossen [[Ganzton|Ganztönen]] - es ist also //kein// [[mitteltönig|mitteltöniges]] System - und bietet darüber hinaus zwei verschiedene Grössen von neutralen Sekunden an - eine Eigenschaft, die für die Intonation von arabischen Skalen bedeutsam ist.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Eine hervorstechende Eigenschaft von 53edo ist, dass darin sowohl die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz (5/4)&amp;lt;/a&amp;gt; als auch die pythagoräische grosse Terz (81/64) gut repräsentiert sind.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Approximation der reinen Quinte ist beinahe perfekt (nur 0.07 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;s Unterschied), und die durch Quintenschichtung hergeleiteten pythagoräischen Intervalle sind ebenfalls sehr gut (ganz leicht &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräisch&amp;lt;/a&amp;gt;). Ein Schritt von 53edo ist 22.642 Cents gross, fast exakt ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (21.506 Cents), was der Unterschied zwischen pythagoräischer und reiner grosser Terz ist. In derselben Weise unterscheidet 53edo zwischen kleinen und grossen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztönen&amp;lt;/a&amp;gt; - es ist also &amp;lt;em&amp;gt;kein&amp;lt;/em&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltöniges&amp;lt;/a&amp;gt; System - und bietet darüber hinaus zwei verschiedene Grössen von neutralen Sekunden an - eine Eigenschaft, die für die Intonation von arabischen Skalen bedeutsam ist.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Eine hervorstechende Eigenschaft von 53edo ist, dass darin sowohl die [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] als auch die pythagoräische grosse Terz (81/64) gut repräsentiert sind.

Die Approximation der reinen Quinte ist beinahe perfekt (nur 0.07 [[Cent]]s Unterschied), und die durch Quintenschichtung hergeleiteten pythagoräischen Intervalle sind ebenfalls sehr gut (ganz leicht [[Superpyth|superpythagoräisch]]). 

Ein Schritt von 53edo ist 22.642 Cents gross, fast exakt ein [[syntonisches Komma]] (21.506 Cents).&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine hervorstechende Eigenschaft von 53edo ist, dass darin sowohl die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz (5/4)&amp;lt;/a&amp;gt; als auch die pythagoräische grosse Terz (81/64) gut repräsentiert sind.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Approximation der reinen Quinte ist beinahe perfekt (nur 0.07 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;s Unterschied), und die durch Quintenschichtung hergeleiteten pythagoräischen Intervalle sind ebenfalls sehr gut (ganz leicht &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräisch&amp;lt;/a&amp;gt;). &amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein Schritt von 53edo ist 22.642 Cents gross, fast exakt ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (21.506 Cents).&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Eine hervorstechende Eigenschaft von 53edo ist, dass darin sowohl die [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] als auch die pythagoräische grosse Terz (81/64) gut repräsentiert sind.

Die Approximation der reinen [[Quinte|Quinte]] ist beinahe perfekt (nur 0.07 [[Cent|Cent]]s Unterschied), und die durch Quintenschichtung hergeleiteten [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Intervalle sind ebenfalls sehr gut. Ein Schritt von 53edo ist 22.642 Cents gross, fast exakt ein [[Syntonisches_Komma|syntonisches Komma]] (21.506 Cents), was der Unterschied zwischen pythagoräischer und reiner grosser Terz ist. In derselben Weise unterscheidet 53edo zwischen kleinen und grossen [[Ganzton|Ganztönen]] - es ist also ''kein'' [[mitteltönig|mitteltöniges]] System - und bietet darüber hinaus zwei verschiedene Grössen von neutralen Sekunden an - eine Eigenschaft, die für die Intonation von [[arabisch,_türkisch,_persisch|arabischen]] Skalen bedeutsam ist.  [[Category:edo]]
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Eine hervorstechende Eigenschaft von 53edo ist, dass darin sowohl die [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] als auch die pythagoräische grosse Terz (81/64) gut repräsentiert sind.

Die Approximation der reinen [[Quinte|Quinte]] ist beinahe perfekt (nur 0.07 [[Cent|Cent]]s Unterschied), und die durch Quintenschichtung hergeleiteten [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Intervalle sind ebenfalls sehr gut. Ein Schritt von 53edo ist 22.642 Cents gross, fast exakt ein [[Syntonisches_Komma|syntonisches Komma]] (21.506 Cents), was der Unterschied zwischen pythagoräischer und reiner grosser Terz ist. In derselben Weise unterscheidet 53edo zwischen kleinen und grossen [[Ganzton|Ganztönen]] - es ist also ''kein'' [[mitteltönig|mitteltöniges]] System - und bietet darüber hinaus zwei verschiedene Grössen von neutralen Sekunden an - eine Eigenschaft, die für die Intonation von [[arabisch,_türkisch,_persisch|arabischen]] Skalen bedeutsam ist.  [[Category:edo]]
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Eine hervorstechende Eigenschaft von 53edo ist, dass darin sowohl die [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] als auch die pythagoräische grosse Terz (81/64) gut repräsentiert sind.

Die Approximation der reinen [[Quinte|Quinte]] ist beinahe perfekt (nur 0.07 [[Cent|Cent]]s Unterschied), und die durch Quintenschichtung hergeleiteten [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Intervalle sind ebenfalls sehr gut. Ein Schritt von 53edo ist 22.642 Cents gross, fast exakt ein [[Syntonisches_Komma|syntonisches Komma]] (21.506 Cents), was der Unterschied zwischen pythagoräischer und reiner grosser Terz ist. In derselben Weise unterscheidet 53edo zwischen kleinen und grossen [[Ganzton|Ganztönen]] - es ist also ''kein'' [[mitteltönig|mitteltöniges]] System - und bietet darüber hinaus zwei verschiedene Grössen von neutralen Sekunden an - eine Eigenschaft, die für die Intonation von [[arabisch,_türkisch,_persisch|arabischen]] Skalen bedeutsam ist.  [[Category:edo]]
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Eine hervorstechende Eigenschaft von 53edo ist, dass darin sowohl die [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] als auch die pythagoräische grosse Terz (81/64) gut repräsentiert sind.

Die Approximation der reinen [[Quinte|Quinte]] ist beinahe perfekt (nur 0.07 [[Cent|Cent]]s Unterschied), und die durch Quintenschichtung hergeleiteten [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Intervalle sind ebenfalls sehr gut. Ein Schritt von 53edo ist 22.642 Cents gross, fast exakt ein [[Syntonisches_Komma|syntonisches Komma]] (21.506 Cents), was der Unterschied zwischen pythagoräischer und reiner grosser Terz ist. In derselben Weise unterscheidet 53edo zwischen kleinen und grossen [[Ganzton|Ganztönen]] - es ist also ''kein'' [[mitteltönig|mitteltöniges]] System - und bietet darüber hinaus zwei verschiedene Grössen von neutralen Sekunden an - eine Eigenschaft, die für die Intonation von [[arabisch,_türkisch,_persisch|arabischen]] Skalen bedeutsam ist.  [[Category:edo]]
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Eine hervorstechende Eigenschaft von 53edo ist, dass darin sowohl die [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] als auch die pythagoräische grosse Terz (81/64) gut repräsentiert sind.

Die Approximation der reinen [[Quinte|Quinte]] ist beinahe perfekt (nur 0.07 [[Cent|Cent]]s Unterschied), und die durch Quintenschichtung hergeleiteten [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Intervalle sind ebenfalls sehr gut. Ein Schritt von 53edo ist 22.642 Cents gross, fast exakt ein [[Syntonisches_Komma|syntonisches Komma]] (21.506 Cents), was der Unterschied zwischen pythagoräischer und reiner grosser Terz ist. In derselben Weise unterscheidet 53edo zwischen kleinen und grossen [[Ganzton|Ganztönen]] - es ist also ''kein'' [[mitteltönig|mitteltöniges]] System - und bietet darüber hinaus zwei verschiedene Grössen von neutralen Sekunden an - eine Eigenschaft, die für die Intonation von [[arabisch,_türkisch,_persisch|arabischen]] Skalen bedeutsam ist.

[[Kategorie:EDO]]
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Eine hervorstechende Eigenschaft von '''53edo''' ist, dass darin sowohl die [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] als auch die pythagoräische grosse Terz (81/64) gut repräsentiert sind.

Die Approximation der reinen [[Quinte|Quinte]] ist beinahe perfekt (nur 0.07 [[Cent|Cent]]s Unterschied), und die durch Quintenschichtung hergeleiteten [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Intervalle sind ebenfalls sehr gut. Ein Schritt von 53edo ist 22.642 Cents gross, fast exakt ein [[Syntonisches_Komma|syntonisches Komma]] (21.506 Cents), was der Unterschied zwischen pythagoräischer und reiner grosser Terz ist. In derselben Weise unterscheidet 53edo zwischen kleinen und grossen [[Ganzton|Ganztönen]] - es ist also ''kein'' [[mitteltönig|mitteltöniges]] System - und bietet darüber hinaus zwei verschiedene Grössen von neutralen Sekunden an - eine Eigenschaft, die für die Intonation von [[arabisch,_türkisch,_persisch|arabischen]] Skalen bedeutsam ist.

[[Kategorie:EDO]]
[[Kategorie:Prim-EDO]]</text>
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      <comment>Xenwolf verschob die Seite [[53edo]] nach [[53 EDO]]: Großschreibung zur Verdeutlichung der Abkürzung, Lücke zur besseren Lesbarkeit (Weiterleitungen bleiben erhalten)</comment>
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Eine hervorstechende Eigenschaft von '''53edo''' ist, dass darin sowohl die [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] als auch die pythagoräische grosse Terz (81/64) gut repräsentiert sind.

Die Approximation der reinen [[Quinte|Quinte]] ist beinahe perfekt (nur 0.07 [[Cent|Cent]]s Unterschied), und die durch Quintenschichtung hergeleiteten [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Intervalle sind ebenfalls sehr gut. Ein Schritt von 53edo ist 22.642 Cents gross, fast exakt ein [[Syntonisches_Komma|syntonisches Komma]] (21.506 Cents), was der Unterschied zwischen pythagoräischer und reiner grosser Terz ist. In derselben Weise unterscheidet 53edo zwischen kleinen und grossen [[Ganzton|Ganztönen]] - es ist also ''kein'' [[mitteltönig|mitteltöniges]] System - und bietet darüber hinaus zwei verschiedene Grössen von neutralen Sekunden an - eine Eigenschaft, die für die Intonation von [[arabisch,_türkisch,_persisch|arabischen]] Skalen bedeutsam ist.

[[Kategorie:EDO]]
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}}
Eine hervorstechende Eigenschaft von '''53 EDO''' ist, dass darin sowohl die [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] als auch die pythagoräische grosse Terz (81/64) gut repräsentiert sind.

Die Approximation der reinen [[Quinte]] ist beinahe perfekt (nur 0.07 [[Cent]]s Unterschied), und die durch Quintenschichtung hergeleiteten [[pythagoräisch]]en Intervalle sind ebenfalls sehr gut. Ein Schritt von 53 EDO ist 22.642 [[Cent]]s gross, fast exakt ein [[syntonisches Komma]] (21.506 Cents), was der Unterschied zwischen pythagoräischer und reiner grosser Terz ist. In derselben Weise unterscheidet 53 EDO zwischen kleinen und grossen [[Ganzton|Ganztönen]] - es ist also ''kein'' [[mitteltönig]]es System - und bietet darüber hinaus zwei verschiedene Grössen von neutralen Sekunden an - eine Eigenschaft, die für die Intonation von [[arabisch, türkisch, persisch|arabischen]] Skalen bedeutsam ist.

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Eine hervorstechende Eigenschaft von '''53 EDO''' ist, dass darin sowohl die [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] als auch die pythagoräische grosse Terz (81/64) gut repräsentiert sind.

Die Approximation der reinen [[Quinte]] ist beinahe perfekt (nur 0.07 [[Cent]]s Unterschied), und die durch Quintenschichtung hergeleiteten [[pythagoräisch]]en Intervalle sind ebenfalls sehr gut. Ein Schritt von 53 EDO ist 22.642 [[Cent]]s gross, fast exakt ein [[syntonisches Komma]] (21.506 Cents), was der Unterschied zwischen pythagoräischer und reiner grosser Terz ist. In derselben Weise unterscheidet 53 EDO zwischen kleinen und grossen [[Ganzton|Ganztönen]] - es ist also ''kein'' [[mitteltönig]]es System - und bietet darüber hinaus zwei verschiedene Grössen von neutralen Sekunden an - eine Eigenschaft, die für die Intonation von [[arabisch, türkisch, persisch|arabischen]] Skalen bedeutsam ist.

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}}
Eine hervorstechende Eigenschaft von '''53-EDO''' ist, dass darin sowohl die [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] als auch die pythagoräische grosse Terz (81/64) gut repräsentiert sind.

Die Approximation der reinen [[Quinte]] ist beinahe perfekt (nur 0.07 [[Cent]]s Unterschied), und die durch Quintenschichtung hergeleiteten [[pythagoräisch]]en Intervalle sind ebenfalls sehr gut. Ein Schritt von 53-EDO ist 22.642 [[Cent]]s gross, fast exakt ein [[syntonisches Komma]] (21.506 Cents), was der Unterschied zwischen pythagoräischer und reiner grosser Terz ist. In derselben Weise unterscheidet 53-EDO zwischen kleinen und grossen [[Ganzton|Ganztönen]] - es ist also ''kein'' [[mitteltönig]]es System - und bietet darüber hinaus zwei verschiedene Grössen von neutralen Sekunden an - eine Eigenschaft, die für die Intonation von [[arabisch, türkisch, persisch|arabischen]] Skalen bedeutsam ist.

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      <text bytes="1715" sha1="k1btfao1g4t2vk9hzbuvlphmenazjik" xml:space="preserve">English: [[:en:64/63 xenharmonic/64_63]]

Das Intervall '''64/63''' (27.264 Cents), auch '''Archytas-Komma''' oder '''Leipziger Komma''' genannt, ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime (7/4)]], ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall [[9/7|9/7]], einer extrem grossen Terz.

[[Reguläre_Temperaturen|Reguläre Temperaturen]], welche 64/63 austemperieren, haben in der Regel (jedoch nicht notwendigerweise) Quarten, die etwas kleiner sind als die reinen, Quinten umgekehrt etwas grösser. Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Solche Temperaturen haben somit [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter. Die 9/7-Terz wird, ähnlich wie die grosse Terz bei [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperaturen, in zwei gleich grosse Teile geteilt, und wie bei diesen verschwindet auch bei Archytas-Temperaturen der Unterschied zwischen zwei in reiner Stimmung unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztönen]] - allerdings nicht der zwischen 9/8 und 10/9, sondern zwischen 8/7 und 9/8.

Es gibt auch mitteltönige Temperaturen, welche zusätzlich das Leipziger Komma austemperieren (insbesondere das verbreitete [[12edo|12edo]]). In diesem Fall ist die Quinte natürlich nicht unbedingt grösser, sondern unter Umständen kleiner als die reine. Es gibt in einer solchen Stimmung keinen Unterschied zwischen den Ganztönen 10/9, 9/8 und 8/7 und ebenso keinen zwischen den grossen Terzen 5/4, 81/64 und 9/7.

Deutschsprachige Links:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29#Leipziger_Komma Leipziger Komma (Wikipedia)]  [[Category:Komma]]</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Das Intervall **64/63** (27.264 Cents), auch **Archytas-Komma** oder **Leipziger Komma** genannt, ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer [[xenharmonie/Naturseptime|harmonischen Septime (7/4)]], ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall [[9_7|9/7]], einer extrem grossen Terz.

[[Reguläre Temperaturen]], welche 64/63 austemperieren, haben in der Regel (jedoch nicht notwendigerweise) Quarten, die etwas kleiner sind als die reinen, Quinten umgekehrt etwas grösser. Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Solche Temperaturen haben somit [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter. Die 9/7-Terz wird, ähnlich wie die grosse Terz bei [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperaturen, in zwei gleich grosse Teile geteilt, und wie bei diesen verschwindet auch bei Archytas-Temperaturen der Unterschied zwischen zwei in reiner Stimmung unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztönen]] - allerdings nicht der zwischen 9/8 und 10/9, sondern zwischen 8/7 und 9/8.

Es gibt auch mitteltönige Temperaturen, welche zusätzlich das Leipziger Komma austemperieren (insbesondere das verbreitete [[12edo]]). In diesem Fall ist die Quinte natürlich nicht unbedingt grösser, sondern unter Umständen kleiner als die reine. Es gibt in einer solchen Stimmung keinen Unterschied zwischen den Ganztönen 10/9, 9/8 und 8/7 und ebenso keinen zwischen den grossen Terzen 5/4, 81/64 und 9/7.

Deutschsprachige Links:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29#Leipziger_Komma|Leipziger Komma (Wikipedia)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Das Intervall &amp;lt;strong&amp;gt;64/63&amp;lt;/strong&amp;gt; (27.264 Cents), auch &amp;lt;strong&amp;gt;Archytas-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;Leipziger Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt, ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt;, ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/9_7"&amp;gt;9/7&amp;lt;/a&amp;gt;, einer extrem grossen Terz.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;, welche 64/63 austemperieren, haben in der Regel (jedoch nicht notwendigerweise) Quarten, die etwas kleiner sind als die reinen, Quinten umgekehrt etwas grösser. Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Solche Temperaturen haben somit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Charakter. Die 9/7-Terz wird, ähnlich wie die grosse Terz bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperaturen, in zwei gleich grosse Teile geteilt, und wie bei diesen verschwindet auch bei Archytas-Temperaturen der Unterschied zwischen zwei in reiner Stimmung unterschiedlichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztönen&amp;lt;/a&amp;gt; - allerdings nicht der zwischen 9/8 und 10/9, sondern zwischen 8/7 und 9/8.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Es gibt auch mitteltönige Temperaturen, welche zusätzlich das Leipziger Komma austemperieren (insbesondere das verbreitete &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;). In diesem Fall ist die Quinte natürlich nicht unbedingt grösser, sondern unter Umständen kleiner als die reine. Es gibt in einer solchen Stimmung keinen Unterschied zwischen den Ganztönen 10/9, 9/8 und 8/7 und ebenso keinen zwischen den grossen Terzen 5/4, 81/64 und 9/7.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Deutschsprachige Links:&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Intervall **64/63** (27.264 Cents), auch **Archytas-Komma** oder **Leipziger Komma** genannt, ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer [[xenharmonie/Naturseptime|harmonischen Septime (7/4)]], ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall [[9_7|9/7]], einer extrem grossen Terz.

Reguläre Temperaturen, welche 64/63 austemperieren, haben in der Regel Quarten, die etwas kleiner sind als die reinen, Quinten umgekehrt etwas grösser. Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Solche Temperaturen haben somit [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter. Die 9/7-Terz wird, ähnlich wie die grosse Terz bei [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperaturen, in zwei gleich grosse Teile geteilt, und wie bei diesen verschwindet auch bei Archytas-Temperaturen der Unterschied zwischen zwei in reiner Stimmung unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztönen]] - allerdings nicht der zwischen 9/8 und 10/9, sondern zwischen 8/7 und 9/8.

Deutschsprachige Links:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29#Leipziger_Komma|Leipziger Komma (Wikipedia)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Intervall &amp;lt;strong&amp;gt;64/63&amp;lt;/strong&amp;gt; (27.264 Cents), auch &amp;lt;strong&amp;gt;Archytas-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;Leipziger Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt, ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt;, ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/9_7"&amp;gt;9/7&amp;lt;/a&amp;gt;, einer extrem grossen Terz.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Reguläre Temperaturen, welche 64/63 austemperieren, haben in der Regel Quarten, die etwas kleiner sind als die reinen, Quinten umgekehrt etwas grösser. Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Solche Temperaturen haben somit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Charakter. Die 9/7-Terz wird, ähnlich wie die grosse Terz bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperaturen, in zwei gleich grosse Teile geteilt, und wie bei diesen verschwindet auch bei Archytas-Temperaturen der Unterschied zwischen zwei in reiner Stimmung unterschiedlichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztönen&amp;lt;/a&amp;gt; - allerdings nicht der zwischen 9/8 und 10/9, sondern zwischen 8/7 und 9/8.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Deutschsprachige Links:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29#Leipziger_Komma" rel="nofollow"&amp;gt;Leipziger Komma (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Das Intervall **64/63**, auch **Archytas-Komma** oder **Leipziger Komma** genannt, ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer [[xenharmonie/Naturseptime|harmonischen Septime (7/4)]], ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall [[9_7|9/7]], einer extrem grossen Terz.

Reguläre Temperaturen, welche 64/63 austemperieren, haben in der Regel Quarten, die etwas kleiner sind als die reinen, Quinten umgekehrt etwas grösser. Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Solche Temperaturen haben somit [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter. Die 9/7-Terz wird, ähnlich wie die grosse Terz bei [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperaturen, in zwei gleich grosse Teile geteilt, und wie bei diesen verschwindet auch bei Archytas-Temperaturen der Unterschied zwischen zwei in reiner Stimmung unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztönen]] - allerdings nicht der zwischen 9/8 und 10/9, sondern zwischen 8/7 und 9/8.

Deutschsprachige Links:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29#Leipziger_Komma|Leipziger Komma (Wikipedia)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Das Intervall &amp;lt;strong&amp;gt;64/63&amp;lt;/strong&amp;gt;, auch &amp;lt;strong&amp;gt;Archytas-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;Leipziger Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt, ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt;, ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/9_7"&amp;gt;9/7&amp;lt;/a&amp;gt;, einer extrem grossen Terz.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Reguläre Temperaturen, welche 64/63 austemperieren, haben in der Regel Quarten, die etwas kleiner sind als die reinen, Quinten umgekehrt etwas grösser. Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Solche Temperaturen haben somit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Charakter. Die 9/7-Terz wird, ähnlich wie die grosse Terz bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperaturen, in zwei gleich grosse Teile geteilt, und wie bei diesen verschwindet auch bei Archytas-Temperaturen der Unterschied zwischen zwei in reiner Stimmung unterschiedlichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztönen&amp;lt;/a&amp;gt; - allerdings nicht der zwischen 9/8 und 10/9, sondern zwischen 8/7 und 9/8.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Deutschsprachige Links:&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Intervall **64/63**, auch **Archytas-Komma** oder **Leipziger Komma** genannt, ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer [[xenharmonie/Naturseptime|harmonischen Septime (7/4)]], ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7, einer extrem grossen Terz.

Reguläre Temperaturen, welche 64/63 austemperieren, haben in der Regel Quarten, die etwas kleiner sind als die reinen, Quinten umgekehrt etwas grösser. Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Solche Temperaturen haben somit [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter. Die 9/7-Terz wird, ähnlich wie die grosse Terz bei [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperaturen, in zwei gleich grosse Teile geteilt, und wie bei diesen verschwindet auch bei Archytas-Temperaturen der Unterschied zwischen zwei in reiner Stimmung unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztönen]] - allerdings nicht der zwischen 9/8 und 10/9, sondern zwischen 8/7 und 9/8.

Deutschsprachige Links:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29#Leipziger_Komma|Leipziger Komma (Wikipedia)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Das Intervall &amp;lt;strong&amp;gt;64/63&amp;lt;/strong&amp;gt;, auch &amp;lt;strong&amp;gt;Archytas-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;Leipziger Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt, ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt;, ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7, einer extrem grossen Terz.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Reguläre Temperaturen, welche 64/63 austemperieren, haben in der Regel Quarten, die etwas kleiner sind als die reinen, Quinten umgekehrt etwas grösser. Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Solche Temperaturen haben somit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Charakter. Die 9/7-Terz wird, ähnlich wie die grosse Terz bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperaturen, in zwei gleich grosse Teile geteilt, und wie bei diesen verschwindet auch bei Archytas-Temperaturen der Unterschied zwischen zwei in reiner Stimmung unterschiedlichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztönen&amp;lt;/a&amp;gt; - allerdings nicht der zwischen 9/8 und 10/9, sondern zwischen 8/7 und 9/8.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Deutschsprachige Links:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29#Leipziger_Komma" rel="nofollow"&amp;gt;Leipziger Komma (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Das Intervall **64/63**, auch **Archytas-Komma** oder **Leipziger Komma** genannt, ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer [[xenharmonie/Naturseptime|harmonischen Septime (7/4)]], ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7.

Reguläre Temperaturen, welche 64/63 austemperieren, haben in der Regel Quarten, die etwas kleiner als die reinen, Quinten umgekehrt etwas grösser. Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Solche Temperaturen haben somit [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter. Die 9/7-Terz wird, ähnlich wie die grosse Terz bei [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperaturen, in zwei gleich grosse Teile geteilt, und wie bei diesen verschwindet auch bei Archytas-Temperaturen der Unterschied zwischen zwei in reiner Stimmung unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztönen]] - allerdings nicht der zwischen 9/8 und 10/9, sondern zwischen 8/7 und 9/8.

Deutschsprachige Links:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29#Leipziger_Komma|Leipziger Komma (Wikipedia)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Das Intervall &amp;lt;strong&amp;gt;64/63&amp;lt;/strong&amp;gt;, auch &amp;lt;strong&amp;gt;Archytas-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;Leipziger Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt, ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt;, ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Reguläre Temperaturen, welche 64/63 austemperieren, haben in der Regel Quarten, die etwas kleiner als die reinen, Quinten umgekehrt etwas grösser. Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Solche Temperaturen haben somit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Charakter. Die 9/7-Terz wird, ähnlich wie die grosse Terz bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperaturen, in zwei gleich grosse Teile geteilt, und wie bei diesen verschwindet auch bei Archytas-Temperaturen der Unterschied zwischen zwei in reiner Stimmung unterschiedlichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztönen&amp;lt;/a&amp;gt; - allerdings nicht der zwischen 9/8 und 10/9, sondern zwischen 8/7 und 9/8.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Deutschsprachige Links:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29#Leipziger_Komma" rel="nofollow"&amp;gt;Leipziger Komma (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Das Intervall 64/63, auch **Archytas-Komma** oder **Leipziger Komma** genannt, ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer [[xenharmonie/Naturseptime|harmonischen Septime (7/4)]], ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7.

Reguläre Temperaturen, welche 64/63 austemperieren, haben in der Regel Quarten, die etwas kleiner als die reinen, Quinten umgekehrt etwas grösser. Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Solche Temperaturen haben somit [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter. Die 9/7-Terz wird, ähnlich wie die grosse Terz bei [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperaturen, in zwei gleich grosse Teile geteilt, und wie bei diesen verschwindet auch bei Archytas-Temperaturen der Unterschied zwischen zwei in reiner Stimmung unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztönen]] - allerdings nicht der zwischen 9/8 und 10/9, sondern zwischen 8/7 und 9/8.

Deutschsprachige Links:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29#Leipziger_Komma|Leipziger Komma (Wikipedia)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Das Intervall 64/63, auch &amp;lt;strong&amp;gt;Archytas-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;Leipziger Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt, ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt;, ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Reguläre Temperaturen, welche 64/63 austemperieren, haben in der Regel Quarten, die etwas kleiner als die reinen, Quinten umgekehrt etwas grösser. Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Solche Temperaturen haben somit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Charakter. Die 9/7-Terz wird, ähnlich wie die grosse Terz bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperaturen, in zwei gleich grosse Teile geteilt, und wie bei diesen verschwindet auch bei Archytas-Temperaturen der Unterschied zwischen zwei in reiner Stimmung unterschiedlichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztönen&amp;lt;/a&amp;gt; - allerdings nicht der zwischen 9/8 und 10/9, sondern zwischen 8/7 und 9/8.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/64_63]]

Das Intervall 64/63, auch **Archytas-Komma** oder **Leipziger Komma** genannt, ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer [[xenharmonie/Naturseptime|harmonischen Septime (7/4)]], ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7.

Reguläre Temperaturen, welche 64/63 austemperieren, haben in der Regel Quarten, die etwas kleiner als die reinen, Quinten umgekehrt etwas grösser. Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Solche Temperaturen haben somit [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter. Die 9/7-Terz wird, ähnlich wie bei [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperaturen, in zwei gleich grosse Teile geteilt, und wie bei diesen verschwindet auch bei Archytas-Temperaturen der Unterschied zwischen zwei in reiner Stimmung unterschiedlichen Ganztönen - allerdings nicht der zwischen 9/8 und 10/9, sondern zwischen 8/7 und 9/8.

Deutschsprachige Links:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29#Leipziger_Komma|Leipziger Komma (Wikipedia)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Das Intervall 64/63, auch &amp;lt;strong&amp;gt;Archytas-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;Leipziger Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt, ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt;, ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Reguläre Temperaturen, welche 64/63 austemperieren, haben in der Regel Quarten, die etwas kleiner als die reinen, Quinten umgekehrt etwas grösser. Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Solche Temperaturen haben somit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Charakter. Die 9/7-Terz wird, ähnlich wie bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperaturen, in zwei gleich grosse Teile geteilt, und wie bei diesen verschwindet auch bei Archytas-Temperaturen der Unterschied zwischen zwei in reiner Stimmung unterschiedlichen Ganztönen - allerdings nicht der zwischen 9/8 und 10/9, sondern zwischen 8/7 und 9/8.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Deutschsprachige Links:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29#Leipziger_Komma" rel="nofollow"&amp;gt;Leipziger Komma (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Das Intervall 64/63, auch **Archytas-Komma** oder **Leipziger Komma** genannt, ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer [[xenharmonie/Naturseptime|harmonischen Septime (7/4)]], ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7.

Reguläre Temperaturen, welche 64/63 austemperieren, haben in der Regel Quarten, die etwas kleiner als die reinen, Quinten umgekehrt etwas grösser. Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Solche Temperaturen haben somit [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter. Die 9/7-Terz wird, ähnlich wie bei [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperaturen, zwei gleich grosse Teile geteilt, und wie bei diesen verschwindet auch bei Archytas-Temperaturen der Unterschied zwischen zwei in reiner Stimmung unterschiedlichen Ganztönen - allerdings nicht der zwischen 9/8 und 10/9, sondern zwischen 8/7 und 9/8.

Deutschsprachige Links:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29#Leipziger_Komma|Leipziger Komma (Wikipedia)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Das Intervall 64/63, auch &amp;lt;strong&amp;gt;Archytas-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;Leipziger Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt, ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt;, ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Reguläre Temperaturen, welche 64/63 austemperieren, haben in der Regel Quarten, die etwas kleiner als die reinen, Quinten umgekehrt etwas grösser. Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Solche Temperaturen haben somit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Charakter. Die 9/7-Terz wird, ähnlich wie bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperaturen, zwei gleich grosse Teile geteilt, und wie bei diesen verschwindet auch bei Archytas-Temperaturen der Unterschied zwischen zwei in reiner Stimmung unterschiedlichen Ganztönen - allerdings nicht der zwischen 9/8 und 10/9, sondern zwischen 8/7 und 9/8.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Deutschsprachige Links:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29#Leipziger_Komma" rel="nofollow"&amp;gt;Leipziger Komma (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Das Intervall 64/63, auch **Archytas-Komma** oder **Leipziger Komma** genannt, ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer [[xenharmonie/Naturseptime|harmonischen Septime (7/4)]], ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7.

Reguläre Temperaturen, welche 64/63 austemperieren, haben in der Regel Quarten, die etwas kleiner als die reinen, Quinten umgekehrt etwas grösser. Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7.

Deutschsprachige Links:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29#Leipziger_Komma|Leipziger Komma (Wikipedia)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Das Intervall 64/63, auch &amp;lt;strong&amp;gt;Archytas-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;Leipziger Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt, ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt;, ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Reguläre Temperaturen, welche 64/63 austemperieren, haben in der Regel Quarten, die etwas kleiner als die reinen, Quinten umgekehrt etwas grösser. Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Deutschsprachige Links:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29#Leipziger_Komma" rel="nofollow"&amp;gt;Leipziger Komma (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Das Intervall 64/63, auch Archytas-Komma genannt, ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer [[xenharmonie/Naturseptime|harmonischen Septime (7/4)]], ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7.


Reguläre Temperaturen, welche 64/63 austemperieren, haben in der Regel Quarten, die etwas kleiner als die reinen, Quinten umgekehrt etwas grösser. Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Das Intervall 64/63, auch Archytas-Komma genannt, ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt;, ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Reguläre Temperaturen, welche 64/63 austemperieren, haben in der Regel Quarten, die etwas kleiner als die reinen, Quinten umgekehrt etwas grösser. Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <text bytes="1715" sha1="i1uzssnnkxhaeuig8n7e3ub1yp979wg" xml:space="preserve">English: [[:en:64/63|xenharmonic/64_63]]

Das Intervall '''64/63''' (27.264 Cents), auch '''Archytas-Komma''' oder '''Leipziger Komma''' genannt, ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime (7/4)]], ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall [[9/7|9/7]], einer extrem grossen Terz.

[[Reguläre_Temperaturen|Reguläre Temperaturen]], welche 64/63 austemperieren, haben in der Regel (jedoch nicht notwendigerweise) Quarten, die etwas kleiner sind als die reinen, Quinten umgekehrt etwas grösser. Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Solche Temperaturen haben somit [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter. Die 9/7-Terz wird, ähnlich wie die grosse Terz bei [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperaturen, in zwei gleich grosse Teile geteilt, und wie bei diesen verschwindet auch bei Archytas-Temperaturen der Unterschied zwischen zwei in reiner Stimmung unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztönen]] - allerdings nicht der zwischen 9/8 und 10/9, sondern zwischen 8/7 und 9/8.

Es gibt auch mitteltönige Temperaturen, welche zusätzlich das Leipziger Komma austemperieren (insbesondere das verbreitete [[12edo|12edo]]). In diesem Fall ist die Quinte natürlich nicht unbedingt grösser, sondern unter Umständen kleiner als die reine. Es gibt in einer solchen Stimmung keinen Unterschied zwischen den Ganztönen 10/9, 9/8 und 8/7 und ebenso keinen zwischen den grossen Terzen 5/4, 81/64 und 9/7.

Deutschsprachige Links:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29#Leipziger_Komma Leipziger Komma (Wikipedia)]  [[Category:Komma]]</text>
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      <text bytes="1691" sha1="14kdx1ad7v9g71g4jx315ptqu7hs0qc" xml:space="preserve">Das Intervall '''64/63''' (27.264 [[Cent]]s), auch '''Archytas-Komma''' oder '''Leipziger Komma''' genannt, ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten ([[4/3]]) und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime ([[7/4]])]], ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz ([[81/64]]) und dem Intervall [[9/7]], einer extrem grossen Terz.

[[Reguläre Temperaturen]], welche 64/63 austemperieren, haben in der Regel (jedoch nicht notwendigerweise) Quarten, die etwas kleiner sind als die reinen, Quinten umgekehrt etwas grösser. Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Solche Temperaturen haben somit [[Superpyth|superpythagoräischen]] Charakter. Die 9/7-Terz wird, ähnlich wie die grosse Terz bei [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperaturen, in zwei gleich grosse Teile geteilt, und wie bei diesen verschwindet auch bei Archytas-Temperaturen der Unterschied zwischen zwei in reiner Stimmung unterschiedlichen [[Ganzton|Ganztönen]] - allerdings nicht der zwischen 9/8 und 10/9, sondern zwischen 8/7 und 9/8.

Es gibt auch mitteltönige Temperaturen, welche zusätzlich das Leipziger Komma austemperieren (insbesondere das verbreitete [[12edo]]). In diesem Fall ist die Quinte natürlich nicht unbedingt grösser, sondern unter Umständen kleiner als die reine. Es gibt in einer solchen Stimmung keinen Unterschied zwischen den Ganztönen 10/9, 9/8 und 8/7 und ebenso keinen zwischen den grossen Terzen 5/4, 81/64 und 9/7.

Deutschsprachige Links:
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29#Leipziger_Komma Leipziger Komma (Wikipedia)] 

[[Category:Komma]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
[[en:64/63]]</text>
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Die [http://www.ekmelic-music.org/index.htm Gesellschaft für ekmelische Musik] in Österreich hat sich der Förderung der mikrotonalen/xenharmonischen Musik im allgemeinen und des 72-Ton-Systems im besonderen verschrieben.  [[Category:edo]]</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/72edo]]

Die [[http://www.ekmelic-music.org/index.htm|Gesellschaft für ekmelische Musik]] in Österreich hat sich der Förderung der mikrotonalen/xenharmonischen Musik im allgemeinen und des 72-Ton-Systems im besonderen verschrieben.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.ekmelic-music.org/index.htm" rel="nofollow"&amp;gt;Gesellschaft für ekmelische Musik&amp;lt;/a&amp;gt; in Österreich hat sich der Förderung der mikrotonalen/xenharmonischen Musik im allgemeinen und des 72-Ton-Systems im besonderen verschrieben.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Die [[http://www.ekmelic-music.org/index.htm|Gesellschaft für ekmelische Musik]] in Österreich hat sich der Förderung der mikrotonalen/xenharmonischen Musik im allgemeinen und des 72-Ton-Temperaments im besonderen verschrieben.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.ekmelic-music.org/index.htm" rel="nofollow"&amp;gt;Gesellschaft für ekmelische Musik&amp;lt;/a&amp;gt; in Österreich hat sich der Förderung der mikrotonalen/xenharmonischen Musik im allgemeinen und des 72-Ton-Temperaments im besonderen verschrieben.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/72edo|72edo]]

Die [[http://www.ekmelic-music.org/index.htm|Gesellschaft für ekmelische Musik]] in Österreich hat sich der Förderung der mikrotonalen/xenharmonischen Musik im allgemeinen und des 72-Ton-Temperaments im besonderen verschrieben.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.ekmelic-music.org/index.htm" rel="nofollow"&amp;gt;Gesellschaft für ekmelische Musik&amp;lt;/a&amp;gt; in Österreich hat sich der Förderung der mikrotonalen/xenharmonischen Musik im allgemeinen und des 72-Ton-Temperaments im besonderen verschrieben.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Die [http://www.ekmelic-music.org/index.htm Gesellschaft für ekmelische Musik] in Österreich hat sich der Förderung der mikrotonalen/xenharmonischen Musik im allgemeinen und des 72-Ton-Systems im besonderen verschrieben.

[[Kategorie:EDO]]</text>
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Die [http://www.ekmelic-music.org/index.htm Gesellschaft für ekmelische Musik] in Österreich hat sich der Förderung der mikrotonalen/xenharmonischen Musik im allgemeinen und des 72-Ton-Systems im besonderen verschrieben.

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      <comment>Xenwolf verschob die Seite [[72edo]] nach [[72 EDO]]: Großschreibung zur Verdeutlichung der Abkürzung, Lücke zur besseren Lesbarkeit (Weiterleitungen bleiben erhalten)</comment>
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Die [http://www.ekmelic-music.org/index.htm Gesellschaft für ekmelische Musik] in Österreich hat sich der Förderung der mikrotonalen/xenharmonischen Musik im allgemeinen und des 72-Ton-Systems im besonderen verschrieben.

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}}
'''72 EDO''' unterteilt die oktave gleichmäßig in 72 Stufen zu je 16⅔ [[Cent]]. Die [http://www.ekmelic-music.org/index.htm Gesellschaft für ekmelische Musik] in Österreich hat sich der Förderung der mikrotonalen/xenharmonischen Musik im allgemeinen und des 72-Ton-Systems im besonderen verschrieben.

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      <comment>Xenwolf verschob die Seite [[72 EDO]] nach [[72-EDO]]: Das ist die bessere Wahl (siehe [[XW:K]]), auch führte die Lücke optisch zum "Auseinanderbrechen".</comment>
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}}
'''72 EDO''' unterteilt die oktave gleichmäßig in 72 Stufen zu je 16⅔ [[Cent]]. Die [http://www.ekmelic-music.org/index.htm Gesellschaft für ekmelische Musik] in Österreich hat sich der Förderung der mikrotonalen/xenharmonischen Musik im allgemeinen und des 72-Ton-Systems im besonderen verschrieben.

[[Kategorie:EDO]]</text>
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      <comment>Neue konsistente EDO-Schreibung (siehe [[XW:K]])</comment>
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}}
'''72-EDO''' unterteilt die oktave gleichmäßig in 72 Stufen zu je 16⅔ [[Cent]]. Die [http://www.ekmelic-music.org/index.htm Gesellschaft für ekmelische Musik] in Österreich hat sich der Förderung der mikrotonalen/xenharmonischen Musik im allgemeinen und des 72-Ton-Systems im besonderen verschrieben.

[[Kategorie:EDO]]</text>
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Der '''Huygens-Tritonus''' oder '''kleine Tritonus''' (582,51 [[Cent|Cent]]) hat das Schwingungsverhältnis '''7:5''', an dem bemerkenswert ist, dass es "einfacher" ist als [[8/5|8:5]].

[[File:7zu5.mp3]] ...das Intervall 5:7

[[File:8zu5vs7zu5.mp3]] ...die Folge 8:5 - 7:5 - 8:5 - 7:5  [[Category:Intervall]]</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-11-23 15:29:47 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/7_5|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
Der **Huygens-Tritonus** oder **kleine Tritonus** (582,51 [[Cent]]) hat das Schwingungsverhältnis **7:5**, an dem bemerkenswert ist, dass es "einfacher" ist als [[8_5|8:5]].

[[media type="file" key="7zu5.mp3" width="240" height="20"]] ...das Intervall 5:7

[[media type="file" key="8zu5vs7zu5.mp3" width="240" height="20"]] ...die Folge 8:5 - 7:5 - 8:5 - 7:5&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;7_5&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/7_5"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Der &amp;lt;strong&amp;gt;Huygens-Tritonus&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;kleine Tritonus&amp;lt;/strong&amp;gt; (582,51 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) hat das Schwingungsverhältnis &amp;lt;strong&amp;gt;7:5&amp;lt;/strong&amp;gt;, an dem bemerkenswert ist, dass es &amp;amp;quot;einfacher&amp;amp;quot; ist als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/8_5"&amp;gt;8:5&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-11-23 15:29:19 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Der **Huygens-Tritonus** oder **kleine Tritonus** (582,51 [[Cent]]) hat das Schwingungsverhältnis **7:5**, an dem bemerkenswert ist, dass es "einfacher" ist als [[8_5|8:5]].

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Der &amp;lt;strong&amp;gt;Huygens-Tritonus&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;kleine Tritonus&amp;lt;/strong&amp;gt; (582,51 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) hat das Schwingungsverhältnis &amp;lt;strong&amp;gt;7:5&amp;lt;/strong&amp;gt;, an dem bemerkenswert ist, dass es &amp;amp;quot;einfacher&amp;amp;quot; ist als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/8_5"&amp;gt;8:5&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-15 07:04:30 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[media type="file" key="7zu5.mp3"]] ...das Intervall 5:7

[[media type="file" key="8zu5vs7zu5.mp3"]] ...die Folge 8:5 - 7:5 - 8:5 - 7:5&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-14 10:10:20 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;431421722&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;[[media type="file" key="7zu5.mp3"]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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        <username>Mike Battaglia</username>
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      <minor/>
      <comment>Textersetzung - „(\[\[\:(dev|es|purdal|de|en):[^[:space:]\|]*) (.*])“ durch „$1|$3“</comment>
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      <text bytes="386" sha1="bww1kmwmypn2v0yiv4xjndpmtt2czb5" xml:space="preserve">&lt;span style="display: block; text-align: right;"&gt;[[:en:7/5|English]]&lt;/span&gt;

Der '''Huygens-Tritonus''' oder '''kleine Tritonus''' (582,51 [[Cent|Cent]]) hat das Schwingungsverhältnis '''7:5''', an dem bemerkenswert ist, dass es "einfacher" ist als [[8/5|8:5]].

[[File:7zu5.mp3]] ...das Intervall 5:7

[[File:8zu5vs7zu5.mp3]] ...die Folge 8:5 - 7:5 - 8:5 - 7:5  [[Category:Intervall]]</text>
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      <contributor>
        <username>Xenwolf</username>
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      </contributor>
      <comment>interwiki nach unten verschoben, kat 7-limit hinzugenommen (sollte interessant werden)</comment>
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      <text bytes="426" sha1="dkh5sdncr20dh914qezetw9e1mlgcpl" xml:space="preserve">Der '''Huygens-Tritonus''' oder '''kleine Tritonus''' (582,51 [[Cent|Cent]]) hat das Schwingungsverhältnis '''7:5''', an dem bemerkenswert ist, dass es "einfacher" ist als [[8/5]].

[[File:7zu5.mp3]] [[:File:7zu5.mp3|Sound-Info]] ...das Intervall 5:7

[[File:8zu5vs7zu5.mp3]] [[:File:8zu5vs7zu5.mp3|Sound-Info]] ...die Folge 8:5 - 7:5 - 8:5 - 7:5


[[Kategorie:Intervall]]
[[Kategorie:7-limit]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
[[en:7/5]]</text>
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        <username>Xenwolf</username>
        <id>5</id>
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      <comment>auf Infobox umgestellt</comment>
      <origin>1735</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="527" sha1="47arwr9gwrgbnvvu29ab94oorog9bg4" xml:space="preserve">{{Infobox Intervall
| Bruch = 7/5
| Cents = 582,51
| Monzo = 0 0 -1 1
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}}

Der '''Huygens-Tritonus''' oder '''kleine Tritonus''' (582,51 [[Cent|Cent]]) hat das Schwingungsverhältnis '''7:5''', an dem bemerkenswert ist, dass es "einfacher" ist als [[8/5]].

[[File:7zu5.mp3]] [[:File:7zu5.mp3|Sound-Info]] ...das Intervall 5:7

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[[Kategorie:Intervall]]
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}}
{{Infobox Intervall
| Bruch = 7/5
| Cents = 582,51
| Monzo = 0 0 -1 1
| Namen = Huygens-Tritonus
}}

Der '''Huygens-Tritonus''' oder '''kleine Tritonus''' (582,51 [[Cent|Cent]]) hat das Schwingungsverhältnis '''7:5''', an dem bemerkenswert ist, dass es "einfacher" ist als [[8/5]]. Das [[komplementäre Intervalle|komplementäre Intervall]] ist [[10/7]].

[[File:7zu5.mp3]] [[:File:7zu5.mp3|Sound-Info]] ...das Intervall 5:7

[[File:8zu5vs7zu5.mp3]] [[:File:8zu5vs7zu5.mp3|Sound-Info]] ...die Folge 8:5 - 7:5 - 8:5 - 7:5


[[Kategorie:Intervall]]
[[Kategorie:7-limit]]
[[Kategorie:Tritonus]]</text>
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      <text bytes="686" sha1="15h50h5y5agvluc26g5sdp86pszbgkv" xml:space="preserve">Das '''syntonische Komma''' ist ein Intervall mit dem Frequenzverhältnis '''81/80''' (ca. 21,506 [[Cent|Cent]]). Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen einer [[Reine_Stimmungen|reinen]] großen Terz ([[Naturterz|Naturterz]]) [[5/4|5/4]] und einer [[pythagoräisch|pythagoräischen]] großen Terz [[81/64|81/64]], bzw. zwischen dem kleinen [[Ganzton|Ganzton]] [[10/9|10/9]] und dem großen Ganzton [[9/8|9/8]].

Durch das Austemperieren von 81/80 erhält man die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur.

English: [[:en:81/80 xenharmonic/81_80]]

Deutschsprachige Einführung: [http://de.wikipedia.org/wiki/Syntonisches_Komma Syntonisches Komma (Wikipedia)]  [[Category:Komma]]</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-14 03:52:23 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Das **syntonische Komma** ist ein Intervall mit dem Frequenzverhältnis **81/80** (ca. 21,506 [[Cent]]). Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen einer [[Reine Stimmungen|reinen]] großen Terz ([[Naturterz]]) [[5_4|5/4]] und einer [[pythagoräisch|pythagoräischen]] großen Terz [[81_64|81/64]], bzw. zwischen dem kleinen [[Ganzton]] [[10_9|10/9]] und dem großen Ganzton [[9_8|9/8]].

Durch das Austemperieren von 81/80 erhält man die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur.

English: [[xenharmonic/81_80]]
Deutschsprachige Einführung: [[http://de.wikipedia.org/wiki/Syntonisches_Komma|Syntonisches Komma (Wikipedia)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Durch das Austemperieren von 81/80 erhält man die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
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English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/81_80"&amp;gt;xenharmonic/81_80&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Durch das Austemperieren von 81/80 erhält man die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur.

English: [[xenharmonic/81_80]]
Deutschsprachige Einführung: [[http://de.wikipedia.org/wiki/Syntonisches_Komma|Syntonisches Komma (Wikipedia)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Durch das Austemperieren von 81/80 erhält man die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/81_80"&amp;gt;xenharmonic/81_80&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Durch das Austemperieren von 81/80 erhält man die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur.

English: [[xenharmonic/81_80]]
Deutschsprachige Einführung: [[http://de.wikipedia.org/wiki/Syntonisches_Komma|Syntonisches Komma (Wikipedia)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Durch das Austemperieren von 81/80 erhält man die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/81_80"&amp;gt;xenharmonic/81_80&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Deutschsprachige Einführung: &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Syntonisches_Komma" rel="nofollow"&amp;gt;Syntonisches Komma (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Das **syntonische Komma** ist ein Intervall mit dem Frequenzverhältnis **81/80** (ca. 21,506 [[Cent]]). Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen einer [[Reine Stimmungen|reinen]] und einer [[pythagoräisch|Pythagoräishen]] Terz bzw. zwischen dem großen und dem kleinen [[Ganzton]].

English: [[xenharmonic/81_80]]
Deutschsprachige Einführung: [[http://de.wikipedia.org/wiki/Syntonisches_Komma|Syntonisches Komma (Wikipedia)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;81_80&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Das &amp;lt;strong&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; ist ein Intervall mit dem Frequenzverhältnis &amp;lt;strong&amp;gt;81/80&amp;lt;/strong&amp;gt; (ca. 21,506 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;). Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen&amp;lt;/a&amp;gt; und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;Pythagoräishen&amp;lt;/a&amp;gt; Terz bzw. zwischen dem großen und dem kleinen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/81_80"&amp;gt;xenharmonic/81_80&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Deutschsprachige Einführung: &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Syntonisches_Komma" rel="nofollow"&amp;gt;Syntonisches Komma (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Deutschsprachige Einführung: [[http://de.wikipedia.org/wiki/Syntonisches_Komma|Syntonisches Komma (Wikipedia)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Deutschsprachige Einführung: &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Syntonisches_Komma" rel="nofollow"&amp;gt;Syntonisches Komma (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/81_80|81_80]]

Deutschsprachige Einführung: [[http://de.wikipedia.org/wiki/Syntonisches_Komma|Syntonisches Komma (Wikipedia)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Deutschsprachige Einführung: &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Syntonisches_Komma" rel="nofollow"&amp;gt;Syntonisches Komma (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <text bytes="686" sha1="m11dvx51out3mfq4c436g7e39k9ge5c" xml:space="preserve">Das '''syntonische Komma''' ist ein Intervall mit dem Frequenzverhältnis '''81/80''' (ca. 21,506 [[Cent|Cent]]). Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen einer [[Reine_Stimmungen|reinen]] großen Terz ([[Naturterz|Naturterz]]) [[5/4|5/4]] und einer [[pythagoräisch|pythagoräischen]] großen Terz [[81/64|81/64]], bzw. zwischen dem kleinen [[Ganzton|Ganzton]] [[10/9|10/9]] und dem großen Ganzton [[9/8|9/8]].

Durch das Austemperieren von 81/80 erhält man die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur.

English: [[:en:81/80|xenharmonic/81_80]]

Deutschsprachige Einführung: [http://de.wikipedia.org/wiki/Syntonisches_Komma Syntonisches Komma (Wikipedia)]  [[Category:Komma]]</text>
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      <text bytes="664" sha1="4h529lbdhgwmkh6zwa7r3vlcboumjs8" xml:space="preserve">Das '''syntonische Komma''' ist ein Intervall mit dem Frequenzverhältnis '''81/80''' (ca. 21,506 [[Cent]]). Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen einer [[Reine Stimmungen|reinen]] großen Terz ([[Naturterz]]) [[5/4]] und einer [[pythagoräisch|pythagoräischen]] großen Terz [[81/64]], bzw. zwischen dem kleinen [[Ganzton]] [[10/9]] und dem großen Ganzton [[9/8]].

Durch das Austemperieren von 81/80 erhält man die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur.

:''Siehe auch die deutschsprachige Einführung im Wikipedia-Artikel [http://de.wikipedia.org/wiki/Syntonisches_Komma Syntonisches Komma].''

[[Category:Komma]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
[[en:81/80]]</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/88cET|88cET]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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[ToDo]</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/8edo|English]] - [[xenharmonic/８平均律|日本語]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[ToDo]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;8edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/8edo"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt; - &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/%EF%BC%98%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%BE%8B"&amp;gt;日本語&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
[ToDo]&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum erstenmal vom mexikanischen Komponisten [[Julián_Carrillo|Julián Carrillo]] verwendet.

Der Klavierhersteller Sauter produziert ein Klavier, das in dieser Stimmung spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/english/pianos/microtone.html Sauter 1/16 Tone Piano] .

Diverse Komponisten haben seither für 96edo komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [http://www.dominikblum.ch/carillo_d.shtml The Carillo 16-Tone Piano.]  [[Category:edo]]</text>
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Die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum erstenmal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Der Klavierhersteller Sauter produziert ein Klavier, das in dieser Stimmung spielen kann. Siehe [[http://www.sauter-pianos.de/english/pianos/microtone.html|Sauter 1/16 Tone Piano]] .

Diverse Komponisten haben seither für 96edo komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [[http://www.dominikblum.ch/carillo_d.shtml|The Carillo 16-Tone Piano.]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum erstenmal vom mexikanischen Komponisten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Juli%C3%A1n%20Carrillo"&amp;gt;Julián Carrillo&amp;lt;/a&amp;gt; verwendet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Klavierhersteller Sauter produziert ein Klavier, das in dieser Stimmung spielen kann. Siehe &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.sauter-pianos.de/english/pianos/microtone.html" rel="nofollow"&amp;gt;Sauter 1/16 Tone Piano&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Diverse Komponisten haben seither für 96edo komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.dominikblum.ch/carillo_d.shtml" rel="nofollow"&amp;gt;The Carillo 16-Tone Piano.&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum erstenmal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Der Klavierhersteller Sauter produziert ein Klavier, das in dieser Stimmung spielen kann. Siehe [[http://www.sauter-pianos.de/english/pianos/microtone.html|Sauter 1/16 Tone Piano]] .&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum erstenmal vom mexikanischen Komponisten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Juli%C3%A1n%20Carrillo"&amp;gt;Julián Carrillo&amp;lt;/a&amp;gt; verwendet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Klavierhersteller Sauter produziert ein Klavier, das in dieser Stimmung spielen kann. Siehe &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.sauter-pianos.de/english/pianos/microtone.html" rel="nofollow"&amp;gt;Sauter 1/16 Tone Piano&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-08-15 06:17:08 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum erstenmal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carillo]] verwendet.

Der Klavierhersteller Sauter produziert ein Klavier, das in dieser Stimmung spielen kann. Siehe [[http://www.sauter-pianos.de/english/pianos/microtone.html|Sauter 1/16 Tone Piano]] .&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum erstenmal vom mexikanischen Komponisten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Juli%C3%A1n%20Carillo"&amp;gt;Julián Carillo&amp;lt;/a&amp;gt; verwendet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Klavierhersteller Sauter produziert ein Klavier, das in dieser Stimmung spielen kann. Siehe &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.sauter-pianos.de/english/pianos/microtone.html" rel="nofollow"&amp;gt;Sauter 1/16 Tone Piano&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-08-15 06:12:03 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;444915018&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum erstenmal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carillo]] verwendet.

Der Klavierhersteller Sauter produziert ein Klavier, das in dieser Stimmung spielen kann. Siehe [[http://www.sauter-pianos.de/english/pianos/microtone.html|Sauter 1/16 Tone Piano]] .&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Der Klavierhersteller Sauter produziert ein Klavier, das in dieser Stimmung spielen kann. Siehe &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.sauter-pianos.de/english/pianos/microtone.html" rel="nofollow"&amp;gt;Sauter 1/16 Tone Piano&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum erstenmal vom mexikanischen Komponisten [[Julián_Carrillo|Julián Carrillo]] verwendet.

Der Klavierhersteller Sauter produziert ein Klavier, das in dieser Stimmung spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/english/pianos/microtone.html Sauter 1/16 Tone Piano] .

Diverse Komponisten haben seither für 96edo komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [http://www.dominikblum.ch/carillo_d.shtml The Carillo 16-Tone Piano.]  [[Category:edo]]</text>
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Die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum ersten Mal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Der Klavierhersteller Sauter produziert ein Klavier, das in dieser Stimmung spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/english/pianos/microtone.html Sauter 1/16 Tone Piano] .

Diverse Komponisten haben seither für 96edo komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [http://www.dominikblum.ch/carillo_d.shtml The Carillo 16-Tone Piano.]
 
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Die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum ersten Mal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Der Klavierhersteller Sauter produziert ein Klavier, das in dieser Stimmung spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/english/pianos/microtone.html Sauter 1/16 Tone Piano] .

Diverse Komponisten haben seither für 96edo komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [http://www.dominikblum.ch/carillo_d.shtml The Carillo 16-Tone Piano.]
 
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'''96 EDO''', die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum ersten Mal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Der Klavierhersteller Sauter produziert ein Klavier, das in dieser Stimmung spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/english/pianos/microtone.html Sauter 1/16 Tone Piano] .

Diverse Komponisten haben seither für 96 EDO komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [http://www.dominikblum.ch/carillo_d.shtml The Carillo 16-Tone Piano.]
 
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'''96 EDO''', die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum ersten Mal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Der Klavierhersteller Sauter produziert ein Klavier, das in dieser Stimmung spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/english/pianos/microtone.html Sauter 1/16 Tone Piano] .

Diverse Komponisten haben seither für 96 EDO komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [http://www.dominikblum.ch/carillo_d.shtml The Carillo 16-Tone Piano.]
 
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'''96-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum ersten Mal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Der Klavierhersteller Sauter produziert ein Klavier, das in dieser Stimmung spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/english/pianos/microtone.html Sauter 1/16 Tone Piano] .

Diverse Komponisten haben seither für 96-EDO komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [http://www.dominikblum.ch/carillo_d.shtml The Carillo 16-Tone Piano.]
 
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'''96-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum ersten Mal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Der Klavierhersteller Sauter produziert ein Klavier, das in dieser Stimmung spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/de/mikroton Sauter 1/16 Ton-Klavier] .

Diverse Komponisten haben seither für 96-EDO komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [http://www.dominikblum.ch/carillo_d.shtml The Carillo 16-Tone Piano.]
 
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'''96-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum ersten Mal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Der Klavierhersteller Sauter produziert ein Klavier, das in dieser Stimmung spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/de/mikroton Sauter 1/16 Ton-Klavier] .

Diverse Komponisten haben seither für 96-EDO komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [http://www.dominikblum.ch/carillo_d.shtml The Carillo 16-Tone Piano.]
= Approximation reiner Intervalle, reguläre Temperaturen =
96 ist gleich 8*12, 96-EDO entsteht auch durch Teilung eines Standard-12-EDO-Halbtons in acht gleiche Teile. Die beste Approximation der Quinte ist dieselbe wie in 12-EDO (7*8 = 56 Grundschritte von 96-EDO).
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'''96-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum ersten Mal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Der Klavierhersteller Sauter produziert ein Klavier, das in dieser Stimmung spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/de/mikroton Sauter 1/16 Ton-Klavier] .

Diverse Komponisten haben seither für 96-EDO komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [http://www.dominikblum.ch/carillo_d.shtml The Carillo 16-Tone Piano.]
= Approximation reiner Intervalle, reguläre Temperaturen =
96 ist gleich 8*12, 96-EDO entsteht auch durch Teilung eines Standard-12-EDO-Halbtons in acht gleiche Teile. Die beste Approximation der Quinte ist dieselbe wie in 12-EDO (7*8 = 56 Grundschritte von 96-EDO). Aufeinanderschichten von vier solcher Quinten führt oktavbereinigt natürlich auch zum selben Intervall wie in 12-EDO, der 400 [[Cent]] grossen Terz (28 Grundschritte von 96-EDO).


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'''96-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum ersten Mal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Der Klavierhersteller Sauter produziert ein Klavier, das in dieser Stimmung spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/de/mikroton Sauter 1/16 Ton-Klavier] .

Diverse Komponisten haben seither für 96-EDO komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [http://www.dominikblum.ch/carillo_d.shtml The Carillo 16-Tone Piano.]
= Approximation reiner Intervalle, reguläre Temperaturen =
96 ist gleich 8*12, 96-EDO entsteht auch durch Teilung eines Standard-12-EDO-Halbtons in acht gleiche Teile. Die beste Approximation der Quinte ist dieselbe wie in 12-EDO (7*8 = 56 Grundschritte von 96-EDO). Aufeinanderschichten von vier solcher Quinten führt oktavbereinigt natürlich auch zum selben Intervall wie in 12-EDO, der 400 [[Cent]] grossen Terz (32 Grundschritte von 96-EDO).

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist hingegen einen Grundschritt kleiner, exzellente 387.5 Cent gross (nur 1.2 Cent Abweichung). 

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'''96-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum ersten Mal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Der Klavierhersteller Sauter produziert ein Klavier, das in dieser Stimmung spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/de/mikroton Sauter 1/16 Ton-Klavier] .

Diverse Komponisten haben seither für 96-EDO komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [http://www.dominikblum.ch/carillo_d.shtml The Carillo 16-Tone Piano.]
= Approximation reiner Intervalle, reguläre Temperaturen =
96 ist gleich 8*12, 96-EDO entsteht auch durch Teilung eines Standard-12-EDO-Halbtons in acht gleiche Teile. 

Die beste Approximation der Quinte ist dieselbe wie in 12-EDO (7*8 = 56 Grundschritte von 96-EDO). Aufeinanderschichten von vier solcher Quinten führt oktavbereinigt natürlich auch zum selben Intervall wie in 12-EDO, der 400 [[Cent]] grossen Terz (32 Grundschritte von 96-EDO). 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist hingegen einen Grundschritt kleiner, exzellente 387.5 Cent gross (nur 1.2 Cent Abweichung). 96-EDO bietet also'''' keine'''' Unterstützung für [[mitteltönig|mitteltönige Temperaturen]].

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'''96-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum ersten Mal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Der Klavierhersteller Sauter produziert ein Klavier, das in dieser Stimmung spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/de/mikroton Sauter 1/16 Ton-Klavier] .

Diverse Komponisten haben seither für 96-EDO komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [http://www.dominikblum.ch/carillo_d.shtml The Carillo 16-Tone Piano.]
= Approximation reiner Intervalle, reguläre Temperaturen =
96 ist gleich 8*12, 96-EDO entsteht auch durch Teilung eines Standard-12-EDO-Halbtons in acht gleiche Teile. 

Die beste Approximation der Quinte ist dieselbe wie in 12-EDO (7*8 = 56 Grundschritte von 96-EDO). Aufeinanderschichten von vier solcher Quinten führt oktavbereinigt natürlich auch zum selben Intervall wie in 12-EDO, der 400 [[Cent]] grossen Terz (32 Grundschritte von 96-EDO). 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist hingegen einen Grundschritt kleiner, exzellente 387.5 Cent gross (nur 1.2 Cent Abweichung). 96-EDO bietet also ''' keine''' Unterstützung für [[mitteltönig|mitteltönige Temperaturen]].

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'''96-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum ersten Mal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Der Klavierhersteller Sauter produziert ein Klavier, das in dieser Stimmung spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/de/mikroton Sauter 1/16 Ton-Klavier] .

Diverse Komponisten haben seither für 96-EDO komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [http://www.dominikblum.ch/carillo_d.shtml The Carillo 16-Tone Piano.]
= Approximation reiner Intervalle, reguläre Temperaturen =
96 ist gleich 8*12, 96-EDO entsteht auch durch Teilung eines Standard-12-EDO-Halbtons in acht gleiche Teile. 

Die beste Approximation der Quinte ist dieselbe wie in 12-EDO (7*8 = 56 Grundschritte von 96-EDO). Aufeinanderschichten von vier solcher Quinten führt oktavbereinigt natürlich auch zum selben Intervall wie in 12-EDO, der 400 [[Cent]] grossen Terz (32 Grundschritte von 96-EDO). 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist hingegen einen Grundschritt kleiner, exzellente 387.5 Cent gross (nur 1.2 Cent Abweichung). 96-EDO bietet also ''' keine''' Unterstützung für [[mitteltönig|mitteltönige Temperaturen]].

Aufeinanderschichten von 8 dieser grossen Terzen führt in 96-EDO (anders als in 12-EDO) oktavbereinigt zu einer Quinte, was der Definition einer [[Würschmidt]]-Temperatur entspricht. 96-EDO ist eine der guten gleichstufigen Realisierungen der Würschmidt-Temperatur.

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'''96-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum ersten Mal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Der Klavierhersteller Sauter produziert ein Klavier, das in dieser Stimmung spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/de/mikroton Sauter 1/16 Ton-Klavier] .

Diverse Komponisten haben seither für 96-EDO komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [http://www.dominikblum.ch/carillo_d.shtml The Carillo 16-Tone Piano.]
= Approximation reiner Intervalle =
96 ist gleich 8*12, 96-EDO entsteht auch durch Teilung eines Standard-12-EDO-Halbtons in acht gleiche Teile. 

Die beste Approximation der Quinte ist dieselbe wie in 12-EDO (7*8 = 56 Grundschritte von 96-EDO). Aufeinanderschichten von vier solcher Quinten führt oktavbereinigt natürlich auch zum selben Intervall wie in 12-EDO, der 400 [[Cent]] grossen Terz (32 Grundschritte von 96-EDO). 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist hingegen einen Grundschritt kleiner, exzellente 387.5 Cent gross (nur 1.2 Cent Abweichung). 96-EDO bietet also ''' keine''' Unterstützung für [[mitteltönig|mitteltönige Temperaturen]].

= Reguläre Temperaturen =
Aufeinanderschichten von 8 grossen Terzen führt in 96-EDO (anders als in 12-EDO) oktavbereinigt zu einer Quinte, was der Definition einer [[Würschmidt]]-Temperatur entspricht. 96-EDO ist eine der guten gleichstufigen Realisierungen der Würschmidt-Temperatur.

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'''96-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum ersten Mal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Der Klavierhersteller Sauter produziert ein Klavier, das in dieser Stimmung spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/de/mikroton Sauter 1/16 Ton-Klavier] .

Diverse Komponisten haben seither für 96-EDO komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [http://www.dominikblum.ch/carillo_d.shtml The Carillo 16-Tone Piano.]
= Approximation reiner Intervalle =
96 ist gleich 8*12, 96-EDO entsteht auch durch Teilung eines Standard-12-EDO-Halbtons in acht gleiche Teile. 

Die beste Approximation der Quinte ist dieselbe wie in 12-EDO (7*8 = 56 Grundschritte von 96-EDO). Aufeinanderschichten von vier solcher Quinten führt oktavbereinigt natürlich auch zum selben Intervall wie in 12-EDO, der 400 [[Cent]] grossen Terz (32 Grundschritte von 96-EDO). 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist hingegen einen Grundschritt kleiner, exzellente 387.5 Cent gross (nur 1.2 Cent Abweichung).

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= Reguläre Temperaturen =
Aufeinanderschichten von 8 grossen Terzen führt in 96-EDO (anders als in 12-EDO) oktavbereinigt zu einer Quinte, was der Definition einer [[Würschmidt]]-Temperatur entspricht. 96-EDO ist eine der guten gleichstufigen Realisierungen der Würschmidt-Temperatur.

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'''96-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum ersten Mal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Der Klavierhersteller Sauter produziert ein Klavier, das in dieser Stimmung spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/de/mikroton Sauter 1/16 Ton-Klavier] .

Diverse Komponisten haben seither für 96-EDO komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [http://www.dominikblum.ch/carillo_d.shtml The Carillo 16-Tone Piano.]
= Approximation reiner Intervalle =
96 ist gleich 8*12, 96-EDO entsteht auch durch Teilung eines Standard-12-EDO-Halbtons in acht gleiche Teile. 

Die beste Approximation der Quinte ist dieselbe wie in 12-EDO (7*8 = 56 Grundschritte von 96-EDO). Aufeinanderschichten von vier solcher Quinten führt oktavbereinigt natürlich auch zum selben Intervall wie in 12-EDO, der 400 [[Cent]] grossen Terz (32 Grundschritte von 96-EDO). 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist hingegen einen Grundschritt kleiner, exzellente 387.5 Cent gross (nur 1.2 Cent Abweichung).

[Todo weitere]

= Reguläre Temperaturen =
Da die beste Approximation der Naturterz reinen 96-EDO-Schritt kleiner ist als die oktavbereinigte Aufeinanderschichten von 4 Quinten, bietet 96-EDO '''keine''' Unterstützung für [[mitteltönig|mitteltönige Temperaturen]].

Aufeinanderschichten von 8 grossen Terzen jedoch führt in 96-EDO (anders als in 12-EDO) oktavbereinigt zu einer Quinte, was der Definition einer [[Würschmidt]]-Temperatur entspricht. 96-EDO ist eine der guten gleichstufigen Realisierungen der Würschmidt-Temperatur.

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'''96-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum ersten Mal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Der Klavierhersteller Sauter produziert ein Klavier, das in dieser Stimmung spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/de/mikroton Sauter 1/16 Ton-Klavier] .

Diverse Komponisten haben seither für 96-EDO komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [http://www.dominikblum.ch/carillo_d.shtml The Carillo 16-Tone Piano.]
= Approximation reiner Intervalle =
96 ist gleich 8*12, 96-EDO entsteht auch durch Teilung eines Standard-12-EDO-Halbtons in acht gleiche Teile. 

Die beste Approximation der Quinte ist dieselbe wie in 12-EDO (7*8 = 56 Grundschritte von 96-EDO). Aufeinanderschichten von vier solcher Quinten führt oktavbereinigt natürlich auch zum selben Intervall wie in 12-EDO, der 400 [[Cent]] grossen Terz (32 Grundschritte von 96-EDO). 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist hingegen einen Grundschritt kleiner, exzellente 387.5 Cent gross (nur 1.2 Cent Abweichung). Die 400-Cent-Terz ist in 96-EDO die Approximation der pythagoräischen grossen Terz 81/64.

[Todo weitere]

= Reguläre Temperaturen =
Da die beste Approximation der Naturterz reinen 96-EDO-Schritt kleiner ist als die oktavbereinigte Aufeinanderschichten von 4 Quinten, bietet 96-EDO '''keine''' Unterstützung für [[mitteltönig|mitteltönige Temperaturen]].

Aufeinanderschichten von 8 grossen Terzen jedoch führt in 96-EDO (anders als in 12-EDO) oktavbereinigt zu einer Quinte, was der Definition einer [[Würschmidt]]-Temperatur entspricht. 96-EDO ist eine der guten gleichstufigen Realisierungen der Würschmidt-Temperatur.

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'''96-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum ersten Mal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Der Klavierhersteller Sauter produziert ein Klavier, das in dieser Stimmung spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/de/mikroton Sauter 1/16 Ton-Klavier] .

Diverse Komponisten haben seither für 96-EDO komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [http://www.dominikblum.ch/carillo_d.shtml The Carillo 16-Tone Piano.]
= Approximation reiner Intervalle =
96 ist gleich 8*12, 96-EDO entsteht auch durch Teilung eines Standard-12-EDO-Halbtons in acht gleiche Teile. 

Die beste Approximation der Quinte ist dieselbe wie in 12-EDO (7*8 = 56 Grundschritte von 96-EDO). Aufeinanderschichten von vier solcher Quinten führt oktavbereinigt natürlich auch zum selben Intervall wie in 12-EDO, der 400 [[Cent]] grossen Terz (32 Grundschritte von 96-EDO). 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist hingegen einen Grundschritt kleiner, exzellente 387.5 Cent gross (nur 1.2 Cent Abweichung). Die 400-Cent-Terz ist in 96-EDO die Approximation der pythagoräischen grossen Terz 81/64.

[Todo weitere]

= Reguläre Temperaturen =
Da die beste Approximation der Naturterz reinen 96-EDO-Schritt kleiner ist als die oktavbereinigte Aufeinanderschichten von 4 Quinten, bietet 96-EDO '''keine''' Unterstützung für [[mitteltönig|mitteltönige Temperaturen]].

Aufeinanderschichten von 8 grossen Terzen jedoch führt in 96-EDO (anders als in 12-EDO) oktavbereinigt zu einer Quinte, was der Definition einer [[Würschmidt]]-Temperatur entspricht. 96-EDO ist eine der guten gleichstufigen Realisierungen der Würschmidt-Temperatur.

Neben der besten Approximation der Quinte mir 56 Schritten ist auch das nächstgrössere Intervall (57 Schritte, 712.5 Cent) eine akzeptable Quinte. Deren Complement, eine Quarte von 487.5 Cent, ist 39 Schritte gross und in drei gleiche Teile teilbar - was eine [[Porcupine]]-Temperatur ergibt.

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'''96-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum ersten Mal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Der Klavierhersteller Sauter produziert ein Klavier, das in dieser Stimmung spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/de/mikroton Sauter 1/16 Ton-Klavier] .

Diverse Komponisten haben seither für 96-EDO komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [http://www.dominikblum.ch/carillo_d.shtml The Carillo 16-Tone Piano.]
= Approximation reiner Intervalle =
96 ist gleich 8*12, 96-EDO entsteht auch durch Teilung eines Standard-12-EDO-Halbtons in acht gleiche Teile. 

Die beste Approximation der Quinte ist dieselbe wie in 12-EDO (7*8 = 56 Grundschritte von 96-EDO). Aufeinanderschichten von vier solcher Quinten führt oktavbereinigt natürlich auch zum selben Intervall wie in 12-EDO, der 400 [[Cent]] grossen Terz (32 Grundschritte von 96-EDO). 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist hingegen einen Grundschritt kleiner, exzellente 387.5 Cent gross (nur 1.2 Cent Abweichung). Die 400-Cent-Terz ist in 96-EDO die Approximation der pythagoräischen grossen Terz 81/64.

[Todo weitere]

= Reguläre Temperaturen =
Da die beste Approximation der Naturterz reinen 96-EDO-Schritt kleiner ist als die oktavbereinigte Aufeinanderschichten von 4 Quinten, bietet 96-EDO '''keine''' Unterstützung für [[mitteltönig|mitteltönige Temperaturen]].

Aufeinanderschichten von 8 grossen Terzen jedoch führt in 96-EDO (anders als in 12-EDO) oktavbereinigt zu einer Quinte, was der Definition einer [[Würschmidt]]-Temperatur entspricht. 96-EDO ist eine der guten gleichstufigen Realisierungen der Würschmidt-Temperatur.

Neben der besten Approximation der Quinte mit 56 Schritten ist auch das nächstgrössere Intervall (57 Schritte, 712.5 Cent) eine akzeptable Quinte. Deren Complement, eine Quarte von 487.5 Cent, ist 39 Schritte gross und in drei gleiche Teile teilbar - was eine [[Porcupine]]-Temperatur ergibt.

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'''96-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum ersten Mal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Der Klavierhersteller Sauter produziert ein Klavier, das in dieser Stimmung spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/de/mikroton Sauter 1/16 Ton-Klavier] .

Diverse Komponisten haben seither für 96-EDO komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [http://www.dominikblum.ch/carillo_d.shtml The Carillo 16-Tone Piano.]
= Approximation reiner Intervalle =
96 ist gleich 8*12, 96-EDO entsteht auch durch Teilung eines Standard-12-EDO-Halbtons in acht gleiche Teile. 

Die beste Approximation der Quinte ist dieselbe wie in 12-EDO (7*8 = 56 Grundschritte von 96-EDO). Aufeinanderschichten von vier solcher Quinten führt oktavbereinigt natürlich auch zum selben Intervall wie in 12-EDO, der 400 [[Cent]] grossen Terz (32 Grundschritte von 96-EDO). 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist hingegen einen Grundschritt kleiner, exzellente 387.5 Cent gross (nur 1.2 Cent Abweichung). Die 400-Cent-Terz ist in 96-EDO die Approximation der pythagoräischen grossen Terz 81/64.

[Todo weitere]

= Reguläre Temperaturen =
Da die beste Approximation der Naturterz reinen 96-EDO-Schritt kleiner ist als die oktavbereinigte Aufeinanderschichten von 4 Quinten, bietet 96-EDO '''keine''' Unterstützung für [[mitteltönig|mitteltönige Temperaturen]].

Aufeinanderschichten von 8 grossen Terzen jedoch führt in 96-EDO (anders als in 12-EDO) oktavbereinigt zu einer Quinte, was der Definition einer [[Würschmidt]]-Temperatur entspricht. 96-EDO ist eine der guten gleichstufigen Realisierungen der Würschmidt-Temperatur.

Neben der besten Approximation der Quinte mit 56 Schritten ist auch das nächstgrössere Intervall (57 Schritte, 712.5 Cent) eine akzeptable Quinte. Deren Komplement, eine Quarte von 487.5 Cent, ist 39 Schritte gross und in drei gleiche Teile teilbar - was eine [[Porcupine]]-Temperatur ergibt.

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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''96-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum ersten Mal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Der Klavierhersteller Sauter produziert ein Klavier, das in dieser Stimmung spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/de/mikroton Sauter 1/16 Ton-Klavier] .

Diverse Komponisten haben seither für 96-EDO komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [http://www.dominikblum.ch/carillo_d.shtml The Carillo 16-Tone Piano.]

= Approximation reiner Intervalle =
96 ist gleich 8*12, 96-EDO entsteht auch durch Teilung eines Standard-12-EDO-Halbtons in acht gleiche Teile. 

Die beste Approximation der Quinte ist dieselbe wie in 12-EDO (7*8 = 56 Grundschritte von 96-EDO). Aufeinanderschichten von vier solcher Quinten führt oktavbereinigt natürlich auch zum selben Intervall wie in 12-EDO, der 400 [[Cent]] grossen Terz (32 Grundschritte von 96-EDO). 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist hingegen einen Grundschritt kleiner, exzellente 387.5 Cent gross (nur 1.2 Cent Abweichung). Die 400-Cent-Terz ist in 96-EDO die Approximation der pythagoräischen grossen Terz 81/64.

[Todo weitere]

= Reguläre Temperaturen =
Da die beste Approximation der Naturterz reinen 96-EDO-Schritt kleiner ist als die oktavbereinigte Aufeinanderschichten von 4 Quinten, bietet 96-EDO '''keine''' Unterstützung für [[mitteltönig|mitteltönige Temperaturen]].

Aufeinanderschichten von 8 grossen Terzen jedoch führt in 96-EDO (anders als in 12-EDO) oktavbereinigt zu einer Quinte, was der Definition einer [[Würschmidt]]-Temperatur entspricht. 96-EDO ist eine der guten gleichstufigen Realisierungen der Würschmidt-Temperatur.

Neben der besten Approximation der Quinte mit 56 Schritten ist auch das nächstgrössere Intervall (57 Schritte, 712.5 Cent) eine akzeptable Quinte. Deren Komplement, eine Quarte von 487.5 Cent, ist 39 Schritte gross und in drei gleiche Teile teilbar - was eine [[Porcupine]]-Temperatur ergibt.

[Todo weitere] 
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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''96-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum ersten Mal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Der Klavierhersteller Sauter produziert ein Klavier, das in dieser Stimmung spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/de/mikroton Sauter 1/16 Ton-Klavier] .

Diverse Komponisten haben seither für 96-EDO komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [http://www.dominikblum.ch/carillo_d.shtml The Carillo 16-Tone Piano.]

= Approximation reiner Intervalle =
96 ist gleich 8*12, 96-EDO entsteht auch durch Teilung eines Standard-12-EDO-Halbtons in acht gleiche Teile. 

Die beste Approximation der Quinte ist dieselbe wie in 12-EDO (7*8 = 56 Grundschritte von 96-EDO). Aufeinanderschichten von vier solcher Quinten führt oktavbereinigt natürlich auch zum selben Intervall wie in 12-EDO, der 400 [[Cent]] grossen Terz (32 Grundschritte von 96-EDO). 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist hingegen einen Grundschritt kleiner, exzellente 387.5 Cent gross (nur 1.2 Cent Abweichung). Die 400-Cent-Terz ist in 96-EDO die Approximation der pythagoräischen grossen Terz 81/64.

[Todo weitere]

= Reguläre Temperaturen =
Da die beste Approximation der Naturterz reinen 96-EDO-Schritt kleiner ist als die oktavbereinigte Aufeinanderschichten von 4 Quinten, bietet 96-EDO '''keine''' Unterstützung für [[mitteltönig|mitteltönige Temperaturen]].

Aufeinanderschichten von 8 grossen Terzen jedoch führt in 96-EDO (anders als in 12-EDO) oktavbereinigt zu einer Quinte, was der Definition einer [[Würschmidt]]-Temperatur entspricht. 96-EDO ist eine der guten gleichstufigen Realisierungen der Würschmidt-Temperatur.

Neben der besten Approximation der Quinte mit 56 Schritten ist auch das nächstgrössere Intervall (57 Schritte, 712.5 Cent) eine akzeptable Quinte. Deren Komplement, eine Quarte von 487.5 Cent, ist 39 Schritte gross und in drei gleiche Teile teilbar - was etwas Ähnliches wie eine [[Porcupine]]-Temperatur ergibt. Das [[250/243|Porcupine-Komma]] selbst ist in 96-EDO eigentlich '''nicht''' austemperiert - aber die vom dritten Teil der kleinen Quarte (13 Schritte, 162.5 Cent) generierten [[MOS-Skalen]] sind "echten" Porcupine-Skalen so ähnlich, dass es angemessen erscheint, sie gleich zu nennen.

[Todo weitere, Tonbeispiele] 
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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''96-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum ersten Mal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Der Klavierhersteller Sauter produziert ein Klavier, das in dieser Stimmung spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/de/mikroton Sauter 1/16 Ton-Klavier] .

Diverse Komponisten haben seither für 96-EDO komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [http://www.dominikblum.ch/carillo_d.shtml The Carillo 16-Tone Piano.]

= Approximation reiner Intervalle =
96 ist gleich 8*12, 96-EDO entsteht auch durch Teilung eines Standard-12-EDO-Halbtons in acht gleiche Teile. 

Die beste Approximation der Quinte ist dieselbe wie in 12-EDO (7*8 = 56 Grundschritte von 96-EDO). Aufeinanderschichten von vier solcher Quinten führt oktavbereinigt natürlich auch zum selben Intervall wie in 12-EDO, der 400 [[Cent]] grossen Terz (32 Grundschritte von 96-EDO). 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist hingegen einen Grundschritt kleiner, exzellente 387.5 Cent gross (nur 1.2 Cent Abweichung). Die 400-Cent-Terz ist in 96-EDO die Approximation der pythagoräischen grossen Terz 81/64 (deutlich herabtemperiert).

[Todo weitere]

= Reguläre Temperaturen =
Da die beste Approximation der Naturterz reinen 96-EDO-Schritt kleiner ist als die oktavbereinigte Aufeinanderschichten von 4 Quinten, bietet 96-EDO '''keine''' Unterstützung für [[mitteltönig|mitteltönige Temperaturen]].

Aufeinanderschichten von 8 grossen Terzen jedoch führt in 96-EDO (anders als in 12-EDO) oktavbereinigt zu einer Quinte, was der Definition einer [[Würschmidt]]-Temperatur entspricht. 96-EDO ist eine der guten gleichstufigen Realisierungen der Würschmidt-Temperatur.

Neben der besten Approximation der Quinte mit 56 Schritten ist auch das nächstgrössere Intervall (57 Schritte, 712.5 Cent) eine akzeptable Quinte. Deren Komplement, eine Quarte von 487.5 Cent, ist 39 Schritte gross und in drei gleiche Teile teilbar - was etwas Ähnliches wie eine [[Porcupine]]-Temperatur ergibt. Das [[250/243|Porcupine-Komma]] selbst ist in 96-EDO eigentlich '''nicht''' austemperiert - aber die vom dritten Teil der kleinen Quarte (13 Schritte, 162.5 Cent) generierten [[MOS-Skalen]] sind "echten" Porcupine-Skalen so ähnlich, dass es angemessen erscheint, sie gleich zu nennen.

[Todo weitere, Tonbeispiele] 
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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''96-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum ersten Mal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Der Klavierhersteller Sauter produziert ein Klavier, das in dieser Stimmung spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/de/mikroton Sauter 1/16 Ton-Klavier] .

Diverse Komponisten haben seither für 96-EDO komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [http://www.dominikblum.ch/carillo_d.shtml The Carillo 16-Tone Piano.]

= Approximation reiner Intervalle =
96 ist gleich 8*12, 96-EDO entsteht auch durch Teilung eines Standard-12-EDO-Halbtons in acht gleiche Teile. 

Die beste Approximation der Quinte ist dieselbe wie in 12-EDO (7*8 = 56 Grundschritte von 96-EDO). Aufeinanderschichten von vier solcher Quinten führt oktavbereinigt natürlich auch zum selben Intervall wie in 12-EDO, der 400 [[Cent]] grossen Terz (32 Grundschritte von 96-EDO). 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist hingegen einen Grundschritt kleiner, exzellente 387.5 Cent gross (nur 1.2 Cent Abweichung). Die 400-Cent-Terz ist in 96-EDO die Approximation der pythagoräischen grossen Terz 81/64 (deutlich herabtemperiert).

[Todo weitere]

= Reguläre Temperaturen =
Da die beste Approximation der Naturterz reinen 96-EDO-Schritt kleiner ist als die oktavbereinigte Aufeinanderschichten von 4 Quinten, bietet 96-EDO '''keine''' Unterstützung für [[mitteltönig|mitteltönige Temperaturen]].

Aufeinanderschichten von 8 grossen Terzen jedoch führt in 96-EDO (anders als in 12-EDO) oktavbereinigt zu einer Quinte, was der Definition einer [[Würschmidt]]-Temperatur entspricht. 96-EDO ist eine der guten gleichstufigen Realisierungen der Würschmidt-Temperatur.

Neben der besten Approximation der Quinte mit 56 Schritten ist auch das nächstgrössere Intervall (57 Schritte, 712.5 Cent) eine akzeptable Quinte. Deren Komplement, eine Quarte von 487.5 Cent, ist 39 Schritte gross und in drei gleiche Teile teilbar - was etwas Ähnliches wie eine [[Porcupine]]-Temperatur ergibt. Das [[250/243|Porcupine-Komma]] selbst ist in 96-EDO eigentlich '''nicht''' austemperiert - aber die vom dritten Teil der kleinen Quarte (13 Schritte, 162.5 Cent) generierten [[MOS-Skalen]] sind "echten" Porcupine-Skalen so ähnlich, dass es angemessen erscheint, sie gleich zu nennen. Erwähnenswert ist die achttönige MOS-Skala, welche sie 7 Intervallraum der Grösste des a Verbessertes (162.5 Cent) und einem sehr kleinen Halbton von 62.5 Cent besteht - die Innenseite unterscheiden sich gemau um einem 12-EDO-Halbton.

[Todo weitere, Tonbeispiele] 
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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''96-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum ersten Mal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Der Klavierhersteller Sauter produziert ein Klavier, das in dieser Stimmung spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/de/mikroton Sauter 1/16 Ton-Klavier] .

Diverse Komponisten haben seither für 96-EDO komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [http://www.dominikblum.ch/carillo_d.shtml The Carillo 16-Tone Piano.]

= Approximation reiner Intervalle =
96 ist gleich 8*12, 96-EDO entsteht auch durch Teilung eines Standard-12-EDO-Halbtons in acht gleiche Teile. 

Die beste Approximation der Quinte ist dieselbe wie in 12-EDO (7*8 = 56 Grundschritte von 96-EDO). Aufeinanderschichten von vier solcher Quinten führt oktavbereinigt natürlich auch zum selben Intervall wie in 12-EDO, der 400 [[Cent]] grossen Terz (32 Grundschritte von 96-EDO). 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist hingegen einen Grundschritt kleiner, exzellente 387.5 Cent gross (nur 1.2 Cent Abweichung). Die 400-Cent-Terz ist in 96-EDO die Approximation der pythagoräischen grossen Terz 81/64 (deutlich herabtemperiert).

[Todo weitere]

= Reguläre Temperaturen =
Da die beste Approximation der Naturterz reinen 96-EDO-Schritt kleiner ist als die oktavbereinigte Aufeinanderschichten von 4 Quinten, bietet 96-EDO '''keine''' Unterstützung für [[mitteltönig|mitteltönige Temperaturen]].

Aufeinanderschichten von 8 grossen Terzen jedoch führt in 96-EDO (anders als in 12-EDO) oktavbereinigt zu einer Quinte, was der Definition einer [[Würschmidt]]-Temperatur entspricht. 96-EDO ist eine der guten gleichstufigen Realisierungen der Würschmidt-Temperatur.

Neben der besten Approximation der Quinte mit 56 Schritten ist auch das nächstgrössere Intervall (57 Schritte, 712.5 Cent) eine akzeptable Quinte. Deren Komplement, eine Quarte von 487.5 Cent, ist 39 Schritte gross und in drei gleiche Teile teilbar - was etwas Ähnliches wie eine [[Porcupine]]-Temperatur ergibt. Das [[250/243|Porcupine-Komma]] selbst ist in 96-EDO eigentlich '''nicht''' austemperiert - aber die vom dritten Teil der kleinen Quarte (13 Schritte, 162.5 Cent) generierten [[MOS-Skalen]] sind "echten" Porcupine-Skalen so ähnlich, dass es angemessen erscheint, sie gleich zu nennen. Erwähnenswert ist die achttönige MOS-Skala, welche 7 Generator-Intervalle (162.5 Cent) und einen sehr kleinen Halbton von 62.5 Cent enthält -  die Intervalle unterscheiden sich gemau um einen 12-EDO-Halbton.

[Todo weitere, Tonbeispiele] 
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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''96-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum ersten Mal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Der Klavierhersteller Sauter produziert ein Klavier, das in dieser Stimmung spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/de/mikroton Sauter 1/16 Ton-Klavier] .

Diverse Komponisten haben seither für 96-EDO komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [http://www.dominikblum.ch/carillo_d.shtml The Carillo 16-Tone Piano.]

= Approximation reiner Intervalle =
96 ist gleich 8*12, 96-EDO entsteht auch durch Teilung eines Standard-12-EDO-Halbtons in acht gleiche Teile. 

Die beste Approximation der Quinte ist dieselbe wie in 12-EDO (7*8 = 56 Grundschritte von 96-EDO). Aufeinanderschichten von vier solcher Quinten führt oktavbereinigt natürlich auch zum selben Intervall wie in 12-EDO, der 400 [[Cent]] grossen Terz (32 Grundschritte von 96-EDO). 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist hingegen einen Grundschritt kleiner, exzellente 387.5 Cent gross (nur 1.2 Cent Abweichung). Die 400-Cent-Terz ist in 96-EDO die Approximation der pythagoräischen grossen Terz 81/64 (deutlich herabtemperiert).

[Todo weitere]

= Reguläre Temperaturen =
Da die beste Approximation der Naturterz reinen 96-EDO-Schritt kleiner ist als die oktavbereinigte Aufeinanderschichten von 4 Quinten, bietet 96-EDO '''keine''' Unterstützung für [[mitteltönig|mitteltönige Temperaturen]].

Aufeinanderschichten von 8 grossen Terzen jedoch führt in 96-EDO (anders als in 12-EDO) oktavbereinigt zu einer Quinte, was der Definition einer [[Würschmidt]]-Temperatur entspricht. 96-EDO ist eine der guten gleichstufigen Realisierungen der Würschmidt-Temperatur.

Neben der besten Approximation der Quinte mit 56 Schritten ist auch das nächstgrössere Intervall (57 Schritte, 712.5 Cent) eine akzeptable Quinte. Deren Komplement, eine Quarte von 487.5 Cent, ist 39 Schritte gross und in drei gleiche Teile teilbar - was etwas Ähnliches wie eine [[Porcupine]]-Temperatur ergibt. Das [[250/243|Porcupine-Komma]] selbst ist in 96-EDO eigentlich '''nicht''' austemperiert - aber die vom dritten Teil der kleinen Quarte (13 Schritte, 162.5 Cent) generierten [[MOS-Skalen]] sind "echten" Porcupine-Skalen so ähnlich, dass es angemessen erscheint, sie gleich zu nennen. Erwähnenswert ist die achttönige MOS-Skala, welche 7 Generator-Intervalle (162.5 Cent) und einen sehr kleinen Halbton von 62.5 Cent enthält -  die Intervalle unterscheiden sich genau um einen 12-EDO-Halbton.

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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''96-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum ersten Mal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Der Klavierhersteller Sauter produziert ein Klavier, das in dieser Stimmung spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/de/mikroton Sauter 1/16 Ton-Klavier] .

Diverse Komponisten haben seither für 96-EDO komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [http://www.dominikblum.ch/carillo_d.shtml The Carillo 16-Tone Piano.]

= Approximation reiner Intervalle =
96 ist gleich 8*12, 96-EDO entsteht auch durch Teilung eines Standard-12-EDO-Halbtons in acht gleiche Teile. 

Die beste Approximation der Quinte ist dieselbe wie in 12-EDO (7*8 = 56 Grundschritte von 96-EDO). Aufeinanderschichten von vier solcher Quinten führt oktavbereinigt natürlich auch zum selben Intervall wie in 12-EDO, der 400 [[Cent]] grossen Terz (32 Grundschritte von 96-EDO). 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist hingegen einen Grundschritt kleiner, exzellente 387.5 Cent gross (nur 1.2 Cent Abweichung). Die 400-Cent-Terz ist in 96-EDO die Approximation der pythagoräischen grossen Terz 81/64 (deutlich herabtemperiert).

[Todo weitere]

= Reguläre Temperaturen =
Da die beste Approximation der Naturterz einen 96-EDO-Schritt kleiner ist als die oktavbereinigte Aufeinanderschichten von 4 Quinten, bietet 96-EDO '''keine''' Unterstützung für [[mitteltönig|mitteltönige Temperaturen]].

Aufeinanderschichten von 8 grossen Terzen jedoch führt in 96-EDO (anders als in 12-EDO) oktavbereinigt zu einer Quinte, was der Definition einer [[Würschmidt]]-Temperatur entspricht. 96-EDO ist eine der guten gleichstufigen Realisierungen der Würschmidt-Temperatur.

Neben der besten Approximation der Quinte mit 56 Schritten ist auch das nächstgrössere Intervall (57 Schritte, 712.5 Cent) eine akzeptable Quinte. Deren Komplement, eine Quarte von 487.5 Cent, ist 39 Schritte gross und in drei gleiche Teile teilbar - was eine [[Porcupine]]-Temperatur ergibt. Das [[250/243|Porcupine-Komma]] Erwähnenswert ist die achttönige Porcupine-[[MOS-Skalen|MOS-Skala]], welche 7 Generator-Intervalle (162.5 Cent) und einen sehr kleinen Halbton von 62.5 Cent enthält -  die Intervalle unterscheiden sich genau um einen 12-EDO-Halbton.

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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''96-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum ersten Mal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Der Klavierhersteller Sauter produziert ein Klavier, das in dieser Stimmung spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/de/mikroton Sauter 1/16 Ton-Klavier] .

Diverse Komponisten haben seither für 96-EDO komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [http://www.dominikblum.ch/carillo_d.shtml The Carillo 16-Tone Piano.]

= Approximation reiner Intervalle =
96 ist gleich 8*12, 96-EDO entsteht auch durch Teilung eines Standard-12-EDO-Halbtons in acht gleiche Teile. 

Die beste Approximation der Quinte ist dieselbe wie in 12-EDO (7*8 = 56 Grundschritte von 96-EDO). Aufeinanderschichten von vier solcher Quinten führt oktavbereinigt natürlich auch zum selben Intervall wie in 12-EDO, der 400 [[Cent]] grossen Terz (32 Grundschritte von 96-EDO). 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist hingegen einen Grundschritt kleiner, exzellente 387.5 Cent gross (nur 1.2 Cent Abweichung). Die 400-Cent-Terz ist in 96-EDO die Approximation der pythagoräischen grossen Terz 81/64 (deutlich herabtemperiert).

[Todo weitere]

= Reguläre Temperaturen =
Da die beste Approximation der Naturterz einen 96-EDO-Schritt kleiner ist als die oktavbereinigte Aufeinanderschichtung von 4 Quinten, bietet 96-EDO '''keine''' Unterstützung für [[mitteltönig|mitteltönige Temperaturen]].

Aufeinanderschichten von 8 grossen Terzen jedoch führt in 96-EDO (anders als in 12-EDO) oktavbereinigt zu einer Quinte, was der Definition einer [[Würschmidt]]-Temperatur entspricht. 96-EDO ist eine der guten gleichstufigen Realisierungen der Würschmidt-Temperatur.

Neben der besten Approximation der Quinte mit 56 Schritten ist auch das nächstgrössere Intervall (57 Schritte, 712.5 Cent) eine akzeptable Quinte. Deren Komplement, eine Quarte von 487.5 Cent, ist 39 Schritte gross und in drei gleiche Teile teilbar - was eine [[Porcupine]]-Temperatur ergibt. Das [[250/243|Porcupine-Komma]] Erwähnenswert ist die achttönige Porcupine-[[MOS-Skalen|MOS-Skala]], welche 7 Generator-Intervalle (162.5 Cent) und einen sehr kleinen Halbton von 62.5 Cent enthält -  die Intervalle unterscheiden sich genau um einen 12-EDO-Halbton.

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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''96-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum ersten Mal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Der Klavierhersteller Sauter produziert ein Klavier, das in dieser Stimmung spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/de/mikroton Sauter 1/16 Ton-Klavier] .

Diverse Komponisten haben seither für 96-EDO komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [http://www.dominikblum.ch/carillo_d.shtml The Carillo 16-Tone Piano.]

= Approximation reiner Intervalle =
96 ist gleich 8*12, 96-EDO entsteht auch durch Teilung eines Standard-12-EDO-Halbtons in acht gleiche Teile. 

Die beste Approximation der Quinte ist dieselbe wie in 12-EDO (7*8 = 56 Grundschritte von 96-EDO). Aufeinanderschichten von vier solcher Quinten führt oktavbereinigt natürlich auch zum selben Intervall wie in 12-EDO, der 400 [[Cent]] grossen Terz (32 Grundschritte von 96-EDO). 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist hingegen einen Grundschritt kleiner, exzellente 387.5 Cent gross (nur 1.2 Cent Abweichung). Die 400-Cent-Terz ist in 96-EDO die Approximation der pythagoräischen grossen Terz 81/64 (deutlich herabtemperiert).

[Todo weitere]

= Reguläre Temperaturen =
Da die beste Approximation der Naturterz einen 96-EDO-Schritt kleiner ist als die oktavbereinigte Aufeinanderschichtung von 4 Quinten, bietet 96-EDO '''keine''' Unterstützung für [[mitteltönig|mitteltönige Temperaturen]].

Aufeinanderschichten von 8 grossen Terzen jedoch führt in 96-EDO (anders als in 12-EDO) oktavbereinigt zu einer Quinte, was der Definition einer [[Würschmidt]]-Temperatur entspricht. 96-EDO ist eine der guten gleichstufigen Realisierungen der Würschmidt-Temperatur.

Neben der besten Approximation der Quinte mit 56 Schritten ist auch das nächstgrössere Intervall (57 Schritte, 712.5 Cent) eine akzeptable Quinte. Deren Komplement, eine Quarte von 487.5 Cent, ist 39 Schritte gross und in drei gleiche Teile teilbar - was eine [[Porcupine]]-Temperatur ergibt. Erwähnenswert ist die achttönige Porcupine-[[MOS-Skalen|MOS-Skala]], welche 7 Generator-Intervalle (162.5 Cent) und einen sehr kleinen Halbton von 62.5 Cent enthält -  die Intervalle unterscheiden sich genau um einen 12-EDO-Halbton.

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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''96-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum ersten Mal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Der Klavierhersteller Sauter produziert ein Klavier, das in dieser Stimmung spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/de/mikroton Sauter 1/16 Ton-Klavier] .

Diverse Komponisten haben seither für 96-EDO komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [http://www.dominikblum.ch/carillo_d.shtml The Carillo 16-Tone Piano.]

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96 ist gleich 8*12, 96-EDO entsteht auch durch Teilung eines Standard-12-EDO-Halbtons in acht gleiche Teile. 

Die beste Approximation der Quinte ist dieselbe wie in 12-EDO (7*8 = 56 Grundschritte von 96-EDO). Aufeinanderschichten von vier solcher Quinten führt oktavbereinigt natürlich auch zum selben Intervall wie in 12-EDO, der 400 [[Cent]] grossen Terz (32 Grundschritte von 96-EDO). 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist hingegen einen Grundschritt kleiner, exzellente 387.5 Cent gross (nur 1.2 Cent Abweichung). Die 400-Cent-Terz ist in 96-EDO die Approximation der pythagoräischen grossen Terz 81/64 (deutlich herabtemperiert).

[Todo weitere]

= Reguläre Temperaturen =
Da die beste Approximation der Naturterz einen 96-EDO-Schritt kleiner ist als die oktavbereinigte Aufeinanderschichtung von 4 Quinten, bietet 96-EDO '''keine''' Unterstützung für [[mitteltönig|mitteltönige Temperaturen]].

Aufeinanderschichten von 8 grossen Terzen jedoch führt in 96-EDO (anders als in 12-EDO) oktavbereinigt zu einer Quinte, was der Definition einer [[Würschmidt]]-Temperatur entspricht. 96-EDO ist eine der guten gleichstufigen Realisierungen der Würschmidt-Temperatur.

Neben der besten Approximation der Quinte mit 56 Schritten ist auch das nächstgrössere Intervall (57 Schritte, 712.5 Cent) eine akzeptable Quinte. Deren Komplement, eine Quarte von 487.5 Cent, ist 39 Schritte gross und in drei gleiche Teile teilbar - was eine [[Porcupine]]-Temperatur ergibt. Erwähnenswert ist die achttönige Porcupine-[[MOS-Skalen|MOS-Skala]], welche 7 Generator-Intervalle (162.5 Cent, ein Drittel der kleinen Quarte) und einen sehr kleinen Halbton von 62.5 Cent enthält -  die Intervalle unterscheiden sich genau um einen 12-EDO-Halbton.

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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''96-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum ersten Mal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Der Klavierhersteller Sauter produziert ein Klavier, das in dieser Stimmung spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/de/mikroton Sauter 1/16 Ton-Klavier] .

Diverse Komponisten haben seither für 96-EDO komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [http://www.dominikblum.ch/carillo_d.shtml The Carillo 16-Tone Piano.]

= Approximation reiner Intervalle =
96 ist gleich 8*12, 96-EDO entsteht auch durch Teilung eines Standard-12-EDO-Halbtons in acht gleiche Teile. 

Die beste Approximation der Quinte ist dieselbe wie in 12-EDO (7*8 = 56 Grundschritte von 96-EDO). Aufeinanderschichten von vier solcher Quinten führt oktavbereinigt natürlich auch zum selben Intervall wie in 12-EDO, der 400 [[Cent]] grossen Terz (32 Grundschritte von 96-EDO). 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist hingegen einen Grundschritt kleiner, exzellente 387.5 Cent gross (nur 1.2 Cent Abweichung). Die 400-Cent-Terz ist in 96-EDO die Approximation der pythagoräischen grossen Terz 81/64 (deutlich herabtemperiert).

Für den sieben Oberton, die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]], gibt es zwei gute Näherungen, eine kleine von 962.5 Cent und eine grosse von 975 Cent, beide etwa 6 Cent daneben (an sich gut, aber gemessen an der grossen Anzahl Töne von 96-EDO nicht so überragend). 

Der elfte Oberton schliesslich, das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], hat dieselbe Näherung wie in [[24-EDO]] (welches ja eine Teilnehmer von 96-EDO ist), wieder sehr gut mit nur 1.3 Cent Abweichung.

[Todo weitere]

= Reguläre Temperaturen =
Da die beste Approximation der Naturterz einen 96-EDO-Schritt kleiner ist als die oktavbereinigte Aufeinanderschichtung von 4 Quinten, bietet 96-EDO '''keine''' Unterstützung für [[mitteltönig|mitteltönige Temperaturen]].

Aufeinanderschichten von 8 grossen Terzen jedoch führt in 96-EDO (anders als in 12-EDO) oktavbereinigt zu einer Quinte, was der Definition einer [[Würschmidt]]-Temperatur entspricht. 96-EDO ist eine der guten gleichstufigen Realisierungen der Würschmidt-Temperatur.

Neben der besten Approximation der Quinte mit 56 Schritten ist auch das nächstgrössere Intervall (57 Schritte, 712.5 Cent) eine akzeptable Quinte. Deren Komplement, eine Quarte von 487.5 Cent, ist 39 Schritte gross und in drei gleiche Teile teilbar - was eine [[Porcupine]]-Temperatur ergibt. Erwähnenswert ist die achttönige Porcupine-[[MOS-Skalen|MOS-Skala]], welche 7 Generator-Intervalle (162.5 Cent, ein Drittel der kleinen Quarte) und einen sehr kleinen Halbton von 62.5 Cent enthält -  die Intervalle unterscheiden sich genau um einen 12-EDO-Halbton.

[Todo weitere, Tonbeispiele] 
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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

'''96-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum ersten Mal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Der Klavierhersteller Sauter produziert ein Klavier, das in dieser Stimmung spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/de/mikroton Sauter 1/16 Ton-Klavier] .

Diverse Komponisten haben seither für 96-EDO komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [http://www.dominikblum.ch/carillo_d.shtml The Carillo 16-Tone Piano.]

= Approximation reiner Intervalle =
96 ist gleich 8*12, 96-EDO entsteht auch durch Teilung eines Standard-12-EDO-Halbtons in acht gleiche Teile. 

Die beste Approximation der Quinte ist dieselbe wie in 12-EDO (7*8 = 56 Grundschritte von 96-EDO). Aufeinanderschichten von vier solcher Quinten führt oktavbereinigt natürlich auch zum selben Intervall wie in 12-EDO, der 400 [[Cent]] grossen Terz (32 Grundschritte von 96-EDO). 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist hingegen einen Grundschritt kleiner, exzellente 387.5 Cent gross (nur 1.2 Cent Abweichung). Die 400-Cent-Terz ist in 96-EDO die Approximation der pythagoräischen grossen Terz 81/64 (deutlich herabtemperiert).

Für den siebten Oberton, die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]], gibt es zwei gute Näherungen, eine kleine von 962.5 Cent und eine grosse von 975 Cent, beide etwa 6 Cent daneben (an sich gut, aber gemessen an der grossen Anzahl Töne von 96-EDO nicht so überragend). 

Der elfte Oberton schliesslich, das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], hat dieselbe Näherung wie in [[24-EDO]] (welches ja eine Teilnehmer von 96-EDO ist), wieder sehr gut mit nur 1.3 Cent Abweichung.

[Todo weitere]

= Reguläre Temperaturen =
Da die beste Approximation der Naturterz einen 96-EDO-Schritt kleiner ist als die oktavbereinigte Aufeinanderschichtung von 4 Quinten, bietet 96-EDO '''keine''' Unterstützung für [[mitteltönig|mitteltönige Temperaturen]].

Aufeinanderschichten von 8 grossen Terzen jedoch führt in 96-EDO (anders als in 12-EDO) oktavbereinigt zu einer Quinte, was der Definition einer [[Würschmidt]]-Temperatur entspricht. 96-EDO ist eine der guten gleichstufigen Realisierungen der Würschmidt-Temperatur.

Neben der besten Approximation der Quinte mit 56 Schritten ist auch das nächstgrössere Intervall (57 Schritte, 712.5 Cent) eine akzeptable Quinte. Deren Komplement, eine Quarte von 487.5 Cent, ist 39 Schritte gross und in drei gleiche Teile teilbar - was eine [[Porcupine]]-Temperatur ergibt. Erwähnenswert ist die achttönige Porcupine-[[MOS-Skalen|MOS-Skala]], welche 7 Generator-Intervalle (162.5 Cent, ein Drittel der kleinen Quarte) und einen sehr kleinen Halbton von 62.5 Cent enthält -  die Intervalle unterscheiden sich genau um einen 12-EDO-Halbton.

[Todo weitere, Tonbeispiele] 
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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''96-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum ersten Mal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Der Klavierhersteller Sauter produziert ein Klavier, das in dieser Stimmung spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/de/mikroton Sauter 1/16 Ton-Klavier] .

Diverse Komponisten haben seither für 96-EDO komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [http://www.dominikblum.ch/carillo_d.shtml The Carillo 16-Tone Piano.]

= Approximation reiner Intervalle =
96 ist gleich 8*12, 96-EDO entsteht auch durch Teilung eines Standard-12-EDO-Halbtons in acht gleiche Teile. 

Die beste Approximation der Quinte ist dieselbe wie in 12-EDO (7*8 = 56 Grundschritte von 96-EDO). Aufeinanderschichten von vier solcher Quinten führt oktavbereinigt natürlich auch zum selben Intervall wie in 12-EDO, der 400 [[Cent]] grossen Terz (32 Grundschritte von 96-EDO). 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist hingegen einen Grundschritt kleiner, exzellente 387.5 Cent gross (nur 1.2 Cent Abweichung). Die 400-Cent-Terz ist in 96-EDO die Approximation der pythagoräischen grossen Terz 81/64 (deutlich herabtemperiert).

Für den siebten Oberton, die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]], gibt es zwei gute Näherungen, eine kleine von 962.5 Cent und eine grosse von 975 Cent, beide etwa 6 Cent daneben (an sich gut, aber gemessen an der grossen Anzahl Töne von 96-EDO nicht so überragend). 

Der elfte Oberton schliesslich, das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], hat dieselbe Näherung wie in [[24-EDO]] (welches ja eine Teilmenge von 96-EDO ist), wieder sehr gut mit nur 1.3 Cent Abweichung.

[Todo weitere]

= Reguläre Temperaturen =
Da die beste Approximation der Naturterz einen 96-EDO-Schritt kleiner ist als die oktavbereinigte Aufeinanderschichtung von 4 Quinten, bietet 96-EDO '''keine''' Unterstützung für [[mitteltönig|mitteltönige Temperaturen]].

Aufeinanderschichten von 8 grossen Terzen jedoch führt in 96-EDO (anders als in 12-EDO) oktavbereinigt zu einer Quinte, was der Definition einer [[Würschmidt]]-Temperatur entspricht. 96-EDO ist eine der guten gleichstufigen Realisierungen der Würschmidt-Temperatur.

Neben der besten Approximation der Quinte mit 56 Schritten ist auch das nächstgrössere Intervall (57 Schritte, 712.5 Cent) eine akzeptable Quinte. Deren Komplement, eine Quarte von 487.5 Cent, ist 39 Schritte gross und in drei gleiche Teile teilbar - was eine [[Porcupine]]-Temperatur ergibt. Erwähnenswert ist die achttönige Porcupine-[[MOS-Skalen|MOS-Skala]], welche 7 Generator-Intervalle (162.5 Cent, ein Drittel der kleinen Quarte) und einen sehr kleinen Halbton von 62.5 Cent enthält -  die Intervalle unterscheiden sich genau um einen 12-EDO-Halbton.

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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''96-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum ersten Mal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Diverse Komponisten haben seither für 96-EDO komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [http://www.dominikblum.ch/carillo_d.shtml The Carillo 16-Tone Piano.]

= Approximation reiner Intervalle =
96 ist gleich 8*12, 96-EDO entsteht auch durch Teilung eines Standard-12-EDO-Halbtons in acht gleiche Teile. 

Die beste Approximation der Quinte ist dieselbe wie in 12-EDO (7*8 = 56 Grundschritte von 96-EDO). Aufeinanderschichten von vier solcher Quinten führt oktavbereinigt natürlich auch zum selben Intervall wie in 12-EDO, der 400 [[Cent]] grossen Terz (32 Grundschritte von 96-EDO). 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist hingegen einen Grundschritt kleiner, exzellente 387.5 Cent gross (nur 1.2 Cent Abweichung). Die 400-Cent-Terz ist in 96-EDO die Approximation der pythagoräischen grossen Terz 81/64 (deutlich herabtemperiert).

Für den siebten Oberton, die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]], gibt es zwei gute Näherungen, eine kleine von 962.5 Cent und eine grosse von 975 Cent, beide etwa 6 Cent daneben (an sich gut, aber gemessen an der grossen Anzahl Töne von 96-EDO nicht so überragend). 

Der elfte Oberton schliesslich, das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], hat dieselbe Näherung wie in [[24-EDO]] (welches ja eine Teilmenge von 96-EDO ist), wieder sehr gut mit nur 1.3 Cent Abweichung.

[Todo weitere]

= Reguläre Temperaturen =
Da die beste Approximation der Naturterz einen 96-EDO-Schritt kleiner ist als die oktavbereinigte Aufeinanderschichtung von 4 Quinten, bietet 96-EDO '''keine''' Unterstützung für [[mitteltönig|mitteltönige Temperaturen]].

Aufeinanderschichten von 8 grossen Terzen jedoch führt in 96-EDO (anders als in 12-EDO) oktavbereinigt zu einer Quinte, was der Definition einer [[Würschmidt]]-Temperatur entspricht. 96-EDO ist eine der guten gleichstufigen Realisierungen der Würschmidt-Temperatur.

Neben der besten Approximation der Quinte mit 56 Schritten ist auch das nächstgrössere Intervall (57 Schritte, 712.5 Cent) eine akzeptable Quinte. Deren Komplement, eine Quarte von 487.5 Cent, ist 39 Schritte gross und in drei gleiche Teile teilbar - was eine [[Porcupine]]-Temperatur ergibt. Erwähnenswert ist die achttönige Porcupine-[[MOS-Skalen|MOS-Skala]], welche 7 Generator-Intervalle (162.5 Cent, ein Drittel der kleinen Quarte) und einen sehr kleinen Halbton von 62.5 Cent enthält -  die Intervalle unterscheiden sich genau um einen 12-EDO-Halbton.

[Todo weitere, Tonbeispiele] 
= Instrumente =
Der Klavierhersteller Sauter produziert ein Klavier, das in dieser Stimmung spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/de/mikroton Sauter 1/16 Ton-Klavier] .

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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''96-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum ersten Mal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Diverse Komponisten haben seither für 96-EDO komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [http://www.dominikblum.ch/carillo_d.shtml The Carillo 16-Tone Piano.]

= Approximation reiner Intervalle =
96 ist gleich 8*12, 96-EDO entsteht auch durch Teilung eines Standard-12-EDO-Halbtons in acht gleiche Teile. 

Die beste Approximation der Quinte ist dieselbe wie in 12-EDO (7*8 = 56 Grundschritte von 96-EDO). Aufeinanderschichten von vier solcher Quinten führt oktavbereinigt natürlich auch zum selben Intervall wie in 12-EDO, der 400 [[Cent]] grossen Terz (32 Grundschritte von 96-EDO). 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist hingegen einen Grundschritt kleiner, exzellente 387.5 Cent gross (nur 1.2 Cent Abweichung). Die 400-Cent-Terz ist in 96-EDO die Approximation der pythagoräischen grossen Terz 81/64 (deutlich herabtemperiert).

Für den siebten Oberton, die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]], gibt es zwei gute Näherungen, eine kleine von 962.5 Cent und eine grosse von 975 Cent, beide etwa 6 Cent daneben (an sich gut, aber gemessen an der grossen Anzahl Töne von 96-EDO nicht so überragend). 

Der elfte Oberton schliesslich, das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], hat dieselbe Näherung wie in [[24-EDO]] (welches ja eine Teilmenge von 96-EDO ist), wieder sehr gut mit nur 1.3 Cent Abweichung.

[Todo weitere]

= Reguläre Temperaturen =
Da die beste Approximation der Naturterz einen 96-EDO-Schritt kleiner ist als die oktavbereinigte Aufeinanderschichtung von 4 Quinten, bietet 96-EDO '''keine''' Unterstützung für [[mitteltönig|mitteltönige Temperaturen]].

Aufeinanderschichten von 8 grossen Terzen jedoch führt in 96-EDO (anders als in 12-EDO) oktavbereinigt zu einer Quinte, was der Definition einer [[Würschmidt]]-Temperatur entspricht. 96-EDO ist eine der guten gleichstufigen Realisierungen der Würschmidt-Temperatur.

Neben der besten Approximation der Quinte mit 56 Schritten ist auch das nächstgrössere Intervall (57 Schritte, 712.5 Cent) eine akzeptable Quinte. Deren Komplement, eine Quarte von 487.5 Cent, ist 39 Schritte gross und in drei gleiche Teile teilbar - was eine [[Porcupine]]-Temperatur ergibt. Erwähnenswert ist die achttönige Porcupine-[[MOS-Skalen|MOS-Skala]], welche 7 Generator-Intervalle (162.5 Cent, ein Drittel der kleinen Quarte) und einen sehr kleinen Halbton von 62.5 Cent enthält -  die Intervalle unterscheiden sich genau um einen 12-EDO-Halbton.

[Todo weitere, Tonbeispiele] 
= Instrumente =
Der Klavierhersteller Sauter produziert ein akustisches Klavier, das in 96-EDO spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/de/mikroton Sauter 1/16 Ton-Klavier] .

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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''96-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum ersten Mal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Diverse Komponisten haben seither für 96-EDO komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [https://www.discogs.com/sell/release/17561818 The Carillo 1/16-Tone Piano.]

= Approximation reiner Intervalle =
96 ist gleich 8*12, 96-EDO entsteht auch durch Teilung eines Standard-12-EDO-Halbtons in acht gleiche Teile. 

Die beste Approximation der Quinte ist dieselbe wie in 12-EDO (7*8 = 56 Grundschritte von 96-EDO). Aufeinanderschichten von vier solcher Quinten führt oktavbereinigt natürlich auch zum selben Intervall wie in 12-EDO, der 400 [[Cent]] grossen Terz (32 Grundschritte von 96-EDO). 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist hingegen einen Grundschritt kleiner, exzellente 387.5 Cent gross (nur 1.2 Cent Abweichung). Die 400-Cent-Terz ist in 96-EDO die Approximation der pythagoräischen grossen Terz 81/64 (deutlich herabtemperiert).

Für den siebten Oberton, die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]], gibt es zwei gute Näherungen, eine kleine von 962.5 Cent und eine grosse von 975 Cent, beide etwa 6 Cent daneben (an sich gut, aber gemessen an der grossen Anzahl Töne von 96-EDO nicht so überragend). 

Der elfte Oberton schliesslich, das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], hat dieselbe Näherung wie in [[24-EDO]] (welches ja eine Teilmenge von 96-EDO ist), wieder sehr gut mit nur 1.3 Cent Abweichung.

[Todo weitere]

= Reguläre Temperaturen =
Da die beste Approximation der Naturterz einen 96-EDO-Schritt kleiner ist als die oktavbereinigte Aufeinanderschichtung von 4 Quinten, bietet 96-EDO '''keine''' Unterstützung für [[mitteltönig|mitteltönige Temperaturen]].

Aufeinanderschichten von 8 grossen Terzen jedoch führt in 96-EDO (anders als in 12-EDO) oktavbereinigt zu einer Quinte, was der Definition einer [[Würschmidt]]-Temperatur entspricht. 96-EDO ist eine der guten gleichstufigen Realisierungen der Würschmidt-Temperatur.

Neben der besten Approximation der Quinte mit 56 Schritten ist auch das nächstgrössere Intervall (57 Schritte, 712.5 Cent) eine akzeptable Quinte. Deren Komplement, eine Quarte von 487.5 Cent, ist 39 Schritte gross und in drei gleiche Teile teilbar - was eine [[Porcupine]]-Temperatur ergibt. Erwähnenswert ist die achttönige Porcupine-[[MOS-Skalen|MOS-Skala]], welche 7 Generator-Intervalle (162.5 Cent, ein Drittel der kleinen Quarte) und einen sehr kleinen Halbton von 62.5 Cent enthält -  die Intervalle unterscheiden sich genau um einen 12-EDO-Halbton.

[Todo weitere, Tonbeispiele] 
= Instrumente =
Der Klavierhersteller Sauter produziert ein akustisches Klavier, das in 96-EDO spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/de/mikroton Sauter 1/16 Ton-Klavier] .

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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''96-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum ersten Mal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Diverse Komponisten haben seither für 96-EDO komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [https://www.discogs.com/sell/release/17561818 The Carillo 1/16-Tone Piano].

= Approximation reiner Intervalle =
96 ist gleich 8*12, 96-EDO entsteht auch durch Teilung eines Standard-12-EDO-Halbtons in acht gleiche Teile. 

Die beste Approximation der Quinte ist dieselbe wie in 12-EDO (7*8 = 56 Grundschritte von 96-EDO). Aufeinanderschichten von vier solcher Quinten führt oktavbereinigt natürlich auch zum selben Intervall wie in 12-EDO, der 400 [[Cent]] grossen Terz (32 Grundschritte von 96-EDO). 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist hingegen einen Grundschritt kleiner, exzellente 387.5 Cent gross (nur 1.2 Cent Abweichung). Die 400-Cent-Terz ist in 96-EDO die Approximation der pythagoräischen grossen Terz 81/64 (deutlich herabtemperiert).

Für den siebten Oberton, die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]], gibt es zwei gute Näherungen, eine kleine von 962.5 Cent und eine grosse von 975 Cent, beide etwa 6 Cent daneben (an sich gut, aber gemessen an der grossen Anzahl Töne von 96-EDO nicht so überragend). 

Der elfte Oberton schliesslich, das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], hat dieselbe Näherung wie in [[24-EDO]] (welches ja eine Teilmenge von 96-EDO ist), wieder sehr gut mit nur 1.3 Cent Abweichung.

[Todo weitere]

= Reguläre Temperaturen =
Da die beste Approximation der Naturterz einen 96-EDO-Schritt kleiner ist als die oktavbereinigte Aufeinanderschichtung von 4 Quinten, bietet 96-EDO '''keine''' Unterstützung für [[mitteltönig|mitteltönige Temperaturen]].

Aufeinanderschichten von 8 grossen Terzen jedoch führt in 96-EDO (anders als in 12-EDO) oktavbereinigt zu einer Quinte, was der Definition einer [[Würschmidt]]-Temperatur entspricht. 96-EDO ist eine der guten gleichstufigen Realisierungen der Würschmidt-Temperatur.

Neben der besten Approximation der Quinte mit 56 Schritten ist auch das nächstgrössere Intervall (57 Schritte, 712.5 Cent) eine akzeptable Quinte. Deren Komplement, eine Quarte von 487.5 Cent, ist 39 Schritte gross und in drei gleiche Teile teilbar - was eine [[Porcupine]]-Temperatur ergibt. Erwähnenswert ist die achttönige Porcupine-[[MOS-Skalen|MOS-Skala]], welche 7 Generator-Intervalle (162.5 Cent, ein Drittel der kleinen Quarte) und einen sehr kleinen Halbton von 62.5 Cent enthält -  die Intervalle unterscheiden sich genau um einen 12-EDO-Halbton.

[Todo weitere, Tonbeispiele] 
= Instrumente =
Der Klavierhersteller Sauter produziert ein akustisches Klavier, das in 96-EDO spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/de/mikroton Sauter 1/16 Ton-Klavier] .

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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''96-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum ersten Mal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Diverse Komponisten haben seither für 96-EDO komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [https://www.discogs.com/sell/release/17561818 The Carillo 1/16-Tone Piano].

= Approximation reiner Intervalle =
96 ist gleich 8*12, 96-EDO entsteht auch durch Teilung eines Standard-12-EDO-Halbtons in acht gleiche Teile. 

Die beste Approximation der Quinte ist dieselbe wie in 12-EDO (7*8 = 56 Grundschritte von 96-EDO). Aufeinanderschichten von vier solcher Quinten führt oktavbereinigt natürlich auch zum selben Intervall wie in 12-EDO, der 400 [[Cent]] grossen Terz (32 Grundschritte von 96-EDO). 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist hingegen einen Grundschritt kleiner, exzellente 387.5 Cent gross (nur 1.2 Cent Abweichung). Die 400-Cent-Terz ist in 96-EDO die Approximation der pythagoräischen grossen Terz 81/64 (deutlich herabtemperiert).

Für den siebten Oberton, die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]], gibt es zwei gute Näherungen, eine kleine von 962.5 Cent und eine grosse von 975 Cent, beide etwa 6 Cent daneben (an sich gut, aber gemessen an der grossen Anzahl Töne von 96-EDO nicht so überragend). 

Der elfte Oberton schliesslich, das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], hat dieselbe Näherung wie in [[24-EDO]] (welches ja eine Teilmenge von 96-EDO ist), wieder sehr gut mit nur 1.3 Cent Abweichung.

[Todo weitere]

= Reguläre Temperaturen =
Da die beste Approximation der Naturterz einen 96-EDO-Schritt kleiner ist als die oktavbereinigte Aufeinanderschichtung von 4 Quinten, bietet 96-EDO '''keine''' Unterstützung für [[mitteltönig|mitteltönige Temperaturen]].

Aufeinanderschichten von 8 grossen Terzen jedoch führt in 96-EDO (anders als in 12-EDO) oktavbereinigt zu einer Quinte, was der Definition einer [[Würschmidt]]-Temperatur entspricht. 96-EDO ist eine der guten gleichstufigen Realisierungen der Würschmidt-Temperatur.

Neben der besten Approximation der Quinte mit 56 Schritten ist auch das nächstgrössere Intervall (57 Schritte, 712.5 Cent) eine akzeptable Quinte. Deren Komplement, eine Quarte von 487.5 Cent, ist 39 Schritte gross und in drei gleiche Teile teilbar - was eine [[Porcupine]]-Temperatur ergibt. Erwähnenswert ist die achttönige Porcupine-[[MOS-Skalen|MOS-Skala]], welche 7 Generator-Intervalle (162.5 Cent, ein Drittel der kleinen Quarte) und einen sehr kleinen Halbton von 62.5 Cent enthält -  die Intervalle unterscheiden sich genau um einen 12-EDO-Halbton.  Bei der fünfzehntönigen MOS-Skala in 96-EDO ist dieser Standard-Halbton das grössere Intervall. 

[Todo weitere, Tonbeispiele]

= Instrumente =
Der Klavierhersteller Sauter produziert ein akustisches Klavier, das in 96-EDO spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/de/mikroton Sauter 1/16 Ton-Klavier] .

[[Kategorie:EDO]]</text>
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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''96-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum ersten Mal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Diverse Komponisten haben seither für 96-EDO komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [https://www.discogs.com/sell/release/17561818 The Carillo 1/16-Tone Piano].

= Approximation reiner Intervalle =
96 ist gleich 8*12, 96-EDO entsteht auch durch Teilung eines Standard-12-EDO-Halbtons in acht gleiche Teile. 

Die beste Approximation der Quinte ist dieselbe wie in 12-EDO (7*8 = 56 Grundschritte von 96-EDO). Aufeinanderschichten von vier solcher Quinten führt oktavbereinigt natürlich auch zum selben Intervall wie in 12-EDO, der 400 [[Cent]] grossen Terz (32 Grundschritte von 96-EDO). 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist hingegen einen Grundschritt kleiner, exzellente 387.5 Cent gross (nur 1.2 Cent Abweichung). Die 400-Cent-Terz ist in 96-EDO die Approximation der pythagoräischen grossen Terz 81/64 (deutlich herabtemperiert).

Für den siebten Oberton, die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]], gibt es zwei gute Näherungen, eine kleine von 962.5 Cent und eine grosse von 975 Cent, beide etwa 6 Cent daneben (an sich gut, aber gemessen an der grossen Anzahl Töne von 96-EDO nicht so überragend). 

Der elfte Oberton schliesslich, das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], hat dieselbe Näherung wie in [[24-EDO]] (welches ja eine Teilmenge von 96-EDO ist), wieder sehr gut mit nur 1.3 Cent Abweichung.

[Todo weitere]

= Reguläre Temperaturen =
Da die beste Approximation der Naturterz einen 96-EDO-Schritt kleiner ist als die oktavbereinigte Aufeinanderschichtung von 4 Quinten, bietet 96-EDO '''keine''' Unterstützung für [[mitteltönig|mitteltönige Temperaturen]].

Aufeinanderschichten von 8 grossen Terzen jedoch führt in 96-EDO (anders als in 12-EDO) oktavbereinigt zu einer Quinte, was der Definition einer [[Würschmidt]]-Temperatur entspricht. 96-EDO ist eine der guten gleichstufigen Realisierungen der Würschmidt-Temperatur.

Neben der besten Approximation der Quinte mit 56 Schritten ist auch das nächstgrössere Intervall (57 Schritte, 712.5 Cent) eine akzeptable Quinte. Deren Komplement, eine Quarte von 487.5 Cent, ist 39 Schritte gross und in drei gleiche Teile teilbar - was eine [[Porcupine]]-Temperatur ergibt. 

Erwähnenswert ist die achttönige Porcupine-[[MOS-Skalen|MOS-Skala]], welche 7 Generator-Intervalle (162.5 Cent, ein Drittel der kleinen Quarte) und einen sehr kleinen Halbton von 62.5 Cent enthält -  die Intervalle unterscheiden sich genau um einen 12-EDO-Halbton.  Bei der fünfzehntönigen MOS-Skala in 96-EDO ist dieser Standard-Halbton das grössere Intervall. 

[Todo weitere, Tonbeispiele]

= Instrumente =
Der Klavierhersteller Sauter produziert ein akustisches Klavier, das in 96-EDO spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/de/mikroton Sauter 1/16 Ton-Klavier] .

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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''96-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum ersten Mal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Diverse Komponisten haben seither für 96-EDO komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [https://www.discogs.com/sell/release/17561818 The Carillo 1/16-Tone Piano].

= Approximation reiner Intervalle =
96 ist gleich 8*12, 96-EDO entsteht auch durch Teilung eines Standard-12-EDO-Halbtons in acht gleiche Teile. 

Die beste Approximation der Quinte ist dieselbe wie in 12-EDO (7*8 = 56 Grundschritte von 96-EDO). Aufeinanderschichten von vier solcher Quinten führt oktavbereinigt natürlich auch zum selben Intervall wie in 12-EDO, der 400 [[Cent]] grossen Terz (32 Grundschritte von 96-EDO). 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist hingegen einen Grundschritt kleiner, exzellente 387.5 Cent gross (nur 1.2 Cent Abweichung). Die 400-Cent-Terz ist in 96-EDO die Approximation der pythagoräischen grossen Terz 81/64 (deutlich herabtemperiert).

Für den siebten Oberton, die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]], gibt es zwei gute Näherungen, eine kleine von 962.5 Cent und eine grosse von 975 Cent, beide etwa 6 Cent daneben (an sich gut, aber gemessen an der grossen Anzahl Töne von 96-EDO nicht so überragend). 

Der elfte Oberton schliesslich, das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], hat dieselbe Näherung wie in [[24-EDO]] (welches ja eine Teilmenge von 96-EDO ist), wieder sehr gut mit nur 1.3 Cent Abweichung.

[Todo weitere]

= Reguläre Temperaturen =
Da die beste Approximation der Naturterz einen 96-EDO-Schritt kleiner ist als die oktavbereinigte Aufeinanderschichtung von 4 Quinten, bietet 96-EDO '''keine''' Unterstützung für [[mitteltönig|mitteltönige Temperaturen]].
==Würschmidt==
Aufeinanderschichten von 8 grossen Terzen jedoch führt in 96-EDO (anders als in 12-EDO) oktavbereinigt zu einer Quinte, was der Definition einer [[Würschmidt]]-Temperatur entspricht. 96-EDO ist eine der guten gleichstufigen Realisierungen der Würschmidt-Temperatur.
==Porcupine==
Neben der besten Approximation der Quinte mit 56 Schritten ist auch das nächstgrössere Intervall (57 Schritte, 712.5 Cent) eine akzeptable Quinte. Deren Komplement, eine Quarte von 487.5 Cent, ist 39 Schritte gross und in drei gleiche Teile teilbar - was eine [[Porcupine]]-Temperatur ergibt. 

Erwähnenswert ist die achttönige Porcupine-[[MOS-Skalen|MOS-Skala]], welche 7 Generator-Intervalle (162.5 Cent, ein Drittel der kleinen Quarte) und einen sehr kleinen Halbton von 62.5 Cent enthält -  die Intervalle unterscheiden sich genau um einen 12-EDO-Halbton.  Bei der fünfzehntönigen MOS-Skala in 96-EDO ist dieser Standard-Halbton das grössere Intervall. 

[Todo weitere, Tonbeispiele]

= Instrumente =
Der Klavierhersteller Sauter produziert ein akustisches Klavier, das in 96-EDO spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/de/mikroton Sauter 1/16 Ton-Klavier] .

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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''96-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum ersten Mal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Diverse Komponisten haben seither für 96-EDO komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [https://www.discogs.com/sell/release/17561818 The Carillo 1/16-Tone Piano].

= Approximation reiner Intervalle =
96 ist gleich 8*12, 96-EDO entsteht auch durch Teilung eines Standard-12-EDO-Halbtons in acht gleiche Teile. 

Die beste Approximation der Quinte ist dieselbe wie in 12-EDO (7*8 = 56 Grundschritte von 96-EDO). Aufeinanderschichten von vier solcher Quinten führt oktavbereinigt natürlich auch zum selben Intervall wie in 12-EDO, der 400 [[Cent]] grossen Terz (32 Grundschritte von 96-EDO). 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist hingegen einen Grundschritt kleiner, exzellente 387.5 Cent gross (nur 1.2 Cent Abweichung). Die 400-Cent-Terz ist in 96-EDO die Approximation der pythagoräischen grossen Terz 81/64 (deutlich herabtemperiert).

Für den siebten Oberton, die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]], gibt es zwei gute Näherungen, eine kleine von 962.5 Cent und eine grosse von 975 Cent, beide etwa 6 Cent daneben (an sich gut, aber gemessen an der grossen Anzahl Töne von 96-EDO nicht so überragend). 

Der elfte Oberton schliesslich, das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], hat dieselbe Näherung wie in [[24-EDO]] (welches ja eine Teilmenge von 96-EDO ist), wieder sehr gut mit nur 1.3 Cent Abweichung.

= Reguläre Temperaturen =
Da die beste Approximation der Naturterz einen 96-EDO-Schritt kleiner ist als die oktavbereinigte Aufeinanderschichtung von 4 Quinten, bietet 96-EDO '''keine''' Unterstützung für [[mitteltönig|mitteltönige Temperaturen]].
==Würschmidt==
Aufeinanderschichten von 8 grossen Terzen jedoch führt in 96-EDO (anders als in 12-EDO) oktavbereinigt zu einer Quinte, was der Definition einer [[Würschmidt]]-Temperatur entspricht. 96-EDO ist eine der guten gleichstufigen Realisierungen der Würschmidt-Temperatur.
==Porcupine==
Neben der besten Approximation der Quinte mit 56 Schritten ist auch das nächstgrössere Intervall (57 Schritte, 712.5 Cent) eine akzeptable Quinte. Deren Komplement, eine Quarte von 487.5 Cent, ist 39 Schritte gross und in drei gleiche Teile teilbar - was eine [[Porcupine]]-Temperatur ergibt. 

Erwähnenswert ist die achttönige Porcupine-[[MOS-Skalen|MOS-Skala]], welche 7 Generator-Intervalle (162.5 Cent, ein Drittel der kleinen Quarte) und einen sehr kleinen Halbton von 62.5 Cent enthält -  die Intervalle unterscheiden sich genau um einen 12-EDO-Halbton.  Bei der fünfzehntönigen MOS-Skala in 96-EDO ist dieser Standard-Halbton das grössere Intervall. 

[Todo weitere, Tonbeispiele]

= Instrumente =
Der Klavierhersteller Sauter produziert ein akustisches Klavier, das in 96-EDO spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/de/mikroton Sauter 1/16 Ton-Klavier] .

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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''96-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum ersten Mal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Diverse Komponisten haben seither für 96-EDO komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [https://www.discogs.com/sell/release/17561818 The Carillo 1/16-Tone Piano].

= Approximation reiner Intervalle =
96 ist gleich 8*12, 96-EDO entsteht auch durch Teilung eines Standard-12-EDO-Halbtons in acht gleiche Teile. 

Die beste Approximation der Quinte ist dieselbe wie in 12-EDO (7*8 = 56 Grundschritte von 96-EDO). Aufeinanderschichten von vier solcher Quinten führt oktavbereinigt natürlich auch zum selben Intervall wie in 12-EDO, der 400 [[Cent]] grossen Terz (32 Grundschritte von 96-EDO). 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist hingegen einen Grundschritt kleiner, exzellente 387.5 Cent gross (nur 1.2 Cent Abweichung). Die 400-Cent-Terz ist in 96-EDO die Approximation der pythagoräischen grossen Terz 81/64 (deutlich herabtemperiert).

Für den siebten Oberton, die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]], gibt es zwei gute Näherungen, eine kleine von 962.5 Cent und eine grosse von 975 Cent, beide etwa 6 Cent daneben (an sich gut, aber gemessen an der grossen Anzahl Töne von 96-EDO nicht so überragend). 

Der elfte Oberton schliesslich, das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], hat dieselbe Näherung wie in [[24-EDO]] (welches ja eine Teilmenge von 96-EDO ist), wieder sehr gut mit nur 1.3 Cent Abweichung.

= Reguläre Temperaturen =
Da die beste Approximation der Naturterz einen 96-EDO-Schritt kleiner ist als die oktavbereinigte Aufeinanderschichtung von 4 Quinten, bietet 96-EDO '''keine''' Unterstützung für [[mitteltönig|mitteltönige Temperaturen]].
==Würschmidt==
Aufeinanderschichten von 8 grossen Terzen jedoch führt in 96-EDO (anders als in 12-EDO) oktavbereinigt zu einer Quinte, was der Definition einer [[Würschmidt]]-Temperatur entspricht. 96-EDO ist eine der guten gleichstufigen Realisierungen der Würschmidt-Temperatur.
==Porcupine==
Neben der besten Approximation der Quinte mit 56 Schritten ist auch das nächstgrössere Intervall (57 Schritte, 712.5 Cent) eine akzeptable Quinte. Deren Komplement, eine Quarte von 487.5 Cent, ist 39 Schritte gross und in drei gleiche Teile teilbar - was eine [[Porcupine]]-Temperatur ergibt. 

Bei der achttönigen Porcupine-[[MOS-Skalen|MOS-Skala]], welche aus 7 Generator-Intervallen und einem sehr kleinen Halbton besteht, ist erwähnenswert, dass die beiden Intervalle 162.5 und 62.5 Cent gross sind - sie unterscheiden sich genau um einen 12-EDO-Halbton. Bei der fünfzehntönigen MOS-Skala in 96-EDO ist dieser Standard-Halbton das grössere Intervall. 

[Todo Tonbeispiele]

= Instrumente =
Der Klavierhersteller Sauter produziert ein akustisches Klavier, das in 96-EDO spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/de/mikroton Sauter 1/16 Ton-Klavier] .

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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''96-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum ersten Mal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Diverse Komponisten haben seither für 96-EDO komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [https://www.discogs.com/sell/release/17561818 The Carillo 1/16-Tone Piano].

= Approximation reiner Intervalle =
96 ist gleich 8*12, 96-EDO entsteht auch durch Teilung eines Standard-12-EDO-Halbtons in acht gleiche Teile. 

Die beste Approximation der Quinte ist dieselbe wie in 12-EDO (7*8 = 56 Grundschritte von 96-EDO). Aufeinanderschichten von vier solcher Quinten führt oktavbereinigt natürlich auch zum selben Intervall wie in 12-EDO, der 400 [[Cent]] grossen Terz (32 Grundschritte von 96-EDO). 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist hingegen einen Grundschritt kleiner, exzellente 387.5 Cent gross (nur 1.2 Cent Abweichung). Die 400-Cent-Terz ist in 96-EDO die Approximation der pythagoräischen grossen Terz 81/64 (deutlich herabtemperiert).

Für den siebten Oberton, die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]], gibt es zwei gute Näherungen, eine kleine von 962.5 Cent und eine grosse von 975 Cent, beide etwa 6 Cent daneben (an sich gut, aber gemessen an der grossen Anzahl Töne von 96-EDO nicht so überragend). 

Der elfte Oberton schliesslich, das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], hat dieselbe Näherung wie in [[24-EDO]] (welches ja eine Teilmenge von 96-EDO ist), wieder sehr gut mit nur 1.3 Cent Abweichung.

= Reguläre Temperaturen =
Da die beste Approximation der Naturterz einen 96-EDO-Schritt kleiner ist als die oktavbereinigte Aufeinanderschichtung von 4 Quinten, bietet 96-EDO '''keine''' Unterstützung für [[mitteltönig|mitteltönige Temperaturen]].
==Würschmidt==
Aufeinanderschichten von 8 grossen Terzen jedoch führt in 96-EDO (anders als in 12-EDO) oktavbereinigt zu einer Quinte, was der Definition einer [[Würschmidt]]-Temperatur entspricht. 96-EDO ist eine der guten gleichstufigen Realisierungen der Würschmidt-Temperatur.

[Todo Tonbeispiele]

==Porcupine==
Neben der besten Approximation der Quinte mit 56 Schritten ist auch das nächstgrössere Intervall (57 Schritte, 712.5 Cent) eine akzeptable Quinte. Deren Komplement, eine Quarte von 487.5 Cent, ist 39 Schritte gross und in drei gleiche Teile teilbar - was eine [[Porcupine]]-Temperatur ergibt. 

Bei der achttönigen Porcupine-[[MOS-Skalen|MOS-Skala]], welche aus 7 Generator-Intervallen und einem sehr kleinen Halbton besteht, ist erwähnenswert, dass die beiden Intervalle 162.5 und 62.5 Cent gross sind - sie unterscheiden sich genau um einen 12-EDO-Halbton. Bei der fünfzehntönigen MOS-Skala in 96-EDO ist dieser Standard-Halbton das grössere Intervall. 

[Todo Tonbeispiele]

= Instrumente =
Der Klavierhersteller Sauter produziert ein akustisches Klavier, das in 96-EDO spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/de/mikroton Sauter 1/16 Ton-Klavier] .

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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''96-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 96 gleiche Teile (Sechzehnteltöne) wurde zum ersten Mal vom mexikanischen Komponisten [[Julián Carrillo]] verwendet.

Diverse Komponisten haben seither für 96-EDO komponiert. Eine CD, die als Referenz gelten kann, ist [https://www.discogs.com/sell/release/17561818 The Carillo 1/16-Tone Piano].

= Approximation reiner Intervalle =
96 ist gleich 8*12, 96-EDO entsteht auch durch Teilung eines Standard-12-EDO-Halbtons in acht gleiche Teile. 

Die beste Approximation der Quinte ist dieselbe wie in 12-EDO (7*8 = 56 Grundschritte von 96-EDO). Aufeinanderschichten von vier solcher Quinten führt oktavbereinigt natürlich auch zum selben Intervall wie in 12-EDO, der 400 [[Cent]] grossen Terz (32 Grundschritte von 96-EDO). 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist hingegen einen Grundschritt kleiner, exzellente 387.5 Cent gross (nur 1.2 Cent Abweichung). Die 400-Cent-Terz ist in 96-EDO die Approximation der pythagoräischen grossen Terz 81/64 (deutlich herabtemperiert).

Für den siebten Oberton, die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]], gibt es zwei gute Näherungen, eine kleine von 962.5 Cent und eine grosse von 975 Cent, beide etwa 6 Cent daneben (an sich gut, aber gemessen an der grossen Anzahl Töne von 96-EDO nicht so überragend). 

Der elfte Oberton schliesslich, das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], hat dieselbe Näherung wie in [[24-EDO]] (welches ja eine Teilmenge von 96-EDO ist), wieder sehr gut mit nur 1.3 Cent Abweichung.

= Reguläre Temperaturen =
Da die beste Approximation der Naturterz einen 96-EDO-Schritt kleiner ist als die oktavbereinigte Aufeinanderschichtung von 4 Quinten, bietet 96-EDO '''keine''' Unterstützung für [[mitteltönig|mitteltönige Temperaturen]].
==Würschmidt==
Aufeinanderschichten von 8 grossen Terzen jedoch führt in 96-EDO (anders als in 12-EDO) oktavbereinigt zu einer Quinte, was der Definition einer [[Würschmidt]]-Temperatur entspricht. 96-EDO ist eine der guten gleichstufigen Realisierungen der Würschmidt-Temperatur.

[Todo Tonbeispiele]

==Porcupine==
Neben der besten Approximation der Quinte mit 7*8 = 56 Schritten ist auch das nächstgrössere Intervall (57 Schritte, 712.5 Cent) eine akzeptable Quinte. Deren Komplement, eine Quarte von 487.5 Cent, ist 39 Schritte gross und in drei gleiche Teile teilbar - was eine [[Porcupine]]-Temperatur ergibt. 

Bei der achttönigen Porcupine-[[MOS-Skalen|MOS-Skala]], welche aus 7 Generator-Intervallen und einem sehr kleinen Halbton besteht, ist erwähnenswert, dass die beiden Intervalle 162.5 und 62.5 Cent gross sind - sie unterscheiden sich genau um einen 12-EDO-Halbton. Bei der fünfzehntönigen MOS-Skala in 96-EDO ist dieser Standard-Halbton das grössere Intervall. 

[Todo Tonbeispiele]

= Instrumente =
Der Klavierhersteller Sauter produziert ein akustisches Klavier, das in 96-EDO spielen kann. Siehe [http://www.sauter-pianos.de/de/mikroton Sauter 1/16 Ton-Klavier] .

[[Kategorie:EDO]]</text>
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XXX Hier gehört &amp;amp;quot;Mutabor&amp;amp;quot; hin...&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Deutschsprachige Ressourcen:
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Deutschsprachige Ressourcen:&amp;lt;br /&amp;gt;
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[[File:Alphorn-Fa.mp3]]

Deutschsprachige Ressourcen:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Alphorn-Fa Alphorn-Fa (Wikipedia)]  [[Category:Intervall]]
[[Category:Naturton]]</text>
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Das '''Alphorn-Fa''' ist ein Intervall, das zwischen [[Quarte]] ([[4/3]]) und Tritonus ([[7/5]], [[1\2]], [[10/7]]) liegt und im landläufigen [[12edo]]-System sehr schlecht angenähert werden kann. Es kann daher als sehr xenharmonisch angesehen werden.

[[File:Alphorn-Fa.mp3]] [[:File:Alphorn-Fa.mp3|Sound-Info]]

:''Siehe auch [http://de.wikipedia.org/wiki/Alphorn-Fa Alphorn-Fa - Wikipedia]''

[[Kategorie:Intervall]]
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}}

Das '''Alphorn-Fa''' ist ein Intervall, das zwischen [[Quarte]] ([[4/3]]) und Tritonus ([[7/5]], [[1\2]], [[10/7]]) liegt und im landläufigen [[12edo]]-System sehr schlecht angenähert werden kann. Es kann daher als sehr xenharmonisch angesehen werden.

:''Siehe auch [http://de.wikipedia.org/wiki/Alphorn-Fa Alphorn-Fa - Wikipedia]''

[[Kategorie:Intervall]]
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}}

Das '''Alphorn-Fa''' ist ein Intervall, das zwischen [[Quarte]] ([[4/3]]) und Tritonus ([[7/5]], [[1\2]], [[10/7]]) liegt und im landläufigen [[12edo]]-System sehr schlecht angenähert werden kann. Es kann daher als sehr xenharmonisch angesehen werden.

:''Siehe auch [http://de.wikipedia.org/wiki/Alphorn-Fa Alphorn-Fa - Wikipedia]''

[[Kategorie:Intervall]]
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}}

Das '''Alphorn-Fa''' ist ein [[Intervall]], das zwischen [[Quarte]] ([[4/3]]) und Tritonus ([[7/5]], [[1\2]], [[10/7]]) liegt und im landläufigen [[12edo]]-System sehr schlecht angenähert werden kann. Es kann daher als sehr [[xenharmonisch]] angesehen werden.

:''Siehe auch [http://de.wikipedia.org/wiki/Alphorn-Fa Alphorn-Fa - Wikipedia]''

[[Kategorie:Intervall]]
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}}

Das '''Alphorn-Fa''' ist ein [[Intervall]], das zwischen [[Quarte]] ([[4/3]]) und Tritonus ([[7/5]], [[1\2]], [[10/7]]) liegt und im landläufigen [[12edo]]-System sehr schlecht angenähert werden kann. Es kann daher als sehr [[xenharmonisch]] angesehen werden.

:''Siehe auch [http://de.wikipedia.org/wiki/Alphorn-Fa Alphorn-Fa - Wikipedia]''

[[Kategorie:Intervall]]
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}}

Das '''Alphorn-Fa''' ist ein [[Intervall]], das zwischen [[Quarte]] ([[4/3]]) und Tritonus ([[7/5]], [[1\2]], [[10/7]]) liegt und im landläufigen [[12-EDO]]-System sehr schlecht angenähert werden kann. Es kann daher als sehr [[xenharmonisch]] angesehen werden.

:''Siehe auch [http://de.wikipedia.org/wiki/Alphorn-Fa Alphorn-Fa - Wikipedia]''

[[Kategorie:Intervall]]
[[Kategorie:Naturton]]
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(Als '''nicht spannend''' wären vermutlich Verbote wie das der [[Quintparallele|Quintparallelen]] zu verstehen.)

Schön wäre, wenn wir ein bisschen im Blick behielten, was andere hier hinterlassen und durch Verknüpfungen Gedanken zusammenführen, die sich aufeinander beziehen. Auch Bezüge zwischen einander widersprechenden Ansätzen können einen hohen Wert bergen.  [[Category:about]]</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-14 13:32:45 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
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(Als **nicht spannend** wären vermutlich Verbote wie das der [[Quintparallele|Quintparallelen]] zu verstehen.)

Schön wäre, wenn wir ein bisschen im Blick behielten, was andere hier hinterlassen und durch Verknüpfungen Gedanken zusammenführen, die sich aufeinander beziehen. Auch Bezüge zwischen einander widersprechenden Ansätzen können einen hohen Wert bergen. 
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(Als &amp;lt;strong&amp;gt;nicht spannend&amp;lt;/strong&amp;gt; wären vermutlich Verbote wie das der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quintparallele"&amp;gt;Quintparallelen&amp;lt;/a&amp;gt; zu verstehen.)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Schön wäre, wenn wir ein bisschen im Blick behielten, was andere hier hinterlassen und durch Verknüpfungen Gedanken zusammenführen, die sich aufeinander beziehen. Auch Bezüge zwischen einander widersprechenden Ansätzen können einen hohen Wert bergen.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-13 04:23:07 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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(Als **nicht spannend** wären vermutlich Verbote wie das der [[Quintparallele|Quintparallelen]] zu verstehen.)

Schön wäre, wenn wir ein bisschen im Blick behielten, was andere hier hinterlassen und durch Verknüpfungen Gedanken zusammenführen, die sich aufeinander beziehen. Auch Bezüge zwischen einander widersprechenden Ansätzen können einen hohen Wert bergen. 
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(Als &amp;lt;strong&amp;gt;nicht spannend&amp;lt;/strong&amp;gt; wären vermutlich Verbote wie das der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quintparallele"&amp;gt;Quintparallelen&amp;lt;/a&amp;gt; zu verstehen.)&amp;lt;br /&amp;gt;
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: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-04-17 17:34:17 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
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(Als **nicht spannend** wären vermutlich Verbote wie das der [[Quintparallele|Quintparallelen]] zu verstehen.)

Schön wäre, wenn wir ein bisschen im Blick behielten, was andere hier hinterlassen und durch Verknüpfungen Gedanken zusammenführen, die sich aufeinander beziehen. Rühmlich hervorzuheben wären die Mitspieler, die auf Ansätze verweisen, die ihren eigenen widersprechen, und sich nicht allein darum bemühen, beifällige Beiträge zu ihren Thesen zu sammeln...&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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(Als &amp;lt;strong&amp;gt;nicht spannend&amp;lt;/strong&amp;gt; wären vermutlich Verbote wie das der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quintparallele"&amp;gt;Quintparallelen&amp;lt;/a&amp;gt; zu verstehen.)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Schön wäre, wenn wir ein bisschen im Blick behielten, was andere hier hinterlassen und durch Verknüpfungen Gedanken zusammenführen, die sich aufeinander beziehen. Rühmlich hervorzuheben wären die Mitspieler, die auf Ansätze verweisen, die ihren eigenen widersprechen, und sich nicht allein darum bemühen, beifällige Beiträge zu ihren Thesen zu sammeln...&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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(Als ''nicht spannend'' wären vermutlich ''Verbote'' wie das der [[Quintparallelen]] zu verstehen.)

Schön wäre, wenn wir ein bisschen im Blick behielten, was andere hier hinterlassen und durch Verknüpfungen Gedanken zusammenführen, die sich aufeinander beziehen. Auch Bezüge zwischen einander widersprechenden Ansätzen können einen hohen Wert bergen.  [[Category:about]]</text>
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      <text bytes="6421" sha1="b66e14ok78vu8mixwktd73tkzn4uc78" xml:space="preserve">English: [[:en:Arabic,_Turkish,_Persian xenharmonic/Arabic, Turkish, Persian]]

Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.

Ein Basiskonzept ist "Maqam" (Plural "Maqamat"), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen "Modus" entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet "Makam", das verwandte persische System figuriert unter "Dastgah". Zur Einführung siehe etwa:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Klassische_Arabische_Musik#Das_Tonsystem_der_Araber Klassische arabische Musik (Wikipedia)]

[http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29 Maqam (Wikipedia)]

[http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah Dastgah (Wikipedia)]

Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in [http://traffic.libsyn.com/shumays/PPerform_019_2007-02-02.mp3 diesem Podcast] des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.

=Gleichstufige Stimmungen für Maqamat=
Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige Stimmung]] zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von [[12edo|12edo]] zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.

Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.

==Stufe 1==
Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein Tonsystem für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden&lt;/sup&gt;[[#cite_note-1|[1]]]&lt;/sup&gt; :

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Struktur.&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Die kleinsten [[edo|EDO]]-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[17edo|17edo]] und [[24edo|24edo]]. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.

Im Rahmen des Konzepts der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] werden die obigen Bedingungen von der [[maqamisch|maqamischen Temperatur]] erfüllt.

==Stufe 2==
Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.

Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die "Bayati"-Skala und eine grössere für die "Rast"-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein "grosser Ganzton" sein, die kleine Sekunde hingegen ein "kleiner Halbton" - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem "kleinen" (Limma) und einem "grossen" (Apotom).

Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[53edo|53edo]] und [[72edo|72edo]]. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.

Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler [[Ozan_Yarman|Ozan Yarman]]&lt;/sup&gt;[[#cite_note-2|[2]]]&lt;/sup&gt; auch [[34edo|34edo]], [[41edo|41edo]] und [[46edo|46edo]] in Frage, in Grenzen auch [[29edo|29edo]]. 29edo, 34edo und 41edo haben dabei die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem "kleinen Ganzton" liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 29edo, 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.

Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht ''ein'' orientalisches Tonsystem, sondern viele. Es gibt übrigens nicht einmal nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...

==Stufe 3==
Selbst 53edo und 72edo, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:

Ozan Yarmans Dissertation&lt;/sup&gt;[[#cite_note-3|[3]]]&lt;/sup&gt; &lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige [[MOS-Skalen|MOS]]-Teilmenge von 159edo ist.&lt;/span&gt;

[[:en:Tsaharuk Tsaharuk (Artikel in englischer Sprache)]] ist eine [[Reguläre_Temperaturen|reguläre Temperatur]], welche in 77edo, 94edo, 111edo, 128edo, 145edo, 171edo oder 359edo realisiert werden kann.

=Referenzen=
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] &lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;[http://foredofico.org/CERMAA/publications/publications-on-the-site/publications-amine-beyhom Amine Beyhom], A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209.&lt;/span&gt;&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-2|^]] Ozan Yarman, [http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_ Search For A Theoretical Model Conforming To Turkish Maqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From 34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning]&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-3|^]] &lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;Ozan Yarman, &lt;/span&gt;&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;[http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf 79-Tone Tuning &amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music]&lt;/span&gt;&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&lt;/span&gt;&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;</text>
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Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.

Ein Basiskonzept ist "Maqam" (Plural "Maqamat"), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen "Modus" entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet "Makam", das verwandte persische System figuriert unter "Dastgah". Zur Einführung siehe etwa:

[[http://de.wikipedia.org/wiki/Klassische_Arabische_Musik#Das_Tonsystem_der_Araber|Klassische arabische Musik (Wikipedia)]]
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29|Maqam (Wikipedia)]]
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah|Dastgah (Wikipedia)]]

Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in [[http://traffic.libsyn.com/shumays/PPerform_019_2007-02-02.mp3|diesem Podcast]] des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.

=Gleichstufige Stimmungen für Maqamat= 
Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige Stimmung]] zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von [[12edo]] zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.

Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.

==Stufe 1== 
Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein Tonsystem für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden&amp;lt;ref&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;[[http://foredofico.org/CERMAA/publications/publications-on-the-site/publications-amine-beyhom|Amine Beyhom]], A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/ref&amp;gt; :
* Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Struktur.
* Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.

Die kleinsten [[edo|EDO]]-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[17edo]] und [[24edo]]. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.

Im Rahmen des Konzepts der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] werden die obigen Bedingungen von der [[maqamisch|maqamischen Temperatur]] erfüllt.

==Stufe 2== 
Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.

Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die "Bayati"-Skala und eine grössere für die "Rast"-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein "grosser Ganzton" sein, die kleine Sekunde hingegen ein "kleiner Halbton" - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem "kleinen" (Limma) und einem "grossen" (Apotom).

Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[53edo]] und [[72edo]]. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.

Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler [[Ozan Yarman]]&amp;lt;ref&amp;gt;Ozan Yarman, [[http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_|Search For A Theoretical Model Conforming To Turkish Maqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From 34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning]]&amp;lt;/ref&amp;gt; auch [[34edo]], [[41edo]] und [[46edo]] in Frage, in Grenzen auch [[29edo]]. 29edo, 34edo und 41edo haben dabei die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem "kleinen Ganzton" liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 29edo, 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.

Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht //ein// orientalisches Tonsystem, sondern viele. Es gibt übrigens nicht einmal nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...

==Stufe 3== 
Selbst 53edo und 72edo, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:

Ozan Yarmans Dissertation&amp;lt;ref&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Ozan Yarman, &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;[[http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf|79-Tone Tuning &amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music]]&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/ref&amp;gt; &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige [[MOS-Skalen|MOS]]-Teilmenge von 159edo ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

[[xenharmonic/Tsaharuk|Tsaharuk (Artikel in englischer Sprache)]] ist eine [[Reguläre Temperaturen|reguläre Temperatur]], welche in 77edo, 94edo, 111edo, 128edo, 145edo, 171edo oder 359edo realisiert werden kann.

=Referenzen= 
&amp;lt;references /&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein Basiskonzept ist &amp;amp;quot;Maqam&amp;amp;quot; (Plural &amp;amp;quot;Maqamat&amp;amp;quot;), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen &amp;amp;quot;Modus&amp;amp;quot; entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet &amp;amp;quot;Makam&amp;amp;quot;, das verwandte persische System figuriert unter &amp;amp;quot;Dastgah&amp;amp;quot;. Zur Einführung siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://traffic.libsyn.com/shumays/PPerform_019_2007-02-02.mp3" rel="nofollow"&amp;gt;diesem Podcast&amp;lt;/a&amp;gt; des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die &amp;amp;quot;Bayati&amp;amp;quot;-Skala und eine grössere für die &amp;amp;quot;Rast&amp;amp;quot;-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein &amp;amp;quot;grosser Ganzton&amp;amp;quot; sein, die kleine Sekunde hingegen ein &amp;amp;quot;kleiner Halbton&amp;amp;quot; - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem &amp;amp;quot;kleinen&amp;amp;quot; (Limma) und einem &amp;amp;quot;grossen&amp;amp;quot; (Apotom).&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht &amp;lt;em&amp;gt;ein&amp;lt;/em&amp;gt; orientalisches Tonsystem, sondern viele. Es gibt übrigens nicht einmal nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:20:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 3"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:20 --&amp;gt;Stufe 3&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Selbst 53edo und 72edo, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ozan Yarmans Dissertation&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRefRule:13:&amp;amp;amp;lt;ref&amp;amp;amp;gt;&amp;amp;lt;span style=&amp;amp;quot;background-color: #ffffff;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;Ozan Yarman, &amp;amp;lt;/span&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;span style=&amp;amp;quot;background-color: #ffffff;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;a class=&amp;amp;quot;wiki_link_ext&amp;amp;quot; href=&amp;amp;quot;http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf&amp;amp;quot; rel=&amp;amp;quot;nofollow&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;79-Tone Tuning &amp;amp;amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music&amp;amp;lt;/a&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;/span&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;span style=&amp;amp;quot;background-color: #ffffff;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&amp;amp;lt;/span&amp;amp;gt;&amp;amp;amp;lt;/ref&amp;amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;sup id="cite_ref-3" class="reference"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_note-3"&amp;gt;[3]&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/sup&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRefRule:13 --&amp;gt; &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS&amp;lt;/a&amp;gt;-Teilmenge von 159edo ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Tsaharuk"&amp;gt;Tsaharuk (Artikel in englischer Sprache)&amp;lt;/a&amp;gt; ist eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;, welche in 77edo, 94edo, 111edo, 128edo, 145edo, 171edo oder 359edo realisiert werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:22:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Referenzen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:22 --&amp;gt;Referenzen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextReferencesRule:96:&amp;amp;amp;lt;references /&amp;amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;ol class="references"&amp;gt;
&amp;lt;li id="cite_note-1"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_ref-1"&amp;gt;^&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://foredofico.org/CERMAA/publications/publications-on-the-site/publications-amine-beyhom" rel="nofollow"&amp;gt;Amine Beyhom&amp;lt;/a&amp;gt;, A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
&amp;lt;li id="cite_note-2"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_ref-2"&amp;gt;^&amp;lt;/a&amp;gt; Ozan Yarman, &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_" rel="nofollow"&amp;gt;Search For A Theoretical Model Conforming To Turkish Maqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From 34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
&amp;lt;li id="cite_note-3"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_ref-3"&amp;gt;^&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Ozan Yarman, &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;79-Tone Tuning &amp;amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Arabic, Turkish, Persian]]

Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.

Ein Basiskonzept ist "Maqam" (Plural "Maqamat"), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen "Modus" entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet "Makam", das verwandte persische System figuriert unter "Dastgah". Zur Einführung siehe etwa:

[[http://de.wikipedia.org/wiki/Klassische_Arabische_Musik#Das_Tonsystem_der_Araber|Klassische arabische Musik (Wikipedia)]]
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29|Maqam (Wikipedia)]]
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah|Dastgah (Wikipedia)]]

Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in [[http://traffic.libsyn.com/shumays/PPerform_019_2007-02-02.mp3|diesem Podcast]] des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.

=Gleichstufige Stimmungen für Maqamat= 
Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige Stimmung]] zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von [[12edo]] zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.

Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.

==Stufe 1== 
Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein Tonsystem für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden&amp;lt;ref&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;[[http://foredofico.org/CERMAA/publications/publications-on-the-site/publications-amine-beyhom|Amine Beyhom]], A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/ref&amp;gt; :
* Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Struktur.
* Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.

Die kleinsten [[edo|EDO]]-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[17edo]] und [[24edo]]. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.

Im Rahmen des Konzepts der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] werden die obigen Bedingungen von der [[maqamisch|maqamischen Temperatur]] erfüllt.

==Stufe 2== 
Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.

Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die "Bayati"-Skala und eine grössere für die "Rast"-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein "grosser Ganzton" sein, die kleine Sekunde hingegen ein "kleiner Halbton" - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem "kleinen" (Limma) und einem "grossen" (Apotom).

Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[53edo]] und [[72edo]]. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.

Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler [[Ozan Yarman]]&amp;lt;ref&amp;gt;Ozan Yarman, [[http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_|Search For A Theoretical Model Conforming To Turkish Maqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From 34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning]]&amp;lt;/ref&amp;gt; auch [[34edo]], [[41edo]] und [[46edo]] in Frage, in Grenzen auch [[29edo]]. 29edo, 34edo und 41edo haben dabei die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem "kleinen Ganzton" liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.

Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht //ein// orientalisches Tonsystem, sondern viele - nicht einmal nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...

==Stufe 3== 
Selbst 53edo und 72edo, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:

Ozan Yarmans Dissertation&amp;lt;ref&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Ozan Yarman, &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;[[http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf|79-Tone Tuning &amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music]]&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/ref&amp;gt; &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige [[MOS-Skalen|MOS]]-Teilmenge von 159edo ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

[[xenharmonic/Tsaharuk|Tsaharuk (Artikel in englischer Sprache)]] ist eine [[Reguläre Temperaturen|reguläre Temperatur]], welche in 77edo, 94edo, 111edo, 128edo, 145edo, 171edo oder 359edo realisiert werden kann.

=Referenzen= 
&amp;lt;references /&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;arabisch, türkisch, persisch&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Arabic%2C%20Turkish%2C%20Persian"&amp;gt;xenharmonic/Arabic, Turkish, Persian&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein Basiskonzept ist &amp;amp;quot;Maqam&amp;amp;quot; (Plural &amp;amp;quot;Maqamat&amp;amp;quot;), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen &amp;amp;quot;Modus&amp;amp;quot; entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet &amp;amp;quot;Makam&amp;amp;quot;, das verwandte persische System figuriert unter &amp;amp;quot;Dastgah&amp;amp;quot;. Zur Einführung siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Klassische_Arabische_Musik#Das_Tonsystem_der_Araber" rel="nofollow"&amp;gt;Klassische arabische Musik (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29" rel="nofollow"&amp;gt;Maqam (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://traffic.libsyn.com/shumays/PPerform_019_2007-02-02.mp3" rel="nofollow"&amp;gt;diesem Podcast&amp;lt;/a&amp;gt; des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Struktur.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die kleinsten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;EDO&amp;lt;/a&amp;gt;-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/24edo"&amp;gt;24edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Im Rahmen des Konzepts der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; werden die obigen Bedingungen von der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/maqamisch"&amp;gt;maqamischen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; erfüllt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die &amp;amp;quot;Bayati&amp;amp;quot;-Skala und eine grössere für die &amp;amp;quot;Rast&amp;amp;quot;-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein &amp;amp;quot;grosser Ganzton&amp;amp;quot; sein, die kleine Sekunde hingegen ein &amp;amp;quot;kleiner Halbton&amp;amp;quot; - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem &amp;amp;quot;kleinen&amp;amp;quot; (Limma) und einem &amp;amp;quot;grossen&amp;amp;quot; (Apotom).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/72edo"&amp;gt;72edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ozan%20Yarman"&amp;gt;Ozan Yarman&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRefRule:5:&amp;amp;amp;lt;ref&amp;amp;amp;gt;Ozan Yarman, &amp;amp;lt;a class=&amp;amp;quot;wiki_link_ext&amp;amp;quot; href=&amp;amp;quot;http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_&amp;amp;quot; rel=&amp;amp;quot;nofollow&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;Search For A Theoretical Model Conforming To Turkish Maqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From 34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning&amp;amp;lt;/a&amp;amp;gt;&amp;amp;amp;lt;/ref&amp;amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;sup id="cite_ref-2" class="reference"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_note-2"&amp;gt;[2]&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/sup&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRefRule:5 --&amp;gt; auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/46edo"&amp;gt;46edo&amp;lt;/a&amp;gt; in Frage, in Grenzen auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;. 29edo, 34edo und 41edo haben dabei die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem &amp;amp;quot;kleinen Ganzton&amp;amp;quot; liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reinen grossen Terz 5/4&amp;lt;/a&amp;gt; zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht &amp;lt;em&amp;gt;ein&amp;lt;/em&amp;gt; orientalisches Tonsystem, sondern viele - nicht einmal nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:20:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 3"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:20 --&amp;gt;Stufe 3&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Selbst 53edo und 72edo, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ozan Yarmans Dissertation&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRefRule:13:&amp;amp;amp;lt;ref&amp;amp;amp;gt;&amp;amp;lt;span style=&amp;amp;quot;background-color: #ffffff;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;Ozan Yarman, &amp;amp;lt;/span&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;span style=&amp;amp;quot;background-color: #ffffff;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;a class=&amp;amp;quot;wiki_link_ext&amp;amp;quot; href=&amp;amp;quot;http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf&amp;amp;quot; rel=&amp;amp;quot;nofollow&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;79-Tone Tuning &amp;amp;amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music&amp;amp;lt;/a&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;/span&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;span style=&amp;amp;quot;background-color: #ffffff;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&amp;amp;lt;/span&amp;amp;gt;&amp;amp;amp;lt;/ref&amp;amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;sup id="cite_ref-3" class="reference"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_note-3"&amp;gt;[3]&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/sup&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRefRule:13 --&amp;gt; &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS&amp;lt;/a&amp;gt;-Teilmenge von 159edo ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Tsaharuk"&amp;gt;Tsaharuk (Artikel in englischer Sprache)&amp;lt;/a&amp;gt; ist eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;, welche in 77edo, 94edo, 111edo, 128edo, 145edo, 171edo oder 359edo realisiert werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:22:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Referenzen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:22 --&amp;gt;Referenzen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextReferencesRule:96:&amp;amp;amp;lt;references /&amp;amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;ol class="references"&amp;gt;
&amp;lt;li id="cite_note-1"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_ref-1"&amp;gt;^&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://foredofico.org/CERMAA/publications/publications-on-the-site/publications-amine-beyhom" rel="nofollow"&amp;gt;Amine Beyhom&amp;lt;/a&amp;gt;, A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
&amp;lt;li id="cite_note-2"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_ref-2"&amp;gt;^&amp;lt;/a&amp;gt; Ozan Yarman, &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_" rel="nofollow"&amp;gt;Search For A Theoretical Model Conforming To Turkish Maqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From 34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
&amp;lt;li id="cite_note-3"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_ref-3"&amp;gt;^&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Ozan Yarman, &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;79-Tone Tuning &amp;amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-12-14 07:28:06 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Arabic, Turkish, Persian]]

Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.

Ein Basiskonzept ist "Maqam" (Plural "Maqamat"), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen "Modus" entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet "Makam", das verwandte persische System figuriert unter "Dastgah". Zur Einführung siehe etwa:

[[http://de.wikipedia.org/wiki/Klassische_Arabische_Musik#Das_Tonsystem_der_Araber|Klassische arabische Musik (Wikipedia)]]
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29|Maqam (Wikipedia)]]
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah|Dastgah (Wikipedia)]]

Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in [[http://traffic.libsyn.com/shumays/PPerform_019_2007-02-02.mp3|diesem Podcast]] des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.

=Gleichstufige Stimmungen für Maqamat= 
Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige Stimmung]] zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von [[12edo]] zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.

Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.

==Stufe 1== 
Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein Tonsystem für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden&amp;lt;ref&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;[[http://foredofico.org/CERMAA/publications/publications-on-the-site/publications-amine-beyhom|Amine Beyhom]], A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/ref&amp;gt; :
* Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Struktur.
* Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.

Die kleinsten [[edo|EDO]]-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[17edo]] und [[24edo]]. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.

Im Rahmen des Konzepts der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] werden die obigen Bedingungen von der [[maqamisch|maqamischen Temperatur]] erfüllt.

==Stufe 2== 
Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.

Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die "Bayati"-Skala und eine grössere für die "Rast"-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein "grosser Ganzton" sein, die kleine Sekunde hingegen ein "kleiner Halbton" - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem "kleinen" (Limma) und einem "grossen" (Apotom).

Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[53edo]] und [[72edo]]. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.

Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler [[Ozan Yarman]]&amp;lt;ref&amp;gt;Ozan Yarman, [[http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_|Search For A Theoretical Model Conforming To Turkish Maqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From 34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning]]&amp;lt;/ref&amp;gt; auch [[34edo]], [[41edo]] und [[46edo]] in Frage. 34edo und 41edo haben dabei die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem "kleinen Ganzton" liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.

Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht //ein// orientalisches Tonsystem, sondern viele - und nicht nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...

==Stufe 3== 
Selbst 53edo und 72edo, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:

Ozan Yarmans Dissertation&amp;lt;ref&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Ozan Yarman, &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;[[http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf|79-Tone Tuning &amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music]]&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/ref&amp;gt; &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige [[MOS-Skalen|MOS]]-Teilmenge von 159edo ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

[[xenharmonic/Tsaharuk|Tsaharuk (Artikel in englischer Sprache)]] ist eine [[Reguläre Temperaturen|reguläre Temperatur]], welche in 77edo, 94edo, 111edo, 128edo, 145edo, 171edo oder 359edo realisiert werden kann.

=Referenzen= 
&amp;lt;references /&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;arabisch, türkisch, persisch&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Arabic%2C%20Turkish%2C%20Persian"&amp;gt;xenharmonic/Arabic, Turkish, Persian&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein Basiskonzept ist &amp;amp;quot;Maqam&amp;amp;quot; (Plural &amp;amp;quot;Maqamat&amp;amp;quot;), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen &amp;amp;quot;Modus&amp;amp;quot; entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet &amp;amp;quot;Makam&amp;amp;quot;, das verwandte persische System figuriert unter &amp;amp;quot;Dastgah&amp;amp;quot;. Zur Einführung siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Klassische_Arabische_Musik#Das_Tonsystem_der_Araber" rel="nofollow"&amp;gt;Klassische arabische Musik (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29" rel="nofollow"&amp;gt;Maqam (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://traffic.libsyn.com/shumays/PPerform_019_2007-02-02.mp3" rel="nofollow"&amp;gt;diesem Podcast&amp;lt;/a&amp;gt; des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die kleinsten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;EDO&amp;lt;/a&amp;gt;-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/24edo"&amp;gt;24edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Im Rahmen des Konzepts der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; werden die obigen Bedingungen von der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/maqamisch"&amp;gt;maqamischen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; erfüllt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die &amp;amp;quot;Bayati&amp;amp;quot;-Skala und eine grössere für die &amp;amp;quot;Rast&amp;amp;quot;-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein &amp;amp;quot;grosser Ganzton&amp;amp;quot; sein, die kleine Sekunde hingegen ein &amp;amp;quot;kleiner Halbton&amp;amp;quot; - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem &amp;amp;quot;kleinen&amp;amp;quot; (Limma) und einem &amp;amp;quot;grossen&amp;amp;quot; (Apotom).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/72edo"&amp;gt;72edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ozan%20Yarman"&amp;gt;Ozan Yarman&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRefRule:5:&amp;amp;amp;lt;ref&amp;amp;amp;gt;Ozan Yarman, &amp;amp;lt;a class=&amp;amp;quot;wiki_link_ext&amp;amp;quot; href=&amp;amp;quot;http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_&amp;amp;quot; rel=&amp;amp;quot;nofollow&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;Search For A Theoretical Model Conforming To Turkish Maqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From 34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning&amp;amp;lt;/a&amp;amp;gt;&amp;amp;amp;lt;/ref&amp;amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;sup id="cite_ref-2" class="reference"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_note-2"&amp;gt;[2]&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/sup&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRefRule:5 --&amp;gt; auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/46edo"&amp;gt;46edo&amp;lt;/a&amp;gt; in Frage. 34edo und 41edo haben dabei die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem &amp;amp;quot;kleinen Ganzton&amp;amp;quot; liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reinen grossen Terz 5/4&amp;lt;/a&amp;gt; zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht &amp;lt;em&amp;gt;ein&amp;lt;/em&amp;gt; orientalisches Tonsystem, sondern viele - und nicht nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:20:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 3"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:20 --&amp;gt;Stufe 3&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Selbst 53edo und 72edo, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ozan Yarmans Dissertation&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRefRule:13:&amp;amp;amp;lt;ref&amp;amp;amp;gt;&amp;amp;lt;span style=&amp;amp;quot;background-color: #ffffff;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;Ozan Yarman, &amp;amp;lt;/span&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;span style=&amp;amp;quot;background-color: #ffffff;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;a class=&amp;amp;quot;wiki_link_ext&amp;amp;quot; href=&amp;amp;quot;http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf&amp;amp;quot; rel=&amp;amp;quot;nofollow&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;79-Tone Tuning &amp;amp;amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music&amp;amp;lt;/a&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;/span&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;span style=&amp;amp;quot;background-color: #ffffff;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&amp;amp;lt;/span&amp;amp;gt;&amp;amp;amp;lt;/ref&amp;amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;sup id="cite_ref-3" class="reference"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_note-3"&amp;gt;[3]&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/sup&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRefRule:13 --&amp;gt; &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS&amp;lt;/a&amp;gt;-Teilmenge von 159edo ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Tsaharuk"&amp;gt;Tsaharuk (Artikel in englischer Sprache)&amp;lt;/a&amp;gt; ist eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;, welche in 77edo, 94edo, 111edo, 128edo, 145edo, 171edo oder 359edo realisiert werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:22:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Referenzen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:22 --&amp;gt;Referenzen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextReferencesRule:95:&amp;amp;amp;lt;references /&amp;amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;ol class="references"&amp;gt;
&amp;lt;li id="cite_note-1"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_ref-1"&amp;gt;^&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://foredofico.org/CERMAA/publications/publications-on-the-site/publications-amine-beyhom" rel="nofollow"&amp;gt;Amine Beyhom&amp;lt;/a&amp;gt;, A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
&amp;lt;li id="cite_note-2"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_ref-2"&amp;gt;^&amp;lt;/a&amp;gt; Ozan Yarman, &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_" rel="nofollow"&amp;gt;Search For A Theoretical Model Conforming To Turkish Maqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From 34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
&amp;lt;li id="cite_note-3"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_ref-3"&amp;gt;^&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Ozan Yarman, &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;79-Tone Tuning &amp;amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Arabic, Turkish, Persian]]

Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.

Ein Basiskonzept ist "Maqam" (Plural "Maqamat"), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen "Modus" entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet "Makam", das verwandte persische System figuriert unter "Dastgah". Zur Einführung siehe etwa:

[[http://de.wikipedia.org/wiki/Klassische_Arabische_Musik#Das_Tonsystem_der_Araber|Klassische arabische Musik (Wikipedia)]]
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29|Maqam (Wikipedia)]]
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah|Dastgah (Wikipedia)]]

Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in [[http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745|diesem Podcast]] des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.

=Gleichstufige Stimmungen für Maqamat= 
Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige Stimmung]] zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von [[12edo]] zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.

Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.

==Stufe 1== 
Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein Tonsystem für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden&amp;lt;ref&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;[[http://foredofico.org/CERMAA/publications/publications-on-the-site/publications-amine-beyhom|Amine Beyhom]], A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/ref&amp;gt; :
* Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Struktur.
* Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.

Die kleinsten [[edo|EDO]]-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[17edo]] und [[24edo]]. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.

Im Rahmen des Konzepts der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] werden die obigen Bedingungen von der [[maqamisch|maqamischen Temperatur]] erfüllt.

==Stufe 2== 
Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.

Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die "Bayati"-Skala und eine grössere für die "Rast"-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein "grosser Ganzton" sein, die kleine Sekunde hingegen ein "kleiner Halbton" - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem "kleinen" (Limma) und einem "grossen" (Apotom).

Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[53edo]] und [[72edo]]. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.

Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler [[Ozan Yarman]]&amp;lt;ref&amp;gt;Ozan Yarman, [[http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_|Search For A Theoretical Model Conforming To Turkish Maqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From 34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning]]&amp;lt;/ref&amp;gt; auch [[34edo]], [[41edo]] und [[46edo]] in Frage. 34edo und 41edo haben dabei die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem "kleinen Ganzton" liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.

Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht //ein// orientalisches Tonsystem, sondern viele - und nicht nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...

==Stufe 3== 
Selbst 53edo und 72edo, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:

Ozan Yarmans Dissertation&amp;lt;ref&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Ozan Yarman, &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;[[http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf|79-Tone Tuning &amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music]]&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/ref&amp;gt; &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige [[MOS-Skalen|MOS]]-Teilmenge von 159edo ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

[[xenharmonic/Tsaharuk|Tsaharuk (Artikel in englischer Sprache)]] ist eine [[Reguläre Temperaturen|reguläre Temperatur]], welche in 77edo, 94edo, 111edo, 128edo, 145edo, 171edo oder 359edo realisiert werden kann.

=Referenzen= 
&amp;lt;references /&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;arabisch, türkisch, persisch&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Arabic%2C%20Turkish%2C%20Persian"&amp;gt;xenharmonic/Arabic, Turkish, Persian&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein Basiskonzept ist &amp;amp;quot;Maqam&amp;amp;quot; (Plural &amp;amp;quot;Maqamat&amp;amp;quot;), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen &amp;amp;quot;Modus&amp;amp;quot; entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet &amp;amp;quot;Makam&amp;amp;quot;, das verwandte persische System figuriert unter &amp;amp;quot;Dastgah&amp;amp;quot;. Zur Einführung siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Klassische_Arabische_Musik#Das_Tonsystem_der_Araber" rel="nofollow"&amp;gt;Klassische arabische Musik (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29" rel="nofollow"&amp;gt;Maqam (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah" rel="nofollow"&amp;gt;Dastgah (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745" rel="nofollow"&amp;gt;diesem Podcast&amp;lt;/a&amp;gt; des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:14:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:14 --&amp;gt;Gleichstufige Stimmungen für Maqamat&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Struktur.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die kleinsten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;EDO&amp;lt;/a&amp;gt;-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/24edo"&amp;gt;24edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Im Rahmen des Konzepts der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; werden die obigen Bedingungen von der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/maqamisch"&amp;gt;maqamischen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; erfüllt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die &amp;amp;quot;Bayati&amp;amp;quot;-Skala und eine grössere für die &amp;amp;quot;Rast&amp;amp;quot;-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein &amp;amp;quot;grosser Ganzton&amp;amp;quot; sein, die kleine Sekunde hingegen ein &amp;amp;quot;kleiner Halbton&amp;amp;quot; - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem &amp;amp;quot;kleinen&amp;amp;quot; (Limma) und einem &amp;amp;quot;grossen&amp;amp;quot; (Apotom).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/72edo"&amp;gt;72edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ozan%20Yarman"&amp;gt;Ozan Yarman&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRefRule:5:&amp;amp;amp;lt;ref&amp;amp;amp;gt;Ozan Yarman, &amp;amp;lt;a class=&amp;amp;quot;wiki_link_ext&amp;amp;quot; href=&amp;amp;quot;http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_&amp;amp;quot; rel=&amp;amp;quot;nofollow&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;Search For A Theoretical Model Conforming To Turkish Maqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From 34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning&amp;amp;lt;/a&amp;amp;gt;&amp;amp;amp;lt;/ref&amp;amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;sup id="cite_ref-2" class="reference"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_note-2"&amp;gt;[2]&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/sup&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRefRule:5 --&amp;gt; auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/46edo"&amp;gt;46edo&amp;lt;/a&amp;gt; in Frage. 34edo und 41edo haben dabei die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem &amp;amp;quot;kleinen Ganzton&amp;amp;quot; liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reinen grossen Terz 5/4&amp;lt;/a&amp;gt; zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht &amp;lt;em&amp;gt;ein&amp;lt;/em&amp;gt; orientalisches Tonsystem, sondern viele - und nicht nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Selbst 53edo und 72edo, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ozan Yarmans Dissertation&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRefRule:13:&amp;amp;amp;lt;ref&amp;amp;amp;gt;&amp;amp;lt;span style=&amp;amp;quot;background-color: #ffffff;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;Ozan Yarman, &amp;amp;lt;/span&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;span style=&amp;amp;quot;background-color: #ffffff;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;a class=&amp;amp;quot;wiki_link_ext&amp;amp;quot; href=&amp;amp;quot;http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf&amp;amp;quot; rel=&amp;amp;quot;nofollow&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;79-Tone Tuning &amp;amp;amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music&amp;amp;lt;/a&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;/span&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;span style=&amp;amp;quot;background-color: #ffffff;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&amp;amp;lt;/span&amp;amp;gt;&amp;amp;amp;lt;/ref&amp;amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;sup id="cite_ref-3" class="reference"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_note-3"&amp;gt;[3]&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/sup&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRefRule:13 --&amp;gt; &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS&amp;lt;/a&amp;gt;-Teilmenge von 159edo ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Tsaharuk"&amp;gt;Tsaharuk (Artikel in englischer Sprache)&amp;lt;/a&amp;gt; ist eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;, welche in 77edo, 94edo, 111edo, 128edo, 145edo, 171edo oder 359edo realisiert werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:22:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Referenzen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:22 --&amp;gt;Referenzen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextReferencesRule:95:&amp;amp;amp;lt;references /&amp;amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;ol class="references"&amp;gt;
&amp;lt;li id="cite_note-1"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_ref-1"&amp;gt;^&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://foredofico.org/CERMAA/publications/publications-on-the-site/publications-amine-beyhom" rel="nofollow"&amp;gt;Amine Beyhom&amp;lt;/a&amp;gt;, A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
&amp;lt;li id="cite_note-2"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_ref-2"&amp;gt;^&amp;lt;/a&amp;gt; Ozan Yarman, &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_" rel="nofollow"&amp;gt;Search For A Theoretical Model Conforming To Turkish Maqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From 34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
&amp;lt;li id="cite_note-3"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_ref-3"&amp;gt;^&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Ozan Yarman, &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;79-Tone Tuning &amp;amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-07-04 11:17:46 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Arabic, Turkish, Persian]]

Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.

Ein Basiskonzept ist "Maqam" (Plural "Maqamat"), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen "Modus" entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet "Makam", das verwandte persische System figuriert unter "Dastgah". Zur Einführung siehe etwa:

[[http://de.wikipedia.org/wiki/Klassische_Arabische_Musik#Das_Tonsystem_der_Araber|Klassische arabische Musik (Wikipedia)]]
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29|Maqam (Wikipedia)]]
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah|Dastgah (Wikipedia)]]

Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in [[http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745|diesem Podcast]] des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.

=Gleichstufige Stimmungen für Maqamat= 
Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige Stimmung]] zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von [[12edo]] zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.

Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.

==Stufe 1== 
Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein Tonsystem für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden&amp;lt;ref&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;[[http://foredofico.org/CERMAA/publications/publications-on-the-site/publications-amine-beyhom|Amine Beyhom]], A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/ref&amp;gt; :
* Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Struktur.
* Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.

Die kleinsten [[edo|EDO]]-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[17edo]] und [[24edo]]. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.

Im Rahmen des Konzepts der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] werden die obigen Bedingungen von der [[maqamisch|maqamischen Temperatur]] erfüllt.

==Stufe 2== 
Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.

Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die "Bayati"-Skala und eine grössere für die "Rast"-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein "grosser Ganzton" sein, die kleine Sekunde hingegen ein "kleiner Halbton" - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem "kleinen" (Limma) und einem "grossen" (Apotom).

Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[53edo]] und [[72edo]]. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.

Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler [[Ozan Yarman]]&amp;lt;ref&amp;gt;Ozan Yarman, [[http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_|Search For A Theoretical Model Conforming To Turkish Maqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From 34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning]]&amp;lt;/ref&amp;gt; auch [[34edo]] und [[41edo]] in Frage. Diese haben die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem "kleinen Ganzton" liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.

Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht //ein// orientalisches Tonsystem, sondern viele - und nicht nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...

==Stufe 3== 
Selbst 53edo und 72edo, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:

Ozan Yarmans Dissertation&amp;lt;ref&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Ozan Yarman, &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;[[http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf|79-Tone Tuning &amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music]]&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/ref&amp;gt; &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige [[MOS-Skalen|MOS]]-Teilmenge von 159edo ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

[[xenharmonic/Tsaharuk|Tsaharuk (Artikel in englischer Sprache)]] ist eine [[Reguläre Temperaturen|reguläre Temperatur]], welche in 77edo, 94edo, 111edo, 128edo, 145edo, 171edo oder 359edo realisiert werden kann.

=Referenzen= 
&amp;lt;references /&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;arabisch, türkisch, persisch&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Arabic%2C%20Turkish%2C%20Persian"&amp;gt;xenharmonic/Arabic, Turkish, Persian&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein Basiskonzept ist &amp;amp;quot;Maqam&amp;amp;quot; (Plural &amp;amp;quot;Maqamat&amp;amp;quot;), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen &amp;amp;quot;Modus&amp;amp;quot; entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet &amp;amp;quot;Makam&amp;amp;quot;, das verwandte persische System figuriert unter &amp;amp;quot;Dastgah&amp;amp;quot;. Zur Einführung siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Klassische_Arabische_Musik#Das_Tonsystem_der_Araber" rel="nofollow"&amp;gt;Klassische arabische Musik (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29" rel="nofollow"&amp;gt;Maqam (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah" rel="nofollow"&amp;gt;Dastgah (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745" rel="nofollow"&amp;gt;diesem Podcast&amp;lt;/a&amp;gt; des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:14:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:14 --&amp;gt;Gleichstufige Stimmungen für Maqamat&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Struktur.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die kleinsten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;EDO&amp;lt;/a&amp;gt;-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/24edo"&amp;gt;24edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Im Rahmen des Konzepts der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; werden die obigen Bedingungen von der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/maqamisch"&amp;gt;maqamischen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; erfüllt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die &amp;amp;quot;Bayati&amp;amp;quot;-Skala und eine grössere für die &amp;amp;quot;Rast&amp;amp;quot;-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein &amp;amp;quot;grosser Ganzton&amp;amp;quot; sein, die kleine Sekunde hingegen ein &amp;amp;quot;kleiner Halbton&amp;amp;quot; - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem &amp;amp;quot;kleinen&amp;amp;quot; (Limma) und einem &amp;amp;quot;grossen&amp;amp;quot; (Apotom).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/72edo"&amp;gt;72edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ozan%20Yarman"&amp;gt;Ozan Yarman&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRefRule:5:&amp;amp;amp;lt;ref&amp;amp;amp;gt;Ozan Yarman, &amp;amp;lt;a class=&amp;amp;quot;wiki_link_ext&amp;amp;quot; href=&amp;amp;quot;http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_&amp;amp;quot; rel=&amp;amp;quot;nofollow&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;Search For A Theoretical Model Conforming To Turkish Maqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From 34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning&amp;amp;lt;/a&amp;amp;gt;&amp;amp;amp;lt;/ref&amp;amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;sup id="cite_ref-2" class="reference"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_note-2"&amp;gt;[2]&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/sup&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRefRule:5 --&amp;gt; auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; in Frage. Diese haben die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem &amp;amp;quot;kleinen Ganzton&amp;amp;quot; liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reinen grossen Terz 5/4&amp;lt;/a&amp;gt; zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht &amp;lt;em&amp;gt;ein&amp;lt;/em&amp;gt; orientalisches Tonsystem, sondern viele - und nicht nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Selbst 53edo und 72edo, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ozan Yarmans Dissertation&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRefRule:13:&amp;amp;amp;lt;ref&amp;amp;amp;gt;&amp;amp;lt;span style=&amp;amp;quot;background-color: #ffffff;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;Ozan Yarman, &amp;amp;lt;/span&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;span style=&amp;amp;quot;background-color: #ffffff;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;a class=&amp;amp;quot;wiki_link_ext&amp;amp;quot; href=&amp;amp;quot;http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf&amp;amp;quot; rel=&amp;amp;quot;nofollow&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;79-Tone Tuning &amp;amp;amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music&amp;amp;lt;/a&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;/span&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;span style=&amp;amp;quot;background-color: #ffffff;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&amp;amp;lt;/span&amp;amp;gt;&amp;amp;amp;lt;/ref&amp;amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;sup id="cite_ref-3" class="reference"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_note-3"&amp;gt;[3]&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/sup&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRefRule:13 --&amp;gt; &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS&amp;lt;/a&amp;gt;-Teilmenge von 159edo ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Tsaharuk"&amp;gt;Tsaharuk (Artikel in englischer Sprache)&amp;lt;/a&amp;gt; ist eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;, welche in 77edo, 94edo, 111edo, 128edo, 145edo, 171edo oder 359edo realisiert werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:22:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Referenzen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:22 --&amp;gt;Referenzen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextReferencesRule:94:&amp;amp;amp;lt;references /&amp;amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;ol class="references"&amp;gt;
&amp;lt;li id="cite_note-1"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_ref-1"&amp;gt;^&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://foredofico.org/CERMAA/publications/publications-on-the-site/publications-amine-beyhom" rel="nofollow"&amp;gt;Amine Beyhom&amp;lt;/a&amp;gt;, A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
&amp;lt;li id="cite_note-2"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_ref-2"&amp;gt;^&amp;lt;/a&amp;gt; Ozan Yarman, &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_" rel="nofollow"&amp;gt;Search For A Theoretical Model Conforming To Turkish Maqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From 34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
&amp;lt;li id="cite_note-3"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_ref-3"&amp;gt;^&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Ozan Yarman, &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;79-Tone Tuning &amp;amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-09 12:38:27 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Arabic, Turkish, Persian]]

Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.

Ein Basiskonzept ist "Maqam" (Plural "Maqamat"), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen "Modus" entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet "Makam", das verwandte persissche System figuriert unter "Dastgah". Zur Einführung siehe etwa:

[[http://de.wikipedia.org/wiki/Klassische_Arabische_Musik#Das_Tonsystem_der_Araber|Klassische arabische Musik (Wikipedia)]]
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29|Maqam (Wikipedia)]]
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah|Dastgah (Wikipedia)]]

Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in [[http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745|diesem Podcast]] des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.

=Gleichstufige Stimmungen für Maqamat= 
Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige Stimmung]] zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von [[12edo]] zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.

Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.

==Stufe 1== 
Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein Tonsystem für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden&amp;lt;ref&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;[[http://foredofico.org/CERMAA/publications/publications-on-the-site/publications-amine-beyhom|Amine Beyhom]], A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/ref&amp;gt; :
* Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Struktur.
* Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.

Die kleinsten [[edo|EDO]]-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[17edo]] und [[24edo]]. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.

Im Rahmen des Konzepts der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] werden die obigen Bedingungen von der [[maqamisch|maqamischen Temperatur]] erfüllt.

==Stufe 2== 
Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.

Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die "Bayati"-Skala und eine grössere für die "Rast"-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein "grosser Ganzton" sein, die kleine Sekunde hingegen ein "kleiner Halbton" - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem "kleinen" (Limma) und einem "grossen" (Apotom).

Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[53edo]] und [[72edo]]. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.

Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler [[Ozan Yarman]]&amp;lt;ref&amp;gt;Ozan Yarman, [[http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_|Search For A Theoretical Model Conforming To Turkish Maqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From 34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning]]&amp;lt;/ref&amp;gt; auch [[34edo]] und [[41edo]] in Frage. Diese haben die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem "kleinen Ganzton" liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.

Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht //ein// orientalisches Tonsystem, sondern viele - und nicht nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...

==Stufe 3== 
Selbst 53edo und 72edo, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:

Ozan Yarmans Dissertation&amp;lt;ref&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Ozan Yarman, &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;[[http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf|79-Tone Tuning &amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music]]&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/ref&amp;gt; &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige [[MOS-Skalen|MOS]]-Teilmenge von 159edo ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

[[xenharmonic/Tsaharuk|Tsaharuk (Artikel in englischer Sprache)]] ist eine [[Reguläre Temperaturen|reguläre Temperatur]], welche in 77edo, 94edo, 111edo, 128edo, 145edo, 171edo oder 359edo realisiert werden kann.

=Referenzen= 
&amp;lt;references /&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;arabisch, türkisch, persisch&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Arabic%2C%20Turkish%2C%20Persian"&amp;gt;xenharmonic/Arabic, Turkish, Persian&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein Basiskonzept ist &amp;amp;quot;Maqam&amp;amp;quot; (Plural &amp;amp;quot;Maqamat&amp;amp;quot;), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen &amp;amp;quot;Modus&amp;amp;quot; entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet &amp;amp;quot;Makam&amp;amp;quot;, das verwandte persissche System figuriert unter &amp;amp;quot;Dastgah&amp;amp;quot;. Zur Einführung siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Klassische_Arabische_Musik#Das_Tonsystem_der_Araber" rel="nofollow"&amp;gt;Klassische arabische Musik (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29" rel="nofollow"&amp;gt;Maqam (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah" rel="nofollow"&amp;gt;Dastgah (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745" rel="nofollow"&amp;gt;diesem Podcast&amp;lt;/a&amp;gt; des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:14:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:14 --&amp;gt;Gleichstufige Stimmungen für Maqamat&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Struktur.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die kleinsten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;EDO&amp;lt;/a&amp;gt;-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/24edo"&amp;gt;24edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Im Rahmen des Konzepts der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; werden die obigen Bedingungen von der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/maqamisch"&amp;gt;maqamischen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; erfüllt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die &amp;amp;quot;Bayati&amp;amp;quot;-Skala und eine grössere für die &amp;amp;quot;Rast&amp;amp;quot;-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein &amp;amp;quot;grosser Ganzton&amp;amp;quot; sein, die kleine Sekunde hingegen ein &amp;amp;quot;kleiner Halbton&amp;amp;quot; - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem &amp;amp;quot;kleinen&amp;amp;quot; (Limma) und einem &amp;amp;quot;grossen&amp;amp;quot; (Apotom).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/72edo"&amp;gt;72edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ozan%20Yarman"&amp;gt;Ozan Yarman&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRefRule:5:&amp;amp;amp;lt;ref&amp;amp;amp;gt;Ozan Yarman, &amp;amp;lt;a class=&amp;amp;quot;wiki_link_ext&amp;amp;quot; href=&amp;amp;quot;http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_&amp;amp;quot; rel=&amp;amp;quot;nofollow&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;Search For A Theoretical Model Conforming To Turkish Maqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From 34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning&amp;amp;lt;/a&amp;amp;gt;&amp;amp;amp;lt;/ref&amp;amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;sup id="cite_ref-2" class="reference"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_note-2"&amp;gt;[2]&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/sup&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRefRule:5 --&amp;gt; auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; in Frage. Diese haben die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem &amp;amp;quot;kleinen Ganzton&amp;amp;quot; liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reinen grossen Terz 5/4&amp;lt;/a&amp;gt; zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht &amp;lt;em&amp;gt;ein&amp;lt;/em&amp;gt; orientalisches Tonsystem, sondern viele - und nicht nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Selbst 53edo und 72edo, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ozan Yarmans Dissertation&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRefRule:13:&amp;amp;amp;lt;ref&amp;amp;amp;gt;&amp;amp;lt;span style=&amp;amp;quot;background-color: #ffffff;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;Ozan Yarman, &amp;amp;lt;/span&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;span style=&amp;amp;quot;background-color: #ffffff;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;a class=&amp;amp;quot;wiki_link_ext&amp;amp;quot; href=&amp;amp;quot;http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf&amp;amp;quot; rel=&amp;amp;quot;nofollow&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;79-Tone Tuning &amp;amp;amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music&amp;amp;lt;/a&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;/span&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;span style=&amp;amp;quot;background-color: #ffffff;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&amp;amp;lt;/span&amp;amp;gt;&amp;amp;amp;lt;/ref&amp;amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;sup id="cite_ref-3" class="reference"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_note-3"&amp;gt;[3]&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/sup&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRefRule:13 --&amp;gt; &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS&amp;lt;/a&amp;gt;-Teilmenge von 159edo ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Tsaharuk"&amp;gt;Tsaharuk (Artikel in englischer Sprache)&amp;lt;/a&amp;gt; ist eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;, welche in 77edo, 94edo, 111edo, 128edo, 145edo, 171edo oder 359edo realisiert werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:22:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Referenzen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:22 --&amp;gt;Referenzen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextReferencesRule:94:&amp;amp;amp;lt;references /&amp;amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;ol class="references"&amp;gt;
&amp;lt;li id="cite_note-1"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_ref-1"&amp;gt;^&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://foredofico.org/CERMAA/publications/publications-on-the-site/publications-amine-beyhom" rel="nofollow"&amp;gt;Amine Beyhom&amp;lt;/a&amp;gt;, A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
&amp;lt;li id="cite_note-2"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_ref-2"&amp;gt;^&amp;lt;/a&amp;gt; Ozan Yarman, &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_" rel="nofollow"&amp;gt;Search For A Theoretical Model Conforming To Turkish Maqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From 34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
&amp;lt;li id="cite_note-3"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_ref-3"&amp;gt;^&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Ozan Yarman, &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;79-Tone Tuning &amp;amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-09 12:34:32 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Arabic, Turkish, Persian]]

Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.

Ein Basiskonzept ist "Maqam" (Plural "Maqamat"), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen "Modus" entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet "Makam", das verwandte persissche System figuriert unter "Dastgah". Zur Einführung siehe etwa:

[[http://de.wikipedia.org/wiki/Klassische_Arabische_Musik#Das_Tonsystem_der_Araber|Klassische arabische Musik (Wikipedia)]]
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29|Maqam (Wikipedia)]]
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah|Dastgah (Wikipedia)]]

Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in [[http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745|diesem Podcast]] des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.

=Gleichstufige Stimmungen für Maqamat= 
Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige Stimmung]] zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von [[12edo]] zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.

Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.

==Stufe 1== 
Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein Tonsystem für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden&amp;lt;ref&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;[[http://foredofico.org/CERMAA/publications/publications-on-the-site/publications-amine-beyhom|Amine Beyhom]], A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/ref&amp;gt; :
* Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Struktur.
* Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.

Die kleinsten [[edo|EDO]]-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[17edo]] und [[24edo]]. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.

Im Rahmen des Konzepts der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] werden die obigen Bedingungen von der [[maqamisch|maqamischen Temperatur]] erfüllt.

==Stufe 2== 
Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.

Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die "Bayati"-Skala und eine grössere für die "Rast"-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein "grosser Ganzton" sein, die kleine Sekunde hingegen ein "kleiner Halbton" - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem "kleinen" (Limma) und einem "grossen" (Apotom).

Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[53edo]] und [[72edo]]. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.

Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler [[Ozan Yarman]]&amp;lt;ref&amp;gt;Ozan Yarman, [[http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_|Search For A Theoretical Model Conforming To TurkishMaqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning]]&amp;lt;/ref&amp;gt; auch [[34edo]] und [[41edo]] in Frage. Diese haben die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem "kleinen Ganzton" liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.

Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht //ein// orientalisches Tonsystem, sondern viele - und nicht nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...

==Stufe 3== 
Selbst 53edo und 72edo, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:

Ozan Yarmans Dissertation&amp;lt;ref&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Ozan Yarman, &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;[[http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf|79-Tone Tuning &amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music]]&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/ref&amp;gt; &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige [[MOS-Skalen|MOS]]-Teilmenge von 159edo ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

[[xenharmonic/Tsaharuk|Tsaharuk (Artikel in englischer Sprache)]] ist eine [[Reguläre Temperaturen|reguläre Temperatur]], welche in 77edo, 94edo, 111edo, 128edo, 145edo, 171edo oder 359edo realisiert werden kann.

=Referenzen= 
&amp;lt;references /&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;arabisch, türkisch, persisch&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Arabic%2C%20Turkish%2C%20Persian"&amp;gt;xenharmonic/Arabic, Turkish, Persian&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein Basiskonzept ist &amp;amp;quot;Maqam&amp;amp;quot; (Plural &amp;amp;quot;Maqamat&amp;amp;quot;), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen &amp;amp;quot;Modus&amp;amp;quot; entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet &amp;amp;quot;Makam&amp;amp;quot;, das verwandte persissche System figuriert unter &amp;amp;quot;Dastgah&amp;amp;quot;. Zur Einführung siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Klassische_Arabische_Musik#Das_Tonsystem_der_Araber" rel="nofollow"&amp;gt;Klassische arabische Musik (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29" rel="nofollow"&amp;gt;Maqam (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745" rel="nofollow"&amp;gt;diesem Podcast&amp;lt;/a&amp;gt; des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:14:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:14 --&amp;gt;Gleichstufige Stimmungen für Maqamat&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Struktur.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die kleinsten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;EDO&amp;lt;/a&amp;gt;-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/24edo"&amp;gt;24edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Im Rahmen des Konzepts der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; werden die obigen Bedingungen von der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/maqamisch"&amp;gt;maqamischen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; erfüllt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die &amp;amp;quot;Bayati&amp;amp;quot;-Skala und eine grössere für die &amp;amp;quot;Rast&amp;amp;quot;-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein &amp;amp;quot;grosser Ganzton&amp;amp;quot; sein, die kleine Sekunde hingegen ein &amp;amp;quot;kleiner Halbton&amp;amp;quot; - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem &amp;amp;quot;kleinen&amp;amp;quot; (Limma) und einem &amp;amp;quot;grossen&amp;amp;quot; (Apotom).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/72edo"&amp;gt;72edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ozan%20Yarman"&amp;gt;Ozan Yarman&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRefRule:5:&amp;amp;amp;lt;ref&amp;amp;amp;gt;Ozan Yarman, &amp;amp;lt;a class=&amp;amp;quot;wiki_link_ext&amp;amp;quot; href=&amp;amp;quot;http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_&amp;amp;quot; rel=&amp;amp;quot;nofollow&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;Search For A Theoretical Model Conforming To TurkishMaqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning&amp;amp;lt;/a&amp;amp;gt;&amp;amp;amp;lt;/ref&amp;amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;sup id="cite_ref-2" class="reference"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_note-2"&amp;gt;[2]&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/sup&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRefRule:5 --&amp;gt; auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; in Frage. Diese haben die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem &amp;amp;quot;kleinen Ganzton&amp;amp;quot; liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reinen grossen Terz 5/4&amp;lt;/a&amp;gt; zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht &amp;lt;em&amp;gt;ein&amp;lt;/em&amp;gt; orientalisches Tonsystem, sondern viele - und nicht nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Selbst 53edo und 72edo, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ozan Yarmans Dissertation&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRefRule:13:&amp;amp;amp;lt;ref&amp;amp;amp;gt;&amp;amp;lt;span style=&amp;amp;quot;background-color: #ffffff;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;Ozan Yarman, &amp;amp;lt;/span&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;span style=&amp;amp;quot;background-color: #ffffff;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;a class=&amp;amp;quot;wiki_link_ext&amp;amp;quot; href=&amp;amp;quot;http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf&amp;amp;quot; rel=&amp;amp;quot;nofollow&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;79-Tone Tuning &amp;amp;amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music&amp;amp;lt;/a&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;/span&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;span style=&amp;amp;quot;background-color: #ffffff;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&amp;amp;lt;/span&amp;amp;gt;&amp;amp;amp;lt;/ref&amp;amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;sup id="cite_ref-3" class="reference"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_note-3"&amp;gt;[3]&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/sup&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRefRule:13 --&amp;gt; &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS&amp;lt;/a&amp;gt;-Teilmenge von 159edo ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Tsaharuk"&amp;gt;Tsaharuk (Artikel in englischer Sprache)&amp;lt;/a&amp;gt; ist eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;, welche in 77edo, 94edo, 111edo, 128edo, 145edo, 171edo oder 359edo realisiert werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:22:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Referenzen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:22 --&amp;gt;Referenzen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextReferencesRule:94:&amp;amp;amp;lt;references /&amp;amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;ol class="references"&amp;gt;
&amp;lt;li id="cite_note-1"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_ref-1"&amp;gt;^&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://foredofico.org/CERMAA/publications/publications-on-the-site/publications-amine-beyhom" rel="nofollow"&amp;gt;Amine Beyhom&amp;lt;/a&amp;gt;, A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
&amp;lt;li id="cite_note-2"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_ref-2"&amp;gt;^&amp;lt;/a&amp;gt; Ozan Yarman, &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_" rel="nofollow"&amp;gt;Search For A Theoretical Model Conforming To TurkishMaqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
&amp;lt;li id="cite_note-3"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_ref-3"&amp;gt;^&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Ozan Yarman, &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;79-Tone Tuning &amp;amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-09 12:33:57 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Arabic, Turkish, Persian]]

Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.

Ein Basiskonzept ist "Maqam" (Plural "Maqamat"), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen "Modus" entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet "Makam", das verwandte persissche System figuriert unter "Dastgah". Zur Einführung siehe etwa:

[[http://de.wikipedia.org/wiki/Klassische_Arabische_Musik#Das_Tonsystem_der_Araber|Klassische arabische Musik (Wikipedia)]]
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29|Maqam (Wikipedia)]]
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah|Dastgah (Wikipedia)]]

Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in [[http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745|diesem Podcast]] des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.

=Gleichstufige Stimmungen für Maqamat= 
Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige Stimmung]] zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von [[12edo]] zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.

Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.

==Stufe 1== 
Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein Tonsystem für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden&amp;lt;ref&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;[[http://foredofico.org/CERMAA/publications/publications-on-the-site/publications-amine-beyhom|Amine Beyhom]], A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/ref&amp;gt; :
* Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Struktur.
* Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.

Die kleinsten [[edo|EDO]]-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[17edo]] und [[24edo]]. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.

Im Rahmen des Konzepts der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] werden die obigen Bedingungen von der [[maqamisch|maqamischen Temperatur]] erfüllt.

==Stufe 2== 
Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.

Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die "Bayati"-Skala und eine grössere für die "Rast"-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein "grosser Ganzton" sein, die kleine Sekunde hingegen ein "kleiner Halbton" - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem "kleinen" (Limma) und einem "grossen" (Apotom).

Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[53edo]] und [[72edo]]. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.

Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler [[Ozan Yarman]]&amp;lt;ref&amp;gt;Ozan Yarman, [[http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_|Search For A Theoretical Model Conforming To TurkishMaqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning]]&amp;lt;/ref&amp;gt; auch [[34edo]] und [[41edo]] in Frage. Diese haben die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem "kleinen Ganzton" liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.

Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht //ein// orientalisches Tonsystem, sondern viele - und nicht nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...

==Stufe 3== 
Selbst 53edo und 72edo, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:

Ozan Yarmans Dissertation&amp;lt;ref&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Ozan Yarman, &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;[[http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf|79-Tone Tuning &amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music]]&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/ref&amp;gt; &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige [[MOS-Skalen|MOS]]-Teilmenge von 159edo ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

[[xenharmonic/Tsaharuk|Tsaharuk (Artikel in englischer Sprache)]]ist eine [[Reguläre Temperaturen|reguläre Temperatur]], welche in 77edo, 94edo, 111edo, 128edo, 145edo, 171edo oder 359edo realisiert werden kann.

=Referenzen= 
&amp;lt;references /&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;arabisch, türkisch, persisch&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Arabic%2C%20Turkish%2C%20Persian"&amp;gt;xenharmonic/Arabic, Turkish, Persian&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein Basiskonzept ist &amp;amp;quot;Maqam&amp;amp;quot; (Plural &amp;amp;quot;Maqamat&amp;amp;quot;), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen &amp;amp;quot;Modus&amp;amp;quot; entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet &amp;amp;quot;Makam&amp;amp;quot;, das verwandte persissche System figuriert unter &amp;amp;quot;Dastgah&amp;amp;quot;. Zur Einführung siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Klassische_Arabische_Musik#Das_Tonsystem_der_Araber" rel="nofollow"&amp;gt;Klassische arabische Musik (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29" rel="nofollow"&amp;gt;Maqam (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah" rel="nofollow"&amp;gt;Dastgah (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745" rel="nofollow"&amp;gt;diesem Podcast&amp;lt;/a&amp;gt; des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:14:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:14 --&amp;gt;Gleichstufige Stimmungen für Maqamat&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:16:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:16 --&amp;gt;Stufe 1&amp;lt;/h2&amp;gt;
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&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Struktur.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die kleinsten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;EDO&amp;lt;/a&amp;gt;-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/24edo"&amp;gt;24edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Im Rahmen des Konzepts der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; werden die obigen Bedingungen von der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/maqamisch"&amp;gt;maqamischen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; erfüllt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die &amp;amp;quot;Bayati&amp;amp;quot;-Skala und eine grössere für die &amp;amp;quot;Rast&amp;amp;quot;-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein &amp;amp;quot;grosser Ganzton&amp;amp;quot; sein, die kleine Sekunde hingegen ein &amp;amp;quot;kleiner Halbton&amp;amp;quot; - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem &amp;amp;quot;kleinen&amp;amp;quot; (Limma) und einem &amp;amp;quot;grossen&amp;amp;quot; (Apotom).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/72edo"&amp;gt;72edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ozan%20Yarman"&amp;gt;Ozan Yarman&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRefRule:5:&amp;amp;amp;lt;ref&amp;amp;amp;gt;Ozan Yarman, &amp;amp;lt;a class=&amp;amp;quot;wiki_link_ext&amp;amp;quot; href=&amp;amp;quot;http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_&amp;amp;quot; rel=&amp;amp;quot;nofollow&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;Search For A Theoretical Model Conforming To TurkishMaqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning&amp;amp;lt;/a&amp;amp;gt;&amp;amp;amp;lt;/ref&amp;amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;sup id="cite_ref-2" class="reference"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_note-2"&amp;gt;[2]&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/sup&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRefRule:5 --&amp;gt; auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; in Frage. Diese haben die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem &amp;amp;quot;kleinen Ganzton&amp;amp;quot; liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reinen grossen Terz 5/4&amp;lt;/a&amp;gt; zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht &amp;lt;em&amp;gt;ein&amp;lt;/em&amp;gt; orientalisches Tonsystem, sondern viele - und nicht nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Selbst 53edo und 72edo, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ozan Yarmans Dissertation&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRefRule:13:&amp;amp;amp;lt;ref&amp;amp;amp;gt;&amp;amp;lt;span style=&amp;amp;quot;background-color: #ffffff;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;Ozan Yarman, &amp;amp;lt;/span&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;span style=&amp;amp;quot;background-color: #ffffff;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;a class=&amp;amp;quot;wiki_link_ext&amp;amp;quot; href=&amp;amp;quot;http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf&amp;amp;quot; rel=&amp;amp;quot;nofollow&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;79-Tone Tuning &amp;amp;amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music&amp;amp;lt;/a&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;/span&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;span style=&amp;amp;quot;background-color: #ffffff;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&amp;amp;lt;/span&amp;amp;gt;&amp;amp;amp;lt;/ref&amp;amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;sup id="cite_ref-3" class="reference"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_note-3"&amp;gt;[3]&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/sup&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRefRule:13 --&amp;gt; &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS&amp;lt;/a&amp;gt;-Teilmenge von 159edo ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Tsaharuk"&amp;gt;Tsaharuk (Artikel in englischer Sprache)&amp;lt;/a&amp;gt;ist eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;, welche in 77edo, 94edo, 111edo, 128edo, 145edo, 171edo oder 359edo realisiert werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:22:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Referenzen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:22 --&amp;gt;Referenzen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextReferencesRule:94:&amp;amp;amp;lt;references /&amp;amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;ol class="references"&amp;gt;
&amp;lt;li id="cite_note-1"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_ref-1"&amp;gt;^&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://foredofico.org/CERMAA/publications/publications-on-the-site/publications-amine-beyhom" rel="nofollow"&amp;gt;Amine Beyhom&amp;lt;/a&amp;gt;, A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
&amp;lt;li id="cite_note-2"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_ref-2"&amp;gt;^&amp;lt;/a&amp;gt; Ozan Yarman, &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_" rel="nofollow"&amp;gt;Search For A Theoretical Model Conforming To TurkishMaqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
&amp;lt;li id="cite_note-3"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_ref-3"&amp;gt;^&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Ozan Yarman, &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;79-Tone Tuning &amp;amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Arabic, Turkish, Persian]]

Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.

Ein Basiskonzept ist "Maqam" (Plural "Maqamat"), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen "Modus" entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet "Makam", das verwandte persissche System figuriert unter "Dastgah". Zur Einführung siehe etwa:

[[http://de.wikipedia.org/wiki/Klassische_Arabische_Musik#Das_Tonsystem_der_Araber|Klassische arabische Musik (Wikipedia)]]
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29|Maqam (Wikipedia)]]
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah|Dastgah (Wikipedia)]]

Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in [[http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745|diesem Podcast]] des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.

=Gleichstufige Stimmungen für Maqamat= 
Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige Stimmung]] zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von [[12edo]] zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.

Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.

==Stufe 1== 
Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein Tonsystem für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden&amp;lt;ref&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;[[http://foredofico.org/CERMAA/publications/publications-on-the-site/publications-amine-beyhom|Amine Beyhom]], A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/ref&amp;gt; :
* Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Struktur.
* Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.

Die kleinsten [[edo|EDO]]-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[17edo]] und [[24edo]]. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.

Im Rahmen des Konzepts der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] werden die obigen Bedingungen von der [[maqamisch|maqamischen Temperatur]] erfüllt.

==Stufe 2== 
Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.

Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die "Bayati"-Skala und eine grössere für die "Rast"-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein "grosser Ganzton" sein, die kleine Sekunde hingegen ein "kleiner Halbton" - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem "kleinen" (Limma) und einem "grossen" (Apotom).

Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[53edo]] und [[72edo]]. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.

Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler [[Ozan Yarman]]&amp;lt;ref&amp;gt;Ozan Yarman, [[http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_|Search For A Theoretical Model Conforming To TurkishMaqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning]]&amp;lt;/ref&amp;gt; auch [[34edo]] und [[41edo]] in Frage. Diese haben die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem "kleinen Ganzton" liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.

Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht //ein// orientalisches Tonsystem, sondern viele - und nicht nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...

==Stufe 3== 
Selbst 53edo und 72edo, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:

Ozan Yarmans Dissertation&amp;lt;ref&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Ozan Yarman, &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;[[http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf|79-Tone Tuning &amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music]]&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/ref&amp;gt; &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige [[MOS-Skalen|MOS]]-Teilmenge von 159edo ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

[[Tsaharuk|Tsaharuk ]]ist eine [[Reguläre Temperaturen|reguläre Temperatur]], welche in 77edo, 94edo, 111edo, 128edo, 145edo, 171edo oder 359edo realisiert werden kann.

=Referenzen= 
&amp;lt;references /&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;arabisch, türkisch, persisch&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Arabic%2C%20Turkish%2C%20Persian"&amp;gt;xenharmonic/Arabic, Turkish, Persian&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein Basiskonzept ist &amp;amp;quot;Maqam&amp;amp;quot; (Plural &amp;amp;quot;Maqamat&amp;amp;quot;), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen &amp;amp;quot;Modus&amp;amp;quot; entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet &amp;amp;quot;Makam&amp;amp;quot;, das verwandte persissche System figuriert unter &amp;amp;quot;Dastgah&amp;amp;quot;. Zur Einführung siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Klassische_Arabische_Musik#Das_Tonsystem_der_Araber" rel="nofollow"&amp;gt;Klassische arabische Musik (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29" rel="nofollow"&amp;gt;Maqam (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745" rel="nofollow"&amp;gt;diesem Podcast&amp;lt;/a&amp;gt; des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:14:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:14 --&amp;gt;Gleichstufige Stimmungen für Maqamat&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Struktur.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die kleinsten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;EDO&amp;lt;/a&amp;gt;-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/24edo"&amp;gt;24edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Im Rahmen des Konzepts der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; werden die obigen Bedingungen von der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/maqamisch"&amp;gt;maqamischen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; erfüllt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die &amp;amp;quot;Bayati&amp;amp;quot;-Skala und eine grössere für die &amp;amp;quot;Rast&amp;amp;quot;-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein &amp;amp;quot;grosser Ganzton&amp;amp;quot; sein, die kleine Sekunde hingegen ein &amp;amp;quot;kleiner Halbton&amp;amp;quot; - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem &amp;amp;quot;kleinen&amp;amp;quot; (Limma) und einem &amp;amp;quot;grossen&amp;amp;quot; (Apotom).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/72edo"&amp;gt;72edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ozan%20Yarman"&amp;gt;Ozan Yarman&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRefRule:5:&amp;amp;amp;lt;ref&amp;amp;amp;gt;Ozan Yarman, &amp;amp;lt;a class=&amp;amp;quot;wiki_link_ext&amp;amp;quot; href=&amp;amp;quot;http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_&amp;amp;quot; rel=&amp;amp;quot;nofollow&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;Search For A Theoretical Model Conforming To TurkishMaqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning&amp;amp;lt;/a&amp;amp;gt;&amp;amp;amp;lt;/ref&amp;amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;sup id="cite_ref-2" class="reference"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_note-2"&amp;gt;[2]&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/sup&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRefRule:5 --&amp;gt; auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; in Frage. Diese haben die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem &amp;amp;quot;kleinen Ganzton&amp;amp;quot; liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reinen grossen Terz 5/4&amp;lt;/a&amp;gt; zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht &amp;lt;em&amp;gt;ein&amp;lt;/em&amp;gt; orientalisches Tonsystem, sondern viele - und nicht nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Selbst 53edo und 72edo, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ozan Yarmans Dissertation&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRefRule:13:&amp;amp;amp;lt;ref&amp;amp;amp;gt;&amp;amp;lt;span style=&amp;amp;quot;background-color: #ffffff;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;Ozan Yarman, &amp;amp;lt;/span&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;span style=&amp;amp;quot;background-color: #ffffff;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;a class=&amp;amp;quot;wiki_link_ext&amp;amp;quot; href=&amp;amp;quot;http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf&amp;amp;quot; rel=&amp;amp;quot;nofollow&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;79-Tone Tuning &amp;amp;amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music&amp;amp;lt;/a&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;/span&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;span style=&amp;amp;quot;background-color: #ffffff;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&amp;amp;lt;/span&amp;amp;gt;&amp;amp;amp;lt;/ref&amp;amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;sup id="cite_ref-3" class="reference"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_note-3"&amp;gt;[3]&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/sup&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRefRule:13 --&amp;gt; &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS&amp;lt;/a&amp;gt;-Teilmenge von 159edo ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Tsaharuk"&amp;gt;Tsaharuk &amp;lt;/a&amp;gt;ist eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;, welche in 77edo, 94edo, 111edo, 128edo, 145edo, 171edo oder 359edo realisiert werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:22:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Referenzen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:22 --&amp;gt;Referenzen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextReferencesRule:94:&amp;amp;amp;lt;references /&amp;amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;ol class="references"&amp;gt;
&amp;lt;li id="cite_note-1"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_ref-1"&amp;gt;^&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://foredofico.org/CERMAA/publications/publications-on-the-site/publications-amine-beyhom" rel="nofollow"&amp;gt;Amine Beyhom&amp;lt;/a&amp;gt;, A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
&amp;lt;li id="cite_note-2"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_ref-2"&amp;gt;^&amp;lt;/a&amp;gt; Ozan Yarman, &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_" rel="nofollow"&amp;gt;Search For A Theoretical Model Conforming To TurkishMaqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
&amp;lt;li id="cite_note-3"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_ref-3"&amp;gt;^&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Ozan Yarman, &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;79-Tone Tuning &amp;amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-08 05:53:46 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Arabic, Turkish, Persian]]

Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.

Ein Basiskonzept ist "Maqam" (Plural "Maqamat"), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen "Modus" entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet "Makam", das verwandte persissche System figuriert unter "Dastgah". Zur Einführung siehe etwa:

[[http://de.wikipedia.org/wiki/Klassische_Arabische_Musik#Das_Tonsystem_der_Araber|Klassische arabische Musik (Wikipedia)]]
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29|Maqam (Wikipedia)]]
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah|Dastgah (Wikipedia)]]

Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in [[http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745|diesem Podcast]] des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.

=Gleichstufige Stimmungen für Maqamat= 
Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige Stimmung]] zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von [[12edo]] zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.

Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.

==Stufe 1== 
Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein Tonsystem für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden&amp;lt;ref&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Amine Beyhom, [[http://www.beyhom.com/download/articles/ICONEA%202008%20%282010%29%20-%20Hypothesis%20Beyhom%20-%20complete.pdf|A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins]], Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/ref&amp;gt; :
* Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Struktur.
* Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.

Die kleinsten [[edo|EDO]]-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[17edo]] und [[24edo]]. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.

Im Rahmen des Konzepts der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] werden die obigen Bedingungen von der [[maqamisch|maqamischen Temperatur]] erfüllt.

==Stufe 2== 
Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.

Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die "Bayati"-Skala und eine grössere für die "Rast"-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein "grosser Ganzton" sein, die kleine Sekunde hingegen ein "kleiner Halbton" - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem "kleinen" (Limma) und einem "grossen" (Apotom).

Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[53edo]] und [[72edo]]. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.

Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler [[Ozan Yarman]]&amp;lt;ref&amp;gt;Ozan Yarman, [[http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_|Search For A Theoretical Model Conforming To TurkishMaqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning]]&amp;lt;/ref&amp;gt; auch [[34edo]] und [[41edo]] in Frage. Diese haben die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem "kleinen Ganzton" liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.

Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht //ein// orientalisches Tonsystem, sondern viele - und nicht nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...

==Stufe 3== 
Selbst 53edo und 72edo, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:

Ozan Yarmans Dissertation&amp;lt;ref&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Ozan Yarman, &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;[[http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf|79-Tone Tuning &amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music]]&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/ref&amp;gt; &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige [[MOS-Skalen|MOS]]-Teilmenge von 159edo ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

[[Tsaharuk|Tsaharuk ]]ist eine [[Reguläre Temperaturen|reguläre Temperatur]], welche in 77edo, 94edo, 111edo, 128edo, 145edo, 171edo oder 359edo realisiert werden kann.

=Referenzen= 
&amp;lt;references /&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;arabisch, türkisch, persisch&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Arabic%2C%20Turkish%2C%20Persian"&amp;gt;xenharmonic/Arabic, Turkish, Persian&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein Basiskonzept ist &amp;amp;quot;Maqam&amp;amp;quot; (Plural &amp;amp;quot;Maqamat&amp;amp;quot;), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen &amp;amp;quot;Modus&amp;amp;quot; entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet &amp;amp;quot;Makam&amp;amp;quot;, das verwandte persissche System figuriert unter &amp;amp;quot;Dastgah&amp;amp;quot;. Zur Einführung siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Klassische_Arabische_Musik#Das_Tonsystem_der_Araber" rel="nofollow"&amp;gt;Klassische arabische Musik (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29" rel="nofollow"&amp;gt;Maqam (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah" rel="nofollow"&amp;gt;Dastgah (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745" rel="nofollow"&amp;gt;diesem Podcast&amp;lt;/a&amp;gt; des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:14:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:14 --&amp;gt;Gleichstufige Stimmungen für Maqamat&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:16:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:16 --&amp;gt;Stufe 1&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein Tonsystem für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRefRule:3:&amp;amp;amp;lt;ref&amp;amp;amp;gt;&amp;amp;lt;span style=&amp;amp;quot;background-color: #ffffff; line-height: 1.5;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;Amine Beyhom, &amp;amp;lt;a class=&amp;amp;quot;wiki_link_ext&amp;amp;quot; href=&amp;amp;quot;http://www.beyhom.com/download/articles/ICONEA%202008%20%282010%29%20-%20Hypothesis%20Beyhom%20-%20complete.pdf&amp;amp;quot; rel=&amp;amp;quot;nofollow&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins&amp;amp;lt;/a&amp;amp;gt;, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209.&amp;amp;lt;/span&amp;amp;gt;&amp;amp;amp;lt;/ref&amp;amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;sup id="cite_ref-1" class="reference"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_note-1"&amp;gt;[1]&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/sup&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRefRule:3 --&amp;gt; :&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Struktur.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die kleinsten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;EDO&amp;lt;/a&amp;gt;-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/24edo"&amp;gt;24edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Im Rahmen des Konzepts der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; werden die obigen Bedingungen von der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/maqamisch"&amp;gt;maqamischen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; erfüllt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die &amp;amp;quot;Bayati&amp;amp;quot;-Skala und eine grössere für die &amp;amp;quot;Rast&amp;amp;quot;-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein &amp;amp;quot;grosser Ganzton&amp;amp;quot; sein, die kleine Sekunde hingegen ein &amp;amp;quot;kleiner Halbton&amp;amp;quot; - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem &amp;amp;quot;kleinen&amp;amp;quot; (Limma) und einem &amp;amp;quot;grossen&amp;amp;quot; (Apotom).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/72edo"&amp;gt;72edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ozan%20Yarman"&amp;gt;Ozan Yarman&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRefRule:5:&amp;amp;amp;lt;ref&amp;amp;amp;gt;Ozan Yarman, &amp;amp;lt;a class=&amp;amp;quot;wiki_link_ext&amp;amp;quot; href=&amp;amp;quot;http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_&amp;amp;quot; rel=&amp;amp;quot;nofollow&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;Search For A Theoretical Model Conforming To TurkishMaqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning&amp;amp;lt;/a&amp;amp;gt;&amp;amp;amp;lt;/ref&amp;amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;sup id="cite_ref-2" class="reference"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_note-2"&amp;gt;[2]&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/sup&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRefRule:5 --&amp;gt; auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; in Frage. Diese haben die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem &amp;amp;quot;kleinen Ganzton&amp;amp;quot; liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reinen grossen Terz 5/4&amp;lt;/a&amp;gt; zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht &amp;lt;em&amp;gt;ein&amp;lt;/em&amp;gt; orientalisches Tonsystem, sondern viele - und nicht nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Selbst 53edo und 72edo, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ozan Yarmans Dissertation&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRefRule:13:&amp;amp;amp;lt;ref&amp;amp;amp;gt;&amp;amp;lt;span style=&amp;amp;quot;background-color: #ffffff;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;Ozan Yarman, &amp;amp;lt;/span&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;span style=&amp;amp;quot;background-color: #ffffff;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;a class=&amp;amp;quot;wiki_link_ext&amp;amp;quot; href=&amp;amp;quot;http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf&amp;amp;quot; rel=&amp;amp;quot;nofollow&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;79-Tone Tuning &amp;amp;amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music&amp;amp;lt;/a&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;/span&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;span style=&amp;amp;quot;background-color: #ffffff;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&amp;amp;lt;/span&amp;amp;gt;&amp;amp;amp;lt;/ref&amp;amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;sup id="cite_ref-3" class="reference"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_note-3"&amp;gt;[3]&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/sup&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRefRule:13 --&amp;gt; &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS&amp;lt;/a&amp;gt;-Teilmenge von 159edo ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Tsaharuk"&amp;gt;Tsaharuk &amp;lt;/a&amp;gt;ist eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;, welche in 77edo, 94edo, 111edo, 128edo, 145edo, 171edo oder 359edo realisiert werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:22:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Referenzen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:22 --&amp;gt;Referenzen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextReferencesRule:94:&amp;amp;amp;lt;references /&amp;amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;ol class="references"&amp;gt;
&amp;lt;li id="cite_note-1"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_ref-1"&amp;gt;^&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Amine Beyhom, &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.beyhom.com/download/articles/ICONEA%202008%20%282010%29%20-%20Hypothesis%20Beyhom%20-%20complete.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins&amp;lt;/a&amp;gt;, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
&amp;lt;li id="cite_note-2"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_ref-2"&amp;gt;^&amp;lt;/a&amp;gt; Ozan Yarman, &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_" rel="nofollow"&amp;gt;Search For A Theoretical Model Conforming To TurkishMaqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
&amp;lt;li id="cite_note-3"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_ref-3"&amp;gt;^&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Ozan Yarman, &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;79-Tone Tuning &amp;amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
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Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.

Ein Basiskonzept ist "Maqam" (Plural "Maqamat"), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen "Modus" entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet "Makam", das verwandte persissche System figuriert unter "Dastgah". Zur Einführung siehe etwa:

[[http://de.wikipedia.org/wiki/Klassische_Arabische_Musik#Das_Tonsystem_der_Araber|Klassische arabische Musik (Wikipedia)]]
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29|Maqam (Wikipedia)]]
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah|Dastgah (Wikipedia)]]

Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in [[http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745|diesem Podcast]] des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.

=Gleichstufige Stimmungen für Maqamat= 
Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige Stimmung]] zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von [[12edo]] zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.

Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.

==Stufe 1== 
Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein Tonsystem für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden&amp;lt;ref&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Amine Beyhom, [[http://www.beyhom.com/download/articles/ICONEA%202008%20%282010%29%20-%20Hypothesis%20Beyhom%20-%20complete.pdf|A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins]], Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/ref&amp;gt; :
* Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Struktur.
* Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.

Die kleinsten [[edo|EDO]]-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[17edo]] und [[24edo]]. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.

Im Rahmen des Konzepts der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] werden die obigen Bedingungen von der [[maqamisch|maqamischen Temperatur]] erfüllt.

==Stufe 2== 
Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.

Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die "Bayati"-Skala und eine grössere für die "Rast"-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein "grosser Ganzton" sein, die kleine Sekunde hingegen ein "kleiner Halbton" - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem "kleinen" (Limma) und einem "grossen" (Apotom).

Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[53edo]] und [[72edo]]. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.

Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler [[Ozan Yarman]]&amp;lt;ref&amp;gt;Ozan Yarman, Search For A Theoretical Model Conforming To TurkishMaqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning, Artikel online verfügbar unter http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_&amp;lt;/ref&amp;gt; auch [[34edo]] und [[41edo]] in Frage. Diese haben die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem "kleinen Ganzton" liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.

Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht //ein// orientalisches Tonsystem, sondern viele - und nicht nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...

==Stufe 3== 
Selbst 53edo und 72edo, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:

Ozan Yarmans Dissertation&amp;lt;ref&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Ozan Yarman, &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;[[http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf|79-Tone Tuning &amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music]]&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/ref&amp;gt; &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige [[MOS-Skalen|MOS]]-Teilmenge von 159edo ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

[[Tsaharuk|Tsaharuk ]]ist eine [[Reguläre Temperaturen|reguläre Temperatur]], welche in 77edo, 94edo, 111edo, 128edo, 145edo, 171edo oder 359edo realisiert werden kann.

=Referenzen= 
&amp;lt;references /&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;arabisch, türkisch, persisch&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Arabic%2C%20Turkish%2C%20Persian"&amp;gt;xenharmonic/Arabic, Turkish, Persian&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein Basiskonzept ist &amp;amp;quot;Maqam&amp;amp;quot; (Plural &amp;amp;quot;Maqamat&amp;amp;quot;), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen &amp;amp;quot;Modus&amp;amp;quot; entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet &amp;amp;quot;Makam&amp;amp;quot;, das verwandte persissche System figuriert unter &amp;amp;quot;Dastgah&amp;amp;quot;. Zur Einführung siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Klassische_Arabische_Musik#Das_Tonsystem_der_Araber" rel="nofollow"&amp;gt;Klassische arabische Musik (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29" rel="nofollow"&amp;gt;Maqam (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah" rel="nofollow"&amp;gt;Dastgah (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745" rel="nofollow"&amp;gt;diesem Podcast&amp;lt;/a&amp;gt; des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:14:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:14 --&amp;gt;Gleichstufige Stimmungen für Maqamat&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:16:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:16 --&amp;gt;Stufe 1&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein Tonsystem für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRefRule:3:&amp;amp;amp;lt;ref&amp;amp;amp;gt;&amp;amp;lt;span style=&amp;amp;quot;background-color: #ffffff; line-height: 1.5;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;Amine Beyhom, &amp;amp;lt;a class=&amp;amp;quot;wiki_link_ext&amp;amp;quot; href=&amp;amp;quot;http://www.beyhom.com/download/articles/ICONEA%202008%20%282010%29%20-%20Hypothesis%20Beyhom%20-%20complete.pdf&amp;amp;quot; rel=&amp;amp;quot;nofollow&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins&amp;amp;lt;/a&amp;amp;gt;, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209.&amp;amp;lt;/span&amp;amp;gt;&amp;amp;amp;lt;/ref&amp;amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;sup id="cite_ref-1" class="reference"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_note-1"&amp;gt;[1]&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/sup&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRefRule:3 --&amp;gt; :&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Struktur.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die kleinsten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;EDO&amp;lt;/a&amp;gt;-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/24edo"&amp;gt;24edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Im Rahmen des Konzepts der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; werden die obigen Bedingungen von der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/maqamisch"&amp;gt;maqamischen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; erfüllt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die &amp;amp;quot;Bayati&amp;amp;quot;-Skala und eine grössere für die &amp;amp;quot;Rast&amp;amp;quot;-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein &amp;amp;quot;grosser Ganzton&amp;amp;quot; sein, die kleine Sekunde hingegen ein &amp;amp;quot;kleiner Halbton&amp;amp;quot; - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem &amp;amp;quot;kleinen&amp;amp;quot; (Limma) und einem &amp;amp;quot;grossen&amp;amp;quot; (Apotom).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/72edo"&amp;gt;72edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ozan%20Yarman"&amp;gt;Ozan Yarman&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRefRule:5:&amp;amp;amp;lt;ref&amp;amp;amp;gt;Ozan Yarman, Search For A Theoretical Model Conforming To TurkishMaqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning, Artikel online verfügbar unter http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_&amp;amp;amp;lt;/ref&amp;amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;sup id="cite_ref-2" class="reference"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_note-2"&amp;gt;[2]&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/sup&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRefRule:5 --&amp;gt; auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; in Frage. Diese haben die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem &amp;amp;quot;kleinen Ganzton&amp;amp;quot; liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reinen grossen Terz 5/4&amp;lt;/a&amp;gt; zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht &amp;lt;em&amp;gt;ein&amp;lt;/em&amp;gt; orientalisches Tonsystem, sondern viele - und nicht nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Selbst 53edo und 72edo, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ozan Yarmans Dissertation&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRefRule:13:&amp;amp;amp;lt;ref&amp;amp;amp;gt;&amp;amp;lt;span style=&amp;amp;quot;background-color: #ffffff;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;Ozan Yarman, &amp;amp;lt;/span&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;span style=&amp;amp;quot;background-color: #ffffff;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;a class=&amp;amp;quot;wiki_link_ext&amp;amp;quot; href=&amp;amp;quot;http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf&amp;amp;quot; rel=&amp;amp;quot;nofollow&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;79-Tone Tuning &amp;amp;amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music&amp;amp;lt;/a&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;/span&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;span style=&amp;amp;quot;background-color: #ffffff;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&amp;amp;lt;/span&amp;amp;gt;&amp;amp;amp;lt;/ref&amp;amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;sup id="cite_ref-3" class="reference"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_note-3"&amp;gt;[3]&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/sup&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRefRule:13 --&amp;gt; &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS&amp;lt;/a&amp;gt;-Teilmenge von 159edo ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Tsaharuk"&amp;gt;Tsaharuk &amp;lt;/a&amp;gt;ist eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;, welche in 77edo, 94edo, 111edo, 128edo, 145edo, 171edo oder 359edo realisiert werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:22:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Referenzen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:22 --&amp;gt;Referenzen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextReferencesRule:94:&amp;amp;amp;lt;references /&amp;amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;ol class="references"&amp;gt;
&amp;lt;li id="cite_note-1"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_ref-1"&amp;gt;^&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Amine Beyhom, &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.beyhom.com/download/articles/ICONEA%202008%20%282010%29%20-%20Hypothesis%20Beyhom%20-%20complete.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins&amp;lt;/a&amp;gt;, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
&amp;lt;li id="cite_note-2"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_ref-2"&amp;gt;^&amp;lt;/a&amp;gt; Ozan Yarman, Search For A Theoretical Model Conforming To TurkishMaqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning, Artikel online verfügbar unter &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
&amp;lt;li id="cite_note-3"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_ref-3"&amp;gt;^&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Ozan Yarman, &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;79-Tone Tuning &amp;amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Arabic, Turkish, Persian]]

Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.

Ein Basiskonzept ist "Maqam" (Plural "Maqamat"), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen "Modus" entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet "Makam", das verwandte persissche System figuriert unter "Dastgah". Zur Einführung siehe etwa:

[[http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29|Maqam (Wikipedia)]]
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah|Dastgah (Wikipedia)]]

Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in [[http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745|diesem Podcast]] des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.

=Gleichstufige Stimmungen für Maqamat= 
Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige Stimmung]] zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von [[12edo]] zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.

Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.

==Stufe 1== 
Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein Tonsystem für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden&amp;lt;ref&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Amine Beyhom, "A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins”, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209. Artikel online verfügbar auf: &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;[[http://www.beyhom.com/download/articles/ICONEA%202008%20%282010%29%20-%20Hypothesis%20Beyhom%20-%20complete.pdf]]&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/ref&amp;gt; :
* Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Struktur.
* Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.

Die kleinsten [[edo|EDO]]-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[17edo]] und [[24edo]]. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.

Im Rahmen des Konzepts der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] werden die obigen Bedingungen von der [[maqamisch|maqamischen Temperatur]] erfüllt.

==Stufe 2== 
Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.

Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die "Bayati"-Skala und eine grössere für die "Rast"-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein "grosser Ganzton" sein, die kleine Sekunde hingegen ein "kleiner Halbton" - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem "kleinen" (Limma) und einem "grossen" (Apotom).

Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[53edo]] und [[72edo]]. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.

Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler [[Ozan Yarman]]&amp;lt;ref&amp;gt;Ozan Yarman, Search For A Theoretical Model Conforming To TurkishMaqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning, Artikel online verfügbar unter http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_&amp;lt;/ref&amp;gt; auch [[34edo]] und [[41edo]] in Frage. Diese haben die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem "kleinen Ganzton" liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.

Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht //ein// orientalisches Tonsystem, sondern viele - und nicht nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...

==Stufe 3== 
Selbst 53edo und 72edo, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:

Ozan Yarmans Dissertation&amp;lt;ref&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Ozan Yarman, &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;[[http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf|79-Tone Tuning &amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music]]&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/ref&amp;gt; &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige [[MOS-Skalen|MOS]]-Teilmenge von 159edo ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

[[Tsaharuk|Tsaharuk ]]ist eine [[Reguläre Temperaturen|reguläre Temperatur]], welche in 77edo, 94edo, 111edo, 128edo, 145edo, 171edo oder 359edo realisiert werden kann.

=Referenzen= 
&amp;lt;references /&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;arabisch, türkisch, persisch&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Arabic%2C%20Turkish%2C%20Persian"&amp;gt;xenharmonic/Arabic, Turkish, Persian&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein Basiskonzept ist &amp;amp;quot;Maqam&amp;amp;quot; (Plural &amp;amp;quot;Maqamat&amp;amp;quot;), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen &amp;amp;quot;Modus&amp;amp;quot; entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet &amp;amp;quot;Makam&amp;amp;quot;, das verwandte persissche System figuriert unter &amp;amp;quot;Dastgah&amp;amp;quot;. Zur Einführung siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29" rel="nofollow"&amp;gt;Maqam (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah" rel="nofollow"&amp;gt;Dastgah (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745" rel="nofollow"&amp;gt;diesem Podcast&amp;lt;/a&amp;gt; des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:16:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:16 --&amp;gt;Gleichstufige Stimmungen für Maqamat&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Struktur.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die kleinsten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;EDO&amp;lt;/a&amp;gt;-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/24edo"&amp;gt;24edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Im Rahmen des Konzepts der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; werden die obigen Bedingungen von der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/maqamisch"&amp;gt;maqamischen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; erfüllt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:20:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:20 --&amp;gt;Stufe 2&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die &amp;amp;quot;Bayati&amp;amp;quot;-Skala und eine grössere für die &amp;amp;quot;Rast&amp;amp;quot;-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein &amp;amp;quot;grosser Ganzton&amp;amp;quot; sein, die kleine Sekunde hingegen ein &amp;amp;quot;kleiner Halbton&amp;amp;quot; - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem &amp;amp;quot;kleinen&amp;amp;quot; (Limma) und einem &amp;amp;quot;grossen&amp;amp;quot; (Apotom).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/72edo"&amp;gt;72edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ozan%20Yarman"&amp;gt;Ozan Yarman&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRefRule:7:&amp;amp;amp;lt;ref&amp;amp;amp;gt;Ozan Yarman, Search For A Theoretical Model Conforming To TurkishMaqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning, Artikel online verfügbar unter http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_&amp;amp;amp;lt;/ref&amp;amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;sup id="cite_ref-2" class="reference"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_note-2"&amp;gt;[2]&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/sup&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRefRule:7 --&amp;gt; auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; in Frage. Diese haben die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem &amp;amp;quot;kleinen Ganzton&amp;amp;quot; liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reinen grossen Terz 5/4&amp;lt;/a&amp;gt; zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht &amp;lt;em&amp;gt;ein&amp;lt;/em&amp;gt; orientalisches Tonsystem, sondern viele - und nicht nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:22:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 3"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:22 --&amp;gt;Stufe 3&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Selbst 53edo und 72edo, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ozan Yarmans Dissertation&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRefRule:15:&amp;amp;amp;lt;ref&amp;amp;amp;gt;&amp;amp;lt;span style=&amp;amp;quot;background-color: #ffffff;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;Ozan Yarman, &amp;amp;lt;/span&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;span style=&amp;amp;quot;background-color: #ffffff;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;a class=&amp;amp;quot;wiki_link_ext&amp;amp;quot; href=&amp;amp;quot;http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf&amp;amp;quot; rel=&amp;amp;quot;nofollow&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;79-Tone Tuning &amp;amp;amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music&amp;amp;lt;/a&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;/span&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;span style=&amp;amp;quot;background-color: #ffffff;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&amp;amp;lt;/span&amp;amp;gt;&amp;amp;amp;lt;/ref&amp;amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;sup id="cite_ref-3" class="reference"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_note-3"&amp;gt;[3]&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/sup&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRefRule:15 --&amp;gt; &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS&amp;lt;/a&amp;gt;-Teilmenge von 159edo ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Tsaharuk"&amp;gt;Tsaharuk &amp;lt;/a&amp;gt;ist eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;, welche in 77edo, 94edo, 111edo, 128edo, 145edo, 171edo oder 359edo realisiert werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:24:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Referenzen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:24 --&amp;gt;Referenzen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextReferencesRule:94:&amp;amp;amp;lt;references /&amp;amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;ol class="references"&amp;gt;
&amp;lt;li id="cite_note-1"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_ref-1"&amp;gt;^&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Amine Beyhom, &amp;amp;quot;A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins”, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209. Artikel online verfügbar auf: &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.beyhom.com/download/articles/ICONEA%202008%20%282010%29%20-%20Hypothesis%20Beyhom%20-%20complete.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.beyhom.com/download/articles/ICONEA%202008%20%282010%29%20-%20Hypothesis%20Beyhom%20-%20complete.pdf&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
&amp;lt;li id="cite_note-2"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_ref-2"&amp;gt;^&amp;lt;/a&amp;gt; Ozan Yarman, Search For A Theoretical Model Conforming To TurkishMaqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning, Artikel online verfügbar unter &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
&amp;lt;li id="cite_note-3"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_ref-3"&amp;gt;^&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Ozan Yarman, &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;79-Tone Tuning &amp;amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextReferencesRule:94 --&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Arabic, Turkish, Persian]]

Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.

Ein Basiskonzept ist "Maqam" (Plural "Maqamat"), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen "Modus" entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet "Makam", das verwandte persissche System figuriert unter "Dastgah". Zur Einführung siehe etwa:

[[http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29|Maqam (Wikipedia)]]
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah|Dastgah (Wikipedia)]]

Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in [[http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745|diesem Podcast]] des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.

=Gleichstufige Stimmungen für Maqamat= 
Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige Stimmung]] zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von [[12edo]] zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.

Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.

==Stufe 1== 
Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein Tonsystem für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden&amp;lt;ref&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Amine Beyhom, "A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins”, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209. Artikel online verfügbar auf: &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;[[http://www.beyhom.com/download/articles/ICONEA%202008%20%282010%29%20-%20Hypothesis%20Beyhom%20-%20complete.pdf]]&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;/ref&amp;gt;:&amp;lt;/span&amp;gt;
* Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Struktur.
* Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.

Die kleinsten [[edo|EDO]]-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[17edo]] und [[24edo]]. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.

Im Rahmen des Konzepts der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] werden die obigen Bedingungen von der [[maqamisch|maqamischen Temperatur]] erfüllt.

==Stufe 2== 
Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.

Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die "Bayati"-Skala und eine grössere für die "Rast"-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein "grosser Ganzton" sein, die kleine Sekunde hingegen ein "kleiner Halbton" - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem "kleinen" (Limma) und einem "grossen" (Apotom).

Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[53edo]] und [[72edo]]. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.

Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler [[Ozan Yarman]] auch [[34edo]] und [[41edo]] in Frage. Diese haben die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem "kleinen Ganzton" liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.

Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht //ein// orientalisches Tonsystem, sondern viele - und nicht nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...

==Stufe 3== 
Selbst 53edo und 72edo, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:

Ozan Yarmans Dissertation&amp;lt;ref&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Ozan Yarman, &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;[[http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf|79-Tone Tuning &amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music]]&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/ref&amp;gt; &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige [[MOS-Skalen|MOS]]-Teilmenge von 159edo ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

[[Tsaharuk|Tsaharuk ]]ist eine [[Reguläre Temperaturen|reguläre Temperatur]], welche in 77edo, 94edo, 111edo, 128edo, 145edo, 171edo oder 359edo realisiert werden kann.

=Referenzen= 
&amp;lt;references /&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;arabisch, türkisch, persisch&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Arabic%2C%20Turkish%2C%20Persian"&amp;gt;xenharmonic/Arabic, Turkish, Persian&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein Basiskonzept ist &amp;amp;quot;Maqam&amp;amp;quot; (Plural &amp;amp;quot;Maqamat&amp;amp;quot;), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen &amp;amp;quot;Modus&amp;amp;quot; entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet &amp;amp;quot;Makam&amp;amp;quot;, das verwandte persissche System figuriert unter &amp;amp;quot;Dastgah&amp;amp;quot;. Zur Einführung siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29" rel="nofollow"&amp;gt;Maqam (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah" rel="nofollow"&amp;gt;Dastgah (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745" rel="nofollow"&amp;gt;diesem Podcast&amp;lt;/a&amp;gt; des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:15:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:15 --&amp;gt;Gleichstufige Stimmungen für Maqamat&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:17:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:17 --&amp;gt;Stufe 1&amp;lt;/h2&amp;gt;
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&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Struktur.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die kleinsten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;EDO&amp;lt;/a&amp;gt;-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/24edo"&amp;gt;24edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Im Rahmen des Konzepts der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; werden die obigen Bedingungen von der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/maqamisch"&amp;gt;maqamischen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; erfüllt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:19:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:19 --&amp;gt;Stufe 2&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die &amp;amp;quot;Bayati&amp;amp;quot;-Skala und eine grössere für die &amp;amp;quot;Rast&amp;amp;quot;-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein &amp;amp;quot;grosser Ganzton&amp;amp;quot; sein, die kleine Sekunde hingegen ein &amp;amp;quot;kleiner Halbton&amp;amp;quot; - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem &amp;amp;quot;kleinen&amp;amp;quot; (Limma) und einem &amp;amp;quot;grossen&amp;amp;quot; (Apotom).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/72edo"&amp;gt;72edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ozan%20Yarman"&amp;gt;Ozan Yarman&amp;lt;/a&amp;gt; auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; in Frage. Diese haben die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem &amp;amp;quot;kleinen Ganzton&amp;amp;quot; liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reinen grossen Terz 5/4&amp;lt;/a&amp;gt; zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht &amp;lt;em&amp;gt;ein&amp;lt;/em&amp;gt; orientalisches Tonsystem, sondern viele - und nicht nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:21:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 3"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:21 --&amp;gt;Stufe 3&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Selbst 53edo und 72edo, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ozan Yarmans Dissertation&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRefRule:14:&amp;amp;amp;lt;ref&amp;amp;amp;gt;&amp;amp;lt;span style=&amp;amp;quot;background-color: #ffffff;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;Ozan Yarman, &amp;amp;lt;/span&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;span style=&amp;amp;quot;background-color: #ffffff;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;a class=&amp;amp;quot;wiki_link_ext&amp;amp;quot; href=&amp;amp;quot;http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf&amp;amp;quot; rel=&amp;amp;quot;nofollow&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;79-Tone Tuning &amp;amp;amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music&amp;amp;lt;/a&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;/span&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;span style=&amp;amp;quot;background-color: #ffffff;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&amp;amp;lt;/span&amp;amp;gt;&amp;amp;amp;lt;/ref&amp;amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;sup id="cite_ref-2" class="reference"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_note-2"&amp;gt;[2]&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/sup&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRefRule:14 --&amp;gt; &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS&amp;lt;/a&amp;gt;-Teilmenge von 159edo ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Tsaharuk"&amp;gt;Tsaharuk &amp;lt;/a&amp;gt;ist eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;, welche in 77edo, 94edo, 111edo, 128edo, 145edo, 171edo oder 359edo realisiert werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:23:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Referenzen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:23 --&amp;gt;Referenzen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextReferencesRule:94:&amp;amp;amp;lt;references /&amp;amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;ol class="references"&amp;gt;
&amp;lt;li id="cite_note-1"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_ref-1"&amp;gt;^&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Amine Beyhom, &amp;amp;quot;A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins”, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209. Artikel online verfügbar auf: &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.beyhom.com/download/articles/ICONEA%202008%20%282010%29%20-%20Hypothesis%20Beyhom%20-%20complete.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.beyhom.com/download/articles/ICONEA%202008%20%282010%29%20-%20Hypothesis%20Beyhom%20-%20complete.pdf&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
&amp;lt;li id="cite_note-2"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_ref-2"&amp;gt;^&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Ozan Yarman, &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;79-Tone Tuning &amp;amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextReferencesRule:94 --&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-07 13:50:16 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Arabic, Turkish, Persian]]

Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.

Ein Basiskonzept ist "Maqam" (Plural "Maqamat"), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen "Modus" entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet "Makam", das verwandte persissche System figuriert unter "Dastgah". Zur Einführung siehe etwa:

[[http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29|Maqam (Wikipedia)]]
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah|Dastgah (Wikipedia)]]

Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in [[http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745|diesem Podcast]] des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.

=Gleichstufige Stimmungen für Maqamat= 
Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige Stimmung]] zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von [[12edo]] zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.

Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.

==Stufe 1== 
Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein Tonsystem für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden:
* Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Struktur.
* Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.

Die kleinsten [[edo|EDO]]-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[17edo]] und [[24edo]]. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.

Im Rahmen des Konzepts der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] werden die obigen Bedingungen von der [[maqamisch|maqamischen Temperatur]] erfüllt.

==Stufe 2== 
Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.

Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die "Bayati"-Skala und eine grössere für die "Rast"-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein "grosser Ganzton" sein, die kleine Sekunde hingegen ein "kleiner Halbton" - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem "kleinen" (Limma) und einem "grossen" (Apotom).

Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[53edo]] und [[72edo]]. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.

Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler [[Ozan Yarman]] auch [[34edo]] und [[41edo]] in Frage. Diese haben die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem "kleinen Ganzton" liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.

Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht //ein// orientalisches Tonsystem, sondern viele - und nicht nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...

==Stufe 3== 
Selbst 53edo und 72edo, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:

Ozan Yarmans Dissertation&amp;lt;ref&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Yarman, Ozan, &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;[[http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf|79-Tone Tuning &amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music]]&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&amp;lt;/ref&amp;gt; &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[MOS-Skalen|MOS]]&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;-Teilmenge von 159edo ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

[[Tsaharuk|Tsaharuk ]]ist eine [[Reguläre Temperaturen|reguläre Temperatur]], welche in 77edo, 94edo, 111edo, 128edo, 145edo, 171edo oder 359edo realisiert werden kann.

=Referenzen= 
&amp;lt;references /&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;arabisch, türkisch, persisch&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Arabic%2C%20Turkish%2C%20Persian"&amp;gt;xenharmonic/Arabic, Turkish, Persian&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein Basiskonzept ist &amp;amp;quot;Maqam&amp;amp;quot; (Plural &amp;amp;quot;Maqamat&amp;amp;quot;), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen &amp;amp;quot;Modus&amp;amp;quot; entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet &amp;amp;quot;Makam&amp;amp;quot;, das verwandte persissche System figuriert unter &amp;amp;quot;Dastgah&amp;amp;quot;. Zur Einführung siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29" rel="nofollow"&amp;gt;Maqam (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah" rel="nofollow"&amp;gt;Dastgah (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745" rel="nofollow"&amp;gt;diesem Podcast&amp;lt;/a&amp;gt; des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;Gleichstufige Stimmungen für Maqamat&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;Stufe 1&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein Tonsystem für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Struktur.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die kleinsten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;EDO&amp;lt;/a&amp;gt;-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/24edo"&amp;gt;24edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Im Rahmen des Konzepts der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; werden die obigen Bedingungen von der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/maqamisch"&amp;gt;maqamischen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; erfüllt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;Stufe 2&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die &amp;amp;quot;Bayati&amp;amp;quot;-Skala und eine grössere für die &amp;amp;quot;Rast&amp;amp;quot;-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein &amp;amp;quot;grosser Ganzton&amp;amp;quot; sein, die kleine Sekunde hingegen ein &amp;amp;quot;kleiner Halbton&amp;amp;quot; - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem &amp;amp;quot;kleinen&amp;amp;quot; (Limma) und einem &amp;amp;quot;grossen&amp;amp;quot; (Apotom).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/72edo"&amp;gt;72edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ozan%20Yarman"&amp;gt;Ozan Yarman&amp;lt;/a&amp;gt; auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; in Frage. Diese haben die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem &amp;amp;quot;kleinen Ganzton&amp;amp;quot; liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reinen grossen Terz 5/4&amp;lt;/a&amp;gt; zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht &amp;lt;em&amp;gt;ein&amp;lt;/em&amp;gt; orientalisches Tonsystem, sondern viele - und nicht nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Tsaharuk"&amp;gt;Tsaharuk &amp;lt;/a&amp;gt;ist eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;, welche in 77edo, 94edo, 111edo, 128edo, 145edo, 171edo oder 359edo realisiert werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
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      <comment>**Imported revision 436909784 - Original comment: **</comment>
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      <text bytes="13551" sha1="9f0etuca2z67o976pt2hwtx38jqai0z" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-07 07:31:38 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;436909784&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Arabic, Turkish, Persian]]

Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.

Ein Basiskonzept ist "Maqam" (Plural "Maqamat"), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen "Modus" entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet "Makam", das verwandte persissche System figuriert unter "Dastgah". Zur Einführung siehe etwa:

[[http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29|Maqam (Wikipedia)]]
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah|Dastgah (Wikipedia)]]

Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in [[http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745|diesem Podcast]] des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.

=Gleichstufige Stimmungen für Maqamat= 
Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige Stimmung]] zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von [[12edo]] zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.

Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.

==Stufe 1== 
Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein Tonsystem für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden:
* Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Struktur.
* Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.

Die kleinsten [[edo|EDO]]-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[17edo]] und [[24edo]]. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.

Im Rahmen des Konzepts der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] werden die obigen Bedingungen von der [[maqamisch|maqamischen Temperatur]] erfüllt.

==Stufe 2== 
Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.

Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die "Bayati"-Skala und eine grössere für die "Rast"-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein "grosser Ganzton" sein, die kleine Sekunde hingegen ein "kleiner Halbton" - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem "kleinen" (Limma) und einem "grossen" (Apotom).

Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[53edo]] und [[72edo]]. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.

Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler [[Ozan Yarman]] auch [[34edo]] und [[41edo]] in Frage. Diese haben die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem "kleinen Ganzton" liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.

Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht //ein// orientalisches Tonsystem, sondern viele - und nicht nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...

==Stufe 3== 
Selbst 53edo und 72edo, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:

[[@http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf|Ozan Yarmans Dissertation]] beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige [[MOS-Skalen|MOS]]-Teilmenge von [[159edo]] ist.

[[Tsaharuk|Tsaharuk ]]ist eine [[Reguläre Temperaturen|reguläre Temperatur]], welche in 77edo, 94edo, 111edo, 128edo, 145edo, 171edo oder 359edo realisiert werden kann.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;arabisch, türkisch, persisch&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Arabic%2C%20Turkish%2C%20Persian"&amp;gt;xenharmonic/Arabic, Turkish, Persian&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein Basiskonzept ist &amp;amp;quot;Maqam&amp;amp;quot; (Plural &amp;amp;quot;Maqamat&amp;amp;quot;), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen &amp;amp;quot;Modus&amp;amp;quot; entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet &amp;amp;quot;Makam&amp;amp;quot;, das verwandte persissche System figuriert unter &amp;amp;quot;Dastgah&amp;amp;quot;. Zur Einführung siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29" rel="nofollow"&amp;gt;Maqam (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah" rel="nofollow"&amp;gt;Dastgah (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745" rel="nofollow"&amp;gt;diesem Podcast&amp;lt;/a&amp;gt; des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Gleichstufige Stimmungen für Maqamat&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Stufe 1&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein Tonsystem für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Struktur.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die kleinsten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;EDO&amp;lt;/a&amp;gt;-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/24edo"&amp;gt;24edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Im Rahmen des Konzepts der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; werden die obigen Bedingungen von der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/maqamisch"&amp;gt;maqamischen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; erfüllt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die &amp;amp;quot;Bayati&amp;amp;quot;-Skala und eine grössere für die &amp;amp;quot;Rast&amp;amp;quot;-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein &amp;amp;quot;grosser Ganzton&amp;amp;quot; sein, die kleine Sekunde hingegen ein &amp;amp;quot;kleiner Halbton&amp;amp;quot; - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem &amp;amp;quot;kleinen&amp;amp;quot; (Limma) und einem &amp;amp;quot;grossen&amp;amp;quot; (Apotom).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/72edo"&amp;gt;72edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ozan%20Yarman"&amp;gt;Ozan Yarman&amp;lt;/a&amp;gt; auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; in Frage. Diese haben die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem &amp;amp;quot;kleinen Ganzton&amp;amp;quot; liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reinen grossen Terz 5/4&amp;lt;/a&amp;gt; zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht &amp;lt;em&amp;gt;ein&amp;lt;/em&amp;gt; orientalisches Tonsystem, sondern viele - und nicht nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Selbst 53edo und 72edo, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf" rel="nofollow" target="_blank"&amp;gt;Ozan Yarmans Dissertation&amp;lt;/a&amp;gt; beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS&amp;lt;/a&amp;gt;-Teilmenge von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/159edo"&amp;gt;159edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Tsaharuk"&amp;gt;Tsaharuk &amp;lt;/a&amp;gt;ist eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;, welche in 77edo, 94edo, 111edo, 128edo, 145edo, 171edo oder 359edo realisiert werden kann.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
        <id>0</id>
      </contributor>
      <comment>**Imported revision 435010354 - Original comment: **</comment>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.

Ein Basiskonzept ist "Maqam" (Plural "Maqamat"), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen "Modus" entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet "Makam", das verwandte persissche System figuriert unter "Dastgah". Zur Einführung siehe etwa:

[[http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29|Maqam (Wikipedia)]]
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah|Dastgah (Wikipedia)]]

Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in [[http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745|diesem Podcast]] des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.

=Gleichstufige Stimmungen für Maqamat= 
Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige Stimmung]] zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von [[12edo]] zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.

Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.

==Stufe 1== 
Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein Tonsystem für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden:
* Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Struktur.
* Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.

Die kleinsten [[edo|EDO]]-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[17edo]] und [[24edo]]. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.

Im Rahmen des Konzepts der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] werden die obigen Bedingungen von der [[maqamisch|maqamischen Temperatur]] erfüllt.

==Stufe 2== 
Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.

Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die "Bayati"-Skala und eine grössere für die "Rast"-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein "grosser Ganzton" sein, die kleine Sekunde hingegen ein "kleiner Halbton" - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem "kleinen" (Limma) und einem "grossen" (Apotom).

Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[53edo]] und [[72edo]]. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.

Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler [[Ozan Yarman]] auch [[34edo]] und [[41edo]] in Frage. Diese haben die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem "kleinen Ganzton" liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.

Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht //ein// orientalisches Tonsystem, sondern viele - und nicht nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...

==Stufe 3== 
Selbst 53edo und 72edo, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:

[[@http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf|Ozan Yarmans Dissertation]] beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige [[MOS-Skalen|MOS]]-Teilmenge von [[159edo]] ist.

[[Tsaharuk|Tsaharuk ]]ist eine [[Reguläre Temperaturen|reguläre Temperatur]], welche in 77edo, 94edo, 111edo, 128edo, 145edo, 171edo oder 359edo realisiert werden kann.


XXX&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ein Basiskonzept ist &amp;amp;quot;Maqam&amp;amp;quot; (Plural &amp;amp;quot;Maqamat&amp;amp;quot;), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen &amp;amp;quot;Modus&amp;amp;quot; entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet &amp;amp;quot;Makam&amp;amp;quot;, das verwandte persissche System figuriert unter &amp;amp;quot;Dastgah&amp;amp;quot;. Zur Einführung siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah" rel="nofollow"&amp;gt;Dastgah (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745" rel="nofollow"&amp;gt;diesem Podcast&amp;lt;/a&amp;gt; des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Gleichstufige Stimmungen für Maqamat&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Stufe 1&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein Tonsystem für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Struktur.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die kleinsten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;EDO&amp;lt;/a&amp;gt;-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/24edo"&amp;gt;24edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Im Rahmen des Konzepts der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; werden die obigen Bedingungen von der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/maqamisch"&amp;gt;maqamischen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; erfüllt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Stufe 2&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die &amp;amp;quot;Bayati&amp;amp;quot;-Skala und eine grössere für die &amp;amp;quot;Rast&amp;amp;quot;-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein &amp;amp;quot;grosser Ganzton&amp;amp;quot; sein, die kleine Sekunde hingegen ein &amp;amp;quot;kleiner Halbton&amp;amp;quot; - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem &amp;amp;quot;kleinen&amp;amp;quot; (Limma) und einem &amp;amp;quot;grossen&amp;amp;quot; (Apotom).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/72edo"&amp;gt;72edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ozan%20Yarman"&amp;gt;Ozan Yarman&amp;lt;/a&amp;gt; auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; in Frage. Diese haben die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem &amp;amp;quot;kleinen Ganzton&amp;amp;quot; liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reinen grossen Terz 5/4&amp;lt;/a&amp;gt; zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht &amp;lt;em&amp;gt;ein&amp;lt;/em&amp;gt; orientalisches Tonsystem, sondern viele - und nicht nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 3"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Stufe 3&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Selbst 53edo und 72edo, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf" rel="nofollow" target="_blank"&amp;gt;Ozan Yarmans Dissertation&amp;lt;/a&amp;gt; beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS&amp;lt;/a&amp;gt;-Teilmenge von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/159edo"&amp;gt;159edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Tsaharuk"&amp;gt;Tsaharuk &amp;lt;/a&amp;gt;ist eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;, welche in 77edo, 94edo, 111edo, 128edo, 145edo, 171edo oder 359edo realisiert werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-29 10:03:54 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;435000180&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.

Ein Basiskonzept ist "Maqam" (Plural "Maqamat"), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen "Modus" entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet "Makam", das verwandte persissche System figuriert unter "Dastgah". Zur Einführung siehe etwa:

[[http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29|Maqam (Wikipedia)]]
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah|Dastgah (Wikipedia)]]

Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in [[http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745|diesem Podcast]] des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.

=Gleichstufige Stimmungen für Maqamat= 
Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige Stimmung]] zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von [[12edo]] zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.

Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.

==Stufe 1== 
Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein Tonsystem für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden:
* Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Struktur.
* Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.

Die kleinsten [[edo|EDO]]-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[17edo]] und [[24edo]]. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.

Im Rahmen des Konzepts der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] werden die obigen Bedingungen von der [[maqamisch|maqamischen Temperatur]] erfüllt.

==Stufe 2== 
Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.

Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die "Bayati"-Skala und eine grössere für die "Rast"-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein "grosser Ganzton" sein, die kleine Sekunde hingegen ein "kleiner Halbton" - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem "kleinen" (Limma) und einem "grossen" (Apotom).

Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[53edo]] und [[72edo]]. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.

Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler [[Ozan Yarman]] auch [[34edo]] und [[41edo]] in Frage. Diese haben die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem "kleinen Ganzton" liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.

Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht //ein// orientalisches Tonsystem, sondern viele - und nicht nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...

==Stufe 3== 
Selbst 53edo und 72edo, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:

[[@http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf|Ozan Yarmans Dissertation]] beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige [[MOS-Skalen|MOS]]-Teilmenge von [[159edo]] ist.


[[Tsaharuk|Tsaharuk ]]ist eine [[Reguläre Temperaturen|reguläre Temperatur]], vorgeschlagen von [[Jacques Dudon]], welche in 77edo, 94edo, 111edo, 128edo, 145edo, 171edo oder 359edo realisiert werden kann.


XXX&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;arabisch, türkisch, persisch&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Arabic%2C%20Turkish%2C%20Persian"&amp;gt;xenharmonic/Arabic, Turkish, Persian&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein Basiskonzept ist &amp;amp;quot;Maqam&amp;amp;quot; (Plural &amp;amp;quot;Maqamat&amp;amp;quot;), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen &amp;amp;quot;Modus&amp;amp;quot; entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet &amp;amp;quot;Makam&amp;amp;quot;, das verwandte persissche System figuriert unter &amp;amp;quot;Dastgah&amp;amp;quot;. Zur Einführung siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29" rel="nofollow"&amp;gt;Maqam (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah" rel="nofollow"&amp;gt;Dastgah (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745" rel="nofollow"&amp;gt;diesem Podcast&amp;lt;/a&amp;gt; des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Gleichstufige Stimmungen für Maqamat&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Struktur.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die kleinsten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;EDO&amp;lt;/a&amp;gt;-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/24edo"&amp;gt;24edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Im Rahmen des Konzepts der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; werden die obigen Bedingungen von der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/maqamisch"&amp;gt;maqamischen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; erfüllt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die &amp;amp;quot;Bayati&amp;amp;quot;-Skala und eine grössere für die &amp;amp;quot;Rast&amp;amp;quot;-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein &amp;amp;quot;grosser Ganzton&amp;amp;quot; sein, die kleine Sekunde hingegen ein &amp;amp;quot;kleiner Halbton&amp;amp;quot; - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem &amp;amp;quot;kleinen&amp;amp;quot; (Limma) und einem &amp;amp;quot;grossen&amp;amp;quot; (Apotom).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/72edo"&amp;gt;72edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ozan%20Yarman"&amp;gt;Ozan Yarman&amp;lt;/a&amp;gt; auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; in Frage. Diese haben die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem &amp;amp;quot;kleinen Ganzton&amp;amp;quot; liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reinen grossen Terz 5/4&amp;lt;/a&amp;gt; zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht &amp;lt;em&amp;gt;ein&amp;lt;/em&amp;gt; orientalisches Tonsystem, sondern viele - und nicht nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Selbst 53edo und 72edo, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf" rel="nofollow" target="_blank"&amp;gt;Ozan Yarmans Dissertation&amp;lt;/a&amp;gt; beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS&amp;lt;/a&amp;gt;-Teilmenge von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/159edo"&amp;gt;159edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Tsaharuk"&amp;gt;Tsaharuk &amp;lt;/a&amp;gt;ist eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;, vorgeschlagen von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Jacques%20Dudon"&amp;gt;Jacques Dudon&amp;lt;/a&amp;gt;, welche in 77edo, 94edo, 111edo, 128edo, 145edo, 171edo oder 359edo realisiert werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-29 10:02:10 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Arabic, Turkish, Persian]]

Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.

Ein Basiskonzept ist "Maqam" (Plural "Maqamat"), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen "Modus" entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet "Makam", das verwandte persissche System figuriert unter "Dastgah". Zur Einführung siehe etwa:

[[http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29|Maqam (Wikipedia)]]
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah|Dastgah (Wikipedia)]]

Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in [[http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745|diesem Podcast]] des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.

=Gleichstufige Stimmungen für Maqamat= 
Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige Stimmung]] zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von [[12edo]] zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.

Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.

==Stufe 1== 
Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein Tonsystem für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden:
* Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Struktur.
* Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.

Die kleinsten [[edo|EDO]]-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[17edo]] und [[24edo]]. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.

Im Rahmen des Konzepts der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] werden die obigen Bedingungen von der [[maqamisch|maqamischen Temperatur]] erfüllt.

==Stufe 2== 
Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.

Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die "Bayati"-Skala und eine grössere für die "Rast"-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein "grosser Ganzton" sein, die kleine Sekunde hingegen ein "kleiner Halbton" - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem "kleinen" (Limma) und einem "grossen" (Apotom).

Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[53edo]] und [[72edo]]. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.

Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler [[Ozan Yarman]] auch [[34edo]] und [[41edo]] in Frage. Diese haben die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem "kleinen Ganzton" liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.

Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht //ein// orientalisches Tonsystem, sondern viele - und nicht nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...

==Stufe 3== 
Selbst 53edo und 72edo, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:

[[@http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf|Ozan Yarmans Dissertation]] beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige [[MOS-Skalen|MOS]]-Teilmenge von [[159edo]] ist.


[[Tsaharuk|Tsaharuk ]]ist eine [[Reguläre Temperaturen|reguläre Temperatur]], vorgeschlagen von [[Jacques Dudon]], welche in 77edo, 94edo, 111edo, 128edo, 145edo, 171edo oder 359edo realisierrt werden kann.


XXX&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;arabisch, türkisch, persisch&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Arabic%2C%20Turkish%2C%20Persian"&amp;gt;xenharmonic/Arabic, Turkish, Persian&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein Basiskonzept ist &amp;amp;quot;Maqam&amp;amp;quot; (Plural &amp;amp;quot;Maqamat&amp;amp;quot;), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen &amp;amp;quot;Modus&amp;amp;quot; entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet &amp;amp;quot;Makam&amp;amp;quot;, das verwandte persissche System figuriert unter &amp;amp;quot;Dastgah&amp;amp;quot;. Zur Einführung siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29" rel="nofollow"&amp;gt;Maqam (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745" rel="nofollow"&amp;gt;diesem Podcast&amp;lt;/a&amp;gt; des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Gleichstufige Stimmungen für Maqamat&amp;lt;/h1&amp;gt;
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Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein Tonsystem für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Struktur.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Im Rahmen des Konzepts der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; werden die obigen Bedingungen von der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/maqamisch"&amp;gt;maqamischen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; erfüllt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die &amp;amp;quot;Bayati&amp;amp;quot;-Skala und eine grössere für die &amp;amp;quot;Rast&amp;amp;quot;-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein &amp;amp;quot;grosser Ganzton&amp;amp;quot; sein, die kleine Sekunde hingegen ein &amp;amp;quot;kleiner Halbton&amp;amp;quot; - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem &amp;amp;quot;kleinen&amp;amp;quot; (Limma) und einem &amp;amp;quot;grossen&amp;amp;quot; (Apotom).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/72edo"&amp;gt;72edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ozan%20Yarman"&amp;gt;Ozan Yarman&amp;lt;/a&amp;gt; auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; in Frage. Diese haben die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem &amp;amp;quot;kleinen Ganzton&amp;amp;quot; liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reinen grossen Terz 5/4&amp;lt;/a&amp;gt; zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht &amp;lt;em&amp;gt;ein&amp;lt;/em&amp;gt; orientalisches Tonsystem, sondern viele - und nicht nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Selbst 53edo und 72edo, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf" rel="nofollow" target="_blank"&amp;gt;Ozan Yarmans Dissertation&amp;lt;/a&amp;gt; beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS&amp;lt;/a&amp;gt;-Teilmenge von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/159edo"&amp;gt;159edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Tsaharuk"&amp;gt;Tsaharuk &amp;lt;/a&amp;gt;ist eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;, vorgeschlagen von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Jacques%20Dudon"&amp;gt;Jacques Dudon&amp;lt;/a&amp;gt;, welche in 77edo, 94edo, 111edo, 128edo, 145edo, 171edo oder 359edo realisierrt werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.

Ein Basiskonzept ist "Maqam" (Plural "Maqamat"), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen "Modus" entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet "Makam", das verwandte persissche System figuriert unter "Dastgah". Zur Einführung siehe etwa:

[[http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29|Maqam (Wikipedia)]]
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah|Dastgah (Wikipedia)]]

Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in [[http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745|diesem Podcast]] des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.

=Gleichstufige Stimmungen für Maqamat= 
Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige Stimmung]] zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von [[12edo]] zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.

Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.

==Stufe 1== 
Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein Tonsystem für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden:
* Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Struktur.
* Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.

Die kleinsten [[edo|EDO]]-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[17edo]] und [[24edo]]. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.

Im Rahmen des Konzepts der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] werden die obigen Bedingungen von der [[maqamisch|maqamischen Temperatur]] erfüllt.

==Stufe 2== 
Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.

Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die "Bayati"-Skala und eine grössere für die "Rast"-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein "grosser Ganzton" sein, die kleine Sekunde hingegen ein "kleiner Halbton" - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem "kleinen" (Limma) und einem "grossen" (Apotom).

Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[53edo]] und [[72edo]]. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.

Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler [[Ozan Yarman]] auch [[34edo]] und [[41edo]] in Frage. Diese haben die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem "kleinen Ganzton" liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.

Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht //ein// orientalisches Tonsystem, sondern viele - und nicht nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...

==Stufe 3== 
Selbst 53edo und 72edo, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden.

XXX&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745" rel="nofollow"&amp;gt;diesem Podcast&amp;lt;/a&amp;gt; des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein Tonsystem für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Struktur.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die kleinsten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;EDO&amp;lt;/a&amp;gt;-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/24edo"&amp;gt;24edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Im Rahmen des Konzepts der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; werden die obigen Bedingungen von der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/maqamisch"&amp;gt;maqamischen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; erfüllt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Stufe 2&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die &amp;amp;quot;Bayati&amp;amp;quot;-Skala und eine grössere für die &amp;amp;quot;Rast&amp;amp;quot;-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein &amp;amp;quot;grosser Ganzton&amp;amp;quot; sein, die kleine Sekunde hingegen ein &amp;amp;quot;kleiner Halbton&amp;amp;quot; - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem &amp;amp;quot;kleinen&amp;amp;quot; (Limma) und einem &amp;amp;quot;grossen&amp;amp;quot; (Apotom).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/72edo"&amp;gt;72edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ozan%20Yarman"&amp;gt;Ozan Yarman&amp;lt;/a&amp;gt; auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; in Frage. Diese haben die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem &amp;amp;quot;kleinen Ganzton&amp;amp;quot; liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reinen grossen Terz 5/4&amp;lt;/a&amp;gt; zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht &amp;lt;em&amp;gt;ein&amp;lt;/em&amp;gt; orientalisches Tonsystem, sondern viele - und nicht nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 3"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Stufe 3&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Selbst 53edo und 72edo, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-29 09:03:48 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;434982228&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.

Ein Basiskonzept ist "Maqam" (Plural "Maqamat"), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen "Modus" entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet "Makam", das verwandte persissche System figuriert unter "Dastgah". Zur Einführung siehe etwa:

[[http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29|Maqam (Wikipedia)]]
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah|Dastgah (Wikipedia)]]

Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in [[http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745|diesem Podcast]] des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.

=Gleichstufige Stimmungen für Maqamat= 
Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige Stimmung]] zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von [[12edo]] zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.

Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.

==Stufe 1== 
Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein Tonsystem für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden:
* Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Struktur.
* Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.

Die kleinsten [[edo|EDO]]-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[17edo]] und [[24edo]]. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.

Im Rahmen des Konzepts der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] werden die obigen Bedingungen von der [[maqamisch|maqamischen Temperatur]] erfüllt.

==Stufe 2== 
Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben Annäherungen für die meisten Maqam-Skalen, aber oft sind dieser Annhäherungen eher grob.

Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die "Bayati"-Skala und eine grössere für die "Rast"-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein "grosser Ganzton" sein, die kleine Sekunde hingegen ein "kleiner Halbton" - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem "kleinen" (Limma) und einem "grossen" (Apotom).

Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[53edo]] und [[72edo]]. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.

Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler [[Ozan Yarman]] auch [[34edo]] und [[41edo]] in Frage. Diese haben die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem "kleinen Ganzton" liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.

Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht //ein// orientalisches Tonsystem, sondern viele - und nicht nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalöb der jeweiligen Kulturen...

==Stufe 3== 

XXX&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;arabisch, türkisch, persisch&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Arabic%2C%20Turkish%2C%20Persian"&amp;gt;xenharmonic/Arabic, Turkish, Persian&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein Basiskonzept ist &amp;amp;quot;Maqam&amp;amp;quot; (Plural &amp;amp;quot;Maqamat&amp;amp;quot;), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen &amp;amp;quot;Modus&amp;amp;quot; entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet &amp;amp;quot;Makam&amp;amp;quot;, das verwandte persissche System figuriert unter &amp;amp;quot;Dastgah&amp;amp;quot;. Zur Einführung siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29" rel="nofollow"&amp;gt;Maqam (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah" rel="nofollow"&amp;gt;Dastgah (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745" rel="nofollow"&amp;gt;diesem Podcast&amp;lt;/a&amp;gt; des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Gleichstufige Stimmungen für Maqamat&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Stufe 1&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein Tonsystem für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Struktur.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die kleinsten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;EDO&amp;lt;/a&amp;gt;-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/24edo"&amp;gt;24edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Im Rahmen des Konzepts der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; werden die obigen Bedingungen von der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/maqamisch"&amp;gt;maqamischen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; erfüllt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Stufe 2&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben Annäherungen für die meisten Maqam-Skalen, aber oft sind dieser Annhäherungen eher grob.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die &amp;amp;quot;Bayati&amp;amp;quot;-Skala und eine grössere für die &amp;amp;quot;Rast&amp;amp;quot;-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein &amp;amp;quot;grosser Ganzton&amp;amp;quot; sein, die kleine Sekunde hingegen ein &amp;amp;quot;kleiner Halbton&amp;amp;quot; - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem &amp;amp;quot;kleinen&amp;amp;quot; (Limma) und einem &amp;amp;quot;grossen&amp;amp;quot; (Apotom).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/72edo"&amp;gt;72edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ozan%20Yarman"&amp;gt;Ozan Yarman&amp;lt;/a&amp;gt; auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; in Frage. Diese haben die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem &amp;amp;quot;kleinen Ganzton&amp;amp;quot; liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reinen grossen Terz 5/4&amp;lt;/a&amp;gt; zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht &amp;lt;em&amp;gt;ein&amp;lt;/em&amp;gt; orientalisches Tonsystem, sondern viele - und nicht nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalöb der jeweiligen Kulturen...&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 3"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Stufe 3&amp;lt;/h2&amp;gt;
 &amp;lt;br /&amp;gt;
XXX&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-29 06:20:38 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.

Ein Basiskonzept ist "Maqam" (Plural "Maqamat"), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen "Modus" entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet "Makam", das verwandte persissche System figuriert unter "Dastgah". Zur Einführung siehe etwa:

[[http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29|Maqam (Wikipedia)]]
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah|Dastgah (Wikipedia)]]

Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in [[http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745|diesem Podcast]] des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.

=Gleichstufige Stimmungen für Maqamat= 
Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige Stimmung]] zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von [[12edo]] zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.

Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.

==Stufe 1== 
Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein Tonsystem für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden:
* Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Struktur.
* Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.

Die kleinsten [[edo|EDO]]-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[17edo]] und [[24edo]]. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.

Im Rahmen des Konzepts der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] werden die obigen Bedingungen von der [[maqamisch|maqamischen Temperatur]] erfüllt.

==Stufe 2== 
Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben Annäherungen für die meisten Maqam-Skalen, aber oft sind dieser Annhäherungen eher grob.

Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die "Bayati"-Skala und eine grössere für die "Rast"-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein "grosser Ganzton" sein, die kleine Sekunde hingegen ein "kleiner Halbton" - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem "kleinen" (Limma) und einem "grossen" (Apotom).

Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[53edo]] und [[72edo]]. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.

Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler [[Ozan Yarman]] auch [[34edo]] und [[41edo]] in Frage. Diese haben die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem "kleinen Ganzton" liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gur der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.

XXX

==Stufe 3== 

XXX&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein Basiskonzept ist &amp;amp;quot;Maqam&amp;amp;quot; (Plural &amp;amp;quot;Maqamat&amp;amp;quot;), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen &amp;amp;quot;Modus&amp;amp;quot; entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet &amp;amp;quot;Makam&amp;amp;quot;, das verwandte persissche System figuriert unter &amp;amp;quot;Dastgah&amp;amp;quot;. Zur Einführung siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29" rel="nofollow"&amp;gt;Maqam (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah" rel="nofollow"&amp;gt;Dastgah (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745" rel="nofollow"&amp;gt;diesem Podcast&amp;lt;/a&amp;gt; des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Gleichstufige Stimmungen für Maqamat&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Stufe 1&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein Tonsystem für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Struktur.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die kleinsten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;EDO&amp;lt;/a&amp;gt;-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/24edo"&amp;gt;24edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Im Rahmen des Konzepts der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; werden die obigen Bedingungen von der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/maqamisch"&amp;gt;maqamischen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; erfüllt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Stufe 2&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben Annäherungen für die meisten Maqam-Skalen, aber oft sind dieser Annhäherungen eher grob.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die &amp;amp;quot;Bayati&amp;amp;quot;-Skala und eine grössere für die &amp;amp;quot;Rast&amp;amp;quot;-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein &amp;amp;quot;grosser Ganzton&amp;amp;quot; sein, die kleine Sekunde hingegen ein &amp;amp;quot;kleiner Halbton&amp;amp;quot; - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem &amp;amp;quot;kleinen&amp;amp;quot; (Limma) und einem &amp;amp;quot;grossen&amp;amp;quot; (Apotom).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/72edo"&amp;gt;72edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ozan%20Yarman"&amp;gt;Ozan Yarman&amp;lt;/a&amp;gt; auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; in Frage. Diese haben die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem &amp;amp;quot;kleinen Ganzton&amp;amp;quot; liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reinen grossen Terz 5/4&amp;lt;/a&amp;gt; zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gur der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-29 06:15:32 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;434954078&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Arabic, Turkish, Persian]]

Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.

Ein Basiskonzept ist "Maqam" (Plural "Maqamat"), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen "Modus" entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet "Makam", das verwandte persissche System figuriert unter "Dastgah". Zur Einführung siehe etwa:

[[http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29|Maqam (Wikipedia)]]
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah|Dastgah (Wikipedia)]]

Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in [[http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745|diesem Podcast]] des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.

=Gleichstufige Stimmungen für Maqamat= 
Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige Stimmung]] zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von [[12edo]] zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.

Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.

==Stufe 1== 
Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein Tonsystem für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden:
* Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Struktur.
* Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.

Die kleinsten [[edo|EDO]]-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[17edo]] und [[24edo]]. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.

Im Rahmen des Konzepts der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] werden die obigen Bedingungen von der [[maqamisch|maqamischen Temperatur]] erfüllt.

==Stufe 2== 
Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben Annäherungen für die meisten Maqam-Skalen, aber oft sind dieser Annhäherungen eher grob.

Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die "Bayati"-Skala und eine grössere für die "Rast"-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein "grosser Ganzton" sein, die kleine Sekunde hingegen ein "kleiner Halbton" - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem "kleinen" (Limma) und einem "grossen" (Apotom).

Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[53edo]] und [[72edo]]. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.

XXX

==Stufe 3== 

XXX&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein Basiskonzept ist &amp;amp;quot;Maqam&amp;amp;quot; (Plural &amp;amp;quot;Maqamat&amp;amp;quot;), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen &amp;amp;quot;Modus&amp;amp;quot; entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet &amp;amp;quot;Makam&amp;amp;quot;, das verwandte persissche System figuriert unter &amp;amp;quot;Dastgah&amp;amp;quot;. Zur Einführung siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29" rel="nofollow"&amp;gt;Maqam (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah" rel="nofollow"&amp;gt;Dastgah (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745" rel="nofollow"&amp;gt;diesem Podcast&amp;lt;/a&amp;gt; des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Gleichstufige Stimmungen für Maqamat&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein Tonsystem für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Struktur.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die kleinsten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;EDO&amp;lt;/a&amp;gt;-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/24edo"&amp;gt;24edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Im Rahmen des Konzepts der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; werden die obigen Bedingungen von der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/maqamisch"&amp;gt;maqamischen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; erfüllt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben Annäherungen für die meisten Maqam-Skalen, aber oft sind dieser Annhäherungen eher grob.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die &amp;amp;quot;Bayati&amp;amp;quot;-Skala und eine grössere für die &amp;amp;quot;Rast&amp;amp;quot;-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein &amp;amp;quot;grosser Ganzton&amp;amp;quot; sein, die kleine Sekunde hingegen ein &amp;amp;quot;kleiner Halbton&amp;amp;quot; - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem &amp;amp;quot;kleinen&amp;amp;quot; (Limma) und einem &amp;amp;quot;grossen&amp;amp;quot; (Apotom).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/72edo"&amp;gt;72edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
XXX&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 3"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Stufe 3&amp;lt;/h2&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-29 03:30:34 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.

Ein Basiskonzept ist "Maqam" (Plural "Maqamat"), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen "Modus" entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet "Makam", das verwandte persissche System figuriert unter "Dastgah". Zur Einführung siehe etwa:

[[http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29|Maqam (Wikipedia)]]
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah|Dastgah (Wikipedia)]]

Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in [[http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745|diesem Podcast]] des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.

=Gleichstufige Stimmungen für Maqamat= 
Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige Stimmung]] zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von [[12edo]] zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.

Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.

==Stufe 1== 
Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein Tonsystem für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt zusammengefasst werden:
* Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Struktur.
* Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.

Die kleinsten [[edo|EDO]]-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[17edo]] und [[24edo]]. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.

Im Rahmen des Konzepts der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] werden die obigen Bedingungen von der [[maqamisch|maqamischen Temperatur]] erfüllt.

==Stufe 2== 
XXX

==Stufe 3== 

XXX&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein Basiskonzept ist &amp;amp;quot;Maqam&amp;amp;quot; (Plural &amp;amp;quot;Maqamat&amp;amp;quot;), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen &amp;amp;quot;Modus&amp;amp;quot; entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet &amp;amp;quot;Makam&amp;amp;quot;, das verwandte persissche System figuriert unter &amp;amp;quot;Dastgah&amp;amp;quot;. Zur Einführung siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29" rel="nofollow"&amp;gt;Maqam (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah" rel="nofollow"&amp;gt;Dastgah (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745" rel="nofollow"&amp;gt;diesem Podcast&amp;lt;/a&amp;gt; des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Gleichstufige Stimmungen für Maqamat&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Stufe 1&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein Tonsystem für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt zusammengefasst werden:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Struktur.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die kleinsten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;EDO&amp;lt;/a&amp;gt;-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/24edo"&amp;gt;24edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Im Rahmen des Konzepts der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; werden die obigen Bedingungen von der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/maqamisch"&amp;gt;maqamischen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; erfüllt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 2"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Stufe 2&amp;lt;/h2&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-29 02:43:38 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;434929546&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.

Ein Basiskonzept ist "Maqam" (Plural "Maqamat"), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen "Modus" entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet "Makam", das verwandte persissche System figuriert unter "Dastgah". Zur Einführung siehe etwa:

[[http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29|Maqam (Wikipedia)]]
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah|Dastgah (Wikipedia)]]

Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in [[http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745|diesem Podcast]] des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.

=Gleichstufige Stimmungen für Maqamat= 
Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige Stimmung]] zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von [[12edo]] zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.

Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.

==Stufe 1== 
Die abolut minimalen Bedingungen, welche ein Tonsystem für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt zusammengefasst werden:
* Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Struktur.
* Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.

Die kleinsten [[edo|EDO]]-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[17edo]] und [[24edo]]. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.

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==Stufe 2== 
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==Stufe 3== 

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&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein Basiskonzept ist &amp;amp;quot;Maqam&amp;amp;quot; (Plural &amp;amp;quot;Maqamat&amp;amp;quot;), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen &amp;amp;quot;Modus&amp;amp;quot; entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet &amp;amp;quot;Makam&amp;amp;quot;, das verwandte persissche System figuriert unter &amp;amp;quot;Dastgah&amp;amp;quot;. Zur Einführung siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29" rel="nofollow"&amp;gt;Maqam (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah" rel="nofollow"&amp;gt;Dastgah (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745" rel="nofollow"&amp;gt;diesem Podcast&amp;lt;/a&amp;gt; des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Die abolut minimalen Bedingungen, welche ein Tonsystem für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt zusammengefasst werden:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Struktur.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die kleinsten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;EDO&amp;lt;/a&amp;gt;-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/24edo"&amp;gt;24edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-29 02:34:50 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.

Ein Basiskonzept ist "Maqam" (Plural "Maqamat"), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen "Modus" entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet "Makam", das verwandte persissche System figuriert unter "Dastgah". Zur Einführung siehe etwa:

[[http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29|Maqam (Wikipedia)]]
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah|Dastgah (Wikipedia)]]

Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in [[http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745|diesem Podcast]] des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.

=Gleichstufige Stimmungen für Maqamat= 
Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige Stimmung]] zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von [[12edo]] zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist das ohne Zweifel ein nichttriviales, wenn nicht schlussendlich aussichtsloses Unterfangen.

Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.

==Stufe 1== 

XXX

==Stufe 2== 

XXX

==Stufe 3== 

XXX&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.

Ein Basiskonzept ist "Maqam" (Plural "Maqamat"), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen "Modus" entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet "Makam", das verwandte persissche System figuriert unter "Dastgah". Zur Einführung siehe etwa:

[[http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29|Maqam (Wikipedia)]]
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah|Dastgah (Wikipedia)]]

Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in [[http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745|diesem Podcast]] des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu SHumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.

=Gleichstufige Stimmungen für Maqamat= 

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Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ein Basiskonzept ist &amp;amp;quot;Maqam&amp;amp;quot; (Plural &amp;amp;quot;Maqamat&amp;amp;quot;), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen &amp;amp;quot;Modus&amp;amp;quot; entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet &amp;amp;quot;Makam&amp;amp;quot;, das verwandte persissche System figuriert unter &amp;amp;quot;Dastgah&amp;amp;quot;. Zur Einführung siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745" rel="nofollow"&amp;gt;diesem Podcast&amp;lt;/a&amp;gt; des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu SHumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.

Ein Basiskonzept ist "Maqam" (Plural "Maqamat"), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen "Modus" entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet "Makam", das verwandte persissche System figuriert unter "Dastgah". Zur Einführung siehe etwa:

[[http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29|Maqam (Wikipedia)]]
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah|Dastgah (Wikipedia)]]

Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in [[http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745|diesem Podcast]] des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu SHumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.

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Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein Basiskonzept ist &amp;amp;quot;Maqam&amp;amp;quot; (Plural &amp;amp;quot;Maqamat&amp;amp;quot;), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen &amp;amp;quot;Modus&amp;amp;quot; entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet &amp;amp;quot;Makam&amp;amp;quot;, das verwandte persissche System figuriert unter &amp;amp;quot;Dastgah&amp;amp;quot;. Zur Einführung siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://shumays.libsyn.com/index.php?post_id=177745" rel="nofollow"&amp;gt;diesem Podcast&amp;lt;/a&amp;gt; des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu SHumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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      <text bytes="6421" sha1="5342ky3fmwdutsusdbhsr789b3oz2ur" xml:space="preserve">English: [[:en:Arabic,_Turkish,_Persian|xenharmonic/Arabic, Turkish, Persian]]

Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.

Ein Basiskonzept ist "Maqam" (Plural "Maqamat"), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen "Modus" entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet "Makam", das verwandte persische System figuriert unter "Dastgah". Zur Einführung siehe etwa:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Klassische_Arabische_Musik#Das_Tonsystem_der_Araber Klassische arabische Musik (Wikipedia)]

[http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29 Maqam (Wikipedia)]

[http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah Dastgah (Wikipedia)]

Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in [http://traffic.libsyn.com/shumays/PPerform_019_2007-02-02.mp3 diesem Podcast] des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.

=Gleichstufige Stimmungen für Maqamat=
Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige Stimmung]] zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von [[12edo|12edo]] zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.

Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.

==Stufe 1==
Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein Tonsystem für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden&lt;/sup&gt;[[#cite_note-1|[1]]]&lt;/sup&gt; :

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Struktur.&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Die kleinsten [[edo|EDO]]-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[17edo|17edo]] und [[24edo|24edo]]. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.

Im Rahmen des Konzepts der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] werden die obigen Bedingungen von der [[maqamisch|maqamischen Temperatur]] erfüllt.

==Stufe 2==
Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.

Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die "Bayati"-Skala und eine grössere für die "Rast"-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein "grosser Ganzton" sein, die kleine Sekunde hingegen ein "kleiner Halbton" - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem "kleinen" (Limma) und einem "grossen" (Apotom).

Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[53edo|53edo]] und [[72edo|72edo]]. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.

Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler [[Ozan_Yarman|Ozan Yarman]]&lt;/sup&gt;[[#cite_note-2|[2]]]&lt;/sup&gt; auch [[34edo|34edo]], [[41edo|41edo]] und [[46edo|46edo]] in Frage, in Grenzen auch [[29edo|29edo]]. 29edo, 34edo und 41edo haben dabei die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem "kleinen Ganzton" liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 29edo, 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.

Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht ''ein'' orientalisches Tonsystem, sondern viele. Es gibt übrigens nicht einmal nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...

==Stufe 3==
Selbst 53edo und 72edo, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:

Ozan Yarmans Dissertation&lt;/sup&gt;[[#cite_note-3|[3]]]&lt;/sup&gt; &lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige [[MOS-Skalen|MOS]]-Teilmenge von 159edo ist.&lt;/span&gt;

[[:en:Tsaharuk|Tsaharuk (Artikel in englischer Sprache)]] ist eine [[Reguläre_Temperaturen|reguläre Temperatur]], welche in 77edo, 94edo, 111edo, 128edo, 145edo, 171edo oder 359edo realisiert werden kann.

=Referenzen=
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] &lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;[http://foredofico.org/CERMAA/publications/publications-on-the-site/publications-amine-beyhom Amine Beyhom], A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209.&lt;/span&gt;&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-2|^]] Ozan Yarman, [http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_ Search For A Theoretical Model Conforming To Turkish Maqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From 34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning]&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-3|^]] &lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;Ozan Yarman, &lt;/span&gt;&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;[http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf 79-Tone Tuning &amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music]&lt;/span&gt;&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&lt;/span&gt;&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;</text>
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        <username>Hstraub</username>
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      <comment>Spracinks in Interwiki Form</comment>
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}}
Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.

Ein Basiskonzept ist "Maqam" (Plural "Maqamat"), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen "Modus" entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet "Makam", das verwandte persische System figuriert unter "Dastgah". Zur Einführung siehe etwa:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Klassische_Arabische_Musik#Das_Tonsystem_der_Araber Klassische arabische Musik (Wikipedia)]

[http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29 Maqam (Wikipedia)]

[http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah Dastgah (Wikipedia)]

Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in [http://traffic.libsyn.com/shumays/PPerform_019_2007-02-02.mp3 diesem Podcast] des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.

=Gleichstufige Stimmungen für Maqamat=
Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige Stimmung]] zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von [[12edo|12edo]] zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.

Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.

==Stufe 1==
Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein Tonsystem für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden&lt;/sup&gt;[[#cite_note-1|[1]]]&lt;/sup&gt; :

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Struktur.&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Die kleinsten [[edo|EDO]]-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[17edo|17edo]] und [[24edo|24edo]]. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.

Im Rahmen des Konzepts der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] werden die obigen Bedingungen von der [[maqamisch|maqamischen Temperatur]] erfüllt.

==Stufe 2==
Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.

Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die "Bayati"-Skala und eine grössere für die "Rast"-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein "grosser Ganzton" sein, die kleine Sekunde hingegen ein "kleiner Halbton" - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem "kleinen" (Limma) und einem "grossen" (Apotom).

Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[53edo|53edo]] und [[72edo|72edo]]. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.

Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler [[Ozan_Yarman|Ozan Yarman]]&lt;/sup&gt;[[#cite_note-2|[2]]]&lt;/sup&gt; auch [[34edo|34edo]], [[41edo|41edo]] und [[46edo|46edo]] in Frage, in Grenzen auch [[29edo|29edo]]. 29edo, 34edo und 41edo haben dabei die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem "kleinen Ganzton" liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 29edo, 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.

Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht ''ein'' orientalisches Tonsystem, sondern viele. Es gibt übrigens nicht einmal nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...

==Stufe 3==
Selbst 53edo und 72edo, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:

Ozan Yarmans Dissertation&lt;/sup&gt;[[#cite_note-3|[3]]]&lt;/sup&gt; &lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige [[MOS-Skalen|MOS]]-Teilmenge von 159edo ist.&lt;/span&gt;

[[:en:Tsaharuk|Tsaharuk (Artikel in englischer Sprache)]] ist eine [[Reguläre_Temperaturen|reguläre Temperatur]], welche in 77edo, 94edo, 111edo, 128edo, 145edo, 171edo oder 359edo realisiert werden kann.

=Referenzen=
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] &lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;[http://foredofico.org/CERMAA/publications/publications-on-the-site/publications-amine-beyhom Amine Beyhom], A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209.&lt;/span&gt;&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-2|^]] Ozan Yarman, [http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_ Search For A Theoretical Model Conforming To Turkish Maqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From 34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning]&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-3|^]] &lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;Ozan Yarman, &lt;/span&gt;&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;[http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf 79-Tone Tuning &amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music]&lt;/span&gt;&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&lt;/span&gt;&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;</text>
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}}
Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.

Ein Basiskonzept ist "Maqam" (Plural "Maqamat"), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen "Modus" entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet "Makam", das verwandte persische System figuriert unter "Dastgah". Zur Einführung siehe etwa:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Klassische_Arabische_Musik#Das_Tonsystem_der_Araber Klassische arabische Musik (Wikipedia)]

[http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29 Maqam (Wikipedia)]

[http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah Dastgah (Wikipedia)]

Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in [http://traffic.libsyn.com/shumays/PPerform_019_2007-02-02.mp3 diesem Podcast] des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.

=Gleichstufige Stimmungen für Maqamat=
Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige Stimmung]] zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von [[12edo|12edo]] zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.

Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.

==Stufe 1==
Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein Tonsystem für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden&lt;/sup&gt;[[#cite_note-1|[1]]]&lt;/sup&gt; :

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Struktur.&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Die kleinsten [[edo|EDO]]-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[17edo|17edo]] und [[24edo|24edo]]. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.

Im Rahmen des Konzepts der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] werden die obigen Bedingungen von der [[maqamisch|maqamischen Temperatur]] erfüllt.

==Stufe 2==
Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.

Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die "Bayati"-Skala und eine grössere für die "Rast"-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein "grosser Ganzton" sein, die kleine Sekunde hingegen ein "kleiner Halbton" - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem "kleinen" (Limma) und einem "grossen" (Apotom).

Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[53edo|53edo]] und [[72edo|72edo]]. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.

Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler [[Ozan_Yarman|Ozan Yarman]]&lt;/sup&gt;[[#cite_note-2|[2]]]&lt;/sup&gt; auch [[34edo|34edo]], [[41edo|41edo]] und [[46edo|46edo]] in Frage, in Grenzen auch [[29edo|29edo]]. 29edo, 34edo und 41edo haben dabei die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem "kleinen Ganzton" liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 29edo, 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.

Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht ''ein'' orientalisches Tonsystem, sondern viele. Es gibt übrigens nicht einmal nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...

==Stufe 3==
Selbst 53edo und 72edo, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:

Ozan Yarmans Dissertation&lt;/sup&gt;[[#cite_note-3|[3]]]&lt;/sup&gt; &lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige [[MOS-Skalen|MOS]]-Teilmenge von 159edo ist.&lt;/span&gt;

[[:en:Tsaharuk|Tsaharuk (Artikel in englischer Sprache)]] ist eine [[Reguläre_Temperaturen|reguläre Temperatur]], welche in 77edo, 94edo, 111edo, 128edo, 145edo, 171edo oder 359edo realisiert werden kann.

=Referenzen=
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] &lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;[http://foredofico.org/CERMAA/publications/publications-on-the-site/publications-amine-beyhom Amine Beyhom], A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209.&lt;/span&gt;&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-2|^]] Ozan Yarman, [http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_ Search For A Theoretical Model Conforming To Turkish Maqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From 34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning]&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-3|^]] &lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;Ozan Yarman, &lt;/span&gt;&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;[http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf 79-Tone Tuning &amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music]&lt;/span&gt;&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&lt;/span&gt;&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;</text>
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}}
Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.

Ein Basiskonzept ist "Maqam" (Plural "Maqamat"), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen "Modus" entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet "Makam", das verwandte persische System figuriert unter "Dastgah". Zur Einführung siehe etwa:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Klassische_Arabische_Musik#Das_Tonsystem_der_Araber Klassische arabische Musik (Wikipedia)]

[http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29 Maqam (Wikipedia)]

[http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah Dastgah (Wikipedia)]

Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in [http://traffic.libsyn.com/shumays/PPerform_019_2007-02-02.mp3 diesem Podcast] des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.

=Gleichstufige Stimmungen für Maqamat=
Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige Stimmung]] zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von [[12edo|12edo]] zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.

Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.

==Stufe 1==
Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein Tonsystem für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden&lt;/sup&gt;[[#cite_note-1|[1]]]&lt;/sup&gt; :

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Struktur.&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Die kleinsten [[edo|EDO]]-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[17edo|17edo]] und [[24edo|24edo]]. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24edo eine gewisse Verbreitung gefunden hat.

Im Rahmen des Konzepts der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] werden die obigen Bedingungen von der [[maqamisch|maqamischen Temperatur]] erfüllt.

==Stufe 2==
Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.

Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die "Bayati"-Skala und eine grössere für die "Rast"-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein "grosser Ganzton" sein, die kleine Sekunde hingegen ein "kleiner Halbton" - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem "kleinen" (Limma) und einem "grossen" (Apotom).

Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[53edo|53edo]] und [[72edo|72edo]]. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.

Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler [[Ozan_Yarman|Ozan Yarman]]&lt;/sup&gt;[[#cite_note-2|[2]]]&lt;/sup&gt; auch [[34edo|34edo]], [[41edo|41edo]] und [[46edo|46edo]] in Frage, in Grenzen auch [[29edo|29edo]]. 29edo, 34edo und 41edo haben dabei die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem "kleinen Ganzton" liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 29edo, 34edo und 41edo können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.

Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht ''ein'' orientalisches Tonsystem, sondern viele. Es gibt übrigens nicht einmal nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...

==Stufe 3==
Selbst 53edo und 72edo, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:

Ozan Yarmans Dissertation&lt;/sup&gt;[[#cite_note-3|[3]]]&lt;/sup&gt; &lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige [[MOS-Skalen|MOS]]-Teilmenge von 159edo ist.&lt;/span&gt;

[[:en:Tsaharuk|Tsaharuk (Artikel in englischer Sprache)]] ist eine [[Reguläre_Temperaturen|reguläre Temperatur]], welche in 77edo, 94edo, 111edo, 128edo, 145edo, 171edo oder 359edo realisiert werden kann.

=Referenzen=
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] &lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;[http://foredofico.org/CERMAA/publications/publications-on-the-site/publications-amine-beyhom Amine Beyhom], A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209.&lt;/span&gt;&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-2|^]] Ozan Yarman, [http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_ Search For A Theoretical Model Conforming To Turkish Maqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From 34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning]&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-3|^]] &lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;Ozan Yarman, &lt;/span&gt;&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;[http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf 79-Tone Tuning &amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music]&lt;/span&gt;&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&lt;/span&gt;&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;</text>
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}}
Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.

Ein Basiskonzept ist "Maqam" (Plural "Maqamat"), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen "Modus" entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet "Makam", das verwandte persische System figuriert unter "Dastgah". Zur Einführung siehe etwa:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Klassische_Arabische_Musik#Das_Tonsystem_der_Araber Klassische arabische Musik (Wikipedia)]

[http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29 Maqam (Wikipedia)]

[http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah Dastgah (Wikipedia)]

Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in [http://traffic.libsyn.com/shumays/PPerform_019_2007-02-02.mp3 diesem Podcast] des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.

=Gleichstufige Stimmungen für Maqamat=
Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige Stimmung]] zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von [[12-EDO]] zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.

Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.

==Stufe 1==
Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein Tonsystem für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden&lt;/sup&gt;[[#cite_note-1|[1]]]&lt;/sup&gt; :

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Struktur.&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Die kleinsten [[EDO]]-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[17-EDO]] und [[24-EDO]]. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24-EDO eine gewisse Verbreitung gefunden hat.

Im Rahmen des Konzepts der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] werden die obigen Bedingungen von der [[maqamisch|maqamischen Temperatur]] erfüllt.

==Stufe 2==
Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.

Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die "Bayati"-Skala und eine grössere für die "Rast"-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein "grosser Ganzton" sein, die kleine Sekunde hingegen ein "kleiner Halbton" - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem "kleinen" (Limma) und einem "grossen" (Apotom).

Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[53-EDO]] und [[72-EDO]]. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.

Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler [[Ozan_Yarman|Ozan Yarman]]&lt;/sup&gt;[[#cite_note-2|[2]]]&lt;/sup&gt; auch [[34-EDO]], [[41-EDO]] und [[46-EDO]] in Frage, in Grenzen auch [[29edo|29edo]]. 29-EDO, 34-EDO und 41-EDO haben dabei die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem "kleinen Ganzton" liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 29-EDO, 34-EDO und 41-EDO können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.

Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht ''ein'' orientalisches Tonsystem, sondern viele. Es gibt übrigens nicht einmal nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...

==Stufe 3==
Selbst 53-EDO und 72-EDO, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:

Ozan Yarmans Dissertation&lt;/sup&gt;[[#cite_note-3|[3]]]&lt;/sup&gt; &lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige [[MOS-Skalen|MOS]]-Teilmenge von 159edo ist.&lt;/span&gt;

[[:en:Tsaharuk|Tsaharuk (Artikel in englischer Sprache)]] ist eine [[Reguläre_Temperaturen|reguläre Temperatur]], welche in 77-EDO, 94-EDO, 111-EDO, 128-EDO, 145-EDO, 171-EDO oder 359-EDO realisiert werden kann.

=Referenzen=
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] &lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;[http://foredofico.org/CERMAA/publications/publications-on-the-site/publications-amine-beyhom Amine Beyhom], A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209.&lt;/span&gt;&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-2|^]] Ozan Yarman, [http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_ Search For A Theoretical Model Conforming To Turkish Maqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From 34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning]&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-3|^]] &lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;Ozan Yarman, &lt;/span&gt;&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;[http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf 79-Tone Tuning &amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music]&lt;/span&gt;&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&lt;/span&gt;&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;</text>
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}}
Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.

Ein Basiskonzept ist "Maqam" (Plural "Maqamat"), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen "Modus" entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet "Makam", das verwandte persische System figuriert unter "Dastgah". Zur Einführung siehe etwa:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Klassische_Arabische_Musik#Das_Tonsystem_der_Araber Klassische arabische Musik (Wikipedia)]

[http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29 Maqam (Wikipedia)]

[http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah Dastgah (Wikipedia)]

Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in [http://traffic.libsyn.com/shumays/PPerform_019_2007-02-02.mp3 diesem Podcast] des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.

=Gleichstufige Stimmungen für Maqamat=
Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige Stimmung]] zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von [[12-EDO]] zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.

Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.

==Stufe 1==
Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein [[Tonsystem]] für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden&lt;/sup&gt;[[#cite_note-1|[1]]]&lt;/sup&gt; :

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Struktur.&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Die kleinsten [[EDO]]-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[17-EDO]] und [[24-EDO]]. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24-EDO eine gewisse Verbreitung gefunden hat.

Im Rahmen des Konzepts der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] werden die obigen Bedingungen von der [[maqamisch|maqamischen Temperatur]] erfüllt.

==Stufe 2==
Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.

Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die "Bayati"-Skala und eine grössere für die "Rast"-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein "grosser Ganzton" sein, die kleine Sekunde hingegen ein "kleiner Halbton" - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem "kleinen" (Limma) und einem "grossen" (Apotom).

Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[53-EDO]] und [[72-EDO]]. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.

Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler [[Ozan_Yarman|Ozan Yarman]]&lt;/sup&gt;[[#cite_note-2|[2]]]&lt;/sup&gt; auch [[34-EDO]], [[41-EDO]] und [[46-EDO]] in Frage, in Grenzen auch [[29edo|29edo]]. 29-EDO, 34-EDO und 41-EDO haben dabei die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem "kleinen Ganzton" liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 29-EDO, 34-EDO und 41-EDO können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.

Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht ''ein'' orientalisches Tonsystem, sondern viele. Es gibt übrigens nicht einmal nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...

==Stufe 3==
Selbst 53-EDO und 72-EDO, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:

Ozan Yarmans Dissertation&lt;/sup&gt;[[#cite_note-3|[3]]]&lt;/sup&gt; &lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige [[MOS-Skalen|MOS]]-Teilmenge von 159edo ist.&lt;/span&gt;

[[:en:Tsaharuk|Tsaharuk (Artikel in englischer Sprache)]] ist eine [[Reguläre_Temperaturen|reguläre Temperatur]], welche in 77-EDO, 94-EDO, 111-EDO, 128-EDO, 145-EDO, 171-EDO oder 359-EDO realisiert werden kann.

=Referenzen=
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] &lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;[http://foredofico.org/CERMAA/publications/publications-on-the-site/publications-amine-beyhom Amine Beyhom], A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209.&lt;/span&gt;&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-2|^]] Ozan Yarman, [http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_ Search For A Theoretical Model Conforming To Turkish Maqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From 34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning]&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-3|^]] &lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;Ozan Yarman, &lt;/span&gt;&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;[http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf 79-Tone Tuning &amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music]&lt;/span&gt;&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&lt;/span&gt;&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;</text>
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}}
Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.

Ein Basiskonzept ist "Maqam" (Plural "Maqamat"), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen "Modus" entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet "Makam", das verwandte persische System figuriert unter "Dastgah". Zur Einführung siehe etwa:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Klassische_Arabische_Musik#Das_Tonsystem_der_Araber Klassische arabische Musik (Wikipedia)]

[http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29 Maqam (Wikipedia)]

[http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah Dastgah (Wikipedia)]

Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in [http://traffic.libsyn.com/shumays/PPerform_019_2007-02-02.mp3 diesem Podcast] des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.

=Gleichstufige Stimmungen für Maqamat=
Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige Stimmung]] zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von [[12-EDO]] zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.

Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.

==Stufe 1==
Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein [[Tonsystem]] für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden &lt;/sup&gt;[[#cite_note-1|[1]]]&lt;/sup&gt; :

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Struktur.&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Die kleinsten [[EDO]]-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[17-EDO]] und [[24-EDO]]. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24-EDO eine gewisse Verbreitung gefunden hat.

Im Rahmen des Konzepts der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] werden die obigen Bedingungen von der [[maqamisch|maqamischen Temperatur]] erfüllt.

==Stufe 2==
Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.

Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die "Bayati"-Skala und eine grössere für die "Rast"-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein "grosser Ganzton" sein, die kleine Sekunde hingegen ein "kleiner Halbton" - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem "kleinen" (Limma) und einem "grossen" (Apotom).

Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[53-EDO]] und [[72-EDO]]. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.

Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler [[Ozan_Yarman|Ozan Yarman]]&lt;/sup&gt;[[#cite_note-2|[2]]]&lt;/sup&gt; auch [[34-EDO]], [[41-EDO]] und [[46-EDO]] in Frage, in Grenzen auch [[29edo|29edo]]. 29-EDO, 34-EDO und 41-EDO haben dabei die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem "kleinen Ganzton" liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 29-EDO, 34-EDO und 41-EDO können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.

Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht ''ein'' orientalisches Tonsystem, sondern viele. Es gibt übrigens nicht einmal nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...

==Stufe 3==
Selbst 53-EDO und 72-EDO, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:

Ozan Yarmans Dissertation&lt;/sup&gt;[[#cite_note-3|[3]]]&lt;/sup&gt; &lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige [[MOS-Skalen|MOS]]-Teilmenge von 159edo ist.&lt;/span&gt;

[[:en:Tsaharuk|Tsaharuk (Artikel in englischer Sprache)]] ist eine [[Reguläre_Temperaturen|reguläre Temperatur]], welche in 77-EDO, 94-EDO, 111-EDO, 128-EDO, 145-EDO, 171-EDO oder 359-EDO realisiert werden kann.

=Referenzen=
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] &lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;[http://foredofico.org/CERMAA/publications/publications-on-the-site/publications-amine-beyhom Amine Beyhom], A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209.&lt;/span&gt;&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-2|^]] Ozan Yarman, [http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_ Search For A Theoretical Model Conforming To Turkish Maqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From 34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning]&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-3|^]] &lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;Ozan Yarman, &lt;/span&gt;&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;[http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf 79-Tone Tuning &amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music]&lt;/span&gt;&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&lt;/span&gt;&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;</text>
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| de = Arabisch, türkisch, persisch
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}}
Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.

Ein Basiskonzept ist "Maqam" (Plural "Maqamat"), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen "Modus" entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet "Makam", das verwandte persische System figuriert unter "Dastgah". Zur Einführung siehe etwa:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Klassische_Arabische_Musik#Das_Tonsystem_der_Araber Klassische arabische Musik (Wikipedia)]

[http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29 Maqam (Wikipedia)]

[http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah Dastgah (Wikipedia)]

Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in [http://traffic.libsyn.com/shumays/PPerform_019_2007-02-02.mp3 diesem Podcast] des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.

=Gleichstufige Stimmungen für Maqamat=
Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige Stimmung]] zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von [[12-EDO]] zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.

Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.

==Stufe 1==
Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein [[Tonsystem]] für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden &lt;/sup&gt;[[#cite_note-1|[1]]]&lt;/sup&gt; :

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Struktur.&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Die kleinsten [[EDO]]-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[17-EDO]] und [[24-EDO]]. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24-EDO eine gewisse Verbreitung gefunden hat.

Im Rahmen des Konzepts der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] werden die obigen Bedingungen von der [[maqamisch|maqamischen bzw. Neutrominant-Temperatur]] erfüllt.

==Stufe 2==
Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.

Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die "Bayati"-Skala und eine grössere für die "Rast"-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein "grosser Ganzton" sein, die kleine Sekunde hingegen ein "kleiner Halbton" - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem "kleinen" (Limma) und einem "grossen" (Apotom).

Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[53-EDO]] und [[72-EDO]]. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.

Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler [[Ozan_Yarman|Ozan Yarman]]&lt;/sup&gt;[[#cite_note-2|[2]]]&lt;/sup&gt; auch [[34-EDO]], [[41-EDO]] und [[46-EDO]] in Frage, in Grenzen auch [[29edo|29edo]]. 29-EDO, 34-EDO und 41-EDO haben dabei die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem "kleinen Ganzton" liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 29-EDO, 34-EDO und 41-EDO können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.

Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht ''ein'' orientalisches Tonsystem, sondern viele. Es gibt übrigens nicht einmal nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...

==Stufe 3==
Selbst 53-EDO und 72-EDO, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:

Ozan Yarmans Dissertation&lt;/sup&gt;[[#cite_note-3|[3]]]&lt;/sup&gt; &lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige [[MOS-Skalen|MOS]]-Teilmenge von 159edo ist.&lt;/span&gt;

[[:en:Tsaharuk|Tsaharuk (Artikel in englischer Sprache)]] ist eine [[Reguläre_Temperaturen|reguläre Temperatur]], welche in 77-EDO, 94-EDO, 111-EDO, 128-EDO, 145-EDO, 171-EDO oder 359-EDO realisiert werden kann.

=Referenzen=
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] &lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;[http://foredofico.org/CERMAA/publications/publications-on-the-site/publications-amine-beyhom Amine Beyhom], A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209.&lt;/span&gt;&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-2|^]] Ozan Yarman, [http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_ Search For A Theoretical Model Conforming To Turkish Maqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From 34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning]&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-3|^]] &lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;Ozan Yarman, &lt;/span&gt;&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;[http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf 79-Tone Tuning &amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music]&lt;/span&gt;&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&lt;/span&gt;&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;</text>
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}}
Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.

Ein Basiskonzept ist "Maqam" (Plural "Maqamat"), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen "Modus" entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet "Makam", das verwandte persische System figuriert unter "Dastgah". Zur Einführung siehe etwa:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Klassische_Arabische_Musik#Das_Tonsystem_der_Araber Klassische arabische Musik (Wikipedia)]

[http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29 Maqam (Wikipedia)]

[http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah Dastgah (Wikipedia)]

[http://www.maqamworld.com/de/index.php]

Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in [http://traffic.libsyn.com/shumays/PPerform_019_2007-02-02.mp3 diesem Podcast] des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.

=Gleichstufige Stimmungen für Maqamat=
Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige Stimmung]] zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von [[12-EDO]] zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.

Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.

==Stufe 1==
Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein [[Tonsystem]] für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden &lt;/sup&gt;[[#cite_note-1|[1]]]&lt;/sup&gt; :

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Struktur.&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Die kleinsten [[EDO]]-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[17-EDO]] und [[24-EDO]]. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24-EDO eine gewisse Verbreitung gefunden hat.

Im Rahmen des Konzepts der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] werden die obigen Bedingungen von der [[maqamisch|maqamischen bzw. Neutrominant-Temperatur]] erfüllt.

==Stufe 2==
Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.

Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die "Bayati"-Skala und eine grössere für die "Rast"-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein "grosser Ganzton" sein, die kleine Sekunde hingegen ein "kleiner Halbton" - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem "kleinen" (Limma) und einem "grossen" (Apotom).

Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[53-EDO]] und [[72-EDO]]. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.

Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler [[Ozan_Yarman|Ozan Yarman]]&lt;/sup&gt;[[#cite_note-2|[2]]]&lt;/sup&gt; auch [[34-EDO]], [[41-EDO]] und [[46-EDO]] in Frage, in Grenzen auch [[29edo|29edo]]. 29-EDO, 34-EDO und 41-EDO haben dabei die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem "kleinen Ganzton" liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 29-EDO, 34-EDO und 41-EDO können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.

Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht ''ein'' orientalisches Tonsystem, sondern viele. Es gibt übrigens nicht einmal nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...

==Stufe 3==
Selbst 53-EDO und 72-EDO, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:

Ozan Yarmans Dissertation&lt;/sup&gt;[[#cite_note-3|[3]]]&lt;/sup&gt; &lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige [[MOS-Skalen|MOS]]-Teilmenge von 159edo ist.&lt;/span&gt;

[[:en:Tsaharuk|Tsaharuk (Artikel in englischer Sprache)]] ist eine [[Reguläre_Temperaturen|reguläre Temperatur]], welche in 77-EDO, 94-EDO, 111-EDO, 128-EDO, 145-EDO, 171-EDO oder 359-EDO realisiert werden kann.

=Referenzen=
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] &lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;[http://foredofico.org/CERMAA/publications/publications-on-the-site/publications-amine-beyhom Amine Beyhom], A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209.&lt;/span&gt;&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-2|^]] Ozan Yarman, [http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_ Search For A Theoretical Model Conforming To Turkish Maqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From 34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning]&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-3|^]] &lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;Ozan Yarman, &lt;/span&gt;&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;[http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf 79-Tone Tuning &amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music]&lt;/span&gt;&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&lt;/span&gt;&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;</text>
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| de = Arabisch, türkisch, persisch
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}}
Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.

Ein Basiskonzept ist "Maqam" (Plural "Maqamat"), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen "Modus" entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet "Makam", das verwandte persische System figuriert unter "Dastgah". Zur Einführung siehe etwa:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Klassische_Arabische_Musik#Das_Tonsystem_der_Araber Klassische arabische Musik (Wikipedia)]

[http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29 Maqam (Wikipedia)]

[http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah Dastgah (Wikipedia)]

[http://www.maqamworld.com/de/index.php Maqam World]

Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in [http://traffic.libsyn.com/shumays/PPerform_019_2007-02-02.mp3 diesem Podcast] des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.

=Gleichstufige Stimmungen für Maqamat=
Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige Stimmung]] zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von [[12-EDO]] zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.

Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.

==Stufe 1==
Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein [[Tonsystem]] für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden &lt;/sup&gt;[[#cite_note-1|[1]]]&lt;/sup&gt; :

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Struktur.&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Die kleinsten [[EDO]]-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[17-EDO]] und [[24-EDO]]. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24-EDO eine gewisse Verbreitung gefunden hat.

Im Rahmen des Konzepts der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] werden die obigen Bedingungen von der [[maqamisch|maqamischen bzw. Neutrominant-Temperatur]] erfüllt.

==Stufe 2==
Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.

Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die "Bayati"-Skala und eine grössere für die "Rast"-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein "grosser Ganzton" sein, die kleine Sekunde hingegen ein "kleiner Halbton" - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem "kleinen" (Limma) und einem "grossen" (Apotom).

Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[53-EDO]] und [[72-EDO]]. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.

Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler [[Ozan_Yarman|Ozan Yarman]]&lt;/sup&gt;[[#cite_note-2|[2]]]&lt;/sup&gt; auch [[34-EDO]], [[41-EDO]] und [[46-EDO]] in Frage, in Grenzen auch [[29edo|29edo]]. 29-EDO, 34-EDO und 41-EDO haben dabei die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem "kleinen Ganzton" liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 29-EDO, 34-EDO und 41-EDO können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.

Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht ''ein'' orientalisches Tonsystem, sondern viele. Es gibt übrigens nicht einmal nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...

==Stufe 3==
Selbst 53-EDO und 72-EDO, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:

Ozan Yarmans Dissertation&lt;/sup&gt;[[#cite_note-3|[3]]]&lt;/sup&gt; &lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige [[MOS-Skalen|MOS]]-Teilmenge von 159edo ist.&lt;/span&gt;

[[:en:Tsaharuk|Tsaharuk (Artikel in englischer Sprache)]] ist eine [[Reguläre_Temperaturen|reguläre Temperatur]], welche in 77-EDO, 94-EDO, 111-EDO, 128-EDO, 145-EDO, 171-EDO oder 359-EDO realisiert werden kann.

=Referenzen=
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] &lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;[http://foredofico.org/CERMAA/publications/publications-on-the-site/publications-amine-beyhom Amine Beyhom], A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209.&lt;/span&gt;&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-2|^]] Ozan Yarman, [http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_ Search For A Theoretical Model Conforming To Turkish Maqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From 34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning]&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-3|^]] &lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;Ozan Yarman, &lt;/span&gt;&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;[http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf 79-Tone Tuning &amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music]&lt;/span&gt;&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&lt;/span&gt;&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;</text>
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}}
Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.

Ein Basiskonzept ist "Maqam" (Plural "Maqamat"), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen "Modus" entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet "Makam", das verwandte persische System figuriert unter "Dastgah". Zur Einführung siehe etwa:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Klassische_Arabische_Musik#Das_Tonsystem_der_Araber Klassische arabische Musik (Wikipedia)]

[http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29 Maqam (Wikipedia)]

[http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah Dastgah (Wikipedia)]

[http://www.maqamworld.com/de/index.php Maqam World]

Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in [http://traffic.libsyn.com/shumays/PPerform_019_2007-02-02.mp3 diesem Podcast] des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.

=Gleichstufige Stimmungen für Maqamat=
Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige Stimmung]] zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von [[12-EDO]] zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.

Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.

==Stufe 1==
Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein [[Tonsystem]] für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden &lt;/sup&gt;[[#cite_note-1|[1]]]&lt;/sup&gt; :

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Struktur.&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Die kleinsten [[EDO]]-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[17-EDO]] und [[24-EDO]]. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24-EDO eine gewisse Verbreitung gefunden hat.

Im Rahmen des Konzepts der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] werden die obigen Bedingungen von der [[maqamisch|maqamischen bzw. Neutrominant-Temperatur]] erfüllt.

==Stufe 2==
Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.

Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die [http://www.maqamworld.com/de/jins/bayati.php Bayati]-Skala und eine grössere für die [http://www.maqamworld.com/de/jins/rast.php Rast]-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein "grosser Ganzton" sein, die kleine Sekunde hingegen ein "kleiner Halbton" - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem "kleinen" (Limma) und einem "grossen" (Apotom).

Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[53-EDO]] und [[72-EDO]]. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.

Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler [[Ozan_Yarman|Ozan Yarman]]&lt;/sup&gt;[[#cite_note-2|[2]]]&lt;/sup&gt; auch [[34-EDO]], [[41-EDO]] und [[46-EDO]] in Frage, in Grenzen auch [[29edo|29edo]]. 29-EDO, 34-EDO und 41-EDO haben dabei die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem "kleinen Ganzton" liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 29-EDO, 34-EDO und 41-EDO können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.

Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht ''ein'' orientalisches Tonsystem, sondern viele. Es gibt übrigens nicht einmal nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...

==Stufe 3==
Selbst 53-EDO und 72-EDO, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:

Ozan Yarmans Dissertation&lt;/sup&gt;[[#cite_note-3|[3]]]&lt;/sup&gt; &lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine79-tönige [[MOS-Skalen|MOS]]-Teilmenge von 159edo ist.&lt;/span&gt;

[[:en:Tsaharuk|Tsaharuk (Artikel in englischer Sprache)]] ist eine [[Reguläre_Temperaturen|reguläre Temperatur]], welche in 77-EDO, 94-EDO, 111-EDO, 128-EDO, 145-EDO, 171-EDO oder 359-EDO realisiert werden kann.

=Referenzen=
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] &lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;[http://foredofico.org/CERMAA/publications/publications-on-the-site/publications-amine-beyhom Amine Beyhom], A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209.&lt;/span&gt;&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-2|^]] Ozan Yarman, [http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_ Search For A Theoretical Model Conforming To Turkish Maqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From 34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning]&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-3|^]] &lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;Ozan Yarman, &lt;/span&gt;&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;[http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf 79-Tone Tuning &amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music]&lt;/span&gt;&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&lt;/span&gt;&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;</text>
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}}
Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.

Ein Basiskonzept ist "Maqam" (Plural "Maqamat"), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen "Modus" entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet "Makam", das verwandte persische System figuriert unter "Dastgah". Zur Einführung siehe etwa:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Klassische_Arabische_Musik#Das_Tonsystem_der_Araber Klassische arabische Musik (Wikipedia)]

[http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29 Maqam (Wikipedia)]

[http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah Dastgah (Wikipedia)]

[http://www.maqamworld.com/de/index.php Maqam World]

Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in [http://traffic.libsyn.com/shumays/PPerform_019_2007-02-02.mp3 diesem Podcast] des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.

=Gleichstufige Stimmungen für Maqamat=
Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige Stimmung]] zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von [[12-EDO]] zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.

Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.

==Stufe 1==
Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein [[Tonsystem]] für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden &lt;/sup&gt;[[#cite_note-1|[1]]]&lt;/sup&gt; :

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Struktur.&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Die kleinsten [[EDO]]-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[17-EDO]] und [[24-EDO]]. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24-EDO eine gewisse Verbreitung gefunden hat.

Im Rahmen des Konzepts der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] werden die obigen Bedingungen von der [[maqamisch|maqamischen bzw. Neutrominant-Temperatur]] erfüllt.

==Stufe 2==
Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.

Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die [http://www.maqamworld.com/de/jins/bayati.php Bayati]-Skala und eine grössere für die [http://www.maqamworld.com/de/jins/rast.php Rast]-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein "grosser Ganzton" sein, die kleine Sekunde hingegen ein "kleiner Halbton" - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem "kleinen" (Limma) und einem "grossen" (Apotom).

Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[53-EDO]] und [[72-EDO]]. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.

Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler [[Ozan_Yarman|Ozan Yarman]]&lt;/sup&gt;[[#cite_note-2|[2]]]&lt;/sup&gt; auch [[34-EDO]], [[41-EDO]] und [[46-EDO]] in Frage, in Grenzen auch [[29edo|29edo]]. 29-EDO, 34-EDO und 41-EDO haben dabei die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem "kleinen Ganzton" liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 29-EDO, 34-EDO und 41-EDO können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.

Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht ''ein'' orientalisches Tonsystem, sondern viele. Es gibt übrigens nicht einmal nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...

==Stufe 3==
Selbst 53-EDO und 72-EDO, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:

Ozan Yarmans Dissertation&lt;/sup&gt;[[#cite_note-3|[3]]]&lt;/sup&gt; &lt;span style="line-height: 1.5;"&gt; beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine 79-tönige [[MOS-Skalen|MOS]]-Teilmenge von [[159-EDO]] ist.&lt;/span&gt;

[[:en:Tsaharuk|Tsaharuk (Artikel in englischer Sprache)]] ist eine [[Reguläre_Temperaturen|reguläre Temperatur]], welche in 77-EDO, 94-EDO, 111-EDO, 128-EDO, 145-EDO, 171-EDO oder 359-EDO realisiert werden kann.

=Referenzen=
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] &lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;[http://foredofico.org/CERMAA/publications/publications-on-the-site/publications-amine-beyhom Amine Beyhom], A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209.&lt;/span&gt;&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-2|^]] Ozan Yarman, [http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_ Search For A Theoretical Model Conforming To Turkish Maqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From 34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning]&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-3|^]] &lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;Ozan Yarman, &lt;/span&gt;&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;[http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf 79-Tone Tuning &amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music]&lt;/span&gt;&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&lt;/span&gt;&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;</text>
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| de = Arabisch, türkisch, persisch
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}}
Die Musik des nah- und mittelöstlichen Kulturraums (der grob gesagt die arabische, türkische und persische Welt umfasst) bildet eine (bzw. genauer gesagt mehrere) der wichtigen traditionellen Musikkulturen mit Mikrotönen als zentrale Elemente.

Ein Basiskonzept ist "Maqam" (Plural "Maqamat"), was ungefähr (aber nicht ganz) dem westlichen "Modus" entspricht. Die türkische Bezeichnung lautet "Makam", das verwandte persische System figuriert unter "Dastgah". Zur Einführung siehe etwa:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Klassische_Arabische_Musik#Das_Tonsystem_der_Araber Klassische arabische Musik (Wikipedia)]

[http://de.wikipedia.org/wiki/Maqam_%28Musik%29 Maqam (Wikipedia)]

[http://de.wikipedia.org/wiki/Dastgah Dastgah (Wikipedia)]

[http://www.maqamworld.com/de/index.php Maqam World]

Die Verwendung von Mikrotönen kann dabei eine für westliche Ohren beinahe unvorstellbare Subtilität erreichen, wie in [http://traffic.libsyn.com/shumays/PPerform_019_2007-02-02.mp3 diesem Podcast] des ägyptischen Violinisten Sami Abu Shumays eindrucksvoll demonstriert wird. Sami Abu Shumays unterscheidet bis zu 12 verschiedene Intervalle innerhalb eines Halbtons.

=Gleichstufige Stimmungen für Maqamat=
Es gab und gibt zahlreiche Anstrengungen, eine für Maqamat geeignete [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige Stimmung]] zu entwickeln. Ein globaler Standard, der mit der Rolle von [[12-EDO]] zu vergleichen wäre, hat sich jedoch bis heute nicht etablieren können. Angesichts der im obigen Podcast skizzierten Subtilitäten ist dieses Unterfangen ohne Zweifel nichttrivial, wenn nicht schlussendlich unlösbar.

Je nach geforderter Genauigkeit lassen sich verschiedene Stufen unterscheiden.

==Stufe 1==
Die absolut minimalen Bedingungen, welche ein [[Tonsystem]] für Maqamat erfüllen muss, können wie folgt formuliert werden &lt;/sup&gt;[[#cite_note-1|[1]]]&lt;/sup&gt; :

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;Das Tonsystem muss kleine und grosse Sekunden, kleine und grosse Terzen, reine Quarten sowie die Oktavkomplemente all dieser Intervalle unterstützen, vorzugsweise in einer mehr oder weniger [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Struktur.&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Zusätzlich muss es mindestens ein zwischen kleiner und grosser Sekunde liegendes Intervall (also eine neutrale Sekunde) geben.&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Die kleinsten [[EDO]]-Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[17-EDO]] und [[24-EDO]]. Beide werden in der Tat auch verwendet, wobei insbesondere 24-EDO eine gewisse Verbreitung gefunden hat.

Im Rahmen des Konzepts der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] werden die obigen Bedingungen von der [[maqamisch|maqamischen bzw. Neutrominant-Temperatur]] erfüllt.

==Stufe 2==
Tonsysteme, welche Stufe 1 erfüllen, erlauben es, so gut wie alle Maqam-Skalen zu spielen - oft aber nur in eher groben Annäherungen.

Eine zusätzliche, immer noch ziemlich grundlegende Anforderung ist die Verfügbarkeit von mindestens zwei Arten von neutralen Sekunden, eine kleine neutrale Sekunde für die [http://www.maqamworld.com/de/jins/bayati.php Bayati]-Skala und eine grössere für die [http://www.maqamworld.com/de/jins/rast.php Rast]-Skala. Ferner sollte die grosse Sekunde mit Vorteil ein "grosser Ganzton" sein, die kleine Sekunde hingegen ein "kleiner Halbton" - woraus in der Regel folgt, dass sich ein Ganzton aus zwei verschieden grossen Halbtönen zusammensetzt, einem "kleinen" (Limma) und einem "grossen" (Apotom).

Wichtige gleichstufige Systeme, welche diese Bedingungen erfüllen, sind [[53-EDO]] und [[72-EDO]]. Beide haben eine gewisse Verbreitung gefunden.

Für türkische Musik kommen gemäss dem Musikwissenschaftler [[Ozan_Yarman|Ozan Yarman]]&lt;/sup&gt;[[#cite_note-2|[2]]]&lt;/sup&gt; auch [[34-EDO]], [[41-EDO]] und [[46-EDO]] in Frage, in Grenzen auch [[29edo|29edo]]. 29-EDO, 34-EDO und 41-EDO haben dabei die Eigenschaft, dass die grössere neutrale Sekunde nahe an einem "kleinen Ganzton" liegt und die Terz der Rast-Skala nahe bei der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] zu liegen kommt. Dies entspricht der türkischen Rast-Skala, jedoch weniger gut der arabischen Skala gleichen Namens, bei welcher die Terz tiefer intoniert wird und deutlicher einer neutralen Terz entspricht. 29-EDO, 34-EDO und 41-EDO können somit als für türkische Musik geeignet angesehen werden, jedoch weniger für arabische.

Und hier zeigt sich ein weiterer grosser Knackpunkt bei der Suche nach einem Standard für die orientalische Musik: es gibt nicht ''ein'' orientalisches Tonsystem, sondern viele. Es gibt übrigens nicht einmal nur ein arabisches, türkisches und persisches, sondern auch regionale Unterschiede innerhalb der jeweiligen Kulturen...

==Stufe 3==
Selbst 53-EDO und 72-EDO, so viele Töne sie bereits enthalten, erfassen nicht alle denkbaren Feinheiten orientalischer Tonsysteme. Es sind deshalb noch feinere Unterteilungen vorgeschlagen und untersucht worden. Beispiele:

Ozan Yarmans Dissertation&lt;/sup&gt;[[#cite_note-3|[3]]]&lt;/sup&gt; &lt;span style="line-height: 1.5;"&gt; beschreibt ein System für türkische Musik, welches eine 79-tönige [[MOS-Skalen|MOS]]-Teilmenge von [[159-EDO]] ist.&lt;/span&gt;

[[:en:Tsaharuk|Tsaharuk (Artikel in englischer Sprache)]] ist eine [[Reguläre_Temperaturen|reguläre Temperatur]], welche in 77-EDO, 94-EDO, 111-EDO, 128-EDO, 145-EDO, 171-EDO oder 359-EDO realisiert werden kann.

=Referenzen=
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] &lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;[http://foredofico.org/CERMAA/publications/publications-on-the-site/publications-amine-beyhom Amine Beyhom], A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209.&lt;/span&gt;&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-2|^]] Ozan Yarman, [http://www.academia.edu/2351299/Search_For_A_Theoretical_Model_Conforming_To_Turkish_Maqam_Music_Practice_A_Selection_Of_Fixed-Pitch_Settings_From_34-tone_Equal_Temperament_To_The_ Search For A Theoretical Model Conforming To Turkish Maqam Music Practice: A Selection Of Fixed-Pitch Settings From 34-tone Equal Temperament To The 79-tone Tuning]&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-3|^]] &lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;Ozan Yarman, &lt;/span&gt;&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;[http://www.ozanyarman.com/files/doctorate_thesis.pdf 79-Tone Tuning &amp;amp; Theory for Turkish Maqam Music]&lt;/span&gt;&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;. Istanbul Technical University, Ph. D., 2008.&lt;/span&gt;&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;</text>
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[[File:6-6-Klaviatur.png|alt=6-6-Klaviatur.png|500x190px|6-6-Klaviatur.png]]

Es muss spannend sein, auf solch einem Instrument zu spielen, obwohl das Transponieren seinen Reiz verlieren dürfte. ;)

Es blind zu spielen, könnte sich tatsächlich als problematisch erweisen.  [[Category:12edo]]
[[Category:Instrument]]
[[Category:Notation]]</text>
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[[image:6-6-Klaviatur.png width="500" height="190"]]

Es muss spannend sein, auf solch einem Instrument zu spielen, obwohl das Transponieren seinen Reiz verlieren dürfte. ;)
Es blind zu spielen, könnte sich tatsächlich als problematisch erweisen.

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&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Es muss spannend sein, auf solch einem Instrument zu spielen, obwohl das Transponieren seinen Reiz verlieren dürfte. ;)&amp;lt;br /&amp;gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[image:6-6-Klaviatur.png width="500" height="190"]]

Es muss spannend sein, auf solch einem Instrument zu spielen, obwohl das Transponieren seinen Reiz verlieren dürfte. ;)
Es blind zu spielen, könnte sich tatsächlich als problematisch erweisen.

&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:0:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/6-6-Klaviatur.png/436957824/500x190/6-6-Klaviatur.png&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; style=&amp;amp;quot;height: 190px; width: 500px;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/6-6-Klaviatur.png/436957824/500x190/6-6-Klaviatur.png" alt="6-6-Klaviatur.png" title="6-6-Klaviatur.png" style="height: 190px; width: 500px;" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Es muss spannend sein, auf solch einem Instrument zu spielen, obwohl das Transponieren seinen Reiz verlieren dürfte. ;)&amp;lt;br /&amp;gt;
Es blind zu spielen, könnte sich tatsächlich als problematisch erweisen.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Das [[http://www.beyreuther-musikprinzip.de/|Beyreuther Musikprinzip]] neutralisiert die Unterschiede zwischen den Tonarten. In seiner [[Notation]] verzichtet es auf Vorzeichen, bei der vorgestellten Klaviatur wechseln sich zwei Tastenarten gleichmäßig ab: je Oktave gibt es 6 lange und 6 kurze Tasten.

[[image:6-6-Klaviatur.png width="500" height="190"]]

Es muss spannend sein, auf solch einem Instrument zu spielen, obwohl das Transponieren seinen Reiz verlieren dürfte. ;)
Es blind zu spielen könnte sich tatsächlich als problematisch erweisen.

&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Beyreuther Musikprinzip&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Das &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.beyreuther-musikprinzip.de/" rel="nofollow"&amp;gt;Beyreuther Musikprinzip&amp;lt;/a&amp;gt; neutralisiert die Unterschiede zwischen den Tonarten. In seiner &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Notation"&amp;gt;Notation&amp;lt;/a&amp;gt; verzichtet es auf Vorzeichen, bei der vorgestellten Klaviatur wechseln sich zwei Tastenarten gleichmäßig ab: je Oktave gibt es 6 lange und 6 kurze Tasten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:0:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/6-6-Klaviatur.png/436957824/500x190/6-6-Klaviatur.png&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; style=&amp;amp;quot;height: 190px; width: 500px;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/6-6-Klaviatur.png/436957824/500x190/6-6-Klaviatur.png" alt="6-6-Klaviatur.png" title="6-6-Klaviatur.png" style="height: 190px; width: 500px;" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Es muss spannend sein, auf solch einem Instrument zu spielen, obwohl das Transponieren seinen Reiz verlieren dürfte. ;)&amp;lt;br /&amp;gt;
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[[File:6-6-Klaviatur.png|alt=6-6-Klaviatur.png|500x190px|6-6-Klaviatur.png]]

Es muss spannend sein, auf solch einem Instrument zu spielen, obwohl das Transponieren seinen Reiz verlieren dürfte. ;)

Es blind zu spielen, könnte sich tatsächlich als problematisch erweisen.

[[Kategorie:12 EDO]]
[[Kategorie:Instrument]]
[[Kategorie:Notation]]</text>
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[[File:6-6-Klaviatur.png|alt=6-6-Klaviatur.png|500x190px|6-6-Klaviatur.png]]

Es muss spannend sein, auf solch einem Instrument zu spielen, obwohl das Transponieren seinen Reiz verlieren dürfte. ;)

Es blind zu spielen, könnte sich tatsächlich als problematisch erweisen.

[[Kategorie:12-EDO]]
[[Kategorie:Instrument]]
[[Kategorie:Notation]]</text>
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==Deutschsprachige Ressourcen zur Bohlen-Pierce-Skala==
[http://de.wikipedia.org/wiki/Bohlen-Pierce-Skala Bohlen-Pierce-Skala auf Wikipedia]

[http://mmm.hfmt-hamburg.de/index.php?id=179 Die Bohlen-Pierce-Klarinette (Hochschule für Musik und Theater, Hamburg)]. Siehe auch [http://www.noralouisemuller.de/BP.html hier.]  [[Category:edt]]</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Bohlen-Pierce]]

==Deutschsprachige Ressourcen zur Bohlen-Pierce-Skala== 
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Bohlen-Pierce-Skala|Bohlen-Pierce-Skala auf Wikipedia]]
[[http://mmm.hfmt-hamburg.de/index.php?id=179|Die Bohlen-Pierce-Klarinette (Hochschule für Musik und Theater, Hamburg)]]. Siehe auch [[http://www.noralouisemuller.de/BP.html|hier.]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Bohlen-Pierce&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Bohlen-Pierce"&amp;gt;xenharmonic/Bohlen-Pierce&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Deutschsprachige Ressourcen zur Bohlen-Pierce-Skala"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Deutschsprachige Ressourcen zur Bohlen-Pierce-Skala&amp;lt;/h2&amp;gt;
 &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Bohlen-Pierce-Skala" rel="nofollow"&amp;gt;Bohlen-Pierce-Skala auf Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://mmm.hfmt-hamburg.de/index.php?id=179" rel="nofollow"&amp;gt;Die Bohlen-Pierce-Klarinette (Hochschule für Musik und Theater, Hamburg)&amp;lt;/a&amp;gt;. Siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.noralouisemuller.de/BP.html" rel="nofollow"&amp;gt;hier.&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Bohlen-Pierce]]

==Deutschsprachige Ressourcen zur Bohlen-Piurce-Skala== 
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Bohlen-Pierce-Skala|Bohlen-Pierce-Skala auf Wikipedia]]
[[http://mmm.hfmt-hamburg.de/index.php?id=179|Die Bohlen-Pierce-Klarinette (Hochschule für Musik und Theater, Hamburg)]]. Siehe auch [[http://www.noralouisemuller.de/BP.html|hier.]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Bohlen-Pierce&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Bohlen-Pierce"&amp;gt;xenharmonic/Bohlen-Pierce&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Deutschsprachige Ressourcen zur Bohlen-Piurce-Skala"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Deutschsprachige Ressourcen zur Bohlen-Piurce-Skala&amp;lt;/h2&amp;gt;
 &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Bohlen-Pierce-Skala" rel="nofollow"&amp;gt;Bohlen-Pierce-Skala auf Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://mmm.hfmt-hamburg.de/index.php?id=179" rel="nofollow"&amp;gt;Die Bohlen-Pierce-Klarinette (Hochschule für Musik und Theater, Hamburg)&amp;lt;/a&amp;gt;. Siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.noralouisemuller.de/BP.html" rel="nofollow"&amp;gt;hier.&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Bohlen-Pierce]]

==Deutschsprachige Ressourcen zur Bohlen-Piurce-Skala== 

[[http://de.wikipedia.org/wiki/Bohlen-Pierce-Skala|Bohlen-Pierce-Skala auf Wikipedia]]
[[http://mmm.hfmt-hamburg.de/index.php?id=179|Die Bohlen-Pierce-Klarinette (Hochschule für Musik und Theater, Hamburg)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Deutschsprachige Ressourcen zur Bohlen-Piurce-Skala"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Deutschsprachige Ressourcen zur Bohlen-Piurce-Skala&amp;lt;/h2&amp;gt;
 &amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Bohlen-Pierce-Skala" rel="nofollow"&amp;gt;Bohlen-Pierce-Skala auf Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://mmm.hfmt-hamburg.de/index.php?id=179" rel="nofollow"&amp;gt;Die Bohlen-Pierce-Klarinette (Hochschule für Musik und Theater, Hamburg)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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==Deutschsprachige Ressourcen zur Bohlen-Piuerce-Skala== 

[[http://de.wikipedia.org/wiki/Bohlen-Pierce-Skala|Bohlen-Pierce-Skala auf Wikipedia]]
[[http://mmm.hfmt-hamburg.de/index.php?id=179|Die Bohlen-Pierce-Klarinette (Hochschule für Musik und Theater, Hamburg)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
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 &amp;lt;br /&amp;gt;
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==Deutschsprachige Ressourcen zur Bohlen-Pierce-Skala==
[http://de.wikipedia.org/wiki/Bohlen-Pierce-Skala Bohlen-Pierce-Skala auf Wikipedia]

[http://mmm.hfmt-hamburg.de/index.php?id=179 Die Bohlen-Pierce-Klarinette (Hochschule für Musik und Theater, Hamburg)]. Siehe auch [http://www.noralouisemuller.de/BP.html hier.]  [[Category:edt]]</text>
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==Deutschsprachige Ressourcen zur Bohlen-Pierce-Skala==
[http://de.wikipedia.org/wiki/Bohlen-Pierce-Skala Bohlen-Pierce-Skala auf Wikipedia]

[http://mmm.hfmt-hamburg.de/index.php?id=179 Die Bohlen-Pierce-Klarinette (Hochschule für Musik und Theater, Hamburg)]. Siehe auch [http://www.noralouisemuller.de/BP.html hier.]  [[Category:edt]]</text>
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Die Bohlen-Pierce-Skala (kurz BP-Skala) teilt die reine Duodezime ([[3/1]]) in dreizehn Stufen. Der Begriff „[[Tritave]]“ für das Frequenzverhältnis 3:1 geht auf Pierce zurück.

Die Schrittweite in reiner Stimmung variiert zwischen 133 und 169 [[Cent]], in der gleichstufig temperierten Variante liegt sie bei 146,3 Cent.

== Deutschsprachige Ressourcen zur Bohlen-Pierce-Skala ==

* [http://de.wikipedia.org/wiki/Bohlen-Pierce-Skala Bohlen-Pierce-Skala auf Wikipedia]
* [http://mmm.hfmt-hamburg.de/index.php?id=179 Die Bohlen-Pierce-Klarinette (Hochschule für Musik und Theater, Hamburg)]
* [http://www.noralouisemuller.de/BP.html Nora&amp;#45;Louise Müller / Bohlen&amp;#45;Pierce]

[[Category:edt]]</text>
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Das '''Cent''' ist eine [[Maßeinheit|Maßeinheit]] für die [[Distanz|Distanz]] musikalischer Intervalle. Die Einheit ist als 100-stel des Halbtonschritts in [[12edo|12-EDO]] festgelegt. So entsprechen 1200 Cent einer [[Oktave|Oktave]]. Ein Cent ist ein so kleines Intervall, dass zwei Tonhöhen mit genau dieser Distanz von den meisten Menschen als vollkommen gleich wahrgenommen werden (zum Test ein Beispiel mit zwei Tönen. Welcher ist höher?)...

[[File:Ein-Cent-bei-400Hz.mp3]]

...deshalb werden bei Centangaben in der klassischen Musik meist Angaben ohne Nachkommastellen verwendet.

==Exakte Definition und praktische Berechnung==
Ist ein Intervall q als Frequenzverhältnis bzw. Frequenzfaktor gegeben, so entspricht dies 1200 * log&lt;span style="font-size: 70%;"&gt;&lt;span style="vertical-align: sub;"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;(q) Cent.

Da man mit vielen Taschenrechnern den Logarithmus zur Basis 2 nicht direkt berechnen kann, bietet sich in der Praxis oft eher die Formel 1200 * log(q)/log(2) Cent an, wobei ''log'' der Logarithmus zu einer beliebigen (aber festen) Basis ist. Berechnet man mehrere Cent-Werte in Folge, so bietet es sich an, den Wert 1200/log(2) zwischenzuspeichern, so dass nur noch log(q) berechnet werden muss, und anschließend mit dem zwischengespeicherten Wert multipliziert wird.

Beispiel:

Die Cent-Darstellung zu 9/8 lässt sich als 1200 * log(9/8)/log(2) ≈ 203.9 Cent berechnen.

Alternativ kann man auch erst x = 1200/log(2) zwischenspeichern (~ 3986 bei Zehnerlogarithmus), und anschließend muss nur noch log(9/8) * x berechnet werden, um die Darstellung in Cent zu erhalten.

Alternative Definition: 1 Cent = 1\1200 (i.e. 1/1200 Oktave)

==Vor- und Nachteile gegenüber Darstellung als Frequenzverhältnisse==
Cent-Werte haben gegenüber der Darstellung von Intervallen als Frequenzverhältnisse ein paar Vorteile:

&lt;ol&gt;&lt;li&gt;Die Größe eines Intervalls ist direkt ersichtlich&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Statt Intervalle in Frequenzdarstellung zu multiplizieren, kann man einfach deren Cent-Werte addieren&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Cent-Werte lassen sich sehr einfach zu Intervallen berechnen, die auf gleichstufiger Oktavteilung basieren&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;

Beispiele und Erläuterungen dazu:

&lt;ol&gt;&lt;li&gt;In der Frequenzverhältnisdarstellung ist nur schwer erkennbar, wie groß 7/4, 9/5 und 16/9 im Verhältnis zueinander sind. Dies wird allerdings direkt ersichtlich, wenn man weiß dass 7/4 ≈ 968.8 Cent, 9/5 ≈ 1017.6 Cent, und 16/9 ≈ 996.1 Cent entspricht&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Dass eine große Terz 5/4 und eine kleine Terz 6/5 zusammen eine reine Quinte 3/2 ergeben, lässt sich in der Frequenzverhältnisdarstellung als Multiplikation ausdrücken: 5/4 * 6/5 = 3/2. In der Cent-Darstellung dagegen kann man dies durch eine einfache Addition ausdrücken: 386.3 Cent + 315.6 Cent ≈ 702.0 Cent. (würde man hier nicht runden, so hätte man tatsächlich eine Gleichung; so ergibt sich ein kleiner [[Rundung|Rundungsfehler]])&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Hat man ein Intervall, das x Schritten in einer N-stufigen Stimmung entspricht, so lässt sich die Cent-Darstellung als 1200 * x/N berechnen. Z.B. entsprechen 7 Schritte in der zwölfstufigen Stimmung 1200 * 7/12 = 700 Cent, und 5 Schritte in der 19-stufigen Stimmung 1200 * 5/19 = 315.8 Cent. Alternativ kann man sich auch merken, dass x/N die Darstellung des Intervals in Oktaven ist, und eine Oktave 1200 Cent entspricht&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;

Ein Nachteil gegenüber der Darstellung als Frequenzverhältnis ist, dass eine harmonische Interpretation erschwert wird.

Außerdem hat die Cent-Darstellung ganzzahliger Frequenzverhältnisse (mit Ausnahme von Oktaven und deren Vielfachen) in jedem Fall unendlich viele Nachkommastellen, da es sich um irrationale Werte handelt, was für die Praxis bedeutet, dass gerundet werden muss.

Umgekehrt erscheinen Intervalle von [[edo|gleichstufigen Temperamenten]], in der Frequenzverhältnisdarstellung durchwegs irrational, in der Centdarstellung immer als rationale Zahlen. Mathematische Verfahren zur Annäherung irrationaler Zahlen durch rationale, etwa mittels [[Kettenbruch|Kettenbrüchen]], erhalten so eine Anwendung bei der Annäherung reiner Intervalle in gleichstufigen Temperamenten.

==Verweise==
&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[http://de.wikipedia.org/wiki/Cent_%28Musik%29 Cent (Musik) - Wikipedia]&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;  [[Category:Distanz]]
[[Category:Intervallmaß]]
[[Category:Mathematik]]
[[Category:Metrik]]
[[Category:Theorie]]</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
Das **Cent** ist eine [[Maßeinheit]] für die [[Distanz]] musikalischer Intervalle. Die Einheit ist als 100-stel des Halbtonschritts in [[12edo|12-EDO]] festgelegt. So entsprechen 1200 Cent einer [[Oktave]]. Ein Cent ist ein so kleines Intervall, dass zwei Tonhöhen mit genau dieser Distanz von den meisten Menschen als vollkommen gleich wahrgenommen werden (zum Test ein Beispiel mit zwei Tönen. Welcher ist höher?)...
[[media type="file" key="Ein-Cent-bei-400Hz.mp3" width="240" height="20"]]
...deshalb werden bei Centangaben in der klassischen Musik meist Angaben ohne Nachkommastellen verwendet.

==Exakte Definition und praktische Berechnung== 
Ist ein Intervall q als Frequenzverhältnis bzw. Frequenzfaktor gegeben, so entspricht dies 1200 * log&amp;lt;span style="font-size: 70%;"&amp;gt;&amp;lt;span style="vertical-align: sub;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;(q) Cent.
Da man mit vielen Taschenrechnern den Logarithmus zur Basis 2 nicht direkt berechnen kann, bietet sich in der Praxis oft eher die Formel 1200 * log(q)/log(2) Cent an, wobei //log// der Logarithmus zu einer beliebigen (aber festen) Basis ist. Berechnet man mehrere Cent-Werte in Folge, so bietet es sich an, den Wert 1200/log(2) zwischenzuspeichern, so dass nur noch log(q) berechnet werden muss, und anschließend mit dem zwischengespeicherten Wert multipliziert wird.

Beispiel:
Die Cent-Darstellung zu 9/8 lässt sich als 1200 * log(9/8)/log(2) ≈ 203.9 Cent berechnen.
Alternativ kann man auch erst x = 1200/log(2) zwischenspeichern (~ 3986 bei Zehnerlogarithmus), und anschließend muss nur noch log(9/8) * x berechnet werden, um die Darstellung in Cent zu erhalten.

Alternative Definition: 1 Cent = 1\1200 (i.e. 1/1200 Oktave)

==Vor- und Nachteile gegenüber Darstellung als Frequenzverhältnisse== 
Cent-Werte haben gegenüber der Darstellung von Intervallen als Frequenzverhältnisse ein paar Vorteile:
# Die Größe eines Intervalls ist direkt ersichtlich
# Statt Intervalle in Frequenzdarstellung zu multiplizieren, kann man einfach deren Cent-Werte addieren
# Cent-Werte lassen sich sehr einfach zu Intervallen berechnen, die auf gleichstufiger Oktavteilung basieren

Beispiele und Erläuterungen dazu:
# In der Frequenzverhältnisdarstellung ist nur schwer erkennbar, wie groß 7/4, 9/5 und 16/9 im Verhältnis zueinander sind. Dies wird allerdings direkt ersichtlich, wenn man weiß dass 7/4 ≈ 968.8 Cent, 9/5 ≈ 1017.6 Cent, und 16/9 ≈ 996.1 Cent entspricht
# Dass eine große Terz 5/4 und eine kleine Terz 6/5 zusammen eine reine Quinte 3/2 ergeben, lässt sich in der Frequenzverhältnisdarstellung als Multiplikation ausdrücken: 5/4 * 6/5 = 3/2. In der Cent-Darstellung dagegen kann man dies durch eine einfache Addition ausdrücken: 386.3 Cent + 315.6 Cent ≈ 702.0 Cent. (würde man hier nicht runden, so hätte man tatsächlich eine Gleichung; so ergibt sich ein kleiner [[Rundung|Rundungsfehler]])
# Hat man ein Intervall, das x Schritten in einer N-stufigen Stimmung entspricht, so lässt sich die Cent-Darstellung als 1200 * x/N berechnen. Z.B. entsprechen 7 Schritte in der zwölfstufigen Stimmung 1200 * 7/12 = 700 Cent, und 5 Schritte in der 19-stufigen Stimmung 1200 * 5/19 = 315.8 Cent. Alternativ kann man sich auch merken, dass x/N die Darstellung des Intervals in Oktaven ist, und eine Oktave 1200 Cent entspricht

Ein Nachteil gegenüber der Darstellung als Frequenzverhältnis ist, dass eine harmonische Interpretation erschwert wird.
Außerdem hat die Cent-Darstellung ganzzahliger Frequenzverhältnisse (mit Ausnahme von Oktaven und deren Vielfachen) in jedem Fall unendlich viele Nachkommastellen, da es sich um irrationale Werte handelt, was für die Praxis bedeutet, dass gerundet werden muss.

Umgekehrt erscheinen Intervalle von [[edo|gleichstufigen Temperamenten]], in der Frequenzverhältnisdarstellung durchwegs irrational, in der Centdarstellung immer als rationale Zahlen. Mathematische Verfahren zur Annäherung irrationaler Zahlen durch rationale, etwa mittels [[Kettenbruch|Kettenbrüchen]], erhalten so eine Anwendung bei der Annäherung reiner Intervalle in gleichstufigen Temperamenten.

==Verweise== 
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Cent_%28Musik%29|Cent (Musik) - Wikipedia]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Das &amp;lt;strong&amp;gt;Cent&amp;lt;/strong&amp;gt; ist eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ma%C3%9Feinheit"&amp;gt;Maßeinheit&amp;lt;/a&amp;gt; für die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Distanz"&amp;gt;Distanz&amp;lt;/a&amp;gt; musikalischer Intervalle. Die Einheit ist als 100-stel des Halbtonschritts in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12-EDO&amp;lt;/a&amp;gt; festgelegt. So entsprechen 1200 Cent einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt;. Ein Cent ist ein so kleines Intervall, dass zwei Tonhöhen mit genau dieser Distanz von den meisten Menschen als vollkommen gleich wahrgenommen werden (zum Test ein Beispiel mit zwei Tönen. Welcher ist höher?)...&amp;lt;br /&amp;gt;
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Da man mit vielen Taschenrechnern den Logarithmus zur Basis 2 nicht direkt berechnen kann, bietet sich in der Praxis oft eher die Formel 1200 * log(q)/log(2) Cent an, wobei &amp;lt;em&amp;gt;log&amp;lt;/em&amp;gt; der Logarithmus zu einer beliebigen (aber festen) Basis ist. Berechnet man mehrere Cent-Werte in Folge, so bietet es sich an, den Wert 1200/log(2) zwischenzuspeichern, so dass nur noch log(q) berechnet werden muss, und anschließend mit dem zwischengespeicherten Wert multipliziert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispiel:&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Cent-Darstellung zu 9/8 lässt sich als 1200 * log(9/8)/log(2) ≈ 203.9 Cent berechnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Alternativ kann man auch erst x = 1200/log(2) zwischenspeichern (~ 3986 bei Zehnerlogarithmus), und anschließend muss nur noch log(9/8) * x berechnet werden, um die Darstellung in Cent zu erhalten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Alternative Definition: 1 Cent = 1\1200 (i.e. 1/1200 Oktave)&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Cent-Werte haben gegenüber der Darstellung von Intervallen als Frequenzverhältnisse ein paar Vorteile:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Größe eines Intervalls ist direkt ersichtlich&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Statt Intervalle in Frequenzdarstellung zu multiplizieren, kann man einfach deren Cent-Werte addieren&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Cent-Werte lassen sich sehr einfach zu Intervallen berechnen, die auf gleichstufiger Oktavteilung basieren&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispiele und Erläuterungen dazu:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;In der Frequenzverhältnisdarstellung ist nur schwer erkennbar, wie groß 7/4, 9/5 und 16/9 im Verhältnis zueinander sind. Dies wird allerdings direkt ersichtlich, wenn man weiß dass 7/4 ≈ 968.8 Cent, 9/5 ≈ 1017.6 Cent, und 16/9 ≈ 996.1 Cent entspricht&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dass eine große Terz 5/4 und eine kleine Terz 6/5 zusammen eine reine Quinte 3/2 ergeben, lässt sich in der Frequenzverhältnisdarstellung als Multiplikation ausdrücken: 5/4 * 6/5 = 3/2. In der Cent-Darstellung dagegen kann man dies durch eine einfache Addition ausdrücken: 386.3 Cent + 315.6 Cent ≈ 702.0 Cent. (würde man hier nicht runden, so hätte man tatsächlich eine Gleichung; so ergibt sich ein kleiner &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rundung"&amp;gt;Rundungsfehler&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Hat man ein Intervall, das x Schritten in einer N-stufigen Stimmung entspricht, so lässt sich die Cent-Darstellung als 1200 * x/N berechnen. Z.B. entsprechen 7 Schritte in der zwölfstufigen Stimmung 1200 * 7/12 = 700 Cent, und 5 Schritte in der 19-stufigen Stimmung 1200 * 5/19 = 315.8 Cent. Alternativ kann man sich auch merken, dass x/N die Darstellung des Intervals in Oktaven ist, und eine Oktave 1200 Cent entspricht&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein Nachteil gegenüber der Darstellung als Frequenzverhältnis ist, dass eine harmonische Interpretation erschwert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
Außerdem hat die Cent-Darstellung ganzzahliger Frequenzverhältnisse (mit Ausnahme von Oktaven und deren Vielfachen) in jedem Fall unendlich viele Nachkommastellen, da es sich um irrationale Werte handelt, was für die Praxis bedeutet, dass gerundet werden muss.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Umgekehrt erscheinen Intervalle von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;gleichstufigen Temperamenten&amp;lt;/a&amp;gt;, in der Frequenzverhältnisdarstellung durchwegs irrational, in der Centdarstellung immer als rationale Zahlen. Mathematische Verfahren zur Annäherung irrationaler Zahlen durch rationale, etwa mittels &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Kettenbruch"&amp;gt;Kettenbrüchen&amp;lt;/a&amp;gt;, erhalten so eine Anwendung bei der Annäherung reiner Intervalle in gleichstufigen Temperamenten.&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2016-11-10 04:48:27 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
Das **Cent** ist eine [[Maßeinheit]] für die [[Distanz]] musikalischer Intervalle. Die Einheit ist als 100-stel des Halbtonschritts in [[12edo|12-EDO]] festgelegt. So entsprechen 1200 Cent einer [[Oktave]]. Ein Cent ist ein so kleines Intervall, dass zwei Tonhöhen mit genau dieser Distanz von den meisten Menschen als vollkommen gleich wahrgenommen werden (zum Test ein Beispiel mit zwei Tönen. Welcher ist höher?)...
[[media type="file" key="Ein-Cent-bei-400Hz.mp3" width="240" height="20"]]
...deshalb werden bei Centangaben in der klassischen Musik Angaben ohne Nachkommastellen verwendet.

==Exakte Definition und praktische Berechnung== 
Ist ein Intervall q als Frequenzverhältnis bzw. Frequenzfaktor gegeben, so entspricht dies 1200 * log&amp;lt;span style="vertical-align: sub;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;(q) Cent.
Da man mit vielen Taschenrechnern den Logarithmus zur Basis 2 nicht direkt berechnen kann, bietet sich in der Praxis oft eher die Formel 1200 * log(q)/log(2) Cent an, wobei //log// der Logarithmus zu einer beliebigen (aber festen) Basis ist. Berechnet man mehrere Cent-Werte in Folge, so bietet es sich an, den Wert 1200/log(2) zwischenzuspeichern, so dass nur noch log(q) berechnet werden muss, und anschließend mit dem zwischengespeicherten Wert multipliziert wird.

Beispiel:
Die Cent-Darstellung zu 9/8 lässt sich als 1200 * log(9/8)/log(2) ≈ 203.9 Cent berechnen.
Alternativ kann man auch erst x = 1200/log(2) zwischenspeichern (~ 3986 bei Zehnerlogarithmus), und anschließend muss nur noch log(9/8) * x berechnet werden, um die Darstellung in Cent zu erhalten.

Alternative Definition: 1 Cent = 1\1200 (i.e. 1/1200 Oktave)

==Vor- und Nachteile gegenüber Darstellung als Frequenzverhältnisse== 
Cent-Werte haben gegenüber der Darstellung von Intervallen als Frequenzverhältnisse ein paar Vorteile:
# Die Größe eines Intervals ist direkt ersichtlich
# Statt Intervalle in Frequenzdarstellung zu multiplizieren, kann man einfach deren Cent-Werte addieren
# Cent-Werte lassen sich sehr einfach zu Intervallen berechnen, die auf gleichstufiger Oktavteilung basieren

Beispiele und Erläuterungen dazu:
# In der Frequenzverhältnisdarstellung ist nur schwer erkennbar, wie groß 7/4, 9/5 und 16/9 im Verhältnis zueinander sind. Dies wird allerdings direkt ersichtlich, wenn man weiß dass 7/4 ≈ 968.8 Cent, 9/5 ≈ 1017.6 Cent, und 16/9 ≈ 996.1 Cent entspricht
# Dass eine große Terz 5/4 und eine kleine Terz 6/5 zusammen eine reine Quinte 3/2 ergeben, lässt sich in der Frequenzverhältnisdarstellung als Multiplikation ausdrücken: 5/4 * 6/5 = 3/2. In der Cent-Darstellung dagegen kann man dies durch eine einfache Addition ausdrücken: 386.3 Cent + 315.6 Cent ≈ 702.0 Cent. (würde man hier nicht runden, so hätte man tatsächlich eine Gleichung; so ergibt sich ein kleiner Rundungsfehler)
# Hat man ein Intervall, das x Schritten in einer N-stufigen Stimmung entspricht, so lässt sich die Cent-Darstellung als 1200 * x/N berechnen. Z.B. entsprechen 7 Schritte in der zwölfstufigen Stimmung 1200 * 7/12 = 700 Cent, und 5 Schritte in der 19-stufigen Stimmung 1200 * 5/19 = 315.8 Cent. Alternativ kann man sich auch merken, dass x/N die Darstellung des Intervals in Oktaven ist, und eine Oktave 1200 Cent entspricht

Ein Nachteil gegenüber der Darstellung als Frequenzverhältnis ist, dass eine harmonische Interpretation erschwert wird.
Außerdem hat die Cent-Darstellung ganzzahliger Frequenzverhältnisse (mit Ausnahme von Oktaven und deren Vielfachen) in jedem Fall unendlich viele Nachkommastellen, da es sich um irrationale Werte handelt, was für die Praxis bedeutet, dass gerundet werden muss.

Umgekehrt erscheinen Intervalle von [[edo|gleichstufigen Temperamenten]], in der Frequenzverhältnisdarstellung durchwegs irrational, in der Centdarstellung immer als rationale Zahlen. Mathematische Verfahren zur Annäherung irrationaler Zahlen durch rationale, etwa mittels [[Kettenbruch|Kettenbrüchen]], erhalten so eine Anwendung bei der Annäherung reiner Intervalle in gleichstufigen Temperamenten.

==Verweise== 
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Cent_%28Musik%29|Cent (Musik) - Wikipedia]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Cent&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt; - &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Cent%C3%A9simas"&amp;gt;Español&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Das &amp;lt;strong&amp;gt;Cent&amp;lt;/strong&amp;gt; ist eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ma%C3%9Feinheit"&amp;gt;Maßeinheit&amp;lt;/a&amp;gt; für die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Distanz"&amp;gt;Distanz&amp;lt;/a&amp;gt; musikalischer Intervalle. Die Einheit ist als 100-stel des Halbtonschritts in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12-EDO&amp;lt;/a&amp;gt; festgelegt. So entsprechen 1200 Cent einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt;. Ein Cent ist ein so kleines Intervall, dass zwei Tonhöhen mit genau dieser Distanz von den meisten Menschen als vollkommen gleich wahrgenommen werden (zum Test ein Beispiel mit zwei Tönen. Welcher ist höher?)...&amp;lt;br /&amp;gt;
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...deshalb werden bei Centangaben in der klassischen Musik Angaben ohne Nachkommastellen verwendet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Ist ein Intervall q als Frequenzverhältnis bzw. Frequenzfaktor gegeben, so entspricht dies 1200 * log&amp;lt;span style="vertical-align: sub;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;(q) Cent.&amp;lt;br /&amp;gt;
Da man mit vielen Taschenrechnern den Logarithmus zur Basis 2 nicht direkt berechnen kann, bietet sich in der Praxis oft eher die Formel 1200 * log(q)/log(2) Cent an, wobei &amp;lt;em&amp;gt;log&amp;lt;/em&amp;gt; der Logarithmus zu einer beliebigen (aber festen) Basis ist. Berechnet man mehrere Cent-Werte in Folge, so bietet es sich an, den Wert 1200/log(2) zwischenzuspeichern, so dass nur noch log(q) berechnet werden muss, und anschließend mit dem zwischengespeicherten Wert multipliziert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispiel:&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Cent-Darstellung zu 9/8 lässt sich als 1200 * log(9/8)/log(2) ≈ 203.9 Cent berechnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Alternativ kann man auch erst x = 1200/log(2) zwischenspeichern (~ 3986 bei Zehnerlogarithmus), und anschließend muss nur noch log(9/8) * x berechnet werden, um die Darstellung in Cent zu erhalten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Alternative Definition: 1 Cent = 1\1200 (i.e. 1/1200 Oktave)&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Vor- und Nachteile gegenüber Darstellung als Frequenzverhältnisse"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Vor- und Nachteile gegenüber Darstellung als Frequenzverhältnisse&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Cent-Werte haben gegenüber der Darstellung von Intervallen als Frequenzverhältnisse ein paar Vorteile:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Größe eines Intervals ist direkt ersichtlich&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Statt Intervalle in Frequenzdarstellung zu multiplizieren, kann man einfach deren Cent-Werte addieren&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Cent-Werte lassen sich sehr einfach zu Intervallen berechnen, die auf gleichstufiger Oktavteilung basieren&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispiele und Erläuterungen dazu:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;In der Frequenzverhältnisdarstellung ist nur schwer erkennbar, wie groß 7/4, 9/5 und 16/9 im Verhältnis zueinander sind. Dies wird allerdings direkt ersichtlich, wenn man weiß dass 7/4 ≈ 968.8 Cent, 9/5 ≈ 1017.6 Cent, und 16/9 ≈ 996.1 Cent entspricht&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dass eine große Terz 5/4 und eine kleine Terz 6/5 zusammen eine reine Quinte 3/2 ergeben, lässt sich in der Frequenzverhältnisdarstellung als Multiplikation ausdrücken: 5/4 * 6/5 = 3/2. In der Cent-Darstellung dagegen kann man dies durch eine einfache Addition ausdrücken: 386.3 Cent + 315.6 Cent ≈ 702.0 Cent. (würde man hier nicht runden, so hätte man tatsächlich eine Gleichung; so ergibt sich ein kleiner Rundungsfehler)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Hat man ein Intervall, das x Schritten in einer N-stufigen Stimmung entspricht, so lässt sich die Cent-Darstellung als 1200 * x/N berechnen. Z.B. entsprechen 7 Schritte in der zwölfstufigen Stimmung 1200 * 7/12 = 700 Cent, und 5 Schritte in der 19-stufigen Stimmung 1200 * 5/19 = 315.8 Cent. Alternativ kann man sich auch merken, dass x/N die Darstellung des Intervals in Oktaven ist, und eine Oktave 1200 Cent entspricht&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein Nachteil gegenüber der Darstellung als Frequenzverhältnis ist, dass eine harmonische Interpretation erschwert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
Außerdem hat die Cent-Darstellung ganzzahliger Frequenzverhältnisse (mit Ausnahme von Oktaven und deren Vielfachen) in jedem Fall unendlich viele Nachkommastellen, da es sich um irrationale Werte handelt, was für die Praxis bedeutet, dass gerundet werden muss.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Umgekehrt erscheinen Intervalle von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;gleichstufigen Temperamenten&amp;lt;/a&amp;gt;, in der Frequenzverhältnisdarstellung durchwegs irrational, in der Centdarstellung immer als rationale Zahlen. Mathematische Verfahren zur Annäherung irrationaler Zahlen durch rationale, etwa mittels &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Kettenbruch"&amp;gt;Kettenbrüchen&amp;lt;/a&amp;gt;, erhalten so eine Anwendung bei der Annäherung reiner Intervalle in gleichstufigen Temperamenten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 &amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Cent_%28Musik%29" rel="nofollow"&amp;gt;Cent (Musik) - Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2016-11-02 04:21:46 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Das **Cent** ist eine [[Maßeinheit]] für die [[Distanz]] musikalischer Intervalle. Die Einheit ist als 100-stel des  Halbtonschritts in [[12edo|12-EDO]] festgelegt. So entsprechen 1200 Cent einer [[Oktave]]. Ein Cent ist ein so kleines Intervall, dass zwei Tonhöhen mit genau dieser Distanz von den meisten Menschen als vollkommen gleich wahrgenommen werden (zum Test ein Beispiel mit zwei Tönen. Welcher ist höher?)...
[[media type="file" key="Ein-Cent-bei-400Hz.mp3"]]
...deshalb werden bei Centangaben in der klassischen Musik Angaben ohne Nachkommastellen verwendet.
 
==Exakte Definition und praktische Berechnung== 
Ist ein Intervall q als Frequenzverhältnis bzw. Frequenzfaktor gegeben, so entspricht dies 1200 * log&amp;lt;span style="vertical-align: sub;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;(q) Cent.
Da man mit vielen Taschenrechnern den Logarithmus zur Basis 2 nicht direkt berechnen kann, bietet sich in der Praxis oft eher die Formel 1200 * log(q)/log(2) Cent an, wobei //log// der Logarithmus zu einer beliebigen (aber festen) Basis ist. Berechnet man mehrere Cent-Werte in Folge, so bietet es sich an, den Wert 1200/log(2) zwischenzuspeichern, so dass nur noch log(q) berechnet werden muss, und anschließend mit dem zwischengespeicherten Wert multipliziert wird.

Beispiel:
Die Cent-Darstellung zu 9/8 lässt sich als 1200 * log(9/8)/log(2) ≈ 203.9 Cent berechnen.
Alternativ kann man auch erst x = 1200/log(2) zwischenspeichern (~ 3986 bei Zehnerlogarithmus), und anschließend muss nur noch log(9/8) * x berechnet werden, um die Darstellung in Cent zu erhalten.

Alternative Definition: 1 Cent = 1\1200 (i.e. 1/1200 Oktave)

==Vor- und Nachteile gegenüber Darstellung als Frequenzverhältnisse== 
Cent-Werte haben gegenüber der Darstellung von Intervallen als Frequenzverhältnisse ein paar Vorteile:
# Die Größe eines Intervals ist direkt ersichtlich
# Statt Intervalle in Frequenzdarstellung zu multiplizieren, kann man einfach deren Cent-Werte addieren
# Cent-Werte lassen sich sehr einfach zu Intervallen berechnen, die auf gleichstufiger Oktavteilung basieren

Beispiele und Erläuterungen dazu:
# In der Frequenzverhältnisdarstellung ist nur schwer erkennbar, wie groß 7/4, 9/5 und 16/9 im Verhältnis zueinander sind. Dies wird allerdings direkt ersichtlich, wenn man weiß dass 7/4 ≈ 968.8 Cent, 9/5 ≈ 1017.6 Cent, und 16/9 ≈ 996.1 Cent entspricht
# Dass eine große Terz 5/4 und eine kleine Terz 6/5 zusammen eine reine Quinte 3/2 ergeben, lässt sich in der Frequenzverhältnisdarstellung als Multiplikation ausdrücken: 5/4 * 6/5 = 3/2. In der Cent-Darstellung dagegen kann man dies durch eine einfache Addition ausdrücken: 386.3 Cent + 315.6 Cent ≈ 702.0 Cent. (würde man hier nicht runden, so hätte man tatsächlich eine Gleichung; so ergibt sich ein kleiner Rundungsfehler)
# Hat man ein Intervall, das x Schritten in einer N-stufigen Stimmung entspricht, so lässt sich die Cent-Darstellung als 1200 * x/N berechnen. Z.B. entsprechen 7 Schritte in der zwölfstufigen Stimmung 1200 * 7/12 = 700 Cent, und 5 Schritte in der 19-stufigen Stimmung 1200 * 5/19 = 315.8 Cent. Alternativ kann man sich auch merken, dass x/N die Darstellung des Intervals in Oktaven ist, und eine Oktave 1200 Cent entspricht

Ein Nachteil gegenüber der Darstellung als Frequenzverhältnis ist, dass eine harmonische Interpretation erschwert wird.
Außerdem hat die Cent-Darstellung ganzzahliger Frequenzverhältnisse (mit Ausnahme von Oktaven und deren Vielfachen) in jedem Fall unendlich viele Nachkommastellen, da es sich um irrationale Werte handelt, was für die Praxis bedeutet, dass gerundet werden muss.

Umgekehrt erscheinen Intervalle von [[edo|gleichstufigen Temperamenten]], in der Frequenzverhältnisdarstellung durchwegs irrational, in der Centdarstellung immer als rationale Zahlen. Mathematische Verfahren zur Annäherung irrationaler Zahlen durch rationale, etwa mittels [[Kettenbruch|Kettenbrüchen]], erhalten so eine Anwendung bei der Annäherung reiner Intervalle in gleichstufigen Temperamenten.

== Verweise ==
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Cent_%28Musik%29|Cent (Musik) - Wikipedia]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Das &amp;lt;strong&amp;gt;Cent&amp;lt;/strong&amp;gt; ist eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ma%C3%9Feinheit"&amp;gt;Maßeinheit&amp;lt;/a&amp;gt; für die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Distanz"&amp;gt;Distanz&amp;lt;/a&amp;gt; musikalischer Intervalle. Die Einheit ist als 100-stel des  Halbtonschritts in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12-EDO&amp;lt;/a&amp;gt; festgelegt. So entsprechen 1200 Cent einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt;. Ein Cent ist ein so kleines Intervall, dass zwei Tonhöhen mit genau dieser Distanz von den meisten Menschen als vollkommen gleich wahrgenommen werden (zum Test ein Beispiel mit zwei Tönen. Welcher ist höher?)...&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:0:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/Ein-Cent-bei-400Hz.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;Ein-Cent-bei-400Hz.mp3&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252FEin-Cent-bei-400Hz.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
...deshalb werden bei Centangaben in der klassischen Musik Angaben ohne Nachkommastellen verwendet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Ist ein Intervall q als Frequenzverhältnis bzw. Frequenzfaktor gegeben, so entspricht dies 1200 * log&amp;lt;span style="vertical-align: sub;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;(q) Cent.&amp;lt;br /&amp;gt;
Da man mit vielen Taschenrechnern den Logarithmus zur Basis 2 nicht direkt berechnen kann, bietet sich in der Praxis oft eher die Formel 1200 * log(q)/log(2) Cent an, wobei &amp;lt;em&amp;gt;log&amp;lt;/em&amp;gt; der Logarithmus zu einer beliebigen (aber festen) Basis ist. Berechnet man mehrere Cent-Werte in Folge, so bietet es sich an, den Wert 1200/log(2) zwischenzuspeichern, so dass nur noch log(q) berechnet werden muss, und anschließend mit dem zwischengespeicherten Wert multipliziert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispiel:&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Cent-Darstellung zu 9/8 lässt sich als 1200 * log(9/8)/log(2) ≈ 203.9 Cent berechnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Alternativ kann man auch erst x = 1200/log(2) zwischenspeichern (~ 3986 bei Zehnerlogarithmus), und anschließend muss nur noch log(9/8) * x berechnet werden, um die Darstellung in Cent zu erhalten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Alternative Definition: 1 Cent = 1\1200 (i.e. 1/1200 Oktave)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Vor- und Nachteile gegenüber Darstellung als Frequenzverhältnisse"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Vor- und Nachteile gegenüber Darstellung als Frequenzverhältnisse&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Cent-Werte haben gegenüber der Darstellung von Intervallen als Frequenzverhältnisse ein paar Vorteile:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Größe eines Intervals ist direkt ersichtlich&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Statt Intervalle in Frequenzdarstellung zu multiplizieren, kann man einfach deren Cent-Werte addieren&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Cent-Werte lassen sich sehr einfach zu Intervallen berechnen, die auf gleichstufiger Oktavteilung basieren&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispiele und Erläuterungen dazu:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;In der Frequenzverhältnisdarstellung ist nur schwer erkennbar, wie groß 7/4, 9/5 und 16/9 im Verhältnis zueinander sind. Dies wird allerdings direkt ersichtlich, wenn man weiß dass 7/4 ≈ 968.8 Cent, 9/5 ≈ 1017.6 Cent, und 16/9 ≈ 996.1 Cent entspricht&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dass eine große Terz 5/4 und eine kleine Terz 6/5 zusammen eine reine Quinte 3/2 ergeben, lässt sich in der Frequenzverhältnisdarstellung als Multiplikation ausdrücken: 5/4 * 6/5 = 3/2. In der Cent-Darstellung dagegen kann man dies durch eine einfache Addition ausdrücken: 386.3 Cent + 315.6 Cent ≈ 702.0 Cent. (würde man hier nicht runden, so hätte man tatsächlich eine Gleichung; so ergibt sich ein kleiner Rundungsfehler)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Hat man ein Intervall, das x Schritten in einer N-stufigen Stimmung entspricht, so lässt sich die Cent-Darstellung als 1200 * x/N berechnen. Z.B. entsprechen 7 Schritte in der zwölfstufigen Stimmung 1200 * 7/12 = 700 Cent, und 5 Schritte in der 19-stufigen Stimmung 1200 * 5/19 = 315.8 Cent. Alternativ kann man sich auch merken, dass x/N die Darstellung des Intervals in Oktaven ist, und eine Oktave 1200 Cent entspricht&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein Nachteil gegenüber der Darstellung als Frequenzverhältnis ist, dass eine harmonische Interpretation erschwert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
Außerdem hat die Cent-Darstellung ganzzahliger Frequenzverhältnisse (mit Ausnahme von Oktaven und deren Vielfachen) in jedem Fall unendlich viele Nachkommastellen, da es sich um irrationale Werte handelt, was für die Praxis bedeutet, dass gerundet werden muss.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Umgekehrt erscheinen Intervalle von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;gleichstufigen Temperamenten&amp;lt;/a&amp;gt;, in der Frequenzverhältnisdarstellung durchwegs irrational, in der Centdarstellung immer als rationale Zahlen. Mathematische Verfahren zur Annäherung irrationaler Zahlen durch rationale, etwa mittels &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Kettenbruch"&amp;gt;Kettenbrüchen&amp;lt;/a&amp;gt;, erhalten so eine Anwendung bei der Annäherung reiner Intervalle in gleichstufigen Temperamenten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Verweise"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt; Verweise &amp;lt;/h2&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Cent_%28Musik%29" rel="nofollow"&amp;gt;Cent (Musik) - Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;xenwolf</username>
        <id>0</id>
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      <comment>**Imported revision 432284416 - Original comment: Datei ersetzt WAV durch MP3**</comment>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-17 02:22:43 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;432284416&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;Datei ersetzt WAV durch MP3&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Das **Cent** ist eine [[Maßeinheit]] für die [[Distanz]] musikalischer Intervalle. Die Einheit ist als 100-stel des  Halbtonschritts in [[12edo|12-EDO]] festgelegt. So entsprechen 1200 Cent einer [[Oktave]]. Ein Cent ist ein so kleines Intervall, dass zwei Tonhöhen mit genau dieser Distanz von den meisten Menschen als vollkommen gleich wahrgenommen werden (zum Test ein Beispiel mit zwei Tönen. Welcher ist höher?)...
[[media type="file" key="Ein-Cent-bei-400Hz.mp3"]]
...deshalb werden bei Centangaben in der klassischen Musik Angaben ohne Nachkommastellen verwendet.
 
==Exakte Definition und praktische Berechnung== 
Ist ein Intervall q als Frequenzverhältnis bzw. Frequenzfaktor gegeben, so entspricht dies 1200 * log&amp;lt;span style="vertical-align: sub;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;(q) Cent.
Da man mit vielen Taschenrechnern den Logarithmus zur Basis 2 nicht direkt berechnen kann, bietet sich in der Praxis oft eher die Formel 1200 * log(q)/log(2) Cent an, wobei //log// der Logarithmus zu einer beliebigen (aber festen) Basis ist. Berechnet man mehrere Cent-Werte in Folge, so bietet es sich an, den Wert 1200/log(2) zwischenzuspeichern, so dass nur noch log(q) berechnet werden muss, und anschließend mit dem zwischengespeicherten Wert multipliziert wird.

Beispiel:
Die Cent-Darstellung zu 9/8 lässt sich als 1200 * log(9/8)/log(2) ≈ 203.9 Cent berechnen.
Alternativ kann man auch erst x = 1200/log(2) zwischenspeichern (~ 3986 bei Zehnerlogarithmus), und anschließend muss nur noch log(9/8) * x berechnet werden, um die Darstellung in Cent zu erhalten.

Alternative Definition: 1 Cent = 1\1200 (i.e. 1/1200 Oktave)

==Vor- und Nachteile gegenüber Darstellung als Frequenzverhältnisse== 
Cent-Werte haben gegenüber der Darstellung von Intervallen als Frequenzverhältnisse ein paar Vorteile:
# Die Größe eines Intervals ist direkt ersichtlich
# Statt Intervalle in Frequenzdarstellung zu multiplizieren, kann man einfach deren Cent-Werte addieren
# Cent-Werte lassen sich sehr einfach zu Intervallen berechnen, die auf gleichstufiger Oktavteilung basieren

Beispiele und Erläuterungen dazu:
# In der Frequenzverhältnisdarstellung ist nur schwer erkennbar, wie groß 7/4, 9/5 und 16/9 im Verhältnis zueinander sind. Dies wird allerdings direkt ersichtlich, wenn man weiß dass 7/4 ≈ 968.8 Cent, 9/5 ≈ 1017.6 Cent, und 16/9 ≈ 996.1 Cent entspricht
# Dass eine große Terz 5/4 und eine kleine Terz 6/5 zusammen eine reine Quinte 3/2 ergeben, lässt sich in der Frequenzverhältnisdarstellung als Multiplikation ausdrücken: 5/4 * 6/5 = 3/2. In der Cent-Darstellung dagegen kann man dies durch eine einfache Addition ausdrücken: 386.3 Cent + 315.6 Cent ≈ 702.0 Cent. (würde man hier nicht runden, so hätte man tatsächlich eine Gleichung; so ergibt sich ein kleiner Rundungsfehler)
# Hat man ein Intervall, das x Schritten in einer N-stufigen Stimmung entspricht, so lässt sich die Cent-Darstellung als 1200 * x/N berechnen. Z.B. entsprechen 7 Schritte in der zwölfstufigen Stimmung 1200 * 7/12 = 700 Cent, und 5 Schritte in der 19-stufigen Stimmung 1200 * 5/19 = 315.8 Cent. Alternativ kann man sich auch merken, dass x/N die Darstellung des Intervals in Oktaven ist, und eine Oktave 1200 Cent entspricht

Ein Nachteil gegenüber der Darstellung als Frequenzverhältnis ist, dass eine harmonische Interpretation erschwert wird.
Außerdem hat die Cent-Darstellung ganzzahliger Frequenzverhältnisse (mit Ausnahme von Oktaven und deren Vielfachen) in jedem Fall unendlich viele Nachkommastellen, da es sich um irrationale Werte handelt, was für die Praxis bedeutet, dass gerundet werden muss.

Umgekehrt erscheinen Intervalle von [[edo|gleichstufigen Temperamenten]], in der Frequenzverhältnisdarstellung durchwegs irrational, in der Centdarstellung immer als rationale Zahlen. Mathematische Verfahren zur Annäherung irrationaler Zahlen durch rationale, etwa mittels [[Kettenbruch|Kettenbrüchen]], erhalten so eine Anwendung bei der Annäherung reiner Intervalle in gleichstufigen Temperamenten.

== Verweise ==
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Cent_%28Musik%29|Cent (Musik) - Wikipedia]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Cent&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Das &amp;lt;strong&amp;gt;Cent&amp;lt;/strong&amp;gt; ist eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ma%C3%9Feinheit"&amp;gt;Maßeinheit&amp;lt;/a&amp;gt; für die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Distanz"&amp;gt;Distanz&amp;lt;/a&amp;gt; musikalischer Intervalle. Die Einheit ist als 100-stel des  Halbtonschritts in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12-EDO&amp;lt;/a&amp;gt; festgelegt. So entsprechen 1200 Cent einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt;. Ein Cent ist ein so kleines Intervall, dass zwei Tonhöhen mit genau dieser Distanz von den meisten Menschen als vollkommen gleich wahrgenommen werden (zum Test ein Beispiel mit zwei Tönen. Welcher ist höher?)...&amp;lt;br /&amp;gt;
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...deshalb werden bei Centangaben in der klassischen Musik Angaben ohne Nachkommastellen verwendet.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Ist ein Intervall q als Frequenzverhältnis bzw. Frequenzfaktor gegeben, so entspricht dies 1200 * log&amp;lt;span style="vertical-align: sub;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;(q) Cent.&amp;lt;br /&amp;gt;
Da man mit vielen Taschenrechnern den Logarithmus zur Basis 2 nicht direkt berechnen kann, bietet sich in der Praxis oft eher die Formel 1200 * log(q)/log(2) Cent an, wobei &amp;lt;em&amp;gt;log&amp;lt;/em&amp;gt; der Logarithmus zu einer beliebigen (aber festen) Basis ist. Berechnet man mehrere Cent-Werte in Folge, so bietet es sich an, den Wert 1200/log(2) zwischenzuspeichern, so dass nur noch log(q) berechnet werden muss, und anschließend mit dem zwischengespeicherten Wert multipliziert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispiel:&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Cent-Darstellung zu 9/8 lässt sich als 1200 * log(9/8)/log(2) ≈ 203.9 Cent berechnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Alternativ kann man auch erst x = 1200/log(2) zwischenspeichern (~ 3986 bei Zehnerlogarithmus), und anschließend muss nur noch log(9/8) * x berechnet werden, um die Darstellung in Cent zu erhalten.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Alternative Definition: 1 Cent = 1\1200 (i.e. 1/1200 Oktave)&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Cent-Werte haben gegenüber der Darstellung von Intervallen als Frequenzverhältnisse ein paar Vorteile:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Größe eines Intervals ist direkt ersichtlich&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Statt Intervalle in Frequenzdarstellung zu multiplizieren, kann man einfach deren Cent-Werte addieren&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Cent-Werte lassen sich sehr einfach zu Intervallen berechnen, die auf gleichstufiger Oktavteilung basieren&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispiele und Erläuterungen dazu:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;In der Frequenzverhältnisdarstellung ist nur schwer erkennbar, wie groß 7/4, 9/5 und 16/9 im Verhältnis zueinander sind. Dies wird allerdings direkt ersichtlich, wenn man weiß dass 7/4 ≈ 968.8 Cent, 9/5 ≈ 1017.6 Cent, und 16/9 ≈ 996.1 Cent entspricht&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dass eine große Terz 5/4 und eine kleine Terz 6/5 zusammen eine reine Quinte 3/2 ergeben, lässt sich in der Frequenzverhältnisdarstellung als Multiplikation ausdrücken: 5/4 * 6/5 = 3/2. In der Cent-Darstellung dagegen kann man dies durch eine einfache Addition ausdrücken: 386.3 Cent + 315.6 Cent ≈ 702.0 Cent. (würde man hier nicht runden, so hätte man tatsächlich eine Gleichung; so ergibt sich ein kleiner Rundungsfehler)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Hat man ein Intervall, das x Schritten in einer N-stufigen Stimmung entspricht, so lässt sich die Cent-Darstellung als 1200 * x/N berechnen. Z.B. entsprechen 7 Schritte in der zwölfstufigen Stimmung 1200 * 7/12 = 700 Cent, und 5 Schritte in der 19-stufigen Stimmung 1200 * 5/19 = 315.8 Cent. Alternativ kann man sich auch merken, dass x/N die Darstellung des Intervals in Oktaven ist, und eine Oktave 1200 Cent entspricht&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein Nachteil gegenüber der Darstellung als Frequenzverhältnis ist, dass eine harmonische Interpretation erschwert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
Außerdem hat die Cent-Darstellung ganzzahliger Frequenzverhältnisse (mit Ausnahme von Oktaven und deren Vielfachen) in jedem Fall unendlich viele Nachkommastellen, da es sich um irrationale Werte handelt, was für die Praxis bedeutet, dass gerundet werden muss.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Umgekehrt erscheinen Intervalle von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;gleichstufigen Temperamenten&amp;lt;/a&amp;gt;, in der Frequenzverhältnisdarstellung durchwegs irrational, in der Centdarstellung immer als rationale Zahlen. Mathematische Verfahren zur Annäherung irrationaler Zahlen durch rationale, etwa mittels &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Kettenbruch"&amp;gt;Kettenbrüchen&amp;lt;/a&amp;gt;, erhalten so eine Anwendung bei der Annäherung reiner Intervalle in gleichstufigen Temperamenten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Verweise"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt; Verweise &amp;lt;/h2&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Cent_%28Musik%29" rel="nofollow"&amp;gt;Cent (Musik) - Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-12 15:03:06 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Das **Cent** ist eine [[Maßeinheit]] für die [[Distanz]] musikalischer Intervalle. Die Einheit ist als 100-stel des  Halbtonschritts in [[12edo|12-EDO]] festgelegt. So entsprechen 1200 Cent einer [[Oktave]]. Ein Cent ist ein so kleines Intervall, dass zwei Tonhöhen mit genau dieser Distanz von den meisten Menschen als vollkommen gleich wahrgenommen werden (zum Test ein Beispiel mit zwei Tönen. Welcher ist höher?)...
[[media type="file" key="Ein-Cent-bei-400Hz.wav"]]
...deshalb werden bei Centangaben in der klassischen Musik Angaben ohne Nachkommastellen verwendet.
 
==Exakte Definition und praktische Berechnung== 
Ist ein Intervall q als Frequenzverhältnis bzw. Frequenzfaktor gegeben, so entspricht dies 1200 * log&amp;lt;span style="vertical-align: sub;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;(q) Cent.
Da man mit vielen Taschenrechnern den Logarithmus zur Basis 2 nicht direkt berechnen kann, bietet sich in der Praxis oft eher die Formel 1200 * log(q)/log(2) Cent an, wobei //log// der Logarithmus zu einer beliebigen (aber festen) Basis ist. Berechnet man mehrere Cent-Werte in Folge, so bietet es sich an, den Wert 1200/log(2) zwischenzuspeichern, so dass nur noch log(q) berechnet werden muss, und anschließend mit dem zwischengespeicherten Wert multipliziert wird.

Beispiel:
Die Cent-Darstellung zu 9/8 lässt sich als 1200 * log(9/8)/log(2) ≈ 203.9 Cent berechnen.
Alternativ kann man auch erst x = 1200/log(2) zwischenspeichern (~ 3986 bei Zehnerlogarithmus), und anschließend muss nur noch log(9/8) * x berechnet werden, um die Darstellung in Cent zu erhalten.

Alternative Definition: 1 Cent = 1\1200 (i.e. 1/1200 Oktave)

==Vor- und Nachteile gegenüber Darstellung als Frequenzverhältnisse== 
Cent-Werte haben gegenüber der Darstellung von Intervallen als Frequenzverhältnisse ein paar Vorteile:
# Die Größe eines Intervals ist direkt ersichtlich
# Statt Intervalle in Frequenzdarstellung zu multiplizieren, kann man einfach deren Cent-Werte addieren
# Cent-Werte lassen sich sehr einfach zu Intervallen berechnen, die auf gleichstufiger Oktavteilung basieren

Beispiele und Erläuterungen dazu:
# In der Frequenzverhältnisdarstellung ist nur schwer erkennbar, wie groß 7/4, 9/5 und 16/9 im Verhältnis zueinander sind. Dies wird allerdings direkt ersichtlich, wenn man weiß dass 7/4 ≈ 968.8 Cent, 9/5 ≈ 1017.6 Cent, und 16/9 ≈ 996.1 Cent entspricht
# Dass eine große Terz 5/4 und eine kleine Terz 6/5 zusammen eine reine Quinte 3/2 ergeben, lässt sich in der Frequenzverhältnisdarstellung als Multiplikation ausdrücken: 5/4 * 6/5 = 3/2. In der Cent-Darstellung dagegen kann man dies durch eine einfache Addition ausdrücken: 386.3 Cent + 315.6 Cent ≈ 702.0 Cent. (würde man hier nicht runden, so hätte man tatsächlich eine Gleichung; so ergibt sich ein kleiner Rundungsfehler)
# Hat man ein Intervall, das x Schritten in einer N-stufigen Stimmung entspricht, so lässt sich die Cent-Darstellung als 1200 * x/N berechnen. Z.B. entsprechen 7 Schritte in der zwölfstufigen Stimmung 1200 * 7/12 = 700 Cent, und 5 Schritte in der 19-stufigen Stimmung 1200 * 5/19 = 315.8 Cent. Alternativ kann man sich auch merken, dass x/N die Darstellung des Intervals in Oktaven ist, und eine Oktave 1200 Cent entspricht

Ein Nachteil gegenüber der Darstellung als Frequenzverhältnis ist, dass eine harmonische Interpretation erschwert wird.
Außerdem hat die Cent-Darstellung ganzzahliger Frequenzverhältnisse (mit Ausnahme von Oktaven und deren Vielfachen) in jedem Fall unendlich viele Nachkommastellen, da es sich um irrationale Werte handelt, was für die Praxis bedeutet, dass gerundet werden muss.

Umgekehrt erscheinen Intervalle von [[edo|gleichstufigen Temperamenten]], in der Frequenzverhältnisdarstellung durchwegs irrational, in der Centdarstellung immer als rationale Zahlen. Mathematische Verfahren zur Annäherung irrationaler Zahlen durch rationale, etwa mittels [[Kettenbruch|Kettenbrüchen]], erhalten so eine Anwendung bei der Annäherung reiner Intervalle in gleichstufigen Temperamenten.

== Verweise ==
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Cent_%28Musik%29|Cent (Musik) - Wikipedia]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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 Ist ein Intervall q als Frequenzverhältnis bzw. Frequenzfaktor gegeben, so entspricht dies 1200 * log&amp;lt;span style="vertical-align: sub;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;(q) Cent.&amp;lt;br /&amp;gt;
Da man mit vielen Taschenrechnern den Logarithmus zur Basis 2 nicht direkt berechnen kann, bietet sich in der Praxis oft eher die Formel 1200 * log(q)/log(2) Cent an, wobei &amp;lt;em&amp;gt;log&amp;lt;/em&amp;gt; der Logarithmus zu einer beliebigen (aber festen) Basis ist. Berechnet man mehrere Cent-Werte in Folge, so bietet es sich an, den Wert 1200/log(2) zwischenzuspeichern, so dass nur noch log(q) berechnet werden muss, und anschließend mit dem zwischengespeicherten Wert multipliziert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispiel:&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Cent-Darstellung zu 9/8 lässt sich als 1200 * log(9/8)/log(2) ≈ 203.9 Cent berechnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Alternativ kann man auch erst x = 1200/log(2) zwischenspeichern (~ 3986 bei Zehnerlogarithmus), und anschließend muss nur noch log(9/8) * x berechnet werden, um die Darstellung in Cent zu erhalten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Alternative Definition: 1 Cent = 1\1200 (i.e. 1/1200 Oktave)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Cent-Werte haben gegenüber der Darstellung von Intervallen als Frequenzverhältnisse ein paar Vorteile:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Größe eines Intervals ist direkt ersichtlich&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Statt Intervalle in Frequenzdarstellung zu multiplizieren, kann man einfach deren Cent-Werte addieren&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Cent-Werte lassen sich sehr einfach zu Intervallen berechnen, die auf gleichstufiger Oktavteilung basieren&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispiele und Erläuterungen dazu:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;In der Frequenzverhältnisdarstellung ist nur schwer erkennbar, wie groß 7/4, 9/5 und 16/9 im Verhältnis zueinander sind. Dies wird allerdings direkt ersichtlich, wenn man weiß dass 7/4 ≈ 968.8 Cent, 9/5 ≈ 1017.6 Cent, und 16/9 ≈ 996.1 Cent entspricht&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dass eine große Terz 5/4 und eine kleine Terz 6/5 zusammen eine reine Quinte 3/2 ergeben, lässt sich in der Frequenzverhältnisdarstellung als Multiplikation ausdrücken: 5/4 * 6/5 = 3/2. In der Cent-Darstellung dagegen kann man dies durch eine einfache Addition ausdrücken: 386.3 Cent + 315.6 Cent ≈ 702.0 Cent. (würde man hier nicht runden, so hätte man tatsächlich eine Gleichung; so ergibt sich ein kleiner Rundungsfehler)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Hat man ein Intervall, das x Schritten in einer N-stufigen Stimmung entspricht, so lässt sich die Cent-Darstellung als 1200 * x/N berechnen. Z.B. entsprechen 7 Schritte in der zwölfstufigen Stimmung 1200 * 7/12 = 700 Cent, und 5 Schritte in der 19-stufigen Stimmung 1200 * 5/19 = 315.8 Cent. Alternativ kann man sich auch merken, dass x/N die Darstellung des Intervals in Oktaven ist, und eine Oktave 1200 Cent entspricht&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein Nachteil gegenüber der Darstellung als Frequenzverhältnis ist, dass eine harmonische Interpretation erschwert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
Außerdem hat die Cent-Darstellung ganzzahliger Frequenzverhältnisse (mit Ausnahme von Oktaven und deren Vielfachen) in jedem Fall unendlich viele Nachkommastellen, da es sich um irrationale Werte handelt, was für die Praxis bedeutet, dass gerundet werden muss.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Umgekehrt erscheinen Intervalle von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;gleichstufigen Temperamenten&amp;lt;/a&amp;gt;, in der Frequenzverhältnisdarstellung durchwegs irrational, in der Centdarstellung immer als rationale Zahlen. Mathematische Verfahren zur Annäherung irrationaler Zahlen durch rationale, etwa mittels &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Kettenbruch"&amp;gt;Kettenbrüchen&amp;lt;/a&amp;gt;, erhalten so eine Anwendung bei der Annäherung reiner Intervalle in gleichstufigen Temperamenten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Verweise"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt; Verweise &amp;lt;/h2&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Cent_%28Musik%29" rel="nofollow"&amp;gt;Cent (Musik) - Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <id>474</id>
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      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;xenwolf</username>
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      <comment>**Imported revision 430912588 - Original comment: **</comment>
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      <text bytes="10635" sha1="mxtypsnm185s92smvglm09nlvvmsq9w" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
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: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-12 14:57:06 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;430912588&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Das **Cent** ist eine [[Maßeinheit]] für die [[Distanz]] musikalischer Intervalle. Die Einheit ist als 100-stel des  Halbtonschritts in [[12edo|12-EDO]] festgelegt. So entsprechen 1200 Cent einer [[Oktave]]. Ein Cent ist ein so kleines Intervall, dass zwei Tonhöhen mit genau dieser Distanz von den meisten Menschen als vollkommen gleich wahrgenommen werden; deshalb werden bei Centangaben in der klassischen Musik Angaben ohne Nachkommastellen verwendet.
 
==Exakte Definition und praktische Berechnung== 
Ist ein Intervall q als Frequenzverhältnis bzw. Frequenzfaktor gegeben, so entspricht dies 1200 * log&amp;lt;span style="vertical-align: sub;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;(q) Cent.
Da man mit vielen Taschenrechnern den Logarithmus zur Basis 2 nicht direkt berechnen kann, bietet sich in der Praxis oft eher die Formel 1200 * log(q)/log(2) Cent an, wobei //log// der Logarithmus zu einer beliebigen (aber festen) Basis ist. Berechnet man mehrere Cent-Werte in Folge, so bietet es sich an, den Wert 1200/log(2) zwischenzuspeichern, so dass nur noch log(q) berechnet werden muss, und anschließend mit dem zwischengespeicherten Wert multipliziert wird.

Beispiel:
Die Cent-Darstellung zu 9/8 lässt sich als 1200 * log(9/8)/log(2) ≈ 203.9 Cent berechnen.
Alternativ kann man auch erst x = 1200/log(2) zwischenspeichern (~ 3986 bei Zehnerlogarithmus), und anschließend muss nur noch log(9/8) * x berechnet werden, um die Darstellung in Cent zu erhalten.

Alternative Definition: 1 Cent = 1\1200 (i.e. 1/1200 Oktave)

==Vor- und Nachteile gegenüber Darstellung als Frequenzverhältnisse== 
Cent-Werte haben gegenüber der Darstellung von Intervallen als Frequenzverhältnisse ein paar Vorteile:
# Die Größe eines Intervals ist direkt ersichtlich
# Statt Intervalle in Frequenzdarstellung zu multiplizieren, kann man einfach deren Cent-Werte addieren
# Cent-Werte lassen sich sehr einfach zu Intervallen berechnen, die auf gleichstufiger Oktavteilung basieren

Beispiele und Erläuterungen dazu:
# In der Frequenzverhältnisdarstellung ist nur schwer erkennbar, wie groß 7/4, 9/5 und 16/9 im Verhältnis zueinander sind. Dies wird allerdings direkt ersichtlich, wenn man weiß dass 7/4 ≈ 968.8 Cent, 9/5 ≈ 1017.6 Cent, und 16/9 ≈ 996.1 Cent entspricht
# Dass eine große Terz 5/4 und eine kleine Terz 6/5 zusammen eine reine Quinte 3/2 ergeben, lässt sich in der Frequenzverhältnisdarstellung als Multiplikation ausdrücken: 5/4 * 6/5 = 3/2. In der Cent-Darstellung dagegen kann man dies durch eine einfache Addition ausdrücken: 386.3 Cent + 315.6 Cent ≈ 702.0 Cent. (würde man hier nicht runden, so hätte man tatsächlich eine Gleichung; so ergibt sich ein kleiner Rundungsfehler)
# Hat man ein Intervall, das x Schritten in einer N-stufigen Stimmung entspricht, so lässt sich die Cent-Darstellung als 1200 * x/N berechnen. Z.B. entsprechen 7 Schritte in der zwölfstufigen Stimmung 1200 * 7/12 = 700 Cent, und 5 Schritte in der 19-stufigen Stimmung 1200 * 5/19 = 315.8 Cent. Alternativ kann man sich auch merken, dass x/N die Darstellung des Intervals in Oktaven ist, und eine Oktave 1200 Cent entspricht

Ein Nachteil gegenüber der Darstellung als Frequenzverhältnis ist, dass eine harmonische Interpretation erschwert wird.
Außerdem hat die Cent-Darstellung ganzzahliger Frequenzverhältnisse (mit Ausnahme von Oktaven und deren Vielfachen) in jedem Fall unendlich viele Nachkommastellen, da es sich um irrationale Werte handelt, was für die Praxis bedeutet, dass gerundet werden muss.

Umgekehrt erscheinen Intervalle von [[edo|gleichstufigen Temperamenten]], in der Frequenzverhältnisdarstellung durchwegs irrational, in der Centdarstellung immer als rationale Zahlen. Mathematische Verfahren zur Annäherung irrationaler Zahlen durch rationale, etwa mittels [[Kettenbruch|Kettenbrüchen]], erhalten so eine Anwendung bei der Annäherung reiner Intervalle in gleichstufigen Temperamenten.

== Verweise ==
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Cent_%28Musik%29|Cent (Musik) - Wikipedia]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Cent&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Das &amp;lt;strong&amp;gt;Cent&amp;lt;/strong&amp;gt; ist eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ma%C3%9Feinheit"&amp;gt;Maßeinheit&amp;lt;/a&amp;gt; für die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Distanz"&amp;gt;Distanz&amp;lt;/a&amp;gt; musikalischer Intervalle. Die Einheit ist als 100-stel des  Halbtonschritts in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12-EDO&amp;lt;/a&amp;gt; festgelegt. So entsprechen 1200 Cent einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt;. Ein Cent ist ein so kleines Intervall, dass zwei Tonhöhen mit genau dieser Distanz von den meisten Menschen als vollkommen gleich wahrgenommen werden; deshalb werden bei Centangaben in der klassischen Musik Angaben ohne Nachkommastellen verwendet.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Ist ein Intervall q als Frequenzverhältnis bzw. Frequenzfaktor gegeben, so entspricht dies 1200 * log&amp;lt;span style="vertical-align: sub;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;(q) Cent.&amp;lt;br /&amp;gt;
Da man mit vielen Taschenrechnern den Logarithmus zur Basis 2 nicht direkt berechnen kann, bietet sich in der Praxis oft eher die Formel 1200 * log(q)/log(2) Cent an, wobei &amp;lt;em&amp;gt;log&amp;lt;/em&amp;gt; der Logarithmus zu einer beliebigen (aber festen) Basis ist. Berechnet man mehrere Cent-Werte in Folge, so bietet es sich an, den Wert 1200/log(2) zwischenzuspeichern, so dass nur noch log(q) berechnet werden muss, und anschließend mit dem zwischengespeicherten Wert multipliziert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Beispiel:&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Cent-Darstellung zu 9/8 lässt sich als 1200 * log(9/8)/log(2) ≈ 203.9 Cent berechnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Alternativ kann man auch erst x = 1200/log(2) zwischenspeichern (~ 3986 bei Zehnerlogarithmus), und anschließend muss nur noch log(9/8) * x berechnet werden, um die Darstellung in Cent zu erhalten.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Alternative Definition: 1 Cent = 1\1200 (i.e. 1/1200 Oktave)&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Vor- und Nachteile gegenüber Darstellung als Frequenzverhältnisse"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Vor- und Nachteile gegenüber Darstellung als Frequenzverhältnisse&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Cent-Werte haben gegenüber der Darstellung von Intervallen als Frequenzverhältnisse ein paar Vorteile:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Größe eines Intervals ist direkt ersichtlich&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Statt Intervalle in Frequenzdarstellung zu multiplizieren, kann man einfach deren Cent-Werte addieren&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Cent-Werte lassen sich sehr einfach zu Intervallen berechnen, die auf gleichstufiger Oktavteilung basieren&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispiele und Erläuterungen dazu:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;In der Frequenzverhältnisdarstellung ist nur schwer erkennbar, wie groß 7/4, 9/5 und 16/9 im Verhältnis zueinander sind. Dies wird allerdings direkt ersichtlich, wenn man weiß dass 7/4 ≈ 968.8 Cent, 9/5 ≈ 1017.6 Cent, und 16/9 ≈ 996.1 Cent entspricht&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dass eine große Terz 5/4 und eine kleine Terz 6/5 zusammen eine reine Quinte 3/2 ergeben, lässt sich in der Frequenzverhältnisdarstellung als Multiplikation ausdrücken: 5/4 * 6/5 = 3/2. In der Cent-Darstellung dagegen kann man dies durch eine einfache Addition ausdrücken: 386.3 Cent + 315.6 Cent ≈ 702.0 Cent. (würde man hier nicht runden, so hätte man tatsächlich eine Gleichung; so ergibt sich ein kleiner Rundungsfehler)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Hat man ein Intervall, das x Schritten in einer N-stufigen Stimmung entspricht, so lässt sich die Cent-Darstellung als 1200 * x/N berechnen. Z.B. entsprechen 7 Schritte in der zwölfstufigen Stimmung 1200 * 7/12 = 700 Cent, und 5 Schritte in der 19-stufigen Stimmung 1200 * 5/19 = 315.8 Cent. Alternativ kann man sich auch merken, dass x/N die Darstellung des Intervals in Oktaven ist, und eine Oktave 1200 Cent entspricht&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein Nachteil gegenüber der Darstellung als Frequenzverhältnis ist, dass eine harmonische Interpretation erschwert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
Außerdem hat die Cent-Darstellung ganzzahliger Frequenzverhältnisse (mit Ausnahme von Oktaven und deren Vielfachen) in jedem Fall unendlich viele Nachkommastellen, da es sich um irrationale Werte handelt, was für die Praxis bedeutet, dass gerundet werden muss.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Umgekehrt erscheinen Intervalle von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;gleichstufigen Temperamenten&amp;lt;/a&amp;gt;, in der Frequenzverhältnisdarstellung durchwegs irrational, in der Centdarstellung immer als rationale Zahlen. Mathematische Verfahren zur Annäherung irrationaler Zahlen durch rationale, etwa mittels &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Kettenbruch"&amp;gt;Kettenbrüchen&amp;lt;/a&amp;gt;, erhalten so eine Anwendung bei der Annäherung reiner Intervalle in gleichstufigen Temperamenten.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Verweise"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt; Verweise &amp;lt;/h2&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Cent_%28Musik%29" rel="nofollow"&amp;gt;Cent (Musik) - Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: This revision was by author [[User:Gedankenwelt|Gedankenwelt]] and made on &lt;tt&gt;2013-04-30 15:39:58 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;//Cent// ist eine [[Maßeinheit]] für die [[Distanz]] musikalischer Intervalle. Die Einheit ist so gewählt, dass 100 Cent genau einem zwölfstufigen Halbtonschritt entsprechen, während 1200 Cent einer [[Oktave]] entsprechen. 1 Cent entspricht 1/100 eines zwölfstufigen Halbtons, oder einem Schritt in der 1200-stufigen Stimmung.

==Exakte Definition und praktische Berechnung== 
Ist ein Intervall q als Frequenzverhältnis bzw. Frequenzfaktor gegeben, so entspricht dies 1200 * log&amp;lt;span style="vertical-align: sub;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;(q) Cent.
Da man mit vielen Taschenrechnern den Logarithmus zur Basis 2 nicht direkt berechnen kann, bietet sich in der Praxis oft eher die Formel 1200 * log(q)/log(2) Cent an, wobei //log// der Logarithmus zu einer beliebigen (aber festen) Basis ist. Berechnet man mehrere Cent-Werte in Folge, so bietet es sich an, den Wert 1200/log(2) zwischenzuspeichern, so dass nur noch log(q) berechnet werden muss, und anschließend mit dem zwischengespeicherten Wert multipliziert wird.

Beispiel:
Die Cent-Darstellung zu 9/8 lässt sich als 1200 * log(9/8)/log(2) ≈ 203.9 Cent berechnen.
Alternativ kann man auch erst x = 1200/log(2) zwischenspeichern (~ 3986 bei Zehnerlogarithmus), und anschließend muss nur noch log(9/8) * x berechnet werden, um die Darstellung in Cent zu erhalten.

Alternative Definition: 1 Cent = 1\1200 (i.e. 1/1200 Oktave)

==Vor- und Nachteile gegenüber Darstellung als Frequenzverhältnisse== 
Cent-Werte haben gegenüber der Darstellung von Intervallen als Frequenzverhältnisse ein paar Vorteile:
# Die Größe eines Intervals ist direkt ersichtlich
# Statt Intervalle in Frequenzdarstellung zu multiplizieren, kann man einfach deren Cent-Werte addieren
# Cent-Werte lassen sich sehr einfach zu Intervallen berechnen, die auf gleichstufiger Oktavteilung basieren

Beispiele und Erläuterungen dazu:
# In der Frequenzverhältnisdarstellung ist nur schwer erkennbar, wie groß 7/4, 9/5 und 16/9 im Verhältnis zueinander sind. Dies wird allerdings direkt ersichtlich, wenn man weiß dass 7/4 ≈ 968.8 Cent, 9/5 ≈ 1017.6 Cent, und 16/9 ≈ 996.1 Cent entspricht
# Dass eine große Terz 5/4 und eine kleine Terz 6/5 zusammen eine reine Quinte 3/2 ergeben, lässt sich in der Frequenzverhältnisdarstellung als Multiplikation ausdrücken: 5/4 * 6/5 = 3/2. In der Cent-Darstellung dagegen kann man dies durch eine einfache Addition ausdrücken: 386.3 Cent + 315.6 Cent ≈ 702.0 Cent. (würde man hier nicht runden, so hätte man tatsächlich eine Gleichung; so ergibt sich ein kleiner Rundungsfehler)
# Hat man ein Intervall, das x Schritten in einer N-stufigen Stimmung entspricht, so lässt sich die Cent-Darstellung als 1200 * x/N berechnen. Z.B. entsprechen 7 Schritte in der zwölfstufigen Stimmung 1200 * 7/12 = 700 Cent, und 5 Schritte in der 19-stufigen Stimmung 1200 * 5/19 = 315.8 Cent. Alternativ kann man sich auch merken, dass x/N die Darstellung des Intervals in Oktaven ist, und eine Oktave 1200 Cent entspricht

Ein Nachteil gegenüber der Darstellung als Frequenzverhältnis ist, dass eine harmonische Interpretation erschwert wird.
Außerdem hat die Cent-Darstellung ganzzahliger Frequenzverhältnisse (mit Ausnahme von Oktaven und deren Vielfachen) in jedem Fall unendlich viele Nachkommastellen, da es sich um irrationale Werte handelt, was für die Praxis bedeutet, dass gerundet werden muss.

Umgekehrt erscheinen Intervalle von [[edo|gleichstufigen Temperamenten]], in der Frequenzverhältnisdarstellung durchwegs irrational, in der Centdarstellung immer als rationale Zahlen. Mathematische Verfahren zur Annäherung irrationaler Zahlen durch rationale, etwa mittels [[Kettenbruch|Kettenbrüchen]], erhalten so eine Anwendung bei der Annäherung reiner Intervalle in gleichstufigen Temperamenten.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Cent&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;Cent&amp;lt;/em&amp;gt; ist eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ma%C3%9Feinheit"&amp;gt;Maßeinheit&amp;lt;/a&amp;gt; für die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Distanz"&amp;gt;Distanz&amp;lt;/a&amp;gt; musikalischer Intervalle. Die Einheit ist so gewählt, dass 100 Cent genau einem zwölfstufigen Halbtonschritt entsprechen, während 1200 Cent einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt; entsprechen. 1 Cent entspricht 1/100 eines zwölfstufigen Halbtons, oder einem Schritt in der 1200-stufigen Stimmung.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Ist ein Intervall q als Frequenzverhältnis bzw. Frequenzfaktor gegeben, so entspricht dies 1200 * log&amp;lt;span style="vertical-align: sub;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;(q) Cent.&amp;lt;br /&amp;gt;
Da man mit vielen Taschenrechnern den Logarithmus zur Basis 2 nicht direkt berechnen kann, bietet sich in der Praxis oft eher die Formel 1200 * log(q)/log(2) Cent an, wobei &amp;lt;em&amp;gt;log&amp;lt;/em&amp;gt; der Logarithmus zu einer beliebigen (aber festen) Basis ist. Berechnet man mehrere Cent-Werte in Folge, so bietet es sich an, den Wert 1200/log(2) zwischenzuspeichern, so dass nur noch log(q) berechnet werden muss, und anschließend mit dem zwischengespeicherten Wert multipliziert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispiel:&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Cent-Darstellung zu 9/8 lässt sich als 1200 * log(9/8)/log(2) ≈ 203.9 Cent berechnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Alternativ kann man auch erst x = 1200/log(2) zwischenspeichern (~ 3986 bei Zehnerlogarithmus), und anschließend muss nur noch log(9/8) * x berechnet werden, um die Darstellung in Cent zu erhalten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Alternative Definition: 1 Cent = 1\1200 (i.e. 1/1200 Oktave)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Beispiele und Erläuterungen dazu:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;In der Frequenzverhältnisdarstellung ist nur schwer erkennbar, wie groß 7/4, 9/5 und 16/9 im Verhältnis zueinander sind. Dies wird allerdings direkt ersichtlich, wenn man weiß dass 7/4 ≈ 968.8 Cent, 9/5 ≈ 1017.6 Cent, und 16/9 ≈ 996.1 Cent entspricht&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dass eine große Terz 5/4 und eine kleine Terz 6/5 zusammen eine reine Quinte 3/2 ergeben, lässt sich in der Frequenzverhältnisdarstellung als Multiplikation ausdrücken: 5/4 * 6/5 = 3/2. In der Cent-Darstellung dagegen kann man dies durch eine einfache Addition ausdrücken: 386.3 Cent + 315.6 Cent ≈ 702.0 Cent. (würde man hier nicht runden, so hätte man tatsächlich eine Gleichung; so ergibt sich ein kleiner Rundungsfehler)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Hat man ein Intervall, das x Schritten in einer N-stufigen Stimmung entspricht, so lässt sich die Cent-Darstellung als 1200 * x/N berechnen. Z.B. entsprechen 7 Schritte in der zwölfstufigen Stimmung 1200 * 7/12 = 700 Cent, und 5 Schritte in der 19-stufigen Stimmung 1200 * 5/19 = 315.8 Cent. Alternativ kann man sich auch merken, dass x/N die Darstellung des Intervals in Oktaven ist, und eine Oktave 1200 Cent entspricht&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein Nachteil gegenüber der Darstellung als Frequenzverhältnis ist, dass eine harmonische Interpretation erschwert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
Außerdem hat die Cent-Darstellung ganzzahliger Frequenzverhältnisse (mit Ausnahme von Oktaven und deren Vielfachen) in jedem Fall unendlich viele Nachkommastellen, da es sich um irrationale Werte handelt, was für die Praxis bedeutet, dass gerundet werden muss.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Umgekehrt erscheinen Intervalle von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;gleichstufigen Temperamenten&amp;lt;/a&amp;gt;, in der Frequenzverhältnisdarstellung durchwegs irrational, in der Centdarstellung immer als rationale Zahlen. Mathematische Verfahren zur Annäherung irrationaler Zahlen durch rationale, etwa mittels &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Kettenbruch"&amp;gt;Kettenbrüchen&amp;lt;/a&amp;gt;, erhalten so eine Anwendung bei der Annäherung reiner Intervalle in gleichstufigen Temperamenten.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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//Cent// ist eine [[Maßeinheit]] für die [[Distanz]] musikalische Intervalle. Die Einheit ist so gewählt, dass 100 Cent genau einem zwölfstufigen Halbtonschritt entsprechen, während 1200 Cent einer [[Oktave]] entsprechen. 1 Cent entspricht 1/100 eines zwölfstufigen Halbtons, oder einem Schritt in der 1200-stufigen Stimmung.

==Exakte Definition und praktische Berechnung== 
Ist ein Intervall q als Frequenzverhältnis bzw. Frequenzfaktor gegeben, so entspricht dies 1200 * log&amp;lt;span style="vertical-align: sub;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;(q) Cent.
Da man mit vielen Taschenrechnern den Logarithmus zur Basis 2 nicht direkt berechnen kann, bietet sich in der Praxis oft eher die Formel 1200 * log(q)/log(2) Cent an, wobei //log// der Logarithmus zu einer beliebigen (aber festen) Basis ist. Berechnet man mehrere Cent-Werte in Folge, so bietet es sich an, den Wert 1200/log(2) zwischenzuspeichern, so dass nur noch log(q) berechnet werden muss, und anschließend mit dem zwischengespeicherten Wert multipliziert wird.

Beispiel:
Die Cent-Darstellung zu 9/8 lässt sich als 1200 * log(9/8)/log(2) ≈ 203.9 Cent berechnen.
Alternativ kann man auch erst x = 1200/log(2) zwischenspeichern (~ 3986 bei Zehnerlogarithmus), und anschließend muss nur noch log(9/8) * x berechnet werden, um die Darstellung in Cent zu erhalten.

Alternative Definition: 1 Cent = 1\1200 (i.e. 1/1200 Oktave)

==Vor- und Nachteile gegenüber Darstellung als Frequenzverhältnisse== 
Cent-Werte haben gegenüber der Darstellung von Intervallen als Frequenzverhältnisse ein paar Vorteile:
# Die Größe eines Intervals ist direkt ersichtlich
# Statt Intervalle in Frequenzdarstellung zu multiplizieren, kann man einfach deren Cent-Werte addieren
# Cent-Werte lassen sich sehr einfach zu Intervallen berechnen, die auf gleichstufiger Oktavteilung basieren

Beispiele und Erläuterungen dazu:
# In der Frequenzverhältnisdarstellung ist nur schwer erkennbar, wie groß 7/4, 9/5 und 16/9 im Verhältnis zueinander sind. Dies wird allerdings direkt ersichtlich, wenn man weiß dass 7/4 ≈ 968.8 Cent, 9/5 ≈ 1017.6 Cent, und 16/9 ≈ 996.1 Cent entspricht
# Dass eine große Terz 5/4 und eine kleine Terz 6/5 zusammen eine reine Quinte 3/2 ergeben, lässt sich in der Frequenzverhältnisdarstellung als Multiplikation ausdrücken: 5/4 * 6/5 = 3/2. In der Cent-Darstellung dagegen kann man dies durch eine einfache Addition ausdrücken: 386.3 Cent + 315.6 Cent ≈ 702.0 Cent. (würde man hier nicht runden, so hätte man tatsächlich eine Gleichung; so ergibt sich ein kleiner Rundungsfehler)
# Hat man ein Intervall, das x Schritten in einer N-stufigen Stimmung entspricht, so lässt sich die Cent-Darstellung als 1200 * x/N berechnen. Z.B. entsprechen 7 Schritte in der zwölfstufigen Stimmung 1200 * 7/12 = 700 Cent, und 5 Schritte in der 19-stufigen Stimmung 1200 * 5/19 = 315.8 Cent. Alternativ kann man sich auch merken, dass x/N die Darstellung des Intervals in Oktaven ist, und eine Oktave 1200 Cent entspricht

Ein Nachteil gegenüber der Darstellung als Frequenzverhältnis ist, dass eine harmonische Interpretation erschwert wird.
Außerdem hat die Cent-Darstellung ganzzahliger Frequenzverhältnisse (mit Ausnahme von Oktaven und deren Vielfachen) in jedem Fall unendlich viele Nachkommastellen, da es sich um irrationale Werte handelt, was für die Praxis bedeutet, dass gerundet werden muss.

Umgekehrt erscheinen Intervalle von [[edo|gleichstufigen Temperamenten]], in der Frequenzverhältnisdarstellung durchwegs irrational, in der Centdarstellung immer als rationale Zahlen. Mathematische Verfahren zur Annäherung irrationaler Zahlen durch rationale, etwa mittels [[Kettenbruch|Kettenbrüchen]], erhalten so eine Anwendung bei der Annäherung reiner Intervalle in gleichstufigen Temperamenten.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Cent-Exakte Definition und praktische Berechnung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Exakte Definition und praktische Berechnung&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Ist ein Intervall q als Frequenzverhältnis bzw. Frequenzfaktor gegeben, so entspricht dies 1200 * log&amp;lt;span style="vertical-align: sub;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;(q) Cent.&amp;lt;br /&amp;gt;
Da man mit vielen Taschenrechnern den Logarithmus zur Basis 2 nicht direkt berechnen kann, bietet sich in der Praxis oft eher die Formel 1200 * log(q)/log(2) Cent an, wobei &amp;lt;em&amp;gt;log&amp;lt;/em&amp;gt; der Logarithmus zu einer beliebigen (aber festen) Basis ist. Berechnet man mehrere Cent-Werte in Folge, so bietet es sich an, den Wert 1200/log(2) zwischenzuspeichern, so dass nur noch log(q) berechnet werden muss, und anschließend mit dem zwischengespeicherten Wert multipliziert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Beispiel:&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Cent-Darstellung zu 9/8 lässt sich als 1200 * log(9/8)/log(2) ≈ 203.9 Cent berechnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Alternativ kann man auch erst x = 1200/log(2) zwischenspeichern (~ 3986 bei Zehnerlogarithmus), und anschließend muss nur noch log(9/8) * x berechnet werden, um die Darstellung in Cent zu erhalten.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Alternative Definition: 1 Cent = 1\1200 (i.e. 1/1200 Oktave)&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Cent-Vor- und Nachteile gegenüber Darstellung als Frequenzverhältnisse"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Vor- und Nachteile gegenüber Darstellung als Frequenzverhältnisse&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Cent-Werte haben gegenüber der Darstellung von Intervallen als Frequenzverhältnisse ein paar Vorteile:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Größe eines Intervals ist direkt ersichtlich&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Statt Intervalle in Frequenzdarstellung zu multiplizieren, kann man einfach deren Cent-Werte addieren&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Cent-Werte lassen sich sehr einfach zu Intervallen berechnen, die auf gleichstufiger Oktavteilung basieren&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispiele und Erläuterungen dazu:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;In der Frequenzverhältnisdarstellung ist nur schwer erkennbar, wie groß 7/4, 9/5 und 16/9 im Verhältnis zueinander sind. Dies wird allerdings direkt ersichtlich, wenn man weiß dass 7/4 ≈ 968.8 Cent, 9/5 ≈ 1017.6 Cent, und 16/9 ≈ 996.1 Cent entspricht&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dass eine große Terz 5/4 und eine kleine Terz 6/5 zusammen eine reine Quinte 3/2 ergeben, lässt sich in der Frequenzverhältnisdarstellung als Multiplikation ausdrücken: 5/4 * 6/5 = 3/2. In der Cent-Darstellung dagegen kann man dies durch eine einfache Addition ausdrücken: 386.3 Cent + 315.6 Cent ≈ 702.0 Cent. (würde man hier nicht runden, so hätte man tatsächlich eine Gleichung; so ergibt sich ein kleiner Rundungsfehler)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Hat man ein Intervall, das x Schritten in einer N-stufigen Stimmung entspricht, so lässt sich die Cent-Darstellung als 1200 * x/N berechnen. Z.B. entsprechen 7 Schritte in der zwölfstufigen Stimmung 1200 * 7/12 = 700 Cent, und 5 Schritte in der 19-stufigen Stimmung 1200 * 5/19 = 315.8 Cent. Alternativ kann man sich auch merken, dass x/N die Darstellung des Intervals in Oktaven ist, und eine Oktave 1200 Cent entspricht&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein Nachteil gegenüber der Darstellung als Frequenzverhältnis ist, dass eine harmonische Interpretation erschwert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
Außerdem hat die Cent-Darstellung ganzzahliger Frequenzverhältnisse (mit Ausnahme von Oktaven und deren Vielfachen) in jedem Fall unendlich viele Nachkommastellen, da es sich um irrationale Werte handelt, was für die Praxis bedeutet, dass gerundet werden muss.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Umgekehrt erscheinen Intervalle von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;gleichstufigen Temperamenten&amp;lt;/a&amp;gt;, in der Frequenzverhältnisdarstellung durchwegs irrational, in der Centdarstellung immer als rationale Zahlen. Mathematische Verfahren zur Annäherung irrationaler Zahlen durch rationale, etwa mittels &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Kettenbruch"&amp;gt;Kettenbrüchen&amp;lt;/a&amp;gt;, erhalten so eine Anwendung bei der Annäherung reiner Intervalle in gleichstufigen Temperamenten.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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      <comment>**Imported revision 425225190 - Original comment: **</comment>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-04-22 03:44:11 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;425225190&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;=Cent= 
//Cent// ist eine Einheit für musikalische Intervalle. Die Einheit ist so gewählt, dass 100 Cent genau einem zwölfstufigen Halbtonschritt entsprechen, während 1200 Cent einer Oktave entsprechen. 1 Cent entspricht 1/100 eines zwölfstufigen Halbtons, oder einem Schritt in der 1200-stufigen Stimmung.

==Exakte Definition und praktische Berechnung== 
Ist ein Intervall q als Frequenzverhältnis bzw. Frequenzfaktor gegeben, so entspricht dies 1200 * log&amp;lt;span style="vertical-align: sub;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;(q) Cent.
Da man mit vielen Taschenrechnern den Logarithmus zur Basis 2 nicht direkt berechnen kann, bietet sich in der Praxis oft eher die Formel 1200 * log(q)/log(2) Cent an, wobei //log// der Logarithmus zu einer beliebigen (aber festen) Basis ist. Berechnet man mehrere Cent-Werte in Folge, so bietet es sich an, den Wert 1200/log(2) zwischenzuspeichern, so dass nur noch log(q) berechnet werden muss, und anschließend mit dem zwischengespeicherten Wert multipliziert wird.

Beispiel:
Die Cent-Darstellung zu 9/8 lässt sich als 1200 * log(9/8)/log(2) ≈ 203.9 Cent berechnen.
Alternativ kann man auch erst x = 1200/log(2) zwischenspeichern (~ 3986 bei Zehnerlogarithmus), und anschließend muss nur noch log(9/8) * x berechnet werden, um die Darstellung in Cent zu erhalten.

Alternative Definition: 1 Cent = 1\1200 (i.e. 1/1200 Oktave)

==Vor- und Nachteile gegenüber Darstellung als Frequenzverhältnisse== 
Cent-Werte haben gegenüber der Darstellung von Intervallen als Frequenzverhältnisse ein paar Vorteile:
# Die Größe eines Intervals ist direkt ersichtlich
# Statt Intervalle in Frequenzdarstellung zu multiplizieren, kann man einfach deren Cent-Werte addieren
# Cent-Werte lassen sich sehr einfach zu Intervallen berechnen, die auf gleichstufiger Oktavteilung basieren

Beispiele und Erläuterungen dazu:
# In der Frequenzverhältnisdarstellung ist nur schwer erkennbar, wie groß 7/4, 9/5 und 16/9 im Verhältnis zueinander sind. Dies wird allerdings direkt ersichtlich, wenn man weiß dass 7/4 ≈ 968.8 Cent, 9/5 ≈ 1017.6 Cent, und 16/9 ≈ 996.1 Cent entspricht
# Dass eine große Terz 5/4 und eine kleine Terz 6/5 zusammen eine reine Quinte 3/2 ergeben, lässt sich in der Frequenzverhältnisdarstellung als Multiplikation ausdrücken: 5/4 * 6/5 = 3/2. In der Cent-Darstellung dagegen kann man dies durch eine einfache Addition ausdrücken: 386.3 Cent + 315.6 Cent ≈ 702.0 Cent. (würde man hier nicht runden, so hätte man tatsächlich eine Gleichung; so ergibt sich ein kleiner Rundungsfehler)
# Hat man ein Intervall, das x Schritten in einer N-stufigen Stimmung entspricht, so lässt sich die Cent-Darstellung als 1200 * x/N berechnen. Z.B. entsprechen 7 Schritte in der zwölfstufigen Stimmung 1200 * 7/12 = 700 Cent, und 5 Schritte in der 19-stufigen Stimmung 1200 * 5/19 = 315.8 Cent. Alternativ kann man sich auch merken, dass x/N die Darstellung des Intervals in Oktaven ist, und eine Oktave 1200 Cent entspricht

Ein Nachteil gegenüber der Darstellung als Frequenzverhältnis ist, dass eine harmonische Interpretation erschwert wird.
Außerdem hat die Cent-Darstellung ganzzahliger Frequenzverhältnisse (mit Ausnahme von Oktaven und deren Vielfachen) in jedem Fall unendlich viele Nachkommastellen, da es sich um irrationale Werte handelt, was für die Praxis bedeutet, dass gerundet werden muss.

Umgekehrt erscheinen Intervalle von [[edo|gleichstufigen Temperamenten]], in der Frequenzverhältnisdarstellung durchwegs irrational, in der Centdarstellung immer als rationale Zahlen. Mathematische Verfahren zur Annäherung irrationaler Zahlen durch rationale, etwa mittels [[Kettenbruch|Kettenbrüchen]], erhalten so eine Anwendung bei der Annäherung reiner Intervalle in gleichstufigen Temperamenten.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Ist ein Intervall q als Frequenzverhältnis bzw. Frequenzfaktor gegeben, so entspricht dies 1200 * log&amp;lt;span style="vertical-align: sub;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;(q) Cent.&amp;lt;br /&amp;gt;
Da man mit vielen Taschenrechnern den Logarithmus zur Basis 2 nicht direkt berechnen kann, bietet sich in der Praxis oft eher die Formel 1200 * log(q)/log(2) Cent an, wobei &amp;lt;em&amp;gt;log&amp;lt;/em&amp;gt; der Logarithmus zu einer beliebigen (aber festen) Basis ist. Berechnet man mehrere Cent-Werte in Folge, so bietet es sich an, den Wert 1200/log(2) zwischenzuspeichern, so dass nur noch log(q) berechnet werden muss, und anschließend mit dem zwischengespeicherten Wert multipliziert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispiel:&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Cent-Darstellung zu 9/8 lässt sich als 1200 * log(9/8)/log(2) ≈ 203.9 Cent berechnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Alternativ kann man auch erst x = 1200/log(2) zwischenspeichern (~ 3986 bei Zehnerlogarithmus), und anschließend muss nur noch log(9/8) * x berechnet werden, um die Darstellung in Cent zu erhalten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Alternative Definition: 1 Cent = 1\1200 (i.e. 1/1200 Oktave)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Beispiele und Erläuterungen dazu:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;In der Frequenzverhältnisdarstellung ist nur schwer erkennbar, wie groß 7/4, 9/5 und 16/9 im Verhältnis zueinander sind. Dies wird allerdings direkt ersichtlich, wenn man weiß dass 7/4 ≈ 968.8 Cent, 9/5 ≈ 1017.6 Cent, und 16/9 ≈ 996.1 Cent entspricht&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dass eine große Terz 5/4 und eine kleine Terz 6/5 zusammen eine reine Quinte 3/2 ergeben, lässt sich in der Frequenzverhältnisdarstellung als Multiplikation ausdrücken: 5/4 * 6/5 = 3/2. In der Cent-Darstellung dagegen kann man dies durch eine einfache Addition ausdrücken: 386.3 Cent + 315.6 Cent ≈ 702.0 Cent. (würde man hier nicht runden, so hätte man tatsächlich eine Gleichung; so ergibt sich ein kleiner Rundungsfehler)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Hat man ein Intervall, das x Schritten in einer N-stufigen Stimmung entspricht, so lässt sich die Cent-Darstellung als 1200 * x/N berechnen. Z.B. entsprechen 7 Schritte in der zwölfstufigen Stimmung 1200 * 7/12 = 700 Cent, und 5 Schritte in der 19-stufigen Stimmung 1200 * 5/19 = 315.8 Cent. Alternativ kann man sich auch merken, dass x/N die Darstellung des Intervals in Oktaven ist, und eine Oktave 1200 Cent entspricht&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein Nachteil gegenüber der Darstellung als Frequenzverhältnis ist, dass eine harmonische Interpretation erschwert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
Außerdem hat die Cent-Darstellung ganzzahliger Frequenzverhältnisse (mit Ausnahme von Oktaven und deren Vielfachen) in jedem Fall unendlich viele Nachkommastellen, da es sich um irrationale Werte handelt, was für die Praxis bedeutet, dass gerundet werden muss.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Umgekehrt erscheinen Intervalle von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;gleichstufigen Temperamenten&amp;lt;/a&amp;gt;, in der Frequenzverhältnisdarstellung durchwegs irrational, in der Centdarstellung immer als rationale Zahlen. Mathematische Verfahren zur Annäherung irrationaler Zahlen durch rationale, etwa mittels &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Kettenbruch"&amp;gt;Kettenbrüchen&amp;lt;/a&amp;gt;, erhalten so eine Anwendung bei der Annäherung reiner Intervalle in gleichstufigen Temperamenten.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;xenwolf</username>
        <id>0</id>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-04-22 03:30:18 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;425223042&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;zum Test die Basis 2 tiefgestellt, ich würde aber ld bevorzugen&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;=Cent= 
//Cent// ist eine Einheit für musikalische Intervalle. Die Einheit ist so gewählt, dass 100 Cent genau einem zwölfstufigen Halbtonschritt entsprechen, während 1200 Cent einer Oktave entsprechen. 1 Cent entspricht 1/100 eines zwölfstufigen Halbtons, oder einem Schritt in der 1200-stufigen Stimmung.

==Exakte Definition und praktische Berechnung== 
Ist ein Intervall q als Frequenzverhältnis bzw. Frequenzfaktor gegeben, so entspricht dies 1200 * log&amp;lt;span style="vertical-align: sub;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;(q) Cent.
Da man mit vielen Taschenrechnern den Logarithmus zur Basis 2 nicht direkt berechnen kann, bietet sich in der Praxis oft eher die Formel 1200 * log(q)/log(2) Cent an, wobei //log// der Logarithmus zu einer beliebigen (aber festen) Basis ist. Berechnet man mehrere Cent-Werte in Folge, so bietet es sich an, den Wert 1200/log(2) zwischenzuspeichern, so dass nur noch log(q) berechnet werden muss, und anschließend mit dem zwischengespeicherten Wert multipliziert wird.

Beispiel:
Die Cent-Darstellung zu 9/8 lässt sich als 1200 * log(9/8)/log(2) ≈ 203.9 Cent berechnen.
Alternativ kann man auch erst x = 1200/log(2) zwischenspeichern (~ 3986 bei Zehnerlogarithmus), und anschließend muss nur noch log(9/8) * x berechnet werden, um die Darstellung in Cent zu erhalten.

Alternative Definition: 1 Cent = 1\1200 (i.e. 1/1200 Oktave)

==Vor- und Nachteile gegenüber Darstellung als Frequenzverhältnisse== 
Cent-Werte haben gegenüber der Darstellung von Intervallen als Frequenzverhältnisse ein paar Vorteile:
# Die Größe eines Intervals ist direkt ersichtlich
# Statt Intervalle in Frequenzdarstellung zu multiplizieren, kann man einfach deren Cent-Werte addieren
# Cent-Werte lassen sich sehr einfach zu Intervallen berechnen, die auf gleichstufiger Oktavteilung basieren

Beispiele und Erläuterungen dazu:
# In der Frequenzverhältnisdarstellung ist nur schwer erkennbar, wie groß 7/4, 9/5 und 16/9 im Verhältnis zueinander sind. Dies wird allerdings direkt ersichtlich, wenn man weiß dass 7/4 ≈ 968.8 Cent, 9/5 ≈ 1017.6 Cent, und 16/9 ≈ 996.1 Cent entspricht
# Dass eine große Terz 5/4 und eine kleine Terz 6/5 zusammen eine reine Quinte 3/2 ergeben, lässt sich in der Frequenzverhältnisdarstellung als Multiplikation ausdrücken: 5/4 * 6/5 = 3/2. In der Cent-Darstellung dagegen kann man dies durch eine einfache Addition ausdrücken: 386.3 Cent + 315.6 Cent ≈ 702.0 Cent. (würde man hier nicht runden, so hätte man tatsächlich eine Gleichung; so ergibt sich ein kleiner Rundungsfehler)
# Hat man ein Intervall, das x Schritten in einer N-stufigen Stimmung entspricht, so lässt sich die Cent-Darstellung als 1200 * x/N berechnen. Z.B. entsprechen 7 Schritte in der zwölfstufigen Stimmung 1200 * 7/12 = 700 Cent, und 5 Schritte in der 19-stufigen Stimmung 1200 * 5/19 = 315.8 Cent. Alternativ kann man sich auch merken, dass x/N die Darstellung des Intervals in Oktaven ist, und eine Oktave 1200 Cent entspricht

Ein Nachteil gegenüber der Darstellung als Frequenzverhältnis ist, dass eine harmonische Interpretation erschwert wird.
Außerdem hat die Cent-Darstellung ganzzahliger Frequenzverhältnisse (mit Ausnahme von Oktaven und deren Vielfachen) in jedem Fall unendlich viele Nachkommastellen, da es sich um irrationale Werte handelt, was für die Praxis bedeutet, dass gerundet werden muss.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Cent&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Cent"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Cent&amp;lt;/h1&amp;gt;
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 Ist ein Intervall q als Frequenzverhältnis bzw. Frequenzfaktor gegeben, so entspricht dies 1200 * log&amp;lt;span style="vertical-align: sub;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;(q) Cent.&amp;lt;br /&amp;gt;
Da man mit vielen Taschenrechnern den Logarithmus zur Basis 2 nicht direkt berechnen kann, bietet sich in der Praxis oft eher die Formel 1200 * log(q)/log(2) Cent an, wobei &amp;lt;em&amp;gt;log&amp;lt;/em&amp;gt; der Logarithmus zu einer beliebigen (aber festen) Basis ist. Berechnet man mehrere Cent-Werte in Folge, so bietet es sich an, den Wert 1200/log(2) zwischenzuspeichern, so dass nur noch log(q) berechnet werden muss, und anschließend mit dem zwischengespeicherten Wert multipliziert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispiel:&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Cent-Darstellung zu 9/8 lässt sich als 1200 * log(9/8)/log(2) ≈ 203.9 Cent berechnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Alternativ kann man auch erst x = 1200/log(2) zwischenspeichern (~ 3986 bei Zehnerlogarithmus), und anschließend muss nur noch log(9/8) * x berechnet werden, um die Darstellung in Cent zu erhalten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Alternative Definition: 1 Cent = 1\1200 (i.e. 1/1200 Oktave)&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Cent-Werte haben gegenüber der Darstellung von Intervallen als Frequenzverhältnisse ein paar Vorteile:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Größe eines Intervals ist direkt ersichtlich&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Statt Intervalle in Frequenzdarstellung zu multiplizieren, kann man einfach deren Cent-Werte addieren&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Cent-Werte lassen sich sehr einfach zu Intervallen berechnen, die auf gleichstufiger Oktavteilung basieren&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispiele und Erläuterungen dazu:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;In der Frequenzverhältnisdarstellung ist nur schwer erkennbar, wie groß 7/4, 9/5 und 16/9 im Verhältnis zueinander sind. Dies wird allerdings direkt ersichtlich, wenn man weiß dass 7/4 ≈ 968.8 Cent, 9/5 ≈ 1017.6 Cent, und 16/9 ≈ 996.1 Cent entspricht&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dass eine große Terz 5/4 und eine kleine Terz 6/5 zusammen eine reine Quinte 3/2 ergeben, lässt sich in der Frequenzverhältnisdarstellung als Multiplikation ausdrücken: 5/4 * 6/5 = 3/2. In der Cent-Darstellung dagegen kann man dies durch eine einfache Addition ausdrücken: 386.3 Cent + 315.6 Cent ≈ 702.0 Cent. (würde man hier nicht runden, so hätte man tatsächlich eine Gleichung; so ergibt sich ein kleiner Rundungsfehler)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Hat man ein Intervall, das x Schritten in einer N-stufigen Stimmung entspricht, so lässt sich die Cent-Darstellung als 1200 * x/N berechnen. Z.B. entsprechen 7 Schritte in der zwölfstufigen Stimmung 1200 * 7/12 = 700 Cent, und 5 Schritte in der 19-stufigen Stimmung 1200 * 5/19 = 315.8 Cent. Alternativ kann man sich auch merken, dass x/N die Darstellung des Intervals in Oktaven ist, und eine Oktave 1200 Cent entspricht&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein Nachteil gegenüber der Darstellung als Frequenzverhältnis ist, dass eine harmonische Interpretation erschwert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
Außerdem hat die Cent-Darstellung ganzzahliger Frequenzverhältnisse (mit Ausnahme von Oktaven und deren Vielfachen) in jedem Fall unendlich viele Nachkommastellen, da es sich um irrationale Werte handelt, was für die Praxis bedeutet, dass gerundet werden muss.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;Gedankenwelt</username>
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      <comment>**Imported revision 425038002 - Original comment: **</comment>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:Gedankenwelt|Gedankenwelt]] and made on &lt;tt&gt;2013-04-21 11:38:31 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;425038002&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;=Cent= 
//Cent// ist eine Einheit für musikalische Intervalle. Die Einheit ist so gewählt, dass 100 Cent genau einem zwölfstufigen Halbtonschritt entsprechen, während 1200 Cent einer Oktave entsprechen. 1 Cent entspricht 1/100 eines zwölfstufigen Halbtons, oder einem Schritt in der 1200-stufigen Stimmung.

==Exakte Definition und praktische Berechnung== 
Ist ein Intervall q als Frequenzverhältnis bzw. Frequenzfaktor gegeben, so entspricht dies 1200 * log_2(q) Cent.
Da man mit vielen Taschenrechnern den Logarithmus zur Basis 2 nicht direkt berechnen kann, bietet sich in der Praxis oft eher die Formel 1200 * log(q)/log(2) Cent an, wobei //log// der Logarithmus zu einer beliebigen (aber festen) Basis ist. Berechnet man mehrere Cent-Werte in Folge, so bietet es sich an, den Wert 1200/log(2) zwischenzuspeichern, so dass nur noch log(q) berechnet werden muss, und anschließend mit dem zwischengespeicherten Wert multipliziert wird.

Beispiel:
Die Cent-Darstellung zu 9/8 lässt sich als 1200 * log(9/8)/log(2) ≈ 203.9 Cent berechnen.
Alternativ kann man auch erst x = 1200/log(2) zwischenspeichern (~ 3986 bei Zehnerlogarithmus), und anschließend muss nur noch log(9/8) * x berechnet werden, um die Darstellung in Cent zu erhalten.

Alternative Definition: 1 Cent = 1\1200 (i.e. 1/1200 Oktave)

==Vor- und Nachteile gegenüber Darstellung als Frequenzverhältnisse== 
Cent-Werte haben gegenüber der Darstellung von Intervallen als Frequenzverhältnisse ein paar Vorteile:
# Die Größe eines Intervals ist direkt ersichtlich
# Statt Intervalle in Frequenzdarstellung zu multiplizieren, kann man einfach deren Cent-Werte addieren
# Cent-Werte lassen sich sehr einfach zu Intervallen berechnen, die auf gleichstufiger Oktavteilung basieren

Beispiele und Erläuterungen dazu:
# In der Frequenzverhältnisdarstellung ist nur schwer erkennbar, wie groß 7/4, 9/5 und 16/9 im Verhältnis zueinander sind. Dies wird allerdings direkt ersichtlich, wenn man weiß dass 7/4 ≈ 968.8 Cent, 9/5 ≈ 1017.6 Cent, und 16/9 ≈ 996.1 Cent entspricht
# Dass eine große Terz 5/4 und eine kleine Terz 6/5 zusammen eine reine Quinte 3/2 ergeben, lässt sich in der Frequenzverhältnisdarstellung als Multiplikation ausdrücken: 5/4 * 6/5 = 3/2. In der Cent-Darstellung dagegen kann man dies durch eine einfache Addition ausdrücken: 386.3 Cent + 315.6 Cent ≈ 702.0 Cent. (würde man hier nicht runden, so hätte man tatsächlich eine Gleichung; so ergibt sich ein kleiner Rundungsfehler)
# Hat man ein Intervall, das x Schritten in einer N-stufigen Stimmung entspricht, so lässt sich die Cent-Darstellung als 1200 * x/N berechnen. Z.B. entsprechen 7 Schritte in der zwölfstufigen Stimmung 1200 * 7/12 = 700 Cent, und 5 Schritte in der 19-stufigen Stimmung 1200 * 5/19 = 315.8 Cent. Alternativ kann man sich auch merken, dass x/N die Darstellung des Intervals in Oktaven ist, und eine Oktave 1200 Cent entspricht

Ein Nachteil gegenüber der Darstellung als Frequenzverhältnis ist, dass eine harmonische Interpretation erschwert wird.
Außerdem hat die Cent-Darstellung ganzzahliger Frequenzverhältnisse (mit Ausnahme von Oktaven und deren Vielfachen) in jedem Fall unendlich viele Nachkommastellen, da es sich um irrationale Werte handelt, was für die Praxis bedeutet, dass gerundet werden muss.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Cent-Exakte Definition und praktische Berechnung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Exakte Definition und praktische Berechnung&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Ist ein Intervall q als Frequenzverhältnis bzw. Frequenzfaktor gegeben, so entspricht dies 1200 * log_2(q) Cent.&amp;lt;br /&amp;gt;
Da man mit vielen Taschenrechnern den Logarithmus zur Basis 2 nicht direkt berechnen kann, bietet sich in der Praxis oft eher die Formel 1200 * log(q)/log(2) Cent an, wobei &amp;lt;em&amp;gt;log&amp;lt;/em&amp;gt; der Logarithmus zu einer beliebigen (aber festen) Basis ist. Berechnet man mehrere Cent-Werte in Folge, so bietet es sich an, den Wert 1200/log(2) zwischenzuspeichern, so dass nur noch log(q) berechnet werden muss, und anschließend mit dem zwischengespeicherten Wert multipliziert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispiel:&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Cent-Darstellung zu 9/8 lässt sich als 1200 * log(9/8)/log(2) ≈ 203.9 Cent berechnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Alternativ kann man auch erst x = 1200/log(2) zwischenspeichern (~ 3986 bei Zehnerlogarithmus), und anschließend muss nur noch log(9/8) * x berechnet werden, um die Darstellung in Cent zu erhalten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Alternative Definition: 1 Cent = 1\1200 (i.e. 1/1200 Oktave)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Cent-Vor- und Nachteile gegenüber Darstellung als Frequenzverhältnisse"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Vor- und Nachteile gegenüber Darstellung als Frequenzverhältnisse&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Cent-Werte haben gegenüber der Darstellung von Intervallen als Frequenzverhältnisse ein paar Vorteile:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Größe eines Intervals ist direkt ersichtlich&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Statt Intervalle in Frequenzdarstellung zu multiplizieren, kann man einfach deren Cent-Werte addieren&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Cent-Werte lassen sich sehr einfach zu Intervallen berechnen, die auf gleichstufiger Oktavteilung basieren&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispiele und Erläuterungen dazu:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;In der Frequenzverhältnisdarstellung ist nur schwer erkennbar, wie groß 7/4, 9/5 und 16/9 im Verhältnis zueinander sind. Dies wird allerdings direkt ersichtlich, wenn man weiß dass 7/4 ≈ 968.8 Cent, 9/5 ≈ 1017.6 Cent, und 16/9 ≈ 996.1 Cent entspricht&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dass eine große Terz 5/4 und eine kleine Terz 6/5 zusammen eine reine Quinte 3/2 ergeben, lässt sich in der Frequenzverhältnisdarstellung als Multiplikation ausdrücken: 5/4 * 6/5 = 3/2. In der Cent-Darstellung dagegen kann man dies durch eine einfache Addition ausdrücken: 386.3 Cent + 315.6 Cent ≈ 702.0 Cent. (würde man hier nicht runden, so hätte man tatsächlich eine Gleichung; so ergibt sich ein kleiner Rundungsfehler)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Hat man ein Intervall, das x Schritten in einer N-stufigen Stimmung entspricht, so lässt sich die Cent-Darstellung als 1200 * x/N berechnen. Z.B. entsprechen 7 Schritte in der zwölfstufigen Stimmung 1200 * 7/12 = 700 Cent, und 5 Schritte in der 19-stufigen Stimmung 1200 * 5/19 = 315.8 Cent. Alternativ kann man sich auch merken, dass x/N die Darstellung des Intervals in Oktaven ist, und eine Oktave 1200 Cent entspricht&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein Nachteil gegenüber der Darstellung als Frequenzverhältnis ist, dass eine harmonische Interpretation erschwert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
Außerdem hat die Cent-Darstellung ganzzahliger Frequenzverhältnisse (mit Ausnahme von Oktaven und deren Vielfachen) in jedem Fall unendlich viele Nachkommastellen, da es sich um irrationale Werte handelt, was für die Praxis bedeutet, dass gerundet werden muss.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Mike Battaglia</username>
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Das '''Cent''' ist eine [[Maßeinheit|Maßeinheit]] für die [[Distanz|Distanz]] musikalischer Intervalle. Die Einheit ist als 100-stel des Halbtonschritts in [[12edo|12-EDO]] festgelegt. So entsprechen 1200 Cent einer [[Oktave|Oktave]]. Ein Cent ist ein so kleines Intervall, dass zwei Tonhöhen mit genau dieser Distanz von den meisten Menschen als vollkommen gleich wahrgenommen werden (zum Test ein Beispiel mit zwei Tönen. Welcher ist höher?)...

[[File:Ein-Cent-bei-400Hz.mp3]]

...deshalb werden bei Centangaben in der klassischen Musik meist Angaben ohne Nachkommastellen verwendet.

==Exakte Definition und praktische Berechnung==
Ist ein Intervall q als Frequenzverhältnis bzw. Frequenzfaktor gegeben, so entspricht dies 1200 * log&lt;span style="font-size: 70%;"&gt;&lt;span style="vertical-align: sub;"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;(q) Cent.

Da man mit vielen Taschenrechnern den Logarithmus zur Basis 2 nicht direkt berechnen kann, bietet sich in der Praxis oft eher die Formel 1200 * log(q)/log(2) Cent an, wobei ''log'' der Logarithmus zu einer beliebigen (aber festen) Basis ist. Berechnet man mehrere Cent-Werte in Folge, so bietet es sich an, den Wert 1200/log(2) zwischenzuspeichern, so dass nur noch log(q) berechnet werden muss, und anschließend mit dem zwischengespeicherten Wert multipliziert wird.

Beispiel:

Die Cent-Darstellung zu 9/8 lässt sich als 1200 * log(9/8)/log(2) ≈ 203.9 Cent berechnen.

Alternativ kann man auch erst x = 1200/log(2) zwischenspeichern (~ 3986 bei Zehnerlogarithmus), und anschließend muss nur noch log(9/8) * x berechnet werden, um die Darstellung in Cent zu erhalten.

Alternative Definition: 1 Cent = 1\1200 (i.e. 1/1200 Oktave)

==Vor- und Nachteile gegenüber Darstellung als Frequenzverhältnisse==
Cent-Werte haben gegenüber der Darstellung von Intervallen als Frequenzverhältnisse ein paar Vorteile:

&lt;ol&gt;&lt;li&gt;Die Größe eines Intervalls ist direkt ersichtlich&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Statt Intervalle in Frequenzdarstellung zu multiplizieren, kann man einfach deren Cent-Werte addieren&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Cent-Werte lassen sich sehr einfach zu Intervallen berechnen, die auf gleichstufiger Oktavteilung basieren&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;

Beispiele und Erläuterungen dazu:

&lt;ol&gt;&lt;li&gt;In der Frequenzverhältnisdarstellung ist nur schwer erkennbar, wie groß 7/4, 9/5 und 16/9 im Verhältnis zueinander sind. Dies wird allerdings direkt ersichtlich, wenn man weiß dass 7/4 ≈ 968.8 Cent, 9/5 ≈ 1017.6 Cent, und 16/9 ≈ 996.1 Cent entspricht&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Dass eine große Terz 5/4 und eine kleine Terz 6/5 zusammen eine reine Quinte 3/2 ergeben, lässt sich in der Frequenzverhältnisdarstellung als Multiplikation ausdrücken: 5/4 * 6/5 = 3/2. In der Cent-Darstellung dagegen kann man dies durch eine einfache Addition ausdrücken: 386.3 Cent + 315.6 Cent ≈ 702.0 Cent. (würde man hier nicht runden, so hätte man tatsächlich eine Gleichung; so ergibt sich ein kleiner [[Rundung|Rundungsfehler]])&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Hat man ein Intervall, das x Schritten in einer N-stufigen Stimmung entspricht, so lässt sich die Cent-Darstellung als 1200 * x/N berechnen. Z.B. entsprechen 7 Schritte in der zwölfstufigen Stimmung 1200 * 7/12 = 700 Cent, und 5 Schritte in der 19-stufigen Stimmung 1200 * 5/19 = 315.8 Cent. Alternativ kann man sich auch merken, dass x/N die Darstellung des Intervals in Oktaven ist, und eine Oktave 1200 Cent entspricht&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;

Ein Nachteil gegenüber der Darstellung als Frequenzverhältnis ist, dass eine harmonische Interpretation erschwert wird.

Außerdem hat die Cent-Darstellung ganzzahliger Frequenzverhältnisse (mit Ausnahme von Oktaven und deren Vielfachen) in jedem Fall unendlich viele Nachkommastellen, da es sich um irrationale Werte handelt, was für die Praxis bedeutet, dass gerundet werden muss.

Umgekehrt erscheinen Intervalle von [[edo|gleichstufigen Temperamenten]], in der Frequenzverhältnisdarstellung durchwegs irrational, in der Centdarstellung immer als rationale Zahlen. Mathematische Verfahren zur Annäherung irrationaler Zahlen durch rationale, etwa mittels [[Kettenbruch|Kettenbrüchen]], erhalten so eine Anwendung bei der Annäherung reiner Intervalle in gleichstufigen Temperamenten.

==Verweise==
&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[http://de.wikipedia.org/wiki/Cent_%28Musik%29 Cent (Musik) - Wikipedia]&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;  [[Category:Distanz]]
[[Category:Intervallmaß]]
[[Category:Mathematik]]
[[Category:Metrik]]
[[Category:Theorie]]</text>
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Das '''Cent''' ist eine [[Maßeinheit|Maßeinheit]] für die [[Distanz|Distanz]] musikalischer Intervalle. Die Einheit ist als 100-stel des Halbtonschritts in [[12edo|12-EDO]] festgelegt. So entsprechen 1200 Cent einer [[Oktave|Oktave]]. Ein Cent ist ein so kleines Intervall, dass zwei Tonhöhen mit genau dieser Distanz von den meisten Menschen als vollkommen gleich wahrgenommen werden (zum Test ein Beispiel mit zwei Tönen. Welcher ist höher?)...

[[File:Ein-Cent-bei-400Hz.mp3]]

...deshalb werden bei Centangaben in der klassischen Musik meist Angaben ohne Nachkommastellen verwendet.

==Exakte Definition und praktische Berechnung==
Ist ein Intervall q als Frequenzverhältnis bzw. Frequenzfaktor gegeben, so entspricht dies 1200 * log&lt;span style="font-size: 70%;"&gt;&lt;span style="vertical-align: sub;"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;(q) Cent.

Da man mit vielen Taschenrechnern den Logarithmus zur Basis 2 nicht direkt berechnen kann, bietet sich in der Praxis oft eher die Formel 1200 * log(q)/log(2) Cent an, wobei ''log'' der Logarithmus zu einer beliebigen (aber festen) Basis ist. Berechnet man mehrere Cent-Werte in Folge, so bietet es sich an, den Wert 1200/log(2) zwischenzuspeichern, so dass nur noch log(q) berechnet werden muss, und anschließend mit dem zwischengespeicherten Wert multipliziert wird.

Beispiel:

Die Cent-Darstellung zu 9/8 lässt sich als 1200 * log(9/8)/log(2) ≈ 203.9 Cent berechnen.

Alternativ kann man auch erst x = 1200/log(2) zwischenspeichern (~ 3986 bei Zehnerlogarithmus), und anschließend muss nur noch log(9/8) * x berechnet werden, um die Darstellung in Cent zu erhalten.

Alternative Definition: 1 Cent = 1\1200 (i.e. 1/1200 Oktave)

==Vor- und Nachteile gegenüber Darstellung als Frequenzverhältnisse==
Cent-Werte haben gegenüber der Darstellung von Intervallen als Frequenzverhältnisse ein paar Vorteile:

&lt;ol&gt;&lt;li&gt;Die Größe eines Intervalls ist direkt ersichtlich&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Statt Intervalle in Frequenzdarstellung zu multiplizieren, kann man einfach deren Cent-Werte addieren&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Cent-Werte lassen sich sehr einfach zu Intervallen berechnen, die auf gleichstufiger Oktavteilung basieren&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;

Beispiele und Erläuterungen dazu:

&lt;ol&gt;&lt;li&gt;In der Frequenzverhältnisdarstellung ist nur schwer erkennbar, wie groß 7/4, 9/5 und 16/9 im Verhältnis zueinander sind. Dies wird allerdings direkt ersichtlich, wenn man weiß dass 7/4 ≈ 968.8 Cent, 9/5 ≈ 1017.6 Cent, und 16/9 ≈ 996.1 Cent entspricht&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Dass eine große Terz 5/4 und eine kleine Terz 6/5 zusammen eine reine Quinte 3/2 ergeben, lässt sich in der Frequenzverhältnisdarstellung als Multiplikation ausdrücken: 5/4 * 6/5 = 3/2. In der Cent-Darstellung dagegen kann man dies durch eine einfache Addition ausdrücken: 386.3 Cent + 315.6 Cent ≈ 702.0 Cent. (würde man hier nicht runden, so hätte man tatsächlich eine Gleichung; so ergibt sich ein kleiner [[Rundung|Rundungsfehler]])&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Hat man ein Intervall, das x Schritten in einer N-stufigen Stimmung entspricht, so lässt sich die Cent-Darstellung als 1200 * x/N berechnen. Z.B. entsprechen 7 Schritte in der zwölfstufigen Stimmung 1200 * 7/12 = 700 Cent, und 5 Schritte in der 19-stufigen Stimmung 1200 * 5/19 = 315.8 Cent. Alternativ kann man sich auch merken, dass x/N die Darstellung des Intervals in Oktaven ist, und eine Oktave 1200 Cent entspricht&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;

Ein Nachteil gegenüber der Darstellung als Frequenzverhältnis ist, dass eine harmonische Interpretation erschwert wird.

Außerdem hat die Cent-Darstellung ganzzahliger Frequenzverhältnisse (mit Ausnahme von Oktaven und deren Vielfachen) in jedem Fall unendlich viele Nachkommastellen, da es sich um irrationale Werte handelt, was für die Praxis bedeutet, dass gerundet werden muss.

Umgekehrt erscheinen Intervalle von [[edo|gleichstufigen Temperamenten]], in der Frequenzverhältnisdarstellung durchwegs irrational, in der Centdarstellung immer als rationale Zahlen. Mathematische Verfahren zur Annäherung irrationaler Zahlen durch rationale, etwa mittels [[Kettenbruch|Kettenbrüchen]], erhalten so eine Anwendung bei der Annäherung reiner Intervalle in gleichstufigen Temperamenten.

==Verweise==
&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[http://de.wikipedia.org/wiki/Cent_%28Musik%29 Cent (Musik) - Wikipedia]&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;  [[Category:Distanz]]
[[Category:Intervallmaß]]
[[Category:Mathematik]]
[[Category:Metrik]]
[[Category:Theorie]]</text>
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Das '''Cent''' ist eine [[Maßeinheit|Maßeinheit]] für die [[Distanz|Distanz]] musikalischer Intervalle. Die Einheit ist als 100-stel des Halbtonschritts in [[12edo|12-EDO]] festgelegt. So entsprechen 1200 Cent einer [[Oktave|Oktave]]. Ein Cent ist ein so kleines Intervall, dass zwei Tonhöhen mit genau dieser Distanz von den meisten Menschen als vollkommen gleich wahrgenommen werden (zum Test ein Beispiel mit zwei Tönen. Welcher ist höher?)...

[[File:Ein-Cent-bei-400Hz.mp3]]

...deshalb werden bei Centangaben in der klassischen Musik meist Angaben ohne Nachkommastellen verwendet.

==Exakte Definition und praktische Berechnung==
Ist ein Intervall q als Frequenzverhältnis bzw. Frequenzfaktor gegeben, so entspricht dies 1200 * log&lt;span style="font-size: 70%;"&gt;&lt;span style="vertical-align: sub;"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;(q) Cent.

Da man mit vielen Taschenrechnern den Logarithmus zur Basis 2 nicht direkt berechnen kann, bietet sich in der Praxis oft eher die Formel 1200 * log(q)/log(2) Cent an, wobei ''log'' der Logarithmus zu einer beliebigen (aber festen) Basis ist. Berechnet man mehrere Cent-Werte in Folge, so bietet es sich an, den Wert 1200/log(2) zwischenzuspeichern, so dass nur noch log(q) berechnet werden muss, und anschließend mit dem zwischengespeicherten Wert multipliziert wird.

Beispiel:

Die Cent-Darstellung zu 9/8 lässt sich als 1200 * log(9/8)/log(2) ≈ 203.9 Cent berechnen.

Alternativ kann man auch erst x = 1200/log(2) zwischenspeichern (~ 3986 bei Zehnerlogarithmus), und anschließend muss nur noch log(9/8) * x berechnet werden, um die Darstellung in Cent zu erhalten.

Alternative Definition: 1 Cent = 1\1200 (i.e. 1/1200 Oktave)

==Vor- und Nachteile gegenüber Darstellung als Frequenzverhältnisse==
Cent-Werte haben gegenüber der Darstellung von Intervallen als Frequenzverhältnisse ein paar Vorteile:

&lt;ol&gt;&lt;li&gt;Die Größe eines Intervalls ist direkt ersichtlich&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Statt Intervalle in Frequenzdarstellung zu multiplizieren, kann man einfach deren Cent-Werte addieren&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Cent-Werte lassen sich sehr einfach zu Intervallen berechnen, die auf gleichstufiger Oktavteilung basieren&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;

Beispiele und Erläuterungen dazu:

&lt;ol&gt;&lt;li&gt;In der Frequenzverhältnisdarstellung ist nur schwer erkennbar, wie groß 7/4, 9/5 und 16/9 im Verhältnis zueinander sind. Dies wird allerdings direkt ersichtlich, wenn man weiß dass 7/4 ≈ 968.8 Cent, 9/5 ≈ 1017.6 Cent, und 16/9 ≈ 996.1 Cent entspricht&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Dass eine große Terz 5/4 und eine kleine Terz 6/5 zusammen eine reine Quinte 3/2 ergeben, lässt sich in der Frequenzverhältnisdarstellung als Multiplikation ausdrücken: 5/4 * 6/5 = 3/2. In der Cent-Darstellung dagegen kann man dies durch eine einfache Addition ausdrücken: 386.3 Cent + 315.6 Cent ≈ 702.0 Cent. (würde man hier nicht runden, so hätte man tatsächlich eine Gleichung; so ergibt sich ein kleiner [[Rundung|Rundungsfehler]])&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Hat man ein Intervall, das x Schritten in einer N-stufigen Stimmung entspricht, so lässt sich die Cent-Darstellung als 1200 * x/N berechnen. Z.B. entsprechen 7 Schritte in der zwölfstufigen Stimmung 1200 * 7/12 = 700 Cent, und 5 Schritte in der 19-stufigen Stimmung 1200 * 5/19 = 315.8 Cent. Alternativ kann man sich auch merken, dass x/N die Darstellung des Intervals in Oktaven ist, und eine Oktave 1200 Cent entspricht&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;

Ein Nachteil gegenüber der Darstellung als Frequenzverhältnis ist, dass eine harmonische Interpretation erschwert wird.

Außerdem hat die Cent-Darstellung ganzzahliger Frequenzverhältnisse (mit Ausnahme von Oktaven und deren Vielfachen) in jedem Fall unendlich viele Nachkommastellen, da es sich um irrationale Werte handelt, was für die Praxis bedeutet, dass gerundet werden muss.

Umgekehrt erscheinen Intervalle von [[edo|gleichstufigen Temperamenten]], in der Frequenzverhältnisdarstellung durchwegs irrational, in der Centdarstellung immer als rationale Zahlen. Mathematische Verfahren zur Annäherung irrationaler Zahlen durch rationale, etwa mittels [[Kettenbruch|Kettenbrüchen]], erhalten so eine Anwendung bei der Annäherung reiner Intervalle in gleichstufigen Temperamenten.

==Verweise==
&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[http://de.wikipedia.org/wiki/Cent_%28Musik%29 Cent (Musik) - Wikipedia]&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;  [[Category:Distanz]]
[[Category:Intervallmaß]]
[[Category:Mathematik]]
[[Category:Metrik]]
[[Category:Theorie]]</text>
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}}
Das '''Cent''' ist eine [[Maßeinheit|Maßeinheit]] für die [[Distanz|Distanz]] musikalischer Intervalle. Die Einheit ist als 100-stel des Halbtonschritts in [[12edo|12-EDO]] festgelegt. So entsprechen 1200 Cent einer [[Oktave|Oktave]]. Ein Cent ist ein so kleines Intervall, dass zwei Tonhöhen mit genau dieser Distanz von den meisten Menschen als vollkommen gleich wahrgenommen werden (zum Test ein Beispiel mit zwei Tönen. Welcher ist höher?)...

[[File:Ein-Cent-bei-400Hz.mp3]]

...deshalb werden bei Centangaben in der klassischen Musik meist Angaben ohne Nachkommastellen verwendet.

==Exakte Definition und praktische Berechnung==
Ist ein Intervall q als Frequenzverhältnis bzw. Frequenzfaktor gegeben, so entspricht dies 1200 * log&lt;span style="font-size: 70%;"&gt;&lt;span style="vertical-align: sub;"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;(q) Cent.

Da man mit vielen Taschenrechnern den Logarithmus zur Basis 2 nicht direkt berechnen kann, bietet sich in der Praxis oft eher die Formel 1200 * log(q)/log(2) Cent an, wobei ''log'' der Logarithmus zu einer beliebigen (aber festen) Basis ist. Berechnet man mehrere Cent-Werte in Folge, so bietet es sich an, den Wert 1200/log(2) zwischenzuspeichern, so dass nur noch log(q) berechnet werden muss, und anschließend mit dem zwischengespeicherten Wert multipliziert wird.

Beispiel:

Die Cent-Darstellung zu 9/8 lässt sich als 1200 * log(9/8)/log(2) ≈ 203.9 Cent berechnen.

Alternativ kann man auch erst x = 1200/log(2) zwischenspeichern (~ 3986 bei Zehnerlogarithmus), und anschließend muss nur noch log(9/8) * x berechnet werden, um die Darstellung in Cent zu erhalten.

Alternative Definition: 1 Cent = 1\1200 (i.e. 1/1200 Oktave)

==Vor- und Nachteile gegenüber Darstellung als Frequenzverhältnisse==
Cent-Werte haben gegenüber der Darstellung von Intervallen als Frequenzverhältnisse ein paar Vorteile:

&lt;ol&gt;&lt;li&gt;Die Größe eines Intervalls ist direkt ersichtlich&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Statt Intervalle in Frequenzdarstellung zu multiplizieren, kann man einfach deren Cent-Werte addieren&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Cent-Werte lassen sich sehr einfach zu Intervallen berechnen, die auf gleichstufiger Oktavteilung basieren&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;

Beispiele und Erläuterungen dazu:

&lt;ol&gt;&lt;li&gt;In der Frequenzverhältnisdarstellung ist nur schwer erkennbar, wie groß 7/4, 9/5 und 16/9 im Verhältnis zueinander sind. Dies wird allerdings direkt ersichtlich, wenn man weiß dass 7/4 ≈ 968.8 Cent, 9/5 ≈ 1017.6 Cent, und 16/9 ≈ 996.1 Cent entspricht&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Dass eine große Terz 5/4 und eine kleine Terz 6/5 zusammen eine reine Quinte 3/2 ergeben, lässt sich in der Frequenzverhältnisdarstellung als Multiplikation ausdrücken: 5/4 * 6/5 = 3/2. In der Cent-Darstellung dagegen kann man dies durch eine einfache Addition ausdrücken: 386.3 Cent + 315.6 Cent ≈ 702.0 Cent. (würde man hier nicht runden, so hätte man tatsächlich eine Gleichung; so ergibt sich ein kleiner [[Rundung|Rundungsfehler]])&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Hat man ein Intervall, das x Schritten in einer N-stufigen Stimmung entspricht, so lässt sich die Cent-Darstellung als 1200 * x/N berechnen. Z.B. entsprechen 7 Schritte in der zwölfstufigen Stimmung 1200 * 7/12 = 700 Cent, und 5 Schritte in der 19-stufigen Stimmung 1200 * 5/19 = 315.8 Cent. Alternativ kann man sich auch merken, dass x/N die Darstellung des Intervals in Oktaven ist, und eine Oktave 1200 Cent entspricht&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;

Ein Nachteil gegenüber der Darstellung als Frequenzverhältnis ist, dass eine harmonische Interpretation erschwert wird.

Außerdem hat die Cent-Darstellung ganzzahliger Frequenzverhältnisse (mit Ausnahme von Oktaven und deren Vielfachen) in jedem Fall unendlich viele Nachkommastellen, da es sich um irrationale Werte handelt, was für die Praxis bedeutet, dass gerundet werden muss.

Umgekehrt erscheinen Intervalle von [[edo|gleichstufigen Temperamenten]], in der Frequenzverhältnisdarstellung durchwegs irrational, in der Centdarstellung immer als rationale Zahlen. Mathematische Verfahren zur Annäherung irrationaler Zahlen durch rationale, etwa mittels [[Kettenbruch|Kettenbrüchen]], erhalten so eine Anwendung bei der Annäherung reiner Intervalle in gleichstufigen Temperamenten.

==Verweise==
&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[http://de.wikipedia.org/wiki/Cent_%28Musik%29 Cent (Musik) - Wikipedia]&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;  [[Category:Distanz]]
[[Category:Intervallmaß]]
[[Category:Mathematik]]
[[Category:Metrik]]
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Das '''Cent''' ist eine [[Maßeinheit|Maßeinheit]] für die [[Distanz|Distanz]] musikalischer Intervalle. Die Einheit ist als 100-stel des Halbtonschritts in [[12edo|12-EDO]] festgelegt. So entsprechen 1200 Cent einer [[Oktave|Oktave]]. Ein Cent ist ein so kleines Intervall, dass zwei Tonhöhen mit genau dieser Distanz von den meisten Menschen als vollkommen gleich wahrgenommen werden (zum Test ein Beispiel mit zwei Tönen. Welcher ist höher?)...

[[File:Ein-Cent-bei-400Hz.mp3]]

...deshalb werden bei Centangaben in der klassischen Musik meist Angaben ohne Nachkommastellen verwendet.

==Exakte Definition und praktische Berechnung==
Ist ein Intervall q als Frequenzverhältnis bzw. Frequenzfaktor gegeben, so entspricht dies 1200 * log&lt;span style="font-size: 70%;"&gt;&lt;span style="vertical-align: sub;"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;(q) Cent.

Da man mit vielen Taschenrechnern den Logarithmus zur Basis 2 nicht direkt berechnen kann, bietet sich in der Praxis oft eher die Formel 1200 * log(q)/log(2) Cent an, wobei ''log'' der Logarithmus zu einer beliebigen (aber festen) Basis ist. Berechnet man mehrere Cent-Werte in Folge, so bietet es sich an, den Wert 1200/log(2) zwischenzuspeichern, so dass nur noch log(q) berechnet werden muss, und anschließend mit dem zwischengespeicherten Wert multipliziert wird.

Beispiel:

Die Cent-Darstellung zu 9/8 lässt sich als 1200 * log(9/8)/log(2) ≈ 203.9 Cent berechnen.

Alternativ kann man auch erst x = 1200/log(2) zwischenspeichern (~ 3986 bei Zehnerlogarithmus), und anschließend muss nur noch log(9/8) * x berechnet werden, um die Darstellung in Cent zu erhalten.

Alternative Definition: 1 Cent = 1\1200 (i.e. 1/1200 Oktave)

==Vor- und Nachteile gegenüber Darstellung als Frequenzverhältnisse==
Cent-Werte haben gegenüber der Darstellung von Intervallen als Frequenzverhältnisse ein paar Vorteile:

&lt;ol&gt;&lt;li&gt;Die Größe eines Intervalls ist direkt ersichtlich&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Statt Intervalle in Frequenzdarstellung zu multiplizieren, kann man einfach deren Cent-Werte addieren&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Cent-Werte lassen sich sehr einfach zu Intervallen berechnen, die auf gleichstufiger Oktavteilung basieren&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;

Beispiele und Erläuterungen dazu:

&lt;ol&gt;&lt;li&gt;In der Frequenzverhältnisdarstellung ist nur schwer erkennbar, wie groß 7/4, 9/5 und 16/9 im Verhältnis zueinander sind. Dies wird allerdings direkt ersichtlich, wenn man weiß dass 7/4 ≈ 968.8 Cent, 9/5 ≈ 1017.6 Cent, und 16/9 ≈ 996.1 Cent entspricht&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Dass eine große Terz 5/4 und eine kleine Terz 6/5 zusammen eine reine Quinte 3/2 ergeben, lässt sich in der Frequenzverhältnisdarstellung als Multiplikation ausdrücken: 5/4 * 6/5 = 3/2. In der Cent-Darstellung dagegen kann man dies durch eine einfache Addition ausdrücken: 386.3 Cent + 315.6 Cent ≈ 702.0 Cent. (würde man hier nicht runden, so hätte man tatsächlich eine Gleichung; so ergibt sich ein kleiner [[Rundung|Rundungsfehler]])&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Hat man ein Intervall, das x Schritten in einer N-stufigen Stimmung entspricht, so lässt sich die Cent-Darstellung als 1200 * x/N berechnen. Z.B. entsprechen 7 Schritte in der zwölfstufigen Stimmung 1200 * 7/12 = 700 Cent, und 5 Schritte in der 19-stufigen Stimmung 1200 * 5/19 = 315.8 Cent. Alternativ kann man sich auch merken, dass x/N die Darstellung des Intervals in Oktaven ist, und eine Oktave 1200 Cent entspricht&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;

Ein Nachteil gegenüber der Darstellung als Frequenzverhältnis ist, dass eine harmonische Interpretation erschwert wird.

Außerdem hat die Cent-Darstellung ganzzahliger Frequenzverhältnisse (mit Ausnahme von Oktaven und deren Vielfachen) in jedem Fall unendlich viele Nachkommastellen, da es sich um irrationale Werte handelt, was für die Praxis bedeutet, dass gerundet werden muss.

Umgekehrt erscheinen Intervalle von [[edo|gleichstufigen Temperamenten]], in der Frequenzverhältnisdarstellung durchwegs irrational, in der Centdarstellung immer als rationale Zahlen. Mathematische Verfahren zur Annäherung irrationaler Zahlen durch rationale, etwa mittels [[Kettenbruch|Kettenbrüchen]], erhalten so eine Anwendung bei der Annäherung reiner Intervalle in gleichstufigen Temperamenten.

==Verweise==
&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[http://de.wikipedia.org/wiki/Cent_%28Musik%29 Cent (Musik) - Wikipedia]&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;  [[Category:Distanz]]
[[Category:Intervallmaß]]
[[Category:Mathematik]]
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Das '''Cent''' ist eine [[Maßeinheit|Maßeinheit]] für die [[Distanz|Distanz]] musikalischer Intervalle. Die Einheit ist als 100-stel des Halbtonschritts in [[12edo|12-EDO]] festgelegt. So entsprechen 1200 Cent einer [[Oktave|Oktave]]. Ein Cent ist ein so kleines Intervall, dass zwei Tonhöhen mit genau dieser Distanz von den meisten Menschen als vollkommen gleich wahrgenommen werden (zum Test ein Beispiel mit zwei Tönen. Welcher ist höher?)...

[[File:Ein-Cent-bei-400Hz.mp3]]

...deshalb werden bei Centangaben in der klassischen Musik meist Angaben ohne Nachkommastellen verwendet.

==Exakte Definition und praktische Berechnung==
Ist ein Intervall q als Frequenzverhältnis bzw. Frequenzfaktor gegeben, so entspricht dies 1200 * log&lt;span style="font-size: 70%;"&gt;&lt;span style="vertical-align: sub;"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;(q) Cent.

Da man mit vielen Taschenrechnern den Logarithmus zur Basis 2 nicht direkt berechnen kann, bietet sich in der Praxis oft eher die Formel 1200 * log(q)/log(2) Cent an, wobei ''log'' der Logarithmus zu einer beliebigen (aber festen) Basis ist. Berechnet man mehrere Cent-Werte in Folge, so bietet es sich an, den Wert 1200/log(2) zwischenzuspeichern, so dass nur noch log(q) berechnet werden muss, und anschließend mit dem zwischengespeicherten Wert multipliziert wird.

Beispiel:

Die Cent-Darstellung zu 9/8 lässt sich als 1200 * log(9/8)/log(2) ≈ 203.9 Cent berechnen.

Alternativ kann man auch erst x = 1200/log(2) zwischenspeichern (~ 3986 bei Zehnerlogarithmus), und anschließend muss nur noch log(9/8) * x berechnet werden, um die Darstellung in Cent zu erhalten.

Alternative Definition: 1 Cent = 1\1200 (i.e. 1/1200 Oktave)

==Vor- und Nachteile gegenüber Darstellung als Frequenzverhältnisse==
Cent-Werte haben gegenüber der Darstellung von Intervallen als Frequenzverhältnisse ein paar Vorteile:

&lt;ol&gt;&lt;li&gt;Die Größe eines Intervalls ist direkt ersichtlich&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Statt Intervalle in Frequenzdarstellung zu multiplizieren, kann man einfach deren Cent-Werte addieren&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Cent-Werte lassen sich sehr einfach zu Intervallen berechnen, die auf gleichstufiger Oktavteilung basieren&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;

Beispiele und Erläuterungen dazu:

&lt;ol&gt;&lt;li&gt;In der Frequenzverhältnisdarstellung ist nur schwer erkennbar, wie groß 7/4, 9/5 und 16/9 im Verhältnis zueinander sind. Dies wird allerdings direkt ersichtlich, wenn man weiß dass 7/4 ≈ 968.8 Cent, 9/5 ≈ 1017.6 Cent, und 16/9 ≈ 996.1 Cent entspricht&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Dass eine große Terz 5/4 und eine kleine Terz 6/5 zusammen eine reine Quinte 3/2 ergeben, lässt sich in der Frequenzverhältnisdarstellung als Multiplikation ausdrücken: 5/4 * 6/5 = 3/2. In der Cent-Darstellung dagegen kann man dies durch eine einfache Addition ausdrücken: 386.3 Cent + 315.6 Cent ≈ 702.0 Cent. (würde man hier nicht runden, so hätte man tatsächlich eine Gleichung; so ergibt sich ein kleiner [[Rundung|Rundungsfehler]])&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Hat man ein Intervall, das x Schritten in einer N-stufigen Stimmung entspricht, so lässt sich die Cent-Darstellung als 1200 * x/N berechnen. Z.B. entsprechen 7 Schritte in der zwölfstufigen Stimmung 1200 * 7/12 = 700 Cent, und 5 Schritte in der 19-stufigen Stimmung 1200 * 5/19 = 315.8 Cent. Alternativ kann man sich auch merken, dass x/N die Darstellung des Intervals in Oktaven ist, und eine Oktave 1200 Cent entspricht&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;

Ein Nachteil gegenüber der Darstellung als Frequenzverhältnis ist, dass eine harmonische Interpretation erschwert wird.

Außerdem hat die Cent-Darstellung ganzzahliger Frequenzverhältnisse (mit Ausnahme von Oktaven und deren Vielfachen) in jedem Fall unendlich viele Nachkommastellen, da es sich um irrationale Werte handelt, was für die Praxis bedeutet, dass gerundet werden muss.

Umgekehrt erscheinen Intervalle von [[edo|gleichstufigen Temperamenten]], in der Frequenzverhältnisdarstellung durchwegs irrational, in der Centdarstellung immer als rationale Zahlen. Mathematische Verfahren zur Annäherung irrationaler Zahlen durch rationale, etwa mittels [[Kettenbruch|Kettenbrüchen]], erhalten so eine Anwendung bei der Annäherung reiner Intervalle in gleichstufigen Temperamenten.

==Verweise==
&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[http://de.wikipedia.org/wiki/Cent_%28Musik%29 Cent (Musik) - Wikipedia]&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;  [[Category:Distanz]]
[[Category:Intervallmaß]]
[[Category:Mathematik]]
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Das '''Cent''' ist eine [[Maßeinheit|Maßeinheit]] für die [[Distanz|Distanz]] musikalischer Intervalle. Die Einheit ist als 100-stel des Halbtonschritts in [[12edo|12-EDO]] festgelegt. So entsprechen 1200 Cent einer [[Oktave|Oktave]]. Ein Cent ist ein so kleines Intervall, dass zwei Tonhöhen mit genau dieser Distanz von den meisten Menschen als vollkommen gleich wahrgenommen werden (zum Test ein Beispiel mit zwei Tönen. Welcher ist höher?)...

[[File:Ein-Cent-bei-400Hz.mp3]]

...deshalb werden bei Centangaben in der klassischen Musik meist Angaben ohne Nachkommastellen verwendet.

==Exakte Definition und praktische Berechnung==
Ist ein Intervall q als Frequenzverhältnis bzw. Frequenzfaktor gegeben, so entspricht dies 1200 * log&lt;span style="font-size: 70%;"&gt;&lt;span style="vertical-align: sub;"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;(q) Cent.

Da man mit vielen Taschenrechnern den Logarithmus zur Basis 2 nicht direkt berechnen kann, bietet sich in der Praxis oft eher die Formel 1200 * log(q)/log(2) Cent an, wobei ''log'' der Logarithmus zu einer beliebigen (aber festen) Basis ist. Berechnet man mehrere Cent-Werte in Folge, so bietet es sich an, den Wert 1200/log(2) zwischenzuspeichern, so dass nur noch log(q) berechnet werden muss, und anschließend mit dem zwischengespeicherten Wert multipliziert wird.

Beispiel:

Die Cent-Darstellung zu 9/8 lässt sich als 1200 * log(9/8)/log(2) ≈ 203.9 Cent berechnen.

Alternativ kann man auch erst x = 1200/log(2) zwischenspeichern (~ 3986 bei Zehnerlogarithmus), und anschließend muss nur noch log(9/8) * x berechnet werden, um die Darstellung in Cent zu erhalten.

Alternative Definition: 1 Cent = 1\1200 (i.e. 1/1200 Oktave)

==Vor- und Nachteile gegenüber Darstellung als Frequenzverhältnisse==
Cent-Werte haben gegenüber der Darstellung von Intervallen als Frequenzverhältnisse ein paar Vorteile:

&lt;ol&gt;&lt;li&gt;Die Größe eines Intervalls ist direkt ersichtlich&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Statt Intervalle in Frequenzdarstellung zu multiplizieren, kann man einfach deren Cent-Werte addieren&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Cent-Werte lassen sich sehr einfach zu Intervallen berechnen, die auf gleichstufiger Oktavteilung basieren&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;

Beispiele und Erläuterungen dazu:

&lt;ol&gt;&lt;li&gt;In der Frequenzverhältnisdarstellung ist nur schwer erkennbar, wie groß 7/4, 9/5 und 16/9 im Verhältnis zueinander sind. Dies wird allerdings direkt ersichtlich, wenn man weiß dass 7/4 ≈ 968.8 Cent, 9/5 ≈ 1017.6 Cent, und 16/9 ≈ 996.1 Cent entspricht&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Dass eine große Terz 5/4 und eine kleine Terz 6/5 zusammen eine reine Quinte 3/2 ergeben, lässt sich in der Frequenzverhältnisdarstellung als Multiplikation ausdrücken: 5/4 * 6/5 = 3/2. In der Cent-Darstellung dagegen kann man dies durch eine einfache Addition ausdrücken: 386.3 Cent + 315.6 Cent ≈ 702.0 Cent. (würde man hier nicht runden, so hätte man tatsächlich eine Gleichung; so ergibt sich ein kleiner [[Rundung|Rundungsfehler]])&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Hat man ein Intervall, das x Schritten in einer N-stufigen Stimmung entspricht, so lässt sich die Cent-Darstellung als 1200 * x/N berechnen. Z.B. entsprechen 7 Schritte in der zwölfstufigen Stimmung 1200 * 7/12 = 700 Cent, und 5 Schritte in der 19-stufigen Stimmung 1200 * 5/19 = 315.8 Cent. Alternativ kann man sich auch merken, dass x/N die Darstellung des Intervals in Oktaven ist, und eine Oktave 1200 Cent entspricht&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;

Ein Nachteil gegenüber der Darstellung als Frequenzverhältnis ist, dass eine harmonische Interpretation erschwert wird.

Außerdem hat die Cent-Darstellung ganzzahliger Frequenzverhältnisse (mit Ausnahme von Oktaven und deren Vielfachen) in jedem Fall unendlich viele Nachkommastellen, da es sich um irrationale Werte handelt, was für die Praxis bedeutet, dass gerundet werden muss.

Umgekehrt erscheinen Intervalle von [[edo|gleichstufigen Temperamenten]], in der Frequenzverhältnisdarstellung durchwegs irrational, in der Centdarstellung immer als rationale Zahlen. Mathematische Verfahren zur Annäherung irrationaler Zahlen durch rationale, etwa mittels [[Kettenbruch|Kettenbrüchen]], erhalten so eine Anwendung bei der Annäherung reiner Intervalle in gleichstufigen Temperamenten.

==Verweise==
&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[http://de.wikipedia.org/wiki/Cent_%28Musik%29 Cent (Musik) - Wikipedia]&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;  [[Category:Distanz]]
[[Category:Intervallmaß]]
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}}

Das '''Cent''' ist eine [[Maßeinheit|Maßeinheit]] für die [[Distanz|Distanz]] musikalischer Intervalle. Die Einheit ist als 100-stel des Halbtonschritts in [[12edo|12-EDO]] festgelegt. So entsprechen 1200 Cent einer [[Oktave|Oktave]]. Ein Cent ist ein so kleines Intervall, dass zwei Tonhöhen mit genau dieser Distanz von den meisten Menschen als vollkommen gleich wahrgenommen werden (zum Test ein Beispiel mit zwei Tönen. Welcher ist höher?)...

[[File:Ein-Cent-bei-400Hz.mp3]]

...deshalb werden bei Centangaben in der klassischen Musik meist Angaben ohne Nachkommastellen verwendet.

==Exakte Definition und praktische Berechnung==
Ist ein Intervall q als Frequenzverhältnis bzw. Frequenzfaktor gegeben, so entspricht dies 1200 * log&lt;span style="font-size: 70%;"&gt;&lt;span style="vertical-align: sub;"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;(q) Cent.

Da man mit vielen Taschenrechnern den Logarithmus zur Basis 2 nicht direkt berechnen kann, bietet sich in der Praxis oft eher die Formel 1200 * log(q)/log(2) Cent an, wobei ''log'' der Logarithmus zu einer beliebigen (aber festen) Basis ist. Berechnet man mehrere Cent-Werte in Folge, so bietet es sich an, den Wert 1200/log(2) zwischenzuspeichern, so dass nur noch log(q) berechnet werden muss, und anschließend mit dem zwischengespeicherten Wert multipliziert wird.

Beispiel:

Die Cent-Darstellung zu 9/8 lässt sich als 1200 * log(9/8)/log(2) ≈ 203.9 Cent berechnen.

Alternativ kann man auch erst x = 1200/log(2) zwischenspeichern (~ 3986 bei Zehnerlogarithmus), und anschließend muss nur noch log(9/8) * x berechnet werden, um die Darstellung in Cent zu erhalten.

Alternative Definition: 1 Cent = 1\1200 (i.e. 1/1200 Oktave)

==Vor- und Nachteile gegenüber Darstellung als Frequenzverhältnisse==
Cent-Werte haben gegenüber der Darstellung von Intervallen als Frequenzverhältnisse ein paar Vorteile:

&lt;ol&gt;&lt;li&gt;Die Größe eines Intervalls ist direkt ersichtlich&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Statt Intervalle in Frequenzdarstellung zu multiplizieren, kann man einfach deren Cent-Werte addieren&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Cent-Werte lassen sich sehr einfach zu Intervallen berechnen, die auf gleichstufiger Oktavteilung basieren&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;

Beispiele und Erläuterungen dazu:

&lt;ol&gt;&lt;li&gt;In der Frequenzverhältnisdarstellung ist nur schwer erkennbar, wie groß 7/4, 9/5 und 16/9 im Verhältnis zueinander sind. Dies wird allerdings direkt ersichtlich, wenn man weiß dass 7/4 ≈ 968.8 Cent, 9/5 ≈ 1017.6 Cent, und 16/9 ≈ 996.1 Cent entspricht&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Dass eine große Terz 5/4 und eine kleine Terz 6/5 zusammen eine reine Quinte 3/2 ergeben, lässt sich in der Frequenzverhältnisdarstellung als Multiplikation ausdrücken: 5/4 * 6/5 = 3/2. In der Cent-Darstellung dagegen kann man dies durch eine einfache Addition ausdrücken: 386.3 Cent + 315.6 Cent ≈ 702.0 Cent. (würde man hier nicht runden, so hätte man tatsächlich eine Gleichung; so ergibt sich ein kleiner [[Rundung|Rundungsfehler]])&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Hat man ein Intervall, das x Schritten in einer N-stufigen Stimmung entspricht, so lässt sich die Cent-Darstellung als 1200 * x/N berechnen. Z.B. entsprechen 7 Schritte in der zwölfstufigen Stimmung 1200 * 7/12 = 700 Cent, und 5 Schritte in der 19-stufigen Stimmung 1200 * 5/19 = 315.8 Cent. Alternativ kann man sich auch merken, dass x/N die Darstellung des Intervals in Oktaven ist, und eine Oktave 1200 Cent entspricht&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;

Ein Nachteil gegenüber der Darstellung als Frequenzverhältnis ist, dass eine harmonische Interpretation erschwert wird.

Außerdem hat die Cent-Darstellung ganzzahliger Frequenzverhältnisse (mit Ausnahme von Oktaven und deren Vielfachen) in jedem Fall unendlich viele Nachkommastellen, da es sich um irrationale Werte handelt, was für die Praxis bedeutet, dass gerundet werden muss.

Umgekehrt erscheinen Intervalle von [[edo|gleichstufigen Temperamenten]], in der Frequenzverhältnisdarstellung durchwegs irrational, in der Centdarstellung immer als rationale Zahlen. Mathematische Verfahren zur Annäherung irrationaler Zahlen durch rationale, etwa mittels [[Kettenbruch|Kettenbrüchen]], erhalten so eine Anwendung bei der Annäherung reiner Intervalle in gleichstufigen Temperamenten.

==Verweise==
&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[http://de.wikipedia.org/wiki/Cent_%28Musik%29 Cent (Musik) - Wikipedia]&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;  [[Category:Distanz]]
[[Category:Intervallmaß]]
[[Category:Mathematik]]
[[Category:Metrik]]
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}}

Das '''Cent''' ist eine [[Maßeinheit|Maßeinheit]] für die [[Distanz|Distanz]] musikalischer Intervalle. Die Einheit ist als 100-stel des Halbtonschritts in [[12edo|12-EDO]] festgelegt. So entsprechen 1200 Cent einer [[Oktave|Oktave]]. Ein Cent ist ein so kleines Intervall, dass zwei Tonhöhen mit genau dieser Distanz von den meisten Menschen als vollkommen gleich wahrgenommen werden (zum Test ein Beispiel mit zwei Tönen. Welcher ist höher?)...

[[File:Ein-Cent-bei-400Hz.mp3]]

...deshalb werden bei Centangaben in der klassischen Musik meist Angaben ohne Nachkommastellen verwendet.

==Exakte Definition und praktische Berechnung==
Ist ein Intervall q als Frequenzverhältnis bzw. Frequenzfaktor gegeben, so entspricht dies 1200 * log&lt;span style="font-size: 70%;"&gt;&lt;span style="vertical-align: sub;"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;/span&gt;(q) Cent.

Da man mit vielen Taschenrechnern den Logarithmus zur Basis 2 nicht direkt berechnen kann, bietet sich in der Praxis oft eher die Formel 1200 * log(q)/log(2) Cent an, wobei ''log'' der Logarithmus zu einer beliebigen (aber festen) Basis ist. Berechnet man mehrere Cent-Werte in Folge, so bietet es sich an, den Wert 1200/log(2) zwischenzuspeichern, so dass nur noch log(q) berechnet werden muss, und anschließend mit dem zwischengespeicherten Wert multipliziert wird.

Beispiel:

Die Cent-Darstellung zu 9/8 lässt sich als 1200 * log(9/8)/log(2) ≈ 203.9 Cent berechnen.

Alternativ kann man auch erst x = 1200/log(2) zwischenspeichern (~ 3986 bei Zehnerlogarithmus), und anschließend muss nur noch log(9/8) * x berechnet werden, um die Darstellung in Cent zu erhalten.

Alternative Definition: 1 Cent = 1\1200 (i.e. 1/1200 Oktave)

==Vor- und Nachteile gegenüber Darstellung als Frequenzverhältnisse==
Cent-Werte haben gegenüber der Darstellung von Intervallen als Frequenzverhältnisse ein paar Vorteile:

&lt;ol&gt;&lt;li&gt;Die Größe eines Intervalls ist direkt ersichtlich&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Statt Intervalle in Frequenzdarstellung zu multiplizieren, kann man einfach deren Cent-Werte addieren&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Cent-Werte lassen sich sehr einfach zu Intervallen berechnen, die auf gleichstufiger Oktavteilung basieren&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;

Beispiele und Erläuterungen dazu:

&lt;ol&gt;&lt;li&gt;In der Frequenzverhältnisdarstellung ist nur schwer erkennbar, wie groß 7/4, 9/5 und 16/9 im Verhältnis zueinander sind. Dies wird allerdings direkt ersichtlich, wenn man weiß dass 7/4 ≈ 968.8 Cent, 9/5 ≈ 1017.6 Cent, und 16/9 ≈ 996.1 Cent entspricht&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Dass eine große Terz 5/4 und eine kleine Terz 6/5 zusammen eine reine Quinte 3/2 ergeben, lässt sich in der Frequenzverhältnisdarstellung als Multiplikation ausdrücken: 5/4 * 6/5 = 3/2. In der Cent-Darstellung dagegen kann man dies durch eine einfache Addition ausdrücken: 386.3 Cent + 315.6 Cent ≈ 702.0 Cent. (würde man hier nicht runden, so hätte man tatsächlich eine Gleichung; so ergibt sich ein kleiner [[Rundung|Rundungsfehler]])&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Hat man ein Intervall, das x Schritten in einer N-stufigen Stimmung entspricht, so lässt sich die Cent-Darstellung als 1200 * x/N berechnen. Z.B. entsprechen 7 Schritte in der zwölfstufigen Stimmung 1200 * 7/12 = 700 Cent, und 5 Schritte in der 19-stufigen Stimmung 1200 * 5/19 = 315.8 Cent. Alternativ kann man sich auch merken, dass x/N die Darstellung des Intervals in Oktaven ist, und eine Oktave 1200 Cent entspricht&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;

Ein Nachteil gegenüber der Darstellung als Frequenzverhältnis ist, dass eine harmonische Interpretation erschwert wird.

Außerdem hat die Cent-Darstellung ganzzahliger Frequenzverhältnisse (mit Ausnahme von Oktaven und deren Vielfachen) in jedem Fall unendlich viele Nachkommastellen, da es sich um irrationale Werte handelt, was für die Praxis bedeutet, dass gerundet werden muss.

Umgekehrt erscheinen Intervalle von [[edo|gleichstufigen Temperamenten]], in der Frequenzverhältnisdarstellung durchwegs irrational, in der Centdarstellung immer als rationale Zahlen. Mathematische Verfahren zur Annäherung irrationaler Zahlen durch rationale, etwa mittels [[Kettenbruch|Kettenbrüchen]], erhalten so eine Anwendung bei der Annäherung reiner Intervalle in gleichstufigen Temperamenten.

==Verweise==
&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[http://de.wikipedia.org/wiki/Cent_%28Musik%29 Cent (Musik) - Wikipedia]&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;  [[Category:Distanz]]
[[Category:Intervallmaß]]
[[Category:Mathematik]]
[[Category:Metrik]]
[[Category:Theorie]]</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;siehe [[Cent]]
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Cents&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[include page="Cent"]]
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&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Das &amp;lt;strong&amp;gt;Cent&amp;lt;/strong&amp;gt; ist eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ma%C3%9Feinheit"&amp;gt;Maßeinheit&amp;lt;/a&amp;gt; für die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Distanz"&amp;gt;Distanz&amp;lt;/a&amp;gt; musikalischer Intervalle. Die Einheit ist als 100-stel des Halbtonschritts in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12-EDO&amp;lt;/a&amp;gt; festgelegt. So entsprechen 1200 Cent einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt;. Ein Cent ist ein so kleines Intervall, dass zwei Tonhöhen mit genau dieser Distanz von den meisten Menschen als vollkommen gleich wahrgenommen werden (zum Test ein Beispiel mit zwei Tönen. Welcher ist höher?)...&amp;lt;br /&amp;gt;
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...deshalb werden bei Centangaben in der klassischen Musik meist Angaben ohne Nachkommastellen verwendet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Exakte Definition und praktische Berechnung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;Exakte Definition und praktische Berechnung&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Ist ein Intervall q als Frequenzverhältnis bzw. Frequenzfaktor gegeben, so entspricht dies 1200 * log&amp;lt;span style="font-size: 70%;"&amp;gt;&amp;lt;span style="vertical-align: sub;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;(q) Cent.&amp;lt;br /&amp;gt;
Da man mit vielen Taschenrechnern den Logarithmus zur Basis 2 nicht direkt berechnen kann, bietet sich in der Praxis oft eher die Formel 1200 * log(q)/log(2) Cent an, wobei &amp;lt;em&amp;gt;log&amp;lt;/em&amp;gt; der Logarithmus zu einer beliebigen (aber festen) Basis ist. Berechnet man mehrere Cent-Werte in Folge, so bietet es sich an, den Wert 1200/log(2) zwischenzuspeichern, so dass nur noch log(q) berechnet werden muss, und anschließend mit dem zwischengespeicherten Wert multipliziert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispiel:&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Cent-Darstellung zu 9/8 lässt sich als 1200 * log(9/8)/log(2) ≈ 203.9 Cent berechnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Alternativ kann man auch erst x = 1200/log(2) zwischenspeichern (~ 3986 bei Zehnerlogarithmus), und anschließend muss nur noch log(9/8) * x berechnet werden, um die Darstellung in Cent zu erhalten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Alternative Definition: 1 Cent = 1\1200 (i.e. 1/1200 Oktave)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Cent-Werte haben gegenüber der Darstellung von Intervallen als Frequenzverhältnisse ein paar Vorteile:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Größe eines Intervalls ist direkt ersichtlich&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Statt Intervalle in Frequenzdarstellung zu multiplizieren, kann man einfach deren Cent-Werte addieren&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Cent-Werte lassen sich sehr einfach zu Intervallen berechnen, die auf gleichstufiger Oktavteilung basieren&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispiele und Erläuterungen dazu:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;In der Frequenzverhältnisdarstellung ist nur schwer erkennbar, wie groß 7/4, 9/5 und 16/9 im Verhältnis zueinander sind. Dies wird allerdings direkt ersichtlich, wenn man weiß dass 7/4 ≈ 968.8 Cent, 9/5 ≈ 1017.6 Cent, und 16/9 ≈ 996.1 Cent entspricht&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dass eine große Terz 5/4 und eine kleine Terz 6/5 zusammen eine reine Quinte 3/2 ergeben, lässt sich in der Frequenzverhältnisdarstellung als Multiplikation ausdrücken: 5/4 * 6/5 = 3/2. In der Cent-Darstellung dagegen kann man dies durch eine einfache Addition ausdrücken: 386.3 Cent + 315.6 Cent ≈ 702.0 Cent. (würde man hier nicht runden, so hätte man tatsächlich eine Gleichung; so ergibt sich ein kleiner &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rundung"&amp;gt;Rundungsfehler&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Hat man ein Intervall, das x Schritten in einer N-stufigen Stimmung entspricht, so lässt sich die Cent-Darstellung als 1200 * x/N berechnen. Z.B. entsprechen 7 Schritte in der zwölfstufigen Stimmung 1200 * 7/12 = 700 Cent, und 5 Schritte in der 19-stufigen Stimmung 1200 * 5/19 = 315.8 Cent. Alternativ kann man sich auch merken, dass x/N die Darstellung des Intervals in Oktaven ist, und eine Oktave 1200 Cent entspricht&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein Nachteil gegenüber der Darstellung als Frequenzverhältnis ist, dass eine harmonische Interpretation erschwert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
Außerdem hat die Cent-Darstellung ganzzahliger Frequenzverhältnisse (mit Ausnahme von Oktaven und deren Vielfachen) in jedem Fall unendlich viele Nachkommastellen, da es sich um irrationale Werte handelt, was für die Praxis bedeutet, dass gerundet werden muss.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Umgekehrt erscheinen Intervalle von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;gleichstufigen Temperamenten&amp;lt;/a&amp;gt;, in der Frequenzverhältnisdarstellung durchwegs irrational, in der Centdarstellung immer als rationale Zahlen. Mathematische Verfahren zur Annäherung irrationaler Zahlen durch rationale, etwa mittels &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Kettenbruch"&amp;gt;Kettenbrüchen&amp;lt;/a&amp;gt;, erhalten so eine Anwendung bei der Annäherung reiner Intervalle in gleichstufigen Temperamenten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;h2 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Verweise"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;Verweise&amp;lt;/h2&amp;gt;
 &amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Cent_%28Musik%29" rel="nofollow"&amp;gt;Cent (Musik) - Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextIncludeRule:00 --&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Charles Lucy]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Charles Lucy&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Charles%20Lucy"&amp;gt;xenharmonic/Charles Lucy&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <text bytes="75" sha1="4rw5oyk1rlfnxyrtc0ln80x37pramy7" xml:space="preserve">English: [[:en:Charles_Lucy|xenharmonic/Charles Lucy]]  [[Category:Person]]</text>
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    <title>Csound</title>
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      <text bytes="882" sha1="8dook6299xu65cji45ol0k2k0t6o9cm" xml:space="preserve">'''Csound''' ist eine freie Software zur Klangerzeugung, die über eine eigene einfache Programmiersprache geteuert wird. Diese gliedert Audioprojekte in zwei wesentliche Bereiche. ''Instruments'' enthalten die Definition der Klangerzeuger, in denen neben Standardparameter wie z.B. Dauer auch eigene Parameter genutzt werden können. ''Score'' ist der Bereich, der die zeitliche Abfolge von Klangereignissen enthält.

Csound ist für alle gängigen Betriebssysteme verfügbar.

Es existieren zahlreiche Erweiterungen (z.B. [[Python_Score|Python Score]]) und Frontends.

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[http://www.csounds.com/ Csounds.com] - Homepage&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[http://de.wikipedia.org/wiki/Csound Csound – Wikipedia]&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[https://soundcloud.com/groups/csound Csound’s stream on SoundCloud - Hear the world’s sounds] - die Csound-Gruppe&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;  [[Category:Klangsynthese]]
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;**Csound** ist eine freie Software zur Klangerzeugung, die über eine eigene einfache Programmiersprache geteuert wird. Diese gliedert Audioprojekte in zwei wesentliche Bereiche. //Instruments// enthalten die Definition der Klangerzeuger, in denen neben Standardparameter wie z.B. Dauer auch eigene Parameter genutzt werden können. //Score// ist der Bereich, der die zeitliche Abfolge von Klangereignissen enthält.

Csound ist für alle gängigen Betriebssysteme verfügbar.
Es existieren zahlreiche Erweiterungen (z.B. [[Python Score]]) und Frontends.

* [[http://www.csounds.com/|Csounds.com]] - Homepage
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Csound|Csound – Wikipedia]]
* [[https://soundcloud.com/groups/csound|Csound’s stream on SoundCloud - Hear the world’s sounds]] - die Csound-Gruppe&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Csound ist für alle gängigen Betriebssysteme verfügbar.&amp;lt;br /&amp;gt;
Es existieren zahlreiche Erweiterungen (z.B. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Python%20Score"&amp;gt;Python Score&amp;lt;/a&amp;gt;) und Frontends.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.csounds.com/" rel="nofollow"&amp;gt;Csounds.com&amp;lt;/a&amp;gt; - Homepage&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Csound" rel="nofollow"&amp;gt;Csound – Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://soundcloud.com/groups/csound" rel="nofollow"&amp;gt;Csound’s stream on SoundCloud - Hear the world’s sounds&amp;lt;/a&amp;gt; - die Csound-Gruppe&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <text bytes="406" sha1="o6tan4cy13vbui8q1xqmg3sb0nh60gi" xml:space="preserve">Die '''Dissonanz''' eines [[Intervall|Intervall]]s oder [[Klang|Klang]]es ist ein Maß für...

Dissonanz bildet zusammen mit [[Konsonanz|Konsonanz]] ein System zur Kategorisierung von Klängen hinsichtlich...

== Verweise ==
&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[http://de.wikipedia.org/wiki/Dissonanz Dissonanz – Wikipedia]&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[[Distanz|Distanz]]&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;  [[Category:Metrik]]
[[Category:Sonanz]]
[[Category:todo:Definition]]</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Die **Dissonanz** eines [[Intervall]]s oder [[Klang]]es ist ein Maß für...

Dissonanz bildet zusammen mit [[Konsonanz]] ein System zur Kategorisierung von Klängen hinsichtlich...

== Verweise ==
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Dissonanz|Dissonanz – Wikipedia]]
* [[Distanz]]
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Dissonanz&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Die &amp;lt;strong&amp;gt;Dissonanz&amp;lt;/strong&amp;gt; eines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervall&amp;lt;/a&amp;gt;s oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Klang"&amp;gt;Klang&amp;lt;/a&amp;gt;es ist ein Maß für...&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dissonanz bildet zusammen mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Konsonanz"&amp;gt;Konsonanz&amp;lt;/a&amp;gt; ein System zur Kategorisierung von Klängen hinsichtlich...&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Verweise"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt; Verweise &amp;lt;/h2&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Dissonanz" rel="nofollow"&amp;gt;Dissonanz – Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Distanz"&amp;gt;Distanz&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Die **Dissonanz** eines [[Intervall]]s oder [[Klang]]es ist ein Maß, das Auseinanderstreben seiner Teile zu beziffern. Je höher die Dissonanz, desto höher das Auseinanderstreben.

Siehe auch [[Distanz]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Dissonanz&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Die &amp;lt;strong&amp;gt;Dissonanz&amp;lt;/strong&amp;gt; eines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervall&amp;lt;/a&amp;gt;s oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Klang"&amp;gt;Klang&amp;lt;/a&amp;gt;es ist ein Maß, das Auseinanderstreben seiner Teile zu beziffern. Je höher die Dissonanz, desto höher das Auseinanderstreben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Distanz"&amp;gt;Distanz&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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    <title>Distanz</title>
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      <text bytes="168" sha1="duw2frt6ixldzjoyhqhkl4v60814ga9" xml:space="preserve">'''Distanz''' bezeichnet ein Maß für den räumlichen Abstand von [[Ton|Tönen]]. 

Siehe auch [[Dissonanz|Dissonanz]].  [[Category:Intervallmaß]]
[[Category:Metrik]]</text>
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      <text bytes="1575" sha1="18mfxlgmrb794nz1d8xlhsowcwtwvax" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;**Distanz** bezeichnet ein Maß für den räumlichen Abstand von [[Ton|Tönen]]. 

Siehe auch [[Dissonanz]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Distanz&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;strong&amp;gt;Distanz&amp;lt;/strong&amp;gt; bezeichnet ein Maß für den räumlichen Abstand von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ton"&amp;gt;Tönen&amp;lt;/a&amp;gt;. &amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Dissonanz"&amp;gt;Dissonanz&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <text bytes="427" sha1="0g1p13h7qp7z0ej3ae1gr9g1c8t5pac" xml:space="preserve">English: [[:en:1-3_Syntonic_Comma_Meantone xenharmonic/1-3 Syntonic Comma Meantone]]

Einführung auf Deutsch siehe etwa: [http://www.lehrklaenge.de/HTML/mitteltonige_stimmung_iii.html http://www.lehrklaenge.de/HTML/mitteltonige_stimmung_iii.html]

Eine Besonderheit der drittelkommamitteltönigen Stimmung ist, dass sie praktisch perfekt in [[19edo|19EDO]] repräsentiert ist.  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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Einführung auf Deutsch siehe etwa: [[http://www.lehrklaenge.de/HTML/mitteltonige_stimmung_iii.html]]

Eine Besonderheit der drittelkommamitteltönigen Stimmung ist, dass sie praktisch perfekt in [[19EDO]] repräsentiert ist.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Einführung auf Deutsch siehe etwa: &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.lehrklaenge.de/HTML/mitteltonige_stimmung_iii.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.lehrklaenge.de/HTML/mitteltonige_stimmung_iii.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine Besonderheit der drittelkommamitteltönigen Stimmung ist, dass sie praktisch perfekt in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19EDO"&amp;gt;19EDO&amp;lt;/a&amp;gt; repräsentiert ist.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Einführung auf Deutsch siehe: [[http://www.lehrklaenge.de/HTML/mitteltonige_stimmung_iii.html]]

Eine Besonderheit der drittelkommamitteltönigen Stimmung ist, dass sie praktisch perfekt in [[19EDO]] repräsentiert ist.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/1-3 Syntonic Comma Meantone|1-3 Syntonic Comma Meantone]]
Einführung auf Deutsch siehe: [[http://www.lehrklaenge.de/HTML/mitteltonige_stimmung_iii.html]]

Eine Besonderheit der drittelkommamitteltönigen Stimmung ist, dass sie praktisch perfekt in [[19EDO]] repräsentiert ist.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Einführung auf Deutsch siehe: &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.lehrklaenge.de/HTML/mitteltonige_stimmung_iii.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.lehrklaenge.de/HTML/mitteltonige_stimmung_iii.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine Besonderheit der drittelkommamitteltönigen Stimmung ist, dass sie praktisch perfekt in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19EDO"&amp;gt;19EDO&amp;lt;/a&amp;gt; repräsentiert ist.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Einführung auf Deutsch siehe etwa: [http://www.lehrklaenge.de/HTML/mitteltonige_stimmung_iii.html http://www.lehrklaenge.de/HTML/mitteltonige_stimmung_iii.html]

Eine Besonderheit der drittelkommamitteltönigen Stimmung ist, dass sie praktisch perfekt in [[19edo|19EDO]] repräsentiert ist.  [[Category:Temperament]]
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      <text bytes="377" sha1="40044sdog8ymxlaqf8ng0nqblmvh8u5" xml:space="preserve">[[en:1-3_Syntonic_Comma_Meantone]]

Einführung auf Deutsch siehe etwa: [http://www.lehrklaenge.de/HTML/mitteltonige_stimmung_iii.html http://www.lehrklaenge.de/HTML/mitteltonige_stimmung_iii.html]

Eine Besonderheit der drittelkommamitteltönigen Stimmung ist, dass sie praktisch perfekt in [[19edo|19EDO]] repräsentiert ist.  [[Category:Temperament]]
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Die '''Drittelkomma-mitteltönige''' Stimmung unterteilt das [[syntonische Komma]] (81/80) in drei gleichgroße Teile von je 7,169 [[Cent]] Größe und verkleinert alle [[Reine Quinte|reinen Quinte]] ([[3/2]]) um diesen Betrag. Im Ergebnis dieser Anpassung sind die kleine Terz ([[6/5]]) und die große Sexte ([[5/3]]) rein gestimmt.

Eine Besonderheit der drittelkomma-mitteltönigen Stimmung ist, dass sie praktisch perfekt in [[19EDO]] repräsentiert ist.

== Weblinks ==

* [http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung3.php Die drittelmitteltoenige Stimmung] auf Lehrklaenge.de (Einführung auf Deutsch)

[[Category:Temperatur]]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

[[Mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die '''Drittelkomma-mitteltönige''' Stimmung unterteilt das [[syntonische Komma]] (81/80) in drei gleichgroße Teile von je 7,169 [[Cent]] Größe und verkleinert alle [[Reine Quinte|reinen Quinte]] ([[3/2]]) um diesen Betrag. Im Ergebnis dieser Anpassung sind die kleine Terz ([[6/5]]) und die große Sexte ([[5/3]]) rein gestimmt.

Eine Besonderheit der drittelkomma-mitteltönigen Stimmung ist, dass sie praktisch perfekt in [[19EDO]] repräsentiert ist.

== Weblinks ==

* [http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung3.php Die drittelmitteltoenige Stimmung] auf Lehrklaenge.de (Einführung auf Deutsch)

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

[[Mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die Drittelkomma-mitteltönige oder auch drittelmitteltönige Stimmung unterteilt das [[syntonische Komma]] (81/80) in drei gleich große Teile von je 7,169 [[Cent]] Größe und verkleinert alle [[Reine Quinte|reinen Quinte]] ([[3/2]]) um diesen Betrag. Im Ergebnis dieser Anpassung sind die kleine Terz ([[6/5]]) und die große Sexte ([[5/3]]) rein gestimmt.

Eine Besonderheit der drittelmitteltönigen Stimmung ist, dass sie praktisch perfekt in [[19EDO]] repräsentiert ist.

== Weblinks ==

* [http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung3.php Die drittelmitteltoenige Stimmung] auf Lehrklaenge.de (Einführung auf Deutsch)

[[Category:Temperatur]]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

[[Mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die '''Drittelkomma-mitteltönige''' oder auch '''drittelmitteltönige''' Stimmung unterteilt das [[syntonische Komma]] (81/80) in drei gleich große Teile von je 7,169 [[Cent]] Größe und verkleinert alle [[Reine Quinte|reinen Quinte]] ([[3/2]]) um diesen Betrag. Im Ergebnis dieser Anpassung sind die kleine Terz ([[6/5]]) und die große Sexte ([[5/3]]) rein gestimmt.

Eine Besonderheit der drittelmitteltönigen Stimmung ist, dass sie praktisch perfekt in [[19EDO]] repräsentiert ist.

== Weblinks ==

* [http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung3.php Die drittelmitteltoenige Stimmung] auf Lehrklaenge.de (Einführung auf Deutsch)

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

[[Mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die '''Drittelkomma-mitteltönige''' oder auch '''drittelmitteltönige''' Stimmung unterteilt das [[syntonische Komma]] (81/80) in drei gleich große Teile von je 7,169 [[Cent]] Größe und verkleinert alle [[Reine Quinte|reinen Quinten]] ([[3/2]]) um diesen Betrag. Im Ergebnis dieser Anpassung sind die kleine Terz ([[6/5]]) und die große Sexte ([[5/3]]) rein gestimmt.

Eine Besonderheit der drittelmitteltönigen Stimmung ist, dass sie praktisch perfekt in [[19EDO]] repräsentiert ist.

== Weblinks ==

* [http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung3.php Die drittelmitteltoenige Stimmung] auf Lehrklaenge.de (Einführung auf Deutsch)

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

[[Mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die '''Drittelkomma-mitteltönige''' oder auch '''drittelmitteltönige''' Stimmung unterteilt das [[syntonische Komma]] (81/80) in drei gleich große Teile von je 7,169 [[Cent]] Größe und verkleinert alle [[Reine Quinte|reinen Quinten]] ([[3/2]]) um diesen Betrag. Im Ergebnis dieser Anpassung sind die kleine Terz ([[6/5]]) und die große Sexte ([[5/3]]) rein gestimmt, die [[Naturterz|grosse Terz 5/4]] hingegen ist etwas tiefer als ue reine Variante.

Eine Besonderheit der drittelmitteltönigen Stimmung ist, dass sie praktisch perfekt in [[19EDO]] repräsentiert ist.

== Weblinks ==

* [http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung3.php Die drittelmitteltoenige Stimmung] auf Lehrklaenge.de (Einführung auf Deutsch)

[[Category:Temperatur]]</text>
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      <text bytes="1369" sha1="jeggxceetqgofw0z8i6w2ixj6lswg81" xml:space="preserve">Über die [[Reine_Intonation|rein intonierte]] '''Durtonleiter''' ist die Auffassung weit verbreitet, dass sich ihr Tonmaterial aus drei reinen [[Dur-Dreiklang|Dur-Dreiklängen (3:4:5)]] zusammensetzt. Zwei dieser Dreiklänge haben jeweils einen Ton gemeinsam in der Form, dass die [[Quinte|Quinte]] des einen der Grundton des anderen ist:

{| class="wikitable"
|-
| | F
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| | A
| | 
| | C
| | 
| | 
| | 
| | 
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Wenn man diese Töne durch [[Oktavieren|Oktavieren]] in den Raum ''einer'' Oktave bringt (F und A nach oben, D nach unten):

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...erhält man (nach Ergänzung des die Oktave abschließenden Cs) die aus dem Schulunterricht bekannte Durtonleiter:

{| class="wikitable"
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| | E
| | F
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|}

Im englischen Sprachraum wird die rein gestimmte Durtonleiter auch als '''Malcolm's Monochord''' bezeichnet (benannt nach Alexander Malcolm, welcher eine solche Skala 1721 beschrieben hat).</text>
      <sha1>jeggxceetqgofw0z8i6w2ixj6lswg81</sha1>
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      <id>490</id>
      <timestamp>2013-08-16T07:11:47Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;xenwolf</username>
        <id>0</id>
      </contributor>
      <comment>**Imported revision 445086318 - Original comment: Tippfehler beseitigt: Ich werde die Veranschaulichung demnächst überarbeiten**</comment>
      <origin>490</origin>
      <model>wikitext</model>
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      <text bytes="8054" sha1="t5w2ngmv4ptfqlifw26mxoead8lcj2e" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-08-16 07:11:47 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Über die [[Reine Intonation|rein intonierte]] **Durtonleiter** ist die Auffassung weit verbreitet, dass sich ihr Tonmaterial aus drei reinen [[Dur-Dreiklang|Dur-Dreiklängen (3:4:5)]] zusammensetzt. Zwei dieser Dreiklänge haben jeweils einen Ton gemeinsam in der Form, dass die [[Quinte]] des einen der Grundton des anderen ist:

|| F ||   || A ||   || C ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||
||   ||   ||   ||   || C ||   || E ||   || G ||   ||   ||   ||   ||
||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   || G ||   || H ||   || D ||

Wenn man diese Töne durch [[Oktavieren]] in den Raum //einer// Oktave bringt (F und A nach oben, D nach unten):

||   ||   ||   ||   || C ||   ||   || **F** ||   || **A** ||   ||   ||   ||
||   ||   ||   ||   || C ||   || E ||   || G ||   ||   ||   ||   ||
||   ||   ||   ||   ||   || **D** ||   ||   || G ||   || H ||   ||   ||

...erhält man (nach Ergänzung des die Oktave abschließenden Cs) die aus dem Schulunterricht bekannte Durtonleiter:

||   ||   ||   ||   || C || D || E || F || G || A || H || C ||   ||

Im englischen Sprachraum wird die rein gestimmte Durtonleiter auch als **Malcolm's Monochord** bezeichnet (benannt nach Alexander Malcolm, welcher eine solche Skala 1721 beschrieben hat).&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Über die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Intonation"&amp;gt;rein intonierte&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;strong&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/strong&amp;gt; ist die Auffassung weit verbreitet, dass sich ihr Tonmaterial aus drei reinen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Dur-Dreiklang"&amp;gt;Dur-Dreiklängen (3:4:5)&amp;lt;/a&amp;gt; zusammensetzt. Zwei dieser Dreiklänge haben jeweils einen Ton gemeinsam in der Form, dass die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quinte"&amp;gt;Quinte&amp;lt;/a&amp;gt; des einen der Grundton des anderen ist:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
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Wenn man diese Töne durch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktavieren"&amp;gt;Oktavieren&amp;lt;/a&amp;gt; in den Raum &amp;lt;em&amp;gt;einer&amp;lt;/em&amp;gt; Oktave bringt (F und A nach oben, D nach unten):&amp;lt;br /&amp;gt;
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...erhält man (nach Ergänzung des die Oktave abschließenden Cs) die aus dem Schulunterricht bekannte Durtonleiter:&amp;lt;br /&amp;gt;
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Im englischen Sprachraum wird die rein gestimmte Durtonleiter auch als &amp;lt;strong&amp;gt;Malcolm's Monochord&amp;lt;/strong&amp;gt; bezeichnet (benannt nach Alexander Malcolm, welcher eine solche Skala 1721 beschrieben hat).&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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      </contributor>
      <comment>**Imported revision 445075584 - Original comment: **</comment>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-08-16 04:07:50 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Über die [[Reine Intonation|rein intonierte]] **Durtonleiter** ist die Auffassung weit verbreitet, dass sich ihr Tonmaterial aus drei reinen [[Dur-Dreiklang|Dur-Dreiklängen (3:4:5)]] zusammensetzt. Zwei dieser Dreiklänge haben jeweils einen Ton gemeinsam in der Form, dass die [[Quinte]] des einen der Grundton des anderen ist:

|| F ||   || A ||   || C ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||
||   ||   ||   ||   || C ||   || E ||   || G ||   ||   ||   ||   ||
||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   || G ||   || H ||   || D ||

Wenn man diese Töne durch [[Oktavieren]] in den Raum //einer// Oktave bringt (F und A nach oben, D nach untern):

||   ||   ||   ||   || C ||   ||   || **F** ||   || **A** ||   ||   ||   ||
||   ||   ||   ||   || C ||   || E ||   || G ||   ||   ||   ||   ||
||   ||   ||   ||   ||   || **D** ||   ||   || G ||   || H ||   ||   ||

...erhält man (nach Ergänzung des die Oktave abschließenden Cs) die aus dem Schulunterricht bekannte Durtonleiter:

||   ||   ||   ||   || C || D || E || F || G || A || H || C ||   ||

Im englischen Sprachraum wird die rein gestimmte Durtonleiter auch als **Malcolm's Monochord** bezeichnet (benannt nach Alexander Malcolm, welcher eine solche Skala 1721 beschrieben hat).&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Über die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Intonation"&amp;gt;rein intonierte&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;strong&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/strong&amp;gt; ist die Auffassung weit verbreitet, dass sich ihr Tonmaterial aus drei reinen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Dur-Dreiklang"&amp;gt;Dur-Dreiklängen (3:4:5)&amp;lt;/a&amp;gt; zusammensetzt. Zwei dieser Dreiklänge haben jeweils einen Ton gemeinsam in der Form, dass die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quinte"&amp;gt;Quinte&amp;lt;/a&amp;gt; des einen der Grundton des anderen ist:&amp;lt;br /&amp;gt;
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...erhält man (nach Ergänzung des die Oktave abschließenden Cs) die aus dem Schulunterricht bekannte Durtonleiter:&amp;lt;br /&amp;gt;
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Im englischen Sprachraum wird die rein gestimmte Durtonleiter auch als &amp;lt;strong&amp;gt;Malcolm's Monochord&amp;lt;/strong&amp;gt; bezeichnet (benannt nach Alexander Malcolm, welcher eine solche Skala 1721 beschrieben hat).&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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    </revision>
    <revision>
      <id>492</id>
      <timestamp>2013-05-11T07:27:19Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;xenwolf</username>
        <id>0</id>
      </contributor>
      <comment>**Imported revision 430719432 - Original comment: **</comment>
      <origin>492</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7489" sha1="50kdqjlnxa13s4i2yioje5er0fniv19" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-11 07:27:19 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Über die [[Reine Intonation|rein intonierte]] **Durtonleiter** ist die Auffassung weit verbreitet, dass sich ihr Tonmaterial aus drei reinen [[Dur-Dreiklang|Dur-Dreiklängen (3:4:5)]] zusammensetzt. Zwei dieser Dreiklänge haben jeweils einen Ton gemeinsam in der Form, dass die [[Quinte]] des einen der Grundton des anderen ist:

|| F || || A || || C || ||   || ||   || ||   || ||   ||
||   || ||   || || C || || E || || G || ||   || ||   ||
||   || ||   || ||   || ||   || || G || || H || || D ||

Wenn man diese Töne durch [[Oktavieren]] in den Raum //einer// Oktave bringt (F und A nach oben, D nach untern):

|| || || || || C ||     ||   ||**F**||   ||**A**||   || || ||
|| || || || || C ||     || E ||     || G ||     ||   || || ||
|| || || || ||   ||**D**||   ||     || G ||     || H || || ||

...erhält man (nach Ergänzung des die Oktave abschließenden Cs) die aus dem Schulunterricht bekannte Durtonleiter:

|| || || || || C || D || E || F || G || A || H || C || ||
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Über die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Intonation"&amp;gt;rein intonierte&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;strong&amp;gt;Durtonleiter&amp;lt;/strong&amp;gt; ist die Auffassung weit verbreitet, dass sich ihr Tonmaterial aus drei reinen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Dur-Dreiklang"&amp;gt;Dur-Dreiklängen (3:4:5)&amp;lt;/a&amp;gt; zusammensetzt. Zwei dieser Dreiklänge haben jeweils einen Ton gemeinsam in der Form, dass die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quinte"&amp;gt;Quinte&amp;lt;/a&amp;gt; des einen der Grundton des anderen ist:&amp;lt;br /&amp;gt;
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...erhält man (nach Ergänzung des die Oktave abschließenden Cs) die aus dem Schulunterricht bekannte Durtonleiter:&amp;lt;br /&amp;gt;
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{| class="wikitable"
|-
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|}

Wenn man diese Töne durch [[Oktavieren|Oktavieren]] in den Raum ''einer'' Oktave bringt (F und A nach oben, D nach unten):

{| class="wikitable"
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| | '''F'''
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| | '''D'''
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|}

...erhält man (nach Ergänzung des die Oktave abschließenden Cs) die aus dem Schulunterricht bekannte Durtonleiter:

{| class="wikitable"
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| | C
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|}

Die Einführung der reinen Durtonleiter mit der Naturterz 5/4 anstelle der pythagoräischen grossen Terz 81/64 geht wesentlich auf Gioseffo Zarlino zurück, weswegen sie manchmal als Zarlino-Skala bezeichnet wird.

Die Töne der reinen Durtonleiter bilden zum Grundton Intervalle mit den folgenden Zahlenverhältnissen:

1/1, 9/8, 5/4, 4/3, 3/2, 5/3, 15/8.</text>
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      <text bytes="2331" sha1="f4r8w2v11tzsx249vtavlrgikmcvmvn" xml:space="preserve">Über die [[Reine_Intonation|rein intonierte]] '''Durtonleiter''' ist die Auffassung weit verbreitet, dass sich ihr Tonmaterial aus drei reinen [[Dur-Dreiklang|Dur-Dreiklängen (3:4:5)]] zusammensetzt. Zwei dieser Dreiklänge haben jeweils einen Ton gemeinsam in der Form, dass die [[Quinte|Quinte]] des einen der Grundton des anderen ist:

{| class="wikitable"
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Wenn man diese Töne durch [[Oktavieren|Oktavieren]] in den Raum ''einer'' Oktave bringt (F und A nach oben, D nach unten):

{| class="wikitable"
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| | '''F'''
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|}

...erhält man (nach Ergänzung des die Oktave abschließenden Cs) die aus dem Schulunterricht bekannte Durtonleiter:

{| class="wikitable"
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| | C
| | D
| | E
| | F
| | G
| | A
| | H
| | C
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|}

= Geschichte =
Die reine diatonische Durtonleiter war bereits in der Antike bekannt, sie ist eine der von [https://de.wikipedia.org/wiki/Claudius_Ptolem%C3%A4us Claudius_Ptolemäus] beschriebenen Tonleitern. 

Die Bedeutung der reinen diatonischen Skala in der europäischen Musik, konkret die zentrale Stellung der Naturterz 5/4 anstelle der im Mittelalter verbreiteten pythagoräischen grossen Terz 81/64, geht wesentlich auf [https://de.wikipedia.org/wiki/Gioseffo_Zarlino Gioseffo Zarlino] zurück.

Für die reine diatonische Durskala sind deshalb auch die Bezeichnungen '''Ptolemäus' diatonische Skala''' und '''Zarlino-Skala''' gebräuchlich.

= Eigenschaften =
Die Töne der reinen Durtonleiter bilden zum Grundton Intervalle mit den folgenden Zahlenverhältnissen:

1/1, 9/8, 5/4, 4/3, 3/2, 5/3, 15/8.

Diese Skala ist '''keine''' [[MOS-Skalen|MOS-Skala]],denn sie enthält Intervalle in drei verschiedenen Grössen: den grossen Ganzton 9/8, den kleinen Ganzon 19/9 und den diatonischen Halbton 16/15, gemäss folgendem Muster: LMsLMLs (L steht für einen grossen Ganzton, M für einen kleinen Ganzton und s für einen diatonischen Halbton).</text>
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| de = Durtonleiter
| en = Ptolemy's intense diatonic
}}
Über die [[Reine Stimmung|rein intonierte]] '''Durtonleiter''' ist die Auffassung weit verbreitet, dass sich ihr Tonmaterial aus drei reinen [[Dur-Dreiklang|Dur-Dreiklängen (3:4:5)]] zusammensetzt. Zwei dieser Dreiklänge haben jeweils einen Ton gemeinsam in der Form, dass die [[Quinte|Quinte]] des einen der Grundton des anderen ist:

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Wenn man diese Töne durch [[Oktavieren|Oktavieren]] in den Raum ''einer'' Oktave bringt (F und A nach oben, D nach unten):

{| class="wikitable"
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| | C
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| | '''F'''
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|}

...erhält man (nach Ergänzung des die Oktave abschließenden Cs) die aus dem Schulunterricht bekannte Durtonleiter:

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| | C
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| | E
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|}

= Geschichte =
Die reine diatonische Durtonleiter war bereits in der Antike bekannt, sie ist eine der von [https://de.wikipedia.org/wiki/Claudius_Ptolem%C3%A4us Claudius_Ptolemäus] beschriebenen Tonleitern. 

Die Bedeutung der reinen diatonischen Skala in der europäischen Musik, konkret die zentrale Stellung der Naturterz 5/4 anstelle der im Mittelalter verbreiteten pythagoräischen grossen Terz 81/64, geht wesentlich auf [https://de.wikipedia.org/wiki/Gioseffo_Zarlino Gioseffo Zarlino] zurück.

Für die reine diatonische Durskala sind deshalb auch die Bezeichnungen '''Ptolemäus' diatonische Skala''' und '''Zarlino-Skala''' gebräuchlich.

= Eigenschaften =
Die Töne der reinen Durtonleiter bilden zum Grundton Intervalle mit den folgenden Zahlenverhältnissen:

1/1, 9/8, 5/4, 4/3, 3/2, 5/3, 15/8.

Diese Skala ist '''keine''' [[MOS-Skalen|MOS-Skala]],denn sie enthält Intervalle in drei verschiedenen Grössen: den grossen Ganzton 9/8, den kleinen Ganzon 19/9 und den diatonischen Halbton 16/15, gemäss folgendem Muster: LMsLMLs (L steht für einen grossen Ganzton, M für einen kleinen Ganzton und s für einen diatonischen Halbton).</text>
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| de = Durtonleiter
| en = Ptolemy's intense diatonic
}}
Über die [[Reine Stimmung|rein intonierte]] '''Durtonleiter''' ist die Auffassung weit verbreitet, dass sich ihr Tonmaterial aus drei reinen [[Dur-Dreiklang|Dur-Dreiklängen (3:4:5)]] zusammensetzt. Zwei dieser Dreiklänge haben jeweils einen Ton gemeinsam in der Form, dass die [[Quinte|Quinte]] des einen der Grundton des anderen ist:

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|-
| | F
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| | A
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| | C
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|}

Wenn man diese Töne durch [[Oktavieren|Oktavieren]] in den Raum ''einer'' Oktave bringt (F und A nach oben, D nach unten):

{| class="wikitable"
|-
| | 
| | 
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| | C
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| | '''F'''
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| | '''A'''
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|}

...erhält man (nach Ergänzung des die Oktave abschließenden Cs) die aus dem Schulunterricht bekannte Durtonleiter:

{| class="wikitable"
|-
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| | C
| | D
| | E
| | F
| | G
| | A
| | H
| | C
| | 
|}

= Geschichte =
Die reine diatonische Durtonleiter war bereits in der Antike bekannt, sie ist eine der von [https://de.wikipedia.org/wiki/Claudius_Ptolem%C3%A4us Claudius_Ptolemäus] beschriebenen Tonleitern. 

Die Bedeutung der reinen diatonischen Skala in der europäischen Musik, konkret die zentrale Stellung der Naturterz 5/4 anstelle der im Mittelalter verbreiteten pythagoräischen grossen Terz 81/64, geht wesentlich auf [https://de.wikipedia.org/wiki/Gioseffo_Zarlino Gioseffo Zarlino] zurück.

Für die reine diatonische Durskala sind deshalb auch die Bezeichnungen '''Ptolemäus' diatonische Skala''' und '''Zarlino-Skala''' gebräuchlich.

= Eigenschaften =
Die Töne der reinen Durtonleiter bilden zum Grundton Intervalle mit den folgenden Zahlenverhältnissen:

1/1, 9/8, 5/4, 4/3, 3/2, 5/3, 15/8.

Diese Skala ist '''keine''' [[MOS-Skalen|MOS-Skala]], denn sie enthält Intervalle in drei verschiedenen Grössen: den grossen Ganzton 9/8, den kleinen Ganzon 19/9 und den diatonischen Halbton 16/15, gemäss folgendem Muster: LMsLMLs (L steht für einen grossen Ganzton, M für einen kleinen Ganzton und s für einen diatonischen Halbton).

Skalen mit diesem Intervallmuster können auch in [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] vorkommen, typischerweise in solchen, welche die [[Mitteltönig|mitteltönige Temperatur]] nicht unterstützen. Beispiele sind [[15-EDO]] und [[29-EDO]]. Für Skalen dieser Art wurde im englischen Xenwiki der (nicht besonders originelle) Begriff '''Nicetone''' (etwa: nett-tönig) geprägt.</text>
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| de = Durtonleiter
| en = Ptolemy's intense diatonic
}}
Über die [[Reine Stimmung|rein intonierte]] '''Durtonleiter''' ist die Auffassung weit verbreitet, dass sich ihr Tonmaterial aus drei reinen [[Dur-Dreiklang|Dur-Dreiklängen (3:4:5)]] zusammensetzt. Zwei dieser Dreiklänge haben jeweils einen Ton gemeinsam in der Form, dass die [[Quinte|Quinte]] des einen der Grundton des anderen ist:

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| | D
|}

Wenn man diese Töne durch [[Oktavieren|Oktavieren]] in den Raum ''einer'' Oktave bringt (F und A nach oben, D nach unten):

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| | G
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| | H
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|}

...erhält man (nach Ergänzung des die Oktave abschließenden Cs) die aus dem Schulunterricht bekannte Durtonleiter:

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| | C
| | D
| | E
| | F
| | G
| | A
| | H
| | C
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|}

= Geschichte =
Die reine diatonische Durtonleiter war bereits in der Antike bekannt, sie ist eine der von [https://de.wikipedia.org/wiki/Claudius_Ptolem%C3%A4us Claudius_Ptolemäus] beschriebenen Tonleitern. 

Die Bedeutung der reinen diatonischen Skala in der europäischen Musik, konkret die zentrale Stellung der Naturterz 5/4 anstelle der im Mittelalter verbreiteten pythagoräischen grossen Terz 81/64, geht wesentlich auf [https://de.wikipedia.org/wiki/Gioseffo_Zarlino Gioseffo Zarlino] zurück.

Für die reine diatonische Durskala sind deshalb auch die Bezeichnungen '''Ptolemäus' diatonische Skala''' und '''Zarlino-Skala''' gebräuchlich.

= Eigenschaften, "Nicetone" =
Die Töne der reinen Durtonleiter bilden zum Grundton Intervalle mit den folgenden Zahlenverhältnissen:

1/1, 9/8, 5/4, 4/3, 3/2, 5/3, 15/8.

Diese Skala ist '''keine''' [[MOS-Skalen|MOS-Skala]], denn sie enthält Intervalle in drei verschiedenen Grössen: den grossen Ganzton 9/8, den kleinen Ganzon 19/9 und den diatonischen Halbton 16/15, gemäss folgendem Muster: LMsLMLs (L steht für einen grossen Ganzton, M für einen kleinen Ganzton und s für einen diatonischen Halbton).

Skalen mit diesem Intervallmuster können auch in [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] vorkommen, typischerweise in solchen, welche die [[Mitteltönig|mitteltönige Temperatur]] nicht unterstützen. Beispiele sind [[15-EDO]] und [[29-EDO]]. Für Skalen dieser Art wurde im englischen Xenwiki der (nicht besonders originelle) Begriff '''Nicetone''' (etwa: nett-tönig) geprägt.</text>
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| de = Durtonleiter
| en = Ptolemy's intense diatonic
}}
Über die [[Reine Stimmung|rein intonierte]] '''Durtonleiter''' ist die Auffassung weit verbreitet, dass sich ihr Tonmaterial aus drei reinen [[Dur-Dreiklang|Dur-Dreiklängen (3:4:5)]] zusammensetzt. Zwei dieser Dreiklänge haben jeweils einen Ton gemeinsam in der Form, dass die [[Quinte|Quinte]] des einen der Grundton des anderen ist:

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Wenn man diese Töne durch [[Oktavieren|Oktavieren]] in den Raum ''einer'' Oktave bringt (F und A nach oben, D nach unten):

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|}

...erhält man (nach Ergänzung des die Oktave abschließenden Cs) die aus dem Schulunterricht bekannte Durtonleiter:

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| | C
| | D
| | E
| | F
| | G
| | A
| | H
| | C
| | 
|}

= Geschichte =
Die reine diatonische Durtonleiter war bereits in der Antike bekannt, sie ist eine der von [https://de.wikipedia.org/wiki/Claudius_Ptolem%C3%A4us Claudius_Ptolemäus] beschriebenen Tonleitern. 

Die Bedeutung der reinen diatonischen Skala in der europäischen Musik, konkret die zentrale Stellung der Naturterz 5/4 anstelle der im Mittelalter verbreiteten pythagoräischen grossen Terz 81/64, geht wesentlich auf [https://de.wikipedia.org/wiki/Gioseffo_Zarlino Gioseffo Zarlino] zurück.

Für die reine diatonische Durskala sind deshalb auch die Bezeichnungen '''Ptolemäus' diatonische Skala''' und '''Zarlino-Skala''' gebräuchlich.

= Eigenschaften, "Nicetone" =
Die Töne der reinen Durtonleiter bilden zum Grundton Intervalle mit den folgenden Zahlenverhältnissen:

1/1, 9/8, 5/4, 4/3, 3/2, 5/3, 15/8.

Diese Skala ist '''keine''' [[MOS-Skalen|MOS-Skala]], denn sie enthält Intervalle in drei verschiedenen Grössen: den grossen Ganzton 9/8, den kleinen Ganzon 10/9 und den diatonischen Halbton 16/15, gemäss folgendem Muster: LMsLMLs (L steht für einen grossen Ganzton, M für einen kleinen Ganzton und s für einen diatonischen Halbton).

Skalen mit diesem Intervallmuster können auch in [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] vorkommen, typischerweise in solchen, welche die [[Mitteltönig|mitteltönige Temperatur]] nicht unterstützen. Beispiele sind [[15-EDO]] und [[29-EDO]]. Für Skalen dieser Art wurde im englischen Xenwiki der (nicht besonders originelle) Begriff '''Nicetone''' (etwa: nett-tönig) geprägt.</text>
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| de = Durtonleiter
| en = Ptolemy's intense diatonic
}}
Über die [[Reine Stimmung|rein intonierte]] '''Durtonleiter''' ist die Auffassung weit verbreitet, dass sich ihr Tonmaterial aus drei reinen [[Dur-Dreiklang|Dur-Dreiklängen (3:4:5)]] zusammensetzt. Zwei dieser Dreiklänge haben jeweils einen Ton gemeinsam in der Form, dass die [[Quinte|Quinte]] des einen der Grundton des anderen ist:

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|}

Wenn man diese Töne durch [[Oktavieren|Oktavieren]] in den Raum ''einer'' Oktave bringt (F und A nach oben, D nach unten):

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|}

...erhält man (nach Ergänzung des die Oktave abschließenden Cs) die aus dem Schulunterricht bekannte Durtonleiter:

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| | C
| | D
| | E
| | F
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| | C
| | 
|}

= Geschichte =
Die reine diatonische Durtonleiter war bereits in der Antike bekannt, sie ist eine der von [https://de.wikipedia.org/wiki/Claudius_Ptolem%C3%A4us Claudius_Ptolemäus] beschriebenen Tonleitern. 

Die Bedeutung der reinen diatonischen Skala in der europäischen Musik, konkret die zentrale Stellung der Naturterz 5/4 anstelle der im Mittelalter verbreiteten pythagoräischen grossen Terz 81/64, geht wesentlich auf [https://de.wikipedia.org/wiki/Gioseffo_Zarlino Gioseffo Zarlino] zurück.

Für die reine diatonische Durskala sind deshalb auch die Bezeichnungen '''Ptolemäus' diatonische Skala''' und '''Zarlino-Skala''' gebräuchlich.

= Eigenschaften, "Nicetone" =
Die Töne der reinen Durtonleiter bilden zum Grundton Intervalle mit den folgenden Zahlenverhältnissen:

1/1, 9/8, 5/4, 4/3, 3/2, 5/3, 15/8.

Diese Skala ist '''keine''' [[MOS-Skalen|MOS-Skala]], denn sie enthält Intervalle in drei verschiedenen Grössen: den grossen Ganzton 9/8, den kleinen Ganzon 10/9 und den diatonischen Halbton 16/15, gemäss folgendem Muster: LMsLMLs (L steht für einen grossen Ganzton, M für einen kleinen Ganzton und s für einen diatonischen Halbton).

Skalen mit diesem Intervallmuster können auch in [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] vorkommen, typischerweise in solchen, welche die [[Mitteltönig|mitteltönige Temperatur]] nicht unterstützen. Beispiele sind [[15-EDO]] und [[29-EDO]]. Für Skalen dieser Art wurde im englischen Xenwiki der (nicht besonders originelle) Begriff '''Nicetone''' (etwa: nett-tönig) geprägt.

Siehe [[en:Nicetone|Nicetone englisches Xenwiki)]].</text>
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| de = Durtonleiter
| en = Ptolemy's intense diatonic
}}
Über die [[Reine Stimmung|rein intonierte]] '''Durtonleiter''' ist die Auffassung weit verbreitet, dass sich ihr Tonmaterial aus drei reinen [[Dur-Dreiklang|Dur-Dreiklängen (3:4:5)]] zusammensetzt. Zwei dieser Dreiklänge haben jeweils einen Ton gemeinsam in der Form, dass die [[Quinte|Quinte]] des einen der Grundton des anderen ist:

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Wenn man diese Töne durch [[Oktavieren|Oktavieren]] in den Raum ''einer'' Oktave bringt (F und A nach oben, D nach unten):

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|}

...erhält man (nach Ergänzung des die Oktave abschließenden Cs) die aus dem Schulunterricht bekannte Durtonleiter:

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| | C
| | D
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|}

= Geschichte =
Die reine diatonische Durtonleiter war bereits in der Antike bekannt, sie ist eine der von [https://de.wikipedia.org/wiki/Claudius_Ptolem%C3%A4us Claudius_Ptolemäus] beschriebenen Tonleitern. 

Die Bedeutung der reinen diatonischen Skala in der europäischen Musik, konkret die zentrale Stellung der Naturterz 5/4 anstelle der im Mittelalter verbreiteten pythagoräischen grossen Terz 81/64, geht wesentlich auf [https://de.wikipedia.org/wiki/Gioseffo_Zarlino Gioseffo Zarlino] zurück.

Für die reine diatonische Durskala sind deshalb auch die Bezeichnungen '''Ptolemäus' diatonische Skala''' und '''Zarlino-Skala''' gebräuchlich.

= Eigenschaften, "Nicetone" =
Die Töne der reinen Durtonleiter bilden zum Grundton Intervalle mit den folgenden Zahlenverhältnissen:

1/1, 9/8, 5/4, 4/3, 3/2, 5/3, 15/8.

Diese Skala ist '''keine''' [[MOS-Skalen|MOS-Skala]], denn sie enthält Intervalle in drei verschiedenen Grössen: den grossen Ganzton 9/8, den kleinen Ganzon 10/9 und den diatonischen Halbton 16/15, gemäss folgendem Muster: LMsLMLs (L steht für einen grossen Ganzton, M für einen kleinen Ganzton und s für einen diatonischen Halbton).

Skalen mit diesem Intervallmuster können auch in [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] vorkommen, typischerweise in solchen, welche die [[Mitteltönig|mitteltönige Temperatur]] nicht unterstützen. Beispiele sind [[15-EDO]] und [[29-EDO]]. Für Skalen dieser Art wurde im englischen Xenwiki der (nicht besonders originelle) Begriff '''Nicetone''' (etwa: nett-tönig) geprägt.</text>
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| de = Durtonleiter
| en = Ptolemy's intense diatonic
}}
Über die [[Reine Stimmung|rein intonierte]] '''Durtonleiter''' ist die Auffassung weit verbreitet, dass sich ihr Tonmaterial aus drei reinen [[Dur-Dreiklang|Dur-Dreiklängen (3:4:5)]] zusammensetzt. Zwei dieser Dreiklänge haben jeweils einen Ton gemeinsam in der Form, dass die [[Quinte|Quinte]] des einen der Grundton des anderen ist:

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|-
| | F
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|}

Wenn man diese Töne durch [[Oktavieren|Oktavieren]] in den Raum ''einer'' Oktave bringt (F und A nach oben, D nach unten):

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|}

...erhält man (nach Ergänzung des die Oktave abschließenden Cs) die aus dem Schulunterricht bekannte Durtonleiter:

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|-
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| | C
| | D
| | E
| | F
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| | 
|}

= Geschichte =
Die reine diatonische Durtonleiter war bereits in der Antike bekannt, sie ist eine der von [https://de.wikipedia.org/wiki/Claudius_Ptolem%C3%A4us Claudius_Ptolemäus] beschriebenen Tonleitern. 

Die Bedeutung der reinen diatonischen Skala in der europäischen Musik, konkret die zentrale Stellung der Naturterz 5/4 anstelle der im Mittelalter verbreiteten pythagoräischen grossen Terz 81/64, geht wesentlich auf [https://de.wikipedia.org/wiki/Gioseffo_Zarlino Gioseffo Zarlino] zurück.

Für die reine diatonische Durskala sind deshalb auch die Bezeichnungen '''Ptolemäus' diatonische Skala''' und '''Zarlino-Skala''' gebräuchlich.

= Eigenschaften, "Nicetone" =
English: [[:en:Nicetone|Nicetone]]

Die Töne der reinen Durtonleiter bilden zum Grundton Intervalle mit den folgenden Zahlenverhältnissen:

1/1, 9/8, 5/4, 4/3, 3/2, 5/3, 15/8.

Diese Skala ist '''keine''' [[MOS-Skalen|MOS-Skala]], denn sie enthält Intervalle in drei verschiedenen Grössen: den grossen Ganzton 9/8, den kleinen Ganzon 10/9 und den diatonischen Halbton 16/15, gemäss folgendem Muster: LMsLMLs (L steht für einen grossen Ganzton, M für einen kleinen Ganzton und s für einen diatonischen Halbton).

Skalen mit diesem Intervallmuster können auch in [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] vorkommen, typischerweise in solchen, welche die [[Mitteltönig|mitteltönige Temperatur]] nicht unterstützen. Beispiele sind [[15-EDO]] und [[29-EDO]]. Für Skalen dieser Art wurde im englischen Xenwiki der (nicht besonders originelle) Begriff '''Nicetone''' (etwa: nett-tönig) geprägt.</text>
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| de = Durtonleiter
| en = Ptolemy's intense diatonic
}}
Über die [[Reine Stimmung|rein intonierte]] '''Durtonleiter''' ist die Auffassung weit verbreitet, dass sich ihr Tonmaterial aus drei reinen [[Dur-Dreiklang|Dur-Dreiklängen (3:4:5)]] zusammensetzt. Zwei dieser Dreiklänge haben jeweils einen Ton gemeinsam in der Form, dass die [[Quinte|Quinte]] des einen der Grundton des anderen ist:

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|-
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Wenn man diese Töne durch [[Oktavieren|Oktavieren]] in den Raum ''einer'' Oktave bringt (F und A nach oben, D nach unten):

{| class="wikitable"
|-
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| | 
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| | C
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| | '''F'''
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|-
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| | 
| | '''D'''
| | 
| | 
| | G
| | 
| | H
| | 
| | 
|}

...erhält man (nach Ergänzung des die Oktave abschließenden Cs) die aus dem Schulunterricht bekannte Durtonleiter:

{| class="wikitable"
|-
| | 
| | 
| | 
| | 
| | C
| | D
| | E
| | F
| | G
| | A
| | H
| | C
| | 
|}

= Geschichte =
Die reine diatonische Durtonleiter war bereits in der Antike bekannt, sie ist eine der von [https://de.wikipedia.org/wiki/Claudius_Ptolem%C3%A4us Claudius_Ptolemäus] beschriebenen Tonleitern. 

Die Bedeutung der reinen diatonischen Skala in der europäischen Musik, konkret die zentrale Stellung der Naturterz 5/4 anstelle der im Mittelalter verbreiteten pythagoräischen grossen Terz 81/64, geht wesentlich auf [https://de.wikipedia.org/wiki/Gioseffo_Zarlino Gioseffo Zarlino] zurück.

Für die reine diatonische Durskala sind deshalb auch die Bezeichnungen '''Ptolemäus' diatonische Skala''' und '''Zarlino-Skala''' gebräuchlich.

= Eigenschaften, "Nicetone" =
English: [[:en:Nicetone|Nicetone]]

Die Töne der reinen Durtonleiter bilden zum Grundton Intervalle mit den folgenden Zahlenverhältnissen:

1/1, 9/8, 5/4, 4/3, 3/2, 5/3, 15/8.

Diese Skala ist '''keine''' [[MOS-Skalen|MOS-Skala]], denn sie enthält Intervalle in drei verschiedenen Grössen: den grossen Ganzton 9/8, den kleinen Ganzton 10/9 und den diatonischen Halbton 16/15, gemäss folgendem Muster: LMsLMLs (L steht für einen grossen Ganzton, M für einen kleinen Ganzton und s für einen diatonischen Halbton).

Skalen mit diesem Intervallmuster können auch in [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] vorkommen, typischerweise in solchen, welche die [[Mitteltönig|mitteltönige Temperatur]] nicht unterstützen. Beispiele sind [[15-EDO]] und [[29-EDO]]. Für Skalen dieser Art wurde im englischen Xenwiki der (nicht besonders originelle) Begriff '''Nicetone''' (etwa: nett-tönig) geprägt.</text>
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'''EDF''' ist die englische Abkürzung für ''Equal Devision of Fifth'', die äquidistante Unterteilung der reinen [[Quinte|Quinte]].

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**EDF** ist die englische Abkürzung für //Equal Devision of Fifth//, die äquidistante Unterteilung der reinen [[Quinte]].
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'''EDF''' ist die englische Abkürzung für ''Equal Devision of Fifth'', die äquidistante Unterteilung der reinen [[Quinte|Quinte]].

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'''EDF''' ist die englische Abkürzung für ''Equal Devision of Fifth'', die äquidistante Unterteilung der reinen [[Quinte|Quinte]].

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'''EDF''' ist die englische Abkürzung für ''Equal Devision of Fifth'', die äquidistante Unterteilung der reinen [[Quinte|Quinte]].

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&lt;ol&gt;              &lt;li&gt;[[88cET|88cET]]&lt;/li&gt;                  &lt;li&gt;[[Wendy_Carlos|Wendy Carlos]]&lt;/li&gt;      &lt;/ol&gt;  [[Category:equal]]</text>
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'''EDF''' ist die englische Abkürzung für ''Equal Devision of Fifth'', die äquidistante Unterteilung der reinen [[Quinte|Quinte]].

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'''EDF''' ist die englische Abkürzung für ''Equal Devision of Fifth'', die äquidistante Unterteilung der reinen [[Quinte|Quinte]].

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'''EDF''' ist die englische Abkürzung für ''Equal Devision of Fifth'', die äquidistante Unterteilung der reinen [[Quinte|Quinte]].

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'''EDF''' ist die englische Abkürzung für ''Equal Devision of Fifth'', die äquidistante Unterteilung der reinen [[Quinte|Quinte]].

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[[Gleichstufige_Tonsysteme|Übersicht: Gleichstufige Tonsysteme]]

'''EDF''' ist die englische Abkürzung für ''Equal Devision of Fifth'', die äquidistante Unterteilung der reinen [[Quinte|Quinte]].

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[[Gleichstufige_Tonsysteme|Übersicht: Gleichstufige Tonsysteme]]

Die Abkürzung '''EDO''' steht in diesem Wiki für "equal division of the octave", also "gleichnmässige Unterteilung der Oktave". Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen [http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit Periode der japanischen Geschichte].
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=Gleichstufige Stimmung und gleichstufige Temperatur=
English: [[:en:EDO_vs_ET EDO vs ET]]

Eine andere gebräuchliche Bezeichnung für n-EDO ist '''ET-n''' oder '''n-TET''' (n-tone equal temperament), auf Deutsch "gleichstufige Temperatur" oder "gleichstufig temperierte Stimmung". Diese Bezeichnung ist vielleicht sogar die bekanntere.

Es wird jedoch in diesem Wiki (wie auch im englischen Xenharmonic Wiki) in der Regel die Bezeichnung "EDO" verwendet, wenn die "nackte" Definition der Tonhöhen (aus einer gleichmässigen Unterteilung des Oktavintervalls) gemeint ist. Bei dieser weisen ja bekanntlich sämtliche Intervalle (ausser der Oktave) irrationale Frequenzverhältnisse auf.

Der Begriff TET bzw."gleichstufige Temperatur" weist demgegenüber auf die Beziehung zu [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] hin - Temperaturen oder temperierte Stimmungen sind in diesem Sinn Tonsysteme, welche aus Approximationen reiner Intervalle hergeleitet wurden. In der Tat kann man, wie im Artikel über [[Verallgemeinerte_reguläre_Temperatur|Verallgemeinerte reguläre Temperaturen]] beschrieben, aus einem reinen Intervallraum durch Austemperieren mehrerer Kommas eine gleichstufige Temperatur bekommen.

Die Tonhöhen der gleichmässigen n-stufigen Stimmung und der gleichmässigen n-stufigen Temperatur sind vollkommen identisch, doch die letztere verfügt sozusagen über mehr "Struktur".

=Seiten zu konkreten EDOs=
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Ansonsten siehe [[:en:edo EDO-Seiten auf dem Xenharmonic-Wiki (englisch)]]</text>
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      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;xenwolf</username>
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      <comment>**Imported revision 602787610 - Original comment: **</comment>
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      <text bytes="13315" sha1="6mkqjbgi59vb69rk8935jg5kg6ta98c" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[Gleichstufige Tonsysteme|Übersicht: Gleichstufige Tonsysteme]]

Die Abkürzung **EDO** steht in diesem Wiki für "equal division of the octave", also "gleichnmässige Unterteilung der Oktave". Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen [[http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit|Periode der japanischen Geschichte]].

[[toc|flat]]
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=Gleichstufige Stimmung und gleichstufige Temperatur= 
English: [[xenharmonic/EDO vs ET|EDO vs ET]]

Eine andere gebräuchliche Bezeichnung für n-EDO ist **ET-n** oder **n-TET** (n-tone equal temperament), auf Deutsch "gleichstufige Temperatur" oder "gleichstufig temperierte Stimmung". Diese Bezeichnung ist vielleicht sogar die bekanntere.

Es wird jedoch in diesem Wiki (wie auch im englischen Xenharmonic Wiki) in der Regel die Bezeichnung "EDO" verwendet, wenn die "nackte" Definition der Tonhöhen (aus einer gleichmässigen Unterteilung des Oktavintervalls) gemeint ist. Bei dieser weisen ja bekanntlich sämtliche Intervalle (ausser der Oktave) irrationale Frequenzverhältnisse auf.

Der Begriff TET bzw."gleichstufige Temperatur" weist demgegenüber auf die Beziehung zu [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] hin - Temperaturen oder temperierte Stimmungen sind in diesem Sinn Tonsysteme, welche aus Approximationen reiner Intervalle hergeleitet wurden. In der Tat kann man, wie im Artikel über [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|Verallgemeinerte reguläre Temperaturen]] beschrieben, aus einem reinen Intervallraum durch Austemperieren mehrerer Kommas eine gleichstufige Temperatur bekommen.

Die Tonhöhen der gleichmässigen n-stufigen Stimmung und der gleichmässigen n-stufigen Temperatur sind vollkommen identisch, doch die letztere verfügt sozusagen über mehr "Struktur".

=Seiten zu konkreten EDOs= 
Auf diesem Wiki:
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Ansonsten siehe [[xenharmonic/edo|EDO-Seiten auf dem Xenharmonic-Wiki (englisch)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Die Abkürzung &amp;lt;strong&amp;gt;EDO&amp;lt;/strong&amp;gt; steht in diesem Wiki für &amp;amp;quot;equal division of the octave&amp;amp;quot;, also &amp;amp;quot;gleichnmässige Unterteilung der Oktave&amp;amp;quot;. Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit" rel="nofollow"&amp;gt;Periode der japanischen Geschichte&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Es wird jedoch in diesem Wiki (wie auch im englischen Xenharmonic Wiki) in der Regel die Bezeichnung &amp;amp;quot;EDO&amp;amp;quot; verwendet, wenn die &amp;amp;quot;nackte&amp;amp;quot; Definition der Tonhöhen (aus einer gleichmässigen Unterteilung des Oktavintervalls) gemeint ist. Bei dieser weisen ja bekanntlich sämtliche Intervalle (ausser der Oktave) irrationale Frequenzverhältnisse auf.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Tonhöhen der gleichmässigen n-stufigen Stimmung und der gleichmässigen n-stufigen Temperatur sind vollkommen identisch, doch die letztere verfügt sozusagen über mehr &amp;amp;quot;Struktur&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ansonsten siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/edo"&amp;gt;EDO-Seiten auf dem Xenharmonic-Wiki (englisch)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/edo|English]] - [[xenharmonic/オクターブ平均律|日本語]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[Gleichstufige Tonsysteme|Übersicht: Gleichstufige Tonsysteme]]

Die Abkürzung **EDO** steht in diesem Wiki für "equal division of the octave", also "gleichnmässige Unterteilung der Oktave". Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen [[http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit|Periode der japanischen Geschichte]].

[[toc|flat]]
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=Gleichstufige Stimmung und gleichstufige Temperatur= 
English: [[xenharmonic/EDO vs ET|EDO vs ET]]

Eine andere gebräuchliche Bezeichnung für n-EDO ist **ET-n** oder **n-TET** (n-tone equal temperament), auf Deutsch "gleichstufige Temperatur" oder "gleichstufig temperierte Stimmung". Diese Bezeichnung ist vielleicht sogar die bekanntere.

Es wird jedoch in diesem Wiki (wie auch im englischen Xenharmonic Wiki) in der Regel die Bezeichnung "EDO" verwendet, wenn die "nackte" Definition der Tonhöhen (aus einer gleichmässigen Unterteilung des Oktavintervalls) gemeint ist. Bei dieser weisen ja bekanntlich sämtliche Intervalle (ausser der Oktave) irrationale Frequenzverhältnisse auf.

Der Begriff TET bzw."gleichstufige Temperatur" weist demgegenüber auf die Beziehung zu [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] hin - Temperaturen oder temperierte Stimmungen sind in diesem Sinn Tonsysteme, welche aus Approximationen reiner Intervalle hergeleitet wurden. In der Tat kann man, wie im Artikel über [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|Verallgemeinerte reguläre Temperaturen]] beschrieben, aus einem reinen Intervallraum durch Austemperieren mehrerer Kommas eine gleichstufige Temperatur bekommen.

Die Tonhöhen der gleichmässigen n-stufigen Stimmung und der gleichmässigen n-stufigen Temperatur sind vollkommen identisch, doch die letztere verfügt sozusagen über mehr "Struktur".

=Seiten zu konkreten EDOs= 
Auf diesem Wiki:
||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   || [[12edo]] ||
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Ansonsten siehe [[xenharmonic/edo|EDO-Seiten auf dem Xenharmonic-Wiki (englisch)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/edo"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt; - &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/%E3%82%AA%E3%82%AF%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%83%96%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%BE%8B"&amp;gt;日本語&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Übersicht: Gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Abkürzung &amp;lt;strong&amp;gt;EDO&amp;lt;/strong&amp;gt; steht in diesem Wiki für &amp;amp;quot;equal division of the octave&amp;amp;quot;, also &amp;amp;quot;gleichnmässige Unterteilung der Oktave&amp;amp;quot;. Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit" rel="nofollow"&amp;gt;Periode der japanischen Geschichte&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/EDO%20vs%20ET"&amp;gt;EDO vs ET&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine andere gebräuchliche Bezeichnung für n-EDO ist &amp;lt;strong&amp;gt;ET-n&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;n-TET&amp;lt;/strong&amp;gt; (n-tone equal temperament), auf Deutsch &amp;amp;quot;gleichstufige Temperatur&amp;amp;quot; oder &amp;amp;quot;gleichstufig temperierte Stimmung&amp;amp;quot;. Diese Bezeichnung ist vielleicht sogar die bekanntere.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Es wird jedoch in diesem Wiki (wie auch im englischen Xenharmonic Wiki) in der Regel die Bezeichnung &amp;amp;quot;EDO&amp;amp;quot; verwendet, wenn die &amp;amp;quot;nackte&amp;amp;quot; Definition der Tonhöhen (aus einer gleichmässigen Unterteilung des Oktavintervalls) gemeint ist. Bei dieser weisen ja bekanntlich sämtliche Intervalle (ausser der Oktave) irrationale Frequenzverhältnisse auf.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Begriff TET bzw.&amp;amp;quot;gleichstufige Temperatur&amp;amp;quot; weist demgegenüber auf die Beziehung zu &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; hin - Temperaturen oder temperierte Stimmungen sind in diesem Sinn Tonsysteme, welche aus Approximationen reiner Intervalle hergeleitet wurden. In der Tat kann man, wie im Artikel über &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; beschrieben, aus einem reinen Intervallraum durch Austemperieren mehrerer Kommas eine gleichstufige Temperatur bekommen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Tonhöhen der gleichmässigen n-stufigen Stimmung und der gleichmässigen n-stufigen Temperatur sind vollkommen identisch, doch die letztere verfügt sozusagen über mehr &amp;amp;quot;Struktur&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ansonsten siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/edo"&amp;gt;EDO-Seiten auf dem Xenharmonic-Wiki (englisch)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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    <revision>
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      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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      <comment>**Imported revision 561883213 - Original comment: **</comment>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-10-09 07:33:07 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/edo|English]] - [[xenharmonic/オクターブ平均律|日本語]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[Gleichstufige Tonsysteme|Übersicht: Gleichstufige Tonsysteme]]

Die Abkürzung **EDO** steht in diesem Wiki für "equal division of the octave", also "gleichnmässige Unterteilung der Oktave". Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen [[http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit|Periode der japanischen Geschichte]].

[[toc|flat]]
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=Gleichstufige Stimmung und gleichstufige Temperatur= 
English: [[xenharmonic/EDO vs ET|EDO vs ET]]

Eine andere gebräuchliche Bezeichnung für n-EDO ist **ET-n** oder **n-TET** (n-tone equal temperament), auf Deutsch "gleichstufige Temperatur" oder "gleichstufig temperierte Stimmung". Diese Bezeichnung ist vielleicht sogar die bekanntere.

Es wird jedoch in diesem Wiki (wie auch im englischen Xenharmonic Wiki) in der Regel die Bezeichnung "EDO" verwendet, wenn die "nackte" Definition der Tonhöhen (aus einer gleichmässigen Unterteilung des Oktavintervalls) gemeint ist. Bei dieser weisen ja bekanntlich sämtliche Intervalle (ausser der Oktave) irrationale Frequenzverhältnisse auf.

Der Begriff TET bzw."gleichstufige Temperatur" weist demgegenüber auf die Beziehung zu [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] hin - Temperaturen oder temperierte Stimmungen sind in diesem Sinn Tonsysteme, welche aus Approximationen reiner Intervalle hergeleitet wurden. In der Tat kann man, wie im Artikel über [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|Verallgemeinerte reguläre Temperaturen]] beschrieben, aus einem reinen Intervallraum durch Austemperieren mehrerer Kommas eine gleichstufige Temperatur bekommen.

Die Tonhöhen der gleichmässigen n-stufigen Stimmung und der gleichmässigen n-stufigen Temperatur sind vollkommen identisch, doch die letztere verfügt sozusagen über mehr "Struktur".

=Seiten zu konkreten EDOs= 
Auf diesem Wiki:
||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   || [[12edo]] ||
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Ansonsten siehe [[xenharmonic/edo|EDO-Seiten auf dem Xenharmonic-Wiki (englisch)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/edo"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt; - &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/%E3%82%AA%E3%82%AF%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%83%96%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%BE%8B"&amp;gt;日本語&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Übersicht: Gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Abkürzung &amp;lt;strong&amp;gt;EDO&amp;lt;/strong&amp;gt; steht in diesem Wiki für &amp;amp;quot;equal division of the octave&amp;amp;quot;, also &amp;amp;quot;gleichnmässige Unterteilung der Oktave&amp;amp;quot;. Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit" rel="nofollow"&amp;gt;Periode der japanischen Geschichte&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/EDO%20vs%20ET"&amp;gt;EDO vs ET&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine andere gebräuchliche Bezeichnung für n-EDO ist &amp;lt;strong&amp;gt;ET-n&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;n-TET&amp;lt;/strong&amp;gt; (n-tone equal temperament), auf Deutsch &amp;amp;quot;gleichstufige Temperatur&amp;amp;quot; oder &amp;amp;quot;gleichstufig temperierte Stimmung&amp;amp;quot;. Diese Bezeichnung ist vielleicht sogar die bekanntere.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Es wird jedoch in diesem Wiki (wie auch im englischen Xenharmonic Wiki) in der Regel die Bezeichnung &amp;amp;quot;EDO&amp;amp;quot; verwendet, wenn die &amp;amp;quot;nackte&amp;amp;quot; Definition der Tonhöhen (aus einer gleichmässigen Unterteilung des Oktavintervalls) gemeint ist. Bei dieser weisen ja bekanntlich sämtliche Intervalle (ausser der Oktave) irrationale Frequenzverhältnisse auf.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Begriff TET bzw.&amp;amp;quot;gleichstufige Temperatur&amp;amp;quot; weist demgegenüber auf die Beziehung zu &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; hin - Temperaturen oder temperierte Stimmungen sind in diesem Sinn Tonsysteme, welche aus Approximationen reiner Intervalle hergeleitet wurden. In der Tat kann man, wie im Artikel über &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; beschrieben, aus einem reinen Intervallraum durch Austemperieren mehrerer Kommas eine gleichstufige Temperatur bekommen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Tonhöhen der gleichmässigen n-stufigen Stimmung und der gleichmässigen n-stufigen Temperatur sind vollkommen identisch, doch die letztere verfügt sozusagen über mehr &amp;amp;quot;Struktur&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Ansonsten siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/edo"&amp;gt;EDO-Seiten auf dem Xenharmonic-Wiki (englisch)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
      <sha1>n5xsczh9oongh0qn9fek7nnn9ilmip3</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>500</id>
      <timestamp>2015-10-09T07:31:15Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
        <id>0</id>
      </contributor>
      <comment>**Imported revision 561882917 - Original comment: **</comment>
      <origin>500</origin>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-10-09 07:31:15 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/edo|English]] - [[xenharmonic/19平均律|日本語]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[Gleichstufige Tonsysteme|Übersicht: Gleichstufige Tonsysteme]]

Die Abkürzung **EDO** steht in diesem Wiki für "equal division of the octave", also "gleichnmässige Unterteilung der Oktave". Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen [[http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit|Periode der japanischen Geschichte]].

[[toc|flat]]
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=Gleichstufige Stimmung und gleichstufige Temperatur= 
English: [[xenharmonic/EDO vs ET|EDO vs ET]]

Eine andere gebräuchliche Bezeichnung für n-EDO ist **ET-n** oder **n-TET** (n-tone equal temperament), auf Deutsch "gleichstufige Temperatur" oder "gleichstufig temperierte Stimmung". Diese Bezeichnung ist vielleicht sogar die bekanntere.

Es wird jedoch in diesem Wiki (wie auch im englischen Xenharmonic Wiki) in der Regel die Bezeichnung "EDO" verwendet, wenn die "nackte" Definition der Tonhöhen (aus einer gleichmässigen Unterteilung des Oktavintervalls) gemeint ist. Bei dieser weisen ja bekanntlich sämtliche Intervalle (ausser der Oktave) irrationale Frequenzverhältnisse auf.

Der Begriff TET bzw."gleichstufige Temperatur" weist demgegenüber auf die Beziehung zu [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] hin - Temperaturen oder temperierte Stimmungen sind in diesem Sinn Tonsysteme, welche aus Approximationen reiner Intervalle hergeleitet wurden. In der Tat kann man, wie im Artikel über [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|Verallgemeinerte reguläre Temperaturen]] beschrieben, aus einem reinen Intervallraum durch Austemperieren mehrerer Kommas eine gleichstufige Temperatur bekommen.

Die Tonhöhen der gleichmässigen n-stufigen Stimmung und der gleichmässigen n-stufigen Temperatur sind vollkommen identisch, doch die letztere verfügt sozusagen über mehr "Struktur".

=Seiten zu konkreten EDOs= 
Auf diesem Wiki:
||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   || [[12edo]] ||
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||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   || [[96edo]] ||

Ansonsten siehe [[xenharmonic/edo|EDO-Seiten auf dem Xenharmonic-Wiki (englisch)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/edo"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt; - &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/19%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%BE%8B"&amp;gt;日本語&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Übersicht: Gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Abkürzung &amp;lt;strong&amp;gt;EDO&amp;lt;/strong&amp;gt; steht in diesem Wiki für &amp;amp;quot;equal division of the octave&amp;amp;quot;, also &amp;amp;quot;gleichnmässige Unterteilung der Oktave&amp;amp;quot;. Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit" rel="nofollow"&amp;gt;Periode der japanischen Geschichte&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/EDO%20vs%20ET"&amp;gt;EDO vs ET&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine andere gebräuchliche Bezeichnung für n-EDO ist &amp;lt;strong&amp;gt;ET-n&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;n-TET&amp;lt;/strong&amp;gt; (n-tone equal temperament), auf Deutsch &amp;amp;quot;gleichstufige Temperatur&amp;amp;quot; oder &amp;amp;quot;gleichstufig temperierte Stimmung&amp;amp;quot;. Diese Bezeichnung ist vielleicht sogar die bekanntere.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Es wird jedoch in diesem Wiki (wie auch im englischen Xenharmonic Wiki) in der Regel die Bezeichnung &amp;amp;quot;EDO&amp;amp;quot; verwendet, wenn die &amp;amp;quot;nackte&amp;amp;quot; Definition der Tonhöhen (aus einer gleichmässigen Unterteilung des Oktavintervalls) gemeint ist. Bei dieser weisen ja bekanntlich sämtliche Intervalle (ausser der Oktave) irrationale Frequenzverhältnisse auf.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Begriff TET bzw.&amp;amp;quot;gleichstufige Temperatur&amp;amp;quot; weist demgegenüber auf die Beziehung zu &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; hin - Temperaturen oder temperierte Stimmungen sind in diesem Sinn Tonsysteme, welche aus Approximationen reiner Intervalle hergeleitet wurden. In der Tat kann man, wie im Artikel über &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; beschrieben, aus einem reinen Intervallraum durch Austemperieren mehrerer Kommas eine gleichstufige Temperatur bekommen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Tonhöhen der gleichmässigen n-stufigen Stimmung und der gleichmässigen n-stufigen Temperatur sind vollkommen identisch, doch die letztere verfügt sozusagen über mehr &amp;amp;quot;Struktur&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Ansonsten siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/edo"&amp;gt;EDO-Seiten auf dem Xenharmonic-Wiki (englisch)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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    </revision>
    <revision>
      <id>501</id>
      <timestamp>2015-08-13T07:14:51Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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      </contributor>
      <comment>**Imported revision 556616285 - Original comment: **</comment>
      <origin>501</origin>
      <model>wikitext</model>
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      <text bytes="13179" sha1="2ua1xctx3olym1gn4vjj6uxuvzvmt78" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-08-13 07:14:51 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/edo|English]] - [[xenharmonic/19平均律|日本語]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[Gleichstufige Tonsysteme|Übersicht: Gleichstufige Tonsysteme]]

Die Abkürzung **EDO** steht in diesem Wiki für "equal division of the octave", also "gleichnmässige Unterteilung der Oktave". Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen [[http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit|Periode der japanischen Geschichte]].

[[toc|flat]]
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=Gleichstufige Stimmung und gleichstufige Temperatur= 
English: [[xenharmonic/EDO vs ET|EDO vs ET]]

Eine andere gebräuchliche Bezeichnung für n-EDO ist **ET-n** oder **n-TET** (n-tone equal temperament), auf Deutsch "gleichstufige Temperatur" oder "gleichstufig temperierte Stimmung". Diese Bezeichnung ist vielleicht sogar die bekanntere.

Es wird jedoch in diesem Wiki (wie auch im englischen Xenharmonic Wiki) in der Regel die Bezeichnung "EDO" verwendet, wenn die "nackte" Definition der Tonhöhen (aus einer gleichmässigen Unterteilung des Oktavintervalls) gemeint ist. Bei dieser weisen ja bekanntlich sämtliche Intervalle (ausser der Oktave) irrationale Frequenzverhältnisse auf.

Der Begriff TET bzw."gleichstufige Temperatur" weist demgegenüber auf die Beziehung zu [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] hin - Temperaturen oder temperierte Stimmungen sind in diesem Sinn Tonsysteme, welche aus Approximationen reiner Intervalle hergeleitet wurden. In der Tat kann man, wie im Artikel über [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|Verallgemeinerte reguläre Temperaturen]] beschrieben, aus einem reinen Intervallraum durch Austemperieren mehrerer Kommas eine gleichstufige Temperatur bekommen.

Die Tonhöhen der gleichmässigen n-stufigen Stimmung und der gleichmässigen n-stufigen Temperatur sind vollkommen identisch, doch die letztere verfügt sozusagen über mehr "Struktur".

=Seiten zu konkreten EDOs= 
Auf diesem Wiki:
||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   || [[12edo]] ||
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||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||
||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   || [[96edo]] ||

Ansonsten siehe [[xenharmonic/edo|EDO-Seiten auf dem Xenharmonic-Wiki (englisch)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/edo"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt; - &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/19%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%BE%8B"&amp;gt;日本語&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Übersicht: Gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Abkürzung &amp;lt;strong&amp;gt;EDO&amp;lt;/strong&amp;gt; steht in diesem Wiki für &amp;amp;quot;equal division of the octave&amp;amp;quot;, also &amp;amp;quot;gleichnmässige Unterteilung der Oktave&amp;amp;quot;. Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit" rel="nofollow"&amp;gt;Periode der japanischen Geschichte&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/EDO%20vs%20ET"&amp;gt;EDO vs ET&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine andere gebräuchliche Bezeichnung für n-EDO ist &amp;lt;strong&amp;gt;ET-n&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;n-TET&amp;lt;/strong&amp;gt; (n-tone equal temperament), auf Deutsch &amp;amp;quot;gleichstufige Temperatur&amp;amp;quot; oder &amp;amp;quot;gleichstufig temperierte Stimmung&amp;amp;quot;. Diese Bezeichnung ist vielleicht sogar die bekanntere.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Es wird jedoch in diesem Wiki (wie auch im englischen Xenharmonic Wiki) in der Regel die Bezeichnung &amp;amp;quot;EDO&amp;amp;quot; verwendet, wenn die &amp;amp;quot;nackte&amp;amp;quot; Definition der Tonhöhen (aus einer gleichmässigen Unterteilung des Oktavintervalls) gemeint ist. Bei dieser weisen ja bekanntlich sämtliche Intervalle (ausser der Oktave) irrationale Frequenzverhältnisse auf.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Begriff TET bzw.&amp;amp;quot;gleichstufige Temperatur&amp;amp;quot; weist demgegenüber auf die Beziehung zu &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; hin - Temperaturen oder temperierte Stimmungen sind in diesem Sinn Tonsysteme, welche aus Approximationen reiner Intervalle hergeleitet wurden. In der Tat kann man, wie im Artikel über &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; beschrieben, aus einem reinen Intervallraum durch Austemperieren mehrerer Kommas eine gleichstufige Temperatur bekommen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Tonhöhen der gleichmässigen n-stufigen Stimmung und der gleichmässigen n-stufigen Temperatur sind vollkommen identisch, doch die letztere verfügt sozusagen über mehr &amp;amp;quot;Struktur&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ansonsten siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/edo"&amp;gt;EDO-Seiten auf dem Xenharmonic-Wiki (englisch)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
      <sha1>2ua1xctx3olym1gn4vjj6uxuvzvmt78</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>502</id>
      <timestamp>2013-12-11T03:10:40Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
        <id>0</id>
      </contributor>
      <comment>**Imported revision 476447978 - Original comment: **</comment>
      <origin>502</origin>
      <model>wikitext</model>
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      <text bytes="12901" sha1="nnb1sf9949v31zegh047kw9q2i1wago" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-12-11 03:10:40 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/edo]]

[[Gleichstufige Tonsysteme|Übersicht: Gleichstufige Tonsysteme]]

Die Abkürzung **EDO** steht in diesem Wiki für "equal division of the octave", also "gleichnmässige Unterteilung der Oktave". Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen [[http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit|Periode der japanischen Geschichte]].

[[toc|flat]]
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=Gleichstufige Stimmung und gleichstufige Temperatur= 
English: [[xenharmonic/EDO vs ET|EDO vs ET]]

Eine andere gebräuchliche Bezeichnung für n-EDO ist **ET-n** oder **n-TET** (n-tone equal temperament), auf Deutsch "gleichstufige Temperatur" oder "gleichstufig temperierte Stimmung". Diese Bezeichnung ist vielleicht sogar die bekanntere.

Es wird jedoch in diesem Wiki (wie auch im englischen Xenharmonic Wiki) in der Regel die Bezeichnung "EDO" verwendet, wenn die "nackte" Definition der Tonhöhen (aus einer gleichmässigen Unterteilung des Oktavintervalls) gemeint ist. Bei dieser weisen ja bekanntlich sämtliche Intervalle (ausser der Oktave) irrationale Frequenzverhältnisse auf.

Der Begriff TET bzw."gleichstufige Temperatur" weist demgegenüber auf die Beziehung zu [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] hin - Temperaturen oder temperierte Stimmungen sind in diesem Sinn Tonsysteme, welche aus Approximationen reiner Intervalle hergeleitet wurden. In der Tat kann man, wie im Artikel über [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|Verallgemeinerte reguläre Temperaturen]] beschrieben, aus einem reinen Intervallraum durch Austemperieren mehrerer Kommas eine gleichstufige Temperatur bekommen.

Die Tonhöhen der gleichmässigen n-stufigen Stimmung und der gleichmässigen n-stufigen Temperatur sind vollkommen identisch, doch die letztere verfügt sozusagen über mehr "Struktur".

=Seiten zu konkreten EDOs= 
Auf diesem Wiki:
||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   || [[12edo]] ||
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||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||
||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   || [[96edo]] ||

Ansonsten siehe [[xenharmonic/edo|EDO-Seiten auf dem Xenharmonic-Wiki (englisch)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/edo"&amp;gt;xenharmonic/edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Übersicht: Gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Abkürzung &amp;lt;strong&amp;gt;EDO&amp;lt;/strong&amp;gt; steht in diesem Wiki für &amp;amp;quot;equal division of the octave&amp;amp;quot;, also &amp;amp;quot;gleichnmässige Unterteilung der Oktave&amp;amp;quot;. Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit" rel="nofollow"&amp;gt;Periode der japanischen Geschichte&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:4:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:4 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:5: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Gleichstufige Stimmung und gleichstufige Temperatur"&amp;gt;Gleichstufige Stimmung und gleichstufige Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:5 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:6: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Seiten zu konkreten EDOs"&amp;gt;Seiten zu konkreten EDOs&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:6 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:7: --&amp;gt;
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 English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/EDO%20vs%20ET"&amp;gt;EDO vs ET&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine andere gebräuchliche Bezeichnung für n-EDO ist &amp;lt;strong&amp;gt;ET-n&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;n-TET&amp;lt;/strong&amp;gt; (n-tone equal temperament), auf Deutsch &amp;amp;quot;gleichstufige Temperatur&amp;amp;quot; oder &amp;amp;quot;gleichstufig temperierte Stimmung&amp;amp;quot;. Diese Bezeichnung ist vielleicht sogar die bekanntere.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Es wird jedoch in diesem Wiki (wie auch im englischen Xenharmonic Wiki) in der Regel die Bezeichnung &amp;amp;quot;EDO&amp;amp;quot; verwendet, wenn die &amp;amp;quot;nackte&amp;amp;quot; Definition der Tonhöhen (aus einer gleichmässigen Unterteilung des Oktavintervalls) gemeint ist. Bei dieser weisen ja bekanntlich sämtliche Intervalle (ausser der Oktave) irrationale Frequenzverhältnisse auf.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Begriff TET bzw.&amp;amp;quot;gleichstufige Temperatur&amp;amp;quot; weist demgegenüber auf die Beziehung zu &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; hin - Temperaturen oder temperierte Stimmungen sind in diesem Sinn Tonsysteme, welche aus Approximationen reiner Intervalle hergeleitet wurden. In der Tat kann man, wie im Artikel über &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; beschrieben, aus einem reinen Intervallraum durch Austemperieren mehrerer Kommas eine gleichstufige Temperatur bekommen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Tonhöhen der gleichmässigen n-stufigen Stimmung und der gleichmässigen n-stufigen Temperatur sind vollkommen identisch, doch die letztere verfügt sozusagen über mehr &amp;amp;quot;Struktur&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Ansonsten siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/edo"&amp;gt;EDO-Seiten auf dem Xenharmonic-Wiki (englisch)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
      <sha1>nnb1sf9949v31zegh047kw9q2i1wago</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>503</id>
      <timestamp>2013-08-15T06:15:31Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
        <id>0</id>
      </contributor>
      <comment>**Imported revision 444915250 - Original comment: **</comment>
      <origin>503</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="12725" sha1="6uqoyhoqj7c68guqts6qynnwhnjh8vq" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-08-15 06:15:31 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/edo]]

[[Gleichstufige Tonsysteme|Übersicht: Gleichstufige Tonsysteme]]

Die Abkürzung **EDO** steht in diesem Wiki für "equal division of the octave", also "gleichnmässige Unterteilung der Oktave". Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen [[http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit|Periode der japanischen Geschichte]].

[[toc|flat]]
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=Gleichstufige Stimmung und gleichstufige Temperatur= 
English: [[xenharmonic/EDO vs ET|EDO vs ET]]

Eine andere gebräuchliche Bezeichnung für n-EDO ist **ET-n** oder **n-TET** (n-tone equal temperament), auf Deutsch "gleichstufige Temperatur" oder "gleichstufig temperierte Stimmung". Diese Bezeichnung ist vielleicht sogar die bekanntere.

Es wird jedoch in diesem Wiki (wie auch im englischen Xenharmonic Wiki) in der Regel die Bezeichnung "EDO" verwendet, wenn die "nackte" Definition der Tonhöhen (aus einer gleichmässigen Unterteilung des Oktavintervalls) gemeint ist. Bei dieser weisen ja bekanntlich sämtliche Intervalle (ausser der Oktave) irrationale Frequenzverhältnisse auf.

Der Begriff TET bzw."gleichstufige Temperatur" weist demgegenüber auf die Beziehung zu [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] hin - Temperaturen oder temperierte Stimmungen sind in diesem Sinn Tonsysteme, welche aus Approximationen reiner Intervalle hergeleitet wurden. In der Tat kann man, wie im Artikel über [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|Verallgemeinerte reguläre Temperaturen]] beschrieben, aus einem reinen Intervallraum durch Austemperieren mehrerer Kommas eine gleichstufige Temperatur bekommen.

Die Tonhöhen der gleichmässigen n-stufigen Stimmung und der gleichmässigen n-stufigen Temperatur sind vollkommen identisch, doch die letztere verfügt sozusagen über mehr "Struktur".

=Seiten zu konkreten EDOs= 
Auf diesem Wiki:
||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   || [[12edo]] ||
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||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   || [[96edo]] ||

Ansonsten siehe [[xenharmonic/edo|EDO-Seiten auf dem Xenharmonic-Wiki (englisch)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/edo"&amp;gt;xenharmonic/edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Übersicht: Gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Abkürzung &amp;lt;strong&amp;gt;EDO&amp;lt;/strong&amp;gt; steht in diesem Wiki für &amp;amp;quot;equal division of the octave&amp;amp;quot;, also &amp;amp;quot;gleichnmässige Unterteilung der Oktave&amp;amp;quot;. Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit" rel="nofollow"&amp;gt;Periode der japanischen Geschichte&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/EDO%20vs%20ET"&amp;gt;EDO vs ET&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine andere gebräuchliche Bezeichnung für n-EDO ist &amp;lt;strong&amp;gt;ET-n&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;n-TET&amp;lt;/strong&amp;gt; (n-tone equal temperament), auf Deutsch &amp;amp;quot;gleichstufige Temperatur&amp;amp;quot; oder &amp;amp;quot;gleichstufig temperierte Stimmung&amp;amp;quot;. Diese Bezeichnung ist vielleicht sogar die bekanntere.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Es wird jedoch in diesem Wiki (wie auch im englischen Xenharmonic Wiki) in der Regel die Bezeichnung &amp;amp;quot;EDO&amp;amp;quot; verwendet, wenn die &amp;amp;quot;nackte&amp;amp;quot; Definition der Tonhöhen (aus einer gleichmässigen Unterteilung des Oktavintervalls) gemeint ist. Bei dieser weisen ja bekanntlich sämtliche Intervalle (ausser der Oktave) irrationale Frequenzverhältnisse auf.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Begriff TET bzw.&amp;amp;quot;gleichstufige Temperatur&amp;amp;quot; weist demgegenüber auf die Beziehung zu &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; hin - Temperaturen oder temperierte Stimmungen sind in diesem Sinn Tonsysteme, welche aus Approximationen reiner Intervalle hergeleitet wurden. In der Tat kann man, wie im Artikel über &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; beschrieben, aus einem reinen Intervallraum durch Austemperieren mehrerer Kommas eine gleichstufige Temperatur bekommen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Tonhöhen der gleichmässigen n-stufigen Stimmung und der gleichmässigen n-stufigen Temperatur sind vollkommen identisch, doch die letztere verfügt sozusagen über mehr &amp;amp;quot;Struktur&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Ansonsten siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/edo"&amp;gt;EDO-Seiten auf dem Xenharmonic-Wiki (englisch)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
      <sha1>6uqoyhoqj7c68guqts6qynnwhnjh8vq</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>504</id>
      <timestamp>2013-08-12T11:21:17Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
        <id>0</id>
      </contributor>
      <comment>**Imported revision 444434988 - Original comment: **</comment>
      <origin>504</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11441" sha1="dkquxpfjkbfo87424jn5xxc9xyl8vnq" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-08-12 11:21:17 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/edo]]

[[Gleichstufige Tonsysteme|Übersicht: Gleichstufige Tonsysteme]]

Die Abkürzung **EDO** steht in diesem Wiki für "equal division of the octave", also "gleichnmässige Unterteilung der Oktave". Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen [[http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit|Periode der japanischen Geschichte]].

[[toc|flat]]
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=Gleichstufige Stimmung und gleichstufige Temperatur= 
English: [[xenharmonic/EDO vs ET|EDO vs ET]]

Eine andere gebräuchliche Bezeichnung für n-EDO ist **ET-n** oder **n-TET** (n-tone equal temperament), auf Deutsch "gleichstufige Temperatur" oder "gleichstufig temperierte Stimmung". Diese Bezeichnung ist vielleicht sogar die bekanntere.

Es wird jedoch in diesem Wiki (wie auch im englischen Xenharmonic Wiki) in der Regel die Bezeichnung "EDO" verwendet, wenn die "nackte" Definition der Tonhöhen (aus einer gleichmässigen Unterteilung des Oktavintervalls) gemeint ist. Bei dieser weisen ja bekanntlich sämtliche Intervalle (ausser der Oktave) irrationale Frequenzverhältnisse auf.

Der Begriff TET bzw."gleichstufige Temperatur" weist demgegenüber auf die Beziehung zu [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] hin - Temperaturen oder temperierte Stimmungen sind in diesem Sinn Tonsysteme, welche aus Approximationen reiner Intervalle hergeleitet wurden. In der Tat kann man, wie im Artikel über [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|Verallgemeinerte reguläre Temperaturen]] beschrieben, aus einem reinen Intervallraum durch Austemperieren mehrerer Kommas eine gleichstufige Temperatur bekommen.

Die Tonhöhen der gleichmässigen n-stufigen Stimmung und der gleichmässigen n-stufigen Temperatur sind vollkommen identisch, doch die letztere verfügt sozusagen über mehr "Struktur".

=Seiten zu konkreten EDOs= 
Auf diesem Wiki:
||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   || [[12edo]] ||
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||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   || [[72edo]] ||

Ansonsten siehe [[xenharmonic/edo|EDO-Seiten auf dem Xenharmonic-Wiki (englisch)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/edo"&amp;gt;xenharmonic/edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Übersicht: Gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Abkürzung &amp;lt;strong&amp;gt;EDO&amp;lt;/strong&amp;gt; steht in diesem Wiki für &amp;amp;quot;equal division of the octave&amp;amp;quot;, also &amp;amp;quot;gleichnmässige Unterteilung der Oktave&amp;amp;quot;. Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit" rel="nofollow"&amp;gt;Periode der japanischen Geschichte&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/EDO%20vs%20ET"&amp;gt;EDO vs ET&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine andere gebräuchliche Bezeichnung für n-EDO ist &amp;lt;strong&amp;gt;ET-n&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;n-TET&amp;lt;/strong&amp;gt; (n-tone equal temperament), auf Deutsch &amp;amp;quot;gleichstufige Temperatur&amp;amp;quot; oder &amp;amp;quot;gleichstufig temperierte Stimmung&amp;amp;quot;. Diese Bezeichnung ist vielleicht sogar die bekanntere.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Es wird jedoch in diesem Wiki (wie auch im englischen Xenharmonic Wiki) in der Regel die Bezeichnung &amp;amp;quot;EDO&amp;amp;quot; verwendet, wenn die &amp;amp;quot;nackte&amp;amp;quot; Definition der Tonhöhen (aus einer gleichmässigen Unterteilung des Oktavintervalls) gemeint ist. Bei dieser weisen ja bekanntlich sämtliche Intervalle (ausser der Oktave) irrationale Frequenzverhältnisse auf.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Begriff TET bzw.&amp;amp;quot;gleichstufige Temperatur&amp;amp;quot; weist demgegenüber auf die Beziehung zu &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; hin - Temperaturen oder temperierte Stimmungen sind in diesem Sinn Tonsysteme, welche aus Approximationen reiner Intervalle hergeleitet wurden. In der Tat kann man, wie im Artikel über &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; beschrieben, aus einem reinen Intervallraum durch Austemperieren mehrerer Kommas eine gleichstufige Temperatur bekommen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Tonhöhen der gleichmässigen n-stufigen Stimmung und der gleichmässigen n-stufigen Temperatur sind vollkommen identisch, doch die letztere verfügt sozusagen über mehr &amp;amp;quot;Struktur&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Ansonsten siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/edo"&amp;gt;EDO-Seiten auf dem Xenharmonic-Wiki (englisch)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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    <revision>
      <id>505</id>
      <timestamp>2013-08-12T11:19:33Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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      <comment>**Imported revision 444434712 - Original comment: **</comment>
      <origin>505</origin>
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      <text bytes="11441" sha1="golfepqzwpvjhanap2bx12wveacvzrl" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-08-12 11:19:33 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/edo]]

[[Gleichstufige Tonsysteme|Übersicht: Gleichstufige Tonsysteme]]

Die Abkürzung **EDO** steht in diesem Wiki für "equal division of the octave", also "gleichnmässige Unterteilung der Oktave". Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen [[http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit|Periode der japanischen Geschichte]].

[[toc|flat]]
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=Gleichstufige Stimmung und gleichstufige Temperatur= 
English: [[xenharmonic/EDO vs ET|EDO vs ET]]

Eine andere gebräuchliche Bezeichnung für n-EDO ist **ET-n** oder **n-TET** (n-tone equal temperament), auf Deutsch "gleichstufige Temperatur" oder "gleichstufig temperierte Stimmung". Diese Bezeichnung ist vielleicht sogar die bekanntere.

Es wird jedoch in diesem Wiki (wie auch im englischen Xenharmonic Wiki) in der Regel die Bezeichnung "EDO" verwendet, wenn die "nackte" Definition der Tonhöhen (aus einer gleichmässigen Unterteilung des Oktavintervalls) gemeint ist. Bei dieser weisen ja bekanntlich sämtliche Intervalle (ausser der Oktave) irrationale Frequenzverhältnisse auf. 

Der Begriff TET bzw."gleichstufige Temperatur" weist demgegenüber auf die Beziehung zu [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] hin - Temperaturen oder temperierte Stimmungen sind in diesem Sinn Tonsysteme, welche aus Approximationen reiner Intervalle hergeleitet wurden. In der Tat kann man, wie im Artikel über [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|Verallgemeinerte reguläre Temperaturen]] beschrieben, aus einem reinen Intervallraum durch Austemperieren mehrerer Kommas eine gleichstufige Temperatur bekommen.

Die Tonhöhen der gleichmässigen n-stufigen Stimmung und der gleichstufigen n-stufigen Temperatur sind vollkommen identisch, doch die letztere verfügt sozusagen über mehr "Struktur".

=Seiten zu konkreten EDOs= 
Auf diesem Wiki:
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||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   || [[72edo]] ||

Ansonsten siehe [[xenharmonic/edo|EDO-Seiten auf dem Xenharmonic-Wiki (englisch)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;edo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/edo"&amp;gt;xenharmonic/edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Übersicht: Gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Abkürzung &amp;lt;strong&amp;gt;EDO&amp;lt;/strong&amp;gt; steht in diesem Wiki für &amp;amp;quot;equal division of the octave&amp;amp;quot;, also &amp;amp;quot;gleichnmässige Unterteilung der Oktave&amp;amp;quot;. Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit" rel="nofollow"&amp;gt;Periode der japanischen Geschichte&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/EDO%20vs%20ET"&amp;gt;EDO vs ET&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine andere gebräuchliche Bezeichnung für n-EDO ist &amp;lt;strong&amp;gt;ET-n&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;n-TET&amp;lt;/strong&amp;gt; (n-tone equal temperament), auf Deutsch &amp;amp;quot;gleichstufige Temperatur&amp;amp;quot; oder &amp;amp;quot;gleichstufig temperierte Stimmung&amp;amp;quot;. Diese Bezeichnung ist vielleicht sogar die bekanntere.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Es wird jedoch in diesem Wiki (wie auch im englischen Xenharmonic Wiki) in der Regel die Bezeichnung &amp;amp;quot;EDO&amp;amp;quot; verwendet, wenn die &amp;amp;quot;nackte&amp;amp;quot; Definition der Tonhöhen (aus einer gleichmässigen Unterteilung des Oktavintervalls) gemeint ist. Bei dieser weisen ja bekanntlich sämtliche Intervalle (ausser der Oktave) irrationale Frequenzverhältnisse auf. &amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Begriff TET bzw.&amp;amp;quot;gleichstufige Temperatur&amp;amp;quot; weist demgegenüber auf die Beziehung zu &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; hin - Temperaturen oder temperierte Stimmungen sind in diesem Sinn Tonsysteme, welche aus Approximationen reiner Intervalle hergeleitet wurden. In der Tat kann man, wie im Artikel über &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; beschrieben, aus einem reinen Intervallraum durch Austemperieren mehrerer Kommas eine gleichstufige Temperatur bekommen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Tonhöhen der gleichmässigen n-stufigen Stimmung und der gleichstufigen n-stufigen Temperatur sind vollkommen identisch, doch die letztere verfügt sozusagen über mehr &amp;amp;quot;Struktur&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ansonsten siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/edo"&amp;gt;EDO-Seiten auf dem Xenharmonic-Wiki (englisch)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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    <revision>
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      <timestamp>2013-08-12T10:34:55Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
        <id>0</id>
      </contributor>
      <comment>**Imported revision 444426306 - Original comment: **</comment>
      <origin>506</origin>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
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[[Gleichstufige Tonsysteme|Übersicht: Gleichstufige Tonsysteme]]

Die Abkürzung EDO steht in diesem Wiki für "equal division of the octave", also "gleichnmässige Unterteilung der Oktave". Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen [[http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit|Periode der japanischen Geschichte]].

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=Gleichstufige Stimmung und gleichstufige Temperatur= 
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English: [[xenharmonic/EDO vs ET|EDO vs ET]]

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Ansonsten siehe [[xenharmonic/edo|EDO-Seiten auf dem Xenharmonic-Wiki (englisch)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die Abkürzung EDO steht in diesem Wiki für &amp;amp;quot;equal division of the octave&amp;amp;quot;, also &amp;amp;quot;gleichnmässige Unterteilung der Oktave&amp;amp;quot;. Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit" rel="nofollow"&amp;gt;Periode der japanischen Geschichte&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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[[Gleichstufige Tonsysteme|Übersicht: Gleichstufige Tonsysteme]]

Die Abkürzung EDO steht in diesem Wiki für "equal division of the octave", also "gleichnmässige Unterteilung der Oktave". Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen [[http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit|Periode der japanischen Geschichte]].

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Die Abkürzung EDO steht in diesem Wiki für &amp;amp;quot;equal division of the octave&amp;amp;quot;, also &amp;amp;quot;gleichnmässige Unterteilung der Oktave&amp;amp;quot;. Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit" rel="nofollow"&amp;gt;Periode der japanischen Geschichte&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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Ansonsten siehe [[xenharmonic/edo|EDO-Seiten auf dem Xenharmonic-Wiki (englisch)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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      <timestamp>2013-04-24T05:56:07Z</timestamp>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
        <id>0</id>
      </contributor>
      <comment>**Imported revision 425955592 - Original comment: **</comment>
      <origin>513</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
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[[Gleichstufige_Tonsysteme|Übersicht: Gleichstufige Tonsysteme]]

Die Abkürzung '''EDO''' steht in diesem Wiki für "equal division of the octave", also "gleichnmässige Unterteilung der Oktave". Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen [http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit Periode der japanischen Geschichte].
__FORCETOC__
-----

=Gleichstufige Stimmung und gleichstufige Temperatur=
English: [[:en:EDO_vs_ET|EDO vs ET]]

Eine andere gebräuchliche Bezeichnung für n-EDO ist '''ET-n''' oder '''n-TET''' (n-tone equal temperament), auf Deutsch "gleichstufige Temperatur" oder "gleichstufig temperierte Stimmung". Diese Bezeichnung ist vielleicht sogar die bekanntere.

Es wird jedoch in diesem Wiki (wie auch im englischen Xenharmonic Wiki) in der Regel die Bezeichnung "EDO" verwendet, wenn die "nackte" Definition der Tonhöhen (aus einer gleichmässigen Unterteilung des Oktavintervalls) gemeint ist. Bei dieser weisen ja bekanntlich sämtliche Intervalle (ausser der Oktave) irrationale Frequenzverhältnisse auf.

Der Begriff TET bzw."gleichstufige Temperatur" weist demgegenüber auf die Beziehung zu [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] hin - Temperaturen oder temperierte Stimmungen sind in diesem Sinn Tonsysteme, welche aus Approximationen reiner Intervalle hergeleitet wurden. In der Tat kann man, wie im Artikel über [[Verallgemeinerte_reguläre_Temperatur|Verallgemeinerte reguläre Temperaturen]] beschrieben, aus einem reinen Intervallraum durch Austemperieren mehrerer Kommas eine gleichstufige Temperatur bekommen.

Die Tonhöhen der gleichmässigen n-stufigen Stimmung und der gleichmässigen n-stufigen Temperatur sind vollkommen identisch, doch die letztere verfügt sozusagen über mehr "Struktur".

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Ansonsten siehe [[:en:edo|EDO-Seiten auf dem Xenharmonic-Wiki (englisch)]]</text>
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[[Gleichstufige_Tonsysteme|Übersicht: Gleichstufige Tonsysteme]]

Die Abkürzung '''EDO''' steht in diesem Wiki für "equal division of the octave", also "gleichnmässige Unterteilung der Oktave". Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen [http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit Periode der japanischen Geschichte].
__FORCETOC__
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=Gleichstufige Stimmung und gleichstufige Temperatur=
English: [[:en:EDO_vs_ET|EDO vs ET]]

Eine andere gebräuchliche Bezeichnung für n-EDO ist '''ET-n''' oder '''n-TET''' (n-tone equal temperament), auf Deutsch "gleichstufige Temperatur" oder "gleichstufig temperierte Stimmung". Diese Bezeichnung ist vielleicht sogar die bekanntere.

Es wird jedoch in diesem Wiki (wie auch im englischen Xenharmonic Wiki) in der Regel die Bezeichnung "EDO" verwendet, wenn die "nackte" Definition der Tonhöhen (aus einer gleichmässigen Unterteilung des Oktavintervalls) gemeint ist. Bei dieser weisen ja bekanntlich sämtliche Intervalle (ausser der Oktave) irrationale Frequenzverhältnisse auf.

Der Begriff TET bzw."gleichstufige Temperatur" weist demgegenüber auf die Beziehung zu [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] hin - Temperaturen oder temperierte Stimmungen sind in diesem Sinn Tonsysteme, welche aus Approximationen reiner Intervalle hergeleitet wurden. In der Tat kann man, wie im Artikel über [[Verallgemeinerte_reguläre_Temperatur|Verallgemeinerte reguläre Temperaturen]] beschrieben, aus einem reinen Intervallraum durch Austemperieren mehrerer Kommas eine gleichstufige Temperatur bekommen.

Die Tonhöhen der gleichmässigen n-stufigen Stimmung und der gleichmässigen n-stufigen Temperatur sind vollkommen identisch, doch die letztere verfügt sozusagen über mehr "Struktur".

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Ansonsten siehe [[:en:edo|EDO-Seiten auf dem Xenharmonic-Wiki (englisch)]]</text>
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[[Gleichstufige_Tonsysteme|Übersicht: Gleichstufige Tonsysteme]]

Die Abkürzung '''EDO''' steht in diesem Wiki für "equal division of the octave", also "gleichnmässige Unterteilung der Oktave". Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen [http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit Periode der japanischen Geschichte].
__FORCETOC__
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=Gleichstufige Stimmung und gleichstufige Temperatur=
English: [[:en:EDO_vs_ET|EDO vs ET]]

Eine andere gebräuchliche Bezeichnung für n-EDO ist '''ET-n''' oder '''n-TET''' (n-tone equal temperament), auf Deutsch "gleichstufige Temperatur" oder "gleichstufig temperierte Stimmung". Diese Bezeichnung ist vielleicht sogar die bekanntere.

Es wird jedoch in diesem Wiki (wie auch im englischen Xenharmonic Wiki) in der Regel die Bezeichnung "EDO" verwendet, wenn die "nackte" Definition der Tonhöhen (aus einer gleichmässigen Unterteilung des Oktavintervalls) gemeint ist. Bei dieser weisen ja bekanntlich sämtliche Intervalle (ausser der Oktave) irrationale Frequenzverhältnisse auf.

Der Begriff TET bzw."gleichstufige Temperatur" weist demgegenüber auf die Beziehung zu [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] hin - Temperaturen oder temperierte Stimmungen sind in diesem Sinn Tonsysteme, welche aus Approximationen reiner Intervalle hergeleitet wurden. In der Tat kann man, wie im Artikel über [[Verallgemeinerte_reguläre_Temperatur|Verallgemeinerte reguläre Temperaturen]] beschrieben, aus einem reinen Intervallraum durch Austemperieren mehrerer Kommas eine gleichstufige Temperatur bekommen.

Die Tonhöhen der gleichmässigen n-stufigen Stimmung und der gleichmässigen n-stufigen Temperatur sind vollkommen identisch, doch die letztere verfügt sozusagen über mehr "Struktur".

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Ansonsten siehe [[:en:edo|EDO-Seiten auf dem Xenharmonic-Wiki (englisch)]]</text>
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[[Gleichstufige_Tonsysteme|Übersicht: Gleichstufige Tonsysteme]]

Die Abkürzung '''EDO''' steht in diesem Wiki für "equal division of the octave", also "gleichnmässige Unterteilung der Oktave". Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen [http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit Periode der japanischen Geschichte].
__FORCETOC__
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=Gleichstufige Stimmung und gleichstufige Temperatur=
English: [[:en:EDO_vs_ET|EDO vs ET]]

Eine andere gebräuchliche Bezeichnung für n-EDO ist '''ET-n''' oder '''n-TET''' (n-tone equal temperament), auf Deutsch "gleichstufige Temperatur" oder "gleichstufig temperierte Stimmung". Diese Bezeichnung ist vielleicht sogar die bekanntere.

Es wird jedoch in diesem Wiki (wie auch im englischen Xenharmonic Wiki) in der Regel die Bezeichnung "EDO" verwendet, wenn die "nackte" Definition der Tonhöhen (aus einer gleichmässigen Unterteilung des Oktavintervalls) gemeint ist. Bei dieser weisen ja bekanntlich sämtliche Intervalle (ausser der Oktave) irrationale Frequenzverhältnisse auf.

Der Begriff TET bzw."gleichstufige Temperatur" weist demgegenüber auf die Beziehung zu [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] hin - Temperaturen oder temperierte Stimmungen sind in diesem Sinn Tonsysteme, welche aus Approximationen reiner Intervalle hergeleitet wurden. In der Tat kann man, wie im Artikel über [[Verallgemeinerte_reguläre_Temperatur|Verallgemeinerte reguläre Temperaturen]] beschrieben, aus einem reinen Intervallraum durch Austemperieren mehrerer Kommas eine gleichstufige Temperatur bekommen.

Die Tonhöhen der gleichmässigen n-stufigen Stimmung und der gleichmässigen n-stufigen Temperatur sind vollkommen identisch, doch die letztere verfügt sozusagen über mehr "Struktur".

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| | [[96edo|96edo]]
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Ansonsten siehe [[:en:edo|EDO-Seiten auf dem Xenharmonic-Wiki (englisch)]]</text>
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[[Gleichstufige_Tonsysteme|Übersicht: Gleichstufige Tonsysteme]]

Die Abkürzung '''EDO''' steht in diesem Wiki für "equal division of the octave", also "gleichnmässige Unterteilung der Oktave". Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen [http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit Periode der japanischen Geschichte].
__FORCETOC__
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=Gleichstufige Stimmung und gleichstufige Temperatur=
English: [[en:EDO_vs_ET]]

Eine andere gebräuchliche Bezeichnung für n-EDO ist '''ET-n''' oder '''n-TET''' (n-tone equal temperament), auf Deutsch "gleichstufige Temperatur" oder "gleichstufig temperierte Stimmung". Diese Bezeichnung ist vielleicht sogar die bekanntere.

Es wird jedoch in diesem Wiki (wie auch im englischen Xenharmonic Wiki) in der Regel die Bezeichnung "EDO" verwendet, wenn die "nackte" Definition der Tonhöhen (aus einer gleichmässigen Unterteilung des Oktavintervalls) gemeint ist. Bei dieser weisen ja bekanntlich sämtliche Intervalle (ausser der Oktave) irrationale Frequenzverhältnisse auf.

Der Begriff TET bzw."gleichstufige Temperatur" weist demgegenüber auf die Beziehung zu [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] hin - Temperaturen oder temperierte Stimmungen sind in diesem Sinn Tonsysteme, welche aus Approximationen reiner Intervalle hergeleitet wurden. In der Tat kann man, wie im Artikel über [[Verallgemeinerte_reguläre_Temperatur|Verallgemeinerte reguläre Temperaturen]] beschrieben, aus einem reinen Intervallraum durch Austemperieren mehrerer Kommas eine gleichstufige Temperatur bekommen.

Die Tonhöhen der gleichmässigen n-stufigen Stimmung und der gleichmässigen n-stufigen Temperatur sind vollkommen identisch, doch die letztere verfügt sozusagen über mehr "Struktur".

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Ansonsten siehe [[:en:edo|EDO-Seiten auf dem Xenharmonic-Wiki (englisch)]]</text>
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[[Gleichstufige_Tonsysteme|Übersicht: Gleichstufige Tonsysteme]]

Die Abkürzung '''EDO''' steht in diesem Wiki für "equal division of the octave", also "gleichnmässige Unterteilung der Oktave". Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen [http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit Periode der japanischen Geschichte].
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=Gleichstufige Stimmung und gleichstufige Temperatur=
English: [[:en:EDO_vs_ET|EDO vs ET]]

Eine andere gebräuchliche Bezeichnung für n-EDO ist '''ET-n''' oder '''n-TET''' (n-tone equal temperament), auf Deutsch "gleichstufige Temperatur" oder "gleichstufig temperierte Stimmung". Diese Bezeichnung ist vielleicht sogar die bekanntere.

Es wird jedoch in diesem Wiki (wie auch im englischen Xenharmonic Wiki) in der Regel die Bezeichnung "EDO" verwendet, wenn die "nackte" Definition der Tonhöhen (aus einer gleichmässigen Unterteilung des Oktavintervalls) gemeint ist. Bei dieser weisen ja bekanntlich sämtliche Intervalle (ausser der Oktave) irrationale Frequenzverhältnisse auf.

Der Begriff TET bzw."gleichstufige Temperatur" weist demgegenüber auf die Beziehung zu [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] hin - Temperaturen oder temperierte Stimmungen sind in diesem Sinn Tonsysteme, welche aus Approximationen reiner Intervalle hergeleitet wurden. In der Tat kann man, wie im Artikel über [[Verallgemeinerte_reguläre_Temperatur|Verallgemeinerte reguläre Temperaturen]] beschrieben, aus einem reinen Intervallraum durch Austemperieren mehrerer Kommas eine gleichstufige Temperatur bekommen.

Die Tonhöhen der gleichmässigen n-stufigen Stimmung und der gleichmässigen n-stufigen Temperatur sind vollkommen identisch, doch die letztere verfügt sozusagen über mehr "Struktur".

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Ansonsten siehe [[:en:edo|EDO-Seiten auf dem Xenharmonic-Wiki (englisch)]]</text>
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[[Gleichstufige_Tonsysteme|Übersicht: Gleichstufige Tonsysteme]]

Die Abkürzung '''EDO''' steht in diesem Wiki für "equal division of the octave", also "gleichnmässige Unterteilung der Oktave". Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen [http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit Periode der japanischen Geschichte].
__FORCETOC__
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=Gleichstufige Stimmung und gleichstufige Temperatur=
English: [[:en:EDO_vs_ET|EDO vs ET]]

Eine andere gebräuchliche Bezeichnung für n-EDO ist '''ET-n''' oder '''n-TET''' (n-tone equal temperament), auf Deutsch "gleichstufige Temperatur" oder "gleichstufig temperierte Stimmung". Diese Bezeichnung ist vielleicht sogar die bekanntere.

Es wird jedoch in diesem Wiki (wie auch im englischen Xenharmonic Wiki) in der Regel die Bezeichnung "EDO" verwendet, wenn die "nackte" Definition der Tonhöhen (aus einer gleichmässigen Unterteilung des Oktavintervalls) gemeint ist. Bei dieser weisen ja bekanntlich sämtliche Intervalle (ausser der Oktave) irrationale Frequenzverhältnisse auf.

Der Begriff TET bzw."gleichstufige Temperatur" weist demgegenüber auf die Beziehung zu [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] hin - Temperaturen oder temperierte Stimmungen sind in diesem Sinn Tonsysteme, welche aus Approximationen reiner Intervalle hergeleitet wurden. In der Tat kann man, wie im Artikel über [[Verallgemeinerte_reguläre_Temperatur|Verallgemeinerte reguläre Temperaturen]] beschrieben, aus einem reinen Intervallraum durch Austemperieren mehrerer Kommas eine gleichstufige Temperatur bekommen.

Die Tonhöhen der gleichmässigen n-stufigen Stimmung und der gleichmässigen n-stufigen Temperatur sind vollkommen identisch, doch die letztere verfügt sozusagen über mehr "Struktur".

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Ansonsten siehe [[:en:edo|EDO-Seiten auf dem Xenharmonic-Wiki (englisch)]]</text>
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[[Gleichstufige_Tonsysteme|Übersicht: Gleichstufige Tonsysteme]]

Die Abkürzung '''EDO''' steht in diesem Wiki für "equal division of the octave", also "gleichnmässige Unterteilung der Oktave". Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen [http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit Periode der japanischen Geschichte].
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=Gleichstufige Stimmung und gleichstufige Temperatur=
English: [[:en:EDO_vs_ET|EDO vs ET]]

Eine andere gebräuchliche Bezeichnung für n-EDO ist '''ET-n''' oder '''n-TET''' (n-tone equal temperament), auf Deutsch "gleichstufige Temperatur" oder "gleichstufig temperierte Stimmung". Diese Bezeichnung ist vielleicht sogar die bekanntere.

Es wird jedoch in diesem Wiki (wie auch im englischen Xenharmonic Wiki) in der Regel die Bezeichnung "EDO" verwendet, wenn die "nackte" Definition der Tonhöhen (aus einer gleichmässigen Unterteilung des Oktavintervalls) gemeint ist. Bei dieser weisen ja bekanntlich sämtliche Intervalle (ausser der Oktave) irrationale Frequenzverhältnisse auf.

Der Begriff TET bzw."gleichstufige Temperatur" weist demgegenüber auf die Beziehung zu [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] hin - Temperaturen oder temperierte Stimmungen sind in diesem Sinn Tonsysteme, welche aus Approximationen reiner Intervalle hergeleitet wurden. In der Tat kann man, wie im Artikel über [[Verallgemeinerte_reguläre_Temperatur|Verallgemeinerte reguläre Temperaturen]] beschrieben, aus einem reinen Intervallraum durch Austemperieren mehrerer Kommas eine gleichstufige Temperatur bekommen.

Die Tonhöhen der gleichmässigen n-stufigen Stimmung und der gleichmässigen n-stufigen Temperatur sind vollkommen identisch, doch die letztere verfügt sozusagen über mehr "Struktur".

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Ansonsten siehe [[:en:edo|EDO-Seiten auf dem Xenharmonic-Wiki (englisch)]]</text>
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[[Gleichstufige_Tonsysteme|Übersicht: Gleichstufige Tonsysteme]]

Die Abkürzung '''EDO''' steht in diesem Wiki für "equal division of the octave", also "gleichnmässige Unterteilung der Oktave". Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen [http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit Periode der japanischen Geschichte].
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=Gleichstufige Stimmung und gleichstufige Temperatur=
English: [[:en:EDO_vs_ET|EDO vs ET]]

Eine andere gebräuchliche Bezeichnung für n-EDO ist '''ET-n''' oder '''n-TET''' (n-tone equal temperament), auf Deutsch "gleichstufige Temperatur" oder "gleichstufig temperierte Stimmung". Diese Bezeichnung ist vielleicht sogar die bekanntere.

Es wird jedoch in diesem Wiki (wie auch im englischen Xenharmonic Wiki) in der Regel die Bezeichnung "EDO" verwendet, wenn die "nackte" Definition der Tonhöhen (aus einer gleichmässigen Unterteilung des Oktavintervalls) gemeint ist. Bei dieser weisen ja bekanntlich sämtliche Intervalle (ausser der Oktave) irrationale Frequenzverhältnisse auf.

Der Begriff TET bzw."gleichstufige Temperatur" weist demgegenüber auf die Beziehung zu [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] hin - Temperaturen oder temperierte Stimmungen sind in diesem Sinn Tonsysteme, welche aus Approximationen reiner Intervalle hergeleitet wurden. In der Tat kann man, wie im Artikel über [[Verallgemeinerte_reguläre_Temperatur|Verallgemeinerte reguläre Temperaturen]] beschrieben, aus einem reinen Intervallraum durch Austemperieren mehrerer Kommas eine gleichstufige Temperatur bekommen.

Die Tonhöhen der gleichmässigen n-stufigen Stimmung und der gleichmässigen n-stufigen Temperatur sind vollkommen identisch, doch die letztere verfügt sozusagen über mehr "Struktur".

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Ansonsten siehe [[:en:edo|EDO-Seiten auf dem Xenharmonic-Wiki (englisch)]]</text>
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[[Gleichstufige_Tonsysteme|Übersicht: Gleichstufige Tonsysteme]]

Die Abkürzung '''EDO''' steht in diesem Wiki für "equal division of the octave", also "gleichnmässige Unterteilung der Oktave". Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen [http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit Periode der japanischen Geschichte].
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=Gleichstufige Stimmung und gleichstufige Temperatur=
English: [[:en:EDO_vs_ET|EDO vs ET]]

Eine andere gebräuchliche Bezeichnung für n-EDO ist '''ET-n''' oder '''n-TET''' (n-tone equal temperament), auf Deutsch "gleichstufige Temperatur" oder "gleichstufig temperierte Stimmung". Diese Bezeichnung ist vielleicht sogar die bekanntere.

Es wird jedoch in diesem Wiki (wie auch im englischen Xenharmonic Wiki) in der Regel die Bezeichnung "EDO" verwendet, wenn die "nackte" Definition der Tonhöhen (aus einer gleichmässigen Unterteilung des Oktavintervalls) gemeint ist. Bei dieser weisen ja bekanntlich sämtliche Intervalle (ausser der Oktave) irrationale Frequenzverhältnisse auf.

Der Begriff TET bzw."gleichstufige Temperatur" weist demgegenüber auf die Beziehung zu [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] hin - Temperaturen oder temperierte Stimmungen sind in diesem Sinn Tonsysteme, welche aus Approximationen reiner Intervalle hergeleitet wurden. In der Tat kann man, wie im Artikel über [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperaturen]] beschrieben, aus einem reinen Intervallraum durch Austemperieren mehrerer Kommas eine gleichstufige Temperatur bekommen.

Die Tonhöhen der gleichmässigen n-stufigen Stimmung und der gleichmässigen n-stufigen Temperatur sind vollkommen identisch, doch die letztere verfügt sozusagen über mehr "Struktur".

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Ansonsten siehe [[:en:edo|EDO-Seiten auf dem Xenharmonic-Wiki (englisch)]]

[[Kategorie:EDO| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;</text>
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| en = EDO
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| ja = オクターブ平均律
}}
[[Gleichstufige_Tonsysteme|Übersicht: Gleichstufige Tonsysteme]]

Die Abkürzung '''EDO''' steht in diesem Wiki für "equal division of the octave", also "gleichnmässige Unterteilung der Oktave". Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen [http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit Periode der japanischen Geschichte].
__FORCETOC__
-----

=Gleichstufige Stimmung und gleichstufige Temperatur=
English: [[:en:EDO_vs_ET|EDO vs ET]]

Eine andere gebräuchliche Bezeichnung für n-EDO ist '''ET-n''' oder '''n-TET''' (n-tone equal temperament), auf Deutsch "gleichstufige Temperatur" oder "gleichstufig temperierte Stimmung". Diese Bezeichnung ist vielleicht sogar die bekanntere.

Es wird jedoch in diesem Wiki (wie auch im englischen Xenharmonic Wiki) in der Regel die Bezeichnung "EDO" verwendet, wenn die "nackte" Definition der Tonhöhen (aus einer gleichmässigen Unterteilung des Oktavintervalls) gemeint ist. Bei dieser weisen ja bekanntlich sämtliche Intervalle (ausser der Oktave) irrationale Frequenzverhältnisse auf.

Der Begriff TET bzw."gleichstufige Temperatur" weist demgegenüber auf die Beziehung zu [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] hin - Temperaturen oder temperierte Stimmungen sind in diesem Sinn Tonsysteme, welche aus Approximationen reiner Intervalle hergeleitet wurden. In der Tat kann man, wie im Artikel über [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperaturen]] beschrieben, aus einem reinen Intervallraum durch Austemperieren mehrerer Kommas eine gleichstufige Temperatur bekommen.

Die Tonhöhen der gleichmässigen n-stufigen Stimmung und der gleichmässigen n-stufigen Temperatur sind vollkommen identisch, doch die letztere verfügt sozusagen über mehr "Struktur".

=Seiten zu konkreten EDOs=
Auf diesem Wiki:

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Ansonsten siehe [[:en:edo|EDO-Seiten auf dem Xenharmonic-Wiki (englisch)]]

[[Kategorie:EDO| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;</text>
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| ja = オクターブ平均律
}}
[[Gleichstufige_Tonsysteme|Übersicht: Gleichstufige Tonsysteme]]

Die Abkürzung '''EDO''' steht in diesem Wiki für "equal division of the octave", also "gleichnmässige Unterteilung der Oktave". Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen [http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit Periode der japanischen Geschichte].
__FORCETOC__
-----

=Gleichstufige Stimmung und gleichstufige Temperatur=
English: [[:en:EDO_vs_ET|EDO vs ET]]

Eine andere gebräuchliche Bezeichnung für n-EDO ist '''ET-n''' oder '''n-TET''' (n-tone equal temperament), auf Deutsch "gleichstufige Temperatur" oder "gleichstufig temperierte Stimmung". Diese Bezeichnung ist vielleicht sogar die bekanntere.

Es wird jedoch in diesem Wiki (wie auch im englischen Xenharmonic Wiki) in der Regel die Bezeichnung "EDO" verwendet, wenn die "nackte" Definition der Tonhöhen (aus einer gleichmässigen Unterteilung des Oktavintervalls) gemeint ist. Bei dieser weisen ja bekanntlich sämtliche Intervalle (ausser der Oktave) irrationale Frequenzverhältnisse auf.

Der Begriff TET bzw."gleichstufige Temperatur" weist demgegenüber auf die Beziehung zu [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] hin - Temperaturen oder temperierte Stimmungen sind in diesem Sinn Tonsysteme, welche aus Approximationen reiner Intervalle hergeleitet wurden. In der Tat kann man, wie im Artikel über [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperaturen]] beschrieben, aus einem reinen Intervallraum durch Austemperieren mehrerer Kommas eine gleichstufige Temperatur bekommen.

Die Tonhöhen der gleichmässigen n-stufigen Stimmung und der gleichmässigen n-stufigen Temperatur sind vollkommen identisch, doch die letztere verfügt sozusagen über mehr "Struktur".

== Seiten zu konkreten EDOs ==

(in der folgenden Liste bieten rote Links die Gelegenheit einen neuen Artikel zu verfassen)

* [[1-EDO]]
* [[2-EDO]] 
* [[3-EDO]]
* [[5-EDO]]
* [[7-EDO]]
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* [[41-EDO]]
* [[46-EDO]]
* [[53-EDO]]
* [[72-EDO]]
* [[96-EDO]]
* [[159-EDO]]

Für mehr EDOs siehe die [[:en:edo|Seiten im ''Xenharmonic Wiki'' (englisch)]]

[[Kategorie:EDO| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;</text>
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}}
[[Gleichstufige_Tonsysteme|Übersicht: Gleichstufige Tonsysteme]]

Die Abkürzung '''EDO''' steht in diesem Wiki für "equal division of the octave", also "gleichmässige Unterteilung der Oktave". Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen [http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit Periode der japanischen Geschichte].
__FORCETOC__
-----

=Gleichstufige Stimmung und gleichstufige Temperatur=
English: [[:en:EDO_vs_ET|EDO vs ET]]

Eine andere gebräuchliche Bezeichnung für n-EDO ist '''ET-n''' oder '''n-TET''' (n-tone equal temperament), auf Deutsch "gleichstufige Temperatur" oder "gleichstufig temperierte Stimmung". Diese Bezeichnung ist vielleicht sogar die bekanntere.

Es wird jedoch in diesem Wiki (wie auch im englischen Xenharmonic Wiki) in der Regel die Bezeichnung "EDO" verwendet, wenn die "nackte" Definition der Tonhöhen (aus einer gleichmässigen Unterteilung des Oktavintervalls) gemeint ist. Bei dieser weisen ja bekanntlich sämtliche Intervalle (ausser der Oktave) irrationale Frequenzverhältnisse auf.

Der Begriff TET bzw."gleichstufige Temperatur" weist demgegenüber auf die Beziehung zu [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] hin - Temperaturen oder temperierte Stimmungen sind in diesem Sinn Tonsysteme, welche aus Approximationen reiner Intervalle hergeleitet wurden. In der Tat kann man, wie im Artikel über [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperaturen]] beschrieben, aus einem reinen Intervallraum durch Austemperieren mehrerer Kommas eine gleichstufige Temperatur bekommen.

Die Tonhöhen der gleichmässigen n-stufigen Stimmung und der gleichmässigen n-stufigen Temperatur sind vollkommen identisch, doch die letztere verfügt sozusagen über mehr "Struktur".

== Seiten zu konkreten EDOs ==

(in der folgenden Liste bieten rote Links die Gelegenheit einen neuen Artikel zu verfassen)

* [[1-EDO]]
* [[2-EDO]] 
* [[3-EDO]]
* [[5-EDO]]
* [[7-EDO]]
* [[10-EDO]]
* [[11-EDO]]
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* [[41-EDO]]
* [[46-EDO]]
* [[53-EDO]]
* [[72-EDO]]
* [[96-EDO]]
* [[159-EDO]]

Für mehr EDOs siehe die [[:en:edo|Seiten im ''Xenharmonic Wiki'' (englisch)]]

[[Kategorie:EDO| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;</text>
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[[Gleichstufige_Tonsysteme|Übersicht: Gleichstufige Tonsysteme]]

Die Abkürzung '''EDO''' steht in diesem Wiki für "equal division of the octave", also "gleichmässige Unterteilung der Oktave". Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen [http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit Periode der japanischen Geschichte].
__FORCETOC__
-----

=Gleichstufige Stimmung und gleichstufige Temperatur=
English: [[:en:EDO_vs_ET|EDO vs ET]]

Eine andere gebräuchliche Bezeichnung für n-EDO ist '''ET-n''' oder '''n-TET''' (n-tone equal temperament), auf Deutsch "gleichstufige Temperatur" oder "gleichstufig temperierte Stimmung". Diese Bezeichnung ist vielleicht sogar die bekanntere.

Es wird jedoch in diesem Wiki (wie auch im englischen Xenharmonic Wiki) in der Regel die Bezeichnung "EDO" verwendet, wenn die "nackte" Definition der Tonhöhen (aus einer gleichmässigen Unterteilung des Oktavintervalls) gemeint ist. Bei dieser weisen ja bekanntlich sämtliche Intervalle (ausser der Oktave) irrationale Frequenzverhältnisse auf.

Der Begriff TET bzw."gleichstufige Temperatur" weist demgegenüber auf die Beziehung zu [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] hin - Temperaturen oder temperierte Stimmungen sind in diesem Sinn Tonsysteme, welche aus Approximationen reiner Intervalle hergeleitet wurden. In der Tat kann man, wie im Artikel über [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperaturen]] beschrieben, aus einem reinen Intervallraum durch Austemperieren mehrerer Kommas eine gleichstufige Temperatur bekommen.

Die Tonhöhen der gleichmässigen n-stufigen Stimmung und der gleichmässigen n-stufigen Temperatur sind vollkommen identisch, doch die letztere verfügt sozusagen über mehr "Struktur".

== Seiten zu konkreten EDOs ==

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Für mehr EDOs siehe die [[:en:edo|Seiten im ''Xenharmonic Wiki'' (englisch)]]

[[Kategorie:EDO| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;</text>
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[[Gleichstufige_Tonsysteme|Übersicht: Gleichstufige Tonsysteme]]

Die Abkürzung '''EDO''' steht in diesem Wiki für "equal division of the octave", also "gleichmässige Unterteilung der Oktave". Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen [http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit Periode der japanischen Geschichte].
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=Gleichstufige Stimmung und gleichstufige Temperatur=
English: [[:en:EDO_vs_ET|EDO vs ET]]

Eine andere gebräuchliche Bezeichnung für n-EDO ist '''ET-n''' oder '''n-TET''' (n-tone equal temperament), auf Deutsch "gleichstufige Temperatur" oder "gleichstufig temperierte Stimmung". Diese Bezeichnung ist vielleicht sogar die bekanntere.

Es wird jedoch in diesem Wiki (wie auch im englischen Xenharmonic Wiki) in der Regel die Bezeichnung "EDO" verwendet, wenn die "nackte" Definition der Tonhöhen (aus einer gleichmässigen Unterteilung des Oktavintervalls) gemeint ist. Bei dieser weisen ja bekanntlich sämtliche Intervalle (ausser der Oktave) irrationale Frequenzverhältnisse auf.

Der Begriff TET bzw."gleichstufige Temperatur" weist demgegenüber auf die Beziehung zu [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] hin - Temperaturen oder temperierte Stimmungen sind in diesem Sinn Tonsysteme, welche aus Approximationen reiner Intervalle hergeleitet wurden. In der Tat kann man, wie im Artikel über [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperaturen]] beschrieben, aus einem reinen Intervallraum durch Austemperieren mehrerer Kommas eine gleichstufige Temperatur bekommen.

Die Tonhöhen der gleichmässigen n-stufigen Stimmung und der gleichmässigen n-stufigen Temperatur sind vollkommen identisch, doch die letztere verfügt sozusagen über mehr "Struktur".

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| [[0edo|0]]
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Für mehr EDOs siehe die [[:en:edo|Seiten im ''Xenharmonic Wiki'' (englisch)]]

[[Kategorie:EDO| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;</text>
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[[Gleichstufige_Tonsysteme|Übersicht: Gleichstufige Tonsysteme]]

Die Abkürzung '''EDO''' steht in diesem Wiki für "equal division of the octave", also "gleichmässige Unterteilung der Oktave". Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen [http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit Periode der japanischen Geschichte].
__FORCETOC__
-----

=Gleichstufige Stimmung und gleichstufige Temperatur=
English: [[:en:EDO_vs_ET|EDO vs ET]]

Eine andere gebräuchliche Bezeichnung für n-EDO ist '''ET-n''' oder '''n-TET''' (n-tone equal temperament), auf Deutsch "gleichstufige Temperatur" oder "gleichstufig temperierte Stimmung". Diese Bezeichnung ist vielleicht sogar die bekanntere.

Es wird jedoch in diesem Wiki (wie auch im englischen Xenharmonic Wiki) in der Regel die Bezeichnung "EDO" verwendet, wenn die "nackte" Definition der Tonhöhen (aus einer gleichmässigen Unterteilung des Oktavintervalls) gemeint ist. Bei dieser weisen ja bekanntlich sämtliche Intervalle (ausser der Oktave) irrationale Frequenzverhältnisse auf.

Der Begriff TET bzw."gleichstufige Temperatur" weist demgegenüber auf die Beziehung zu [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] hin - Temperaturen oder temperierte Stimmungen sind in diesem Sinn Tonsysteme, welche aus Approximationen reiner Intervalle hergeleitet wurden. In der Tat kann man, wie im Artikel über [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperaturen]] beschrieben, aus einem reinen Intervallraum durch Austemperieren mehrerer Kommas eine gleichstufige Temperatur bekommen.

Die Tonhöhen der gleichmässigen n-stufigen Stimmung und der gleichmässigen n-stufigen Temperatur sind vollkommen identisch, doch die letztere verfügt sozusagen über mehr "Struktur".

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(in der folgenden Liste bieten rote Links die Gelegenheit einen neuen Artikel zu verfassen)

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[[Gleichstufige_Tonsysteme|Übersicht: Gleichstufige Tonsysteme]]

Die Abkürzung '''EDO''' steht in diesem Wiki für "equal division of the octave", also "gleichmässige Unterteilung der Oktave". Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen [http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit Periode der japanischen Geschichte].
__FORCETOC__
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=Gleichstufige Stimmung und gleichstufige Temperatur=
English: [[:en:EDO_vs_ET|EDO vs ET]]

Eine andere gebräuchliche Bezeichnung für n-EDO ist '''ET-n''' oder '''n-TET''' (n-tone equal temperament), auf Deutsch "gleichstufige Temperatur" oder "gleichstufig temperierte Stimmung". Diese Bezeichnung ist vielleicht sogar die bekanntere.

Es wird jedoch in diesem Wiki (wie auch im englischen Xenharmonic Wiki) in der Regel die Bezeichnung "EDO" verwendet, wenn die "nackte" Definition der Tonhöhen (aus einer gleichmässigen Unterteilung des Oktavintervalls) gemeint ist. Bei dieser weisen ja bekanntlich sämtliche Intervalle (ausser der Oktave) irrationale Frequenzverhältnisse auf.

Der Begriff TET bzw."gleichstufige Temperatur" weist demgegenüber auf die Beziehung zu [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] hin - Temperaturen oder temperierte Stimmungen sind in diesem Sinn Tonsysteme, welche aus Approximationen reiner Intervalle hergeleitet wurden. In der Tat kann man, wie im Artikel über [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperaturen]] beschrieben, aus einem reinen Intervallraum durch Austemperieren mehrerer Kommas eine gleichstufige Temperatur bekommen.

Die Tonhöhen der gleichmässigen n-stufigen Stimmung und der gleichmässigen n-stufigen Temperatur sind vollkommen identisch, doch die letztere verfügt sozusagen über mehr "Struktur".

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Für mehr EDOs siehe die [[:en:edo|Seiten im ''Xenharmonic Wiki'' (englisch)]]

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[[Gleichstufige_Tonsysteme|Übersicht: Gleichstufige Tonsysteme]]

Die Abkürzung '''EDO''' steht in diesem Wiki für "equal division of the octave", also "gleichmässige Unterteilung der Oktave". Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen [http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit Periode der japanischen Geschichte].
__FORCETOC__
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=Gleichstufige Stimmung und gleichstufige Temperatur=
English: [[:en:EDO_vs_ET|EDO vs ET]]

Eine andere gebräuchliche Bezeichnung für n-EDO ist '''ET-n''' oder '''n-TET''' (n-tone equal temperament), auf Deutsch "gleichstufige Temperatur" oder "gleichstufig temperierte Stimmung". Diese Bezeichnung ist vielleicht sogar die bekanntere.

Es wird jedoch in diesem Wiki (wie auch im englischen Xenharmonic Wiki) in der Regel die Bezeichnung "EDO" verwendet, wenn die "nackte" Definition der Tonhöhen (aus einer gleichmässigen Unterteilung des Oktavintervalls) gemeint ist. Bei dieser weisen ja bekanntlich sämtliche Intervalle (ausser der Oktave) irrationale Frequenzverhältnisse auf.

Der Begriff TET bzw."gleichstufige Temperatur" weist demgegenüber auf die Beziehung zu [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] hin - Temperaturen oder temperierte Stimmungen sind in diesem Sinn Tonsysteme, welche aus Approximationen reiner Intervalle hergeleitet wurden. In der Tat kann man, wie im Artikel über [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperaturen]] beschrieben, aus einem reinen Intervallraum durch Austemperieren mehrerer Kommas eine gleichstufige Temperatur bekommen.

Die Tonhöhen der gleichmässigen n-stufigen Stimmung und der gleichmässigen n-stufigen Temperatur sind vollkommen identisch, doch die letztere verfügt sozusagen über mehr "Struktur".

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Für mehr EDOs siehe die [[:en:edo|Seiten im ''Xenharmonic Wiki'' (englisch)]]

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[[Gleichstufige_Tonsysteme|Übersicht: Gleichstufige Tonsysteme]]

Die Abkürzung '''EDO''' steht in diesem Wiki für "equal division of the octave", also "gleichmässige Unterteilung der Oktave". Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen [http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit Periode der japanischen Geschichte].
__FORCETOC__
-----

=Gleichstufige Stimmung und gleichstufige Temperatur=
English: [[:en:EDO_vs_ET|EDO vs ET]]

Eine andere gebräuchliche Bezeichnung für n-EDO ist '''ET-n''' oder '''n-TET''' (n-tone equal temperament), auf Deutsch "gleichstufige Temperatur" oder "gleichstufig temperierte Stimmung". Diese Bezeichnung ist vielleicht sogar die bekanntere.

Es wird jedoch in diesem Wiki (wie auch im englischen Xenharmonic Wiki) in der Regel die Bezeichnung "EDO" verwendet, wenn die "nackte" Definition der Tonhöhen (aus einer gleichmässigen Unterteilung des Oktavintervalls) gemeint ist. Bei dieser weisen ja bekanntlich sämtliche Intervalle (ausser der Oktave) irrationale Frequenzverhältnisse auf.

Der Begriff TET bzw."gleichstufige Temperatur" weist demgegenüber auf die Beziehung zu [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] hin - Temperaturen oder temperierte Stimmungen sind in diesem Sinn Tonsysteme, welche aus Approximationen reiner Intervalle hergeleitet wurden. In der Tat kann man, wie im Artikel über [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperaturen]] beschrieben, aus einem reinen Intervallraum durch Austemperieren mehrerer Kommas eine gleichstufige Temperatur bekommen.

Die Tonhöhen der gleichmässigen n-stufigen Stimmung und der gleichmässigen n-stufigen Temperatur sind vollkommen identisch, doch die letztere verfügt sozusagen über mehr "Struktur".

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(in der folgenden Liste bieten rote Links die Gelegenheit einen neuen Artikel zu verfassen)

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[[Gleichstufige_Tonsysteme|Übersicht: Gleichstufige Tonsysteme]]

Die Abkürzung '''EDO''' steht in diesem Wiki für "equal division of the octave", also "gleichmässige Unterteilung der Oktave". Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen [http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit Periode der japanischen Geschichte].
__FORCETOC__
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=Gleichstufige Stimmung und gleichstufige Temperatur=
English: [[:en:EDO_vs_ET|EDO vs ET]]

Eine andere gebräuchliche Bezeichnung für n-EDO ist '''ET-n''' oder '''n-TET''' (n-tone equal temperament), auf Deutsch "gleichstufige Temperatur" oder "gleichstufig temperierte Stimmung". Diese Bezeichnung ist vielleicht sogar die bekanntere.

Es wird jedoch in diesem Wiki (wie auch im englischen Xenharmonic Wiki) in der Regel die Bezeichnung "EDO" verwendet, wenn die "nackte" Definition der Tonhöhen (aus einer gleichmässigen Unterteilung des Oktavintervalls) gemeint ist. Bei dieser weisen ja bekanntlich sämtliche Intervalle (ausser der Oktave) irrationale Frequenzverhältnisse auf.

Der Begriff TET bzw."gleichstufige Temperatur" weist demgegenüber auf die Beziehung zu [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] hin - Temperaturen oder temperierte Stimmungen sind in diesem Sinn Tonsysteme, welche aus Approximationen reiner Intervalle hergeleitet wurden. In der Tat kann man, wie im Artikel über [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperaturen]] beschrieben, aus einem reinen Intervallraum durch Austemperieren mehrerer Kommas eine gleichstufige Temperatur bekommen.

Die Tonhöhen der gleichmässigen n-stufigen Stimmung und der gleichmässigen n-stufigen Temperatur sind vollkommen identisch, doch die letztere verfügt sozusagen über mehr "Struktur".

= Seiten zu konkreten EDOs =

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Für mehr EDOs siehe die [[:en:edo|Seiten im ''Xenharmonic Wiki'' (englisch)]]

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[[Gleichstufige_Tonsysteme|Übersicht: Gleichstufige Tonsysteme]]

Die Abkürzung '''EDO''' steht in diesem Wiki für "equal division of the octave", also "gleichmässige Unterteilung der Oktave". Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen [http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit Periode der japanischen Geschichte].
__FORCETOC__
-----

=Gleichstufige Stimmung und gleichstufige Temperatur=
English: [[:en:EDO_vs_ET|EDO vs ET]]

Eine andere gebräuchliche Bezeichnung für n-EDO ist '''ET-n''' oder '''n-TET''' (n-tone equal temperament), auf Deutsch "gleichstufige Temperatur" oder "gleichstufig temperierte Stimmung". Diese Bezeichnung ist vielleicht sogar die bekanntere.

Es wird jedoch in diesem Wiki (wie auch im englischen Xenharmonic Wiki) in der Regel die Bezeichnung "EDO" verwendet, wenn die "nackte" Definition der Tonhöhen (aus einer gleichmässigen Unterteilung des Oktavintervalls) gemeint ist. Bei dieser weisen ja bekanntlich sämtliche Intervalle (ausser der Oktave) irrationale Frequenzverhältnisse auf.

Der Begriff TET bzw."gleichstufige Temperatur" weist demgegenüber auf die Beziehung zu [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] hin - Temperaturen oder temperierte Stimmungen sind in diesem Sinn Tonsysteme, welche aus Approximationen reiner Intervalle hergeleitet wurden. In der Tat kann man, wie im Artikel über [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperaturen]] beschrieben, aus einem reinen Intervallraum durch Austemperieren mehrerer Kommas eine gleichstufige Temperatur bekommen.

Die Tonhöhen der gleichmässigen n-stufigen Stimmung und der gleichmässigen n-stufigen Temperatur sind vollkommen identisch, doch die letztere verfügt sozusagen über mehr "Struktur".

= Seiten zu konkreten EDOs =

(in der folgenden Liste bieten rote Links die Gelegenheit einen neuen Artikel zu verfassen)

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[[Gleichstufige_Tonsysteme|Übersicht: Gleichstufige Tonsysteme]]

Die Abkürzung '''EDO''' steht in diesem Wiki für "equal division of the octave", also "gleichmässige Unterteilung der Oktave". Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen [http://de.wikipedia.org/wiki/Edo-Zeit Periode der japanischen Geschichte].
__FORCETOC__
-----

=Gleichstufige Stimmung und gleichstufige Temperatur=
English: [[:en:EDO_vs_ET|EDO vs ET]]

Eine andere gebräuchliche Bezeichnung für n-EDO ist '''ET-n''' oder '''n-TET''' (n-tone equal temperament), auf Deutsch "gleichstufige Temperatur" oder "gleichstufig temperierte Stimmung". Diese Bezeichnung ist vielleicht sogar die bekanntere.

Es wird jedoch in diesem Wiki (wie auch im englischen Xenharmonic Wiki) in der Regel die Bezeichnung "EDO" verwendet, wenn die "nackte" Definition der Tonhöhen (aus einer gleichmässigen Unterteilung des Oktavintervalls) gemeint ist. Bei dieser weisen ja bekanntlich sämtliche Intervalle (ausser der Oktave) irrationale Frequenzverhältnisse auf.

Der Begriff TET bzw."gleichstufige Temperatur" weist demgegenüber auf die Beziehung zu [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] hin - Temperaturen oder temperierte Stimmungen sind in diesem Sinn Tonsysteme, welche aus Approximationen reiner Intervalle hergeleitet wurden. In der Tat kann man, wie im Artikel über [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperaturen]] beschrieben, aus einem reinen Intervallraum durch Austemperieren mehrerer Kommas eine gleichstufige Temperatur bekommen.

Die Tonhöhen der gleichmässigen n-stufigen Stimmung und der gleichmässigen n-stufigen Temperatur sind vollkommen identisch, doch die letztere verfügt sozusagen über mehr "Struktur".

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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/edt]]

[[13edt (Bohlen-Pierce)]]
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&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
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}}

[[13edt_(Bohlen-Pierce)|13edt (Bohlen-Pierce)]]

[[Bernhard_Stopper|19edt (Bernhard Stopper)]]

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      <text bytes="594" sha1="00kxtufnzypln9ddz5rq2z4ya1zbchu" xml:space="preserve">English: [[:en:Erv_Wilson xenharmonic/Erv Wilson]]

'''Erv Wilson''' (*1928) ist ein amerikanisch-mexikanischer Komponist und Musiktheoretiker, bekannt unter anderem für die Erfindung des Terms [[MOS-Skalen|MOS (Moment of Symmetry)]].

Siehe auch:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[http://www.ekmelic-music.org/de/art/mikrotoene-in-den-usa.htm Mikrotöne in den USA] (Artikel auf der Seite der Gesellschaft für ekmelische Musik)&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[http://www.thesonicsky.com/ The Sonic Sky | An Infinite Continuum of Music] - Video (engl.), das einen Zugang zu alternativen Tonsystemen eröffnet&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;  [[Category:Person]]</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Erv Wilson]]

**Erv Wilson** (*1928) ist ein amerikanisch-mexikanischer Komponist und Musiktheoretiker, bekannt unter anderem für die Erfindung des Terms [[MOS-Skalen|MOS (Moment of Symmetry)]].

Siehe auch:
* [[http://www.ekmelic-music.org/de/art/mikrotoene-in-den-usa.htm|Mikrotöne in den USA]] (Artikel auf der Seite der Gesellschaft für ekmelische Musik)
* [[http://www.thesonicsky.com/|The Sonic Sky | An Infinite Continuum of Music]] - Video (engl.), das einen Zugang zu alternativen Tonsystemen eröffnet&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Erv Wilson&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Erv%20Wilson"&amp;gt;xenharmonic/Erv Wilson&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;strong&amp;gt;Erv Wilson&amp;lt;/strong&amp;gt; (*1928) ist ein amerikanisch-mexikanischer Komponist und Musiktheoretiker, bekannt unter anderem für die Erfindung des Terms &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS (Moment of Symmetry)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Siehe auch:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.ekmelic-music.org/de/art/mikrotoene-in-den-usa.htm" rel="nofollow"&amp;gt;Mikrotöne in den USA&amp;lt;/a&amp;gt; (Artikel auf der Seite der Gesellschaft für ekmelische Musik)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.thesonicsky.com/" rel="nofollow"&amp;gt;The Sonic Sky | An Infinite Continuum of Music&amp;lt;/a&amp;gt; - Video (engl.), das einen Zugang zu alternativen Tonsystemen eröffnet&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Erv Wilson]]

Erv Wilson (*1928) ist ein amerikanisch-mexikanischer Komponist und Musiktheoretiker, bekannt unter anderem für die Erfindung des Terms [[MOS-Skalen|MOS (Moment of Symmetry)]].

Siehe auch:
* [[http://www.ekmelic-music.org/de/art/mikrotoene-in-den-usa.htm|Mikrotöne in den USA]] (Artikel auf der Seite der Gesellschaft für ekmelische Musik)
* [[http://www.thesonicsky.com/|The Sonic Sky | An Infinite Continuum of Music]] - Video (engl.), das einen Zugang zu alternativen Tonsystemen eröffnet&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Erv Wilson&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Erv%20Wilson"&amp;gt;xenharmonic/Erv Wilson&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Erv Wilson (*1928) ist ein amerikanisch-mexikanischer Komponist und Musiktheoretiker, bekannt unter anderem für die Erfindung des Terms &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS (Moment of Symmetry)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Siehe auch:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.ekmelic-music.org/de/art/mikrotoene-in-den-usa.htm" rel="nofollow"&amp;gt;Mikrotöne in den USA&amp;lt;/a&amp;gt; (Artikel auf der Seite der Gesellschaft für ekmelische Musik)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.thesonicsky.com/" rel="nofollow"&amp;gt;The Sonic Sky | An Infinite Continuum of Music&amp;lt;/a&amp;gt; - Video (engl.), das einen Zugang zu alternativen Tonsystemen eröffnet&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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      <comment>**Imported revision 425258710 - Original comment: **</comment>
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      <text bytes="2224" sha1="eied7qsqx0sl1mkufx9xaao165m649z" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-04-22 07:05:59 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;425258710&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Erv Wilson]]

Erv Wilson (*1928) ist ein amerikanisch-mexikanischer Komponist und Musiktheoretiker, bekannt unter anderem für die Erfindung des Terms [[MOS-Skalen|MOS (Moment of Symmetry)]].

Siehe auch:
[[http://www.ekmelic-music.org/de/art/mikrotoene-in-den-usa.htm|Mikrotöne in den USA]] (Artikel auf der Seite der Gesellschaft für ekmelische Musik)&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Erv Wilson&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Erv%20Wilson"&amp;gt;xenharmonic/Erv Wilson&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Erv Wilson (*1928) ist ein amerikanisch-mexikanischer Komponist und Musiktheoretiker, bekannt unter anderem für die Erfindung des Terms &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS (Moment of Symmetry)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Siehe auch:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.ekmelic-music.org/de/art/mikrotoene-in-den-usa.htm" rel="nofollow"&amp;gt;Mikrotöne in den USA&amp;lt;/a&amp;gt; (Artikel auf der Seite der Gesellschaft für ekmelische Musik)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Mike Battaglia</username>
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'''Erv Wilson''' (*1928) ist ein amerikanisch-mexikanischer Komponist und Musiktheoretiker, bekannt unter anderem für die Erfindung des Terms [[MOS-Skalen|MOS (Moment of Symmetry)]].

Siehe auch:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[http://www.ekmelic-music.org/de/art/mikrotoene-in-den-usa.htm Mikrotöne in den USA] (Artikel auf der Seite der Gesellschaft für ekmelische Musik)&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[http://www.thesonicsky.com/ The Sonic Sky | An Infinite Continuum of Music] - Video (engl.), das einen Zugang zu alternativen Tonsystemen eröffnet&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;  [[Category:Person]]</text>
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'''Erv Wilson''' (*1928, †2016) war ein amerikanisch-mexikanischer Komponist und Musiktheoretiker, bekannt unter anderem für die Erfindung des Terms [[MOS-Skalen|MOS (Moment of Symmetry)]].

Siehe auch:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[http://www.ekmelic-music.org/de/art/mikrotoene-in-den-usa.htm Mikrotöne in den USA] (Artikel auf der Seite der Gesellschaft für ekmelische Musik)&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[http://www.thesonicsky.com/ The Sonic Sky | An Infinite Continuum of Music] - Video (engl.), das einen Zugang zu alternativen Tonsystemen eröffnet&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;  [[Category:Person]]</text>
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'''Erv Wilson''' (11. Juni 1928 – 8. Dezember 2016) war ein amerikanisch-mexikanischer Komponist und Musiktheoretiker, bekannt unter anderem für die Erfindung des Terms [[MOS-Skalen|MOS (Moment of Symmetry)]].

Siehe auch:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[http://www.ekmelic-music.org/de/art/mikrotoene-in-den-usa.htm Mikrotöne in den USA] (Artikel auf der Seite der Gesellschaft für ekmelische Musik)&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[http://www.thesonicsky.com/ The Sonic Sky | An Infinite Continuum of Music] - Video (engl.), das einen Zugang zu alternativen Tonsystemen eröffnet&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;  [[Category:Person]]</text>
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'''Erv Wilson''' (11. Juni 1928 – 8. Dezember 2016) war ein amerikanisch-mexikanischer Komponist und Musiktheoretiker, bekannt unter anderem für die Erfindung des Terms [[MOS-Skalen|MOS (Moment of Symmetry)]] und die Skalenkonstruktion [[CPS]] (Combination Product Set).

Siehe auch:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[http://www.ekmelic-music.org/de/art/mikrotoene-in-den-usa.htm Mikrotöne in den USA] (Artikel auf der Seite der Gesellschaft für ekmelische Musik)&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[http://www.thesonicsky.com/ The Sonic Sky | An Infinite Continuum of Music] - Video (engl.), das einen Zugang zu alternativen Tonsystemen eröffnet&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;  [[Category:Person]]</text>
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'''Erv Wilson''' (11. Juni 1928 – 8. Dezember 2016) war ein amerikanisch-mexikanischer Komponist und Musiktheoretiker, bekannt unter anderem für die Erfindung des Terms [[MOS-Skalen|MOS (Moment of Symmetry)]] und der Skalenkonstruktion [[CPS]] (Combination Product Set).

Siehe auch:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[http://www.ekmelic-music.org/de/art/mikrotoene-in-den-usa.htm Mikrotöne in den USA] (Artikel auf der Seite der Gesellschaft für ekmelische Musik)&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[http://www.thesonicsky.com/ The Sonic Sky | An Infinite Continuum of Music] - Video (engl.), das einen Zugang zu alternativen Tonsystemen eröffnet&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;  [[Category:Person]]</text>
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'''Erv Wilson''' (11. Juni 1928 – 8. Dezember 2016) war ein amerikanisch-mexikanischer Komponist und Musiktheoretiker, bekannt unter anderem für die Erfindung des Terms [[MOS-Skalen|MOS (Moment of Symmetry)]] und der Skalenkonstruktion [[CPS]] (Combination Product Set).

Siehe auch:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[http://www.ekmelic-music.org/de/art/mikrotoene-in-den-usa.htm Mikrotöne in den USA] (Artikel auf der Seite der Gesellschaft für ekmelische Musik)&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[http://www.thesonicsky.com/ The Sonic Sky | An Infinite Continuum of Music] - Video (engl.), das einen Zugang zu alternativen Tonsystemen eröffnet&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;  [[Category:Person]]</text>
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== Verweise ==
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
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In einer [[Reine Stimmungen|rein intonierten]] diatonischen Dur-Skala kommen zwei unterschiedliche Ganztöne vor:
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== Verweise ==
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Ganzton|Ganzton – Wikipedia]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Ganzton" rel="nofollow"&amp;gt;Ganzton – Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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In der [[12edo|12-EDO-Stimmung]] hat er die Größe von 200 [[Cent]] und umfasst genau zwei [[Halbton|Halbtöne]].
[[media type="file" key="Ganzton-12-EDO.wav"]]

In einer [[Reine Stimmungen|rein intonierten]] diatonischen Dur-Skala kommen zwei unterschiedliche Ganztöne vor:
* großer Ganzton 9:8 ca. 204 Cent [[media type="file" key="Grosser-Ganzton.wav"]]
* kleiner Ganzton 10:9 ca. 182 Cent [[media type="file" key="Kleiner-Ganzton.wav"]]

== Verweise ==
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Ganzton|Ganzton – Wikipedia]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
In der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12-EDO-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; hat er die Größe von 200 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt; und umfasst genau zwei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Halbton"&amp;gt;Halbtöne&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
In einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;rein intonierten&amp;lt;/a&amp;gt; diatonischen Dur-Skala kommen zwei unterschiedliche Ganztöne vor:&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Verweise"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt; Verweise &amp;lt;/h2&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Ganzton" rel="nofollow"&amp;gt;Ganzton – Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-12 15:34:00 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Der **Ganzton** ist ein wichtiges Schritt-Intervall.

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[[media type="file" key="Ganzton-12-EDO.wav"]]

In einer [[Reine Stimmungen|rein intonierten]] diatonischen Dur-Skala kommen zwei unterschiedliche Ganztöne vor:
* großer Ganzton 9:8 ca. 204 Cent [[media type="file" key="Grosser-Ganzton.wav"]]
* kleiner Ganzton 10:9 ca. 182 Cent

== Verweise ==
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Ganzton|Ganzton – Wikipedia]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Der &amp;lt;strong&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/strong&amp;gt; ist ein wichtiges Schritt-Intervall.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12-EDO-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; hat er die Größe von 200 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt; und umfasst genau zwei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Halbton"&amp;gt;Halbtöne&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
In einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;rein intonierten&amp;lt;/a&amp;gt; diatonischen Dur-Skala kommen zwei unterschiedliche Ganztöne vor:&amp;lt;br /&amp;gt;
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: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-12 15:28:08 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Der **Ganzton** ist ein wichtiges Schritt-Intervall.

In der [[12edo|12-EDO-Stimmung]] hat er die Größe von 200 [[Cent]] und umfasst genau zwei [[Halbton|Halbtöne]].
[[media type="file" key="Ganzton-12-EDO.wav"]]

In einer [[Reine Stimmungen|rein intonierten]] diatonischen Dur-Skala kommen zwei unterschiedliche Ganztöne vor:
* großer Ganzton 9:8 ca. 204 Cent
* kleiner Ganzton 10:9 ca. 182 Cent

== Verweise ==
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Ganzton|Ganzton – Wikipedia]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Der &amp;lt;strong&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/strong&amp;gt; ist ein wichtiges Schritt-Intervall.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12-EDO-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; hat er die Größe von 200 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt; und umfasst genau zwei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Halbton"&amp;gt;Halbtöne&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:0:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file/Ganzton-12-EDO.wav?h=&amp;amp;amp;w=&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;Ganzton-12-EDO.wav&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;40&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;200&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;[ invalid file: Ganzton-12-EDO.wav ] &amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;rein intonierten&amp;lt;/a&amp;gt; diatonischen Dur-Skala kommen zwei unterschiedliche Ganztöne vor:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;großer Ganzton 9:8 ca. 204 Cent&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;kleiner Ganzton 10:9 ca. 182 Cent&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:1:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Verweise"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:1 --&amp;gt; Verweise &amp;lt;/h2&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Ganzton" rel="nofollow"&amp;gt;Ganzton – Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <comment>**Imported revision 430915442 - Original comment: **</comment>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-12 15:16:21 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Der **Ganzton** ist ein wichtiges Schritt-Intervall.

In der [[12edo|12-EDO-Stimmung]] hat er die Größe von 200 [[Cent]] und umfasst genau zwei [[Halbton|Halbtöne]].

In einer [[Reine Stimmungen|rein intonierten]] diatonischen Dur-Skala kommen zwei unterschiedliche Ganztöne vor:
* großer Ganzton 9:8 ca. 204 Cent
* kleiner Ganzton 10:9 ca. 182 Cent

== Verweise ==
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Ganzton|Ganzton – Wikipedia]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Der &amp;lt;strong&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/strong&amp;gt; ist ein wichtiges Schritt-Intervall.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12-EDO-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; hat er die Größe von 200 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt; und umfasst genau zwei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Halbton"&amp;gt;Halbtöne&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;rein intonierten&amp;lt;/a&amp;gt; diatonischen Dur-Skala kommen zwei unterschiedliche Ganztöne vor:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;großer Ganzton 9:8 ca. 204 Cent&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;kleiner Ganzton 10:9 ca. 182 Cent&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Verweise"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt; Verweise &amp;lt;/h2&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Ganzton" rel="nofollow"&amp;gt;Ganzton – Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <comment>**Imported revision 433988328 - Original comment: **</comment>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-24 04:02:58 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;433988328&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Gene Ward Smith]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Gene Ward Smith&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Gene%20Ward%20Smith"&amp;gt;xenharmonic/Gene Ward Smith&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <comment>Textersetzung - „(\[\[\:(dev|es|purdal|de|en):[^[:space:]\|]*) (.*])“ durch „$1|$3“</comment>
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      <text bytes="81" sha1="968ic2uqui48miu3xwcledz8cn77fu7" xml:space="preserve">English: [[:en:Gene_Ward_Smith|xenharmonic/Gene Ward Smith]]  [[Category:Person]]</text>
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      <text bytes="1785" sha1="1ye015nf5o454er1cerfkda3u3prmr5" xml:space="preserve">English: [[:en:Equal xenharmonic/Equal]]

'''Gleichstufige Tonsysteme''' oder '''~ Stimmungen''' verwenden einen Tonvorrat, dessen Nachbartöne durchweg gleiche Abstände aufweisen. Häufig gibt es zudem ein ausgezeichnetes Intervall das eine Art "Identität auf höherer Stufe" repräsentiert. Anhand dieses [[Periodenintervall|Periodenintervalls]] lassen sich die gleichstufigen Systeme leicht kategorisieren, indem man zur Kennzeichnung der Periode die Anzahl der gleichen Teile benennt.

Das derzeit in der Welt dominierenden System [[12edo|12edo]] unterteilt sein Periodenintervall [[Oktave|Oktave]] (Frequenzverältnis 2/1) in '''12''' gleiche Teile.

Die naheliegendste - und am weitesten verbreitete - Idee, hier in xenharmonische Sphären vorzustossen, ist, die Unterteilung zu verändern. Das Resultat ist ein [[edo|edo]]-System (equal division of the octave)

[[edo|Übersicht: Gleichstufige Unterteilungen der Oktave (EDO)]]

Doch es spricht auch nichts dagegen, das Periodenintervall zu verändern, z.B. anstelle der Oktave die reine Duodezime (Frequenzverhältnis 3/1) zu verwenden. Das Resultat wird eine [[edt|edt]]-Stimmung (equal division of the tritave) sein. Die bekanntesten Beispiele sind die [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Skala und die [[Bernhard_Stopper|Stopper-Stimmung]].

[[edt|Übersicht: Gleichstufige Unterteilungen der Duodezime (EDT)]]

Auch dabei muss man es nicht belassen, sondern kann im Prinzip jedes beliebige Intervall als Periodenintervall verwenden. [[Wendy_Carlos|Wendy Carlos]] z.B. ist bekannt für Tonsysteme, die auf gleichstufigen Unterteilungen der reinen Quinte (Frequenzverhältnis 3/2) beruhen. Siehe [[edf|edf]] (equal division of the fifth).

[[edf|Übersicht: Gleichstufige Unterteilungen der Quinte (EDF)]]  [[Category:Theorie]]</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2014-08-14 03:39:53 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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**Gleichstufige Tonsysteme** oder **~ Stimmungen** verwenden einen Tonvorrat, dessen Nachbartöne durchweg gleiche Abstände aufweisen. Häufig gibt es zudem ein ausgezeichnetes Intervall das eine Art "Identität auf höherer Stufe" repräsentiert. Anhand dieses [[Periodenintervall|Periodenintervalls]] lassen sich die gleichstufigen Systeme leicht kategorisieren, indem man zur Kennzeichnung der Periode die Anzahl der gleichen Teile benennt.

Das derzeit in der Welt dominierenden System [[12edo]] unterteilt sein Periodenintervall [[Oktave]] (Frequenzverältnis 2/1) in **12** gleiche Teile.

Die naheliegendste - und am weitesten verbreitete - Idee, hier in xenharmonische Sphären vorzustossen, ist, die Unterteilung zu verändern. Das Resultat ist ein [[edo]]-System (equal division of the octave)

[[edo|Übersicht: Gleichstufige Unterteilungen der Oktave (EDO)]]

Doch es spricht auch nichts dagegen, das Periodenintervall zu verändern, z.B. anstelle der Oktave die reine Duodezime (Frequenzverhältnis 3/1) zu verwenden. Das Resultat wird eine [[edt]]-Stimmung (equal division of the tritave) sein. Die bekanntesten Beispiele sind die [[Bohlen-Pierce]]-Skala und die [[Bernhard Stopper|Stopper-Stimmung]].

[[edt|Übersicht: Gleichstufige Unterteilungen der Duodezime (EDT)]]

Auch dabei muss man es nicht belassen, sondern kann im Prinzip jedes beliebige Intervall als Periodenintervall verwenden. [[Wendy Carlos]] z.B. ist bekannt für Tonsysteme, die auf gleichstufigen Unterteilungen der reinen Quinte (Frequenzverhältnis 3/2) beruhen. Siehe [[edf]] (equal division of the fifth).

[[edf|Übersicht: Gleichstufige Unterteilungen der Quinte (EDF)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Das derzeit in der Welt dominierenden System &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; unterteilt sein Periodenintervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt; (Frequenzverältnis 2/1) in &amp;lt;strong&amp;gt;12&amp;lt;/strong&amp;gt; gleiche Teile.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die naheliegendste - und am weitesten verbreitete - Idee, hier in xenharmonische Sphären vorzustossen, ist, die Unterteilung zu verändern. Das Resultat ist ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;edo&amp;lt;/a&amp;gt;-System (equal division of the octave)&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Doch es spricht auch nichts dagegen, das Periodenintervall zu verändern, z.B. anstelle der Oktave die reine Duodezime (Frequenzverhältnis 3/1) zu verwenden. Das Resultat wird eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edt"&amp;gt;edt&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung (equal division of the tritave) sein. Die bekanntesten Beispiele sind die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bohlen-Pierce"&amp;gt;Bohlen-Pierce&amp;lt;/a&amp;gt;-Skala und die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bernhard%20Stopper"&amp;gt;Stopper-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/edt"&amp;gt;Übersicht: Gleichstufige Unterteilungen der Duodezime (EDT)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Auch dabei muss man es nicht belassen, sondern kann im Prinzip jedes beliebige Intervall als Periodenintervall verwenden. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Wendy%20Carlos"&amp;gt;Wendy Carlos&amp;lt;/a&amp;gt; z.B. ist bekannt für Tonsysteme, die auf gleichstufigen Unterteilungen der reinen Quinte (Frequenzverhältnis 3/2) beruhen. Siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edf"&amp;gt;edf&amp;lt;/a&amp;gt; (equal division of the fifth).&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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**Gleichstufige Tonsysteme** oder **~ Stimmungen** verwenden einen Tonvorrat, dessen Nachbartöne durchweg gleiche Abstände aufweisen. Häufig gibt es zudem ein ausgezeichnetes Intervall das eine Art "Identität auf höherer Stufe" repräsentiert. Anhand dieses [[Periodenintervall|Periodenintervalls]] lassen sich die gleichstufigen Systeme leicht kategorisieren, indem man zur Kennzeichnung der Periode die Anzahl der gleichen Teile benennt.

Das derzeit in der Welt dominierenden System [[12edo]] unterteilt sein Periodenintervall [[Oktave]] (Frequenzverältnis 2/1) in **12** gleiche Teile.

Die naheliegendste - und am weitesten verbreitete - Idee, hier in xenharmonische Sphären vorzustossen, ist, die Unterteilung zu verändern. Das Resultat ist ein [[edo]]-System (equal division of the octave)

Doch es spricht auch nichts dagegen, das Periodenintervall zu verändern, z.B. anstelle der Oktave die reine Duodezime (Frequenzverhältnis 3/1) zu verwenden. Das Resultat wird eine [[edt]]-Stimmung (equal division of the tritave) sein. Die bekanntesten Beispiele sind die [[Bohlen-Pierce]]-Skala und die [[Bernhard Stopper|Stopper-Stimmung]].

Auch dabei muss man es nicht belassen, sondern kann im Prinzip jedes beliebige Intervall als Periodenintervall verwenden. [[Wendy Carlos]] z.B. ist bekannt für Tonsysteme, die auf gleichstufigen Unterteilungen der reinen Quinte (Frequenzverhältnis 3/2) beruhen. Siehe [[edf]] (equal division of the fifth).&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Das derzeit in der Welt dominierenden System &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; unterteilt sein Periodenintervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt; (Frequenzverältnis 2/1) in &amp;lt;strong&amp;gt;12&amp;lt;/strong&amp;gt; gleiche Teile.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die naheliegendste - und am weitesten verbreitete - Idee, hier in xenharmonische Sphären vorzustossen, ist, die Unterteilung zu verändern. Das Resultat ist ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;edo&amp;lt;/a&amp;gt;-System (equal division of the octave)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Doch es spricht auch nichts dagegen, das Periodenintervall zu verändern, z.B. anstelle der Oktave die reine Duodezime (Frequenzverhältnis 3/1) zu verwenden. Das Resultat wird eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edt"&amp;gt;edt&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung (equal division of the tritave) sein. Die bekanntesten Beispiele sind die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bohlen-Pierce"&amp;gt;Bohlen-Pierce&amp;lt;/a&amp;gt;-Skala und die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bernhard%20Stopper"&amp;gt;Stopper-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Auch dabei muss man es nicht belassen, sondern kann im Prinzip jedes beliebige Intervall als Periodenintervall verwenden. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Wendy%20Carlos"&amp;gt;Wendy Carlos&amp;lt;/a&amp;gt; z.B. ist bekannt für Tonsysteme, die auf gleichstufigen Unterteilungen der reinen Quinte (Frequenzverhältnis 3/2) beruhen. Siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edf"&amp;gt;edf&amp;lt;/a&amp;gt; (equal division of the fifth).&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Gleichstufige Stimmungen, im verallgemeinerten Sinn, erhält man, indem man ein gegebenes [[Periodenintervall]] in n gleich grosse Teile teilt.

Beim derzeit in der Welt dominierenden System [[12edo]] ist das Periodenintervall die [[Oktave]] (Frequenzverältnis 2/1) und die Anzahl Unterteilungen die 12.

Die naheliegendste - und am weitesten verbreitete - Idee, hier in xenharmonische Sphären vorzustossen, ist, die Unterteilung zu verändern. Das Resultat ist ein [[edo]]-System (equal division of the octave)

Doch es spricht auch nichts dagegen, das Periodenintervall zu verändern, z.B. anstelle der Oktave die reine Duodezime (Frequenzverhältnis 3/1) zu verwenden. Das Resultat wird eine [[edt]]-Stimmung (equal division of the tritave) sein. Die bekanntesten Beispiele sind die [[Bohlen-Pierce]]-Skala und die [[Bernhard Stopper|Stopper-Stimmung]].

Auch dabei muss man es nicht belassen, sondern kann im Prinzip jedes beliebige Intervall als Periodenintervall verwenden. [[Wendy Carlos]] z.B. ist bekannt für Tonsysteme, die auf gleichstufigen Unterteilungen der reinen Quinte (Frequenzverhältnis 3/2) beruhen. Siehe [[edf]] (equal division of the fifth).&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Gleichstufige Stimmungen, im verallgemeinerten Sinn, erhält man, indem man ein gegebenes &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Periodenintervall"&amp;gt;Periodenintervall&amp;lt;/a&amp;gt; in n gleich grosse Teile teilt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Beim derzeit in der Welt dominierenden System &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist das Periodenintervall die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt; (Frequenzverältnis 2/1) und die Anzahl Unterteilungen die 12.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die naheliegendste - und am weitesten verbreitete - Idee, hier in xenharmonische Sphären vorzustossen, ist, die Unterteilung zu verändern. Das Resultat ist ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;edo&amp;lt;/a&amp;gt;-System (equal division of the octave)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Doch es spricht auch nichts dagegen, das Periodenintervall zu verändern, z.B. anstelle der Oktave die reine Duodezime (Frequenzverhältnis 3/1) zu verwenden. Das Resultat wird eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edt"&amp;gt;edt&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung (equal division of the tritave) sein. Die bekanntesten Beispiele sind die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bohlen-Pierce"&amp;gt;Bohlen-Pierce&amp;lt;/a&amp;gt;-Skala und die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bernhard%20Stopper"&amp;gt;Stopper-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Auch dabei muss man es nicht belassen, sondern kann im Prinzip jedes beliebige Intervall als Periodenintervall verwenden. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Wendy%20Carlos"&amp;gt;Wendy Carlos&amp;lt;/a&amp;gt; z.B. ist bekannt für Tonsysteme, die auf gleichstufigen Unterteilungen der reinen Quinte (Frequenzverhältnis 3/2) beruhen. Siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edf"&amp;gt;edf&amp;lt;/a&amp;gt; (equal division of the fifth).&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-04-24 09:36:26 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;426006006&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;Reverted to Apr 24, 2013 6:14 am: Wenn Bedarf ist, warum nicht?&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Equal]]

Gleichstufige Stimmungen, im verallgemeinerten Sinn, erhält man, indem man ein gegebenes [[Periodenintervall]] in n gleich grosse Teile teilt.

Beim derzeit in der Welt dominierenden System [[12edo]] ist das Periodenintervall die Oktave (Frequenzverältnis 2/1) und die Anzahl Unterteilungen die 12.

Die naheliegendste - und am weitesten verbreitete - Idee, hier in xenharmonische Sphären vorzustossen, ist, die Unterteilung zu verändern. Das Resultat ist ein [[edo]]-System (equal division of the octave)

Doch es spricht auch nichts dagegen, das Periodenintervall zu verändern, z.B. anstelle der Oktave die reine Duodezime (Frequenzverhältnis 3/1) zu verwenden. Das Resultat wird eine [[edt]]-Stimmung (equal division of the tritave) sein. Die bekanntesten Beispiele sind die [[Bohlen-Pierce]]-Skala und die [[Bernhard Stopper|Stopper-Stimmung]].

Auch dabei muss man es nicht belassen, sondern kann im Prinzip jedes beliebige Intervall als Periodenintervall verwenden. [[Wendy Carlos]] z.B. ist bekannt für Tonsysteme, die auf gleichstufigen Unterteilungen der reinen Quinte (Frequenzverhältnis 3/2) beruhen. Siehe [[edf]] (equal division of the fifth).&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Equal"&amp;gt;xenharmonic/Equal&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Stimmungen, im verallgemeinerten Sinn, erhält man, indem man ein gegebenes &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Periodenintervall"&amp;gt;Periodenintervall&amp;lt;/a&amp;gt; in n gleich grosse Teile teilt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Beim derzeit in der Welt dominierenden System &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist das Periodenintervall die Oktave (Frequenzverältnis 2/1) und die Anzahl Unterteilungen die 12.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die naheliegendste - und am weitesten verbreitete - Idee, hier in xenharmonische Sphären vorzustossen, ist, die Unterteilung zu verändern. Das Resultat ist ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;edo&amp;lt;/a&amp;gt;-System (equal division of the octave)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Doch es spricht auch nichts dagegen, das Periodenintervall zu verändern, z.B. anstelle der Oktave die reine Duodezime (Frequenzverhältnis 3/1) zu verwenden. Das Resultat wird eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edt"&amp;gt;edt&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung (equal division of the tritave) sein. Die bekanntesten Beispiele sind die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bohlen-Pierce"&amp;gt;Bohlen-Pierce&amp;lt;/a&amp;gt;-Skala und die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bernhard%20Stopper"&amp;gt;Stopper-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Auch dabei muss man es nicht belassen, sondern kann im Prinzip jedes beliebige Intervall als Periodenintervall verwenden. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Wendy%20Carlos"&amp;gt;Wendy Carlos&amp;lt;/a&amp;gt; z.B. ist bekannt für Tonsysteme, die auf gleichstufigen Unterteilungen der reinen Quinte (Frequenzverhältnis 3/2) beruhen. Siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edf"&amp;gt;edf&amp;lt;/a&amp;gt; (equal division of the fifth).&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-04-24 09:34:15 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Gleichstufige Stimmungen, im verallgemeinerten Sinn, erhält man, indem man ein gegebenes Periodenintervall in n gleich grosse Teile teilt.

Beim derzeit in der Welt dominierenden System [[12edo]] ist das Periodenintervall die Oktave (Frequenzverältnis 2/1) und die Anzahl Unterteilungen die 12.

Die naheliegendste - und am weitesten verbreitete - Idee, hier in xenharmonische Sphären vorzustossen, ist, die Unterteilung zu verändern. Das Resultat ist ein [[edo]]-System (equal division of the octave)

Doch es spricht auch nichts dagegen, das Periodenintervall zu verändern, z.B. anstelle der Oktave die reine Duodezime (Frequenzverhältnis 3/1) zu verwenden. Das Resultat wird eine [[edt]]-Stimmung (equal division of the tritave) sein. Die bekanntesten Beispiele sind die [[Bohlen-Pierce]]-Skala und die [[Bernhard Stopper|Stopper-Stimmung]].

Auch dabei muss man es nicht belassen, sondern kann im Prinzip jedes beliebige Intervall als Periodenintervall verwenden. [[Wendy Carlos]] z.B. ist bekannt für Tonsysteme, die auf gleichstufigen Unterteilungen der reinen Quinte (Frequenzverhältnis 3/2) beruhen. Siehe [[edf]] (equal division of the fifth).&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Gleichstufige Stimmungen, im verallgemeinerten Sinn, erhält man, indem man ein gegebenes Periodenintervall in n gleich grosse Teile teilt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beim derzeit in der Welt dominierenden System &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist das Periodenintervall die Oktave (Frequenzverältnis 2/1) und die Anzahl Unterteilungen die 12.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die naheliegendste - und am weitesten verbreitete - Idee, hier in xenharmonische Sphären vorzustossen, ist, die Unterteilung zu verändern. Das Resultat ist ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;edo&amp;lt;/a&amp;gt;-System (equal division of the octave)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Doch es spricht auch nichts dagegen, das Periodenintervall zu verändern, z.B. anstelle der Oktave die reine Duodezime (Frequenzverhältnis 3/1) zu verwenden. Das Resultat wird eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edt"&amp;gt;edt&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung (equal division of the tritave) sein. Die bekanntesten Beispiele sind die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bohlen-Pierce"&amp;gt;Bohlen-Pierce&amp;lt;/a&amp;gt;-Skala und die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bernhard%20Stopper"&amp;gt;Stopper-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Auch dabei muss man es nicht belassen, sondern kann im Prinzip jedes beliebige Intervall als Periodenintervall verwenden. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Wendy%20Carlos"&amp;gt;Wendy Carlos&amp;lt;/a&amp;gt; z.B. ist bekannt für Tonsysteme, die auf gleichstufigen Unterteilungen der reinen Quinte (Frequenzverhältnis 3/2) beruhen. Siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edf"&amp;gt;edf&amp;lt;/a&amp;gt; (equal division of the fifth).&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-04-24 09:14:54 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;Sollte man dann "Periodenintervall" einzeln erklären?&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Gleichstufige Stimmungen, im verallgemeinerten Sinn, erhält man, indem man ein gegebenes [[Periodenintervall]] in n gleich grosse Teile teilt.

Beim derzeit in der Welt dominierenden System [[12edo]] ist das Periodenintervall die Oktave (Frequenzverältnis 2/1) und die Anzahl Unterteilungen die 12.

Die naheliegendste - und am weitesten verbreitete - Idee, hier in xenharmonische Sphären vorzustossen, ist, die Unterteilung zu verändern. Das Resultat ist ein [[edo]]-System (equal division of the octave)

Doch es spricht auch nichts dagegen, das Periodenintervall zu verändern, z.B. anstelle der Oktave die reine Duodezime (Frequenzverhältnis 3/1) zu verwenden. Das Resultat wird eine [[edt]]-Stimmung (equal division of the tritave) sein. Die bekanntesten Beispiele sind die [[Bohlen-Pierce]]-Skala und die [[Bernhard Stopper|Stopper-Stimmung]].

Auch dabei muss man es nicht belassen, sondern kann im Prinzip jedes beliebige Intervall als Periodenintervall verwenden. [[Wendy Carlos]] z.B. ist bekannt für Tonsysteme, die auf gleichstufigen Unterteilungen der reinen Quinte (Frequenzverhältnis 3/2) beruhen. Siehe [[edf]] (equal division of the fifth).&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Gleichstufige Stimmungen, im verallgemeinerten Sinn, erhält man, indem man ein gegebenes &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Periodenintervall"&amp;gt;Periodenintervall&amp;lt;/a&amp;gt; in n gleich grosse Teile teilt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Beim derzeit in der Welt dominierenden System &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist das Periodenintervall die Oktave (Frequenzverältnis 2/1) und die Anzahl Unterteilungen die 12.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die naheliegendste - und am weitesten verbreitete - Idee, hier in xenharmonische Sphären vorzustossen, ist, die Unterteilung zu verändern. Das Resultat ist ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;edo&amp;lt;/a&amp;gt;-System (equal division of the octave)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Doch es spricht auch nichts dagegen, das Periodenintervall zu verändern, z.B. anstelle der Oktave die reine Duodezime (Frequenzverhältnis 3/1) zu verwenden. Das Resultat wird eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edt"&amp;gt;edt&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung (equal division of the tritave) sein. Die bekanntesten Beispiele sind die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bohlen-Pierce"&amp;gt;Bohlen-Pierce&amp;lt;/a&amp;gt;-Skala und die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bernhard%20Stopper"&amp;gt;Stopper-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Auch dabei muss man es nicht belassen, sondern kann im Prinzip jedes beliebige Intervall als Periodenintervall verwenden. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Wendy%20Carlos"&amp;gt;Wendy Carlos&amp;lt;/a&amp;gt; z.B. ist bekannt für Tonsysteme, die auf gleichstufigen Unterteilungen der reinen Quinte (Frequenzverhältnis 3/2) beruhen. Siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edf"&amp;gt;edf&amp;lt;/a&amp;gt; (equal division of the fifth).&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Gleichstufige Stimmungen, im verallgemeinerten Sinn, erhält man, indem man ein gegebenes Periodenintervall in n gleich grosse Teile teilt.

Beim derzeit in der Welt dominierenden System [[12edo]] ist das Periodenintervall die Oktave (Frequenzverältnis 2/1) und die Anzahl Unterteilungen die 12.

Die naheliegendste - und am weitesten verbreitete - Idee, hier in xenharmonische Sphären vorzustossen, ist, die Unterteilung zu verändern. Das Resultat ist ein [[edo]]-System (equal division of the octave)

Doch es spricht auch nichts dagegen, das Periodenintervall zu verändern, z.B. anstelle der Oktave die reine Duodezime (Frequenzverhältnis 3/1) zu verwenden. Das Resultat wird eine [[edt]]-Stimmung (equal division of the tritave) sein. Die bekanntesten Beispiele sind die [[Bohlen-Pierce]]-Skala und die [[Bernhard Stopper|Stopper-Stimmung]].

Auch dabei muss man es nicht belassen, sondern kann im Prinzip jedes beliebige Intervall als Periodenintervall verwenden. [[Wendy Carlos]] z.B. ist bekannt für Tonsysteme, die auf gleichstufigen Unterteilungen der reinen Quinte (Frequenzverhältnis 3/2) beruhen. Siehe [[edf]] (equal division of the fifth).&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Gleichstufige Stimmungen, im verallgemeinerten Sinn, erhält man, indem man ein gegebenes Periodenintervall in n gleich grosse Teile teilt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die naheliegendste - und am weitesten verbreitete - Idee, hier in xenharmonische Sphären vorzustossen, ist, die Unterteilung zu verändern. Das Resultat ist ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;edo&amp;lt;/a&amp;gt;-System (equal division of the octave)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Doch es spricht auch nichts dagegen, das Periodenintervall zu verändern, z.B. anstelle der Oktave die reine Duodezime (Frequenzverhältnis 3/1) zu verwenden. Das Resultat wird eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edt"&amp;gt;edt&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung (equal division of the tritave) sein. Die bekanntesten Beispiele sind die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bohlen-Pierce"&amp;gt;Bohlen-Pierce&amp;lt;/a&amp;gt;-Skala und die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bernhard%20Stopper"&amp;gt;Stopper-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Auch dabei muss man es nicht belassen, sondern kann im Prinzip jedes beliebige Intervall als Periodenintervall verwenden. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Wendy%20Carlos"&amp;gt;Wendy Carlos&amp;lt;/a&amp;gt; z.B. ist bekannt für Tonsysteme, die auf gleichstufigen Unterteilungen der reinen Quinte (Frequenzverhältnis 3/2) beruhen. Siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edf"&amp;gt;edf&amp;lt;/a&amp;gt; (equal division of the fifth).&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Gleichstufige Stimmungen, im verallgemeinerten Sinn, erhält man, indem man ein gegebenes Periodenintervall in n gleich grosse Teile teilt.

Beim derzeit in der Welt dominierenden System [[12edo]] ist das Periodenintervall die Oktave (Frequenzverältnis 2/1) und die Anzahl Unterteilungen die 12.

Die naheliegendste - und in der xenharmonischen Welt am weitesten verbreitete - Idee, hier in xenharmonische Sphären vorzustossen, ist, die Unterteilung zu verändern. Das Resultat ist ein [[edo]]-System (equal division of the octave)

Doch es spricht auch nichts dagegen, das Periodenintervall zu verändern, z.B. anstelle der Oktave die reine Duodezime (Frequenzverhältnis 3/1) zu verwenden. Das Resultat wird eine [[edt]]-Stimmung (equal division of the tritave) sein. Die bekanntesten Beispiele sind die [[Bohlen-Pierce]]-Skala und die [[Bernhard Stopper|Stopper-Stimmung]].

Auch dabei muss man es nicht belassen, sondern kann im Prinzip jedes beliebige Intervall als Periodenintervall verwenden. [[Wendy Carlos]] z.B. ist bekannt für Tonsysteme, die auf gleichstufigen Unterteilungen der reinen Quinte (Frequenzverhältnis 3/2) beruhen. Siehe [[edf]] (equal division of the fifth).&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Equal"&amp;gt;xenharmonic/Equal&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Stimmungen, im verallgemeinerten Sinn, erhält man, indem man ein gegebenes Periodenintervall in n gleich grosse Teile teilt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beim derzeit in der Welt dominierenden System &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist das Periodenintervall die Oktave (Frequenzverältnis 2/1) und die Anzahl Unterteilungen die 12.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die naheliegendste - und in der xenharmonischen Welt am weitesten verbreitete - Idee, hier in xenharmonische Sphären vorzustossen, ist, die Unterteilung zu verändern. Das Resultat ist ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;edo&amp;lt;/a&amp;gt;-System (equal division of the octave)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Doch es spricht auch nichts dagegen, das Periodenintervall zu verändern, z.B. anstelle der Oktave die reine Duodezime (Frequenzverhältnis 3/1) zu verwenden. Das Resultat wird eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edt"&amp;gt;edt&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung (equal division of the tritave) sein. Die bekanntesten Beispiele sind die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bohlen-Pierce"&amp;gt;Bohlen-Pierce&amp;lt;/a&amp;gt;-Skala und die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bernhard%20Stopper"&amp;gt;Stopper-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Auch dabei muss man es nicht belassen, sondern kann im Prinzip jedes beliebige Intervall als Periodenintervall verwenden. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Wendy%20Carlos"&amp;gt;Wendy Carlos&amp;lt;/a&amp;gt; z.B. ist bekannt für Tonsysteme, die auf gleichstufigen Unterteilungen der reinen Quinte (Frequenzverhältnis 3/2) beruhen. Siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edf"&amp;gt;edf&amp;lt;/a&amp;gt; (equal division of the fifth).&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-04-24 07:26:15 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Gleichstufige Stimmungen, im verallgemeinerten Sinn, erhält man, indem man ein gegebenes Periodenintervall in n gleich grosse Teile teilt.

Beim derzeit in der Welt dominierenden System [[12edo]] ist das Periodenintervall die Oktave (Frequenzverältnis 2/1) und die Anzahl Unterteilungen die 12.

Die naheliegendste - und in der xenharmonischen Welt am weitesten verbreitete - Idee, hier in xenharmonische Sphären vorzustossen, ist, die Unterteilung zu verändern. Das Resultat ist ein [[edo]]-System (equal division of the octave)

Doch es spricht auch nichts dagegen, das Periodenintervall zu verändern, z.B. anstelle der Oktave die reine Duodezime (Frequenzverhältnis 3/1) zu verwenden. Das Resultat wird eine [[edt]]-Stimmung (equal division of the tritave) sein. Die bekanntesten Beispiele sind die [[Bohlen-Pierce]]-Skala und die [[Bernhard Stopper|Stopper-Stimmung]].


Auch dabei muss man es nicht belassen, sondern kann im Prinzip auch jedes beliebige Intervall als Periodenintervall verwenden. [[Wendy Carlos]] z.B. ist bekannt für Tonsysteme, die auf gleichstufigen Unterteilungen der reinen Quinte (Frequenzverhältnis 3/2) beruhen. Siehe [[edf]] (equal division of the fifth).&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Stimmungen, im verallgemeinerten Sinn, erhält man, indem man ein gegebenes Periodenintervall in n gleich grosse Teile teilt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beim derzeit in der Welt dominierenden System &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist das Periodenintervall die Oktave (Frequenzverältnis 2/1) und die Anzahl Unterteilungen die 12.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die naheliegendste - und in der xenharmonischen Welt am weitesten verbreitete - Idee, hier in xenharmonische Sphären vorzustossen, ist, die Unterteilung zu verändern. Das Resultat ist ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;edo&amp;lt;/a&amp;gt;-System (equal division of the octave)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Doch es spricht auch nichts dagegen, das Periodenintervall zu verändern, z.B. anstelle der Oktave die reine Duodezime (Frequenzverhältnis 3/1) zu verwenden. Das Resultat wird eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edt"&amp;gt;edt&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung (equal division of the tritave) sein. Die bekanntesten Beispiele sind die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bohlen-Pierce"&amp;gt;Bohlen-Pierce&amp;lt;/a&amp;gt;-Skala und die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bernhard%20Stopper"&amp;gt;Stopper-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Auch dabei muss man es nicht belassen, sondern kann im Prinzip auch jedes beliebige Intervall als Periodenintervall verwenden. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Wendy%20Carlos"&amp;gt;Wendy Carlos&amp;lt;/a&amp;gt; z.B. ist bekannt für Tonsysteme, die auf gleichstufigen Unterteilungen der reinen Quinte (Frequenzverhältnis 3/2) beruhen. Siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edf"&amp;gt;edf&amp;lt;/a&amp;gt; (equal division of the fifth).&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Gleichstufige Stimmungen, im verallgemeinerten Sinn, erhält man, indem man ein gegebenes Periodenintervall in n gleich grosse Teile teilt.

Beim derzeit in der Welt dominierenden System [[12edo]] ist das Periodenintervall die Oktave (Frequenzverältnis 2/1) und die Anzahl Unterteilungen die 12.

Die naheliegendste - und in der xenharmonischen Welt am weitesten verbreitete - Idee, hier in xenharmonische Sphären vorzustossen, ist, die Unterteilung zu verändern. Das Resultat ist ein [[edo]]-System (equal division of the octave)

Doch es spricht auch nichts dagegen, das Periodenintervall zu verändern, z.B. anstelle der Oktave die reine Duodezime (Frequenzverhältnis 3/1) zu verwenden. Das Resultat wird eine [[edt]]-Stimmung (equal division of the tritave) sein. Die bekanntesten Beispiele sind die [[Bohlen-Pierce]]-Skala und die [[Bernhard Stopper|Stopper-Stimmung]].


Auch dabei muss man es icht belassen, sondern kann im Prinzip jedes beliebige Intervall als Periodenintervall verwenden. [[Wendy Carlos]] z.B. ist bekannt für Tonsysteme, die auf der reinen Quinte (Frequenzverhältnis 3/2) beruhen. Siehe [[edf]] (equal division of the fifth).&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Gleichstufige Stimmungen, im verallgemeinerten Sinn, erhält man, indem man ein gegebenes Periodenintervall in n gleich grosse Teile teilt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beim derzeit in der Welt dominierenden System &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist das Periodenintervall die Oktave (Frequenzverältnis 2/1) und die Anzahl Unterteilungen die 12.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die naheliegendste - und in der xenharmonischen Welt am weitesten verbreitete - Idee, hier in xenharmonische Sphären vorzustossen, ist, die Unterteilung zu verändern. Das Resultat ist ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;edo&amp;lt;/a&amp;gt;-System (equal division of the octave)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Doch es spricht auch nichts dagegen, das Periodenintervall zu verändern, z.B. anstelle der Oktave die reine Duodezime (Frequenzverhältnis 3/1) zu verwenden. Das Resultat wird eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edt"&amp;gt;edt&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung (equal division of the tritave) sein. Die bekanntesten Beispiele sind die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bohlen-Pierce"&amp;gt;Bohlen-Pierce&amp;lt;/a&amp;gt;-Skala und die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bernhard%20Stopper"&amp;gt;Stopper-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Auch dabei muss man es icht belassen, sondern kann im Prinzip jedes beliebige Intervall als Periodenintervall verwenden. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Wendy%20Carlos"&amp;gt;Wendy Carlos&amp;lt;/a&amp;gt; z.B. ist bekannt für Tonsysteme, die auf der reinen Quinte (Frequenzverhältnis 3/2) beruhen. Siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edf"&amp;gt;edf&amp;lt;/a&amp;gt; (equal division of the fifth).&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Gleichstufige Stimmungen, im verallgemeinerten Sinn, erhält man, indem man ein gegebenes Periodenintervall in n gleich grosse Teile teilt.

Beim derzeit in der Welt dominierenden System [[12edo]] ist das Periodenintervall die Oktave (Frequenzverältnis 2/1) und die Anzahl Unterteilungen die 12.

Die naheliegendste - und in der xenharmonischen Welt am weitesten verbreitete - Idee, hier in xenharmonische Sphären vorzustossen, ist, die Unterteilung zu verändern. Das Resultat ist ein [[edo]]-System (equal division of the octave)

Doch es spricht auch nichts dagegen, das Periodenintervall zu verändern, z.B. anstelle der Oktave die reine Duodezime (Frequenzverhältnis 3/1) zu verwenden. Das Resultat wird eine [[edt]]-Stimmung (equal division of the tritave) sein. Die bekanntesten Beispiele sind die [[Bohlen-Pierce]]-Skala und das Stimmungssystem von [[Bernhard Stopper]].


Auch dabei muss man es icht belassen, sondern kann im Prinzip jedes beliebige Intervall als Periodenintervall verwenden. [[Wendy Carlos]] z.B. ist bekannt für Tonsysteme, die auf der reinen Quinte (Frequenzverhältnis 3/2) beruhen. Siehe [[edf]] (equal division of the fifth).&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Gleichstufige Stimmungen, im verallgemeinerten Sinn, erhält man, indem man ein gegebenes Periodenintervall in n gleich grosse Teile teilt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die naheliegendste - und in der xenharmonischen Welt am weitesten verbreitete - Idee, hier in xenharmonische Sphären vorzustossen, ist, die Unterteilung zu verändern. Das Resultat ist ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;edo&amp;lt;/a&amp;gt;-System (equal division of the octave)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Doch es spricht auch nichts dagegen, das Periodenintervall zu verändern, z.B. anstelle der Oktave die reine Duodezime (Frequenzverhältnis 3/1) zu verwenden. Das Resultat wird eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edt"&amp;gt;edt&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung (equal division of the tritave) sein. Die bekanntesten Beispiele sind die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bohlen-Pierce"&amp;gt;Bohlen-Pierce&amp;lt;/a&amp;gt;-Skala und das Stimmungssystem von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bernhard%20Stopper"&amp;gt;Bernhard Stopper&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Auch dabei muss man es icht belassen, sondern kann im Prinzip jedes beliebige Intervall als Periodenintervall verwenden. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Wendy%20Carlos"&amp;gt;Wendy Carlos&amp;lt;/a&amp;gt; z.B. ist bekannt für Tonsysteme, die auf der reinen Quinte (Frequenzverhältnis 3/2) beruhen. Siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edf"&amp;gt;edf&amp;lt;/a&amp;gt; (equal division of the fifth).&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Equal]]

Gleichstufige Stimmungen, im verallgemeinerten Sinn, erhält man, indem man ein gegebenes Periodenintervall in n gleich grosse Teile teilt.

Beim derzeit in der Welt dominierenden System [[12edo]] ist das Periodenintervall die Oktave und die Anzahl Unterteilungen die 12.

Die naheliegendste - und in der xenharmonischen Welt am weitesten verbreitete - Idee, hier in xenharmonische Sphären vorzustossen, ist, die Unterteilung zu verändern. Das Resultat ist ein [[edo]]-System (equal division of the octave)

Doch es spricht auch nichts dagegen, das Periodenintervall zu verändern, z.B. anstelle der Oktave die reine Duodezime (Frequenzverhältnis 3/1) zu verwenden. Das Resultat wird eine [[edt]]-Stimmung (equal division of the tritave) sein. Die bekanntesten Beispiele sind die [[Bohlen-Pierce]]-Skala und das Stimmungssystem von [[Bernhard Stopper]].


Auch dabei muss man es icht belassen, sondern kann im Prinzip jedes beliebige Intervall als Periodenintervall verwenden. [[Wendy Carlos]] z.B. ist bekannt für Tonsysteme, die auf der reinen Quinte (Frequenzverhältnis 3/2) beruhen. Siehe [[edf]] (equal division of the fifth).&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Gleichstufige Stimmungen, im verallgemeinerten Sinn, erhält man, indem man ein gegebenes Periodenintervall in n gleich grosse Teile teilt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die naheliegendste - und in der xenharmonischen Welt am weitesten verbreitete - Idee, hier in xenharmonische Sphären vorzustossen, ist, die Unterteilung zu verändern. Das Resultat ist ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;edo&amp;lt;/a&amp;gt;-System (equal division of the octave)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Doch es spricht auch nichts dagegen, das Periodenintervall zu verändern, z.B. anstelle der Oktave die reine Duodezime (Frequenzverhältnis 3/1) zu verwenden. Das Resultat wird eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edt"&amp;gt;edt&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung (equal division of the tritave) sein. Die bekanntesten Beispiele sind die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bohlen-Pierce"&amp;gt;Bohlen-Pierce&amp;lt;/a&amp;gt;-Skala und das Stimmungssystem von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bernhard%20Stopper"&amp;gt;Bernhard Stopper&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Auch dabei muss man es icht belassen, sondern kann im Prinzip jedes beliebige Intervall als Periodenintervall verwenden. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Wendy%20Carlos"&amp;gt;Wendy Carlos&amp;lt;/a&amp;gt; z.B. ist bekannt für Tonsysteme, die auf der reinen Quinte (Frequenzverhältnis 3/2) beruhen. Siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edf"&amp;gt;edf&amp;lt;/a&amp;gt; (equal division of the fifth).&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Gleichstufige Stimmungen, im verallgemeinerten Sinn, erhät man, indem man ein gegebenes Periodenintervall in n gleich grosse Teile teilt.

Beim derzeit in der Welt dominierenden System [[12edo]] ist das Periodenintervall die Oktave und die Anzahl Unterteilungen die 12.

Die naheliegendste - und in der xenharmonischen Welt am weitesten verbreitete - Idee, hier in xenharmonische Sphären vorzustossen, ist, die Unterteilung zu verändern. Das Resultat ist ein [[edo]]-System (equal division of the octave)

Doch es spricht auch nichts dagegen, das Periodenintervall zu verändern, z.B. anstelle der Oktave die reine Duodezime (Frequenzverhältnis 3/1) zu verwenden. Das Resultat wird eine [[edt]]-Stimmung (equal division of the tritave) sein. Die bekanntesten Beispiele sind die [[Bohlen-Pierce]]-Skala und das Stimmungssystem von [[Bernhard Stopper]].


Auch dabei muss man es icht belassen, sondern kann im Prinzip jedes beliebige Intervall als Periodenintervall verwenden. [[Wendy Carlos]] z.B. ist bekannt für Tonsysteme, die auf der reinen Quinte (Frequenzverhältnis 3/2) beruhen. Siehe [[edf]] (equal division of the fifth).&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Gleichstufige Stimmungen, im verallgemeinerten Sinn, erhät man, indem man ein gegebenes Periodenintervall in n gleich grosse Teile teilt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Beim derzeit in der Welt dominierenden System &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist das Periodenintervall die Oktave und die Anzahl Unterteilungen die 12.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die naheliegendste - und in der xenharmonischen Welt am weitesten verbreitete - Idee, hier in xenharmonische Sphären vorzustossen, ist, die Unterteilung zu verändern. Das Resultat ist ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;edo&amp;lt;/a&amp;gt;-System (equal division of the octave)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Doch es spricht auch nichts dagegen, das Periodenintervall zu verändern, z.B. anstelle der Oktave die reine Duodezime (Frequenzverhältnis 3/1) zu verwenden. Das Resultat wird eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edt"&amp;gt;edt&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung (equal division of the tritave) sein. Die bekanntesten Beispiele sind die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bohlen-Pierce"&amp;gt;Bohlen-Pierce&amp;lt;/a&amp;gt;-Skala und das Stimmungssystem von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bernhard%20Stopper"&amp;gt;Bernhard Stopper&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Auch dabei muss man es icht belassen, sondern kann im Prinzip jedes beliebige Intervall als Periodenintervall verwenden. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Wendy%20Carlos"&amp;gt;Wendy Carlos&amp;lt;/a&amp;gt; z.B. ist bekannt für Tonsysteme, die auf der reinen Quinte (Frequenzverhältnis 3/2) beruhen. Siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edf"&amp;gt;edf&amp;lt;/a&amp;gt; (equal division of the fifth).&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Gleichstufige Stimmungen, im verallgemeinerten Sinn, erhät man, indem man ein gegebenes Periodenintervall in n gleich grosse Teile teilt.

Beim derzeit in der Welt dominierenden System [[12edo]] ist das Periodenintervall die Oktave und die Anzahl Unterteilungen die 12.

Die naheliegendste - und in der xenharmonischen Welt am weitesten verbreitete - Idee, hier in xenharmonische Sphären vorzustossen, ist, die Unterteilung zu verändern. Das Resultat ist ein [[edo]].

Doch es spricht auch nichts dagegen, das Periodenintervall zu verändern, z.B. anstelle der Oktave die reine Duodezime (Frequenzverhältnis 3:1) zu verwenden. Das Resultat wird eine [[edt]]-Stimmung sein. Das bekannteste Beispiel dafür ist wohl die [[Bohlen-Pierce]]-Skala.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Gleichstufige Stimmungen, im verallgemeinerten Sinn, erhät man, indem man ein gegebenes Periodenintervall in n gleich grosse Teile teilt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Beim derzeit in der Welt dominierenden System &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist das Periodenintervall die Oktave und die Anzahl Unterteilungen die 12.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die naheliegendste - und in der xenharmonischen Welt am weitesten verbreitete - Idee, hier in xenharmonische Sphären vorzustossen, ist, die Unterteilung zu verändern. Das Resultat ist ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Doch es spricht auch nichts dagegen, das Periodenintervall zu verändern, z.B. anstelle der Oktave die reine Duodezime (Frequenzverhältnis 3:1) zu verwenden. Das Resultat wird eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edt"&amp;gt;edt&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung sein. Das bekannteste Beispiel dafür ist wohl die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bohlen-Pierce"&amp;gt;Bohlen-Pierce&amp;lt;/a&amp;gt;-Skala.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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'''Gleichstufige Tonsysteme''' oder '''~ Stimmungen''' verwenden einen Tonvorrat, dessen Nachbartöne durchweg gleiche Abstände aufweisen. Häufig gibt es zudem ein ausgezeichnetes Intervall das eine Art "Identität auf höherer Stufe" repräsentiert. Anhand dieses [[Periodenintervall|Periodenintervalls]] lassen sich die gleichstufigen Systeme leicht kategorisieren, indem man zur Kennzeichnung der Periode die Anzahl der gleichen Teile benennt.

Das derzeit in der Welt dominierenden System [[12edo|12edo]] unterteilt sein Periodenintervall [[Oktave|Oktave]] (Frequenzverältnis 2/1) in '''12''' gleiche Teile.

Die naheliegendste - und am weitesten verbreitete - Idee, hier in xenharmonische Sphären vorzustossen, ist, die Unterteilung zu verändern. Das Resultat ist ein [[edo|edo]]-System (equal division of the octave)

[[edo|Übersicht: Gleichstufige Unterteilungen der Oktave (EDO)]]

Doch es spricht auch nichts dagegen, das Periodenintervall zu verändern, z.B. anstelle der Oktave die reine Duodezime (Frequenzverhältnis 3/1) zu verwenden. Das Resultat wird eine [[edt|edt]]-Stimmung (equal division of the tritave) sein. Die bekanntesten Beispiele sind die [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Skala und die [[Bernhard_Stopper|Stopper-Stimmung]].

[[edt|Übersicht: Gleichstufige Unterteilungen der Duodezime (EDT)]]

Auch dabei muss man es nicht belassen, sondern kann im Prinzip jedes beliebige Intervall als Periodenintervall verwenden. [[Wendy_Carlos|Wendy Carlos]] z.B. ist bekannt für Tonsysteme, die auf gleichstufigen Unterteilungen der reinen Quinte (Frequenzverhältnis 3/2) beruhen. Siehe [[edf|edf]] (equal division of the fifth).

[[edf|Übersicht: Gleichstufige Unterteilungen der Quinte (EDF)]]  [[Category:Theorie]]</text>
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'''Gleichstufige Tonsysteme''' oder '''~ Stimmungen''' verwenden einen Tonvorrat, dessen Nachbartöne durchweg gleiche Abstände aufweisen. Häufig gibt es zudem ein ausgezeichnetes Intervall das eine Art "Identität auf höherer Stufe" repräsentiert. Anhand dieses [[Periodenintervall|Periodenintervalls]] lassen sich die gleichstufigen Systeme leicht kategorisieren, indem man zur Kennzeichnung der Periode die Anzahl der gleichen Teile benennt.

Das derzeit in der Welt dominierenden System [[12edo|12edo]] unterteilt sein Periodenintervall [[Oktave|Oktave]] (Frequenzverältnis 2/1) in '''12''' gleiche Teile.

Die naheliegendste - und am weitesten verbreitete - Idee, hier in xenharmonische Sphären vorzustossen, ist, die Unterteilung zu verändern. Das Resultat ist ein [[edo|edo]]-System (equal division of the octave)

[[edo|Übersicht: Gleichstufige Unterteilungen der Oktave (EDO)]]

Doch es spricht auch nichts dagegen, das Periodenintervall zu verändern, z.B. anstelle der Oktave die reine Duodezime (Frequenzverhältnis 3/1) zu verwenden. Das Resultat wird eine [[edt|edt]]-Stimmung (equal division of the tritave) sein. Die bekanntesten Beispiele sind die [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Skala und die [[Bernhard_Stopper|Stopper-Stimmung]].

[[edt|Übersicht: Gleichstufige Unterteilungen der Duodezime (EDT)]]

Auch dabei muss man es nicht belassen, sondern kann im Prinzip jedes beliebige Intervall als Periodenintervall verwenden. [[Wendy_Carlos|Wendy Carlos]] z.B. ist bekannt für Tonsysteme, die auf gleichstufigen Unterteilungen der reinen Quinte (Frequenzverhältnis 3/2) beruhen. Siehe [[edf|edf]] (equal division of the fifth).

[[edf|Übersicht: Gleichstufige Unterteilungen der Quinte (EDF)]]  [[Category:Theorie]]</text>
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'''Gleichstufige Tonsysteme''' oder '''~ Stimmungen''' verwenden einen Tonvorrat, dessen Nachbartöne durchweg gleiche Abstände aufweisen. Häufig gibt es zudem ein ausgezeichnetes Intervall das eine Art "Identität auf höherer Stufe" repräsentiert. Anhand dieses [[Periodenintervall|Periodenintervalls]] lassen sich die gleichstufigen Systeme leicht kategorisieren, indem man zur Kennzeichnung der Periode die Anzahl der gleichen Teile benennt.

Das derzeit in der Welt dominierenden System [[12edo|12edo]] unterteilt sein Periodenintervall [[Oktave|Oktave]] (Frequenzverältnis 2/1) in '''12''' gleiche Teile.

Die naheliegendste - und am weitesten verbreitete - Idee, hier in xenharmonische Sphären vorzustossen, ist, die Unterteilung zu verändern. Das Resultat ist ein [[edo|edo]]-System (equal division of the octave)

[[edo|Übersicht: Gleichstufige Unterteilungen der Oktave (EDO)]]

Doch es spricht auch nichts dagegen, das Periodenintervall zu verändern, z.B. anstelle der Oktave die reine Duodezime (Frequenzverhältnis 3/1) zu verwenden. Das Resultat wird eine [[edt|edt]]-Stimmung (equal division of the tritave) sein. Die bekanntesten Beispiele sind die [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Skala und die [[Bernhard_Stopper|Stopper-Stimmung]].

[[edt|Übersicht: Gleichstufige Unterteilungen der Duodezime (EDT)]]

Auch dabei muss man es nicht belassen, sondern kann im Prinzip jedes beliebige Intervall als Periodenintervall verwenden. [[Wendy_Carlos|Wendy Carlos]] z.B. ist bekannt für Tonsysteme, die auf gleichstufigen Unterteilungen der reinen Quinte (Frequenzverhältnis 3/2) beruhen. Siehe [[edf|edf]] (equal division of the fifth).

[[edf|Übersicht: Gleichstufige Unterteilungen der Quinte (EDF)]]  [[Category:Theorie]]</text>
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'''Gleichstufige Tonsysteme''' oder '''~ Stimmungen''' verwenden einen Tonvorrat, dessen Nachbartöne durchweg gleiche Abstände aufweisen. Häufig gibt es zudem ein ausgezeichnetes Intervall das eine Art "Identität auf höherer Stufe" repräsentiert. Anhand dieses [[Periodenintervall|Periodenintervalls]] lassen sich die gleichstufigen Systeme leicht kategorisieren, indem man zur Kennzeichnung der Periode die Anzahl der gleichen Teile benennt.

Das derzeit in der Welt dominierenden System [[12edo|12edo]] unterteilt sein Periodenintervall [[Oktave|Oktave]] (Frequenzverältnis 2/1) in '''12''' gleiche Teile.

Die naheliegendste - und am weitesten verbreitete - Idee, hier in xenharmonische Sphären vorzustossen, ist, die Unterteilung zu verändern. Das Resultat ist ein [[edo|edo]]-System (equal division of the octave)

[[edo|Übersicht: Gleichstufige Unterteilungen der Oktave (EDO)]]

Doch es spricht auch nichts dagegen, das Periodenintervall zu verändern, z.B. anstelle der Oktave die reine Duodezime (Frequenzverhältnis 3/1) zu verwenden. Das Resultat wird eine [[edt|edt]]-Stimmung (equal division of the tritave) sein. Die bekanntesten Beispiele sind die [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Skala und die [[Bernhard_Stopper|Stopper-Stimmung]].

[[edt|Übersicht: Gleichstufige Unterteilungen der Duodezime (EDT)]]

Auch dabei muss man es nicht belassen, sondern kann im Prinzip jedes beliebige Intervall als Periodenintervall verwenden. [[Wendy_Carlos|Wendy Carlos]] z.B. ist bekannt für Tonsysteme, die auf gleichstufigen Unterteilungen der reinen Quinte (Frequenzverhältnis 3/2) beruhen. Siehe [[edf|edf]] (equal division of the fifth).

[[edf|Übersicht: Gleichstufige Unterteilungen der Quinte (EDF)]]  [[Category:Theorie]]</text>
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'''Gleichstufige Tonsysteme''' oder '''~ Stimmungen''' verwenden einen Tonvorrat, dessen Nachbartöne durchweg gleiche Abstände aufweisen. Häufig gibt es zudem ein ausgezeichnetes Intervall das eine Art "Identität auf höherer Stufe" repräsentiert. Anhand dieses [[Periodenintervall|Periodenintervalls]] lassen sich die gleichstufigen Systeme leicht kategorisieren, indem man zur Kennzeichnung der Periode die Anzahl der gleichen Teile benennt.

Das derzeit in der Welt dominierenden System [[12edo|12edo]] unterteilt sein Periodenintervall [[Oktave|Oktave]] (Frequenzverältnis 2/1) in '''12''' gleiche Teile.

Die naheliegendste - und am weitesten verbreitete - Idee, hier in xenharmonische Sphären vorzustossen, ist, die Unterteilung zu verändern. Das Resultat ist ein [[edo|edo]]-System (equal division of the octave)

[[edo|Übersicht: Gleichstufige Unterteilungen der Oktave (EDO)]]

Doch es spricht auch nichts dagegen, das Periodenintervall zu verändern, z.B. anstelle der Oktave die reine Duodezime (Frequenzverhältnis 3/1) zu verwenden. Das Resultat wird eine [[edt|edt]]-Stimmung (equal division of the tritave) sein. Die bekanntesten Beispiele sind die [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Skala und die [[Bernhard_Stopper|Stopper-Stimmung]].

[[edt|Übersicht: Gleichstufige Unterteilungen der Duodezime (EDT)]]

Auch dabei muss man es nicht belassen, sondern kann im Prinzip jedes beliebige Intervall als Periodenintervall verwenden. [[Wendy_Carlos|Wendy Carlos]] z.B. ist bekannt für Tonsysteme, die auf gleichstufigen Unterteilungen der reinen Quinte (Frequenzverhältnis 3/2) beruhen. Siehe [[edf|edf]] (equal division of the fifth).

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'''Gleichstufige Tonsysteme''' oder '''~ Stimmungen''' verwenden einen Tonvorrat, dessen Nachbartöne durchweg gleiche Abstände aufweisen. Häufig gibt es zudem ein ausgezeichnetes Intervall das eine Art "Identität auf höherer Stufe" repräsentiert. Anhand dieses [[Periodenintervall|Periodenintervalls]] lassen sich die gleichstufigen Systeme leicht kategorisieren, indem man zur Kennzeichnung der Periode die Anzahl der gleichen Teile benennt.

Das derzeit in der Welt dominierenden System [[12edo|12edo]] unterteilt sein Periodenintervall [[Oktave|Oktave]] (Frequenzverältnis 2/1) in '''12''' gleiche Teile.

Die naheliegendste - und am weitesten verbreitete - Idee, hier in xenharmonische Sphären vorzustossen, ist, die Unterteilung zu verändern. Das Resultat ist ein [[edo|edo]]-System (equal division of the octave)

[[edo|Übersicht: Gleichstufige Unterteilungen der Oktave (EDO)]]

Doch es spricht auch nichts dagegen, das Periodenintervall zu verändern, z.B. anstelle der Oktave die reine Duodezime (Frequenzverhältnis 3/1) zu verwenden. Das Resultat wird eine [[edt|edt]]-Stimmung (equal division of the tritave) sein. Die bekanntesten Beispiele sind die [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Skala und die [[Bernhard_Stopper|Stopper-Stimmung]].

[[edt|Übersicht: Gleichstufige Unterteilungen der Duodezime (EDT)]]

Auch dabei muss man es nicht belassen, sondern kann im Prinzip jedes beliebige Intervall als Periodenintervall verwenden. [[Wendy_Carlos|Wendy Carlos]] z.B. ist bekannt für Tonsysteme, die auf gleichstufigen Unterteilungen der reinen Quinte (Frequenzverhältnis 3/2) beruhen. Siehe [[edf|edf]] (equal division of the fifth).

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'''Gleichstufige Tonsysteme''' oder '''~ Stimmungen''' verwenden einen Tonvorrat, dessen Nachbartöne durchweg gleiche Abstände aufweisen. Häufig gibt es zudem ein ausgezeichnetes Intervall das eine Art "Identität auf höherer Stufe" repräsentiert. Anhand dieses [[Periodenintervall]]s lassen sich die gleichstufigen Systeme leicht kategorisieren, indem man zur Kennzeichnung der Periode die Anzahl der gleichen Teile benennt.

Das derzeit in der Welt dominierenden System [[12edo|12edo]] unterteilt sein Periodenintervall [[Oktave]] (Frequenzverältnis 2/1) in '''12''' gleiche Teile.

Die naheliegendste - und am weitesten verbreitete - Idee, hier in xenharmonische Sphären vorzustossen, ist, die Unterteilung zu verändern. Das Resultat ist ein [[EDO]]-System (equal division of the octave)

[[edo|Übersicht: Gleichstufige Unterteilungen der Oktave (EDO)]]

Doch es spricht auch nichts dagegen, das Periodenintervall zu verändern, z.B. anstelle der Oktave die reine Duodezime (Frequenzverhältnis 3/1) zu verwenden. Das Resultat wird eine [[edt]]-Stimmung (equal division of the tritave) sein. Die bekanntesten Beispiele sind die [[Bohlen-Pierce]]-Skala und die [[Bernhard Stopper|Stopper-Stimmung]].

[[edt|Übersicht: Gleichstufige Unterteilungen der Duodezime (EDT)]]

Auch dabei muss man es nicht belassen, sondern kann im Prinzip jedes beliebige Intervall als Periodenintervall verwenden. [[Wendy Carlos]] z.B. ist bekannt für [[Tonsystem]]e, die auf gleichstufigen Unterteilungen der reinen Quinte (Frequenzverhältnis 3/2) beruhen. Siehe [[edf]] (equal division of the fifth).

[[edf|Übersicht: Gleichstufige Unterteilungen der Quinte (EDF)]] 

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'''Gleichstufige Tonsysteme''' oder '''~ Stimmungen''' verwenden einen Tonvorrat, dessen Nachbartöne durchweg gleiche Abstände aufweisen. Häufig gibt es zudem ein [[Äquave|ausgezeichnetes Intervall]] das eine Art "Identität auf höherer Stufe" repräsentiert. Anhand dieses "Äquivalenzintervalls" lassen sich die gleichstufigen Systeme leicht kategorisieren, indem man zur Kennzeichnung des Äquivalenzintervalls die Anzahl der gleichen Teile benennt.

Das derzeit in der Welt dominierenden System [[12edo|12edo]] unterteilt sein Äquivalenzintervall [[Oktave]] (Frequenzverältnis 2/1) in '''12''' gleiche Teile.

Die naheliegendste - und am weitesten verbreitete - Idee, hier in xenharmonische Sphären vorzustossen, ist, die Unterteilung zu verändern. Das Resultat ist ein [[EDO]]-System (equal division of the octave)

[[edo|Übersicht: Gleichstufige Unterteilungen der Oktave (EDO)]]

Doch es spricht auch nichts dagegen, das Äquivalenzintervall zu verändern, z.B. anstelle der Oktave die reine Duodezime (Frequenzverhältnis 3/1) zu verwenden. Das Resultat wird eine [[edt]]-Stimmung (equal division of the tritave) sein. Die bekanntesten Beispiele sind die [[Bohlen-Pierce]]-Skala und die [[Bernhard Stopper|Stopper-Stimmung]].

[[edt|Übersicht: Gleichstufige Unterteilungen der Duodezime (EDT)]]

Auch dabei muss man es nicht belassen, sondern kann im Prinzip jedes beliebige Intervall als Äquivalenzintervall verwenden. [[Wendy Carlos]] z.B. ist bekannt für [[Tonsystem]]e, die auf gleichstufigen Unterteilungen der reinen Quinte (Frequenzverhältnis 3/2) beruhen. Siehe [[edf]] (equal division of the fifth).

[[edf|Übersicht: Gleichstufige Unterteilungen der Quinte (EDF)]] 

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'''Gleichstufige Tonsysteme''' oder '''~ Stimmungen''' verwenden einen Tonvorrat, dessen Nachbartöne durchweg gleiche Abstände aufweisen. Häufig gibt es zudem ein [[Äquave|ausgezeichnetes Intervall]] das eine Art "Identität auf höherer Stufe" repräsentiert. Anhand dieses "Äquivalenzintervalls" lassen sich die gleichstufigen Systeme leicht kategorisieren, indem man zur Kennzeichnung des Äquivalenzintervalls die Anzahl der gleichen Teile benennt.

Das derzeit in der Welt dominierenden System [[12edo|12edo]] unterteilt sein Äquivalenzintervall [[Oktave]] (Frequenzverältnis 2/1) in '''12''' gleiche Teile.

Die naheliegendste - und am weitesten verbreitete - Idee, hier in xenharmonische Sphären vorzustossen, ist, die Unterteilung zu verändern. Das Resultat ist ein [[EDO]]-System (equal division of the octave).

[[edo|Übersicht: Gleichstufige Unterteilungen der Oktave (EDO)]]

Doch es spricht auch nichts dagegen, das Äquivalenzintervall zu verändern, z.B. anstelle der Oktave die reine Duodezime (Frequenzverhältnis 3/1) zu verwenden. Das Resultat wird eine [[edt]]-Stimmung (equal division of the tritave) sein. Die bekanntesten Beispiele sind die [[Bohlen-Pierce]]-Skala und die [[Bernhard Stopper|Stopper-Stimmung]].

[[edt|Übersicht: Gleichstufige Unterteilungen der Duodezime (EDT)]]

Auch dabei muss man es nicht belassen, sondern kann im Prinzip jedes beliebige Intervall als Äquivalenzintervall verwenden. [[Wendy Carlos]] z.B. ist bekannt für [[Tonsystem]]e, die auf gleichstufigen Unterteilungen der reinen Quinte (Frequenzverhältnis 3/2) beruhen. Siehe [[edf]] (equal division of the fifth).

[[edf|Übersicht: Gleichstufige Unterteilungen der Quinte (EDF)]] 

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'''Gleichstufige Tonsysteme''' oder '''~ Stimmungen''' verwenden einen Tonvorrat, dessen Nachbartöne durchweg gleiche Abstände aufweisen. Häufig gibt es zudem ein [[Äquave|ausgezeichnetes Intervall]] das eine Art "Identität auf höherer Stufe" repräsentiert. Anhand dieses "Äquivalenzintervalls" lassen sich die gleichstufigen Systeme leicht kategorisieren, indem man zur Kennzeichnung des Äquivalenzintervalls die Anzahl der gleichen Teile benennt.

Das derzeit in der Welt dominierenden System [[12edo|12edo]] unterteilt sein Äquivalenzintervall [[Oktave]] (Frequenzverältnis 2/1) in '''12''' gleiche Teile.

Die naheliegendste - und am weitesten verbreitete - Idee, hier in xenharmonische Sphären vorzustossen, ist, die Unterteilung zu verändern. Das Resultat ist ein [[EDO]]-System (equal division of the octave).

[[edo|Übersicht: Gleichstufige Unterteilungen der Oktave (EDO)]]

Doch es spricht auch nichts dagegen, das Äquivalenzintervall zu verändern, z.B. anstelle der Oktave die reine Duodezime (Frequenzverhältnis 3/1) zu verwenden. Das Resultat wird eine [[edt]]-Stimmung (equal division of the tritave) sein. Die bekanntesten Beispiele sind die [[Bohlen-Pierce]]-Skala und die [[Bernhard Stopper|Stopper-Stimmung]].

[[edt|Übersicht: Gleichstufige Unterteilungen der Duodezime (EDT)]]

Auch dabei muss man es nicht belassen, sondern kann im Prinzip jedes beliebige Intervall als Äquivalenzintervall verwenden. [[Wendy Carlos]] z.B. ist bekannt für [[Tonsystem]]e, die auf gleichstufigen Unterteilungen der reinen Quinte (Frequenzverhältnis 3/2) beruhen. Siehe [[edf]] (equal division of the fifth).

[[edf|Übersicht: Gleichstufige Unterteilungen der Quinte (EDF)]] 

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der '''kleismischen Temperaturen''' ist definiert über das Austemperieren des [http://en.wikipedia.org/wiki/Kleisma Kleismas]. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 15'625/15'552 (8.107 Cents) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und einer reinen Duodezime (3/1).

Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavreduziert eine grosse Terz, welche typischerweise etwas kleiner ist als die reine (5/4).

Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]], heisst '''Hanson''', benannt nach Larry A. Hanson &lt;/sup&gt;[[#cite_note-1|[1]]]&lt;/sup&gt; . Sie ist besonders gut in [[53edo|53edo]] repräsentiert. Durch Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und zusätzlichen Kommas ergeben sich diverse Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[:en:Kleismic_family englischen Xenharmonic Wiki]] .

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche Hanson unterstützen, sind neben [[53edo|53edo]] unter anderem [[19edo|19edo]] ([[mitteltönig|mitteltönig]]), [[34edo|34edo]], [[72edo|72edo]], mit Einschränkungen [[15edo|15edo]] (alle nicht-mitteltönig).

=Referenzen=
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] Larry A. Hanson, [http://anaphoria.com/hanson.PDF Development of a 53-Tone Keyboard Layout], Xenharmonikon XII, 1989&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-12-11 03:07:40 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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Die Familie der **kleismischen Temperaturen** ist definiert über das Austemperieren des [[http://en.wikipedia.org/wiki/Kleisma|Kleismas]]. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 15'625/15'552 (8.107 Cents) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und einer reinen Duodezime (3/1).

Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavreduziert eine grosse Terz, welche typischerweise etwas kleiner ist als die reine (5/4).
Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]], heisst **Hanson**, benannt nach Larry A. Hanson &amp;lt;ref&amp;gt;Larry A. Hanson, [[http://anaphoria.com/hanson.PDF|Development of a 53-Tone Keyboard Layout]], Xenharmonikon XII, 1989&amp;lt;/ref&amp;gt; . Sie ist besonders gut in [[53edo]] repräsentiert. Durch Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und zusätzlichen Kommas ergeben sich diverse Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[xenharmonic/Kleismic family|englischen Xenharmonic Wiki]] .

[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche Hanson unterstützen, sind neben [[53edo]] unter anderem [[19edo]] ([[mitteltönig]]), [[34edo]], [[72edo]], mit Einschränkungen [[15edo]] (alle nicht-mitteltönig).

=Referenzen= 
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Die Familie der &amp;lt;strong&amp;gt;kleismischen Temperaturen&amp;lt;/strong&amp;gt; ist definiert über das Austemperieren des &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://en.wikipedia.org/wiki/Kleisma" rel="nofollow"&amp;gt;Kleismas&amp;lt;/a&amp;gt;. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 15'625/15'552 (8.107 Cents) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und einer reinen Duodezime (3/1).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavreduziert eine grosse Terz, welche typischerweise etwas kleiner ist als die reine (5/4).&amp;lt;br /&amp;gt;
Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;, heisst &amp;lt;strong&amp;gt;Hanson&amp;lt;/strong&amp;gt;, benannt nach Larry A. Hanson &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRefRule:1:&amp;amp;amp;lt;ref&amp;amp;amp;gt;Larry A. Hanson, &amp;amp;lt;a class=&amp;amp;quot;wiki_link_ext&amp;amp;quot; href=&amp;amp;quot;http://anaphoria.com/hanson.PDF&amp;amp;quot; rel=&amp;amp;quot;nofollow&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;Development of a 53-Tone Keyboard Layout&amp;amp;lt;/a&amp;amp;gt;, Xenharmonikon XII, 1989&amp;amp;amp;lt;/ref&amp;amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;sup id="cite_ref-1" class="reference"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_note-1"&amp;gt;[1]&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/sup&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRefRule:1 --&amp;gt; . Sie ist besonders gut in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt; repräsentiert. Durch Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und zusätzlichen Kommas ergeben sich diverse Varianten, siehe hierzu den Artikel im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Kleismic%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der **kleismischen Temperaturen** ist definiert über das Austemperieren des [[http://en.wikipedia.org/wiki/Kleisma|Kleismas]]. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 15'625/15'552 (8.107 Cents) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und einer reinen Duodezime (3/1).

Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavreduziert eine grosse Terz, welche typischerweise etwas kleiner ist als die reine (5/4).
Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-Intervallraum, heisst **Hanson**, benannt nach Larry A. Hanson &amp;lt;ref&amp;gt;Larry A. Hanson, [[http://anaphoria.com/hanson.PDF|Development of a 53-Tone Keyboard Layout]], Xenharmonikon XII, 1989&amp;lt;/ref&amp;gt; . Sie ist besonders gut in [[53edo]] repräsentiert. Durch Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und zusätzlichen Kommas ergeben sich diverse Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[xenharmonic/Kleismic family|englischen Xenharmonic Wiki]] .

[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche Hanson unterstützen, sind neben [[53edo]] unter anderem [[19edo]] ([[mitteltönig]]), [[34edo]], [[72edo]], mit Einschränkungen [[15edo]] (alle nicht-mitteltönig).

=Referenzen= 
&amp;lt;references /&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Familie der &amp;lt;strong&amp;gt;kleismischen Temperaturen&amp;lt;/strong&amp;gt; ist definiert über das Austemperieren des &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://en.wikipedia.org/wiki/Kleisma" rel="nofollow"&amp;gt;Kleismas&amp;lt;/a&amp;gt;. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 15'625/15'552 (8.107 Cents) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und einer reinen Duodezime (3/1).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavreduziert eine grosse Terz, welche typischerweise etwas kleiner ist als die reine (5/4).&amp;lt;br /&amp;gt;
Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-Intervallraum, heisst &amp;lt;strong&amp;gt;Hanson&amp;lt;/strong&amp;gt;, benannt nach Larry A. Hanson &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRefRule:1:&amp;amp;amp;lt;ref&amp;amp;amp;gt;Larry A. Hanson, &amp;amp;lt;a class=&amp;amp;quot;wiki_link_ext&amp;amp;quot; href=&amp;amp;quot;http://anaphoria.com/hanson.PDF&amp;amp;quot; rel=&amp;amp;quot;nofollow&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;Development of a 53-Tone Keyboard Layout&amp;amp;lt;/a&amp;amp;gt;, Xenharmonikon XII, 1989&amp;amp;amp;lt;/ref&amp;amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;sup id="cite_ref-1" class="reference"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_note-1"&amp;gt;[1]&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/sup&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRefRule:1 --&amp;gt; . Sie ist besonders gut in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt; repräsentiert. Durch Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und zusätzlichen Kommas ergeben sich diverse Varianten, siehe hierzu den Artikel im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Kleismic%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme, welche Hanson unterstützen, sind neben &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt; unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;), &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/72edo"&amp;gt;72edo&amp;lt;/a&amp;gt;, mit Einschränkungen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt; (alle nicht-mitteltönig).&amp;lt;br /&amp;gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der kleismischen Temperaturen ist definiert über das Austemperieren des [[http://en.wikipedia.org/wiki/Kleisma|Kleismas]]. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverähltnis
15'625/15'552 (8.107 Cents) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und der reinen Duodezime (3/1).

Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavredeziert eine grosse Terz, welche typischerweise etwas kleiner ist als die reine (5/4).

Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-Intervallraum, heisst **Hanson**, benannt nach Larry A. Hanson &amp;lt;ref&amp;gt;Larry A. Hanson, [[http://anaphoria.com/hanson.PDF|Development of a 53-Tone Keyboard Layout]], Xenharmonikon XII, 1989&amp;lt;/ref&amp;gt; . Sie ist besonders gut in [[53edo]] repräsentiert. Durch Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und zusätzlichen Kommas ergeben sich diverse Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[xenharmonic/Kleismic family|englischen Xenharmonic Wiki]] .

[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche Hanson unterstützen, sind neben 53edo unter anderem [[19edo]] ([[mitteltönig]]), [[34edo]], [[72edo]], mit Einschränkungen [[15edo]] (alle nicht-mitteltönig).

=Referenzen= 
&amp;lt;references /&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Familie der kleismischen Temperaturen ist definiert über das Austemperieren des &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://en.wikipedia.org/wiki/Kleisma" rel="nofollow"&amp;gt;Kleismas&amp;lt;/a&amp;gt;. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverähltnis&amp;lt;br /&amp;gt;
15'625/15'552 (8.107 Cents) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und der reinen Duodezime (3/1).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavredeziert eine grosse Terz, welche typischerweise etwas kleiner ist als die reine (5/4).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-Intervallraum, heisst &amp;lt;strong&amp;gt;Hanson&amp;lt;/strong&amp;gt;, benannt nach Larry A. Hanson &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRefRule:1:&amp;amp;amp;lt;ref&amp;amp;amp;gt;Larry A. Hanson, &amp;amp;lt;a class=&amp;amp;quot;wiki_link_ext&amp;amp;quot; href=&amp;amp;quot;http://anaphoria.com/hanson.PDF&amp;amp;quot; rel=&amp;amp;quot;nofollow&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;Development of a 53-Tone Keyboard Layout&amp;amp;lt;/a&amp;amp;gt;, Xenharmonikon XII, 1989&amp;amp;amp;lt;/ref&amp;amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;sup id="cite_ref-1" class="reference"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_note-1"&amp;gt;[1]&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/sup&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRefRule:1 --&amp;gt; . Sie ist besonders gut in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt; repräsentiert. Durch Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und zusätzlichen Kommas ergeben sich diverse Varianten, siehe hierzu den Artikel im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Kleismic%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme, welche Hanson unterstützen, sind neben 53edo unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;), &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/72edo"&amp;gt;72edo&amp;lt;/a&amp;gt;, mit Einschränkungen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt; (alle nicht-mitteltönig).&amp;lt;br /&amp;gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der kleismischen Temperaturen ist definiert über das Austemperieren des [[http://en.wikipedia.org/wiki/Kleisma|Kleismas]]. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverähltnis
15'625/15'552 (8.107 Cents) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und der reinen Duodezime (3/1).

Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavredeziert eine grosse Terz, welche typischerweise etwas kleiner ist als die reine (5/4).

Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-Intervallraum, heisst **Hanson**, benannt nach Larry A. Hanson &amp;lt;ref&amp;gt;Larry A. Hanson, [[http://anaphoria.com/hanson.PDF|Development of a 53-Tone Keyboard Layout]], Xenharmonikon XII, 1989&amp;lt;/ref&amp;gt; . Durch Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und zusätzlichen Kommas ergeben sich diverse Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[xenharmonic/Kleismic family|englischen Xenharmonic Wiki]] .

[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche Hanson unterstützen, sind unter anderem [[19edo]] ([[mitteltönig]]), [[34edo]], [[53edo]], [[72edo]] (alle nicht-mitteltönig).

=Referenzen= 
&amp;lt;references /&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Die Familie der kleismischen Temperaturen ist definiert über das Austemperieren des &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://en.wikipedia.org/wiki/Kleisma" rel="nofollow"&amp;gt;Kleismas&amp;lt;/a&amp;gt;. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverähltnis&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavredeziert eine grosse Terz, welche typischerweise etwas kleiner ist als die reine (5/4).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-Intervallraum, heisst &amp;lt;strong&amp;gt;Hanson&amp;lt;/strong&amp;gt;, benannt nach Larry A. Hanson &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRefRule:1:&amp;amp;amp;lt;ref&amp;amp;amp;gt;Larry A. Hanson, &amp;amp;lt;a class=&amp;amp;quot;wiki_link_ext&amp;amp;quot; href=&amp;amp;quot;http://anaphoria.com/hanson.PDF&amp;amp;quot; rel=&amp;amp;quot;nofollow&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;Development of a 53-Tone Keyboard Layout&amp;amp;lt;/a&amp;amp;gt;, Xenharmonikon XII, 1989&amp;amp;amp;lt;/ref&amp;amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;sup id="cite_ref-1" class="reference"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_note-1"&amp;gt;[1]&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/sup&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRefRule:1 --&amp;gt; . Durch Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und zusätzlichen Kommas ergeben sich diverse Varianten, siehe hierzu den Artikel im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Kleismic%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/kleismic|xenharmonic/Kleismic family]]

[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der kleismischen Temperaturen ist definiert über das Austemperieren des [[http://en.wikipedia.org/wiki/Kleisma|Kleismas]]. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverähltnis
15'625/15'552 (8.107 Cents) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und der reinen Duodezime (3/1).

Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavredeziert eine grosse Terz, welche typischerweise etwas kleiner ist als die reine (5/4).

Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-Intervallraum, heisst **Hanson**, benannt nach Larry A. Hanson &amp;lt;ref&amp;gt;Larry A. Hanson, [[http://anaphoria.com/hanson.PDF|Development of a 53-Tone Keyboard Layout]], Xenharmonikon XII, 1989&amp;lt;/ref&amp;gt; . Durch Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und zusätzlichen Kommas ergeben sich diverse Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[xenharmonic/Kleismic family|englischen Xenharmonic Wiki]] .



=Referenzen= 
&amp;lt;references /&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Familie der kleismischen Temperaturen ist definiert über das Austemperieren des &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://en.wikipedia.org/wiki/Kleisma" rel="nofollow"&amp;gt;Kleismas&amp;lt;/a&amp;gt;. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverähltnis&amp;lt;br /&amp;gt;
15'625/15'552 (8.107 Cents) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und der reinen Duodezime (3/1).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavredeziert eine grosse Terz, welche typischerweise etwas kleiner ist als die reine (5/4).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-Intervallraum, heisst &amp;lt;strong&amp;gt;Hanson&amp;lt;/strong&amp;gt;, benannt nach Larry A. Hanson &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRefRule:1:&amp;amp;amp;lt;ref&amp;amp;amp;gt;Larry A. Hanson, &amp;amp;lt;a class=&amp;amp;quot;wiki_link_ext&amp;amp;quot; href=&amp;amp;quot;http://anaphoria.com/hanson.PDF&amp;amp;quot; rel=&amp;amp;quot;nofollow&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;Development of a 53-Tone Keyboard Layout&amp;amp;lt;/a&amp;amp;gt;, Xenharmonikon XII, 1989&amp;amp;amp;lt;/ref&amp;amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;sup id="cite_ref-1" class="reference"&amp;gt;&amp;lt;a href="#cite_note-1"&amp;gt;[1]&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/sup&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRefRule:1 --&amp;gt; . Durch Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und zusätzlichen Kommas ergeben sich diverse Varianten, siehe hierzu den Artikel im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Kleismic%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der '''kleismischen Temperaturen''' ist definiert über das Austemperieren des [http://en.wikipedia.org/wiki/Kleisma Kleismas]. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 15'625/15'552 (8.107 Cents) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und einer reinen Duodezime (3/1).

Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavreduziert eine grosse Terz, welche typischerweise etwas kleiner ist als die reine (5/4).

Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]], heisst '''Hanson''', benannt nach Larry A. Hanson &lt;/sup&gt;[[#cite_note-1|[1]]]&lt;/sup&gt; . Sie ist besonders gut in [[53edo|53edo]] repräsentiert. Durch Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und zusätzlichen Kommas ergeben sich diverse Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[:en:Kleismic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] .

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche Hanson unterstützen, sind neben [[53edo|53edo]] unter anderem [[19edo|19edo]] ([[mitteltönig|mitteltönig]]), [[34edo|34edo]], [[72edo|72edo]], mit Einschränkungen [[15edo|15edo]] (alle nicht-mitteltönig).

=Referenzen=
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] Larry A. Hanson, [http://anaphoria.com/hanson.PDF Development of a 53-Tone Keyboard Layout], Xenharmonikon XII, 1989&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der '''kleismischen Temperaturen''' ist definiert über das Austemperieren des [http://en.wikipedia.org/wiki/Kleisma Kleismas]. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 15'625/15'552 (8.107 Cents) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und einer reinen Duodezime (3/1).

Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavreduziert eine grosse Terz, welche typischerweise etwas kleiner ist als die reine (5/4).

Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]], heisst '''Hanson''', benannt nach Larry A. Hanson &lt;/sup&gt;[[#cite_note-1|[1]]]&lt;/sup&gt; . Sie ist besonders gut in [[53edo|53edo]] repräsentiert. Durch Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und zusätzlichen Kommas ergeben sich diverse Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[:en:Kleismic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] .

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche Hanson unterstützen, sind neben [[53edo|53edo]] unter anderem [[19edo|19edo]] ([[mitteltönig|mitteltönig]]), [[34edo|34edo]], [[72edo|72edo]], mit Einschränkungen [[15edo|15edo]] (alle nicht-mitteltönig).

=Referenzen=
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] Larry A. Hanson, [http://anaphoria.com/hanson.PDF Development of a 53-Tone Keyboard Layout], Xenharmonikon XII, 1989&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der '''kleismischen Temperaturen''' ist definiert über das Austemperieren des [http://en.wikipedia.org/wiki/Kleisma Kleismas]. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 15'625/15'552 (8.107 Cents) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und einer reinen Duodezime (3/1).

Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavreduziert eine grosse Terz, welche typischerweise etwas kleiner ist als die reine (5/4).

Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]], heisst '''Hanson''', benannt nach Larry A. Hanson &lt;/sup&gt;[[#cite_note-1|[1]]]&lt;/sup&gt; . Sie ist besonders gut in [[53-EDO]] repräsentiert. Durch Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und zusätzlichen Kommas ergeben sich diverse Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[:en:Kleismic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] .

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche Hanson unterstützen, sind neben [[53-EDO]] unter anderem [[19-EDO]] ([[mitteltönig|mitteltönig]]), [[34-EDO]], [[72-EDO]], mit Einschränkungen [[15-EDO]] (alle nicht-mitteltönig).

=Referenzen=
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] Larry A. Hanson, [http://anaphoria.com/hanson.PDF Development of a 53-Tone Keyboard Layout], Xenharmonikon XII, 1989&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;  [[Category:Temperament]]
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      <comment>Xenwolf verschob die Seite [[Hanson Kleismisch]] nach [[Hanson-Kleismisch]]: in solch einer Situation wird im Deutschen per Bindestrich gekoppelt</comment>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der '''kleismischen Temperaturen''' ist definiert über das Austemperieren des [http://en.wikipedia.org/wiki/Kleisma Kleismas]. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 15'625/15'552 (8.107 Cents) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und einer reinen Duodezime (3/1).

Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavreduziert eine grosse Terz, welche typischerweise etwas kleiner ist als die reine (5/4).

Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]], heisst '''Hanson''', benannt nach Larry A. Hanson &lt;/sup&gt;[[#cite_note-1|[1]]]&lt;/sup&gt; . Sie ist besonders gut in [[53-EDO]] repräsentiert. Durch Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und zusätzlichen Kommas ergeben sich diverse Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[:en:Kleismic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] .

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche Hanson unterstützen, sind neben [[53-EDO]] unter anderem [[19-EDO]] ([[mitteltönig|mitteltönig]]), [[34-EDO]], [[72-EDO]], mit Einschränkungen [[15-EDO]] (alle nicht-mitteltönig).

=Referenzen=
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] Larry A. Hanson, [http://anaphoria.com/hanson.PDF Development of a 53-Tone Keyboard Layout], Xenharmonikon XII, 1989&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der '''kleismischen Temperaturen''' ist definiert über das Austemperieren des [http://en.wikipedia.org/wiki/Kleisma Kleismas]. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 15'625/15'552 (8.107 Cents) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und einer reinen Duodezime (3/1).

Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavreduziert eine grosse Terz, welche typischerweise etwas kleiner ist als die reine (5/4).

Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]], heisst '''Hanson''', benannt nach Larry A. Hanson &lt;/sup&gt;[[#cite_note-1|[1]]]&lt;/sup&gt; . Sie ist besonders gut in [[53-EDO]] repräsentiert. Durch Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und zusätzlichen Kommas ergeben sich diverse Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[:en:Kleismic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] .

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche Hanson unterstützen, sind neben [[53-EDO]] unter anderem [[19-EDO]] ([[mitteltönig|mitteltönig]]), [[34-EDO]], [[72-EDO]], mit Einschränkungen [[15-EDO]] (alle nicht-mitteltönig).

=Referenzen=
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] Larry A. Hanson, [http://anaphoria.com/hanson.PDF Development of a 53-Tone Keyboard Layout], Xenharmonikon XII, 1989&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;  [[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der '''kleismischen Temperaturen''' ist definiert über das Austemperieren des [http://en.wikipedia.org/wiki/Kleisma Kleismas]. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 15'625/15'552 (8.107 Cents) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und einer reinen Duodezime (3/1).

Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavreduziert eine grosse Terz, welche typischerweise etwas kleiner ist als die reine (5/4).

Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]], heisst '''Hanson''', benannt nach Larry A. Hanson &lt;/sup&gt;[[#cite_note-1|[1]]]&lt;/sup&gt; . Sie ist besonders gut in [[53-EDO]] repräsentiert. Durch Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und zusätzlichen Kommas ergeben sich diverse Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[:en:Kleismic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] .

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche Hanson unterstützen, sind neben [[53-EDO]] unter anderem [[19-EDO]] ([[mitteltönig|mitteltönig]]), [[34-EDO]], [[72-EDO]], mit Einschränkungen [[15-EDO]] (alle nicht-mitteltönig).

=Referenzen=
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] Larry A. Hanson, [http://anaphoria.com/hanson.PDF Development of a 53-Tone Keyboard Layout], Xenharmonikon XII, 1989&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der '''kleismischen Temperaturen''' ist definiert über das Austemperieren des [http://en.wikipedia.org/wiki/Kleisma Kleismas]. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 15'625/15'552 (8.107 Cents) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und einer reinen Duodezime (3/1).

Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavreduziert eine grosse Terz, welche typischerweise etwas kleiner ist als die reine (5/4).

Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]], heisst '''Hanson''', benannt nach Larry A. Hanson &lt;/sup&gt;[[#cite_note-1|[1]]]&lt;/sup&gt; . Sie ist besonders gut in [[53-EDO]] repräsentiert. Durch Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und zusätzlichen Kommas ergeben sich diverse Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[:en:Kleismic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] .

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche Hanson unterstützen, sind neben [[53-EDO]] unter anderem [[19-EDO]] ([[mitteltönig|mitteltönig]]), [[34-EDO]], [[72-EDO]], mit Einschränkungen [[15-EDO]] (alle nicht-mitteltönig).

== MOS-Skalen ==
Die Hanson-Temperatur verfügt über folgende [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige der Form 4L 3s (4 grosse, 3 kleine Intervalle), eine elftönige der Form 4L 7s (4 grosse, 7 kleine Intervalle), ferner noch solche mit 15 und 19 Tönen.

Schon die siebentönige Skala enthält vertraute Dur- und Moll-Dreiklänge; die Melodieschritte sind jedoch sehr verschieden von denen der Standardstimmung (das kleine Intervall ist wenig grösser als ein Viertelton, während das grosse fast einer Terz gleicht).


[[Datei:Kleismic7.mp3]]

Siebentönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung


[[Datei:Kleismic11.mp3]]

Elftönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung

== Referenzen ==
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] Larry A. Hanson, [http://anaphoria.com/hanson.PDF Development of a 53-Tone Keyboard Layout], Xenharmonikon XII, 1989&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;  [[Category:Temperament]]
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}}
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der '''kleismischen Temperaturen''' ist definiert über das Austemperieren des [http://en.wikipedia.org/wiki/Kleisma Kleismas]. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 15'625/15'552 (8.107 Cents) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und einer reinen Duodezime (3/1).

Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavreduziert eine grosse Terz, welche typischerweise etwas kleiner ist als die reine (5/4).

Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]], heisst '''Hanson''', benannt nach Larry A. Hanson &lt;/sup&gt;[[#cite_note-1|[1]]]&lt;/sup&gt; . Sie ist besonders gut in [[53-EDO]] repräsentiert. Durch Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und zusätzlichen Kommas ergeben sich diverse Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[:en:Kleismic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] .

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche Hanson unterstützen, sind neben [[53-EDO]] unter anderem [[19-EDO]] ([[mitteltönig|mitteltönig]]), [[34-EDO]], [[72-EDO]], mit Einschränkungen [[15-EDO]] (alle nicht-mitteltönig).

== MOS-Skalen ==
English: [[:en:Kleismic_MOSes|Kleismic MOSes]]

Die Hanson-Temperatur verfügt über folgende [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige der Form 4L 3s (4 grosse, 3 kleine Intervalle), eine elftönige der Form 4L 7s (4 grosse, 7 kleine Intervalle), ferner noch solche mit 15 und 19 Tönen.

Schon die siebentönige Skala enthält vertraute Dur- und Moll-Dreiklänge; die Melodieschritte sind jedoch sehr verschieden von denen der Standardstimmung (das kleine Intervall ist wenig grösser als ein Viertelton, während das grosse fast einer Terz gleicht).


[[Datei:Kleismic7.mp3]]

Siebentönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung


[[Datei:Kleismic11.mp3]]

Elftönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung

== Referenzen ==
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] Larry A. Hanson, [http://anaphoria.com/hanson.PDF Development of a 53-Tone Keyboard Layout], Xenharmonikon XII, 1989&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;  [[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der '''kleismischen Temperaturen''' ist definiert über das Austemperieren des [http://en.wikipedia.org/wiki/Kleisma Kleismas]. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 15'625/15'552 (8.107 [[Cent]]) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und einer reinen Duodezime (3/1).

Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavreduziert eine grosse Terz, welche typischerweise etwas kleiner ist als die reine (5/4).

Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]], heisst '''Hanson''', benannt nach Larry A. Hanson &lt;/sup&gt;[[#cite_note-1|[1]]]&lt;/sup&gt; . Sie ist besonders gut in [[53-EDO]] repräsentiert. Durch Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und zusätzlichen Kommas ergeben sich diverse Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[:en:Kleismic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] .

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche Hanson unterstützen, sind neben [[53-EDO]] unter anderem [[19-EDO]] ([[mitteltönig|mitteltönig]]), [[34-EDO]], [[72-EDO]], mit Einschränkungen [[15-EDO]] (alle nicht-mitteltönig).

== MOS-Skalen ==
English: [[:en:Kleismic_MOSes|Kleismic MOSes]]

Die Hanson-Temperatur verfügt über folgende [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige der Form 4L 3s (4 grosse, 3 kleine Intervalle), eine elftönige der Form 4L 7s (4 grosse, 7 kleine Intervalle), ferner noch solche mit 15 und 19 Tönen.

Schon die siebentönige Skala enthält vertraute Dur- und Moll-Dreiklänge; die Melodieschritte sind jedoch sehr verschieden von denen der Standardstimmung (das kleine Intervall ist wenig grösser als ein Viertelton, während das grosse fast einer Terz gleicht).


[[Datei:Kleismic7.mp3]]

Siebentönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung


[[Datei:Kleismic11.mp3]]

Elftönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung

== Referenzen ==
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] Larry A. Hanson, [http://anaphoria.com/hanson.PDF Development of a 53-Tone Keyboard Layout], Xenharmonikon XII, 1989&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;  [[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der '''kleismischen Temperaturen''' ist definiert über das Austemperieren des [[15625/15552|Kleismas]]. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 15'625/15'552 (8.107 [[Cent]]) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und einer reinen Duodezime (3/1).

Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavreduziert eine grosse Terz, welche typischerweise etwas kleiner ist als die reine (5/4).

Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]], heisst '''Hanson''', benannt nach Larry A. Hanson &lt;/sup&gt;[[#cite_note-1|[1]]]&lt;/sup&gt; . Sie ist besonders gut in [[53-EDO]] repräsentiert. Durch Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und zusätzlichen Kommas ergeben sich diverse Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[:en:Kleismic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] .

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche Hanson unterstützen, sind neben [[53-EDO]] unter anderem [[19-EDO]] ([[mitteltönig|mitteltönig]]), [[34-EDO]], [[72-EDO]], mit Einschränkungen [[15-EDO]] (alle nicht-mitteltönig).

== MOS-Skalen ==
English: [[:en:Kleismic_MOSes|Kleismic MOSes]]

Die Hanson-Temperatur verfügt über folgende [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige der Form 4L 3s (4 grosse, 3 kleine Intervalle), eine elftönige der Form 4L 7s (4 grosse, 7 kleine Intervalle), ferner noch solche mit 15 und 19 Tönen.

Schon die siebentönige Skala enthält vertraute Dur- und Moll-Dreiklänge; die Melodieschritte sind jedoch sehr verschieden von denen der Standardstimmung (das kleine Intervall ist wenig grösser als ein Viertelton, während das grosse fast einer Terz gleicht).


[[Datei:Kleismic7.mp3]]

Siebentönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung


[[Datei:Kleismic11.mp3]]

Elftönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung

== Referenzen ==
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] Larry A. Hanson, [http://anaphoria.com/hanson.PDF Development of a 53-Tone Keyboard Layout], Xenharmonikon XII, 1989&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;  [[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der '''kleismischen Temperaturen''' ist definiert über das Austemperieren des [[15625/15552|Kleismas]]. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 15'625/15'552 (8.107 [[Cent]]) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und einer reinen Duodezime (3/1).

Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavreduziert eine grosse Terz, welche typischerweise etwas kleiner ist als die reine (5/4).

Das Kleisma tritt ausserdem auf als Unterschied zwischen drei reinen [[25/24|chromatischen Halbtönen 25/24]]&lt;nowiki/&gt;und einem grossen Ganzton 9/8.

Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]], heisst '''Hanson''', benannt nach Larry A. Hanson [[#cite_note-1|[1]]] . Sie ist besonders gut in [[53-EDO]] repräsentiert. Durch Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und zusätzlichen Kommas ergeben sich diverse Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[:en:Kleismic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] .

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche Hanson unterstützen, sind neben [[53-EDO]] unter anderem [[19-EDO]] ([[mitteltönig|mitteltönig]]), [[34-EDO]], [[72-EDO]], mit Einschränkungen [[15-EDO]] (alle nicht-mitteltönig).

== MOS-Skalen ==
English: [[:en:Kleismic_MOSes|Kleismic MOSes]]

Die Hanson-Temperatur verfügt über folgende [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige der Form 4L 3s (4 grosse, 3 kleine Intervalle), eine elftönige der Form 4L 7s (4 grosse, 7 kleine Intervalle), ferner noch solche mit 15 und 19 Tönen.

Schon die siebentönige Skala enthält vertraute Dur- und Moll-Dreiklänge; die Melodieschritte sind jedoch sehr verschieden von denen der Standardstimmung (das kleine Intervall ist wenig grösser als ein Viertelton, während das grosse fast einer Terz gleicht).


[[Datei:Kleismic7.mp3]]

Siebentönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung


[[Datei:Kleismic11.mp3]]

Elftönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung

== Referenzen ==
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] Larry A. Hanson, [http://anaphoria.com/hanson.PDF Development of a 53-Tone Keyboard Layout], Xenharmonikon XII, 1989&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;  [[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der '''kleismischen Temperaturen''' ist definiert über das Austemperieren des [[15625/15552|Kleismas]]. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 15'625/15'552 (8.107 [[Cent]]) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und einer reinen Duodezime (3/1).

Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavreduziert eine grosse Terz, welche typischerweise etwas kleiner ist als die reine (5/4).

Das Kleisma tritt ausserdem auf als Unterschied zwischen drei reinen [[25/24|chromatischen Halbtönen 25/24]]&lt;nowiki/&gt;und einem grossen Ganzton 9/8. Ein grosser Ganzton wird also in einer kleismische Temperatur in drei gleiche Teile geteilt.

Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]], heisst '''Hanson''', benannt nach Larry A. Hanson [[#cite_note-1|[1]]] . Sie ist besonders gut in [[53-EDO]] repräsentiert. Durch Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und zusätzlichen Kommas ergeben sich diverse Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[:en:Kleismic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] .

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche Hanson unterstützen, sind neben [[53-EDO]] unter anderem [[19-EDO]] ([[mitteltönig|mitteltönig]]), [[34-EDO]], [[72-EDO]], mit Einschränkungen [[15-EDO]] (alle nicht-mitteltönig).

== MOS-Skalen ==
English: [[:en:Kleismic_MOSes|Kleismic MOSes]]

Die Hanson-Temperatur verfügt über folgende [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige der Form 4L 3s (4 grosse, 3 kleine Intervalle), eine elftönige der Form 4L 7s (4 grosse, 7 kleine Intervalle), ferner noch solche mit 15 und 19 Tönen.

Schon die siebentönige Skala enthält vertraute Dur- und Moll-Dreiklänge; die Melodieschritte sind jedoch sehr verschieden von denen der Standardstimmung (das kleine Intervall ist wenig grösser als ein Viertelton, während das grosse fast einer Terz gleicht).


[[Datei:Kleismic7.mp3]]

Siebentönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung


[[Datei:Kleismic11.mp3]]

Elftönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung

== Referenzen ==
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] Larry A. Hanson, [http://anaphoria.com/hanson.PDF Development of a 53-Tone Keyboard Layout], Xenharmonikon XII, 1989&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;  [[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der '''kleismischen Temperaturen''' ist definiert über das Austemperieren des [[15625/15552|Kleismas]]. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 15'625/15'552 (8.107 [[Cent]]) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und einer reinen Duodezime (3/1).

Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavreduziert eine grosse Terz, welche typischerweise etwas kleiner ist als die reine (5/4).

Das Kleisma tritt ausserdem auf als Unterschied zwischen drei reinen [[25/24|chromatischen Halbtönen 25/24]]&lt;nowiki/&gt;und einem grossen Ganzton 9/8. Ein grosser Ganzton wird also in einer kleismische Temperatur in drei gleiche Teile geteilt, und der reine chromatische Halbton erscheint sozusagen als Drittelton.

Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]], heisst '''Hanson''', benannt nach Larry A. Hanson [[#cite_note-1|[1]]] . Sie ist besonders gut in [[53-EDO]] repräsentiert. Durch Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und zusätzlichen Kommas ergeben sich diverse Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[:en:Kleismic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] .

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche Hanson unterstützen, sind neben [[53-EDO]] unter anderem [[19-EDO]] ([[mitteltönig|mitteltönig]]), [[34-EDO]], [[72-EDO]], mit Einschränkungen [[15-EDO]] (alle nicht-mitteltönig).

== MOS-Skalen ==
English: [[:en:Kleismic_MOSes|Kleismic MOSes]]

Die Hanson-Temperatur verfügt über folgende [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige der Form 4L 3s (4 grosse, 3 kleine Intervalle), eine elftönige der Form 4L 7s (4 grosse, 7 kleine Intervalle), ferner noch solche mit 15 und 19 Tönen.

Schon die siebentönige Skala enthält vertraute Dur- und Moll-Dreiklänge; die Melodieschritte sind jedoch sehr verschieden von denen der Standardstimmung (das kleine Intervall ist wenig grösser als ein Viertelton, während das grosse fast einer Terz gleicht).


[[Datei:Kleismic7.mp3]]

Siebentönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung


[[Datei:Kleismic11.mp3]]

Elftönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung

== Referenzen ==
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] Larry A. Hanson, [http://anaphoria.com/hanson.PDF Development of a 53-Tone Keyboard Layout], Xenharmonikon XII, 1989&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;  [[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der '''kleismischen Temperaturen''' ist definiert über das Austemperieren des [[15625/15552|Kleismas]]. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 15'625/15'552 (8.107 [[Cent]]) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und einer reinen Duodezime (3/1).

Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavreduziert eine grosse Terz, welche typischerweise etwas kleiner ist als die reine (5/4).

Das Kleisma tritt ausserdem auf als Unterschied zwischen drei reinen [[25/24|chromatischen Halbtönen 25/24]]&lt;nowiki/&gt;und einem grossen Ganzton 9/8. Ein grosser Ganzton wird also in einer kleismische Temperatur in drei gleiche Teile geteilt, und der reine chromatische Halbton erscheint sozusagen als Drittelton.

Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]], heisst '''Hanson''', benannt nach Larry A. Hanson [[#cite_note-1|[1]]] . Sie ist besonders gut in [[53-EDO]] repräsentiert. Durch Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und zusätzlichen Kommas ergeben sich diverse Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[:en:Kleismic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] .

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche Hanson unterstützen, sind neben [[53-EDO]] unter anderem [[19-EDO]] ([[mitteltönig|mitteltönig]]), [[34-EDO]], [[72-EDO]], mit Einschränkungen [[15-EDO]] (alle nicht-mitteltönig).

== MOS-Skalen ==
English: [[:en:Kleismic_MOSes|Kleismic MOSes]]

Die Hanson-Temperatur verfügt über folgende [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige der Form 4L 3s (4 grosse, 3 kleine Intervalle), eine elftönige der Form 4L 7s (4 grosse, 7 kleine Intervalle), ferner noch solche mit 15 und 19 Tönen.

Schon die siebentönige Skala enthält vertraute Dur- und Moll-Dreiklänge; die Melodieschritte sind jedoch sehr verschieden von denen der Standardstimmung:  das kleine Intervall ist der ziemlich kleine chromatische Halbton bzw. Drittelton, während das grosse fast einer Terz gleicht.


[[Datei:Kleismic7.mp3]]

Siebentönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung


[[Datei:Kleismic11.mp3]]

Elftönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung

== Referenzen ==
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] Larry A. Hanson, [http://anaphoria.com/hanson.PDF Development of a 53-Tone Keyboard Layout], Xenharmonikon XII, 1989&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;  [[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der '''kleismischen Temperaturen''' ist definiert über das Austemperieren des [[15625/15552|Kleismas]]. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 15'625/15'552 (8.107 [[Cent]]) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und einer reinen Duodezime (3/1).

Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavreduziert eine grosse Terz, welche typischerweise etwas kleiner ist als die reine (5/4).

Das Kleisma tritt ausserdem auf als Unterschied zwischen drei reinen [[25/24|chromatischen Halbtönen 25/24]]&lt;nowiki/&gt;und einem grossen Ganzton 9/8. Ein grosser Ganzton wird also in einer kleismische Temperatur in drei gleiche Teile geteilt, und der reine chromatische Halbton erscheint sozusagen als Drittelton.
== Varianten ==
=== Hanson ===
Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]], heisst '''Hanson''', benannt nach Larry A. Hanson [[#cite_note-1|[1]]] . Sie ist besonders gut in [[53-EDO]] repräsentiert. Durch Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und zusätzlichen Kommas ergeben sich diverse Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[:en:Kleismic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] .

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche Hanson unterstützen, sind neben [[53-EDO]] unter anderem [[19-EDO]] ([[mitteltönig|mitteltönig]]), [[34-EDO]], [[72-EDO]], mit Einschränkungen [[15-EDO]] (alle nicht-mitteltönig).

== MOS-Skalen ==
English: [[:en:Kleismic_MOSes|Kleismic MOSes]]

Die Hanson-Temperatur verfügt über folgende [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige der Form 4L 3s (4 grosse, 3 kleine Intervalle), eine elftönige der Form 4L 7s (4 grosse, 7 kleine Intervalle), ferner noch solche mit 15 und 19 Tönen.

Schon die siebentönige Skala enthält vertraute Dur- und Moll-Dreiklänge; die Melodieschritte sind jedoch sehr verschieden von denen der Standardstimmung:  das kleine Intervall ist der ziemlich kleine chromatische Halbton bzw. Drittelton, während das grosse fast einer Terz gleicht.


[[Datei:Kleismic7.mp3]]

Siebentönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung


[[Datei:Kleismic11.mp3]]

Elftönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung

== Referenzen ==
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] Larry A. Hanson, [http://anaphoria.com/hanson.PDF Development of a 53-Tone Keyboard Layout], Xenharmonikon XII, 1989&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;  [[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der '''kleismischen Temperaturen''' ist definiert über das Austemperieren des [[15625/15552|Kleismas]]. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 15'625/15'552 (8.107 [[Cent]]) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und einer reinen Duodezime (3/1).

Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavreduziert eine grosse Terz, welche typischerweise etwas kleiner ist als die reine (5/4).

Das Kleisma tritt ausserdem auf als Unterschied zwischen drei reinen [[25/24|chromatischen Halbtönen 25/24]]&lt;nowiki/&gt;und einem grossen Ganzton 9/8. Ein grosser Ganzton wird also in einer kleismische Temperatur in drei gleiche Teile geteilt, und der reine chromatische Halbton erscheint sozusagen als Drittelton.
== Varianten ==
=== Hanson ===
Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]], heisst '''Hanson''', benannt nach Larry A. Hanson [[#cite_note-1|[1]]] . Sie ist besonders gut in [[53-EDO]] repräsentiert.
=== Kata:Natürliche Erweiterung auf 13-Limit ===
Das Kleisma temperiert bekanntlich den Unterschied zwischen drei chromatischen Halbtönen 25/24 und einem grossen Ganzton 9/8 aus, wodurch dieser in drei gleiche Teile geteilt wird. Da sich ein grosser Ganzton in reiner Stimmung aus der Kombination der Intervalle 25/24, 26/25 und 27/26 zusammensetzt, ergibt sich eine natürliche Definition einer kleismischen Temperatur im vierdimensionalen [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 13, in den die Intervallräumen 26/25 und 27/26 liegen. Diese Erweiterung (im Intervallraum zu 2, 3, 5 und 13, ohne 7 und 11) wird manchmal '''Kata''' genannt.

Durch Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und zusätzlichen Kommas ergeben sich diverse Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[:en:Kleismic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] .

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche Hanson unterstützen, sind neben [[53-EDO]] unter anderem [[19-EDO]] ([[mitteltönig|mitteltönig]]), [[34-EDO]], [[72-EDO]], mit Einschränkungen [[15-EDO]] (alle nicht-mitteltönig).

== MOS-Skalen ==
English: [[:en:Kleismic_MOSes|Kleismic MOSes]]

Die Hanson-Temperatur verfügt über folgende [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige der Form 4L 3s (4 grosse, 3 kleine Intervalle), eine elftönige der Form 4L 7s (4 grosse, 7 kleine Intervalle), ferner noch solche mit 15 und 19 Tönen.

Schon die siebentönige Skala enthält vertraute Dur- und Moll-Dreiklänge; die Melodieschritte sind jedoch sehr verschieden von denen der Standardstimmung:  das kleine Intervall ist der ziemlich kleine chromatische Halbton bzw. Drittelton, während das grosse fast einer Terz gleicht.


[[Datei:Kleismic7.mp3]]

Siebentönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung


[[Datei:Kleismic11.mp3]]

Elftönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung

== Referenzen ==
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] Larry A. Hanson, [http://anaphoria.com/hanson.PDF Development of a 53-Tone Keyboard Layout], Xenharmonikon XII, 1989&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;  [[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der '''kleismischen Temperaturen''' ist definiert über das Austemperieren des [[15625/15552|Kleismas]]. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 15'625/15'552 (8.107 [[Cent]]) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und einer reinen Duodezime (3/1).

Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavreduziert eine grosse Terz, welche typischerweise etwas kleiner ist als die reine (5/4).

Das Kleisma tritt ausserdem auf als Unterschied zwischen drei reinen [[25/24|chromatischen Halbtönen 25/24]]&lt;nowiki/&gt;und einem grossen Ganzton 9/8. Ein grosser Ganzton wird also in einer kleismische Temperatur in drei gleiche Teile geteilt, und der reine chromatische Halbton erscheint sozusagen als Drittelton.
== Varianten ==
=== Hanson ===
Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]], heisst '''Hanson''', benannt nach Larry A. Hanson [[#cite_note-1|[1]]] . Sie ist besonders gut in [[53-EDO]] repräsentiert.
=== Kata: Natürliche Erweiterung auf 13-Limit ===
Das Kleisma temperiert bekanntlich den Unterschied zwischen drei chromatischen Halbtönen 25/24 und einem grossen Ganzton 9/8 aus, wodurch dieser in drei gleiche Teile geteilt wird. Da sich ein grosser Ganzton in reiner Stimmung aus der Kombination der Intervalle 25/24, 26/25 und 27/26 zusammensetzt, ergibt sich eine natürliche Definition einer kleismischen Temperatur im vierdimensionalen [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 13, in den die Intervallräumen 26/25 und 27/26 liegen. Diese Erweiterung (im Intervallraum zu 2, 3, 5 und 13, ohne 7 und 11) wird manchmal '''Kata''' genannt.

Durch Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und zusätzlichen Kommas ergeben sich diverse Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[:en:Kleismic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] .

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche Hanson unterstützen, sind neben [[53-EDO]] unter anderem [[19-EDO]] ([[mitteltönig|mitteltönig]]), [[34-EDO]], [[72-EDO]], mit Einschränkungen [[15-EDO]] (alle nicht-mitteltönig).

== MOS-Skalen ==
English: [[:en:Kleismic_MOSes|Kleismic MOSes]]

Die Hanson-Temperatur verfügt über folgende [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige der Form 4L 3s (4 grosse, 3 kleine Intervalle), eine elftönige der Form 4L 7s (4 grosse, 7 kleine Intervalle), ferner noch solche mit 15 und 19 Tönen.

Schon die siebentönige Skala enthält vertraute Dur- und Moll-Dreiklänge; die Melodieschritte sind jedoch sehr verschieden von denen der Standardstimmung:  das kleine Intervall ist der ziemlich kleine chromatische Halbton bzw. Drittelton, während das grosse fast einer Terz gleicht.


[[Datei:Kleismic7.mp3]]

Siebentönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung


[[Datei:Kleismic11.mp3]]

Elftönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung

== Referenzen ==
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] Larry A. Hanson, [http://anaphoria.com/hanson.PDF Development of a 53-Tone Keyboard Layout], Xenharmonikon XII, 1989&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;  [[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der '''kleismischen Temperaturen''' ist definiert über das Austemperieren des [[15625/15552|Kleismas]]. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 15'625/15'552 (8.107 [[Cent]]) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und einer reinen Duodezime (3/1).

Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavreduziert eine grosse Terz, welche typischerweise etwas kleiner ist als die reine (5/4).

Das Kleisma tritt ausserdem auf als Unterschied zwischen drei reinen [[25/24|chromatischen Halbtönen 25/24]]&lt;nowiki/&gt;und einem grossen Ganzton 9/8. Ein grosser Ganzton wird also in einer kleismische Temperatur in drei gleiche Teile geteilt, und der reine chromatische Halbton erscheint sozusagen als Drittelton.
== Varianten ==
=== Hanson ===
Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]], heisst '''Hanson''', benannt nach Larry A. Hanson [[#cite_note-1|[1]]] . Sie ist besonders gut in [[53-EDO]] repräsentiert.
=== Kata: Natürliche Erweiterung auf 13-Limit ===
Das Kleisma temperiert bekanntlich den Unterschied zwischen drei chromatischen Halbtönen 25/24 und einem grossen Ganzton 9/8 aus, wodurch dieser in drei gleiche Teile geteilt wird. Da sich ein grosser Ganzton in reiner Stimmung aus der Kombination der Intervalle 25/24, 26/25 und 27/26 zusammensetzt, ergibt sich eine natürliche Definition einer kleismischen Temperatur im vierdimensionalen [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 13, in den die Intervallräumen 26/25 und 27/26 liegen. Diese Erweiterung (im Intervallraum zu 2, 3, 5 und 13, ohne 7 und 11) wird manchmal '''Kata''' genannt.

Durch Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und zusätzlichen Kommas ergeben sich diverse weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[:en:Kleismic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] .

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche Hanson unterstützen, sind neben [[53-EDO]] unter anderem [[19-EDO]] ([[mitteltönig|mitteltönig]]), [[34-EDO]], [[72-EDO]], mit Einschränkungen [[15-EDO]] (alle nicht-mitteltönig).

== MOS-Skalen ==
English: [[:en:Kleismic_MOSes|Kleismic MOSes]]

Die Hanson-Temperatur verfügt über folgende [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige der Form 4L 3s (4 grosse, 3 kleine Intervalle), eine elftönige der Form 4L 7s (4 grosse, 7 kleine Intervalle), ferner noch solche mit 15 und 19 Tönen.

Schon die siebentönige Skala enthält vertraute Dur- und Moll-Dreiklänge; die Melodieschritte sind jedoch sehr verschieden von denen der Standardstimmung:  das kleine Intervall ist der ziemlich kleine chromatische Halbton bzw. Drittelton, während das grosse fast einer Terz gleicht.


[[Datei:Kleismic7.mp3]]

Siebentönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung


[[Datei:Kleismic11.mp3]]

Elftönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung

== Referenzen ==
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] Larry A. Hanson, [http://anaphoria.com/hanson.PDF Development of a 53-Tone Keyboard Layout], Xenharmonikon XII, 1989&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;  [[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der '''kleismischen Temperaturen''' ist definiert über das Austemperieren des [[15625/15552|Kleismas]]. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 15'625/15'552 (8.107 [[Cent]]) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und einer reinen Duodezime (3/1).

Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavreduziert eine grosse Terz, welche typischerweise etwas kleiner ist als die reine (5/4).

Das Kleisma tritt ausserdem auf als Unterschied zwischen drei reinen [[25/24|chromatischen Halbtönen 25/24]]&lt;nowiki/&gt;und einem grossen Ganzton 9/8. Ein grosser Ganzton wird also in einer kleismische Temperatur in drei gleiche Teile geteilt, und der reine chromatische Halbton erscheint sozusagen als Drittelton.
== Varianten ==
=== Hanson ===
Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]], heisst '''Hanson''', benannt nach Larry A. Hanson [[#cite_note-1|[1]]] . Sie ist besonders gut in [[53-EDO]] repräsentiert.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche Hanson unterstützen, sind neben [[53-EDO]] unter anderem [[19-EDO]] ([[mitteltönig|mitteltönig]]), [[34-EDO]], [[72-EDO]], mit Einschränkungen [[15-EDO]] (alle nicht-mitteltönig).
=== Kata: Natürliche Erweiterung auf 13-Limit ===
Das Kleisma temperiert bekanntlich den Unterschied zwischen drei chromatischen Halbtönen 25/24 und einem grossen Ganzton 9/8 aus, wodurch dieser in drei gleiche Teile geteilt wird. Da sich ein grosser Ganzton in reiner Stimmung aus der Kombination der Intervalle 25/24, 26/25 und 27/26 zusammensetzt, ergibt sich eine natürliche Definition einer kleismischen Temperatur im vierdimensionalen [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 13, in den die Intervallräumen 26/25 und 27/26 liegen. Diese Erweiterung (im Intervallraum zu 2, 3, 5 und 13, ohne 7 und 11) wird manchmal '''Kata''' genannt.

Durch Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und zusätzlichen Kommas ergeben sich diverse weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[:en:Kleismic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] .

== MOS-Skalen ==
English: [[:en:Kleismic_MOSes|Kleismic MOSes]]

Die Hanson-Temperatur verfügt über folgende [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige der Form 4L 3s (4 grosse, 3 kleine Intervalle), eine elftönige der Form 4L 7s (4 grosse, 7 kleine Intervalle), ferner noch solche mit 15 und 19 Tönen.

Schon die siebentönige Skala enthält vertraute Dur- und Moll-Dreiklänge; die Melodieschritte sind jedoch sehr verschieden von denen der Standardstimmung:  das kleine Intervall ist der ziemlich kleine chromatische Halbton bzw. Drittelton, während das grosse fast einer Terz gleicht.


[[Datei:Kleismic7.mp3]]

Siebentönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung


[[Datei:Kleismic11.mp3]]

Elftönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung

== Referenzen ==
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] Larry A. Hanson, [http://anaphoria.com/hanson.PDF Development of a 53-Tone Keyboard Layout], Xenharmonikon XII, 1989&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;  [[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der '''kleismischen Temperaturen''' ist definiert über das Austemperieren des [[15625/15552|Kleismas]]. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 15'625/15'552 (8.107 [[Cent]]) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und einer reinen Duodezime (3/1).

Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavreduziert eine grosse Terz, welche typischerweise etwas kleiner ist als die reine (5/4).

Das Kleisma tritt ausserdem auf als Unterschied zwischen drei reinen [[25/24|chromatischen Halbtönen 25/24]]&lt;nowiki/&gt;und einem grossen Ganzton 9/8. Ein grosser Ganzton wird also in einer kleismische Temperatur in drei gleiche Teile geteilt, und der reine chromatische Halbton erscheint sozusagen als Drittelton.
== Varianten ==
=== Hanson ===
Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]], heisst '''Hanson''', benannt nach Larry A. Hanson [[#cite_note-1|[1]]] . Sie ist besonders gut in [[53-EDO]] repräsentiert.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche Hanson unterstützen, sind neben [[53-EDO]] unter anderem [[19-EDO]] ([[mitteltönig|mitteltönig]]), [[34-EDO]], [[72-EDO]], mit Einschränkungen [[15-EDO]] (alle nicht-mitteltönig).
=== Kata: Natürliche Erweiterung auf 13-Limit ===
Das Kleisma temperiert bekanntlich den Unterschied zwischen drei chromatischen Halbtönen 25/24 und einem grossen Ganzton 9/8 aus, wodurch dieser in drei gleiche Teile geteilt wird. Da sich ein grosser Ganzton in reiner Stimmung aus der Kombination der Intervalle 25/24, 26/25 und 27/26 zusammensetzt, ergibt sich eine natürliche Definition einer kleismischen Temperatur im vierdimensionalen [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 13, in dem die Intervalle 26/25 und 27/26 liegen. Diese Erweiterung (im Intervallraum zu 2, 3, 5 und 13, ohne 7 und 11) wird manchmal '''Kata''' genannt.

Durch Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und zusätzlichen Kommas ergeben sich diverse weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[:en:Kleismic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] .

== MOS-Skalen ==
English: [[:en:Kleismic_MOSes|Kleismic MOSes]]

Die Hanson-Temperatur verfügt über folgende [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige der Form 4L 3s (4 grosse, 3 kleine Intervalle), eine elftönige der Form 4L 7s (4 grosse, 7 kleine Intervalle), ferner noch solche mit 15 und 19 Tönen.

Schon die siebentönige Skala enthält vertraute Dur- und Moll-Dreiklänge; die Melodieschritte sind jedoch sehr verschieden von denen der Standardstimmung:  das kleine Intervall ist der ziemlich kleine chromatische Halbton bzw. Drittelton, während das grosse fast einer Terz gleicht.


[[Datei:Kleismic7.mp3]]

Siebentönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung


[[Datei:Kleismic11.mp3]]

Elftönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung

== Referenzen ==
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] Larry A. Hanson, [http://anaphoria.com/hanson.PDF Development of a 53-Tone Keyboard Layout], Xenharmonikon XII, 1989&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;  [[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der '''kleismischen Temperaturen''' ist definiert über das Austemperieren des [[15625/15552|Kleismas]]. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 15'625/15'552 (8.107 [[Cent]]) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und einer reinen Duodezime (3/1).

Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavreduziert eine grosse Terz, welche typischerweise etwas kleiner ist als die reine (5/4).

Das Kleisma tritt ausserdem auf als Unterschied zwischen drei reinen [[25/24|chromatischen Halbtönen 25/24]] und einem grossen Ganzton 9/8. Ein grosser Ganzton wird also in einer kleismische Temperatur in drei gleiche Teile geteilt, und der reine chromatische Halbton erscheint sozusagen als Drittelton.

== Varianten ==
=== Hanson ===
Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]], heisst '''Hanson''', benannt nach Larry A. Hanson [[#cite_note-1|[1]]] . Sie ist besonders gut in [[53-EDO]] repräsentiert.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche Hanson unterstützen, sind neben [[53-EDO]] unter anderem [[19-EDO]] ([[mitteltönig|mitteltönig]]), [[34-EDO]], [[72-EDO]], mit Einschränkungen [[15-EDO]] (alle nicht-mitteltönig).
=== Kata: Natürliche Erweiterung auf 13-Limit ===
Das Kleisma temperiert bekanntlich den Unterschied zwischen drei chromatischen Halbtönen 25/24 und einem grossen Ganzton 9/8 aus, wodurch dieser in drei gleiche Teile geteilt wird. Da sich ein grosser Ganzton in reiner Stimmung aus der Kombination der Intervalle 25/24, 26/25 und 27/26 zusammensetzt, ergibt sich eine natürliche Definition einer kleismischen Temperatur im vierdimensionalen [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 13, in dem die Intervalle 26/25 und 27/26 liegen. Diese Erweiterung (im Intervallraum zu 2, 3, 5 und 13, ohne 7 und 11) wird manchmal '''Kata''' genannt.

Durch Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und zusätzlichen Kommas ergeben sich diverse weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[:en:Kleismic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] .

== MOS-Skalen ==
English: [[:en:Kleismic_MOSes|Kleismic MOSes]]

Die Hanson-Temperatur verfügt über folgende [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige der Form 4L 3s (4 grosse, 3 kleine Intervalle), eine elftönige der Form 4L 7s (4 grosse, 7 kleine Intervalle), ferner noch solche mit 15 und 19 Tönen.

Schon die siebentönige Skala enthält vertraute Dur- und Moll-Dreiklänge; die Melodieschritte sind jedoch sehr verschieden von denen der Standardstimmung:  das kleine Intervall ist der ziemlich kleine chromatische Halbton bzw. Drittelton, während das grosse fast einer Terz gleicht.


[[Datei:Kleismic7.mp3]]

Siebentönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung


[[Datei:Kleismic11.mp3]]

Elftönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung

== Referenzen ==
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] Larry A. Hanson, [http://anaphoria.com/hanson.PDF Development of a 53-Tone Keyboard Layout], Xenharmonikon XII, 1989&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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}}
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der '''kleismischen Temperaturen''' ist definiert über das Austemperieren des [[15625/15552|Kleismas]]. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 15'625/15'552 (8.107 [[Cent]]) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und einer reinen Duodezime (3/1).

Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavreduziert eine grosse Terz, welche typischerweise etwas kleiner ist als die reine (5/4).

Das Kleisma tritt ausserdem auf als Unterschied zwischen drei reinen [[25/24|chromatischen Halbtönen 25/24]] und einem grossen Ganzton 9/8. Ein grosser Ganzton wird also in einer kleismische Temperatur in drei gleiche Teile geteilt, und der reine chromatische Halbton erscheint sozusagen als Drittelton.

= Varianten =
== Hanson ==
Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]], heisst '''Hanson''', benannt nach Larry A. Hanson [[#cite_note-1|[1]]] . Sie ist besonders gut in [[53-EDO]] repräsentiert.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche Hanson unterstützen, sind neben [[53-EDO]] unter anderem [[19-EDO]] ([[mitteltönig|mitteltönig]]), [[34-EDO]], [[72-EDO]], mit Einschränkungen [[15-EDO]] (alle nicht-mitteltönig).
== Kata: Natürliche Erweiterung auf 13-Limit ==
Das Kleisma temperiert bekanntlich den Unterschied zwischen drei chromatischen Halbtönen 25/24 und einem grossen Ganzton 9/8 aus, wodurch dieser in drei gleiche Teile geteilt wird. Da sich ein grosser Ganzton in reiner Stimmung aus der Kombination der Intervalle 25/24, 26/25 und 27/26 zusammensetzt, ergibt sich eine natürliche Definition einer kleismischen Temperatur im vierdimensionalen [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 13, in dem die Intervalle 26/25 und 27/26 liegen. Diese Erweiterung (im Intervallraum zu 2, 3, 5 und 13, ohne 7 und 11) wird manchmal '''Kata''' genannt.

Durch Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und zusätzlichen Kommas ergeben sich diverse weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[:en:Kleismic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] .

== MOS-Skalen ==
English: [[:en:Kleismic_MOSes|Kleismic MOSes]]

Die Hanson-Temperatur verfügt über folgende [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige der Form 4L 3s (4 grosse, 3 kleine Intervalle), eine elftönige der Form 4L 7s (4 grosse, 7 kleine Intervalle), ferner noch solche mit 15 und 19 Tönen.

Schon die siebentönige Skala enthält vertraute Dur- und Moll-Dreiklänge; die Melodieschritte sind jedoch sehr verschieden von denen der Standardstimmung:  das kleine Intervall ist der ziemlich kleine chromatische Halbton bzw. Drittelton, während das grosse fast einer Terz gleicht.


[[Datei:Kleismic7.mp3]]

Siebentönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung


[[Datei:Kleismic11.mp3]]

Elftönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung

== Referenzen ==
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] Larry A. Hanson, [http://anaphoria.com/hanson.PDF Development of a 53-Tone Keyboard Layout], Xenharmonikon XII, 1989&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;  [[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der '''kleismischen Temperaturen''' ist definiert über das Austemperieren des [[15625/15552|Kleismas]]. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 15'625/15'552 (8.107 [[Cent]]) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und einer reinen Duodezime (3/1).

Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavreduziert eine grosse Terz, welche typischerweise etwas kleiner ist als die reine (5/4).

Das Kleisma tritt ausserdem auf als Unterschied zwischen drei reinen [[25/24|chromatischen Halbtönen 25/24]] und einem grossen Ganzton 9/8. Ein grosser Ganzton wird also in einer kleismische Temperatur in drei gleiche Teile geteilt, und der reine chromatische Halbton erscheint sozusagen als Drittelton.

= Varianten =
== Hanson ==
Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]], heisst '''Hanson''', benannt nach Larry A. Hanson [[#cite_note-1|[1]]] . Sie ist besonders gut in [[53-EDO]] repräsentiert.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche Hanson unterstützen, sind neben [[53-EDO]] unter anderem [[19-EDO]] ([[mitteltönig|mitteltönig]]), [[34-EDO]], [[72-EDO]], mit Einschränkungen [[15-EDO]] (alle nicht-mitteltönig).
== Kata: Natürliche Erweiterung auf 13-Limit ==
Das Kleisma temperiert bekanntlich den Unterschied zwischen drei chromatischen Halbtönen 25/24 und einem grossen Ganzton 9/8 aus, wodurch dieser in drei gleiche Teile geteilt wird. Da sich ein grosser Ganzton in reiner Stimmung aus der Kombination der Intervalle 25/24, 26/25 und 27/26 zusammensetzt, ergibt sich eine natürliche Definition einer kleismischen Temperatur im vierdimensionalen [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 13, in dem die Intervalle 26/25 und 27/26 liegen. Diese Erweiterung (im Intervallraum zu 2, 3, 5 und 13, ohne 7 und 11) wird manchmal '''Kata''' genannt.

Durch Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und zusätzlichen Kommas ergeben sich diverse weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[:en:Kleismic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] .

= MOS-Skalen =
English: [[:en:Kleismic_MOSes|Kleismic MOSes]]

Die Hanson-Temperatur verfügt über folgende [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige der Form 4L 3s (4 grosse, 3 kleine Intervalle), eine elftönige der Form 4L 7s (4 grosse, 7 kleine Intervalle), ferner noch solche mit 15 und 19 Tönen.

Schon die siebentönige Skala enthält vertraute Dur- und Moll-Dreiklänge; die Melodieschritte sind jedoch sehr verschieden von denen der Standardstimmung:  das kleine Intervall ist der ziemlich kleine chromatische Halbton bzw. Drittelton, während das grosse fast einer Terz gleicht.


[[Datei:Kleismic7.mp3]]

Siebentönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung


[[Datei:Kleismic11.mp3]]

Elftönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung

== Referenzen ==
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] Larry A. Hanson, [http://anaphoria.com/hanson.PDF Development of a 53-Tone Keyboard Layout], Xenharmonikon XII, 1989&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;  [[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der '''kleismischen Temperaturen''' ist definiert über das Austemperieren des [[15625/15552|Kleismas]]. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 15'625/15'552 (8.107 [[Cent]]) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und einer reinen Duodezime (3/1).

Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavreduziert eine grosse Terz, welche typischerweise etwas kleiner ist als die reine (5/4).

Das Kleisma tritt ausserdem auf als Unterschied zwischen drei reinen [[25/24|chromatischen Halbtönen 25/24]] und einem grossen Ganzton 9/8. Ein grosser Ganzton wird also in einer kleismische Temperatur in drei gleiche Teile geteilt, und der reine chromatische Halbton erscheint sozusagen als Drittelton.

= Varianten =
== Hanson ==
Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]], heisst '''Hanson''', benannt nach Larry A. Hanson [[#cite_note-1|[1]]] . Sie ist besonders gut in [[53-EDO]] repräsentiert.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche Hanson unterstützen, sind neben [[53-EDO]] unter anderem [[19-EDO]] ([[mitteltönig|mitteltönig]]), [[34-EDO]], [[72-EDO]], mit Einschränkungen [[15-EDO]] (alle nicht-mitteltönig).
== Kata: Natürliche Erweiterung auf 13-Limit ==
Das Kleisma temperiert bekanntlich den Unterschied zwischen drei chromatischen Halbtönen 25/24 und einem grossen Ganzton 9/8 aus, wodurch dieser in drei gleiche Teile geteilt wird. Da sich ein grosser Ganzton in reiner Stimmung aus der Kombination der Intervalle 25/24, 26/25 und 27/26 zusammensetzt, ergibt sich eine natürliche Definition einer kleismischen Temperatur im vierdimensionalen [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 13, in dem die Intervalle 26/25 und 27/26 liegen. Diese Erweiterung (im Intervallraum zu 2, 3, 5 und 13, ohne 7 und 11) wird manchmal '''Kata''' genannt.

Durch Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und zusätzlichen Kommas ergeben sich diverse weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[:en:Kleismic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] .

= MOS-Skalen =
English: [[:en:Kleismic_MOSes|Kleismic MOSes]]

Die Hanson-Temperatur verfügt über folgende [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige der Form 4L 3s (4 grosse, 3 kleine Intervalle), eine elftönige der Form 4L 7s (4 grosse, 7 kleine Intervalle), ferner noch solche mit 15 und 19 Tönen.

Schon die siebentönige Skala enthält vertraute Dur- und Moll-Dreiklänge; die Melodieschritte sind jedoch sehr verschieden von denen der Standardstimmung:  das kleine Intervall ist der ziemlich kleine chromatische Halbton bzw. Drittelton, während das grosse fast einer Terz gleicht.


[[Datei:Kleismic7.mp3]]

Siebentönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung


[[Datei:Kleismic11.mp3]]

Elftönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung

= Referenzen =
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] Larry A. Hanson, [http://anaphoria.com/hanson.PDF Development of a 53-Tone Keyboard Layout], Xenharmonikon XII, 1989&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;  [[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der '''kleismischen Temperaturen''' ist definiert über das Austemperieren des [[15625/15552|Kleismas]]. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 15'625/15'552 (8.107 [[Cent]]) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und einer reinen Duodezime (3/1).

Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavreduziert eine grosse Terz, welche typischerweise etwas kleiner ist als die reine (5/4).

Das Kleisma tritt ausserdem auf als Unterschied zwischen drei reinen [[25/24|chromatischen Halbtönen 25/24]] und einem grossen Ganzton 9/8. Ein grosser Ganzton wird also in einer kleismische Temperatur in drei gleiche Teile geteilt, und der reine chromatische Halbton erscheint sozusagen als Drittelton.

= Varianten =
== Hanson ==
Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]], heisst '''Hanson''', benannt nach Larry A. Hanson [[#cite_note-1|[1]]] . Sie ist besonders gut in [[53-EDO]] repräsentiert.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche Hanson unterstützen, sind neben [[53-EDO]] unter anderem [[19-EDO]] ([[mitteltönig|mitteltönig]]), [[34-EDO]], [[72-EDO]], mit Einschränkungen [[15-EDO]] (alle nicht-mitteltönig).
== Kata: Natürliche Erweiterung auf 13-Limit ==
Das Kleisma temperiert bekanntlich den Unterschied zwischen drei chromatischen Halbtönen 25/24 und einem grossen Ganzton 9/8 aus, wodurch dieser in drei gleiche Teile geteilt wird. Da sich ein grosser Ganzton in reiner Stimmung aus der Kombination der Intervalle 25/24, 26/25 und 27/26 zusammensetzt, ergibt sich eine natürliche Definition einer kleismischen Temperatur im vierdimensionalen [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 13, in dem die Intervalle 26/25 und 27/26 liegen. Diese Erweiterung (im Intervallraum zu 2, 3, 5 und 13, ohne 7 und 11) wird manchmal '''Kata''' genannt.

== Katakleismisch ==
Eine gute Erweiterung auf 7-[[p-Limit|Limit]] ergibt sich durch Austemperieren des [[225/224|septimalen Kleismas 225/224]]. Dadurch wird auch der Unterschied zwischen dem reinen chromatischen Halbton 25/24 und dem Intervall 28/27 austemperiert, in der natürlichen Erweiterung auf Primzahl 13 sind also die temperierten Versionen von 25/24, 26/25, 27/26 und 28/27 dasselbe Intervall.

Durch Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und zusätzlichen Kommas ergeben sich diverse weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[:en:Kleismic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] .

= MOS-Skalen =
English: [[:en:Kleismic_MOSes|Kleismic MOSes]]

Die Hanson-Temperatur verfügt über folgende [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige der Form 4L 3s (4 grosse, 3 kleine Intervalle), eine elftönige der Form 4L 7s (4 grosse, 7 kleine Intervalle), ferner noch solche mit 15 und 19 Tönen.

Schon die siebentönige Skala enthält vertraute Dur- und Moll-Dreiklänge; die Melodieschritte sind jedoch sehr verschieden von denen der Standardstimmung:  das kleine Intervall ist der ziemlich kleine chromatische Halbton bzw. Drittelton, während das grosse fast einer Terz gleicht.


[[Datei:Kleismic7.mp3]]

Siebentönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung


[[Datei:Kleismic11.mp3]]

Elftönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung

= Referenzen =
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] Larry A. Hanson, [http://anaphoria.com/hanson.PDF Development of a 53-Tone Keyboard Layout], Xenharmonikon XII, 1989&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;  [[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der '''kleismischen Temperaturen''' ist definiert über das Austemperieren des [[15625/15552|Kleismas]]. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 15'625/15'552 (8.107 [[Cent]]) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und einer reinen Duodezime (3/1).

Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavreduziert eine grosse Terz, welche typischerweise etwas kleiner ist als die reine (5/4).

Das Kleisma tritt ausserdem auf als Unterschied zwischen drei reinen [[25/24|chromatischen Halbtönen 25/24]] und einem grossen Ganzton 9/8. Ein grosser Ganzton wird also in einer kleismische Temperatur in drei gleiche Teile geteilt, und der reine chromatische Halbton erscheint sozusagen als Drittelton.

= Varianten =
== Hanson ==
Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]], heisst '''Hanson''', benannt nach Larry A. Hanson [[#cite_note-1|[1]]] . Sie ist besonders gut in [[53-EDO]] repräsentiert.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche Hanson unterstützen, sind neben [[53-EDO]] unter anderem [[19-EDO]] ([[mitteltönig|mitteltönig]]), [[34-EDO]], [[72-EDO]], mit Einschränkungen [[15-EDO]] (alle nicht-mitteltönig).
== Kata: Natürliche Erweiterung auf 13-Limit ==
Das Kleisma temperiert bekanntlich den Unterschied zwischen drei chromatischen Halbtönen 25/24 und einem grossen Ganzton 9/8 aus, wodurch dieser in drei gleiche Teile geteilt wird. Da sich ein grosser Ganzton in reiner Stimmung aus der Kombination der Intervalle 25/24, 26/25 und 27/26 zusammensetzt, ergibt sich eine natürliche Definition einer kleismischen Temperatur im vierdimensionalen [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 13, in dem die Intervalle 26/25 und 27/26 liegen. Diese Erweiterung (im Intervallraum zu 2, 3, 5 und 13, ohne 7 und 11) wird manchmal '''Kata''' genannt.

== Katakleismisch ==
Eine gute Erweiterung auf 7-[[p-Limit|Limit]] ergibt sich durch Austemperieren des [[225/224|septimalen Kleismas 225/224]]. Dadurch wird auch der Unterschied zwischen dem reinen chromatischen Halbton 25/24 und dem Intervall 28/27 austemperiert, in der natürlichen Erweiterung auf Primzahl 13 sind also die temperierten Versionen von 25/24, 26/25, 27/26 und 28/27 dasselbe Intervall.

== Weitere Varianten ==
Durch andere Kommas und Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen ergeben sich diverse weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[:en:Kleismic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] .

= MOS-Skalen =
English: [[:en:Kleismic_MOSes|Kleismic MOSes]]

Die Hanson-Temperatur verfügt über folgende [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige der Form 4L 3s (4 grosse, 3 kleine Intervalle), eine elftönige der Form 4L 7s (4 grosse, 7 kleine Intervalle), ferner noch solche mit 15 und 19 Tönen.

Schon die siebentönige Skala enthält vertraute Dur- und Moll-Dreiklänge; die Melodieschritte sind jedoch sehr verschieden von denen der Standardstimmung:  das kleine Intervall ist der ziemlich kleine chromatische Halbton bzw. Drittelton, während das grosse fast einer Terz gleicht.


[[Datei:Kleismic7.mp3]]

Siebentönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung


[[Datei:Kleismic11.mp3]]

Elftönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung

= Referenzen =
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] Larry A. Hanson, [http://anaphoria.com/hanson.PDF Development of a 53-Tone Keyboard Layout], Xenharmonikon XII, 1989&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;  [[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der '''kleismischen Temperaturen''' ist definiert über das Austemperieren des [[15625/15552|Kleismas]]. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 15'625/15'552 (8.107 [[Cent]]) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und einer reinen Duodezime (3/1).

Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavreduziert eine grosse Terz, welche typischerweise etwas kleiner ist als die reine (5/4).

Das Kleisma tritt ausserdem auf als Unterschied zwischen drei reinen [[25/24|chromatischen Halbtönen 25/24]] und einem grossen Ganzton 9/8. Ein grosser Ganzton wird also in einer kleismische Temperatur in drei gleiche Teile geteilt, und der reine chromatische Halbton erscheint sozusagen als Drittelton.

= Varianten =
== Hanson ==
Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]], heisst '''Hanson''', benannt nach Larry A. Hanson [[#cite_note-1|[1]]] . Sie ist besonders gut in [[53-EDO]] repräsentiert.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche Hanson unterstützen, sind neben [[53-EDO]] unter anderem [[19-EDO]] ([[mitteltönig|mitteltönig]]), [[34-EDO]], [[72-EDO]], mit Einschränkungen [[15-EDO]] (alle nicht-mitteltönig).
== Kata: Natürliche Erweiterung auf 13-Limit ==
Das Kleisma temperiert bekanntlich den Unterschied zwischen drei chromatischen Halbtönen 25/24 und einem grossen Ganzton 9/8 aus, wodurch dieser in drei gleiche Teile geteilt wird. Da sich ein grosser Ganzton in reiner Stimmung aus der Kombination der Intervalle 25/24, 26/25 und 27/26 zusammensetzt, ergibt sich eine natürliche Definition einer kleismischen Temperatur im vierdimensionalen [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 13, in dem die Intervalle 26/25 und 27/26 liegen. Diese Erweiterung (im Intervallraum zu 2, 3, 5 und 13, ohne 7 und 11) wird manchmal '''Kata''' genannt.

== Katakleismisch ==
English: [[:en:Catakleismic]]

Eine gute Erweiterung auf 7-[[p-Limit|Limit]] ergibt sich durch Austemperieren des [[225/224|septimalen Kleismas 225/224]]. Dadurch wird auch der Unterschied zwischen dem reinen chromatischen Halbton 25/24 und dem Intervall 28/27 austemperiert, in der natürlichen Erweiterung auf Primzahl 13 sind also die temperierten Versionen von 25/24, 26/25, 27/26 und 28/27 dasselbe Intervall.

== Weitere Varianten ==
Durch andere Kommas und Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen ergeben sich diverse weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[:en:Kleismic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] .

= MOS-Skalen =
English: [[:en:Kleismic_MOSes|Kleismic MOSes]]

Die Hanson-Temperatur verfügt über folgende [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige der Form 4L 3s (4 grosse, 3 kleine Intervalle), eine elftönige der Form 4L 7s (4 grosse, 7 kleine Intervalle), ferner noch solche mit 15 und 19 Tönen.

Schon die siebentönige Skala enthält vertraute Dur- und Moll-Dreiklänge; die Melodieschritte sind jedoch sehr verschieden von denen der Standardstimmung:  das kleine Intervall ist der ziemlich kleine chromatische Halbton bzw. Drittelton, während das grosse fast einer Terz gleicht.


[[Datei:Kleismic7.mp3]]

Siebentönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung


[[Datei:Kleismic11.mp3]]

Elftönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung

= Referenzen =
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] Larry A. Hanson, [http://anaphoria.com/hanson.PDF Development of a 53-Tone Keyboard Layout], Xenharmonikon XII, 1989&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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}}
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der '''kleismischen Temperaturen''' ist definiert über das Austemperieren des [[15625/15552|Kleismas]]. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 15'625/15'552 (8.107 [[Cent]]) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und einer reinen Duodezime (3/1).

Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavreduziert eine grosse Terz, welche typischerweise etwas kleiner ist als die reine (5/4).

Das Kleisma tritt ausserdem auf als Unterschied zwischen drei reinen [[25/24|chromatischen Halbtönen 25/24]] und einem grossen Ganzton 9/8. Ein grosser Ganzton wird also in einer kleismische Temperatur in drei gleiche Teile geteilt, und der reine chromatische Halbton erscheint sozusagen als Drittelton.

= Varianten =
== Hanson ==
Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]], heisst '''Hanson''', benannt nach Larry A. Hanson [[#cite_note-1|[1]]] . Sie ist besonders gut in [[53-EDO]] repräsentiert.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche Hanson unterstützen, sind neben [[53-EDO]] unter anderem [[19-EDO]] ([[mitteltönig|mitteltönig]]), [[34-EDO]], [[72-EDO]], mit Einschränkungen [[15-EDO]] (alle nicht-mitteltönig).
== Kata: Natürliche Erweiterung auf 13-Limit ==
Das Kleisma temperiert bekanntlich den Unterschied zwischen drei chromatischen Halbtönen 25/24 und einem grossen Ganzton 9/8 aus, wodurch dieser in drei gleiche Teile geteilt wird. Da sich ein grosser Ganzton in reiner Stimmung aus der Kombination der Intervalle 25/24, 26/25 und 27/26 zusammensetzt, ergibt sich eine natürliche Definition einer kleismischen Temperatur im vierdimensionalen [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 13, in dem die Intervalle 26/25 und 27/26 liegen. Diese Erweiterung (im Intervallraum zu 2, 3, 5 und 13, ohne 7 und 11) wird manchmal '''Kata''' genannt.

== Katakleismisch ==
English: [[:en:Catakleismic|Catakleismic]]

Eine gute Erweiterung auf 7-[[p-Limit|Limit]] ergibt sich durch Austemperieren des [[225/224|septimalen Kleismas 225/224]]. Dadurch wird auch der Unterschied zwischen dem reinen chromatischen Halbton 25/24 und dem Intervall 28/27 austemperiert, in der natürlichen Erweiterung auf Primzahl 13 sind also die temperierten Versionen von 25/24, 26/25, 27/26 und 28/27 dasselbe Intervall.

== Weitere Varianten ==
Durch andere Kommas und Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen ergeben sich diverse weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[:en:Kleismic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] .

= MOS-Skalen =
English: [[:en:Kleismic_MOSes|Kleismic MOSes]]

Die Hanson-Temperatur verfügt über folgende [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige der Form 4L 3s (4 grosse, 3 kleine Intervalle), eine elftönige der Form 4L 7s (4 grosse, 7 kleine Intervalle), ferner noch solche mit 15 und 19 Tönen.

Schon die siebentönige Skala enthält vertraute Dur- und Moll-Dreiklänge; die Melodieschritte sind jedoch sehr verschieden von denen der Standardstimmung:  das kleine Intervall ist der ziemlich kleine chromatische Halbton bzw. Drittelton, während das grosse fast einer Terz gleicht.


[[Datei:Kleismic7.mp3]]

Siebentönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung


[[Datei:Kleismic11.mp3]]

Elftönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung

= Referenzen =
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] Larry A. Hanson, [http://anaphoria.com/hanson.PDF Development of a 53-Tone Keyboard Layout], Xenharmonikon XII, 1989&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der '''kleismischen Temperaturen''' ist definiert über das Austemperieren des [[15625/15552|Kleismas]]. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 15'625/15'552 (8.107 [[Cent]]) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und einer reinen Duodezime (3/1).

Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavreduziert eine grosse Terz, welche typischerweise etwas kleiner ist als die reine (5/4).

Das Kleisma tritt ausserdem auf als Unterschied zwischen drei reinen [[25/24|chromatischen Halbtönen 25/24]] und einem grossen Ganzton 9/8. Ein grosser Ganzton wird also in einer kleismische Temperatur in drei gleiche Teile geteilt, und der reine chromatische Halbton erscheint sozusagen als Drittelton.

= Varianten =
== Hanson ==
Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]], heisst '''Hanson''', benannt nach Larry A. Hanson [[#cite_note-1|[1]]] . Sie ist besonders gut in [[53-EDO]] repräsentiert.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche Hanson unterstützen, sind neben [[53-EDO]] unter anderem [[19-EDO]] ([[mitteltönig|mitteltönig]]), [[34-EDO]], [[72-EDO]], mit Einschränkungen [[15-EDO]] (alle nicht-mitteltönig).
== Kata: Natürliche Erweiterung auf 13-Limit ==
Das Kleisma temperiert bekanntlich den Unterschied zwischen drei chromatischen Halbtönen 25/24 und einem grossen Ganzton 9/8 aus, wodurch dieser in drei gleiche Teile geteilt wird. Da sich ein grosser Ganzton in reiner Stimmung aus der Kombination der Intervalle 25/24, 26/25 und 27/26 zusammensetzt, ergibt sich eine natürliche Definition einer kleismischen Temperatur im vierdimensionalen [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 13, in dem die Intervalle 26/25 und 27/26 liegen. Diese Erweiterung (im Intervallraum zu 2, 3, 5 und 13, ohne 7 und 11) wird manchmal '''Kata''' genannt.

== Katakleismisch ==
English: [[:en:Catakleismic|Catakleismic]]

Eine gute Erweiterung auf 7-[[p-Limit|Limit]] ergibt sich durch Austemperieren des [[225/224|septimalen Kleismas 225/224]]. Dadurch wird auch der Unterschied zwischen dem reinen chromatischen Halbton 25/24 und dem Intervall 28/27 austemperiert, in der natürlichen Erweiterung auf Primzahl 13 sind also die temperierten Versionen von 25/24, 26/25, 27/26 und 28/27 dasselbe Intervall.

== Weitere Varianten ==
Durch andere Kommas und Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen ergeben sich diverse weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[:en:Kleismic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] .

= MOS-Skalen =
English: [[:en:Kleismic_MOSes|Kleismic MOSes]]

Die Hanson-Temperatur verfügt über folgende [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige der Form 4L 3s (4 grosse, 3 kleine Intervalle), eine elftönige der Form 4L 7s (4 grosse, 7 kleine Intervalle), ferner noch solche mit 15 und 19 Tönen.

Schon die siebentönige Skala enthält vertraute Dur- und Moll-Dreiklänge; die Melodieschritte sind jedoch sehr verschieden von denen der Standardstimmung:  das kleine Intervall ist der ziemlich kleine chromatische Halbton bzw. Drittelton, während das grosse fast einer Terz gleicht.

Der grosse Ganzton 9/8, mit der für kleismische Temperaturen chrakterischtischen Teilung in drei gleiche Intervalle, wird nach zwei Quinten, also 12 Generatorschritten erreicht, er ist also erst in der fünfzehntönigen MOS-Skala enthalten.


[[Datei:Kleismic7.mp3]]

Siebentönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung


[[Datei:Kleismic11.mp3]]

Elftönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung

[[Datei:Cata15.mp3|links|Fünfzehntönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung]]

= Referenzen =
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] Larry A. Hanson, [http://anaphoria.com/hanson.PDF Development of a 53-Tone Keyboard Layout], Xenharmonikon XII, 1989&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der '''kleismischen Temperaturen''' ist definiert über das Austemperieren des [[15625/15552|Kleismas]]. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 15'625/15'552 (8.107 [[Cent]]) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und einer reinen Duodezime (3/1).

Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavreduziert eine grosse Terz, welche typischerweise etwas kleiner ist als die reine (5/4).

Das Kleisma tritt ausserdem auf als Unterschied zwischen drei reinen [[25/24|chromatischen Halbtönen 25/24]] und einem grossen Ganzton 9/8. Ein grosser Ganzton wird also in einer kleismische Temperatur in drei gleiche Teile geteilt, und der reine chromatische Halbton erscheint sozusagen als Drittelton.

= Varianten =
== Hanson ==
Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]], heisst '''Hanson''', benannt nach Larry A. Hanson [[#cite_note-1|[1]]] . Sie ist besonders gut in [[53-EDO]] repräsentiert.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche Hanson unterstützen, sind neben [[53-EDO]] unter anderem [[19-EDO]] ([[mitteltönig|mitteltönig]]), [[34-EDO]], [[72-EDO]], mit Einschränkungen [[15-EDO]] (alle nicht-mitteltönig).
== Kata: Natürliche Erweiterung auf 13-Limit ==
Das Kleisma temperiert bekanntlich den Unterschied zwischen drei chromatischen Halbtönen 25/24 und einem grossen Ganzton 9/8 aus, wodurch dieser in drei gleiche Teile geteilt wird. Da sich ein grosser Ganzton in reiner Stimmung aus der Kombination der Intervalle 25/24, 26/25 und 27/26 zusammensetzt, ergibt sich eine natürliche Definition einer kleismischen Temperatur im vierdimensionalen [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 13, in dem die Intervalle 26/25 und 27/26 liegen. Diese Erweiterung (im Intervallraum zu 2, 3, 5 und 13, ohne 7 und 11) wird manchmal '''Kata''' genannt.

== Katakleismisch ==
English: [[:en:Catakleismic|Catakleismic]]

Eine gute Erweiterung auf 7-[[p-Limit|Limit]] ergibt sich durch Austemperieren des [[225/224|septimalen Kleismas 225/224]]. Dadurch wird auch der Unterschied zwischen dem reinen chromatischen Halbton 25/24 und dem Intervall 28/27 austemperiert, in der natürlichen Erweiterung auf Primzahl 13 sind also die temperierten Versionen von 25/24, 26/25, 27/26 und 28/27 dasselbe Intervall.

== Weitere Varianten ==
Durch andere Kommas und Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen ergeben sich diverse weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[:en:Kleismic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] .

= MOS-Skalen =
English: [[:en:Kleismic_MOSes|Kleismic MOSes]]

Die Hanson-Temperatur verfügt über folgende [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige der Form 4L 3s (4 grosse, 3 kleine Intervalle), eine elftönige der Form 4L 7s (4 grosse, 7 kleine Intervalle), ferner noch solche mit 15 und 19 Tönen.

Schon die siebentönige Skala enthält vertraute Dur- und Moll-Dreiklänge; die Melodieschritte sind jedoch sehr verschieden von denen der Standardstimmung:  das kleine Intervall ist der ziemlich kleine chromatische Halbton bzw. Drittelton, während das grosse fast einer Terz gleicht.

Der grosse Ganzton 9/8, mit der für kleismische Temperaturen chrakterischtischen Teilung in drei gleiche Intervalle, wird nach zwei Quinten, also 12 Generatorschritten erreicht, er ist also erst in der fünfzehntönigen MOS-Skala enthalten.


[[Datei:Kleismic7.mp3]]

Siebentönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung


[[Datei:Kleismic11.mp3]]

Elftönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung


[[Datei:Cata15.mp3]]

Fünfzehntönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung

= Referenzen =
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] Larry A. Hanson, [http://anaphoria.com/hanson.PDF Development of a 53-Tone Keyboard Layout], Xenharmonikon XII, 1989&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;  [[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der '''kleismischen Temperaturen''' ist definiert über das Austemperieren des [[15625/15552|Kleismas]]. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 15'625/15'552 (8.107 [[Cent]]) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und einer reinen Duodezime (3/1).

Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavreduziert eine grosse Terz, welche typischerweise (aber nicht zwingend) etwas kleiner ist als die reine (5/4).

Das Kleisma tritt ausserdem auf als Unterschied zwischen drei reinen [[25/24|chromatischen Halbtönen 25/24]] und einem grossen Ganzton 9/8. Ein grosser Ganzton wird also in einer kleismische Temperatur in drei gleiche Teile geteilt, und der reine chromatische Halbton erscheint sozusagen als Drittelton.

= Varianten =
== Hanson ==
Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]], heisst '''Hanson''', benannt nach Larry A. Hanson [[#cite_note-1|[1]]] . Sie ist besonders gut in [[53-EDO]] repräsentiert.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche Hanson unterstützen, sind neben [[53-EDO]] unter anderem [[19-EDO]] ([[mitteltönig|mitteltönig]]), [[34-EDO]], [[72-EDO]], mit Einschränkungen [[15-EDO]] (alle nicht-mitteltönig).
== Kata: Natürliche Erweiterung auf 13-Limit ==
Das Kleisma temperiert bekanntlich den Unterschied zwischen drei chromatischen Halbtönen 25/24 und einem grossen Ganzton 9/8 aus, wodurch dieser in drei gleiche Teile geteilt wird. Da sich ein grosser Ganzton in reiner Stimmung aus der Kombination der Intervalle 25/24, 26/25 und 27/26 zusammensetzt, ergibt sich eine natürliche Definition einer kleismischen Temperatur im vierdimensionalen [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 13, in dem die Intervalle 26/25 und 27/26 liegen. Diese Erweiterung (im Intervallraum zu 2, 3, 5 und 13, ohne 7 und 11) wird manchmal '''Kata''' genannt.

== Katakleismisch ==
English: [[:en:Catakleismic|Catakleismic]]

Eine gute Erweiterung auf 7-[[p-Limit|Limit]] ergibt sich durch Austemperieren des [[225/224|septimalen Kleismas 225/224]]. Dadurch wird auch der Unterschied zwischen dem reinen chromatischen Halbton 25/24 und dem Intervall 28/27 austemperiert, in der natürlichen Erweiterung auf Primzahl 13 sind also die temperierten Versionen von 25/24, 26/25, 27/26 und 28/27 dasselbe Intervall.

== Weitere Varianten ==
Durch andere Kommas und Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen ergeben sich diverse weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[:en:Kleismic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] .

= MOS-Skalen =
English: [[:en:Kleismic_MOSes|Kleismic MOSes]]

Die Hanson-Temperatur verfügt über folgende [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige der Form 4L 3s (4 grosse, 3 kleine Intervalle), eine elftönige der Form 4L 7s (4 grosse, 7 kleine Intervalle), ferner noch solche mit 15 und 19 Tönen.

Schon die siebentönige Skala enthält vertraute Dur- und Moll-Dreiklänge; die Melodieschritte sind jedoch sehr verschieden von denen der Standardstimmung:  das kleine Intervall ist der ziemlich kleine chromatische Halbton bzw. Drittelton, während das grosse fast einer Terz gleicht.

Der grosse Ganzton 9/8, mit der für kleismische Temperaturen chrakterischtischen Teilung in drei gleiche Intervalle, wird nach zwei Quinten, also 12 Generatorschritten erreicht, er ist also erst in der fünfzehntönigen MOS-Skala enthalten.


[[Datei:Kleismic7.mp3]]

Siebentönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung


[[Datei:Kleismic11.mp3]]

Elftönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung


[[Datei:Cata15.mp3]]

Fünfzehntönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung

= Referenzen =
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] Larry A. Hanson, [http://anaphoria.com/hanson.PDF Development of a 53-Tone Keyboard Layout], Xenharmonikon XII, 1989&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;  [[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der '''kleismischen Temperaturen''' ist definiert über das Austemperieren des [[15625/15552|Kleismas]]. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 15'625/15'552 (8.107 [[Cent]]) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und einer reinen Duodezime (3/1).

Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavreduziert eine grosse Terz, welche typischerweise (aber nicht zwingend) etwas kleiner ist als die reine (5/4).

Das Kleisma tritt ausserdem auf als Unterschied zwischen drei reinen [[25/24|chromatischen Halbtönen 25/24]] und einem grossen Ganzton 9/8. Ein grosser Ganzton wird also in einer kleismische Temperatur in drei gleiche Teile geteilt, und der reine chromatische Halbton erscheint sozusagen als Drittelton.

= Varianten =
== Hanson ==
Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]], heisst '''Hanson''', benannt nach Larry A. Hanson [[#cite_note-1|[1]]] . Sie ist besonders gut in [[53-EDO]] repräsentiert.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche Hanson unterstützen, sind neben [[53-EDO]] unter anderem [[19-EDO]] ([[mitteltönig|mitteltönig]]), [[34-EDO]], [[72-EDO]], mit Einschränkungen [[15-EDO]] (alle nicht-mitteltönig).
== Kata: Natürliche Erweiterung auf 13-Limit ==
Das Kleisma temperiert bekanntlich den Unterschied zwischen drei chromatischen Halbtönen 25/24 und einem grossen Ganzton 9/8 aus, wodurch dieser in drei gleiche Teile geteilt wird. Da sich ein grosser Ganzton in reiner Stimmung aus der Kombination der Intervalle 25/24, 26/25 und 27/26 zusammensetzt, ergibt sich eine natürliche Definition einer kleismischen Temperatur im vierdimensionalen [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 13, in dem die Intervalle 26/25 und 27/26 liegen. Diese Erweiterung (im Intervallraum zu 2, 3, 5 und 13, ohne 7 und 11) wird manchmal '''Kata''' genannt.

== Katakleismisch ==
English: [[:en:Catakleismic|Catakleismic]]

Eine gute Erweiterung auf 7-[[p-Limit|Limit]] ergibt sich durch Austemperieren des [[225/224|septimalen Kleismas 225/224]]. Dadurch wird auch der Unterschied zwischen dem reinen chromatischen Halbton 25/24 und dem Intervall 28/27 austemperiert, in der natürlichen Erweiterung auf Primzahl 13 sind also die temperierten Versionen von 25/24, 26/25, 27/26 und 28/27 dasselbe Intervall.

== Weitere Varianten ==
Durch andere Kommas und Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen ergeben sich diverse weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[:en:Kleismic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] .

= MOS-Skalen =
English: [[:en:Kleismic_MOSes|Kleismic MOSes]]

Die Hanson-Temperatur verfügt über folgende [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige der Form 4L 3s (4 grosse, 3 kleine Intervalle), eine elftönige der Form 4L 7s (4 grosse, 7 kleine Intervalle), ferner noch solche mit 15 und 19 Tönen.

Schon die siebentönige Skala enthält vertraute Dur- und Moll-Dreiklänge; die Melodieschritte sind jedoch sehr verschieden von denen der Standardstimmung:  das kleine Intervall ist der ziemlich kleine chromatische Halbton bzw. Drittelton, während das grosse fast einer Terz gleicht.

Der grosse Ganzton 9/8, mit der für kleismische Temperaturen chrakteristischen Teilung in drei gleiche Intervalle, wird nach zwei Quinten, also 12 Generatorschritten erreicht, er ist also erst in der fünfzehntönigen MOS-Skala enthalten.


[[Datei:Kleismic7.mp3]]

Siebentönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung


[[Datei:Kleismic11.mp3]]

Elftönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung


[[Datei:Cata15.mp3]]

Fünfzehntönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung

= Referenzen =
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] Larry A. Hanson, [http://anaphoria.com/hanson.PDF Development of a 53-Tone Keyboard Layout], Xenharmonikon XII, 1989&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der '''kleismischen Temperaturen''' ist definiert über das Austemperieren des [[15625/15552|Kleismas]]. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 15'625/15'552 (8.107 [[Cent]]) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und einer reinen Duodezime (3/1).

Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavreduziert eine grosse Terz, welche typischerweise (aber nicht zwingend) etwas kleiner ist als die reine (5/4).

Das Kleisma tritt ausserdem auf als Unterschied zwischen drei reinen [[25/24|chromatischen Halbtönen 25/24]] und einem grossen Ganzton 9/8. Ein grosser Ganzton wird also in einer kleismische Temperatur in drei gleiche Teile geteilt, und der reine chromatische Halbton erscheint sozusagen als Drittelton.

= Varianten =
== Hanson ==
Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]], heisst '''Hanson''', benannt nach Larry A. Hanson [[#cite_note-1|[1]]] . Sie ist besonders gut in [[53-EDO]] repräsentiert.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche Hanson unterstützen, sind neben [[53-EDO]] unter anderem [[19-EDO]] ([[mitteltönig|mitteltönig]]), [[34-EDO]], [[72-EDO]], mit Einschränkungen [[15-EDO]] (alle nicht-mitteltönig).
== Kata: Natürliche Erweiterung auf 13-Limit ==
Das Kleisma temperiert bekanntlich den Unterschied zwischen drei chromatischen Halbtönen 25/24 und einem grossen Ganzton 9/8 aus, wodurch dieser in drei gleiche Teile geteilt wird. Da sich ein grosser Ganzton in reiner Stimmung aus der Kombination der Intervalle 25/24, 26/25 und 27/26 zusammensetzt, ergibt sich eine natürliche Definition einer kleismischen Temperatur im vierdimensionalen [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 13, in dem die Intervalle 26/25 und 27/26 liegen. Diese Erweiterung (im Intervallraum zu 2, 3, 5 und 13, ohne 7 und 11) wird manchmal '''Kata''' genannt.

== Katakleismisch ==
English: [[:en:Catakleismic|Catakleismic]]

Eine gute, '''Katakleismisch''' genannte Erweiterung auf 7-[[p-Limit|Limit]] ergibt sich durch Austemperieren des [[225/224|septimalen Kleismas 225/224]]. Dadurch wird auch der Unterschied zwischen dem reinen chromatischen Halbton 25/24 und dem Intervall 28/27 austemperiert, in der natürlichen Erweiterung auf Primzahl 13 sind also die temperierten Versionen von 25/24, 26/25, 27/26 und 28/27 dasselbe Intervall.

== Weitere Varianten ==
Durch andere Kommas und Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen ergeben sich diverse weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[:en:Kleismic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] .

= MOS-Skalen =
English: [[:en:Kleismic_MOSes|Kleismic MOSes]]

Die Hanson-Temperatur verfügt über folgende [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige der Form 4L 3s (4 grosse, 3 kleine Intervalle), eine elftönige der Form 4L 7s (4 grosse, 7 kleine Intervalle), ferner noch solche mit 15 und 19 Tönen.

Schon die siebentönige Skala enthält vertraute Dur- und Moll-Dreiklänge; die Melodieschritte sind jedoch sehr verschieden von denen der Standardstimmung:  das kleine Intervall ist der ziemlich kleine chromatische Halbton bzw. Drittelton, während das grosse fast einer Terz gleicht.

Der grosse Ganzton 9/8, mit der für kleismische Temperaturen chrakteristischen Teilung in drei gleiche Intervalle, wird nach zwei Quinten, also 12 Generatorschritten erreicht, er ist also erst in der fünfzehntönigen MOS-Skala enthalten.


[[Datei:Kleismic7.mp3]]

Siebentönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung


[[Datei:Kleismic11.mp3]]

Elftönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung


[[Datei:Cata15.mp3]]

Fünfzehntönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung

= Referenzen =
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] Larry A. Hanson, [http://anaphoria.com/hanson.PDF Development of a 53-Tone Keyboard Layout], Xenharmonikon XII, 1989&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der '''kleismischen Temperaturen''' ist definiert über das Austemperieren des [[15625/15552|Kleismas]]. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 15'625/15'552 (8.107 [[Cent]]) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und einer reinen Duodezime (3/1).

Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavreduziert eine grosse Terz, welche typischerweise (aber nicht zwingend) etwas kleiner ist als die reine (5/4).

Das Kleisma tritt ausserdem auf als Unterschied zwischen drei reinen [[25/24|chromatischen Halbtönen 25/24]] und einem grossen Ganzton 9/8. Ein grosser Ganzton wird also in einer kleismische Temperatur in drei gleiche Teile geteilt, und der reine chromatische Halbton erscheint sozusagen als Drittelton.

= Varianten =
== Hanson ==
Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]], heisst '''Hanson''', benannt nach Larry A. Hanson [[#cite_note-1|[1]]] . Sie ist besonders gut in [[53-EDO]] repräsentiert.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche Hanson unterstützen, sind neben [[53-EDO]] unter anderem [[19-EDO]] ([[mitteltönig|mitteltönig]]), [[34-EDO]], [[72-EDO]], mit Einschränkungen [[15-EDO]] (alle nicht-mitteltönig).
== Kata: Natürliche Erweiterung auf 13-Limit ==
Das Kleisma temperiert bekanntlich den Unterschied zwischen drei chromatischen Halbtönen 25/24 und einem grossen Ganzton 9/8 aus, wodurch dieser in drei gleiche Teile geteilt wird. Da sich ein grosser Ganzton in reiner Stimmung aus der Kombination der Intervalle 25/24, 26/25 und 27/26 zusammensetzt, ergibt sich eine natürliche Definition einer kleismischen Temperatur im vierdimensionalen [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 13, in dem die Intervalle 26/25 und 27/26 liegen. Diese Erweiterung (im Intervallraum zu 2, 3, 5 und 13, ohne 7 und 11) wird manchmal '''Kata''' genannt.

== Katakleismisch ==
English: [[:en:Catakleismic|Catakleismic]]

Eine gute, '''Katakleismisch''' genannte Erweiterung auf 7-[[p-Limit|Limit]] ergibt sich durch Austemperieren des [[225/224|septimalen Kleismas 225/224]]. Dadurch wird auch der Unterschied zwischen dem reinen chromatischen Halbton 25/24 und dem Intervall 28/27 austemperiert, in der natürlichen Erweiterung auf Primzahl 13 sind also die temperierten Versionen von 25/24, 26/25, 27/26 und 28/27 dasselbe Intervall.

== Weitere Varianten ==
Durch andere Kommas und Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen ergeben sich diverse weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[:en:Kleismic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] .

= MOS-Skalen =
English: [[:en:Kleismic_MOSes|Kleismic MOSes]]

Die Hanson-Temperatur verfügt über folgende [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige der Form 4L 3s (4 grosse, 3 kleine Intervalle), eine elftönige der Form 4L 7s (4 grosse, 7 kleine Intervalle), ferner noch solche mit 15 und 19 Tönen.

Schon die siebentönige Skala enthält vertraute Dur- und Moll-Dreiklänge; die Melodieschritte sind jedoch sehr verschieden von denen der Standardstimmung:  das kleine Intervall ist der ziemlich kleine chromatische Halbton bzw. Drittelton, während das grosse fast einer Terz gleicht.

Der grosse Ganzton 9/8, mit der für kleismische Temperaturen charakteristischen Teilung in drei gleiche Intervalle, wird nach zwei Quinten, also 12 Generatorschritten erreicht, er ist also erst in der fünfzehntönigen MOS-Skala enthalten.


[[Datei:Kleismic7.mp3]]

Siebentönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung


[[Datei:Kleismic11.mp3]]

Elftönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung


[[Datei:Cata15.mp3]]

Fünfzehntönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung

= Referenzen =
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] Larry A. Hanson, [http://anaphoria.com/hanson.PDF Development of a 53-Tone Keyboard Layout], Xenharmonikon XII, 1989&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der '''kleismischen Temperaturen''' ist definiert über das Austemperieren des [[15625/15552|Kleismas]]. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 15'625/15'552 (8.107 [[Cent]]) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und einer reinen Duodezime (3/1).

Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavreduziert eine grosse Terz, welche typischerweise (aber nicht zwingend) etwas kleiner ist als die reine (5/4).

Das Kleisma tritt ausserdem auf als Unterschied zwischen drei reinen [[25/24|chromatischen Halbtönen 25/24]] und einem grossen Ganzton 9/8. Ein grosser Ganzton wird also in einer kleismische Temperatur in drei gleiche Teile geteilt, und der reine chromatische Halbton erscheint sozusagen als Drittelton.

= Varianten =
== Hanson ==
Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]], heisst '''Hanson''', benannt nach Larry A. Hanson [[#cite_note-1|[1]]] . Sie ist besonders gut in [[53-EDO]] repräsentiert.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche Hanson unterstützen, sind neben [[53-EDO]] unter anderem [[19-EDO]] ([[mitteltönig|mitteltönig]]), [[34-EDO]], [[72-EDO]], mit Einschränkungen [[15-EDO]] (alle nicht-mitteltönig).
== Kata: Natürliche Erweiterung auf 13-Limit ==
Das Kleisma temperiert bekanntlich den Unterschied zwischen drei chromatischen Halbtönen 25/24 und einem grossen Ganzton 9/8 aus, wodurch dieser in drei gleiche Teile geteilt wird. Da sich ein grosser Ganzton in reiner Stimmung aus der Kombination der Intervalle 25/24, 26/25 und 27/26 zusammensetzt, ergibt sich eine natürliche Definition einer kleismischen Temperatur im vierdimensionalen [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 13, in dem die Intervalle 26/25 und 27/26 liegen. Diese Erweiterung (im Intervallraum zu 2, 3, 5 und 13, ohne 7 und 11) wird manchmal '''Kata''' genannt.

== Katakleismisch ==
English: [[:en:Catakleismic|Catakleismic]]

Eine gute, '''Katakleismisch''' genannte Erweiterung auf 7-[[p-Limit|Limit]] ergibt sich durch Austemperieren des [[225/224|septimalen Kleismas 225/224]]. Dadurch wird auch der Unterschied zwischen dem reinen chromatischen Halbton 25/24 und dem Intervall 28/27 austemperiert, in der natürlichen Erweiterung auf Primzahl 13 sind also die temperierten Versionen von 25/24, 26/25, 27/26 und 28/27 dasselbe Intervall.

== Weitere Varianten ==
Durch andere Kommas und Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen ergeben sich diverse weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[:en:Kleismic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] .

= MOS-Skalen =
English: [[:en:Kleismic_MOSes|Kleismic MOSes]]

Die Hanson-Temperatur verfügt über folgende [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige der Form 4L 3s (4 grosse, 3 kleine Intervalle), eine elftönige der Form 4L 7s (4 grosse, 7 kleine Intervalle), ferner noch solche mit 15 und 19 Tönen.

Schon die siebentönige Skala enthält vertraute Dur- und Moll-Dreiklänge; die Melodieschritte sind jedoch sehr verschieden von denen der Standardstimmung:  das kleine Intervall ist der ziemlich kleine chromatische Halbton bzw. Drittelton, während das grosse fast einer Terz gleicht.

Der grosse Ganzton 9/8, mit der für kleismische Temperaturen charakteristischen Teilung in drei gleiche Intervalle, wird nach zwei Quinten, also 12 Generatorschritten erreicht, er ist also erst in der fünfzehntönigen MOS-Skala enthalten.


[[Datei:Kleismic7.mp3]]

Siebentönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung


[[Datei:Kleismic11.mp3]]

Elftönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung


[[Datei:Cata15.mp3]]

Fünfzehntönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung

= Referenzen =
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] Larry A. Hanson, [https://www.anaphoria.com/hanson.pdf Development of a 53-Tone Keyboard Layout], Xenharmonikon XII, 1989&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;  [[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der '''kleismischen Temperaturen''' ist definiert über das Austemperieren des [[15625/15552|Kleismas]]. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 15'625/15'552 (8.107 [[Cent]]) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und einer reinen Duodezime (3/1).

Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavreduziert eine grosse Terz, welche typischerweise (aber nicht zwingend) etwas kleiner ist als die reine (5/4).

Das Kleisma tritt ausserdem auf als Unterschied zwischen drei reinen [[25/24|chromatischen Halbtönen 25/24]] und einem grossen Ganzton 9/8. Ein grosser Ganzton wird also in einer kleismische Temperatur in drei gleiche Teile geteilt, und der reine chromatische Halbton erscheint sozusagen als Drittelton.

= Varianten =
== Hanson ==
Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]], heisst '''Hanson''', benannt nach Larry A. Hanson [[#cite_note-1|[1]]] . Sie ist besonders gut in [[53-EDO]] repräsentiert.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche Hanson unterstützen, sind neben [[53-EDO]] unter anderem [[19-EDO]] ([[mitteltönig|mitteltönig]]), [[34-EDO]], [[72-EDO]], mit Einschränkungen [[15-EDO]] (alle nicht-mitteltönig).
== Kata: Natürliche Erweiterung auf 13-Limit ==
Das Kleisma temperiert bekanntlich den Unterschied zwischen drei chromatischen Halbtönen 25/24 und einem grossen Ganzton 9/8 aus, wodurch dieser in drei gleiche Teile geteilt wird. Da sich ein grosser Ganzton in reiner Stimmung aus der Kombination der Intervalle 25/24, 26/25 und 27/26 zusammensetzt, ergibt sich eine natürliche Definition einer kleismischen Temperatur im vierdimensionalen [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 13, in dem die Intervalle 26/25 und 27/26 liegen. Diese Erweiterung (im Intervallraum zu 2, 3, 5 und 13, ohne 7 und 11) wird manchmal '''Kata''' genannt.

== Katakleismisch ==
English: [[:en:Catakleismic|Catakleismic]]

Eine gute, '''Katakleismisch''' genannte Erweiterung auf 7-[[p-Limit|Limit]] ergibt sich durch Austemperieren des [[225/224|septimalen Kleismas 225/224]]. Dadurch wird auch der Unterschied zwischen dem reinen chromatischen Halbton 25/24 und dem Intervall 28/27 austemperiert, in der natürlichen Erweiterung auf Primzahl 13 sind also die temperierten Versionen von 25/24, 26/25, 27/26 und 28/27 dasselbe Intervall.

== Weitere Varianten ==
Durch andere Kommas und Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen ergeben sich diverse weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[:en:Kleismic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] .

= MOS-Skalen =
English: [[:en:Kleismic_MOSes|Kleismic MOSes]]

Die Hanson-Temperatur verfügt über folgende [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige der Form 4L 3s (4 grosse, 3 kleine Intervalle), eine elftönige der Form 4L 7s (4 grosse, 7 kleine Intervalle), ferner noch solche mit 15 und 19 Tönen.

Schon die siebentönige Skala enthält vertraute Dur- und Moll-Dreiklänge; die Melodieschritte sind jedoch sehr verschieden von denen der Standardstimmung:  das kleine Intervall ist der ziemlich kleine chromatische Halbton bzw. Drittelton, während das grosse fast einer Terz gleicht.

Der grosse Ganzton 9/8, mit der für kleismische Temperaturen charakteristischen Teilung in drei gleiche Intervalle, wird nach zwei Quinten, also 12 Generatorschritten erreicht, er ist also erst in der fünfzehntönigen MOS-Skala enthalten.


[[Datei:Kleismic7.mp3]]

Siebentönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung


[[Datei:Kleismic11.mp3]]

Elftönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung


[[Datei:Kleismic11-19edo.mp3]]

Elftönige kleismische Skala (sLssLssLsLs), 19-EDO-Stimmung


[[Datei:Cata15.mp3]]

Fünfzehntönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung

= Referenzen =
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] Larry A. Hanson, [https://www.anaphoria.com/hanson.pdf Development of a 53-Tone Keyboard Layout], Xenharmonikon XII, 1989&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der '''kleismischen Temperaturen''' ist definiert über das Austemperieren des [[15625/15552|Kleismas]]. Dies ist das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 15'625/15'552 (8.107 [[Cent]]) und tritt auf als Differenz zwischen 6 reinen kleinen Terzen (6/5) und einer reinen Duodezime (3/1).

Generator ist entsprechend eine kleine Terz, welche etwas hochtemperiert wird. 5 solche kleine Terzen bilden dann oktavreduziert eine grosse Terz, welche typischerweise (aber nicht zwingend) etwas kleiner ist als die reine (5/4).

Das Kleisma tritt ausserdem auf als Unterschied zwischen drei reinen [[25/24|chromatischen Halbtönen 25/24]] und einem grossen Ganzton 9/8. Ein grosser Ganzton wird also in einer kleismische Temperatur in drei gleiche Teile geteilt, und der reine chromatische Halbton erscheint sozusagen als Drittelton.

= Varianten =
== Hanson ==
Die einfachste Variante der kleismischen Temperaturen, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]], heisst '''Hanson''', benannt nach Larry A. Hanson [[#cite_note-1|[1]]] . Sie ist besonders gut in [[53-EDO]] repräsentiert.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche Hanson unterstützen, sind neben [[53-EDO]] unter anderem [[19-EDO]] ([[mitteltönig|mitteltönig]]), [[34-EDO]], [[72-EDO]], mit Einschränkungen [[15-EDO]] (alle nicht-mitteltönig).

In 15-EDO degeneriert die fünfzehntönige MOS-Skala natürlich zu einer völlig gleichförmigen, die aus allen Tönen von 15-EDO besteht.

== Kata: Natürliche Erweiterung auf 13-Limit ==
Das Kleisma temperiert bekanntlich den Unterschied zwischen drei chromatischen Halbtönen 25/24 und einem grossen Ganzton 9/8 aus, wodurch dieser in drei gleiche Teile geteilt wird. Da sich ein grosser Ganzton in reiner Stimmung aus der Kombination der Intervalle 25/24, 26/25 und 27/26 zusammensetzt, ergibt sich eine natürliche Definition einer kleismischen Temperatur im vierdimensionalen [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 13, in dem die Intervalle 26/25 und 27/26 liegen. Diese Erweiterung (im Intervallraum zu 2, 3, 5 und 13, ohne 7 und 11) wird manchmal '''Kata''' genannt.

== Katakleismisch ==
English: [[:en:Catakleismic|Catakleismic]]

Eine gute, '''Katakleismisch''' genannte Erweiterung auf 7-[[p-Limit|Limit]] ergibt sich durch Austemperieren des [[225/224|septimalen Kleismas 225/224]]. Dadurch wird auch der Unterschied zwischen dem reinen chromatischen Halbton 25/24 und dem Intervall 28/27 austemperiert, in der natürlichen Erweiterung auf Primzahl 13 sind also die temperierten Versionen von 25/24, 26/25, 27/26 und 28/27 dasselbe Intervall.

== Weitere Varianten ==
Durch andere Kommas und Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen ergeben sich diverse weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[:en:Kleismic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] .

= MOS-Skalen =
English: [[:en:Kleismic_MOSes|Kleismic MOSes]]

Die Hanson-Temperatur verfügt über folgende [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige der Form 4L 3s (4 grosse, 3 kleine Intervalle), eine elftönige der Form 4L 7s (4 grosse, 7 kleine Intervalle), ferner noch solche mit 15 und 19 Tönen.

Schon die siebentönige Skala enthält vertraute Dur- und Moll-Dreiklänge; die Melodieschritte sind jedoch sehr verschieden von denen der Standardstimmung:  das kleine Intervall ist der ziemlich kleine chromatische Halbton bzw. Drittelton, während das grosse fast einer Terz gleicht.

Der grosse Ganzton 9/8, mit der für kleismische Temperaturen charakteristischen Teilung in drei gleiche Intervalle, wird nach zwei Quinten, also 12 Generatorschritten erreicht, er ist also erst in der fünfzehntönigen MOS-Skala enthalten.


[[Datei:Kleismic7.mp3]]

Siebentönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung


[[Datei:Kleismic11.mp3]]

Elftönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung


[[Datei:Kleismic11-19edo.mp3]]

Elftönige kleismische Skala (sLssLssLsLs), 19-EDO-Stimmung


[[Datei:Cata15.mp3]]

Fünfzehntönige kleismische Skala, 246-EDO-Stimmung

= Referenzen =
&lt;ol&gt;&lt;li&gt;[[#cite_ref-1|^]] Larry A. Hanson, [https://www.anaphoria.com/hanson.pdf Development of a 53-Tone Keyboard Layout], Xenharmonikon XII, 1989&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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Deutschsprachige Ressourcen:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Harry_Partch Harry Partch (Wikipedia)]

[http://www.nzz.ch/aktuell/startseite/articleF4VM4-1.150398 Rebell, Denker, Tüftler: Der amerikanische Komponist Harry Partch] (Edu Haubensak, Neue Zürcher Zeitung, 28.04.2017)

[http://musikfabrik.eu/projekte/szenische-projekte/delusion-of-the-fury.html Ensemble musikFabrik] (Nachbauten aller von Harry Partch erfundenen Instrumente)  [[Category:Person]]</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Harry Partch]]

Deutschsprachige Ressourcen:

[[http://de.wikipedia.org/wiki/Harry_Partch|Harry Partch (Wikipedia)]]
[[http://www.nzz.ch/aktuell/startseite/articleF4VM4-1.150398|Rebell, Denker, Tüftler: Der amerikanische Komponist Harry Partch]] (Edu Haubensak, Neue Zürcher Zeitung, 28.04.2017)
[[http://musikfabrik.eu/projekte/szenische-projekte/delusion-of-the-fury.html|Ensemble musikFabrik]] (Nachbauten aller von Harry Partch erfundenen Instrumente)&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Harry Partch&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Harry%20Partch"&amp;gt;xenharmonic/Harry Partch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Deutschsprachige Ressourcen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Harry_Partch" rel="nofollow"&amp;gt;Harry Partch (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.nzz.ch/aktuell/startseite/articleF4VM4-1.150398" rel="nofollow"&amp;gt;Rebell, Denker, Tüftler: Der amerikanische Komponist Harry Partch&amp;lt;/a&amp;gt; (Edu Haubensak, Neue Zürcher Zeitung, 28.04.2017)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://musikfabrik.eu/projekte/szenische-projekte/delusion-of-the-fury.html" rel="nofollow"&amp;gt;Ensemble musikFabrik&amp;lt;/a&amp;gt; (Nachbauten aller von Harry Partch erfundenen Instrumente)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Harry Partch]]

Deutschsprachige Ressourcen:

[[http://de.wikipedia.org/wiki/Harry_Partch|Harry Partch (Wikipedia)]]
[[http://www.nzz.ch/aktuell/startseite/articleF4VM4-1.150398|Rebell, Denker, Tüftler: Der amerikanische Komponist Harry Partch]] (Edu Haubensak, Neue Zürcher Zeitung, 28.04.2017)&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Deutschsprachige Ressourcen:&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Harry_Partch" rel="nofollow"&amp;gt;Harry Partch (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.nzz.ch/aktuell/startseite/articleF4VM4-1.150398" rel="nofollow"&amp;gt;Rebell, Denker, Tüftler: Der amerikanische Komponist Harry Partch&amp;lt;/a&amp;gt; (Edu Haubensak, Neue Zürcher Zeitung, 28.04.2017)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Harry Partch]]

Deutschsprachige Ressourcen:

[[http://de.wikipedia.org/wiki/Harry_Partch|Harry Partch (Wikipedia)]]
[[http://www.nzz.ch/aktuell/startseite/articleF4VM4-1.150398|Rebell, Denker, Tüftler: Der amerikanische Komponist Harry Partch]] (Neue Zürcher Zeitung, 28.04.2017)&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Deutschsprachige Ressourcen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Harry_Partch" rel="nofollow"&amp;gt;Harry Partch (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.nzz.ch/aktuell/startseite/articleF4VM4-1.150398" rel="nofollow"&amp;gt;Rebell, Denker, Tüftler: Der amerikanische Komponist Harry Partch&amp;lt;/a&amp;gt; (Neue Zürcher Zeitung, 28.04.2017)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Harry Partch]]

Deutschsprachige Ressourcen:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Harry_Partch|Harry Partch (Wikipedia)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Harry Partch&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Harry%20Partch"&amp;gt;xenharmonic/Harry Partch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Deutschsprachige Ressourcen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Harry_Partch" rel="nofollow"&amp;gt;Harry Partch (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Mike Battaglia</username>
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      <comment>Textersetzung - „(\[\[\:(dev|es|purdal|de|en):[^[:space:]\|]*) (.*])“ durch „$1|$3“</comment>
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      <text bytes="514" sha1="tncvekmsybzayzt4vxmsnya99l386ek" xml:space="preserve">English: [[:en:Harry_Partch|xenharmonic/Harry Partch]]

Deutschsprachige Ressourcen:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Harry_Partch Harry Partch (Wikipedia)]

[http://www.nzz.ch/aktuell/startseite/articleF4VM4-1.150398 Rebell, Denker, Tüftler: Der amerikanische Komponist Harry Partch] (Edu Haubensak, Neue Zürcher Zeitung, 28.04.2017)

[http://musikfabrik.eu/projekte/szenische-projekte/delusion-of-the-fury.html Ensemble musikFabrik] (Nachbauten aller von Harry Partch erfundenen Instrumente)  [[Category:Person]]</text>
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Deutschsprachige Ressourcen:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Harry_Partch Harry Partch (Wikipedia)]

[http://www.nzz.ch/aktuell/startseite/articleF4VM4-1.150398 Rebell, Denker, Tüftler: Der amerikanische Komponist Harry Partch] (Edu Haubensak, Neue Zürcher Zeitung, 28.04.2017)

[http://musikfabrik.eu/projekte/szenische-projekte/delusion-of-the-fury.html Ensemble musikFabrik] (Nachbauten aller von Harry Partch erfundenen Instrumente)  [[Category:Person]]</text>
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      <text bytes="479" sha1="p6nsnoja37o0nltgv3vnno4n1ntdur1" xml:space="preserve">[[en:Harry_Partch]]

Deutschsprachige Ressourcen:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Harry_Partch Harry Partch (Wikipedia)]

[http://www.nzz.ch/aktuell/startseite/articleF4VM4-1.150398 Rebell, Denker, Tüftler: Der amerikanische Komponist Harry Partch] (Edu Haubensak, Neue Zürcher Zeitung, 28.04.2017)

[http://musikfabrik.eu/projekte/szenische-projekte/delusion-of-the-fury.html Ensemble musikFabrik] (Nachbauten aller von Harry Partch erfundenen Instrumente)  [[Category:Person]]</text>
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      <text bytes="627" sha1="0dfoevxoob2duwpadfshdzuapuzygkp" xml:space="preserve">Der Begriff '''Intervall''' ist gebräuchlich, um das Verhältnis zweier Töne zu bezeichnen. Beispiele sind [[Oktave|Oktave]] oder [[Sekunde|Sekunde]].

Hierbei kommen zwei Aspekte zum Tragen der Abstand der Töne hinsichtlich ihrer Höhe ([[Distanz|Distanz]]) und der Charakter ihres Zusammenklangs ([[Sonanz|Sonanz]]).

== Verweise ==
&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[http://de.wikipedia.org/wiki/Intervall_(Musik) Intervall (Musik) – Wikipedia]&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[http://www.huygens-fokker.org/docs/intervals.html Stichting Huygens-Fokker: List of intervals]&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[[Intervallraum|Intervallraum]]&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;  [[Category:Grundbegriff]]
[[Category:Metrik]]</text>
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      <text bytes="2927" sha1="qiwi7ds4k01hfnbc6wembyz9k1ukv1t" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Der Begriff **Intervall** ist gebräuchlich, um das Verhältnis zweier Töne zu bezeichnen. Beispiele sind [[Oktave]] oder [[Sekunde]].

Hierbei kommen zwei Aspekte zum Tragen der Abstand der Töne hinsichtlich ihrer Höhe ([[Distanz]]) und der Charakter ihres Zusammenklangs ([[Sonanz]]).

== Verweise ==
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Intervall_(Musik)|Intervall (Musik) – Wikipedia]]
* [[http://www.huygens-fokker.org/docs/intervals.html|Stichting Huygens-Fokker: List of intervals]]
* [[Intervallraum]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Intervall&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Der Begriff &amp;lt;strong&amp;gt;Intervall&amp;lt;/strong&amp;gt; ist gebräuchlich, um das Verhältnis zweier Töne zu bezeichnen. Beispiele sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sekunde"&amp;gt;Sekunde&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Hierbei kommen zwei Aspekte zum Tragen der Abstand der Töne hinsichtlich ihrer Höhe (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Distanz"&amp;gt;Distanz&amp;lt;/a&amp;gt;) und der Charakter ihres Zusammenklangs (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sonanz"&amp;gt;Sonanz&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Intervall_(Musik)" rel="nofollow"&amp;gt;Intervall (Musik) – Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.huygens-fokker.org/docs/intervals.html" rel="nofollow"&amp;gt;Stichting Huygens-Fokker: List of intervals&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Der Begriff **Intervall** ist gebräuchlich, um das Verhältnis zweier Töne zu bezeichnen. Beispiele sind [[Oktave]] oder [[Sekunde]].

Hierbei kommen zwei Aspekte zum Tragen der Abstand der Töne hinsichtlich ihrer Höhe ([[Distanz]]) und der Charakter ihres Zusammenklangs ([[Sonanz]]).

== Verweise ==
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Intervall_(Musik)|Intervall (Musik) – Wikipedia]]
* [[http://www.huygens-fokker.org/docs/intervals.html|Stichting Huygens-Fokker: List of intervals]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Intervall&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Der Begriff &amp;lt;strong&amp;gt;Intervall&amp;lt;/strong&amp;gt; ist gebräuchlich, um das Verhältnis zweier Töne zu bezeichnen. Beispiele sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sekunde"&amp;gt;Sekunde&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Hierbei kommen zwei Aspekte zum Tragen der Abstand der Töne hinsichtlich ihrer Höhe (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Distanz"&amp;gt;Distanz&amp;lt;/a&amp;gt;) und der Charakter ihres Zusammenklangs (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sonanz"&amp;gt;Sonanz&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Intervall_(Musik)" rel="nofollow"&amp;gt;Intervall (Musik) – Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.huygens-fokker.org/docs/intervals.html" rel="nofollow"&amp;gt;Stichting Huygens-Fokker: List of intervals&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: The original revision id was &lt;tt&gt;430922712&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Der Begriff **Intervall** ist gebräuchlich, um das Verhältnis zweier Töne zu bezeichnen. Beispiele sind [[Oktave]] oder [[Sekunde]].

Hierbei kommen zwei Aspekte zum Tragen der Abstand der Töne hinsichtlich ihrer Höhe ([[Distanz]]) und der Charakter ihres Zusammenklangs ([[Sonanz]]).

== Verweise ==
* [[http://www.huygens-fokker.org/docs/intervals.html|Stichting Huygens-Fokker: List of intervals]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Intervall&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Der Begriff &amp;lt;strong&amp;gt;Intervall&amp;lt;/strong&amp;gt; ist gebräuchlich, um das Verhältnis zweier Töne zu bezeichnen. Beispiele sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sekunde"&amp;gt;Sekunde&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Hierbei kommen zwei Aspekte zum Tragen der Abstand der Töne hinsichtlich ihrer Höhe (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Distanz"&amp;gt;Distanz&amp;lt;/a&amp;gt;) und der Charakter ihres Zusammenklangs (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sonanz"&amp;gt;Sonanz&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.huygens-fokker.org/docs/intervals.html" rel="nofollow"&amp;gt;Stichting Huygens-Fokker: List of intervals&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <comment>überarbeitet: Listen und Links vereinfacht, Kategorien auf DE umgestellt und ergänzt</comment>
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      <text bytes="605" sha1="7ntzvue8uglly2s7q48eh031bx8ztrg" xml:space="preserve">Der Begriff '''Intervall''' ist gebräuchlich, um das Verhältnis zweier Töne zu bezeichnen. Beispiele sind [[Oktave]] oder [[Sekunde]].

Hierbei kommen zwei Aspekte zum Tragen der Abstand der Töne hinsichtlich ihrer Höhe ([[Distanz]]) und der Charakter ihres Zusammenklangs ([[Sonanz]]).

== Verweise ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Intervall_(Musik) Intervall (Musik) – Wikipedia]
* [http://www.huygens-fokker.org/docs/intervals.html Stichting Huygens-Fokker: List of intervals]
* [[Intervallraum]]

[[Kategorie:Intervall| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;
[[Kategorie:Grundbegriff]]
[[Kategorie:Metrik]]</text>
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      <comment>Namen der Intervalle</comment>
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      <text bytes="1083" sha1="hsngvw4nqzdqd8mhk4c4tllh0yn0cza" xml:space="preserve">Der Begriff '''Intervall''' ist gebräuchlich, um das Verhältnis zweier Töne zu bezeichnen. Beispiele sind [[Oktave]] oder [[Sekunde]].

Hierbei kommen zwei Aspekte zum Tragen der Abstand der Töne hinsichtlich ihrer Höhe ([[Distanz]]) und der Charakter ihres Zusammenklangs ([[Sonanz]]).

== Namen klassischer Intervalle ==

Zur Veranschaulichung der Intervallnamen sind die Frequenzverhältnisse ([[5-limit]]) angegeben.

* Prime (reine Prime [[1/1]])
* Sekunde (kleine Sekunde [[16/15]], große Sekunde [[9/8]])
* Terz (kleine Terz [[6/5]], große Terz [[5/4]])
* Quarte (reine Quarte [[4/3]])
* Quinte (reine Quinte [[3/2]])
* Sexte (kleine Sexte [[8/5]], große Sexte [[5/3]])
* Septime (kleine Septime [[9/5]], große Septime [[15/8]])
* Oktave (reine [[2/1]])

== Verweise ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Intervall_(Musik) Intervall (Musik) – Wikipedia]
* [http://www.huygens-fokker.org/docs/intervals.html Stichting Huygens-Fokker: List of intervals]
* [[Intervallraum]]

[[Kategorie:Intervall| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;
[[Kategorie:Grundbegriff]]
[[Kategorie:Metrik]]</text>
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      </contributor>
      <comment>/* Namen klassischer Intervalle */ Links andere kleine Septime</comment>
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      <text bytes="1095" sha1="4ay8npfjbjqtg0zulmuljssah2vp1a0" xml:space="preserve">Der Begriff '''Intervall''' ist gebräuchlich, um das Verhältnis zweier Töne zu bezeichnen. Beispiele sind [[Oktave]] oder [[Sekunde]].

Hierbei kommen zwei Aspekte zum Tragen der Abstand der Töne hinsichtlich ihrer Höhe ([[Distanz]]) und der Charakter ihres Zusammenklangs ([[Sonanz]]).

== Namen klassischer Intervalle ==

Zur Veranschaulichung der Intervallnamen sind die Frequenzverhältnisse ([[5-limit]]) angegeben.

* Prime (reine Prime [[1/1]])
* Sekunde (kleine Sekunde [[16/15]], große Sekunde [[9/8]])
* Terz (kleine Terz [[6/5]], große Terz [[5/4]])
* Quarte (reine Quarte [[4/3]])
* Quinte (reine Quinte [[3/2]])
* Sexte (kleine Sexte [[8/5]], große Sexte [[5/3]])
* Septime (kleine Septime [[16/9]], große Septime [[15/8]])
* [[Oktave]] (reine Oktave [[2/1]])

== Verweise ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Intervall_(Musik) Intervall (Musik) – Wikipedia]
* [http://www.huygens-fokker.org/docs/intervals.html Stichting Huygens-Fokker: List of intervals]
* [[Intervallraum]]

[[Kategorie:Intervall| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;
[[Kategorie:Grundbegriff]]
[[Kategorie:Metrik]]</text>
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      <text bytes="2544" sha1="rqx27hq7t1rqcvjcz3jurw7v5advw79" xml:space="preserve">&lt;span style="display: block; text-align: right;"&gt;English: [[:en:Monzos_and_Interval_Space Monzos and Interval Space]]&lt;/span&gt;

Als '''Intervallraum''' bezeichnen wir eine Art virtueller Karte, in der alle denkbaren musikalischen Intervalle ihren Platz haben.

Intervalle in [[Reine_Stimmung|reiner Stimmung]] zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als [[Rationale_Zahl|rationale Zahl]] ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als [[Primfaktorzerlegung|Produkt von Primzahlen]] betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstrich stehen können).

Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen [[Primzahlen|Primzahlen]] bis 5 vor, die Intervalle sind also alle "5-[[Limit|Limit]]". Der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29  Z-Modul]), ist dreidimensional (je eine Dimension für die Primzahlen 2, 3 und 5) und wird manchmal als [[Eulermodul|Eulermodul]] bezeichnet.

Einbezug der nächsten Primzahl 7 (7-Limit) ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.

Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo [[Oktave|Oktave]] betrachtet. Das [[Eulersches_Tonneetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das [[Vogelsches_Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.

Je nach Bedarf und untersuchtem/gewünschtem Tonsystem kann man Teil-Intervallräume betrachten, welche nicht alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze enthalten. Die reine Version der [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Skala beispielsweise residiert im dreidimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 3, 5 und 7, welche aber ''nicht'' als modulo Oktave zu betrachten sind - die Oktave wie die Primzahl 2 überhaupt treten überhaupt nicht auf. Zur Untersuchung von [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischen]] Tonsystemen wiederum wird manchmal der Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 verwendet, da die Primzahl 11 für die in orientalischen Musikkulturen wichtigen neutralen Sekunden 11/10 und 12/11 benötigt wird, die Primzahl 7 hingegen weniger wichtig ist.  [[Category:Begriff]]
[[Category:Intervalle]]
[[Category:Mathematik]]
[[Category:Theorie]]</text>
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      <text bytes="6923" sha1="d2d15lx0sggcogb4wi2n7v2bssmgosf" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;English: [[xenharmonic/Monzos and Interval Space|Monzos and Interval Space]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
Als **Intervallraum** bezeichnen wir eine Art virtueller Karte, in der alle denkbaren musikalischen Intervalle ihren Platz haben.

Intervalle in [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als [[Rationale Zahl|rationale Zahl]] ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als [[Primfaktorzerlegung|Produkt von Primzahlen]] betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstrich stehen können).

Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen [[Primzahlen]] bis 5 vor, die Intervalle sind also alle "5-[[Limit]]". Der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29| Z-Modul]]), ist dreidimensional (je eine Dimension für die Primzahlen 2, 3 und 5) und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet.

Einbezug der nächsten Primzahl 7 (7-Limit) ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.

Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo [[Oktave]] betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das [[Vogelsches Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.

Je nach Bedarf und untersuchtem/gewünschtem Tonsystem kann man Teil-Intervallräume betrachten, welche nicht alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze enthalten. Die reine Version der [[Bohlen-Pierce]]-Skala beispielsweise residiert im dreidimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 3, 5 und 7, welche aber //nicht// als modulo Oktave zu betrachten sind - die Oktave wie die Primzahl 2 überhaupt treten überhaupt nicht auf. Zur Untersuchung von [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischen]] Tonsystemen wiederum wird manchmal der Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 verwendet, da die Primzahl 11 für die in orientalischen Musikkulturen wichtigen neutralen Sekunden 11/10 und 12/11 benötigt wird, die Primzahl 7 hingegen weniger wichtig ist.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Monzos%20and%20Interval%20Space"&amp;gt;Monzos and Interval Space&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Als &amp;lt;strong&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/strong&amp;gt; bezeichnen wir eine Art virtueller Karte, in der alle denkbaren musikalischen Intervalle ihren Platz haben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Intervalle in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rationale%20Zahl"&amp;gt;rationale Zahl&amp;lt;/a&amp;gt; ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Produkt von Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstrich stehen können).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; bis 5 vor, die Intervalle sind also alle &amp;amp;quot;5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot;. Der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29" rel="nofollow"&amp;gt; Z-Modul&amp;lt;/a&amp;gt;), ist dreidimensional (je eine Dimension für die Primzahlen 2, 3 und 5) und wird manchmal als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Eulermodul"&amp;gt;Eulermodul&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Einbezug der nächsten Primzahl 7 (7-Limit) ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt; betrachtet. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Eulersches%20Tonneetz"&amp;gt;Eulersche Tonnetz&amp;lt;/a&amp;gt; ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Vogelsches%20Tonnetz"&amp;gt;Vogelsche Tonnetz&amp;lt;/a&amp;gt; ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Bedarf und untersuchtem/gewünschtem Tonsystem kann man Teil-Intervallräume betrachten, welche nicht alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze enthalten. Die reine Version der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bohlen-Pierce"&amp;gt;Bohlen-Pierce&amp;lt;/a&amp;gt;-Skala beispielsweise residiert im dreidimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 3, 5 und 7, welche aber &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; als modulo Oktave zu betrachten sind - die Oktave wie die Primzahl 2 überhaupt treten überhaupt nicht auf. Zur Untersuchung von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalischen&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsystemen wiederum wird manchmal der Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 verwendet, da die Primzahl 11 für die in orientalischen Musikkulturen wichtigen neutralen Sekunden 11/10 und 12/11 benötigt wird, die Primzahl 7 hingegen weniger wichtig ist.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-11-22 10:45:46 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;471409250&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Als **Intervallraum** bezeichnen wir eine Art virtueller Karte, in der alle denkbaren musikalischen Intervalle ihren Platz haben.

Intervalle in [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als [[Rationale Zahl|rationale Zahl]] ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als [[Primfaktorzerlegung|Produkt von Primzahlen]] betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstrich stehen können).

Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen [[Primzahlen]] bis 5 vor, die Intervalle sind also alle "5-[[Limit]]". Der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29| Z-Modul]]), ist dreidimensional (je eine Dimension für die Primzahlen 2, 3 und 5) und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet.

Einbezug der nächsten Primzahl 7 (7-Limit) ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.

Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo [[Oktave]] betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das [[Vogelsches Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.

Je nach Bedarf und untersuchtem/gewünschtem Tonsystem kann man Teil-Intervallräume betrachten, welche nicht alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze enthalten. Die reine Version der [[Bohlen-Pierce]]-Skala beispielsweise residiert im dreidimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 3, 5 und 7, welche aber //nicht// als modulo Oktave zu betrachten sind - die Oktave wie die Primzahl 2 überhaupt treten überhaupt nicht auf. Zur Untersuchung von [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischen]] Tonsystemen wiederum wird manchmal der Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 verwendet, da die Primzahl 11 für die in orientalischen Musikkulturen wichtigen neutralen Sekunden 11/10 und 12/11 benötigt wird, die Primzahl 7 hingegen weniger wichtig ist.

==Verweise== 
English: [[xenharmonic/Monzos and Interval Space|Monzos and Interval Space]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Als &amp;lt;strong&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/strong&amp;gt; bezeichnen wir eine Art virtueller Karte, in der alle denkbaren musikalischen Intervalle ihren Platz haben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Intervalle in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rationale%20Zahl"&amp;gt;rationale Zahl&amp;lt;/a&amp;gt; ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Produkt von Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstrich stehen können).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; bis 5 vor, die Intervalle sind also alle &amp;amp;quot;5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot;. Der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29" rel="nofollow"&amp;gt; Z-Modul&amp;lt;/a&amp;gt;), ist dreidimensional (je eine Dimension für die Primzahlen 2, 3 und 5) und wird manchmal als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Eulermodul"&amp;gt;Eulermodul&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Einbezug der nächsten Primzahl 7 (7-Limit) ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt; betrachtet. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Eulersches%20Tonneetz"&amp;gt;Eulersche Tonnetz&amp;lt;/a&amp;gt; ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Vogelsches%20Tonnetz"&amp;gt;Vogelsche Tonnetz&amp;lt;/a&amp;gt; ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Bedarf und untersuchtem/gewünschtem Tonsystem kann man Teil-Intervallräume betrachten, welche nicht alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze enthalten. Die reine Version der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bohlen-Pierce"&amp;gt;Bohlen-Pierce&amp;lt;/a&amp;gt;-Skala beispielsweise residiert im dreidimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 3, 5 und 7, welche aber &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; als modulo Oktave zu betrachten sind - die Oktave wie die Primzahl 2 überhaupt treten überhaupt nicht auf. Zur Untersuchung von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalischen&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsystemen wiederum wird manchmal der Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 verwendet, da die Primzahl 11 für die in orientalischen Musikkulturen wichtigen neutralen Sekunden 11/10 und 12/11 benötigt wird, die Primzahl 7 hingegen weniger wichtig ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Verweise"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Verweise&amp;lt;/h2&amp;gt;
 English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Monzos%20and%20Interval%20Space"&amp;gt;Monzos and Interval Space&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-07-09 10:44:02 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Als **Intervallraum** bezeichnen wir eine Art virtueller Karte, in der alle denkbaren musikalischen Intervalle ihren Platz haben.

Intervalle in [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als [[Rationale Zahl|rationale Zahl]] ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als [[Primfaktorzerlegung|Produkt von Primzahlen]] betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstrich stehen können).

Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen [[Primzahlen]] bis 5 vor, die Intervalle sind also alle "5-[[Limit]]". Der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29| Z-Modul]]), ist dreidimensional und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet.

Einbezug der nächsten Primzahl 7 (7-Limit) ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.

Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo [[Oktave]] betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das [[Vogelsches Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.

Je nach Bedarf und untersuchtem/gewünschtem Tonsystem kann man Teil-Intervallräume betrachten, welche nicht alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze enthalten. Die reine Version der [[Bohlen-Pierce]]-Skala beispielsweise residiert im dreidimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 3, 5 und 7, welche aber //nicht// als modulo Oktave zu betrachten sind - die Oktave wie die Primzahl 2 überhaupt treten überhaupt nicht auf. Zur Untersuchung von [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischen]] Tonsystemen wiederum wird manchmal der Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 verwendet, da die Primzahl 11 für die in orientalischen Musikkulturen wichtigen neutralen Sekunden 11/10 und 12/11 benötigt wird, die Primzahl 7 hingegen weniger wichtig ist.

==Verweise== 
English: [[xenharmonic/Monzos and Interval Space|Monzos and Interval Space]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Als &amp;lt;strong&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/strong&amp;gt; bezeichnen wir eine Art virtueller Karte, in der alle denkbaren musikalischen Intervalle ihren Platz haben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Intervalle in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rationale%20Zahl"&amp;gt;rationale Zahl&amp;lt;/a&amp;gt; ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Produkt von Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstrich stehen können).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; bis 5 vor, die Intervalle sind also alle &amp;amp;quot;5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot;. Der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29" rel="nofollow"&amp;gt; Z-Modul&amp;lt;/a&amp;gt;), ist dreidimensional und wird manchmal als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Eulermodul"&amp;gt;Eulermodul&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Einbezug der nächsten Primzahl 7 (7-Limit) ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt; betrachtet. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Eulersches%20Tonneetz"&amp;gt;Eulersche Tonnetz&amp;lt;/a&amp;gt; ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Vogelsches%20Tonnetz"&amp;gt;Vogelsche Tonnetz&amp;lt;/a&amp;gt; ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Je nach Bedarf und untersuchtem/gewünschtem Tonsystem kann man Teil-Intervallräume betrachten, welche nicht alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze enthalten. Die reine Version der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bohlen-Pierce"&amp;gt;Bohlen-Pierce&amp;lt;/a&amp;gt;-Skala beispielsweise residiert im dreidimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 3, 5 und 7, welche aber &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; als modulo Oktave zu betrachten sind - die Oktave wie die Primzahl 2 überhaupt treten überhaupt nicht auf. Zur Untersuchung von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalischen&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsystemen wiederum wird manchmal der Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 verwendet, da die Primzahl 11 für die in orientalischen Musikkulturen wichtigen neutralen Sekunden 11/10 und 12/11 benötigt wird, die Primzahl 7 hingegen weniger wichtig ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Verweise"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Verweise&amp;lt;/h2&amp;gt;
 English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Monzos%20and%20Interval%20Space"&amp;gt;Monzos and Interval Space&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-07-04 11:16:31 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Als **Intervallraum** bezeichnen wir eine Art virtueller Karte, in der alle denkbaren musikalischen Intervalle ihren Platz haben.

Intervalle in [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als [[Rationale Zahl|rationale Zahl]] ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als [[Primfaktorzerlegung|Produkt von Primzahlen]] betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstrich stehen können).

Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen [[Primzahlen]] bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29| Z-Modul]]), ist dreidimensional und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet.

Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.

Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo [[Oktave]] betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das [[Vogelsches Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.

Je nach Bedarf und untersuchtem/gewünschtem Tonsystem kann man Teil-Intervallräume betrachten, welche nicht alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze enthalten. Die reine Version der [[Bohlen-Pierce]]-Skala beispielsweise residiert im dreidimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 3, 5 und 7, welche aber //nicht// als modulo Oktave zu betrachten sind - die Oktave wie die Primzahl 2 überhaupt treten überhaupt nicht auf. Zur Untersuchung von [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischen]] Tonsystemen wiederum wird manchmal der Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 verwendet, da die Primzahl 11 für die in orientalischen Musikkulturen wichtigen neutralen Sekunden 11/10 und 12/11 benötigt wird, die Primzahl 7 hingegen weniger wichtig ist.

==Verweise== 
English: [[xenharmonic/Monzos and Interval Space|Monzos and Interval Space]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Als &amp;lt;strong&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/strong&amp;gt; bezeichnen wir eine Art virtueller Karte, in der alle denkbaren musikalischen Intervalle ihren Platz haben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Intervalle in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rationale%20Zahl"&amp;gt;rationale Zahl&amp;lt;/a&amp;gt; ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Produkt von Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstrich stehen können).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29" rel="nofollow"&amp;gt; Z-Modul&amp;lt;/a&amp;gt;), ist dreidimensional und wird manchmal als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Eulermodul"&amp;gt;Eulermodul&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt; betrachtet. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Eulersches%20Tonneetz"&amp;gt;Eulersche Tonnetz&amp;lt;/a&amp;gt; ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Vogelsches%20Tonnetz"&amp;gt;Vogelsche Tonnetz&amp;lt;/a&amp;gt; ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Bedarf und untersuchtem/gewünschtem Tonsystem kann man Teil-Intervallräume betrachten, welche nicht alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze enthalten. Die reine Version der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bohlen-Pierce"&amp;gt;Bohlen-Pierce&amp;lt;/a&amp;gt;-Skala beispielsweise residiert im dreidimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 3, 5 und 7, welche aber &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; als modulo Oktave zu betrachten sind - die Oktave wie die Primzahl 2 überhaupt treten überhaupt nicht auf. Zur Untersuchung von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalischen&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsystemen wiederum wird manchmal der Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 verwendet, da die Primzahl 11 für die in orientalischen Musikkulturen wichtigen neutralen Sekunden 11/10 und 12/11 benötigt wird, die Primzahl 7 hingegen weniger wichtig ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Verweise"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Verweise&amp;lt;/h2&amp;gt;
 English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Monzos%20and%20Interval%20Space"&amp;gt;Monzos and Interval Space&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-07 03:05:08 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Als **Intervallraum** bezeichnen wir eine Art virtueller Karte, in der alle denkbaren musikalischen Intervalle ihren Platz haben.

Intervalle in [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als [[Rationale Zahl|rationale Zahl]] ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als [[Primfaktorzerlegung|Produkt von Primzahlen]] betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstich stehen können).

Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen [[Primzahlen]] bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29| Z-Modul]]), ist dreidimensional und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet.

Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.

Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo [[Oktave]] betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das [[Vogelsches Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.

Je nach Bedarf und untersuchtem/gewünschtem Tonsystem kann man Teil-Intervallräume betrachten, welche nicht alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze enthalten. Die reine Version der [[Bohlen-Pierce]]-Skala beispielsweise residiert im dreidimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 3, 5 und 7, welche aber //nicht// als modulo Oktave zu betrachten sind - die Oktave wie die Primzahl 2 überhaupt treten überhaupt nicht auf. Zur Untersuchung von [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischen]] Tonsystemen wiederum wird manchmal der Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 verwendet, da die Primzahl 11 für die in orientalischen Musikkulturen wichtigen neutralen Sekunden 11/10 und 12/11 benötigt wird, die Primzahl 7 hingegen weniger wichtig ist.

==Verweise== 
English: [[xenharmonic/Monzos and Interval Space|Monzos and Interval Space]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Als &amp;lt;strong&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/strong&amp;gt; bezeichnen wir eine Art virtueller Karte, in der alle denkbaren musikalischen Intervalle ihren Platz haben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Intervalle in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rationale%20Zahl"&amp;gt;rationale Zahl&amp;lt;/a&amp;gt; ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Produkt von Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstich stehen können).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29" rel="nofollow"&amp;gt; Z-Modul&amp;lt;/a&amp;gt;), ist dreidimensional und wird manchmal als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Eulermodul"&amp;gt;Eulermodul&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt; betrachtet. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Eulersches%20Tonneetz"&amp;gt;Eulersche Tonnetz&amp;lt;/a&amp;gt; ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Vogelsches%20Tonnetz"&amp;gt;Vogelsche Tonnetz&amp;lt;/a&amp;gt; ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Bedarf und untersuchtem/gewünschtem Tonsystem kann man Teil-Intervallräume betrachten, welche nicht alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze enthalten. Die reine Version der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bohlen-Pierce"&amp;gt;Bohlen-Pierce&amp;lt;/a&amp;gt;-Skala beispielsweise residiert im dreidimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 3, 5 und 7, welche aber &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; als modulo Oktave zu betrachten sind - die Oktave wie die Primzahl 2 überhaupt treten überhaupt nicht auf. Zur Untersuchung von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalischen&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsystemen wiederum wird manchmal der Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 verwendet, da die Primzahl 11 für die in orientalischen Musikkulturen wichtigen neutralen Sekunden 11/10 und 12/11 benötigt wird, die Primzahl 7 hingegen weniger wichtig ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Verweise"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Verweise&amp;lt;/h2&amp;gt;
 English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Monzos%20and%20Interval%20Space"&amp;gt;Monzos and Interval Space&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Als **Intervallraum** bezeichnen wir eine Art virtueller Karte, in der alle denkbaren musikalischen Intervalle ihren Platz haben.

Intervalle in [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als [[Rationale Zahl|rationale Zahl]] ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als [[Primfaktorzerlegung|Produkt von Primzahlen]] betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstich stehen können).

Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen [[Primzahlen]] bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29| Z-Modul]]), ist dreidimensional und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet.

Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.

Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo [[Oktave]] betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das [[Vogelsches Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.

Je nach Bedarf und untersuchtem/gewünschtem Tonsystem kann man Teil-Intervallräume betrachten, welche nicht alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze enthalten. Die reine Version der [[Bohlen-Pierce]]-Skala beispielsweise residiert im dreidimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 3, 5 und 7, welche aber //nicht// als modulo Oktave zu betrachten sind - die Oktave wie die Primzahl 2 überhaupt treten überhaupt nicht auf. Zur Untersuchung von [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischen]] Tonsystemen wiederum wird manchmal der Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 verwendet, da die Primzahl 11 für die neutralen Sekunden 11/10 und 12/11 benötigt wird, die Primzahl 7 hingegen weniger wichtig ist.

==Verweise== 
English: [[xenharmonic/Monzos and Interval Space|Monzos and Interval Space]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Als &amp;lt;strong&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/strong&amp;gt; bezeichnen wir eine Art virtueller Karte, in der alle denkbaren musikalischen Intervalle ihren Platz haben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Intervalle in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rationale%20Zahl"&amp;gt;rationale Zahl&amp;lt;/a&amp;gt; ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Produkt von Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstich stehen können).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29" rel="nofollow"&amp;gt; Z-Modul&amp;lt;/a&amp;gt;), ist dreidimensional und wird manchmal als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Eulermodul"&amp;gt;Eulermodul&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt; betrachtet. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Eulersches%20Tonneetz"&amp;gt;Eulersche Tonnetz&amp;lt;/a&amp;gt; ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Vogelsches%20Tonnetz"&amp;gt;Vogelsche Tonnetz&amp;lt;/a&amp;gt; ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Je nach Bedarf und untersuchtem/gewünschtem Tonsystem kann man Teil-Intervallräume betrachten, welche nicht alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze enthalten. Die reine Version der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bohlen-Pierce"&amp;gt;Bohlen-Pierce&amp;lt;/a&amp;gt;-Skala beispielsweise residiert im dreidimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 3, 5 und 7, welche aber &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; als modulo Oktave zu betrachten sind - die Oktave wie die Primzahl 2 überhaupt treten überhaupt nicht auf. Zur Untersuchung von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalischen&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsystemen wiederum wird manchmal der Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 verwendet, da die Primzahl 11 für die neutralen Sekunden 11/10 und 12/11 benötigt wird, die Primzahl 7 hingegen weniger wichtig ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Verweise"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Verweise&amp;lt;/h2&amp;gt;
 English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Monzos%20and%20Interval%20Space"&amp;gt;Monzos and Interval Space&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Als **Intervallraum** bezeichnen wir eine Art virtueller Karte, in der alle denkbaren musikalischen Intervalle ihren Platz haben.

Intervalle in [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als [[Rationale Zahl|rationale Zahl]] ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als [[Primfaktorzerlegung|Produkt von Primzahlen]] betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstich stehen können).

Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen [[Primzahlen]] bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29| Z-Modul]]), ist dreidimensional und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet.

Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.

Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo [[Oktave]] betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das [[Vogelsches Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.

== Verweise ==
English: [[xenharmonic/Monzos and Interval Space|Monzos and Interval Space]]
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Als &amp;lt;strong&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/strong&amp;gt; bezeichnen wir eine Art virtueller Karte, in der alle denkbaren musikalischen Intervalle ihren Platz haben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Intervalle in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rationale%20Zahl"&amp;gt;rationale Zahl&amp;lt;/a&amp;gt; ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Produkt von Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstich stehen können).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29" rel="nofollow"&amp;gt; Z-Modul&amp;lt;/a&amp;gt;), ist dreidimensional und wird manchmal als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Eulermodul"&amp;gt;Eulermodul&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt; betrachtet. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Eulersches%20Tonneetz"&amp;gt;Eulersche Tonnetz&amp;lt;/a&amp;gt; ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Vogelsches%20Tonnetz"&amp;gt;Vogelsche Tonnetz&amp;lt;/a&amp;gt; ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Verweise"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt; Verweise &amp;lt;/h2&amp;gt;
English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Monzos%20and%20Interval%20Space"&amp;gt;Monzos and Interval Space&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-05 03:04:29 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Monzos and Interval Space|Monzos and Interval Space]]

Intervalle in [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als [[Rationale Zahl|rationale Zahl]] ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als [[Primfaktorzerlegung|Produkt von Primzahlen]] betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstich stehen können).

Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen [[Primzahlen]] bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29| Z-Modul]]), ist dreidimensional und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet.

Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.

Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo [[Oktave]] betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das [[Vogelsches Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Intervalle in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rationale%20Zahl"&amp;gt;rationale Zahl&amp;lt;/a&amp;gt; ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Produkt von Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstich stehen können).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29" rel="nofollow"&amp;gt; Z-Modul&amp;lt;/a&amp;gt;), ist dreidimensional und wird manchmal als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Eulermodul"&amp;gt;Eulermodul&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt; betrachtet. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Eulersches%20Tonneetz"&amp;gt;Eulersche Tonnetz&amp;lt;/a&amp;gt; ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Vogelsches%20Tonnetz"&amp;gt;Vogelsche Tonnetz&amp;lt;/a&amp;gt; ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Monzos and Interval Space|Monzos and Interval Space]]

Intervalle in [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als [[Rationale Zahl|rationale Zahl]] ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. 

Jede rationale Zahl q wiederum kann als Produkt (bzw. Quotient) von [[Primzahlen]] betrachtet werden (-&amp;gt; [[Primfaktorzerlegung]]), dabei fasst man gleiche Primzahlfaktoren durch Potenzschreibweise zusammen:

[[math]]
q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}
[[math]]

wobei die Exponenten e&amp;lt;span style="font-size: 80%;vertical-align: sub;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;, e&amp;lt;span style="font-size: 80%;vertical-align: sub;"&amp;gt;3&amp;lt;/span&amp;gt; usw. [[Ganze Zahl|ganze Zahlen]] sind.

Ein Beispiel:
[[math]]
\frac {16}{15} = \frac {2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 5} = 2^{4} \, 3^{-1} \, 5^{-1}
[[math]]

Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html|ket vector]]-Notation:

[[math]]
|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle
[[math]]

Im [[xenharmonic/home|englischen Xenharmonic Wiki]] wird für Intervallvektoren dieser Art häufig die Bezeichnung "[[Monzo]]" verwendet (benannt nach [[Joe Monzo]]).

Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen [[Primzahlen]] bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29| Z-Modul]]), ist dreidimensional und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet.

Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.

Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo [[Oktave]] betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das [[Vogelsches Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Monzos%20and%20Interval%20Space"&amp;gt;Monzos and Interval Space&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Intervalle in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rationale%20Zahl"&amp;gt;rationale Zahl&amp;lt;/a&amp;gt; ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. &amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Jede rationale Zahl q wiederum kann als Produkt (bzw. Quotient) von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; betrachtet werden (-&amp;amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt;), dabei fasst man gleiche Primzahlfaktoren durch Potenzschreibweise zusammen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
wobei die Exponenten e&amp;lt;span style="font-size: 80%;vertical-align: sub;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;, e&amp;lt;span style="font-size: 80%;vertical-align: sub;"&amp;gt;3&amp;lt;/span&amp;gt; usw. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganze%20Zahl"&amp;gt;ganze Zahlen&amp;lt;/a&amp;gt; sind.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein Beispiel:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:1:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
\frac {16}{15} = \frac {2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 5} = 2^{4} \, 3^{-1} \, 5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;\frac {16}{15} = \frac {2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 5} = 2^{4} \, 3^{-1} \, 5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow"&amp;gt;ket vector&amp;lt;/a&amp;gt;-Notation:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:2:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:2 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/home"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; wird für Intervallvektoren dieser Art häufig die Bezeichnung &amp;amp;quot;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Monzo"&amp;gt;Monzo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot; verwendet (benannt nach &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Joe%20Monzo"&amp;gt;Joe Monzo&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29" rel="nofollow"&amp;gt; Z-Modul&amp;lt;/a&amp;gt;), ist dreidimensional und wird manchmal als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Eulermodul"&amp;gt;Eulermodul&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt; betrachtet. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Eulersches%20Tonneetz"&amp;gt;Eulersche Tonnetz&amp;lt;/a&amp;gt; ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Vogelsches%20Tonnetz"&amp;gt;Vogelsche Tonnetz&amp;lt;/a&amp;gt; ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Monzos and Interval Space|Monzos and Interval Space]]

Intervalle in [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als [[Rationale Zahl]] ausgedrückt werden können; sie werden üblicherweise als Bruch notiert. 

Jede rationale Zahl q kann als Produkt bzw. Quotient von [[Primzahlen]] betrachtet werden (-&amp;gt; [[Primfaktorzerlegung]]), wobei man gleiche Primzahlfaktoren in Potenzschreibweise zusammenfassen kann:

[[math]]
q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}
[[math]]

wobei die Exponenten e&amp;lt;span style="font-size: 80%;vertical-align: sub;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;, e&amp;lt;span style="font-size: 80%;vertical-align: sub;"&amp;gt;3&amp;lt;/span&amp;gt; usw. [[Ganze Zahl|ganze Zahlen]] sind.

Ein Beispiel:
[[math]]
\frac {16}{15} = \frac {2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 5} = 2^{4} \, 3^{-1} \, 5^{-1}
[[math]]

Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html|ket vector]]-Notation:

[[math]]
|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle
[[math]]

Im [[xenharmonic/home|englischen Xenharmonic Wiki]] wird für Intervallvektoren dieser Art häufig die Bezeichnung "[[Monzo]]" verwendet (benannt nach [[Joe Monzo]]).

Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen [[Primzahlen]] bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29| Z-Modul]]), ist dreidimensional und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet.

Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.

Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo [[Oktave]] betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das [[Vogelsches Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Monzos%20and%20Interval%20Space"&amp;gt;Monzos and Interval Space&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Intervalle in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rationale%20Zahl"&amp;gt;Rationale Zahl&amp;lt;/a&amp;gt; ausgedrückt werden können; sie werden üblicherweise als Bruch notiert. &amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Jede rationale Zahl q kann als Produkt bzw. Quotient von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; betrachtet werden (-&amp;amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt;), wobei man gleiche Primzahlfaktoren in Potenzschreibweise zusammenfassen kann:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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wobei die Exponenten e&amp;lt;span style="font-size: 80%;vertical-align: sub;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;, e&amp;lt;span style="font-size: 80%;vertical-align: sub;"&amp;gt;3&amp;lt;/span&amp;gt; usw. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganze%20Zahl"&amp;gt;ganze Zahlen&amp;lt;/a&amp;gt; sind.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ein Beispiel:&amp;lt;br /&amp;gt;
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\frac {16}{15} = \frac {2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 5} = 2^{4} \, 3^{-1} \, 5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;\frac {16}{15} = \frac {2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 5} = 2^{4} \, 3^{-1} \, 5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow"&amp;gt;ket vector&amp;lt;/a&amp;gt;-Notation:&amp;lt;br /&amp;gt;
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|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:2 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/home"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; wird für Intervallvektoren dieser Art häufig die Bezeichnung &amp;amp;quot;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Monzo"&amp;gt;Monzo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot; verwendet (benannt nach &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Joe%20Monzo"&amp;gt;Joe Monzo&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29" rel="nofollow"&amp;gt; Z-Modul&amp;lt;/a&amp;gt;), ist dreidimensional und wird manchmal als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Eulermodul"&amp;gt;Eulermodul&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt; betrachtet. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Eulersches%20Tonneetz"&amp;gt;Eulersche Tonnetz&amp;lt;/a&amp;gt; ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Vogelsches%20Tonnetz"&amp;gt;Vogelsche Tonnetz&amp;lt;/a&amp;gt; ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-04-29 10:31:56 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;427335154&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;erneuter Anlauf - etwas besser, finde ich, aber immer noch zu kompliziert.&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Monzos and Interval Space|Monzos and Interval Space]]

Intervalle in [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als [[Rationale Zahl]] ausgedrückt werden können; sie werden üblicherweise als Bruch notiert. 

Jede rationale Zahl q kann als Produkt bzw. Quotient von [[Primzahlen]] betrachtet werden, wobei gleiche [[Primfaktorzerlegung|Primzahlfaktoren]] typischerweise in Potenzschreibweise zusammengefasst werden:

[[math]]
q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}
[[math]]

wobei die Exponenten e&amp;lt;span style="font-size: 80%;vertical-align: sub;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;, e&amp;lt;span style="font-size: 80%;vertical-align: sub;"&amp;gt;3&amp;lt;/span&amp;gt; usw. [[Ganze Zahl|ganze Zahlen]] sind.

Ein Beispiel:
[[math]]
\frac {16}{15} = \frac {2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 5} = 2^{4} \, 3^{-1} \, 5^{-1}
[[math]]

Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html|ket vector]]-Notation:

[[math]]
|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle
[[math]]

Im [[xenharmonic/home|englischen Xenharmonic Wiki]] wird für Intervallvektoren dieser Art häufig die Bezeichnung "[[Monzo]]" verwendet (benannt nach [[Joe Monzo]]).

Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen [[Primzahlen]] bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29| Z-Modul]]), ist dreidimensional und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet.

Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.

Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo [[Oktave]] betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das [[Vogelsches Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Monzos%20and%20Interval%20Space"&amp;gt;Monzos and Interval Space&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Intervalle in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rationale%20Zahl"&amp;gt;Rationale Zahl&amp;lt;/a&amp;gt; ausgedrückt werden können; sie werden üblicherweise als Bruch notiert. &amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Jede rationale Zahl q kann als Produkt bzw. Quotient von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; betrachtet werden, wobei gleiche &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primzahlfaktoren&amp;lt;/a&amp;gt; typischerweise in Potenzschreibweise zusammengefasst werden:&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
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q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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wobei die Exponenten e&amp;lt;span style="font-size: 80%;vertical-align: sub;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;, e&amp;lt;span style="font-size: 80%;vertical-align: sub;"&amp;gt;3&amp;lt;/span&amp;gt; usw. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganze%20Zahl"&amp;gt;ganze Zahlen&amp;lt;/a&amp;gt; sind.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ein Beispiel:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:1:
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\frac {16}{15} = \frac {2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 5} = 2^{4} \, 3^{-1} \, 5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;\frac {16}{15} = \frac {2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 5} = 2^{4} \, 3^{-1} \, 5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow"&amp;gt;ket vector&amp;lt;/a&amp;gt;-Notation:&amp;lt;br /&amp;gt;
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|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
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Im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/home"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; wird für Intervallvektoren dieser Art häufig die Bezeichnung &amp;amp;quot;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Monzo"&amp;gt;Monzo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot; verwendet (benannt nach &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Joe%20Monzo"&amp;gt;Joe Monzo&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29" rel="nofollow"&amp;gt; Z-Modul&amp;lt;/a&amp;gt;), ist dreidimensional und wird manchmal als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Eulermodul"&amp;gt;Eulermodul&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt; betrachtet. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Eulersches%20Tonneetz"&amp;gt;Eulersche Tonnetz&amp;lt;/a&amp;gt; ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Vogelsches%20Tonnetz"&amp;gt;Vogelsche Tonnetz&amp;lt;/a&amp;gt; ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-04-29 03:28:41 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Intervalle in [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] besitzen [[Rationale Zahl|rationalem]] Frequenzverhältnisse und werden üblicherweise als Bruch notiert. 

Jede rationale Zahl q kann als Produkt bzw. Quotient von [[Primzahlen]] betrachtet werden, wobei gleiche [[Primfaktorzerlegung|Primzahlfaktoren]] typischerweise als Potenzen geschrieben werden:

[[math]]
q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}
[[math]]

wobei die Exponenten e&amp;lt;span style="font-size: 80%;vertical-align: sub;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;, e&amp;lt;span style="font-size: 80%;vertical-align: sub;"&amp;gt;3&amp;lt;/span&amp;gt; usw. [[Ganze Zahl|ganze Zahlen]] sind.

Ein Beispiel:
[[math]]
\frac {16}{15} = \frac {2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 5} = 2^{4} \, 3^{-1} \, 5^{-1}
[[math]]

Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html|ket vector]]-Notation:

[[math]]
|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle
[[math]]

Im [[xenharmonic/home|englischen Xenharmonic Wiki]] wird für Intervallvektoren dieser Art häufig die Bezeichnung "[[Monzo]]" verwendet (benannt nach [[Joe Monzo]]).

Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen [[Primzahlen]] bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29| Z-Modul]]), ist dreidimensional und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet.

Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.

Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo [[Oktave]] betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das [[Vogelsches Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Intervalle in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; besitzen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rationale%20Zahl"&amp;gt;rationalem&amp;lt;/a&amp;gt; Frequenzverhältnisse und werden üblicherweise als Bruch notiert. &amp;lt;br /&amp;gt;
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Jede rationale Zahl q kann als Produkt bzw. Quotient von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; betrachtet werden, wobei gleiche &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primzahlfaktoren&amp;lt;/a&amp;gt; typischerweise als Potenzen geschrieben werden:&amp;lt;br /&amp;gt;
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q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
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wobei die Exponenten e&amp;lt;span style="font-size: 80%;vertical-align: sub;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;, e&amp;lt;span style="font-size: 80%;vertical-align: sub;"&amp;gt;3&amp;lt;/span&amp;gt; usw. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganze%20Zahl"&amp;gt;ganze Zahlen&amp;lt;/a&amp;gt; sind.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein Beispiel:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:1:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
\frac {16}{15} = \frac {2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 5} = 2^{4} \, 3^{-1} \, 5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;\frac {16}{15} = \frac {2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 5} = 2^{4} \, 3^{-1} \, 5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow"&amp;gt;ket vector&amp;lt;/a&amp;gt;-Notation:&amp;lt;br /&amp;gt;
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|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:2 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/home"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; wird für Intervallvektoren dieser Art häufig die Bezeichnung &amp;amp;quot;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Monzo"&amp;gt;Monzo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot; verwendet (benannt nach &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Joe%20Monzo"&amp;gt;Joe Monzo&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29" rel="nofollow"&amp;gt; Z-Modul&amp;lt;/a&amp;gt;), ist dreidimensional und wird manchmal als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Eulermodul"&amp;gt;Eulermodul&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt; betrachtet. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Eulersches%20Tonneetz"&amp;gt;Eulersche Tonnetz&amp;lt;/a&amp;gt; ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Vogelsches%20Tonnetz"&amp;gt;Vogelsche Tonnetz&amp;lt;/a&amp;gt; ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-04-29 02:49:05 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;Versuch, den Einstieg verständlicher zu gestalten&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Monzos and Interval Space|Monzos and Interval Space]]

Intervalle in [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] besitzen [[Rationale Zahl|rationalem]] Frequenzverhältnisse und werden üblicherweise als Bruch notiert. 

Jede rationale Zahl q kann als Produkt bzw. Quotient von [[Primzahlen]] betrachtet werden, wobei gleiche [[Primfaktorzerlegung|Primzahlfaktoren]] typischerweise als Potenzen geschrieben werden:

[[math]]
q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}
[[math]]

wobei die Exponenten e&amp;lt;span style="font-size: 80%;vertical-align: sub;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;, e&amp;lt;span style="font-size: 80%;vertical-align: sub;"&amp;gt;3&amp;lt;/span&amp;gt; usw. [[Ganze Zahl|ganze Zahlen]] sind.

Ein Beispiel:
[[math]]
\frac {16}{15} = \frac {2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 5} = 2^{4} \, 3^{-1} \, 5^{-1}
[[math]]

Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html|ket vector]]-Notation:

[[math]]
|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle
[[math]]

Im [[xenharmonic/home|englischen Xenharmonic Wiki]] wird für Intervallvektoren dieser Art häufig die Bezeichnung "[[Monzo]]" verwendet (benannt nach [[Joe Monzo]]).

Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen [[Primzahlen]] bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29| Z-Modul]]), ist dreidimensional und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet.

Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.

Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo Oktave betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das [[Vogelsches Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Intervalle in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; besitzen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rationale%20Zahl"&amp;gt;rationalem&amp;lt;/a&amp;gt; Frequenzverhältnisse und werden üblicherweise als Bruch notiert. &amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Jede rationale Zahl q kann als Produkt bzw. Quotient von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; betrachtet werden, wobei gleiche &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primzahlfaktoren&amp;lt;/a&amp;gt; typischerweise als Potenzen geschrieben werden:&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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wobei die Exponenten e&amp;lt;span style="font-size: 80%;vertical-align: sub;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;, e&amp;lt;span style="font-size: 80%;vertical-align: sub;"&amp;gt;3&amp;lt;/span&amp;gt; usw. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganze%20Zahl"&amp;gt;ganze Zahlen&amp;lt;/a&amp;gt; sind.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ein Beispiel:&amp;lt;br /&amp;gt;
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\frac {16}{15} = \frac {2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 5} = 2^{4} \, 3^{-1} \, 5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;\frac {16}{15} = \frac {2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 5} = 2^{4} \, 3^{-1} \, 5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow"&amp;gt;ket vector&amp;lt;/a&amp;gt;-Notation:&amp;lt;br /&amp;gt;
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|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
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Im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/home"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; wird für Intervallvektoren dieser Art häufig die Bezeichnung &amp;amp;quot;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Monzo"&amp;gt;Monzo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot; verwendet (benannt nach &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Joe%20Monzo"&amp;gt;Joe Monzo&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29" rel="nofollow"&amp;gt; Z-Modul&amp;lt;/a&amp;gt;), ist dreidimensional und wird manchmal als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Eulermodul"&amp;gt;Eulermodul&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo Oktave betrachtet. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Eulersches%20Tonneetz"&amp;gt;Eulersche Tonnetz&amp;lt;/a&amp;gt; ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Vogelsches%20Tonnetz"&amp;gt;Vogelsche Tonnetz&amp;lt;/a&amp;gt; ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Eine natürliche Darstellung von Intervallen in [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] (also solchen mit rationalem Frequenzverhältnis) ergibt sich aus der Primfaktorzerlegung.

Jede rationale Zahl q kann als Produkt bzw. Quotient von [[Primzahlen]] betrachtet werden, wobei gleiche Primzahlfaktoren typischerweise als Potenzen geschrieben werden:

[[math]]
q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}
[[math]]

wobei die Exponenten e_2, e_3 ff. positive oder negative ganze Zahlen sind.

Ein Beispiel:
[[math]]
\frac {16}{15} = \frac {2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 5} = 2^{4} \, 3^{-1} \, 5^{-1}
[[math]]

Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html|ket vector]]-Notation:

[[math]]
|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle
[[math]]

Im [[xenharmonic/home|englischen Xenharmonic Wiki]] wird für Intervallvektoren dieser Art häufig die Bezeichnung "[[Monzo]]" verwendet (benannt nach [[Joe Monzo]]).

Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen [[Primzahlen]] bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29| Z-Modul]]), ist dreidimensional und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet.

Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.

Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo Oktave betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das [[Vogelsches Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Eine natürliche Darstellung von Intervallen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; (also solchen mit rationalem Frequenzverhältnis) ergibt sich aus der Primfaktorzerlegung.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Jede rationale Zahl q kann als Produkt bzw. Quotient von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; betrachtet werden, wobei gleiche Primzahlfaktoren typischerweise als Potenzen geschrieben werden:&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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wobei die Exponenten e_2, e_3 ff. positive oder negative ganze Zahlen sind.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein Beispiel:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:1:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
\frac {16}{15} = \frac {2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 5} = 2^{4} \, 3^{-1} \, 5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;\frac {16}{15} = \frac {2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 5} = 2^{4} \, 3^{-1} \, 5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow"&amp;gt;ket vector&amp;lt;/a&amp;gt;-Notation:&amp;lt;br /&amp;gt;
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|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
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Im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/home"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; wird für Intervallvektoren dieser Art häufig die Bezeichnung &amp;amp;quot;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Monzo"&amp;gt;Monzo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot; verwendet (benannt nach &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Joe%20Monzo"&amp;gt;Joe Monzo&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29" rel="nofollow"&amp;gt; Z-Modul&amp;lt;/a&amp;gt;), ist dreidimensional und wird manchmal als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Eulermodul"&amp;gt;Eulermodul&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo Oktave betrachtet. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Eulersches%20Tonneetz"&amp;gt;Eulersche Tonnetz&amp;lt;/a&amp;gt; ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Vogelsches%20Tonnetz"&amp;gt;Vogelsche Tonnetz&amp;lt;/a&amp;gt; ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Eine natürliche Darstellung von Intervallen in [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] (also solchen mit rationalem Frequenzverhältnis) ergibt sich aus der Primfaktorzerlegung.

Jede rationale Zahl q kann als Produkt bzw. Qoutient von [[Primzahlen]] betrachtet werden, wobei gleiche Primzahlfaktoren typischerweise als Potenzen geschrieben werden:

[[math]]
q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}
[[math]]

wobei die Exponenten e_2, e_3 ff. positive oder negative ganze Zahlen sind.

Ein Beispiel:
[[math]]
\frac {16}{15} = \frac {2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 5} = 2^{4} \, 3^{-1} \, 5^{-1}
[[math]]

Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html|ket vector]]-Notation:

[[math]]
|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle
[[math]]

Im [[xenharmonic/home|englischen Xenharmonic Wiki]] wird für Intervallvektoren dieser Art häufig die Bezeichnung "[[Monzo]]" verwendet (benannt nach [[Joe Monzo]]).

Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen [[Primzahlen]] bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29| Z-Modul]]), ist dreidimensional und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet.

Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Raum, das [[Vogelsches Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]].

Manchmal wird die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo Oktave betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Monzos%20and%20Interval%20Space"&amp;gt;Monzos and Interval Space&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine natürliche Darstellung von Intervallen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; (also solchen mit rationalem Frequenzverhältnis) ergibt sich aus der Primfaktorzerlegung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Jede rationale Zahl q kann als Produkt bzw. Qoutient von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; betrachtet werden, wobei gleiche Primzahlfaktoren typischerweise als Potenzen geschrieben werden:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
wobei die Exponenten e_2, e_3 ff. positive oder negative ganze Zahlen sind.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein Beispiel:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:1:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
\frac {16}{15} = \frac {2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 5} = 2^{4} \, 3^{-1} \, 5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;\frac {16}{15} = \frac {2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 5} = 2^{4} \, 3^{-1} \, 5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow"&amp;gt;ket vector&amp;lt;/a&amp;gt;-Notation:&amp;lt;br /&amp;gt;
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|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:2 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/home"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; wird für Intervallvektoren dieser Art häufig die Bezeichnung &amp;amp;quot;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Monzo"&amp;gt;Monzo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot; verwendet (benannt nach &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Joe%20Monzo"&amp;gt;Joe Monzo&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29" rel="nofollow"&amp;gt; Z-Modul&amp;lt;/a&amp;gt;), ist dreidimensional und wird manchmal als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Eulermodul"&amp;gt;Eulermodul&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Raum, das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Vogelsches%20Tonnetz"&amp;gt;Vogelsche Tonnetz&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Manchmal wird die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo Oktave betrachtet. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Eulersches%20Tonneetz"&amp;gt;Eulersche Tonnetz&amp;lt;/a&amp;gt; ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-04-24 01:38:35 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;425920506&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Eine natürliche Darstellung von Intervallen in [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] (also solchen mit rationalem Frequenzverhältnis) ergibt sich aus der Primfaktorzerlegung.

Jede rationale Zahl q ist bekanntlich ein Produkt von [[Primzahlen|Primzahlpotenzen]]:

[[math]]
q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}
[[math]]

wobei die Exponenten e_2, e_3 ff. positive oder negative ganze Zahlen sein können.

Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html|ket vector]]-Notation:

[[math]]
|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle
[[math]]

Im [[xenharmonic/home|englischen Xenharmonic Wiki]] wird für Intervallvektoren dieser Art häufig die Bezeichnung "[[Monzo]]" verwendet (benannt nach [[Joe Monzo]]).

Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen Primzahlen bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29| Z-Modul]]), ist dreidimensional und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet.

Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Raum, das [[Vogelsches Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]].

Manchmal wird die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo Oktave betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine natürliche Darstellung von Intervallen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; (also solchen mit rationalem Frequenzverhältnis) ergibt sich aus der Primfaktorzerlegung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Jede rationale Zahl q ist bekanntlich ein Produkt von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlpotenzen&amp;lt;/a&amp;gt;:&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
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q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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wobei die Exponenten e_2, e_3 ff. positive oder negative ganze Zahlen sein können.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow"&amp;gt;ket vector&amp;lt;/a&amp;gt;-Notation:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:1:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/home"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; wird für Intervallvektoren dieser Art häufig die Bezeichnung &amp;amp;quot;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Monzo"&amp;gt;Monzo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot; verwendet (benannt nach &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Joe%20Monzo"&amp;gt;Joe Monzo&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen Primzahlen bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29" rel="nofollow"&amp;gt; Z-Modul&amp;lt;/a&amp;gt;), ist dreidimensional und wird manchmal als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Eulermodul"&amp;gt;Eulermodul&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Raum, das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Vogelsches%20Tonnetz"&amp;gt;Vogelsche Tonnetz&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Manchmal wird die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo Oktave betrachtet. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Eulersches%20Tonneetz"&amp;gt;Eulersche Tonnetz&amp;lt;/a&amp;gt; ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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Eine natürliche Darstellung von Intervallen in [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] (also solchen mit rationalem Frequenzverhältnis) ergibt sich aus der Primfaktorzerlegung.

Jede rationale Zahl q ist bekanntlich ein Produkt von [[Primzahlen|Primzahlpotenzen]]:

[[math]]
q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}
[[math]]

wobei die Exponenten e_2, e_3 ff. positive oder negative ganze Zahlen sein können.

Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html|ket vector]]-Notation:

[[math]]
|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle
[[math]]

Im englischen [[xenharmonic/home|Xenharmonic Wiki]] wird für Intervallvektoren dieser Art manchmal die Bezeichnung "Monzo" verwendet (benannt nach [[Joe Monzo]]).

Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen Primzahlen bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29| Z-Modul]]), ist dreidimensional und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet.

Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Raum, das [[Vogelsches Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]].

Manchmal wird die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo Oktave betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Eine natürliche Darstellung von Intervallen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; (also solchen mit rationalem Frequenzverhältnis) ergibt sich aus der Primfaktorzerlegung.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Jede rationale Zahl q ist bekanntlich ein Produkt von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlpotenzen&amp;lt;/a&amp;gt;:&amp;lt;br /&amp;gt;
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q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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wobei die Exponenten e_2, e_3 ff. positive oder negative ganze Zahlen sein können.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow"&amp;gt;ket vector&amp;lt;/a&amp;gt;-Notation:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:1:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Im englischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/home"&amp;gt;Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; wird für Intervallvektoren dieser Art manchmal die Bezeichnung &amp;amp;quot;Monzo&amp;amp;quot; verwendet (benannt nach &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Joe%20Monzo"&amp;gt;Joe Monzo&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen Primzahlen bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29" rel="nofollow"&amp;gt; Z-Modul&amp;lt;/a&amp;gt;), ist dreidimensional und wird manchmal als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Eulermodul"&amp;gt;Eulermodul&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Raum, das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Vogelsches%20Tonnetz"&amp;gt;Vogelsche Tonnetz&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Manchmal wird die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo Oktave betrachtet. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Eulersches%20Tonneetz"&amp;gt;Eulersche Tonnetz&amp;lt;/a&amp;gt; ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-04-23 07:56:39 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;425627120&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Monzos and Interval Space|Monzos and Interval Space]]

Eine natürliche Darstellung von Intervallen in [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] (also solchen mit rationalem Frequenzverhältnis) ergibt sich aus der Primfaktorzerlegung.

Jede rationale Zahl q ist bekanntlich ein Produkt von Primzahlpotenzen:

[[math]]
q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}
[[math]]

wobei die Exponenten e_2, e_3 ff. positive oder negative ganze Zahlen sein können.

Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html|ket vector]]-Notation:

[[math]]
|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle
[[math]]

Im englischen [[xenharmonic/home|Xenharmonic Wiki]] wird für Intervallvektoren dieser Art manchmal die Bezeichnung "Monzo" verwendet (benannt nach [[Joe Monzo]]).

Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen Primzahlen bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29| Z-Modul]]), ist dreidimensional und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet.

Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Raum, das [[Vogelsches Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]].

Manchmal wird die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo Oktave betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Monzos%20and%20Interval%20Space"&amp;gt;Monzos and Interval Space&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine natürliche Darstellung von Intervallen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; (also solchen mit rationalem Frequenzverhältnis) ergibt sich aus der Primfaktorzerlegung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Jede rationale Zahl q ist bekanntlich ein Produkt von Primzahlpotenzen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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wobei die Exponenten e_2, e_3 ff. positive oder negative ganze Zahlen sein können.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow"&amp;gt;ket vector&amp;lt;/a&amp;gt;-Notation:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:1:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Im englischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/home"&amp;gt;Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; wird für Intervallvektoren dieser Art manchmal die Bezeichnung &amp;amp;quot;Monzo&amp;amp;quot; verwendet (benannt nach &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Joe%20Monzo"&amp;gt;Joe Monzo&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen Primzahlen bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29" rel="nofollow"&amp;gt; Z-Modul&amp;lt;/a&amp;gt;), ist dreidimensional und wird manchmal als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Eulermodul"&amp;gt;Eulermodul&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Raum, das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Vogelsches%20Tonnetz"&amp;gt;Vogelsche Tonnetz&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Manchmal wird die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo Oktave betrachtet. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Eulersches%20Tonneetz"&amp;gt;Eulersche Tonnetz&amp;lt;/a&amp;gt; ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-04-23 07:55:11 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
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Eine natürliche Darstellung von Intervallen in [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] (also solchen mit rationalem Frequenzverhältnis) ergibt sich aus der Primfaktorzerlegung.

Jede rationale Zahl q ist bekanntlich ein Produkt von Primzahlpotenzen:

[[math]]
q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}
[[math]]

wobei die Exponenten e_2, e_3 ff. positive oder negative ganze Zahlen sein können.

Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html|ket vector]]-Notation:

[[math]]
|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle
[[math]]

Im englischen [[xenharmonic/home|Xenharmonic Wiki]] wird für Intervallvektoren dieser Art manchmal die Bezeichnung **Monzo** verwendet.

Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen Primzahlen bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29| Z-Modul]]), ist dreidimensional und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet.

Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Raum, das [[Vogelsches Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]].

Manchmal wird die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo Oktave betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Eine natürliche Darstellung von Intervallen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; (also solchen mit rationalem Frequenzverhältnis) ergibt sich aus der Primfaktorzerlegung.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Jede rationale Zahl q ist bekanntlich ein Produkt von Primzahlpotenzen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
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wobei die Exponenten e_2, e_3 ff. positive oder negative ganze Zahlen sein können.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow"&amp;gt;ket vector&amp;lt;/a&amp;gt;-Notation:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:1:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Im englischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/home"&amp;gt;Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; wird für Intervallvektoren dieser Art manchmal die Bezeichnung &amp;lt;strong&amp;gt;Monzo&amp;lt;/strong&amp;gt; verwendet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen Primzahlen bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29" rel="nofollow"&amp;gt; Z-Modul&amp;lt;/a&amp;gt;), ist dreidimensional und wird manchmal als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Eulermodul"&amp;gt;Eulermodul&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Raum, das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Vogelsches%20Tonnetz"&amp;gt;Vogelsche Tonnetz&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Manchmal wird die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo Oktave betrachtet. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Eulersches%20Tonneetz"&amp;gt;Eulersche Tonnetz&amp;lt;/a&amp;gt; ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Eine natürliche Darstellung von Intervallen in [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] (also solchen mit rationalem Frequenzverhältnis) ergibt sich aus der Primfaktorzerlegung.

Jede rationale Zahl q ist bekanntlich ein Produkt von Primzahlpotenzen:

[[math]]
q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}
[[math]]

wobei die Exponenten e_2, e_3 ff. positive oder negative ganze Zahlen sein können.

Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html|ket vector]]-Notation:

[[math]]
|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle
[[math]]

Im englischen [[xenharmonic/home|Xenharmonic Wiki]] wird für Intervallvektoren dieser Art manchmal die Bezeichnung **Monzo** verwendet.

Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen Primzahlen bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch, ein Z-Modul), ist dreidimensional und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet.

Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Raum, das [[Vogelsches Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]].

Manchmal wird die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo Oktave betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Eine natürliche Darstellung von Intervallen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; (also solchen mit rationalem Frequenzverhältnis) ergibt sich aus der Primfaktorzerlegung.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Jede rationale Zahl q ist bekanntlich ein Produkt von Primzahlpotenzen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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wobei die Exponenten e_2, e_3 ff. positive oder negative ganze Zahlen sein können.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow"&amp;gt;ket vector&amp;lt;/a&amp;gt;-Notation:&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:1:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
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Im englischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/home"&amp;gt;Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; wird für Intervallvektoren dieser Art manchmal die Bezeichnung &amp;lt;strong&amp;gt;Monzo&amp;lt;/strong&amp;gt; verwendet.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen Primzahlen bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch, ein Z-Modul), ist dreidimensional und wird manchmal als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Eulermodul"&amp;gt;Eulermodul&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Raum, das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Vogelsches%20Tonnetz"&amp;gt;Vogelsche Tonnetz&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Manchmal wird die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo Oktave betrachtet. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Eulersches%20Tonneetz"&amp;gt;Eulersche Tonnetz&amp;lt;/a&amp;gt; ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Eine natürliche Darstellung von Intervallen in [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] (also solchen mit rationalem Frequenzverhältnis) ergibt sich aus der Primfaktorzerlegung.

Jede rationale Zahl q ist bekanntlich ein Produkt von Primzahlpotenzen:

[[math]]
q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}
[[math]]

wobei die Exponenten e_2, e_3 ff. positive oder negative ganze Zahlen sein können.

Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html|ket vector]]-Notation:
[[math]]
|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle
[[math]]

Im englischen [[xenharmonic/home|Xenharmonic Wiki]] wird für Intervallvektoren dieser Art manchmal die Bezeichnung **Monzo** verwendet.

Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen Primzahlen bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch, ein Z-Modul), ist dreidimensional und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet.

Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Raum, das [[Vogelsches Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]].

Manchmal wird die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo Oktave betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine natürliche Darstellung von Intervallen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; (also solchen mit rationalem Frequenzverhältnis) ergibt sich aus der Primfaktorzerlegung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Jede rationale Zahl q ist bekanntlich ein Produkt von Primzahlpotenzen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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wobei die Exponenten e_2, e_3 ff. positive oder negative ganze Zahlen sein können.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow"&amp;gt;ket vector&amp;lt;/a&amp;gt;-Notation:&amp;lt;br /&amp;gt;
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|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
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Im englischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/home"&amp;gt;Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; wird für Intervallvektoren dieser Art manchmal die Bezeichnung &amp;lt;strong&amp;gt;Monzo&amp;lt;/strong&amp;gt; verwendet.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen Primzahlen bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch, ein Z-Modul), ist dreidimensional und wird manchmal als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Eulermodul"&amp;gt;Eulermodul&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Raum, das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Vogelsches%20Tonnetz"&amp;gt;Vogelsche Tonnetz&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Manchmal wird die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo Oktave betrachtet. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Eulersches%20Tonneetz"&amp;gt;Eulersche Tonnetz&amp;lt;/a&amp;gt; ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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Eine natürliche Darstellung von Intervallen in [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] (also solchen mit rationalem Frequenzverhältnis) ergibt sich aus der Primfaktorzerlegung.

Jede rationale Zahl q ist bekanntlich ein Produkt von Primzahlpotenzen:

[[math]]
q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}
[[math]]

wobei die Exponenten e_2, e_3 ff. positive oder negative ganze Zahlen sein können.

Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html|ket vector]]-Notation:
[[math]]
|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle
[[math]]

Im englischen Xenharmonic Wiki wird für Intervallvektoren dieser Art manchmal die Bezeichnung **Monzo** verwendet.

Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen Primzahlen bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch, ein Z-Modul), ist dreidimensional und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet.

Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Raum, das [[Vogelsches Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]].

Manchmal wird die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo Oktave betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Eine natürliche Darstellung von Intervallen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; (also solchen mit rationalem Frequenzverhältnis) ergibt sich aus der Primfaktorzerlegung.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Jede rationale Zahl q ist bekanntlich ein Produkt von Primzahlpotenzen:&amp;lt;br /&amp;gt;
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q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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wobei die Exponenten e_2, e_3 ff. positive oder negative ganze Zahlen sein können.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow"&amp;gt;ket vector&amp;lt;/a&amp;gt;-Notation:&amp;lt;br /&amp;gt;
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|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
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Im englischen Xenharmonic Wiki wird für Intervallvektoren dieser Art manchmal die Bezeichnung &amp;lt;strong&amp;gt;Monzo&amp;lt;/strong&amp;gt; verwendet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen Primzahlen bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch, ein Z-Modul), ist dreidimensional und wird manchmal als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Eulermodul"&amp;gt;Eulermodul&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Raum, das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Vogelsches%20Tonnetz"&amp;gt;Vogelsche Tonnetz&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Manchmal wird die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo Oktave betrachtet. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Eulersches%20Tonneetz"&amp;gt;Eulersche Tonnetz&amp;lt;/a&amp;gt; ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Eine natürliche Darstellung von Intervallen in [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] (also solchen mit rationalem Frequenzverhältnis) ergibt sich aus der Primfaktorzerlegung.

Jede rationale Zahl q ist bekanntlich ein Produkt von Primzahlpotenzen:

[[math]]
q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}
[[math]]

wobei die Exponenten e_2, e_3 ff. positive oder negative ganze Zahlen sein können.

Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html|ket vector]]-Notation:
[[math]]
|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle
[[math]]

Im englischen Xenharmonic Wiki wird für Intervallvektoren dieser Art manchmal die Bezeichnung **Monzo** verwendet.

Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen Primzahlen bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch, ein Z-Modul), ist dreidimensional und wird manchmal als Eulermodul bezeichnet.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Eine natürliche Darstellung von Intervallen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; (also solchen mit rationalem Frequenzverhältnis) ergibt sich aus der Primfaktorzerlegung.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Jede rationale Zahl q ist bekanntlich ein Produkt von Primzahlpotenzen:&amp;lt;br /&amp;gt;
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q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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wobei die Exponenten e_2, e_3 ff. positive oder negative ganze Zahlen sein können.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow"&amp;gt;ket vector&amp;lt;/a&amp;gt;-Notation:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:1:
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|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Im englischen Xenharmonic Wiki wird für Intervallvektoren dieser Art manchmal die Bezeichnung &amp;lt;strong&amp;gt;Monzo&amp;lt;/strong&amp;gt; verwendet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen Primzahlen bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch, ein Z-Modul), ist dreidimensional und wird manchmal als Eulermodul bezeichnet.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Als '''Intervallraum''' bezeichnen wir eine Art virtueller Karte, in der alle denkbaren musikalischen Intervalle ihren Platz haben.

Intervalle in [[Reine_Stimmung|reiner Stimmung]] zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als [[Rationale_Zahl|rationale Zahl]] ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als [[Primfaktorzerlegung|Produkt von Primzahlen]] betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstrich stehen können).

Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen [[Primzahlen|Primzahlen]] bis 5 vor, die Intervalle sind also alle "5-[[Limit|Limit]]". Der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29  Z-Modul]), ist dreidimensional (je eine Dimension für die Primzahlen 2, 3 und 5) und wird manchmal als [[Eulermodul|Eulermodul]] bezeichnet.

Einbezug der nächsten Primzahl 7 (7-Limit) ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.

Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo [[Oktave|Oktave]] betrachtet. Das [[Eulersches_Tonneetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das [[Vogelsches_Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.

Je nach Bedarf und untersuchtem/gewünschtem Tonsystem kann man Teil-Intervallräume betrachten, welche nicht alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze enthalten. Die reine Version der [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Skala beispielsweise residiert im dreidimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 3, 5 und 7, welche aber ''nicht'' als modulo Oktave zu betrachten sind - die Oktave wie die Primzahl 2 überhaupt treten überhaupt nicht auf. Zur Untersuchung von [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischen]] Tonsystemen wiederum wird manchmal der Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 verwendet, da die Primzahl 11 für die in orientalischen Musikkulturen wichtigen neutralen Sekunden 11/10 und 12/11 benötigt wird, die Primzahl 7 hingegen weniger wichtig ist.  [[Category:Begriff]]
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Als '''Intervallraum''' bezeichnen wir eine Art virtueller Karte, in der alle denkbaren musikalischen Intervalle ihren Platz haben.

Intervalle in [[Reine_Stimmung|reiner Stimmung]] zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als [[Rationale_Zahl|rationale Zahl]] ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als [[Primfaktorzerlegung|Produkt von Primzahlen]] betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstrich stehen können).

Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen [[Primzahlen|Primzahlen]] bis 5 vor, die Intervalle sind also alle "5-[[Limit|Limit]]". Der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29  Z-Modul]), ist dreidimensional (je eine Dimension für die Primzahlen 2, 3 und 5) und wird manchmal als [[Eulermodul|Eulermodul]] bezeichnet.

Einbezug der nächsten Primzahl 7 (7-Limit) ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.

Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo [[Oktave|Oktave]] betrachtet. Das [[Eulersches_Tonneetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das [[Vogelsches_Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.

Je nach Bedarf und untersuchtem/gewünschtem Tonsystem kann man Teil-Intervallräume betrachten, welche nicht alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze enthalten. Die reine Version der [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Skala beispielsweise residiert im dreidimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 3, 5 und 7, welche aber ''nicht'' als modulo Oktave zu betrachten sind - die Oktave wie die Primzahl 2 überhaupt treten überhaupt nicht auf. Zur Untersuchung von [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalischen]] Tonsystemen wiederum wird manchmal der Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 verwendet, da die Primzahl 11 für die in orientalischen Musikkulturen wichtigen neutralen Sekunden 11/10 und 12/11 benötigt wird, die Primzahl 7 hingegen weniger wichtig ist.  [[Category:Begriff]]
[[Category:Intervalle]]
[[Category:Mathematik]]
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      <text bytes="2420" sha1="bjqb9cg85906xs49lzcxooaby34m2o5" xml:space="preserve">Als '''Intervallraum''' bezeichnen wir eine Art virtueller Karte, in der alle denkbaren musikalischen Intervalle ihren Platz haben.

Intervalle in [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als [[rationale Zahl]] ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als [[Primfaktorzerlegung|Produkt von Primzahlen]] betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstrich stehen können).

Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen [[Primzahlen]] bis 5 vor, die Intervalle sind also alle "5-[[Limit]]". Der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29  Z-Modul]), ist dreidimensional (je eine Dimension für die Primzahlen 2, 3 und 5) und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet.

Einbezug der nächsten Primzahl 7 (7-Limit) ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.

Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo [[Oktave]] betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das [[Vogelsches Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.

Je nach Bedarf und untersuchtem/gewünschtem Tonsystem kann man Teil-Intervallräume betrachten, welche nicht alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze enthalten. Die reine Version der [[Bohlen-Pierce]]-Skala beispielsweise residiert im dreidimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 3, 5 und 7, welche aber ''nicht'' als modulo Oktave zu betrachten sind - die Oktave wie die Primzahl 2 überhaupt treten überhaupt nicht auf. Zur Untersuchung von [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischen]] Tonsystemen wiederum wird manchmal der Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 verwendet, da die Primzahl 11 für die in orientalischen Musikkulturen wichtigen neutralen Sekunden [[11/10]] und [[12/11]] benötigt wird, die Primzahl 7 hingegen weniger wichtig ist.  

[[Kategorie:Begriff]]
[[Kategorie:Intervall]]
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Theorie]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
[[en:Monzos and Interval Space]]</text>
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      <text bytes="2424" sha1="t3zix8gz2cvha8uopwrkn6rey0uudgr" xml:space="preserve">Als '''Intervallraum''' bezeichnen wir eine Art virtueller Karte, in der alle denkbaren musikalischen Intervalle ihren Platz haben.

Intervalle in [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als [[rationale Zahl]] ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als [[Primfaktorzerlegung|Produkt von Primzahlen]] betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstrich stehen können).

Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen [[Primzahlen]] bis 5 vor, die Intervalle sind also alle "5-[[Limit]]". Der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29  Z-Modul]), ist dreidimensional (je eine Dimension für die Primzahlen 2, 3 und 5) und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet.

Einbezug der nächsten Primzahl 7 (7-Limit) ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.

Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo [[Oktave]] betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das [[Vogelsches Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.

Je nach Bedarf und untersuchtem/gewünschtem [[Tonsystem]] kann man Teil-Intervallräume betrachten, welche nicht alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze enthalten. Die reine Version der [[Bohlen-Pierce]]-Skala beispielsweise residiert im dreidimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 3, 5 und 7, welche aber ''nicht'' als modulo Oktave zu betrachten sind - die Oktave wie die Primzahl 2 überhaupt treten überhaupt nicht auf. Zur Untersuchung von [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischen]] Tonsystemen wiederum wird manchmal der Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 verwendet, da die Primzahl 11 für die in orientalischen Musikkulturen wichtigen neutralen Sekunden [[11/10]] und [[12/11]] benötigt wird, die Primzahl 7 hingegen weniger wichtig ist.  

[[Kategorie:Begriff]]
[[Kategorie:Intervall]]
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&lt;!-- interwiki --&gt;
[[en:Monzos and Interval Space]]</text>
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      <text bytes="2441" sha1="rtuea3t1k06uswej53jv5k0cwsas1vs" xml:space="preserve">Als '''Intervallraum''' bezeichnen wir eine Art virtueller Karte, in der alle denkbaren musikalischen Intervalle ihren Platz haben.

Intervalle in [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als [[rationale Zahl]] ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als [[Primfaktorzerlegung|Produkt von Primzahlen]] betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstrich stehen können).

Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen [[Primzahlen]] bis 5 vor, die Intervalle sind also alle "5-[[Limit]]". Der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29  Z-Modul]), ist dreidimensional (je eine Dimension für die Primzahlen 2, 3 und 5) und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet.

Einbezug der nächsten Primzahl 7 (7-Limit) ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.

Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo [[Oktave]] betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das dreidimensionale [[Vogelsches Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.

Je nach Bedarf und untersuchtem/gewünschtem [[Tonsystem]] kann man Teil-Intervallräume betrachten, welche nicht alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze enthalten. Die reine Version der [[Bohlen-Pierce]]-Skala beispielsweise residiert im dreidimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 3, 5 und 7, welche aber ''nicht'' als modulo Oktave zu betrachten sind - die Oktave wie die Primzahl 2 überhaupt treten überhaupt nicht auf. Zur Untersuchung von [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischen]] Tonsystemen wiederum wird manchmal der Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 verwendet, da die Primzahl 11 für die in orientalischen Musikkulturen wichtigen neutralen Sekunden [[11/10]] und [[12/11]] benötigt wird, die Primzahl 7 hingegen weniger wichtig ist.  

[[Kategorie:Begriff]]
[[Kategorie:Intervall]]
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Theorie]]

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      <text bytes="2440" sha1="75aljpg115q41en2h0wqfoo3y102flk" xml:space="preserve">Als '''Intervallraum''' bezeichnen wir eine Art virtueller Karte, in der alle denkbaren musikalischen Intervalle ihren Platz haben.

Intervalle in [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als [[rationale Zahl]] ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als [[Primfaktorzerlegung|Produkt von Primzahlen]] betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstrich stehen können).

Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen [[Primzahlen]] bis 5 vor, die Intervalle sind also alle "5-[[Limit]]". Der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29  Z-Modul]), ist dreidimensional (je eine Dimension für die Primzahlen 2, 3 und 5) und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet.

Einbezug der nächsten Primzahl 7 (7-Limit) ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.

Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo [[Oktave]] betrachtet. Das [[Eulersches Tonnetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das dreidimensionale [[Vogelsches Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.

Je nach Bedarf und untersuchtem/gewünschtem [[Tonsystem]] kann man Teil-Intervallräume betrachten, welche nicht alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze enthalten. Die reine Version der [[Bohlen-Pierce]]-Skala beispielsweise residiert im dreidimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 3, 5 und 7, welche aber ''nicht'' als modulo Oktave zu betrachten sind - die Oktave wie die Primzahl 2 überhaupt treten überhaupt nicht auf. Zur Untersuchung von [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischen]] Tonsystemen wiederum wird manchmal der Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 verwendet, da die Primzahl 11 für die in orientalischen Musikkulturen wichtigen neutralen Sekunden [[11/10]] und [[12/11]] benötigt wird, die Primzahl 7 hingegen weniger wichtig ist.  

[[Kategorie:Begriff]]
[[Kategorie:Intervall]]
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[[Kategorie:Theorie]]

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[[en:Monzos and Interval Space]]</text>
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English: [[:en:50/49 xenharmonic/50_49]]

Das '''Jubilisma''' oder '''"Jubilee-Komma"''' - ein Intervall mit dem Schwingungsverhältnis '''50/49''' und der Grösse 34.98 [[Cents|Cents]] - erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" ([[7/5|7/5]]) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" ([[10/7|10/7]]).

Das Austemperieren dieses Intervalls hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Das gilt insbesondere für [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige Systeme]] mit Unterteilungen in eine gerade Anzahl Töne.  [[Category:Komma]]</text>
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Das &amp;lt;strong&amp;gt;Jubilisma&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;&amp;amp;quot;Jubilee-Komma&amp;amp;quot;&amp;lt;/strong&amp;gt; - ein Intervall mit dem Schwingungsverhältnis &amp;lt;strong&amp;gt;50/49&amp;lt;/strong&amp;gt; und der Grösse 34.98 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cents"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; - erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen dem &amp;amp;quot;kleinen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/7_5"&amp;gt;7/5&amp;lt;/a&amp;gt;) und dessen Oktav-Komplement, dem &amp;amp;quot;grossen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/10_7"&amp;gt;10/7&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Austemperieren dieses Intervalls hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Das gilt insbesondere für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige Systeme&amp;lt;/a&amp;gt; mit Unterteilungen in eine gerade Anzahl Töne.&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextIncludeRule:00 --&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <text bytes="3174" sha1="azz7ofsad7vz3xau18r1jlnyw52ml7h" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Jubilisma oder "Jubilee-Komma" ist ein Name, der für das Intervall 50/49 benutzt wird.

[[include component="page" wikiName="xenharmonie" page="50_49" ]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Das &amp;lt;strong&amp;gt;Jubilisma&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;&amp;amp;quot;Jubilee-Komma&amp;amp;quot;&amp;lt;/strong&amp;gt; - ein Intervall mit dem Schwingungsverhältnis &amp;lt;strong&amp;gt;50/49&amp;lt;/strong&amp;gt; und der Grösse 34.98 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cents"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; - erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen dem &amp;amp;quot;kleinen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/7_5"&amp;gt;7/5&amp;lt;/a&amp;gt;) und dessen Oktav-Komplement, dem &amp;amp;quot;grossen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/10_7"&amp;gt;10/7&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Austemperieren dieses Intervalls hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Das gilt insbesondere für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige Systeme&amp;lt;/a&amp;gt; mit Unterteilungen in eine gerade Anzahl Töne.&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextIncludeRule:00 --&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-23 08:35:27 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;[[include component="page" wikiName="xenharmonie" page="50_49" ]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Das &amp;lt;strong&amp;gt;Jubilisma&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;&amp;amp;quot;Jubilee-Komma&amp;amp;quot;&amp;lt;/strong&amp;gt; - ein Intervall mit dem Schwingungsverhältnis &amp;lt;strong&amp;gt;50/49&amp;lt;/strong&amp;gt; und der Grösse 34.98 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cents"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; - erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen dem &amp;amp;quot;kleinen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/7_5"&amp;gt;7/5&amp;lt;/a&amp;gt;) und dessen Oktav-Komplement, dem &amp;amp;quot;grossen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/10_7"&amp;gt;10/7&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Austemperieren dieses Intervalls hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Das gilt insbesondere für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige Systeme&amp;lt;/a&amp;gt; mit Unterteilungen in eine gerade Anzahl Töne.&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextIncludeRule:00 --&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Mike Battaglia</username>
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      <text bytes="779" sha1="74itqv8xlp63ri5t6gkbp72usovo0xz" xml:space="preserve">&lt;span style="font-size: 80%;color: #a8b6bf;"&gt;Der Seiteninhalt wurde von [[50/49|50_49]] eingebunden.&lt;/span&gt;

English: [[:en:50/49|xenharmonic/50_49]]

Das '''Jubilisma''' oder '''"Jubilee-Komma"''' - ein Intervall mit dem Schwingungsverhältnis '''50/49''' und der Grösse 34.98 [[Cents|Cents]] - erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" ([[7/5|7/5]]) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" ([[10/7|10/7]]).

Das Austemperieren dieses Intervalls hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Das gilt insbesondere für [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige Systeme]] mit Unterteilungen in eine gerade Anzahl Töne.  [[Category:Komma]]</text>
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Deutschsprachige Ressourcen:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Juli%C3%A1n_Carrillo Julián Carrillo (Wikipedia)]  [[Category:Person]]</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-08-15 06:33:16 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Julián Carrillo]]

Deutschsprachige Ressourcen:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Juli%C3%A1n_Carrillo|Julián Carrillo (Wikipedia)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Julián Carrillo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Juli%C3%A1n%20Carrillo"&amp;gt;xenharmonic/Julián Carrillo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Deutschsprachige Ressourcen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Juli%C3%A1n_Carrillo" rel="nofollow"&amp;gt;Julián Carrillo (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <text bytes="1657" sha1="qafua4hl1hkuby0nigshknz4367kdgy" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-08-15 06:32:43 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;444916266&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Julián Carrillo]]

[[http://de.wikipedia.org/wiki/Juli%C3%A1n_Carrillo|Julián Carrillo (Wikipedia)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Julián Carrillo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Juli%C3%A1n%20Carrillo"&amp;gt;xenharmonic/Julián Carrillo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Juli%C3%A1n_Carrillo" rel="nofollow"&amp;gt;Julián Carrillo (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Mike Battaglia</username>
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      <comment>Textersetzung - „(\[\[\:(dev|es|purdal|de|en):[^[:space:]\|]*) (.*])“ durch „$1|$3“</comment>
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      <text bytes="195" sha1="61g3cilo29xi3n5fubtu2r11w4prahq" xml:space="preserve">English: [[:en:Julián_Carrillo|xenharmonic/Julián Carrillo]]

Deutschsprachige Ressourcen:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Juli%C3%A1n_Carrillo Julián Carrillo (Wikipedia)]  [[Category:Person]]</text>
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    <title>Kettenbruch</title>
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      <text bytes="2462" sha1="d3kin012mxxszfb8it2redtpbfec3j3" xml:space="preserve">[http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch Kettenbruch (Wikipedia)]

Die Theorie der Kettenbrüche hat diverse Anwendungen in der Musiktheorie. Eine davon ist es, "optimale" Annäherungen von reinen (rationalen) Musikintervallen in [[edo|gleichstufigen Temperamenten]] zu finden.

Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus &lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der [[Prime|Prim]] zur [[Oktave|Oktave]] aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von "optimalen" Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.&lt;/span&gt;

Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der [[Zweierlogarithmus|Zweierlogarithmus]] hat den Wert 0.5849625...

Der Beginn der Kettenbruchdarstellung davon (siehe Link oben) ist: [ 0; 1, 1, 2, 2, 3, 1, 5...]

Die entsprechenden Konvergenten sind: 0, 1, 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53. Dazu kommen Semikonvergenten 2/3, 4/7, 10/17, 17/29.

Alle Konvergenten sind gemäss der Theorie der Kettenbrüche eine optimale Approximation der ursprünglichen Zahl in dem Sinn, dass keine andere rationale Zahl mit gleichem oder kleinerem Nenner eine bessere Approximation liefert. Die Semikonvergenten dagegen können potentiell eine bessere Approximation liefern, aber nicht zwangsweise. Das heisst in diesem Zusammenhang zum Beispiel, dass die heute am weitesten verbreitete Stimmung [[12edo|12edo]] eine bessere Annäherung für die reine Quinte liefert als alle kleineren gleichstu&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;figen Unterteilungen, die folgenden Unterteilungen ([[13edo|13edo]], [[14edo|14edo]],[[15edo|15edo]] und [[16edo|16edo]]) hingegen keine bessere. Die mit [[17edo|17edo]] assoziierte Semikonvergente könnte eine bessere Annäherung als 12edo liefern, ein Test zeigt jedoch, dass dies nicht der Fall ist. [[29edo|29edo]], auf der anderen Seite, stellt sich als genauere Approximation heraus, gefolgt von den Konvergenten [[41edo|41edo]] und [[53edo|53edo]]. Ferner sieht man, dass die Approximation der Quinte in 12edo die vertrauten 7 Schritte enthält, die Quinte in 17edo 10 Schritte, die in 41edo 24 Schritte und so fort.&lt;/span&gt;  [[Category:Mathematik]]</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;[[http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch|Kettenbruch (Wikipedia)]]

Die Theorie der Kettenbrüche hat diverse Anwendungen in der Musiktheorie. Eine davon ist es, "optimale" Annäherungen von reinen (rationalen) Musikintervallen in [[edo|gleichstufigen Temperamenten]] zu finden.

Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der [[Prime|Prim]] zur [[Oktave]] aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von "optimalen" Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.&amp;lt;/span&amp;gt;

Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der [[Zweierlogarithmus]] hat den Wert 0.5849625...

Der Beginn der Kettenbruchdarstellung davon (siehe Link oben) ist: [ 0; 1, 1, 2, 2, 3, 1, 5...]

Die entsprechenden Konvergenten sind: 0, 1, 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53. Dazu kommen Semikonvergenten 2/3, 4/7, 10/17, 17/29.

Alle Konvergenten sind gemäss der Theorie der Kettenbrüche eine optimale Approximation der ursprünglichen Zahl in dem Sinn, dass keine andere rationale Zahl mit gleichem oder kleinerem Nenner eine bessere Approximation liefert. Die Semikonvergenten dagegen können potentiell eine bessere Approximation liefern, aber nicht zwangsweise. Das heisst in diesem Zusammenhang zum Beispiel, dass die heute am weitesten verbreitete Stimmung [[12edo]] eine bessere Annäherung für die reine Quinte liefert als alle kleineren gleichstu&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;figen Unterteilungen, die folgenden Unterteilungen ([[13edo]], [[14edo]],[[15edo]] und [[16edo]]) hingegen keine bessere. Die mit [[17edo]] assoziierte Semikonvergente könnte eine bessere Annäherung als 12edo liefern, ein Test zeigt jedoch, dass dies nicht der Fall ist. [[29edo]], auf der anderen Seite, stellt sich als genauere Approximation heraus, gefolgt von den Konvergenten [[41edo]] und [[53edo]]. Ferner sieht man, dass die Approximation der Quinte in 12edo die vertrauten 7 Schritte enthält, die Quinte in 17edo 10 Schritte, die in 41edo 24 Schritte und so fort.&amp;lt;/span&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Kettenbruch&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch" rel="nofollow"&amp;gt;Kettenbruch (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Theorie der Kettenbrüche hat diverse Anwendungen in der Musiktheorie. Eine davon ist es, &amp;amp;quot;optimale&amp;amp;quot; Annäherungen von reinen (rationalen) Musikintervallen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;gleichstufigen Temperamenten&amp;lt;/a&amp;gt; zu finden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Prime"&amp;gt;Prim&amp;lt;/a&amp;gt; zur &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt; aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von &amp;amp;quot;optimalen&amp;amp;quot; Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Zweierlogarithmus"&amp;gt;Zweierlogarithmus&amp;lt;/a&amp;gt; hat den Wert 0.5849625...&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Beginn der Kettenbruchdarstellung davon (siehe Link oben) ist: [ 0; 1, 1, 2, 2, 3, 1, 5...]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die entsprechenden Konvergenten sind: 0, 1, 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53. Dazu kommen Semikonvergenten 2/3, 4/7, 10/17, 17/29.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Alle Konvergenten sind gemäss der Theorie der Kettenbrüche eine optimale Approximation der ursprünglichen Zahl in dem Sinn, dass keine andere rationale Zahl mit gleichem oder kleinerem Nenner eine bessere Approximation liefert. Die Semikonvergenten dagegen können potentiell eine bessere Approximation liefern, aber nicht zwangsweise. Das heisst in diesem Zusammenhang zum Beispiel, dass die heute am weitesten verbreitete Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; eine bessere Annäherung für die reine Quinte liefert als alle kleineren gleichstu&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;figen Unterteilungen, die folgenden Unterteilungen (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/13edo"&amp;gt;13edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/14edo"&amp;gt;14edo&amp;lt;/a&amp;gt;,&amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;) hingegen keine bessere. Die mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; assoziierte Semikonvergente könnte eine bessere Annäherung als 12edo liefern, ein Test zeigt jedoch, dass dies nicht der Fall ist. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, auf der anderen Seite, stellt sich als genauere Approximation heraus, gefolgt von den Konvergenten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Ferner sieht man, dass die Approximation der Quinte in 12edo die vertrauten 7 Schritte enthält, die Quinte in 17edo 10 Schritte, die in 41edo 24 Schritte und so fort.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;[[http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch|Kettenbruch (Wikipedia)]]

Die Theorie der Kettenbrüche hat diverse Anwendungen in der Musiktheorie. Eine davon ist es, "optimale" Annäherungen von reinen (rationalen) Musikintervallen in [[edo|gleichstufigen Temperamenten]] zu finden.

Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der Prim zur Oktave aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von "optimalen" Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.&amp;lt;/span&amp;gt;

Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der [[Zweierlogarithmus]] hat den Wert 0.5849625...

Der Beginn der Kettenbruchdarstellung davon (siehe Link oben) ist: [ 0; 1, 1, 2, 2, 3, 1, 5...]

Die entsprechenden Konvergenten sind: 0, 1, 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53. Dazu kommen Semikonvergenten 2/3, 4/7, 10/17, 17/29.

Alle Konvergenten sind gemäss der Theorie der Kettenbrüche eine optimale Approximation der ursprünglichen Zahl in dem Sinn, dass keine andere rationale Zahl mit gleichem oder kleinerem Nenner eine bessere Approximation liefert. Die Semikonvergenten dagegen können potentiell eine bessere Approximation liefern, aber nicht zwangsweise. Das heisst in diesem Zusammenhang zum Beispiel, dass die heute am weitesten verbreitete Stimmung [[12edo]] eine bessere Annäherung für die reine Quinte liefert als alle kleineren gleichstu&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;figen Unterteilungen, die folgenden Unterteilungen ([[13edo]], [[14edo]],[[15edo]] und [[16edo]]) hingegen keine bessere. Die mit [[17edo]] assoziierte Semikonvergente könnte eine bessere Annäherung als 12edo liefern, ein Test zeigt jedoch, dass dies nicht der Fall ist. [[29edo]], auf der anderen Seite, stellt sich als genauere Approximation heraus, gefolgt von den Konvergenten [[41edo]] und [[53edo]]. Ferner sieht man, dass die Approximation der Quinte in 12edo die vertrauten 7 Schritte enthält, die Quinte in 17edo 10 Schritte, die in 41edo 24 Schritte und so fort.&amp;lt;/span&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Kettenbruch&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch" rel="nofollow"&amp;gt;Kettenbruch (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Theorie der Kettenbrüche hat diverse Anwendungen in der Musiktheorie. Eine davon ist es, &amp;amp;quot;optimale&amp;amp;quot; Annäherungen von reinen (rationalen) Musikintervallen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;gleichstufigen Temperamenten&amp;lt;/a&amp;gt; zu finden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der Prim zur Oktave aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von &amp;amp;quot;optimalen&amp;amp;quot; Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Zweierlogarithmus"&amp;gt;Zweierlogarithmus&amp;lt;/a&amp;gt; hat den Wert 0.5849625...&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Beginn der Kettenbruchdarstellung davon (siehe Link oben) ist: [ 0; 1, 1, 2, 2, 3, 1, 5...]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die entsprechenden Konvergenten sind: 0, 1, 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53. Dazu kommen Semikonvergenten 2/3, 4/7, 10/17, 17/29.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Alle Konvergenten sind gemäss der Theorie der Kettenbrüche eine optimale Approximation der ursprünglichen Zahl in dem Sinn, dass keine andere rationale Zahl mit gleichem oder kleinerem Nenner eine bessere Approximation liefert. Die Semikonvergenten dagegen können potentiell eine bessere Approximation liefern, aber nicht zwangsweise. Das heisst in diesem Zusammenhang zum Beispiel, dass die heute am weitesten verbreitete Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; eine bessere Annäherung für die reine Quinte liefert als alle kleineren gleichstu&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;figen Unterteilungen, die folgenden Unterteilungen (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/13edo"&amp;gt;13edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/14edo"&amp;gt;14edo&amp;lt;/a&amp;gt;,&amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;) hingegen keine bessere. Die mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; assoziierte Semikonvergente könnte eine bessere Annäherung als 12edo liefern, ein Test zeigt jedoch, dass dies nicht der Fall ist. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, auf der anderen Seite, stellt sich als genauere Approximation heraus, gefolgt von den Konvergenten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Ferner sieht man, dass die Approximation der Quinte in 12edo die vertrauten 7 Schritte enthält, die Quinte in 17edo 10 Schritte, die in 41edo 24 Schritte und so fort.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:Gedankenwelt|Gedankenwelt]] and made on &lt;tt&gt;2013-04-24 22:16:38 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;[[http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch|Kettenbruch (Wikipedia)]]

Die Theorie der Kettenbrüche hat diverse Anwendungen in der Musiktheorie. Eine davon ist es, "optimale" Annäherungen von reinen (rationalen) Musikintervallen in [[edo|gleichstufigen Temperamenten]] zu finden.

Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der Prim zur Oktave aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von "optimalen" Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.&amp;lt;/span&amp;gt;

Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der Zweierlogarithmus hat den Wert 0.5849625...

Der Beginn der Kettenbruchdarstellung davon (siehe Link oben) ist: [ 0; 1, 1, 2, 2, 3, 1, 5...]

Die entsprechenden Konvergenten sind: 0, 1, 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53. Dazu kommen Semikonvergenten 2/3, 4/7, 10/17, 17/29.

Alle Konvergenten sind gemäss der Theorie der Kettenbrüche eine optimale Approximation der ursprünglichen Zahl in dem Sinn, dass keine andere rationale Zahl mit gleichem oder kleinerem Nenner eine bessere Approximation liefert. Die Semikonvergenten dagegen können potentiell eine bessere Approximation liefern, aber nicht zwangsweise. Das heisst in diesem Zusammenhang zum Beispiel, dass die heute am weitesten verbreitete Stimmung [[12edo]] eine bessere Annäherung für die reine Quinte liefert als alle kleineren gleichstu&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;figen Unterteilungen, die folgenden Unterteilungen ([[13edo]], [[14edo]],[[15edo]] und [[16edo]]) hingegen keine bessere. Die mit [[17edo]] assoziierte Semikonvergente könnte eine bessere Annäherung als 12edo liefern, ein Test zeigt jedoch, dass dies nicht der Fall ist. [[29edo]], auf der anderen Seite, stellt sich als genauere Approximation heraus, gefolgt von den Konvergenten [[41edo]] und [[53edo]]. Ferner sieht man, dass die Approximation der Quinte in 12edo die vertrauten 7 Schritte enthält, die Quinte in 17edo 10 Schritte, die in 41edo 24 Schritte und so fort.&amp;lt;/span&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die Theorie der Kettenbrüche hat diverse Anwendungen in der Musiktheorie. Eine davon ist es, &amp;amp;quot;optimale&amp;amp;quot; Annäherungen von reinen (rationalen) Musikintervallen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;gleichstufigen Temperamenten&amp;lt;/a&amp;gt; zu finden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der Prim zur Oktave aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von &amp;amp;quot;optimalen&amp;amp;quot; Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der Zweierlogarithmus hat den Wert 0.5849625...&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Beginn der Kettenbruchdarstellung davon (siehe Link oben) ist: [ 0; 1, 1, 2, 2, 3, 1, 5...]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die entsprechenden Konvergenten sind: 0, 1, 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53. Dazu kommen Semikonvergenten 2/3, 4/7, 10/17, 17/29.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Alle Konvergenten sind gemäss der Theorie der Kettenbrüche eine optimale Approximation der ursprünglichen Zahl in dem Sinn, dass keine andere rationale Zahl mit gleichem oder kleinerem Nenner eine bessere Approximation liefert. Die Semikonvergenten dagegen können potentiell eine bessere Approximation liefern, aber nicht zwangsweise. Das heisst in diesem Zusammenhang zum Beispiel, dass die heute am weitesten verbreitete Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; eine bessere Annäherung für die reine Quinte liefert als alle kleineren gleichstu&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;figen Unterteilungen, die folgenden Unterteilungen (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/13edo"&amp;gt;13edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/14edo"&amp;gt;14edo&amp;lt;/a&amp;gt;,&amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;) hingegen keine bessere. Die mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; assoziierte Semikonvergente könnte eine bessere Annäherung als 12edo liefern, ein Test zeigt jedoch, dass dies nicht der Fall ist. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, auf der anderen Seite, stellt sich als genauere Approximation heraus, gefolgt von den Konvergenten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Ferner sieht man, dass die Approximation der Quinte in 12edo die vertrauten 7 Schritte enthält, die Quinte in 17edo 10 Schritte, die in 41edo 24 Schritte und so fort.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Die Theorie der Kettenbrüche hat diverse Anwendungen in der Musiktheorie. Eine davon ist es, "optimale" Annäherungen von reinen (rationalen) Musikintervallen in [[edo|gleichstufigen Temperamenten]] zu finden.

Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der Prim zur Oktave aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von "optimalen" Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.&amp;lt;/span&amp;gt;

Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der Zweierlogarithmus hat den Wert 0.5849625...

Der Beginn der Kettenbruchdarstellung davon (siehe Link oben) ist: [ 0; 1, 1, 2, 2, 3, 1, 5...]

Die entsprechenden Konvergenten sind: 0, 1, 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53. Dazu kommen Semikonvergenten 2/3, 4/7, 10/17, 17/29.

Jede dieser rationalen Zahlen ist gemäss der Theorie der Kettenbrüche eine optimale Approximation der ursprünglichen Zahl in dem Sinn, dass keine rationale Zahl mit gleichem oder kleinerem Nenner eine bessere Approximation liefert. Das heisst in diesem Zusammenhang zum Beispiel, dass die heute am weitesten verbreitete Stimmung [[12edo]] eine bessere Annäherung für die reine Quinte liefert als alle kleineren gleichstu&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;figen Unterteilungen, die folgenden Unterteilungen ([[13edo]], [[14edo]],[[15edo]] und [[16edo]]) hingegen schlechtere, [[17edo]] dann wieder eine noch bessere.Die nächstbessere ist dann [[29edo]], gefolgt von [[41edo]] und [[53edo]]. Ferner sieht man, dass die Approximation der Quinte in 12edo die vertrauten 7 Schritte enthält, die Quinte in 17edo 10 Schritte, die in 41edo 24 Schritte und so fort.&amp;lt;/span&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die Theorie der Kettenbrüche hat diverse Anwendungen in der Musiktheorie. Eine davon ist es, &amp;amp;quot;optimale&amp;amp;quot; Annäherungen von reinen (rationalen) Musikintervallen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;gleichstufigen Temperamenten&amp;lt;/a&amp;gt; zu finden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der Prim zur Oktave aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von &amp;amp;quot;optimalen&amp;amp;quot; Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der Zweierlogarithmus hat den Wert 0.5849625...&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Beginn der Kettenbruchdarstellung davon (siehe Link oben) ist: [ 0; 1, 1, 2, 2, 3, 1, 5...]&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die entsprechenden Konvergenten sind: 0, 1, 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53. Dazu kommen Semikonvergenten 2/3, 4/7, 10/17, 17/29.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Jede dieser rationalen Zahlen ist gemäss der Theorie der Kettenbrüche eine optimale Approximation der ursprünglichen Zahl in dem Sinn, dass keine rationale Zahl mit gleichem oder kleinerem Nenner eine bessere Approximation liefert. Das heisst in diesem Zusammenhang zum Beispiel, dass die heute am weitesten verbreitete Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; eine bessere Annäherung für die reine Quinte liefert als alle kleineren gleichstu&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;figen Unterteilungen, die folgenden Unterteilungen (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/13edo"&amp;gt;13edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/14edo"&amp;gt;14edo&amp;lt;/a&amp;gt;,&amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;) hingegen schlechtere, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; dann wieder eine noch bessere.Die nächstbessere ist dann &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, gefolgt von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Ferner sieht man, dass die Approximation der Quinte in 12edo die vertrauten 7 Schritte enthält, die Quinte in 17edo 10 Schritte, die in 41edo 24 Schritte und so fort.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Die Theorie der Kettenbrüche hat diverse Anwendungen in der Musiktheorie, Eine davon ist es, "optimale" Annäherungen von reinen (rationalen) Musikintervallen in [[edo|gleichstufigen Temperamenten]] zu finden.

Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der Prim zur Oktave aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von "optimalen" Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.&amp;lt;/span&amp;gt;

Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der Zweierlogarithmus hat den Wert 0.5849625...

Der Beginn der Kettenbruchdarstellung davon (siehe Link oben) ist: [ 0; 1, 1, 2, 2, 3, 1, 5...]

Die entsprechenden Konvergenten sind: 0, 1, 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53. Dazu kommen Semikonvergenten 2/3, 4/7, 10/17, 17/29.

Jede dieser rationalen Zahlen ist gemäss der Theorie der Kettenbrüche eine optimale Approximation der ursprünglichen Zahl in dem Sinn, dass keine rationale Zahl mit gleichem oder kleinerem Nenner eine bessere Approximation liefert. Das heisst in diesem Zusammenhang zum Beispiel, dass die heute am weitesten verbreitete Stimmung [[12edo]] eine bessere Annäherung für die reine Quinte liefert als alle kleineren gleichstu&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;figen Unterteilungen, die folgenden Unterteilungen (&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[13edo]]&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;, &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[14edo]]&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt; und &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[16edo]]&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;) hingegen schlechtere, &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[17edo]]&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt; dann wieder eine noch bessere.Die nächstbessere ist dann &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[29edo]]&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;, gefolgt von &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[41edo]]&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt; und &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[53edo]]&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;. Ferner sieht man, dass die Approximation der Quinte in 12edo die vertrauten 7 Schritte enthält, die Quinte in 17edo 10 Schritte, die in 41edo 24 Schritte und so fort.&amp;lt;/span&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Theorie der Kettenbrüche hat diverse Anwendungen in der Musiktheorie, Eine davon ist es, &amp;amp;quot;optimale&amp;amp;quot; Annäherungen von reinen (rationalen) Musikintervallen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;gleichstufigen Temperamenten&amp;lt;/a&amp;gt; zu finden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der Prim zur Oktave aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von &amp;amp;quot;optimalen&amp;amp;quot; Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der Zweierlogarithmus hat den Wert 0.5849625...&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Beginn der Kettenbruchdarstellung davon (siehe Link oben) ist: [ 0; 1, 1, 2, 2, 3, 1, 5...]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die entsprechenden Konvergenten sind: 0, 1, 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53. Dazu kommen Semikonvergenten 2/3, 4/7, 10/17, 17/29.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Jede dieser rationalen Zahlen ist gemäss der Theorie der Kettenbrüche eine optimale Approximation der ursprünglichen Zahl in dem Sinn, dass keine rationale Zahl mit gleichem oder kleinerem Nenner eine bessere Approximation liefert. Das heisst in diesem Zusammenhang zum Beispiel, dass die heute am weitesten verbreitete Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; eine bessere Annäherung für die reine Quinte liefert als alle kleineren gleichstu&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;figen Unterteilungen, die folgenden Unterteilungen (&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/13edo"&amp;gt;13edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;, &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/14edo"&amp;gt;14edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;,&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt; und &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;) hingegen schlechtere, &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt; dann wieder eine noch bessere.Die nächstbessere ist dann &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;, gefolgt von &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt; und &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;. Ferner sieht man, dass die Approximation der Quinte in 12edo die vertrauten 7 Schritte enthält, die Quinte in 17edo 10 Schritte, die in 41edo 24 Schritte und so fort.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-04-22 16:04:47 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;425450054&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;[[http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch|Kettenbruch (Wikipedia)]]

Die Theorie der Kettenbrüche hat diverse Anwendungen in der Musiktheorie, Eine davon ist es, "optimale" Annäherungen von reinen (rationalen) Musikintervallen in [[edo|gleichstufigen Temperamenten]] zu finden.

Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der Prim zur Oktave aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von "optimalen" Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.&amp;lt;/span&amp;gt;

Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der Zweierlogarithmus hat den Wert 0.5849625...

Der Beginn der Kettenbruchdarstellung davon (siehe Link oben) ist: [ 0; 1, 1, 2, 2, 3, 1, 5...]

Die entsprechenden Konvergenten sind: 0, 1, 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53. Dazu kommen Semikonvergenten 2/3, 4/7, 10/17, 17/29.

Jede dieser rationalen Zahlen ist gemäss der Theorie der Kettenbrüche eine optimale Approximation der ursprünglichen Zahl in dem Sinn, dass keine rationale Zahl mit gleichem oder kleinerem Nenner eine bessere Approximation liefert. Das heisst in diesem Zusammenhang zum Beispiel, dass die heute am weitesten verbreitete Stimmung [[12edo]] eine bessere Annäherung für die reine Quinte liefert als alle kleineren gleichstuifigen Unterteilungen, die folgenden Unterteilungen ([[13edo]], [[14edo]],[[15edo]] und [[16edo]]) hingegen schlechtere, [[17edo]] dann wieder eine noch bessere.Die nächstbessere ist dann [[29edo]], gefolgt von [[41edo]] und [[53edo]]. &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;Ferner sieht man, dass die Approximation der Quinte in 12edo die vertrauten 7 Schritte enthält, die Quinte in 17edo 10 Schritte, die in 41edo 24 Schritte und so fort.&amp;lt;/span&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Kettenbruch&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch" rel="nofollow"&amp;gt;Kettenbruch (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Theorie der Kettenbrüche hat diverse Anwendungen in der Musiktheorie, Eine davon ist es, &amp;amp;quot;optimale&amp;amp;quot; Annäherungen von reinen (rationalen) Musikintervallen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;gleichstufigen Temperamenten&amp;lt;/a&amp;gt; zu finden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der Prim zur Oktave aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von &amp;amp;quot;optimalen&amp;amp;quot; Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der Zweierlogarithmus hat den Wert 0.5849625...&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Beginn der Kettenbruchdarstellung davon (siehe Link oben) ist: [ 0; 1, 1, 2, 2, 3, 1, 5...]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die entsprechenden Konvergenten sind: 0, 1, 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53. Dazu kommen Semikonvergenten 2/3, 4/7, 10/17, 17/29.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Jede dieser rationalen Zahlen ist gemäss der Theorie der Kettenbrüche eine optimale Approximation der ursprünglichen Zahl in dem Sinn, dass keine rationale Zahl mit gleichem oder kleinerem Nenner eine bessere Approximation liefert. Das heisst in diesem Zusammenhang zum Beispiel, dass die heute am weitesten verbreitete Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; eine bessere Annäherung für die reine Quinte liefert als alle kleineren gleichstuifigen Unterteilungen, die folgenden Unterteilungen (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/13edo"&amp;gt;13edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/14edo"&amp;gt;14edo&amp;lt;/a&amp;gt;,&amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;) hingegen schlechtere, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; dann wieder eine noch bessere.Die nächstbessere ist dann &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, gefolgt von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt;. &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;Ferner sieht man, dass die Approximation der Quinte in 12edo die vertrauten 7 Schritte enthält, die Quinte in 17edo 10 Schritte, die in 41edo 24 Schritte und so fort.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;[[http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch|Kettenbruch (Wikipedia)]]

Die Theorie der Kettenbrüche hat diverse Anwendungen in der Musiktheorie, Eine davon ist es, "optimale" Annäherungen von reinen (rationalen) Musikintervallen in [[edo|gleichstufigen Temperamenten]] zu finden.

Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus zur Basis 2 der Frequenz) erscheinen als irrationale Zahlen (von der Prim zur Oktave aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von "optimalen" Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.

Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der Zweierlogarithmus hat den Wert 0.5849625...

Der Beginn der Kettenbruchdarstellung davon (siehe Link oben) ist: [ 0; 1, 1, 2, 2, 3, 1, 5...]

Die entsprechenden Konvergenten sind: 0, 1, 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53. Dazu kommen Semikonvergenten 2/3, 4/7, 10/17, 17/29.

Jede dieser rationalen Zahlen ist gemäss der Theorie der Kettenbrüche eine optimale Approximation der ursprünglichen Zahl in dem Sinn, dass keine rationale Zahl mit gleichem oder kleinerem Nenner eine bessere Approximation liefert. Das heisst in diesem Zusammenhang zum Beispiel, dass die heute am weitesten verbreitete Stimmung [[12edo]] eine bessere Annäherung für die reine Quinte liefert als alle kleineren gleichstuifigen Unterteilungen, die folgenden Unterteilungen ([[13edo]], [[14edo]],[[15edo]] und [[16edo]]) hingegen schlechtere, [[17edo]] dann wieder eine noch bessere.Die nächstbessere ist dann [[29edo]], gefolgt von [[41edo]] und [[53edo]]. &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;Ferner sieht man, dass die Approximation der Quinte in 12edo die vertrauten 7 Schritte enthält, die Quinte in 17edo 10 Schritte, die in 41edo 24 Schritte und so fort.&amp;lt;/span&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die Theorie der Kettenbrüche hat diverse Anwendungen in der Musiktheorie, Eine davon ist es, &amp;amp;quot;optimale&amp;amp;quot; Annäherungen von reinen (rationalen) Musikintervallen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;gleichstufigen Temperamenten&amp;lt;/a&amp;gt; zu finden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus zur Basis 2 der Frequenz) erscheinen als irrationale Zahlen (von der Prim zur Oktave aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von &amp;amp;quot;optimalen&amp;amp;quot; Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der Zweierlogarithmus hat den Wert 0.5849625...&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Beginn der Kettenbruchdarstellung davon (siehe Link oben) ist: [ 0; 1, 1, 2, 2, 3, 1, 5...]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die entsprechenden Konvergenten sind: 0, 1, 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53. Dazu kommen Semikonvergenten 2/3, 4/7, 10/17, 17/29.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Jede dieser rationalen Zahlen ist gemäss der Theorie der Kettenbrüche eine optimale Approximation der ursprünglichen Zahl in dem Sinn, dass keine rationale Zahl mit gleichem oder kleinerem Nenner eine bessere Approximation liefert. Das heisst in diesem Zusammenhang zum Beispiel, dass die heute am weitesten verbreitete Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; eine bessere Annäherung für die reine Quinte liefert als alle kleineren gleichstuifigen Unterteilungen, die folgenden Unterteilungen (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/13edo"&amp;gt;13edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/14edo"&amp;gt;14edo&amp;lt;/a&amp;gt;,&amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;) hingegen schlechtere, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; dann wieder eine noch bessere.Die nächstbessere ist dann &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, gefolgt von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt;. &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;Ferner sieht man, dass die Approximation der Quinte in 12edo die vertrauten 7 Schritte enthält, die Quinte in 17edo 10 Schritte, die in 41edo 24 Schritte und so fort.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-04-22 14:07:05 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;[[http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch|Kettenbruch (Wikipedia)]]

Die Theorie der Kettenbrüche kann benutzt werden, um "optimale" Annäherungen von reinen (rationalen) Musikintervallen in [[edo|gleichstufigen Temperamenten]] zu finden, und zwar wie folgt:

Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus zur Basos 2 der Frequenz) erscheinen als irrationale Zahlen (von der Prim zur Oktave aufsteigendf von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenmten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von "optimalen" Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperemanten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.

Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der Zweierlogarithmus hat den Wert 0.5849625...

Der Beginn der Kettenbruchdarstellung davon (siehe Link oben) ist: [ 0; 1, 1, 2, 2, 3, 1, 5...]

Die entsprechenden Konvergenten sind: 0, 1, 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53. Dazu kommen Semikonvergenten 2/3, 4/7, 10/17, 17/29.

Jede dieser rationalen Zaheln ist gemäss der Theorie der Kettenbrüche eine optimale Approximation der ursprünglichen Zahl in dem Sinn, dass keine rationale Zahl mit gleichem oder kleinerem Nenner eine bessere Approximation liefert. Das heisst in diesem Zusammenhang zum Beispiel, dass die heute am weitesten verbreitete Stimmung [[12edo]] eine bessere Annäherumg für die reine Quinte liefert als alle kleineren gleichstuifigen Unterteilungen, die folgenden Unterteilungen (13edo, 14edo,15edo und 16edo) hingegen schlechtere, 17edo dann wieder eine noch bessere.Die nächstbessere i00st dann 29edo, gefolgt von 41edo und 53edo.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Kettenbruch&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch" rel="nofollow"&amp;gt;Kettenbruch (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Theorie der Kettenbrüche kann benutzt werden, um &amp;amp;quot;optimale&amp;amp;quot; Annäherungen von reinen (rationalen) Musikintervallen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;gleichstufigen Temperamenten&amp;lt;/a&amp;gt; zu finden, und zwar wie folgt:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus zur Basos 2 der Frequenz) erscheinen als irrationale Zahlen (von der Prim zur Oktave aufsteigendf von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenmten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von &amp;amp;quot;optimalen&amp;amp;quot; Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperemanten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der Zweierlogarithmus hat den Wert 0.5849625...&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Beginn der Kettenbruchdarstellung davon (siehe Link oben) ist: [ 0; 1, 1, 2, 2, 3, 1, 5...]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die entsprechenden Konvergenten sind: 0, 1, 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53. Dazu kommen Semikonvergenten 2/3, 4/7, 10/17, 17/29.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Jede dieser rationalen Zaheln ist gemäss der Theorie der Kettenbrüche eine optimale Approximation der ursprünglichen Zahl in dem Sinn, dass keine rationale Zahl mit gleichem oder kleinerem Nenner eine bessere Approximation liefert. Das heisst in diesem Zusammenhang zum Beispiel, dass die heute am weitesten verbreitete Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; eine bessere Annäherumg für die reine Quinte liefert als alle kleineren gleichstuifigen Unterteilungen, die folgenden Unterteilungen (13edo, 14edo,15edo und 16edo) hingegen schlechtere, 17edo dann wieder eine noch bessere.Die nächstbessere i00st dann 29edo, gefolgt von 41edo und 53edo.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Die Theorie der Kettenbrüche hat diverse Anwendungen in der Musiktheorie. Eine davon ist es, "optimale" Annäherungen von reinen (rationalen) Musikintervallen in [[edo|gleichstufigen Temperamenten]] zu finden.

Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus &lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der [[Prime|Prim]] zur [[Oktave|Oktave]] aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von "optimalen" Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.&lt;/span&gt;

Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der [[Zweierlogarithmus|Zweierlogarithmus]] hat den Wert 0.5849625...

Der Beginn der Kettenbruchdarstellung davon (siehe Link oben) ist: [ 0; 1, 1, 2, 2, 3, 1, 5...]

Die entsprechenden Konvergenten sind: 0, 1, 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53. Dazu kommen Semikonvergenten 2/3, 4/7, 10/17, 17/29.

Alle Konvergenten sind gemäss der Theorie der Kettenbrüche eine optimale Approximation der ursprünglichen Zahl in dem Sinn, dass keine andere rationale Zahl mit gleichem oder kleinerem Nenner eine bessere Approximation liefert. Die Semikonvergenten dagegen können potentiell eine bessere Approximation liefern, aber nicht zwangsweise. Das heisst in diesem Zusammenhang zum Beispiel, dass die heute am weitesten verbreitete Stimmung [[12-EDO]] eine bessere Annäherung für die reine Quinte liefert als alle kleineren gleichstu&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;figen Unterteilungen, die folgenden Unterteilungen ([[13-EDO]], [[14-EDO]], [[15-EDO]] und [[16-EDO]]) hingegen keine bessere. Die mit [[17-EDO]] assoziierte Semikonvergente könnte eine bessere Annäherung als 12edo liefern, ein Test zeigt jedoch, dass dies nicht der Fall ist. [[29-EDO]], auf der anderen Seite, stellt sich als genauere Approximation heraus, gefolgt von den Konvergenten [[41-EDO]] und [[53-EDO]]. Ferner sieht man, dass die Approximation der Quinte in 12-EDO die vertrauten 7 Schritte enthält, die Quinte in 17-EDO 10 Schritte, die in 410edo 24 Schritte und so fort.&lt;/span&gt;  [[Category:Mathematik]]</text>
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[http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch Kettenbruch (Wikipedia)]

Die Theorie der Kettenbrüche hat diverse Anwendungen in der Musiktheorie. Eine davon ist es, "optimale" Annäherungen von reinen (rationalen) Musikintervallen in [[edo|gleichstufigen Temperamenten]] zu finden.

Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus &lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der [[Prime|Prim]] zur [[Oktave|Oktave]] aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von "optimalen" Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.&lt;/span&gt;

Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der [[Zweierlogarithmus|Zweierlogarithmus]] hat den Wert 0.5849625...

Der Beginn der Kettenbruchdarstellung davon (siehe Link oben) ist: [ 0; 1, 1, 2, 2, 3, 1, 5...]

Die entsprechenden Konvergenten sind: 0, 1, 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53. Dazu kommen Semikonvergenten 2/3, 4/7, 10/17, 17/29.

Alle Konvergenten sind gemäss der Theorie der Kettenbrüche eine optimale Approximation der ursprünglichen Zahl in dem Sinn, dass keine andere rationale Zahl mit gleichem oder kleinerem Nenner eine bessere Approximation liefert. Die Semikonvergenten dagegen können potentiell eine bessere Approximation liefern, aber nicht zwangsweise. Das heisst in diesem Zusammenhang zum Beispiel, dass die heute am weitesten verbreitete Stimmung [[12-EDO]] eine bessere Annäherung für die reine Quinte liefert als alle kleineren gleichstu&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;figen Unterteilungen, die folgenden Unterteilungen ([[13-EDO]], [[14-EDO]], [[15-EDO]] und [[16-EDO]]) hingegen keine bessere. Die mit [[17-EDO]] assoziierte Semikonvergente könnte eine bessere Annäherung als 12edo liefern, ein Test zeigt jedoch, dass dies nicht der Fall ist. [[29-EDO]], auf der anderen Seite, stellt sich als genauere Approximation heraus, gefolgt von den Konvergenten [[41-EDO]] und [[53-EDO]]. Ferner sieht man, dass die Approximation der Quinte in 12-EDO die vertrauten 7 Schritte enthält, die Quinte in 17-EDO 10 Schritte, die in 410edo 24 Schritte und so fort.&lt;/span&gt;  [[Category:Mathematik]]</text>
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Die Theorie der Kettenbrüche hat diverse Anwendungen in der Musiktheorie. Eine davon ist es, "optimale" Annäherungen von reinen (rationalen) Musikintervallen in [[edo|gleichstufigen Temperamenten]] zu finden.

Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus &lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der [[Prime|Prim]] zur [[Oktave|Oktave]] aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von "optimalen" Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.&lt;/span&gt;

Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der [[Zweierlogarithmus|Zweierlogarithmus]] hat den Wert 0.5849625...

Der Beginn der Kettenbruchdarstellung davon (siehe Link oben) ist: [ 0; 1, 1, 2, 2, 3, 1, 5...]

Die entsprechenden Konvergenten sind: 0, 1, 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53. Dazu kommen Semikonvergenten 2/3, 4/7, 10/17, 17/29.

Alle Konvergenten sind gemäss der Theorie der Kettenbrüche eine optimale Approximation der ursprünglichen Zahl in dem Sinn, dass keine andere rationale Zahl mit gleichem oder kleinerem Nenner eine bessere Approximation liefert. Die Semikonvergenten dagegen können potentiell eine bessere Approximation liefern, aber nicht zwangsweise. Das heisst in diesem Zusammenhang zum Beispiel, dass die heute am weitesten verbreitete Stimmung [[12-EDO]] eine bessere Annäherung für die reine Quinte liefert als alle kleineren gleichstu&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;figen Unterteilungen, die folgenden Unterteilungen ([[13-EDO]], [[14-EDO]], [[15-EDO]] und [[16-EDO]]) hingegen keine bessere. Die mit [[17-EDO]] assoziierte Semikonvergente könnte eine bessere Annäherung als 12edo liefern, ein Test zeigt jedoch, dass dies nicht der Fall ist. [[29-EDO]], auf der anderen Seite, stellt sich als genauere Approximation heraus, gefolgt von den Konvergenten [[41-EDO]] und [[53-EDO]]. Ferner sieht man, dass die Approximation der Quinte in 12-EDO die vertrauten 7 Schritte enthält, die Quinte in 17-EDO 10 Schritte, die in 410edo 24 Schritte und so fort.&lt;/span&gt;  [[Category:Mathematik]]</text>
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      <text bytes="838" sha1="jodn8hmrhox2due3rew4qgjdah2ypwv" xml:space="preserve">Als '''Klassische Notation''' (auch '''Mitteltönige Notation''') kann man die "klassische" Methode zum Festhalten von Tonhöhen bezeichnen, die von vorbachscher Zeit bis zum Jazz benutzt wird. Sie zieht eine klare Grenze zwischen fis und ges, glaubt andererseits fest daran, dass mit dem kleinen Unterschied zwischen d (als kleine Terz unter F) und d (als reine Quinte unter A) "schon irgendwie alles gut gehen" wird.

Neben den '''Stammtönen''' (z.B. C D E F G A H) kommen '''Versetzungszeichen''' Kreuz und Be zum Einsatz, die diese Stammtöne erhöhen oder erniedrigen. Das absolute Maß dieser Veränderung hängt vom verwendeten Tonsystem ab: es ergibt sich aus der Differenz zwischen dem kleinen und dem großen diatonischen Schritt...

Notationssysteme dieser Art sind für alle Tonsysteme geeignet, die...  [[Category:Notation]]</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Neben den **Stammtönen** (z.B. C D E F G A H) kommen **Versetzungszeichen** Kreuz und Be zum Einsatz, die diese Stammtöne erhöhen oder erniedrigen. Das absolute Maß dieser Veränderung hängt vom verwendeten Tonsystem ab: es ergibt sich aus der Differenz zwischen dem kleinen und dem großen diatonischen Schritt...

Notationssysteme dieser Art sind für alle Tonsysteme geeignet, die...
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&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Neben den &amp;lt;strong&amp;gt;Stammtönen&amp;lt;/strong&amp;gt; (z.B. C D E F G A H) kommen &amp;lt;strong&amp;gt;Versetzungszeichen&amp;lt;/strong&amp;gt; Kreuz und Be zum Einsatz, die diese Stammtöne erhöhen oder erniedrigen. Das absolute Maß dieser Veränderung hängt vom verwendeten Tonsystem ab: es ergibt sich aus der Differenz zwischen dem kleinen und dem großen diatonischen Schritt...&amp;lt;br /&amp;gt;
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Neben den Stammtönen (z.B. C D E F G A H) kommen Versetzungszeichen Kreuz und Be zum Einsatz, die diese Stammtöne erhöhen oder erniedrigen. Das absolute Maß dieser Veränderung hängt vom verwendeten Tonsystem ab: es ergibt sich aus der Differenz zwischen dem kleinen und dem großen diatonischen Schritt...

Notationssysteme dieser Art sind für alle Tonsysteme geeignet, die...
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&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Neben den Stammtönen (z.B. C D E F G A H) kommen Versetzungszeichen Kreuz und Be zum Einsatz, die diese Stammtöne erhöhen oder erniedrigen. Das absolute Maß dieser Veränderung hängt vom verwendeten Tonsystem ab: es ergibt sich aus der Differenz zwischen dem kleinen und dem großen diatonischen Schritt...&amp;lt;br /&amp;gt;
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Notationssysteme dieser Art sind für alle Tonsysteme geeignet, die...&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-28 15:00:42 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Als **MOS-Notation** (alternativ vielleicht [[Mitteltönige Notation]]) kann man die "klassische" Methode zum Festhalten von Tonhöhen bezeichnen, die von vorbachscher Zeit bis zum Jazz benutzt wird. Sie zieht eine klare Grenze zwischen fis und ges, glaubt andererseits fest daran, dass mit dem kleinen Unterschied zwischen d (als kleine Terz unter F) und d (als reine Quinte unter A) "schon irgendwie alles gut gehen" wird.

Neben den Stammtönen (z.B. C D E F G A H) kommen Versetzungszeichen Kreuz und Be zum Einsatz, die diese Stammtöne erhöhen oder erniedrigen. Das absolute Maß dieser Veränderung hängt vom verwendeten Tonsystem ab: es ergibt sich aus der Differenz zwischen dem kleinen und dem großen diatonischen Schritt...

Notationssysteme dieser Art sind für alle Tonsysteme geeignet, die...

siehe auch [[MOS-Skalen]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Neben den Stammtönen (z.B. C D E F G A H) kommen Versetzungszeichen Kreuz und Be zum Einsatz, die diese Stammtöne erhöhen oder erniedrigen. Das absolute Maß dieser Veränderung hängt vom verwendeten Tonsystem ab: es ergibt sich aus der Differenz zwischen dem kleinen und dem großen diatonischen Schritt...&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Notationssysteme dieser Art sind für alle Tonsysteme geeignet, die...&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Als **MOS-Notation** (alternativ vielleicht [[Mitteltönige Notation]]) kann man die "klassische" Methode zum Festhalten von Tonhöhen bezeichnen, die von vorbachscher Zeit bis zum Jazz benutzt wird. Sie zieht eine klare Grenze zwischen fis und ges, glaubt andererseits fest daran, dass mit dem kleinen Unterschied zwischen d (als kleine Terz unter F) und d (als reine Quinte unter A) "schon irgendwie alles gut gehen" wird.

Neben den Stammtönen (z.B. C D E F G A H) kommen Versetzungszeichen Kreuz und Be zum Einsatz, die diese Stammtöne erhöhen oder erniedrigen. Das absolute Maß dieser Veränderung hängt vom verwendeten Tonsystem ab: es ergibt sich aus der Differenz zwischen dem kleinen und dem großen diatonischen Schritt...

Notationssysteme dieser Art sind für alle Tonsysteme geeignet, die...
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Neben den Stammtönen (z.B. C D E F G A H) kommen Versetzungszeichen Kreuz und Be zum Einsatz, die diese Stammtöne erhöhen oder erniedrigen. Das absolute Maß dieser Veränderung hängt vom verwendeten Tonsystem ab: es ergibt sich aus der Differenz zwischen dem kleinen und dem großen diatonischen Schritt...&amp;lt;br /&amp;gt;
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      <text bytes="842" sha1="g9oj5vx1g2syifswx0r61z3w2q2i40e" xml:space="preserve">Als '''Klassische Notation''' (auch '''Mitteltönige Notation''') kann man die "klassische" Methode zum Festhalten von Tonhöhen bezeichnen, die von vorbachscher Zeit bis zum Jazz benutzt wird. Sie zieht eine klare Grenze zwischen fis und ges, glaubt andererseits fest daran, dass mit dem kleinen Unterschied zwischen d (als kleine Terz unter F) und d (als reine Quinte unter A) "schon irgendwie alles gut gehen" wird.

Neben den '''Stammtönen''' (z.B. C D E F G A H) kommen '''Versetzungszeichen''' Kreuz und Be zum Einsatz, die diese Stammtöne erhöhen oder erniedrigen. Das absolute Maß dieser Veränderung hängt vom verwendeten [[Tonsystem]] ab: es ergibt sich aus der Differenz zwischen dem kleinen und dem großen diatonischen Schritt...

Notationssysteme dieser Art sind für alle Tonsysteme geeignet, die...  [[Category:Notation]]</text>
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Als '''Komma''' wird ein kleines [[Intervall|Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Temperierung|Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

Deutschsprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29 Komma (Musik) - Wikipedia]

==Seiten über konkrete Kommas auf diesem Wiki==

{| class="wikitable"
|-
! | Frequenzverhältnis
! | [[Cent|Cents]]
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| | Schisma
|-
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| | kleines septimales Komma, Starling-Komma
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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| | Jubilisma, Jubilee-Komma
|-
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| | Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton
|-
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| | Diësis, kleine Diësis, enharmonisches Komma
|-
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|}
[[Category:Komma]]
[[Category:Theorie]]</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-05-17 10:49:29 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;[[media type="custom" key="26424290"]]
English: [[xenharmonic/Comma]]

Als **Komma** wird ein kleines [[Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

Deutschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29|Komma (Musik) - Wikipedia]]

==Seiten über konkrete Kommas auf diesem Wiki== 
||~ Frequenzverhältnis ||~ [[Cent|Cents]] ||~ Name(n) ||
||= [[32805_32768|32805 / 32768]] ||&amp;gt; 1,9537 || Schisma ||
||= [[225_224|225 / 224]] ||&amp;gt; 7,7115 || septimales Kleisma ||
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||= [[100_99|100/99]] || 17.399 || Ptolemäus-Komma ||
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||= [[531441_524288|531441 / 524288]] ||&amp;gt; 23,4600 || pythagoräisches Komma ||
||= [[64_63|64 / 63]] ||&amp;gt; 27,2641 || Archytas-Komma, Leipziger Komma ||
||= [[50_49|50 / 49]] ||&amp;gt; 34,9756 || Jubilisma, Jubilee-Komma ||
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&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Als &amp;lt;strong&amp;gt;Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; wird ein kleines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervall&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Temperierung"&amp;gt;Temperierung&amp;lt;/a&amp;gt; geschickt zu verteilen sucht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Deutschsprachige Einführung:&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-05-17 10:49:25 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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English: [[xenharmonic/Comma]]

Als **Komma** wird ein kleines [[Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

Deutschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29|Komma (Musik) - Wikipedia]]

==Seiten über konkrete Kommas auf diesem Wiki== 
||~ Frequenzverhältnis ||~ [[Cent|Cents]] ||~ Name(n) ||
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||= [[2048_2025|2048 / 2025]] ||&amp;gt; 19,5526 || Diaschisma ||
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&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Komma&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:0:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/custom/26424290?h=0&amp;amp;amp;w=0&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaCustom&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;custom&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;26424290&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Custom Media&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;script language="JavaScript" type="text/javascript"&amp;gt;
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English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Comma"&amp;gt;xenharmonic/Comma&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als &amp;lt;strong&amp;gt;Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; wird ein kleines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervall&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Temperierung"&amp;gt;Temperierung&amp;lt;/a&amp;gt; geschickt zu verteilen sucht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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English: [[xenharmonic/Comma]]

Als **Komma** wird ein kleines [[Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

Deutschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29|Komma (Musik) - Wikipedia]]

==Seiten über konkrete Kommas auf diesem Wiki== 
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&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Comma"&amp;gt;xenharmonic/Comma&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Als &amp;lt;strong&amp;gt;Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; wird ein kleines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervall&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Temperierung"&amp;gt;Temperierung&amp;lt;/a&amp;gt; geschickt zu verteilen sucht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Deutschsprachige Einführung:&amp;lt;br /&amp;gt;
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        <username>Wikispaces&gt;xenwolf</username>
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      <comment>**Imported revision 517788592 - Original comment: Brüche zentriert**</comment>
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;Brüche zentriert&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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English: [[xenharmonic/Comma]]

Als **Komma** wird ein kleines [[Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

Deutschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29|Komma (Musik) - Wikipedia]]

==Seiten über konkrete Kommas auf diesem Wiki== 
||~ Frequenzverhältnis ||~ [[Cent|Cents]] ||~ Name(n) ||
||= [[32805_32768|32805 / 32768]] ||&amp;gt; 1,9537 || Schisma ||
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&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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      <comment>**Imported revision 517788562 - Original comment: 4 Stellen nach dem Komma. Deutsche Formatierung, so kompatibel zu lokalisierten Rechner-Anwendungen: Zwischenablage kann genutzt werden**</comment>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2014-08-05 05:16:18 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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English: [[xenharmonic/Comma]]

Als **Komma** wird ein kleines [[Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

Deutschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29|Komma (Musik) - Wikipedia]]

==Seiten über konkrete Kommas auf diesem Wiki== 
||~ Frequenzverhältnis ||~ [[Cent|Cents]] ||~ Name(n) ||
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|| [[225_224|225 / 224]] ||&amp;gt; 7,7115 || septimales Kleisma ||
|| [[126_125|126 / 125]] ||&amp;gt; 13,7948 || kleines septimales Komma, Starling-Komma ||
|| [[2048_2025|2048 / 2025]] ||&amp;gt; 19,5526 || Diaschisma ||
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|| [[50_49|50 / 49]] ||&amp;gt; 34,9756 || Jubilisma, Jubilee-Komma ||
|| [[128_125|128 / 125]] ||&amp;gt; 41,0589 || Diësis, kleine Diësis, enharmonisches Komma ||
|| [[36_35|36 / 35]] ||&amp;gt; 48,7704 || septimaler Viertelton ||
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&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Komma&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:0:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/custom/26424290?h=0&amp;amp;amp;w=0&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaCustom&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;custom&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;26424290&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Custom Media&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;script language="JavaScript" type="text/javascript"&amp;gt;
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Als &amp;lt;strong&amp;gt;Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; wird ein kleines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervall&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Temperierung"&amp;gt;Temperierung&amp;lt;/a&amp;gt; geschickt zu verteilen sucht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2014-08-05 04:36:50 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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English: [[xenharmonic/Comma]]

Als **Komma** wird ein kleines [[Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

Deutschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29|Komma (Musik) - Wikipedia]]

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||~ Frequenzverhältnis ||~ [[Cent|Cents]] ||~ Name(n) ||
|| [[32805_32768|32'805/32'768]] || 1.9537 || Schisma ||
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|| [[2048_2025|2048/2025]] ||&amp;gt; 19.553 || Diaschisma ||
|| [[81_80|81/80]] ||&amp;gt; 21.506 || syntonisches Komma ||
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|| [[250_243|250/243]] ||&amp;gt; 49.166 || Porcupine-Komma ||&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Komma&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:0:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/custom/26424290?h=0&amp;amp;amp;w=0&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaCustom&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;custom&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;26424290&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Custom Media&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;script language="JavaScript" type="text/javascript"&amp;gt;
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Deutschsprachige Einführung:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29" rel="nofollow"&amp;gt;Komma (Musik) - Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:1:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Seiten über konkrete Kommas auf diesem Wiki"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:1 --&amp;gt;Seiten über konkrete Kommas auf diesem Wiki&amp;lt;/h2&amp;gt;
 

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        <username>Wikispaces&gt;xenwolf</username>
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English: [[xenharmonic/Comma]]

Als **Komma** wird ein kleines [[Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

Deutschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29|Komma (Musik) - Wikipedia]]

==Seiten über konkrete Kommas auf diesem Wiki== 
||~ Frequenzverhältnis ||~ [[Cent|Cents]] ||~ Name(n) ||
|| [[32805_32768|32'805/32'768]] || 1.9537 || Schisma ||
|| [[225_224|225/224]] ||&amp;gt; 7.7 || septimales Kleisma ||
|| [[126_125|126/125]] ||&amp;gt; 13.79 || kleines septimales Komma, Starling-Komma ||
|| [[2048_2025|2048/2025]] ||&amp;gt; 19.553 || Diaschisma ||
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&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2014-08-05 03:50:57 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Comma]]

Als **Komma** wird ein kleines [[Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

Deutschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29|Komma (Musik) - Wikipedia]]

==Seiten über konkrete Kommas auf diesem Wiki== 
||~ Frequenzverhältnis ||~ [[Cent|Cents]] ||~ Name(n) ||
|| [[32805_32768|32'805/32'768]] || 1.9537 || Schisma ||
|| [[225_224|225/224]] ||&amp;gt; 7.7 || septimales Kleisma ||
|| [[126_125|126/125]] ||&amp;gt; 13.79 || kleines septimales Komma, Starling-Komma ||
|| [[2048_2025|2048/2025]] ||&amp;gt; 19.553 || Diaschisma ||
|| [[81_80|81/80]] ||&amp;gt; 21.506 || syntonisches Komma ||
|| [[531441_524288|531'441/524'288]] ||&amp;gt; 23.460 || pythagoräisches Komma ||
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|| [[250_243|250/243]] ||&amp;gt; 49.166 || Porcupine-Komma ||&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Komma&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Comma"&amp;gt;xenharmonic/Comma&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als &amp;lt;strong&amp;gt;Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; wird ein kleines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervall&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Temperierung"&amp;gt;Temperierung&amp;lt;/a&amp;gt; geschickt zu verteilen sucht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Deutschsprachige Einführung:&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2014-08-05 03:50:12 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Comma]]

Als **Komma** wird ein kleines [[Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

Deutschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29|Komma (Musik) - Wikipedia]]

==Seiten über konkrete Kommas auf diesem Wiki== 
||~ Frequenzverhältnis ||~ [[Cent|Cents]] ||~ Name(n) ||
|| [[32805_32768|32'805/32'768]] || 1.9537 || Schisma ||
|| [[225_224|225/224]] ||&amp;gt; 7.7 || septimales Kleisma ||
|| [[126_125|126/125]] ||&amp;gt; 13.79 || kleines septimales Komma, Starling-Komma ||
|| [[2048_2025|2048/2025]] ||&amp;gt; 19.553 || Diaschisma ||
|| [[81_80|81/80]] ||&amp;gt; 21.506 || syntonisches Komma ||
|| [[531441_524288|531441/524288]] ||&amp;gt; 23.460 || pythagoräisches Komma ||
|| [[64_63|64/63]] ||&amp;gt; 27.264 || Archytas-Komma, Leipziger Komma ||
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|| [[128_125|128/125]] ||&amp;gt; 41.059 || Diësis, kleine Diësis, enharmonisches Komma ||
|| [[36_35|36/35]] ||&amp;gt; 48.77 || septimaler Viertelton ||
|| [[250_243|250/243]] ||&amp;gt; 49.166 || Porcupine-Komma ||&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Als &amp;lt;strong&amp;gt;Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; wird ein kleines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervall&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Temperierung"&amp;gt;Temperierung&amp;lt;/a&amp;gt; geschickt zu verteilen sucht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Deutschsprachige Einführung:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29" rel="nofollow"&amp;gt;Komma (Musik) - Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Frequenzverhältnis&amp;lt;br /&amp;gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Comma]]

Als **Komma** wird ein kleines [[Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

Deutschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29|Komma (Musik) - Wikipedia]]

==Seiten über konkrete Kommas auf diesem Wiki== 
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|| [[126_125|126/125]] ||&amp;gt; 13.79 || kleines septimales Komma, Starling-Komma ||
|| [[2048_2025|2048/2025]] ||&amp;gt; 19.553 || Diaschisma ||
|| [[81_80|81/80]] ||&amp;gt; 21.506 || syntonisches Komma ||
|| [[531441_524288|531441/524288]] ||&amp;gt; 23.460 || pythagoräisches Komma ||
|| [[64_63|64/63]] ||&amp;gt; 27.264 || Archytas-Komma, Leipziger Komma ||
|| [[50_49|50/49]] ||&amp;gt; 34.98 || Jubilisma, Jubilee-Komma ||
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|| [[250_243|250/243]] ||&amp;gt; 49.166 || Porcupine-Komma ||&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Komma&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Comma"&amp;gt;xenharmonic/Comma&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als &amp;lt;strong&amp;gt;Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; wird ein kleines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervall&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Temperierung"&amp;gt;Temperierung&amp;lt;/a&amp;gt; geschickt zu verteilen sucht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Als **Komma** wird ein kleines [[Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

Deutschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29|Komma (Musik) - Wikipedia]]

==Seiten über konkrete Kommas auf diesem Wiki== 
||~ Frequenzverhältnis ||~ [[Cent|Cents]] ||~ Name(n) ||
|| [[225_224|225/224]] ||&amp;gt; 7.7 || septimales Kleisma ||
|| [[126_125|126/125]] ||&amp;gt; 13.79 || kleines septimales Komma, Starling-Komma ||
|| [[2048_2025|2048/2025]] ||&amp;gt; 19.553 || Diaschisma ||
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|| [[250_243|250/243]] ||&amp;gt; 49.166 || Porcupine-Komma ||&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Als &amp;lt;strong&amp;gt;Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; wird ein kleines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervall&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Temperierung"&amp;gt;Temperierung&amp;lt;/a&amp;gt; geschickt zu verteilen sucht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Deutschsprachige Einführung:&amp;lt;br /&amp;gt;
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Als **Komma** wird ein kleines [[Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

Deutschsprachige Einführung:
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|| [[250_243|250/243]] ||&amp;gt; 49.166 || Porcupine-Komma ||&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Als &amp;lt;strong&amp;gt;Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; wird ein kleines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervall&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Temperierung"&amp;gt;Temperierung&amp;lt;/a&amp;gt; geschickt zu verteilen sucht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Als **Komma** wird ein kleines [[Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

Deutschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29|Komma (Musik) - Wikipedia]]

Seiten über konkrete Kommas auf diesem Wiki:
||~ Frequenzverhältnis ||~ [[Cent|Cents]] ||~ Name(n) ||
|| [[225_224|225/224]] ||&amp;gt; 7.7 || septimales Kleisma ||
|| [[126_125|126/125]] ||&amp;gt; 13.79 || kleines septimales Komma ||
|| [[2048_2025|2048/2025]] ||&amp;gt; 19.553 || Diaschisma ||
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Als &amp;lt;strong&amp;gt;Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; wird ein kleines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervall&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Temperierung"&amp;gt;Temperierung&amp;lt;/a&amp;gt; geschickt zu verteilen sucht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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Als **Komma** wird ein kleines [[Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

Deutschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29|Komma (Musik) - Wikipedia]]

Seiten über konkrete Kommas auf diesem Wiki:
||~ Frequenzverhältnis ||~ [[Cent|Cents]] ||~ Name(n) ||
|| [[225_224|225/224]] || 7.7 || septimales Kleisma ||
|| [[126_125|126/125]] || 13.79 || kleines septimales Komma ||
|| [[2048_2025|2048/2025]] || 19.553 || Diaschisma ||
|| [[81_80|81/80]] || 21.506 || syntonisches Komma ||
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Als &amp;lt;strong&amp;gt;Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; wird ein kleines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervall&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Temperierung"&amp;gt;Temperierung&amp;lt;/a&amp;gt; geschickt zu verteilen sucht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-07-03 09:03:13 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Comma]]

Als **Komma** wird ein kleines [[Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

Deutschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29|Komma (Musik) - Wikipedia]]

Seiten über konkrete Kommas auf diesem Wiki:
||~ Frequenzverhältnis ||~ [[Cent|Cents]] ||~ Name(n) ||
|| [[225_224|225/224]] || 7.7 || septimales Kleisma ||
|| [[126_125|126/125]] || 13.79 || kleines septimales Komma ||
|| [[2048_2025|2048/2025]] || 19.553 || Diaschisma ||
|| [[81_80|81/80]] || 21.506 || syntonisches Komma ||
|| [[531441_524288|531441/524288]] || 23.460 || pythagoräisches Komma ||
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|| [[128_125|128/125 (41.059 Cents, Diësis, kleine Diësis, enharmonisches Komma)]] ||   ||   ||
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|| [[250_243|250/243 (49.166 Cents, Porcupine-Komma)]] ||   ||   ||&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Komma&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Comma"&amp;gt;xenharmonic/Comma&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als &amp;lt;strong&amp;gt;Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; wird ein kleines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervall&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Temperierung"&amp;gt;Temperierung&amp;lt;/a&amp;gt; geschickt zu verteilen sucht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Deutschsprachige Einführung:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29" rel="nofollow"&amp;gt;Komma (Musik) - Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Seiten über konkrete Kommas auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;


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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-07-03 09:02:05 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Als **Komma** wird ein kleines [[Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

Deutschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29|Komma (Musik) - Wikipedia]]

Seiten über konkrete Kommas auf diesem Wiki:
||~ Frequenzverhältnis ||~ [[Cent|Cents]] ||~ Name(n) ||
|| [[225_224|225/224]] || 7.7 || septimales Kleisma ||
|| [[126_125|126/125]] || 13.79 || kleines septimales Komma ||
|| [[2048_2025|2048/2025]] || 19.553 || Diaschisma ||
|| [[81_80|81/80]] || 21.506 || syntonisches Komma ||
|| [[531441_524288|531441/524288]] || 23.460 || pythagoräisches Komma ||
|| [[64_63|64/63 ((27.264 Cents, Archytas-Komma, Leipziger Komma)]] ||   ||   ||
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&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Als &amp;lt;strong&amp;gt;Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; wird ein kleines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervall&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Temperierung"&amp;gt;Temperierung&amp;lt;/a&amp;gt; geschickt zu verteilen sucht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Deutschsprachige Einführung:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29" rel="nofollow"&amp;gt;Komma (Musik) - Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Frequenzverhältnis&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-07-03 09:01:42 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Comma]]

Als **Komma** wird ein kleines [[Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

Deutschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29|Komma (Musik) - Wikipedia]]

Seiten über konkrete Kommas auf diesem Wiki:
||~ Frequenzverhältnis ||~ Cents ||~ Name(n) ||
|| [[225_224|225/224]] || 7.7 || septimales Kleisma ||
|| [[126_125|126/125]] || 13.79 || kleines septimales Komma ||
|| [[2048_2025|2048/2025]] || 19.553 || Diaschisma ||
|| [[81_80|81/80]] || 21.506 || syntonisches Komma ||
|| [[531441_524288|531441/524288]] || 23.460 || pythagoräisches Komma ||
|| [[64_63|64/63 ((27.264 Cents, Archytas-Komma, Leipziger Komma)]] ||   ||   ||
|| [[50_49|50/49 (34.98 Cents, Jubilisma, Jubilee-Komma)]] ||   ||   ||
|| [[128_125|128/125 (41.059 Cents, Diësis, kleine Diësis, enharmonisches Komma)]] ||   ||   ||
|| [[36_35|36/35 ( 48.77 Cents, septimale Diësis, ]][[36_35|septimaler Viertelton)]] ||   ||   ||
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&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Komma&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Comma"&amp;gt;xenharmonic/Comma&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als &amp;lt;strong&amp;gt;Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; wird ein kleines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervall&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Temperierung"&amp;gt;Temperierung&amp;lt;/a&amp;gt; geschickt zu verteilen sucht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Deutschsprachige Einführung:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29" rel="nofollow"&amp;gt;Komma (Musik) - Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Seiten über konkrete Kommas auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-07-03 09:00:10 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Comma]]

Als **Komma** wird ein kleines [[Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

Deutschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29|Komma (Musik) - Wikipedia]]

Seiten über konkrete Kommas auf diesem Wiki:
||~ Frequenzverhältnis ||~ Cents ||~ Name(n) ||
|| [[225_224|225/224]] || 7.7 || septimales Kleisma ||
|| [[126_125|126/125]] || 13.79 || kleines septimales Komma ||
|| [[2048_2025|2048/2025]] || 19.553 || Diaschisma ||
|| [[81_80|81/80 ( 21.506 Cents, syntonisches Komma)]] ||   ||   ||
|| [[531441_524288|531441/524288 (23.460 Cents, pythagoräisches Komma)]] ||   ||   ||
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Als &amp;lt;strong&amp;gt;Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; wird ein kleines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervall&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Temperierung"&amp;gt;Temperierung&amp;lt;/a&amp;gt; geschickt zu verteilen sucht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Deutschsprachige Einführung:&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Frequenzverhältnis&amp;lt;br /&amp;gt;
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-07-03 08:59:30 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;440350284&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Comma]]

Als **Komma** wird ein kleines [[Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

Deutschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29|Komma (Musik) - Wikipedia]]

Seiten über konkrete Kommas auf diesem Wiki:
||~ Frequenzverhältnis ||~ Cents ||~ Name(n) ||
|| [[225_224|225/224]] || 7.7 || septimales Kleisma ||
|| [[126_125|126/125]] || 13.79 || kleines septimales Komma ||
|| [[2048_2025|2048/2025 (19.553 Cents, Diaschisma)]] ||   ||   ||
|| [[81_80|81/80 ( 21.506 Cents, syntonisches Komma)]] ||   ||   ||
|| [[531441_524288|531441/524288 (23.460 Cents, pythagoräisches Komma)]] ||   ||   ||
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&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Komma&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Comma"&amp;gt;xenharmonic/Comma&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als &amp;lt;strong&amp;gt;Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; wird ein kleines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervall&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Temperierung"&amp;gt;Temperierung&amp;lt;/a&amp;gt; geschickt zu verteilen sucht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Deutschsprachige Einführung:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29" rel="nofollow"&amp;gt;Komma (Musik) - Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Seiten über konkrete Kommas auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;


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        &amp;lt;td&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/2048_2025"&amp;gt;2048/2025 (19.553 Cents, Diaschisma)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-07-03 08:56:41 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;440350014&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Comma]]

Als **Komma** wird ein kleines [[Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

Deutschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29|Komma (Musik) - Wikipedia]]

Seiten über konkrete Kommas auf diesem Wiki:
[[225_224|225/224 (7.7 Cents, septimales Kleisma)]]
[[126_125|126/125 (13.79 Cents, kleines septimales Komma)]]
[[2048_2025|2048/2025 (19.553 Cents, Diaschisma)]]
[[81_80|81/80 ( 21.506 Cents, syntonisches Komma)]]
[[531441_524288|531441/524288 (23.460 Cents, pythagoräisches Komma)]]
[[64_63|64/63 ((27.264 Cents, Archytas-Komma, Leipziger Komma)]]
[[50_49|50/49 (34.98 Cents, Jubilisma, Jubilee-Komma)]]
[[128_125|128/125 (41.059 Cents, Diësis, kleine Diësis, enharmonisches Komma)]]
[[36_35|36/35 ( 48.77 Cents, septimale Diësis, ]][[36_35|septimaler Viertelton)]]
[[250_243|250/243 (49.166 Cents, Porcupine-Komma)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Komma&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Comma"&amp;gt;xenharmonic/Comma&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als &amp;lt;strong&amp;gt;Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; wird ein kleines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervall&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Temperierung"&amp;gt;Temperierung&amp;lt;/a&amp;gt; geschickt zu verteilen sucht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Deutschsprachige Einführung:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29" rel="nofollow"&amp;gt;Komma (Musik) - Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Seiten über konkrete Kommas auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;225/224 (7.7 Cents, septimales Kleisma)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/126_125"&amp;gt;126/125 (13.79 Cents, kleines septimales Komma)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;531441/524288 (23.460 Cents, pythagoräisches Komma)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;64/63 ((27.264 Cents, Archytas-Komma, Leipziger Komma)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;50/49 (34.98 Cents, Jubilisma, Jubilee-Komma)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/128_125"&amp;gt;128/125 (41.059 Cents, Diësis, kleine Diësis, enharmonisches Komma)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/36_35"&amp;gt;36/35 ( 48.77 Cents, septimale Diësis, &amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/36_35"&amp;gt;septimaler Viertelton)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243 (49.166 Cents, Porcupine-Komma)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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      <comment>**Imported revision 440346862 - Original comment: **</comment>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-07-03 08:13:47 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Comma]]

Als **Komma** wird ein kleines [[Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

Deutschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29|Komma (Musik) - Wikipedia]]

Seiten über konkrete Kommas auf diesem Wiki:
[[126_125|126/125 (13.79 Cents, kleines septimales Komma)]]
[[2048_2025|2048/2025 (19.553 Cents, Diaschisma)]]
[[81_80|81/80 ( 21.506 Cents, syntonisches Komma)]]
[[531441_524288|531441/524288 (23.460 Cents, pythagoräisches Komma)]]
[[64_63|64/63 ((27.264 Cents, Archytas-Komma, Leipziger Komma)]]
[[50_49|50/49 (34.98 Cents, Jubilisma, Jubilee-Komma)]]
[[128_125|128/125 (41.059 Cents, Diësis, kleine Diësis, enharmonisches Komma)]]
[[36_35|36/35 ( 48.77 Cents, septimale Diësis, ]][[36_35|septimaler Viertelton)]]
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&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Als &amp;lt;strong&amp;gt;Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; wird ein kleines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervall&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Temperierung"&amp;gt;Temperierung&amp;lt;/a&amp;gt; geschickt zu verteilen sucht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Deutschsprachige Einführung:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29" rel="nofollow"&amp;gt;Komma (Musik) - Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Seiten über konkrete Kommas auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/126_125"&amp;gt;126/125 (13.79 Cents, kleines septimales Komma)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/2048_2025"&amp;gt;2048/2025 (19.553 Cents, Diaschisma)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_80"&amp;gt;81/80 ( 21.506 Cents, syntonisches Komma)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-07-03 04:28:51 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Als **Komma** wird ein kleines [[Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

Deutschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29|Komma (Musik) - Wikipedia]]

Seiten über konkrete Kommas auf diesem Wiki:
[[2048_2025|2048/2025 (19.553 Cents, Diaschisma)]]
[[81_80|81/80 ( 21.506 Cents, syntonisches Komma)]]
[[531441_524288|531441/524288 (23.460 Cents, pythagoräisches Komma)]]
[[64_63|64/63 ((27.264 Cents, Archytas-Komma, Leipziger Komma)]]
[[50_49|50/49 (34.98 Cents, Jubilisma, Jubilee-Komma)]]
[[128_125|128/125 (41.059 Cents, Diësis, kleine Diësis, enharmonisches Komma)]]
[[36_35|36/35 ( 48.77 Cents, septimale Diësis, ]][[36_35|septimaler Viertelton)]]
[[250_243|250/243 (49.166 Cents, Porcupine-Komma)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Als &amp;lt;strong&amp;gt;Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; wird ein kleines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervall&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Temperierung"&amp;gt;Temperierung&amp;lt;/a&amp;gt; geschickt zu verteilen sucht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Deutschsprachige Einführung:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29" rel="nofollow"&amp;gt;Komma (Musik) - Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Als **Komma** wird ein kleines [[Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

Deutschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29|Komma (Musik) - Wikipedia]]

Seiten über konkrete Kommas auf diesem Wiki:
[[81_80|81/80 ( 21.506 Cents, syntonisches Komma)]]
[[64_63|64/63 ((27.264 Cents, Archytas-Komma, Leipziger Komma)]]
[[128_125|128/125 (41.059 Cents, Diësis, kleine Diësis, enharmonisches Komma)]]
[[250_243|250/243 (49.166 Cents, Porcupine-Komma)]]
[[50_49|50/49 (34.98 Cents, Jubilisma, Jubilee-Komma)]]
[[2048_2025|2048/2025 (19.553 Cents, Diaschisma)]]
[[531441_524288|531441/524288 (23.460 Cents, pythagoräisches Komma)]]
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Als &amp;lt;strong&amp;gt;Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; wird ein kleines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervall&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Temperierung"&amp;gt;Temperierung&amp;lt;/a&amp;gt; geschickt zu verteilen sucht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Deutschsprachige Einführung:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29" rel="nofollow"&amp;gt;Komma (Musik) - Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Als **Komma** wird ein kleines [[Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

Deutschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29|Komma (Musik) - Wikipedia]]

Seiten über konkrete Kommas auf diesem Wiki:
[[81_80|81/80 (syntonisches Komma)]]
[[xenharmonie/64_63|64/63 (Archytas-Komma, Leipziger Komma)]]
[[128_125|128/125 (Diësis, kleine Diësis, enharmonisches Komma)]]
[[250_243|250/243 (Porcupine-Komma)]]
[[50_49|50/49 (Jubilisma, Jubilee-Komma)]]
[[2048_2025|2048/2025 (Diaschisma)]]
[[531441_524288|531441/524288 (pythagoräisches Komma)]]
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Als &amp;lt;strong&amp;gt;Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; wird ein kleines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervall&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Temperierung"&amp;gt;Temperierung&amp;lt;/a&amp;gt; geschickt zu verteilen sucht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Als **Komma** wird ein kleines [[Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

Deutschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29|Komma (Musik) - Wikipedia]]

Seiten über konkrete Kommas auf diesem Wiki:
[[81_80|81/80 (syntonisches Komma)]]
[[xenharmonie/64_63|64/63 (Archytas-Komma, Leipziger Komma)]]
[[128_125|128/125 (Diësis, kleine Diësis, enharmonisches Komma)]]
[[250_243|250/243 (Porcupine-Komma)]]
[[50_49|50/49 (Jubilisma, Jubilee-Komma)]]
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Als &amp;lt;strong&amp;gt;Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; wird ein kleines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervall&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Temperierung"&amp;gt;Temperierung&amp;lt;/a&amp;gt; geschickt zu verteilen sucht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Deutschsprachige Einführung:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29" rel="nofollow"&amp;gt;Komma (Musik) - Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Seiten über konkrete Kommas auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
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Als **Komma** wird ein kleines [[Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

Deutschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29|Komma (Musik) - Wikipedia]]

Seiten über konkrete Kommas auf diesem Wiki:
[[81_80|81/80 (syntonisches Komma)]]
[[xenharmonie/64_63|64/63 (Archytas-Komma, Leipziger Komma)]]
[[128_125|128/125 (Diësis, enharmonisches Komma)]]
[[250_243|250/243 (Porcupine-Komma)]]
[[50_49|50/49 (Jubilisma, Jubilee-Komma)]]
[[2048_2025|2048/2025 (Diaschisma)]]
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Als &amp;lt;strong&amp;gt;Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; wird ein kleines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervall&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Temperierung"&amp;gt;Temperierung&amp;lt;/a&amp;gt; geschickt zu verteilen sucht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Deutschsprachige Einführung:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29" rel="nofollow"&amp;gt;Komma (Musik) - Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Als **Komma** wird ein kleines [[Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

Deutschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29|Komma (Musik) - Wikipedia]]

Seiten über konkrete Kommas auf diesem Wiki:
[[81_80|81/80 (syntonisches Komma)]]
[[xenharmonie/64_63|64/63 (Archytas-Komma, Leipziger Komma)]]
[[128_125|128/125 (Diësis, enharmonisches Komma)]]
[[250_243|250/243 (Porcupine-Komma)]]
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[[2048_2025|2048/2025 (Diaschisma)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Als &amp;lt;strong&amp;gt;Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; wird ein kleines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervall&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Temperierung"&amp;gt;Temperierung&amp;lt;/a&amp;gt; geschickt zu verteilen sucht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Deutschsprachige Einführung:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29" rel="nofollow"&amp;gt;Komma (Musik) - Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Comma]]

Als **Komma** wird ein kleines [[Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

Deuschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29|Komma (Musik) - Wikipedia]]

Seiten über konkrete Kommas auf diesem Wiki:
[[81_80|81/80 (syntonisches Komma)]]
[[xenharmonie/64_63|64/63 (Archytas-Komma, Leipziger Komma)]]
[[128_125|128/125 (Diësis, enharmonisches Komma)]]
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Als &amp;lt;strong&amp;gt;Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; wird ein kleines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervall&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Temperierung"&amp;gt;Temperierung&amp;lt;/a&amp;gt; geschickt zu verteilen sucht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Deuschsprachige Einführung:&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-24 08:40:03 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;434024026&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Comma]]

Als **Komma** wird ein kleines [[Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

Deuschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29|Komma (Musik) - Wikipedia]]

Seiten über konkrete Kommas auf diesem Wiki:
[[81_80|81/80 (syntonisches Komma)]]
[[xenharmonie/64_63|64/63 (Archytas-Komma, Leipziger Komma)]]
[[128_125|128/125 (Diësis, enharmonisches Komma)]]
[[250_243|250/243 (Porcupine-Komma)]]
[[50_49|50/49 (Jubilisma, Jubilee-Komma)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Als &amp;lt;strong&amp;gt;Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; wird ein kleines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervall&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Temperierung"&amp;gt;Temperierung&amp;lt;/a&amp;gt; geschickt zu verteilen sucht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Deuschsprachige Einführung:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29" rel="nofollow"&amp;gt;Komma (Musik) - Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-24 06:31:44 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
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Als **Komma** wird ein kleines [[Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

Deuschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29|Komma (Musik) - Wikipedia]]

Seiten über konkrete Kommas auf diesem Wiki:
[[81_80|81/80 (syntonisches Komma)]]
[[xenharmonie/64_63|64/63 (Archytas-Komma, Leipziger Komma)]]
[[250_243|250/243 (Porcupine-Komma)]]
[[50_49|50/49 (Jubilisma, Jubilee-Komma)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Als &amp;lt;strong&amp;gt;Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; wird ein kleines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervall&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Temperierung"&amp;gt;Temperierung&amp;lt;/a&amp;gt; geschickt zu verteilen sucht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Als **Komma** wird ein kleines [[Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

Deuschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29|Komma (Musik) - Wikipedia]]

Seiten über konkrete Kommas auf diesem Wiki:
[[81_80|81/80 (syntonisches Komma)]]
[[xenharmonie/64_63|64/63 (Archytas-Komma, Leipziger Komma)]]
[[250_243|250/243 (Porcupine-Komma)]]
[[50_49|50/49 (Jubilisma)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Als &amp;lt;strong&amp;gt;Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; wird ein kleines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervall&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Temperierung"&amp;gt;Temperierung&amp;lt;/a&amp;gt; geschickt zu verteilen sucht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Als **Komma** wird ein kleines [[Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

Deuschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29|Komma (Musik) - Wikipedia]]

Seiten über konkrete Kommas auf diesem Wiki:
[[81_80|81/80 (syntonisches Komma)]]
[[250_243|250/243 (Porcupine-Komma)]]
[[50_49|50/49 (Jubilisma)]]
[[64_63|64/63 (Archytas-Komma oder Leipziger Komma)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Als &amp;lt;strong&amp;gt;Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; wird ein kleines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervall&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Temperierung"&amp;gt;Temperierung&amp;lt;/a&amp;gt; geschickt zu verteilen sucht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Als **Komma** wird ein kleines [[Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

Deuschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29|Komma (Musik) - Wikipedia]]

Seiten über konkrete Kommas auf diesem Wiki:
[[81_80|81/80 (syntonisches Komma)]]
[[250_243|250/243 (Porcupine-Komma)]]
[[50_49|50/49 (Jubilisma)]]
[[64_63|64/63 (Archytas-Komma)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Als **Komma** wird ein kleines [[Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

Deuschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29|Komma (Musik) - Wikipedia]]

Seiten über konkrete Kommas auf diesem Wiki:
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&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Komma&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Comma"&amp;gt;xenharmonic/Comma&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als &amp;lt;strong&amp;gt;Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; wird ein kleines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervall&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Temperierung"&amp;gt;Temperierung&amp;lt;/a&amp;gt; geschickt zu verteilen sucht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Deuschsprachige Einführung:&amp;lt;br /&amp;gt;
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      &amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextIncludeRule:00 --&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Als **Komma** wird ein kleines [[Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.


Deuschsprachige Einführung:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29|Komma (Musik) - Wikipedia]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Als &amp;lt;strong&amp;gt;Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; wird ein kleines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervall&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Temperierung"&amp;gt;Temperierung&amp;lt;/a&amp;gt; geschickt zu verteilen sucht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Deuschsprachige Einführung:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29" rel="nofollow"&amp;gt;Komma (Musik) - Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Comma]]

Als **Komma** wird ein kleines [[Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Komma&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Comma"&amp;gt;xenharmonic/Comma&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als &amp;lt;strong&amp;gt;Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; wird ein kleines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervall&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Temperierung"&amp;gt;Temperierung&amp;lt;/a&amp;gt; geschickt zu verteilen sucht.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-13 11:11:16 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;431122600&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Comma]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Komma&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Comma"&amp;gt;xenharmonic/Comma&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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      <comment>**Imported revision 431122204 - Original comment: **</comment>
      <origin>636</origin>
      <model>wikitext</model>
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      <text bytes="1350" sha1="5l3clmgmhoimhu4hf629zaegmvjzfm1" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-13 11:10:15 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;431122204&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Comma|Comma]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Komma&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Comma"&amp;gt;Comma&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <contributor>
        <username>Mike Battaglia</username>
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      <comment>Textersetzung - „(\[\[\:(dev|es|purdal|de|en):[^[:space:]\|]*) (.*])“ durch „$1|$3“</comment>
      <origin>1485</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2085" sha1="3jwdt2hki39euautlg24n9o0uf4zos2" xml:space="preserve">English: [[:en:Comma|xenharmonic/Comma]]

Als '''Komma''' wird ein kleines [[Intervall|Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Temperierung|Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

Deutschsprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29 Komma (Musik) - Wikipedia]

==Seiten über konkrete Kommas auf diesem Wiki==

{| class="wikitable"
|-
! | Frequenzverhältnis
! | [[Cent|Cents]]
! | Name(n)
|-
| style="text-align:center;" | [[32805/32768|32805 / 32768]]
| style="text-align:right;" | 1,9537
| | Schisma
|-
| style="text-align:center;" | [[225/224|225 / 224]]
| style="text-align:right;" | 7,7115
| | septimales Kleisma
|-
| style="text-align:center;" | [[126/125|126 / 125]]
| style="text-align:right;" | 13,7948
| | kleines septimales Komma, Starling-Komma
|-
| style="text-align:center;" | [[100/99|100/99]]
| | 17.399
| | Ptolemäus-Komma
|-
| style="text-align:center;" | [[2048/2025|2048 / 2025]]
| style="text-align:right;" | 19,5526
| | Diaschisma
|-
| style="text-align:center;" | [[81/80|81 / 80]]
| style="text-align:right;" | 21,5063
| | syntonisches Komma
|-
| style="text-align:center;" | [[531441/524288|531441 / 524288]]
| style="text-align:right;" | 23,4600
| | pythagoräisches Komma
|-
| style="text-align:center;" | [[64/63|64 / 63]]
| style="text-align:right;" | 27,2641
| | Archytas-Komma, Leipziger Komma
|-
| style="text-align:center;" | [[50/49|50 / 49]]
| style="text-align:right;" | 34,9756
| | Jubilisma, Jubilee-Komma
|-
| style="text-align:center;" | [[49/48|49 / 48]]
| | 35.6968
| | Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton
|-
| style="text-align:center;" | [[128/125|128 / 125]]
| style="text-align:right;" | 41,0589
| | Diësis, kleine Diësis, enharmonisches Komma
|-
| style="text-align:center;" | [[36/35|36 / 35]]
| style="text-align:right;" | 48,7704
| | septimaler Viertelton
|-
| style="text-align:center;" | [[250/243|250 / 243]]
| style="text-align:right;" | 49,1661
| | Porcupine-Komma
|}
[[Category:Komma]]
[[Category:Theorie]]</text>
      <sha1>3jwdt2hki39euautlg24n9o0uf4zos2</sha1>
    </revision>
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      <parentid>1485</parentid>
      <timestamp>2018-09-24T19:54:35Z</timestamp>
      <contributor>
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Als '''Komma''' wird ein kleines [[Intervall|Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Temperierung|Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

Deutschsprachige Einführung:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Komma_%28Musik%29 Komma (Musik) - Wikipedia]

==Seiten über konkrete Kommas auf diesem Wiki==

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Als '''Komma''' wird ein kleines [[Intervall|Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Temperierung|Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

Deutschsprachige Einführung:

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Als '''Komma''' wird ein kleines [[Intervall|Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Temperierung|Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

Deutschsprachige Einführung:

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Als '''Komma''' wird ein kleines [[Intervall|Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Reguläre Temperaturen|Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

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Als '''Komma''' wird ein kleines [[Intervall|Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Reguläre Temperaturen|Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

Deutschsprachige Einführung:

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Als '''Komma''' wird ein kleines [[Intervall|Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Reguläre Temperaturen|Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

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Als '''Komma''' wird ein kleines [[Intervall|Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Reguläre Temperaturen|Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

Deutschsprachige Einführung:

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Als '''Komma''' wird ein kleines [[Intervall|Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Reguläre Temperaturen|Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

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* [https://de.wikipedia.org/wiki/Komma_(Musik) Komma (Musik) – Wikipedia] — deutschsprachige Einführung


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Als '''Komma''' wird ein kleines [[Intervall|Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Reguläre Temperaturen|Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

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* [https://de.wikipedia.org/wiki/Komma_(Musik) Komma (Musik) – Wikipedia] — deutschsprachige Einführung


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Als '''Komma''' wird ein kleines [[Intervall|Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Reguläre Temperaturen|Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

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== Siehe auch ==

* [https://de.wikipedia.org/wiki/Komma_(Musik) Komma (Musik) – Wikipedia] — deutschsprachige Einführung


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Als '''Komma''' wird ein kleines [[Intervall|Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Reguläre Temperaturen|Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

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== Siehe auch ==

* [https://de.wikipedia.org/wiki/Komma_(Musik) Komma (Musik) – Wikipedia] — deutschsprachige Einführung


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Als '''Komma''' wird ein kleines [[Intervall|Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Reguläre Temperaturen|Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

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Als '''Komma''' wird ein kleines [[Intervall|Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Reguläre Temperaturen|Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

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Als '''Komma''' wird ein kleines [[Intervall|Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Reguläre Temperaturen|Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

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== Siehe auch ==

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| es = 
| ja = 
}}
Als '''Komma''' wird ein kleines [[Intervall|Intervall]] bezeichnet, das musikalisch eher hinderlich als nützlich wirkt und das man deshalb durch [[Reguläre Temperaturen|Temperierung]] geschickt zu verteilen sucht.

== Seiten zu konkreten Kommas in diesem Wiki ==

{| class="wikitable center-1 right-2"
|-
! Frequenzverhältnis
! [[Cent]]s
! Name(n)
|-
| [[32805/32768]]
| 1,9537
| Schisma
|-
| [[225/224]]
| 7,7115
| septimales Kleisma, Marvel-Komma
|- 
| [[15625/15552]]
| 8,107279
| Kleisma
|-
| [[1029/1024]]
| 8.43272
| Gamelisma, slendrisches Komma
|-
| [[126/125]]
| 13,7948
| kleines septimales Komma, Starling-Komma
|-
| [[245/243]]
|14.1905
| sensamagisches Komma
|-
| [[100/99]]
| 17.399
| Ptolemäus-Komma
|-
| [[2048/2025]]
| 19,5526
| Diaschisma
|-
| [[81/80]]
| 21,5063
| syntonisches Komma
|-
| [[531441/524288]]
| 23,4600
| pythagoräisches Komma
|-
| [[64/63]]
| 27,2641
| Archytas-Komma, Leipziger Komma
|-
| [[50/49]]
| 34,9756
| Jubilisma, Jubilee-Komma
|-
| [[49/48]]
| 35.6968
| Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton
|-
| [[128/125]]
| 41,0589
| Diësis, kleine Diësis, enharmonisches Komma
|-
| [[36/35]]
| 48,7704
| septimaler Viertelton
|-
| [[250/243]]
| 49,1661
| Porcupine-Komma
|-
| [[1029/1000]]
| 49,49158
| Keega
|}

== Siehe auch ==

* [https://de.wikipedia.org/wiki/Komma_(Musik) Komma (Musik) – Wikipedia] — deutschsprachige Einführung


[[Category:Komma| ]] &lt;!-- Hauptseite --&gt;
[[Category:Theorie]]</text>
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    <title>Kommapumpe</title>
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Das im Deutschen etwas lächerlich klingende Wort "Kommapumpe" (auf Englisch ''comma pump'') bezeichnet eine Akkordfolge in einer [[Reguläre_Temperaturen|temperierten Stimmung]], die das Austemperieren eines [[Komma|Kommas]] ausnützt. Typischerweise erscheint sie in der temperierten Stimmung als zyklisch, also endend auf demselben Ton oder Akkord, wie sie begann; in [[Reine_Stimmungen|reiner Stiimmung]] hingegen landet die nächste Näherung derselben Akkordfolge auf einer geringfügig höheren oder tieferen Tonhöhe, typischerweise ein Komma versetzt.

Als elementares Beispiel sei die folgende Akkordfolge betrachtet.

[[File:SyntonicCommaPump1.jpg|alt=SyntonicCommaPump1.jpg|SyntonicCommaPump1.jpg]]

Auf den ersten Blick erscheint sie so simpel, dass man kaum etwas dazu sagen kann - doch wenn reine Stimmung ins Spiel kommt, gibt es ein paar Subtilitäten zu beachten.

Man beachte zunächst, dass die Basslinie, C - G - D - A, eine Folge aufsteigender Quinten (mit einer - modulo Oktave äquivalenten - absteigenden Quarte dazwischen) durchläuft. Das E im letzten Akkord liegt ausserdem eine Quinte über dem A. Wenn alle diese Quinten reine Intervalle mit Frequenzverhältnis 3/2 sind, folgt daraus, dass das E im letzten Akkord eine pythagoräische Terz über dem C des ersten Akkords liegt. Wenn andererseits alle Akkorde der Folge reine 5-[[Limit|Limit]]-Akkorde sind, liegt das E im ersten Akkord eine [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] über dem C - das E am Schluss also ein [[Syntonisches_Komma|syntonisches Komma]] höher als das am Anfang! Das gilt übrigens auch für das zweite C.

Bei wiederholter Anwendung der Akkordfolge wird also in reiner Stimmung die Tonhöhe immer weiter nach oben "gepumpt", während sie in der Standardstimmung [[12edo|12edo]], die als [[mitteltönig|mitteltöniges]] System das syntonische Komma austemperiert, zyklisch immer wieder auf demselben Ton landet.

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| | [[File:SyntonicCommaPump1_5LimitJust.mp3]]
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| | Obige Akkordfolge zweimal, in der Standardstimmung 12edo
| | Obige Akkordfolge zweimal, in 5-Limit-reiner Stimmung gemäss Text. Die Wiederholung beginnt hier auf demselben Ton wie die erste Folge, was jedoch minim tiefer ist als der Schluss der ersten Folge.
|}

Es muss wohl nicht extra betont werden, dass Kommapumpen eine eminente Bedeutung für die musikalische Sprache haben. Ein beträchtlicher Teil der traditionellen Akkordfloskeln in der klassischen europäischen Musik enthält Kommapumpen, es sind charakteristische Akkordfolgen für das vorherrschende temperierte Tonsystem - und ebenso gibt es für jede beliebige andere reguläre Temperatur entsprechende typische Akkordfolgen, die sich quasi direkt aus den austemperierten Kommas herleiten lassen. Daher sind Kommapumpen auch exzellente Startpunkte für Expeditionen in unbekannte xenharmonische Gefilde.

Eine Menge Beispiele für Kommapumpen sind im [[:en:Comma_pump_examples englischen Xenharmonic Wiki]] versammelt.</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2016-07-09 08:38:37 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
Das im Deutschen etwas lächerlich klingende Wort "Kommapumpe" (auf Englisch //comma pump//) bezeichnet eine Akkordfolge in einer [[Reguläre Temperaturen|temperierten Stimmung]], die das Austemperieren eines [[Komma|Kommas]] ausnützt. Typischerweise erscheint sie in der temperierten Stimmung als zyklisch, also endend auf demselben Ton oder Akkord, wie sie begann; in [[Reine Stimmungen|reiner Stiimmung]] hingegen landet die nächste Näherung derselben Akkordfolge auf einer geringfügig höheren oder tieferen Tonhöhe, typischerweise ein Komma versetzt.

Als elementares Beispiel sei die folgende Akkordfolge betrachtet.
[[image:SyntonicCommaPump1.jpg]]
Auf den ersten Blick erscheint sie so simpel, dass man kaum etwas dazu sagen kann - doch wenn reine Stimmung ins Spiel kommt, gibt es ein paar Subtilitäten zu beachten.

Man beachte zunächst, dass die Basslinie, C - G - D - A, eine Folge aufsteigender Quinten (mit einer - modulo Oktave äquivalenten - absteigenden Quarte dazwischen) durchläuft. Das E im letzten Akkord liegt ausserdem eine Quinte über dem A. Wenn alle diese Quinten reine Intervalle mit Frequenzverhältnis 3/2 sind, folgt daraus, dass das E im letzten Akkord eine pythagoräische Terz über dem C des ersten Akkords liegt. Wenn andererseits alle Akkorde der Folge reine 5-[[Limit]]-Akkorde sind, liegt das E im ersten Akkord eine [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] über dem C - das E am Schluss also ein [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] höher als das am Anfang! Das gilt übrigens auch für das zweite C.

Bei wiederholter Anwendung der Akkordfolge wird also in reiner Stimmung die Tonhöhe immer weiter nach oben "gepumpt", während sie in der Standardstimmung [[12edo]], die als [[mitteltönig|mitteltöniges]] System das syntonische Komma austemperiert, zyklisch immer wieder auf demselben Ton landet.

|| [[media type="file" key="SyntonicCommaPump1_12edo.mp3" width="240" height="20"]] || [[media type="file" key="SyntonicCommaPump1_5LimitJust.mp3" width="240" height="20"]] ||
|| Obige Akkordfolge zweimal, in der Standardstimmung 12edo || Obige Akkordfolge zweimal, in 5-Limit-reiner Stimmung gemäss Text. Die Wiederholung beginnt hier auf demselben Ton wie die erste Folge, was jedoch minim tiefer ist als der Schluss der ersten Folge. ||

Es muss wohl nicht extra betont werden, dass Kommapumpen eine eminente Bedeutung für die musikalische Sprache haben. Ein beträchtlicher Teil der traditionellen Akkordfloskeln in der klassischen europäischen Musik enthält Kommapumpen, es sind charakteristische Akkordfolgen für das vorherrschende temperierte Tonsystem - und ebenso gibt es für jede beliebige andere reguläre Temperatur entsprechende typische Akkordfolgen, die sich quasi direkt aus den austemperierten Kommas herleiten lassen. Daher sind Kommapumpen auch exzellente Startpunkte für Expeditionen in unbekannte xenharmonische Gefilde.

Eine Menge Beispiele für Kommapumpen sind im [[xenharmonic/Comma pump examples|englischen Xenharmonic Wiki]] versammelt.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Das im Deutschen etwas lächerlich klingende Wort &amp;amp;quot;Kommapumpe&amp;amp;quot; (auf Englisch &amp;lt;em&amp;gt;comma pump&amp;lt;/em&amp;gt;) bezeichnet eine Akkordfolge in einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;temperierten Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;, die das Austemperieren eines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt; ausnützt. Typischerweise erscheint sie in der temperierten Stimmung als zyklisch, also endend auf demselben Ton oder Akkord, wie sie begann; in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stiimmung&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen landet die nächste Näherung derselben Akkordfolge auf einer geringfügig höheren oder tieferen Tonhöhe, typischerweise ein Komma versetzt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Als elementares Beispiel sei die folgende Akkordfolge betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Man beachte zunächst, dass die Basslinie, C - G - D - A, eine Folge aufsteigender Quinten (mit einer - modulo Oktave äquivalenten - absteigenden Quarte dazwischen) durchläuft. Das E im letzten Akkord liegt ausserdem eine Quinte über dem A. Wenn alle diese Quinten reine Intervalle mit Frequenzverhältnis 3/2 sind, folgt daraus, dass das E im letzten Akkord eine pythagoräische Terz über dem C des ersten Akkords liegt. Wenn andererseits alle Akkorde der Folge reine 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-Akkorde sind, liegt das E im ersten Akkord eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz (5/4)&amp;lt;/a&amp;gt; über dem C - das E am Schluss also ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; höher als das am Anfang! Das gilt übrigens auch für das zweite C.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Es muss wohl nicht extra betont werden, dass Kommapumpen eine eminente Bedeutung für die musikalische Sprache haben. Ein beträchtlicher Teil der traditionellen Akkordfloskeln in der klassischen europäischen Musik enthält Kommapumpen, es sind charakteristische Akkordfolgen für das vorherrschende temperierte Tonsystem - und ebenso gibt es für jede beliebige andere reguläre Temperatur entsprechende typische Akkordfolgen, die sich quasi direkt aus den austemperierten Kommas herleiten lassen. Daher sind Kommapumpen auch exzellente Startpunkte für Expeditionen in unbekannte xenharmonische Gefilde.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine Menge Beispiele für Kommapumpen sind im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Comma%20pump%20examples"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; versammelt.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2016-07-09 08:36:35 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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Das im Deutschen etwas lächerlich klingende Wort "Kommapumpe" (auf Englisch //comma pump//) bezeichnet eine Akkordfolge in einer [[Reguläre Temperaturen|temperierten Stimmung]], die das Austemperieren eines [[Komma|Kommas]] ausnützt. Typischerweise erscheint sie in der temperierten Stimmung als zyklisch, also endend auf demselben Ton oder Akkord, wie sie begann; in [[Reine Stimmungen|reiner Stiimmung]] hingegen landet die nächste Näherung derselben Akkordfolge auf einer geringfügig höheren oder tieferen Tonhöhe, typischerweise ein Komma versetzt.

Als elementares Beispiel sei die folgende Akkordfolge betrachtet.
[[image:SyntonicCommaPump1.jpg]]
Auf den ersten Blick erscheint sie so simpel, dass man kaum etwas dazu sagen kann - doch wenn reine Stimmung ins Spiel kommt, gibt es ein paar Subtilitäten zu beachten.

Man beachte zunächst, dass die Basslinie, C - G - D - A, eine Folge aufsteigender Quinten (mit einer - modulo Oktave äquivalenten - absteigenden Quarte dazwischen) durchläuft. Das E im letzten Akkord liegt ausserdem eine Quinte über dem A. Wenn alle diese Quinten reine Intervalle mit Frequenzverhältnis 3/2 sind, folgt daraus, dass das E im letzten Akkord eine pythagoräische Terz über dem C des ersten Akkords liegt. Wenn andererseits alle Akkorde der Folge reine 5-[[Limit]]-Akkorde sind, liegt das E im ersten Akkord eine [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] über dem C - das E am Schluss also ein [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] höher als das am Anfang! Das gilt übrigens auch für das zweite C.

Bei wiederholter Anwendung der Akkordfolge wird also in reiner Stimmung die Tonhöhe immer weiter nach oben "gepumpt", während sie in der Standardstimmung 12edo, die als [[mitteltönig|mitteltöniges]] System das syntonische Komma austemperiert, zyklisch immer wieder auf demselben Ton landet.

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|| Obige Akkordfolge zweimal, in der Standardstimmung 12edo || Obige Akkordfolge zweimal, in 5-Limit-reiner Stimmung gemäss Text. Die Wiederholung beginnt hier auf demselben Ton wie die erste Folge, was jedoch minim tiefer ist als der Schluss der ersten Folge. ||

Es muss wohl nicht extra betont werden, dass Kommapumpen eine eminente Bedeutung für die musikalische Sprache haben. Ein beträchtlicher Teil der traditionellen Akkordfloskeln in der klassischen europäischen Musik enthält Kommapumpen, es sind charakteristische Akkordfolgen für das vorherrschende temperierte Tonsystem - und ebenso gibt es für jede beliebige andere reguläre Temperatur entsprechende typische Akkordfolgen, die sich quasi direkt aus den austemperierten Kommas herleiten lassen. Daher sind Kommapumpen auch exzellente Startpunkte für Expeditionen in unbekannte xenharmonische Gefilde.

Eine Menge Beispiele für Kommapumpen sind im [[xenharmonic/Comma pump examples|englischen Xenharmonic Wiki]] versammelt.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Das im Deutschen etwas lächerlich klingende Wort &amp;amp;quot;Kommapumpe&amp;amp;quot; (auf Englisch &amp;lt;em&amp;gt;comma pump&amp;lt;/em&amp;gt;) bezeichnet eine Akkordfolge in einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;temperierten Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;, die das Austemperieren eines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt; ausnützt. Typischerweise erscheint sie in der temperierten Stimmung als zyklisch, also endend auf demselben Ton oder Akkord, wie sie begann; in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stiimmung&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen landet die nächste Näherung derselben Akkordfolge auf einer geringfügig höheren oder tieferen Tonhöhe, typischerweise ein Komma versetzt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als elementares Beispiel sei die folgende Akkordfolge betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:16:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SyntonicCommaPump1.jpg/586719173/SyntonicCommaPump1.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SyntonicCommaPump1.jpg/586719173/SyntonicCommaPump1.jpg" alt="SyntonicCommaPump1.jpg" title="SyntonicCommaPump1.jpg" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Auf den ersten Blick erscheint sie so simpel, dass man kaum etwas dazu sagen kann - doch wenn reine Stimmung ins Spiel kommt, gibt es ein paar Subtilitäten zu beachten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte zunächst, dass die Basslinie, C - G - D - A, eine Folge aufsteigender Quinten (mit einer - modulo Oktave äquivalenten - absteigenden Quarte dazwischen) durchläuft. Das E im letzten Akkord liegt ausserdem eine Quinte über dem A. Wenn alle diese Quinten reine Intervalle mit Frequenzverhältnis 3/2 sind, folgt daraus, dass das E im letzten Akkord eine pythagoräische Terz über dem C des ersten Akkords liegt. Wenn andererseits alle Akkorde der Folge reine 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-Akkorde sind, liegt das E im ersten Akkord eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz (5/4)&amp;lt;/a&amp;gt; über dem C - das E am Schluss also ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; höher als das am Anfang! Das gilt übrigens auch für das zweite C.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bei wiederholter Anwendung der Akkordfolge wird also in reiner Stimmung die Tonhöhe immer weiter nach oben &amp;amp;quot;gepumpt&amp;amp;quot;, während sie in der Standardstimmung 12edo, die als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltöniges&amp;lt;/a&amp;gt; System das syntonische Komma austemperiert, zyklisch immer wieder auf demselben Ton landet.&amp;lt;br /&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;Obige Akkordfolge zweimal, in 5-Limit-reiner Stimmung gemäss Text. Die Wiederholung beginnt hier auf demselben Ton wie die erste Folge, was jedoch minim tiefer ist als der Schluss der ersten Folge.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
&amp;lt;/table&amp;gt;

&amp;lt;br /&amp;gt;
Es muss wohl nicht extra betont werden, dass Kommapumpen eine eminente Bedeutung für die musikalische Sprache haben. Ein beträchtlicher Teil der traditionellen Akkordfloskeln in der klassischen europäischen Musik enthält Kommapumpen, es sind charakteristische Akkordfolgen für das vorherrschende temperierte Tonsystem - und ebenso gibt es für jede beliebige andere reguläre Temperatur entsprechende typische Akkordfolgen, die sich quasi direkt aus den austemperierten Kommas herleiten lassen. Daher sind Kommapumpen auch exzellente Startpunkte für Expeditionen in unbekannte xenharmonische Gefilde.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine Menge Beispiele für Kommapumpen sind im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Comma%20pump%20examples"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; versammelt.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2016-07-09 08:30:41 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;586727783&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
Das im Deutschen etwas lächerlich klingende Wort "Kommapumpe" (auf Englisch //comma pump//) bezeichnet eine Akkordfolge in einer [[Reguläre Temperaturen|temperierten Stimmung]], die das Austemperieren eines [[Komma|Kommas]] ausnützt. Typischerweise erscheint sie in der temperierten Stimmung als zyklisch, also endend auf demselben Ton oder Akkord, wie sie begann; in [[Reine Stimmungen|reiner Stiimmung]] hingegen landet die nächste Näherung derselben Akkordfolge auf einer geringfügig höheren oder tieferen Tonhöhe, typischerweise ein Komma versetzt.

Als elementares Beispiel sei die folgende Akkordfolge betrachtet.
[[image:SyntonicCommaPump1.jpg]]
Auf den ersten Blick erscheint sie so simpel, dass man kaum etwas dazu sagen kann - doch wenn reine Stimmung ins Spiel kommt, gibt es ein paar Subtilitäten zu beachten.

Man beachte zunächst, dass die Basslinie, C - G - D - A, eine Folge aufsteigender Quinten (mit einer - modulo Oktave äquivalenten - absteigenden Quarte dazwischen) durchläuft. Das E im letzten Akkord liegt ausserdem eine Quinte über dem A. Wenn alle diese Quinten reine Intervalle mit Frequenzverhältnis 3/2 sind, folgt daraus, dass das E im letzten Akkord eine pythagoräische Terz über dem C des ersten Akkords liegt. Wenn andererseits alle Akkorde der Folge reine 5-[[Limit]]-Akkorde sind, liegt das E im ersten Akkord eine [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] über dem C - das E am Schluss also ein [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] höher als das am Anfang! Das gilt übrigens auch für das zweite C.

Bei wiederholter Anwendung der Akkordfolge wird also in reiner Stimmung die Tonhöhe immer weiter nach oben "gepumpt", während sie in der Standardstimmung 12edo, das als [[mitteltönig|mitteltöniges]] System das syntonische Komma austemperiert, zyklisch immer wieder auf demselben Ton landet.

|| [[media type="file" key="SyntonicCommaPump1_12edo.mp3" width="240" height="20"]] || [[media type="file" key="SyntonicCommaPump1_5LimitJust.mp3" width="240" height="20"]] ||
|| Obige Akkordfolge zweimal, in der Standardstimmung 12edo || Obige Akkordfolge zweimal, in 5-Limit-reiner Stimmung gemäss Text. Die Wiederholung beginnt hier auf demselben Ton wie die erste Folge, was jedoch minim tiefer ist als der Schluss der ersten Folge. ||

Es muss wohl nicht extra betont werden, dass Kommapumpen eine eminente Bedeutung für die musikalische Sprache haben. Ein beträchtlicher Teil der traditionellen Akkordfloskeln in der klassischen europäischen Musik enthält Kommapumpen, es sind charakteristische Akkordfolgen für das vorherrschende temperierte Tonsystem - und ebenso gibt es für jede beliebige andere reguläre Temperatur entsprechende typische Akkordfolgen, die sich direkt aus der Definition der entsprechenden austemperierten Kommas herleiten lassen. Daher sind Kommapumpen auch exzellente Startpunkte für Expeditionen in unbekannte xenharmonische Gefilde.

Eine Menge Beispiele für Kommapumpen sind im [[xenharmonic/Comma pump examples|englischen Xenharmonic Wiki]] versammelt.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Das im Deutschen etwas lächerlich klingende Wort &amp;amp;quot;Kommapumpe&amp;amp;quot; (auf Englisch &amp;lt;em&amp;gt;comma pump&amp;lt;/em&amp;gt;) bezeichnet eine Akkordfolge in einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;temperierten Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;, die das Austemperieren eines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt; ausnützt. Typischerweise erscheint sie in der temperierten Stimmung als zyklisch, also endend auf demselben Ton oder Akkord, wie sie begann; in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stiimmung&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen landet die nächste Näherung derselben Akkordfolge auf einer geringfügig höheren oder tieferen Tonhöhe, typischerweise ein Komma versetzt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Als elementares Beispiel sei die folgende Akkordfolge betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Auf den ersten Blick erscheint sie so simpel, dass man kaum etwas dazu sagen kann - doch wenn reine Stimmung ins Spiel kommt, gibt es ein paar Subtilitäten zu beachten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte zunächst, dass die Basslinie, C - G - D - A, eine Folge aufsteigender Quinten (mit einer - modulo Oktave äquivalenten - absteigenden Quarte dazwischen) durchläuft. Das E im letzten Akkord liegt ausserdem eine Quinte über dem A. Wenn alle diese Quinten reine Intervalle mit Frequenzverhältnis 3/2 sind, folgt daraus, dass das E im letzten Akkord eine pythagoräische Terz über dem C des ersten Akkords liegt. Wenn andererseits alle Akkorde der Folge reine 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-Akkorde sind, liegt das E im ersten Akkord eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz (5/4)&amp;lt;/a&amp;gt; über dem C - das E am Schluss also ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; höher als das am Anfang! Das gilt übrigens auch für das zweite C.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Bei wiederholter Anwendung der Akkordfolge wird also in reiner Stimmung die Tonhöhe immer weiter nach oben &amp;amp;quot;gepumpt&amp;amp;quot;, während sie in der Standardstimmung 12edo, das als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltöniges&amp;lt;/a&amp;gt; System das syntonische Komma austemperiert, zyklisch immer wieder auf demselben Ton landet.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Es muss wohl nicht extra betont werden, dass Kommapumpen eine eminente Bedeutung für die musikalische Sprache haben. Ein beträchtlicher Teil der traditionellen Akkordfloskeln in der klassischen europäischen Musik enthält Kommapumpen, es sind charakteristische Akkordfolgen für das vorherrschende temperierte Tonsystem - und ebenso gibt es für jede beliebige andere reguläre Temperatur entsprechende typische Akkordfolgen, die sich direkt aus der Definition der entsprechenden austemperierten Kommas herleiten lassen. Daher sind Kommapumpen auch exzellente Startpunkte für Expeditionen in unbekannte xenharmonische Gefilde.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine Menge Beispiele für Kommapumpen sind im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Comma%20pump%20examples"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; versammelt.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2016-07-09 08:28:41 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;586727779&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
Das im Deutschen etwas lächerlich klingende Wort "Kommapumpe" (auf Englisch //comma pump//) bezeichnet eine Akkordfolge in einer [[Reguläre Temperaturen|temperierten Stimmung]], die das Austemperieren eines [[Komma|Kommas]] ausnützt. Typischerweise erscheint sie in der temperierten Stimmung als zyklisch, also endend auf demselben Ton oder Akkord, wie sie begann; in [[Reine Stimmungen|reiner Stiimmung]] hingegen landet die nächste Näherung derselben Akkordfolge auf einer geringfügig höheren oder tieferen Tonhöhe, typischerweise ein Komma versetzt.

Als elementares Beispiel sei die folgende Akkordfolge betrachtet.
[[image:SyntonicCommaPump1.jpg]]
Auf den ersten Blick erscheint sie so simpel, dass man kaum etwas dazu sagen kann - doch wenn reine Stimmung ins Spiel kommt, gibt es ein paar Subtilitäten zu beachten.

Man beachte zunächst, dass die Basslinie, C - G - D - A, eine Folge aufsteigender Quinten (mit einer - modulo Oktave äquivalenten - absteigenden Quarte dazwischen) durchläuft. Das E im letzten Akkord liegt ausserdem eine Quinte über dem A. Wenn alle diese Quinten reine Intervalle mit Frequenzverhältnis 3/2 sind, folgt daraus, dass das E im letzten Akkord eine pythagoräische Terz über dem C des ersten Akkords liegt. Wenn andererseits alle Akkorde der Folge reine 5-[[Limit]]-Akkorde sind, liegt das E im ersten Akkord eine [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] über dem C - das E am Schluss also ein [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] höher als das am Anfang! Das gilt übrigens auch für das zweite C.

Bei wiederholter Anwendung der Akkordfolge wird also in reiner Stimmung die Tonhöhe immer weiter nach oben "gepumpt", während sie in der Standardstimmung 12edo, das als [[mitteltönig|mitteltöniges]] System das syntonische Komma austemperiert, zyklisch immer wieder auf demselben Ton landet.

|| [[media type="file" key="SyntonicCommaPump1_12edo.mp3"]] || [[media type="file" key="SyntonicCommaPump1_5LimitJust.mp3"]] ||
|| Obige Akkordfolge zweimal, in der Standardstimmung 12edo || Obige Akkordfolge zweimal, in 5-Limit-reiner Stimmung gemäss Text. Die Wiederholung beginnt minim tiefer, als die erste Folge aufhörte. ||

Es muss wohl nicht extra betont werden, dass Kommapumpen eine eminente Bedeutung für die musikalische Sprache haben. Ein beträchtlicher Teil der traditionellen Akkordfloskeln in der klassischen europäischen Musik enthält Kommapumpen, es sind charakteristische Akkordfolgen für das vorherrschende temperierte Tonsystem - und ebenso gibt es für jede beliebige andere reguläre Temperatur entsprechende typische Akkordfolgen, die sich direkt aus der Definition der entsprechenden austemperierten Kommas herleiten lassen. Daher sind Kommapumpen auch exzellente Startpunkte für Expeditionen in unbekannte xenharmonische Gefilde.

Eine Menge Beispiele für Kommapumpen sind im [[xenharmonic/Comma pump examples|englischen Xenharmonic Wiki]] versammelt.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Das im Deutschen etwas lächerlich klingende Wort &amp;amp;quot;Kommapumpe&amp;amp;quot; (auf Englisch &amp;lt;em&amp;gt;comma pump&amp;lt;/em&amp;gt;) bezeichnet eine Akkordfolge in einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;temperierten Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;, die das Austemperieren eines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt; ausnützt. Typischerweise erscheint sie in der temperierten Stimmung als zyklisch, also endend auf demselben Ton oder Akkord, wie sie begann; in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stiimmung&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen landet die nächste Näherung derselben Akkordfolge auf einer geringfügig höheren oder tieferen Tonhöhe, typischerweise ein Komma versetzt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als elementares Beispiel sei die folgende Akkordfolge betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:16:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SyntonicCommaPump1.jpg/586719173/SyntonicCommaPump1.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SyntonicCommaPump1.jpg/586719173/SyntonicCommaPump1.jpg" alt="SyntonicCommaPump1.jpg" title="SyntonicCommaPump1.jpg" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Auf den ersten Blick erscheint sie so simpel, dass man kaum etwas dazu sagen kann - doch wenn reine Stimmung ins Spiel kommt, gibt es ein paar Subtilitäten zu beachten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte zunächst, dass die Basslinie, C - G - D - A, eine Folge aufsteigender Quinten (mit einer - modulo Oktave äquivalenten - absteigenden Quarte dazwischen) durchläuft. Das E im letzten Akkord liegt ausserdem eine Quinte über dem A. Wenn alle diese Quinten reine Intervalle mit Frequenzverhältnis 3/2 sind, folgt daraus, dass das E im letzten Akkord eine pythagoräische Terz über dem C des ersten Akkords liegt. Wenn andererseits alle Akkorde der Folge reine 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-Akkorde sind, liegt das E im ersten Akkord eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz (5/4)&amp;lt;/a&amp;gt; über dem C - das E am Schluss also ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; höher als das am Anfang! Das gilt übrigens auch für das zweite C.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Bei wiederholter Anwendung der Akkordfolge wird also in reiner Stimmung die Tonhöhe immer weiter nach oben &amp;amp;quot;gepumpt&amp;amp;quot;, während sie in der Standardstimmung 12edo, das als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltöniges&amp;lt;/a&amp;gt; System das syntonische Komma austemperiert, zyklisch immer wieder auf demselben Ton landet.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Es muss wohl nicht extra betont werden, dass Kommapumpen eine eminente Bedeutung für die musikalische Sprache haben. Ein beträchtlicher Teil der traditionellen Akkordfloskeln in der klassischen europäischen Musik enthält Kommapumpen, es sind charakteristische Akkordfolgen für das vorherrschende temperierte Tonsystem - und ebenso gibt es für jede beliebige andere reguläre Temperatur entsprechende typische Akkordfolgen, die sich direkt aus der Definition der entsprechenden austemperierten Kommas herleiten lassen. Daher sind Kommapumpen auch exzellente Startpunkte für Expeditionen in unbekannte xenharmonische Gefilde.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine Menge Beispiele für Kommapumpen sind im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Comma%20pump%20examples"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; versammelt.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2016-07-09 06:19:33 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;586727121&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
Das im Deutschen etwas lächerlich klingende Wort "Kommapumpe" (auf Englisch //comma pump//) bezeichnet eine Akkordfolge in einer [[Reguläre Temperaturen|temperierten Stimmung]], die das Austemperieren eines [[Komma|Kommas]] ausnützt. Typischerweise erscheint sie in der temperierten Stimmung als zyklisch, also endend auf demselben Ton oder Akkord, wie sie begann; in [[Reine Stimmungen|reiner Stiimmung]] hingegen landet die nächste Näherung der selben Akkordfolge auf einer geringfügig höheren oder tieferen Tonhöhe, typischerweise ein Komma versetzt.

Als elementares Beispiel sei die folgende Akkordfolge betrachtet.
[[image:SyntonicCommaPump1.jpg]]
Auf den ersten Blick erscheint sie so simpel, dass man kaum etwas dazu sagen kann - doch wenn reine Stimmung ins Spiel kommt, gibt es ein paar Subtilitäten zu beachten.

Man beachte zunächst, dass die Basslinie, C - G - D - A, eine Folge aufsteigender Quinten (mit einer - modulo Oktave äquivalenten - absteigenden Quarte dazwischen) durchläuft. Das E im letzten Akkord liegt ausserdem eine Quinte über dem A. Wenn alle diese Quinten reine Intervalle mit Frequenzverhältnis 3/2 sind, folgt daraus, dass das E im letzten Akkord eine pythagoräische Terz über dem C des ersten Akkords liegt. Wenn andererseits alle Akkorde der Folge reine 5-[[Limit]]-Akkorde sind, liegt das E im ersten Akkord eine [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] über dem C - das E am Schluss also ein [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] höher als das am Anfang! Das gilt übrigens auch für das zweite C.

Bei wiederholter Anwendung der Akkordfolge wird also in reiner Stimmung die Tonhöhe immer weiter nach oben "gepumpt", während sie in der Standardstimmung 12edo, das als [[mitteltönig|mitteltöniges]] System das syntonische Komma austemperiert, zyklisch immer wieder auf demselben Ton landet.

[todo Audio-Beispiel]

Es muss wohl nicht extra betont werden, dass Kommapumpen eine eminente Bedeutung für die musikalische Sprache haben. Ein beträchtlicher Teil der traditionellen Akkordfloskeln in der klassischen europäischen Musik enthält Kommapumpen, es sind charakteristische Akkordfolgen für das vorherrschende temperierte Tonsystem - und ebenso gibt es für jede beliebige andere reguläre Temperatur entsprechende typische Akkordfolgen, die sich direkt aus der Definition der entsprechenden austemperierten Kommas herleiten lassen. Daher sind Kommapumpen auch exzellente Startpunkte für Expeditionen in unbekannte xenharmonische Gefilde.

Eine Menge Beispiele für Kommapumpen sind im [[xenharmonic/Comma pump examples|englischen Xenharmonic Wiki]] versammelt.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Kommapumpe&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/comma%20pump"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das im Deutschen etwas lächerlich klingende Wort &amp;amp;quot;Kommapumpe&amp;amp;quot; (auf Englisch &amp;lt;em&amp;gt;comma pump&amp;lt;/em&amp;gt;) bezeichnet eine Akkordfolge in einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;temperierten Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;, die das Austemperieren eines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt; ausnützt. Typischerweise erscheint sie in der temperierten Stimmung als zyklisch, also endend auf demselben Ton oder Akkord, wie sie begann; in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stiimmung&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen landet die nächste Näherung der selben Akkordfolge auf einer geringfügig höheren oder tieferen Tonhöhe, typischerweise ein Komma versetzt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als elementares Beispiel sei die folgende Akkordfolge betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:0:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SyntonicCommaPump1.jpg/586719173/SyntonicCommaPump1.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SyntonicCommaPump1.jpg/586719173/SyntonicCommaPump1.jpg" alt="SyntonicCommaPump1.jpg" title="SyntonicCommaPump1.jpg" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Auf den ersten Blick erscheint sie so simpel, dass man kaum etwas dazu sagen kann - doch wenn reine Stimmung ins Spiel kommt, gibt es ein paar Subtilitäten zu beachten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte zunächst, dass die Basslinie, C - G - D - A, eine Folge aufsteigender Quinten (mit einer - modulo Oktave äquivalenten - absteigenden Quarte dazwischen) durchläuft. Das E im letzten Akkord liegt ausserdem eine Quinte über dem A. Wenn alle diese Quinten reine Intervalle mit Frequenzverhältnis 3/2 sind, folgt daraus, dass das E im letzten Akkord eine pythagoräische Terz über dem C des ersten Akkords liegt. Wenn andererseits alle Akkorde der Folge reine 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-Akkorde sind, liegt das E im ersten Akkord eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz (5/4)&amp;lt;/a&amp;gt; über dem C - das E am Schluss also ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; höher als das am Anfang! Das gilt übrigens auch für das zweite C.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Bei wiederholter Anwendung der Akkordfolge wird also in reiner Stimmung die Tonhöhe immer weiter nach oben &amp;amp;quot;gepumpt&amp;amp;quot;, während sie in der Standardstimmung 12edo, das als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltöniges&amp;lt;/a&amp;gt; System das syntonische Komma austemperiert, zyklisch immer wieder auf demselben Ton landet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[todo Audio-Beispiel]&amp;lt;br /&amp;gt;
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Es muss wohl nicht extra betont werden, dass Kommapumpen eine eminente Bedeutung für die musikalische Sprache haben. Ein beträchtlicher Teil der traditionellen Akkordfloskeln in der klassischen europäischen Musik enthält Kommapumpen, es sind charakteristische Akkordfolgen für das vorherrschende temperierte Tonsystem - und ebenso gibt es für jede beliebige andere reguläre Temperatur entsprechende typische Akkordfolgen, die sich direkt aus der Definition der entsprechenden austemperierten Kommas herleiten lassen. Daher sind Kommapumpen auch exzellente Startpunkte für Expeditionen in unbekannte xenharmonische Gefilde.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine Menge Beispiele für Kommapumpen sind im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Comma%20pump%20examples"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; versammelt.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <comment>**Imported revision 586727085 - Original comment: **</comment>
      <origin>642</origin>
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      <text bytes="7510" sha1="5d2guqqs4wz5fcdxu2qbnunxeug0fh6" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2016-07-09 06:10:39 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;586727085&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/comma pump|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
Das im Deutschen etwas lächerlich klingende Wort "Kommapumpe" (auf Englisch //comma pump//) bezeichnet eine Akkordfolge in einer [[Reguläre Temperaturen|temperierten Stimmung]], die das Austemperieren eines [[Komma|Kommas]] ausnützt. Typischerweise erscheint sie in der temperierten Stimmung als zyklisch, also endend auf demselben Ton oder Akkord, wie sie begann; in [[Reine Stimmungen|reiner Stiimmung]] hingegen landet die nächste Näherung der selben Akkordfolge auf einer geringfügig höheren oder tieferen Tonhöhe, typischerweise ein Komma versetzt.

Als elementares Beispiel sei die folgende Akkordfolge betrachtet.
[[image:SyntonicCommaPump1.jpg]]
Auf den ersten Blick erscheint sie so simpel, dass man kaum etwas dazu sagen kann - doch wenn reine Stimmung ins Spiel kommt, gibt es ein paar Subtilitäten zu beachten.

Man beachte zunächst, dass die Basslinie, C - G - D - A, eine Folge aufsteigender Quinten (mit einer - modulo Oktave äquivalenten - absteigenden Quarte dazwischen) durchläuft. Das E im letzten Akkord liegt ausserdem eine Quinte über dem A. Wenn alle diese Quinten reine Intervalle mit Frequenzverhältnis 3/2 sind, folgt daraus, dass das E im letzten Akkord eine pythagoräische Terz über dem C des ersten Akkords liegt. Wenn andererseits alle Akkorde der Folge reine 5-[[Limit]]-Akkorde sind, liegt das E im ersten Akkord eine [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] über dem C - das E am Schluss also ein [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] höher als das am Anfang! Das gilt übrigens auch für das zweite C.

Bei wiederholter Anwendung der Akkordfolge wird also in reiner Stimmung die Tonhöhe immer weiter nach oben "gepumpt", während sie in der Standardstimmung 12edo, das als [[mitteltönig|mitteltöniges]] System das syntonische Komma austemperiert, zyklisch immer wieder auf demselben Ton landet.

[todo Audio-Beispiel]

Es muss wohl nicht extra betont werden, dass Kommapumpen eine eminente Bedeutung für die musikalische Sprache haben. Ein beträchtlicher Teil der traditionellen Akkordfloskeln in der klassischen europäischen Musik enthält Kommapumpen, es sind charakteristische Akkordfolgen für das vorherrschende temperierte Tonsystem - und ebenso gibt es für jede beliebige andere reguläre Temperatur entsprechende typische Akkordfolgen, die sich direkt aus der Definition der entsprechenden austemperierten Kommas herleiten lassen.

Eine Menge Beispiele für Kommapumpen sind im [[xenharmonic/Comma pump examples|englischen Xenharmonic Wiki]] versammelt.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Kommapumpe&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/comma%20pump"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das im Deutschen etwas lächerlich klingende Wort &amp;amp;quot;Kommapumpe&amp;amp;quot; (auf Englisch &amp;lt;em&amp;gt;comma pump&amp;lt;/em&amp;gt;) bezeichnet eine Akkordfolge in einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;temperierten Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;, die das Austemperieren eines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt; ausnützt. Typischerweise erscheint sie in der temperierten Stimmung als zyklisch, also endend auf demselben Ton oder Akkord, wie sie begann; in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stiimmung&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen landet die nächste Näherung der selben Akkordfolge auf einer geringfügig höheren oder tieferen Tonhöhe, typischerweise ein Komma versetzt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als elementares Beispiel sei die folgende Akkordfolge betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:0:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SyntonicCommaPump1.jpg/586719173/SyntonicCommaPump1.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SyntonicCommaPump1.jpg/586719173/SyntonicCommaPump1.jpg" alt="SyntonicCommaPump1.jpg" title="SyntonicCommaPump1.jpg" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Auf den ersten Blick erscheint sie so simpel, dass man kaum etwas dazu sagen kann - doch wenn reine Stimmung ins Spiel kommt, gibt es ein paar Subtilitäten zu beachten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte zunächst, dass die Basslinie, C - G - D - A, eine Folge aufsteigender Quinten (mit einer - modulo Oktave äquivalenten - absteigenden Quarte dazwischen) durchläuft. Das E im letzten Akkord liegt ausserdem eine Quinte über dem A. Wenn alle diese Quinten reine Intervalle mit Frequenzverhältnis 3/2 sind, folgt daraus, dass das E im letzten Akkord eine pythagoräische Terz über dem C des ersten Akkords liegt. Wenn andererseits alle Akkorde der Folge reine 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-Akkorde sind, liegt das E im ersten Akkord eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz (5/4)&amp;lt;/a&amp;gt; über dem C - das E am Schluss also ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; höher als das am Anfang! Das gilt übrigens auch für das zweite C.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bei wiederholter Anwendung der Akkordfolge wird also in reiner Stimmung die Tonhöhe immer weiter nach oben &amp;amp;quot;gepumpt&amp;amp;quot;, während sie in der Standardstimmung 12edo, das als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltöniges&amp;lt;/a&amp;gt; System das syntonische Komma austemperiert, zyklisch immer wieder auf demselben Ton landet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[todo Audio-Beispiel]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Es muss wohl nicht extra betont werden, dass Kommapumpen eine eminente Bedeutung für die musikalische Sprache haben. Ein beträchtlicher Teil der traditionellen Akkordfloskeln in der klassischen europäischen Musik enthält Kommapumpen, es sind charakteristische Akkordfolgen für das vorherrschende temperierte Tonsystem - und ebenso gibt es für jede beliebige andere reguläre Temperatur entsprechende typische Akkordfolgen, die sich direkt aus der Definition der entsprechenden austemperierten Kommas herleiten lassen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine Menge Beispiele für Kommapumpen sind im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Comma%20pump%20examples"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; versammelt.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2016-07-09 05:42:26 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;586726919&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/comma pump|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
Das im Deutschen etwas lächerlich klingende Wort "Kommapumpe" (auf Englisch //comma pump//) bezeichnet eine Akkordfolge in einer [[Reguläre Temperaturen|temperierten Stimmung]], die das Austemperieren eines [[Komma|Kommas]] ausnützt. Typischerweise erscheint sie in der temperierten Stimmung als zyklisch, also endend auf demselben Ton oder Akkord, wie sie begann; in [[Reine Stimmungen|reiner Stiimmung]] hingegen landet die nächste Näherung der selben Akkordfolge auf einer geringfügig höheren oder tieferen Tonhöhe, typischerweise ein Komma versetzt.

Als elementares Beispiel sei die folgende Akkordfolge betrachtet.
[[image:SyntonicCommaPump1.jpg]]
Auf den ersten Blick erscheint sie so simpel, dass man kaum etwas dazu sagen kann - doch wenn reine Stimmung ins Spiel kommt, gibt es ein paar Subtilitäten zu beachten.

Man beachte zunächst, dass die Basslinie, C - G - D - A, eine Folge aufsteigender Quinten (mit einer - modulo Oktave äquivalenter - absteigenden Quarte dazwischen) durchläuft. Das E im letzten Akkord liegt ausserdem eine Quinte über dem A. Wenn alle diese Quinten reine Intervalle mit Frequenzverhältnis 3/2 sind, folgt daraus, dass das E im letzten Akkord eine pythagoräische Terz über dem C des ersten Akkords liegt. Wenn andererseits alle Akkorde der Folge reine 5-[[Limit]]-Akkorde sind, liegt das E im ersten Akkord eine [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] über dem C - das E am Schluss also ein [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] höher als das am Anfang! Das gilt übrigens auch für das zweite C.

[todo Audio-Beispiel]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Das im Deutschen etwas lächerlich klingende Wort &amp;amp;quot;Kommapumpe&amp;amp;quot; (auf Englisch &amp;lt;em&amp;gt;comma pump&amp;lt;/em&amp;gt;) bezeichnet eine Akkordfolge in einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;temperierten Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;, die das Austemperieren eines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt; ausnützt. Typischerweise erscheint sie in der temperierten Stimmung als zyklisch, also endend auf demselben Ton oder Akkord, wie sie begann; in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stiimmung&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen landet die nächste Näherung der selben Akkordfolge auf einer geringfügig höheren oder tieferen Tonhöhe, typischerweise ein Komma versetzt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als elementares Beispiel sei die folgende Akkordfolge betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:0:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SyntonicCommaPump1.jpg/586719173/SyntonicCommaPump1.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SyntonicCommaPump1.jpg/586719173/SyntonicCommaPump1.jpg" alt="SyntonicCommaPump1.jpg" title="SyntonicCommaPump1.jpg" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Auf den ersten Blick erscheint sie so simpel, dass man kaum etwas dazu sagen kann - doch wenn reine Stimmung ins Spiel kommt, gibt es ein paar Subtilitäten zu beachten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte zunächst, dass die Basslinie, C - G - D - A, eine Folge aufsteigender Quinten (mit einer - modulo Oktave äquivalenter - absteigenden Quarte dazwischen) durchläuft. Das E im letzten Akkord liegt ausserdem eine Quinte über dem A. Wenn alle diese Quinten reine Intervalle mit Frequenzverhältnis 3/2 sind, folgt daraus, dass das E im letzten Akkord eine pythagoräische Terz über dem C des ersten Akkords liegt. Wenn andererseits alle Akkorde der Folge reine 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-Akkorde sind, liegt das E im ersten Akkord eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz (5/4)&amp;lt;/a&amp;gt; über dem C - das E am Schluss also ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; höher als das am Anfang! Das gilt übrigens auch für das zweite C.&amp;lt;br /&amp;gt;
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[todo Audio-Beispiel]&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2016-07-08 18:10:00 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/comma pump|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
Das im Deutschen etwas lächerlich klingende Wort "Kommapumpe" (auf Englisch //comma pump//) bezeichnet eine Akkordfolge in einer [[Reguläre Temperaturen|temperierten Stimmung]], die das Austemperieren eines [[Komma|Kommas]] ausnützt. Typischerweise erscheint sie in der temperierten Stimmung als zyklisch, also endend auf demselben Ton oder Akkord, wie sie begann; in [[Reine Stimmungen|reiner Stiimmung]] hingegen landet die nächste Näherung der selben Akkordfolge auf einer geringfügig höheren oder tieferen Tonhöhe, typischerweise ein Komma versetzt.

Als elementares Beispiel sei die folgende Akkordfolge betrachtet.
[[image:SyntonicCommaPump1.jpg]]

[todo]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Das im Deutschen etwas lächerlich klingende Wort &amp;amp;quot;Kommapumpe&amp;amp;quot; (auf Englisch &amp;lt;em&amp;gt;comma pump&amp;lt;/em&amp;gt;) bezeichnet eine Akkordfolge in einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;temperierten Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;, die das Austemperieren eines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt; ausnützt. Typischerweise erscheint sie in der temperierten Stimmung als zyklisch, also endend auf demselben Ton oder Akkord, wie sie begann; in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stiimmung&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen landet die nächste Näherung der selben Akkordfolge auf einer geringfügig höheren oder tieferen Tonhöhe, typischerweise ein Komma versetzt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als elementares Beispiel sei die folgende Akkordfolge betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:0:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SyntonicCommaPump1.jpg/586719173/SyntonicCommaPump1.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SyntonicCommaPump1.jpg/586719173/SyntonicCommaPump1.jpg" alt="SyntonicCommaPump1.jpg" title="SyntonicCommaPump1.jpg" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das im Deutschen etwas lächerlich klingende Wort "Kommapumpe" (auf Englisch ''comma pump'') bezeichnet eine Akkordfolge in einer [[Reguläre_Temperaturen|temperierten Stimmung]], die das Austemperieren eines [[Komma|Kommas]] ausnützt. Typischerweise erscheint sie in der temperierten Stimmung als zyklisch, also endend auf demselben Ton oder Akkord, wie sie begann; in [[Reine_Stimmungen|reiner Stiimmung]] hingegen landet die nächste Näherung derselben Akkordfolge auf einer geringfügig höheren oder tieferen Tonhöhe, typischerweise ein Komma versetzt.

Als elementares Beispiel sei die folgende Akkordfolge betrachtet.

[[File:SyntonicCommaPump1.jpg|alt=SyntonicCommaPump1.jpg|SyntonicCommaPump1.jpg]]

Auf den ersten Blick erscheint sie so simpel, dass man kaum etwas dazu sagen kann - doch wenn reine Stimmung ins Spiel kommt, gibt es ein paar Subtilitäten zu beachten.

Man beachte zunächst, dass die Basslinie, C - G - D - A, eine Folge aufsteigender Quinten (mit einer - modulo Oktave äquivalenten - absteigenden Quarte dazwischen) durchläuft. Das E im letzten Akkord liegt ausserdem eine Quinte über dem A. Wenn alle diese Quinten reine Intervalle mit Frequenzverhältnis 3/2 sind, folgt daraus, dass das E im letzten Akkord eine pythagoräische Terz über dem C des ersten Akkords liegt. Wenn andererseits alle Akkorde der Folge reine 5-[[Limit|Limit]]-Akkorde sind, liegt das E im ersten Akkord eine [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] über dem C - das E am Schluss also ein [[Syntonisches_Komma|syntonisches Komma]] höher als das am Anfang! Das gilt übrigens auch für das zweite C.

Bei wiederholter Anwendung der Akkordfolge wird also in reiner Stimmung die Tonhöhe immer weiter nach oben "gepumpt", während sie in der Standardstimmung [[12edo|12edo]], die als [[mitteltönig|mitteltöniges]] System das syntonische Komma austemperiert, zyklisch immer wieder auf demselben Ton landet.

{| class="wikitable"
|-
| | [[File:SyntonicCommaPump1_12edo.mp3]]
| | [[File:SyntonicCommaPump1_5LimitJust.mp3]]
|-
| | Obige Akkordfolge zweimal, in der Standardstimmung 12edo
| | Obige Akkordfolge zweimal, in 5-Limit-reiner Stimmung gemäss Text. Die Wiederholung beginnt hier auf demselben Ton wie die erste Folge, was jedoch minim tiefer ist als der Schluss der ersten Folge.
|}

Es muss wohl nicht extra betont werden, dass Kommapumpen eine eminente Bedeutung für die musikalische Sprache haben. Ein beträchtlicher Teil der traditionellen Akkordfloskeln in der klassischen europäischen Musik enthält Kommapumpen, es sind charakteristische Akkordfolgen für das vorherrschende temperierte Tonsystem - und ebenso gibt es für jede beliebige andere reguläre Temperatur entsprechende typische Akkordfolgen, die sich quasi direkt aus den austemperierten Kommas herleiten lassen. Daher sind Kommapumpen auch exzellente Startpunkte für Expeditionen in unbekannte xenharmonische Gefilde.

Eine Menge Beispiele für Kommapumpen sind im [[:en:Comma_pump_examples|englischen Xenharmonic Wiki]] versammelt.</text>
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Das im Deutschen etwas lächerlich klingende Wort "Kommapumpe" (auf Englisch ''comma pump'') bezeichnet eine Akkordfolge in einer [[Reguläre_Temperaturen|temperierten Stimmung]], die das Austemperieren eines [[Komma|Kommas]] ausnützt. Typischerweise erscheint sie in der temperierten Stimmung als zyklisch, also endend auf demselben Ton oder Akkord, wie sie begann; in [[Reine_Stimmungen|reiner Stiimmung]] hingegen landet die nächste Näherung derselben Akkordfolge auf einer geringfügig höheren oder tieferen Tonhöhe, typischerweise ein Komma versetzt.

Als elementares Beispiel sei die folgende Akkordfolge betrachtet.

[[File:SyntonicCommaPump1.jpg|alt=SyntonicCommaPump1.jpg|SyntonicCommaPump1.jpg]]

Auf den ersten Blick erscheint sie so simpel, dass man kaum etwas dazu sagen kann - doch wenn reine Stimmung ins Spiel kommt, gibt es ein paar Subtilitäten zu beachten.

Man beachte zunächst, dass die Basslinie, C - G - D - A, eine Folge aufsteigender Quinten (mit einer - modulo Oktave äquivalenten - absteigenden Quarte dazwischen) durchläuft. Das E im letzten Akkord liegt ausserdem eine Quinte über dem A. Wenn alle diese Quinten reine Intervalle mit Frequenzverhältnis 3/2 sind, folgt daraus, dass das E im letzten Akkord eine pythagoräische Terz über dem C des ersten Akkords liegt. Wenn andererseits alle Akkorde der Folge reine 5-[[Limit|Limit]]-Akkorde sind, liegt das E im ersten Akkord eine [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] über dem C - das E am Schluss also ein [[Syntonisches_Komma|syntonisches Komma]] höher als das am Anfang! Das gilt übrigens auch für das zweite C.

Bei wiederholter Anwendung der Akkordfolge wird also in reiner Stimmung die Tonhöhe immer weiter nach oben "gepumpt", während sie in der Standardstimmung [[12edo|12edo]], die als [[mitteltönig|mitteltöniges]] System das syntonische Komma austemperiert, zyklisch immer wieder auf demselben Ton landet.

{| class="wikitable"
|-
| | [[File:SyntonicCommaPump1_12edo.mp3]]
| | [[File:SyntonicCommaPump1_5LimitJust.mp3]]
|-
| | Obige Akkordfolge zweimal, in der Standardstimmung 12edo
| | Obige Akkordfolge zweimal, in 5-Limit-reiner Stimmung gemäss Text. Die Wiederholung beginnt hier auf demselben Ton wie die erste Folge, was jedoch minim tiefer ist als der Schluss der ersten Folge.
|}

Es muss wohl nicht extra betont werden, dass Kommapumpen eine eminente Bedeutung für die musikalische Sprache haben. Ein beträchtlicher Teil der traditionellen Akkordfloskeln in der klassischen europäischen Musik enthält Kommapumpen, es sind charakteristische Akkordfolgen für das vorherrschende temperierte Tonsystem - und ebenso gibt es für jede beliebige andere reguläre Temperatur entsprechende typische Akkordfolgen, die sich quasi direkt aus den austemperierten Kommas herleiten lassen. Daher sind Kommapumpen auch exzellente Startpunkte für Expeditionen in unbekannte xenharmonische Gefilde.

Eine Menge Beispiele für Kommapumpen sind im [[:en:Comma_pump_examples|englischen Xenharmonic Wiki]] versammelt.</text>
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Das im Deutschen etwas lächerlich klingende Wort "Kommapumpe" (auf Englisch ''comma pump'') bezeichnet eine Akkordfolge in einer [[Reguläre_Temperaturen|temperierten Stimmung]], die das Austemperieren eines [[Komma|Kommas]] ausnützt. Typischerweise erscheint sie in der temperierten Stimmung als zyklisch, also endend auf demselben Ton oder Akkord, wie sie begann; in [[Reine_Stimmungen|reiner Stiimmung]] hingegen landet die nächste Näherung derselben Akkordfolge auf einer geringfügig höheren oder tieferen Tonhöhe, typischerweise ein Komma versetzt.

Als elementares Beispiel sei die folgende Akkordfolge betrachtet.

[[File:SyntonicCommaPump1.jpg|alt=SyntonicCommaPump1.jpg|SyntonicCommaPump1.jpg]]

Auf den ersten Blick erscheint sie so simpel, dass man kaum etwas dazu sagen kann - doch wenn reine Stimmung ins Spiel kommt, gibt es ein paar Subtilitäten zu beachten.

Man beachte zunächst, dass die Basslinie, C - G - D - A, eine Folge aufsteigender Quinten (mit einer - modulo Oktave äquivalenten - absteigenden Quarte dazwischen) durchläuft. Das E im letzten Akkord liegt ausserdem eine Quinte über dem A. Wenn alle diese Quinten reine Intervalle mit Frequenzverhältnis 3/2 sind, folgt daraus, dass das E im letzten Akkord eine pythagoräische Terz über dem C des ersten Akkords liegt. Wenn andererseits alle Akkorde der Folge reine 5-[[Limit|Limit]]-Akkorde sind, liegt das E im ersten Akkord eine [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] über dem C - das E am Schluss also ein [[Syntonisches_Komma|syntonisches Komma]] höher als das am Anfang! Das gilt übrigens auch für das zweite C.

Bei wiederholter Anwendung der Akkordfolge wird also in reiner Stimmung die Tonhöhe immer weiter nach oben "gepumpt", während sie in der Standardstimmung [[12edo|12edo]], die als [[mitteltönig|mitteltöniges]] System das syntonische Komma austemperiert, zyklisch immer wieder auf demselben Ton landet.

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| | [[File:SyntonicCommaPump1_12edo.mp3]]
| | [[File:SyntonicCommaPump1_5LimitJust.mp3]]
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| | Obige Akkordfolge zweimal, in der Standardstimmung 12edo
| | Obige Akkordfolge zweimal, in 5-Limit-reiner Stimmung gemäss Text. Die Wiederholung beginnt hier auf demselben Ton wie die erste Folge, was jedoch minim tiefer ist als der Schluss der ersten Folge.
|}

Es muss wohl nicht extra betont werden, dass Kommapumpen eine eminente Bedeutung für die musikalische Sprache haben. Ein beträchtlicher Teil der traditionellen Akkordfloskeln in der klassischen europäischen Musik enthält Kommapumpen, es sind charakteristische Akkordfolgen für das vorherrschende temperierte Tonsystem - und ebenso gibt es für jede beliebige andere reguläre Temperatur entsprechende typische Akkordfolgen, die sich quasi direkt aus den austemperierten Kommas herleiten lassen. Daher sind Kommapumpen auch exzellente Startpunkte für Expeditionen in unbekannte xenharmonische Gefilde.

Ein paar Beispiele für nicht-mitteltönige Kommapumpen finden sich in: [[http://wwww.dkeenan.com/Music/MiddlePath.pdf|Paul Erlich: A middle path between just intonation and the equal temperaments, part 1]]

Eine Menge Beispiele für Kommapumpen sind auch im [[:en:Comma_pump_examples|englischen Xenharmonic Wiki]] versammelt.</text>
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Das im Deutschen etwas lächerlich klingende Wort "Kommapumpe" (auf Englisch ''comma pump'') bezeichnet eine Akkordfolge in einer [[Reguläre_Temperaturen|temperierten Stimmung]], die das Austemperieren eines [[Komma|Kommas]] ausnützt. Typischerweise erscheint sie in der temperierten Stimmung als zyklisch, also endend auf demselben Ton oder Akkord, wie sie begann; in [[Reine_Stimmungen|reiner Stiimmung]] hingegen landet die nächste Näherung derselben Akkordfolge auf einer geringfügig höheren oder tieferen Tonhöhe, typischerweise ein Komma versetzt.

Als elementares Beispiel sei die folgende Akkordfolge betrachtet.

[[File:SyntonicCommaPump1.jpg|alt=SyntonicCommaPump1.jpg|SyntonicCommaPump1.jpg]]

Auf den ersten Blick erscheint sie so simpel, dass man kaum etwas dazu sagen kann - doch wenn reine Stimmung ins Spiel kommt, gibt es ein paar Subtilitäten zu beachten.

Man beachte zunächst, dass die Basslinie, C - G - D - A, eine Folge aufsteigender Quinten (mit einer - modulo Oktave äquivalenten - absteigenden Quarte dazwischen) durchläuft. Das E im letzten Akkord liegt ausserdem eine Quinte über dem A. Wenn alle diese Quinten reine Intervalle mit Frequenzverhältnis 3/2 sind, folgt daraus, dass das E im letzten Akkord eine pythagoräische Terz über dem C des ersten Akkords liegt. Wenn andererseits alle Akkorde der Folge reine 5-[[Limit|Limit]]-Akkorde sind, liegt das E im ersten Akkord eine [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] über dem C - das E am Schluss also ein [[Syntonisches_Komma|syntonisches Komma]] höher als das am Anfang! Das gilt übrigens auch für das zweite C.

Bei wiederholter Anwendung der Akkordfolge wird also in reiner Stimmung die Tonhöhe immer weiter nach oben "gepumpt", während sie in der Standardstimmung [[12edo|12edo]], die als [[mitteltönig|mitteltöniges]] System das syntonische Komma austemperiert, zyklisch immer wieder auf demselben Ton landet.

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| | Obige Akkordfolge zweimal, in der Standardstimmung 12edo
| | Obige Akkordfolge zweimal, in 5-Limit-reiner Stimmung gemäss Text. Die Wiederholung beginnt hier auf demselben Ton wie die erste Folge, was jedoch minim tiefer ist als der Schluss der ersten Folge.
|}

Es muss wohl nicht extra betont werden, dass Kommapumpen eine eminente Bedeutung für die musikalische Sprache haben. Ein beträchtlicher Teil der traditionellen Akkordfloskeln in der klassischen europäischen Musik enthält Kommapumpen, es sind charakteristische Akkordfolgen für das vorherrschende temperierte Tonsystem - und ebenso gibt es für jede beliebige andere reguläre Temperatur entsprechende typische Akkordfolgen, die sich quasi direkt aus den austemperierten Kommas herleiten lassen. Daher sind Kommapumpen auch exzellente Startpunkte für Expeditionen in unbekannte xenharmonische Gefilde.

Ein paar Beispiele für nicht-mitteltönige Kommapumpen finden sich in: [[http://wwww.dkeenan.com/Music/MiddlePath.pdf Paul Erlich: A middle path between just intonation and the equal temperaments, part 1]]

Eine Menge Beispiele für Kommapumpen sind auch im [[:en:Comma_pump_examples|englischen Xenharmonic Wiki]] versammelt.</text>
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Das im Deutschen etwas lächerlich klingende Wort "Kommapumpe" (auf Englisch ''comma pump'') bezeichnet eine Akkordfolge in einer [[Reguläre_Temperaturen|temperierten Stimmung]], die das Austemperieren eines [[Komma|Kommas]] ausnützt. Typischerweise erscheint sie in der temperierten Stimmung als zyklisch, also endend auf demselben Ton oder Akkord, wie sie begann; in [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmung]] hingegen landet die nächste Näherung derselben Akkordfolge auf einer geringfügig höheren oder tieferen Tonhöhe, typischerweise ein Komma versetzt.

Als elementares Beispiel sei die folgende Akkordfolge betrachtet.

[[File:SyntonicCommaPump1.jpg|alt=SyntonicCommaPump1.jpg|SyntonicCommaPump1.jpg]]

Auf den ersten Blick erscheint sie so simpel, dass man kaum etwas dazu sagen kann - doch wenn reine Stimmung ins Spiel kommt, gibt es ein paar Subtilitäten zu beachten.

Man beachte zunächst, dass die Basslinie, C - G - D - A, eine Folge aufsteigender Quinten (mit einer - modulo Oktave äquivalenten - absteigenden Quarte dazwischen) durchläuft. Das E im letzten Akkord liegt ausserdem eine Quinte über dem A. Wenn alle diese Quinten reine Intervalle mit Frequenzverhältnis 3/2 sind, folgt daraus, dass das E im letzten Akkord eine pythagoräische Terz über dem C des ersten Akkords liegt. Wenn andererseits alle Akkorde der Folge reine 5-[[Limit|Limit]]-Akkorde sind, liegt das E im ersten Akkord eine [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] über dem C - das E am Schluss also ein [[Syntonisches_Komma|syntonisches Komma]] höher als das am Anfang! Das gilt übrigens auch für das zweite C.

Bei wiederholter Anwendung der Akkordfolge wird also in reiner Stimmung die Tonhöhe immer weiter nach oben "gepumpt", während sie in der Standardstimmung [[12edo|12edo]], die als [[mitteltönig|mitteltöniges]] System das syntonische Komma austemperiert, zyklisch immer wieder auf demselben Ton landet.

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| | Obige Akkordfolge zweimal, in der Standardstimmung 12edo
| | Obige Akkordfolge zweimal, in 5-Limit-reiner Stimmung gemäss Text. Die Wiederholung beginnt hier auf demselben Ton wie die erste Folge, was jedoch minim tiefer ist als der Schluss der ersten Folge.
|}

Es muss wohl nicht extra betont werden, dass Kommapumpen eine eminente Bedeutung für die musikalische Sprache haben. Ein beträchtlicher Teil der traditionellen Akkordfloskeln in der klassischen europäischen Musik enthält Kommapumpen, es sind charakteristische Akkordfolgen für das vorherrschende temperierte Tonsystem - und ebenso gibt es für jede beliebige andere reguläre Temperatur entsprechende typische Akkordfolgen, die sich quasi direkt aus den austemperierten Kommas herleiten lassen. Daher sind Kommapumpen auch exzellente Startpunkte für Expeditionen in unbekannte xenharmonische Gefilde.

Ein paar Beispiele für nicht-mitteltönige Kommapumpen finden sich in: [http://wwww.dkeenan.com/Music/MiddlePath.pdf Paul Erlich: A middle path between just intonation and the equal temperaments, part 1].

Eine Menge Beispiele für Kommapumpen sind auch im [[:en:Comma_pump_examples|englischen Xenharmonic Wiki]] versammelt.</text>
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Das im Deutschen etwas lächerlich klingende Wort "Kommapumpe" (auf Englisch ''comma pump'') bezeichnet eine Akkordfolge in einer [[Reguläre_Temperaturen|temperierten Stimmung]], die das Austemperieren eines [[Komma|Kommas]] ausnützt. Typischerweise erscheint sie in der temperierten Stimmung als zyklisch, also endend auf demselben Ton oder Akkord, wie sie begann; in [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmung]] hingegen landet die nächste Näherung derselben Akkordfolge auf einer geringfügig höheren oder tieferen Tonhöhe, typischerweise ein Komma versetzt.

Als elementares Beispiel sei die folgende Akkordfolge betrachtet.

[[File:SyntonicCommaPump1.jpg|alt=SyntonicCommaPump1.jpg|SyntonicCommaPump1.jpg]]

Auf den ersten Blick erscheint sie so simpel, dass man kaum etwas dazu sagen kann - doch wenn reine Stimmung ins Spiel kommt, gibt es ein paar Subtilitäten zu beachten.

Man beachte zunächst, dass die Basslinie, C - G - D - A, eine Folge aufsteigender Quinten (mit einer - modulo Oktave äquivalenten - absteigenden Quarte dazwischen) durchläuft. Das E im letzten Akkord liegt ausserdem eine Quinte über dem A. Wenn alle diese Quinten reine Intervalle mit Frequenzverhältnis 3/2 sind, folgt daraus, dass das E im letzten Akkord eine pythagoräische Terz über dem C des ersten Akkords liegt. Wenn andererseits alle Akkorde der Folge reine 5-[[Limit|Limit]]-Akkorde sind, liegt das E im ersten Akkord eine [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] über dem C - das E am Schluss also ein [[Syntonisches_Komma|syntonisches Komma]] höher als das am Anfang! Das gilt übrigens auch für das zweite C.

Bei wiederholter Anwendung der Akkordfolge wird also in reiner Stimmung die Tonhöhe immer weiter nach oben "gepumpt", während sie in der Standardstimmung [[12edo|12edo]], die als [[mitteltönig|mitteltöniges]] System das syntonische Komma austemperiert, zyklisch immer wieder auf demselben Ton landet.

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| | Obige Akkordfolge zweimal, in 5-Limit-reiner Stimmung gemäss Text. Die Wiederholung beginnt hier auf demselben Ton wie die erste Folge, was jedoch minim tiefer ist als der Schluss der ersten Folge.
|}

Es muss wohl nicht extra betont werden, dass Kommapumpen eine eminente Bedeutung für die musikalische Sprache haben. Ein beträchtlicher Teil der traditionellen Akkordfloskeln in der klassischen europäischen Musik enthält Kommapumpen, es sind charakteristische Akkordfolgen für das vorherrschende temperierte Tonsystem - und ebenso gibt es für jede beliebige andere reguläre Temperatur entsprechende typische Akkordfolgen, die sich quasi direkt aus den austemperierten Kommas herleiten lassen. Daher sind Kommapumpen auch exzellente Startpunkte für Expeditionen in unbekannte xenharmonische Gefilde.

Ein paar Beispiele für nicht-mitteltönige Kommapumpen finden sich in: [http://wwww.dkeenan.com/Music/MiddlePath.pdf Paul Erlich: A middle path between just intonation and the equal temperaments, part 1].

Hier ein Beispiel für eine nicht-mitteltönige Kommapumpe, eine Akkordfolge aus der [http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music Mizarian Porcupine Ouverture] von Herman Miller.

Todo

Eine Menge Beispiele für Kommapumpen sind auch im [[:en:Comma_pump_examples|englischen Xenharmonic Wiki]] versammelt.</text>
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Das im Deutschen etwas lächerlich klingende Wort "Kommapumpe" (auf Englisch ''comma pump'') bezeichnet eine Akkordfolge in einer [[Reguläre_Temperaturen|temperierten Stimmung]], die das Austemperieren eines [[Komma|Kommas]] ausnützt. Typischerweise erscheint sie in der temperierten Stimmung als zyklisch, also endend auf demselben Ton oder Akkord, wie sie begann; in [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmung]] hingegen landet die nächste Näherung derselben Akkordfolge auf einer geringfügig höheren oder tieferen Tonhöhe, typischerweise ein Komma versetzt.

=Elementares Beispiel=
Als elementares Beispiel sei die folgende Akkordfolge betrachtet.

[[File:SyntonicCommaPump1.jpg|alt=SyntonicCommaPump1.jpg|SyntonicCommaPump1.jpg]]

Auf den ersten Blick erscheint sie so simpel, dass man kaum etwas dazu sagen kann - doch wenn reine Stimmung ins Spiel kommt, gibt es ein paar Subtilitäten zu beachten.

Man beachte zunächst, dass die Basslinie, C - G - D - A, eine Folge aufsteigender Quinten (mit einer - modulo Oktave äquivalenten - absteigenden Quarte dazwischen) durchläuft. Das E im letzten Akkord liegt ausserdem eine Quinte über dem A. Wenn alle diese Quinten reine Intervalle mit Frequenzverhältnis 3/2 sind, folgt daraus, dass das E im letzten Akkord eine pythagoräische Terz über dem C des ersten Akkords liegt. Wenn andererseits alle Akkorde der Folge reine 5-[[Limit|Limit]]-Akkorde sind, liegt das E im ersten Akkord eine [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] über dem C - das E am Schluss also ein [[Syntonisches_Komma|syntonisches Komma]] höher als das am Anfang! Das gilt übrigens auch für das zweite C.

Bei wiederholter Anwendung der Akkordfolge wird also in reiner Stimmung die Tonhöhe immer weiter nach oben "gepumpt", während sie in der Standardstimmung [[12edo|12edo]], die als [[mitteltönig|mitteltöniges]] System das syntonische Komma austemperiert, zyklisch immer wieder auf demselben Ton landet.

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| | [[File:SyntonicCommaPump1_12edo.mp3]]
| | [[File:SyntonicCommaPump1_5LimitJust.mp3]]
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| | Obige Akkordfolge zweimal, in der Standardstimmung 12edo
| | Obige Akkordfolge zweimal, in 5-Limit-reiner Stimmung gemäss Text. Die Wiederholung beginnt hier auf demselben Ton wie die erste Folge, was jedoch minim tiefer ist als der Schluss der ersten Folge.
|}

Es muss wohl nicht extra betont werden, dass Kommapumpen eine eminente Bedeutung für die musikalische Sprache haben. Ein beträchtlicher Teil der traditionellen Akkordfloskeln in der klassischen europäischen Musik enthält Kommapumpen, es sind charakteristische Akkordfolgen für das vorherrschende temperierte Tonsystem - und ebenso gibt es für jede beliebige andere reguläre Temperatur entsprechende typische Akkordfolgen, die sich quasi direkt aus den austemperierten Kommas herleiten lassen. Daher sind Kommapumpen auch exzellente Startpunkte für Expeditionen in unbekannte xenharmonische Gefilde.

=Nicht-mitteltöniges Beispiel=

Hier ein Beispiel für eine nicht-mitteltönige Kommapumpe, eine Akkordfolge aus der [http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music Mizarian Porcupine Ouverture] von Herman Miller.


Todo

Weitere Beispiele für nicht-mitteltönige Kommapumpen finden sich in: [http://wwww.dkeenan.com/Music/MiddlePath.pdf Paul Erlich: A middle path between just intonation and the equal temperaments, part 1].

Eine Menge Beispiele für Kommapumpen sind auch im [[:en:Comma_pump_examples|englischen Xenharmonic Wiki]] versammelt.</text>
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Das im Deutschen etwas lächerlich klingende Wort "Kommapumpe" (auf Englisch ''comma pump'') bezeichnet eine Akkordfolge in einer [[Reguläre_Temperaturen|temperierten Stimmung]], die das Austemperieren eines [[Komma|Kommas]] ausnützt. Typischerweise erscheint sie in der temperierten Stimmung als zyklisch, also endend auf demselben Ton oder Akkord, wie sie begann; in [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmung]] hingegen landet die nächste Näherung derselben Akkordfolge auf einer geringfügig höheren oder tieferen Tonhöhe, typischerweise ein Komma versetzt.

=Elementares Beispiel=
Als elementares Beispiel sei die folgende Akkordfolge betrachtet.

[[File:SyntonicCommaPump1.jpg|alt=SyntonicCommaPump1.jpg|SyntonicCommaPump1.jpg]]

Auf den ersten Blick erscheint sie so simpel, dass man kaum etwas dazu sagen kann - doch wenn reine Stimmung ins Spiel kommt, gibt es ein paar Subtilitäten zu beachten.

Man beachte zunächst, dass die Basslinie, C - G - D - A, eine Folge aufsteigender Quinten (mit einer - modulo Oktave äquivalenten - absteigenden Quarte dazwischen) durchläuft. Das E im letzten Akkord liegt ausserdem eine Quinte über dem A. Wenn alle diese Quinten reine Intervalle mit Frequenzverhältnis 3/2 sind, folgt daraus, dass das E im letzten Akkord eine pythagoräische Terz über dem C des ersten Akkords liegt. Wenn andererseits alle Akkorde der Folge reine 5-[[Limit|Limit]]-Akkorde sind, liegt das E im ersten Akkord eine [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] über dem C - das E am Schluss also ein [[Syntonisches_Komma|syntonisches Komma]] höher als das am Anfang! Das gilt übrigens auch für das zweite C.

Bei wiederholter Anwendung der Akkordfolge wird also in reiner Stimmung die Tonhöhe immer weiter nach oben "gepumpt", während sie in der Standardstimmung [[12edo|12edo]], die als [[mitteltönig|mitteltöniges]] System das syntonische Komma austemperiert, zyklisch immer wieder auf demselben Ton landet.

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| | Obige Akkordfolge zweimal, in der Standardstimmung 12edo
| | Obige Akkordfolge zweimal, in 5-Limit-reiner Stimmung gemäss Text. Die Wiederholung beginnt hier auf demselben Ton wie die erste Folge, was jedoch minim tiefer ist als der Schluss der ersten Folge.
|}

Es muss wohl nicht extra betont werden, dass Kommapumpen eine eminente Bedeutung für die musikalische Sprache haben. Ein beträchtlicher Teil der traditionellen Akkordfloskeln in der klassischen europäischen Musik enthält Kommapumpen, es sind charakteristische Akkordfolgen für das vorherrschende temperierte Tonsystem - und ebenso gibt es für jede beliebige andere reguläre Temperatur entsprechende typische Akkordfolgen, die sich quasi direkt aus den austemperierten Kommas herleiten lassen. Daher sind Kommapumpen auch exzellente Startpunkte für Expeditionen in unbekannte xenharmonische Gefilde.

=Nicht-mitteltöniges Beispiel=

Hier ein Beispiel für eine nicht-mitteltönige Kommapumpe, eine Akkordfolge aus der [http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music Mizarian Porcupine Ouverture] von Herman Miller.

[[file:mizarianporcupineouverturecomnapump.JPG]]
Todo

Weitere Beispiele für nicht-mitteltönige Kommapumpen finden sich in: [http://wwww.dkeenan.com/Music/MiddlePath.pdf Paul Erlich: A middle path between just intonation and the equal temperaments, part 1].

Eine Menge Beispiele für Kommapumpen sind auch im [[:en:Comma_pump_examples|englischen Xenharmonic Wiki]] versammelt.</text>
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Das im Deutschen etwas lächerlich klingende Wort "Kommapumpe" (auf Englisch ''comma pump'') bezeichnet eine Akkordfolge in einer [[Reguläre_Temperaturen|temperierten Stimmung]], die das Austemperieren eines [[Komma|Kommas]] ausnützt. Typischerweise erscheint sie in der temperierten Stimmung als zyklisch, also endend auf demselben Ton oder Akkord, wie sie begann; in [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmung]] hingegen landet die nächste Näherung derselben Akkordfolge auf einer geringfügig höheren oder tieferen Tonhöhe, typischerweise ein Komma versetzt.

=Elementares Beispiel=
Als elementares Beispiel sei die folgende Akkordfolge betrachtet.

[[File:SyntonicCommaPump1.jpg|alt=SyntonicCommaPump1.jpg|SyntonicCommaPump1.jpg]]

Auf den ersten Blick erscheint sie so simpel, dass man kaum etwas dazu sagen kann - doch wenn reine Stimmung ins Spiel kommt, gibt es ein paar Subtilitäten zu beachten.

Man beachte zunächst, dass die Basslinie, C - G - D - A, eine Folge aufsteigender Quinten (mit einer - modulo Oktave äquivalenten - absteigenden Quarte dazwischen) durchläuft. Das E im letzten Akkord liegt ausserdem eine Quinte über dem A. Wenn alle diese Quinten reine Intervalle mit Frequenzverhältnis 3/2 sind, folgt daraus, dass das E im letzten Akkord eine pythagoräische Terz über dem C des ersten Akkords liegt. Wenn andererseits alle Akkorde der Folge reine 5-[[Limit|Limit]]-Akkorde sind, liegt das E im ersten Akkord eine [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] über dem C - das E am Schluss also ein [[Syntonisches_Komma|syntonisches Komma]] höher als das am Anfang! Das gilt übrigens auch für das zweite C.

Bei wiederholter Anwendung der Akkordfolge wird also in reiner Stimmung die Tonhöhe immer weiter nach oben "gepumpt", während sie in der Standardstimmung [[12edo|12edo]], die als [[mitteltönig|mitteltöniges]] System das syntonische Komma austemperiert, zyklisch immer wieder auf demselben Ton landet.

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|-
| | [[File:SyntonicCommaPump1_12edo.mp3]]
| | [[File:SyntonicCommaPump1_5LimitJust.mp3]]
|-
| | Obige Akkordfolge zweimal, in der Standardstimmung 12edo
| | Obige Akkordfolge zweimal, in 5-Limit-reiner Stimmung gemäss Text. Die Wiederholung beginnt hier auf demselben Ton wie die erste Folge, was jedoch minim tiefer ist als der Schluss der ersten Folge.
|}

Es muss wohl nicht extra betont werden, dass Kommapumpen eine eminente Bedeutung für die musikalische Sprache haben. Ein beträchtlicher Teil der traditionellen Akkordfloskeln in der klassischen europäischen Musik enthält Kommapumpen, es sind charakteristische Akkordfolgen für das vorherrschende temperierte Tonsystem - und ebenso gibt es für jede beliebige andere reguläre Temperatur entsprechende typische Akkordfolgen, die sich quasi direkt aus den austemperierten Kommas herleiten lassen. Daher sind Kommapumpen auch exzellente Startpunkte für Expeditionen in unbekannte xenharmonische Gefilde.

=Nicht-mitteltöniges Beispiel=

Hier ein Beispiel für eine nicht-mitteltönige Kommapumpe, eine Akkordfolge aus der [http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music Mizarian Porcupine Ouverture] von Herman Miller.

[[file:mizarianporcupineouverturecomnapump.JPG]]

Dies ist allerdings nicht die Akkordfolge, wie sie im Original klingt, sondern wie sie in der Standardstimmung 12edo aussehen würde. Wie man sieht, liegt der Endakkord in 12edo einen Halbton höher als der Anfangsakkord.

[todo]

Weitere Beispiele für nicht-mitteltönige Kommapumpen finden sich in: [http://wwww.dkeenan.com/Music/MiddlePath.pdf Paul Erlich: A middle path between just intonation and the equal temperaments, part 1].

Eine Menge Beispiele für Kommapumpen sind auch im [[:en:Comma_pump_examples|englischen Xenharmonic Wiki]] versammelt.</text>
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Das im Deutschen etwas lächerlich klingende Wort "Kommapumpe" (auf Englisch ''comma pump'') bezeichnet eine Akkordfolge in einer [[Reguläre_Temperaturen|temperierten Stimmung]], die das Austemperieren eines [[Komma|Kommas]] ausnützt. Typischerweise erscheint sie in der temperierten Stimmung als zyklisch, also endend auf demselben Ton oder Akkord, wie sie begann; in [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmung]] hingegen landet die nächste Näherung derselben Akkordfolge auf einer geringfügig höheren oder tieferen Tonhöhe, typischerweise ein Komma versetzt.

=Elementares Beispiel=
Als elementares Beispiel sei die folgende Akkordfolge betrachtet.

[[File:SyntonicCommaPump1.jpg|alt=SyntonicCommaPump1.jpg|SyntonicCommaPump1.jpg]]

Auf den ersten Blick erscheint sie so simpel, dass man kaum etwas dazu sagen kann - doch wenn reine Stimmung ins Spiel kommt, gibt es ein paar Subtilitäten zu beachten.

Man beachte zunächst, dass die Basslinie, C - G - D - A, eine Folge aufsteigender Quinten (mit einer - modulo Oktave äquivalenten - absteigenden Quarte dazwischen) durchläuft. Das E im letzten Akkord liegt ausserdem eine Quinte über dem A. Wenn alle diese Quinten reine Intervalle mit Frequenzverhältnis 3/2 sind, folgt daraus, dass das E im letzten Akkord eine pythagoräische Terz über dem C des ersten Akkords liegt. Wenn andererseits alle Akkorde der Folge reine 5-[[Limit|Limit]]-Akkorde sind, liegt das E im ersten Akkord eine [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] über dem C - das E am Schluss also ein [[Syntonisches_Komma|syntonisches Komma]] höher als das am Anfang! Das gilt übrigens auch für das zweite C.

Bei wiederholter Anwendung der Akkordfolge wird also in reiner Stimmung die Tonhöhe immer weiter nach oben "gepumpt", während sie in der Standardstimmung [[12edo|12edo]], die als [[mitteltönig|mitteltöniges]] System das syntonische Komma austemperiert, zyklisch immer wieder auf demselben Ton landet.

{| class="wikitable"
|-
| | [[File:SyntonicCommaPump1_12edo.mp3]]
| | [[File:SyntonicCommaPump1_5LimitJust.mp3]]
|-
| | Obige Akkordfolge zweimal, in der Standardstimmung 12edo
| | Obige Akkordfolge zweimal, in 5-Limit-reiner Stimmung gemäss Text. Die Wiederholung beginnt hier auf demselben Ton wie die erste Folge, was jedoch minim tiefer ist als der Schluss der ersten Folge.
|}

Es muss wohl nicht extra betont werden, dass Kommapumpen eine eminente Bedeutung für die musikalische Sprache haben. Ein beträchtlicher Teil der traditionellen Akkordfloskeln in der klassischen europäischen Musik enthält Kommapumpen, es sind charakteristische Akkordfolgen für das vorherrschende temperierte Tonsystem - und ebenso gibt es für jede beliebige andere reguläre Temperatur entsprechende typische Akkordfolgen, die sich quasi direkt aus den austemperierten Kommas herleiten lassen. Daher sind Kommapumpen auch exzellente Startpunkte für Expeditionen in unbekannte xenharmonische Gefilde.

=Nicht-mitteltöniges Beispiel=

Hier ein Beispiel für eine nicht-mitteltönige Kommapumpe, eine Akkordfolge aus der [http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music Mizarian Porcupine Ouverture] von Herman Miller.

[[file:mizarianporcupineouverturecomnapump.JPG]]

Dies ist allerdings nicht die Akkordfolge, wie sie im Original klingt, sondern wie sie in der Standardstimmung 12edo aussehen würde. Wie man sieht, liegt der Endakkord in 12edo einen Halbton höher als der Anfangsakkord.

In reiner Stimmung betrachtet (d.h. jeder Akkord ein reiner 5-Limit-Dreiklang, unter Beibehaltung der gemeinsamen Töne), 
[todo]

Weitere Beispiele für nicht-mitteltönige Kommapumpen finden sich in: [http://wwww.dkeenan.com/Music/MiddlePath.pdf Paul Erlich: A middle path between just intonation and the equal temperaments, part 1].

Eine Menge Beispiele für Kommapumpen sind auch im [[:en:Comma_pump_examples|englischen Xenharmonic Wiki]] versammelt.</text>
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Das im Deutschen etwas lächerlich klingende Wort "Kommapumpe" (auf Englisch ''comma pump'') bezeichnet eine Akkordfolge in einer [[Reguläre_Temperaturen|temperierten Stimmung]], die das Austemperieren eines [[Komma|Kommas]] ausnützt. Typischerweise erscheint sie in der temperierten Stimmung als zyklisch, also endend auf demselben Ton oder Akkord, wie sie begann; in [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmung]] hingegen landet die nächste Näherung derselben Akkordfolge auf einer geringfügig höheren oder tieferen Tonhöhe, typischerweise ein Komma versetzt.

=Elementares Beispiel=
Als elementares Beispiel sei die folgende Akkordfolge betrachtet.

[[File:SyntonicCommaPump1.jpg|alt=SyntonicCommaPump1.jpg|SyntonicCommaPump1.jpg]]

Auf den ersten Blick erscheint sie so simpel, dass man kaum etwas dazu sagen kann - doch wenn reine Stimmung ins Spiel kommt, gibt es ein paar Subtilitäten zu beachten.

Man beachte zunächst, dass die Basslinie, C - G - D - A, eine Folge aufsteigender Quinten (mit einer - modulo Oktave äquivalenten - absteigenden Quarte dazwischen) durchläuft. Das E im letzten Akkord liegt ausserdem eine Quinte über dem A. Wenn alle diese Quinten reine Intervalle mit Frequenzverhältnis 3/2 sind, folgt daraus, dass das E im letzten Akkord eine pythagoräische Terz über dem C des ersten Akkords liegt. Wenn andererseits alle Akkorde der Folge reine 5-[[Limit|Limit]]-Akkorde sind, liegt das E im ersten Akkord eine [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] über dem C - das E am Schluss also ein [[Syntonisches_Komma|syntonisches Komma]] höher als das am Anfang! Das gilt übrigens auch für das zweite C.

Bei wiederholter Anwendung der Akkordfolge wird also in reiner Stimmung die Tonhöhe immer weiter nach oben "gepumpt", während sie in der Standardstimmung [[12edo|12edo]], die als [[mitteltönig|mitteltöniges]] System das syntonische Komma austemperiert, zyklisch immer wieder auf demselben Ton landet.

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| | [[File:SyntonicCommaPump1_12edo.mp3]]
| | [[File:SyntonicCommaPump1_5LimitJust.mp3]]
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| | Obige Akkordfolge zweimal, in der Standardstimmung 12edo
| | Obige Akkordfolge zweimal, in 5-Limit-reiner Stimmung gemäss Text. Die Wiederholung beginnt hier auf demselben Ton wie die erste Folge, was jedoch minim tiefer ist als der Schluss der ersten Folge.
|}

Es muss wohl nicht extra betont werden, dass Kommapumpen eine eminente Bedeutung für die musikalische Sprache haben. Ein beträchtlicher Teil der traditionellen Akkordfloskeln in der klassischen europäischen Musik enthält Kommapumpen, es sind charakteristische Akkordfolgen für das vorherrschende temperierte Tonsystem - und ebenso gibt es für jede beliebige andere reguläre Temperatur entsprechende typische Akkordfolgen, die sich quasi direkt aus den austemperierten Kommas herleiten lassen. Daher sind Kommapumpen auch exzellente Startpunkte für Expeditionen in unbekannte xenharmonische Gefilde.

=Nicht-mitteltöniges Beispiel=

Hier ein Beispiel für eine nicht-mitteltönige Kommapumpe, eine Akkordfolge aus der [http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music Mizarian Porcupine Ouverture] von Herman Miller.

[[file:mizarianporcupineouverturecomnapump.JPG]]

(@ Herman Miller)

Dies ist allerdings nicht die Akkordfolge, wie sie im Original klingt, sondern wie sie in der Standardstimmung 12edo aussehen würde. Wie man sieht, liegt der Endakkord in 12edo einen Halbton höher als der Anfangsakkord.

In reiner Stimmung betrachtet (d.h. jeder Akkord ein reiner 5-Limit-Dreiklang, unter Beibehaltung der gemeinsamen Töne), ergibt sich hingegen zwischen dem ersten und dem letzten Akkord ein Anstieg um das Intervall [[250/243]] - etwa 49.166 Cent gross und in xenharmonischen Kreisen als '''Porcupine-Komma''' bekannt.

[todo]

Weitere Beispiele für nicht-mitteltönige Kommapumpen finden sich in: [http://wwww.dkeenan.com/Music/MiddlePath.pdf Paul Erlich: A middle path between just intonation and the equal temperaments, part 1].

Eine Menge Beispiele für Kommapumpen sind auch im [[:en:Comma_pump_examples|englischen Xenharmonic Wiki]] versammelt.</text>
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Das im Deutschen etwas lächerlich klingende Wort "Kommapumpe" (auf Englisch ''comma pump'') bezeichnet eine Akkordfolge in einer [[Reguläre_Temperaturen|temperierten Stimmung]], die das Austemperieren eines [[Komma|Kommas]] ausnützt. Typischerweise erscheint sie in der temperierten Stimmung als zyklisch, also endend auf demselben Ton oder Akkord, wie sie begann; in [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmung]] hingegen landet die nächste Näherung derselben Akkordfolge auf einer geringfügig höheren oder tieferen Tonhöhe, typischerweise ein Komma versetzt.

=Elementares Beispiel=
Als elementares Beispiel sei die folgende Akkordfolge betrachtet.

[[File:SyntonicCommaPump1.jpg|alt=SyntonicCommaPump1.jpg|SyntonicCommaPump1.jpg]]

Auf den ersten Blick erscheint sie so simpel, dass man kaum etwas dazu sagen kann - doch wenn reine Stimmung ins Spiel kommt, gibt es ein paar Subtilitäten zu beachten.

Man beachte zunächst, dass die Basslinie, C - G - D - A, eine Folge aufsteigender Quinten (mit einer - modulo Oktave äquivalenten - absteigenden Quarte dazwischen) durchläuft. Das E im letzten Akkord liegt ausserdem eine Quinte über dem A. Wenn alle diese Quinten reine Intervalle mit Frequenzverhältnis 3/2 sind, folgt daraus, dass das E im letzten Akkord eine pythagoräische Terz über dem C des ersten Akkords liegt. Wenn andererseits alle Akkorde der Folge reine 5-[[Limit|Limit]]-Akkorde sind, liegt das E im ersten Akkord eine [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] über dem C - das E am Schluss also ein [[Syntonisches_Komma|syntonisches Komma]] höher als das am Anfang! Das gilt übrigens auch für das zweite C.

Bei wiederholter Anwendung der Akkordfolge wird also in reiner Stimmung die Tonhöhe immer weiter nach oben "gepumpt", während sie in der Standardstimmung [[12edo|12edo]], die als [[mitteltönig|mitteltöniges]] System das syntonische Komma austemperiert, zyklisch immer wieder auf demselben Ton landet.

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|-
| | [[File:SyntonicCommaPump1_12edo.mp3]]
| | [[File:SyntonicCommaPump1_5LimitJust.mp3]]
|-
| | Obige Akkordfolge zweimal, in der Standardstimmung 12edo
| | Obige Akkordfolge zweimal, in 5-Limit-reiner Stimmung gemäss Text. Die Wiederholung beginnt hier auf demselben Ton wie die erste Folge, was jedoch minim tiefer ist als der Schluss der ersten Folge.
|}

Es muss wohl nicht extra betont werden, dass Kommapumpen eine eminente Bedeutung für die musikalische Sprache haben. Ein beträchtlicher Teil der traditionellen Akkordfloskeln in der klassischen europäischen Musik enthält Kommapumpen, es sind charakteristische Akkordfolgen für das vorherrschende temperierte Tonsystem - und ebenso gibt es für jede beliebige andere reguläre Temperatur entsprechende typische Akkordfolgen, die sich quasi direkt aus den austemperierten Kommas herleiten lassen. Daher sind Kommapumpen auch exzellente Startpunkte für Expeditionen in unbekannte xenharmonische Gefilde.

=Nicht-mitteltöniges Beispiel=

Hier ein Beispiel für eine nicht-mitteltönige Kommapumpe, eine Akkordfolge aus der [http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music Mizarian Porcupine Ouverture] von Herman Miller.

[[file:mizarianporcupineouverturecomnapump.JPG]]

(@ Herman Miller)

Dies ist genau genommen nicht die Akkordfolge, wie sie im Original klingt, sondern wie sie in der Standardstimmung [[12edo]] aussehen würde. Wie man sieht, liegt der Endakkord in 12edo einen Halbton höher als der Anfangsakkord.

In reiner Stimmung betrachtet (d.h. jeder Akkord ein reiner 5-Limit-Dreiklang, unter Beibehaltung der gemeinsamen Töne), ergibt sich hingegen zwischen dem ersten und dem letzten Akkord ein Anstieg um das Intervall [[250/243]] - etwa 49.166 Cent gross und in xenharmonischen Kreisen als '''Porcupine-Komma''' bekannt.

Und entsprechend gilt, dass in einer temperierten Stimmung, wo dieses Komma verschwindet (einer Porcupine-Temperatur also), die Akkordfolge exakt auf gern Anfangsakkord endet. Dies ist namentlich in [[15edo]] so (dem Tonsystem, für welches die Mizarian Porcupine Ouverture geschrieben wurde), aber grundsätzlich in jeder Porcupune-temperierten Stimmung, so etwa auch in [[22edo]].

[todo Audiobeispiele]

Weitere Beispiele für nicht-mitteltönige Kommapumpen finden sich in: [http://wwww.dkeenan.com/Music/MiddlePath.pdf Paul Erlich: A middle path between just intonation and the equal temperaments, part 1].

Eine Menge Beispiele für Kommapumpen sind auch im [[:en:Comma_pump_examples|englischen Xenharmonic Wiki]] versammelt.</text>
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Das im Deutschen etwas lächerlich klingende Wort "Kommapumpe" (auf Englisch ''comma pump'') bezeichnet eine Akkordfolge in einer [[Reguläre_Temperaturen|temperierten Stimmung]], die das Austemperieren eines [[Komma|Kommas]] ausnützt. Typischerweise erscheint sie in der temperierten Stimmung als zyklisch, also endend auf demselben Ton oder Akkord, wie sie begann; in [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmung]] hingegen landet die nächste Näherung derselben Akkordfolge auf einer geringfügig höheren oder tieferen Tonhöhe, typischerweise ein Komma versetzt.

=Elementares Beispiel=
Als elementares Beispiel sei die folgende Akkordfolge betrachtet.

[[File:SyntonicCommaPump1.jpg|alt=SyntonicCommaPump1.jpg|SyntonicCommaPump1.jpg]]

Auf den ersten Blick erscheint sie so simpel, dass man kaum etwas dazu sagen kann - doch wenn [[Reine_Stimmungen|reine Stimmung]] ins Spiel kommt, gibt es ein paar Subtilitäten zu beachten.

Man beachte zunächst, dass die Basslinie, C - G - D - A, eine Folge aufsteigender Quinten (mit einer - modulo Oktave äquivalenten - absteigenden Quarte dazwischen) durchläuft. Das E im letzten Akkord liegt ausserdem eine Quinte über dem A. Wenn alle diese Quinten reine Intervalle mit Frequenzverhältnis 3/2 sind, folgt daraus, dass das E im letzten Akkord eine pythagoräische Terz über dem C des ersten Akkords liegt. Wenn andererseits alle Akkorde der Folge reine 5-[[Limit|Limit]]-Akkorde sind, liegt das E im ersten Akkord eine [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] über dem C - das E am Schluss also ein [[Syntonisches_Komma|syntonisches Komma]] höher als das am Anfang! Das gilt übrigens auch für das zweite C.

Bei wiederholter Anwendung der Akkordfolge wird also in reiner Stimmung die Tonhöhe immer weiter nach oben "gepumpt", während sie in der Standardstimmung [[12edo|12edo]], die als [[mitteltönig|mitteltöniges]] System das syntonische Komma austemperiert, zyklisch immer wieder auf demselben Ton landet.

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| | [[File:SyntonicCommaPump1_5LimitJust.mp3]]
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| | Obige Akkordfolge zweimal, in der Standardstimmung 12edo
| | Obige Akkordfolge zweimal, in 5-Limit-reiner Stimmung gemäss Text. Die Wiederholung beginnt hier auf demselben Ton wie die erste Folge, was jedoch minim tiefer ist als der Schluss der ersten Folge.
|}

Es muss wohl nicht extra betont werden, dass Kommapumpen eine eminente Bedeutung für die musikalische Sprache haben. Ein beträchtlicher Teil der traditionellen Akkordfloskeln in der klassischen europäischen Musik enthält Kommapumpen, es sind charakteristische Akkordfolgen für das vorherrschende temperierte Tonsystem - und ebenso gibt es für jede beliebige andere reguläre Temperatur entsprechende typische Akkordfolgen, die sich quasi direkt aus den austemperierten Kommas herleiten lassen. Daher sind Kommapumpen auch exzellente Startpunkte für Expeditionen in unbekannte xenharmonische Gefilde.

=Nicht-mitteltöniges Beispiel=

Hier ein Beispiel für eine nicht-mitteltönige Kommapumpe, eine Akkordfolge aus der [http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music Mizarian Porcupine Ouverture] von Herman Miller.

[[file:mizarianporcupineouverturecomnapump.JPG]]

(@ Herman Miller)

Dies ist genau genommen nicht die Akkordfolge, wie sie im Original klingt, sondern wie sie in der Standardstimmung [[12edo]] aussehen würde. Wie man sieht, liegt der Endakkord in 12edo einen Halbton höher als der Anfangsakkord.

In reiner Stimmung betrachtet (d.h. jeder Akkord ein reiner 5-Limit-Dreiklang, unter Beibehaltung der gemeinsamen Töne), ergibt sich hingegen zwischen dem ersten und dem letzten Akkord ein Anstieg um das Intervall [[250/243]] - etwa 49.166 Cent gross und in xenharmonischen Kreisen als '''Porcupine-Komma''' bekannt.

Und entsprechend gilt, dass in einer temperierten Stimmung, wo dieses Komma verschwindet (einer Porcupine-Temperatur also), die Akkordfolge exakt auf gern Anfangsakkord endet. Dies ist namentlich in [[15edo]] so (dem Tonsystem, für welches die Mizarian Porcupine Ouverture geschrieben wurde), aber grundsätzlich in jeder Porcupune-temperierten Stimmung, so etwa auch in [[22edo]].

[todo Audiobeispiele]

Weitere Beispiele für nicht-mitteltönige Kommapumpen finden sich in: [http://wwww.dkeenan.com/Music/MiddlePath.pdf Paul Erlich: A middle path between just intonation and the equal temperaments, part 1].

Eine Menge Beispiele für Kommapumpen sind auch im [[:en:Comma_pump_examples|englischen Xenharmonic Wiki]] versammelt.</text>
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Das im Deutschen etwas lächerlich klingende Wort "Kommapumpe" (auf Englisch ''comma pump'') bezeichnet eine Akkordfolge in einer [[Reguläre_Temperaturen|temperierten Stimmung]], die das Austemperieren eines [[Komma|Kommas]] ausnützt. Typischerweise erscheint sie in der temperierten Stimmung als zyklisch, also endend auf demselben Ton oder Akkord, wie sie begann; in [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmung]] hingegen landet die nächste Näherung derselben Akkordfolge auf einer geringfügig höheren oder tieferen Tonhöhe, typischerweise ein Komma versetzt.

=Elementares Beispiel=
Als elementares Beispiel sei die folgende Akkordfolge betrachtet.

[[File:SyntonicCommaPump1.jpg|alt=SyntonicCommaPump1.jpg|SyntonicCommaPump1.jpg]]

Auf den ersten Blick erscheint sie so simpel, dass man kaum etwas dazu sagen kann - doch wenn [[Reine_Stimmungen|reine Stimmung]] ins Spiel kommt, gibt es ein paar Subtilitäten zu beachten.

Man beachte zunächst, dass die Basslinie, C - G - D - A, eine Folge aufsteigender Quinten (mit einer - modulo Oktave äquivalenten - absteigenden Quarte dazwischen) durchläuft. Das E im letzten Akkord liegt ausserdem eine Quinte über dem A. Wenn alle diese Quinten reine Intervalle mit Frequenzverhältnis 3/2 sind, folgt daraus, dass das E im letzten Akkord eine pythagoräische Terz über dem C des ersten Akkords liegt. Wenn andererseits alle Akkorde der Folge reine 5-[[Limit|Limit]]-Akkorde sind, liegt das E im ersten Akkord eine [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] über dem C - das E am Schluss also ein [[Syntonisches_Komma|syntonisches Komma]] höher als das am Anfang! Das gilt übrigens auch für das zweite C.

Bei wiederholter Anwendung der Akkordfolge wird also in reiner Stimmung die Tonhöhe immer weiter nach oben "gepumpt", während sie in der Standardstimmung [[12edo|12edo]], die als [[mitteltönig|mitteltöniges]] System das syntonische Komma austemperiert, zyklisch immer wieder auf demselben Ton landet.

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| | [[File:SyntonicCommaPump1_12edo.mp3]]
| | [[File:SyntonicCommaPump1_5LimitJust.mp3]]
|-
| | Obige Akkordfolge zweimal, in der Standardstimmung 12edo
| | Obige Akkordfolge zweimal, in 5-Limit-reiner Stimmung gemäss Text. Die Wiederholung beginnt hier auf demselben Ton wie die erste Folge, was jedoch minim tiefer ist als der Schluss der ersten Folge.
|}

Es muss wohl nicht extra betont werden, dass Kommapumpen eine eminente Bedeutung für die musikalische Sprache haben. Ein beträchtlicher Teil der traditionellen Akkordfloskeln in der klassischen europäischen Musik enthält Kommapumpen, es sind charakteristische Akkordfolgen für das vorherrschende temperierte Tonsystem - und ebenso gibt es für jede beliebige andere reguläre Temperatur entsprechende typische Akkordfolgen, die sich quasi direkt aus den austemperierten Kommas herleiten lassen. Daher sind Kommapumpen auch exzellente Startpunkte für Expeditionen in unbekannte xenharmonische Gefilde.

=Nicht-mitteltöniges Beispiel=

Hier ein Beispiel für eine nicht-mitteltönige Kommapumpe, eine Akkordfolge aus der [http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music Mizarian Porcupine Ouverture] von Herman Miller.

[[file:mizarianporcupineouverturecomnapump.JPG]]

(@ Herman Miller)

Dies ist genau genommen nicht die Akkordfolge, wie sie im Original klingt, sondern wie sie in der Standardstimmung [[12edo]] aussehen würde. Wie man sieht, liegt der Endakkord in 12edo einen Halbton höher als der Anfangsakkord.

In reiner Stimmung betrachtet (d.h. jeder Akkord ein reiner 5-Limit-Dreiklang, unter Beibehaltung der gemeinsamen Töne), ergibt sich hingegen zwischen dem ersten und dem letzten Akkord ein Anstieg um das Intervall [[250/243]] - etwa 49.166 Cent gross und in xenharmonischen Kreisen als '''Porcupine-Komma''' bekannt.

Und entsprechend gilt, dass in einer temperierten Stimmung, wo dieses Komma verschwindet (einer [[Porcupine|Porcupine-Temperatur]] also), die Akkordfolge exakt auf gern Anfangsakkord endet. Dies ist namentlich in [[15edo]] so (dem Tonsystem, für welches die Mizarian Porcupine Ouverture geschrieben wurde), aber grundsätzlich in jeder Porcupune-temperierten Stimmung, so etwa auch in [[22edo]].

[todo Audiobeispiele]

Weitere Beispiele für nicht-mitteltönige Kommapumpen finden sich in: [http://wwww.dkeenan.com/Music/MiddlePath.pdf Paul Erlich: A middle path between just intonation and the equal temperaments, part 1].

Eine Menge Beispiele für Kommapumpen sind auch im [[:en:Comma_pump_examples|englischen Xenharmonic Wiki]] versammelt.</text>
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Das im Deutschen etwas lächerlich klingende Wort "Kommapumpe" (auf Englisch ''comma pump'') bezeichnet eine Akkordfolge in einer [[Reguläre_Temperaturen|temperierten Stimmung]], die das Austemperieren eines [[Komma|Kommas]] ausnützt. Typischerweise erscheint sie in der temperierten Stimmung als zyklisch, also endend auf demselben Ton oder Akkord, wie sie begann; in [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmung]] hingegen landet die nächste Näherung derselben Akkordfolge auf einer geringfügig höheren oder tieferen Tonhöhe, typischerweise ein Komma versetzt.

=Elementares Beispiel=
Als elementares Beispiel sei die folgende Akkordfolge betrachtet.

[[File:SyntonicCommaPump1.jpg|alt=SyntonicCommaPump1.jpg|SyntonicCommaPump1.jpg]]

Auf den ersten Blick erscheint sie so simpel, dass man kaum etwas dazu sagen kann - doch wenn [[Reine_Stimmungen|reine Stimmung]] ins Spiel kommt, gibt es ein paar Subtilitäten zu beachten.

Man beachte zunächst, dass die Basslinie, C - G - D - A, eine Folge aufsteigender Quinten (mit einer - modulo Oktave äquivalenten - absteigenden Quarte dazwischen) durchläuft. Das E im letzten Akkord liegt ausserdem eine Quinte über dem A. Wenn alle diese Quinten reine Intervalle mit Frequenzverhältnis 3/2 sind, folgt daraus, dass das E im letzten Akkord eine pythagoräische Terz über dem C des ersten Akkords liegt. Wenn andererseits alle Akkorde der Folge reine 5-[[Limit|Limit]]-Akkorde sind, liegt das E im ersten Akkord eine [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] über dem C - das E am Schluss also ein [[Syntonisches_Komma|syntonisches Komma]] höher als das am Anfang! Das gilt übrigens auch für das zweite C.

Bei wiederholter Anwendung der Akkordfolge wird also in reiner Stimmung die Tonhöhe immer weiter nach oben "gepumpt", während sie in der Standardstimmung [[12edo|12edo]], die als [[mitteltönig|mitteltöniges]] System das syntonische Komma austemperiert, zyklisch immer wieder auf demselben Ton landet.

{| class="wikitable"
|-
| | [[File:SyntonicCommaPump1_12edo.mp3]]
| | [[File:SyntonicCommaPump1_5LimitJust.mp3]]
|-
| | Obige Akkordfolge zweimal, in der Standardstimmung 12edo
| | Obige Akkordfolge zweimal, in 5-Limit-reiner Stimmung gemäss Text. Die Wiederholung beginnt hier auf demselben Ton wie die erste Folge, was jedoch minim tiefer ist als der Schluss der ersten Folge.
|}

Es muss wohl nicht extra betont werden, dass Kommapumpen eine eminente Bedeutung für die musikalische Sprache haben. Ein beträchtlicher Teil der traditionellen Akkordfloskeln in der klassischen europäischen Musik enthält Kommapumpen, es sind charakteristische Akkordfolgen für das vorherrschende temperierte Tonsystem - und ebenso gibt es für jede beliebige andere reguläre Temperatur entsprechende typische Akkordfolgen, die sich quasi direkt aus den austemperierten Kommas herleiten lassen. Daher sind Kommapumpen auch exzellente Startpunkte für Expeditionen in unbekannte xenharmonische Gefilde.

=Nicht-mitteltöniges Beispiel=

Hier ein Beispiel für eine nicht-mitteltönige Kommapumpe, eine Akkordfolge aus der [http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music Mizarian Porcupine Ouverture] von Herman Miller.

[[file:mizarianporcupineouverturecomnapump.JPG]]

(@ Herman Miller)

Dies ist genau genommen nicht die Akkordfolge, wie sie im Original klingt, sondern wie sie in der Standardstimmung [[12edo]] aussehen würde. Wie man sieht, liegt der Endakkord in 12edo einen Halbton höher als der Anfangsakkord.

In reiner Stimmung betrachtet (d.h. jeder Akkord ein reiner 5-Limit-Dreiklang, unter Beibehaltung der gemeinsamen Töne), ergibt sich hingegen zwischen dem ersten und dem letzten Akkord ein Anstieg um das Intervall [[250/243]] - etwa 49.166 Cent gross und in xenharmonischen Kreisen als '''Porcupine-Komma''' bekannt.

Und entsprechend gilt, dass in einer temperierten Stimmung, wo dieses Komma verschwindet (einer [[Porcupine|Porcupine-Temperatur]] also), die Akkordfolge exakt auf gern Anfangsakkord endet. Dies ist namentlich in [[15edo]] so (dem Tonsystem, für welches die Mizarian Porcupine Ouverture geschrieben wurde), aber grundsätzlich in jeder Porcupune-temperierten Stimmung, so etwa auch in [[22edo]].

{| class="wikitable"
|-
| | [[File:PorcupineCommaPump_12edo.mp3]]
| | [[File:PorcupineCommaPump_22edo.mp3]]
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| | Akkordfolge aus der Mizarian Porcupine Ouverture zweimal, in der Standardstimmung 12edo
| | Akkordfolge aus der Mizarian Porcupine Ouverture zweimal, in 22edo.
|}

Weitere Beispiele für nicht-mitteltönige Kommapumpen finden sich in: [http://wwww.dkeenan.com/Music/MiddlePath.pdf Paul Erlich: A middle path between just intonation and the equal temperaments, part 1].

Eine Menge Beispiele für Kommapumpen sind auch im [[:en:Comma_pump_examples|englischen Xenharmonic Wiki]] versammelt.</text>
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Das im Deutschen etwas lächerlich klingende Wort "Kommapumpe" (auf Englisch ''comma pump'') bezeichnet eine Akkordfolge in einer [[Reguläre_Temperaturen|temperierten Stimmung]], die das Austemperieren eines [[Komma|Kommas]] ausnützt. Typischerweise erscheint sie in der temperierten Stimmung als zyklisch, also endend auf demselben Ton oder Akkord, wie sie begann; in [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmung]] hingegen landet die nächste Näherung derselben Akkordfolge auf einer geringfügig höheren oder tieferen Tonhöhe, typischerweise ein Komma versetzt.

=Elementares Beispiel=
Als elementares Beispiel sei die folgende Akkordfolge betrachtet.

[[File:SyntonicCommaPump1.jpg|alt=SyntonicCommaPump1.jpg|SyntonicCommaPump1.jpg]]

Auf den ersten Blick erscheint sie so simpel, dass man kaum etwas dazu sagen kann - doch wenn [[Reine_Stimmungen|reine Stimmung]] ins Spiel kommt, gibt es ein paar Subtilitäten zu beachten.

Man beachte zunächst, dass die Basslinie, C - G - D - A, eine Folge aufsteigender Quinten (mit einer - modulo Oktave äquivalenten - absteigenden Quarte dazwischen) durchläuft. Das E im letzten Akkord liegt ausserdem eine Quinte über dem A. Wenn alle diese Quinten reine Intervalle mit Frequenzverhältnis 3/2 sind, folgt daraus, dass das E im letzten Akkord eine pythagoräische Terz über dem C des ersten Akkords liegt. Wenn andererseits alle Akkorde der Folge reine 5-[[Limit|Limit]]-Akkorde sind, liegt das E im ersten Akkord eine [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] über dem C - das E am Schluss also ein [[Syntonisches_Komma|syntonisches Komma]] höher als das am Anfang! Das gilt übrigens auch für das zweite C.

Bei wiederholter Anwendung der Akkordfolge wird also in reiner Stimmung die Tonhöhe immer weiter nach oben "gepumpt", während sie in der Standardstimmung [[12edo|12edo]], die als [[mitteltönig|mitteltöniges]] System das syntonische Komma austemperiert, zyklisch immer wieder auf demselben Ton landet.

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| | Obige Akkordfolge zweimal, in der Standardstimmung 12edo
| | Obige Akkordfolge zweimal, in 5-Limit-reiner Stimmung gemäss Text. Die Wiederholung beginnt hier auf demselben Ton wie die erste Folge, was jedoch minim tiefer ist als der Schluss der ersten Folge.
|}

Es muss wohl nicht extra betont werden, dass Kommapumpen eine eminente Bedeutung für die musikalische Sprache haben. Ein beträchtlicher Teil der traditionellen Akkordfloskeln in der klassischen europäischen Musik enthält Kommapumpen, es sind charakteristische Akkordfolgen für das vorherrschende temperierte Tonsystem - und ebenso gibt es für jede beliebige andere reguläre Temperatur entsprechende typische Akkordfolgen, die sich quasi direkt aus den austemperierten Kommas herleiten lassen. Daher sind Kommapumpen auch exzellente Startpunkte für Expeditionen in unbekannte xenharmonische Gefilde.

=Nicht-mitteltöniges Beispiel=

Hier ein Beispiel für eine nicht-mitteltönige Kommapumpe, eine Akkordfolge aus der [http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music Mizarian Porcupine Ouverture] von Herman Miller.

[[file:mizarianporcupineouverturecomnapump.JPG]]

(@ Herman Miller)

Dies ist genau genommen nicht die Akkordfolge, wie sie im Original klingt, sondern wie sie in der Standardstimmung [[12edo]] aussehen würde. Wie man sieht, liegt der Endakkord in 12edo einen Halbton höher als der Anfangsakkord.

In reiner Stimmung betrachtet (d.h. jeder Akkord ein reiner 5-Limit-Dreiklang, unter Beibehaltung der gemeinsamen Töne), ergibt sich hingegen zwischen dem ersten und dem letzten Akkord ein Anstieg um das Intervall [[250/243]] - etwa 49.166 Cent gross und in xenharmonischen Kreisen als '''Porcupine-Komma''' bekannt.

Und entsprechend gilt, dass in einer temperierten Stimmung, wo dieses Komma verschwindet (einer [[Porcupine|Porcupine-Temperatur]] also), die Akkordfolge exakt auf gern Anfangsakkord endet. Dies ist namentlich in [[15edo]] so (dem Tonsystem, für welches die Mizarian Porcupine Ouverture geschrieben wurde), aber grundsätzlich in jeder Porcupune-temperierten Stimmung, so etwa auch in [[22edo]].

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|-
| | Akkordfolge aus der Mizarian Porcupine Ouverture zweimal, in der Standardstimmung 12edo
| | Akkordfolge aus der Mizarian Porcupine Ouverture zweimal, in 22edo.
|}

Weitere Beispiele für nicht-mitteltönige Kommapumpen finden sich in: [http://wwww.dkeenan.com/Music/MiddlePath.pdf Paul Erlich: A middle path between just intonation and the equal temperaments, part 1].

Eine Menge Beispiele für Kommapumpen sind auch im [[:en:Comma_pump_examples|englischen Xenharmonic Wiki]] versammelt.</text>
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Das im Deutschen etwas lächerlich klingende Wort "Kommapumpe" (auf Englisch ''comma pump'') bezeichnet eine Akkordfolge in einer [[Reguläre_Temperaturen|temperierten Stimmung]], die das Austemperieren eines [[Komma|Kommas]] ausnützt. Typischerweise erscheint sie in der temperierten Stimmung als zyklisch, also endend auf demselben Ton oder Akkord, wie sie begann; in [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmung]] hingegen landet die nächste Näherung derselben Akkordfolge auf einer geringfügig höheren oder tieferen Tonhöhe, typischerweise ein Komma versetzt.

=Elementares Beispiel=
Als elementares Beispiel sei die folgende Akkordfolge betrachtet.

[[File:SyntonicCommaPump1.jpg|alt=SyntonicCommaPump1.jpg|SyntonicCommaPump1.jpg]]

Auf den ersten Blick erscheint sie so simpel, dass man kaum etwas dazu sagen kann - doch wenn [[Reine_Stimmungen|reine Stimmung]] ins Spiel kommt, gibt es ein paar Subtilitäten zu beachten.

Man beachte zunächst, dass die Basslinie, C - G - D - A, eine Folge aufsteigender Quinten (mit einer - modulo Oktave äquivalenten - absteigenden Quarte dazwischen) durchläuft. Das E im letzten Akkord liegt ausserdem eine Quinte über dem A. Wenn alle diese Quinten reine Intervalle mit Frequenzverhältnis 3/2 sind, folgt daraus, dass das E im letzten Akkord eine pythagoräische Terz über dem C des ersten Akkords liegt. Wenn andererseits alle Akkorde der Folge reine 5-[[Limit|Limit]]-Akkorde sind, liegt das E im ersten Akkord eine [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] über dem C - das E am Schluss also ein [[Syntonisches_Komma|syntonisches Komma]] höher als das am Anfang! Das gilt übrigens auch für das zweite C.

Bei wiederholter Anwendung der Akkordfolge wird also in reiner Stimmung die Tonhöhe immer weiter nach oben "gepumpt", während sie in der Standardstimmung [[12edo|12edo]], die als [[mitteltönig|mitteltöniges]] System das syntonische Komma austemperiert, zyklisch immer wieder auf demselben Ton landet.

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| | [[File:SyntonicCommaPump1_5LimitJust.mp3]]
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| | Obige Akkordfolge zweimal, in der Standardstimmung 12edo
| | Obige Akkordfolge zweimal, in 5-Limit-reiner Stimmung gemäss Text. Die Wiederholung beginnt hier auf demselben Ton wie die erste Folge, was jedoch minim tiefer ist als der Schluss der ersten Folge.
|}

Es muss wohl nicht extra betont werden, dass Kommapumpen eine eminente Bedeutung für die musikalische Sprache haben. Ein beträchtlicher Teil der traditionellen Akkordfloskeln in der klassischen europäischen Musik enthält Kommapumpen, es sind charakteristische Akkordfolgen für das vorherrschende temperierte Tonsystem - und ebenso gibt es für jede beliebige andere reguläre Temperatur entsprechende typische Akkordfolgen, die sich quasi direkt aus den austemperierten Kommas herleiten lassen. Daher sind Kommapumpen auch exzellente Startpunkte für Expeditionen in unbekannte xenharmonische Gefilde.

=Nicht-mitteltöniges Beispiel=

Hier ein Beispiel für eine nicht-mitteltönige Kommapumpe, eine Akkordfolge aus der [http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music Mizarian Porcupine Ouverture] von Herman Miller.

[[file:mizarianporcupineouverturecomnapump.JPG]]

(@ Herman Miller)

Dies ist genau genommen nicht die Akkordfolge, wie sie im Original klingt, sondern wie sie in der Standardstimmung [[12edo]] aussehen würde. Wie man sieht, liegt der Endakkord in 12edo einen Halbton höher als der Anfangsakkord.

In reiner Stimmung betrachtet (d.h. jeder Akkord ein reiner 5-Limit-Dreiklang, unter Beibehaltung der gemeinsamen Töne), ergibt sich hingegen zwischen dem ersten und dem letzten Akkord ein Anstieg um das Intervall [[250/243]] - etwa 49.166 Cent gross und in xenharmonischen Kreisen als '''Porcupine-Komma''' bekannt.

Und entsprechend gilt, dass in einer temperierten Stimmung, wo dieses Komma verschwindet (einer [[Porcupine|Porcupine-Temperatur]] also), die Akkordfolge exakt auf dem Anfangsakkord endet. Dies ist namentlich in [[15edo]] so (dem Tonsystem, für welches die Mizarian Porcupine Ouverture geschrieben wurde), aber grundsätzlich in jeder Porcupune-temperierten Stimmung, so etwa auch in [[22edo]].

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| | Akkordfolge aus der Mizarian Porcupine Ouverture zweimal, in der Standardstimmung 12edo
| | Akkordfolge aus der Mizarian Porcupine Ouverture zweimal, in 22edo.
|}

Weitere Beispiele für nicht-mitteltönige Kommapumpen finden sich in: [http://wwww.dkeenan.com/Music/MiddlePath.pdf Paul Erlich: A middle path between just intonation and the equal temperaments, part 1].

Eine Menge Beispiele für Kommapumpen sind auch im [[:en:Comma_pump_examples|englischen Xenharmonic Wiki]] versammelt.</text>
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Das im Deutschen etwas lächerlich klingende Wort "Kommapumpe" (auf Englisch ''comma pump'') bezeichnet eine Akkordfolge in einer [[Reguläre_Temperaturen|temperierten Stimmung]], die das Austemperieren eines [[Komma|Kommas]] ausnützt. Typischerweise erscheint sie in der temperierten Stimmung als zyklisch, also endend auf demselben Ton oder Akkord, wie sie begann; in [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmung]] hingegen landet die nächste Näherung derselben Akkordfolge auf einer geringfügig höheren oder tieferen Tonhöhe, typischerweise ein Komma versetzt.

=Elementares Beispiel=
Als elementares Beispiel sei die folgende Akkordfolge betrachtet.

[[File:SyntonicCommaPump1.jpg|alt=SyntonicCommaPump1.jpg|SyntonicCommaPump1.jpg]]

Auf den ersten Blick erscheint sie so simpel, dass man kaum etwas dazu sagen kann - doch wenn [[Reine_Stimmungen|reine Stimmung]] ins Spiel kommt, gibt es ein paar Subtilitäten zu beachten.

Man beachte zunächst, dass die Basslinie, C - G - D - A, eine Folge aufsteigender Quinten (mit einer - modulo Oktave äquivalenten - absteigenden Quarte dazwischen) durchläuft. Das E im letzten Akkord liegt ausserdem eine Quinte über dem A. Wenn alle diese Quinten reine Intervalle mit Frequenzverhältnis 3/2 sind, folgt daraus, dass das E im letzten Akkord eine pythagoräische Terz über dem C des ersten Akkords liegt. Wenn andererseits alle Akkorde der Folge reine 5-[[Limit|Limit]]-Akkorde sind, liegt das E im ersten Akkord eine [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] über dem C - das E am Schluss also ein [[Syntonisches_Komma|syntonisches Komma]] höher als das am Anfang! Das gilt übrigens auch für das zweite C.

Bei wiederholter Anwendung der Akkordfolge wird also in reiner Stimmung die Tonhöhe immer weiter nach oben "gepumpt", während sie in der Standardstimmung [[12edo|12edo]], die als [[mitteltönig|mitteltöniges]] System das syntonische Komma austemperiert, zyklisch immer wieder auf demselben Ton landet.

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| | Obige Akkordfolge zweimal, in der Standardstimmung 12edo
| | Obige Akkordfolge zweimal, in 5-Limit-reiner Stimmung gemäss Text. Die Wiederholung beginnt hier auf demselben Ton wie die erste Folge, was jedoch minim tiefer ist als der Schluss der ersten Folge.
|}

Es muss wohl nicht extra betont werden, dass Kommapumpen eine eminente Bedeutung für die musikalische Sprache haben. Ein beträchtlicher Teil der traditionellen Akkordfloskeln in der klassischen europäischen Musik enthält Kommapumpen, es sind charakteristische Akkordfolgen für das vorherrschende temperierte Tonsystem - und ebenso gibt es für jede beliebige andere reguläre Temperatur entsprechende typische Akkordfolgen, die sich quasi direkt aus den austemperierten Kommas herleiten lassen. Daher sind Kommapumpen auch exzellente Startpunkte für Expeditionen in unbekannte xenharmonische Gefilde.

=Nicht-mitteltöniges Beispiel=

Hier ein Beispiel für eine nicht-mitteltönige Kommapumpe, eine Akkordfolge aus der [http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music Mizarian Porcupine Ouverture] von Herman Miller.

[[file:mizarianporcupineouverturecomnapump.JPG]]

(@ Herman Miller)

Dies ist genau genommen nicht die Akkordfolge, wie sie im Original klingt, sondern wie sie in der Standardstimmung [[12edo]] aussehen würde. Wie man sieht, liegt der Endakkord in 12edo einen Halbton höher als der Anfangsakkord.

In reiner Stimmung betrachtet (d.h. jeder Akkord ein reiner 5-Limit-Dreiklang, unter Beibehaltung der gemeinsamen Töne), ergibt sich hingegen zwischen dem ersten und dem letzten Akkord ein Anstieg um das Intervall [[250/243]] - etwa 49.166 Cent gross und in xenharmonischen Kreisen als '''Porcupine-Komma''' bekannt.

Und entsprechend gilt, dass in einer temperierten Stimmung, wo dieses Komma verschwindet (einer [[Porcupine|Porcupine-Temperatur]] also), die Akkordfolge exakt auf dem Anfangsakkord endet. Dies ist namentlich in [[15edo]] so (dem Tonsystem, für welches die Mizarian Porcupine Ouverture geschrieben wurde), aber grundsätzlich in jeder Porcupine-temperierten Stimmung, so etwa auch in [[22edo]].

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| | [[File:PorcupineCommaPump12edo.mp3]]
| | [[File:PorcupineCommaPump22edo.mp3]]
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| | Akkordfolge aus der Mizarian Porcupine Ouverture zweimal, in der Standardstimmung 12edo
| | Akkordfolge aus der Mizarian Porcupine Ouverture zweimal, in 22edo.
|}

Weitere Beispiele für nicht-mitteltönige Kommapumpen finden sich in: [http://wwww.dkeenan.com/Music/MiddlePath.pdf Paul Erlich: A middle path between just intonation and the equal temperaments, part 1].

Eine Menge Beispiele für Kommapumpen sind auch im [[:en:Comma_pump_examples|englischen Xenharmonic Wiki]] versammelt.</text>
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Das im Deutschen etwas lächerlich klingende Wort "Kommapumpe" (auf Englisch ''comma pump'') bezeichnet eine Akkordfolge in einer [[Reguläre_Temperaturen|temperierten Stimmung]], die das Austemperieren eines [[Komma|Kommas]] ausnützt. Typischerweise erscheint sie in der temperierten Stimmung als zyklisch, also endend auf demselben Ton oder Akkord, wie sie begann; in [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmung]] hingegen landet die nächste Näherung derselben Akkordfolge auf einer geringfügig höheren oder tieferen Tonhöhe, typischerweise ein Komma versetzt.

=Elementares Beispiel=
Als elementares Beispiel sei die folgende Akkordfolge betrachtet.

[[File:SyntonicCommaPump1.jpg|alt=SyntonicCommaPump1.jpg|SyntonicCommaPump1.jpg]]

Auf den ersten Blick erscheint sie so simpel, dass man kaum etwas dazu sagen kann - doch wenn [[Reine_Stimmungen|reine Stimmung]] ins Spiel kommt, gibt es ein paar Subtilitäten zu beachten.

Man beachte zunächst, dass die Basslinie, C - G - D - A, eine Folge aufsteigender Quinten (mit einer - modulo Oktave äquivalenten - absteigenden Quarte dazwischen) durchläuft. Das E im letzten Akkord liegt ausserdem eine Quinte über dem A. Wenn alle diese Quinten reine Intervalle mit Frequenzverhältnis 3/2 sind, folgt daraus, dass das E im letzten Akkord eine pythagoräische Terz über dem C des ersten Akkords liegt. Wenn andererseits alle Akkorde der Folge reine 5-[[Limit|Limit]]-Akkorde sind, liegt das E im ersten Akkord eine [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] über dem C - das E am Schluss also ein [[Syntonisches_Komma|syntonisches Komma]] höher als das am Anfang! Das gilt übrigens auch für das zweite C.

Bei wiederholter Anwendung der Akkordfolge wird also in reiner Stimmung die Tonhöhe immer weiter nach oben "gepumpt", während sie in der Standardstimmung [[12-EDO]], die als [[mitteltönig|mitteltöniges]] System das syntonische Komma austemperiert, zyklisch immer wieder auf demselben Ton landet.

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| | Obige Akkordfolge zweimal, in der Standardstimmung 12-EDO
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|}

Es muss wohl nicht extra betont werden, dass Kommapumpen eine eminente Bedeutung für die musikalische Sprache haben. Ein beträchtlicher Teil der traditionellen Akkordfloskeln in der klassischen europäischen Musik enthält Kommapumpen, es sind charakteristische Akkordfolgen für das vorherrschende temperierte Tonsystem - und ebenso gibt es für jede beliebige andere reguläre Temperatur entsprechende typische Akkordfolgen, die sich quasi direkt aus den austemperierten Kommas herleiten lassen. Daher sind Kommapumpen auch exzellente Startpunkte für Expeditionen in unbekannte xenharmonische Gefilde.

=Nicht-mitteltöniges Beispiel=

Hier ein Beispiel für eine nicht-mitteltönige Kommapumpe, eine Akkordfolge aus der [http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music Mizarian Porcupine Ouverture] von Herman Miller.

[[file:mizarianporcupineouverturecomnapump.JPG]]

(@ Herman Miller)

Dies ist genau genommen nicht die Akkordfolge, wie sie im Original klingt, sondern wie sie in der Standardstimmung [[12-EDO]] aussehen würde. Wie man sieht, liegt der Endakkord in 12-EDO einen Halbton höher als der Anfangsakkord.

In reiner Stimmung betrachtet (d.h. jeder Akkord ein reiner 5-Limit-Dreiklang, unter Beibehaltung der gemeinsamen Töne), ergibt sich hingegen zwischen dem ersten und dem letzten Akkord ein Anstieg um das Intervall [[250/243]] - etwa 49.166 Cent gross und in xenharmonischen Kreisen als '''Porcupine-Komma''' bekannt.

Und entsprechend gilt, dass in einer temperierten Stimmung, wo dieses Komma verschwindet (einer [[Porcupine|Porcupine-Temperatur]] also), die Akkordfolge exakt auf dem Anfangsakkord endet. Dies ist namentlich in [[15-EDO]] so (dem Tonsystem, für welches die Mizarian Porcupine Ouverture geschrieben wurde), aber grundsätzlich in jeder Porcupine-temperierten Stimmung, so etwa auch in [[22-EDO]].

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|}

Weitere Beispiele für nicht-mitteltönige Kommapumpen finden sich in: [http://wwww.dkeenan.com/Music/MiddlePath.pdf Paul Erlich: A middle path between just intonation and the equal temperaments, part 1].

Eine Menge Beispiele für Kommapumpen sind auch im [[:en:Comma_pump_examples|englischen Xenharmonic Wiki]] versammelt.</text>
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Das im Deutschen etwas lächerlich klingende Wort "Kommapumpe" (auf Englisch ''comma pump'') bezeichnet eine Akkordfolge in einer [[Reguläre_Temperaturen|temperierten Stimmung]], die das Austemperieren eines [[Komma|Kommas]] ausnützt. Typischerweise erscheint sie in der temperierten Stimmung als zyklisch, also endend auf demselben Ton oder Akkord, wie sie begann; in [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmung]] hingegen landet die nächste Näherung derselben Akkordfolge auf einer geringfügig höheren oder tieferen Tonhöhe, typischerweise ein Komma versetzt.

=Elementares Beispiel=
Als elementares Beispiel sei die folgende Akkordfolge betrachtet.

[[File:SyntonicCommaPump1.jpg|alt=SyntonicCommaPump1.jpg|SyntonicCommaPump1.jpg]]

Auf den ersten Blick erscheint sie so simpel, dass man kaum etwas dazu sagen kann - doch wenn [[Reine_Stimmungen|reine Stimmung]] ins Spiel kommt, gibt es ein paar Subtilitäten zu beachten.

Man beachte zunächst, dass die Basslinie, C - G - D - A, eine Folge aufsteigender Quinten (mit einer - modulo Oktave äquivalenten - absteigenden Quarte dazwischen) durchläuft. Das E im letzten Akkord liegt ausserdem eine Quinte über dem A. Wenn alle diese Quinten reine Intervalle mit Frequenzverhältnis 3/2 sind, folgt daraus, dass das E im letzten Akkord eine pythagoräische Terz über dem C des ersten Akkords liegt. Wenn andererseits alle Akkorde der Folge reine 5-[[Limit|Limit]]-Akkorde sind, liegt das E im ersten Akkord eine [[Naturterz|Naturterz (5/4)]] über dem C - das E am Schluss also ein [[Syntonisches_Komma|syntonisches Komma]] höher als das am Anfang! Das gilt übrigens auch für das zweite C.

Bei wiederholter Anwendung der Akkordfolge wird also in reiner Stimmung die Tonhöhe immer weiter nach oben "gepumpt", während sie in der Standardstimmung [[12-EDO]], die als [[mitteltönig|mitteltöniges]] System das syntonische Komma austemperiert, zyklisch immer wieder auf demselben Ton landet.

{| class="wikitable"
|-
| | [[File:SyntonicCommaPump1_12edo.mp3]]
| | [[File:SyntonicCommaPump1_5LimitJust.mp3]]
|-
| | Obige Akkordfolge zweimal, in der Standardstimmung 12-EDO
| | Obige Akkordfolge zweimal, in 5-Limit-reiner Stimmung gemäss Text. Die Wiederholung beginnt hier auf demselben Ton wie die erste Folge, was jedoch minim tiefer ist als der Schluss der ersten Folge.
|}

Es muss wohl nicht extra betont werden, dass Kommapumpen eine eminente Bedeutung für die musikalische Sprache haben. Ein beträchtlicher Teil der traditionellen Akkordfloskeln in der klassischen europäischen Musik enthält Kommapumpen, es sind charakteristische Akkordfolgen für das vorherrschende temperierte [[Tonsystem]] - und ebenso gibt es für jede beliebige andere reguläre Temperatur entsprechende typische Akkordfolgen, die sich quasi direkt aus den austemperierten Kommas herleiten lassen. Daher sind Kommapumpen auch exzellente Startpunkte für Expeditionen in unbekannte xenharmonische Gefilde.

=Nicht-mitteltöniges Beispiel=

Hier ein Beispiel für eine nicht-mitteltönige Kommapumpe, eine Akkordfolge aus der [http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music Mizarian Porcupine Ouverture] von Herman Miller.

[[file:mizarianporcupineouverturecomnapump.JPG]]

(@ Herman Miller)

Dies ist genau genommen nicht die Akkordfolge, wie sie im Original klingt, sondern wie sie in der Standardstimmung [[12-EDO]] aussehen würde. Wie man sieht, liegt der Endakkord in 12-EDO einen Halbton höher als der Anfangsakkord.

In reiner Stimmung betrachtet (d.h. jeder Akkord ein reiner 5-Limit-Dreiklang, unter Beibehaltung der gemeinsamen Töne), ergibt sich hingegen zwischen dem ersten und dem letzten Akkord ein Anstieg um das Intervall [[250/243]] - etwa 49.166 Cent gross und in xenharmonischen Kreisen als '''Porcupine-Komma''' bekannt.

Und entsprechend gilt, dass in einer temperierten Stimmung, wo dieses Komma verschwindet (einer [[Porcupine|Porcupine-Temperatur]] also), die Akkordfolge exakt auf dem Anfangsakkord endet. Dies ist namentlich in [[15-EDO]] so (dem Tonsystem, für welches die Mizarian Porcupine Ouverture geschrieben wurde), aber grundsätzlich in jeder Porcupine-temperierten Stimmung, so etwa auch in [[22-EDO]].

{| class="wikitable"
|-
| | [[File:PorcupineCommaPump12edo.mp3]]
| | [[File:PorcupineCommaPump22edo.mp3]]
|-
| | Akkordfolge aus der Mizarian Porcupine Ouverture zweimal, in der Standardstimmung 12-EDO
| | Akkordfolge aus der Mizarian Porcupine Ouverture zweimal, in 22-EDO.
|}

Weitere Beispiele für nicht-mitteltönige Kommapumpen finden sich in: [http://wwww.dkeenan.com/Music/MiddlePath.pdf Paul Erlich: A middle path between just intonation and the equal temperaments, part 1].

Eine Menge Beispiele für Kommapumpen sind auch im [[:en:Comma_pump_examples|englischen Xenharmonic Wiki]] versammelt.</text>
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      <text bytes="3497" sha1="k4dxkt0ytacilb03vykerm2c4291ird" xml:space="preserve">Der Begriff '''Konsonanz''' charakterisiert den Zusammenklang von zwei oder mehr Tönen als...

Konsonanz bildet gemeinsam mit [[Dissonanz|Dissonanz]] ein System zur Unterscheidung von Klängen.

In der landläufigen Musiktheorie wird zwischen vollkommenen ([[Oktave|Oktave]], [[Quinte|Quinte]], [[Quarte|Quarte]], auch Prime) und unvollkommenen Konsonanzen (Terzen und Sexten) unterschieden. Häufig wird als Ursache für den "Wohlklang" das "einfache Schwingungsverhältnis" der beteiligten Töne genannt, allerdings ist nach dieser Theorie nicht erklärbar, warum die kleine Sexte ([[8/5|8/5]]) nicht weniger konsonant empfunden wird als Huygens’ Tritonus ([[7/5|7/5]]).

==Verweise==
&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[http://de.wikipedia.org/wiki/Konsonanz Konsonanz - Wikipedia]&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[http://www.muzzulini.ch/publications/dm_1990_KonsonanzUndDissonanz_Liz.pdf Daniel Muzzulini, Konsonanz und Dissonanz in Musiktheorie und Psychoakustik] , Lizentiatsarbeit Universität Zürich 1990&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

=Konsonanz und Klangfarbe=
Ein Punkt, der bei vielen Theorien zu Konsonanz gelegentlich etwas vernachlässigt wird, ist, dass der Wohl- oder Missklang nicht nur vom Frequenzverhältnis der beteiligten Töne abhängt, sondern auch von deren Klangfarbe - genauer gesagt von der Obertonstruktur. Diese Erkenntnis ist untrennbar mit dem Namen [http://de.wikipedia.org/wiki/Helmholtz Hermann von Helmholtz] verbunden. Sein bahnbrechendes Werk "Die Lehre von den Tonempfindungen" ist online verfügbar auf [http://archive.org/details/dielehrevondento028665mbp archive.org] .

Vernachlässigt wird dieser Punkt allerdings nicht zuletzt deshalb, weil man ihn für viele praktische Belange tatsächlich vernachlässigen kann. Denn die überwiegende Mehrzahl der existierenden (akustischen) Musikinstrumente inklusive die menschliche Stimme produziert Klangfarben mit wohl verschieden starken, doch grundsätzlich ganzzahligen Obertonfrequenzen, weswegen auch die Konsonanzeigenschaften von mit ihnen gespielten Intervallen sich in der Praxis meistens gleichen.

Dasselbe Argument war lange Zeit ein kleiner Schwachpunkt im wissenschaftlichen Anspruch der Theorie von Helmholtz, weil die Hypothese, die Konsonanz eines Intervalls werde von übereinstimmenden Obertonfrequenzen der beteiligten Töne bestimmt, mit akustischen Instrumenten schwierig zu falsifizieren ist. Der technische Fortschritt hat diese Schwäche nun beseitigt, denn mit elektronischen Mitteln ist es heutzutage möglich, Klänge mit beliebigen Obertonfrequenzen zu erzeugen. Dadurch ergibt sich die Möglichkeit, Helmholtz' Theorie sozusagen in umgekehrter Richtung anzuwenden - und tatsächlich können so Intervalle mit sehr "schrägen" Frequenzverhältnissen konsonant klingen, Intervalle wie die Oktave hingegen dissonant.

Diese, im nachhinein verblüffend offensichtliche, Idee wurde zum erstenmal von Elizabeth A. Cohen bearbeitet - siehe im obigen Werk von Muzzulini das Kapitel über die Arbeiten von Elizabeth A. Cohen (Seite 142 ff.). Siehe ferner die Arbeiten von [[Wiliam_Sethares|William Sethares]], namentlich sein Buch [http://books.google.ch/books?id=KChoKKhjOb0C&amp;hl=de Tuning, Timbre, Spectrum, Scale]. Eine deutschsprachige Besprechung findet sich in:

Luca Turin: Das sollten Sie sich anhören!. In: NZZ Folio: Die Sinne (2008). [http://folio.nzz.ch/2008/april/das-sollten-sie-sich-anhoren Online-Version des Artikels (für NZZ-Abonnenten)]  [[Category:Klangkategorie]]
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[[Category:Sonanz]]
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
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Konsonanz bildet gemeinsam mit [[Dissonanz]] ein System zur Unterscheidung von Klängen.

In der landläufigen Musiktheorie wird zwischen vollkommenen ([[Oktave]], [[Quinte]], [[Quarte]], auch Prime) und unvollkommenen Konsonanzen (Terzen und Sexten) unterschieden. Häufig wird als Ursache für den "Wohlklang" das "einfache Schwingungsverhältnis" der beteiligten Töne genannt, allerdings ist nach dieser Theorie nicht erklärbar, warum die kleine Sexte ([[8_5|8/5]]) nicht weniger konsonant empfunden wird als Huygens’ Tritonus ([[7_5|7/5]]).

==Verweise== 
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Konsonanz|Konsonanz - Wikipedia]]
* [[http://www.muzzulini.ch/publications/dm_1990_KonsonanzUndDissonanz_Liz.pdf|Daniel Muzzulini, Konsonanz und Dissonanz in Musiktheorie und Psychoakustik]] , Lizentiatsarbeit Universität Zürich 1990

=Konsonanz und Klangfarbe= 
Ein Punkt, der bei vielen Theorien zu Konsonanz gelegentlich etwas vernachlässigt wird, ist, dass der Wohl- oder Missklang nicht nur vom Frequenzverhältnis der beteiligten Töne abhängt, sondern auch von deren Klangfarbe - genauer gesagt von der Obertonstruktur. Diese Erkenntnis ist untrennbar mit dem Namen [[http://de.wikipedia.org/wiki/Helmholtz|Hermann von Helmholtz]] verbunden. Sein bahnbrechendes Werk "Die Lehre von den Tonempfindungen" ist online verfügbar auf [[http://archive.org/details/dielehrevondento028665mbp|archive.org]] .

Vernachlässigt wird dieser Punkt allerdings nicht zuletzt deshalb, weil man ihn für viele praktische Belange tatsächlich vernachlässigen kann. Denn die überwiegende Mehrzahl der existierenden (akustischen) Musikinstrumente inklusive die menschliche Stimme produziert Klangfarben mit wohl verschieden starken, doch grundsätzlich ganzzahligen Obertonfrequenzen, weswegen auch die Konsonanzeigenschaften von mit ihnen gespielten Intervallen sich in der Praxis meistens gleichen.

Dasselbe Argument war lange Zeit ein kleiner Schwachpunkt im wissenschaftlichen Anspruch der Theorie von Helmholtz, weil die Hypothese, die Konsonanz eines Intervalls werde von übereinstimmenden Obertonfrequenzen der beteiligten Töne bestimmt, mit akustischen Instrumenten schwierig zu falsifizieren ist. Der technische Fortschritt hat diese Schwäche nun beseitigt, denn mit elektronischen Mitteln ist es heutzutage möglich, Klänge mit beliebigen Obertonfrequenzen zu erzeugen. Dadurch ergibt sich die Möglichkeit, Helmholtz' Theorie sozusagen in umgekehrter Richtung anzuwenden - und tatsächlich können so Intervalle mit sehr "schrägen" Frequenzverhältnissen konsonant klingen, Intervalle wie die Oktave hingegen dissonant.

Diese, im nachhinein verblüffend offensichtliche, Idee wurde zum erstenmal von Elizabeth A. Cohen bearbeitet - siehe im obigen Werk von Muzzulini das Kapitel über die Arbeiten von Elizabeth A. Cohen (Seite 142 ff.). Siehe ferner die Arbeiten von [[Wiliam Sethares|William Sethares]], namentlich sein Buch [[http://books.google.ch/books?id=KChoKKhjOb0C&amp;amp;hl=de|Tuning, Timbre, Spectrum, Scale]]. Eine deutschsprachige Besprechung findet sich in:
Luca Turin: Das sollten Sie sich anhören!. In: NZZ Folio: Die Sinne (2008). [[http://folio.nzz.ch/2008/april/das-sollten-sie-sich-anhoren|Online-Version des Artikels (für NZZ-Abonnenten)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Konsonanz bildet gemeinsam mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Dissonanz"&amp;gt;Dissonanz&amp;lt;/a&amp;gt; ein System zur Unterscheidung von Klängen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der landläufigen Musiktheorie wird zwischen vollkommenen (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quinte"&amp;gt;Quinte&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarte&amp;lt;/a&amp;gt;, auch Prime) und unvollkommenen Konsonanzen (Terzen und Sexten) unterschieden. Häufig wird als Ursache für den &amp;amp;quot;Wohlklang&amp;amp;quot; das &amp;amp;quot;einfache Schwingungsverhältnis&amp;amp;quot; der beteiligten Töne genannt, allerdings ist nach dieser Theorie nicht erklärbar, warum die kleine Sexte (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/8_5"&amp;gt;8/5&amp;lt;/a&amp;gt;) nicht weniger konsonant empfunden wird als Huygens’ Tritonus (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/7_5"&amp;gt;7/5&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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Vernachlässigt wird dieser Punkt allerdings nicht zuletzt deshalb, weil man ihn für viele praktische Belange tatsächlich vernachlässigen kann. Denn die überwiegende Mehrzahl der existierenden (akustischen) Musikinstrumente inklusive die menschliche Stimme produziert Klangfarben mit wohl verschieden starken, doch grundsätzlich ganzzahligen Obertonfrequenzen, weswegen auch die Konsonanzeigenschaften von mit ihnen gespielten Intervallen sich in der Praxis meistens gleichen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Dasselbe Argument war lange Zeit ein kleiner Schwachpunkt im wissenschaftlichen Anspruch der Theorie von Helmholtz, weil die Hypothese, die Konsonanz eines Intervalls werde von übereinstimmenden Obertonfrequenzen der beteiligten Töne bestimmt, mit akustischen Instrumenten schwierig zu falsifizieren ist. Der technische Fortschritt hat diese Schwäche nun beseitigt, denn mit elektronischen Mitteln ist es heutzutage möglich, Klänge mit beliebigen Obertonfrequenzen zu erzeugen. Dadurch ergibt sich die Möglichkeit, Helmholtz' Theorie sozusagen in umgekehrter Richtung anzuwenden - und tatsächlich können so Intervalle mit sehr &amp;amp;quot;schrägen&amp;amp;quot; Frequenzverhältnissen konsonant klingen, Intervalle wie die Oktave hingegen dissonant.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Diese, im nachhinein verblüffend offensichtliche, Idee wurde zum erstenmal von Elizabeth A. Cohen bearbeitet - siehe im obigen Werk von Muzzulini das Kapitel über die Arbeiten von Elizabeth A. Cohen (Seite 142 ff.). Siehe ferner die Arbeiten von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Wiliam%20Sethares"&amp;gt;William Sethares&amp;lt;/a&amp;gt;, namentlich sein Buch &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://books.google.ch/books?id=KChoKKhjOb0C&amp;amp;amp;hl=de" rel="nofollow"&amp;gt;Tuning, Timbre, Spectrum, Scale&amp;lt;/a&amp;gt;. Eine deutschsprachige Besprechung findet sich in:&amp;lt;br /&amp;gt;
Luca Turin: Das sollten Sie sich anhören!. In: NZZ Folio: Die Sinne (2008). &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://folio.nzz.ch/2008/april/das-sollten-sie-sich-anhoren" rel="nofollow"&amp;gt;Online-Version des Artikels (für NZZ-Abonnenten)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Konsonanz bildet gemeinsam mit [[Dissonanz]] ein System zur Unterscheidung von Klängen.

In der landläufigen Musiktheorie wird zwischen vollkommenen ([[Oktave]], [[Quinte]], [[Quarte]], auch Prime) und unvollkommenen Konsonanzen (Terzen und Sexten) unterschieden. Häufig wird als Ursache für den "Wohlklang" das "einfache Schwingungsverhältnis" der beteiligten Töne genannt, allerdings ist nach dieser Theorie nicht erklärbar, warum die kleine Sexte ([[8_5|8/5]]) nicht weniger konsonant empfunden wird als Huygens’ Tritonus ([[7_5|7/5]]).

==Verweise== 
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Konsonanz|Konsonanz - Wikipedia]]
* [[http://www.muzzulini.ch/publications/dm_1990_KonsonanzUndDissonanz_Liz.pdf|Daniel Muzzulini, Konsonanz und Dissonanz in Musiktheorie und Psychoakustik]] , Lizentiatsarbeit Universität Zürich 1990

=Konsonanz und Klangfarbe= 
Ein Punkt, der bei vielen Theorien zu Konsonanz gelegentlich etwas vernachlässigt wird, ist, dass der Wohl- oder Missklang nicht nur vom Frequenzverhältnis der beteiligten Töne abhängt, sondern auch von deren Klangfarbe - genauer gesagt von der Obertonstruktur. Diese Erkenntnis ist untrennbar mit dem Namen [[http://de.wikipedia.org/wiki/Helmholtz|Hermann von Helmholtz]] verbunden. Sein bahnbrechendes Werk "Die Lehre von den Tonempfindungen" ist online verfügbar auf [[http://archive.org/details/dielehrevondento028665mbp|archive.org]] .

Vernachlässigt wird dieser Punkt allerdings nicht zuletzt deshalb, weil man ihn für viele praktische Belange tatsächlich vernachlässigen kann. Denn die überwiegende Mehrzahl der existierenden (akustischen) Musikinstrumente inklusive die menschliche Stimme produziert Klangfarben mit wohl verschieden starken, doch grundsätzlich ganzzahligen Obertonfrequenzen, weswegen auch die Konsonanzeigenschaften von mit ihnen gespielten Intervallen sich in der Praxis meistens gleichen.

Dasselbe Argument war lange Zeit ein kleiner Schwachpunkt im wissenschaftlichen Anspruch der Theorie von Helmholtz, weil die Hypothese, die Konsonanz eines Intervalls werde von übereinstimmenden Obertonfrequenzen der beteiligten Töne bestimmt, mit akustischen Instrumenten schwierig zu falsifizieren ist. Der technische Fortschritt hat diese Schwäche nun beseitigt, denn mit elektronischen Mitteln ist es heutzutage möglich, Klänge mit beliebigen Obertonfrequenzen zu erzeugen. Dadurch ergibt sich die Möglichkeit, Helmholtz' Theorie sozusagen in umgekehrter Richtung anzuwenden - und tatsächlich können so Intervalle mit sehr "schrägen" Frequenzverhältnissen konsonant klingen, Intervalle wie die Oktave hingegen dissonant.

Diese im nachhinein verblüffend offensichtliche, Idee wurde zum erstenmal von Elizabeth A. Cohen bearbeitet - siehe dazu im obigen Werk von Muzzulini das Kapitel über die Arbeiten von Elizabeth A. Cohen (Seite 142 ff.). Siehe ferner die Arbeiten von [[Wiliam Sethares|William Sethares]], namentlich sein Buch [[http://books.google.ch/books?id=KChoKKhjOb0C&amp;amp;hl=de|Tuning, Timbre, Spectrum, Scale]]. Eine deutschpsrachige Besprechung findet sich in:
Luca Turin (2008): Das sollten Sie sich anhören!. In: NZZ Folio: Die Sinne. [[http://folio.nzz.ch/2008/april/das-sollten-sie-sich-anhoren|Online-Version des Artikels (für NZZ-Abonnenten)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Konsonanz bildet gemeinsam mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Dissonanz"&amp;gt;Dissonanz&amp;lt;/a&amp;gt; ein System zur Unterscheidung von Klängen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In der landläufigen Musiktheorie wird zwischen vollkommenen (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quinte"&amp;gt;Quinte&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarte&amp;lt;/a&amp;gt;, auch Prime) und unvollkommenen Konsonanzen (Terzen und Sexten) unterschieden. Häufig wird als Ursache für den &amp;amp;quot;Wohlklang&amp;amp;quot; das &amp;amp;quot;einfache Schwingungsverhältnis&amp;amp;quot; der beteiligten Töne genannt, allerdings ist nach dieser Theorie nicht erklärbar, warum die kleine Sexte (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/8_5"&amp;gt;8/5&amp;lt;/a&amp;gt;) nicht weniger konsonant empfunden wird als Huygens’ Tritonus (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/7_5"&amp;gt;7/5&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Ein Punkt, der bei vielen Theorien zu Konsonanz gelegentlich etwas vernachlässigt wird, ist, dass der Wohl- oder Missklang nicht nur vom Frequenzverhältnis der beteiligten Töne abhängt, sondern auch von deren Klangfarbe - genauer gesagt von der Obertonstruktur. Diese Erkenntnis ist untrennbar mit dem Namen &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Helmholtz" rel="nofollow"&amp;gt;Hermann von Helmholtz&amp;lt;/a&amp;gt; verbunden. Sein bahnbrechendes Werk &amp;amp;quot;Die Lehre von den Tonempfindungen&amp;amp;quot; ist online verfügbar auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://archive.org/details/dielehrevondento028665mbp" rel="nofollow"&amp;gt;archive.org&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Vernachlässigt wird dieser Punkt allerdings nicht zuletzt deshalb, weil man ihn für viele praktische Belange tatsächlich vernachlässigen kann. Denn die überwiegende Mehrzahl der existierenden (akustischen) Musikinstrumente inklusive die menschliche Stimme produziert Klangfarben mit wohl verschieden starken, doch grundsätzlich ganzzahligen Obertonfrequenzen, weswegen auch die Konsonanzeigenschaften von mit ihnen gespielten Intervallen sich in der Praxis meistens gleichen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dasselbe Argument war lange Zeit ein kleiner Schwachpunkt im wissenschaftlichen Anspruch der Theorie von Helmholtz, weil die Hypothese, die Konsonanz eines Intervalls werde von übereinstimmenden Obertonfrequenzen der beteiligten Töne bestimmt, mit akustischen Instrumenten schwierig zu falsifizieren ist. Der technische Fortschritt hat diese Schwäche nun beseitigt, denn mit elektronischen Mitteln ist es heutzutage möglich, Klänge mit beliebigen Obertonfrequenzen zu erzeugen. Dadurch ergibt sich die Möglichkeit, Helmholtz' Theorie sozusagen in umgekehrter Richtung anzuwenden - und tatsächlich können so Intervalle mit sehr &amp;amp;quot;schrägen&amp;amp;quot; Frequenzverhältnissen konsonant klingen, Intervalle wie die Oktave hingegen dissonant.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Diese im nachhinein verblüffend offensichtliche, Idee wurde zum erstenmal von Elizabeth A. Cohen bearbeitet - siehe dazu im obigen Werk von Muzzulini das Kapitel über die Arbeiten von Elizabeth A. Cohen (Seite 142 ff.). Siehe ferner die Arbeiten von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Wiliam%20Sethares"&amp;gt;William Sethares&amp;lt;/a&amp;gt;, namentlich sein Buch &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://books.google.ch/books?id=KChoKKhjOb0C&amp;amp;amp;hl=de" rel="nofollow"&amp;gt;Tuning, Timbre, Spectrum, Scale&amp;lt;/a&amp;gt;. Eine deutschpsrachige Besprechung findet sich in:&amp;lt;br /&amp;gt;
Luca Turin (2008): Das sollten Sie sich anhören!. In: NZZ Folio: Die Sinne. &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://folio.nzz.ch/2008/april/das-sollten-sie-sich-anhoren" rel="nofollow"&amp;gt;Online-Version des Artikels (für NZZ-Abonnenten)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-07-03 10:23:18 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
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Konsonanz bildet gemeinsam mit [[Dissonanz]] ein System zur Unterscheidung von Klängen.

In der landläufigen Musiktheorie wird zwischen vollkommenen ([[Oktave]], [[Quinte]], [[Quarte]], auch Prime) und unvollkommenen Konsonanzen (Terzen und Sexten) unterschieden. Häufig wird als Ursache für den "Wohlklang" das "einfache Schwingungsverhältnis" der beteiligten Töne genannt, allerdings ist nach dieser Theorie nicht erklärbar, warum die kleine Sexte ([[8_5|8/5]]) nicht weniger konsonant empfunden wird als Huygens’ Tritonus ([[7_5|7/5]]).

==Verweise== 
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Konsonanz|Konsonanz - Wikipedia]]
* [[http://www.muzzulini.ch/publications/dm_1990_KonsonanzUndDissonanz_Liz.pdf|Daniel Muzzulini, Konsonanz und Dissonanz in Musiktheorie und Psychoakustik]] , Lizentiatsarbeit Universität Zürich 1990

=Konsonanz und Klangfarbe= 
Ein Punkt, der bei vielen Theorien zu Konsonanz gelegentlich etwas vernachlässigt wird, ist, dass der Wohl- oder Missklang nicht nur vom Frequenzverhältnis der beteiligten Töne abhängt, sondern auch von deren Klangfarbe - genauer gesagt von der Obertonstruktur. Diese Erkenntnis ist untrennbar mit dem Namen [[http://de.wikipedia.org/wiki/Helmholtz|Hermann von Helmholtz]] verbunden. Sein bahnbrechendes Werk "Die Lehre von den Tonempfindungen" ist online verfügbar auf [[http://archive.org/details/dielehrevondento028665mbp|archive.org]] .

Vernachlässigt wird dieser Punkt allerdings nicht zuletzt deshalb, weil man ihn für viele praktische Belange tatsächlich vernachlässigen kann, und zwar deswegen, weil die überwiegende Mehrzahl der existierenden (akustischen) Musikinstrumente Klangfarben mit wohl verschieden starken, doch grundsätzlich ganzzahligen Obertonfrequenzen produziert, weswegen auch die Konsonanzeigenschaften von mit ihnen gespielten Intervallen sich in der Praxis meistens gleichen.

Dasselbe Argument war lange Zeit ein kleiner Schwachpunkt im wissenschaftlichen Anspruch der Theorie von Helmholtz, weil die Hypothese, die Konsonanz eines Intervalls werde von übereinstimmenden Obertonfrequenzen der beteiligten Töne bestimmt, mit akustischen Instrumenten schwierig zu falsifizieren ist. Der technische Fortschritt hat diese Schwäche nun beseitigt, denn mit elektronischen Mitteln ist es heutzutage möglich, Klänge mit beliebigen Obertonfrequenzen zu erzeugen. Dadurch ergibt sich die Möglichkeit, Helmholtz' Theorie sozusagen in umgekehrter Richtung anzuwenden - und tatsächlich können so Intervalle mit sehr "schrägen" Frequenzverhältnissen konsonant klingen, Intervalle wie die Oktave hingegen dissonant.

[[Wiliam Sethares|William Sethares]] hat diese, im nachhinein verblüffend offensichtliche, Idee als erster gehabt und in seinem Buch [[http://books.google.ch/books?id=KChoKKhjOb0C&amp;amp;hl=de|Tuning, Timbre, Spectrum, Scale]] ausgearbeitet. Siehe hierzu auch:

Luca Turin (2008): Das sollten Sie sich anhören!. In: NZZ Folio: Die Sinne. [[http://folio.nzz.ch/2008/april/das-sollten-sie-sich-anhoren|Online-Version des Artikels (für NZZ-Abonnenten)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Konsonanz bildet gemeinsam mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Dissonanz"&amp;gt;Dissonanz&amp;lt;/a&amp;gt; ein System zur Unterscheidung von Klängen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der landläufigen Musiktheorie wird zwischen vollkommenen (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quinte"&amp;gt;Quinte&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarte&amp;lt;/a&amp;gt;, auch Prime) und unvollkommenen Konsonanzen (Terzen und Sexten) unterschieden. Häufig wird als Ursache für den &amp;amp;quot;Wohlklang&amp;amp;quot; das &amp;amp;quot;einfache Schwingungsverhältnis&amp;amp;quot; der beteiligten Töne genannt, allerdings ist nach dieser Theorie nicht erklärbar, warum die kleine Sexte (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/8_5"&amp;gt;8/5&amp;lt;/a&amp;gt;) nicht weniger konsonant empfunden wird als Huygens’ Tritonus (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/7_5"&amp;gt;7/5&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Ein Punkt, der bei vielen Theorien zu Konsonanz gelegentlich etwas vernachlässigt wird, ist, dass der Wohl- oder Missklang nicht nur vom Frequenzverhältnis der beteiligten Töne abhängt, sondern auch von deren Klangfarbe - genauer gesagt von der Obertonstruktur. Diese Erkenntnis ist untrennbar mit dem Namen &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Helmholtz" rel="nofollow"&amp;gt;Hermann von Helmholtz&amp;lt;/a&amp;gt; verbunden. Sein bahnbrechendes Werk &amp;amp;quot;Die Lehre von den Tonempfindungen&amp;amp;quot; ist online verfügbar auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://archive.org/details/dielehrevondento028665mbp" rel="nofollow"&amp;gt;archive.org&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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Vernachlässigt wird dieser Punkt allerdings nicht zuletzt deshalb, weil man ihn für viele praktische Belange tatsächlich vernachlässigen kann, und zwar deswegen, weil die überwiegende Mehrzahl der existierenden (akustischen) Musikinstrumente Klangfarben mit wohl verschieden starken, doch grundsätzlich ganzzahligen Obertonfrequenzen produziert, weswegen auch die Konsonanzeigenschaften von mit ihnen gespielten Intervallen sich in der Praxis meistens gleichen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dasselbe Argument war lange Zeit ein kleiner Schwachpunkt im wissenschaftlichen Anspruch der Theorie von Helmholtz, weil die Hypothese, die Konsonanz eines Intervalls werde von übereinstimmenden Obertonfrequenzen der beteiligten Töne bestimmt, mit akustischen Instrumenten schwierig zu falsifizieren ist. Der technische Fortschritt hat diese Schwäche nun beseitigt, denn mit elektronischen Mitteln ist es heutzutage möglich, Klänge mit beliebigen Obertonfrequenzen zu erzeugen. Dadurch ergibt sich die Möglichkeit, Helmholtz' Theorie sozusagen in umgekehrter Richtung anzuwenden - und tatsächlich können so Intervalle mit sehr &amp;amp;quot;schrägen&amp;amp;quot; Frequenzverhältnissen konsonant klingen, Intervalle wie die Oktave hingegen dissonant.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Wiliam%20Sethares"&amp;gt;William Sethares&amp;lt;/a&amp;gt; hat diese, im nachhinein verblüffend offensichtliche, Idee als erster gehabt und in seinem Buch &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://books.google.ch/books?id=KChoKKhjOb0C&amp;amp;amp;hl=de" rel="nofollow"&amp;gt;Tuning, Timbre, Spectrum, Scale&amp;lt;/a&amp;gt; ausgearbeitet. Siehe hierzu auch:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Luca Turin (2008): Das sollten Sie sich anhören!. In: NZZ Folio: Die Sinne. &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://folio.nzz.ch/2008/april/das-sollten-sie-sich-anhoren" rel="nofollow"&amp;gt;Online-Version des Artikels (für NZZ-Abonnenten)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-07-03 10:21:20 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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Konsonanz bildet gemeinsam mit [[Dissonanz]] ein System zur Unterscheidung von Klängen.

In der landläufigen Musiktheorie wird zwischen vollkommenen ([[Oktave]], [[Quinte]], [[Quarte]], auch Prime) und unvollkommenen Konsonanzen (Terzen und Sexten) unterschieden. Häufig wird als Ursache für den "Wohlklang" das "einfache Schwingungsverhältnis" der beteiligten Töne genannt, allerdings ist nach dieser Theorie nicht erklärbar, warum die kleine Sexte ([[8_5|8/5]]) nicht weniger konsonant empfunden wird als Huygens’ Tritonus ([[7_5|7/5]]).

==Verweise== 
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Konsonanz|Konsonanz - Wikipedia]]
* [[http://www.muzzulini.ch/publications/dm_1990_KonsonanzUndDissonanz_Liz.pdf|Daniel Muzzulini, Konsonanz und Dissonanz in Musiktheorie und Psychoakustik]] , Lizentiatsarbeit Universität Zürich 1990

=Konsonanz und Klangfarbe= 
Ein Punkt, der bei vielen Theorien zu Konsonanz gelegentlich etwas vernachlässigt wird, ist, dass der Wohl- oder Missklang nicht nur vom Frequenzverhältnis der beteiligten Töne abhängt, sondern auch von deren Klangfarbe - genauer gesagt von der Obertonstruktur. Diese Erkenntnis ist untrennbar mit dem Namen [[http://de.wikipedia.org/wiki/Helmholtz|Hermann von Helmholtz]] verbunden. Sein bahnbrechendes Werk "Die Lehre von den Tonempfindungen" ist online verfügbar auf [[http://archive.org/details/dielehrevondento028665mbp|archive.org]] .

Vernachlässigt wird dieser Punkt allerdings nicht zuletzt deshalb, weil man ihn für viele praktische Belange tatsächlich vernachlässigen kann, und zwar deswegen, weil die überwiegende Mehrzahl der existierenden (akustischen) Musikinstrumente Klangfarben mit wohl verschieden starken, doch grundsätzlich ganzzahligen Obertonfrequenzen produziert, weswegen auch die Konsonanzeigenschaften von mit ihnen gespielten Intervallen sich in der Praxis meistens gleichen.

Dasselbe Argument war lange Zeit ein kleiner Schwachpunkt im wissenschaftlichen Anspruch der Theorie von Helmholtz, weil die Hypothese, die Konsonanz eines Intervalls werde von übereinstimmenden Obertonfrequenzen der beteiligten Töne bestimmt, mit akustischen Instrumenten schwierig zu falsifizieren ist. Der technische Fortschritt hat diese Schwäche nun beseitigt, denn mit elektronischen Mitteln ist es heutzutage möglich, Klänge mit beliebigen Obertonfrequenzen zu erzeugen. Dadurch ergibt sich die Möglichkeit, Helmholtz' Theorie sozusagen in umgekehrter Richtung anzuwenden - und tatsächlich können so Intervalle mit sehr "schrägen" Frequenzverhältnissen konsonant klingen, Intervalle wie die Oktave hingegen dissonant.

[[Wiliam Sethares|William Sethares]] hat diese, im nachhinein verblüffend einfache, Idee als erster gehabt un din sienem Buch "" ausgearbeitet. Siehe hierzu auch:
Luca Turin (2008): Das sollten Sie sich anhören!. In: NZZ Folio: Die Sinne. [[http://folio.nzz.ch/2008/april/das-sollten-sie-sich-anhoren|Online-Version des Artikels (für NZZ-Abonnenten)]] .&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Konsonanz bildet gemeinsam mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Dissonanz"&amp;gt;Dissonanz&amp;lt;/a&amp;gt; ein System zur Unterscheidung von Klängen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In der landläufigen Musiktheorie wird zwischen vollkommenen (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quinte"&amp;gt;Quinte&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarte&amp;lt;/a&amp;gt;, auch Prime) und unvollkommenen Konsonanzen (Terzen und Sexten) unterschieden. Häufig wird als Ursache für den &amp;amp;quot;Wohlklang&amp;amp;quot; das &amp;amp;quot;einfache Schwingungsverhältnis&amp;amp;quot; der beteiligten Töne genannt, allerdings ist nach dieser Theorie nicht erklärbar, warum die kleine Sexte (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/8_5"&amp;gt;8/5&amp;lt;/a&amp;gt;) nicht weniger konsonant empfunden wird als Huygens’ Tritonus (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/7_5"&amp;gt;7/5&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Verweise"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Verweise&amp;lt;/h2&amp;gt;
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 Ein Punkt, der bei vielen Theorien zu Konsonanz gelegentlich etwas vernachlässigt wird, ist, dass der Wohl- oder Missklang nicht nur vom Frequenzverhältnis der beteiligten Töne abhängt, sondern auch von deren Klangfarbe - genauer gesagt von der Obertonstruktur. Diese Erkenntnis ist untrennbar mit dem Namen &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Helmholtz" rel="nofollow"&amp;gt;Hermann von Helmholtz&amp;lt;/a&amp;gt; verbunden. Sein bahnbrechendes Werk &amp;amp;quot;Die Lehre von den Tonempfindungen&amp;amp;quot; ist online verfügbar auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://archive.org/details/dielehrevondento028665mbp" rel="nofollow"&amp;gt;archive.org&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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Vernachlässigt wird dieser Punkt allerdings nicht zuletzt deshalb, weil man ihn für viele praktische Belange tatsächlich vernachlässigen kann, und zwar deswegen, weil die überwiegende Mehrzahl der existierenden (akustischen) Musikinstrumente Klangfarben mit wohl verschieden starken, doch grundsätzlich ganzzahligen Obertonfrequenzen produziert, weswegen auch die Konsonanzeigenschaften von mit ihnen gespielten Intervallen sich in der Praxis meistens gleichen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dasselbe Argument war lange Zeit ein kleiner Schwachpunkt im wissenschaftlichen Anspruch der Theorie von Helmholtz, weil die Hypothese, die Konsonanz eines Intervalls werde von übereinstimmenden Obertonfrequenzen der beteiligten Töne bestimmt, mit akustischen Instrumenten schwierig zu falsifizieren ist. Der technische Fortschritt hat diese Schwäche nun beseitigt, denn mit elektronischen Mitteln ist es heutzutage möglich, Klänge mit beliebigen Obertonfrequenzen zu erzeugen. Dadurch ergibt sich die Möglichkeit, Helmholtz' Theorie sozusagen in umgekehrter Richtung anzuwenden - und tatsächlich können so Intervalle mit sehr &amp;amp;quot;schrägen&amp;amp;quot; Frequenzverhältnissen konsonant klingen, Intervalle wie die Oktave hingegen dissonant.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Wiliam%20Sethares"&amp;gt;William Sethares&amp;lt;/a&amp;gt; hat diese, im nachhinein verblüffend einfache, Idee als erster gehabt un din sienem Buch &amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ausgearbeitet. Siehe hierzu auch:&amp;lt;br /&amp;gt;
Luca Turin (2008): Das sollten Sie sich anhören!. In: NZZ Folio: Die Sinne. &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://folio.nzz.ch/2008/april/das-sollten-sie-sich-anhoren" rel="nofollow"&amp;gt;Online-Version des Artikels (für NZZ-Abonnenten)&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Konsonanz bildet gemeinsam mit [[Dissonanz]] ein System zur Unterscheidung von Klängen.

In der landläufigen Musiktheorie wird zwischen vollkommenen ([[Oktave]], [[Quinte]], [[Quarte]], auch Prime) und unvollkommenen Konsonanzen (Terzen und Sexten) unterschieden. Häufig wird als Ursache für den "Wohlklang" das "einfache Schwingungsverhältnis" der beteiligten Töne genannt, allerdings ist nach dieser Theorie nicht erklärbar, warum die kleine Sexte ([[8_5|8/5]]) nicht weniger konsonant empfunden wird als Huygens’ Tritonus ([[7_5|7/5]]).

==Verweise== 
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Konsonanz|Konsonanz - Wikipedia]]
* [[http://www.muzzulini.ch/publications/dm_1990_KonsonanzUndDissonanz_Liz.pdf|Daniel Muzzulini, Konsonanz und Dissonanz in Musiktheorie und Psychoakustik]] , Lizentiatsarbeit Universität Zürich 1990

=Konsonanz und Klangfarbe= 
Ein Punkt, der bei vielen Theorien zu Konsonanz gelegentlich etwas vernachlässigt wird, ist, dass der Wohl- oder Missklang nicht nur vom Frequenzverhältnis der beteiligten Töne abhängt, sondern auch von deren Klangfarbe - genauer gesagt von der Obertonstruktur. Diese Erkenntnis ist untrennbar mit dem Namen [[http://de.wikipedia.org/wiki/Helmholtz|Hermann von Helmholtz]] verbunden. Sein bahnbrechendes Werk "Die Lehre von den Tonempfindungen" ist online verfügbar auf [[http://archive.org/details/dielehrevondento028665mbp|archive.org]] .

Vernachlässigt wird dieser Punkt allerdings nicht zuletzt deshalb, weil man ihn für viele praktische Belange tatsächlich vernachlässigen kann, und zwar deswegen, weil die überwiegende Mehrzahl der existierenden (akustischen) Musikinstrumente Klangfarben mit wohl verschieden starken, doch grundsätzlich ganzzahligen Obertonfrequenzen produziert, weswegen auch die Konsonanzeigenschaften von mit ihnen gespielten Intervallen sich in der Praxis meistens gleichen.

Dasselbe Argument war lange Zeit ein kleiner Schwachpunkt im wissenschaftlichen Anspruch der Theorie von Helmholtz, weil die Hypothese, die Konsonanz eines Intervalls werde von übereinstimmenden Obertonfrequenzen der beteiligten Töne bestimmt, mit akustischen Instrumenten schwierig zu falsifizieren ist. Der technische Fortschritt hat diese Schwäche nun beseitigt, denn mit elektronischen Mitteln ist es heutzutage möglich, Klänge mit beliebigen Obertonfrequenzen zu erzeugen. Dadurch ergibt sich die Möglichkeit, Helmholtz' Theorie sozusagen in umgekehrter Richtung anzuwenden - und tatsächlich können so Intervalle mit sehr "schrägen" Frequenzverhältnissen konsonant klingen, Intervalle wie die Oktave hingegen dissonant.

[[Wiliam Sethares|William Sethares]] hat diese, im nachhinein verblüffend einfache, Idee als erster gehabt. Siehe hierzu:

[[http://www.google.ch/url?sa=t&amp;amp;rct=j&amp;amp;q=&amp;amp;esrc=s&amp;amp;source=web&amp;amp;cd=3&amp;amp;ved=0CDsQFjAC&amp;amp;url=http%3A%2F%2Ffolio.nzz.ch%2F2008%2Fapril%2Fdas-sollten-sie-sich-anhoren&amp;amp;ei=ovHTUZ6gLOqp4ASUhICgAw&amp;amp;usg=AFQjCNHSqob_d_4Aznj69BoD4Fl5Ty8amQ&amp;amp;bvm=bv.48705608,d.bGE&amp;amp;cad=rja|Das sollten Sie sich anhören!, NZZ-Folio, April 2008]] .&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Konsonanz bildet gemeinsam mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Dissonanz"&amp;gt;Dissonanz&amp;lt;/a&amp;gt; ein System zur Unterscheidung von Klängen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In der landläufigen Musiktheorie wird zwischen vollkommenen (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quinte"&amp;gt;Quinte&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarte&amp;lt;/a&amp;gt;, auch Prime) und unvollkommenen Konsonanzen (Terzen und Sexten) unterschieden. Häufig wird als Ursache für den &amp;amp;quot;Wohlklang&amp;amp;quot; das &amp;amp;quot;einfache Schwingungsverhältnis&amp;amp;quot; der beteiligten Töne genannt, allerdings ist nach dieser Theorie nicht erklärbar, warum die kleine Sexte (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/8_5"&amp;gt;8/5&amp;lt;/a&amp;gt;) nicht weniger konsonant empfunden wird als Huygens’ Tritonus (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/7_5"&amp;gt;7/5&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Ein Punkt, der bei vielen Theorien zu Konsonanz gelegentlich etwas vernachlässigt wird, ist, dass der Wohl- oder Missklang nicht nur vom Frequenzverhältnis der beteiligten Töne abhängt, sondern auch von deren Klangfarbe - genauer gesagt von der Obertonstruktur. Diese Erkenntnis ist untrennbar mit dem Namen &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Helmholtz" rel="nofollow"&amp;gt;Hermann von Helmholtz&amp;lt;/a&amp;gt; verbunden. Sein bahnbrechendes Werk &amp;amp;quot;Die Lehre von den Tonempfindungen&amp;amp;quot; ist online verfügbar auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://archive.org/details/dielehrevondento028665mbp" rel="nofollow"&amp;gt;archive.org&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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Vernachlässigt wird dieser Punkt allerdings nicht zuletzt deshalb, weil man ihn für viele praktische Belange tatsächlich vernachlässigen kann, und zwar deswegen, weil die überwiegende Mehrzahl der existierenden (akustischen) Musikinstrumente Klangfarben mit wohl verschieden starken, doch grundsätzlich ganzzahligen Obertonfrequenzen produziert, weswegen auch die Konsonanzeigenschaften von mit ihnen gespielten Intervallen sich in der Praxis meistens gleichen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dasselbe Argument war lange Zeit ein kleiner Schwachpunkt im wissenschaftlichen Anspruch der Theorie von Helmholtz, weil die Hypothese, die Konsonanz eines Intervalls werde von übereinstimmenden Obertonfrequenzen der beteiligten Töne bestimmt, mit akustischen Instrumenten schwierig zu falsifizieren ist. Der technische Fortschritt hat diese Schwäche nun beseitigt, denn mit elektronischen Mitteln ist es heutzutage möglich, Klänge mit beliebigen Obertonfrequenzen zu erzeugen. Dadurch ergibt sich die Möglichkeit, Helmholtz' Theorie sozusagen in umgekehrter Richtung anzuwenden - und tatsächlich können so Intervalle mit sehr &amp;amp;quot;schrägen&amp;amp;quot; Frequenzverhältnissen konsonant klingen, Intervalle wie die Oktave hingegen dissonant.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Wiliam%20Sethares"&amp;gt;William Sethares&amp;lt;/a&amp;gt; hat diese, im nachhinein verblüffend einfache, Idee als erster gehabt. Siehe hierzu:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.google.ch/url?sa=t&amp;amp;amp;rct=j&amp;amp;amp;q=&amp;amp;amp;esrc=s&amp;amp;amp;source=web&amp;amp;amp;cd=3&amp;amp;amp;ved=0CDsQFjAC&amp;amp;amp;url=http%3A%2F%2Ffolio.nzz.ch%2F2008%2Fapril%2Fdas-sollten-sie-sich-anhoren&amp;amp;amp;ei=ovHTUZ6gLOqp4ASUhICgAw&amp;amp;amp;usg=AFQjCNHSqob_d_4Aznj69BoD4Fl5Ty8amQ&amp;amp;amp;bvm=bv.48705608,d.bGE&amp;amp;amp;cad=rja" rel="nofollow"&amp;gt;Das sollten Sie sich anhören!, NZZ-Folio, April 2008&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Konsonanz bildet gemeinsam mit [[Dissonanz]] ein System zur Unterscheidung von Klängen.

In der landläufigen Musiktheorie wird zwischen vollkommenen ([[Oktave]], [[Quinte]], [[Quarte]], auch Prime) und unvollkommenen Konsonanzen (Terzen und Sexten) unterschieden. Häufig wird als Ursache für den "Wohlklang" das "einfache Schwingungsverhältnis" der beteiligten Töne genannt, allerdings ist nach dieser Theorie nicht erklärbar, warum die kleine Sexte ([[8_5|8/5]]) nicht weniger konsonant empfunden wird als Huygens’ Tritonus ([[7_5|7/5]]).

==Verweise== 
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Konsonanz|Konsonanz - Wikipedia]]
* [[http://www.muzzulini.ch/publications/dm_1990_KonsonanzUndDissonanz_Liz.pdf|Daniel Muzzulini, Konsonanz und Dissonanz in Musiktheorie und Psychoakustik]] , Lizentiatsarbeit Universität Zürich 1990

=Konsonanz und Klangfarbe= 
Ein Punkt, der bei vielen Theorien zu Konsonanz gelegentlich etwas vernachlässigt wird, ist, dass der Wohl- oder Missklang nicht nur vom Frequenzverhältnis der beteiligten Töne abhängt, sondern auch von deren Klangfarbe - genauer gesagt von der Obertonstruktur. Diese Erkenntnis ist untrennbar mit dem Namen [[http://de.wikipedia.org/wiki/Helmholtz|Hermann von Helmholtz]] verbunden. Sein bahnbrechendes Werk "Die Lehre von den Tonempfindungen" ist online verfügbar auf [[http://archive.org/details/dielehrevondento028665mbp|archive.org]] .

Vernachlässigt wird dieser Punkt allerdings nicht zuletzt deshalb, weil man ihn für viele praktische Belange tatsächlich vernachlässigen kann, und zwar deswegen, weil die überwiegende Mehrzahl der existierenden (akustischen) Musikinstrumente Klangfarben mit wohl verschieden starken, doch grundsätzlich ganzzahligen Obertonfrequenzen produziert, weswegen auch die Konsonanzeigenschaften von mit ihnen gespielten Intervallen sich in der Praxis meistens gleichen.

Dasselbe Argument war lange Zeit ein kleiner Schwachpunkt im wissenschaftlichen Anspruch der Theorie von Helmholtz, weil die Hypothese, die Konsonanz eines Intervalls werde von der Übereinstimmung der Obertöne der beteiligten Töne bestimmt, mit akustischen Instrumenten schwierig zu falsifizieren ist. Der technische Fortschritt hat diese Schwäche nun beseitigt, denn mit elektronischen Mitteln ist es heutzutage möglich, Klänge mit beliebigen Obertonfrequenzen zu erzeugen. Dadurch ergibt sich die Möglichkeit, Helmholtz' Theorie sozusagen in umgekehrter Richtung anzuwenden - und tatsächlich können so Intervalle mit sehr "schrägen" Frequenzverhältnissen konsonant klingen, Intervalle wie die Oktave hingegen dissonant.

[[Wiliam Sethares|William Sethares]] hat diese, im nachhinein verblüffend einfache, Idee als erster gehabt. Siehe hierzu:

[[http://www.google.ch/url?sa=t&amp;amp;rct=j&amp;amp;q=&amp;amp;esrc=s&amp;amp;source=web&amp;amp;cd=3&amp;amp;ved=0CDsQFjAC&amp;amp;url=http%3A%2F%2Ffolio.nzz.ch%2F2008%2Fapril%2Fdas-sollten-sie-sich-anhoren&amp;amp;ei=ovHTUZ6gLOqp4ASUhICgAw&amp;amp;usg=AFQjCNHSqob_d_4Aznj69BoD4Fl5Ty8amQ&amp;amp;bvm=bv.48705608,d.bGE&amp;amp;cad=rja|Das sollten Sie sich anhören!, NZZ-Folio, April 2008]] .&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Konsonanz bildet gemeinsam mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Dissonanz"&amp;gt;Dissonanz&amp;lt;/a&amp;gt; ein System zur Unterscheidung von Klängen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der landläufigen Musiktheorie wird zwischen vollkommenen (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quinte"&amp;gt;Quinte&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarte&amp;lt;/a&amp;gt;, auch Prime) und unvollkommenen Konsonanzen (Terzen und Sexten) unterschieden. Häufig wird als Ursache für den &amp;amp;quot;Wohlklang&amp;amp;quot; das &amp;amp;quot;einfache Schwingungsverhältnis&amp;amp;quot; der beteiligten Töne genannt, allerdings ist nach dieser Theorie nicht erklärbar, warum die kleine Sexte (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/8_5"&amp;gt;8/5&amp;lt;/a&amp;gt;) nicht weniger konsonant empfunden wird als Huygens’ Tritonus (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/7_5"&amp;gt;7/5&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Vernachlässigt wird dieser Punkt allerdings nicht zuletzt deshalb, weil man ihn für viele praktische Belange tatsächlich vernachlässigen kann, und zwar deswegen, weil die überwiegende Mehrzahl der existierenden (akustischen) Musikinstrumente Klangfarben mit wohl verschieden starken, doch grundsätzlich ganzzahligen Obertonfrequenzen produziert, weswegen auch die Konsonanzeigenschaften von mit ihnen gespielten Intervallen sich in der Praxis meistens gleichen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Dasselbe Argument war lange Zeit ein kleiner Schwachpunkt im wissenschaftlichen Anspruch der Theorie von Helmholtz, weil die Hypothese, die Konsonanz eines Intervalls werde von der Übereinstimmung der Obertöne der beteiligten Töne bestimmt, mit akustischen Instrumenten schwierig zu falsifizieren ist. Der technische Fortschritt hat diese Schwäche nun beseitigt, denn mit elektronischen Mitteln ist es heutzutage möglich, Klänge mit beliebigen Obertonfrequenzen zu erzeugen. Dadurch ergibt sich die Möglichkeit, Helmholtz' Theorie sozusagen in umgekehrter Richtung anzuwenden - und tatsächlich können so Intervalle mit sehr &amp;amp;quot;schrägen&amp;amp;quot; Frequenzverhältnissen konsonant klingen, Intervalle wie die Oktave hingegen dissonant.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Wiliam%20Sethares"&amp;gt;William Sethares&amp;lt;/a&amp;gt; hat diese, im nachhinein verblüffend einfache, Idee als erster gehabt. Siehe hierzu:&amp;lt;br /&amp;gt;
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Konsonanz bildet gemeinsam mit [[Dissonanz]] ein System zur Unterscheidung von Klängen.

In der landläufigen Musiktheorie wird zwischen vollkommenen ([[Oktave]], [[Quinte]], [[Quarte]], auch Prime) und unvollkommenen Konsonanzen (Terzen und Sexten) unterschieden. Häufig wird als Ursache für den "Wohlklang" das "einfache Schwingungsverhältnis" der beteiligten Töne genannt, allerdings ist nach dieser Theorie nicht erklärbar, warum die kleine Sexte ([[8_5|8/5]]) nicht weniger konsonant empfunden wird als Huygens’ Tritonus ([[7_5|7/5]]).

==Verweise== 
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Konsonanz|Konsonanz - Wikipedia]]
* [[http://www.muzzulini.ch/publications/dm_1990_KonsonanzUndDissonanz_Liz.pdf|Daniel Muzzulini, Konsonanz und Dissonanz in Musiktheorie und Psychoakustik]] , Lizentiatsarbeit Universität Zürich 1990

=Konsonanz und Klangfarbe= 
Ein Punkt, der bei vielen Theorien zu Konsonanz gelegentlich etwas vernachlässigt wird, ist, dass der Wohl- oder Missklang nicht nur vom Frequenzverhältnis der beteiligten Töne abhängt, sondern auch von deren Klangfarbe - genauer gesagt von der Obertonstruktur. Diese Erkenntnis ist untrennbar mit dem Namen [[http://de.wikipedia.org/wiki/Helmholtz|Hermann von Helmholtz]] verbunden. Sein bahnbrechendes Werk "Die Lehre von den Tonempfindungen" ist online verfügbar auf [[http://archive.org/details/dielehrevondento028665mbp|archive.org]] .

Vernachlässigt wird dieser Punkt allerdings nicht zuletzt deshalb, weil man ihn für viele praktische Belange tatsächlich vernachlässigen kann, und zwar deswegen, weil die überwiegende Mehrzahl der existierenden (akustischen) Musikinstrumente Klangfarben mit wohl verschieden starken, doch grundsätzlich ganzzahligen Obertonfrequenzen produziert, weswegen auch die Konsonanzeigenschaften von mit ihnen gespielten Intervallen sich in der Praxis meistens gleichen.

Dasselbe Argument war lange Zeit ein kleiner Schwachpunkt im wissenschaftlichen Anspruch der Theorie von Helmholtz, weil die Hypothese, die Konsonanz eines Intervalls werde von der Übereinstimmung der Obertöne der beteiligten Töne bestimmt, mit akustischen Instrumenten schwierig zu falsifizieren ist. Der technische Fortschritt hat diese Schwäche nun beseitigt, denn mit elektronischen Mitteln ist es heutzutage möglich, Klänge mit beliebigen Obertonfrequenzen zu erzeugen. Dadurch ergibt sich die Möglichkeit, Helmholtz' Theorie sozusagen in der umgekehrten Reihenfolge anzuwenden - und tatsächlich können so Intervalle mit sehr "schrägen" Frequenzverhältnissen konsonant klingen, Intervalle wie die Oktave hingegen dissonant.

[[Wiliam Sethares|William Sethares]] hat diese, im nachhinein verblüffend einfache, Idee als erster gehabt. Siehe hierzu:

[[http://www.google.ch/url?sa=t&amp;amp;rct=j&amp;amp;q=&amp;amp;esrc=s&amp;amp;source=web&amp;amp;cd=3&amp;amp;ved=0CDsQFjAC&amp;amp;url=http%3A%2F%2Ffolio.nzz.ch%2F2008%2Fapril%2Fdas-sollten-sie-sich-anhoren&amp;amp;ei=ovHTUZ6gLOqp4ASUhICgAw&amp;amp;usg=AFQjCNHSqob_d_4Aznj69BoD4Fl5Ty8amQ&amp;amp;bvm=bv.48705608,d.bGE&amp;amp;cad=rja|Das sollten Sie sich anhören!, NZZ-Folio, April 2008]] .&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Konsonanz bildet gemeinsam mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Dissonanz"&amp;gt;Dissonanz&amp;lt;/a&amp;gt; ein System zur Unterscheidung von Klängen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der landläufigen Musiktheorie wird zwischen vollkommenen (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quinte"&amp;gt;Quinte&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarte&amp;lt;/a&amp;gt;, auch Prime) und unvollkommenen Konsonanzen (Terzen und Sexten) unterschieden. Häufig wird als Ursache für den &amp;amp;quot;Wohlklang&amp;amp;quot; das &amp;amp;quot;einfache Schwingungsverhältnis&amp;amp;quot; der beteiligten Töne genannt, allerdings ist nach dieser Theorie nicht erklärbar, warum die kleine Sexte (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/8_5"&amp;gt;8/5&amp;lt;/a&amp;gt;) nicht weniger konsonant empfunden wird als Huygens’ Tritonus (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/7_5"&amp;gt;7/5&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Ein Punkt, der bei vielen Theorien zu Konsonanz gelegentlich etwas vernachlässigt wird, ist, dass der Wohl- oder Missklang nicht nur vom Frequenzverhältnis der beteiligten Töne abhängt, sondern auch von deren Klangfarbe - genauer gesagt von der Obertonstruktur. Diese Erkenntnis ist untrennbar mit dem Namen &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Helmholtz" rel="nofollow"&amp;gt;Hermann von Helmholtz&amp;lt;/a&amp;gt; verbunden. Sein bahnbrechendes Werk &amp;amp;quot;Die Lehre von den Tonempfindungen&amp;amp;quot; ist online verfügbar auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://archive.org/details/dielehrevondento028665mbp" rel="nofollow"&amp;gt;archive.org&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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Vernachlässigt wird dieser Punkt allerdings nicht zuletzt deshalb, weil man ihn für viele praktische Belange tatsächlich vernachlässigen kann, und zwar deswegen, weil die überwiegende Mehrzahl der existierenden (akustischen) Musikinstrumente Klangfarben mit wohl verschieden starken, doch grundsätzlich ganzzahligen Obertonfrequenzen produziert, weswegen auch die Konsonanzeigenschaften von mit ihnen gespielten Intervallen sich in der Praxis meistens gleichen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dasselbe Argument war lange Zeit ein kleiner Schwachpunkt im wissenschaftlichen Anspruch der Theorie von Helmholtz, weil die Hypothese, die Konsonanz eines Intervalls werde von der Übereinstimmung der Obertöne der beteiligten Töne bestimmt, mit akustischen Instrumenten schwierig zu falsifizieren ist. Der technische Fortschritt hat diese Schwäche nun beseitigt, denn mit elektronischen Mitteln ist es heutzutage möglich, Klänge mit beliebigen Obertonfrequenzen zu erzeugen. Dadurch ergibt sich die Möglichkeit, Helmholtz' Theorie sozusagen in der umgekehrten Reihenfolge anzuwenden - und tatsächlich können so Intervalle mit sehr &amp;amp;quot;schrägen&amp;amp;quot; Frequenzverhältnissen konsonant klingen, Intervalle wie die Oktave hingegen dissonant.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Wiliam%20Sethares"&amp;gt;William Sethares&amp;lt;/a&amp;gt; hat diese, im nachhinein verblüffend einfache, Idee als erster gehabt. Siehe hierzu:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.google.ch/url?sa=t&amp;amp;amp;rct=j&amp;amp;amp;q=&amp;amp;amp;esrc=s&amp;amp;amp;source=web&amp;amp;amp;cd=3&amp;amp;amp;ved=0CDsQFjAC&amp;amp;amp;url=http%3A%2F%2Ffolio.nzz.ch%2F2008%2Fapril%2Fdas-sollten-sie-sich-anhoren&amp;amp;amp;ei=ovHTUZ6gLOqp4ASUhICgAw&amp;amp;amp;usg=AFQjCNHSqob_d_4Aznj69BoD4Fl5Ty8amQ&amp;amp;amp;bvm=bv.48705608,d.bGE&amp;amp;amp;cad=rja" rel="nofollow"&amp;gt;Das sollten Sie sich anhören!, NZZ-Folio, April 2008&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Konsonanz bildet gemeinsam mit [[Dissonanz]] ein System zur Unterscheidung von Klängen.

In der landläufigen Musiktheorie wird zwischen vollkommenen ([[Oktave]], [[Quinte]], [[Quarte]], auch Prime) und unvollkommenen Konsonanzen (Terzen und Sexten) unterschieden. Häufig wird als Ursache für den "Wohlklang" das "einfache Schwingungsverhältnis" der beteiligten Töne genannt, allerdings ist nach dieser Theorie nicht erklärbar, warum die kleine Sexte ([[8_5|8/5]]) nicht weniger konsonant empfunden wird als Huygens’ Tritonus ([[7_5|7/5]]).

==Verweise== 
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Konsonanz|Konsonanz - Wikipedia]]
* [[http://www.muzzulini.ch/publications/dm_1990_KonsonanzUndDissonanz_Liz.pdf|Daniel Muzzulini, Konsonanz und Dissonanz in Musiktheorie und Psychoakustik]] , Lizentiatsarbeit Universität Zürich 1990

=Konsonanz und Klangfarbe= 
Ein Punkt, der bei vielen Theorien zu Konsonanz gelegentlich etwas vernachlässigt wird, ist, dass der Wohl- oder Missklang nicht nur vom Frequenzverhältnis der beteiligten Töne abhängt, sondern auch von deren Klangfarbe - genauer gesagt von der Obertonstruktur. Diese Erkenntnis ist untrennbar mit dem Namen [[http://de.wikipedia.org/wiki/Helmholtz|Hermann von Helmholtz]] verbunden. Sein bahnbrechendes Werk "Die Lehre von den Tonempfindungen" ist online verfügbar auf [[http://archive.org/details/dielehrevondento028665mbp|archive.org]] .

Vernachlässigt wird dieser Punkt allerdings nicht zuletzt deshalb, weil man ihn für viele praktische Belange tatsächlich vernachlässigen kann, und zwar deswegen, weil die überwiegende Mehrzahl der existierenden (akustischen) Musikinstrumente Klangfarben mit wohl verschieden starken, doch grundsätzlich ganzzahligen Obertonfrequenzen produziert, weswegen auch die Konsonanzeigenschaften von mit ihnen gespielten Intervallen sich in der Praxis meistens gleichen.

Dasselbe Argument war lange Zeit ein kleiner Schwachpunkt im wissenschaftlichen Anspruch der Theorie von Helmholtz, weil die Hypothese, die Konsonanz eines Intervalls werde von der Übereinstimmung der Obertöne der beteiligten Töne bestimmt, mit akustischen Instrumenten schwierig zu falsifizieren ist. Der technische Fortschritt hat diese Schwäche nun beseitigt, denn mit elektronischen Mitteln ist es heutzutage möglich, Klänge mit beliebigen Obertonfrequenzen zu erzeugen. Dadurch ergibt sich die Möglichkeit, Helmholtz' Theorie sozusagen in der umgekehrten Reihenfolge anzuwenden - und tatsächlich können so Intervalle mit sehr "schrägen" Frequenzverhältnissen konsonant klingen, Intervalle wie die Oktave hingegen dissonant.

[[Wiliam Sethares]] hat diese, im nachhinein verblüffend einfache, Idee als erster gehabt. Siehe hierzu:

[[http://www.google.ch/url?sa=t&amp;amp;rct=j&amp;amp;q=&amp;amp;esrc=s&amp;amp;source=web&amp;amp;cd=3&amp;amp;ved=0CDsQFjAC&amp;amp;url=http%3A%2F%2Ffolio.nzz.ch%2F2008%2Fapril%2Fdas-sollten-sie-sich-anhoren&amp;amp;ei=ovHTUZ6gLOqp4ASUhICgAw&amp;amp;usg=AFQjCNHSqob_d_4Aznj69BoD4Fl5Ty8amQ&amp;amp;bvm=bv.48705608,d.bGE&amp;amp;cad=rja|Das sollten Sie sich anhören!, NZZ-Folio, April 2008]] .&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Konsonanz bildet gemeinsam mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Dissonanz"&amp;gt;Dissonanz&amp;lt;/a&amp;gt; ein System zur Unterscheidung von Klängen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der landläufigen Musiktheorie wird zwischen vollkommenen (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quinte"&amp;gt;Quinte&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarte&amp;lt;/a&amp;gt;, auch Prime) und unvollkommenen Konsonanzen (Terzen und Sexten) unterschieden. Häufig wird als Ursache für den &amp;amp;quot;Wohlklang&amp;amp;quot; das &amp;amp;quot;einfache Schwingungsverhältnis&amp;amp;quot; der beteiligten Töne genannt, allerdings ist nach dieser Theorie nicht erklärbar, warum die kleine Sexte (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/8_5"&amp;gt;8/5&amp;lt;/a&amp;gt;) nicht weniger konsonant empfunden wird als Huygens’ Tritonus (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/7_5"&amp;gt;7/5&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Ein Punkt, der bei vielen Theorien zu Konsonanz gelegentlich etwas vernachlässigt wird, ist, dass der Wohl- oder Missklang nicht nur vom Frequenzverhältnis der beteiligten Töne abhängt, sondern auch von deren Klangfarbe - genauer gesagt von der Obertonstruktur. Diese Erkenntnis ist untrennbar mit dem Namen &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Helmholtz" rel="nofollow"&amp;gt;Hermann von Helmholtz&amp;lt;/a&amp;gt; verbunden. Sein bahnbrechendes Werk &amp;amp;quot;Die Lehre von den Tonempfindungen&amp;amp;quot; ist online verfügbar auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://archive.org/details/dielehrevondento028665mbp" rel="nofollow"&amp;gt;archive.org&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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Vernachlässigt wird dieser Punkt allerdings nicht zuletzt deshalb, weil man ihn für viele praktische Belange tatsächlich vernachlässigen kann, und zwar deswegen, weil die überwiegende Mehrzahl der existierenden (akustischen) Musikinstrumente Klangfarben mit wohl verschieden starken, doch grundsätzlich ganzzahligen Obertonfrequenzen produziert, weswegen auch die Konsonanzeigenschaften von mit ihnen gespielten Intervallen sich in der Praxis meistens gleichen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Dasselbe Argument war lange Zeit ein kleiner Schwachpunkt im wissenschaftlichen Anspruch der Theorie von Helmholtz, weil die Hypothese, die Konsonanz eines Intervalls werde von der Übereinstimmung der Obertöne der beteiligten Töne bestimmt, mit akustischen Instrumenten schwierig zu falsifizieren ist. Der technische Fortschritt hat diese Schwäche nun beseitigt, denn mit elektronischen Mitteln ist es heutzutage möglich, Klänge mit beliebigen Obertonfrequenzen zu erzeugen. Dadurch ergibt sich die Möglichkeit, Helmholtz' Theorie sozusagen in der umgekehrten Reihenfolge anzuwenden - und tatsächlich können so Intervalle mit sehr &amp;amp;quot;schrägen&amp;amp;quot; Frequenzverhältnissen konsonant klingen, Intervalle wie die Oktave hingegen dissonant.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Wiliam%20Sethares"&amp;gt;Wiliam Sethares&amp;lt;/a&amp;gt; hat diese, im nachhinein verblüffend einfache, Idee als erster gehabt. Siehe hierzu:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.google.ch/url?sa=t&amp;amp;amp;rct=j&amp;amp;amp;q=&amp;amp;amp;esrc=s&amp;amp;amp;source=web&amp;amp;amp;cd=3&amp;amp;amp;ved=0CDsQFjAC&amp;amp;amp;url=http%3A%2F%2Ffolio.nzz.ch%2F2008%2Fapril%2Fdas-sollten-sie-sich-anhoren&amp;amp;amp;ei=ovHTUZ6gLOqp4ASUhICgAw&amp;amp;amp;usg=AFQjCNHSqob_d_4Aznj69BoD4Fl5Ty8amQ&amp;amp;amp;bvm=bv.48705608,d.bGE&amp;amp;amp;cad=rja" rel="nofollow"&amp;gt;Das sollten Sie sich anhören!, NZZ-Folio, April 2008&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Konsonanz bildet gemeinsam mit [[Dissonanz]] ein System zur Unterscheidung von Klängen.

In der landläufigen Musiktheorie wird zwischen vollkommenen ([[Oktave]], [[Quinte]], [[Quarte]], auch Prime) und unvollkommenen Konsonanzen (Terzen und Sexten) unterschieden. Häufig wird als Ursache für den "Wohlklang" das "einfache Schwingungsverhältnis" der beteiligten Töne genannt, allerdings ist nach dieser Theorie nicht erklärbar, warum die kleine Sexte ([[8_5|8/5]]) nicht weniger konsonant empfunden wird als Huygens’ Tritonus ([[7_5|7/5]]).

==Verweise== 
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Konsonanz|Konsonanz - Wikipedia]]
* [[http://www.muzzulini.ch/publications/dm_1990_KonsonanzUndDissonanz_Liz.pdf|Daniel Muzzulini, Konsonanz und Dissonanz in Musiktheorie und Psychoakustik]] , Lizentiatsarbeit Universität Zürich 1990

=Konsonanz und Klangfarbe= 
Ein Punkt, der bei vielen Theorien zu Konsonanz gelegentlich etwas vernachlässigt wird, ist, dass der Wohl- oder Missklang nicht nur vom Frequenzverhältnis der beteiligten Töne abhängt, sondern auch von deren Klangfarbe - genauer gesagt von der Obertonstruktur. Diese Erkenntnis ist untrennbar mit dem Namen [[http://de.wikipedia.org/wiki/Helmholtz|Hermann von Helmholtz]] verbunden. Sein bahnbrechendes Werk "Die Lehre von den Tonempfindungen" ist online verfügbar auf [[http://archive.org/details/dielehrevondento028665mbp|archive.org]] .

Vernachlässigt wird dieser Punkt allerdings nicht zuletzt deshalb, weil man ihn für viele praktische Belange tatsächlich vernachlässigen kann, und zwar deswegen, weil die überwiegende Mehrzahl der existierenden (akustischen) Musikinstrumente Klangfarben mit wohl verschieden starken, doch grundsätzlich ganzzahligen Obertonfrequenzen produziert, weswegen auch die Konsonanzeigenschaften von mit ihnen gespielten Intervallen sich in der Praxis meistens gleichen.

Dasselbe Argument war lange Zeit ein kleiner Schwachpunkt im wissenschaftlichen Anspruch der Theorie von Helmholtz, weil die Hypothese, die Konsonanz eines Intervalls werde von der Übereinstimmung der Obertöne der beteiligten Töne bestimmt, mit akustischen Instrumenten schwierig zu falsifizieren ist. Der technische Fortschritt hat diese Schwäche nun beseitigt, denn mit elektronischen Mitteln ist es heutzutage möglich, Klänge mit beliebigen Obertonfrequenzen zu erzeugen. Dadurch ergibt sich die Möglichkeit, Helmholtz' Theorie sozusagen in der umgekehrten Reihenfolge anzuwenden - und tatsächlich können so Intervalle mit sehr "schrägen" Frequenzverhältnissen konsonant klingen, Intervalle wie die Oktave hingegen dissonant.

[[Wiliam Sethares]] hat diese, im nachhinein verblüffend einfache, Idee als erster gehabt. Siehe hierzu:

[[http://www.google.ch/url?sa=t&amp;amp;rct=j&amp;amp;q=&amp;amp;esrc=s&amp;amp;source=web&amp;amp;cd=3&amp;amp;ved=0CDsQFjAC&amp;amp;url=http%3A%2F%2Ffolio.nzz.ch%2F2008%2Fapril%2Fdas-sollten-sie-sich-anhoren&amp;amp;ei=ovHTUZ6gLOqp4ASUhICgAw&amp;amp;usg=AFQjCNHSqob_d_4Aznj69BoD4Fl5Ty8amQ&amp;amp;bvm=bv.48705608,d.bGE&amp;amp;cad=rja|Das sollten Sie sich anhören, NZZ-Folio, April 2008]] .&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Konsonanz bildet gemeinsam mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Dissonanz"&amp;gt;Dissonanz&amp;lt;/a&amp;gt; ein System zur Unterscheidung von Klängen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In der landläufigen Musiktheorie wird zwischen vollkommenen (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quinte"&amp;gt;Quinte&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarte&amp;lt;/a&amp;gt;, auch Prime) und unvollkommenen Konsonanzen (Terzen und Sexten) unterschieden. Häufig wird als Ursache für den &amp;amp;quot;Wohlklang&amp;amp;quot; das &amp;amp;quot;einfache Schwingungsverhältnis&amp;amp;quot; der beteiligten Töne genannt, allerdings ist nach dieser Theorie nicht erklärbar, warum die kleine Sexte (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/8_5"&amp;gt;8/5&amp;lt;/a&amp;gt;) nicht weniger konsonant empfunden wird als Huygens’ Tritonus (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/7_5"&amp;gt;7/5&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Ein Punkt, der bei vielen Theorien zu Konsonanz gelegentlich etwas vernachlässigt wird, ist, dass der Wohl- oder Missklang nicht nur vom Frequenzverhältnis der beteiligten Töne abhängt, sondern auch von deren Klangfarbe - genauer gesagt von der Obertonstruktur. Diese Erkenntnis ist untrennbar mit dem Namen &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Helmholtz" rel="nofollow"&amp;gt;Hermann von Helmholtz&amp;lt;/a&amp;gt; verbunden. Sein bahnbrechendes Werk &amp;amp;quot;Die Lehre von den Tonempfindungen&amp;amp;quot; ist online verfügbar auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://archive.org/details/dielehrevondento028665mbp" rel="nofollow"&amp;gt;archive.org&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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Vernachlässigt wird dieser Punkt allerdings nicht zuletzt deshalb, weil man ihn für viele praktische Belange tatsächlich vernachlässigen kann, und zwar deswegen, weil die überwiegende Mehrzahl der existierenden (akustischen) Musikinstrumente Klangfarben mit wohl verschieden starken, doch grundsätzlich ganzzahligen Obertonfrequenzen produziert, weswegen auch die Konsonanzeigenschaften von mit ihnen gespielten Intervallen sich in der Praxis meistens gleichen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Dasselbe Argument war lange Zeit ein kleiner Schwachpunkt im wissenschaftlichen Anspruch der Theorie von Helmholtz, weil die Hypothese, die Konsonanz eines Intervalls werde von der Übereinstimmung der Obertöne der beteiligten Töne bestimmt, mit akustischen Instrumenten schwierig zu falsifizieren ist. Der technische Fortschritt hat diese Schwäche nun beseitigt, denn mit elektronischen Mitteln ist es heutzutage möglich, Klänge mit beliebigen Obertonfrequenzen zu erzeugen. Dadurch ergibt sich die Möglichkeit, Helmholtz' Theorie sozusagen in der umgekehrten Reihenfolge anzuwenden - und tatsächlich können so Intervalle mit sehr &amp;amp;quot;schrägen&amp;amp;quot; Frequenzverhältnissen konsonant klingen, Intervalle wie die Oktave hingegen dissonant.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Wiliam%20Sethares"&amp;gt;Wiliam Sethares&amp;lt;/a&amp;gt; hat diese, im nachhinein verblüffend einfache, Idee als erster gehabt. Siehe hierzu:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.google.ch/url?sa=t&amp;amp;amp;rct=j&amp;amp;amp;q=&amp;amp;amp;esrc=s&amp;amp;amp;source=web&amp;amp;amp;cd=3&amp;amp;amp;ved=0CDsQFjAC&amp;amp;amp;url=http%3A%2F%2Ffolio.nzz.ch%2F2008%2Fapril%2Fdas-sollten-sie-sich-anhoren&amp;amp;amp;ei=ovHTUZ6gLOqp4ASUhICgAw&amp;amp;amp;usg=AFQjCNHSqob_d_4Aznj69BoD4Fl5Ty8amQ&amp;amp;amp;bvm=bv.48705608,d.bGE&amp;amp;amp;cad=rja" rel="nofollow"&amp;gt;Das sollten Sie sich anhören, NZZ-Folio, April 2008&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
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Konsonanz bildet gemeinsam mit [[Dissonanz]] ein System zur Unterscheidung von Klängen.

In der landläufigen Musiktheorie wird zwischen vollkommenen ([[Oktave]], [[Quinte]], [[Quarte]], auch Prime) und unvollkommenen Konsonanzen (Terzen und Sexten) unterschieden. Häufig wird als Ursache für den "Wohlklang" das "einfache Schwingungsverhältnis" der beteiligten Töne genannt, allerdings ist nach dieser Theorie nicht erklärbar, warum die kleine Sexte ([[8_5|8/5]]) nicht weniger konsonant empfunden wird als Huygens’ Tritonus ([[7_5|7/5]]).

==Verweise== 
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Konsonanz|Konsonanz - Wikipedia]]
* [[http://www.muzzulini.ch/publications/dm_1990_KonsonanzUndDissonanz_Liz.pdf|Daniel Muzzulini, Konsonanz und Dissonanz in Musiktheorie und Psychoakustik]] , Lizentiatsarbeit Universität Zürich 1990

=Konsonanz und Klangfarbe= 
Ein Punkt, der bei vielen Theorien zu Konsonanz gelegentlich etwas vernachlässigt wird, ist, dass der Wohl- oder Missklang nicht nur vom Frequenzverhältnis der beteiligten Töne abhängt, sondern auch von deren Klangfarbe - genauer gesagt von der Obertonstruktur. Diese Erkenntnis ist untrennbar mit dem Namen [[http://de.wikipedia.org/wiki/Helmholtz|Hermann von Helmholtz]] verbunden. Sein bahnbrechendes Werk "Die Lehre von den Tonempfindungen" ist online verfügbar auf [[http://archive.org/details/dielehrevondento028665mbp|archive.org]] .

Vernachlässigt wird dieser Punkt allerdings nicht zuletzt deshalb, weil man ihn für viele praktische Belange tatsächlich vernachlässigen kann, und zwar deswegen, weil die überwiegende Mehrzahl der existierenden (akustischen) Musikinstrumente Klangfarben mit wohl verschieden starken, doch grundsätzlich ganzzahligen Obertonfrequenzen produziert, weswegen auch die Konsonanzeigenschaften von mit ihnen gespielten Intervallen sich in der Praxis meistens gleichen.

Dasselbe Argument war lange Zeit ein kleiner Schwachpunkt im wissenschaftlichen Anspruch der Theorie von Helmholtz, weil die Hypothese, die Konsonanz eines Intervalls werde von der Übereinstimmung der Obertöne der beteiligten Töne bestimmt, mit akustioschen Instrumenten schwierig zu falsifizieren ist. Der technische Fortschritt hat diese Schwäche nun beseitigt, denn mit elektronischen Mitteln ist es heutzutage möglich, Klänge zu erzeugen, deren Obertonfrequenzen sozusagen beliebig sind. Dadurch ergibt sich die Möglichkeit, Helmholtz' Theoirie sozusagen in der umgekehrten Reihenfolge anzuwenden - und tatsächlich können so Intervalle mit sehr "schrägen" Frequenzverhältnissen konsonant klingen, Intervalle wie die Oktave hingegen dissonant.

[[Wiliam Sethares]] hat diese, im nachhinein verblüffend einfache, Idee als erster gehabt. Siehe hierzu:

[[http://www.google.ch/url?sa=t&amp;amp;rct=j&amp;amp;q=&amp;amp;esrc=s&amp;amp;source=web&amp;amp;cd=3&amp;amp;ved=0CDsQFjAC&amp;amp;url=http%3A%2F%2Ffolio.nzz.ch%2F2008%2Fapril%2Fdas-sollten-sie-sich-anhoren&amp;amp;ei=ovHTUZ6gLOqp4ASUhICgAw&amp;amp;usg=AFQjCNHSqob_d_4Aznj69BoD4Fl5Ty8amQ&amp;amp;bvm=bv.48705608,d.bGE&amp;amp;cad=rja|Das sollten Sie sich anhören, NZZ-Folio, April 2008]] .&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Konsonanz bildet gemeinsam mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Dissonanz"&amp;gt;Dissonanz&amp;lt;/a&amp;gt; ein System zur Unterscheidung von Klängen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der landläufigen Musiktheorie wird zwischen vollkommenen (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quinte"&amp;gt;Quinte&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarte&amp;lt;/a&amp;gt;, auch Prime) und unvollkommenen Konsonanzen (Terzen und Sexten) unterschieden. Häufig wird als Ursache für den &amp;amp;quot;Wohlklang&amp;amp;quot; das &amp;amp;quot;einfache Schwingungsverhältnis&amp;amp;quot; der beteiligten Töne genannt, allerdings ist nach dieser Theorie nicht erklärbar, warum die kleine Sexte (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/8_5"&amp;gt;8/5&amp;lt;/a&amp;gt;) nicht weniger konsonant empfunden wird als Huygens’ Tritonus (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/7_5"&amp;gt;7/5&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Ein Punkt, der bei vielen Theorien zu Konsonanz gelegentlich etwas vernachlässigt wird, ist, dass der Wohl- oder Missklang nicht nur vom Frequenzverhältnis der beteiligten Töne abhängt, sondern auch von deren Klangfarbe - genauer gesagt von der Obertonstruktur. Diese Erkenntnis ist untrennbar mit dem Namen &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Helmholtz" rel="nofollow"&amp;gt;Hermann von Helmholtz&amp;lt;/a&amp;gt; verbunden. Sein bahnbrechendes Werk &amp;amp;quot;Die Lehre von den Tonempfindungen&amp;amp;quot; ist online verfügbar auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://archive.org/details/dielehrevondento028665mbp" rel="nofollow"&amp;gt;archive.org&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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Vernachlässigt wird dieser Punkt allerdings nicht zuletzt deshalb, weil man ihn für viele praktische Belange tatsächlich vernachlässigen kann, und zwar deswegen, weil die überwiegende Mehrzahl der existierenden (akustischen) Musikinstrumente Klangfarben mit wohl verschieden starken, doch grundsätzlich ganzzahligen Obertonfrequenzen produziert, weswegen auch die Konsonanzeigenschaften von mit ihnen gespielten Intervallen sich in der Praxis meistens gleichen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Dasselbe Argument war lange Zeit ein kleiner Schwachpunkt im wissenschaftlichen Anspruch der Theorie von Helmholtz, weil die Hypothese, die Konsonanz eines Intervalls werde von der Übereinstimmung der Obertöne der beteiligten Töne bestimmt, mit akustioschen Instrumenten schwierig zu falsifizieren ist. Der technische Fortschritt hat diese Schwäche nun beseitigt, denn mit elektronischen Mitteln ist es heutzutage möglich, Klänge zu erzeugen, deren Obertonfrequenzen sozusagen beliebig sind. Dadurch ergibt sich die Möglichkeit, Helmholtz' Theoirie sozusagen in der umgekehrten Reihenfolge anzuwenden - und tatsächlich können so Intervalle mit sehr &amp;amp;quot;schrägen&amp;amp;quot; Frequenzverhältnissen konsonant klingen, Intervalle wie die Oktave hingegen dissonant.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Wiliam%20Sethares"&amp;gt;Wiliam Sethares&amp;lt;/a&amp;gt; hat diese, im nachhinein verblüffend einfache, Idee als erster gehabt. Siehe hierzu:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.google.ch/url?sa=t&amp;amp;amp;rct=j&amp;amp;amp;q=&amp;amp;amp;esrc=s&amp;amp;amp;source=web&amp;amp;amp;cd=3&amp;amp;amp;ved=0CDsQFjAC&amp;amp;amp;url=http%3A%2F%2Ffolio.nzz.ch%2F2008%2Fapril%2Fdas-sollten-sie-sich-anhoren&amp;amp;amp;ei=ovHTUZ6gLOqp4ASUhICgAw&amp;amp;amp;usg=AFQjCNHSqob_d_4Aznj69BoD4Fl5Ty8amQ&amp;amp;amp;bvm=bv.48705608,d.bGE&amp;amp;amp;cad=rja" rel="nofollow"&amp;gt;Das sollten Sie sich anhören, NZZ-Folio, April 2008&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Konsonanz bildet gemeinsam mit [[Dissonanz]] ein System zur Unterscheidung von Klängen.

In der landläufigen Musiktheorie wird zwischen vollkommenen ([[Oktave]], [[Quinte]], [[Quarte]], auch Prime) und unvollkommenen Konsonanzen (Terzen und Sexten) unterschieden. Häufig wird als Ursache für den "Wohlklang" das "einfache Schwingungsverhältnis" der beteiligten Töne genannt, allerdings ist nach dieser Theorie nicht erklärbar, warum die kleine Sexte ([[8_5|8/5]]) nicht weniger konsonant empfunden wird als Huygens’ Tritonus ([[7_5|7/5]]).

==Verweise== 
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Konsonanz|Konsonanz - Wikipedia]]
* [[http://www.muzzulini.ch/publications/dm_1990_KonsonanzUndDissonanz_Liz.pdf|Daniel Muzzulini, Konsonanz und Dissonanz in Musiktheorie und Psychoakustik]] , Lizentiatsarbeit Universität Zürich 1990

=Konsonanz und Klangfarbe= 
Ein Punkt, der bei vielen Theorien zu Konsonanz gelegentlich etwas vernachlässigt wird, ist, dass der Wohl- oder Missklang nicht nur vom Frequenzverhältnis der beteiligten Töne abhängt, sondern auch von deren Klangfarbe - genauer gesagt von der Obertonstruktur. Diese Erkenntnis ist untrennbar mit dem Namen [[http://de.wikipedia.org/wiki/Helmholtz|Hermann von Helmholtz]] verbunden. Sein bahnbrechendes Werk "Die Lehre von den Tonempfindungen" ist online verfügbar auf [[http://archive.org/details/dielehrevondento028665mbp|archive.org]] .

Vernachlässigt wird dieser Punkt allerdings nicht zuletzt deshalb, weil man ihn für viele praktische Belange tatsächlich vernachlässigen kann, und zwar deswegen, weil die überwiegende Mehrzahl der existierenden (akustischen) Musikinstrumente Klangfarben mit wohl verschieden starken, doch grundsätzlich ganzzahligen Obertonfrequenzen produziert, weswegen auch die Konsonanzeigenschaften von mit ihnen gespielten Intervallen sich in der Praxis meistens gleichen.

Dasselbe Argument war lange Zeit ein kleiner Schwachpunkt im wissenschaftlichen Anspruch der Theorie von Helmholtz, weil die Hypothese, die Konsonanz eines Intervalls werde von der Übereinstimmung der Obertöne der beteiligten Töne bestimmt, mit akustioschen Instrumenten schwierig zu falsifizieren ist. Der technische Fortschritt hat diese Schwäche nun beseitigt, denn mit elektronischen Mitteln ist es heutzutage möglich, Klänge zu erzeugen, deren Oboertonfrequenzen sozusagen beliebig sind. Dadurch ergibt sich die Möglichkeit, Helmholtz' Theoirie sozusagen in der umgekehrten Reihenfolge anzuwenden.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Konsonanz bildet gemeinsam mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Dissonanz"&amp;gt;Dissonanz&amp;lt;/a&amp;gt; ein System zur Unterscheidung von Klängen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In der landläufigen Musiktheorie wird zwischen vollkommenen (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quinte"&amp;gt;Quinte&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarte&amp;lt;/a&amp;gt;, auch Prime) und unvollkommenen Konsonanzen (Terzen und Sexten) unterschieden. Häufig wird als Ursache für den &amp;amp;quot;Wohlklang&amp;amp;quot; das &amp;amp;quot;einfache Schwingungsverhältnis&amp;amp;quot; der beteiligten Töne genannt, allerdings ist nach dieser Theorie nicht erklärbar, warum die kleine Sexte (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/8_5"&amp;gt;8/5&amp;lt;/a&amp;gt;) nicht weniger konsonant empfunden wird als Huygens’ Tritonus (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/7_5"&amp;gt;7/5&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Verweise"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Verweise&amp;lt;/h2&amp;gt;
 &amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Konsonanz" rel="nofollow"&amp;gt;Konsonanz - Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.muzzulini.ch/publications/dm_1990_KonsonanzUndDissonanz_Liz.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;Daniel Muzzulini, Konsonanz und Dissonanz in Musiktheorie und Psychoakustik&amp;lt;/a&amp;gt; , Lizentiatsarbeit Universität Zürich 1990&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Konsonanz und Klangfarbe"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Konsonanz und Klangfarbe&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein Punkt, der bei vielen Theorien zu Konsonanz gelegentlich etwas vernachlässigt wird, ist, dass der Wohl- oder Missklang nicht nur vom Frequenzverhältnis der beteiligten Töne abhängt, sondern auch von deren Klangfarbe - genauer gesagt von der Obertonstruktur. Diese Erkenntnis ist untrennbar mit dem Namen &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Helmholtz" rel="nofollow"&amp;gt;Hermann von Helmholtz&amp;lt;/a&amp;gt; verbunden. Sein bahnbrechendes Werk &amp;amp;quot;Die Lehre von den Tonempfindungen&amp;amp;quot; ist online verfügbar auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://archive.org/details/dielehrevondento028665mbp" rel="nofollow"&amp;gt;archive.org&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Vernachlässigt wird dieser Punkt allerdings nicht zuletzt deshalb, weil man ihn für viele praktische Belange tatsächlich vernachlässigen kann, und zwar deswegen, weil die überwiegende Mehrzahl der existierenden (akustischen) Musikinstrumente Klangfarben mit wohl verschieden starken, doch grundsätzlich ganzzahligen Obertonfrequenzen produziert, weswegen auch die Konsonanzeigenschaften von mit ihnen gespielten Intervallen sich in der Praxis meistens gleichen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dasselbe Argument war lange Zeit ein kleiner Schwachpunkt im wissenschaftlichen Anspruch der Theorie von Helmholtz, weil die Hypothese, die Konsonanz eines Intervalls werde von der Übereinstimmung der Obertöne der beteiligten Töne bestimmt, mit akustioschen Instrumenten schwierig zu falsifizieren ist. Der technische Fortschritt hat diese Schwäche nun beseitigt, denn mit elektronischen Mitteln ist es heutzutage möglich, Klänge zu erzeugen, deren Oboertonfrequenzen sozusagen beliebig sind. Dadurch ergibt sich die Möglichkeit, Helmholtz' Theoirie sozusagen in der umgekehrten Reihenfolge anzuwenden.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Der Begriff **Konsonanz** charakterisiert den Zusammenklang von zwei oder mehr Tönen als...

Konsonanz bildet gemeinsam mit [[Dissonanz]] ein System zur Unterscheidung von Klängen.

In der landläufigen Musiktheorie wird zwischen vollkommenen ([[Oktave]], [[Quinte]], [[Quarte]], auch Prime) und unvollkommenen Konsonanzen (Terzen und Sexten) unterschieden. Häufig wird als Ursache für den "Wohlklang" das "einfache Schwingungsverhältnis" der beteiligten Töne genannt, allerdings ist nach dieser Theorie nicht erklärbar, warum die kleine Sexte ([[8_5|8/5]]) nicht weniger konsonant empfunden wird als Huygens’ Tritonus ([[7_5|7/5]]).

==Verweise== 
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Konsonanz|Konsonanz - Wikipedia]]
* [[http://www.muzzulini.ch/publications/dm_1990_KonsonanzUndDissonanz_Liz.pdf|Daniel Muzzulini, Konsonanz und Dissonanz in Musiktheorie und Psychoakustik]] , Lizentiatsarbeit Universität Zürich 1990&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Konsonanz&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Der Begriff &amp;lt;strong&amp;gt;Konsonanz&amp;lt;/strong&amp;gt; charakterisiert den Zusammenklang von zwei oder mehr Tönen als...&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Konsonanz bildet gemeinsam mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Dissonanz"&amp;gt;Dissonanz&amp;lt;/a&amp;gt; ein System zur Unterscheidung von Klängen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der landläufigen Musiktheorie wird zwischen vollkommenen (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quinte"&amp;gt;Quinte&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarte&amp;lt;/a&amp;gt;, auch Prime) und unvollkommenen Konsonanzen (Terzen und Sexten) unterschieden. Häufig wird als Ursache für den &amp;amp;quot;Wohlklang&amp;amp;quot; das &amp;amp;quot;einfache Schwingungsverhältnis&amp;amp;quot; der beteiligten Töne genannt, allerdings ist nach dieser Theorie nicht erklärbar, warum die kleine Sexte (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/8_5"&amp;gt;8/5&amp;lt;/a&amp;gt;) nicht weniger konsonant empfunden wird als Huygens’ Tritonus (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/7_5"&amp;gt;7/5&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 &amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Konsonanz" rel="nofollow"&amp;gt;Konsonanz - Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.muzzulini.ch/publications/dm_1990_KonsonanzUndDissonanz_Liz.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;Daniel Muzzulini, Konsonanz und Dissonanz in Musiktheorie und Psychoakustik&amp;lt;/a&amp;gt; , Lizentiatsarbeit Universität Zürich 1990&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Der Begriff **Konsonanz** charakterisiert den Zusammenklang von zwei oder mehr Tönen als...

Konsonanz bildet gemeinsam mit [[Dissonanz]] ein System zur Unterscheidung von Klängen.

In der landläufigen Musiktheorie wird zwischen vollkommenen ([[Oktave]], [[Quinte]], [[Quarte]], auch Prime) und unvollkommenen Konsonanzen (Terzen und Sexten) unterschieden. Häufig wird als Ursache für den "Wohlklang" das "einfache Schwingungsverhältnis" der beteiligten Töne genannt, allerdings ist nach dieser Theorie nicht erklärbar, warum die kleine Sexte ([[8_5|8/5]]) nicht weniger konsonant empfunden wird als Huygens’ Tritonus ([[7_5|7/5]]).

== Verweise ==
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Konsonanz|Konsonanz - Wikipedia]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Konsonanz&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Der Begriff &amp;lt;strong&amp;gt;Konsonanz&amp;lt;/strong&amp;gt; charakterisiert den Zusammenklang von zwei oder mehr Tönen als...&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Konsonanz bildet gemeinsam mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Dissonanz"&amp;gt;Dissonanz&amp;lt;/a&amp;gt; ein System zur Unterscheidung von Klängen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der landläufigen Musiktheorie wird zwischen vollkommenen (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quinte"&amp;gt;Quinte&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarte&amp;lt;/a&amp;gt;, auch Prime) und unvollkommenen Konsonanzen (Terzen und Sexten) unterschieden. Häufig wird als Ursache für den &amp;amp;quot;Wohlklang&amp;amp;quot; das &amp;amp;quot;einfache Schwingungsverhältnis&amp;amp;quot; der beteiligten Töne genannt, allerdings ist nach dieser Theorie nicht erklärbar, warum die kleine Sexte (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/8_5"&amp;gt;8/5&amp;lt;/a&amp;gt;) nicht weniger konsonant empfunden wird als Huygens’ Tritonus (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/7_5"&amp;gt;7/5&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Verweise"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt; Verweise &amp;lt;/h2&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Konsonanz" rel="nofollow"&amp;gt;Konsonanz - Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Der Begriff **Konsonanz** charakterisiert den Zusammenklang von zwei oder mehr Tönen als...

Konsonanz bildet gemeinsam mit [[Dissonanz]] ein System zur Unterscheidung von Klängen.

In der landläufigen Musiktheorie wird zwischen vollkommenen ([[Oktave]], [[Quinte]], [[Quarte]], auch Prime) und unvollkommenen Konsonanzen (Terzen und Sexten) unterschieden.

== Verweise ==
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Konsonanz|Konsonanz - Wikipedia]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Konsonanz&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Der Begriff &amp;lt;strong&amp;gt;Konsonanz&amp;lt;/strong&amp;gt; charakterisiert den Zusammenklang von zwei oder mehr Tönen als...&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Konsonanz bildet gemeinsam mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Dissonanz"&amp;gt;Dissonanz&amp;lt;/a&amp;gt; ein System zur Unterscheidung von Klängen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der landläufigen Musiktheorie wird zwischen vollkommenen (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quinte"&amp;gt;Quinte&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Quarte"&amp;gt;Quarte&amp;lt;/a&amp;gt;, auch Prime) und unvollkommenen Konsonanzen (Terzen und Sexten) unterschieden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Verweise"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt; Verweise &amp;lt;/h2&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Konsonanz" rel="nofollow"&amp;gt;Konsonanz - Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-01 14:27:47 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;428050078&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;**Konsonanz** wird traditionell als der Verschmelzungsgrad von Tönen betrachtet. Sie bildet das Gegenstück zur [[Dissonanz]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Konsonanz&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;strong&amp;gt;Konsonanz&amp;lt;/strong&amp;gt; wird traditionell als der Verschmelzungsgrad von Tönen betrachtet. Sie bildet das Gegenstück zur &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Dissonanz"&amp;gt;Dissonanz&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <text bytes="1309" sha1="pqgimhcxdtao7rzoth9tsxftfnyyfrm" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
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: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-04-24 17:55:56 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;426177660&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;siehe [[Dissonanz]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Liese-Temperaturen (benannt nach Tomasz Liese) temperiert das Komma '''1029/1000 (49.49 Cent)''' aus. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen einer '''reinen Duodezime 3/1''' und drei Intervallen mit Frequenzverhältnis '''10/7 (617.49 Cent, Eulers Tritonus, grosser Tritonus)'''. Generator ist ein (typischerweise noch etwas hochtemperierter) grosser Tritonus 10/7, und die Duodezime ist typischerweise (jedoch nicht notwendig) etwas herabtemperiert. Da die Duodezime oktavreduziert einer Quinte entspricht, führt also Übereinanderschichten von drei Liese-Generatoren typischerweise zu einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Quinte, und eine Liese-Temperatur kann so auch als Variante einer mitteltönigen Temperatur gelten.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Tonsysteme, die Liese unterstützen, sind unter anderem [[19edo|19edo]], [[36edo|36edo]], [[55edo|55edo]] und (besonders gut) [[74edo|74edo]].

[[17edo|17edo]] unterstützt Liese ebenfalls, jedoch mit einer hochtemperierten Quinte (somit nicht mitteltönig, sondern [[Superpyth|superpythagoräisch]]).

Liese-Temperaturen sind wohlausgestattet mit [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] - unter anderem solche mit 7, 9, 11, 13, 15, 17 und 19 Elementen.

Die MOS-Skalen bis zu 17 Elementen haben dabei alle eine ähnliche Form, zunächst gegeben durch einen Generatorschritt, der die Oktave in zwei annähernd gleich grosse Teile teilt, und das Intervall aus zwei Generatorschritten, welches oktavreduziert eine Art kleiner Halbton ist und bei allen MOS-Skalen mit bis zu 17 Elementen den kleineren Schritt bildet. Alle MOS-Skalen bis zu 17 Elementen verfügen über zwei grosse Schritte (variabler Grösse) und eine entsprechende Menge kleiner Schritte der Grösse zwei Generatoren.

Die Verwandtschaft zur mitteltönigen temperaturfamilie manifestiert sich so, dass eine Liese-Skala typischerweise als Vereinigung von drei mitteltönigen Skalen gesehen werden kann. Die fünfzehntönige Liese-Skala beispielsweise besteht aus drei klassischen pentatonischen Skalen, die neunzehntönige aus einer klassischen diatonischen Skala und zwei sechselementigen Teilmengen einer solchen. In 36edo ist dabei jede dieser Teilskalen für sich sogar in der Standardstimmung [[12edo|12edo]].

[todo Klangbeispiele, weitere Eigenschaften]  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Liese-Temperaturen (benannt nach Tomasz Liese) temperiert das Komma **1029/1000 (49.49 Cent)** aus. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen einer **reinen Duodezime 3/1** und drei Intervallen mit Frequenzverhältnis **10/7 (617.49 Cent, Eulers Tritonus, grosser Tritonus)**. Generator ist ein (typischerweise noch etwas hochtemperierter) grosser Tritonus 10/7, und die Duodezime ist typischerweise (jedoch nicht notwendig) etwas herabtemperiert. Da die Duodezime oktavreduziert einer Quinte entspricht, führt also Übereinanderschichten von drei Liese-Generatoren typischerweise zu einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Quinte, und eine Liese-Temperatur kann so auch als Variante einer mitteltönigen Temperatur gelten.

[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige]] Tonsysteme, die Liese unterstützen, sind unter anderem [[19edo]], [[36edo]], [[55edo]] und (besonders gut) [[74edo]].
[[17edo]] unterstützt Liese ebenfalls, jedoch mit einer hochtemperierten Quinte (somit nicht mitteltönig, sondern [[Superpyth|superpythagoräisch]]).

Liese-Temperaturen sind wohlausgestattet mit [[MOS-Skalen]] - unter anderem solche mit 7, 9, 11, 13, 15, 17 und 19 Elementen.

Die MOS-Skalen bis zu 17 Elementen haben dabei alle eine ähnliche Form, zunächst gegeben durch einen Generatorschritt, der die Oktave in zwei annähernd gleich grosse Teile teilt, und das Intervall aus zwei Generatorschritten, welches oktavreduziert eine Art kleiner Halbton ist und bei allen MOS-Skalen mit bis zu 17 Elementen den kleineren Schritt bildet. Alle MOS-Skalen bis zu 17 Elementen verfügen über zwei grosse Schritte (variabler Grösse) und eine entsprechende Menge kleiner Schritte der Grösse zwei Generatoren.

Die Verwandtschaft zur mitteltönigen temperaturfamilie manifestiert sich so, dass eine Liese-Skala typischerweise als Vereinigung von drei mitteltönigen Skalen gesehen werden kann. Die fünfzehntönige Liese-Skala beispielsweise besteht aus drei klassischen pentatonischen Skalen, die neunzehntönige aus einer klassischen diatonischen Skala und zwei sechselementigen Teilmengen einer solchen. In 36edo ist dabei jede dieser Teilskalen für sich sogar in der Standardstimmung [[12edo]].

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Die Familie der Liese-Temperaturen (benannt nach Tomasz Liese) temperiert das Komma &amp;lt;strong&amp;gt;1029/1000 (49.49 Cent)&amp;lt;/strong&amp;gt; aus. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen einer &amp;lt;strong&amp;gt;reinen Duodezime 3/1&amp;lt;/strong&amp;gt; und drei Intervallen mit Frequenzverhältnis &amp;lt;strong&amp;gt;10/7 (617.49 Cent, Eulers Tritonus, grosser Tritonus)&amp;lt;/strong&amp;gt;. Generator ist ein (typischerweise noch etwas hochtemperierter) grosser Tritonus 10/7, und die Duodezime ist typischerweise (jedoch nicht notwendig) etwas herabtemperiert. Da die Duodezime oktavreduziert einer Quinte entspricht, führt also Übereinanderschichten von drei Liese-Generatoren typischerweise zu einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Quinte, und eine Liese-Temperatur kann so auch als Variante einer mitteltönigen Temperatur gelten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsysteme, die Liese unterstützen, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/36edo"&amp;gt;36edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/55edo"&amp;gt;55edo&amp;lt;/a&amp;gt; und (besonders gut) &amp;lt;a class="wiki_link" href="/74edo"&amp;gt;74edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; unterstützt Liese ebenfalls, jedoch mit einer hochtemperierten Quinte (somit nicht mitteltönig, sondern &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräisch&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Liese-Temperaturen sind wohlausgestattet mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; - unter anderem solche mit 7, 9, 11, 13, 15, 17 und 19 Elementen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die MOS-Skalen bis zu 17 Elementen haben dabei alle eine ähnliche Form, zunächst gegeben durch einen Generatorschritt, der die Oktave in zwei annähernd gleich grosse Teile teilt, und das Intervall aus zwei Generatorschritten, welches oktavreduziert eine Art kleiner Halbton ist und bei allen MOS-Skalen mit bis zu 17 Elementen den kleineren Schritt bildet. Alle MOS-Skalen bis zu 17 Elementen verfügen über zwei grosse Schritte (variabler Grösse) und eine entsprechende Menge kleiner Schritte der Grösse zwei Generatoren.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Verwandtschaft zur mitteltönigen temperaturfamilie manifestiert sich so, dass eine Liese-Skala typischerweise als Vereinigung von drei mitteltönigen Skalen gesehen werden kann. Die fünfzehntönige Liese-Skala beispielsweise besteht aus drei klassischen pentatonischen Skalen, die neunzehntönige aus einer klassischen diatonischen Skala und zwei sechselementigen Teilmengen einer solchen. In 36edo ist dabei jede dieser Teilskalen für sich sogar in der Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Liese-Temperaturen (benannt nach Tomasz Liese) temperiert das Komma **1029/1000 (49.49 Cent)** aus. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen einer **reinen Duodezime 3/1** und drei Intervallen mit Frequenzverhältnis **10/7 (617.49 Cent, Eulers Tritonus, grosser Tritonus)**. Generator ist ein (typischerweise noch etwas hochtemperierter) grosser Tritonus 10/7, und die Duodezime ist typischerweise (jedoch nicht notwendig) etwas herabtemperiert. Da die Duodezime oktavreduziert einer Quinte entspricht, führt also Übereinanderschichten von drei Liese-Generatoren typischerweise zu einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Quinte, und eine Liese-Temperatur kann so auch als Variante einer mitteltönigen Temperatur gelten.

[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige]] Tonsysteme, die Liese unterstützen, sind unter anderem [[19edo]], [[36edo]], [[55edo]] und (besonders gut) [[74edo]].
[[17edo]] unterstützt Liese ebenfalls, jedoch mit einer hochtemperierten Quinte (somit nicht mitteltönig, sondern [[Superpyth|superpythagoräisch]]).

Liese-Temperaturen sind wohlausgestattet mit [[MOS-Skalen]] - unter anderem solche mit 7, 9, 11, 13, 15, 17 und 19 Elementen.

Die MOS-Skalen bis zu 17 Elementen haben dabei alle eine ähnliche Form, zunächst gegeben durch einen Generatorschritt, der die Oktave in zwei annähernd gleich grosse Teile teilt, und das Intervall aus zwei Generatorschritten, welches oktavreduziert eine Art kleiner Halbton ist und bei allen MOS-Skalen mit bis zu 17 Elementen den kleineren Schritt bildet. Alle MOS-Skalen bis zu 17 Elementen verfügen über zwei grosse Schritte und eine entsprechende Menge kleiner Schritte der Grösse zwei Generatoren.

Die Verwandtschaft zur mitteltönigen temperaturfamilie manifestiert sich so, dass eine Liese-Skala typischerweise als Vereinigung von drei mitteltönigen Skalen gesehen werden kann. Die fünfzehntönige Liese-Skala beispielsweise besteht aus drei klassischen pentatonischen Skalen, die neunzehntönige aus einer klassischen diatonischen Skala und zwei sechselementigen Teilmengen einer solchen. In 36edo ist dabei jede dieser Teilskalen für sich sogar in der Standardstimmung [[12edo]].

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Die Familie der Liese-Temperaturen (benannt nach Tomasz Liese) temperiert das Komma &amp;lt;strong&amp;gt;1029/1000 (49.49 Cent)&amp;lt;/strong&amp;gt; aus. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen einer &amp;lt;strong&amp;gt;reinen Duodezime 3/1&amp;lt;/strong&amp;gt; und drei Intervallen mit Frequenzverhältnis &amp;lt;strong&amp;gt;10/7 (617.49 Cent, Eulers Tritonus, grosser Tritonus)&amp;lt;/strong&amp;gt;. Generator ist ein (typischerweise noch etwas hochtemperierter) grosser Tritonus 10/7, und die Duodezime ist typischerweise (jedoch nicht notwendig) etwas herabtemperiert. Da die Duodezime oktavreduziert einer Quinte entspricht, führt also Übereinanderschichten von drei Liese-Generatoren typischerweise zu einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Quinte, und eine Liese-Temperatur kann so auch als Variante einer mitteltönigen Temperatur gelten.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsysteme, die Liese unterstützen, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/36edo"&amp;gt;36edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/55edo"&amp;gt;55edo&amp;lt;/a&amp;gt; und (besonders gut) &amp;lt;a class="wiki_link" href="/74edo"&amp;gt;74edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Liese-Temperaturen sind wohlausgestattet mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; - unter anderem solche mit 7, 9, 11, 13, 15, 17 und 19 Elementen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die MOS-Skalen bis zu 17 Elementen haben dabei alle eine ähnliche Form, zunächst gegeben durch einen Generatorschritt, der die Oktave in zwei annähernd gleich grosse Teile teilt, und das Intervall aus zwei Generatorschritten, welches oktavreduziert eine Art kleiner Halbton ist und bei allen MOS-Skalen mit bis zu 17 Elementen den kleineren Schritt bildet. Alle MOS-Skalen bis zu 17 Elementen verfügen über zwei grosse Schritte und eine entsprechende Menge kleiner Schritte der Grösse zwei Generatoren.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Verwandtschaft zur mitteltönigen temperaturfamilie manifestiert sich so, dass eine Liese-Skala typischerweise als Vereinigung von drei mitteltönigen Skalen gesehen werden kann. Die fünfzehntönige Liese-Skala beispielsweise besteht aus drei klassischen pentatonischen Skalen, die neunzehntönige aus einer klassischen diatonischen Skala und zwei sechselementigen Teilmengen einer solchen. In 36edo ist dabei jede dieser Teilskalen für sich sogar in der Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Liese-Temperaturen (benannt nach Tomasz Liese) temperiert das Komma **1029/1000 (49.49 Cent)** aus. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen einer **reinen Duodezime 3/1** und drei Intervallen mit Frequenzverhältnis **10/7 (617.49 Cent, Eulers Tritonus, grosser Tritonus)**. Generator ist ein (typischerweise noch etwas hochtemperierter) grosser Tritonus 10/7, und die Duodezime ist typischerweise (jedoch nicht notwendig) etwas herabtemperiert. Da die Duodezime oktavreduziert einer Quinte entspricht, führt also Übereinanderschichten von drei Liese-Generatoren typischerweise zu einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Quinte, und eine Liese-Temperatur kann so auch als Variante einer mitteltönigen Temperatur gelten.

[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige]] Tonsysteme, die Liese unterstützen, sind unter anderem [[19edo]], [[36edo]], [[55edo]] und (besonders gut) [[74edo]].
[[17edo]] unterstützt Liese ebenfalls, jedoch mit einer hochtemperierten Quinte (somit nicht mitteltönig, sondern [[Superpyth|superpythagoräisch]]).

Liese-Temperaturen sind wohlausgestattet mit [[MOS-Skalen]] - unter anderem solche mit 7, 9, 11, 13, 15, 17 und 19 Elementen.

Die MOS-Skalen bis zu 17 Elementen haben dabei alle eine ähnliche Form, zunächst gegeben durch einen Generatorschritt, der die Oktave in zwei annähernd gleich grosse Teile teilt, und das Intervall aus zwei Generatorschritten, welches oktavreduziert eine Art kleiner Halbton ist und bei allen MOS-Skalen mit bis zu 17 Elementen den kleineren Schritt bildet. Alle MOS-Skalen bis zu 17 Elementen verfügen über zwei grosse Schritte und eine entsprechende Menge kleiner Schritte der Grösse zwei Generatoren.

Die Verwandtschaft zur mitteltönigen temperaturfamilie manifestisert sich so, dass eine Liese-Skala typischerweise als Vereinigung von drei mitteltönigen Skalen gesehen werden kann. Die fünfzehntönige Liese-Skala beispielsweise besteht aus drei klassischen pentatonischen Skalen, die neunzehntönige aus einer klassischen diatonischen Skala und zwei sechselementigen Teilmengen einer solchen. In 36edo ist dabei jede dieser Teilskalen für sich sogar in der Standardstimmung [[12edo]].

[todo Klangbeispiele, weitere Eigenschaften]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Liese&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Liese"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Familie der Liese-Temperaturen (benannt nach Tomasz Liese) temperiert das Komma &amp;lt;strong&amp;gt;1029/1000 (49.49 Cent)&amp;lt;/strong&amp;gt; aus. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen einer &amp;lt;strong&amp;gt;reinen Duodezime 3/1&amp;lt;/strong&amp;gt; und drei Intervallen mit Frequenzverhältnis &amp;lt;strong&amp;gt;10/7 (617.49 Cent, Eulers Tritonus, grosser Tritonus)&amp;lt;/strong&amp;gt;. Generator ist ein (typischerweise noch etwas hochtemperierter) grosser Tritonus 10/7, und die Duodezime ist typischerweise (jedoch nicht notwendig) etwas herabtemperiert. Da die Duodezime oktavreduziert einer Quinte entspricht, führt also Übereinanderschichten von drei Liese-Generatoren typischerweise zu einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Quinte, und eine Liese-Temperatur kann so auch als Variante einer mitteltönigen Temperatur gelten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsysteme, die Liese unterstützen, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/36edo"&amp;gt;36edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/55edo"&amp;gt;55edo&amp;lt;/a&amp;gt; und (besonders gut) &amp;lt;a class="wiki_link" href="/74edo"&amp;gt;74edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; unterstützt Liese ebenfalls, jedoch mit einer hochtemperierten Quinte (somit nicht mitteltönig, sondern &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräisch&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Liese-Temperaturen sind wohlausgestattet mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; - unter anderem solche mit 7, 9, 11, 13, 15, 17 und 19 Elementen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die MOS-Skalen bis zu 17 Elementen haben dabei alle eine ähnliche Form, zunächst gegeben durch einen Generatorschritt, der die Oktave in zwei annähernd gleich grosse Teile teilt, und das Intervall aus zwei Generatorschritten, welches oktavreduziert eine Art kleiner Halbton ist und bei allen MOS-Skalen mit bis zu 17 Elementen den kleineren Schritt bildet. Alle MOS-Skalen bis zu 17 Elementen verfügen über zwei grosse Schritte und eine entsprechende Menge kleiner Schritte der Grösse zwei Generatoren.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Verwandtschaft zur mitteltönigen temperaturfamilie manifestisert sich so, dass eine Liese-Skala typischerweise als Vereinigung von drei mitteltönigen Skalen gesehen werden kann. Die fünfzehntönige Liese-Skala beispielsweise besteht aus drei klassischen pentatonischen Skalen, die neunzehntönige aus einer klassischen diatonischen Skala und zwei sechselementigen Teilmengen einer solchen. In 36edo ist dabei jede dieser Teilskalen für sich sogar in der Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Liese-Temperaturen (benannt nach Tomasz Liese) temperiert das Komma **1029/1000 (49.49 Cent)** aus. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen einer **reinen Duodezime 3/1** und drei Intervallen mit Frequenzverhältnis **10/7 (617.49 Cent, Eulers Tritonus, grosser Tritonus)**. Generator ist ein (typischerweise noch etwas hochtemperierter) grosser Tritonus 10/7, und die Duodezime ist typischerweise (jedoch nicht notwendig) etwas herabtemperiert. Da die Duodezime oktavreduziert einer Quinte entspricht, führt also Übereinanderschichten von drei Liese-Generatoren typischerweise zu einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Quinte, und eine Liese-Temperatur kann so auch als Variante einer mitteltönigen Temperatur gelten.

[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige]] Tonsysteme, die Liese unterstützen, sind unter anderem [[19edo]], [[36edo]], [[55edo]] und (besonders gut) [[74edo]].
[[17edo]] unterstützt Liese ebenfalls, jedoch mit einer hochtemperierten Quinte (somit nicht mitteltönig, sondern [[Superpyth|superpythagoräisch]]).

Liese-Temperaturen sind wohlausgestattet mit [[MOS-Skalen]] - unter anderem solche mit 7, 9, 11, 13, 15, 17 und 19 Elementen.

Die MOS-Skalen bis zu 17 Elementen haben dabei alle eine ähnliche Form, zunächst gegeben durch einen Generatorschritt, der die Oktave in zwei annähernd gleich grosse Teile teilt, und das Intervall aus zwei Generatorschritten, welches oktavreduziert eine Art kleiner Halbton ist und bei allen MOS-.Skalen mit bis zu 17 Elementen den kleineren Schritt bildet. Alle MOS-Skalen bis zu 17 Elementen verfügen über zwei grosse Schritte und eine entsprechende Menge kleiner Schritte der Grösse zwei Generatoren.



[todo Klangbeispiele, weitere Eigenschaften]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Die Familie der Liese-Temperaturen (benannt nach Tomasz Liese) temperiert das Komma &amp;lt;strong&amp;gt;1029/1000 (49.49 Cent)&amp;lt;/strong&amp;gt; aus. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen einer &amp;lt;strong&amp;gt;reinen Duodezime 3/1&amp;lt;/strong&amp;gt; und drei Intervallen mit Frequenzverhältnis &amp;lt;strong&amp;gt;10/7 (617.49 Cent, Eulers Tritonus, grosser Tritonus)&amp;lt;/strong&amp;gt;. Generator ist ein (typischerweise noch etwas hochtemperierter) grosser Tritonus 10/7, und die Duodezime ist typischerweise (jedoch nicht notwendig) etwas herabtemperiert. Da die Duodezime oktavreduziert einer Quinte entspricht, führt also Übereinanderschichten von drei Liese-Generatoren typischerweise zu einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Quinte, und eine Liese-Temperatur kann so auch als Variante einer mitteltönigen Temperatur gelten.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsysteme, die Liese unterstützen, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/36edo"&amp;gt;36edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/55edo"&amp;gt;55edo&amp;lt;/a&amp;gt; und (besonders gut) &amp;lt;a class="wiki_link" href="/74edo"&amp;gt;74edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; unterstützt Liese ebenfalls, jedoch mit einer hochtemperierten Quinte (somit nicht mitteltönig, sondern &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräisch&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Liese-Temperaturen sind wohlausgestattet mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; - unter anderem solche mit 7, 9, 11, 13, 15, 17 und 19 Elementen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die MOS-Skalen bis zu 17 Elementen haben dabei alle eine ähnliche Form, zunächst gegeben durch einen Generatorschritt, der die Oktave in zwei annähernd gleich grosse Teile teilt, und das Intervall aus zwei Generatorschritten, welches oktavreduziert eine Art kleiner Halbton ist und bei allen MOS-.Skalen mit bis zu 17 Elementen den kleineren Schritt bildet. Alle MOS-Skalen bis zu 17 Elementen verfügen über zwei grosse Schritte und eine entsprechende Menge kleiner Schritte der Grösse zwei Generatoren.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Liese-Temperaturen temperiert das Komma **1029/1000 (49.49 Cent)** aus. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen einer **reinen Duodezime 3/1** und drei Intervallen mit Frequenzverhältnis **10/7 (617.49 Cent, Eulers Tritonus)**. Generator ist ein (typischerweise etwas hochtemperierter) Tritonus 10/7, und die Duodezime ist typischerweise (jedoch nicht notwendig) etwas herabtemperiert. Da die Duodezime oktavreduziert einer Quinte entspricht, führt also Übereinanderschichten von drei Liese-Generatoren typischerweise zu einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Quinte, und eine Liese-Temperatur kann so auch als Variante einer mitteltönigen Temperatur gelten.

[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige]] Tonsysteme, die Liese unterstützen, sind unter anderem [[19edo]], [[36edo]], [[55edo]] und (besonders gut) [[74edo]].
[[17edo]] unterstützt Liese ebenfalls, jedoch mit einer hochtemperierten Quinte (somit nicht mitteltönig, sondern [[Superpyth|superpythagoräisch]]).

Liese-Temperaturen sind wohlausgestattet mit [[MOS-Skalen]] - unter anderem solche mit 7, 9, 11, 13, 15, 17 und 19 Elementen.

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Die Familie der Liese-Temperaturen temperiert das Komma &amp;lt;strong&amp;gt;1029/1000 (49.49 Cent)&amp;lt;/strong&amp;gt; aus. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen einer &amp;lt;strong&amp;gt;reinen Duodezime 3/1&amp;lt;/strong&amp;gt; und drei Intervallen mit Frequenzverhältnis &amp;lt;strong&amp;gt;10/7 (617.49 Cent, Eulers Tritonus)&amp;lt;/strong&amp;gt;. Generator ist ein (typischerweise etwas hochtemperierter) Tritonus 10/7, und die Duodezime ist typischerweise (jedoch nicht notwendig) etwas herabtemperiert. Da die Duodezime oktavreduziert einer Quinte entspricht, führt also Übereinanderschichten von drei Liese-Generatoren typischerweise zu einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Quinte, und eine Liese-Temperatur kann so auch als Variante einer mitteltönigen Temperatur gelten.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsysteme, die Liese unterstützen, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/36edo"&amp;gt;36edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/55edo"&amp;gt;55edo&amp;lt;/a&amp;gt; und (besonders gut) &amp;lt;a class="wiki_link" href="/74edo"&amp;gt;74edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; unterstützt Liese ebenfalls, jedoch mit einer hochtemperierten Quinte (somit nicht mitteltönig, sondern &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräisch&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Liese-Temperaturen sind wohlausgestattet mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; - unter anderem solche mit 7, 9, 11, 13, 15, 17 und 19 Elementen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Liese-Temperaturen temperiert das Komma **1029/1000 (49.49 Cent)** aus. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen einer **reinen Duodezime 3/1** und drei Intervallen mit Frequenzverhältnis **10/7 (617.49 Cent, Eulers Tritonus)**. Generator ist ein (typischerweise etwas hochtemperierter) Tritonus 10/7, und die Duodezime ist typischerweise (jedoch nicht notwendig) etwas herabtemperiert. Da die Duodezime oktavreduziert einer Quinte entspricht, führt also Übereinanderschichten von drei Liese-Generatoren typischerweise zu einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Quinte, und eine Liese-Temperatur kann so auch als Variante einer mitteltönigen Temperatur gelten.

[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige]] Tonsysteme, die Liese unterstützen, sind unter anderem [[19edo]], [[55edo]] und (besonders gut) [[74edo]].
[[17edo]] unterstützt Liese ebenfalls, jedoch mit einer hochtemperierten Quinte (somit nicht mitteltönig, sondern [[Superpyth|superpythagoräisch]]).

Liese-Temperaturen sind wohlausgestattet mit [[MOS-Skalen]] - unter anderem solche mit 7, 9, 11, 13, 15, 17 und 19 Elementen.

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&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Familie der Liese-Temperaturen temperiert das Komma &amp;lt;strong&amp;gt;1029/1000 (49.49 Cent)&amp;lt;/strong&amp;gt; aus. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen einer &amp;lt;strong&amp;gt;reinen Duodezime 3/1&amp;lt;/strong&amp;gt; und drei Intervallen mit Frequenzverhältnis &amp;lt;strong&amp;gt;10/7 (617.49 Cent, Eulers Tritonus)&amp;lt;/strong&amp;gt;. Generator ist ein (typischerweise etwas hochtemperierter) Tritonus 10/7, und die Duodezime ist typischerweise (jedoch nicht notwendig) etwas herabtemperiert. Da die Duodezime oktavreduziert einer Quinte entspricht, führt also Übereinanderschichten von drei Liese-Generatoren typischerweise zu einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Quinte, und eine Liese-Temperatur kann so auch als Variante einer mitteltönigen Temperatur gelten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsysteme, die Liese unterstützen, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/55edo"&amp;gt;55edo&amp;lt;/a&amp;gt; und (besonders gut) &amp;lt;a class="wiki_link" href="/74edo"&amp;gt;74edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; unterstützt Liese ebenfalls, jedoch mit einer hochtemperierten Quinte (somit nicht mitteltönig, sondern &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräisch&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Liese-Temperaturen sind wohlausgestattet mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; - unter anderem solche mit 7, 9, 11, 13, 15, 17 und 19 Elementen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-05-04 08:08:49 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Liese-Temperaturen temperiert das Komma **1029/1000 (49.49 Cent)** aus. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen einer **reinen Duodezime 3/1** und drei Intervallen mit Frequenzverhältnis **10/7 (617.49 Cent, Eulers Tritonus)**. Generator ist ein (typischerweise etwas hochtemperierter) Tritonus 10/7, und die Duodezime ist typischerweise (jedoch nicht notwendig) etwas herabtemperiert. Da die Duodezime oktavreduziert einer Quinte entspricht, führt also Übereinanderschachteln von drei Liese-Generatoren typischerweise zu einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Quinte, und eine Liese-Temperatur kann so auch als Variante einer mitteltönigen Temperatur gelten.

[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige]] Tonsysteme, die Liese unterstützen, sind unter anderem [[19edo]], [[55edo]] und (besonders gut) [[74edo]].
[[17edo]] unterstützt Liese ebenfalls, jedoch mit einer hochtemperierten Quinte (somit nicht mitteltönig, sondern [[Superpyth|superpythagoräisch]]).

Liese-Temperaturen sind wohlausgestattet mit [[MOS-Skalen]] - unter anderem solche mit 7, 9, 11, 13, 15, 17 und 19 Elementen.

[todo Klangbeispiele]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Die Familie der Liese-Temperaturen temperiert das Komma &amp;lt;strong&amp;gt;1029/1000 (49.49 Cent)&amp;lt;/strong&amp;gt; aus. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen einer &amp;lt;strong&amp;gt;reinen Duodezime 3/1&amp;lt;/strong&amp;gt; und drei Intervallen mit Frequenzverhältnis &amp;lt;strong&amp;gt;10/7 (617.49 Cent, Eulers Tritonus)&amp;lt;/strong&amp;gt;. Generator ist ein (typischerweise etwas hochtemperierter) Tritonus 10/7, und die Duodezime ist typischerweise (jedoch nicht notwendig) etwas herabtemperiert. Da die Duodezime oktavreduziert einer Quinte entspricht, führt also Übereinanderschachteln von drei Liese-Generatoren typischerweise zu einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Quinte, und eine Liese-Temperatur kann so auch als Variante einer mitteltönigen Temperatur gelten.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsysteme, die Liese unterstützen, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/55edo"&amp;gt;55edo&amp;lt;/a&amp;gt; und (besonders gut) &amp;lt;a class="wiki_link" href="/74edo"&amp;gt;74edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; unterstützt Liese ebenfalls, jedoch mit einer hochtemperierten Quinte (somit nicht mitteltönig, sondern &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräisch&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Liese-Temperaturen sind wohlausgestattet mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; - unter anderem solche mit 7, 9, 11, 13, 15, 17 und 19 Elementen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Liese-Temperaturen temperiert das Komma **1029/1000 (49.49 Cent)** aus. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen einer **reinen Duodezime 3/1** und drei Intervallen mit Frequenzverhältnis **10/7 (617.49 Cent, Eulers Tritonus)**. Generator ist ein (typischerweise etwas hochtemperierter) Tritonus 10/7, und die Duodezime ist typischerweise (jedoch nicht notwendig) etwas herabtemperiert. Da die Duodezime oktavreduziert einer Quinte entspricht, führt also Übereinanderschachteln von drei Liese-Generatoren typischerweise zu einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Quinte, und eine Liese-Temperatur kann so auch als Variante einer mitteltönigen Temperatur gelten.

Gleichstufige Tonsysteme, die Liese unterstützen, sind unter anderem [[19edo]], [[55edo]] und (besonders gut) [[74edo]].
[[17edo]] unterstützt Liese ebenfalls, jedoch mit einer hochtemperierten Quinte (somit nicht mitteltönig, sondern [[Superpyth|superpythagoräisch]]).

Liese-Temperaturen sind wohlausgestattet mit [[MOS-Skalen]] - unter anderem solche mit 7, 9, 11, 13, 15, 17 und 19 Elementen.

[todo Klangbeispiele]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Die Familie der Liese-Temperaturen temperiert das Komma &amp;lt;strong&amp;gt;1029/1000 (49.49 Cent)&amp;lt;/strong&amp;gt; aus. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen einer &amp;lt;strong&amp;gt;reinen Duodezime 3/1&amp;lt;/strong&amp;gt; und drei Intervallen mit Frequenzverhältnis &amp;lt;strong&amp;gt;10/7 (617.49 Cent, Eulers Tritonus)&amp;lt;/strong&amp;gt;. Generator ist ein (typischerweise etwas hochtemperierter) Tritonus 10/7, und die Duodezime ist typischerweise (jedoch nicht notwendig) etwas herabtemperiert. Da die Duodezime oktavreduziert einer Quinte entspricht, führt also Übereinanderschachteln von drei Liese-Generatoren typischerweise zu einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Quinte, und eine Liese-Temperatur kann so auch als Variante einer mitteltönigen Temperatur gelten.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichstufige Tonsysteme, die Liese unterstützen, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/55edo"&amp;gt;55edo&amp;lt;/a&amp;gt; und (besonders gut) &amp;lt;a class="wiki_link" href="/74edo"&amp;gt;74edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; unterstützt Liese ebenfalls, jedoch mit einer hochtemperierten Quinte (somit nicht mitteltönig, sondern &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräisch&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Liese-Temperaturen sind wohlausgestattet mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; - unter anderem solche mit 7, 9, 11, 13, 15, 17 und 19 Elementen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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[todo Klangbeispiele]&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Liese-Temperaturen temperiert das Komma **1029/1000** (49.49 Cent) aus. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen einer **reinen Duodezime 3/1** und drei Intervallen mit Frequenzverhältnis **10/7 (617.49 Cent, Eulers Tritonus)**. Generator ist ein (typischerweise etwas hochtemperierter) Tritonus 10/7, und die Duodezime ist typischerweise (jedoch nicht notwendig) etwas herabtemperiert. Da die Duodezime oktavreduziert einer Quinte entspricht, führt also Übereinanderschachteln von drei Liese-Generatoren typischerweise zu einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Quinte, und eine Liese-Temperatur kann so auch als Variante einer mitteltönigen Temperatur gelten.

Gleichstufige Tonsysteme, die Liese unterstützen, sind unter anderem [[19edo]], [[55edo]] und (besonders gut) [[74edo]].
[[17edo]] unterstützt Liese ebenfalls, jedoch mit einer hochtemperierten Quinte (somit nicht mitteltönig, sondern [[Superpyth|superpythagoräisch]]).

Liese-Temperaturen sind wohlausgestattet mit [[MOS-Skalen]] - unter anderem solche mit 7, 9, 11, 13, 15, 17 und 19 Elementen.

[todo Klangbeispiele]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die Familie der Liese-Temperaturen temperiert das Komma &amp;lt;strong&amp;gt;1029/1000&amp;lt;/strong&amp;gt; (49.49 Cent) aus. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen einer &amp;lt;strong&amp;gt;reinen Duodezime 3/1&amp;lt;/strong&amp;gt; und drei Intervallen mit Frequenzverhältnis &amp;lt;strong&amp;gt;10/7 (617.49 Cent, Eulers Tritonus)&amp;lt;/strong&amp;gt;. Generator ist ein (typischerweise etwas hochtemperierter) Tritonus 10/7, und die Duodezime ist typischerweise (jedoch nicht notwendig) etwas herabtemperiert. Da die Duodezime oktavreduziert einer Quinte entspricht, führt also Übereinanderschachteln von drei Liese-Generatoren typischerweise zu einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Quinte, und eine Liese-Temperatur kann so auch als Variante einer mitteltönigen Temperatur gelten.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichstufige Tonsysteme, die Liese unterstützen, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/55edo"&amp;gt;55edo&amp;lt;/a&amp;gt; und (besonders gut) &amp;lt;a class="wiki_link" href="/74edo"&amp;gt;74edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; unterstützt Liese ebenfalls, jedoch mit einer hochtemperierten Quinte (somit nicht mitteltönig, sondern &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräisch&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Liese-Temperaturen sind wohlausgestattet mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; - unter anderem solche mit 7, 9, 11, 13, 15, 17 und 19 Elementen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[todo Klangbeispiele]&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Liese-Temperaturen temperiert das Komma **1029/1000** (49.49 Cent) aus. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen einer reinen Duodezime 3/1 und drei Intervallen mit Freqiuenzverhältnis 10/7 (617.49 Cent, Eulers Tritonus). Generator ist ein (typischerweise etwas hochtemperierter) Tritonus 10/7, und die Duodezime ist typischerweise (jedoch nicht notwendig) etwas herabtemperiert. Da die Duodezime oktavreduziert einer Quinte entspricht, führt also Übereinanderschachteln von drei Liese-Generatoren typischerweise zu einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Quinte, und eine Liese-Temperatur kann so auch als Variante einer mitteltönigen Temperatur gelten.

Gleichstufige Tonsysteme, die Liese unterstützen, sind unter anderem [[19edo]], [[55edo]] und (besonders gut) [[74edo]].
[[17edo]] unterstützt Liese ebenfalls, jedoch mit einer hochtemperierten Quinte (somit nicht mitteltönig, sondern [[Superpyth|superpythagoräisch]]).

Liese-Temperaturen sind wohlausgestattet mit [[MOS-Skalen]] - unter anderem solche mit 7, 9, 11, 13, 15, 17 und 19 Elementen.

[todo Klangbeispiele]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die Familie der Liese-Temperaturen temperiert das Komma &amp;lt;strong&amp;gt;1029/1000&amp;lt;/strong&amp;gt; (49.49 Cent) aus. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen einer reinen Duodezime 3/1 und drei Intervallen mit Freqiuenzverhältnis 10/7 (617.49 Cent, Eulers Tritonus). Generator ist ein (typischerweise etwas hochtemperierter) Tritonus 10/7, und die Duodezime ist typischerweise (jedoch nicht notwendig) etwas herabtemperiert. Da die Duodezime oktavreduziert einer Quinte entspricht, führt also Übereinanderschachteln von drei Liese-Generatoren typischerweise zu einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Quinte, und eine Liese-Temperatur kann so auch als Variante einer mitteltönigen Temperatur gelten.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichstufige Tonsysteme, die Liese unterstützen, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/55edo"&amp;gt;55edo&amp;lt;/a&amp;gt; und (besonders gut) &amp;lt;a class="wiki_link" href="/74edo"&amp;gt;74edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Liese-Temperaturen temperiert das Komma **1029/1000** (49.49 Cent) aus. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen einer reinen Duodezime 3/1 und drei Intervallen mit Freqiuenzverhältnis 10/7 (617.49 Cent, Eulers Tritonus). Generator ist ein (typischerweise etwas hochtemperierter) Tritonus 10/7, und die Duodezime umgekehrt ist typischerweise (jedoch nicht notwendig) etwas herabtemperiert. Da die Duodezime oktavreduziert einer Quinte entspricht, führt also Übereinanderschachteln von drei Liese-Generatoren typischerweise zu einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Quinte, und eine Liese-Temperatur kann so auch als Variante einer mitteltönigen Temperatur gelten.

Gleichstufige Tonsysteme, die Liese unterstützen, sind unter anderem [[19edo]], [[55edo]] und (besonders gut) [[74edo]].
[[17edo]] unterstützt Liese ebenfalls, jedoch mit einer hochtemperierten Quinte (somit nicht mitteltönig, sondern [[Superpyth|superpythagoräisch]]).

Liese-Temperaturen sind wohlausgestattet mit [[MOS-Skalen]] - unter anderem solche mit 7, 9, 11, 13, 15, 17 und 19 Elementen.

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Die Familie der Liese-Temperaturen temperiert das Komma &amp;lt;strong&amp;gt;1029/1000&amp;lt;/strong&amp;gt; (49.49 Cent) aus. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen einer reinen Duodezime 3/1 und drei Intervallen mit Freqiuenzverhältnis 10/7 (617.49 Cent, Eulers Tritonus). Generator ist ein (typischerweise etwas hochtemperierter) Tritonus 10/7, und die Duodezime umgekehrt ist typischerweise (jedoch nicht notwendig) etwas herabtemperiert. Da die Duodezime oktavreduziert einer Quinte entspricht, führt also Übereinanderschachteln von drei Liese-Generatoren typischerweise zu einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Quinte, und eine Liese-Temperatur kann so auch als Variante einer mitteltönigen Temperatur gelten.&amp;lt;br /&amp;gt;
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Liese-Temperaturen (benannt nach Tomasz Liese) temperiert das Komma '''1029/1000 (49.49 Cent)''' aus. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen einer '''reinen Duodezime 3/1''' und drei Intervallen mit Frequenzverhältnis '''10/7 (617.49 Cent, Eulers Tritonus, grosser Tritonus)'''. Generator ist ein (typischerweise noch etwas hochtemperierter) grosser Tritonus 10/7, und die Duodezime ist typischerweise (jedoch nicht notwendig) etwas herabtemperiert. Da die Duodezime oktavreduziert einer Quinte entspricht, führt also Übereinanderschichten von drei Liese-Generatoren typischerweise zu einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Quinte, und eine Liese-Temperatur kann so auch als Variante einer mitteltönigen Temperatur gelten.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Tonsysteme, die Liese unterstützen, sind unter anderem [[19edo|19edo]], [[36edo|36edo]], [[55edo|55edo]] und (besonders gut) [[74edo|74edo]].

[[17edo|17edo]] unterstützt Liese ebenfalls, jedoch mit einer hochtemperierten Quinte (somit nicht mitteltönig, sondern [[Superpyth|superpythagoräisch]]).

Liese-Temperaturen sind wohlausgestattet mit [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] - unter anderem solche mit 7, 9, 11, 13, 15, 17 und 19 Elementen.

Die MOS-Skalen bis zu 17 Elementen haben dabei alle eine ähnliche Form, zunächst gegeben durch einen Generatorschritt, der die Oktave in zwei annähernd gleich grosse Teile teilt, und das Intervall aus zwei Generatorschritten, welches oktavreduziert eine Art kleiner Halbton ist und bei allen MOS-Skalen mit bis zu 17 Elementen den kleineren Schritt bildet. Alle MOS-Skalen bis zu 17 Elementen verfügen über zwei grosse Schritte (variabler Grösse) und eine entsprechende Menge kleiner Schritte der Grösse zwei Generatoren.

Die Verwandtschaft zur mitteltönigen temperaturfamilie manifestiert sich so, dass eine Liese-Skala typischerweise als Vereinigung von drei mitteltönigen Skalen gesehen werden kann. Die fünfzehntönige Liese-Skala beispielsweise besteht aus drei klassischen pentatonischen Skalen, die neunzehntönige aus einer klassischen diatonischen Skala und zwei sechselementigen Teilmengen einer solchen. In 36edo ist dabei jede dieser Teilskalen für sich sogar in der Standardstimmung [[12edo|12edo]].

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Liese-Temperaturen (benannt nach Tomasz Liese) temperiert das Komma '''1029/1000 (49.49 Cent)''' aus. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen einer '''reinen Duodezime 3/1''' und drei Intervallen mit Frequenzverhältnis '''10/7 (617.49 Cent, Eulers Tritonus, grosser Tritonus)'''. Generator ist ein (typischerweise noch etwas hochtemperierter) grosser Tritonus 10/7, und die Duodezime ist typischerweise (jedoch nicht notwendig) etwas herabtemperiert. Da die Duodezime oktavreduziert einer Quinte entspricht, führt also Übereinanderschichten von drei Liese-Generatoren typischerweise zu einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Quinte, und eine Liese-Temperatur kann so auch als Variante einer mitteltönigen Temperatur gelten.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Tonsysteme, die Liese unterstützen, sind unter anderem [[19edo|19edo]], [[36edo|36edo]], [[55edo|55edo]] und (besonders gut) [[74edo|74edo]].

[[17edo|17edo]] unterstützt Liese ebenfalls, jedoch mit einer hochtemperierten Quinte (somit nicht mitteltönig, sondern [[Superpyth|superpythagoräisch]]).

Liese-Temperaturen sind wohlausgestattet mit [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] - unter anderem solche mit 7, 9, 11, 13, 15, 17 und 19 Elementen.

Die MOS-Skalen bis zu 17 Elementen haben dabei alle eine ähnliche Form, zunächst gegeben durch einen Generatorschritt, der die Oktave in zwei annähernd gleich grosse Teile teilt, und das Intervall aus zwei Generatorschritten, welches oktavreduziert eine Art kleiner Halbton ist und bei allen MOS-Skalen mit bis zu 17 Elementen den kleineren Schritt bildet. Alle MOS-Skalen bis zu 17 Elementen verfügen über zwei grosse Schritte (variabler Grösse) und eine entsprechende Menge kleiner Schritte der Grösse zwei Generatoren.

Die Verwandtschaft zur mitteltönigen temperaturfamilie manifestiert sich so, dass eine Liese-Skala typischerweise als Vereinigung von drei mitteltönigen Skalen gesehen werden kann. Die fünfzehntönige Liese-Skala beispielsweise besteht aus drei klassischen pentatonischen Skalen, die neunzehntönige aus einer klassischen diatonischen Skala und zwei sechselementigen Teilmengen einer solchen. In 36edo ist dabei jede dieser Teilskalen für sich sogar in der Standardstimmung [[12edo|12edo]].

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Liese-Temperaturen (benannt nach Tomasz Liese) temperiert das Komma '''1029/1000 (49.49 Cent)''' aus. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen einer '''reinen Duodezime 3/1''' und drei Intervallen mit Frequenzverhältnis '''10/7 (617.49 Cent, Eulers Tritonus, grosser Tritonus)'''. Generator ist ein (typischerweise noch etwas hochtemperierter) grosser Tritonus 10/7, und die Duodezime ist typischerweise (jedoch nicht notwendig) etwas herabtemperiert. Da die Duodezime oktavreduziert einer Quinte entspricht, führt also Übereinanderschichten von drei Liese-Generatoren typischerweise zu einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Quinte, und eine Liese-Temperatur kann so auch als Variante einer mitteltönigen Temperatur gelten.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Tonsysteme, die Liese unterstützen, sind unter anderem [[19-EDO]], [[36-EDO]], [[55-EDO]] und (besonders gut) [[74-EDO]].

[[17-EDO]] unterstützt Liese ebenfalls, jedoch mit einer hochtemperierten Quinte (somit nicht mitteltönig, sondern [[Superpyth|superpythagoräisch]]).

Liese-Temperaturen sind wohlausgestattet mit [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] - unter anderem solche mit 7, 9, 11, 13, 15, 17 und 19 Elementen.

Die MOS-Skalen bis zu 17 Elementen haben dabei alle eine ähnliche Form, zunächst gegeben durch einen Generatorschritt, der die Oktave in zwei annähernd gleich grosse Teile teilt, und das Intervall aus zwei Generatorschritten, welches oktavreduziert eine Art kleiner Halbton ist und bei allen MOS-Skalen mit bis zu 17 Elementen den kleineren Schritt bildet. Alle MOS-Skalen bis zu 17 Elementen verfügen über zwei grosse Schritte (variabler Grösse) und eine entsprechende Menge kleiner Schritte der Grösse zwei Generatoren.

Die Verwandtschaft zur mitteltönigen temperaturfamilie manifestiert sich so, dass eine Liese-Skala typischerweise als Vereinigung von drei mitteltönigen Skalen gesehen werden kann. Die fünfzehntönige Liese-Skala beispielsweise besteht aus drei klassischen pentatonischen Skalen, die neunzehntönige aus einer klassischen diatonischen Skala und zwei sechselementigen Teilmengen einer solchen. In 36-EDO ist dabei jede dieser Teilskalen für sich sogar in der Standardstimmung [[12-EDO]].

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Liese-Temperatur (benannt nach Tomasz Liese) ist definiert auf dem 7-Limit-[[Intervallraum]] durch Austemperieren der Kommas [[81/80]] und [[1029/1000]]. Ersteres ist das bekannte syntonische Komma - Liese gehört also zur Familie der [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperaturen. Letzteres ist der Unterschied zwischen einer '''reinen Duodezime 3/1''' und drei Intervallen mit Frequenzverhältnis '''10/7 (617.49 Cent, Eulers Tritonus, grosser Tritonus)'''.

Generator bei Liese ist nicht wie sonst bei mitteltönigen Temperaturen eine Quinte, sondern ein (typischerweise etwas hochtemperierter) grosser Tritonus 10/7, wobei drei Generatorschritte oktavbereinigt zur mitteltönigen Quinte führen.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Tonsysteme, die Liese unterstützen, sind unter anderem [[19-EDO]], [[36-EDO]], [[55-EDO]] und (besonders gut) [[74-EDO]].

[[17-EDO]] unterstützt Liese ebenfalls, jedoch mit einer hochtemperierten Quinte (somit nicht mitteltönig, sondern [[Superpyth|superpythagoräisch]]).

Liese-Temperaturen sind wohlausgestattet mit [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] - unter anderem solche mit 7, 9, 11, 13, 15, 17 und 19 Elementen.

Die MOS-Skalen bis zu 17 Elementen haben dabei alle eine ähnliche Form, zunächst gegeben durch einen Generatorschritt, der die Oktave in zwei annähernd gleich grosse Teile teilt, und das Intervall aus zwei Generatorschritten, welches oktavreduziert eine Art kleiner Halbton ist und bei allen MOS-Skalen mit bis zu 17 Elementen den kleineren Schritt bildet. Alle MOS-Skalen bis zu 17 Elementen verfügen über zwei grosse Schritte (variabler Grösse) und eine entsprechende Menge kleiner Schritte der Grösse zwei Generatoren.

Die Verwandtschaft zur mitteltönigen temperaturfamilie manifestiert sich so, dass eine Liese-Skala typischerweise als Vereinigung von drei mitteltönigen Skalen gesehen werden kann. Die fünfzehntönige Liese-Skala beispielsweise besteht aus drei klassischen pentatonischen Skalen, die neunzehntönige aus einer klassischen diatonischen Skala und zwei sechselementigen Teilmengen einer solchen. In 36-EDO ist dabei jede dieser Teilskalen für sich sogar in der Standardstimmung [[12-EDO]].

[todo Klangbeispiele, weitere Eigenschaften]  [[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Liese-Temperatur (benannt nach Tomasz Liese) ist definiert auf dem 7-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] durch Austemperieren der Kommas [[81/80]] und [[1029/1000]]. Ersteres ist das bekannte syntonische Komma - Liese gehört also zur Familie der [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperaturen. Letzteres ist der Unterschied zwischen einer '''reinen Duodezime 3/1''' und drei Intervallen mit Frequenzverhältnis '''10/7 (617.49 Cent, Eulers Tritonus, grosser Tritonus)'''.

Generator bei Liese ist nicht wie sonst bei mitteltönigen Temperaturen eine Quinte, sondern ein (typischerweise etwas hochtemperierter) grosser Tritonus 10/7, wobei drei Generatorschritte oktavbereinigt zur mitteltönigen Quinte führen.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Tonsysteme, die Liese unterstützen, sind unter anderem [[19-EDO]], [[36-EDO]], [[55-EDO]] und (besonders gut) [[74-EDO]].

[[17-EDO]] unterstützt Liese ebenfalls, jedoch mit einer hochtemperierten Quinte (somit nicht mitteltönig, sondern [[Superpyth|superpythagoräisch]]).

Liese-Temperaturen sind wohlausgestattet mit [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] - unter anderem solche mit 7, 9, 11, 13, 15, 17 und 19 Elementen.

Die MOS-Skalen bis zu 17 Elementen haben dabei alle eine ähnliche Form, zunächst gegeben durch einen Generatorschritt, der die Oktave in zwei annähernd gleich grosse Teile teilt, und das Intervall aus zwei Generatorschritten, welches oktavreduziert eine Art kleiner Halbton ist und bei allen MOS-Skalen mit bis zu 17 Elementen den kleineren Schritt bildet. Alle MOS-Skalen bis zu 17 Elementen verfügen über zwei grosse Schritte (variabler Grösse) und eine entsprechende Menge kleiner Schritte der Grösse zwei Generatoren.

Die Verwandtschaft zur mitteltönigen temperaturfamilie manifestiert sich so, dass eine Liese-Skala typischerweise als Vereinigung von drei mitteltönigen Skalen gesehen werden kann. Die fünfzehntönige Liese-Skala beispielsweise besteht aus drei klassischen pentatonischen Skalen, die neunzehntönige aus einer klassischen diatonischen Skala und zwei sechselementigen Teilmengen einer solchen. In 36-EDO ist dabei jede dieser Teilskalen für sich sogar in der Standardstimmung [[12-EDO]].

[todo Klangbeispiele, weitere Eigenschaften]  [[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Liese-Temperatur (benannt nach Tomasz Liese) ist definiert auf dem 7-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] durch Austemperieren der Kommas [[81/80]] und [[1029/1000]]. Ersteres ist das bekannte syntonische Komma - Liese gehört also zur Familie der [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperaturen. Letzteres ist der Unterschied zwischen einer '''reinen Duodezime 3/1''' und drei Intervallen mit Frequenzverhältnis '''10/7 (617.49 Cent, Eulers Tritonus, grosser Tritonus)'''.

Generator bei Liese ist nicht wie sonst bei mitteltönigen Temperaturen eine Quinte, sondern ein (typischerweise etwas hochtemperierter) grosser Tritonus 10/7, wobei drei Generatorschritte oktavbereinigt zur mitteltönigen Quinte führen.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Tonsysteme, die Liese unterstützen, sind unter anderem [[19-EDO]], [[36-EDO]], [[55-EDO]] und (besonders gut) [[74-EDO]].

Liese-Temperaturen sind wohlausgestattet mit [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] - unter anderem solche mit 7, 9, 11, 13, 15, 17 und 19 Elementen.

Die MOS-Skalen bis zu 17 Elementen haben dabei alle eine ähnliche Form, zunächst gegeben durch einen Generatorschritt, der die Oktave in zwei annähernd gleich grosse Teile teilt, und das Intervall aus zwei Generatorschritten, welches oktavreduziert eine Art kleiner Halbton ist und bei allen MOS-Skalen mit bis zu 17 Elementen den kleineren Schritt bildet. Alle MOS-Skalen bis zu 17 Elementen verfügen über zwei grosse Schritte (variabler Grösse) und eine entsprechende Menge kleiner Schritte der Grösse zwei Generatoren.

Die Verwandtschaft zur mitteltönigen temperaturfamilie manifestiert sich so, dass eine Liese-Skala typischerweise als Vereinigung von drei mitteltönigen Skalen gesehen werden kann. Die fünfzehntönige Liese-Skala beispielsweise besteht aus drei klassischen pentatonischen Skalen, die neunzehntönige aus einer klassischen diatonischen Skala und zwei sechselementigen Teilmengen einer solchen. In 36-EDO ist dabei jede dieser Teilskalen für sich sogar in der Standardstimmung [[12-EDO]].

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

[[Mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die Liese-Temperatur (benannt nach Tomasz Liese) ist definiert auf dem 7-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] durch Austemperieren der Kommas [[81/80]] und [[1029/1000]]. Ersteres ist das bekannte syntonische Komma - Liese gehört also zur Familie der [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperaturen. Letzteres ist der Unterschied zwischen einer '''reinen Duodezime 3/1''' und drei Intervallen mit Frequenzverhältnis '''10/7 (617.49 Cent, Eulers Tritonus, grosser Tritonus)'''.

Generator bei Liese ist nicht wie sonst bei mitteltönigen Temperaturen eine Quinte, sondern ein (typischerweise etwas hochtemperierter) grosser Tritonus 10/7, wobei drei Generatorschritte oktavbereinigt zur mitteltönigen Quinte führen.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Tonsysteme, die Liese unterstützen, sind unter anderem [[19-EDO]], [[36-EDO]], [[55-EDO]] und (besonders gut) [[74-EDO]].

Liese-Temperaturen sind wohlausgestattet mit [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] - unter anderem solche mit 7, 9, 11, 13, 15, 17 und 19 Elementen.

Die MOS-Skalen bis zu 17 Elementen haben dabei alle eine ähnliche Form, zunächst gegeben durch einen Generatorschritt, der die Oktave in zwei annähernd gleich grosse Teile teilt, und das Intervall aus zwei Generatorschritten, welches oktavreduziert eine Art kleiner Halbton ist und bei allen MOS-Skalen mit bis zu 17 Elementen den kleineren Schritt bildet. Alle MOS-Skalen bis zu 17 Elementen verfügen über zwei grosse Schritte (variabler Grösse) und eine entsprechende Menge kleiner Schritte der Grösse zwei Generatoren.

Die Verwandtschaft zur mitteltönigen temperaturfamilie manifestiert sich so, dass eine Liese-Skala typischerweise als Vereinigung von drei mitteltönigen Skalen gesehen werden kann. Die fünfzehntönige Liese-Skala beispielsweise besteht aus drei klassischen pentatonischen Skalen, die neunzehntönige aus einer klassischen diatonischen Skala und zwei sechselementigen Teilmengen einer solchen. In 36-EDO ist dabei jede dieser Teilskalen für sich sogar in der Standardstimmung [[12-EDO]].

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

[[Mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die Liese-Temperatur (benannt nach Tomasz Liese) ist definiert auf dem 7-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] durch Austemperieren der Kommas [[81/80]] und [[1029/1000]]. Ersteres ist das bekannte syntonische Komma - Liese gehört also zur Familie der [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperaturen. Letzteres ist der Unterschied zwischen einer '''reinen Duodezime 3/1''' und drei Intervallen mit Frequenzverhältnis '''10/7 (617.49 Cent, Eulers Tritonus, grosser Tritonus)'''.

Generator bei Liese ist nicht wie sonst bei mitteltönigen Temperaturen eine Quinte, sondern ein (typischerweise etwas hochtemperierter) grosser Tritonus 10/7, wobei drei Generatorschritte oktavbereinigt zur mitteltönigen Quinte führen.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Tonsysteme, die Liese unterstützen, sind unter anderem [[19-EDO]], [[36-EDO]], [[55-EDO]] und (besonders gut) [[74-EDO]].

Liese-Temperaturen sind wohlausgestattet mit [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] - unter anderem solche mit 7, 9, 11, 13, 15, 17 und 19 Elementen.

Die MOS-Skalen bis zu 17 Elementen haben dabei alle eine ähnliche Form, zunächst gegeben durch einen Generatorschritt, der die Oktave in zwei annähernd gleich grosse Teile teilt, und das Intervall aus zwei Generatorschritten, welches oktavreduziert eine Art kleiner Halbton ist und bei allen MOS-Skalen mit bis zu 17 Elementen den kleineren Schritt bildet. Alle MOS-Skalen bis zu 17 Elementen verfügen über zwei grosse Schritte (variabler Grösse) und eine entsprechende Menge kleiner Schritte der Grösse zwei Generatoren.

Die Verwandtschaft zur mitteltönigen Temperaturfamilie manifestiert sich so, dass eine Liese-Skala typischerweise als Vereinigung von drei mitteltönigen Skalen gesehen werden kann. Die fünfzehntönige Liese-Skala beispielsweise besteht aus drei klassischen pentatonischen Skalen, die neunzehntönige aus einer klassischen diatonischen Skala und zwei sechselementigen Teilmengen einer solchen. In 36-EDO ist dabei jede dieser Teilskalen für sich sogar in der Standardstimmung [[12-EDO]].

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

[[Mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die Liese-Temperatur (benannt nach Tomasz Liese) ist definiert auf dem 7-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] durch Austemperieren der Kommas [[81/80]] und [[1029/1000]]. Ersteres ist das bekannte syntonische Komma - Liese gehört also zur Familie der [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperaturen. Letzteres ist der Unterschied zwischen einer '''reinen Duodezime 3/1''' und drei Intervallen mit Frequenzverhältnis '''10/7 (617.49 Cent, Eulers Tritonus, grosser Tritonus)'''.

Generator bei Liese ist nicht wie sonst bei mitteltönigen Temperaturen eine Quinte, sondern ein (typischerweise etwas hochtemperierter) grosser Tritonus 10/7, wobei drei Generatorschritte oktavbereinigt zur mitteltönigen Quinte führen.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Tonsysteme, die Liese unterstützen, sind unter anderem [[19-EDO]], [[36-EDO]], [[55-EDO]] und (besonders gut) [[74-EDO]].

Liese-Temperaturen sind wohlausgestattet mit [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] - unter anderem solche mit 7, 9, 11, 13, 15, 17 und 19 Elementen.

Die MOS-Skalen bis zu 17 Elementen haben dabei alle eine ähnliche Form, zunächst gegeben durch einen Generatorschritt, der die Oktave in zwei annähernd gleich grosse Teile teilt, und das Intervall aus zwei Generatorschritten, welches oktavreduziert eine Art kleiner Halbton ist und bei allen MOS-Skalen mit bis zu 17 Elementen den kleineren Schritt bildet. Alle MOS-Skalen bis zu 17 Elementen verfügen über zwei grosse Schritte (variabler Grösse) und eine entsprechende Menge kleiner Schritte der Grösse zwei Generatoren.

Die Verwandtschaft zur mitteltönigen Temperaturfamilie manifestiert sich so, dass eine Liese-Skala typischerweise als Vereinigung von drei mitteltönigen Skalen gesehen werden kann. Die fünfzehntönige Liese-Skala beispielsweise besteht aus drei klassischen pentatonischen Skalen, die neunzehntönige aus einer klassischen diatonischen Skala und zwei sechselementigen Teilmengen einer solchen. In 36-EDO ist dabei jede dieser Teilskalen für sich sogar in der Standardstimmung [[12-EDO]].

[[Datei:Liese15-19edo.mp3]]

Fünfzehntönige Liese-Skala in 19-edo, bestehend aus 3 klassischen pentatonischen Skalen


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Die Begriffe P-(Prim-)Limit und das Verwandte, jedoch nicht zu verwechselnde [[Odd-Limit]] gehen zurück auf [[Harry_Partch]].

Für eine gegebene Primzahl P und eine beliebige rationale Zahl r gilt: r hat die P-(Prim-)Limit-Eigenschaft, wenn die [[Primfaktorzerlegung]] von r nur Primzahlen kleiner oder gleich P enthält.

Ein musikalische Intervall in [[Reine_Stimmung|reiner Stimmung]] ist P-Limit, wenn sein Frequenzverhältnis P-Limit ist. Beispielsweise  sind die Intervalle 3/2 (reine Quinte), 4/3 (reine Quarte) und 9/8 ( großer Ganzton) 3-Prim-Limit, 5/4 (reine große Terz) und 10/9 5-Limit, die Naturseptime 7/4 hingegen 7-Limit.</text>
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Die Begriffe P-(Prim-)Limit und das verwandte, jedoch nicht zu verwechselnde [[Odd-Limit]] gehen zurück auf [[Harry_Partch]].

Für eine gegebene Primzahl P und eine beliebige rationale Zahl r gilt: r hat die P-(Prim-)Limit-Eigenschaft, wenn die [[Primfaktorzerlegung]] von r nur Primzahlen kleiner oder gleich P enthält.

Ein musikalische Intervall in [[Reine_Stimmung|reiner Stimmung]] ist P-Limit, wenn sein Frequenzverhältnis P-Limit ist. Beispielsweise  sind die Intervalle 3/2 (reine Quinte), 4/3 (reine Quarte) und 9/8 ( großer Ganzton) 3-Prim-Limit, 5/4 (reine große Terz) und 10/9 5-Limit, die Naturseptime 7/4 hingegen 7-Limit.</text>
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Die Begriffe P-(Prim-)Limit und das verwandte, jedoch nicht zu verwechselnde [[Odd-Limit]] gehen zurück auf [[Harry_Partch|Harry Partch]].

Für eine gegebene Primzahl P und eine beliebige rationale Zahl r gilt: r hat die P-(Prim-)Limit-Eigenschaft, wenn die [[Primfaktorzerlegung]] von r nur Primzahlen kleiner oder gleich P enthält.

Ein musikalische Intervall in [[Reine_Stimmung|reiner Stimmung]] ist P-Limit, wenn sein Frequenzverhältnis P-Limit ist. Beispielsweise  sind die Intervalle 3/2 (reine Quinte), 4/3 (reine Quarte) und 9/8 ( großer Ganzton) 3-Prim-Limit, 5/4 (reine große Terz) und 10/9 5-Limit, die Naturseptime 7/4 hingegen 7-Limit.</text>
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Die Begriffe P-(Prim-)Limit und das verwandte, jedoch nicht zu verwechselnde [[Odd-Limit]] gehen zurück auf [[Harry_Partch|Harry Partch]].

Für eine gegebene Primzahl P und eine beliebige rationale Zahl r gilt: r hat die P-(Prim-)Limit-Eigenschaft, wenn die [[Primfaktorzerlegung]] von r nur Primzahlen kleiner oder gleich P enthält.

Ein musikalische Intervall in [[Reine_Stimmung|reiner Stimmung]] ist P-Limit, wenn sein Frequenzverhältnis P-Limit ist. Beispielsweise  sind die Intervalle 3/2 (reine Quinte), 4/3 (reine Quarte) und 9/8 ( großer Ganzton) 3-Prim-Limit, 5/4 (reine große Terz) und 10/9 5-P-Limit, die Naturseptime 7/4 hingegen 7-P-Limit.</text>
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Die Begriffe P-(Prim-)Limit und das verwandte, jedoch nicht zu verwechselnde [[Odd-Limit]] gehen zurück auf [[Harry_Partch|Harry Partch]].

Für eine gegebene Primzahl P und eine beliebige rationale Zahl r gilt: r hat die P-(Prim-)Limit-Eigenschaft, wenn die [[Primfaktorzerlegung]] von r nur Primzahlen kleiner oder gleich P enthält.

Ein musikalische Intervall in [[Reine_Stimmung|reiner Stimmung]] ist P-Limit, wenn sein Frequenzverhältnis P-Limit ist. Beispielsweise  sind die Intervalle 3/2 (reine Quinte), 4/3 (reine Quarte) und 9/8 ( großer Ganzton) 3-Prim-Limit, 5/4 (reine große Terz) und 10/9 5-P-Limit, die Naturseptime 7/4 hingegen 7-P-Limit.

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Die Begriffe P-(Prim-)Limit und das verwandte, jedoch nicht zu verwechselnde [[Odd-Limit]] gehen zurück auf [[Harry_Partch|Harry Partch]].

Für eine gegebene Primzahl P und eine beliebige rationale Zahl r gilt: r hat die p-(Prim-)Limit-Eigenschaft, wenn die [[Primfaktorzerlegung]] von r nur Primzahlen kleiner oder gleich p enthält.

Ein musikalische Intervall in [[Reine_Stimmung|reiner Stimmung]] ist p-Limit, wenn sein Frequenzverhältnis p-Limit ist. Beispielsweise  sind die Intervalle 3/2 (reine Quinte), 4/3 (reine Quarte) und 9/8 (großer Ganzton) 3-Prim-Limit, 5/4 (reine große Terz) und 10/9 5-P-Limit, die Naturseptime 7/4 hingegen 7-P-Limit.

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Die Begriffe P-(Prim-)Limit und das verwandte, jedoch nicht zu verwechselnde [[Odd-Limit]] gehen zurück auf [[Harry_Partch|Harry Partch]].

Für eine gegebene Primzahl P und eine beliebige rationale Zahl r gilt: r hat die p-(Prim-)Limit-Eigenschaft, wenn die [[Primfaktorzerlegung]] von r nur Primzahlen kleiner oder gleich p enthält.

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Die Begriffe P-(Prim-)Limit und das verwandte, jedoch nicht zu verwechselnde [[Odd-Limit]] gehen zurück auf [[Harry_Partch|Harry Partch]].

Für eine gegebene Primzahl P und eine beliebige rationale Zahl r gilt: r hat die p-(Prim-)Limit-Eigenschaft, wenn die [[Primfaktorzerlegung]] von r nur Primzahlen kleiner oder gleich p enthält.

Ein musikalisches Intervall in [[Reine_Stimmung|reiner Stimmung]] ist p-Limit, wenn sein Frequenzverhältnis p-Limit ist. Beispielsweise  sind die Intervalle 3/2 (reine Quinte), 4/3 (reine Quarte) und 9/8 (großer Ganzton) 3-Prim-Limit, 5/4 (reine große Terz) und 10/9 (kleiner Ganzton) 5-P-Limit, die Naturseptime 7/4 hingegen 7-P-Limit.

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Die Begriffe P-(Prim-)Limit und das verwandte, jedoch nicht zu verwechselnde [[Odd-Limit]] gehen zurück auf [[Harry_Partch|Harry Partch]].

Für eine gegebene Primzahl P und eine beliebige rationale Zahl r gilt: r hat die p-(Prim-)Limit-Eigenschaft, wenn die [[Primfaktorzerlegung]] von r nur Primzahlen kleiner oder gleich p enthält.

Ein musikalisches Intervall in [[Reine_Stimmung|reiner Stimmung]] ist p-Limit, wenn sein Frequenzverhältnis p-Limit ist. Beispielsweise  sind die Intervalle 3/2 (reine Quinte), 4/3 (reine Quarte) und 9/8 (großer Ganzton) 3-Prim-Limit, 5/4 (reine große Terz) und 10/9 (kleiner Ganzton) 5-P-Limit, die Naturseptime 7/4 hingegen 7-P-Limit.

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Die Begriffe P-(Prim-)Limit und das verwandte, jedoch nicht zu verwechselnde [[Odd-Limit]] gehen zurück auf [[Harry_Partch|Harry Partch]].

Für eine gegebene Primzahl P und eine beliebige rationale Zahl r gilt: r hat die p-(Prim-)Limit-Eigenschaft, wenn die [[Primfaktorzerlegung]] von r nur Primzahlen kleiner oder gleich p enthält.

Ein musikalisches Intervall in [[Reine_Stimmung|reiner Stimmung]] ist p-Limit, wenn sein Frequenzverhältnis p-Limit ist. Beispielsweise  sind die Intervalle 3/2 (reine Quinte), 4/3 (reine Quarte) und 9/8 (großer Ganzton) 3-Prim-Limit, 5/4 (reine große Terz) und 10/9 (kleiner Ganzton) 5-P-Limit, die Naturseptime 7/4 hingegen 7-P-Limit.

Die Gesamtmenge aller P-Limit-Intervalle zu einer Primzahl p bildet den [[Intervallraum]] zu den Primzahlen bis p. Die Menge aller P-Limit-Intervalle ist unendlich (dies im Gegensatz zum [[Odd-Limit]]).

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Die Begriffe P-(Prim-)Limit und das verwandte, jedoch nicht zu verwechselnde [[Odd-Limit]] gehen zurück auf [[Harry_Partch|Harry Partch]].

Für eine gegebene Primzahl P und eine beliebige rationale Zahl r gilt: r hat die p-(Prim-)Limit-Eigenschaft, wenn die [[Primfaktorzerlegung]] von r nur Primzahlen kleiner oder gleich p enthält.

Ein musikalisches Intervall in [[Reine_Stimmung|reiner Stimmung]] ist p-Limit, wenn sein Frequenzverhältnis p-Limit ist. Beispielsweise  sind die Intervalle 3/2 (reine Quinte), 4/3 (reine Quarte) und 9/8 (großer Ganzton) 3-Prim-Limit, 5/4 (reine große Terz) und 10/9 (kleiner Ganzton) 5-P-Limit, die Naturseptime 7/4 hingegen 7-P-Limit.

Die Gesamtmenge aller P-Limit-Intervalle zu einer Primzahl p bildet den [[Intervallraum]] zu den Primzahlen bis p. Die Menge aller P-Limit-Intervalle ist unendlich (dies im Gegensatz zum [[Odd-Limit]]).

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Die Begriffe '''P-(Prim-)Limit''' und das verwandte, jedoch nicht zu verwechselnde [[Odd-Limit]] gehen zurück auf [[Harry_Partch|Harry Partch]].

Für eine gegebene Primzahl P und eine beliebige rationale Zahl r gilt: r hat die p-(Prim-)Limit-Eigenschaft, wenn die [[Primfaktorzerlegung]] von r nur Primzahlen kleiner oder gleich p enthält.

Ein musikalisches Intervall in [[Reine_Stimmung|reiner Stimmung]] ist p-Limit, wenn sein Frequenzverhältnis p-Limit ist. Beispielsweise  sind die Intervalle 3/2 (reine Quinte), 4/3 (reine Quarte) und 9/8 (großer Ganzton) 3-Prim-Limit, 5/4 (reine große Terz) und 10/9 (kleiner Ganzton) 5-P-Limit, die Naturseptime 7/4 hingegen 7-P-Limit.

Die Gesamtmenge aller P-Limit-Intervalle zu einer Primzahl p bildet den [[Intervallraum]] zu den Primzahlen bis p. Die Menge aller P-Limit-Intervalle ist unendlich (dies im Gegensatz zum [[Odd-Limit]]).

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Die Begriffe '''P-(Prim-)Limit''' und das verwandte, jedoch nicht zu verwechselnde [[Odd-Limit]] gehen zurück auf [[Harry_Partch|Harry Partch]].

Für eine gegebene Primzahl P und eine beliebige rationale Zahl r gilt: r hat die p-(Prim-)Limit-Eigenschaft, wenn die [[Primfaktorzerlegung]] von r nur Primzahlen kleiner oder gleich p enthält.

Ein musikalisches Intervall in [[Reine_Stimmung|reiner Stimmung]] ist p-Limit, wenn sein Frequenzverhältnis p-Limit ist. Beispielsweise  sind die Intervalle 3/2 (reine Quinte), 4/3 (reine Quarte) und 9/8 (großer Ganzton) 3-Prim-Limit, [[Naturterz|5/4 (reine große Terz)]] und 10/9 (kleiner Ganzton) 5-P-Limit, die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] hingegen 7-P-Limit.

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Die Begriffe '''P-(Prim-)Limit''' und das verwandte, jedoch nicht zu verwechselnde [[Odd-Limit]] gehen zurück auf [[Harry_Partch|Harry Partch]].

Für eine gegebene Primzahl P und eine beliebige rationale Zahl r gilt: r hat die p-(Prim-)Limit-Eigenschaft, wenn die [[Primfaktorzerlegung]] von r nur Primzahlen kleiner oder gleich p enthält.

Ein musikalisches Intervall in [[Reine_Stimmung|reiner Stimmung]] ist p-Limit, wenn sein Frequenzverhältnis p-Limit ist. Beispielsweise  sind die Intervalle 3/2 (reine Quinte), 4/3 (reine Quarte) und 9/8 (großer Ganzton) 3-Prim-Limit, [[Naturterz|5/4 (reine große Terz)]] und 10/9 (kleiner Ganzton) 5-P-Limit, die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] hingegen 7-P-Limit.

Die Gesamtmenge aller P-Limit-Intervalle zu einer Primzahl p bildet den [[Intervallraum]] zu den Primzahlen bis p. Die Menge aller P-Limit-Intervalle ist unendlich (dies im Gegensatz zum [[Odd-Limit]]).

== Siehe auch ==
* [[Untergruppe der reinen Stimmung]]
[[Category:Reine Stimmung]][[Category:Temperament]]</text>
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Das **Logo** für dieses [[Wiki]] wurde aus dem [[xenharmonic:home|xenharmonic wiki]] übernommen. Eine hochauflösende Version dieser Grafik ist [[http://xenharmonic.wikispaces.com/file/detail/panequalc.png|dort unter panequalc.png]] zu finden.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Logo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Das &amp;lt;strong&amp;gt;Logo&amp;lt;/strong&amp;gt; für dieses &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Wiki"&amp;gt;Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; wurde aus dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/home"&amp;gt;xenharmonic wiki&amp;lt;/a&amp;gt; übernommen. Eine hochauflösende Version dieser Grafik ist &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/detail/panequalc.png" rel="nofollow"&amp;gt;dort unter panequalc.png&amp;lt;/a&amp;gt; zu finden.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Logo&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Das Logo für diese Wiki wurde aus dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/home"&amp;gt;xenharmonic wiki&amp;lt;/a&amp;gt; übernommen. Eine hochauflösende Version dieser Grafik ist &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/detail/panequalc.png" rel="nofollow"&amp;gt;dort unter panequalc.png&amp;lt;/a&amp;gt; zu finden.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Mike Battaglia</username>
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      <comment>Textersetzung - „(\[\[\:(dev|es|purdal|de|en):[^[:space:]\|]*) (.*])“ durch „$1|$3“</comment>
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      <text bytes="255" sha1="3zffpl7zcdwocimfljw1aq5m7fcsudn" xml:space="preserve">[[File:logo.png|alt=logo.png|logo.png]]

Das '''Logo''' für dieses [[Wiki|Wiki]] wurde aus dem [[:en:home|xenharmonic wiki]] übernommen. Eine hochauflösende Version dieser Grafik ist [[:en:file/detail/panequalc.png|dort unter panequalc.png]] zu finden.</text>
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    <title>Lucy-Stimmung</title>
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      <text bytes="1080" sha1="qv056r2rgnp359cwy93wwtj7b8xjyn7" xml:space="preserve">English: [[:en:Lucy_Tuning Lucy Tuning]]

Die Lucy-Stimmung ist benannt nach [[Charles_Lucy|Charles Lucy]] (der nicht der Erfinder ist, aber ihr energischster Fördererer). Sie basiert auf der Zahl pi.

Wenn man eine Oktave in 3 gleiche Teile teilt, erhält man bekanntlich die große Terz von [[12edo|12edo]], in der Größe 400 [[Cent|Cent]]. Wenn man dies anstatt mit 3 mit pi (also 3.14159265...) durchführt, erhält man dagegen ein Intervall der Grösse 381.972.. Cent, das zwischen der reinen großen Terz (386.314.. Cent) und der großen Terz der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Stimmung liegt (welche 379.145 Cent groß ist) und fast identisch ist mit der großen Terz der 3/10-Komma mitteltönigen Stimmung ist (382.012.. Cent).

Da es sich bei der Lucy-Stimmung um eine [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmungen handelt, erhält man den Quint-[[Generator|Generator]], indem man die große Terz plus zwei Oktaven in vier gleiche Teile teilt. Entsprechend ergibt sich eine Quinte von (2400 + 1200/pi)/4 Cent = 600 + 300/pi Cent ≈ 695.493 Cent.</text>
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      <comment>**Imported revision 612103301 - Original comment: **</comment>
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: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2017-05-04 08:06:45 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Lucy Tuning|Lucy Tuning]]

Die Lucy-Stimmung ist benannt nach [[Charles Lucy]] (der nicht der Erfinder ist, aber ihr energischster Fördererer). Sie basiert auf der Zahl pi.

Wenn man eine Oktave in 3 gleiche Teile teilt, erhält man bekanntlich die große Terz von [[12edo]], in der Größe 400 [[Cent]]. Wenn man dies anstatt mit 3 mit pi (also 3.14159265...) durchführt, erhält man dagegen ein Intervall der Grösse 381.972.. Cent, das zwischen der reinen großen Terz (386.314.. Cent) und der großen Terz der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Stimmung liegt (welche 379.145 Cent groß ist) und fast identisch ist mit der großen Terz der 3/10-Komma mitteltönigen Stimmung ist (382.012.. Cent).

Da es sich bei der Lucy-Stimmung um eine [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmungen handelt, erhält man den Quint-[[Generator]], indem man die große Terz plus zwei Oktaven in vier gleiche Teile teilt. Entsprechend ergibt sich eine Quinte von (2400 + 1200/pi)/4 Cent = 600 + 300/pi Cent ≈ 695.493 Cent.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Lucy-Stimmung ist benannt nach &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Charles%20Lucy"&amp;gt;Charles Lucy&amp;lt;/a&amp;gt; (der nicht der Erfinder ist, aber ihr energischster Fördererer). Sie basiert auf der Zahl pi.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wenn man eine Oktave in 3 gleiche Teile teilt, erhält man bekanntlich die große Terz von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, in der Größe 400 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;. Wenn man dies anstatt mit 3 mit pi (also 3.14159265...) durchführt, erhält man dagegen ein Intervall der Grösse 381.972.. Cent, das zwischen der reinen großen Terz (386.314.. Cent) und der großen Terz der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;drittelkomma-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung liegt (welche 379.145 Cent groß ist) und fast identisch ist mit der großen Terz der 3/10-Komma mitteltönigen Stimmung ist (382.012.. Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Da es sich bei der Lucy-Stimmung um eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmungen handelt, erhält man den Quint-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Generator"&amp;gt;Generator&amp;lt;/a&amp;gt;, indem man die große Terz plus zwei Oktaven in vier gleiche Teile teilt. Entsprechend ergibt sich eine Quinte von (2400 + 1200/pi)/4 Cent = 600 + 300/pi Cent ≈ 695.493 Cent.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2014-08-13 14:06:21 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;518440850&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Lucy Tuning|Lucy Tuning]]

Die Lucy-Stimmung ist benannt nach [[Charles Lucy]] (der nicht der Erfinder ist, aber ihr energischster Fördererer). Sie basiert auf der Zahl pi.

Wenn man eine Oktave in 3 gleiche Teile teilt, erhält man bekanntlich die große Terz von [[12edo]], in der Größe 400 [[Cent]]. Wenn man dies anstatt mit 3 mit pi (also 3.14159265...) durchführt, erhält man dagegen ein Intervall der Grösse 381.972.. Cent, das zwischen der reinen großen Terz (386.314.. Cent) und der großen Terz der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Stimmung liegt (welche 379.145 Cent groß ist) und fast identisch ist mit der großen Terz der 3/10-Komma mitteltönigen Stimmung ist (382.012.. Cent).

Da es sich bei der Lucy-Stimmung um eine [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmungen handelt, erhält man den Quint-Generator, indem man die große Terz plus zwei Oktaven in vier gleiche Teile teilt. Entsprechend ergibt sich eine Quinte von (2400 + 1200/pi)/4 Cent = 600 + 300/pi Cent ≈ 695.493 Cent.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Lucy%20Tuning"&amp;gt;Lucy Tuning&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Lucy-Stimmung ist benannt nach &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Charles%20Lucy"&amp;gt;Charles Lucy&amp;lt;/a&amp;gt; (der nicht der Erfinder ist, aber ihr energischster Fördererer). Sie basiert auf der Zahl pi.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wenn man eine Oktave in 3 gleiche Teile teilt, erhält man bekanntlich die große Terz von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, in der Größe 400 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;. Wenn man dies anstatt mit 3 mit pi (also 3.14159265...) durchführt, erhält man dagegen ein Intervall der Grösse 381.972.. Cent, das zwischen der reinen großen Terz (386.314.. Cent) und der großen Terz der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;drittelkomma-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung liegt (welche 379.145 Cent groß ist) und fast identisch ist mit der großen Terz der 3/10-Komma mitteltönigen Stimmung ist (382.012.. Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Da es sich bei der Lucy-Stimmung um eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmungen handelt, erhält man den Quint-Generator, indem man die große Terz plus zwei Oktaven in vier gleiche Teile teilt. Entsprechend ergibt sich eine Quinte von (2400 + 1200/pi)/4 Cent = 600 + 300/pi Cent ≈ 695.493 Cent.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Die Lucy-Stimmung ist benannt nach [[Charles Lucy]] (der nicht der Erfinder ist, aber ihr energischster Fördererer). Sie basiert auf der Zahl pi.

Wenn man eine Oktave in 3 gleiche Teile teilt, erhält man bekanntlich die große Terz von [[12edo]], in der Größe 400 [[Cent]]. Wenn man dies anstatt mit 3 mit pi (also 3.14159265...) durchführt, erhält man dagegen ein Intervall der Grösse 381.972.. Cent, das zwischen der reinen großen Terz (386.314.. Cent) und der 
großen Terz der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Stimmung liegt (welche 379.145 Cent groß ist), und fast identisch mit der großen Terz der 3/10-Komma mitteltönigen Stimmung ist (382.012.. Cent).

Da es sich bei der Lucy-Stimmung um eine [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmungen handelt, erhält man den Quint-Generator, indem man die große Terz plus zwei Oktaven in vier gleiche Teile teilt. Entsprechend ergibt sich eine Quinte von (2400 + 1200/pi)/4 Cent = 600 + 300/pi Cent ≈ 695.493 Cent.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die Lucy-Stimmung ist benannt nach &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Charles%20Lucy"&amp;gt;Charles Lucy&amp;lt;/a&amp;gt; (der nicht der Erfinder ist, aber ihr energischster Fördererer). Sie basiert auf der Zahl pi.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Lucy-Stimmung ist benannt nach [[Charles Lucy]] (der nicht der Erfinder ist, aber ihr energischster Fördererer). Sie basiert auf der Zahl pi.

Wenn man eine Oktave in 3 gleiche Teile teilt, erhält man bekanntlich die grosse Terz von [[12edo]], in der Grösse 400 [[Cent|Cents]]. Wenn man dies anstatt mit 3 mit pi (also 3.14159265...) durchführt, erhält man dagegen ein Intervall der Grösse 381.972.. Cents, das relativ nah an der reinen grossen Terz (386.314..)
liegt, genauer gesagt zwischen dieser und der temperierten grossen Terz der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur (welche 379.145 Cents gross ist).

Die Lucy-Stimmung ordnet sich dementsprechend nahtlios ein in die Familie der [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperaturen.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die Lucy-Stimmung ist benannt nach &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Charles%20Lucy"&amp;gt;Charles Lucy&amp;lt;/a&amp;gt; (der nicht der Erfinder ist, aber ihr energischster Fördererer). Sie basiert auf der Zahl pi.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wenn man eine Oktave in 3 gleiche Teile teilt, erhält man bekanntlich die grosse Terz von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, in der Grösse 400 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt;. Wenn man dies anstatt mit 3 mit pi (also 3.14159265...) durchführt, erhält man dagegen ein Intervall der Grösse 381.972.. Cents, das relativ nah an der reinen grossen Terz (386.314..)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Lucy-Stimmung ist benannt nach [[Charles_Lucy|Charles Lucy]] (der nicht der Erfinder ist, aber ihr energischster Fördererer). Sie basiert auf der Zahl pi.

Wenn man eine Oktave in 3 gleiche Teile teilt, erhält man bekanntlich die große Terz von [[12edo|12edo]], in der Größe 400 [[Cent|Cent]]. Wenn man dies anstatt mit 3 mit pi (also 3.14159265...) durchführt, erhält man dagegen ein Intervall der Grösse 381.972.. Cent, das zwischen der reinen großen Terz (386.314.. Cent) und der großen Terz der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Stimmung liegt (welche 379.145 Cent groß ist) und fast identisch ist mit der großen Terz der 3/10-Komma mitteltönigen Stimmung ist (382.012.. Cent).

Da es sich bei der Lucy-Stimmung um eine [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmungen handelt, erhält man den Quint-[[Generator|Generator]], indem man die große Terz plus zwei Oktaven in vier gleiche Teile teilt. Entsprechend ergibt sich eine Quinte von (2400 + 1200/pi)/4 Cent = 600 + 300/pi Cent ≈ 695.493 Cent.</text>
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Die Lucy-Stimmung ist benannt nach [[Charles_Lucy|Charles Lucy]] (der nicht der Erfinder ist, aber ihr energischster Fördererer). Sie basiert auf der Zahl pi.

Wenn man eine Oktave in 3 gleiche Teile teilt, erhält man bekanntlich die große Terz von [[12edo|12edo]], in der Größe 400 [[Cent|Cent]]. Wenn man dies anstatt mit 3 mit pi (also 3.14159265...) durchführt, erhält man dagegen ein Intervall der Grösse 381.972.. Cent, das zwischen der reinen großen Terz (386.314.. Cent) und der großen Terz der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Stimmung liegt (welche 379.145 Cent groß ist) und fast identisch ist mit der großen Terz der 3/10-Komma mitteltönigen Stimmung ist (382.012.. Cent).

Da es sich bei der Lucy-Stimmung um eine [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmungen handelt, erhält man den Quint-[[Generator|Generator]], indem man die große Terz plus zwei Oktaven in vier gleiche Teile teilt. Entsprechend ergibt sich eine Quinte von (2400 + 1200/pi)/4 Cent = 600 + 300/pi Cent ≈ 695.493 Cent.</text>
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Wenn man eine Oktave in 3 gleiche Teile teilt, erhält man bekanntlich die große Terz von [[12edo]], in der Größe 400 [[Cent]]. Wenn man dies anstatt mit 3 mit pi (also 3.14159265...) durchführt, erhält man dagegen ein Intervall der Grösse 381.972.. Cent, das zwischen der reinen großen Terz (386.314.. Cent) und der großen Terz der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Stimmung liegt (welche 379.145 Cent groß ist) und fast identisch ist mit der großen Terz der 3/10-Komma mitteltönigen Stimmung (382.012.. Cent).

Da es sich bei der Lucy-Stimmung um eine [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmungen handelt, erhält man den Quint-[[Generator]], indem man die große Terz plus zwei Oktaven in vier gleiche Teile teilt. Entsprechend ergibt sich eine Quinte von (2400 + 1200/pi)/4 Cent = 600 + 300/pi Cent ≈ 695.493 Cent.


[[Kategorie:Mitteltönig]]

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[[Mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die '''Lucy-Stimmung''' ist benannt nach [[Charles Lucy]] (der nicht der Erfinder ist, aber ihr energischster Fördererer). Sie basiert auf der Zahl pi.

Wenn man eine Oktave in 3 gleiche Teile teilt, erhält man bekanntlich die große Terz von [[12edo]], in der Größe 400 [[Cent]]. Wenn man dies anstatt mit 3 mit pi (also 3.14159265...) durchführt, erhält man dagegen ein Intervall der Grösse 381.972.. Cent, das zwischen der reinen großen Terz (386.314.. Cent) und der großen Terz der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Stimmung liegt (welche 379.145 Cent groß ist) und fast identisch ist mit der großen Terz der 3/10-Komma mitteltönigen Stimmung (382.012.. Cent).

Da es sich bei der Lucy-Stimmung um eine [[mitteltönig|mitteltönige]] Stimmungen handelt, erhält man den Quint-[[Generator]], indem man die große Terz plus zwei Oktaven in vier gleiche Teile teilt. Entsprechend ergibt sich eine Quinte von (2400 + 1200/pi)/4 Cent = 600 + 300/pi Cent ≈ 695.493 Cent.


[[Kategorie:Mitteltönig]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
[[en:Lucy Tuning]]</text>
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    <title>Magische Temperaturen</title>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt|Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung '''geringe Diësis''' (nicht zu verwechseln mit der [[128/125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch '''magisches Komma''' nennen.

Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen je nach Variante verschieden. [[19edo|19edo]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16edo|16edo]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22edo|22edo]] und [[41edo|41edo]].

Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]] .

==Varianten==

==5-Limit-magisch==
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch==
English: [[:en:Magic xenharmonic/Magic]]

Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225/224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.

[[19edo|19edo]], [[22edo|22edo]] und, besonders gut, [[41edo|41edo]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Weitere Varianten==
Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126/125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die '''Muggel''' getauft wurde. Diese wird unterstützt von 19edo, jedoch nicht von 22edo und 41edo.

[TODO Eigenschaften]

Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[:en:Magic_family englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung **geringe Diësis** (nicht zu verwechseln mit der [[128_125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch **magisches Komma** nennen.

Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen je nach Variante verschieden. [[19edo]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16edo]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22edo]] und [[41edo]].

Die [[MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper]] .

==Varianten== 
==5-Limit-magisch== 
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch== 
English: [[xenharmonic/Magic]]
Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225_224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.

[[19edo]], [[22edo]] und, besonders gut, [[41edo]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Weitere Varianten== 
Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126_125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die **Muggel** getauft wurde. Diese wird unterstützt von 19edo, jedoch nicht von 22edo und 41edo.

[TODO Eigenschaften]

Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[xenharmonic/Magic family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Magische Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Magic%20family"&amp;gt;xenharmonic/Magic family&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/W%C3%BCrschmidt"&amp;gt;Würschmidt&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als &amp;amp;quot;duales&amp;amp;quot; System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung &amp;lt;strong&amp;gt;geringe Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt; (nicht zu verwechseln mit der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/128_125"&amp;gt;kleinen Diësis&amp;lt;/a&amp;gt;) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch &amp;lt;strong&amp;gt;magisches Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; nennen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen je nach Variante verschieden. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rothenberg-proper"&amp;gt;Rothenberg-proper&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;225/224 (septimales Kleisma)&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und, besonders gut, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma &amp;lt;a class="wiki_link" href="/126_125"&amp;gt;126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die &amp;lt;strong&amp;gt;Muggel&amp;lt;/strong&amp;gt; getauft wurde. Diese wird unterstützt von 19edo, jedoch nicht von 22edo und 41edo.&amp;lt;br /&amp;gt;
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[TODO Eigenschaften]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Magic%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung **geringe Diësis** (nicht zu verwechseln mit der [[128_125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch **magisches Komma** nennen.

Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen rein, grösser oder kleiner. [[19edo]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16edo]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22edo]] und [[41edo]].

Die [[MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper]] .

==Varianten== 
==5-Limit-magisch== 
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch== 
English: [[xenharmonic/Magic]]
Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225_224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.

[[19edo]], [[22edo]] und, besonders gut, [[41edo]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Weitere Varianten== 
Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126_125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die **Muggel** getauft wurde. Diese wird unterstützt von 19edo, jedoch nicht von 22edo und 41edo.
[TODO Eigenschaften]

Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[xenharmonic/Magic family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Magische Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Magic%20family"&amp;gt;xenharmonic/Magic family&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/W%C3%BCrschmidt"&amp;gt;Würschmidt&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als &amp;amp;quot;duales&amp;amp;quot; System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung &amp;lt;strong&amp;gt;geringe Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt; (nicht zu verwechseln mit der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/128_125"&amp;gt;kleinen Diësis&amp;lt;/a&amp;gt;) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch &amp;lt;strong&amp;gt;magisches Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; nennen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen rein, grösser oder kleiner. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rothenberg-proper"&amp;gt;Rothenberg-proper&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-7-Limit-magisch"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;7-Limit-magisch&amp;lt;/h2&amp;gt;
 English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Magic"&amp;gt;xenharmonic/Magic&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;225/224 (septimales Kleisma)&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und, besonders gut, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Weitere Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Weitere Varianten&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma &amp;lt;a class="wiki_link" href="/126_125"&amp;gt;126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die &amp;lt;strong&amp;gt;Muggel&amp;lt;/strong&amp;gt; getauft wurde. Diese wird unterstützt von 19edo, jedoch nicht von 22edo und 41edo.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Magic%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung **geringe Diësis** (nicht zu verwechseln mit der [[128_125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch **magisches** Komma nennen.

Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen rein, grösser oder kleiner. [[19edo]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16edo]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22edo]] und [[41edo]].

Die [[MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper]] .

==Varianten== 
==5-Limit-magisch== 
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch== 
English: [[xenharmonic/Magic]]
Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225_224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.

[[19edo]], [[22edo]] und, besonders gut, [[41edo]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Weitere Varianten== 
Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126_125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die **Muggel** getauft wurde. Diese wird unterstützt von 19edo, jedoch nicht von 22edo und 41edo.
[TODO Eigenschaften]

Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[xenharmonic/Magic family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Magische Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Magic%20family"&amp;gt;xenharmonic/Magic family&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/W%C3%BCrschmidt"&amp;gt;Würschmidt&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als &amp;amp;quot;duales&amp;amp;quot; System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung &amp;lt;strong&amp;gt;geringe Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt; (nicht zu verwechseln mit der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/128_125"&amp;gt;kleinen Diësis&amp;lt;/a&amp;gt;) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch &amp;lt;strong&amp;gt;magisches&amp;lt;/strong&amp;gt; Komma nennen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen rein, grösser oder kleiner. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rothenberg-proper"&amp;gt;Rothenberg-proper&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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 English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Magic"&amp;gt;xenharmonic/Magic&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;225/224 (septimales Kleisma)&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und, besonders gut, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Weitere Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Weitere Varianten&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma &amp;lt;a class="wiki_link" href="/126_125"&amp;gt;126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die &amp;lt;strong&amp;gt;Muggel&amp;lt;/strong&amp;gt; getauft wurde. Diese wird unterstützt von 19edo, jedoch nicht von 22edo und 41edo.&amp;lt;br /&amp;gt;
[TODO Eigenschaften]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Magic%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2014-05-12 03:12:40 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung **geringe Diësis** (nicht zu verwechseln mit der [[128_125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch **magisches** Komma nennen.

Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen rein, grösser oder kleiner. [[19edo]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16edo]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22edo]] und [[41edo]].

Die [[MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper]] .

==Varianten== 
==5-Limit-magisch== 
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch== 
Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225_224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.

[[19edo]], [[22edo]] und, besonders gut, [[41edo]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Weitere Varianten== 
Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126_125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die **Muggel** getauft wurde. Diese wird unterstützt von 19edo, jedoch nicht von 22edo und 41edo.
[TODO Eigenschaften]

Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[xenharmonic/Magic family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Magische Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Magic%20family"&amp;gt;xenharmonic/Magic family&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Magic"&amp;gt;xenharmonic/Magic&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/W%C3%BCrschmidt"&amp;gt;Würschmidt&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als &amp;amp;quot;duales&amp;amp;quot; System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung &amp;lt;strong&amp;gt;geringe Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt; (nicht zu verwechseln mit der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/128_125"&amp;gt;kleinen Diësis&amp;lt;/a&amp;gt;) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch &amp;lt;strong&amp;gt;magisches&amp;lt;/strong&amp;gt; Komma nennen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen rein, grösser oder kleiner. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rothenberg-proper"&amp;gt;Rothenberg-proper&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;225/224 (septimales Kleisma)&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und, besonders gut, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma &amp;lt;a class="wiki_link" href="/126_125"&amp;gt;126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die &amp;lt;strong&amp;gt;Muggel&amp;lt;/strong&amp;gt; getauft wurde. Diese wird unterstützt von 19edo, jedoch nicht von 22edo und 41edo.&amp;lt;br /&amp;gt;
[TODO Eigenschaften]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Magic%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2014-05-12 03:10:58 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung **geringe Diësis** (nicht zu verwechseln mit der [[128_125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch **magisches** Komma nennen.

Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen rein, grösser oder kleiner. [[19edo]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16edo]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22edo]] und [[41edo]].

Die [[MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper]] .

==Varianten== 
==5-Limit-magisch== 
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch== 
Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225_224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.

[[19edo]], [[22edo]] und, besonders gut, [[41edo]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Weitere Varianten== 
Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126_125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die **Muggel** getauft wurde. Diese wird unterstützt von 19edo, jedoch nicht von 22edo und 41edo.
[TODO Eigenschaften]

Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[xenharmonic/Magic family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Magische Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Magic%20family"&amp;gt;xenharmonic/Magic family&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/W%C3%BCrschmidt"&amp;gt;Würschmidt&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als &amp;amp;quot;duales&amp;amp;quot; System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung &amp;lt;strong&amp;gt;geringe Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt; (nicht zu verwechseln mit der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/128_125"&amp;gt;kleinen Diësis&amp;lt;/a&amp;gt;) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch &amp;lt;strong&amp;gt;magisches&amp;lt;/strong&amp;gt; Komma nennen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen rein, grösser oder kleiner. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rothenberg-proper"&amp;gt;Rothenberg-proper&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;225/224 (septimales Kleisma)&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma &amp;lt;a class="wiki_link" href="/126_125"&amp;gt;126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die &amp;lt;strong&amp;gt;Muggel&amp;lt;/strong&amp;gt; getauft wurde. Diese wird unterstützt von 19edo, jedoch nicht von 22edo und 41edo.&amp;lt;br /&amp;gt;
[TODO Eigenschaften]&amp;lt;br /&amp;gt;
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Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Magic%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-10-07 02:52:25 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung **geringe Diësis** (nicht zu verwechseln mit der [[128_125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch **magisches** Komma nennen.

Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen rein, grösser oder kleiner. [[19edo]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16edo]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22edo]] und [[41edo]].

Die [[MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper]] .

==Varianten== 
==5-Limit-magisch== 
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch== 
Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225_224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird.

[[19edo]], [[22edo]] und, besonders gut, [[41edo]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Weitere Varianten== 
Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126_125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die **Muggel** getauft wurde. Diese wird unterstützt von 19edo, jedoch nicht von 22edo und 41edo.
[TODO Eigenschaften]

Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[xenharmonic/Magic family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Magische Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Magic%20family"&amp;gt;xenharmonic/Magic family&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/W%C3%BCrschmidt"&amp;gt;Würschmidt&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als &amp;amp;quot;duales&amp;amp;quot; System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung &amp;lt;strong&amp;gt;geringe Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt; (nicht zu verwechseln mit der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/128_125"&amp;gt;kleinen Diësis&amp;lt;/a&amp;gt;) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch &amp;lt;strong&amp;gt;magisches&amp;lt;/strong&amp;gt; Komma nennen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen rein, grösser oder kleiner. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rothenberg-proper"&amp;gt;Rothenberg-proper&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;225/224 (septimales Kleisma)&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und, besonders gut, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma &amp;lt;a class="wiki_link" href="/126_125"&amp;gt;126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die &amp;lt;strong&amp;gt;Muggel&amp;lt;/strong&amp;gt; getauft wurde. Diese wird unterstützt von 19edo, jedoch nicht von 22edo und 41edo.&amp;lt;br /&amp;gt;
[TODO Eigenschaften]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Magic%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-10-03 15:34:24 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung **geringe Diësis** (nicht zu verwechseln mit der [[128_125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch **magisches** Komma nennen.

Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen rein, grösser oder kleiner. [[19edo]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16edo]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22edo]] und [[41edo]].

Die [[MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper]] .

==Varianten== 
==5-Limit-magisch== 
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch== 
Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225_224|225/224]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinnderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird.

[[19edo]], [[22edo]] und, besonders gut, [[41edo]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Weitere Varianten== 
Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126_125|126/125]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die **Muggel** getauft wurde. Diese wird unterstützt von 19edo, jedoch nicht von 22edo und 41edo.
[TODO Eigenschaften]

Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[xenharmonic/Magic family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Magische Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Magic%20family"&amp;gt;xenharmonic/Magic family&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/W%C3%BCrschmidt"&amp;gt;Würschmidt&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als &amp;amp;quot;duales&amp;amp;quot; System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung &amp;lt;strong&amp;gt;geringe Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt; (nicht zu verwechseln mit der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/128_125"&amp;gt;kleinen Diësis&amp;lt;/a&amp;gt;) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch &amp;lt;strong&amp;gt;magisches&amp;lt;/strong&amp;gt; Komma nennen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen rein, grösser oder kleiner. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rothenberg-proper"&amp;gt;Rothenberg-proper&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;225/224&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; , welche oktavbereinigt durch Aufeinnderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma &amp;lt;a class="wiki_link" href="/126_125"&amp;gt;126/125&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die &amp;lt;strong&amp;gt;Muggel&amp;lt;/strong&amp;gt; getauft wurde. Diese wird unterstützt von 19edo, jedoch nicht von 22edo und 41edo.&amp;lt;br /&amp;gt;
[TODO Eigenschaften]&amp;lt;br /&amp;gt;
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Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Magic%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-10-03 15:32:06 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung **geringe Diësis** (nicht zu verwechseln mit der [[128_125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch **magisches** Komma nennen.

Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen rein, grösser oder kleiner. [[19edo]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16edo]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22edo]] und [[41edo]].

Die [[MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS.Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper]] .

==Varianten== 
==5-Limit-magisch== 
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch== 
Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225_224|225/224]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinnderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird.

[[19edo]], [[22edo]] und, besonders gut, [[41edo]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Weitere Varianten== 
Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126_125|126/125]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die **Muggel** getauft wurde. Diese wird unterstützt von 19edo, jedoch nicht von 22edo und 41edo.
[TODO Eigenschaften]

Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[xenharmonic/Magic family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Magische Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Magic%20family"&amp;gt;xenharmonic/Magic family&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/W%C3%BCrschmidt"&amp;gt;Würschmidt&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als &amp;amp;quot;duales&amp;amp;quot; System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung &amp;lt;strong&amp;gt;geringe Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt; (nicht zu verwechseln mit der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/128_125"&amp;gt;kleinen Diësis&amp;lt;/a&amp;gt;) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch &amp;lt;strong&amp;gt;magisches&amp;lt;/strong&amp;gt; Komma nennen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen rein, grösser oder kleiner. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS.Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rothenberg-proper"&amp;gt;Rothenberg-proper&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;225/224&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; , welche oktavbereinigt durch Aufeinnderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und, besonders gut, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma &amp;lt;a class="wiki_link" href="/126_125"&amp;gt;126/125&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die &amp;lt;strong&amp;gt;Muggel&amp;lt;/strong&amp;gt; getauft wurde. Diese wird unterstützt von 19edo, jedoch nicht von 22edo und 41edo.&amp;lt;br /&amp;gt;
[TODO Eigenschaften]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Magic%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung **geringe Diësis** (nicht zu verwechseln mit der [[128_125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch **magisches** Komma nennen.

Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen rein, grösser oder kleiner. [[19edo]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16edo]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22edo]] und [[41edo]].

Die [[MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS.Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper]] .

==Varianten== 
==5-Limit-magisch== 
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch== 
Wenn von magischer Temepratur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225_224|225/224]] austemperiert. 

[[19edo]], [[22edo]] und, besonders gut, [[41edo]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

[TODO weitere Eigenschaften]

==Weitere Varianten== 
Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126_125|126/125]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die **Mugge**l getauft wurde. Diese wird unterstützt von 19edo, jedoch nicht von 22edo und 41edo.
[TODO Eigenschaften]

Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[xenharmonic/Magic family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/W%C3%BCrschmidt"&amp;gt;Würschmidt&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als &amp;amp;quot;duales&amp;amp;quot; System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung &amp;lt;strong&amp;gt;geringe Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt; (nicht zu verwechseln mit der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/128_125"&amp;gt;kleinen Diësis&amp;lt;/a&amp;gt;) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch &amp;lt;strong&amp;gt;magisches&amp;lt;/strong&amp;gt; Komma nennen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen rein, grösser oder kleiner. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-7-Limit-magisch"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;7-Limit-magisch&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Wenn von magischer Temepratur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;225/224&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. &amp;lt;br /&amp;gt;
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 Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma &amp;lt;a class="wiki_link" href="/126_125"&amp;gt;126/125&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die &amp;lt;strong&amp;gt;Mugge&amp;lt;/strong&amp;gt;l getauft wurde. Diese wird unterstützt von 19edo, jedoch nicht von 22edo und 41edo.&amp;lt;br /&amp;gt;
[TODO Eigenschaften]&amp;lt;br /&amp;gt;
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Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Magic%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-09-28 05:52:03 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Magic family]]

[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung **geringe Diësis** (nicht zu verwechseln mit der [[128_125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch **magisches** Komma nennen.

Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen rein, grösser oder kleiner. [[19edo]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16edo]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22edo]] und [[41edo]].

Die [[MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen.

==Varianten== 
==5-Limit-magisch== 
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch== 
Wenn von magischer Temepratur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225_224|225/224]] austemperiert.

[[19edo]], [[22edo]] und, besonders gut, [[41edo]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

[TODO weitere Eigenschaften]

==Weitere Varianten== 
Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126_125|126/125]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die **Mugge**l getauft wurde. Diese wird unterstützt von 19edo, jedoch nicht von 22edo und 41edo.
[TODO Eigenschaften]

Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[xenharmonic/Magic family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Magische Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Magic%20family"&amp;gt;xenharmonic/Magic family&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/W%C3%BCrschmidt"&amp;gt;Würschmidt&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als &amp;amp;quot;duales&amp;amp;quot; System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung &amp;lt;strong&amp;gt;geringe Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt; (nicht zu verwechseln mit der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/128_125"&amp;gt;kleinen Diësis&amp;lt;/a&amp;gt;) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch &amp;lt;strong&amp;gt;magisches&amp;lt;/strong&amp;gt; Komma nennen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen rein, grösser oder kleiner. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und, besonders gut, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma &amp;lt;a class="wiki_link" href="/126_125"&amp;gt;126/125&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die &amp;lt;strong&amp;gt;Mugge&amp;lt;/strong&amp;gt;l getauft wurde. Diese wird unterstützt von 19edo, jedoch nicht von 22edo und 41edo.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Magic%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-09-28 05:50:38 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung **geringe Diësis** (nicht zu verwechseln mit der [[128_125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch **magisches** Komma nennen.

Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder grösser. [[19edo]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16edo]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22edo]] und [[41edo]].

Die [[MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen.

==Varianten== 
==5-Limit-magisch== 
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch== 
Wenn von magischer Temepratur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225_224|225/224]] austemperiert.
[[19edo]], [[22edo]] und, besonders gut, [[41edo]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.
[TODO weitere Eigenschaften]

==Weitere Varianten== 
Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126_125|126/125]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die **Mugge**l getauft wurde. Diese wird unterstützt von 19edo, jedoch nicht von 22edo und 41edo.
[TODO Eigenschaften]

Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[xenharmonic/Magic family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Magische Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Magic%20family"&amp;gt;xenharmonic/Magic family&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/W%C3%BCrschmidt"&amp;gt;Würschmidt&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als &amp;amp;quot;duales&amp;amp;quot; System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung &amp;lt;strong&amp;gt;geringe Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt; (nicht zu verwechseln mit der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/128_125"&amp;gt;kleinen Diësis&amp;lt;/a&amp;gt;) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch &amp;lt;strong&amp;gt;magisches&amp;lt;/strong&amp;gt; Komma nennen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder grösser. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Wenn von magischer Temepratur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;225/224&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Weitere Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Weitere Varianten&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma &amp;lt;a class="wiki_link" href="/126_125"&amp;gt;126/125&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die &amp;lt;strong&amp;gt;Mugge&amp;lt;/strong&amp;gt;l getauft wurde. Diese wird unterstützt von 19edo, jedoch nicht von 22edo und 41edo.&amp;lt;br /&amp;gt;
[TODO Eigenschaften]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Magic%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-09-26 06:21:36 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Magic family]]

[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung "geringe Diësis" (nicht zu verwechseln mit der [[128_125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch "magisches Komma" nennen.

Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder grösser. [[19edo]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16edo]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22edo]] und [[41edo]].

Die [[MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Magische Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Magic%20family"&amp;gt;xenharmonic/Magic family&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/W%C3%BCrschmidt"&amp;gt;Würschmidt&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als &amp;amp;quot;duales&amp;amp;quot; System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung &amp;amp;quot;geringe Diësis&amp;amp;quot; (nicht zu verwechseln mit der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/128_125"&amp;gt;kleinen Diësis&amp;lt;/a&amp;gt;) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch &amp;amp;quot;magisches Komma&amp;amp;quot; nennen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder grösser. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem, das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072, ist 29.614 Cents gross und kann "magisches Komma" genannt werden.

Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder grösser. [[19edo]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16edo]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22edo]] und [[41edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem, das wie die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/W%C3%BCrschmidt"&amp;gt;Würschmidt&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als &amp;amp;quot;duales&amp;amp;quot; System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072, ist 29.614 Cents gross und kann &amp;amp;quot;magisches Komma&amp;amp;quot; genannt werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder grösser. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Magic family|Magic family]]

[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem, das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072, ist 29.614 Cents gross und kann "magisches Komma" genannt werden.

Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder grösser. [[19edo]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16edo]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22edo]] und [[41edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem, das wie die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/W%C3%BCrschmidt"&amp;gt;Würschmidt&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als &amp;amp;quot;duales&amp;amp;quot; System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072, ist 29.614 Cents gross und kann &amp;amp;quot;magisches Komma&amp;amp;quot; genannt werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder grösser. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem, das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072, ist 29.614 Cents gross und kann "magisches Komma" genannt werden.

Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise rein oder etwas grösser, können aber auch kleiner sein - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder grösser. [[19edo]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16edo]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22edo]] und [[41edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Magische Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Magic%20family"&amp;gt;Magic family&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem, das wie die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/W%C3%BCrschmidt"&amp;gt;Würschmidt&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als &amp;amp;quot;duales&amp;amp;quot; System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072, ist 29.614 Cents gross und kann &amp;amp;quot;magisches Komma&amp;amp;quot; genannt werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise rein oder etwas grösser, können aber auch kleiner sein - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder grösser. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem, das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072, ist 29.614 Cents gross und kann "magisches Komma" genannt werden.

Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise rein oder etwas grösser, können aber auch kleiner sein - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder grösser. [[19edo]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16edo]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein, sind [[22edo]] und [[41edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem, das wie die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/W%C3%BCrschmidt"&amp;gt;Würschmidt&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als &amp;amp;quot;duales&amp;amp;quot; System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072, ist 29.614 Cents gross und kann &amp;amp;quot;magisches Komma&amp;amp;quot; genannt werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise rein oder etwas grösser, können aber auch kleiner sein - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder grösser. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem, das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072, ist 29.614 Cents gross und kann "magisches Komma" genannt werden.

Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise rein oder etwas grösser, können aber auch kleiner sein - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen kleiner, rein oder grösser. [[19edo]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16edo]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein, sind [[22edo]] und [[41edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem, das wie die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/W%C3%BCrschmidt"&amp;gt;Würschmidt&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als &amp;amp;quot;duales&amp;amp;quot; System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072, ist 29.614 Cents gross und kann &amp;amp;quot;magisches Komma&amp;amp;quot; genannt werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise rein oder etwas grösser, können aber auch kleiner sein - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen kleiner, rein oder grösser. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem, das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072, ist 29.614 Cents gross und kann "magisches Komma" genannt werden.

Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise rein oder etwas grösser, können aber auch kleiner sein - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen kleiner, rein oder grösser. [[19edo]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System also, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein, sind [[22edo]] und [[41edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem, das wie die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/W%C3%BCrschmidt"&amp;gt;Würschmidt&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als &amp;amp;quot;duales&amp;amp;quot; System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072, ist 29.614 Cents gross und kann &amp;amp;quot;magisches Komma&amp;amp;quot; genannt werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise rein oder etwas grösser, können aber auch kleiner sein - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen kleiner, rein oder grösser. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System also, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem, das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche minimal herabtemperiert wird, so dass 5 grosse Terzen eine reine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072, ist 29.614 Cents gross und heisst natürlich "magisches Komma".

Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise rein oder etwas grösser, können aber auch kleiner sein - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen kleiner, rein oder grösser. [[19edo]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System also, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein, sind [[22edo]] und [[41edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem, das wie die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/W%C3%BCrschmidt"&amp;gt;Würschmidt&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als &amp;amp;quot;duales&amp;amp;quot; System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche minimal herabtemperiert wird, so dass 5 grosse Terzen eine reine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072, ist 29.614 Cents gross und heisst natürlich &amp;amp;quot;magisches Komma&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise rein oder etwas grösser, können aber auch kleiner sein - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen kleiner, rein oder grösser. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System also, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem, das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche minimal herabtemperiert wird, so dass 5 grosse Terzen eine reine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072, ist 29.614 Cents gross und heisst natürlich "magisches Komma".

Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine; Quinten können grösser oder kleiner sein - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen kleiner oder grösser. [[19edo]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System also, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. Ein maigsches System, bei der die Quinte höher ist als rein, ist [[22edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem, das wie die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/W%C3%BCrschmidt"&amp;gt;Würschmidt&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als &amp;amp;quot;duales&amp;amp;quot; System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche minimal herabtemperiert wird, so dass 5 grosse Terzen eine reine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072, ist 29.614 Cents gross und heisst natürlich &amp;amp;quot;magisches Komma&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine; Quinten können grösser oder kleiner sein - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen kleiner oder grösser. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System also, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. Ein maigsches System, bei der die Quinte höher ist als rein, ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

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      <contributor>
        <username>Mike Battaglia</username>
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      <comment>Textersetzung - „(\[\[\:(dev|es|purdal|de|en):[^[:space:]\|]*) (.*])“ durch „$1|$3“</comment>
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      <text bytes="4364" sha1="3ove9j423r70yp5j9wuv128bvkzici7" xml:space="preserve">English: [[:en:Magic_family|xenharmonic/Magic family]]

[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt|Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung '''geringe Diësis''' (nicht zu verwechseln mit der [[128/125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch '''magisches Komma''' nennen.

Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen je nach Variante verschieden. [[19edo|19edo]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16edo|16edo]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22edo|22edo]] und [[41edo|41edo]].

Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]] .

==Varianten==

==5-Limit-magisch==
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch==
English: [[:en:Magic|xenharmonic/Magic]]

Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225/224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.

[[19edo|19edo]], [[22edo|22edo]] und, besonders gut, [[41edo|41edo]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Weitere Varianten==
Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126/125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die '''Muggel''' getauft wurde. Diese wird unterstützt von 19edo, jedoch nicht von 22edo und 41edo.

[TODO Eigenschaften]

Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[:en:Magic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt|Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung '''geringe Diësis''' (nicht zu verwechseln mit der [[128/125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch '''magisches Komma''' nennen.

Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen je nach Variante verschieden. [[19edo|19edo]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16edo|16edo]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22edo|22edo]] und [[41edo|41edo]].

Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]] .

==Varianten==

==5-Limit-magisch==
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch==
English: [[:en:Magic|xenharmonic/Magic]]

Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225/224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.

[[19edo|19edo]], [[22edo|22edo]] und, besonders gut, [[41edo|41edo]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Weitere Varianten==
Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126/125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die '''Muggel''' getauft wurde. Diese wird unterstützt von 19edo, jedoch nicht von 22edo und 41edo.

[TODO Eigenschaften]

Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[:en:Magic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.  [[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt|Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung '''geringe Diësis''' (nicht zu verwechseln mit der [[128/125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch '''magisches Komma''' nennen.

Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen je nach Variante verschieden. [[19edo|19edo]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16edo|16edo]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22edo|22edo]] und [[41edo|41edo]].

Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]] .

==Varianten==

==5-Limit-magisch==
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch==
English: [[:en:Magic|xenharmonic/Magic]]

Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225/224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.

[[19edo|19edo]], [[22edo|22edo]] und, besonders gut, [[41edo|41edo]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Muggel==
Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126/125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die '''Muggel''' getauft wurde. Diese wird unterstützt von 19edo, jedoch nicht von 22edo und 41edo.

[TODO Eigenschaften]

[[:en:Muggles|Muggel (englischsprachiger Artikel)]]

==Weitere Varianten==
Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[:en:Magic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.  
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt|Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung '''geringe Diësis''' (nicht zu verwechseln mit der [[128/125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch '''magisches Komma''' nennen.

Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen je nach Variante verschieden. [[19-EDO]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16-EDO]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22-EDO]] und [[41-EDO]].

Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]] .

==Varianten==

==5-Limit-magisch==
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch==
English: [[:en:Magic|xenharmonic/Magic]]

Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225/224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.

[[19-EDO]], [[22-EDO]] und, besonders gut, [[41-EDO]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Muggel==
Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126/125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die '''Muggel''' getauft wurde. Diese wird unterstützt von 19-EDO, jedoch nicht von 22-EDO und 41-EDO.

[TODO Eigenschaften]

[[:en:Muggles|Muggel (englischsprachiger Artikel)]]

==Weitere Varianten==
Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[:en:Magic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.  
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt|Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung '''geringe Diësis''' (nicht zu verwechseln mit der [[128/125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch '''magisches Komma''' nennen.

Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen je nach Variante verschieden. [[19-EDO]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16-EDO]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22-EDO]] und [[41-EDO]].

Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]] .

==Varianten==

==5-Limit-magisch==
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch==
English: [[:en:Magic|xenharmonic/Magic]]

Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225/224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.

[[19-EDO]], [[22-EDO]] und, besonders gut, [[41-EDO]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Muggel==
Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126/125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die '''Muggel''' getauft wurde. Diese wird unterstützt von 19-EDO, jedoch nicht von 22-EDO und 41-EDO.

[TODO Eigenschaften]

[[:en:Muggles|Muggel (englischsprachiger Artikel)]]

==Astrology==

Austemperieren des magischen Kommas und des 7-Limit-Kommas [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] ergibt eine '''Astrology'''-Temperatur.

==Weitere Varianten==
Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[:en:Magic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.  
[[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt|Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung '''geringe Diësis''' (nicht zu verwechseln mit der [[128/125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch '''magisches Komma''' nennen.

Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen je nach Variante verschieden. [[19-EDO]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16-EDO]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22-EDO]] und [[41-EDO]].

Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]] .

==Varianten==

==5-Limit-magisch==
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch==
English: [[:en:Magic|xenharmonic/Magic]]

Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225/224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.

[[19-EDO]], [[22-EDO]] und, besonders gut, [[41-EDO]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Muggel==
Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126/125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die '''Muggel''' getauft wurde. Diese wird unterstützt von 19-EDO, jedoch nicht von 22-EDO und 41-EDO.

[TODO Eigenschaften]

[[:en:Muggles|Muggel (englischsprachiger Artikel)]]

==Astrology==

Austemperieren des magischen Kommas und des 7-Limit-Kommas [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] ergibt eine '''Astrology'''-Temperatur. Das Periodenintervall ist bei dieser die für jubilismische Temperaturen typische Halboktave, und entsprechend müssen gleichstufige Realisierungen von Astrology natürlich eine Oktave in eine gerade Anzahl Töne unterteilen. In der Tat wird Astrology von [[22edo]] unterstützt, nicht aber von [[19edo]] oder [[41edo]] (genau umgekehrt wie bei Muggel).

MOS-Skalen von Astrology sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig. Erwähnenswert ist die sechstönige, der Form 4L 2s. Sie ähnelt der bekannten Ganztonskala von [[12edo]], besteht jedoch im Gegensatz zu dieser aus Ganztönen verschiedener Grössen (4 grosse und 2 kleine). 

[Todo Klangbeispiel]

==Weitere Varianten==
Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[:en:Magic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.  
[[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt|Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung '''geringe Diësis''' (nicht zu verwechseln mit der [[128/125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch '''magisches Komma''' nennen.

Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen je nach Variante verschieden. [[19-EDO]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16-EDO]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22-EDO]] und [[41-EDO]].

Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]] .

==Varianten==

==5-Limit-magisch==
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch (septimalmagisch)==
English: [[:en:Magic|xenharmonic/Magic]]

Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225/224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.

[[19-EDO]], [[22-EDO]] und, besonders gut, [[41-EDO]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Muggel==
Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126/125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die '''Muggel''' getauft wurde. Diese wird unterstützt von 19-EDO, jedoch nicht von 22-EDO und 41-EDO.

[TODO Eigenschaften]

[[:en:Muggles|Muggel (englischsprachiger Artikel)]]

==Astrology==

Austemperieren des magischen Kommas und des 7-Limit-Kommas [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] ergibt eine '''Astrology'''-Temperatur. Das Periodenintervall ist bei dieser die für jubilismische Temperaturen typische Halboktave, und entsprechend müssen gleichstufige Realisierungen von Astrology natürlich eine Oktave in eine gerade Anzahl Töne unterteilen. In der Tat wird Astrology von [[22edo]] unterstützt, nicht aber von [[19edo]] oder [[41edo]] (genau umgekehrt wie bei Muggel).

MOS-Skalen von Astrology sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig. Erwähnenswert ist die sechstönige, der Form 4L 2s. Sie ähnelt der bekannten Ganztonskala von [[12edo]], besteht jedoch im Gegensatz zu dieser aus Ganztönen verschiedener Grössen (4 grosse und 2 kleine). 

[Todo Klangbeispiel]

==Weitere Varianten==
Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[:en:Magic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.  
[[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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      <text bytes="5850" sha1="o72ydxxuwl7qfrfzmki115sdqa6visg" xml:space="preserve">[[https://en.xen.wiki/w/Magic_family]]

[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt|Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung '''geringe Diësis''' (nicht zu verwechseln mit der [[128/125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch '''magisches Komma''' nennen.

Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen je nach Variante verschieden. [[19-EDO]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16-EDO]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22-EDO]] und [[41-EDO]].

Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]] .

==Varianten==

==5-Limit-magisch==
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch (septimalmagisch)==
English: [[:en:Magic|xenharmonic/Magic]]

Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225/224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.

[[19-EDO]], [[22-EDO]] und, besonders gut, [[41-EDO]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Muggel==
Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126/125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die '''Muggel''' getauft wurde. 12 Generatorschritte führen bei Muggel nicht, wie bei Standard-Septimalmagisch, zu einer Appoximation der Naturseptime 17/4 (Komplement des septimalen Ganztons 8/7), sondern zu einer von 12/7, dem Komplement der septimalen Terz 7/6. Der Generator ist also tendenziell etwas kleiner als bei Standard-Septimalmagisch, und bei den kleineren MOS-Skalen sind die Unterschiede zwischen dm grossen und dem kleinen Intervall etwa weniger extrem.

Muggel wird unterstützt von 19-EDO, jedoch nicht von 22-EDO und 41-EDO. 19-EDO gilt als quasi optimale gleichstufige Realisierung von Muggel. Da 19-EDO auch den Unterschied zwischen 8/7 und 7/6 austemperiert, fällt Muggel in 19-EDO mit Standard-Septimalmagisch zusammen.

[TODO Eigenschaften]

[[:en:Muggles|Muggel (englischsprachiger Artikel)]]

==Astrology==

Austemperieren des magischen Kommas und des 7-Limit-Kommas [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] ergibt eine '''Astrology'''-Temperatur. Das Periodenintervall ist bei dieser die für jubilismische Temperaturen typische Halboktave, und entsprechend müssen gleichstufige Realisierungen von Astrology natürlich eine Oktave in eine gerade Anzahl Töne unterteilen. In der Tat wird Astrology von [[22edo]] unterstützt, nicht aber von [[19edo]] oder [[41edo]] (genau umgekehrt wie bei Muggel).

MOS-Skalen von Astrology sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig. Erwähnenswert ist die sechstönige, der Form 4L 2s. Sie ähnelt der bekannten Ganztonskala von [[12edo]], besteht jedoch im Gegensatz zu dieser aus Ganztönen verschiedener Grössen (4 grosse und 2 kleine). 

[Todo Klangbeispiel]

==Weitere Varianten==
Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[:en:Magic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.  
[[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt|Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung '''geringe Diësis''' (nicht zu verwechseln mit der [[128/125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch '''magisches Komma''' nennen.

Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen je nach Variante verschieden. [[19-EDO]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16-EDO]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22-EDO]] und [[41-EDO]].

Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]] .

==Varianten==

==5-Limit-magisch==
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch (septimalmagisch)==
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Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225/224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.

[[19-EDO]], [[22-EDO]] und, besonders gut, [[41-EDO]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Muggel==
Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126/125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die '''Muggel''' getauft wurde. 12 Generatorschritte führen bei Muggel nicht, wie bei Standard-Septimalmagisch, zu einer Appoximation der Naturseptime 17/4 (Komplement des septimalen Ganztons 8/7), sondern zu einer von 12/7, dem Komplement der septimalen Terz 7/6. Der Generator ist also tendenziell etwas kleiner als bei Standard-Septimalmagisch, und bei den kleineren MOS-Skalen sind die Unterschiede zwischen dem grossen und dem kleinen Intervall etwa weniger extrem.

Muggel wird unterstützt von 19-EDO, jedoch nicht von 22-EDO und 41-EDO. 19-EDO gilt als quasi optimale gleichstufige Realisierung von Muggel. Da 19-EDO auch den Unterschied zwischen 8/7 und 7/6 austemperiert, fällt Muggel in 19-EDO mit Standard-Septimalmagisch zusammen.

[TODO Eigenschaften]

[[:en:Muggles|Muggel (englischsprachiger Artikel)]]

==Astrology==

Austemperieren des magischen Kommas und des 7-Limit-Kommas [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] ergibt eine '''Astrology'''-Temperatur. Das Periodenintervall ist bei dieser die für jubilismische Temperaturen typische Halboktave, und entsprechend müssen gleichstufige Realisierungen von Astrology natürlich eine Oktave in eine gerade Anzahl Töne unterteilen. In der Tat wird Astrology von [[22edo]] unterstützt, nicht aber von [[19edo]] oder [[41edo]] (genau umgekehrt wie bei Muggel).

MOS-Skalen von Astrology sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig. Erwähnenswert ist die sechstönige, der Form 4L 2s. Sie ähnelt der bekannten Ganztonskala von [[12edo]], besteht jedoch im Gegensatz zu dieser aus Ganztönen verschiedener Grössen (4 grosse und 2 kleine). 

[Todo Klangbeispiel]

==Weitere Varianten==
Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[:en:Magic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.  
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt|Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung '''geringe Diësis''' (nicht zu verwechseln mit der [[128/125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch '''magisches Komma''' nennen.

Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen je nach Variante verschieden. [[19-EDO]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16-EDO]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22-EDO]] und [[41-EDO]].

Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]] .

==Varianten==

==5-Limit-magisch==
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch (septimalmagisch)==
English: [[:en:Magic|xenharmonic/Magic]]

Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225/224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.

[[19-EDO]], [[22-EDO]] und, besonders gut, [[41-EDO]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Muggel==
Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126/125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die '''Muggel''' getauft wurde. 12 Generatorschritte führen bei Muggel nicht, wie bei Standard-Septimalmagisch, zu einer Appoximation der Naturseptime 17/4 (Komplement des septimalen Ganztons 8/7), sondern zu einer von 12/7, dem Komplement der septimalen Terz 7/6. Der Generator ist also tendenziell etwas kleiner als bei Standard-Septimalmagisch, und bei den kleineren MOS-Skalen sind die Unterschiede zwischen dem grossen und dem kleinen Intervall etwa weniger extrem.

Muggel wird unterstützt von 19-EDO, jedoch nicht von 22-EDO und 41-EDO. 19-EDO gilt als quasi optimale gleichstufige Realisierung von Muggel. Da 19-EDO auch den Unterschied zwischen 8/7 und 7/6 austemperiert, fällt Muggel in 19-EDO mit Standard-Septimalmagisch zusammen.


[[:en:Muggles|Muggel (englischsprachiger Artikel)]]

==Astrology==

Austemperieren des magischen Kommas und des 7-Limit-Kommas [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] ergibt eine '''Astrology'''-Temperatur. Das Periodenintervall ist bei dieser die für jubilismische Temperaturen typische Halboktave, und entsprechend müssen gleichstufige Realisierungen von Astrology natürlich eine Oktave in eine gerade Anzahl Töne unterteilen. In der Tat wird Astrology von [[22edo]] unterstützt, nicht aber von [[19edo]] oder [[41edo]] (genau umgekehrt wie bei Muggel).

MOS-Skalen von Astrology sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig. Erwähnenswert ist die sechstönige, der Form 4L 2s. Sie ähnelt der bekannten Ganztonskala von [[12edo]], besteht jedoch im Gegensatz zu dieser aus Ganztönen verschiedener Grössen (4 grosse und 2 kleine). 

[Todo Klangbeispiel]

==Weitere Varianten==
Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[:en:Magic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.  
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt|Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung '''geringe Diësis''' (nicht zu verwechseln mit der [[128/125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch '''magisches Komma''' nennen.

Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen je nach Variante verschieden. [[19-EDO]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16-EDO]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22-EDO]] und [[41-EDO]].

Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]] .

==Varianten==

==5-Limit-magisch==
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch (septimalmagisch)==
English: [[:en:Magic|xenharmonic/Magic]]

Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225/224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.

[[19-EDO]], [[22-EDO]] und, besonders gut, [[41-EDO]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Muggel==
Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126/125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die '''Muggel''' getauft wurde. 12 Generatorschritte führen bei Muggel nicht, wie bei Standard-Septimalmagisch, zu einer Appoximation der Naturseptime 17/4 (Komplement des septimalen Ganztons 8/7), sondern zu einer von 12/7, dem Komplement der septimalen Terz 7/6. Der Generator ist also tendenziell etwas kleiner als bei Standard-Septimalmagisch, und bei den kleineren MOS-Skalen sind die Unterschiede zwischen dem grossen und dem kleinen Intervall etwa weniger extrem.

Muggel wird unterstützt von 19-EDO, jedoch nicht von 22-EDO und 41-EDO. 19-EDO gilt als quasi optimale gleichstufige Realisierung von Muggel. Da 19-EDO auch den Unterschied zwischen 8/7 und 7/6 austemperiert, fällt Muggel in 19-EDO mit Standard-Septimalmagisch zusammen.


[[:en:Muggles|Muggel (englischsprachiger Artikel)]]

==Astrology==

Austemperieren des magischen Kommas und des 7-Limit-Kommas [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] ergibt eine '''Astrology'''-Temperatur. Das Periodenintervall ist bei dieser die für jubilismische Temperaturen typische Halboktave, und entsprechend müssen gleichstufige Realisierungen von Astrology natürlich eine Oktave in eine gerade Anzahl Töne unterteilen. In der Tat wird Astrology von [[22edo]] unterstützt, nicht aber von [[19edo]] oder [[41edo]] (genau umgekehrt wie bei Muggel).

MOS-Skalen von Astrology sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig. Erwähnenswert ist die sechstönige, der Form 4L 2s. Sie ähnelt der bekannten Ganztonskala von [[12edo]], besteht jedoch im Gegensatz zu dieser aus Ganztönen verschiedener Grössen (4 grosse und 2 kleine). 

[Todo Klangbeispiel]

==Weitere Varianten==
Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[:en:Magic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.  
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt|Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung '''geringe Diësis''' (nicht zu verwechseln mit der [[128/125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch '''magisches Komma''' nennen.

Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen je nach Variante verschieden. [[19-EDO]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16-EDO]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22-EDO]] und [[41-EDO]].

Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]] .

==Varianten==

==5-Limit-magisch==
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch (septimalmagisch)==
English: [[:en:Magic|xenharmonic/Magic]]

Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225/224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.

[[19-EDO]], [[22-EDO]] und, besonders gut, [[41-EDO]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Muggel==
Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126/125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die '''Muggel''' getauft wurde. 12 Generatorschritte führen bei Muggel nicht, wie bei Standard-Septimalmagisch, zu einer Appoximation der Naturseptime 17/4 (Komplement des septimalen Ganztons 8/7), sondern zu einer von 12/7, dem Komplement der septimalen Terz 7/6. Der Generator ist also tendenziell etwas kleiner als bei Standard-Septimalmagisch, und bei den kleineren MOS-Skalen sind die Unterschiede zwischen dem grossen und dem kleinen Intervall etwas weniger extrem.

Muggel wird unterstützt von 19-EDO, jedoch nicht von 22-EDO und 41-EDO. 19-EDO gilt als quasi optimale gleichstufige Realisierung von Muggel. Da 19-EDO auch den Unterschied zwischen 8/7 und 7/6 austemperiert, fällt Muggel in 19-EDO mit Standard-Septimalmagisch zusammen.


[[:en:Muggles|Muggel (englischsprachiger Artikel)]]

==Astrology==

Austemperieren des magischen Kommas und des 7-Limit-Kommas [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] ergibt eine '''Astrology'''-Temperatur. Das Periodenintervall ist bei dieser die für jubilismische Temperaturen typische Halboktave, und entsprechend müssen gleichstufige Realisierungen von Astrology natürlich eine Oktave in eine gerade Anzahl Töne unterteilen. In der Tat wird Astrology von [[22edo]] unterstützt, nicht aber von [[19edo]] oder [[41edo]] (genau umgekehrt wie bei Muggel).

MOS-Skalen von Astrology sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig. Erwähnenswert ist die sechstönige, der Form 4L 2s. Sie ähnelt der bekannten Ganztonskala von [[12edo]], besteht jedoch im Gegensatz zu dieser aus Ganztönen verschiedener Grössen (4 grosse und 2 kleine). 

[Todo Klangbeispiel]

==Weitere Varianten==
Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[:en:Magic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.  
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt|Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung '''geringe Diësis''' (nicht zu verwechseln mit der [[128/125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch '''magisches Komma''' nennen.

Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen je nach Variante verschieden. [[19-EDO]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16-EDO]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22-EDO]] und [[41-EDO]].

Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]] .

==Varianten==

==5-Limit-magisch==
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch (septimalmagisch)==
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Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225/224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.

[[19-EDO]], [[22-EDO]] und, besonders gut, [[41-EDO]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Muggel==
Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126/125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die '''Muggel''' getauft wurde. 12 Generatorschritte führen bei Muggel nicht, wie bei Standard-Septimalmagisch, zu einer Appoximation der Naturseptime 17/4 (Komplement des septimalen Ganztons 8/7), sondern zu einer von 12/7, dem Komplement der septimalen Terz 7/6. Der Generator ist also tendenziell etwas kleiner als bei Standard-Septimalmagisch, und bei den kleineren MOS-Skalen sind die Unterschiede zwischen dem grossen und dem kleinen Intervall etwas weniger extrem.

Muggel wird unterstützt von 16-EDO (als Grenzfall) und 19-EDO, jedoch nicht von 22-EDO und 41-EDO. 19-EDO gilt als quasi optimale gleichstufige Realisierung von Muggel. Da 19-EDO auch den Unterschied zwischen 8/7 und 7/6 austemperiert, fällt Muggel in 19-EDO mit Standard-Septimalmagisch zusammen.


[[:en:Muggles|Muggel (englischsprachiger Artikel)]]

==Astrology==

Austemperieren des magischen Kommas und des 7-Limit-Kommas [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] ergibt eine '''Astrology'''-Temperatur. Das Periodenintervall ist bei dieser die für jubilismische Temperaturen typische Halboktave, und entsprechend müssen gleichstufige Realisierungen von Astrology natürlich eine Oktave in eine gerade Anzahl Töne unterteilen. In der Tat wird Astrology von [[22edo]] unterstützt, nicht aber von [[19edo]] oder [[41edo]] (genau umgekehrt wie bei Muggel).

MOS-Skalen von Astrology sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig. Erwähnenswert ist die sechstönige, der Form 4L 2s. Sie ähnelt der bekannten Ganztonskala von [[12edo]], besteht jedoch im Gegensatz zu dieser aus Ganztönen verschiedener Grössen (4 grosse und 2 kleine). 

[Todo Klangbeispiel]

==Weitere Varianten==
Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[:en:Magic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.  
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt|Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung '''geringe Diësis''' (nicht zu verwechseln mit der [[128/125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch '''magisches Komma''' nennen.

Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen je nach Variante verschieden. [[19-EDO]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16-EDO]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22-EDO]] und [[41-EDO]].

Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]] .

==Varianten==

==5-Limit-magisch==
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch (septimalmagisch)==
English: [[:en:Magic|xenharmonic/Magic]]

Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225/224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.

[[19-EDO]], [[22-EDO]] und, besonders gut, [[41-EDO]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Muggel==
Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126/125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die '''Muggel''' getauft wurde. 12 Generatorschritte führen bei Muggel nicht, wie bei Standard-Septimalmagisch, zu einer Appoximation der Naturseptime 17/4 (Komplement des septimalen Ganztons 8/7), sondern zu einer von 12/7, dem Komplement der septimalen Terz 7/6. Der Generator ist also tendenziell etwas kleiner als bei Standard-Septimalmagisch, und bei den kleineren MOS-Skalen sind die Unterschiede zwischen dem grossen und dem kleinen Intervall etwas weniger extrem.

Muggel wird unterstützt von 16-EDO (als Grenzfall) und 19-EDO, jedoch nicht von 22-EDO und 41-EDO. 19-EDO gilt als quasi optimale gleichstufige Realisierung von Muggel. Da 19-EDO auch den Unterschied zwischen 8/7 und 7/6 austemperiert, fällt Muggel in 19-EDO mit Standard-Septimalmagisch zusammen.


[[:en:Muggles|Muggel (englischsprachiger Artikel)]]

==Astrology==

Austemperieren des magischen Kommas und des 7-Limit-Kommas [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] ergibt eine '''Astrology'''-Temperatur. Das Periodenintervall ist bei dieser die für jubilismische Temperaturen typische Halboktave, und entsprechend müssen gleichstufige Realisierungen von Astrology natürlich eine Oktave in eine gerade Anzahl Töne unterteilen. In der Tat wird Astrology neben dem Grenzfall [[16edo]] von [[22edo]] unterstützt, nicht aber von [[19edo]] oder [[41edo]] (letzteres genau umgekehrt wie bei Muggel).

MOS-Skalen von Astrology sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig. Erwähnenswert ist die sechstönige, der Form 4L 2s. Sie ähnelt der bekannten Ganztonskala von [[12edo]], besteht jedoch im Gegensatz zu dieser aus Ganztönen verschiedener Grössen (4 grosse und 2 kleine). 

[Todo Klangbeispiel]

==Weitere Varianten==
Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[:en:Magic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.  
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt|Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung '''geringe Diësis''' (nicht zu verwechseln mit der [[128/125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch '''magisches Komma''' nennen.

Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen je nach Variante verschieden. [[19-EDO]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16-EDO]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22-EDO]] und [[41-EDO]].

Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]] .

=Varianten=

==5-Limit-magisch==
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch (septimalmagisch)==
English: [[:en:Magic|xenharmonic/Magic]]

Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225/224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.

[[19-EDO]], [[22-EDO]] und, besonders gut, [[41-EDO]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Muggel==
Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126/125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die '''Muggel''' getauft wurde. 12 Generatorschritte führen bei Muggel nicht, wie bei Standard-Septimalmagisch, zu einer Appoximation der Naturseptime 17/4 (Komplement des septimalen Ganztons 8/7), sondern zu einer von 12/7, dem Komplement der septimalen Terz 7/6. Der Generator ist also tendenziell etwas kleiner als bei Standard-Septimalmagisch, und bei den kleineren MOS-Skalen sind die Unterschiede zwischen dem grossen und dem kleinen Intervall etwas weniger extrem.

Muggel wird unterstützt von 16-EDO (als Grenzfall) und 19-EDO, jedoch nicht von 22-EDO und 41-EDO. 19-EDO gilt als quasi optimale gleichstufige Realisierung von Muggel. Da 19-EDO auch den Unterschied zwischen 8/7 und 7/6 austemperiert, fällt Muggel in 19-EDO mit Standard-Septimalmagisch zusammen.


[[:en:Muggles|Muggel (englischsprachiger Artikel)]]

==Astrology==

Austemperieren des magischen Kommas und des 7-Limit-Kommas [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] ergibt eine '''Astrology'''-Temperatur. Das Periodenintervall ist bei dieser die für jubilismische Temperaturen typische Halboktave, und entsprechend müssen gleichstufige Realisierungen von Astrology natürlich eine Oktave in eine gerade Anzahl Töne unterteilen. In der Tat wird Astrology neben dem Grenzfall [[16edo]] von [[22edo]] unterstützt, nicht aber von [[19edo]] oder [[41edo]] (letzteres genau umgekehrt wie bei Muggel).

MOS-Skalen von Astrology sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig. Erwähnenswert ist die sechstönige, der Form 4L 2s. Sie ähnelt der bekannten Ganztonskala von [[12edo]], besteht jedoch im Gegensatz zu dieser aus Ganztönen verschiedener Grössen (4 grosse und 2 kleine). 

[Todo Klangbeispiel]

==Weitere Varianten==
Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[:en:Magic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.  
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt|Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung '''geringe Diësis''' (nicht zu verwechseln mit der [[128/125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch '''magisches Komma''' nennen.

Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen je nach Variante verschieden. [[19-EDO]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16-EDO]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22-EDO]] und [[41-EDO]].

Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]] .

=Varianten=

==5-Limit-magisch==
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch (septimalmagisch)==
English: [[:en:Magic|xenharmonic/Magic]]

Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225/224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.

[[19-EDO]], [[22-EDO]] und, besonders gut, [[41-EDO]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Muggel==
Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126/125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die '''Muggel''' getauft wurde. 12 Generatorschritte führen bei Muggel nicht, wie bei Standard-Septimalmagisch, zu einer Appoximation der Naturseptime 7/4 (Komplement des septimalen Ganztons 8/7), sondern zu einer von 12/7, dem Komplement der septimalen Terz 7/6. Der Generator ist also tendenziell etwas kleiner als bei Standard-Septimalmagisch, und bei den kleineren MOS-Skalen sind die Unterschiede zwischen dem grossen und dem kleinen Intervall etwas weniger extrem.

Muggel wird unterstützt von 16-EDO (als Grenzfall) und 19-EDO, jedoch nicht von 22-EDO und 41-EDO. 19-EDO gilt als quasi optimale gleichstufige Realisierung von Muggel. Da 19-EDO auch den Unterschied zwischen 8/7 und 7/6 austemperiert, fällt Muggel in 19-EDO mit Standard-Septimalmagisch zusammen.


[[:en:Muggles|Muggel (englischsprachiger Artikel)]]

==Astrology==

Austemperieren des magischen Kommas und des 7-Limit-Kommas [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] ergibt eine '''Astrology'''-Temperatur. Das Periodenintervall ist bei dieser die für jubilismische Temperaturen typische Halboktave, und entsprechend müssen gleichstufige Realisierungen von Astrology natürlich eine Oktave in eine gerade Anzahl Töne unterteilen. In der Tat wird Astrology neben dem Grenzfall [[16edo]] von [[22edo]] unterstützt, nicht aber von [[19edo]] oder [[41edo]] (letzteres genau umgekehrt wie bei Muggel).

MOS-Skalen von Astrology sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig. Erwähnenswert ist die sechstönige, der Form 4L 2s. Sie ähnelt der bekannten Ganztonskala von [[12edo]], besteht jedoch im Gegensatz zu dieser aus Ganztönen verschiedener Grössen (4 grosse und 2 kleine). 

[Todo Klangbeispiel]

==Weitere Varianten==
Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[:en:Magic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.  
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt|Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung '''geringe Diësis''' (nicht zu verwechseln mit der [[128/125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch '''magisches Komma''' nennen.

Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen je nach Variante verschieden. [[19-EDO]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16-EDO]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22-EDO]] und [[41-EDO]].

Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]] .

=Varianten=

==5-Limit-magisch==
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch (septimalmagisch)==
English: [[:en:Magic|xenharmonic/Magic]]

Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225/224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.

[[19-EDO]], [[22-EDO]] und, besonders gut, [[41-EDO]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Muggel==
Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126/125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die '''Muggel''' getauft wurde. 12 Generatorschritte führen bei Muggel nicht, wie bei Standard-Septimalmagisch, zu einer Appoximation der Naturseptime 7/4 (Komplement des septimalen Ganztons 8/7), sondern zu einer von 12/7, dem Komplement der septimalen Terz 7/6. Der Generator ist also tendenziell etwas kleiner als bei Standard-Septimalmagisch, und bei den kleineren MOS-Skalen sind die Unterschiede zwischen dem grossen und dem kleinen Intervall etwas weniger extrem.

Muggel wird unterstützt von 16-EDO (als Grenzfall) und 19-EDO, jedoch nicht von 22-EDO und 41-EDO. 19-EDO gilt als quasi optimale gleichstufige Realisierung von Muggel. Da 19-EDO auch den Unterschied zwischen 8/7 und 7/6 austemperiert, fällt Muggel in 19-EDO mit Standard-Septimalmagisch zusammen.


[[:en:Muggles|Muggel (englischsprachiger Artikel)]]

==Astrology==

Austemperieren des magischen Kommas und des 7-Limit-Kommas [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] ergibt eine '''Astrology'''-Temperatur. Das Periodenintervall ist bei dieser die für jubilismische Temperaturen typische Halboktave, und entsprechend müssen gleichstufige Realisierungen von Astrology natürlich eine Oktave in eine gerade Anzahl Töne unterteilen. In der Tat wird Astrology neben dem Grenzfall [[16edo]] von [[22edo]] unterstützt, nicht aber von [[19edo]] oder [[41edo]] (letzteres genau umgekehrt wie bei Muggel).

MOS-Skalen von Astrology sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig. Erwähnenswert ist die sechstönige, der Form 4L 2s. Sie ähnelt der bekannten Ganztonskala von [[12edo]], besteht jedoch im Gegensatz zu dieser aus Ganztönen verschiedener Grössen (4 grosse und 2 kleine). 

 [[Datei:Astrology6 22edo.mp3|mini|Astrology[6]-Skala (LsLLsL) in 22edo]] 

==Weitere Varianten==
Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[:en:Magic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.  
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt|Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung '''geringe Diësis''' (nicht zu verwechseln mit der [[128/125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch '''magisches Komma''' nennen.

Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen je nach Variante verschieden. [[19-EDO]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16-EDO]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22-EDO]] und [[41-EDO]].

Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]] .

=Varianten=

==5-Limit-magisch==
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch (septimalmagisch)==
English: [[:en:Magic|xenharmonic/Magic]]

Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225/224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.

[[19-EDO]], [[22-EDO]] und, besonders gut, [[41-EDO]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Muggel==
Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126/125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die '''Muggel''' getauft wurde. 12 Generatorschritte führen bei Muggel nicht, wie bei Standard-Septimalmagisch, zu einer Appoximation der Naturseptime 7/4 (Komplement des septimalen Ganztons 8/7), sondern zu einer von 12/7, dem Komplement der septimalen Terz 7/6. Der Generator ist also tendenziell etwas kleiner als bei Standard-Septimalmagisch, und bei den kleineren MOS-Skalen sind die Unterschiede zwischen dem grossen und dem kleinen Intervall etwas weniger extrem.

Muggel wird unterstützt von 16-EDO (als Grenzfall) und 19-EDO, jedoch nicht von 22-EDO und 41-EDO. 19-EDO gilt als quasi optimale gleichstufige Realisierung von Muggel. Da 19-EDO auch den Unterschied zwischen 8/7 und 7/6 austemperiert, fällt Muggel in 19-EDO mit Standard-Septimalmagisch zusammen.


[[:en:Muggles|Muggel (englischsprachiger Artikel)]]

==Astrology==

Austemperieren des magischen Kommas und des 7-Limit-Kommas [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] ergibt eine '''Astrology'''-Temperatur. Das Periodenintervall ist bei dieser die für jubilismische Temperaturen typische Halboktave, und entsprechend müssen gleichstufige Realisierungen von Astrology natürlich eine Oktave in eine gerade Anzahl Töne unterteilen. In der Tat wird Astrology neben dem Grenzfall [[16edo]] von [[22edo]] unterstützt, nicht aber von [[19edo]] oder [[41edo]] (letzteres genau umgekehrt wie bei Muggel).

MOS-Skalen von Astrology sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig. Erwähnenswert ist die sechstönige, der Form 4L 2s. Sie ähnelt der bekannten Ganztonskala von [[12edo]], besteht jedoch im Gegensatz zu dieser aus Ganztönen verschiedener Grössen (4 grosse und 2 kleine). 

[[Datei:Astrology6 22edo.mp3|mini|Astrology[6]-Skala (LsLLsL) in 22edo]]

==Weitere Varianten==
Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[:en:Magic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.  
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt|Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung '''geringe Diësis''' (nicht zu verwechseln mit der [[128/125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch '''magisches Komma''' nennen.

Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen je nach Variante verschieden. [[19-EDO]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16-EDO]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22-EDO]] und [[41-EDO]].

Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]] .

=Varianten=

==5-Limit-magisch==
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch (septimalmagisch)==
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Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225/224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.

[[19-EDO]], [[22-EDO]] und, besonders gut, [[41-EDO]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Muggel==
Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126/125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die '''Muggel''' getauft wurde. 12 Generatorschritte führen bei Muggel nicht, wie bei Standard-Septimalmagisch, zu einer Appoximation der Naturseptime 7/4 (Komplement des septimalen Ganztons 8/7), sondern zu einer von 12/7, dem Komplement der septimalen Terz 7/6. Der Generator ist also tendenziell etwas kleiner als bei Standard-Septimalmagisch, und bei den kleineren MOS-Skalen sind die Unterschiede zwischen dem grossen und dem kleinen Intervall etwas weniger extrem.

Muggel wird unterstützt von 16-EDO (als Grenzfall) und 19-EDO, jedoch nicht von 22-EDO und 41-EDO. 19-EDO gilt als quasi optimale gleichstufige Realisierung von Muggel. Da 19-EDO auch den Unterschied zwischen 8/7 und 7/6 austemperiert, fällt Muggel in 19-EDO mit Standard-Septimalmagisch zusammen.


[[:en:Muggles|Muggel (englischsprachiger Artikel)]]

==Astrology==

Austemperieren des magischen Kommas und des 7-Limit-Kommas [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] ergibt eine '''Astrology'''-Temperatur. Das Periodenintervall ist bei dieser die für jubilismische Temperaturen typische Halboktave, und entsprechend müssen gleichstufige Realisierungen von Astrology natürlich eine Oktave in eine gerade Anzahl Töne unterteilen. In der Tat wird Astrology neben dem Grenzfall [[16edo]] von [[22edo]] unterstützt, nicht aber von [[19edo]] oder [[41edo]] (letzteres genau umgekehrt wie bei Muggel).

MOS-Skalen von Astrology sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig. Erwähnenswert ist die sechstönige, der Form 4L 2s. Sie ähnelt der bekannten Ganztonskala von [[12edo]], besteht jedoch im Gegensatz zu dieser aus Ganztönen verschiedener Grössen (4 grosse und 2 kleine). 

[[Datei:Astrology6 22edo.mp3|mini|Astrology[6]-Skala (LsLLsL) in 22edo]]

==Weitere Varianten==
Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[:en:Magic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.  
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt|Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung '''geringe Diësis''' (nicht zu verwechseln mit der [[128/125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch '''magisches Komma''' nennen.

Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen je nach Variante verschieden. [[19-EDO]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16-EDO]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22-EDO]] und [[41-EDO]].

Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]] .

=Varianten=

==5-Limit-magisch==
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch (septimalmagisch)==
English: [[:en:Magic|xenharmonic/Magic]]

Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225/224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.

[[19-EDO]], [[22-EDO]] und, besonders gut, [[41-EDO]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Muggel==
Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126/125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die '''Muggel''' getauft wurde. 12 Generatorschritte führen bei Muggel nicht, wie bei Standard-Septimalmagisch, zu einer Appoximation der Naturseptime 7/4 (Komplement des septimalen Ganztons 8/7), sondern zu einer von 12/7, dem Komplement der septimalen Terz 7/6. Der Generator ist also tendenziell etwas kleiner als bei Standard-Septimalmagisch, und bei den kleineren MOS-Skalen sind die Unterschiede zwischen dem grossen und dem kleinen Intervall etwas weniger extrem.

Muggel wird unterstützt von 16-EDO (als Grenzfall) und 19-EDO, jedoch nicht von 22-EDO und 41-EDO. 19-EDO gilt als quasi optimale gleichstufige Realisierung von Muggel. Da 19-EDO auch den Unterschied zwischen 8/7 und 7/6 austemperiert, fällt Muggel in 19-EDO mit Standard-Septimalmagisch zusammen.


[[:en:Muggles|Muggel (englischsprachiger Artikel)]]

==Astrology==

Austemperieren des magischen Kommas und des 7-Limit-Kommas [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] ergibt eine '''Astrology'''-Temperatur. Das Periodenintervall ist bei dieser die für jubilismische Temperaturen typische Halboktave, und entsprechend müssen gleichstufige Realisierungen von Astrology natürlich eine Oktave in eine gerade Anzahl Töne unterteilen. In der Tat wird Astrology neben dem Grenzfall [[16edo]] von [[22edo]] unterstützt, nicht aber von [[19edo]] oder [[41edo]] (letzteres genau umgekehrt wie bei Muggel).

MOS-Skalen von Astrology sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig. Erwähnenswert ist die sechstönige, der Form 4L 2s. Sie ähnelt der bekannten Ganztonskala von [[12edo]], besteht jedoch im Gegensatz zu dieser aus Ganztönen verschiedener Grössen (4 grosse und 2 kleine). 

[[Datei:Astrology6 22edo.mp3]] 

Astrology[6]-Skala (LsLLsL) in 22edo

==Weitere Varianten==
Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[:en:Magic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.  
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt|Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung '''geringe Diësis''' (nicht zu verwechseln mit der [[128/125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch '''magisches Komma''' nennen.

Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen je nach Variante verschieden. [[19-EDO]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16-EDO]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22-EDO]] und [[41-EDO]], ferner, wiederum eine Art Grenzfall mit einer sehr hohen Quinte, [[25-EDO]].

Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]] .

=Varianten=

==5-Limit-magisch==
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch (septimalmagisch)==
English: [[:en:Magic|xenharmonic/Magic]]

Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225/224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.

[[19-EDO]], [[22-EDO]] und, besonders gut, [[41-EDO]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Muggel==
Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126/125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die '''Muggel''' getauft wurde. 12 Generatorschritte führen bei Muggel nicht, wie bei Standard-Septimalmagisch, zu einer Appoximation der Naturseptime 7/4 (Komplement des septimalen Ganztons 8/7), sondern zu einer von 12/7, dem Komplement der septimalen Terz 7/6. Der Generator ist also tendenziell etwas kleiner als bei Standard-Septimalmagisch, und bei den kleineren MOS-Skalen sind die Unterschiede zwischen dem grossen und dem kleinen Intervall etwas weniger extrem.

Muggel wird unterstützt von 16-EDO (als Grenzfall) und 19-EDO, jedoch nicht von 22-EDO und 41-EDO. 19-EDO gilt als quasi optimale gleichstufige Realisierung von Muggel. Da 19-EDO auch den Unterschied zwischen 8/7 und 7/6 austemperiert, fällt Muggel in 19-EDO mit Standard-Septimalmagisch zusammen.


[[:en:Muggles|Muggel (englischsprachiger Artikel)]]

==Astrology==

Austemperieren des magischen Kommas und des 7-Limit-Kommas [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] ergibt eine '''Astrology'''-Temperatur. Das Periodenintervall ist bei dieser die für jubilismische Temperaturen typische Halboktave, und entsprechend müssen gleichstufige Realisierungen von Astrology natürlich eine Oktave in eine gerade Anzahl Töne unterteilen. In der Tat wird Astrology neben dem Grenzfall [[16edo]] von [[22edo]] unterstützt, nicht aber von [[19edo]] oder [[41edo]] (letzteres genau umgekehrt wie bei Muggel).

MOS-Skalen von Astrology sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig. Erwähnenswert ist die sechstönige, der Form 4L 2s. Sie ähnelt der bekannten Ganztonskala von [[12edo]], besteht jedoch im Gegensatz zu dieser aus Ganztönen verschiedener Grössen (4 grosse und 2 kleine). 

[[Datei:Astrology6 22edo.mp3]] 

Astrology[6]-Skala (LsLLsL) in 22edo

==Weitere Varianten==
Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[:en:Magic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.  
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt|Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung '''geringe Diësis''' (nicht zu verwechseln mit der [[128/125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch '''magisches Komma''' nennen.

Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen je nach Variante verschieden. [[19-EDO]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16-EDO]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22-EDO]] und [[41-EDO]], ferner, mit nur minimal herabtemperierter Terz und dafür einer sehr hohen Quinte ebenfalls eine Art Grenzfall, [[25-EDO]].

Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]] .

=Varianten=

==5-Limit-magisch==
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch (septimalmagisch)==
English: [[:en:Magic|xenharmonic/Magic]]

Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225/224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.

[[19-EDO]], [[22-EDO]] und, besonders gut, [[41-EDO]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Muggel==
Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126/125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die '''Muggel''' getauft wurde. 12 Generatorschritte führen bei Muggel nicht, wie bei Standard-Septimalmagisch, zu einer Appoximation der Naturseptime 7/4 (Komplement des septimalen Ganztons 8/7), sondern zu einer von 12/7, dem Komplement der septimalen Terz 7/6. Der Generator ist also tendenziell etwas kleiner als bei Standard-Septimalmagisch, und bei den kleineren MOS-Skalen sind die Unterschiede zwischen dem grossen und dem kleinen Intervall etwas weniger extrem.

Muggel wird unterstützt von 16-EDO (als Grenzfall) und 19-EDO, jedoch nicht von 22-EDO und 41-EDO. 19-EDO gilt als quasi optimale gleichstufige Realisierung von Muggel. Da 19-EDO auch den Unterschied zwischen 8/7 und 7/6 austemperiert, fällt Muggel in 19-EDO mit Standard-Septimalmagisch zusammen.


[[:en:Muggles|Muggel (englischsprachiger Artikel)]]

==Astrology==

Austemperieren des magischen Kommas und des 7-Limit-Kommas [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] ergibt eine '''Astrology'''-Temperatur. Das Periodenintervall ist bei dieser die für jubilismische Temperaturen typische Halboktave, und entsprechend müssen gleichstufige Realisierungen von Astrology natürlich eine Oktave in eine gerade Anzahl Töne unterteilen. In der Tat wird Astrology neben dem Grenzfall [[16edo]] von [[22edo]] unterstützt, nicht aber von [[19edo]] oder [[41edo]] (letzteres genau umgekehrt wie bei Muggel).

MOS-Skalen von Astrology sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig. Erwähnenswert ist die sechstönige, der Form 4L 2s. Sie ähnelt der bekannten Ganztonskala von [[12edo]], besteht jedoch im Gegensatz zu dieser aus Ganztönen verschiedener Grössen (4 grosse und 2 kleine). 

[[Datei:Astrology6 22edo.mp3]] 

Astrology[6]-Skala (LsLLsL) in 22edo

==Weitere Varianten==
Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[:en:Magic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.  
[[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]
=Definition, Komma=
Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt|Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung '''geringe Diësis''' (nicht zu verwechseln mit der [[128/125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch '''magisches Komma''' nennen.

=Weitere Eigenschaften, gleichstufige Stimmungen=
Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen je nach Variante verschieden. [[19-EDO]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16-EDO]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22-EDO]] und [[41-EDO]], ferner, mit nur minimal herabtemperierter Terz und dafür einer sehr hohen Quinte ebenfalls eine Art Grenzfall, [[25-EDO]].
=MOS-Skalen=
Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]] .

=Varianten=

==5-Limit-magisch==
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch (septimalmagisch)==
English: [[:en:Magic|xenharmonic/Magic]]

Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225/224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.

[[19-EDO]], [[22-EDO]] und, besonders gut, [[41-EDO]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Muggel==
Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126/125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die '''Muggel''' getauft wurde. 12 Generatorschritte führen bei Muggel nicht, wie bei Standard-Septimalmagisch, zu einer Appoximation der Naturseptime 7/4 (Komplement des septimalen Ganztons 8/7), sondern zu einer von 12/7, dem Komplement der septimalen Terz 7/6. Der Generator ist also tendenziell etwas kleiner als bei Standard-Septimalmagisch, und bei den kleineren MOS-Skalen sind die Unterschiede zwischen dem grossen und dem kleinen Intervall etwas weniger extrem.

Muggel wird unterstützt von 16-EDO (als Grenzfall) und 19-EDO, jedoch nicht von 22-EDO und 41-EDO. 19-EDO gilt als quasi optimale gleichstufige Realisierung von Muggel. Da 19-EDO auch den Unterschied zwischen 8/7 und 7/6 austemperiert, fällt Muggel in 19-EDO mit Standard-Septimalmagisch zusammen.


[[:en:Muggles|Muggel (englischsprachiger Artikel)]]

==Astrology==

Austemperieren des magischen Kommas und des 7-Limit-Kommas [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] ergibt eine '''Astrology'''-Temperatur. Das Periodenintervall ist bei dieser die für jubilismische Temperaturen typische Halboktave, und entsprechend müssen gleichstufige Realisierungen von Astrology natürlich eine Oktave in eine gerade Anzahl Töne unterteilen. In der Tat wird Astrology neben dem Grenzfall [[16edo]] von [[22edo]] unterstützt, nicht aber von [[19edo]] oder [[41edo]] (letzteres genau umgekehrt wie bei Muggel).

MOS-Skalen von Astrology sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig. Erwähnenswert ist die sechstönige, der Form 4L 2s. Sie ähnelt der bekannten Ganztonskala von [[12edo]], besteht jedoch im Gegensatz zu dieser aus Ganztönen verschiedener Grössen (4 grosse und 2 kleine). 

[[Datei:Astrology6 22edo.mp3]] 

Astrology[6]-Skala (LsLLsL) in 22edo

==Weitere Varianten==
Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[:en:Magic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.  
[[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]
=Definition, Komma=
Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt|Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung '''geringe Diësis''' (nicht zu verwechseln mit der [[128/125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch '''magisches Komma''' nennen.

=Weitere Eigenschaften, gleichstufige Stimmungen=
Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen je nach Variante verschieden. 

[[19-EDO]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16-EDO]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte. Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22-EDO]] und [[41-EDO]], ferner, mit nur minimal herabtemperierter Terz und dafür sehr hoher Quinte ebenfalls eine Art Grenzfall, [[25-EDO]].

=MOS-Skalen=
Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]] .

=Varianten=

==5-Limit-magisch==
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch (septimalmagisch)==
English: [[:en:Magic|xenharmonic/Magic]]

Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225/224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.

[[19-EDO]], [[22-EDO]] und, besonders gut, [[41-EDO]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Muggel==
Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126/125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die '''Muggel''' getauft wurde. 12 Generatorschritte führen bei Muggel nicht, wie bei Standard-Septimalmagisch, zu einer Appoximation der Naturseptime 7/4 (Komplement des septimalen Ganztons 8/7), sondern zu einer von 12/7, dem Komplement der septimalen Terz 7/6. Der Generator ist also tendenziell etwas kleiner als bei Standard-Septimalmagisch, und bei den kleineren MOS-Skalen sind die Unterschiede zwischen dem grossen und dem kleinen Intervall etwas weniger extrem.

Muggel wird unterstützt von 16-EDO (als Grenzfall) und 19-EDO, jedoch nicht von 22-EDO und 41-EDO. 19-EDO gilt als quasi optimale gleichstufige Realisierung von Muggel. Da 19-EDO auch den Unterschied zwischen 8/7 und 7/6 austemperiert, fällt Muggel in 19-EDO mit Standard-Septimalmagisch zusammen.


[[:en:Muggles|Muggel (englischsprachiger Artikel)]]

==Astrology==

Austemperieren des magischen Kommas und des 7-Limit-Kommas [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] ergibt eine '''Astrology'''-Temperatur. Das Periodenintervall ist bei dieser die für jubilismische Temperaturen typische Halboktave, und entsprechend müssen gleichstufige Realisierungen von Astrology natürlich eine Oktave in eine gerade Anzahl Töne unterteilen. In der Tat wird Astrology neben dem Grenzfall [[16edo]] von [[22edo]] unterstützt, nicht aber von [[19edo]] oder [[41edo]] (letzteres genau umgekehrt wie bei Muggel).

MOS-Skalen von Astrology sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig. Erwähnenswert ist die sechstönige, der Form 4L 2s. Sie ähnelt der bekannten Ganztonskala von [[12edo]], besteht jedoch im Gegensatz zu dieser aus Ganztönen verschiedener Grössen (4 grosse und 2 kleine). 

[[Datei:Astrology6 22edo.mp3]] 

Astrology[6]-Skala (LsLLsL) in 22edo

==Weitere Varianten==
Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[:en:Magic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.  
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]
=Definition, Komma=
Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt|Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung '''geringe Diësis''' (nicht zu verwechseln mit der [[128/125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch '''magisches Komma''' nennen.

=Weitere Eigenschaften, gleichstufige Stimmungen=
Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen je nach Variante verschieden. 

[[19-EDO]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16-EDO]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte.

Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22-EDO]] und [[41-EDO]], ferner, mit nur minimal herabtemperierter Terz und dafür sehr hoher Quinte ebenfalls eine Art Grenzfall, [[25-EDO]].

=MOS-Skalen=
Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]] .

=Varianten=

==5-Limit-magisch==
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch (septimalmagisch)==
English: [[:en:Magic|xenharmonic/Magic]]

Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225/224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.

[[19-EDO]], [[22-EDO]] und, besonders gut, [[41-EDO]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Muggel==
Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126/125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die '''Muggel''' getauft wurde. 12 Generatorschritte führen bei Muggel nicht, wie bei Standard-Septimalmagisch, zu einer Appoximation der Naturseptime 7/4 (Komplement des septimalen Ganztons 8/7), sondern zu einer von 12/7, dem Komplement der septimalen Terz 7/6. Der Generator ist also tendenziell etwas kleiner als bei Standard-Septimalmagisch, und bei den kleineren MOS-Skalen sind die Unterschiede zwischen dem grossen und dem kleinen Intervall etwas weniger extrem.

Muggel wird unterstützt von 16-EDO (als Grenzfall) und 19-EDO, jedoch nicht von 22-EDO und 41-EDO. 19-EDO gilt als quasi optimale gleichstufige Realisierung von Muggel. Da 19-EDO auch den Unterschied zwischen 8/7 und 7/6 austemperiert, fällt Muggel in 19-EDO mit Standard-Septimalmagisch zusammen.


[[:en:Muggles|Muggel (englischsprachiger Artikel)]]

==Astrology==

Austemperieren des magischen Kommas und des 7-Limit-Kommas [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] ergibt eine '''Astrology'''-Temperatur. Das Periodenintervall ist bei dieser die für jubilismische Temperaturen typische Halboktave, und entsprechend müssen gleichstufige Realisierungen von Astrology natürlich eine Oktave in eine gerade Anzahl Töne unterteilen. In der Tat wird Astrology neben dem Grenzfall [[16edo]] von [[22edo]] unterstützt, nicht aber von [[19edo]] oder [[41edo]] (letzteres genau umgekehrt wie bei Muggel).

MOS-Skalen von Astrology sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig. Erwähnenswert ist die sechstönige, der Form 4L 2s. Sie ähnelt der bekannten Ganztonskala von [[12edo]], besteht jedoch im Gegensatz zu dieser aus Ganztönen verschiedener Grössen (4 grosse und 2 kleine). 

[[Datei:Astrology6 22edo.mp3]] 

Astrology[6]-Skala (LsLLsL) in 22edo

==Weitere Varianten==
Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[:en:Magic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.  
[[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]
=Definition, Komma=
Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt|Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung '''geringe Diësis''' (nicht zu verwechseln mit der [[128/125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch '''magisches Komma''' nennen.

=Weitere Eigenschaften, gleichstufige Stimmungen=
Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen je nach Variante verschieden. 

[[19-EDO]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16-EDO]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte.

Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22-EDO]] und [[41-EDO]], ferner, mit nur minimal herabtemperierter Terz und dafür sehr hoher Quinte ebenfalls eine Art Grenzfall, [[25-EDO]].

=MOS-Skalen=
Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]] .

=Varianten=

==5-Limit-magisch==
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch (septimalmagisch)==
English: [[:en:Magic|xenharmonic/Magic]]

Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225/224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.

[[19-EDO]], [[22-EDO]] und, besonders gut, [[41-EDO]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Muggel==
English: [[:en:Muggles|xenharmonic/Muggles]]

Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126/125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die '''Muggel''' getauft wurde. 12 Generatorschritte führen bei Muggel nicht, wie bei Standard-Septimalmagisch, zu einer Appoximation der Naturseptime 7/4 (Komplement des septimalen Ganztons 8/7), sondern zu einer von 12/7, dem Komplement der septimalen Terz 7/6. Der Generator ist also tendenziell etwas kleiner als bei Standard-Septimalmagisch, und bei den kleineren MOS-Skalen sind die Unterschiede zwischen dem grossen und dem kleinen Intervall etwas weniger extrem.

Muggel wird unterstützt von 16-EDO (als Grenzfall) und 19-EDO, jedoch nicht von 22-EDO und 41-EDO. 19-EDO gilt als quasi optimale gleichstufige Realisierung von Muggel. Da 19-EDO auch den Unterschied zwischen 8/7 und 7/6 austemperiert, fällt Muggel in 19-EDO mit Standard-Septimalmagisch zusammen.


[[:en:Muggles|Muggel (englischsprachiger Artikel)]]

==Astrology==

Austemperieren des magischen Kommas und des 7-Limit-Kommas [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] ergibt eine '''Astrology'''-Temperatur. Das Periodenintervall ist bei dieser die für jubilismische Temperaturen typische Halboktave, und entsprechend müssen gleichstufige Realisierungen von Astrology natürlich eine Oktave in eine gerade Anzahl Töne unterteilen. In der Tat wird Astrology neben dem Grenzfall [[16edo]] von [[22edo]] unterstützt, nicht aber von [[19edo]] oder [[41edo]] (letzteres genau umgekehrt wie bei Muggel).

MOS-Skalen von Astrology sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig. Erwähnenswert ist die sechstönige, der Form 4L 2s. Sie ähnelt der bekannten Ganztonskala von [[12edo]], besteht jedoch im Gegensatz zu dieser aus Ganztönen verschiedener Grössen (4 grosse und 2 kleine). 

[[Datei:Astrology6 22edo.mp3]] 

Astrology[6]-Skala (LsLLsL) in 22edo

==Weitere Varianten==
Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[:en:Magic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.  
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]
=Definition, Komma=
Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt|Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung '''geringe Diësis''' (nicht zu verwechseln mit der [[128/125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch '''magisches Komma''' nennen.

=Weitere Eigenschaften, gleichstufige Stimmungen=
Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen je nach Variante verschieden. 

[[19-EDO]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16-EDO]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte.

Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22-EDO]] und [[41-EDO]], ferner, mit nur minimal herabtemperierter Terz und dafür sehr hoher Quinte ebenfalls eine Art Grenzfall, [[25-EDO]].

=MOS-Skalen=
Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]] .

=Varianten=

==5-Limit-magisch==
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch (septimalmagisch)==
English: [[:en:Magic|xenharmonic/Magic]]

Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225/224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.

[[19-EDO]], [[22-EDO]] und, besonders gut, [[41-EDO]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Muggel==
English: 
[[:en:Muggles|Muggles]]

Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126/125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die '''Muggel''' getauft wurde. 12 Generatorschritte führen bei Muggel nicht, wie bei Standard-Septimalmagisch, zu einer Appoximation der Naturseptime 7/4 (Komplement des septimalen Ganztons 8/7), sondern zu einer von 12/7, dem Komplement der septimalen Terz 7/6. Der Generator ist also tendenziell etwas kleiner als bei Standard-Septimalmagisch, und bei den kleineren MOS-Skalen sind die Unterschiede zwischen dem grossen und dem kleinen Intervall etwas weniger extrem.

Muggel wird unterstützt von 16-EDO (als Grenzfall) und 19-EDO, jedoch nicht von 22-EDO und 41-EDO. 19-EDO gilt als quasi optimale gleichstufige Realisierung von Muggel. Da 19-EDO auch den Unterschied zwischen 8/7 und 7/6 austemperiert, fällt Muggel in 19-EDO mit Standard-Septimalmagisch zusammen.

==Astrology==

Austemperieren des magischen Kommas und des 7-Limit-Kommas [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] ergibt eine '''Astrology'''-Temperatur. Das Periodenintervall ist bei dieser die für jubilismische Temperaturen typische Halboktave, und entsprechend müssen gleichstufige Realisierungen von Astrology natürlich eine Oktave in eine gerade Anzahl Töne unterteilen. In der Tat wird Astrology neben dem Grenzfall [[16edo]] von [[22edo]] unterstützt, nicht aber von [[19edo]] oder [[41edo]] (letzteres genau umgekehrt wie bei Muggel).

MOS-Skalen von Astrology sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig. Erwähnenswert ist die sechstönige, der Form 4L 2s. Sie ähnelt der bekannten Ganztonskala von [[12edo]], besteht jedoch im Gegensatz zu dieser aus Ganztönen verschiedener Grössen (4 grosse und 2 kleine). 

[[Datei:Astrology6 22edo.mp3]] 

Astrology[6]-Skala (LsLLsL) in 22edo

==Weitere Varianten==
Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[:en:Magic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.  
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]
=Definition, Komma=
Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt|Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung '''geringe Diësis''' (nicht zu verwechseln mit der [[128/125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch '''magisches Komma''' nennen.

=Weitere Eigenschaften, gleichstufige Stimmungen=
Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen je nach Variante verschieden. 

[[19-EDO]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16-EDO]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte.

Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22-EDO]] und [[41-EDO]], ferner, mit nur minimal herabtemperierter Terz und dafür sehr hoher Quinte ebenfalls eine Art Grenzfall, [[25-EDO]].

=MOS-Skalen=
Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]] .

=Varianten=

==5-Limit-magisch==
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch (septimalmagisch)==
English: [[:en:Magic|xenharmonic/Magic]]

Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225/224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.

[[19-EDO]], [[22-EDO]] und, besonders gut, [[41-EDO]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Muggel==
English: 
[[:en:Muggles|Muggles]]

Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126/125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die '''Muggel''' getauft wurde. 12 Generatorschritte führen bei Muggel nicht, wie bei Standard-Septimalmagisch, zu einer Appoximation der Naturseptime 7/4 (Komplement des septimalen Ganztons 8/7), sondern zu einer von 12/7, dem Komplement der septimalen Terz 7/6. Der Generator ist also tendenziell etwas kleiner als bei Standard-Septimalmagisch, und bei den kleineren MOS-Skalen sind die Unterschiede zwischen dem grossen und dem kleinen Intervall etwas weniger extrem.

Muggel wird unterstützt von [[16-EDO]] (als Grenzfall) und [[19-EDO]], jedoch nicht von [[22-EDO]] und [[41-EDO]]. 19-EDO gilt als quasi optimale gleichstufige Realisierung von Muggel. Da 19-EDO auch den Unterschied zwischen 8/7 und 7/6 austemperiert, fällt Muggel in 19-EDO mit Standard-Septimalmagisch zusammen.

==Astrology==

Austemperieren des magischen Kommas und des 7-Limit-Kommas [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] ergibt eine '''Astrology'''-Temperatur. Das Periodenintervall ist bei dieser die für jubilismische Temperaturen typische Halboktave, und entsprechend müssen gleichstufige Realisierungen von Astrology natürlich eine Oktave in eine gerade Anzahl Töne unterteilen. In der Tat wird Astrology neben dem Grenzfall [[16edo]] von [[22edo]] unterstützt, nicht aber von [[19edo]] oder [[41edo]] (letzteres genau umgekehrt wie bei Muggel).

MOS-Skalen von Astrology sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig. Erwähnenswert ist die sechstönige, der Form 4L 2s. Sie ähnelt der bekannten Ganztonskala von [[12edo]], besteht jedoch im Gegensatz zu dieser aus Ganztönen verschiedener Grössen (4 grosse und 2 kleine). 

[[Datei:Astrology6 22edo.mp3]] 

Astrology[6]-Skala (LsLLsL) in 22edo

==Weitere Varianten==
Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[:en:Magic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.  
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]
=Definition, Komma=
Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt|Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung '''geringe Diësis''' (nicht zu verwechseln mit der [[128/125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch '''magisches Komma''' nennen.

=Weitere Eigenschaften, gleichstufige Stimmungen=
Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen je nach Variante verschieden. 

[[19-EDO]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16-EDO]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte.

Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22-EDO]] und [[41-EDO]], ferner, mit nur minimal herabtemperierter Terz und dafür sehr hoher Quinte ebenfalls eine Art Grenzfall, [[25-EDO]].

=MOS-Skalen=
Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]] .

=Varianten=

==5-Limit-magisch==
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch (septimalmagisch)==
English: [[:en:Magic|xenharmonic/Magic]]

Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225/224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.

[[19-EDO]], [[22-EDO]] und, besonders gut, [[41-EDO]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Muggel==
English: 
[[:en:Muggles|Muggles]]

Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126/125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die '''Muggel''' getauft wurde. 12 Generatorschritte führen bei Muggel nicht, wie bei Standard-Septimalmagisch, zu einer Appoximation der Naturseptime 7/4 (Komplement des septimalen Ganztons 8/7), sondern zu einer von 12/7, dem Komplement der septimalen Terz 7/6. Der Generator ist also tendenziell etwas kleiner als bei Standard-Septimalmagisch, und bei den kleineren MOS-Skalen sind die Unterschiede zwischen dem grossen und dem kleinen Intervall etwas weniger extrem.

Muggel wird unterstützt von [[16-EDO]] (als Grenzfall) und [[19-EDO]], jedoch nicht von [[22-EDO]] und [[41-EDO]]. 19-EDO gilt als quasi optimale gleichstufige Realisierung von Muggel. Da 19-EDO auch den Unterschied zwischen 8/7 und 7/6 austemperiert, fällt Muggel in 19-EDO mit Standard-Septimalmagisch zusammen.

==Astrology==

English: [[:en:jubilismic_clan#Astrology|Astrology]]

Austemperieren des magischen Kommas und des 7-Limit-Kommas [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] ergibt eine '''Astrology'''-Temperatur. Das Periodenintervall ist bei dieser die für jubilismische Temperaturen typische Halboktave, und entsprechend müssen gleichstufige Realisierungen von Astrology natürlich eine Oktave in eine gerade Anzahl Töne unterteilen. In der Tat wird Astrology neben dem Grenzfall [[16edo]] von [[22edo]] unterstützt, nicht aber von [[19edo]] oder [[41edo]] (letzteres genau umgekehrt wie bei Muggel).

MOS-Skalen von Astrology sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig. Erwähnenswert ist die sechstönige, der Form 4L 2s. Sie ähnelt der bekannten Ganztonskala von [[12edo]], besteht jedoch im Gegensatz zu dieser aus Ganztönen verschiedener Grössen (4 grosse und 2 kleine). 

[[Datei:Astrology6 22edo.mp3]] 

Astrology[6]-Skala (LsLLsL) in 22edo

==Weitere Varianten==
Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[:en:Magic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.  
[[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]
=Definition, Komma=
Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt|Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung '''geringe Diësis''' (nicht zu verwechseln mit der [[128/125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch '''magisches Komma''' nennen.

=Weitere Eigenschaften, gleichstufige Stimmungen=
Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen je nach Variante verschieden. 

[[19-EDO]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16-EDO]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte.

Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22-EDO]] und [[41-EDO]], ferner, mit nur minimal herabtemperierter Terz und dafür sehr hoher Quinte ebenfalls eine Art Grenzfall, [[25-EDO]].

=MOS-Skalen=
Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]] .

=Varianten=

==5-Limit-magisch==
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch (septimalmagisch)==
English: [[:en:Magic|xenharmonic/Magic]]

Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225/224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.

[[19-EDO]], [[22-EDO]] und, besonders gut, [[41-EDO]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Muggel==
English: 
[[:en:Muggles|Muggles]]

Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126/125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die '''Muggel''' getauft wurde. 12 Generatorschritte führen bei Muggel nicht, wie bei Standard-Septimalmagisch, zu einer Appoximation der Naturseptime 7/4 (Komplement des septimalen Ganztons 8/7), sondern zu einer von 12/7, dem Komplement der septimalen Terz 7/6. Der Generator ist also tendenziell etwas kleiner als bei Standard-Septimalmagisch, und bei den kleineren MOS-Skalen sind die Unterschiede zwischen dem grossen und dem kleinen Intervall etwas weniger extrem.

Muggel wird unterstützt von [[16-EDO]] (als Grenzfall) und [[19-EDO]], jedoch nicht von [[22-EDO]] und [[41-EDO]]. 19-EDO gilt als quasi optimale gleichstufige Realisierung von Muggel. Da 19-EDO auch den Unterschied zwischen 8/7 und 7/6 austemperiert, fällt Muggel in 19-EDO mit Standard-Septimalmagisch zusammen.

==Astrology==

English: [[:en:jubilismic_clan#Astrology|Astrology]]

Austemperieren des magischen Kommas und des 7-Limit-Kommas [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] ergibt eine '''Astrology'''-Temperatur. Das Periodenintervall ist bei dieser die für jubilismische Temperaturen typische Halboktave, und entsprechend müssen gleichstufige Realisierungen von Astrology natürlich eine Oktave in eine gerade Anzahl Töne unterteilen. In der Tat wird Astrology neben dem Grenzfall [[16edo]] von [[22edo]] unterstützt, nicht aber von [[19edo]] oder [[41edo]] (letzteres genau umgekehrt wie bei Muggel).

MOS-Skalen von Astrology sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig. Erwähnenswert ist die sechstönige, der Form 4L 2s. Sie ähnelt der bekannten Ganztonskala von [[12edo]], besteht jedoch im Gegensatz zu dieser aus Ganztönen verschiedener Grössen (4 grosse und 2 kleine). 

[[Datei:Astrology6 22edo.mp3]] 

Astrology[6]-Skala (LsLLsL) in 22-EDO



[[Datei:16EdoAstrology.mp3]]

Astrology[6]-Skala (LsLLsL) in 16-EDO

==Weitere Varianten==
Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[:en:Magic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.  
[[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]
=Definition, Komma=
Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt|Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung '''geringe Diësis''' (nicht zu verwechseln mit der [[128/125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch '''magisches Komma''' nennen.

=Weitere Eigenschaften, gleichstufige Stimmungen=
Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen je nach Variante verschieden. 

[[19-EDO]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16-EDO]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte.

Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22-EDO]] und [[41-EDO]], ferner, mit nur minimal herabtemperierter Terz und dafür sehr hoher Quinte ebenfalls eine Art Grenzfall, [[25-EDO]].

=MOS-Skalen=
Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]] .

=Varianten=

==5-Limit-magisch==
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch (septimalmagisch)==
English: [[:en:Magic|xenharmonic/Magic]]

Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225/224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.

[[19-EDO]], [[22-EDO]] und, besonders gut, [[41-EDO]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Muggel==
English: 
[[:en:Muggles|Muggles]]

Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126/125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die '''Muggel''' getauft wurde. 12 Generatorschritte führen bei Muggel nicht, wie bei Standard-Septimalmagisch, zu einer Appoximation der Naturseptime 7/4 (Komplement des septimalen Ganztons 8/7), sondern zu einer von 12/7, dem Komplement der septimalen Terz 7/6. Der Generator ist also tendenziell etwas kleiner als bei Standard-Septimalmagisch, und bei den kleineren MOS-Skalen sind die Unterschiede zwischen dem grossen und dem kleinen Intervall etwas weniger extrem.

Muggel wird unterstützt von [[16-EDO]] (als Grenzfall) und [[19-EDO]], jedoch nicht von [[22-EDO]] und [[41-EDO]]. 

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige magische/Muggel-Skala (LsLsLss)


[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3]]

Zehntönige magische/Muggel-Skala (LssLssLsss) in 16-EDO

19-EDO gilt als quasi optimale gleichstufige Realisierung von Muggel. Da 19-EDO auch den Unterschied zwischen 8/7 und 7/6 austemperiert, fällt Muggel in 19-EDO mit Standard-Septimalmagisch zusammen.

==Astrology==

English: [[:en:jubilismic_clan#Astrology|Astrology]]

Austemperieren des magischen Kommas und des 7-Limit-Kommas [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] ergibt eine '''Astrology'''-Temperatur. Das Periodenintervall ist bei dieser die für jubilismische Temperaturen typische Halboktave, und entsprechend müssen gleichstufige Realisierungen von Astrology natürlich eine Oktave in eine gerade Anzahl Töne unterteilen. In der Tat wird Astrology neben dem Grenzfall [[16edo]] von [[22edo]] unterstützt, nicht aber von [[19edo]] oder [[41edo]] (letzteres genau umgekehrt wie bei Muggel).

MOS-Skalen von Astrology sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig. Erwähnenswert ist die sechstönige, der Form 4L 2s. Sie ähnelt der bekannten Ganztonskala von [[12edo]], besteht jedoch im Gegensatz zu dieser aus Ganztönen verschiedener Grössen (4 grosse und 2 kleine). 

[[Datei:Astrology6 22edo.mp3]] 

Astrology[6]-Skala (LsLLsL) in 22-EDO



[[Datei:16EdoAstrology.mp3]]

Astrology[6]-Skala (LsLLsL) in 16-EDO

==Weitere Varianten==
Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[:en:Magic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.  
[[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]
=Definition, Komma=
Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt|Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte Komma ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung '''geringe Diësis''' (nicht zu verwechseln mit der [[128/125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch '''magisches Komma''' nennen.

=Weitere Eigenschaften, gleichstufige Stimmungen=
Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen je nach Variante verschieden. 

[[19-EDO]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16-EDO]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte.

Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22-EDO]] und [[41-EDO]], ferner, mit nur minimal herabtemperierter Terz und dafür sehr hoher Quinte ebenfalls eine Art Grenzfall, [[25-EDO]].

=MOS-Skalen=
Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]] .

=Varianten=

==5-Limit-magisch==
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch (septimalmagisch)==
English: [[:en:Magic|xenharmonic/Magic]]

Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225/224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.

[[19-EDO]], [[22-EDO]] und, besonders gut, [[41-EDO]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Muggel==
English: 
[[:en:Muggles|Muggles]]

Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126/125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die '''Muggel''' getauft wurde. 12 Generatorschritte führen bei Muggel nicht, wie bei Standard-Septimalmagisch, zu einer Appoximation der Naturseptime 7/4 (Komplement des septimalen Ganztons 8/7), sondern zu einer von 12/7, dem Komplement der septimalen Terz 7/6. Der Generator ist also tendenziell etwas kleiner als bei Standard-Septimalmagisch, und bei den kleineren MOS-Skalen sind die Unterschiede zwischen dem grossen und dem kleinen Intervall etwas weniger extrem.

Muggel wird unterstützt von [[16-EDO]] (als Grenzfall) und [[19-EDO]], jedoch nicht von [[22-EDO]] und [[41-EDO]]. 

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige Muggel-Skala (LsLsLss) in 16-EDO


[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3]]

Zehntönige Muggel-Skala (LssLssLsss) in 16-EDO

19-EDO gilt als quasi optimale gleichstufige Realisierung von Muggel. Da 19-EDO auch den Unterschied zwischen 8/7 und 7/6 austemperiert, fällt Muggel in 19-EDO mit Standard-Septimalmagisch zusammen.

==Astrology==

English: [[:en:jubilismic_clan#Astrology|Astrology]]

Austemperieren des magischen Kommas und des 7-Limit-Kommas [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] ergibt eine '''Astrology'''-Temperatur. Das Periodenintervall ist bei dieser die für jubilismische Temperaturen typische Halboktave, und entsprechend müssen gleichstufige Realisierungen von Astrology natürlich eine Oktave in eine gerade Anzahl Töne unterteilen. In der Tat wird Astrology neben dem Grenzfall [[16edo]] von [[22edo]] unterstützt, nicht aber von [[19edo]] oder [[41edo]] (letzteres genau umgekehrt wie bei Muggel).

MOS-Skalen von Astrology sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig. Erwähnenswert ist die sechstönige, der Form 4L 2s. Sie ähnelt der bekannten Ganztonskala von [[12edo]], besteht jedoch im Gegensatz zu dieser aus Ganztönen verschiedener Grössen (4 grosse und 2 kleine). 

[[Datei:Astrology6 22edo.mp3]] 

Astrology[6]-Skala (LsLLsL) in 22-EDO



[[Datei:16EdoAstrology.mp3]]

Astrology[6]-Skala (LsLLsL) in 16-EDO

==Weitere Varianten==
Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[:en:Magic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.  
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]
=Definition, Komma=
Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt|Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte [[Komma]] ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung '''geringe Diësis''' (nicht zu verwechseln mit der [[128/125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch '''magisches Komma''' nennen.

=Weitere Eigenschaften, gleichstufige Stimmungen=
Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen je nach Variante verschieden. 

[[19-EDO]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16-EDO]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte.

Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22-EDO]] und [[41-EDO]], ferner, mit nur minimal herabtemperierter Terz und dafür sehr hoher Quinte ebenfalls eine Art Grenzfall, [[25-EDO]].

=MOS-Skalen=
Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]] .

=Varianten=

==5-Limit-magisch==
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch (septimalmagisch)==
English: [[:en:Magic|xenharmonic/Magic]]

Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225/224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.

[[19-EDO]], [[22-EDO]] und, besonders gut, [[41-EDO]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Muggel==
English: 
[[:en:Muggles|Muggles]]

Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126/125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die '''Muggel''' getauft wurde. 12 Generatorschritte führen bei Muggel nicht, wie bei Standard-Septimalmagisch, zu einer Appoximation der Naturseptime 7/4 (Komplement des septimalen Ganztons 8/7), sondern zu einer von 12/7, dem Komplement der septimalen Terz 7/6. Der Generator ist also tendenziell etwas kleiner als bei Standard-Septimalmagisch, und bei den kleineren MOS-Skalen sind die Unterschiede zwischen dem grossen und dem kleinen Intervall etwas weniger extrem.

Muggel wird unterstützt von [[16-EDO]] (als Grenzfall) und [[19-EDO]], jedoch nicht von [[22-EDO]] und [[41-EDO]]. 

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige Muggel-Skala (LsLsLss) in 16-EDO


[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3]]

Zehntönige Muggel-Skala (LssLssLsss) in 16-EDO

19-EDO gilt als quasi optimale gleichstufige Realisierung von Muggel. Da 19-EDO auch den Unterschied zwischen 8/7 und 7/6 austemperiert, fällt Muggel in 19-EDO mit Standard-Septimalmagisch zusammen.

==Astrology==

English: [[:en:jubilismic_clan#Astrology|Astrology]]

Austemperieren des magischen Kommas und des 7-Limit-Kommas [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] ergibt eine '''Astrology'''-Temperatur. Das Periodenintervall ist bei dieser die für jubilismische Temperaturen typische Halboktave, und entsprechend müssen gleichstufige Realisierungen von Astrology natürlich eine Oktave in eine gerade Anzahl Töne unterteilen. In der Tat wird Astrology neben dem Grenzfall [[16edo]] von [[22edo]] unterstützt, nicht aber von [[19edo]] oder [[41edo]] (letzteres genau umgekehrt wie bei Muggel).

MOS-Skalen von Astrology sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig. Erwähnenswert ist die sechstönige, der Form 4L 2s. Sie ähnelt der bekannten Ganztonskala von [[12edo]], besteht jedoch im Gegensatz zu dieser aus Ganztönen verschiedener Grössen (4 grosse und 2 kleine). 

[[Datei:Astrology6 22edo.mp3]] 

Astrology[6]-Skala (LsLLsL) in 22-EDO



[[Datei:16EdoAstrology.mp3]]

Astrology[6]-Skala (LsLLsL) in 16-EDO

==Weitere Varianten==
Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[:en:Magic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.  
[[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]
=Definition, Komma=
Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt|Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte [[Komma]] ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung '''geringe Diësis''' (nicht zu verwechseln mit der [[128/125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch '''magisches Komma''' nennen.

=Weitere Eigenschaften, gleichstufige Stimmungen=
Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen je nach Variante verschieden. 

[[19-EDO]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16-EDO]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte.

Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22-EDO]] und [[41-EDO]], ferner, mit nur minimal herabtemperierter Terz und dafür sehr hoher Quinte ebenfalls eine Art Grenzfall, [[25-EDO]].

=MOS-Skalen=
Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]] .

=Varianten=

==5-Limit-magisch==
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch (septimalmagisch)==
English: [[:en:Magic|xenharmonic/Magic]]

Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225/224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.

[[19-EDO]], [[22-EDO]] und, besonders gut, [[41-EDO]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Muggel==
English: 
[[:en:Muggles|Muggles]]

Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126/125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die '''Muggel''' getauft wurde. 12 Generatorschritte führen bei Muggel nicht, wie bei Standard-Septimalmagisch, zu einer Appoximation der Naturseptime 7/4 (Komplement des septimalen Ganztons 8/7), sondern zu einer von 12/7, dem Komplement der septimalen Terz 7/6. Der Generator ist also tendenziell etwas kleiner als bei Standard-Septimalmagisch, und bei den kleineren MOS-Skalen sind die Unterschiede zwischen dem grossen und dem kleinen Intervall etwas weniger extrem.

Muggel wird unterstützt von [[16-EDO]] (als Grenzfall) und [[19-EDO]], jedoch nicht von [[22-EDO]] und [[41-EDO]]. 

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige Muggel-Skala (LsLsLss) in 16-EDO


[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3]]

Zehntönige Muggel-Skala (LssLssLsss) in 16-EDO

19-EDO gilt als quasi optimale gleichstufige Realisierung von Muggel. Da 19-EDO auch den Unterschied zwischen 8/7 und 7/6 austemperiert, fällt Muggel in 19-EDO mit Standard-Septimalmagisch zusammen.

==Astrology==

[[:en:jubilismic_clan#Astrology|English]]

Austemperieren des magischen Kommas und des 7-Limit-Kommas [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] ergibt eine '''Astrology'''-Temperatur. Das Periodenintervall ist bei dieser die für jubilismische Temperaturen typische Halboktave, und entsprechend müssen gleichstufige Realisierungen von Astrology natürlich eine Oktave in eine gerade Anzahl Töne unterteilen. In der Tat wird Astrology neben dem Grenzfall [[16edo]] von [[22edo]] unterstützt, nicht aber von [[19edo]] oder [[41edo]] (letzteres genau umgekehrt wie bei Muggel).

MOS-Skalen von Astrology sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig. Erwähnenswert ist die sechstönige, der Form 4L 2s. Sie ähnelt der bekannten Ganztonskala von [[12edo]], besteht jedoch im Gegensatz zu dieser aus Ganztönen verschiedener Grössen (4 grosse und 2 kleine). 

[[Datei:Astrology6 22edo.mp3]] 

Astrology[6]-Skala (LsLLsL) in 22-EDO



[[Datei:16EdoAstrology.mp3]]

Astrology[6]-Skala (LsLLsL) in 16-EDO

==Weitere Varianten==
Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[:en:Magic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.  
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]
=Definition, Komma=
Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt|Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte [[Komma]] ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung '''geringe Diësis''' (nicht zu verwechseln mit der [[128/125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch '''magisches Komma''' nennen.

=Weitere Eigenschaften, gleichstufige Stimmungen=
Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen je nach Variante verschieden. 

[[19-EDO]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16-EDO]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte.

Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22-EDO]] und [[41-EDO]], ferner, mit nur minimal herabtemperierter Terz und dafür sehr hoher Quinte ebenfalls eine Art Grenzfall, [[25-EDO]].

=MOS-Skalen=
Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]] .

=Varianten=

==5-Limit-magisch==
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch (septimalmagisch)==
English: [[:en:Magic|xenharmonic/Magic]]

Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225/224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.

[[19-EDO]], [[22-EDO]] und, besonders gut, [[41-EDO]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Muggel==
English: 
[[:en:Muggles|Muggles]]

Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126/125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die '''Muggel''' getauft wurde. 12 Generatorschritte führen bei Muggel nicht, wie bei Standard-Septimalmagisch, zu einer Appoximation der Naturseptime 7/4 (Komplement des septimalen Ganztons 8/7), sondern zu einer von 12/7, dem Komplement der septimalen Terz 7/6. Der Generator ist also tendenziell etwas kleiner als bei Standard-Septimalmagisch, und bei den kleineren MOS-Skalen sind die Unterschiede zwischen dem grossen und dem kleinen Intervall etwas weniger extrem.

Muggel wird unterstützt von [[16-EDO]] (als Grenzfall) und [[19-EDO]], jedoch nicht von [[22-EDO]] und [[41-EDO]]. 

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige Magisch-/Muggel-Skala (LsLsLss) in 16-EDO


[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3]]

Zehntönige Magisch-/Muggel-Skala (LssLssLsss) in 16-EDO

19-EDO gilt als quasi optimale gleichstufige Realisierung von Muggel. Da 19-EDO auch den Unterschied zwischen 8/7 und 7/6 austemperiert, fällt Muggel in 19-EDO mit Standard-Septimalmagisch zusammen.

==Astrology==

[[:en:jubilismic_clan#Astrology|English]]

Austemperieren des magischen Kommas und des 7-Limit-Kommas [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] ergibt eine '''Astrology'''-Temperatur. Das Periodenintervall ist bei dieser die für jubilismische Temperaturen typische Halboktave, und entsprechend müssen gleichstufige Realisierungen von Astrology natürlich eine Oktave in eine gerade Anzahl Töne unterteilen. In der Tat wird Astrology neben dem Grenzfall [[16edo]] von [[22edo]] unterstützt, nicht aber von [[19edo]] oder [[41edo]] (letzteres genau umgekehrt wie bei Muggel).

MOS-Skalen von Astrology sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig. Erwähnenswert ist die sechstönige, der Form 4L 2s. Sie ähnelt der bekannten Ganztonskala von [[12edo]], besteht jedoch im Gegensatz zu dieser aus Ganztönen verschiedener Grössen (4 grosse und 2 kleine). 

[[Datei:Astrology6 22edo.mp3]] 

Astrology[6]-Skala (LsLLsL) in 22-EDO



[[Datei:16EdoAstrology.mp3]]

Astrology[6]-Skala (LsLLsL) in 16-EDO

==Weitere Varianten==
Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[:en:Magic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.  
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]
=Definition, Komma=
Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt|Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte [[Komma]] ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung '''geringe Diësis''' (nicht zu verwechseln mit der [[128/125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch '''magisches Komma''' nennen.

=Weitere Eigenschaften, gleichstufige Stimmungen=
Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen je nach Variante verschieden. 

[[19-EDO]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16-EDO]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte.

Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22-EDO]] und [[41-EDO]], ferner, mit nur minimal herabtemperierter Terz und dafür sehr hoher Quinte ebenfalls eine Art Grenzfall, [[25-EDO]].

=MOS-Skalen=
Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]] .

=Varianten=

==5-Limit-magisch==
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch (septimalmagisch)==
English: [[:en:Magic|xenharmonic/Magic]]

Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225/224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.

[[19-EDO]], [[22-EDO]] und, besonders gut, [[41-EDO]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Muggel==
English: 
[[:en:Muggles|Muggles]]

Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126/125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die '''Muggel''' getauft wurde. 12 Generatorschritte führen bei Muggel nicht, wie bei Standard-Septimalmagisch, zu einer Appoximation der Naturseptime 7/4 (Komplement des septimalen Ganztons 8/7), sondern zu einer von 12/7, dem Komplement der septimalen Terz 7/6. Der Generator ist also tendenziell etwas kleiner als bei Standard-Septimalmagisch, und bei den kleineren MOS-Skalen sind die Unterschiede zwischen dem grossen und dem kleinen Intervall etwas weniger extrem.

Muggel wird unterstützt von [[16-EDO]] (als Grenzfall) und [[19-EDO]], jedoch nicht von [[22-EDO]] und [[41-EDO]]. 

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige Magisch-/Muggel-Skala (LsLsLss) in 16-EDO


[[Datei:Magic7-19edo.mp3]]

Siebentönige Magisch-/Muggel-Skala (LsLsLss) in 19-EDO


[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3]]

Zehntönige Magisch-/Muggel-Skala (LssLssLsss) in 16-EDO

19-EDO gilt als quasi optimale gleichstufige Realisierung von Muggel. Da 19-EDO auch den Unterschied zwischen 8/7 und 7/6 austemperiert, fällt Muggel in 19-EDO mit Standard-Septimalmagisch zusammen.

==Astrology==

[[:en:jubilismic_clan#Astrology|English]]

Austemperieren des magischen Kommas und des 7-Limit-Kommas [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] ergibt eine '''Astrology'''-Temperatur. Das Periodenintervall ist bei dieser die für jubilismische Temperaturen typische Halboktave, und entsprechend müssen gleichstufige Realisierungen von Astrology natürlich eine Oktave in eine gerade Anzahl Töne unterteilen. In der Tat wird Astrology neben dem Grenzfall [[16edo]] von [[22edo]] unterstützt, nicht aber von [[19edo]] oder [[41edo]] (letzteres genau umgekehrt wie bei Muggel).

MOS-Skalen von Astrology sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig. Erwähnenswert ist die sechstönige, der Form 4L 2s. Sie ähnelt der bekannten Ganztonskala von [[12edo]], besteht jedoch im Gegensatz zu dieser aus Ganztönen verschiedener Grössen (4 grosse und 2 kleine). 

[[Datei:Astrology6 22edo.mp3]] 

Astrology[6]-Skala (LsLLsL) in 22-EDO



[[Datei:16EdoAstrology.mp3]]

Astrology[6]-Skala (LsLLsL) in 16-EDO

==Weitere Varianten==
Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[:en:Magic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.  
[[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]
=Definition, Komma=
Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt|Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte [[Komma]] ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung '''geringe Diësis''' (nicht zu verwechseln mit der [[128/125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch '''magisches Komma''' nennen.

=Weitere Eigenschaften, gleichstufige Stimmungen=
Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen je nach Variante verschieden. 

[[19-EDO]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16-EDO]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte.

Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22-EDO]] und [[41-EDO]], ferner, mit nur minimal herabtemperierter Terz und dafür sehr hoher Quinte ebenfalls eine Art Grenzfall, [[25-EDO]].

=MOS-Skalen=
Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]] .

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige Magisch-Skala (LsLsLss) in 16-EDO, mit extrem grossen Intervall L.


[[Datei:Magic7-19edo.mp3]]

Siebentönige Magisch-Skala (LsLsLss) in 19-EDO


[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3]]

Zehntönige Magisch-Skala (LssLssLsss) in 16-EDO. L ist etwas kleiner, aber immer noch ziemlich gross im Vergleich zu s.


[[Datei:Magic10-19edo.mp3]]

Zehntönige Magisch-Skala (LssLssLsss) in 19-EDO



=Varianten=

==5-Limit-magisch==
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch (septimalmagisch)==
English: [[:en:Magic|xenharmonic/Magic]]

Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225/224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.

[[19-EDO]], [[22-EDO]] und, besonders gut, [[41-EDO]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Muggel==
English: 
[[:en:Muggles|Muggles]]

Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126/125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die '''Muggel''' getauft wurde. 12 Generatorschritte führen bei Muggel nicht, wie bei Standard-Septimalmagisch, zu einer Appoximation der Naturseptime 7/4 (Komplement des septimalen Ganztons 8/7), sondern zu einer von 12/7, dem Komplement der septimalen Terz 7/6. Der Generator ist also tendenziell etwas kleiner als bei Standard-Septimalmagisch, und bei den kleineren MOS-Skalen sind die Unterschiede zwischen dem grossen und dem kleinen Intervall etwas weniger extrem.

Muggel wird unterstützt von [[16-EDO]] (als Grenzfall) und [[19-EDO]], jedoch nicht von [[22-EDO]] und [[41-EDO]]. 

19-EDO gilt als quasi optimale gleichstufige Realisierung von Muggel. Da 19-EDO auch den Unterschied zwischen 8/7 und 7/6 austemperiert, fällt Muggel in 19-EDO mit Standard-Septimalmagisch zusammen.

==Astrology==

[[:en:jubilismic_clan#Astrology|English]]

Austemperieren des magischen Kommas und des 7-Limit-Kommas [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] ergibt eine '''Astrology'''-Temperatur. Das Periodenintervall ist bei dieser die für jubilismische Temperaturen typische Halboktave, und entsprechend müssen gleichstufige Realisierungen von Astrology natürlich eine Oktave in eine gerade Anzahl Töne unterteilen. In der Tat wird Astrology neben dem Grenzfall [[16edo]] von [[22edo]] unterstützt, nicht aber von [[19edo]] oder [[41edo]] (letzteres genau umgekehrt wie bei Muggel).

MOS-Skalen von Astrology sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig. Erwähnenswert ist die sechstönige, der Form 4L 2s. Sie ähnelt der bekannten Ganztonskala von [[12edo]], besteht jedoch im Gegensatz zu dieser aus Ganztönen verschiedener Grössen (4 grosse und 2 kleine). 

[[Datei:Astrology6 22edo.mp3]] 

Astrology[6]-Skala (LsLLsL) in 22-EDO



[[Datei:16EdoAstrology.mp3]]

Astrology[6]-Skala (LsLLsL) in 16-EDO

==Weitere Varianten==
Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[:en:Magic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.  
[[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]
=Definition, Komma=
Die magische Temperatur ist ein Stimmungssystem (bzw. eine Familie von Stimmungssystemen), das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; [[Würschmidt|Würschmidt]] ist ein weiteres Beispiel.) Man kann sie (wie auch die Würschmidt-Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die magische Temperatur von einer grossen Terz aus, welche ebenfalls minimal herabtemperiert wird, und zwar so, dass 5 grosse Terzen eine Duodezime (3/1) oder, oktvbereinigt, eine Quinte ergeben.

Das austemperierte [[Komma]] ist dementsprechend der Unterschied zwischen 5 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Duodezime (3/1) - es hat das Frequenzverhältnis 3125/3072 und ist 29.614 Cents gross. Für dieses Komma wird manchmal die Bezeichnung '''geringe Diësis''' (nicht zu verwechseln mit der [[128/125|kleinen Diësis]]) verwendet - im Rahmen dier Temperaturtheorie kann man es auch '''magisches Komma''' nennen.

=Weitere Eigenschaften, gleichstufige Stimmungen=
Magisch-temperierte Stimmungen zeichnen sich dadurch aus, dass die grossen Terzen etwas kleiner sind als die reine. Quinten sind typischerweise (aber nicht notwendigerweise) rein oder etwas grösser - eine weitere Dualität zu mitteltönigen Systemen, bei denen die Quinten immer kleiner sind als rein, grosse Terzen hingegen je nach Variante verschieden. 

[[19-EDO]] ist ein Beispiel für eine magische Temperatur mit einer kleineren Quinte, ein System, das sowohl magisch als auch mitteltönig ist. [[16-EDO]] ist ein weiteres Beispiel, allerdings ein Grenzfall mit einer ziemlich extrem kleinen Quinte.

Magische Systeme, bei denen die Quinte höher ist als rein (also nicht-mitteltönige magische Systeme), sind [[22-EDO]] und [[41-EDO]], ferner, mit nur minimal herabtemperierter Terz und dafür sehr hoher Quinte ebenfalls eine Art Grenzfall, [[25-EDO]].

=MOS-Skalen=
Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] einer magischen Temperatur haben aufgrund des ähnlichen Generators dieselbe Struktur wie diejenigen von Würschmidt, d.h. solche mit 7 (3L 4s), mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und mehr Tönen. Wie bei der Würschmidt-Temperatur weisen dabei die kleineren MOS-Skalen ungünstig grosse Unterschiede zwischen dem kleinen und dem grossen Intervall auf (wenn auch in etwas geringerem Masse als bei Würschmidt) und sind nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]] .

[[File:16EdoMagicHeptatonic.mp3]]

Siebentönige Magisch-Skala (LsLsLss) in 16-EDO, mit extrem grossen Intervall L.


[[Datei:Magic7-19edo.mp3]]

Siebentönige Magisch-Skala (LsLsLss) in 19-EDO


[[Datei:16EdoMagicDecatonic.mp3]]

Zehntönige Magisch-Skala (LssLssLsss) in 16-EDO. L ist etwas kleiner, aber immer noch ziemlich gross im Vergleich zu s.


[[Datei:Magic10-19edo.mp3]]

Zehntönige Magisch-Skala (LssLssLsss) in 19-EDO



=Varianten=

==5-Limit-magisch==
Dies ist die Definition, die man erhält, wenn man vom dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-Intervallraum ausgeht und das magische Komma austemperiert. Dies bildet die Basis für eine Reihe von Varianten, ist selbst aber nicht so von Interesse.

==7-Limit-magisch (septimalmagisch)==
English: [[:en:Magic|xenharmonic/Magic]]

Wenn von magischer Temperatur ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist damit in der Regel die 7-Limit-Variante gemeint, welche entsteht, indem man auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum beginnt und neben dem Komma 3125/3072 noch das Komma [[225/224|225/224 (septimales Kleisma)]] austemperiert. Eine solcherart definierte Temperatur bietet nicht nur gute Quinten und Terzen, sondern auch eine gute Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] , welche oktavbereinigt durch Aufeinanderschichten von 12 Generatorintervallen erreicht wird. Aufeinanderschichten von zwei Generatorintervallen führt zu einer Approximation von 14/9.

[[19-EDO]], [[22-EDO]] und, besonders gut, [[41-EDO]] sind gleichstufige Systeme, welche 7-Limit-magisch unterstützen.

==Muggel==
English: 
[[:en:Muggles|Muggles]]

Wenn man im 7-Limit anstatt 225/224 das Komma [[126/125|126/125 (septimales Semikomma, Starling-Komma)]] austemperiert, erhält man eine Variante der magischen Temperatur, die '''Muggel''' getauft wurde. 12 Generatorschritte führen bei Muggel nicht, wie bei Standard-Septimalmagisch, zu einer Appoximation der Naturseptime 7/4 (Komplement des septimalen Ganztons 8/7), sondern zu einer von 12/7, dem Komplement der septimalen Terz 7/6. Der Generator ist tendenziell etwas kleiner als bei Standard-Septimalmagisch, und bei den kleineren MOS-Skalen sind die Unterschiede zwischen dem grossen und dem kleinen Intervall etwas weniger extrem.

Muggel wird unterstützt von [[16-EDO]] (als Grenzfall) und [[19-EDO]], jedoch nicht von [[22-EDO]] und [[41-EDO]]. 

19-EDO gilt als quasi optimale gleichstufige Realisierung von Muggel. Da 19-EDO auch den Unterschied zwischen 8/7 und 7/6 austemperiert, fällt Muggel in 19-EDO mit Standard-Septimalmagisch zusammen.

==Astrology==

[[:en:jubilismic_clan#Astrology|English]]

Austemperieren des magischen Kommas und des 7-Limit-Kommas [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] ergibt eine '''Astrology'''-Temperatur. Das Periodenintervall ist bei dieser die für jubilismische Temperaturen typische Halboktave, und entsprechend müssen gleichstufige Realisierungen von Astrology natürlich eine Oktave in eine gerade Anzahl Töne unterteilen. In der Tat wird Astrology neben dem Grenzfall [[16edo]] von [[22edo]] unterstützt, nicht aber von [[19edo]] oder [[41edo]] (letzteres genau umgekehrt wie bei Muggel).

MOS-Skalen von Astrology sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig. Erwähnenswert ist die sechstönige, der Form 4L 2s. Sie ähnelt der bekannten Ganztonskala von [[12edo]], besteht jedoch im Gegensatz zu dieser aus Ganztönen verschiedener Grössen (4 grosse und 2 kleine). 

[[Datei:Astrology6 22edo.mp3]] 

Astrology[6]-Skala (LsLLsL) in 22-EDO



[[Datei:16EdoAstrology.mp3]]

Astrology[6]-Skala (LsLLsL) in 16-EDO

==Weitere Varianten==
Durch Hinzunahme weiterer Obertöne (11-Limit, 13-Limit etc.) ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten, von denen viele (mit teils bizarren Namen) im [[:en:Magic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben sind. Dort finden sich auch eine Reihe von Musikbeispielen.  
[[Category:Temperament]]
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Die maqamische Temperatur ist ein Ansatz, im Rahmen des Paradigmas der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] Tonsysteme für [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalische Musik]] zu realisieren.

Generator ist ein Intervall vom Charakter einer neutralen Terz, so dass 2 Generatoren eine Quinte bilden. Maqamische Systeme haben also alle Eigenschaften, die auch quintenbasierte Systeme haben - wobei die Quinte, je nach konkretem Generator, eher [[pythagoräisch|pythagoräisch]], [[Superpyth|superpythagoräisch]] oder eher [[mitteltönig|mitteltönig]] sein kann (für den letzteren Fall wurde auch der Begriff [[Mohajira|Mohajira]] geprägt) - angereichert um neutrale Terzen und Sekunden. Dies entspricht ziemlich genau den Mindestbedingungen, welche ein Tonsystem für nah-/mittelöstliche Musik erfüllen muss.

Eine konkrete Realisierung der maqamischen Temperatur (mit einem festgelegten Generator) bietet dabei nur ''eine'' Grösse für die neutralen Intervalle, erfüllt also nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|erste Stufe]] der Bedingungen. Doch mit der Variabilität des Generators gemäss dem Paradigma der [[Verallgemeinerte_reguläre_Temperatur|verallgemeinerten regulären Temperatur]] gewinnt man Flexibilität bei der Intonation der konkreten Intervalle, etwa wenn eine grosse Terz nahe an 5/4 (-&amp;gt; [[Mohajira|Mohajira]]) oder eine kleine Septime nahe an 7/4 (-&amp;gt; [[Superpyth|Superpyth]]) sein soll.

Wie bei regulären Temperaturen üblich, hat auch die maqamische ihre typischen [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]], namentlich eine siebentönige MOS-Skala der Struktur 3L 4s (3 Ganztöne, 4 neutrale Sekunden), eine zehntönige der Struktur 7L 3s (7 neutrale Sekunden, drei kleine Sekunden) sowie eine elftönige der Struktur 6L 5s (6 neutrale Sekunden, 5 kleine Sekunden). Die siebentönige MOS-Skala ähnelt dem arabischen Maqam "Rast", entspricht allerdings keinem Maqam genau. MOS-Skalen sind in orientalischen Tonsystemen von eher untergeordneter Bedeutung, da bei Maqam-Skalen typischerweise die elementaren Tonschritte in mehr als zwei Grössen erscheinen (man findet manchmal in einem einzigen Maqam eine ganze Palette, von Halbtönen über zwei verschieden grosse neutrale Sekunden und Ganztöne bis zu übermässigen Sekunden.)

Die kleinstmögliche [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung einer maqamischen Temperatur ist [[17edo|17edo]]. Die siebentönige und die zehntönige MOS-Skala hängen darin so zusammen, dass jeweils die eine genau das Komplement der anderen ist (7 + 10 ergibt bekanntlich 17). Dies kann als Basis für ein 17edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/maqamic|Xenharmonic/maqamic]]

Die maqamische Temperatur ist ein Ansatz, im Rahmen des Paradigmas der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] Tonsysteme für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische Musik]] zu realisieren.

Generator ist ein Intervall vom Charakter einer neutralen Terz, so dass 2 Generatoren eine Quinte bilden. Maqamische Systeme haben also alle Eigenschaften, die auch quintenbasierte Systeme haben - wobei die Quinte, je nach konkretem Generator, eher [[pythagoräisch]], [[Superpyth|superpythagoräisch]] oder eher [[mitteltönig]] sein kann (für den letzteren Fall wurde auch der Begriff [[Mohajira]] geprägt) - angereichert um neutrale Terzen und Sekunden. Dies entspricht ziemlich genau den Mindestbedingungen, welche ein Tonsystem für nah-/mittelöstliche Musik erfüllen muss.

Eine konkrete Realisierung der maqamischen Temperatur (mit einem festgelegten Generator) bietet dabei nur //eine// Grösse für die neutralen Intervalle, erfüllt also nur die [[arabisch, türkisch, persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201|erste Stufe]] der Bedingungen. Doch mit der Variabilität des Generators gemäss dem Paradigma der [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerten regulären Temperatur]] gewinnt man Flexibilität bei der Intonation der konkreten Intervalle, etwa wenn eine grosse Terz nahe an 5/4 (-&amp;gt; [[Mohajira]]) oder eine kleine Septime nahe an 7/4 (-&amp;gt; [[Superpyth]]) sein soll.

Wie bei regulären Temperaturen üblich, hat auch die maqamische ihre typischen [[MOS-Skalen]], namentlich eine siebentönige MOS-Skala der Struktur 3L 4s (3 Ganztöne, 4 neutrale Sekunden), eine zehntönige der Struktur 7L 3s (7 neutrale Sekunden, drei kleine Sekunden) sowie eine elftönige der Struktur 6L 5s (6 neutrale Sekunden, 5 kleine Sekunden). Die siebentönige MOS-Skala ähnelt dem arabischen Maqam "Rast", entspricht allerdings keinem Maqam genau. MOS-Skalen sind in orientalischen Tonsystemen von eher untergeordneter Bedeutung, da bei Maqam-Skalen typischerweise die elementaren Tonschritte in mehr als zwei Grössen erscheinen (man findet manchmal in einem einzigen Maqam eine ganze Palette, von Halbtönen über zwei verschieden grosse neutrale Sekunden und Ganztöne bis zu übermässigen Sekunden.)

Die kleinstmögliche [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung einer maqamischen Temperatur ist [[17edo]]. Die siebentönige und die zehntönige MOS-Skala hängen darin so zusammen, dass jeweils die eine genau das Komplement der anderen ist (7 + 10 ergibt bekanntlich 17). Dies kann als Basis für ein 17edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]] .&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;maqamisch&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/maqamic"&amp;gt;Xenharmonic/maqamic&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die maqamische Temperatur ist ein Ansatz, im Rahmen des Paradigmas der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsysteme für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalische Musik&amp;lt;/a&amp;gt; zu realisieren.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist ein Intervall vom Charakter einer neutralen Terz, so dass 2 Generatoren eine Quinte bilden. Maqamische Systeme haben also alle Eigenschaften, die auch quintenbasierte Systeme haben - wobei die Quinte, je nach konkretem Generator, eher &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräisch&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräisch&amp;lt;/a&amp;gt; oder eher &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt; sein kann (für den letzteren Fall wurde auch der Begriff &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mohajira"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt; geprägt) - angereichert um neutrale Terzen und Sekunden. Dies entspricht ziemlich genau den Mindestbedingungen, welche ein Tonsystem für nah-/mittelöstliche Musik erfüllen muss.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine konkrete Realisierung der maqamischen Temperatur (mit einem festgelegten Generator) bietet dabei nur &amp;lt;em&amp;gt;eine&amp;lt;/em&amp;gt; Grösse für die neutralen Intervalle, erfüllt also nur die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201"&amp;gt;erste Stufe&amp;lt;/a&amp;gt; der Bedingungen. Doch mit der Variabilität des Generators gemäss dem Paradigma der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerten regulären Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; gewinnt man Flexibilität bei der Intonation der konkreten Intervalle, etwa wenn eine grosse Terz nahe an 5/4 (-&amp;amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mohajira"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;) oder eine kleine Septime nahe an 7/4 (-&amp;amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;Superpyth&amp;lt;/a&amp;gt;) sein soll.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wie bei regulären Temperaturen üblich, hat auch die maqamische ihre typischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt;, namentlich eine siebentönige MOS-Skala der Struktur 3L 4s (3 Ganztöne, 4 neutrale Sekunden), eine zehntönige der Struktur 7L 3s (7 neutrale Sekunden, drei kleine Sekunden) sowie eine elftönige der Struktur 6L 5s (6 neutrale Sekunden, 5 kleine Sekunden). Die siebentönige MOS-Skala ähnelt dem arabischen Maqam &amp;amp;quot;Rast&amp;amp;quot;, entspricht allerdings keinem Maqam genau. MOS-Skalen sind in orientalischen Tonsystemen von eher untergeordneter Bedeutung, da bei Maqam-Skalen typischerweise die elementaren Tonschritte in mehr als zwei Grössen erscheinen (man findet manchmal in einem einzigen Maqam eine ganze Palette, von Halbtönen über zwei verschieden grosse neutrale Sekunden und Ganztöne bis zu übermässigen Sekunden.)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die kleinstmögliche &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Realisierung einer maqamischen Temperatur ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Die siebentönige und die zehntönige MOS-Skala hängen darin so zusammen, dass jeweils die eine genau das Komplement der anderen ist (7 + 10 ergibt bekanntlich 17). Dies kann als Basis für ein 17edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Die maqamische Temperatur ist ein Ansatz, im Rahmen des Paradigmas der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] Tonsysteme für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische Musik]] zu realisieren.

Generator ist ein Intervall vom Charakter einer neutralen Terz, so dass 2 Generatoren eine Quinte bilden. Maqamische Systeme haben also alle Eigenschaften, die auch quintenbasierte Systeme haben - wobei die Quinte, je nach konkretem Generator, eher [[pythagoräisch]], [[Superpyth|superpythagoräisch]] oder eher [[mitteltönig]] sein kann (für den letzteren Fall wurde auch der Begriff [[Mohajira]] geprägt) - angereichert um neutrale Terzen und Sekunden. Dies entspricht ziemlich genau den Mindestbedingungen, welche ein Tonsystem für nah-/mittelöstliche Musik erfüllen muss.

Eine konkrete Realisierung der maqamischen Temperatur (mit einem festgelegten Generator) bietet dabei nur //eine// Grösse für die neutralen Intervalle, erfüllt also nur die [[arabisch, türkisch, persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201|erste Stufe]] der Bedingungen. Doch mit der Variabilität des Generators gemäss dem Paradigma der [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerten regulären Temperatur]] gewinnt man Flexibilität bei der Intonation der konkreten Intervalle, etwa wenn eine grosse Terz nahe an 5/4 (-&amp;gt; [[Mohajira]]) oder eine kleine Septime nahe an 7/4 (-&amp;gt; [[Superpyth]]) sein soll.

Wie bei regulären Temperaturen üblich, hat auch die maqamische ihre typischen [[MOS-Skalen]], namentlich eine siebentönige MOS-Skala der Struktur 3L 4s (3 Ganztöne, 4 neutrale Sekunden), eine zehntönige der Struktur 7L 3s (7 neutrale Sekunden, drei kleine Sekunden) sowie eine elftönige der Struktur 6L 5s (6 neutrale Sekunden, 5 kleine Sekunden). Die siebentönige MOS-Skala ähnelt dem arabischen Maqam "Rast", entspricht allerdings keinem Maqam genau. MOS-Skalen sind in orientalischen Tonsystemen von eher untergeordneter Bedeutung, da bei Maqam-Skalen typischerweise die elementaren Tonschritte in mehr als zwei Grössen erscheinen (man findet manchmal in einem einzigen Maqam eine ganze Palette, von Halbtönen über zwei verschieden grosse neutrale Sekunden und Ganztöne bis zu übermässigen Sekunden.)

Die kleinstmögliche [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung einer maqamischen Temperatur ist [[17edo]]. Die siebentönige und die zehntönige MOS-Skala hängen darin so zusammen, dass jeweils die eine genau das Komplement der anderen ist (7 + 10 ergibt bekanntlich 17). Dies kann als Basis für ein maqamisches Keyboardlayout verwendet werden, welches alle Töne von 17edo enthält. Siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]] .&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die maqamische Temperatur ist ein Ansatz, im Rahmen des Paradigmas der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsysteme für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalische Musik&amp;lt;/a&amp;gt; zu realisieren.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist ein Intervall vom Charakter einer neutralen Terz, so dass 2 Generatoren eine Quinte bilden. Maqamische Systeme haben also alle Eigenschaften, die auch quintenbasierte Systeme haben - wobei die Quinte, je nach konkretem Generator, eher &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräisch&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräisch&amp;lt;/a&amp;gt; oder eher &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt; sein kann (für den letzteren Fall wurde auch der Begriff &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mohajira"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt; geprägt) - angereichert um neutrale Terzen und Sekunden. Dies entspricht ziemlich genau den Mindestbedingungen, welche ein Tonsystem für nah-/mittelöstliche Musik erfüllen muss.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine konkrete Realisierung der maqamischen Temperatur (mit einem festgelegten Generator) bietet dabei nur &amp;lt;em&amp;gt;eine&amp;lt;/em&amp;gt; Grösse für die neutralen Intervalle, erfüllt also nur die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201"&amp;gt;erste Stufe&amp;lt;/a&amp;gt; der Bedingungen. Doch mit der Variabilität des Generators gemäss dem Paradigma der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerten regulären Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; gewinnt man Flexibilität bei der Intonation der konkreten Intervalle, etwa wenn eine grosse Terz nahe an 5/4 (-&amp;amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mohajira"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;) oder eine kleine Septime nahe an 7/4 (-&amp;amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;Superpyth&amp;lt;/a&amp;gt;) sein soll.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wie bei regulären Temperaturen üblich, hat auch die maqamische ihre typischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt;, namentlich eine siebentönige MOS-Skala der Struktur 3L 4s (3 Ganztöne, 4 neutrale Sekunden), eine zehntönige der Struktur 7L 3s (7 neutrale Sekunden, drei kleine Sekunden) sowie eine elftönige der Struktur 6L 5s (6 neutrale Sekunden, 5 kleine Sekunden). Die siebentönige MOS-Skala ähnelt dem arabischen Maqam &amp;amp;quot;Rast&amp;amp;quot;, entspricht allerdings keinem Maqam genau. MOS-Skalen sind in orientalischen Tonsystemen von eher untergeordneter Bedeutung, da bei Maqam-Skalen typischerweise die elementaren Tonschritte in mehr als zwei Grössen erscheinen (man findet manchmal in einem einzigen Maqam eine ganze Palette, von Halbtönen über zwei verschieden grosse neutrale Sekunden und Ganztöne bis zu übermässigen Sekunden.)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die kleinstmögliche &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Realisierung einer maqamischen Temperatur ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Die siebentönige und die zehntönige MOS-Skala hängen darin so zusammen, dass jeweils die eine genau das Komplement der anderen ist (7 + 10 ergibt bekanntlich 17). Dies kann als Basis für ein maqamisches Keyboardlayout verwendet werden, welches alle Töne von 17edo enthält. Siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Die maqamische Temperatur ist ein Ansatz, im Rahmen des Paradigmas der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] Tonsysteme für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische Musik]] zu realisieren.

Generator ist ein Intervall vom Charakter einer neutralen Terz, so dass 2 Generatoren eine Quinte bilden. Maqamische Systeme haben also alle Eigenschaften, die auch quintenbasierte Systeme haben - wobei die Quinte, je nach konkretem Generator, eher [[pythagoräisch]], [[Superpyth|superpythagoräisch]] oder eher [[mitteltönig]] sein kann (für den letzteren Fall wurde auch der Begriff [[Mohajira]] geprägt) - angereichert um neutrale Terzen und Sekunden. Dies entspricht ziemlich genau den Mindestbedingungen, welche ein Tonsystem für nah-/mittelöstliche Musik erfüllen muss.

Eine konkrete Realisierung der maqamischen Temperatur (mit einem festgelegten Generator) bietet dabei nur //eine// Grösse für die neutralen Intervalle, erfüllt also nur die [[arabisch, türkisch, persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201|erste Stufe]] der Bedingungen. Doch mit der Variabilität des Generators gemäss dem Paradigma der [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerten regulären Temperatur]] gewinnt man Flexibilität bei der Intonation der konkreten Intervalle, etwa wenn eine grosse Terz nahe an 5/4 (-&amp;gt; [[Mohajira]]) oder eine kleine Septime nahe an 7/4 (-&amp;gt; [[Superpyth]]) sein soll.

Wie bei regulären Temperaturen üblich, hat auch die maqamische ihre typischen [[MOS-Skalen]], namentlich eine siebentönige MOS-Skala der Struktur 3L 4s (3 Ganztöne, 4 neutrale Sekunden) sowie eine elftönige mit der Struktur 6L 5s (6 neutrale Sekunden, 5 kleine Sekunden). Die siebentönige MOS-Skala ähnelt dem arabischen Maqam "Rast", entspricht allerdings keinem Maqam genau. MOS-Skalen sind in orientalischen Tonsystemen von eher untergeordneter Bedeutung, da bei Maqam-Skalen typischerweise die elementaren Tonschritte in mehr als zwei Grössen erscheinen (man findet manchmal in einem einzigen Maqam eine ganze Palette, von Halbtönen über zwei verschieden grosse neutrale Sekunden und Ganztöne bis zu übermässigen Sekunden.)

Die elftönige MOS-.Skala kann als Basis für ein maqamisches Keyboardlayout verwendet werden, welches alle Töne von 17edo enthält. Siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]] .&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die maqamische Temperatur ist ein Ansatz, im Rahmen des Paradigmas der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsysteme für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalische Musik&amp;lt;/a&amp;gt; zu realisieren.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist ein Intervall vom Charakter einer neutralen Terz, so dass 2 Generatoren eine Quinte bilden. Maqamische Systeme haben also alle Eigenschaften, die auch quintenbasierte Systeme haben - wobei die Quinte, je nach konkretem Generator, eher &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräisch&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräisch&amp;lt;/a&amp;gt; oder eher &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt; sein kann (für den letzteren Fall wurde auch der Begriff &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mohajira"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt; geprägt) - angereichert um neutrale Terzen und Sekunden. Dies entspricht ziemlich genau den Mindestbedingungen, welche ein Tonsystem für nah-/mittelöstliche Musik erfüllen muss.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine konkrete Realisierung der maqamischen Temperatur (mit einem festgelegten Generator) bietet dabei nur &amp;lt;em&amp;gt;eine&amp;lt;/em&amp;gt; Grösse für die neutralen Intervalle, erfüllt also nur die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201"&amp;gt;erste Stufe&amp;lt;/a&amp;gt; der Bedingungen. Doch mit der Variabilität des Generators gemäss dem Paradigma der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerten regulären Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; gewinnt man Flexibilität bei der Intonation der konkreten Intervalle, etwa wenn eine grosse Terz nahe an 5/4 (-&amp;amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mohajira"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;) oder eine kleine Septime nahe an 7/4 (-&amp;amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;Superpyth&amp;lt;/a&amp;gt;) sein soll.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wie bei regulären Temperaturen üblich, hat auch die maqamische ihre typischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt;, namentlich eine siebentönige MOS-Skala der Struktur 3L 4s (3 Ganztöne, 4 neutrale Sekunden) sowie eine elftönige mit der Struktur 6L 5s (6 neutrale Sekunden, 5 kleine Sekunden). Die siebentönige MOS-Skala ähnelt dem arabischen Maqam &amp;amp;quot;Rast&amp;amp;quot;, entspricht allerdings keinem Maqam genau. MOS-Skalen sind in orientalischen Tonsystemen von eher untergeordneter Bedeutung, da bei Maqam-Skalen typischerweise die elementaren Tonschritte in mehr als zwei Grössen erscheinen (man findet manchmal in einem einzigen Maqam eine ganze Palette, von Halbtönen über zwei verschieden grosse neutrale Sekunden und Ganztöne bis zu übermässigen Sekunden.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die elftönige MOS-.Skala kann als Basis für ein maqamisches Keyboardlayout verwendet werden, welches alle Töne von 17edo enthält. Siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-08-21 06:47:38 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/maqamic|Xenharmonic/maqamic]]

Die maqamische Temperatur ist ein Ansatz, im Rahmen des Paradigmas der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] Tonsysteme für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische Musik]] zu realisieren.

Generator ist ein Intervall vom Charakter einer neutralen Terz, so dass 2 Generatoren eine Quinte bilden. Maqamische Systeme haben also alle Eigenschaften, die auch quintenbasierte Systeme haben - wobei die Quinte, je nach konkretem Generator, eher [[pythagoräisch]], [[Superpyth|superpythagoräisch]] oder eher [[mitteltönig]] sein kann (für den letzteren Fall wurde auch der Begriff [[Mohajira]] geprägt) - angereichert um neutrale Terzen und Sekunden. Dies entspricht ziemlich genau den Mindestbedingungen, welche ein Tonsystem für nah-/mittelöstliche Musik erfüllen muss.

Eine konkrete Realisierung der maqamischen Temperatur (mit einem festgelegten Generator) bietet dabei nur //eine// Grösse für die neutralen Intervalle, erfüllt also nur die [[arabisch, türkisch, persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201|erste Stufe]] der Bedingungen. Doch mit der Variabilität des Generators gemäss dem Paradigma der [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerten regulären Temperatur]] gewinnt man Flexibilität bei der Intonation der konkreten Intervalle, etwa wenn eine grosse Terz nahe an 5/4 (-&amp;gt; [[Mohajira]]) oder eine kleine Septime nahe an 7/4 (-&amp;gt; [[Superpyth]]) sein soll.

Wie bei regulären Temperaturen üblich, hat auch die maqamische ihre typischen [[MOS-Skalen]], namentlich eine siebentönige MOS-Skala der Struktur 3L 4s (3 Ganztöne, 4 neutrale Sekunden) sowie eine elftönige mit der Struktur 6L 5s (6 neutrale Sekunden, 5 kleine Sekunden). Die siebentönige MOS-Skala ähnelt dem arabischen Maqam "Rast", entspricht allerdings keinem Maqam genau. MOS-Skalen sind in orientalischen Tonsystemen von eher untergeordneter Bedeutung, da bei Maqam-Skalen typischerweise die elementaren Tonschritte in mehr als zwei Grössen erscheinen (man findet manchmal in einem einzigen Maqam eine ganze Palette, von Halbtönen über zwei verschieden grosse neutrale Sekunden und Ganztöne bis zu übermässigen Sekunden.)

Die elftönige MOS-.Skala kann als Basis für ein maqamisches Keyboard-Design verwendet werden, siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]] .&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;maqamisch&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/maqamic"&amp;gt;Xenharmonic/maqamic&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die maqamische Temperatur ist ein Ansatz, im Rahmen des Paradigmas der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsysteme für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalische Musik&amp;lt;/a&amp;gt; zu realisieren.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist ein Intervall vom Charakter einer neutralen Terz, so dass 2 Generatoren eine Quinte bilden. Maqamische Systeme haben also alle Eigenschaften, die auch quintenbasierte Systeme haben - wobei die Quinte, je nach konkretem Generator, eher &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräisch&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräisch&amp;lt;/a&amp;gt; oder eher &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt; sein kann (für den letzteren Fall wurde auch der Begriff &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mohajira"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt; geprägt) - angereichert um neutrale Terzen und Sekunden. Dies entspricht ziemlich genau den Mindestbedingungen, welche ein Tonsystem für nah-/mittelöstliche Musik erfüllen muss.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine konkrete Realisierung der maqamischen Temperatur (mit einem festgelegten Generator) bietet dabei nur &amp;lt;em&amp;gt;eine&amp;lt;/em&amp;gt; Grösse für die neutralen Intervalle, erfüllt also nur die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201"&amp;gt;erste Stufe&amp;lt;/a&amp;gt; der Bedingungen. Doch mit der Variabilität des Generators gemäss dem Paradigma der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerten regulären Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; gewinnt man Flexibilität bei der Intonation der konkreten Intervalle, etwa wenn eine grosse Terz nahe an 5/4 (-&amp;amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mohajira"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;) oder eine kleine Septime nahe an 7/4 (-&amp;amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;Superpyth&amp;lt;/a&amp;gt;) sein soll.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wie bei regulären Temperaturen üblich, hat auch die maqamische ihre typischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt;, namentlich eine siebentönige MOS-Skala der Struktur 3L 4s (3 Ganztöne, 4 neutrale Sekunden) sowie eine elftönige mit der Struktur 6L 5s (6 neutrale Sekunden, 5 kleine Sekunden). Die siebentönige MOS-Skala ähnelt dem arabischen Maqam &amp;amp;quot;Rast&amp;amp;quot;, entspricht allerdings keinem Maqam genau. MOS-Skalen sind in orientalischen Tonsystemen von eher untergeordneter Bedeutung, da bei Maqam-Skalen typischerweise die elementaren Tonschritte in mehr als zwei Grössen erscheinen (man findet manchmal in einem einzigen Maqam eine ganze Palette, von Halbtönen über zwei verschieden grosse neutrale Sekunden und Ganztöne bis zu übermässigen Sekunden.)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die elftönige MOS-.Skala kann als Basis für ein maqamisches Keyboard-Design verwendet werden, siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Die maqamische Temperatur ist ein Ansatz, im Rahmen des Paradigmas der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] Tonsysteme für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische Musik]] zu realisieren.

Generator ist ein Intervall vom Charakter einer neutralen Terz, so dass 2 Generatoren eine Quinte bilden. Maqamische Systeme haben also alle Eigenschaften, die auch quintenbasierte Systeme haben - wobei die Quinte, je nach konkretem Generator, eher [[pythagoräisch]], [[Superpyth|superpythagoräisch]] oder eher [[mitteltönig]] sein kann (für den letzteren Fall wurde auch der Begriff [[Mohajira]] geprägt) - angereichert um neutrale Terzen und Sekunden. Dies entspricht ziemlich genau den Mindestbedingungen, welche ein Tonsystem für nah-/mittelöstliche Musik erfüllen muss.

Eine konkrete Realisierung der maqamischen Temperatur (mit einem festgelegten Generator) bietet dabei nur //eine// Grösse für die neutralen Intervalle, erfüllt also nur die [[arabisch, türkisch, persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201|erste Stufe]] der Bedingungen. Doch mit der Variabilität des Generators gemäss dem Paradigma der [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerten regulären Temperatur]] gewinnt man Flexibilität bei der Intonation der konkreten Intervalle, etwa wenn eine grosse Terz nahe an 5/4 (-&amp;gt; [[Mohajira]]) oder eine kleine Septime nahe an 7/4 (-&amp;gt; [[Superpyth]]) sein soll.

Wie bei regulären Temperaturen üblich, hat auch die maqamische ihre typischen [[MOS-Skalen]], namentlich eine siebentönige MOS-Skala der Struktur 3L 4s (3 Ganztöne, 4 neutrale Sekunden). Sie ähnelt dem arabischen Maqam "Rast", entspricht allerdings keinem Maqam genau. MOS-Skalen sind in orientalischen Tonsystemen von eher untergeordneter Bedeutung, da bei Maqam-Skalen typischerweise die elementaren Tonschritte in mehr als zwei Grössen erscheinen (man findet manchmal in einem einzigen Maqam eine ganze Palette, von Halbtönen über zwei verschieden grosse neutrale Sekunden und Ganztöne bis zu übermässigen Sekunden.)&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die maqamische Temperatur ist ein Ansatz, im Rahmen des Paradigmas der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsysteme für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalische Musik&amp;lt;/a&amp;gt; zu realisieren.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist ein Intervall vom Charakter einer neutralen Terz, so dass 2 Generatoren eine Quinte bilden. Maqamische Systeme haben also alle Eigenschaften, die auch quintenbasierte Systeme haben - wobei die Quinte, je nach konkretem Generator, eher &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräisch&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräisch&amp;lt;/a&amp;gt; oder eher &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt; sein kann (für den letzteren Fall wurde auch der Begriff &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mohajira"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt; geprägt) - angereichert um neutrale Terzen und Sekunden. Dies entspricht ziemlich genau den Mindestbedingungen, welche ein Tonsystem für nah-/mittelöstliche Musik erfüllen muss.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine konkrete Realisierung der maqamischen Temperatur (mit einem festgelegten Generator) bietet dabei nur &amp;lt;em&amp;gt;eine&amp;lt;/em&amp;gt; Grösse für die neutralen Intervalle, erfüllt also nur die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201"&amp;gt;erste Stufe&amp;lt;/a&amp;gt; der Bedingungen. Doch mit der Variabilität des Generators gemäss dem Paradigma der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerten regulären Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; gewinnt man Flexibilität bei der Intonation der konkreten Intervalle, etwa wenn eine grosse Terz nahe an 5/4 (-&amp;amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mohajira"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;) oder eine kleine Septime nahe an 7/4 (-&amp;amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;Superpyth&amp;lt;/a&amp;gt;) sein soll.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wie bei regulären Temperaturen üblich, hat auch die maqamische ihre typischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt;, namentlich eine siebentönige MOS-Skala der Struktur 3L 4s (3 Ganztöne, 4 neutrale Sekunden). Sie ähnelt dem arabischen Maqam &amp;amp;quot;Rast&amp;amp;quot;, entspricht allerdings keinem Maqam genau. MOS-Skalen sind in orientalischen Tonsystemen von eher untergeordneter Bedeutung, da bei Maqam-Skalen typischerweise die elementaren Tonschritte in mehr als zwei Grössen erscheinen (man findet manchmal in einem einzigen Maqam eine ganze Palette, von Halbtönen über zwei verschieden grosse neutrale Sekunden und Ganztöne bis zu übermässigen Sekunden.)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/maqamic|Xenharmonic/maqamic]]

Die maqamische Temperatur ist ein Ansatz, im Rahmen des Paradigmas der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] Tonsysteme für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische Musik]] zu realisieren.

Generator ist ein Intervall vom Charakter einer neutralen Terz, so dass 2 Generatoren eine Quinte bilden. Maqamische Systeme haben also alle Eigenschaften, die auch quintenbasierte Systeme haben - wobei die Quinte, je nach konkretem Generator, eher [[pythagoräisch]], [[Superpyth|superpythagoräisch]] oder eher [[mitteltönig]] sein kann (für den letzteren Fall wurde auch der Begriff [[Mohajira]] geprägt) - angereichert um neutrale Terzen und Sekunden. Dies entspricht ziemlich genau den Mindestbedingungen, welche ein Tonsystem für nah-/mittelöstliche Musik erfüllen muss.

Eine konkrete Realisierung der maqamischen Temperatur (mit einem festgelegten Generator) bietet dabei nur //eine// Grösse für die neutralen Intervalle, erfüllt also nur die [[arabisch, türkisch, persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201|erste Stufe]] der Bedingungen. Doch mit der Variabilität des Generators gemäss dem Paradigma der [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerten regulären Temperatur]] gewinnt man Flexibilität bei der Intonation der konkreten Intervalle, etwa wenn eine grosse Terz nahe an 5/4 (-&amp;gt; [[Mohajira]]) oder eine kleine Septime nahe an 7/4 (-&amp;gt; [[Superpyth]]) sein soll.

Wie bei regulären Temepraturen üblich, hat auch die maqamische ihre typischen [[MOS-Skalen]], namentlich eine siebentönige MOS-Skala der Struktur 3L 4s (3 Ganztöne, 4 neutrale Sekunden). Sie ähnelt dem arabischen Maqam "Rast", entspricht allerdings keinem Maqam genau. MOS-Skalen sind in orientalischen Tonsystemen von eher untergeordneter Bedeutung, da bei Maqam-Skalen typischerweise die elementaren Tonschritte in mehr als zwei Grössen erscheinen (man findet manchmal in einem einzigen Maqam eine ganze Palette, von Halbtönen über zwei verschieden grosse neutrale Sekunden und Ganztöne bis zu übermässigen Sekunden.)&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die maqamische Temperatur ist ein Ansatz, im Rahmen des Paradigmas der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsysteme für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalische Musik&amp;lt;/a&amp;gt; zu realisieren.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist ein Intervall vom Charakter einer neutralen Terz, so dass 2 Generatoren eine Quinte bilden. Maqamische Systeme haben also alle Eigenschaften, die auch quintenbasierte Systeme haben - wobei die Quinte, je nach konkretem Generator, eher &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräisch&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräisch&amp;lt;/a&amp;gt; oder eher &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt; sein kann (für den letzteren Fall wurde auch der Begriff &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mohajira"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt; geprägt) - angereichert um neutrale Terzen und Sekunden. Dies entspricht ziemlich genau den Mindestbedingungen, welche ein Tonsystem für nah-/mittelöstliche Musik erfüllen muss.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine konkrete Realisierung der maqamischen Temperatur (mit einem festgelegten Generator) bietet dabei nur &amp;lt;em&amp;gt;eine&amp;lt;/em&amp;gt; Grösse für die neutralen Intervalle, erfüllt also nur die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201"&amp;gt;erste Stufe&amp;lt;/a&amp;gt; der Bedingungen. Doch mit der Variabilität des Generators gemäss dem Paradigma der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerten regulären Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; gewinnt man Flexibilität bei der Intonation der konkreten Intervalle, etwa wenn eine grosse Terz nahe an 5/4 (-&amp;amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mohajira"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;) oder eine kleine Septime nahe an 7/4 (-&amp;amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;Superpyth&amp;lt;/a&amp;gt;) sein soll.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wie bei regulären Temepraturen üblich, hat auch die maqamische ihre typischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt;, namentlich eine siebentönige MOS-Skala der Struktur 3L 4s (3 Ganztöne, 4 neutrale Sekunden). Sie ähnelt dem arabischen Maqam &amp;amp;quot;Rast&amp;amp;quot;, entspricht allerdings keinem Maqam genau. MOS-Skalen sind in orientalischen Tonsystemen von eher untergeordneter Bedeutung, da bei Maqam-Skalen typischerweise die elementaren Tonschritte in mehr als zwei Grössen erscheinen (man findet manchmal in einem einzigen Maqam eine ganze Palette, von Halbtönen über zwei verschieden grosse neutrale Sekunden und Ganztöne bis zu übermässigen Sekunden.)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/maqamic|Xenharmonic/maqamic]]

Die maqamische Temperatur ist ein Ansatz, im Rahmen des Paradigmas der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] Tonsysteme für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische Musik]] zu realisieren.

Generator ist ein Intervall vom Charakter einer neutralen Terz, so dass 2 Generatoren eine Quinte bilden. Maqamische Systeme haben also alle Eigenschaften, die auch quintenbasierte Systeme haben - wobei die Quinte, je nach konkretem Generator, eher [[pythagoräisch]], [[Superpyth|superpythagoräisch]] oder eher [[mitteltönig]] sein kann (für den letzteren Fall wurde auch der Begriff [[Mohajira]] geprägt) - angereichert um neutrale Terzen und Sekunden.Dies entspricht ziemlich genau den Mindestbedingungen, welche ein Tonsystem für nah-/mittelöstliche Musik erfüllen muss.

Eine konkrete Realisierung der maqamischen Temperatur (mit einem festgelegten Generator) bietet dabei nur //eine// Grösse für die neutralen Intervalle, erfüllt also nur die [[arabisch, türkisch, persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201|erste Stufe]] der Bedingungen. Doch mit der Variabilität des Generators gemäss dem Paradigma der [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerten regulären Temperatur]] gewinnt man Flexibilität bei der Intonation der konkreten Intervalle, etwa wenn eine grosse Terz nahe an 5/4 (-&amp;gt; [[Mohajira]]) oder eine kleine Septime nahe an 7/4 (-&amp;gt; [[Superpyth]]) sein soll.

Wie bei regulären Temepraturen üblich, hat auch die maqamische ihre typischen [[MOS-Skalen]], namentlich eine siebentönige MOS-Skala der Struktur 3L 4s (3 Ganztöne, 4 neutrale Sekunden). Sie ähnelt dem arabischen Maqam "Rast", entspricht allerdings keinem Maqam genau. MOS-Skalen sind in orientalischen Tonsystemen von eher untergeordneter Bedeutung, da bei Maqam-Skalen typischerweise die elementaren Tonschritte in mehr als zwei Grössen erscheinen (man findet manchmal in einem einzigen Maqam eine ganze Palette, von Halbtönen über zwei verschieden grosse neutrale Sekunden und Ganztöne bis zu übermässigen Sekunden.)&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die maqamische Temperatur ist ein Ansatz, im Rahmen des Paradigmas der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsysteme für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalische Musik&amp;lt;/a&amp;gt; zu realisieren.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist ein Intervall vom Charakter einer neutralen Terz, so dass 2 Generatoren eine Quinte bilden. Maqamische Systeme haben also alle Eigenschaften, die auch quintenbasierte Systeme haben - wobei die Quinte, je nach konkretem Generator, eher &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräisch&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräisch&amp;lt;/a&amp;gt; oder eher &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt; sein kann (für den letzteren Fall wurde auch der Begriff &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mohajira"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt; geprägt) - angereichert um neutrale Terzen und Sekunden.Dies entspricht ziemlich genau den Mindestbedingungen, welche ein Tonsystem für nah-/mittelöstliche Musik erfüllen muss.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine konkrete Realisierung der maqamischen Temperatur (mit einem festgelegten Generator) bietet dabei nur &amp;lt;em&amp;gt;eine&amp;lt;/em&amp;gt; Grösse für die neutralen Intervalle, erfüllt also nur die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201"&amp;gt;erste Stufe&amp;lt;/a&amp;gt; der Bedingungen. Doch mit der Variabilität des Generators gemäss dem Paradigma der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerten regulären Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; gewinnt man Flexibilität bei der Intonation der konkreten Intervalle, etwa wenn eine grosse Terz nahe an 5/4 (-&amp;amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mohajira"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;) oder eine kleine Septime nahe an 7/4 (-&amp;amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;Superpyth&amp;lt;/a&amp;gt;) sein soll.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wie bei regulären Temepraturen üblich, hat auch die maqamische ihre typischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt;, namentlich eine siebentönige MOS-Skala der Struktur 3L 4s (3 Ganztöne, 4 neutrale Sekunden). Sie ähnelt dem arabischen Maqam &amp;amp;quot;Rast&amp;amp;quot;, entspricht allerdings keinem Maqam genau. MOS-Skalen sind in orientalischen Tonsystemen von eher untergeordneter Bedeutung, da bei Maqam-Skalen typischerweise die elementaren Tonschritte in mehr als zwei Grössen erscheinen (man findet manchmal in einem einzigen Maqam eine ganze Palette, von Halbtönen über zwei verschieden grosse neutrale Sekunden und Ganztöne bis zu übermässigen Sekunden.)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Die maqamische Temperatur ist ein Ansatz, im Rahmen des Paradigmas der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] Tonsysteme für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische Musik]] zu realisieren.

Generator ist ein Intervall vom Charakter einer neutralen Terz, so dass 2 Generatoren eine Quinte bilden. Maqamische Systeme haben also alle Eigenschaften, die auch quintenbasierte Systeme haben - wobei die Quinte, je nach konkretem Generator, eher [[pythagoräisch]], [[Superpyth|superpythagoräisch]] oder eher [[mitteltönig]] sein kann (für den letzteren Fall wurde auch der Begriff [[Mohajira]] geprägt) - angereichert um neutrale Terzen und Sekunden.Dies entspricht ziemlich genau den Mindestbedingungen, welche ein Tonsystem für nah-/mittelöstliche Musik erfüllen muss.

Eine konkrete Realisierung der maqamischen Temperatur (mit einem festgelegten Generator) bietet dabei nur //eine// Grösse für die neutralen Intervalle, erfüllt also nur die [[arabisch, türkisch, persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201|erste Stufe]] der Bedingungen. Doch mit der Variabilität des Generators gemäss dem Paradigma der [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerten regulären Temperatur]] gewinnt man Flexibilität bei der Intonation der konkreten Intervalle, etwa wenn eine grosse Terz nahe an 5/4 (-&amp;gt; [[Mohajira]]) oder eine kleine Septime nahe an 7/4 (-&amp;gt; [[Superpyth]]) sein soll.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die maqamische Temperatur ist ein Ansatz, im Rahmen des Paradigmas der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsysteme für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalische Musik&amp;lt;/a&amp;gt; zu realisieren.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist ein Intervall vom Charakter einer neutralen Terz, so dass 2 Generatoren eine Quinte bilden. Maqamische Systeme haben also alle Eigenschaften, die auch quintenbasierte Systeme haben - wobei die Quinte, je nach konkretem Generator, eher &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräisch&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräisch&amp;lt;/a&amp;gt; oder eher &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt; sein kann (für den letzteren Fall wurde auch der Begriff &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mohajira"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt; geprägt) - angereichert um neutrale Terzen und Sekunden.Dies entspricht ziemlich genau den Mindestbedingungen, welche ein Tonsystem für nah-/mittelöstliche Musik erfüllen muss.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine konkrete Realisierung der maqamischen Temperatur (mit einem festgelegten Generator) bietet dabei nur &amp;lt;em&amp;gt;eine&amp;lt;/em&amp;gt; Grösse für die neutralen Intervalle, erfüllt also nur die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201"&amp;gt;erste Stufe&amp;lt;/a&amp;gt; der Bedingungen. Doch mit der Variabilität des Generators gemäss dem Paradigma der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerten regulären Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; gewinnt man Flexibilität bei der Intonation der konkreten Intervalle, etwa wenn eine grosse Terz nahe an 5/4 (-&amp;amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mohajira"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;) oder eine kleine Septime nahe an 7/4 (-&amp;amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;Superpyth&amp;lt;/a&amp;gt;) sein soll.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Die maqamische Temperatur ist ein Ansatz, im Rahmen des Paradigmas der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] Tonsysteme für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische Musik]] zu realisieren.

Generator ist ein Intervall vom Charakter einer neutralen Terz, so dass 2 Generatoren eine Quinte bilden. Maqamische Systeme haben also alle Eigenschaften, die auch quintenbasierte Systeme haben - wobei die Quinte, je nach konkretem Generator, eher [[pythagoräisch]], [[Superpyth|superpythagoräisch]] oder eher [[mitteltönig]] sein kann (für den letzteren Fall wurde auch der Begriff [[Mohajira]] geprägt) - angereichert um neutrale Terzen und Sekunden.Dies entspricht ziemlich genau den Mindestbedingungen, welche ein Tonsystem für nah-/mittelöstliche Musik erfüllen muss.

Eine konkrete Realisierung der maqamischen Temperatur (mit einem festgelegten Generator) bietet dabei nur //eine// Grösse für die neutralen Intervalle, erfüllt also nur die [[arabisch, türkisch, persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201|erste Stufe]] der Bedingungen. Doch mit Variabilität des Generators gemäss dem Paradigma der [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerten regulären Temperatur]] gewinnt man Flexibilität bei der Intonation der konkreten Intervalle, etwa wenn eine grosse Terz nahe an 5/4 (-&amp;gt; [[Mohajira]]) oder eine kleine Septime nahe an 7/4 (-&amp;gt; [[Superpyth]]) sein soll.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die maqamische Temperatur ist ein Ansatz, im Rahmen des Paradigmas der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsysteme für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalische Musik&amp;lt;/a&amp;gt; zu realisieren.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist ein Intervall vom Charakter einer neutralen Terz, so dass 2 Generatoren eine Quinte bilden. Maqamische Systeme haben also alle Eigenschaften, die auch quintenbasierte Systeme haben - wobei die Quinte, je nach konkretem Generator, eher &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräisch&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräisch&amp;lt;/a&amp;gt; oder eher &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt; sein kann (für den letzteren Fall wurde auch der Begriff &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mohajira"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt; geprägt) - angereichert um neutrale Terzen und Sekunden.Dies entspricht ziemlich genau den Mindestbedingungen, welche ein Tonsystem für nah-/mittelöstliche Musik erfüllen muss.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine konkrete Realisierung der maqamischen Temperatur (mit einem festgelegten Generator) bietet dabei nur &amp;lt;em&amp;gt;eine&amp;lt;/em&amp;gt; Grösse für die neutralen Intervalle, erfüllt also nur die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201"&amp;gt;erste Stufe&amp;lt;/a&amp;gt; der Bedingungen. Doch mit Variabilität des Generators gemäss dem Paradigma der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerten regulären Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; gewinnt man Flexibilität bei der Intonation der konkreten Intervalle, etwa wenn eine grosse Terz nahe an 5/4 (-&amp;amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mohajira"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;) oder eine kleine Septime nahe an 7/4 (-&amp;amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;Superpyth&amp;lt;/a&amp;gt;) sein soll.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Die maqamische Temperatur ist ein Ansatz, im Rahmen des Paradigmas der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] Tonsysteme für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische Musik]] zu realisieren.

Generator ist ein Intervall vom Charakter einer neutralen Terz, so dass 2 Generatoren eine Quinte bilden. Maqamische Systeme haben also alle Eigenschaften, die auch quintenbasierte Systeme haben - wobei die Quinte, je nach konkretem Generator, eher [[pythagoräisch]] oder eher [[mitteltönig]] sein kann (für den letzteren Fall wurde auch der Begriff [[Mohajira]] geprägt) - angereichert um neutrale Terzen und Sekunden.Dies entspricht ziemlich genau den Mindestbedingungen, welche ein Tonsystem für nah-/mittelöstliche Musik erfüllen muss.

Eine konkrete Realisierung der maqamischen Temperatur (mit einem festgelegten Generator) bietet dabei nur //eine// Grösse für die neutralen Intervalle, erfüllt also nur die [[arabisch, türkisch, persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201|erste Stufe]] der Bedingungen. Man kann das aber, gemäss dem Paradigma der regulären Stimmungen, als [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperatur]] sehen, bei der die konkrete Grösse der Intervalle nicht a priori festgelegt ist. Dies ist auch durchaus im Einklang mit manchen traditionellen nahöstlichen Theoriesystemen, welche verschiedene Grössen von neutralen Sekunden angeben, diese jedoch mit demselben Wort (Mujannab) bezeichnen.&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;1&amp;lt;/span&amp;gt;


==Referenzen== 
# Amine Beyhom, "A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins”, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209. Artikel online verfügbar auf:
&amp;gt; [[http://www.beyhom.com/download/articles/ICONEA%202008%20%282010%29%20-%20Hypothesis%20Beyhom%20-%20complete.pdf]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die maqamische Temperatur ist ein Ansatz, im Rahmen des Paradigmas der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsysteme für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalische Musik&amp;lt;/a&amp;gt; zu realisieren.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist ein Intervall vom Charakter einer neutralen Terz, so dass 2 Generatoren eine Quinte bilden. Maqamische Systeme haben also alle Eigenschaften, die auch quintenbasierte Systeme haben - wobei die Quinte, je nach konkretem Generator, eher &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräisch&amp;lt;/a&amp;gt; oder eher &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt; sein kann (für den letzteren Fall wurde auch der Begriff &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mohajira"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt; geprägt) - angereichert um neutrale Terzen und Sekunden.Dies entspricht ziemlich genau den Mindestbedingungen, welche ein Tonsystem für nah-/mittelöstliche Musik erfüllen muss.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine konkrete Realisierung der maqamischen Temperatur (mit einem festgelegten Generator) bietet dabei nur &amp;lt;em&amp;gt;eine&amp;lt;/em&amp;gt; Grösse für die neutralen Intervalle, erfüllt also nur die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201"&amp;gt;erste Stufe&amp;lt;/a&amp;gt; der Bedingungen. Man kann das aber, gemäss dem Paradigma der regulären Stimmungen, als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; sehen, bei der die konkrete Grösse der Intervalle nicht a priori festgelegt ist. Dies ist auch durchaus im Einklang mit manchen traditionellen nahöstlichen Theoriesystemen, welche verschiedene Grössen von neutralen Sekunden angeben, diese jedoch mit demselben Wort (Mujannab) bezeichnen.&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;1&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die maqamische Temperatur ist ein Ansatz, im Rahmen des Paradigmas der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] Tonsysteme für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische Musik]] zu realisieren.

Generator ist ein Intervall vom Charakter einer neutralen Terz, so dass 2 Generatoren eine Quinte bilden. Maqamische Systeme haben also alle Eigenschaften, die auch quintenbasierte Systeme haben - wobei die Quinte, je nach konkretem Generator, eher [[pythagoräisch]] oder eher [[mitteltönig]] sein kann (für den letzteren Fall wurde auch der Begriff [[Mohajira]] geprägt) - angereichert um neutrale Terzen und Sekunden.Dies entspricht ziemlich genau den Mindestbedingungen, welche ein Tonsystem für nah-/mittelöstliche Musik erfüllen muss.

Eine konkrete Realisierung der maqamischen Temperatur (mit einem festgelegten Generator) bietet dabei nur //eine// Grösse für die neutralen Intervalle, erfüllt also nur die [[arabisch, türkisch, persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201|erste Stufe]] der Bedingungen. Man kann das aber, gemäss dem Paradigma der regulären Stimmungen, als verallgemeinerte reguläre Temperatur sehen, bei der die konkrete Grösse der Intervalle nicht a priori festgelegt ist. Dies ist auch durchaus im Einklang mit manchen traditionellen nahöstlichen Theoriesystemen, welche verschiedene Grössen von neutralen Sekunden angeben, diese jedoch mit demselben Wort (Mujannab) bezeichnen.&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;1&amp;lt;/span&amp;gt;


==Referenzen== 
# Amine Beyhom, "A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins”, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209. Artikel online verfügbar auf:
&amp;gt; [[http://www.beyhom.com/download/articles/ICONEA%202008%20%282010%29%20-%20Hypothesis%20Beyhom%20-%20complete.pdf]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die maqamische Temperatur ist ein Ansatz, im Rahmen des Paradigmas der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsysteme für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalische Musik&amp;lt;/a&amp;gt; zu realisieren.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist ein Intervall vom Charakter einer neutralen Terz, so dass 2 Generatoren eine Quinte bilden. Maqamische Systeme haben also alle Eigenschaften, die auch quintenbasierte Systeme haben - wobei die Quinte, je nach konkretem Generator, eher &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräisch&amp;lt;/a&amp;gt; oder eher &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt; sein kann (für den letzteren Fall wurde auch der Begriff &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mohajira"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt; geprägt) - angereichert um neutrale Terzen und Sekunden.Dies entspricht ziemlich genau den Mindestbedingungen, welche ein Tonsystem für nah-/mittelöstliche Musik erfüllen muss.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine konkrete Realisierung der maqamischen Temperatur (mit einem festgelegten Generator) bietet dabei nur &amp;lt;em&amp;gt;eine&amp;lt;/em&amp;gt; Grösse für die neutralen Intervalle, erfüllt also nur die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201"&amp;gt;erste Stufe&amp;lt;/a&amp;gt; der Bedingungen. Man kann das aber, gemäss dem Paradigma der regulären Stimmungen, als verallgemeinerte reguläre Temperatur sehen, bei der die konkrete Grösse der Intervalle nicht a priori festgelegt ist. Dies ist auch durchaus im Einklang mit manchen traditionellen nahöstlichen Theoriesystemen, welche verschiedene Grössen von neutralen Sekunden angeben, diese jedoch mit demselben Wort (Mujannab) bezeichnen.&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;1&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Referenzen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Referenzen&amp;lt;/h2&amp;gt;
 &amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Amine Beyhom, &amp;amp;quot;A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins”, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209. Artikel online verfügbar auf:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.beyhom.com/download/articles/ICONEA%202008%20%282010%29%20-%20Hypothesis%20Beyhom%20-%20complete.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.beyhom.com/download/articles/ICONEA%202008%20%282010%29%20-%20Hypothesis%20Beyhom%20-%20complete.pdf&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/maqamic|Xenharmonic/maqamic]]

Die maqamische Temperatur ist ein Ansatz, im Rahmen des Paradigmas der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] Tonsysteme für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische Musik]] zu realisieren.

Generator ist ein Intervall vom Charakter einer neutralen Terz, so dass 2 Generatoren eine Quinte bilden. Maqamische Systeme haben also alle Eigenschaften, die auch quintenbasierte Systeme haben - wobei die Quinte, je nach konkretem Generator, eher [[pythagoräisch]] oder eher [[mitteltönig]] sein kann (für den letzteren Fall wurde auch der Begriff [[Mohajira]] geprägt) - angereichert um neutrale Terzen und Sekunden.Dies entspricht ziemlich genau den Mindestbedingungen, welche ein Tonsystem für nah-/mittelöstliche Musik erfüllen muss.

Eine konkrete Realisierung der maqamischen Temperatur (mit einem festgelegten Generator) bietet dabei nur //eine// Grösse für die neutralen Intervalle, erfüllt also nur die [[arabisch, türkisch, persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201|erste Stufe]] der Bedingungen. Man kann das aber, gemäss dem Paradigma der regulären Stimmungen, als "abstrakte" Temperatur sehen, bei der die konkrete Grösse der Intervalle nicht a priori festgelegt ist. Dies ist auch durchaus im Einklang mit manchen traditionellen nahöstlichen Theoriesystemen, welche verschiedene Grössen von neutralen Sekunden angeben, diese jedoch mit demselben Wort (Mujannab) bezeichnen.&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;1&amp;lt;/span&amp;gt;


==Referenzen== 
# Amine Beyhom, "A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins”, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209. Artikel online verfügbar auf:
&amp;gt; [[http://www.beyhom.com/download/articles/ICONEA%202008%20%282010%29%20-%20Hypothesis%20Beyhom%20-%20complete.pdf]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Die maqamische Temperatur ist ein Ansatz, im Rahmen des Paradigmas der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsysteme für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalische Musik&amp;lt;/a&amp;gt; zu realisieren.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist ein Intervall vom Charakter einer neutralen Terz, so dass 2 Generatoren eine Quinte bilden. Maqamische Systeme haben also alle Eigenschaften, die auch quintenbasierte Systeme haben - wobei die Quinte, je nach konkretem Generator, eher &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräisch&amp;lt;/a&amp;gt; oder eher &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt; sein kann (für den letzteren Fall wurde auch der Begriff &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mohajira"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt; geprägt) - angereichert um neutrale Terzen und Sekunden.Dies entspricht ziemlich genau den Mindestbedingungen, welche ein Tonsystem für nah-/mittelöstliche Musik erfüllen muss.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine konkrete Realisierung der maqamischen Temperatur (mit einem festgelegten Generator) bietet dabei nur &amp;lt;em&amp;gt;eine&amp;lt;/em&amp;gt; Grösse für die neutralen Intervalle, erfüllt also nur die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201"&amp;gt;erste Stufe&amp;lt;/a&amp;gt; der Bedingungen. Man kann das aber, gemäss dem Paradigma der regulären Stimmungen, als &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; Temperatur sehen, bei der die konkrete Grösse der Intervalle nicht a priori festgelegt ist. Dies ist auch durchaus im Einklang mit manchen traditionellen nahöstlichen Theoriesystemen, welche verschiedene Grössen von neutralen Sekunden angeben, diese jedoch mit demselben Wort (Mujannab) bezeichnen.&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;1&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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 &amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Amine Beyhom, &amp;amp;quot;A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins”, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209. Artikel online verfügbar auf:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.beyhom.com/download/articles/ICONEA%202008%20%282010%29%20-%20Hypothesis%20Beyhom%20-%20complete.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.beyhom.com/download/articles/ICONEA%202008%20%282010%29%20-%20Hypothesis%20Beyhom%20-%20complete.pdf&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/maqamic|Xenharmonic/maqamic]]

Die maqamische Temperatur ist ein Ansatz, im Rahmen des Paradigmas der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] Tonsysteme für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische Musik]] zu realisieren.

Generator ist ein Intervall vom Charakter einer neutralen Terz, so dass 2 Generatoren eine Quinte bilden. Maqamische Systeme haben also alle Eigenschaften, die auch quintenbasierte Systeme haben - wobei die Quinte, je nach konkretem Generator, eher [[pythagoräisch]] oder eher [[mitteltönig]] sein kann (für den letzteren Fall wurde auch der Begriff [[Mohajira]] geprägt) - angereichert um neutrale Terzen und Sekunden.Dies entspricht ziemlich genau den Mindestbedingungen, welche ein Tonsystem für nah-/mittelöstliche Musik erfüllen muss.

Eine konkrete Realisierung der maqamischen Temperatur (mit einem festgelegten Generator) bietet dabei nur eine Grösse für die neutralen Intervalle, erfüllt also nur die [[arabisch, türkisch, persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201|erste Stufe]] der Bedingungen. Man kann das aber, gemäss dem Paradigma der regulären Stimmungen, als "abstrakte" Temperatur sehen, bei der die konkrete Grösse der Intervalle nicht a priori festgelegt ist. Dies ist auch durchaus im Einklang mit manchen traditionellen nahöstlichen Theoriesystemen, welche verschiedene Grössen von neutralen Sekunden angeben, diese jedoch mit demselben Wort (Mujannab) bezeichnen.&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;1&amp;lt;/span&amp;gt;


==Referenzen== 
# Amine Beyhom, "A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins”, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209. Artikel online verfügbar auf:
&amp;gt; [[http://www.beyhom.com/download/articles/ICONEA%202008%20%282010%29%20-%20Hypothesis%20Beyhom%20-%20complete.pdf]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die maqamische Temperatur ist ein Ansatz, im Rahmen des Paradigmas der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsysteme für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalische Musik&amp;lt;/a&amp;gt; zu realisieren.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist ein Intervall vom Charakter einer neutralen Terz, so dass 2 Generatoren eine Quinte bilden. Maqamische Systeme haben also alle Eigenschaften, die auch quintenbasierte Systeme haben - wobei die Quinte, je nach konkretem Generator, eher &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräisch&amp;lt;/a&amp;gt; oder eher &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt; sein kann (für den letzteren Fall wurde auch der Begriff &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mohajira"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt; geprägt) - angereichert um neutrale Terzen und Sekunden.Dies entspricht ziemlich genau den Mindestbedingungen, welche ein Tonsystem für nah-/mittelöstliche Musik erfüllen muss.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine konkrete Realisierung der maqamischen Temperatur (mit einem festgelegten Generator) bietet dabei nur eine Grösse für die neutralen Intervalle, erfüllt also nur die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201"&amp;gt;erste Stufe&amp;lt;/a&amp;gt; der Bedingungen. Man kann das aber, gemäss dem Paradigma der regulären Stimmungen, als &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; Temperatur sehen, bei der die konkrete Grösse der Intervalle nicht a priori festgelegt ist. Dies ist auch durchaus im Einklang mit manchen traditionellen nahöstlichen Theoriesystemen, welche verschiedene Grössen von neutralen Sekunden angeben, diese jedoch mit demselben Wort (Mujannab) bezeichnen.&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;1&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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 &amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Amine Beyhom, &amp;amp;quot;A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins”, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209. Artikel online verfügbar auf:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.beyhom.com/download/articles/ICONEA%202008%20%282010%29%20-%20Hypothesis%20Beyhom%20-%20complete.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.beyhom.com/download/articles/ICONEA%202008%20%282010%29%20-%20Hypothesis%20Beyhom%20-%20complete.pdf&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Die maqamische Temperatur ist ein Ansatz, im Rahmen des Paradigmas der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] Tonsysteme für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische Musik]] zu realisieren.

Generator ist ein Intervall vom Charakter einer neutralen Terz, so dass 2 Generatoren eine Quinte bilden. Maqamische Systeme haben also alle Eigenschaften, die auch quintenbasierte Systeme haben - wobei die Quinte, je nach konkretem Generator, eher [[pythagoräisch]] oder eher [[mitteltönig]] sein kann - angereichert um neutrale Terzen und Sekunden.Dies entspricht ziemlich genau den Mindestbedingungen, welche ein Tonsystem für nah-/mittelöstliche Musik erfüllen muss.

Eine konkrete Realisierung der maqamischen Temperatur (mit einem festgelegten Generator) bietet dabei nur eine Grösse für die neutralen Intervalle, erfüllt also nur die [[arabisch, türkisch, persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201|erste Stufe]] der Bedingungen. Man kann das aber, gemäss dem Paradigma der regulären Stimmungen, als "abstrakte" Temperatur sehen, bei der die konkrete Grösse der Intervalle nicht a priori festgelegt ist. Dies ist auch durchaus im Einklang mit manchen traditionellen nahöstlichen Theoriesystemen, welche verschiedene Grössen von neutralen Sekunden angeben, diese jedoch mit demselben Wort (Mujannab) bezeichnen.&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;1&amp;lt;/span&amp;gt;


==Referenzen== 
# Amine Beyhom, "A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins”, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209. Artikel online verfügbar auf:
&amp;gt; [[http://www.beyhom.com/download/articles/ICONEA%202008%20%282010%29%20-%20Hypothesis%20Beyhom%20-%20complete.pdf]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die maqamische Temperatur ist ein Ansatz, im Rahmen des Paradigmas der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsysteme für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalische Musik&amp;lt;/a&amp;gt; zu realisieren.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Generator ist ein Intervall vom Charakter einer neutralen Terz, so dass 2 Generatoren eine Quinte bilden. Maqamische Systeme haben also alle Eigenschaften, die auch quintenbasierte Systeme haben - wobei die Quinte, je nach konkretem Generator, eher &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräisch&amp;lt;/a&amp;gt; oder eher &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt; sein kann - angereichert um neutrale Terzen und Sekunden.Dies entspricht ziemlich genau den Mindestbedingungen, welche ein Tonsystem für nah-/mittelöstliche Musik erfüllen muss.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine konkrete Realisierung der maqamischen Temperatur (mit einem festgelegten Generator) bietet dabei nur eine Grösse für die neutralen Intervalle, erfüllt also nur die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch#Gleichstufige%20Stimmungen%20f%C3%BCr%20Maqamat-Stufe%201"&amp;gt;erste Stufe&amp;lt;/a&amp;gt; der Bedingungen. Man kann das aber, gemäss dem Paradigma der regulären Stimmungen, als &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; Temperatur sehen, bei der die konkrete Grösse der Intervalle nicht a priori festgelegt ist. Dies ist auch durchaus im Einklang mit manchen traditionellen nahöstlichen Theoriesystemen, welche verschiedene Grössen von neutralen Sekunden angeben, diese jedoch mit demselben Wort (Mujannab) bezeichnen.&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;1&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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 &amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Amine Beyhom, &amp;amp;quot;A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins”, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209. Artikel online verfügbar auf:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.beyhom.com/download/articles/ICONEA%202008%20%282010%29%20-%20Hypothesis%20Beyhom%20-%20complete.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.beyhom.com/download/articles/ICONEA%202008%20%282010%29%20-%20Hypothesis%20Beyhom%20-%20complete.pdf&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Die maqamische Temperatur ist ein Ansatz, im Rahmen des Paradigmas der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] Tonsysteme für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische Musik]] zu realisieren.

Generator ist ein Intervall vom Charakter einer neutralen Terz, so dass 2 Generatoren eine Quinte bilden. Maqamische Systeme haben also alle Eigenschaften, die auch quintenbasierte Systeme haben - wobei die Quinte, je nach konkretem Generator, eher [[pythagoräisch]] oder eher [[mitteltönig]] sein kann - angereichert um neutrale Terzen und Sekunden.Dies entspricht ziemlich genau den Mindestbedingungen, welche ein Tonsystem für nah-/mittelöstliche Musik erfüllen muss.

Eine konkrete Realisierung der maqamischen Temperatur (mit einem festgelegten Generator) bietet dabei nur eine Grösse für die neutralen Intervalle, erfüllt also nur die [[arabisch, türkisch, persisch#Stufe%201|erste Stufe]]der Bedingungen. Man kann das aber, gemäss dem Paradigma der regulären Stimmungen, als "abstrakte" Temperatur sehen, bei der die konkrete Grösse der Intervalle nicht a priori festgelegt ist. Dies ist auch durchaus im Einklang mit manchen traditionellen nahöstlichen Theoriesystemen, welche verschiedene Grössen von neutralen Sekunden angeben, diese jedoch mit demselben Wort (Mujannab) bezeichnen.&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;1&amp;lt;/span&amp;gt;


==Referenzen== 
# Amine Beyhom, "A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins”, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209. Artikel online verfügbar auf:
[[http://www.beyhom.com/download/articles/ICONEA%202008%20%282010%29%20-%20Hypothesis%20Beyhom%20-%20complete.pdf]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Die maqamische Temperatur ist ein Ansatz, im Rahmen des Paradigmas der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsysteme für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalische Musik&amp;lt;/a&amp;gt; zu realisieren.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist ein Intervall vom Charakter einer neutralen Terz, so dass 2 Generatoren eine Quinte bilden. Maqamische Systeme haben also alle Eigenschaften, die auch quintenbasierte Systeme haben - wobei die Quinte, je nach konkretem Generator, eher &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräisch&amp;lt;/a&amp;gt; oder eher &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt; sein kann - angereichert um neutrale Terzen und Sekunden.Dies entspricht ziemlich genau den Mindestbedingungen, welche ein Tonsystem für nah-/mittelöstliche Musik erfüllen muss.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine konkrete Realisierung der maqamischen Temperatur (mit einem festgelegten Generator) bietet dabei nur eine Grösse für die neutralen Intervalle, erfüllt also nur die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch#Stufe%201"&amp;gt;erste Stufe&amp;lt;/a&amp;gt;der Bedingungen. Man kann das aber, gemäss dem Paradigma der regulären Stimmungen, als &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; Temperatur sehen, bei der die konkrete Grösse der Intervalle nicht a priori festgelegt ist. Dies ist auch durchaus im Einklang mit manchen traditionellen nahöstlichen Theoriesystemen, welche verschiedene Grössen von neutralen Sekunden angeben, diese jedoch mit demselben Wort (Mujannab) bezeichnen.&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;1&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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 &amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Amine Beyhom, &amp;amp;quot;A new hypothesis on the elaboration of heptatonic scales and their origins”, Proceedings of the International Conference of Near Easten Archaeomusicology ICONEA 2008 Held at the British Museum December 4, 5 and 6, 2008, p. 151-209. Artikel online verfügbar auf:&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.beyhom.com/download/articles/ICONEA%202008%20%282010%29%20-%20Hypothesis%20Beyhom%20-%20complete.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.beyhom.com/download/articles/ICONEA%202008%20%282010%29%20-%20Hypothesis%20Beyhom%20-%20complete.pdf&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <contributor>
        <username>Mike Battaglia</username>
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      <text bytes="2877" sha1="1zk2t2ncyhoqj95xhoeon2o3dpwnkhe" xml:space="preserve">English: [[:en:maqamic|Xenharmonic/maqamic]]

Die maqamische Temperatur ist ein Ansatz, im Rahmen des Paradigmas der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] Tonsysteme für [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalische Musik]] zu realisieren.

Generator ist ein Intervall vom Charakter einer neutralen Terz, so dass 2 Generatoren eine Quinte bilden. Maqamische Systeme haben also alle Eigenschaften, die auch quintenbasierte Systeme haben - wobei die Quinte, je nach konkretem Generator, eher [[pythagoräisch|pythagoräisch]], [[Superpyth|superpythagoräisch]] oder eher [[mitteltönig|mitteltönig]] sein kann (für den letzteren Fall wurde auch der Begriff [[Mohajira|Mohajira]] geprägt) - angereichert um neutrale Terzen und Sekunden. Dies entspricht ziemlich genau den Mindestbedingungen, welche ein Tonsystem für nah-/mittelöstliche Musik erfüllen muss.

Eine konkrete Realisierung der maqamischen Temperatur (mit einem festgelegten Generator) bietet dabei nur ''eine'' Grösse für die neutralen Intervalle, erfüllt also nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|erste Stufe]] der Bedingungen. Doch mit der Variabilität des Generators gemäss dem Paradigma der [[Verallgemeinerte_reguläre_Temperatur|verallgemeinerten regulären Temperatur]] gewinnt man Flexibilität bei der Intonation der konkreten Intervalle, etwa wenn eine grosse Terz nahe an 5/4 (-&amp;gt; [[Mohajira|Mohajira]]) oder eine kleine Septime nahe an 7/4 (-&amp;gt; [[Superpyth|Superpyth]]) sein soll.

Wie bei regulären Temperaturen üblich, hat auch die maqamische ihre typischen [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]], namentlich eine siebentönige MOS-Skala der Struktur 3L 4s (3 Ganztöne, 4 neutrale Sekunden), eine zehntönige der Struktur 7L 3s (7 neutrale Sekunden, drei kleine Sekunden) sowie eine elftönige der Struktur 6L 5s (6 neutrale Sekunden, 5 kleine Sekunden). Die siebentönige MOS-Skala ähnelt dem arabischen Maqam "Rast", entspricht allerdings keinem Maqam genau. MOS-Skalen sind in orientalischen Tonsystemen von eher untergeordneter Bedeutung, da bei Maqam-Skalen typischerweise die elementaren Tonschritte in mehr als zwei Grössen erscheinen (man findet manchmal in einem einzigen Maqam eine ganze Palette, von Halbtönen über zwei verschieden grosse neutrale Sekunden und Ganztöne bis zu übermässigen Sekunden.)

Die kleinstmögliche [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung einer maqamischen Temperatur ist [[17edo|17edo]]. Die siebentönige und die zehntönige MOS-Skala hängen darin so zusammen, dass jeweils die eine genau das Komplement der anderen ist (7 + 10 ergibt bekanntlich 17). Dies kann als Basis für ein 17edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .  [[Category:Temperament]]
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Die maqamische Temperatur ist ein Ansatz, im Rahmen des Paradigmas der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] Tonsysteme für [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalische Musik]] zu realisieren.

Generator ist ein Intervall vom Charakter einer neutralen Terz, so dass 2 Generatoren eine Quinte bilden. Maqamische Systeme haben also alle Eigenschaften, die auch quintenbasierte Systeme haben - wobei die Quinte, je nach konkretem Generator, eher [[pythagoräisch|pythagoräisch]], [[Superpyth|superpythagoräisch]] oder eher [[mitteltönig|mitteltönig]] sein kann (für den letzteren Fall wurde auch der Begriff [[Mohajira|Mohajira]] geprägt) - angereichert um neutrale Terzen und Sekunden. Dies entspricht ziemlich genau den Mindestbedingungen, welche ein Tonsystem für nah-/mittelöstliche Musik erfüllen muss.

Eine konkrete Realisierung der maqamischen Temperatur (mit einem festgelegten Generator) bietet dabei nur ''eine'' Grösse für die neutralen Intervalle, erfüllt also nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|erste Stufe]] der Bedingungen. Doch mit der Variabilität des Generators gemäss dem Paradigma der [[Verallgemeinerte_reguläre_Temperatur|verallgemeinerten regulären Temperatur]] gewinnt man Flexibilität bei der Intonation der konkreten Intervalle, etwa wenn eine grosse Terz nahe an 5/4 (-&amp;gt; [[Mohajira|Mohajira]]) oder eine kleine Septime nahe an 7/4 (-&amp;gt; [[Superpyth|Superpyth]]) sein soll.

Wie bei regulären Temperaturen üblich, hat auch die maqamische ihre typischen [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]], namentlich eine siebentönige MOS-Skala der Struktur 3L 4s (3 Ganztöne, 4 neutrale Sekunden), eine zehntönige der Struktur 7L 3s (7 neutrale Sekunden, drei kleine Sekunden) sowie eine elftönige der Struktur 6L 5s (6 neutrale Sekunden, 5 kleine Sekunden). Die siebentönige MOS-Skala ähnelt dem arabischen Maqam "Rast", entspricht allerdings keinem Maqam genau. MOS-Skalen sind in orientalischen Tonsystemen von eher untergeordneter Bedeutung, da bei Maqam-Skalen typischerweise die elementaren Tonschritte in mehr als zwei Grössen erscheinen (man findet manchmal in einem einzigen Maqam eine ganze Palette, von Halbtönen über zwei verschieden grosse neutrale Sekunden und Ganztöne bis zu übermässigen Sekunden.)

Die kleinstmögliche [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung einer maqamischen Temperatur ist [[17edo|17edo]]. Die siebentönige und die zehntönige MOS-Skala hängen darin so zusammen, dass jeweils die eine genau das Komplement der anderen ist (7 + 10 ergibt bekanntlich 17). Dies kann als Basis für ein 17edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .  [[Category:Temperament]]
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Die maqamische Temperatur ist ein Ansatz, im Rahmen des Paradigmas der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] Tonsysteme für [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalische Musik]] zu realisieren.

Generator ist ein Intervall vom Charakter einer neutralen Terz, so dass 2 Generatoren eine Quinte bilden. Maqamische Systeme haben also alle Eigenschaften, die auch quintenbasierte Systeme haben - wobei die Quinte, je nach konkretem Generator, eher [[pythagoräisch|pythagoräisch]], [[Superpyth|superpythagoräisch]] oder eher [[mitteltönig|mitteltönig]] sein kann (für den letzteren Fall wurde auch der Begriff [[Mohajira|Mohajira]] geprägt) - angereichert um neutrale Terzen und Sekunden. Dies entspricht ziemlich genau den Mindestbedingungen, welche ein Tonsystem für nah-/mittelöstliche Musik erfüllen muss.

Eine konkrete Realisierung der maqamischen Temperatur (mit einem festgelegten Generator) bietet dabei nur ''eine'' Grösse für die neutralen Intervalle, erfüllt also nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|erste Stufe]] der Bedingungen. Doch mit der Variabilität des Generators gemäss dem Paradigma der [[Verallgemeinerte_reguläre_Temperatur|verallgemeinerten regulären Temperatur]] gewinnt man Flexibilität bei der Intonation der konkreten Intervalle, etwa wenn eine grosse Terz nahe an 5/4 (-&amp;gt; [[Mohajira|Mohajira]]) oder eine kleine Septime nahe an 7/4 (-&amp;gt; [[Superpyth|Superpyth]]) sein soll.

Wie bei regulären Temperaturen üblich, hat auch die maqamische ihre typischen [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]], namentlich eine siebentönige MOS-Skala der Struktur 3L 4s (3 Ganztöne, 4 neutrale Sekunden), eine zehntönige der Struktur 7L 3s (7 neutrale Sekunden, drei kleine Sekunden) sowie eine elftönige der Struktur 6L 5s (6 neutrale Sekunden, 5 kleine Sekunden). Die siebentönige MOS-Skala ähnelt dem arabischen Maqam "Rast", entspricht allerdings keinem Maqam genau. MOS-Skalen sind in orientalischen Tonsystemen von eher untergeordneter Bedeutung, da bei Maqam-Skalen typischerweise die elementaren Tonschritte in mehr als zwei Grössen erscheinen (man findet manchmal in einem einzigen Maqam eine ganze Palette, von Halbtönen über zwei verschieden grosse neutrale Sekunden und Ganztöne bis zu übermässigen Sekunden.)

Die kleinstmögliche [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung einer maqamischen Temperatur ist [[17-EDO]]. Die siebentönige und die zehntönige MOS-Skala hängen darin so zusammen, dass jeweils die eine genau das Komplement der anderen ist (7 + 10 ergibt bekanntlich 17). Dies kann als Basis für ein 17-EDO-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .  [[Category:Temperament]]
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Die maqamische Temperatur ist ein Ansatz, [[Tonsysteme]] im Rahmen des Paradigmas der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] für [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalische Musik]] zu realisieren.

Generator ist ein Intervall vom Charakter einer neutralen Terz, so dass 2 Generatoren eine Quinte bilden. Maqamische Systeme haben also alle Eigenschaften, die auch quintenbasierte Systeme haben - wobei die Quinte, je nach konkretem Generator, eher [[pythagoräisch|pythagoräisch]], [[Superpyth|superpythagoräisch]] oder eher [[mitteltönig|mitteltönig]] sein kann (für den letzteren Fall wurde auch der Begriff [[Mohajira|Mohajira]] geprägt) - angereichert um neutrale Terzen und Sekunden. Dies entspricht ziemlich genau den Mindestbedingungen, welche ein Tonsystem für nah-/mittelöstliche Musik erfüllen muss.

Eine konkrete Realisierung der maqamischen Temperatur (mit einem festgelegten Generator) bietet dabei nur ''eine'' Grösse für die neutralen Intervalle, erfüllt also nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|erste Stufe]] der Bedingungen. Doch mit der Variabilität des Generators gemäss dem Paradigma der [[Verallgemeinerte_reguläre_Temperatur|verallgemeinerten regulären Temperatur]] gewinnt man Flexibilität bei der Intonation der konkreten Intervalle, etwa wenn eine grosse Terz nahe an 5/4 (-&amp;gt; [[Mohajira|Mohajira]]) oder eine kleine Septime nahe an 7/4 (-&amp;gt; [[Superpyth|Superpyth]]) sein soll.

Wie bei regulären Temperaturen üblich, hat auch die maqamische ihre typischen [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]], namentlich eine siebentönige MOS-Skala der Struktur 3L 4s (3 Ganztöne, 4 neutrale Sekunden), eine zehntönige der Struktur 7L 3s (7 neutrale Sekunden, drei kleine Sekunden) sowie eine elftönige der Struktur 6L 5s (6 neutrale Sekunden, 5 kleine Sekunden). Die siebentönige MOS-Skala ähnelt dem arabischen Maqam "Rast", entspricht allerdings keinem Maqam genau. MOS-Skalen sind in orientalischen Tonsystemen von eher untergeordneter Bedeutung, da bei Maqam-Skalen typischerweise die elementaren Tonschritte in mehr als zwei Grössen erscheinen (man findet manchmal in einem einzigen Maqam eine ganze Palette, von Halbtönen über zwei verschieden grosse neutrale Sekunden und Ganztöne bis zu übermässigen Sekunden.)

Die kleinstmögliche [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung einer maqamischen Temperatur ist [[17-EDO]]. Die siebentönige und die zehntönige MOS-Skala hängen darin so zusammen, dass jeweils die eine genau das Komplement der anderen ist (7 + 10 ergibt bekanntlich 17). Dies kann als Basis für ein 17-EDO-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .  [[Category:Temperament]]
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Die maqamische Temperatur ist ein Ansatz, [[Tonsystem]]e im Rahmen des Paradigmas der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] für [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalische Musik]] zu realisieren.

Generator ist ein Intervall vom Charakter einer neutralen Terz, so dass 2 Generatoren eine Quinte bilden. Maqamische Systeme haben also alle Eigenschaften, die auch quintenbasierte Systeme haben - wobei die Quinte, je nach konkretem Generator, eher [[pythagoräisch|pythagoräisch]], [[Superpyth|superpythagoräisch]] oder eher [[mitteltönig|mitteltönig]] sein kann (für den letzteren Fall wurde auch der Begriff [[Mohajira|Mohajira]] geprägt) - angereichert um neutrale Terzen und Sekunden. Dies entspricht ziemlich genau den Mindestbedingungen, welche ein Tonsystem für nah-/mittelöstliche Musik erfüllen muss.

Eine konkrete Realisierung der maqamischen Temperatur (mit einem festgelegten Generator) bietet dabei nur ''eine'' Grösse für die neutralen Intervalle, erfüllt also nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|erste Stufe]] der Bedingungen. Doch mit der Variabilität des Generators gemäss dem Paradigma der [[Verallgemeinerte_reguläre_Temperatur|verallgemeinerten regulären Temperatur]] gewinnt man Flexibilität bei der Intonation der konkreten Intervalle, etwa wenn eine grosse Terz nahe an 5/4 (-&amp;gt; [[Mohajira|Mohajira]]) oder eine kleine Septime nahe an 7/4 (-&amp;gt; [[Superpyth|Superpyth]]) sein soll.

Wie bei regulären Temperaturen üblich, hat auch die maqamische ihre typischen [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]], namentlich eine siebentönige MOS-Skala der Struktur 3L 4s (3 Ganztöne, 4 neutrale Sekunden), eine zehntönige der Struktur 7L 3s (7 neutrale Sekunden, drei kleine Sekunden) sowie eine elftönige der Struktur 6L 5s (6 neutrale Sekunden, 5 kleine Sekunden). Die siebentönige MOS-Skala ähnelt dem arabischen Maqam "Rast", entspricht allerdings keinem Maqam genau. MOS-Skalen sind in orientalischen Tonsystemen von eher untergeordneter Bedeutung, da bei Maqam-Skalen typischerweise die elementaren Tonschritte in mehr als zwei Grössen erscheinen (man findet manchmal in einem einzigen Maqam eine ganze Palette, von Halbtönen über zwei verschieden grosse neutrale Sekunden und Ganztöne bis zu übermässigen Sekunden.)

Die kleinstmögliche [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung einer maqamischen Temperatur ist [[17-EDO]]. Die siebentönige und die zehntönige MOS-Skala hängen darin so zusammen, dass jeweils die eine genau das Komplement der anderen ist (7 + 10 ergibt bekanntlich 17). Dies kann als Basis für ein 17-EDO-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .  [[Category:Temperament]]
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Die maqamische Temperatur ist ein Ansatz, [[Tonsystem]]e im Rahmen des Paradigmas der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] für [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalische Musik]] zu realisieren.

Generator ist ein Intervall vom Charakter einer neutralen Terz, so dass 2 Generatoren eine Quinte bilden. Maqamische Systeme haben also alle Eigenschaften, die auch quintenbasierte Systeme haben - wobei die Quinte, je nach konkretem Generator, eher [[pythagoräisch|pythagoräisch]], [[Superpyth|superpythagoräisch]] oder eher [[mitteltönig|mitteltönig]] sein kann (für den letzteren Fall wurde auch der Begriff [[Mohajira|Mohajira]] geprägt) - angereichert um neutrale Terzen und Sekunden. Dies entspricht ziemlich genau den Mindestbedingungen, welche ein Tonsystem für nah-/mittelöstliche Musik erfüllen muss.

Eine konkrete Realisierung der maqamischen Temperatur (mit einem festgelegten Generator) bietet dabei nur ''eine'' Grösse für die neutralen Intervalle, erfüllt also nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|erste Stufe]] der Bedingungen. Doch mit der Variabilität des Generators gemäss dem Paradigma der [[Verallgemeinerte_reguläre_Temperatur|verallgemeinerten regulären Temperatur]] gewinnt man Flexibilität bei der Intonation der konkreten Intervalle, etwa wenn eine grosse Terz nahe an 5/4 (-&amp;gt; [[Mohajira|Mohajira]]) oder eine kleine Septime nahe an 7/4 (-&amp;gt; [[Superpyth|Superpyth]]) sein soll.

Wie bei regulären Temperaturen üblich, hat auch die maqamische ihre typischen [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]], namentlich eine siebentönige MOS-Skala der Struktur 3L 4s (3 Ganztöne, 4 neutrale Sekunden), eine zehntönige der Struktur 7L 3s (7 neutrale Sekunden, drei kleine Sekunden) sowie eine elftönige der Struktur 6L 5s (6 neutrale Sekunden, 5 kleine Sekunden). Die siebentönige MOS-Skala ähnelt dem arabischen Maqam "Rast", entspricht allerdings keinem Maqam genau. MOS-Skalen sind in orientalischen Tonsystemen von eher untergeordneter Bedeutung, da bei Maqam-Skalen typischerweise die elementaren Tonschritte in mehr als zwei Grössen erscheinen (man findet manchmal in einem einzigen Maqam eine ganze Palette, von Halbtönen über zwei verschieden grosse neutrale Sekunden und Ganztöne bis zu übermässigen Sekunden.)

Die kleinstmögliche [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung einer maqamischen Temperatur ist [[17-EDO]]. Die siebentönige und die zehntönige MOS-Skala hängen darin so zusammen, dass jeweils die eine genau das Komplement der anderen ist (7 + 10 ergibt bekanntlich 17). Dies kann als Basis für ein 17-EDO-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .  [[Category:Temperament]]
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Die '''Neutrominant-Temperatur''' ist ein Ansatz, [[Tonsystem]]e im Rahmen des Paradigmas der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische Musik]] zu realisieren.

Generator ist ein Intervall vom Charakter einer neutralen Terz, so dass 2 Generatoren eine Quinte bilden. Neutrominant-Systeme haben also alle Eigenschaften, die auch quintenbasierte Systeme haben - wobei die Quinte, je nach konkretem Generator, eher [[pythagoräisch|pythagoräisch]], [[Superpyth|superpythagoräisch]] oder eher [[mitteltönig|mitteltönig]] sein kann (für den letzteren Fall wurde auch der Begriff [[Mohajira|Mohajira]] geprägt) - angereichert um neutrale Terzen und Sekunden. Dies entspricht ziemlich genau den Mindestbedingungen, welche ein Tonsystem für nah-/mittelöstliche Musik erfüllen muss.

Eine konkrete Realisierung der Neutrominant-Temperatur (mit einem festgelegten Generator) bietet dabei nur ''eine'' Grösse für die neutralen Intervalle, erfüllt also nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|erste Stufe]] der Bedingungen. Doch mit der Variabilität des Generators gemäss dem Paradigma der [[Verallgemeinerte_reguläre_Temperatur|verallgemeinerten regulären Temperatur]] gewinnt man Flexibilität bei der Intonation der konkreten Intervalle, etwa wenn eine grosse Terz nahe an 5/4 (-&amp;gt; [[Mohajira|Mohajira]]) oder eine kleine Septime nahe an 7/4 (-&amp;gt; [[Superpyth|Superpyth]]) sein soll.

Wie bei regulären Temperaturen üblich, hat auch die Neutrominant-ihre typischen [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]], namentlich eine siebentönige MOS-Skala der Struktur 3L 4s (3 Ganztöne, 4 neutrale Sekunden), eine zehntönige der Struktur 7L 3s (7 neutrale Sekunden, drei kleine Sekunden) sowie eine elftönige der Struktur 6L 5s (6 neutrale Sekunden, 5 kleine Sekunden). Die siebentönige MOS-Skala ähnelt dem arabischen Maqam "Rast", entspricht allerdings keinem Maqam genau. MOS-Skalen sind in orientalischen Tonsystemen von eher untergeordneter Bedeutung, da bei Maqam-Skalen typischerweise die elementaren Tonschritte in mehr als zwei Grössen erscheinen (man findet manchmal in einem einzigen Maqam eine ganze Palette, von Halbtönen über zwei verschieden grosse neutrale Sekunden und Ganztöne bis zu übermässigen Sekunden.)

Die kleinstmögliche [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung einer Neutrominant-Temperatur ist [[17-EDO]]. Die siebentönige und die zehntönige MOS-Skala hängen darin so zusammen, dass jeweils die eine genau das Komplement der anderen ist (7 + 10 ergibt bekanntlich 17). Dies kann als Basis für ein 17-EDO-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .  [[Category:Temperament]]
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Die '''Neutrominant-Temperatur''' ist ein Ansatz, [[Tonsystem]]e im Rahmen des Paradigmas der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische Musik]] zu realisieren.

Generator ist ein Intervall vom Charakter einer neutralen Terz, so dass 2 Generatoren eine Quinte bilden. Neutrominant-Systeme haben also alle Eigenschaften, die auch quintenbasierte Systeme haben - wobei die Quinte, je nach konkretem Generator, eher [[pythagoräisch|pythagoräisch]], [[Superpyth|superpythagoräisch]] oder eher [[mitteltönig|mitteltönig]] sein kann (für den letzteren Fall wurde auch der Begriff [[Mohajira|Mohajira]] geprägt) - angereichert um neutrale Terzen und Sekunden. Dies entspricht ziemlich genau den Mindestbedingungen, welche ein Tonsystem für nah-/mittelöstliche Musik erfüllen muss.

Eine konkrete Realisierung der Neutrominant-Temperatur (mit einem festgelegten Generator) bietet dabei nur ''eine'' Grösse für die neutralen Intervalle, erfüllt also nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|erste Stufe]] der Bedingungen. Doch mit der Variabilität des Generators gemäss dem Paradigma der [[Verallgemeinerte_reguläre_Temperatur|verallgemeinerten regulären Temperatur]] gewinnt man Flexibilität bei der Intonation der konkreten Intervalle, etwa wenn eine grosse Terz nahe an 5/4 (-&amp;gt; [[Mohajira|Mohajira]]) oder eine kleine Septime nahe an 7/4 (-&amp;gt; [[Superpyth|Superpyth]]) sein soll.

Wie bei regulären Temperaturen üblich, hat auch die Neutrominant-ihre typischen [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]], namentlich eine siebentönige MOS-Skala der Struktur 3L 4s (3 Ganztöne, 4 neutrale Sekunden), eine zehntönige der Struktur 7L 3s (7 neutrale Sekunden, drei kleine Sekunden) sowie eine elftönige der Struktur 6L 5s (6 neutrale Sekunden, 5 kleine Sekunden). Die siebentönige MOS-Skala ähnelt dem arabischen Maqam "Rast", entspricht allerdings keinem Maqam genau. MOS-Skalen sind in orientalischen Tonsystemen von eher untergeordneter Bedeutung, da bei Maqam-Skalen typischerweise die elementaren Tonschritte in mehr als zwei Grössen erscheinen (man findet manchmal in einem einzigen Maqam eine ganze Palette, von Halbtönen über zwei verschieden grosse neutrale Sekunden und Ganztöne bis zu übermässigen Sekunden.)

Die kleinstmögliche [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung der Neutrominant-Temperatur ist [[17-EDO]]. Die siebentönige und die zehntönige MOS-Skala hängen darin so zusammen, dass jeweils die eine genau das Komplement der anderen ist (7 + 10 ergibt bekanntlich 17). Dies kann als Basis für ein 17-EDO-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .  [[Category:Temperament]]
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Die '''Neutrominant-''' bzw. '''maqamische Temperatur''' ist ein Ansatz, [[Tonsystem]]e im Rahmen des Paradigmas der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische Musik]] zu realisieren.

Generator ist ein Intervall vom Charakter einer neutralen Terz, so dass 2 Generatoren eine Quinte bilden. Neutrominant-Systeme haben also alle Eigenschaften, die auch quintenbasierte Systeme haben - wobei die Quinte, je nach konkretem Generator, eher [[pythagoräisch|pythagoräisch]], [[Superpyth|superpythagoräisch]] oder eher [[mitteltönig|mitteltönig]] sein kann (für den letzteren Fall wurde auch der Begriff [[Mohajira|Mohajira]] geprägt) - angereichert um neutrale Terzen und Sekunden. Dies entspricht ziemlich genau den Mindestbedingungen, welche ein Tonsystem für nah-/mittelöstliche Musik erfüllen muss.

Eine konkrete Realisierung der Neutrominant-Temperatur (mit einem festgelegten Generator) bietet dabei nur ''eine'' Grösse für die neutralen Intervalle, erfüllt also nur die [[arabisch,_türkisch,_persisch#Gleichstufige Stimmungen für Maqamat-Stufe 1|erste Stufe]] der Bedingungen. Doch mit der Variabilität des Generators gemäss dem Paradigma der [[Verallgemeinerte_reguläre_Temperatur|verallgemeinerten regulären Temperatur]] gewinnt man Flexibilität bei der Intonation der konkreten Intervalle, etwa wenn eine grosse Terz nahe an 5/4 (-&amp;gt; [[Mohajira|Mohajira]]) oder eine kleine Septime nahe an 7/4 (-&amp;gt; [[Superpyth|Superpyth]]) sein soll.

Wie bei regulären Temperaturen üblich, hat auch die Neutrominant-ihre typischen [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]], namentlich eine siebentönige MOS-Skala der Struktur 3L 4s (3 Ganztöne, 4 neutrale Sekunden), eine zehntönige der Struktur 7L 3s (7 neutrale Sekunden, drei kleine Sekunden) sowie eine elftönige der Struktur 6L 5s (6 neutrale Sekunden, 5 kleine Sekunden). Die siebentönige MOS-Skala ähnelt dem arabischen Maqam "Rast", entspricht allerdings keinem Maqam genau. MOS-Skalen sind in orientalischen Tonsystemen von eher untergeordneter Bedeutung, da bei Maqam-Skalen typischerweise die elementaren Tonschritte in mehr als zwei Grössen erscheinen (man findet manchmal in einem einzigen Maqam eine ganze Palette, von Halbtönen über zwei verschieden grosse neutrale Sekunden und Ganztöne bis zu übermässigen Sekunden.)

Die kleinstmögliche [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung der Neutrominant-Temperatur ist [[17-EDO]]. Die siebentönige und die zehntönige MOS-Skala hängen darin so zusammen, dass jeweils die eine genau das Komplement der anderen ist (7 + 10 ergibt bekanntlich 17). Dies kann als Basis für ein 17-EDO-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] .  [[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Marvel-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des [[Komma|Kommas]] [[225/224|225/224]] (septimales Kleisma, 7.7 Cents). Dieses Komma (auch Marvel-Komma genannt) erscheint als Unterschied zwischen den Halbtönen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Ferner erscheint es (oktavbereinigt), wenn man zwei [[Naturterz|reine grosse Terzen (5/4)]] und eine übergrosse septimale Terz (9/7) übereinanderschichtet.

Konkrete Folgen des Austemperierens sind, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime|Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird, sowie dass es einen übermässigen Dreiklang aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz gibt. Diesen Dreiklang kann man entsprechend '''Marvel-Dreiklang''' nennen.

Da sich die septimale Terz 9/7 aus einem grossen Ganzton 9/8 und einem septimalen Ganzton 8/7 zusammensetzen lässt, folgt daraus ferner, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine Naturseptime ergeben.

Der Name "Marvel-Temperatur" wird verwendet für das System, das sich ergibt, wenn man auf dem vierdimensionalen 7-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]] ausschliesslich das Marvel-Komma austemperiert. Diese Temperatur ist dreidimensional, d.h. eine einfache Intervallstruktur mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] gibt es bei ihr nicht. Man kann sie als Temperierung der reinen 5-Limit-Stimmung sehen, bei welcher die 7-Limit-Intervalle durch solche in tieferem Limit angenähert werden.

Annäherung auch von 11-Limit-Intervallen durch solche in 5-Limit erhält man, indem man auf dem (5-dimensionalen) 11-Limit-Intervallraum neben dem Komma 225/224 noch das Komma 385/384 (4.503 Cents) austemperiert. Der 11. Oberton [[Alphorn-Fa|11/8 (Alphorn-Fa)]] etwa fällt dann mit dem Intervall 48/35 (kleine Terz 6/5 plus septimaler Ganzton 8/7) zusammen

Das Marvel-Komma wird ansonsten noch in einer Reihe von weiteren Temperaturen mit eigenen Namen austemperiert, so etwa der [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigen]], der [[Magische_Temperaturen|7-Limit-magischen]] und der [[Schismatische_Temperaturen|Garibaldi]]-Temperatur.</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Marvel-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des [[Komma|Kommas]] [[225_224|225/224]] (septimales Kleisma, 7.7 Cents). Dieses Komma (auch Marvel-Komma genannt) erscheint als Unterschied zwischen den Halbtönen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Ferner erscheint es (oktavbereinigt), wenn man zwei [[xenharmonie/Naturterz|reine grosse Terzen (5/4)]] und eine übergrosse septimale Terz (9/7) übereinanderschichtet.

Konkrete Folgen des Austemperierens sind, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[xenharmonie/Naturseptime|Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird, sowie dass es einen übermässigen Dreiklang aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz gibt. Diesen Dreiklang kann man entsprechend **Marvel-Dreiklang** nennen.

Da sich die septimale Terz 9/7 aus einem grossen Ganzton 9/8 und einem septimalen Ganzton 8/7 zusammensetzen lässt, folgt daraus ferner, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine Naturseptime ergeben.

Der Name "Marvel-Temperatur" wird verwendet für das System, das sich ergibt, wenn man auf dem vierdimensionalen 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] ausschliesslich das Marvel-Komma austemperiert. Diese Temperatur ist dreidimensional, d.h. eine einfache Intervallstruktur mit einem Generator und [[MOS-Skalen]] gibt es bei ihr nicht. Man kann sie als Temperierung der reinen 5-Limit-Stimmung sehen, bei welcher die 7-Limit-Intervalle durch solche in tieferem Limit angenähert werden.

Annäherung auch von 11-Limit-Intervallen durch solche in 5-Limit erhält man, indem man auf dem (5-dimensionalen) 11-Limit-Intervallraum neben dem Komma 225/224 noch das Komma 385/384 (4.503 Cents) austemperiert. Der 11. Oberton [[Alphorn-Fa|11/8 (Alphorn-Fa)]] etwa fällt dann mit dem Intervall 48/35 (kleine Terz 6/5 plus septimaler Ganzton 8/7) zusammen

Das Marvel-Komma wird ansonsten noch in einer Reihe von weiteren Temperaturen mit eigenen Namen austemperiert, so etwa der [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigen]], der [[Magische Temperaturen|7-Limit-magischen]] und der [[Schismatische Temperaturen|Garibaldi]]-Temperatur.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Konkrete Folgen des Austemperierens sind, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime&amp;lt;/a&amp;gt;) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird, sowie dass es einen übermässigen Dreiklang aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz gibt. Diesen Dreiklang kann man entsprechend &amp;lt;strong&amp;gt;Marvel-Dreiklang&amp;lt;/strong&amp;gt; nennen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Da sich die septimale Terz 9/7 aus einem grossen Ganzton 9/8 und einem septimalen Ganzton 8/7 zusammensetzen lässt, folgt daraus ferner, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine Naturseptime ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Name &amp;amp;quot;Marvel-Temperatur&amp;amp;quot; wird verwendet für das System, das sich ergibt, wenn man auf dem vierdimensionalen 7-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; ausschliesslich das Marvel-Komma austemperiert. Diese Temperatur ist dreidimensional, d.h. eine einfache Intervallstruktur mit einem Generator und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; gibt es bei ihr nicht. Man kann sie als Temperierung der reinen 5-Limit-Stimmung sehen, bei welcher die 7-Limit-Intervalle durch solche in tieferem Limit angenähert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Annäherung auch von 11-Limit-Intervallen durch solche in 5-Limit erhält man, indem man auf dem (5-dimensionalen) 11-Limit-Intervallraum neben dem Komma 225/224 noch das Komma 385/384 (4.503 Cents) austemperiert. Der 11. Oberton &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;11/8 (Alphorn-Fa)&amp;lt;/a&amp;gt; etwa fällt dann mit dem Intervall 48/35 (kleine Terz 6/5 plus septimaler Ganzton 8/7) zusammen&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Marvel-Komma wird ansonsten noch in einer Reihe von weiteren Temperaturen mit eigenen Namen austemperiert, so etwa der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/septimal-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;septimal-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt;, der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Magische%20Temperaturen"&amp;gt;7-Limit-magischen&amp;lt;/a&amp;gt; und der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Schismatische%20Temperaturen"&amp;gt;Garibaldi&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Marvel-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des [[Komma|Kommas]] [[225_224|225/224]] (septimales Kleisma, 7.7 Cents). Dieses Komma (auch Marvel-Komma genannt) erscheint als Unterschied zwischen den Halbtönen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Ferner erscheint es (oktavbereinigt), wenn man zwei [[xenharmonie/Naturterz|reine grosse Terzen (5/4)]] und eine übergrosse septimale Terz (9/7) übereinanderschichtet.

Konkrete Folgen des Austemperierens sind, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[xenharmonie/Naturseptime|Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird, sowie dass es einen übermässigen Dreiklang aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz gibt. Diesen Dreiklang kann man entsprechend **Marvel-Dreiklang** nennen.

Da sich die septimale Terz 9/7 aus einem grossen Ganzton 9/8 und einem septimalen Ganzton 8/7 zusammensetzen lässt, folgt daraus ferner, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine Naturseptime ergeben.

Der Name "Marvel-Temperatur" wird verwendet für das System, das sich ergibt, wenn man auf dem vierdimensionalen 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] ausschliesslich das Marvel-Komma austemperiert. Diese Temperatur ist dreidimensional, d.h. eine einfache Intervallstruktur mit einem Generator und [[MOS-Skalen]] gibt es bei ihr nicht. Man kann sie als Temperierung der reinen 5-Limit-Stimmung sehen, bei welcher die 7-Limit-Intervalle durch solche in tieferem Limit angenähert werden.

Annäherung auch von 11-Limit-Intervallen durch solche in 5-Limit erhält man, indem man auf dem 5-dimensionalen 11-Limit-Intervallraum neben dem Komma 225/224 noch das Komma 385/384 (4.503 Cents) austemperiert. Der 11. Oberton [[Alphorn-Fa|11/8 (Alphorn-Fa)]] etwa fällt dann mit dem Intervall 48/35 (kleine Terz 6/5 plus septimaler Ganzton 8/7) zusammen

Das Marvel-Komma wird ansonsten noch in einer Reihe von weiteren Temperaturen mit eigenen Namen austemperiert, so etwa der [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigen]], der [[Magische Temperaturen|7-Limit-magischen]] und der [[Schismatische Temperaturen|Garibaldi]]-Temperatur.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die Familie der Marvel-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;225/224&amp;lt;/a&amp;gt; (septimales Kleisma, 7.7 Cents). Dieses Komma (auch Marvel-Komma genannt) erscheint als Unterschied zwischen den Halbtönen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Ferner erscheint es (oktavbereinigt), wenn man zwei &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Naturterz"&amp;gt;reine grosse Terzen (5/4)&amp;lt;/a&amp;gt; und eine übergrosse septimale Terz (9/7) übereinanderschichtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Konkrete Folgen des Austemperierens sind, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime&amp;lt;/a&amp;gt;) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird, sowie dass es einen übermässigen Dreiklang aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz gibt. Diesen Dreiklang kann man entsprechend &amp;lt;strong&amp;gt;Marvel-Dreiklang&amp;lt;/strong&amp;gt; nennen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Da sich die septimale Terz 9/7 aus einem grossen Ganzton 9/8 und einem septimalen Ganzton 8/7 zusammensetzen lässt, folgt daraus ferner, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine Naturseptime ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Name &amp;amp;quot;Marvel-Temperatur&amp;amp;quot; wird verwendet für das System, das sich ergibt, wenn man auf dem vierdimensionalen 7-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; ausschliesslich das Marvel-Komma austemperiert. Diese Temperatur ist dreidimensional, d.h. eine einfache Intervallstruktur mit einem Generator und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; gibt es bei ihr nicht. Man kann sie als Temperierung der reinen 5-Limit-Stimmung sehen, bei welcher die 7-Limit-Intervalle durch solche in tieferem Limit angenähert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Annäherung auch von 11-Limit-Intervallen durch solche in 5-Limit erhält man, indem man auf dem 5-dimensionalen 11-Limit-Intervallraum neben dem Komma 225/224 noch das Komma 385/384 (4.503 Cents) austemperiert. Der 11. Oberton &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;11/8 (Alphorn-Fa)&amp;lt;/a&amp;gt; etwa fällt dann mit dem Intervall 48/35 (kleine Terz 6/5 plus septimaler Ganzton 8/7) zusammen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Marvel-Komma wird ansonsten noch in einer Reihe von weiteren Temperaturen mit eigenen Namen austemperiert, so etwa der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/septimal-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;septimal-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt;, der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Magische%20Temperaturen"&amp;gt;7-Limit-magischen&amp;lt;/a&amp;gt; und der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Schismatische%20Temperaturen"&amp;gt;Garibaldi&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Marvel-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des [[Komma|Kommas]] [[225_224|225/224]] (septimales Kleisma, 7.7 Cents). Dieses Komma (auch Marvel-Komma genannt) erscheint als Unterschied zwischen den Halbtönen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Ferner erscheint es (oktavbereinigt), wenn man zwei [[xenharmonie/Naturterz|reine grosse Terzen (5/4)]] und eine übergrosse septimale Terz (9/7) übereinanderschichtet.

Konkrete Folgen des Austemperierens sind, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[xenharmonie/Naturseptime|Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird, sowie dass es einen übermässigen Dreiklang aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz gibt. Diesen Dreiklang kann man entsprechend **Marvel-Dreiklang** nennen.

Da sich die septimale Terz 9/7 aus einem grossen Ganzton 9/8 und einem septimalen Ganzton 8/7 zusammensetzen lässt, folgt daraus ferner, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine Naturseptime ergeben.

Der Name "Marvel-Temperatur" wird verwendet für das System, das sich ergibt, wenn man auf dem vierdiemensionalen 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] ausschliesslich das Marvel-Komma austemperiert. Diese Temperatur ist dreidimensional, d.h. eine einfache Intervallstruktur mit einem Generator und [[MOS-Skalen]] gibt es bei ihr nicht. Man kann sie als Temperierung der reinen 5-Limit-Stimmung sehen, bei welcher die 7-Limit-Intervalle durch solche in tieferem Limit angenähert werden.

Annäherung auch von 11-Limit-Intervallen durch solche in 5-Limit erhält man, indem man auf dem 5-dimensionalen 11-Limit-Intervallraum neben dem Komma 225/224 noch das Komma 385/384 (4.503 Cents) austemperiert. Der 11. Oberton [[Alphorn-Fa|11/8 (Alphorn-Fa)]] etwa fällt dann mit dem Intervall 48/35 (kleine Terz 6/5 plus septimaler Ganzton 8/7) zusammen

Das Marvel-Komma wird ansonsten noch in einer Reihe von weiteren Temperaturen mit eigenen Namen austemperiert, so etwa der [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigen]], der [[Magische Temperaturen|7-Limit-magischen]] und der [[Schismatische Temperaturen|Garibaldi]]-Temperatur.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Die Familie der Marvel-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;225/224&amp;lt;/a&amp;gt; (septimales Kleisma, 7.7 Cents). Dieses Komma (auch Marvel-Komma genannt) erscheint als Unterschied zwischen den Halbtönen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Ferner erscheint es (oktavbereinigt), wenn man zwei &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Naturterz"&amp;gt;reine grosse Terzen (5/4)&amp;lt;/a&amp;gt; und eine übergrosse septimale Terz (9/7) übereinanderschichtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Konkrete Folgen des Austemperierens sind, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime&amp;lt;/a&amp;gt;) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird, sowie dass es einen übermässigen Dreiklang aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz gibt. Diesen Dreiklang kann man entsprechend &amp;lt;strong&amp;gt;Marvel-Dreiklang&amp;lt;/strong&amp;gt; nennen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Da sich die septimale Terz 9/7 aus einem grossen Ganzton 9/8 und einem septimalen Ganzton 8/7 zusammensetzen lässt, folgt daraus ferner, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine Naturseptime ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Name &amp;amp;quot;Marvel-Temperatur&amp;amp;quot; wird verwendet für das System, das sich ergibt, wenn man auf dem vierdiemensionalen 7-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; ausschliesslich das Marvel-Komma austemperiert. Diese Temperatur ist dreidimensional, d.h. eine einfache Intervallstruktur mit einem Generator und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; gibt es bei ihr nicht. Man kann sie als Temperierung der reinen 5-Limit-Stimmung sehen, bei welcher die 7-Limit-Intervalle durch solche in tieferem Limit angenähert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Annäherung auch von 11-Limit-Intervallen durch solche in 5-Limit erhält man, indem man auf dem 5-dimensionalen 11-Limit-Intervallraum neben dem Komma 225/224 noch das Komma 385/384 (4.503 Cents) austemperiert. Der 11. Oberton &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;11/8 (Alphorn-Fa)&amp;lt;/a&amp;gt; etwa fällt dann mit dem Intervall 48/35 (kleine Terz 6/5 plus septimaler Ganzton 8/7) zusammen&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Marvel-Komma wird ansonsten noch in einer Reihe von weiteren Temperaturen mit eigenen Namen austemperiert, so etwa der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/septimal-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;septimal-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt;, der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Magische%20Temperaturen"&amp;gt;7-Limit-magischen&amp;lt;/a&amp;gt; und der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Schismatische%20Temperaturen"&amp;gt;Garibaldi&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Marvel-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des [[Komma|Kommas]] [[225_224|225/224]] (septimales Kleisma, 7.7 Cents). Dieses Komma (auch Marvel-Komma genannt) erscheint als Unterschied zwischen den Halbtönen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Ferner erscheint es (oktavbereinigt), wenn man zwei [[xenharmonie/Naturterz|reine grosse Terzen (5/4)]] und eine übergrosse septimale Terz (9/7) übereinanderschichtet.

Konkrete Folgen des Austemperierens sind, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[xenharmonie/Naturseptime|Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird, sowie dass es einen übermässigen Dreiklang aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz gibt. Diesen Dreiklang kann man entsprechend **Marvel-Dreiklang** nennen.

Da sich die septimale Terz 9/7 aus einem grossen Ganzton 9/8 und einem septimalen Ganzton 8/7 zusammensetzen lässt, folgt daraus ferner, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine Naturseptime ergeben.

Der Name "Marvel-Temperatur" wird verwendet für das System, das sich ergibt, wenn man auf dem vierdiemensionalen 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] ausschliesslich das Marvel-Komma austemperiert. Diese Temperatur ist dreidimensional, d.h. eine einfache Intervallstruktur mit einem Generator und [[MOS-Skalen]] gibt es bei ihr nicht. Man kann sie als Temperierung der reinen 5-Limit-Stimmung sehen, bei welcher die 7-Limit-Intervalle durch solche in tieferem Limit angenähert werden.

Annäherung auch von 11-Limit-Intervallen durch solche in 5-Limit erhält man, indem man auf dem 5-dimensionalen 11-Limit-Intervallraum neben dem Komma 225/224 noch das Komma 385/384 (4.503 Cents) austemperiert. Der 11. Oberton [[Alphorn-Fa|11/8 (Alphorn-Fa)]] etwa fällt dann mit dem Intervall 48/35 (kleine Terz 6/5 plus septimaler Ganzton 8/7) zusammen

Das Marvel-Komma wird ansonsten noch in einer Reihe von weiteren Temperaturen mit eigenen Namen austemperiert, so etwa der [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigen]], der [[Magische Temperaturen|7-Limit-magischen]] und der [[Schismatische Temperaturen|Garibaldi]]-Temperatur&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Die Familie der Marvel-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;225/224&amp;lt;/a&amp;gt; (septimales Kleisma, 7.7 Cents). Dieses Komma (auch Marvel-Komma genannt) erscheint als Unterschied zwischen den Halbtönen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Ferner erscheint es (oktavbereinigt), wenn man zwei &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Naturterz"&amp;gt;reine grosse Terzen (5/4)&amp;lt;/a&amp;gt; und eine übergrosse septimale Terz (9/7) übereinanderschichtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Konkrete Folgen des Austemperierens sind, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime&amp;lt;/a&amp;gt;) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird, sowie dass es einen übermässigen Dreiklang aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz gibt. Diesen Dreiklang kann man entsprechend &amp;lt;strong&amp;gt;Marvel-Dreiklang&amp;lt;/strong&amp;gt; nennen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Da sich die septimale Terz 9/7 aus einem grossen Ganzton 9/8 und einem septimalen Ganzton 8/7 zusammensetzen lässt, folgt daraus ferner, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine Naturseptime ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Name &amp;amp;quot;Marvel-Temperatur&amp;amp;quot; wird verwendet für das System, das sich ergibt, wenn man auf dem vierdiemensionalen 7-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; ausschliesslich das Marvel-Komma austemperiert. Diese Temperatur ist dreidimensional, d.h. eine einfache Intervallstruktur mit einem Generator und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; gibt es bei ihr nicht. Man kann sie als Temperierung der reinen 5-Limit-Stimmung sehen, bei welcher die 7-Limit-Intervalle durch solche in tieferem Limit angenähert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Annäherung auch von 11-Limit-Intervallen durch solche in 5-Limit erhält man, indem man auf dem 5-dimensionalen 11-Limit-Intervallraum neben dem Komma 225/224 noch das Komma 385/384 (4.503 Cents) austemperiert. Der 11. Oberton &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;11/8 (Alphorn-Fa)&amp;lt;/a&amp;gt; etwa fällt dann mit dem Intervall 48/35 (kleine Terz 6/5 plus septimaler Ganzton 8/7) zusammen&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Marvel-Komma wird ansonsten noch in einer Reihe von weiteren Temperaturen mit eigenen Namen austemperiert, so etwa der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/septimal-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;septimal-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt;, der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Magische%20Temperaturen"&amp;gt;7-Limit-magischen&amp;lt;/a&amp;gt; und der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Schismatische%20Temperaturen"&amp;gt;Garibaldi&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Marvel-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des [[Komma|Kommas]] [[225_224|225/224]] (septimales Kleisma, 7.7 Cents). Dieses Komma (auch Marvel-Komma genannt) erscheint als Unterschied zwischen den Halbtönen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Ferner erscheint es (oktavbereinigt), wenn man zwei [[xenharmonie/Naturterz|reine grosse Terzen (5/4)]] und eine übergrosse septimale Terz (9/7) übereinanderschichtet.

Konkrete Folgen des Austemperierens sind, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[xenharmonie/Naturseptime|Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird, sowie dass es einen übermässigen Dreiklang aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz gibt. Diesen Dreiklang kann man entsprechend **Marvel-Dreiklang** nennen.

Da sich die septimale Terz 9/7 aus einem grossen Ganzton 9/8 und einem septimalen Ganzton 8/7 zusammensetzen lässt, folgt daraus ferner, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine Naturseptime ergeben.

Der Name "Marvel-Temperatur" wird verwendet für das System, das sich ergibt, wenn man auf dem vierdiemensionalen 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] ausschliesslich das Marvel-Komma austemperiert. Diese Temperatur ist dreidimensional, d.h. eine einfache Intervallstruktur mit einem Generator und [[MOS-Skalen]] gibt es bei ihr nicht. Man kann sie als Temperierung der reinen 5-Limit-Stimmung sehen, bei welcher die 7-Limit-Intervalle durch solche in tieferm Limit angenähert werden.



Daneben erscheint das Marvel-Komma als austemperiert noch in einer Reihe von weiteren Temperaturen mit eigenen Namen, so etwa der [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigen]], der [[Magische Temperaturen|7-Limit-magischen]] und der [[Schismatische Temperaturen|Garibaldi]]-Temperatur &lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Familie der Marvel-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;225/224&amp;lt;/a&amp;gt; (septimales Kleisma, 7.7 Cents). Dieses Komma (auch Marvel-Komma genannt) erscheint als Unterschied zwischen den Halbtönen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Ferner erscheint es (oktavbereinigt), wenn man zwei &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Naturterz"&amp;gt;reine grosse Terzen (5/4)&amp;lt;/a&amp;gt; und eine übergrosse septimale Terz (9/7) übereinanderschichtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Konkrete Folgen des Austemperierens sind, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime&amp;lt;/a&amp;gt;) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird, sowie dass es einen übermässigen Dreiklang aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz gibt. Diesen Dreiklang kann man entsprechend &amp;lt;strong&amp;gt;Marvel-Dreiklang&amp;lt;/strong&amp;gt; nennen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Da sich die septimale Terz 9/7 aus einem grossen Ganzton 9/8 und einem septimalen Ganzton 8/7 zusammensetzen lässt, folgt daraus ferner, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine Naturseptime ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Name &amp;amp;quot;Marvel-Temperatur&amp;amp;quot; wird verwendet für das System, das sich ergibt, wenn man auf dem vierdiemensionalen 7-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; ausschliesslich das Marvel-Komma austemperiert. Diese Temperatur ist dreidimensional, d.h. eine einfache Intervallstruktur mit einem Generator und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; gibt es bei ihr nicht. Man kann sie als Temperierung der reinen 5-Limit-Stimmung sehen, bei welcher die 7-Limit-Intervalle durch solche in tieferm Limit angenähert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Daneben erscheint das Marvel-Komma als austemperiert noch in einer Reihe von weiteren Temperaturen mit eigenen Namen, so etwa der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/septimal-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;septimal-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt;, der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Magische%20Temperaturen"&amp;gt;7-Limit-magischen&amp;lt;/a&amp;gt; und der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Schismatische%20Temperaturen"&amp;gt;Garibaldi&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Marvel-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des [[Komma|Kommas]] [[225_224|225/224]] (septimales Kleisma, 7.7 Cents). Dieses Komma (auch Marvel-Komma genannt) erscheint als Unterschied zwischen den Halbtönen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Ferner erscheint es (oktavbereinigt), wenn man zwei [[xenharmonie/Naturterz|reine grosse Terzen (5/4)]] und eine übergrosse septimale Terz (9/7) übereinanderschichtet.

Konkrete Folgen des Austemperierens sind, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[xenharmonie/Naturseptime|Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird, sowie dass es einen übermässigen Dreiklang aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz gibt. Diesen Dreiklang kann man entsprechend **Marvel-Dreiklang** nennen.

Da sich die septimale Terz 9/7 aus einem grossen Ganzton 9/8 und einem septimalen Ganzton 8/7 zusammensetzen lässt, folgt daraus ferner, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine Naturseptime ergeben.

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Konkrete Folgen des Austemperierens sind, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime&amp;lt;/a&amp;gt;) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird, sowie dass es einen übermässigen Dreiklang aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz gibt. Diesen Dreiklang kann man entsprechend &amp;lt;strong&amp;gt;Marvel-Dreiklang&amp;lt;/strong&amp;gt; nennen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Da sich die septimale Terz 9/7 aus einem grossen Ganzton 9/8 und einem septimalen Ganzton 8/7 zusammensetzen lässt, folgt daraus ferner, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine Naturseptime ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Marvel-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des [[Komma|Kommas]] [[225_224|225/224]] (septimales Kleisma, 7.7 Cents). Dieses Komma erscheint als Unterschied zwischen den Halbtönen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Ferner erscheint es (oktavbereinigt), wenn man zwei [[xenharmonie/Naturterz|reine grosse Terzen (5/4)]] und eine übergrosse septimale Terz (9/7) übereinanderschichtet.

Konkrete Folgen des Austemperierens sind, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[xenharmonie/Naturseptime|Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird, sowie dass es einen übermässigen Dreiklang aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz gibt. Da sich die septimale Terz 9/7 aus einem grossen Ganzton 9/8 und einem septimalen Ganzton 8/7 zusammensetzen lässt, folgt daraus ferner, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine Naturseptime ergeben.

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Die Familie der Marvel-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;225/224&amp;lt;/a&amp;gt; (septimales Kleisma, 7.7 Cents). Dieses Komma erscheint als Unterschied zwischen den Halbtönen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Ferner erscheint es (oktavbereinigt), wenn man zwei &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Naturterz"&amp;gt;reine grosse Terzen (5/4)&amp;lt;/a&amp;gt; und eine übergrosse septimale Terz (9/7) übereinanderschichtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Konkrete Folgen des Austemperierens sind, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime&amp;lt;/a&amp;gt;) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird, sowie dass es einen übermässigen Dreiklang aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz gibt. Da sich die septimale Terz 9/7 aus einem grossen Ganzton 9/8 und einem septimalen Ganzton 8/7 zusammensetzen lässt, folgt daraus ferner, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine Naturseptime ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Marvel-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des [[Komma|Kommas]] [[225/224|225/224]] (septimales Kleisma, 7.7 Cents). Dieses Komma (auch Marvel-Komma genannt) erscheint als Unterschied zwischen den Halbtönen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Ferner erscheint es (oktavbereinigt), wenn man zwei [[Naturterz|reine grosse Terzen (5/4)]] und eine übergrosse septimale Terz (9/7) übereinanderschichtet.

Konkrete Folgen des Austemperierens sind, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime|Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird, sowie dass es einen übermässigen Dreiklang aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz gibt. Diesen Dreiklang kann man entsprechend '''Marvel-Dreiklang''' nennen.

Da sich die septimale Terz 9/7 aus einem grossen Ganzton 9/8 und einem septimalen Ganzton 8/7 zusammensetzen lässt, folgt daraus ferner, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine Naturseptime ergeben.

Der Name "Marvel-Temperatur" wird verwendet für das System, das sich ergibt, wenn man auf dem vierdimensionalen 7-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]] ausschliesslich das Marvel-Komma austemperiert. Diese Temperatur ist dreidimensional, d.h. eine einfache Intervallstruktur mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] gibt es bei ihr nicht. Man kann sie als Temperierung der reinen 5-Limit-Stimmung sehen, bei welcher die 7-Limit-Intervalle durch solche in tieferem Limit angenähert werden.

Annäherung auch von 11-Limit-Intervallen durch solche in 5-Limit erhält man, indem man auf dem (5-dimensionalen) 11-Limit-Intervallraum neben dem Komma 225/224 noch das Komma 385/384 (4.503 Cents) austemperiert. Der 11. Oberton [[Alphorn-Fa|11/8 (Alphorn-Fa)]] etwa fällt dann mit dem Intervall 48/35 (kleine Terz 6/5 plus septimaler Ganzton 8/7) zusammen

Das Marvel-Komma wird ansonsten noch in einer Reihe von weiteren Temperaturen mit eigenen Namen austemperiert, so etwa der [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigen]], der [[Magische_Temperaturen|7-Limit-magischen]] und der [[Schismatische_Temperaturen|Garibaldi]]-Temperatur.</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Marvel-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des [[Komma|Kommas]] [[225/224|225/224]] (septimales Kleisma, 7.7 Cents). Dieses Komma (auch Marvel-Komma genannt) erscheint als Unterschied zwischen den Halbtönen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Ferner erscheint es (oktavbereinigt), wenn man zwei [[Naturterz|reine grosse Terzen (5/4)]] und eine übergrosse septimale Terz (9/7) übereinanderschichtet.

Konkrete Folgen des Austemperierens sind, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime|Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird, sowie dass es einen übermässigen Dreiklang aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz gibt. Diesen Dreiklang kann man entsprechend '''Marvel-Dreiklang''' nennen.

Da sich die septimale Terz 9/7 aus einem grossen Ganzton 9/8 und einem septimalen Ganzton 8/7 zusammensetzen lässt, folgt daraus ferner, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine Naturseptime ergeben.

Der Name "Marvel-Temperatur" wird verwendet für das System, das sich ergibt, wenn man auf dem vierdimensionalen 7-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]] ausschliesslich das Marvel-Komma austemperiert. Diese Temperatur ist dreidimensional, d.h. eine einfache Intervallstruktur mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] gibt es bei ihr nicht. Man kann sie als Temperierung der reinen 5-Limit-Stimmung sehen, bei welcher die 7-Limit-Intervalle durch solche in tieferem Limit angenähert werden.

Annäherung auch von 11-Limit-Intervallen durch solche in 5-Limit erhält man, indem man auf dem (5-dimensionalen) 11-Limit-Intervallraum neben dem Komma 225/224 noch das Komma 385/384 (4.503 Cents) austemperiert. Der 11. Oberton [[Alphorn-Fa|11/8 (Alphorn-Fa)]] etwa fällt dann mit dem Intervall 48/35 (kleine Terz 6/5 plus septimaler Ganzton 8/7) zusammen

Das Marvel-Komma wird ansonsten noch in einer Reihe von weiteren Temperaturen mit eigenen Namen austemperiert, so etwa der [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigen]], der [[Magische_Temperaturen|7-Limit-magischen]] und der [[Schismatische_Temperaturen|Garibaldi]]-Temperatur.</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Marvel-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des [[Komma|Kommas]] [[225/224|225/224]] (septimales Kleisma, 7.7 Cents). Dieses Komma (auch Marvel-Komma genannt) erscheint als Unterschied zwischen den Halbtönen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Ferner erscheint es (oktavbereinigt), wenn man zwei [[Naturterz|reine grosse Terzen (5/4)]] und eine übergrosse septimale Terz (9/7) übereinanderschichtet.

Konkrete Folgen des Austemperierens sind, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime|Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird, sowie dass es einen übermässigen Dreiklang aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz gibt. Diesen Dreiklang kann man entsprechend '''Marvel-Dreiklang''' nennen.

Da sich die septimale Terz 9/7 aus einem grossen Ganzton 9/8 und einem septimalen Ganzton 8/7 zusammensetzen lässt, folgt daraus ferner, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine Naturseptime ergeben.

Der Name "Marvel-Temperatur" wird verwendet für das System, das sich ergibt, wenn man auf dem vierdimensionalen 7-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]] ausschliesslich das Marvel-Komma austemperiert. Diese Temperatur ist dreidimensional, d.h. eine einfache Intervallstruktur mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] gibt es bei ihr nicht. Man kann sie als Temperierung der reinen 5-Limit-Stimmung sehen, bei welcher die 7-Limit-Intervalle durch solche in tieferem Limit angenähert werden.

Annäherung auch von 11-Limit-Intervallen durch solche in 5-Limit erhält man, indem man auf dem (5-dimensionalen) 11-Limit-Intervallraum neben dem Komma 225/224 noch das Komma 385/384 (4.503 Cents) austemperiert. Der 11. Oberton [[Alphorn-Fa|11/8 (Alphorn-Fa)]] etwa fällt dann mit dem Intervall 48/35 (kleine Terz 6/5 plus septimaler Ganzton 8/7) zusammen

Das Marvel-Komma wird ansonsten noch in einer Reihe von weiteren Temperaturen mit eigenen Namen austemperiert, so etwa der [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigen]], der [[Magische_Temperaturen|7-Limit-magischen]], der [[Micacle]]- und der [[Schismatische_Temperaturen|Garibaldi]]-Temperatur.</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Marvel-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des [[Komma|Kommas]] [[225/224|225/224]] (septimales Kleisma, 7.7 Cents). Dieses Komma (auch '''Marvel-Komma''' genannt) erscheint als Unterschied zwischen den Halbtönen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Ferner erscheint es (oktavbereinigt), wenn man zwei [[Naturterz|reine grosse Terzen (5/4)]] und eine übergrosse septimale Terz (9/7) übereinanderschichtet.

Konkrete Folgen des Austemperierens sind, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime|Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird, sowie dass es einen übermässigen Dreiklang aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz gibt. Diesen Dreiklang kann man entsprechend '''Marvel-Dreiklang''' nennen.

[ToDo Klangbeispiel]

Da sich die septimale Terz 9/7 aus einem grossen Ganzton 9/8 und einem septimalen Ganzton 8/7 zusammensetzen lässt, folgt daraus ferner, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine Naturseptime ergeben.

Der Name "Marvel-Temperatur" wird verwendet für das System, das sich ergibt, wenn man auf dem vierdimensionalen 7-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]] ausschliesslich das Marvel-Komma austemperiert. Diese Temperatur ist dreidimensional, d.h. eine einfache Intervallstruktur mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] gibt es bei ihr nicht. Man kann sie als Temperierung der reinen 5-Limit-Stimmung sehen, bei welcher die 7-Limit-Intervalle durch solche in tieferem Limit angenähert werden.

Annäherung auch von 11-Limit-Intervallen durch solche in 5-Limit erhält man, indem man auf dem (5-dimensionalen) 11-Limit-Intervallraum neben dem Komma 225/224 noch das Komma 385/384 (4.503 Cents) austemperiert. Der 11. Oberton [[Alphorn-Fa|11/8 (Alphorn-Fa)]] etwa fällt dann mit dem Intervall 48/35 (kleine Terz 6/5 plus septimaler Ganzton 8/7) zusammen

Das Marvel-Komma wird ansonsten noch in einer Reihe von weiteren Temperaturen mit eigenen Namen austemperiert, so etwa der [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigen]], der [[Magische_Temperaturen|7-Limit-magischen]], der [[Micacle]]- und der [[Schismatische_Temperaturen|Garibaldi]]-Temperatur.</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Marvel-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des [[Komma|Kommas]] [[225/224|225/224]] (septimales Kleisma, 7.7 Cents). Dieses Komma (auch '''Marvel-Komma''' genannt) erscheint als Unterschied zwischen den Halbtönen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Ferner erscheint es (oktavbereinigt), wenn man zwei [[Naturterz|reine grosse Terzen (5/4)]] und eine übergrosse septimale Terz (9/7) übereinanderschichtet.

Konkrete Folgen des Austemperierens sind, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime|Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird, sowie dass es einen übermässigen Dreiklang aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz gibt. Diesen Dreiklang kann man entsprechend '''Marvel-Dreiklang''' nennen.

[ToDo Klangbeispiel]

Da sich die septimale Terz 9/7 aus einem grossen Ganzton 9/8 und einem septimalen Ganzton 8/7 zusammensetzen lässt, folgt daraus ferner, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine Naturseptime ergeben.

Der Name "Marvel-Temperatur" wird verwendet für das System, das sich ergibt, wenn man auf dem vierdimensionalen 7-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]] ausschliesslich das Marvel-Komma austemperiert. Diese Temperatur ist dreidimensional, d.h. eine einfache Intervallstruktur mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] gibt es bei ihr nicht. Man kann sie als Temperierung der reinen 5-Limit-Stimmung sehen, bei welcher die 7-Limit-Intervalle durch solche in tieferem Limit angenähert werden.

Annäherung auch von 11-Limit-Intervallen durch solche in 5-Limit erhält man, indem man auf dem (5-dimensionalen) 11-Limit-Intervallraum neben dem Komma 225/224 noch das Komma 385/384 (4.503 Cents) austemperiert. Der 11. Oberton [[Alphorn-Fa|11/8 (Alphorn-Fa)]] etwa fällt dann mit dem Intervall 48/35 (kleine Terz 6/5 plus septimaler Ganzton 8/7) zusammen

Das Marvel-Komma wird ansonsten noch in einer Reihe von weiteren Temperaturen mit eigenen Namen austemperiert, so etwa der [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigen]], der [[Magische_Temperaturen|7-Limit-magischen]], der [[Miracle]]- und der [[Schismatische_Temperaturen|Garibaldi]]-Temperatur.</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Marvel-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des [[Komma|Kommas]] [[225/224|225/224]] (septimales Kleisma, 7.7 Cents). Dieses Komma (auch '''Marvel-Komma''' genannt) erscheint als Unterschied zwischen den Halbtönen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Ferner erscheint es (oktavbereinigt), wenn man zwei [[Naturterz|reine grosse Terzen (5/4)]] und eine übergrosse septimale Terz (9/7) übereinanderschichtet.

Konkrete Folgen des Austemperierens sind, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime|Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird, sowie dass es einen übermässigen Dreiklang aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz gibt. Diesen Dreiklang kann man entsprechend '''Marvel-Dreiklang''' nennen.

[ToDo Klangbeispiel]

Da sich die septimale Terz 9/7 aus einem grossen Ganzton 9/8 und einem septimalen Ganzton 8/7 zusammensetzen lässt, folgt daraus ferner, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine Naturseptime ergeben.

Der Name "Marvel-Temperatur" wird verwendet für das System, das sich ergibt, wenn man auf dem vierdimensionalen 7-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]] ausschliesslich das Marvel-Komma austemperiert. Diese Temperatur ist dreidimensional, d.h. eine einfache Intervallstruktur mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] gibt es bei ihr nicht. Man kann sie als Temperierung der reinen 5-Limit-Stimmung sehen, bei welcher die 7-Limit-Intervalle durch solche in tieferem Limit angenähert werden.

Annäherung auch von 11-Limit-Intervallen durch solche in 5-Limit erhält man, indem man auf dem (5-dimensionalen) 11-Limit-Intervallraum neben dem Komma 225/224 noch das Komma 385/384 (4.503 Cents) austemperiert. Der 11. Oberton [[Alphorn-Fa|11/8 (Alphorn-Fa)]] etwa fällt dann mit dem Intervall 48/35 (kleine Terz 6/5 plus septimaler Ganzton 8/7) zusammen

Das Marvel-Komma wird ansonsten noch in einer Reihe von weiteren Temperaturen mit eigenen Namen austemperiert, so etwa der [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigen]], der [[Magische_Temperaturen|7-Limit-magischen]], der 7-Limit-[[Negri]]-, der [[Miracle]]- und der [[Schismatische_Temperaturen|Garibaldi]]-Temperatur.</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Marvel-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des [[Komma|Kommas]] [[225/224|225/224]] (septimales Kleisma, 7.7 Cents). Dieses Komma (auch '''Marvel-Komma''' genannt) erscheint als Unterschied zwischen den Halbtönen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Ferner erscheint es (oktavbereinigt), wenn man zwei [[Naturterz|reine grosse Terzen (5/4)]] und eine übergrosse septimale Terz (9/7) übereinanderschichtet.

Konkrete Folgen des Austemperierens sind, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime|Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird, sowie dass es einen übermässigen Dreiklang aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz gibt. Diesen Dreiklang kann man entsprechend '''Marvel-Dreiklang''' nennen.

[ToDo Klangbeispiel]

Da sich die septimale Terz 9/7 aus einem grossen Ganzton 9/8 und einem septimalen Ganzton 8/7 zusammensetzen lässt, folgt daraus ferner, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine Naturseptime ergeben.

== Varianten ==
Der Name "Marvel-Temperatur" wird verwendet für das System, das sich ergibt, wenn man auf dem vierdimensionalen 7-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]] ausschliesslich das Marvel-Komma austemperiert. Diese Temperatur ist dreidimensional, d.h. eine einfache Intervallstruktur mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] gibt es bei ihr nicht. Man kann sie als Temperierung der reinen 5-Limit-Stimmung sehen, bei welcher die 7-Limit-Intervalle durch solche in tieferem Limit angenähert werden.

Annäherung auch von 11-Limit-Intervallen durch solche in 5-Limit erhält man, indem man auf dem (5-dimensionalen) 11-Limit-Intervallraum neben dem Komma 225/224 noch das Komma 385/384 (4.503 Cents) austemperiert. Der 11. Oberton [[Alphorn-Fa|11/8 (Alphorn-Fa)]] etwa fällt dann mit dem Intervall 48/35 (kleine Terz 6/5 plus septimaler Ganzton 8/7) zusammen

Das Marvel-Komma wird ansonsten noch in einer Reihe von weiteren Temperaturen mit eigenen Namen austemperiert, so etwa der [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigen]], der [[Magische_Temperaturen|7-Limit-magischen]], der 7-Limit-[[Negri]]-, der [[Miracle]]- und der [[Schismatische_Temperaturen|Garibaldi]]-Temperatur.</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Marvel-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des [[Komma|Kommas]] [[225/224|225/224]] (septimales Kleisma, 7.7 Cents). Dieses Komma (auch '''Marvel-Komma''' genannt) erscheint als Unterschied zwischen den Halbtönen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Ferner erscheint es (oktavbereinigt), wenn man zwei [[Naturterz|reine grosse Terzen (5/4)]] und eine übergrosse septimale Terz (9/7) übereinanderschichtet.

Konkrete Folgen des Austemperierens sind, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime|Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird, sowie dass es einen übermässigen Dreiklang aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz gibt. Diesen Dreiklang kann man entsprechend '''Marvel-Dreiklang''' nennen.

[ToDo Klangbeispiel]

Da sich die septimale Terz 9/7 aus einem grossen Ganzton 9/8 und einem septimalen Ganzton 8/7 zusammensetzen lässt, folgt daraus ferner, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine Naturseptime ergeben.

== Varianten ==
Der Name "Marvel-Temperatur" wird verwendet für das System, das sich ergibt, wenn man auf dem vierdimensionalen 7-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]] ausschliesslich das Marvel-Komma austemperiert. Diese Temperatur ist dreidimensional, d.h. eine einfache Intervallstruktur mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] gibt es bei ihr nicht. Man kann sie als Temperierung der reinen 5-Limit-Stimmung sehen, bei welcher die 7-Limit-Intervalle durch solche in tieferem Limit angenähert werden.

Annäherung auch von 11-Limit-Intervallen durch solche in 5-Limit erhält man, indem man auf dem (5-dimensionalen) 11-Limit-Intervallraum neben dem Komma 225/224 noch das Komma 385/384 (4.503 Cents) austemperiert. Der 11. Oberton [[Alphorn-Fa|11/8 (Alphorn-Fa)]] etwa fällt dann mit dem Intervall 48/35 (kleine Terz 6/5 plus septimaler Ganzton 8/7) zusammen

Das Marvel-Komma wird ansonsten noch in einer Reihe von weiteren Temperaturen mit eigenen Namen austemperiert, so etwa der [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigen]], der [[Magische_Temperaturen|7-Limit-magischen]], der 7-Limit-[[Negri]]-, der [[Miracle]]-, der [[Schismatische_Temperaturen|Garibaldi]]- und der [[Hanson-Kleismisch#Katskleismisch|katakleismischen]] Temperatur.</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Marvel-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des [[Komma|Kommas]] [[225/224|225/224]] (septimales Kleisma, 7.7 Cents). Dieses Komma (auch '''Marvel-Komma''' genannt) erscheint als Unterschied zwischen den Halbtönen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Ferner erscheint es (oktavbereinigt), wenn man zwei [[Naturterz|reine grosse Terzen (5/4)]] und eine übergrosse septimale Terz (9/7) übereinanderschichtet.

Konkrete Folgen des Austemperierens sind, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime|Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird, sowie dass es einen übermässigen Dreiklang aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz gibt. Diesen Dreiklang kann man entsprechend '''Marvel-Dreiklang''' nennen.

[ToDo Klangbeispiel]

Da sich die septimale Terz 9/7 aus einem grossen Ganzton 9/8 und einem septimalen Ganzton 8/7 zusammensetzen lässt, folgt daraus ferner, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine Naturseptime ergeben.

== Varianten ==
Der Name "Marvel-Temperatur" wird verwendet für das System, das sich ergibt, wenn man auf dem vierdimensionalen 7-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]] ausschliesslich das Marvel-Komma austemperiert. Diese Temperatur ist dreidimensional, d.h. eine einfache Intervallstruktur mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] gibt es bei ihr nicht. Man kann sie als Temperierung der reinen 5-Limit-Stimmung sehen, bei welcher die 7-Limit-Intervalle durch solche in tieferem Limit angenähert werden.

Annäherung auch von 11-Limit-Intervallen durch solche in 5-Limit erhält man, indem man auf dem (5-dimensionalen) 11-Limit-Intervallraum neben dem Komma 225/224 noch das Komma 385/384 (4.503 Cents) austemperiert. Der 11. Oberton [[Alphorn-Fa|11/8 (Alphorn-Fa)]] etwa fällt dann mit dem Intervall 48/35 (kleine Terz 6/5 plus septimaler Ganzton 8/7) zusammen

Das Marvel-Komma wird ansonsten noch in einer Reihe von weiteren Temperaturen mit eigenen Namen austemperiert, so etwa der [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigen]], der [[Magische_Temperaturen|7-Limit-magischen]], der 7-Limit-[[Negri]]-, der [[Miracle]]-, der [[Schismatische_Temperaturen|Garibaldi]]- und der [[Hanson-Kleismisch#Katakleismisch|katakleismischen]] Temperatur.</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mavila-Temperaturen können als eine Art "Übertreibung" der [[mitteltönig|mitteltönigen ]]Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als [[Generator|Generator]] ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.

Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon &lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;(wenn auch sehr verschiedene Intervalle), so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf [[Ganzton|Ganztöne]], zwei [[Halbton|Halbtöne]]) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch &lt;/span&gt;''&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;antidiatonische Skala&lt;/span&gt;''&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt; genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als "superdiatonisch" bezeichnen kann.&lt;/span&gt;

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in [[16edo|16edo]]

[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in [[16edo|16edo]]

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL) in [[16edo|16edo]]

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. [[16edo|16edo]], [[23edo|23edo]], in gewissem Masse auch [[9edo|9edo]] und [[7edo|7edo]].

Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf [https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo The Mavila Experiments] angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark "verstimmt" erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)

In 16edo bildet das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 16edo-Keyboarddesign dienen. Siehe etwa:

[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] oder [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-11-22 15:13:36 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mavila-Temperaturen können als eine Art "Übertreibung" der [[mitteltönig|mitteltönigen ]]Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als [[Generator]] ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.

Die [[MOS-Skalen]] dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;(wenn auch sehr verschiedene Intervalle), so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf [[Ganzton|Ganztöne]], zwei [[Halbton|Halbtöne]]) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;antidiatonische Skala&amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt; genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als "superdiatonisch" bezeichnen kann.&amp;lt;/span&amp;gt;

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Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in [[16edo]]

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Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in [[16edo]]

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Superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL) in [[16edo]]

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. [[16edo]], [[23edo]], in gewissem Masse auch [[9edo]] und [[7edo]].

Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf [[https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo|The Mavila Experiments]] angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark "verstimmt" erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)

In 16edo bildet das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 16edo-Keyboarddesign dienen. Siehe etwa:
[[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]] oder [[http://www.armodue.com/istruzioni.htm]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mavila-Temperaturen können als eine Art &amp;amp;quot;Übertreibung&amp;amp;quot; der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen &amp;lt;/a&amp;gt;Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Generator"&amp;gt;Generator&amp;lt;/a&amp;gt; ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;(wenn auch sehr verschiedene Intervalle), so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt;, zwei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Halbton"&amp;gt;Halbtöne&amp;lt;/a&amp;gt;) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;antidiatonische Skala&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt; genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als &amp;amp;quot;superdiatonisch&amp;amp;quot; bezeichnen kann.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL) in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Mavila%20Temperament%20Modal%20Harmony"&amp;gt;xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo" rel="nofollow"&amp;gt;The Mavila Experiments&amp;lt;/a&amp;gt; angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark &amp;amp;quot;verstimmt&amp;amp;quot; erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)&amp;lt;br /&amp;gt;
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In 16edo bildet das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 16edo-Keyboarddesign dienen. Siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.armodue.com/istruzioni.htm" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.armodue.com/istruzioni.htm&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-11-22 15:08:39 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mavila-Temperaturen können als eine Art "Übertreibung" der [[mitteltönig|mitteltönigen ]]Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als [[Generator]] ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.

Die [[MOS-Skalen]] dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;(wenn auch sehr verschiedene Intervalle), so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf [[Ganzton|Ganztöne]], zwei [[Halbton|Halbtöne]]) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;antidiatonische Skala&amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt; genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als "superdiatonisch" bezeichnen kann.&amp;lt;/span&amp;gt;

[[media type="file" key="MavilaAntidiatonic16edo.mp3" width="240" height="20"]]
Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in [[16edo]]

[[media type="file" key="MavilaSuperdiatonic16edo.mp3" width="240" height="20"]]
Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in [[16edo]]

[[media type="file" key="MavilaOlympian16edo.mp3" width="240" height="20"]]
Superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL) in [[16edo]]

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. [[16edo]], [[23edo]], in gewissem Masse auch [[9edo]] und [[7edo]].

Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf [[https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo|The Mavila Experiments]] angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark "verstimmt" erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)

In 16edo bildet das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 16edo-Keyboarddesign dienen. Siehe etwa:
[[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]] oder [[http://www.armodue.com/istruzioni.htm]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mavila-Temperaturen können als eine Art &amp;amp;quot;Übertreibung&amp;amp;quot; der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen &amp;lt;/a&amp;gt;Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Generator"&amp;gt;Generator&amp;lt;/a&amp;gt; ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;(wenn auch sehr verschiedene Intervalle), so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt;, zwei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Halbton"&amp;gt;Halbtöne&amp;lt;/a&amp;gt;) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;antidiatonische Skala&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt; genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als &amp;amp;quot;superdiatonisch&amp;amp;quot; bezeichnen kann.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Mavila%20Temperament%20Modal%20Harmony"&amp;gt;xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/23edo"&amp;gt;23edo&amp;lt;/a&amp;gt;, in gewissem Masse auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/9edo"&amp;gt;9edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/7edo"&amp;gt;7edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo" rel="nofollow"&amp;gt;The Mavila Experiments&amp;lt;/a&amp;gt; angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark &amp;amp;quot;verstimmt&amp;amp;quot; erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)&amp;lt;br /&amp;gt;
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In 16edo bildet das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 16edo-Keyboarddesign dienen. Siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.armodue.com/istruzioni.htm" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.armodue.com/istruzioni.htm&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Mavila]]

[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mavila-Temperaturen können als eine Art "Übertreibung" der [[mitteltönig|mitteltönigen ]]Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als [[Generator]] ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.

Die [[MOS-Skalen]] dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;(wenn auch sehr verschiedene Intervalle), so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf [[Ganzton|Ganztöne]], zwei [[Halbton|Halbtöne]]) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;antidiatonische Skala&amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt; genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als "superdiatonisch" bezeichnen kann.&amp;lt;/span&amp;gt;

[[media type="file" key="MavilaAntidiatonic16edo.mp3" width="240" height="20"]]
Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in 16edo

[[media type="file" key="MavilaSuperdiatonic16edo.mp3" width="240" height="20"]]
Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in 16edo

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Superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL) in 16edo

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. [[16edo]], [[23edo]], in gewissem Masse auch [[9edo]] und [[7edo]].

Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf [[https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo|The Mavila Experiments]] angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark "verstimmt" erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)

In 16edo bildet das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 16edo-Keyboarddesign dienen. Siehe etwa:
[[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]] oder [[http://www.armodue.com/istruzioni.htm]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Mavila&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Mavila"&amp;gt;xenharmonic/Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mavila-Temperaturen können als eine Art &amp;amp;quot;Übertreibung&amp;amp;quot; der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen &amp;lt;/a&amp;gt;Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Generator"&amp;gt;Generator&amp;lt;/a&amp;gt; ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;(wenn auch sehr verschiedene Intervalle), so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt;, zwei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Halbton"&amp;gt;Halbtöne&amp;lt;/a&amp;gt;) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;antidiatonische Skala&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt; genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als &amp;amp;quot;superdiatonisch&amp;amp;quot; bezeichnen kann.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL) in 16edo&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Mavila%20Temperament%20Modal%20Harmony"&amp;gt;xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/23edo"&amp;gt;23edo&amp;lt;/a&amp;gt;, in gewissem Masse auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/9edo"&amp;gt;9edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/7edo"&amp;gt;7edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo" rel="nofollow"&amp;gt;The Mavila Experiments&amp;lt;/a&amp;gt; angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark &amp;amp;quot;verstimmt&amp;amp;quot; erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In 16edo bildet das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 16edo-Keyboarddesign dienen. Siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.armodue.com/istruzioni.htm" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.armodue.com/istruzioni.htm&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mavila-Temperaturen können als eine Art "Übertreibung" der [[mitteltönig|mitteltönigen ]]Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als [[Generator]] ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.

Die [[MOS-Skalen]] dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;(wenn auch sehr verschiedene Intervalle), so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf [[Ganzton|Ganztöne]], zwei [[Halbton|Halbtöne]]) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;antidiatonische Skala&amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt; genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als "superdiatonisch" bezeichnen könnte.&amp;lt;/span&amp;gt;

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Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in 16edo

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Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in 16edo

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. [[16edo]], [[23edo]], in gewissem Masse auch [[9edo]] und [[7edo]].

Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf [[https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo|The Mavila Experiments]] angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark "verstimmt" erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)

In 16edo bildet das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 16edo-Keyboarddesign dienen. Siehe etwa:
[[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]] oder [[http://www.armodue.com/istruzioni.htm]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Mavila&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Mavila"&amp;gt;xenharmonic/Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Mavila-Temperaturen können als eine Art &amp;amp;quot;Übertreibung&amp;amp;quot; der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen &amp;lt;/a&amp;gt;Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Generator"&amp;gt;Generator&amp;lt;/a&amp;gt; ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;(wenn auch sehr verschiedene Intervalle), so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt;, zwei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Halbton"&amp;gt;Halbtöne&amp;lt;/a&amp;gt;) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;antidiatonische Skala&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt; genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als &amp;amp;quot;superdiatonisch&amp;amp;quot; bezeichnen könnte.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Mavila%20Temperament%20Modal%20Harmony"&amp;gt;xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/23edo"&amp;gt;23edo&amp;lt;/a&amp;gt;, in gewissem Masse auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/9edo"&amp;gt;9edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/7edo"&amp;gt;7edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo" rel="nofollow"&amp;gt;The Mavila Experiments&amp;lt;/a&amp;gt; angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark &amp;amp;quot;verstimmt&amp;amp;quot; erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In 16edo bildet das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 16edo-Keyboarddesign dienen. Siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.armodue.com/istruzioni.htm" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.armodue.com/istruzioni.htm&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mavila-Temperaturen können als eine Art "Übertreibung" der [[mitteltönig|mitteltönigen ]]Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als [[Generator]] ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.

Die [[MOS-Skalen]] dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;(wenn auch sehr verschiedene Intervalle), so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf [[Ganzton|Ganztöne]], zwei [[Halbton|Halbtöne]]) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;antidiatonische Skala&amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt; genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als "superdiatonisch" bezeichnen könnte.&amp;lt;/span&amp;gt;

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Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in 16edo

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Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in 16edo

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. [[16edo]], [[23edo]], in gewissem Masse auch [[9edo]] und [[7edo]].

Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf [[https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo|The Mavila Experiments]] angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark "verstimmt" erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)

In 16edo bildet das Komplement einer superdiatonischen MOS-Skala gerade eine antidiatonische MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 16edo-Keyboarddesign dienen. Siehe etwa:
[[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]] oder [[http://www.armodue.com/istruzioni.htm]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Mavila-Temperaturen können als eine Art &amp;amp;quot;Übertreibung&amp;amp;quot; der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen &amp;lt;/a&amp;gt;Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Generator"&amp;gt;Generator&amp;lt;/a&amp;gt; ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;(wenn auch sehr verschiedene Intervalle), so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt;, zwei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Halbton"&amp;gt;Halbtöne&amp;lt;/a&amp;gt;) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;antidiatonische Skala&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt; genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als &amp;amp;quot;superdiatonisch&amp;amp;quot; bezeichnen könnte.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in 16edo&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Mavila%20Temperament%20Modal%20Harmony"&amp;gt;xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/23edo"&amp;gt;23edo&amp;lt;/a&amp;gt;, in gewissem Masse auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/9edo"&amp;gt;9edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/7edo"&amp;gt;7edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo" rel="nofollow"&amp;gt;The Mavila Experiments&amp;lt;/a&amp;gt; angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark &amp;amp;quot;verstimmt&amp;amp;quot; erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In 16edo bildet das Komplement einer superdiatonischen MOS-Skala gerade eine antidiatonische MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 16edo-Keyboarddesign dienen. Siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.armodue.com/istruzioni.htm" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.armodue.com/istruzioni.htm&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mavila-Temperaturen können als eine Art "Übertreibung" der [[mitteltönig|mitteltönigen ]]Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als [[Generator]] ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.

Die [[MOS-Skalen]] dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;(wenn auch sehr verschiedene Intervalle), so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf [[Ganzton|Ganztöne]], zwei [[Halbton|Halbtöne]]) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;antidiatonische Skala&amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt; genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als "superdiatonisch" bezeichnen könnte.&amp;lt;/span&amp;gt;

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Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in 16edo

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Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in 16edo

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. [[16edo]], [[23edo]], in gewissem Masse auch [[9edo]] und [[7edo]].

Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf [[https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo|The Mavila Experiments]] angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark "verstimmt" erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)

In 16edo bildet das Komplement einer superdiatonische MOS-Skala genau eine antidiatonische MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 16edo-Keyboarddesign dienen. Siehe etwa:
[[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]] oder [[http://www.armodue.com/istruzioni.htm]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Mavila-Temperaturen können als eine Art &amp;amp;quot;Übertreibung&amp;amp;quot; der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen &amp;lt;/a&amp;gt;Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Generator"&amp;gt;Generator&amp;lt;/a&amp;gt; ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;(wenn auch sehr verschiedene Intervalle), so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt;, zwei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Halbton"&amp;gt;Halbtöne&amp;lt;/a&amp;gt;) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;antidiatonische Skala&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt; genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als &amp;amp;quot;superdiatonisch&amp;amp;quot; bezeichnen könnte.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Mavila%20Temperament%20Modal%20Harmony"&amp;gt;xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/23edo"&amp;gt;23edo&amp;lt;/a&amp;gt;, in gewissem Masse auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/9edo"&amp;gt;9edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/7edo"&amp;gt;7edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo" rel="nofollow"&amp;gt;The Mavila Experiments&amp;lt;/a&amp;gt; angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark &amp;amp;quot;verstimmt&amp;amp;quot; erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In 16edo bildet das Komplement einer superdiatonische MOS-Skala genau eine antidiatonische MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 16edo-Keyboarddesign dienen. Siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.armodue.com/istruzioni.htm" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.armodue.com/istruzioni.htm&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-08-21 06:49:24 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mavila-Temperaturen können als eine Art "Übertreibung" der [[mitteltönig|mitteltönigen ]]Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als [[Generator]] ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.

Die [[MOS-Skalen]] dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;(wenn auch sehr verschiedene Intervalle), so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf [[Ganzton|Ganztöne]], zwei [[Halbton|Halbtöne]]) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;antidiatonische Skala&amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt; genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als "superdiatonisch" bezeichnen könnte.&amp;lt;/span&amp;gt;

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Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in 16edo

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Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in 16edo

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. [[16edo]], [[23edo]], in gewissem Masse auch [[9edo]] und [[7edo]].

Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf [[https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo|The Mavila Experiments]] angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark "verstimmt" erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)

Die superdiatonische MOS-Skala kann als Basis für ein Mavila-Keyboarddesign dienen, welches alle Töne von 16edo enthält. Siehe etwa:
[[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]] oder [[http://www.armodue.com/istruzioni.htm]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Mavila-Temperaturen können als eine Art &amp;amp;quot;Übertreibung&amp;amp;quot; der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen &amp;lt;/a&amp;gt;Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Generator"&amp;gt;Generator&amp;lt;/a&amp;gt; ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;(wenn auch sehr verschiedene Intervalle), so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt;, zwei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Halbton"&amp;gt;Halbtöne&amp;lt;/a&amp;gt;) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;antidiatonische Skala&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt; genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als &amp;amp;quot;superdiatonisch&amp;amp;quot; bezeichnen könnte.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in 16edo&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Mavila%20Temperament%20Modal%20Harmony"&amp;gt;xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/23edo"&amp;gt;23edo&amp;lt;/a&amp;gt;, in gewissem Masse auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/9edo"&amp;gt;9edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/7edo"&amp;gt;7edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo" rel="nofollow"&amp;gt;The Mavila Experiments&amp;lt;/a&amp;gt; angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark &amp;amp;quot;verstimmt&amp;amp;quot; erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die superdiatonische MOS-Skala kann als Basis für ein Mavila-Keyboarddesign dienen, welches alle Töne von 16edo enthält. Siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.armodue.com/istruzioni.htm" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.armodue.com/istruzioni.htm&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-08-21 06:49:12 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;445850386&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mavila-Temperaturen können als eine Art "Übertreibung" der [[mitteltönig|mitteltönigen ]]Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als [[Generator]] ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.

Die [[MOS-Skalen]] dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;(wenn auch sehr verschiedene Intervalle), so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf [[Ganzton|Ganztöne]], zwei [[Halbton|Halbtöne]]) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;antidiatonische Skala&amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt; genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als "superdiatonisch" bezeichnen könnte.&amp;lt;/span&amp;gt;

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Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in 16edo

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Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in 16edo

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. [[16edo]], [[23edo]], in gewissem Masse auch [[9edo]] und [[7edo]].

Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf [[https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo|The Mavila Experiments]] angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark "verstimmt" erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)

Die superdiatonische MOS-Skala kann als Basis für ein Mavila-Keyboarddesign dienen, wleches alle Töne von 16edo enthält. Siehe etwa:
[[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]] oder [[http://www.armodue.com/istruzioni.htm]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Mavila&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Mavila"&amp;gt;xenharmonic/Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mavila-Temperaturen können als eine Art &amp;amp;quot;Übertreibung&amp;amp;quot; der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen &amp;lt;/a&amp;gt;Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Generator"&amp;gt;Generator&amp;lt;/a&amp;gt; ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;(wenn auch sehr verschiedene Intervalle), so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt;, zwei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Halbton"&amp;gt;Halbtöne&amp;lt;/a&amp;gt;) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;antidiatonische Skala&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt; genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als &amp;amp;quot;superdiatonisch&amp;amp;quot; bezeichnen könnte.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in 16edo&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Mavila%20Temperament%20Modal%20Harmony"&amp;gt;xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/23edo"&amp;gt;23edo&amp;lt;/a&amp;gt;, in gewissem Masse auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/9edo"&amp;gt;9edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/7edo"&amp;gt;7edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo" rel="nofollow"&amp;gt;The Mavila Experiments&amp;lt;/a&amp;gt; angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark &amp;amp;quot;verstimmt&amp;amp;quot; erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die superdiatonische MOS-Skala kann als Basis für ein Mavila-Keyboarddesign dienen, wleches alle Töne von 16edo enthält. Siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.armodue.com/istruzioni.htm" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.armodue.com/istruzioni.htm&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mavila-Temperaturen können als eine Art "Übertreibung" der [[mitteltönig|mitteltönigen ]]Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als [[Generator]] ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.

Die [[MOS-Skalen]] dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;(wenn auch sehr verschiedene Intervalle), so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf [[Ganzton|Ganztöne]], zwei [[Halbton|Halbtöne]]) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;antidiatonische Skala&amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt; genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als "superdiatonisch" bezeichnen könnte.&amp;lt;/span&amp;gt;

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Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in 16edo

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Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in 16edo

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. [[16edo]], [[23edo]], in gewissem Masse auch [[9edo]] und [[7edo]].

Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf [[https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo|The Mavila Experiments]] angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark "verstimmt" erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)

Die superdiatonische Skala kann als Basis für ein Mavila-Keyboarddesign dienen, wleches alle Töne von 16edo enthält. Siehe etwa:
[[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]] oder [[http://www.armodue.com/istruzioni.htm]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Mavila-Temperaturen können als eine Art &amp;amp;quot;Übertreibung&amp;amp;quot; der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen &amp;lt;/a&amp;gt;Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Generator"&amp;gt;Generator&amp;lt;/a&amp;gt; ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;(wenn auch sehr verschiedene Intervalle), so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt;, zwei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Halbton"&amp;gt;Halbtöne&amp;lt;/a&amp;gt;) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;antidiatonische Skala&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt; genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als &amp;amp;quot;superdiatonisch&amp;amp;quot; bezeichnen könnte.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in 16edo&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Mavila%20Temperament%20Modal%20Harmony"&amp;gt;xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/23edo"&amp;gt;23edo&amp;lt;/a&amp;gt;, in gewissem Masse auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/9edo"&amp;gt;9edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/7edo"&amp;gt;7edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo" rel="nofollow"&amp;gt;The Mavila Experiments&amp;lt;/a&amp;gt; angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark &amp;amp;quot;verstimmt&amp;amp;quot; erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die superdiatonische Skala kann als Basis für ein Mavila-Keyboarddesign dienen, wleches alle Töne von 16edo enthält. Siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.armodue.com/istruzioni.htm" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.armodue.com/istruzioni.htm&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mavila-Temperaturen können als eine Art "Übertreibung" der [[mitteltönig|mitteltönigen ]]Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als [[Generator]] ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.

Die [[MOS-Skalen]] dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;(wenn auch sehr verschiedene Intervalle), so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf [[Ganzton|Ganztöne]], zwei [[Halbton|Halbtöne]]) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;antidiatonische Skala&amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt; genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als "superdiatonisch" bezeichnen könnte.&amp;lt;/span&amp;gt;

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Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in 16edo

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Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in 16edo

Die superdiatonische Skala kann als Basis für ein Mavila-Keyboarddesign dienen, siehe etwa:
[[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]] oder [[http://www.armodue.com/istruzioni.htm]]

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. [[16edo]], [[23edo]], in gewissem Masse auch [[9edo]] und [[7edo]].

Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf [[https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo|The Mavila Experiments]] angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark "verstimmt" erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;(wenn auch sehr verschiedene Intervalle), so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt;, zwei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Halbton"&amp;gt;Halbtöne&amp;lt;/a&amp;gt;) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;antidiatonische Skala&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt; genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als &amp;amp;quot;superdiatonisch&amp;amp;quot; bezeichnen könnte.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in 16edo&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die superdiatonische Skala kann als Basis für ein Mavila-Keyboarddesign dienen, siehe etwa:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.armodue.com/istruzioni.htm" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.armodue.com/istruzioni.htm&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Mavila%20Temperament%20Modal%20Harmony"&amp;gt;xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/23edo"&amp;gt;23edo&amp;lt;/a&amp;gt;, in gewissem Masse auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/9edo"&amp;gt;9edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/7edo"&amp;gt;7edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo" rel="nofollow"&amp;gt;The Mavila Experiments&amp;lt;/a&amp;gt; angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark &amp;amp;quot;verstimmt&amp;amp;quot; erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mavila-Temperaturen können als eine Art "Übertreibung" der [[mitteltönig|mitteltönigen ]]Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als [[Generator]] ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.

Die [[MOS-Skalen]] dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;(wenn auch sehr verschiedene Intervalle), so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf [[Ganzton|Ganztöne]], zwei [[Halbton|Halbtöne]]) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;antidiatonische Skala&amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt; genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als "superdiatonisch" bezeichnen könnte.&amp;lt;/span&amp;gt;

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Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in 16edo

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Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in 16edo

Die superdiatonische Skala kann als Basis für ein Mavila-Keyboarddesign dienen, siehe etwa

[[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]] oder [[http://www.armodue.com/istruzioni.htm]]

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. [[16edo]], [[23edo]], in gewissem Masse auch [[9edo]] und [[7edo]].

Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf [[https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo|The Mavila Experiments]] angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark "verstimmt" erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Mavila-Temperaturen können als eine Art &amp;amp;quot;Übertreibung&amp;amp;quot; der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen &amp;lt;/a&amp;gt;Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Generator"&amp;gt;Generator&amp;lt;/a&amp;gt; ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;(wenn auch sehr verschiedene Intervalle), so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt;, zwei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Halbton"&amp;gt;Halbtöne&amp;lt;/a&amp;gt;) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;antidiatonische Skala&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt; genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als &amp;amp;quot;superdiatonisch&amp;amp;quot; bezeichnen könnte.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die superdiatonische Skala kann als Basis für ein Mavila-Keyboarddesign dienen, siehe etwa&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.armodue.com/istruzioni.htm" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.armodue.com/istruzioni.htm&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Mavila%20Temperament%20Modal%20Harmony"&amp;gt;xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/23edo"&amp;gt;23edo&amp;lt;/a&amp;gt;, in gewissem Masse auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/9edo"&amp;gt;9edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/7edo"&amp;gt;7edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo" rel="nofollow"&amp;gt;The Mavila Experiments&amp;lt;/a&amp;gt; angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark &amp;amp;quot;verstimmt&amp;amp;quot; erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-08-21 04:39:24 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mavila-Temperaturen können als eine Art "Übertreibung" der [[mitteltönig|mitteltönigen ]]Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als [[Generator]] ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.

Die [[MOS-Skalen]] dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;(wenn auch sehr verschiedene Intervalle), so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf [[Ganzton|Ganztöne]], zwei [[Halbton|Halbtöne]]) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;antidiatonische Skala&amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt; genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als "superdiatonisch" bezeichnen könnte.&amp;lt;/span&amp;gt;

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Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in 16edo

[[media type="file" key="MavilaSuperdiatonic16edo.mp3" width="240" height="20"]]
Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in 16edo

Die superdiatonische Skala kann als Basis für ein Mavila-Keybarddesign dienen, siehe etwa

[[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]] oder [[http://www.armodue.com/istruzioni.htm]]

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. [[16edo]], [[23edo]], in gewissem Masse auch [[9edo]] und [[7edo]].

Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf [[https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo|The Mavila Experiments]] angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark "verstimmt" erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Mavila-Temperaturen können als eine Art &amp;amp;quot;Übertreibung&amp;amp;quot; der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen &amp;lt;/a&amp;gt;Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Generator"&amp;gt;Generator&amp;lt;/a&amp;gt; ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;(wenn auch sehr verschiedene Intervalle), so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt;, zwei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Halbton"&amp;gt;Halbtöne&amp;lt;/a&amp;gt;) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;antidiatonische Skala&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt; genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als &amp;amp;quot;superdiatonisch&amp;amp;quot; bezeichnen könnte.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die superdiatonische Skala kann als Basis für ein Mavila-Keybarddesign dienen, siehe etwa&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.armodue.com/istruzioni.htm" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.armodue.com/istruzioni.htm&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Mavila%20Temperament%20Modal%20Harmony"&amp;gt;xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/23edo"&amp;gt;23edo&amp;lt;/a&amp;gt;, in gewissem Masse auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/9edo"&amp;gt;9edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/7edo"&amp;gt;7edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo" rel="nofollow"&amp;gt;The Mavila Experiments&amp;lt;/a&amp;gt; angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark &amp;amp;quot;verstimmt&amp;amp;quot; erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-08-21 04:36:36 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mavila-Temperaturen können als eine Art "Übertreibung" der [[mitteltönig|mitteltönigen ]]Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als [[Generator]] ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.

Die [[MOS-Skalen]] dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;(wenn auch sehr verschiedene Intervalle), so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf [[Ganzton|Ganztöne]], zwei [[Halbton|Halbtöne]]) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;antidiatonische Skala&amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt; genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als "superdiatonisch" bezeichnen könnte.&amp;lt;/span&amp;gt;

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Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in 16edo

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Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in 16edo

Die superdiatonische Skala kann als Basis für ein Mavila-Keybarddesign dienen, siehe etwa

[[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]]

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. [[16edo]], [[23edo]], in gewissem Masse auch [[9edo]] und [[7edo]].

Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf [[https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo|The Mavila Experiments]] angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark "verstimmt" erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Mavila-Temperaturen können als eine Art &amp;amp;quot;Übertreibung&amp;amp;quot; der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen &amp;lt;/a&amp;gt;Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Generator"&amp;gt;Generator&amp;lt;/a&amp;gt; ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;(wenn auch sehr verschiedene Intervalle), so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt;, zwei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Halbton"&amp;gt;Halbtöne&amp;lt;/a&amp;gt;) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;antidiatonische Skala&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt; genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als &amp;amp;quot;superdiatonisch&amp;amp;quot; bezeichnen könnte.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die superdiatonische Skala kann als Basis für ein Mavila-Keybarddesign dienen, siehe etwa&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Mavila%20Temperament%20Modal%20Harmony"&amp;gt;xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/23edo"&amp;gt;23edo&amp;lt;/a&amp;gt;, in gewissem Masse auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/9edo"&amp;gt;9edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/7edo"&amp;gt;7edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo" rel="nofollow"&amp;gt;The Mavila Experiments&amp;lt;/a&amp;gt; angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark &amp;amp;quot;verstimmt&amp;amp;quot; erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-08-17 16:32:53 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mavila-Temperaturen können als eine Art "Übertreibung" der [[mitteltönig|mitteltönigen ]]Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als [[Generator]] ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.

Die [[MOS-Skalen]] dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;(wenn auch sehr verschiedene Intervalle), so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[Ganzton|Ganztöne]]&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;, zwei &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[Halbton|Halbtöne]]&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;antidiatonische Skala&amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt; genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als "superdiatonisch" bezeichnen könnte.&amp;lt;/span&amp;gt;

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Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in 16edo

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Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in 16edo

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. [[16edo]], [[23edo]], in gewissem Masse auch [[9edo]] und [[7edo]].

Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf [[https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo|The Mavila Experiments]] angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark "verstimmt" erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Mavila-Temperaturen können als eine Art &amp;amp;quot;Übertreibung&amp;amp;quot; der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen &amp;lt;/a&amp;gt;Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Generator"&amp;gt;Generator&amp;lt;/a&amp;gt; ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;(wenn auch sehr verschiedene Intervalle), so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;, zwei &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Halbton"&amp;gt;Halbtöne&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;antidiatonische Skala&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt; genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als &amp;amp;quot;superdiatonisch&amp;amp;quot; bezeichnen könnte.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Mavila%20Temperament%20Modal%20Harmony"&amp;gt;xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/23edo"&amp;gt;23edo&amp;lt;/a&amp;gt;, in gewissem Masse auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/9edo"&amp;gt;9edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/7edo"&amp;gt;7edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo" rel="nofollow"&amp;gt;The Mavila Experiments&amp;lt;/a&amp;gt; angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark &amp;amp;quot;verstimmt&amp;amp;quot; erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-08-17 16:21:22 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mavila-Temperaturen können als eine Art "Übertreibung" der [[mitteltönig|mitteltönigen ]]Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als [[Generator]] ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.

Die [[MOS-Skalen]] dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon, so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf [[Ganzton|Ganztöne]], zwei [[Halbton|Halbtöne]]) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch //antidiatonische Skala// genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als "superdiatonisch" bezeichnen könnte.

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Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in 16edo

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Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in 16edo

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. [[16edo]], [[23edo]], in gewissem Masse auch [[9edo]] und [[7edo]].

Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf [[https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo|The Mavila Experiments]] angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark "verstimmt" erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Mavila-Temperaturen können als eine Art &amp;amp;quot;Übertreibung&amp;amp;quot; der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen &amp;lt;/a&amp;gt;Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Generator"&amp;gt;Generator&amp;lt;/a&amp;gt; ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon, so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt;, zwei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Halbton"&amp;gt;Halbtöne&amp;lt;/a&amp;gt;) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch &amp;lt;em&amp;gt;antidiatonische Skala&amp;lt;/em&amp;gt; genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als &amp;amp;quot;superdiatonisch&amp;amp;quot; bezeichnen könnte.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/23edo"&amp;gt;23edo&amp;lt;/a&amp;gt;, in gewissem Masse auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/9edo"&amp;gt;9edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/7edo"&amp;gt;7edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo" rel="nofollow"&amp;gt;The Mavila Experiments&amp;lt;/a&amp;gt; angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark &amp;amp;quot;verstimmt&amp;amp;quot; erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-08-17 16:17:23 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mavila-Temperaturen können als eine Art "Übertreibung" der [[mitteltönig|mitteltönigen ]]Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als [[Generator]] ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.

Die [[MOS-Skalen]] dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon, so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf [[Ganzton|Ganztöne]], zwei [[Halbton|Halbtöne]]) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch //antidiatonische Skala// genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als "superdiatonisch" bezeichnen könnte.

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Antidiatonische Mavila-Skala (LssLssss) in 16edo

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Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in 16edo

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. [[16edo]], [[23edo]], in gewissem Masse auch [[9edo]] und [[7edo]].

Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf [[https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo|The Mavila Experiments]] angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark "verstimmt" erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Mavila-Temperaturen können als eine Art &amp;amp;quot;Übertreibung&amp;amp;quot; der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen &amp;lt;/a&amp;gt;Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Generator"&amp;gt;Generator&amp;lt;/a&amp;gt; ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon, so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt;, zwei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Halbton"&amp;gt;Halbtöne&amp;lt;/a&amp;gt;) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch &amp;lt;em&amp;gt;antidiatonische Skala&amp;lt;/em&amp;gt; genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als &amp;amp;quot;superdiatonisch&amp;amp;quot; bezeichnen könnte.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Mavila%20Temperament%20Modal%20Harmony"&amp;gt;xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/23edo"&amp;gt;23edo&amp;lt;/a&amp;gt;, in gewissem Masse auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/9edo"&amp;gt;9edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/7edo"&amp;gt;7edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo" rel="nofollow"&amp;gt;The Mavila Experiments&amp;lt;/a&amp;gt; angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark &amp;amp;quot;verstimmt&amp;amp;quot; erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mavila-Temperaturen können als eine Art "Übertreibung" der [[mitteltönig|mitteltönigen ]]Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als [[Generator]] ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.

Die [[MOS-Skalen]] dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon, so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf [[Ganzton|Ganztöne]], zwei [[Halbton|Halbtöne]]) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch //antidiatonische Skala// genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als "superdiatonisch" bezeichnen könnte.

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Antidiatonische Mavila-Skala in 16edo

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Superdiatonische Mavila-Skala in 16edo

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. [[16edo]], [[23edo]], in gewissem Masse auch [[9edo]] und [[7edo]].

Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf [[https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo|The Mavila Experiments]] angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark "verstimmt" erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon, so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt;, zwei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Halbton"&amp;gt;Halbtöne&amp;lt;/a&amp;gt;) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch &amp;lt;em&amp;gt;antidiatonische Skala&amp;lt;/em&amp;gt; genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als &amp;amp;quot;superdiatonisch&amp;amp;quot; bezeichnen könnte.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Superdiatonische Mavila-Skala in 16edo&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Mavila%20Temperament%20Modal%20Harmony"&amp;gt;xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo" rel="nofollow"&amp;gt;The Mavila Experiments&amp;lt;/a&amp;gt; angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark &amp;amp;quot;verstimmt&amp;amp;quot; erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mavila-Temperaturen können als eine Art "Übertreibung" der [[mitteltönig|mitteltönigen ]]Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als [[Generator]] ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.

Die [[MOS-Skalen]] dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon, so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf [[Ganzton|Ganztöne]], zwei [[Halbton|Halbtöne]]) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch //antidiatonische Skala// genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als "superdiatonisch" bezeichnen könnte.

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. [[16edo]], [[23edo]], in gewissem Masse auch [[9edo]] und [[7edo]].

Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf [[https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo|The Mavila Experiments]] angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark "verstimmt" erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Mavila&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Mavila"&amp;gt;xenharmonic/Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mavila-Temperaturen können als eine Art &amp;amp;quot;Übertreibung&amp;amp;quot; der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen &amp;lt;/a&amp;gt;Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Generator"&amp;gt;Generator&amp;lt;/a&amp;gt; ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon, so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt;, zwei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Halbton"&amp;gt;Halbtöne&amp;lt;/a&amp;gt;) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch &amp;lt;em&amp;gt;antidiatonische Skala&amp;lt;/em&amp;gt; genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als &amp;amp;quot;superdiatonisch&amp;amp;quot; bezeichnen könnte.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Mavila%20Temperament%20Modal%20Harmony"&amp;gt;xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/23edo"&amp;gt;23edo&amp;lt;/a&amp;gt;, in gewissem Masse auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/9edo"&amp;gt;9edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/7edo"&amp;gt;7edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo" rel="nofollow"&amp;gt;The Mavila Experiments&amp;lt;/a&amp;gt; angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark &amp;amp;quot;verstimmt&amp;amp;quot; erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-15 06:00:42 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;431688332&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;-Buchstabendreher :)&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Mavila-Temperaturen können als eine Art "Übertreibung" der [[mitteltönig|mitteltönigen ]]Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als [[Generator]] ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.

Die [[MOS-Skalen]] dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon, so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf [[Ganzton|Ganztöne]], zwei [[Halbton|Halbtöne]]) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch //antidiatonische Skala// genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als "superdiatonisch" bezeichnen könnte.

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. [[16edo]], [[23edo]], in gewissem Masse auch [[9edo]] und [[7edo]].

Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf [[https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo|The Mavila Experiments]] angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark "verstimmt" erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Mavila-Temperaturen können als eine Art &amp;amp;quot;Übertreibung&amp;amp;quot; der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen &amp;lt;/a&amp;gt;Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Generator"&amp;gt;Generator&amp;lt;/a&amp;gt; ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon, so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt;, zwei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Halbton"&amp;gt;Halbtöne&amp;lt;/a&amp;gt;) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch &amp;lt;em&amp;gt;antidiatonische Skala&amp;lt;/em&amp;gt; genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als &amp;amp;quot;superdiatonisch&amp;amp;quot; bezeichnen könnte.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Mavila%20Temperament%20Modal%20Harmony"&amp;gt;xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/23edo"&amp;gt;23edo&amp;lt;/a&amp;gt;, in gewissem Masse auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/9edo"&amp;gt;9edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/7edo"&amp;gt;7edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo" rel="nofollow"&amp;gt;The Mavila Experiments&amp;lt;/a&amp;gt; angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark &amp;amp;quot;verstimmt&amp;amp;quot; erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Mavila-Temperaturen können als eine Art "Übertreibung" der [[mitteltönig|mitteltönigen ]]Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als [[Generator]] ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.

Die [[MOS-Skalen]] dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon, so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf [[Ganzton|Ganztöne]], zwei [[Halbton|Halbtöne]]) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch //antidiatonische Skala// genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als "superdiatonisch" bezeichnen könnte.

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. [[16edo]], [[23edo]], in gewissem Masse auch [[9edo]] und [[7edo]].

Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf [[https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo|The Mavila Experiments]] angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark "verstimmt" erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Maivla zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Mavila-Temperaturen können als eine Art &amp;amp;quot;Übertreibung&amp;amp;quot; der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen &amp;lt;/a&amp;gt;Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Generator"&amp;gt;Generator&amp;lt;/a&amp;gt; ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon, so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt;, zwei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Halbton"&amp;gt;Halbtöne&amp;lt;/a&amp;gt;) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch &amp;lt;em&amp;gt;antidiatonische Skala&amp;lt;/em&amp;gt; genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als &amp;amp;quot;superdiatonisch&amp;amp;quot; bezeichnen könnte.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Mavila%20Temperament%20Modal%20Harmony"&amp;gt;xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/23edo"&amp;gt;23edo&amp;lt;/a&amp;gt;, in gewissem Masse auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/9edo"&amp;gt;9edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/7edo"&amp;gt;7edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo" rel="nofollow"&amp;gt;The Mavila Experiments&amp;lt;/a&amp;gt; angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark &amp;amp;quot;verstimmt&amp;amp;quot; erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Maivla zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Mavila-Temperaturen können als eine Art "Übertreibung" der [[mitteltönig|mitteltönigen ]]Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als [[Generator]] ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.

Die [[MOS-Skalen]] dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon, so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf [[Ganzton|Ganztöne]], zwei [[Halbton|Halbtöne]]) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch //antidiatonische Skala// genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als "superdiatonisch" bezeichnen könnte.

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. [[16edo]], [[23edo]], in gewissem Masse auch [[9edo]] und [[7edo]].

Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf [[https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo|The Mavila Experiments]] angehört werden.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Mavila-Temperaturen können als eine Art &amp;amp;quot;Übertreibung&amp;amp;quot; der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen &amp;lt;/a&amp;gt;Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Generator"&amp;gt;Generator&amp;lt;/a&amp;gt; ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon, so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt;, zwei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Halbton"&amp;gt;Halbtöne&amp;lt;/a&amp;gt;) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch &amp;lt;em&amp;gt;antidiatonische Skala&amp;lt;/em&amp;gt; genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als &amp;amp;quot;superdiatonisch&amp;amp;quot; bezeichnen könnte.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Mavila%20Temperament%20Modal%20Harmony"&amp;gt;xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/23edo"&amp;gt;23edo&amp;lt;/a&amp;gt;, in gewissem Masse auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/9edo"&amp;gt;9edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/7edo"&amp;gt;7edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo" rel="nofollow"&amp;gt;The Mavila Experiments&amp;lt;/a&amp;gt; angehört werden.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Siehe auch [[xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]]

Mavila-Temperaturen können als eine Art "Übertreibung" der [[mitteltönig|mitteltönigen ]]Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als [[Generator]] ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.

Die [[MOS-Skalen]] dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) noch dieselbe Forrm wie ihr mitteltöniges Analogon, so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf [[Ganzton|Ganztöne]], zwei [[Halbton|Halbtöne]]) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch antidiatonische Skala genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als "superdiatonisch" bezeichnen könnte.

Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. [[16edo]], [[23edo]], in gewissem Masse auch [[9edo]] und [[7edo]].

Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf [[https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo|The Mavila Experiments]] angehört werden.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Mavila%20Temperament%20Modal%20Harmony"&amp;gt;xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mavila-Temperaturen können als eine Art &amp;amp;quot;Übertreibung&amp;amp;quot; der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen &amp;lt;/a&amp;gt;Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Generator"&amp;gt;Generator&amp;lt;/a&amp;gt; ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) noch dieselbe Forrm wie ihr mitteltöniges Analogon, so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt;, zwei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Halbton"&amp;gt;Halbtöne&amp;lt;/a&amp;gt;) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch antidiatonische Skala genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als &amp;amp;quot;superdiatonisch&amp;amp;quot; bezeichnen könnte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/23edo"&amp;gt;23edo&amp;lt;/a&amp;gt;, in gewissem Masse auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/9edo"&amp;gt;9edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/7edo"&amp;gt;7edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo" rel="nofollow"&amp;gt;The Mavila Experiments&amp;lt;/a&amp;gt; angehört werden.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Siehe auch [[xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]]

Mavila-Temperaturen können als eine Art "Übertreibung" der [[mitteltönig|mitteltönigen ]]Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als [[Generator]] ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.

Die [[MOS-Skalen]] dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) noch dieselbe Forrm wie ihr mitteltöniges Analogon, so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf [[Ganzton|Ganztöne]], zwei [[Halbton|Halbtöne]]) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch antidiatonische Skala genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als "superdiatonisch" bezeichnen könnte.

[[16edo]] ist eine wichtige gleichstufige Stimmung, welche die Mavila-Temperatur unterstützt.

Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf [[https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo|The Mavila Experiments]] angehört werden.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Mavila%20Temperament%20Modal%20Harmony"&amp;gt;xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mavila-Temperaturen können als eine Art &amp;amp;quot;Übertreibung&amp;amp;quot; der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen &amp;lt;/a&amp;gt;Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Generator"&amp;gt;Generator&amp;lt;/a&amp;gt; ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) noch dieselbe Forrm wie ihr mitteltöniges Analogon, so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt;, zwei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Halbton"&amp;gt;Halbtöne&amp;lt;/a&amp;gt;) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch antidiatonische Skala genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als &amp;amp;quot;superdiatonisch&amp;amp;quot; bezeichnen könnte.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist eine wichtige gleichstufige Stimmung, welche die Mavila-Temperatur unterstützt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo" rel="nofollow"&amp;gt;The Mavila Experiments&amp;lt;/a&amp;gt; angehört werden.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Siehe auch [[xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]]

Mavila-Temperaturen können als eine Art "Übertreibung" der [[mitteltönig|mitteltönigen ]]Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als [[Generator]] ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.

Die [[MOS-Skalen]] dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) noch dieselbe Forrm wie ihr mitteltöniges Analogon, so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf [[Ganzton|Ganztöne]], zwei [[Halbton|Halbtöne]]) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch antidiatonische Skala genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als "superdiatonisch" bezeichnen könnte.

[[16edo]] ist eine wichtige gleichstufige Stimmung, welche die Mavila-Temperatur unterstützt.


Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf [[https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo|The Mavila Experiments]] angehört werden.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Mavila%20Temperament%20Modal%20Harmony"&amp;gt;xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Mavila-Temperaturen können als eine Art &amp;amp;quot;Übertreibung&amp;amp;quot; der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen &amp;lt;/a&amp;gt;Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Generator"&amp;gt;Generator&amp;lt;/a&amp;gt; ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) noch dieselbe Forrm wie ihr mitteltöniges Analogon, so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt;, zwei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Halbton"&amp;gt;Halbtöne&amp;lt;/a&amp;gt;) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch antidiatonische Skala genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als &amp;amp;quot;superdiatonisch&amp;amp;quot; bezeichnen könnte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist eine wichtige gleichstufige Stimmung, welche die Mavila-Temperatur unterstützt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo" rel="nofollow"&amp;gt;The Mavila Experiments&amp;lt;/a&amp;gt; angehört werden.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Mavila]]
Siehe auch [[xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]]

Mavila-Temperaturen können als eine Art "Übertreibung" der [[mitteltönig|mitteltönigen ]]Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als [[Generator]] ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.

Die [[MOS-Skalen]] dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) noch dieselbe Forrm wie ihr mitteltöniges Analogon, so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf [[Ganzton|Ganztöne]], zwei [[Halbton|Halbtöne]]) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch antidiatonische Skala genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als "superdiatonisch" bezeichnen könnte. 

[[16edo]] ist eine wichtige gleichstufige Stimmung, welche die Mavila-Temperatur unterstützt.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Mavila%20Temperament%20Modal%20Harmony"&amp;gt;xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Mavila-Temperaturen können als eine Art &amp;amp;quot;Übertreibung&amp;amp;quot; der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen &amp;lt;/a&amp;gt;Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Generator"&amp;gt;Generator&amp;lt;/a&amp;gt; ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) noch dieselbe Forrm wie ihr mitteltöniges Analogon, so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganztöne&amp;lt;/a&amp;gt;, zwei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Halbton"&amp;gt;Halbtöne&amp;lt;/a&amp;gt;) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch antidiatonische Skala genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als &amp;amp;quot;superdiatonisch&amp;amp;quot; bezeichnen könnte. &amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist eine wichtige gleichstufige Stimmung, welche die Mavila-Temperatur unterstützt.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Siehe auch [[xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]]

Mavila-Temperaturen können als eine Art "Übertreibung" der [[mitteltönig|mitteltönigen ]]Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als Generator ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.

Die [[MOS-Skalen]] dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine Intervalle) noch dieselbe Forrm wie ihr mitteltöniges Analogon, so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf Ganztöne, zwei Halbtöne) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch antidiatonische Skala genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als "superdiatonisch" bezeichnen könnte. 

[[16edo]] ist eine wichtige gleichstufige Stimmung, welche die Mavila-Temperatur unterstützt.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Mavila%20Temperament%20Modal%20Harmony"&amp;gt;xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Mavila-Temperaturen können als eine Art &amp;amp;quot;Übertreibung&amp;amp;quot; der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen &amp;lt;/a&amp;gt;Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als Generator ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine Intervalle) noch dieselbe Forrm wie ihr mitteltöniges Analogon, so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf Ganztöne, zwei Halbtöne) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch antidiatonische Skala genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als &amp;amp;quot;superdiatonisch&amp;amp;quot; bezeichnen könnte. &amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist eine wichtige gleichstufige Stimmung, welche die Mavila-Temperatur unterstützt.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Mavila]]
Siehe auch [[xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]]

Mavila-Temperaturen können als eine Art "Übertreibung" der [[mitteltönig|mitteltönigen ]]Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als Generator ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.

Die [[MOS-Skalen]] dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine Intervalle) noch dieselbe Forrm wie ihr mitteltöniges Analogon, so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf Ganztöne, zwei Halbtöne) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch antidiatonische Skala genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als "superdiatonisch" bezeichnen könnte. &lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Mavila%20Temperament%20Modal%20Harmony"&amp;gt;xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Mavila-Temperaturen können als eine Art &amp;amp;quot;Übertreibung&amp;amp;quot; der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen &amp;lt;/a&amp;gt;Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als Generator ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine Intervalle) noch dieselbe Forrm wie ihr mitteltöniges Analogon, so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf Ganztöne, zwei Halbtöne) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch antidiatonische Skala genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als &amp;amp;quot;superdiatonisch&amp;amp;quot; bezeichnen könnte.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Mavila]]
Siehe auch [[xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]]

Mavila-Temperaturen können als eine Art "Übertreibung" der [[mitteltönig|mitteltönigen ]]Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als Generator ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.

Die [[MOS-Skalen]] dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine Intervalle) noch dieselbe Forrm wie ihr mitteltöniges Analogon, so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf Ganztöne, zwei Halbtöne) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch antidiatonische Skala genannt.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Mavila%20Temperament%20Modal%20Harmony"&amp;gt;xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mavila-Temperaturen können als eine Art &amp;amp;quot;Übertreibung&amp;amp;quot; der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen &amp;lt;/a&amp;gt;Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als Generator ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine Intervalle) noch dieselbe Forrm wie ihr mitteltöniges Analogon, so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf Ganztöne, zwei Halbtöne) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch antidiatonische Skala genannt.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-08 17:51:00 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Mavila]]
Siehe auch [[xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]]

Mavila-Temperaturen können als eine Art "Übertreibung" der [[mitteltönig|mitteltönigen ]]Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als Generator ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.

Die [[MOS-Skalen]] dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Die siebentönige MOS-Skala von Mavila hat die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf Ganztöne, zwei Halbtöne) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch antidiatonische Skala genannt.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Mavila%20Temperament%20Modal%20Harmony"&amp;gt;xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Mavila-Temperaturen können als eine Art &amp;amp;quot;Übertreibung&amp;amp;quot; der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen &amp;lt;/a&amp;gt;Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als Generator ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Die siebentönige MOS-Skala von Mavila hat die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf Ganztöne, zwei Halbtöne) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch antidiatonische Skala genannt.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Mavila]]
Siehe auch [[xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]]

Mavila-Temperaturen können als eine Art "Übertreibung" der [[mitteltönig|mitteltönigen ]]Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als Generator ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.

Die [[MOS-Skalen]] dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Die siebentönige MOS-Skala von Mavila hat die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf Ganztöne, zwei Halbtöne) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch antidiatonisce Skala genannt.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Mavila%20Temperament%20Modal%20Harmony"&amp;gt;xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Mavila-Temperaturen können als eine Art &amp;amp;quot;Übertreibung&amp;amp;quot; der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen &amp;lt;/a&amp;gt;Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als Generator ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Die siebentönige MOS-Skala von Mavila hat die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf Ganztöne, zwei Halbtöne) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch antidiatonisce Skala genannt.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Siehe auch [[xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Mavila%20Temperament%20Modal%20Harmony"&amp;gt;xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Mavila]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Mavila&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Mavila"&amp;gt;xenharmonic/Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mavila-Temperaturen können als eine Art "Übertreibung" der [[mitteltönig|mitteltönigen ]]Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als [[Generator|Generator]] ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.

Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon &lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;(wenn auch sehr verschiedene Intervalle), so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf [[Ganzton|Ganztöne]], zwei [[Halbton|Halbtöne]]) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch &lt;/span&gt;''&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;antidiatonische Skala&lt;/span&gt;''&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt; genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als "superdiatonisch" bezeichnen kann.&lt;/span&gt;

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in [[16edo|16edo]]

[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in [[16edo|16edo]]

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL) in [[16edo|16edo]]

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. [[16edo|16edo]], [[23edo|23edo]], in gewissem Masse auch [[9edo|9edo]] und [[7edo|7edo]].

Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf [https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo The Mavila Experiments] angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark "verstimmt" erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)

In 16edo bildet das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 16edo-Keyboarddesign dienen. Siehe etwa:

[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] oder [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mavila-Temperaturen können als eine Art "Übertreibung" der [[mitteltönig|mitteltönigen ]]Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als [[Generator|Generator]] ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.

Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon &lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;(wenn auch sehr verschiedene Intervalle), so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf [[Ganzton|Ganztöne]], zwei [[Halbton|Halbtöne]]) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch &lt;/span&gt;''&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;antidiatonische Skala&lt;/span&gt;''&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt; genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als "superdiatonisch" bezeichnen kann.&lt;/span&gt;

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in [[16edo|16edo]]

[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in [[16edo|16edo]]

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL) in [[16edo|16edo]]

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf [https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo The Mavila Experiments] angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark "verstimmt" erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)

=Gleichstufige Realisierungen=
Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. [[16edo|16edo]], [[23edo|23edo]], in gewissem Masse auch [[9edo|9edo]] und [[7edo|7edo]].

In 16edo bildet das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 16edo-Keyboarddesign dienen. Siehe etwa:

[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] oder [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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}}
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mavila-Temperaturen können als eine Art "Übertreibung" der [[mitteltönig|mitteltönigen ]]Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als [[Generator|Generator]] ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.

Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon &lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;(wenn auch sehr verschiedene Intervalle), so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf [[Ganzton|Ganztöne]], zwei [[Halbton|Halbtöne]]) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch &lt;/span&gt;''&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;antidiatonische Skala&lt;/span&gt;''&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt; genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als "superdiatonisch" bezeichnen kann.&lt;/span&gt;

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in [[16edo|16edo]]

[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in [[16edo|16edo]]

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL) in [[16edo|16edo]]

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf [https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo The Mavila Experiments] angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark "verstimmt" erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)

=Gleichstufige Realisierungen=
Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. [[16edo|16edo]], [[23edo|23edo]], in gewissem Masse auch [[9edo|9edo]] und [[7edo|7edo]].

In 16edo bildet das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 16edo-Keyboarddesign dienen. Siehe etwa:

[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] oder [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]  [[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mavila-Temperaturen können als eine Art "Übertreibung" der [[mitteltönig|mitteltönigen ]]Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als [[Generator|Generator]] ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.
=MOS-Skalen=
Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon &lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;(wenn auch sehr verschiedene Intervalle), so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf [[Ganzton|Ganztöne]], zwei [[Halbton|Halbtöne]]) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch &lt;/span&gt;''&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;antidiatonische Skala&lt;/span&gt;''&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt; genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als "superdiatonisch" bezeichnen kann.&lt;/span&gt;

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in [[16edo|16edo]]

[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in [[16edo|16edo]]

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL) in [[16edo|16edo]]

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf [https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo The Mavila Experiments] angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark "verstimmt" erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)

=Gleichstufige Realisierungen=
Gleichstufige Stimmungen, welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. [[16edo|16edo]], [[23edo|23edo]], in gewissem Masse auch [[9edo|9edo]] und [[7edo|7edo]].

In 16edo bildet das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 16edo-Keyboarddesign dienen. Siehe etwa:

[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] oder [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]  [[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mavila-Temperaturen können als eine Art "Übertreibung" der [[mitteltönig|mitteltönigen ]]Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als [[Generator|Generator]] ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.
=MOS-Skalen=
Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon &lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;(wenn auch sehr verschiedene Intervalle), so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf [[Ganzton|Ganztöne]], zwei [[Halbton|Halbtöne]]) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch &lt;/span&gt;''&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;antidiatonische Skala&lt;/span&gt;''&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt; genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als "superdiatonisch" bezeichnen kann.&lt;/span&gt;

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in [[16edo|16edo]]

[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in [[16edo|16edo]]

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL) in [[16edo|16edo]]

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf [https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo The Mavila Experiments] angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark "verstimmt" erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)

=Gleichstufige Realisierungen=
[[Gleichstufige Stimmungen]], welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. [[16edo|16edo]], [[23edo|23edo]], in gewissem Masse auch [[9edo|9edo]] und [[7edo|7edo]].

In 16edo bildet das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 16edo-Keyboarddesign dienen. Siehe etwa:

[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] oder [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]  [[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mavila-Temperaturen können als eine Art "Übertreibung" der [[mitteltönig|mitteltönigen ]]Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als [[Generator|Generator]] ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.
=MOS-Skalen=
Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon &lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;(wenn auch sehr verschiedene Intervalle), so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf [[Ganzton|Ganztöne]], zwei [[Halbton|Halbtöne]]) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch &lt;/span&gt;''&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;antidiatonische Skala&lt;/span&gt;''&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt; genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als "superdiatonisch" bezeichnen kann.&lt;/span&gt;

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in [[16edo|16edo]]

[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in [[16edo|16edo]]

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL) in [[16edo|16edo]]

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf [https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo The Mavila Experiments] angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark "verstimmt" erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)

=Gleichstufige Realisierungen=
[[Gleichstufige Stimmungen]], welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. [[16edo|16edo]], [[23edo|23edo]], in gewissem Masse auch [[9edo|9edo]].

[[7edo|7-EDO]] markiert einen Grenzfall zwischen Mavila- [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperaturen. Die beste Approximation der Quinte in 7-EDO ist 685.7 Cent gross, und Übereinanderschichten von 6 solchen Quinten führt natürlich zum vollen 7-EDO, d. h. einer völlig gleichförmigen siebentönigen Skala. Ist eine Quinte kleiner als 685.7 Cent, erhält man durch Aufeinanderschichten von sechs Quinten eine antidiatonische Mavila-Skala, ist sie höher, eine diatonische mitteltönige.

In 16edo bildet das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 16edo-Keyboarddesign dienen. Siehe etwa:

[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] oder [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]  [[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mavila-Temperaturen können als eine Art "Übertreibung" der [[mitteltönig|mitteltönigen ]]Temperaturen gesehen werden. Wie diese haben sie als [[Generator|Generator]] ein quintenähnliches Intervall, allerdings eines, das noch deutlich kleiner ist als eine (gegenüber der reinen Quinte bereits verminderten) mitteltönige Quinte. Durch Übereinanderschichten von vier Mavila-Quinten erreicht man nicht, wie bei einer mitteltönigen Temperatur, eine grosse Terz, sondern eine kleine.
=MOS-Skalen=
Die [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] dieser Temperatur haben eine andere Struktur als die mitteltönigen. Hat die pentatonische Mavila-Skala mit 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) noch dieselbe Form wie ihr mitteltöniges Analogon &lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;(wenn auch sehr verschiedene Intervalle), so hat die siebentönige MOS-Skala von Mavila die Struktur 2L 5s, also zwei grosse und fünf kleine Intervalle - genau umgekehrt wie bei mitteltönigen Temperaturen, deren entsprechende Skala die bekannte diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (fünf [[Ganzton|Ganztöne]], zwei [[Halbton|Halbtöne]]) ist. Die siebentönige Mavila-Skala wird deshalb auch &lt;/span&gt;''&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;antidiatonische Skala&lt;/span&gt;''&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt; genannt. Im Gegensatz zur mitteltönigen verfügt die Mavila-Temperatur außerdem über eine neuntönige MOS-Skala der Struktur 7L 2s, die man als "superdiatonisch" bezeichnen kann.&lt;/span&gt;

[[File:MavilaAntidiatonic16edo.mp3]]

Antidiatonische Mavila-Skala (LssLsss) in [[16edo|16edo]]

[[File:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (sLLLsLLLL) in [[16edo|16edo]]

[[File:MavilaOlympian16edo.mp3]]

Superdiatonische Mavila-Skala (LLsLLLsLL) in [[16edo|16edo]]

Mehr Details zu Mavila-Skalen siehe [[:en:Mavila_Temperament_Modal_Harmony|xenharmonic/Mavila Temperament Modal Harmony]] .

Eine kleine Kuriosität ist, dass jedes für mitteltönige Temperatur geschriebene musikalische Werk (also insbesondere aus dem Bereich Barock/Klassik) mittels Abbildung gemäss dem Generator nach Mavila konvertiert werden kann. Aufgrund der Ähnlichkeit der Generatoren bleibt das Originalwerk dabei erkennbar, doch jeder Mollakkord geht in einen Durakkord über und umgekehrt. Beispiele dafür können auf [https://soundcloud.com/mikebattagliaexperiments/sets/the-mavila-experiments-16-edo The Mavila Experiments] angehört werden. (Ästhetisch befriedigend sind die Resultate allerdings in der Regel nicht, weil die Quinte, eine der zentralen Konsonanzen in mitteltönigen Systemen, in Mavila doch stark "verstimmt" erscheint... Der Xenharmoniker ist besser beraten, direkt in Mavila zu komponieren und deren Quinte und Quarte entsprechend ihrer eigenen Qualität mit Vorsicht zu verwenden.)

=Gleichstufige Realisierungen=
[[Gleichstufige Stimmungen]], welche die Mavila-Temperatur unterstützen, sind z.B. [[16edo|16edo]], [[23edo|23edo]], in gewissem Masse auch [[9edo|9edo]].

[[7edo|7-EDO]] markiert einen Grenzfall zwischen Mavila- und [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperaturen. Die beste Approximation der Quinte in 7-EDO ist 685.7 Cent gross, und Übereinanderschichten von 6 solchen Quinten führt natürlich zum vollen 7-EDO, d. h. einer völlig gleichförmigen siebentönigen Skala. Ist eine Quinte kleiner als 685.7 Cent, erhält man durch Aufeinanderschichten von sechs Quinten eine antidiatonische Mavila-Skala, ist sie höher, eine diatonische mitteltönige.

In 16edo bildet das Komplement einer superdiatonischen Mavila-Skala gerade eine antidiatonische Mavila-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 16edo-Keyboarddesign dienen. Siehe etwa:

[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html] oder [http://www.armodue.com/istruzioni.htm http://www.armodue.com/istruzioni.htm]  [[Category:Temperament]]
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Siehe auch [[Rundung|Rundung]].  [[Category:meta]]
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Siehe auch [[Rundung]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Maßeinheit&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Die Musik muss - insofern sie eine Kunst ist - immer bestrebt sein, jede Messbarkeit zu verneinen. In der Praxis finden wir jedoch Ansätze, bestimmte Merkmale mit Maßzahlen zu belegen. So wird z.B. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Konsonanz"&amp;gt;Konsonanz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Dissonanz"&amp;gt;Dissonanz&amp;lt;/a&amp;gt; unterschieden, wobei auch eine Graduierung erkennbar ist. Und auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Distanzen"&amp;gt;Distanzen&amp;lt;/a&amp;gt; werden augenscheinlich mit Maßzahlen (wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallma%C3%9F"&amp;gt;Intervallmaß&amp;lt;/a&amp;gt;) belegt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rundung"&amp;gt;Rundung&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-04-24 17:55:11 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Die Musik muss - insofern sie eine Kunst ist - immer bestrebt sein, jede Messbarkeit zu verneinen. In der Praxis finden wir jedoch Ansätze, bestimmte Merkmale mit Maßzahlen zu belegen. So wird z.B. [[Konsonanz]] und [[Dissonanz]] unterschieden, wobei auch eine Graduierung erkennbar ist. Und auch [[Distanzen]] werden augenscheinlich mit Maßzahlen (wie [[Intervallmaß]]) belegt.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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      <text bytes="1359" sha1="psr6y9t6i6ph2mxg6yq1cur530jpa58" xml:space="preserve">Ein '''Mikroton''' ist ein [[Intervallmaß|Intervallmaß]], das für alle denkbaren musikalischen und musikwissenschaftlichen Zwecke ausreichend präzise ist. Neben seiner hohen Genauigkeit zeichnet es sich durch größtmögliche [[Neutralität|Neutralität]] gegenüber allen gängigen [[Tonsystem|Tonsystemen]] aus: es begünstigt weder die [[12edo|Zwölfstufigkeit]] noch überhaupt die [[Oktave|Oktave]].

Ein Mikroton ('''1µt''') ist definiert als der millionste Teil eines [[Ton|Tons]].

== Die Mikroton-Herausforderung ==
Ein Mikroton ist ein wirklich sehr kleines Intervall: erst 4904 µt machen ein Cent aus, und eine Oktave umfasst sage und schreibe 5.884.949 µt.

Zwei Töne mit dem [[Intervall|Unterschied]] von einem Mikroton zueinander bilden eine sehr langsame [[Schwebung|Schwebung]] aus; je nach Tonhöhe muss man mehr oder weniger Zeit mitbringen, um sie überhaupt zu bemerken. Die Schwebungsfrequenz beträgt

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;an der oberen Hörschwelle (20 kHz) 7 Minuten&lt;/li&gt;&lt;li&gt;im Bereich [http://de.wikipedia.org/wiki/Auditive_Wahrnehmung der höchsten Sensibilität] (4 kHz) 35 Minuten&lt;/li&gt;&lt;li&gt;an der unteren Hörschwelle (16 Hz) 7 Tage&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Ist in Anbetracht dessen eine Mikroton-Erfahrung überhaupt möglich?

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English: [[:en:Microtone xenharmonic/Microtone]]  [[Category:Intervallmaß]]
[[Category:Metrik]]
[[Category:Satire]]</text>
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: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-07-09 16:58:17 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Ein **Mikroton** ist ein [[Intervallmaß]], das für alle denkbaren musikalischen und musikwissenschaftlichen Zwecke ausreichend präzise ist. Neben seiner hohen Genauigkeit zeichnet es sich durch größtmögliche [[Neutralität]] gegenüber allen gängigen [[Tonsystem|Tonsystemen]] aus: es begünstigt weder die [[12edo|Zwölfstufigkeit]] noch überhaupt die [[Oktave]].

Ein Mikroton (**1µt**) ist definiert als der millionste Teil eines [[Ton|Tons]].

== Die Mikroton-Herausforderung ==
Ein Mikroton ist ein wirklich sehr kleines Intervall: erst 4904 µt machen ein Cent aus, und eine Oktave umfasst sage und schreibe 5.884.949 µt.

Zwei Töne mit dem [[Intervall|Unterschied]] von einem Mikroton zueinander bilden eine sehr langsame [[Schwebung]] aus; je nach Tonhöhe muss man mehr oder weniger Zeit mitbringen, um sie überhaupt zu bemerken. Die Schwebungsfrequenz beträgt
* an der oberen Hörschwelle (20 kHz) 7 Minuten
* im Bereich [[http://de.wikipedia.org/wiki/Auditive_Wahrnehmung|der höchsten Sensibilität]] (4 kHz) 35 Minuten
* an der unteren Hörschwelle (16 Hz) 7 Tage

Ist in Anbetracht dessen eine Mikroton-Erfahrung überhaupt möglich?

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English: [[xenharmonic:Microtone]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Mikroton&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Ein &amp;lt;strong&amp;gt;Mikroton&amp;lt;/strong&amp;gt; ist ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallma%C3%9F"&amp;gt;Intervallmaß&amp;lt;/a&amp;gt;, das für alle denkbaren musikalischen und musikwissenschaftlichen Zwecke ausreichend präzise ist. Neben seiner hohen Genauigkeit zeichnet es sich durch größtmögliche &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Neutralit%C3%A4t"&amp;gt;Neutralität&amp;lt;/a&amp;gt; gegenüber allen gängigen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Tonsystem"&amp;gt;Tonsystemen&amp;lt;/a&amp;gt; aus: es begünstigt weder die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;Zwölfstufigkeit&amp;lt;/a&amp;gt; noch überhaupt die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein Mikroton (&amp;lt;strong&amp;gt;1µt&amp;lt;/strong&amp;gt;) ist definiert als der millionste Teil eines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ton"&amp;gt;Tons&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ein Mikroton ist ein wirklich sehr kleines Intervall: erst 4904 µt machen ein Cent aus, und eine Oktave umfasst sage und schreibe 5.884.949 µt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zwei Töne mit dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Unterschied&amp;lt;/a&amp;gt; von einem Mikroton zueinander bilden eine sehr langsame &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Schwebung"&amp;gt;Schwebung&amp;lt;/a&amp;gt; aus; je nach Tonhöhe muss man mehr oder weniger Zeit mitbringen, um sie überhaupt zu bemerken. Die Schwebungsfrequenz beträgt&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;an der oberen Hörschwelle (20 kHz) 7 Minuten&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;im Bereich &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Auditive_Wahrnehmung" rel="nofollow"&amp;gt;der höchsten Sensibilität&amp;lt;/a&amp;gt; (4 kHz) 35 Minuten&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;an der unteren Hörschwelle (16 Hz) 7 Tage&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Ist in Anbetracht dessen eine Mikroton-Erfahrung überhaupt möglich?&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;hr /&amp;gt;
English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Microtone"&amp;gt;xenharmonic/Microtone&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-07-05 04:13:13 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Ein **Mikroton** ist ein [[Intervallmaß]], das für alle denkbaren musikalischen und musikwissenschaftlichen Zwecke ausreichend präzise ist. Neben seiner hohen Genauigkeit zeichnet es sich durch größtmögliche [[Neutralität]] gegenüber allen gängigen [[Tonsystem|Tonsystemen]] aus: es begünstigt weder die [[12edo|Zwölfstufigkeit]] noch überhaupt die [[Oktave]].

Ein Mikroton (**1µt**) ist definiert als der millionste Teil eines [[Ton|Tons]].

== Die Mikroton-Herausforderung ==
Ein Mikroton ist ein wirklich sehr kleines Intervall: erst 4904 µt machen ein Cent aus, und eine Oktave umfasst sage und schreibe 5.884.949 µt.

Zwei Töne mit dem [[Intervall|Unterschied]] von einem Mikroton zueinander bilden eine sehr langsame [[Schwebung]] aus; je nach Tonhöhe muss man mehr oder weniger Zeit mitbringen, um sie überhaupt zu bemerken. Die Schwebungsfrequenz beträgt
* an der oberen Hörschwelle (20 kHz) 7 Minuten
* im Bereich [[http://de.wikipedia.org/wiki/Auditive_Wahrnehmung|der höchsten Sensibilität]] (4 KHz) 35 Minuten
* an der unteren Hörschwelle (16 Hz) 7 Tage

Ist in Anbetracht dessen eine Mikroton-Erfahrung überhaupt möglich?

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English: [[xenharmonic:Microtone]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Ein Mikroton ist ein wirklich sehr kleines Intervall: erst 4904 µt machen ein Cent aus, und eine Oktave umfasst sage und schreibe 5.884.949 µt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ist in Anbetracht dessen eine Mikroton-Erfahrung überhaupt möglich?&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;hr /&amp;gt;
English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Microtone"&amp;gt;xenharmonic/Microtone&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-07-05 04:12:42 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Ein **Mikroton** ist ein [[Intervallmaß]], das für alle denkbaren musikalischen und musikwissenschaftlichen Zwecke ausreichend präzise ist. Neben seiner hohen Genauigkeit zeichnet es sich durch größtmögliche [[Neutralität]] gegenüber allen gängigen [[Tonsystem|Tonsystemen]] aus: es begünstigt weder die [[12edo|Zwölfstufigkeit]] noch überhaupt die [[Oktave]].

Ein Mikroton (**1µt**) ist definiert als der millionste Teil eines [[Ton|Tons]].

== Die Mikroton-Herausforderung ==
Ein Mikroton ist ein wirklich sehr kleines Intervall: erst 4904µt machen ein Cent aus, und eine Oktave umfasst sage und schreibe 5.884.949 µt.

Zwei Töne mit dem [[Intervall|Unterschied]] von einem Mikroton zueinander bilden eine sehr langsame [[Schwebung]] aus; je nach Tonhöhe muss man mehr oder weniger Zeit mitbringen, um sie überhaupt zu bemerken. Die Schwebungsfrequenz beträgt
* an der oberen Hörschwelle (20 kHz) 7 Minuten
* im Bereich [[http://de.wikipedia.org/wiki/Auditive_Wahrnehmung|der höchsten Sensibilität]] (4 KHz) 35 Minuten
* an der unteren Hörschwelle (16 Hz) 7 Tage

Ist in Anbetracht dessen eine Mikroton-Erfahrung überhaupt möglich?

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English: [[xenharmonic:Microtone]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Ein Mikroton (&amp;lt;strong&amp;gt;1µt&amp;lt;/strong&amp;gt;) ist definiert als der millionste Teil eines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ton"&amp;gt;Tons&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ein Mikroton ist ein wirklich sehr kleines Intervall: erst 4904µt machen ein Cent aus, und eine Oktave umfasst sage und schreibe 5.884.949 µt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Zwei Töne mit dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Unterschied&amp;lt;/a&amp;gt; von einem Mikroton zueinander bilden eine sehr langsame &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Schwebung"&amp;gt;Schwebung&amp;lt;/a&amp;gt; aus; je nach Tonhöhe muss man mehr oder weniger Zeit mitbringen, um sie überhaupt zu bemerken. Die Schwebungsfrequenz beträgt&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ist in Anbetracht dessen eine Mikroton-Erfahrung überhaupt möglich?&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-15 05:58:09 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Ein Mikroton (**1µt**) ist definiert als der millionste Teil eines [[Ton|Tons]].

== Die Mikroton-Herausforderung ==
Ein Mikroton ist ein wirklich sehr kleines Intervall: erst 4904µt machen ein Cent aus, und eine Oktave umfasst sage und schreibe 5884949 µt.

Zwei Töne mit dem [[Intervall|Unterschied]] von einem Mikroton zueinander bilden eine sehr langsame [[Schwebung]] aus; je nach Tonhöhe muss man mehr oder weniger Zeit mitbringen, um sie überhaupt zu bemerken. Die Schwebungsfrequenz beträgt
* an der oberen Hörschwelle (20 kHz) 7 Minuten
* im Bereich [[http://de.wikipedia.org/wiki/Auditive_Wahrnehmung|der höchsten Sensibilität]] (4 KHz) 35 Minuten
* an der unteren Hörschwelle (16 Hz) 7 Tage

Ist in Anbetracht dessen eine Mikroton-Erfahrung überhaupt möglich?

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English: [[xenharmonic:Microtone]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Ein Mikroton ist ein wirklich sehr kleines Intervall: erst 4904µt machen ein Cent aus, und eine Oktave umfasst sage und schreibe 5884949 µt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zwei Töne mit dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Unterschied&amp;lt;/a&amp;gt; von einem Mikroton zueinander bilden eine sehr langsame &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Schwebung"&amp;gt;Schwebung&amp;lt;/a&amp;gt; aus; je nach Tonhöhe muss man mehr oder weniger Zeit mitbringen, um sie überhaupt zu bemerken. Die Schwebungsfrequenz beträgt&amp;lt;br /&amp;gt;
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English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Microtone"&amp;gt;xenharmonic/Microtone&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-15 05:47:41 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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Ein Mikroton (**1µt**) ist definiert als der millionste Teil eines [[Ton|Tons]], er entspricht 2,0391e-4 [[Cent]].

Zwei Töne mit dem [[Intervall|Unterschied]] von einem Mikroton zueinander bilden eine sehr langsame [[Schwebung]] aus; je nach Tonhöhe muss man mehr oder weniger Zeit mitbringen, um sie überhaupt zu bemerken. Die Schwebungsfrequenz beträgt
* an der oberen Hörschwelle (20 kHz) 7 Minuten
* im Bereich [[http://de.wikipedia.org/wiki/Auditive_Wahrnehmung|der höchsten Sensibilität]] (4 KHz) 35 Minuten
* an der unteren Hörschwelle (16 Hz) 7 Tage

Eine Oktave ist nur um einen Hauch größer als 5884949 µt. ;)

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English: [[xenharmonic:Microtone]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Zwei Töne mit dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Unterschied&amp;lt;/a&amp;gt; von einem Mikroton zueinander bilden eine sehr langsame &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Schwebung"&amp;gt;Schwebung&amp;lt;/a&amp;gt; aus; je nach Tonhöhe muss man mehr oder weniger Zeit mitbringen, um sie überhaupt zu bemerken. Die Schwebungsfrequenz beträgt&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine Oktave ist nur um einen Hauch größer als 5884949 µt. ;)&amp;lt;br /&amp;gt;
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English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Microtone"&amp;gt;xenharmonic/Microtone&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Ein Mikroton (**1µt**) ist definiert als der millionste Teil eines [[Ton|Tons]], er entspricht 2,0391e-4 [[Cent]].

Zwei Töne mit dem [[Intervall|Unterschied]] von einem Mikroton zueinander bilden eine sehr langsame [[Schwebung]] aus; je nach Tonhöhe muss man mehr oder weniger Zeit mitbringen, um sie überhaupt zu bemerken. Die Schwebungsfrequenz beträgt
* an der oberen Hörschwelle (20 kHz) 7 Minuten
* im Bereich [[http://de.wikipedia.org/wiki/Auditive_Wahrnehmung|der höchsten Sensibilität]] (4 KHz) 35 Minuten
* an der unteren Hörschwelle (16 Hz) 7 Tage

Eine Oktave ist nur um einen Hauch größer als 5884949 µt. ;)

&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Ein Mikroton (&amp;lt;strong&amp;gt;1µt&amp;lt;/strong&amp;gt;) ist definiert als der millionste Teil eines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ton"&amp;gt;Tons&amp;lt;/a&amp;gt;, er entspricht 2,0391e-4 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine Oktave ist nur um einen Hauch größer als 5884949 µt. ;)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Ein **Mikroton** ist ein (satirisches) [[Intervallmaß]], das für alle denkbaren musikalischen und musikwissenschaftlichen Zwecke ausreichend präzise ist. Neben seiner hohen Genauigkeit zeichnet es sich durch größtmögliche [[Neutralität]] gegenüber allen gängigen [[Tonsystem|Tonsystemen]] aus: es begünstigt weder die [[12edo|Zwölfstufigkeit]] noch überhaupt die [[Oktave]].

Ein Mikroton (**1µt**) ist definiert als der millionste Teil eines [[Ton|Tons]], er entspricht 2,0391e-4 [[Cent]].

Zwei Töne mit dem [[Intervall|Unterschied]] von einem Mikroton zueinander bilden eine sehr langsame [[Schwebung]] aus; je nach Tonhöhe muss man mehr oder weniger Zeit mitbringen, um sie überhaupt zu bemerken. Die Schwebungsfrequenz beträgt
* an der oberen Hörschwelle (20 kHz) 7 Minuten
* im Bereich [[http://de.wikipedia.org/wiki/Auditive_Wahrnehmung|der höchsten Sensibilität]] (4 KHz) 35 Minuten
* an der unteren Hörschwelle (16 Hz) 7 Tage

Eine Oktave ist nur um einen Hauch größer als 5884949 µt. ;)

&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Ein Mikroton (**1µt**) ist der Millionstel eines [[Ton|Tons]]. (nach der Definition von Aristoxenus das Intervall zwischen reiner Quinte und reiner Quarte. 9/8, ca. 204 Cent siehe http://www.tonalsoft.com/monzo/aristoxenus/aristoxenus.aspx) Das entspricht 2,0391e-4 [[Cent]].

Zwei Töne mit dem [[Intervall|Unterschied]] von einem Mikroton zueinander bilden eine sehr langsame [[Schwebung]] aus; je nach Tonhöhe muss man mehr oder weniger Zeit mitbringen, um sie überhaupt zu bemerken. Die Schwebungsfrequenz beträgt
* an der oberen Hörschwelle (20 kHz) 7 Minuten
* im Bereich [[http://de.wikipedia.org/wiki/Auditive_Wahrnehmung|der höchsten Sensibilität]] (4 KHz) 35 Minuten
* an der unteren Hörschwelle (16 Hz) 7 Tage

Eine Oktave ist nur um einen Hauch größer als 5884949 µt. ;)

&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Ein Mikroton (**1µt**) ist der Millionstel eines [[Ton|Tons]]. (nach der Definition von Aristoxenus das Intervall zwischen reiner Quinte und reiner Quarte. 9/8, ca. 204 Cent siehe http://www.tonalsoft.com/monzo/aristoxenus/aristoxenus.aspx) Das entspricht 2,0391e-4 [[Cent]].

Zwei Töne mit dem [[Intervall|Unterschied]] von einem Mikroton zueinander bilden eine sehr langsame [[Schwebung]] aus, je nach Tonhöhe muss man mehr oder weniger Zeit mitbringen, um sie überhaupt zu bemerken. 

Die Schwebungsfrequenz beträgt
* für Töne an der oberen Hörschwelle (20 kHz) 7 Minuten
* für Töne an der unteren Hörschwelle (16 Hz) 7 Tage
* für Töne im Bereich [[http://de.wikipedia.org/wiki/Auditive_Wahrnehmung|der höchsten Sensibilität]] (4 KHz) 35 Minuten

Eine Oktave ist nur um einen Hauch größer als 5884949 µt. ;)

&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Mikroton&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Ein &amp;lt;strong&amp;gt;Mikroton&amp;lt;/strong&amp;gt; ist ein (satirisches) &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallma%C3%9F"&amp;gt;Intervallmaß&amp;lt;/a&amp;gt;, das für alle denkbaren musikalischen und musikwissenschaftlichen Zwecke ausreichend präzise ist. Neben seiner hohen Genauigkeit zeichnet es sich durch größtmögliche &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Neutralit%C3%A4t"&amp;gt;Neutralität&amp;lt;/a&amp;gt; gegenüber allen gängigen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Tonsystem"&amp;gt;Tonsystemen&amp;lt;/a&amp;gt; aus: es begünstigt weder die Zwölftönigkeit von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; noch die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Schwebungsfrequenz beträgt&amp;lt;br /&amp;gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Ein Mikroton (1µt) ist der Millionstel eines [[Ton|Tons]]. (nach der Definition von Aristoxenus das Intervall zwischen reiner Quinte und reiner Quarte. 9/8, ca. 204 Cent siehe http://www.tonalsoft.com/monzo/aristoxenus/aristoxenus.aspx)

Zwei Töne mit dem [[Intervall|Unterschied]] von einem Mikroton zueinander bilden eine sehr langsame [[Schwebung]] aus, je nach Tonhöhe muss man mehr oder weniger Zeit mitbringen, um sie überhaupt zu bemerken. 

Die Schwebungsfrequenz beträgt
* für Töne an der oberen Hörschwelle (20 kHz) 7 Minuten
* für Töne an der unteren Hörschwelle (16 Hz) 7 Tage
* für Töne im Bereich [[http://de.wikipedia.org/wiki/Auditive_Wahrnehmung|der höchsten Sensibilität]] (4 KHz) 35 Minuten

Eine Oktave ist nur um einen Hauch größer als 5884949 µt. ;)

&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Zwei Töne mit dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Unterschied&amp;lt;/a&amp;gt; von einem Mikroton zueinander bilden eine sehr langsame &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Schwebung"&amp;gt;Schwebung&amp;lt;/a&amp;gt; aus, je nach Tonhöhe muss man mehr oder weniger Zeit mitbringen, um sie überhaupt zu bemerken. &amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Schwebungsfrequenz beträgt&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;für Töne an der oberen Hörschwelle (20 kHz) 7 Minuten&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;für Töne an der unteren Hörschwelle (16 Hz) 7 Tage&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;für Töne im Bereich &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Auditive_Wahrnehmung" rel="nofollow"&amp;gt;der höchsten Sensibilität&amp;lt;/a&amp;gt; (4 KHz) 35 Minuten&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-14 13:03:38 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Ein **Mikroton** ist ein (satirisches) [[Intervallmaß]], das für alle denkbaren musikalischen und musikwissenschaftlichen Zwecke ausreichend präzise ist. Neben seiner hohen Genauigkeit zeichnet es sich durch größtmögliche Neutralität gegenüber allen gängigen Tonsystemen aus, es begünstigt weder die Zwölftönigkeit von [[12edo]] noch die [[Oktave]].

Ein Mikroton (1µt) ist der Millionstel eines [[Ton|Tons]]. (nach der Definition von Aristoxenus das Intervall zwischen reiner Quinte und reiner Quarte. 9/8, ca. 204 Cent siehe http://www.tonalsoft.com/monzo/aristoxenus/aristoxenus.aspx)

Zwei Töne mit dem Unterschied von einem Mikroton zueinander bilden eine sehr langsame Schwebung aus, je nach Tonhöhe muss man mehr oder weniger Zeit mitbringen, um sie überhaupt zu bemerken. 

Die Schwebungsfrequenz beträgt
* für Töne an der oberen Hörschwelle (20 kHz) 7 Minuten
* für Töne an der unteren Hörschwelle (16 Hz) 7 Tage
* für Töne im Bereich [[http://de.wikipedia.org/wiki/Auditive_Wahrnehmung|der höchsten Sensibilität]] (4 KHz) 35 Minuten

Eine Oktave ist nur um einen Hauch größer als 5884949 µt. ;)

&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Mikroton&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Ein &amp;lt;strong&amp;gt;Mikroton&amp;lt;/strong&amp;gt; ist ein (satirisches) &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallma%C3%9F"&amp;gt;Intervallmaß&amp;lt;/a&amp;gt;, das für alle denkbaren musikalischen und musikwissenschaftlichen Zwecke ausreichend präzise ist. Neben seiner hohen Genauigkeit zeichnet es sich durch größtmögliche Neutralität gegenüber allen gängigen Tonsystemen aus, es begünstigt weder die Zwölftönigkeit von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; noch die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein Mikroton (1µt) ist der Millionstel eines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ton"&amp;gt;Tons&amp;lt;/a&amp;gt;. (nach der Definition von Aristoxenus das Intervall zwischen reiner Quinte und reiner Quarte. 9/8, ca. 204 Cent siehe &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextUrlRule:21:http://www.tonalsoft.com/monzo/aristoxenus/aristoxenus.aspx --&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.tonalsoft.com/monzo/aristoxenus/aristoxenus.aspx" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.tonalsoft.com/monzo/aristoxenus/aristoxenus.aspx&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextUrlRule:21 --&amp;gt;)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zwei Töne mit dem Unterschied von einem Mikroton zueinander bilden eine sehr langsame Schwebung aus, je nach Tonhöhe muss man mehr oder weniger Zeit mitbringen, um sie überhaupt zu bemerken. &amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Schwebungsfrequenz beträgt&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;für Töne an der oberen Hörschwelle (20 kHz) 7 Minuten&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;für Töne an der unteren Hörschwelle (16 Hz) 7 Tage&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;für Töne im Bereich &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Auditive_Wahrnehmung" rel="nofollow"&amp;gt;der höchsten Sensibilität&amp;lt;/a&amp;gt; (4 KHz) 35 Minuten&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine Oktave ist nur um einen Hauch größer als 5884949 µt. ;)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Mike Battaglia</username>
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      <text bytes="1359" sha1="8omp3n04ytwv4y37igqf5f56wcdypjs" xml:space="preserve">Ein '''Mikroton''' ist ein [[Intervallmaß|Intervallmaß]], das für alle denkbaren musikalischen und musikwissenschaftlichen Zwecke ausreichend präzise ist. Neben seiner hohen Genauigkeit zeichnet es sich durch größtmögliche [[Neutralität|Neutralität]] gegenüber allen gängigen [[Tonsystem|Tonsystemen]] aus: es begünstigt weder die [[12edo|Zwölfstufigkeit]] noch überhaupt die [[Oktave|Oktave]].

Ein Mikroton ('''1µt''') ist definiert als der millionste Teil eines [[Ton|Tons]].

== Die Mikroton-Herausforderung ==
Ein Mikroton ist ein wirklich sehr kleines Intervall: erst 4904 µt machen ein Cent aus, und eine Oktave umfasst sage und schreibe 5.884.949 µt.

Zwei Töne mit dem [[Intervall|Unterschied]] von einem Mikroton zueinander bilden eine sehr langsame [[Schwebung|Schwebung]] aus; je nach Tonhöhe muss man mehr oder weniger Zeit mitbringen, um sie überhaupt zu bemerken. Die Schwebungsfrequenz beträgt

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;an der oberen Hörschwelle (20 kHz) 7 Minuten&lt;/li&gt;&lt;li&gt;im Bereich [http://de.wikipedia.org/wiki/Auditive_Wahrnehmung der höchsten Sensibilität] (4 kHz) 35 Minuten&lt;/li&gt;&lt;li&gt;an der unteren Hörschwelle (16 Hz) 7 Tage&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Ist in Anbetracht dessen eine Mikroton-Erfahrung überhaupt möglich?

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English: [[:en:Microtone|xenharmonic/Microtone]]  [[Category:Intervallmaß]]
[[Category:Metrik]]
[[Category:Satire]]</text>
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      <comment>tatsächlich haben einige Größenangaben im Xenharmonischen Wiki Genauigkeitsabweichungen im µt-Bereich:)</comment>
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| de = Mikroton
| en = Microtone
| es = 
| ja = 
}}
Ein '''Mikroton''' ist ein [[Intervallmaß]], das für alle denkbaren musikalischen und musikwissenschaftlichen Zwecke ausreichend präzise ist. Neben seiner hohen Genauigkeit zeichnet es sich durch eine gewisse [[Neutralität]] gegenüber allen gängigen [[Tonsystemen]]en aus: es begünstigt weder die [[12edo|Zwölfstufigkeit]] noch überhaupt die [[Oktave]].

Ein echter Mikroton ('''1µt''') sollte definiert sein als der millionste Teil eines [[Ton]]s.

{| class="wikitable"
! Intevall
! Größe in Cent
|-
| Ton 
| {{#expr: ln(9/8) / ln(2) *1200 }}
|-
| Milliton 
| {{#expr: ln(9/8) / ln(2) *1200 /1000 }}
|-
| Mikroton 
| {{#expr: ln(9/8) / ln(2) *1200 /1000 /1000 }}
|}

== Die Mikroton-Herausforderung ==
Ein Mikroton ist ein wirklich sehr kleines Intervall: erst 4904 µt machen ein Cent aus, und eine Oktave umfasst sage und schreibe 5.884.949 µt.

Zwei Töne mit dem [[Intervall|Unterschied]] von einem Mikroton zueinander bilden eine sehr langsame [[Schwebung]] aus; je nach Tonhöhe muss man viel Zeit mitbringen, um sie überhaupt zu bemerken. Die Schwebungsfrequenz beträgt

* an der oberen Hörschwelle (20 kHz) 7 Minuten
* im Bereich [http://de.wikipedia.org/wiki/Auditive_Wahrnehmung der höchsten Sensibilität] (4 kHz) 35 Minuten
* an der unteren Hörschwelle (16 Hz) 7 Tage

Ist in Anbetracht dessen eine Mikroton-Erfahrung überhaupt möglich?

[[Kategorie:Intervallmaß]]
[[Kategorie:Metrik]]
[[Category:Satire]]</text>
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      <contributor>
        <username>Xenwolf</username>
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      <comment>Tabellenbeschriftung</comment>
      <origin>1818</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1523" sha1="rlj46unmp94c1s8ygpw921gpdaoigpi" xml:space="preserve">{{interwiki
| de = Mikroton
| en = Microtone
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}}
Ein '''Mikroton''' ist ein [[Intervallmaß]], das für alle denkbaren musikalischen und musikwissenschaftlichen Zwecke ausreichend präzise ist. Neben seiner hohen Genauigkeit zeichnet es sich durch eine gewisse [[Neutralität]] gegenüber allen gängigen [[Tonsystemen]]en aus: es begünstigt weder die [[12edo|Zwölfstufigkeit]] noch überhaupt die [[Oktave]].

Ein echter Mikroton ('''1µt''') sollte definiert sein als der millionste Teil eines [[Ton]]s.

{| class="wikitable"
|+ Intervalle im Vergleich
! Name
! Größe in Cent
|-
| Ton
| {{#expr: ln(9/8) / ln(2) *1200 }}
|-
| Milliton
| {{#expr: ln(9/8) / ln(2) *1200 /1000 }}
|-
| Mikroton
| {{#expr: ln(9/8) / ln(2) *1200 /1000 /1000 }}
|}

== Die Mikroton-Herausforderung ==
Ein Mikroton ist ein wirklich sehr kleines Intervall: erst 4904 µt machen ein Cent aus, und eine Oktave umfasst sage und schreibe 5.884.949 µt.

Zwei Töne mit dem [[Intervall|Unterschied]] von einem Mikroton zueinander bilden eine sehr langsame [[Schwebung]] aus; je nach Tonhöhe muss man viel Zeit mitbringen, um sie überhaupt zu bemerken. Die Schwebungsfrequenz beträgt

* an der oberen Hörschwelle (20 kHz) 7 Minuten
* im Bereich [http://de.wikipedia.org/wiki/Auditive_Wahrnehmung der höchsten Sensibilität] (4 kHz) 35 Minuten
* an der unteren Hörschwelle (16 Hz) 7 Tage

Ist in Anbetracht dessen eine Mikroton-Erfahrung überhaupt möglich?

[[Kategorie:Intervallmaß]]
[[Kategorie:Metrik]]
[[Category:Satire]]</text>
      <sha1>rlj46unmp94c1s8ygpw921gpdaoigpi</sha1>
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    <title>Mitteltönig</title>
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      </contributor>
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      <text bytes="1194" sha1="cpat7umbypbemyawkds0678ev7sfvsn" xml:space="preserve">&lt;span style="display: block; text-align: right;"&gt;[[:en:meantone English]]&lt;/span&gt;

[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die mitteltönige Stimmung - bzw. die Familie der mitteltönigen Stimmungen - ist gewissermassen der Archetyp einer regulären Temperatur und natürlich historisch die mit Abstand gewichtigste.

Da deshalb schon sehr viele und sehr gute Informationen dazu sowohl in Büchern als auch online verfügbar sind, wird sie hier nicht gesondert beschrieben.

==Deutschsprachige Ressourcen (Beispiele)==
[http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelt%C3%B6nig Mitteltönige Stimmung (Wikipedia)]

[http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung1.php Mitteltönige Stimmung (lehrklaenge.de)]

==Varianten==

===Quinte/Quarte als Generator===
[[viertelkomma-mitteltönigen|viertelkomma-mitteltönig]]

[[Drittelkomma-mitteltönig|Drittelkomma-mitteltönig]]

[[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönig]]

[[Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]]

===Unterteilung von Quinte/Quarte als Generator===
[[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Godzilla]]

[[Liese|Liese]]

[[Mohajira|Mohajira]]  [[Category:Stimmung]]
[[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
        <id>0</id>
      </contributor>
      <comment>**Imported revision 612102925 - Original comment: **</comment>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-05-04 08:01:10 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/meantone|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die mitteltönige Stimmung - bzw. die Familie der mitteltönigen Stimmungen - ist gewissermassen der Archetyp einer regulären Temperatur und natürlich historisch die mit Abstand gewichtigste.
Da deshalb schon sehr viele und sehr gute Informationen dazu sowohl in Büchern als auch online verfügbar sind, wird sie hier nicht gesondert beschrieben.

==Deutschsprachige Ressourcen (Beispiele)== 
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelt%C3%B6nig|Mitteltönige Stimmung (Wikipedia)]]
[[http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung1.php|Mitteltönige Stimmung (lehrklaenge.de)]]

==Varianten== 
===Quinte/Quarte als Generator=== 
[[viertelkomma-mitteltönigen|viertelkomma-mitteltönig]]
[[Drittelkomma-mitteltönig]]
[[septimal-mitteltönig]]
[[Lucy-Stimmung]]

===Unterteilung von Quinte/Quarte als Generator=== 
[[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Godzilla]]
[[Liese]]
[[Mohajira]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/meantone"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Stimmung - bzw. die Familie der mitteltönigen Stimmungen - ist gewissermassen der Archetyp einer regulären Temperatur und natürlich historisch die mit Abstand gewichtigste.&amp;lt;br /&amp;gt;
Da deshalb schon sehr viele und sehr gute Informationen dazu sowohl in Büchern als auch online verfügbar sind, wird sie hier nicht gesondert beschrieben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Deutschsprachige Ressourcen (Beispiele)"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Deutschsprachige Ressourcen (Beispiele)&amp;lt;/h2&amp;gt;
 &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelt%C3%B6nig" rel="nofollow"&amp;gt;Mitteltönige Stimmung (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung1.php" rel="nofollow"&amp;gt;Mitteltönige Stimmung (lehrklaenge.de)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Varianten&amp;lt;/h2&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h3&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h3 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Varianten-Quinte/Quarte als Generator"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Quinte/Quarte als Generator&amp;lt;/h3&amp;gt;
 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/viertelkomma-mittelt%C3%B6nigen"&amp;gt;viertelkomma-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/septimal-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;septimal-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Semiphor%2C%20Semaphor%2C%20Godzilla"&amp;gt;Godzilla&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Liese"&amp;gt;Liese&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mohajira"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-05-04 08:00:56 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;612102911&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/meantone|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die mitteltönige Stimmung - bzw. die Familie der mitteltönigen Stimmungen - ist gewissermassen der Archetyp einer regulären Temperatur und natürlich historisch die mit Abstand gewichtigste.
Da deshalb schon sehr viele und sehr gute Informationen dazu sowohl in Büchern als auch online verfügbar sind, wird sie hier nicht gesondert beschrieben.

==Deutschsprachige Ressourcen (Beispiele)== 
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelt%C3%B6nig|Mitteltönige Stimmung (Wikipedia)]]
[[http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung1.php|Mitteltönige Stimmung (lehrklaenge.de)]]

==Varianten== 
===Quinte/Quarte als Generator=== 
[[viertelkomma-mitteltönigen|viertelkomma-mitteltönig]]
[[Drittelkomma-mitteltönig]]
[[septimal-mitteltönig]]
[[Lucy-Stimmung]]

===Unterteilung von Quinte/Quarte als generator=== 
[[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Godzilla]]
[[Liese]]
[[Mohajira]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/meantone"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Stimmung - bzw. die Familie der mitteltönigen Stimmungen - ist gewissermassen der Archetyp einer regulären Temperatur und natürlich historisch die mit Abstand gewichtigste.&amp;lt;br /&amp;gt;
Da deshalb schon sehr viele und sehr gute Informationen dazu sowohl in Büchern als auch online verfügbar sind, wird sie hier nicht gesondert beschrieben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Deutschsprachige Ressourcen (Beispiele)"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Deutschsprachige Ressourcen (Beispiele)&amp;lt;/h2&amp;gt;
 &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelt%C3%B6nig" rel="nofollow"&amp;gt;Mitteltönige Stimmung (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung1.php" rel="nofollow"&amp;gt;Mitteltönige Stimmung (lehrklaenge.de)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Varianten&amp;lt;/h2&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h3&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h3 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Varianten-Quinte/Quarte als Generator"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Quinte/Quarte als Generator&amp;lt;/h3&amp;gt;
 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/viertelkomma-mittelt%C3%B6nigen"&amp;gt;viertelkomma-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;Drittelkomma-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/septimal-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;septimal-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Semiphor%2C%20Semaphor%2C%20Godzilla"&amp;gt;Godzilla&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Liese"&amp;gt;Liese&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mohajira"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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      <comment>**Imported revision 612097295 - Original comment: **</comment>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-05-04 06:22:38 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;612097295&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/meantone|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die mitteltönige Stimmung - bzw. die Familie der mitteltönigen Stimmungen - ist gewissermassen der Archetyp einer regulären Temperatur und natürlich historisch die mit Abstand gewichtigste.
Da deshalb schon sehr viele und sehr gute Informationen dazu sowohl in Büchern als auch online verfügbar sind, wird sie hier nicht gesondert beschrieben.

==Deutschsprachige Ressourcen (Beispiele)== 
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelt%C3%B6nig|Mitteltönige Stimmung (Wikipedia)]]
[[http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung1.php|Mitteltönige Stimmung (lehrklaenge.de)]]

==Varianten== 
===Quinte/Quarte als Generator=== 
[[viertelkomma-mitteltönigen|viertelkomma-mitteltönig]]
[[Drittelkomma-mitteltönig]]
[[septimal-mitteltönig]]
[[Lucy-Stimmung]]

===Unterteilung von Quinte/Quarte als generator=== 
[[Mohajira]]
[[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Godzilla]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/meantone"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Stimmung - bzw. die Familie der mitteltönigen Stimmungen - ist gewissermassen der Archetyp einer regulären Temperatur und natürlich historisch die mit Abstand gewichtigste.&amp;lt;br /&amp;gt;
Da deshalb schon sehr viele und sehr gute Informationen dazu sowohl in Büchern als auch online verfügbar sind, wird sie hier nicht gesondert beschrieben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Deutschsprachige Ressourcen (Beispiele)"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Deutschsprachige Ressourcen (Beispiele)&amp;lt;/h2&amp;gt;
 &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelt%C3%B6nig" rel="nofollow"&amp;gt;Mitteltönige Stimmung (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Varianten&amp;lt;/h2&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h3&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h3 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Varianten-Quinte/Quarte als Generator"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Quinte/Quarte als Generator&amp;lt;/h3&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h3&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h3 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Varianten-Unterteilung von Quinte/Quarte als generator"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Unterteilung von Quinte/Quarte als generator&amp;lt;/h3&amp;gt;
 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mohajira"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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      <comment>**Imported revision 518490486 - Original comment: **</comment>
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      <text bytes="3977" sha1="p1p0iiid5m9skzgdfnhz7gthwf637bw" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2014-08-14 02:52:56 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;518490486&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/meantone|meantone]]

[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die mitteltönige Stimmung - bzw. die Familie der mitteltönigen Stimmungen - ist gewissermassen der Archetyp einer regulären Temperatur und natürlich historisch die mit Abstand gewichtigste.
Da deshalb schon sehr viele und sehr gute Informationen dazu sowohl in Büchern als auch online verfügbar sind, wird sie hier nicht gesondert beschrieben.

==Deutschsprachige Ressourcen (Beispiele):== 
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelt%C3%B6nig|Mitteltönige Stimmung (Wikipedia)]]
[[http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung1.php|Mitteltönige Stimmung (lehrklaenge.de)]]

==Varianten:== 
[[viertelkomma-mitteltönigen|viertelkomma-mitteltönig]]
[[Drittelkomma-mitteltönig]]
[[septimal-mitteltönig]]
[[Lucy-Stimmung]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/meantone"&amp;gt;meantone&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Stimmung - bzw. die Familie der mitteltönigen Stimmungen - ist gewissermassen der Archetyp einer regulären Temperatur und natürlich historisch die mit Abstand gewichtigste.&amp;lt;br /&amp;gt;
Da deshalb schon sehr viele und sehr gute Informationen dazu sowohl in Büchern als auch online verfügbar sind, wird sie hier nicht gesondert beschrieben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Deutschsprachige Ressourcen (Beispiele):"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Deutschsprachige Ressourcen (Beispiele):&amp;lt;/h2&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung1.php" rel="nofollow"&amp;gt;Mitteltönige Stimmung (lehrklaenge.de)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Varianten:"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Varianten:&amp;lt;/h2&amp;gt;
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      </contributor>
      <comment>**Imported revision 518440642 - Original comment: **</comment>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2014-08-13 14:03:04 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;518440642&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/meantone|meantone]]

[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die mitteltönige Stimmung - bzw. die Familie der mitteltönigen Stimmungen - ist gewissermassen der Archetyp einer regulären Temperatur und natürlich historisch die mit Abstand gewichtigste.
Da deshalb schon sehr viele und sehr gute Informatione dazu sowohl in Büchern als auch online verfügbar sind, wird sie hier nicht gesondert beschrieben.

==Deutschsprachige Ressourcen (Beispiele):== 
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelt%C3%B6nig|Mitteltönige Stimmung (Wikipedia)]]
[[http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung1.php|Mitteltönige Stimmung (lehrklaenge.de)]]

==Varianten:== 
[[viertelkomma-mitteltönigen|viertelkomma-mitteltönig]]
[[Drittelkomma-mitteltönig]]
[[septimal-mitteltönig]]
[[Lucy-Stimmung]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/meantone"&amp;gt;meantone&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Stimmung - bzw. die Familie der mitteltönigen Stimmungen - ist gewissermassen der Archetyp einer regulären Temperatur und natürlich historisch die mit Abstand gewichtigste.&amp;lt;br /&amp;gt;
Da deshalb schon sehr viele und sehr gute Informatione dazu sowohl in Büchern als auch online verfügbar sind, wird sie hier nicht gesondert beschrieben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Deutschsprachige Ressourcen (Beispiele):"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Deutschsprachige Ressourcen (Beispiele):&amp;lt;/h2&amp;gt;
 &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelt%C3%B6nig" rel="nofollow"&amp;gt;Mitteltönige Stimmung (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung1.php" rel="nofollow"&amp;gt;Mitteltönige Stimmung (lehrklaenge.de)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Varianten:"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Varianten:&amp;lt;/h2&amp;gt;
 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/viertelkomma-mittelt%C3%B6nigen"&amp;gt;viertelkomma-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/meantone|meantone]]

[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die mitteltönige Stimmung - bzw. die Familie der mitteltönigen Stimmungen - ist gewissermassen der Archetyp einer regulären Temperatur und natürlich historisch die mit Abstand gewichtigste.
Da deshalb schon sehr viele und sehr gute Informatione dazu sowohl in Büchern als auch online verfügbar sind, wird sie hier nicht gesondert beschrieben.

==Deutschsprachige Ressourcen:== 
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelt%C3%B6nig|Mitteltönige Stimmung (Wikipedia)]]
[[http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung1.php|Mitteltönige Stimmung (lehrklaenge.de)]]

==Varianten:== 
[[viertelkomma-mitteltönigen|viertelkomma-mitteltönig]]
[[Drittelkomma-mitteltönig]]
[[septimal-mitteltönig]]
[[Lucy-Stimmung]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/meantone"&amp;gt;meantone&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Stimmung - bzw. die Familie der mitteltönigen Stimmungen - ist gewissermassen der Archetyp einer regulären Temperatur und natürlich historisch die mit Abstand gewichtigste.&amp;lt;br /&amp;gt;
Da deshalb schon sehr viele und sehr gute Informatione dazu sowohl in Büchern als auch online verfügbar sind, wird sie hier nicht gesondert beschrieben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Deutschsprachige Ressourcen:"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Deutschsprachige Ressourcen:&amp;lt;/h2&amp;gt;
 &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelt%C3%B6nig" rel="nofollow"&amp;gt;Mitteltönige Stimmung (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung1.php" rel="nofollow"&amp;gt;Mitteltönige Stimmung (lehrklaenge.de)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Varianten:"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Varianten:&amp;lt;/h2&amp;gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/meantone|meantone]]

[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

==Varianten von "mitteltönig":== 
[[viertelkomma-mitteltönigen|viertelkomma-mitteltönig]]
[[Drittelkomma-mitteltönig]]
[[septimal-mitteltönig]]
[[Lucy-Stimmung]]

==Deutschsprachige Ressourcen:== 
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelt%C3%B6nig|Mitteltönige Stimmung (Wikipedia)]]
[[http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung1.php|Mitteltönige Stimmung (lehrklaenge.de)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/meantone"&amp;gt;meantone&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Varianten von &amp;amp;quot;mitteltönig&amp;amp;quot;:"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Varianten von &amp;amp;quot;mitteltönig&amp;amp;quot;:&amp;lt;/h2&amp;gt;
 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/viertelkomma-mittelt%C3%B6nigen"&amp;gt;viertelkomma-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;Drittelkomma-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
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 &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelt%C3%B6nig" rel="nofollow"&amp;gt;Mitteltönige Stimmung (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung1.php" rel="nofollow"&amp;gt;Mitteltönige Stimmung (lehrklaenge.de)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/meantone|meantone]]

==Varianten von "mitteltönig":== 
[[viertelkomma-mitteltönigen|viertelkomma-mitteltönig]]
[[Drittelkomma-mitteltönig]]
[[septimal-mitteltönig]]
[[Lucy-Stimmung]]

==Deutschsprachige Ressourcen:== 
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelt%C3%B6nig|Mitteltönige Stimmung (Wikipedia)]]
[[http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung1.php|Mitteltönige Stimmung (lehrklaenge.de)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/meantone"&amp;gt;meantone&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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      <origin>779</origin>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/meantone|meantone]]

==Varianten von "mitteltönig":== 
[[Drittelkomma-mitteltönig]]
[[viertelkomma-mitteltönigen|viertelkomma-mitteltönig]]
[[Lucy-Stimmung]]

==Deutschsprachige Ressourcen:== 
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelt%C3%B6nig|Mitteltönige Stimmung (Wikipedia)]]
[[http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung1.php|Mitteltönige Stimmung (lehrklaenge.de)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/meantone"&amp;gt;meantone&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Varianten von &amp;amp;quot;mitteltönig&amp;amp;quot;:"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Varianten von &amp;amp;quot;mitteltönig&amp;amp;quot;:&amp;lt;/h2&amp;gt;
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 &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelt%C3%B6nig" rel="nofollow"&amp;gt;Mitteltönige Stimmung (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung1.php" rel="nofollow"&amp;gt;Mitteltönige Stimmung (lehrklaenge.de)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <timestamp>2013-04-26T03:01:46Z</timestamp>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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      <comment>**Imported revision 426593916 - Original comment: **</comment>
      <origin>780</origin>
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      <text bytes="2659" sha1="otyqib12sn1apnzrjivrhv0n03ockpm" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
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==Varianten von "mitteltönig":== 
[[Drittelkomma-mitteltönig]]

==Deutschsprachige Ressourcen:== 
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelt%C3%B6nig|Mitteltönige Stimmung (Wikipedia)]]
[[http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung1.php|Mitteltönige Stimmung (lehrklaenge.de)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/meantone"&amp;gt;meantone&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;Drittelkomma-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelt%C3%B6nig" rel="nofollow"&amp;gt;Mitteltönige Stimmung (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung1.php" rel="nofollow"&amp;gt;Mitteltönige Stimmung (lehrklaenge.de)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Meantone family|Meantone family]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Meantone%20family"&amp;gt;Meantone family&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die mitteltönige Stimmung - bzw. die Familie der mitteltönigen Stimmungen - ist gewissermassen der Archetyp einer regulären Temperatur und natürlich historisch die mit Abstand gewichtigste.

Da deshalb schon sehr viele und sehr gute Informationen dazu sowohl in Büchern als auch online verfügbar sind, wird sie hier nicht gesondert beschrieben.

==Deutschsprachige Ressourcen (Beispiele)==
[http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelt%C3%B6nig Mitteltönige Stimmung (Wikipedia)]

[http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung1.php Mitteltönige Stimmung (lehrklaenge.de)]

==Varianten==

===Quinte/Quarte als Generator===
[[viertelkomma-mitteltönigen|viertelkomma-mitteltönig]]

[[Drittelkomma-mitteltönig|Drittelkomma-mitteltönig]]

[[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönig]]

[[Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]]

===Unterteilung von Quinte/Quarte als Generator===
[[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Godzilla]]

[[Liese|Liese]]

[[Mohajira|Mohajira]]  [[Category:Stimmung]]
[[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die mitteltönige Stimmung - bzw. die Familie der mitteltönigen Stimmungen - ist gewissermassen der Archetyp einer regulären Temperatur und natürlich historisch die mit Abstand gewichtigste.

Da deshalb schon sehr viele und sehr gute Informationen dazu sowohl in Büchern als auch online verfügbar sind, wird sie hier nicht gesondert beschrieben.

==Deutschsprachige Ressourcen (Beispiele)==
[http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelt%C3%B6nig Mitteltönige Stimmung (Wikipedia)]

[http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung1.php Mitteltönige Stimmung (lehrklaenge.de)]

==Varianten==

===Quinte/Quarte als Generator===
[[viertelkomma-mitteltönigen|viertelkomma-mitteltönig]]

[[Drittelkomma-mitteltönig|Drittelkomma-mitteltönig]]

[[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönig]]

[[Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]]

===Unterteilung von Quinte/Quarte als Generator===
[[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Godzilla]]

[[Liese|Liese]]

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[[Category:Temperament]]
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      <text bytes="1027" sha1="m84gzxttbf7k23nshjimdkap4mtdb7e" xml:space="preserve">Die '''mitteltönige''' Stimmung - bzw. die Familie der mitteltönigen Stimmungen - ist gewissermassen der Archetyp einer [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperatur]] und natürlich historisch die mit Abstand gewichtigste.

Da deshalb schon sehr viele und sehr gute Informationen dazu sowohl in Büchern als auch online verfügbar sind, wird sie hier nicht gesondert beschrieben.

== Deutschsprachige Ressourcen (Beispiele) ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelt%C3%B6nig Mitteltönige Stimmung (Wikipedia)]
* [http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung1.php Mitteltönige Stimmung (lehrklaenge.de)]

== Varianten ==

=== Quinte/Quarte als Generator ===
* [[Viertelkomma-mitteltönig]]
* [[Drittelkomma-mitteltönig]]
* [[Septimal-mitteltönig]]
* [[Lucy-Stimmung]]

=== Unterteilung von Quinte/Quarte als Generator ===
* [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Godzilla]]
* [[Liese]]
* [[Mohajira]]  

[[Category:Stimmung]]
[[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
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      <text bytes="1077" sha1="nmmytgrfwvlwwqvkttn35mszxskoe52" xml:space="preserve">Die '''mitteltönige''' Stimmung - bzw. die Familie der mitteltönigen Stimmungen - ist gewissermassen der Archetyp einer [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperatur]] und natürlich historisch die mit Abstand gewichtigste.

Da deshalb schon sehr viele und sehr gute Informationen dazu sowohl in Büchern als auch online verfügbar sind, wird sie hier nicht gesondert beschrieben.

== Deutschsprachige Ressourcen (Beispiele) ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelt%C3%B6nig Mitteltönige Stimmung (Wikipedia)]
* [http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung1.php Mitteltönige Stimmung (lehrklaenge.de)]

== Varianten ==

=== Quinte/Quarte als Generator ===
* [[Viertelkomma-mitteltönig]]
* [[Drittelkomma-mitteltönig]]
* [[Septimal-mitteltönig]]
* [[Lucy-Stimmung]]

=== Unterteilung von Quinte/Quarte als Generator ===
* [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Godzilla]]
* [[Liese]]
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[[Category:Stimmung]]
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[[Category:Mitteltönig| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;

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| ja = 
}}

Die '''mitteltönige''' Stimmung - bzw. die Familie der mitteltönigen Stimmungen - ist gewissermassen der Archetyp einer [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperatur]] und natürlich historisch die mit Abstand gewichtigste.

Da deshalb schon sehr viele und sehr gute Informationen dazu sowohl in Büchern als auch online verfügbar sind, wird sie hier nicht gesondert beschrieben.

== Deutschsprachige Ressourcen (Beispiele) ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelt%C3%B6nig Mitteltönige Stimmung (Wikipedia)]
* [http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung1.php Mitteltönige Stimmung (lehrklaenge.de)]

== Varianten ==

=== Quinte/Quarte als Generator ===
* [[Viertelkomma-mitteltönig]]
* [[Drittelkomma-mitteltönig]]
* [[Septimal-mitteltönig]]
* [[Lucy-Stimmung]]

=== Unterteilung von Quinte/Quarte als Generator ===
* [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Godzilla]]
* [[Liese]]
* [[Mohajira]]  

[[Category:Stimmung]]
[[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]
[[Category:Mitteltönig| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;</text>
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}}
Die '''mitteltönige''' Stimmung - bzw. die Familie der mitteltönigen Stimmungen - ist gewissermassen der Archetyp einer [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperatur]] und natürlich historisch die mit Abstand gewichtigste.

Da deshalb schon sehr viele und sehr gute Informationen dazu sowohl in Büchern als auch online verfügbar sind, wird sie hier nicht gesondert beschrieben.

== Deutschsprachige Ressourcen (Beispiele) ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelt%C3%B6nig Mitteltönige Stimmung (Wikipedia)]
* [http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung1.php Mitteltönige Stimmung (lehrklaenge.de)]

== Varianten ==

=== Quinte/Quarte als Generator ===
* [[Viertelkomma-mitteltönig]]
* [[Drittelkomma-mitteltönig]]
* [[Septimal-mitteltönig]]
* [[Lucy-Stimmung]]

=== Unterteilung von Quinte/Quarte als Generator ===
* [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Godzilla]]
* [[Liese]]
* [[Mohajira]]  

[[Category:Stimmung]]
[[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]
[[Category:Mitteltönig| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;</text>
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}}
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die '''mitteltönige''' Stimmung - bzw. die Familie der mitteltönigen Stimmungen - ist gewissermassen der Archetyp einer [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperatur]] und natürlich historisch die mit Abstand gewichtigste.

Da deshalb schon sehr viele und sehr gute Informationen dazu sowohl in Büchern als auch online verfügbar sind, wird sie hier nicht gesondert beschrieben.

== Deutschsprachige Ressourcen (Beispiele) ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelt%C3%B6nig Mitteltönige Stimmung (Wikipedia)]
* [http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung1.php Mitteltönige Stimmung (lehrklaenge.de)]

== Varianten ==

=== Quinte/Quarte als Generator ===
* [[Viertelkomma-mitteltönig]]
* [[Drittelkomma-mitteltönig]]
* [[Septimal-mitteltönig]]
* [[Sechstelkomma-mitteltönig]]
* [[Lucy-Stimmung]]

=== Unterteilung von Quinte/Quarte als Generator ===
* [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Godzilla]]
* [[Liese]]
* [[Mohajira]]  

[[Category:Stimmung]]
[[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]
[[Category:Mitteltönig| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;</text>
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}}
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die '''mitteltönige''' Stimmung - bzw. die Familie der mitteltönigen Stimmungen - ist gewissermassen der Archetyp einer [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperatur]] und natürlich historisch die mit Abstand gewichtigste.

Da deshalb schon sehr viele und sehr gute Informationen dazu sowohl in Büchern als auch online verfügbar sind, wird sie hier nicht gesondert beschrieben.

== Deutschsprachige Ressourcen (Beispiele) ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelt%C3%B6nig Mitteltönige Stimmung (Wikipedia)]
* [http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung1.php Mitteltönige Stimmung (lehrklaenge.de)]

== Varianten ==

=== Quinte/Quarte als Generator ===
* [[Viertelkomma-mitteltönig]]
* [[Drittelkomma-mitteltönig]]
* [[Septimal-mitteltönig]]
* [[Sechstelkomma-mitteltönig|Sechstelkomma-mitteltönig (tritonisch)]]
* [[Lucy-Stimmung]]

=== Unterteilung von Quinte/Quarte als Generator ===
* [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Godzilla]]
* [[Liese]]
* [[Mohajira]]  

[[Category:Stimmung]]
[[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]
[[Category:Mitteltönig| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die '''mitteltönige''' Stimmung - bzw. die Familie der mitteltönigen Stimmungen - ist gewissermassen der Archetyp einer [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperatur]] und natürlich historisch die mit Abstand gewichtigste.

Da deshalb schon sehr viele und sehr gute Informationen dazu sowohl in Büchern als auch online verfügbar sind, wird sie hier nicht gesondert beschrieben.

== Deutschsprachige Ressourcen (Beispiele) ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelt%C3%B6nig Mitteltönige Stimmung (Wikipedia)]
* [http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung1.php Mitteltönige Stimmung (lehrklaenge.de)]

== Varianten im 5-Limit-Intervallraum ==

* [[Viertelkomma-mitteltönig]]
* [[Drittelkomma-mitteltönig]]
* [[Sechstelkomma-mitteltönig|Sechstelkomma-mitteltönig (tritonisch)]]
* [[Lucy-Stimmung]]

== Erweiterungen ==
Im 7-Limit-[[Intervallraum]] ergeben sich verschiedene Varianten durch Austemperieren zusätzlicher Kommas.

* [[Septimal-mitteltönig]]
* [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Godzilla]]
* [[Liese]]
* [[Mohajira]]  

[[Category:Stimmung]]
[[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die '''mitteltönige''' Stimmung - bzw. die Familie der mitteltönigen Stimmungen - ist gewissermassen der Archetyp einer [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperatur]] und natürlich historisch die mit Abstand gewichtigste.

Da deshalb schon sehr viele und sehr gute Informationen dazu sowohl in Büchern als auch online verfügbar sind, wird sie hier nicht gesondert beschrieben.

== Deutschsprachige Ressourcen (Beispiele) ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelt%C3%B6nig Mitteltönige Stimmung (Wikipedia)]
* [http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung1.php Mitteltönige Stimmung (lehrklaenge.de)]

== Varianten im 5-Limit-Intervallraum ==

* [[Viertelkomma-mitteltönig]]
* [[Drittelkomma-mitteltönig]]
* [[Sechstelkomma-mitteltönig|Sechstelkomma-mitteltönig (tritonisch)]]
* [[Lucy-Stimmung]]

== Erweiterungen ==
Im 7-Limit-[[Intervallraum]] ergeben sich verschiedene Varianten durch Austemperieren zusätzlicher Kommas.

* Austemperieren von [[126/125|126/125]]: [[Septimal-mitteltönig]]
* Austemperieren von [[49/48|49/48]]: [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Godzilla]]
* Austemperieren von [[1029/1000]]: [[Liese]]
* Austemperieren von 6144/6125: [[Mohajira]]  

[[Category:Stimmung]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die '''mitteltönige''' Stimmung - bzw. die Familie der mitteltönigen Stimmungen - ist gewissermassen der Archetyp einer [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperatur]] und natürlich historisch die mit Abstand gewichtigste.

Da deshalb schon sehr viele und sehr gute Informationen dazu sowohl in Büchern als auch online verfügbar sind, wird sie hier nicht gesondert beschrieben.

== Deutschsprachige Ressourcen (Beispiele) ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelt%C3%B6nig Mitteltönige Stimmung (Wikipedia)]
* [http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung1.php Mitteltönige Stimmung (lehrklaenge.de)]

== Varianten im 5-Limit-Intervallraum ==

* [[Viertelkomma-mitteltönig]]
* [[Drittelkomma-mitteltönig]]
* [[Sechstelkomma-mitteltönig|Sechstelkomma-mitteltönig (tritonisch)]]
* [[Lucy-Stimmung]]

== Erweiterungen ==
In höheren [[p-Limit]]-[[Intervallraum|Intervallräumen]] ergeben sich verschiedene Varianten mitteltönigen Temperaturen durch Austemperieren zusätzlicher Kommas.

* Austemperieren von [[126/125|126/125]]: [[Septimal-mitteltönig]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die '''mitteltönige''' Stimmung - bzw. die Familie der mitteltönigen Stimmungen - ist gewissermassen der Archetyp einer [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperatur]] und natürlich historisch die mit Abstand gewichtigste.

Da deshalb schon sehr viele und sehr gute Informationen dazu sowohl in Büchern als auch online verfügbar sind, wird sie hier nicht gesondert beschrieben.

== Deutschsprachige Ressourcen (Beispiele) ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelt%C3%B6nig Mitteltönige Stimmung (Wikipedia)]
* [http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung1.php Mitteltönige Stimmung (lehrklaenge.de)]

== Varianten im 5-Limit-Intervallraum ==

* [[Viertelkomma-mitteltönig]]
* [[Drittelkomma-mitteltönig]]
* [[Sechstelkomma-mitteltönig|Sechstelkomma-mitteltönig (tritonisch)]]
* [[Lucy-Stimmung]]

== Erweiterungen ==
In höheren [[p-Limit]]-[[Intervallraum|Intervallräumen]] ergeben sich verschiedene Varianten mitteltönigen Temperaturen durch Austemperieren zusätzlicher Kommas.

* Austemperieren von [[126/125|126/125]]: [[Septimal-mitteltönig]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die '''mitteltönige''' Stimmung - bzw. die Familie der mitteltönigen Stimmungen - ist gewissermassen der Archetyp einer [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperatur]] und natürlich historisch die mit Abstand gewichtigste.

Da deshalb schon sehr viele und sehr gute Informationen dazu sowohl in Büchern als auch online verfügbar sind, wird sie hier nicht gesondert beschrieben.

== Deutschsprachige Ressourcen (Beispiele) ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelt%C3%B6nig Mitteltönige Stimmung (Wikipedia)]
* [http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung1.php Mitteltönige Stimmung (lehrklaenge.de)]

== Varianten im 5-Limit-Intervallraum ==

* [[Viertelkomma-mitteltönig]]
* [[Drittelkomma-mitteltönig]]
* [[Sechstelkomma-mitteltönig|Sechstelkomma-mitteltönig (tritonisch)]]
* [[Lucy-Stimmung]]

== Erweiterungen ==
In höheren [[p-Limit]]-[[Intervallraum|Intervallräumen]] ergeben sich verschiedene Varianten mitteltönigen Temperaturen durch Austemperieren zusätzlicher Kommas.

* Austemperieren von [[126/125|126/125]]: [[Septimal-mitteltönig]]
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[[Category:Stimmung]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die '''mitteltönige''' Stimmung - bzw. die Familie der mitteltönigen Stimmungen - ist gewissermassen der Archetyp einer [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperatur]] und natürlich historisch die mit Abstand gewichtigste.

Da deshalb schon sehr viele und sehr gute Informationen dazu sowohl in Büchern als auch online verfügbar sind, wird sie hier nicht gesondert beschrieben.

== Deutschsprachige Ressourcen (Beispiele) ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelt%C3%B6nig Mitteltönige Stimmung (Wikipedia)]
* [http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung1.php Mitteltönige Stimmung (lehrklaenge.de)]

== Varianten im 5-Limit-Intervallraum ==

* [[Viertelkomma-mitteltönig]]
* [[Drittelkomma-mitteltönig]]
* [[Sechstelkomma-mitteltönig|Sechstelkomma-mitteltönig (tritonisch)]]
* [[Lucy-Stimmung]]

== Erweiterungen ==
In höheren [[p-Limit]]-[[Intervallraum|Intervallräumen]] ergeben sich verschiedene Varianten mitteltönigen Temperaturen durch Austemperieren zusätzlicher Kommas.

* Austemperieren von [[126/125|126/125]]: [[Septimal-mitteltönig]]
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[[Category:Stimmung]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die '''mitteltönige''' Stimmung - bzw. die Familie der mitteltönigen Stimmungen - ist gewissermassen der Archetyp einer [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperatur]] und natürlich historisch die mit Abstand gewichtigste.

Da deshalb schon sehr viele und sehr gute Informationen dazu sowohl in Büchern als auch online verfügbar sind, wird sie hier nicht gesondert beschrieben.

== Deutschsprachige Ressourcen (Beispiele) ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelt%C3%B6nig Mitteltönige Stimmung (Wikipedia)]
* [http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung1.php Mitteltönige Stimmung (lehrklaenge.de)]

== Varianten im 5-Limit-Intervallraum ==

* [[Viertelkomma-mitteltönig]]
* [[Drittelkomma-mitteltönig]]
* [[Sechstelkomma-mitteltönig|Sechstelkomma-mitteltönig (tritonisch)]]
* [[Lucy-Stimmung]]

== Erweiterungen ==
In höheren [[p-Limit]]-[[Intervallraum|Intervallräumen]] ergeben sich verschiedene Varianten mitteltönigen Temperaturen durch Austemperieren zusätzlicher Kommas.

* Austemperieren von [[126/125|126/125]]: [[Septimal-mitteltönig]]
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[[Category:Stimmung]]
[[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die '''mitteltönige''' Stimmung - bzw. die Familie der mitteltönigen Stimmungen - ist gewissermassen der Archetyp einer [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperatur]] und natürlich historisch die mit Abstand gewichtigste.

Da deshalb schon sehr viele und sehr gute Informationen dazu sowohl in Büchern als auch online verfügbar sind, wird sie hier nicht gesondert beschrieben.

== Deutschsprachige Ressourcen (Beispiele) ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelt%C3%B6nig Mitteltönige Stimmung (Wikipedia)]
* [http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung1.php Mitteltönige Stimmung (lehrklaenge.de)]

== Varianten im 5-Limit-Intervallraum ==

* [[Viertelkomma-mitteltönig]]
* [[Drittelkomma-mitteltönig]]
* [[Sechstelkomma-mitteltönig|Sechstelkomma-mitteltönig (tritonisch)]]
* [[Lucy-Stimmung]]

== Erweiterungen ==
In höheren [[p-Limit]]-[[Intervallraum|Intervallräumen]] ergeben sich verschiedene Varianten mitteltönigen Temperaturen durch Austemperieren zusätzlicher Kommas.

* Austemperieren von [[126/125|126/125]]: [[Septimal-mitteltönig]]
* Austemperieren von [[49/48|49/48]]: [[Semiphor, Semaphor, Godzilla#Godzilla|Godzilla]]
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* Austemperieren von [[1029/1000]]: [[Liese]]
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[[Category:Stimmung]]
[[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die '''mitteltönige''' Stimmung - bzw. die Familie der mitteltönigen Stimmungen - ist gewissermassen der Archetyp einer [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperatur]] und natürlich historisch die mit Abstand gewichtigste.

Da deshalb schon sehr viele und sehr gute Informationen dazu sowohl in Büchern als auch online verfügbar sind, wird sie hier nicht gesondert beschrieben.

== Deutschsprachige Ressourcen (Beispiele) ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelt%C3%B6nig Mitteltönige Stimmung (Wikipedia)]
* [http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung1.php Mitteltönige Stimmung (lehrklaenge.de)]

== Varianten im 5-Limit-Intervallraum ==

* [[Viertelkomma-mitteltönig]]
* [[Drittelkomma-mitteltönig]]
* [[Sechstelkomma-mitteltönig|Sechstelkomma-mitteltönig (tritonisch)]]
* [[Fünftelkomma-mitteltönig]]
* [[Lucy-Stimmung]]

== Erweiterungen ==
In höheren [[p-Limit]]-[[Intervallraum|Intervallräumen]] ergeben sich verschiedene Varianten mitteltönigen Temperaturen durch Austemperieren zusätzlicher Kommas.

* Austemperieren von [[126/125|126/125]]: [[Septimal-mitteltönig]]
* Austemperieren von [[49/48|49/48]]: [[Semiphor, Semaphor, Godzilla#Godzilla|Godzilla]]
* Austemperieren von [[1029/1024]]: [[Slendrisch#Mothra|Mothra]]
* Austemperieren von [[1029/1000]]: [[Liese]]
* Austemperieren von 6144/6125: [[Mohajira]]  
[[Category:Stimmung]]
[[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]
[[Category:Mitteltönig| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die '''mitteltönige''' Stimmung - bzw. die Familie der mitteltönigen Stimmungen - ist gewissermassen der Archetyp einer [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperatur]] und natürlich historisch die mit Abstand gewichtigste.

Da deshalb schon sehr viele und sehr gute Informationen dazu sowohl in Büchern als auch online verfügbar sind, wird sie hier nicht gesondert beschrieben.

== Deutschsprachige Ressourcen (Beispiele) ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelt%C3%B6nig Mitteltönige Stimmung (Wikipedia)]
* [http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung1.php Mitteltönige Stimmung (lehrklaenge.de)]

== Varianten im 5-Limit-Intervallraum ==

* [[Viertelkomma-mitteltönig]]
* [[Drittelkomma-mitteltönig]]
* [[Sechstelkomma-mitteltönig|Sechstelkomma-mitteltönig (tritonisch, Silbermann-Sorge)]]
* [[Fünftelkomma-mitteltönig]]
* [[Lucy-Stimmung]]

== Erweiterungen ==
In höheren [[p-Limit]]-[[Intervallraum|Intervallräumen]] ergeben sich verschiedene Varianten mitteltönigen Temperaturen durch Austemperieren zusätzlicher Kommas.

* Austemperieren von [[126/125|126/125]]: [[Septimal-mitteltönig]]
* Austemperieren von [[49/48|49/48]]: [[Semiphor, Semaphor, Godzilla#Godzilla|Godzilla]]
* Austemperieren von [[1029/1024]]: [[Slendrisch#Mothra|Mothra]]
* Austemperieren von [[1029/1000]]: [[Liese]]
* Austemperieren von 6144/6125: [[Mohajira]]  
[[Category:Stimmung]]
[[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]
[[Category:Mitteltönig| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;</text>
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    <title>Mitteltönige Notation</title>
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      <text bytes="84" sha1="21povn3ijn2chwbrdhwteqtknqpo6t1" xml:space="preserve">Siehe [[MOS-Notation|MOS-Notation]]  [[Category:mitteltönig]]
[[Category:Notation]]</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Als **Mitteltönige Notation** kann man die "klassische" Notation bezeichnen, die von vorbachscher Zeit bis zum Jazz benutzt wird. Sie zieht eine klare Grenze zwischen fis und ges, glaubt andererseits fest daran, dass mit dem kleinen Unterschied zwischen d (kleine Terz unter F) immer d (reine Quinte unter A) schon irgendwie alles gut gehen wird.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Als **Mitteltönige Notation** kann man die "klassische" Notation bezeichnen, die von vorbachscher Zeit bis zum Jazz benutzt wird. Sie zieht eine klare Grenze zwischen fis und ges, glaubt andererseits fest daran, dass mit dem kleinen Unterschied zwischen d (b3 unter F) immer d (4 unter G) schon irgendwie alles gut gehen wird.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Mitteltönige Notation&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Als &amp;lt;strong&amp;gt;Mitteltönige Notation&amp;lt;/strong&amp;gt; kann man die &amp;amp;quot;klassische&amp;amp;quot; Notation bezeichnen, die von vorbachscher Zeit bis zum Jazz benutzt wird. Sie zieht eine klare Grenze zwischen fis und ges, glaubt andererseits fest daran, dass mit dem kleinen Unterschied zwischen d (b3 unter F) immer d (4 unter G) schon irgendwie alles gut gehen wird.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <text bytes="883" sha1="gm6jxjbgndwjmbl6imvplswvhq5v1cl" xml:space="preserve">English: [[:en:Mohajira xenharmonic/Mohajira]]

[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mohajira ist eine Variante der [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur, die dadurch entsteht, dass eine mitteltönige Quinte in zwei gleiche Teile geteilt wird. Das ergibt eine Art neutrale Terz, welche anstatt der Quinte als [[Generator|Generator]] fungiert. Mohajira ist daher auch eine Variante der [[maqamisch|maqamischen]] Temperatur.

Eine Mohajira-Temperatur hat dieselben Intervalle wie die assozierte mitteltönige, angereichert durch neutrale Terzen und Sekunden, was sie für [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalische]] Musik geeignet macht.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige Stimmungen]] für Mohajira sind [[24edo|24edo]], [[31edo|31edo]] (sehr gut), mit Einschränkungen [[7edo|7edo]].  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mohajira ist eine Variante der [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur, die dadurch entsteht, dass eine mitteltönige Quinte in zwei gleiche Teile geteilt wird. Das ergibt eine Art neutrale Terz, welche anstatt der Quinte als [[Generator]] fungiert. Mohajira ist daher auch eine Variante der [[maqamisch|maqamischen]] Temperatur.

Eine Mohajira-Temperatur hat dieselben Intervalle wie die assozierte mitteltönige, angereichert durch neutrale Terzen und Sekunden, was sie für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische]] Musik geeignet macht.

[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige Stimmungen]] für Mohajira sind [[24edo]], [[31edo]] (sehr gut), mit Einschränkungen [[7edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Mohajira ist eine Variante der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur, die dadurch entsteht, dass eine mitteltönige Quinte in zwei gleiche Teile geteilt wird. Das ergibt eine Art neutrale Terz, welche anstatt der Quinte als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Generator"&amp;gt;Generator&amp;lt;/a&amp;gt; fungiert. Mohajira ist daher auch eine Variante der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/maqamisch"&amp;gt;maqamischen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine Mohajira-Temperatur hat dieselben Intervalle wie die assozierte mitteltönige, angereichert durch neutrale Terzen und Sekunden, was sie für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalische&amp;lt;/a&amp;gt; Musik geeignet macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufige Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt; für Mohajira sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/24edo"&amp;gt;24edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; (sehr gut), mit Einschränkungen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/7edo"&amp;gt;7edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Mohajira]]

[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mohajira ist eine Variante der [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur, die dadurch entsteht, dass eine mitteltönige Quinte in zwei gleiche Teile geteilt wird. Das ergibt eine Art neutrale Terz, welche anstatt der Quinte als Generator fungiert. Mohajira ist daher auch eine Variante der [[maqamisch|maqamischen]] Temperatur.

Eine Mohajira-Temperatur hat dieselben Intervalle wie die assozierte mitteltönige, angereichert durch neutrale Terzen und Sekunden, was sie für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische]] Musik geeignet macht.

[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige Stimmungen]] für Mohajira sind [[24edo]], [[31edo]] (sehr gut), mit Einschränkungen [[7edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Mohajira"&amp;gt;xenharmonic/Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mohajira ist eine Variante der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur, die dadurch entsteht, dass eine mitteltönige Quinte in zwei gleiche Teile geteilt wird. Das ergibt eine Art neutrale Terz, welche anstatt der Quinte als Generator fungiert. Mohajira ist daher auch eine Variante der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/maqamisch"&amp;gt;maqamischen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine Mohajira-Temperatur hat dieselben Intervalle wie die assozierte mitteltönige, angereichert durch neutrale Terzen und Sekunden, was sie für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalische&amp;lt;/a&amp;gt; Musik geeignet macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufige Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt; für Mohajira sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/24edo"&amp;gt;24edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; (sehr gut), mit Einschränkungen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/7edo"&amp;gt;7edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-07-16 07:22:37 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mohajira ist eine Variante der [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur, die dadurch entsteht, dass eine mitteltönige Quinte in zwei gleiche Teile geteilt wird. Das ergibt eine Art neutrale Terz, welche anstatt der Quinte als Generator fungiert. Mohajira ist daher auch eine Variante der [[maqamisch|maqamischen]] Temperatur.

Eine Mohajira-Temperatur hat dieselben Intervalle wie die assozierte mitteltönige, angereichert durch neutrale Terzen und Sekunden, was sie für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische]] Musik geeignet macht.

Eine gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige Stimmung]] für Mohajira ist [[31edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Mohajira ist eine Variante der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur, die dadurch entsteht, dass eine mitteltönige Quinte in zwei gleiche Teile geteilt wird. Das ergibt eine Art neutrale Terz, welche anstatt der Quinte als Generator fungiert. Mohajira ist daher auch eine Variante der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/maqamisch"&amp;gt;maqamischen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine Mohajira-Temperatur hat dieselben Intervalle wie die assozierte mitteltönige, angereichert durch neutrale Terzen und Sekunden, was sie für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalische&amp;lt;/a&amp;gt; Musik geeignet macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mohajira ist eine Variante der [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur, die dadurch entsteht, dass eine mitteltönige Quinte in zwei gleiche Teile geteilt wird. Das ergibt eine Art neutrale Terz, welche anstatt der Quinte als Generator fungiert. Mohajira ist daher auch eine Variante der [[maqamisch|maqamischen]] Temperatur.

Eine Mohajira-Temperatur hat dieselben Intervalle wie die assozierte mitteltönige, angereichert durch neutrale Terzen und Sekunden, was sie für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische]] Musik geeignet macht.

Eine gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige Stimmung]] für Mohajira ist [[31edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Mohajira ist eine Variante der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur, die dadurch entsteht, dass eine mitteltönige Quinte in zwei gleiche Teile geteilt wird. Das ergibt eine Art neutrale Terz, welche anstatt der Quinte als Generator fungiert. Mohajira ist daher auch eine Variante der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/maqamisch"&amp;gt;maqamischen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine Mohajira-Temperatur hat dieselben Intervalle wie die assozierte mitteltönige, angereichert durch neutrale Terzen und Sekunden, was sie für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalische&amp;lt;/a&amp;gt; Musik geeignet macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine gute &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; für Mohajira ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Mohajira ist eine Variante der [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur, die dadurch entsteht, dass eine mitteltönige Quinte in zwei gleiche Teile geteilt wird. Das ergibt eine Art neutrale Terz, welche anstatt der Quinte als Generator fungiert. Mohajira ist daher auch eine variante der [[maqamisch|maqamischen]] Temepratur.

Eine Mohajira-Temperatur hat dieselben Intervalle wie die assozierte mitteltönige, angereichert durch neutrale Terzen und Sekunden, was sie für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische]] Musik geeignet macht.

Eine gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige Stimmung]] für Mohajira ist [[31edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Mohajira ist eine Variante der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur, die dadurch entsteht, dass eine mitteltönige Quinte in zwei gleiche Teile geteilt wird. Das ergibt eine Art neutrale Terz, welche anstatt der Quinte als Generator fungiert. Mohajira ist daher auch eine variante der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/maqamisch"&amp;gt;maqamischen&amp;lt;/a&amp;gt; Temepratur.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine Mohajira-Temperatur hat dieselben Intervalle wie die assozierte mitteltönige, angereichert durch neutrale Terzen und Sekunden, was sie für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalische&amp;lt;/a&amp;gt; Musik geeignet macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine gute &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; für Mohajira ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Mohajira ist eine Variante der [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur, die dadurch entsteht, dass eine mitteltönige Quinte in zwei gleiche Teile geteilt wird. Das ergibt eine Art neutrale Terz, welche anstatt der Quinte als Generator fungiert. Mohajira ist daher auch eine variante der [[maqamisch|maqamischen]] Temepratur.

Eine Mohajira-Temperatur hat dieselben Intervalle wie die assozierte mitteltönige, angereichert durch neutrale Terzen und Sekunden, was sie für [[arabisch, türkisch, persisch|orientalische]] Musik geeignet macht.

Eine gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige Stimmung]] für Mohajira ist [[31edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Mohajira ist eine Variante der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur, die dadurch entsteht, dass eine mitteltönige Quinte in zwei gleiche Teile geteilt wird. Das ergibt eine Art neutrale Terz, welche anstatt der Quinte als Generator fungiert. Mohajira ist daher auch eine variante der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/maqamisch"&amp;gt;maqamischen&amp;lt;/a&amp;gt; Temepratur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine Mohajira-Temperatur hat dieselben Intervalle wie die assozierte mitteltönige, angereichert durch neutrale Terzen und Sekunden, was sie für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;orientalische&amp;lt;/a&amp;gt; Musik geeignet macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine gute &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; für Mohajira ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Mohajira]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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      <text bytes="883" sha1="ldf81ivjhvmlacpbueuidbdaabb8bf7" xml:space="preserve">English: [[:en:Mohajira|xenharmonic/Mohajira]]

[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mohajira ist eine Variante der [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur, die dadurch entsteht, dass eine mitteltönige Quinte in zwei gleiche Teile geteilt wird. Das ergibt eine Art neutrale Terz, welche anstatt der Quinte als [[Generator|Generator]] fungiert. Mohajira ist daher auch eine Variante der [[maqamisch|maqamischen]] Temperatur.

Eine Mohajira-Temperatur hat dieselben Intervalle wie die assozierte mitteltönige, angereichert durch neutrale Terzen und Sekunden, was sie für [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalische]] Musik geeignet macht.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige Stimmungen]] für Mohajira sind [[24edo|24edo]], [[31edo|31edo]] (sehr gut), mit Einschränkungen [[7edo|7edo]].  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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      <text bytes="852" sha1="bxjiv8jzhw9uqes9ecarknst6y7xf3v" xml:space="preserve">[[en:Mohajira]]

[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mohajira ist eine Variante der [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur, die dadurch entsteht, dass eine mitteltönige Quinte in zwei gleiche Teile geteilt wird. Das ergibt eine Art neutrale Terz, welche anstatt der Quinte als [[Generator|Generator]] fungiert. Mohajira ist daher auch eine Variante der [[maqamisch|maqamischen]] Temperatur.

Eine Mohajira-Temperatur hat dieselben Intervalle wie die assozierte mitteltönige, angereichert durch neutrale Terzen und Sekunden, was sie für [[arabisch,_türkisch,_persisch|orientalische]] Musik geeignet macht.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige Stimmungen]] für Mohajira sind [[24edo|24edo]], [[31edo|31edo]] (sehr gut), mit Einschränkungen [[7edo|7edo]].  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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      <text bytes="33" sha1="92ggqr78as0xffsco8wjhxw3ntq0ixn" xml:space="preserve">#REDIRECT [[Klassische_Notation]]</text>
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      <text bytes="5459" sha1="s2d4lbwyydh471h9xuo3raqfk0nhdjj" xml:space="preserve">English: [[:en:MOSScales xenharmonic/MOSScales]]

'''MOS''' im musikalischen Kontext bedeutet "Moment of symmetry" (Augenblick der Symmetrie) und steht für eine musikalische '''Skala''', die die [[Myhill-Eigenschaft|Myhill-Eigenschaft]] besitzt, die besagt, dass die Grundintervalle der Skala in genau zwei verschiedenen Grössen auftreten (z.B. kleine/große Sekunde, kleine/große Terz etc). Ausnahme sind die Prime und Vielfache der "Periode" (z.B. die [[Oktave|Oktave]]), welche nur in einer Größe auftreten. Die herkömmliche diatonische Skala mit 5 Ganz- und 2 Halbtönen kann als Prototyp gesehen werden. Der Begriff wurde von [[Erv_Wilson|Erv Wilson]] im Jahre 1976 erfunden.

Zur Veranschaulichung der Idee kann man den Prozess der Skalenkreation durch Schichtung von Quinten betrachten, bei der man mit einem Grundton beginnt und sukzessive reine Quinten übereinanderschichtet. Wenn man nun die bei den einzelnen Schritten jeweils entstehenden Skalen vergleicht, stellt man fest, dass deren Intervallschritte in der Regel in mehr als zwei verschiedenen Grössen auftreten - manchmal jedoch in nur zweien. Konkret ist das der Fall nach 4, 6 und 11 Quintenschritten, also bei 5, 7 und 12 Tönen. In diesen Fällen treten auch die übrigen Grundintervalle in maximal zwei Größen auf, was aber nicht immer aus der Eigenschaft folgt, dass man zwei unterschiedlich große Intervallschritte hat. Die entsprechenden Skalen sind die klassische pentatonische, die diatonische sowie die chromatische pythagoräische Skala, also allesamt in der traditionellen Musiktheorie bedeutsam.

Diese Skalen bilden also, etwas plakativ gesagt, sozusagen einen "Augenblick der Symmetrie" in einer Reihe von eher "chaotischen" Skalen.

Man kann dieses Konstruktionsprinzip jetzt verallgemeinern:

Gegeben sei ein '''Generatorintervall''' (im obigen Beispiel die reine Quinte) und ein '''Periodenintervall''' (typischerweise eine Oktave, oder ein ganzzahliger Bruchteil derselben), und man beginnt bei einem Grundton und kreiert Skalen mittels Übereinanderschichten des Generatorintervalls und das Ganze modulo Periodenintervall betrachtend. Diejenigen der dabei entstehenden Skalen, welche Grundintervalle in nur zwei verschiedenen Grössen aufweisen, nennt man "Moment of Symmetry"- oder eben MOS-Skalen.

Je nach Grösse des Generatorintervalls (bzw. des Verhältnisses Generator-Periode) entstehen MOS-Skalen verschiedener Grösse mit verschiedenen Grössen und Verteilungen der grossen und kleinen Intervalle.

Ob der Generator ein Intervall mit rationalem Frequenzverhältnis ("rein") oder mit irrationalem Frequenzverhältnis ist (z.B. Teil eines gleichstufig temperierten Systems), spielt dabei keine Rolle.

MOS-Skalen sind, wie man schon aus dem Konstruktionsprinzp erkennt, eng mit dem Paradigma der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] verbunden. In der Tat gehören zu jeder regulären Temperatur eine Reihe typischer MOS-Skalen.

=Klassifikation von MOS=
Eine natürliche Grobklassifikation von MOS ergibt sich aus der Anzahl grosser und kleiner Intervalle, in der Form #L#s. Für die diatonische Skala ergibt das 5L2s, d.h. 5 grosse (Large) und 2 kleine (small) Schritte.

==MOS in gleichstufigen Stimmungssystemen==
In einem [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystem]] sind alle Intervalle ganzzahlige Vielfache einer kleinsten Einheit, die Variablen L und s können also als ganze Zahlen geschrieben werden. Wenn wir eine MOS-Skala in einer n-stufigen System (n-EDO) haben, von der Form pL qS, ist die gesamte Anzahl Schritte der Skala p*L + q*s und muss natürlich gleich der Anzahl Schritte der Periode (hier der Oktave) sein. Es gilt also

p*L + q*s = n.

Dies ist eine [http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_diophantische_Gleichung lineare diophantische Gleichung]. Für diese gibt es standardisierte Lösungsverfahren, mit denen man alle theoretisch möglichen MOS-Skalen in jedem beliebigen n-[[edo|EDO]] bestimmen kann.

[[:en:file/detail/17edo_horograms.jpg 

&lt;div class='external-image-warning' style='background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding-left: 0.5em; padding-right:0.5em; display:inline-block'&gt;
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: &lt;small&gt;However, you can get the original external URL for this image by clicking "View history", going to the last pre-import history revision, and looking at the original code for this image tag.&lt;/small&gt;&lt;br&gt;
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&lt;/div&gt;
[[Category:IMPORTDEBUG - Change External Images]]

]]

[[:en:file/view/17edo_horograms.pdf 17edo horograms.pdf]]

Siehe auch

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[[:en:MOS_scales_of_17edo xenharmonic (microtonal wiki) - MOS scales of 17edo]]&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[[:en:Andrew_Heathwaite's_MOS_Investigations xenharmonic (microtonal wiki) - Andrew Heathwaite's MOS Investigations]]&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;  [[Category:Mathematik]]
[[Category:Theorie]]</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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**MOS** im musikalischen Kontext bedeutet "Moment of symmetry" (Augenblick der Symmetrie) und steht für eine musikalische **Skala**, die die [[Myhill-Eigenschaft]] besitzt, die besagt, dass die Grundintervalle der Skala in genau zwei verschiedenen Grössen auftreten (z.B. kleine/große Sekunde, kleine/große Terz etc). Ausnahme sind die Prime und Vielfache der "Periode" (z.B. die [[Oktave]]), welche nur in einer Größe auftreten. Die herkömmliche diatonische Skala mit 5 Ganz- und 2 Halbtönen kann als Prototyp gesehen werden. Der Begriff wurde von [[Erv Wilson]] im Jahre 1976 erfunden.

Zur Veranschaulichung der Idee kann man den Prozess der Skalenkreation durch Schichtung von Quinten betrachten, bei der man mit einem Grundton beginnt und sukzessive reine Quinten übereinanderschichtet. Wenn man nun die bei den einzelnen Schritten jeweils entstehenden Skalen vergleicht, stellt man fest, dass deren Intervallschritte in der Regel in mehr als zwei verschiedenen Grössen auftreten - manchmal jedoch in nur zweien. Konkret ist das der Fall nach 4, 6 und 11 Quintenschritten, also bei 5, 7 und 12 Tönen. In diesen Fällen treten auch die übrigen Grundintervalle in maximal zwei Größen auf, was aber nicht immer aus der Eigenschaft folgt, dass man zwei unterschiedlich große Intervallschritte hat. Die entsprechenden Skalen sind die klassische pentatonische, die diatonische sowie die chromatische pythagoräische Skala, also allesamt in der traditionellen Musiktheorie bedeutsam.

Diese Skalen bilden also, etwas plakativ gesagt, sozusagen einen "Augenblick der Symmetrie" in einer Reihe von eher "chaotischen" Skalen.

Man kann dieses Konstruktionsprinzip jetzt verallgemeinern:
Gegeben sei ein **Generatorintervall** (im obigen Beispiel die reine Quinte) und ein **Periodenintervall** (typischerweise eine Oktave, oder ein ganzzahliger Bruchteil derselben), und man beginnt bei einem Grundton und kreiert Skalen mittels Übereinanderschichten des Generatorintervalls und das Ganze modulo Periodenintervall betrachtend. Diejenigen der dabei entstehenden Skalen, welche Grundintervalle in nur zwei verschiedenen Grössen aufweisen, nennt man "Moment of Symmetry"- oder eben MOS-Skalen.

Je nach Grösse des Generatorintervalls (bzw. des Verhältnisses Generator-Periode) entstehen MOS-Skalen verschiedener Grösse mit verschiedenen Grössen und Verteilungen der grossen und kleinen Intervalle.

Ob der Generator ein Intervall mit rationalem Frequenzverhältnis ("rein") oder mit irrationalem Frequenzverhältnis ist (z.B. Teil eines gleichstufig temperierten Systems), spielt dabei keine Rolle.

MOS-Skalen sind, wie man schon aus dem Konstruktionsprinzp erkennt, eng mit dem Paradigma der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] verbunden. In der Tat gehören zu jeder regulären Temperatur eine Reihe typischer MOS-Skalen.

=Klassifikation von MOS= 
Eine natürliche Grobklassifikation von MOS ergibt sich aus der Anzahl grosser und kleiner Intervalle, in der Form #L#s. Für die diatonische Skala ergibt das 5L2s, d.h. 5 grosse (Large) und 2 kleine (small) Schritte.

==MOS in gleichstufigen Stimmungssystemen== 
In einem [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystem]] sind alle Intervalle ganzzahlige Vielfache einer kleinsten Einheit, die Variablen L und s können also als ganze Zahlen geschrieben werden. Wenn wir eine MOS-Skala in einer n-stufigen System (n-EDO) haben, von der Form pL qS, ist die gesamte Anzahl Schritte der Skala p*L + q*s und muss natürlich gleich der Anzahl Schritte der Periode (hier der Oktave) sein. Es gilt also

p*L + q*s = n.

Dies ist eine [[http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_diophantische_Gleichung|lineare diophantische Gleichung]]. Für diese gibt es standardisierte Lösungsverfahren, mit denen man alle theoretisch möglichen MOS-Skalen in jedem beliebigen n-[[EDO]] bestimmen kann.

[[image:xenharmonic/17edo_horograms.jpg width="120" link="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/detail/17edo_horograms.jpg"]]
[[file:xenharmonic/17edo horograms.pdf]]

Siehe auch
* [[http://xenharmonic.wikispaces.com/MOS+scales+of+17edo|xenharmonic (microtonal wiki) - MOS scales of 17edo]]
* [[http://xenharmonic.wikispaces.com/Andrew+Heathwaite%27s+MOS+Investigations|xenharmonic (microtonal wiki) - Andrew Heathwaite's MOS Investigations]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;strong&amp;gt;MOS&amp;lt;/strong&amp;gt; im musikalischen Kontext bedeutet &amp;amp;quot;Moment of symmetry&amp;amp;quot; (Augenblick der Symmetrie) und steht für eine musikalische &amp;lt;strong&amp;gt;Skala&amp;lt;/strong&amp;gt;, die die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Myhill-Eigenschaft"&amp;gt;Myhill-Eigenschaft&amp;lt;/a&amp;gt; besitzt, die besagt, dass die Grundintervalle der Skala in genau zwei verschiedenen Grössen auftreten (z.B. kleine/große Sekunde, kleine/große Terz etc). Ausnahme sind die Prime und Vielfache der &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (z.B. die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt;), welche nur in einer Größe auftreten. Die herkömmliche diatonische Skala mit 5 Ganz- und 2 Halbtönen kann als Prototyp gesehen werden. Der Begriff wurde von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Erv%20Wilson"&amp;gt;Erv Wilson&amp;lt;/a&amp;gt; im Jahre 1976 erfunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Zur Veranschaulichung der Idee kann man den Prozess der Skalenkreation durch Schichtung von Quinten betrachten, bei der man mit einem Grundton beginnt und sukzessive reine Quinten übereinanderschichtet. Wenn man nun die bei den einzelnen Schritten jeweils entstehenden Skalen vergleicht, stellt man fest, dass deren Intervallschritte in der Regel in mehr als zwei verschiedenen Grössen auftreten - manchmal jedoch in nur zweien. Konkret ist das der Fall nach 4, 6 und 11 Quintenschritten, also bei 5, 7 und 12 Tönen. In diesen Fällen treten auch die übrigen Grundintervalle in maximal zwei Größen auf, was aber nicht immer aus der Eigenschaft folgt, dass man zwei unterschiedlich große Intervallschritte hat. Die entsprechenden Skalen sind die klassische pentatonische, die diatonische sowie die chromatische pythagoräische Skala, also allesamt in der traditionellen Musiktheorie bedeutsam.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Je nach Grösse des Generatorintervalls (bzw. des Verhältnisses Generator-Periode) entstehen MOS-Skalen verschiedener Grösse mit verschiedenen Grössen und Verteilungen der grossen und kleinen Intervalle.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Siehe auch&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/MOS+scales+of+17edo"&amp;gt;xenharmonic (microtonal wiki) - MOS scales of 17edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Andrew+Heathwaite%27s+MOS+Investigations"&amp;gt;xenharmonic (microtonal wiki) - Andrew Heathwaite's MOS Investigations&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-28 16:09:48 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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**MOS** im musikalischen Kontext bedeutet "Moment of symmetry" (Augenblick der Symmetrie) und steht für eine musikalische **Skala**, die die [[Myhill-Eigenschaft]] besitzt, die besagt, dass die Grundintervalle der Skala in genau zwei verschiedenen Grössen auftreten (z.B. kleine/große Sekunde, kleine/große Terz etc). Ausnahme sind die Prime und Vielfache der "Periode" (z.B. die [[Oktave]]), welche nur in einer Größe auftreten. Die herkömmliche diatonische Skala mit 5 Ganz- und 2 Halbtönen kann als Prototyp gesehen werden. Der Begriff wurde von [[Erv Wilson]] im Jahre 1976 erfunden.

Zur Veranschaulichung der Idee kann man den Prozess der Skalenkreation durch Schichtung von Quinten betrachten, bei der man mit einem Grundton beginnt und sukzessive reine Quinten übereinanderschichtet. Wenn man nun die bei den einzelnen Schritten jeweils entstehenden Skalen vergleicht, stellt man fest, dass deren Intervallschritte in der Regel in mehr als zwei verschiedenen Grössen auftreten - manchmal jedoch in nur zweien. Konkret ist das der Fall nach 4, 6 und 11 Quintenschritten, also bei 5, 7 und 12 Tönen. In diesen Fällen treten auch die übrigen Grundintervalle in maximal zwei Größen auf, was aber nicht immer aus der Eigenschaft folgt, dass man zwei unterschiedlich große Intervallschritte hat. Die entsprechenden Skalen sind die klassische pentatonische, die diatonische sowie die chromatische pythagoräische Skala, also allesamt in der traditionellen Musiktheorie bedeutsam.

Diese Skalen bilden also, etwas plakativ gesagt, sozusagen einen "Augenblick der Symmetrie" in einer Reihe von eher "chaotischen" Skalen.

Man kann dieses Konstruktionsprinzip jetzt verallgemeinern:
Gegeben sei ein **Generatorintervall** (im obigen Beispiel die reine Quinte) und ein **Periodenintervall** (typischerweise eine Oktave, oder ein ganzzahliger Bruchteil derselben), und man beginnt bei einem Grundton und kreiert Skalen mittels Übereinanderschichten des Generatorintervalls und das Ganze modulo Periodenintervall betrachtend. Diejenigen der dabei entstehenden Skalen, welche Grundintervalle in nur zwei verschiedenen Grössen aufweisen, nennt man "Moment of Symmetry"- oder eben MOS-Skalen.

Je nach Grösse des Generatorintervalls (bzw. des Verhältnisses Generator-Periode) entstehen MOS-Skalen verschiedener Grösse mit verschiedenen Grössen und Verteilungen der grossen und kleinen Intervalle.

Ob der Generator ein Intervall mit rationalem Frequenzverhältnis ("rein") oder mit irrationalem Frequenzverhältnis ist (z.B. Teil eines gleichstufig temperierten Systems), spielt dabei keine Rolle.

MOS-Skalen sind, wie man schon aus dem Konstruktionsprinzp erkennt, eng mit dem Paradigma der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] verbunden. In der Tat gehören zu jeder regulären Temperatur eine Reihe typischer MOS-Skalen.

=Klassifikation von MOS= 
Eine natürliche Grobklassifikation von MOS ergibt sich aus der Anzahl grosser und kleiner Intervalle, in der Form #L#s. Für die diatonische Skala ergibt das 5L2s, d.h. 5 grosse (Large) und 2 kleine (small) Schritte.

==MOS in gleichstufigen Stimmungssystemen== 
In einem [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystem]] sind alle Intervalle ganzzahlige Vielfache einer kleinsten Einheit, die Variablen L und s können also als ganze Zahlen geschrieben werden. Wenn wir eine MOS-Skala in einer n-stufigen System (n-EDO) haben, von der Form pL qS, ist die gesamte Anzahl Schritte der Skala p*L + q*s und muss natürlich gleich der Anzahl Schritte der Periode (hier der Oktave) sein. Es gilt also

p*L + q*s = n.

Dies ist eine [[http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_diophantische_Gleichung|lineare diophantische Gleichung]]. Für diese gibt es standardisierte Lösungsverfahren, mit denen man alle theoretisch möglichen MOS-Skalen in jedem beliebigen n-[[EDO]] bestimmen kann.

[[image:xenharmonic/17edo_horograms.jpg width="120" link="xenharmonic/17edo_horograms.jpg"]]
[[file:xenharmonic/17edo horograms.pdf]]

Siehe auch
* [[http://xenharmonic.wikispaces.com/MOS+scales+of+17edo|xenharmonic (microtonal wiki) - MOS scales of 17edo]]
* [[http://xenharmonic.wikispaces.com/Andrew+Heathwaite%27s+MOS+Investigations|xenharmonic (microtonal wiki) - Andrew Heathwaite's MOS Investigations]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/MOSScales"&amp;gt;xenharmonic/MOSScales&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;strong&amp;gt;MOS&amp;lt;/strong&amp;gt; im musikalischen Kontext bedeutet &amp;amp;quot;Moment of symmetry&amp;amp;quot; (Augenblick der Symmetrie) und steht für eine musikalische &amp;lt;strong&amp;gt;Skala&amp;lt;/strong&amp;gt;, die die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Myhill-Eigenschaft"&amp;gt;Myhill-Eigenschaft&amp;lt;/a&amp;gt; besitzt, die besagt, dass die Grundintervalle der Skala in genau zwei verschiedenen Grössen auftreten (z.B. kleine/große Sekunde, kleine/große Terz etc). Ausnahme sind die Prime und Vielfache der &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (z.B. die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt;), welche nur in einer Größe auftreten. Die herkömmliche diatonische Skala mit 5 Ganz- und 2 Halbtönen kann als Prototyp gesehen werden. Der Begriff wurde von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Erv%20Wilson"&amp;gt;Erv Wilson&amp;lt;/a&amp;gt; im Jahre 1976 erfunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zur Veranschaulichung der Idee kann man den Prozess der Skalenkreation durch Schichtung von Quinten betrachten, bei der man mit einem Grundton beginnt und sukzessive reine Quinten übereinanderschichtet. Wenn man nun die bei den einzelnen Schritten jeweils entstehenden Skalen vergleicht, stellt man fest, dass deren Intervallschritte in der Regel in mehr als zwei verschiedenen Grössen auftreten - manchmal jedoch in nur zweien. Konkret ist das der Fall nach 4, 6 und 11 Quintenschritten, also bei 5, 7 und 12 Tönen. In diesen Fällen treten auch die übrigen Grundintervalle in maximal zwei Größen auf, was aber nicht immer aus der Eigenschaft folgt, dass man zwei unterschiedlich große Intervallschritte hat. Die entsprechenden Skalen sind die klassische pentatonische, die diatonische sowie die chromatische pythagoräische Skala, also allesamt in der traditionellen Musiktheorie bedeutsam.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Diese Skalen bilden also, etwas plakativ gesagt, sozusagen einen &amp;amp;quot;Augenblick der Symmetrie&amp;amp;quot; in einer Reihe von eher &amp;amp;quot;chaotischen&amp;amp;quot; Skalen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Man kann dieses Konstruktionsprinzip jetzt verallgemeinern:&amp;lt;br /&amp;gt;
Gegeben sei ein &amp;lt;strong&amp;gt;Generatorintervall&amp;lt;/strong&amp;gt; (im obigen Beispiel die reine Quinte) und ein &amp;lt;strong&amp;gt;Periodenintervall&amp;lt;/strong&amp;gt; (typischerweise eine Oktave, oder ein ganzzahliger Bruchteil derselben), und man beginnt bei einem Grundton und kreiert Skalen mittels Übereinanderschichten des Generatorintervalls und das Ganze modulo Periodenintervall betrachtend. Diejenigen der dabei entstehenden Skalen, welche Grundintervalle in nur zwei verschiedenen Grössen aufweisen, nennt man &amp;amp;quot;Moment of Symmetry&amp;amp;quot;- oder eben MOS-Skalen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Je nach Grösse des Generatorintervalls (bzw. des Verhältnisses Generator-Periode) entstehen MOS-Skalen verschiedener Grösse mit verschiedenen Grössen und Verteilungen der grossen und kleinen Intervalle.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ob der Generator ein Intervall mit rationalem Frequenzverhältnis (&amp;amp;quot;rein&amp;amp;quot;) oder mit irrationalem Frequenzverhältnis ist (z.B. Teil eines gleichstufig temperierten Systems), spielt dabei keine Rolle.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
MOS-Skalen sind, wie man schon aus dem Konstruktionsprinzp erkennt, eng mit dem Paradigma der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; verbunden. In der Tat gehören zu jeder regulären Temperatur eine Reihe typischer MOS-Skalen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Eine natürliche Grobklassifikation von MOS ergibt sich aus der Anzahl grosser und kleiner Intervalle, in der Form #L#s. Für die diatonische Skala ergibt das 5L2s, d.h. 5 grosse (Large) und 2 kleine (small) Schritte.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
p*L + q*s = n.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Dies ist eine &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_diophantische_Gleichung" rel="nofollow"&amp;gt;lineare diophantische Gleichung&amp;lt;/a&amp;gt;. Für diese gibt es standardisierte Lösungsverfahren, mit denen man alle theoretisch möglichen MOS-Skalen in jedem beliebigen n-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/EDO"&amp;gt;EDO&amp;lt;/a&amp;gt; bestimmen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Siehe auch&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/MOS+scales+of+17edo"&amp;gt;xenharmonic (microtonal wiki) - MOS scales of 17edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Andrew+Heathwaite%27s+MOS+Investigations"&amp;gt;xenharmonic (microtonal wiki) - Andrew Heathwaite's MOS Investigations&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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**MOS** im musikalischen Kontext bedeutet "Moment of symmetry" (Augenblick der Symmetrie) und steht für eine musikalische **Skala**, die die [[Myhill-Eigenschaft]] besitzt, die besagt, dass die Grundintervalle der Skala in genau zwei verschiedenen Grössen auftreten (z.B. kleine/große Sekunde, kleine/große Terz etc). Ausnahme sind die Prime und Vielfache der "Periode" (z.B. die [[Oktave]]), welche nur in einer Größe auftreten. Die herkömmliche diatonische Skala mit 5 Ganz- und 2 Halbtönen kann als Prototyp gesehen werden. Der Begriff wurde von [[Erv Wilson]] im Jahre 1976 erfunden.

Zur Veranschaulichung der Idee kann man den Prozess der Skalenkreation durch Schichtung von Quinten betrachten, bei der man mit einem Grundton beginnt und sukzessive reine Quinten übereinanderschichtet. Wenn man nun die bei den einzelnen Schritten jeweils entstehenden Skalen vergleicht, stellt man fest, dass deren Intervallschritte in der Regel in mehr als zwei verschiedenen Grössen auftreten - manchmal jedoch in nur zweien. Konkret ist das der Fall nach 4, 6 und 11 Quintenschritten, also bei 5, 7 und 12 Tönen. In diesen Fällen treten auch die übrigen Grundintervalle in maximal zwei Größen auf, was aber nicht immer aus der Eigenschaft folgt, dass man zwei unterschiedlich große Intervallschritte hat. Die entsprechenden Skalen sind die klassische pentatonische, die diatonische sowie die chromatische pythagoräische Skala, also allesamt in der traditionellen Musiktheorie bedeutsam.

Diese Skalen bilden also, etwas plakativ gesagt, sozusagen einen "Augenblick der Symmetrie" in einer Reihe von eher "chaotischen" Skalen.

Man kann dieses Konstruktionsprinzip jetzt verallgemeinern:
Gegeben sei ein **Generatorintervall** (im obigen Beispiel die reine Quinte) und ein **Periodenintervall** (typischerweise eine Oktave, oder ein ganzzahliger Bruchteil derselben), und man beginnt bei einem Grundton und kreiert Skalen mittels Übereinanderschichten des Generatorintervalls und das Ganze modulo Periodenintervall betrachtend. Diejenigen der dabei entstehenden Skalen, welche Grundintervalle in nur zwei verschiedenen Grössen aufweisen, nennt man "Moment of Symmetry"- oder eben MOS-Skalen.

Je nach Grösse des Generatorintervalls (bzw. des Verhältnisses Generator-Periode) entstehen MOS-Skalen verschiedener Grösse mit verschiedenen Grössen und Verteilungen der grossen und kleinen Intervalle.

Ob der Generator ein Intervall mit rationalem Frequenzverhältnis ("rein") oder mit irrationalem Frequenzverhältnis ist (z.B. Teil eines gleichstufig temperierten Systems), spielt dabei keine Rolle.

MOS-Skalen sind, wie man schon aus dem Konstruktionsprinzp erkennt, eng mit dem Paradigma der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] verbunden. In der Tat gehören zu jeder regulären Temperatur eine Reihe typischer MOS-Skalen.

=Klassifikation von MOS= 
Eine natürliche Grobklassifikation von MOS ergibt sich aus der Anzahl grosser und kleiner Intervalle, in der Form #L#s. Für die diatonische Skala ergibt das 5L2s, d.h. 5 grosse (Large) und 2 kleine (small) Schritte.

==MOS in gleichstufigen Stimmungssystemen== 
In einem [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystem]] sind alle Intervalle ganzzahlige Vielfache einer kleinsten Einheit, die Variablen L und s können also als ganze Zahlen geschrieben werden. Wenn wir eine MOS-Skala in einer n-stufigen System (n-EDO) haben, von der Form pL qS, ist die gesamte Anzahl Schritte der Skala p*L + q*s und muss natürlich gleich der Anzahl Schritte der Periode (hier der Oktave) sein. Es gilt also

p*L + q*s = n.

Dies ist eine [[http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_diophantische_Gleichung|lineare diophantische Gleichung]]. Für diese gibt es standardisierte Lösungsverfahren, mit denen man alle theoretisch möglichen MOS-Skalen in jedem beliebigen n-[[EDO]] bestimmen kann.

[[image:xenharmonic/17edo_horograms.jpg width="120" link="image:xenharmonic/17edo_horograms.jpg"]]
[[file:xenharmonic/17edo horograms.pdf]]

Siehe auch
* [[http://xenharmonic.wikispaces.com/MOS+scales+of+17edo|xenharmonic (microtonal wiki) - MOS scales of 17edo]]
* [[http://xenharmonic.wikispaces.com/Andrew+Heathwaite%27s+MOS+Investigations|xenharmonic (microtonal wiki) - Andrew Heathwaite's MOS Investigations]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;strong&amp;gt;MOS&amp;lt;/strong&amp;gt; im musikalischen Kontext bedeutet &amp;amp;quot;Moment of symmetry&amp;amp;quot; (Augenblick der Symmetrie) und steht für eine musikalische &amp;lt;strong&amp;gt;Skala&amp;lt;/strong&amp;gt;, die die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Myhill-Eigenschaft"&amp;gt;Myhill-Eigenschaft&amp;lt;/a&amp;gt; besitzt, die besagt, dass die Grundintervalle der Skala in genau zwei verschiedenen Grössen auftreten (z.B. kleine/große Sekunde, kleine/große Terz etc). Ausnahme sind die Prime und Vielfache der &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (z.B. die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt;), welche nur in einer Größe auftreten. Die herkömmliche diatonische Skala mit 5 Ganz- und 2 Halbtönen kann als Prototyp gesehen werden. Der Begriff wurde von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Erv%20Wilson"&amp;gt;Erv Wilson&amp;lt;/a&amp;gt; im Jahre 1976 erfunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Zur Veranschaulichung der Idee kann man den Prozess der Skalenkreation durch Schichtung von Quinten betrachten, bei der man mit einem Grundton beginnt und sukzessive reine Quinten übereinanderschichtet. Wenn man nun die bei den einzelnen Schritten jeweils entstehenden Skalen vergleicht, stellt man fest, dass deren Intervallschritte in der Regel in mehr als zwei verschiedenen Grössen auftreten - manchmal jedoch in nur zweien. Konkret ist das der Fall nach 4, 6 und 11 Quintenschritten, also bei 5, 7 und 12 Tönen. In diesen Fällen treten auch die übrigen Grundintervalle in maximal zwei Größen auf, was aber nicht immer aus der Eigenschaft folgt, dass man zwei unterschiedlich große Intervallschritte hat. Die entsprechenden Skalen sind die klassische pentatonische, die diatonische sowie die chromatische pythagoräische Skala, also allesamt in der traditionellen Musiktheorie bedeutsam.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Diese Skalen bilden also, etwas plakativ gesagt, sozusagen einen &amp;amp;quot;Augenblick der Symmetrie&amp;amp;quot; in einer Reihe von eher &amp;amp;quot;chaotischen&amp;amp;quot; Skalen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man kann dieses Konstruktionsprinzip jetzt verallgemeinern:&amp;lt;br /&amp;gt;
Gegeben sei ein &amp;lt;strong&amp;gt;Generatorintervall&amp;lt;/strong&amp;gt; (im obigen Beispiel die reine Quinte) und ein &amp;lt;strong&amp;gt;Periodenintervall&amp;lt;/strong&amp;gt; (typischerweise eine Oktave, oder ein ganzzahliger Bruchteil derselben), und man beginnt bei einem Grundton und kreiert Skalen mittels Übereinanderschichten des Generatorintervalls und das Ganze modulo Periodenintervall betrachtend. Diejenigen der dabei entstehenden Skalen, welche Grundintervalle in nur zwei verschiedenen Grössen aufweisen, nennt man &amp;amp;quot;Moment of Symmetry&amp;amp;quot;- oder eben MOS-Skalen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Grösse des Generatorintervalls (bzw. des Verhältnisses Generator-Periode) entstehen MOS-Skalen verschiedener Grösse mit verschiedenen Grössen und Verteilungen der grossen und kleinen Intervalle.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ob der Generator ein Intervall mit rationalem Frequenzverhältnis (&amp;amp;quot;rein&amp;amp;quot;) oder mit irrationalem Frequenzverhältnis ist (z.B. Teil eines gleichstufig temperierten Systems), spielt dabei keine Rolle.&amp;lt;br /&amp;gt;
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MOS-Skalen sind, wie man schon aus dem Konstruktionsprinzp erkennt, eng mit dem Paradigma der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; verbunden. In der Tat gehören zu jeder regulären Temperatur eine Reihe typischer MOS-Skalen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Eine natürliche Grobklassifikation von MOS ergibt sich aus der Anzahl grosser und kleiner Intervalle, in der Form #L#s. Für die diatonische Skala ergibt das 5L2s, d.h. 5 grosse (Large) und 2 kleine (small) Schritte.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
p*L + q*s = n.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dies ist eine &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_diophantische_Gleichung" rel="nofollow"&amp;gt;lineare diophantische Gleichung&amp;lt;/a&amp;gt;. Für diese gibt es standardisierte Lösungsverfahren, mit denen man alle theoretisch möglichen MOS-Skalen in jedem beliebigen n-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/EDO"&amp;gt;EDO&amp;lt;/a&amp;gt; bestimmen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Siehe auch&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/MOS+scales+of+17edo"&amp;gt;xenharmonic (microtonal wiki) - MOS scales of 17edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Andrew+Heathwaite%27s+MOS+Investigations"&amp;gt;xenharmonic (microtonal wiki) - Andrew Heathwaite's MOS Investigations&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-28 15:31:02 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;Intro sollte unbedingt straffer sein&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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**MOS** im musikalischen Kontext bedeutet "Moment of symmetry" (Augenblick der Symmetrie) und steht für eine musikalische **Skala**, die die [[Myhill-Eigenschaft]] besitzt, die besagt, dass die Grundintervalle der Skala in genau zwei verschiedenen Grössen auftreten (z.B. kleine/große Sekunde, kleine/große Terz etc). Ausnahme sind die Prime und Vielfache der "Periode" (z.B. die [[Oktave]]), welche nur in einer Größe auftreten. Die herkömmliche diatonische Skala mit 5 Ganz- und 2 Halbtönen kann als Prototyp gesehen werden. Der Begriff wurde von [[Erv Wilson]] im Jahre 1976 erfunden.

Zur Veranschaulichung der Idee kann man den Prozess der Skalenkreation durch Schichtung von Quinten betrachten, bei der man mit einem Grundton beginnt und sukzessive reine Quinten übereinanderschichtet. Wenn man nun die bei den einzelnen Schritten jeweils entstehenden Skalen vergleicht, stellt man fest, dass deren Intervallschritte in der Regel in mehr als zwei verschiedenen Grössen auftreten - manchmal jedoch in nur zweien. Konkret ist das der Fall nach 4, 6 und 11 Quintenschritten, also bei 5, 7 und 12 Tönen. In diesen Fällen treten auch die übrigen Grundintervalle in maximal zwei Größen auf, was aber nicht immer aus der Eigenschaft folgt, dass man zwei unterschiedlich große Intervallschritte hat. Die entsprechenden Skalen sind die klassische pentatonische, die diatonische sowie die chromatische pythagoräische Skala, also allesamt in der traditionellen Musiktheorie bedeutsam.

Diese Skalen bilden also, etwas plakativ gesagt, sozusagen einen "Augenblick der Symmetrie" in einer Reihe von eher "chaotischen" Skalen.

Man kann dieses Konstruktionsprinzip jetzt verallgemeinern:
Gegeben sei ein **Generatorintervall** (im obigen Beispiel die reine Quinte) und ein **Periodenintervall** (typischerweise eine Oktave, oder ein ganzzahliger Bruchteil derselben), und man beginnt bei einem Grundton und kreiert Skalen mittels Übereinanderschichten des Generatorintervalls und das Ganze modulo Periodenintervall betrachtend. Diejenigen der dabei entstehenden Skalen, welche Grundintervalle in nur zwei verschiedenen Grössen aufweisen, nennt man "Moment of Symmetry"- oder eben MOS-Skalen.

Je nach Grösse des Generatorintervalls (bzw. des Verhältnisses Generator-Periode) entstehen MOS-Skalen verschiedener Grösse mit verschiedenen Grössen und Verteilungen der grossen und kleinen Intervalle.

Ob der Generator ein Intervall mit rationalem Frequenzverhältnis ("rein") oder mit irrationalem Frequenzverhältnis ist (z.B. Teil eines gleichstufig temperierten Systems), spielt dabei keine Rolle.

MOS-Skalen sind, wie man schon aus dem Konstruktionsprinzp erkennt, eng mit dem Paradigma der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] verbunden. In der Tat gehören zu jeder regulären Temperatur eine Reihe typischer MOS-Skalen.

=Klassifikation von MOS= 
Eine natürliche Grobklassifikation von MOS ergibt sich aus der Anzahl grosser und kleiner Intervalle, in der Form #L#s. Für die diatonische Skala ergibt das 5L2s, d.h. 5 grosse (Large) und 2 kleine (small) Schritte.

==MOS in gleichstufigen Stimmungssystemen== 
In einem [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystem]] sind alle Intervalle ganzzahlige Vielfache einer kleinsten Einheit, die Variablen L und s können also als ganze Zahlen geschrieben werden. Wenn wir eine MOS-Skala in einer n-stufigen System (n-EDO) haben, von der Form pL qS, ist die gesamte Anzahl Schritte der Skala p*L + q*s und muss natürlich gleich der Anzahl Schritte der Periode (hier der Oktave) sein. Es gilt also

p*L + q*s = n.

Dies ist eine [[http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_diophantische_Gleichung|lineare diophantische Gleichung]]. Für diese gibt es standardisierte Lösungsverfahren, mit denen man alle theoretisch möglichen MOS-Skalen in jedem beliebigen n-[[EDO]] bestimmen kann.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;strong&amp;gt;MOS&amp;lt;/strong&amp;gt; im musikalischen Kontext bedeutet &amp;amp;quot;Moment of symmetry&amp;amp;quot; (Augenblick der Symmetrie) und steht für eine musikalische &amp;lt;strong&amp;gt;Skala&amp;lt;/strong&amp;gt;, die die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Myhill-Eigenschaft"&amp;gt;Myhill-Eigenschaft&amp;lt;/a&amp;gt; besitzt, die besagt, dass die Grundintervalle der Skala in genau zwei verschiedenen Grössen auftreten (z.B. kleine/große Sekunde, kleine/große Terz etc). Ausnahme sind die Prime und Vielfache der &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (z.B. die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt;), welche nur in einer Größe auftreten. Die herkömmliche diatonische Skala mit 5 Ganz- und 2 Halbtönen kann als Prototyp gesehen werden. Der Begriff wurde von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Erv%20Wilson"&amp;gt;Erv Wilson&amp;lt;/a&amp;gt; im Jahre 1976 erfunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zur Veranschaulichung der Idee kann man den Prozess der Skalenkreation durch Schichtung von Quinten betrachten, bei der man mit einem Grundton beginnt und sukzessive reine Quinten übereinanderschichtet. Wenn man nun die bei den einzelnen Schritten jeweils entstehenden Skalen vergleicht, stellt man fest, dass deren Intervallschritte in der Regel in mehr als zwei verschiedenen Grössen auftreten - manchmal jedoch in nur zweien. Konkret ist das der Fall nach 4, 6 und 11 Quintenschritten, also bei 5, 7 und 12 Tönen. In diesen Fällen treten auch die übrigen Grundintervalle in maximal zwei Größen auf, was aber nicht immer aus der Eigenschaft folgt, dass man zwei unterschiedlich große Intervallschritte hat. Die entsprechenden Skalen sind die klassische pentatonische, die diatonische sowie die chromatische pythagoräische Skala, also allesamt in der traditionellen Musiktheorie bedeutsam.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Diese Skalen bilden also, etwas plakativ gesagt, sozusagen einen &amp;amp;quot;Augenblick der Symmetrie&amp;amp;quot; in einer Reihe von eher &amp;amp;quot;chaotischen&amp;amp;quot; Skalen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man kann dieses Konstruktionsprinzip jetzt verallgemeinern:&amp;lt;br /&amp;gt;
Gegeben sei ein &amp;lt;strong&amp;gt;Generatorintervall&amp;lt;/strong&amp;gt; (im obigen Beispiel die reine Quinte) und ein &amp;lt;strong&amp;gt;Periodenintervall&amp;lt;/strong&amp;gt; (typischerweise eine Oktave, oder ein ganzzahliger Bruchteil derselben), und man beginnt bei einem Grundton und kreiert Skalen mittels Übereinanderschichten des Generatorintervalls und das Ganze modulo Periodenintervall betrachtend. Diejenigen der dabei entstehenden Skalen, welche Grundintervalle in nur zwei verschiedenen Grössen aufweisen, nennt man &amp;amp;quot;Moment of Symmetry&amp;amp;quot;- oder eben MOS-Skalen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Je nach Grösse des Generatorintervalls (bzw. des Verhältnisses Generator-Periode) entstehen MOS-Skalen verschiedener Grösse mit verschiedenen Grössen und Verteilungen der grossen und kleinen Intervalle.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ob der Generator ein Intervall mit rationalem Frequenzverhältnis (&amp;amp;quot;rein&amp;amp;quot;) oder mit irrationalem Frequenzverhältnis ist (z.B. Teil eines gleichstufig temperierten Systems), spielt dabei keine Rolle.&amp;lt;br /&amp;gt;
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MOS-Skalen sind, wie man schon aus dem Konstruktionsprinzp erkennt, eng mit dem Paradigma der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; verbunden. In der Tat gehören zu jeder regulären Temperatur eine Reihe typischer MOS-Skalen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Eine natürliche Grobklassifikation von MOS ergibt sich aus der Anzahl grosser und kleiner Intervalle, in der Form #L#s. Für die diatonische Skala ergibt das 5L2s, d.h. 5 grosse (Large) und 2 kleine (small) Schritte.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Klassifikation von MOS-MOS in gleichstufigen Stimmungssystemen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;MOS in gleichstufigen Stimmungssystemen&amp;lt;/h2&amp;gt;
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p*L + q*s = n.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Dies ist eine &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_diophantische_Gleichung" rel="nofollow"&amp;gt;lineare diophantische Gleichung&amp;lt;/a&amp;gt;. Für diese gibt es standardisierte Lösungsverfahren, mit denen man alle theoretisch möglichen MOS-Skalen in jedem beliebigen n-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/EDO"&amp;gt;EDO&amp;lt;/a&amp;gt; bestimmen kann.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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MOS im musikalischen Kontext bedeutet "Moment of symmetry" (Augenblick der Symmetrie) und steht für eine musikalische Skala, die [[Myhills Eigenschaft]] besitzt. Mit anderen Worten: Die Grundintervalle der Skala treten in genau zwei verschiedenen Grössen auf (z.B. kleine/große Sekunde, kleine/große Terz etc). Ausnahme sind die Prime und Vielfache der "Periode" (z.B. die [[Oktave]]), welche nur in einer Größe auftreten. Die herkömmliche diatonische Skala mit 5 Ganz- und 2 Halbtönen kann als Prototyp gesehen werden. Der Begriff wurde von [[Erv Wilson]] im Jahre 1976 erfunden.

Zur Veranschaulichung der Idee kann man den Prozess der Skalenkreation durch Schichtung von Quinten betrachten, bei der man mit einem Grundton beginnt und sukzessive reine Quinten übereinanderschichtet. Wenn man nun die bei den einzelnen Schritten jeweils entstehenden Skalen vergleicht, stellt man fest, dass deren Intervallschritte in der Regel in mehr als zwei verschiedenen Grössen auftreten - manchmal jedoch in nur zweien. Konkret ist das der Fall nach 4, 6 und 11 Quintenschritten, also bei 5, 7 und 12 Tönen. In diesen Fällen treten auch die übrigen Grundintervalle in maximal zwei Größen auf, was aber nicht immer aus der Eigenschaft folgt, dass man zwei unterschiedlich große Intervallschritte hat. Die entsprechenden Skalen sind die klassische pentatonische, die diatonische sowie die chromatische pythagoräische Skala, also allesamt in der traditionellen Musiktheorie bedeutsam.

Diese Skalen bilden also, etwas plakativ gesagt, sozusagen einen "Augenblick der Symmetrie" in einer Reihe von eher "chaotischen" Skalen.

Man kann dieses Konstruktionsprinzip jetzt verallgemeinern:
Gegeben sei ein **Generatorintervall** (im obigen Beispiel die reine Quinte) und ein **Periodenintervall** (typischerweise eine Oktave, oder ein ganzzahliger Bruchteil derselben), und man beginnt bei einem Grundton und kreiert Skalen mittels Übereinanderschichten des Generatorintervalls und das Ganze modulo Periodenintervall betrachtend. Diejenigen der dabei entstehenden Skalen, welche Grundintervalle in nur zwei verschiedenen Grössen aufweisen, nennt man "Moment of Symmetry"- oder eben MOS-Skalen.

Je nach Grösse des Generatorintervalls (bzw. des Verhältnisses Generator-Periode) entstehen MOS-Skalen verschiedener Grösse mit verschiedenen Grössen und Verteilungen der grossen und kleinen Intervalle.

Ob der Generator ein Intervall mit rationalem Frequenzverhältnis ("rein") oder mit irrationalem Frequenzverhältnis ist (z.B. Teil eines gleichstufig temperierten Systems), spielt dabei keine Rolle.

MOS-Skalen sind, wie man schon aus dem Konstruktionsprinzp erkennt, eng mit dem Paradigma der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] verbunden. In der Tat gehören zu jeder regulären Temperatur eine Reihe typischer MOS-Skalen.

=Klassifikation von MOS= 
Eine natürliche Grobklassifikation von MOS ergibt sich aus der Anzahl grosser und kleiner Intervalle, in der Form #L#s. Für die diatonische Skala ergibt das 5L2s, d.h. 5 grosse (Large) und 2 kleine (small) Schritte.

==MOS in gleichstufigen Stimmungssystemen== 
In einem [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystem]] sind alle Intervalle ganzzahlige Vielfache einer kleinsten Einheit, die Variablen L und s können also als ganze Zahlen geschrieben werden. Wenn wir eine MOS-Skala in einer n-stufigen System (n-EDO) haben, von der Form pL qS, ist die gesamte Anzahl Schritte der Skala p*L + q*s und muss natürlich gleich der Anzahl Schritte der Periode (hier der Oktave) sein. Es gilt also

p*L + q*s = n.

Dies ist eine [[http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_diophantische_Gleichung|lineare diophantische Gleichung]]. Für diese gibt es standardisierte Lösungsverfahren, mit denen man alle theoretisch möglichen MOS-Skalen in jedem beliebigen n-[[EDO]] bestimmen kann.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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MOS im musikalischen Kontext bedeutet &amp;amp;quot;Moment of symmetry&amp;amp;quot; (Augenblick der Symmetrie) und steht für eine musikalische Skala, die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Myhills%20Eigenschaft"&amp;gt;Myhills Eigenschaft&amp;lt;/a&amp;gt; besitzt. Mit anderen Worten: Die Grundintervalle der Skala treten in genau zwei verschiedenen Grössen auf (z.B. kleine/große Sekunde, kleine/große Terz etc). Ausnahme sind die Prime und Vielfache der &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (z.B. die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt;), welche nur in einer Größe auftreten. Die herkömmliche diatonische Skala mit 5 Ganz- und 2 Halbtönen kann als Prototyp gesehen werden. Der Begriff wurde von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Erv%20Wilson"&amp;gt;Erv Wilson&amp;lt;/a&amp;gt; im Jahre 1976 erfunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zur Veranschaulichung der Idee kann man den Prozess der Skalenkreation durch Schichtung von Quinten betrachten, bei der man mit einem Grundton beginnt und sukzessive reine Quinten übereinanderschichtet. Wenn man nun die bei den einzelnen Schritten jeweils entstehenden Skalen vergleicht, stellt man fest, dass deren Intervallschritte in der Regel in mehr als zwei verschiedenen Grössen auftreten - manchmal jedoch in nur zweien. Konkret ist das der Fall nach 4, 6 und 11 Quintenschritten, also bei 5, 7 und 12 Tönen. In diesen Fällen treten auch die übrigen Grundintervalle in maximal zwei Größen auf, was aber nicht immer aus der Eigenschaft folgt, dass man zwei unterschiedlich große Intervallschritte hat. Die entsprechenden Skalen sind die klassische pentatonische, die diatonische sowie die chromatische pythagoräische Skala, also allesamt in der traditionellen Musiktheorie bedeutsam.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Diese Skalen bilden also, etwas plakativ gesagt, sozusagen einen &amp;amp;quot;Augenblick der Symmetrie&amp;amp;quot; in einer Reihe von eher &amp;amp;quot;chaotischen&amp;amp;quot; Skalen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man kann dieses Konstruktionsprinzip jetzt verallgemeinern:&amp;lt;br /&amp;gt;
Gegeben sei ein &amp;lt;strong&amp;gt;Generatorintervall&amp;lt;/strong&amp;gt; (im obigen Beispiel die reine Quinte) und ein &amp;lt;strong&amp;gt;Periodenintervall&amp;lt;/strong&amp;gt; (typischerweise eine Oktave, oder ein ganzzahliger Bruchteil derselben), und man beginnt bei einem Grundton und kreiert Skalen mittels Übereinanderschichten des Generatorintervalls und das Ganze modulo Periodenintervall betrachtend. Diejenigen der dabei entstehenden Skalen, welche Grundintervalle in nur zwei verschiedenen Grössen aufweisen, nennt man &amp;amp;quot;Moment of Symmetry&amp;amp;quot;- oder eben MOS-Skalen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Grösse des Generatorintervalls (bzw. des Verhältnisses Generator-Periode) entstehen MOS-Skalen verschiedener Grösse mit verschiedenen Grössen und Verteilungen der grossen und kleinen Intervalle.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ob der Generator ein Intervall mit rationalem Frequenzverhältnis (&amp;amp;quot;rein&amp;amp;quot;) oder mit irrationalem Frequenzverhältnis ist (z.B. Teil eines gleichstufig temperierten Systems), spielt dabei keine Rolle.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
MOS-Skalen sind, wie man schon aus dem Konstruktionsprinzp erkennt, eng mit dem Paradigma der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; verbunden. In der Tat gehören zu jeder regulären Temperatur eine Reihe typischer MOS-Skalen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Klassifikation von MOS"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Klassifikation von MOS&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Eine natürliche Grobklassifikation von MOS ergibt sich aus der Anzahl grosser und kleiner Intervalle, in der Form #L#s. Für die diatonische Skala ergibt das 5L2s, d.h. 5 grosse (Large) und 2 kleine (small) Schritte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 In einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen Tonsystem&amp;lt;/a&amp;gt; sind alle Intervalle ganzzahlige Vielfache einer kleinsten Einheit, die Variablen L und s können also als ganze Zahlen geschrieben werden. Wenn wir eine MOS-Skala in einer n-stufigen System (n-EDO) haben, von der Form pL qS, ist die gesamte Anzahl Schritte der Skala p*L + q*s und muss natürlich gleich der Anzahl Schritte der Periode (hier der Oktave) sein. Es gilt also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
p*L + q*s = n.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dies ist eine &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_diophantische_Gleichung" rel="nofollow"&amp;gt;lineare diophantische Gleichung&amp;lt;/a&amp;gt;. Für diese gibt es standardisierte Lösungsverfahren, mit denen man alle theoretisch möglichen MOS-Skalen in jedem beliebigen n-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/EDO"&amp;gt;EDO&amp;lt;/a&amp;gt; bestimmen kann.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-15 02:54:48 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;431662066&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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MOS im musikalischen Kontext bedeutet "Moment of symmetry" (Augenblick der Symmetrie) und steht für eine musikalische Skala, die [[Myhills Eigenschaft]] besitzt. Mit anderen Worten: Die Grundintervalle der Skala treten in genau zwei verschiedenen Grössen auf (z.B. kleine/große Sekunde, kleine/große Terz etc). Ausnahme sind die Prime und Vielfache der "Periode" (z.B. die [[Oktave]]), welche nur in einer Größe auftreten. Die herkömmliche diatonische Skala mit 5 Ganz- und 2 Halbtönen kann als Prototyp gesehen werden. Der Begriff wurde von [[Erv Wilson]] im Jahre 1976 erfunden.

Zur Veranschaulichung der Idee kann man den Prozess der Skalenkreation durch Schichtung von Quinten betrachten, bei der man mit einem Grundton beginnt und sukzessive reine Quinten übereinanderschichtet. Wenn man nun die bei den einzelnen Schritten jeweils entstehenden Skalen vergleicht, stellt man fest, dass deren Intervallschritte in der Regel in mehr als zwei verschiedenen Grössen auftreten - manchmal jedoch in nur zweien. Konkret ist das der Fall nach 4, 6 und 11 Quintenschritten, also bei 5, 7 und 12 Tönen. In diesen Fällen treten auch die übrigen Grundintervalle in maximal zwei Größen auf, was aber nicht immer aus der Eigenschaft folgt, dass man zwei unterschiedlich große Intervallschritte hat. Die entsprechenden Skalen sind die klassische pentatonische, die diatonische sowie die chromatische pythagoräische Skala, also allesamt in der traditionellen Musiktheorie bedeutsam.

Diese Skalen bilden also, etwas plakativ gesagt, sozusagen einen "Augenblick der Symmetrie" in einer Reihe von eher "chaotischen" Skalen.

Man kann dieses Konstruktionsprinzip jetzt verallgemeinern:
Gegeben sei ein **Generatorintervall** (im obigen Beispiel die reine Quinte) und ein **Periodenintervall** (typischerweise eine Oktave, oder ein ganzzahliger Bruchteil derselben), und man beginnt bei einem Grundton und kreiert Skalen mittels Übereinanderschichten des Generatorintervalls und das Ganze modulo Periodenintervall betrachtend. Diejenigen der dabei entstehenden Skalen, welche Grundintervalle in nur zwei verschiedenen Grössen aufweisen, nennt man "Moment of Symmetry"- oder eben MOS-Skalen.

Je nach Grösse des Generatorintervalls (bzw. des Verhältnisses Generator-Periode) entstehen MOS-Skalen verschiedener Grösse mit verschiedenen Grössen und Verteilungen der grossen und kleinen Intervalle.

Ob der Generator ein Intervall mit rationalem Frequenzverhältnis ("rein") oder mit irrationalem Frequenzverhältnis ist (z.B. Teil eines gleichstufig temperierten Systems), spielt dabei keine Rolle.

MOS-Skalen sind, wie man schon aus dem Konstruktionsprinzp erkennt, eng mit dem Paradigma der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] verbunden. In der Tat gehören zu jeder regulären Temperatur eine Reihe typischer MOS-Skalen.

=Klassifikation von MOS= 
Eine natürliche Grobklassifikation von MOS ergibt sich aus der Anzahl grosser und kleiner Intervalle, in der Form #L#s. Für die diatonische Skala ergibt das 5L2s, d.h. 5 grosse (Large) und 2 kleine (small) Schritte.

==MOS in gleichstufigen Stimmungssystemen== 
In einem [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystem]] sind alle Intervalle ganzzahlige Vielfache einer kleinsten Einheit, die Variablen L und s können also als ganze Zahlen geschrieben werden. Wenn wir eine MOS-Skala in einer n-stufigen System (n-EDO) haben, von der Form pL qS, ist die gesamte Anzahl Schritte der Skala p*L + q*s und muss natürlich gleich der Anzahl Schritte der Periode (hier der Oktave) sein. Es gilt also

p*L + q*s = n.

Dies ist eine [[http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_diophantische_Gleichung|lineare diophantische Gleichung]]. Für diese gibt es standardisierte Lösungsverfahren, mit denen man alle theoretisch möglichen MOS-Skalen in jedem beliebigen n-EDO bestimmen kann.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/MOSScales"&amp;gt;xenharmonic/MOSScales&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
MOS im musikalischen Kontext bedeutet &amp;amp;quot;Moment of symmetry&amp;amp;quot; (Augenblick der Symmetrie) und steht für eine musikalische Skala, die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Myhills%20Eigenschaft"&amp;gt;Myhills Eigenschaft&amp;lt;/a&amp;gt; besitzt. Mit anderen Worten: Die Grundintervalle der Skala treten in genau zwei verschiedenen Grössen auf (z.B. kleine/große Sekunde, kleine/große Terz etc). Ausnahme sind die Prime und Vielfache der &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (z.B. die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt;), welche nur in einer Größe auftreten. Die herkömmliche diatonische Skala mit 5 Ganz- und 2 Halbtönen kann als Prototyp gesehen werden. Der Begriff wurde von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Erv%20Wilson"&amp;gt;Erv Wilson&amp;lt;/a&amp;gt; im Jahre 1976 erfunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zur Veranschaulichung der Idee kann man den Prozess der Skalenkreation durch Schichtung von Quinten betrachten, bei der man mit einem Grundton beginnt und sukzessive reine Quinten übereinanderschichtet. Wenn man nun die bei den einzelnen Schritten jeweils entstehenden Skalen vergleicht, stellt man fest, dass deren Intervallschritte in der Regel in mehr als zwei verschiedenen Grössen auftreten - manchmal jedoch in nur zweien. Konkret ist das der Fall nach 4, 6 und 11 Quintenschritten, also bei 5, 7 und 12 Tönen. In diesen Fällen treten auch die übrigen Grundintervalle in maximal zwei Größen auf, was aber nicht immer aus der Eigenschaft folgt, dass man zwei unterschiedlich große Intervallschritte hat. Die entsprechenden Skalen sind die klassische pentatonische, die diatonische sowie die chromatische pythagoräische Skala, also allesamt in der traditionellen Musiktheorie bedeutsam.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Diese Skalen bilden also, etwas plakativ gesagt, sozusagen einen &amp;amp;quot;Augenblick der Symmetrie&amp;amp;quot; in einer Reihe von eher &amp;amp;quot;chaotischen&amp;amp;quot; Skalen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man kann dieses Konstruktionsprinzip jetzt verallgemeinern:&amp;lt;br /&amp;gt;
Gegeben sei ein &amp;lt;strong&amp;gt;Generatorintervall&amp;lt;/strong&amp;gt; (im obigen Beispiel die reine Quinte) und ein &amp;lt;strong&amp;gt;Periodenintervall&amp;lt;/strong&amp;gt; (typischerweise eine Oktave, oder ein ganzzahliger Bruchteil derselben), und man beginnt bei einem Grundton und kreiert Skalen mittels Übereinanderschichten des Generatorintervalls und das Ganze modulo Periodenintervall betrachtend. Diejenigen der dabei entstehenden Skalen, welche Grundintervalle in nur zwei verschiedenen Grössen aufweisen, nennt man &amp;amp;quot;Moment of Symmetry&amp;amp;quot;- oder eben MOS-Skalen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Grösse des Generatorintervalls (bzw. des Verhältnisses Generator-Periode) entstehen MOS-Skalen verschiedener Grösse mit verschiedenen Grössen und Verteilungen der grossen und kleinen Intervalle.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ob der Generator ein Intervall mit rationalem Frequenzverhältnis (&amp;amp;quot;rein&amp;amp;quot;) oder mit irrationalem Frequenzverhältnis ist (z.B. Teil eines gleichstufig temperierten Systems), spielt dabei keine Rolle.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
MOS-Skalen sind, wie man schon aus dem Konstruktionsprinzp erkennt, eng mit dem Paradigma der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; verbunden. In der Tat gehören zu jeder regulären Temperatur eine Reihe typischer MOS-Skalen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Eine natürliche Grobklassifikation von MOS ergibt sich aus der Anzahl grosser und kleiner Intervalle, in der Form #L#s. Für die diatonische Skala ergibt das 5L2s, d.h. 5 grosse (Large) und 2 kleine (small) Schritte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Klassifikation von MOS-MOS in gleichstufigen Stimmungssystemen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;MOS in gleichstufigen Stimmungssystemen&amp;lt;/h2&amp;gt;
 In einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen Tonsystem&amp;lt;/a&amp;gt; sind alle Intervalle ganzzahlige Vielfache einer kleinsten Einheit, die Variablen L und s können also als ganze Zahlen geschrieben werden. Wenn wir eine MOS-Skala in einer n-stufigen System (n-EDO) haben, von der Form pL qS, ist die gesamte Anzahl Schritte der Skala p*L + q*s und muss natürlich gleich der Anzahl Schritte der Periode (hier der Oktave) sein. Es gilt also&amp;lt;br /&amp;gt;
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p*L + q*s = n.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Dies ist eine &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_diophantische_Gleichung" rel="nofollow"&amp;gt;lineare diophantische Gleichung&amp;lt;/a&amp;gt;. Für diese gibt es standardisierte Lösungsverfahren, mit denen man alle theoretisch möglichen MOS-Skalen in jedem beliebigen n-EDO bestimmen kann.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-15 02:25:23 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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MOS im musikalischen Kontext bedeutet "Moment of symmetry" (Augenblick der Symmetrie) und steht für eine musikalische Skala, die [[Myhills Eigenschaft]] besitzt. Mit anderen Worten: Die Grundintervalle der Skala treten in genau zwei verschiedenen Grössen auf (z.B. kleine/große Sekunde, kleine/große Terz etc). Ausnahme sind die Prime und Vielfache der "Periode" (z.B. die [[Oktave]]), welche nur in einer Größe auftreten. Die herkömmliche diatonische Skala mit 5 Ganz- und 2 Halbtönen kann als Prototyp gesehen werden. Der Begriff wurde von [[Erv Wilson]] im Jahre 1976 erfunden.

Zur Veranschaulichung der Idee kann man den Prozess der Skalenkreation durch Schichtung von Quinten betrachten, bei der man mit einem Grundton beginnt und sukzessive reine Quinten übereinanderschichtet. Wenn man nun die bei den einzelnen Schritten jeweils entstehenden Skalen vergleicht, stellt man fest, dass deren Intervallschritte in der Regel in mehr als zwei verschiedenen Grössen auftreten - manchmal jedoch in nur zweien. Konkret ist das der Fall nach 4, 6 und 11 Quintenschritten, also bei 5, 7 und 12 Tönen. In diesen Fällen treten auch die übrigen Grundintervalle in maximal zwei Größen auf, was aber nicht immer aus der Eigenschaft folgt, dass man zwei unterschiedlich große Intervallschritte hat. Die entsprechenden Skalen sind die klassische pentatonische, die diatonische sowie die chromatische pythagoräische Skala, also allesamt in der traditionellen Musiktheorie bedeutsam.

Diese Skalen bilden also, etwas plakativ gesagt, sozusagen einen "Augenblick der Symmetrie" in einer Reihe von eher "chaotischen" Skalen.

Man kann dieses Konstruktionsprinzip jetzt verallgemeinern:
Gegeben sei ein **Generatorintervall** (im obigen Beispiel die reine Quinte) und ein **Periodenintervall** (typischerweise eine Oktave, oder ein ganzzahliger Bruchteil derselben), und man beginnt bei einem Grundton und kreiert Skalen mittels Übereinanderschichten des Generatorintervalls und das Ganze modulo Periodenintervall betrachtend. Diejenigen der dabei entstehenden Skalen, welche Grundintervalle in nur zwei verschiedenen Grössen aufweisen, nennt man "Moment of Symmetry"- oder eben MOS-Skalen.

Je nach Grösse des Generatorintervalls (bzw. des Verhältnisses Generator-Periode) entstehen MOS-Skalen verschiedener Grösse mit verschiedenen Grössen und Verteilungen der grossen und kleinen Intervalle.

Ob der Generator ein Intervall mit rationalem Frequenzverhältnis ("rein") oder mit irrationalem Frequenzverhältnis ist (z.B. Teil eines gleichstufig temperierten Systems), spielt dabei keine Rolle.

MOS-Skalen sind, wie man schon aus dem Konstrultionsprinzp erkennt, eng mit dem Paradigma der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] verbunden. In der Tat gehören zu jeder regulären Temperatur eine Reihe typischer MOS-Skalen.

=Klassifikation von MOS= 
Eine natürliche Grobklassifikation von MOS ergibt sich aus der Anzahl grosser und kleiner Intervalle, in der Form #L#s. Für die diatonische Skala ergibt das 5L2s, d.h. 5 grosse (Large) und 2 kleine (small) Schritte.

==MOS in gleichstufigen Stimmungssystemen== 
In einem [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystem]] sind alle Intervalle ganzzahlige Vielfache einer kleinsten Einheit, die Variablen L und s können also als ganze Zahlen geschrieben werden. Wenn wir eine MOS-Skala in einer n-stufigen System (n-EDO) haben, von der Form pL qS, ist die gesamte Anzahl Schritte der Skala p*L + q*s und muss natürlich gleich der Anzahl Schritte der Periode (hier der Oktave) sein. Es gilt also

p*L + q*s = n.

Dies ist eine [[http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_diophantische_Gleichung|lineare diophantische Gleichung]]. Für diese gibt es standardisierte Lösungsverfahren, mit denen man alle theoretisch möglichen MOS-Skalen in jedem beliebigen n-EDO bestimmen kann.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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MOS im musikalischen Kontext bedeutet &amp;amp;quot;Moment of symmetry&amp;amp;quot; (Augenblick der Symmetrie) und steht für eine musikalische Skala, die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Myhills%20Eigenschaft"&amp;gt;Myhills Eigenschaft&amp;lt;/a&amp;gt; besitzt. Mit anderen Worten: Die Grundintervalle der Skala treten in genau zwei verschiedenen Grössen auf (z.B. kleine/große Sekunde, kleine/große Terz etc). Ausnahme sind die Prime und Vielfache der &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (z.B. die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt;), welche nur in einer Größe auftreten. Die herkömmliche diatonische Skala mit 5 Ganz- und 2 Halbtönen kann als Prototyp gesehen werden. Der Begriff wurde von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Erv%20Wilson"&amp;gt;Erv Wilson&amp;lt;/a&amp;gt; im Jahre 1976 erfunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Zur Veranschaulichung der Idee kann man den Prozess der Skalenkreation durch Schichtung von Quinten betrachten, bei der man mit einem Grundton beginnt und sukzessive reine Quinten übereinanderschichtet. Wenn man nun die bei den einzelnen Schritten jeweils entstehenden Skalen vergleicht, stellt man fest, dass deren Intervallschritte in der Regel in mehr als zwei verschiedenen Grössen auftreten - manchmal jedoch in nur zweien. Konkret ist das der Fall nach 4, 6 und 11 Quintenschritten, also bei 5, 7 und 12 Tönen. In diesen Fällen treten auch die übrigen Grundintervalle in maximal zwei Größen auf, was aber nicht immer aus der Eigenschaft folgt, dass man zwei unterschiedlich große Intervallschritte hat. Die entsprechenden Skalen sind die klassische pentatonische, die diatonische sowie die chromatische pythagoräische Skala, also allesamt in der traditionellen Musiktheorie bedeutsam.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Diese Skalen bilden also, etwas plakativ gesagt, sozusagen einen &amp;amp;quot;Augenblick der Symmetrie&amp;amp;quot; in einer Reihe von eher &amp;amp;quot;chaotischen&amp;amp;quot; Skalen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man kann dieses Konstruktionsprinzip jetzt verallgemeinern:&amp;lt;br /&amp;gt;
Gegeben sei ein &amp;lt;strong&amp;gt;Generatorintervall&amp;lt;/strong&amp;gt; (im obigen Beispiel die reine Quinte) und ein &amp;lt;strong&amp;gt;Periodenintervall&amp;lt;/strong&amp;gt; (typischerweise eine Oktave, oder ein ganzzahliger Bruchteil derselben), und man beginnt bei einem Grundton und kreiert Skalen mittels Übereinanderschichten des Generatorintervalls und das Ganze modulo Periodenintervall betrachtend. Diejenigen der dabei entstehenden Skalen, welche Grundintervalle in nur zwei verschiedenen Grössen aufweisen, nennt man &amp;amp;quot;Moment of Symmetry&amp;amp;quot;- oder eben MOS-Skalen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Grösse des Generatorintervalls (bzw. des Verhältnisses Generator-Periode) entstehen MOS-Skalen verschiedener Grösse mit verschiedenen Grössen und Verteilungen der grossen und kleinen Intervalle.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ob der Generator ein Intervall mit rationalem Frequenzverhältnis (&amp;amp;quot;rein&amp;amp;quot;) oder mit irrationalem Frequenzverhältnis ist (z.B. Teil eines gleichstufig temperierten Systems), spielt dabei keine Rolle.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
MOS-Skalen sind, wie man schon aus dem Konstrultionsprinzp erkennt, eng mit dem Paradigma der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; verbunden. In der Tat gehören zu jeder regulären Temperatur eine Reihe typischer MOS-Skalen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Klassifikation von MOS"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Klassifikation von MOS&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Eine natürliche Grobklassifikation von MOS ergibt sich aus der Anzahl grosser und kleiner Intervalle, in der Form #L#s. Für die diatonische Skala ergibt das 5L2s, d.h. 5 grosse (Large) und 2 kleine (small) Schritte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Klassifikation von MOS-MOS in gleichstufigen Stimmungssystemen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;MOS in gleichstufigen Stimmungssystemen&amp;lt;/h2&amp;gt;
 In einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen Tonsystem&amp;lt;/a&amp;gt; sind alle Intervalle ganzzahlige Vielfache einer kleinsten Einheit, die Variablen L und s können also als ganze Zahlen geschrieben werden. Wenn wir eine MOS-Skala in einer n-stufigen System (n-EDO) haben, von der Form pL qS, ist die gesamte Anzahl Schritte der Skala p*L + q*s und muss natürlich gleich der Anzahl Schritte der Periode (hier der Oktave) sein. Es gilt also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
p*L + q*s = n.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dies ist eine &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_diophantische_Gleichung" rel="nofollow"&amp;gt;lineare diophantische Gleichung&amp;lt;/a&amp;gt;. Für diese gibt es standardisierte Lösungsverfahren, mit denen man alle theoretisch möglichen MOS-Skalen in jedem beliebigen n-EDO bestimmen kann.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-04-29 03:31:42 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;427242116&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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MOS im musikalischen Kontext bedeutet "Moment of symmetry" (Augenblick der Symmetrie) und steht für eine musikalische Skala, die [[Myhills Eigenschaft]] besitzt. Mit anderen Worten: Die Grundintervalle der Skala treten in genau zwei verschiedenen Grössen auf (z.B. kleine/große Sekunde, kleine/große Terz etc). Ausnahme sind die Prime und Vielfache der "Periode" (z.B. die [[Oktave]]), welche nur in einer Größe auftreten. Die herkömmliche diatonische Skala mit 5 Ganz- und 2 Halbtönen kann als Prototyp gesehen werden. Der Begriff wurde von [[Erv Wilson]] im Jahre 1976 erfunden.

Zur Veranschaulichung der Idee kann man den Prozess der Skalenkreation durch Schichtung von Quinten betrachten, bei der man mit einem Grundton beginnt und sukzessive reine Quinten übereinanderschichtet. Wenn man nun die bei den einzelnen Schritten jeweils entstehenden Skalen vergleicht, stellt man fest, dass deren Intervallschritte in der Regel in mehr als zwei verschiedenen Grössen auftreten - manchmal jedoch in nur zweien. Konkret ist das der Fall nach 4, 6 und 11 Quintenschritten, also bei 5, 7 und 12 Tönen. In diesen Fällen treten auch die übrigen Grundintervalle in maximal zwei Größen auf, was aber nicht immer aus der Eigenschaft folgt, dass man zwei unterschiedlich große Intervallschritte hat. Die entsprechenden Skalen sind die klassische pentatonische, die diatonische sowie die chromatische pythagoräische Skala, also allesamt in der traditionellen Musiktheorie bedeutsam.

Diese Skalen bilden also, etwas plakativ gesagt, sozusagen einen "Augenblick der Symmetrie" in einer Reihe von eher "chaotischen" Skalen.

Man kann dieses Konstruktionsprinzip jetzt verallgemeinern:
Gegeben sei ein **Generatorintervall** (im obigen Beispiel die reine Quinte) und ein **Periodenintervall** (typischerweise eine Oktave, oder ein ganzzahliger Bruchteil derselben), und man beginnt bei einem Grundton und kreiert Skalen mittels Übereinanderschichten des Generatorintervalls und das Ganze modulo Periodenintervall betrachtend. Diejenigen der dabei entstehenden Skalen, welche Grundintervalle in nur zwei verschiedenen Grössen aufweisen, nennt man "Moment of Symmetry"- oder eben MOS-Skalen.
Je nach Grösse des Generatorintervalls (bzw. des Verhältnisses Generator-Periode) entstehen MOS-Skalen verschiedener Grösse mit verschiedenen Grössen und Verteilungen der grossen und kleinen Intervalle.

Ob der Generator ein Intervall mit rationalem Frequenzverhältnis ("rein") oder mit irrationalem Frequenzverhältnis ist (z.B. Teil eines gleichstufig temperierten Systems), spielt dabei keine Rolle.

=Klassifikation von MOS= 
Eine natürliche Grobklassifikation von MOS ergibt sich aus der Anzahl grosser und kleiner Intervalle, in der Form #L#s. Für die diatonische Skala ergibt das 5L2s, d.h. 5 grosse (Large) und 2 kleine (small) Schritte.

==MOS in gleichstufigen Stimmungssystemen== 
In einem [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystem]] sind alle Intervalle ganzzahlige Vielfache einer kleinsten Einheit, die Variablen L und s können also als ganze Zahlen geschrieben werden. Wenn wir eine MOS-Skala in einer n-stufigen System (n-EDO) haben, von der Form pL qS, ist die gesamte Anzahl Schritte der Skala p*L + q*s und muss natürlich gleich der Anzahl Schritte der Periode (hier der Oktave) sein. Es gilt also

p*L + q*s = n.

Dies ist eine [[http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_diophantische_Gleichung|lineare diophantische Gleichung]]. Für diese gibt es standardisierte Lösungsverfahren, mit denen man alle theoretisch möglichen MOS-Skalen in jedem beliebigen n-EDO bestimmen kann.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/MOSScales"&amp;gt;xenharmonic/MOSScales&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
MOS im musikalischen Kontext bedeutet &amp;amp;quot;Moment of symmetry&amp;amp;quot; (Augenblick der Symmetrie) und steht für eine musikalische Skala, die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Myhills%20Eigenschaft"&amp;gt;Myhills Eigenschaft&amp;lt;/a&amp;gt; besitzt. Mit anderen Worten: Die Grundintervalle der Skala treten in genau zwei verschiedenen Grössen auf (z.B. kleine/große Sekunde, kleine/große Terz etc). Ausnahme sind die Prime und Vielfache der &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (z.B. die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt;), welche nur in einer Größe auftreten. Die herkömmliche diatonische Skala mit 5 Ganz- und 2 Halbtönen kann als Prototyp gesehen werden. Der Begriff wurde von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Erv%20Wilson"&amp;gt;Erv Wilson&amp;lt;/a&amp;gt; im Jahre 1976 erfunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zur Veranschaulichung der Idee kann man den Prozess der Skalenkreation durch Schichtung von Quinten betrachten, bei der man mit einem Grundton beginnt und sukzessive reine Quinten übereinanderschichtet. Wenn man nun die bei den einzelnen Schritten jeweils entstehenden Skalen vergleicht, stellt man fest, dass deren Intervallschritte in der Regel in mehr als zwei verschiedenen Grössen auftreten - manchmal jedoch in nur zweien. Konkret ist das der Fall nach 4, 6 und 11 Quintenschritten, also bei 5, 7 und 12 Tönen. In diesen Fällen treten auch die übrigen Grundintervalle in maximal zwei Größen auf, was aber nicht immer aus der Eigenschaft folgt, dass man zwei unterschiedlich große Intervallschritte hat. Die entsprechenden Skalen sind die klassische pentatonische, die diatonische sowie die chromatische pythagoräische Skala, also allesamt in der traditionellen Musiktheorie bedeutsam.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Diese Skalen bilden also, etwas plakativ gesagt, sozusagen einen &amp;amp;quot;Augenblick der Symmetrie&amp;amp;quot; in einer Reihe von eher &amp;amp;quot;chaotischen&amp;amp;quot; Skalen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man kann dieses Konstruktionsprinzip jetzt verallgemeinern:&amp;lt;br /&amp;gt;
Gegeben sei ein &amp;lt;strong&amp;gt;Generatorintervall&amp;lt;/strong&amp;gt; (im obigen Beispiel die reine Quinte) und ein &amp;lt;strong&amp;gt;Periodenintervall&amp;lt;/strong&amp;gt; (typischerweise eine Oktave, oder ein ganzzahliger Bruchteil derselben), und man beginnt bei einem Grundton und kreiert Skalen mittels Übereinanderschichten des Generatorintervalls und das Ganze modulo Periodenintervall betrachtend. Diejenigen der dabei entstehenden Skalen, welche Grundintervalle in nur zwei verschiedenen Grössen aufweisen, nennt man &amp;amp;quot;Moment of Symmetry&amp;amp;quot;- oder eben MOS-Skalen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Grösse des Generatorintervalls (bzw. des Verhältnisses Generator-Periode) entstehen MOS-Skalen verschiedener Grösse mit verschiedenen Grössen und Verteilungen der grossen und kleinen Intervalle.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ob der Generator ein Intervall mit rationalem Frequenzverhältnis (&amp;amp;quot;rein&amp;amp;quot;) oder mit irrationalem Frequenzverhältnis ist (z.B. Teil eines gleichstufig temperierten Systems), spielt dabei keine Rolle.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Eine natürliche Grobklassifikation von MOS ergibt sich aus der Anzahl grosser und kleiner Intervalle, in der Form #L#s. Für die diatonische Skala ergibt das 5L2s, d.h. 5 grosse (Large) und 2 kleine (small) Schritte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Klassifikation von MOS-MOS in gleichstufigen Stimmungssystemen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;MOS in gleichstufigen Stimmungssystemen&amp;lt;/h2&amp;gt;
 In einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen Tonsystem&amp;lt;/a&amp;gt; sind alle Intervalle ganzzahlige Vielfache einer kleinsten Einheit, die Variablen L und s können also als ganze Zahlen geschrieben werden. Wenn wir eine MOS-Skala in einer n-stufigen System (n-EDO) haben, von der Form pL qS, ist die gesamte Anzahl Schritte der Skala p*L + q*s und muss natürlich gleich der Anzahl Schritte der Periode (hier der Oktave) sein. Es gilt also&amp;lt;br /&amp;gt;
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p*L + q*s = n.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Dies ist eine &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_diophantische_Gleichung" rel="nofollow"&amp;gt;lineare diophantische Gleichung&amp;lt;/a&amp;gt;. Für diese gibt es standardisierte Lösungsverfahren, mit denen man alle theoretisch möglichen MOS-Skalen in jedem beliebigen n-EDO bestimmen kann.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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MOS im musikalischen Kontext bedeutet "Moment of symmetry" (Augenblick der Symmetrie) und steht für eine musikalische Skala, die [[Myhills Eigenschaft]] besitzt. Mit anderen Worten: Die Grundintervalle der Skala treten in genau zwei verschiedenen Grössen auf (z.B. kleine/große Sekunde, kleine/große Terz etc). Ausnahme sind die Prime und Vielfache der "Periode" (z.B. die Oktave), welche nur in einer Größe auftreten. Die herkömmliche diatonische Skala mit 5 Ganz- und 2 Halbtönen kann als Prototyp gesehen werden. Der Begriff wurde von [[Erv Wilson]] im Jahre 1976 erfunden.

Zur Veranschaulichung der Idee kann man den Prozess der Skalenkreation durch Schichtung von Quinten betrachten, bei der man mit einem Grundton beginnt und sukzessive reine Quinten übereinanderschichtet. Wenn man nun die bei den einzelnen Schritten jeweils entstehenden Skalen vergleicht, stellt man fest, dass deren Intervallschritte in der Regel in mehr als zwei verschiedenen Grössen auftreten - manchmal jedoch in nur zweien. Konkret ist das der Fall nach 4, 6 und 11 Quintenschritten, also bei 5, 7 und 12 Tönen. In diesen Fällen treten auch die übrigen Grundintervalle in maximal zwei Größen auf, was aber nicht immer aus der Eigenschaft folgt, dass man zwei unterschiedlich große Intervallschritte hat. Die entsprechenden Skalen sind die klassische pentatonische, die diatonische sowie die chromatische pythagoräische Skala, also allesamt in der traditionellen Musiktheorie bedeutsam.

Diese Skalen bilden also, etwas plakativ gesagt, sozusagen einen "Augenblick der Symmetrie" in einer Reihe von eher "chaotischen" Skalen.

Man kann dieses Konstruktionsprinzip jetzt verallgemeinern:
Gegeben sei ein **Generatorintervall** (im obigen Beispiel die reine Quinte) und ein **Periodenintervall** (typischerweise eine Oktave, oder ein ganzzahliger Bruchteil derselben), und man beginnt bei einem Grundton und kreiert Skalen mittels Übereinanderschichten des Generatorintervalls und das Ganze modulo Periodenintervall betrachtend. Diejenigen der dabei entstehenden Skalen, welche Grundintervalle in nur zwei verschiedenen Grössen aufweisen, nennt man "Moment of Symmetry"- oder eben MOS-Skalen.
Je nach Grösse des Generatorintervalls (bzw. des Verhältnisses Generator-Periode) entstehen MOS-Skalen verschiedener Grösse mit verschiedenen Grössen und Verteilungen der grossen und kleinen Intervalle.

Ob der Generator ein Intervall mit rationalem Frequenzverhältnis ("rein") oder mit irrationalem Frequenzverhältnis ist (z.B. Teil eines gleichstufig temperierten Systems), spielt dabei keine Rolle.

=Klassifikation von MOS= 
Eine natürliche Grobklassifikation von MOS ergibt sich aus der Anzahl grosser und kleiner Intervalle, in der Form #L#s. Für die diatonische Skala ergibt das 5L2s, d.h. 5 grosse (Large) und 2 kleine (small) Schritte.

==MOS in gleichstufigen Stimmungssystemen== 
In einem [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystem]] sind alle Intervalle ganzzahlige Vielfache einer kleinsten Einheit, die Variablen L und s können also als ganze Zahlen geschrieben werden. Wenn wir eine MOS-Skala in einer n-stufigen System (n-EDO) haben, von der Form pL qS, ist die gesamte Anzahl Schritte der Skala p*L + q*s und muss natürlich gleich der Anzahl Schritte der Periode (hier der Oktave) sein. Es gilt also

p*L + q*s = n.

Dies ist eine [[http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_diophantische_Gleichung|lineare diophantische Gleichung]]. Für diese gibt es standardisierte Lösungsverfahren, mit denen man alle theoretisch möglichen MOS-Skalen in jedem beliebigen n-EDO bestimmen kann.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/MOSScales"&amp;gt;xenharmonic/MOSScales&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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MOS im musikalischen Kontext bedeutet &amp;amp;quot;Moment of symmetry&amp;amp;quot; (Augenblick der Symmetrie) und steht für eine musikalische Skala, die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Myhills%20Eigenschaft"&amp;gt;Myhills Eigenschaft&amp;lt;/a&amp;gt; besitzt. Mit anderen Worten: Die Grundintervalle der Skala treten in genau zwei verschiedenen Grössen auf (z.B. kleine/große Sekunde, kleine/große Terz etc). Ausnahme sind die Prime und Vielfache der &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (z.B. die Oktave), welche nur in einer Größe auftreten. Die herkömmliche diatonische Skala mit 5 Ganz- und 2 Halbtönen kann als Prototyp gesehen werden. Der Begriff wurde von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Erv%20Wilson"&amp;gt;Erv Wilson&amp;lt;/a&amp;gt; im Jahre 1976 erfunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Zur Veranschaulichung der Idee kann man den Prozess der Skalenkreation durch Schichtung von Quinten betrachten, bei der man mit einem Grundton beginnt und sukzessive reine Quinten übereinanderschichtet. Wenn man nun die bei den einzelnen Schritten jeweils entstehenden Skalen vergleicht, stellt man fest, dass deren Intervallschritte in der Regel in mehr als zwei verschiedenen Grössen auftreten - manchmal jedoch in nur zweien. Konkret ist das der Fall nach 4, 6 und 11 Quintenschritten, also bei 5, 7 und 12 Tönen. In diesen Fällen treten auch die übrigen Grundintervalle in maximal zwei Größen auf, was aber nicht immer aus der Eigenschaft folgt, dass man zwei unterschiedlich große Intervallschritte hat. Die entsprechenden Skalen sind die klassische pentatonische, die diatonische sowie die chromatische pythagoräische Skala, also allesamt in der traditionellen Musiktheorie bedeutsam.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Diese Skalen bilden also, etwas plakativ gesagt, sozusagen einen &amp;amp;quot;Augenblick der Symmetrie&amp;amp;quot; in einer Reihe von eher &amp;amp;quot;chaotischen&amp;amp;quot; Skalen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Man kann dieses Konstruktionsprinzip jetzt verallgemeinern:&amp;lt;br /&amp;gt;
Gegeben sei ein &amp;lt;strong&amp;gt;Generatorintervall&amp;lt;/strong&amp;gt; (im obigen Beispiel die reine Quinte) und ein &amp;lt;strong&amp;gt;Periodenintervall&amp;lt;/strong&amp;gt; (typischerweise eine Oktave, oder ein ganzzahliger Bruchteil derselben), und man beginnt bei einem Grundton und kreiert Skalen mittels Übereinanderschichten des Generatorintervalls und das Ganze modulo Periodenintervall betrachtend. Diejenigen der dabei entstehenden Skalen, welche Grundintervalle in nur zwei verschiedenen Grössen aufweisen, nennt man &amp;amp;quot;Moment of Symmetry&amp;amp;quot;- oder eben MOS-Skalen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Grösse des Generatorintervalls (bzw. des Verhältnisses Generator-Periode) entstehen MOS-Skalen verschiedener Grösse mit verschiedenen Grössen und Verteilungen der grossen und kleinen Intervalle.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ob der Generator ein Intervall mit rationalem Frequenzverhältnis (&amp;amp;quot;rein&amp;amp;quot;) oder mit irrationalem Frequenzverhältnis ist (z.B. Teil eines gleichstufig temperierten Systems), spielt dabei keine Rolle.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Klassifikation von MOS"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Klassifikation von MOS&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Eine natürliche Grobklassifikation von MOS ergibt sich aus der Anzahl grosser und kleiner Intervalle, in der Form #L#s. Für die diatonische Skala ergibt das 5L2s, d.h. 5 grosse (Large) und 2 kleine (small) Schritte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Klassifikation von MOS-MOS in gleichstufigen Stimmungssystemen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;MOS in gleichstufigen Stimmungssystemen&amp;lt;/h2&amp;gt;
 In einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen Tonsystem&amp;lt;/a&amp;gt; sind alle Intervalle ganzzahlige Vielfache einer kleinsten Einheit, die Variablen L und s können also als ganze Zahlen geschrieben werden. Wenn wir eine MOS-Skala in einer n-stufigen System (n-EDO) haben, von der Form pL qS, ist die gesamte Anzahl Schritte der Skala p*L + q*s und muss natürlich gleich der Anzahl Schritte der Periode (hier der Oktave) sein. Es gilt also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
p*L + q*s = n.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dies ist eine &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_diophantische_Gleichung" rel="nofollow"&amp;gt;lineare diophantische Gleichung&amp;lt;/a&amp;gt;. Für diese gibt es standardisierte Lösungsverfahren, mit denen man alle theoretisch möglichen MOS-Skalen in jedem beliebigen n-EDO bestimmen kann.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <comment>**Imported revision 426218950 - Original comment: Es gibt Beispiele mit 2 Schrittgrößen, aber mit bestimmten Grundintervallen in mehr als 3 Größen. Zumindest in n-EDO ist das der Fall, wenn man über L=2, s=1 hinausgeht, aber weniger als n-1 Töne…</comment>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:Gedankenwelt|Gedankenwelt]] and made on &lt;tt&gt;2013-04-24 21:37:58 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;426218950&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;Es gibt Beispiele mit 2 Schrittgrößen, aber mit bestimmten Grundintervallen in mehr als 3 Größen. Zumindest in n-EDO ist das der Fall, wenn man über L=2, s=1 hinausgeht, aber weniger als n-1 Töne hat.&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/MOSScales]]

MOS im musikalischen Kontext bedeutet "Moment of symmetry" (Augenblick der Symmetrie) und steht für eine musikalische Skala, die Myhills Eigenschaft besitzt. Mit anderen Worten: Die Grundintervalle der Skala treten in genau zwei verschiedenen Grössen auf (z.B. kleine/große Sekunde, kleine/große Terz etc). Ausnahme sind die Prime und Vielfache der "Periode" (z.B. die Oktave), welche nur in einer Größe auftreten. Die herkömmliche diatonische Skala mit 5 Ganz- und 2 Halbtönen kann als Prototyp gesehen werden. Der Begriff wurde von [[Erv Wilson]] im Jahre 1976 erfunden.

Zur Veranschaulichung der Idee kann man den Prozess der Skalenkreation durch Schichtung von Quinten betrachten, bei der man mit einem Grundton beginnt und sukzessive reine Quinten übereinanderschichtet. Wenn man nun die bei den einzelnen Schritten jeweils entstehenden Skalen vergleicht, stellt man fest, dass deren Intervallschritte in der Regel in mehr als zwei verschiedenen Grössen auftreten - manchmal jedoch in nur zweien. Konkret ist das der Fall nach 4, 6 und 11 Quintenschritten, also bei 5, 7 und 12 Tönen. In diesen Fällen treten auch die übrigen Grundintervalle in maximal zwei Größen auf, was aber nicht immer aus der Eigenschaft folgt, dass man zwei unterschiedlich große Intervallschritte hat. Die entsprechenden Skalen sind die klassische pentatonische, die diatonische sowie die chromatische pythagoräische Skala, also allesamt in der traditionellen Musiktheorie bedeutsam.

Diese Skalen bilden also, etwas plakativ gesagt, sozusagen einen "Augenblick der Symmetrie" in einer Reihe von eher "chaotischen" Skalen.

Man kann dieses Konstruktionsprinzip jetzt verallgemeinern:
Gegeben sei ein **Generatorintervall** (im obigen Beispiel die reine Quinte) und ein **Periodenintervall** (typischerweise eine Oktave, oder ein ganzzahliger Bruchteil derselben), und man beginnt bei einem Grundton und kreiert Skalen mittels Übereinanderschichten des Generatorintervalls und das Ganze modulo Periodenintervall betrachtend. Diejenigen der dabei entstehenden Skalen, welche Grundintervalle in nur zwei verschiedenen Grössen aufweisen, nennt man "Moment of Symmetry"- oder eben MOS-Skalen.
Je nach Grösse des Generatorintervalls (bzw. des Verhältnisses Generator-Periode) entstehen MOS-Skalen verschiedener Grösse mit verschiedenen Grössen und Verteilungen der grossen und kleinen Intervalle.

Ob der Generator ein Intervall mit rationalem Frequenzverhältnis ("rein") oder mit irrationalem Frequenzverhältnis ist (z.B. Teil eines gleichstufig temperierten Systems), spielt dabei keine Rolle.

=Klassifikation von MOS= 
Eine natürliche Grobklassifikation von MOS ergibt sich aus der Anzahl grosser und kleiner Intervalle, in der Form #L#s. Für die diatonische Skala ergibt das 5L2s, d.h. 5 grosse (Large) und 2 kleine (small) Schritte.

==MOS in gleichstufigen Stimmungssystemen== 
In einem [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystem]] sind alle Intervalle ganzzahlige Vielfache einer kleinsten Einheit, die Variablen L und s können also als ganze Zahlen geschrieben werden. Wenn wir eine MOS-Skala in einer n-stufigen System (n-EDO) haben, von der Form pL qS, ist die gesamte Anzahl Schritte der Skala p*L + q*s und muss natürlich gleich der Anzahl Schritte der Periode (hier der Oktave) sein. Es gilt also

p*L + q*s = n.

Dies ist eine [[http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_diophantische_Gleichung|lineare diophantische Gleichung]]. Für diese gibt es standardisierte Lösungsverfahren, mit denen man alle theoretisch möglichen MOS-Skalen in jedem beliebigen n-EDO bestimmen kann.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/MOSScales"&amp;gt;xenharmonic/MOSScales&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
MOS im musikalischen Kontext bedeutet &amp;amp;quot;Moment of symmetry&amp;amp;quot; (Augenblick der Symmetrie) und steht für eine musikalische Skala, die Myhills Eigenschaft besitzt. Mit anderen Worten: Die Grundintervalle der Skala treten in genau zwei verschiedenen Grössen auf (z.B. kleine/große Sekunde, kleine/große Terz etc). Ausnahme sind die Prime und Vielfache der &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (z.B. die Oktave), welche nur in einer Größe auftreten. Die herkömmliche diatonische Skala mit 5 Ganz- und 2 Halbtönen kann als Prototyp gesehen werden. Der Begriff wurde von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Erv%20Wilson"&amp;gt;Erv Wilson&amp;lt;/a&amp;gt; im Jahre 1976 erfunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zur Veranschaulichung der Idee kann man den Prozess der Skalenkreation durch Schichtung von Quinten betrachten, bei der man mit einem Grundton beginnt und sukzessive reine Quinten übereinanderschichtet. Wenn man nun die bei den einzelnen Schritten jeweils entstehenden Skalen vergleicht, stellt man fest, dass deren Intervallschritte in der Regel in mehr als zwei verschiedenen Grössen auftreten - manchmal jedoch in nur zweien. Konkret ist das der Fall nach 4, 6 und 11 Quintenschritten, also bei 5, 7 und 12 Tönen. In diesen Fällen treten auch die übrigen Grundintervalle in maximal zwei Größen auf, was aber nicht immer aus der Eigenschaft folgt, dass man zwei unterschiedlich große Intervallschritte hat. Die entsprechenden Skalen sind die klassische pentatonische, die diatonische sowie die chromatische pythagoräische Skala, also allesamt in der traditionellen Musiktheorie bedeutsam.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Diese Skalen bilden also, etwas plakativ gesagt, sozusagen einen &amp;amp;quot;Augenblick der Symmetrie&amp;amp;quot; in einer Reihe von eher &amp;amp;quot;chaotischen&amp;amp;quot; Skalen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man kann dieses Konstruktionsprinzip jetzt verallgemeinern:&amp;lt;br /&amp;gt;
Gegeben sei ein &amp;lt;strong&amp;gt;Generatorintervall&amp;lt;/strong&amp;gt; (im obigen Beispiel die reine Quinte) und ein &amp;lt;strong&amp;gt;Periodenintervall&amp;lt;/strong&amp;gt; (typischerweise eine Oktave, oder ein ganzzahliger Bruchteil derselben), und man beginnt bei einem Grundton und kreiert Skalen mittels Übereinanderschichten des Generatorintervalls und das Ganze modulo Periodenintervall betrachtend. Diejenigen der dabei entstehenden Skalen, welche Grundintervalle in nur zwei verschiedenen Grössen aufweisen, nennt man &amp;amp;quot;Moment of Symmetry&amp;amp;quot;- oder eben MOS-Skalen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Grösse des Generatorintervalls (bzw. des Verhältnisses Generator-Periode) entstehen MOS-Skalen verschiedener Grösse mit verschiedenen Grössen und Verteilungen der grossen und kleinen Intervalle.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ob der Generator ein Intervall mit rationalem Frequenzverhältnis (&amp;amp;quot;rein&amp;amp;quot;) oder mit irrationalem Frequenzverhältnis ist (z.B. Teil eines gleichstufig temperierten Systems), spielt dabei keine Rolle.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Eine natürliche Grobklassifikation von MOS ergibt sich aus der Anzahl grosser und kleiner Intervalle, in der Form #L#s. Für die diatonische Skala ergibt das 5L2s, d.h. 5 grosse (Large) und 2 kleine (small) Schritte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
p*L + q*s = n.&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-04-24 11:18:32 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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MOS im musikalischen Kontext bedeutet "Moment of symmetry" (Augenblick der Symmetrie) und steht für eine musikalische Skala, deren Grundintervalle nur in zwei verschiedenen Grössen auftreten. Die herkömmliche diatonische Skala mit 5 Ganz- und 2 Halbtönen kann als Prototyp gesehen werden. Der Begriff wurde von [[Erv Wilson]] im Jahre 1976 erfunden.

Zur Veranschaulichung der Idee kann man den Prozess der Skalenkreation durch Schichtung von Quinten betrachten, bei der man mit einem Grundton beginnt und sukzessive reine Quinten übereinanderschichtet. Wenn man nun die bei den einzelnen Schritten jeweils entstehenden Skalen vergleicht, stellt man fest, dass deren Intervallschritte in der Regel in mehr als zwei verschiedenen Grössen auftreten - manchmal jedoch in nur zweien. Konkret ist das der Fall nach 4, 6 und 11 Quintenschritten, die entsprechenden Skalen sind die klassische pentatonische, die diatonische sowie die chromatische pythagoräische Skala, also allesamt in der traditionellen Musiktheorie bedeutsam.

Diese Skalen bilden also, etwas plakativ gesagt, sozusagen einen "Augenblick der Symmetrie" in einer Reihe von eher "chaotischen" Skalen.

Man kann dieses Konstruktionsprinzip jetzt verallgemeinern:
Gegeben sei ein **Generatorintervall** (im obigen Beispiel die reine Quinte) und ein **Periodenintervall** (typischerweise eine Oktave), und man beginnt bei einem Grundton und kreiert Skalen mittels Übereinanderschichten des Generatorintervalls und das Ganze modulo Periodenintervall betrachtend. Diejenigen der dabei entstehenden Skalen, welche Grundschritte in nur zwei verschiedenen Grössen aufweisen, nennt man "Moment of Symmetry"- oder eben MOS-Skalen.
Je nach Grösse des Generatorintervalls (bzw. des Verhältnisses Generator-Periode) entstehen MOS-Skalen verschiedener Grösse mit verschiedenen Grössen und Verteilungen der grossen und kleinen Intervalle.

Ob der Generator ein Intervall mit rationalem Frequenzverhältnis ("rein") oder ein Teil eines gleichstufig temperierten Systems ist, spielt dabei keine Rolle.

=Klassifikation von MOS= 
Eine natürliche Grobklassifikation von MOS ergibt sich aus der Anzahl grosser und kleiner Intervalle, in der Form #L#s. Für die diatonische Skala ergibt das 5L2s, d.h. 5 grosse (Large) und 2 kleine (small) Schritte.

==MOS in gleichstufigen Stimmungssystemen== 
In einem [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystem]] sind alle Intervalle ganzzahlige Vielfache einer kleinsten Einheit, die Variablen L und s können also als ganze Zahlen geschrieben werden. Wenn wir eine MOS-Skala in einer n-stufigen System (n-EDO) haben, von der Form pL qS, ist die gesamte Anzahl Schritte der Skala p*L + q*s und muss natürlich gleich der Anzahl Schritte der Periode (hier der Oktave) sein. Es gilt also

p*L + q*s = n.

Dies ist eine [[http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_diophantische_Gleichung|lineare diophantische Gleichung]]. Für diese gibt es standardisierte Lösungsverfahren, mit denen man alle theoretisch möglichen MOS-Skalen in jedem beliebigen n-EDO bestimmen kann.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
MOS im musikalischen Kontext bedeutet &amp;amp;quot;Moment of symmetry&amp;amp;quot; (Augenblick der Symmetrie) und steht für eine musikalische Skala, deren Grundintervalle nur in zwei verschiedenen Grössen auftreten. Die herkömmliche diatonische Skala mit 5 Ganz- und 2 Halbtönen kann als Prototyp gesehen werden. Der Begriff wurde von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Erv%20Wilson"&amp;gt;Erv Wilson&amp;lt;/a&amp;gt; im Jahre 1976 erfunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Zur Veranschaulichung der Idee kann man den Prozess der Skalenkreation durch Schichtung von Quinten betrachten, bei der man mit einem Grundton beginnt und sukzessive reine Quinten übereinanderschichtet. Wenn man nun die bei den einzelnen Schritten jeweils entstehenden Skalen vergleicht, stellt man fest, dass deren Intervallschritte in der Regel in mehr als zwei verschiedenen Grössen auftreten - manchmal jedoch in nur zweien. Konkret ist das der Fall nach 4, 6 und 11 Quintenschritten, die entsprechenden Skalen sind die klassische pentatonische, die diatonische sowie die chromatische pythagoräische Skala, also allesamt in der traditionellen Musiktheorie bedeutsam.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Diese Skalen bilden also, etwas plakativ gesagt, sozusagen einen &amp;amp;quot;Augenblick der Symmetrie&amp;amp;quot; in einer Reihe von eher &amp;amp;quot;chaotischen&amp;amp;quot; Skalen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man kann dieses Konstruktionsprinzip jetzt verallgemeinern:&amp;lt;br /&amp;gt;
Gegeben sei ein &amp;lt;strong&amp;gt;Generatorintervall&amp;lt;/strong&amp;gt; (im obigen Beispiel die reine Quinte) und ein &amp;lt;strong&amp;gt;Periodenintervall&amp;lt;/strong&amp;gt; (typischerweise eine Oktave), und man beginnt bei einem Grundton und kreiert Skalen mittels Übereinanderschichten des Generatorintervalls und das Ganze modulo Periodenintervall betrachtend. Diejenigen der dabei entstehenden Skalen, welche Grundschritte in nur zwei verschiedenen Grössen aufweisen, nennt man &amp;amp;quot;Moment of Symmetry&amp;amp;quot;- oder eben MOS-Skalen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Grösse des Generatorintervalls (bzw. des Verhältnisses Generator-Periode) entstehen MOS-Skalen verschiedener Grösse mit verschiedenen Grössen und Verteilungen der grossen und kleinen Intervalle.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ob der Generator ein Intervall mit rationalem Frequenzverhältnis (&amp;amp;quot;rein&amp;amp;quot;) oder ein Teil eines gleichstufig temperierten Systems ist, spielt dabei keine Rolle.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Eine natürliche Grobklassifikation von MOS ergibt sich aus der Anzahl grosser und kleiner Intervalle, in der Form #L#s. Für die diatonische Skala ergibt das 5L2s, d.h. 5 grosse (Large) und 2 kleine (small) Schritte.&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-04-24 11:16:48 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;426044208&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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MOS im musikalischen Kontext bedeutet "Moment of symmetry" (Augenblick der Symmetrie) und steht für eine musikalische Skala, deren Grundintervalle nur in zwei verschiedenen Grössen auftreten. Die herkömmliche diatonische Skala mit 5 Ganz- und 2 Halbtönen kann als Prototyp gesehen werden. Der Begriff wurde von [[Erv Wilson]] im Jahre 1976 erfunden.

Zur Veranschaulichung der Idee kann man den Prozess der Skalenkreation durch Schichtung von Quinten betrachten, bei der man mit einem Grundton beginnt und sukzessive reine Quinten übereinanderschichtet. Wenn man nun die bei den einzelnen Schritten jeweils entstehenden Skalen vergleicht, stellt man fest, dass deren Intervallschritte in der Regel in mehr als zwei verschiedenen Grössen auftreten - manchmal jedoch in nur zweien. Konkret ist das der Fall nach 4, 6 und 11 Quintenschritten, die entsprechenden Skalen sind die klassische pentatonische, die diatonische sowie die chromatische pythagoräische Skala, also allesamt in der traditionellen Musiktheorie bedeutsam.

Diese Skalen bilden also, etwas plakativ gesagt, sozusagen einen "Augenblick der Symmetrie" in einer Reihe von eher "chaotischen" Skalen.

Man kann dieses Konstruktionsprinzip jetzt verallgemeinern:
Gegeben sei ein **Generatorintervall** (im obigen Beispiel die reine Quinte) und ein **Periodenintervall** (typischerweise eine Oktave), und man beginnt bei einem Grundton und kreiert Skalen mittels Übereinanderschichten des Generatorintervalls und das Ganze modulo Periodenintervall betrachtend. Diejenigen der dabei entstehenden Skalen, welche Grundschritte in nur zwei verschiedenen Grössen aufweisen, nennt man "Moment of Symmetry"- oder eben MOS-Skalen.
Je nach Grösse des Generatorintervalls (bzw. des Verhältnisses Generator-Periode) entstehen MOS-Skalen verschiedener Grösse mit verschiedenen Grössen und Verteilungen der grossen und kleinen Intervalle.

Ob der Generator ein Intervall mit rationalem Frequenzverhältnis ("rein") oder ein Teil eines gleichstufig temperierten Systems ist, spielt dabei keine Rolle.

=Klassifikation von MOS= 
Eine natürliche Grobklassifikation von MOS ergibt sich aus der Anzahl grosser und kleiner Intervalle, in der Form #L#s. Für die diatonische Skala ergibt das 5L2s, d.h. 5 grosse (Large) und 2 kleine (small) Schritte.

==MOS in gleichstufigen Stimmungssystemen== 
In einem [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystem]] sind alle Intervalle ganzzahlige Vielfache einer kleinsten Einheit, die Variablen L und s können also als ganze Zahlen geschrieben werden. Wenn wir eine MOS-Skala in einem n-stufigen Temperament (n-EDO) haben, von der Form pL qS, ist die gesamte Anzahl Schritte der Skala p*L + q*s und muss natürlich gleich der Anzahl Schritte der Periode (hier der Oktave) sein. Es gilt also

p*L + q*s = n.

Dies ist eine [[http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_diophantische_Gleichung|lineare diophantische Gleichung]]. Für diese gibt es standardisierte Lösungsverfahren, mit denen man alle theoretisch möglichen MOS-Skalen in jedem beliebigen n-EDO bestimmen kann.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/MOSScales"&amp;gt;xenharmonic/MOSScales&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
MOS im musikalischen Kontext bedeutet &amp;amp;quot;Moment of symmetry&amp;amp;quot; (Augenblick der Symmetrie) und steht für eine musikalische Skala, deren Grundintervalle nur in zwei verschiedenen Grössen auftreten. Die herkömmliche diatonische Skala mit 5 Ganz- und 2 Halbtönen kann als Prototyp gesehen werden. Der Begriff wurde von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Erv%20Wilson"&amp;gt;Erv Wilson&amp;lt;/a&amp;gt; im Jahre 1976 erfunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zur Veranschaulichung der Idee kann man den Prozess der Skalenkreation durch Schichtung von Quinten betrachten, bei der man mit einem Grundton beginnt und sukzessive reine Quinten übereinanderschichtet. Wenn man nun die bei den einzelnen Schritten jeweils entstehenden Skalen vergleicht, stellt man fest, dass deren Intervallschritte in der Regel in mehr als zwei verschiedenen Grössen auftreten - manchmal jedoch in nur zweien. Konkret ist das der Fall nach 4, 6 und 11 Quintenschritten, die entsprechenden Skalen sind die klassische pentatonische, die diatonische sowie die chromatische pythagoräische Skala, also allesamt in der traditionellen Musiktheorie bedeutsam.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Diese Skalen bilden also, etwas plakativ gesagt, sozusagen einen &amp;amp;quot;Augenblick der Symmetrie&amp;amp;quot; in einer Reihe von eher &amp;amp;quot;chaotischen&amp;amp;quot; Skalen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man kann dieses Konstruktionsprinzip jetzt verallgemeinern:&amp;lt;br /&amp;gt;
Gegeben sei ein &amp;lt;strong&amp;gt;Generatorintervall&amp;lt;/strong&amp;gt; (im obigen Beispiel die reine Quinte) und ein &amp;lt;strong&amp;gt;Periodenintervall&amp;lt;/strong&amp;gt; (typischerweise eine Oktave), und man beginnt bei einem Grundton und kreiert Skalen mittels Übereinanderschichten des Generatorintervalls und das Ganze modulo Periodenintervall betrachtend. Diejenigen der dabei entstehenden Skalen, welche Grundschritte in nur zwei verschiedenen Grössen aufweisen, nennt man &amp;amp;quot;Moment of Symmetry&amp;amp;quot;- oder eben MOS-Skalen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Grösse des Generatorintervalls (bzw. des Verhältnisses Generator-Periode) entstehen MOS-Skalen verschiedener Grösse mit verschiedenen Grössen und Verteilungen der grossen und kleinen Intervalle.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ob der Generator ein Intervall mit rationalem Frequenzverhältnis (&amp;amp;quot;rein&amp;amp;quot;) oder ein Teil eines gleichstufig temperierten Systems ist, spielt dabei keine Rolle.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Eine natürliche Grobklassifikation von MOS ergibt sich aus der Anzahl grosser und kleiner Intervalle, in der Form #L#s. Für die diatonische Skala ergibt das 5L2s, d.h. 5 grosse (Large) und 2 kleine (small) Schritte.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 In einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen Tonsystem&amp;lt;/a&amp;gt; sind alle Intervalle ganzzahlige Vielfache einer kleinsten Einheit, die Variablen L und s können also als ganze Zahlen geschrieben werden. Wenn wir eine MOS-Skala in einem n-stufigen Temperament (n-EDO) haben, von der Form pL qS, ist die gesamte Anzahl Schritte der Skala p*L + q*s und muss natürlich gleich der Anzahl Schritte der Periode (hier der Oktave) sein. Es gilt also&amp;lt;br /&amp;gt;
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p*L + q*s = n.&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-04-24 11:15:56 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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MOS im musikalischen Kontext bedeutet "Moment of symmetry" (Augenblick der Symmetrie) und steht für eine musikalische Skala, deren Grundintervalle nur in zwei verschiedenen Grössen auftreten. Die herkömmliche diatonische Skala mit 5 Ganz- und 2 Halbtönen kann als Prototyp gesehen werden. Der Begriff wurde von [[Erv Wilson]] im Jahre 1976 erfunden.

Zur Veranschaulichung der Idee kann man den Prozess der Skalenkreation durch Schichtung von Quinten betrachten, bei der man mit einem Grundton beginnt und sukzessive reine Quinten übereinanderschichtet. Wenn man nun die bei den einzelnen Schritten jeweils entstehenden Skalen vergleicht, stellt man fest, dass deren Intervallschritte in der Regel in mehr als zwei verschiedenen Grössen auftreten - manchmal jedoch in nur zweien. Konkret ist das der Fall nach 4, 6 und 11 Quintenschritten, die entsprechenden Skalen sind die klassische pentatonische, die diatonische sowie die chromatische pythagoräische Skala, also allesamt in der traditionellen Musiktheorie bedeutsam.

Diese Skalen bilden also, etwas plakativ gesagt, sozusagen einen "Augenblick der Symmetrie" in einer Reihe von eher "chaotischen" Skalen.

Man kann dieses Konstruktionsprinzip jetzt verallgemeinern:
Gegeben sei ein **Generatorintervall** (im obigen Beispiel die reine Quinte) und ein **Periodenintervall** (typischerweise eine Oktave), und man beginnt bei einem Grundton und kreiert Skalen mittels Übereinanderschichten des Generatorintervalls und das Ganze modulo Periodenintervall betrachtend. Diejenigen der dabei entstehenden Skalen, welche Grundschritte in nur zwei verschiedenen Grössen aufweisen, nennt man "Moment of Symmetry"- oder eben MOS-Skalen.
Je nach Grösse des Generatorintervalls (bzw. des Verhältnisses Generator-Periode) entstehen MOS-Skalen verschiedener Grösse mit verschiedenen Grössen und Verteilungen der grossen und kleinen Intervalle.

Ob der Generator ein Intervall mit rationalem Frequenzverhältnis ("rein") oder ein Teil eines gleichstufigen Tonsystems ist, spielt dabei keine Rolle.

=Klassifikation von MOS= 
Eine natürliche Grobklassifikation von MOS ergibt sich aus der Anzahl grosser und kleiner Intervalle, in der Form #L#s. Für die diatonische Skala ergibt das 5L2s, d.h. 5 grosse (Large) und 2 kleine (small) Schritte.

==MOS in gleichstufigen Stimmungssystemen== 
In einer [[Gleichstufige Stimmungen|gleichstufigen Stimmung]] sind alle Intervalle ganzzahlige Vielfache einer kleinsten Einheit, die Variablen L und s können also als ganze Zahlen geschrieben werden. Wenn wir eine MOS-Skala in einem n-stufigen Temperament (n-EDO) haben, von der Form pL qS, ist die gesamte Anzahl Schritte der Skala p*L + q*s und muss natürlich gleich der Anzahl Schritte der Periode (hier der Oktave) sein. Es gilt also

p*L + q*s = n.

Dies ist eine [[http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_diophantische_Gleichung|lineare diophantische Gleichung]]. Für diese gibt es standardisierte Lösungsverfahren, mit denen man alle theoretisch möglichen MOS-Skalen in jedem beliebigen n-EDO bestimmen kann.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/MOSScales"&amp;gt;xenharmonic/MOSScales&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
MOS im musikalischen Kontext bedeutet &amp;amp;quot;Moment of symmetry&amp;amp;quot; (Augenblick der Symmetrie) und steht für eine musikalische Skala, deren Grundintervalle nur in zwei verschiedenen Grössen auftreten. Die herkömmliche diatonische Skala mit 5 Ganz- und 2 Halbtönen kann als Prototyp gesehen werden. Der Begriff wurde von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Erv%20Wilson"&amp;gt;Erv Wilson&amp;lt;/a&amp;gt; im Jahre 1976 erfunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zur Veranschaulichung der Idee kann man den Prozess der Skalenkreation durch Schichtung von Quinten betrachten, bei der man mit einem Grundton beginnt und sukzessive reine Quinten übereinanderschichtet. Wenn man nun die bei den einzelnen Schritten jeweils entstehenden Skalen vergleicht, stellt man fest, dass deren Intervallschritte in der Regel in mehr als zwei verschiedenen Grössen auftreten - manchmal jedoch in nur zweien. Konkret ist das der Fall nach 4, 6 und 11 Quintenschritten, die entsprechenden Skalen sind die klassische pentatonische, die diatonische sowie die chromatische pythagoräische Skala, also allesamt in der traditionellen Musiktheorie bedeutsam.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Diese Skalen bilden also, etwas plakativ gesagt, sozusagen einen &amp;amp;quot;Augenblick der Symmetrie&amp;amp;quot; in einer Reihe von eher &amp;amp;quot;chaotischen&amp;amp;quot; Skalen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Man kann dieses Konstruktionsprinzip jetzt verallgemeinern:&amp;lt;br /&amp;gt;
Gegeben sei ein &amp;lt;strong&amp;gt;Generatorintervall&amp;lt;/strong&amp;gt; (im obigen Beispiel die reine Quinte) und ein &amp;lt;strong&amp;gt;Periodenintervall&amp;lt;/strong&amp;gt; (typischerweise eine Oktave), und man beginnt bei einem Grundton und kreiert Skalen mittels Übereinanderschichten des Generatorintervalls und das Ganze modulo Periodenintervall betrachtend. Diejenigen der dabei entstehenden Skalen, welche Grundschritte in nur zwei verschiedenen Grössen aufweisen, nennt man &amp;amp;quot;Moment of Symmetry&amp;amp;quot;- oder eben MOS-Skalen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Grösse des Generatorintervalls (bzw. des Verhältnisses Generator-Periode) entstehen MOS-Skalen verschiedener Grösse mit verschiedenen Grössen und Verteilungen der grossen und kleinen Intervalle.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Eine natürliche Grobklassifikation von MOS ergibt sich aus der Anzahl grosser und kleiner Intervalle, in der Form #L#s. Für die diatonische Skala ergibt das 5L2s, d.h. 5 grosse (Large) und 2 kleine (small) Schritte.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
p*L + q*s = n.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dies ist eine &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_diophantische_Gleichung" rel="nofollow"&amp;gt;lineare diophantische Gleichung&amp;lt;/a&amp;gt;. Für diese gibt es standardisierte Lösungsverfahren, mit denen man alle theoretisch möglichen MOS-Skalen in jedem beliebigen n-EDO bestimmen kann.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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MOS im musikalischen Kontext bedeutet "Moment of symmetry" (Augenblick der Symmetrie) und steht für eine musikalische Skala, deren Grundintervalle nur in zwei verschiedenen Grössen auftreten. Die herkömmliche diatonische Skala mit 5 Ganz- und 2 Halbtönen kann als Prototyp gesehen werden. Der Begriff wurde von [[Erv Wilson]] im Jahre 1976 erfunden.

Zur Veranschaulichung der Idee kann man den Prozess der Skalenkreation durch Schichtung von Quinten betrachten, bei der man mit einem Grundton beginnt und sukzessive reine Quinten übereinanderschichtet. Wenn man nun die bei den einzelnen Schritten jeweils entstehenden Skalen vergleicht, stellt man fest, dass deren Intervallschritte in der Regel in mehr als zwei verschiedenen Grössen auftreten - manchmal jedoch in nur zweien. Konkret ist das der Fall nach 4, 6 und 11 Quintenschritten, die entsprechenden Skalen sind die klassische pentatonische, die diatonische sowie die chromatische pythagoräische Skala, also allesamt in der traditionellen Musiktheorie bedeutsam.

Diese Skalen bilden also, etwas plakativ gesagt, sozusagen einen "Augenblick der Symmetrie" in einer Reihe von eher "chaotischen" Skalen.

Man kann dieses Konstruktionsprinzip jetzt verallgemeinern:
Gegeben sei ein **Generatorintervall** (im obigen Beispiel die reine Quinte) und ein **Periodenintervall** (typischerweise eine Oktave), und man beginnt bei einem Grundton und kreiert Skalen mittels Übereinanderschichten des Generatorintervalls und das Ganze modulo Periodenintervall betrachtend. Diejenigen der dabei entstehenden Skalen, welche Grundschritte in nur zwei verschiedenen Grössen aufweisen, nennt man "Moment of Symmetry"- oder eben MOS-Skalen.
Je nach Grösse des Generatorintervalls (bzw. des Verhältnisses Generator-Periode) entstehen MOS-Skalen verschiedener Grösse mit verschiedenen Grössen und Verteilungen der grossen und kleinen Intervalle.

Ob der Generator ein Intervall mit rationalem Frequenzverhältnis ("rein") oder ein Teil eines gleichstufigen Temperaments ist, spielt dabei keine Rolle.

=Klassifikation von MOS= 
Eine natürliche Grobklassifikation von MOS ergibt sich aus der Anzahl grosser und kleiner Intervalle, in der Form #L#s. Für die diatonische Skala ergibt das 5L2s, d.h. 5 grosse (Large) und 2 kleine (small) Schritte.

==MOS in gleichstufigen Stimmungssystemen== 
In einer [[Gleichstufige Stimmungen|gleichstufigen Stimmung]] sind alle Intervalle ganzzahlige Vielfache einer kleinsten Einheit, die Variablen L und s können also als ganze Zahlen geschrieben werden. Wenn wir eine MOS-Skala in einem n-stufigen Temperament (n-EDO) haben, von der Form pL qS, ist die gesamte Anzahl Schritte der Skala p*L + q*s und muss natürlich gleich der Anzahl Schritte der Periode (hier der Oktave) sein. Es gilt also

p*L + q*s = n.

Dies ist eine [[http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_diophantische_Gleichung|lineare diophantische Gleichung]]. Für diese gibt es standardisierte Lösungsverfahren, mit denen man alle theoretisch möglichen MOS-Skalen in jedem beliebigen n-EDO bestimmen kann.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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MOS im musikalischen Kontext bedeutet &amp;amp;quot;Moment of symmetry&amp;amp;quot; (Augenblick der Symmetrie) und steht für eine musikalische Skala, deren Grundintervalle nur in zwei verschiedenen Grössen auftreten. Die herkömmliche diatonische Skala mit 5 Ganz- und 2 Halbtönen kann als Prototyp gesehen werden. Der Begriff wurde von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Erv%20Wilson"&amp;gt;Erv Wilson&amp;lt;/a&amp;gt; im Jahre 1976 erfunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Zur Veranschaulichung der Idee kann man den Prozess der Skalenkreation durch Schichtung von Quinten betrachten, bei der man mit einem Grundton beginnt und sukzessive reine Quinten übereinanderschichtet. Wenn man nun die bei den einzelnen Schritten jeweils entstehenden Skalen vergleicht, stellt man fest, dass deren Intervallschritte in der Regel in mehr als zwei verschiedenen Grössen auftreten - manchmal jedoch in nur zweien. Konkret ist das der Fall nach 4, 6 und 11 Quintenschritten, die entsprechenden Skalen sind die klassische pentatonische, die diatonische sowie die chromatische pythagoräische Skala, also allesamt in der traditionellen Musiktheorie bedeutsam.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Je nach Grösse des Generatorintervalls (bzw. des Verhältnisses Generator-Periode) entstehen MOS-Skalen verschiedener Grösse mit verschiedenen Grössen und Verteilungen der grossen und kleinen Intervalle.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ob der Generator ein Intervall mit rationalem Frequenzverhältnis (&amp;amp;quot;rein&amp;amp;quot;) oder ein Teil eines gleichstufigen Temperaments ist, spielt dabei keine Rolle.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Eine natürliche Grobklassifikation von MOS ergibt sich aus der Anzahl grosser und kleiner Intervalle, in der Form #L#s. Für die diatonische Skala ergibt das 5L2s, d.h. 5 grosse (Large) und 2 kleine (small) Schritte.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 In einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Stimmungen"&amp;gt;gleichstufigen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; sind alle Intervalle ganzzahlige Vielfache einer kleinsten Einheit, die Variablen L und s können also als ganze Zahlen geschrieben werden. Wenn wir eine MOS-Skala in einem n-stufigen Temperament (n-EDO) haben, von der Form pL qS, ist die gesamte Anzahl Schritte der Skala p*L + q*s und muss natürlich gleich der Anzahl Schritte der Periode (hier der Oktave) sein. Es gilt also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
p*L + q*s = n.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dies ist eine &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_diophantische_Gleichung" rel="nofollow"&amp;gt;lineare diophantische Gleichung&amp;lt;/a&amp;gt;. Für diese gibt es standardisierte Lösungsverfahren, mit denen man alle theoretisch möglichen MOS-Skalen in jedem beliebigen n-EDO bestimmen kann.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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MOS im musikalischen Kontext bedeutet "Moment of symmetry" (Augenblick der Symmetrie) und steht für eine musikalische Skala, deren Grundintervalle nur in zwei verschiedenen Grössen auftreten. Die herkömmliche diatonische Skala mit 5 Ganz- und 2 Halbtönen kann als Prototyp gesehen werden. Der Begriff wurde von [[Erv Wilson]] im Jahre 1976 erfunden.

Zur Veranschaulichung der Idee kann man den Prozess der Skalenkreation durch Schichtung von Quinten betrachten, bei der man mit einem Grundton beginnt und sukzessive reine Quinten übereinanderschichtet. Wenn man nun die bei den einzelnen Schritten jeweils entstehenden Skalen vergleicht, stellt man fest, dass deren Intervallschritte in der Regel in mehr als zwei verschiedenen Grössen auftreten - manchmal jedoch in nur zweien. Konkret ist das der Fall nach 4, 6 und 11 Quintenschritten, die entsprechenden Skalen sind die klassische pentatonische, die diatonische sowie die chromatische pythagoräische Skala, also allesamt in der traditionellen Musiktheorie bedeutsam.

Diese Skalen bilden also, etwas plakativ gesagt, sozusagen einen "Augenblick der Symmetrie" in einer Reihe von eher "chaotischen" Skalen.

Man kann dieses Konstruktionsprinzip jetzt verallgemeinern:
Gegeben sei ein **Generatorintervall** (im obigen Beispiel die reine Quinte) und ein **Periodenintervall** (typischerweise eine Oktave), und man beginnt bei einem Grundton und kreiert Skalen mittels Übereinanderschichten des Generatorintervalls und das Ganze modulo Periodenintervall betrachtend. Diejenigen der dabei entstehenden Skalen, welche Grundschritte in nur zwei verschiedenen Grössen aufweisen, nennt man "Moment of Symmetry"- oder eben MOS-Skalen.
Je nach Grösse des Generatorintervalls (bzw. des Verhältnisses Generator-Periode) entstehen MOS-Skalen verschiedener Grösse mit verschiedenen Grössen und Verteilungen der grossen und kleinen Intervalle.

Ob der Generator ein Intervall mit rationalem Frequenzverhältnis ("rein") oder ein Teil eines gleichstufigen Temperaments ist, spielt dabei keine Rolle.

=Klassifikation von MOS= 
Eine natürliche Grobklassifikation von MOS ergibt sich aus der Anzahl grosser und kleiner Intervalle, in der Form #L#s. Für die diatonische Skala ergibt das 5L2s, d.h. 5 grosse (Large) und 2 kleine (small) Schritte.

==MOS in gleichstufigen Temperamenten== 
In einem [[edo|gleichstufigen Temperament]] sind alle Intervalle ganzzahlige Vielfache einer kleinsten Einheit, die Variablen L und s können also als ganze Zahlen geschrieben werden. Wenn wir eine MOS-Skala in einem n-stufigen Temperament (n-EDO) haben, von der Form pL qS, ist die gesamte Anzahl Schritte der Skala p*L + q*s und muss natürlich gleich der Anzahl Schritte der Periode (hier der Oktave) sein. Es gilt also

p*L + q*s = n.

Dies ist eine [[http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_diophantische_Gleichung|lineare diophantische Gleichung]]. Für diese gibt es standardisierte Lösungsverfahren, mit denen man alle theoretisch möglichen MOS-Skalen in jedem beliebigen n-EDO bestimmen kann.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
MOS im musikalischen Kontext bedeutet &amp;amp;quot;Moment of symmetry&amp;amp;quot; (Augenblick der Symmetrie) und steht für eine musikalische Skala, deren Grundintervalle nur in zwei verschiedenen Grössen auftreten. Die herkömmliche diatonische Skala mit 5 Ganz- und 2 Halbtönen kann als Prototyp gesehen werden. Der Begriff wurde von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Erv%20Wilson"&amp;gt;Erv Wilson&amp;lt;/a&amp;gt; im Jahre 1976 erfunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zur Veranschaulichung der Idee kann man den Prozess der Skalenkreation durch Schichtung von Quinten betrachten, bei der man mit einem Grundton beginnt und sukzessive reine Quinten übereinanderschichtet. Wenn man nun die bei den einzelnen Schritten jeweils entstehenden Skalen vergleicht, stellt man fest, dass deren Intervallschritte in der Regel in mehr als zwei verschiedenen Grössen auftreten - manchmal jedoch in nur zweien. Konkret ist das der Fall nach 4, 6 und 11 Quintenschritten, die entsprechenden Skalen sind die klassische pentatonische, die diatonische sowie die chromatische pythagoräische Skala, also allesamt in der traditionellen Musiktheorie bedeutsam.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Diese Skalen bilden also, etwas plakativ gesagt, sozusagen einen &amp;amp;quot;Augenblick der Symmetrie&amp;amp;quot; in einer Reihe von eher &amp;amp;quot;chaotischen&amp;amp;quot; Skalen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man kann dieses Konstruktionsprinzip jetzt verallgemeinern:&amp;lt;br /&amp;gt;
Gegeben sei ein &amp;lt;strong&amp;gt;Generatorintervall&amp;lt;/strong&amp;gt; (im obigen Beispiel die reine Quinte) und ein &amp;lt;strong&amp;gt;Periodenintervall&amp;lt;/strong&amp;gt; (typischerweise eine Oktave), und man beginnt bei einem Grundton und kreiert Skalen mittels Übereinanderschichten des Generatorintervalls und das Ganze modulo Periodenintervall betrachtend. Diejenigen der dabei entstehenden Skalen, welche Grundschritte in nur zwei verschiedenen Grössen aufweisen, nennt man &amp;amp;quot;Moment of Symmetry&amp;amp;quot;- oder eben MOS-Skalen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Grösse des Generatorintervalls (bzw. des Verhältnisses Generator-Periode) entstehen MOS-Skalen verschiedener Grösse mit verschiedenen Grössen und Verteilungen der grossen und kleinen Intervalle.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ob der Generator ein Intervall mit rationalem Frequenzverhältnis (&amp;amp;quot;rein&amp;amp;quot;) oder ein Teil eines gleichstufigen Temperaments ist, spielt dabei keine Rolle.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Eine natürliche Grobklassifikation von MOS ergibt sich aus der Anzahl grosser und kleiner Intervalle, in der Form #L#s. Für die diatonische Skala ergibt das 5L2s, d.h. 5 grosse (Large) und 2 kleine (small) Schritte.&amp;lt;br /&amp;gt;
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p*L + q*s = n.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Dies ist eine &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_diophantische_Gleichung" rel="nofollow"&amp;gt;lineare diophantische Gleichung&amp;lt;/a&amp;gt;. Für diese gibt es standardisierte Lösungsverfahren, mit denen man alle theoretisch möglichen MOS-Skalen in jedem beliebigen n-EDO bestimmen kann.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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MOS im musikalischen Kontext bedeutet "Moment of symmetry" (Augenblick der Symmetrie) und steht für eine musikalische Skala, deren Grundintervalle nur in zwei verschiedenen Grössen auftreten. Die herkömmliche diatonische Skala mit 5 Ganz- und 2 Halbtönen kann als Prototyp gesehen werden. Der Begriff wurde von [[Erv Wilson]] im Jahre 1976 erfunden.

Zur Veranschaulichung der Idee kann man den Prozess der Skalenkreation durch Schichtung von Quinten betrachten, bei der man mit einem Grundton beginnt und sukzessive reine Quinten übereinanderschichtet. Wenn man nun die bei den einzelnen Schritten jeweils entstehenden Skalen vergleicht, stellt man fest, dass deren Intervallschritte in der Regel in mehr als zwei verschiedenen Grössen auftreten - manchmal jedoch in nur zweien. Konkret ist das der Fall nach 4, 6 und 11 Quintenschritten, die entsprechenden Skalen sind die klassische pentatonische, die diatonische sowie die chromatische pythagoräische Skala, also allesamt in der traditionellen Musiktheorie bedeutsam.

Diese Skalen bilden also, etwas plakativ gesagt, sozusagen einen "Augenblick der Symmetrie" in einer Reihe von eher "chaotischen" Skalen.

Man kann dieses Konstruktionsprinzip jetzt verallgemeinern:
Gegeben sei ein **Generatorintervall** (im obigen Beispiel die reine Quinte) und ein **Periodenintervall** (typischerweise eine Oktave), und man beginnt bei einem Grundton und kreiert Skalen mittels Übereinanderschichten des Generatorintervalls und das Ganze modulo Periodenintervall betrachtend. Diejenigen der dabei entstehenden Skalen, welche Grundschritte in nur zwei verschiedenen Grössen aufweisen, nennt man "Moment of Symmetry"- oder eben MOS-Skalen.
Je nach Grösse des Generatorintervalls (bzw. des Verhältnisses Generator-Periode) entstehen MOS-Skalen verschiedener Grösse mit verschiedenen Grössen und Verteilungen der grossen und kleinen Intervalle.

Ob der Generator ein Intervall mit rationalem Frequenzverhältnis ("rein") oder ein Teil eines gleichstufigen Temperaments ist, spielt dabei keine Rolle.

=Klassifikation von MOS= 
Eine natürliche Grobklassifikation von MOS ergibt sich aus der Anzahl grosser und kleiner Intervalle, in der Form #L#s. Für die diatonische Skala ergibt das 5L2s, d.h. 5 grosse (Large) und 2 kleine (small) Schritte.

==MOS in gleichstufigen Temperamenten== 
In einem [[edo|gleichstufigen Temperament]] sind alle Intervalle ganzzahlige Vielfache einer kleinsten Einheit, die Variablen L und s können also als ganze Zahlen geschrieben werden. Wenn wir eine MOS-Skala in einem n-stufigen Temperament (n-EDO) haben, von der Form pLqS, ist die gesamte Anzahl Schritte der Skala p*L + q*s und muss natürlich gleich der Anzahl Schritte der Oktave sein. Es gilt also

p*L + q*s = n.

Dies ist eine [[http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_diophantische_Gleichung|lineare diophantische Gleichung]]. Für diese gibt es standardisierte Lösungsverfahren, mit denen man alle theoretisch möglichen MOS-Skalen in jedem beliebigen N-EDO bestimmen kann.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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MOS im musikalischen Kontext bedeutet &amp;amp;quot;Moment of symmetry&amp;amp;quot; (Augenblick der Symmetrie) und steht für eine musikalische Skala, deren Grundintervalle nur in zwei verschiedenen Grössen auftreten. Die herkömmliche diatonische Skala mit 5 Ganz- und 2 Halbtönen kann als Prototyp gesehen werden. Der Begriff wurde von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Erv%20Wilson"&amp;gt;Erv Wilson&amp;lt;/a&amp;gt; im Jahre 1976 erfunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Zur Veranschaulichung der Idee kann man den Prozess der Skalenkreation durch Schichtung von Quinten betrachten, bei der man mit einem Grundton beginnt und sukzessive reine Quinten übereinanderschichtet. Wenn man nun die bei den einzelnen Schritten jeweils entstehenden Skalen vergleicht, stellt man fest, dass deren Intervallschritte in der Regel in mehr als zwei verschiedenen Grössen auftreten - manchmal jedoch in nur zweien. Konkret ist das der Fall nach 4, 6 und 11 Quintenschritten, die entsprechenden Skalen sind die klassische pentatonische, die diatonische sowie die chromatische pythagoräische Skala, also allesamt in der traditionellen Musiktheorie bedeutsam.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Diese Skalen bilden also, etwas plakativ gesagt, sozusagen einen &amp;amp;quot;Augenblick der Symmetrie&amp;amp;quot; in einer Reihe von eher &amp;amp;quot;chaotischen&amp;amp;quot; Skalen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Man kann dieses Konstruktionsprinzip jetzt verallgemeinern:&amp;lt;br /&amp;gt;
Gegeben sei ein &amp;lt;strong&amp;gt;Generatorintervall&amp;lt;/strong&amp;gt; (im obigen Beispiel die reine Quinte) und ein &amp;lt;strong&amp;gt;Periodenintervall&amp;lt;/strong&amp;gt; (typischerweise eine Oktave), und man beginnt bei einem Grundton und kreiert Skalen mittels Übereinanderschichten des Generatorintervalls und das Ganze modulo Periodenintervall betrachtend. Diejenigen der dabei entstehenden Skalen, welche Grundschritte in nur zwei verschiedenen Grössen aufweisen, nennt man &amp;amp;quot;Moment of Symmetry&amp;amp;quot;- oder eben MOS-Skalen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Grösse des Generatorintervalls (bzw. des Verhältnisses Generator-Periode) entstehen MOS-Skalen verschiedener Grösse mit verschiedenen Grössen und Verteilungen der grossen und kleinen Intervalle.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ob der Generator ein Intervall mit rationalem Frequenzverhältnis (&amp;amp;quot;rein&amp;amp;quot;) oder ein Teil eines gleichstufigen Temperaments ist, spielt dabei keine Rolle.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Eine natürliche Grobklassifikation von MOS ergibt sich aus der Anzahl grosser und kleiner Intervalle, in der Form #L#s. Für die diatonische Skala ergibt das 5L2s, d.h. 5 grosse (Large) und 2 kleine (small) Schritte.&amp;lt;br /&amp;gt;
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p*L + q*s = n.&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-04-22 07:09:09 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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MOS im musikalischen Kontext bedeutet "Moment of symmetry" (Augenblick der Symmetrie) und steht für eine musikalische Skala, deren Grundintervalle nur in zwei verschiedenen Grössen auftreten. Die herkömmliche diatonische Skala mit 5 Ganz- und 2 Halbtönen kann als Prototyp gesehen werden. Der Begriff wurde von [[Erv Wilson]] im Jahre 1976 erfunden.

Zur Veranschaulichung der Idee kann man den Prozess der Skalenkreation durch Schichtung von Quinten betrachten, bei der man mit einem Grundton beginnt und sukzessive reine Quinten übereinanderschichtet. Wenn man nun die bei den einzelnen Schritten jeweils entstehenden Skalen vergleicht, stellt man fest, dass deren Intervallschritte in der Regel in mehr als zwei verschiedenen Grössen auftreten - manchmal jedoch in nur zweien. Konkret ist das der Fall nach 4, 6 und 11 Quintenschritten, die entsprechenden Skalen sind die klassische pentatonische, die diatonische sowie die chromatische pythagoräische Skala, also allesamt in der traditionellen Musiktheorie bedeutsam.

Diese Skalen bilden also, etwas plakativ gesagt, sozusagen einen "Augenblick der Symmetrie" in einer Reihe von eher "chaotischen" Skalen.

Man kann dieses Konstruktionsprinzip jetzt verallgemeinern:
Gegeben sei ein **Generatorintervall** (im obigen Beispiel die reine Quinte) und ein **Periodenintervall** (typischerweise eine Oktave), und man beginnt bei einem Grundton und kreiert Skalen mittels Übereinanderschichten des Generatorintervalls und das Ganze modulo Periodenintervall betrachtend. Diejenigen der dabei entstehenden Skalen, welche Grundschritte in nur zwei verschiedenen Grössen aufweisen, nennt man "Moment of Symmetry"- oder eben MOS-Skalen.
Je nach Grösse des Generatorintervalls (bzw. des Verhältnisses Generator-Periode) entstehen MOS-Skalen verschiedener Grösse mit verschiedenen Grössen und Verteilungen der grossen und kleinen Intervalle.

Ob der Generator ein Intervall mit rationalem Frequenzverhältnis ("rein") oder ein teil eines gleichsufigen Temepraments ist, spielt dabei keine Rolle.

XXX zu machen: Verbindung zur Theorie der Regular temperaments

XXX zu machen: MOS in gleichstufigen Temperamenten&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
MOS im musikalischen Kontext bedeutet &amp;amp;quot;Moment of symmetry&amp;amp;quot; (Augenblick der Symmetrie) und steht für eine musikalische Skala, deren Grundintervalle nur in zwei verschiedenen Grössen auftreten. Die herkömmliche diatonische Skala mit 5 Ganz- und 2 Halbtönen kann als Prototyp gesehen werden. Der Begriff wurde von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Erv%20Wilson"&amp;gt;Erv Wilson&amp;lt;/a&amp;gt; im Jahre 1976 erfunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Zur Veranschaulichung der Idee kann man den Prozess der Skalenkreation durch Schichtung von Quinten betrachten, bei der man mit einem Grundton beginnt und sukzessive reine Quinten übereinanderschichtet. Wenn man nun die bei den einzelnen Schritten jeweils entstehenden Skalen vergleicht, stellt man fest, dass deren Intervallschritte in der Regel in mehr als zwei verschiedenen Grössen auftreten - manchmal jedoch in nur zweien. Konkret ist das der Fall nach 4, 6 und 11 Quintenschritten, die entsprechenden Skalen sind die klassische pentatonische, die diatonische sowie die chromatische pythagoräische Skala, also allesamt in der traditionellen Musiktheorie bedeutsam.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Diese Skalen bilden also, etwas plakativ gesagt, sozusagen einen &amp;amp;quot;Augenblick der Symmetrie&amp;amp;quot; in einer Reihe von eher &amp;amp;quot;chaotischen&amp;amp;quot; Skalen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Man kann dieses Konstruktionsprinzip jetzt verallgemeinern:&amp;lt;br /&amp;gt;
Gegeben sei ein &amp;lt;strong&amp;gt;Generatorintervall&amp;lt;/strong&amp;gt; (im obigen Beispiel die reine Quinte) und ein &amp;lt;strong&amp;gt;Periodenintervall&amp;lt;/strong&amp;gt; (typischerweise eine Oktave), und man beginnt bei einem Grundton und kreiert Skalen mittels Übereinanderschichten des Generatorintervalls und das Ganze modulo Periodenintervall betrachtend. Diejenigen der dabei entstehenden Skalen, welche Grundschritte in nur zwei verschiedenen Grössen aufweisen, nennt man &amp;amp;quot;Moment of Symmetry&amp;amp;quot;- oder eben MOS-Skalen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Grösse des Generatorintervalls (bzw. des Verhältnisses Generator-Periode) entstehen MOS-Skalen verschiedener Grösse mit verschiedenen Grössen und Verteilungen der grossen und kleinen Intervalle.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ob der Generator ein Intervall mit rationalem Frequenzverhältnis (&amp;amp;quot;rein&amp;amp;quot;) oder ein teil eines gleichsufigen Temepraments ist, spielt dabei keine Rolle.&amp;lt;br /&amp;gt;
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XXX zu machen: Verbindung zur Theorie der Regular temperaments&amp;lt;br /&amp;gt;
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MOS im musikalischen Kontext bedeutet "Moment of symmetry" (Augenblick der Symmetrie) und steht für eine musikalische Skala, deren Grundintervalle nur in zwei verschiedenen Grössen auftreten. Die herkömmliche diatonische Skala mit 5 Ganz- und 2 Halbtönen kann als Prototyp gesehen werden. Der Begriff wurde von [[Erv Wilson]] im Jahre 1976 erfunden.

Zur Veranschaulichung der Idee kann man den Prozess der Skalenkreation durch Schichtung von Quinten betrachten, bei der man mit einem Grundton beginnt und sukzessive reine Quinten übereinanderschichtet. Wenn man nun die bei den einzelnen Schritten jeweils entstehenden Skalen vergleicht, stellt man fest, dass deren Intervallschritte in der Regel in mehr als zwei verschiedenen Grössen auftreten - manchmal jedoch in nur zweien. Konkret ist das der Fall nach 4, 6 und 11 Quintenschritten, die entsprechenden Skalen sind die klassische pentatonische, die diatonische sowie die chromatische pythagoräische Skala, also allesamt in der traditionellen Musiktheorie bedeutsam.

Diese Skalen bilden also, etwas plakativ gesagt, sozusagen einen "Augenblick der Symmetrie" in einer Reihe von eher "chaotischen" Skalen.

Man kann dieses Konstruktionsprinzip jetzt verallgemeinern:
Gegeben sei ein Generatorintervall und ein Periodenintervall (letzteres typischerweise eine Oktave), und man beginnt bei einem Grundton und kreiert Skalen mittels Übereinanderschichten des Generatorintervalls und das Ganze modulo Periodenintervall betrachtend. Diejenigen der dabei entstehenden Skalen, welche Grundschritte in nur zwei verschiedenen Grössen aufweisen, nennt man "Moment of Symmetry"- oder eben MOS-Skalen.
Je nach Grösse des Generatorintervalls (bzw. des Verhältnisses Generator-Periode) entstehen MOS-Skalen verschiedener Grösse mit verschiedenen Grössen und Verteilungen der grossen und kleinen Intervalle.

Ob der Generator ein Intervall mit rationalem Frequenzverhältnis ("rein") oder ein teil eines gleichsufigen Temepraments ist, spielt dabei keine Rolle.

XXX zu machen: Verbindung zur Theorie der Regular temperaments

XXX zu machen: MOS in gleichstufigen Temperamenten&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
MOS im musikalischen Kontext bedeutet &amp;amp;quot;Moment of symmetry&amp;amp;quot; (Augenblick der Symmetrie) und steht für eine musikalische Skala, deren Grundintervalle nur in zwei verschiedenen Grössen auftreten. Die herkömmliche diatonische Skala mit 5 Ganz- und 2 Halbtönen kann als Prototyp gesehen werden. Der Begriff wurde von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Erv%20Wilson"&amp;gt;Erv Wilson&amp;lt;/a&amp;gt; im Jahre 1976 erfunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Zur Veranschaulichung der Idee kann man den Prozess der Skalenkreation durch Schichtung von Quinten betrachten, bei der man mit einem Grundton beginnt und sukzessive reine Quinten übereinanderschichtet. Wenn man nun die bei den einzelnen Schritten jeweils entstehenden Skalen vergleicht, stellt man fest, dass deren Intervallschritte in der Regel in mehr als zwei verschiedenen Grössen auftreten - manchmal jedoch in nur zweien. Konkret ist das der Fall nach 4, 6 und 11 Quintenschritten, die entsprechenden Skalen sind die klassische pentatonische, die diatonische sowie die chromatische pythagoräische Skala, also allesamt in der traditionellen Musiktheorie bedeutsam.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Diese Skalen bilden also, etwas plakativ gesagt, sozusagen einen &amp;amp;quot;Augenblick der Symmetrie&amp;amp;quot; in einer Reihe von eher &amp;amp;quot;chaotischen&amp;amp;quot; Skalen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Man kann dieses Konstruktionsprinzip jetzt verallgemeinern:&amp;lt;br /&amp;gt;
Gegeben sei ein Generatorintervall und ein Periodenintervall (letzteres typischerweise eine Oktave), und man beginnt bei einem Grundton und kreiert Skalen mittels Übereinanderschichten des Generatorintervalls und das Ganze modulo Periodenintervall betrachtend. Diejenigen der dabei entstehenden Skalen, welche Grundschritte in nur zwei verschiedenen Grössen aufweisen, nennt man &amp;amp;quot;Moment of Symmetry&amp;amp;quot;- oder eben MOS-Skalen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Grösse des Generatorintervalls (bzw. des Verhältnisses Generator-Periode) entstehen MOS-Skalen verschiedener Grösse mit verschiedenen Grössen und Verteilungen der grossen und kleinen Intervalle.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ob der Generator ein Intervall mit rationalem Frequenzverhältnis (&amp;amp;quot;rein&amp;amp;quot;) oder ein teil eines gleichsufigen Temepraments ist, spielt dabei keine Rolle.&amp;lt;br /&amp;gt;
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'''MOS''' im musikalischen Kontext bedeutet "Moment of symmetry" (Augenblick der Symmetrie) und steht für eine musikalische '''Skala''', die die [[Myhill-Eigenschaft|Myhill-Eigenschaft]] besitzt, die besagt, dass die Grundintervalle der Skala in genau zwei verschiedenen Grössen auftreten (z.B. kleine/große Sekunde, kleine/große Terz etc). Ausnahme sind die Prime und Vielfache der "Periode" (z.B. die [[Oktave|Oktave]]), welche nur in einer Größe auftreten. Die herkömmliche diatonische Skala mit 5 Ganz- und 2 Halbtönen kann als Prototyp gesehen werden. Der Begriff wurde von [[Erv_Wilson|Erv Wilson]] im Jahre 1976 erfunden.

Zur Veranschaulichung der Idee kann man den Prozess der Skalenkreation durch Schichtung von Quinten betrachten, bei der man mit einem Grundton beginnt und sukzessive reine Quinten übereinanderschichtet. Wenn man nun die bei den einzelnen Schritten jeweils entstehenden Skalen vergleicht, stellt man fest, dass deren Intervallschritte in der Regel in mehr als zwei verschiedenen Grössen auftreten - manchmal jedoch in nur zweien. Konkret ist das der Fall nach 4, 6 und 11 Quintenschritten, also bei 5, 7 und 12 Tönen. In diesen Fällen treten auch die übrigen Grundintervalle in maximal zwei Größen auf, was aber nicht immer aus der Eigenschaft folgt, dass man zwei unterschiedlich große Intervallschritte hat. Die entsprechenden Skalen sind die klassische pentatonische, die diatonische sowie die chromatische pythagoräische Skala, also allesamt in der traditionellen Musiktheorie bedeutsam.

Diese Skalen bilden also, etwas plakativ gesagt, sozusagen einen "Augenblick der Symmetrie" in einer Reihe von eher "chaotischen" Skalen.

Man kann dieses Konstruktionsprinzip jetzt verallgemeinern:

Gegeben sei ein '''Generatorintervall''' (im obigen Beispiel die reine Quinte) und ein '''Periodenintervall''' (typischerweise eine Oktave, oder ein ganzzahliger Bruchteil derselben), und man beginnt bei einem Grundton und kreiert Skalen mittels Übereinanderschichten des Generatorintervalls und das Ganze modulo Periodenintervall betrachtend. Diejenigen der dabei entstehenden Skalen, welche Grundintervalle in nur zwei verschiedenen Grössen aufweisen, nennt man "Moment of Symmetry"- oder eben MOS-Skalen.

Je nach Grösse des Generatorintervalls (bzw. des Verhältnisses Generator-Periode) entstehen MOS-Skalen verschiedener Grösse mit verschiedenen Grössen und Verteilungen der grossen und kleinen Intervalle.

Ob der Generator ein Intervall mit rationalem Frequenzverhältnis ("rein") oder mit irrationalem Frequenzverhältnis ist (z.B. Teil eines gleichstufig temperierten Systems), spielt dabei keine Rolle.

MOS-Skalen sind, wie man schon aus dem Konstruktionsprinzp erkennt, eng mit dem Paradigma der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] verbunden. In der Tat gehören zu jeder regulären Temperatur eine Reihe typischer MOS-Skalen.

=Klassifikation von MOS=
Eine natürliche Grobklassifikation von MOS ergibt sich aus der Anzahl grosser und kleiner Intervalle, in der Form #L#s. Für die diatonische Skala ergibt das 5L2s, d.h. 5 grosse (Large) und 2 kleine (small) Schritte.

==MOS in gleichstufigen Stimmungssystemen==
In einem [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystem]] sind alle Intervalle ganzzahlige Vielfache einer kleinsten Einheit, die Variablen L und s können also als ganze Zahlen geschrieben werden. Wenn wir eine MOS-Skala in einer n-stufigen System (n-EDO) haben, von der Form pL qS, ist die gesamte Anzahl Schritte der Skala p*L + q*s und muss natürlich gleich der Anzahl Schritte der Periode (hier der Oktave) sein. Es gilt also

p*L + q*s = n.

Dies ist eine [http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_diophantische_Gleichung lineare diophantische Gleichung]. Für diese gibt es standardisierte Lösungsverfahren, mit denen man alle theoretisch möglichen MOS-Skalen in jedem beliebigen n-[[edo|EDO]] bestimmen kann.

[[File:external-063a41d011058c510990a4d81b3baa73-withext.jpg|120px]]

[[:en:file/view/17edo_horograms.pdf 17edo horograms.pdf]]

Siehe auch

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[[:en:MOS_scales_of_17edo xenharmonic (microtonal wiki) - MOS scales of 17edo]]&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[[:en:Andrew_Heathwaite's_MOS_Investigations xenharmonic (microtonal wiki) - Andrew Heathwaite's MOS Investigations]]&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;  [[Category:Mathematik]]
[[Category:Theorie]]</text>
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'''MOS''' im musikalischen Kontext bedeutet "Moment of symmetry" (Augenblick der Symmetrie) und steht für eine musikalische '''Skala''', die die [[Myhill-Eigenschaft|Myhill-Eigenschaft]] besitzt, die besagt, dass die Grundintervalle der Skala in genau zwei verschiedenen Grössen auftreten (z.B. kleine/große Sekunde, kleine/große Terz etc). Ausnahme sind die Prime und Vielfache der "Periode" (z.B. die [[Oktave|Oktave]]), welche nur in einer Größe auftreten. Die herkömmliche diatonische Skala mit 5 Ganz- und 2 Halbtönen kann als Prototyp gesehen werden. Der Begriff wurde von [[Erv_Wilson|Erv Wilson]] im Jahre 1976 erfunden.

Zur Veranschaulichung der Idee kann man den Prozess der Skalenkreation durch Schichtung von Quinten betrachten, bei der man mit einem Grundton beginnt und sukzessive reine Quinten übereinanderschichtet. Wenn man nun die bei den einzelnen Schritten jeweils entstehenden Skalen vergleicht, stellt man fest, dass deren Intervallschritte in der Regel in mehr als zwei verschiedenen Grössen auftreten - manchmal jedoch in nur zweien. Konkret ist das der Fall nach 4, 6 und 11 Quintenschritten, also bei 5, 7 und 12 Tönen. In diesen Fällen treten auch die übrigen Grundintervalle in maximal zwei Größen auf, was aber nicht immer aus der Eigenschaft folgt, dass man zwei unterschiedlich große Intervallschritte hat. Die entsprechenden Skalen sind die klassische pentatonische, die diatonische sowie die chromatische pythagoräische Skala, also allesamt in der traditionellen Musiktheorie bedeutsam.

Diese Skalen bilden also, etwas plakativ gesagt, sozusagen einen "Augenblick der Symmetrie" in einer Reihe von eher "chaotischen" Skalen.

Man kann dieses Konstruktionsprinzip jetzt verallgemeinern:

Gegeben sei ein '''Generatorintervall''' (im obigen Beispiel die reine Quinte) und ein '''Periodenintervall''' (typischerweise eine Oktave, oder ein ganzzahliger Bruchteil derselben), und man beginnt bei einem Grundton und kreiert Skalen mittels Übereinanderschichten des Generatorintervalls und das Ganze modulo Periodenintervall betrachtend. Diejenigen der dabei entstehenden Skalen, welche Grundintervalle in nur zwei verschiedenen Grössen aufweisen, nennt man "Moment of Symmetry"- oder eben MOS-Skalen.

Je nach Grösse des Generatorintervalls (bzw. des Verhältnisses Generator-Periode) entstehen MOS-Skalen verschiedener Grösse mit verschiedenen Grössen und Verteilungen der grossen und kleinen Intervalle.

Ob der Generator ein Intervall mit rationalem Frequenzverhältnis ("rein") oder mit irrationalem Frequenzverhältnis ist (z.B. Teil eines gleichstufig temperierten Systems), spielt dabei keine Rolle.

MOS-Skalen sind, wie man schon aus dem Konstruktionsprinzp erkennt, eng mit dem Paradigma der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] verbunden. In der Tat gehören zu jeder regulären Temperatur eine Reihe typischer MOS-Skalen.

=Klassifikation von MOS=
Eine natürliche Grobklassifikation von MOS ergibt sich aus der Anzahl grosser und kleiner Intervalle, in der Form #L#s. Für die diatonische Skala ergibt das 5L2s, d.h. 5 grosse (Large) und 2 kleine (small) Schritte.

==MOS in gleichstufigen Stimmungssystemen==
In einem [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystem]] sind alle Intervalle ganzzahlige Vielfache einer kleinsten Einheit, die Variablen L und s können also als ganze Zahlen geschrieben werden. Wenn wir eine MOS-Skala in einer n-stufigen System (n-EDO) haben, von der Form pL qS, ist die gesamte Anzahl Schritte der Skala p*L + q*s und muss natürlich gleich der Anzahl Schritte der Periode (hier der Oktave) sein. Es gilt also

p*L + q*s = n.

Dies ist eine [http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_diophantische_Gleichung lineare diophantische Gleichung]. Für diese gibt es standardisierte Lösungsverfahren, mit denen man alle theoretisch möglichen MOS-Skalen in jedem beliebigen n-[[edo|EDO]] bestimmen kann.

[[File:external-063a41d011058c510990a4d81b3baa73-withext.jpg|120px]]

[[:en:file/view/17edo_horograms.pdf|17edo horograms.pdf]]

Siehe auch

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[[:en:MOS_scales_of_17edo|xenharmonic (microtonal wiki) - MOS scales of 17edo]]&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[[:en:Andrew_Heathwaite's_MOS_Investigations|xenharmonic (microtonal wiki) - Andrew Heathwaite's MOS Investigations]]&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;  [[Category:Mathematik]]
[[Category:Theorie]]</text>
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'''MOS''' im musikalischen Kontext bedeutet "Moment of symmetry" (Augenblick der Symmetrie) und steht für eine musikalische '''Skala''', die die [[Myhill-Eigenschaft|Myhill-Eigenschaft]] besitzt, die besagt, dass die Grundintervalle der Skala in genau zwei verschiedenen Grössen auftreten (z.B. kleine/große Sekunde, kleine/große Terz etc). Ausnahme sind die Prime und Vielfache der "Periode" (z.B. die [[Oktave|Oktave]]), welche nur in einer Größe auftreten. Die herkömmliche diatonische Skala mit 5 Ganz- und 2 Halbtönen kann als Prototyp gesehen werden. Der Begriff wurde von [[Erv_Wilson|Erv Wilson]] im Jahre 1976 erfunden.

Zur Veranschaulichung der Idee kann man den Prozess der Skalenkreation durch Schichtung von Quinten betrachten, bei der man mit einem Grundton beginnt und sukzessive reine Quinten übereinanderschichtet. Wenn man nun die bei den einzelnen Schritten jeweils entstehenden Skalen vergleicht, stellt man fest, dass deren Intervallschritte in der Regel in mehr als zwei verschiedenen Grössen auftreten - manchmal jedoch in nur zweien. Konkret ist das der Fall nach 4, 6 und 11 Quintenschritten, also bei 5, 7 und 12 Tönen. In diesen Fällen treten auch die übrigen Grundintervalle in maximal zwei Größen auf, was aber nicht immer aus der Eigenschaft folgt, dass man zwei unterschiedlich große Intervallschritte hat. Die entsprechenden Skalen sind die klassische pentatonische, die diatonische sowie die chromatische pythagoräische Skala, also allesamt in der traditionellen Musiktheorie bedeutsam.

Diese Skalen bilden also, etwas plakativ gesagt, sozusagen einen "Augenblick der Symmetrie" in einer Reihe von eher "chaotischen" Skalen.

Man kann dieses Konstruktionsprinzip jetzt verallgemeinern:

Gegeben sei ein '''Generatorintervall''' (im obigen Beispiel die reine Quinte) und ein '''Periodenintervall''' (typischerweise eine Oktave, oder ein ganzzahliger Bruchteil derselben), und man beginnt bei einem Grundton und kreiert Skalen mittels Übereinanderschichten des Generatorintervalls und das Ganze modulo Periodenintervall betrachtend. Diejenigen der dabei entstehenden Skalen, welche Grundintervalle in nur zwei verschiedenen Grössen aufweisen, nennt man "Moment of Symmetry"- oder eben MOS-Skalen.

Je nach Grösse des Generatorintervalls (bzw. des Verhältnisses Generator-Periode) entstehen MOS-Skalen verschiedener Grösse mit verschiedenen Grössen und Verteilungen der grossen und kleinen Intervalle.

Ob der Generator ein Intervall mit rationalem Frequenzverhältnis ("rein") oder mit irrationalem Frequenzverhältnis ist (z.B. Teil eines gleichstufig temperierten Systems), spielt dabei keine Rolle.

MOS-Skalen sind, wie man schon aus dem Konstruktionsprinzp erkennt, eng mit dem Paradigma der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] verbunden. In der Tat gehören zu jeder regulären Temperatur eine Reihe typischer MOS-Skalen.

=Klassifikation von MOS=
Eine natürliche Grobklassifikation von MOS ergibt sich aus der Anzahl grosser und kleiner Intervalle, in der Form #L#s. Für die diatonische Skala ergibt das 5L2s, d.h. 5 grosse (Large) und 2 kleine (small) Schritte.

==MOS in gleichstufigen Stimmungssystemen==
In einem [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystem]] sind alle Intervalle ganzzahlige Vielfache einer kleinsten Einheit, die Variablen L und s können also als ganze Zahlen geschrieben werden. Wenn wir eine MOS-Skala in einer n-stufigen System (n-EDO) haben, von der Form pL qS, ist die gesamte Anzahl Schritte der Skala p*L + q*s und muss natürlich gleich der Anzahl Schritte der Periode (hier der Oktave) sein. Es gilt also

p*L + q*s = n.

Dies ist eine [http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_diophantische_Gleichung lineare diophantische Gleichung]. Für diese gibt es standardisierte Lösungsverfahren, mit denen man alle theoretisch möglichen MOS-Skalen in jedem beliebigen n-[[edo|EDO]] bestimmen kann.

[[File:external-063a41d011058c510990a4d81b3baa73-withext.jpg|120px]]

[[:en:file/view/17edo_horograms.pdf|17edo horograms.pdf]]

Siehe auch

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[[:en:MOS_scales_of_17edo|xenharmonic (microtonal wiki) - MOS scales of 17edo]]&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[[:en:Andrew_Heathwaite's_MOS_Investigations|xenharmonic (microtonal wiki) - Andrew Heathwaite's MOS Investigations]]&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;  [[Category:Mathematik]]
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      <text bytes="4338" sha1="34mjdvv4m322sik03jw8k7znvsek3sw" xml:space="preserve">[[en:MOSScales]]

'''MOS''' im musikalischen Kontext bedeutet "Moment of symmetry" (Augenblick der Symmetrie) und steht für eine musikalische '''Skala''', die die [[Myhill-Eigenschaft|Myhill-Eigenschaft]] besitzt, die besagt, dass die Grundintervalle der Skala in genau zwei verschiedenen Grössen auftreten (z.B. kleine/große Sekunde, kleine/große Terz etc). Ausnahme sind die Prime und Vielfache der "Periode" (z.B. die [[Oktave|Oktave]]), welche nur in einer Größe auftreten. Die herkömmliche diatonische Skala mit 5 Ganz- und 2 Halbtönen kann als Prototyp gesehen werden. Der Begriff wurde von [[Erv_Wilson|Erv Wilson]] im Jahre 1976 erfunden.

Zur Veranschaulichung der Idee kann man den Prozess der Skalenkreation durch Schichtung von Quinten betrachten, bei der man mit einem Grundton beginnt und sukzessive reine Quinten übereinanderschichtet. Wenn man nun die bei den einzelnen Schritten jeweils entstehenden Skalen vergleicht, stellt man fest, dass deren Intervallschritte in der Regel in mehr als zwei verschiedenen Grössen auftreten - manchmal jedoch in nur zweien. Konkret ist das der Fall nach 4, 6 und 11 Quintenschritten, also bei 5, 7 und 12 Tönen. In diesen Fällen treten auch die übrigen Grundintervalle in maximal zwei Größen auf, was aber nicht immer aus der Eigenschaft folgt, dass man zwei unterschiedlich große Intervallschritte hat. Die entsprechenden Skalen sind die klassische pentatonische, die diatonische sowie die chromatische pythagoräische Skala, also allesamt in der traditionellen Musiktheorie bedeutsam.

Diese Skalen bilden also, etwas plakativ gesagt, sozusagen einen "Augenblick der Symmetrie" in einer Reihe von eher "chaotischen" Skalen.

Man kann dieses Konstruktionsprinzip jetzt verallgemeinern:

Gegeben sei ein '''Generatorintervall''' (im obigen Beispiel die reine Quinte) und ein '''Periodenintervall''' (typischerweise eine Oktave, oder ein ganzzahliger Bruchteil derselben), und man beginnt bei einem Grundton und kreiert Skalen mittels Übereinanderschichten des Generatorintervalls und das Ganze modulo Periodenintervall betrachtend. Diejenigen der dabei entstehenden Skalen, welche Grundintervalle in nur zwei verschiedenen Grössen aufweisen, nennt man "Moment of Symmetry"- oder eben MOS-Skalen.

Je nach Grösse des Generatorintervalls (bzw. des Verhältnisses Generator-Periode) entstehen MOS-Skalen verschiedener Grösse mit verschiedenen Grössen und Verteilungen der grossen und kleinen Intervalle.

Ob der Generator ein Intervall mit rationalem Frequenzverhältnis ("rein") oder mit irrationalem Frequenzverhältnis ist (z.B. Teil eines gleichstufig temperierten Systems), spielt dabei keine Rolle.

MOS-Skalen sind, wie man schon aus dem Konstruktionsprinzp erkennt, eng mit dem Paradigma der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] verbunden. In der Tat gehören zu jeder regulären Temperatur eine Reihe typischer MOS-Skalen.

=Klassifikation von MOS=
Eine natürliche Grobklassifikation von MOS ergibt sich aus der Anzahl grosser und kleiner Intervalle, in der Form #L#s. Für die diatonische Skala ergibt das 5L2s, d.h. 5 grosse (Large) und 2 kleine (small) Schritte.

==MOS in gleichstufigen Stimmungssystemen==
In einem [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystem]] sind alle Intervalle ganzzahlige Vielfache einer kleinsten Einheit, die Variablen L und s können also als ganze Zahlen geschrieben werden. Wenn wir eine MOS-Skala in einer n-stufigen System (n-EDO) haben, von der Form pL qS, ist die gesamte Anzahl Schritte der Skala p*L + q*s und muss natürlich gleich der Anzahl Schritte der Periode (hier der Oktave) sein. Es gilt also

p*L + q*s = n.

Dies ist eine [http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_diophantische_Gleichung lineare diophantische Gleichung]. Für diese gibt es standardisierte Lösungsverfahren, mit denen man alle theoretisch möglichen MOS-Skalen in jedem beliebigen n-[[edo|EDO]] bestimmen kann.

[[File:external-063a41d011058c510990a4d81b3baa73-withext.jpg|120px]]

[[:en:file/view/17edo_horograms.pdf|17edo horograms.pdf]]

Siehe auch

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[[:en:MOS_scales_of_17edo|xenharmonic (microtonal wiki) - MOS scales of 17edo]]&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[[:en:Andrew_Heathwaite's_MOS_Investigations|xenharmonic (microtonal wiki) - Andrew Heathwaite's MOS Investigations]]&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;  [[Category:Mathematik]]
[[Category:Theorie]]</text>
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'''MOS''' im musikalischen Kontext bedeutet "Moment of symmetry" (Augenblick der Symmetrie) und steht für eine musikalische '''Skala''', die die [[Myhill-Eigenschaft|Myhill-Eigenschaft]] besitzt, die besagt, dass die Grundintervalle der Skala in genau zwei verschiedenen Grössen auftreten (z.B. kleine/große Sekunde, kleine/große Terz etc). Ausnahme sind die Prime und Vielfache der "Periode" (z.B. die [[Oktave|Oktave]]), welche nur in einer Größe auftreten. Die herkömmliche diatonische Skala mit 5 Ganz- und 2 Halbtönen kann als Prototyp gesehen werden. Der Begriff wurde von [[Erv_Wilson|Erv Wilson]] im Jahre 1976 erfunden.

== Veranschaulichung ==
Zur Veranschaulichung der Idee kann man den Prozess der Skalenkreation durch Schichtung von Quinten betrachten, bei der man mit einem Grundton beginnt und sukzessive reine Quinten übereinanderschichtet. Wenn man nun die bei den einzelnen Schritten jeweils entstehenden Skalen vergleicht, stellt man fest, dass deren Intervallschritte in der Regel in mehr als zwei verschiedenen Grössen auftreten - manchmal jedoch in nur zweien. Konkret ist das der Fall nach 4, 6 und 11 Quintenschritten, also bei 5, 7 und 12 Tönen. In diesen Fällen treten auch die übrigen Grundintervalle in maximal zwei Größen auf, was aber nicht immer aus der Eigenschaft folgt, dass man zwei unterschiedlich große Intervallschritte hat. Die entsprechenden Skalen sind die klassische pentatonische, die diatonische sowie die chromatische pythagoräische Skala, also allesamt in der traditionellen Musiktheorie bedeutsam.

Diese Skalen bilden also, etwas plakativ gesagt, sozusagen einen "Augenblick der Symmetrie" in einer Reihe von eher "chaotischen" Skalen.

Man kann dieses Konstruktionsprinzip jetzt verallgemeinern:

Gegeben sei ein '''Generatorintervall''' (im obigen Beispiel die reine Quinte) und ein '''Periodenintervall''' (typischerweise eine Oktave, oder ein ganzzahliger Bruchteil derselben), und man beginnt bei einem Grundton und kreiert Skalen mittels Übereinanderschichten des Generatorintervalls und das Ganze modulo Periodenintervall betrachtend. Diejenigen der dabei entstehenden Skalen, welche Grundintervalle in nur zwei verschiedenen Grössen aufweisen, nennt man "Moment of Symmetry"- oder eben MOS-Skalen.

Je nach Grösse des Generatorintervalls (bzw. des Verhältnisses Generator-Periode) entstehen MOS-Skalen verschiedener Grösse mit verschiedenen Grössen und Verteilungen der grossen und kleinen Intervalle.

Ob der Generator ein Intervall mit rationalem Frequenzverhältnis ("rein") oder mit irrationalem Frequenzverhältnis ist (z.B. Teil eines gleichstufig temperierten Systems), spielt dabei keine Rolle.

MOS-Skalen sind, wie man schon aus dem Konstruktionsprinzp erkennt, eng mit dem Paradigma der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] verbunden. In der Tat gehören zu jeder regulären Temperatur eine Reihe typischer MOS-Skalen.

== Klassifikation von MOS ==
Eine natürliche Grobklassifikation von MOS ergibt sich aus der Anzahl grosser und kleiner Intervalle, in der Form #L#s. Für die diatonische Skala ergibt das 5L2s, d.h. 5 grosse (Large) und 2 kleine (small) Schritte.

== MOS in gleichstufigen Stimmungssystemen ==
In einem [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystem]] sind alle Intervalle ganzzahlige Vielfache einer kleinsten Einheit, die Variablen L und s können also als ganze Zahlen geschrieben werden. Wenn wir eine MOS-Skala in einer n-stufigen System (n-EDO) haben, von der Form pL qS, ist die gesamte Anzahl Schritte der Skala p*L + q*s und muss natürlich gleich der Anzahl Schritte der Periode (hier der Oktave) sein. Es gilt also

p*L + q*s = n.

Dies ist eine [http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_diophantische_Gleichung lineare diophantische Gleichung]. Für diese gibt es standardisierte Lösungsverfahren, mit denen man alle theoretisch möglichen MOS-Skalen in jedem beliebigen n-[[edo|EDO]] bestimmen kann.

[[File:external-063a41d011058c510990a4d81b3baa73-withext.jpg|120px]]

[[:en:file/view/17edo_horograms.pdf|17edo horograms.pdf]]

== Siehe auch ==

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[[:en:MOS_scales_of_17edo|xenharmonic (microtonal wiki) - MOS scales of 17edo]]&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[[:en:Andrew_Heathwaite's_MOS_Investigations|xenharmonic (microtonal wiki) - Andrew Heathwaite's MOS Investigations]]&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;  [[Category:Mathematik]]
[[Category:Theorie]]</text>
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'''MOS''' im musikalischen Kontext bedeutet "Moment of symmetry" (Augenblick der Symmetrie) und steht für eine musikalische '''Skala''', die die [[Myhill-Eigenschaft|Myhill-Eigenschaft]] besitzt, die besagt, dass die Grundintervalle der Skala in genau zwei verschiedenen Grössen auftreten (z.B. kleine/große Sekunde, kleine/große Terz etc). Ausnahme sind die Prime und Vielfache der "Periode" (z.B. die [[Oktave|Oktave]]), welche nur in einer Größe auftreten. Die herkömmliche diatonische Skala mit 5 Ganz- und 2 Halbtönen kann als Prototyp gesehen werden. Der Begriff wurde von [[Erv_Wilson|Erv Wilson]] im Jahre 1976 erfunden.

== Veranschaulichung ==
Zur Veranschaulichung der Idee kann man den Prozess der Skalenkreation durch Schichtung von Quinten betrachten, bei der man mit einem Grundton beginnt und sukzessive reine Quinten übereinanderschichtet. Wenn man nun die bei den einzelnen Schritten jeweils entstehenden Skalen vergleicht, stellt man fest, dass deren Intervallschritte in der Regel in mehr als zwei verschiedenen Grössen auftreten - manchmal jedoch in nur zweien. Konkret ist das der Fall nach 4, 6 und 11 Quintenschritten, also bei 5, 7 und 12 Tönen. In diesen Fällen treten auch die übrigen Grundintervalle in maximal zwei Größen auf, was aber nicht immer aus der Eigenschaft folgt, dass man zwei unterschiedlich große Intervallschritte hat. Die entsprechenden Skalen sind die klassische pentatonische, die diatonische sowie die chromatische pythagoräische Skala, also allesamt in der traditionellen Musiktheorie bedeutsam.

Diese Skalen bilden also, etwas plakativ gesagt, sozusagen einen "Augenblick der Symmetrie" in einer Reihe von eher "chaotischen" Skalen.

Man kann dieses Konstruktionsprinzip jetzt verallgemeinern:

Gegeben sei ein '''Generatorintervall''' (im obigen Beispiel die reine Quinte) und ein '''Periodenintervall''' (typischerweise eine Oktave, oder ein ganzzahliger Bruchteil derselben), und man beginnt bei einem Grundton und kreiert Skalen mittels Übereinanderschichten des Generatorintervalls und das Ganze modulo Periodenintervall betrachtend. Diejenigen der dabei entstehenden Skalen, welche Grundintervalle in nur zwei verschiedenen Grössen aufweisen, nennt man "Moment of Symmetry"- oder eben MOS-Skalen.

Je nach Grösse des Generatorintervalls (bzw. des Verhältnisses Generator-Periode) entstehen MOS-Skalen verschiedener Grösse mit verschiedenen Grössen und Verteilungen der grossen und kleinen Intervalle.

Ob der Generator ein Intervall mit rationalem Frequenzverhältnis ("rein") oder mit irrationalem Frequenzverhältnis ist (z.B. Teil eines gleichstufig temperierten Systems), spielt dabei keine Rolle.

MOS-Skalen sind, wie man schon aus dem Konstruktionsprinzp erkennt, eng mit dem Paradigma der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]] verbunden. In der Tat gehören zu jeder regulären Temperatur eine Reihe typischer MOS-Skalen.

== Klassifikation von MOS ==
Eine natürliche Grobklassifikation von MOS ergibt sich aus der Anzahl grosser und kleiner Intervalle, in der Form #L#s. Für die diatonische Skala ergibt das 5L2s, d.h. 5 grosse (Large) und 2 kleine (small) Schritte.

== MOS in gleichstufigen Stimmungssystemen ==
In einem [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystem]] sind alle Intervalle ganzzahlige Vielfache einer kleinsten Einheit, die Variablen L und s können also als ganze Zahlen geschrieben werden. Wenn wir eine MOS-Skala in einer n-stufigen System (n-EDO) haben, von der Form pL qS, ist die gesamte Anzahl Schritte der Skala p*L + q*s und muss natürlich gleich der Anzahl Schritte der Periode (hier der Oktave) sein. Es gilt also

p*L + q*s = n.

Dies ist eine [http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_diophantische_Gleichung lineare diophantische Gleichung]. Für diese gibt es standardisierte Lösungsverfahren, mit denen man alle theoretisch möglichen MOS-Skalen in jedem beliebigen n-[[edo|EDO]] bestimmen kann.

[[File:external-063a41d011058c510990a4d81b3baa73-withext.jpg|120px]]

[[:en:file/view/17edo_horograms.pdf|17edo horograms.pdf]]

== Siehe auch ==

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[[:en:MOS_scales_of_17edo|xenharmonic (microtonal wiki) - MOS scales of 17edo]]&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[[:en:Andrew_Heathwaite's_MOS_Investigations|xenharmonic (microtonal wiki) - Andrew Heathwaite's MOS Investigations]]&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;  [[Category:Mathematik]]
[[Category:Theorie]]
[[Category:MOS| ]]&lt;!--Hauptartikel--&gt;</text>
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== Vertiefendes Lesen  ==
&lt;ul&gt;&lt;li&gt;Englische Version: [[:en:7/4 xenharmonic/7_4]]&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[http://de.wikipedia.org/wiki/Naturseptime Naturseptime - Wikipedia]&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;  [[Category:Intervall]]
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== Vertiefendes Lesen  ==
* Englische Version: [[xenharmonic/7_4]]
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Naturseptime|Naturseptime - Wikipedia]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Vertiefendes Lesen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt; Vertiefendes Lesen  &amp;lt;/h2&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Englische Version: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/7_4"&amp;gt;xenharmonic/7_4&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Naturseptime" rel="nofollow"&amp;gt;Naturseptime - Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-22 16:35:33 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Die **Naturseptime** ist das [[Intervall]] zwischen dem siebten und dem vierten [[Naturton]]. Sein [[Schwingungsverhältnis]] beträgt **7:4** und seine Größe in [[Cent]] ist ca. 968,9. Dieses Intervall wird in dem in der westlichen Musik gebräuchlichen [[12edo|12-EDO]]-System sehr schlecht wiedergegeben. Gute Annäherungen bieten hingegen z.B. [[15edo|15-EDO]] und [[26edo|26-EDO]].

== Ressourcen ==
English
* [[xenharmonic/7_4]]
Deutsch
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Naturseptime|Naturseptime (Wikipedia)]]ie NAtruseptime&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Naturseptime&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Die &amp;lt;strong&amp;gt;Naturseptime&amp;lt;/strong&amp;gt; ist das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervall&amp;lt;/a&amp;gt; zwischen dem siebten und dem vierten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturton"&amp;gt;Naturton&amp;lt;/a&amp;gt;. Sein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Schwingungsverh%C3%A4ltnis"&amp;gt;Schwingungsverhältnis&amp;lt;/a&amp;gt; beträgt &amp;lt;strong&amp;gt;7:4&amp;lt;/strong&amp;gt; und seine Größe in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt; ist ca. 968,9. Dieses Intervall wird in dem in der westlichen Musik gebräuchlichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;-System sehr schlecht wiedergegeben. Gute Annäherungen bieten hingegen z.B. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15-EDO&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/26edo"&amp;gt;26-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Ressourcen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt; Ressourcen &amp;lt;/h2&amp;gt;
English&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/7_4"&amp;gt;xenharmonic/7_4&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;Deutsch&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Naturseptime" rel="nofollow"&amp;gt;Naturseptime (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;ie NAtruseptime&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <comment>**Imported revision 433605472 - Original comment: **</comment>
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      <text bytes="2977" sha1="mrs7a1oq3fdg3e96ronq7iy9qi5dnck" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Die **Naturseptime** ist das Intervall zwischen dem siebten und dem vierten [[Naturton]]. Sein Schwingungsverhältnis beträgt **7:4** und seine Größe in [[Cent]] ist ca. 968,9. Dieses Intervall wird in dem in der westlichen Musik gebräuchlichen [[12edo|12-EDO]]-System sehr schlecht wiedergegeben. Gute Annäherungen bieten hingegen z.B. [[15edo|15-EDO]] und [[26edo|26-EDO]].

== Ressourcen ==
English
* [[xenharmonic/7_4]]
Deutsch
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Naturseptime|Naturseptime (Wikipedia)]]ie NAtruseptime&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Naturseptime&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Die &amp;lt;strong&amp;gt;Naturseptime&amp;lt;/strong&amp;gt; ist das Intervall zwischen dem siebten und dem vierten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturton"&amp;gt;Naturton&amp;lt;/a&amp;gt;. Sein Schwingungsverhältnis beträgt &amp;lt;strong&amp;gt;7:4&amp;lt;/strong&amp;gt; und seine Größe in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt; ist ca. 968,9. Dieses Intervall wird in dem in der westlichen Musik gebräuchlichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;-System sehr schlecht wiedergegeben. Gute Annäherungen bieten hingegen z.B. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15-EDO&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/26edo"&amp;gt;26-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Ressourcen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt; Ressourcen &amp;lt;/h2&amp;gt;
English&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/7_4"&amp;gt;xenharmonic/7_4&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;Deutsch&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Naturseptime" rel="nofollow"&amp;gt;Naturseptime (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;ie NAtruseptime&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      </contributor>
      <comment>**Imported revision 433605186 - Original comment: **</comment>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Die **Naturseptime** ist das Intervall zwischen dem siebten und dem vierten [[Naturton]]. Sein Schwingungsverhältnis beträgt **7:4** und seine Größe in [[Cent]] ist ca. 968,9. Dieses Intervall wird in dem in der westlichen Musik gebräuchlichen [[12edo|12-EDO]]-System sehr schlecht wiedergegeben. Gute Annäherungen bieten hingegen z.B. [[15-EDO|15edo]] und [[26EDO|26edo]].

== Ressourcen ==
English
* [[xenharmonic/7_4]]
Deutsch
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Naturseptime|Naturseptime (Wikipedia)]]ie NAtruseptime&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Naturseptime&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Die &amp;lt;strong&amp;gt;Naturseptime&amp;lt;/strong&amp;gt; ist das Intervall zwischen dem siebten und dem vierten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturton"&amp;gt;Naturton&amp;lt;/a&amp;gt;. Sein Schwingungsverhältnis beträgt &amp;lt;strong&amp;gt;7:4&amp;lt;/strong&amp;gt; und seine Größe in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt; ist ca. 968,9. Dieses Intervall wird in dem in der westlichen Musik gebräuchlichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12-EDO&amp;lt;/a&amp;gt;-System sehr schlecht wiedergegeben. Gute Annäherungen bieten hingegen z.B. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15-EDO"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/26EDO"&amp;gt;26edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Ressourcen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt; Ressourcen &amp;lt;/h2&amp;gt;
English&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/7_4"&amp;gt;xenharmonic/7_4&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;Deutsch&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Naturseptime" rel="nofollow"&amp;gt;Naturseptime (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;ie NAtruseptime&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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      <comment>**Imported revision 431338052 - Original comment: **</comment>
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-14 02:50:27 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/7_4]]

Deutschsprachige Ressourcen:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Naturseptime|Naturseptime (Wikipedia)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Naturseptime&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/7_4"&amp;gt;xenharmonic/7_4&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Deutschsprachige Ressourcen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Naturseptime" rel="nofollow"&amp;gt;Naturseptime (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Mike Battaglia</username>
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      <comment>Textersetzung - „(\[\[\:(dev|es|purdal|de|en):[^[:space:]\|]*) (.*])“ durch „$1|$3“</comment>
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== Vertiefendes Lesen  ==
&lt;ul&gt;&lt;li&gt;Englische Version: [[:en:7/4|xenharmonic/7_4]]&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[http://de.wikipedia.org/wiki/Naturseptime Naturseptime - Wikipedia]&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;  [[Category:Intervall]]
[[Category:Naturton]]</text>
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        <username>Xenwolf</username>
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      </contributor>
      <comment>überarbeitet, interwiki-link hinzugefügt, +Kat 7-limit</comment>
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      <text bytes="654" sha1="5u5wl4kjglx5izg8zc70bvpedo1a29w" xml:space="preserve">Die '''Naturseptime''' ist das [[Intervall]] zwischen dem siebten und dem vierten [[Naturton]]. Sein [[Schwingungsverhältnis]] beträgt '''7:4''' und seine Größe in [[Cent]] ist ca. 968,9. Dieses Intervall wird in dem in der westlichen Musik gebräuchlichen [[12edo|12-EDO]]-System sehr schlecht wiedergegeben. Gute Annäherungen bieten hingegen z.B. [[15edo|15-EDO]] und [[26edo|26-EDO]].

== Vertiefendes Lesen  ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Naturseptime Naturseptime - Wikipedia]
* [[:en:7/4|7/3]] -- der Artikel im englischsprachigen Xenwiki

[[Kategorie:Intervall]]
[[Kategorie:Naturton]]
[[Kategorie:7-limit]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
[[en:7/4]]</text>
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      <text bytes="750" sha1="5awjq3klkukk6ptdabi3vxbcrm1a07q" xml:space="preserve">{{Infobox Intervall
| Bruch = 7/4
| Cents = 968,9
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| Namen = Naturseptime
}}

Die '''Naturseptime''' ist das [[Intervall]] zwischen dem siebten und dem vierten [[Naturton]]. Sein [[Schwingungsverhältnis]] beträgt '''7:4''' und seine Größe in [[Cent]] ist ca. 968,9. Dieses Intervall wird in dem in der westlichen Musik gebräuchlichen [[12edo|12-EDO]]-System sehr schlecht wiedergegeben. Gute Annäherungen bieten hingegen z.B. [[15edo|15-EDO]] und [[26edo|26-EDO]].

== Vertiefendes Lesen  ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Naturseptime Naturseptime - Wikipedia]
* [[:en:7/4|7/3]] -- der Artikel im englischsprachigen Xenwiki

[[Kategorie:Intervall]]
[[Kategorie:Naturton]]
[[Kategorie:7-limit]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
[[en:7/4]]</text>
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| Bruch = 7/4
| Cents = 968,9
| Monzo = -2 0 0 1
| Namen = Naturseptime
}}

Die '''Naturseptime''' ist das [[Intervall]] zwischen dem siebten und dem vierten [[Naturton]]. Sein [[Schwingungsverhältnis]] beträgt '''7:4''' und seine Größe in [[Cent]] ist ca. 968,9. Dieses Intervall wird in dem in der westlichen Musik gebräuchlichen [[12edo|12-EDO]]-System sehr schlecht wiedergegeben. Gute Annäherungen bieten hingegen z.B. [[15edo|15-EDO]] und [[26edo|26-EDO]].

== Vertiefendes Lesen  ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Naturseptime Naturseptime - Wikipedia]
* [[:en:7/4|7/4]] -- der Artikel im englischsprachigen Xenwiki

[[Kategorie:Intervall]]
[[Kategorie:Naturton]]
[[Kategorie:7-limit]]

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| Namen = Naturseptime
}}

Die '''Naturseptime''' ist das [[Intervall]] zwischen dem siebten und dem vierten [[Naturton]]. Sein [[Schwingungsverhältnis]] beträgt '''7:4''' und seine Größe in [[Cent]] ist ca. 968,9. Dieses Intervall wird in dem in der westlichen Musik gebräuchlichen [[12edo|12-EDO]]-System sehr schlecht wiedergegeben. Gute Annäherungen bieten hingegen z.B. [[15-EDO]] und [[26-EDO]].

== Vertiefendes Lesen  ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Naturseptime Naturseptime - Wikipedia]
* [[:en:7/4|7/4]] -- der Artikel im englischsprachigen Xenwiki

[[Kategorie:Intervall]]
[[Kategorie:Naturton]]
[[Kategorie:7-limit]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
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| Namen = Naturseptime
}}

Die '''Naturseptime''' ist das [[Intervall]] zwischen dem siebten und dem vierten [[Naturton]]. Sein [[Schwingungsverhältnis]] beträgt '''7:4''' und seine Größe in [[Cent]] ist ca. 968,9. Dieses Intervall wird in dem in der westlichen Musik gebräuchlichen [[12edo|12-EDO]]-System sehr schlecht wiedergegeben. Gute Annäherungen bieten hingegen z.B. [[15-EDO]], [[21-EDO]], [[26-EDO]] und [[31-EDO]].

== Vertiefendes Lesen  ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Naturseptime Naturseptime - Wikipedia]
* [[:en:7/4|7/4]] -- der Artikel im englischsprachigen Xenwiki

[[Kategorie:Intervall]]
[[Kategorie:Naturton]]
[[Kategorie:7-limit]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
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Siehe auch

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[http://de.wikipedia.org/wiki/Naturterz Naturterz – Wikipedia]&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;  [[Category:Intervall]]
[[Category:Naturton]]</text>
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Siehe auch
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Naturterz|Naturterz – Wikipedia]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Siehe auch&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Naturterz" rel="nofollow"&amp;gt;Naturterz – Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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}}

Die '''Naturterz''' ist das [[Intervall]] zwischen dem 4. und 5. [[Naturtonreihe|Naturton]]. Ihr Schwingungsverhältnis ist 5/4 und ihre Größe beträgt ca. 386 [[Cent]].

== Siehe auch ==

* [http://de.wikipedia.org/wiki/Naturterz Naturterz – Wikipedia]

[[Category:Intervall]]
[[Category:Naturton]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
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| Namen = Naturterz
}}

Die '''Naturterz''' ist das [[Intervall]] zwischen dem 4. und 5. [[Naturtonreihe|Naturton]]. Ihr Schwingungsverhältnis ist 5/4 und ihre Größe beträgt ca. 386 [[Cent]].

== Siehe auch ==

* [http://de.wikipedia.org/wiki/Naturterz Naturterz – Wikipedia]

[[Category:Intervall]]
[[Category:Naturton]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
[[en:5/4]]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Nautilus-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren der [[Komma|Kommas]] [[250/243|250/243]] (Porcupine-Komma) und [[49/48|49/48]] (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton) auf dem 7-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]]. Das Austemperieren des ersteren Kommas definiert eine [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur, das des letzteren eine [[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Semiphor]]-Temperatur. Eine Nautilus-Temperatur ist also sowohl eine Porcupine- als auch eine Semiphor-Temperatur.

Das Austemperieren des Kommas 49/48 hat zur Folge, dass eine Quarte in zwei gleich grosse Teile geteilt wird, während dasselbe mit dem Porcupine-Komma eine Quarte in drei gleiche Teile teilt. Bei Nautilus ist eine Quarte somit in sechs gleiche Teile teilbar - diese Sechstelquarte bildet den Generator von Nautilus (eine Art kleiner Halbton, halb so gross wie ein Porcupine-Generator).

Als quasi optimale [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung von Nautilus gilt [[29edo|29edo]].

Unter den [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] von Nautilus ist diejenige mit vierzehn Tönen besonders interessant, das Analogon zur siebentönigen Porcupine-Skala (sie ist in der Tat auch aus zwei solchen zusammengesetzt). Sie enthält eine Reihe Vierklänge mit dem approximierten Frequenzverhältnis 4:5:6:7 (aus den Obertönen 4 bis 7, ähnlich einem Dominantseptakkord) sowie eine Reihe solcher mit approximiertem Frequenzverhältnis 9:11:13:15, Vierklänge, die auch prominent in der [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Stimmung auftreten. Jeder Ton der vierzehntönigen Nautilus-Skala ist Basiston für einen Vierklang der genannten beiden Arten oder dessen Umkehrung; dies macht Nautilus[14],

ähnlich wie [[Pajara|Pajara]][10], zu einem interessanten Beispiel eines auf Vierklägen basierenden Harmoniesystems.

[[File:Nautilus14_29edo.mp3]]

Nautilus[14]-Skala (Lsssssssssssss) in 29edo</text>
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Nautilus-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren der [[Komma|Kommas]] [[xenharmonie/250_243|250/243]] (Porcupine-Komma) und [[xenharmonie/49_48|49/48]] (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton) auf dem 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]]. Das Austemperieren des ersteren Kommas definiert eine [[Porcupine]]-Temperatur, das des letzteren eine [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semiphor]]-Temperatur. Eine Nautilus-Temperatur ist also sowohl eine Porcupine- als auch eine Semiphor-Temperatur.

Das Austemperieren des Kommas 49/48 hat zur Folge, dass eine Quarte in zwei gleich grosse Teile geteilt wird, während dasselbe mit dem Porcupine-Komma eine Quarte in drei gleiche Teile teilt. Bei Nautilus ist eine Quarte somit in sechs gleiche Teile teilbar - diese Sechstelquarte bildet den Generator von Nautilus (eine Art kleiner Halbton, halb so gross wie ein Porcupine-Generator).

Als quasi optimale [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung von Nautilus gilt [[29edo]].

Unter den [[MOS-Skalen]] von Nautilus ist diejenige mit vierzehn Tönen besonders interessant, das Analogon zur siebentönigen Porcupine-Skala (sie ist in der Tat auch aus zwei solchen zusammengesetzt). Sie enthält eine Reihe Vierklänge mit dem approximierten Frequenzverhältnis 4:5:6:7 (aus den Obertönen 4 bis 7, ähnlich einem Dominantseptakkord) sowie eine Reihe solcher mit approximiertem Frequenzverhältnis 9:11:13:15, Vierklänge, die auch prominent in der [[Bohlen-Pierce]]-Stimmung auftreten. Jeder Ton der vierzehntönigen Nautilus-Skala ist Basiston für einen Vierklang der genannten beiden Arten oder dessen Umkehrung; dies macht Nautilus[14],
ähnlich wie [[Pajara]][10], zu einem interessanten Beispiel eines auf Vierklägen basierenden Harmoniesystems.

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Nautilus[14]-Skala (Lsssssssssssss) in 29edo&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Familie der Nautilus-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (Porcupine-Komma) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/49_48"&amp;gt;49/48&amp;lt;/a&amp;gt; (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton) auf dem 7-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;. Das Austemperieren des ersteren Kommas definiert eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, das des letzteren eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Semiphor%2C%20Semaphor%2C%20Godzilla"&amp;gt;Semiphor&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur. Eine Nautilus-Temperatur ist also sowohl eine Porcupine- als auch eine Semiphor-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Austemperieren des Kommas 49/48 hat zur Folge, dass eine Quarte in zwei gleich grosse Teile geteilt wird, während dasselbe mit dem Porcupine-Komma eine Quarte in drei gleiche Teile teilt. Bei Nautilus ist eine Quarte somit in sechs gleiche Teile teilbar - diese Sechstelquarte bildet den Generator von Nautilus (eine Art kleiner Halbton, halb so gross wie ein Porcupine-Generator).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als quasi optimale &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Realisierung von Nautilus gilt &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Unter den &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; von Nautilus ist diejenige mit vierzehn Tönen besonders interessant, das Analogon zur siebentönigen Porcupine-Skala (sie ist in der Tat auch aus zwei solchen zusammengesetzt). Sie enthält eine Reihe Vierklänge mit dem approximierten Frequenzverhältnis 4:5:6:7 (aus den Obertönen 4 bis 7, ähnlich einem Dominantseptakkord) sowie eine Reihe solcher mit approximiertem Frequenzverhältnis 9:11:13:15, Vierklänge, die auch prominent in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bohlen-Pierce"&amp;gt;Bohlen-Pierce&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung auftreten. Jeder Ton der vierzehntönigen Nautilus-Skala ist Basiston für einen Vierklang der genannten beiden Arten oder dessen Umkehrung; dies macht Nautilus[14],&amp;lt;br /&amp;gt;
ähnlich wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;[10], zu einem interessanten Beispiel eines auf Vierklägen basierenden Harmoniesystems.&amp;lt;br /&amp;gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Nautilus-Temperaturen ist definiert durch das Austmperieren der [[Komma|Kommas]] [[xenharmonie/250_243|250/243]] (Porcupine-Komma) und [[xenharmonie/49_48|49/48]] (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton) auf dem 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]]. Das Austemperieren des ersteren Kommas definiert eine [[Porcupine]]-Temperatur, das des letzteren eine [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semiphor]]-Temperatur. Eine Nautilus-Temperatur ist also sowohl eine Porcupine- als auch eine Semiphor-Temperatur.

Das Austemperieren des Kommas 49/48 hat zur Folge, dass eine Quarte in zwei gleich grosse Teile geteilt wird, während dasselbe mit dem Porcupine-Komma eine Quarte in drei gleiche Teile teilt. Bei Nautilus ist eine Quarte somit in sechs gleiche Teile teilbar - diese Sechstelquarte bildet den Generator von Nautilus (eine Art kleiner Halbton, halb so gross wie ein Porcupine-Generator).

Als quasi optimale [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung von Nautilus gilt [[29edo]].

Unter den [[MOS-Skalen]] von Nautilus ist diejenige mit vierzehn Tönen besonders interessant, das Analogon zur siebentönigen Porcupine-Skala (sie ist in der Tat auch aus zwei solchen zusammengesetzt). Sie enthält eine Reihe Vierklänge mit dem approximierten Frequenzverhältnis 4:5:6:7 (aus den Obertönen 4 bis 7, ähnlich einem Dominantseptakkord) sowie eine Reihe solcher mit approximiertem Frequenzverhältnis 9:11:13:15, Vierklänge, die auch prominent in der [[Bohlen-Pierce]]-Stimmung auftreten. Jeder Ton der vierzehntönigen Nautilus-Skala ist Basiston für einen Vierklang der genannten beiden Arten oder dessen Umkehrung; dies macht Nautilus[14],
ähnlich wie [[Pajara]][10], zu einem interessanten Beispiel eines auf Vierklägen basierenden Harmoniesystems.

[[media type="file" key="Nautilus14_29edo.mp3"]]
Nautilus[14]-Skala (Lsssssssssssss) in 29edo&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die Familie der Nautilus-Temperaturen ist definiert durch das Austmperieren der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (Porcupine-Komma) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/49_48"&amp;gt;49/48&amp;lt;/a&amp;gt; (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton) auf dem 7-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;. Das Austemperieren des ersteren Kommas definiert eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, das des letzteren eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Semiphor%2C%20Semaphor%2C%20Godzilla"&amp;gt;Semiphor&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur. Eine Nautilus-Temperatur ist also sowohl eine Porcupine- als auch eine Semiphor-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Austemperieren des Kommas 49/48 hat zur Folge, dass eine Quarte in zwei gleich grosse Teile geteilt wird, während dasselbe mit dem Porcupine-Komma eine Quarte in drei gleiche Teile teilt. Bei Nautilus ist eine Quarte somit in sechs gleiche Teile teilbar - diese Sechstelquarte bildet den Generator von Nautilus (eine Art kleiner Halbton, halb so gross wie ein Porcupine-Generator).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als quasi optimale &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Realisierung von Nautilus gilt &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Unter den &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; von Nautilus ist diejenige mit vierzehn Tönen besonders interessant, das Analogon zur siebentönigen Porcupine-Skala (sie ist in der Tat auch aus zwei solchen zusammengesetzt). Sie enthält eine Reihe Vierklänge mit dem approximierten Frequenzverhältnis 4:5:6:7 (aus den Obertönen 4 bis 7, ähnlich einem Dominantseptakkord) sowie eine Reihe solcher mit approximiertem Frequenzverhältnis 9:11:13:15, Vierklänge, die auch prominent in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bohlen-Pierce"&amp;gt;Bohlen-Pierce&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung auftreten. Jeder Ton der vierzehntönigen Nautilus-Skala ist Basiston für einen Vierklang der genannten beiden Arten oder dessen Umkehrung; dies macht Nautilus[14],&amp;lt;br /&amp;gt;
ähnlich wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;[10], zu einem interessanten Beispiel eines auf Vierklägen basierenden Harmoniesystems.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Nautilus-Temperaturen ist definiert durch das Austmperieren der [[Komma|Kommas]] [[xenharmonie/250_243|250/243]] (Porcupine-Komma) und [[xenharmonie/49_48|49/48]] (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton) auf dem 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]]. Das Austemperieren des ersteren Kommas definiert eine [[Porcupine]]-Temperatur, das des letzteren eine [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semiphor]]-Temperatur. Eine Nautilus-Temperatur ist also sowohl eine Porcupine- als auch eine Semiphor-Temperatur.

Das Austemperieren des Kommas 49/48 hat zur Folge, dass eine Quarte in zwei gleich grosse Teile geteilt wird, während dasselbe mit dem Porcupine-Komma eine Quarte in drei gleiche Teile teilt. Bei Nautilus ist eine Quarte somit in sechs gleiche Teile teilbar - diese Sechstelquarte bildet den Generator von Nautilus (eine Art kleiner Halbton, halb so gross wie ein Porcupine-Generator).

Als quasi optimale [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung von Nautilus gilt [[29edo]].

Unter den [[MOS-Skalen]] von Nautilus ist diejenige mit vierzehn Tönen besonders interessant, das Analogon zur siebentönigen Porcupine-Skala (sie ist in der Tat auch aus zwei solchen zusammengesetzt). Sie enthält eine Reihe Vierklänge mit dem approximierten Frequenzverhältnis 4:5:6:7 (aus den Obertönen 4 bis 7, ähnlich einem Dominantseptakkord) sowie eine Reihe solcher mit approximiertem Frequenzverhältnis 9:11:13:15, Vierklänge, die auch prominent in der [[Bohlen-Pierce]]-Stimmung auftreten. Jeder Ton der vierzehntönigen Nautilus-Skala ist Basiston für einen Vierklang der genannten beiden Arten oder dessen Umkehrung; dies macht Nautilus[14],
ähnlich wie [[Pajara]][10], zu einem interessanten Beispiel eines auf Vierklägen basierenden Harmoniesystems.

[Todo Tonbeispiele]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Die Familie der Nautilus-Temperaturen ist definiert durch das Austmperieren der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (Porcupine-Komma) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/49_48"&amp;gt;49/48&amp;lt;/a&amp;gt; (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton) auf dem 7-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;. Das Austemperieren des ersteren Kommas definiert eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, das des letzteren eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Semiphor%2C%20Semaphor%2C%20Godzilla"&amp;gt;Semiphor&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur. Eine Nautilus-Temperatur ist also sowohl eine Porcupine- als auch eine Semiphor-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Austemperieren des Kommas 49/48 hat zur Folge, dass eine Quarte in zwei gleich grosse Teile geteilt wird, während dasselbe mit dem Porcupine-Komma eine Quarte in drei gleiche Teile teilt. Bei Nautilus ist eine Quarte somit in sechs gleiche Teile teilbar - diese Sechstelquarte bildet den Generator von Nautilus (eine Art kleiner Halbton, halb so gross wie ein Porcupine-Generator).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als quasi optimale &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Realisierung von Nautilus gilt &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Unter den &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; von Nautilus ist diejenige mit vierzehn Tönen besonders interessant, das Analogon zur siebentönigen Porcupine-Skala (sie ist in der Tat auch aus zwei solchen zusammengesetzt). Sie enthält eine Reihe Vierklänge mit dem approximierten Frequenzverhältnis 4:5:6:7 (aus den Obertönen 4 bis 7, ähnlich einem Dominantseptakkord) sowie eine Reihe solcher mit approximiertem Frequenzverhältnis 9:11:13:15, Vierklänge, die auch prominent in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bohlen-Pierce"&amp;gt;Bohlen-Pierce&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung auftreten. Jeder Ton der vierzehntönigen Nautilus-Skala ist Basiston für einen Vierklang der genannten beiden Arten oder dessen Umkehrung; dies macht Nautilus[14],&amp;lt;br /&amp;gt;
ähnlich wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;[10], zu einem interessanten Beispiel eines auf Vierklägen basierenden Harmoniesystems.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Nautilus-Temperaturen ist definiert durch das Austmperieren der [[Komma|Kommas]] [[xenharmonie/250_243|250/243]] (Porcupine-Komma) und [[xenharmonie/49_48|49/48]] (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton) auf dem 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]]. Das Austemperieren des ersteren Kommas definiert eine [[Porcupine]]-Temperatur, das des letzteren eine [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semiphor]]-Temperatur. Eine Nautilus-Temperatur ist also sowohl eine Porcupine- als auch eine Semiphor-Temperatur.

Das Austemperieren des Kommas 49/48 hat zur Folge, dass eine Quarte in zwei gleich grosse Teile geteilt wird, während dasselbe mit dem Porcupine-Komma eine Quarte in drei gleiche Teile teilt. Bei Nautilus ist eine Quarte somit in sechs gleiche Teile teilbar - diese Sechstelquarte bildet den Generator von Nautilus (eine Art kleiner Halbton, halb so gross wie ein Porcupine-Generator).

Als quasi optimale [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung von Nautilus gilt [[29edo]].

Unter den [[MOS-Skalen]] von Nautilus ist diejenige mit vierzehn Tönen besonders interessant, das Analogon zur siebentönigen Porcupine-Skala (sie ist in der Tat auch aus zwei solchen zusammengesetzt). Sie enthält eine Reihe Vierklänge mit dem approximierten Frequenzverhältnis 4:5:6:7 (aus den Obertönen 4 bis 7, ähnlich einem Dominantseptakkord) sowie eine Reihe solcher mit approximiertem Frequenzverhältnis 9:11:13:15, Vierklänge, die auch prominent in der [[Bohlen-Pierce]]-Stimmung auftreten. Jeder Ton der vierzehntönigen Nautilus-Skala ist Basiston für einen Vierklang der genannten beiden Arten oder dessen Umkehrung; dies macht Nautilus[14], 
ähnlich wie [[Pajara]][10], zu einem interessanten Beispiel eines auf Vierklägen basierenden Hrmoniesystems.

[Todo Tonbeispiele]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Die Familie der Nautilus-Temperaturen ist definiert durch das Austmperieren der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (Porcupine-Komma) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/49_48"&amp;gt;49/48&amp;lt;/a&amp;gt; (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton) auf dem 7-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;. Das Austemperieren des ersteren Kommas definiert eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, das des letzteren eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Semiphor%2C%20Semaphor%2C%20Godzilla"&amp;gt;Semiphor&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur. Eine Nautilus-Temperatur ist also sowohl eine Porcupine- als auch eine Semiphor-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Austemperieren des Kommas 49/48 hat zur Folge, dass eine Quarte in zwei gleich grosse Teile geteilt wird, während dasselbe mit dem Porcupine-Komma eine Quarte in drei gleiche Teile teilt. Bei Nautilus ist eine Quarte somit in sechs gleiche Teile teilbar - diese Sechstelquarte bildet den Generator von Nautilus (eine Art kleiner Halbton, halb so gross wie ein Porcupine-Generator).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Als quasi optimale &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Realisierung von Nautilus gilt &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Unter den &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; von Nautilus ist diejenige mit vierzehn Tönen besonders interessant, das Analogon zur siebentönigen Porcupine-Skala (sie ist in der Tat auch aus zwei solchen zusammengesetzt). Sie enthält eine Reihe Vierklänge mit dem approximierten Frequenzverhältnis 4:5:6:7 (aus den Obertönen 4 bis 7, ähnlich einem Dominantseptakkord) sowie eine Reihe solcher mit approximiertem Frequenzverhältnis 9:11:13:15, Vierklänge, die auch prominent in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bohlen-Pierce"&amp;gt;Bohlen-Pierce&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung auftreten. Jeder Ton der vierzehntönigen Nautilus-Skala ist Basiston für einen Vierklang der genannten beiden Arten oder dessen Umkehrung; dies macht Nautilus[14], &amp;lt;br /&amp;gt;
ähnlich wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;[10], zu einem interessanten Beispiel eines auf Vierklägen basierenden Hrmoniesystems.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Nautilus-Temperaturen ist definiert durch das Austmperieren der [[Komma|Kommas]] [[xenharmonie/250_243|250/243]] (Porcupine-Komma) und [[xenharmonie/49_48|49/48]] (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton) auf dem 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]]. Das Austemperieren des ersteren Kommas definiert eine [[Porcupine]]-Temperatur, das des letzteren eine [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semiphor]]-Temperatur. Eine Nautilus-Temperatur ist also sowohl eine Porcupine- als auch eine Semiphor-Temperatur.

Das Austemperieren des Kommas 49/48 hat zur Folge, dass eine Quarte in zwei gleich grosse Teile geteilt wird, während dasselbe mit dem Porcupine-Komma eine Quarte in drei gleiche Teile teilt. Bei Nautilus ist eine Quarte somit in sechs gleiche Teile teilbar - diese Sechstelquarte bildet den Generator von Nautilus (eine Art kleiner Halbton, halb so gross wie ein Porcupine-Generator).

Eine gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung von Nautilus ist [[29edo]].

Unter den [[MOS-Skalen]] von Nautilus ist diejenige mit vierzehn Tönen besonders interessant.
[Todo]

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die Familie der Nautilus-Temperaturen ist definiert durch das Austmperieren der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (Porcupine-Komma) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/49_48"&amp;gt;49/48&amp;lt;/a&amp;gt; (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton) auf dem 7-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;. Das Austemperieren des ersteren Kommas definiert eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, das des letzteren eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Semiphor%2C%20Semaphor%2C%20Godzilla"&amp;gt;Semiphor&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur. Eine Nautilus-Temperatur ist also sowohl eine Porcupine- als auch eine Semiphor-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Austemperieren des Kommas 49/48 hat zur Folge, dass eine Quarte in zwei gleich grosse Teile geteilt wird, während dasselbe mit dem Porcupine-Komma eine Quarte in drei gleiche Teile teilt. Bei Nautilus ist eine Quarte somit in sechs gleiche Teile teilbar - diese Sechstelquarte bildet den Generator von Nautilus (eine Art kleiner Halbton, halb so gross wie ein Porcupine-Generator).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine gute &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Realisierung von Nautilus ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Unter den &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; von Nautilus ist diejenige mit vierzehn Tönen besonders interessant.&amp;lt;br /&amp;gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Nautilus-Temperaturen ist definiert durch das Austmperieren der [[Komma|Kommas]] [[xenharmonie/250_243|250/243]] (Porcupine-Komma) und [[xenharmonie/49_48|49/48]] (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton) auf dem 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]]. Das Austemperieren des ersteren Kommas definiert eine [[Porcupine]]-Temperatur, das des letzteren eine [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semiphor]]-Temperatur. Eine Nautilus-Temperatur ist also sowohl eine Porcupine- als auch eine Semiphor-Temperatur.

Das Austemperieren des Kommas 49/48 hat zur Folge, dass eine Quarte in zwei gleich grosse Teile geteilt wird, während dasselbe mit dem Porcupine-Komma eine Quarte in drei gleiche Teile teilt. Bei Nautilus ist eine Quarte somit in sechs gleiche Teile teilbar - diese Sechstelquarte bildet den Generator von Nautilus (eine Art kleiner Halbton, halb so gross wie ein Porcupine-Generator).

Eine gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung von Nautilus ist [[29edo]].

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die Familie der Nautilus-Temperaturen ist definiert durch das Austmperieren der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (Porcupine-Komma) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/49_48"&amp;gt;49/48&amp;lt;/a&amp;gt; (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton) auf dem 7-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;. Das Austemperieren des ersteren Kommas definiert eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, das des letzteren eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Semiphor%2C%20Semaphor%2C%20Godzilla"&amp;gt;Semiphor&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur. Eine Nautilus-Temperatur ist also sowohl eine Porcupine- als auch eine Semiphor-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Austemperieren des Kommas 49/48 hat zur Folge, dass eine Quarte in zwei gleich grosse Teile geteilt wird, während dasselbe mit dem Porcupine-Komma eine Quarte in drei gleiche Teile teilt. Bei Nautilus ist eine Quarte somit in sechs gleiche Teile teilbar - diese Sechstelquarte bildet den Generator von Nautilus (eine Art kleiner Halbton, halb so gross wie ein Porcupine-Generator).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine gute &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Realisierung von Nautilus ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Nautilus-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren der [[Komma|Kommas]] [[250/243|250/243]] (Porcupine-Komma) und [[49/48|49/48]] (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton) auf dem 7-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]]. Das Austemperieren des ersteren Kommas definiert eine [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur, das des letzteren eine [[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Semiphor]]-Temperatur. Eine Nautilus-Temperatur ist also sowohl eine Porcupine- als auch eine Semiphor-Temperatur.

Das Austemperieren des Kommas 49/48 hat zur Folge, dass eine Quarte in zwei gleich grosse Teile geteilt wird, während dasselbe mit dem Porcupine-Komma eine Quarte in drei gleiche Teile teilt. Bei Nautilus ist eine Quarte somit in sechs gleiche Teile teilbar - diese Sechstelquarte bildet den Generator von Nautilus (eine Art kleiner Halbton, halb so gross wie ein Porcupine-Generator).

Als quasi optimale [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung von Nautilus gilt [[29edo|29edo]].

Unter den [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] von Nautilus ist diejenige mit vierzehn Tönen besonders interessant, das Analogon zur siebentönigen Porcupine-Skala (sie ist in der Tat auch aus zwei solchen zusammengesetzt). Sie enthält eine Reihe Vierklänge mit dem approximierten Frequenzverhältnis 4:5:6:7 (aus den Obertönen 4 bis 7, ähnlich einem Dominantseptakkord) sowie eine Reihe solcher mit approximiertem Frequenzverhältnis 9:11:13:15, Vierklänge, die auch prominent in der [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Stimmung auftreten. Jeder Ton der vierzehntönigen Nautilus-Skala ist Basiston für einen Vierklang der genannten beiden Arten oder dessen Umkehrung; dies macht Nautilus[14],

ähnlich wie [[Pajara|Pajara]][10], zu einem interessanten Beispiel eines auf Vierklägen basierenden Harmoniesystems.

[[File:Nautilus14_29edo.mp3]]

Nautilus[14]-Skala (Lsssssssssssss) in 29edo</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Nautilus-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren der [[Komma|Kommas]] [[250/243|250/243]] (Porcupine-Komma) und [[49/48|49/48]] (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton) auf dem 7-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]]. Das Austemperieren des ersteren Kommas definiert eine [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur, das des letzteren eine [[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Semiphor]]-Temperatur. Eine Nautilus-Temperatur ist also sowohl eine Porcupine- als auch eine Semiphor-Temperatur.

Das Austemperieren des Kommas 49/48 hat zur Folge, dass eine Quarte in zwei gleich grosse Teile geteilt wird, während dasselbe mit dem Porcupine-Komma eine Quarte in drei gleiche Teile teilt. Bei Nautilus ist eine Quarte somit in sechs gleiche Teile teilbar - diese Sechstelquarte bildet den Generator von Nautilus (eine Art kleiner Halbton, halb so gross wie ein Porcupine-Generator).

Als quasi optimale [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung von Nautilus gilt [[29edo|29edo]].

Unter den [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] von Nautilus ist diejenige mit vierzehn Tönen besonders interessant, das Analogon zur siebentönigen Porcupine-Skala (sie ist in der Tat auch aus zwei solchen zusammengesetzt). Sie enthält eine Reihe Vierklänge mit dem approximierten Frequenzverhältnis 4:5:6:7 (aus den Obertönen 4 bis 7, ähnlich einem Dominantseptakkord) sowie eine Reihe solcher mit approximiertem Frequenzverhältnis 9:11:13:15, Vierklänge, die auch prominent in der [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Stimmung auftreten. Jeder Ton der vierzehntönigen Nautilus-Skala ist Basiston für einen Vierklang der genannten beiden Arten oder dessen Umkehrung; dies macht Nautilus[14], ähnlich wie [[Pajara|Pajara]][10], zu einem interessanten Beispiel eines auf Vierklägen basierenden Harmoniesystems.

[[File:Nautilus14_29edo.mp3]]

Nautilus[14]-Skala (Lsssssssssssss) in 29edo</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]
= Definition, grundlegende Eigenschaften =
Die Familie der Nautilus-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren der [[Komma|Kommas]] [[250/243|250/243]] (Porcupine-Komma) und [[49/48|49/48]] (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton) auf dem 7-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]]. Das Austemperieren des ersteren Kommas definiert eine [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur, das des letzteren eine [[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Semiphor]]-Temperatur. Eine Nautilus-Temperatur ist also sowohl eine Porcupine- als auch eine Semiphor-Temperatur.

Das Austemperieren des Kommas 49/48 hat zur Folge, dass eine Quarte in zwei gleich grosse Teile geteilt wird, während dasselbe mit dem Porcupine-Komma eine Quarte in drei gleiche Teile teilt. Bei Nautilus ist eine Quarte somit in sechs gleiche Teile teilbar - diese Sechstelquarte bildet den Generator von Nautilus (eine Art kleiner Halbton, halb so gross wie ein Porcupine-Generator).

= MOS-Skalen =
Unter den [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] von Nautilus ist diejenige mit vierzehn Tönen besonders interessant, das Analogon zur siebentönigen Porcupine-Skala (sie ist in der Tat auch aus zwei solchen zusammengesetzt). Sie enthält eine Reihe Vierklänge mit dem approximierten Frequenzverhältnis 4:5:6:7 (aus den Obertönen 4 bis 7, ähnlich einem Dominantseptakkord) sowie eine Reihe solcher mit approximiertem Frequenzverhältnis 9:11:13:15, Vierklänge, die auch prominent in der [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Stimmung auftreten. Jeder Ton der vierzehntönigen Nautilus-Skala ist Basiston für einen Vierklang der genannten beiden Arten oder dessen Umkehrung; dies macht Nautilus[14], ähnlich wie [[Pajara|Pajara]][10], zu einem interessanten Beispiel eines auf Vierklägen basierenden Harmoniesystems.

[[File:Nautilus14_29edo.mp3]]

Nautilus[14]-Skala (Lsssssssssssss) in 29edo
= Gleichstufige Tonsysteme =
Als quasi optimale [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung von Nautilus gilt [[29edo|29-EDO]].

[[15-EDO]] unterstützt Nautilus ebenfalls, ein bisschen ein Grenzfall, bei dem die vierzehntönige MOS-Skala fast völlig gleichförmig ist (sie besteht aus dem ganzen 15-EDO, bei dem ein Ton entfernt wurde).</text>
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      <text bytes="2915" sha1="fjb5y7diihomxpwigp2q3bc4bm2qnyy" xml:space="preserve">&lt;span style="display: block; text-align: right;"&gt;[[:en:Fractional_monzos English]]&lt;/span&gt;

Wie auf der Seite [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende [[Intervallraum|Intervallraum]] ist, mathematisch gesehen, ein [http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29  Z-Modul]).

Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren auch nichtganzzahlige Werte zuzulassen.

Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;gt; steht für das Intervall mitv Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;a&lt;/span&gt; * 3&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;b&lt;/span&gt; * 5&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;c&lt;/span&gt;.

Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;(1/n)&lt;/span&gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen]] 

Stimmung, von n-[[edo|Edo]] nämlich.

Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 &amp;gt; einen Basisschritt der [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 &amp;gt; steht für den Wert, um den eine Quinte in der [[viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung vermindert werden muss.

Mit dem so erweiterten Intervallraum (bei dem es sich nun um einen "echten" Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn handelt) haben wir somit ein Instrument zur Verfügung, das die Beschreibung [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmungen]], [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufiger Tonsysteme]] wie auch [[Reguläre_Temperaturen|regulärer Temperaturen]] in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.

=Nichtganzzahlige Intervallvektoren und reine Intervalle=

Die von nichtganzzahligen Intervallvektoren beschriebenen Frequenzverhältnisse sind irrationale Zahlen, die entsprechenden Intervalle sind also keine "reinen" Intervalle. Doch bei rationalen Koeffizienten gibt es eine einfache Beziehung zu reinern Intervallen: jedes durch einen nichtganzzahligen Intervallvektor beschriebene Intervall ist der n-te Teil eines reinen Intervalles (bzw., mathematisch: die n-te Potenz), wobei n das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) der Nenner der Koeffizienten des Intervallvektors ist. Das reine Intervall ist durch das KGV sogar eindeutig bestimmt.

Wenn als Koeffizienten des Intervallvektors nicht nur rationale, sondern beliebige reelle Zahlen erlaubt sind, gibt es diese eindeutige Beziehung nicht: dann kann jedes Intervall eine Potenz von jeder beliebigen Primzahl wie auch auf unendlich viele verschiedene Arten eine Kombination von Primzahlpotenzen sein.

=Temperierte Stimmungen als Transformationen im Intervallraum=

[To do]</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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      <comment>**Imported revision 624282169 - Original comment: **</comment>
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      <text bytes="8429" sha1="6wvrd9l6dsfe4gx4mgq1etjo0tq02iq" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-12-28 13:24:47 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;624282169&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Fractional monzos|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
Wie auf der Seite [[Primfaktorzerlegung]] beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende [[Intervallraum]] ist, mathematisch gesehen, ein [[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29| Z-Modul]]).

Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren auch nichtganzzahlige Werte zuzulassen.

Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;gt; steht für das Intervall mitv Frequenzverhältnis 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;a&amp;lt;/span&amp;gt; * 3&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;b&amp;lt;/span&amp;gt; * 5&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;c&amp;lt;/span&amp;gt;.

Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;(1/n)&amp;lt;/span&amp;gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen]] 
Stimmung, von n-[[Edo]] nämlich.

Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 &amp;gt; einen Basisschritt der [[Bohlen-Pierce]]-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 &amp;gt; steht für den Wert, um den eine Quinte in der [[Viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung vermindert werden muss.

Mit dem so erweiterten Intervallraum (bei dem es sich nun um einen "echten" Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn handelt) haben wir somit ein Instrument zur Verfügung, das die Beschreibung [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]], [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiger Tonsysteme]] wie auch [[Reguläre Temperaturen|regulärer Temperaturen]] in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.

=Nichtganzzahlige Intervallvektoren und reine Intervalle=

Die von nichtganzzahligen Intervallvektoren beschriebenen Frequenzverhältnisse sind irrationale Zahlen, die entsprechenden Intervalle sind also keine "reinen" Intervalle. Doch bei rationalen Koeffizienten gibt es eine einfache Beziehung zu reinern Intervallen: jedes durch einen nichtganzzahligen Intervallvektor beschriebene Intervall ist der n-te Teil eines reinen Intervalles (bzw., mathematisch: die n-te Potenz), wobei n das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) der Nenner der Koeffizienten des Intervallvektors ist. Das reine Intervall ist durch das KGV sogar eindeutig bestimmt.

Wenn als Koeffizienten des Intervallvektors nicht nur rationale, sondern beliebige reelle Zahlen erlaubt sind, gibt es diese eindeutige Beziehung nicht: dann kann jedes Intervall eine Potenz von jeder beliebigen Primzahl wie auch auf unendlich viele verschiedene Arten eine Kombination von Primzahlpotenzen sein.


=Temperierte Stimmungen als Transformationen im Intervallraum=

[To do]
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Nichtganzzahlige Intervallvektoren&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Fractional%20monzos"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Wie auf der Seite &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; ist, mathematisch gesehen, ein &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29" rel="nofollow"&amp;gt; Z-Modul&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren auch nichtganzzahlige Werte zuzulassen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;amp;gt; steht für das Intervall mitv Frequenzverhältnis 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;a&amp;lt;/span&amp;gt; * 3&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;b&amp;lt;/span&amp;gt; * 5&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;c&amp;lt;/span&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;(1/n)&amp;lt;/span&amp;gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;br /&amp;gt;
Stimmung, von n-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Edo"&amp;gt;Edo&amp;lt;/a&amp;gt; nämlich.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 &amp;amp;gt; einen Basisschritt der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bohlen-Pierce"&amp;gt;Bohlen-Pierce&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 &amp;amp;gt; steht für den Wert, um den eine Quinte in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;Viertelkomma-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung vermindert werden muss.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Mit dem so erweiterten Intervallraum (bei dem es sich nun um einen &amp;amp;quot;echten&amp;amp;quot; Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn handelt) haben wir somit ein Instrument zur Verfügung, das die Beschreibung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufiger Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt; wie auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulärer Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Nichtganzzahlige Intervallvektoren und reine Intervalle"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Nichtganzzahlige Intervallvektoren und reine Intervalle&amp;lt;/h1&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die von nichtganzzahligen Intervallvektoren beschriebenen Frequenzverhältnisse sind irrationale Zahlen, die entsprechenden Intervalle sind also keine &amp;amp;quot;reinen&amp;amp;quot; Intervalle. Doch bei rationalen Koeffizienten gibt es eine einfache Beziehung zu reinern Intervallen: jedes durch einen nichtganzzahligen Intervallvektor beschriebene Intervall ist der n-te Teil eines reinen Intervalles (bzw., mathematisch: die n-te Potenz), wobei n das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) der Nenner der Koeffizienten des Intervallvektors ist. Das reine Intervall ist durch das KGV sogar eindeutig bestimmt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wenn als Koeffizienten des Intervallvektors nicht nur rationale, sondern beliebige reelle Zahlen erlaubt sind, gibt es diese eindeutige Beziehung nicht: dann kann jedes Intervall eine Potenz von jeder beliebigen Primzahl wie auch auf unendlich viele verschiedene Arten eine Kombination von Primzahlpotenzen sein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Temperierte Stimmungen als Transformationen im Intervallraum"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Temperierte Stimmungen als Transformationen im Intervallraum&amp;lt;/h1&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[To do]&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-12-28 13:22:08 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Fractional monzos|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
Wie auf der Seite [[Primfaktorzerlegung]] beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende [[Intervallraum]] ist, mathematisch gesehen, ein [[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29| Z-Modul]]).

Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren auch nichtganzzahlige Werte zuzulassen.

Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;gt; steht für das Intervall mitv Frequenzverhältnis 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;a&amp;lt;/span&amp;gt; * 3&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;b&amp;lt;/span&amp;gt; * 5&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;c&amp;lt;/span&amp;gt;.

Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;(1/n)&amp;lt;/span&amp;gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen]] 
Stimmung, von n-[[Edo]] nämlich.

Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 &amp;gt; einen Basisschritt der [[Bohlen-Pierce]]-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 &amp;gt; steht für den Wert, um den eine Quinte in der [[Viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung vermindert werden muss.

Mit dem so erweiterten Intervallraum (bei dem es sich nun um einen "echten" Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn handelt) haben wir somit ein Instrument zur Verfügung, das die Beschreibung [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]], [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiger Tonsysteme]] wie auch [[Reguläre Temperaturen|regulärer Temperaturen]] in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.

Die von nichtganzzahligen Intervallvektoren beschriebenen Frequenzverhältnisse sind irrationale Zahlen, die entsprechenden Intervalle sind also keine "reinen" Intervalle. Doch bei rationalen Koeffizienten gibt es eine einfache Beziehung zu reinern Intervallen: jedes durch einen nichtganzzahligen Intervallvektor beschriebene Intervall ist der n-te Teil eines reinen Intervalles (bzw., mathematisch: die n-te Potenz), wobei n das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) der Nenner der Koeffizienten des Intervallvektors ist. Das reine Intervall ist durch das KGV sogar eindeutig bestimmt.

Wenn als Koeffizienten des Intervallvektors nicht nur rationale, sondern beliebige reelle Zahlen erlaubt sind, gibt es diese eindeutige Beziehung nicht: dann kann jedes Intervall eine Potenz von jeder beliebigen Primzahl wie auch auf unendlich viele verschiedene Arten eine Kombination von Primzahlpotenzen sein.


=Temperierte Stimmungen als Transformationen im Intervallraum=

[TO DO]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Nichtganzzahlige Intervallvektoren&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Fractional%20monzos"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Wie auf der Seite &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; ist, mathematisch gesehen, ein &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29" rel="nofollow"&amp;gt; Z-Modul&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren auch nichtganzzahlige Werte zuzulassen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;amp;gt; steht für das Intervall mitv Frequenzverhältnis 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;a&amp;lt;/span&amp;gt; * 3&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;b&amp;lt;/span&amp;gt; * 5&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;c&amp;lt;/span&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;(1/n)&amp;lt;/span&amp;gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;br /&amp;gt;
Stimmung, von n-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Edo"&amp;gt;Edo&amp;lt;/a&amp;gt; nämlich.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 &amp;amp;gt; einen Basisschritt der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bohlen-Pierce"&amp;gt;Bohlen-Pierce&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 &amp;amp;gt; steht für den Wert, um den eine Quinte in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;Viertelkomma-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung vermindert werden muss.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Mit dem so erweiterten Intervallraum (bei dem es sich nun um einen &amp;amp;quot;echten&amp;amp;quot; Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn handelt) haben wir somit ein Instrument zur Verfügung, das die Beschreibung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufiger Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt; wie auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulärer Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die von nichtganzzahligen Intervallvektoren beschriebenen Frequenzverhältnisse sind irrationale Zahlen, die entsprechenden Intervalle sind also keine &amp;amp;quot;reinen&amp;amp;quot; Intervalle. Doch bei rationalen Koeffizienten gibt es eine einfache Beziehung zu reinern Intervallen: jedes durch einen nichtganzzahligen Intervallvektor beschriebene Intervall ist der n-te Teil eines reinen Intervalles (bzw., mathematisch: die n-te Potenz), wobei n das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) der Nenner der Koeffizienten des Intervallvektors ist. Das reine Intervall ist durch das KGV sogar eindeutig bestimmt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wenn als Koeffizienten des Intervallvektors nicht nur rationale, sondern beliebige reelle Zahlen erlaubt sind, gibt es diese eindeutige Beziehung nicht: dann kann jedes Intervall eine Potenz von jeder beliebigen Primzahl wie auch auf unendlich viele verschiedene Arten eine Kombination von Primzahlpotenzen sein.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Temperierte Stimmungen als Transformationen im Intervallraum"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Temperierte Stimmungen als Transformationen im Intervallraum&amp;lt;/h1&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-12-28 13:10:45 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
Wie auf der Seite [[Primfaktorzerlegung]] beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende [[Intervallraum]] ist, mathematisch gesehen, ein [[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29| Z-Modul]]).

Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren auch nichtganzzahlige Werte zuzulassen.

Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;gt; steht für das Intervall mitv Frequenzverhältnis 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;a&amp;lt;/span&amp;gt; * 3&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;b&amp;lt;/span&amp;gt; * 5&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;c&amp;lt;/span&amp;gt;.

Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;(1/n)&amp;lt;/span&amp;gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen]] 
Stimmung, von n-[[Edo]] nämlich.

Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 &amp;gt; einen Basisschritt der [[Bohlen-Pierce]]-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 &amp;gt; steht für den Wert, um den eine Quinte in der [[Viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung vermindert werden muss.

Mit dem so erweiterten Intervallraum (bei dem es sich nun um einen "echten" Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn handelt) haben wir somit ein Instrument zur Verfügung, das die Beschreibung [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]], [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiger Tonsysteme]] wie auch [[Reguläre Temperaturen|regulärer Temperaturen]] in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.

Die von nichtganzzahligen Intervallvektoren beschriebenen Frequenzverhältnisse sind irrationale Zahlen, die entsprechenden Intervalle sind also keine "reinen" Intervalle. Doch bei rationalen Koeffizienten gibt es eine einfache Beziehung zu reinern Intervallen: jedesvdurchbeinen nichtganzzahligen Intervallvektor beschriebene Intervall ist der n-tevTeil eines reinen Intervallen, wobei n das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) der Nenner der Koeffizienten des Intervallvektors ist.

[TO DO Reguläre Temperaturen als Transformationen, Eigenmonzos]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Nichtganzzahlige Intervallvektoren&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Fractional%20monzos"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Wie auf der Seite &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; ist, mathematisch gesehen, ein &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29" rel="nofollow"&amp;gt; Z-Modul&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren auch nichtganzzahlige Werte zuzulassen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;amp;gt; steht für das Intervall mitv Frequenzverhältnis 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;a&amp;lt;/span&amp;gt; * 3&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;b&amp;lt;/span&amp;gt; * 5&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;c&amp;lt;/span&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;(1/n)&amp;lt;/span&amp;gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;br /&amp;gt;
Stimmung, von n-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Edo"&amp;gt;Edo&amp;lt;/a&amp;gt; nämlich.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 &amp;amp;gt; einen Basisschritt der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bohlen-Pierce"&amp;gt;Bohlen-Pierce&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 &amp;amp;gt; steht für den Wert, um den eine Quinte in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;Viertelkomma-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung vermindert werden muss.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Mit dem so erweiterten Intervallraum (bei dem es sich nun um einen &amp;amp;quot;echten&amp;amp;quot; Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn handelt) haben wir somit ein Instrument zur Verfügung, das die Beschreibung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufiger Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt; wie auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulärer Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die von nichtganzzahligen Intervallvektoren beschriebenen Frequenzverhältnisse sind irrationale Zahlen, die entsprechenden Intervalle sind also keine &amp;amp;quot;reinen&amp;amp;quot; Intervalle. Doch bei rationalen Koeffizienten gibt es eine einfache Beziehung zu reinern Intervallen: jedesvdurchbeinen nichtganzzahligen Intervallvektor beschriebene Intervall ist der n-tevTeil eines reinen Intervallen, wobei n das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) der Nenner der Koeffizienten des Intervallvektors ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[TO DO Reguläre Temperaturen als Transformationen, Eigenmonzos]&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-12-27 05:39:53 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;624251513&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Fractional monzos|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
Wie auf der Seite [[Primfaktorzerlegung]] beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende [[Intervallraum]] ist, mathematisch gesehen, ein [[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29| Z-Modul]]).

Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren auch nichtganzzahlige Werte zuzulassen.

Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;gt; steht für das Intervall mitv Frequenzverhältnis 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;a&amp;lt;/span&amp;gt; * 3&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;b&amp;lt;/span&amp;gt; * 5&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;c&amp;lt;/span&amp;gt;.

Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;(1/n)&amp;lt;/span&amp;gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen]] 
Stimmung, von n-[[Edo]] nämlich.

Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 &amp;gt; einen Basisschritt der [[Bohlen-Pierce]]-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 &amp;gt; stehtfür den Wert, um den eine Quinte in der [[Viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung vermindert werden muss.

Mit dem so erweiterten Intervallraum (bei dem es sich nun um einen "echten" Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn handelt) haben wir somit ein Instrument tut Verfügung, das die Beschreibung [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]], [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiger Tonsysteme]] wie auch [[Reguläre Temperaturen|regulärer Temperaturen]] in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.

[TO DO Reguläre Temperaturen als Transformationen, Eigenmonzos]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Wie auf der Seite &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; ist, mathematisch gesehen, ein &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29" rel="nofollow"&amp;gt; Z-Modul&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren auch nichtganzzahlige Werte zuzulassen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;amp;gt; steht für das Intervall mitv Frequenzverhältnis 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;a&amp;lt;/span&amp;gt; * 3&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;b&amp;lt;/span&amp;gt; * 5&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;c&amp;lt;/span&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;(1/n)&amp;lt;/span&amp;gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;br /&amp;gt;
Stimmung, von n-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Edo"&amp;gt;Edo&amp;lt;/a&amp;gt; nämlich.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 &amp;amp;gt; einen Basisschritt der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bohlen-Pierce"&amp;gt;Bohlen-Pierce&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 &amp;amp;gt; stehtfür den Wert, um den eine Quinte in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;Viertelkomma-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung vermindert werden muss.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mit dem so erweiterten Intervallraum (bei dem es sich nun um einen &amp;amp;quot;echten&amp;amp;quot; Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn handelt) haben wir somit ein Instrument tut Verfügung, das die Beschreibung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufiger Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt; wie auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulärer Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-12-27 05:38:09 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
Wie auf der Seite [[Primfaktorzerlegung]] beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende [[Intervallraum]] ist, mathematisch gesehen, ein [[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29| Z-Modul]]).

Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren auch nichtganzzahlige Werte zuzulassen.

Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;gt; steht für das Intervall mitv Frequenzverhältnis 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;a&amp;lt;/span&amp;gt; * 3&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;b&amp;lt;/span&amp;gt; * 5&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;c&amp;lt;/span&amp;gt;.

Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;(1/n)&amp;lt;/span&amp;gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen]] 
Stimmung, von n-[[Edo]] nämlich.

Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 &amp;gt; einen Basisschritt der [[Bohlen-Pierce]]-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 &amp;gt; steht für den Wert, um den eine Quinte in der [[Viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung vermindert werden muss.

Mit dem so erweiterten Intervallraum (bei dem es sich nun um einen "echten" Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn handelt) haben wir somit ein Instrument tut Verfügung, das die Beschreibung [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]], [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiger Tonsysteme]] wie auch [[Reguläre Temperaturen|regulärer Temperaturen]] in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.

[TO DO weiter]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Wie auf der Seite &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; ist, mathematisch gesehen, ein &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29" rel="nofollow"&amp;gt; Z-Modul&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren auch nichtganzzahlige Werte zuzulassen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;amp;gt; steht für das Intervall mitv Frequenzverhältnis 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;a&amp;lt;/span&amp;gt; * 3&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;b&amp;lt;/span&amp;gt; * 5&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;c&amp;lt;/span&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;(1/n)&amp;lt;/span&amp;gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;br /&amp;gt;
Stimmung, von n-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Edo"&amp;gt;Edo&amp;lt;/a&amp;gt; nämlich.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 &amp;amp;gt; einen Basisschritt der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bohlen-Pierce"&amp;gt;Bohlen-Pierce&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 &amp;amp;gt; steht für den Wert, um den eine Quinte in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;Viertelkomma-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung vermindert werden muss.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mit dem so erweiterten Intervallraum (bei dem es sich nun um einen &amp;amp;quot;echten&amp;amp;quot; Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn handelt) haben wir somit ein Instrument tut Verfügung, das die Beschreibung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufiger Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt; wie auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulärer Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-12-27 05:37:39 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
Wie auf der Seite [[Primfaktorzerlegung]] beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende [[Intervallraum]] ist, mathematisch gesehen, ein
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29| Z-Modul]]).

Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren auch nichtganzzahlige Werte zuzulassen.

Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;gt; steht für das Intervall mitv Frequenzverhältnis 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;a&amp;lt;/span&amp;gt; * 3&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;b&amp;lt;/span&amp;gt; * 5&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;c&amp;lt;/span&amp;gt;.

Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;(1/n)&amp;lt;/span&amp;gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen]] 
Stimmung, von n-[[Edo]] nämlich.

Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 &amp;gt; einen Basisschritt der [[Bohlen-Pierce]]-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 &amp;gt; steht für den Wert, um den eine Quinte in der [[Viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung vermindert werden muss.

Mit dem so erweiterten Intervallraum (bei dem es sich nun um einen "echten" Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn handelt) haben wir somit ein Instrument tut Verfügung, das die Beschreibung [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]], [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiger Tonsysteme]] wie auch [[Reguläre Temperaturen|regulärer Temperaturen]] in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.

[TO DO weiter]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Nichtganzzahlige Intervallvektoren&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Fractional%20monzos"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Wie auf der Seite &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; ist, mathematisch gesehen, ein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29" rel="nofollow"&amp;gt; Z-Modul&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren auch nichtganzzahlige Werte zuzulassen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;amp;gt; steht für das Intervall mitv Frequenzverhältnis 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;a&amp;lt;/span&amp;gt; * 3&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;b&amp;lt;/span&amp;gt; * 5&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;c&amp;lt;/span&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;(1/n)&amp;lt;/span&amp;gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;br /&amp;gt;
Stimmung, von n-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Edo"&amp;gt;Edo&amp;lt;/a&amp;gt; nämlich.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 &amp;amp;gt; einen Basisschritt der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bohlen-Pierce"&amp;gt;Bohlen-Pierce&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 &amp;amp;gt; steht für den Wert, um den eine Quinte in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;Viertelkomma-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung vermindert werden muss.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Mit dem so erweiterten Intervallraum (bei dem es sich nun um einen &amp;amp;quot;echten&amp;amp;quot; Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn handelt) haben wir somit ein Instrument tut Verfügung, das die Beschreibung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufiger Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt; wie auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulärer Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-12-27 05:35:37 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
Wie auf der Seite [[Primfaktorzerlegung]] beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende [[Intervallraum]] ist, mathematisch gesehen, ein Z-Modul.

Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren auch nichtganzzahlige Werte zuzulassen.

Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;gt; steht für das Intervall mitv Frequenzverhältnis 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;a&amp;lt;/span&amp;gt; * 3&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;b&amp;lt;/span&amp;gt; * 5&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;c&amp;lt;/span&amp;gt;.

Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;(1/n)&amp;lt;/span&amp;gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen]] 
Stimmung, von n-[[Edo]] nämlich.

Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 &amp;gt; einen Basisschritt der [[Bohlen-Pierce]]-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 &amp;gt; steht für den Wert, um den eine Quinte in der [[Viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung vermindert werden muss.

Mit dem so erweiterten Intervallraum (bei dem es sich nun um einen "echten" Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn handelt) haben wir somit ein Instrument tut Verfügung, das die Beschreibung [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]], [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiger Tonsysteme]] wie auch [[Reguläre Temperaturen|regulärer Temperaturen]] in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.

[TO DO weiter]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Wie auf der Seite &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; ist, mathematisch gesehen, ein Z-Modul.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren auch nichtganzzahlige Werte zuzulassen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;amp;gt; steht für das Intervall mitv Frequenzverhältnis 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;a&amp;lt;/span&amp;gt; * 3&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;b&amp;lt;/span&amp;gt; * 5&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;c&amp;lt;/span&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;(1/n)&amp;lt;/span&amp;gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;br /&amp;gt;
Stimmung, von n-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Edo"&amp;gt;Edo&amp;lt;/a&amp;gt; nämlich.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 &amp;amp;gt; einen Basisschritt der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bohlen-Pierce"&amp;gt;Bohlen-Pierce&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 &amp;amp;gt; steht für den Wert, um den eine Quinte in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;Viertelkomma-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung vermindert werden muss.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Mit dem so erweiterten Intervallraum (bei dem es sich nun um einen &amp;amp;quot;echten&amp;amp;quot; Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn handelt) haben wir somit ein Instrument tut Verfügung, das die Beschreibung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufiger Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt; wie auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulärer Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-12-27 05:34:06 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
Wie auf der Seite [[Primfaktorzerlegung]] beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende [[Intervallraum]] ist, mathematisch gesehen, ein Z-Modul.

Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren auch nichtganzzahlige Werte zuzulassen.

Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;gt; steht für das Intervall mitv Frequenzverhältnis 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;a&amp;lt;/span&amp;gt; * 3&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;b&amp;lt;/span&amp;gt; * 5&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;c&amp;lt;/span&amp;gt;.

Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;(1/n)&amp;lt;/span&amp;gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen]] 
Stimmung, von n-[[Edo]] nämlich.

Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 &amp;gt; einen Basisschritt der [[Bohlen-Pierce]]-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 &amp;gt; steht für den Wert, um den eine Quinte in der [[Viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung vermindert werden muss.

Mit den so erweitern Intervallraum (bei dem es sich nun um einen "echten" Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn handelt) haben wir somit ein Instrument tut Verfügung, das die Beschreibung [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]], [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiger Tonsysteme]] wie auch [[Reguläre Temperaturen|regulärer Temperaturen]] in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.

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Wie auf der Seite &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; ist, mathematisch gesehen, ein Z-Modul.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren auch nichtganzzahlige Werte zuzulassen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;amp;gt; steht für das Intervall mitv Frequenzverhältnis 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;a&amp;lt;/span&amp;gt; * 3&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;b&amp;lt;/span&amp;gt; * 5&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;c&amp;lt;/span&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;(1/n)&amp;lt;/span&amp;gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;br /&amp;gt;
Stimmung, von n-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Edo"&amp;gt;Edo&amp;lt;/a&amp;gt; nämlich.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 &amp;amp;gt; einen Basisschritt der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bohlen-Pierce"&amp;gt;Bohlen-Pierce&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 &amp;amp;gt; steht für den Wert, um den eine Quinte in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;Viertelkomma-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung vermindert werden muss.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mit den so erweitern Intervallraum (bei dem es sich nun um einen &amp;amp;quot;echten&amp;amp;quot; Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn handelt) haben wir somit ein Instrument tut Verfügung, das die Beschreibung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufiger Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt; wie auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulärer Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
Wie auf der Seite [[Primfaktorzerlegung]] beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende [[Intervallraum]] ist, mathematisch gesehen, ein Z-Modul.

Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren auch nichtganzzahlige Werte zuzulassen.

Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;gt; steht für das Intervall mitv Frequenzverhältnis 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;a&amp;lt;/span&amp;gt; * 3&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;b&amp;lt;/span&amp;gt; * 5&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;c&amp;lt;/span&amp;gt;.

Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;(1/n)&amp;lt;/span&amp;gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer [[Gleixchstufige Tonsysteme|gleichstufigen]] 
Stimmung, von n-[[Edo]] nämlich.

Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 &amp;gt; einen Basisschritt der [[Bohlen-Pierce]]-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 &amp;gt; steht für den Wert, um den eine Quinte in der [[Viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönig en]] Stimmung vermindert werden muss.



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&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Wie auf der Seite &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; ist, mathematisch gesehen, ein Z-Modul.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren auch nichtganzzahlige Werte zuzulassen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;amp;gt; steht für das Intervall mitv Frequenzverhältnis 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;a&amp;lt;/span&amp;gt; * 3&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;b&amp;lt;/span&amp;gt; * 5&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;c&amp;lt;/span&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;(1/n)&amp;lt;/span&amp;gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleixchstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;br /&amp;gt;
Stimmung, von n-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Edo"&amp;gt;Edo&amp;lt;/a&amp;gt; nämlich.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 &amp;amp;gt; einen Basisschritt der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bohlen-Pierce"&amp;gt;Bohlen-Pierce&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 &amp;amp;gt; steht für den Wert, um den eine Quinte in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;Viertelkomma-mitteltönig en&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung vermindert werden muss.&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-12-27 05:16:07 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
Wie auf der Seite [[Primfaktorzerlegung]] beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende [[Intervallraum]] ist, mathematisch gesehen, ein Z-Modul.

Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren auch nichtganzzahlige Werte zuzulassen.

Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;gt; steht für das Intervall mitv Frequenzverhältnis 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;a&amp;lt;/span&amp;gt;*3&amp;lt;span style=*vertical-align: super;"&amp;gt;b&amp;lt;/span&amp;gt;*5&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;c&amp;lt;/span&amp;gt;.

Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;(1/n)&amp;lt;/span&amp;gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer [[Gleixchstufige Tonsysteme|gleichstufigen]] 
Stimmung, von n-[[Edo]] nämlich.

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&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Wie auf der Seite &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; ist, mathematisch gesehen, ein Z-Modul.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren auch nichtganzzahlige Werte zuzulassen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;amp;gt; steht für das Intervall mitv Frequenzverhältnis 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;a&amp;lt;/span&amp;gt;*3&amp;lt;span&amp;gt;b&amp;lt;/span&amp;gt;*5&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;c&amp;lt;/span&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;(1/n)&amp;lt;/span&amp;gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleixchstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;br /&amp;gt;
Stimmung, von n-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Edo"&amp;gt;Edo&amp;lt;/a&amp;gt; nämlich.&amp;lt;br /&amp;gt;
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-08-15 03:44:27 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Fractional monzos|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[TO DO]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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[TO DO]&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <comment>Textersetzung - „(\[\[\:(dev|es|purdal|de|en):[^[:space:]\|]*) (.*])“ durch „$1|$3“</comment>
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      <text bytes="2915" sha1="aldys2rse65lsxzsyx9epw5y5z6v8vm" xml:space="preserve">&lt;span style="display: block; text-align: right;"&gt;[[:en:Fractional_monzos|English]]&lt;/span&gt;

Wie auf der Seite [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende [[Intervallraum|Intervallraum]] ist, mathematisch gesehen, ein [http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29  Z-Modul]).

Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren auch nichtganzzahlige Werte zuzulassen.

Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;gt; steht für das Intervall mitv Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;a&lt;/span&gt; * 3&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;b&lt;/span&gt; * 5&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;c&lt;/span&gt;.

Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;(1/n)&lt;/span&gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen]] 

Stimmung, von n-[[edo|Edo]] nämlich.

Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 &amp;gt; einen Basisschritt der [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 &amp;gt; steht für den Wert, um den eine Quinte in der [[viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung vermindert werden muss.

Mit dem so erweiterten Intervallraum (bei dem es sich nun um einen "echten" Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn handelt) haben wir somit ein Instrument zur Verfügung, das die Beschreibung [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmungen]], [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufiger Tonsysteme]] wie auch [[Reguläre_Temperaturen|regulärer Temperaturen]] in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.

=Nichtganzzahlige Intervallvektoren und reine Intervalle=

Die von nichtganzzahligen Intervallvektoren beschriebenen Frequenzverhältnisse sind irrationale Zahlen, die entsprechenden Intervalle sind also keine "reinen" Intervalle. Doch bei rationalen Koeffizienten gibt es eine einfache Beziehung zu reinern Intervallen: jedes durch einen nichtganzzahligen Intervallvektor beschriebene Intervall ist der n-te Teil eines reinen Intervalles (bzw., mathematisch: die n-te Potenz), wobei n das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) der Nenner der Koeffizienten des Intervallvektors ist. Das reine Intervall ist durch das KGV sogar eindeutig bestimmt.

Wenn als Koeffizienten des Intervallvektors nicht nur rationale, sondern beliebige reelle Zahlen erlaubt sind, gibt es diese eindeutige Beziehung nicht: dann kann jedes Intervall eine Potenz von jeder beliebigen Primzahl wie auch auf unendlich viele verschiedene Arten eine Kombination von Primzahlpotenzen sein.

=Temperierte Stimmungen als Transformationen im Intervallraum=

[To do]</text>
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Wie auf der Seite [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende [[Intervallraum|Intervallraum]] ist, mathematisch gesehen, ein [http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29  Z-Modul]).

Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren auch nichtganzzahlige Werte zuzulassen.

Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;gt; steht für das Intervall mitv Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;a&lt;/span&gt; * 3&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;b&lt;/span&gt; * 5&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;c&lt;/span&gt;.

Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;(1/n)&lt;/span&gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen]] Stimmung, von n-[[edo|Edo]] nämlich.

Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 &amp;gt; einen Basisschritt der [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 &amp;gt; steht für den Wert, um den eine Quinte in der [[viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung vermindert werden muss.

Der so erweiterte Intervallraum ist nun ein „echter“ Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn, zum Körper Q der rationalen Zahlen, und mit ihm haben wir somit ein Instrument zur Verfügung, das die Beschreibung [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmungen]], [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufiger Tonsysteme]] wie auch [[Reguläre_Temperaturen|regulärer Temperaturen]] in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.

=Rationale Intervallvektoren und reine Intervalle=

Die von nichtganzzahligen Intervallvektoren beschriebenen Frequenzverhältnisse sind irrationale Zahlen, die entsprechenden Intervalle sind also keine "reinen" Intervalle. Doch bei rationalen Koeffizienten gibt es eine einfache Beziehung zu reinen Intervallen: jedes durch einen rationalen Intervallvektor beschriebene Intervall ist der n-te Teil eines reinen Intervalles (bzw., mathematisch: die n-te Potenz), wobei n das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) der Nenner der Koeffizienten des Intervallvektors ist. Das reine Intervall ist durch das KGV sogar eindeutig bestimmt.

Wenn als Koeffizienten des Intervallvektors nicht nur rationale, sondern beliebige reelle Zahlen erlaubt sind, gibt es diese eindeutige Beziehung nicht: dann kann jedes Intervall eine Potenz von jeder beliebigen Primzahl wie auch auf unendlich viele verschiedene Arten eine Kombination von Primzahlpotenzen sein.

=Temperierte Stimmungen als Transformationen im Intervallraum=

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__FORCETOC__

Wie auf der Seite [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende [[Intervallraum|Intervallraum]] ist, mathematisch gesehen, ein [http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29  Z-Modul]).

Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren auch nichtganzzahlige Werte zuzulassen.

Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;gt; steht für das Intervall mitv Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;a&lt;/span&gt; * 3&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;b&lt;/span&gt; * 5&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;c&lt;/span&gt;.

Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;(1/n)&lt;/span&gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen]] Stimmung, von n-[[edo|Edo]] nämlich.

Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 &amp;gt; einen Basisschritt der [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 &amp;gt; steht für den Wert, um den eine Quinte in der [[viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung vermindert werden muss.

Der so erweiterte Intervallraum ist nun ein „echter“ Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn, zum Körper Q der rationalen Zahlen, und mit ihm haben wir somit ein Instrument zur Verfügung, das die Beschreibung [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmungen]], [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufiger Tonsysteme]] wie auch [[Reguläre_Temperaturen|regulärer Temperaturen]] in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.

=Rationale Intervallvektoren und reine Intervalle=

Die von nichtganzzahligen Intervallvektoren beschriebenen Frequenzverhältnisse sind irrationale Zahlen, die entsprechenden Intervalle sind also keine "reinen" Intervalle. Doch bei rationalen Koeffizienten gibt es eine einfache Beziehung zu reinen Intervallen: jedes durch einen rationalen Intervallvektor beschriebene Intervall ist der n-te Teil eines reinen Intervalles (bzw., mathematisch: die n-te Potenz), wobei n das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) der Nenner der Koeffizienten des Intervallvektors ist. Das reine Intervall ist durch das KGV sogar eindeutig bestimmt.

Wenn als Koeffizienten des Intervallvektors nicht nur rationale, sondern beliebige reelle Zahlen erlaubt sind, gibt es diese eindeutige Beziehung nicht: dann kann jedes Intervall eine Potenz von jeder beliebigen Primzahl wie auch auf unendlich viele verschiedene Arten eine Kombination von Primzahlpotenzen sein.

=Temperierte Stimmungen als Transformationen im Intervallraum=

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__FORCETOC__

Wie auf der Seite [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende [[Intervallraum|Intervallraum]] ist, mathematisch gesehen, ein [http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29  Z-Modul]).

Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren auch nichtganzzahlige Werte zuzulassen.

Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;gt; steht für das Intervall mitv Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;a&lt;/span&gt; * 3&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;b&lt;/span&gt; * 5&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;c&lt;/span&gt;.

Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;(1/n)&lt;/span&gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen]] Stimmung, von n-[[edo|Edo]] nämlich.

Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 &amp;gt; einen Basisschritt der [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 &amp;gt; steht für den Wert, um den eine Quinte in der [[viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung vermindert werden muss.

Der so erweiterte Intervallraum ist nun ein „echter“ Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn, zum Körper Q der rationalen Zahlen, und mit ihm haben wir somit ein Instrument zur Verfügung, das die Beschreibung [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmungen]], [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufiger Tonsysteme]] wie auch [[Reguläre_Temperaturen|regulärer Temperaturen]] in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.

=Rationale Intervallvektoren und reine Intervalle=

Die von nichtganzzahligen Intervallvektoren beschriebenen Frequenzverhältnisse sind irrationale Zahlen, die entsprechenden Intervalle sind also keine "reinen" Intervalle. Doch bei rationalen Koeffizienten gibt es eine einfache Beziehung zu reinen Intervallen: jedes durch einen rationalen Intervallvektor beschriebene Intervall ist der n-te Teil eines reinen Intervalles (bzw., mathematisch: die n-te Potenz), wobei n das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) der Nenner der Koeffizienten des Intervallvektors ist. Das reine Intervall ist durch das KGV sogar eindeutig bestimmt.

Wenn als Koeffizienten des Intervallvektors nicht nur rationale, sondern beliebige reelle Zahlen erlaubt sind, gibt es diese eindeutige Beziehung nicht: dann kann jedes Intervall eine Potenz von jeder beliebigen Primzahl wie auch auf unendlich viele verschiedene Arten eine Kombination von Primzahlpotenzen sein.

=Temperierte Stimmungen als Transformationen im Intervallraum=

&lt;math&gt;Q^n&lt;/math&gt; entspricht also dem n-dimensionalen rationalen Intervallraum

[[Reguläre_Temperaturen|Temperierte Stimmungen]] können als Transformationen im rationalen Intervallraum beschrieben werden. Wenn v der n-dimensionale Intervallvektor eines reinen Intervalls ist, dann können wir den Intervallvektor des temperierten Intervalls schreiben als T(v), wobei T eine Abbildung des rationalen n-dimensionalen Intervallraums &lt;math&gt;Q^n&lt;/math&gt; auf sich selbst ist.



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__FORCETOC__

Wie auf der Seite [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende [[Intervallraum|Intervallraum]] ist, mathematisch gesehen, ein [http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29  Z-Modul]).

Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren auch nichtganzzahlige Werte zuzulassen.

Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;gt; steht für das Intervall mitv Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;a&lt;/span&gt; * 3&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;b&lt;/span&gt; * 5&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;c&lt;/span&gt;.

Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;(1/n)&lt;/span&gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen]] Stimmung, von n-[[edo|Edo]] nämlich.

Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 &amp;gt; einen Basisschritt der [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 &amp;gt; steht für den Wert, um den eine Quinte in der [[viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung vermindert werden muss.

Der so erweiterte Intervallraum ist nun ein „echter“ Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn, zum Körper Q der rationalen Zahlen, und mit ihm haben wir somit ein Instrument zur Verfügung, das die Beschreibung [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmungen]], [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufiger Tonsysteme]] wie auch [[Reguläre_Temperaturen|regulärer Temperaturen]] in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.

=Rationale Intervallvektoren und reine Intervalle=

Die von nichtganzzahligen Intervallvektoren beschriebenen Frequenzverhältnisse sind irrationale Zahlen, die entsprechenden Intervalle sind also keine "reinen" Intervalle. Doch bei rationalen Koeffizienten gibt es eine einfache Beziehung zu reinen Intervallen: jedes durch einen rationalen Intervallvektor beschriebene Intervall ist der n-te Teil eines reinen Intervalles (bzw., mathematisch: die n-te Potenz), wobei n das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) der Nenner der Koeffizienten des Intervallvektors ist. Das reine Intervall ist durch das KGV sogar eindeutig bestimmt.

Wenn als Koeffizienten des Intervallvektors nicht nur rationale, sondern beliebige reelle Zahlen erlaubt sind, gibt es diese eindeutige Beziehung nicht: dann kann jedes Intervall eine Potenz von jeder beliebigen Primzahl wie auch auf unendlich viele verschiedene Arten eine Kombination von Primzahlpotenzen sein.

=Temperierte Stimmungen als Transformationen im Intervallraum=

[[Reguläre_Temperaturen|Temperierte Stimmungen]] können als Transformationen im rationalen Intervallraum beschrieben werden. Wenn v der n-dimensionale Intervallvektor eines reinen Intervalls ist, dann können wir den Intervallvektor des temperierten Intervalls schreiben als T(v), wobei T eine Abbildung des rationalen n-dimensionalen Intervallraums &lt;math&gt;Q^n&lt;/math&gt; auf sich selbst ist.

Die Abbildung T kann dabei theoretisch beliebiger Art sein, doch es ist sehr sinnvoll, sich auf lineare Abbildungen zu beschränken, also vorauszusetzen, dass &lt;math&gt;T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2)&lt;/math&gt; gilt. Das ist nämlich nichts anderes als die Forderung, dass die Temperatur [[konsistent]] sein soll.

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__FORCETOC__

Wie auf der Seite [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende [[Intervallraum|Intervallraum]] ist, mathematisch gesehen, ein [http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29  Z-Modul]).

Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren auch nichtganzzahlige Werte zuzulassen.

Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;gt; steht für das Intervall mitv Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;a&lt;/span&gt; * 3&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;b&lt;/span&gt; * 5&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;c&lt;/span&gt;.

Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;(1/n)&lt;/span&gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen]] Stimmung, von n-[[edo|Edo]] nämlich.

Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 &amp;gt; einen Basisschritt der [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 &amp;gt; steht für den Wert, um den eine Quinte in der [[viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung vermindert werden muss.

Der so erweiterte Intervallraum ist nun ein „echter“ Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn, zum Körper Q der rationalen Zahlen, und mit ihm haben wir somit ein Instrument zur Verfügung, das die Beschreibung [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmungen]], [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufiger Tonsysteme]] wie auch [[Reguläre_Temperaturen|regulärer Temperaturen]] in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.

=Rationale Intervallvektoren und reine Intervalle=

Die von nichtganzzahligen Intervallvektoren beschriebenen Frequenzverhältnisse sind irrationale Zahlen, die entsprechenden Intervalle sind also keine "reinen" Intervalle. Doch bei rationalen Koeffizienten gibt es eine einfache Beziehung zu reinen Intervallen: jedes durch einen rationalen Intervallvektor beschriebene Intervall ist der n-te Teil eines reinen Intervalles (bzw., mathematisch: die n-te Potenz), wobei n das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) der Nenner der Koeffizienten des Intervallvektors ist. Das reine Intervall ist durch das KGV sogar eindeutig bestimmt.

Wenn als Koeffizienten des Intervallvektors nicht nur rationale, sondern beliebige reelle Zahlen erlaubt sind, gibt es diese eindeutige Beziehung nicht: dann kann jedes Intervall eine Potenz von jeder beliebigen Primzahl wie auch auf unendlich viele verschiedene Arten eine Kombination von Primzahlpotenzen sein.

=Temperierte Stimmungen als Transformationen im Intervallraum=

[[Reguläre_Temperaturen|Temperierte Stimmungen]] können als Transformationen im rationalen Intervallraum beschrieben werden. Wenn v der n-dimensionale Intervallvektor eines reinen Intervalls ist, dann können wir den Intervallvektor des temperierten Intervalls schreiben als T(v), wobei T eine Abbildung des rationalen n-dimensionalen Intervallraums &lt;math&gt;Q^n&lt;/math&gt; auf sich selbst ist.

Die Abbildung T kann dabei theoretisch beliebiger Art sein, doch es ist sehr sinnvoll, sich auf lineare Abbildungen zu beschränken, also vorauszusetzen, dass &lt;math&gt;T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2)&lt;/math&gt; gilt. Das ist nämlich nichts anderes als die Forderung, dass die Temperatur [[konsistent]] sein soll.

[To do Beispiel:]

=Eigenmonzos=



[To do]</text>
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__FORCETOC__

Wie auf der Seite [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende [[Intervallraum|Intervallraum]] ist, mathematisch gesehen, ein [http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29  Z-Modul]).

Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren auch nichtganzzahlige Werte zuzulassen.

Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;gt; steht für das Intervall mitv Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;a&lt;/span&gt; * 3&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;b&lt;/span&gt; * 5&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;c&lt;/span&gt;.

Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;(1/n)&lt;/span&gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen]] Stimmung, von n-[[edo|Edo]] nämlich.

Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 &amp;gt; einen Basisschritt der [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 &amp;gt; steht für den Wert, um den eine Quinte in der [[viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung vermindert werden muss.

Der so erweiterte Intervallraum ist nun ein „echter“ Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn, zum Körper Q der rationalen Zahlen, und mit ihm haben wir somit ein Instrument zur Verfügung, das die Beschreibung [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmungen]], [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufiger Tonsysteme]] wie auch [[Reguläre_Temperaturen|regulärer Temperaturen]] in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.

=Rationale Intervallvektoren und reine Intervalle=

Die von nichtganzzahligen Intervallvektoren beschriebenen Frequenzverhältnisse sind irrationale Zahlen, die entsprechenden Intervalle sind also keine "reinen" Intervalle. Doch bei rationalen Koeffizienten gibt es eine einfache Beziehung zu reinen Intervallen: jedes durch einen rationalen Intervallvektor beschriebene Intervall ist der n-te Teil eines reinen Intervalles (bzw., mathematisch: die n-te Potenz), wobei n das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) der Nenner der Koeffizienten des Intervallvektors ist. Das reine Intervall ist durch das KGV sogar eindeutig bestimmt.

Wenn als Koeffizienten des Intervallvektors nicht nur rationale, sondern beliebige reelle Zahlen erlaubt sind, gibt es diese eindeutige Beziehung nicht: dann kann jedes Intervall eine Potenz von jeder beliebigen Primzahl wie auch auf unendlich viele verschiedene Arten eine Kombination von Primzahlpotenzen sein.

=Temperierte Stimmungen als Transformationen im Intervallraum=

[[Reguläre_Temperaturen|Temperierte Stimmungen]] können als Transformationen im rationalen Intervallraum beschrieben werden. Wenn v der n-dimensionale Intervallvektor eines reinen Intervalls ist, dann können wir den Intervallvektor des temperierten Intervalls schreiben als T(v), wobei T eine Abbildung des rationalen n-dimensionalen Intervallraums &lt;math&gt;Q^n&lt;/math&gt; auf sich selbst ist.

Die Abbildung T kann dabei theoretisch beliebiger Art sein, doch es ist sehr sinnvoll, sich auf lineare Abbildungen zu beschränken, also vorauszusetzen, dass &lt;math&gt;T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2)&lt;/math&gt; gilt. Das ist nämlich nichts anderes als die Forderung, dass die Temperatur [[konsistent]] sein soll.

[To do Beispiel]

[To do Vals]

=Eigenmonzos=



[To do]</text>
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__FORCETOC__

Wie auf der Seite [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende [[Intervallraum|Intervallraum]] ist, mathematisch gesehen, ein [http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29  Z-Modul]).

Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren auch nichtganzzahlige Werte zuzulassen.

Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;gt; steht für das Intervall mitv Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;a&lt;/span&gt; * 3&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;b&lt;/span&gt; * 5&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;c&lt;/span&gt;.

Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;(1/n)&lt;/span&gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen]] Stimmung, von n-[[edo|Edo]] nämlich.

Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 &amp;gt; einen Basisschritt der [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 &amp;gt; steht für den Wert, um den eine Quinte in der [[viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung vermindert werden muss.

Der so erweiterte Intervallraum ist nun ein „echter“ Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn, zum Körper Q der rationalen Zahlen, und mit ihm haben wir somit ein Instrument zur Verfügung, das die Beschreibung [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmungen]], [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufiger Tonsysteme]] wie auch [[Reguläre_Temperaturen|regulärer Temperaturen]] in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.

=Rationale Intervallvektoren und reine Intervalle=

Die von nichtganzzahligen Intervallvektoren beschriebenen Frequenzverhältnisse sind irrationale Zahlen, die entsprechenden Intervalle sind also keine "reinen" Intervalle. Doch bei rationalen Koeffizienten gibt es eine einfache Beziehung zu reinen Intervallen: jedes durch einen rationalen Intervallvektor beschriebene Intervall ist der n-te Teil eines reinen Intervalles (bzw., mathematisch: die n-te Potenz), wobei n das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) der Nenner der Koeffizienten des Intervallvektors ist. Das reine Intervall ist durch das KGV sogar eindeutig bestimmt.

Wenn als Koeffizienten des Intervallvektors nicht nur rationale, sondern beliebige reelle Zahlen erlaubt sind, gibt es diese eindeutige Beziehung nicht: dann kann jedes Intervall eine Potenz von jeder beliebigen Primzahl wie auch auf unendlich viele verschiedene Arten eine Kombination von Primzahlpotenzen sein.

=Temperierte Stimmungen als Transformationen im Intervallraum=

[[Reguläre_Temperaturen|Temperierte Stimmungen]] können als Transformationen im rationalen Intervallraum beschrieben werden. Wenn v der n-dimensionale Intervallvektor eines reinen Intervalls ist, dann können wir den Intervallvektor des temperierten Intervalls schreiben als T(v), wobei T eine Abbildung des rationalen n-dimensionalen Intervallraums &lt;math&gt;Q^n&lt;/math&gt; auf sich selbst ist.

Die Abbildung T kann dabei theoretisch beliebiger Art sein, doch es ist sehr sinnvoll, sich auf lineare Abbildungen zu beschränken, also vorauszusetzen, dass &lt;math&gt;T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2)&lt;/math&gt; gilt. Das ist nämlich nichts anderes als die Forderung, dass die Temperatur [[konsistent]] sein soll.

[To do Beispiel]

[To do Vals]

=Eigenmonzos=

Die Charakterisierung von musikalischen Temperaturen als lineare Abbildungen macht weitere Resultate aus der Theorie der linearen Algebra für die Musiktheorie nutzbar. 

Ein Phänomen bei linearen Abbildungen T eines Vektorraums auf sich selbst sind [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem Eigenvektoren], das sind Vektoren v, für die gilt:

&lt;math&gt;T(v) = /lambda * v&lt;/math&gt;

Der skalare Wert &lt;math&gt;/lambda&lt;/math&gt; wird dabei '''Eigenwert''' genannt.

Im Hinblick auf musikalische Temperaturen interessant sind namentlich Eigenvektoren mit den Eigenwerten 0 und 1. Eigenvektoren mit Eigenwert 0 sind die Elemente des Kerns der linearen Abbildung, wo sich alle von der Temperatur austemperierten [[Komma|Kommas]] befinden (d. h. austemperierten Kommas sind Eigenvektoren der Temperatur mit Eigenwert 0). Eigenvektoren mit Eigenwert 1 beschreiben Intervalle, die von der Temperierung unverändert gelassen werden, also rein gestimmt bleiben. Bei der viertelkomma-mittltönigen Temperatur sind das etwa die Oktave 2/1 und die reine grosse Terz 5/4, bei der drittelkomma-mitteltönigen Temperatur dagegen Oktave und kleine Terz 6/5.

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__FORCETOC__

Wie auf der Seite [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende [[Intervallraum|Intervallraum]] ist, mathematisch gesehen, ein [http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29  Z-Modul]).

Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren auch nichtganzzahlige Werte zuzulassen.

Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;gt; steht für das Intervall mitv Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;a&lt;/span&gt; * 3&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;b&lt;/span&gt; * 5&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;c&lt;/span&gt;.

Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;(1/n)&lt;/span&gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen]] Stimmung, von n-[[edo|Edo]] nämlich.

Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 &amp;gt; einen Basisschritt der [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 &amp;gt; steht für den Wert, um den eine Quinte in der [[viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung vermindert werden muss.

Der so erweiterte Intervallraum ist nun ein „echter“ Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn, zum Körper Q der rationalen Zahlen, und mit ihm haben wir somit ein Instrument zur Verfügung, das die Beschreibung [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmungen]], [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufiger Tonsysteme]] wie auch [[Reguläre_Temperaturen|regulärer Temperaturen]] in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.

=Rationale Intervallvektoren und reine Intervalle=

Die von nichtganzzahligen Intervallvektoren beschriebenen Frequenzverhältnisse sind irrationale Zahlen, die entsprechenden Intervalle sind also keine "reinen" Intervalle. Doch bei rationalen Koeffizienten gibt es eine einfache Beziehung zu reinen Intervallen: jedes durch einen rationalen Intervallvektor beschriebene Intervall ist der n-te Teil eines reinen Intervalles (bzw., mathematisch: die n-te Potenz), wobei n das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) der Nenner der Koeffizienten des Intervallvektors ist. Das reine Intervall ist durch das KGV sogar eindeutig bestimmt.

Wenn als Koeffizienten des Intervallvektors nicht nur rationale, sondern beliebige reelle Zahlen erlaubt sind, gibt es diese eindeutige Beziehung nicht: dann kann jedes Intervall eine Potenz von jeder beliebigen Primzahl wie auch auf unendlich viele verschiedene Arten eine Kombination von Primzahlpotenzen sein.

=Temperierte Stimmungen als Transformationen im Intervallraum=

[[Reguläre_Temperaturen|Temperierte Stimmungen]] können als Transformationen im rationalen Intervallraum beschrieben werden. Wenn v der n-dimensionale Intervallvektor eines reinen Intervalls ist, dann können wir den Intervallvektor des temperierten Intervalls schreiben als T(v), wobei T eine Abbildung des rationalen n-dimensionalen Intervallraums &lt;math&gt;Q^n&lt;/math&gt; auf sich selbst ist.

Die Abbildung T kann dabei theoretisch beliebiger Art sein, doch es ist sehr sinnvoll, sich auf lineare Abbildungen zu beschränken, also vorauszusetzen, dass &lt;math&gt;T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2)&lt;/math&gt; gilt. Das ist nämlich nichts anderes als die Forderung, dass die Temperatur [[konsistent]] sein soll.

[To do Beispiel]

[To do Vals]

=Eigenmonzos=

Die Charakterisierung von musikalischen Temperaturen als lineare Abbildungen macht weitere Resultate aus der Theorie der linearen Algebra für die Musiktheorie nutzbar. 

Ein Phänomen bei linearen Abbildungen T eines Vektorraums auf sich selbst sind [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem Eigenvektoren], das sind Vektoren v, für die gilt:

&lt;math&gt;T(v) = \lambda * v&lt;/math&gt;

Der skalare Wert &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; wird dabei '''Eigenwert''' genannt.

Im Hinblick auf musikalische Temperaturen interessant sind namentlich Eigenvektoren mit den Eigenwerten 0 und 1. Eigenvektoren mit Eigenwert 0 sind die Elemente des Kerns der linearen Abbildung, wo sich alle von der Temperatur austemperierten [[Komma|Kommas]] befinden (d. h. austemperierten Kommas sind Eigenvektoren der Temperatur mit Eigenwert 0). Eigenvektoren mit Eigenwert 1 beschreiben Intervalle, die von der Temperierung unverändert gelassen werden, also rein gestimmt bleiben. Bei der viertelkomma-mitteltönigen Temperatur sind das etwa die Oktave 2/1 und die reine grosse Terz 5/4, bei der drittelkomma-mitteltönigen Temperatur dagegen Oktave und kleine Terz 6/5. 

Eigenvektoren mit Eigenwert 1 werden auch als '''Eigenmonzos''' bezeichnet.</text>
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      <comment>Hstraub verschob die Seite [[Nichtganzzahlige Intervallvektoren]] nach [[Gebrochenzahlige Intervallvektoren]]: Umbenannt</comment>
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__FORCETOC__

Wie auf der Seite [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende [[Intervallraum|Intervallraum]] ist, mathematisch gesehen, ein [http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29  Z-Modul]).

Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren auch nichtganzzahlige Werte zuzulassen.

Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;gt; steht für das Intervall mitv Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;a&lt;/span&gt; * 3&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;b&lt;/span&gt; * 5&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;c&lt;/span&gt;.

Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;(1/n)&lt;/span&gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen]] Stimmung, von n-[[edo|Edo]] nämlich.

Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 &amp;gt; einen Basisschritt der [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 &amp;gt; steht für den Wert, um den eine Quinte in der [[viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung vermindert werden muss.

Der so erweiterte Intervallraum ist nun ein „echter“ Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn, zum Körper Q der rationalen Zahlen, und mit ihm haben wir somit ein Instrument zur Verfügung, das die Beschreibung [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmungen]], [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufiger Tonsysteme]] wie auch [[Reguläre_Temperaturen|regulärer Temperaturen]] in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.

=Rationale Intervallvektoren und reine Intervalle=

Die von nichtganzzahligen Intervallvektoren beschriebenen Frequenzverhältnisse sind irrationale Zahlen, die entsprechenden Intervalle sind also keine "reinen" Intervalle. Doch bei rationalen Koeffizienten gibt es eine einfache Beziehung zu reinen Intervallen: jedes durch einen rationalen Intervallvektor beschriebene Intervall ist der n-te Teil eines reinen Intervalles (bzw., mathematisch: die n-te Potenz), wobei n das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) der Nenner der Koeffizienten des Intervallvektors ist. Das reine Intervall ist durch das KGV sogar eindeutig bestimmt.

Wenn als Koeffizienten des Intervallvektors nicht nur rationale, sondern beliebige reelle Zahlen erlaubt sind, gibt es diese eindeutige Beziehung nicht: dann kann jedes Intervall eine Potenz von jeder beliebigen Primzahl wie auch auf unendlich viele verschiedene Arten eine Kombination von Primzahlpotenzen sein.

=Temperierte Stimmungen als Transformationen im Intervallraum=

[[Reguläre_Temperaturen|Temperierte Stimmungen]] können als Transformationen im rationalen Intervallraum beschrieben werden. Wenn v der n-dimensionale Intervallvektor eines reinen Intervalls ist, dann können wir den Intervallvektor des temperierten Intervalls schreiben als T(v), wobei T eine Abbildung des rationalen n-dimensionalen Intervallraums &lt;math&gt;Q^n&lt;/math&gt; auf sich selbst ist.

Die Abbildung T kann dabei theoretisch beliebiger Art sein, doch es ist sehr sinnvoll, sich auf lineare Abbildungen zu beschränken, also vorauszusetzen, dass &lt;math&gt;T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2)&lt;/math&gt; gilt. Das ist nämlich nichts anderes als die Forderung, dass die Temperatur [[konsistent]] sein soll.

[To do Beispiel]

[To do Vals]

=Eigenmonzos=

Die Charakterisierung von musikalischen Temperaturen als lineare Abbildungen macht weitere Resultate aus der Theorie der linearen Algebra für die Musiktheorie nutzbar. 

Ein Phänomen bei linearen Abbildungen T eines Vektorraums auf sich selbst sind [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem Eigenvektoren], das sind Vektoren v, für die gilt:

&lt;math&gt;T(v) = \lambda * v&lt;/math&gt;

Der skalare Wert &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; wird dabei '''Eigenwert''' genannt.

Im Hinblick auf musikalische Temperaturen interessant sind namentlich Eigenvektoren mit den Eigenwerten 0 und 1. Eigenvektoren mit Eigenwert 0 sind die Elemente des Kerns der linearen Abbildung, wo sich alle von der Temperatur austemperierten [[Komma|Kommas]] befinden (d. h. austemperierten Kommas sind Eigenvektoren der Temperatur mit Eigenwert 0). Eigenvektoren mit Eigenwert 1 beschreiben Intervalle, die von der Temperierung unverändert gelassen werden, also rein gestimmt bleiben. Bei der viertelkomma-mitteltönigen Temperatur sind das etwa die Oktave 2/1 und die reine grosse Terz 5/4, bei der drittelkomma-mitteltönigen Temperatur dagegen Oktave und kleine Terz 6/5. 

Eigenvektoren mit Eigenwert 1 werden auch als '''Eigenmonzos''' bezeichnet.</text>
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__FORCETOC__

Wie auf der Seite [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende [[Intervallraum|Intervallraum]] ist, mathematisch gesehen, ein [http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29  Z-Modul].

Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren nichtganzzahlige Werte zuzulassen.

Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;gt; steht für das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;a&lt;/span&gt; * 3&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;b&lt;/span&gt; * 5&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;c&lt;/span&gt;.

Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;(1/n)&lt;/span&gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen]] Stimmung, von n-[[edo|Edo]] nämlich.

Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 &amp;gt; einen Basisschritt der [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 &amp;gt; steht für den Wert, um den eine Quinte in der [[viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung vermindert werden muss.

Der so erweiterte Intervallraum ist nun ein „echter“ Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn, zum Körper Q der rationalen Zahlen, und mit ihm haben wir somit ein Instrument zur Verfügung, das die Beschreibung [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmungen]], [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufiger Tonsysteme]] wie auch [[Reguläre_Temperaturen|regulärer Temperaturen]] in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.

=Rationale Intervallvektoren und reine Intervalle=

Die von nichtganzzahligen Intervallvektoren beschriebenen Frequenzverhältnisse sind irrationale Zahlen, die entsprechenden Intervalle sind also keine "reinen" Intervalle. Doch bei rationalen Koeffizienten gibt es eine einfache Beziehung zu reinen Intervallen: jedes durch einen rationalen Intervallvektor beschriebene Intervall ist der n-te Teil eines reinen Intervalles (bzw., mathematisch: die n-te Potenz), wobei n das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) der Nenner der Koeffizienten des Intervallvektors ist. Das reine Intervall ist durch das KGV sogar eindeutig bestimmt.

Wenn als Koeffizienten des Intervallvektors nicht nur rationale, sondern beliebige reelle Zahlen erlaubt sind, gibt es diese eindeutige Beziehung nicht: dann kann jedes Intervall eine Potenz von jeder beliebigen Primzahl wie auch auf unendlich viele verschiedene Arten eine Kombination von Primzahlpotenzen sein.

=Temperierte Stimmungen als Transformationen im Intervallraum=

[[Reguläre_Temperaturen|Temperierte Stimmungen]] können als Transformationen im rationalen Intervallraum beschrieben werden. Wenn v der n-dimensionale Intervallvektor eines reinen Intervalls ist, dann können wir den Intervallvektor des temperierten Intervalls schreiben als T(v), wobei T eine Abbildung des rationalen n-dimensionalen Intervallraums &lt;math&gt;Q^n&lt;/math&gt; auf sich selbst ist.

Die Abbildung T kann dabei theoretisch beliebiger Art sein, doch es ist sehr sinnvoll, sich auf lineare Abbildungen zu beschränken, also vorauszusetzen, dass &lt;math&gt;T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2)&lt;/math&gt; gilt. Das ist nämlich nichts anderes als die Forderung, dass die Temperatur [[konsistent]] sein soll.

[To do Beispiel]

[To do Vals]

=Eigenmonzos=

Die Charakterisierung von musikalischen Temperaturen als lineare Abbildungen macht weitere Resultate aus der Theorie der linearen Algebra für die Musiktheorie nutzbar. 

Ein Phänomen bei linearen Abbildungen T eines Vektorraums auf sich selbst sind [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem Eigenvektoren], das sind Vektoren v, für die gilt:

&lt;math&gt;T(v) = \lambda * v&lt;/math&gt;

Der skalare Wert &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; wird dabei '''Eigenwert''' genannt.

Im Hinblick auf musikalische Temperaturen interessant sind namentlich Eigenvektoren mit den Eigenwerten 0 und 1. Eigenvektoren mit Eigenwert 0 sind die Elemente des Kerns der linearen Abbildung, wo sich alle von der Temperatur austemperierten [[Komma|Kommas]] befinden (d. h. austemperierten Kommas sind Eigenvektoren der Temperatur mit Eigenwert 0). Eigenvektoren mit Eigenwert 1 beschreiben Intervalle, die von der Temperierung unverändert gelassen werden, also rein gestimmt bleiben. Bei der viertelkomma-mitteltönigen Temperatur sind das etwa die Oktave 2/1 und die reine grosse Terz 5/4, bei der drittelkomma-mitteltönigen Temperatur dagegen Oktave und kleine Terz 6/5. 

Eigenvektoren mit Eigenwert 1 werden auch als '''Eigenmonzos''' bezeichnet.</text>
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__FORCETOC__
Wie auf der Seite [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende [[Intervallraum|Intervallraum]] ist, mathematisch gesehen, ein [http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29  Z-Modul].

Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren nichtganzzahlige Werte zuzulassen.

Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;gt; steht für das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;a&lt;/span&gt; * 3&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;b&lt;/span&gt; * 5&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;c&lt;/span&gt;.

Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;(1/n)&lt;/span&gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen]] Stimmung, von n-[[edo|Edo]] nämlich.

Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 &amp;gt; einen Basisschritt der [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 &amp;gt; steht für den Wert, um den eine Quinte in der [[viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung vermindert werden muss.

Der so erweiterte Intervallraum ist nun ein „echter“ Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn, zum Körper Q der rationalen Zahlen, und mit ihm haben wir somit ein Instrument zur Verfügung, das die Beschreibung [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmungen]], [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufiger Tonsysteme]] wie auch [[Reguläre_Temperaturen|regulärer Temperaturen]] in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.

=Rationale Intervallvektoren und reine Intervalle=

Die von nichtganzzahligen Intervallvektoren beschriebenen Frequenzverhältnisse sind irrationale Zahlen, die entsprechenden Intervalle sind also keine "reinen" Intervalle. Doch bei rationalen Koeffizienten gibt es eine einfache Beziehung zu reinen Intervallen: jedes durch einen rationalen Intervallvektor beschriebene Intervall ist der n-te Teil eines reinen Intervalles (bzw., mathematisch: die n-te Potenz), wobei n das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) der Nenner der Koeffizienten des Intervallvektors ist. Das reine Intervall ist durch das KGV sogar eindeutig bestimmt.

Wenn als Koeffizienten des Intervallvektors nicht nur rationale, sondern beliebige reelle Zahlen erlaubt sind, gibt es diese eindeutige Beziehung nicht: dann kann jedes Intervall eine Potenz von jeder beliebigen Primzahl wie auch auf unendlich viele verschiedene Arten eine Kombination von Primzahlpotenzen sein.

=Temperierte Stimmungen als Transformationen im Intervallraum=

[[Reguläre_Temperaturen|Temperierte Stimmungen]] können als Transformationen im rationalen Intervallraum beschrieben werden. Wenn v der n-dimensionale Intervallvektor eines reinen Intervalls ist, dann können wir den Intervallvektor des temperierten Intervalls schreiben als T(v), wobei T eine Abbildung des rationalen n-dimensionalen Intervallraums &lt;math&gt;Q^n&lt;/math&gt; auf sich selbst ist.

Die Abbildung T kann dabei theoretisch beliebiger Art sein, doch es ist sehr sinnvoll, sich auf lineare Abbildungen zu beschränken, also vorauszusetzen, dass &lt;math&gt;T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2)&lt;/math&gt; gilt. Das ist nämlich nichts anderes als die Forderung, dass die Temperatur [[konsistent]] sein soll.

[To do Beispiel]

[To do Vals]

=Eigenmonzos=

Die Charakterisierung von musikalischen Temperaturen als lineare Abbildungen macht weitere Resultate aus der Theorie der linearen Algebra für die Musiktheorie nutzbar. 

Ein Phänomen bei linearen Abbildungen T eines Vektorraums auf sich selbst sind [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem Eigenvektoren], das sind Vektoren v, für die gilt:

&lt;math&gt;T(v) = \lambda * v&lt;/math&gt;

Der skalare Wert &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; wird dabei '''Eigenwert''' genannt.

Im Hinblick auf musikalische Temperaturen interessant sind namentlich Eigenvektoren mit den Eigenwerten 0 und 1. Eigenvektoren mit Eigenwert 0 sind die Elemente des Kerns der linearen Abbildung, wo sich alle von der Temperatur austemperierten [[Komma|Kommas]] befinden (d. h. austemperierten Kommas sind Eigenvektoren der Temperatur mit Eigenwert 0). Eigenvektoren mit Eigenwert 1 beschreiben Intervalle, die von der Temperierung unverändert gelassen werden, also rein gestimmt bleiben. Bei der viertelkomma-mitteltönigen Temperatur sind das etwa die Oktave 2/1 und die reine grosse Terz 5/4, bei der drittelkomma-mitteltönigen Temperatur dagegen Oktave und kleine Terz 6/5. 

Eigenvektoren mit Eigenwert 1 werden auch als '''Eigenmonzos''' bezeichnet.</text>
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__FORCETOC__
Wie auf der Seite [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende [[Intervallraum|Intervallraum]] ist, mathematisch gesehen, ein [http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29  Z-Modul].

Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren nichtganzzahlige Werte zuzulassen.

Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;gt; steht für das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;a&lt;/span&gt; * 3&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;b&lt;/span&gt; * 5&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;c&lt;/span&gt;.

Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;(1/n)&lt;/span&gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen]] Stimmung, von n-[[edo|Edo]] nämlich.

Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 &amp;gt; einen Basisschritt der [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 &amp;gt; steht für den Wert, um den eine Quinte in der [[viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung vermindert werden muss.

Der so erweiterte Intervallraum ist nun ein „echter“ Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn, zum Körper Q der rationalen Zahlen, und mit ihm haben wir somit ein Instrument zur Verfügung, das die Beschreibung [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmungen]], [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufiger Tonsysteme]] wie auch [[Reguläre_Temperaturen|regulärer Temperaturen]] in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.

=Rationale Intervallvektoren und reine Intervalle=

Die von nichtganzzahligen Intervallvektoren beschriebenen Frequenzverhältnisse sind irrationale Zahlen, die entsprechenden Intervalle sind also keine "reinen" Intervalle. Doch bei rationalen Koeffizienten gibt es eine einfache Beziehung zu reinen Intervallen: jedes durch einen rationalen Intervallvektor beschriebene Intervall ist der n-te Teil eines reinen Intervalles (bzw., mathematisch: die n-te Potenz), wobei n das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) der Nenner der Koeffizienten des Intervallvektors ist. Das reine Intervall ist durch das KGV sogar eindeutig bestimmt.

Wenn als Koeffizienten des Intervallvektors nicht nur rationale, sondern beliebige reelle Zahlen erlaubt sind, gibt es diese eindeutige Beziehung nicht: dann kann jedes Intervall eine Potenz von jeder beliebigen Primzahl wie auch auf unendlich viele verschiedene Arten eine Kombination von Primzahlpotenzen sein.

=Temperierte Stimmungen als Transformationen im Intervallraum=

[[Reguläre_Temperaturen|Temperierte Stimmungen]] können als Transformationen im rationalen Intervallraum beschrieben werden. Wenn v der n-dimensionale Intervallvektor eines reinen Intervalls ist, dann können wir den Intervallvektor des temperierten Intervalls schreiben als T(v), wobei T eine Abbildung des rationalen n-dimensionalen Intervallraums &lt;math&gt;Q^n&lt;/math&gt; auf sich selbst ist.

Die Abbildung T kann dabei theoretisch beliebiger Art sein, doch es ist sehr sinnvoll, sich auf [https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abbildung lineare Abbildungen] zu beschränken, also vorauszusetzen, dass &lt;math&gt;T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2)&lt;/math&gt; gilt. Das ist nämlich nichts anderes als die Forderung, dass die Temperatur [[konsistent]] sein soll.

[To do Beispiel]

[To do Vals]

=Eigenmonzos=

Die Charakterisierung von musikalischen Temperaturen als lineare Abbildungen macht weitere Resultate aus der Theorie der linearen Algebra für die Musiktheorie nutzbar. 

Ein Phänomen bei linearen Abbildungen T eines Vektorraums auf sich selbst sind [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem Eigenvektoren], das sind Vektoren v, für die gilt:

&lt;math&gt;T(v) = \lambda * v&lt;/math&gt;

Der skalare Wert &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; wird dabei '''Eigenwert''' genannt.

Im Hinblick auf musikalische Temperaturen interessant sind namentlich Eigenvektoren mit den Eigenwerten 0 und 1. Eigenvektoren mit Eigenwert 0 sind die Elemente des Kerns der linearen Abbildung, wo sich alle von der Temperatur austemperierten [[Komma|Kommas]] befinden (d. h. austemperierten Kommas sind Eigenvektoren der Temperatur mit Eigenwert 0). Eigenvektoren mit Eigenwert 1 beschreiben Intervalle, die von der Temperierung unverändert gelassen werden, also rein gestimmt bleiben. Bei der viertelkomma-mitteltönigen Temperatur sind das etwa die Oktave 2/1 und die reine grosse Terz 5/4, bei der drittelkomma-mitteltönigen Temperatur dagegen Oktave und kleine Terz 6/5. 

Eigenvektoren mit Eigenwert 1 werden auch als '''Eigenmonzos''' bezeichnet.</text>
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Wie auf der Seite [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende [[Intervallraum|Intervallraum]] ist, mathematisch gesehen, ein [http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29  Z-Modul].

Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren nichtganzzahlige Werte zuzulassen.

Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;gt; steht für das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;a&lt;/span&gt; * 3&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;b&lt;/span&gt; * 5&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;c&lt;/span&gt;.

Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;(1/n)&lt;/span&gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen]] Stimmung, von n-[[edo|Edo]] nämlich.

Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 &amp;gt; einen Basisschritt der [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 &amp;gt; steht für den Wert, um den eine Quinte in der [[viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung vermindert werden muss.

Der so erweiterte Intervallraum ist nun ein „echter“ Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn, zum Körper Q der rationalen Zahlen, und mit ihm haben wir somit ein Instrument zur Verfügung, das die Beschreibung [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmungen]], [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufiger Tonsysteme]] wie auch [[Reguläre_Temperaturen|regulärer Temperaturen]] in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.

=Rationale Intervallvektoren und reine Intervalle=

Die von nichtganzzahligen Intervallvektoren beschriebenen Frequenzverhältnisse sind irrationale Zahlen, die entsprechenden Intervalle sind also keine "reinen" Intervalle. Doch bei rationalen Koeffizienten gibt es eine einfache Beziehung zu reinen Intervallen: jedes durch einen rationalen Intervallvektor beschriebene Intervall ist der n-te Teil eines reinen Intervalles (bzw., mathematisch: die n-te Potenz), wobei n das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) der Nenner der Koeffizienten des Intervallvektors ist. Das reine Intervall ist durch das KGV sogar eindeutig bestimmt.

Wenn als Koeffizienten des Intervallvektors nicht nur rationale, sondern beliebige reelle Zahlen erlaubt sind, gibt es diese eindeutige Beziehung nicht: dann kann jedes Intervall eine Potenz von jeder beliebigen Primzahl wie auch auf unendlich viele verschiedene Arten eine Kombination von Primzahlpotenzen sein.

=Temperierte Stimmungen als Transformationen im Intervallraum=

[[Reguläre_Temperaturen|Temperierte Stimmungen]] können als Transformationen im rationalen Intervallraum beschrieben werden. Wenn v der n-dimensionale Intervallvektor eines reinen Intervalls ist, dann können wir den Intervallvektor des temperierten Intervalls schreiben als T(v), wobei T eine Abbildung des rationalen n-dimensionalen Intervallraums &lt;math&gt;Q^n&lt;/math&gt; auf sich selbst ist.

Die Abbildung T kann dabei theoretisch beliebiger Art sein, doch es ist sehr sinnvoll, sich auf [https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abbildung lineare Abbildungen] zu beschränken, also vorauszusetzen, dass &lt;math&gt;T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2)&lt;/math&gt; gilt. Das ist nämlich nichts anderes als die Forderung, dass die Temperatur [[konsistent]] sein soll.

[To do Beispiel]

[To do Vals]

=Eigenmonzos=

Die Charakterisierung von musikalischen Temperaturen als lineare Abbildungen macht weitere Resultate aus der Theorie der linearen Algebra für die Musiktheorie nutzbar. 

Ein Phänomen bei linearen Abbildungen T eines Vektorraums auf sich selbst sind [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem Eigenvektoren], das sind Vektoren v, für die gilt:

&lt;math&gt;T(v) = \lambda * v&lt;/math&gt;

Der skalare Wert &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; wird dabei '''Eigenwert''' genannt.

Im Hinblick auf musikalische Temperaturen interessant sind namentlich Eigenvektoren mit den Eigenwerten 0 und 1. Eigenvektoren mit Eigenwert 0 sind die Elemente des Kerns der linearen Abbildung, wo sich alle von der Temperatur austemperierten [[Komma|Kommas]] befinden (d. h. austemperierten Kommas sind Eigenvektoren der Temperatur mit Eigenwert 0). Eigenvektoren mit Eigenwert 1 beschreiben Intervalle, die von der Temperierung unverändert gelassen werden, also rein gestimmt bleiben. Bei der viertelkomma-mitteltönigen Temperatur sind das etwa die Oktave 2/1 und die reine grosse Terz 5/4, bei der drittelkomma-mitteltönigen Temperatur dagegen Oktave und kleine Terz 6/5. 

Eigenvektoren mit Eigenwert 1 werden auch als '''Eigenmonzos''' bezeichnet.</text>
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Wie auf der Seite [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende [[Intervallraum|Intervallraum]] ist, mathematisch gesehen, ein [http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29  Z-Modul].

Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren nichtganzzahlige Werte zuzulassen.

Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;gt; steht für das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;a&lt;/span&gt; * 3&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;b&lt;/span&gt; * 5&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;c&lt;/span&gt;.

Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;(1/n)&lt;/span&gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen]] Stimmung, von n-[[edo|Edo]] nämlich.

Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 &amp;gt; einen Basisschritt der [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 &amp;gt; steht für den Wert, um den eine Quinte in der [[viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung vermindert werden muss.

Der so erweiterte Intervallraum ist nun ein „echter“ Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn, zum Körper Q der rationalen Zahlen, und mit ihm haben wir somit ein Instrument zur Verfügung, das die Beschreibung [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmungen]], [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufiger Tonsysteme]] wie auch [[Reguläre_Temperaturen|regulärer Temperaturen]] in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.

=Rationale Intervallvektoren und reine Intervalle=

Die von nichtganzzahligen Intervallvektoren beschriebenen Frequenzverhältnisse sind irrationale Zahlen, die entsprechenden Intervalle sind also keine "reinen" Intervalle. Doch bei rationalen Koeffizienten gibt es eine einfache Beziehung zu reinen Intervallen: jedes durch einen rationalen Intervallvektor beschriebene Intervall ist der n-te Teil eines reinen Intervalles (bzw., mathematisch: die n-te Potenz), wobei n das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) der Nenner der Koeffizienten des Intervallvektors ist. Das reine Intervall ist durch das KGV sogar eindeutig bestimmt.

Wenn als Koeffizienten des Intervallvektors nicht nur rationale, sondern beliebige reelle Zahlen erlaubt sind, gibt es diese eindeutige Beziehung nicht: dann kann jedes Intervall eine Potenz von jeder beliebigen Primzahl wie auch auf unendlich viele verschiedene Arten eine Kombination von Primzahlpotenzen sein.

=Temperierte Stimmungen als Transformationen im Intervallraum=

[[Reguläre_Temperaturen|Temperierte Stimmungen]] können als Transformationen im rationalen Intervallraum beschrieben werden. Wenn v der n-dimensionale Intervallvektor eines reinen Intervalls ist, dann können wir den Intervallvektor des temperierten Intervalls schreiben als T(v), wobei T eine Abbildung des rationalen n-dimensionalen Intervallraums &lt;math&gt;Q^n&lt;/math&gt; auf sich selbst ist.

Die Abbildung T kann dabei theoretisch beliebiger Art sein, doch es ist sehr sinnvoll, sich auf [https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abbildung lineare Abbildungen] zu beschränken, also vorauszusetzen, dass &lt;math&gt;T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2)&lt;/math&gt; gilt. Das ist nämlich nichts anderes als die Forderung, dass die Temperatur [[konsistent]] sein soll.

[To do Beispiel]

[To do Vals]

=Eigenmonzos=

Die Charakterisierung von musikalischen Temperaturen als lineare Abbildungen macht weitere Resultate aus der Theorie der linearen Algebra für die Musiktheorie nutzbar. 

Ein Phänomen bei linearen Abbildungen T eines Vektorraums auf sich selbst sind [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem Eigenvektoren], das sind Vektoren v, für die gilt:

&lt;math&gt;T(v) = \lambda * v&lt;/math&gt;

Der skalare Wert &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; wird dabei '''Eigenwert''' genannt.

Im Hinblick auf musikalische Temperaturen interessant sind namentlich Eigenvektoren mit den Eigenwerten 0 und 1. Eigenvektoren mit Eigenwert 0 sind die Elemente des Kerns der linearen Abbildung, wo sich alle von der Temperatur austemperierten [[Komma|Kommas]] befinden (d. h. austemperierten Kommas sind Eigenvektoren der Temperatur mit Eigenwert 0). Eigenvektoren mit Eigenwert 1 beschreiben Intervalle, die von der Temperierung unverändert gelassen werden, also rein gestimmt bleiben. Bei der [[Viertelkomma-mitteltönig|viertelkomma-mitteltönigen]] Temperatur sind das etwa die Oktave 2/1 und die reine grosse Terz 5/4, bei der [[Drittelkomms-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur dagegen Oktave und kleine Terz 6/5, bei der [[Sechstelkomma-mittteltönig|Sechstelkomma-mittteltönigen]] Temperatur der diatonische Tritonus 45/32 und bei der [[Fünftelkomma-mitteltönig|Fünftelkomma-mittrltönigen]] Temperatur die grosse Septime 16/15.

Eigenvektoren mit Eigenwert 1 werden auch als '''Eigenmonzos''' bezeichnet.</text>
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Wie auf der Seite [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende [[Intervallraum|Intervallraum]] ist, mathematisch gesehen, ein [http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29  Z-Modul].

Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren nichtganzzahlige Werte zuzulassen.

Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;gt; steht für das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;a&lt;/span&gt; * 3&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;b&lt;/span&gt; * 5&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;c&lt;/span&gt;.

Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;(1/n)&lt;/span&gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen]] Stimmung, von n-[[edo|Edo]] nämlich.

Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 &amp;gt; einen Basisschritt der [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 &amp;gt; steht für den Wert, um den eine Quinte in der [[viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung vermindert werden muss.

Der so erweiterte Intervallraum ist nun ein „echter“ Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn, zum Körper Q der rationalen Zahlen, und mit ihm haben wir somit ein Instrument zur Verfügung, das die Beschreibung [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmungen]], [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufiger Tonsysteme]] wie auch [[Reguläre_Temperaturen|regulärer Temperaturen]] in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.

=Rationale Intervallvektoren und reine Intervalle=

Die von nichtganzzahligen Intervallvektoren beschriebenen Frequenzverhältnisse sind irrationale Zahlen, die entsprechenden Intervalle sind also keine "reinen" Intervalle. Doch bei rationalen Koeffizienten gibt es eine einfache Beziehung zu reinen Intervallen: jedes durch einen rationalen Intervallvektor beschriebene Intervall ist der n-te Teil eines reinen Intervalles (bzw., mathematisch: die n-te Potenz), wobei n das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) der Nenner der Koeffizienten des Intervallvektors ist. Das reine Intervall ist durch das KGV sogar eindeutig bestimmt.

Wenn als Koeffizienten des Intervallvektors nicht nur rationale, sondern beliebige reelle Zahlen erlaubt sind, gibt es diese eindeutige Beziehung nicht: dann kann jedes Intervall eine Potenz von jeder beliebigen Primzahl wie auch auf unendlich viele verschiedene Arten eine Kombination von Primzahlpotenzen sein.

=Temperierte Stimmungen als Transformationen im Intervallraum=

[[Reguläre_Temperaturen|Temperierte Stimmungen]] können als Transformationen im rationalen Intervallraum beschrieben werden. Wenn v der n-dimensionale Intervallvektor eines reinen Intervalls ist, dann können wir den Intervallvektor des temperierten Intervalls schreiben als T(v), wobei T eine Abbildung des rationalen n-dimensionalen Intervallraums &lt;math&gt;Q^n&lt;/math&gt; auf sich selbst ist.

Die Abbildung T kann dabei theoretisch beliebiger Art sein, doch es ist sehr sinnvoll, sich auf [https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abbildung lineare Abbildungen] zu beschränken, also vorauszusetzen, dass &lt;math&gt;T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2)&lt;/math&gt; gilt. Das ist nämlich nichts anderes als die Forderung, dass die Temperatur [[konsistent]] sein soll.

[To do Beispiel]

[To do Vals]

=Eigenmonzos=

Die Charakterisierung von musikalischen Temperaturen als lineare Abbildungen macht weitere Resultate aus der Theorie der linearen Algebra für die Musiktheorie nutzbar. 

Ein Phänomen bei linearen Abbildungen T eines Vektorraums auf sich selbst sind [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem Eigenvektoren], das sind Vektoren v, für die gilt:

&lt;math&gt;T(v) = \lambda * v&lt;/math&gt;

Der skalare Wert &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; wird dabei '''Eigenwert''' genannt.

Im Hinblick auf musikalische Temperaturen interessant sind namentlich Eigenvektoren mit den Eigenwerten 0 und 1. Eigenvektoren mit Eigenwert 0 sind die Elemente des Kerns der linearen Abbildung, wo sich alle von der Temperatur austemperierten [[Komma|Kommas]] befinden (d. h. austemperierten Kommas sind Eigenvektoren der Temperatur mit Eigenwert 0). Eigenvektoren mit Eigenwert 1 beschreiben Intervalle, die von der Temperierung unverändert gelassen werden, also rein gestimmt bleiben. Bei der [[Viertelkomma-mitteltönig|viertelkomma-mitteltönigen]] Temperatur sind das etwa die Oktave 2/1 und die reine grosse Terz 5/4, bei der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur dagegen Oktave und kleine Terz 6/5, bei der [[Sechstelkomma-mitteltönig|Sechstelkomma-mitteltönigen]] Temperatur der diatonische Tritonus 45/32 und bei der [[Fünftelkomma-mitteltönig|Fünftelkomma-mitteltönigen]] Temperatur die grosse Septime 16/15.

Eigenvektoren mit Eigenwert 1 werden auch als '''Eigenmonzos''' bezeichnet.</text>
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Wie auf der Seite [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende [[Intervallraum|Intervallraum]] ist, mathematisch gesehen, ein [http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29  Z-Modul].

Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren nichtganzzahlige Werte zuzulassen.

Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;gt; steht für das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;a&lt;/span&gt; * 3&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;b&lt;/span&gt; * 5&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;c&lt;/span&gt;.

Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;(1/n)&lt;/span&gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen]] Stimmung, von n-[[edo|Edo]] nämlich.

Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 &amp;gt; einen Basisschritt der [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 &amp;gt; steht für den Wert, um den eine Quinte in der [[viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung vermindert werden muss.

Der so erweiterte Intervallraum ist nun ein „echter“ Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn, zum Körper Q der rationalen Zahlen, und mit ihm haben wir somit ein Instrument zur Verfügung, das die Beschreibung [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmungen]], [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufiger Tonsysteme]] wie auch [[Reguläre_Temperaturen|regulärer Temperaturen]] in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.

=Rationale Intervallvektoren und reine Intervalle=

Die von nichtganzzahligen Intervallvektoren beschriebenen Frequenzverhältnisse sind irrationale Zahlen, die entsprechenden Intervalle sind also keine "reinen" Intervalle. Doch bei rationalen Koeffizienten gibt es eine einfache Beziehung zu reinen Intervallen: jedes durch einen rationalen Intervallvektor beschriebene Intervall ist der n-te Teil eines reinen Intervalles (bzw., mathematisch: die n-te Potenz), wobei n das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) der Nenner der Koeffizienten des Intervallvektors ist. Das reine Intervall ist durch das KGV sogar eindeutig bestimmt.

Wenn als Koeffizienten des Intervallvektors nicht nur rationale, sondern beliebige reelle Zahlen erlaubt sind, gibt es diese eindeutige Beziehung nicht: dann kann jedes Intervall eine Potenz von jeder beliebigen Primzahl wie auch auf unendlich viele verschiedene Arten eine Kombination von Primzahlpotenzen sein.

=Temperierte Stimmungen als Transformationen im Intervallraum=

[[Reguläre_Temperaturen|Temperierte Stimmungen]] können als Transformationen im rationalen Intervallraum beschrieben werden. Wenn v der n-dimensionale Intervallvektor eines reinen Intervalls ist, dann können wir den Intervallvektor des temperierten Intervalls schreiben als T(v), wobei T eine Abbildung des rationalen n-dimensionalen Intervallraums &lt;math&gt;Q^n&lt;/math&gt; auf sich selbst ist.

Die Abbildung T kann dabei theoretisch beliebiger Art sein, doch es ist sehr sinnvoll, sich auf [https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abbildung lineare Abbildungen] zu beschränken, also vorauszusetzen, dass &lt;math&gt;T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2)&lt;/math&gt; gilt. Das ist nämlich nichts anderes als die Forderung, dass die Temperatur [[konsistent]] sein soll.

[To do Beispiel]

[To do Vals]

=Eigenmonzos=

Die Charakterisierung von musikalischen Temperaturen als lineare Abbildungen macht weitere Resultate aus der Theorie der linearen Algebra für die Musiktheorie nutzbar. 

Ein Phänomen bei linearen Abbildungen T eines Vektorraums auf sich selbst sind [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem Eigenvektoren], das sind Vektoren v, für die gilt:

&lt;math&gt;T(v) = \lambda * v&lt;/math&gt;

Der skalare Wert &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; wird dabei '''Eigenwert''' genannt.

Im Hinblick auf musikalische Temperaturen interessant sind namentlich Eigenvektoren mit den Eigenwerten 0 und 1. Eigenvektoren mit Eigenwert 0 sind die Elemente des Kerns der linearen Abbildung, wo sich alle von der Temperatur austemperierten [[Komma|Kommas]] befinden (d. h. austemperierten Kommas sind Eigenvektoren der Temperatur mit Eigenwert 0). Eigenvektoren mit Eigenwert 1 beschreiben Intervalle, die von der Temperierung unverändert gelassen werden, also rein gestimmt bleiben. Bei der [[Viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Temperatur sind das etwa die Oktave 2/1 und die reine grosse Terz 5/4, bei der [[Drittelkomma-mitteltönig|Drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur dagegen Oktave und kleine Terz 6/5, bei der [[Sechstelkomma-mitteltönig|Sechstelkomma-mitteltönigen]] Temperatur der diatonische Tritonus 45/32 und bei der [[Fünftelkomma-mitteltönig|Fünftelkomma-mitteltönigen]] Temperatur die grosse Septime 16/15.

Eigenvektoren mit Eigenwert 1 werden auch als '''Eigenmonzos''' bezeichnet.</text>
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Wie auf der Seite [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende [[Intervallraum|Intervallraum]] ist, mathematisch gesehen, ein [http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29  Z-Modul].

Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren nichtganzzahlige Werte zuzulassen.

Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;gt; steht für das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;a&lt;/span&gt; * 3&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;b&lt;/span&gt; * 5&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;c&lt;/span&gt;.

Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;(1/n)&lt;/span&gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen]] Stimmung, von n-[[edo|Edo]] nämlich.

Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 &amp;gt; einen Basisschritt der [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 &amp;gt; steht für den Wert, um den eine Quinte in der [[viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung vermindert werden muss.

Der so erweiterte Intervallraum ist nun ein „echter“ Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn, zum Körper Q der rationalen Zahlen, und mit ihm haben wir somit ein Instrument zur Verfügung, das die Beschreibung [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmungen]], [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufiger Tonsysteme]] wie auch [[Reguläre_Temperaturen|regulärer Temperaturen]] in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.

=Rationale Intervallvektoren und reine Intervalle=

Die von nichtganzzahligen Intervallvektoren beschriebenen Frequenzverhältnisse sind irrationale Zahlen, die entsprechenden Intervalle sind also keine "reinen" Intervalle. Doch bei rationalen Koeffizienten gibt es eine einfache Beziehung zu reinen Intervallen: jedes durch einen rationalen Intervallvektor beschriebene Intervall ist der n-te Teil eines reinen Intervalles (bzw., mathematisch: die n-te Potenz), wobei n das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) der Nenner der Koeffizienten des Intervallvektors ist. Das reine Intervall ist durch das KGV sogar eindeutig bestimmt.

Wenn als Koeffizienten des Intervallvektors nicht nur rationale, sondern beliebige reelle Zahlen erlaubt sind, gibt es diese eindeutige Beziehung nicht: dann kann jedes Intervall eine Potenz von jeder beliebigen Primzahl wie auch auf unendlich viele verschiedene Arten eine Kombination von Primzahlpotenzen sein.

=Temperierte Stimmungen als Transformationen im Intervallraum=

[[Reguläre_Temperaturen|Temperierte Stimmungen]] können als Transformationen im rationalen Intervallraum beschrieben werden. Wenn v der n-dimensionale Intervallvektor eines reinen Intervalls ist, dann können wir den Intervallvektor des temperierten Intervalls schreiben als T(v), wobei T eine Abbildung des rationalen n-dimensionalen Intervallraums &lt;math&gt;Q^n&lt;/math&gt; auf sich selbst ist.

Die Abbildung T kann dabei theoretisch beliebiger Art sein, doch es ist sehr sinnvoll, sich auf [https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abbildung lineare Abbildungen] zu beschränken, also vorauszusetzen, dass &lt;math&gt;T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2)&lt;/math&gt; gilt. Das ist nämlich nichts anderes als die Forderung, dass die Temperatur [[konsistent]] sein soll.

[To do Beispiel]

[To do Vals]

=Eigenmonzos=

Die Charakterisierung von musikalischen Temperaturen als lineare Abbildungen macht weitere Resultate aus der Theorie der linearen Algebra für die Musiktheorie nutzbar. 

Ein Phänomen bei linearen Abbildungen T eines Vektorraums auf sich selbst sind [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem Eigenvektoren], das sind Vektoren v, für die gilt:

&lt;math&gt;T(v) = \lambda * v&lt;/math&gt;

Der skalare Wert &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; wird dabei '''Eigenwert''' genannt.

Im Hinblick auf musikalische Temperaturen interessant sind namentlich Eigenvektoren mit den Eigenwerten 0 und 1. Eigenvektoren mit Eigenwert 0 sind die Elemente des Kerns der linearen Abbildung, wo sich alle von der Temperatur austemperierten [[Komma|Kommas]] befinden (d. h. austemperierten Kommas sind Eigenvektoren der Temperatur mit Eigenwert 0). Eigenvektoren mit Eigenwert 1 beschreiben Intervalle, die von der Temperierung unverändert gelassen werden, also rein gestimmt bleiben. Bei der [[Viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Temperatur sind das neben der Oktave 2/1 die reine grosse Terz 5/4, bei der [[Drittelkomma-mitteltönig|Drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur dagegen Oktave und kleine Terz 6/5, bei der [[Sechstelkomma-mitteltönig|Sechstelkomma-mitteltönigen]] Temperatur Oktaven und diatonischer Tritonus 45/32 und bei der [[Fünftelkomma-mitteltönig|Fünftelkomma-mitteltönigen]] Temperatur Oktaven und grosse Septime 16/15.

Eigenvektoren mit Eigenwert 1 werden auch als '''Eigenmonzos''' bezeichnet.</text>
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Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren nichtganzzahlige Werte zuzulassen.

Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;gt; steht für das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;a&lt;/span&gt; * 3&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;b&lt;/span&gt; * 5&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;c&lt;/span&gt;.

Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;(1/n)&lt;/span&gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen]] Stimmung, von n-[[edo|Edo]] nämlich.

Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 &amp;gt; einen Basisschritt der [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 &amp;gt; steht für den Wert, um den eine Quinte in der [[viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung vermindert werden muss.

Der so erweiterte Intervallraum ist nun ein „echter“ Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn, zum Körper Q der rationalen Zahlen, und mit ihm haben wir somit ein Instrument zur Verfügung, das die Beschreibung [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmungen]], [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufiger Tonsysteme]] wie auch [[Reguläre_Temperaturen|regulärer Temperaturen]] in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.

=Rationale Intervallvektoren und reine Intervalle=

Die von nichtganzzahligen Intervallvektoren beschriebenen Frequenzverhältnisse sind irrationale Zahlen, die entsprechenden Intervalle sind also keine "reinen" Intervalle. Doch bei rationalen Koeffizienten gibt es eine einfache Beziehung zu reinen Intervallen: jedes durch einen rationalen Intervallvektor beschriebene Intervall ist der n-te Teil eines reinen Intervalles (bzw., mathematisch: die n-te Potenz), wobei n das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) der Nenner der Koeffizienten des Intervallvektors ist. Das reine Intervall ist durch das KGV sogar eindeutig bestimmt.

Wenn als Koeffizienten des Intervallvektors nicht nur rationale, sondern beliebige reelle Zahlen erlaubt sind, gibt es diese eindeutige Beziehung nicht: dann kann jedes Intervall eine Potenz von jeder beliebigen Primzahl wie auch auf unendlich viele verschiedene Arten eine Kombination von Primzahlpotenzen sein.

=Temperierte Stimmungen als Transformationen im Intervallraum=

[[Reguläre_Temperaturen|Temperierte Stimmungen]] können als Transformationen im rationalen Intervallraum beschrieben werden. Wenn v der n-dimensionale Intervallvektor eines reinen Intervalls ist, dann können wir den Intervallvektor des temperierten Intervalls schreiben als T(v), wobei T eine Abbildung des rationalen n-dimensionalen Intervallraums &lt;math&gt;Q^n&lt;/math&gt; auf sich selbst ist.

Die Abbildung T kann dabei theoretisch beliebiger Art sein, doch es ist sehr sinnvoll, sich auf [https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abbildung lineare Abbildungen] zu beschränken, also vorauszusetzen, dass &lt;math&gt;T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2)&lt;/math&gt; gilt. Das ist nämlich nichts anderes als die Forderung, dass die Temperatur [[konsistent]] sein soll.

[To do Beispiel]

[To do Vals]

=Eigenmonzos=

Die Charakterisierung von musikalischen Temperaturen als lineare Abbildungen macht weitere Resultate aus der Theorie der linearen Algebra für die Musiktheorie nutzbar. 

Ein Phänomen bei linearen Abbildungen T eines Vektorraums auf sich selbst sind [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem Eigenvektoren], das sind Vektoren v, für die gilt:

&lt;math&gt;T(v) = \lambda * v&lt;/math&gt;

Der skalare Wert &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; wird dabei '''Eigenwert''' genannt.

Im Hinblick auf musikalische Temperaturen interessant sind namentlich Eigenvektoren mit den Eigenwerten 0 und 1. Eigenvektoren mit Eigenwert 0 sind die Elemente des Kerns der linearen Abbildung, wo sich alle von der Temperatur austemperierten [[Komma|Kommas]] befinden (d. h. austemperierten Kommas sind Eigenvektoren der Temperatur mit Eigenwert 0). Eigenvektoren mit Eigenwert 1 beschreiben Intervalle, die von der Temperierung unverändert gelassen werden, also rein gestimmt bleiben. Bei der [[Viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Temperatur sind das neben der Oktave 2/1 die reine grosse Terz 5/4, bei der [[Drittelkomma-mitteltönig|Drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur dagegen die kleine Terz 6/5, bei der [[Sechstelkomma-mitteltönig|Sechstelkomma-mitteltönigen]] Temperatur der diatonische Tritonus 45/32 und bei der [[Fünftelkomma-mitteltönig|Fünftelkomma-mitteltönigen]] Temperatur die grosse Septime 16/15.

Eigenvektoren mit Eigenwert 1 werden auch als '''Eigenmonzos''' bezeichnet.</text>
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Wie auf der Seite [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende [[Intervallraum|Intervallraum]] ist, mathematisch gesehen, ein [http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29  Z-Modul].

Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren nichtganzzahlige Werte zuzulassen.

Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;gt; steht für das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;a&lt;/span&gt; * 3&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;b&lt;/span&gt; * 5&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;c&lt;/span&gt;.

Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;(1/n)&lt;/span&gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen]] Stimmung, von n-[[edo|Edo]] nämlich.

Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 &amp;gt; einen Basisschritt der [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 &amp;gt; steht für den Wert, um den eine Quinte in der [[viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung vermindert werden muss.

Der so erweiterte Intervallraum ist nun ein „echter“ Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn, zum Körper Q der rationalen Zahlen, und mit ihm haben wir somit ein Instrument zur Verfügung, das die Beschreibung [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmungen]], [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufiger Tonsysteme]] wie auch [[Reguläre_Temperaturen|regulärer Temperaturen]] in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.

=Rationale Intervallvektoren und reine Intervalle=

Die von nichtganzzahligen Intervallvektoren beschriebenen Frequenzverhältnisse sind irrationale Zahlen, die entsprechenden Intervalle sind also keine "reinen" Intervalle. Doch bei rationalen Koeffizienten gibt es eine einfache Beziehung zu reinen Intervallen: jedes durch einen rationalen Intervallvektor beschriebene Intervall ist der n-te Teil eines reinen Intervalles (bzw., mathematisch: die n-te Potenz), wobei n das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) der Nenner der Koeffizienten des Intervallvektors ist. Das reine Intervall ist durch das KGV sogar eindeutig bestimmt.

Wenn als Koeffizienten des Intervallvektors nicht nur rationale, sondern beliebige reelle Zahlen erlaubt sind, gibt es diese eindeutige Beziehung nicht: dann kann jedes Intervall eine Potenz von jeder beliebigen Primzahl wie auch auf unendlich viele verschiedene Arten eine Kombination von Primzahlpotenzen sein.

=Temperierte Stimmungen als Transformationen im Intervallraum=

[[Reguläre_Temperaturen|Temperierte Stimmungen]] können als Transformationen im rationalen Intervallraum beschrieben werden. Wenn v der n-dimensionale Intervallvektor eines reinen Intervalls ist, dann können wir den Intervallvektor des temperierten Intervalls schreiben als T(v), wobei T eine Abbildung des rationalen n-dimensionalen Intervallraums &lt;math&gt;Q^n&lt;/math&gt; auf sich selbst ist.

Die Abbildung T kann dabei theoretisch beliebiger Art sein, doch es ist sehr sinnvoll, sich auf [https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abbildung lineare Abbildungen] zu beschränken, also vorauszusetzen, dass &lt;math&gt;T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2)&lt;/math&gt; gilt. Das ist nämlich nichts anderes als die Forderung, dass die Temperatur [[konsistent]] sein soll.

[To do Beispiel]

[To do Vals]

=Eigenmonzos=

Die Charakterisierung von musikalischen Temperaturen als lineare Abbildungen macht weitere Resultate aus der Theorie der linearen Algebra für die Musiktheorie nutzbar. 

Ein Phänomen bei linearen Abbildungen T eines Vektorraums auf sich selbst sind [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem Eigenvektoren], das sind Vektoren v, für die gilt:

&lt;math&gt;T(v) = \lambda * v&lt;/math&gt;

Der skalare Wert &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; wird dabei '''Eigenwert''' genannt.

Im Hinblick auf musikalische Temperaturen interessant sind namentlich Eigenvektoren mit den Eigenwerten 0 und 1. Eigenvektoren mit Eigenwert 0 sind die Elemente des Kerns der linearen Abbildung, wo sich alle von der Temperatur austemperierten [[Komma|Kommas]] befinden (d. h. austemperierten Kommas sind Eigenvektoren der Temperatur mit Eigenwert 0). Eigenvektoren mit Eigenwert 1 beschreiben Intervalle, die von der Temperierung unverändert gelassen werden, also rein gestimmt bleiben. Bei der [[Viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Temperatur ist das neben der Oktave 2/1 namentlich die reine grosse Terz 5/4, bei der [[Drittelkomma-mitteltönig|Drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur dagegen die kleine Terz 6/5, bei der [[Sechstelkomma-mitteltönig|Sechstelkomma-mitteltönigen]] Temperatur der diatonische Tritonus 45/32 und bei der [[Fünftelkomma-mitteltönig|Fünftelkomma-mitteltönigen]] Temperatur die grosse Septime 16/15.

Eigenvektoren mit Eigenwert 1 werden auch als '''Eigenmonzos''' bezeichnet.</text>
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Wie auf der Seite [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende [[Intervallraum|Intervallraum]] ist, mathematisch gesehen, ein [http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29  Z-Modul].

Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren nichtganzzahlige Werte zuzulassen.

Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;gt; steht für das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;a&lt;/span&gt; * 3&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;b&lt;/span&gt; * 5&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;c&lt;/span&gt;.

Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;(1/n)&lt;/span&gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen]] Stimmung, von n-[[edo|Edo]] nämlich.

Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 &amp;gt; einen Basisschritt der [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 &amp;gt; steht für den Wert, um den eine Quinte in der [[viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung vermindert werden muss.

Der so erweiterte Intervallraum ist nun ein „echter“ Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn, zum Körper Q der rationalen Zahlen, und mit ihm haben wir somit ein Instrument zur Verfügung, das die Beschreibung [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmungen]], [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufiger Tonsysteme]] wie auch [[Reguläre_Temperaturen|regulärer Temperaturen]] in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.

=Rationale Intervallvektoren und reine Intervalle=

Die von nichtganzzahligen Intervallvektoren beschriebenen Frequenzverhältnisse sind irrationale Zahlen, die entsprechenden Intervalle sind also keine "reinen" Intervalle. Doch bei rationalen Koeffizienten gibt es eine einfache Beziehung zu reinen Intervallen: jedes durch einen rationalen Intervallvektor beschriebene Intervall ist der n-te Teil eines reinen Intervalles (bzw., mathematisch: die n-te Potenz), wobei n das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) der Nenner der Koeffizienten des Intervallvektors ist. Das reine Intervall ist durch das KGV sogar eindeutig bestimmt.

Wenn als Koeffizienten des Intervallvektors nicht nur rationale, sondern beliebige reelle Zahlen erlaubt sind, gibt es diese eindeutige Beziehung nicht: dann kann jedes Intervall eine Potenz von jeder beliebigen Primzahl wie auch auf unendlich viele verschiedene Arten eine Kombination von Primzahlpotenzen sein.

=Temperierte Stimmungen als Transformationen im Intervallraum=

[[Reguläre_Temperaturen|Temperierte Stimmungen]] können als Transformationen im rationalen Intervallraum beschrieben werden. Wenn v der n-dimensionale Intervallvektor eines reinen Intervalls ist, dann können wir den Intervallvektor des temperierten Intervalls schreiben als T(v), wobei T eine Abbildung des rationalen n-dimensionalen Intervallraums &lt;math&gt;Q^n&lt;/math&gt; auf sich selbst ist.

Die Abbildung T kann dabei theoretisch beliebiger Art sein, doch es ist sehr sinnvoll, sich auf [https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abbildung lineare Abbildungen] zu beschränken, also vorauszusetzen, dass &lt;math&gt;T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2)&lt;/math&gt; gilt. Das ist nämlich nichts anderes als die Forderung, dass die Temperatur [[konsistent]] sein soll.

[To do Beispiel]

[To do Vals]

=Eigenmonzos=

Die Charakterisierung von musikalischen Temperaturen als lineare Abbildungen macht weitere Resultate aus der Theorie der linearen Algebra für die Musiktheorie nutzbar. 

Ein Phänomen bei linearen Abbildungen T eines Vektorraums auf sich selbst sind [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem Eigenvektoren], das sind Vektoren v, für die gilt:

&lt;math&gt;T(v) = \lambda * v&lt;/math&gt;

Der skalare Wert &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; wird dabei '''Eigenwert''' genannt.

Im Hinblick auf musikalische Temperaturen interessant sind namentlich Eigenvektoren mit den Eigenwerten 0 und 1. Eigenvektoren mit Eigenwert 0 sind die Elemente des Kerns der linearen Abbildung, wo sich alle von der Temperatur austemperierten [[Komma|Kommas]] befinden - d. h. austemperierten Kommas sind Eigenvektoren der Temperatur mit Eigenwert 0. Eigenvektoren mit Eigenwert 1 beschreiben Intervalle, die von der Temperierung unverändert gelassen werden, also rein gestimmt bleiben. Bei der [[Viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Temperatur ist das neben der Oktave 2/1 namentlich die reine grosse Terz 5/4, bei der [[Drittelkomma-mitteltönig|Drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur dagegen die kleine Terz 6/5, bei der [[Sechstelkomma-mitteltönig|Sechstelkomma-mitteltönigen]] Temperatur der diatonische Tritonus 45/32 und bei der [[Fünftelkomma-mitteltönig|Fünftelkomma-mitteltönigen]] Temperatur die grosse Septime 16/15.

Eigenvektoren mit Eigenwert 1 werden auch als '''Eigenmonzos''' bezeichnet.</text>
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Wie auf der Seite [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende [[Intervallraum|Intervallraum]] ist, mathematisch gesehen, ein [http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29  Z-Modul].

Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren nichtganzzahlige Werte zuzulassen.

Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;gt; steht für das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;a&lt;/span&gt; * 3&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;b&lt;/span&gt; * 5&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;c&lt;/span&gt;.

Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;(1/n)&lt;/span&gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen]] Stimmung, von n-[[edo|Edo]] nämlich.

Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 &amp;gt; einen Basisschritt der [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 &amp;gt; steht für den Wert, um den eine Quinte in der [[viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung vermindert werden muss.

Der so erweiterte Intervallraum ist nun ein „echter“ Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn, zum Körper Q der rationalen Zahlen, und mit ihm haben wir somit ein Instrument zur Verfügung, das die Beschreibung [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmungen]], [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufiger Tonsysteme]] wie auch [[Reguläre_Temperaturen|regulärer Temperaturen]] in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.

=Rationale Intervallvektoren und reine Intervalle=

Die von nichtganzzahligen Intervallvektoren beschriebenen Frequenzverhältnisse sind irrationale Zahlen, die entsprechenden Intervalle sind also keine "reinen" Intervalle. Doch bei rationalen Koeffizienten gibt es eine einfache Beziehung zu reinen Intervallen: jedes durch einen rationalen Intervallvektor beschriebene Intervall ist der n-te Teil eines reinen Intervalles (bzw., mathematisch: die n-te Potenz), wobei n das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) der Nenner der Koeffizienten des Intervallvektors ist. Das reine Intervall ist durch das KGV sogar eindeutig bestimmt.

Wenn als Koeffizienten des Intervallvektors nicht nur rationale, sondern beliebige reelle Zahlen erlaubt sind, gibt es diese eindeutige Beziehung nicht: dann kann jedes Intervall eine Potenz von jeder beliebigen Primzahl wie auch auf unendlich viele verschiedene Arten eine Kombination von Primzahlpotenzen sein.

=Temperierte Stimmungen als Transformationen im Intervallraum=

[[Reguläre_Temperaturen|Temperierte Stimmungen]] können als Transformationen im rationalen Intervallraum beschrieben werden. Wenn v der n-dimensionale Intervallvektor eines reinen Intervalls ist, dann können wir den Intervallvektor des temperierten Intervalls schreiben als T(v), wobei T eine Abbildung des rationalen n-dimensionalen Intervallraums &lt;math&gt;Q^n&lt;/math&gt; auf sich selbst ist.

Die Abbildung T kann dabei theoretisch beliebiger Art sein, doch es ist sehr sinnvoll, sich auf [https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abbildung lineare Abbildungen] zu beschränken, also vorauszusetzen, dass &lt;math&gt;T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2)&lt;/math&gt; gilt. Das ist nämlich nichts anderes als die Forderung, dass die Temperatur [[konsistent]] sein soll.

[To do Beispiel]

[To do Vals]

=Eigenmonzos=

Die Charakterisierung von musikalischen Temperaturen als lineare Abbildungen macht weitere Resultate aus der Theorie der linearen Algebra für die Musiktheorie nutzbar. 

Ein Phänomen bei linearen Abbildungen T eines Vektorraums auf sich selbst sind [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem Eigenvektoren], das sind Vektoren v, für die gilt:

&lt;math&gt;T(v) = \lambda * v&lt;/math&gt;

Der skalare Wert &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; wird dabei '''Eigenwert''' genannt.

Im Hinblick auf musikalische Temperaturen interessant sind namentlich Eigenvektoren mit den Eigenwerten 0 und 1. 

Eigenvektoren mit Eigenwert 0 sind die Elemente des Kerns der linearen Abbildung, wo sich alle von der Temperatur austemperierten [[Komma|Kommas]] befinden - d. h. austemperierten Kommas sind Eigenvektoren der Temperatur mit Eigenwert 0. 

Eigenvektoren mit Eigenwert 1 beschreiben Intervalle, die von der Temperierung unverändert gelassen werden, also rein gestimmt bleiben. Bei der [[Viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Temperatur ist das neben der Oktave 2/1 namentlich die reine grosse Terz 5/4, bei der [[Drittelkomma-mitteltönig|Drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur dagegen die kleine Terz 6/5, bei der [[Sechstelkomma-mitteltönig|Sechstelkomma-mitteltönigen]] Temperatur der diatonische Tritonus 45/32 und bei der [[Fünftelkomma-mitteltönig|Fünftelkomma-mitteltönigen]] Temperatur die grosse Septime 16/15.

Eigenvektoren mit Eigenwert 1 werden auch als '''Eigenmonzos''' bezeichnet.</text>
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Wie auf der Seite [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende [[Intervallraum|Intervallraum]] ist, mathematisch gesehen, ein [http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29  Z-Modul].

Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren nichtganzzahlige Werte zuzulassen.

Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;gt; steht für das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;a&lt;/span&gt; * 3&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;b&lt;/span&gt; * 5&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;c&lt;/span&gt;.

Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;(1/n)&lt;/span&gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen]] Stimmung, von n-[[edo|Edo]] nämlich.

Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 &amp;gt; einen Basisschritt der [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 &amp;gt; steht für den Wert, um den eine Quinte in der [[viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung vermindert werden muss.

Der so erweiterte Intervallraum ist nun ein „echter“ Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn, zum Körper Q der rationalen Zahlen, und mit ihm haben wir somit ein Instrument zur Verfügung, das die Beschreibung [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmungen]], [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufiger Tonsysteme]] wie auch [[Reguläre_Temperaturen|regulärer Temperaturen]] in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.

=Rationale Intervallvektoren und reine Intervalle=

Die von nichtganzzahligen Intervallvektoren beschriebenen Frequenzverhältnisse sind irrationale Zahlen, die entsprechenden Intervalle sind also keine "reinen" Intervalle. Doch bei rationalen Koeffizienten gibt es eine einfache Beziehung zu reinen Intervallen: jedes durch einen rationalen Intervallvektor beschriebene Intervall ist der n-te Teil eines reinen Intervalles (bzw., mathematisch: die n-te Potenz), wobei n das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) der Nenner der Koeffizienten des Intervallvektors ist. Das reine Intervall ist durch das KGV sogar eindeutig bestimmt.

Wenn als Koeffizienten des Intervallvektors nicht nur rationale, sondern beliebige reelle Zahlen erlaubt sind, gibt es diese eindeutige Beziehung nicht: dann kann jedes Intervall eine Potenz von jeder beliebigen Primzahl wie auch auf unendlich viele verschiedene Arten eine Kombination von Primzahlpotenzen sein.

=Temperierte Stimmungen als Transformationen im Intervallraum=

[[Reguläre_Temperaturen|Temperierte Stimmungen]] können als Transformationen im rationalen Intervallraum beschrieben werden. Wenn v der n-dimensionale Intervallvektor eines reinen Intervalls ist, dann können wir den Intervallvektor des temperierten Intervalls schreiben als T(v), wobei T eine Abbildung des rationalen n-dimensionalen Intervallraums &lt;math&gt;Q^n&lt;/math&gt; auf sich selbst ist.

Die Abbildung T kann dabei theoretisch beliebiger Art sein, doch es ist sehr sinnvoll, sich auf [https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abbildung lineare Abbildungen] zu beschränken, also vorauszusetzen, dass &lt;math&gt;T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2)&lt;/math&gt; gilt. Das ist nämlich nichts anderes als die Forderung, dass die Temperatur [[konsistent]] sein soll.

[To do Beispiel]

[To do Vals]

=Eigenmonzos=

Die Charakterisierung von musikalischen Temperaturen als lineare Abbildungen macht weitere Resultate aus der Theorie der linearen Algebra für die Musiktheorie nutzbar. 

Ein Phänomen bei linearen Abbildungen T eines Vektorraums auf sich selbst sind [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem Eigenvektoren], das sind Vektoren v, für die gilt:

&lt;math&gt;T(v) = \lambda * v&lt;/math&gt;

Der skalare Wert &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; wird dabei '''Eigenwert''' genannt.

Im Hinblick auf musikalische Temperaturen interessant sind namentlich Eigenvektoren mit den Eigenwerten 0 und 1. 

Eigenvektoren mit Eigenwert 0 sind die Elemente des Kerns der linearen Abbildung, wo sich alle von der Temperatur austemperierten [[Komma|Kommas]] befinden - d. h. austemperierte Kommas sind Eigenvektoren der Temperatur mit Eigenwert 0. 

Eigenvektoren mit Eigenwert 1 beschreiben Intervalle, die von der Temperierung unverändert gelassen werden, also rein gestimmt bleiben. Bei der [[Viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Temperatur ist das neben der Oktave 2/1 namentlich die reine grosse Terz 5/4, bei der [[Drittelkomma-mitteltönig|Drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur dagegen die kleine Terz 6/5, bei der [[Sechstelkomma-mitteltönig|Sechstelkomma-mitteltönigen]] Temperatur der diatonische Tritonus 45/32 und bei der [[Fünftelkomma-mitteltönig|Fünftelkomma-mitteltönigen]] Temperatur die grosse Septime 16/15.

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Wie auf der Seite [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende [[Intervallraum|Intervallraum]] ist, mathematisch gesehen, ein [http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29  Z-Modul].

Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren nichtganzzahlige Werte zuzulassen.

Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;gt; steht für das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;a&lt;/span&gt; * 3&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;b&lt;/span&gt; * 5&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;c&lt;/span&gt; - not dass a, b und c eben nichtganzzahlig sein können.

Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;(1/n)&lt;/span&gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen]] Stimmung, von n-[[edo|Edo]] nämlich.

Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 &amp;gt; einen Basisschritt der [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 &amp;gt; steht für den Wert, um den eine Quinte in der [[viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung vermindert werden muss.

Der so erweiterte Intervallraum ist nun ein „echter“ Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn, zum Körper Q der rationalen Zahlen, und mit ihm haben wir somit ein Instrument zur Verfügung, das die Beschreibung [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmungen]], [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufiger Tonsysteme]] wie auch [[Reguläre_Temperaturen|regulärer Temperaturen]] in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.

=Rationale Intervallvektoren und reine Intervalle=

Die von nichtganzzahligen Intervallvektoren beschriebenen Frequenzverhältnisse sind irrationale Zahlen, die entsprechenden Intervalle sind also keine "reinen" Intervalle. Doch bei rationalen Koeffizienten gibt es eine einfache Beziehung zu reinen Intervallen: jedes durch einen rationalen Intervallvektor beschriebene Intervall ist der n-te Teil eines reinen Intervalles (bzw., mathematisch: die n-te Potenz), wobei n das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) der Nenner der Koeffizienten des Intervallvektors ist. Das reine Intervall ist durch das KGV sogar eindeutig bestimmt.

Wenn als Koeffizienten des Intervallvektors nicht nur rationale, sondern beliebige reelle Zahlen erlaubt sind, gibt es diese eindeutige Beziehung nicht: dann kann jedes Intervall eine Potenz von jeder beliebigen Primzahl wie auch auf unendlich viele verschiedene Arten eine Kombination von Primzahlpotenzen sein.

=Temperierte Stimmungen als Transformationen im Intervallraum=

[[Reguläre_Temperaturen|Temperierte Stimmungen]] können als Transformationen im rationalen Intervallraum beschrieben werden. Wenn v der n-dimensionale Intervallvektor eines reinen Intervalls ist, dann können wir den Intervallvektor des temperierten Intervalls schreiben als T(v), wobei T eine Abbildung des rationalen n-dimensionalen Intervallraums &lt;math&gt;Q^n&lt;/math&gt; auf sich selbst ist.

Die Abbildung T kann dabei theoretisch beliebiger Art sein, doch es ist sehr sinnvoll, sich auf [https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abbildung lineare Abbildungen] zu beschränken, also vorauszusetzen, dass &lt;math&gt;T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2)&lt;/math&gt; gilt. Das ist nämlich nichts anderes als die Forderung, dass die Temperatur [[konsistent]] sein soll.

[To do Beispiel]

[To do Vals]

=Eigenmonzos=

Die Charakterisierung von musikalischen Temperaturen als lineare Abbildungen macht weitere Resultate aus der Theorie der linearen Algebra für die Musiktheorie nutzbar. 

Ein Phänomen bei linearen Abbildungen T eines Vektorraums auf sich selbst sind [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem Eigenvektoren], das sind Vektoren v, für die gilt:

&lt;math&gt;T(v) = \lambda * v&lt;/math&gt;

Der skalare Wert &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; wird dabei '''Eigenwert''' genannt.

Im Hinblick auf musikalische Temperaturen interessant sind namentlich Eigenvektoren mit den Eigenwerten 0 und 1. 

Eigenvektoren mit Eigenwert 0 sind die Elemente des Kerns der linearen Abbildung, wo sich alle von der Temperatur austemperierten [[Komma|Kommas]] befinden - d. h. austemperierte Kommas sind Eigenvektoren der Temperatur mit Eigenwert 0. 

Eigenvektoren mit Eigenwert 1 beschreiben Intervalle, die von der Temperierung unverändert gelassen werden, also rein gestimmt bleiben. Bei der [[Viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Temperatur ist das neben der Oktave 2/1 namentlich die reine grosse Terz 5/4, bei der [[Drittelkomma-mitteltönig|Drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur dagegen die kleine Terz 6/5, bei der [[Sechstelkomma-mitteltönig|Sechstelkomma-mitteltönigen]] Temperatur der diatonische Tritonus 45/32 und bei der [[Fünftelkomma-mitteltönig|Fünftelkomma-mitteltönigen]] Temperatur die grosse Septime 16/15.

Eigenvektoren mit Eigenwert 1 werden auch als '''Eigenmonzos''' bezeichnet.</text>
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Wie auf der Seite [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende [[Intervallraum|Intervallraum]] ist, mathematisch gesehen, ein [http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29  Z-Modul].

Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren nichtganzzahlige Werte zuzulassen.

Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &amp;gt; steht für das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;a&lt;/span&gt; * 3&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;b&lt;/span&gt; * 5&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;c&lt;/span&gt; - nur dass a, b und c eben nichtganzzahlig sein können.

Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &amp;gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;(1/n)&lt;/span&gt;, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen]] Stimmung, von n-[[edo|Edo]] nämlich.

Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 &amp;gt; einen Basisschritt der [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 &amp;gt; steht für den Wert, um den eine Quinte in der [[viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung vermindert werden muss.

Der so erweiterte Intervallraum ist nun ein „echter“ Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn, zum Körper Q der rationalen Zahlen, und mit ihm haben wir somit ein Instrument zur Verfügung, das die Beschreibung [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmungen]], [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufiger Tonsysteme]] wie auch [[Reguläre_Temperaturen|regulärer Temperaturen]] in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.

=Rationale Intervallvektoren und reine Intervalle=

Die von nichtganzzahligen Intervallvektoren beschriebenen Frequenzverhältnisse sind irrationale Zahlen, die entsprechenden Intervalle sind also keine "reinen" Intervalle. Doch bei rationalen Koeffizienten gibt es eine einfache Beziehung zu reinen Intervallen: jedes durch einen rationalen Intervallvektor beschriebene Intervall ist der n-te Teil eines reinen Intervalles (bzw., mathematisch: die n-te Potenz), wobei n das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) der Nenner der Koeffizienten des Intervallvektors ist. Das reine Intervall ist durch das KGV sogar eindeutig bestimmt.

Wenn als Koeffizienten des Intervallvektors nicht nur rationale, sondern beliebige reelle Zahlen erlaubt sind, gibt es diese eindeutige Beziehung nicht: dann kann jedes Intervall eine Potenz von jeder beliebigen Primzahl wie auch auf unendlich viele verschiedene Arten eine Kombination von Primzahlpotenzen sein.

=Temperierte Stimmungen als Transformationen im Intervallraum=

[[Reguläre_Temperaturen|Temperierte Stimmungen]] können als Transformationen im rationalen Intervallraum beschrieben werden. Wenn v der n-dimensionale Intervallvektor eines reinen Intervalls ist, dann können wir den Intervallvektor des temperierten Intervalls schreiben als T(v), wobei T eine Abbildung des rationalen n-dimensionalen Intervallraums &lt;math&gt;Q^n&lt;/math&gt; auf sich selbst ist.

Die Abbildung T kann dabei theoretisch beliebiger Art sein, doch es ist sehr sinnvoll, sich auf [https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abbildung lineare Abbildungen] zu beschränken, also vorauszusetzen, dass &lt;math&gt;T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2)&lt;/math&gt; gilt. Das ist nämlich nichts anderes als die Forderung, dass die Temperatur [[konsistent]] sein soll.

[To do Beispiel]

[To do Vals]

=Eigenmonzos=

Die Charakterisierung von musikalischen Temperaturen als lineare Abbildungen macht weitere Resultate aus der Theorie der linearen Algebra für die Musiktheorie nutzbar. 

Ein Phänomen bei linearen Abbildungen T eines Vektorraums auf sich selbst sind [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem Eigenvektoren], das sind Vektoren v, für die gilt:

&lt;math&gt;T(v) = \lambda * v&lt;/math&gt;

Der skalare Wert &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; wird dabei '''Eigenwert''' genannt.

Im Hinblick auf musikalische Temperaturen interessant sind namentlich Eigenvektoren mit den Eigenwerten 0 und 1. 

Eigenvektoren mit Eigenwert 0 sind die Elemente des Kerns der linearen Abbildung, wo sich alle von der Temperatur austemperierten [[Komma|Kommas]] befinden - d. h. austemperierte Kommas sind Eigenvektoren der Temperatur mit Eigenwert 0. 

Eigenvektoren mit Eigenwert 1 beschreiben Intervalle, die von der Temperierung unverändert gelassen werden, also rein gestimmt bleiben. Bei der [[Viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Temperatur ist das neben der Oktave 2/1 namentlich die reine grosse Terz 5/4, bei der [[Drittelkomma-mitteltönig|Drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur dagegen die kleine Terz 6/5, bei der [[Sechstelkomma-mitteltönig|Sechstelkomma-mitteltönigen]] Temperatur der diatonische Tritonus 45/32 und bei der [[Fünftelkomma-mitteltönig|Fünftelkomma-mitteltönigen]] Temperatur die grosse Septime 16/15.

Eigenvektoren mit Eigenwert 1 werden auch als '''Eigenmonzos''' bezeichnet.</text>
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;= Notizen =
* [[https://en.wikipedia.org/wiki/User:Eloquence/Score|Die Score-Erweiterung für Wikipedia]] - scheint erst heute fertig geworden zu sein&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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* [[Sagittalnotation]] für [[reine Stimmung]] und [[EDO]]s
* [[MOS-Diamantennotation]] für [[MOS-Skalen]]
== Notizen ==
&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[https://en.wikipedia.org/wiki/User:Eloquence/Score Die Score-Erweiterung für Wikipedia] - scheint erst heute fertig geworden zu sein&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;</text>
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* [[Sagittalnotation]] für [[reine Stimmung]] und [[EDO]]s
* [[Functional Just System]] für [[reine Stimmung]]
* [[Color Notation]] für [[reine Stimmung]]
* [[MOS-Diamantennotation]] für [[MOS-Skalen]]

== Notizen ==
&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[https://en.wikipedia.org/wiki/User:Eloquence/Score Die Score-Erweiterung für Wikipedia] - scheint erst heute fertig geworden zu sein&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;</text>
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* [[Sagittalnotation]] für [[reine Stimmung]] und [[EDO]]s
* [[FJS]] für [[reine Stimmung]]
* [[Color Notation]] für [[reine Stimmung]]
* [[MOS-Diamantennotation]] für [[MOS-Skalen]]

== Notizen ==
&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[https://en.wikipedia.org/wiki/User:Eloquence/Score Die Score-Erweiterung für Wikipedia] - scheint erst heute fertig geworden zu sein&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;</text>
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* [[FJS]] für [[reine Stimmung]]
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* [[MOS-Diamantennotation]] für [[MOS-Skalen]] und [[EDO]]s

== Notizen ==
&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[https://en.wikipedia.org/wiki/User:Eloquence/Score Die Score-Erweiterung für Wikipedia] - scheint erst heute fertig geworden zu sein&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;</text>
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* [[Color Notation]] für [[reine Stimmung]]
* [[MOS-Diamantennotation]] für [[MOS-Skalen]] und [[EDO]]s

== Notizen ==
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Notensatz Hilfe&amp;#58;Notensatz – Wikipedia] -- Notensatz-Erweiterung ist deaktiviert seit Juli 2020</text>
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* [[Sagittalnotation]] für [[reine Stimmung]] und [[EDO]]s
* [[FJS]] für [[reine Stimmung]]
* [[Color Notation]] für [[reine Stimmung]]
* [[MOS-Rautennotation]] für [[MOS-Skalen]] und [[EDO]]s

== Notizen ==
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Notensatz Hilfe&amp;#58;Notensatz – Wikipedia] -- Notensatz-Erweiterung ist deaktiviert seit Juli 2020</text>
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* [[Sagittalnotation]] für [[reine Stimmung]] und [[EDO]]s
* [[FJS]] für [[reine Stimmung]]
* [[Farbennotation]] für [[reine Stimmung]]
* [[MOS-Rautennotation]] für [[MOS-Skalen]] und [[EDO]]s

== Notizen ==
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Notensatz Hilfe&amp;#58;Notensatz – Wikipedia] -- Notensatz-Erweiterung ist deaktiviert seit Juli 2020</text>
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==Deutschsprachige Ressourcen zu Obertonmusik==
[http://www.naturton-musik.de/ www.naturton-musik.de] - Website des österreichischen Komponisten Johannes Kotschy. Eine Menge Theoriematerial sowie praktische Anleitungen für Obertonmusik.

[http://www.xing.com/net/overtonenetwork Oberton-Netzwerk (Xing)] - Deutschsprachiges Diskussionsforum zur Obertonmusik auf dem sozialen Netzwerk [http://www.xing.com Xing]. Diskussionen über mikrotonale/xenharmonische Musik.sind ausdrücklich auch willkommen.</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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==Deutschsprachige Ressourcen zu Obertonmusik== 
[[http://www.naturton-musik.de/|www.naturton-musik.de]] - Website des österreichischen Komponisten Johannes Kotschy. Eine Menge Theoriematerial sowie praktische Anleitungen für Obertonmusik.
[[http://www.xing.com/net/overtonenetwork|Oberton-Netzwerk (Xing)]] - Deutschsprachiges Diskussionsforum zur Obertonmusik auf dem sozialen Netzwerk [[http://www.xing.com|Xing]]. Diskussionen über mikrotonale/xenharmonische Musik.sind ausdrücklich auch willkommen.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Obertonreihe&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/OverToneSeries"&amp;gt;xenharmonic/OvertoneSeries&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.naturton-musik.de/" rel="nofollow"&amp;gt;www.naturton-musik.de&amp;lt;/a&amp;gt; - Website des österreichischen Komponisten Johannes Kotschy. Eine Menge Theoriematerial sowie praktische Anleitungen für Obertonmusik.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.xing.com/net/overtonenetwork" rel="nofollow"&amp;gt;Oberton-Netzwerk (Xing)&amp;lt;/a&amp;gt; - Deutschsprachiges Diskussionsforum zur Obertonmusik auf dem sozialen Netzwerk &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.xing.com" rel="nofollow"&amp;gt;Xing&amp;lt;/a&amp;gt;. Diskussionen über mikrotonale/xenharmonische Musik.sind ausdrücklich auch willkommen.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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==Deutschsprachige Ressourcen zu Obertonmusik== 
[[http://www.naturton-musik.de/|www.naturton-musik.de]] - Website des österreichischen Komponisten Johannes Kotschy. Eine Menge Theoriematerial sowie praktische Anleitungen für Obertonmusik.
[[http://www.xing.com/net/overtonenetwork|Oberton-Netzwerk (Xing)]] - Deutschsprachiges Diskussionsforum zur Obertonmusik auf dem sozialen Netzwerk [[http://www.xing.com|Xing]]. Diskussionen über mikrotonale/xenharmonische Musik.sind ausdrücklich auch willkommen.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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 &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.naturton-musik.de/" rel="nofollow"&amp;gt;www.naturton-musik.de&amp;lt;/a&amp;gt; - Website des österreichischen Komponisten Johannes Kotschy. Eine Menge Theoriematerial sowie praktische Anleitungen für Obertonmusik.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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==Deutschsprachige Ressourcen zu Obertonmusik== 
[[http://www.naturton-musik.de/|www.naturton-musik.de]] - Website des österreichischen Komponisten Johannes Kotschy. Eine Menge Theoriematerial sowie praktische Anleitungen für Obertonmusik.
[[http://www.xing.com/net/overtonenetwork|Oberton-Netzwerk (Xing)]] - Deutschsprachiges Diskussionsforum zur Obertonmusik auf dem sozialen Netzwerk [[http://www.xing.com|Xing]]. Diskussionen über mikrotonale/xenharmonische Musik.sind ausdrücklich auch willkommen.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
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 &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.naturton-musik.de/" rel="nofollow"&amp;gt;www.naturton-musik.de&amp;lt;/a&amp;gt; - Website des österreichischen Komponisten Johannes Kotschy. Eine Menge Theoriematerial sowie praktische Anleitungen für Obertonmusik.&amp;lt;br /&amp;gt;
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==Deutschsprachige Ressourcen zu Obertonmusik==
[http://www.naturton-musik.de/ www.naturton-musik.de] - Website des österreichischen Komponisten Johannes Kotschy. Eine Menge Theoriematerial sowie praktische Anleitungen für Obertonmusik.

[http://www.xing.com/net/overtonenetwork Oberton-Netzwerk (Xing)] - Deutschsprachiges Diskussionsforum zur Obertonmusik auf dem sozialen Netzwerk [http://www.xing.com Xing]. Diskussionen über mikrotonale/xenharmonische Musik.sind ausdrücklich auch willkommen.</text>
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==Deutschsprachige Ressourcen zu Obertonmusik==
[http://www.naturton-musik.de/ www.naturton-musik.de] - Website des österreichischen Komponisten Johannes Kotschy. Eine Menge Theoriematerial sowie praktische Anleitungen für Obertonmusik.

[http://www.xing.com/net/overtonenetwork Oberton-Netzwerk (Xing)] - Deutschsprachiges Diskussionsforum zur Obertonmusik auf dem sozialen Netzwerk [http://www.xing.com Xing]. Diskussionen über mikrotonale/xenharmonische Musik.sind ausdrücklich auch willkommen.</text>
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[http://www.naturton-musik.de/ www.naturton-musik.de] - Website des österreichischen Komponisten Johannes Kotschy. Eine Menge Theoriematerial sowie praktische Anleitungen für Obertonmusik.

[http://www.xing.com/net/overtonenetwork Oberton-Netzwerk (Xing)] - Deutschsprachiges Diskussionsforum zur Obertonmusik auf dem sozialen Netzwerk [http://www.xing.com Xing]. Diskussionen über mikrotonale/xenharmonische Musik.sind ausdrücklich auch willkommen.</text>
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==Deutschsprachige Ressourcen zu Obertonmusik==
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[http://www.xing.com/net/overtonenetwork Oberton-Netzwerk (Xing)] - Deutschsprachiges Diskussionsforum zur Obertonmusik auf dem sozialen Netzwerk [http://www.xing.com Xing]. Diskussionen über mikrotonale/xenharmonische Musik.sind ausdrücklich auch willkommen.</text>
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s.a. [https://de.wikipedia.org/wiki/Oberton Oberton – Wikipedia]

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[http://www.xing.com/net/overtonenetwork Oberton-Netzwerk (Xing)] - Deutschsprachiges Diskussionsforum zur Obertonmusik auf dem sozialen Netzwerk [http://www.xing.com Xing]. Diskussionen über mikrotonale/xenharmonische Musik.sind ausdrücklich auch willkommen.
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todo: u.a. Oberton und Teilton definieren voneinander abgrenzen.

s.a. [https://de.wikipedia.org/wiki/Oberton Oberton – Wikipedia]

== Deutschsprachige Ressourcen zu Obertonmusik ==
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[[Kategorie:Reine Stimmung]]
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}}
todo: u.a. Oberton und Teilton definieren voneinander abgrenzen.

s.a. [https://de.wikipedia.org/wiki/Oberton Oberton – Wikipedia]

== Deutschsprachige Ressourcen zu Obertonmusik ==
[http://www.naturton-musik.de/ www.naturton-musik.de] - Website des österreichischen Komponisten Johannes Kotschy. Eine Menge Theoriematerial sowie praktische Anleitungen für Obertonmusik.

[http://www.xing.com/net/overtonenetwork Oberton-Netzwerk (Xing)] - Deutschsprachiges Diskussionsforum zur Obertonmusik auf dem sozialen Netzwerk [http://www.xing.com Xing]. Diskussionen über mikrotonale/xenharmonische Musik sind ausdrücklich auch willkommen.

[[Kategorie:Reine Stimmung]]
[[Kategorie:Obertonreihe|*]]&lt;!--Hauptartikel--&gt;</text>
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todo: u.a. Oberton und Teilton definieren voneinander abgrenzen.

s.a. [https://de.wikipedia.org/wiki/Oberton Oberton – Wikipedia]

== Deutschsprachige Ressourcen zu Obertonmusik ==

* [http://www.naturton-musik.de/ www.naturton-musik.de] - Website des österreichischen Komponisten Johannes Kotschy. Eine Menge Theoriematerial sowie praktische Anleitungen für Obertonmusik.
* [http://www.xing.com/net/overtonenetwork Oberton-Netzwerk (Xing)] - Deutschsprachiges Diskussionsforum zur Obertonmusik auf dem sozialen Netzwerk [http://www.xing.com Xing]. Diskussionen über mikrotonale/xenharmonische Musik sind ausdrücklich auch willkommen.

[[Kategorie:Reine Stimmung]]
[[Kategorie:Obertonreihe| ]] &lt;!--Hauptartikel--&gt;</text>
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Als '''Obertonreihe''' werden all die Töne bezeichnet, die neben der Grundschwingung in einem Medium angeregt werden (können). Die diesen Tönen zugeordneten Schwingungen haben üblicherweise Frequenzen, die ganzzahlige Vielfache der Frequenz des Grundtons sind. Man spricht hier auch von harmonischen Obertönen oder kurz Harmonischen. Bestimmte Schwinger, z.B. Platten oder Membranen weisen inharmonische Klangkomponenten auf.

Zur Zählung/Zuordnung ist zu beachten, dass bei der Zählung von Obertönen der Grundton ausgelassen wird, der erste Oberton hat also die doppelte Frequenz des Grundtons. 

Eine alternative Terminologie klassifiziert Grund- und Obertöne gleichermaßen als '''Teil-''' oder '''Partialtöne'''. In dieser Betrachtung erhält der Grundton die Nummer 1. Entsprechend ist der 2. Teilton derjenige mit der doppelten Frequenz. In diesem System sind Frequenz-Faktor und Teiltonnummer identisch.

== Siehe auch ==

* [https://de.wikipedia.org/wiki/Oberton Oberton – Wikipedia]
* [http://www.naturton-musik.de/ www.naturton-musik.de] - Website des österreichischen Komponisten Johannes Kotschy. Eine Menge Theoriematerial sowie praktische Anleitungen für Obertonmusik.
* [http://www.xing.com/net/overtonenetwork Oberton-Netzwerk (Xing)] - Deutschsprachiges Diskussionsforum zur Obertonmusik auf dem sozialen Netzwerk [http://www.xing.com Xing]. Diskussionen über mikrotonale/xenharmonische Musik sind ausdrücklich auch willkommen.

[[Kategorie:Reine Stimmung]]
[[Kategorie:Obertonreihe| ]] &lt;!--Hauptartikel--&gt;</text>
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Als '''Obertonreihe''' werden all die Töne bezeichnet, die neben der Grundschwingung in einem Medium angeregt werden (können). Die diesen Tönen zugeordneten Schwingungen haben üblicherweise Frequenzen, die ganzzahlige Vielfache der Frequenz des Grundtons sind. Man spricht hier auch von harmonischen Obertönen oder kurz Harmonischen. Bestimmte Schwinger, z.B. Platten oder Membranen weisen inharmonische Klangkomponenten auf.

Zur Zählung/Zuordnung ist zu beachten, dass bei der Zählung von Obertönen der Grundton ausgelassen wird, der erste Oberton hat also die doppelte Frequenz des Grundtons. 

Eine alternative Terminologie klassifiziert Grund- und Obertöne gleichermaßen als '''Teil-''' oder '''Partialtöne'''. In dieser Betrachtung erhält der Grundton die Nummer 1. Entsprechend ist der 2. Teilton derjenige mit der doppelten Frequenz. In diesem System sind Frequenz-Faktor und Teiltonnummer identisch.

== Bedeutung ==

In vielen Theorien der klassischen "Westlichen" Musik wird den Obertönen eine fundamentale musikalische Bedeutung beigemessen. Wesentliche Intervalle finden sich zwischen (benachbarten) Teiltönen, so z.B.

* [[Oktave]] zwischen 1. und 2. Teilton
* [[Quinte]] zwischen 2. und 3. Teilton
* [[Quarte]] zwischen 3. und 4. Teilton
* [[Naturterz]] zwischen 4. und 5. Teilton
* [[Naturseptime]] zwischen 4. und 7. Teilton

und der klassische Durakkord wird üblicherweise auf die Schwingungsverhältnisse 4:5:6 der Teiltöne 4 bis 6 zurückgeführt.

== Siehe auch ==

* [https://de.wikipedia.org/wiki/Oberton Oberton – Wikipedia]
* [http://www.naturton-musik.de/ www.naturton-musik.de] - Website des österreichischen Komponisten Johannes Kotschy. Eine Menge Theoriematerial sowie praktische Anleitungen für Obertonmusik.
* [http://www.xing.com/net/overtonenetwork Oberton-Netzwerk (Xing)] - Deutschsprachiges Diskussionsforum zur Obertonmusik auf dem sozialen Netzwerk [http://www.xing.com Xing]. Diskussionen über mikrotonale/xenharmonische Musik sind ausdrücklich auch willkommen.

[[Kategorie:Reine Stimmung]]
[[Kategorie:Obertonreihe| ]] &lt;!--Hauptartikel--&gt;</text>
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Als '''Obertonreihe''' werden all die Töne bezeichnet, die neben der Grundschwingung in einem Medium angeregt werden (können). Die diesen Tönen zugeordneten Schwingungen haben üblicherweise Frequenzen, die ganzzahlige Vielfache der Frequenz des Grundtons sind. Man spricht hier auch von harmonischen Obertönen oder kurz Harmonischen. Bestimmte Schwinger, z.B. Platten oder Membranen weisen inharmonische Klangkomponenten auf.

Zur Zählung/Zuordnung ist zu beachten, dass bei der Zählung von Obertönen der Grundton ausgelassen wird, der erste Oberton hat also die doppelte Frequenz des Grundtons. 

Eine alternative Terminologie klassifiziert Grund- und Obertöne gleichermaßen als '''Teil-''' oder '''Partialtöne'''. In dieser Betrachtung erhält der Grundton die Nummer 1. Entsprechend ist der 2. Teilton derjenige mit der doppelten Frequenz. In diesem System sind Frequenz-Faktor und Teiltonnummer identisch.

== Bedeutung ==

In vielen Theorien der klassischen "Westlichen" Musik wird den Obertönen eine fundamentale musikalische Bedeutung beigemessen. Wesentliche Intervalle finden sich zwischen (benachbarten) Teiltönen, so z.B.

* [[Oktave]] zwischen 1. und 2. Teilton
* [[Quinte]] zwischen 2. und 3. Teilton
* [[Quarte]] zwischen 3. und 4. Teilton
* [[Naturterz]] zwischen 4. und 5. Teilton
* [[Naturseptime]] zwischen 4. und 7. Teilton

und der klassische Durakkord wird üblicherweise auf die Schwingungsverhältnisse 4:5:6 der Teiltöne 4 bis 6 zurückgeführt.

== Siehe auch ==
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Oberton Oberton – Wikipedia]
* [http://www.naturton-musik.de/ www.naturton-musik.de] - Website des österreichischen Komponisten Johannes Kotschy. Eine Menge Theoriematerial sowie praktische Anleitungen für Obertonmusik.
* [http://www.xing.com/net/overtonenetwork Oberton-Netzwerk (Xing)] - Deutschsprachiges Diskussionsforum zur Obertonmusik auf dem sozialen Netzwerk [http://www.xing.com Xing]. Diskussionen über mikrotonale/xenharmonische Musik sind ausdrücklich auch willkommen.
* [[Primodalität]]

[[Kategorie:Reine Stimmung]]
[[Kategorie:Obertonreihe| ]] &lt;!--Hauptartikel--&gt;</text>
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Klanglich zeichnet sie sich unter den Intervallen durch einen hohen Verschmelzungsgrad der auf das [[Frequenzverhältnis|Frequenzverhältnis]] 2:1 der beteiligten Töne zurückzuführen ist. In der [[Naturtonreihe|Naturtonreihe]] findet sich dieses Intervall zwischen dem Grundton und dem ersten [[Oberton|Oberton]].  [[Category:Intervall]]</text>
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Klanglich zeichnet sie sich unter den Intervallen durch einen hohen Verschmelzungsgrad der auf das [[Frequenzverhältnis]] 2:1 der beteiligten Töne zurückzuführen ist. In der [[Naturtonreihe]] findet sich dieses Intervall zwischen dem Grundton und dem ersten [[Oberton]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die '''Oktave''' ist ein grundlegendes [[Intervall]] sowohl für Tonsysteme/Stimmungen als auch für [[Intervallmaß|Intervallmaße]].

Klanglich zeichnet sie sich unter den Intervallen durch einen hohen Verschmelzungsgrad der auf das [[Frequenzverhältnis]] 2:1 der beteiligten Töne zurückzuführen ist. In der [[Naturtonreihe]] findet sich dieses Intervall zwischen dem Grundton und dem ersten [[Oberton]].  

[[Category:Intervall]]

&lt;!-- Interwiki Links --&gt;
[[en:Octave]]
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Die '''Oktave''' ist ein grundlegendes [[Intervall]] sowohl für Tonsysteme/Stimmungen als auch für [[Intervallmaß|Intervallmaße]].

Klanglich zeichnet sie sich unter den Intervallen durch einen hohen Verschmelzungsgrad der auf das [[Frequenzverhältnis]] 2:1 der beteiligten Töne zurückzuführen ist. In der [[Naturtonreihe]] findet sich dieses Intervall zwischen dem Grundton und dem ersten [[Oberton]].  

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Die '''Oktave''' ist ein grundlegendes [[Intervall]] sowohl für Tonsysteme/Stimmungen als auch für [[Intervallmaß|Intervallmaße]].

Klanglich zeichnet sie sich unter den Intervallen durch einen hohen Verschmelzungsgrad der auf das [[Frequenzverhältnis]] 2:1 der beteiligten Töne zurückzuführen ist. In der [[Naturtonreihe]] findet sich dieses Intervall zwischen dem Grundton und dem ersten [[Oberton]].  

== Weblinks ==
* [[Wikipedia: Oktave]]
* [https://www.deutschlandfunk.de/oktave-in-der-musik-musikalische-wahrnehmung-haengt-von-der.1993.de.html?dram:article_id=464828 Oktave in der Musik &amp;#45; Musikalische Wahrnehmung hängt von der Kultur ab (Archiv)]
** [https://www.cell.com/current-biology/fulltext/S0960-9822(19)31036-X?_returnURL=https%3A%2F%2Flinkinghub.elsevier.com%2Fretrieve%2Fpii%2FS096098221931036X%3Fshowall%3Dtrue Universal and Non&amp;#45;universal Features of Musical Pitch Perception Revealed by Singing&amp;#58; Current Biology] (DLF-Beitrag bezieht sich auf diesen Artikel) (englisch)

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Die '''Oktave''' ist ein grundlegendes [[Intervall]] sowohl für Tonsysteme/Stimmungen als auch für [[Intervallmaß|Intervallmaße]].

Klanglich zeichnet sie sich unter den Intervallen durch einen hohen Verschmelzungsgrad der auf das [[Frequenzverhältnis]] 2:1 der beteiligten Töne zurückzuführen ist. In der [[Naturtonreihe]] findet sich dieses Intervall zwischen dem Grundton und dem ersten [[Oberton]].  

== Weblinks ==
* [[Wikipedia: Oktave]]
* [https://www.deutschlandfunk.de/oktave-in-der-musik-musikalische-wahrnehmung-haengt-von-der.1993.de.html?dram:article_id=464828 Oktave in der Musik &amp;#45; Musikalische Wahrnehmung hängt von der Kultur ab (Archiv)]
** [https://www.cell.com/current-biology/fulltext/S0960-9822(19)31036-X?_returnURL=https%3A%2F%2Flinkinghub.elsevier.com%2Fretrieve%2Fpii%2FS096098221931036X%3Fshowall%3Dtrue Universal and Non&amp;#45;universal Features of Musical Pitch Perception Revealed by Singing&amp;#58; Current Biology] (DLF-Beitrag bezieht sich auf diesen Artikel) (englisch)

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      <text bytes="2355" sha1="shmcfijotqd0137panpiyr9dq6l51tc" xml:space="preserve">Wenn man Skalen nur durch deren Intervallstruktur definiert (i.e. die Beziehungen der Töne zueinander), so spielen vor allem zwei Aspekte eine Rolle:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;harmonische Eigenschaften&lt;/li&gt;&lt;li&gt;melodische und strukturelle Eigenschaften&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Ein guter Startpunkt für den ersten Aspekt ist das Thema [[Konsonanz|Konsonanz]] / [[Dissonanz|Dissonanz]], welches in der Regel mit der [[Obertonreihe|Obertonreihe]], einfachen wahrgenommenen Frequenzverhältnissen, und Kombinationstönen assoziiert wird, und somit stark mit [[Reine_Stimmungen|reinen Stimmungssystemen]] zusammenhängt.

Ein guter Startpunkt für den zweiten Aspekt sind reguläre Stimmungen, also Skalen oder Stimmungen, die man durch Stapelung von einem oder mehreren sog. Generatoren erzeugen kann. Rang-1 reguläre Stimmungen sind Generatorketten, bei unendlich vielen Tönen erhält man [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige Tonsysteme]]. Prominente Beispiele für Rang-2 reguläre Stimmungen (auch lineare Stimmungen genannt) sind die [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung, oder die diversen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmungen. Spezialfälle von linearen Stimmungen sind [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]], die sich bei einer bestimmten Zahl von Tönen ergeben. Konzepte, die ähnlich zur Idee hinter [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] sind, oder mögliche Erweiterungen darstellen sind z.B. [[Erv_Wilson|Erv Wilsons]] "constant structures", Fokkersche periodische Blöcke, oder "max-variety-n" Skalen.

Auf eine gewisse Art besitzt auch die [[Obertonreihe|Obertonreihe]] eine simple Struktur, da alle (harmonischen) Obertöne ganzzahlige Vielfache einer Grundfrequenz sind, sowie die Untertonreihe, die sich aus einer arithmetischen Teilung von Saitenlängen, oder der Spiegelung der Obertonreihe ableiten lässt. Auf Intervallebene dagegen handelt es sich um komplexe Strukturen, da jedes Intervall zwischen benachbarten Tönen unterschiedlich ist.

Eine Verknüpfung beider Aspekte ist über das Prinzip von Temperierungen möglich. Über [[Reguläre_temperierte_Tonsysteme|reguläre Temperaturen]] können die Intervalle einer regulären Stimmung als Intervalle einer spezifizierten Untergruppe der [[Reine_Stimmungen|reinen Stimmung]] interpretiert werden. Auch eine weitere Verallgemeinerung des Konzepts auf irreguläre Stimmungen ist prinzipiell möglich.  [[Category:about]]</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:Gedankenwelt|Gedankenwelt]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-01 09:55:14 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Wenn man Skalen nur durch deren Intervallstruktur definiert (i.e. die Beziehungen der Töne zueinander), so spielen vor allem zwei Aspekte eine Rolle:
* harmonische Eigenschaften
* melodische und strukturelle Eigenschaften

Ein guter Startpunkt für den ersten Aspekt ist das Thema [[Konsonanz]] / [[Dissonanz]], welches in der Regel mit der [[Obertonreihe]], einfachen wahrgenommenen Frequenzverhältnissen, und Kombinationstönen assoziiert wird, und somit stark mit [[Reine Stimmungen|reinen Stimmungssystemen]] zusammenhängt.

Ein guter Startpunkt für den zweiten Aspekt sind reguläre Stimmungen, also Skalen oder Stimmungen, die man durch Stapelung von einem oder mehreren sog. Generatoren erzeugen kann. Rang-1 reguläre Stimmungen sind Generatorketten, bei unendlich vielen Tönen erhält man [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige Tonsysteme]]. Prominente Beispiele für Rang-2 reguläre Stimmungen (auch lineare Stimmungen genannt) sind die [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung, oder die diversen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmungen. Spezialfälle von linearen Stimmungen sind [[MOS-Skalen]], die sich bei einer bestimmten Zahl von Tönen ergeben. Konzepte, die ähnlich zur Idee hinter [[MOS-Skalen]] sind, oder mögliche Erweiterungen darstellen sind z.B. [[Erv Wilson|Erv Wilsons]] "constant structures", Fokkersche periodische Blöcke, oder "max-variety-n" Skalen.
Auf eine gewisse Art besitzt auch die [[Obertonreihe]] eine simple Struktur, da alle (harmonischen) Obertöne ganzzahlige Vielfache einer Grundfrequenz sind, sowie die Untertonreihe, die sich aus einer arithmetischen Teilung von Saitenlängen, oder der Spiegelung der Obertonreihe ableiten lässt. Auf Intervallebene dagegen handelt es sich um komplexe Strukturen, da jedes Intervall zwischen benachbarten Tönen unterschiedlich ist.

Eine Verknüpfung beider Aspekte ist über das Prinzip von Temperierungen möglich. Über [[Reguläre temperierte Tonsysteme|reguläre Temperaturen]] können die Intervalle einer regulären Stimmung als Intervalle einer spezifizierten Untergruppe der [[Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] interpretiert werden. Auch eine weitere Verallgemeinerung des Konzepts auf irreguläre Stimmungen ist prinzipiell möglich.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Orientierung&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Wenn man Skalen nur durch deren Intervallstruktur definiert (i.e. die Beziehungen der Töne zueinander), so spielen vor allem zwei Aspekte eine Rolle:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;harmonische Eigenschaften&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;melodische und strukturelle Eigenschaften&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein guter Startpunkt für den ersten Aspekt ist das Thema &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Konsonanz"&amp;gt;Konsonanz&amp;lt;/a&amp;gt; / &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Dissonanz"&amp;gt;Dissonanz&amp;lt;/a&amp;gt;, welches in der Regel mit der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Obertonreihe"&amp;gt;Obertonreihe&amp;lt;/a&amp;gt;, einfachen wahrgenommenen Frequenzverhältnissen, und Kombinationstönen assoziiert wird, und somit stark mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmungssystemen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammenhängt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein guter Startpunkt für den zweiten Aspekt sind reguläre Stimmungen, also Skalen oder Stimmungen, die man durch Stapelung von einem oder mehreren sog. Generatoren erzeugen kann. Rang-1 reguläre Stimmungen sind Generatorketten, bei unendlich vielen Tönen erhält man &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt;. Prominente Beispiele für Rang-2 reguläre Stimmungen (auch lineare Stimmungen genannt) sind die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung, oder die diversen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmungen. Spezialfälle von linearen Stimmungen sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt;, die sich bei einer bestimmten Zahl von Tönen ergeben. Konzepte, die ähnlich zur Idee hinter &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; sind, oder mögliche Erweiterungen darstellen sind z.B. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Erv%20Wilson"&amp;gt;Erv Wilsons&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;amp;quot;constant structures&amp;amp;quot;, Fokkersche periodische Blöcke, oder &amp;amp;quot;max-variety-n&amp;amp;quot; Skalen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Auf eine gewisse Art besitzt auch die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Obertonreihe"&amp;gt;Obertonreihe&amp;lt;/a&amp;gt; eine simple Struktur, da alle (harmonischen) Obertöne ganzzahlige Vielfache einer Grundfrequenz sind, sowie die Untertonreihe, die sich aus einer arithmetischen Teilung von Saitenlängen, oder der Spiegelung der Obertonreihe ableiten lässt. Auf Intervallebene dagegen handelt es sich um komplexe Strukturen, da jedes Intervall zwischen benachbarten Tönen unterschiedlich ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine Verknüpfung beider Aspekte ist über das Prinzip von Temperierungen möglich. Über &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20temperierte%20Tonsysteme"&amp;gt;reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; können die Intervalle einer regulären Stimmung als Intervalle einer spezifizierten Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; interpretiert werden. Auch eine weitere Verallgemeinerung des Konzepts auf irreguläre Stimmungen ist prinzipiell möglich.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Wenn man Skalen nur durch deren Intervallstruktur definiert (i.e. die Beziehungen der Töne zueinander), so spielen vor allem zwei Aspekte eine Rolle:
* harmonische Eigenschaften
* melodische und strukturelle Eigenschaften

Ein guter Startpunkt für den ersten Aspekt ist das Thema [[Konsonanz]] / [[Dissonanz]], welches in der Regel mit der [[Obertonreihe]], einfachen wahrgenommenen Frequenzverhältnissen, und Kombinationstönen assoziiert wird, und somit stark mit [[Reine Stimmungen|reinen Stimmungssystemen]] zusammenhängt.

Ein guter Startpunkt für den zweiten Aspekt sind reguläre Stimmungen, also Skalen oder Stimmungen, die man durch Stapelung von einem oder mehreren sog. Generatoren erzeugen kann. Dabei sind Rang-1 reguläre Stimmungen einfach gleichstufige Stimmungen. prominente Beispiele für Rang-2 reguläre Stimmungen (auch lineare Stimmungen genannt) sind die [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung, oder die diversen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmungen. Spezialfälle von linearen Stimmungen sind [[MOS-Skalen]], die sich bei einer bestimmten Zahl von Tönen ergeben. Konzepte, die ähnlich zur Idee hinter [[MOS-Skalen]] sind, oder mögliche Erweiterungen darstellen sind z.B. [[Erv Wilson|Erv Wilsons]] "constant structures", Fokkersche periodische Blöcke, oder "max-variety-n" Skalen.
Auf eine gewisse Art besitzt auch die [[Obertonreihe]] eine simple Struktur, da alle (harmonischen) Obertöne ganzzahlige Vielfache einer Grundfrequenz sind, sowie die Untertonreihe, die sich aus einer arithmetischen Teilung von Saitenlängen, oder der Spiegelung der Obertonreihe ableiten lässt. Auf Intervallebene dagegen handelt es sich um komplexe Strukturen, da jedes Intervall zwischen benachbarten Tönen unterschiedlich ist.

Eine Verknüpfung beider Aspekte ist über das Prinzip von Temperierungen möglich. Ein bekanntes Beispiel ist die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur, bei der jeder Ton der 5-Limit reinen Stimmung mit einem eindeutigen Ton einer beliebigen mitteltönigen Stimmung assoziiert ist. Umgekehrt jedoch lässt sich jeder Ton einer mitteltönigen Stimmung mit unterschiedlichen Tönen der reinen Stimmung assoziieren, nämlich mit Tönen, die sich um das syntonische Komma 81:80 unterscheiden; man spricht in diesem Fall davon, dass in der mitteltönigen Temperatur 81:80 austemperiert wird.
Eine Verallgemeinerung dieses Prinzips lässt sich über [[Reguläre temperierte Tonsysteme|reguläre Temperaturen]] realisieren, welche die Töne einer Untergruppe der reinen Stimmung auf die Töne regulärer Stimmungen abbilden, und sich neben dieser Abbildung auch durch eine geeignete Menge austemperierter Kommas beschreiben lässt. Auch eine weitere Verallgemeinerung des Konzepts auf irreguläre Stimmungen ist prinzipiell möglich.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Orientierung&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Wenn man Skalen nur durch deren Intervallstruktur definiert (i.e. die Beziehungen der Töne zueinander), so spielen vor allem zwei Aspekte eine Rolle:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;harmonische Eigenschaften&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;melodische und strukturelle Eigenschaften&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein guter Startpunkt für den ersten Aspekt ist das Thema &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Konsonanz"&amp;gt;Konsonanz&amp;lt;/a&amp;gt; / &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Dissonanz"&amp;gt;Dissonanz&amp;lt;/a&amp;gt;, welches in der Regel mit der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Obertonreihe"&amp;gt;Obertonreihe&amp;lt;/a&amp;gt;, einfachen wahrgenommenen Frequenzverhältnissen, und Kombinationstönen assoziiert wird, und somit stark mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmungssystemen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammenhängt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein guter Startpunkt für den zweiten Aspekt sind reguläre Stimmungen, also Skalen oder Stimmungen, die man durch Stapelung von einem oder mehreren sog. Generatoren erzeugen kann. Dabei sind Rang-1 reguläre Stimmungen einfach gleichstufige Stimmungen. prominente Beispiele für Rang-2 reguläre Stimmungen (auch lineare Stimmungen genannt) sind die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung, oder die diversen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmungen. Spezialfälle von linearen Stimmungen sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt;, die sich bei einer bestimmten Zahl von Tönen ergeben. Konzepte, die ähnlich zur Idee hinter &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; sind, oder mögliche Erweiterungen darstellen sind z.B. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Erv%20Wilson"&amp;gt;Erv Wilsons&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;amp;quot;constant structures&amp;amp;quot;, Fokkersche periodische Blöcke, oder &amp;amp;quot;max-variety-n&amp;amp;quot; Skalen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Auf eine gewisse Art besitzt auch die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Obertonreihe"&amp;gt;Obertonreihe&amp;lt;/a&amp;gt; eine simple Struktur, da alle (harmonischen) Obertöne ganzzahlige Vielfache einer Grundfrequenz sind, sowie die Untertonreihe, die sich aus einer arithmetischen Teilung von Saitenlängen, oder der Spiegelung der Obertonreihe ableiten lässt. Auf Intervallebene dagegen handelt es sich um komplexe Strukturen, da jedes Intervall zwischen benachbarten Tönen unterschiedlich ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine Verknüpfung beider Aspekte ist über das Prinzip von Temperierungen möglich. Ein bekanntes Beispiel ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur, bei der jeder Ton der 5-Limit reinen Stimmung mit einem eindeutigen Ton einer beliebigen mitteltönigen Stimmung assoziiert ist. Umgekehrt jedoch lässt sich jeder Ton einer mitteltönigen Stimmung mit unterschiedlichen Tönen der reinen Stimmung assoziieren, nämlich mit Tönen, die sich um das syntonische Komma 81:80 unterscheiden; man spricht in diesem Fall davon, dass in der mitteltönigen Temperatur 81:80 austemperiert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine Verallgemeinerung dieses Prinzips lässt sich über &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20temperierte%20Tonsysteme"&amp;gt;reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; realisieren, welche die Töne einer Untergruppe der reinen Stimmung auf die Töne regulärer Stimmungen abbilden, und sich neben dieser Abbildung auch durch eine geeignete Menge austemperierter Kommas beschreiben lässt. Auch eine weitere Verallgemeinerung des Konzepts auf irreguläre Stimmungen ist prinzipiell möglich.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-04-26 03:08:39 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Wenn man Skalen nur durch deren Intervallstruktur definiert (i.e. die Beziehungen der Töne zueinander), so spielen vor allem zwei Aspekte eine Rolle:
* harmonische Eigenschaften
* melodische und strukturelle Eigenschaften

Ein guter Startpunkt für den ersten Aspekt ist das Thema [[Konsonanz]] / [[Dissonanz]], welches in der Regel mit der [[Obertonreihe]], einfachen wahrgenommenen Frequenzverhältnissen, und Kombinationstönen assoziiert wird, und somit stark mit [[Reine Stimmungen|reinen Stimmungssystemen]] zusammenhängt.

Ein guter Startpunkt für den zweiten Aspekt sind reguläre Stimmungen, also Skalen oder Stimmungen, die man durch Stapelung von einem oder mehreren sog. Generatoren erzeugen kann. Dabei sind Rang-1 reguläre Stimmungen einfach gleichstufige Stimmungen. prominente Beispiele für Rang-2 reguläre Stimmungen (auch lineare Stimmungen genannt) sind die pythagoräische Stimmung, oder die diversen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmungen. Spezialfälle von linearen Stimmungen sind [[MOS-Skalen]], die sich bei einer bestimmten Zahl von Tönen ergeben. Konzepte, die ähnlich zur Idee hinter [[MOS-Skalen]] sind, oder mögliche Erweiterungen darstellen sind z.B. [[Erv Wilson|Erv Wilsons]] "constant structures", Fokkersche periodische Blöcke, oder "max-variety-n" Skalen.
Auf eine gewisse Art besitzt auch die [[Obertonreihe]] eine simple Struktur, da alle (harmonischen) Obertöne ganzzahlige Vielfache einer Grundfrequenz sind, sowie die Untertonreihe, die sich aus einer arithmetischen Teilung von Saitenlängen, oder der Spiegelung der Obertonreihe ableiten lässt. Auf Intervallebene dagegen handelt es sich um komplexe Strukturen, da jedes Intervall zwischen benachbarten Tönen unterschiedlich ist.

Eine Verknüpfung beider Aspekte ist über das Prinzip von Temperierungen möglich. Ein bekanntes Beispiel ist die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur, bei der jeder Ton der 5-Limit reinen Stimmung mit einem eindeutigen Ton einer beliebigen mitteltönigen Stimmung assoziiert ist. Umgekehrt jedoch lässt sich jeder Ton einer mitteltönigen Stimmung mit unterschiedlichen Tönen der reinen Stimmung assoziieren, nämlich mit Tönen, die sich um das syntonische Komma 81:80 unterscheiden; man spricht in diesem Fall davon, dass in der mitteltönigen Temperatur 81:80 austemperiert wird.
Eine Verallgemeinerung dieses Prinzips lässt sich über [[Reguläre temperierte Tonsysteme|reguläre Temperaturen]] realisieren, welche die Töne einer Untergruppe der reinen Stimmung auf die Töne regulärer Stimmungen abbilden, und sich neben dieser Abbildung auch durch eine geeignete Menge austemperierter Kommas beschreiben lässt. Auch eine weitere Verallgemeinerung des Konzepts auf irreguläre Stimmungen ist prinzipiell möglich.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;harmonische Eigenschaften&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;melodische und strukturelle Eigenschaften&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein guter Startpunkt für den ersten Aspekt ist das Thema &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Konsonanz"&amp;gt;Konsonanz&amp;lt;/a&amp;gt; / &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Dissonanz"&amp;gt;Dissonanz&amp;lt;/a&amp;gt;, welches in der Regel mit der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Obertonreihe"&amp;gt;Obertonreihe&amp;lt;/a&amp;gt;, einfachen wahrgenommenen Frequenzverhältnissen, und Kombinationstönen assoziiert wird, und somit stark mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmungssystemen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammenhängt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ein guter Startpunkt für den zweiten Aspekt sind reguläre Stimmungen, also Skalen oder Stimmungen, die man durch Stapelung von einem oder mehreren sog. Generatoren erzeugen kann. Dabei sind Rang-1 reguläre Stimmungen einfach gleichstufige Stimmungen. prominente Beispiele für Rang-2 reguläre Stimmungen (auch lineare Stimmungen genannt) sind die pythagoräische Stimmung, oder die diversen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmungen. Spezialfälle von linearen Stimmungen sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt;, die sich bei einer bestimmten Zahl von Tönen ergeben. Konzepte, die ähnlich zur Idee hinter &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; sind, oder mögliche Erweiterungen darstellen sind z.B. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Erv%20Wilson"&amp;gt;Erv Wilsons&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;amp;quot;constant structures&amp;amp;quot;, Fokkersche periodische Blöcke, oder &amp;amp;quot;max-variety-n&amp;amp;quot; Skalen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Auf eine gewisse Art besitzt auch die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Obertonreihe"&amp;gt;Obertonreihe&amp;lt;/a&amp;gt; eine simple Struktur, da alle (harmonischen) Obertöne ganzzahlige Vielfache einer Grundfrequenz sind, sowie die Untertonreihe, die sich aus einer arithmetischen Teilung von Saitenlängen, oder der Spiegelung der Obertonreihe ableiten lässt. Auf Intervallebene dagegen handelt es sich um komplexe Strukturen, da jedes Intervall zwischen benachbarten Tönen unterschiedlich ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine Verknüpfung beider Aspekte ist über das Prinzip von Temperierungen möglich. Ein bekanntes Beispiel ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur, bei der jeder Ton der 5-Limit reinen Stimmung mit einem eindeutigen Ton einer beliebigen mitteltönigen Stimmung assoziiert ist. Umgekehrt jedoch lässt sich jeder Ton einer mitteltönigen Stimmung mit unterschiedlichen Tönen der reinen Stimmung assoziieren, nämlich mit Tönen, die sich um das syntonische Komma 81:80 unterscheiden; man spricht in diesem Fall davon, dass in der mitteltönigen Temperatur 81:80 austemperiert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine Verallgemeinerung dieses Prinzips lässt sich über &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20temperierte%20Tonsysteme"&amp;gt;reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; realisieren, welche die Töne einer Untergruppe der reinen Stimmung auf die Töne regulärer Stimmungen abbilden, und sich neben dieser Abbildung auch durch eine geeignete Menge austemperierter Kommas beschreiben lässt. Auch eine weitere Verallgemeinerung des Konzepts auf irreguläre Stimmungen ist prinzipiell möglich.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Wenn man Skalen nur durch deren Intervallstruktur definiert (i.e. die Beziehungen der Töne zueinander), so spielen vor allem zwei Aspekte eine Rolle:
* harmonische Eigenschaften
* melodische und strukturelle Eigenschaften

Ein guter Startpunkt für den ersten Aspekt ist das Thema [[Konsonanz]] / [[Dissonanz]], welches in der Regel mit der [[Obertonreihe]], einfachen wahrgenommenen Frequenzverhältnissen, und Kombinationstönen assoziiert wird, und somit stark mit [[Reine Stimmungen|reinen Stimmungssystemen]] zusammenhängt.

Ein guter Startpunkt für den zweiten Aspekt sind reguläre Stimmungen, also Skalen oder Stimmungen, die man durch Stapelung von einem oder mehreren sog. Generatoren erzeugen kann. Dabei sind Rang-1 reguläre Stimmungen einfach gleichstufige Stimmungen. prominente Beispiele für Rang-2 reguläre Stimmungen (auch lineare Stimmungen genannt) sind die pythagoräische Stimmung, oder die diversen mitteltönigen Stimmungen. Spezialfälle von linearen Stimmungen sind [[MOS-Skalen]], die sich bei einer bestimmten Zahl von Tönen ergeben. Konzepte, die ähnlich zur Idee hinter [[MOS-Skalen]] sind, oder mögliche Erweiterungen darstellen sind z.B. [[Erv Wilson|Erv Wilsons]] "constant structures", Fokkersche periodische Blöcke, oder "max-variety-n" Skalen.
Auf eine gewisse Art besitzt auch die [[Obertonreihe]] eine simple Struktur, da alle (harmonischen) Obertöne ganzzahlige Vielfache einer Grundfrequenz sind, sowie die Untertonreihe, die sich aus einer arithmetischen Teilung von Saitenlängen, oder der Spiegelung der Obertonreihe ableiten lässt. Auf Intervallebene dagegen handelt es sich um komplexe Strukturen, da jedes Intervall zwischen benachbarten Tönen unterschiedlich ist.

Eine Verknüpfung beider Aspekte ist über das Prinzip von Temperierungen möglich. Ein bekanntes Beispiel ist die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur, bei der jeder Ton der 5-Limit reinen Stimmung mit einem eindeutigen Ton einer beliebigen mitteltönigen Stimmung assoziiert ist. Umgekehrt jedoch lässt sich jeder Ton einer mitteltönigen Stimmung mit unterschiedlichen Tönen der reinen Stimmung assoziieren, nämlich mit Tönen, die sich um das syntonische Komma 81:80 unterscheiden; man spricht in diesem Fall davon, dass in der mitteltönigen Temperatur 81:80 austemperiert wird.
Eine Verallgemeinerung dieses Prinzips lässt sich über [[Reguläre temperierte Tonsysteme|reguläre Temperaturen]] realisieren, welche die Töne einer Untergruppe der reinen Stimmung auf die Töne regulärer Stimmungen abbilden, und sich neben dieser Abbildung auch durch eine geeignete Menge austemperierter Kommas beschreiben lässt. Auch eine weitere Verallgemeinerung des Konzepts auf irreguläre Stimmungen ist prinzipiell möglich.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Orientierung&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Wenn man Skalen nur durch deren Intervallstruktur definiert (i.e. die Beziehungen der Töne zueinander), so spielen vor allem zwei Aspekte eine Rolle:&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ein guter Startpunkt für den ersten Aspekt ist das Thema &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Konsonanz"&amp;gt;Konsonanz&amp;lt;/a&amp;gt; / &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Dissonanz"&amp;gt;Dissonanz&amp;lt;/a&amp;gt;, welches in der Regel mit der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Obertonreihe"&amp;gt;Obertonreihe&amp;lt;/a&amp;gt;, einfachen wahrgenommenen Frequenzverhältnissen, und Kombinationstönen assoziiert wird, und somit stark mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmungssystemen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammenhängt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ein guter Startpunkt für den zweiten Aspekt sind reguläre Stimmungen, also Skalen oder Stimmungen, die man durch Stapelung von einem oder mehreren sog. Generatoren erzeugen kann. Dabei sind Rang-1 reguläre Stimmungen einfach gleichstufige Stimmungen. prominente Beispiele für Rang-2 reguläre Stimmungen (auch lineare Stimmungen genannt) sind die pythagoräische Stimmung, oder die diversen mitteltönigen Stimmungen. Spezialfälle von linearen Stimmungen sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt;, die sich bei einer bestimmten Zahl von Tönen ergeben. Konzepte, die ähnlich zur Idee hinter &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; sind, oder mögliche Erweiterungen darstellen sind z.B. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Erv%20Wilson"&amp;gt;Erv Wilsons&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;amp;quot;constant structures&amp;amp;quot;, Fokkersche periodische Blöcke, oder &amp;amp;quot;max-variety-n&amp;amp;quot; Skalen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Auf eine gewisse Art besitzt auch die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Obertonreihe"&amp;gt;Obertonreihe&amp;lt;/a&amp;gt; eine simple Struktur, da alle (harmonischen) Obertöne ganzzahlige Vielfache einer Grundfrequenz sind, sowie die Untertonreihe, die sich aus einer arithmetischen Teilung von Saitenlängen, oder der Spiegelung der Obertonreihe ableiten lässt. Auf Intervallebene dagegen handelt es sich um komplexe Strukturen, da jedes Intervall zwischen benachbarten Tönen unterschiedlich ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine Verknüpfung beider Aspekte ist über das Prinzip von Temperierungen möglich. Ein bekanntes Beispiel ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur, bei der jeder Ton der 5-Limit reinen Stimmung mit einem eindeutigen Ton einer beliebigen mitteltönigen Stimmung assoziiert ist. Umgekehrt jedoch lässt sich jeder Ton einer mitteltönigen Stimmung mit unterschiedlichen Tönen der reinen Stimmung assoziieren, nämlich mit Tönen, die sich um das syntonische Komma 81:80 unterscheiden; man spricht in diesem Fall davon, dass in der mitteltönigen Temperatur 81:80 austemperiert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
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* harmonische Eigenschaften
* melodische und strukturelle Eigenschaften

Ein guter Startpunkt für den ersten Aspekt ist das Thema [[Konsonanz]] / [[Dissonanz]], welches in der Regel mit der [[Obertonreihe]], einfachen wahrgenommenen Frequenzverhältnissen, und Kombinationstönen assoziiert wird, und somit stark mit [[Reine Stimmungen|reinen Stimmungssystemen]] zusammenhängt.

Ein guter Startpunkt für den zweiten Aspekt sind reguläre Stimmungen, also Skalen oder Stimmungen, die man durch Stapelung von einem oder mehreren sog. Generatoren erzeugen kann. Dabei sind Rang-1 reguläre Stimmungen einfach gleichstufige Stimmungen. prominente Beispiele für Rang-2 reguläre Stimmungen (auch lineare Stimmungen genannt) sind die pythagoräische Stimmung, oder die diversen mitteltönigen Stimmungen. Spezialfälle von linearen Stimmungen sind [[MOS-Skalen]], die sich bei einer bestimmten Zahl von Tönen ergeben. Konzepte, die ähnlich zur Idee hinter [[MOS-Skalen]] sind, oder mögliche Erweiterungen darstellen sind z.B. [[Erv Wilson|Erv Wilsons]] "constant structures", Fokkersche periodische Blöcke, oder "max-variety-n" Skalen.
Auf eine gewisse Art besitzt auch die [[Obertonreihe]] eine simple Struktur, da alle (harmonischen) Obertöne ganzzahlige Vielfache einer Grundfrequenz sind, sowie die Untertonreihe, die sich aus einer arithmetischen Teilung von Saitenlängen, oder der Spiegelung der Obertonreihe ableiten lässt. Auf Intervallebene dagegen handelt es sich um komplexe Strukturen, da jedes Intervall zwischen benachbarten Tönen unterschiedlich ist.

Eine Verknüpfung beider Aspekte ist über das Prinzip von Temperierungen möglich. Ein bekanntes Beispiel ist die mitteltönige Temperatur, bei der jeder Ton der 5-Limit reinen Stimmung mit einem eindeutigen Ton einer beliebigen mitteltönigen Stimmung assoziiert ist. Umgekehrt jedoch lässt sich jeder Ton einer mitteltönigen Stimmung mit unterschiedlichen Tönen der reinen Stimmung assoziieren, nämlich mit Tönen, die sich um das syntonische Komma 81:80 unterscheiden; man spricht in diesem Fall davon, dass in der mitteltönigen Temperatur 81:80 austemperiert wird.
Eine Verallgemeinerung dieses Prinzips lässt sich über [[Reguläre temperierte Tonsysteme|reguläre Temperaturen]] realisieren, welche die Töne einer Untergruppe der reinen Stimmung auf die Töne regulärer Stimmungen abbilden, und sich neben dieser Abbildung auch durch eine geeignete Menge austemperierter Kommas beschreiben lässt. Auch eine weitere Verallgemeinerung des Konzepts auf irreguläre Stimmungen ist prinzipiell möglich.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;harmonische Eigenschaften&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;melodische und strukturelle Eigenschaften&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein guter Startpunkt für den ersten Aspekt ist das Thema &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Konsonanz"&amp;gt;Konsonanz&amp;lt;/a&amp;gt; / &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Dissonanz"&amp;gt;Dissonanz&amp;lt;/a&amp;gt;, welches in der Regel mit der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Obertonreihe"&amp;gt;Obertonreihe&amp;lt;/a&amp;gt;, einfachen wahrgenommenen Frequenzverhältnissen, und Kombinationstönen assoziiert wird, und somit stark mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmungssystemen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammenhängt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ein guter Startpunkt für den zweiten Aspekt sind reguläre Stimmungen, also Skalen oder Stimmungen, die man durch Stapelung von einem oder mehreren sog. Generatoren erzeugen kann. Dabei sind Rang-1 reguläre Stimmungen einfach gleichstufige Stimmungen. prominente Beispiele für Rang-2 reguläre Stimmungen (auch lineare Stimmungen genannt) sind die pythagoräische Stimmung, oder die diversen mitteltönigen Stimmungen. Spezialfälle von linearen Stimmungen sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt;, die sich bei einer bestimmten Zahl von Tönen ergeben. Konzepte, die ähnlich zur Idee hinter &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; sind, oder mögliche Erweiterungen darstellen sind z.B. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Erv%20Wilson"&amp;gt;Erv Wilsons&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;amp;quot;constant structures&amp;amp;quot;, Fokkersche periodische Blöcke, oder &amp;amp;quot;max-variety-n&amp;amp;quot; Skalen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Auf eine gewisse Art besitzt auch die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Obertonreihe"&amp;gt;Obertonreihe&amp;lt;/a&amp;gt; eine simple Struktur, da alle (harmonischen) Obertöne ganzzahlige Vielfache einer Grundfrequenz sind, sowie die Untertonreihe, die sich aus einer arithmetischen Teilung von Saitenlängen, oder der Spiegelung der Obertonreihe ableiten lässt. Auf Intervallebene dagegen handelt es sich um komplexe Strukturen, da jedes Intervall zwischen benachbarten Tönen unterschiedlich ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine Verknüpfung beider Aspekte ist über das Prinzip von Temperierungen möglich. Ein bekanntes Beispiel ist die mitteltönige Temperatur, bei der jeder Ton der 5-Limit reinen Stimmung mit einem eindeutigen Ton einer beliebigen mitteltönigen Stimmung assoziiert ist. Umgekehrt jedoch lässt sich jeder Ton einer mitteltönigen Stimmung mit unterschiedlichen Tönen der reinen Stimmung assoziieren, nämlich mit Tönen, die sich um das syntonische Komma 81:80 unterscheiden; man spricht in diesem Fall davon, dass in der mitteltönigen Temperatur 81:80 austemperiert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine Verallgemeinerung dieses Prinzips lässt sich über &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20temperierte%20Tonsysteme"&amp;gt;reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt; realisieren, welche die Töne einer Untergruppe der reinen Stimmung auf die Töne regulärer Stimmungen abbilden, und sich neben dieser Abbildung auch durch eine geeignete Menge austemperierter Kommas beschreiben lässt. Auch eine weitere Verallgemeinerung des Konzepts auf irreguläre Stimmungen ist prinzipiell möglich.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Orwell-Temperaturen leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19\84, d.h. 19 Schritte von [[84edo|84edo]], ein guter [[Generator|Generator]] ist. Diese Temperatur ist interessant auf Grund der guten Unterstützung reiner Intervalle im [[Limit|7- und 11-Limit]] (Intervalle unter Einbezug des siebten und elften Obertons).

Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen [[Naturseptime|Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)]] und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa (11/8)]].

In summa erreicht man also wichtige Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten - gleich mit den ersten drei Generatorschritten sogar. Ein Grundton plus Töne der ersten drei Generatorschritte darüber bilden zusammen einen fremdartig-konsonanten Akkord, der als '''Orwell-Vierklang''' bekannt ist.

{| class="wikitable"
|-
| | [[File:orwell-tetrad-in-JI.mp3]]
| | [[File:orwell-tetrad-in-22edo.mp3]]

[[File:OrwellTetrad22edo.mp3]]
|-
| | Orwell-Vierklang, in reinen Intervallen (1/1 - 7/6 - 11/8 - 8/5).

Die Intervalle zwischen den Tönen sind alle minimal unterschiedlich.
| | Orwell-Vierklang, temperierte Version (22edo-Stimmung).

Die Intervalle zwischen den Tönen sind gleich gross.
|}

[Todo austemperierte Kommas]

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige Tonsysteme]], die Orwell unterstützen, sind unter anderem [[22edo|22edo]], [[31edo|31edo]], [[53edo|53edo]] und, wie gesagt, [[84edo|84edo]].

An [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle); ferner noch solche mit 22 und 31 Tönen. Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] verpflichteten diatonischen Skalen in [[12edo|12edo]], - die neuntönige Orwell-Skala enthält zum Beispiel keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen. Umso besser dagegen für dezidiert xenharmonische Musik: dank der oben skizzierten einfachen Intervallbeziehungen lässt sich schon in der kleinsten Orwell-Skala eine Fülle gänzlich aus 11-Limit-Konsonanzen aufgebauter Akkorde finden. Siehe hierzu [[:en:Chords_of_orwell Chords of Orwell (englischsprachiger Artikel)]].

[Todo Audio examples]

Mehr Informationen, inkl. Varianten, Tastaturlayouts, Musikbeispiele u. v. m., sind zu finden im [[:en:Orwell englischen Xenharnonic Wiki]].  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Orwell-Temperaturen leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19\84, d.h. 19 Schritte von [[84edo]], ein guter [[Generator]] ist. Diese Temperatur ist interessant auf Grund der guten Unterstützung reiner Intervalle im [[Limit|7- und 11-Limit]] (Intervalle unter Einbezug des siebten und elften Obertons).

Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen [[Naturseptime|Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)]] und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa (11/8)]].

In summa erreicht man also wichtige Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten - gleich mit den ersten drei Generatorschritten sogar. Ein Grundton plus Töne der ersten drei Generatorschritte darüber bilden zusammen einen fremdartig-konsonanten Akkord, der als **Orwell-Vierklang** bekannt ist.

|| [[media type="file" key="orwell-tetrad-in-JI.mp3" width="240" height="20"]] || [[media type="file" key="orwell-tetrad-in-22edo.mp3" width="240" height="20"]]
[[media type="file" key="OrwellTetrad22edo.mp3" width="240" height="20"]] ||
|| Orwell-Vierklang, in reinen Intervallen (1/1 - 7/6 - 11/8 - 8/5).
Die Intervalle zwischen den Tönen sind alle minimal unterschiedlich. || Orwell-Vierklang, temperierte Version (22edo-Stimmung).
Die Intervalle zwischen den Tönen sind gleich gross. ||

[Todo austemperierte Kommas]

[[Gleichstufige Tonsysteme]], die Orwell unterstützen, sind unter anderem [[22edo]], [[31edo]], [[53edo]] und, wie gesagt, [[84edo]].

An [[MOS-Skalen]] gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle); ferner noch solche mit 22 und 31 Tönen. Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] verpflichteten diatonischen Skalen in [[12edo]], - die neuntönige Orwell-Skala enthält zum Beispiel keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen. Umso besser dagegen für dezidiert xenharmonische Musik: dank der oben skizzierten einfachen Intervallbeziehungen lässt sich schon in der kleinsten Orwell-Skala eine Fülle gänzlich aus 11-Limit-Konsonanzen aufgebauter Akkorde finden. Siehe hierzu [[xenharmonic/Chords of orwell|Chords of Orwell (englischsprachiger Artikel)]].
[Todo Audio examples]

Mehr Informationen, inkl. Varianten, Tastaturlayouts, Musikbeispiele u. v. m., sind zu finden im [[xenharmonic/Orwell|englischen Xenharnonic Wiki]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Familie der Orwell-Temperaturen leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19\84, d.h. 19 Schritte von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/84edo"&amp;gt;84edo&amp;lt;/a&amp;gt;, ein guter &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Generator"&amp;gt;Generator&amp;lt;/a&amp;gt; ist. Diese Temperatur ist interessant auf Grund der guten Unterstützung reiner Intervalle im &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;7- und 11-Limit&amp;lt;/a&amp;gt; (Intervalle unter Einbezug des siebten und elften Obertons).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa (11/8)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In summa erreicht man also wichtige Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten - gleich mit den ersten drei Generatorschritten sogar. Ein Grundton plus Töne der ersten drei Generatorschritte darüber bilden zusammen einen fremdartig-konsonanten Akkord, der als &amp;lt;strong&amp;gt;Orwell-Vierklang&amp;lt;/strong&amp;gt; bekannt ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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[Todo austemperierte Kommas]&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt;, die Orwell unterstützen, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt; und, wie gesagt, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/84edo"&amp;gt;84edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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An &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle); ferner noch solche mit 22 und 31 Tönen. Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; verpflichteten diatonischen Skalen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, - die neuntönige Orwell-Skala enthält zum Beispiel keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen. Umso besser dagegen für dezidiert xenharmonische Musik: dank der oben skizzierten einfachen Intervallbeziehungen lässt sich schon in der kleinsten Orwell-Skala eine Fülle gänzlich aus 11-Limit-Konsonanzen aufgebauter Akkorde finden. Siehe hierzu &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Chords%20of%20orwell"&amp;gt;Chords of Orwell (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Audio examples]&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mehr Informationen, inkl. Varianten, Tastaturlayouts, Musikbeispiele u. v. m., sind zu finden im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Orwell"&amp;gt;englischen Xenharnonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Orwell-Temperaturen leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19\84, d.h. 19 Schritte von [[84edo]], ein guter Generator ist. Diese Temperatur ist interessant auf Grund der guten Unterstützung reiner Intervalle im [[Limit|7- und 11-Limit]] (Intervalle unter Einbezug des siebten und elften Obertons).

Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen [[Naturseptime|Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)]] und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa (11/8)]].

In summa erreicht man also wichtige Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten - gleich mit den ersten drei Generatorschritten sogar. Ein Grundton plus Töne der ersten drei Generatorschritte darüber bilden zusammen einen fremdartig-konsonanten Akkord, der als **Orwell-Vierklang** bekannt ist.

|| [[media type="file" key="orwell-tetrad-in-JI.mp3" width="240" height="20"]] || [[media type="file" key="orwell-tetrad-in-22edo.mp3" width="240" height="20"]]
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|| Orwell-Vierklang, in reinen Intervallen (1/1 - 7/6 - 11/8 - 8/5).
Die Intervalle zwischen den Tönen sind alle minimal unterschiedlich. || Orwell-Vierklang, temperierte Version (22edo-Stimmung).
Die Intervalle zwischen den Tönen sind gleich gross. ||

[Todo austemperierte Kommas]

[[Gleichstufige Tonsysteme]], die Orwell unterstützen, sind unter anderem [[22edo]], [[31edo]], [[53edo]] und, wie gesagt, [[84edo]].

An [[MOS-Skalen]] gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle); ferner noch solche mit 22 und 31 Tönen. Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] verpflichteten diatonischen Skalen in [[12edo]], - die neuntönige Orwell-Skala enthält zum Beispiel keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen. Umso besser dagegen für dezidiert xenharmonische Musik: dank der oben skizzierten einfachen Intervallbeziehungen lässt sich schon in der kleinsten Orwell-Skala eine Fülle gänzlich aus 11-Limit-Konsonanzen aufgebauter Akkorde finden. Siehe hierzu [[xenharmonic/Chords of orwell|Chords of Orwell (englischsprachiger Artikel)]].
[Todo Audio examples]

Mehr Informationen, inkl. Varianten, Tastaturlayouts, Musikbeispiele u. v. m., sind zu finden im [[xenharmonic/Orwell|englischen Xenharnonic Wiki]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Familie der Orwell-Temperaturen leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19\84, d.h. 19 Schritte von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/84edo"&amp;gt;84edo&amp;lt;/a&amp;gt;, ein guter Generator ist. Diese Temperatur ist interessant auf Grund der guten Unterstützung reiner Intervalle im &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;7- und 11-Limit&amp;lt;/a&amp;gt; (Intervalle unter Einbezug des siebten und elften Obertons).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa (11/8)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In summa erreicht man also wichtige Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten - gleich mit den ersten drei Generatorschritten sogar. Ein Grundton plus Töne der ersten drei Generatorschritte darüber bilden zusammen einen fremdartig-konsonanten Akkord, der als &amp;lt;strong&amp;gt;Orwell-Vierklang&amp;lt;/strong&amp;gt; bekannt ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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An &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle); ferner noch solche mit 22 und 31 Tönen. Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; verpflichteten diatonischen Skalen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, - die neuntönige Orwell-Skala enthält zum Beispiel keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen. Umso besser dagegen für dezidiert xenharmonische Musik: dank der oben skizzierten einfachen Intervallbeziehungen lässt sich schon in der kleinsten Orwell-Skala eine Fülle gänzlich aus 11-Limit-Konsonanzen aufgebauter Akkorde finden. Siehe hierzu &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Chords%20of%20orwell"&amp;gt;Chords of Orwell (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Audio examples]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Mehr Informationen, inkl. Varianten, Tastaturlayouts, Musikbeispiele u. v. m., sind zu finden im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Orwell"&amp;gt;englischen Xenharnonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Orwell-Temperaturen leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19\84, d.h. 19 Schritte von [[84edo]], ein guter Generator ist. Diese Temperatur ist interessant auf Grund der guten Unterstützung reiner Intervalle im [[Limit|7- und 11-Limit]] (Intervalle unter Einbezug des siebten und elften Obertons).

Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen [[Naturseptime|Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)]] und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa (11/8)]].

In summa erreicht man also wichtige Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten - gleich mit den ersten drei Generatorschritten sogar. Ein Grundton plus Töne der ersten drei Generatorschritte darüber bilden zusammen einen fremdartig-konsonanten Akkord, der als **Orwell-Vierklang** bekannt ist.

|| [[media type="file" key="orwell-tetrad-in-JI.mp3" width="240" height="20"]] || [[media type="file" key="orwell-tetrad-in-22edo.mp3"]]
[[media type="file" key="OrwellTetrad22edo.mp3" width="240" height="20"]] ||
|| Orwell-Vierklang, in reinen Intervallen.
Die Intervalle zwischen den Tönen sind alle minimal unterschiedlich. || Orwell-Vierklang, temperierte Version (22edo-Stimmung).
Die Intervalle zwischen den Tönen sind gleich gross. ||

[Todo austemperierte Kommas]

[[Gleichstufige Tonsysteme]], die Orwell unterstützen, sind unter anderem [[22edo]], [[31edo]], [[53edo]] und, wie gesagt, [[84edo]].

An [[MOS-Skalen]] gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle); ferner noch solche mit 22 und 31 Tönen. Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] verpflichteten diatonischen Skalen in [[12edo]], - die neuntönige Orwell-Skala enthält zum Beispiel keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen. Umso besser dagegen für dezidiert xenharmonische Musik: dank der oben skizzierten einfachen Intervallbeziehungen lässt sich schon in der kleinsten Orwell-Skala eine Fülle gänzlich aus 11-Limit-Konsonanzen aufgebauter Akkorde finden. Siehe hierzu [[xenharmonic/Chords of orwell|Chords of Orwell (englischsprachiger Artikel)]].
[Todo Audio examples]

Mehr Informationen, inkl. Varianten, Tastaturlayouts, Musikbeispiele u. v. m., sind zu finden im [[xenharmonic/Orwell|englischen Xenharnonic Wiki]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Die Familie der Orwell-Temperaturen leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19\84, d.h. 19 Schritte von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/84edo"&amp;gt;84edo&amp;lt;/a&amp;gt;, ein guter Generator ist. Diese Temperatur ist interessant auf Grund der guten Unterstützung reiner Intervalle im &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;7- und 11-Limit&amp;lt;/a&amp;gt; (Intervalle unter Einbezug des siebten und elften Obertons).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa (11/8)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In summa erreicht man also wichtige Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten - gleich mit den ersten drei Generatorschritten sogar. Ein Grundton plus Töne der ersten drei Generatorschritte darüber bilden zusammen einen fremdartig-konsonanten Akkord, der als &amp;lt;strong&amp;gt;Orwell-Vierklang&amp;lt;/strong&amp;gt; bekannt ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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An &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle); ferner noch solche mit 22 und 31 Tönen. Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; verpflichteten diatonischen Skalen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, - die neuntönige Orwell-Skala enthält zum Beispiel keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen. Umso besser dagegen für dezidiert xenharmonische Musik: dank der oben skizzierten einfachen Intervallbeziehungen lässt sich schon in der kleinsten Orwell-Skala eine Fülle gänzlich aus 11-Limit-Konsonanzen aufgebauter Akkorde finden. Siehe hierzu &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Chords%20of%20orwell"&amp;gt;Chords of Orwell (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mehr Informationen, inkl. Varianten, Tastaturlayouts, Musikbeispiele u. v. m., sind zu finden im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Orwell"&amp;gt;englischen Xenharnonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Orwell-Temperaturen leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19\84, d.h. 19 Schritte von [[84edo]], ein guter Generator ist. Diese Temperatur ist interessant auf Grund der guten Unterstützung reiner Intervalle im [[Limit|7- und 11-Limit]] (Intervalle unter Einbezug des siebten und elften Obertons).

Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen [[Naturseptime|Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)]] und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa (11/8)]].

In summa erreicht man also wichtige Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten - gleich mit den ersten drei Generatorschritten sogar. Ein Grundton plus Töne der ersten drei Generatorschritte darüber bilden zusammen einen fremdartig-konsonanten Akkord, der als **Orwell-Vierklang** bekannt ist.

|| [[media type="file" key="orwell-tetrad-in-JI.mp3"]] || [[media type="file" key="xenharmonic:OrwellTetrad22edo.mp3" width="240" height="20"]]
[[media type="file" key="OrwellTetrad22edo.mp3"]] ||
|| Orwell-Vierklang, in reinen Intervallen.
Die Intervalle zwischen den Tönen sind alle minimal unterschiedlich. || Orwell-Vierklang, temperierte Version (22edo-Stimmung).
Die Intervalle zwischen den Tönen sind gleich gross. ||

[Todo austemperierte Kommas]

[[Gleichstufige Tonsysteme]], die Orwell unterstützen, sind unter anderem [[22edo]], [[31edo]], [[53edo]] und, wie gesagt, [[84edo]].

An [[MOS-Skalen]] gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle); ferner noch solche mit 22 und 31 Tönen. Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] verpflichteten diatonischen Skalen in [[12edo]], - die neuntönige Orwell-Skala enthält zum Beispiel keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen. Umso besser dagegen für dezidiert xenharmonische Musik: dank der oben skizzierten einfachen Intervallbeziehungen lässt sich schon in der kleinsten Orwell-Skala eine Fülle gänzlich aus 11-Limit-Konsonanzen aufgebauter Akkorde finden. Siehe hierzu [[xenharmonic/Chords of orwell|Chords of Orwell (englischsprachiger Artikel)]].
[Todo Audio examples]

Mehr Informationen, inkl. Varianten, Tastaturlayouts, Musikbeispiele u. v. m., sind zu finden im [[xenharmonic/Orwell|englischen Xenharnonic Wiki]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Familie der Orwell-Temperaturen leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19\84, d.h. 19 Schritte von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/84edo"&amp;gt;84edo&amp;lt;/a&amp;gt;, ein guter Generator ist. Diese Temperatur ist interessant auf Grund der guten Unterstützung reiner Intervalle im &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;7- und 11-Limit&amp;lt;/a&amp;gt; (Intervalle unter Einbezug des siebten und elften Obertons).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa (11/8)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In summa erreicht man also wichtige Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten - gleich mit den ersten drei Generatorschritten sogar. Ein Grundton plus Töne der ersten drei Generatorschritte darüber bilden zusammen einen fremdartig-konsonanten Akkord, der als &amp;lt;strong&amp;gt;Orwell-Vierklang&amp;lt;/strong&amp;gt; bekannt ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;Orwell-Vierklang, temperierte Version (22edo-Stimmung).&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo austemperierte Kommas]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt;, die Orwell unterstützen, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt; und, wie gesagt, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/84edo"&amp;gt;84edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
An &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle); ferner noch solche mit 22 und 31 Tönen. Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; verpflichteten diatonischen Skalen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, - die neuntönige Orwell-Skala enthält zum Beispiel keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen. Umso besser dagegen für dezidiert xenharmonische Musik: dank der oben skizzierten einfachen Intervallbeziehungen lässt sich schon in der kleinsten Orwell-Skala eine Fülle gänzlich aus 11-Limit-Konsonanzen aufgebauter Akkorde finden. Siehe hierzu &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Chords%20of%20orwell"&amp;gt;Chords of Orwell (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Audio examples]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Mehr Informationen, inkl. Varianten, Tastaturlayouts, Musikbeispiele u. v. m., sind zu finden im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Orwell"&amp;gt;englischen Xenharnonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;xenwolf</username>
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      <comment>**Imported revision 544204076 - Original comment: Beipiel zur Verknüpfung von Medien, die in anderen Wikis bereits vorliegen**</comment>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2015-03-16 05:53:11 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;544204076&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;Beipiel zur Verknüpfung von Medien, die in anderen Wikis bereits vorliegen&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Orwell]]

[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Orwell-Temperaturen leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19\84, d.h. 19 Schritte von [[84edo]], ein guter Generator ist. Diese Temperatur ist interessant auf Grund der guten Unterstützung reiner Intervalle im [[Limit|7- und 11-Limit]] (Intervalle unter Einbezug des siebten und elften Obertons).

Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen [[Naturseptime|Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)]] und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa (11/8)]].

In summa erreicht man also wichtige Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten - gleich mit den ersten drei Generatorschritten sogar. Ein Grundton plus Töne der ersten drei Generatorschritte darüber bilden zusammen einen fremdartig-konsonanten Akkord, der als **Orwell-Vierklang** bekannt ist.

[[media type="file" key="xenharmonic:OrwellTetrad22edo.mp3"]]
Orwell-Vierklang, in 22edo-Stimmung

[Todo austemperierte Kommas]

[[Gleichstufige Tonsysteme]], die Orwell unterstützen, sind unter anderem [[22edo]], [[31edo]], [[53edo]] und, wie gesagt, [[84edo]].

An [[MOS-Skalen]] gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle); ferner noch solche mit 22 und 31 Tönen. Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] verpflichteten diatonischen Skalen in [[12edo]], - die neuntönige Orwell-Skala enthält zum Beispiel keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen. Umso besser dagegen für dezidiert xenharmonische Musik: dank der oben skizzierten einfachen Intervallbeziehungen lässt sich schon in der kleinsten Orwell-Skala eine Fülle gänzlich aus 11-Limit-Konsonanzen aufgebauter Akkorde finden. Siehe hierzu [[xenharmonic/Chords of orwell|Chords of Orwell (englischsprachiger Artikel)]].
[Todo Audio examples]

Mehr Informationen, inkl. Varianten, Tastaturlayouts, Musikbeispiele u. v. m., sind zu finden im [[xenharmonic/Orwell|englischen Xenharnonic Wiki]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Familie der Orwell-Temperaturen leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19\84, d.h. 19 Schritte von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/84edo"&amp;gt;84edo&amp;lt;/a&amp;gt;, ein guter Generator ist. Diese Temperatur ist interessant auf Grund der guten Unterstützung reiner Intervalle im &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;7- und 11-Limit&amp;lt;/a&amp;gt; (Intervalle unter Einbezug des siebten und elften Obertons).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa (11/8)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In summa erreicht man also wichtige Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten - gleich mit den ersten drei Generatorschritten sogar. Ein Grundton plus Töne der ersten drei Generatorschritte darüber bilden zusammen einen fremdartig-konsonanten Akkord, der als &amp;lt;strong&amp;gt;Orwell-Vierklang&amp;lt;/strong&amp;gt; bekannt ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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An &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle); ferner noch solche mit 22 und 31 Tönen. Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; verpflichteten diatonischen Skalen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, - die neuntönige Orwell-Skala enthält zum Beispiel keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen. Umso besser dagegen für dezidiert xenharmonische Musik: dank der oben skizzierten einfachen Intervallbeziehungen lässt sich schon in der kleinsten Orwell-Skala eine Fülle gänzlich aus 11-Limit-Konsonanzen aufgebauter Akkorde finden. Siehe hierzu &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Chords%20of%20orwell"&amp;gt;Chords of Orwell (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mehr Informationen, inkl. Varianten, Tastaturlayouts, Musikbeispiele u. v. m., sind zu finden im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Orwell"&amp;gt;englischen Xenharnonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2015-03-16 05:51:31 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;Reverted to Mar 14, 2015 1:53 pm: mein Experiment war etwas konfus, neue Variante folgt&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Orwell-Temperaturen leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19\84, d.h. 19 Schritte von [[84edo]], ein guter Generator ist. Diese Temperatur ist interessant auf Grund der guten Unterstützung reiner Intervalle im [[Limit|7- und 11-Limit]] (Intervalle unter Einbezug des siebten und elften Obertons).

Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen [[Naturseptime|Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)]] und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa (11/8)]].

In summa erreicht man also wichtige Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten - gleich mit den ersten drei Generatorschritten sogar. Ein Grundton plus Töne der ersten drei Generatorschritte darüber bilden zusammen einen fremdartig-konsonanten Akkord, der als **Orwell-Vierklang** bekannt ist.

[[media type="file" key="OrwellTetrad22edo.mp3"]]
Orwell-Vierklang, in 22edo-Stimmung

[Todo austemperierte Kommas]

[[Gleichstufige Tonsysteme]], die Orwell unterstützen, sind unter anderem [[22edo]], [[31edo]], [[53edo]] und, wie gesagt, [[84edo]].

An [[MOS-Skalen]] gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle); ferner noch solche mit 22 und 31 Tönen. Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] verpflichteten diatonischen Skalen in [[12edo]], - die neuntönige Orwell-Skala enthält zum Beispiel keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen. Umso besser dagegen für dezidiert xenharmonische Musik: dank der oben skizzierten einfachen Intervallbeziehungen lässt sich schon in der kleinsten Orwell-Skala eine Fülle gänzlich aus 11-Limit-Konsonanzen aufgebauter Akkorde finden. Siehe hierzu [[xenharmonic/Chords of orwell|Chords of Orwell (englischsprachiger Artikel)]].
[Todo Audio examples]

Mehr Informationen, inkl. Varianten, Tastaturlayouts, Musikbeispiele u. v. m., sind zu finden im [[xenharmonic/Orwell|englischen Xenharnonic Wiki]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Familie der Orwell-Temperaturen leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19\84, d.h. 19 Schritte von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/84edo"&amp;gt;84edo&amp;lt;/a&amp;gt;, ein guter Generator ist. Diese Temperatur ist interessant auf Grund der guten Unterstützung reiner Intervalle im &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;7- und 11-Limit&amp;lt;/a&amp;gt; (Intervalle unter Einbezug des siebten und elften Obertons).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa (11/8)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In summa erreicht man also wichtige Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten - gleich mit den ersten drei Generatorschritten sogar. Ein Grundton plus Töne der ersten drei Generatorschritte darüber bilden zusammen einen fremdartig-konsonanten Akkord, der als &amp;lt;strong&amp;gt;Orwell-Vierklang&amp;lt;/strong&amp;gt; bekannt ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Orwell-Vierklang, in 22edo-Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
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[Todo Audio examples]&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mehr Informationen, inkl. Varianten, Tastaturlayouts, Musikbeispiele u. v. m., sind zu finden im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Orwell"&amp;gt;englischen Xenharnonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Orwell-Temperaturen leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19\84, d.h. 19 Schritte von [[84edo]], ein guter Generator ist. Diese Temperatur ist interessant auf Grund der guten Unterstützung reiner Intervalle im [[Limit|7- und 11-Limit]] (Intervalle unter Einbezug des siebten und elften Obertons).

Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen [[Naturseptime|Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)]] und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa (11/8)]].

In summa erreicht man also wichtige Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten - gleich mit den ersten drei Generatorschritten sogar. Ein Grundton plus Töne der ersten drei Generatorschritte darüber bilden zusammen einen fremdartig-konsonanten Akkord, der als **Orwell-Vierklang** bekannt ist.

Beispiele für Orwell-Vierklänge, in [[22edo]]-Stimmung

 [[media type="file" key="OrwellTetrad22edo.mp3"]] "Orwell-Vierklang"
 [[media type="file" key="xenharmonic:Orwell_0_1_6_8_22edo.mp3"]]

[Todo austemperierte Kommas]

[[Gleichstufige Tonsysteme]], die Orwell unterstützen, sind unter anderem [[22edo]], [[31edo]], [[53edo]] und, wie gesagt, [[84edo]].

An [[MOS-Skalen]] gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle); ferner noch solche mit 22 und 31 Tönen. Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] verpflichteten diatonischen Skalen in [[12edo]], - die neuntönige Orwell-Skala enthält zum Beispiel keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen. Umso besser dagegen für dezidiert xenharmonische Musik: dank der oben skizzierten einfachen Intervallbeziehungen lässt sich schon in der kleinsten Orwell-Skala eine Fülle gänzlich aus 11-Limit-Konsonanzen aufgebauter Akkorde finden. Siehe hierzu [[xenharmonic/Chords of orwell|Chords of Orwell (englischsprachiger Artikel)]].
[Todo Audio examples]

Mehr Informationen, inkl. Varianten, Tastaturlayouts, Musikbeispiele u. v. m., sind zu finden im [[xenharmonic/Orwell|englischen Xenharnonic Wiki]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Familie der Orwell-Temperaturen leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19\84, d.h. 19 Schritte von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/84edo"&amp;gt;84edo&amp;lt;/a&amp;gt;, ein guter Generator ist. Diese Temperatur ist interessant auf Grund der guten Unterstützung reiner Intervalle im &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;7- und 11-Limit&amp;lt;/a&amp;gt; (Intervalle unter Einbezug des siebten und elften Obertons).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa (11/8)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In summa erreicht man also wichtige Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten - gleich mit den ersten drei Generatorschritten sogar. Ein Grundton plus Töne der ersten drei Generatorschritte darüber bilden zusammen einen fremdartig-konsonanten Akkord, der als &amp;lt;strong&amp;gt;Orwell-Vierklang&amp;lt;/strong&amp;gt; bekannt ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt;, die Orwell unterstützen, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt; und, wie gesagt, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/84edo"&amp;gt;84edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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An &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle); ferner noch solche mit 22 und 31 Tönen. Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; verpflichteten diatonischen Skalen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, - die neuntönige Orwell-Skala enthält zum Beispiel keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen. Umso besser dagegen für dezidiert xenharmonische Musik: dank der oben skizzierten einfachen Intervallbeziehungen lässt sich schon in der kleinsten Orwell-Skala eine Fülle gänzlich aus 11-Limit-Konsonanzen aufgebauter Akkorde finden. Siehe hierzu &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Chords%20of%20orwell"&amp;gt;Chords of Orwell (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Audio examples]&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mehr Informationen, inkl. Varianten, Tastaturlayouts, Musikbeispiele u. v. m., sind zu finden im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Orwell"&amp;gt;englischen Xenharnonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2015-03-16 05:38:52 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Orwell-Temperaturen leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19\84, d.h. 19 Schritte von [[84edo]], ein guter Generator ist. Diese Temperatur ist interessant auf Grund der guten Unterstützung reiner Intervalle im [[Limit|7- und 11-Limit]] (Intervalle unter Einbezug des siebten und elften Obertons).

Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen [[Naturseptime|Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)]] und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa (11/8)]].

In summa erreicht man also wichtige Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten - gleich mit den ersten drei Generatorschritten sogar. Ein Grundton plus Töne der ersten drei Generatorschritte darüber bilden zusammen einen fremdartig-konsonanten Akkord, der als **Orwell-Vierklang** bekannt ist.

Beispiele für Orwell-Vierklänge, in [[22edo]]-Stimmung

* [[media type="file" key="OrwellTetrad22edo.mp3"]] "Orwell-Vierklang"

* [[media type="file" key="xenharmonic:Orwell_0_1_6_8_22edo.mp3"]]

[Todo austemperierte Kommas]

[[Gleichstufige Tonsysteme]], die Orwell unterstützen, sind unter anderem [[22edo]], [[31edo]], [[53edo]] und, wie gesagt, [[84edo]].

An [[MOS-Skalen]] gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle); ferner noch solche mit 22 und 31 Tönen. Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] verpflichteten diatonischen Skalen in [[12edo]], - die neuntönige Orwell-Skala enthält zum Beispiel keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen. Umso besser dagegen für dezidiert xenharmonische Musik: dank der oben skizzierten einfachen Intervallbeziehungen lässt sich schon in der kleinsten Orwell-Skala eine Fülle gänzlich aus 11-Limit-Konsonanzen aufgebauter Akkorde finden. Siehe hierzu [[xenharmonic/Chords of orwell|Chords of Orwell (englischsprachiger Artikel)]].
[Todo Audio examples]

Mehr Informationen, inkl. Varianten, Tastaturlayouts, Musikbeispiele u. v. m., sind zu finden im [[xenharmonic/Orwell|englischen Xenharnonic Wiki]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die Familie der Orwell-Temperaturen leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19\84, d.h. 19 Schritte von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/84edo"&amp;gt;84edo&amp;lt;/a&amp;gt;, ein guter Generator ist. Diese Temperatur ist interessant auf Grund der guten Unterstützung reiner Intervalle im &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;7- und 11-Limit&amp;lt;/a&amp;gt; (Intervalle unter Einbezug des siebten und elften Obertons).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa (11/8)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In summa erreicht man also wichtige Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten - gleich mit den ersten drei Generatorschritten sogar. Ein Grundton plus Töne der ersten drei Generatorschritte darüber bilden zusammen einen fremdartig-konsonanten Akkord, der als &amp;lt;strong&amp;gt;Orwell-Vierklang&amp;lt;/strong&amp;gt; bekannt ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Beispiele für Orwell-Vierklänge, in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt;, die Orwell unterstützen, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt; und, wie gesagt, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/84edo"&amp;gt;84edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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An &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle); ferner noch solche mit 22 und 31 Tönen. Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; verpflichteten diatonischen Skalen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, - die neuntönige Orwell-Skala enthält zum Beispiel keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen. Umso besser dagegen für dezidiert xenharmonische Musik: dank der oben skizzierten einfachen Intervallbeziehungen lässt sich schon in der kleinsten Orwell-Skala eine Fülle gänzlich aus 11-Limit-Konsonanzen aufgebauter Akkorde finden. Siehe hierzu &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Chords%20of%20orwell"&amp;gt;Chords of Orwell (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Audio examples]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Mehr Informationen, inkl. Varianten, Tastaturlayouts, Musikbeispiele u. v. m., sind zu finden im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Orwell"&amp;gt;englischen Xenharnonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-03-14 08:53:02 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Orwell-Temperaturen leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19\84, d.h. 19 Schritte von [[84edo]], ein guter Generator ist. Diese Temperatur ist interessant auf Grund der guten Unterstützung reiner Intervalle im [[Limit|7- und 11-Limit]] (Intervalle unter Einbezug des siebten und elften Obertons).

Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen [[Naturseptime|Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)]] und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa (11/8)]].

In summa erreicht man also wichtige Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten - gleich mit den ersten drei Generatorschritten sogar. Ein Grundton plus Töne der ersten drei Generatorschritte darüber bilden zusammen einen fremdartig-konsonanten Akkord, der als **Orwell-Vierklang** bekannt ist.

[[media type="file" key="OrwellTetrad22edo.mp3"]]
Orwell-Vierklang, in 22edo-Stimmung

[Todo austemperierte Kommas]

[[Gleichstufige Tonsysteme]], die Orwell unterstützen, sind unter anderem [[22edo]], [[31edo]], [[53edo]] und, wie gesagt, [[84edo]].

An [[MOS-Skalen]] gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle); ferner noch solche mit 22 und 31 Tönen. Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] verpflichteten diatonischen Skalen in [[12edo]], - die neuntönige Orwell-Skala enthält zum Beispiel keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen. Umso besser dagegen für dezidiert xenharmonische Musik: dank der oben skizzierten einfachen Intervallbeziehungen lässt sich schon in der kleinsten Orwell-Skala eine Fülle gänzlich aus 11-Limit-Konsonanzen aufgebauter Akkorde finden. Siehe hierzu [[xenharmonic/Chords of orwell|Chords of Orwell (englischsprachiger Artikel)]].
[Todo Audio examples]

Mehr Informationen, inkl. Varianten, Tastaturlayouts, Musikbeispiele u. v. m., sind zu finden im [[xenharmonic/Orwell|englischen Xenharnonic Wiki]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Familie der Orwell-Temperaturen leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19\84, d.h. 19 Schritte von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/84edo"&amp;gt;84edo&amp;lt;/a&amp;gt;, ein guter Generator ist. Diese Temperatur ist interessant auf Grund der guten Unterstützung reiner Intervalle im &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;7- und 11-Limit&amp;lt;/a&amp;gt; (Intervalle unter Einbezug des siebten und elften Obertons).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa (11/8)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In summa erreicht man also wichtige Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten - gleich mit den ersten drei Generatorschritten sogar. Ein Grundton plus Töne der ersten drei Generatorschritte darüber bilden zusammen einen fremdartig-konsonanten Akkord, der als &amp;lt;strong&amp;gt;Orwell-Vierklang&amp;lt;/strong&amp;gt; bekannt ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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An &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle); ferner noch solche mit 22 und 31 Tönen. Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; verpflichteten diatonischen Skalen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, - die neuntönige Orwell-Skala enthält zum Beispiel keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen. Umso besser dagegen für dezidiert xenharmonische Musik: dank der oben skizzierten einfachen Intervallbeziehungen lässt sich schon in der kleinsten Orwell-Skala eine Fülle gänzlich aus 11-Limit-Konsonanzen aufgebauter Akkorde finden. Siehe hierzu &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Chords%20of%20orwell"&amp;gt;Chords of Orwell (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Audio examples]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Mehr Informationen, inkl. Varianten, Tastaturlayouts, Musikbeispiele u. v. m., sind zu finden im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Orwell"&amp;gt;englischen Xenharnonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2015-03-12 11:25:33 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Orwell-Temperaturen leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19\84, d.h. 19 Schritte von [[84edo]], ein guter Generator ist. Diese Temperatur ist interessante auf Grund der guten Unterstützung reiner Intervallen im [[Limit|7- und 11-Limit]] (Intervalle unter Einbezug des siebten und elften Obertons).

Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen [[Naturseptime|Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)]] und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa (11/8)]].

In summa erreicht man also wichtige Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten - gleich mit den ersten drei Generatorschritten sogar. Ein Grundton plus Töne der ersten drei Generatorschritte darüber bilden zusammen einen fremdartig-konsonanten Akkord, der als **Orwell-Vierklang** bekannt ist.

[Todo audio example]

[Todo austemperierte Kommas]

[[Gleichstufige Tonsysteme]], die Orwell unterstützen, sind unter anderem [[22edo]], [[31edo]], [[53edo]] und, wie gesagt, [[84edo]].

An [[MOS-Skalen]] gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle); ferner noch solche mit 22 und 31 Tönen. Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] verpflichteten diatonischen Skalen in [[12edo]], - die neuntönige Orwell-Skala enthält zum Beispiel keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen. Umso besser dagegen für dezidiert xenharmonische Musik: dank der oben skizzierten einfachen Intervallbeziehungen lässt sich schon in der kleinsten Orwell-Skala eine Fülle gänzlich aus 11-Limit-Konsonanzen aufgebauter Akkorde finden. Siehe hierzu [[xenharmonic/Chords of orwell|Chords of Orwell (englischsprachiger Artikel)]].
[Todo Audio examples]

Mehr Informationen, inkl. Varianten, Tastaturlayouts, Musikbeispiele u. v. m., sind zu finden im [[xenharmonic/Orwell|englischen Xenharnonic Wiki]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Familie der Orwell-Temperaturen leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19\84, d.h. 19 Schritte von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/84edo"&amp;gt;84edo&amp;lt;/a&amp;gt;, ein guter Generator ist. Diese Temperatur ist interessante auf Grund der guten Unterstützung reiner Intervallen im &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;7- und 11-Limit&amp;lt;/a&amp;gt; (Intervalle unter Einbezug des siebten und elften Obertons).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa (11/8)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In summa erreicht man also wichtige Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten - gleich mit den ersten drei Generatorschritten sogar. Ein Grundton plus Töne der ersten drei Generatorschritte darüber bilden zusammen einen fremdartig-konsonanten Akkord, der als &amp;lt;strong&amp;gt;Orwell-Vierklang&amp;lt;/strong&amp;gt; bekannt ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt;, die Orwell unterstützen, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt; und, wie gesagt, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/84edo"&amp;gt;84edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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An &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle); ferner noch solche mit 22 und 31 Tönen. Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; verpflichteten diatonischen Skalen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, - die neuntönige Orwell-Skala enthält zum Beispiel keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen. Umso besser dagegen für dezidiert xenharmonische Musik: dank der oben skizzierten einfachen Intervallbeziehungen lässt sich schon in der kleinsten Orwell-Skala eine Fülle gänzlich aus 11-Limit-Konsonanzen aufgebauter Akkorde finden. Siehe hierzu &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Chords%20of%20orwell"&amp;gt;Chords of Orwell (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mehr Informationen, inkl. Varianten, Tastaturlayouts, Musikbeispiele u. v. m., sind zu finden im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Orwell"&amp;gt;englischen Xenharnonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Orwell-Temperaturen leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19/84, d.h. 19 Schritte von [[84edo]], ein guter Generator ist. Diese Temperatur ist interessante auf Grund der guten Unterstützung reiner Intervallen im [[Limit|7- und 11-Limit]] (Intervalle unter Einbezug des siebten und elften Obertons).

Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen [[Naturseptime|Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)]] und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa (11/8)]].

In summa erreicht man also wichtige Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten - gleich mit den ersten drei Generatorschritten sogar. Ein Grundton plus Töne der ersten drei Generatorschritte darüber bilden zusammen einen fremdartig-konsonanten Akkord, der als **Orwell-Vierklang** bekannt ist.

[Todo audio example]

[Todo austemperierte Kommas]

[[Gleichstufige Tonsysteme]], die Orwell unterstützen, sind unter anderem [[22edo]], [[31edo]], [[53edo]] und, wie gesagt, [[84edo]].

An [[MOS-Skalen]] gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle); ferner noch solche mit 22 und 31 Tönen. Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] verpflichteten diatonischen Skalen in [[12edo]], - die neuntönige Orwell-Skala enthält zum Beispiel keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen. Umso besser dagegen für dezidiert xenharmonische Musik: dank der oben skizzierten einfachen Intervallbeziehungen lässt sich schon in der kleinsten Orwell-Skala eine Fülle gänzlich aus 11-Limit-Konsonanzen aufgebauter Akkorde finden. Siehe hierzu [[xenharmonic/Chords of orwell|Chords of Orwell (englischsprachiger Artikel)]].
[Todo Audio examples]

Mehr Informationen, inkl. Varianten, Tastaturlayouts, Musikbeispiele u. v. m., sind zu finden im [[xenharmonic/Orwell|englischen Xenharnonic Wiki]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die Familie der Orwell-Temperaturen leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19/84, d.h. 19 Schritte von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/84edo"&amp;gt;84edo&amp;lt;/a&amp;gt;, ein guter Generator ist. Diese Temperatur ist interessante auf Grund der guten Unterstützung reiner Intervallen im &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;7- und 11-Limit&amp;lt;/a&amp;gt; (Intervalle unter Einbezug des siebten und elften Obertons).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa (11/8)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In summa erreicht man also wichtige Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten - gleich mit den ersten drei Generatorschritten sogar. Ein Grundton plus Töne der ersten drei Generatorschritte darüber bilden zusammen einen fremdartig-konsonanten Akkord, der als &amp;lt;strong&amp;gt;Orwell-Vierklang&amp;lt;/strong&amp;gt; bekannt ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt;, die Orwell unterstützen, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt; und, wie gesagt, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/84edo"&amp;gt;84edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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An &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle); ferner noch solche mit 22 und 31 Tönen. Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; verpflichteten diatonischen Skalen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, - die neuntönige Orwell-Skala enthält zum Beispiel keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen. Umso besser dagegen für dezidiert xenharmonische Musik: dank der oben skizzierten einfachen Intervallbeziehungen lässt sich schon in der kleinsten Orwell-Skala eine Fülle gänzlich aus 11-Limit-Konsonanzen aufgebauter Akkorde finden. Siehe hierzu &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Chords%20of%20orwell"&amp;gt;Chords of Orwell (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Orwell-Temperaturen leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19/84, d.h. 19 Schritte von [[84edo]], ein guter Generator dafür ist. Es ist eine interessante Temperatur in Bezug auf die Unterstützung von reinen Intervallen im 7- und 11-[[Limit]], also Intervallen unter Einbezug des siebten und elften Obertons.

Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen [[Naturseptime|Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)]] und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa (11/8)]].

In summa erreicht man also wichtige Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten - gleich mit den ersten drei Generatorschritten sogar. Ein Grundton plus Töne der ersten drei Generatorschritte darüber bilden zusammen einen fremdartig-konsonanten Akkord, der als **Orwell-Vierklang** bekannt ist.

[Todo audio example]

[Todo austemperierte Kommas]

[[Gleichstufige Tonsysteme]], die Orwell unterstützen, sind unter anderem [[22edo]], [[31edo]], [[53edo]] und, wie gesagt, [[84edo]].

An [[MOS-Skalen]] gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle); ferner noch solche mit 22 und 31 Tönen. Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] verpflichteten diatonischen Skalen in [[12edo]], - die neuntönige Orwell-Skala enthält zum Beispiel keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen. Umso besser dagegen für dezidiert xenharmonische Musik: dank der oben skizzierten einfachen Intervallbeziehungen lässt sich schon in der kleinsten Orwell-Skala eine Fülle gänzlich aus 11-Limit-Konsonanzen aufgebauter Akkorde finden. Siehe hierzu [[xenharmonic/Chords of orwell|Chords of Orwell (englischsprachiger Artikel)]].
[Todo Audio examples]

Mehr Informationen, inkl. Varianten, Tastaturlayouts, Musikbeispiele u. v. m., sind zu finden im [[xenharmonic/Orwell|englischen Xenharnonic Wiki]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die Familie der Orwell-Temperaturen leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19/84, d.h. 19 Schritte von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/84edo"&amp;gt;84edo&amp;lt;/a&amp;gt;, ein guter Generator dafür ist. Es ist eine interessante Temperatur in Bezug auf die Unterstützung von reinen Intervallen im 7- und 11-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;, also Intervallen unter Einbezug des siebten und elften Obertons.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa (11/8)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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An &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle); ferner noch solche mit 22 und 31 Tönen. Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; verpflichteten diatonischen Skalen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, - die neuntönige Orwell-Skala enthält zum Beispiel keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen. Umso besser dagegen für dezidiert xenharmonische Musik: dank der oben skizzierten einfachen Intervallbeziehungen lässt sich schon in der kleinsten Orwell-Skala eine Fülle gänzlich aus 11-Limit-Konsonanzen aufgebauter Akkorde finden. Siehe hierzu &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Chords%20of%20orwell"&amp;gt;Chords of Orwell (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Mehr Informationen, inkl. Varianten, Tastaturlayouts, Musikbeispiele u. v. m., sind zu finden im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Orwell"&amp;gt;englischen Xenharnonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Orwell-Temperaturen leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19/84, d.h. 19 Schritte von [[84edo]], ein guter Generator dafür ist. Es ist eine interessante Temperatur in Bezug auf die Unterstützung von reinen Intervallen im 7- und 11-[[Limit]], also Intervallen unter Einbezug des siebten und elften Obertons.

Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen [[Naturseptime|Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)]] und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa (11/8)]].

In summa erreicht man also wichtige Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten - gleich mit den ersten drei Generatorschritten sogar. Ein Grundton plus Töne der ersten drei Generatorschritte darüber bilden zusammen einen fremdartig-konsonanten Akkord, der als **Orwell-Vierklang** bekannt ist.

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[Todo austemperierte Kommas]

[[Gleichstufige Tonsysteme]], die Orwell unterstützen, sind unter anderem [[22edo]], [[31edo]], [[53edo]] und, wie gesagt, [[84edo]].

An [[MOS-Skalen]] gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle); ferner noch solche mit 22 und 31 Tönen. Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] verpflichteten diatonischen Skalen in [[12edo]], - die neuntönige Orwell-Skala enthält zum Beispiel keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen - umso besser natürlich für dezidiert xenharmonische Musik: dank der oben skizzierten einfachen Intervallbeziehungen lässt sich schon in der kleinsten Orwell-Skala eine Fülle gänzlich aus 11-Limit-Konsonanzen aufgebauter Akkorde finden. Siehe hierzu [[xenharmonic/Chords of orwell|Chords of Orwell (englischsprachiger Artikel)]].
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Mehr Informationen, inkl. Varianten, Tastaturlayouts, Musikbeispiele u. v. m., sind zu finden im [[xenharmonic/Orwell|englischen Xenharnonic Wiki]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa (11/8)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In summa erreicht man also wichtige Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten - gleich mit den ersten drei Generatorschritten sogar. Ein Grundton plus Töne der ersten drei Generatorschritte darüber bilden zusammen einen fremdartig-konsonanten Akkord, der als &amp;lt;strong&amp;gt;Orwell-Vierklang&amp;lt;/strong&amp;gt; bekannt ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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An &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle); ferner noch solche mit 22 und 31 Tönen. Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; verpflichteten diatonischen Skalen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, - die neuntönige Orwell-Skala enthält zum Beispiel keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen - umso besser natürlich für dezidiert xenharmonische Musik: dank der oben skizzierten einfachen Intervallbeziehungen lässt sich schon in der kleinsten Orwell-Skala eine Fülle gänzlich aus 11-Limit-Konsonanzen aufgebauter Akkorde finden. Siehe hierzu &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Chords%20of%20orwell"&amp;gt;Chords of Orwell (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mehr Informationen, inkl. Varianten, Tastaturlayouts, Musikbeispiele u. v. m., sind zu finden im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Orwell"&amp;gt;englischen Xenharnonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Orwell-Temperaturen leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19/84, d.h. 19 Schritte von [[84edo]], ein guter Generator dafür ist. Es ist eine interessante Temperatur in Bezug auf die Unterstützung von reinen Intervallen im 7- und 11-[[Limit]], also Intervallen unter Einbezug des siebten und elften Obertons.

Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen [[Naturseptime|Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)]] und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa (11/8)]].

In summa erreicht man also wichtige Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten - gleich mit den ersten drei Generatorschritten sogar. Ein Grundton plus Töne der ersten drei Generatorschritte darüber bilden zusammen einen fremdartig-konsonanten Akkord, der als **Orwell-Vierklang** bekannt ist.

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[[Gleichstufige Tonsysteme]], die Orwell unterstützen, sind unter anderem [[22edo]], [[31edo]], [[53edo]] und, wie gesagt, [[84edo]].

An [[MOS-Skalen]] gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle); ferner noch solche mit 22 und 31 Tönen. Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] verpflichteten diatonischen Skalen in [[12edo]], - die neuntönige Orwell-Skala enthält zum Beispiel keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen - umso besser natürlich für dezidiert xenharmonische Musik. Dank der oben skizzierten einfachen Intervallbeziehungen lässt sich schon in der kleinsten Orwell-Skala eine Fülle gänzlich aus 11-Limit-Konsonanzen aufgebauter Akkorde finden. Siehe hierzu [[xenharmonic/Chords of orwell|Chords of Orwell (englischsprachiger Artikel)]].
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Mehr Informationen, inkl. Varianten, Tastaturlayouts, Musikbeispiele u. v. m., sind zu finden im [[xenharmonic/Orwell|englischen Xenharnonic Wiki]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die Familie der Orwell-Temperaturen leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19/84, d.h. 19 Schritte von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/84edo"&amp;gt;84edo&amp;lt;/a&amp;gt;, ein guter Generator dafür ist. Es ist eine interessante Temperatur in Bezug auf die Unterstützung von reinen Intervallen im 7- und 11-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;, also Intervallen unter Einbezug des siebten und elften Obertons.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa (11/8)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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An &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle); ferner noch solche mit 22 und 31 Tönen. Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; verpflichteten diatonischen Skalen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, - die neuntönige Orwell-Skala enthält zum Beispiel keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen - umso besser natürlich für dezidiert xenharmonische Musik. Dank der oben skizzierten einfachen Intervallbeziehungen lässt sich schon in der kleinsten Orwell-Skala eine Fülle gänzlich aus 11-Limit-Konsonanzen aufgebauter Akkorde finden. Siehe hierzu &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Chords%20of%20orwell"&amp;gt;Chords of Orwell (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Orwell-Temperaturen leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19/84, d.h. 19 Schritte von [[84edo]], ein guter Generator dafür ist. Es ist eine interessante Temperatur in Bezug auf die Unterstützung von reinen Intervallen im 7- und 11-[[Limit]], also Intervallen unter Einbezug des siebten und elften Obertons.

Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen [[Naturseptime|Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)]] und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa (11/8)]].

In summa erreicht man also wichtige Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten - gleich mit den ersten drei Generatorschritten sogar. Ein Grundton plus Töne der ersten drei Generatorschritte darüber bilden zusammen einen fremdartig-konsonanten Akkord, der als **Orwell-Vierklang** bekannt ist.

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[Todo austemperierte Kommas]

[[Gleichstufige Tonsysteme]], die Orwell unterstützen, sind unter anderem [[22edo]], [[31edo]], [[53edo]] und, wie gesagt, [[84edo]].

An [[MOS-Skalen]] gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle); ferner noch solche mit 22 und 31 Tönen. Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] verpflichteten diatonischen Skalen in [[12edo]], - die neuntönige Orwell-Skala enthält zum Beispiel keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen - umso besser natürlich für dezidiert xenharmonische Musik. Dank der oben skizzierten einfachen Intervallbeziehungen lässt sich schon in der kleinsten Orwell-Skala eine Fülle gänzlich aus 11-Limit-Konsonanzen aufgebauter Akkorde finden. Siehe hierzu [[xenharmonic/Chords of orwell|Chords of Orwell (englischsprachiger Artikel)]]

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Mehr Informationen, inkl. Varianten, Tastaturlayouts, Musikbeispiele u. v. m., sind zu finden im [[xenharmonic/Orwell|englischen Xenharnonic Wiki]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa (11/8)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt;, die Orwell unterstützen, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt; und, wie gesagt, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/84edo"&amp;gt;84edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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An &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle); ferner noch solche mit 22 und 31 Tönen. Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; verpflichteten diatonischen Skalen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, - die neuntönige Orwell-Skala enthält zum Beispiel keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen - umso besser natürlich für dezidiert xenharmonische Musik. Dank der oben skizzierten einfachen Intervallbeziehungen lässt sich schon in der kleinsten Orwell-Skala eine Fülle gänzlich aus 11-Limit-Konsonanzen aufgebauter Akkorde finden. Siehe hierzu &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Chords%20of%20orwell"&amp;gt;Chords of Orwell (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mehr Informationen, inkl. Varianten, Tastaturlayouts, Musikbeispiele u. v. m., sind zu finden im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Orwell"&amp;gt;englischen Xenharnonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-03-10 16:27:10 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Orwell-Temperaturen leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19/84, d.h. 19 Schritte von [[84edo]], ein guter Generator dafür ist. Es ist eine interessante Temperatur in Bezug auf die Unterstützung von reinen Intervallen im 7- und 11-[[Limit]], also Intervallen unter Einbezug des siebten und elften Obertons.

Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen [[Naturseptime|Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)]] und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa (11/8)]].

In summa erreicht man also wichtige Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten - gleich mit den ersten drei Generatorschritten sogar. Ein Grundton plus Töne der ersten drei Generatorschritte darüber bilden zusammen einen fremdartig-konsonanten Akkord, der als **Orwell-Vierklang** bekannt ist.

[Todo audio example]

[Todo austemperierte Kommas]

[[Gleichstufige Tonsysteme]], die Orwell unterstützen, sind unter anderem [[22edo]], [[31edo]], [[53edo]] und, wie gesagt, [[84edo]].

An [[MOS-Skalen]] gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle); ferner noch solche mit 22 und 31 Tönen. Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] verpflichteten diatonischen Skalen in [[12edo]], - die neuntönige Orwell-Skala enthält zum Beispiel keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen, umso besser natürlich für dezidiert xenharmonische Musik.

[Todo Audio examples]

Mehr Informationen inkl. Musikbeispiele sind zu finden im [[xenharmonic/Orwell|englischen Xenharnonic Wiki]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Die Familie der Orwell-Temperaturen leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19/84, d.h. 19 Schritte von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/84edo"&amp;gt;84edo&amp;lt;/a&amp;gt;, ein guter Generator dafür ist. Es ist eine interessante Temperatur in Bezug auf die Unterstützung von reinen Intervallen im 7- und 11-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;, also Intervallen unter Einbezug des siebten und elften Obertons.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa (11/8)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In summa erreicht man also wichtige Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten - gleich mit den ersten drei Generatorschritten sogar. Ein Grundton plus Töne der ersten drei Generatorschritte darüber bilden zusammen einen fremdartig-konsonanten Akkord, der als &amp;lt;strong&amp;gt;Orwell-Vierklang&amp;lt;/strong&amp;gt; bekannt ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mehr Informationen inkl. Musikbeispiele sind zu finden im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Orwell"&amp;gt;englischen Xenharnonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Orwell-Temperaturen leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19/84, d.h. 19 Schritte von [[84edo]], ein guter Generator dafür ist. Es ist eine interessante Temperatur in Bezug auf die Unterstützung von reinen Intervallen im 7- und 11-[[Limit]], also Intervallen unter Einbezug des siebten und elften Obertons.

Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen [[Naturseptime|Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)]] und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa (11/8)]].

In summa erreicht man also wichtige Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten - gleich mit den ersten drei Generatorschritten sogar. Ein Grundton plus Töne der ersten drei Generatorschritte darüber bilden zusammen einen Akkord, der als **Orwell-Vierklang** bekannt ist.

[Todo audio example]

[Todo austemperierte Kommas]

[[Gleichstufige Tonsysteme]], die Orwell unterstützen, sind unter anderem [[22edo]], [[31edo]], [[53edo]] und, wie gesagt, [[84edo]].

An [[MOS-Skalen]] gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle); ferner noch solche mit 22 und 31 Tönen. Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] verpflichteten diatonischen Skalen in [[12edo]], - die neuntönige Orwell-Skala enthält zum Beispiel keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen, umso besser natürlich für dezidiert xenharmonische Musik.

[Todo Audio examples]

Mehr Informationen inkl. Musikbeispiele sind zu finden im [[xenharmonic/Orwell|englischen Xenharnonic Wiki]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die Familie der Orwell-Temperaturen leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19/84, d.h. 19 Schritte von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/84edo"&amp;gt;84edo&amp;lt;/a&amp;gt;, ein guter Generator dafür ist. Es ist eine interessante Temperatur in Bezug auf die Unterstützung von reinen Intervallen im 7- und 11-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;, also Intervallen unter Einbezug des siebten und elften Obertons.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa (11/8)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In summa erreicht man also wichtige Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten - gleich mit den ersten drei Generatorschritten sogar. Ein Grundton plus Töne der ersten drei Generatorschritte darüber bilden zusammen einen Akkord, der als &amp;lt;strong&amp;gt;Orwell-Vierklang&amp;lt;/strong&amp;gt; bekannt ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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An &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle); ferner noch solche mit 22 und 31 Tönen. Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; verpflichteten diatonischen Skalen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, - die neuntönige Orwell-Skala enthält zum Beispiel keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen, umso besser natürlich für dezidiert xenharmonische Musik.&amp;lt;br /&amp;gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Orwell-Temperaturen leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19/84, d.h. 19 Schritte von [[84edo]], ein guter Generator dafür ist. Es ist eine interessante Temperatur in Bezug auf die Unterstützung von reinen Intervallen im 7- und 11-[[Limit]], also Intervallen unter Einbezug des siebten und elften Obertons.

Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen [[Naturseptime|Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)]] und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa (11/8)]]. 

In summa erreicht man also wichtige Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten - gleich mit den ersten drei Generatorschritten sogar. Ein Grundton plus Töne der ersten drei Generatorschritte darüber bilden zusammen einen Akkord, der als Orwell-Vierklang bekannt ist.

[Todo audio example]

[Todo austemperierte Kommas]

An [[MOS-Skalen]] gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle). Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] verpflichteten diatonischen Skalen in [[12edo]], sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen, umso besser natürlich für dezidiert xenharmonische Musik.

[Todo Audio examples]

[[Gleichstufige Tonsysteme]], die Orwell unterstützen, sind unter anderem [[22edo]], [[31edo]], [[53edo]] und, wie gesagt, [[84edo]].

Mehr Informationen inkl. Musikbeispiele sind zu finden im [[xenharmonic/Orwell|englischen Xenharnonic Wiki]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Familie der Orwell-Temperaturen leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19/84, d.h. 19 Schritte von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/84edo"&amp;gt;84edo&amp;lt;/a&amp;gt;, ein guter Generator dafür ist. Es ist eine interessante Temperatur in Bezug auf die Unterstützung von reinen Intervallen im 7- und 11-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;, also Intervallen unter Einbezug des siebten und elften Obertons.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa (11/8)&amp;lt;/a&amp;gt;. &amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In summa erreicht man also wichtige Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten - gleich mit den ersten drei Generatorschritten sogar. Ein Grundton plus Töne der ersten drei Generatorschritte darüber bilden zusammen einen Akkord, der als Orwell-Vierklang bekannt ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo audio example]&amp;lt;br /&amp;gt;
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[Todo austemperierte Kommas]&amp;lt;br /&amp;gt;
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An &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle). Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; verpflichteten diatonischen Skalen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen, umso besser natürlich für dezidiert xenharmonische Musik.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Audio examples]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt;, die Orwell unterstützen, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt; und, wie gesagt, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/84edo"&amp;gt;84edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mehr Informationen inkl. Musikbeispiele sind zu finden im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Orwell"&amp;gt;englischen Xenharnonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Orwell-Temperaturen leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19/84, d.h. 19 Schritte von [[84edo]], ein guter Generator dafür ist. Es ist eine interessante Temperatur in Bezug auf die Unterstützung von reinen Intervallen im 7- und 11-[[Limit]], also Intervallen unter Einbezug des siebten und elften Obertons.

Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen [[Naturseptime|Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)]] und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa (11/8)]]. In summa erreicht man die wichtigen Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten.

[Todo austemperierte Kommas]

An [[MOS-Skalen]] gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle). Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] verpflichteten diatonischen Skalen in [[12edo]], sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen, umso besser natürlich für dezidiert xenharmonische Musik.

[Todo Audio examples]

[[Gleichstufige Tonsysteme]], die Orwell unterstützen, sind unter anderem [[22edo]], [[31edo]], [[53edo]] und, wie gesagt, [[84edo]].

Mehr Informationen inkl. Musikbeispiele sind zu finden im [[xenharmonic/Orwell|englischen Xenharnonic Wiki]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Die Familie der Orwell-Temperaturen leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19/84, d.h. 19 Schritte von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/84edo"&amp;gt;84edo&amp;lt;/a&amp;gt;, ein guter Generator dafür ist. Es ist eine interessante Temperatur in Bezug auf die Unterstützung von reinen Intervallen im 7- und 11-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;, also Intervallen unter Einbezug des siebten und elften Obertons.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa (11/8)&amp;lt;/a&amp;gt;. In summa erreicht man die wichtigen Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten.&amp;lt;br /&amp;gt;
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[Todo austemperierte Kommas]&amp;lt;br /&amp;gt;
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An &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle). Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; verpflichteten diatonischen Skalen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen, umso besser natürlich für dezidiert xenharmonische Musik.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt;, die Orwell unterstützen, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt; und, wie gesagt, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/84edo"&amp;gt;84edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mehr Informationen inkl. Musikbeispiele sind zu finden im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Orwell"&amp;gt;englischen Xenharnonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Orwell-Temperatur leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19/84, d.h. 19 Schritte von [[84edo]], ein guter Generator dafür ist. Es ist eine interessante Temperatur in Bezug auf die Unterstützung von reinen Intervallen im 7- und 11-[[Limit]], also Intervallen unter Einbezug des siebten und elften Obertons.

Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen [[Naturseptime|Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)]] und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa (11/8)]]. In summa erreicht man die wichtigen Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten.

[Todo austemperierte Kommas]

An [[MOS-Skalen]] gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle). Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] verpflichteten diatonischen Skalen in [[12edo]], sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen, umso besser natürlich für dezidiert xenharmonische Musik.

[Todo Audio examples]

[[Gleichstufige Tonsysteme]], die Orwell unterstützen, sind unter anderem [[22edo]], [[31edo]], [[53edo]] und, wie gesagt, [[84edo]].

Mehr Informationen inkl. Musikbeispiele sind zu finden im [[xenharmonic/Orwell|englischen Xenharnonic Wiki]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die Orwell-Temperatur leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19/84, d.h. 19 Schritte von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/84edo"&amp;gt;84edo&amp;lt;/a&amp;gt;, ein guter Generator dafür ist. Es ist eine interessante Temperatur in Bezug auf die Unterstützung von reinen Intervallen im 7- und 11-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;, also Intervallen unter Einbezug des siebten und elften Obertons.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa (11/8)&amp;lt;/a&amp;gt;. In summa erreicht man die wichtigen Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten.&amp;lt;br /&amp;gt;
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[Todo austemperierte Kommas]&amp;lt;br /&amp;gt;
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An &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle). Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; verpflichteten diatonischen Skalen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen, umso besser natürlich für dezidiert xenharmonische Musik.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mehr Informationen inkl. Musikbeispiele sind zu finden im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Orwell"&amp;gt;englischen Xenharnonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Orwell-Temperatur leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19/84, d.h. 19 Schritte von [[84edo]], ein guter Generator dafür ist. Es ist eine interessante Temperatur in Bezug auf die Unterstützung von reinen Intervallen im 7- und 11-[[Limit]], also Intervallen unter Einbezug des siebten und elften Obertons.

Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen [[Naturseptime|Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)]] und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa (11/8)]]. In summa erreicht man die wichtigen Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten.

{Todo austemperierte Kommas]

An [[MOS-Skalen]] gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle). Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] verpflichteten diatonischen Skalen in [[12edo]], sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen, umso besser natürlich für dezidiert xenharmonische Musik.

[Todo Audio examples]

[[Gleichstufige Tonsysteme]], die Orwell unterstützen, sind unter anderem [[22edo]], [[31edo]], [[53edo]] und, wie gesagt, [[84edo]].

Mehr Informationen inkl. Musikbeispiele sind zu finden im [[xenharmonic/Orwell|englischen Xenharnonic Wiki]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Orwell-Temperatur leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19/84, d.h. 19 Schritte von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/84edo"&amp;gt;84edo&amp;lt;/a&amp;gt;, ein guter Generator dafür ist. Es ist eine interessante Temperatur in Bezug auf die Unterstützung von reinen Intervallen im 7- und 11-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;, also Intervallen unter Einbezug des siebten und elften Obertons.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa (11/8)&amp;lt;/a&amp;gt;. In summa erreicht man die wichtigen Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
{Todo austemperierte Kommas]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
An &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle). Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; verpflichteten diatonischen Skalen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen, umso besser natürlich für dezidiert xenharmonische Musik.&amp;lt;br /&amp;gt;
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[Todo Audio examples]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt;, die Orwell unterstützen, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt; und, wie gesagt, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/84edo"&amp;gt;84edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Mehr Informationen inkl. Musikbeispiele sind zu finden im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Orwell"&amp;gt;englischen Xenharnonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-03-10 12:52:28 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Orwell-Temperatur leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19/84, d.h. 19 Schritte von [[84edo]], ein guter Generator dafür ist. Es ist eine interessante Temperatur in Bezug auf die Unterstützung von reinen Intervallen im 7- und 11-[[Limit]], also Intervallen unter Einbezug des siebten und elften Obertons.

Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen [[Naturseptime|Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)]] und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa (11/8)]]. In summa erreicht man die wichtigen Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten.

An [[MOS-Skalen]] gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle). Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] verpflichteten diatonischen Skalen in [[12edo]], sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen, umso besser natürlich für dezidiert xenharmonische Musik.

[Todo Audio examples]

[[Gleichstufige Tonsysteme]], die Orwell unterstützen, sind unter anderem [[22edo]], [[31edo]], [[53edo]] und, wie gesagt, [[84edo]].

Mehr Informationen inkl. Musikbeispiele sind zu finden im [[xenharmonic/Orwell|englischen Xenharnonic Wiki]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Orwell&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Orwell"&amp;gt;xenharmonic/Orwell&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Orwell-Temperatur leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19/84, d.h. 19 Schritte von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/84edo"&amp;gt;84edo&amp;lt;/a&amp;gt;, ein guter Generator dafür ist. Es ist eine interessante Temperatur in Bezug auf die Unterstützung von reinen Intervallen im 7- und 11-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;, also Intervallen unter Einbezug des siebten und elften Obertons.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa (11/8)&amp;lt;/a&amp;gt;. In summa erreicht man die wichtigen Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten.&amp;lt;br /&amp;gt;
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An &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle). Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; verpflichteten diatonischen Skalen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen, umso besser natürlich für dezidiert xenharmonische Musik.&amp;lt;br /&amp;gt;
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[Todo Audio examples]&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt;, die Orwell unterstützen, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt; und, wie gesagt, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/84edo"&amp;gt;84edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mehr Informationen inkl. Musikbeispiele sind zu finden im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Orwell"&amp;gt;englischen Xenharnonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Orwell-Temperatur leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19/84, d.h. 19 Schritte von [[84edo]], ein guter Generator dafür ist. Es ist eine interessante Temperatur in Bezug auf die Unterstützung von reinen Intervallen im 7- und 11-[[Limit]], also Intervallen unter Einbezug des siebten und elften Obertons.

Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen [[Naturseptime|Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)]] und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa (11/8)]]. In summa erreicht man die wichtigen Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Orwell-Temperatur leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19/84, d.h. 19 Schritte von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/84edo"&amp;gt;84edo&amp;lt;/a&amp;gt;, ein guter Generator dafür ist. Es ist eine interessante Temperatur in Bezug auf die Unterstützung von reinen Intervallen im 7- und 11-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;, also Intervallen unter Einbezug des siebten und elften Obertons.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)&amp;lt;/a&amp;gt; und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa (11/8)&amp;lt;/a&amp;gt;. In summa erreicht man die wichtigen Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Orwell-Temperaturen leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19\84, d.h. 19 Schritte von [[84edo|84edo]], ein guter [[Generator|Generator]] ist. Diese Temperatur ist interessant auf Grund der guten Unterstützung reiner Intervalle im [[Limit|7- und 11-Limit]] (Intervalle unter Einbezug des siebten und elften Obertons).

Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen [[Naturseptime|Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)]] und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa (11/8)]].

In summa erreicht man also wichtige Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten - gleich mit den ersten drei Generatorschritten sogar. Ein Grundton plus Töne der ersten drei Generatorschritte darüber bilden zusammen einen fremdartig-konsonanten Akkord, der als '''Orwell-Vierklang''' bekannt ist.

{| class="wikitable"
|-
| | [[File:orwell-tetrad-in-JI.mp3]]
| | [[File:orwell-tetrad-in-22edo.mp3]]

[[File:OrwellTetrad22edo.mp3]]
|-
| | Orwell-Vierklang, in reinen Intervallen (1/1 - 7/6 - 11/8 - 8/5).

Die Intervalle zwischen den Tönen sind alle minimal unterschiedlich.
| | Orwell-Vierklang, temperierte Version (22edo-Stimmung).

Die Intervalle zwischen den Tönen sind gleich gross.
|}

[Todo austemperierte Kommas]

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige Tonsysteme]], die Orwell unterstützen, sind unter anderem [[22edo|22edo]], [[31edo|31edo]], [[53edo|53edo]] und, wie gesagt, [[84edo|84edo]].

An [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle); ferner noch solche mit 22 und 31 Tönen. Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] verpflichteten diatonischen Skalen in [[12edo|12edo]], - die neuntönige Orwell-Skala enthält zum Beispiel keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen. Umso besser dagegen für dezidiert xenharmonische Musik: dank der oben skizzierten einfachen Intervallbeziehungen lässt sich schon in der kleinsten Orwell-Skala eine Fülle gänzlich aus 11-Limit-Konsonanzen aufgebauter Akkorde finden. Siehe hierzu [[:en:Chords_of_orwell|Chords of Orwell (englischsprachiger Artikel)]].

[Todo Audio examples]

Mehr Informationen, inkl. Varianten, Tastaturlayouts, Musikbeispiele u. v. m., sind zu finden im [[:en:Orwell|englischen Xenharnonic Wiki]].  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Orwell-Temperaturen leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19\84, d.h. 19 Schritte von [[84edo|84edo]], ein guter [[Generator|Generator]] ist. Diese Temperatur ist interessant auf Grund der guten Unterstützung reiner Intervalle im [[Limit|7- und 11-Limit]] (Intervalle unter Einbezug des siebten und elften Obertons).

Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen [[Naturseptime|Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)]] und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa (11/8)]].

In summa erreicht man also wichtige Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten - gleich mit den ersten drei Generatorschritten sogar. Ein Grundton plus Töne der ersten drei Generatorschritte darüber bilden zusammen einen fremdartig-konsonanten Akkord, der als '''Orwell-Vierklang''' bekannt ist.

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| | [[File:orwell-tetrad-in-JI.mp3]]
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[[File:OrwellTetrad22edo.mp3]]
|-
| | Orwell-Vierklang, in reinen Intervallen (1/1 - 7/6 - 11/8 - 8/5).

Die Intervalle zwischen den Tönen sind alle minimal unterschiedlich.
| | Orwell-Vierklang, temperierte Version (22edo-Stimmung).

Die Intervalle zwischen den Tönen sind gleich gross.
|}

[Todo austemperierte Kommas]

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige Tonsysteme]], die Orwell unterstützen, sind unter anderem [[22edo|22edo]], [[31edo|31edo]], [[53edo|53edo]] und, wie gesagt, [[84edo|84edo]].

An [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle); ferner noch solche mit 22 und 31 Tönen. Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] verpflichteten diatonischen Skalen in [[12edo|12edo]], - die neuntönige Orwell-Skala enthält zum Beispiel keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen. Umso besser dagegen für dezidiert xenharmonische Musik: dank der oben skizzierten einfachen Intervallbeziehungen lässt sich schon in der kleinsten Orwell-Skala eine Fülle gänzlich aus 11-Limit-Konsonanzen aufgebauter Akkorde finden. Siehe hierzu [[:en:Chords_of_orwell|Chords of Orwell (englischsprachiger Artikel)]].

[Todo Audio examples]

Mehr Informationen, inkl. Varianten, Tastaturlayouts, Musikbeispiele u. v. m., sind zu finden im [[:en:Orwell|englischen Xenharnonic Wiki]].  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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      <text bytes="3216" sha1="lsiuu96yhiomzymlxayc8lj5jimssdc" xml:space="preserve">[[en:Orwell]]

[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Orwell-Temperaturen leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19\84, d.h. 19 Schritte von [[84edo|84edo]], ein guter [[Generator|Generator]] ist. Diese Temperatur ist interessant auf Grund der guten Unterstützung reiner Intervalle im [[Limit|7- und 11-Limit]] (Intervalle unter Einbezug des siebten und elften Obertons).

Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen [[Naturseptime|Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)]] und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa (11/8)]].

In summa erreicht man also wichtige Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten - gleich mit den ersten drei Generatorschritten sogar. Ein Grundton plus Töne der ersten drei Generatorschritte darüber bilden zusammen einen fremdartig-konsonanten Akkord, der als '''Orwell-Vierklang''' bekannt ist.

{| class="wikitable"
|-
| | [[File:orwell-tetrad-in-JI.mp3]]
| | [[File:orwell-tetrad-in-22edo.mp3]]

[[File:OrwellTetrad22edo.mp3]]
|-
| | Orwell-Vierklang, in reinen Intervallen (1/1 - 7/6 - 11/8 - 8/5).

Die Intervalle zwischen den Tönen sind alle minimal unterschiedlich.
| | Orwell-Vierklang, temperierte Version (22edo-Stimmung).

Die Intervalle zwischen den Tönen sind gleich gross.
|}

[Todo austemperierte Kommas]

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige Tonsysteme]], die Orwell unterstützen, sind unter anderem [[22edo|22edo]], [[31edo|31edo]], [[53edo|53edo]] und, wie gesagt, [[84edo|84edo]].

An [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle); ferner noch solche mit 22 und 31 Tönen. Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] verpflichteten diatonischen Skalen in [[12edo|12edo]], - die neuntönige Orwell-Skala enthält zum Beispiel keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen. Umso besser dagegen für dezidiert xenharmonische Musik: dank der oben skizzierten einfachen Intervallbeziehungen lässt sich schon in der kleinsten Orwell-Skala eine Fülle gänzlich aus 11-Limit-Konsonanzen aufgebauter Akkorde finden. Siehe hierzu [[:en:Chords_of_orwell|Chords of Orwell (englischsprachiger Artikel)]].


[[file:OrwellNonatonic22edo.mp3]] 
Orwell[9]-Skala LsLsLsLss, in 22edo

Mehr Informationen, inkl. Varianten, Tastaturlayouts, Musikbeispiele u. v. m., sind zu finden im [[:en:Orwell|englischen Xenharnonic Wiki]].  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Orwell-Temperaturen leitet ihren Namen aus der Beobachtung ab, dass 19\84, d.h. 19 Schritte von [[84-EDO]], ein guter [[Generator|Generator]] ist. Diese Temperatur ist interessant auf Grund der guten Unterstützung reiner Intervalle im [[Limit|7- und 11-Limit]] (Intervalle unter Einbezug des siebten und elften Obertons).

Generator ist eine Approximation von 7/6, dem Unterschied zwischen [[Naturseptime|Naturseptime (Frequenzverhältnis 7/4)]] und reiner Quinte (3/2) - eine Art besonders kleine Terz, die leicht hochtemperiert wird. 7 Generatorschritte ergeben eine Approximation der reinen Duodezime (3:1), oktavreduziert also eine reine Quinte, acht Generatorschritte dementsprechend oktavreduziert eine Naturseptime (7/4). Ferner ergeben drei Generatorschritte eine Approximation für das Komplement der reinen grossen Terz (8/5), drei Generatorschritte abwärts also oktavreduziert eine reine grosse Terz (5/4). Schliesslich ergeben zwei Generatorschritte eine Approximation des [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa (11/8)]].

In summa erreicht man also wichtige Intervalle der 11-Limit-Obertonskala mit relativ wenig Schritten - gleich mit den ersten drei Generatorschritten sogar. Ein Grundton plus Töne der ersten drei Generatorschritte darüber bilden zusammen einen fremdartig-konsonanten Akkord, der als '''Orwell-Vierklang''' bekannt ist.

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| | [[File:orwell-tetrad-in-22edo.mp3]]

[[File:OrwellTetrad22edo.mp3]]
|-
| | Orwell-Vierklang, in reinen Intervallen (1/1 - 7/6 - 11/8 - 8/5).

Die Intervalle zwischen den Tönen sind alle minimal unterschiedlich.
| | Orwell-Vierklang, temperierte Version (22edo-Stimmung).

Die Intervalle zwischen den Tönen sind gleich gross.
|}

[Todo austemperierte Kommas]

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige Tonsysteme]], die Orwell unterstützen, sind unter anderem [[22-EDO]], [[31-EDO]], [[53-EDO]] und, wie gesagt, [[84-EDO]].

An [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] gibt es: eine neuntönige der Form 4L+5s (also vier grosse und 5 kleine Intervalle) sowie eine dreizehntönige der Form 9L+4s (neun grosse und 4 kleine Intervalle); ferner noch solche mit 22 und 31 Tönen. Sie unterscheiden sich relativ stark von den herkömmlichen, der [[mitteltönig|mitteltönigen Temperatur]] verpflichteten diatonischen Skalen in [[12-EDO]], - die neuntönige Orwell-Skala enthält zum Beispiel keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - sind für traditionsorientierte Musik also weniger gut zu gebrauchen. Umso besser dagegen für dezidiert xenharmonische Musik: dank der oben skizzierten einfachen Intervallbeziehungen lässt sich schon in der kleinsten Orwell-Skala eine Fülle gänzlich aus 11-Limit-Konsonanzen aufgebauter Akkorde finden. Siehe hierzu [[:en:Chords_of_orwell|Chords of Orwell (englischsprachiger Artikel)]].


[[file:OrwellNonatonic22edo.mp3]] 
Orwell[9]-Skala LsLsLsLss, in 22-EDO

Mehr Informationen, inkl. Varianten, Tastaturlayouts, Musikbeispiele u. v. m., sind zu finden im [[:en:Orwell|englischen Xenharnonic Wiki]].  [[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, die auf dem vierdimensionalen, die Primzahl 7 einschliessenden [[Intervallraum|Intervallraum]] definiert ist, ferner für eine, deren Periodenintervall ''nicht'' die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.

Austemperiert werden die folgenden Kommas: [[50/49|50/49 (Jubilisma)]], [[64/63|64/63 (Archytas- oder Leipziger Komma)]] und [[2048/2025|2048/2025 (Diaschisma)]].

Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" ([[7/5|7/5]]) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" ([[10/7|10/7]]), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave.

Das Archytas- bzw. Leipziger Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime (7/4)]], ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Wenn man es austemperiert, werden die Quarten typischerweise etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und zwischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen "grossen Halbton". Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.

Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus (und ein Generatorenschritt von der Quarte aus) abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) führen.

Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Insbesondere bieten Pajara-Systeme in der Regel gute Approximationen für den Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 besteht (ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt). Wenn der Dur-Dreiklang (Obertöne 4 bis 6) als natürlicher Grundbaustein in [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen gesehen werden kann, so erscheint der Dur-Vierklang aus den Obertönen 4 bis 7 als natürlicher Grundbaustein für Pajara-Harmonie - und Pajara ist, ähnlich wie [[Nautilus|Nautilus]], ein interessantes Beispiel eines auf Vierklägen basierenden Harmoniesystems.

Die Naturseptime übrigens erscheint in Pajara-Temperaturen tatsächlich als Septime - dies im Gegensatz zur [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigen]] Temperatur, welche das Intervall 7/4 ebenfalls unterstützt, jedoch als übermässige Sexte.

Wichtige gleichstufige Stimmungen, die Pajara unterstützen, sind [[22edo|22edo]], [[32edo|32edo]], [[34edo|34edo]], in Grenzen [[10edo|10edo]].

Die pentatonische [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] (bis zum Tritonus gehend) hat die Form 1L 4s. s Ist dabei der Generator, also ein "grosser Halbton", und L ein "kleiner Ganzton". Auf eine Oktave verdoppelt, erhält man eine MOS-Skala vom Typ 2L 8s. Diese symmetrische dekatonische Skala sowie eine nahe verwandte vom Typ LsssLsssss enthalten auf natürliche Weise eine Menge der oben genannten Basis-Vierklänge aus den Obertönen 4 bis 7. Beide wurden erfunden bzw. entdeckt von [[Paul_Erlich|Paul Erlich]] und [[Gene_Ward_Smith|Gene Ward Smith]].

[[File:pajarastandardpentachordmajor22edo.mp3]]

Dekatonische Pajara-Skala (ss&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;LsssLsss) in 22edo-Stimmung&lt;/span&gt;

Weiterführender Artikel:

Paul Erlich, "Tuning, Tonality and 22-Tone Temperament." Xenharmonicon 17, 1998. [http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf] (in englischer Sprache)  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, die auf dem vierdimensionalen, die Primzahl 7 einschliessenden [[Intervallraum]] definiert ist, ferner für eine, deren Periodenintervall //nicht// die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.
Austemperiert werden die folgenden Kommas: [[50_49|50/49 (Jubilisma)]], [[64_63|64/63 (Archytas- oder Leipziger Komma)]] und [[2048_2025|2048/2025 (Diaschisma)]].

Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" ([[xenharmonie/7_5|7/5]]) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" ([[xenharmonie/10_7|10/7]]), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave.

Das Archytas- bzw. Leipziger Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime (7/4)]], ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Wenn man es austemperiert, werden die Quarten typischerweise etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und zwischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen "grossen Halbton". Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.

Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus (und ein Generatorenschritt von der Quarte aus) abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) führen.

Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Insbesondere bieten Pajara-Systeme in der Regel gute Approximationen für den Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 besteht (ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt). Wenn der Dur-Dreiklang (Obertöne 4 bis 6) als natürlicher Grundbaustein in [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen gesehen werden kann, so erscheint der Dur-Vierklang aus den Obertönen 4 bis 7 als natürlicher Grundbaustein für Pajara-Harmonie - und Pajara ist, ähnlich wie [[Nautilus]], ein interessantes Beispiel eines auf Vierklägen basierenden Harmoniesystems.

Die Naturseptime übrigens erscheint in Pajara-Temperaturen tatsächlich als Septime - dies im Gegensatz zur [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigen]] Temperatur, welche das Intervall 7/4 ebenfalls unterstützt, jedoch als übermässige Sexte.

Wichtige gleichstufige Stimmungen, die Pajara unterstützen, sind [[22edo]], [[32edo]], [[34edo]], in Grenzen [[10edo]].

Die pentatonische [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] (bis zum Tritonus gehend) hat die Form 1L 4s. s Ist dabei der Generator, also ein "grosser Halbton", und L ein "kleiner Ganzton". Auf eine Oktave verdoppelt, erhält man eine MOS-Skala vom Typ 2L 8s. Diese symmetrische dekatonische Skala sowie eine nahe verwandte vom Typ LsssLsssss enthalten auf natürliche Weise eine Menge der oben genannten Basis-Vierklänge aus den Obertönen 4 bis 7. Beide wurden erfunden bzw. entdeckt von [[Paul Erlich]] und [[Gene Ward Smith]].

[[media type="file" key="pajarastandardpentachordmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
Dekatonische Pajara-Skala (ss&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;LsssLsss) in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;

Weiterführender Artikel:
Paul Erlich, "Tuning, Tonality and 22-Tone Temperament." Xenharmonicon 17, 1998. [[http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf]] (in englischer Sprache)&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, die auf dem vierdimensionalen, die Primzahl 7 einschliessenden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; definiert ist, ferner für eine, deren Periodenintervall &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.&amp;lt;br /&amp;gt;
Austemperiert werden die folgenden Kommas: &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;50/49 (Jubilisma)&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;64/63 (Archytas- oder Leipziger Komma)&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/2048_2025"&amp;gt;2048/2025 (Diaschisma)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem &amp;amp;quot;kleinen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/7_5"&amp;gt;7/5&amp;lt;/a&amp;gt;) und dessen Oktav-Komplement, dem &amp;amp;quot;grossen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/10_7"&amp;gt;10/7&amp;lt;/a&amp;gt;), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Archytas- bzw. Leipziger Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt;, ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Wenn man es austemperiert, werden die Quarten typischerweise etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und zwischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen &amp;amp;quot;grossen Halbton&amp;amp;quot;. Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus (und ein Generatorenschritt von der Quarte aus) abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) führen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Insbesondere bieten Pajara-Systeme in der Regel gute Approximationen für den Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 besteht (ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt). Wenn der Dur-Dreiklang (Obertöne 4 bis 6) als natürlicher Grundbaustein in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen gesehen werden kann, so erscheint der Dur-Vierklang aus den Obertönen 4 bis 7 als natürlicher Grundbaustein für Pajara-Harmonie - und Pajara ist, ähnlich wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Nautilus"&amp;gt;Nautilus&amp;lt;/a&amp;gt;, ein interessantes Beispiel eines auf Vierklägen basierenden Harmoniesystems.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Naturseptime übrigens erscheint in Pajara-Temperaturen tatsächlich als Septime - dies im Gegensatz zur &amp;lt;a class="wiki_link" href="/septimal-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;septimal-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur, welche das Intervall 7/4 ebenfalls unterstützt, jedoch als übermässige Sexte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wichtige gleichstufige Stimmungen, die Pajara unterstützen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32edo"&amp;gt;32edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt;, in Grenzen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/10edo"&amp;gt;10edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die pentatonische &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; (bis zum Tritonus gehend) hat die Form 1L 4s. s Ist dabei der Generator, also ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot;, und L ein &amp;amp;quot;kleiner Ganzton&amp;amp;quot;. Auf eine Oktave verdoppelt, erhält man eine MOS-Skala vom Typ 2L 8s. Diese symmetrische dekatonische Skala sowie eine nahe verwandte vom Typ LsssLsssss enthalten auf natürliche Weise eine Menge der oben genannten Basis-Vierklänge aus den Obertönen 4 bis 7. Beide wurden erfunden bzw. entdeckt von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Paul%20Erlich"&amp;gt;Paul Erlich&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gene%20Ward%20Smith"&amp;gt;Gene Ward Smith&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:0:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/pajarastandardpentachordmajor22edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;pajarastandardpentachordmajor22edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252Fpajarastandardpentachordmajor22edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Dekatonische Pajara-Skala (ss&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;LsssLsss) in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weiterführender Artikel:&amp;lt;br /&amp;gt;
Paul Erlich, &amp;amp;quot;Tuning, Tonality and 22-Tone Temperament.&amp;amp;quot; Xenharmonicon 17, 1998. &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; (in englischer Sprache)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-06-05 07:29:06 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, die auf dem vierdimensionalen, die Primzahl 7 einschliessenden [[Intervallraum]] definiert ist, ferner für eine, deren Periodenintervall //nicht// die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.
Austemperiert werden die folgenden Kommas: [[50_49|50/49 (Jubilisma)]], [[64_63|64/63 (Archytas- oder Leipziger Komma)]] und [[2048_2025|2048/2025 (Diaschisma)]].

Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" ([[xenharmonie/7_5|7/5]]) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" ([[xenharmonie/10_7|10/7]]), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave.

Das Archytas- bzw. Leipziger Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime (7/4)]], ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Wenn man es austemperiert, werden die Quarten typischerweise etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und zwischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen "grossen Halbton". Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.

Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus (und ein Generatorenschritt von der Quarte aus) abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) führen.

Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Insbesondere bieten Pajara-Systeme in der Regel gute Approximationen für den Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 besteht (ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt). Wenn der Dur-Dreiklang (Obertöne 4 bis 6) als natürlicher Grundbaustein in [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen gesehen werden kann, so erscheint der Dur-Vierklang aus den Obertönen 4 bis 7 als natürlicher Grundbaustein für Pajara-Harmonie - und Pajara ist, ähnlich wie [[Nautilus]], ein interessantes Beispiel eines auf Vierklägen basierenden Harmoniesystems.

Die Naturseptime übrigens erscheint in Pajara-Temperaturen tatsächlich als Septime - dies im Gegensatz zur [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigen]] Temperatur, welche das Intervall 7/4 ebenfalls unterstützt, jedoch als übermässige Sexte.

Wichtige gleichstufige Stimmungen, die Pajara unterstützen, sind [[22edo]], [[32edo]], [[34edo]], in Grenzen [[10edo]].

Die pentatonische [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] (bis zum Tritonus gehend) hat die Form 1L 4s. s Ist dabei der Generator, also ein "grosser Halbton", und L ein "kleiner Ganzton". Auf eine Oktave verdoppelt, erhält man eine MOS-Skala vom Typ 2L 8s. Diese symmetrische dekatonische Skala sowie eine nahe verwandte vom Typ LsssLsssss enthalten auf natürliche Weise eine Menge der oben genannten Basis-Vierklänge aus den Obertönen 4 bis 7. Beide wurden erfunden bzw. entdeckt von [[Paul Erlich]] und [[Gene Ward Smith]].

[[media type="file" key="pajarastandardpentachordmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
Dekatonische Pajara-Skala (ss&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;LsssLsss) in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;

Weiterführender Artikel:
Paul Erlich, "Tuning, Tonality and 22-Tone Temperament." Xenharmonicon 17, 1998. [[http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf]] (in englischer Sprache)&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Pajara&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/pajara"&amp;gt;xenharmonic/pajara&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, die auf dem vierdimensionalen, die Primzahl 7 einschliessenden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; definiert ist, ferner für eine, deren Periodenintervall &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.&amp;lt;br /&amp;gt;
Austemperiert werden die folgenden Kommas: &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;50/49 (Jubilisma)&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;64/63 (Archytas- oder Leipziger Komma)&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/2048_2025"&amp;gt;2048/2025 (Diaschisma)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem &amp;amp;quot;kleinen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/7_5"&amp;gt;7/5&amp;lt;/a&amp;gt;) und dessen Oktav-Komplement, dem &amp;amp;quot;grossen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/10_7"&amp;gt;10/7&amp;lt;/a&amp;gt;), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Archytas- bzw. Leipziger Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt;, ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Wenn man es austemperiert, werden die Quarten typischerweise etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und zwischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen &amp;amp;quot;grossen Halbton&amp;amp;quot;. Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus (und ein Generatorenschritt von der Quarte aus) abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) führen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Insbesondere bieten Pajara-Systeme in der Regel gute Approximationen für den Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 besteht (ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt). Wenn der Dur-Dreiklang (Obertöne 4 bis 6) als natürlicher Grundbaustein in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen gesehen werden kann, so erscheint der Dur-Vierklang aus den Obertönen 4 bis 7 als natürlicher Grundbaustein für Pajara-Harmonie - und Pajara ist, ähnlich wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Nautilus"&amp;gt;Nautilus&amp;lt;/a&amp;gt;, ein interessantes Beispiel eines auf Vierklägen basierenden Harmoniesystems.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Naturseptime übrigens erscheint in Pajara-Temperaturen tatsächlich als Septime - dies im Gegensatz zur &amp;lt;a class="wiki_link" href="/septimal-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;septimal-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur, welche das Intervall 7/4 ebenfalls unterstützt, jedoch als übermässige Sexte.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wichtige gleichstufige Stimmungen, die Pajara unterstützen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32edo"&amp;gt;32edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt;, in Grenzen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/10edo"&amp;gt;10edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die pentatonische &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; (bis zum Tritonus gehend) hat die Form 1L 4s. s Ist dabei der Generator, also ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot;, und L ein &amp;amp;quot;kleiner Ganzton&amp;amp;quot;. Auf eine Oktave verdoppelt, erhält man eine MOS-Skala vom Typ 2L 8s. Diese symmetrische dekatonische Skala sowie eine nahe verwandte vom Typ LsssLsssss enthalten auf natürliche Weise eine Menge der oben genannten Basis-Vierklänge aus den Obertönen 4 bis 7. Beide wurden erfunden bzw. entdeckt von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Paul%20Erlich"&amp;gt;Paul Erlich&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gene%20Ward%20Smith"&amp;gt;Gene Ward Smith&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Dekatonische Pajara-Skala (ss&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;LsssLsss) in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Weiterführender Artikel:&amp;lt;br /&amp;gt;
Paul Erlich, &amp;amp;quot;Tuning, Tonality and 22-Tone Temperament.&amp;amp;quot; Xenharmonicon 17, 1998. &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; (in englischer Sprache)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, die auf dem vierdimensionalen, die Primzahl 7 einschliessenden [[Intervallraum]] definiert ist, ferner für eine, deren Periodenintervall //nicht// die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.
Austemperiert werden die folgenden Kommas: [[50_49|50/49 (Jubilisma)]], [[64_63|64/63 (Archytas- oder Leipziger Komma)]] und [[2048_2025|2048/2025 (Diaschisma)]].

Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" ([[xenharmonie/7_5|7/5]]) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" ([[xenharmonie/10_7|10/7]]), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave.

Das Archytas- bzw. Leipziger Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime (7/4)]], ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Wenn man es austemperiert, werden die Quarten typischerweise etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und zwischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen "grossen Halbton". Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.

Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus (und ein Generatorenschritt von der Quarte aus) abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) führen.

Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Insbesondere bieten Pajara-Systeme in der Regel gute Approximationen für den Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 besteht (ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt). Wenn der Dur-Dreiklang (Obertöne 4 bis 6) als natürlicher Grundbaustein in [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen gesehen werden kann, so erscheint der Dur-Vierklang aus den Obertönen 4 bis 7 als natürlicher Grundbaustein für Pajara-Harmonie. Die Naturseptime übrigens erscheint in Pajara-Temperaturen tatsächlich als Septime - dies im Gegensatz zur [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigen]] Temperatur, welche das Intervall 7/4 ebenfalls unterstüzt, jedoch als übermässige Sexte.

Wichtige gleichstufige Stimmungen, die Pajara unterstützen, sind [[22edo]], [[32edo]], [[34edo]], in Grenzen [[10edo]].

Die pentatonische [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] (bis zum Tritonus gehend) hat die Form 1L 4s. s Ist dabei der Generator, also ein "grosser Halbton", und L ein "kleiner Ganzton". Auf eine Oktave verdoppelt, erhält man eine MOS-Skala vom Typ 2L 8s. Diese symmetrische dekatonische Skala sowie eine nahe verwandte vom Typ LsssLsssss enthalten auf natürliche Weise eine Menge der oben genannten Basis-Vierklänge aus den Obertönen 4 bis 7. Beide wurden erfunden bzw. entdeckt von [[Paul Erlich]] und [[Gene Ward Smith]].

[[media type="file" key="pajarastandardpentachordmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
Dekatonische Pajara-Skala (ss&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;LsssLsss) in 22edo-Stimmung&amp;lt;/span&amp;gt;

Weiterführender Artikel:
Paul Erlich, "Tuning, Tonality and 22-Tone Temperament." Xenharmonicon 17, 1998. [[http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf]] (in englischer Sprache)&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, die auf dem vierdimensionalen, die Primzahl 7 einschliessenden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; definiert ist, ferner für eine, deren Periodenintervall &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.&amp;lt;br /&amp;gt;
Austemperiert werden die folgenden Kommas: &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;50/49 (Jubilisma)&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;64/63 (Archytas- oder Leipziger Komma)&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/2048_2025"&amp;gt;2048/2025 (Diaschisma)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem &amp;amp;quot;kleinen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/7_5"&amp;gt;7/5&amp;lt;/a&amp;gt;) und dessen Oktav-Komplement, dem &amp;amp;quot;grossen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/10_7"&amp;gt;10/7&amp;lt;/a&amp;gt;), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Archytas- bzw. Leipziger Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt;, ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Wenn man es austemperiert, werden die Quarten typischerweise etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und zwischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen &amp;amp;quot;grossen Halbton&amp;amp;quot;. Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus (und ein Generatorenschritt von der Quarte aus) abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) führen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Insbesondere bieten Pajara-Systeme in der Regel gute Approximationen für den Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 besteht (ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt). Wenn der Dur-Dreiklang (Obertöne 4 bis 6) als natürlicher Grundbaustein in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen gesehen werden kann, so erscheint der Dur-Vierklang aus den Obertönen 4 bis 7 als natürlicher Grundbaustein für Pajara-Harmonie. Die Naturseptime übrigens erscheint in Pajara-Temperaturen tatsächlich als Septime - dies im Gegensatz zur &amp;lt;a class="wiki_link" href="/septimal-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;septimal-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur, welche das Intervall 7/4 ebenfalls unterstüzt, jedoch als übermässige Sexte.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wichtige gleichstufige Stimmungen, die Pajara unterstützen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32edo"&amp;gt;32edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt;, in Grenzen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/10edo"&amp;gt;10edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die pentatonische &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; (bis zum Tritonus gehend) hat die Form 1L 4s. s Ist dabei der Generator, also ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot;, und L ein &amp;amp;quot;kleiner Ganzton&amp;amp;quot;. Auf eine Oktave verdoppelt, erhält man eine MOS-Skala vom Typ 2L 8s. Diese symmetrische dekatonische Skala sowie eine nahe verwandte vom Typ LsssLsssss enthalten auf natürliche Weise eine Menge der oben genannten Basis-Vierklänge aus den Obertönen 4 bis 7. Beide wurden erfunden bzw. entdeckt von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Paul%20Erlich"&amp;gt;Paul Erlich&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gene%20Ward%20Smith"&amp;gt;Gene Ward Smith&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Weiterführender Artikel:&amp;lt;br /&amp;gt;
Paul Erlich, &amp;amp;quot;Tuning, Tonality and 22-Tone Temperament.&amp;amp;quot; Xenharmonicon 17, 1998. &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; (in englischer Sprache)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, die auf dem vierdimensionalen, die Primzahl 7 einschliessenden [[Intervallraum]] definiert ist, ferner für eine, deren Periodenintervall //nicht// die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.
Austemperiert werden die folgenden Kommas: [[50_49|50/49 (Jubilisma)]], [[64_63|64/63 (Archytas- oder Leipziger Komma)]] und [[2048_2025|2048/2025 (Diaschisma)]].

Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" ([[xenharmonie/7_5|7/5]]) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" ([[xenharmonie/10_7|10/7]]), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave.

Das Archytas- bzw. Leipziger Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime (7/4)]], ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Wenn man es austemperiert, werden die Quarten typischerweise etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und zwischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen "grossen Halbton". Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.

Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus (und ein Generatorenschritt von der Quarte aus) abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) führen.

Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Insbesondere bieten Pajara-Systeme in der Regel gute Approximationen für den Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 besteht (ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt). Wenn der Dur-Dreiklang (Obertöne 4 bis 6) als natürlicher Grundbaustein in [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen gesehen werden kann, so erscheint der Dur-Vierklang aus den Obertönen 4 bis 7 als natürlicher Grundbaustein für Pajara-Harmonie. Die Naturseptime übrigens erscheint in Pajara-Temperaturen tatsächlich als Septime - dies im Gegensatz zur [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigen]] Temperatur, welche das Intervall 7/4 ebenfalls unterstüzt, jedoch als übermässige Sexte.

Wichtige gleichstufige Stimmungen, die Pajara unterstützen, sind [[22edo]], [[32edo]], [[34edo]], in Grenzen [[10edo]].

Die pentatonische [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] (bis zum Tritonus gehend) hat die Form 1L 4s. s Ist dabei der Generator, also ein "grosser Halbton", und L ein "kleiner Ganzton". Auf eine Oktave verdoppelt, erhält man eine MOS-Skala vom Typ 2L 8s. Diese symmetrische dekatonische Skala sowie eine nahe verwandte vom Typ LsssLsssss enthalten auf natürliche Weise eine Menge der oben genannten Basis-Vierklänge aus den Obertönen 4 bis 7. Beide wurden erfunden bzw. entdeckt von [[Paul Erlich]] und [[Gene Ward Smith]].

[[media type="file" key="pajarastandardpentachordmajor22edo.mp3"]]
Dekatonische Pajara-Skala vom Typ &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;LsssLsssss (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;/span&amp;gt;

Weiterführender Artikel:
Paul Erlich, "Tuning, Tonality and 22-Tone Temperament." Xenharmonicon 17, 1998. [[http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf]] (in englischer Sprache)&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, die auf dem vierdimensionalen, die Primzahl 7 einschliessenden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; definiert ist, ferner für eine, deren Periodenintervall &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.&amp;lt;br /&amp;gt;
Austemperiert werden die folgenden Kommas: &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;50/49 (Jubilisma)&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;64/63 (Archytas- oder Leipziger Komma)&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/2048_2025"&amp;gt;2048/2025 (Diaschisma)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem &amp;amp;quot;kleinen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/7_5"&amp;gt;7/5&amp;lt;/a&amp;gt;) und dessen Oktav-Komplement, dem &amp;amp;quot;grossen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/10_7"&amp;gt;10/7&amp;lt;/a&amp;gt;), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Archytas- bzw. Leipziger Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt;, ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Wenn man es austemperiert, werden die Quarten typischerweise etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und zwischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen &amp;amp;quot;grossen Halbton&amp;amp;quot;. Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus (und ein Generatorenschritt von der Quarte aus) abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) führen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Insbesondere bieten Pajara-Systeme in der Regel gute Approximationen für den Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 besteht (ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt). Wenn der Dur-Dreiklang (Obertöne 4 bis 6) als natürlicher Grundbaustein in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen gesehen werden kann, so erscheint der Dur-Vierklang aus den Obertönen 4 bis 7 als natürlicher Grundbaustein für Pajara-Harmonie. Die Naturseptime übrigens erscheint in Pajara-Temperaturen tatsächlich als Septime - dies im Gegensatz zur &amp;lt;a class="wiki_link" href="/septimal-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;septimal-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur, welche das Intervall 7/4 ebenfalls unterstüzt, jedoch als übermässige Sexte.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wichtige gleichstufige Stimmungen, die Pajara unterstützen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32edo"&amp;gt;32edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt;, in Grenzen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/10edo"&amp;gt;10edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die pentatonische &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; (bis zum Tritonus gehend) hat die Form 1L 4s. s Ist dabei der Generator, also ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot;, und L ein &amp;amp;quot;kleiner Ganzton&amp;amp;quot;. Auf eine Oktave verdoppelt, erhält man eine MOS-Skala vom Typ 2L 8s. Diese symmetrische dekatonische Skala sowie eine nahe verwandte vom Typ LsssLsssss enthalten auf natürliche Weise eine Menge der oben genannten Basis-Vierklänge aus den Obertönen 4 bis 7. Beide wurden erfunden bzw. entdeckt von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Paul%20Erlich"&amp;gt;Paul Erlich&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gene%20Ward%20Smith"&amp;gt;Gene Ward Smith&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Dekatonische Pajara-Skala vom Typ &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;LsssLsssss (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weiterführender Artikel:&amp;lt;br /&amp;gt;
Paul Erlich, &amp;amp;quot;Tuning, Tonality and 22-Tone Temperament.&amp;amp;quot; Xenharmonicon 17, 1998. &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; (in englischer Sprache)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-07-19 06:10:19 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, die auf dem vierdimensionalen, die Primzahl 7 einschliessenden [[Intervallraum]] definiert ist, ferner für eine, deren Periodenintervall //nicht// die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.
Austemperiert werden die folgenden Kommas: [[50_49|50/49 (Jubilisma)]], [[64_63|64/63 (Archytas- oder Leipziger Komma)]] und [[2048_2025|2048/2025 (Diaschisma)]].

Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" ([[xenharmonie/7_5|7/5]]) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" ([[xenharmonie/10_7|10/7]]), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave.

Das Archytas- bzw. Leipziger Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime (7/4)]], ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Wenn man es austemperiert, werden die Quarten typischerweise etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und zwischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen "grossen Halbton". Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.

Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus (und ein Generatorenschritt von der Quarte aus) abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) führen.

Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Insbesondere bieten Pajara-Systeme in der Regel gute Approximationen für den Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 besteht (ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt). Wenn der Dur-Dreiklang (Obertöne 4 bis 6) als natürlicher Grundbaustein in [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen gesehen werden kann, so erscheint der Dur-Vierklang aus den Obertönen 4 bis 7 als natürlicher Grundbaustein für Pajara-Harmonie. Die Naturseptime übrigens erscheint in Pajara-Temperaturen tatsächlich als Septime - dies im Gegensatz zur [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigen]] Temperatur, welche das Intervall 7/4 ebenfalls unterstüzt, jedoch als übermässige Sexte.

Wichtige gleichstufige Stimmungen, die Pajara unterstützen, sind [[22edo]], [[32edo]], [[34edo]], in Grenzen [[10edo]].

Die pentatonische [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] (bis zum Tritonus gehend) hat die Form 1L 4s. s Ist dabei der Generator, also ein "grosser Halbton", und L ein "kleiner Ganzton". Auf eine Oktave verdoppelt, erhält man eine MOS-Skala vom Typ 2L 8s. Diese symmetrische dekatonische Skala sowie eine nahe verwandte vom Typ LsssLsssss enthalten auf natürliche Weise eine Menge der oben genannten Basis-Vierklänge aus den Obertönen 4 bis 7. Beide wurden erfunden bzw. entdeckt von [[Paul Erlich]] und [[Gene Ward Smith]].

Weiterführender Artikel:
Paul Erlich, "Tuning, Tonality and 22-Tone Temperament." Xenharmonicon 17, 1998. [[http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf]] (in englischer Sprache)&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, die auf dem vierdimensionalen, die Primzahl 7 einschliessenden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; definiert ist, ferner für eine, deren Periodenintervall &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.&amp;lt;br /&amp;gt;
Austemperiert werden die folgenden Kommas: &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;50/49 (Jubilisma)&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;64/63 (Archytas- oder Leipziger Komma)&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/2048_2025"&amp;gt;2048/2025 (Diaschisma)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem &amp;amp;quot;kleinen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/7_5"&amp;gt;7/5&amp;lt;/a&amp;gt;) und dessen Oktav-Komplement, dem &amp;amp;quot;grossen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/10_7"&amp;gt;10/7&amp;lt;/a&amp;gt;), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Archytas- bzw. Leipziger Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt;, ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Wenn man es austemperiert, werden die Quarten typischerweise etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und zwischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen &amp;amp;quot;grossen Halbton&amp;amp;quot;. Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus (und ein Generatorenschritt von der Quarte aus) abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) führen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Insbesondere bieten Pajara-Systeme in der Regel gute Approximationen für den Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 besteht (ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt). Wenn der Dur-Dreiklang (Obertöne 4 bis 6) als natürlicher Grundbaustein in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen gesehen werden kann, so erscheint der Dur-Vierklang aus den Obertönen 4 bis 7 als natürlicher Grundbaustein für Pajara-Harmonie. Die Naturseptime übrigens erscheint in Pajara-Temperaturen tatsächlich als Septime - dies im Gegensatz zur &amp;lt;a class="wiki_link" href="/septimal-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;septimal-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur, welche das Intervall 7/4 ebenfalls unterstüzt, jedoch als übermässige Sexte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wichtige gleichstufige Stimmungen, die Pajara unterstützen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32edo"&amp;gt;32edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt;, in Grenzen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/10edo"&amp;gt;10edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die pentatonische &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; (bis zum Tritonus gehend) hat die Form 1L 4s. s Ist dabei der Generator, also ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot;, und L ein &amp;amp;quot;kleiner Ganzton&amp;amp;quot;. Auf eine Oktave verdoppelt, erhält man eine MOS-Skala vom Typ 2L 8s. Diese symmetrische dekatonische Skala sowie eine nahe verwandte vom Typ LsssLsssss enthalten auf natürliche Weise eine Menge der oben genannten Basis-Vierklänge aus den Obertönen 4 bis 7. Beide wurden erfunden bzw. entdeckt von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Paul%20Erlich"&amp;gt;Paul Erlich&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gene%20Ward%20Smith"&amp;gt;Gene Ward Smith&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weiterführender Artikel:&amp;lt;br /&amp;gt;
Paul Erlich, &amp;amp;quot;Tuning, Tonality and 22-Tone Temperament.&amp;amp;quot; Xenharmonicon 17, 1998. &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; (in englischer Sprache)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, die auf dem vierdimensionalen, die Primzahl 7 einschliessenden [[Intervallraum]] definiert ist, ferner für eine, deren Periodenintervall //nicht// die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.
Austemperiert werden die folgenden Kommas: [[50_49|50/49 (Jubilisma)]], [[64_63|64/63 (Archytas- oder Leipziger Komma)]] und [[2048_2025|2048/2025 (Diaschisma)]].

Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" ([[xenharmonie/7_5|7/5]]) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" ([[xenharmonie/10_7|10/7]]), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave.

Das Archytas- bzw. Leipziger Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime (7/4)]], ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Wenn man es austemperiert, werden die Quarten typischerweise etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und zwischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen "grossen Halbton". Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.

Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus (und ein Generatorenschritt von der Quarte aus) abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) führen.

Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Insbesondere bieten Pajara-Systeme in der Regel gute Approximationen für den Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 besteht (ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt). Wenn der Dur-Dreiklang (Obertöne 4 bis 6) als natürlicher Grundbaustein in [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen gesehen werden kann, so erscheint der Dur-Vierklang aus den Obertönen 4 bis 7 als natürlicher Grundbaustein für Pajara-Harmonie.

Wichtige gleichstufige Stimmungen, die Pajara unterstützen, sind [[22edo]], [[32edo]], [[34edo]], in Grenzen [[10edo]].

Die pentatonische [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] (bis zum Tritonus gehend) hat die Form 1L 4s. s Ist dabei der Generator, also ein "grosser Halbton", und L ein "kleiner Ganzton". Auf eine Oktave verdoppelt, erhält man eine MOS-Skala vom Typ 2L 8s. Diese symmetrische dekatonische Skala sowie eine nahe verwandte vom Typ LsssLsssss enthalten auf natürliche Weise eine Menge der oben genannten Basis-Vierklänge aus den Obertönen 4 bis 7. Beide wurden erfunden bzw. entdeckt von [[Paul Erlich]] und [[Gene Ward Smith]].

Weiterführender Artikel:
Paul Erlich, "Tuning, Tonality and 22-Tone Temperament." Xenharmonicon 17, 1998. [[http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf]] (in englischer Sprache)&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, die auf dem vierdimensionalen, die Primzahl 7 einschliessenden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; definiert ist, ferner für eine, deren Periodenintervall &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.&amp;lt;br /&amp;gt;
Austemperiert werden die folgenden Kommas: &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;50/49 (Jubilisma)&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;64/63 (Archytas- oder Leipziger Komma)&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/2048_2025"&amp;gt;2048/2025 (Diaschisma)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem &amp;amp;quot;kleinen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/7_5"&amp;gt;7/5&amp;lt;/a&amp;gt;) und dessen Oktav-Komplement, dem &amp;amp;quot;grossen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/10_7"&amp;gt;10/7&amp;lt;/a&amp;gt;), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Archytas- bzw. Leipziger Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt;, ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Wenn man es austemperiert, werden die Quarten typischerweise etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und zwischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen &amp;amp;quot;grossen Halbton&amp;amp;quot;. Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus (und ein Generatorenschritt von der Quarte aus) abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) führen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Insbesondere bieten Pajara-Systeme in der Regel gute Approximationen für den Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 besteht (ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt). Wenn der Dur-Dreiklang (Obertöne 4 bis 6) als natürlicher Grundbaustein in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen gesehen werden kann, so erscheint der Dur-Vierklang aus den Obertönen 4 bis 7 als natürlicher Grundbaustein für Pajara-Harmonie.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wichtige gleichstufige Stimmungen, die Pajara unterstützen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32edo"&amp;gt;32edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt;, in Grenzen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/10edo"&amp;gt;10edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die pentatonische &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; (bis zum Tritonus gehend) hat die Form 1L 4s. s Ist dabei der Generator, also ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot;, und L ein &amp;amp;quot;kleiner Ganzton&amp;amp;quot;. Auf eine Oktave verdoppelt, erhält man eine MOS-Skala vom Typ 2L 8s. Diese symmetrische dekatonische Skala sowie eine nahe verwandte vom Typ LsssLsssss enthalten auf natürliche Weise eine Menge der oben genannten Basis-Vierklänge aus den Obertönen 4 bis 7. Beide wurden erfunden bzw. entdeckt von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Paul%20Erlich"&amp;gt;Paul Erlich&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gene%20Ward%20Smith"&amp;gt;Gene Ward Smith&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weiterführender Artikel:&amp;lt;br /&amp;gt;
Paul Erlich, &amp;amp;quot;Tuning, Tonality and 22-Tone Temperament.&amp;amp;quot; Xenharmonicon 17, 1998. &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; (in englischer Sprache)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-06 09:57:18 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, die auf dem vierdimensionalen, die Primzahl 7 einschliessenden [[Intervallraum]] definiert ist, ferner für eine, deren Periodenintervall //nicht// die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.
Austemperiert werden die folgenden Kommas: [[50_49|50/49 (Jubilisma)]], [[64_63|64/63 (Archytas- oder Leipziger Komma)]] und [[2048_2025|2048/2025 (Diaschisma)]].

Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" ([[xenharmonie/7_5|7/5]]) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" ([[xenharmonie/10_7|10/7]]), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave.

Das Archytas- bzw. Leipziger Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime (7/4)]], ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Die Quarten sind etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und zwischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen "grossen Halbton". Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.

Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus (und ein Generatorenschritt von der Quarte aus) abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) führen.

Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Insbesondere bieten Pajara-Systeme in der Regel gute Approximationen für den Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 besteht (ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt). Wenn der Dur-Dreiklang (Obertöne 4 bis 6) als natürlicher Grundbaustein in [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen gesehen werden kann, so erscheint der Dur-Vierklang aus den Obertönen 4 bis 7 als natürlicher Grundbaustein für Pajara-Harmonie.

Wichtige gleichstufige Stimmungen, die Pajara unterstützen, sind [[22edo]], [[32edo]], [[34edo]], in Grenzen [[10edo]].

Die pentatonische [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] (bis zum Tritonus gehend) hat die Form 1L 4s. s Ist dabei der Generator, also ein "grosser Halbton", und L ein "kleiner Ganzton". Auf eine Oktave verdoppelt, erhält man eine MOS-Skala vom Typ 2L 8s. Diese symmetrische dekatonische Skala sowie eine nahe verwandte vom Typ LsssLsssss enthalten auf natürliche Weise eine Menge der oben genannten Basis-Vierklänge aus den Obertönen 4 bis 7. Beide wurden erfunden bzw. entdeckt von [[Paul Erlich]] und [[Gene Ward Smith]].

Weiterführender Artikel:
Paul Erlich, "Tuning, Tonality and 22-Tone Temperament." Xenharmonicon 17, 1998. [[http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf]] (in englischer Sprache)&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, die auf dem vierdimensionalen, die Primzahl 7 einschliessenden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; definiert ist, ferner für eine, deren Periodenintervall &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.&amp;lt;br /&amp;gt;
Austemperiert werden die folgenden Kommas: &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;50/49 (Jubilisma)&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;64/63 (Archytas- oder Leipziger Komma)&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/2048_2025"&amp;gt;2048/2025 (Diaschisma)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem &amp;amp;quot;kleinen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/7_5"&amp;gt;7/5&amp;lt;/a&amp;gt;) und dessen Oktav-Komplement, dem &amp;amp;quot;grossen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/10_7"&amp;gt;10/7&amp;lt;/a&amp;gt;), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Archytas- bzw. Leipziger Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt;, ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Die Quarten sind etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und zwischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen &amp;amp;quot;grossen Halbton&amp;amp;quot;. Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus (und ein Generatorenschritt von der Quarte aus) abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) führen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Insbesondere bieten Pajara-Systeme in der Regel gute Approximationen für den Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 besteht (ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt). Wenn der Dur-Dreiklang (Obertöne 4 bis 6) als natürlicher Grundbaustein in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen gesehen werden kann, so erscheint der Dur-Vierklang aus den Obertönen 4 bis 7 als natürlicher Grundbaustein für Pajara-Harmonie.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wichtige gleichstufige Stimmungen, die Pajara unterstützen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32edo"&amp;gt;32edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt;, in Grenzen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/10edo"&amp;gt;10edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die pentatonische &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; (bis zum Tritonus gehend) hat die Form 1L 4s. s Ist dabei der Generator, also ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot;, und L ein &amp;amp;quot;kleiner Ganzton&amp;amp;quot;. Auf eine Oktave verdoppelt, erhält man eine MOS-Skala vom Typ 2L 8s. Diese symmetrische dekatonische Skala sowie eine nahe verwandte vom Typ LsssLsssss enthalten auf natürliche Weise eine Menge der oben genannten Basis-Vierklänge aus den Obertönen 4 bis 7. Beide wurden erfunden bzw. entdeckt von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Paul%20Erlich"&amp;gt;Paul Erlich&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gene%20Ward%20Smith"&amp;gt;Gene Ward Smith&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weiterführender Artikel:&amp;lt;br /&amp;gt;
Paul Erlich, &amp;amp;quot;Tuning, Tonality and 22-Tone Temperament.&amp;amp;quot; Xenharmonicon 17, 1998. &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; (in englischer Sprache)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, deren Periodenintervall //nicht// die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.
Austemperiert werden die folgenden Kommas: [[50_49|50/49 (Jubilisma)]], [[64_63|64/63 (Archytas- oder Leipziger Komma)]] und [[2048_2025|2048/2025 (Diaschisma)]].

Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" ([[xenharmonie/7_5|7/5]]) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" ([[xenharmonie/10_7|10/7]]), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave.

Das Archytas- bzw. Leipziger Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime (7/4)]], ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Die Quarten sind etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und zwischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen "grossen Halbton". Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.

Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) führen.

Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Insbesondere bieten Pajara-Systeme in der Regel gute Approximationen für den Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 besteht (ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt). Wenn der Dur-Dreiklang (Obertöne 4 bis 6) als natürlicher Grundbaustein in [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen gesehen werden kann, so erscheint der Dur-Vierklang aus den Obertönen 4 bis 7 als natürlicher Grundbaustein für Pajara-Harmonie.

Wichtige gleichstufige Stimmungen, die Pajara unterstützen, sind [[22edo]], [[32edo]], [[34edo]], in Grenzen [[10edo]].

Die pentatonische [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] (bis zum Tritonus gehend) hat die Form 1L 4s. s Ist dabei der Generator, also ein "grosser Halbton", und L ein "kleiner Ganzton". Auf eine Oktave verdoppelt, erhält man eine MOS-Skala vom Typ 2L 8s. Diese symmetrische dekatonische Skala sowie eine nahe verwandte vom Typ LsssLsssss enthalten auf natürliche Weise eine Menge der oben genannten Basis-Vierklänge aus den Obertönen 4 bis 7. Beide wurden erfunden bzw. entdeckt von [[Paul Erlich]] und [[Gene Ward Smith]].

Weiterführender Artikel:
Paul Erlich, "Tuning, Tonality and 22-Tone Temperament." Xenharmonicon 17, 1998. [[http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf]] (in englischer Sprache)&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, deren Periodenintervall &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.&amp;lt;br /&amp;gt;
Austemperiert werden die folgenden Kommas: &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;50/49 (Jubilisma)&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;64/63 (Archytas- oder Leipziger Komma)&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/2048_2025"&amp;gt;2048/2025 (Diaschisma)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem &amp;amp;quot;kleinen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/7_5"&amp;gt;7/5&amp;lt;/a&amp;gt;) und dessen Oktav-Komplement, dem &amp;amp;quot;grossen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/10_7"&amp;gt;10/7&amp;lt;/a&amp;gt;), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Archytas- bzw. Leipziger Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt;, ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Die Quarten sind etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und zwischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen &amp;amp;quot;grossen Halbton&amp;amp;quot;. Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) führen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Insbesondere bieten Pajara-Systeme in der Regel gute Approximationen für den Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 besteht (ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt). Wenn der Dur-Dreiklang (Obertöne 4 bis 6) als natürlicher Grundbaustein in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen gesehen werden kann, so erscheint der Dur-Vierklang aus den Obertönen 4 bis 7 als natürlicher Grundbaustein für Pajara-Harmonie.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wichtige gleichstufige Stimmungen, die Pajara unterstützen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32edo"&amp;gt;32edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt;, in Grenzen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/10edo"&amp;gt;10edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die pentatonische &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; (bis zum Tritonus gehend) hat die Form 1L 4s. s Ist dabei der Generator, also ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot;, und L ein &amp;amp;quot;kleiner Ganzton&amp;amp;quot;. Auf eine Oktave verdoppelt, erhält man eine MOS-Skala vom Typ 2L 8s. Diese symmetrische dekatonische Skala sowie eine nahe verwandte vom Typ LsssLsssss enthalten auf natürliche Weise eine Menge der oben genannten Basis-Vierklänge aus den Obertönen 4 bis 7. Beide wurden erfunden bzw. entdeckt von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Paul%20Erlich"&amp;gt;Paul Erlich&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gene%20Ward%20Smith"&amp;gt;Gene Ward Smith&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Weiterführender Artikel:&amp;lt;br /&amp;gt;
Paul Erlich, &amp;amp;quot;Tuning, Tonality and 22-Tone Temperament.&amp;amp;quot; Xenharmonicon 17, 1998. &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; (in englischer Sprache)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/pajara]]

Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, deren Periodenintervall //nicht// die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.
Austemperiert werden die folgenden Kommas: [[50_49|50/49 (Jubilisma)]], [[64_63|64/63 (Archytas-Komma)]] und [[2048_2025|2048/2025 (Diaschisma)]].

Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" ([[xenharmonie/7_5|7/5]]) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" ([[xenharmonie/10_7|10/7]]), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave.

Das Archytas-Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime (7/4)]], ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Die Quarten sind etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und wischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen "grossen Halbton". Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.

Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) führen.

Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Insbesondere bieten Pajara-Systeme in der Regel gute Approximationen für den Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 besteht (ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt). Wenn der Dur-Dreiklang (Obertöne 4 bis 6) als natürlicher Grundbaustein in [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen gesehen werden kann, so erscheint der Dur-Vierklang aus den Obertönen 4 bis 7 als natürlicher Grundbaustein für Pajara-Harmonie.

Wichtige gleichstufige Stimmungen, die Pajara unterstützen, sind [[22edo]], [[32edo]], [[34edo]], in Grenzen [[10edo]].

Die pentatonische [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] (bis zum Tritonus gehend) hat die Form 1L 4s. s Ist dabei der Generator, also ein "grosser Halbton", und L ein "kleiner Ganzton". Auf eine Oktave verdoppelt, erhält man eine MOS-Skala vom Typ 2L 8s. Diese symmetrische dekatonische Skala sowie eine nahe verwandte vom Typ LsssLsssss enthalten auf natürliche Weise eine Menge der oben genannten Basis-Vierklänge aus den Obertönen 4 bis 7. Beide wurden erfunden bzw. entdeckt von [[Paul Erlich]] und [[Gene Ward Smith]].

Weiterführender Artikel:
Paul Erlich, "Tuning, Tonality and 22-Tone Temperament." Xenharmonicon 17, 1998. [[http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf]] (in englischer Sprache)&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, deren Periodenintervall &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.&amp;lt;br /&amp;gt;
Austemperiert werden die folgenden Kommas: &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;50/49 (Jubilisma)&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;64/63 (Archytas-Komma)&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/2048_2025"&amp;gt;2048/2025 (Diaschisma)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem &amp;amp;quot;kleinen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/7_5"&amp;gt;7/5&amp;lt;/a&amp;gt;) und dessen Oktav-Komplement, dem &amp;amp;quot;grossen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/10_7"&amp;gt;10/7&amp;lt;/a&amp;gt;), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Archytas-Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt;, ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Die Quarten sind etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und wischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen &amp;amp;quot;grossen Halbton&amp;amp;quot;. Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) führen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Insbesondere bieten Pajara-Systeme in der Regel gute Approximationen für den Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 besteht (ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt). Wenn der Dur-Dreiklang (Obertöne 4 bis 6) als natürlicher Grundbaustein in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen gesehen werden kann, so erscheint der Dur-Vierklang aus den Obertönen 4 bis 7 als natürlicher Grundbaustein für Pajara-Harmonie.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wichtige gleichstufige Stimmungen, die Pajara unterstützen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32edo"&amp;gt;32edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt;, in Grenzen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/10edo"&amp;gt;10edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die pentatonische &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; (bis zum Tritonus gehend) hat die Form 1L 4s. s Ist dabei der Generator, also ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot;, und L ein &amp;amp;quot;kleiner Ganzton&amp;amp;quot;. Auf eine Oktave verdoppelt, erhält man eine MOS-Skala vom Typ 2L 8s. Diese symmetrische dekatonische Skala sowie eine nahe verwandte vom Typ LsssLsssss enthalten auf natürliche Weise eine Menge der oben genannten Basis-Vierklänge aus den Obertönen 4 bis 7. Beide wurden erfunden bzw. entdeckt von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Paul%20Erlich"&amp;gt;Paul Erlich&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gene%20Ward%20Smith"&amp;gt;Gene Ward Smith&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weiterführender Artikel:&amp;lt;br /&amp;gt;
Paul Erlich, &amp;amp;quot;Tuning, Tonality and 22-Tone Temperament.&amp;amp;quot; Xenharmonicon 17, 1998. &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; (in englischer Sprache)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, deren Periodenintervall //nicht// die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.
Austemperiert werden die folgenden Kommas: [[50_49|50/49 (Jubilisma)]], [[64_63|64/63 (Archytas-Komma)]] und [[2048_2025|2048/2025 (Diaschisma)]].

Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" ([[xenharmonie/7_5|7/5]]) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" ([[xenharmonie/10_7|10/7]]), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave.

Das Archytas-Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime (7/4)]], ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Die Quarten sind etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und wischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen "grossen Halbton". Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.

Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) führen.

Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Insbesondere bieten Pajara-Systeme in der Regel gute Approximationen für den Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 besteht (ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt). Wenn der Dur-Dreiklang (Obertöne 4 bis 6) als natürlicher Grundbaustein in [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen gesehen werden kann, so erscheint der Dur-Vierklang aus den Obertönen 4 bis 7 als natürlicher Grunbaustein für Pajara-Harmonie.

Wichtige gleichstufige Stimmungen, die Pajara unterstützen, sind [[22edo]], [[32edo]], [[34edo]], in Grenzen [[10edo]].

Die pentatonische [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] (bis zum Tritonus gehend) hat die Form 1L 4s. s Ist dabei der Generator, also ein "grosser Halbton", und L ein "kleiner Ganzton". Auf eine Oktave verdoppelt, erhält man eine MOS-Skala vom Typ 2L 8s. Diese symmetrische dekatonische Skala sowie eine nahe verwandte vom Typ LsssLsssss wurden beide erfunden bzw. entdeckt von [[Paul Erlich]] und [[Gene Ward Smith]].

Weiterführender Artikel:
Paul Erlich, "Tuning, Tonality and 22-Tone Temperament." Xenharmonicon 17, 1998. [[http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf]] (in englischer Sprache)&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, deren Periodenintervall &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.&amp;lt;br /&amp;gt;
Austemperiert werden die folgenden Kommas: &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;50/49 (Jubilisma)&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;64/63 (Archytas-Komma)&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/2048_2025"&amp;gt;2048/2025 (Diaschisma)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem &amp;amp;quot;kleinen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/7_5"&amp;gt;7/5&amp;lt;/a&amp;gt;) und dessen Oktav-Komplement, dem &amp;amp;quot;grossen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/10_7"&amp;gt;10/7&amp;lt;/a&amp;gt;), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Archytas-Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt;, ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Die Quarten sind etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und wischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen &amp;amp;quot;grossen Halbton&amp;amp;quot;. Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) führen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Insbesondere bieten Pajara-Systeme in der Regel gute Approximationen für den Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 besteht (ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt). Wenn der Dur-Dreiklang (Obertöne 4 bis 6) als natürlicher Grundbaustein in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen gesehen werden kann, so erscheint der Dur-Vierklang aus den Obertönen 4 bis 7 als natürlicher Grunbaustein für Pajara-Harmonie.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wichtige gleichstufige Stimmungen, die Pajara unterstützen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32edo"&amp;gt;32edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt;, in Grenzen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/10edo"&amp;gt;10edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die pentatonische &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; (bis zum Tritonus gehend) hat die Form 1L 4s. s Ist dabei der Generator, also ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot;, und L ein &amp;amp;quot;kleiner Ganzton&amp;amp;quot;. Auf eine Oktave verdoppelt, erhält man eine MOS-Skala vom Typ 2L 8s. Diese symmetrische dekatonische Skala sowie eine nahe verwandte vom Typ LsssLsssss wurden beide erfunden bzw. entdeckt von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Paul%20Erlich"&amp;gt;Paul Erlich&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gene%20Ward%20Smith"&amp;gt;Gene Ward Smith&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Weiterführender Artikel:&amp;lt;br /&amp;gt;
Paul Erlich, &amp;amp;quot;Tuning, Tonality and 22-Tone Temperament.&amp;amp;quot; Xenharmonicon 17, 1998. &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; (in englischer Sprache)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, deren Periodenintervall //nicht// die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.
Austemperiert werden die folgenden Kommas: [[50_49|50/49 (Jubilisma)]], [[64_63|64/63 (Archytas-Komma)]] und [[2048_2025|2048/2025 (Diaschisma)]].

Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" ([[xenharmonie/7_5|7/5]]) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" ([[xenharmonie/10_7|10/7]]), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave.

Das Archytas-Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime (7/4)]], ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Die Quarten sind etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und wischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen "grossen Halbton". Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.

Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) führen.

Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Wichtige gleichstufige Stimmungen, die Pajara unterstützen, sind [[22edo]], [[32edo]], [[34edo]], in Grenzen [[10edo]].

Die pentatonische [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] (bis zum Tritonus gehend) hat die Form 1L 4s. s Ist dabei der Generator, also ein "grosser Halbton", und L ein "kleiner Ganzton". Auf eine Oktave verdoppelt, erhält man eine MOS-Skala vom Typ 2L 8s. Diese symmetrische dekatonische Skala sowie eine nahe verwandte vom Typ LsssLsssss wurden beide erfunden bzw. entdeckt von [[Paul Erlich]] und [[Gene Ward Smith]].

Weiterführender Artikel:
Paul Erlich, "Tuning, Tonality and 22-Tone Temperament." Xenharmonicon 17, 1998. [[http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf]] (in englischer Sprache)&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, deren Periodenintervall &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.&amp;lt;br /&amp;gt;
Austemperiert werden die folgenden Kommas: &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;50/49 (Jubilisma)&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;64/63 (Archytas-Komma)&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/2048_2025"&amp;gt;2048/2025 (Diaschisma)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem &amp;amp;quot;kleinen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/7_5"&amp;gt;7/5&amp;lt;/a&amp;gt;) und dessen Oktav-Komplement, dem &amp;amp;quot;grossen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/10_7"&amp;gt;10/7&amp;lt;/a&amp;gt;), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Archytas-Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt;, ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Die Quarten sind etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und wischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen &amp;amp;quot;grossen Halbton&amp;amp;quot;. Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) führen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Wichtige gleichstufige Stimmungen, die Pajara unterstützen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32edo"&amp;gt;32edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt;, in Grenzen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/10edo"&amp;gt;10edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die pentatonische &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; (bis zum Tritonus gehend) hat die Form 1L 4s. s Ist dabei der Generator, also ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot;, und L ein &amp;amp;quot;kleiner Ganzton&amp;amp;quot;. Auf eine Oktave verdoppelt, erhält man eine MOS-Skala vom Typ 2L 8s. Diese symmetrische dekatonische Skala sowie eine nahe verwandte vom Typ LsssLsssss wurden beide erfunden bzw. entdeckt von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Paul%20Erlich"&amp;gt;Paul Erlich&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gene%20Ward%20Smith"&amp;gt;Gene Ward Smith&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weiterführender Artikel:&amp;lt;br /&amp;gt;
Paul Erlich, &amp;amp;quot;Tuning, Tonality and 22-Tone Temperament.&amp;amp;quot; Xenharmonicon 17, 1998. &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; (in englischer Sprache)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
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Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, deren Periodenintervall //nicht// die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.
Austemperiert werden die folgenden Kommas: [[50_49|50/49 (Jubilisma)]], [[64_63|64/63 (Archytas-Komma)]] und [[2048_2025|2048/2025 (Diaschisma)]].

Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" ([[xenharmonie/7_5|7/5]]) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" ([[xenharmonie/10_7|10/7]]), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave.

Das Archytas-Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime (7/4)]], ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Die Quarten sind etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und wischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen "grossen Halbton". Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.

Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) kommt.

Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Wichtige gleichstufige Stimmungen, die Pajara unterstützen, sind [[22edo]], [[32edo]], [[34edo]], in Grenzen [[10edo]].

Die pentatonische [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] (bis zum Tritonus gehend) hat die Form 1L 4s. s Ist dabei der Generator, also ein "grosser Halbton", und L ein "kleiner Ganzton". Auf eine Oktave verdoppelt, erhält man eine MOS-Skala vom Typ 2L 8s. Diese symmetrische dekatonische Skala sowie eine nahe verwandte vom Typ LsssLsssss wurden beide erfunden bzw. entdeckt von [[Paul Erlich]] und [[Gene Ward Smith]].

Weiterführender Artikel:
Paul Erlich, "Tuning, Tonality and 22-Tone Temperament." Xenharmonicon 17, 1998. [[http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf]] (in englischer Sprache)&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, deren Periodenintervall &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.&amp;lt;br /&amp;gt;
Austemperiert werden die folgenden Kommas: &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;50/49 (Jubilisma)&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;64/63 (Archytas-Komma)&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/2048_2025"&amp;gt;2048/2025 (Diaschisma)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem &amp;amp;quot;kleinen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/7_5"&amp;gt;7/5&amp;lt;/a&amp;gt;) und dessen Oktav-Komplement, dem &amp;amp;quot;grossen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/10_7"&amp;gt;10/7&amp;lt;/a&amp;gt;), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Archytas-Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt;, ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Die Quarten sind etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und wischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen &amp;amp;quot;grossen Halbton&amp;amp;quot;. Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) kommt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Wichtige gleichstufige Stimmungen, die Pajara unterstützen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32edo"&amp;gt;32edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt;, in Grenzen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/10edo"&amp;gt;10edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die pentatonische &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; (bis zum Tritonus gehend) hat die Form 1L 4s. s Ist dabei der Generator, also ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot;, und L ein &amp;amp;quot;kleiner Ganzton&amp;amp;quot;. Auf eine Oktave verdoppelt, erhält man eine MOS-Skala vom Typ 2L 8s. Diese symmetrische dekatonische Skala sowie eine nahe verwandte vom Typ LsssLsssss wurden beide erfunden bzw. entdeckt von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Paul%20Erlich"&amp;gt;Paul Erlich&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gene%20Ward%20Smith"&amp;gt;Gene Ward Smith&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Weiterführender Artikel:&amp;lt;br /&amp;gt;
Paul Erlich, &amp;amp;quot;Tuning, Tonality and 22-Tone Temperament.&amp;amp;quot; Xenharmonicon 17, 1998. &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; (in englischer Sprache)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, deren Periodenintervall //nicht// die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.
Austemperiert werden die folgenden Kommas: [[50_49|50/49 (Jubilisma)]], [[64_63|64/63 (Archytas-Komma)]] und [[2048_2025|2048/2025 (Diaschisma)]].

Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" ([[xenharmonie/7_5|7/5]]) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" ([[xenharmonie/10_7|10/7]]), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave.

Das Archytas-Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime (7/4)]], ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Die Quarten sind etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und wischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen "grossen Halbton". Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.

Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) kommt.

Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Wichtige gleichstufige Stimmungen, die Pajara unterstützen, sind [[22edo]], [[32edo]], [[34edo]], in Grenzen [[10edo]].


Die pentatonische [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] (bis zum Tritonus gehend) hat die Form 1L 4s. s Ist dabei der Generator, also ein "grosser Halbton", und L ein "kleiner Ganzton". Auf eine Oktave verdoppelt, erhält man eine MOS-Skala vom Typ 2L 8s. Diese symmetrische dekatonische Skala sowie eine nahe verwandte vom Typ LsssLsssss wurden beide erfunden bzw. entdeckt von [[Paul Erlich]] und [[Gene Ward Smith]].


Weiterführender Artikel:
Paul Erlich, "Tuning, Tonality and 22-Tone Temperament." Xenharmonicon 17, 1998. [[http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf]] (in englischer Sprache)&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, deren Periodenintervall &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.&amp;lt;br /&amp;gt;
Austemperiert werden die folgenden Kommas: &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;50/49 (Jubilisma)&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;64/63 (Archytas-Komma)&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/2048_2025"&amp;gt;2048/2025 (Diaschisma)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem &amp;amp;quot;kleinen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/7_5"&amp;gt;7/5&amp;lt;/a&amp;gt;) und dessen Oktav-Komplement, dem &amp;amp;quot;grossen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/10_7"&amp;gt;10/7&amp;lt;/a&amp;gt;), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Archytas-Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt;, ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Die Quarten sind etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und wischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen &amp;amp;quot;grossen Halbton&amp;amp;quot;. Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) kommt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Wichtige gleichstufige Stimmungen, die Pajara unterstützen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32edo"&amp;gt;32edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt;, in Grenzen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/10edo"&amp;gt;10edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die pentatonische &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; (bis zum Tritonus gehend) hat die Form 1L 4s. s Ist dabei der Generator, also ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot;, und L ein &amp;amp;quot;kleiner Ganzton&amp;amp;quot;. Auf eine Oktave verdoppelt, erhält man eine MOS-Skala vom Typ 2L 8s. Diese symmetrische dekatonische Skala sowie eine nahe verwandte vom Typ LsssLsssss wurden beide erfunden bzw. entdeckt von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Paul%20Erlich"&amp;gt;Paul Erlich&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gene%20Ward%20Smith"&amp;gt;Gene Ward Smith&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Weiterführender Artikel:&amp;lt;br /&amp;gt;
Paul Erlich, &amp;amp;quot;Tuning, Tonality and 22-Tone Temperament.&amp;amp;quot; Xenharmonicon 17, 1998. &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; (in englischer Sprache)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/pajara]]

Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, deren Periodenintervall //nicht// die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.
Austemperiert werden die folgenden Kommas: [[50_49|50/49 (Jubilisma)]], [[64_63|64/63 (Archytas-Komma)]] und [[2048_2025|2048/2025 (Diaschisma)]].

Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" ([[xenharmonie/7_5|7/5]]) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" ([[xenharmonie/10_7|10/7]]), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave.

Das Archytas-Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime (7/4)]], ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Die Quarten sind etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und wischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen "grossen Halbton". Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.

Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) kommt.

Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Wichtige gleichstufige Stimmungen, die Pajara unterstützen, sind [[22edo]], [[32edo]], [[34edo]], in Grenzen [[10edo]].


Die pentatonische [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] (bis zum Tritonus gehend) hat die Form 1L 4s. s Ist dabei der Generator, also ein "grosser Halbton", und L ein "kleiner Ganzton". Auf eine Oktave verdoppelt, erhält man eine MOS-Skala vom Typ 2L 8s. Diese symmetrische dekatonische Skala sowie eine nahe verwandte vom Typ LsssLsssss wurden beide erfunden bzw. entdeckt von [[Paul Erlich]] und [[Gene Ward Smith]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, deren Periodenintervall &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.&amp;lt;br /&amp;gt;
Austemperiert werden die folgenden Kommas: &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;50/49 (Jubilisma)&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;64/63 (Archytas-Komma)&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/2048_2025"&amp;gt;2048/2025 (Diaschisma)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem &amp;amp;quot;kleinen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/7_5"&amp;gt;7/5&amp;lt;/a&amp;gt;) und dessen Oktav-Komplement, dem &amp;amp;quot;grossen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/10_7"&amp;gt;10/7&amp;lt;/a&amp;gt;), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Archytas-Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt;, ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Die Quarten sind etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und wischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen &amp;amp;quot;grossen Halbton&amp;amp;quot;. Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) kommt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Wichtige gleichstufige Stimmungen, die Pajara unterstützen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32edo"&amp;gt;32edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt;, in Grenzen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/10edo"&amp;gt;10edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die pentatonische &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; (bis zum Tritonus gehend) hat die Form 1L 4s. s Ist dabei der Generator, also ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot;, und L ein &amp;amp;quot;kleiner Ganzton&amp;amp;quot;. Auf eine Oktave verdoppelt, erhält man eine MOS-Skala vom Typ 2L 8s. Diese symmetrische dekatonische Skala sowie eine nahe verwandte vom Typ LsssLsssss wurden beide erfunden bzw. entdeckt von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Paul%20Erlich"&amp;gt;Paul Erlich&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gene%20Ward%20Smith"&amp;gt;Gene Ward Smith&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-24 02:31:42 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, deren Periodenintervall //nicht// die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.
Austemperiert werden die folgenden Kommas: [[50_49|50/49 (Jubilisma)]], [[64_63|64/63 (Archytas-Komma)]] und [[2048_2025|2048/2025 (Diaschisma)]].

Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" ([[xenharmonie/7_5|7/5]]) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" ([[xenharmonie/10_7|10/7]]), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave.

Das Archytas-Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime (7/4)]], ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Die Quarten sind etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und wischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen "grossen Halbton". Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.

Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) kommt.

Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Wichtige gleichstufige Stimmungen, die Pajara unterstützen, sind [[22edo]], [[32edo]], [[34edo]], in Grenzen [[10edo]].


Die pentatonische [[MOS-Skalen|MOS-Skala]](bis zum Tritonus gehend) hat die Form 1L 4s. s Ist dabei der Generator, also ein "grosser Halbton", und L ein "kleiner Ganzton". Auf eine Oktave verdoppelt, erhält man eine MOS-Skala vom Typ 2L 8s. Diese symmetrische dekatonische Skala sowie eine nahe verwandte vom Typ LsssLsssss wurden beide erfunden bzw. entdeckt von [[Paul Erlich]] und [[Gene Ward Smith]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, deren Periodenintervall &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.&amp;lt;br /&amp;gt;
Austemperiert werden die folgenden Kommas: &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;50/49 (Jubilisma)&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;64/63 (Archytas-Komma)&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/2048_2025"&amp;gt;2048/2025 (Diaschisma)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem &amp;amp;quot;kleinen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/7_5"&amp;gt;7/5&amp;lt;/a&amp;gt;) und dessen Oktav-Komplement, dem &amp;amp;quot;grossen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/10_7"&amp;gt;10/7&amp;lt;/a&amp;gt;), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Archytas-Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt;, ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Die Quarten sind etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und wischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen &amp;amp;quot;grossen Halbton&amp;amp;quot;. Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) kommt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Wichtige gleichstufige Stimmungen, die Pajara unterstützen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32edo"&amp;gt;32edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt;, in Grenzen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/10edo"&amp;gt;10edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die pentatonische &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt;(bis zum Tritonus gehend) hat die Form 1L 4s. s Ist dabei der Generator, also ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot;, und L ein &amp;amp;quot;kleiner Ganzton&amp;amp;quot;. Auf eine Oktave verdoppelt, erhält man eine MOS-Skala vom Typ 2L 8s. Diese symmetrische dekatonische Skala sowie eine nahe verwandte vom Typ LsssLsssss wurden beide erfunden bzw. entdeckt von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Paul%20Erlich"&amp;gt;Paul Erlich&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gene%20Ward%20Smith"&amp;gt;Gene Ward Smith&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, deren Periodenintervall //nicht// die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.
Austemperiert werden die folgenden Kommas: [[50_49|50/49 (Jubilisma)]], [[64_63|64/63 (Archytas-Komma)]] und [[2048_2025|2048/2025 (Diaschisma)]].

Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" ([[xenharmonie/7_5|7/5]]) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" ([[xenharmonie/10_7|10/7]]), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave.

Das Archytas-Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime (7/4)]], ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Die Quarten sind etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und wischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen "grossen Halbton". Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.

Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) kommt.

Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Wichtige gleichstufige Stimmungen, die Pajara unterstützen, sind [[22edo]], [[32edo]], [[34edo]], in Grenzen [[10edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, deren Periodenintervall &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem &amp;amp;quot;kleinen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/7_5"&amp;gt;7/5&amp;lt;/a&amp;gt;) und dessen Oktav-Komplement, dem &amp;amp;quot;grossen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/10_7"&amp;gt;10/7&amp;lt;/a&amp;gt;), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) kommt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Wichtige gleichstufige Stimmungen, die Pajara unterstützen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32edo"&amp;gt;32edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt;, in Grenzen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/10edo"&amp;gt;10edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/pajara]]

Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, deren Periodenintervall //nicht// die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.
Austemperiert werden die folgenden Kommas: [[50_49|50/49 (Jubilisma)]], [[64_63|64/63 (Archytas-Komma)]] und [[2048_2025|2048/2025 (Diaschisma)]].

Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" ([[xenharmonie/7_5|7/5]]) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" ([[xenharmonie/10_7|10/7]]), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave.

Das Archytas-Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime (7/4)]], ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Die Quarten sind etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und wischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen "grossen Halbton". Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.

Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) kommt.

Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Wichtige gleichstufige Stimmungen, die Pajara unterstützen, sind [[22edo]], [[32edo]], [[34edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Pajara&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/pajara"&amp;gt;xenharmonic/pajara&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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Austemperiert werden die folgenden Kommas: &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;50/49 (Jubilisma)&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;64/63 (Archytas-Komma)&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/2048_2025"&amp;gt;2048/2025 (Diaschisma)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem &amp;amp;quot;kleinen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/7_5"&amp;gt;7/5&amp;lt;/a&amp;gt;) und dessen Oktav-Komplement, dem &amp;amp;quot;grossen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/10_7"&amp;gt;10/7&amp;lt;/a&amp;gt;), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Archytas-Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt;, ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Die Quarten sind etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und wischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen &amp;amp;quot;grossen Halbton&amp;amp;quot;. Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) kommt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Wichtige gleichstufige Stimmungen, die Pajara unterstützen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32edo"&amp;gt;32edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-24 02:18:31 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, deren Periodenintervall //nicht// die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.
Austemperiert werden die folgenden Kommas: [[50_49|50/49 (Jubilisma)]], [[64_63|64/63 (Archytas-Komma)]] und [[2048_2025|2048/2025 (Diaschisma)]].

Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" ([[xenharmonie/7_5|7/5]]) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" ([[xenharmonie/10_7|10/7]]), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave.

Das Archytas-Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime (7/4)]], ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Die Quarten sind etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und wischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen "grossen Halbton". Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.

Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) kommt.

Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4).&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, deren Periodenintervall &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.&amp;lt;br /&amp;gt;
Austemperiert werden die folgenden Kommas: &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;50/49 (Jubilisma)&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;64/63 (Archytas-Komma)&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/2048_2025"&amp;gt;2048/2025 (Diaschisma)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem &amp;amp;quot;kleinen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/7_5"&amp;gt;7/5&amp;lt;/a&amp;gt;) und dessen Oktav-Komplement, dem &amp;amp;quot;grossen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/10_7"&amp;gt;10/7&amp;lt;/a&amp;gt;), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Archytas-Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime (7/4)&amp;lt;/a&amp;gt;, ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Die Quarten sind etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und wischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen &amp;amp;quot;grossen Halbton&amp;amp;quot;. Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) kommt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4).&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, deren Periodenintervall //nicht// die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.
Austemperiert werden die folgenden Kommas: [[50_49|50/49 (Jubilisma)]], [[64_63|64/63 (Archytas-Komma)]] und [[2048_2025|2048/2025 (Diaschisma)]].

Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" ([[xenharmonie/7_5|7/5]]) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" ([[xenharmonie/10_7|10/7]]), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave.

Das Archytas-Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer harmonischen Septime (7/4), ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Die Quarten sind etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und wischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen "grossen Halbton". Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, deren Periodenintervall &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.&amp;lt;br /&amp;gt;
Austemperiert werden die folgenden Kommas: &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;50/49 (Jubilisma)&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;64/63 (Archytas-Komma)&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/2048_2025"&amp;gt;2048/2025 (Diaschisma)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem &amp;amp;quot;kleinen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/7_5"&amp;gt;7/5&amp;lt;/a&amp;gt;) und dessen Oktav-Komplement, dem &amp;amp;quot;grossen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/10_7"&amp;gt;10/7&amp;lt;/a&amp;gt;), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Archytas-Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer harmonischen Septime (7/4), ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Die Quarten sind etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und wischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen &amp;amp;quot;grossen Halbton&amp;amp;quot;. Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Pajara temperiert die folgenden Kommas aus: [[50_49|50/49 (Jubilisma)]], [[64_63|64/63 (Archytas-Komma)]] und [[2048_2025|2048/2025 (Diaschisma)]].

Das Jubilisma ist dabei die Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" ([[xenharmonie/7_5|7/5]]) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" ([[xenharmonie/10_7|10/7]]), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt.

Das Archytas-Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer harmonischen Septime (7/4). Die Quarten sind etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus ergibt einen "grossen Halbton".&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Pajara temperiert die folgenden Kommas aus: &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;50/49 (Jubilisma)&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;64/63 (Archytas-Komma)&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/2048_2025"&amp;gt;2048/2025 (Diaschisma)&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Jubilisma ist dabei die Differenz zwischen dem &amp;amp;quot;kleinen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/7_5"&amp;gt;7/5&amp;lt;/a&amp;gt;) und dessen Oktav-Komplement, dem &amp;amp;quot;grossen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/10_7"&amp;gt;10/7&amp;lt;/a&amp;gt;), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Archytas-Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer harmonischen Septime (7/4). Die Quarten sind etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus ergibt einen &amp;amp;quot;grossen Halbton&amp;amp;quot;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Pajara temperiert die folgenden Kommas aus: [[50_49|50/49 (Jubilisma)]], [[2048_2025|2048/2025 (Diaschisma) ]]und [[64_63|64/63 (Archytas-Komma)]][[50_49|.]]

Das Jubilisa ist dabei die Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" ([[xenharmonie/7_5|7/5]]) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" ([[xenharmonie/10_7|10/7]]), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt.

Das Archytas-Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer harmonischen Septime (7/4). Die Quarten sind etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Jubilisa ist dabei die Differenz zwischen dem &amp;amp;quot;kleinen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/7_5"&amp;gt;7/5&amp;lt;/a&amp;gt;) und dessen Oktav-Komplement, dem &amp;amp;quot;grossen Tritonus&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/10_7"&amp;gt;10/7&amp;lt;/a&amp;gt;), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Archytas-Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer harmonischen Septime (7/4). Die Quarten sind etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, die auf dem vierdimensionalen, die Primzahl 7 einschliessenden [[Intervallraum|Intervallraum]] definiert ist, ferner für eine, deren Periodenintervall ''nicht'' die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.

Austemperiert werden die folgenden Kommas: [[50/49|50/49 (Jubilisma)]], [[64/63|64/63 (Archytas- oder Leipziger Komma)]] und [[2048/2025|2048/2025 (Diaschisma)]].

Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" ([[7/5|7/5]]) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" ([[10/7|10/7]]), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave.

Das Archytas- bzw. Leipziger Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime (7/4)]], ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Wenn man es austemperiert, werden die Quarten typischerweise etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und zwischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen "grossen Halbton". Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.

Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus (und ein Generatorenschritt von der Quarte aus) abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) führen.

Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Insbesondere bieten Pajara-Systeme in der Regel gute Approximationen für den Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 besteht (ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt). Wenn der Dur-Dreiklang (Obertöne 4 bis 6) als natürlicher Grundbaustein in [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen gesehen werden kann, so erscheint der Dur-Vierklang aus den Obertönen 4 bis 7 als natürlicher Grundbaustein für Pajara-Harmonie - und Pajara ist, ähnlich wie [[Nautilus|Nautilus]], ein interessantes Beispiel eines auf Vierklägen basierenden Harmoniesystems.

Die Naturseptime übrigens erscheint in Pajara-Temperaturen tatsächlich als Septime - dies im Gegensatz zur [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigen]] Temperatur, welche das Intervall 7/4 ebenfalls unterstützt, jedoch als übermässige Sexte.

Wichtige gleichstufige Stimmungen, die Pajara unterstützen, sind [[22edo|22edo]], [[32edo|32edo]], [[34edo|34edo]], in Grenzen [[10edo|10edo]].

Die pentatonische [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] (bis zum Tritonus gehend) hat die Form 1L 4s. s Ist dabei der Generator, also ein "grosser Halbton", und L ein "kleiner Ganzton". Auf eine Oktave verdoppelt, erhält man eine MOS-Skala vom Typ 2L 8s. Diese symmetrische dekatonische Skala sowie eine nahe verwandte vom Typ LsssLsssss enthalten auf natürliche Weise eine Menge der oben genannten Basis-Vierklänge aus den Obertönen 4 bis 7. Beide wurden erfunden bzw. entdeckt von [[Paul_Erlich|Paul Erlich]] und [[Gene_Ward_Smith|Gene Ward Smith]].

[[File:pajarastandardpentachordmajor22edo.mp3]]

Dekatonische Pajara-Skala (ss&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;LsssLsss) in 22edo-Stimmung&lt;/span&gt;

Weiterführender Artikel:

Paul Erlich, "Tuning, Tonality and 22-Tone Temperament." Xenharmonicon 17, 1998. [http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf] (in englischer Sprache)  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, die auf dem vierdimensionalen, die Primzahl 7 einschliessenden [[Intervallraum|Intervallraum]] definiert ist, ferner für eine, deren Periodenintervall ''nicht'' die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.

Austemperiert werden die folgenden Kommas: [[50/49|50/49 (Jubilisma)]], [[64/63|64/63 (Archytas- oder Leipziger Komma)]] und [[2048/2025|2048/2025 (Diaschisma)]].

Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" ([[7/5|7/5]]) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" ([[10/7|10/7]]), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave.

Das Archytas- bzw. Leipziger Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime (7/4)]], ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Wenn man es austemperiert, werden die Quarten typischerweise etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und zwischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen "grossen Halbton". Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.

Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus (und ein Generatorenschritt von der Quarte aus) abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) führen.

Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Insbesondere bieten Pajara-Systeme in der Regel gute Approximationen für den Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 besteht (ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt). Wenn der Dur-Dreiklang (Obertöne 4 bis 6) als natürlicher Grundbaustein in [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen gesehen werden kann, so erscheint der Dur-Vierklang aus den Obertönen 4 bis 7 als natürlicher Grundbaustein für Pajara-Harmonie - und Pajara ist, ähnlich wie [[Nautilus|Nautilus]], ein interessantes Beispiel eines auf Vierklägen basierenden Harmoniesystems.

Die Naturseptime übrigens erscheint in Pajara-Temperaturen tatsächlich als Septime - dies im Gegensatz zur [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigen]] Temperatur, welche das Intervall 7/4 ebenfalls unterstützt, jedoch als übermässige Sexte.

Wichtige gleichstufige Stimmungen, die Pajara unterstützen, sind [[22-EDO]], [[32-EDO]], [[34-EDO]], in Grenzen [[10-EDO]].

Die pentatonische [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] (bis zum Tritonus gehend) hat die Form 1L 4s. s Ist dabei der Generator, also ein "grosser Halbton", und L ein "kleiner Ganzton". Auf eine Oktave verdoppelt, erhält man eine MOS-Skala vom Typ 2L 8s. Diese symmetrische dekatonische Skala sowie eine nahe verwandte vom Typ LsssLsssss enthalten auf natürliche Weise eine Menge der oben genannten Basis-Vierklänge aus den Obertönen 4 bis 7. Beide wurden erfunden bzw. entdeckt von [[Paul_Erlich|Paul Erlich]] und [[Gene_Ward_Smith|Gene Ward Smith]].

[[File:pajarastandardpentachordmajor22edo.mp3]]

Dekatonische Pajara-Skala (ss&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;LsssLsss) in 22-EDO-Stimmung&lt;/span&gt;

Weiterführender Artikel:

Paul Erlich, "Tuning, Tonality and 22-Tone Temperament." Xenharmonicon 17, 1998. [http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf] (in englischer Sprache)  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, die auf dem vierdimensionalen, die Primzahl 7 einschliessenden [[Intervallraum|Intervallraum]] definiert ist, ferner für eine, deren Periodenintervall ''nicht'' die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.

Austemperiert werden die folgenden Kommas: [[50/49|50/49 (Jubilisma)]], [[64/63|64/63 (Archytas- oder Leipziger Komma)]] und [[2048/2025|2048/2025 (Diaschisma)]].

Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" ([[7/5|7/5]]) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" ([[10/7|10/7]]), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave.

Das Archytas- bzw. Leipziger Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime (7/4)]], ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Wenn man es austemperiert, werden die Quarten typischerweise etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und zwischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen "grossen Halbton". Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.

Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus (und ein Generatorenschritt von der Quarte aus) abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) führen.

Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Insbesondere bieten Pajara-Systeme in der Regel gute Approximationen für den Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 besteht (ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt). Wenn der Dur-Dreiklang (Obertöne 4 bis 6) als natürlicher Grundbaustein in [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen gesehen werden kann, so erscheint der Dur-Vierklang aus den Obertönen 4 bis 7 als natürlicher Grundbaustein für Pajara-Harmonie - und Pajara ist, ähnlich wie [[Nautilus|Nautilus]], ein interessantes Beispiel eines auf Vierklägen basierenden Harmoniesystems.

Die Naturseptime übrigens erscheint in Pajara-Temperaturen tatsächlich als Septime - dies im Gegensatz zur [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigen]] Temperatur, welche das Intervall 7/4 ebenfalls unterstützt, jedoch als übermässige Sexte.

Wichtige gleichstufige Stimmungen, die Pajara unterstützen, sind [[22-EDO]], [[32-EDO]], [[34-EDO]], in Grenzen [[10-EDO]].

Die pentatonische [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] (bis zum Tritonus gehend) hat die Form 1L 4s. s Ist dabei der Generator, also ein "grosser Halbton", und L ein "kleiner Ganzton". Auf eine Oktave verdoppelt, erhält man eine MOS-Skala vom Typ 2L 8s. Diese symmetrische dekatonische Skala sowie eine nahe verwandte vom Typ LsssLsssss enthalten auf natürliche Weise eine Menge der oben genannten Basis-Vierklänge aus den Obertönen 4 bis 7. Beide wurden erfunden bzw. entdeckt von [[Paul_Erlich|Paul Erlich]] und [[Gene_Ward_Smith|Gene Ward Smith]].

[[File:pajarastandardpentachordmajor22edo.mp3]]

Dekatonische Pajara-Skala (ss&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;LsssLsss) in 22-EDO-Stimmung&lt;/span&gt;

Weiterführender Artikel:

Paul Erlich, "Tuning, Tonality and 22-Tone Temperament." Xenharmonicon 17, 1998. [http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf] (in englischer Sprache)  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Paul Erlich|xenwiki/Paul Erlich]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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      <text bytes="653" sha1="6vna8qdyvphiaqbm5vbr6zs3m80oaoh" xml:space="preserve">Personenseiten in diesem Wiki:

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English: [[:en:People xenharmonic/People]]</text>
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Personenseiten in diesem Wiki:
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English: [[xenharmonic/People]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ansonsten siehe [[xenharmonic/People]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Ansonsten siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/People"&amp;gt;xenharmonic/People&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Mike Battaglia</username>
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      <comment>Textersetzung - „(\[\[\:(dev|es|purdal|de|en):[^[:space:]\|]*) (.*])“ durch „$1|$3“</comment>
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      <text bytes="653" sha1="hr7hk94u38lbfkkqjd9lo0mvbo9293r" xml:space="preserve">Personenseiten in diesem Wiki:

&lt;ol&gt;              &lt;li&gt;[[Bernhard_Stopper|Bernhard Stopper]]&lt;/li&gt;                  &lt;li&gt;[[Charles_Lucy|Charles Lucy]]&lt;/li&gt;                  &lt;li&gt;[[Erv_Wilson|Erv Wilson]]&lt;/li&gt;                  &lt;li&gt;[[Gene_Ward_Smith|Gene Ward Smith]]&lt;/li&gt;                  &lt;li&gt;[[Harry_Partch|Harry Partch]]&lt;/li&gt;                  &lt;li&gt;[[Ivor_Darreg|Ivor Darreg]]&lt;/li&gt;                  &lt;li&gt;[[Joe_Monzo|Joe Monzo]]&lt;/li&gt;                  &lt;li&gt;[[Julián_Carrillo|Julián Carrillo]]&lt;/li&gt;                  &lt;li&gt;[[Ozan_Yarman|Ozan Yarman]]&lt;/li&gt;                  &lt;li&gt;[[Paul_Erlich|Paul Erlich]]&lt;/li&gt;      &lt;/ol&gt;

English: [[:en:People|xenharmonic/People]]</text>
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Das Intervall 250/243 ist etwa 49.166 [[Cent|Cents]] gross und erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Die [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur temperiert dieses Intervall aus, es wird dementsprechend auch '''Porcupine-Komma''' genannt.  [[Category:Komma]]
[[Category:Porcupine]]
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Das Intervall 250/243 ist etwa 49.166 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; gross und erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur temperiert dieses Intervall aus, es wird dementsprechend auch &amp;lt;strong&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt.&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextIncludeRule:00 --&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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English: [[:en:250/243|xenharmonic/250_243]]

Das Intervall 250/243 ist etwa 49.166 [[Cent|Cents]] gross und erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Die [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur temperiert dieses Intervall aus, es wird dementsprechend auch '''Porcupine-Komma''' genannt.  [[Category:Komma]]
[[Category:Porcupine]]
[[Category:Weiterleitung]]</text>
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    <title>Porcupine</title>
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      <text bytes="8375" sha1="go9fjyurt8t6jnzyytes6mvrtkyjyuu" xml:space="preserve">&lt;span style="display: block; text-align: right;"&gt;[[:en:Porcupine English]]&lt;/span&gt;
__FORCETOC__
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition=
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250/243|250/243]] (welches entsprechend '''Porcupine-Komma''' heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;(etwa 49.166 [[Cent|Cents]] gross) &lt;/span&gt;&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&lt;/span&gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music Mizarian Porcupine Ouverture], einer Komposition in [[15edo|15edo]] von Herman Miller.

=Grundlegende Eigenschaften=
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala - der Form 7L 1s, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Erweiterung]] von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[File:porcupineotonalmajor22edo.mp3]] [[:File:porcupineotonalmajor22edo.mp3|porcupineotonalmajor22edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

[[File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3]] [[:File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3|porcupinesymmetricminor22edo.mp3]]

Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[:en:Porcupine-x-Musical_examples xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo|22edo]], [[29edo|29edo]], [[37edo|37edo]].

In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]

=Varianten=

==5-Limit-Porcupine==
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine==
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64/63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog==
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50/49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.

MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]

==Nautilus==
Eine weitere 7-Limit-Variante entsteht durch das Austemperieren des Kommas [[49/48|49/48]] (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton).Damit erhält man eine Porcupine-Temperatur, die gleichzeitig eine [[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Semiphor]]-Temperatur ist; für diese Kombination wurde der Name [[Nautilus|Nautilus]] geprägt.

[[Nautilus|Nautilus (separate Seite)]]

==11-Limit-Porcupine==
Eine natürliche Erweiterung von 7-Limit-Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls [[100/99|100/99]] (17.399 Cent, auch '''Ptolemäus-Komma''' genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:

[[File:ValFedozIntro.mp3]] [[:File:ValFedozIntro.mp3|ValFedozIntro.mp3]]

Ausschnitt aus "Val Fedoz" (Hans Straub), Porcupine in 22edo

Der elfte Oberton, das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine "kleine neutrale Sekunde", die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch '''obertonaler''' oder '''otonaler''' Durmodus genannt.

Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine [[15edo|15edo,]] [[22edo|22edo]] und [[37edo|37edo]] sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.

[[29edo|29edo]] hingegen wird nicht als 11-Limit-Porcupine bezeichnet, da es zwar das Ptolemäus-Komma austemperiert, nicht jedoch das Leipziger Komma.

==Weitere Varianten==
Sowohl im 7-Limt wie im 11-Limit (und auch darüber hinaus) gibt es eine Reihe weiterer Kommas, die alternativ (oder zusätzlich) zu den oben erwähnten Kommas austermperiert werden können. Aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten der Porcupine-Temperatur, von denen einige mit separaten Namen versehen wurden. Im [[:en:Porcupine_family englischen Xenharmonic Wiki]] sind diese im Detail beschrieben.  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]


=Definition= 
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend **Porcupine-Komma** heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [[http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music|Mizarian Porcupine Ouverture]], einer Komposition in [[15edo]] von Herman Miller.

=Grundlegende Eigenschaften= 
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala - der Form 7L 1s, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[xenharmonie/Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Erweiterung]] von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]] [[file:porcupineotonalmajor22edo.mp3]]
"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" width="240" height="20"]] [[file:porcupinesymmetricminor22edo.mp3]]
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].

In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]]

=Varianten= 
==5-Limit-Porcupine== 
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine== 
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64_63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog== 
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50_49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]

==Nautilus[[#Nautilus]]== 
Eine weitere 7-Limit-Variante entsteht durch das Austemperieren des Kommas [[49_48|49/48]] (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton).Damit erhält man eine Porcupine-Temperatur, die gleichzeitig eine [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semiphor]]-Temperatur ist; für diese Kombination wurde der Name [[Nautilus]] geprägt.

[[Nautilus|Nautilus (separate Seite)]]

==[[#11-Limit-Porcupine]]11-Limit-Porcupine== 
Eine natürliche Erweiterung von 7-Limit-Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls [[100_99|100/99]] (17.399 Cent, auch **Ptolemäus-Komma** genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:

[[media type="file" key="ValFedozIntro.mp3" width="240" height="20"]] [[file:ValFedozIntro.mp3]]
Ausschnitt aus "Val Fedoz" (Hans Straub), Porcupine in 22edo

Der elfte Oberton, das [[Alphorn-Fa]] (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine "kleine neutrale Sekunde", die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch **obertonaler** oder **otonaler** Durmodus genannt.

Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine [[15edo|15edo,]] [[22edo]] und [[37edo]] sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.
[[29edo]] hingegen wird nicht als 11-Limit-Porcupine bezeichnet, da es zwar das Ptolemäus-Komma austemperiert, nicht jedoch das Leipziger Komma.

==Weitere Varianten== 
Sowohl im 7-Limt wie im 11-Limit (und auch darüber hinaus) gibt es eine Reihe weiterer Kommas, die alternativ (oder zusätzlich) zu den oben erwähnten Kommas austermperiert werden können. Aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten der Porcupine-Temperatur, von denen einige mit separaten Namen versehen wurden. Im [[xenharmonic/Porcupine family|englischen Xenharmonic Wiki]] sind diese im Detail beschrieben.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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 Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala - der Form 7L 1s, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt (und in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine#11-Limit-Porcupine"&amp;gt;11-Limit-Erweiterung&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;amp;quot;Obertonaler&amp;amp;quot; Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:1:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/porcupinesymmetricminor22edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;porcupinesymmetricminor22edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252Fporcupinesymmetricminor22edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:1 --&amp;gt; &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextFileRule:35:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file/porcupinesymmetricminor22edo.mp3?h=52&amp;amp;amp;w=320&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@file@@porcupinesymmetricminor22edo.mp3&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;File: porcupinesymmetricminor22edo.mp3&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;320&amp;amp;quot; height=&amp;amp;quot;52&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="objectEmbed"&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/porcupinesymmetricminor22edo.mp3/445225826/porcupinesymmetricminor22edo.mp3" onclick="ws.common.trackFileLink('/file/view/porcupinesymmetricminor22edo.mp3/445225826/porcupinesymmetricminor22edo.mp3');"&amp;gt;&amp;lt;img src="http://www.wikispaces.com/i/mime/32/audio/mpeg.png" height="32" width="32" alt="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" /&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;div&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/porcupinesymmetricminor22edo.mp3/445225826/porcupinesymmetricminor22edo.mp3" onclick="ws.common.trackFileLink('/file/view/porcupinesymmetricminor22edo.mp3/445225826/porcupinesymmetricminor22edo.mp3');" class="filename" title="porcupinesymmetricminor22edo.mp3"&amp;gt;porcupinesymmetricminor22edo.mp3&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/detail/porcupinesymmetricminor22edo.mp3"&amp;gt;Details&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/porcupinesymmetricminor22edo.mp3/445225826/porcupinesymmetricminor22edo.mp3"&amp;gt;Download&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li style="color: #666"&amp;gt;505 KB&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextFileRule:35 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;Varianten&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-5-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;5-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-7-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;7-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Archytas- oder Leipziger Komma 64/63&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:13:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-Hedgehog"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:13 --&amp;gt;Hedgehog&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;Jubilisma 50/49&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:15:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-Nautilus"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:15 --&amp;gt;Nautilus&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextAnchorRule:32:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/i/anchor.gif&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiAnchor&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;Anchor&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@anchor@@Nautilus&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Anchor: Nautilus&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;a name="Nautilus"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextAnchorRule:32 --&amp;gt;&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine weitere 7-Limit-Variante entsteht durch das Austemperieren des Kommas &amp;lt;a class="wiki_link" href="/49_48"&amp;gt;49/48&amp;lt;/a&amp;gt; (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton).Damit erhält man eine Porcupine-Temperatur, die gleichzeitig eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Semiphor%2C%20Semaphor%2C%20Godzilla"&amp;gt;Semiphor&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur ist; für diese Kombination wurde der Name &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Nautilus"&amp;gt;Nautilus&amp;lt;/a&amp;gt; geprägt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Nautilus"&amp;gt;Nautilus (separate Seite)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:17:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc7"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-11-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextAnchorRule:33:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/i/anchor.gif&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiAnchor&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;Anchor&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@anchor@@11-Limit-Porcupine&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Anchor: 11-Limit-Porcupine&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;a name="11-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextAnchorRule:33 --&amp;gt;11-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine natürliche Erweiterung von 7-Limit-Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls &amp;lt;a class="wiki_link" href="/100_99"&amp;gt;100/99&amp;lt;/a&amp;gt; (17.399 Cent, auch &amp;lt;strong&amp;gt;Ptolemäus-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer &amp;amp;quot;grossen neutralen Sekunde&amp;amp;quot; 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:2:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/ValFedozIntro.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;ValFedozIntro.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252FValFedozIntro.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:2 --&amp;gt; &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextFileRule:36:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file/ValFedozIntro.mp3?h=52&amp;amp;amp;w=320&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@file@@ValFedozIntro.mp3&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;File: ValFedozIntro.mp3&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;320&amp;amp;quot; height=&amp;amp;quot;52&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="objectEmbed"&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/ValFedozIntro.mp3/561869099/ValFedozIntro.mp3" onclick="ws.common.trackFileLink('/file/view/ValFedozIntro.mp3/561869099/ValFedozIntro.mp3');"&amp;gt;&amp;lt;img src="http://www.wikispaces.com/i/mime/32/audio/mpeg.png" height="32" width="32" alt="ValFedozIntro.mp3" /&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;div&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/ValFedozIntro.mp3/561869099/ValFedozIntro.mp3" onclick="ws.common.trackFileLink('/file/view/ValFedozIntro.mp3/561869099/ValFedozIntro.mp3');" class="filename" title="ValFedozIntro.mp3"&amp;gt;ValFedozIntro.mp3&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/detail/ValFedozIntro.mp3"&amp;gt;Details&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/ValFedozIntro.mp3/561869099/ValFedozIntro.mp3"&amp;gt;Download&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li style="color: #666"&amp;gt;635 KB&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextFileRule:36 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Ausschnitt aus &amp;amp;quot;Val Fedoz&amp;amp;quot; (Hans Straub), Porcupine in 22edo&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der elfte Oberton, das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine &amp;amp;quot;kleine neutrale Sekunde&amp;amp;quot;, die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch &amp;lt;strong&amp;gt;obertonaler&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;otonaler&amp;lt;/strong&amp;gt; Durmodus genannt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt; sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen wird nicht als 11-Limit-Porcupine bezeichnet, da es zwar das Ptolemäus-Komma austemperiert, nicht jedoch das Leipziger Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:19:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc8"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-Weitere Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:19 --&amp;gt;Weitere Varianten&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Sowohl im 7-Limt wie im 11-Limit (und auch darüber hinaus) gibt es eine Reihe weiterer Kommas, die alternativ (oder zusätzlich) zu den oben erwähnten Kommas austermperiert werden können. Aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten der Porcupine-Temperatur, von denen einige mit separaten Namen versehen wurden. Im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; sind diese im Detail beschrieben.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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    <revision>
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      <timestamp>2017-05-18T03:17:37Z</timestamp>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-05-18 03:17:37 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Porcupine|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[toc]]
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]


=Definition= 
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend **Porcupine-Komma** heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [[http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music|Mizarian Porcupine Ouverture]], einer Komposition in [[15edo]] von Herman Miller.

=Grundlegende Eigenschaften= 
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala - der Form 7L 1s, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[xenharmonie/Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Erweiterung]] von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]] [[file:porcupineotonalmajor22edo.mp3]]
"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" width="240" height="20"]] [[file:porcupinesymmetricminor22edo.mp3]]
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].

In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]]

=Varianten= 
==5-Limit-Porcupine== 
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine== 
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64_63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog== 
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50_49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]

==Nautilus[[#Nautilus]]== 
Eine weitere 7-Limit-Variante entsteht durch das Austemperieren des Kommas [[49_48|49/48]] (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton).Damit erhält man eine Porcupine-Temperatur, die gleichzeitig eine [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semiphor]]-Temperatur ist; für diese Kombination wurde der Name **Nautilus** geprägt.

Das Austemperieren des Kommas 49/48 hat zur Folge, dass eine Quarte in zwei gleich grosse Teile geteilt wird, während dasselbe mit dem Porcupine-Komma wie weiter oben beschrieben eine Quarte in drei gleiche Teile teilt. Bei Nautilus ist eine Quarte somit in sechs gleiche Teile teilbar - diese Sechstelquarte bildet den Generator von Nautilus (eine Art kleiner Halbton, halb so gross wie ein Porcupine-Generator).

Eine gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung von Nautilus ist [[29edo]].

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]

==[[#11-Limit-Porcupine]]11-Limit-Porcupine== 
Eine natürliche Erweiterung von 7-Limit-Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls [[100_99|100/99]] (17.399 Cent, auch **Ptolemäus-Komma** genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:

[[media type="file" key="ValFedozIntro.mp3" width="240" height="20"]] [[file:ValFedozIntro.mp3]]
Ausschnitt aus "Val Fedoz" (Hans Straub), Porcupine in 22edo

Der elfte Oberton, das [[Alphorn-Fa]] (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine "kleine neutrale Sekunde", die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch **obertonaler** oder **otonaler** Durmodus genannt.

Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine [[15edo|15edo,]] [[22edo]] und [[37edo]] sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.
[[29edo]] hingegen wird nicht als 11-Limit-Porcupine bezeichnet, da es zwar das Ptolemäus-Komma austemperiert, nicht jedoch das Leipziger Komma.

==Weitere Varianten== 
Sowohl im 7-Limt wie im 11-Limit (und auch darüber hinaus) gibt es eine Reihe weiterer Kommas, die alternativ (oder zusätzlich) zu den oben erwähnten Kommas austermperiert werden können. Aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten der Porcupine-Temperatur, von denen einige mit separaten Namen versehen wurden. Im [[xenharmonic/Porcupine family|englischen Xenharmonic Wiki]] sind diese im Detail beschrieben.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:21:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@normal&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaToc&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/normal?w=225&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div id="toc"&amp;gt;&amp;lt;h1 class="nopad"&amp;gt;Table of Contents&amp;lt;/h1&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:21 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:22: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Definition"&amp;gt;Definition&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
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 Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;strong&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music" rel="nofollow"&amp;gt;Mizarian Porcupine Ouverture&amp;lt;/a&amp;gt;, einer Komposition in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt; von Herman Miller.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Grundlegende Eigenschaften"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Grundlegende Eigenschaften&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala - der Form 7L 1s, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt (und in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine#11-Limit-Porcupine"&amp;gt;11-Limit-Erweiterung&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:0:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/porcupineotonalmajor22edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;porcupineotonalmajor22edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252Fporcupineotonalmajor22edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:0 --&amp;gt; &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextFileRule:34:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file/porcupineotonalmajor22edo.mp3?h=52&amp;amp;amp;w=320&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@file@@porcupineotonalmajor22edo.mp3&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;File: porcupineotonalmajor22edo.mp3&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;320&amp;amp;quot; height=&amp;amp;quot;52&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="objectEmbed"&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/porcupineotonalmajor22edo.mp3/445225576/porcupineotonalmajor22edo.mp3" onclick="ws.common.trackFileLink('/file/view/porcupineotonalmajor22edo.mp3/445225576/porcupineotonalmajor22edo.mp3');"&amp;gt;&amp;lt;img src="http://www.wikispaces.com/i/mime/32/audio/mpeg.png" height="32" width="32" alt="porcupineotonalmajor22edo.mp3" /&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;div&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/porcupineotonalmajor22edo.mp3/445225576/porcupineotonalmajor22edo.mp3" onclick="ws.common.trackFileLink('/file/view/porcupineotonalmajor22edo.mp3/445225576/porcupineotonalmajor22edo.mp3');" class="filename" title="porcupineotonalmajor22edo.mp3"&amp;gt;porcupineotonalmajor22edo.mp3&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/detail/porcupineotonalmajor22edo.mp3"&amp;gt;Details&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/porcupineotonalmajor22edo.mp3/445225576/porcupineotonalmajor22edo.mp3"&amp;gt;Download&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li style="color: #666"&amp;gt;566 KB&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextFileRule:34 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;quot;Obertonaler&amp;amp;quot; Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:1:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/porcupinesymmetricminor22edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;porcupinesymmetricminor22edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252Fporcupinesymmetricminor22edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:1 --&amp;gt; &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextFileRule:35:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file/porcupinesymmetricminor22edo.mp3?h=52&amp;amp;amp;w=320&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@file@@porcupinesymmetricminor22edo.mp3&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;File: porcupinesymmetricminor22edo.mp3&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;320&amp;amp;quot; height=&amp;amp;quot;52&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="objectEmbed"&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/porcupinesymmetricminor22edo.mp3/445225826/porcupinesymmetricminor22edo.mp3" onclick="ws.common.trackFileLink('/file/view/porcupinesymmetricminor22edo.mp3/445225826/porcupinesymmetricminor22edo.mp3');"&amp;gt;&amp;lt;img src="http://www.wikispaces.com/i/mime/32/audio/mpeg.png" height="32" width="32" alt="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" /&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;div&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/porcupinesymmetricminor22edo.mp3/445225826/porcupinesymmetricminor22edo.mp3" onclick="ws.common.trackFileLink('/file/view/porcupinesymmetricminor22edo.mp3/445225826/porcupinesymmetricminor22edo.mp3');" class="filename" title="porcupinesymmetricminor22edo.mp3"&amp;gt;porcupinesymmetricminor22edo.mp3&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/detail/porcupinesymmetricminor22edo.mp3"&amp;gt;Details&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/porcupinesymmetricminor22edo.mp3/445225826/porcupinesymmetricminor22edo.mp3"&amp;gt;Download&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li style="color: #666"&amp;gt;505 KB&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextFileRule:35 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;Varianten&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-5-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;5-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-7-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;7-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Archytas- oder Leipziger Komma 64/63&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:13:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-Hedgehog"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:13 --&amp;gt;Hedgehog&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;Jubilisma 50/49&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:15:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-Nautilus"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:15 --&amp;gt;Nautilus&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextAnchorRule:32:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/i/anchor.gif&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiAnchor&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;Anchor&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@anchor@@Nautilus&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Anchor: Nautilus&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;a name="Nautilus"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextAnchorRule:32 --&amp;gt;&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine weitere 7-Limit-Variante entsteht durch das Austemperieren des Kommas &amp;lt;a class="wiki_link" href="/49_48"&amp;gt;49/48&amp;lt;/a&amp;gt; (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton).Damit erhält man eine Porcupine-Temperatur, die gleichzeitig eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Semiphor%2C%20Semaphor%2C%20Godzilla"&amp;gt;Semiphor&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur ist; für diese Kombination wurde der Name &amp;lt;strong&amp;gt;Nautilus&amp;lt;/strong&amp;gt; geprägt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Austemperieren des Kommas 49/48 hat zur Folge, dass eine Quarte in zwei gleich grosse Teile geteilt wird, während dasselbe mit dem Porcupine-Komma wie weiter oben beschrieben eine Quarte in drei gleiche Teile teilt. Bei Nautilus ist eine Quarte somit in sechs gleiche Teile teilbar - diese Sechstelquarte bildet den Generator von Nautilus (eine Art kleiner Halbton, halb so gross wie ein Porcupine-Generator).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine gute &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Realisierung von Nautilus ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:17:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc7"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-11-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextAnchorRule:33:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/i/anchor.gif&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiAnchor&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;Anchor&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@anchor@@11-Limit-Porcupine&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Anchor: 11-Limit-Porcupine&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;a name="11-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextAnchorRule:33 --&amp;gt;11-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine natürliche Erweiterung von 7-Limit-Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls &amp;lt;a class="wiki_link" href="/100_99"&amp;gt;100/99&amp;lt;/a&amp;gt; (17.399 Cent, auch &amp;lt;strong&amp;gt;Ptolemäus-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer &amp;amp;quot;grossen neutralen Sekunde&amp;amp;quot; 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:2:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/ValFedozIntro.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;ValFedozIntro.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252FValFedozIntro.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:2 --&amp;gt; &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextFileRule:36:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file/ValFedozIntro.mp3?h=52&amp;amp;amp;w=320&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@file@@ValFedozIntro.mp3&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;File: ValFedozIntro.mp3&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;320&amp;amp;quot; height=&amp;amp;quot;52&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="objectEmbed"&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/ValFedozIntro.mp3/561869099/ValFedozIntro.mp3" onclick="ws.common.trackFileLink('/file/view/ValFedozIntro.mp3/561869099/ValFedozIntro.mp3');"&amp;gt;&amp;lt;img src="http://www.wikispaces.com/i/mime/32/audio/mpeg.png" height="32" width="32" alt="ValFedozIntro.mp3" /&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;div&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/ValFedozIntro.mp3/561869099/ValFedozIntro.mp3" onclick="ws.common.trackFileLink('/file/view/ValFedozIntro.mp3/561869099/ValFedozIntro.mp3');" class="filename" title="ValFedozIntro.mp3"&amp;gt;ValFedozIntro.mp3&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/detail/ValFedozIntro.mp3"&amp;gt;Details&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/ValFedozIntro.mp3/561869099/ValFedozIntro.mp3"&amp;gt;Download&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li style="color: #666"&amp;gt;635 KB&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextFileRule:36 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Ausschnitt aus &amp;amp;quot;Val Fedoz&amp;amp;quot; (Hans Straub), Porcupine in 22edo&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der elfte Oberton, das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine &amp;amp;quot;kleine neutrale Sekunde&amp;amp;quot;, die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch &amp;lt;strong&amp;gt;obertonaler&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;otonaler&amp;lt;/strong&amp;gt; Durmodus genannt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt; sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen wird nicht als 11-Limit-Porcupine bezeichnet, da es zwar das Ptolemäus-Komma austemperiert, nicht jedoch das Leipziger Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:19:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc8"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-Weitere Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:19 --&amp;gt;Weitere Varianten&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Sowohl im 7-Limt wie im 11-Limit (und auch darüber hinaus) gibt es eine Reihe weiterer Kommas, die alternativ (oder zusätzlich) zu den oben erwähnten Kommas austermperiert werden können. Aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten der Porcupine-Temperatur, von denen einige mit separaten Namen versehen wurden. Im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; sind diese im Detail beschrieben.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-05-18 03:13:23 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Porcupine|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[toc]]
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]


=Definition= 
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend **Porcupine-Komma** heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [[http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music|Mizarian Porcupine Ouverture]], einer Komposition in [[15edo]] von Herman Miller.

=Grundlegende Eigenschaften= 
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala - der Form 7L 1s, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[xenharmonie/Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Erweiterung]] von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]] [[file:porcupineotonalmajor22edo.mp3]]
"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" width="240" height="20"]] [[file:porcupinesymmetricminor22edo.mp3]]
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].

In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]]

=Varianten= 
==5-Limit-Porcupine== 
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine== 
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64_63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog== 
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50_49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]

==Nautilus[[#Nautilus]]== 
Eine weitere 7-Limit-Variante entsteht durch das Austemperieren des Kommas [[49_48|49/48]] (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton).Damit erhält man eine Porcupine-Temperatur, die gleichzeitig eine [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semiphor]]-Temperatur ist; für diese Kombination wurde der Name **Nautilus** geprägt.

Das Austemperieren des Kommas 49/48 hat zur Folge, dass eine Quarte in zwei gleich grosse Teile geteilt wird, während dasselbe mit dem Porcupine-Komma wie weiter oben beschrieben eine Quarte in drei gleiche Teile teilt. Bei Nautilus ist eine Quarte somit in sechs gleiche Teile teilbar - diese Sechstelquarte bildet den Generator von Nautilus (eine Art kleiner Halbton, halb so gross wie ein Porcupine-Generator).

Eine gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung von Nautilus ist [[29edo]].

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]

==[[#11-Limit-Porcupine]]11-Limit-Porcupine== 
Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls [[100_99|100/99]] (17.399 Cent, auch **Ptolemäus-Komma** genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:

[[media type="file" key="ValFedozIntro.mp3" width="240" height="20"]] [[file:ValFedozIntro.mp3]]
Ausschnitt aus "Val Fedoz" (Hans Straub), Porcupine in 22edo

Der elfte Oberton, das [[Alphorn-Fa]] (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine "kleine neutrale Sekunde", die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch **obertonaler** oder **otonaler** Durmodus genannt.

Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine [[15edo|15edo,]] [[22edo]] und [[37edo]] sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.
[[29edo]] hingegen wird nicht als 11-Limit-Porcupine bezeichnet, da es zwar das Ptolemäus-Komma austemperiert, nicht jedoch das Leipziger Komma.

==Weitere Varianten== 
Sowohl im 7-Limt wie im 11-Limit (und auch darüber hinaus) gibt es eine Reihe weiterer Kommas, die alternativ (oder zusätzlich) zu den oben erwähnten Kommas austermperiert werden können. Aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten der Porcupine-Temperatur, von denen einige mit separaten Namen versehen wurden. Im [[xenharmonic/Porcupine family|englischen Xenharmonic Wiki]] sind diese im Detail beschrieben.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:21:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@normal&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaToc&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/normal?w=225&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div id="toc"&amp;gt;&amp;lt;h1 class="nopad"&amp;gt;Table of Contents&amp;lt;/h1&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:21 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:22: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Definition"&amp;gt;Definition&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:22 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:23: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Grundlegende Eigenschaften"&amp;gt;Grundlegende Eigenschaften&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:23 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:24: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Varianten"&amp;gt;Varianten&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:24 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:25: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 2em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Varianten-5-Limit-Porcupine"&amp;gt;5-Limit-Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:25 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:26: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 2em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Varianten-7-Limit-Porcupine"&amp;gt;7-Limit-Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:26 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:27: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 2em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Varianten-Hedgehog"&amp;gt;Hedgehog&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:27 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:28: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 2em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Varianten-Nautilus"&amp;gt;Nautilus&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:28 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:29: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 2em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Varianten-11-Limit-Porcupine"&amp;gt;11-Limit-Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:29 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:30: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 2em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Varianten-Weitere Varianten"&amp;gt;Weitere Varianten&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:30 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:31: --&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:31 --&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Definition"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Definition&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;strong&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music" rel="nofollow"&amp;gt;Mizarian Porcupine Ouverture&amp;lt;/a&amp;gt;, einer Komposition in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt; von Herman Miller.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Grundlegende Eigenschaften"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Grundlegende Eigenschaften&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala - der Form 7L 1s, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt (und in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine#11-Limit-Porcupine"&amp;gt;11-Limit-Erweiterung&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:0:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/porcupineotonalmajor22edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;porcupineotonalmajor22edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252Fporcupineotonalmajor22edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:0 --&amp;gt; &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextFileRule:34:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file/porcupineotonalmajor22edo.mp3?h=52&amp;amp;amp;w=320&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@file@@porcupineotonalmajor22edo.mp3&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;File: porcupineotonalmajor22edo.mp3&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;320&amp;amp;quot; height=&amp;amp;quot;52&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="objectEmbed"&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/porcupineotonalmajor22edo.mp3/445225576/porcupineotonalmajor22edo.mp3" onclick="ws.common.trackFileLink('/file/view/porcupineotonalmajor22edo.mp3/445225576/porcupineotonalmajor22edo.mp3');"&amp;gt;&amp;lt;img src="http://www.wikispaces.com/i/mime/32/audio/mpeg.png" height="32" width="32" alt="porcupineotonalmajor22edo.mp3" /&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;div&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/porcupineotonalmajor22edo.mp3/445225576/porcupineotonalmajor22edo.mp3" onclick="ws.common.trackFileLink('/file/view/porcupineotonalmajor22edo.mp3/445225576/porcupineotonalmajor22edo.mp3');" class="filename" title="porcupineotonalmajor22edo.mp3"&amp;gt;porcupineotonalmajor22edo.mp3&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/detail/porcupineotonalmajor22edo.mp3"&amp;gt;Details&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/porcupineotonalmajor22edo.mp3/445225576/porcupineotonalmajor22edo.mp3"&amp;gt;Download&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li style="color: #666"&amp;gt;566 KB&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextFileRule:34 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;quot;Obertonaler&amp;amp;quot; Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:1:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/porcupinesymmetricminor22edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;porcupinesymmetricminor22edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252Fporcupinesymmetricminor22edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:1 --&amp;gt; &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextFileRule:35:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file/porcupinesymmetricminor22edo.mp3?h=52&amp;amp;amp;w=320&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@file@@porcupinesymmetricminor22edo.mp3&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;File: porcupinesymmetricminor22edo.mp3&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;320&amp;amp;quot; height=&amp;amp;quot;52&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="objectEmbed"&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/porcupinesymmetricminor22edo.mp3/445225826/porcupinesymmetricminor22edo.mp3" onclick="ws.common.trackFileLink('/file/view/porcupinesymmetricminor22edo.mp3/445225826/porcupinesymmetricminor22edo.mp3');"&amp;gt;&amp;lt;img src="http://www.wikispaces.com/i/mime/32/audio/mpeg.png" height="32" width="32" alt="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" /&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;div&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/porcupinesymmetricminor22edo.mp3/445225826/porcupinesymmetricminor22edo.mp3" onclick="ws.common.trackFileLink('/file/view/porcupinesymmetricminor22edo.mp3/445225826/porcupinesymmetricminor22edo.mp3');" class="filename" title="porcupinesymmetricminor22edo.mp3"&amp;gt;porcupinesymmetricminor22edo.mp3&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/detail/porcupinesymmetricminor22edo.mp3"&amp;gt;Details&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/porcupinesymmetricminor22edo.mp3/445225826/porcupinesymmetricminor22edo.mp3"&amp;gt;Download&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li style="color: #666"&amp;gt;505 KB&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextFileRule:35 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;Varianten&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-5-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;5-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-7-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;7-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Archytas- oder Leipziger Komma 64/63&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:13:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-Hedgehog"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:13 --&amp;gt;Hedgehog&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;Jubilisma 50/49&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:15:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-Nautilus"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:15 --&amp;gt;Nautilus&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextAnchorRule:32:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/i/anchor.gif&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiAnchor&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;Anchor&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@anchor@@Nautilus&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Anchor: Nautilus&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;a name="Nautilus"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextAnchorRule:32 --&amp;gt;&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine weitere 7-Limit-Variante entsteht durch das Austemperieren des Kommas &amp;lt;a class="wiki_link" href="/49_48"&amp;gt;49/48&amp;lt;/a&amp;gt; (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton).Damit erhält man eine Porcupine-Temperatur, die gleichzeitig eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Semiphor%2C%20Semaphor%2C%20Godzilla"&amp;gt;Semiphor&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur ist; für diese Kombination wurde der Name &amp;lt;strong&amp;gt;Nautilus&amp;lt;/strong&amp;gt; geprägt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Austemperieren des Kommas 49/48 hat zur Folge, dass eine Quarte in zwei gleich grosse Teile geteilt wird, während dasselbe mit dem Porcupine-Komma wie weiter oben beschrieben eine Quarte in drei gleiche Teile teilt. Bei Nautilus ist eine Quarte somit in sechs gleiche Teile teilbar - diese Sechstelquarte bildet den Generator von Nautilus (eine Art kleiner Halbton, halb so gross wie ein Porcupine-Generator).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine gute &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Realisierung von Nautilus ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:17:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc7"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-11-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextAnchorRule:33:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/i/anchor.gif&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiAnchor&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;Anchor&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@anchor@@11-Limit-Porcupine&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Anchor: 11-Limit-Porcupine&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;a name="11-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextAnchorRule:33 --&amp;gt;11-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls &amp;lt;a class="wiki_link" href="/100_99"&amp;gt;100/99&amp;lt;/a&amp;gt; (17.399 Cent, auch &amp;lt;strong&amp;gt;Ptolemäus-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer &amp;amp;quot;grossen neutralen Sekunde&amp;amp;quot; 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ausschnitt aus &amp;amp;quot;Val Fedoz&amp;amp;quot; (Hans Straub), Porcupine in 22edo&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der elfte Oberton, das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine &amp;amp;quot;kleine neutrale Sekunde&amp;amp;quot;, die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch &amp;lt;strong&amp;gt;obertonaler&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;otonaler&amp;lt;/strong&amp;gt; Durmodus genannt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt; sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen wird nicht als 11-Limit-Porcupine bezeichnet, da es zwar das Ptolemäus-Komma austemperiert, nicht jedoch das Leipziger Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:19:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc8"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-Weitere Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:19 --&amp;gt;Weitere Varianten&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Sowohl im 7-Limt wie im 11-Limit (und auch darüber hinaus) gibt es eine Reihe weiterer Kommas, die alternativ (oder zusätzlich) zu den oben erwähnten Kommas austermperiert werden können. Aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten der Porcupine-Temperatur, von denen einige mit separaten Namen versehen wurden. Im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; sind diese im Detail beschrieben.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Porcupine|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[toc]]
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]


=Definition= 
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend **Porcupine-Komma** heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [[http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music|Mizarian Porcupine Ouverture]], einer Komposition in [[15edo]] von Herman Miller.

=Grundlegende Eigenschaften= 
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala - der Form 7L 1s, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[xenharmonie/Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Erweiterung]] von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]] [[file:porcupineotonalmajor22edo.mp3]]
"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" width="240" height="20"]] [[file:porcupinesymmetricminor22edo.mp3]]
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].

In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]]

=Varianten= 
==5-Limit-Porcupine== 
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine== 
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64_63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog== 
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50_49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]

==Nautilus== 
Eine weitere 7-Limit-Variante entsteht durch das Austemperieren des Kommas [[49_48|49/48]] (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton).Damit erhält man eine Porcupine-Temperatur, die gleichzeitig eine [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semiphor]]-Temperatur ist; für diese Kombination wurde der Name **Nautilus** geprägt.

Das Austemperieren des Kommas 49/48 hat zur Folge, dass eine Quarte in zwei gleich grosse Teile geteilt wird, während dasselbe mit dem Porcupine-Komma wie weiter oben beschrieben eine Quarte in drei gleiche Teile teilt. Bei Nautilus ist eine Quarte somit in sechs gleiche Teile teilbar - diese Sechstelquarte bildet den Generator von Nautilus (eine Art kleiner Halbton, halb so gross wie ein Porcupine-Generator).

Eine gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung von Nautilus ist [[29edo]].

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]

==[[#11-Limit-Porcupine]]11-Limit-Porcupine== 
Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls [[100_99|100/99]] (17.399 Cent, auch **Ptolemäus-Komma** genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:

[[media type="file" key="ValFedozIntro.mp3" width="240" height="20"]] [[file:ValFedozIntro.mp3]]
Ausschnitt aus "Val Fedoz" (Hans Straub), Porcupine in 22edo

Der elfte Oberton, das [[Alphorn-Fa]] (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine "kleine neutrale Sekunde", die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch **obertonaler** oder **otonaler** Durmodus genannt.

Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine [[15edo|15edo,]] [[22edo]] und [[37edo]] sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.
[[29edo]] hingegen wird nicht als 11-Limit-Porcupine bezeichnet, da es zwar das Ptolemäus-Komma austemperiert, nicht jedoch das Leipziger Komma.

==Weitere Varianten== 
Sowohl im 7-Limt wie im 11-Limit (und auch darüber hinaus) gibt es eine Reihe weiterer Kommas, die alternativ (oder zusätzlich) zu den oben erwähnten Kommas austermperiert werden können. Aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten der Porcupine-Temperatur, von denen einige mit separaten Namen versehen wurden. Im [[xenharmonic/Porcupine family|englischen Xenharmonic Wiki]] sind diese im Detail beschrieben.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:21:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@normal&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaToc&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/normal?w=225&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div id="toc"&amp;gt;&amp;lt;h1 class="nopad"&amp;gt;Table of Contents&amp;lt;/h1&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:21 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:22: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Definition"&amp;gt;Definition&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
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 Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;strong&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music" rel="nofollow"&amp;gt;Mizarian Porcupine Ouverture&amp;lt;/a&amp;gt;, einer Komposition in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt; von Herman Miller.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Grundlegende Eigenschaften"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Grundlegende Eigenschaften&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala - der Form 7L 1s, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt (und in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine#11-Limit-Porcupine"&amp;gt;11-Limit-Erweiterung&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:0:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/porcupineotonalmajor22edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;porcupineotonalmajor22edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252Fporcupineotonalmajor22edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:0 --&amp;gt; &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextFileRule:33:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file/porcupineotonalmajor22edo.mp3?h=52&amp;amp;amp;w=320&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@file@@porcupineotonalmajor22edo.mp3&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;File: porcupineotonalmajor22edo.mp3&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;320&amp;amp;quot; height=&amp;amp;quot;52&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="objectEmbed"&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/porcupineotonalmajor22edo.mp3/445225576/porcupineotonalmajor22edo.mp3" onclick="ws.common.trackFileLink('/file/view/porcupineotonalmajor22edo.mp3/445225576/porcupineotonalmajor22edo.mp3');"&amp;gt;&amp;lt;img src="http://www.wikispaces.com/i/mime/32/audio/mpeg.png" height="32" width="32" alt="porcupineotonalmajor22edo.mp3" /&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;div&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/porcupineotonalmajor22edo.mp3/445225576/porcupineotonalmajor22edo.mp3" onclick="ws.common.trackFileLink('/file/view/porcupineotonalmajor22edo.mp3/445225576/porcupineotonalmajor22edo.mp3');" class="filename" title="porcupineotonalmajor22edo.mp3"&amp;gt;porcupineotonalmajor22edo.mp3&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/detail/porcupineotonalmajor22edo.mp3"&amp;gt;Details&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/porcupineotonalmajor22edo.mp3/445225576/porcupineotonalmajor22edo.mp3"&amp;gt;Download&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li style="color: #666"&amp;gt;566 KB&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextFileRule:33 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;quot;Obertonaler&amp;amp;quot; Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:1:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/porcupinesymmetricminor22edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;porcupinesymmetricminor22edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252Fporcupinesymmetricminor22edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:1 --&amp;gt; &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextFileRule:34:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file/porcupinesymmetricminor22edo.mp3?h=52&amp;amp;amp;w=320&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@file@@porcupinesymmetricminor22edo.mp3&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;File: porcupinesymmetricminor22edo.mp3&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;320&amp;amp;quot; height=&amp;amp;quot;52&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="objectEmbed"&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/porcupinesymmetricminor22edo.mp3/445225826/porcupinesymmetricminor22edo.mp3" onclick="ws.common.trackFileLink('/file/view/porcupinesymmetricminor22edo.mp3/445225826/porcupinesymmetricminor22edo.mp3');"&amp;gt;&amp;lt;img src="http://www.wikispaces.com/i/mime/32/audio/mpeg.png" height="32" width="32" alt="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" /&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;div&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/porcupinesymmetricminor22edo.mp3/445225826/porcupinesymmetricminor22edo.mp3" onclick="ws.common.trackFileLink('/file/view/porcupinesymmetricminor22edo.mp3/445225826/porcupinesymmetricminor22edo.mp3');" class="filename" title="porcupinesymmetricminor22edo.mp3"&amp;gt;porcupinesymmetricminor22edo.mp3&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/detail/porcupinesymmetricminor22edo.mp3"&amp;gt;Details&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/porcupinesymmetricminor22edo.mp3/445225826/porcupinesymmetricminor22edo.mp3"&amp;gt;Download&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li style="color: #666"&amp;gt;505 KB&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextFileRule:34 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;Varianten&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-5-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;5-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-7-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;7-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Archytas- oder Leipziger Komma 64/63&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:13:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-Hedgehog"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:13 --&amp;gt;Hedgehog&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;Jubilisma 50/49&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:15:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-Nautilus"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:15 --&amp;gt;Nautilus&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine weitere 7-Limit-Variante entsteht durch das Austemperieren des Kommas &amp;lt;a class="wiki_link" href="/49_48"&amp;gt;49/48&amp;lt;/a&amp;gt; (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton).Damit erhält man eine Porcupine-Temperatur, die gleichzeitig eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Semiphor%2C%20Semaphor%2C%20Godzilla"&amp;gt;Semiphor&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur ist; für diese Kombination wurde der Name &amp;lt;strong&amp;gt;Nautilus&amp;lt;/strong&amp;gt; geprägt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Austemperieren des Kommas 49/48 hat zur Folge, dass eine Quarte in zwei gleich grosse Teile geteilt wird, während dasselbe mit dem Porcupine-Komma wie weiter oben beschrieben eine Quarte in drei gleiche Teile teilt. Bei Nautilus ist eine Quarte somit in sechs gleiche Teile teilbar - diese Sechstelquarte bildet den Generator von Nautilus (eine Art kleiner Halbton, halb so gross wie ein Porcupine-Generator).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine gute &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Realisierung von Nautilus ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:17:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc7"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-11-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextAnchorRule:32:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/i/anchor.gif&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiAnchor&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;Anchor&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@anchor@@11-Limit-Porcupine&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Anchor: 11-Limit-Porcupine&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;a name="11-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextAnchorRule:32 --&amp;gt;11-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls &amp;lt;a class="wiki_link" href="/100_99"&amp;gt;100/99&amp;lt;/a&amp;gt; (17.399 Cent, auch &amp;lt;strong&amp;gt;Ptolemäus-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer &amp;amp;quot;grossen neutralen Sekunde&amp;amp;quot; 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:2:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/ValFedozIntro.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;ValFedozIntro.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252FValFedozIntro.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:2 --&amp;gt; &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextFileRule:35:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file/ValFedozIntro.mp3?h=52&amp;amp;amp;w=320&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@file@@ValFedozIntro.mp3&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;File: ValFedozIntro.mp3&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;320&amp;amp;quot; height=&amp;amp;quot;52&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="objectEmbed"&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/ValFedozIntro.mp3/561869099/ValFedozIntro.mp3" onclick="ws.common.trackFileLink('/file/view/ValFedozIntro.mp3/561869099/ValFedozIntro.mp3');"&amp;gt;&amp;lt;img src="http://www.wikispaces.com/i/mime/32/audio/mpeg.png" height="32" width="32" alt="ValFedozIntro.mp3" /&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;div&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/ValFedozIntro.mp3/561869099/ValFedozIntro.mp3" onclick="ws.common.trackFileLink('/file/view/ValFedozIntro.mp3/561869099/ValFedozIntro.mp3');" class="filename" title="ValFedozIntro.mp3"&amp;gt;ValFedozIntro.mp3&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/detail/ValFedozIntro.mp3"&amp;gt;Details&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/ValFedozIntro.mp3/561869099/ValFedozIntro.mp3"&amp;gt;Download&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li style="color: #666"&amp;gt;635 KB&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextFileRule:35 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Ausschnitt aus &amp;amp;quot;Val Fedoz&amp;amp;quot; (Hans Straub), Porcupine in 22edo&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der elfte Oberton, das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine &amp;amp;quot;kleine neutrale Sekunde&amp;amp;quot;, die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch &amp;lt;strong&amp;gt;obertonaler&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;otonaler&amp;lt;/strong&amp;gt; Durmodus genannt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt; sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen wird nicht als 11-Limit-Porcupine bezeichnet, da es zwar das Ptolemäus-Komma austemperiert, nicht jedoch das Leipziger Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:19:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc8"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-Weitere Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:19 --&amp;gt;Weitere Varianten&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Sowohl im 7-Limt wie im 11-Limit (und auch darüber hinaus) gibt es eine Reihe weiterer Kommas, die alternativ (oder zusätzlich) zu den oben erwähnten Kommas austermperiert werden können. Aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten der Porcupine-Temperatur, von denen einige mit separaten Namen versehen wurden. Im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; sind diese im Detail beschrieben.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[toc]]
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]


=Definition= 
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend **Porcupine-Komma** heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [[http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music|Mizarian Porcupine Ouverture]], einer Komposition in [[15edo]] von Herman Miller.

=Grundlegende Eigenschaften= 
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala - der Form 7L 1s, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[xenharmonie/Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Erweiterung]] von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]] [[file:porcupineotonalmajor22edo.mp3]]
"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" width="240" height="20"]] [[file:porcupinesymmetricminor22edo.mp3]]
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].

In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]]

=Varianten= 
==5-Limit-Porcupine== 
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine== 
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64_63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog== 
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50_49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]

==Nautilus== 
eine weitere 7-Limit-Variante entsteht durch das Austemperieren des Kommas [[49_48|49/48]] (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton).Damit erhält man eine Porcupine-Temperatur, die gleichzeitig eine [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semiphor]]-Temperatur ist; für diese Kombination wurde der Name **Nautilus** geprägt.

Das Austemperieren des Kommas 49/48 hat zur Folge, dass eine Quarte in zwei gleich grosse Teile geteilt wird, während dasselbe mit dem Porcupine-Komma wie weiter oben beschrieben eine Quarte in drei gleiche Teile teilt. Bei Nautilus ist eine Quarte somit in sechs gleiche Teile teilbar - diese Sechstelquarte bildet den Generator von Nautilus (eine Art kleiner Halbton, halb so gross wie ein Porcupine-Generator).

Eine gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung von Nautilus ist [[29edo]].

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]

==[[#11-Limit-Porcupine]]11-Limit-Porcupine== 
Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls [[100_99|100/99]] (17.399 Cent, auch **Ptolemäus-Komma** genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:

[[media type="file" key="ValFedozIntro.mp3" width="240" height="20"]] [[file:ValFedozIntro.mp3]]
Ausschnitt aus "Val Fedoz" (Hans Straub), Porcupine in 22edo

Der elfte Oberton, das [[Alphorn-Fa]] (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine "kleine neutrale Sekunde", die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch **obertonaler** oder **otonaler** Durmodus genannt.

Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine [[15edo|15edo,]] [[22edo]] und [[37edo]] sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.
[[29edo]] hingegen wird nicht als 11-Limit-Porcupine bezeichnet, da es zwar das Ptolemäus-Komma austemperiert, nicht jedoch das Leipziger Komma.

==Weitere Varianten== 
Sowohl im 7-Limt wie im 11-Limit (und auch darüber hinaus) gibt es eine Reihe weiterer Kommas, die alternativ (oder zusätzlich) zu den oben erwähnten Kommas austermperiert werden können. Aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten der Porcupine-Temperatur, von denen einige mit separaten Namen versehen wurden. Im [[xenharmonic/Porcupine family|englischen Xenharmonic Wiki]] sind diese im Detail beschrieben.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music" rel="nofollow"&amp;gt;Mizarian Porcupine Ouverture&amp;lt;/a&amp;gt;, einer Komposition in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt; von Herman Miller.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala - der Form 7L 1s, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt (und in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine#11-Limit-Porcupine"&amp;gt;11-Limit-Erweiterung&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:0:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/porcupineotonalmajor22edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;porcupineotonalmajor22edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252Fporcupineotonalmajor22edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:0 --&amp;gt; &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextFileRule:33:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file/porcupineotonalmajor22edo.mp3?h=52&amp;amp;amp;w=320&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@file@@porcupineotonalmajor22edo.mp3&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;File: porcupineotonalmajor22edo.mp3&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;320&amp;amp;quot; height=&amp;amp;quot;52&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="objectEmbed"&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/porcupineotonalmajor22edo.mp3/445225576/porcupineotonalmajor22edo.mp3" onclick="ws.common.trackFileLink('/file/view/porcupineotonalmajor22edo.mp3/445225576/porcupineotonalmajor22edo.mp3');"&amp;gt;&amp;lt;img src="http://www.wikispaces.com/i/mime/32/audio/mpeg.png" height="32" width="32" alt="porcupineotonalmajor22edo.mp3" /&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;div&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/porcupineotonalmajor22edo.mp3/445225576/porcupineotonalmajor22edo.mp3" onclick="ws.common.trackFileLink('/file/view/porcupineotonalmajor22edo.mp3/445225576/porcupineotonalmajor22edo.mp3');" class="filename" title="porcupineotonalmajor22edo.mp3"&amp;gt;porcupineotonalmajor22edo.mp3&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/detail/porcupineotonalmajor22edo.mp3"&amp;gt;Details&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/porcupineotonalmajor22edo.mp3/445225576/porcupineotonalmajor22edo.mp3"&amp;gt;Download&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li style="color: #666"&amp;gt;566 KB&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextFileRule:33 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;quot;Obertonaler&amp;amp;quot; Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:1:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/porcupinesymmetricminor22edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;porcupinesymmetricminor22edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252Fporcupinesymmetricminor22edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:1 --&amp;gt; &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextFileRule:34:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file/porcupinesymmetricminor22edo.mp3?h=52&amp;amp;amp;w=320&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@file@@porcupinesymmetricminor22edo.mp3&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;File: porcupinesymmetricminor22edo.mp3&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;320&amp;amp;quot; height=&amp;amp;quot;52&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="objectEmbed"&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/porcupinesymmetricminor22edo.mp3/445225826/porcupinesymmetricminor22edo.mp3" onclick="ws.common.trackFileLink('/file/view/porcupinesymmetricminor22edo.mp3/445225826/porcupinesymmetricminor22edo.mp3');"&amp;gt;&amp;lt;img src="http://www.wikispaces.com/i/mime/32/audio/mpeg.png" height="32" width="32" alt="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" /&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;div&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/porcupinesymmetricminor22edo.mp3/445225826/porcupinesymmetricminor22edo.mp3" onclick="ws.common.trackFileLink('/file/view/porcupinesymmetricminor22edo.mp3/445225826/porcupinesymmetricminor22edo.mp3');" class="filename" title="porcupinesymmetricminor22edo.mp3"&amp;gt;porcupinesymmetricminor22edo.mp3&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/detail/porcupinesymmetricminor22edo.mp3"&amp;gt;Details&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/porcupinesymmetricminor22edo.mp3/445225826/porcupinesymmetricminor22edo.mp3"&amp;gt;Download&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li style="color: #666"&amp;gt;505 KB&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextFileRule:34 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;Varianten&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-5-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;5-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-7-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;7-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Archytas- oder Leipziger Komma 64/63&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:13:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-Hedgehog"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:13 --&amp;gt;Hedgehog&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;Jubilisma 50/49&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:15:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-Nautilus"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:15 --&amp;gt;Nautilus&amp;lt;/h2&amp;gt;
 eine weitere 7-Limit-Variante entsteht durch das Austemperieren des Kommas &amp;lt;a class="wiki_link" href="/49_48"&amp;gt;49/48&amp;lt;/a&amp;gt; (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton).Damit erhält man eine Porcupine-Temperatur, die gleichzeitig eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Semiphor%2C%20Semaphor%2C%20Godzilla"&amp;gt;Semiphor&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur ist; für diese Kombination wurde der Name &amp;lt;strong&amp;gt;Nautilus&amp;lt;/strong&amp;gt; geprägt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Austemperieren des Kommas 49/48 hat zur Folge, dass eine Quarte in zwei gleich grosse Teile geteilt wird, während dasselbe mit dem Porcupine-Komma wie weiter oben beschrieben eine Quarte in drei gleiche Teile teilt. Bei Nautilus ist eine Quarte somit in sechs gleiche Teile teilbar - diese Sechstelquarte bildet den Generator von Nautilus (eine Art kleiner Halbton, halb so gross wie ein Porcupine-Generator).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine gute &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Realisierung von Nautilus ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:17:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc7"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-11-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextAnchorRule:32:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/i/anchor.gif&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiAnchor&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;Anchor&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@anchor@@11-Limit-Porcupine&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Anchor: 11-Limit-Porcupine&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;a name="11-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextAnchorRule:32 --&amp;gt;11-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls &amp;lt;a class="wiki_link" href="/100_99"&amp;gt;100/99&amp;lt;/a&amp;gt; (17.399 Cent, auch &amp;lt;strong&amp;gt;Ptolemäus-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer &amp;amp;quot;grossen neutralen Sekunde&amp;amp;quot; 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:2:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/ValFedozIntro.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;ValFedozIntro.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252FValFedozIntro.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:2 --&amp;gt; &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextFileRule:35:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file/ValFedozIntro.mp3?h=52&amp;amp;amp;w=320&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@file@@ValFedozIntro.mp3&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;File: ValFedozIntro.mp3&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;320&amp;amp;quot; height=&amp;amp;quot;52&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="objectEmbed"&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/ValFedozIntro.mp3/561869099/ValFedozIntro.mp3" onclick="ws.common.trackFileLink('/file/view/ValFedozIntro.mp3/561869099/ValFedozIntro.mp3');"&amp;gt;&amp;lt;img src="http://www.wikispaces.com/i/mime/32/audio/mpeg.png" height="32" width="32" alt="ValFedozIntro.mp3" /&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;div&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/ValFedozIntro.mp3/561869099/ValFedozIntro.mp3" onclick="ws.common.trackFileLink('/file/view/ValFedozIntro.mp3/561869099/ValFedozIntro.mp3');" class="filename" title="ValFedozIntro.mp3"&amp;gt;ValFedozIntro.mp3&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/detail/ValFedozIntro.mp3"&amp;gt;Details&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/ValFedozIntro.mp3/561869099/ValFedozIntro.mp3"&amp;gt;Download&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li style="color: #666"&amp;gt;635 KB&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextFileRule:35 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Ausschnitt aus &amp;amp;quot;Val Fedoz&amp;amp;quot; (Hans Straub), Porcupine in 22edo&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der elfte Oberton, das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine &amp;amp;quot;kleine neutrale Sekunde&amp;amp;quot;, die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch &amp;lt;strong&amp;gt;obertonaler&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;otonaler&amp;lt;/strong&amp;gt; Durmodus genannt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt; sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen wird nicht als 11-Limit-Porcupine bezeichnet, da es zwar das Ptolemäus-Komma austemperiert, nicht jedoch das Leipziger Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:19:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc8"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-Weitere Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:19 --&amp;gt;Weitere Varianten&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Sowohl im 7-Limt wie im 11-Limit (und auch darüber hinaus) gibt es eine Reihe weiterer Kommas, die alternativ (oder zusätzlich) zu den oben erwähnten Kommas austermperiert werden können. Aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten der Porcupine-Temperatur, von denen einige mit separaten Namen versehen wurden. Im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; sind diese im Detail beschrieben.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Porcupine|English]]
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]


=Definition= 
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend **Porcupine-Komma** heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [[http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music|Mizarian Porcupine Ouverture]], einer Komposition in [[15edo]] von Herman Miller.

=Grundlegende Eigenschaften= 
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala - der Form 7L 1s, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[xenharmonie/Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Erweiterung]] von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]] [[file:porcupineotonalmajor22edo.mp3]]
"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" width="240" height="20"]] [[file:porcupinesymmetricminor22edo.mp3]]
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].

In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]]

=Varianten= 
==5-Limit-Porcupine== 
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine== 
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64_63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog== 
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50_49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]

==[[#11-Limit-Porcupine]]11-Limit-Porcupine== 
Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls [[100_99|100/99]] (17.399 Cent, auch **Ptolemäus-Komma** genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:

[[media type="file" key="ValFedozIntro.mp3" width="240" height="20"]] [[file:ValFedozIntro.mp3]]
Ausschnitt aus "Val Fedoz" (Hans Straub), Porcupine in 22edo

Der elfte Oberton, das [[Alphorn-Fa]] (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine "kleine neutrale Sekunde", die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch **obertonaler** oder **otonaler** Durmodus genannt.

Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine [[15edo|15edo,]] [[22edo]] und [[37edo]] sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.
[[29edo]] hingegen wird nicht als 11-Limit-Porcupine bezeichnet, da es zwar das Ptolemäus-Komma austemperiert, nicht jedoch das Leipziger Komma.

==Weitere Varianten== 
Sowohl im 7-Limt wie im 11-Limit (und auch darüber hinaus) gibt es eine Reihe weiterer Kommas, die alternativ (oder zusätzlich) zu den oben erwähnten Kommas austermperiert werden können. Aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten der Porcupine-Temperatur, von denen einige mit separaten Namen versehen wurden. Im [[xenharmonic/Porcupine family|englischen Xenharmonic Wiki]] sind diese im Detail beschrieben.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;strong&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music" rel="nofollow"&amp;gt;Mizarian Porcupine Ouverture&amp;lt;/a&amp;gt;, einer Komposition in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt; von Herman Miller.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala - der Form 7L 1s, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt (und in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine#11-Limit-Porcupine"&amp;gt;11-Limit-Erweiterung&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;amp;quot;Obertonaler&amp;amp;quot; Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:1:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/porcupinesymmetricminor22edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;porcupinesymmetricminor22edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252Fporcupinesymmetricminor22edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:1 --&amp;gt; &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextFileRule:31:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file/porcupinesymmetricminor22edo.mp3?h=52&amp;amp;amp;w=320&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@file@@porcupinesymmetricminor22edo.mp3&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;File: porcupinesymmetricminor22edo.mp3&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;320&amp;amp;quot; height=&amp;amp;quot;52&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="objectEmbed"&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/porcupinesymmetricminor22edo.mp3/445225826/porcupinesymmetricminor22edo.mp3" onclick="ws.common.trackFileLink('/file/view/porcupinesymmetricminor22edo.mp3/445225826/porcupinesymmetricminor22edo.mp3');"&amp;gt;&amp;lt;img src="http://www.wikispaces.com/i/mime/32/audio/mpeg.png" height="32" width="32" alt="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" /&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;div&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/porcupinesymmetricminor22edo.mp3/445225826/porcupinesymmetricminor22edo.mp3" onclick="ws.common.trackFileLink('/file/view/porcupinesymmetricminor22edo.mp3/445225826/porcupinesymmetricminor22edo.mp3');" class="filename" title="porcupinesymmetricminor22edo.mp3"&amp;gt;porcupinesymmetricminor22edo.mp3&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/detail/porcupinesymmetricminor22edo.mp3"&amp;gt;Details&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/porcupinesymmetricminor22edo.mp3/445225826/porcupinesymmetricminor22edo.mp3"&amp;gt;Download&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li style="color: #666"&amp;gt;505 KB&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextFileRule:31 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;Varianten&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-5-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;5-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-7-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;7-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Archytas- oder Leipziger Komma 64/63&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:13:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-Hedgehog"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:13 --&amp;gt;Hedgehog&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;Jubilisma 50/49&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:15:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-11-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextAnchorRule:29:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/i/anchor.gif&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiAnchor&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;Anchor&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@anchor@@11-Limit-Porcupine&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Anchor: 11-Limit-Porcupine&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;a name="11-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextAnchorRule:29 --&amp;gt;11-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls &amp;lt;a class="wiki_link" href="/100_99"&amp;gt;100/99&amp;lt;/a&amp;gt; (17.399 Cent, auch &amp;lt;strong&amp;gt;Ptolemäus-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer &amp;amp;quot;grossen neutralen Sekunde&amp;amp;quot; 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:2:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/ValFedozIntro.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;ValFedozIntro.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252FValFedozIntro.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:2 --&amp;gt; &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextFileRule:32:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file/ValFedozIntro.mp3?h=52&amp;amp;amp;w=320&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@file@@ValFedozIntro.mp3&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;File: ValFedozIntro.mp3&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;320&amp;amp;quot; height=&amp;amp;quot;52&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="objectEmbed"&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/ValFedozIntro.mp3/561869099/ValFedozIntro.mp3" onclick="ws.common.trackFileLink('/file/view/ValFedozIntro.mp3/561869099/ValFedozIntro.mp3');"&amp;gt;&amp;lt;img src="http://www.wikispaces.com/i/mime/32/audio/mpeg.png" height="32" width="32" alt="ValFedozIntro.mp3" /&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;div&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/ValFedozIntro.mp3/561869099/ValFedozIntro.mp3" onclick="ws.common.trackFileLink('/file/view/ValFedozIntro.mp3/561869099/ValFedozIntro.mp3');" class="filename" title="ValFedozIntro.mp3"&amp;gt;ValFedozIntro.mp3&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/detail/ValFedozIntro.mp3"&amp;gt;Details&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/ValFedozIntro.mp3/561869099/ValFedozIntro.mp3"&amp;gt;Download&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li style="color: #666"&amp;gt;635 KB&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextFileRule:32 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Ausschnitt aus &amp;amp;quot;Val Fedoz&amp;amp;quot; (Hans Straub), Porcupine in 22edo&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der elfte Oberton, das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine &amp;amp;quot;kleine neutrale Sekunde&amp;amp;quot;, die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch &amp;lt;strong&amp;gt;obertonaler&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;otonaler&amp;lt;/strong&amp;gt; Durmodus genannt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt; sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen wird nicht als 11-Limit-Porcupine bezeichnet, da es zwar das Ptolemäus-Komma austemperiert, nicht jedoch das Leipziger Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:17:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc7"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-Weitere Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:17 --&amp;gt;Weitere Varianten&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Sowohl im 7-Limt wie im 11-Limit (und auch darüber hinaus) gibt es eine Reihe weiterer Kommas, die alternativ (oder zusätzlich) zu den oben erwähnten Kommas austermperiert werden können. Aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten der Porcupine-Temperatur, von denen einige mit separaten Namen versehen wurden. Im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; sind diese im Detail beschrieben.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <id>903</id>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2016-01-25 10:35:14 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Porcupine|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[toc]]
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]


=Definition= 
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend **Porcupine-Komma** heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [[http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music|Mizarian Porcupine Ouverture]], einer Komposition in [[15edo]] von Herman Miller.

=Grundlegende Eigenschaften= 
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala - der Form 7L 1s, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[xenharmonie/Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Erweiterung]] von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].

In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]]

=Varianten= 
==5-Limit-Porcupine== 
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine== 
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64_63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog== 
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50_49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]

==[[#11-Limit-Porcupine]]11-Limit-Porcupine== 
Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls [[100_99|100/99]] (17.399 Cent, auch **Ptolemäus-Komma** genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:

[[media type="file" key="ValFedozIntro.mp3" width="240" height="20"]]
Ausschnitt aus "Val Fedoz" (Hans Straub), Porcupine in 22edo

Der elfte Oberton, das [[Alphorn-Fa]] (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine "kleine neutrale Sekunde", die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch **obertonaler** oder **otonaler** Durmodus genannt.

Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine [[15edo|15edo,]] [[22edo]] und [[37edo]] sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.
[[29edo]] hingegen wird nicht als 11-Limit-Porcupine bezeichnet, da es zwar das Ptolemäus-Komma austemperiert, nicht jedoch das Leipziger Komma.

==Weitere Varianten== 
Sowohl im 7-Limt wie im 11-Limit (und auch darüber hinaus) gibt es eine Reihe weiterer Kommas, die alternativ (oder zusätzlich) zu den oben erwähnten Kommas austermperiert werden können. Aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten der Porcupine-Temperatur, von denen einige mit separaten Namen versehen wurden. Im [[xenharmonic/Porcupine family|englischen Xenharmonic Wiki]] sind diese im Detail beschrieben.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@normal&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaToc&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/normal?w=225&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div id="toc"&amp;gt;&amp;lt;h1 class="nopad"&amp;gt;Table of Contents&amp;lt;/h1&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Definition"&amp;gt;Definition&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Definition"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Definition&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;strong&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music" rel="nofollow"&amp;gt;Mizarian Porcupine Ouverture&amp;lt;/a&amp;gt;, einer Komposition in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt; von Herman Miller.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Grundlegende Eigenschaften"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Grundlegende Eigenschaften&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala - der Form 7L 1s, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt (und in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine#11-Limit-Porcupine"&amp;gt;11-Limit-Erweiterung&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:0:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/porcupineotonalmajor22edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;porcupineotonalmajor22edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252Fporcupineotonalmajor22edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;quot;Obertonaler&amp;amp;quot; Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:1:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/porcupinesymmetricminor22edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;porcupinesymmetricminor22edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252Fporcupinesymmetricminor22edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;Varianten&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-5-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;5-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-7-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;7-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Archytas- oder Leipziger Komma 64/63&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:13:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-Hedgehog"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:13 --&amp;gt;Hedgehog&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;Jubilisma 50/49&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:15:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-11-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextAnchorRule:29:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/i/anchor.gif&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiAnchor&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;Anchor&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@anchor@@11-Limit-Porcupine&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Anchor: 11-Limit-Porcupine&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;a name="11-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextAnchorRule:29 --&amp;gt;11-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls &amp;lt;a class="wiki_link" href="/100_99"&amp;gt;100/99&amp;lt;/a&amp;gt; (17.399 Cent, auch &amp;lt;strong&amp;gt;Ptolemäus-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer &amp;amp;quot;grossen neutralen Sekunde&amp;amp;quot; 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:2:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/ValFedozIntro.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;ValFedozIntro.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252FValFedozIntro.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:2 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Ausschnitt aus &amp;amp;quot;Val Fedoz&amp;amp;quot; (Hans Straub), Porcupine in 22edo&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der elfte Oberton, das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine &amp;amp;quot;kleine neutrale Sekunde&amp;amp;quot;, die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch &amp;lt;strong&amp;gt;obertonaler&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;otonaler&amp;lt;/strong&amp;gt; Durmodus genannt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt; sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen wird nicht als 11-Limit-Porcupine bezeichnet, da es zwar das Ptolemäus-Komma austemperiert, nicht jedoch das Leipziger Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:17:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc7"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-Weitere Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:17 --&amp;gt;Weitere Varianten&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Sowohl im 7-Limt wie im 11-Limit (und auch darüber hinaus) gibt es eine Reihe weiterer Kommas, die alternativ (oder zusätzlich) zu den oben erwähnten Kommas austermperiert werden können. Aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten der Porcupine-Temperatur, von denen einige mit separaten Namen versehen wurden. Im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; sind diese im Detail beschrieben.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[toc]]
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]


=Definition= 
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend **Porcupine-Komma** heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [[http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music|Mizarian Porcupine Ouverture]], einer Komposition in [[15edo]] von Herman Miller.

=Grundlegende Eigenschaften= 
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala - der Form 7L 1s, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[xenharmonie/Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Erweiterung]] von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].

In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]]

=Varianten= 
==5-Limit-Porcupine== 
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine== 
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64_63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog== 
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50_49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]

==[[#11-Limit-Porcupine]]11-Limit-Porcupine== 
Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls 100/99 (17.399 Cent, auch **Ptolemäus-Komma** genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:

[[media type="file" key="ValFedozIntro.mp3" width="240" height="20"]]
Ausschnitt aus "Val Fedoz" (Hans Straub), Porcupine in 22edo

Der elfte Oberton, das [[Alphorn-Fa]] (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine "kleine neutrale Sekunde", die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch **obertonaler** oder **otonaler** Durmodus genannt.

Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine [[15edo|15edo,]] [[22edo]] und [[37edo]] sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.
[[29edo]] hingegen wird nicht als 11-Limit-Porcupine bezeichnet, da es zwar das Ptolemäus-Komma austemperiert, nicht jedoch das Leipziger Komma.

==Weitere Varianten== 
Sowohl im 7-Limt wie im 11-Limit (und auch darüber hinaus) gibt es eine Reihe weiterer Kommas, die alternativ (oder zusätzlich) zu den oben erwähnten Kommas austermperiert werden können. Aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten der Porcupine-Temperatur, von denen einige mit separaten Namen versehen wurden. Im [[xenharmonic/Porcupine family|englischen Xenharmonic Wiki]] sind diese im Detail beschrieben.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@normal&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaToc&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/normal?w=225&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div id="toc"&amp;gt;&amp;lt;h1 class="nopad"&amp;gt;Table of Contents&amp;lt;/h1&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Definition"&amp;gt;Definition&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
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 Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;strong&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music" rel="nofollow"&amp;gt;Mizarian Porcupine Ouverture&amp;lt;/a&amp;gt;, einer Komposition in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt; von Herman Miller.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala - der Form 7L 1s, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt (und in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine#11-Limit-Porcupine"&amp;gt;11-Limit-Erweiterung&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Weitere Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-5-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;5-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-7-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;7-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Archytas- oder Leipziger Komma 64/63&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:13:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-Hedgehog"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:13 --&amp;gt;Hedgehog&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;Jubilisma 50/49&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:15:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-11-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextAnchorRule:29:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/i/anchor.gif&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiAnchor&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;Anchor&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@anchor@@11-Limit-Porcupine&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Anchor: 11-Limit-Porcupine&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;a name="11-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextAnchorRule:29 --&amp;gt;11-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls 100/99 (17.399 Cent, auch &amp;lt;strong&amp;gt;Ptolemäus-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer &amp;amp;quot;grossen neutralen Sekunde&amp;amp;quot; 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:2:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/ValFedozIntro.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;ValFedozIntro.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252FValFedozIntro.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:2 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Ausschnitt aus &amp;amp;quot;Val Fedoz&amp;amp;quot; (Hans Straub), Porcupine in 22edo&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der elfte Oberton, das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine &amp;amp;quot;kleine neutrale Sekunde&amp;amp;quot;, die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch &amp;lt;strong&amp;gt;obertonaler&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;otonaler&amp;lt;/strong&amp;gt; Durmodus genannt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt; sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen wird nicht als 11-Limit-Porcupine bezeichnet, da es zwar das Ptolemäus-Komma austemperiert, nicht jedoch das Leipziger Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:17:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc7"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-Weitere Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:17 --&amp;gt;Weitere Varianten&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Sowohl im 7-Limt wie im 11-Limit (und auch darüber hinaus) gibt es eine Reihe weiterer Kommas, die alternativ (oder zusätzlich) zu den oben erwähnten Kommas austermperiert werden können. Aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten der Porcupine-Temperatur, von denen einige mit separaten Namen versehen wurden. Im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; sind diese im Detail beschrieben.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Porcupine|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[toc]]
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]


=Definition= 
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend **Porcupine-Komma** heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [[http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music|Mizarian Porcupine Ouverture]], einer Komposition in [[15edo]] von Herman Miller.

=Grundlegende Eigenschaften= 
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala - der Form 7L 1s, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[xenharmonie/Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Erweiterung]] von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].

In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]]

=Varianten= 
==5-Limit-Porcupine== 
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine== 
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64_63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog== 
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50_49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]

==[[#11-Limit-Porcupine]]11-Limit-Porcupine== 
Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls 100/99 (17.399 Cent, auch **Ptolemäus-Komma** genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:

[[media type="file" key="ValFedozIntro.mp3" width="240" height="20"]]
Ausschnitt aus "Val Fedoz" (Hans Straub), Porcupine in 22edo

Der elfte Oberton, das [[Alphorn-Fa]] (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine "kleine neutrale Sekunde", die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch **obertonaler** oder **otonaler** Durmodus genannt.

Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine [[15edo|15edo,]] [[22edo]] und [[37edo]] sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.
[[29edo]] hingegen wird nicht las 11-Limit-Porcupine bezeichnet, da es zwar das Ptolemäus-Komma austemperiert, nicht jedoch das Leipziger Komma.

==Weitere Varianten== 
Sowohl im 7-Limt wie im 11-Limit (und auch darüber hinaus) gibt es eine Reihe weiterer Kommas, die alternativ (oder zusätzlich) zu den oben erwähnten Kommas austermperiert werden können. Aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten der Porcupine-Temperatur, von denen einige mit separaten Namen versehen wurden. Im [[xenharmonic/Porcupine family|englischen Xenharmonic Wiki]] sind diese im Detail beschrieben.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@normal&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaToc&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/normal?w=225&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div id="toc"&amp;gt;&amp;lt;h1 class="nopad"&amp;gt;Table of Contents&amp;lt;/h1&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Definition"&amp;gt;Definition&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:20 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:21: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Grundlegende Eigenschaften"&amp;gt;Grundlegende Eigenschaften&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:21 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:22: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Varianten"&amp;gt;Varianten&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:28 --&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Definition"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Definition&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;strong&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music" rel="nofollow"&amp;gt;Mizarian Porcupine Ouverture&amp;lt;/a&amp;gt;, einer Komposition in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt; von Herman Miller.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Grundlegende Eigenschaften"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Grundlegende Eigenschaften&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala - der Form 7L 1s, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt (und in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine#11-Limit-Porcupine"&amp;gt;11-Limit-Erweiterung&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:0:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/porcupineotonalmajor22edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;porcupineotonalmajor22edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252Fporcupineotonalmajor22edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;quot;Obertonaler&amp;amp;quot; Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:1:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/porcupinesymmetricminor22edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;porcupinesymmetricminor22edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252Fporcupinesymmetricminor22edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;Varianten&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-5-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;5-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-7-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;7-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Archytas- oder Leipziger Komma 64/63&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:13:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-Hedgehog"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:13 --&amp;gt;Hedgehog&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;Jubilisma 50/49&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:15:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-11-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextAnchorRule:29:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/i/anchor.gif&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiAnchor&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;Anchor&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@anchor@@11-Limit-Porcupine&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Anchor: 11-Limit-Porcupine&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;a name="11-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextAnchorRule:29 --&amp;gt;11-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls 100/99 (17.399 Cent, auch &amp;lt;strong&amp;gt;Ptolemäus-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer &amp;amp;quot;grossen neutralen Sekunde&amp;amp;quot; 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:2:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/ValFedozIntro.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;ValFedozIntro.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252FValFedozIntro.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:2 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Ausschnitt aus &amp;amp;quot;Val Fedoz&amp;amp;quot; (Hans Straub), Porcupine in 22edo&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der elfte Oberton, das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine &amp;amp;quot;kleine neutrale Sekunde&amp;amp;quot;, die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch &amp;lt;strong&amp;gt;obertonaler&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;otonaler&amp;lt;/strong&amp;gt; Durmodus genannt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt; sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen wird nicht las 11-Limit-Porcupine bezeichnet, da es zwar das Ptolemäus-Komma austemperiert, nicht jedoch das Leipziger Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:17:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc7"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-Weitere Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:17 --&amp;gt;Weitere Varianten&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Sowohl im 7-Limt wie im 11-Limit (und auch darüber hinaus) gibt es eine Reihe weiterer Kommas, die alternativ (oder zusätzlich) zu den oben erwähnten Kommas austermperiert werden können. Aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten der Porcupine-Temperatur, von denen einige mit separaten Namen versehen wurden. Im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; sind diese im Detail beschrieben.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
      <sha1>b6a5vf1qn70d429bqfdwajtz8ti9hxi</sha1>
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    <revision>
      <id>906</id>
      <timestamp>2015-10-12T07:34:43Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
        <id>0</id>
      </contributor>
      <comment>**Imported revision 562149717 - Original comment: **</comment>
      <origin>906</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="25901" sha1="8933ovbxvxnqazuysv5nzptd33yevkl" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-10-12 07:34:43 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Porcupine|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[toc]]
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]


=Definition= 
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend **Porcupine-Komma** heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [[http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music|Mizarian Porcupine Ouverture]], einer Komposition in [[15edo]] von Herman Miller.

=Grundlegende Eigenschaften= 
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[xenharmonie/Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Erweiterung]] von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].

In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]]

=Varianten= 
==5-Limit-Porcupine== 
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine== 
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64_63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog== 
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50_49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]

==[[#11-Limit-Porcupine]]11-Limit-Porcupine== 
Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls 100/99 (17.399 Cent, auch **Ptolemäus-Komma** genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:

[[media type="file" key="ValFedozIntro.mp3" width="240" height="20"]]
Ausschnitt aus "Val Fedoz" (Hans Straub), Porcupine in 22edo

Der elfte Oberton, das [[Alphorn-Fa]] (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine "kleine neutrale Sekunde", die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch **obertonaler** oder **otonaler** Durmodus genannt.

Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine [[15edo|15edo,]] [[22edo]] und [[37edo]] sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.
[[29edo]] hingegen wird nicht las 11-Limit-Porcupine bezeichnet, da es zwar das Ptolemäus-Komma austemperiert, nicht jedoch das Leipziger Komma.

==Weitere Varianten== 
Sowohl im 7-Limt wie im 11-Limit (und auch darüber hinaus) gibt es eine Reihe weiterer Kommas, die alternativ (oder zusätzlich) zu den oben erwähnten Kommas austermperiert werden können. Aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten der Porcupine-Temperatur, von denen einige mit separaten Namen versehen wurden. Im [[xenharmonic/Porcupine family|englischen Xenharmonic Wiki]] sind diese im Detail beschrieben.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;strong&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music" rel="nofollow"&amp;gt;Mizarian Porcupine Ouverture&amp;lt;/a&amp;gt;, einer Komposition in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt; von Herman Miller.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Grundlegende Eigenschaften"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Grundlegende Eigenschaften&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt (und in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine#11-Limit-Porcupine"&amp;gt;11-Limit-Erweiterung&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:0:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/porcupineotonalmajor22edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;porcupineotonalmajor22edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252Fporcupineotonalmajor22edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;quot;Obertonaler&amp;amp;quot; Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:1:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/porcupinesymmetricminor22edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;porcupinesymmetricminor22edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252Fporcupinesymmetricminor22edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;Varianten&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-5-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;5-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-7-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;7-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Archytas- oder Leipziger Komma 64/63&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:13:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-Hedgehog"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:13 --&amp;gt;Hedgehog&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;Jubilisma 50/49&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:15:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-11-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextAnchorRule:29:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/i/anchor.gif&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiAnchor&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;Anchor&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@anchor@@11-Limit-Porcupine&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Anchor: 11-Limit-Porcupine&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;a name="11-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextAnchorRule:29 --&amp;gt;11-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls 100/99 (17.399 Cent, auch &amp;lt;strong&amp;gt;Ptolemäus-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer &amp;amp;quot;grossen neutralen Sekunde&amp;amp;quot; 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:2:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/ValFedozIntro.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;ValFedozIntro.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252FValFedozIntro.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:2 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Ausschnitt aus &amp;amp;quot;Val Fedoz&amp;amp;quot; (Hans Straub), Porcupine in 22edo&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der elfte Oberton, das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine &amp;amp;quot;kleine neutrale Sekunde&amp;amp;quot;, die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch &amp;lt;strong&amp;gt;obertonaler&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;otonaler&amp;lt;/strong&amp;gt; Durmodus genannt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt; sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen wird nicht las 11-Limit-Porcupine bezeichnet, da es zwar das Ptolemäus-Komma austemperiert, nicht jedoch das Leipziger Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:17:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc7"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-Weitere Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:17 --&amp;gt;Weitere Varianten&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Sowohl im 7-Limt wie im 11-Limit (und auch darüber hinaus) gibt es eine Reihe weiterer Kommas, die alternativ (oder zusätzlich) zu den oben erwähnten Kommas austermperiert werden können. Aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten der Porcupine-Temperatur, von denen einige mit separaten Namen versehen wurden. Im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; sind diese im Detail beschrieben.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[toc]]
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]


=Definition= 
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend **Porcupine-Komma** heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [[http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music|Mizarian Porcupine Ouverture]], einer Komposition in [[15edo]] von Herman Miller.

=Grundlegende Eigenschaften= 
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[xenharmonie/Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Erweiterung]] von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].

In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]]

=Varianten= 
==5-Limit-Porcupine== 
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine== 
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64_63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog== 
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50_49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]

==[[#11-Limit-Porcupine]]11-Limit-Porcupine== 
Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls 100/99 (17.399 Cent, auch **Ptolemäus-Komma** genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:

[[media type="file" key="ValFedozIntro.mp3" width="240" height="20"]]
Ausschnitt aus "Val Fedoz" (Hans Straub), Porcupine in 22edo

Der elfte Oberton, das [[Alphorn-Fa]] (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine "kleine neutrale Sekunde", die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch **obertonaler** oder **otonaler** Durmodus genannt.

Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine [[15edo|15edo,]] [[22edo]] und [[37edo]] sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.

Weitere Varianten von Porcupine siehe im [[xenharmonic/Porcupine family|englischen Xenharmonic Wiki]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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 Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;strong&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music" rel="nofollow"&amp;gt;Mizarian Porcupine Ouverture&amp;lt;/a&amp;gt;, einer Komposition in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt; von Herman Miller.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt (und in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine#11-Limit-Porcupine"&amp;gt;11-Limit-Erweiterung&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Weitere Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Archytas- oder Leipziger Komma 64/63&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:13:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-Hedgehog"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:13 --&amp;gt;Hedgehog&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;Jubilisma 50/49&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:15:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-11-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextAnchorRule:26:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/i/anchor.gif&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiAnchor&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;Anchor&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@anchor@@11-Limit-Porcupine&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Anchor: 11-Limit-Porcupine&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;a name="11-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextAnchorRule:26 --&amp;gt;11-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls 100/99 (17.399 Cent, auch &amp;lt;strong&amp;gt;Ptolemäus-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer &amp;amp;quot;grossen neutralen Sekunde&amp;amp;quot; 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ausschnitt aus &amp;amp;quot;Val Fedoz&amp;amp;quot; (Hans Straub), Porcupine in 22edo&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der elfte Oberton, das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine &amp;amp;quot;kleine neutrale Sekunde&amp;amp;quot;, die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch &amp;lt;strong&amp;gt;obertonaler&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;otonaler&amp;lt;/strong&amp;gt; Durmodus genannt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt; sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Varianten von Porcupine siehe im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Porcupine|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[toc]]
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]


=Definition= 
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend **Porcupine-Komma** heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [[http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music|Mizarian Porcupine Ouverture]], einer Komposition in [[15edo]] von Herman Miller.

=Grundlegende Eigenschaften= 
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[xenharmonie/Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Erweiterung]] von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].

In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]]

=Varianten= 
==5-Limit-Porcupine== 
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine== 
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64_63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog== 
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50_49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]

==[[#11-Limit-Porcupine]]11-Limit-Porcupine== 
Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls 100/99 (17.399 Cent, auch **Ptolemäus-Komma** genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:

[[media type="file" key="ValFedozIntro.mp3" width="240" height="20"]]
Ausschnitt aus "Val Fedoz" (Hans Straub), Porcupine in 22edo

Der elfte Oberton, das [[Alphorn-Fa]] (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine "kleine neutrale Sekunde", die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch **obertonaler** oder **otonaler** Durmodus genannt.

Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]] und [[37edo]] sind sämtlich 11-Limit-Porcupine-Systeme.

Weitere Varianten von Porcupine siehe im [[xenharmonic/Porcupine family|englischen Xenharmonic Wiki]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@normal&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaToc&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/normal?w=225&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div id="toc"&amp;gt;&amp;lt;h1 class="nopad"&amp;gt;Table of Contents&amp;lt;/h1&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Definition"&amp;gt;Definition&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Definition"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Definition&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;strong&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music" rel="nofollow"&amp;gt;Mizarian Porcupine Ouverture&amp;lt;/a&amp;gt;, einer Komposition in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt; von Herman Miller.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Grundlegende Eigenschaften"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Grundlegende Eigenschaften&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt (und in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine#11-Limit-Porcupine"&amp;gt;11-Limit-Erweiterung&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:0:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/porcupineotonalmajor22edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;porcupineotonalmajor22edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252Fporcupineotonalmajor22edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;quot;Obertonaler&amp;amp;quot; Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:1:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/porcupinesymmetricminor22edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;porcupinesymmetricminor22edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252Fporcupinesymmetricminor22edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;Varianten&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-5-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;5-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-7-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;7-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Archytas- oder Leipziger Komma 64/63&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:13:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-Hedgehog"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:13 --&amp;gt;Hedgehog&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;Jubilisma 50/49&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:15:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-11-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextAnchorRule:26:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/i/anchor.gif&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiAnchor&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;Anchor&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@anchor@@11-Limit-Porcupine&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Anchor: 11-Limit-Porcupine&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;a name="11-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextAnchorRule:26 --&amp;gt;11-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls 100/99 (17.399 Cent, auch &amp;lt;strong&amp;gt;Ptolemäus-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer &amp;amp;quot;grossen neutralen Sekunde&amp;amp;quot; 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:2:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/ValFedozIntro.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;ValFedozIntro.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252FValFedozIntro.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:2 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Ausschnitt aus &amp;amp;quot;Val Fedoz&amp;amp;quot; (Hans Straub), Porcupine in 22edo&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der elfte Oberton, das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine &amp;amp;quot;kleine neutrale Sekunde&amp;amp;quot;, die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch &amp;lt;strong&amp;gt;obertonaler&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;otonaler&amp;lt;/strong&amp;gt; Durmodus genannt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt; sind sämtlich 11-Limit-Porcupine-Systeme.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Varianten von Porcupine siehe im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-10-09 07:27:47 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Porcupine|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[toc]]
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]


=Definition= 
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend **Porcupine-Komma** heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [[http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music|Mizarian Porcupine Ouverture]], einer Komposition in [[15edo]] von Herman Miller.

=Grundlegende Eigenschaften= 
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[xenharmonie/Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Erweiterung]] von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].

In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]]

=Varianten= 
==5-Limit-Porcupine== 
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine== 
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64_63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog== 
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50_49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]

==[[#11-Limit-Porcupine]]11-Limit-Porcupine== 
Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls 100/99 (17.399 Cent, auch **Ptolemäus-Komma** genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:

[[media type="file" key="ValFedozIntro.mp3" width="240" height="20"]]
Ausschnitt aus "Val Fedoz" (Hans Straub), Porcupine in 22edo

Der elfte Oberton, das [[Alphorn-Fa]] (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine "kleine neutrale Sekunde", die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch **obertonaler** oder **otonaler** Durmodus genannt.

Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine [[15edo|15edo,]] [[22edo]] und [[37edo]] sind sämtlich 11-Limit-Porcupine-Systeme.
[[29edo]] temperiert das Ptolemäus-Komma zwar ebenfalls aus, hat jedoch eine eher schlechte Approximation für die neutralen Sekunden.

Weitere Varianten von Porcupine siehe im [[xenharmonic/Porcupine family|englischen Xenharmonic Wiki]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@normal&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaToc&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/normal?w=225&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div id="toc"&amp;gt;&amp;lt;h1 class="nopad"&amp;gt;Table of Contents&amp;lt;/h1&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Definition"&amp;gt;Definition&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Grundlegende Eigenschaften"&amp;gt;Grundlegende Eigenschaften&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Varianten"&amp;gt;Varianten&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:20 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:21: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 2em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Varianten-5-Limit-Porcupine"&amp;gt;5-Limit-Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:21 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:22: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 2em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Varianten-7-Limit-Porcupine"&amp;gt;7-Limit-Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:24 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:25: --&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:25 --&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Definition"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Definition&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;strong&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music" rel="nofollow"&amp;gt;Mizarian Porcupine Ouverture&amp;lt;/a&amp;gt;, einer Komposition in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt; von Herman Miller.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Grundlegende Eigenschaften"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Grundlegende Eigenschaften&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt (und in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine#11-Limit-Porcupine"&amp;gt;11-Limit-Erweiterung&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:0:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/porcupineotonalmajor22edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;porcupineotonalmajor22edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252Fporcupineotonalmajor22edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;quot;Obertonaler&amp;amp;quot; Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:1:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/porcupinesymmetricminor22edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;porcupinesymmetricminor22edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252Fporcupinesymmetricminor22edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;Varianten&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-5-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;5-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-7-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;7-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Archytas- oder Leipziger Komma 64/63&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:13:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-Hedgehog"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:13 --&amp;gt;Hedgehog&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;Jubilisma 50/49&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:15:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-11-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextAnchorRule:26:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/i/anchor.gif&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiAnchor&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;Anchor&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@anchor@@11-Limit-Porcupine&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Anchor: 11-Limit-Porcupine&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;a name="11-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextAnchorRule:26 --&amp;gt;11-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls 100/99 (17.399 Cent, auch &amp;lt;strong&amp;gt;Ptolemäus-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer &amp;amp;quot;grossen neutralen Sekunde&amp;amp;quot; 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:2:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/ValFedozIntro.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;ValFedozIntro.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252FValFedozIntro.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:2 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Ausschnitt aus &amp;amp;quot;Val Fedoz&amp;amp;quot; (Hans Straub), Porcupine in 22edo&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der elfte Oberton, das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine &amp;amp;quot;kleine neutrale Sekunde&amp;amp;quot;, die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch &amp;lt;strong&amp;gt;obertonaler&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;otonaler&amp;lt;/strong&amp;gt; Durmodus genannt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt; sind sämtlich 11-Limit-Porcupine-Systeme.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt; temperiert das Ptolemäus-Komma zwar ebenfalls aus, hat jedoch eine eher schlechte Approximation für die neutralen Sekunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Varianten von Porcupine siehe im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
      <sha1>qgxeg13vabcni5xcnvgwpzejyasepqf</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>910</id>
      <timestamp>2015-10-09T07:13:08Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
        <id>0</id>
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      <comment>**Imported revision 561880311 - Original comment: **</comment>
      <origin>910</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-10-09 07:13:08 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Porcupine|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[toc]]
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]


=Definition= 
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend **Porcupine-Komma** heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [[http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music|Mizarian Porcupine Ouverture]], einer Komposition in [[15edo]] von Herman Miller.

=Grundlegende Eigenschaften= 
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[xenharmonie/Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Erweiterung]] von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].

In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]]

=Varianten= 
==5-Limit-Porcupine== 
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine== 
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64_63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog== 
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50_49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]

=[[#11-Limit-Porcupine]]11-Limit-Porcupine= 
Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls 100/99 (17.399 Cent, auch **Ptolemäus-Komma** genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:

[[media type="file" key="ValFedozIntro.mp3" width="240" height="20"]]
Ausschnitt aus "Val Fedoz" (Hans Straub), Porcupine in 22edo

Der elfte Oberton, das [[Alphorn-Fa]] (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine "kleine neutrale Sekunde", die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch **obertonaler** oder **otonaler** Durmodus genannt.

Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine [[15edo|15edo,]] [[22edo]] und [[37edo]] sind sämtlich 11-Limit-Porcupine-Systeme.
[[29edo]] temperiert das Ptolemäus-Komma zwar ebenfalls aus, hat jedoch eine eher schlechte Approximation für die neutralen Sekunden.

Weitere Varianten von Porcupine siehe im [[xenharmonic/Porcupine family|englischen Xenharmonic Wiki]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Definition"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Definition&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;strong&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music" rel="nofollow"&amp;gt;Mizarian Porcupine Ouverture&amp;lt;/a&amp;gt;, einer Komposition in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt; von Herman Miller.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Grundlegende Eigenschaften"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Grundlegende Eigenschaften&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt (und in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine#11-Limit-Porcupine"&amp;gt;11-Limit-Erweiterung&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Weitere Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
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[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls 100/99 (17.399 Cent, auch &amp;lt;strong&amp;gt;Ptolemäus-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer &amp;amp;quot;grossen neutralen Sekunde&amp;amp;quot; 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ausschnitt aus &amp;amp;quot;Val Fedoz&amp;amp;quot; (Hans Straub), Porcupine in 22edo&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der elfte Oberton, das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine &amp;amp;quot;kleine neutrale Sekunde&amp;amp;quot;, die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch &amp;lt;strong&amp;gt;obertonaler&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;otonaler&amp;lt;/strong&amp;gt; Durmodus genannt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt; sind sämtlich 11-Limit-Porcupine-Systeme.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt; temperiert das Ptolemäus-Komma zwar ebenfalls aus, hat jedoch eine eher schlechte Approximation für die neutralen Sekunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Weitere Varianten von Porcupine siehe im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[toc]]
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]


=Definition= 
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend **Porcupine-Komma** heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [[http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music|Mizarian Porcupine Ouverture]], einer Komposition in [[15edo]] von Herman Miller.

=Grundlegende Eigenschaften= 
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[xenharmonie/Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Erweiterung]] von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].

In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]]

=Varianten= 
==5-Limit-Porcupine== 
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine== 
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64_63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog== 
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50_49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]

[[#11-Limit-Porcupine]]
==11-Limit-Porcupine== 
Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls 100/99 (17.399 Cent, auch **Ptolemäus-Komma** genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:

[[media type="file" key="ValFedozIntro.mp3" width="240" height="20"]]
Ausschnitt aus "Val Fedoz" (Hans Straub), Porcupine in 22edo

Der elfte Oberton, das [[Alphorn-Fa]] (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine "kleine neutrale Sekunde", die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch **obertonaler** oder **otonaler** Durmodus genannt.

Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine [[15edo|15edo,]] [[22edo]] und [[37edo]] sind sämtlich 11-Limit-Porcupine-Systeme.
[[29edo]] temperiert das Ptolemäus-Komma zwar ebenfalls aus, hat jedoch eine eher schlechte Approximation für die neutralen Sekunden.

Weitere Varianten von Porcupine siehe im [[xenharmonic/Porcupine family|englischen Xenharmonic Wiki]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;strong&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music" rel="nofollow"&amp;gt;Mizarian Porcupine Ouverture&amp;lt;/a&amp;gt;, einer Komposition in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt; von Herman Miller.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt (und in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine#11-Limit-Porcupine"&amp;gt;11-Limit-Erweiterung&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:0:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/porcupineotonalmajor22edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;porcupineotonalmajor22edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252Fporcupineotonalmajor22edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;quot;Obertonaler&amp;amp;quot; Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:1:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/porcupinesymmetricminor22edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;porcupinesymmetricminor22edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252Fporcupinesymmetricminor22edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;Varianten&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-5-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;5-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-7-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;7-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Archytas- oder Leipziger Komma 64/63&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:13:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-Hedgehog"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:13 --&amp;gt;Hedgehog&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;Jubilisma 50/49&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextAnchorRule:26:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/i/anchor.gif&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiAnchor&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;Anchor&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@anchor@@11-Limit-Porcupine&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Anchor: 11-Limit-Porcupine&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;a name="11-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextAnchorRule:26 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:15:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-11-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:15 --&amp;gt;11-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls 100/99 (17.399 Cent, auch &amp;lt;strong&amp;gt;Ptolemäus-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer &amp;amp;quot;grossen neutralen Sekunde&amp;amp;quot; 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:2:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/ValFedozIntro.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;ValFedozIntro.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252FValFedozIntro.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:2 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Ausschnitt aus &amp;amp;quot;Val Fedoz&amp;amp;quot; (Hans Straub), Porcupine in 22edo&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der elfte Oberton, das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine &amp;amp;quot;kleine neutrale Sekunde&amp;amp;quot;, die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch &amp;lt;strong&amp;gt;obertonaler&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;otonaler&amp;lt;/strong&amp;gt; Durmodus genannt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt; sind sämtlich 11-Limit-Porcupine-Systeme.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt; temperiert das Ptolemäus-Komma zwar ebenfalls aus, hat jedoch eine eher schlechte Approximation für die neutralen Sekunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Varianten von Porcupine siehe im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-10-09 07:08:18 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Porcupine|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[toc]]
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]


=Definition= 
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend **Porcupine-Komma** heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [[http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music|Mizarian Porcupine Ouverture]], einer Komposition in [[15edo]] von Herman Miller.

=Grundlegende Eigenschaften= 
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[xenharmonie/Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Erweiterung]] von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].

In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]]

=Varianten= 
==5-Limit-Porcupine== 
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine== 
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64_63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog== 
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50_49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]

[[#11-Limit-Porcupine]]
==11-Limit-Porcupine== 
Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls 100/99 (17.399 Cent, auch **Ptolemäus-Komma** genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:

[[media type="file" key="ValFedozIntro.mp3" width="240" height="20"]]
Ausschnitt aus "Val Fedoz" (Hans Straub), Porcupine in 22edo

Der elfte Oberton, das [[Alphorn-Fa]] (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine "kleine neutrale Sekunde", die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch **obertonaler** oder **otonaler** Durmodus genannt.

Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine [[15edo|15edo,]] [[22edo]] und [[37edo]] sind sämtlich 11-Limit-Porcupine-Systeme.
[[29edo]] temperiert das Ptolemäus-Komma zwar ebenfalls aus, hat jedoch eine eher schlechte Approximation für die neutralen Sekunden.

Weitere Varianten von Porcupine siehe im [[xenharmonic/Porcupine family|englischen Xenharmonic Wiki]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@normal&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaToc&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/normal?w=225&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div id="toc"&amp;gt;&amp;lt;h1 class="nopad"&amp;gt;Table of Contents&amp;lt;/h1&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Definition"&amp;gt;Definition&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Grundlegende Eigenschaften"&amp;gt;Grundlegende Eigenschaften&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Varianten"&amp;gt;Varianten&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:20 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:21: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 2em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Varianten-5-Limit-Porcupine"&amp;gt;5-Limit-Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Definition"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Definition&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;strong&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music" rel="nofollow"&amp;gt;Mizarian Porcupine Ouverture&amp;lt;/a&amp;gt;, einer Komposition in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt; von Herman Miller.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Grundlegende Eigenschaften"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Grundlegende Eigenschaften&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt (und in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine#11-Limit-Porcupine"&amp;gt;11-Limit-Erweiterung&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:0:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/porcupineotonalmajor22edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;porcupineotonalmajor22edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252Fporcupineotonalmajor22edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:1:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/porcupinesymmetricminor22edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;porcupinesymmetricminor22edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252Fporcupinesymmetricminor22edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;Varianten&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-5-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;5-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-7-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;7-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Archytas- oder Leipziger Komma 64/63&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:13:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-Hedgehog"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:13 --&amp;gt;Hedgehog&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;Jubilisma 50/49&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextAnchorRule:26:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/i/anchor.gif&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiAnchor&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;Anchor&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@anchor@@11-Limit-Porcupine&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Anchor: 11-Limit-Porcupine&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;a name="11-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextAnchorRule:26 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:15:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-11-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:15 --&amp;gt;11-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls 100/99 (17.399 Cent, auch &amp;lt;strong&amp;gt;Ptolemäus-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer &amp;amp;quot;grossen neutralen Sekunde&amp;amp;quot; 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:2:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/ValFedozIntro.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;ValFedozIntro.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252FValFedozIntro.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:2 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Ausschnitt aus &amp;amp;quot;Val Fedoz&amp;amp;quot; (Hans Straub), Porcupine in 22edo&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der elfte Oberton, das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine &amp;amp;quot;kleine neutrale Sekunde&amp;amp;quot;, die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch &amp;lt;strong&amp;gt;obertonaler&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;otonaler&amp;lt;/strong&amp;gt; Durmodus genannt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt; sind sämtlich 11-Limit-Porcupine-Systeme.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt; temperiert das Ptolemäus-Komma zwar ebenfalls aus, hat jedoch eine eher schlechte Approximation für die neutralen Sekunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Varianten von Porcupine siehe im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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    <revision>
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      <timestamp>2015-10-09T07:05:15Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
        <id>0</id>
      </contributor>
      <comment>**Imported revision 561879135 - Original comment: **</comment>
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      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="24710" sha1="i5e4g3x9j6zgbklpxg8tj2oeiu2nbe4" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-10-09 07:05:15 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Porcupine|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[toc]]
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]


=Definition= 
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend **Porcupine-Komma** heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [[http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music|Mizarian Porcupine Ouverture]], einer Komposition in [[15edo]] von Herman Miller.

=Grundlegende Eigenschaften= 
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[xenharmonie/Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Erweiterung von Porcupine]] auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].

In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]]

=Varianten= 
==5-Limit-Porcupine== 
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine== 
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64_63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog== 
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50_49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]

[[#11-Limit-Porcupine]]
==11-Limit-Porcupine== 
Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls 100/99 (17.399 Cent, auch **Ptolemäus-Komma** genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:

[[media type="file" key="ValFedozIntro.mp3" width="240" height="20"]]
Ausschnitt aus "Val Fedoz" (Hans Straub), Porcupine in 22edo

Der elfte Oberton, das [[Alphorn-Fa]] (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine "kleine neutrale Sekunde", die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch **obertonaler** oder **otonaler** Durmodus genannt.

Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine [[15edo|15edo,]] [[22edo]] und [[37edo]] sind sämtlich 11-Limit-Porcupine-Systeme.
[[29edo]] temperiert das Ptolemäus-Komma zwar ebenfalls aus, hat jedoch eine eher schlechte Approximation für die neutralen Sekunden.

Weitere Varianten von Porcupine siehe im [[xenharmonic/Porcupine family|englischen Xenharmonic Wiki]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@normal&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaToc&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/normal?w=225&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div id="toc"&amp;gt;&amp;lt;h1 class="nopad"&amp;gt;Table of Contents&amp;lt;/h1&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Definition"&amp;gt;Definition&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:25 --&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Definition"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Definition&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;strong&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music" rel="nofollow"&amp;gt;Mizarian Porcupine Ouverture&amp;lt;/a&amp;gt;, einer Komposition in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt; von Herman Miller.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Grundlegende Eigenschaften"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Grundlegende Eigenschaften&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt (und in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine#11-Limit-Porcupine"&amp;gt;11-Limit-Erweiterung von Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt; auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:0:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/porcupineotonalmajor22edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;porcupineotonalmajor22edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252Fporcupineotonalmajor22edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:1:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/porcupinesymmetricminor22edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;porcupinesymmetricminor22edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252Fporcupinesymmetricminor22edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;Varianten&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-5-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;5-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-7-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;7-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Archytas- oder Leipziger Komma 64/63&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:13:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-Hedgehog"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:13 --&amp;gt;Hedgehog&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;Jubilisma 50/49&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextAnchorRule:26:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/i/anchor.gif&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiAnchor&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;Anchor&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@anchor@@11-Limit-Porcupine&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Anchor: 11-Limit-Porcupine&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;a name="11-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextAnchorRule:26 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:15:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-11-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:15 --&amp;gt;11-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls 100/99 (17.399 Cent, auch &amp;lt;strong&amp;gt;Ptolemäus-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer &amp;amp;quot;grossen neutralen Sekunde&amp;amp;quot; 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:2:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/ValFedozIntro.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;ValFedozIntro.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252FValFedozIntro.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:2 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Ausschnitt aus &amp;amp;quot;Val Fedoz&amp;amp;quot; (Hans Straub), Porcupine in 22edo&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der elfte Oberton, das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine &amp;amp;quot;kleine neutrale Sekunde&amp;amp;quot;, die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch &amp;lt;strong&amp;gt;obertonaler&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;otonaler&amp;lt;/strong&amp;gt; Durmodus genannt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt; sind sämtlich 11-Limit-Porcupine-Systeme.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt; temperiert das Ptolemäus-Komma zwar ebenfalls aus, hat jedoch eine eher schlechte Approximation für die neutralen Sekunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Weitere Varianten von Porcupine siehe im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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[[toc]]
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]


=Definition= 
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend **Porcupine-Komma** heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [[http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music|Mizarian Porcupine Ouverture]], einer Komposition in [[15edo]] von Herman Miller.

=Grundlegende Eigenschaften= 
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[xenharmonie/Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der 11-Limit-Erweiterung von Porcupine, siehe weiter unten, auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
"Obertonaler" Dur-Modus der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].

In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]]

=Varianten= 
==5-Limit-Porcupine== 
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine== 
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64_63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog== 
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50_49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]

==11-Limit-Porcupine== 
Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls 100/99 (17.399 Cent, auch **Ptolemäus-Komma** genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:

[[media type="file" key="ValFedozIntro.mp3" width="240" height="20"]]
Ausschnitt aus "Val Fedoz" (Hans Straub), Porcupine in 22edo

Der elfte Oberton, das Alphorn-Fa (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das Porcupine-temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz - und die ersten 5 Töne der Dur-Skala Lssss ergeben (wie schon oben erwähnt) eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Das Intervall 12/11, eine "kleine neutrale Sekunde" (in reiner Stimmung zwischen Alphorn-Fa und reiner Quinte), wird auf dasselbe Generatorintervall temperiert.

Die wichtigen gleichstufigen Relasierungen von Porcupine [[15edo|15edo,]] [[22edo]] und [[37edo]] sind sämtlich 11-Limit-Porcupine-Systeme.
[[29edo]] temperiert das Ptolemäus-Komma zwar ebenfalls aus, hat jedoch eine eher schlechte Approximation für die neutralen Sekunden.

Weitere Varianten von Porcupine siehe im [[xenharmonic/Porcupine family|englischen Xenharmonic Wiki]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@normal&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaToc&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/normal?w=225&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div id="toc"&amp;gt;&amp;lt;h1 class="nopad"&amp;gt;Table of Contents&amp;lt;/h1&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Definition"&amp;gt;Definition&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
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 Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;strong&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music" rel="nofollow"&amp;gt;Mizarian Porcupine Ouverture&amp;lt;/a&amp;gt;, einer Komposition in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt; von Herman Miller.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt (und in der 11-Limit-Erweiterung von Porcupine, siehe weiter unten, auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-5-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;5-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-7-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;7-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Archytas- oder Leipziger Komma 64/63&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:13:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-Hedgehog"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:13 --&amp;gt;Hedgehog&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;Jubilisma 50/49&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:15:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-11-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:15 --&amp;gt;11-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls 100/99 (17.399 Cent, auch &amp;lt;strong&amp;gt;Ptolemäus-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer &amp;amp;quot;grossen neutralen Sekunde&amp;amp;quot; 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ausschnitt aus &amp;amp;quot;Val Fedoz&amp;amp;quot; (Hans Straub), Porcupine in 22edo&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der elfte Oberton, das Alphorn-Fa (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das Porcupine-temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz - und die ersten 5 Töne der Dur-Skala Lssss ergeben (wie schon oben erwähnt) eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Das Intervall 12/11, eine &amp;amp;quot;kleine neutrale Sekunde&amp;amp;quot; (in reiner Stimmung zwischen Alphorn-Fa und reiner Quinte), wird auf dasselbe Generatorintervall temperiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die wichtigen gleichstufigen Relasierungen von Porcupine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt; sind sämtlich 11-Limit-Porcupine-Systeme.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt; temperiert das Ptolemäus-Komma zwar ebenfalls aus, hat jedoch eine eher schlechte Approximation für die neutralen Sekunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Varianten von Porcupine siehe im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Porcupine|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[toc]]
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]


=Definition= 
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend **Porcupine-Komma** heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [[http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music|Mizarian Porcupine Ouverture]], einer Komposition in [[15edo]] von Herman Miller.

=Grundlegende Eigenschaften= 
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[xenharmonie/Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der 11-Limit-Erweiterung von Porcupine, siehe weiter unten, auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
"Obertonaler" Dur-Modus der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].

In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]]

=Varianten= 
==5-Limit-Porcupine== 
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine== 
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64_63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog== 
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50_49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]

==11-Limit-Porcupine== 
Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls 100/99 (17.399 Cent, auch **Ptolemäus-Komma** genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:

[[media type="file" key="ValFedozIntro.mp3" width="240" height="20"]]
Ausschnitt von "Val Fedoz" (Hans Straub), Porcupine in 22edo

Der elfte Oberton, das Alphorn-Fa (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das Porcupine-temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz - und die ersten 5 Töne der Dur-Skala Lssss ergeben (wie schon oben erwähnt) eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Das Intervall 12/11, eine "kleine neutrale Sekunde" (in reiner Stimmung zwischen Alphorn-Fa und reiner Quinte), wird auf dasselbe Generatorintervall temperiert.

Die wichtigen gleichstufigen Relasierungen von Porcupine [[15edo|15edo,]] [[22edo]] und [[37edo]] sind sämtlich 11-Limit-Porcupine-Systeme.
[[29edo]] temperiert das Ptolemäus-Komma zwar ebenfalls aus, hat jedoch eine eher schlechte Approximation für die neutralen Sekunden.

Weitere Varianten von Porcupine siehe im [[xenharmonic/Porcupine family|englischen Xenharmonic Wiki]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@normal&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaToc&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/normal?w=225&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div id="toc"&amp;gt;&amp;lt;h1 class="nopad"&amp;gt;Table of Contents&amp;lt;/h1&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Definition"&amp;gt;Definition&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Definition"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Definition&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;strong&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music" rel="nofollow"&amp;gt;Mizarian Porcupine Ouverture&amp;lt;/a&amp;gt;, einer Komposition in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt; von Herman Miller.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Grundlegende Eigenschaften"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Grundlegende Eigenschaften&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt (und in der 11-Limit-Erweiterung von Porcupine, siehe weiter unten, auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:0:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/porcupineotonalmajor22edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;porcupineotonalmajor22edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252Fporcupineotonalmajor22edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;quot;Obertonaler&amp;amp;quot; Dur-Modus der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;Varianten&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-5-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;5-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-7-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;7-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Archytas- oder Leipziger Komma 64/63&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:13:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-Hedgehog"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:13 --&amp;gt;Hedgehog&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;Jubilisma 50/49&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:15:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-11-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:15 --&amp;gt;11-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls 100/99 (17.399 Cent, auch &amp;lt;strong&amp;gt;Ptolemäus-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer &amp;amp;quot;grossen neutralen Sekunde&amp;amp;quot; 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:2:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/ValFedozIntro.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;ValFedozIntro.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252FValFedozIntro.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:2 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Ausschnitt von &amp;amp;quot;Val Fedoz&amp;amp;quot; (Hans Straub), Porcupine in 22edo&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der elfte Oberton, das Alphorn-Fa (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das Porcupine-temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz - und die ersten 5 Töne der Dur-Skala Lssss ergeben (wie schon oben erwähnt) eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Das Intervall 12/11, eine &amp;amp;quot;kleine neutrale Sekunde&amp;amp;quot; (in reiner Stimmung zwischen Alphorn-Fa und reiner Quinte), wird auf dasselbe Generatorintervall temperiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die wichtigen gleichstufigen Relasierungen von Porcupine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt; sind sämtlich 11-Limit-Porcupine-Systeme.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt; temperiert das Ptolemäus-Komma zwar ebenfalls aus, hat jedoch eine eher schlechte Approximation für die neutralen Sekunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Varianten von Porcupine siehe im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-10-09 05:59:22 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;561869401&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Porcupine|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[toc]]
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]


=Definition= 
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend **Porcupine-Komma** heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [[http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music|Mizarian Porcupine Ouverture]], einer Komposition in [[15edo]] von Herman Miller.

=Grundlegende Eigenschaften= 
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[xenharmonie/Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der 11-Limit-Erweiterung von Porcupine, siehe weiter unten, auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
"Obertonaler" Dur-Modus der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].

In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]]

=Varianten= 
==5-Limit-Porcupine== 
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine== 
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64_63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog== 
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50_49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]

==11-Limit-Porcupine== 
Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls 100/99 (17.399 Cent, auch **Ptolemäus-Komma** genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:

[[media type="file" key="ValFedozIntro.mp3"]]
Ausschnitt von "Val Fedoz (Hans Straub), Porcupine in 22edo

Der elfte Oberton, das Alphorn-Fa (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das Porcupine-temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz - und die ersten 5 Töne der Dur-Skala Lssss ergeben (wie schon oben erwähnt) eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Das Intervall 12/11, eine "kleine neutrale Sekunde" (in reiner Stimmung zwischen Alphorn-Fa und reiner Quinte), wird auf dasselbe Generatorintervall temperiert.

Die wichtigen gleichstufigen Relasierungen von Porcupine [[15edo|15edo,]] [[22edo]] und [[37edo]] sind sämtlich 11-Limit-Porcupine-Systeme.
[[29edo]] temperiert das Ptolemäus-Komma zwar ebenfalls aus, hat jedoch eine eher schlechte Approximation für die neutralen Sekunden.

Weitere Varianten von Porcupine siehe im [[xenharmonic/Porcupine family|englischen Xenharmonic Wiki]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@normal&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaToc&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/normal?w=225&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div id="toc"&amp;gt;&amp;lt;h1 class="nopad"&amp;gt;Table of Contents&amp;lt;/h1&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Definition"&amp;gt;Definition&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Grundlegende Eigenschaften"&amp;gt;Grundlegende Eigenschaften&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Varianten"&amp;gt;Varianten&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:20 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:21: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 2em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Varianten-5-Limit-Porcupine"&amp;gt;5-Limit-Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:21 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:22: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 2em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Varianten-7-Limit-Porcupine"&amp;gt;7-Limit-Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:22 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:23: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 2em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Varianten-Hedgehog"&amp;gt;Hedgehog&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:23 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:24: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 2em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Varianten-11-Limit-Porcupine"&amp;gt;11-Limit-Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:24 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:25: --&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:25 --&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Definition"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Definition&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;strong&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music" rel="nofollow"&amp;gt;Mizarian Porcupine Ouverture&amp;lt;/a&amp;gt;, einer Komposition in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt; von Herman Miller.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Grundlegende Eigenschaften"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Grundlegende Eigenschaften&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt (und in der 11-Limit-Erweiterung von Porcupine, siehe weiter unten, auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:0:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/porcupineotonalmajor22edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;porcupineotonalmajor22edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252Fporcupineotonalmajor22edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;quot;Obertonaler&amp;amp;quot; Dur-Modus der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:1:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/porcupinesymmetricminor22edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;porcupinesymmetricminor22edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252Fporcupinesymmetricminor22edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;Varianten&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-5-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;5-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-7-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;7-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Archytas- oder Leipziger Komma 64/63&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:13:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-Hedgehog"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:13 --&amp;gt;Hedgehog&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;Jubilisma 50/49&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:15:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-11-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:15 --&amp;gt;11-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls 100/99 (17.399 Cent, auch &amp;lt;strong&amp;gt;Ptolemäus-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer &amp;amp;quot;grossen neutralen Sekunde&amp;amp;quot; 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:2:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/ValFedozIntro.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;ValFedozIntro.mp3&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252FValFedozIntro.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:2 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Ausschnitt von &amp;amp;quot;Val Fedoz (Hans Straub), Porcupine in 22edo&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der elfte Oberton, das Alphorn-Fa (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das Porcupine-temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz - und die ersten 5 Töne der Dur-Skala Lssss ergeben (wie schon oben erwähnt) eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Das Intervall 12/11, eine &amp;amp;quot;kleine neutrale Sekunde&amp;amp;quot; (in reiner Stimmung zwischen Alphorn-Fa und reiner Quinte), wird auf dasselbe Generatorintervall temperiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die wichtigen gleichstufigen Relasierungen von Porcupine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt; sind sämtlich 11-Limit-Porcupine-Systeme.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt; temperiert das Ptolemäus-Komma zwar ebenfalls aus, hat jedoch eine eher schlechte Approximation für die neutralen Sekunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Varianten von Porcupine siehe im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
      <sha1>n0u00gu029c3ltcgzi87omn3dohhb3a</sha1>
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    <revision>
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      <timestamp>2015-10-09T05:14:17Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
        <id>0</id>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-10-09 05:14:17 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;561863761&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Porcupine|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[toc]]
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]


=Definition= 
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend **Porcupine-Komma** heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [[http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music|Mizarian Porcupine Ouverture]], einer Komposition in [[15edo]] von Herman Miller.

=Grundlegende Eigenschaften= 
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[xenharmonie/Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der 11-Limit-Erweiterung von Porcupine, siehe weiter unten, auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
"Obertonaler" Dur-Modus der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].

In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]]

=Varianten= 
==5-Limit-Porcupine== 
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine== 
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64_63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog== 
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50_49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]

==11-Limit-Porcupine== 
Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls 100/99 (17.399 Cent, auch **Ptolemäus-Komma** genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen.

Der elfte Oberton, das Alphorn-Fa (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das Porcupine-temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz - und die ersten 5 Töne der Dur-Skala Lssss ergeben (wie schon oben erwähnt) eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Das Intervall 12/11, eine "kleine neutrale Sekunde" (in reiner Stimmung zwischen Alphorn-Fa und reiner Quinte), wird auf dasselbe Generatorintervall temperiert.

Die wichtigen gleichstufigen Relasierungen von Porcupine [[15edo|15edo,]] [[22edo]] und [[37edo]] sind sämtlich 11-Limit-Porcupine-Systeme.
[[29edo]] temperiert das Ptolemäus-Komma zwar ebenfalls aus, hat jedoch eine eher schlechte Approximation für die neutralen Sekunden.

Weitere Varianten von Porcupine siehe im [[xenharmonic/Porcupine family|englischen Xenharmonic Wiki]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@normal&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaToc&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/normal?w=225&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div id="toc"&amp;gt;&amp;lt;h1 class="nopad"&amp;gt;Table of Contents&amp;lt;/h1&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Definition"&amp;gt;Definition&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;strong&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music" rel="nofollow"&amp;gt;Mizarian Porcupine Ouverture&amp;lt;/a&amp;gt;, einer Komposition in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt; von Herman Miller.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Grundlegende Eigenschaften"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Grundlegende Eigenschaften&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt (und in der 11-Limit-Erweiterung von Porcupine, siehe weiter unten, auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:0:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/porcupineotonalmajor22edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;porcupineotonalmajor22edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252Fporcupineotonalmajor22edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;quot;Obertonaler&amp;amp;quot; Dur-Modus der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:1:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/porcupinesymmetricminor22edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;porcupinesymmetricminor22edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252Fporcupinesymmetricminor22edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Varianten&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-5-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;5-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:10:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-7-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:10 --&amp;gt;7-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Archytas- oder Leipziger Komma 64/63&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-Hedgehog"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 --&amp;gt;Hedgehog&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;Jubilisma 50/49&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:14:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-11-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:14 --&amp;gt;11-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls 100/99 (17.399 Cent, auch &amp;lt;strong&amp;gt;Ptolemäus-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer &amp;amp;quot;grossen neutralen Sekunde&amp;amp;quot; 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der elfte Oberton, das Alphorn-Fa (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das Porcupine-temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz - und die ersten 5 Töne der Dur-Skala Lssss ergeben (wie schon oben erwähnt) eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Das Intervall 12/11, eine &amp;amp;quot;kleine neutrale Sekunde&amp;amp;quot; (in reiner Stimmung zwischen Alphorn-Fa und reiner Quinte), wird auf dasselbe Generatorintervall temperiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die wichtigen gleichstufigen Relasierungen von Porcupine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt; sind sämtlich 11-Limit-Porcupine-Systeme.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt; temperiert das Ptolemäus-Komma zwar ebenfalls aus, hat jedoch eine eher schlechte Approximation für die neutralen Sekunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Varianten von Porcupine siehe im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-10-09 05:11:40 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[toc]]
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]


=Definition= 
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend **Porcupine-Komma** heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [[http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music|Mizarian Porcupine Ouverture]], einer Komposition in [[15edo]] von Herman Miller.

=Grundlegende Eigenschaften= 
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[xenharmonie/Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der 11-Limit-Erweiterung von Porcupine, siehe weiter unten, auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
"Obertonaler" Dur-Modus der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].

In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]]

=Varianten= 
==5-Limit-Porcupine== 
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine== 
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64_63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog== 
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50_49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]

==11-Limit-Porcupine== 
Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls 100/99 (17.399 Cent, auch **Ptolemäus-Komma** genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen.

Der elfte Oberton, das Alphorn-Fa (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das Porcupine-temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz - und die ersten 5 Töne der Dur-Skala Lssss ergeben eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Das Intervall 12/11, eine "kleine neutrale Sekunde" (in reiner Stimmung zwischen Alphorn-Fa und reiner Quinte), wird auf dasselbe Generatorintervall temperiert.

Die wichtigen gleichstufigen Relasierungen von Porcupine [[15edo|15edo,]] [[22edo]] und [[37edo]] sind sämtlich 11-Limit-Porcupine-Systeme.
[[29edo]] temperiert das Ptolemäus-Komma zwar ebenfalls aus, hat jedoch eine eher schlechte Approximation für die neutralen Sekunden.

Weitere Varianten von Porcupine siehe im [[xenharmonic/Porcupine family|englischen Xenharmonic Wiki]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music" rel="nofollow"&amp;gt;Mizarian Porcupine Ouverture&amp;lt;/a&amp;gt;, einer Komposition in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt; von Herman Miller.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt (und in der 11-Limit-Erweiterung von Porcupine, siehe weiter unten, auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Weitere Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;Jubilisma 50/49&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
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[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls 100/99 (17.399 Cent, auch &amp;lt;strong&amp;gt;Ptolemäus-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer &amp;amp;quot;grossen neutralen Sekunde&amp;amp;quot; 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der elfte Oberton, das Alphorn-Fa (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das Porcupine-temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz - und die ersten 5 Töne der Dur-Skala Lssss ergeben eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Das Intervall 12/11, eine &amp;amp;quot;kleine neutrale Sekunde&amp;amp;quot; (in reiner Stimmung zwischen Alphorn-Fa und reiner Quinte), wird auf dasselbe Generatorintervall temperiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die wichtigen gleichstufigen Relasierungen von Porcupine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt; sind sämtlich 11-Limit-Porcupine-Systeme.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt; temperiert das Ptolemäus-Komma zwar ebenfalls aus, hat jedoch eine eher schlechte Approximation für die neutralen Sekunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Varianten von Porcupine siehe im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[toc]]
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]


=Definition= 
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend **Porcupine-Komma** heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [[http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music|Mizarian Porcupine Ouverture]], einer Komposition in [[15edo]] von Herman Miller.

=Grundlegende Eigenschaften= 
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[xenharmonie/Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der 11-Limit-Erweiterung von Porcupine, siehe weiter unten auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
"Obertonaler" Dur-Modus der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].

In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]]

=Varianten= 
==5-Limit-Porcupine== 
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine== 
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64_63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog== 
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50_49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]

==11-Limit-Porcupine== 
Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls 100/99 (17.399 Cent, auch **Ptolemäus-Komma** genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen.

Der elfte Oberton, das Alphorn-Fa (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das Porcupine-temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz - und die ersten 5 Töne der Dur-Skala Lssss ergeben eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Das Intervall 12/11, eine "kleine neutrale Sekunde" (in reiner Stimmung zwischen Alphorn-Fa und reiner Quinte), wird auf dasselbe Generatorintervall temperiert.

Die wichtigen gleichstufigen Relasierungen von Porcupine [[15edo|15edo,]] [[22edo]] und [[37edo]] sind sämtlich 11-Limit-Porcupine-Systeme.
[[29edo]] temperiert das Ptolemäus-Komma zwar ebenfalls aus, hat jedoch eine eher schlechte Approximation für die neutralen Sekunden.

Weitere Varianten von Porcupine siehe im [[xenharmonic/Porcupine family|englischen Xenharmonic Wiki]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@normal&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaToc&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/normal?w=225&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div id="toc"&amp;gt;&amp;lt;h1 class="nopad"&amp;gt;Table of Contents&amp;lt;/h1&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Definition"&amp;gt;Definition&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
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 Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;strong&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music" rel="nofollow"&amp;gt;Mizarian Porcupine Ouverture&amp;lt;/a&amp;gt;, einer Komposition in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt; von Herman Miller.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt (und in der 11-Limit-Erweiterung von Porcupine, siehe weiter unten auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Weitere Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Archytas- oder Leipziger Komma 64/63&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-Hedgehog"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 --&amp;gt;Hedgehog&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;Jubilisma 50/49&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:14:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-11-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:14 --&amp;gt;11-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls 100/99 (17.399 Cent, auch &amp;lt;strong&amp;gt;Ptolemäus-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer &amp;amp;quot;grossen neutralen Sekunde&amp;amp;quot; 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der elfte Oberton, das Alphorn-Fa (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das Porcupine-temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz - und die ersten 5 Töne der Dur-Skala Lssss ergeben eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Das Intervall 12/11, eine &amp;amp;quot;kleine neutrale Sekunde&amp;amp;quot; (in reiner Stimmung zwischen Alphorn-Fa und reiner Quinte), wird auf dasselbe Generatorintervall temperiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die wichtigen gleichstufigen Relasierungen von Porcupine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt; sind sämtlich 11-Limit-Porcupine-Systeme.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt; temperiert das Ptolemäus-Komma zwar ebenfalls aus, hat jedoch eine eher schlechte Approximation für die neutralen Sekunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Varianten von Porcupine siehe im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Porcupine|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[toc]]
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]


=Definition= 
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend **Porcupine-Komma** heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

=Grundlegende Eigenschaften= 
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[xenharmonie/Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der 11-Limit-Erweiterung von Porcupine, siehe weiter unten auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
"Obertonaler" Dur-Modus der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].

In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]]

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [[http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music|Mizarian Porcupine Ouverture]], einer Komposition in 15edo von Herman Miller.

=Varianten= 
==5-Limit-Porcupine== 
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine== 
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64_63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog== 
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50_49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]

==11-Limit-Porcupine== 
Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls 100/99 (17.399 Cent, auch **Ptolemäus-Komma** genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen.

Der elfte Oberton, das Alphorn-Fa (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das Porcupine-temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz - und die ersten 5 Töne der Dur-Skala Lssss ergeben eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Das Intervall 12/11, eine "kleine neutrale Sekunde" (in reiner Stimmung zwischen Alphorn-Fa und reiner Quinte), wird auf dasselbe Generatorintervall temperiert.

Die wichtigen gleichstufigen Relasierungen von Porcupine [[15edo|15edo,]] [[22edo]] und [[37edo]] sind sämtlich 11-Limit-Porcupine-Systeme.
[[29edo]] temperiert das Ptolemäus-Komma zwar ebenfalls aus, hat jedoch eine eher schlechte Approximation für die neutralen Sekunden.

Weitere Varianten von Porcupine siehe im [[xenharmonic/Porcupine family|englischen Xenharmonic Wiki]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@normal&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaToc&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/normal?w=225&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div id="toc"&amp;gt;&amp;lt;h1 class="nopad"&amp;gt;Table of Contents&amp;lt;/h1&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Definition"&amp;gt;Definition&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Definition"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Definition&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;strong&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Grundlegende Eigenschaften"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Grundlegende Eigenschaften&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt (und in der 11-Limit-Erweiterung von Porcupine, siehe weiter unten auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;amp;quot;Obertonaler&amp;amp;quot; Dur-Modus der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music" rel="nofollow"&amp;gt;Mizarian Porcupine Ouverture&amp;lt;/a&amp;gt;, einer Komposition in 15edo von Herman Miller.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Archytas- oder Leipziger Komma 64/63&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-Hedgehog"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 --&amp;gt;Hedgehog&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;Jubilisma 50/49&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:14:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-11-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:14 --&amp;gt;11-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls 100/99 (17.399 Cent, auch &amp;lt;strong&amp;gt;Ptolemäus-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer &amp;amp;quot;grossen neutralen Sekunde&amp;amp;quot; 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der elfte Oberton, das Alphorn-Fa (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das Porcupine-temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz - und die ersten 5 Töne der Dur-Skala Lssss ergeben eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Das Intervall 12/11, eine &amp;amp;quot;kleine neutrale Sekunde&amp;amp;quot; (in reiner Stimmung zwischen Alphorn-Fa und reiner Quinte), wird auf dasselbe Generatorintervall temperiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die wichtigen gleichstufigen Relasierungen von Porcupine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt; sind sämtlich 11-Limit-Porcupine-Systeme.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt; temperiert das Ptolemäus-Komma zwar ebenfalls aus, hat jedoch eine eher schlechte Approximation für die neutralen Sekunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Varianten von Porcupine siehe im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Porcupine|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[toc]]
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]


=Definition= 
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend //Porcupine-Komma// heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

=Grundlegende Eigenschaften= 
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[xenharmonie/Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der 11-Limit-Erweiterung von Porcupine, siehe weiter unten auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
"Obertonaler" Dur-Modus der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].

In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]]

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [[http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music|Mizarian Porcupine Ouverture]], einer Komposition in 15edo von Herman Miller.

=Varianten= 
==5-Limit-Porcupine== 
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine== 
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64_63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog== 
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50_49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]

==11-Limit-Porcupine== 
Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls 100/99 (17.399 Cent, auch **Ptolemäus-Komma** genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen.

Der elfte Oberton, das Alphorn-Fa (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das Porcupine-temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz - und die ersten 5 Töne der Dur-Skala Lssss ergeben eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Das Intervall 12/11, eine "kleine neutrale Sekunde" (in reiner Stimmung zwischen Alphorn-Fa und reiner Quinte), wird auf dasselbe Generatorintervall temperiert.

Die wichtigen gleichstufigen Relasierungen von Porcupine [[15edo|15edo,]] [[22edo]] und [[37edo]] sind sämtlich 11-Limit-Porcupine-Systeme.
[[29edo]] temperiert das Ptolemäus-Komma zwar ebenfalls aus, hat jedoch eine eher schlechte Approximation für die neutralen Sekunden.

Weitere Varianten von Porcupine siehe im [[xenharmonic/Porcupine family|englischen Xenharmonic Wiki]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@normal&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaToc&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/normal?w=225&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div id="toc"&amp;gt;&amp;lt;h1 class="nopad"&amp;gt;Table of Contents&amp;lt;/h1&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Definition"&amp;gt;Definition&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Grundlegende Eigenschaften"&amp;gt;Grundlegende Eigenschaften&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
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 Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;em&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/em&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Grundlegende Eigenschaften"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Grundlegende Eigenschaften&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt (und in der 11-Limit-Erweiterung von Porcupine, siehe weiter unten auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:0:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/porcupineotonalmajor22edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;porcupineotonalmajor22edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252Fporcupineotonalmajor22edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
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Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music" rel="nofollow"&amp;gt;Mizarian Porcupine Ouverture&amp;lt;/a&amp;gt;, einer Komposition in 15edo von Herman Miller.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Varianten&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-5-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;5-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:10:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-7-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:10 --&amp;gt;7-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Archytas- oder Leipziger Komma 64/63&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-Hedgehog"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 --&amp;gt;Hedgehog&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;Jubilisma 50/49&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:14:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-11-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:14 --&amp;gt;11-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls 100/99 (17.399 Cent, auch &amp;lt;strong&amp;gt;Ptolemäus-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer &amp;amp;quot;grossen neutralen Sekunde&amp;amp;quot; 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der elfte Oberton, das Alphorn-Fa (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das Porcupine-temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz - und die ersten 5 Töne der Dur-Skala Lssss ergeben eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Das Intervall 12/11, eine &amp;amp;quot;kleine neutrale Sekunde&amp;amp;quot; (in reiner Stimmung zwischen Alphorn-Fa und reiner Quinte), wird auf dasselbe Generatorintervall temperiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die wichtigen gleichstufigen Relasierungen von Porcupine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt; sind sämtlich 11-Limit-Porcupine-Systeme.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt; temperiert das Ptolemäus-Komma zwar ebenfalls aus, hat jedoch eine eher schlechte Approximation für die neutralen Sekunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Varianten von Porcupine siehe im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <timestamp>2015-10-09T05:07:14Z</timestamp>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-10-09 05:07:14 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Porcupine|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]
[[toc]]

=Definition= 
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend //Porcupine-Komma// heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

=Grundlegende Eigenschaften= 
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[xenharmonie/Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der 11-Limit-Erweiterung von Porcupine, siehe weiter unten auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
"Obertonaler" Dur-Modus der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].

In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]]

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [[http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music|Mizarian Porcupine Ouverture]], einer Komposition in 15edo von Herman Miller.

=Varianten= 
==5-Limit-Porcupine== 
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine== 
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64_63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog== 
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50_49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]

==11-Limit-Porcupine== 
Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls 100/99 (17.399 Cent, auch **Ptolemäus-Komma** genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen.

Der elfte Oberton, das Alphorn-Fa (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das Porcupine-temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz - und die ersten 5 Töne der Dur-Skala Lssss ergeben eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Das Intervall 12/11, eine "kleine neutrale Sekunde" (in reiner Stimmung zwischen Alphorn-Fa und reiner Quinte), wird auf dasselbe Generatorintervall temperiert.

Die wichtigen gleichstufigen Relasierungen von Porcupine [[15edo|15edo,]] [[22edo]] und [[37edo]] sind sämtlich 11-Limit-Porcupine-Systeme.
[[29edo]] temperiert das Ptolemäus-Komma zwar ebenfalls aus, hat jedoch eine eher schlechte Approximation für die neutralen Sekunden.

Weitere Varianten von Porcupine siehe im [[xenharmonic/Porcupine family|englischen Xenharmonic Wiki]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@normal&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaToc&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/normal?w=225&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div id="toc"&amp;gt;&amp;lt;h1 class="nopad"&amp;gt;Table of Contents&amp;lt;/h1&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Definition"&amp;gt;Definition&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Grundlegende Eigenschaften"&amp;gt;Grundlegende Eigenschaften&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Varianten"&amp;gt;Varianten&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 2em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Varianten-5-Limit-Porcupine"&amp;gt;5-Limit-Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:20 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:21: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 2em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Varianten-7-Limit-Porcupine"&amp;gt;7-Limit-Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:21 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:22: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 2em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Varianten-Hedgehog"&amp;gt;Hedgehog&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:22 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:23: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 2em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Varianten-11-Limit-Porcupine"&amp;gt;11-Limit-Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:23 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:24: --&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:24 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Definition"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Definition&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;em&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/em&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Grundlegende Eigenschaften"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Grundlegende Eigenschaften&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt (und in der 11-Limit-Erweiterung von Porcupine, siehe weiter unten auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:0:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/porcupineotonalmajor22edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;porcupineotonalmajor22edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252Fporcupineotonalmajor22edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;quot;Obertonaler&amp;amp;quot; Dur-Modus der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music" rel="nofollow"&amp;gt;Mizarian Porcupine Ouverture&amp;lt;/a&amp;gt;, einer Komposition in 15edo von Herman Miller.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Varianten&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-5-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;5-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:10:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-7-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:10 --&amp;gt;7-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Archytas- oder Leipziger Komma 64/63&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-Hedgehog"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 --&amp;gt;Hedgehog&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;Jubilisma 50/49&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:14:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-11-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:14 --&amp;gt;11-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls 100/99 (17.399 Cent, auch &amp;lt;strong&amp;gt;Ptolemäus-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer &amp;amp;quot;grossen neutralen Sekunde&amp;amp;quot; 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der elfte Oberton, das Alphorn-Fa (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das Porcupine-temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz - und die ersten 5 Töne der Dur-Skala Lssss ergeben eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Das Intervall 12/11, eine &amp;amp;quot;kleine neutrale Sekunde&amp;amp;quot; (in reiner Stimmung zwischen Alphorn-Fa und reiner Quinte), wird auf dasselbe Generatorintervall temperiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die wichtigen gleichstufigen Relasierungen von Porcupine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt; sind sämtlich 11-Limit-Porcupine-Systeme.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt; temperiert das Ptolemäus-Komma zwar ebenfalls aus, hat jedoch eine eher schlechte Approximation für die neutralen Sekunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Varianten von Porcupine siehe im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <timestamp>2015-10-09T05:05:47Z</timestamp>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-10-09 05:05:47 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;561862753&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Porcupine|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]
[[toc]]

Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend //Porcupine-Komma// heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[xenharmonie/Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der 11-Limit-Erweiterung von Porcupine, siehe weiter unten auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
"Obertonaler" Dur-Modus der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].

In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]]

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [[http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music|Mizarian Porcupine Ouverture]], einer Komposition in 15edo von Herman Miller.

=Varianten= 
==5-Limit-Porcupine== 
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine== 
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64_63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog== 
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50_49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]

==11-Limit-Porcupine== 
Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls 100/99 (17.399 Cent, auch **Ptolemäus-Komma** genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen.

Der elfte Oberton, das Alphorn-Fa (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das Porcupine-temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz - und die ersten 5 Töne der Dur-Skala Lssss ergeben eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Das Intervall 12/11, eine "kleine neutrale Sekunde" (in reiner Stimmung zwischen Alphorn-Fa und reiner Quinte), wird auf dasselbe Generatorintervall temperiert.

Die wichtigen gleichstufigen Relasierungen von Porcupine [[15edo|15edo,]] [[22edo]] und [[37edo]] sind sämtlich 11-Limit-Porcupine-Systeme.
[[29edo]] temperiert das Ptolemäus-Komma zwar ebenfalls aus, hat jedoch eine eher schlechte Approximation für die neutralen Sekunden.

Weitere Varianten von Porcupine siehe im [[xenharmonic/Porcupine family|englischen Xenharmonic Wiki]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;em&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/em&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt (und in der 11-Limit-Erweiterung von Porcupine, siehe weiter unten auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;amp;quot;Obertonaler&amp;amp;quot; Dur-Modus der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music" rel="nofollow"&amp;gt;Mizarian Porcupine Ouverture&amp;lt;/a&amp;gt;, einer Komposition in 15edo von Herman Miller.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Varianten&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-5-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;5-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-7-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;7-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Archytas- oder Leipziger Komma 64/63&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-Hedgehog"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Hedgehog&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;Jubilisma 50/49&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:10:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-11-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:10 --&amp;gt;11-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls 100/99 (17.399 Cent, auch &amp;lt;strong&amp;gt;Ptolemäus-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer &amp;amp;quot;grossen neutralen Sekunde&amp;amp;quot; 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der elfte Oberton, das Alphorn-Fa (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das Porcupine-temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz - und die ersten 5 Töne der Dur-Skala Lssss ergeben eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Das Intervall 12/11, eine &amp;amp;quot;kleine neutrale Sekunde&amp;amp;quot; (in reiner Stimmung zwischen Alphorn-Fa und reiner Quinte), wird auf dasselbe Generatorintervall temperiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die wichtigen gleichstufigen Relasierungen von Porcupine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt; sind sämtlich 11-Limit-Porcupine-Systeme.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt; temperiert das Ptolemäus-Komma zwar ebenfalls aus, hat jedoch eine eher schlechte Approximation für die neutralen Sekunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Varianten von Porcupine siehe im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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      <comment>**Imported revision 561862685 - Original comment: **</comment>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-10-09 05:05:16 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Porcupine|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]
[[toc]]
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend //Porcupine-Komma// heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[xenharmonie/Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der 11-Limit-Erweiterung von Porcupine, siehe weiter unten auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
"Obertonaler" Dur-Modus der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].

In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]]

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [[http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music|Mizarian Porcupine Ouverture]], einer Komposition in 15edo von Herman Miller.

=Varianten= 
==5-Limit-Porcupine== 
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine== 
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64_63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog== 
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50_49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]

==11-Limit-Porcupine== 
Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls 100/99 (17.399 Cent, auch **Ptolemäus-Komma** genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen.

Der elfte Oberton, das Alphorn-Fa (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das Porcupine-temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz - und die ersten 5 Töne der Dur-Skala Lssss ergeben eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Das Intervall 12/11, eine "kleine neutrale Sekunde" (in reiner Stimmung zwischen Alphorn-Fa und reiner Quinte), wird auf dasselbe Generatorintervall temperiert.

Die wichtigen gleichstufigen Relasierungen von Porcupine [[15edo|15edo,]] [[22edo]] und [[37edo]] sind sämtlich 11-Limit-Porcupine-Systeme.
[[29edo]] temperiert das Ptolemäus-Komma zwar ebenfalls aus, hat jedoch eine eher schlechte Approximation für die neutralen Sekunden.

Weitere Varianten von Porcupine siehe im [[xenharmonic/Porcupine family|englischen Xenharmonic Wiki]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:12:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@normal&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaToc&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/normal?w=225&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div id="toc"&amp;gt;&amp;lt;h1 class="nopad"&amp;gt;Table of Contents&amp;lt;/h1&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:12 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:13: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Varianten"&amp;gt;Varianten&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --&amp;gt;Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;em&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/em&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt (und in der 11-Limit-Erweiterung von Porcupine, siehe weiter unten auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:0:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/porcupineotonalmajor22edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;porcupineotonalmajor22edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252Fporcupineotonalmajor22edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;quot;Obertonaler&amp;amp;quot; Dur-Modus der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:1:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/porcupinesymmetricminor22edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;porcupinesymmetricminor22edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252Fporcupinesymmetricminor22edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music" rel="nofollow"&amp;gt;Mizarian Porcupine Ouverture&amp;lt;/a&amp;gt;, einer Komposition in 15edo von Herman Miller.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Varianten&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-5-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;5-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-7-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;7-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Archytas- oder Leipziger Komma 64/63&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;Jubilisma 50/49&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls 100/99 (17.399 Cent, auch &amp;lt;strong&amp;gt;Ptolemäus-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer &amp;amp;quot;grossen neutralen Sekunde&amp;amp;quot; 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der elfte Oberton, das Alphorn-Fa (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das Porcupine-temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz - und die ersten 5 Töne der Dur-Skala Lssss ergeben eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Das Intervall 12/11, eine &amp;amp;quot;kleine neutrale Sekunde&amp;amp;quot; (in reiner Stimmung zwischen Alphorn-Fa und reiner Quinte), wird auf dasselbe Generatorintervall temperiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die wichtigen gleichstufigen Relasierungen von Porcupine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt; sind sämtlich 11-Limit-Porcupine-Systeme.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt; temperiert das Ptolemäus-Komma zwar ebenfalls aus, hat jedoch eine eher schlechte Approximation für die neutralen Sekunden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Varianten von Porcupine siehe im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend //Porcupine-Komma// heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[xenharmonie/Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
"Obertonaler" Dur-Modus der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].

In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]]

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [[http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music|Mizarian Porcupine Ouverture]], einer Komposition in 15edo von Herman Miller.

=Varianten= 
==5-Limit-Porcupine== 
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine== 
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64_63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog== 
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50_49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]

==11-Limit-Porcupine== 
Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls 100/99 (17.399 Cent, auch **Ptolemäus-Komma** genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10 - der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar.

[ToDo]

Weitere Varianten von Porcupine siehe im [[xenharmonic/Porcupine family|englischen Xenharmonic Wiki]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;em&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/em&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Weitere Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music" rel="nofollow"&amp;gt;Mizarian Porcupine Ouverture&amp;lt;/a&amp;gt;, einer Komposition in 15edo von Herman Miller.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Archytas- oder Leipziger Komma 64/63&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;Jubilisma 50/49&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
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[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Eine natürliche Erweiterung von Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls 100/99 (17.399 Cent, auch &amp;lt;strong&amp;gt;Ptolemäus-Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer &amp;amp;quot;grossen neutralen Sekunde&amp;amp;quot; 11/10 - der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[ToDo]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Varianten von Porcupine siehe im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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      <comment>**Imported revision 479546394 - Original comment: **</comment>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-12-27 06:58:12 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;479546394&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend //Porcupine-Komma// heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[xenharmonie/Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
"Obertonaler" Dur-Modus der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].

In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]]

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [[http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music|Mizarian Porcupine Ouverture]], einer Komposition in 15edo von Herman Miller.

=Varianten= 
==5-Limit-Porcupine== 
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine== 
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64_63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog== 
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50_49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]

Weitere Varianten von Porcupine siehe im [[xenharmonic/Porcupine family|englischen Xenharmonic Wiki]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;em&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/em&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music" rel="nofollow"&amp;gt;Mizarian Porcupine Ouverture&amp;lt;/a&amp;gt;, einer Komposition in 15edo von Herman Miller.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Archytas- oder Leipziger Komma 64/63&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;Jubilisma 50/49&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Varianten von Porcupine siehe im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-12-27 06:55:44 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend //Porcupine-Komma// heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[xenharmonie/Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
"Obertonaler" Dur-Modus der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].

In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]]

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [[http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music|Mizarian Porcupine ]]Ouverture, einer Komposition in 15edo von Herman Miller.

=Varianten= 
==5-Limit-Porcupine== 
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine== 
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64_63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog== 
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50_49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]

Weitere Varianten von Porcupine siehe im [[xenharmonic/Porcupine family|englischen Xenharmonic Wiki]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;em&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/em&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;amp;quot;Obertonaler&amp;amp;quot; Dur-Modus der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music" rel="nofollow"&amp;gt;Mizarian Porcupine &amp;lt;/a&amp;gt;Ouverture, einer Komposition in 15edo von Herman Miller.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Varianten&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-5-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;5-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-7-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;7-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Archytas- oder Leipziger Komma 64/63&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-Hedgehog"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Hedgehog&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;Jubilisma 50/49&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Varianten von Porcupine siehe im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-12-27 06:18:25 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Porcupine]]

[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend //Porcupine-Komma// heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[xenharmonie/Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
"Obertonaler" Dur-Modus der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].

In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]]

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [[http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music|Mizarian Porcupine ]]Ouverture, einer Komposition in 15edo von Herman Miller.

=Varianten= 
==5-Limit-Porcupine== 
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]].
==7-Limit-Porcupine== 
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64_63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;em&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/em&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:0:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/porcupineotonalmajor22edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;porcupineotonalmajor22edo.mp3&amp;amp;amp;quot; width=&amp;amp;amp;quot;240&amp;amp;amp;quot; height=&amp;amp;amp;quot;20&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252Fporcupineotonalmajor22edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;quot;Obertonaler&amp;amp;quot; Dur-Modus der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music" rel="nofollow"&amp;gt;Mizarian Porcupine &amp;lt;/a&amp;gt;Ouverture, einer Komposition in 15edo von Herman Miller.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Varianten&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-5-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;5-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Varianten-7-Limit-Porcupine"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;7-Limit-Porcupine&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Archytas- oder Leipziger Komma 64/63&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-08-21 08:13:33 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Porcupine]]

[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend //Porcupine-Komma// heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, wleches dem [[xenharmonie/Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
"Obertonaler" Dur-Modus der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].

In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;em&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/em&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, wleches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-08-21 08:13:09 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend //Porcupine-Komma// heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, wleches dem [[xenharmonie/Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

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"Obertonaler" Dur-Modus der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

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Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].

In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dis kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;em&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/em&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, wleches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dis kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-08-21 06:53:28 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Porcupine]]

[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend //Porcupine-Komma// heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, wleches dem [[xenharmonie/Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
"Obertonaler" Dur-Modus der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].
Die achttönige MOS-Skala kann als Basis für ein Porcupine-Keyboardlayout verwendet werden, welches alle Töne von 15edo enthält. Siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;em&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/em&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, wleches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Weitere Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die achttönige MOS-Skala kann als Basis für ein Porcupine-Keyboardlayout verwendet werden, welches alle Töne von 15edo enthält. Siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-08-21 06:05:18 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend //Porcupine-Komma// heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, wleches dem [[xenharmonie/Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Eine Oktave minus 7 Generatorenschritte ergibt ein Intervall, welches der Unterschied zwischen groseem und kleinem Ganzton ist. Die entsprechende achttönige Skala ist ebenfalls eine MOS-Skala, mit diesem Intervall als s und dem kleinen Ganzton als L. Diese Skala kann als Basis für ein Porcupine-Keyboardlayout verwendet werden, siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]]

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
"Obertonaler" Dur-Modus der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;em&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/em&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, wleches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine Oktave minus 7 Generatorenschritte ergibt ein Intervall, welches der Unterschied zwischen groseem und kleinem Ganzton ist. Die entsprechende achttönige Skala ist ebenfalls eine MOS-Skala, mit diesem Intervall als s und dem kleinen Ganzton als L. Diese Skala kann als Basis für ein Porcupine-Keyboardlayout verwendet werden, siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend //Porcupine-Komma// heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, wleches dem [[xenharmonie/Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
"Obertonaler" Dur-Modus von Porcupine (in 22edo-Stimmung)

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3" width="240" height="20"]]
Symmetrischer Moll-Modus von Porcupine (in 22edo-Stimmung)

Eine Oktave minus 7 Generatorenschritte ergibt ein Intervall, welches der Unterschied zwischen groseem und kleinem Ganzton ist. Die entsprechende achttönige Skala ist ebenfalls eine MOS-Skala, mit diesem Intervall als s und dem kleinen Ganzton als L. Diese Skala kann als Basis für ein Porcupine-Keyboardlayout verwendet werden, siehe etwa [[http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]]

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

Weitere Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]


Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;em&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/em&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, wleches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Symmetrischer Moll-Modus von Porcupine (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine Oktave minus 7 Generatorenschritte ergibt ein Intervall, welches der Unterschied zwischen groseem und kleinem Ganzton ist. Die entsprechende achttönige Skala ist ebenfalls eine MOS-Skala, mit diesem Intervall als s und dem kleinen Ganzton als L. Diese Skala kann als Basis für ein Porcupine-Keyboardlayout verwendet werden, siehe etwa &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-07-21 08:13:42 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;441899710&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend //Porcupine-Komma// heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, wleches dem [[xenharmonie/Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

[[media type="file" key="porcupineotonalmajor22edo.mp3"]]
"Obertonaler" Dur-Modus von Porcupine (in 22edo-Stimmung)

[[media type="file" key="porcupinesymmetricminor22edo.mp3"]]
Symmetrischer Moll-Modus von Porcupine (in 22edo-Stimmung)

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

Weitere Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;em&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/em&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, wleches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Symmetrischer Moll-Modus von Porcupine (in 22edo-Stimmung)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-09 16:36:55 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend //Porcupine-Komma// heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, wleches dem [[xenharmonie/Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;em&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/em&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, wleches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend //Porcupine-Komma// heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, wleches dem [[xenharmonie/Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;em&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/em&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, wleches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend //Porcupine-Komma// heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern um das etwas höhere Intervall 1L+2s, das dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die erste Dur-Skala insbesondere beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala also (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und einer symmetrischen Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;em&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/em&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern um das etwas höhere Intervall 1L+2s, das dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die erste Dur-Skala insbesondere beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala also (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und einer symmetrischen Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend //Porcupine-Komma// heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern um das etwas höhere Intervall 1L+2s, das dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die erste Dur-Skala insbesondere beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala also (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und einer hochsymmetrischen Struktur (zwei identische Taetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;em&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/em&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern um das etwas höhere Intervall 1L+2s, das dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die erste Dur-Skala insbesondere beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala also (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und einer hochsymmetrischen Struktur (zwei identische Taetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-04 02:23:00 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend //Porcupine-Komma// heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern um das etwas höhere Intervall 1L+2s, das dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die erste Dur-Skala insbesondere beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala also (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und einer hochsymmetrischen Struktur (zwei identische Taetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaftebn und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;em&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/em&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern um das etwas höhere Intervall 1L+2s, das dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die erste Dur-Skala insbesondere beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala also (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und einer hochsymmetrischen Struktur (zwei identische Taetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaftebn und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend //Porcupine-Komma// heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist. Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.

Das alles sind Eigenschaften, die sich von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen doch deutlich unterscheiden! Trotzdem ist Porcupine verblüffend einfach zu handhaben.

Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;em&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/em&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist. Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das alles sind Eigenschaften, die sich von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen doch deutlich unterscheiden! Trotzdem ist Porcupine verblüffend einfach zu handhaben.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend //Porcupine-Komma//heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/Cent|Cents]]&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist. Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.

Das alles sind Eigenschaften, die sich von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen doch deutlich unterscheiden! Trotzdem ist Porcupine verblüffend einfach zu handhaben.

Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;em&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/em&amp;gt;heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;(etwa 49.166 &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist. Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das alles sind Eigenschaften, die sich von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen doch deutlich unterscheiden! Trotzdem ist Porcupine verblüffend einfach zu handhaben.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-01 05:21:24 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend //Porcupine-Komma// heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist. Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.

Das alles sind Eigenschaften, die sich von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen doch deutlich unterscheiden! Trotzdem ist Porcupine verblüffend einfach zu handhaben.

Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;em&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/em&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist. Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das alles sind Eigenschaften, die sich von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen doch deutlich unterscheiden! Trotzdem ist Porcupine verblüffend einfach zu handhaben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend //Porcupine-Komma// heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist. Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.

Das alles sind Eigenschaften, die sich von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen doch beträchtlich unterscheiden! Trotzdem ist Porcupine verblüffend einfach zu handhaben.

Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;em&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/em&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist. Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das alles sind Eigenschaften, die sich von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen doch beträchtlich unterscheiden! Trotzdem ist Porcupine verblüffend einfach zu handhaben.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend [[Porcupine-Komma]] heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist. Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.

Das alles sind Eigenschaften, die sich von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen doch beträchtlich unterscheiden! Trotzdem ist Porcupine verblüffend einfach zu handhaben.

Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine-Komma"&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/a&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist. Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das alles sind Eigenschaften, die sich von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen doch beträchtlich unterscheiden! Trotzdem ist Porcupine verblüffend einfach zu handhaben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-23 06:52:41 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250_243|250/243]] (welches entsprechend [[Porcupine-Komma|//Porcupine-Komma//]] heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist. Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.

Das alles sind Eigenschaften, die sich von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen doch beträchtlich unterscheiden! Trotzdem ist Porcupine verblüffend einfach zu handhaben.

Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine-Komma"&amp;gt;//Porcupine-Komma//&amp;lt;/a&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist. Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das alles sind Eigenschaften, die sich von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen doch beträchtlich unterscheiden! Trotzdem ist Porcupine verblüffend einfach zu handhaben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall 250/243 (welches entsprechend //Porcupine-Komma// heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist. Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.

Das alles sind Eigenschaften, die sich von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen doch beträchtlich unterscheiden! Trotzdem ist Porcupine verblüffend einfach zu handhaben.

Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#x-Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall 250/243 (welches entsprechend &amp;lt;em&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/em&amp;gt; heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist. Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das alles sind Eigenschaften, die sich von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen doch beträchtlich unterscheiden! Trotzdem ist Porcupine verblüffend einfach zu handhaben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#x-Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall 250/243 (welches entsprechend Porcupine-Komma heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist. Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.

Das alles sind Eigenschaften, die sich von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen doch beträchtlich unterscheiden! Trotzdem ist Porcupine verblüffend einfach zu handhaben.

Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo]], [[29edo]], [[37edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall 250/243 (welches entsprechend Porcupine-Komma heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist. Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das alles sind Eigenschaften, die sich von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen doch beträchtlich unterscheiden! Trotzdem ist Porcupine verblüffend einfach zu handhaben.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-13 08:15:43 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall 250/243 (welches entsprechend Porcupine-Komma heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist. Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.

Das alles sind Eigenschaften, die sich von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen doch beträchtlich unterscheiden! Trotzdem ist Porcupine verblüffend einfach zu handhaben.

Hörbeispiele: [[xenharmonic/Porcupine#Musical%20examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo]] und [[22edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall 250/243 (welches entsprechend Porcupine-Komma heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist. Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das alles sind Eigenschaften, die sich von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen doch beträchtlich unterscheiden! Trotzdem ist Porcupine verblüffend einfach zu handhaben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Hörbeispiele: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Porcupine#Musical%20examples"&amp;gt;xenharmonic/Porcupine Musical Examples&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-13 08:13:32 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall 250/243 (welches entsprechend Porcupine-Komma heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist. Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.

Das alles sind Eigenschaften, die sich von [[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen doch beträchtlich unterscheiden! Trotzdem ist Porcupine verblüffend einfach zu handhaben.

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo]] und [[22edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall 250/243 (welches entsprechend Porcupine-Komma heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist. Die siebentönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das alles sind Eigenschaften, die sich von &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Systemen doch beträchtlich unterscheiden! Trotzdem ist Porcupine verblüffend einfach zu handhaben.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall 250/243 (welches entsprechend Porcupine-Komma heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Alle Porcupine-temperierten Systeme haben daher die Eigenschaft, dass eine Quarte in drei gleiche Teile geteilt werden kann.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Name &amp;amp;quot;Porcupine-Temperatur&amp;amp;quot; steht für ein System, bei dem das Intervall 250/243 (welches entsprechend Porcupine-Komma heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Alle Porcupine-temperierten Systeme haben daher die Eigenschaft, dass eine Quarte in drei gleiche Teile geteilt werden kann.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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__FORCETOC__
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition=
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250/243|250/243]] (welches entsprechend '''Porcupine-Komma''' heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;(etwa 49.166 [[Cent|Cents]] gross) &lt;/span&gt;&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&lt;/span&gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music Mizarian Porcupine Ouverture], einer Komposition in [[15edo|15edo]] von Herman Miller.

=Grundlegende Eigenschaften=
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala - der Form 7L 1s, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Erweiterung]] von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[File:porcupineotonalmajor22edo.mp3]] [[:File:porcupineotonalmajor22edo.mp3|porcupineotonalmajor22edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

[[File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3]] [[:File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3|porcupinesymmetricminor22edo.mp3]]

Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[:en:Porcupine-x-Musical_examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo|22edo]], [[29edo|29edo]], [[37edo|37edo]].

In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]

=Varianten=

==5-Limit-Porcupine==
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine==
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64/63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog==
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50/49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.

MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]

==Nautilus==
Eine weitere 7-Limit-Variante entsteht durch das Austemperieren des Kommas [[49/48|49/48]] (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton).Damit erhält man eine Porcupine-Temperatur, die gleichzeitig eine [[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Semiphor]]-Temperatur ist; für diese Kombination wurde der Name [[Nautilus|Nautilus]] geprägt.

[[Nautilus|Nautilus (separate Seite)]]

==11-Limit-Porcupine==
Eine natürliche Erweiterung von 7-Limit-Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls [[100/99|100/99]] (17.399 Cent, auch '''Ptolemäus-Komma''' genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:

[[File:ValFedozIntro.mp3]] [[:File:ValFedozIntro.mp3|ValFedozIntro.mp3]]

Ausschnitt aus "Val Fedoz" (Hans Straub), Porcupine in 22edo

Der elfte Oberton, das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine "kleine neutrale Sekunde", die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch '''obertonaler''' oder '''otonaler''' Durmodus genannt.

Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine [[15edo|15edo,]] [[22edo|22edo]] und [[37edo|37edo]] sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.

[[29edo|29edo]] hingegen wird nicht als 11-Limit-Porcupine bezeichnet, da es zwar das Ptolemäus-Komma austemperiert, nicht jedoch das Leipziger Komma.

==Weitere Varianten==
Sowohl im 7-Limt wie im 11-Limit (und auch darüber hinaus) gibt es eine Reihe weiterer Kommas, die alternativ (oder zusätzlich) zu den oben erwähnten Kommas austermperiert werden können. Aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten der Porcupine-Temperatur, von denen einige mit separaten Namen versehen wurden. Im [[:en:Porcupine_family|englischen Xenharmonic Wiki]] sind diese im Detail beschrieben.  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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__FORCETOC__
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition=
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250/243|250/243]] (welches entsprechend '''Porcupine-Komma''' heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;(etwa 49.166 [[Cent|Cents]] gross) &lt;/span&gt;&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&lt;/span&gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music Mizarian Porcupine Ouverture], einer Komposition in [[15edo|15edo]] von Herman Miller.

=Grundlegende Eigenschaften=
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala - der Form 7L 1s, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Erweiterung]] von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[File:porcupineotonalmajor22edo.mp3]] [[:File:porcupineotonalmajor22edo.mp3|porcupineotonalmajor22edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

[[File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3]] [[:File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3|porcupinesymmetricminor22edo.mp3]]

Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[:en:Porcupine-x-Musical_examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo|22edo]], [[29edo|29edo]], [[37edo|37edo]].

In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]

=Varianten=

==5-Limit-Porcupine==
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine==
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64/63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog==
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50/49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.

MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]

==Nautilus==
Eine weitere 7-Limit-Variante entsteht durch das Austemperieren des Kommas [[49/48|49/48]] (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton).Damit erhält man eine Porcupine-Temperatur, die gleichzeitig eine [[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Semiphor]]-Temperatur ist; für diese Kombination wurde der Name [[Nautilus|Nautilus]] geprägt.

[[Nautilus|Nautilus (separate Seite)]]

==11-Limit-Porcupine==
Eine natürliche Erweiterung von 7-Limit-Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls [[100/99|100/99]] (17.399 Cent, auch '''Ptolemäus-Komma''' genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:

[[File:ValFedozIntro.mp3]] [[:File:ValFedozIntro.mp3|ValFedozIntro.mp3]]

Ausschnitt aus "Val Fedoz" (Hans Straub), Porcupine in 22edo

Der elfte Oberton, das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine "kleine neutrale Sekunde", die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch '''obertonaler''' oder '''otonaler''' Durmodus genannt.

Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine [[15edo|15edo,]] [[22edo|22edo]] und [[37edo|37edo]] sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.

[[29edo|29edo]] hingegen wird nicht als 11-Limit-Porcupine bezeichnet, da es zwar das Ptolemäus-Komma austemperiert, nicht jedoch das Leipziger Komma.

==Weitere Varianten==
Sowohl im 7-Limt wie im 11-Limit (und auch darüber hinaus) gibt es eine Reihe weiterer Kommas, die alternativ (oder zusätzlich) zu den oben erwähnten Kommas austermperiert werden können. Aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten der Porcupine-Temperatur, von denen einige mit separaten Namen versehen wurden. Im [[:en:Porcupine_family|englischen Xenharmonic Wiki]] sind diese im Detail beschrieben.  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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__FORCETOC__
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition=
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250/243|250/243]] (welches entsprechend '''Porcupine-Komma''' heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;(etwa 49.166 [[Cent|Cents]] gross) &lt;/span&gt;&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&lt;/span&gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music Mizarian Porcupine Ouverture], einer Komposition in [[15edo|15edo]] von Herman Miller.

=Grundlegende Eigenschaften=
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala - der Form 7L 1s, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Erweiterung]] von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[File:porcupineotonalmajor22edo.mp3]] [[:File:porcupineotonalmajor22edo.mp3|porcupineotonalmajor22edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

[[File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3]] [[:File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3|porcupinesymmetricminor22edo.mp3]]

Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[:en:Porcupine-x-Musical_examples|xenharmonic/Porcupine Musical Examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo|22edo]], [[29edo|29edo]], [[37edo|37edo]].

In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]

=Varianten=

==5-Limit-Porcupine==
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine==
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64/63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog==
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50/49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.

MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]

==Nautilus==
Eine weitere 7-Limit-Variante entsteht durch das Austemperieren des Kommas [[49/48|49/48]] (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton).Damit erhält man eine Porcupine-Temperatur, die gleichzeitig eine [[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Semiphor]]-Temperatur ist; für diese Kombination wurde der Name [[Nautilus|Nautilus]] geprägt.

[[Nautilus|Nautilus (separate Seite)]]

==11-Limit-Porcupine==
Eine natürliche Erweiterung von 7-Limit-Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls [[100/99|100/99]] (17.399 Cent, auch '''Ptolemäus-Komma''' genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:

[[File:ValFedozIntro.mp3]] [[:File:ValFedozIntro.mp3|ValFedozIntro.mp3]]

Ausschnitt aus "Val Fedoz" (Hans Straub), Porcupine in 22edo

Der elfte Oberton, das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine "kleine neutrale Sekunde", die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch '''obertonaler''' oder '''otonaler''' Durmodus genannt.

Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine [[15edo|15edo,]] [[22edo|22edo]] und [[37edo|37edo]] sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.

[[29edo|29edo]] hingegen wird nicht als 11-Limit-Porcupine bezeichnet, da es zwar das Ptolemäus-Komma austemperiert, nicht jedoch das Leipziger Komma.

==Weitere Varianten==
Sowohl im 7-Limt wie im 11-Limit (und auch darüber hinaus) gibt es eine Reihe weiterer Kommas, die alternativ (oder zusätzlich) zu den oben erwähnten Kommas austermperiert werden können. Aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten der Porcupine-Temperatur, von denen einige mit separaten Namen versehen wurden. Im [[:en:Porcupine_family|englischen Xenharmonic Wiki]] sind diese im Detail beschrieben.  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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__FORCETOC__
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition=
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250/243|250/243]] (welches entsprechend '''Porcupine-Komma''' heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;(etwa 49.166 [[Cent|Cents]] gross) &lt;/span&gt;&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&lt;/span&gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music Mizarian Porcupine Ouverture], einer Komposition in [[15edo|15edo]] von Herman Miller.

=Grundlegende Eigenschaften=
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala - der Form 7L 1s, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Erweiterung]] von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[File:porcupineotonalmajor22edo.mp3]] [[:File:porcupineotonalmajor22edo.mp3|porcupineotonalmajor22edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

[[File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3]] [[:File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3|porcupinesymmetricminor22edo.mp3]]

Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22edo-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[:en: Porcupine #Musical examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15edo|15edo,]] [[22edo|22edo]], [[29edo|29edo]], [[37edo|37edo]].

In 15edo ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15edo-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]

=Varianten=

==5-Limit-Porcupine==
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine==
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64/63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog==
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50/49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15edo, 29edo oder 37edo). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.

MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]

==Nautilus==
Eine weitere 7-Limit-Variante entsteht durch das Austemperieren des Kommas [[49/48|49/48]] (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton).Damit erhält man eine Porcupine-Temperatur, die gleichzeitig eine [[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Semiphor]]-Temperatur ist; für diese Kombination wurde der Name [[Nautilus|Nautilus]] geprägt.

[[Nautilus|Nautilus (separate Seite)]]

==11-Limit-Porcupine==
Eine natürliche Erweiterung von 7-Limit-Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls [[100/99|100/99]] (17.399 Cent, auch '''Ptolemäus-Komma''' genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:

[[File:ValFedozIntro.mp3]] [[:File:ValFedozIntro.mp3|ValFedozIntro.mp3]]

Ausschnitt aus "Val Fedoz" (Hans Straub), Porcupine in 22edo

Der elfte Oberton, das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine "kleine neutrale Sekunde", die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch '''obertonaler''' oder '''otonaler''' Durmodus genannt.

Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine [[15edo|15edo,]] [[22edo|22edo]] und [[37edo|37edo]] sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.

[[29edo|29edo]] hingegen wird nicht als 11-Limit-Porcupine bezeichnet, da es zwar das Ptolemäus-Komma austemperiert, nicht jedoch das Leipziger Komma.

==Weitere Varianten==
Sowohl im 7-Limt wie im 11-Limit (und auch darüber hinaus) gibt es eine Reihe weiterer Kommas, die alternativ (oder zusätzlich) zu den oben erwähnten Kommas austermperiert werden können. Aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten der Porcupine-Temperatur, von denen einige mit separaten Namen versehen wurden. Im [[:en:Porcupine_family|englischen Xenharmonic Wiki]] sind diese im Detail beschrieben.  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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__FORCETOC__
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition=
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250/243|250/243]] (welches entsprechend '''Porcupine-Komma''' heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;(etwa 49.166 [[Cent|Cents]] gross) &lt;/span&gt;&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&lt;/span&gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music Mizarian Porcupine Ouverture], einer Komposition in [[15-EDO]] von Herman Miller.

=Grundlegende Eigenschaften=
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala - der Form 7L 1s, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Erweiterung]] von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[File:porcupineotonalmajor22edo.mp3]] [[:File:porcupineotonalmajor22edo.mp3|porcupineotonalmajor22edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala (in 22-EDO-Stimmung)

[[File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3]] [[:File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3|porcupinesymmetricminor22edo.mp3]]

Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22-EDO-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[:en: Porcupine #Musical examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15-EDO]] [[22-EDO]], [[29-EDO]], [[37-EDO]].

In 15-EDO ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]

=Varianten=

==5-Limit-Porcupine==
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine==
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64/63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog==
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50/49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15-EDO, 29-EDO oder 37-EDO). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.

MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]

==Nautilus==
Eine weitere 7-Limit-Variante entsteht durch das Austemperieren des Kommas [[49/48|49/48]] (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton).Damit erhält man eine Porcupine-Temperatur, die gleichzeitig eine [[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Semiphor]]-Temperatur ist; für diese Kombination wurde der Name [[Nautilus|Nautilus]] geprägt.

[[Nautilus|Nautilus (separate Seite)]]

==11-Limit-Porcupine==
Eine natürliche Erweiterung von 7-Limit-Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls [[100/99|100/99]] (17.399 Cent, auch '''Ptolemäus-Komma''' genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:

[[File:ValFedozIntro.mp3]] [[:File:ValFedozIntro.mp3|ValFedozIntro.mp3]]

Ausschnitt aus "Val Fedoz" (Hans Straub), Porcupine in 22-EDO

Der elfte Oberton, das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine "kleine neutrale Sekunde", die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch '''obertonaler''' oder '''otonaler''' Durmodus genannt.

Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine [[15-EDO]], [[22-EDO]] und [[37-EDO]] sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.

[[29-EDO]] hingegen wird nicht als 11-Limit-Porcupine bezeichnet, da es zwar das Ptolemäus-Komma austemperiert, nicht jedoch das Leipziger Komma.

==Weitere Varianten==
Sowohl im 7-Limt wie im 11-Limit (und auch darüber hinaus) gibt es eine Reihe weiterer Kommas, die alternativ (oder zusätzlich) zu den oben erwähnten Kommas austermperiert werden können. Aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten der Porcupine-Temperatur, von denen einige mit separaten Namen versehen wurden. Im [[:en:Porcupine_family|englischen Xenharmonic Wiki]] sind diese im Detail beschrieben.  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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| de = Porcupine
| en = Porcupine
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| ja = 
}}
__FORCETOC__
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition=
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250/243|250/243]] (welches entsprechend '''Porcupine-Komma''' heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;(etwa 49.166 [[Cent|Cents]] gross) &lt;/span&gt;&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&lt;/span&gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music Mizarian Porcupine Ouverture], einer Komposition in [[15-EDO]] von Herman Miller.

=Grundlegende Eigenschaften=
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala - der Form 7L 1s, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Erweiterung]] von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[File:porcupineotonalmajor22edo.mp3]] [[:File:porcupineotonalmajor22edo.mp3|porcupineotonalmajor22edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 22-EDO-Stimmung

[[File:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]] [[:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3|PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 15-EDO-Stimmung

[[File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3]] [[:File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3|porcupinesymmetricminor22edo.mp3]]

Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22-EDO-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[:en: Porcupine #Musical examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15-EDO]] [[22-EDO]], [[29-EDO]], [[37-EDO]].

In 15-EDO ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]

=Varianten=

==5-Limit-Porcupine==
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine==
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64/63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog==
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50/49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt (woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15-EDO, 29-EDO oder 37-EDO). Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.

MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]

==Nautilus==
Eine weitere 7-Limit-Variante entsteht durch das Austemperieren des Kommas [[49/48|49/48]] (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton).Damit erhält man eine Porcupine-Temperatur, die gleichzeitig eine [[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Semiphor]]-Temperatur ist; für diese Kombination wurde der Name [[Nautilus|Nautilus]] geprägt.

[[Nautilus|Nautilus (separate Seite)]]

==11-Limit-Porcupine==
Eine natürliche Erweiterung von 7-Limit-Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls [[100/99|100/99]] (17.399 Cent, auch '''Ptolemäus-Komma''' genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:

[[File:ValFedozIntro.mp3]] [[:File:ValFedozIntro.mp3|ValFedozIntro.mp3]]

Ausschnitt aus "Val Fedoz" (Hans Straub), Porcupine in 22-EDO

Der elfte Oberton, das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine "kleine neutrale Sekunde", die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch '''obertonaler''' oder '''otonaler''' Durmodus genannt.

Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine [[15-EDO]], [[22-EDO]] und [[37-EDO]] sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.

[[29-EDO]] hingegen wird nicht als 11-Limit-Porcupine bezeichnet, da es zwar das Ptolemäus-Komma austemperiert, nicht jedoch das Leipziger Komma.

==Weitere Varianten==
Sowohl im 7-Limt wie im 11-Limit (und auch darüber hinaus) gibt es eine Reihe weiterer Kommas, die alternativ (oder zusätzlich) zu den oben erwähnten Kommas austermperiert werden können. Aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten der Porcupine-Temperatur, von denen einige mit separaten Namen versehen wurden. Im [[:en:Porcupine_family|englischen Xenharmonic Wiki]] sind diese im Detail beschrieben.  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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__FORCETOC__
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition=
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250/243|250/243]] (welches entsprechend '''Porcupine-Komma''' heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;(etwa 49.166 [[Cent|Cents]] gross) &lt;/span&gt;&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&lt;/span&gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music Mizarian Porcupine Ouverture], einer Komposition in [[15-EDO]] von Herman Miller.

=Grundlegende Eigenschaften=
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala - der Form 7L 1s, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Erweiterung]] von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[File:porcupineotonalmajor22edo.mp3]] [[:File:porcupineotonalmajor22edo.mp3|porcupineotonalmajor22edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 22-EDO-Stimmung

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"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 15-EDO-Stimmung

[[File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3]] [[:File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3|porcupinesymmetricminor22edo.mp3]]

Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22-EDO-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[:en: Porcupine #Musical examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15-EDO]] [[22-EDO]], [[29-EDO]], [[37-EDO]].

In 15-EDO ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]

=Varianten=

==5-Limit-Porcupine==
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine==
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64/63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog==
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50/49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt - woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15-EDO, 29-EDO oder 37-EDO. Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.

MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]

==Nautilus==
Eine weitere 7-Limit-Variante entsteht durch das Austemperieren des Kommas [[49/48|49/48]] (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton).Damit erhält man eine Porcupine-Temperatur, die gleichzeitig eine [[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Semiphor]]-Temperatur ist; für diese Kombination wurde der Name [[Nautilus|Nautilus]] geprägt.

[[Nautilus|Nautilus (separate Seite)]]

==11-Limit-Porcupine==
Eine natürliche Erweiterung von 7-Limit-Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls [[100/99|100/99]] (17.399 Cent, auch '''Ptolemäus-Komma''' genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:

[[File:ValFedozIntro.mp3]] [[:File:ValFedozIntro.mp3|ValFedozIntro.mp3]]

Ausschnitt aus "Val Fedoz" (Hans Straub), Porcupine in 22-EDO

Der elfte Oberton, das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine "kleine neutrale Sekunde", die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch '''obertonaler''' oder '''otonaler''' Durmodus genannt.

Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine [[15-EDO]], [[22-EDO]] und [[37-EDO]] sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.

[[29-EDO]] hingegen wird nicht als 11-Limit-Porcupine bezeichnet, da es zwar das Ptolemäus-Komma austemperiert, nicht jedoch das Leipziger Komma.

==Weitere Varianten==
Sowohl im 7-Limt wie im 11-Limit (und auch darüber hinaus) gibt es eine Reihe weiterer Kommas, die alternativ (oder zusätzlich) zu den oben erwähnten Kommas austermperiert werden können. Aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten der Porcupine-Temperatur, von denen einige mit separaten Namen versehen wurden. Im [[:en:Porcupine_family|englischen Xenharmonic Wiki]] sind diese im Detail beschrieben.  [[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition=
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250/243|250/243]] (welches entsprechend '''Porcupine-Komma''' heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;(etwa 49.166 [[Cent|Cents]] gross) &lt;/span&gt;&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&lt;/span&gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music Mizarian Porcupine Ouverture], einer Komposition in [[15-EDO]] von Herman Miller.

=Grundlegende Eigenschaften=
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala - der Form 7L 1s, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Erweiterung]] von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[File:porcupineotonalmajor22edo.mp3]] [[:File:porcupineotonalmajor22edo.mp3|porcupineotonalmajor22edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 22-EDO-Stimmung


[[File:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]] [[:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3|PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 15-EDO-Stimmung


[[File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3]] [[:File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3|porcupinesymmetricminor22edo.mp3]]

Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22-EDO-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[:en: Porcupine #Musical examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15-EDO]] [[22-EDO]], [[29-EDO]], [[37-EDO]].

In 15-EDO ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]

=Varianten=

==5-Limit-Porcupine==
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine==
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64/63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog==
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50/49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt - woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15-EDO, 29-EDO oder 37-EDO. Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.

MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo Tonbeispiele und weitere Eigenschaften]

==Nautilus==
Eine weitere 7-Limit-Variante entsteht durch das Austemperieren des Kommas [[49/48|49/48]] (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton).Damit erhält man eine Porcupine-Temperatur, die gleichzeitig eine [[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Semiphor]]-Temperatur ist; für diese Kombination wurde der Name [[Nautilus|Nautilus]] geprägt.

[[Nautilus|Nautilus (separate Seite)]]

==11-Limit-Porcupine==
Eine natürliche Erweiterung von 7-Limit-Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls [[100/99|100/99]] (17.399 Cent, auch '''Ptolemäus-Komma''' genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:

[[File:ValFedozIntro.mp3]] [[:File:ValFedozIntro.mp3|ValFedozIntro.mp3]]

Ausschnitt aus "Val Fedoz" (Hans Straub), Porcupine in 22-EDO

Der elfte Oberton, das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine "kleine neutrale Sekunde", die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch '''obertonaler''' oder '''otonaler''' Durmodus genannt.

Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine [[15-EDO]], [[22-EDO]] und [[37-EDO]] sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.

[[29-EDO]] hingegen wird nicht als 11-Limit-Porcupine bezeichnet, da es zwar das Ptolemäus-Komma austemperiert, nicht jedoch das Leipziger Komma.

==Weitere Varianten==
Sowohl im 7-Limt wie im 11-Limit (und auch darüber hinaus) gibt es eine Reihe weiterer Kommas, die alternativ (oder zusätzlich) zu den oben erwähnten Kommas austermperiert werden können. Aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten der Porcupine-Temperatur, von denen einige mit separaten Namen versehen wurden. Im [[:en:Porcupine_family|englischen Xenharmonic Wiki]] sind diese im Detail beschrieben.  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition=
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250/243|250/243]] (welches entsprechend '''Porcupine-Komma''' heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;(etwa 49.166 [[Cent|Cents]] gross) &lt;/span&gt;&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&lt;/span&gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music Mizarian Porcupine Ouverture], einer Komposition in [[15-EDO]] von Herman Miller.

=Grundlegende Eigenschaften=
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala - der Form 7L 1s, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Erweiterung]] von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[File:porcupineotonalmajor22edo.mp3]] [[:File:porcupineotonalmajor22edo.mp3|porcupineotonalmajor22edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 22-EDO-Stimmung


[[File:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]] [[:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3|PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 15-EDO-Stimmung


[[File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3]] [[:File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3|porcupinesymmetricminor22edo.mp3]]

Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22-EDO-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[:en: Porcupine #Musical examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15-EDO]] [[22-EDO]], [[29-EDO]], [[37-EDO]].

In 15-EDO ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]

=Varianten=

==5-Limit-Porcupine==
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine==
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64/63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog==
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50/49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt - woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15-EDO, 29-EDO oder 37-EDO. Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.

MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo weitere Eigenschaften]

[[Datei:Hedgehog-8-22edo.mp3|links|Achttönige Hedgehog-Skala (23332333) in [[22-EDO]]-Stimmung]]



Achttönige Hedgehog-Skala (23332333) in [[22-EDO]]-Stimmung

==Nautilus==
Eine weitere 7-Limit-Variante entsteht durch das Austemperieren des Kommas [[49/48|49/48]] (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton).Damit erhält man eine Porcupine-Temperatur, die gleichzeitig eine [[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Semiphor]]-Temperatur ist; für diese Kombination wurde der Name [[Nautilus|Nautilus]] geprägt.

[[Nautilus|Nautilus (separate Seite)]]

==11-Limit-Porcupine==
Eine natürliche Erweiterung von 7-Limit-Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls [[100/99|100/99]] (17.399 Cent, auch '''Ptolemäus-Komma''' genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:

[[File:ValFedozIntro.mp3]] [[:File:ValFedozIntro.mp3|ValFedozIntro.mp3]]

Ausschnitt aus "Val Fedoz" (Hans Straub), Porcupine in 22-EDO

Der elfte Oberton, das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine "kleine neutrale Sekunde", die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch '''obertonaler''' oder '''otonaler''' Durmodus genannt.

Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine [[15-EDO]], [[22-EDO]] und [[37-EDO]] sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.

[[29-EDO]] hingegen wird nicht als 11-Limit-Porcupine bezeichnet, da es zwar das Ptolemäus-Komma austemperiert, nicht jedoch das Leipziger Komma.

==Weitere Varianten==
Sowohl im 7-Limt wie im 11-Limit (und auch darüber hinaus) gibt es eine Reihe weiterer Kommas, die alternativ (oder zusätzlich) zu den oben erwähnten Kommas austermperiert werden können. Aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten der Porcupine-Temperatur, von denen einige mit separaten Namen versehen wurden. Im [[:en:Porcupine_family|englischen Xenharmonic Wiki]] sind diese im Detail beschrieben.  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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__FORCETOC__
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition=
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250/243|250/243]] (welches entsprechend '''Porcupine-Komma''' heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;(etwa 49.166 [[Cent|Cents]] gross) &lt;/span&gt;&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&lt;/span&gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music Mizarian Porcupine Ouverture], einer Komposition in [[15-EDO]] von Herman Miller.

=Grundlegende Eigenschaften=
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala - der Form 7L 1s, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Erweiterung]] von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[File:porcupineotonalmajor22edo.mp3]] [[:File:porcupineotonalmajor22edo.mp3|porcupineotonalmajor22edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 22-EDO-Stimmung


[[File:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]] [[:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3|PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 15-EDO-Stimmung


[[File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3]] [[:File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3|porcupinesymmetricminor22edo.mp3]]

Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22-EDO-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[:en: Porcupine #Musical examples]]

Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15-EDO]] [[22-EDO]], [[29-EDO]], [[37-EDO]].

In 15-EDO ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]

=Varianten=

==5-Limit-Porcupine==
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine==
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64/63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog==
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50/49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt - woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15-EDO, 29-EDO oder 37-EDO. Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.

MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo weitere Eigenschaften]


[[Datei:Hedgehog-8-22edo.mp3|Achttönige Hedgehog-Skala (23332333) in 22-EDO-Stimmung]]

Achttönige Hedgehog-Skala (23332333) in [[22-EDO]]-Stimmung

==Nautilus==
Eine weitere 7-Limit-Variante entsteht durch das Austemperieren des Kommas [[49/48|49/48]] (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton).Damit erhält man eine Porcupine-Temperatur, die gleichzeitig eine [[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Semiphor]]-Temperatur ist; für diese Kombination wurde der Name [[Nautilus|Nautilus]] geprägt.

[[Nautilus|Nautilus (separate Seite)]]

==11-Limit-Porcupine==
Eine natürliche Erweiterung von 7-Limit-Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls [[100/99|100/99]] (17.399 Cent, auch '''Ptolemäus-Komma''' genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:

[[File:ValFedozIntro.mp3]] [[:File:ValFedozIntro.mp3|ValFedozIntro.mp3]]

Ausschnitt aus "Val Fedoz" (Hans Straub), Porcupine in 22-EDO

Der elfte Oberton, das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine "kleine neutrale Sekunde", die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch '''obertonaler''' oder '''otonaler''' Durmodus genannt.

Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine [[15-EDO]], [[22-EDO]] und [[37-EDO]] sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.

[[29-EDO]] hingegen wird nicht als 11-Limit-Porcupine bezeichnet, da es zwar das Ptolemäus-Komma austemperiert, nicht jedoch das Leipziger Komma.

==Weitere Varianten==
Sowohl im 7-Limt wie im 11-Limit (und auch darüber hinaus) gibt es eine Reihe weiterer Kommas, die alternativ (oder zusätzlich) zu den oben erwähnten Kommas austermperiert werden können. Aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten der Porcupine-Temperatur, von denen einige mit separaten Namen versehen wurden. Im [[:en:Porcupine_family|englischen Xenharmonic Wiki]] sind diese im Detail beschrieben.  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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| de = Porcupine
| en = Porcupine
| es = 
| ja = 
}}
__FORCETOC__
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition=
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250/243|250/243]] (welches entsprechend '''Porcupine-Komma''' heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;(etwa 49.166 [[Cent|Cents]] gross) &lt;/span&gt;&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&lt;/span&gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music Mizarian Porcupine Ouverture], einer Komposition in [[15-EDO]] von Herman Miller.

=Grundlegende Eigenschaften=
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala - der Form 7L 1s, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Erweiterung]] von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[File:porcupineotonalmajor22edo.mp3]] [[:File:porcupineotonalmajor22edo.mp3|porcupineotonalmajor22edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 22-EDO-Stimmung


[[File:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]] [[:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3|PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 15-EDO-Stimmung


[[File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3]] [[:File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3|porcupinesymmetricminor22edo.mp3]]

Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22-EDO-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[:en: Porcupine #Musical examples]]
== Gleichstufige Realisierungen =
Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15-EDO]] [[22-EDO]], [[29-EDO]], [[37-EDO]], [[59-EDO]], [[96-EDO]].

In 15-EDO ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]

=Varianten=

==5-Limit-Porcupine==
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine==
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64/63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog==
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50/49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt - woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15-EDO, 29-EDO oder 37-EDO. Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.

MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo weitere Eigenschaften]


[[Datei:Hedgehog-8-22edo.mp3|Achttönige Hedgehog-Skala (23332333) in 22-EDO-Stimmung]]

Achttönige Hedgehog-Skala (23332333) in [[22-EDO]]-Stimmung

==Nautilus==
Eine weitere 7-Limit-Variante entsteht durch das Austemperieren des Kommas [[49/48|49/48]] (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton).Damit erhält man eine Porcupine-Temperatur, die gleichzeitig eine [[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Semiphor]]-Temperatur ist; für diese Kombination wurde der Name [[Nautilus|Nautilus]] geprägt.

[[Nautilus|Nautilus (separate Seite)]]

==11-Limit-Porcupine==
Eine natürliche Erweiterung von 7-Limit-Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls [[100/99|100/99]] (17.399 Cent, auch '''Ptolemäus-Komma''' genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:

[[File:ValFedozIntro.mp3]] [[:File:ValFedozIntro.mp3|ValFedozIntro.mp3]]

Ausschnitt aus "Val Fedoz" (Hans Straub), Porcupine in 22-EDO

Der elfte Oberton, das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine "kleine neutrale Sekunde", die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch '''obertonaler''' oder '''otonaler''' Durmodus genannt.

Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine [[15-EDO]], [[22-EDO]] und [[37-EDO]] sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.

[[29-EDO]] hingegen wird nicht als 11-Limit-Porcupine bezeichnet, da es zwar das Ptolemäus-Komma austemperiert, nicht jedoch das Leipziger Komma.

==Weitere Varianten==
Sowohl im 7-Limt wie im 11-Limit (und auch darüber hinaus) gibt es eine Reihe weiterer Kommas, die alternativ (oder zusätzlich) zu den oben erwähnten Kommas austermperiert werden können. Aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten der Porcupine-Temperatur, von denen einige mit separaten Namen versehen wurden. Im [[:en:Porcupine_family|englischen Xenharmonic Wiki]] sind diese im Detail beschrieben.  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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| de = Porcupine
| en = Porcupine
| es = 
| ja = 
}}
__FORCETOC__
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition=
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250/243|250/243]] (welches entsprechend '''Porcupine-Komma''' heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;(etwa 49.166 [[Cent|Cents]] gross) &lt;/span&gt;&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&lt;/span&gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music Mizarian Porcupine Ouverture], einer Komposition in [[15-EDO]] von Herman Miller.

=Grundlegende Eigenschaften=
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala - der Form 7L 1s, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Erweiterung]] von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[File:porcupineotonalmajor22edo.mp3]] [[:File:porcupineotonalmajor22edo.mp3|porcupineotonalmajor22edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 22-EDO-Stimmung


[[File:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]] [[:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3|PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 15-EDO-Stimmung


[[File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3]] [[:File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3|porcupinesymmetricminor22edo.mp3]]

Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22-EDO-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[:en: Porcupine #Musical examples]]
= Gleichstufige Realisierungen =
Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15-EDO]] [[22-EDO]], [[29-EDO]], [[37-EDO]], [[59-EDO]], [[96-EDO]].

In 15-EDO ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html http://www.metatonalmusic.com/Keyboards.html]

=Varianten=

==5-Limit-Porcupine==
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine==
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64/63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog==
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50/49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt - woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15-EDO, 29-EDO oder 37-EDO. Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.

MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo weitere Eigenschaften]


[[Datei:Hedgehog-8-22edo.mp3|Achttönige Hedgehog-Skala (23332333) in 22-EDO-Stimmung]]

Achttönige Hedgehog-Skala (23332333) in [[22-EDO]]-Stimmung

==Nautilus==
Eine weitere 7-Limit-Variante entsteht durch das Austemperieren des Kommas [[49/48|49/48]] (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton).Damit erhält man eine Porcupine-Temperatur, die gleichzeitig eine [[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Semiphor]]-Temperatur ist; für diese Kombination wurde der Name [[Nautilus|Nautilus]] geprägt.

[[Nautilus|Nautilus (separate Seite)]]

==11-Limit-Porcupine==
Eine natürliche Erweiterung von 7-Limit-Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls [[100/99|100/99]] (17.399 Cent, auch '''Ptolemäus-Komma''' genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:

[[File:ValFedozIntro.mp3]] [[:File:ValFedozIntro.mp3|ValFedozIntro.mp3]]

Ausschnitt aus "Val Fedoz" (Hans Straub), Porcupine in 22-EDO

Der elfte Oberton, das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine "kleine neutrale Sekunde", die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch '''obertonaler''' oder '''otonaler''' Durmodus genannt.

Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine [[15-EDO]], [[22-EDO]] und [[37-EDO]] sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.

[[29-EDO]] hingegen wird nicht als 11-Limit-Porcupine bezeichnet, da es zwar das Ptolemäus-Komma austemperiert, nicht jedoch das Leipziger Komma.

==Weitere Varianten==
Sowohl im 7-Limt wie im 11-Limit (und auch darüber hinaus) gibt es eine Reihe weiterer Kommas, die alternativ (oder zusätzlich) zu den oben erwähnten Kommas austermperiert werden können. Aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten der Porcupine-Temperatur, von denen einige mit separaten Namen versehen wurden. Im [[:en:Porcupine_family|englischen Xenharmonic Wiki]] sind diese im Detail beschrieben.  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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}}
__FORCETOC__
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition=
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250/243|250/243]] (welches entsprechend '''Porcupine-Komma''' heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;(etwa 49.166 [[Cent|Cents]] gross) &lt;/span&gt;&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&lt;/span&gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music Mizarian Porcupine Ouverture], einer Komposition in [[15-EDO]] von Herman Miller.

=Grundlegende Eigenschaften=
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala - der Form 7L 1s, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Erweiterung]] von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[File:porcupineotonalmajor22edo.mp3]] [[:File:porcupineotonalmajor22edo.mp3|porcupineotonalmajor22edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 22-EDO-Stimmung


[[File:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]] [[:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3|PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 15-EDO-Stimmung


[[File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3]] [[:File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3|porcupinesymmetricminor22edo.mp3]]

Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22-EDO-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[:en: Porcupine #Musical examples]]
= Gleichstufige Realisierungen =
Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15-EDO]] [[22-EDO]], [[29-EDO]], [[37-EDO]], [[59-EDO]], [[96-EDO]].

In 15-EDO ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[:en:15edo#Halberstadt-Inspired_Keyboards]] im englischen Xenwiki.

=Varianten=

==5-Limit-Porcupine==
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine==
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64/63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog==
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50/49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt - woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15-EDO, 29-EDO oder 37-EDO. Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.

MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo weitere Eigenschaften]


[[Datei:Hedgehog-8-22edo.mp3|Achttönige Hedgehog-Skala (23332333) in 22-EDO-Stimmung]]

Achttönige Hedgehog-Skala (23332333) in [[22-EDO]]-Stimmung

==Nautilus==
Eine weitere 7-Limit-Variante entsteht durch das Austemperieren des Kommas [[49/48|49/48]] (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton).Damit erhält man eine Porcupine-Temperatur, die gleichzeitig eine [[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Semiphor]]-Temperatur ist; für diese Kombination wurde der Name [[Nautilus|Nautilus]] geprägt.

[[Nautilus|Nautilus (separate Seite)]]

==11-Limit-Porcupine==
Eine natürliche Erweiterung von 7-Limit-Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls [[100/99|100/99]] (17.399 Cent, auch '''Ptolemäus-Komma''' genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:

[[File:ValFedozIntro.mp3]] [[:File:ValFedozIntro.mp3|ValFedozIntro.mp3]]

Ausschnitt aus "Val Fedoz" (Hans Straub), Porcupine in 22-EDO

Der elfte Oberton, das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine "kleine neutrale Sekunde", die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch '''obertonaler''' oder '''otonaler''' Durmodus genannt.

Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine [[15-EDO]], [[22-EDO]] und [[37-EDO]] sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.

[[29-EDO]] hingegen wird nicht als 11-Limit-Porcupine bezeichnet, da es zwar das Ptolemäus-Komma austemperiert, nicht jedoch das Leipziger Komma.

==Weitere Varianten==
Sowohl im 7-Limt wie im 11-Limit (und auch darüber hinaus) gibt es eine Reihe weiterer Kommas, die alternativ (oder zusätzlich) zu den oben erwähnten Kommas austermperiert werden können. Aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten der Porcupine-Temperatur, von denen einige mit separaten Namen versehen wurden. Im [[:en:Porcupine_family|englischen Xenharmonic Wiki]] sind diese im Detail beschrieben.  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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      <comment>/* Gleichstufige Realisierungen */</comment>
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| de = Porcupine
| en = Porcupine
| es = 
| ja = 
}}
__FORCETOC__
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition=
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250/243|250/243]] (welches entsprechend '''Porcupine-Komma''' heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;(etwa 49.166 [[Cent|Cents]] gross) &lt;/span&gt;&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&lt;/span&gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music Mizarian Porcupine Ouverture], einer Komposition in [[15-EDO]] von Herman Miller.

=Grundlegende Eigenschaften=
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala - der Form 7L 1s, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Erweiterung]] von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[File:porcupineotonalmajor22edo.mp3]] [[:File:porcupineotonalmajor22edo.mp3|porcupineotonalmajor22edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 22-EDO-Stimmung


[[File:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]] [[:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3|PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 15-EDO-Stimmung


[[File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3]] [[:File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3|porcupinesymmetricminor22edo.mp3]]

Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22-EDO-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[:en: Porcupine #Musical examples]]
= Gleichstufige Realisierungen =
Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15-EDO]] [[22-EDO]], [[29-EDO]], [[37-EDO]], [[59-EDO]], [[96-EDO]].

In 15-EDO ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[:en:15edo#Halberstadt-Inspired_Keyboards]] im englischen Xenwiki.

In 96-EDO hat die achttönige Porcupine-MOS-Skala Intervalle der Grösse 162.5 und 62.5 Cent, d. h. die Intervalle unterscheiden sich genau um einen Standard-Halbton.

=Varianten=

==5-Limit-Porcupine==
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine==
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64/63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog==
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50/49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt - woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15-EDO, 29-EDO oder 37-EDO. Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.

MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo weitere Eigenschaften]


[[Datei:Hedgehog-8-22edo.mp3|Achttönige Hedgehog-Skala (23332333) in 22-EDO-Stimmung]]

Achttönige Hedgehog-Skala (23332333) in [[22-EDO]]-Stimmung

==Nautilus==
Eine weitere 7-Limit-Variante entsteht durch das Austemperieren des Kommas [[49/48|49/48]] (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton).Damit erhält man eine Porcupine-Temperatur, die gleichzeitig eine [[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Semiphor]]-Temperatur ist; für diese Kombination wurde der Name [[Nautilus|Nautilus]] geprägt.

[[Nautilus|Nautilus (separate Seite)]]

==11-Limit-Porcupine==
Eine natürliche Erweiterung von 7-Limit-Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls [[100/99|100/99]] (17.399 Cent, auch '''Ptolemäus-Komma''' genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:

[[File:ValFedozIntro.mp3]] [[:File:ValFedozIntro.mp3|ValFedozIntro.mp3]]

Ausschnitt aus "Val Fedoz" (Hans Straub), Porcupine in 22-EDO

Der elfte Oberton, das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine "kleine neutrale Sekunde", die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch '''obertonaler''' oder '''otonaler''' Durmodus genannt.

Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine [[15-EDO]], [[22-EDO]] und [[37-EDO]] sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.

[[29-EDO]] hingegen wird nicht als 11-Limit-Porcupine bezeichnet, da es zwar das Ptolemäus-Komma austemperiert, nicht jedoch das Leipziger Komma.

==Weitere Varianten==
Sowohl im 7-Limt wie im 11-Limit (und auch darüber hinaus) gibt es eine Reihe weiterer Kommas, die alternativ (oder zusätzlich) zu den oben erwähnten Kommas austermperiert werden können. Aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten der Porcupine-Temperatur, von denen einige mit separaten Namen versehen wurden. Im [[:en:Porcupine_family|englischen Xenharmonic Wiki]] sind diese im Detail beschrieben.  [[Category:Temperament]]
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__FORCETOC__
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition=
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250/243|250/243]] (welches entsprechend '''Porcupine-Komma''' heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;(etwa 49.166 [[Cent|Cents]] gross) &lt;/span&gt;&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&lt;/span&gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music Mizarian Porcupine Ouverture], einer Komposition in [[15-EDO]] von Herman Miller.

=Grundlegende Eigenschaften=
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala - der Form 7L 1s, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Erweiterung]] von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[File:porcupineotonalmajor22edo.mp3]] [[:File:porcupineotonalmajor22edo.mp3|porcupineotonalmajor22edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 22-EDO-Stimmung


[[File:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]] [[:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3|PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 15-EDO-Stimmung


[[File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3]] [[:File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3|porcupinesymmetricminor22edo.mp3]]

Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22-EDO-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[:en: Porcupine #Musical examples]]
= Gleichstufige Realisierungen =
[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15-EDO]] [[22-EDO]], [[29-EDO]], [[37-EDO]], [[59-EDO]], [[96-EDO]].

In 15-EDO ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[:en:15edo#Halberstadt-Inspired_Keyboards]] im englischen Xenwiki.

In 96-EDO hat die achttönige Porcupine-MOS-Skala Intervalle der Grösse 162.5 und 62.5 Cent, d. h. die Intervalle unterscheiden sich genau um einen Standard-Halbton.

=Varianten=

==5-Limit-Porcupine==
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine==
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64/63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog==
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50/49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt - woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15-EDO, 29-EDO oder 37-EDO. Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.

MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo weitere Eigenschaften]


[[Datei:Hedgehog-8-22edo.mp3|Achttönige Hedgehog-Skala (23332333) in 22-EDO-Stimmung]]

Achttönige Hedgehog-Skala (23332333) in [[22-EDO]]-Stimmung

==Nautilus==
Eine weitere 7-Limit-Variante entsteht durch das Austemperieren des Kommas [[49/48|49/48]] (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton).Damit erhält man eine Porcupine-Temperatur, die gleichzeitig eine [[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Semiphor]]-Temperatur ist; für diese Kombination wurde der Name [[Nautilus|Nautilus]] geprägt.

[[Nautilus|Nautilus (separate Seite)]]

==11-Limit-Porcupine==
Eine natürliche Erweiterung von 7-Limit-Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls [[100/99|100/99]] (17.399 Cent, auch '''Ptolemäus-Komma''' genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:

[[File:ValFedozIntro.mp3]] [[:File:ValFedozIntro.mp3|ValFedozIntro.mp3]]

Ausschnitt aus "Val Fedoz" (Hans Straub), Porcupine in 22-EDO

Der elfte Oberton, das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine "kleine neutrale Sekunde", die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch '''obertonaler''' oder '''otonaler''' Durmodus genannt.

Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine [[15-EDO]], [[22-EDO]] und [[37-EDO]] sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.

[[29-EDO]] hingegen wird nicht als 11-Limit-Porcupine bezeichnet, da es zwar das Ptolemäus-Komma austemperiert, nicht jedoch das Leipziger Komma.

==Weitere Varianten==
Sowohl im 7-Limt wie im 11-Limit (und auch darüber hinaus) gibt es eine Reihe weiterer Kommas, die alternativ (oder zusätzlich) zu den oben erwähnten Kommas austermperiert werden können. Aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten der Porcupine-Temperatur, von denen einige mit separaten Namen versehen wurden. Im [[:en:Porcupine_family|englischen Xenharmonic Wiki]] sind diese im Detail beschrieben.  [[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition=
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250/243|250/243]] (welches entsprechend '''Porcupine-Komma''' heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;(etwa 49.166 [[Cent|Cents]] gross) &lt;/span&gt;&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&lt;/span&gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music Mizarian Porcupine Ouverture], einer Komposition in [[15-EDO]] von Herman Miller.

=Grundlegende Eigenschaften=
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala - der Form 7L 1s, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Erweiterung]] von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[File:porcupineotonalmajor22edo.mp3]] [[:File:porcupineotonalmajor22edo.mp3|porcupineotonalmajor22edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 22-EDO-Stimmung


[[File:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]] [[:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3|PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 15-EDO-Stimmung


[[File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3]] [[:File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3|porcupinesymmetricminor22edo.mp3]]

Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22-EDO-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[:en: Porcupine #Musical examples]]
= Gleichstufige Realisierungen =
[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15-EDO]], [[22-EDO]], [[29-EDO]], [[37-EDO]], [[59-EDO]], [[96-EDO]].

In 15-EDO ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[:en:15edo#Halberstadt-Inspired_Keyboards]] im englischen Xenwiki.

In 96-EDO hat die achttönige Porcupine-MOS-Skala Intervalle der Grösse 162.5 und 62.5 Cent, d. h. die Intervalle unterscheiden sich genau um einen Standard-Halbton.

=Varianten=

==5-Limit-Porcupine==
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine==
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64/63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog==
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50/49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt - woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15-EDO, 29-EDO oder 37-EDO. Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.

MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo weitere Eigenschaften]


[[Datei:Hedgehog-8-22edo.mp3|Achttönige Hedgehog-Skala (23332333) in 22-EDO-Stimmung]]

Achttönige Hedgehog-Skala (23332333) in [[22-EDO]]-Stimmung

==Nautilus==
Eine weitere 7-Limit-Variante entsteht durch das Austemperieren des Kommas [[49/48|49/48]] (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton).Damit erhält man eine Porcupine-Temperatur, die gleichzeitig eine [[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Semiphor]]-Temperatur ist; für diese Kombination wurde der Name [[Nautilus|Nautilus]] geprägt.

[[Nautilus|Nautilus (separate Seite)]]

==11-Limit-Porcupine==
Eine natürliche Erweiterung von 7-Limit-Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls [[100/99|100/99]] (17.399 Cent, auch '''Ptolemäus-Komma''' genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:

[[File:ValFedozIntro.mp3]] [[:File:ValFedozIntro.mp3|ValFedozIntro.mp3]]

Ausschnitt aus "Val Fedoz" (Hans Straub), Porcupine in 22-EDO

Der elfte Oberton, das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine "kleine neutrale Sekunde", die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch '''obertonaler''' oder '''otonaler''' Durmodus genannt.

Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine [[15-EDO]], [[22-EDO]] und [[37-EDO]] sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.

[[29-EDO]] hingegen wird nicht als 11-Limit-Porcupine bezeichnet, da es zwar das Ptolemäus-Komma austemperiert, nicht jedoch das Leipziger Komma.

==Weitere Varianten==
Sowohl im 7-Limt wie im 11-Limit (und auch darüber hinaus) gibt es eine Reihe weiterer Kommas, die alternativ (oder zusätzlich) zu den oben erwähnten Kommas austermperiert werden können. Aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten der Porcupine-Temperatur, von denen einige mit separaten Namen versehen wurden. Im [[:en:Porcupine_family|englischen Xenharmonic Wiki]] sind diese im Detail beschrieben.  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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}}
__FORCETOC__
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition, grundlegende Eigenschaften=
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250/243|250/243]] (welches entsprechend '''Porcupine-Komma''' heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;(etwa 49.166 [[Cent|Cents]] gross) &lt;/span&gt;&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&lt;/span&gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music Mizarian Porcupine Ouverture], einer Komposition in [[15-EDO]] von Herman Miller.

=Grundlegende Eigenschaften=
Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Ferner hat Porcupine auch eine achttönige MOS-Skala - der Form 7L 1s, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Erweiterung]] von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

[[File:porcupineotonalmajor22edo.mp3]] [[:File:porcupineotonalmajor22edo.mp3|porcupineotonalmajor22edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 22-EDO-Stimmung


[[File:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]] [[:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3|PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 15-EDO-Stimmung


[[File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3]] [[:File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3|porcupinesymmetricminor22edo.mp3]]

Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22-EDO-Stimmung)

Weitere Hörbeispiele: [[:en: Porcupine #Musical examples]]
= Gleichstufige Realisierungen =
[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15-EDO]], [[22-EDO]], [[29-EDO]], [[37-EDO]], [[59-EDO]], [[96-EDO]].

In 15-EDO ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[:en:15edo#Halberstadt-Inspired_Keyboards]] im englischen Xenwiki.

In 96-EDO hat die achttönige Porcupine-MOS-Skala Intervalle der Grösse 162.5 und 62.5 Cent, d. h. die Intervalle unterscheiden sich genau um einen Standard-Halbton.

=Varianten=

==5-Limit-Porcupine==
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine==
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64/63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog==
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50/49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt - woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15-EDO, 29-EDO oder 37-EDO. Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.

MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo weitere Eigenschaften]


[[Datei:Hedgehog-8-22edo.mp3|Achttönige Hedgehog-Skala (23332333) in 22-EDO-Stimmung]]

Achttönige Hedgehog-Skala (23332333) in [[22-EDO]]-Stimmung

==Nautilus==
Eine weitere 7-Limit-Variante entsteht durch das Austemperieren des Kommas [[49/48|49/48]] (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton).Damit erhält man eine Porcupine-Temperatur, die gleichzeitig eine [[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Semiphor]]-Temperatur ist; für diese Kombination wurde der Name [[Nautilus|Nautilus]] geprägt.

[[Nautilus|Nautilus (separate Seite)]]

==11-Limit-Porcupine==
Eine natürliche Erweiterung von 7-Limit-Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls [[100/99|100/99]] (17.399 Cent, auch '''Ptolemäus-Komma''' genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:

[[File:ValFedozIntro.mp3]] [[:File:ValFedozIntro.mp3|ValFedozIntro.mp3]]

Ausschnitt aus "Val Fedoz" (Hans Straub), Porcupine in 22-EDO

Der elfte Oberton, das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine "kleine neutrale Sekunde", die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch '''obertonaler''' oder '''otonaler''' Durmodus genannt.

Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine [[15-EDO]], [[22-EDO]] und [[37-EDO]] sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.

[[29-EDO]] hingegen wird nicht als 11-Limit-Porcupine bezeichnet, da es zwar das Ptolemäus-Komma austemperiert, nicht jedoch das Leipziger Komma.

==Weitere Varianten==
Sowohl im 7-Limt wie im 11-Limit (und auch darüber hinaus) gibt es eine Reihe weiterer Kommas, die alternativ (oder zusätzlich) zu den oben erwähnten Kommas austermperiert werden können. Aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten der Porcupine-Temperatur, von denen einige mit separaten Namen versehen wurden. Im [[:en:Porcupine_family|englischen Xenharmonic Wiki]] sind diese im Detail beschrieben.  [[Category:Temperament]]
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__FORCETOC__
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition, grundlegende Eigenschaften=
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250/243|250/243]] (welches entsprechend '''Porcupine-Komma''' heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;(etwa 49.166 [[Cent|Cents]] gross) &lt;/span&gt;&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&lt;/span&gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music Mizarian Porcupine Ouverture], einer Komposition in [[15-EDO]] von Herman Miller.

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas oder deutlich herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

=MOS-Skalen=
Wichtige [[MOS-Skalen]] in Porcupine gibt es mit 7, 8, 15 und 22 Tönen.

==Siebentönig==
Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Die siebentönige Porcupine-Skala hat zwei Dur-Modi, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Erweiterung]] von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.

[[File:porcupineotonalmajor22edo.mp3]] [[:File:porcupineotonalmajor22edo.mp3|porcupineotonalmajor22edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 22-EDO-Stimmung


[[File:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]] [[:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3|PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 15-EDO-Stimmung


[[File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3]] [[:File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3|porcupinesymmetricminor22edo.mp3]]

Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22-EDO-Stimmung)

==Achttönig==
Die achttönige MOS-Skala hat die Form 7L 1s, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist, ein sehr kleiner Halbton oder gar Viertelton.
=Fünfzehntōnig==
Bei der fünfzehntönigen MOS-Skala (7L 8s) ist L eine Art grosser Halbton und s auch ein sehr kleiner Halbton bzw. Viertelton.

= Gleichstufige Realisierungen =
[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15-EDO]], [[22-EDO]], [[29-EDO]], [[37-EDO]], [[59-EDO]], [[96-EDO]].

In 15-EDO ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[:en:15edo#Halberstadt-Inspired_Keyboards]] im englischen Xenwiki.

In 96-EDO hat die achttönige Porcupine-MOS-Skala Intervalle der Grösse 162.5 und 62.5 Cent, d. h. die Intervalle unterscheiden sich genau um einen Standard-Halbton.

=Varianten=

==5-Limit-Porcupine==
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine==
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64/63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog==
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50/49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt - woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15-EDO, 29-EDO oder 37-EDO. Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.

MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo weitere Eigenschaften]


[[Datei:Hedgehog-8-22edo.mp3|Achttönige Hedgehog-Skala (23332333) in 22-EDO-Stimmung]]

Achttönige Hedgehog-Skala (23332333) in [[22-EDO]]-Stimmung

==Nautilus==
Eine weitere 7-Limit-Variante entsteht durch das Austemperieren des Kommas [[49/48|49/48]] (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton).Damit erhält man eine Porcupine-Temperatur, die gleichzeitig eine [[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Semiphor]]-Temperatur ist; für diese Kombination wurde der Name [[Nautilus|Nautilus]] geprägt.

[[Nautilus|Nautilus (separate Seite)]]

==11-Limit-Porcupine==
Eine natürliche Erweiterung von 7-Limit-Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls [[100/99|100/99]] (17.399 Cent, auch '''Ptolemäus-Komma''' genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:

[[File:ValFedozIntro.mp3]] [[:File:ValFedozIntro.mp3|ValFedozIntro.mp3]]

Ausschnitt aus "Val Fedoz" (Hans Straub), Porcupine in 22-EDO

Der elfte Oberton, das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine "kleine neutrale Sekunde", die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch '''obertonaler''' oder '''otonaler''' Durmodus genannt.

Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine [[15-EDO]], [[22-EDO]] und [[37-EDO]] sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.

[[29-EDO]] hingegen wird nicht als 11-Limit-Porcupine bezeichnet, da es zwar das Ptolemäus-Komma austemperiert, nicht jedoch das Leipziger Komma.

==Weitere Varianten==
Sowohl im 7-Limt wie im 11-Limit (und auch darüber hinaus) gibt es eine Reihe weiterer Kommas, die alternativ (oder zusätzlich) zu den oben erwähnten Kommas austermperiert werden können. Aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten der Porcupine-Temperatur, von denen einige mit separaten Namen versehen wurden. Im [[:en:Porcupine_family|englischen Xenharmonic Wiki]] sind diese im Detail beschrieben.  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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__FORCETOC__
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition, grundlegende Eigenschaften=
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250/243|250/243]] (welches entsprechend '''Porcupine-Komma''' heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;(etwa 49.166 [[Cent|Cents]] gross) &lt;/span&gt;&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&lt;/span&gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music Mizarian Porcupine Ouverture], einer Komposition in [[15-EDO]] von Herman Miller.

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas oder deutlich herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

=MOS-Skalen=
Wichtige [[MOS-Skalen]] in Porcupine gibt es mit 7, 8, 15 und 22 Tönen.

==Siebentönig==
Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Die siebentönige Porcupine-Skala hat zwei Dur-Modi, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Erweiterung]] von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.

[[File:porcupineotonalmajor22edo.mp3]] [[:File:porcupineotonalmajor22edo.mp3|porcupineotonalmajor22edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 22-EDO-Stimmung


[[File:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]] [[:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3|PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 15-EDO-Stimmung


[[File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3]] [[:File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3|porcupinesymmetricminor22edo.mp3]]

Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22-EDO-Stimmung)

==Achttönig==
Die achttönige MOS-Skala hat die Form 7L 1s, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist, ein sehr kleiner Halbton oder gar Viertelton.
==Fünfzehntōnig==
Bei der fünfzehntönigen MOS-Skala (7L 8s) ist L eine Art grosser Halbton und s auch ein sehr kleiner Halbton bzw. Viertelton.

= Gleichstufige Realisierungen =
[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15-EDO]], [[22-EDO]], [[29-EDO]], [[37-EDO]], [[59-EDO]], [[96-EDO]].

In 15-EDO ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[:en:15edo#Halberstadt-Inspired_Keyboards]] im englischen Xenwiki.

In 96-EDO hat die achttönige Porcupine-MOS-Skala Intervalle der Grösse 162.5 und 62.5 Cent, d. h. die Intervalle unterscheiden sich genau um einen Standard-Halbton.

=Varianten=

==5-Limit-Porcupine==
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine==
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64/63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog==
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50/49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt - woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15-EDO, 29-EDO oder 37-EDO. Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.

MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo weitere Eigenschaften]


[[Datei:Hedgehog-8-22edo.mp3|Achttönige Hedgehog-Skala (23332333) in 22-EDO-Stimmung]]

Achttönige Hedgehog-Skala (23332333) in [[22-EDO]]-Stimmung

==Nautilus==
Eine weitere 7-Limit-Variante entsteht durch das Austemperieren des Kommas [[49/48|49/48]] (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton).Damit erhält man eine Porcupine-Temperatur, die gleichzeitig eine [[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Semiphor]]-Temperatur ist; für diese Kombination wurde der Name [[Nautilus|Nautilus]] geprägt.

[[Nautilus|Nautilus (separate Seite)]]

==11-Limit-Porcupine==
Eine natürliche Erweiterung von 7-Limit-Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls [[100/99|100/99]] (17.399 Cent, auch '''Ptolemäus-Komma''' genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:

[[File:ValFedozIntro.mp3]] [[:File:ValFedozIntro.mp3|ValFedozIntro.mp3]]

Ausschnitt aus "Val Fedoz" (Hans Straub), Porcupine in 22-EDO

Der elfte Oberton, das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine "kleine neutrale Sekunde", die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch '''obertonaler''' oder '''otonaler''' Durmodus genannt.

Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine [[15-EDO]], [[22-EDO]] und [[37-EDO]] sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.

[[29-EDO]] hingegen wird nicht als 11-Limit-Porcupine bezeichnet, da es zwar das Ptolemäus-Komma austemperiert, nicht jedoch das Leipziger Komma.

==Weitere Varianten==
Sowohl im 7-Limt wie im 11-Limit (und auch darüber hinaus) gibt es eine Reihe weiterer Kommas, die alternativ (oder zusätzlich) zu den oben erwähnten Kommas austermperiert werden können. Aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten der Porcupine-Temperatur, von denen einige mit separaten Namen versehen wurden. Im [[:en:Porcupine_family|englischen Xenharmonic Wiki]] sind diese im Detail beschrieben.  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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| de = Porcupine
| en = Porcupine
| es = 
| ja = 
}}
__FORCETOC__
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition, grundlegende Eigenschaften=
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250/243|250/243]] (welches entsprechend '''Porcupine-Komma''' heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;(etwa 49.166 [[Cent|Cents]] gross) &lt;/span&gt;&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&lt;/span&gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music Mizarian Porcupine Ouverture], einer Komposition in [[15-EDO]] von Herman Miller.

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas oder deutlich herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

=MOS-Skalen=
Wichtige [[MOS-Skalen]] in Porcupine gibt es mit 7, 8, 15 und 22 Tönen.

==Siebentönig==
Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Die siebentönige Porcupine-Skala hat zwei Dur-Modi, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Erweiterung]] von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.

[[File:porcupineotonalmajor22edo.mp3]] [[:File:porcupineotonalmajor22edo.mp3|porcupineotonalmajor22edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 22-EDO-Stimmung


[[File:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]] [[:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3|PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 15-EDO-Stimmung


[[File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3]] [[:File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3|porcupinesymmetricminor22edo.mp3]]

Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22-EDO-Stimmung)

==Achttönig==
Die achttönige MOS-Skala hat die Form 7L 1s, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist, ein sehr kleiner Halbton oder gar Viertelton.
==Fünfzehntōnig==
Bei der fünfzehntönigen MOS-Skala (7L 8s) ist L eine Art grosser Halbton und s auch ein sehr kleiner Halbton bzw. Viertelton.

= Gleichstufige Realisierungen =
[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15-EDO]], [[22-EDO]], [[29-EDO]], [[37-EDO]], [[59-EDO]], [[96-EDO]].

In 15-EDO ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[:en:15edo#Halberstadt-Inspired_Keyboards]] im englischen Xenwiki. Die fünfzehntönige MOS-Skala ist in 15-EDO natürlich degeneriert zu einer völlig gleichförmigen, welche alle Töne von 15-EDO enthält.

In 96-EDO hat die achttönige Porcupine-MOS-Skala Intervalle der Grösse 162.5 und 62.5 Cent, d. h. die Intervalle unterscheiden sich genau um einen Standard-Halbton.

=Varianten=

==5-Limit-Porcupine==
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine==
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64/63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog==
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50/49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt - woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15-EDO, 29-EDO oder 37-EDO. Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.

MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo weitere Eigenschaften]


[[Datei:Hedgehog-8-22edo.mp3|Achttönige Hedgehog-Skala (23332333) in 22-EDO-Stimmung]]

Achttönige Hedgehog-Skala (23332333) in [[22-EDO]]-Stimmung

==Nautilus==
Eine weitere 7-Limit-Variante entsteht durch das Austemperieren des Kommas [[49/48|49/48]] (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton).Damit erhält man eine Porcupine-Temperatur, die gleichzeitig eine [[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Semiphor]]-Temperatur ist; für diese Kombination wurde der Name [[Nautilus|Nautilus]] geprägt.

[[Nautilus|Nautilus (separate Seite)]]

==11-Limit-Porcupine==
Eine natürliche Erweiterung von 7-Limit-Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls [[100/99|100/99]] (17.399 Cent, auch '''Ptolemäus-Komma''' genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:

[[File:ValFedozIntro.mp3]] [[:File:ValFedozIntro.mp3|ValFedozIntro.mp3]]

Ausschnitt aus "Val Fedoz" (Hans Straub), Porcupine in 22-EDO

Der elfte Oberton, das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine "kleine neutrale Sekunde", die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch '''obertonaler''' oder '''otonaler''' Durmodus genannt.

Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine [[15-EDO]], [[22-EDO]] und [[37-EDO]] sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.

[[29-EDO]] hingegen wird nicht als 11-Limit-Porcupine bezeichnet, da es zwar das Ptolemäus-Komma austemperiert, nicht jedoch das Leipziger Komma.

==Weitere Varianten==
Sowohl im 7-Limt wie im 11-Limit (und auch darüber hinaus) gibt es eine Reihe weiterer Kommas, die alternativ (oder zusätzlich) zu den oben erwähnten Kommas austermperiert werden können. Aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten der Porcupine-Temperatur, von denen einige mit separaten Namen versehen wurden. Im [[:en:Porcupine_family|englischen Xenharmonic Wiki]] sind diese im Detail beschrieben.  [[Category:Temperament]]
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}}
__FORCETOC__
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition, grundlegende Eigenschaften=
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250/243|250/243]] (welches entsprechend '''Porcupine-Komma''' heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;(etwa 49.166 [[Cent|Cents]] gross) &lt;/span&gt;&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&lt;/span&gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music Mizarian Porcupine Ouverture], einer Komposition in [[15-EDO]] von Herman Miller.

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas oder deutlich herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

=MOS-Skalen=
Wichtige [[MOS-Skalen]] in Porcupine gibt es mit 7, 8, 15 und 22 Tönen.

==Siebentönig==
Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Die siebentönige Porcupine-Skala hat zwei Dur-Modi, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Erweiterung]] von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.

[[File:porcupineotonalmajor22edo.mp3]] [[:File:porcupineotonalmajor22edo.mp3|porcupineotonalmajor22edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 22-EDO-Stimmung


[[File:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]] [[:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3|PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 15-EDO-Stimmung


[[File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3]] [[:File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3|porcupinesymmetricminor22edo.mp3]]

Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22-EDO-Stimmung)

==Achttönig==
Die achttönige MOS-Skala hat die Form 7L 1s, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist, ein sehr kleiner Halbton oder gar Viertelton.
==Fünfzehntōnig==
Bei der fünfzehntönigen MOS-Skala (7L 8s) ist L eine Art grosser Halbton und s auch ein sehr kleiner Halbton bzw. Viertelton.

= Gleichstufige Realisierungen =
[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15-EDO]], [[22-EDO]], [[29-EDO]], [[37-EDO]], [[59-EDO]], [[96-EDO]].

In 15-EDO ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[:en:15edo#Halberstadt-Inspired_Keyboards]] im englischen Xenwiki. Die fünfzehntönige MOS-Skala ist in 15-EDO natürlich degeneriert zu einer völlig gleichförmigen, welche alle Töne von 15-EDO enthält.

In 96-EDO hat die achttönige Porcupine-MOS-Skala Intervalle der Grösse 162.5 und 62.5 Cent, d. h. die Intervalle unterscheiden sich genau um einen Standard-Halbton. (Dieser ist bei der fünfzehntönigen MOS-Skala dann das grössere Interval.)

=Varianten=

==5-Limit-Porcupine==
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine==
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64/63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog==
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50/49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt - woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15-EDO, 29-EDO oder 37-EDO. Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.

MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo weitere Eigenschaften]


[[Datei:Hedgehog-8-22edo.mp3|Achttönige Hedgehog-Skala (23332333) in 22-EDO-Stimmung]]

Achttönige Hedgehog-Skala (23332333) in [[22-EDO]]-Stimmung

==Nautilus==
Eine weitere 7-Limit-Variante entsteht durch das Austemperieren des Kommas [[49/48|49/48]] (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton).Damit erhält man eine Porcupine-Temperatur, die gleichzeitig eine [[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Semiphor]]-Temperatur ist; für diese Kombination wurde der Name [[Nautilus|Nautilus]] geprägt.

[[Nautilus|Nautilus (separate Seite)]]

==11-Limit-Porcupine==
Eine natürliche Erweiterung von 7-Limit-Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls [[100/99|100/99]] (17.399 Cent, auch '''Ptolemäus-Komma''' genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:

[[File:ValFedozIntro.mp3]] [[:File:ValFedozIntro.mp3|ValFedozIntro.mp3]]

Ausschnitt aus "Val Fedoz" (Hans Straub), Porcupine in 22-EDO

Der elfte Oberton, das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine "kleine neutrale Sekunde", die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch '''obertonaler''' oder '''otonaler''' Durmodus genannt.

Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine [[15-EDO]], [[22-EDO]] und [[37-EDO]] sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.

[[29-EDO]] hingegen wird nicht als 11-Limit-Porcupine bezeichnet, da es zwar das Ptolemäus-Komma austemperiert, nicht jedoch das Leipziger Komma.

==Weitere Varianten==
Sowohl im 7-Limt wie im 11-Limit (und auch darüber hinaus) gibt es eine Reihe weiterer Kommas, die alternativ (oder zusätzlich) zu den oben erwähnten Kommas austermperiert werden können. Aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten der Porcupine-Temperatur, von denen einige mit separaten Namen versehen wurden. Im [[:en:Porcupine_family|englischen Xenharmonic Wiki]] sind diese im Detail beschrieben.  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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      <comment>/* Gleichstufige Realisierungen */</comment>
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      <text bytes="8932" sha1="tq8yy3s83ai09acxq3u76ieerknpfjl" xml:space="preserve">{{interwiki
| de = Porcupine
| en = Porcupine
| es = 
| ja = 
}}
__FORCETOC__
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition, grundlegende Eigenschaften=
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250/243|250/243]] (welches entsprechend '''Porcupine-Komma''' heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;(etwa 49.166 [[Cent|Cents]] gross) &lt;/span&gt;&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&lt;/span&gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music Mizarian Porcupine Ouverture], einer Komposition in [[15-EDO]] von Herman Miller.

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas oder deutlich herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

=MOS-Skalen=
Wichtige [[MOS-Skalen]] in Porcupine gibt es mit 7, 8, 15 und 22 Tönen.

==Siebentönig==
Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Die siebentönige Porcupine-Skala hat zwei Dur-Modi, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Erweiterung]] von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.

[[File:porcupineotonalmajor22edo.mp3]] [[:File:porcupineotonalmajor22edo.mp3|porcupineotonalmajor22edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 22-EDO-Stimmung


[[File:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]] [[:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3|PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 15-EDO-Stimmung


[[File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3]] [[:File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3|porcupinesymmetricminor22edo.mp3]]

Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22-EDO-Stimmung)

==Achttönig==
Die achttönige MOS-Skala hat die Form 7L 1s, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist, ein sehr kleiner Halbton oder gar Viertelton.
==Fünfzehntōnig==
Bei der fünfzehntönigen MOS-Skala (7L 8s) ist L eine Art grosser Halbton und s auch ein sehr kleiner Halbton bzw. Viertelton.

= Gleichstufige Realisierungen =
[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15-EDO]], [[22-EDO]], [[29-EDO]], [[37-EDO]], [[59-EDO]], [[96-EDO]].

In 15-EDO ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[:en:15edo#Halberstadt-Inspired_Keyboards]] im englischen Xenwiki. Die fünfzehntönige MOS-Skala ist in 15-EDO natürlich degeneriert zu einer völlig gleichförmigen, welche alle Töne von 15-EDO enthält.

In 96-EDO hat die achttönige Porcupine-MOS-Skala Intervalle der Grösse 162.5 und 62.5 Cent, d. h. die Intervalle unterscheiden sich genau um einen Standard-Halbton. (Dieser ist bei der fünfzehntönigen MOS-Skala dann das grössere Intervall.)

=Varianten=

==5-Limit-Porcupine==
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine==
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64/63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog==
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50/49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt - woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15-EDO, 29-EDO oder 37-EDO. Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.

MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo weitere Eigenschaften]


[[Datei:Hedgehog-8-22edo.mp3|Achttönige Hedgehog-Skala (23332333) in 22-EDO-Stimmung]]

Achttönige Hedgehog-Skala (23332333) in [[22-EDO]]-Stimmung

==Nautilus==
Eine weitere 7-Limit-Variante entsteht durch das Austemperieren des Kommas [[49/48|49/48]] (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton).Damit erhält man eine Porcupine-Temperatur, die gleichzeitig eine [[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Semiphor]]-Temperatur ist; für diese Kombination wurde der Name [[Nautilus|Nautilus]] geprägt.

[[Nautilus|Nautilus (separate Seite)]]

==11-Limit-Porcupine==
Eine natürliche Erweiterung von 7-Limit-Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls [[100/99|100/99]] (17.399 Cent, auch '''Ptolemäus-Komma''' genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:

[[File:ValFedozIntro.mp3]] [[:File:ValFedozIntro.mp3|ValFedozIntro.mp3]]

Ausschnitt aus "Val Fedoz" (Hans Straub), Porcupine in 22-EDO

Der elfte Oberton, das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine "kleine neutrale Sekunde", die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch '''obertonaler''' oder '''otonaler''' Durmodus genannt.

Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine [[15-EDO]], [[22-EDO]] und [[37-EDO]] sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.

[[29-EDO]] hingegen wird nicht als 11-Limit-Porcupine bezeichnet, da es zwar das Ptolemäus-Komma austemperiert, nicht jedoch das Leipziger Komma.

==Weitere Varianten==
Sowohl im 7-Limt wie im 11-Limit (und auch darüber hinaus) gibt es eine Reihe weiterer Kommas, die alternativ (oder zusätzlich) zu den oben erwähnten Kommas austermperiert werden können. Aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten der Porcupine-Temperatur, von denen einige mit separaten Namen versehen wurden. Im [[:en:Porcupine_family|englischen Xenharmonic Wiki]] sind diese im Detail beschrieben.  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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| de = Porcupine
| en = Porcupine
| es = 
| ja = 
}}
__FORCETOC__
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition, grundlegende Eigenschaften=
Der Name "Porcupine-Temperatur" steht für ein System, bei dem das Intervall [[250/243|250/243]] (welches entsprechend '''Porcupine-Komma''' heisst) austemperiert wird. Dieses Intervall &lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;(etwa 49.166 [[Cent|Cents]] gross) &lt;/span&gt;&lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&lt;/span&gt;

Als Entdecker der Porcupine-Temperatur gilt Dave Keenan. Der Name jedoch leitet sich her von der [http://sites.google.com/site/teamouse/home#TOC-Mizarian-music Mizarian Porcupine Ouverture], einer Komposition in [[15-EDO]] von Herman Miller.

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas oder deutlich herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

=MOS-Skalen=
Wichtige [[MOS-Skalen]] in Porcupine gibt es mit 7, 8, 15 und 22 Tönen.

==Siebentönig==
Die siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Die siebentönige Porcupine-Skala hat zwei Dur-Modi, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt (und in der [[Porcupine#11-Limit-Porcupine|11-Limit-Erweiterung]] von Porcupine auch tatsächlich dem temperierten Alphorn-Fa entspricht). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte 3s und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit der erhöhten Quarte 1L+2s.

[[File:porcupineotonalmajor22edo.mp3]] [[:File:porcupineotonalmajor22edo.mp3|porcupineotonalmajor22edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 22-EDO-Stimmung


[[File:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]] [[:PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3|PorcupineOtonalMajor 15edo.mp3]]

"Obertonaler" Dur-Modus Lssssss der siebentönigen Porcupine-Skala in 15-EDO-Stimmung


[[File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3]] [[:File:porcupinesymmetricminor22edo.mp3|porcupinesymmetricminor22edo.mp3]]

Symmetrischer Moll-Modus der Porcupine-Skala (in 22-EDO-Stimmung)

==Achttönig==
Die achttönige MOS-Skala hat die Form 7L 1s, wobei L der kleine Ganzton ist und s eine Oktave minus 7 Generatorenschritte, ein Intervall, welches der Unterschied zwischen grossem und kleinem Ganzton ist, ein sehr kleiner Halbton oder gar Viertelton.
==Fünfzehntōnig==
Bei der fünfzehntönigen MOS-Skala (7L 8s) ist L eine Art grosser Halbton und s auch ein sehr kleiner Halbton bzw. Viertelton.

= Gleichstufige Realisierungen =
[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem [[15-EDO]], [[22-EDO]], [[29-EDO]], [[37-EDO]], [[59-EDO]], [[96-EDO]].

In 15-EDO ist das Komplement einer siebentönigen MOS-Skala genau eine achttönige MOS-Skala und umgekehrt. Dies kann als Basis für ein 15-EDO-Keyboardlayout verwendet werden. Siehe etwa [[:en:15edo#Halberstadt-Inspired_Keyboards]] im englischen Xenwiki. Die fünfzehntönige MOS-Skala ist in 15-EDO natürlich degeneriert zu einer völlig gleichförmigen, welche alle Töne von 15-EDO enthält.

In 96-EDO hat die achttönige Porcupine-MOS-Skala Intervalle der Grösse 162.5 und 62.5 Cent, d. h. die Intervalle unterscheiden sich genau um einen Standard-Halbton. Bei der fünfzehntönigen MOS-Skala ist dieser Standard-Halbton das grössere Intervall.

=Varianten=

==5-Limit-Porcupine==
Dies ist die Basis-Variante, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]].

==7-Limit-Porcupine==
Auf dem vierdimensionalen Intervallraum bei Einbezug der Primzahl 7 erhält man die oben beschriebenen Porcupine-Skalen, indem man neben dem Porcupine-Komma noch das [[64/63|Archytas- oder Leipziger Komma 64/63]] austemperiert. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen 2 Quarten und einer [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Dementsprechend bilden in 7-Limit-Porcupine 6 Generatorschritte eine Naturseptime, und der große Ganzton in Porcupine steht sowohl für das Intervall 9/8 als auch den septimalen Ganzton 8/7.

==Hedgehog==
Eine 7-Limit-Variante mit anderer Struktur erhält man, wenn man anstatt des Leipziger Kommas das [[50/49|Jubilisma 50/49]] austemperiert. Daraus folgt bekanntlich die Existenz eines einzigen Tritonus-Intervalls, welches die Oktave in 2 gleiche Teile teilt - woraus wiederum folgt, dass Hedgehog nur von geradzahligen gleichstufigen Systemen unterstützt wird, nicht also von 15-EDO, 29-EDO oder 37-EDO. Hedgehog-Skalen haben statt der Oktave diesen Halboktaven-Tritonus als Periode. Das Komplement des kleinen Ganztons bezüglich des Tritonus entspricht der septimalen übergroßen Terz 9/7, welche daher ebenfalls als Generator angesehen werden kann.

MOS-Skalen von Hedgehog sind, auf die Oktave erweitert, natürlich geradzahlig; es gibt eine sechstönige der Form 2L 4s sowie eine achttönige der Form 6L 2s.

[Todo weitere Eigenschaften]


[[Datei:Hedgehog-8-22edo.mp3|Achttönige Hedgehog-Skala (23332333) in 22-EDO-Stimmung]]

Achttönige Hedgehog-Skala (23332333) in [[22-EDO]]-Stimmung

==Nautilus==
Eine weitere 7-Limit-Variante entsteht durch das Austemperieren des Kommas [[49/48|49/48]] (Slendro-Diësis, septimale Diësis, septimaler Sechstelton).Damit erhält man eine Porcupine-Temperatur, die gleichzeitig eine [[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Semiphor]]-Temperatur ist; für diese Kombination wurde der Name [[Nautilus|Nautilus]] geprägt.

[[Nautilus|Nautilus (separate Seite)]]

==11-Limit-Porcupine==
Eine natürliche Erweiterung von 7-Limit-Porcupine auf den Intervallraum mit Einbezug der Primzahl 11 besteht im Austemperieren des Intervalls [[100/99|100/99]] (17.399 Cent, auch '''Ptolemäus-Komma''' genannt). Dieses ist der Unterschied zwischen dem kleinen Ganzton 10/9 und einer "grossen neutralen Sekunde" 11/10. Der Porcupine-Generator erhält in diesem Licht eine Art Doppelnatur, sowohl als kleiner Ganzton wie als grosse neutrale Sekunde hörbar - diese Zweideutigkeit ist in der Tat eine der faszinierenden Eigenschaften von Porcupine-Systemen. Das folgende Musikbeispiel mag vielleicht einen Teil dieser Faszination veranschaulichen:

[[File:ValFedozIntro.mp3]] [[:File:ValFedozIntro.mp3|ValFedozIntro.mp3]]

Ausschnitt aus "Val Fedoz" (Hans Straub), Porcupine in 22-EDO

Der elfte Oberton, das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] (Frequenzverhältnis 11/8), wird in reiner Stimmung um ein Intervall von 11/10 über der reinen grossen Terz erreicht, und diese Eigenschaft haben wir auch in 11-Limit-Porcupine: das temperierte Alphorn-Fa liegt einen Generator über der temperierten grossen Terz. Wieder einen Generatorschritt höher liegt die temperierte Quinte - in reiner Stimmung ein Intervall 12/11 höher, eine "kleine neutrale Sekunde", die hier ebenfalls auf dasselbe Generatorintervall temperiert wird. Somit durchläuft die Dur-Skala Lssssss die Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Obertonreihe vom achten bis zum zwölften Oberton. Der Dur-Modus Lssssss wird deshalb auch '''obertonaler''' oder '''otonaler''' Durmodus genannt.

Die wichtigen gleichstufigen Realisierungen von Porcupine [[15-EDO]], [[22-EDO]] und [[37-EDO]] sind 11-Limit-Porcupine-Systeme.

[[29-EDO]] hingegen wird nicht als 11-Limit-Porcupine bezeichnet, da es zwar das Ptolemäus-Komma austemperiert, nicht jedoch das Leipziger Komma.

==Weitere Varianten==
Sowohl im 7-Limt wie im 11-Limit (und auch darüber hinaus) gibt es eine Reihe weiterer Kommas, die alternativ (oder zusätzlich) zu den oben erwähnten Kommas austermperiert werden können. Aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine Fülle weiterer Varianten der Porcupine-Temperatur, von denen einige mit separaten Namen versehen wurden. Im [[:en:Porcupine_family|englischen Xenharmonic Wiki]] sind diese im Detail beschrieben.  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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      <text bytes="4001" sha1="t7ginmud3vy45rl1i28ylt8m4hd2d20" xml:space="preserve">Die '''Primfaktorzerlegung''' einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.

==Grundlage==
Alle natürlichen Zahlen (1, 2, 3, ...) lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen (die Eins wird dabei als sog. [http://de.wikipedia.org/wiki/Leeres_Produkt Leeres Produkt] aufgefasst).

&lt;math&gt;36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13&lt;/math&gt;

Für [[Primzahlen|Primzahlen]] selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:

7 = 7

...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln. Neben dem geschickten Ausprobieren, ob die Division durch kleine Primzahlen (2, 3, 5, 7...) ohne Rest aufgeht, gibt es eine Reihe schnellerer Verfahren, jedoch keines, dessen Aufwand nicht doch irgendwie abschreckend wirken würde: der Zeitbedarf für wirklich große Primzahlen wächst bei ihnen allen derart rasant, dass man es ab einer gewissen Größe lieber gar nicht erst versuchen sollte.

Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach.

Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist

&lt;math&gt;256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8&lt;/math&gt;

==Verallgemeinerung==
Bis auf das Vorzeichen lässt sich das Verfahren auf die ganzen Zahlen ungleich 0 ausdehnen.

Auch Brüche (rationale Zahlen) ungleich 0 lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei nun Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise erscheinen die Primfaktoren aus dem Nenner als negative Exponenten

&lt;math&gt;9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3}&lt;/math&gt;

Auch die Primfaktorzerlegung von Brüchen ist eindeutig, wenn die Ordnung der Faktoren festgelegt ist. Üblicherweise beginnt man mit dem kleinsten Primfaktor, der im obigen Beispiel die 2 ist:

&lt;math&gt;3^2 \cdot 2^{-3} = 2^{-3} \cdot 3^2&lt;/math&gt;

==Notations- und Rechenhilfe==
Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).

Die '''[[Monzo|Monzo]]-Schreibweise''' verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):

{| class="wikitable"
|-
! | Name des Intervalls
! | Bruch
! | Monzo
|-
| | Reine Quinte
| | 3/2
| | |-1 1&amp;gt;
|-
| | Große Terz
| | 5/4
| | |-2 0 1&amp;gt;
|-
| | Große Sexte
| | 5/3
| | |0 -1 1&amp;gt;
|-
| | Syntonisches Komma
| | 81/80
| | |-4 4 -1&amp;gt;
|-
| | Pythagoreisches Komma
| | 531441/524288
| | |-19 12&amp;gt;
|-
| | Prime
| | 1
| | |0&amp;gt; oder |&amp;gt;
|}

=Umrechnung von Intervallvektoren in Cents=
Für Intervalle in Monzo-Schreibweise erscheint die Umrechnung in [[Cent|Cent]]s auf eine besondere, elegante Weise.

Die Formel, ein Intervall mit Frequenzverhältnis q in Cents umzurechnen, ist ja bekanntlich 1200 * log&lt;span style="vertical-align: sub;"&gt;2&lt;/span&gt;(q). Für eine Zahl in Primfaktorzerlegung gilt, um auf das obigen Beispiel (9/8) zurückzukommen:

&lt;math&gt;log2(2^{-3} \cdot 3^2) = (-3 \cdot log2(2) + 2 \cdot log2(3)) = \langle log2(2), log2(5) | | -3, 2\rangle&lt;/math&gt;

Dies ist [http://mathworld.wolfram.com/Ket.html Bra-Ket]-Schreibweise. (Der Vektor &amp;lt;log2(2), log2(3), log2(5),...| heisst "Bra").

==Verweise==
&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung Primfaktorzerlegung – Wikipedia]&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512 Prime Factorization of 24512] - www.isprimenumber.com&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php Primfaktorisierung] - primzahlen.zeta24.com&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;  [[Category:Mathematik]]
[[Category:Technik]]
[[Category:Theorie]]</text>
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    <revision>
      <id>955</id>
      <timestamp>2013-07-03T17:03:45Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;xenwolf</username>
        <id>0</id>
      </contributor>
      <comment>**Imported revision 440396284 - Original comment: **</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="13410" sha1="oreqfkecal1esjv9udpo8t5mt3luqjm" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
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: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-07-03 17:03:45 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;440396284&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Die **Primfaktorzerlegung** einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.

==Grundlage== 
Alle natürlichen Zahlen (1, 2, 3, ...) lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen (die Eins wird dabei als sog. [[http://de.wikipedia.org/wiki/Leeres_Produkt|Leeres Produkt]] aufgefasst).

[[math]]
36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3
[[math]]

[[math]]
1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13
[[math]]

Für [[Primzahlen]] selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:

7 = 7
...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln. Neben dem geschickten Ausprobieren, ob die Division durch kleine Primzahlen (2, 3, 5, 7...) ohne Rest aufgeht, gibt es eine Reihe schnellerer Verfahren, jedoch keines, dessen Aufwand nicht doch irgendwie abschreckend wirken würde: der Zeitbedarf für wirklich große Primzahlen wächst bei ihnen allen derart rasant, dass man es ab einer gewissen Größe lieber gar nicht erst versuchen sollte.

Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach.

Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist

[[math]]
256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8
[[math]]

==Verallgemeinerung== 
Bis auf das Vorzeichen lässt sich das Verfahren auf die ganzen Zahlen ungleich 0 ausdehnen.

Auch Brüche (rationale Zahlen) ungleich 0 lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei nun Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise erscheinen die Primfaktoren aus dem Nenner als negative Exponenten
[[math]]
9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3}
[[math]]

Auch die Primfaktorzerlegung von Brüchen ist eindeutig, wenn die Ordnung der Faktoren festgelegt ist. Üblicherweise beginnt man mit dem kleinsten Primfaktor, der im obigen Beispiel die 2 ist:
[[math]]
3^2 \cdot 2^{-3} = 2^{-3} \cdot 3^2
[[math]]

==Notations- und Rechenhilfe== 
Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).

Die **[[Monzo]]-Schreibweise** verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):
||~ Name des Intervalls ||~ Bruch ||~ Monzo ||
|| Reine Quinte || 3/2 || |-1 1&amp;gt; ||
|| Große Terz || 5/4 || |-2 0 1&amp;gt; ||
|| Große Sexte || 5/3 || |0 -1 1&amp;gt; ||
|| Syntonisches Komma || 81/80 || |-4 4 -1&amp;gt; ||
|| Pythagoreisches Komma || 531441/524288 || |-19 12&amp;gt; ||
|| Prime || 1 || |0&amp;gt; oder |&amp;gt; ||

=Umrechnung von Intervallvektoren in Cents= 
Für Intervalle in Monzo-Schreibweise erscheint die Umrechnung in [[Cent]]s auf eine besondere, elegante Weise.

Die Formel, ein Intervall mit Frequenzverhältnis q in Cents umzurechnen, ist ja bekanntlich 1200 * log&amp;lt;span style="vertical-align: sub;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;(q). Für eine Zahl in Primfaktorzerlegung gilt, um auf das obigen Beispiel (9/8) zurückzukommen:
[[math]]
log2(2^{-3} \cdot 3^2) = (-3 \cdot log2(2) + 2 \cdot log2(3)) = \langle log2(2), log2(5) | | -3, 2\rangle
[[math]]

Dies ist [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html|Bra-Ket]]-Schreibweise. (Der Vektor &amp;lt;log2(2), log2(3), log2(5),...| heisst "Bra").


==Verweise== 
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung – Wikipedia]]
* [[http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512|Prime Factorization of 24512]] - www.isprimenumber.com
* [[http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php|Primfaktorisierung]] - primzahlen.zeta24.com&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Die &amp;lt;strong&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/strong&amp;gt; einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Grundlage"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Grundlage&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Alle natürlichen Zahlen (1, 2, 3, ...) lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen (die Eins wird dabei als sog. &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Leeres_Produkt" rel="nofollow"&amp;gt;Leeres Produkt&amp;lt;/a&amp;gt; aufgefasst).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
7 = 7&amp;lt;br /&amp;gt;
...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln. Neben dem geschickten Ausprobieren, ob die Division durch kleine Primzahlen (2, 3, 5, 7...) ohne Rest aufgeht, gibt es eine Reihe schnellerer Verfahren, jedoch keines, dessen Aufwand nicht doch irgendwie abschreckend wirken würde: der Zeitbedarf für wirklich große Primzahlen wächst bei ihnen allen derart rasant, dass man es ab einer gewissen Größe lieber gar nicht erst versuchen sollte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:2:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:2 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Bis auf das Vorzeichen lässt sich das Verfahren auf die ganzen Zahlen ungleich 0 ausdehnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Auch Brüche (rationale Zahlen) ungleich 0 lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei nun Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise erscheinen die Primfaktoren aus dem Nenner als negative Exponenten&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:3:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:3 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Auch die Primfaktorzerlegung von Brüchen ist eindeutig, wenn die Ordnung der Faktoren festgelegt ist. Üblicherweise beginnt man mit dem kleinsten Primfaktor, der im obigen Beispiel die 2 ist:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:4:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
3^2 \cdot 2^{-3} = 2^{-3} \cdot 3^2&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;3^2 \cdot 2^{-3} = 2^{-3} \cdot 3^2&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:4 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;lt;strong&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Monzo"&amp;gt;Monzo&amp;lt;/a&amp;gt;-Schreibweise&amp;lt;/strong&amp;gt; verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Name des Intervalls&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Bruch&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Monzo&amp;lt;br /&amp;gt;
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    &amp;lt;tr&amp;gt;
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    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Große Terz&amp;lt;br /&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;531441/524288&amp;lt;br /&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;|-19 12&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Prime&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Für Intervalle in Monzo-Schreibweise erscheint die Umrechnung in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;s auf eine besondere, elegante Weise.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Formel, ein Intervall mit Frequenzverhältnis q in Cents umzurechnen, ist ja bekanntlich 1200 * log&amp;lt;span style="vertical-align: sub;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;(q). Für eine Zahl in Primfaktorzerlegung gilt, um auf das obigen Beispiel (9/8) zurückzukommen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:5:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
log2(2^{-3} \cdot 3^2) = (-3 \cdot log2(2) + 2 \cdot log2(3)) = \langle log2(2), log2(5) | | -3, 2\rangle&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;log2(2^{-3} \cdot 3^2) = (-3 \cdot log2(2) + 2 \cdot log2(3)) = \langle log2(2), log2(5) | | -3, 2\rangle&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:5 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dies ist &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow"&amp;gt;Bra-Ket&amp;lt;/a&amp;gt;-Schreibweise. (Der Vektor &amp;amp;lt;log2(2), log2(3), log2(5),...| heisst &amp;amp;quot;Bra&amp;amp;quot;).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:14:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Umrechnung von Intervallvektoren in Cents-Verweise"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:14 --&amp;gt;Verweise&amp;lt;/h2&amp;gt;
 &amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung" rel="nofollow"&amp;gt;Primfaktorzerlegung – Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512" rel="nofollow"&amp;gt;Prime Factorization of 24512&amp;lt;/a&amp;gt; - www.isprimenumber.com&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php" rel="nofollow"&amp;gt;Primfaktorisierung&amp;lt;/a&amp;gt; - primzahlen.zeta24.com&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
      <sha1>oreqfkecal1esjv9udpo8t5mt3luqjm</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>956</id>
      <timestamp>2013-06-07T05:40:07Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;xenwolf</username>
        <id>0</id>
      </contributor>
      <comment>**Imported revision 436899282 - Original comment: Die spitzen Klammern können leicht mit Vergleichsoperatoren verwechselt werden**</comment>
      <origin>956</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="13473" sha1="jyh1i31pfpfaasgnkivvrhmkqdzr5nl" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-07 05:40:07 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;436899282&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;Die spitzen Klammern können leicht mit Vergleichsoperatoren verwechselt werden&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Die **Primfaktorzerlegung** einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.

==Grundlage== 
Alle natürlichen Zahlen (1, 2, 3, ...) lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen (die Eins wird dabei als sog. [[http://de.wikipedia.org/wiki/Leeres_Produkt|Leeres Produkt]] aufgefasst).

[[math]]
36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3
[[math]]

[[math]]
1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13
[[math]]

Für [[Primzahlen]] selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:

7 = 7
...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln. Neben dem geschickten Ausprobieren, ob die Division durch kleine Primzahlen (2, 3, 5, 7...) ohne Rest aufgeht, gibt es eine Reihe schnellerer Verfahren, jedoch keines, dessen Aufwand nicht doch irgendwie abschreckend wirken würde: der Zeitbedarf für wirklich große Primzahlen wächst bei ihnen allen derart rasant, dass man es ab einer gewissen Größe lieber gar nicht erst versuchen sollte.

Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach.

Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist

[[math]]
256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8
[[math]]

==Verallgemeinerung== 
Bis auf das Vorzeichen ist das Verfahren auf die ganzen Zahlen ungleich 0 ausdehnen.

Auch Brüche (rationale Zahlen) ungleich 0 lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei nun Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise erscheinen die Primfaktoren aus dem Nenner als negative Exponenten
[[math]]
9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3}
[[math]]

Auch die Primfaktorzerlegung von Brüchen ist eindeutig, wenn die Ordnung der Faktoren festgelegt ist. Üblicherweise beginnt man mit dem kleinsten Primfaktor, der im obigen Beispiel die 2 ist:
[[math]]
3^2 \cdot 2^{-3} = 2^{-3} \cdot 3^2
[[math]]

==Notations- und Rechenhilfe== 
Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).

Die **[[Monzo]]-Schreibweise** verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):
||~ Name des Intervalls ||~ Bruch ||~ Monzo ||
|| Reine Quinte || 3/2 || |-1 1&amp;gt; ||
|| Große Terz || 5/4 || |-2 0 1&amp;gt; ||
|| Große Sexte || 5/3 || |0 -1 1&amp;gt; ||
|| Syntonisches Komma || 81/80 || |-4 4 -1&amp;gt; ||
|| Pythagoreisches Komma || 531441/524288 || |-19 12&amp;gt; ||
|| Prime || 1 || |0&amp;gt; oder |&amp;gt; ||

=Umrechnung von Intervallvektoren in Cents= 
Für Intervalle in Monzo-Schreibweise erscheint die Umrechnung in [[Cent]]s auf eine besondere, elegante Weise.

Die Formel, ein Intervall mit Frequenzverhältnis q in Cents umzurechnen, ist ja bekanntlich 1200 * log&amp;lt;span style="vertical-align: sub;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;(q). Für eine Zahl in Primfaktorzerlegung gilt, um auf das obigen Beispiel (9/8) zurückzukommen:
[[math]]
log2(2^{-3} \cdot 3^2) = (-3 \cdot log2(2) + 2 \cdot log2(3)) = \langle log2(2), log2(5) | | -3, 2\rangle
[[math]]

Dies ist [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html|Bra-Ket]]-Schreibweise. (Der Vektor &amp;lt;log2(2), log2(3), log2(5),...| heisst "Bra").


==Verweise== 
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung – Wikipedia]]
* [[http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512|Prime Factorization of 24512]] - www.isprimenumber.com
* [[http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php|Primfaktorisierung]] - primzahlen.zeta24.com&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Die &amp;lt;strong&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/strong&amp;gt; einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Grundlage"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Grundlage&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Alle natürlichen Zahlen (1, 2, 3, ...) lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen (die Eins wird dabei als sog. &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Leeres_Produkt" rel="nofollow"&amp;gt;Leeres Produkt&amp;lt;/a&amp;gt; aufgefasst).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
7 = 7&amp;lt;br /&amp;gt;
...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln. Neben dem geschickten Ausprobieren, ob die Division durch kleine Primzahlen (2, 3, 5, 7...) ohne Rest aufgeht, gibt es eine Reihe schnellerer Verfahren, jedoch keines, dessen Aufwand nicht doch irgendwie abschreckend wirken würde: der Zeitbedarf für wirklich große Primzahlen wächst bei ihnen allen derart rasant, dass man es ab einer gewissen Größe lieber gar nicht erst versuchen sollte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:2:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:2 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Bis auf das Vorzeichen ist das Verfahren auf die ganzen Zahlen ungleich 0 ausdehnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Auch Brüche (rationale Zahlen) ungleich 0 lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei nun Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise erscheinen die Primfaktoren aus dem Nenner als negative Exponenten&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:3:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:3 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Auch die Primfaktorzerlegung von Brüchen ist eindeutig, wenn die Ordnung der Faktoren festgelegt ist. Üblicherweise beginnt man mit dem kleinsten Primfaktor, der im obigen Beispiel die 2 ist:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:4:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
3^2 \cdot 2^{-3} = 2^{-3} \cdot 3^2&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;3^2 \cdot 2^{-3} = 2^{-3} \cdot 3^2&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:4 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:10:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Notations- und Rechenhilfe"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:10 --&amp;gt;Notations- und Rechenhilfe&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;lt;strong&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Monzo"&amp;gt;Monzo&amp;lt;/a&amp;gt;-Schreibweise&amp;lt;/strong&amp;gt; verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Name des Intervalls&amp;lt;br /&amp;gt;
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        &amp;lt;th&amp;gt;Bruch&amp;lt;br /&amp;gt;
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    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Große Sexte&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;5/3&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;|0 -1 1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Syntonisches Komma&amp;lt;br /&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;|-4 4 -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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    &amp;lt;/tr&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;Pythagoreisches Komma&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;531441/524288&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;|-19 12&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Prime&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;1&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;|0&amp;amp;gt; oder |&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
&amp;lt;/table&amp;gt;

&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Umrechnung von Intervallvektoren in Cents"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 --&amp;gt;Umrechnung von Intervallvektoren in Cents&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Für Intervalle in Monzo-Schreibweise erscheint die Umrechnung in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;s auf eine besondere, elegante Weise.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Formel, ein Intervall mit Frequenzverhältnis q in Cents umzurechnen, ist ja bekanntlich 1200 * log&amp;lt;span style="vertical-align: sub;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;(q). Für eine Zahl in Primfaktorzerlegung gilt, um auf das obigen Beispiel (9/8) zurückzukommen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:5:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
log2(2^{-3} \cdot 3^2) = (-3 \cdot log2(2) + 2 \cdot log2(3)) = \langle log2(2), log2(5) | | -3, 2\rangle&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;log2(2^{-3} \cdot 3^2) = (-3 \cdot log2(2) + 2 \cdot log2(3)) = \langle log2(2), log2(5) | | -3, 2\rangle&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:5 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dies ist &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow"&amp;gt;Bra-Ket&amp;lt;/a&amp;gt;-Schreibweise. (Der Vektor &amp;amp;lt;log2(2), log2(3), log2(5),...| heisst &amp;amp;quot;Bra&amp;amp;quot;).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:14:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Umrechnung von Intervallvektoren in Cents-Verweise"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:14 --&amp;gt;Verweise&amp;lt;/h2&amp;gt;
 &amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung" rel="nofollow"&amp;gt;Primfaktorzerlegung – Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512" rel="nofollow"&amp;gt;Prime Factorization of 24512&amp;lt;/a&amp;gt; - www.isprimenumber.com&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php" rel="nofollow"&amp;gt;Primfaktorisierung&amp;lt;/a&amp;gt; - primzahlen.zeta24.com&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
      <sha1>jyh1i31pfpfaasgnkivvrhmkqdzr5nl</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>957</id>
      <timestamp>2013-06-07T03:49:54Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
        <id>0</id>
      </contributor>
      <comment>**Imported revision 436890332 - Original comment: **</comment>
      <origin>957</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="13329" sha1="py4pjtb0tjl2o24m3ecbbtn8zyot3m9" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-07 03:49:54 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;436890332&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Die **Primfaktorzerlegung** einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.

==Grundlage== 
Alle natürlichen Zahlen (1, 2, 3, ...) lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen (die Eins wird dabei als sog. [[http://de.wikipedia.org/wiki/Leeres_Produkt|Leeres Produkt]] aufgefasst).

[[math]]
36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3
[[math]]

[[math]]
1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13
[[math]]

Für [[Primzahlen]] selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:

7 = 7
...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln. Neben dem geschickten Ausprobieren, ob die Division durch kleine Primzahlen (2, 3, 5, 7...) ohne Rest aufgeht, gibt es eine Reihe schnellerer Verfahren, jedoch keines, dessen Aufwand nicht doch irgendwie abschreckend wirken würde: der Zeitbedarf für wirklich große Primzahlen wächst bei ihnen allen derart rasant, dass man es ab einer gewissen Größe lieber gar nicht erst versuchen sollte.

Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach.

Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist

[[math]]
256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8
[[math]]

==Verallgemeinerung== 
Bis auf das Vorzeichen ist das Verfahren auf die ganzen Zahlen ungleich 0 ausdehnen.

Auch Brüche (rationale Zahlen) ungleich 0 lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei nun Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise erscheinen die Primfaktoren aus dem Nenner als negative Exponenten
[[math]]
9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3}
[[math]]

Auch die Primfaktorzerlegung von Brüchen ist eindeutig, wenn die Ordnung der Faktoren festgelegt ist. Üblicherweise beginnt man mit dem kleinsten Primfaktor, der im obigen Beispiel die 2 ist:
[[math]]
3^2 \cdot 2^{-3} = 2^{-3} \cdot 3^2
[[math]]

==Notations- und Rechenhilfe== 
Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).

Die **[[Monzo]]-Schreibweise** verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):
||~ Name des Intervalls ||~ Bruch ||~ Monzo ||
|| Reine Quinte || 3/2 || |-1 1&amp;gt; ||
|| Große Terz || 5/4 || |-2 0 1&amp;gt; ||
|| Große Sexte || 5/3 || |0 -1 1&amp;gt; ||
|| Syntonisches Komma || 81/80 || |-4 4 -1&amp;gt; ||
|| Pythagoreisches Komma || 531441/524288 || |-19 12&amp;gt; ||
|| Prime || 1 || |0&amp;gt; oder |&amp;gt; ||

=Umrechnung von Intervallvektoren in Cents= 
Für Intervalle in Monzo-Schreibweise erscheint die Umrechnung in [[Cent]]s auf eine besondere, elegante Weise.

Die Formel, ein Intervall mit Frequenzverhältnis q in Cents umzurechnen, ist ja bekanntlich 1200 * log&amp;lt;span style="vertical-align: sub;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;(q). Für eine Zahl in Primfaktorzerlegung ergibt das beim obigen Beispiel:
[[math]]
log2(2^{-3} \cdot 3^2) = -3 \cdot log2(2) + 2 \cdot log2(3) = &amp;lt;log2(2), log2(5) | | -3, 2&amp;gt;
[[math]]

Dies ist [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html|Bra-Ket]]-Schreibweise. (Der Vektor &amp;lt;log2(2), log2(3), log2(5),...| heisst "Bra").


==Verweise== 
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung – Wikipedia]]
* [[http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512|Prime Factorization of 24512]] - www.isprimenumber.com
* [[http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php|Primfaktorisierung]] - primzahlen.zeta24.com&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Die &amp;lt;strong&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/strong&amp;gt; einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Grundlage"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Grundlage&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Alle natürlichen Zahlen (1, 2, 3, ...) lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen (die Eins wird dabei als sog. &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Leeres_Produkt" rel="nofollow"&amp;gt;Leeres Produkt&amp;lt;/a&amp;gt; aufgefasst).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:1:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
7 = 7&amp;lt;br /&amp;gt;
...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln. Neben dem geschickten Ausprobieren, ob die Division durch kleine Primzahlen (2, 3, 5, 7...) ohne Rest aufgeht, gibt es eine Reihe schnellerer Verfahren, jedoch keines, dessen Aufwand nicht doch irgendwie abschreckend wirken würde: der Zeitbedarf für wirklich große Primzahlen wächst bei ihnen allen derart rasant, dass man es ab einer gewissen Größe lieber gar nicht erst versuchen sollte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:2:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:2 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Bis auf das Vorzeichen ist das Verfahren auf die ganzen Zahlen ungleich 0 ausdehnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Auch Brüche (rationale Zahlen) ungleich 0 lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei nun Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise erscheinen die Primfaktoren aus dem Nenner als negative Exponenten&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:3:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:3 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Auch die Primfaktorzerlegung von Brüchen ist eindeutig, wenn die Ordnung der Faktoren festgelegt ist. Üblicherweise beginnt man mit dem kleinsten Primfaktor, der im obigen Beispiel die 2 ist:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:4:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
3^2 \cdot 2^{-3} = 2^{-3} \cdot 3^2&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;3^2 \cdot 2^{-3} = 2^{-3} \cdot 3^2&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:4 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:10:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Notations- und Rechenhilfe"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:10 --&amp;gt;Notations- und Rechenhilfe&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;lt;strong&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Monzo"&amp;gt;Monzo&amp;lt;/a&amp;gt;-Schreibweise&amp;lt;/strong&amp;gt; verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Name des Intervalls&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Bruch&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Monzo&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Reine Quinte&amp;lt;br /&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;3/2&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;|-1 1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
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    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Große Terz&amp;lt;br /&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;5/4&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;|-2 0 1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Große Sexte&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;5/3&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;|0 -1 1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Syntonisches Komma&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;81/80&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;|-4 4 -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Pythagoreisches Komma&amp;lt;br /&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;531441/524288&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;|-19 12&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Prime&amp;lt;br /&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;1&amp;lt;br /&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;|0&amp;amp;gt; oder |&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
&amp;lt;/table&amp;gt;

&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Umrechnung von Intervallvektoren in Cents"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 --&amp;gt;Umrechnung von Intervallvektoren in Cents&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Für Intervalle in Monzo-Schreibweise erscheint die Umrechnung in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;s auf eine besondere, elegante Weise.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Formel, ein Intervall mit Frequenzverhältnis q in Cents umzurechnen, ist ja bekanntlich 1200 * log&amp;lt;span style="vertical-align: sub;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;(q). Für eine Zahl in Primfaktorzerlegung ergibt das beim obigen Beispiel:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:5:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
log2(2^{-3} \cdot 3^2) = -3 \cdot log2(2) + 2 \cdot log2(3) = &amp;amp;lt;log2(2), log2(5) | | -3, 2&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;log2(2^{-3} \cdot 3^2) = -3 \cdot log2(2) + 2 \cdot log2(3) = &amp;lt;log2(2), log2(5) | | -3, 2&amp;gt;&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:5 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dies ist &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow"&amp;gt;Bra-Ket&amp;lt;/a&amp;gt;-Schreibweise. (Der Vektor &amp;amp;lt;log2(2), log2(3), log2(5),...| heisst &amp;amp;quot;Bra&amp;amp;quot;).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:14:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Umrechnung von Intervallvektoren in Cents-Verweise"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:14 --&amp;gt;Verweise&amp;lt;/h2&amp;gt;
 &amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung" rel="nofollow"&amp;gt;Primfaktorzerlegung – Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512" rel="nofollow"&amp;gt;Prime Factorization of 24512&amp;lt;/a&amp;gt; - www.isprimenumber.com&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php" rel="nofollow"&amp;gt;Primfaktorisierung&amp;lt;/a&amp;gt; - primzahlen.zeta24.com&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
      <sha1>py4pjtb0tjl2o24m3ecbbtn8zyot3m9</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>958</id>
      <timestamp>2013-06-07T02:20:34Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;xenwolf</username>
        <id>0</id>
      </contributor>
      <comment>**Imported revision 436883852 - Original comment: **</comment>
      <origin>958</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11423" sha1="av4ydkhzc8djoqf32lao2a5v64xvi03" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-07 02:20:34 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;436883852&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Die **Primfaktorzerlegung** einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.

==Grundlage== 
Alle natürlichen Zahlen (1, 2, 3, ...) lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen (die Eins wird dabei als sog. [[http://de.wikipedia.org/wiki/Leeres_Produkt|Leeres Produkt]] aufgefasst).

[[math]]
36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3
[[math]]

[[math]]
1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13
[[math]]

Für [[Primzahlen]] selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:

7 = 7
...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln. Neben dem geschickten Ausprobieren, ob die Division durch kleine Primzahlen (2, 3, 5, 7...) ohne Rest aufgeht, gibt es eine Reihe schnellerer Verfahren, jedoch keines, dessen Aufwand nicht doch irgendwie abschreckend wirken würde: der Zeitbedarf für wirklich große Primzahlen wächst bei ihnen allen derart rasant, dass man es ab einer gewissen Größe lieber gar nicht erst versuchen sollte.

Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach.

Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist

[[math]]
256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8
[[math]]

==Verallgemeinerung==
Bis auf das Vorzeichen ist das Verfahren auf die ganzen Zahlen ungleich 0 ausdehnen.

Auch Brüche (rationale Zahlen) ungleich 0 lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei nun Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise erscheinen die Primfaktoren aus dem Nenner als negative Exponenten
[[math]]
9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3}
[[math]]

Auch die Primfaktorzerlegung von Brüchen ist eindeutig, wenn die Ordnung der Faktoren festgelegt ist. Üblicherweise beginnt man mit dem kleinsten Primfaktor, der im obigen Beispiel die 2 ist:
[[math]]
3^2 \cdot 2^{-3} = 2^{-3} \cdot 3^2
[[math]]

==Notations- und Rechenhilfe== 
Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).

Die **[[Monzo]]-Schreibweise** verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):
||~ Name des Intervalls  ||~ Bruch        ||~ Monzo      ||
|| Reine Quinte          || 3/2           || |-1 1&amp;gt;      ||
|| Große Terz            || 5/4           || |-2 0 1&amp;gt;    ||
|| Große Sexte           || 5/3           || |0 -1 1&amp;gt;    ||
|| Syntonisches Komma    || 81/80         || |-4 4 -1&amp;gt;   ||
|| Pythagoreisches Komma || 531441/524288 || |-19 12&amp;gt;    ||
|| Prime                 || 1             || |0&amp;gt; oder |&amp;gt; ||

==Verweise== 
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung – Wikipedia]]
* [[http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512|Prime Factorization of 24512]] - www.isprimenumber.com
* [[http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php|Primfaktorisierung]] - primzahlen.zeta24.com&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Die &amp;lt;strong&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/strong&amp;gt; einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Grundlage"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Grundlage&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Alle natürlichen Zahlen (1, 2, 3, ...) lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen (die Eins wird dabei als sog. &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Leeres_Produkt" rel="nofollow"&amp;gt;Leeres Produkt&amp;lt;/a&amp;gt; aufgefasst).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:1:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
7 = 7&amp;lt;br /&amp;gt;
...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln. Neben dem geschickten Ausprobieren, ob die Division durch kleine Primzahlen (2, 3, 5, 7...) ohne Rest aufgeht, gibt es eine Reihe schnellerer Verfahren, jedoch keines, dessen Aufwand nicht doch irgendwie abschreckend wirken würde: der Zeitbedarf für wirklich große Primzahlen wächst bei ihnen allen derart rasant, dass man es ab einer gewissen Größe lieber gar nicht erst versuchen sollte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:2:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:2 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h2&amp;gt;
Bis auf das Vorzeichen ist das Verfahren auf die ganzen Zahlen ungleich 0 ausdehnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Auch Brüche (rationale Zahlen) ungleich 0 lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei nun Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise erscheinen die Primfaktoren aus dem Nenner als negative Exponenten&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:3:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:3 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Auch die Primfaktorzerlegung von Brüchen ist eindeutig, wenn die Ordnung der Faktoren festgelegt ist. Üblicherweise beginnt man mit dem kleinsten Primfaktor, der im obigen Beispiel die 2 ist:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:4:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
3^2 \cdot 2^{-3} = 2^{-3} \cdot 3^2&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;3^2 \cdot 2^{-3} = 2^{-3} \cdot 3^2&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:4 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Notations- und Rechenhilfe"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;Notations- und Rechenhilfe&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;lt;strong&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Monzo"&amp;gt;Monzo&amp;lt;/a&amp;gt;-Schreibweise&amp;lt;/strong&amp;gt; verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Name des Intervalls&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Bruch&amp;lt;br /&amp;gt;
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        &amp;lt;th&amp;gt;Monzo&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Verweise"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;Verweise&amp;lt;/h2&amp;gt;
 &amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung" rel="nofollow"&amp;gt;Primfaktorzerlegung – Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512" rel="nofollow"&amp;gt;Prime Factorization of 24512&amp;lt;/a&amp;gt; - www.isprimenumber.com&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php" rel="nofollow"&amp;gt;Primfaktorisierung&amp;lt;/a&amp;gt; - primzahlen.zeta24.com&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;xenwolf</username>
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      <comment>**Imported revision 436735066 - Original comment: Beispiele zur Monzo-Notation in Tabelle**</comment>
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      <text bytes="11079" sha1="lgallsewz75rekrpa5b20lrvaf2i8xo" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-06 11:07:27 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;436735066&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;Beispiele zur Monzo-Notation in Tabelle&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Die **Primfaktorzerlegung** einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.

==Grundlage== 
Alle natürlichen Zahlen lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen.

[[math]]
36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3
[[math]]

[[math]]
1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13
[[math]]

Für [[Primzahlen]] selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:

7 = 7
...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln. Neben dem geschickten Ausprobieren, ob die Division durch kleine Primzahlen (2, 3, 5, 7...) ohne Rest aufgeht, gibt es eine Reihe schnellerer Verfahren, jedoch keines, dessen Aufwand nicht doch irgendwie abschreckend wirken würde: der Zeitbedarf für wirklich große Primzahlen wächst bei ihnen allen derart rasant, dass man es ab einer gewissen Größe lieber gar nicht erst versuchen sollte.

Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach.

Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist

[[math]]
256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8
[[math]]

==Verallgemeinerung== 
Auch Brüche (rationale Zahlen) lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei hier Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise erscheinen die Primfaktoren aus dem Nenner als negative Exponenten.
[[math]]
9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3}
[[math]]

Auch Primfaktorzerlegung von rationalen Zahlen ist - bei geordneten Faktoren - eindeutig. So wird aus obigem 
[[math]]
3^2 \cdot 2^{-3}
[[math]]
nach dem Sortieren diese Darstellung
[[math]]
2^{-3} \cdot 3^2
[[math]]

==Notations- und Rechenhilfe== 
Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).

Die **[[Monzo]]-Schreibweise** verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):
||~ Name des Intervalls  ||~ Bruch        ||~ Monzo      ||
|| Reine Quinte          || 3/2           || |-1 1&amp;gt;      ||
|| Große Terz            || 5/4           || |-2 0 1&amp;gt;    ||
|| Große Sexte           || 5/3           || |0 -1 1&amp;gt;    ||
|| Syntonisches Komma    || 81/80         || |-4 4 -1&amp;gt;   ||
|| Pythagoreisches Komma || 531441/524288 || |-19 12&amp;gt;    ||
|| Prime                 || 1             || |0&amp;gt; oder |&amp;gt; ||

==Verweise== 
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung – Wikipedia]]
* [[http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512|Prime Factorization of 24512]] - www.isprimenumber.com
* [[http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php|Primfaktorisierung]] - primzahlen.zeta24.com&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Die &amp;lt;strong&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/strong&amp;gt; einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Grundlage"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Grundlage&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Alle natürlichen Zahlen lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:1:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
7 = 7&amp;lt;br /&amp;gt;
...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln. Neben dem geschickten Ausprobieren, ob die Division durch kleine Primzahlen (2, 3, 5, 7...) ohne Rest aufgeht, gibt es eine Reihe schnellerer Verfahren, jedoch keines, dessen Aufwand nicht doch irgendwie abschreckend wirken würde: der Zeitbedarf für wirklich große Primzahlen wächst bei ihnen allen derart rasant, dass man es ab einer gewissen Größe lieber gar nicht erst versuchen sollte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:2:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:2 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Auch Brüche (rationale Zahlen) lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei hier Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise erscheinen die Primfaktoren aus dem Nenner als negative Exponenten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:3:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:3 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Auch Primfaktorzerlegung von rationalen Zahlen ist - bei geordneten Faktoren - eindeutig. So wird aus obigem &amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:4:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
3^2 \cdot 2^{-3}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;3^2 \cdot 2^{-3}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:4 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
nach dem Sortieren diese Darstellung&amp;lt;br /&amp;gt;
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[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
2^{-3} \cdot 3^2&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-3} \cdot 3^2&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:5 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;lt;strong&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Monzo"&amp;gt;Monzo&amp;lt;/a&amp;gt;-Schreibweise&amp;lt;/strong&amp;gt; verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Verweise"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 --&amp;gt;Verweise&amp;lt;/h2&amp;gt;
 &amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung" rel="nofollow"&amp;gt;Primfaktorzerlegung – Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512" rel="nofollow"&amp;gt;Prime Factorization of 24512&amp;lt;/a&amp;gt; - www.isprimenumber.com&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php" rel="nofollow"&amp;gt;Primfaktorisierung&amp;lt;/a&amp;gt; - primzahlen.zeta24.com&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <timestamp>2013-06-06T11:00:21Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;xenwolf</username>
        <id>0</id>
      </contributor>
      <comment>**Imported revision 436733438 - Original comment: hie und da etwas geglättet**</comment>
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      <text bytes="9764" sha1="b3h4azoz71ko41r2o1pmzno82vftejs" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-06 11:00:21 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;436733438&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;hie und da etwas geglättet&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Die **Primfaktorzerlegung** einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.

==Grundlage== 
Alle natürlichen Zahlen lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen.

[[math]]
36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3
[[math]]

[[math]]
1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13
[[math]]

Für [[Primzahlen]] selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:

7 = 7
...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln. Neben dem geschickten Ausprobieren, ob die Division durch kleine Primzahlen (2, 3, 5, 7...) ohne Rest aufgeht, gibt es eine Reihe schnellerer Verfahren, jedoch keines, dessen Aufwand nicht doch irgendwie abschreckend wirken würde: der Zeitbedarf für wirklich große Primzahlen wächst bei ihnen allen derart rasant, dass man es ab einer gewissen Größe lieber gar nicht erst versuchen sollte.

Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach.

Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist

[[math]]
256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8
[[math]]

==Verallgemeinerung== 
Auch Brüche (rationale Zahlen) lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei hier Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise erscheinen die Primfaktoren aus dem Nenner als negative Exponenten.
[[math]]
9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3}
[[math]]

Auch Primfaktorzerlegung von rationalen Zahlen ist - bei geordneten Faktoren - eindeutig. So wird aus obigem 
[[math]]
3^2 \cdot 2^{-3}
[[math]]
nach dem Sortieren diese Darstellung
[[math]]
2^{-3} \cdot 3^2
[[math]]

==Notations- und Rechenhilfe== 
Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).

Die **[[Monzo]]-Schreibweise** verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):

Quinte = 3/2 = |-1 1&amp;gt;
Große Terz = 5/4 = |-2 0 1&amp;gt;
Große Sexte = 5/3 = |0 -1 1&amp;gt;
Syntonisches Komma = 81/80 = |-4 4 -1&amp;gt;
Pythagoreisches Komma = 531441/524288 = |-19 12&amp;gt;
Prime = 1 = |0&amp;gt; (oder |&amp;gt;)

==Verweise== 
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung – Wikipedia]]
* [[http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512|Prime Factorization of 24512]] - www.isprimenumber.com
* [[http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php|Primfaktorisierung]] - primzahlen.zeta24.com&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Die &amp;lt;strong&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/strong&amp;gt; einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Alle natürlichen Zahlen lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
7 = 7&amp;lt;br /&amp;gt;
...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln. Neben dem geschickten Ausprobieren, ob die Division durch kleine Primzahlen (2, 3, 5, 7...) ohne Rest aufgeht, gibt es eine Reihe schnellerer Verfahren, jedoch keines, dessen Aufwand nicht doch irgendwie abschreckend wirken würde: der Zeitbedarf für wirklich große Primzahlen wächst bei ihnen allen derart rasant, dass man es ab einer gewissen Größe lieber gar nicht erst versuchen sollte.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist&amp;lt;br /&amp;gt;
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256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:2 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Auch Brüche (rationale Zahlen) lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei hier Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise erscheinen die Primfaktoren aus dem Nenner als negative Exponenten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:3:
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9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:3 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Auch Primfaktorzerlegung von rationalen Zahlen ist - bei geordneten Faktoren - eindeutig. So wird aus obigem &amp;lt;br /&amp;gt;
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2^{-3} \cdot 3^2&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
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 Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;lt;strong&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Monzo"&amp;gt;Monzo&amp;lt;/a&amp;gt;-Schreibweise&amp;lt;/strong&amp;gt; verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Quinte = 3/2 = |-1 1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Große Terz = 5/4 = |-2 0 1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Große Sexte = 5/3 = |0 -1 1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Syntonisches Komma = 81/80 = |-4 4 -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Pythagoreisches Komma = 531441/524288 = |-19 12&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Prime = 1 = |0&amp;amp;gt; (oder |&amp;amp;gt;)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Verweise"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 --&amp;gt;Verweise&amp;lt;/h2&amp;gt;
 &amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung" rel="nofollow"&amp;gt;Primfaktorzerlegung – Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512" rel="nofollow"&amp;gt;Prime Factorization of 24512&amp;lt;/a&amp;gt; - www.isprimenumber.com&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php" rel="nofollow"&amp;gt;Primfaktorisierung&amp;lt;/a&amp;gt; - primzahlen.zeta24.com&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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    </revision>
    <revision>
      <id>961</id>
      <timestamp>2013-06-06T10:41:57Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;xenwolf</username>
        <id>0</id>
      </contributor>
      <comment>**Imported revision 436728898 - Original comment: \times durch \cdot ersetzt, sieht hübscher aus**</comment>
      <origin>961</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9776" sha1="id9vmig647kpymq2b066iptgwqwj554" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-06 10:41:57 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;436728898&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;\times durch \cdot ersetzt, sieht hübscher aus&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Die **Primfaktorzerlegung** einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.

==Grundlage== 
Alle natürlichen Zahlen lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen.

[[math]]
36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3
[[math]]

[[math]]
1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13
[[math]]

Für [[Primzahlen]] selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:

7 = 7
...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln. Neben dem geschickten Ausprobieren, ob die Division durch kleine Primzahlen (2, 3, 5, 7...) ohne Rest aufgeht, gibt es eine Reihe schnellerer Verfahren, jedoch keines, dessen Aufwand nicht doch irgendwie abschreckend wirken würde: der Zeitbedarf für wirklich große Primzahlen wächst bei ihnen allen derart rasant, dass man es ab einer gewissen Größe lieber gar nicht erst versuchen sollte.

Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach.

Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist

[[math]]
256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8
[[math]]

==Verallgemeinerung== 
Auch Brüche (rationale Zahlen) lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei hier Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise haben Primfaktoren im Nenner negative Exponenten.

[[math]]
9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3}
[[math]]

Auch Primfaktorzerlegung von rationalen Zahlen ist - bei geordneten Faktoren - eindeutig:

Aus
[[math]]
3^2 \cdot 2^{-3}
[[math]]
wird nach dem Sortieren die Darstellung
[[math]]
2^{-3} \cdot 3^2
[[math]]

==Notations- und Rechenhilfe== 
Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).

Die **[[Monzo]]-Schreibweise** verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):

Quinte = 3/2 = |-1 1&amp;gt;
Große Terz = 5/4 = |-2 0 1&amp;gt;
Große Sexte = 5/3 = |0 -1 1&amp;gt;
Syntonisches Komma = 81/80 = |-4 4 -1&amp;gt;
Pythagoreisches Komma = 531441/524288 = |-19 12&amp;gt;
Prime = 1 = |0&amp;gt; (oder |&amp;gt;)


==Verweise== 
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung – Wikipedia]]
* [[http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512|Prime Factorization of 24512]] - www.isprimenumber.com
* [[http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php|Primfaktorisierung]] - primzahlen.zeta24.com&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Die &amp;lt;strong&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/strong&amp;gt; einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Alle natürlichen Zahlen lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:&amp;lt;br /&amp;gt;
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7 = 7&amp;lt;br /&amp;gt;
...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln. Neben dem geschickten Ausprobieren, ob die Division durch kleine Primzahlen (2, 3, 5, 7...) ohne Rest aufgeht, gibt es eine Reihe schnellerer Verfahren, jedoch keines, dessen Aufwand nicht doch irgendwie abschreckend wirken würde: der Zeitbedarf für wirklich große Primzahlen wächst bei ihnen allen derart rasant, dass man es ab einer gewissen Größe lieber gar nicht erst versuchen sollte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:2:
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256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:2 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Auch Brüche (rationale Zahlen) lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei hier Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise haben Primfaktoren im Nenner negative Exponenten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:3:
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9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:3 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Auch Primfaktorzerlegung von rationalen Zahlen ist - bei geordneten Faktoren - eindeutig:&amp;lt;br /&amp;gt;
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Aus&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:4:
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3^2 \cdot 2^{-3}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;3^2 \cdot 2^{-3}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:4 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
wird nach dem Sortieren die Darstellung&amp;lt;br /&amp;gt;
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2^{-3} \cdot 3^2&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-3} \cdot 3^2&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:5 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:10:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Notations- und Rechenhilfe"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:10 --&amp;gt;Notations- und Rechenhilfe&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;lt;strong&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Monzo"&amp;gt;Monzo&amp;lt;/a&amp;gt;-Schreibweise&amp;lt;/strong&amp;gt; verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Quinte = 3/2 = |-1 1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Große Terz = 5/4 = |-2 0 1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Große Sexte = 5/3 = |0 -1 1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Syntonisches Komma = 81/80 = |-4 4 -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Pythagoreisches Komma = 531441/524288 = |-19 12&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Prime = 1 = |0&amp;amp;gt; (oder |&amp;amp;gt;)&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Verweise"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 --&amp;gt;Verweise&amp;lt;/h2&amp;gt;
 &amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung" rel="nofollow"&amp;gt;Primfaktorzerlegung – Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512" rel="nofollow"&amp;gt;Prime Factorization of 24512&amp;lt;/a&amp;gt; - www.isprimenumber.com&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php" rel="nofollow"&amp;gt;Primfaktorisierung&amp;lt;/a&amp;gt; - primzahlen.zeta24.com&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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      <comment>**Imported revision 436726858 - Original comment: **</comment>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-06 10:33:15 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;436726858&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Die **Primfaktorzerlegung** einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.

==Grundlage== 
Alle natürlichen Zahlen lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen.

[[math]]
36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3
[[math]]

[[math]]
1001 = 7 \times 11 \times 13
[[math]]

Für [[Primzahlen]] selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:

7 = 7
...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln. Neben dem geschickten Ausprobieren, ob die Division durch kleine Primzahlen (2, 3, 5, 7...) ohne Rest aufgeht, gibt es eine Reihe schnellerer Verfahren, jedoch keines, dessen Aufwand nicht doch irgendwie abschreckend wirken würde: der Zeitbedarf für wirklich große Primzahlen wächst bei ihnen allen derart rasant, dass man es ab einer gewissen Größe lieber gar nicht erst versuchen sollte.

Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach.

Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist

[[math]]
256 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^8
[[math]]

==Verallgemeinerung== 
Auch Brüche (rationale Zahlen) lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei hier Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise haben Primfaktoren im Nenner negative Exponenten.

[[math]]
9/8 = 3^2 \times 2^{-3}
[[math]]

Auch Primfaktorzerlegung von rationalen Zahlen ist - bei geordneten Faktoren - eindeutig:

Aus
[[math]]
3^2 \times 2^{-3}
[[math]]
wird nach dem Sortieren die Darstellung
[[math]]
2^{-3} \times 3^2
[[math]]

==Notations- und Rechenhilfe== 
Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).

Die **[[Monzo]]-Schreibweise** verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):

Quinte = 3/2 = |-1 1&amp;gt;
Große Terz = 5/4 = |-2 0 1&amp;gt;
Große Sexte = 5/3 = |0 -1 1&amp;gt;
Syntonisches Komma = 81/80 = |-4 4 -1&amp;gt;
Pythagoreisches Komma = 531441/524288 = |-19 12&amp;gt;
Prime = 1 = |0&amp;gt; (oder |&amp;gt;)


==Verweise== 
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung – Wikipedia]]
* [[http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512|Prime Factorization of 24512]] - www.isprimenumber.com
* [[http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php|Primfaktorisierung]] - primzahlen.zeta24.com&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Die &amp;lt;strong&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/strong&amp;gt; einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Grundlage"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Grundlage&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Alle natürlichen Zahlen lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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1001 = 7 \times 11 \times 13&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;1001 = 7 \times 11 \times 13&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
7 = 7&amp;lt;br /&amp;gt;
...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln. Neben dem geschickten Ausprobieren, ob die Division durch kleine Primzahlen (2, 3, 5, 7...) ohne Rest aufgeht, gibt es eine Reihe schnellerer Verfahren, jedoch keines, dessen Aufwand nicht doch irgendwie abschreckend wirken würde: der Zeitbedarf für wirklich große Primzahlen wächst bei ihnen allen derart rasant, dass man es ab einer gewissen Größe lieber gar nicht erst versuchen sollte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:2:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
256 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^8&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;256 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^8&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:2 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Auch Brüche (rationale Zahlen) lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei hier Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise haben Primfaktoren im Nenner negative Exponenten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:3:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
9/8 = 3^2 \times 2^{-3}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;9/8 = 3^2 \times 2^{-3}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:3 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Auch Primfaktorzerlegung von rationalen Zahlen ist - bei geordneten Faktoren - eindeutig:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus&amp;lt;br /&amp;gt;
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3^2 \times 2^{-3}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
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wird nach dem Sortieren die Darstellung&amp;lt;br /&amp;gt;
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2^{-3} \times 3^2&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
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 Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;lt;strong&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Monzo"&amp;gt;Monzo&amp;lt;/a&amp;gt;-Schreibweise&amp;lt;/strong&amp;gt; verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Quinte = 3/2 = |-1 1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Große Terz = 5/4 = |-2 0 1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Große Sexte = 5/3 = |0 -1 1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Syntonisches Komma = 81/80 = |-4 4 -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Pythagoreisches Komma = 531441/524288 = |-19 12&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Prime = 1 = |0&amp;amp;gt; (oder |&amp;amp;gt;)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 &amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung" rel="nofollow"&amp;gt;Primfaktorzerlegung – Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512" rel="nofollow"&amp;gt;Prime Factorization of 24512&amp;lt;/a&amp;gt; - www.isprimenumber.com&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php" rel="nofollow"&amp;gt;Primfaktorisierung&amp;lt;/a&amp;gt; - primzahlen.zeta24.com&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;xenwolf</username>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-05 16:35:18 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;436576256&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Die **Primfaktorzerlegung** einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.

==Grundlage== 
Alle natürlichen Zahlen lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen.

[[math]]
36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3
[[math]]

[[math]]
1001 = 7 \times 11 \times 13
[[math]]

Für [[Primzahlen]] selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:

7 = 7
...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln. Neben dem geschickten Ausprobieren, ob die Division durch kleine Primzahlen (2, 3, 5, 7...) ohne Rest aufgeht, gibt es eine Reihe schnellerer Verfahren, jedoch keines, dessen Aufwand nicht doch irgendwie abschreckend wirken würde: der Zeitbedarf für wirklich große Primzahlen wächst bei ihnen allen derart rasant, dass man es ab einer gewissen Größe lieber gar nicht erst versuchen sollte.

Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach.

Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist

[[math]]
256 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^8
[[math]]

==Verallgemeinerung== 
Auch Brüche (rationale Zahlen) lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei hier Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise haben Primfaktoren im Nenner negative Exponenten.

[[math]]
9/8 = 3^2 \times 2^-3
[[math]]

Auch Primfaktorzerlegung von rationalen Zahlen ist - bei geordneten Faktoren - eindeutig:

Aus 
[[math]]
 3^2 \times 2^{-3}
[[math]]
wird nach dem Sortieren die Darstellung 
[[math]]
2^{-3} \times 3^2
[[math]]

==Notations- und Rechenhilfe== 
Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).

Die **[[Monzo]]-Schreibweise** verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):

Quinte = 3/2 = |-1 1&amp;gt;
Große Terz = 5/4 = |-2 0 1&amp;gt;
Große Sexte = 5/3 = |0 -1 1&amp;gt;
Syntonisches Komma = 81/80 = |-4 4 -1&amp;gt;
Pythagoreisches Komma = 531441/524288 = |-19 12&amp;gt;
Prime = 1 = |0&amp;gt; (oder |&amp;gt;)


==Verweise== 
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung – Wikipedia]]
* [[http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512|Prime Factorization of 24512]] - www.isprimenumber.com
* [[http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php|Primfaktorisierung]] - primzahlen.zeta24.com&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Alle natürlichen Zahlen lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
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&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:1:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
1001 = 7 \times 11 \times 13&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;1001 = 7 \times 11 \times 13&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
7 = 7&amp;lt;br /&amp;gt;
...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln. Neben dem geschickten Ausprobieren, ob die Division durch kleine Primzahlen (2, 3, 5, 7...) ohne Rest aufgeht, gibt es eine Reihe schnellerer Verfahren, jedoch keines, dessen Aufwand nicht doch irgendwie abschreckend wirken würde: der Zeitbedarf für wirklich große Primzahlen wächst bei ihnen allen derart rasant, dass man es ab einer gewissen Größe lieber gar nicht erst versuchen sollte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:2:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
256 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^8&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;256 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^8&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:2 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Auch Brüche (rationale Zahlen) lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei hier Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise haben Primfaktoren im Nenner negative Exponenten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:3:
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9/8 = 3^2 \times 2^-3&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;9/8 = 3^2 \times 2^-3&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:3 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Auch Primfaktorzerlegung von rationalen Zahlen ist - bei geordneten Faktoren - eindeutig:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus &amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:4:
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 3^2 \times 2^{-3}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt; 3^2 \times 2^{-3}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:4 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
wird nach dem Sortieren die Darstellung &amp;lt;br /&amp;gt;
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2^{-3} \times 3^2&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-3} \times 3^2&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:5 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:10:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Notations- und Rechenhilfe"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:10 --&amp;gt;Notations- und Rechenhilfe&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;lt;strong&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Monzo"&amp;gt;Monzo&amp;lt;/a&amp;gt;-Schreibweise&amp;lt;/strong&amp;gt; verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Quinte = 3/2 = |-1 1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Große Terz = 5/4 = |-2 0 1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Große Sexte = 5/3 = |0 -1 1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Syntonisches Komma = 81/80 = |-4 4 -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Pythagoreisches Komma = 531441/524288 = |-19 12&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Prime = 1 = |0&amp;amp;gt; (oder |&amp;amp;gt;)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Verweise"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 --&amp;gt;Verweise&amp;lt;/h2&amp;gt;
 &amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung" rel="nofollow"&amp;gt;Primfaktorzerlegung – Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512" rel="nofollow"&amp;gt;Prime Factorization of 24512&amp;lt;/a&amp;gt; - www.isprimenumber.com&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php" rel="nofollow"&amp;gt;Primfaktorisierung&amp;lt;/a&amp;gt; - primzahlen.zeta24.com&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;xenwolf</username>
        <id>0</id>
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      <comment>**Imported revision 436576094 - Original comment: **</comment>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-05 16:34:29 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;436576094&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Die **Primfaktorzerlegung** einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.

==Grundlage== 
Alle natürlichen Zahlen lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen.

[[math]]
36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3
[[math]]

[[math]]
1001 = 7 \times 11 \times 13
[[math]]

Für [[Primzahlen]] selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:

7 = 7
...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln. Neben dem geschickten Ausprobieren, ob die Division durch kleine Primzahlen (2, 3, 5, 7...) ohne Rest aufgeht, gibt es eine Reihe schnellerer Verfahren, jedoch keines, dessen Aufwand nicht doch irgendwie abschreckend wirken würde: der Zeitbedarf für wirklich große Primzahlen wächst bei ihnen allen derart rasant, dass man es ab einer gewissen Größe lieber gar nicht erst versuchen sollte.

Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach.

Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist

[[math]]
256 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^8
[[math]]

==Verallgemeinerung== 
Auch Brüche (rationale Zahlen) lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei hier Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise haben Primfaktoren im Nenner negative Exponenten.

[[math]]
9/8 = 3^2 \times 2^-3
[[math]]

Auch Primfaktorzerlegung von rationalen Zahlen ist - bei geordneten Faktoren - eindeutig:

Aus 
[[math]]
 3^2 \times 2^{-3}
[[math]]
wird nach dem Sortieren die Darstellung 
[[math]]
2^{-3} \times 3^2
[[math]]

==Notations- und Rechenhilfe== 
Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).

Die **[[Monzo]]-Schreibweise** verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):

Quinte = 3/2 = |-1 1&amp;gt;
Große Terz = 5/4 = |-2 0 1&amp;gt;
Große Sexte = 5/3 = |0 -1 1&amp;gt;
Syntonisches Komma = 81/80 = |-4 4 -1&amp;gt;
Pythagoreisches Komma = 531441/524288 = |-19 12&amp;gt;
Prime = 1 = |&amp;gt;


==Verweise== 
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung – Wikipedia]]
* [[http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512|Prime Factorization of 24512]] - www.isprimenumber.com
* [[http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php|Primfaktorisierung]] - primzahlen.zeta24.com&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Die &amp;lt;strong&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/strong&amp;gt; einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Grundlage"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Grundlage&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Alle natürlichen Zahlen lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:1:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
1001 = 7 \times 11 \times 13&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;1001 = 7 \times 11 \times 13&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
7 = 7&amp;lt;br /&amp;gt;
...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln. Neben dem geschickten Ausprobieren, ob die Division durch kleine Primzahlen (2, 3, 5, 7...) ohne Rest aufgeht, gibt es eine Reihe schnellerer Verfahren, jedoch keines, dessen Aufwand nicht doch irgendwie abschreckend wirken würde: der Zeitbedarf für wirklich große Primzahlen wächst bei ihnen allen derart rasant, dass man es ab einer gewissen Größe lieber gar nicht erst versuchen sollte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:2:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
256 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^8&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;256 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^8&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:2 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Auch Brüche (rationale Zahlen) lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei hier Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise haben Primfaktoren im Nenner negative Exponenten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:3:
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9/8 = 3^2 \times 2^-3&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;9/8 = 3^2 \times 2^-3&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:3 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Auch Primfaktorzerlegung von rationalen Zahlen ist - bei geordneten Faktoren - eindeutig:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus &amp;lt;br /&amp;gt;
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 3^2 \times 2^{-3}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
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2^{-3} \times 3^2&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
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 Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;lt;strong&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Monzo"&amp;gt;Monzo&amp;lt;/a&amp;gt;-Schreibweise&amp;lt;/strong&amp;gt; verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Quinte = 3/2 = |-1 1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Große Terz = 5/4 = |-2 0 1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Große Sexte = 5/3 = |0 -1 1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Syntonisches Komma = 81/80 = |-4 4 -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Pythagoreisches Komma = 531441/524288 = |-19 12&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Prime = 1 = |&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Verweise"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 --&amp;gt;Verweise&amp;lt;/h2&amp;gt;
 &amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung" rel="nofollow"&amp;gt;Primfaktorzerlegung – Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512" rel="nofollow"&amp;gt;Prime Factorization of 24512&amp;lt;/a&amp;gt; - www.isprimenumber.com&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php" rel="nofollow"&amp;gt;Primfaktorisierung&amp;lt;/a&amp;gt; - primzahlen.zeta24.com&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-05 06:05:08 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;436444864&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Die **Primfaktorzerlegung** einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.

==Grundlage== 
Alle natürlichen Zahlen lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen.

36 = 2*2*3*3
1001 = 7*11*13

Für [[Primzahlen]] selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:

7 = 7
...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln.

Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach.

Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist

256 = 2*2*2*2*2*2*2*2 = 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;8&amp;lt;/span&amp;gt;

==Verallgemeinerung== 
Auch Brüche (rationale Zahlen) lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei hier Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise haben Primfaktoren im Nenner negative Exponenten.

9/8 = 3&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;*2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;-3&amp;lt;/span&amp;gt;

Auch Primfaktorzerlegung von rationalen Zahlen ist - bei geordneten Faktoren - eindeutig:

Aus 3&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;*2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;-3&amp;lt;/span&amp;gt; wird nach dem Sortieren die Darstellung 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;-3&amp;lt;/span&amp;gt;*3&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;

==Notations- und Rechenhilfe== 
Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).

Die **[[Monzo]]-Schreibweise** verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):

Quinte = 3/2 = |-1 1&amp;gt;
Große Terz = 5/4 = |-2 0 1&amp;gt;
Große Sexte = 5/3 = |0 -1 1&amp;gt;
Syntonisches Komma = 81/80 = |-4 4 -1&amp;gt;
Pythagoreisches Komma = 531441/524288 = |-19 12&amp;gt;
Prime = 1 = |&amp;gt;


==Verweise== 
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung – Wikipedia]]
* [[http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512|Prime Factorization of 24512]] - www.isprimenumber.com
* [[http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php|Primfaktorisierung]] - primzahlen.zeta24.com&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Die &amp;lt;strong&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/strong&amp;gt; einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Grundlage"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Grundlage&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Alle natürlichen Zahlen lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
36 = 2*2*3*3&amp;lt;br /&amp;gt;
1001 = 7*11*13&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
7 = 7&amp;lt;br /&amp;gt;
...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
256 = 2*2*2*2*2*2*2*2 = 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;8&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Auch Brüche (rationale Zahlen) lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei hier Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise haben Primfaktoren im Nenner negative Exponenten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
9/8 = 3&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;*2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;-3&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Auch Primfaktorzerlegung von rationalen Zahlen ist - bei geordneten Faktoren - eindeutig:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus 3&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;*2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;-3&amp;lt;/span&amp;gt; wird nach dem Sortieren die Darstellung 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;-3&amp;lt;/span&amp;gt;*3&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Notations- und Rechenhilfe"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Notations- und Rechenhilfe&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;lt;strong&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Monzo"&amp;gt;Monzo&amp;lt;/a&amp;gt;-Schreibweise&amp;lt;/strong&amp;gt; verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Quinte = 3/2 = |-1 1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Große Terz = 5/4 = |-2 0 1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Große Sexte = 5/3 = |0 -1 1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Syntonisches Komma = 81/80 = |-4 4 -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Pythagoreisches Komma = 531441/524288 = |-19 12&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Prime = 1 = |&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Verweise"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Verweise&amp;lt;/h2&amp;gt;
 &amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung" rel="nofollow"&amp;gt;Primfaktorzerlegung – Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512" rel="nofollow"&amp;gt;Prime Factorization of 24512&amp;lt;/a&amp;gt; - www.isprimenumber.com&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php" rel="nofollow"&amp;gt;Primfaktorisierung&amp;lt;/a&amp;gt; - primzahlen.zeta24.com&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;xenwolf</username>
        <id>0</id>
      </contributor>
      <comment>**Imported revision 436425364 - Original comment: Ein Anfang - Endlich hab ichs mal geschafft :)**</comment>
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      <text bytes="8088" sha1="m8aq21hpcepdlxt1b6a436bscow91vz" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-05 02:55:59 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;436425364&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;Ein Anfang - Endlich hab ichs mal geschafft :)&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Die **Primfaktorzerlegung** einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.

== Grundlage ==
Alle natürlichen Zahlen lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen.

36 = 2*2*3*3
1001 = 7*11*13

Für [[Primzahlen]] selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:

7 = 7
...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln.

Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach. 

Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist

256 = 2*2*2*2*2*2*2*2 = 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;8&amp;lt;/span&amp;gt;

== Verallgemeinerung ==
Auch Brüche (rationale Zahlen) lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei hier Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise haben Primfaktoren im Nenner negative Exponenten.

9/8 = 3&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;*2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;-3&amp;lt;/span&amp;gt;

Auch Primfaktorzerlegung von rationalen Zahlen ist - bei geordneten Faktoren - eindeutig:

Aus 3&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;*2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;-3&amp;lt;/span&amp;gt; wird nach dem Sortieren die Darstellung 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;-3&amp;lt;/span&amp;gt;*3&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;

== Notations- und Rechenhilfe ==
Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).

Die **[[Monzo]]-Schreibweise** verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):

Quinte = 3/2 = |-1 1&amp;gt;
Große Terz = 5/4 = |-2 0 1&amp;gt;
Große Sexte = 5/3 = |0 -1 1&amp;gt;
Syntonisches Komma = 81/80 = |-4 -1 4&amp;gt;
Pythagoreisches Komma = 531441/524288 = |-19 12&amp;gt;
Prime = 1 = |&amp;gt;


== Verweise ==
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung – Wikipedia]]
* [[http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512|Prime Factorization of 24512]] - www.isprimenumber.com
* [[http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php|Primfaktorisierung]] - primzahlen.zeta24.com&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Alle natürlichen Zahlen lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
36 = 2*2*3*3&amp;lt;br /&amp;gt;
1001 = 7*11*13&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
7 = 7&amp;lt;br /&amp;gt;
...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach. &amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
256 = 2*2*2*2*2*2*2*2 = 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;8&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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Auch Brüche (rationale Zahlen) lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei hier Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise haben Primfaktoren im Nenner negative Exponenten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
9/8 = 3&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;*2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;-3&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Auch Primfaktorzerlegung von rationalen Zahlen ist - bei geordneten Faktoren - eindeutig:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus 3&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;*2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;-3&amp;lt;/span&amp;gt; wird nach dem Sortieren die Darstellung 2&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;-3&amp;lt;/span&amp;gt;*3&amp;lt;span style="vertical-align: super;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;lt;strong&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Monzo"&amp;gt;Monzo&amp;lt;/a&amp;gt;-Schreibweise&amp;lt;/strong&amp;gt; verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Quinte = 3/2 = |-1 1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Große Terz = 5/4 = |-2 0 1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Große Sexte = 5/3 = |0 -1 1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Syntonisches Komma = 81/80 = |-4 -1 4&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Pythagoreisches Komma = 531441/524288 = |-19 12&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Prime = 1 = |&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Verweise"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt; Verweise &amp;lt;/h2&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung" rel="nofollow"&amp;gt;Primfaktorzerlegung – Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512" rel="nofollow"&amp;gt;Prime Factorization of 24512&amp;lt;/a&amp;gt; - www.isprimenumber.com&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php" rel="nofollow"&amp;gt;Primfaktorisierung&amp;lt;/a&amp;gt; - primzahlen.zeta24.com&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;xenwolf</username>
        <id>0</id>
      </contributor>
      <comment>**Imported revision 427584152 - Original comment: **</comment>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-04-30 03:04:59 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;427584152&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;todo.

siehe auch [[http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung – Wikipedia]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;todo.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung" rel="nofollow"&amp;gt;Primfaktorzerlegung – Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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    <revision>
      <id>1676</id>
      <parentid>124</parentid>
      <timestamp>2018-10-02T18:32:03Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Xenwolf</username>
        <id>5</id>
      </contributor>
      <comment>per [[Vorlage:Monzo]] vereinfacht</comment>
      <origin>1676</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4008" sha1="qk88j6hyuqbhfio1hmluoal1n53v9jt" xml:space="preserve">Die '''Primfaktorzerlegung''' einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.

==Grundlage==
Alle natürlichen Zahlen (1, 2, 3, ...) lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen (die Eins wird dabei als sog. [http://de.wikipedia.org/wiki/Leeres_Produkt Leeres Produkt] aufgefasst).

&lt;math&gt;36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13&lt;/math&gt;

Für [[Primzahlen|Primzahlen]] selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:

7 = 7

...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln. Neben dem geschickten Ausprobieren, ob die Division durch kleine Primzahlen (2, 3, 5, 7...) ohne Rest aufgeht, gibt es eine Reihe schnellerer Verfahren, jedoch keines, dessen Aufwand nicht doch irgendwie abschreckend wirken würde: der Zeitbedarf für wirklich große Primzahlen wächst bei ihnen allen derart rasant, dass man es ab einer gewissen Größe lieber gar nicht erst versuchen sollte.

Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach.

Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist

&lt;math&gt;256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8&lt;/math&gt;

==Verallgemeinerung==
Bis auf das Vorzeichen lässt sich das Verfahren auf die ganzen Zahlen ungleich 0 ausdehnen.

Auch Brüche (rationale Zahlen) ungleich 0 lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei nun Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise erscheinen die Primfaktoren aus dem Nenner als negative Exponenten

&lt;math&gt;9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3}&lt;/math&gt;

Auch die Primfaktorzerlegung von Brüchen ist eindeutig, wenn die Ordnung der Faktoren festgelegt ist. Üblicherweise beginnt man mit dem kleinsten Primfaktor, der im obigen Beispiel die 2 ist:

&lt;math&gt;3^2 \cdot 2^{-3} = 2^{-3} \cdot 3^2&lt;/math&gt;

==Notations- und Rechenhilfe==
Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).

Die '''[[Monzo-Schreibweise]]''' verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):

{| class="wikitable"
|-
! Name des Intervalls
! Bruch
! Monzo
|-
| Reine Quinte
| 3/2
| {{Monzo| -1 1 }}
|-
| Große Terz
| 5/4
| {{Monzo| -2 0 1 }}
|-
| Große Sexte
| 5/3
| {{Monzo| 0 -1 1 }}
|-
| [[Syntonisches Komma]]
| 81/80
| {{Monzo| -4 4 -1 }}
|-
| [[Pythagoreisches Komma]]
| 531441/524288
| {{Monzo| -19 12 }}
|-
| Prime
| 1
| {{Monzo| 0 }} oder {{Monzo|}}
|}

=Umrechnung von Intervallvektoren in Cents=
Für Intervalle in Monzo-Schreibweise erscheint die Umrechnung in [[Cent|Cent]]s auf eine besondere, elegante Weise.

Die Formel, ein Intervall mit Frequenzverhältnis q in Cents umzurechnen, ist ja bekanntlich 1200 * log&lt;span style="vertical-align: sub;"&gt;2&lt;/span&gt;(q). Für eine Zahl in Primfaktorzerlegung gilt, um auf das obigen Beispiel (9/8) zurückzukommen:

&lt;math&gt;log2(2^{-3} \cdot 3^2) = (-3 \cdot log2(2) + 2 \cdot log2(3)) = \langle log2(2), log2(5) | | -3, 2\rangle&lt;/math&gt;

Dies ist [http://mathworld.wolfram.com/Ket.html Bra-Ket]-Schreibweise. (Der Vektor &amp;lt;log2(2), log2(3), log2(5),...| heisst "Bra").

==Verweise==
&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung Primfaktorzerlegung – Wikipedia]&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512 Prime Factorization of 24512] - www.isprimenumber.com&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php Primfaktorisierung] - primzahlen.zeta24.com&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;  [[Category:Mathematik]]
[[Category:Technik]]
[[Category:Theorie]]</text>
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== Grundlage ==
Alle natürlichen Zahlen (1, 2, 3, ...) lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen (die Eins wird dabei als sog. [http://de.wikipedia.org/wiki/Leeres_Produkt Leeres Produkt] aufgefasst).

&lt;math&gt;36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13&lt;/math&gt;

Für [[Primzahlen|Primzahlen]] selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:

7 = 7

...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln. Neben dem geschickten Ausprobieren, ob die Division durch kleine Primzahlen (2, 3, 5, 7...) ohne Rest aufgeht, gibt es eine Reihe schnellerer Verfahren, jedoch keines, dessen Aufwand nicht doch irgendwie abschreckend wirken würde: der Zeitbedarf für wirklich große Primzahlen wächst bei ihnen allen derart rasant, dass man es ab einer gewissen Größe lieber gar nicht erst versuchen sollte.

Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach.

Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist

&lt;math&gt;256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8&lt;/math&gt;

== Verallgemeinerung ==
Bis auf das Vorzeichen lässt sich das Verfahren auf die ganzen Zahlen ungleich 0 ausdehnen.

Auch Brüche (rationale Zahlen) ungleich 0 lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei nun Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise erscheinen die Primfaktoren aus dem Nenner als negative Exponenten

&lt;math&gt;9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3}&lt;/math&gt;

Auch die Primfaktorzerlegung von Brüchen ist eindeutig, wenn die Ordnung der Faktoren festgelegt ist. Üblicherweise beginnt man mit dem kleinsten Primfaktor, der im obigen Beispiel die 2 ist:

&lt;math&gt;3^2 \cdot 2^{-3} = 2^{-3} \cdot 3^2&lt;/math&gt;

== Notations- und Rechenhilfe ==
Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).

Die '''[[Monzo-Schreibweise]]''' verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):

{| class="wikitable"
|-
! Name des Intervalls
! Bruch
! Monzo
|-
| Reine Quinte
| 3/2
| {{Monzo| -1 1 }}
|-
| Große Terz
| 5/4
| {{Monzo| -2 0 1 }}
|-
| Große Sexte
| 5/3
| {{Monzo| 0 -1 1 }}
|-
| [[Syntonisches Komma]]
| 81/80
| {{Monzo| -4 4 -1 }}
|-
| [[Pythagoreisches Komma]]
| 531441/524288
| {{Monzo| -19 12 }}
|-
| Prime
| 1
| {{Monzo| 0 }} oder {{Monzo|}}
|}

== Umrechnung von Intervallvektoren in Cents ==
Für Intervalle in Monzo-Schreibweise erscheint die Umrechnung in [[Cent|Cent]]s auf eine besondere, elegante Weise.

Die Formel, ein Intervall mit Frequenzverhältnis q in Cents umzurechnen, ist ja bekanntlich 1200 * log&lt;span style="vertical-align: sub;"&gt;2&lt;/span&gt;(q). Für eine Zahl in Primfaktorzerlegung gilt, um auf das obigen Beispiel (9/8) zurückzukommen:

&lt;math&gt;log2(2^{-3} \cdot 3^2) = (-3 \cdot log2(2) + 2 \cdot log2(3)) = \langle log2(2), log2(5) | | -3, 2\rangle&lt;/math&gt;

Dies ist [http://mathworld.wolfram.com/Ket.html Bra-Ket]-Schreibweise. (Der Vektor &amp;lt;log2(2), log2(3), log2(5),...| heisst "Bra").

== Verweise ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung Primfaktorzerlegung – Wikipedia]
* [http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512 Prime Factorization of 24512] - www.isprimenumber.com
* [http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php Primfaktorisierung] - primzahlen.zeta24.com

[[Category:Mathematik]]
[[Category:Technik]]
[[Category:Theorie]]</text>
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      <text bytes="4118" sha1="7sia6i8fzk6v1l9mi3nwswzvvoaog9d" xml:space="preserve">Die '''Primfaktorzerlegung''' einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.

== Grundlage ==
Alle natürlichen Zahlen (1, 2, 3, ...) lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen (die Eins wird dabei als sog. [http://de.wikipedia.org/wiki/Leeres_Produkt Leeres Produkt] aufgefasst).

&lt;math&gt;36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13&lt;/math&gt;

Für [[Primzahlen|Primzahlen]] selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:

7 = 7

...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln. Neben dem geschickten Ausprobieren, ob die Division durch kleine Primzahlen (2, 3, 5, 7...) ohne Rest aufgeht, gibt es eine Reihe schnellerer Verfahren, jedoch keines, dessen Aufwand nicht doch irgendwie abschreckend wirken würde: der Zeitbedarf für wirklich große Primzahlen wächst bei ihnen allen derart rasant, dass man es ab einer gewissen Größe lieber gar nicht erst versuchen sollte.

Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach.

Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist

&lt;math&gt;256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8&lt;/math&gt;

== Verallgemeinerung ==
Bis auf das Vorzeichen lässt sich das Verfahren auf die ganzen Zahlen ungleich 0 ausdehnen.

Auch Brüche (rationale Zahlen) ungleich 0 lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei nun Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise erscheinen die Primfaktoren aus dem Nenner als negative Exponenten

&lt;math&gt;9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3}&lt;/math&gt;

Auch die Primfaktorzerlegung von Brüchen ist eindeutig, wenn die Ordnung der Faktoren festgelegt ist. Üblicherweise beginnt man mit dem kleinsten Primfaktor, der im obigen Beispiel die 2 ist:

&lt;math&gt;3^2 \cdot 2^{-3} = 2^{-3} \cdot 3^2&lt;/math&gt;

Man kann auch noch weiter verallgemeinern und auch als Exponenten Brüche zulassen. Siehe [[Gebrochenzahlige Intervallvektoren]].

== Notations- und Rechenhilfe ==
Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).

Die '''[[Monzo-Schreibweise]]''' verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):

{| class="wikitable"
|-
! Name des Intervalls
! Bruch
! Monzo
|-
| Reine Quinte
| 3/2
| {{Monzo| -1 1 }}
|-
| Große Terz
| 5/4
| {{Monzo| -2 0 1 }}
|-
| Große Sexte
| 5/3
| {{Monzo| 0 -1 1 }}
|-
| [[Syntonisches Komma]]
| 81/80
| {{Monzo| -4 4 -1 }}
|-
| [[Pythagoreisches Komma]]
| 531441/524288
| {{Monzo| -19 12 }}
|-
| Prime
| 1
| {{Monzo| 0 }} oder {{Monzo|}}
|}

== Umrechnung von Intervallvektoren in Cents ==
Für Intervalle in Monzo-Schreibweise erscheint die Umrechnung in [[Cent]]s auf eine besondere, elegante Weise.

Die Formel, ein Intervall mit Frequenzverhältnis q in Cents umzurechnen, ist ja bekanntlich 1200 * log&lt;span style="vertical-align: sub;"&gt;2&lt;/span&gt;(q). Für eine Zahl in Primfaktorzerlegung gilt, um auf das obigen Beispiel (9/8) zurückzukommen:

&lt;math&gt;log2(2^{-3} \cdot 3^2) = (-3 \cdot log2(2) + 2 \cdot log2(3)) = \langle log2(2), log2(5) | | -3, 2\rangle&lt;/math&gt;

Dies ist [http://mathworld.wolfram.com/Ket.html Bra-Ket]-Schreibweise. (Der Vektor &amp;lt;log2(2), log2(3), log2(5),...| heisst "Bra").

== Verweise ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung Primfaktorzerlegung – Wikipedia]
* [http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512 Prime Factorization of 24512] - www.isprimenumber.com
* [http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php Primfaktorisierung] - primzahlen.zeta24.com

[[Category:Mathematik]]
[[Category:Technik]]
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    <title>Primzahl</title>
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      <text bytes="3709" sha1="nwbmahh9zckohugnilwjfqn0i57hvle" xml:space="preserve">'''Primzahlen''' sind natürliche Zahlen, die allein durch 1 und sich selbst ohne Rest teilbar sind. Alle anderen natürlichen Zahlen können als [[Primfaktorzerlegung|Produkt von Primzahlen]] dargestellt werden.

Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der Arithmetik. In der Musik können sie in verschiedener Hinsicht von Bedeutung sein - unter anderem bei musikalischen Intervallen in [[Reine_Stimmungen|reinen Stimmungen]] und, auf ziemlich andere Weise, bei [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]].

=Primzahlen und reine Stimmungen=
[Todo Ausführungen zu rationalen Intervallen/Intervallraum ]

In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassiche Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.

=Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme=
In einer gleichstufigen Stimmung, bei der die Oktave in n gleiche Teile geteilt wird, hat die Primfaktorzerlegung der Zahl n eine Reihe von Konsequenzen für die musikalischen Strukturen des jeweiligen Tonsystems. Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt insbesondere:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;Es gibt keinen Akkord wie den vollkommen gleichförmigen verminderten Septakkord in [[12edo|12edo]], ebenso wenig gibt es so etwas wie eine völlig gleichförmige Skala wie die Ganztonskala in 12edo - abgesehen von der vollen Menge, die sämtliche Töne des EDOs umfasst.&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Es gibt keine [http://de.wikipedia.org/wiki/Modi_mit_begrenzten_Transpositionsm%C3%B6glichkeiten Modi mit begrenzten Transpositionsmöglichkeiten], wie sie der Komponist Olivier Messiaen verwendet hat.&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Ein Prim-EDO kann keine [[Reguläre_Temperaturen|reguläre Temperatur]] unterstützen, deren Periode ein Bruchteil der Oktave ist, wie z.B. [[Pajara|Pajara]].&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Ob das gut ist oder nicht, hängt von den jeweiligen Präferenzen ab. Wenn Mehrdeutigkeit und Unbestimmtheit schon im Tonsystem angelegt sein sollen, für überraschende Modulationen etwa oder für ein schwebendes, impressionistisches Klangbild, sind ggf. eher Nicht-Prim-Systeme von Vorteil. Andererseits kann es z.B. gewünscht sein, eine nicht-gleichförmige Ganztonskala zur Verfügung zu haben. Für diesen Fall wäre dann etwa [[19edo|19edo]] ein Kandidat.

Wenn die Prim- oder Nichtprimheit eines gegebenen gleichstufigen Systems die einzige unerwünschte Eigenschaft ist, besteht manchmal die Möglichkeit, auf ein nah verwandtes System mit einem anderen Periodenintervall zu wechseln. Beispielsweise hat die [[Bernhard_Stopper|Stopper-Stimmung]], bei der die reine Duodezime (3:1) in 19 gleiche Teile geteilt wird, beinahe dieselben Intervalle wie unsere verbreitete zwölfstufige Stimmung, jedoch in einem Primsystem, während etwa [[27edt|27edt]], bei der eine Duodezime in 27 gleiche Teile geteilt wird, ein Nicht-Prim-System mit beinahe identischen Tönen wie [[17edo|17edo]] ist. Überhaupt gibt es ja für jedes Prim-EDO ein Nicht-Prim-System mit identischen Intervallgrössen und einer Doppeloktave (4:1) als Periode.

All diese Dinge sind übrigens nur bei "tiefen" Zahlen von Bedeutung. Je höher die Anzahl Töne und je feiner die Auflösung, desto weniger wird der Unterschied zwischen einer ''komplett'' gleichförmigen und einer nur ''beinahe'' gleichförmigen Skala ins Gewicht fallen und irgendwann völlig unhörbar werden.

==Verweise==
&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]]&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[[Intervallraum|Intervallraum]]&lt;/li&gt;&lt;li&gt;English: [[:en:prime_numbers xenharmonic/prime numbers]]&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl Primzahl – Wikipedia]&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;  [[Category:Begriff]]
[[Category:Mathematik]]</text>
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      <text bytes="10071" sha1="jppk3bbndjf5nyrfiy6bx2z60e8pb46" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-07 07:30:48 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;436909698&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;**Primzahlen** sind natürliche Zahlen, die allein durch 1 und sich selbst ohne Rest teilbar sind. Alle anderen natürlichen Zahlen können als [[Primfaktorzerlegung|Produkt von Primzahlen]] dargestellt werden.

Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der Arithmetik. In der Musik können sie in verschiedener Hinsicht von Bedeutung sein - unter anderem bei musikalischen Intervallen in [[Reine Stimmungen|reinen Stimmungen]] und, auf ziemlich andere Weise, bei [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]].

=Primzahlen und reine Stimmungen= 
[Todo Ausführungen zu rationalen Intervallen/Intervallraum ]
In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassiche Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.

=Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme= 
In einer gleichstufigen Stimmung, bei der die Oktave in n gleiche Teile geteilt wird, hat die Primfaktorzerlegung der Zahl n eine Reihe von Konsequenzen für die musikalischen Strukturen des jeweiligen Tonsystems. Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt insbesondere:
* Es gibt keinen Akkord wie den vollkommen gleichförmigen verminderten Septakkord in [[12edo]], ebenso wenig gibt es so etwas wie eine völlig gleichförmige Skala wie die Ganztonskala in 12edo - abgesehen von der vollen Menge, die sämtliche Töne des EDOs umfasst.
* Es gibt keine [[http://de.wikipedia.org/wiki/Modi_mit_begrenzten_Transpositionsm%C3%B6glichkeiten|Modi mit begrenzten Transpositionsmöglichkeiten]], wie sie der Komponist Olivier Messiaen verwendet hat.
* Ein Prim-EDO kann keine [[Reguläre Temperaturen|reguläre Temperatur]] unterstützen, deren Periode ein Bruchteil der Oktave ist, wie z.B. [[Pajara]].

Ob das gut ist oder nicht, hängt von den jeweiligen Präferenzen ab. Wenn Mehrdeutigkeit und Unbestimmtheit schon im Tonsystem angelegt sein sollen, für überraschende Modulationen etwa oder für ein schwebendes, impressionistisches Klangbild, sind ggf. eher Nicht-Prim-Systeme von Vorteil. Andererseits kann es z.B. gewünscht sein, eine nicht-gleichförmige Ganztonskala zur Verfügung zu haben. Für diesen Fall wäre dann etwa [[19edo]] ein Kandidat.

Wenn die Prim- oder Nichtprimheit eines gegebenen gleichstufigen Systems die einzige unerwünschte Eigenschaft ist, besteht manchmal die Möglichkeit, auf ein nah verwandtes System mit einem anderen Periodenintervall zu wechseln. Beispielsweise hat die [[Bernhard Stopper|Stopper-Stimmung]], bei der die reine Duodezime (3:1) in 19 gleiche Teile geteilt wird, beinahe dieselben Intervalle wie unsere verbreitete zwölfstufige Stimmung, jedoch in einem Primsystem, während etwa [[27edt]], bei der eine Duodezime in 27 gleiche Teile geteilt wird, ein Nicht-Prim-System mit beinahe identischen Tönen wie [[17edo]] ist. Überhaupt gibt es ja für jedes Prim-EDO ein Nicht-Prim-System mit identischen Intervallgrössen und einer Doppeloktave (4:1) als Periode.

All diese Dinge sind übrigens nur bei "tiefen" Zahlen von Bedeutung. Je höher die Anzahl Töne und je feiner die Auflösung, desto weniger wird der Unterschied zwischen einer //komplett// gleichförmigen und einer nur //beinahe// gleichförmigen Skala ins Gewicht fallen und irgendwann völlig unhörbar werden.

==Verweise== 
* [[Primfaktorzerlegung]]
* [[Intervallraum]]
* English: [[xenharmonic/prime numbers]]
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl|Primzahl – Wikipedia]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;strong&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/strong&amp;gt; sind natürliche Zahlen, die allein durch 1 und sich selbst ohne Rest teilbar sind. Alle anderen natürlichen Zahlen können als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Produkt von Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; dargestellt werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der Arithmetik. In der Musik können sie in verschiedener Hinsicht von Bedeutung sein - unter anderem bei musikalischen Intervallen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt; und, auf ziemlich andere Weise, bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen Tonsystemen&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Primzahlen und reine Stimmungen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Primzahlen und reine Stimmungen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 [Todo Ausführungen zu rationalen Intervallen/Intervallraum ]&amp;lt;br /&amp;gt;
In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassiche Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 In einer gleichstufigen Stimmung, bei der die Oktave in n gleiche Teile geteilt wird, hat die Primfaktorzerlegung der Zahl n eine Reihe von Konsequenzen für die musikalischen Strukturen des jeweiligen Tonsystems. Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt insbesondere:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Es gibt keinen Akkord wie den vollkommen gleichförmigen verminderten Septakkord in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, ebenso wenig gibt es so etwas wie eine völlig gleichförmige Skala wie die Ganztonskala in 12edo - abgesehen von der vollen Menge, die sämtliche Töne des EDOs umfasst.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Es gibt keine &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modi_mit_begrenzten_Transpositionsm%C3%B6glichkeiten" rel="nofollow"&amp;gt;Modi mit begrenzten Transpositionsmöglichkeiten&amp;lt;/a&amp;gt;, wie sie der Komponist Olivier Messiaen verwendet hat.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Ein Prim-EDO kann keine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; unterstützen, deren Periode ein Bruchteil der Oktave ist, wie z.B. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Ob das gut ist oder nicht, hängt von den jeweiligen Präferenzen ab. Wenn Mehrdeutigkeit und Unbestimmtheit schon im Tonsystem angelegt sein sollen, für überraschende Modulationen etwa oder für ein schwebendes, impressionistisches Klangbild, sind ggf. eher Nicht-Prim-Systeme von Vorteil. Andererseits kann es z.B. gewünscht sein, eine nicht-gleichförmige Ganztonskala zur Verfügung zu haben. Für diesen Fall wäre dann etwa &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; ein Kandidat.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wenn die Prim- oder Nichtprimheit eines gegebenen gleichstufigen Systems die einzige unerwünschte Eigenschaft ist, besteht manchmal die Möglichkeit, auf ein nah verwandtes System mit einem anderen Periodenintervall zu wechseln. Beispielsweise hat die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bernhard%20Stopper"&amp;gt;Stopper-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;, bei der die reine Duodezime (3:1) in 19 gleiche Teile geteilt wird, beinahe dieselben Intervalle wie unsere verbreitete zwölfstufige Stimmung, jedoch in einem Primsystem, während etwa &amp;lt;a class="wiki_link" href="/27edt"&amp;gt;27edt&amp;lt;/a&amp;gt;, bei der eine Duodezime in 27 gleiche Teile geteilt wird, ein Nicht-Prim-System mit beinahe identischen Tönen wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist. Überhaupt gibt es ja für jedes Prim-EDO ein Nicht-Prim-System mit identischen Intervallgrössen und einer Doppeloktave (4:1) als Periode.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
All diese Dinge sind übrigens nur bei &amp;amp;quot;tiefen&amp;amp;quot; Zahlen von Bedeutung. Je höher die Anzahl Töne und je feiner die Auflösung, desto weniger wird der Unterschied zwischen einer &amp;lt;em&amp;gt;komplett&amp;lt;/em&amp;gt; gleichförmigen und einer nur &amp;lt;em&amp;gt;beinahe&amp;lt;/em&amp;gt; gleichförmigen Skala ins Gewicht fallen und irgendwann völlig unhörbar werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-07 07:29:50 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;436909574&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;**Primzahlen** sind natürliche Zahlen, die allein durch 1 und sich selbst ohne Rest teilbar sind. Alle anderen natürlichen Zahlen können als [[Primfaktorzerlegung|Produkt von Primzahlen]] dargestellt werden.

Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der Arithmetik. In der Musik können sie in verschiedener Hinsicht von Bedeutung sein - unter anderem bei musikalischen Intervallen in [[Reine Stimmungen|reinen Stimmungen]] und, auf ziemlich andere Weise, bei [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]].

=Primzahlen und reine Stimmungen= 
[Todo Ausführungen zu rationalen Intervallen/Intervallraum ]
In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassiche Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.

=Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme= 
In einer gleichstufigen Stimmung, bei der die Oktave in n gleiche Teile geteilt wird, hat die Primfaktorzerlegung der Zahl n eine Reihe von Konsequenzen für die musikalischen Strukturen des jeweiligen Tonsystems. Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt insbesondere:
* Es gibt keinen Akkord wie den vollkommen gleichförmigen verminderten Septakkord in [[12edo]], ebenso wenig gibt es so etwas wie eine völlig gleichförmige Skala wie die Ganztonskala in 12edo - abgesehen von der vollen Menge, die sämtliche Töne des EDOs umfasst.
* Es gibt keine [[http://de.wikipedia.org/wiki/Modi_mit_begrenzten_Transpositionsm%C3%B6glichkeiten|Modi mit begrenzten Transpositionsmöglichkeiten]], wie sie der Komponist Olivier Messiaen verwendet hat.
* Ein Prim-EDO kann keine [[Reguläre Temperaturen|reguläre Temperatur]] unterstützen, deren Periode ein Bruchteil der Oktave ist, wie z.B. [[Pajara]].

Ob das gut ist oder nicht, hängt von den jeweiligen Präferenzen ab. Wenn Mehrdeutigkeit und Unbestimmtheit schon im Tonsystem angelegt sein sollen, für überraschende Modulationen etwa oder für ein schwebendes, impressionistisches Klangbild, sind ggf. eher Nicht-Prim-Systeme von Vorteil. Andererseits kann es z.B. gewünscht sein, eine nicht-gleichförmige Ganztonskala zur Verfügung zu haben. Für diesen Fall wäre dann etwa [[19edo]] ein Kandidat.

Wenn die Prim- oder Nichtprimheit eines gegebenen gleichstufigen Systems die einzige unerwünschte Eigenschaft ist, besteht manchmal die Möglichkeit, auf ein nah verwandtes System mit einem anderen Periodenintervall zu wechseln. Beispielsweise hat die [[Bernhard Stopper|Stopper-Stimmung]], bei der die reine Duodezime (3:1) in 19 gleiche Teile geteilt wird, beinahe dieselben Intervalle wie das verbreitete 12edo, jedoch in einem Primsystem, während etwa [[27edt]], bei der eine Duodezime in 27 gleiche Teile geteilt wird, ein Nicht-Prim-System mit beinahe identischen Tönen wie [[17edo]] ist. Überhaupt gibt es ja für jedes Prim-EDO ein Nicht-Prim-System mit identischen Intervallgrössen und einer Doppeloktave (4:1) als Periode.

All diese Dinge sind übrigens nur bei "tiefen" Zahlen von Bedeutung. Je höher die Anzahl Töne und je feiner die Auflösung, desto weniger wird der Unterschied zwischen einer //komplett// gleichförmigen und einer nur //beinahe// gleichförmigen Skala ins Gewicht fallen und irgendwann völlig unhörbar werden.

==Verweise== 
* [[Primfaktorzerlegung]]
* [[Intervallraum]]
* English: [[xenharmonic/prime numbers]]
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl|Primzahl – Wikipedia]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der Arithmetik. In der Musik können sie in verschiedener Hinsicht von Bedeutung sein - unter anderem bei musikalischen Intervallen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt; und, auf ziemlich andere Weise, bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen Tonsystemen&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 [Todo Ausführungen zu rationalen Intervallen/Intervallraum ]&amp;lt;br /&amp;gt;
In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassiche Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/h1&amp;gt;
 In einer gleichstufigen Stimmung, bei der die Oktave in n gleiche Teile geteilt wird, hat die Primfaktorzerlegung der Zahl n eine Reihe von Konsequenzen für die musikalischen Strukturen des jeweiligen Tonsystems. Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt insbesondere:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Es gibt keinen Akkord wie den vollkommen gleichförmigen verminderten Septakkord in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, ebenso wenig gibt es so etwas wie eine völlig gleichförmige Skala wie die Ganztonskala in 12edo - abgesehen von der vollen Menge, die sämtliche Töne des EDOs umfasst.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Es gibt keine &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modi_mit_begrenzten_Transpositionsm%C3%B6glichkeiten" rel="nofollow"&amp;gt;Modi mit begrenzten Transpositionsmöglichkeiten&amp;lt;/a&amp;gt;, wie sie der Komponist Olivier Messiaen verwendet hat.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Ein Prim-EDO kann keine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; unterstützen, deren Periode ein Bruchteil der Oktave ist, wie z.B. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Ob das gut ist oder nicht, hängt von den jeweiligen Präferenzen ab. Wenn Mehrdeutigkeit und Unbestimmtheit schon im Tonsystem angelegt sein sollen, für überraschende Modulationen etwa oder für ein schwebendes, impressionistisches Klangbild, sind ggf. eher Nicht-Prim-Systeme von Vorteil. Andererseits kann es z.B. gewünscht sein, eine nicht-gleichförmige Ganztonskala zur Verfügung zu haben. Für diesen Fall wäre dann etwa &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; ein Kandidat.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wenn die Prim- oder Nichtprimheit eines gegebenen gleichstufigen Systems die einzige unerwünschte Eigenschaft ist, besteht manchmal die Möglichkeit, auf ein nah verwandtes System mit einem anderen Periodenintervall zu wechseln. Beispielsweise hat die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bernhard%20Stopper"&amp;gt;Stopper-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;, bei der die reine Duodezime (3:1) in 19 gleiche Teile geteilt wird, beinahe dieselben Intervalle wie das verbreitete 12edo, jedoch in einem Primsystem, während etwa &amp;lt;a class="wiki_link" href="/27edt"&amp;gt;27edt&amp;lt;/a&amp;gt;, bei der eine Duodezime in 27 gleiche Teile geteilt wird, ein Nicht-Prim-System mit beinahe identischen Tönen wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist. Überhaupt gibt es ja für jedes Prim-EDO ein Nicht-Prim-System mit identischen Intervallgrössen und einer Doppeloktave (4:1) als Periode.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
All diese Dinge sind übrigens nur bei &amp;amp;quot;tiefen&amp;amp;quot; Zahlen von Bedeutung. Je höher die Anzahl Töne und je feiner die Auflösung, desto weniger wird der Unterschied zwischen einer &amp;lt;em&amp;gt;komplett&amp;lt;/em&amp;gt; gleichförmigen und einer nur &amp;lt;em&amp;gt;beinahe&amp;lt;/em&amp;gt; gleichförmigen Skala ins Gewicht fallen und irgendwann völlig unhörbar werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme-Verweise"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Verweise&amp;lt;/h2&amp;gt;
 &amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/prime%20numbers"&amp;gt;xenharmonic/prime numbers&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl" rel="nofollow"&amp;gt;Primzahl – Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-07 07:29:15 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der Arithmetik. In der Musik können sie in verschiedener Hinsicht von Bedeutung sein - unter anderem bei musikalischen Intervallen in [[Reine Stimmungen|reinen Stimmungen]] und, auf ziemlich andere Weise, bei [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]].

=Primzahlen und reine Stimmungen= 
[Todo]
In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassiche Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.

=Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme= 
In einer gleichstufigen Stimmung, bei der die Oktave in n gleiche Teile geteilt wird, hat die Primfaktorzerlegung der Zahl n eine Reihe von Konsequenzen für die musikalischen Strukturen des jeweiligen Tonsystems. Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt insbesondere:
* Es gibt keinen Akkord wie den vollkommen gleichförmigen verminderten Septakkord in [[12edo]], ebenso wenig gibt es so etwas wie eine völlig gleichförmige Skala wie die Ganztonskala in 12edo - abgesehen von der vollen Menge, die sämtliche Töne des EDOs umfasst.
* Es gibt keine [[http://de.wikipedia.org/wiki/Modi_mit_begrenzten_Transpositionsm%C3%B6glichkeiten|Modi mit begrenzten Transpositionsmöglichkeiten]], wie sie der Komponist Olivier Messiaen verwendet hat.
* Ein Prim-EDO kann keine [[Reguläre Temperaturen|reguläre Temperatur]] unterstützen, deren Periode ein Bruchteil der Oktave ist, wie z.B. [[Pajara]].

Ob das gut ist oder nicht, hängt von den jeweiligen Präferenzen ab. Wenn Mehrdeutigkeit und Unbestimmtheit schon im Tonsystem angelegt sein sollen, für überraschende Modulationen etwa oder für ein schwebendes, impressionistisches Klangbild, sind ggf. eher Nicht-Prim-Systeme von Vorteil. Andererseits kann es z.B. gewünscht sein, eine nicht-gleichförmige Ganztonskala zur Verfügung zu haben. Für diesen Fall wäre dann etwa [[19edo]] ein Kandidat.

Wenn die Prim- oder Nichtprimheit eines gegebenen gleichstufigen Systems die einzige unerwünschte Eigenschaft ist, besteht manchmal die Möglichkeit, auf ein nah verwandtes System mit einem anderen Periodenintervall zu wechseln. Beispielsweise hat die [[Bernhard Stopper|Stopper-Stimmung]], bei der die reine Duodezime (3:1) in 19 gleiche Teile geteilt wird, beinahe dieselben Intervalle wie das verbreitete 12edo, jedoch in einem Primsystem, während etwa [[27edt]], bei der eine Duodezime in 27 gleiche Teile geteilt wird, ein Nicht-Prim-System mit beinahe identischen Tönen wie [[17edo]] ist. Überhaupt gibt es ja für jedes Prim-EDO ein Nicht-Prim-System mit identischen Intervallgrössen und einer Doppeloktave (4:1) als Periode.

All diese Dinge sind übrigens nur bei "tiefen" Zahlen von Bedeutung. Je höher die Anzahl Töne und je feiner die Auflösung, desto weniger wird der Unterschied zwischen einer //komplett// gleichförmigen und einer nur //beinahe// gleichförmigen Skala ins Gewicht fallen und irgendwann völlig unhörbar werden.

==Verweise== 
* [[Primfaktorzerlegung]]
* [[Intervallraum]]
* English: [[xenharmonic/prime numbers]]
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl|Primzahl – Wikipedia]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der Arithmetik. In der Musik können sie in verschiedener Hinsicht von Bedeutung sein - unter anderem bei musikalischen Intervallen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt; und, auf ziemlich andere Weise, bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen Tonsystemen&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 [Todo]&amp;lt;br /&amp;gt;
In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassiche Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/h1&amp;gt;
 In einer gleichstufigen Stimmung, bei der die Oktave in n gleiche Teile geteilt wird, hat die Primfaktorzerlegung der Zahl n eine Reihe von Konsequenzen für die musikalischen Strukturen des jeweiligen Tonsystems. Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt insbesondere:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Es gibt keinen Akkord wie den vollkommen gleichförmigen verminderten Septakkord in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, ebenso wenig gibt es so etwas wie eine völlig gleichförmige Skala wie die Ganztonskala in 12edo - abgesehen von der vollen Menge, die sämtliche Töne des EDOs umfasst.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Es gibt keine &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modi_mit_begrenzten_Transpositionsm%C3%B6glichkeiten" rel="nofollow"&amp;gt;Modi mit begrenzten Transpositionsmöglichkeiten&amp;lt;/a&amp;gt;, wie sie der Komponist Olivier Messiaen verwendet hat.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Ein Prim-EDO kann keine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; unterstützen, deren Periode ein Bruchteil der Oktave ist, wie z.B. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Ob das gut ist oder nicht, hängt von den jeweiligen Präferenzen ab. Wenn Mehrdeutigkeit und Unbestimmtheit schon im Tonsystem angelegt sein sollen, für überraschende Modulationen etwa oder für ein schwebendes, impressionistisches Klangbild, sind ggf. eher Nicht-Prim-Systeme von Vorteil. Andererseits kann es z.B. gewünscht sein, eine nicht-gleichförmige Ganztonskala zur Verfügung zu haben. Für diesen Fall wäre dann etwa &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; ein Kandidat.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wenn die Prim- oder Nichtprimheit eines gegebenen gleichstufigen Systems die einzige unerwünschte Eigenschaft ist, besteht manchmal die Möglichkeit, auf ein nah verwandtes System mit einem anderen Periodenintervall zu wechseln. Beispielsweise hat die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bernhard%20Stopper"&amp;gt;Stopper-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;, bei der die reine Duodezime (3:1) in 19 gleiche Teile geteilt wird, beinahe dieselben Intervalle wie das verbreitete 12edo, jedoch in einem Primsystem, während etwa &amp;lt;a class="wiki_link" href="/27edt"&amp;gt;27edt&amp;lt;/a&amp;gt;, bei der eine Duodezime in 27 gleiche Teile geteilt wird, ein Nicht-Prim-System mit beinahe identischen Tönen wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist. Überhaupt gibt es ja für jedes Prim-EDO ein Nicht-Prim-System mit identischen Intervallgrössen und einer Doppeloktave (4:1) als Periode.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
All diese Dinge sind übrigens nur bei &amp;amp;quot;tiefen&amp;amp;quot; Zahlen von Bedeutung. Je höher die Anzahl Töne und je feiner die Auflösung, desto weniger wird der Unterschied zwischen einer &amp;lt;em&amp;gt;komplett&amp;lt;/em&amp;gt; gleichförmigen und einer nur &amp;lt;em&amp;gt;beinahe&amp;lt;/em&amp;gt; gleichförmigen Skala ins Gewicht fallen und irgendwann völlig unhörbar werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme-Verweise"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Verweise&amp;lt;/h2&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-07 07:05:33 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;436907224&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;**Primzahlen** sind natürliche Zahlen, die allein durch 1 und sich selbst ohne Rest teilbar sind. Alle anderen natürlichen Zahlen können als [[Primfaktorzerlegung|Produkt von Primzahlen]] dargestellt werden.

Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der Arithmetik. In der Musik können sie in verschiedener Hinsicht von Bedeutung sein - unter anderem bei musikalischen Intervallen in [[Reine Stimmungen|reinen Stimmungen]] und, auf ziemlich andere Weise, bei [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]].

=Primzahlen und reine Stimmungen= 
XXX
In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassiche Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.

=Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme= 
In einer gleichstufigen Stimmung, bei der die Oktave in n gleiche Teile geteilt wird, hat die Primfaktorzerlegung der Zahl n eine Reihe von Konsequenzen für die musikalischen Strukturen des jeweiligen Tonsystems. Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt insbesondere:
* Es gibt keinen Akkord wie den vollkommen gleichförmigen verminderten Septakkord in [[12edo]], ebenso wenig gibt es so etwas wie eine völlig gleichförmige Skala wie die Ganztonskala in 12edo - abgesehen von der vollen Menge, die sämtliche Töne des EDOs umfasst.
* Es gibt keine [[http://de.wikipedia.org/wiki/Modi_mit_begrenzten_Transpositionsm%C3%B6glichkeiten|Modi mit begrenzten Transpositionsmöglichkeiten]], wie sie der Komponist Olivier Messiaen verwendet hat.
* Ein Prim-EDO kann keine [[Reguläre Temperaturen|reguläre Temperatur]] unterstützen, deren Periode ein Bruchteil der Oktave ist, wie z.B. [[Pajara]].

Ob das gut ist oder nicht, hängt von den jeweiligen Präferenzen ab. Wenn Mehrdeutigkeit und Unbestimmtheit schon im Tonsystem angelegt sein sollen, für überraschende Modulationen etwa oder für ein schwebendes, impressionistisches Klangbild, sind ggf. eher Nicht-Prim-Systeme von Vorteil. Andererseits kann es z.B. gewünscht sein, eine nicht-gleichförmige Ganztonskala zur Verfügung zu haben. Für diesen Fall wäre dann etwa [[19edo]] ein Kandidat.

Wenn die Prim- oder Nichtprimheit eines gegebenen gleichstufigen Systems die einzige unerwünschte Eigenschaft ist, besteht manchmal die Möglichkeit, auf ein nah verwandtes System mit einem anderen Periodenintervall zu wechseln. Beispielsweise hat die [[Bernhard Stopper|Stopper-Stimmung]], bei der die reine Duodezime (3:1) in 19 gleiche Teile geteilt wird, beinahe dieselben Intervalle wie das verbreitete 12edo, jedoch in einem Primsystem, während etwa [[27edt]], bei der eine Duodezime in 27 gleiche Teile geteilt wird, ein Nicht-Prim-System mit beinahe identischen Tönen wie [[17edo]] ist. Überhaupt gibt es ja für jedes Prim-EDO ein Nicht-Prim-System mit identischen Intervallgrössen und einer Doppeloktave (4:1) als Periode.

All diese Dinge sind übrigens nur bei "tiefen" Zahlen von Bedeutung. Je höher die Anzahl Töne und je feiner die Auflösung, desto weniger wird der Unterschied zwischen einer //komplett// gleichförmigen und einer nur //beinahe// gleichförmigen Skala ins Gewicht fallen und irgendwann völlig unhörbar werden.

==Verweise== 
* [[Primfaktorzerlegung]]
* [[Intervallraum]]
* English: [[xenharmonic/prime numbers]]
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl|Primzahl – Wikipedia]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der Arithmetik. In der Musik können sie in verschiedener Hinsicht von Bedeutung sein - unter anderem bei musikalischen Intervallen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt; und, auf ziemlich andere Weise, bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen Tonsystemen&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 XXX&amp;lt;br /&amp;gt;
In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassiche Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 In einer gleichstufigen Stimmung, bei der die Oktave in n gleiche Teile geteilt wird, hat die Primfaktorzerlegung der Zahl n eine Reihe von Konsequenzen für die musikalischen Strukturen des jeweiligen Tonsystems. Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt insbesondere:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Es gibt keinen Akkord wie den vollkommen gleichförmigen verminderten Septakkord in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, ebenso wenig gibt es so etwas wie eine völlig gleichförmige Skala wie die Ganztonskala in 12edo - abgesehen von der vollen Menge, die sämtliche Töne des EDOs umfasst.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Es gibt keine &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modi_mit_begrenzten_Transpositionsm%C3%B6glichkeiten" rel="nofollow"&amp;gt;Modi mit begrenzten Transpositionsmöglichkeiten&amp;lt;/a&amp;gt;, wie sie der Komponist Olivier Messiaen verwendet hat.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Ein Prim-EDO kann keine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; unterstützen, deren Periode ein Bruchteil der Oktave ist, wie z.B. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Ob das gut ist oder nicht, hängt von den jeweiligen Präferenzen ab. Wenn Mehrdeutigkeit und Unbestimmtheit schon im Tonsystem angelegt sein sollen, für überraschende Modulationen etwa oder für ein schwebendes, impressionistisches Klangbild, sind ggf. eher Nicht-Prim-Systeme von Vorteil. Andererseits kann es z.B. gewünscht sein, eine nicht-gleichförmige Ganztonskala zur Verfügung zu haben. Für diesen Fall wäre dann etwa &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; ein Kandidat.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wenn die Prim- oder Nichtprimheit eines gegebenen gleichstufigen Systems die einzige unerwünschte Eigenschaft ist, besteht manchmal die Möglichkeit, auf ein nah verwandtes System mit einem anderen Periodenintervall zu wechseln. Beispielsweise hat die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bernhard%20Stopper"&amp;gt;Stopper-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;, bei der die reine Duodezime (3:1) in 19 gleiche Teile geteilt wird, beinahe dieselben Intervalle wie das verbreitete 12edo, jedoch in einem Primsystem, während etwa &amp;lt;a class="wiki_link" href="/27edt"&amp;gt;27edt&amp;lt;/a&amp;gt;, bei der eine Duodezime in 27 gleiche Teile geteilt wird, ein Nicht-Prim-System mit beinahe identischen Tönen wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist. Überhaupt gibt es ja für jedes Prim-EDO ein Nicht-Prim-System mit identischen Intervallgrössen und einer Doppeloktave (4:1) als Periode.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
All diese Dinge sind übrigens nur bei &amp;amp;quot;tiefen&amp;amp;quot; Zahlen von Bedeutung. Je höher die Anzahl Töne und je feiner die Auflösung, desto weniger wird der Unterschied zwischen einer &amp;lt;em&amp;gt;komplett&amp;lt;/em&amp;gt; gleichförmigen und einer nur &amp;lt;em&amp;gt;beinahe&amp;lt;/em&amp;gt; gleichförmigen Skala ins Gewicht fallen und irgendwann völlig unhörbar werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 &amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/prime%20numbers"&amp;gt;xenharmonic/prime numbers&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl" rel="nofollow"&amp;gt;Primzahl – Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der Arithmetik. In der Musik können sie in verschiedener Hinsicht von Bedeutung sein - unter anderem bei musikalischen Intervallen in [[Reine Stimmungen|reinen Stimmungen]] und, auf ziemlich andere Weise, bei [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]].

=Primzahlen und reine Stimmungen= 
XXX
In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassiche Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.

=Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme= 
In einer gleichstufigen Stimmung, bei der die Oktave in n gleiche Teile geteilt wird, hat die Primfaktorzerlegung der Zahl n eine Reihe von Konsequenzen für die musikalischen Strukturen des jeweiligen Tonsystems. Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt insbesondere:
* Es gibt keinen Akkord wie den vollkommen gleichförmigen verminderten Septakkord in [[12edo]], ebenso wenig gibt es so etwas wie eine völlig gleichförmige Skala wie die Ganztonskala in 12edo - abgesehen von der vollen Menge, die sämtliche Töne des EDOs umfasst.
* Es gibt keine [[http://de.wikipedia.org/wiki/Modi_mit_begrenzten_Transpositionsm%C3%B6glichkeiten|Modi mit begrenzten Transpositionsmöglichkeiten]], wie sie der Komponist Olivier Messiaen verwendet hat.
* Ein Prim-EDO kann keine [[Reguläre Temperaturen|reguläre Temperatur]] unterstützen, deren Periode ein Bruchteil der Oktave ist, wie z.B. [[Pajara]].

Ob das gut ist oder nicht, hängt von den jeweiligen Präferenzen ab. Wenn Mehrdeutigkeit und Unbestimmtheit schon im Tonsystem angelegt sein sollen, für überraschende Modulationen etwa oder für ein schwebendes, impressionistisches Klangbild, sind ggf. eher Nicht-Prim-Systeme von Vorteil. Andererseits kann es z.B. gewünscht sein, eine nicht-gleichförmige Ganztonskala zur Verfügung zu haben. Für diesen Fall wäre dann etwa [[19edo]] ein Kandidat.

Wenn die Prim- oder Nichtprimheit eines gegebenen gleichstufigen Systems die einzige unerwünschte Eigenschaft ist, besteht manchmal die Möglichkeit, auf ein nah verwandtes System mit einem anderen Periodenintervall zu wechseln. Beispielsweise hat die [[Bernhard Stopper|Stopper-Stimmung]], bei der die reine Duodezime (3:1) in 19 gleiche Teile geteilt wird, beinahe dieselben Intervalle wie das verbreitete 12edo, jedoch in einem Primsystem, während etwa [[27edt]], bei der eine Duodezime in 27 gleiche Teile geteilt wird, ein Nicht-Prim-System mit beinahe identischen Tönen wie [[17edo]] ist. Überhaupt gibt es ja für jedes Prim-EDO ein Nicht-Prim-System mit identischen Intervallgrössen und einer Doppeloktave (4:1) als Periode.

All diese Dinge sind übrigens nur bei "tiefen" Zahlen von Bedeutung. Je höher die Anzahl Töne und je feiner die Auflösung, desto weniger wird der Unterschied zwischen einer //komplett// gleichförmigen und einer nur //beinahe// gleichförmigen Skala ins Gewicht fallen und irgendwann völig unhörbar werden.

==Verweise== 
* [[Primfaktorzerlegung]]
* [[Intervallraum]]
* English: [[xenharmonic/prime numbers]]
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl|Primzahl – Wikipedia]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der Arithmetik. In der Musik können sie in verschiedener Hinsicht von Bedeutung sein - unter anderem bei musikalischen Intervallen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt; und, auf ziemlich andere Weise, bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen Tonsystemen&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 XXX&amp;lt;br /&amp;gt;
In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassiche Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/h1&amp;gt;
 In einer gleichstufigen Stimmung, bei der die Oktave in n gleiche Teile geteilt wird, hat die Primfaktorzerlegung der Zahl n eine Reihe von Konsequenzen für die musikalischen Strukturen des jeweiligen Tonsystems. Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt insbesondere:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Es gibt keinen Akkord wie den vollkommen gleichförmigen verminderten Septakkord in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, ebenso wenig gibt es so etwas wie eine völlig gleichförmige Skala wie die Ganztonskala in 12edo - abgesehen von der vollen Menge, die sämtliche Töne des EDOs umfasst.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Es gibt keine &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modi_mit_begrenzten_Transpositionsm%C3%B6glichkeiten" rel="nofollow"&amp;gt;Modi mit begrenzten Transpositionsmöglichkeiten&amp;lt;/a&amp;gt;, wie sie der Komponist Olivier Messiaen verwendet hat.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Ein Prim-EDO kann keine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; unterstützen, deren Periode ein Bruchteil der Oktave ist, wie z.B. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Ob das gut ist oder nicht, hängt von den jeweiligen Präferenzen ab. Wenn Mehrdeutigkeit und Unbestimmtheit schon im Tonsystem angelegt sein sollen, für überraschende Modulationen etwa oder für ein schwebendes, impressionistisches Klangbild, sind ggf. eher Nicht-Prim-Systeme von Vorteil. Andererseits kann es z.B. gewünscht sein, eine nicht-gleichförmige Ganztonskala zur Verfügung zu haben. Für diesen Fall wäre dann etwa &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; ein Kandidat.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wenn die Prim- oder Nichtprimheit eines gegebenen gleichstufigen Systems die einzige unerwünschte Eigenschaft ist, besteht manchmal die Möglichkeit, auf ein nah verwandtes System mit einem anderen Periodenintervall zu wechseln. Beispielsweise hat die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bernhard%20Stopper"&amp;gt;Stopper-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;, bei der die reine Duodezime (3:1) in 19 gleiche Teile geteilt wird, beinahe dieselben Intervalle wie das verbreitete 12edo, jedoch in einem Primsystem, während etwa &amp;lt;a class="wiki_link" href="/27edt"&amp;gt;27edt&amp;lt;/a&amp;gt;, bei der eine Duodezime in 27 gleiche Teile geteilt wird, ein Nicht-Prim-System mit beinahe identischen Tönen wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist. Überhaupt gibt es ja für jedes Prim-EDO ein Nicht-Prim-System mit identischen Intervallgrössen und einer Doppeloktave (4:1) als Periode.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
All diese Dinge sind übrigens nur bei &amp;amp;quot;tiefen&amp;amp;quot; Zahlen von Bedeutung. Je höher die Anzahl Töne und je feiner die Auflösung, desto weniger wird der Unterschied zwischen einer &amp;lt;em&amp;gt;komplett&amp;lt;/em&amp;gt; gleichförmigen und einer nur &amp;lt;em&amp;gt;beinahe&amp;lt;/em&amp;gt; gleichförmigen Skala ins Gewicht fallen und irgendwann völig unhörbar werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme-Verweise"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Verweise&amp;lt;/h2&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-07 07:02:37 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;436906982&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;**Primzahlen** sind natürliche Zahlen, die allein durch 1 und sich selbst ohne Rest teilbar sind. Alle anderen natürlichen Zahlen können als [[Primfaktorzerlegung|Produkt von Primzahlen]] dargestellt werden.

Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der Arithmetik. In der Musik können sie in verschiedener Hinsicht von Bedeutung sein - unter anderem bei musikalischen Intervallen in [[Reine Stimmungen|reinen Stimmungen]] und, auf ziemlich andere Weise, bei [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]].

=Primzahlen und reine Stimmungen= 
XXX
In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassiche Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.

=Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme= 
In einer gleichstufigen Stimmung, bei der die Oktave in n gleiche Teile geteilt wird, hat die Primfaktorzerlegung der Zahl n eine Reihe von Konsequenzen für die musikalischen Strukturen des jeweiligen Tonsystems. Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt insbesondere:
* Es gibt keinen Akkord wie den vollkommen gleichförmigen verminderten Septakkord in [[12edo]], ebenso wenig gibt es so etwas wie eine völlig gleichförmige Skala wie die Ganztonskala in 12edo - abgesehen von der vollen Menge, die sämtliche Töne des EDOs umfasst.
* Es gibt keine [[http://de.wikipedia.org/wiki/Modi_mit_begrenzten_Transpositionsm%C3%B6glichkeiten|Modi mit begrenzten Transpositionsmöglichkeiten]], wie sie der Komponist Olivier Messiaen verwendet hat.
* Ein Prim-EDO kann keine [[Reguläre Temperaturen|reguläre Temperatur]] unterstützen, deren Periode ein Bruchteil der Oktave ist, wie z.B. [[Pajara]].

Ob das gut ist oder nicht, hängt von den jeweiligen Präferenzen ab. Wenn Mehrdeutigkeit und Unbestimmtheit schon im Tonsystem angelegt sein sollen, für überraschende Modulationen etwa oder für ein schwebendes, impressionistisches Klangbild, sind ggf. eher Nicht-Prim-Systeme von Vorteil. Andererseits kann es z.B. gewünscht sein, eine nicht-gleichförmige Ganztonskala zur Verfügung zu haben. Für diesen Fall wäre dann etwa [[19edo]] ein Kandidat.

Wenn die Prim- oder Nichtprimheit eines gegebenen gleichstufigen Systems die einzige unerwünschte Eigenschaft ist, besteht manchmal die Möglichkeit, auf ein nah verwandtes System mit einem anderen Periodenintervall zu wechseln. Beispielsweise hat die [[Bernhard Stopper|Stopper-Stimmung]], bei der die reine Duodezime (3:1) in 19 gleiche Teile geteilt wird, beinahe dieselben Intervalle wie das verbreitete 12edo, jedoch in einem Primsystem, während etwa [[27edt]], bei der eine Duodezime in 27 gleiche Teile geteilt wird, ein Nicht-Prim-System mit beinahe identischen Tönen wie [[17edo]] ist. Ünerhaupt gibt es ja für jedes Prim-EDO ein Nicht-Prim-System mit identischen Intervallgrössen und einer Doppeloktave (4:1) als Periode.

All diese Dinge sind übrigens nur bei "tiefen" Zahlen von Bedeutung. Je höher die Anzahl Töne und je feiner die Auflösung, desto weniger wird der Unterschied zwischen einer //komplett// gleichförmigen und einer nur //beinahe// gleichförmigen Skala ins Gewicht fallen und irgendwann völig unhörbar werden.

==Verweise== 
* [[Primfaktorzerlegung]]
* [[Intervallraum]]
* English: [[xenharmonic/prime numbers]]
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl|Primzahl – Wikipedia]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;strong&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/strong&amp;gt; sind natürliche Zahlen, die allein durch 1 und sich selbst ohne Rest teilbar sind. Alle anderen natürlichen Zahlen können als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Produkt von Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; dargestellt werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der Arithmetik. In der Musik können sie in verschiedener Hinsicht von Bedeutung sein - unter anderem bei musikalischen Intervallen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt; und, auf ziemlich andere Weise, bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen Tonsystemen&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 XXX&amp;lt;br /&amp;gt;
In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassiche Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 In einer gleichstufigen Stimmung, bei der die Oktave in n gleiche Teile geteilt wird, hat die Primfaktorzerlegung der Zahl n eine Reihe von Konsequenzen für die musikalischen Strukturen des jeweiligen Tonsystems. Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt insbesondere:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Es gibt keinen Akkord wie den vollkommen gleichförmigen verminderten Septakkord in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, ebenso wenig gibt es so etwas wie eine völlig gleichförmige Skala wie die Ganztonskala in 12edo - abgesehen von der vollen Menge, die sämtliche Töne des EDOs umfasst.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Es gibt keine &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modi_mit_begrenzten_Transpositionsm%C3%B6glichkeiten" rel="nofollow"&amp;gt;Modi mit begrenzten Transpositionsmöglichkeiten&amp;lt;/a&amp;gt;, wie sie der Komponist Olivier Messiaen verwendet hat.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Ein Prim-EDO kann keine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; unterstützen, deren Periode ein Bruchteil der Oktave ist, wie z.B. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Ob das gut ist oder nicht, hängt von den jeweiligen Präferenzen ab. Wenn Mehrdeutigkeit und Unbestimmtheit schon im Tonsystem angelegt sein sollen, für überraschende Modulationen etwa oder für ein schwebendes, impressionistisches Klangbild, sind ggf. eher Nicht-Prim-Systeme von Vorteil. Andererseits kann es z.B. gewünscht sein, eine nicht-gleichförmige Ganztonskala zur Verfügung zu haben. Für diesen Fall wäre dann etwa &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; ein Kandidat.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wenn die Prim- oder Nichtprimheit eines gegebenen gleichstufigen Systems die einzige unerwünschte Eigenschaft ist, besteht manchmal die Möglichkeit, auf ein nah verwandtes System mit einem anderen Periodenintervall zu wechseln. Beispielsweise hat die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bernhard%20Stopper"&amp;gt;Stopper-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;, bei der die reine Duodezime (3:1) in 19 gleiche Teile geteilt wird, beinahe dieselben Intervalle wie das verbreitete 12edo, jedoch in einem Primsystem, während etwa &amp;lt;a class="wiki_link" href="/27edt"&amp;gt;27edt&amp;lt;/a&amp;gt;, bei der eine Duodezime in 27 gleiche Teile geteilt wird, ein Nicht-Prim-System mit beinahe identischen Tönen wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist. Ünerhaupt gibt es ja für jedes Prim-EDO ein Nicht-Prim-System mit identischen Intervallgrössen und einer Doppeloktave (4:1) als Periode.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
All diese Dinge sind übrigens nur bei &amp;amp;quot;tiefen&amp;amp;quot; Zahlen von Bedeutung. Je höher die Anzahl Töne und je feiner die Auflösung, desto weniger wird der Unterschied zwischen einer &amp;lt;em&amp;gt;komplett&amp;lt;/em&amp;gt; gleichförmigen und einer nur &amp;lt;em&amp;gt;beinahe&amp;lt;/em&amp;gt; gleichförmigen Skala ins Gewicht fallen und irgendwann völig unhörbar werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 &amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/prime%20numbers"&amp;gt;xenharmonic/prime numbers&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl" rel="nofollow"&amp;gt;Primzahl – Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der Arithmetik. In der Musik können sie in verschiedener Hinsicht von Bedeutung sein - unter anderem bei musikalischen Intervallen in [[Reine Stimmungen|reinen Stimmungen]] und, auf ziemlich andere Weise, bei [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]].

=Primzahlen und reine Stimmungen= 
XXX
In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassiche Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.

=Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme= 
In einer gleichstufigen Stimmung, bei der die Oktave in n gleiche Teile geteilt wird, hat die Primfaktorzerlegung der Zahl n eine Reihe von Konsequenzen für die musikalischen Strukturen des jeweiligen Tonsystems. Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt insbesondere:
* Es gibt keinen Akkord wie den vollkommen gleichförmigen verminderten Septakkord in [[12edo]], ebenso wenig gibt es so etwas wie eine völlig gleichförmige Skala wie die Ganztonskala in 12edo - abgesehen von der vollen Menge, die sämtliche Töne des EDOs umfasst.
* Es gibt keine [[http://de.wikipedia.org/wiki/Modi_mit_begrenzten_Transpositionsm%C3%B6glichkeiten|Modi mit begrenzten Transpositionsmöglichkeiten]], wie sie der Komponist Olivier Messiaen verwendet hat.
* Ein Prim-EDO kann keine [[Reguläre Temperaturen|reguläre Temperatur]] unterstützen, deren Periode ein Bruchteil der Oktave ist, wie z.B. [[Pajara]].

Ob das gut ist oder nicht, hängt von den jeweiligen Präferenzen ab. Wenn Mehrdeutigkeit und Unbestimmtheit schon im Tonsystem angelegt sein sollen, für überraschende Modulationen etwa oder für ein schwebendes, impressionistisches Klangbild, sind ggf. eher Nicht-Prim-Systeme von Vorteil. Andererseits kann es z.B. gewünscht sein, eine nicht-gleichförmige Ganztonskala zur Verfügung zu haben. Für diesen Fall wäre dann etwa [[19edo]] ein Kandidat.

Wenn die Prim- oder Nichtprimheit eines gegebenen gleichstufigen Systems die einzige unerwünschte Eigenschaft ist, besteht manchmal die Möglichkeit, auf ein nah veradntes System mit einem anderen Periodenintervall zu wechseln. Beispielsweise hat die [[Bernhard Stopper|Stopper-Stimmung]], bei der die reine Duodezime (3:1) in 19 gleiche Teile geteilt wird, beinahe dieselben Intervalle wie das verbreitete 12edo, jedoch in einem Primsystem, während etwa [[27edt]], bei der eine Duodezime in 27 gleiche Teile geteilt wird, ein Nicht-Prim-System mit beinahe identischen Tönen wie [[17edo]] ist.

XXX

==Verweise== 
* [[Primfaktorzerlegung]]
* [[Intervallraum]]
* English: [[xenharmonic/prime numbers]]
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl|Primzahl – Wikipedia]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der Arithmetik. In der Musik können sie in verschiedener Hinsicht von Bedeutung sein - unter anderem bei musikalischen Intervallen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt; und, auf ziemlich andere Weise, bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen Tonsystemen&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Primzahlen und reine Stimmungen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Primzahlen und reine Stimmungen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 XXX&amp;lt;br /&amp;gt;
In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassiche Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/h1&amp;gt;
 In einer gleichstufigen Stimmung, bei der die Oktave in n gleiche Teile geteilt wird, hat die Primfaktorzerlegung der Zahl n eine Reihe von Konsequenzen für die musikalischen Strukturen des jeweiligen Tonsystems. Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt insbesondere:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Es gibt keinen Akkord wie den vollkommen gleichförmigen verminderten Septakkord in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, ebenso wenig gibt es so etwas wie eine völlig gleichförmige Skala wie die Ganztonskala in 12edo - abgesehen von der vollen Menge, die sämtliche Töne des EDOs umfasst.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Es gibt keine &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modi_mit_begrenzten_Transpositionsm%C3%B6glichkeiten" rel="nofollow"&amp;gt;Modi mit begrenzten Transpositionsmöglichkeiten&amp;lt;/a&amp;gt;, wie sie der Komponist Olivier Messiaen verwendet hat.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Ein Prim-EDO kann keine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; unterstützen, deren Periode ein Bruchteil der Oktave ist, wie z.B. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Ob das gut ist oder nicht, hängt von den jeweiligen Präferenzen ab. Wenn Mehrdeutigkeit und Unbestimmtheit schon im Tonsystem angelegt sein sollen, für überraschende Modulationen etwa oder für ein schwebendes, impressionistisches Klangbild, sind ggf. eher Nicht-Prim-Systeme von Vorteil. Andererseits kann es z.B. gewünscht sein, eine nicht-gleichförmige Ganztonskala zur Verfügung zu haben. Für diesen Fall wäre dann etwa &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; ein Kandidat.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wenn die Prim- oder Nichtprimheit eines gegebenen gleichstufigen Systems die einzige unerwünschte Eigenschaft ist, besteht manchmal die Möglichkeit, auf ein nah veradntes System mit einem anderen Periodenintervall zu wechseln. Beispielsweise hat die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Bernhard%20Stopper"&amp;gt;Stopper-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;, bei der die reine Duodezime (3:1) in 19 gleiche Teile geteilt wird, beinahe dieselben Intervalle wie das verbreitete 12edo, jedoch in einem Primsystem, während etwa &amp;lt;a class="wiki_link" href="/27edt"&amp;gt;27edt&amp;lt;/a&amp;gt;, bei der eine Duodezime in 27 gleiche Teile geteilt wird, ein Nicht-Prim-System mit beinahe identischen Tönen wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt; ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme-Verweise"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Verweise&amp;lt;/h2&amp;gt;
 &amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/prime%20numbers"&amp;gt;xenharmonic/prime numbers&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl" rel="nofollow"&amp;gt;Primzahl – Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-07 06:52:10 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;**Primzahlen** sind natürliche Zahlen, die allein durch 1 und sich selbst ohne Rest teilbar sind. Alle anderen natürlichen Zahlen können als [[Primfaktorzerlegung|Produkt von Primzahlen]] dargestellt werden.

Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der Arithmetik. In der Musik können sie in verschiedener Hinsicht von Bedeutung sein - unter anderem bei musikalischen Intervallen in [[Reine Stimmungen|reinen Stimmungen]] und, auf ziemlich andere Weise, bei [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]].

=Primzahlen und reine Stimmungen= 
XXX
In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassiche Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.

=Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme= 
In einer gleichstufigen Stimmung, bei der die Oktave in n gleiche Teile geteilt wird, hat die Primfaktorzerlegung der Zahl n eine Reihe von Konsequenzen für die musikalischen Strukturen des jeweiligen Tonsystems. Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt insbesondere:
* Es gibt keinen Akkord wie den vollkommen gleichförmigen verminderten Septakkord in [[12edo]], ebenso wenig gibt es so etwas wie eine völlig gleichförmige Skala wie die Ganztonskala in 12edo - abgesehen von der vollen Menge, die sämtliche Töne des EDOs umfasst.
* Es gibt keine [[http://de.wikipedia.org/wiki/Modi_mit_begrenzten_Transpositionsm%C3%B6glichkeiten|Modi mit begrenzten Transpositionsmöglichkeiten]], wie sie der Komponist Olivier Messiaen verwendet hat.
* Ein Prim-EDO kann keine [[Reguläre Temperaturen|reguläre Temperatur]] unterstützen, deren Periode ein Bruchteil der Oktave ist, wie z.B. [[Pajara]].

Ob das gut ist oder nicht, hängt von den jeweiligen Präferenzen ab. Wenn Mehrdeutigkeit und Unbestimmtheit schon im Tonsystem angelegt sein sollen, für überraschende Modulationen etwa oder für ein schwebendes, impressionistisches Klangbild, sind ggf. eher Nicht-Prim-Systeme von Vorteil. Andererseits kann es z.B. gewünscht sein, eine nicht-gleichförmige Ganztonskala zur Verfügung zu haben. Für diesen Fall wäre dann etwa [[19edo]] ein Kandidat.
XXX

==Verweise== 
* [[Primfaktorzerlegung]]
* [[Intervallraum]]
* English: [[xenharmonic/prime numbers]]
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl|Primzahl – Wikipedia]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der Arithmetik. In der Musik können sie in verschiedener Hinsicht von Bedeutung sein - unter anderem bei musikalischen Intervallen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt; und, auf ziemlich andere Weise, bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen Tonsystemen&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassiche Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 In einer gleichstufigen Stimmung, bei der die Oktave in n gleiche Teile geteilt wird, hat die Primfaktorzerlegung der Zahl n eine Reihe von Konsequenzen für die musikalischen Strukturen des jeweiligen Tonsystems. Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt insbesondere:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Es gibt keinen Akkord wie den vollkommen gleichförmigen verminderten Septakkord in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, ebenso wenig gibt es so etwas wie eine völlig gleichförmige Skala wie die Ganztonskala in 12edo - abgesehen von der vollen Menge, die sämtliche Töne des EDOs umfasst.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Es gibt keine &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modi_mit_begrenzten_Transpositionsm%C3%B6glichkeiten" rel="nofollow"&amp;gt;Modi mit begrenzten Transpositionsmöglichkeiten&amp;lt;/a&amp;gt;, wie sie der Komponist Olivier Messiaen verwendet hat.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Ein Prim-EDO kann keine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; unterstützen, deren Periode ein Bruchteil der Oktave ist, wie z.B. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Ob das gut ist oder nicht, hängt von den jeweiligen Präferenzen ab. Wenn Mehrdeutigkeit und Unbestimmtheit schon im Tonsystem angelegt sein sollen, für überraschende Modulationen etwa oder für ein schwebendes, impressionistisches Klangbild, sind ggf. eher Nicht-Prim-Systeme von Vorteil. Andererseits kann es z.B. gewünscht sein, eine nicht-gleichförmige Ganztonskala zur Verfügung zu haben. Für diesen Fall wäre dann etwa &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; ein Kandidat.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der Arithmetik. In der Musik können sie in verschiedener Hinsicht von Bedeutung sein - unter anderem bei musikalischen Intervallen in [[Reine Stimmungen|reinen Stimmungen]] und, auf ziemlich andere Weise, bei [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]].

=Primzahlen und reine Stimmungen= 
XXX
In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassiche Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.

=Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme= 
In einer gleichstufigen Stimmung, bei der die Oktave in n gleiche Teile geteilt wird, hat die Primfaktorzerlegung der Zahl n eine Reihe von Konsequenzen für die musikalischen Strukturen des jeweiligen Tonsystems. Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt insbesondere:
* Es gibt keinen Akkord wie den vollkommen gleichförmigen verminderten Septakkord in [[12edo]], ebenso wenig gibt es so etwas wie eine völlig gleichförmige Skala wie die Ganztonskala in 12edo - abgesehen von der vollen Menge, die sämtliche Töne des EDOs umfasst.
* Es gibt keine [[http://de.wikipedia.org/wiki/Modi_mit_begrenzten_Transpositionsm%C3%B6glichkeiten|Modi mit begrenzten Tramspositionsmöglichkeiten]], wie sie der Komponist Olivier Messiaen verwendet hat.
* Ein Prim-EDO kann keine [[Reguläre Temperaturen|reguläre Temperatur]] unterstützen, deren Periode ein Bruchteil der Oktave ist, wie z.B. [[Pajara]].

Ob das gut ist oder nicht, hängt von den jeweiligen Präferenzen ab.
XXX

==Verweise== 
* [[Primfaktorzerlegung]]
* [[Intervallraum]]
* English: [[xenharmonic/prime numbers]]
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl|Primzahl – Wikipedia]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der Arithmetik. In der Musik können sie in verschiedener Hinsicht von Bedeutung sein - unter anderem bei musikalischen Intervallen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt; und, auf ziemlich andere Weise, bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen Tonsystemen&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassiche Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 In einer gleichstufigen Stimmung, bei der die Oktave in n gleiche Teile geteilt wird, hat die Primfaktorzerlegung der Zahl n eine Reihe von Konsequenzen für die musikalischen Strukturen des jeweiligen Tonsystems. Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt insbesondere:&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ob das gut ist oder nicht, hängt von den jeweiligen Präferenzen ab.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 &amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/prime%20numbers"&amp;gt;xenharmonic/prime numbers&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl" rel="nofollow"&amp;gt;Primzahl – Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der Arithmetik. In der Musik können sie in verschiedener Hinsicht von Bedeutung sein - unter anderem bei musikalischen Intervallen in [[Reine Stimmungen|reinen Stimmungen]] und, auf ziemlich andere Weise, bei [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]].

=Primzahlen und reine Stimmungen= 
XXX
In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassiche Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.

=Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme= 
In einer gleichstufigen Stimmung, bei der die Oktave in n gleiche Teile geteilt wird, hat die Primfaktorzerlegung der Zahl n eine Reihe von Konsequenzen für die musikalischen Strukturen des jeweiligen Tonsystems. Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt insbesondere:
* Es gibt keinen Akkord wie den vollkommen gleichförmigen verminderten Septakkord in [[12edo]], ebenso wenig gibt es so etwas wie eine völlig gleichförmige Skala wie die Ganztonskala in 12edo - abgesehen von der vollen Menge, die sämtliche Töne des EDOs umfasst.
* Es gibt keine [[http://de.wikipedia.org/wiki/Modi_mit_begrenzten_Transpositionsm%C3%B6glichkeiten|Modi mit begrenzten Tramspositionsmöglichkeiten]], wie sie der Komponist Olivier Messiaen verwendet hat.

XXX

==Verweise== 
* [[Primfaktorzerlegung]]
* [[Intervallraum]]
* English: [[xenharmonic/prime numbers]]
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl|Primzahl – Wikipedia]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der Arithmetik. In der Musik können sie in verschiedener Hinsicht von Bedeutung sein - unter anderem bei musikalischen Intervallen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt; und, auf ziemlich andere Weise, bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen Tonsystemen&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassiche Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 In einer gleichstufigen Stimmung, bei der die Oktave in n gleiche Teile geteilt wird, hat die Primfaktorzerlegung der Zahl n eine Reihe von Konsequenzen für die musikalischen Strukturen des jeweiligen Tonsystems. Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt insbesondere:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Es gibt keinen Akkord wie den vollkommen gleichförmigen verminderten Septakkord in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, ebenso wenig gibt es so etwas wie eine völlig gleichförmige Skala wie die Ganztonskala in 12edo - abgesehen von der vollen Menge, die sämtliche Töne des EDOs umfasst.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Es gibt keine &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modi_mit_begrenzten_Transpositionsm%C3%B6glichkeiten" rel="nofollow"&amp;gt;Modi mit begrenzten Tramspositionsmöglichkeiten&amp;lt;/a&amp;gt;, wie sie der Komponist Olivier Messiaen verwendet hat.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-07 04:49:01 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
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Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der Arithmetik. In der Musik können sie in verschiedener Hinsicht von Bedeutung sein - unter anderem bei musikalischen Intervallen in [[Reine Stimmungen|reinen Stimmungen]] und, auf ziemlich andere Weise, bei [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]].

=Primzahlen und reine Stimmungen= 
XXX
In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassiche Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.

=Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme= 
In einer gleichstufigen Stimmung, bei der die Oktave in n gleiche Teile geteilt wird, hat die Primfaktorzerlegung der Zahl n eine Reihe von Konsequenzen für die musikalischen Strukturen des jeweiligen Tonsystems. Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt insbesondere:
* Es gibt keinen Akkord wie den vollkommen gleichförmigen verminderten Septakkord in [[12edo]], ebenso wenig gibt es so etwas wie eine völlig gleichförmige Skala wie die Ganztonskala - abgesehen von der vollen Menge, die sämtliche Töne des EDOs umfasst.
* Es gibt keine [[http://de.wikipedia.org/wiki/Modi_mit_begrenzten_Transpositionsm%C3%B6glichkeiten|Modi mit begrenzten Tramspositionsmöglichkeiten]], wie sie der Komponist Olivier Messiaen verwendet hat.

XXX

==Verweise== 
* [[Primfaktorzerlegung]]
* [[Intervallraum]]
* English: [[xenharmonic/prime numbers]]
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl|Primzahl – Wikipedia]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der Arithmetik. In der Musik können sie in verschiedener Hinsicht von Bedeutung sein - unter anderem bei musikalischen Intervallen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt; und, auf ziemlich andere Weise, bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen Tonsystemen&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassiche Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 In einer gleichstufigen Stimmung, bei der die Oktave in n gleiche Teile geteilt wird, hat die Primfaktorzerlegung der Zahl n eine Reihe von Konsequenzen für die musikalischen Strukturen des jeweiligen Tonsystems. Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt insbesondere:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Es gibt keinen Akkord wie den vollkommen gleichförmigen verminderten Septakkord in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;, ebenso wenig gibt es so etwas wie eine völlig gleichförmige Skala wie die Ganztonskala - abgesehen von der vollen Menge, die sämtliche Töne des EDOs umfasst.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Es gibt keine &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modi_mit_begrenzten_Transpositionsm%C3%B6glichkeiten" rel="nofollow"&amp;gt;Modi mit begrenzten Tramspositionsmöglichkeiten&amp;lt;/a&amp;gt;, wie sie der Komponist Olivier Messiaen verwendet hat.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der Arithmetik. In der Musik können sie in verschiedener Hinsicht von Bedeutung sein - unter anderem bei musikalischen Intervallen in [[Reine Stimmungen|reinen Stimmungen]] und, auf ziemlich andere Weise, bei [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]].

=Primzahlen und reine Stimmungen= 
XXX
In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassiche Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.

=Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme= 
In einer gleichstufigen Stimmung, bei der die Oktave in n gleiche Teile geteilt wird, hat die Primfaktorzerlegung der Zahl n eine Reihe von Konsequenzen für die musikalischen Strukturen. wenn n eine Primzahl ist, dann gilt insbesondere:
* Es gibt keinen Akkord wie den vollkommen gleichförmigen verminderten Septakkord in [[12edo]], ebenso wenig gibt es so etwas wie eine völlig gleichförmige Skala wie die Ganztonskala - abgesehen von der vollen Menge, die sämtliche Töne des EDOs umfasst.
* Es gibt keine [[http://de.wikipedia.org/wiki/Modi_mit_begrenzten_Transpositionsm%C3%B6glichkeiten|Modi mit begrenzten Tramspositionsmöglichkeiten]], wie sie der Komponist Olivier Messiaen verwendet hat.

XXX

==Verweise== 
* [[Primfaktorzerlegung]]
* [[Intervallraum]]
* English: [[xenharmonic/prime numbers]]
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl|Primzahl – Wikipedia]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der Arithmetik. In der Musik können sie in verschiedener Hinsicht von Bedeutung sein - unter anderem bei musikalischen Intervallen in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt; und, auf ziemlich andere Weise, bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen Tonsystemen&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassiche Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 In einer gleichstufigen Stimmung, bei der die Oktave in n gleiche Teile geteilt wird, hat die Primfaktorzerlegung der Zahl n eine Reihe von Konsequenzen für die musikalischen Strukturen. wenn n eine Primzahl ist, dann gilt insbesondere:&amp;lt;br /&amp;gt;
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Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der Arithmetik.

In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassiche Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.

==Verweise==
* [[Primfaktorzerlegung]]
* [[Intervallraum]]
* English: [[xenharmonic/prime numbers]]
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl|Primzahl – Wikipedia]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der Arithmetik.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassiche Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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==Verweise==
* English: [[xenharmonic/prime numbers]]
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl|Primzahl – Wikipedia]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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      <text bytes="3709" sha1="1p86relx5ev1xhakfo8o6omslvame50" xml:space="preserve">'''Primzahlen''' sind natürliche Zahlen, die allein durch 1 und sich selbst ohne Rest teilbar sind. Alle anderen natürlichen Zahlen können als [[Primfaktorzerlegung|Produkt von Primzahlen]] dargestellt werden.

Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der Arithmetik. In der Musik können sie in verschiedener Hinsicht von Bedeutung sein - unter anderem bei musikalischen Intervallen in [[Reine_Stimmungen|reinen Stimmungen]] und, auf ziemlich andere Weise, bei [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]].

=Primzahlen und reine Stimmungen=
[Todo Ausführungen zu rationalen Intervallen/Intervallraum ]

In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassiche Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.

=Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme=
In einer gleichstufigen Stimmung, bei der die Oktave in n gleiche Teile geteilt wird, hat die Primfaktorzerlegung der Zahl n eine Reihe von Konsequenzen für die musikalischen Strukturen des jeweiligen Tonsystems. Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt insbesondere:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;Es gibt keinen Akkord wie den vollkommen gleichförmigen verminderten Septakkord in [[12edo|12edo]], ebenso wenig gibt es so etwas wie eine völlig gleichförmige Skala wie die Ganztonskala in 12edo - abgesehen von der vollen Menge, die sämtliche Töne des EDOs umfasst.&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Es gibt keine [http://de.wikipedia.org/wiki/Modi_mit_begrenzten_Transpositionsm%C3%B6glichkeiten Modi mit begrenzten Transpositionsmöglichkeiten], wie sie der Komponist Olivier Messiaen verwendet hat.&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Ein Prim-EDO kann keine [[Reguläre_Temperaturen|reguläre Temperatur]] unterstützen, deren Periode ein Bruchteil der Oktave ist, wie z.B. [[Pajara|Pajara]].&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Ob das gut ist oder nicht, hängt von den jeweiligen Präferenzen ab. Wenn Mehrdeutigkeit und Unbestimmtheit schon im Tonsystem angelegt sein sollen, für überraschende Modulationen etwa oder für ein schwebendes, impressionistisches Klangbild, sind ggf. eher Nicht-Prim-Systeme von Vorteil. Andererseits kann es z.B. gewünscht sein, eine nicht-gleichförmige Ganztonskala zur Verfügung zu haben. Für diesen Fall wäre dann etwa [[19edo|19edo]] ein Kandidat.

Wenn die Prim- oder Nichtprimheit eines gegebenen gleichstufigen Systems die einzige unerwünschte Eigenschaft ist, besteht manchmal die Möglichkeit, auf ein nah verwandtes System mit einem anderen Periodenintervall zu wechseln. Beispielsweise hat die [[Bernhard_Stopper|Stopper-Stimmung]], bei der die reine Duodezime (3:1) in 19 gleiche Teile geteilt wird, beinahe dieselben Intervalle wie unsere verbreitete zwölfstufige Stimmung, jedoch in einem Primsystem, während etwa [[27edt|27edt]], bei der eine Duodezime in 27 gleiche Teile geteilt wird, ein Nicht-Prim-System mit beinahe identischen Tönen wie [[17edo|17edo]] ist. Überhaupt gibt es ja für jedes Prim-EDO ein Nicht-Prim-System mit identischen Intervallgrössen und einer Doppeloktave (4:1) als Periode.

All diese Dinge sind übrigens nur bei "tiefen" Zahlen von Bedeutung. Je höher die Anzahl Töne und je feiner die Auflösung, desto weniger wird der Unterschied zwischen einer ''komplett'' gleichförmigen und einer nur ''beinahe'' gleichförmigen Skala ins Gewicht fallen und irgendwann völlig unhörbar werden.

==Verweise==
&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]]&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[[Intervallraum|Intervallraum]]&lt;/li&gt;&lt;li&gt;English: [[:en:prime_numbers|xenharmonic/prime numbers]]&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl Primzahl – Wikipedia]&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;  [[Category:Begriff]]
[[Category:Mathematik]]</text>
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Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der Arithmetik. In der Musik können sie in verschiedener Hinsicht von Bedeutung sein - unter anderem bei musikalischen Intervallen in [[Reine Stimmungen|reinen Stimmungen]] und, auf ziemlich andere Weise, bei [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]].

=Primzahlen und reine Stimmungen=
[Todo Ausführungen zu rationalen Intervallen/Intervallraum ]

In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassische Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.

=Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme=
In einer gleichstufigen Stimmung, bei der die Oktave in n gleiche Teile geteilt wird, hat die Primfaktorzerlegung der Zahl n eine Reihe von Konsequenzen für die musikalischen Strukturen des jeweiligen Tonsystems. Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt insbesondere:

* Es gibt keinen Akkord wie den vollkommen gleichförmigen verminderten Septakkord in [[12edo]], ebenso wenig gibt es so etwas wie eine völlig gleichförmige Skala wie die Ganztonskala in 12edo - abgesehen von der vollen Menge, die sämtliche Töne des EDOs umfasst.
* Es gibt keine [http://de.wikipedia.org/wiki/Modi_mit_begrenzten_Transpositionsm%C3%B6glichkeiten Modi mit begrenzten Transpositionsmöglichkeiten], wie sie der Komponist Olivier Messiaen verwendet hat.
* Ein Prim-EDO kann keine [[Reguläre_Temperaturen|reguläre Temperatur]] unterstützen, deren Periode ein Bruchteil der Oktave ist, wie z.B. [[Pajara]].

Ob das gut ist oder nicht, hängt von den jeweiligen Präferenzen ab. Wenn Mehrdeutigkeit und Unbestimmtheit schon im Tonsystem angelegt sein sollen, für überraschende Modulationen etwa oder für ein schwebendes, impressionistisches Klangbild, sind ggf. eher Nicht-Prim-Systeme von Vorteil. Andererseits kann es z.B. gewünscht sein, eine nicht-gleichförmige Ganztonskala zur Verfügung zu haben. Für diesen Fall wäre dann etwa [[19edo]] ein Kandidat.

Wenn die Prim- oder Nichtprimheit eines gegebenen gleichstufigen Systems die einzige unerwünschte Eigenschaft ist, besteht manchmal die Möglichkeit, auf ein nah verwandtes System mit einem anderen Periodenintervall zu wechseln. Beispielsweise hat die [[Bernhard Stopper|Stopper-Stimmung]], bei der die reine Duodezime (3:1) in 19 gleiche Teile geteilt wird, beinahe dieselben Intervalle wie unsere verbreitete zwölfstufige Stimmung, jedoch in einem Primsystem, während etwa [[27edt]], bei der eine Duodezime in 27 gleiche Teile geteilt wird, ein Nicht-Prim-System mit beinahe identischen Tönen wie [[17edo]] ist. Überhaupt gibt es ja für jedes Prim-EDO ein Nicht-Prim-System mit identischen Intervallgrössen und einer Doppeloktave (4:1) als Periode.

All diese Dinge sind übrigens nur bei "tiefen" Zahlen von Bedeutung. Je höher die Anzahl Töne und je feiner die Auflösung, desto weniger wird der Unterschied zwischen einer ''komplett'' gleichförmigen und einer nur ''beinahe'' gleichförmigen Skala ins Gewicht fallen und irgendwann völlig unhörbar werden.

== Verweise ==
* [[Primfaktorzerlegung]]
* [[Intervallraum]]
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl Primzahl – Wikipedia]

[[Category:Begriff]]
[[Category:Mathematik]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
[[en:prime numbers]]</text>
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Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der Arithmetik. In der Musik können sie in verschiedener Hinsicht von Bedeutung sein - unter anderem bei musikalischen Intervallen in [[Reine Stimmungen|reinen Stimmungen]] und, auf ziemlich andere Weise, bei [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]].

=Primzahlen und reine Stimmungen=
[Todo Ausführungen zu rationalen Intervallen/Intervallraum ]

In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassische Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.

=Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme=
In einer gleichstufigen Stimmung, bei der die Oktave in n gleiche Teile geteilt wird, hat die Primfaktorzerlegung der Zahl n eine Reihe von Konsequenzen für die musikalischen Strukturen des jeweiligen Tonsystems. Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt insbesondere:

* Es gibt keinen Akkord wie den vollkommen gleichförmigen verminderten Septakkord in [[12-EDO]], ebenso wenig gibt es so etwas wie eine völlig gleichförmige Skala wie die Ganztonskala in 12-EDO - abgesehen von der vollen Menge, die sämtliche Töne des EDOs umfasst.
* Es gibt keine [http://de.wikipedia.org/wiki/Modi_mit_begrenzten_Transpositionsm%C3%B6glichkeiten Modi mit begrenzten Transpositionsmöglichkeiten], wie sie der Komponist Olivier Messiaen verwendet hat.
* Ein Prim-EDO kann keine [[Reguläre_Temperaturen|reguläre Temperatur]] unterstützen, deren Periode ein Bruchteil der Oktave ist, wie z.B. [[Pajara]].

Ob das gut ist oder nicht, hängt von den jeweiligen Präferenzen ab. Wenn Mehrdeutigkeit und Unbestimmtheit schon im Tonsystem angelegt sein sollen, für überraschende Modulationen etwa oder für ein schwebendes, impressionistisches Klangbild, sind ggf. eher Nicht-Prim-Systeme von Vorteil. Andererseits kann es z.B. gewünscht sein, eine nicht-gleichförmige Ganztonskala zur Verfügung zu haben. Für diesen Fall wäre dann etwa [[19-EDO]] ein Kandidat.

Wenn die Prim- oder Nichtprimheit eines gegebenen gleichstufigen Systems die einzige unerwünschte Eigenschaft ist, besteht manchmal die Möglichkeit, auf ein nah verwandtes System mit einem anderen Periodenintervall zu wechseln. Beispielsweise hat die [[Bernhard Stopper|Stopper-Stimmung]], bei der die reine Duodezime (3:1) in 19 gleiche Teile geteilt wird, beinahe dieselben Intervalle wie unsere verbreitete zwölfstufige Stimmung, jedoch in einem Primsystem, während etwa [[27-EDT]], bei der eine Duodezime in 27 gleiche Teile geteilt wird, ein Nicht-Prim-System mit beinahe identischen Tönen wie [[17-EDO]] ist. Überhaupt gibt es ja für jedes Prim-EDO ein Nicht-Prim-System mit identischen Intervallgrössen und einer Doppeloktave (4:1) als Periode.

All diese Dinge sind übrigens nur bei "tiefen" Zahlen von Bedeutung. Je höher die Anzahl Töne und je feiner die Auflösung, desto weniger wird der Unterschied zwischen einer ''komplett'' gleichförmigen und einer nur ''beinahe'' gleichförmigen Skala ins Gewicht fallen und irgendwann völlig unhörbar werden.

== Verweise ==
* [[Primfaktorzerlegung]]
* [[Intervallraum]]
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl Primzahl – Wikipedia]

[[Category:Begriff]]
[[Category:Mathematik]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
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Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der Arithmetik. In der Musik können sie in verschiedener Hinsicht von Bedeutung sein - unter anderem bei musikalischen Intervallen in [[Reine Stimmungen|reinen Stimmungen]] und, auf ziemlich andere Weise, bei [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]].

=Primzahlen und reine Stimmungen=
[Todo Ausführungen zu rationalen Intervallen/Intervallraum ]

In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassische Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.

=Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme=
In einer gleichstufigen Stimmung, bei der die Oktave in n gleiche Teile geteilt wird, hat die Primfaktorzerlegung der Zahl n eine Reihe von Konsequenzen für die musikalischen Strukturen des jeweiligen Tonsystems. Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt insbesondere:

* Es gibt keinen Akkord wie den vollkommen gleichförmigen verminderten Septakkord in [[12-EDO]], ebenso wenig gibt es so etwas wie eine völlig gleichförmige Skala wie die Ganztonskala in 12-EDO - abgesehen von der vollen Menge, die sämtliche Töne des EDOs umfasst.
* Es gibt keine [http://de.wikipedia.org/wiki/Modi_mit_begrenzten_Transpositionsm%C3%B6glichkeiten Modi mit begrenzten Transpositionsmöglichkeiten], wie sie der Komponist Olivier Messiaen verwendet hat.
* Ein Prim-EDO kann keine [[Reguläre_Temperaturen|reguläre Temperatur]] unterstützen, deren Periode ein Bruchteil der Oktave ist, wie z.B. [[Pajara]].

Ob das gut ist oder nicht, hängt von den jeweiligen Präferenzen ab. Wenn Mehrdeutigkeit und Unbestimmtheit schon im Tonsystem angelegt sein sollen, für überraschende Modulationen etwa oder für ein schwebendes, impressionistisches Klangbild, sind ggf. eher Nicht-Prim-Systeme von Vorteil. Andererseits kann es z.B. gewünscht sein, eine nicht-gleichförmige Ganztonskala zur Verfügung zu haben. Für diesen Fall wäre dann etwa [[19-EDO]] ein Kandidat.

Wenn die Prim- oder Nichtprimheit eines gegebenen gleichstufigen Systems die einzige unerwünschte Eigenschaft ist, besteht manchmal die Möglichkeit, auf ein nah verwandtes System mit einem anderen Periodenintervall zu wechseln. Beispielsweise hat die [[Bernhard Stopper|Stopper-Stimmung]], bei der die reine Duodezime (3:1) in 19 gleiche Teile geteilt wird, beinahe dieselben Intervalle wie unsere verbreitete zwölfstufige Stimmung, jedoch in einem Primsystem, während etwa [[27-EDT]], bei der eine Duodezime in 27 gleiche Teile geteilt wird, ein Nicht-Prim-System mit beinahe identischen Tönen wie [[17-EDO]] ist. Überhaupt gibt es ja für jedes Prim-EDO ein Nicht-Prim-System mit identischen Intervallgrössen und einer Doppeloktave (4:1) als Periode.

All diese Dinge sind übrigens nur bei "tiefen" Zahlen von Bedeutung. Je höher die Anzahl Töne und je feiner die Auflösung, desto weniger wird der Unterschied zwischen einer ''komplett'' gleichförmigen und einer nur ''beinahe'' gleichförmigen Skala ins Gewicht fallen und irgendwann völlig unhörbar werden.

== Verweise ==
* [[Primfaktorzerlegung]]
* [[Intervallraum]]
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl Primzahl – Wikipedia]

[[Category:Begriff]]
[[Category:Mathematik]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
[[en:prime numbers]]</text>
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      <text bytes="3617" sha1="a76ioac320gi7cf38s5m9fn4nkyt8bg" xml:space="preserve">'''Primzahlen''' sind natürliche Zahlen, die allein durch 1 und sich selbst ohne Rest teilbar sind. Alle anderen natürlichen Zahlen können als [[Primfaktorzerlegung|Produkt von Primzahlen]] dargestellt werden.

Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der Arithmetik. In der Musik können sie in verschiedener Hinsicht von Bedeutung sein - unter anderem bei musikalischen Intervallen in [[Reine Stimmungen|reinen Stimmungen]] und, auf ziemlich andere Weise, bei [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]].

__TOC__

== Primzahlen und reine Stimmungen ==
[Todo Ausführungen zu rationalen Intervallen/Intervallraum ]

In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassische Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.

== Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme ==
In einer gleichstufigen Stimmung, bei der die Oktave in n gleiche Teile geteilt wird, hat die Primfaktorzerlegung der Zahl n eine Reihe von Konsequenzen für die musikalischen Strukturen des jeweiligen [[Tonsystem]]s. Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt insbesondere:

* Es gibt keinen Akkord wie den vollkommen gleichförmigen verminderten Septakkord in [[12-EDO]], ebenso wenig gibt es so etwas wie eine völlig gleichförmige Skala wie die Ganztonskala in 12-EDO - abgesehen von der vollen Menge, die sämtliche Töne des EDOs umfasst.
* Es gibt keine [http://de.wikipedia.org/wiki/Modi_mit_begrenzten_Transpositionsm%C3%B6glichkeiten Modi mit begrenzten Transpositionsmöglichkeiten], wie sie der Komponist Olivier Messiaen verwendet hat.
* Ein Prim-EDO kann keine [[Reguläre_Temperaturen|reguläre Temperatur]] unterstützen, deren Periode ein Bruchteil der Oktave ist, wie z.B. [[Pajara]].

Ob das gut ist oder nicht, hängt von den jeweiligen Präferenzen ab. Wenn Mehrdeutigkeit und Unbestimmtheit schon im Tonsystem angelegt sein sollen, für überraschende Modulationen etwa oder für ein schwebendes, impressionistisches Klangbild, sind ggf. eher Nicht-Prim-Systeme von Vorteil. Andererseits kann es z.B. gewünscht sein, eine nicht-gleichförmige Ganztonskala zur Verfügung zu haben. Für diesen Fall wäre dann etwa [[19-EDO]] ein Kandidat.

Wenn die Prim- oder Nichtprimheit eines gegebenen gleichstufigen Systems die einzige unerwünschte Eigenschaft ist, besteht manchmal die Möglichkeit, auf ein nah verwandtes System mit einem anderen Periodenintervall zu wechseln. Beispielsweise hat die [[Bernhard Stopper|Stopper-Stimmung]], bei der die reine Duodezime (3:1) in 19 gleiche Teile geteilt wird, beinahe dieselben Intervalle wie unsere verbreitete zwölfstufige Stimmung, jedoch in einem Primsystem, während etwa [[27-EDT]], bei der eine Duodezime in 27 gleiche Teile geteilt wird, ein Nicht-Prim-System mit beinahe identischen Tönen wie [[17-EDO]] ist. Überhaupt gibt es ja für jedes Prim-EDO ein Nicht-Prim-System mit identischen Intervallgrössen und einer Doppeloktave (4:1) als Periode.

All diese Dinge sind übrigens nur bei "tiefen" Zahlen von Bedeutung. Je höher die Anzahl Töne und je feiner die Auflösung, desto weniger wird der Unterschied zwischen einer ''komplett'' gleichförmigen und einer nur ''beinahe'' gleichförmigen Skala ins Gewicht fallen und irgendwann völlig unhörbar werden.

== Verweise ==
* [[Primfaktorzerlegung]]
* [[Intervallraum]]
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl Primzahl – Wikipedia]

[[Kategorie:Theorie]]
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Begriff]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
[[en:prime numbers]]</text>
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==Deutschsprachige Ressourcen==
[http://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoreische_Stimmung Pythagoräische Stimmung (Wikipedia)]

[http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/PythgoreischeStimmung.php Pythagoräische Stimmung (lehrklaenge.de)]

Eine Eigenschaft der pythagoräischen Stimmung ist, dass der chromatische Halbton (übermäßige Prime) größer ist als der diatonische Halbton (kleine Sekunde). D.h. der Ton Fis ist ''höher'' als der Ton Ges. Dies im Gegensatz zu den historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmungen, bei denen es genau umgekehrt ist.

Als '''pythagoräische Temperatur''' (im Rahmen des Konzepts der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]]) gilt eine Temperatur, welche das [[531441/524288|pythagoräische Komma]] (&lt;span style=""&gt;Frequenzverhältnis 531441/524288, der Unterschied zwischen 12 Quinten und 7 Oktaven&lt;/span&gt;) austemperiert.  [[Category:Stimmung]]
[[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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==Deutschsprachige Ressourcen== 
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoreische_Stimmung|Pythagoräische Stimmung (Wikipedia)]]
[[http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/PythgoreischeStimmung.php|Pythagoräische Stimmung (lehrklaenge.de)]]

Eine Eigenschaft der pythagoräischen Stimmung ist, dass der chromatische Halbton (übermäßige Prime) größer ist als der diatonische Halbton (kleine Sekunde). D.h. der Ton Fis ist //höher// als der Ton Ges. Dies im Gegensatz zu den historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmungen, bei denen es genau umgekehrt ist.

Als **pythagoräische Temperatur** (im Rahmen des Konzepts der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]]) gilt eine Temperatur, welche das [[531441_524288|pythagoräische Komma]] (&amp;lt;span class="PageTitle"&amp;gt;Frequenzverhältnis 531441/524288, der Unterschied zwischen 12 Quinten und 7 Oktaven&amp;lt;/span&amp;gt;) austemperiert.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Eine Eigenschaft der pythagoräischen Stimmung ist, dass der chromatische Halbton (übermäßige Prime) größer ist als der diatonische Halbton (kleine Sekunde). D.h. der Ton Fis ist &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; als der Ton Ges. Dies im Gegensatz zu den historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmungen, bei denen es genau umgekehrt ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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[[http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/PythgoreischeStimmung.php|Pythagoräische Stimmung (lehrklaenge.de)]]

Eine Eigenschaft der pythagoräischen Stimmung ist, dass der chromatische Halbton (übermäßige Prime) größer ist als der diatonische Halbton (kleine Sekunde). D.h. der Ton Fis ist //höher// als der Ton Ges. Dies im Gegensatz zu den historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmungen, bei denen es genau umgekehrt ist.

Als **pythagoräische Temperatur** (im Rahmen des Konzepts der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]]) gilt eine Temperatur, welche das [[531441_524288|pythagoräische Komma]] (&amp;lt;span class="PageTitle"&amp;gt;Frequenzverhältnis 531441/524288, der Unterschied zwischen 12 Quinten und 7 Oktaven&amp;lt;/span&amp;gt;) austemperiert.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Eine Eigenschaft der pythagoräischen Stimmung ist, dass der chromatische Halbton (übermäßige Prime) größer ist als der diatonische Halbton (kleine Sekunde). D.h. der Ton Fis ist &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; als der Ton Ges. Dies im Gegensatz zu den historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmungen, bei denen es genau umgekehrt ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Als &amp;lt;strong&amp;gt;pythagoräische Temperatur&amp;lt;/strong&amp;gt; (im Rahmen des Konzepts der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;) gilt eine Temperatur, welche das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (&amp;lt;span class="PageTitle"&amp;gt;Frequenzverhältnis 531441/524288, der Unterschied zwischen 12 Quinten und 7 Oktaven&amp;lt;/span&amp;gt;) austemperiert.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Eine Eigenschaft der pythagoräischen Stimmung ist, dass der chromatische Halbton (übermäßige Prime) größer ist als der diatonische Halbton (kleine Sekunde). D.h. der Ton Fis ist //höher// als der Ton Ges. Dies im Gegensatz zu den historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmungen, bei denen es genau umgekehrt ist.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Eine Eigenschaft der pythagoräischen Stimmung ist, dass der chromatische Halbton (übermäßige Prime) größer ist als der diatonische Halbton (kleine Sekunde). D.h. der Ton Fis ist &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; als der Ton Ges. Dies im Gegensatz zu den historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmungen, bei denen es genau umgekehrt ist.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[http://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoreische_Stimmung|Pythagoräische Stimmung (Wikipedia)]]
[[http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/PythgoreischeStimmung.php|Pythagoräische Stimmung (lehrklaenge.de)]]

Eine Eigenschaft der pythagoräischen Stimmung ist, dass Kreuz-Halbtöne höher sind als B-Halbtöne, d.h. der Ton Fis ist //höher// als der Ton Ges. Dies im Gegensatz zu den historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmungen, bei denen es genau umgekehrt ist.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Eine Eigenschaft der pythagoräischen Stimmung ist, dass Kreuz-Halbtöne höher sind als B-Halbtöne, d.h. der Ton Fis ist &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; als der Ton Ges. Dies im Gegensatz zu den historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmungen, bei denen es genau umgekehrt ist.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Eine Eigenschaft der pythagoräischen Stimmung ist, dass Kreuz-Halbtöne höher siond als B-Halbtöne, d.h. der Ton Fis ist //höher// als der Ton Ges. Dies im Gegensatz zu den historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmungen, bei denen es genau umgekehrt ist.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Eine Eigenschaft der pythagoräischen Stimmung ist, dass Kreuz-Halbtöne höher siond als B-Halbtöne, d.h. der Ton Fis ist &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; als der Ton Ges. Dies im Gegensatz zu den historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmungen, bei denen es genau umgekehrt ist.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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==Deutschsprachige Ressourcen== 
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      <comment>Textersetzung - „(\[\[\:(dev|es|purdal|de|en):[^[:space:]\|]*) (.*])“ durch „$1|$3“</comment>
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==Deutschsprachige Ressourcen==
[http://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoreische_Stimmung Pythagoräische Stimmung (Wikipedia)]

[http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/PythgoreischeStimmung.php Pythagoräische Stimmung (lehrklaenge.de)]

Eine Eigenschaft der pythagoräischen Stimmung ist, dass der chromatische Halbton (übermäßige Prime) größer ist als der diatonische Halbton (kleine Sekunde). D.h. der Ton Fis ist ''höher'' als der Ton Ges. Dies im Gegensatz zu den historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmungen, bei denen es genau umgekehrt ist.

Als '''pythagoräische Temperatur''' (im Rahmen des Konzepts der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]]) gilt eine Temperatur, welche das [[531441/524288|pythagoräische Komma]] (&lt;span style=""&gt;Frequenzverhältnis 531441/524288, der Unterschied zwischen 12 Quinten und 7 Oktaven&lt;/span&gt;) austemperiert.  [[Category:Stimmung]]
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==Deutschsprachige Ressourcen==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoreische_Stimmung Pythagoräische Stimmung (Wikipedia)]
* [http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/PythgoreischeStimmung.php Pythagoräische Stimmung (lehrklaenge.de)]
* Eine Eigenschaft der pythagoräischen Stimmung ist, dass der chromatische Halbton (übermäßige Prime) größer ist als der diatonische Halbton (kleine Sekunde). D.h. der Ton Fis ist ''höher'' als der Ton Ges. Dies im Gegensatz zu den historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmungen, bei denen es genau umgekehrt ist.

Als '''pythagoräische Temperatur''' (im Rahmen des Konzepts der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]]) gilt eine Temperatur, welche das [[531441/524288|pythagoräische Komma]] (Frequenzverhältnis 531441/524288, der Unterschied zwischen 12 Quinten und 7 Oktaven) austemperiert.

[[Category:Stimmung]]
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==Deutschsprachige Ressourcen==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoreische_Stimmung Pythagoräische Stimmung (Wikipedia)]
* [http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/PythgoreischeStimmung.php Pythagoräische Stimmung (lehrklaenge.de)]
* Eine Eigenschaft der pythagoräischen Stimmung ist, dass der chromatische Halbton (übermäßige Prime) größer ist als der diatonische Halbton (kleine Sekunde). D.h. der Ton Fis ist ''höher'' als der Ton Ges. Dies im Gegensatz zu den historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmungen, bei denen es genau umgekehrt ist.

Als '''pythagoräische Temperatur''' (im Rahmen des Konzepts der [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]]) gilt eine Temperatur, welche das [[531441/524288|pythagoräische Komma]] (Frequenzverhältnis 531441/524288, der Unterschied zwischen 12 Quinten und 7 Oktaven) austemperiert.

[[Category:Stimmung]]
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[[Category:Csound]]
[[Category:Python]]
[[Category:Software]]</text>
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;**Python Score** ist eine Erweiterung für [[Csound]] von Jacob Joaquin, mit der Score-Daten in [[Python]] generiert werden können.

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&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Python Score&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;strong&amp;gt;Python Score&amp;lt;/strong&amp;gt; ist eine Erweiterung für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Csound"&amp;gt;Csound&amp;lt;/a&amp;gt; von Jacob Joaquin, mit der Score-Daten in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Python"&amp;gt;Python&amp;lt;/a&amp;gt; generiert werden können.&amp;lt;br /&amp;gt;
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    <title>Reguläre Temperamente</title>
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Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.
__FORCETOC__
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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur=
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent|Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches_Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "'''austemperiert'''" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

{| class="wikitable"
|-
! | Reine Stimmung
! | Mitteltönige Temperatur
! | Gleichstufige Stimmung
|-
| | Alle Intervalle rein
| | Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit
| | Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein
|-
| | Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig
| | Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen
| | Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen
|}

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo|12edo]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung=
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma|Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte_reguläre_Temperatur|Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton|Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.

Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe|Kommapumpe]]).&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.

Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe|Kommapumpen]]).&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo|19edo]] oder [[31edo|31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur ''nicht'' unterstützen, wie [[22edo|22edo]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur=
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;[[15edo|15edo]]&lt;/span&gt; und &lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;[[22edo|22edo]]&lt;/span&gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;Intervall [[250/243|250/243]] (welches entsprechend &lt;/span&gt;''&lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;Porcupine-Komma &lt;/span&gt;''&lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&lt;/span&gt;

&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&lt;/span&gt;

&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&lt;/span&gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

=Mathematischer Ansatz=
Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte_reguläre_Temperatur|Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

=Katalog der regulären Temperaturen=
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[:en:Regular_Temperaments englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:

[[Hanson_Kleismisch|Hanson/Kleismisch]]

[[Liese|Liese]]

[[Magische_Temperaturen|magisch]]

[[Mavila|Mavila]]

[[maqamisch|maqamisch]]

[[mitteltönig|mitteltönig]] ([[viertelkomma-mitteltönig|viertelkomma-mitteltönig]], [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönig ]], [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönig]], [[Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]])

[[Marvel|Marvel]]

[[Mohajira|Mohajira]]

[[Orwell|Orwell]]

[[Pajara|Pajara]]

[[Porcupine|Porcupine, Hedgehog]], [[Nautilus|Nautilus]]

[[pythagoräisch|pythagoräisch]]

[[Schismatische_Temperaturen|Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi]]

[[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Semiphor, Semaphor, Godzilla]]

[[Sensi|Sensi]]

[[Superpyth|Superpyth]]

[[übermässige_Temperaturen|übermässig]]

[[Verminderte_Temperaturen|vermindert]]

[[Würschmidt|Würschmidt]]  [[Category:Begriff]]
[[Category:Theorie]]
[[Category:todo:eingängiger_formulieren]]</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-11-23 16:05:16 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Regular Temperaments|English]] - [[xenharmonic/レギュラーテンペラメントとランクrテンペラメント|日本語]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "**austemperiert**" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

||~ Reine Stimmung ||~ Mitteltönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe]]).
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe|Kommapumpen]]).
* Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

=Mathematischer Ansatz= 
Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt; - &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/%E3%83%AC%E3%82%AE%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%83%86%E3%83%B3%E3%83%9A%E3%83%A9%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88%E3%81%A8%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%AFr%E3%83%86%E3%83%B3%E3%83%9A%E3%83%A9%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88"&amp;gt;日本語&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:10:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:10 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:11: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:11 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:12: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerung"&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:12 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:13: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:14: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Mathematischer Ansatz"&amp;gt;Mathematischer Ansatz&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:14 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:15: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16: --&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;hr /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)&amp;lt;/a&amp;gt; liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;austemperiert&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Reine Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Mitteltönige Temperatur&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Gleichstufige Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle rein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
&amp;lt;/table&amp;gt;

&amp;lt;br /&amp;gt;
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;.)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Kommapumpe"&amp;gt;Kommapumpe&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Kommapumpe"&amp;gt;Kommapumpen&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematischer Ansatz"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Mathematischer Ansatz&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Hanson%20Kleismisch"&amp;gt;Hanson/Kleismisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "**austemperiert**" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

||~ Reine Stimmung ||~ Mitteltönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe]]).
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe|Kommapumpen]]).
* Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

=Mathematischer Ansatz= 
Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
[[Hanson Kleismisch|Hanson/Kleismisch]]
[[Liese]]
[[Magische Temperaturen|magisch]]
[[xenharmonie/Mavila|Mavila]]
[[xenharmonie/maqamisch|maqamisch]]
[[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönig]] ([[viertelkomma-mitteltönig]], [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönig ]], [[septimal-mitteltönig]], [[Lucy-Stimmung]])
[[Marvel]]
[[xenharmonie/Mohajira|Mohajira]]
[[Orwell]]
[[xenharmonie/Pajara|Pajara]]
[[Porcupine|Porcupine, Hedgehog]], [[Nautilus]]
[[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräisch]]
[[Schismatische Temperaturen|Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi]]
[[Semiphor, Semaphor, Godzilla]]
[[Sensi]]
[[xenharmonie/Superpyth|Superpyth]]
[[übermässige Temperaturen|übermässig]]
[[Würschmidt]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt; - &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/%E3%83%AC%E3%82%AE%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%83%86%E3%83%B3%E3%83%9A%E3%83%A9%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88%E3%81%A8%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%AFr%E3%83%86%E3%83%B3%E3%83%9A%E3%83%A9%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88"&amp;gt;日本語&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)&amp;lt;/a&amp;gt; liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;austemperiert&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;
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Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;.)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Kommapumpe"&amp;gt;Kommapumpe&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Kommapumpe"&amp;gt;Kommapumpen&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematischer Ansatz"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Mathematischer Ansatz&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Hanson%20Kleismisch"&amp;gt;Hanson/Kleismisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Liese"&amp;gt;Liese&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Magische%20Temperaturen"&amp;gt;magisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&amp;gt;Superpyth&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Regular Temperaments|English]] - [[xenharmonic/レギュラーテンペラメントとランクrテンペラメント|日本語]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

[[toc|flat]]
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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "**austemperiert**" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

||~ Reine Stimmung ||~ Mitteltönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe]]).
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe|Kommapumpen]]).
* Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

=Mathematischer Ansatz= 
Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt; - &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/%E3%83%AC%E3%82%AE%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%83%86%E3%83%B3%E3%83%9A%E3%83%A9%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88%E3%81%A8%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%AFr%E3%83%86%E3%83%B3%E3%83%9A%E3%83%A9%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88"&amp;gt;日本語&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:10:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:10 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:11: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:11 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:12: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerung"&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:12 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:13: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:14: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Mathematischer Ansatz"&amp;gt;Mathematischer Ansatz&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:14 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:15: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16: --&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;hr /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)&amp;lt;/a&amp;gt; liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;austemperiert&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Reine Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Mitteltönige Temperatur&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Gleichstufige Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle rein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
&amp;lt;/table&amp;gt;

&amp;lt;br /&amp;gt;
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;.)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Kommapumpe"&amp;gt;Kommapumpe&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Kommapumpe"&amp;gt;Kommapumpen&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematischer Ansatz"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Mathematischer Ansatz&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
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      </contributor>
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&amp;lt;/span&amp;gt;
Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "**austemperiert**" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

||~ Reine Stimmung ||~ Mitteltönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe]]).
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe|Kommapumpen]]).
* Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

=Mathematischer Ansatz= 
Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
[[Hanson Kleismisch|Hanson/Kleismisch]]
[[Liese]]
[[Magische Temperaturen|magisch]]
[[xenharmonie/Mavila|Mavila]]
[[xenharmonie/maqamisch|maqamisch]]
[[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönig]] ([[viertelkomma-mitteltönig]], [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönig ]], [[septimal-mitteltönig]], [[Lucy-Stimmung]])
[[xenharmonie/Mohajira|Mohajira]]
[[Orwell]]
[[xenharmonie/Pajara|Pajara]]
[[Porcupine|Porcupine, Hedgehog, Nautilus]]
[[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräisch]]
[[Schismatische Temperaturen|Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi]]
[[Semiphor, Semaphor, Godzilla]]
[[Sensi]]
[[xenharmonie/Superpyth|Superpyth]]
[[übermässige Temperaturen|übermässig]]
[[Würschmidt]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt; - &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/%E3%83%AC%E3%82%AE%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%83%86%E3%83%B3%E3%83%9A%E3%83%A9%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88%E3%81%A8%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%AFr%E3%83%86%E3%83%B3%E3%83%9A%E3%83%A9%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88"&amp;gt;日本語&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;austemperiert&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;
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Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;.)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Kommapumpe"&amp;gt;Kommapumpe&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Kommapumpe"&amp;gt;Kommapumpen&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematischer Ansatz"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Mathematischer Ansatz&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Hanson%20Kleismisch"&amp;gt;Hanson/Kleismisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Liese"&amp;gt;Liese&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Magische%20Temperaturen"&amp;gt;magisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/maqamisch"&amp;gt;maqamisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;viertelkomma-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;drittelkomma-mitteltönig &amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/septimal-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;septimal-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mohajira"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Orwell"&amp;gt;Orwell&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine, Hedgehog, Nautilus&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Schismatische%20Temperaturen"&amp;gt;Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Semiphor%2C%20Semaphor%2C%20Godzilla"&amp;gt;Semiphor, Semaphor, Godzilla&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sensi"&amp;gt;Sensi&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&amp;gt;Superpyth&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/%C3%BCberm%C3%A4ssige%20Temperaturen"&amp;gt;übermässig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/W%C3%BCrschmidt"&amp;gt;Würschmidt&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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      <comment>**Imported revision 612101811 - Original comment: **</comment>
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      <text bytes="32801" sha1="6d2emxfk7h4f7t4alevsszoukycu380" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-05-04 07:42:28 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;612101811&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Regular Temperaments|English]] - [[xenharmonic/レギュラーテンペラメントとランクrテンペラメント|日本語]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

[[toc|flat]]
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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "**austemperiert**" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

||~ Reine Stimmung ||~ Mitteltönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe]]).
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe|Kommapumpen]]).
* Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

=Mathematischer Ansatz= 
Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt; - &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/%E3%83%AC%E3%82%AE%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%83%86%E3%83%B3%E3%83%9A%E3%83%A9%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88%E3%81%A8%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%AFr%E3%83%86%E3%83%B3%E3%83%9A%E3%83%A9%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88"&amp;gt;日本語&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:10:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:10 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:11: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:11 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:12: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerung"&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:12 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:13: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:14: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Mathematischer Ansatz"&amp;gt;Mathematischer Ansatz&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:14 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:15: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16: --&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;hr /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)&amp;lt;/a&amp;gt; liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;austemperiert&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Reine Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Mitteltönige Temperatur&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Gleichstufige Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle rein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
&amp;lt;/table&amp;gt;

&amp;lt;br /&amp;gt;
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;.)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Kommapumpe"&amp;gt;Kommapumpe&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Kommapumpe"&amp;gt;Kommapumpen&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematischer Ansatz"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Mathematischer Ansatz&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "**austemperiert**" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

||~ Reine Stimmung ||~ Mitteltönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe]]).
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe|Kommapumpen]]).
* Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

=Mathematischer Ansatz= 
Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
[[Hanson Kleismisch|Hanson/Kleismisch]]
[[Magische Temperaturen|magisch]]
[[xenharmonie/Mavila|Mavila]]
[[xenharmonie/maqamisch|maqamisch]]
[[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönig]] ([[viertelkomma-mitteltönig]], [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönig ]], [[septimal-mitteltönig]], [[Lucy-Stimmung]])
[[xenharmonie/Mohajira|Mohajira]]
[[Orwell]]
[[xenharmonie/Pajara|Pajara]]
[[xenharmonie/Porcupine|Porcupine]]
[[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräisch]]
[[Schismatische Temperaturen|Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi]]
[[Semiphor, Semaphor, Godzilla]]
[[Sensi]]
[[xenharmonie/Superpyth|Superpyth]]
[[übermässige Temperaturen|übermässig]]
[[Würschmidt]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt; - &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/%E3%83%AC%E3%82%AE%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%83%86%E3%83%B3%E3%83%9A%E3%83%A9%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88%E3%81%A8%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%AFr%E3%83%86%E3%83%B3%E3%83%9A%E3%83%A9%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88"&amp;gt;日本語&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;austemperiert&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;
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Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;.)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Kommapumpe"&amp;gt;Kommapumpe&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Kommapumpe"&amp;gt;Kommapumpen&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematischer Ansatz"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Mathematischer Ansatz&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Hanson%20Kleismisch"&amp;gt;Hanson/Kleismisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Magische%20Temperaturen"&amp;gt;magisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/maqamisch"&amp;gt;maqamisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;viertelkomma-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;drittelkomma-mitteltönig &amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/septimal-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;septimal-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mohajira"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Orwell"&amp;gt;Orwell&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Schismatische%20Temperaturen"&amp;gt;Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Semiphor%2C%20Semaphor%2C%20Godzilla"&amp;gt;Semiphor, Semaphor, Godzilla&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sensi"&amp;gt;Sensi&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&amp;gt;Superpyth&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/%C3%BCberm%C3%A4ssige%20Temperaturen"&amp;gt;übermässig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/W%C3%BCrschmidt"&amp;gt;Würschmidt&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2016-07-09 06:28:15 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Regular Temperaments|English]] - [[xenharmonic/レギュラーテンペラメントとランクrテンペラメント|日本語]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

[[toc|flat]]
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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "**austemperiert**" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

||~ Reine Stimmung ||~ Mitteltönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe]]).
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe|Kommapumpen]]).
* Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

=Mathematischer Ansatz= 
Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt; - &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/%E3%83%AC%E3%82%AE%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%83%86%E3%83%B3%E3%83%9A%E3%83%A9%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88%E3%81%A8%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%AFr%E3%83%86%E3%83%B3%E3%83%9A%E3%83%A9%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88"&amp;gt;日本語&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:10:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:10 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:11: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:11 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:12: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerung"&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:12 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:13: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:14: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Mathematischer Ansatz"&amp;gt;Mathematischer Ansatz&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:14 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:15: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16: --&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;hr /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)&amp;lt;/a&amp;gt; liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;austemperiert&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Reine Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Mitteltönige Temperatur&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Gleichstufige Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle rein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
&amp;lt;/table&amp;gt;

&amp;lt;br /&amp;gt;
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;.)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Kommapumpe"&amp;gt;Kommapumpe&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Kommapumpe"&amp;gt;Kommapumpen&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematischer Ansatz"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Mathematischer Ansatz&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Hanson%20Kleismisch"&amp;gt;Hanson/Kleismisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Magische%20Temperaturen"&amp;gt;magisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "**austemperiert**" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

||~ Reine Stimmung ||~ Mitteltönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe]]).
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.
* Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe|Kommapumpen]]) unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

=Mathematischer Ansatz= 
Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
[[Hanson Kleismisch|Hanson/Kleismisch]]
[[Magische Temperaturen|magisch]]
[[xenharmonie/Mavila|Mavila]]
[[xenharmonie/maqamisch|maqamisch]]
[[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönig]] ([[viertelkomma-mitteltönig]], [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönig ]], [[septimal-mitteltönig]], [[Lucy-Stimmung]])
[[xenharmonie/Mohajira|Mohajira]]
[[Orwell]]
[[xenharmonie/Pajara|Pajara]]
[[xenharmonie/Porcupine|Porcupine]]
[[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräisch]]
[[Schismatische Temperaturen|Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi]]
[[Sensi]]
[[xenharmonie/Superpyth|Superpyth]]
[[übermässige Temperaturen|übermässig]]
[[Würschmidt]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt; - &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/%E3%83%AC%E3%82%AE%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%83%86%E3%83%B3%E3%83%9A%E3%83%A9%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88%E3%81%A8%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%AFr%E3%83%86%E3%83%B3%E3%83%9A%E3%83%A9%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88"&amp;gt;日本語&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;austemperiert&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;
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Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;.)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Kommapumpe"&amp;gt;Kommapumpe&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Kommapumpe"&amp;gt;Kommapumpen&amp;lt;/a&amp;gt;) unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematischer Ansatz"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Mathematischer Ansatz&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Hanson%20Kleismisch"&amp;gt;Hanson/Kleismisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Magische%20Temperaturen"&amp;gt;magisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Regular Temperaments|English]] - [[xenharmonic/レギュラーテンペラメントとランクrテンペラメント|日本語]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

[[toc|flat]]
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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "**austemperiert**" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

||~ Reine Stimmung ||~ Mitteltönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.
&amp;gt; Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

=Mathematischer Ansatz= 
Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt; - &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/%E3%83%AC%E3%82%AE%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%83%86%E3%83%B3%E3%83%9A%E3%83%A9%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88%E3%81%A8%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%AFr%E3%83%86%E3%83%B3%E3%83%9A%E3%83%A9%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88"&amp;gt;日本語&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:10:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:10 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:11: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:11 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:12: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerung"&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:12 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:13: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:14: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Mathematischer Ansatz"&amp;gt;Mathematischer Ansatz&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:14 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:15: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16: --&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;hr /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)&amp;lt;/a&amp;gt; liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;austemperiert&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Reine Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Mitteltönige Temperatur&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Gleichstufige Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle rein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
&amp;lt;/table&amp;gt;

&amp;lt;br /&amp;gt;
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;.)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematischer Ansatz"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Mathematischer Ansatz&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Hanson%20Kleismisch"&amp;gt;Hanson/Kleismisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Magische%20Temperaturen"&amp;gt;magisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/maqamisch"&amp;gt;maqamisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;viertelkomma-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;drittelkomma-mitteltönig &amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/septimal-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;septimal-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "**austemperiert**" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

||~ Reine Stimmung ||~ Mitteltönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.
&amp;gt; Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

=Mathematischer Ansatz= 
Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
[[Hanson Kleismisch|Hanson/Kleismisch]]
[[Magische Temperaturen|magisch]]
[[xenharmonie/Mavila|Mavila]]
[[xenharmonie/maqamisch|maqamisch]]
[[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönig]] ([[viertelkomma-mitteltönig]], [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönig ]], [[septimal-mitteltönig]], [[Lucy-Stimmung]])
[[xenharmonie/Mohajira|Mohajira]]
[[Orwell]]
[[xenharmonie/Pajara|Pajara]]
[[xenharmonie/Porcupine|Porcupine]]
[[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräisch]]
[[Schismatische Temperaturen|Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi]]
[[xenharmonie/Superpyth|Superpyth]]
[[übermässige Temperaturen|übermässig]]
[[Würschmidt]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt; - &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/%E3%83%AC%E3%82%AE%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%83%86%E3%83%B3%E3%83%9A%E3%83%A9%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88%E3%81%A8%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%AFr%E3%83%86%E3%83%B3%E3%83%9A%E3%83%A9%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88"&amp;gt;日本語&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;austemperiert&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;.)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematischer Ansatz"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Mathematischer Ansatz&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Hanson%20Kleismisch"&amp;gt;Hanson/Kleismisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

[[toc|flat]]
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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "**austemperiert**" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

||~ Reine Stimmung ||~ Mitteltönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.
&amp;gt; Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

=Mathematischer Ansatz= 
Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
[[Hanson Kleismisch|Hanson/Kleismisch]]
[[Magische Temperaturen|magisch]]
[[xenharmonie/Mavila|Mavila]]
[[xenharmonie/maqamisch|maqamisch]]
[[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönig]] ([[viertelkomma-mitteltönig]], [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönig ]], [[septimal-mitteltönig]], [[Lucy-Stimmung]])
[[xenharmonie/Mohajira|Mohajira]]
[[Orwell]]
[[xenharmonie/Pajara|Pajara]]
[[xenharmonie/Porcupine|Porcupine]]
[[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräisch]]
[[Schismatische Temperaturen|Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi]]
[[xenharmonie/Superpyth|Superpyth]]
[[übermässige Temperaturen|übermässig]]
[[Würschmidt]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:10:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:10 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:11: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:11 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:12: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerung"&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:12 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:13: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:14: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Mathematischer Ansatz"&amp;gt;Mathematischer Ansatz&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:14 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:15: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16: --&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;hr /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)&amp;lt;/a&amp;gt; liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;austemperiert&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Reine Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Mitteltönige Temperatur&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Gleichstufige Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle rein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
&amp;lt;/table&amp;gt;

&amp;lt;br /&amp;gt;
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;.)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematischer Ansatz"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Mathematischer Ansatz&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Hanson%20Kleismisch"&amp;gt;Hanson/Kleismisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Magische%20Temperaturen"&amp;gt;magisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/maqamisch"&amp;gt;maqamisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;viertelkomma-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;drittelkomma-mitteltönig &amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/septimal-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;septimal-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mohajira"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/W%C3%BCrschmidt"&amp;gt;Würschmidt&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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      <comment>**Imported revision 518439446 - Original comment: **</comment>
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      <text bytes="31694" sha1="21vi2wdzhg0vymyqv1gc6mo3hr3rdzd" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Regular Temperaments]]

Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "**austemperiert**" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

||~ Reine Stimmung ||~ Mitteltönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.
&amp;gt; Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

=Mathematischer Ansatz= 
Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
[[Hanson Kleismisch|Hanson/Kleismisch]]
[[Magische Temperaturen|magisch]]
[[xenharmonie/Mavila|Mavila]]
[[xenharmonie/maqamisch|maqamisch]]
[[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönig]] ([[viertelkomma-mitteltönig]], [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönig ]], [[septimal-mitteltönig]], [[Lucy-Stimmung]])
[[xenharmonie/Mohajira|Mohajira]]
[[xenharmonie/Pajara|Pajara]]
[[xenharmonie/Porcupine|Porcupine]]
[[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräisch]]
[[Schismatische Temperaturen|Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi]]
[[xenharmonie/Superpyth|Superpyth]]
[[übermässige Temperaturen|übermässig]]
[[Würschmidt]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;xenharmonic/Regular Temperaments&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:10:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:10 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:11: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:11 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:12: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerung"&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:12 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:13: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:14: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Mathematischer Ansatz"&amp;gt;Mathematischer Ansatz&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:14 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:15: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16: --&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)&amp;lt;/a&amp;gt; liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;austemperiert&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;
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Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;.)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematischer Ansatz"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Mathematischer Ansatz&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

[[toc|flat]]
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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "austemperiert" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:
||~ Reine Stimmung ||~ Mitteltönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.
&amp;gt; Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

=Mathematischer Ansatz= 
Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
[[Hanson Kleismisch|Hanson/Kleismisch]]
[[Magische Temperaturen|magisch]]
[[xenharmonie/Mavila|Mavila]]
[[xenharmonie/maqamisch|maqamisch]]
[[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönig]] ([[viertelkomma-mitteltönig]], [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönig ]], [[septimal-mitteltönig]], [[Lucy-Stimmung]])
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;austemperiert&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Reine Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Mitteltönige Temperatur&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Gleichstufige Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle rein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
&amp;lt;/table&amp;gt;

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;.)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematischer Ansatz"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Mathematischer Ansatz&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Hanson%20Kleismisch"&amp;gt;Hanson/Kleismisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Magische%20Temperaturen"&amp;gt;magisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/maqamisch"&amp;gt;maqamisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;viertelkomma-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;drittelkomma-mitteltönig &amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/septimal-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;septimal-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mohajira"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Schismatische%20Temperaturen"&amp;gt;Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&amp;gt;Superpyth&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/%C3%BCberm%C3%A4ssige%20Temperaturen"&amp;gt;übermässig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/W%C3%BCrschmidt"&amp;gt;Würschmidt&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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      <comment>**Imported revision 475806782 - Original comment: **</comment>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-12-09 02:55:01 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Regular Temperaments]]

Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

[[toc|flat]]
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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "austemperiert" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:
||~ Reine Stimmung ||~ Mitteltönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.
&amp;gt; Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

=Mathematischer Ansatz= 
Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
[[Hanson Kleismisch|Hanson/Kleismisch]]
[[Magische Temperaturen|magisch]]
[[xenharmonie/Mavila|Mavila]]
[[xenharmonie/maqamisch|maqamisch]]
[[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönig]] ([[viertelkomma-mitteltönig]], [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönig ]], [[septimal-mitteltönig]], [[Lucy-Stimmung]])
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[[xenharmonie/Porcupine|Porcupine]]
[[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräisch]]
[[xenharmonie/Superpyth|Superpyth]]
[[übermässige Temperaturen|übermässig]]
[[Würschmidt]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;xenharmonic/Regular Temperaments&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:10:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:10 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:11: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:11 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:12: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerung"&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:12 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:13: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:14: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Mathematischer Ansatz"&amp;gt;Mathematischer Ansatz&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:14 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:15: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16: --&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;hr /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;austemperiert&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Reine Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Mitteltönige Temperatur&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Gleichstufige Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle rein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
&amp;lt;/table&amp;gt;

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;.)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematischer Ansatz"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Mathematischer Ansatz&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Hanson%20Kleismisch"&amp;gt;Hanson/Kleismisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Magische%20Temperaturen"&amp;gt;magisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "austemperiert" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:
||~ Reine Stimmung ||~ Mitteltönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.
&amp;gt; Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

=Mathematischer Ansatz= 
Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
[[Magische Temperaturen|magisch]]
[[xenharmonie/Mavila|Mavila]]
[[xenharmonie/maqamisch|maqamisch]]
[[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönig]] ([[viertelkomma-mitteltönig]], [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönig ]], [[septimal-mitteltönig]], [[Lucy-Stimmung]])
[[xenharmonie/Mohajira|Mohajira]]
[[xenharmonie/Pajara|Pajara]]
[[xenharmonie/Porcupine|Porcupine]]
[[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräisch]]
[[xenharmonie/Superpyth|Superpyth]]
[[übermässige Temperaturen|übermässig]]
[[Würschmidt]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;xenharmonic/Regular Temperaments&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;austemperiert&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;


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Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;.)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematischer Ansatz"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Mathematischer Ansatz&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

[[toc|flat]]
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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "austemperiert" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:
||~ Reine Stimmung ||~ Mitteltönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.
&amp;gt; Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

=Mathematischer Ansatz= 
Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
[[xenharmonie/Mavila|Mavila]]
[[xenharmonie/maqamisch|maqamisch]]
[[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönig]] ([[viertelkomma-mitteltönig]], [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönig ]], [[septimal-mitteltönig]], [[Lucy-Stimmung]])
[[xenharmonie/Mohajira|Mohajira]]
[[xenharmonie/Pajara|Pajara]]
[[xenharmonie/Porcupine|Porcupine]]
[[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräisch]]
[[xenharmonie/Superpyth|Superpyth]]
[[übermässige Temperaturen|übermässig]]
[[Würschmidt]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:10:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:10 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:11: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:11 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:12: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerung"&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:12 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:13: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:14: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Mathematischer Ansatz"&amp;gt;Mathematischer Ansatz&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:14 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:15: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16: --&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;hr /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;austemperiert&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Reine Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Mitteltönige Temperatur&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Gleichstufige Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle rein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
&amp;lt;/table&amp;gt;

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;.)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematischer Ansatz"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Mathematischer Ansatz&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/maqamisch"&amp;gt;maqamisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="/viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;viertelkomma-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;drittelkomma-mitteltönig &amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/septimal-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;septimal-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mohajira"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&amp;gt;Superpyth&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/%C3%BCberm%C3%A4ssige%20Temperaturen"&amp;gt;übermässig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/W%C3%BCrschmidt"&amp;gt;Würschmidt&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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      <comment>**Imported revision 444808822 - Original comment: **</comment>
      <origin>1007</origin>
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-08-14 15:00:47 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

[[toc|flat]]
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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "austemperiert" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:
||~ Reine Stimmung ||~ Mitteltönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.
&amp;gt; Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

=Mathematischer Ansatz= 
Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
[[xenharmonie/Mavila|Mavila]]
[[xenharmonie/maqamisch|maqamisch]]
[[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönig]] ([[viertelkomma-mitteltönig]], [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönig ]], [[septimal-mitteltönig]], [[Lucy-Stimmung]])
[[xenharmonie/Mohajira|Mohajira]]
[[xenharmonie/Pajara|Pajara]]
[[xenharmonie/Porcupine|Porcupine]]
[[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräisch]]
[[xenharmonie/Superpyth|Superpyth]]
[[übermässige Temperaturen|übermässig]]
[[Würschmidt]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:10:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:10 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:11: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:11 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:12: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerung"&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:12 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:13: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:14: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Mathematischer Ansatz"&amp;gt;Mathematischer Ansatz&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:14 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:15: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16: --&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;hr /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;austemperiert&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;


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&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
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Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;.)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematischer Ansatz"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Mathematischer Ansatz&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "austemperiert" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:
||~ Reine Stimmung ||~ Mitteltönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.
&amp;gt; Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

=Mathematischer Ansatz= 
Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
[[xenharmonie/Mavila|Mavila]]
[[xenharmonie/maqamisch|maqamisch]]
[[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönig]] ([[viertelkomma-mitteltönig]], [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönig ]], [[septimal-mitteltönig]], [[Lucy-Stimmung]])
[[xenharmonie/Mohajira|Mohajira]]
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[[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräisch]]
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[[übermässige Temperaturen|übermässig]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;austemperiert&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;


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    &amp;lt;/tr&amp;gt;
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Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;.)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematischer Ansatz"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Mathematischer Ansatz&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/maqamisch"&amp;gt;maqamisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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      <timestamp>2013-07-16T07:01:09Z</timestamp>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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      <comment>**Imported revision 441457722 - Original comment: **</comment>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

[[toc|flat]]
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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "austemperiert" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:
||~ Reine Stimmung ||~ Mitteltönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.
&amp;gt; Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

=Mathematischer Ansatz= 
Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
[[xenharmonie/Mavila|Mavila]]
[[xenharmonie/maqamisch|maqamisch]]
[[xenharmonie/mitteltönig|mitteltönig]] ([[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig|Drittelkomma-mitteltönig ]], [[viertelkomma-mitteltönig]], [[Lucy-Stimmung]])
[[xenharmonie/Mohajira|Mohajira]]
[[xenharmonie/Pajara|Pajara]]
[[xenharmonie/Porcupine|Porcupine]]
[[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräisch]]
[[xenharmonie/Superpyth|Superpyth]]
[[xenharmonie/übermässige Temperaturen|übermässige Temperaturen]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:10:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:10 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:11: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:11 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:12: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerung"&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:12 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:13: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:14: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Mathematischer Ansatz"&amp;gt;Mathematischer Ansatz&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:14 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:15: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16: --&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;hr /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;austemperiert&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Reine Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Mitteltönige Temperatur&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Gleichstufige Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle rein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
&amp;lt;/table&amp;gt;

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;.)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematischer Ansatz"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Mathematischer Ansatz&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/maqamisch"&amp;gt;maqamisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;Drittelkomma-mitteltönig &amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;viertelkomma-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mohajira"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&amp;gt;Superpyth&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/%C3%BCberm%C3%A4ssige%20Temperaturen"&amp;gt;übermässige Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "austemperiert" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:
||~ Reine Stimmung ||~ Mitteltönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.
&amp;gt; Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

=Mathematischer Ansatz= 
Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
[[include component="pageList" hideInternal="true" tag="Temperatur" limit="10"]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:11:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:11 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:12: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:12 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:13: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerung"&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:14: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:14 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:15: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Mathematischer Ansatz"&amp;gt;Mathematischer Ansatz&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17: --&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;hr /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:1:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:1 --&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;austemperiert&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;


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&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
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Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;.)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematischer Ansatz"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;Mathematischer Ansatz&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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[[toc|flat]]
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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "austemperiert" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:
||~ Reine Stimmung ||~ Mitteltönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form (d.g. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.
&amp;gt; Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, wleches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

=Mathematischer Ansatz= 
Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
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 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;austemperiert&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;


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        &amp;lt;td&amp;gt;Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen in MOS-Form (d.g. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
&amp;lt;/table&amp;gt;

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, wleches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematischer Ansatz"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;Mathematischer Ansatz&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextIncludeRule:00:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/include/pageList?w=200&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaInclude&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@include@@component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Include pageList: component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="includeBody"&amp;gt;&amp;lt;ol class="includePageList"&amp;gt;
              &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Drittelkomma-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Hanson+Kleismisch" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Hanson Kleismisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Liese" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Liese&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Magische+Temperaturen" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Magische Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/maqamisch" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;maqamisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mavila" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mohajira" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Orwell" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Orwell&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
      &amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextIncludeRule:00 --&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

[[toc|flat]]
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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "austemperiert" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:
||~ Reine Stimmung ||~ Mitteltönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form (d.g. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.
&amp;gt; Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, wleches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt die Bedeutung, die ein Komma musikalisch haben kann - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche dem Xenharmoniker sofort zur Verfügung stehen.

=Mathematische Betrachtung= 
Den Vorgang des Austemperierens kann man etwas strenger mathematisch im [[Intervallraum]] anschauen.

Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4}*3^4*5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submoduls betrachtet.

Jede [[http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20|Basis]] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll.

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

XXX

=Verallgemeinerte reguläre Temperaturen= 
Die im vorigen Kapitel beschriebene Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur kann man [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperatur]] (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]) nennen. Die verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc.

Streng mathematisch gesehen umfasst die verallgemeinerte mitteltönige Temperatur auch die rein [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

=Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.

[[Tsaharuk]] ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und MOS-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
[[include component="pageList" hideInternal="true" tag="Temperatur" limit="10"]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerung"&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Mathematische Betrachtung"&amp;gt;Mathematische Betrachtung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:20 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:21: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:21 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:22: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:22 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:23: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:23 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:24: --&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:24 --&amp;gt;&amp;lt;hr /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;austemperiert&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Reine Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Mitteltönige Temperatur&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Gleichstufige Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle rein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen in MOS-Form (d.g. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
&amp;lt;/table&amp;gt;

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, wleches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt die Bedeutung, die ein Komma musikalisch haben kann - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche dem Xenharmoniker sofort zur Verfügung stehen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematische Betrachtung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Mathematische Betrachtung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Den Vorgang des Austemperierens kann man etwas strenger mathematisch im &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; anschauen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
2^{-4}*3^4*5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4}*3^4*5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;amp;gt; generierten Submoduls betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Jede &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20" rel="nofollow"&amp;gt;Basis&amp;lt;/a&amp;gt; des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:10:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:10 --&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die im vorigen Kapitel beschriebene Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur kann man &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) nennen. Die verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Streng mathematisch gesehen umfasst die verallgemeinerte mitteltönige Temperatur auch die rein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung (reine Quinten) sowie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme (erhöhte Quinten).&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 --&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Tsaharuk"&amp;gt;Tsaharuk&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und MOS-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:14:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:14 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextIncludeRule:00:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/include/pageList?w=200&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaInclude&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@include@@component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Include pageList: component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="includeBody"&amp;gt;&amp;lt;ol class="includePageList"&amp;gt;
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

[[toc|flat]]
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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "austemperiert" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:
||~ Reine Stimmung ||~ Mitteltönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form (d.g. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.
&amp;gt; Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, wleches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt die Bedeutung, die ein Komma musikalisch haben kann - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche dem Xenharmoniker sofort zur Verfügung stehen.

=Mathematische Betrachtung= 
Den Vorgang des Austemperierens kann man etwas strenger mathematisch im [[Intervallraum]] anschauen.

Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4}*3^4*5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submoduls betrachtet.

Jede [[http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20|Basis]] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll.

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

XXX

=Verallgemeinerte reguläre Temperaturen= 
Die im vorigen Kapitel beschriebene Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur kann man [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperatur]] (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]) nennen. Die verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc.

=Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.

[[Tsaharuk]] ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und MOS-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
[[include component="pageList" hideInternal="true" tag="Temperatur" limit="10"]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerung"&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Mathematische Betrachtung"&amp;gt;Mathematische Betrachtung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:20 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:21: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:21 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:22: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:22 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:23: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:23 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:24: --&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:24 --&amp;gt;&amp;lt;hr /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;austemperiert&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Reine Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Mitteltönige Temperatur&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Gleichstufige Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle rein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen in MOS-Form (d.g. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
&amp;lt;/table&amp;gt;

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, wleches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt die Bedeutung, die ein Komma musikalisch haben kann - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche dem Xenharmoniker sofort zur Verfügung stehen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematische Betrachtung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Mathematische Betrachtung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Den Vorgang des Austemperierens kann man etwas strenger mathematisch im &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; anschauen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
2^{-4}*3^4*5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4}*3^4*5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;amp;gt; generierten Submoduls betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Jede &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20" rel="nofollow"&amp;gt;Basis&amp;lt;/a&amp;gt; des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
XXX&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:10:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:10 --&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die im vorigen Kapitel beschriebene Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur kann man &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) nennen. Die verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 --&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Tsaharuk"&amp;gt;Tsaharuk&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und MOS-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:14:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:14 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "austemperiert" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:
||~ Reine Stimmung ||~ Mitteltönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.
&amp;gt; Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, wleches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt die Bedeutung, die ein Komma musikalisch haben kann - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

=Mathematische Betrachtung= 
Den Vorgang des Austemperierens kann man etwas strenger mathematisch im [[Intervallraum]] anschauen.

Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4}*3^4*5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submoduls betrachtet.

Jede [[http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20|Basis]] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll.

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

XXX

=Verallgemeinerte reguläre Temperaturen= 
Die im vorigen Kapitel beschriebene Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur kann man [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperatur]] (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]) nennen. Die verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc.

=Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.

[[Tsaharuk]] ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und MOS-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

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 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;austemperiert&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Reine Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Mitteltönige Temperatur&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Gleichstufige Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle rein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
&amp;lt;/table&amp;gt;

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, wleches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt die Bedeutung, die ein Komma musikalisch haben kann - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematische Betrachtung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Mathematische Betrachtung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Den Vorgang des Austemperierens kann man etwas strenger mathematisch im &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; anschauen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
2^{-4}*3^4*5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4}*3^4*5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;amp;gt; generierten Submoduls betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Jede &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20" rel="nofollow"&amp;gt;Basis&amp;lt;/a&amp;gt; des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
XXX&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:10:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:10 --&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die im vorigen Kapitel beschriebene Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur kann man &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) nennen. Die verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 --&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Tsaharuk"&amp;gt;Tsaharuk&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und MOS-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:14:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:14 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextIncludeRule:00:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/include/pageList?w=200&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaInclude&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@include@@component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Include pageList: component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="includeBody"&amp;gt;&amp;lt;ol class="includePageList"&amp;gt;
              &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Drittelkomma-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Hanson+Kleismisch" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Hanson Kleismisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Liese" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Liese&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Magische+Temperaturen" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Magische Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/maqamisch" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;maqamisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mavila" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mohajira" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Orwell" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Orwell&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
      &amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextIncludeRule:00 --&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "austemperiert" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:
||~ Reine Stimmung ||~ Mitteltönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.
&amp;gt; Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, wleches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt die Bedeutung, die ein Komma musikalisch haben kann - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

=Mathematische Betrachtung= 
Den Vorgang des Austemperierens kann man etwas strenger mathematisch im [[Intervallraum]] anschauen.

Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4}*3^4*5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submoduls betrachtet.

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

XXX

=Verallgemeinerte reguläre Temperaturen= 
Die im vorigen Kapitel beschriebene Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur kann man [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperatur]] (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]) nennen. Die verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc.

=Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.

[[Tsaharuk]] ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und MOS-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
[[include component="pageList" hideInternal="true" tag="Temperatur" limit="10"]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerung"&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Mathematische Betrachtung"&amp;gt;Mathematische Betrachtung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:20 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:21: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:21 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:22: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:22 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:23: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:23 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:24: --&amp;gt;
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 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;austemperiert&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;


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Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
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Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, wleches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt die Bedeutung, die ein Komma musikalisch haben kann - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematische Betrachtung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Mathematische Betrachtung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Den Vorgang des Austemperierens kann man etwas strenger mathematisch im &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; anschauen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
2^{-4}*3^4*5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4}*3^4*5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;amp;gt; generierten Submoduls betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
XXX&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:10:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:10 --&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die im vorigen Kapitel beschriebene Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur kann man &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) nennen. Die verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 --&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Tsaharuk"&amp;gt;Tsaharuk&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und MOS-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:14:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:14 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextIncludeRule:00:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/include/pageList?w=200&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaInclude&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@include@@component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Include pageList: component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="includeBody"&amp;gt;&amp;lt;ol class="includePageList"&amp;gt;
              &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Drittelkomma-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Hanson+Kleismisch" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Hanson Kleismisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Liese" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Liese&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Magische+Temperaturen" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Magische Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/maqamisch" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;maqamisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mavila" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mohajira" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Orwell" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Orwell&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
      &amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextIncludeRule:00 --&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-04 03:07:27 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

[[toc|flat]]
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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "austemperiert" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:
||~ Reine Stimmung ||~ Mitteltönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle reinzeichnen. || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]]die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.
&amp;gt; Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, wleches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt die Bedeutung, die ein Komma musikalisch haben kann - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

=Mathematische Betrachtung= 
Den Vorgang des Austemperierens kann man etwas strenger mathematisch im [[Intervallraum]] anschauen.

Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4}*3^4*5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submoduls betrachtet.

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

XXX

=Verallgemeinerte reguläre Temperaturen= 
Die im vorigen Kapitel beschriebene Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur kann man [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperatur]] (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]) nennen. Die verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc.

=Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.

[[Tsaharuk]] ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und MOS-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
[[include component="pageList" hideInternal="true" tag="Temperatur" limit="10"]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerung"&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Mathematische Betrachtung"&amp;gt;Mathematische Betrachtung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:20 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:21: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:21 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:22: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:22 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:23: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:23 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:24: --&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:24 --&amp;gt;&amp;lt;hr /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;austemperiert&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Reine Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Mitteltönige Temperatur&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Gleichstufige Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle reinzeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
&amp;lt;/table&amp;gt;

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, wleches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt die Bedeutung, die ein Komma musikalisch haben kann - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematische Betrachtung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Mathematische Betrachtung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Den Vorgang des Austemperierens kann man etwas strenger mathematisch im &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; anschauen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
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 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4}*3^4*5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;amp;gt; generierten Submoduls betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:10:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:10 --&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die im vorigen Kapitel beschriebene Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur kann man &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) nennen. Die verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 --&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Tsaharuk"&amp;gt;Tsaharuk&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und MOS-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:14:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:14 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextIncludeRule:00:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/include/pageList?w=200&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaInclude&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@include@@component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Include pageList: component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="includeBody"&amp;gt;&amp;lt;ol class="includePageList"&amp;gt;
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "austemperiert" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:
||~ Reine Stimmung ||~ Mitteltönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle reinzeichnen. || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]]die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.
&amp;gt; Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, wleches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt die Bedeutung, die ein Komma musikalisch haben kann - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

=Mathematische Betrachtung= 
Den Vorgang des Austemperierens kann man etwas strenger mathematisch im [[Intervallraum]] anschauen.

Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4}*3^4*5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submoduls betrachtet.

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

XXX

=Verallgemeinerte reguläre Temperaturen= 
Die im vorigen Kapitel beschriebene Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur kann man [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperatur]] (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]) nennen. Die verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc.

=Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.

[[Tsaharuk]] ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und MOS-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen Intervallraum mit Primzahl 7.

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
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&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerung"&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Mathematische Betrachtung"&amp;gt;Mathematische Betrachtung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:20 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:21: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:21 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:22: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:22 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:23: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:23 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:24: --&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:24 --&amp;gt;&amp;lt;hr /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;austemperiert&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Reine Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Mitteltönige Temperatur&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Gleichstufige Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle reinzeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
&amp;lt;/table&amp;gt;

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, wleches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt die Bedeutung, die ein Komma musikalisch haben kann - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematische Betrachtung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Mathematische Betrachtung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Den Vorgang des Austemperierens kann man etwas strenger mathematisch im &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; anschauen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
2^{-4}*3^4*5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4}*3^4*5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;amp;gt; generierten Submoduls betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
XXX&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:10:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:10 --&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die im vorigen Kapitel beschriebene Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur kann man &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) nennen. Die verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 --&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Tsaharuk"&amp;gt;Tsaharuk&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und MOS-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel im vierdimensionalen Intervallraum mit Primzahl 7.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:14:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:14 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "austemperiert" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:
||~ Reine Stimmung ||~ Mitteltönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle reinzeichnen. || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]]die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.
&amp;gt; Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, wleches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss insbesondere beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt die Bedeutung, die ein Komma musikalisch haben kann - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

=Mathematische Betrachtung= 
Den Vorgang des Austemperierens kann man etwas strenger mathematisch im [[Intervallraum]] anschauen.

Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4}*3^4*5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submoduls betrachtet.

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

XXX

=Verallgemeinerte reguläre Temperaturen= 
Die im vorigen Kapitel beschriebene Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur kann man [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperatur]] (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]) nennen. Die verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc.

=Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.

[[Tsaharuk]] ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und MOS-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen Intervallraum mit Primzahl 7.

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

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 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;austemperiert&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;


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        &amp;lt;td&amp;gt;Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
&amp;lt;/table&amp;gt;

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, wleches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss insbesondere beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt die Bedeutung, die ein Komma musikalisch haben kann - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematische Betrachtung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Mathematische Betrachtung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Den Vorgang des Austemperierens kann man etwas strenger mathematisch im &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; anschauen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
2^{-4}*3^4*5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4}*3^4*5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;amp;gt; generierten Submoduls betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
XXX&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:10:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:10 --&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die im vorigen Kapitel beschriebene Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur kann man &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) nennen. Die verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 --&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Tsaharuk"&amp;gt;Tsaharuk&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und MOS-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel im vierdimensionalen Intervallraum mit Primzahl 7.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:14:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:14 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextIncludeRule:00:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/include/pageList?w=200&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaInclude&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@include@@component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Include pageList: component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="includeBody"&amp;gt;&amp;lt;ol class="includePageList"&amp;gt;
              &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Drittelkomma-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Hanson+Kleismisch" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Hanson Kleismisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Liese" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Liese&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Magische+Temperaturen" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Magische Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/maqamisch" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;maqamisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mavila" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mohajira" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Orwell" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Orwell&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
      &amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextIncludeRule:00 --&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-04 03:04:16 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

[[toc|flat]]
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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "austemperiert" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:
||~ Reine Stimmung ||~ Mitteltönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle reinzeichnen. || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]]die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.
&amp;gt; Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, wleches dem [[Alphorn-Fa]]ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss insbesondere beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt die Bedeutung, die ein Komma musikalisch haben kann - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

=Mathematische Betrachtung= 
Den Vorgang des Austemperierens kann man etwas strenger mathematisch im [[Intervallraum]] anschauen.

Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4}*3^4*5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submoduls betrachtet.

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

XXX

=Verallgemeinerte reguläre Temperaturen= 
Die im vorigen Kapitel beschriebene Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur kann man [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperatur]] (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]) nennen. Die verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc.

=Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.

[[Tsaharuk]] ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und MOS-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen Intervallraum mit Primzahl 7.

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
[[include component="pageList" hideInternal="true" tag="Temperatur" limit="10"]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerung"&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Mathematische Betrachtung"&amp;gt;Mathematische Betrachtung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:20 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:21: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:21 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:22: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:22 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:23: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:23 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:24: --&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:24 --&amp;gt;&amp;lt;hr /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;austemperiert&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;


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Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, wleches dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt;ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss insbesondere beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt die Bedeutung, die ein Komma musikalisch haben kann - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematische Betrachtung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Mathematische Betrachtung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Den Vorgang des Austemperierens kann man etwas strenger mathematisch im &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; anschauen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
2^{-4}*3^4*5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4}*3^4*5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;amp;gt; generierten Submoduls betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
XXX&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:10:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:10 --&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die im vorigen Kapitel beschriebene Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur kann man &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) nennen. Die verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 --&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Tsaharuk"&amp;gt;Tsaharuk&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und MOS-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel im vierdimensionalen Intervallraum mit Primzahl 7.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:14:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:14 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextIncludeRule:00:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/include/pageList?w=200&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaInclude&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@include@@component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Include pageList: component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="includeBody"&amp;gt;&amp;lt;ol class="includePageList"&amp;gt;
              &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Drittelkomma-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Hanson+Kleismisch" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Hanson Kleismisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
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                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Magische+Temperaturen" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Magische Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/maqamisch" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;maqamisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mavila" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mohajira" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Orwell" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Orwell&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
      &amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextIncludeRule:00 --&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

[[toc|flat]]
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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "austemperiert" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:
||~ Reine Stimmung ||~ Mitteltönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle reinzeichnen. || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]]die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.
&amp;gt; Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern um das etwas höhere Intervall 1L+2s, das dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die erste Dur-Skala insbesondere beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt die Bedeutung, die ein Komma musikalisch haben kann - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

=Mathematische Betrachtung= 
Den Vorgang des Austemperierens kann man etwas strenger mathematisch im [[Intervallraum]] anschauen.

Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4}*3^4*5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submoduls betrachtet.

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

XXX

=Verallgemeinerte reguläre Temperaturen= 
Die im vorigen Kapitel beschriebene Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur kann man [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperatur]] (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]) nennen. Die verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc.

=Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.

[[Tsaharuk]] ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und MOS-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen Intervallraum mit Primzahl 7.

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
[[include component="pageList" hideInternal="true" tag="Temperatur" limit="10"]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerung"&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Mathematische Betrachtung"&amp;gt;Mathematische Betrachtung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:20 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:21: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:21 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:22: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:22 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:23: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:23 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:24: --&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:24 --&amp;gt;&amp;lt;hr /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;austemperiert&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Reine Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Mitteltönige Temperatur&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Gleichstufige Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle reinzeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
&amp;lt;/table&amp;gt;

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern um das etwas höhere Intervall 1L+2s, das dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die erste Dur-Skala insbesondere beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt die Bedeutung, die ein Komma musikalisch haben kann - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematische Betrachtung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Mathematische Betrachtung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Den Vorgang des Austemperierens kann man etwas strenger mathematisch im &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; anschauen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
2^{-4}*3^4*5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4}*3^4*5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;amp;gt; generierten Submoduls betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:10:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:10 --&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die im vorigen Kapitel beschriebene Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur kann man &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) nennen. Die verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 --&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Tsaharuk"&amp;gt;Tsaharuk&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und MOS-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel im vierdimensionalen Intervallraum mit Primzahl 7.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:14:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:14 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextIncludeRule:00:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/include/pageList?w=200&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaInclude&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@include@@component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Include pageList: component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="includeBody"&amp;gt;&amp;lt;ol class="includePageList"&amp;gt;
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

[[toc|flat]]
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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "austemperiert" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:
||~ Reine Stimmung ||~ Mittetönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle reinzeichnen. || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]]die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.
&amp;gt; Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern um das etwas höhere Intervall 1L+2s, das dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die erste Dur-Skala insbesondere beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt die Bedeutung, die ein Komma musikalisch haben kann - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

=Mathematische Betrachtung= 
Den Vorgang des Austemperierens kann man etwas strenger mathematisch im [[Intervallraum]] anschauen.

Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4}*3^4*5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submoduls betrachtet.

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

XXX

=Verallgemeinerte reguläre Temperaturen= 
Die im vorigen Kapitel beschriebene Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur kann man [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperatur]] (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]) nennen. Die verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc.

=Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.

[[Tsaharuk]] ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und MOS-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen Intervallraum mit Primzahl 7.

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerung"&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Mathematische Betrachtung"&amp;gt;Mathematische Betrachtung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:20 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:21: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:21 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:22: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:22 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:23: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:23 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:24: --&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:24 --&amp;gt;&amp;lt;hr /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;austemperiert&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Reine Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Mittetönige Temperatur&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Gleichstufige Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle reinzeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
&amp;lt;/table&amp;gt;

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern um das etwas höhere Intervall 1L+2s, das dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die erste Dur-Skala insbesondere beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt die Bedeutung, die ein Komma musikalisch haben kann - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematische Betrachtung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Mathematische Betrachtung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Den Vorgang des Austemperierens kann man etwas strenger mathematisch im &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; anschauen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
2^{-4}*3^4*5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4}*3^4*5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;amp;gt; generierten Submoduls betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
XXX&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:10:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:10 --&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die im vorigen Kapitel beschriebene Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur kann man &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) nennen. Die verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 --&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Tsaharuk"&amp;gt;Tsaharuk&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und MOS-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel im vierdimensionalen Intervallraum mit Primzahl 7.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:14:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:14 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "austemperiert" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:
||~ Reine Stimmung ||~ Mittetönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle reinzeichnen. || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]]die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.
&amp;gt; Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern um das etwas höhere Intervall 1L+2s, das dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die erste Dur-Skala insbesondere beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt die Bedeutung, die ein Komma musikalisch haben kann - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

=Mathematische Betrachtung= 
Den Vorgang des Austemperierens kann man etwas strenger mathematisch im [[Intervallraum]] anschauen.

Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4}*3^4*5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submoduls betrachtet.

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

XXX

=Verallgemeinerte reguläre Temperaturen= 
Die im vorigen Kapitel beschriebene Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur kann man [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperatur]] (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]) nennen. Die verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc.

=Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.

[[Tsaharuk]] ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und MOS-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen Intervallraum mit Primzahl 7.

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

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 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;austemperiert&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;


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&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
&amp;lt;/table&amp;gt;

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern um das etwas höhere Intervall 1L+2s, das dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die erste Dur-Skala insbesondere beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt die Bedeutung, die ein Komma musikalisch haben kann - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematische Betrachtung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Mathematische Betrachtung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Den Vorgang des Austemperierens kann man etwas strenger mathematisch im &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; anschauen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
2^{-4}*3^4*5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4}*3^4*5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;amp;gt; generierten Submoduls betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
XXX&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:10:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:10 --&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die im vorigen Kapitel beschriebene Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur kann man &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) nennen. Die verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 --&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Tsaharuk"&amp;gt;Tsaharuk&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und MOS-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel im vierdimensionalen Intervallraum mit Primzahl 7.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:14:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:14 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextIncludeRule:00:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/include/pageList?w=200&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaInclude&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@include@@component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Include pageList: component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="includeBody"&amp;gt;&amp;lt;ol class="includePageList"&amp;gt;
              &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Drittelkomma-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Hanson+Kleismisch" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Hanson Kleismisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Liese" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Liese&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Magische+Temperaturen" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Magische Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/maqamisch" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;maqamisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mavila" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mohajira" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Orwell" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Orwell&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
      &amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextIncludeRule:00 --&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

[[toc|flat]]
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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "austemperiert" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:
||~ Reine Stimmung ||~ Mittetönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle reinzeichnen. || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]]die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.
&amp;gt; Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern um das etwas höhere Intervall 1L+2s, das dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die erste Dur-Skala insbesondere beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt die Bedeutung, die ein Komma musikalisch haben kann - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

=Mathematische Betrachtung= 
Den Vorgang des Austemperierens kann man etwas strenger mathematisch im [[Intervallraum]] anschauen.

Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4}*3^4*5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submoduls betrachtet.

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

XXX

=Verallgemeinerte reguläre Temperaturen= 
Die im vorigen Kapitel beschriebene Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur kann man [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperatur]] (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]) nennen. Die verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc.

=Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.

[[Tsaharuk]] ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und MOS-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen Intervallraum mit Primzahl 7.

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
[[include component="pageList" hideInternal="true" tag="Temperatur" limit="10"]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerung"&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Mathematische Betrachtung"&amp;gt;Mathematische Betrachtung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:20 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:21: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:21 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:22: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:22 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:23: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:23 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:24: --&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:24 --&amp;gt;&amp;lt;hr /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;austemperiert&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
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Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern um das etwas höhere Intervall 1L+2s, das dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die erste Dur-Skala insbesondere beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt die Bedeutung, die ein Komma musikalisch haben kann - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematische Betrachtung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Mathematische Betrachtung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Den Vorgang des Austemperierens kann man etwas strenger mathematisch im &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; anschauen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
2^{-4}*3^4*5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4}*3^4*5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;amp;gt; generierten Submoduls betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
XXX&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:10:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:10 --&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die im vorigen Kapitel beschriebene Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur kann man &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) nennen. Die verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 --&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Tsaharuk"&amp;gt;Tsaharuk&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und MOS-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel im vierdimensionalen Intervallraum mit Primzahl 7.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:14:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:14 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextIncludeRule:00:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/include/pageList?w=200&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaInclude&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@include@@component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Include pageList: component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="includeBody"&amp;gt;&amp;lt;ol class="includePageList"&amp;gt;
              &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Drittelkomma-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Hanson+Kleismisch" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Hanson Kleismisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
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                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Magische+Temperaturen" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Magische Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/maqamisch" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;maqamisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mavila" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mohajira" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Orwell" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Orwell&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
      &amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextIncludeRule:00 --&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

[[toc|flat]]
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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "austemperiert" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:
||~ Reine Stimmung ||~ Mittetönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle reinzeichnen. || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]]die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.
&amp;gt; Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern um das etwas höhere Intervall 1L+2s, das dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die erste Dur-Skala insbesondere beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Taetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt die Bedeutung, die ein Komma musikalisch haben kann - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

=Mathematische Betrachtung= 
Den Vorgang des Austemperierens kann man etwas strenger mathematisch im [[Intervallraum]] anschauen.

Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4}*3^4*5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submoduls betrachtet.

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Verallgemeinerte reguläre Temperaturen= 
Die im vorigen Kapitel beschriebene Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur kann man [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperatur]] (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]) nennen. Die verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc.

=Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.

[[Tsaharuk]] ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und MOS-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen Intervallraum mit Primzahl 7.

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
[[include component="pageList" hideInternal="true" tag="Temperatur" limit="10"]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerung"&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Mathematische Betrachtung"&amp;gt;Mathematische Betrachtung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:20 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:21: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:21 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:22: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:22 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:23: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:23 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:24: --&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:24 --&amp;gt;&amp;lt;hr /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;austemperiert&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Reine Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Mittetönige Temperatur&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Gleichstufige Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle reinzeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
&amp;lt;/table&amp;gt;

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern um das etwas höhere Intervall 1L+2s, das dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die erste Dur-Skala insbesondere beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Taetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt die Bedeutung, die ein Komma musikalisch haben kann - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematische Betrachtung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Mathematische Betrachtung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Den Vorgang des Austemperierens kann man etwas strenger mathematisch im &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; anschauen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
2^{-4}*3^4*5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4}*3^4*5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;amp;gt; generierten Submoduls betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:10:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:10 --&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die im vorigen Kapitel beschriebene Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur kann man &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) nennen. Die verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 --&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Tsaharuk"&amp;gt;Tsaharuk&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und MOS-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel im vierdimensionalen Intervallraum mit Primzahl 7.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:14:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:14 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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[[toc|flat]]
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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "austemperiert" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:
||~ Reine Stimmung ||~ Mittetönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle reinzeichnen. || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]]die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.
&amp;gt; Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.



Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern um das etwas höhere Intervall 1L+2s, das dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die erste Dur-Skala insbesondere beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Taetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.


Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

=Mathematische Betrachtung= 
Den Vorgang des Austemperierens kann man etwas strenger mathematisch im [[Intervallraum]] anschauen.

Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4}*3^4*5^{-1} 
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submoduls betrachtet.

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Verallgemeinerte reguläre Temperaturen= 
Die im vorigen Kapitel beschriebene Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur kann man [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperatur]] (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]) nennen. Die verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc.

=Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.

[[Tsaharuk]] ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
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&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:24 --&amp;gt;&amp;lt;hr /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;austemperiert&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Reine Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Mittetönige Temperatur&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Gleichstufige Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle reinzeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
&amp;lt;/table&amp;gt;

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern um das etwas höhere Intervall 1L+2s, das dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die erste Dur-Skala insbesondere beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Taetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematische Betrachtung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Mathematische Betrachtung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Den Vorgang des Austemperierens kann man etwas strenger mathematisch im &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; anschauen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
2^{-4}*3^4*5^{-1} &amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4}*3^4*5^{-1} &amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;amp;gt; generierten Submoduls betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:10:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:10 --&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die im vorigen Kapitel beschriebene Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur kann man &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) nennen. Die verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 --&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Tsaharuk"&amp;gt;Tsaharuk&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:14:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:14 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextIncludeRule:00:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/include/pageList?w=200&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaInclude&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@include@@component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Include pageList: component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="includeBody"&amp;gt;&amp;lt;ol class="includePageList"&amp;gt;
              &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Drittelkomma-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Hanson+Kleismisch" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Hanson Kleismisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Liese" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Liese&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Magische+Temperaturen" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Magische Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/maqamisch" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;maqamisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mavila" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mohajira" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Orwell" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Orwell&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "austemperiert" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:
||~ Reine Stimmung ||~ Mittetönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle reinzeichnen. || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]]die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.
&amp;gt; Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.



Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern um das etwas höhere Intervall 1L+2s, das dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die erste Dur-Skala insbesondere beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Taetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.


Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.

=Mathematische Betrachtung= 
Den Vorgang des Austemperierens kann man etwas strenger mathematisch im [[Intervallraum]] anschauen.

Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4}*3^4*5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist

[[math]]
|-4 \, 4 \, -1 \rangle
[[math]]

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma (-4, 4, -1) generierten Submoduls betrachtet.

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönmigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Verallgemeinerte reguläre Temperaturen= 
Die im vorigen Kapitel beschriebene Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur kann man [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperatur]] (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]) nennen. Die verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den
emeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc.

=Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.

[[Tsaharuk]] ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
[[include component="pageList" hideInternal="true" tag="Temperatur" limit="10"]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerung"&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:20 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:21: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Mathematische Betrachtung"&amp;gt;Mathematische Betrachtung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:21 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:22: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:22 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:23: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:23 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:24: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:24 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:25: --&amp;gt;
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 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;austemperiert&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;


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Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern um das etwas höhere Intervall 1L+2s, das dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; ähnelt. Die erste Dur-Skala insbesondere beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Taetrachorde der Form sss), der zweite mit &amp;amp;quot;Alphorn-Fa&amp;amp;quot;-Quarte.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematische Betrachtung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;Mathematische Betrachtung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Den Vorgang des Austemperierens kann man etwas strenger mathematisch im &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; anschauen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
2^{-4}*3^4*5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4}*3^4*5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die KET-Vektordarstellung davon ist&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:1:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
|-4 \, 4 \, -1 \rangle&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;|-4 \, 4 \, -1 \rangle&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma (-4, 4, -1) generierten Submoduls betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönmigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die im vorigen Kapitel beschriebene Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur kann man &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) nennen. Die verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den&amp;lt;br /&amp;gt;
emeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:13:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:13 --&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Tsaharuk"&amp;gt;Tsaharuk&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:15:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:15 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextIncludeRule:00:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/include/pageList?w=200&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaInclude&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@include@@component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Include pageList: component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="includeBody"&amp;gt;&amp;lt;ol class="includePageList"&amp;gt;
              &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Drittelkomma-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Hanson+Kleismisch" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Hanson Kleismisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Liese" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Liese&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Magische+Temperaturen" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Magische Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/maqamisch" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;maqamisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mavila" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mohajira" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Orwell" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Orwell&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
      &amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextIncludeRule:00 --&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

[[toc|flat]]
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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "austemperiert" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:
||~ Reine Stimmung ||~ Mittetönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle reinzeichnen. || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]]die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.
&amp;gt; Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist. Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Das alles sind Eigenschaften, die sich von mitteltönigen Systemen doch deutlich unterscheiden! Trotzdem ist Porcupine verblüffend einfach zu handhaben.&amp;lt;/span&amp;gt;

=Mathematische Betrachtung= 
Den Vorgang des Austemperierens kann man etwas strenger mathematisch im [[Intervallraum]] anschauen.

Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4}*3^4*5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist

[[math]]
|-4 \, 4 \, -1 \rangle
[[math]]

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma (-4, 4, -1) generierten Submoduls betrachtet.

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönmigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Verallgemeinerte reguläre Temperaturen= 
Die im vorigen Kapitel beschriebene Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur kann man [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperatur]] (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]) nennen. Die verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den
emeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc.

=Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.

[[Tsaharuk]] ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
[[include component="pageList" hideInternal="true" tag="Temperatur" limit="10"]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerung"&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:20 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:21: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Mathematische Betrachtung"&amp;gt;Mathematische Betrachtung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:21 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:22: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:22 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:23: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:23 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:24: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:24 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:25: --&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:25 --&amp;gt;&amp;lt;hr /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;austemperiert&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Reine Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Mittetönige Temperatur&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Gleichstufige Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle reinzeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
&amp;lt;/table&amp;gt;

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist. Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Das alles sind Eigenschaften, die sich von mitteltönigen Systemen doch deutlich unterscheiden! Trotzdem ist Porcupine verblüffend einfach zu handhaben.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematische Betrachtung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;Mathematische Betrachtung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Den Vorgang des Austemperierens kann man etwas strenger mathematisch im &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; anschauen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
2^{-4}*3^4*5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4}*3^4*5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die KET-Vektordarstellung davon ist&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:1:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
|-4 \, 4 \, -1 \rangle&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;|-4 \, 4 \, -1 \rangle&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma (-4, 4, -1) generierten Submoduls betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönmigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die im vorigen Kapitel beschriebene Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur kann man &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) nennen. Die verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den&amp;lt;br /&amp;gt;
emeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:13:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:13 --&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Tsaharuk"&amp;gt;Tsaharuk&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:15:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:15 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzeichnen.zahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "austemperiert" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:
||~ Reine Stimmung ||~ Mittetönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle reinzeichnen. || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]]die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.
&amp;gt; Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist. Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Das alles sind Eigenschaften, die sich von mitteltönigen Systemen doch deutlich unterscheiden! Trotzdem ist Porcupine verblüffend einfach zu handhaben.&amp;lt;/span&amp;gt;

=Mathematische Betrachtung= 
Den Vorgang des Austemperierens kann man etwas strenger mathematisch im [[Intervallraum]] anschauen.

Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4}*3^4*5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist

[[math]]
|-4 \, 4 \, -1 \rangle
[[math]]

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma (-4, 4, -1) generierten Submoduls betrachtet.

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönmigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Verallgemeinerte reguläre Temperaturen= 
Die im vorigen Kapitel beschriebene Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur kann man [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperatur]] (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]) nennen. Die verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den
emeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc.

=Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.

[[Tsaharuk]] ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
[[include component="pageList" hideInternal="true" tag="Temperatur" limit="10"]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzeichnen.zahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;austemperiert&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Reine Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Mittetönige Temperatur&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Gleichstufige Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle reinzeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
&amp;lt;/table&amp;gt;

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist. Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Das alles sind Eigenschaften, die sich von mitteltönigen Systemen doch deutlich unterscheiden! Trotzdem ist Porcupine verblüffend einfach zu handhaben.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematische Betrachtung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;Mathematische Betrachtung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Den Vorgang des Austemperierens kann man etwas strenger mathematisch im &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; anschauen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
2^{-4}*3^4*5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4}*3^4*5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die KET-Vektordarstellung davon ist&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:1:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
|-4 \, 4 \, -1 \rangle&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;|-4 \, 4 \, -1 \rangle&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma (-4, 4, -1) generierten Submoduls betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönmigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die im vorigen Kapitel beschriebene Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur kann man &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) nennen. Die verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den&amp;lt;br /&amp;gt;
emeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:13:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:13 --&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Tsaharuk"&amp;gt;Tsaharuk&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:15:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:15 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextIncludeRule:00:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/include/pageList?w=200&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaInclude&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@include@@component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Include pageList: component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="includeBody"&amp;gt;&amp;lt;ol class="includePageList"&amp;gt;
              &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Drittelkomma-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Hanson+Kleismisch" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Hanson Kleismisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Liese" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Liese&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Magische+Temperaturen" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Magische Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/maqamisch" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;maqamisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mavila" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mohajira" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Orwell" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Orwell&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
      &amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextIncludeRule:00 --&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzeichnen.zahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "austemperiert" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:
||~ Reine Stimmung ||~ Mittetönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle reinzeichnen. || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]]die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.
&amp;gt; Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist. Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Das alles sind Eigenschaften, die sich von mitteltönigen Systemen doch deutlich unterscheiden! Trotzdem ist Porcupine verblüffend einfach zu handhaben.&amp;lt;/span&amp;gt;

=Mathematische Betrachtung= 
Den Vorgang des Austemperierens kann man etwas strenger mathematisch im [[Intervallraum]] anschauen.

Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4}*3^4*5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist

[[math]]
|-4 \, 4 \, -1 \rangle
[[math]]

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma (-4, 4, -1) generierten Submoduls betrachtet.

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönmigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Verallgemeinerte reguläre Temperaturen= 
Die im vorigen Kapitel beschriebene Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur kann man [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperatur]] (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]) nennen. Die verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den
emeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc.

=Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben.

XXX

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
[[include component="pageList" hideInternal="true" tag="Temperatur" limit="10"]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerung"&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:20 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:21: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Mathematische Betrachtung"&amp;gt;Mathematische Betrachtung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:21 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:22: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:22 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:23: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:23 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:24: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:24 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:25: --&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzeichnen.zahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;austemperiert&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;


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Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist. Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Das alles sind Eigenschaften, die sich von mitteltönigen Systemen doch deutlich unterscheiden! Trotzdem ist Porcupine verblüffend einfach zu handhaben.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematische Betrachtung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;Mathematische Betrachtung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Den Vorgang des Austemperierens kann man etwas strenger mathematisch im &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; anschauen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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2^{-4}*3^4*5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4}*3^4*5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die KET-Vektordarstellung davon ist&amp;lt;br /&amp;gt;
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[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
|-4 \, 4 \, -1 \rangle&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;|-4 \, 4 \, -1 \rangle&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma (-4, 4, -1) generierten Submoduls betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönmigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die im vorigen Kapitel beschriebene Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur kann man &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) nennen. Die verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den&amp;lt;br /&amp;gt;
emeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:13:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:13 --&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
XXX&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:15:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:15 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextIncludeRule:00:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/include/pageList?w=200&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaInclude&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@include@@component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Include pageList: component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="includeBody"&amp;gt;&amp;lt;ol class="includePageList"&amp;gt;
              &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Drittelkomma-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
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      <timestamp>2013-06-03T14:03:17Z</timestamp>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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      <comment>**Imported revision 436037166 - Original comment: **</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

[[toc|flat]]
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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzeichnen.zahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "austemperiert" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:
||~ Reine Stimmung ||~ Mittetönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle reinzeichnen. || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]]die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.
&amp;gt; Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist. Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Das alles sind Eigenschaften, die sich von mitteltönigen Systemen doch deutlich unterscheiden! Trotzdem ist Porcupine verblüffend einfach zu handhaben.&amp;lt;/span&amp;gt;

=Mathematische Betrachtung= 
Den Vorgang des Austemperierens kann man etwas strenger mathematisch im [[Intervallraum]] anschauen.

Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4}*3^4*5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist

[[math]]
|-4 \, 4 \, -1 \rangle
[[math]]

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma (-4, 4, -1) generierten Submoduls betrachtet.

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönmigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

==Verallgemeinerte reguläre Temperaturen== 
Die im vorigen Kapitel beschriebene Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur kann man [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperatur]] (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]) nennen. Die verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den
emeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc.

==Mehrere Generatoren== 
XXX

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
[[include component="pageList" hideInternal="true" tag="Temperatur" limit="10"]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerung"&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:20 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:21: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Mathematische Betrachtung"&amp;gt;Mathematische Betrachtung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:21 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:22: --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:22 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:23: --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:23 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:24: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:24 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:25: --&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:25 --&amp;gt;&amp;lt;hr /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzeichnen.zahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;austemperiert&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Reine Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Mittetönige Temperatur&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Gleichstufige Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle reinzeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
&amp;lt;/table&amp;gt;

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist. Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Das alles sind Eigenschaften, die sich von mitteltönigen Systemen doch deutlich unterscheiden! Trotzdem ist Porcupine verblüffend einfach zu handhaben.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematische Betrachtung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;Mathematische Betrachtung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Den Vorgang des Austemperierens kann man etwas strenger mathematisch im &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; anschauen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
2^{-4}*3^4*5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4}*3^4*5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die KET-Vektordarstellung davon ist&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:1:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
|-4 \, 4 \, -1 \rangle&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;|-4 \, 4 \, -1 \rangle&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma (-4, 4, -1) generierten Submoduls betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönmigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematische Betrachtung-Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Die im vorigen Kapitel beschriebene Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur kann man &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) nennen. Die verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den&amp;lt;br /&amp;gt;
emeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:13:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematische Betrachtung-Mehrere Generatoren"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:13 --&amp;gt;Mehrere Generatoren&amp;lt;/h2&amp;gt;
 XXX&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:15:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:15 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextIncludeRule:00:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/include/pageList?w=200&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaInclude&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@include@@component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Include pageList: component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="includeBody"&amp;gt;&amp;lt;ol class="includePageList"&amp;gt;
              &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Drittelkomma-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Hanson+Kleismisch" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Hanson Kleismisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Liese" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Liese&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzeichnen.zahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "austemperiert" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:
||~ Reine Stimmung ||~ Mittetönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle reinzeichnen. || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]]die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.
&amp;gt; Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist. Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Das alles sind Eigenschaften, die sich von mitteltönigen Systemen doch deutlich unterscheiden! Trotzdem ist Porcupine verblüffend einfach zu handhaben.&amp;lt;/span&amp;gt;

=Mathematische Betrachtung= 
Den Vorgang des Austemperierens kann man etwas strenger mathematisch im [[Intervallraum]] anschauen.

Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also 

[[math]]
2^{-4}*3^4*5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist

[[math]]
|-4 \, 4 \, -1 \rangle
[[math]]

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa 9/8 und 10/9 oder 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen ]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vomsyntonischen Komma (-4, 4, -1) generierten Submoduls betrachtet.

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönmigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

==Verallgemeinerte reguläre Temperaturen== 
XXX Alter Artikel

Der Begriff //reguläre Temperatur// (im Englischen: [[@xenharmonic/Regular Temperaments|regular temperament]]) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:
* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperatur]] (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine [[Reguläre Stimmung|reguläre Stimmung]], deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem [[Rang]] interpretiert werden.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.

==Mehrere Generatoren== 
XXX

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
[[include component="pageList" hideInternal="true" tag="Temperatur" limit="10"]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerung"&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:20 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:21: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Mathematische Betrachtung"&amp;gt;Mathematische Betrachtung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:21 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:22: --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:22 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:23: --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:23 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:24: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:24 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:25: --&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzeichnen.zahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;austemperiert&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;


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Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist. Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Das alles sind Eigenschaften, die sich von mitteltönigen Systemen doch deutlich unterscheiden! Trotzdem ist Porcupine verblüffend einfach zu handhaben.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematische Betrachtung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;Mathematische Betrachtung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Den Vorgang des Austemperierens kann man etwas strenger mathematisch im &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; anschauen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also &amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
2^{-4}*3^4*5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4}*3^4*5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die KET-Vektordarstellung davon ist&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:1:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
|-4 \, 4 \, -1 \rangle&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;|-4 \, 4 \, -1 \rangle&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa 9/8 und 10/9 oder 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen &amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vomsyntonischen Komma (-4, 4, -1) generierten Submoduls betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönmigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematische Betrachtung-Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/h2&amp;gt;
 XXX Alter Artikel&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Begriff &amp;lt;em&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/em&amp;gt; (im Englischen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments" target="_blank"&amp;gt;regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Stimmung"&amp;gt;reguläre Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rang"&amp;gt;Rang&amp;lt;/a&amp;gt; interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:13:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Mathematische Betrachtung-Mehrere Generatoren"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:13 --&amp;gt;Mehrere Generatoren&amp;lt;/h2&amp;gt;
 XXX&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:15:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:15 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextIncludeRule:00:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/include/pageList?w=200&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaInclude&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@include@@component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Include pageList: component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="includeBody"&amp;gt;&amp;lt;ol class="includePageList"&amp;gt;
              &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Drittelkomma-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Hanson+Kleismisch" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Hanson Kleismisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Liese" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Liese&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Magische+Temperaturen" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Magische Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/maqamisch" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;maqamisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mavila" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mohajira" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Orwell" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Orwell&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
      &amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextIncludeRule:00 --&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-01 05:26:25 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

[[toc|flat]]
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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzeichnen.zahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "austemperiert" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:
||~ Reine Stimmung ||~ Mittetönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle reinzeichnen. || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]]die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.
&amp;gt; Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist. Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Das alles sind Eigenschaften, die sich von mitteltönigen Systemen doch deutlich unterscheiden! Trotzdem ist Porcupine verblüffend einfach zu handhaben.&amp;lt;/span&amp;gt;

=Strengere mathematische Definitionen= 
XXX

==Verallgemeinerte reguläre Temperaturen== 
XXX Alter Artikel

Der Begriff //reguläre Temperatur// (im Englischen: [[@xenharmonic/Regular Temperaments|regular temperament]]) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:
* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperatur]] (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine [[Reguläre Stimmung|reguläre Stimmung]], deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem [[Rang]] interpretiert werden.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.

==Mehrere Generatoren== 
XXX

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
[[include component="pageList" hideInternal="true" tag="Temperatur" limit="10"]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:15:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerung"&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Strengere mathematische Definitionen"&amp;gt;Strengere mathematische Definitionen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:20 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:21: --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:21 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:22: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:22 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:23: --&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:23 --&amp;gt;&amp;lt;hr /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:1:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:1 --&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzeichnen.zahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;austemperiert&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Reine Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Mittetönige Temperatur&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Gleichstufige Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle reinzeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
&amp;lt;/table&amp;gt;

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist. Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Das alles sind Eigenschaften, die sich von mitteltönigen Systemen doch deutlich unterscheiden! Trotzdem ist Porcupine verblüffend einfach zu handhaben.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Strengere mathematische Definitionen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;Strengere mathematische Definitionen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 XXX&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Strengere mathematische Definitionen-Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/h2&amp;gt;
 XXX Alter Artikel&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Begriff &amp;lt;em&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/em&amp;gt; (im Englischen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments" target="_blank"&amp;gt;regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Stimmung"&amp;gt;reguläre Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rang"&amp;gt;Rang&amp;lt;/a&amp;gt; interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Strengere mathematische Definitionen-Mehrere Generatoren"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;Mehrere Generatoren&amp;lt;/h2&amp;gt;
 XXX&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:13:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:13 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzeichnen.zahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "austemperiert" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:
||~ Reine Stimmung ||~ Mittetönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle reinzeichnen. || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]]die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.
&amp;gt; Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 [[xenharmonie/Cent|Cents]] gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist. Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Das alles sind Eigenschaften, die sich von mitteltönigen Systemen doch deutlich unterscheiden! Trotzdem ist Porcupine verblüffend einfach zu handhaben.&amp;lt;/span&amp;gt;

=Strengere mathematische Definitionen= 
XXX

==Verallgemeinerte reguläre Temperaturen== 
XXX Alter Artikel

Der Begriff //reguläre Temperatur// (im Englischen: [[@xenharmonic/Regular Temperaments|regular temperament]]) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:
* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperatur]] (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine [[Reguläre Stimmung|reguläre Stimmung]], deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem [[Rang]] interpretiert werden.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.

==Mehrere Generatoren== 
XXX

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
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 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzeichnen.zahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;austemperiert&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;


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Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist. Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Das alles sind Eigenschaften, die sich von mitteltönigen Systemen doch deutlich unterscheiden! Trotzdem ist Porcupine verblüffend einfach zu handhaben.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Strengere mathematische Definitionen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;Strengere mathematische Definitionen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 XXX&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Strengere mathematische Definitionen-Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/h2&amp;gt;
 XXX Alter Artikel&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Begriff &amp;lt;em&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/em&amp;gt; (im Englischen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments" target="_blank"&amp;gt;regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Stimmung"&amp;gt;reguläre Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rang"&amp;gt;Rang&amp;lt;/a&amp;gt; interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Strengere mathematische Definitionen-Mehrere Generatoren"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;Mehrere Generatoren&amp;lt;/h2&amp;gt;
 XXX&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:13:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:13 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextIncludeRule:00:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/include/pageList?w=200&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaInclude&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@include@@component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Include pageList: component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="includeBody"&amp;gt;&amp;lt;ol class="includePageList"&amp;gt;
              &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Drittelkomma-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Hanson+Kleismisch" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Hanson Kleismisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Liese" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Liese&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Magische+Temperaturen" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Magische Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/maqamisch" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;maqamisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mavila" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mohajira" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Orwell" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Orwell&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
      &amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextIncludeRule:00 --&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-01 05:24:59 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

[[toc|flat]]
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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzeichnen.zahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "austemperiert" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:
||~ Reine Stimmung ||~ Mittetönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle reinzeichnen. || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]]die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.
&amp;gt; Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, wlhce als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;etwa 49.166 &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/Cent|Cents]]&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist. Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Das alles sind Eigenschaften, die sich von mitteltönigen Systemen doch deutlich unterscheiden! Trotzdem ist Porcupine verblüffend einfach zu handhaben.&amp;lt;/span&amp;gt;

=Strengere mathematische Definitionen= 
XXX

==Verallgemeinerte reguläre Temperaturen== 
XXX Alter Artikel

Der Begriff //reguläre Temperatur// (im Englischen: [[@xenharmonic/Regular Temperaments|regular temperament]]) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:
* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperatur]] (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine [[Reguläre Stimmung|reguläre Stimmung]], deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem [[Rang]] interpretiert werden.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.

==Mehrere Generatoren== 
XXX

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
[[include component="pageList" hideInternal="true" tag="Temperatur" limit="10"]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:15:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerung"&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Strengere mathematische Definitionen"&amp;gt;Strengere mathematische Definitionen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:20 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:21: --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:21 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:22: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:22 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:23: --&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:23 --&amp;gt;&amp;lt;hr /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:1:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:1 --&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzeichnen.zahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;austemperiert&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Reine Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Mittetönige Temperatur&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Gleichstufige Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle reinzeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
&amp;lt;/table&amp;gt;

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur, wlhce als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; und &amp;lt;span style="line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; gelten kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;etwa 49.166 &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt; gross) &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist. Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Das alles sind Eigenschaften, die sich von mitteltönigen Systemen doch deutlich unterscheiden! Trotzdem ist Porcupine verblüffend einfach zu handhaben.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Strengere mathematische Definitionen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;Strengere mathematische Definitionen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 XXX&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Strengere mathematische Definitionen-Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/h2&amp;gt;
 XXX Alter Artikel&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Begriff &amp;lt;em&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/em&amp;gt; (im Englischen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments" target="_blank"&amp;gt;regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Stimmung"&amp;gt;reguläre Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rang"&amp;gt;Rang&amp;lt;/a&amp;gt; interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Strengere mathematische Definitionen-Mehrere Generatoren"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;Mehrere Generatoren&amp;lt;/h2&amp;gt;
 XXX&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:13:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:13 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzeichnen.zahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "austemperiert" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:
||~ Reine Stimmung ||~ Mittetönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle reinzeichnen. || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]]die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.
&amp;gt; Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur. Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;[[xenharmonie/250_243|250/243]]&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/span&amp;gt;//&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt; heisst) austemperiert. Dieses Intervall erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist. Die siebentönige &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Das alles sind Eigenschaften, die sich von &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt; Systemen doch deutlich unterscheiden! Trotzdem ist Porcupine verblüffend einfach zu handhaben.&amp;lt;/span&amp;gt;

&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;[[xenharmonie/15edo|15edo,]]&amp;lt;/span&amp;gt; &amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;[[xenharmonie/22edo|22edo]]&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;, &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;[[xenharmonie/29edo|29edo]]&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;, &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;[[xenharmonie/37edo|37edo]]&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;.&amp;lt;/span&amp;gt;

=Strengere mathematische Definitionen= 
XXX

==Verallgemeinerte reguläre Temperaturen== 
XXX Alter Artikel

Der Begriff //reguläre Temperatur// (im Englischen: [[@xenharmonic/Regular Temperaments|regular temperament]]) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:
* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperatur]] (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine [[Reguläre Stimmung|reguläre Stimmung]], deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem [[Rang]] interpretiert werden.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.

==Mehrere Generatoren== 
XXX

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
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 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzeichnen.zahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;austemperiert&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;


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&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
&amp;lt;/table&amp;gt;

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur. Bei dieser wird das &amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Intervall &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243"&amp;gt;250/243&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt; (welches entsprechend &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt;Porcupine-Komma&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&amp;gt; heisst) austemperiert. Dieses Intervall erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &amp;amp;quot;kleinen Ganztönen&amp;amp;quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist. Die siebentönige &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt; von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Das alles sind Eigenschaften, die sich von &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt; Systemen doch deutlich unterscheiden! Trotzdem ist Porcupine verblüffend einfach zu handhaben.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;Gleichstufige Systeme, die Realisierungen von Porcupine bieten, sind unter anderem &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo"&amp;gt;15edo,&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt; &amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;, &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;, &amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/37edo"&amp;gt;37edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="background-color: #ffffff;"&amp;gt;.&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Strengere mathematische Definitionen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;Strengere mathematische Definitionen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 XXX&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Strengere mathematische Definitionen-Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/h2&amp;gt;
 XXX Alter Artikel&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Begriff &amp;lt;em&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/em&amp;gt; (im Englischen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments" target="_blank"&amp;gt;regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Stimmung"&amp;gt;reguläre Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rang"&amp;gt;Rang&amp;lt;/a&amp;gt; interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Strengere mathematische Definitionen-Mehrere Generatoren"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;Mehrere Generatoren&amp;lt;/h2&amp;gt;
 XXX&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:13:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:13 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextIncludeRule:00:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/include/pageList?w=200&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaInclude&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@include@@component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Include pageList: component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="includeBody"&amp;gt;&amp;lt;ol class="includePageList"&amp;gt;
              &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Drittelkomma-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Hanson+Kleismisch" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Hanson Kleismisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Liese" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Liese&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Magische+Temperaturen" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Magische Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/maqamisch" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;maqamisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mavila" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mohajira" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Orwell" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Orwell&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
      &amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextIncludeRule:00 --&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

[[toc|flat]]
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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzeichnen.zahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "austemperiert" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:
||~ Reine Stimmung ||~ Mittetönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle reinzeichnen. || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]]die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.
&amp;gt; Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
XXX

=Strengere mathematische Definitionen= 
XXX

==Verallgemeinerte reguläre Temperaturen== 
XXX Alter Artikel

Der Begriff //reguläre Temperatur// (im Englischen: [[@xenharmonic/Regular Temperaments|regular temperament]]) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:
* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperatur]] (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine [[Reguläre Stimmung|reguläre Stimmung]], deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem [[Rang]] interpretiert werden.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.

==Mehrere Generatoren== 
XXX

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
[[include component="pageList" hideInternal="true" tag="Temperatur" limit="10"]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:15:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerung"&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Strengere mathematische Definitionen"&amp;gt;Strengere mathematische Definitionen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:20 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:21: --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:21 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:22: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:22 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:23: --&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:23 --&amp;gt;&amp;lt;hr /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:1:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:1 --&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzeichnen.zahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;austemperiert&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Reine Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Mittetönige Temperatur&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Gleichstufige Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle reinzeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
&amp;lt;/table&amp;gt;

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 XXX&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Strengere mathematische Definitionen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;Strengere mathematische Definitionen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 XXX&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Strengere mathematische Definitionen-Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/h2&amp;gt;
 XXX Alter Artikel&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Begriff &amp;lt;em&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/em&amp;gt; (im Englischen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments" target="_blank"&amp;gt;regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Stimmung"&amp;gt;reguläre Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rang"&amp;gt;Rang&amp;lt;/a&amp;gt; interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Strengere mathematische Definitionen-Mehrere Generatoren"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;Mehrere Generatoren&amp;lt;/h2&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:13:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:13 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextIncludeRule:00:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/include/pageList?w=200&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaInclude&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@include@@component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Include pageList: component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="includeBody"&amp;gt;&amp;lt;ol class="includePageList"&amp;gt;
              &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Drittelkomma-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
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                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Liese" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Liese&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
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                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/maqamisch" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;maqamisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
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                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
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                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
      &amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextIncludeRule:00 --&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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      <text bytes="27944" sha1="4rqojl44ynq7fz8cg6kklxkbn5me5lc" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher uzeichnen.nd weniger konsonant ist azeichnen.ls diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzeichnen.zahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Qzeichnen.uinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "austemperiert" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:
||~ Reine Stimmung ||~ Mittetönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle reinzeichnen. || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]]die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf ziemlich natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.
&amp;gt; Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann msikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur nicht unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
XXX

=Strengere mathematische Definitionen= 
XXX

==Verallgemeinerte reguläre Temperaturen== 
XXXweil es eben auch mitteltönig ist und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstüzt. Bei Systemen, die nicht mitteltönig sind, wie [[xenharmonie/22edo|22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).
XXX Alter Artikel

Der Begriff //reguläre Temperatur// (im Englischen: [[@xenharmonic/Regular Temperaments|regular temperament]]) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:
* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperatur]] (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine [[Reguläre Stimmung|reguläre Stimmung]], deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem [[Rang]] interpretiert werden.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.

==Mehrere Generatoren== 
XXX

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
[[include component="pageList" hideInternal="true" tag="Temperatur" limit="10"]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:15:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerung"&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Strengere mathematische Definitionen"&amp;gt;Strengere mathematische Definitionen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:20 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:21: --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:21 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:22: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:22 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:23: --&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:1:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:1 --&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher uzeichnen.nd weniger konsonant ist azeichnen.ls diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzeichnen.zahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Qzeichnen.uinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;austemperiert&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;


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Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Verallgemeinerung erfolgt auf ziemlich natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann msikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur nicht unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Strengere mathematische Definitionen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;Strengere mathematische Definitionen&amp;lt;/h1&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Strengere mathematische Definitionen-Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/h2&amp;gt;
 XXXweil es eben auch mitteltönig ist und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstüzt. Bei Systemen, die nicht mitteltönig sind, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;br /&amp;gt;
XXX Alter Artikel&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Begriff &amp;lt;em&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/em&amp;gt; (im Englischen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments" target="_blank"&amp;gt;regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Stimmung"&amp;gt;reguläre Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rang"&amp;gt;Rang&amp;lt;/a&amp;gt; interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher uzeichnen.nd weniger konsonant ist azeichnen.ls diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzeichnen.zahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Qzeichnen.uinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "austemperiert" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:
||~ Reine Stimmung ||~ Mittetönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle reinzeichnen. || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]]die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf ziemlich natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.
&amp;gt; Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann msikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur nicht unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
XXX

=Strengere mathematische Definitionen= 
XXX

==Verallgemeinerte reguläre Temperaturen== 
XXXweil es eben auch mitteltönig ist und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstüzt. Bei Systemen, die nicht mitteltönig sind, wie [[xenharmonie/22edo|22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).
XXX Alter Artikel

Der Begriff //reguläre Temperatur// (im Englischen: [[@xenharmonic/Regular Temperaments|regular temperament]]) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:
* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperatur]] (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine [[Reguläre Stimmung|reguläre Stimmung]], deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem [[Rang]] interpretiert werden.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.

==Mehrere Generatoren== 
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=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
[[include component="pageList" hideInternal="true" tag="Temperatur" limit="10"]]

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XXXX Alter Artikel
Generator und Periode einer regulären Temperaturs können andererseits beide selbst Teil einer gleichstufigen Stimmung sein. In diesem Fall ist die konkrete Temperatur ein Teil dieser gleichstufigen Stimmung, und die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen. Das bekannteste Beispiel dafür ist wiederum die heute in der Welt dominierende [[12edo]]-Stimmung, die in diesem Sinn als eine Variante der mitteltönigen Temperatur angesehen werden kann. Andere wichtige gleichstufige Systeme, die Varianten der mitteltönigen Temperatur darstellen, sind [[19edo]] (eine beinahe perfekte Realisierung der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur) und [[31edo]], welches manchmal als nächstbesseres für die westliche Musik geeignetes System nach 12edo aufgeführt wird - für westliche Musik geeignet deshalb, weil es eben auch mitteltönig ist und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstüzt. Bei Systemen, die nicht mitteltönig sind, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher uzeichnen.nd weniger konsonant ist azeichnen.ls diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzeichnen.zahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Qzeichnen.uinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;austemperiert&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;


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&amp;lt;/table&amp;gt;

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Verallgemeinerung erfolgt auf ziemlich natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann msikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur nicht unterstützen, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 XXX&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Strengere mathematische Definitionen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;Strengere mathematische Definitionen&amp;lt;/h1&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Strengere mathematische Definitionen-Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/h2&amp;gt;
 XXXweil es eben auch mitteltönig ist und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstüzt. Bei Systemen, die nicht mitteltönig sind, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;br /&amp;gt;
XXX Alter Artikel&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Begriff &amp;lt;em&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/em&amp;gt; (im Englischen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments" target="_blank"&amp;gt;regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Stimmung"&amp;gt;reguläre Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rang"&amp;gt;Rang&amp;lt;/a&amp;gt; interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Strengere mathematische Definitionen-Mehrere Generatoren"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;Mehrere Generatoren&amp;lt;/h2&amp;gt;
 XXX&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:13:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:13 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextIncludeRule:00:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/include/pageList?w=200&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaInclude&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@include@@component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Include pageList: component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="includeBody"&amp;gt;&amp;lt;ol class="includePageList"&amp;gt;
              &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Drittelkomma-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
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                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Liese" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Liese&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Magische+Temperaturen" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Magische Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
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                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mavila" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mohajira" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Orwell" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Orwell&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
      &amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextIncludeRule:00 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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XXXX Alter Artikel&amp;lt;br /&amp;gt;
Generator und Periode einer regulären Temperaturs können andererseits beide selbst Teil einer gleichstufigen Stimmung sein. In diesem Fall ist die konkrete Temperatur ein Teil dieser gleichstufigen Stimmung, und die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen. Das bekannteste Beispiel dafür ist wiederum die heute in der Welt dominierende &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung, die in diesem Sinn als eine Variante der mitteltönigen Temperatur angesehen werden kann. Andere wichtige gleichstufige Systeme, die Varianten der mitteltönigen Temperatur darstellen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; (eine beinahe perfekte Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;drittelkomma-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, welches manchmal als nächstbesseres für die westliche Musik geeignetes System nach 12edo aufgeführt wird - für westliche Musik geeignet deshalb, weil es eben auch mitteltönig ist und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstüzt. Bei Systemen, die nicht mitteltönig sind, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <timestamp>2013-05-31T17:39:40Z</timestamp>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-31 17:39:40 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher uzeichnen.nd weniger konsonant ist azeichnen.ls diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzeichnen.zahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Qzeichnen.uinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "austemperiert" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:
||~ Reine Stimmung ||~ Mittetönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle reinzeichnen. || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]]die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf ziemlich natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.
&amp;gt; XXX

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
XXX

=Strengere mathematische Definitionen= 
XXX

==Verallgemeinerte reguläre Temperaturen== 
XXX
XXX Alter Artikel

Der Begriff //reguläre Temperatur// (im Englischen: [[@xenharmonic/Regular Temperaments|regular temperament]]) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:
* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperatur]] (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine [[Reguläre Stimmung|reguläre Stimmung]], deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem [[Rang]] interpretiert werden.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.

==Mehrere Generatoren== 
XXX

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
[[include component="pageList" hideInternal="true" tag="Temperatur" limit="10"]]

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XXXX Alter Artikel
Generator und Periode einer regulären Temperaturs können andererseits beide selbst Teil einer gleichstufigen Stimmung sein. In diesem Fall ist die konkrete Temperatur ein Teil dieser gleichstufigen Stimmung, und die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen. Das bekannteste Beispiel dafür ist wiederum die heute in der Welt dominierende [[12edo]]-Stimmung, die in diesem Sinn als eine Variante der mitteltönigen Temperatur angesehen werden kann. Andere wichtige gleichstufige Systeme, die Varianten der mitteltönigen Temperatur darstellen, sind [[19edo]] (eine beinahe perfekte Realisierung der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur) und [[31edo]], welches manchmal als nächstbesseres für die westliche Musik geeignetes System nach 12edo aufgeführt wird - für westliche Musik geeignet deshalb, weil es eben auch mitteltönig ist und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstüzt. Bei Systemen, die nicht mitteltönig sind, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:15:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerung"&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Strengere mathematische Definitionen"&amp;gt;Strengere mathematische Definitionen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:20 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:21: --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:21 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:22: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:22 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:23: --&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:23 --&amp;gt;&amp;lt;hr /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:1:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:1 --&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher uzeichnen.nd weniger konsonant ist azeichnen.ls diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzeichnen.zahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Qzeichnen.uinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;austemperiert&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Reine Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Mittetönige Temperatur&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Gleichstufige Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle reinzeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
&amp;lt;/table&amp;gt;

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Die Verallgemeinerung erfolgt auf ziemlich natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
XXX&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 XXX&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Strengere mathematische Definitionen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;Strengere mathematische Definitionen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 XXX&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Strengere mathematische Definitionen-Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/h2&amp;gt;
 XXX&amp;lt;br /&amp;gt;
XXX Alter Artikel&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Begriff &amp;lt;em&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/em&amp;gt; (im Englischen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments" target="_blank"&amp;gt;regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Stimmung"&amp;gt;reguläre Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rang"&amp;gt;Rang&amp;lt;/a&amp;gt; interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Strengere mathematische Definitionen-Mehrere Generatoren"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;Mehrere Generatoren&amp;lt;/h2&amp;gt;
 XXX&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:13:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:13 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextIncludeRule:00:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/include/pageList?w=200&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaInclude&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@include@@component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Include pageList: component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="includeBody"&amp;gt;&amp;lt;ol class="includePageList"&amp;gt;
              &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Drittelkomma-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Hanson+Kleismisch" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Hanson Kleismisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Liese" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Liese&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Magische+Temperaturen" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Magische Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/maqamisch" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;maqamisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mavila" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mohajira" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Orwell" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Orwell&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
      &amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextIncludeRule:00 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator und Periode einer regulären Temperaturs können andererseits beide selbst Teil einer gleichstufigen Stimmung sein. In diesem Fall ist die konkrete Temperatur ein Teil dieser gleichstufigen Stimmung, und die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen. Das bekannteste Beispiel dafür ist wiederum die heute in der Welt dominierende &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung, die in diesem Sinn als eine Variante der mitteltönigen Temperatur angesehen werden kann. Andere wichtige gleichstufige Systeme, die Varianten der mitteltönigen Temperatur darstellen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; (eine beinahe perfekte Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;drittelkomma-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, welches manchmal als nächstbesseres für die westliche Musik geeignetes System nach 12edo aufgeführt wird - für westliche Musik geeignet deshalb, weil es eben auch mitteltönig ist und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstüzt. Bei Systemen, die nicht mitteltönig sind, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <text bytes="27535" sha1="6fhefhq66dydvhuyibmvqu2gr7pt20n" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 

Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]]), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "austemperiert" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:
||~ Reine Stimmung ||~ Mittetönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||
XXX

=Verallgemeinerung= 

Die Verallgemeinerung erfolgt auf ziemlich natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.
&amp;gt; XXX

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
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=Strengere mathematische Definitionen= 
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==Verallgemeinerte reguläre Temperaturen== 
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XXX Alter Artikel

Der Begriff //reguläre Temperatur// (im Englischen: [[@xenharmonic/Regular Temperaments|regular temperament]]) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:
* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperatur]] (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine [[Reguläre Stimmung|reguläre Stimmung]], deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem [[Rang]] interpretiert werden.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.

==Mehrere Generatoren== 
XXX

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
[[include component="pageList" hideInternal="true" tag="Temperatur" limit="10"]]

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XXXX Alter Artikel
Generator und Periode einer regulären Temperaturs können andererseits beide selbst Teil einer gleichstufigen Stimmung sein. In diesem Fall ist die konkrete Temperatur ein Teil dieser gleichstufigen Stimmung, und die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen. Das bekannteste Beispiel dafür ist wiederum die heute in der Welt dominierende [[12edo]]-Stimmung, die in diesem Sinn als eine Variante der mitteltönigen Temperatur angesehen werden kann. Andere wichtige gleichstufige Systeme, die Varianten der mitteltönigen Temperatur darstellen, sind [[19edo]] (eine beinahe perfekte Realisierung der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur) und [[31edo]], welches manchmal als nächstbesseres für die westliche Musik geeignetes System nach 12edo aufgeführt wird - für westliche Musik geeignet deshalb, weil es eben auch mitteltönig ist und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstüzt. Bei Systemen, die nicht mitteltönig sind, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:15:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerung"&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Strengere mathematische Definitionen"&amp;gt;Strengere mathematische Definitionen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:20 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:21: --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:21 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:22: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:22 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:23: --&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:1:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:1 --&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
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Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt;), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;austemperiert&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;


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Die Verallgemeinerung erfolgt auf ziemlich natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Strengere mathematische Definitionen-Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/h2&amp;gt;
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Der Begriff &amp;lt;em&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/em&amp;gt; (im Englischen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments" target="_blank"&amp;gt;regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Stimmung"&amp;gt;reguläre Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rang"&amp;gt;Rang&amp;lt;/a&amp;gt; interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Strengere mathematische Definitionen-Mehrere Generatoren"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;Mehrere Generatoren&amp;lt;/h2&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:13:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:13 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator und Periode einer regulären Temperaturs können andererseits beide selbst Teil einer gleichstufigen Stimmung sein. In diesem Fall ist die konkrete Temperatur ein Teil dieser gleichstufigen Stimmung, und die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen. Das bekannteste Beispiel dafür ist wiederum die heute in der Welt dominierende &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung, die in diesem Sinn als eine Variante der mitteltönigen Temperatur angesehen werden kann. Andere wichtige gleichstufige Systeme, die Varianten der mitteltönigen Temperatur darstellen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; (eine beinahe perfekte Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;drittelkomma-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, welches manchmal als nächstbesseres für die westliche Musik geeignetes System nach 12edo aufgeführt wird - für westliche Musik geeignet deshalb, weil es eben auch mitteltönig ist und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstüzt. Bei Systemen, die nicht mitteltönig sind, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 

Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]]), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "austemperiert" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:
||~ Reine Stimmung ||~ Mittetönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||


=Verallgemeinerung= 

Die Verallgemeinerung erfolgt auf ziemlich natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen. 

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
XXX

=Strengere mathematische Definitionen= 
XXX

==Verallgemeinerte reguläre Temperaturen== 
XXX
XXX Alter Artikel

Der Begriff //reguläre Temperatur// (im Englischen: [[@xenharmonic/Regular Temperaments|regular temperament]]) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:
* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperatur]] (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine [[Reguläre Stimmung|reguläre Stimmung]], deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem [[Rang]] interpretiert werden.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.

==Mehrere Generatoren== 
XXX

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
[[include component="pageList" hideInternal="true" tag="Temperatur" limit="10"]]

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XXXX Alter Artikel
Generator und Periode einer regulären Temperaturs können andererseits beide selbst Teil einer gleichstufigen Stimmung sein. In diesem Fall ist die konkrete Temperatur ein Teil dieser gleichstufigen Stimmung, und die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen. Das bekannteste Beispiel dafür ist wiederum die heute in der Welt dominierende [[12edo]]-Stimmung, die in diesem Sinn als eine Variante der mitteltönigen Temperatur angesehen werden kann. Andere wichtige gleichstufige Systeme, die Varianten der mitteltönigen Temperatur darstellen, sind [[19edo]] (eine beinahe perfekte Realisierung der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur) und [[31edo]], welches manchmal als nächstbesseres für die westliche Musik geeignetes System nach 12edo aufgeführt wird - für westliche Musik geeignet deshalb, weil es eben auch mitteltönig ist und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstüzt. Bei Systemen, die nicht mitteltönig sind, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt;), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;austemperiert&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;


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Die Verallgemeinerung erfolgt auf ziemlich natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Strengere mathematische Definitionen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;Strengere mathematische Definitionen&amp;lt;/h1&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Strengere mathematische Definitionen-Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/h2&amp;gt;
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Der Begriff &amp;lt;em&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/em&amp;gt; (im Englischen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments" target="_blank"&amp;gt;regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Stimmung"&amp;gt;reguläre Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rang"&amp;gt;Rang&amp;lt;/a&amp;gt; interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Strengere mathematische Definitionen-Mehrere Generatoren"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;Mehrere Generatoren&amp;lt;/h2&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:13:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Katalog der regulären Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:13 --&amp;gt;Katalog der regulären Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextIncludeRule:00:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/include/pageList?w=200&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaInclude&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@include@@component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Include pageList: component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="includeBody"&amp;gt;&amp;lt;ol class="includePageList"&amp;gt;
              &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Drittelkomma-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
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                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mavila" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
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                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mohajira" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
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                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
      &amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextIncludeRule:00 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator und Periode einer regulären Temperaturs können andererseits beide selbst Teil einer gleichstufigen Stimmung sein. In diesem Fall ist die konkrete Temperatur ein Teil dieser gleichstufigen Stimmung, und die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen. Das bekannteste Beispiel dafür ist wiederum die heute in der Welt dominierende &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung, die in diesem Sinn als eine Variante der mitteltönigen Temperatur angesehen werden kann. Andere wichtige gleichstufige Systeme, die Varianten der mitteltönigen Temperatur darstellen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; (eine beinahe perfekte Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;drittelkomma-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, welches manchmal als nächstbesseres für die westliche Musik geeignetes System nach 12edo aufgeführt wird - für westliche Musik geeignet deshalb, weil es eben auch mitteltönig ist und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstüzt. Bei Systemen, die nicht mitteltönig sind, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 

Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]]), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben. 

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "austemperiert" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:
||~ Reine Stimmung ||~ Mittetönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||


=Verallgemeinerung= 

Die Verallgemeinerung erfolgt auf ziemlich natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
XXX

=Strengere mathematische Definitionen= 
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==Verallgemeinerte reguläre Temperaturen== 
XXX

==Mehrere Generatoren== 
XXX
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XXXXXXXXXXX Alter Artikel

Der Begriff //reguläre Temperatur// (im Englischen: [[@xenharmonic/Regular Temperaments|regular temperament]]) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:
* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperatur]] (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine [[Reguläre Stimmung|reguläre Stimmung]], deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem [[Rang]] interpretiert werden.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.

Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man von einer [[superpyth|superpythagoräischen]] Temperatur.
Ist die Quinte andererseits //zu// klein, so dass man beim Aufeinanderschichten von vier Quinten nicht auf einer grossen, sondern eine kleinen Terz landet, haben wir eine [[Mavila]]-Temperatur.

==Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen== 

Generator und Periode einer regulären Temperaturs können andererseits beide selbst Teil einer gleichstufigen Stimmung sein. In diesem Fall ist die konkrete Temperatur ein Teil dieser gleichstufigen Stimmung, und die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen. Das bekannteste Beispiel dafür ist wiederum die heute in der Welt dominierende [[12edo]]-Stimmung, die in diesem Sinn als eine Variante der mitteltönigen Temperatur angesehen werden kann. Andere wichtige gleichstufige Systeme, die Varianten der mitteltönigen Temperatur darstellen, sind [[19edo]] (eine beinahe perfekte Realisierung der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur) und [[31edo]], welches manchmal als nächstbesseres für die westliche Musik geeignetes System nach 12edo aufgeführt wird - für westliche Musik geeignet deshalb, weil es eben auch mitteltönig ist und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstüzt. Bei Systemen, die nicht mitteltönig sind, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

==Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki== 
[[include component="pageList" hideInternal="true" tag="Temperatur" limit="10"]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerung"&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:20 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:21: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Strengere mathematische Definitionen"&amp;gt;Strengere mathematische Definitionen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:21 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:22: --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:22 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:23: --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:23 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:24: --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:24 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:25: --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:25 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:26: --&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:26 --&amp;gt;&amp;lt;hr /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:1:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:1 --&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;br /&amp;gt;
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt;), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben. &amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;austemperiert&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Reine Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Mittetönige Temperatur&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Gleichstufige Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle rein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
&amp;lt;/table&amp;gt;

&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;br /&amp;gt;
Die Verallgemeinerung erfolgt auf ziemlich natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
 XXX&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Strengere mathematische Definitionen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;Strengere mathematische Definitionen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 XXX&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Strengere mathematische Definitionen-Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/h2&amp;gt;
 XXX&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Strengere mathematische Definitionen-Mehrere Generatoren"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;Mehrere Generatoren&amp;lt;/h2&amp;gt;
 XXX&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;hr /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
XXXXXXXXXXX Alter Artikel&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Begriff &amp;lt;em&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/em&amp;gt; (im Englischen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments" target="_blank"&amp;gt;regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Stimmung"&amp;gt;reguläre Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rang"&amp;gt;Rang&amp;lt;/a&amp;gt; interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man von einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
Ist die Quinte andererseits &amp;lt;em&amp;gt;zu&amp;lt;/em&amp;gt; klein, so dass man beim Aufeinanderschichten von vier Quinten nicht auf einer grossen, sondern eine kleinen Terz landet, haben wir eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:13:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Strengere mathematische Definitionen-Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:13 --&amp;gt;Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen&amp;lt;/h2&amp;gt;
 &amp;lt;br /&amp;gt;
Generator und Periode einer regulären Temperaturs können andererseits beide selbst Teil einer gleichstufigen Stimmung sein. In diesem Fall ist die konkrete Temperatur ein Teil dieser gleichstufigen Stimmung, und die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen. Das bekannteste Beispiel dafür ist wiederum die heute in der Welt dominierende &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung, die in diesem Sinn als eine Variante der mitteltönigen Temperatur angesehen werden kann. Andere wichtige gleichstufige Systeme, die Varianten der mitteltönigen Temperatur darstellen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; (eine beinahe perfekte Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;drittelkomma-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, welches manchmal als nächstbesseres für die westliche Musik geeignetes System nach 12edo aufgeführt wird - für westliche Musik geeignet deshalb, weil es eben auch mitteltönig ist und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstüzt. Bei Systemen, die nicht mitteltönig sind, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:15:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc7"&amp;gt;&amp;lt;a name="Strengere mathematische Definitionen-Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:15 --&amp;gt;Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki&amp;lt;/h2&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextIncludeRule:00:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/include/pageList?w=200&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaInclude&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@include@@component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Include pageList: component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="includeBody"&amp;gt;&amp;lt;ol class="includePageList"&amp;gt;
              &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Drittelkomma-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Hanson+Kleismisch" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Hanson Kleismisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Liese" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Liese&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Magische+Temperaturen" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Magische Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/maqamisch" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;maqamisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mavila" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mohajira" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Orwell" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Orwell&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
      &amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextIncludeRule:00 --&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <timestamp>2013-05-31T11:11:52Z</timestamp>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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      <comment>**Imported revision 435542246 - Original comment: **</comment>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 

Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]]), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben. Das Tonmaterial wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "austemperiert" ist der Fachausdruck dafür.

=Verallgemeinerung= 

Die Verallgemeinerung erfolgt auf ziemlich natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.
* Ein oder mehrere [[Komma|Kommas]] werden austemperiert
&amp;gt; (XXX Genauer ausführen)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]]strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* XXX Bezieung zu EDOs

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
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Der Begriff //reguläre Temperatur// (im Englischen: [[@xenharmonic/Regular Temperaments|regular temperament]]) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:
* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperatur]] (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine [[Reguläre Stimmung|reguläre Stimmung]], deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem [[Rang]] interpretiert werden.

Beispiele
Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere [[81_80|syntonische Kommas 81:80]] unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.

Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man von einer [[superpyth|superpythagoräischen]] Temperatur.
Ist die Quinte andererseits //zu// klein, so dass man beim Aufeinanderschichten von vier Quinten nicht auf einer grossen, sondern eine kleinen Terz landet, haben wir eine [[Mavila]]-Temperatur.

==Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen== 

Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in [[MOS-Skalen]] strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

||~ Reine Stimmung ||~ Reguläre Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||

Generator und Periode einer regulären Temperaturs können andererseits beide selbst Teil einer gleichstufigen Stimmung sein. In diesem Fall ist die konkrete Temperatur ein Teil dieser gleichstufigen Stimmung, und die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen. Das bekannteste Beispiel dafür ist wiederum die heute in der Welt dominierende [[12edo]]-Stimmung, die in diesem Sinn als eine Variante der mitteltönigen Temperatur angesehen werden kann. Andere wichtige gleichstufige Systeme, die Varianten der mitteltönigen Temperatur darstellen, sind [[19edo]] (eine beinahe perfekte Realisierung der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur) und [[31edo]], welches manchmal als nächstbesseres für die westliche Musik geeignetes System nach 12edo aufgeführt wird - für westliche Musik geeignet deshalb, weil es eben auch mitteltönig ist und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstüzt. Bei Systemen, die nicht mitteltönig sind, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

==Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki== 
[[include component="pageList" hideInternal="true" tag="Temperatur" limit="10"]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:11:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:11 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:12: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:12 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:13: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verallgemeinerung"&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:14: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:14 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:15: --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16: --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17: --&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:1:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:1 --&amp;gt;Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
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Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt;), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben. Das Tonmaterial wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;austemperiert&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verallgemeinerung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Verallgemeinerung&amp;lt;/h1&amp;gt;
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Die Verallgemeinerung erfolgt auf ziemlich natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Ein oder mehrere &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt; werden austemperiert&amp;lt;br /&amp;gt;
(XXX Genauer ausführen)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt;strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;XXX Bezieung zu EDOs&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur&amp;lt;/h1&amp;gt;
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Der Begriff &amp;lt;em&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/em&amp;gt; (im Englischen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments" target="_blank"&amp;gt;regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Stimmung"&amp;gt;reguläre Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rang"&amp;gt;Rang&amp;lt;/a&amp;gt; interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_80"&amp;gt;syntonische Kommas 81:80&amp;lt;/a&amp;gt; unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man von einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
Ist die Quinte andererseits &amp;lt;em&amp;gt;zu&amp;lt;/em&amp;gt; klein, so dass man beim Aufeinanderschichten von vier Quinten nicht auf einer grossen, sondern eine kleinen Terz landet, haben wir eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur-Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen&amp;lt;/h2&amp;gt;
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Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
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    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Generator und Periode einer regulären Temperaturs können andererseits beide selbst Teil einer gleichstufigen Stimmung sein. In diesem Fall ist die konkrete Temperatur ein Teil dieser gleichstufigen Stimmung, und die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen. Das bekannteste Beispiel dafür ist wiederum die heute in der Welt dominierende &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung, die in diesem Sinn als eine Variante der mitteltönigen Temperatur angesehen werden kann. Andere wichtige gleichstufige Systeme, die Varianten der mitteltönigen Temperatur darstellen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; (eine beinahe perfekte Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;drittelkomma-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, welches manchmal als nächstbesseres für die westliche Musik geeignetes System nach 12edo aufgeführt wird - für westliche Musik geeignet deshalb, weil es eben auch mitteltönig ist und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstüzt. Bei Systemen, die nicht mitteltönig sind, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 

Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 Cent) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]]), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben. Das Tonmaterial wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "austemperiert" ist der Fachausdruck dafür.

=Verallgemeinerung= 

Die Verallgemeinerung erfolgt auf ziemlich natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.
* Ein oder mehrere [[Komma|Kommas]] werden austemperiert
&amp;gt; (XXX Genauer ausführen)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
&amp;gt; Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]]strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
&amp;gt; Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* XXX Bezieung zu EDOs

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
XXX

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XXXXXXXXXXX Alter Artikel

Der Begriff //reguläre Temperatur// (im Englischen: [[@xenharmonic/Regular Temperaments|regular temperament]]) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:
* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperatur]] (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine [[Reguläre Stimmung|reguläre Stimmung]], deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem [[Rang]] interpretiert werden.

Beispiele
Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere [[81_80|syntonische Kommas 81:80]] unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.

Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man von einer [[superpyth|superpythagoräischen]] Temperatur.
Ist die Quinte andererseits //zu// klein, so dass man beim Aufeinanderschichten von vier Quinten nicht auf einer grossen, sondern eine kleinen Terz landet, haben wir eine [[Mavila]]-Temperatur.

==Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen== 

Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in [[MOS-Skalen]] strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

||~ Reine Stimmung ||~ Reguläre Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||

Generator und Periode einer regulären Temperaturs können andererseits beide selbst Teil einer gleichstufigen Stimmung sein. In diesem Fall ist die konkrete Temperatur ein Teil dieser gleichstufigen Stimmung, und die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen. Das bekannteste Beispiel dafür ist wiederum die heute in der Welt dominierende [[12edo]]-Stimmung, die in diesem Sinn als eine Variante der mitteltönigen Temperatur angesehen werden kann. Andere wichtige gleichstufige Systeme, die Varianten der mitteltönigen Temperatur darstellen, sind [[19edo]] (eine beinahe perfekte Realisierung der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur) und [[31edo]], welches manchmal als nächstbesseres für die westliche Musik geeignetes System nach 12edo aufgeführt wird - für westliche Musik geeignet deshalb, weil es eben auch mitteltönig ist und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstüzt. Bei Systemen, die nicht mitteltönig sind, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

==Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki== 
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&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 Cent) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt;) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt;), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Beispielsweise wird in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben. Das Tonmaterial wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonisches Komma&amp;lt;/a&amp;gt; genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &amp;amp;quot;austemperiert&amp;amp;quot; ist der Fachausdruck dafür.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Verallgemeinerung erfolgt auf ziemlich natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &amp;amp;quot;Generator&amp;amp;quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &amp;amp;quot;Periode&amp;amp;quot; (im obigen Fall eine Oktave)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Ein oder mehrere &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt; werden austemperiert&amp;lt;br /&amp;gt;
(XXX Genauer ausführen)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt;strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall"&amp;gt;Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;XXX Bezieung zu EDOs&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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 XXX&amp;lt;br /&amp;gt;
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XXXXXXXXXXX Alter Artikel&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Begriff &amp;lt;em&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/em&amp;gt; (im Englischen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments" target="_blank"&amp;gt;regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Stimmung"&amp;gt;reguläre Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rang"&amp;gt;Rang&amp;lt;/a&amp;gt; interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispiele&amp;lt;br /&amp;gt;
Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_80"&amp;gt;syntonische Kommas 81:80&amp;lt;/a&amp;gt; unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man von einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
Ist die Quinte andererseits &amp;lt;em&amp;gt;zu&amp;lt;/em&amp;gt; klein, so dass man beim Aufeinanderschichten von vier Quinten nicht auf einer grossen, sondern eine kleinen Terz landet, haben wir eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur-Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen&amp;lt;/h2&amp;gt;
 &amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
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&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Generator und Periode einer regulären Temperaturs können andererseits beide selbst Teil einer gleichstufigen Stimmung sein. In diesem Fall ist die konkrete Temperatur ein Teil dieser gleichstufigen Stimmung, und die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen. Das bekannteste Beispiel dafür ist wiederum die heute in der Welt dominierende &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung, die in diesem Sinn als eine Variante der mitteltönigen Temperatur angesehen werden kann. Andere wichtige gleichstufige Systeme, die Varianten der mitteltönigen Temperatur darstellen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; (eine beinahe perfekte Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;drittelkomma-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, welches manchmal als nächstbesseres für die westliche Musik geeignetes System nach 12edo aufgeführt wird - für westliche Musik geeignet deshalb, weil es eben auch mitteltönig ist und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstüzt. Bei Systemen, die nicht mitteltönig sind, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur-Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki&amp;lt;/h2&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextIncludeRule:00:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/include/pageList?w=200&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaInclude&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@include@@component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Include pageList: component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="includeBody"&amp;gt;&amp;lt;ol class="includePageList"&amp;gt;
              &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Drittelkomma-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Hanson+Kleismisch" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Hanson Kleismisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Liese" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Liese&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Magische+Temperaturen" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Magische Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/maqamisch" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;maqamisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mavila" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mohajira" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Orwell" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Orwell&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
      &amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextIncludeRule:00 --&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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    <revision>
      <id>1045</id>
      <timestamp>2013-05-31T03:21:16Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;xenwolf</username>
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      <comment>**Imported revision 435474036 - Original comment: Leider auch keine eingängige Darstellung**</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="18549" sha1="oayqu7myqflf5sdrnxzbyn1oksvbevm" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Der Begriff //reguläre Temperatur// (im Englischen: [[@xenharmonic/Regular Temperaments|regular temperament]]) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:
* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperatur]] (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine [[Reguläre Stimmung|reguläre Stimmung]], deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem [[Rang]] interpretiert werden.

=Beispiele= 
Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere [[81_80|syntonische Kommas 81:80]] unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.

Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man von einer [[superpyth|superpythagoräischen]] Temperatur.
Ist die Quinte andererseits //zu// klein, so dass man beim Aufeinanderschichten von vier Quinten nicht auf einer grossen, sondern eine kleinen Terz landet, haben wir eine [[Mavila]]-Temperatur.

==Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen== 
Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Demgegenüber führt das Austemperieren des [[Porcupine]]-Kommas 250/243 dazu, dass eine Quarte in drei gleich grosse Teile teilbar ist. Daraus ergeben sich für jede Temperatur typische melodische und harmonische Wendungen.

Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in [[MOS-Skalen]] strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

||~ Reine Stimmung ||~ Reguläre Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||

Generator und Periode einer regulären Temperaturs können andererseits beide selbst Teil einer gleichstufigen Stimmung sein. In diesem Fall ist die konkrete Temperatur ein Teil dieser gleichstufigen Stimmung, und die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen. Das bekannteste Beispiel dafür ist wiederum die heute in der Welt dominierende [[12edo]]-Stimmung, die in diesem Sinn als eine Variante der mitteltönigen Temperatur angesehen werden kann. Andere wichtige gleichstufige Systeme, die Varianten der mitteltönigen Temperatur darstellen, sind [[19edo]] (eine beinahe perfekte Realisierung der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur) und [[31edo]], welches manchmal als nächstbesseres für die westliche Musik geeignetes System nach 12edo aufgeführt wird - für westliche Musik geeignet deshalb, weil es eben auch mitteltönig ist und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstüzt. Bei Systemen, die nicht mitteltönig sind, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

==Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki== 
[[include component="pageList" hideInternal="true" tag="Temperatur" limit="10"]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Der Begriff &amp;lt;em&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/em&amp;gt; (im Englischen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments" target="_blank"&amp;gt;regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Stimmung"&amp;gt;reguläre Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rang"&amp;gt;Rang&amp;lt;/a&amp;gt; interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:1:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Beispiele"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:1 --&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_80"&amp;gt;syntonische Kommas 81:80&amp;lt;/a&amp;gt; unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man von einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
Ist die Quinte andererseits &amp;lt;em&amp;gt;zu&amp;lt;/em&amp;gt; klein, so dass man beim Aufeinanderschichten von vier Quinten nicht auf einer grossen, sondern eine kleinen Terz landet, haben wir eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Beispiele-Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Demgegenüber führt das Austemperieren des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Kommas 250/243 dazu, dass eine Quarte in drei gleich grosse Teile teilbar ist. Daraus ergeben sich für jede Temperatur typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Generator und Periode einer regulären Temperaturs können andererseits beide selbst Teil einer gleichstufigen Stimmung sein. In diesem Fall ist die konkrete Temperatur ein Teil dieser gleichstufigen Stimmung, und die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen. Das bekannteste Beispiel dafür ist wiederum die heute in der Welt dominierende &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung, die in diesem Sinn als eine Variante der mitteltönigen Temperatur angesehen werden kann. Andere wichtige gleichstufige Systeme, die Varianten der mitteltönigen Temperatur darstellen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; (eine beinahe perfekte Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;drittelkomma-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, welches manchmal als nächstbesseres für die westliche Musik geeignetes System nach 12edo aufgeführt wird - für westliche Musik geeignet deshalb, weil es eben auch mitteltönig ist und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstüzt. Bei Systemen, die nicht mitteltönig sind, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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      <comment>**Imported revision 435470600 - Original comment: **</comment>
      <origin>1046</origin>
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* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperatur]] (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.

=Beispiele= 
Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere [[81_80|syntonische Kommas 81:80]] unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.

Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man von einer [[superpyth|superpythagoräischen]] Temperatur.
Ist die Quinte andererseits //zu// klein, so dass man beim Aufeinanderschichten von vier Quinten nicht auf einer grossen, sondern eine kleinen Terz landet, haben wir eine [[Mavila]]-Temperatur.

==Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen== 
Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Demgegenüber führt das Austemperieren des [[Porcupine]]-Kommas 250/243 dazu, dass eine Quarte in drei gleich grosse Teile teilbar ist. Daraus ergeben sich für jede Temperatur typische melodische und harmonische Wendungen.

Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in [[MOS-Skalen]] strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

||~ Reine Stimmung ||~ Reguläre Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||

Generator und Periode einer regulären Temperaturs können andererseits beide selbst Teil einer gleichstufigen Stimmung sein. In diesem Fall ist die konkrete Temperatur ein Teil dieser gleichstufigen Stimmung, und die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen. Das bekannteste Beispiel dafür ist wiederum die heute in der Welt dominierende [[12edo]]-Stimmung, die in diesem Sinn als eine Variante der mitteltönigen Temperatur angesehen werden kann. Andere wichtige gleichstufige Systeme, die Varianten der mitteltönigen Temperatur darstellen, sind [[19edo]] (eine beinahe perfekte Realisierung der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur) und [[31edo]], welches manchmal als nächstbesseres für die westliche Musik geeignetes System nach 12edo aufgeführt wird - für westliche Musik geeignet deshalb, weil es eben auch mitteltönig ist und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstüzt. Bei Systemen, die nicht mitteltönig sind, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

==Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki== 
[[include component="pageList" hideInternal="true" tag="Temperatur" limit="10"]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Der Begriff &amp;lt;em&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/em&amp;gt; (im Englischen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments" target="_blank"&amp;gt;regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:1:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Beispiele"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:1 --&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_80"&amp;gt;syntonische Kommas 81:80&amp;lt;/a&amp;gt; unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man von einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
Ist die Quinte andererseits &amp;lt;em&amp;gt;zu&amp;lt;/em&amp;gt; klein, so dass man beim Aufeinanderschichten von vier Quinten nicht auf einer grossen, sondern eine kleinen Terz landet, haben wir eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Beispiele-Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Demgegenüber führt das Austemperieren des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Kommas 250/243 dazu, dass eine Quarte in drei gleich grosse Teile teilbar ist. Daraus ergeben sich für jede Temperatur typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;
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    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Reine Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator und Periode einer regulären Temperaturs können andererseits beide selbst Teil einer gleichstufigen Stimmung sein. In diesem Fall ist die konkrete Temperatur ein Teil dieser gleichstufigen Stimmung, und die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen. Das bekannteste Beispiel dafür ist wiederum die heute in der Welt dominierende &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung, die in diesem Sinn als eine Variante der mitteltönigen Temperatur angesehen werden kann. Andere wichtige gleichstufige Systeme, die Varianten der mitteltönigen Temperatur darstellen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; (eine beinahe perfekte Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;drittelkomma-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, welches manchmal als nächstbesseres für die westliche Musik geeignetes System nach 12edo aufgeführt wird - für westliche Musik geeignet deshalb, weil es eben auch mitteltönig ist und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstüzt. Bei Systemen, die nicht mitteltönig sind, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperatur]] (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte [[Komma]]-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])

Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]] (englischsprachiger Artikel)

=Beispiele= 
Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere [[81_80|syntonische Kommas 81:80]] unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.

Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man von einer [[superpyth|superpythagoräischen]] Temperatur.
Ist die Quinte andererseits //zu// klein, so dass man beim Aufeinanderschichten von vier Quinten nicht auf einer grossen, sondern eine kleinen Terz landet, haben wir eine [[Mavila]]-Temperatur.

==Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen== 
Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Demgegenüber führt das Austemperieren des [[Porcupine]]-Kommas 250/243 dazu, dass eine Quarte in drei gleich grosse Teile teilbar ist. Daraus ergeben sich für jede Temperatur typische melodische und harmonische Wendungen.

Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in [[MOS-Skalen]] strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

||~ Reine Stimmung ||~ Reguläre Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||

Generator und Periode einer regulären Temperaturs können andererseits beide selbst Teil einer gleichstufigen Stimmung sein. In diesem Fall ist die konkrete Temperatur ein Teil dieser gleichstufigen Stimmung, und die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen. Das bekannteste Beispiel dafür ist wiederum die heute in der Welt dominierende [[12edo]]-Stimmung, die in diesem Sinn als eine Variante der mitteltönigen Temperatur angesehen werden kann. Andere wichtige gleichstufige Systeme, die Varianten der mitteltönigen Temperatur darstellen, sind [[19edo]] (eine beinahe perfekte Realisierung der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur) und [[31edo]], welches manchmal als nächstbesseres für die westliche Musik geeignetes System nach 12edo aufgeführt wird - für westliche Musik geeignet deshalb, weil es eben auch mitteltönig ist und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstüzt. Bei Systemen, die nicht mitteltönig sind, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

==Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki== 
[[include component="pageList" hideInternal="true" tag="Temperatur" limit="10"]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Der Begriff &amp;lt;em&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/em&amp;gt; (im Englischen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments" target="_blank"&amp;gt;regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt; (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_80"&amp;gt;syntonische Kommas 81:80&amp;lt;/a&amp;gt; unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man von einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
Ist die Quinte andererseits &amp;lt;em&amp;gt;zu&amp;lt;/em&amp;gt; klein, so dass man beim Aufeinanderschichten von vier Quinten nicht auf einer grossen, sondern eine kleinen Terz landet, haben wir eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Beispiele-Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Demgegenüber führt das Austemperieren des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Kommas 250/243 dazu, dass eine Quarte in drei gleich grosse Teile teilbar ist. Daraus ergeben sich für jede Temperatur typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator und Periode einer regulären Temperaturs können andererseits beide selbst Teil einer gleichstufigen Stimmung sein. In diesem Fall ist die konkrete Temperatur ein Teil dieser gleichstufigen Stimmung, und die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen. Das bekannteste Beispiel dafür ist wiederum die heute in der Welt dominierende &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung, die in diesem Sinn als eine Variante der mitteltönigen Temperatur angesehen werden kann. Andere wichtige gleichstufige Systeme, die Varianten der mitteltönigen Temperatur darstellen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; (eine beinahe perfekte Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;drittelkomma-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, welches manchmal als nächstbesseres für die westliche Musik geeignetes System nach 12edo aufgeführt wird - für westliche Musik geeignet deshalb, weil es eben auch mitteltönig ist und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstüzt. Bei Systemen, die nicht mitteltönig sind, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte [[Komma]]-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])

Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]] (englischsprachiger Artikel)

=Beispiele= 
Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere [[81_80|syntonische Kommas 81:80]] unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.

Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man von einer [[superpyth|superpythagoräischen]] Temperatur.
Ist die Quinte andererseits //zu// klein, so dass man beim Aufeinanderschichten von vier Quinten nicht auf einer grossen, sondern eine kleinen Terz landet, haben wir eine [[Mavila]]-Temperatur.

==Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen== 
Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Demgegenüber führt das Austemperieren des [[Porcupine]]-Kommas 250/243 dazu, dass eine Quarte in drei gleich grosse Teile teilbar ist. Daraus ergeben sich für jede Temperatur typische melodische und harmonische Wendungen.

Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in [[MOS-Skalen]] strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

||~ Reine Stimmung ||~ Reguläre Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||

Generator und Periode einer regulären Temperaturs können andererseits beide selbst Teil einer gleichstufigen Stimmung sein. In diesem Fall ist die konkrete Temperatur ein Teil dieser gleichstufigen Stimmung, und die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen. Das bekannteste Beispiel dafür ist wiederum die heute in der Welt dominierende [[12edo]]-Stimmung, die in diesem Sinn als eine Variante der mitteltönigen Temperatur angesehen werden kann. Andere wichtige gleichstufige Systeme, die Varianten der mitteltönigen Temperatur darstellen, sind [[19edo]] (eine beinahe perfekte Realisierung der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur) und [[31edo]], welches manchmal als nächstbesseres für die westliche Musik geeignetes System nach 12edo aufgeführt wird - für westliche Musik geeignet deshalb, weil es eben auch mitteltönig ist und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstüzt. Bei Systemen, die nicht mitteltönig sind, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

==Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki== 
[[include component="pageList" hideInternal="true" tag="Temperatur" limit="10"]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Der Begriff &amp;lt;em&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/em&amp;gt; (im Englischen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments" target="_blank"&amp;gt;regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt; (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_80"&amp;gt;syntonische Kommas 81:80&amp;lt;/a&amp;gt; unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man von einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
Ist die Quinte andererseits &amp;lt;em&amp;gt;zu&amp;lt;/em&amp;gt; klein, so dass man beim Aufeinanderschichten von vier Quinten nicht auf einer grossen, sondern eine kleinen Terz landet, haben wir eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Beispiele-Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Demgegenüber führt das Austemperieren des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Kommas 250/243 dazu, dass eine Quarte in drei gleich grosse Teile teilbar ist. Daraus ergeben sich für jede Temperatur typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator und Periode einer regulären Temperaturs können andererseits beide selbst Teil einer gleichstufigen Stimmung sein. In diesem Fall ist die konkrete Temperatur ein Teil dieser gleichstufigen Stimmung, und die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen. Das bekannteste Beispiel dafür ist wiederum die heute in der Welt dominierende &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung, die in diesem Sinn als eine Variante der mitteltönigen Temperatur angesehen werden kann. Andere wichtige gleichstufige Systeme, die Varianten der mitteltönigen Temperatur darstellen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; (eine beinahe perfekte Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;drittelkomma-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, welches manchmal als nächstbesseres für die westliche Musik geeignetes System nach 12edo aufgeführt wird - für westliche Musik geeignet deshalb, weil es eben auch mitteltönig ist und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstüzt. Bei Systemen, die nicht mitteltönig sind, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte [[Komma]]-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])

Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]] (englischsprachiger Artikel)

=Beispiele= 
Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere [[81_80|syntonische Kommas 81:80]] unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.

Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man von einer [[superpyth|superpythagoräischen]] Temperatur.
Ist die Quinte andererseits //zu// klein, so dass man beim Aufeinanderschichten von vier Quinten nicht auf einer grossen, sondern eine kleinen Terz landet, haben wir eine [[Mavila]]-Temperatur.

==Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen== 
Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Demgegenüber führt das Austemperieren des [[Porcupine]]-Kommas 250/243 dazu, dass eine Quarte in drei gleich grosse Teile teilbar ist. Daraus ergeben sich für jede Temperatur typische melodische und harmonische Wendungen.

Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in [[MOS-Skalen]] strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

||~ Reine Stimmung ||~ Reguläre Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||

Generator und Periode einer regulären Temperaturs können andererseits beide selbst Teil einer gleichstufigen Stimmung sein. In diesem Fall ist die konkrete Temperatur ein Teil dieser gleichstufigen Stimmung, und die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen. Das bekannteste Beispiel dafür ist wiederum die heute in der Welt dominierende [[12edo]]-Stimmung, die in diesem Sinn als eine Variante der mitteltönigen Temperatur angesehen werden kann. Andere wichtige gleichstufige Systeme, die Varianten der mitteltönigen Temperatur darstellen, sind [[19edo]] (eine beinahe perfekte Realisierung der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur) und [[31edo]], welches manchmal als nächstbesseres für die westliche Musik geeignetes System nach 12edo aufgeführt wird - für westliche Musik geeignet deshalb, weil es eben auch mitteltönig ist und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstüzt. Bei Systemen, die nicht mitteltönig sind, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

==Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki== 
[[include component="pageList" hideInternal="true" tag="Temperatur" limit="10"]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt; (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_80"&amp;gt;syntonische Kommas 81:80&amp;lt;/a&amp;gt; unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man von einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
Ist die Quinte andererseits &amp;lt;em&amp;gt;zu&amp;lt;/em&amp;gt; klein, so dass man beim Aufeinanderschichten von vier Quinten nicht auf einer grossen, sondern eine kleinen Terz landet, haben wir eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Beispiele-Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Demgegenüber führt das Austemperieren des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Kommas 250/243 dazu, dass eine Quarte in drei gleich grosse Teile teilbar ist. Daraus ergeben sich für jede Temperatur typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator und Periode einer regulären Temperaturs können andererseits beide selbst Teil einer gleichstufigen Stimmung sein. In diesem Fall ist die konkrete Temperatur ein Teil dieser gleichstufigen Stimmung, und die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen. Das bekannteste Beispiel dafür ist wiederum die heute in der Welt dominierende &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung, die in diesem Sinn als eine Variante der mitteltönigen Temperatur angesehen werden kann. Andere wichtige gleichstufige Systeme, die Varianten der mitteltönigen Temperatur darstellen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; (eine beinahe perfekte Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;drittelkomma-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, welches manchmal als nächstbesseres für die westliche Musik geeignetes System nach 12edo aufgeführt wird - für westliche Musik geeignet deshalb, weil es eben auch mitteltönig ist und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstüzt. Bei Systemen, die nicht mitteltönig sind, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte [[Komma]]-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])

Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]] (englischsprachiger Artikel)

=Beispiele= 
Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere [[81_80|syntonische Kommas 81:80]] unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.

Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man von einer [[superpyth|superpythagoräischen]] Temperatur.
Ist die Quinte andererseits //zu// klein, so dass man beim Aufeinanderschichten von vier Quinten nicht auf einer grossen, sondern eine kleinen Terz landet, haben wir eine [[Mavila]]-Temperatur.

==Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen== 
Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Demgegenüber führt das Austemperieren des [[Porcupine]]-Kommas 250/243 dazu, dass eine Quarte in drei gleich grosse Teile teilbar ist. Daraus ergeben sich für jede Temperatur typische melodische und harmonische Wendungen.

Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in [[MOS-Skalen]] strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

||~ Reine Stimmung ||~ Reguläre Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||

Generator und Periode einer regulären Temperaturs können andererseits beide selbst Teil einer gleichstufigen Stimmung sein. In diesem Fall ist die konkrete Temperatur ein Teil dieser gleichstufigen Stimmung, und die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen. Das bekannteste Beispiel dafür ist wiederum die heute in der Welt dominierende [[12edo]]-Stimmung, die in diesem Sinn als eine Variante der mitteltönigen Temperatur angesehen werden kann. Andere wichtige gleichstufige Systeme, die Varianten der mitteltönigen Temperatur darstellen, sind [[19edo]] (eine beinahe perfekte Realisierung der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur) und [[31edo]], welches manchmal als nächstbesseres für die westliche Musik geeignetes System nach 12edo aufgeführt wird - für westliche Musik geeignet deshalb, weil es eben auch mitteltönig ist und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstüzt. Bei Systemen, die nicht mitteltönig sind, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut.

Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

==Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki== 
[[include component="pageList" hideInternal="true" tag="Temperatur" limit="10"]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt; (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_80"&amp;gt;syntonische Kommas 81:80&amp;lt;/a&amp;gt; unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man von einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
Ist die Quinte andererseits &amp;lt;em&amp;gt;zu&amp;lt;/em&amp;gt; klein, so dass man beim Aufeinanderschichten von vier Quinten nicht auf einer grossen, sondern eine kleinen Terz landet, haben wir eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Demgegenüber führt das Austemperieren des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Kommas 250/243 dazu, dass eine Quarte in drei gleich grosse Teile teilbar ist. Daraus ergeben sich für jede Temperatur typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Generator und Periode einer regulären Temperaturs können andererseits beide selbst Teil einer gleichstufigen Stimmung sein. In diesem Fall ist die konkrete Temperatur ein Teil dieser gleichstufigen Stimmung, und die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen. Das bekannteste Beispiel dafür ist wiederum die heute in der Welt dominierende &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung, die in diesem Sinn als eine Variante der mitteltönigen Temperatur angesehen werden kann. Andere wichtige gleichstufige Systeme, die Varianten der mitteltönigen Temperatur darstellen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; (eine beinahe perfekte Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;drittelkomma-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, welches manchmal als nächstbesseres für die westliche Musik geeignetes System nach 12edo aufgeführt wird - für westliche Musik geeignet deshalb, weil es eben auch mitteltönig ist und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstüzt. Bei Systemen, die nicht mitteltönig sind, wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, geht das zum Teil nicht so gut.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Beispiele-Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki&amp;lt;/h2&amp;gt;
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Der Begriff //reguläre Temperatur// (im Englischen: [[@xenharmonic/Regular Temperaments|regular temperament]]) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:
* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte [[Komma]]-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])

Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]] (englischsprachiger Artikel)

=Beispiele= 
Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere [[81_80|syntonische Kommas 81:80]] unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.

Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man von einer [[superpyth|superpythagoräischen]] Temperatur.
Ist die Quinte andererseits //zu// klein, so dass man beim Aufeinanderschichten von vier Quinten nicht auf einer grossen, sondern eine kleinen Terz landet, haben wir eine [[Mavila]]-Temperatur.

==Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen== 
Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Demgegenüber führt das Austemperieren des [[Porcupine]]-Kommas 250/243 dazu, dass eine Quarte in drei gleich grosse Teile teilbar ist. Daraus ergeben sich für jede Temperatur typische melodische und harmonische Wendungen.

Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in [[MOS-Skalen]] strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

||~ Reine Stimmung ||~ Reguläre Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||

Generator und Periode einer regulären Temperaturs können andererseits beide selbst Teil einer gleichstufigen Stimmung sein. In diesem Fall ist die konkrete Temperatur ein Teil dieser gleichstufigen Stimmung, und die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen. Das bekannteste Beispiel dafür ist wiederum die heute in der Welt dominierende [[12edo]]-Stimmung, die in diesem Sinn als eine Variante der mitteltönigen Temperatur angesehen werden kann. Andere wichtige gleichstufige Systeme, die Varianten der mitteltönigen Temperatur darstellen, sind [[19edo]] (eine beinahe perfekte Realisierung der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur) und [[31edo]], welches manchmal als nächstbesseres für die westliche Musik geeignetes System nach 12edo aufgeführt wird - für westliche Musik geeignet deshalb, weil es eben auch mitteltönig ist und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstüzt. Ein wichtiges gleichstufiges System, das die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützt, ist [[22edo]].

Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

==Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki== 
[[include component="pageList" hideInternal="true" tag="Temperatur" limit="10"]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Der Begriff &amp;lt;em&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/em&amp;gt; (im Englischen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments" target="_blank"&amp;gt;regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt; (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:1:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Beispiele"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:1 --&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_80"&amp;gt;syntonische Kommas 81:80&amp;lt;/a&amp;gt; unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man von einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
Ist die Quinte andererseits &amp;lt;em&amp;gt;zu&amp;lt;/em&amp;gt; klein, so dass man beim Aufeinanderschichten von vier Quinten nicht auf einer grossen, sondern eine kleinen Terz landet, haben wir eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Beispiele-Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Demgegenüber führt das Austemperieren des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Kommas 250/243 dazu, dass eine Quarte in drei gleich grosse Teile teilbar ist. Daraus ergeben sich für jede Temperatur typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator und Periode einer regulären Temperaturs können andererseits beide selbst Teil einer gleichstufigen Stimmung sein. In diesem Fall ist die konkrete Temperatur ein Teil dieser gleichstufigen Stimmung, und die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen. Das bekannteste Beispiel dafür ist wiederum die heute in der Welt dominierende &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung, die in diesem Sinn als eine Variante der mitteltönigen Temperatur angesehen werden kann. Andere wichtige gleichstufige Systeme, die Varianten der mitteltönigen Temperatur darstellen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; (eine beinahe perfekte Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;drittelkomma-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, welches manchmal als nächstbesseres für die westliche Musik geeignetes System nach 12edo aufgeführt wird - für westliche Musik geeignet deshalb, weil es eben auch mitteltönig ist und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstüzt. Ein wichtiges gleichstufiges System, das die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützt, ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Beispiele-Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki&amp;lt;/h2&amp;gt;
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                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/maqamisch" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;maqamisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mavila" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
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                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mohajira" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
        <id>0</id>
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Der Begriff //reguläre Temperatur// (im Englischen: [[@xenharmonic/Regular Temperaments|regular temperament]]) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:
* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte [[Komma]]-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])

Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]] (englischsprachiger Artikel)

=Beispiele= 
Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere [[81_80|syntonische Kommas 81:80]] unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.

Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man von einer [[superpyth|superpythagoräischen]] Temperatur.
Ist die Quinte andererseits //zu// klein, so dass man beim Aufeinanderschichten von vier Quinten nicht auf einer grossen, sondern eine kleinen Terz landet, haben wir eine [[Mavila]]-Temperatur.

==Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen== 
Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Demgegenüber führt das Austemperieren des [[Porcupine]]-Kommas 250/243 dazu, dass eine Quarte in drei gleich grosse Teile teilbar ist. Daraus ergeben sich für jede Temperatur typische melodische und harmonische Wendungen.

Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in [[MOS-Skalen]] strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

||~ Reine Stimmung ||~ Reguläre Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||

Generator und Periode einer regulären Temperaturs können andererseits beide selbst Teil einer gleichstufigen Stimmung sein. In diesem Fall ist die konkrete Temperatur ein Teil dieser gleichstufigen Stimmung, und die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodische und harmonische Wendungen. Das bekannteste Beispiel dafür ist wiederum die heute in der Welt dominierende [[12edo]]-Stimmung, die in diesem Sinn als eine Variante der mitteltönigen Temperatur angesehen werden kann. Andere wichtige gleichstufige Systeme, die Varianten der mitteltönigen Temperatur darstellen, sind [[19edo]] (eine beinahe perfekte Realisierung der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur) und [[31edo]], welches manchmal als nächstbesseres für die westliche Musik geeignetes System nach 12edo aufgeführt wird. Ein wichtiges gleichstufiges System, das die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützt, ist [[22edo]].

Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

==Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki== 
[[include component="pageList" hideInternal="true" tag="Temperatur" limit="10"]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Der Begriff &amp;lt;em&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/em&amp;gt; (im Englischen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments" target="_blank"&amp;gt;regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt; (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:1:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Beispiele"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:1 --&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_80"&amp;gt;syntonische Kommas 81:80&amp;lt;/a&amp;gt; unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man von einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
Ist die Quinte andererseits &amp;lt;em&amp;gt;zu&amp;lt;/em&amp;gt; klein, so dass man beim Aufeinanderschichten von vier Quinten nicht auf einer grossen, sondern eine kleinen Terz landet, haben wir eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Beispiele-Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Demgegenüber führt das Austemperieren des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Kommas 250/243 dazu, dass eine Quarte in drei gleich grosse Teile teilbar ist. Daraus ergeben sich für jede Temperatur typische melodische und harmonische Wendungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator und Periode einer regulären Temperaturs können andererseits beide selbst Teil einer gleichstufigen Stimmung sein. In diesem Fall ist die konkrete Temperatur ein Teil dieser gleichstufigen Stimmung, und die gleichstufige Stimmung &amp;amp;quot;erbt&amp;amp;quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodische und harmonische Wendungen. Das bekannteste Beispiel dafür ist wiederum die heute in der Welt dominierende &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung, die in diesem Sinn als eine Variante der mitteltönigen Temperatur angesehen werden kann. Andere wichtige gleichstufige Systeme, die Varianten der mitteltönigen Temperatur darstellen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; (eine beinahe perfekte Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;drittelkomma-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, welches manchmal als nächstbesseres für die westliche Musik geeignetes System nach 12edo aufgeführt wird. Ein wichtiges gleichstufiges System, das die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützt, ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-14 06:08:06 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;431365142&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Der Begriff //reguläre Temperatur// (im Englischen: [[@xenharmonic/Regular Temperaments|regular temperament]]) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:
* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte [[Komma]]-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])

Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]] (englischsprachiger Artikel)

=Beispiele= 
Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere [[81_80|syntonische Kommas 81:80]] unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.

Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man von einer [[superpyth|superpythagoräischen]] Temperatur.
Ist die Quinte andererseits //zu// klein, so dass man beim Aufeinanderschichten von vier Quinten nicht auf einer grossen, sondern eine kleinen Terz landet, haben wir eine [[Mavila]]-Temperatur.

==Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen== 
Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Demgegenüber führt das Austemperieren des [[Porcupine]]-Kommas 250/243 dazu, dass eine Quarte in drei gleich grosse Teile teilbar ist.

Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in [[MOS-Skalen]] strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

||~ Reine Stimmung ||~ Reguläre Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||

Generator und Periode einer regulären Temperaturs können andererseits beide selbst Teil einer gleichstufigen Stimmung sein. In diesem Fall ist die konkrete Temperatur ein Teil dieser gleichstufigen Stimmung. Das bekannteste Beispiel dafür ist wiederum die heute in der Welt dominierende [[12edo]]-Stimmung, die in diesem Sinn als eine Variante der mitteltönigenTemperatur angesehen werden kann. Andere wichtige gleichstufige Systeme, die Varianten der mitteltönigen Temperatur darstellen, sind [[19edo]] (eine beinahe perfekte Realisierung der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur) und [[31edo]], welches manchmal als nächstbesseres für die westliche Musik geeignetes System nach 12edo aufgeführt wird. Ein wichtiges gleichstufiges System, das die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützt, ist [[22edo]].

Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

==Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki== 
[[include component="pageList" hideInternal="true" tag="Temperatur" limit="10"]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Der Begriff &amp;lt;em&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/em&amp;gt; (im Englischen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments" target="_blank"&amp;gt;regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt; (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_80"&amp;gt;syntonische Kommas 81:80&amp;lt;/a&amp;gt; unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man von einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
Ist die Quinte andererseits &amp;lt;em&amp;gt;zu&amp;lt;/em&amp;gt; klein, so dass man beim Aufeinanderschichten von vier Quinten nicht auf einer grossen, sondern eine kleinen Terz landet, haben wir eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Beispiele-Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Ganzton"&amp;gt;Ganzton&amp;lt;/a&amp;gt; gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Demgegenüber führt das Austemperieren des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Porcupine"&amp;gt;Porcupine&amp;lt;/a&amp;gt;-Kommas 250/243 dazu, dass eine Quarte in drei gleich grosse Teile teilbar ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Generator und Periode einer regulären Temperaturs können andererseits beide selbst Teil einer gleichstufigen Stimmung sein. In diesem Fall ist die konkrete Temperatur ein Teil dieser gleichstufigen Stimmung. Das bekannteste Beispiel dafür ist wiederum die heute in der Welt dominierende &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung, die in diesem Sinn als eine Variante der mitteltönigenTemperatur angesehen werden kann. Andere wichtige gleichstufige Systeme, die Varianten der mitteltönigen Temperatur darstellen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; (eine beinahe perfekte Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;drittelkomma-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, welches manchmal als nächstbesseres für die westliche Musik geeignetes System nach 12edo aufgeführt wird. Ein wichtiges gleichstufiges System, das die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützt, ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte [[Komma]]-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])

Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]] (englischsprachiger Artikel)

=Beispiele= 
Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere [[81_80|syntonische Kommas 81:80]] unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.

Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man von einer [[superpyth|superpythagoräischen]] Temperatur.
Ist die Quinte andererseits //zu// klein, so dass man beim Aufeinanderschichten von vier Quinten nicht auf einer grossen, sondern eine kleinen Terz landet, haben wir eine [[Mavila]]-Temperatur.

==Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen== 
Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in [[MOS-Skalen]] strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

||~ Reine Stimmung ||~ Reguläre Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||

Generator und Periode einer regulären Temperaturs können andererseits beide selbst Teil einer gleichstufigen Stimmung sein. In diesem Fall ist die konkrete Temperatur ein Teil dieser gleichstufigen Stimmung. Das bekannteste Beispiel dafür ist wiederum die heute in der Welt dominierende [[12edo]]-Stimmung, die in diesem Sinn als eine Variante der mitteltönigenTemperatur angesehen werden kann. Andere wichtige gleichstufige Systeme, die Varianten der mitteltönigen Temperatur darstellen, sind [[19edo]] (eine beinahe perfekte Realisierung der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur) und [[31edo]], welches manchmal als nächstbesseres für die westliche Musik geeignetes System nach 12edo aufgeführt wird. Ein wichtiges gleichstufiges System, das die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützt, ist [[22edo]].

Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

==Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki== 
[[include component="pageList" hideInternal="true" tag="Temperatur" limit="10"]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Der Begriff &amp;lt;em&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/em&amp;gt; (im Englischen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments" target="_blank"&amp;gt;regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt; (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:1:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Beispiele"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:1 --&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_80"&amp;gt;syntonische Kommas 81:80&amp;lt;/a&amp;gt; unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man von einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
Ist die Quinte andererseits &amp;lt;em&amp;gt;zu&amp;lt;/em&amp;gt; klein, so dass man beim Aufeinanderschichten von vier Quinten nicht auf einer grossen, sondern eine kleinen Terz landet, haben wir eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Generator und Periode einer regulären Temperaturs können andererseits beide selbst Teil einer gleichstufigen Stimmung sein. In diesem Fall ist die konkrete Temperatur ein Teil dieser gleichstufigen Stimmung. Das bekannteste Beispiel dafür ist wiederum die heute in der Welt dominierende &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung, die in diesem Sinn als eine Variante der mitteltönigenTemperatur angesehen werden kann. Andere wichtige gleichstufige Systeme, die Varianten der mitteltönigen Temperatur darstellen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; (eine beinahe perfekte Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;drittelkomma-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, welches manchmal als nächstbesseres für die westliche Musik geeignetes System nach 12edo aufgeführt wird. Ein wichtiges gleichstufiges System, das die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützt, ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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      <sha1>3ai25vioma6e88dkcuqf7g51143zasv</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1055</id>
      <timestamp>2013-05-13T06:00:02Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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      </contributor>
      <comment>**Imported revision 431038108 - Original comment: **</comment>
      <origin>1055</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="17853" sha1="azj4nszlwr9d19671w0vmz7mxsk1ls8" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-13 06:00:02 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Der Begriff //reguläre Temperatur// (im Englischen: [[@xenharmonic/Regular Temperaments|regular temperament]]) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:
* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte Komma-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])

Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]] (englischsprachiger Artikel)

=Beispiele= 
Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere syntonische Kommas 81:80 unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.

Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man von einer [[superpyth|superpythagoräischen]] Temperatur.
Ist die Quinte andererseits //zu// klein, so dass man beim Aufeinanderschichten von vier Quinten nicht auf einer grossen, sondern eine kleinen Terz landet, haben wir eine [[Mavila]]-Temperatur.

==Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen== 
Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in [[MOS-Skalen]] strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

||~ Reine Stimmung ||~ Reguläre Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||

Generator und Periode einer regulären Temperaturs können andererseits beide selbst Teil einer gleichstufigen Stimmung sein. In diesem Fall ist die konkrete Temperatur ein Teil dieser gleichstufigen Stimmung. Das bekannteste Beispiel dafür ist wiederum die heute in der Welt dominierende [[12edo]]-Stimmung, die in diesem Sinn als eine Variante der mitteltönigenTemperatur angesehen werden kann. Andere wichtige gleichstufige Systeme, die Varianten der mitteltönigen Temperatur darstellen, sind [[19edo]] (eine beinahe perfekte Realisierung der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur) und [[31edo]], welches manchmal als nächstbesseres für die westliche Musik geeignetes System nach 12edo aufgeführt wird. Ein wichtiges gleichstufiges System, das die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützt, ist [[22edo]].

Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

==Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki== 
[[include component="pageList" hideInternal="true" tag="Temperatur" limit="10"]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Der Begriff &amp;lt;em&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/em&amp;gt; (im Englischen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments" target="_blank"&amp;gt;regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte Komma-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt; (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:1:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Beispiele"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:1 --&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere syntonische Kommas 81:80 unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man von einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
Ist die Quinte andererseits &amp;lt;em&amp;gt;zu&amp;lt;/em&amp;gt; klein, so dass man beim Aufeinanderschichten von vier Quinten nicht auf einer grossen, sondern eine kleinen Terz landet, haben wir eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Beispiele-Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Reine Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Reguläre Temperatur&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;/th&amp;gt;
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    &amp;lt;tr&amp;gt;
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&amp;lt;/td&amp;gt;
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&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein&amp;lt;br /&amp;gt;
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    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
&amp;lt;/table&amp;gt;

&amp;lt;br /&amp;gt;
Generator und Periode einer regulären Temperaturs können andererseits beide selbst Teil einer gleichstufigen Stimmung sein. In diesem Fall ist die konkrete Temperatur ein Teil dieser gleichstufigen Stimmung. Das bekannteste Beispiel dafür ist wiederum die heute in der Welt dominierende &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung, die in diesem Sinn als eine Variante der mitteltönigenTemperatur angesehen werden kann. Andere wichtige gleichstufige Systeme, die Varianten der mitteltönigen Temperatur darstellen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; (eine beinahe perfekte Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;drittelkomma-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, welches manchmal als nächstbesseres für die westliche Musik geeignetes System nach 12edo aufgeführt wird. Ein wichtiges gleichstufiges System, das die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützt, ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Beispiele-Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki&amp;lt;/h2&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextIncludeRule:00:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/include/pageList?w=200&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaInclude&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@include@@component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Include pageList: component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="includeBody"&amp;gt;&amp;lt;ol class="includePageList"&amp;gt;
              &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Drittelkomma-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Hanson+Kleismisch" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Hanson Kleismisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Liese" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Liese&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Magische+Temperaturen" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Magische Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/maqamisch" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;maqamisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mavila" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mohajira" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Orwell" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Orwell&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
      &amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextIncludeRule:00 --&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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    <revision>
      <id>1056</id>
      <timestamp>2013-05-13T05:59:44Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
        <id>0</id>
      </contributor>
      <comment>**Imported revision 431038040 - Original comment: **</comment>
      <origin>1056</origin>
      <model>wikitext</model>
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      <text bytes="17851" sha1="790hgftcdevxnu8xkei540uk109tmjv" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-13 05:59:44 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Der Begriff //reguläre Temperatur// (im Englischen: [[@xenharmonic/Regular Temperaments|regular temperament]]) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:
* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte Komma-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])

Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]] (englischsprachiger Artikel)

=Beispiele= 
Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere syntonische Kommas 81:80 unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.

Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man von einer [[superpyth|superpythagoräischen]] Temperatur.
Ist die Quinte andererseits //zu// klein, so dass man beim Aufeinanderschichten von vier Quinten nicht auf einer grossen, sondern eine kleinen Terz landet, haben wir eine [[Mavila]]-Temperatur.

==Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen== 
Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in [[MOS-Skalen]] strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

||~ Reine Stimmung ||~ Reguläre Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||

Generator und Periode einer regulären Temperaturs können andererseits beide selbst Teil einer gleichstufigen Stimmung sein. In diesem Fall ist die konkrete Temperatur ein Teil dieser gleichstufigen Stimmung. Das bekannteste Beispiel dafür ist wiederum die heute in der Welt dominierende [[12edo]]-Stimmung, die in diesem Sinn als eine Variante der mitteltönigenTemperatur angesehen werden kann. Andere wichtige gleichstufige Systeme, die Varianten der mitteltönigen Temperatur darstellen, sind [[19edo]] (eine beinahe perfekte Realisierung der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur) und [[31edo]], welches manchmal als nächstbesseres für die westliche Musik geeignetes System nach 12edo aufgeführt wird. Ein wichtiges gleichstufiges System, das die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützt, ist [[22edo]].

Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eingschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

==Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki== 
[[include component="pageList" hideInternal="true" tag="Temperatur" limit="10"]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Der Begriff &amp;lt;em&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/em&amp;gt; (im Englischen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments" target="_blank"&amp;gt;regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte Komma-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt; (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:1:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Beispiele"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:1 --&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere syntonische Kommas 81:80 unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man von einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
Ist die Quinte andererseits &amp;lt;em&amp;gt;zu&amp;lt;/em&amp;gt; klein, so dass man beim Aufeinanderschichten von vier Quinten nicht auf einer grossen, sondern eine kleinen Terz landet, haben wir eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Beispiele-Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
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        &amp;lt;th&amp;gt;Reine Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein&amp;lt;br /&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
&amp;lt;/table&amp;gt;

&amp;lt;br /&amp;gt;
Generator und Periode einer regulären Temperaturs können andererseits beide selbst Teil einer gleichstufigen Stimmung sein. In diesem Fall ist die konkrete Temperatur ein Teil dieser gleichstufigen Stimmung. Das bekannteste Beispiel dafür ist wiederum die heute in der Welt dominierende &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung, die in diesem Sinn als eine Variante der mitteltönigenTemperatur angesehen werden kann. Andere wichtige gleichstufige Systeme, die Varianten der mitteltönigen Temperatur darstellen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; (eine beinahe perfekte Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;drittelkomma-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, welches manchmal als nächstbesseres für die westliche Musik geeignetes System nach 12edo aufgeführt wird. Ein wichtiges gleichstufiges System, das die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützt, ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eingschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Beispiele-Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki&amp;lt;/h2&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextIncludeRule:00:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/include/pageList?w=200&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaInclude&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@include@@component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Include pageList: component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="includeBody"&amp;gt;&amp;lt;ol class="includePageList"&amp;gt;
              &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Drittelkomma-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Hanson+Kleismisch" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Hanson Kleismisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Liese" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Liese&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Magische+Temperaturen" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Magische Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/maqamisch" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;maqamisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mavila" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mohajira" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Orwell" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Orwell&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
      &amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextIncludeRule:00 --&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <id>1057</id>
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      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
        <id>0</id>
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      <comment>**Imported revision 430133606 - Original comment: **</comment>
      <origin>1057</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Der Begriff //reguläre Temperatur// (im Englischen: [[@xenharmonic/Regular Temperaments|regular temperament]]) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:
* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte Komma-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])

Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]] (englischsprachiger Artikel)

=Beispiele= 
Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere syntonische Kommas 81:80 unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.

Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man von einer [[superpyth|superpythagoräischen]] Temperatur.
Ist die Quinte andererseits //zu// klein, so dass man beim Aufeinanderschichten von vier Quinten nicht auf einer grossen, sondern eine kleinen Terz landet, haben wir eine [[Mavila]]-Temperatur.

==Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen== 
Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in [[MOS-Skalen]] strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

||~ Reine Stimmung ||~ Reguläre Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||

Generator und Periode einer regulären Temperaturs können andererseits beide selbst Teil einer gleichstufigen Stimmung sein. In diesem Fall ist die konkrete Temperatur ein Teil dieser gleichstufigen Stimmung. Das bekannteste Beispiel dafür ist wiederum die heute in der Welt dominierende [[12edo]]-Stimmung, die in diesem Sinn als eine Variante der mitteltönigenTemperatur angesehen werden kann. Andere wichtige gleichstufige Systeme, die Varianten der mitteltönigen Temperatur darstellen, sind [[19edo]] (eine beinahe perfekte Realisierung der [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur)
und [[31edo]], welches manchmal als nächstbesseres für die westliche Musik geeignetes System nach 12edo aufgeführt wird. Ein wichtiges gleichstufiges System, das die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützt, ist [[22edo]].

Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, vielen davon wurden eigene (mehr oder weniger exotische, mehr oder weniger wirtzige, mehr oder weniger intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

==Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki== 
[[include component="pageList" hideInternal="true" tag="Temperatur" limit="10"]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Der Begriff &amp;lt;em&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/em&amp;gt; (im Englischen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments" target="_blank"&amp;gt;regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte Komma-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt; (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:1:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Beispiele"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:1 --&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere syntonische Kommas 81:80 unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man von einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
Ist die Quinte andererseits &amp;lt;em&amp;gt;zu&amp;lt;/em&amp;gt; klein, so dass man beim Aufeinanderschichten von vier Quinten nicht auf einer grossen, sondern eine kleinen Terz landet, haben wir eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Beispiele-Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Reine Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
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        &amp;lt;th&amp;gt;Gleichstufige Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein&amp;lt;br /&amp;gt;
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    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
    &amp;lt;/tr&amp;gt;
&amp;lt;/table&amp;gt;

&amp;lt;br /&amp;gt;
Generator und Periode einer regulären Temperaturs können andererseits beide selbst Teil einer gleichstufigen Stimmung sein. In diesem Fall ist die konkrete Temperatur ein Teil dieser gleichstufigen Stimmung. Das bekannteste Beispiel dafür ist wiederum die heute in der Welt dominierende &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung, die in diesem Sinn als eine Variante der mitteltönigenTemperatur angesehen werden kann. Andere wichtige gleichstufige Systeme, die Varianten der mitteltönigen Temperatur darstellen, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; (eine beinahe perfekte Realisierung der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;drittelkomma-mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur)&amp;lt;br /&amp;gt;
und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, welches manchmal als nächstbesseres für die westliche Musik geeignetes System nach 12edo aufgeführt wird. Ein wichtiges gleichstufiges System, das die mitteltönige Temperatur &amp;lt;em&amp;gt;nicht&amp;lt;/em&amp;gt; unterstützt, ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, vielen davon wurden eigene (mehr oder weniger exotische, mehr oder weniger wirtzige, mehr oder weniger intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Beispiele-Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki&amp;lt;/h2&amp;gt;
 &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextIncludeRule:00:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/include/pageList?w=200&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaInclude&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@include@@component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Include pageList: component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="includeBody"&amp;gt;&amp;lt;ol class="includePageList"&amp;gt;
              &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Drittelkomma-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Hanson+Kleismisch" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Hanson Kleismisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Liese" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Liese&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Magische+Temperaturen" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Magische Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/maqamisch" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;maqamisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mavila" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mohajira" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Orwell" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Orwell&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
      &amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextIncludeRule:00 --&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <id>1058</id>
      <timestamp>2013-05-09T05:35:33Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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      <origin>1058</origin>
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      <text bytes="16524" sha1="1a9bj708f9ghftzw9sm929rum3etfxp" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Der Begriff //reguläre Temperatur// (im Englischen: [[@xenharmonic/Regular Temperaments|regular temperament]]) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:
* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte Komma-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])

Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]] (englischsprachiger Artikel)

=Beispiele= 
Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere syntonische Kommas 81:80 unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.

Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man von einer [[superpyth|superpythagoräischen]] Temperatur.
Ist die Quinte andererseits //zu// klein, so dass man beim Aufeinanderschichten von vier Quinten nicht auf einer grossen, sondern eine kleinen Terz landet, haben wir eine [[Mavila]]-Temperatur.

==Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen== 
Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in [[MOS-Skalen]] strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

||~ Reine Stimmung ||~ Reguläre Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||

Generator und Periode einer regulären Temperaturs können andererseits beide selbst Teil einer gleichstufigen Stimmung sein. In diesem Fall ist die konkrete Temperatur ein Teil dieser gleichstufigen Stimmung. Das bekannteste Beispiel dafür ist wiederum die heute in der Welt dominierende [[12edo]]-Stimmung, die in diesem Sinn als eine Variante der mitteltöigenTemperatur angesehen werden kann.

Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, vielen davon wurden eigene (mehr oder weniger exotische, mehr oder weniger wirtzige, mehr oder weniger intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

==Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki== 
[[include component="pageList" hideInternal="true" tag="Temperatur" limit="10"]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Der Begriff &amp;lt;em&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/em&amp;gt; (im Englischen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments" target="_blank"&amp;gt;regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte Komma-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt; (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:1:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Beispiele"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:1 --&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere syntonische Kommas 81:80 unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man von einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
Ist die Quinte andererseits &amp;lt;em&amp;gt;zu&amp;lt;/em&amp;gt; klein, so dass man beim Aufeinanderschichten von vier Quinten nicht auf einer grossen, sondern eine kleinen Terz landet, haben wir eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Beispiele-Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Struktur, Vergleich mit und Beziehung zu gleichstufigen Stimmungen&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Generator und Periode einer regulären Temperaturs können andererseits beide selbst Teil einer gleichstufigen Stimmung sein. In diesem Fall ist die konkrete Temperatur ein Teil dieser gleichstufigen Stimmung. Das bekannteste Beispiel dafür ist wiederum die heute in der Welt dominierende &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;-Stimmung, die in diesem Sinn als eine Variante der mitteltöigenTemperatur angesehen werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, vielen davon wurden eigene (mehr oder weniger exotische, mehr oder weniger wirtzige, mehr oder weniger intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Beispiele-Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki&amp;lt;/h2&amp;gt;
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                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Magische+Temperaturen" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Magische Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-08 16:16:50 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Der Begriff //reguläre Temperatur// (im Englischen: [[@xenharmonic/Regular Temperaments|regular temperament]]) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:
* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte Komma-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])

Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]] (englischsprachiger Artikel)

=Beispiele= 
Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere syntonische Kommas 81:80 unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.

Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man von einer [[superpyth|superpythagoräischen]] Temperatur.
Ist die Quinte andererseits //zu// klein, so dass man beim Aufeinanderschichten von vier Quinten nicht auf einer grossen, sondern eine kleinen Terz landet, haben wir eine [[Mavila]]-Temperatur.

Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in [[MOS-Skalen]] strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

||~ Reine Stimmung ||~ Reguläre Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||

Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, vielen davon wurden eigene (mehr oder weniger exotische, mehr oder weniger wirtzige, mehr oder weniger intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

==Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki== 
[[include component="pageList" hideInternal="true" tag="Temperatur" limit="10"]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Der Begriff &amp;lt;em&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/em&amp;gt; (im Englischen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments" target="_blank"&amp;gt;regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte Komma-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt; (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:1:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Beispiele"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:1 --&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere syntonische Kommas 81:80 unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man von einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
Ist die Quinte andererseits &amp;lt;em&amp;gt;zu&amp;lt;/em&amp;gt; klein, so dass man beim Aufeinanderschichten von vier Quinten nicht auf einer grossen, sondern eine kleinen Terz landet, haben wir eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mavila"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, vielen davon wurden eigene (mehr oder weniger exotische, mehr oder weniger wirtzige, mehr oder weniger intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-08 16:15:01 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Der Begriff //reguläre Temperatur// (im Englischen: [[@xenharmonic/Regular Temperaments|regular temperament]]) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:
* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte Komma-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])

Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]] (englischsprachiger Artikel)

=Beispiele= 
Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere syntonische Kommas 81:80 unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.

Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man von einer [[superpyth|superpythagoräischen]] Temperatur.

Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in [[MOS-Skalen]] strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

||~ Reine Stimmung ||~ Reguläre Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||

Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, vielen davon wurden eigene (mehr oder weniger exotische, mehr oder weniger wirtzige, mehr oder weniger intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

==Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki== 
[[include component="pageList" hideInternal="true" tag="Temperatur" limit="10"]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Der Begriff &amp;lt;em&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/em&amp;gt; (im Englischen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments" target="_blank"&amp;gt;regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte Komma-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt; (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere syntonische Kommas 81:80 unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man von einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, vielen davon wurden eigene (mehr oder weniger exotische, mehr oder weniger wirtzige, mehr oder weniger intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte Komma-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])

Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]] (englischsprachiger Artikel)

=Beispiele= 
Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere syntonische Kommas 81:80 unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.

Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man von einer [[superpyth|superpythagoräischen]] Temperatur.

Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in [[MOS-Skalen]] strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

||~ Reine Stimmung ||~ Reguläre Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||

Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, vielen davon wurden eigene (mehr oder weniger exotische, mehr oder weniger wirtzige, mehr oder weniger intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

==Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki== 
(bisher nochfast leer...)
[[include component="pageList" hideInternal="true" tag="Temperatur" limit="10"]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Der Begriff &amp;lt;em&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/em&amp;gt; (im Englischen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments" target="_blank"&amp;gt;regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte Komma-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt; (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:1:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Beispiele"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:1 --&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere syntonische Kommas 81:80 unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man von einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;


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        &amp;lt;th&amp;gt;Reguläre Temperatur&amp;lt;br /&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle rein&amp;lt;br /&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit&amp;lt;br /&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein&amp;lt;br /&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, vielen davon wurden eigene (mehr oder weniger exotische, mehr oder weniger wirtzige, mehr oder weniger intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Beispiele-Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki&amp;lt;/h2&amp;gt;
 (bisher nochfast leer...)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextIncludeRule:00:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/include/pageList?w=200&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaInclude&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@include@@component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Include pageList: component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="includeBody"&amp;gt;&amp;lt;ol class="includePageList"&amp;gt;
              &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Drittelkomma-mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Hanson+Kleismisch" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Hanson Kleismisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Liese" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Liese&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Magische+Temperaturen" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Magische Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/maqamisch" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;maqamisch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mavila" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mavila&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/mittelt%C3%B6nig" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;mitteltönig&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mohajira" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
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                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
      &amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextIncludeRule:00 --&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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      <comment>**Imported revision 430001352 - Original comment: **</comment>
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Der Begriff //reguläre Temperatur// (im Englischen: [[@xenharmonic/Regular Temperaments|regular temperament]]) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:
* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte Komma-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])

Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]] (englischsprachiger Artikel)

=Beispiele= 
Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere syntonische Kommas 81:80 unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.

Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man von einer [[superpyth|superpythagoräischen]] Temperatur.

Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in [[MOS-Skalen]] strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

||~ Reine Stimmung ||~ Reguläre Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||

Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, vielen davon wurden eigene (mehr oder weniger exotische, mehr oder weniger wirtzige, mehr oder weniger intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

==Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki== 

[[include component="pageList" hideInternal="true" tag="Temperatur" limit="10" ]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Der Begriff &amp;lt;em&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/em&amp;gt; (im Englischen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments" target="_blank"&amp;gt;regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte Komma-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt; (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:1:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Beispiele"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:1 --&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere syntonische Kommas 81:80 unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man von einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Reine Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, vielen davon wurden eigene (mehr oder weniger exotische, mehr oder weniger wirtzige, mehr oder weniger intelligente) Namen verpasst. Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments"&amp;gt;englische Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Beispiele-Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki&amp;lt;/h2&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextIncludeRule:00:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/include/pageList?w=200&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaInclude&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@include@@component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Include pageList: component=&amp;amp;amp;quot;pageList&amp;amp;amp;quot; hideInternal=&amp;amp;amp;quot;true&amp;amp;amp;quot; tag=&amp;amp;amp;quot;Temperatur&amp;amp;amp;quot; limit=&amp;amp;amp;quot;10&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="includeBody"&amp;gt;&amp;lt;ol class="includePageList"&amp;gt;
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                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Mohajira" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Mohajira&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Orwell" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Orwell&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
      &amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextIncludeRule:00 --&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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      <comment>**Imported revision 429998624 - Original comment: **</comment>
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      <text bytes="10486" sha1="hx4d4zt02ar4mhwuu8i69q4as8fnf3y" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-08 15:56:51 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;429998624&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Der Begriff //reguläre Temperatur// (im Englischen: [[@xenharmonic/Regular Temperaments|regular temperament]]) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:
* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte Komma-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])

Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]] (englischsprachiger Artikel)

=Beispiele= 
Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere syntonische Kommas 81:80 unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.

Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man von einer [[superpyth|superpythagoräischen]] Temperatur.

Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in [[MOS-Skalen]] strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

||~ Reine Stimmung ||~ Reguläre Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Der Begriff &amp;lt;em&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/em&amp;gt; (im Englischen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments" target="_blank"&amp;gt;regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte Komma-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt; (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Beispiele"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere syntonische Kommas 81:80 unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man von einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Reine Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
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    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle rein&amp;lt;br /&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit&amp;lt;br /&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein&amp;lt;br /&amp;gt;
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    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-08 15:16:47 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Der Begriff //reguläre Temperatur// (im Englischen: [[@xenharmonic/Regular Temperaments|regular temperament]]) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:
* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte Komma-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])

Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]] (englischsprachiger Artikel)

=Beispiele= 
Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere syntonische Kommas 81:80 unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.

Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man vonn einer [[superpyth|superpythagoräischen]] Temperatur.

Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in [[MOS-Skalen]] strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

||~ Reine Stimmung ||~ Reguläre Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte Komma-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt; (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Beispiele"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere syntonische Kommas 81:80 unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als mitteltönig im eigentlichen Sinn gelten dabei nur Stimmungen, deren Generator kleiner ist als die reine Quinte. Ist er grösser, spricht man vonn einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/superpyth"&amp;gt;superpythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Reine Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
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&amp;lt;/th&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Gleichstufige Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
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    &amp;lt;tr&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein&amp;lt;br /&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
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      <comment>**Imported revision 429855602 - Original comment: kleinen Tippfehler korrigiert :)**</comment>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-08 08:57:51 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;kleinen Tippfehler korrigiert :)&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Der Begriff //reguläre Temperatur// (im Englischen: [[@xenharmonic/Regular Temperaments|regular temperament]]) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:
* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte Komma-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])

Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]] (englischsprachiger Artikel)

=Beispiele= 
Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere syntonische Kommas 81:80 unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.

Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in [[MOS-Skalen]] strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

||~ Reine Stimmung ||~ Reguläre Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Der Begriff &amp;lt;em&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/em&amp;gt; (im Englischen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments" target="_blank"&amp;gt;regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte Komma-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt; (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Beispiele"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere syntonische Kommas 81:80 unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temperatur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Reine Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/th&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;Alle Intervalle rein&amp;lt;br /&amp;gt;
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    &amp;lt;/tr&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/td&amp;gt;
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-08 07:45:18 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Der Begriff //reguläre Temperatur// (im Englischen: [[@xenharmonic/Regular Temperaments|regular temperament]]) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:
* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte Komma-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])

Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]] (englischsprachiger Artikel)

=Beispiele= 
Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere syntonische Kommas 81:80 unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.

Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in [[MOS-Skalen]] strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temepratur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

||~ Reine Stimmung ||~ Reguläre Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Der Begriff &amp;lt;em&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/em&amp;gt; (im Englischen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments" target="_blank"&amp;gt;regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte Komma-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt; (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Beispiele"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Das wohl bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere syntonische Kommas 81:80 unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temepratur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;th&amp;gt;Reine Stimmung&amp;lt;br /&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen&amp;lt;br /&amp;gt;
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-08 07:43:46 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Der Begriff //reguläre Temperatur// (im Englischen: [[@xenharmonic/Regular Temperaments|regular temperament]]) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:
* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte Komma-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])

Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]] (englischsprachiger Artikel)

=Beispiele= 
Ein Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere syntonische Kommas 81:80 unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.

Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in [[MOS-Skalen]] strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temepratur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

||~ Reine Stimmung ||~ Reguläre Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Der Begriff &amp;lt;em&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/em&amp;gt; (im Englischen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments" target="_blank"&amp;gt;regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte Komma-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt; (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Beispiele"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere syntonische Kommas 81:80 unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temepratur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-08 07:41:00 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Der Begriff //reguläre Temperatur// (im Englischen: [[@xenharmonic/Regular Temperaments|regular temperament]]) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:
* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte Komma-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])

Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]] (englischsprachiger Artikel)

=Beispiele= 
Ein Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere syntonische Kommas 81:80 unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.

Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in [[MOS-Skalen]] strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temepratur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

||~ Reine Stimmung ||~ Reguläre Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche nicht serh rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt; (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Ein Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere syntonische Kommas 81:80 unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temepratur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
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      <comment>**Imported revision 429838658 - Original comment: **</comment>
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      <text bytes="9907" sha1="tnle0hsfeie7q6kabigck7ciq9gy2g2" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-08 07:40:50 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;429838658&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Der Begriff //reguläre Temperatur// (im Englischen: [[@xenharmonic/Regular Temperaments|regular temperament]]) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:
* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte Komma-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])

Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]] (englischsprachiger Artikel)

=Beispiele= 
Ein Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere syntonische Kommas 81:80 unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.

Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in [[MOS-Skalen]] strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temepratur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

||~ Reine Stimmung ||~ Reguläre Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche nicht serh rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und eliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Der Begriff &amp;lt;em&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/em&amp;gt; (im Englischen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments" target="_blank"&amp;gt;regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte Komma-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt; (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Beispiele"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere syntonische Kommas 81:80 unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temepratur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
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    &amp;lt;tr&amp;gt;
        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
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      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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      </contributor>
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-08 07:40:28 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Der Begriff //reguläre Temperatur// (im Englischen: [[@xenharmonic/Regular Temperaments|regular temperament]]) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:
* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte Komma-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])

Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]] (englischsprachiger Artikel)

=Beispiele= 
Ein Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere syntonische Kommas 81:80 unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.

Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in [[MOS-Skalen]] strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temepratur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

||~ Reine Stimmung ||~ Reguläre Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche nicht serh rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Unbeschränkte Transponierbarkeit und eliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Der Begriff &amp;lt;em&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/em&amp;gt; (im Englischen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments" target="_blank"&amp;gt;regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte Komma-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt; (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Ein Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere syntonische Kommas 81:80 unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temepratur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Der Begriff //reguläre Temperatur// (im Englischen: [[@xenharmonic/Regular Temperaments|regular temperament]]) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:
* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte Komma-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])

Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]] (englischsprachiger Artikel)

=Beispiele= 
Ein Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der [[pythagoräisch|pythagoräischen]] Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere syntonische Kommas 81:80 unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.

Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in [[MOS-Skalen]] strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temepratur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also einen Mittelweg an zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

||~ Reine Stimmung ||~ Reguläre Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche nicht serh rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Unbeschränkte Transponierbarkeit und eliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Der Begriff &amp;lt;em&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/em&amp;gt; (im Englischen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments" target="_blank"&amp;gt;regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte Komma-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt; (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Ein Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere syntonische Kommas 81:80 unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Tonmaterial einer mitteltönigen Temperatur ist, wie das der pythagoräischen Stimmung, in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; strukturiert, hat also eine relativ einfache, semi-gleichmässige Struktur, die gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bietet bei gleichzeitig überschaubarer Gesamtmenge von Tönen. Die mitteltönige Temepratur - wie die regulären Temperaturen allgemein - repräsentiert also einen Mittelweg an zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
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    &amp;lt;tr&amp;gt;
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        &amp;lt;td&amp;gt;Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig&amp;lt;br /&amp;gt;
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-08 06:35:52 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;429827388&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte Komma-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])

Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]] (englischsprachiger Artikel)

=Beispiele= 
Ein Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die mitteltönige Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der pythagoräischen Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere syntonische Kommas 81:80 unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Der Begriff &amp;lt;em&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/em&amp;gt; (im Englischen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments" target="_blank"&amp;gt;regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte Komma-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt; (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Ein Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die mitteltönige Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der pythagoräischen Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere syntonische Kommas 81:80 unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <id>1073</id>
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      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;Gedankenwelt</username>
        <id>0</id>
      </contributor>
      <comment>**Imported revision 427966404 - Original comment: **</comment>
      <origin>1073</origin>
      <model>wikitext</model>
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      <text bytes="6569" sha1="awuykwupncp1yiy6c317k4wljqfsy2p" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:Gedankenwelt|Gedankenwelt]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-01 10:28:29 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte Komma-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])

Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]] (englischsprachiger Artikel)

=Beispiele= 
Ein Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die mitteltönige Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der pythagoräischen Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere syntonische Kommas 81:80 unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der 1/3-, 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Der Begriff &amp;lt;em&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/em&amp;gt; (im Englischen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments" target="_blank"&amp;gt;regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte Komma-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt; (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Beispiele"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die mitteltönige Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der pythagoräischen Stimmung interpretiert werden, aber auch als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere syntonische Kommas 81:80 unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der 1/3-, 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:Gedankenwelt|Gedankenwelt]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-01 09:41:46 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;427952186&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Der Begriff //reguläre Temperatur// (im Englischen: [[@xenharmonic/Regular Temperaments|regular temperament]]) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:
* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte Komma-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])

Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]] (englischsprachiger Artikel)

=Beispiele= 
Ein Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die mitteltönige Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der pythagoräischen Stimmung interpretiert werden, oder als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere syntonische Kommas 81:80 unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der 1/3-, 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Der Begriff &amp;lt;em&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/em&amp;gt; (im Englischen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments" target="_blank"&amp;gt;regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte Komma-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt; (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Beispiele"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die mitteltönige Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der pythagoräischen Stimmung interpretiert werden, oder als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere syntonische Kommas 81:80 unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der 1/3-, 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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: The original revision id was &lt;tt&gt;427951290&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;"abstrakt" ersetzt durch "verallgemeinert"&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Der Begriff //reguläre Temperatur// (im Englischen: [[@xenharmonic/Regular Temperaments|regular temperament]]) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:
* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerte regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte Komma-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])

Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]] (englischsprachiger Artikel)

=Beispiele= 
Ein Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die mitteltönige Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der pythagoräischen Stimmung interpretiert werden, oder als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere syntonische Kommas 81:80 unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der 1/3-, 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Der Begriff &amp;lt;em&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/em&amp;gt; (im Englischen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments" target="_blank"&amp;gt;regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine verallgemeinerte reguläre Temperatur (englisch: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerte regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte Komma-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt; (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Beispiele"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein Beispiel für eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist die mitteltönige Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der pythagoräischen Stimmung interpretiert werden, oder als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere syntonische Kommas 81:80 unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der 1/3-, 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:Gedankenwelt|Gedankenwelt]] and made on &lt;tt&gt;2013-04-30 15:32:42 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;427775430&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;So wirklich zufrieden bin ich mit den Formulierungen nicht, aber das wäre zumindest schon mal ein Ansatz...&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Der Begriff //reguläre Temperatur// (im Englischen: [[@xenharmonic/Regular Temperaments|regular temperament]]) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:
* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine abstrakte reguläre Temperatur

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer abstrakten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.

Eine abstrakte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine abstrakte reguläre Stimmung mit i.d.R. niedrigerem (oder höchstens gleichem) Rang, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine abstrakte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von abstrakten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte Komma-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])

Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]] (englischsprachiger Artikel)

=Beispiele= 
Ein Beispiel für eine abstrakte reguläre Temperatur ist die mitteltönige Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der pythagoräischen Stimmung interpretiert werden, oder als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere syntonische Kommas 81:80 unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der 1/3-, 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Der Begriff &amp;lt;em&amp;gt;reguläre Temperatur&amp;lt;/em&amp;gt; (im Englischen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments" target="_blank"&amp;gt;regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;eine abstrakte reguläre Temperatur&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine reguläre Stimmung, deren Intervalle im Sinne einer abstrakten regulären Temperatur mit gleichem Rang interpretiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine abstrakte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine abstrakte reguläre Stimmung mit i.d.R. niedrigerem (oder höchstens gleichem) Rang, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine abstrakte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von abstrakten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte Komma-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt; (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Beispiele"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein Beispiel für eine abstrakte reguläre Temperatur ist die mitteltönige Temperatur: Bei dieser wird die Periode mit der Oktave 2:1 assoziiert, und der Generator mit der Quinte 3:2. Die Intervalle können also als Intervalle der pythagoräischen Stimmung interpretiert werden, oder als Intervalle, die sich von diesen um ein oder mehrere syntonische Kommas 81:80 unterscheiden, da dieses Komma in der mitteltönigen Stimmung austemperiert wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der 1/3-, 1/4- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Regular Temperaments|Regular Temperaments]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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        <username>Mike Battaglia</username>
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      <text bytes="12773" sha1="l0fyt6meg5qwtmlqyllyjozrzr4e912" xml:space="preserve">&lt;span style="display: block; text-align: right;"&gt;[[:en:Regular_Temperaments|English]] - [[:en:レギュラーテンペラメントとランクrテンペラメント|日本語]]&lt;/span&gt;

Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.
__FORCETOC__
-----

=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur=
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent|Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches_Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "'''austemperiert'''" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

{| class="wikitable"
|-
! | Reine Stimmung
! | Mitteltönige Temperatur
! | Gleichstufige Stimmung
|-
| | Alle Intervalle rein
| | Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit
| | Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein
|-
| | Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig
| | Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen
| | Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen
|}

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo|12edo]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung=
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma|Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte_reguläre_Temperatur|Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton|Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.

Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe|Kommapumpe]]).&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.

Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe|Kommapumpen]]).&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo|19edo]] oder [[31edo|31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur ''nicht'' unterstützen, wie [[22edo|22edo]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur=
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;[[15edo|15edo]]&lt;/span&gt; und &lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;[[22edo|22edo]]&lt;/span&gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;Intervall [[250/243|250/243]] (welches entsprechend &lt;/span&gt;''&lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;Porcupine-Komma &lt;/span&gt;''&lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&lt;/span&gt;

&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&lt;/span&gt;

&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&lt;/span&gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

=Mathematischer Ansatz=
Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte_reguläre_Temperatur|Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

=Katalog der regulären Temperaturen=
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[:en:Regular_Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:

[[Hanson_Kleismisch|Hanson/Kleismisch]]

[[Liese|Liese]]

[[Magische_Temperaturen|magisch]]

[[Mavila|Mavila]]

[[maqamisch|maqamisch]]

[[mitteltönig|mitteltönig]] ([[viertelkomma-mitteltönig|viertelkomma-mitteltönig]], [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönig ]], [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönig]], [[Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]])

[[Marvel|Marvel]]

[[Mohajira|Mohajira]]

[[Orwell|Orwell]]

[[Pajara|Pajara]]

[[Porcupine|Porcupine, Hedgehog]], [[Nautilus|Nautilus]]

[[pythagoräisch|pythagoräisch]]

[[Schismatische_Temperaturen|Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi]]

[[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Semiphor, Semaphor, Godzilla]]

[[Sensi|Sensi]]

[[Superpyth|Superpyth]]

[[übermässige_Temperaturen|übermässig]]

[[Verminderte_Temperaturen|vermindert]]

[[Würschmidt|Würschmidt]]  [[Category:Begriff]]
[[Category:Theorie]]
[[Category:todo:eingängiger_formulieren]]</text>
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Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.
__FORCETOC__
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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur=
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent|Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches_Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "'''austemperiert'''" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

{| class="wikitable"
|-
! | Reine Stimmung
! | Mitteltönige Temperatur
! | Gleichstufige Stimmung
|-
| | Alle Intervalle rein
| | Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit
| | Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein
|-
| | Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig
| | Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen
| | Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen
|}

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo|12edo]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung=
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma|Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte_reguläre_Temperatur|Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton|Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.

Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe|Kommapumpe]]).&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.

Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe|Kommapumpen]]).&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo|19edo]] oder [[31edo|31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur ''nicht'' unterstützen, wie [[22edo|22edo]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur=
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine|Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme &lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;[[15edo|15edo]]&lt;/span&gt; und &lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;[[22edo|22edo]]&lt;/span&gt; gelten kann.

Bei dieser wird das &lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;Intervall [[250/243|250/243]] (welches entsprechend &lt;/span&gt;''&lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;Porcupine-Komma &lt;/span&gt;''&lt;span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;"&gt;heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).&lt;/span&gt;

&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.&lt;/span&gt;

&lt;span style="background-color: #ffffff;"&gt;Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.&lt;/span&gt; Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

=Mathematischer Ansatz=
Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte_reguläre_Temperatur|Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

=Katalog der regulären Temperaturen=
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[:en:Regular_Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:

[[Hanson_Kleismisch|Hanson/Kleismisch]]

[[Liese|Liese]]

[[Magische_Temperaturen|magisch]]

[[Mavila|Mavila]]

[[maqamisch|maqamisch]]

[[mitteltönig|mitteltönig]] ([[viertelkomma-mitteltönig|viertelkomma-mitteltönig]], [[Drittelkomma-mitteltönig|drittelkomma-mitteltönig ]], [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönig]], [[Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]])

[[Marvel|Marvel]]

[[Mohajira|Mohajira]]

[[Orwell|Orwell]]

[[Pajara|Pajara]]

[[Porcupine|Porcupine, Hedgehog]], [[Nautilus|Nautilus]]

[[pythagoräisch|pythagoräisch]]

[[Schismatische_Temperaturen|Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi]]

[[Semiphor,_Semaphor,_Godzilla|Semiphor, Semaphor, Godzilla]]

[[Sensi|Sensi]]

[[Superpyth|Superpyth]]

[[übermässige_Temperaturen|übermässig]]

[[Verminderte_Temperaturen|vermindert]]

[[Würschmidt|Würschmidt]]  [[Category:Begriff]]
[[Category:Theorie]]
[[Category:todo:eingängiger_formulieren]]</text>
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Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.
__FORCETOC__
-----

== Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur ==
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent|Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "'''austemperiert'''" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

{| class="wikitable"
|-
! Reine Stimmung
! Mitteltönige Temperatur
! Gleichstufige Stimmung
|-
| Alle Intervalle rein
| Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit
| Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein
|-
| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig
| Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen
| Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen
|}

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

== Verallgemeinerung ==
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:

* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.

* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:

* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe]]).

* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist. Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.

* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe|Kommapumpen]]).

* Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur ''nicht'' unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

== Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur ==
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme [[15edo]] und [[22edo]] gelten kann.

Bei dieser wird das Intervall [[250/243]] (welches entsprechend ''Porcupine-Komma''heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

== Mathematischer Ansatz ==
Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

== Katalog der regulären Temperaturen ==
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[:en:Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
* [[Hanson Kleismisch|Hanson/Kleismisch]]
* [[Liese]]
* [[Magische Temperaturen|magisch]]
* [[Mavila]]
* [[maqamisch]]
* [[mitteltönig|mitteltönig]]
** [[viertelkomma-mitteltönig]]
** [[drittelkomma-mitteltönig]]
** [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönig]]
** [[Lucy-Stimmung]]
* [[Marvel]]
* [[Mohajira]]
* [[Orwell]]
* [[Pajara]]
* [[Porcupine|Porcupine, Hedgehog]]
* [[Nautilus|Nautilus]]
* [[pythagoräisch]]
* [[Schismatische Temperaturen|Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi]]
* [[Semiphor, Semaphor, Godzilla]]
* [[Sensi]]
* [[Superpyth]]
* [[Übermässige Temperaturen|übermässig]]
* [[Verminderte Temperaturen|vermindert]]
* [[Würschmidt]]  

[[Kategorie:Temperament| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;
[[Kategorie:Begriff]]
[[Kategorie:Theorie]]
[[Kategorie:todo:eingängiger formulieren]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
[[en:Regular Temperaments]]</text>
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Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.
__FORCETOC__
-----

== Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur ==
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent|Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "'''austemperiert'''" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

{| class="wikitable"
|-
! Reine Stimmung
! Mitteltönige Temperatur
! Gleichstufige Stimmung
|-
| Alle Intervalle rein
| Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit
| Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein
|-
| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig
| Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen
| Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen
|}

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

== Verallgemeinerung ==
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:

* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.

* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:

* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe]]).

* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist. Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.

* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe|Kommapumpen]]).

* Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur ''nicht'' unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

== Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur ==
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme [[15edo]] und [[22edo]] gelten kann.

Bei dieser wird das Intervall [[250/243]] (welches entsprechend ''Porcupine-Komma''heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

== Mathematischer Ansatz ==
Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

== Katalog der regulären Temperaturen ==
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[:en:Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
* [[Hanson Kleismisch|Hanson/Kleismisch]]
* [[Liese]]
* [[Magische Temperaturen|magisch]]
* [[Mavila]]
* [[maqamisch]]
* [[mitteltönig|mitteltönig]]
** [[viertelkomma-mitteltönig]]
** [[drittelkomma-mitteltönig]]
** [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönig]]
** [[Lucy-Stimmung]]
* [[Marvel]]
* [[Mohajira]]
* [[Orwell]]
* [[Pajara]]
* [[Porcupine|Porcupine, Hedgehog]]
* [[Nautilus|Nautilus]]
* [[pythagoräisch]]
* [[Schismatische Temperaturen|Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi]]
* [[Semiphor, Semaphor, Godzilla]]
* [[Sensi]]
* [[Superpyth]]
* [[Übermässige Temperaturen|übermässig]]
* [[Verminderte Temperaturen|vermindert]]
* [[Würschmidt]]  

[[Kategorie:Temperament| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;
[[Kategorie:Begriff]]
[[Kategorie:Theorie]]
[[Kategorie:todo:eingängiger formulieren]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
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Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

__FORCETOC__
-----

== Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur ==
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent|Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "'''austemperiert'''" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

{| class="wikitable"
|-
! Reine Stimmung
! Mitteltönige Temperatur
! Gleichstufige Stimmung
|-
| Alle Intervalle rein
| Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit
| Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein
|-
| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig
| Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen
| Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen
|}

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

== Verallgemeinerung ==
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:

* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.

* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:

* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe]]).

* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist. Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.

* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe|Kommapumpen]]).

* Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur ''nicht'' unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

== Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur ==
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme [[15edo]] und [[22edo]] gelten kann.

Bei dieser wird das Intervall [[250/243]] (welches entsprechend ''Porcupine-Komma''heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

== Mathematischer Ansatz ==
Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

== Katalog der regulären Temperaturen ==
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[:en:Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
* [[Hanson Kleismisch|Hanson/Kleismisch]]
* [[Liese]]
* [[Magische Temperaturen|magisch]]
* [[Mavila]]
* [[maqamisch]]
* [[mitteltönig|mitteltönig]]
** [[viertelkomma-mitteltönig]]
** [[drittelkomma-mitteltönig]]
** [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönig]]
** [[Lucy-Stimmung]]
* [[Marvel]]
* [[Mohajira]]
* [[Orwell]]
* [[Pajara]]
* [[Porcupine|Porcupine, Hedgehog]]
* [[Nautilus|Nautilus]]
* [[Negri]]
* [[pythagoräisch]]
* [[Schismatische Temperaturen|Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi]]
* [[Semiphor, Semaphor, Godzilla]]
* [[Sensi]]
* [[Superpyth]]
* [[Übermässige Temperaturen|übermässig]]
* [[Verminderte Temperaturen|vermindert]]
* [[Würschmidt]]    [[Kategorie:Temperament| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;
[[Kategorie:Begriff]]
[[Kategorie:Theorie]]
[[Kategorie:todo:eingängiger formulieren]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
[[en:Tour of Regular Temperaments]]</text>
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Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

__FORCETOC__
-----

== Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur ==
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent|Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "'''austemperiert'''" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

{| class="wikitable"
|-
! Reine Stimmung
! Mitteltönige Temperatur
! Gleichstufige Stimmung
|-
| Alle Intervalle rein
| Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit
| Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein
|-
| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig
| Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen
| Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen
|}

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

== Verallgemeinerung ==
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:

* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.

* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:

* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe]]).

* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist. Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.

* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe|Kommapumpen]]).

* Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur ''nicht'' unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

== Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur ==
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme [[15edo]] und [[22edo]] gelten kann.

Bei dieser wird das Intervall [[250/243]] (welches entsprechend ''Porcupine-Komma''heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

== Mathematischer Ansatz ==
Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

== Katalog der regulären Temperaturen ==
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[:en:Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
* [[Hanson Kleismisch|Hanson/Kleismisch]]
* [[Liese]]
* [[Magische Temperaturen|magisch]]
* [[Mavila]]
* [[maqamisch]]
* [[mitteltönig|mitteltönig]]
** [[viertelkomma-mitteltönig]]
** [[drittelkomma-mitteltönig]]
** [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönig]]
** [[Lucy-Stimmung]]
* [[Marvel]]
* [[Mohajira]]
* [[Nautilus|Nautilus]]
* [[Negri]]
* [[Orwell]]
* [[Pajara]]
* [[Porcupine|Porcupine, Hedgehog]]
* [[pythagoräisch]]
* [[Schismatische Temperaturen|Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi]]
* [[Semiphor, Semaphor, Godzilla]]
* [[Sensi]]
* [[Superpyth]]
* [[Übermässige Temperaturen|übermässig]]
* [[Verminderte Temperaturen|vermindert]]
* [[Würschmidt]]    [[Kategorie:Temperament| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;
[[Kategorie:Begriff]]
[[Kategorie:Theorie]]
[[Kategorie:todo:eingängiger formulieren]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
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}}

Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

__FORCETOC__
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== Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur ==
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent|Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "'''austemperiert'''" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

{| class="wikitable"
|-
! Reine Stimmung
! Mitteltönige Temperatur
! Gleichstufige Stimmung
|-
| Alle Intervalle rein
| Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit
| Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein
|-
| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig
| Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen
| Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen
|}

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

== Verallgemeinerung ==
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:

* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.

* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:

* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe]]).

* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist. Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.

* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe|Kommapumpen]]).

* Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur ''nicht'' unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

== Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur ==
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme [[15edo]] und [[22edo]] gelten kann.

Bei dieser wird das Intervall [[250/243]] (welches entsprechend ''Porcupine-Komma''heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

== Mathematischer Ansatz ==
Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

== Katalog der regulären Temperaturen ==
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[:en:Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
* [[Hanson Kleismisch|Hanson/Kleismisch]]
* [[Liese]]
* [[Magische Temperaturen|magisch]]
* [[Mavila]]
* [[maqamisch]]
* [[mitteltönig|mitteltönig]]
** [[viertelkomma-mitteltönig]]
** [[drittelkomma-mitteltönig]]
** [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönig]]
** [[Lucy-Stimmung]]
* [[Marvel]]
* [[Mohajira]]
* [[Nautilus|Nautilus]]
* [[Negri]]
* [[Orwell]]
* [[Pajara]]
* [[Porcupine|Porcupine, Hedgehog]]
* [[pythagoräisch]]
* [[Schismatische Temperaturen|Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi]]
* [[Semiphor, Semaphor, Godzilla]]
* [[Sensi]]
* [[Superpyth]]
* [[Übermässige Temperaturen|übermässig]]
* [[Verminderte Temperaturen|vermindert]]
* [[Würschmidt]]    [[Kategorie:Temperament| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;
[[Kategorie:Begriff]]
[[Kategorie:Theorie]]
[[Kategorie:todo:eingängiger formulieren]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
[[en:Tour of Regular Temperaments]]</text>
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| de = Reguläre_Temperaturen
| en = Tour_of_Regular_Temperaments
| es = 
| ja = レギュラーテンペラメントとランクrテンペラメント
}}

Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

__FORCETOC__
-----

== Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur ==
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent|Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "'''austemperiert'''" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

{| class="wikitable"
|-
! Reine Stimmung
! Mitteltönige Temperatur
! Gleichstufige Stimmung
|-
| Alle Intervalle rein
| Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit
| Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein
|-
| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig
| Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen
| Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen
|}

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

== Verallgemeinerung ==
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:

* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.

* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:

* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe]]).

* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist. Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.

* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe|Kommapumpen]]).

* Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur ''nicht'' unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

== Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur ==
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme [[15edo]] und [[22edo]] gelten kann.

Bei dieser wird das Intervall [[250/243]] (welches entsprechend ''Porcupine-Komma''heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

== Mathematischer Ansatz ==
Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

== Katalog der regulären Temperaturen ==
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[:en:Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
* [[Hanson Kleismisch|Hanson/Kleismisch]]
* [[Liese]]
* [[Magische Temperaturen|magisch]]
* [[Mavila]]
* [[maqamisch]]
* [[mitteltönig|mitteltönig]]
** [[viertelkomma-mitteltönig]]
** [[drittelkomma-mitteltönig]]
** [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönig]]
** [[Lucy-Stimmung]]
* [[Marvel]]
* [[Miracle]]
* [[Mohajira]]
* [[Nautilus|Nautilus]]
* [[Negri]]
* [[Orwell]]
* [[Pajara]]
* [[Porcupine|Porcupine, Hedgehog]]
* [[pythagoräisch]]
* [[Schismatische Temperaturen|Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi]]
* [[Semiphor, Semaphor, Godzilla]]
* [[Sensi]]
* [[Superpyth]]
* [[Übermässige Temperaturen|übermässig]]
* [[Verminderte Temperaturen|vermindert]]
* [[Würschmidt]]     [[Kategorie:Temperament| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;
[[Kategorie:Begriff]]
[[Kategorie:Theorie]]
[[Kategorie:todo:eingängiger formulieren]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
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| de = Reguläre_Temperaturen
| en = Tour_of_Regular_Temperaments
| es = 
| ja = レギュラーテンペラメントとランクrテンペラメント
}}

Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

__FORCETOC__
-----

== Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur ==
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent|Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "'''austemperiert'''" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

{| class="wikitable"
|-
! Reine Stimmung
! Mitteltönige Temperatur
! Gleichstufige Stimmung
|-
| Alle Intervalle rein
| Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit
| Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein
|-
| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig
| Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen
| Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen
|}

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

== Verallgemeinerung ==
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:

* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.

* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:

* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe]]).

* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist. Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.

* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe|Kommapumpen]]).

* Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur ''nicht'' unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

== Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur ==
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme [[15edo]] und [[22edo]] gelten kann.

Bei dieser wird das Intervall [[250/243]] (welches entsprechend ''Porcupine-Komma''heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

== Mathematischer Ansatz ==
Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

== Katalog der regulären Temperaturen ==
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[:en:Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
* [[Hanson Kleismisch|Hanson/Kleismisch]]
* [[Liese]]
* [[Magische Temperaturen|magisch]]
* [[Marvel]]
* [[Mavila]]
* [[maqamisch]]
* [[mitteltönig|mitteltönig]]
** [[viertelkomma-mitteltönig]]
** [[drittelkomma-mitteltönig]]
** [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönig]]
** [[Lucy-Stimmung]]
* [[Miracle]]
* [[Mohajira]]
* [[Nautilus|Nautilus]]
* [[Negri]]
* [[Orwell]]
* [[Pajara]]
* [[Porcupine|Porcupine, Hedgehog]]
* [[pythagoräisch]]
* [[Schismatische Temperaturen|Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi]]
* [[Semiphor, Semaphor, Godzilla]]
* [[Sensi]]
* [[Superpyth]]
* [[Übermässige Temperaturen|übermässig]]
* [[Verminderte Temperaturen|vermindert]]
* [[Würschmidt]]      [[Kategorie:Temperament| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;
[[Kategorie:Begriff]]
[[Kategorie:Theorie]]
[[Kategorie:todo:eingängiger formulieren]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
[[en:Tour of Regular Temperaments]]</text>
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| de = Reguläre_Temperaturen
| en = Tour_of_Regular_Temperaments
| es = 
| ja = レギュラーテンペラメントとランクrテンペラメント
}}

Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

__FORCETOC__
-----

== Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur ==
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent|Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "'''austemperiert'''" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

{| class="wikitable"
|-
! Reine Stimmung
! Mitteltönige Temperatur
! Gleichstufige Stimmung
|-
| Alle Intervalle rein
| Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit
| Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein
|-
| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig
| Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen
| Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen
|}

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

== Verallgemeinerung ==
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:

* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.

* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:

* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe]]).

* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist. Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.

* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe|Kommapumpen]]).

* Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur ''nicht'' unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

== Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur ==
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme [[15edo]] und [[22edo]] gelten kann.

Bei dieser wird das Intervall [[250/243]] (welches entsprechend ''Porcupine-Komma''heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

== Mathematischer Ansatz ==
Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

== Katalog der regulären Temperaturen ==
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[:en:Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
* [[Hanson Kleismisch|Hanson/Kleismisch]]
* [[Liese]]
* [[Magische Temperaturen|magisch]]
* [[maqamisch]]
* [[Marvel]]
* [[Mavila]]
* [[Miracle]]
* [[mitteltönig|mitteltönig]]
** [[viertelkomma-mitteltönig]]
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** [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönig]]
** [[Lucy-Stimmung]]
* [[Mohajira]]
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* [[Negri]]
* [[Orwell]]
* [[Pajara]]
* [[Porcupine|Porcupine, Hedgehog]]
* [[pythagoräisch]]
* [[Schismatische Temperaturen|Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi]]
* [[Semiphor, Semaphor, Godzilla]]
* [[Sensi]]
* [[Superpyth]]
* [[Übermässige Temperaturen|übermässig]]
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[[Kategorie:Begriff]]
[[Kategorie:Theorie]]
[[Kategorie:todo:eingängiger formulieren]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
[[en:Tour of Regular Temperaments]]</text>
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| de = Reguläre_Temperaturen
| en = Tour_of_Regular_Temperaments
| es = 
| ja = レギュラーテンペラメントとランクrテンペラメント
}}

Das Paradigma der '''regulären Temperaturen''' ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

__FORCETOC__
-----

== Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur ==
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent|Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "'''austemperiert'''" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

{| class="wikitable"
|-
! Reine Stimmung
! Mitteltönige Temperatur
! Gleichstufige Stimmung
|-
| Alle Intervalle rein
| Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit
| Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein
|-
| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig
| Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen
| Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen
|}

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

== Verallgemeinerung ==
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:

* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.

* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:

* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe]]).

* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist. Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.

* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe|Kommapumpen]]).

* Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur ''nicht'' unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

== Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur ==
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme [[15edo]] und [[22edo]] gelten kann.

Bei dieser wird das Intervall [[250/243]] (welches entsprechend ''Porcupine-Komma''heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

== Mathematischer Ansatz ==
Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

== Katalog der regulären Temperaturen ==
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[:en:Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
* [[Hanson Kleismisch|Hanson/Kleismisch]]
* [[Liese]]
* [[Magische Temperaturen|magisch]]
* [[maqamisch]]
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* [[Mavila]]
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&lt;!-- interwiki --&gt;
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Das Paradigma der '''regulären Temperaturen''' ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

__FORCETOC__
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== Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur ==
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent|Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "'''austemperiert'''" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

{| class="wikitable"
|-
! Reine Stimmung
! Mitteltönige Temperatur
! Gleichstufige Stimmung
|-
| Alle Intervalle rein
| Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit
| Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein
|-
| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig
| Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen
| Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen
|}

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

== Verallgemeinerung ==
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:

* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.

* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:

* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe]]).

* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist. Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.

* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe|Kommapumpen]]).

* Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur ''nicht'' unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

== Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur ==
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme [[15edo]] und [[22edo]] gelten kann.

Bei dieser wird das Intervall [[250/243]] (welches entsprechend ''Porcupine-Komma''heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

== Mathematischer Ansatz ==
Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

== Katalog der regulären Temperaturen ==
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[:en:Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
* [[Hanson Kleismisch|Hanson/Kleismisch]]
* [[Liese]]
* [[Magische Temperaturen|magisch]]
* [[maqamisch]]
* [[Marvel]]
* [[Mavila]]
* [[Miracle]]
* [[mitteltönig|mitteltönig]]
** [[viertelkomma-mitteltönig]]
** [[drittelkomma-mitteltönig]]
** [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönig]]
** [[Lucy-Stimmung]]
* [[Mohajira]]
* [[Nautilus|Nautilus]]
* [[Negri]]
* [[Orwell]]
* [[Pajara]]
* [[Porcupine|Porcupine, Hedgehog]]
* [[pythagoräisch]]
* [[Schismatische Temperaturen|Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi]]
* [[Semiphor, Semaphor, Godzilla]]
* [[Sensi]]
* [[Superpyth]]
* [[Übermässige Temperaturen|übermässig]]
* [[Verminderte Temperaturen|vermindert]]
* [[Würschmidt]]       [[Kategorie:Temperament| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;
[[Kategorie:Begriff]]
[[Kategorie:Theorie]]
[[Kategorie:todo:eingängiger formulieren]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
[[en:Tour of Regular Temperaments]]</text>
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| de = Reguläre_Temperaturen
| en = Tour_of_Regular_Temperaments
| es = 
| ja = レギュラーテンペラメントとランクrテンペラメント
}}

Das Paradigma der '''regulären Temperaturen''' ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

__FORCETOC__
-----

== Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur ==
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent|Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "'''austemperiert'''" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

{| class="wikitable"
|-
! Reine Stimmung
! Mitteltönige Temperatur
! Gleichstufige Stimmung
|-
| Alle Intervalle rein
| Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit
| Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein
|-
| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig
| Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen
| Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen
|}

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12-EDO]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12-EDO ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

== Verallgemeinerung ==
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:

* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.

* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:

* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe]]).

* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist. Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.

* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe|Kommapumpen]]).

* Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19-EDO]] oder [[31-EDO]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur ''nicht'' unterstützen, wie [[22-EDO]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

== Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur ==
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme [[15-EDO]] und [[22-EDO]] gelten kann.

Bei dieser wird das Intervall [[250/243]] (welches entsprechend ''Porcupine-Komma''heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

== Mathematischer Ansatz ==
Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

== Katalog der regulären Temperaturen ==
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[:en:Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
* [[Hanson Kleismisch|Hanson/Kleismisch]]
* [[Liese]]
* [[Magische Temperaturen|magisch]]
* [[maqamisch]]
* [[Marvel]]
* [[Mavila]]
* [[Miracle]]
* [[mitteltönig|mitteltönig]]
** [[viertelkomma-mitteltönig]]
** [[drittelkomma-mitteltönig]]
** [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönig]]
** [[Lucy-Stimmung]]
* [[Mohajira]]
* [[Nautilus|Nautilus]]
* [[Negri]]
* [[Orwell]]
* [[Pajara]]
* [[Porcupine|Porcupine, Hedgehog]]
* [[pythagoräisch]]
* [[Schismatische Temperaturen|Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi]]
* [[Semiphor, Semaphor, Godzilla]]
* [[Sensi]]
* [[Superpyth]]
* [[Übermässige Temperaturen|übermässig]]
* [[Verminderte Temperaturen|vermindert]]
* [[Würschmidt]]       [[Kategorie:Temperament| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;
[[Kategorie:Begriff]]
[[Kategorie:Theorie]]
[[Kategorie:todo:eingängiger formulieren]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
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| ja = レギュラーテンペラメントとランクrテンペラメント
}}
Das Paradigma der '''regulären Temperaturen''' ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.
__FORCETOC__
== Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur ==
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent|Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "'''austemperiert'''" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

{| class="wikitable"
|-
! Reine Stimmung
! Mitteltönige Temperatur
! Gleichstufige Stimmung
|-
| Alle Intervalle rein
| Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit
| Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein
|-
| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig
| Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen
| Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen
|}

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12-EDO]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12-EDO ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

== Verallgemeinerung ==
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:

* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.

* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:

* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe]]).

* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist. Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.

* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe|Kommapumpen]]).

* Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19-EDO]] oder [[31-EDO]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur ''nicht'' unterstützen, wie [[22-EDO]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

== Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur ==
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme [[15-EDO]] und [[22-EDO]] gelten kann.

Bei dieser wird das Intervall [[250/243]] (welches entsprechend ''Porcupine-Komma''heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

== Mathematischer Ansatz ==
Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

== Katalog der regulären Temperaturen ==
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[:en:Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
* [[Hanson Kleismisch|Hanson/Kleismisch]]
* [[Liese]]
* [[Magische Temperaturen|magisch]]
* [[maqamisch]]
* [[Marvel]]
* [[Mavila]]
* [[Miracle]]
* [[mitteltönig|mitteltönig]]
** [[viertelkomma-mitteltönig]]
** [[drittelkomma-mitteltönig]]
** [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönig]]
** [[Lucy-Stimmung]]
* [[Mohajira]]
* [[Nautilus|Nautilus]]
* [[Negri]]
* [[Orwell]]
* [[Pajara]]
* [[Porcupine|Porcupine, Hedgehog]]
* [[pythagoräisch]]
* [[Schismatische Temperaturen|Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi]]
* [[Semiphor, Semaphor, Godzilla]]
* [[Sensi]]
* [[Superpyth]]
* [[Übermässige Temperaturen|übermässig]]
* [[Verminderte Temperaturen|vermindert]]
* [[Würschmidt]]       [[Kategorie:Temperament| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;
[[Kategorie:Begriff]]
[[Kategorie:Theorie]]
[[Kategorie:todo:eingängiger formulieren]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
[[en:Tour of Regular Temperaments]]</text>
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| de = Reguläre_Temperaturen
| en = Tour_of_Regular_Temperaments
| es = 
| ja = レギュラーテンペラメントとランクrテンペラメント
}}
Das Paradigma der '''regulären Temperaturen''' ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

Es gilt zu beachten, dass so eine Temperatur eine abstrakte Abbildung ist. Daher haben die Töne einer Temperatur noch keine konkrete Realisation. Man spricht also von einem Unterschied zwischen abstrakten ''Temperaturen'' und ihren konkreten ''Stimmungen''. Beispielsweise ist die ([[5-Limit]]) mitteltönige Temperatur die abstrakte Abbildung, die eine Schichtung von vieren 3/2-Quinten und eine 5/2-große Dezime an die gleiche Tonhöhe zuordnet. Andererseits gibt es (unendlich) viele mögliche Stimmungen dafür, beispielsweise [[31-EDO]] und 1/4-Komma-mitteltönig. Theoretisch könnte man mit [[17-EDO]] beginnen und die dissonante große Terz in [[17-EDO]] ein 5/4-Repräsentation nennen, aber dies würde eine unnötig impräzise Wahl für eine Stimmung für die Mitteltönig-Temperatur.
__FORCETOC__

== Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur ==
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent|Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "'''austemperiert'''" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

{| class="wikitable"
|-
! Reine Stimmung
! Mitteltönige Temperatur
! Gleichstufige Stimmung
|-
| Alle Intervalle rein
| Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit
| Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein
|-
| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig
| Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen
| Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen
|}

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12-EDO]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12-EDO ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

== Verallgemeinerung ==
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:

* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.

* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:

* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe]]).

* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist. Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.

* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe|Kommapumpen]]).

* Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19-EDO]] oder [[31-EDO]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur ''nicht'' unterstützen, wie [[22-EDO]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

== Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur ==
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme [[15-EDO]] und [[22-EDO]] gelten kann.

Bei dieser wird das Intervall [[250/243]] (welches entsprechend ''Porcupine-Komma''heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

== Mathematischer Ansatz ==
Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

== Katalog der regulären Temperaturen ==
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[:en:Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
* [[Hanson Kleismisch|Hanson/Kleismisch]]
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* [[maqamisch]]
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* [[mitteltönig|mitteltönig]]
** [[viertelkomma-mitteltönig]]
** [[drittelkomma-mitteltönig]]
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* [[Mohajira]]
* [[Nautilus|Nautilus]]
* [[Negri]]
* [[Orwell]]
* [[Pajara]]
* [[Porcupine|Porcupine, Hedgehog]]
* [[pythagoräisch]]
* [[Schismatische Temperaturen|Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi]]
* [[Semiphor, Semaphor, Godzilla]]
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[[Kategorie:todo:eingängiger formulieren]]

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| de = Reguläre_Temperaturen
| en = Tour_of_Regular_Temperaments
| es = 
| ja = レギュラーテンペラメントとランクrテンペラメント
}}
Das Paradigma der '''regulären Temperaturen''' ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

Es gilt zu beachten, dass so eine Temperatur eine abstrakte mathematische Abbildung ist. Daher haben die Töne einer Temperatur noch keine konkrete Realisation. Man spricht also von einem Unterschied zwischen abstrakten ''Temperaturen'' und ihren konkreten ''Stimmungen''. Beispielsweise ist die ([[5-Limit]]) mitteltönige Temperatur die abstrakte Abbildung, die eine Schichtung von vieren 3/2-Quinten und eine 5/2-große Dezime an die gleiche Tonhöhe zuordnet. Andererseits gibt es (unendlich) viele mögliche Stimmungen dafür, beispielsweise [[31-EDO]] und 1/4-Komma-mitteltönig. Theoretisch könnte man mit [[17-EDO]] beginnen und die dissonante große Terz in [[17-EDO]] ein 5/4-Repräsentation nennen, aber dies würde eine unnötig impräzise Wahl für eine Stimmung für die Mitteltönig-Temperatur.
__FORCETOC__

== Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur ==
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent|Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "'''austemperiert'''" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

{| class="wikitable"
|-
! Reine Stimmung
! Mitteltönige Temperatur
! Gleichstufige Stimmung
|-
| Alle Intervalle rein
| Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit
| Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein
|-
| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig
| Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen
| Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen
|}

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12-EDO]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12-EDO ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

== Verallgemeinerung ==
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:

* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.

* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:

* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe]]).

* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist. Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.

* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe|Kommapumpen]]).

* Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19-EDO]] oder [[31-EDO]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur ''nicht'' unterstützen, wie [[22-EDO]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

== Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur ==
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme [[15-EDO]] und [[22-EDO]] gelten kann.

Bei dieser wird das Intervall [[250/243]] (welches entsprechend ''Porcupine-Komma''heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

== Mathematischer Ansatz ==
Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

== Katalog der regulären Temperaturen ==
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[:en:Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

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* [[Hanson Kleismisch|Hanson/Kleismisch]]
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| de = Reguläre_Temperaturen
| en = Tour_of_Regular_Temperaments
| es = 
| ja = レギュラーテンペラメントとランクrテンペラメント
}}
Das Paradigma der '''regulären Temperaturen''' ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.
__FORCETOC__

== Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur ==
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent|Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "'''austemperiert'''" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

{| class="wikitable"
|-
! Reine Stimmung
! Mitteltönige Temperatur
! Gleichstufige Stimmung
|-
| Alle Intervalle rein
| Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit
| Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein
|-
| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig
| Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen
| Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen
|}

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12-EDO]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12-EDO ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

== Verallgemeinerung ==
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:

* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.

* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:

* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe]]).

* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist. Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.

* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe|Kommapumpen]]).

* Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19-EDO]] oder [[31-EDO]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur ''nicht'' unterstützen, wie [[22-EDO]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

== Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur ==
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme [[15-EDO]] und [[22-EDO]] gelten kann.

Bei dieser wird das Intervall [[250/243]] (welches entsprechend ''Porcupine-Komma''heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

== Mathematischer Ansatz ==
Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

== Katalog der regulären Temperaturen ==
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[:en:Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
* [[Hanson Kleismisch|Hanson/Kleismisch]]
* [[Liese]]
* [[Magische Temperaturen|magisch]]
* [[maqamisch]]
* [[Marvel]]
* [[Mavila]]
* [[Miracle]]
* [[mitteltönig|mitteltönig]]
** [[viertelkomma-mitteltönig]]
** [[drittelkomma-mitteltönig]]
** [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönig]]
** [[Lucy-Stimmung]]
* [[Mohajira]]
* [[Nautilus|Nautilus]]
* [[Negri]]
* [[Orwell]]
* [[Pajara]]
* [[Porcupine|Porcupine, Hedgehog]]
* [[pythagoräisch]]
* [[Schismatische Temperaturen|Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi]]
* [[Semiphor, Semaphor, Godzilla]]
* [[Sensi]]
* [[Superpyth]]
* [[Übermässige Temperaturen|übermässig]]
* [[Verminderte Temperaturen|vermindert]]
* [[Würschmidt]]       [[Kategorie:Temperament| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;
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[[Kategorie:Theorie]]
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[[en:Tour of Regular Temperaments]]</text>
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| de = Reguläre_Temperaturen
| en = Tour_of_Regular_Temperaments
| es = 
| ja = レギュラーテンペラメントとランクrテンペラメント
}}
Das Paradigma der '''regulären Temperaturen''' ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig]]en Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

== Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur ==
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent|Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "'''austemperiert'''" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

{| class="wikitable"
|-
! Reine Stimmung
! Mitteltönige Temperatur
! Gleichstufige Stimmung
|-
| Alle Intervalle rein
| Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit
| Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein
|-
| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig
| Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen
| Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen
|}

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12-EDO]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12-EDO ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

== Verallgemeinerung ==
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:

* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.

* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:

* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe]]).

* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist. Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.

* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe]]n).

* Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19-EDO]] oder [[31-EDO]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur ''nicht'' unterstützen, wie [[22-EDO]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

== Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur ==
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme [[15-EDO]] und [[22-EDO]] gelten kann.

Bei dieser wird das Intervall [[250/243]] (welches entsprechend ''Porcupine-Komma''heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall &lt;code&gt;1L+1s&lt;/code&gt;, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus &lt;code&gt;1L+3s&lt;/code&gt;.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, &lt;code&gt;Lssssss&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;sLsssss&lt;/code&gt;, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall &lt;code&gt;1L+2s&lt;/code&gt;, welches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala &lt;code&gt;Lssssss&lt;/code&gt; beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

== Mathematischer Ansatz ==
Was bis hier allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

== Katalog der regulären Temperaturen ==
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[:en:Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen in diesem Wiki:
* [[Hanson-Kleismisch]]
* [[Liese]]
* [[Magische Temperaturen]]
* [[maqamisch]]
* [[Marvel]]
* [[Mavila]]
* [[Miracle]]
* [[mitteltönig]]
** [[viertelkomma-mitteltönig]]
** [[drittelkomma-mitteltönig]]
** [[septimal-mitteltönig]]
** [[Lucy-Stimmung]]
* [[Mohajira]]
* [[Nautilus|Nautilus]]
* [[Negri]]
* [[Orwell]]
* [[Pajara]]
* [[Porcupine]] (Porcupine, Hedgehog)
* [[pythagoräisch]]
* [[Schismatische Temperaturen]] (Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi)
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* [[Sensi]]
* [[Superpyth]]
* [[Übermässige Temperaturen]]
* [[Verminderte Temperaturen]]
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Das Paradigma der '''regulären Temperaturen''' ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig]]en Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

== Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur ==
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein [[Tonsystem]] mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "'''austemperiert'''" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

{| class="wikitable"
|-
! Reine Stimmung
! Mitteltönige Temperatur
! Gleichstufige Stimmung
|-
| Alle Intervalle rein
| Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit
| Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein
|-
| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig
| Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen
| Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen
|}

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12-EDO]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12-EDO ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

== Verallgemeinerung ==
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:

* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.

* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:

* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe]]).

* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist. Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.

* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe]]n).

* Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19-EDO]] oder [[31-EDO]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur ''nicht'' unterstützen, wie [[22-EDO]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

== Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur ==
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme [[15-EDO]] und [[22-EDO]] gelten kann.

Bei dieser wird das Intervall [[250/243]] (welches entsprechend ''Porcupine-Komma''heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall &lt;code&gt;1L+1s&lt;/code&gt;, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus &lt;code&gt;1L+3s&lt;/code&gt;.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, &lt;code&gt;Lssssss&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;sLsssss&lt;/code&gt;, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall &lt;code&gt;1L+2s&lt;/code&gt;, welches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala &lt;code&gt;Lssssss&lt;/code&gt; beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

== Mathematischer Ansatz ==
Was bis hier allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

== Katalog der regulären Temperaturen ==
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[:en:Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen in diesem Wiki:
* [[Hanson-Kleismisch]]
* [[Liese]]
* [[Magische Temperaturen]]
* [[maqamisch]]
* [[Marvel]]
* [[Mavila]]
* [[Miracle]]
* [[mitteltönig]]
** [[viertelkomma-mitteltönig]]
** [[drittelkomma-mitteltönig]]
** [[septimal-mitteltönig]]
** [[Lucy-Stimmung]]
* [[Mohajira]]
* [[Nautilus|Nautilus]]
* [[Negri]]
* [[Orwell]]
* [[Pajara]]
* [[Porcupine]] (Porcupine, Hedgehog)
* [[pythagoräisch]]
* [[Schismatische Temperaturen]] (Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi)
* [[Semiphor, Semaphor, Godzilla]]
* [[Sensi]]
* [[Superpyth]]
* [[Übermässige Temperaturen]]
* [[Verminderte Temperaturen]]
* [[Würschmidt]]

[[Kategorie:Temperament| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;
[[Kategorie:Begriff]]
[[Kategorie:Theorie]]
[[Kategorie:todo:eingängiger formulieren]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
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| de = Reguläre_Temperaturen
| en = Tour_of_Regular_Temperaments
| es = 
| ja = レギュラーテンペラメントとランクrテンペラメント
}}
Das Paradigma der '''regulären Temperaturen''' ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig]]en Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

== Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur ==
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein [[Tonsystem]] mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "'''austemperiert'''" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

{| class="wikitable"
|-
! Reine Stimmung
! Mitteltönige Temperatur
! Gleichstufige Stimmung
|-
| Alle Intervalle rein
| Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit
| Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein
|-
| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig
| Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen
| Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen
|}

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12-EDO]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12-EDO ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

== Verallgemeinerung ==
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:

* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.

* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:

* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe]]).

* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist. Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.

* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe]]n).

* Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19-EDO]] oder [[31-EDO]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur ''nicht'' unterstützen, wie [[22-EDO]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

== Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur ==
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme [[15-EDO]] und [[22-EDO]] gelten kann.

Bei dieser wird das Intervall [[250/243]] (welches entsprechend ''Porcupine-Komma''heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall &lt;code&gt;1L+1s&lt;/code&gt;, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus &lt;code&gt;1L+3s&lt;/code&gt;.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, &lt;code&gt;Lssssss&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;sLsssss&lt;/code&gt;, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall &lt;code&gt;1L+2s&lt;/code&gt;, welches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala &lt;code&gt;Lssssss&lt;/code&gt; beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

== Mathematischer Ansatz ==
Was bis hier allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

== Katalog der regulären Temperaturen ==
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[:en:Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen in diesem Wiki:
* [[Hanson-Kleismisch]]
* [[Liese]]
* [[Magische Temperaturen]]
* [[maqamisch]]
* [[Marvel]]
* [[Mavila]]
* [[Miracle]] (Blackjack, Canasta)
* [[mitteltönig]]
** [[viertelkomma-mitteltönig]]
** [[drittelkomma-mitteltönig]]
** [[septimal-mitteltönig]]
** [[Lucy-Stimmung]]
* [[Mohajira]]
* [[Nautilus|Nautilus]]
* [[Negri]]
* [[Orwell]]
* [[Pajara]]
* [[Porcupine]] (Porcupine, Hedgehog)
* [[pythagoräisch]]
* [[Schismatische Temperaturen]] (Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi)
* [[Semiphor, Semaphor, Godzilla]]
* [[Sensi]]
* [[Superpyth]]
* [[Übermässige Temperaturen]]
* [[Verminderte Temperaturen]]
* [[Würschmidt]]

[[Kategorie:Temperament| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;
[[Kategorie:Begriff]]
[[Kategorie:Theorie]]
[[Kategorie:todo:eingängiger formulieren]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
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}}
Das Paradigma der '''regulären Temperaturen''' ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig]]en Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

== Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur ==
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein [[Tonsystem]] mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "'''austemperiert'''" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

{| class="wikitable"
|-
! Reine Stimmung
! Mitteltönige Temperatur
! Gleichstufige Stimmung
|-
| Alle Intervalle rein
| Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit
| Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein
|-
| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig
| Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen
| Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen
|}

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12-EDO]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12-EDO ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

== Verallgemeinerung ==
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:

* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.

* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:

* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe]]).

* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist. Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.

* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe]]n).

* Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19-EDO]] oder [[31-EDO]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur ''nicht'' unterstützen, wie [[22-EDO]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

== Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur ==
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme [[15-EDO]] und [[22-EDO]] gelten kann.

Bei dieser wird das Intervall [[250/243]] (welches entsprechend ''Porcupine-Komma''heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall &lt;code&gt;1L+1s&lt;/code&gt;, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus &lt;code&gt;1L+3s&lt;/code&gt;.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, &lt;code&gt;Lssssss&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;sLsssss&lt;/code&gt;, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall &lt;code&gt;1L+2s&lt;/code&gt;, welches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala &lt;code&gt;Lssssss&lt;/code&gt; beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

== Mathematischer Ansatz ==
Was bis hier allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

== Katalog der regulären Temperaturen ==
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[:en:Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen in diesem Wiki:
* [[Hanson-Kleismisch]]
* [[Liese]]
* c[[Magische Temperaturen]]
* [[maqamisch]]
* [[Marvel]]
* [[Mavila]]
* [[Miracle]] (Miracle, Blackjack, Canasta)
* [[mitteltönig]]
** [[viertelkomma-mitteltönig]]
** [[drittelkomma-mitteltönig]]
** [[septimal-mitteltönig]]
** [[Lucy-Stimmung]]
* [[Mohajira]]
* [[Nautilus|Nautilus]]
* [[Negri]]
* [[Orwell]]
* [[Pajara]]
* [[Porcupine]] (Porcupine, Hedgehog)
* [[pythagoräisch]]
* [[Schismatische Temperaturen]] (Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi)
* [[Semiphor, Semaphor, Godzilla]]
* [[Sensi]]
* [[Superpyth]]
* [[Übermässige Temperaturen]]
* [[Verminderte Temperaturen]]
* [[Würschmidt]]

[[Kategorie:Temperament| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;
[[Kategorie:Begriff]]
[[Kategorie:Theorie]]
[[Kategorie:todo:eingängiger formulieren]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
[[en:Tour of Regular Temperaments]]</text>
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| de = Reguläre_Temperaturen
| en = Tour_of_Regular_Temperaments
| es = 
| ja = レギュラーテンペラメントとランクrテンペラメント
}}
Das Paradigma der '''regulären Temperaturen''' ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig]]en Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

== Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur ==
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein [[Tonsystem]] mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "'''austemperiert'''" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

{| class="wikitable"
|-
! Reine Stimmung
! Mitteltönige Temperatur
! Gleichstufige Stimmung
|-
| Alle Intervalle rein
| Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit
| Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein
|-
| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig
| Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen
| Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen
|}

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12-EDO]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12-EDO ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

== Verallgemeinerung ==
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:

* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.

* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:

* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe]]).

* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist. Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.

* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe]]n).

* Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19-EDO]] oder [[31-EDO]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur ''nicht'' unterstützen, wie [[22-EDO]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

== Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur ==
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme [[15-EDO]] und [[22-EDO]] gelten kann.

Bei dieser wird das Intervall [[250/243]] (welches entsprechend ''Porcupine-Komma''heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall &lt;code&gt;1L+1s&lt;/code&gt;, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus &lt;code&gt;1L+3s&lt;/code&gt;.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, &lt;code&gt;Lssssss&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;sLsssss&lt;/code&gt;, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall &lt;code&gt;1L+2s&lt;/code&gt;, welches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala &lt;code&gt;Lssssss&lt;/code&gt; beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

== Mathematischer Ansatz ==
Was bis hier allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

== Katalog der regulären Temperaturen ==
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[:en:Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen in diesem Wiki:
* [[Hanson-Kleismisch]]
* [[Liese]]
* [[Magische Temperaturen]] (magisch, Muggel, Astrology) 
* [[maqamisch]]
* [[Marvel]]
* [[Mavila]]
* [[Miracle]] (Miracle, Blackjack, Canasta)
* [[mitteltönig]]
** [[viertelkomma-mitteltönig]]
** [[drittelkomma-mitteltönig]]
** [[septimal-mitteltönig]]
** [[Lucy-Stimmung]]
* [[Mohajira]]
* [[Nautilus|Nautilus]]
* [[Negri]]
* [[Orwell]]
* [[Pajara]]
* [[Porcupine]] (Porcupine, Hedgehog)
* [[pythagoräisch]]
* [[Schismatische Temperaturen]] (Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi)
* [[Semiphor, Semaphor, Godzilla]]
* [[Sensi]]
* [[Superpyth]]
* [[Übermässige Temperaturen]]
* [[Verminderte Temperaturen]]
* [[Würschmidt]]

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[[Kategorie:Begriff]]
[[Kategorie:Theorie]]
[[Kategorie:todo:eingängiger formulieren]]

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| en = Tour_of_Regular_Temperaments
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| ja = レギュラーテンペラメントとランクrテンペラメント
}}
Das Paradigma der '''regulären Temperaturen''' ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig]]en Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

== Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur ==
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein [[Tonsystem]] mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "'''austemperiert'''" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

{| class="wikitable"
|-
! Reine Stimmung
! Mitteltönige Temperatur
! Gleichstufige Stimmung
|-
| Alle Intervalle rein
| Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit
| Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein
|-
| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig
| Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen
| Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen
|}

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12-EDO]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12-EDO ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

== Verallgemeinerung ==
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:

* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.

* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:

* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe]]).

* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist. Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.

* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe]]n).

* Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19-EDO]] oder [[31-EDO]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur ''nicht'' unterstützen, wie [[22-EDO]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

== Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur ==
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme [[15-EDO]] und [[22-EDO]] gelten kann.

Bei dieser wird das Intervall [[250/243]] (welches entsprechend ''Porcupine-Komma''heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall &lt;code&gt;1L+1s&lt;/code&gt;, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus &lt;code&gt;1L+3s&lt;/code&gt;.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, &lt;code&gt;Lssssss&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;sLsssss&lt;/code&gt;, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall &lt;code&gt;1L+2s&lt;/code&gt;, welches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala &lt;code&gt;Lssssss&lt;/code&gt; beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

== Mathematischer Ansatz ==
Was bis hier allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

== Katalog der regulären Temperaturen ==
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[:en:Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen in diesem Wiki:
* [[Hanson-Kleismisch]]
* [[Liese]]
* [[Magische Temperaturen]] (septimalmagisch, Muggel, Astrology) 
* [[maqamisch]]
* [[Marvel]]
* [[Mavila]]
* [[Miracle]] (Miracle, Blackjack, Canasta)
* [[mitteltönig]]
** [[viertelkomma-mitteltönig]]
** [[drittelkomma-mitteltönig]]
** [[septimal-mitteltönig]]
** [[Lucy-Stimmung]]
* [[Mohajira]]
* [[Nautilus|Nautilus]]
* [[Negri]]
* [[Orwell]]
* [[Pajara]]
* [[Porcupine]] (Porcupine, Hedgehog)
* [[pythagoräisch]]
* [[Schismatische Temperaturen]] (Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi)
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* [[Sensi]]
* [[Superpyth]]
* [[Übermässige Temperaturen]]
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* [[Würschmidt]]

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}}
Das Paradigma der '''regulären Temperaturen''' ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig]]en Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

== Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur ==
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein [[Tonsystem]] mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "'''austemperiert'''" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

{| class="wikitable"
|-
! Reine Stimmung
! Mitteltönige Temperatur
! Gleichstufige Stimmung
|-
| Alle Intervalle rein
| Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit
| Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein
|-
| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig
| Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen
| Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen
|}

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12-EDO]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12-EDO ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

== Verallgemeinerung ==
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:

* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.

* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:

* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe]]).

* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist. Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.

* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe]]n).

* Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19-EDO]] oder [[31-EDO]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur ''nicht'' unterstützen, wie [[22-EDO]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

== Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur ==
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme [[15-EDO]] und [[22-EDO]] gelten kann.

Bei dieser wird das Intervall [[250/243]] (welches entsprechend ''Porcupine-Komma''heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall &lt;code&gt;1L+1s&lt;/code&gt;, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus &lt;code&gt;1L+3s&lt;/code&gt;.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, &lt;code&gt;Lssssss&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;sLsssss&lt;/code&gt;, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall &lt;code&gt;1L+2s&lt;/code&gt;, welches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala &lt;code&gt;Lssssss&lt;/code&gt; beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

== Mathematischer Ansatz ==
Was bis hier allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

== Katalog der regulären Temperaturen ==
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[:en:Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen in diesem Wiki:
* [[Hanson-Kleismisch]]
* [[Liese]]
* [[Magische Temperaturen]] (septimalmagisch, Muggel, Astrology) 
* [[maqamisch]]
* [[Marvel]]
* [[Mavila]]
* [[Miracle]] (Miracle, Blackjack, Canasta)
* [[mitteltönig]]
** [[viertelkomma-mitteltönig]]
** [[drittelkomma-mitteltönig]]
** [[septimal-mitteltönig]]
** [[Lucy-Stimmung]]
* [[Mohajira]]
* [[Nautilus|Nautilus]]
* [[Negri]]
* [[Orwell]]
* [[Pajara]]
* [[Porcupine]] (Porcupine, Hedgehog)
* [[pythagoräisch]]
* [[Schismatische Temperaturen]] (Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi)
* [[Semiphor, Semaphor, Godzilla]]
* [[Sensi]]
* [[Superpyth]]
* [[Tetracot]]
* [[Übermässige Temperaturen]]
* [[Verminderte Temperaturen]]
* [[Würschmidt]]

[[Kategorie:Temperament| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;
[[Kategorie:Begriff]]
[[Kategorie:Theorie]]
[[Kategorie:todo:eingängiger formulieren]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
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| de = Reguläre_Temperaturen
| en = Tour_of_Regular_Temperaments
| es = 
| ja = レギュラーテンペラメントとランクrテンペラメント
}}
Das Paradigma der '''regulären Temperaturen''' ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig]]en Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

== Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur ==
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein [[Tonsystem]] mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "'''austemperiert'''" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

{| class="wikitable"
|-
! Reine Stimmung
! Mitteltönige Temperatur
! Gleichstufige Stimmung
|-
| Alle Intervalle rein
| Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit
| Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein
|-
| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig
| Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen
| Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen
|}

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12-EDO]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12-EDO ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

== Verallgemeinerung ==
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:

* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.

* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:

* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe]]).

* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist. Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.

* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe]]n).

* Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19-EDO]] oder [[31-EDO]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur ''nicht'' unterstützen, wie [[22-EDO]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

== Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur ==
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme [[15-EDO]] und [[22-EDO]] gelten kann.

Bei dieser wird das Intervall [[250/243]] (welches entsprechend ''Porcupine-Komma'' heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall &lt;code&gt;1L+1s&lt;/code&gt;, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus &lt;code&gt;1L+3s&lt;/code&gt;.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, &lt;code&gt;Lssssss&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;sLsssss&lt;/code&gt;, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall &lt;code&gt;1L+2s&lt;/code&gt;, welches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala &lt;code&gt;Lssssss&lt;/code&gt; beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

== Mathematischer Ansatz ==
Was bis hier allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

== Katalog der regulären Temperaturen ==
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[:en:Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen in diesem Wiki:
* [[Hanson-Kleismisch]]
* [[Liese]]
* [[Magische Temperaturen]] (septimalmagisch, Muggel, Astrology) 
* [[maqamisch]]
* [[Marvel]]
* [[Mavila]]
* [[Miracle]] (Miracle, Blackjack, Canasta)
* [[mitteltönig]]
** [[viertelkomma-mitteltönig]]
** [[drittelkomma-mitteltönig]]
** [[septimal-mitteltönig]]
** [[Lucy-Stimmung]]
* [[Mohajira]]
* [[Nautilus|Nautilus]]
* [[Negri]]
* [[Orwell]]
* [[Pajara]]
* [[Porcupine]] (Porcupine, Hedgehog)
* [[pythagoräisch]]
* [[Schismatische Temperaturen]] (Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi)
* [[Semiphor, Semaphor, Godzilla]]
* [[Sensi]]
* [[Superpyth]]
* [[Tetracot]]
* [[Übermässige Temperaturen]]
* [[Verminderte Temperaturen]]
* [[Würschmidt]]

[[Kategorie:Temperament| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;
[[Kategorie:Begriff]]
[[Kategorie:Theorie]]
[[Kategorie:todo:eingängiger formulieren]]

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}}
Das Paradigma der '''regulären Temperaturen''' ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig]]en Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

== Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur ==
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein [[Tonsystem]] mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "'''austemperiert'''" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

{| class="wikitable"
|-
! Reine Stimmung
! Mitteltönige Temperatur
! Gleichstufige Stimmung
|-
| Alle Intervalle rein
| Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit
| Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein
|-
| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig
| Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen
| Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen
|}

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12-EDO]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12-EDO ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

== Verallgemeinerung ==
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:

* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.

* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:

* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe]]).

* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist. Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.

* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe]]n).

* Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19-EDO]] oder [[31-EDO]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur ''nicht'' unterstützen, wie [[22-EDO]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

== Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur ==
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme [[15-EDO]] und [[22-EDO]] gelten kann.

Bei dieser wird das Intervall [[250/243]] (welches entsprechend ''Porcupine-Komma'' heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall &lt;code&gt;1L+1s&lt;/code&gt;, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus &lt;code&gt;1L+3s&lt;/code&gt;.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, &lt;code&gt;Lssssss&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;sLsssss&lt;/code&gt;, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall &lt;code&gt;1L+2s&lt;/code&gt;, welches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala &lt;code&gt;Lssssss&lt;/code&gt; beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

== Mathematischer Ansatz ==
Was bis hier allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

== Katalog der regulären Temperaturen ==
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[:en:Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen in diesem Wiki:
* [[Hanson-Kleismisch]]
* [[Liese]]
* [[Magische Temperaturen]] (septimalmagisch, Muggel, Astrology) 
* [[maqamisch]]
* [[Marvel]]
* [[Mavila]]
* [[Miracle]] (Miracle, Blackjack, Canasta)
* [[mitteltönig]]
** [[viertelkomma-mitteltönig]]
** [[drittelkomma-mitteltönig]]
** [[septimal-mitteltönig]]
** [[Lucy-Stimmung]]
* [[Mohajira]]
* [[Nautilus|Nautilus]]
* [[Negri]]
* [[Orwell]]
* [[Pajara]]
* [[Porcupine]] (Porcupine, Hedgehog)
* [[pythagoräisch]]
* [[Schismatische Temperaturen]] (Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi)
* [[Semiphor, Semaphor, Godzilla]]
* [[Sensi]]
* [[Superpyth]]
* [[Tetracot]]
* [[Übermässige Temperaturen]]
* [[Verminderte Temperaturen]]
* [[Würschmidt]]

[[Kategorie:Temperament| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;
[[Kategorie:Begriff]]
[[Kategorie:Theorie]]
[[Kategorie:todo:eingängiger formulieren]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
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| de = Reguläre Temperatur
| en = Regular temperament
| es = 
| ja = レギュラーテンペラメントとランクrテンペラメント
}}
Das Paradigma der '''regulären Temperaturen''' ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig]]en Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

== Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur ==
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein [[Tonsystem]] mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "'''austemperiert'''" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

{| class="wikitable"
|-
! Reine Stimmung
! Mitteltönige Temperatur
! Gleichstufige Stimmung
|-
| Alle Intervalle rein
| Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit
| Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein
|-
| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig
| Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen
| Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen
|}

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12-EDO]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12-EDO ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

== Verallgemeinerung ==
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:

* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.

* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:

* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe]]).

* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist. Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.

* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe]]n).

* Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19-EDO]] oder [[31-EDO]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur ''nicht'' unterstützen, wie [[22-EDO]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

== Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur ==
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme [[15-EDO]] und [[22-EDO]] gelten kann.

Bei dieser wird das Intervall [[250/243]] (welches entsprechend ''Porcupine-Komma'' heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall &lt;code&gt;1L+1s&lt;/code&gt;, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus &lt;code&gt;1L+3s&lt;/code&gt;.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, &lt;code&gt;Lssssss&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;sLsssss&lt;/code&gt;, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall &lt;code&gt;1L+2s&lt;/code&gt;, welches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala &lt;code&gt;Lssssss&lt;/code&gt; beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

== Mathematischer Ansatz ==
Was bis hier allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

== Katalog der regulären Temperaturen ==
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[:en:Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen in diesem Wiki:
* [[Hanson-Kleismisch]]
* [[Liese]]
* [[Magische Temperaturen]] (septimalmagisch, Muggel, Astrology) 
* [[maqamisch]]
* [[Marvel]]
* [[Mavila]]
* [[Miracle]] (Miracle, Blackjack, Canasta)
* [[mitteltönig]]
** [[viertelkomma-mitteltönig]]
** [[drittelkomma-mitteltönig]]
** [[septimal-mitteltönig]]
** [[Lucy-Stimmung]]
* [[Mohajira]]
* [[Nautilus|Nautilus]]
* [[Negri]]
* [[Orwell]]
* [[Pajara]]
* [[Porcupine]] (Porcupine, Hedgehog)
* [[pythagoräisch]]
* [[Schismatische Temperaturen]] (Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi)
* [[Semiphor, Semaphor, Godzilla]]
* [[Sensi]]
* [[Superpyth]]
* [[Tetracot]]
* [[Übermässige Temperaturen]]
* [[Verminderte Temperaturen]]
* [[Vulture]]
* [[Würschmidt]]

[[Kategorie:Temperament| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;
[[Kategorie:Begriff]]
[[Kategorie:Theorie]]
[[Kategorie:todo:eingängiger formulieren]]

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| de = Reguläre Temperatur
| en = Regular temperament
| es = 
| ja = レギュラーテンペラメントとランクrテンペラメント
}}
Das Paradigma der '''regulären Temperaturen''' ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig]]en Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

== Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur ==
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein [[Tonsystem]] mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "'''austemperiert'''" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

{| class="wikitable"
|-
! Reine Stimmung
! Mitteltönige Temperatur
! Gleichstufige Stimmung
|-
| Alle Intervalle rein
| Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit
| Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein
|-
| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig
| Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen
| Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen
|}

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12-EDO]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12-EDO ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

== Verallgemeinerung ==
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:

* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.

* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:

* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe]]).

* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist. Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.

* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe]]n).

* Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19-EDO]] oder [[31-EDO]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur ''nicht'' unterstützen, wie [[22-EDO]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

== Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur ==
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme [[15-EDO]] und [[22-EDO]] gelten kann.

Bei dieser wird das Intervall [[250/243]] (welches entsprechend ''Porcupine-Komma'' heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall &lt;code&gt;1L+1s&lt;/code&gt;, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus &lt;code&gt;1L+3s&lt;/code&gt;.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, &lt;code&gt;Lssssss&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;sLsssss&lt;/code&gt;, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall &lt;code&gt;1L+2s&lt;/code&gt;, welches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala &lt;code&gt;Lssssss&lt;/code&gt; beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

== Mathematischer Ansatz ==
Was bis hier allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

== Katalog der regulären Temperaturen ==
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[:en:Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen in diesem Wiki:
* [[Blackwood]]
* [[Hanson-Kleismisch]]
* [[Liese]]
* [[Magische Temperaturen]] (septimalmagisch, Muggel, Astrology) 
* [[maqamisch]]
* [[Marvel]]
* [[Mavila]]
* [[Miracle]] (Miracle, Blackjack, Canasta)
* [[mitteltönig]]
** [[viertelkomma-mitteltönig]]
** [[drittelkomma-mitteltönig]]
** [[septimal-mitteltönig]]
** [[Lucy-Stimmung]]
* [[Mohajira]]
* [[Nautilus|Nautilus]]
* [[Negri]]
* [[Orwell]]
* [[Pajara]]
* [[Porcupine]] (Porcupine, Hedgehog)
* [[pythagoräisch]]
* [[Schismatische Temperaturen]] (Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi)
* [[Semiphor, Semaphor, Godzilla]]
* [[Sensi]]
* [[Superpyth]]
* [[Tetracot]]
* [[Übermässige Temperaturen]]
* [[Verminderte Temperaturen]]
* [[Vulture]]
* [[Würschmidt]]

[[Kategorie:Temperament| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;
[[Kategorie:Begriff]]
[[Kategorie:Theorie]]
[[Kategorie:todo:eingängiger formulieren]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
[[https://en.xen.wiki/w/Tour of Regular Temperaments]]</text>
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| de = Reguläre Temperatur
| en = Regular temperament
| es = 
| ja = レギュラーテンペラメントとランクrテンペラメント
}}
Das Paradigma der '''regulären Temperaturen''' ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig]]en Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

== Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur ==
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein [[Tonsystem]] mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "'''austemperiert'''" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

{| class="wikitable"
|-
! Reine Stimmung
! Mitteltönige Temperatur
! Gleichstufige Stimmung
|-
| Alle Intervalle rein
| Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit
| Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein
|-
| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig
| Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen
| Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen
|}

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12-EDO]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12-EDO ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

== Verallgemeinerung ==
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:

* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.

* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:

* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe]]).

* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist. Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.

* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe]]n).

* Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19-EDO]] oder [[31-EDO]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur ''nicht'' unterstützen, wie [[22-EDO]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

== Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur ==
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme [[15-EDO]] und [[22-EDO]] gelten kann.

Bei dieser wird das Intervall [[250/243]] (welches entsprechend ''Porcupine-Komma'' heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall &lt;code&gt;1L+1s&lt;/code&gt;, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus &lt;code&gt;1L+3s&lt;/code&gt;.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, &lt;code&gt;Lssssss&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;sLsssss&lt;/code&gt;, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall &lt;code&gt;1L+2s&lt;/code&gt;, welches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala &lt;code&gt;Lssssss&lt;/code&gt; beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

== Mathematischer Ansatz ==
Was bis hier allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

== Katalog der regulären Temperaturen ==
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[:en:Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen in diesem Wiki:
* [[Blackwood-Limmisch]]
* [[Hanson-Kleismisch]]
* [[Liese]]
* [[Magische Temperaturen]] (septimalmagisch, Muggel, Astrology) 
* [[maqamisch]]
* [[Marvel]]
* [[Mavila]]
* [[Miracle]] (Miracle, Blackjack, Canasta)
* [[mitteltönig]]
** [[viertelkomma-mitteltönig]]
** [[drittelkomma-mitteltönig]]
** [[septimal-mitteltönig]]
** [[Lucy-Stimmung]]
* [[Mohajira]]
* [[Nautilus|Nautilus]]
* [[Negri]]
* [[Orwell]]
* [[Pajara]]
* [[Porcupine]] (Porcupine, Hedgehog)
* [[pythagoräisch]]
* [[Schismatische Temperaturen]] (Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi)
* [[Semiphor, Semaphor, Godzilla]]
* [[Sensi]]
* [[Superpyth]]
* [[Tetracot]]
* [[Übermässige Temperaturen]]
* [[Verminderte Temperaturen]]
* [[Vulture]]
* [[Würschmidt]]

[[Kategorie:Temperament| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;
[[Kategorie:Begriff]]
[[Kategorie:Theorie]]
[[Kategorie:todo:eingängiger formulieren]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
[[https://en.xen.wiki/w/Tour of Regular Temperaments]]</text>
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| de = Reguläre Temperatur
| en = Regular temperament
| es = 
| ja = レギュラーテンペラメントとランクrテンペラメント
}}
Das Paradigma der '''regulären Temperaturen''' ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig]]en Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

== Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur ==
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein [[Tonsystem]] mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "'''austemperiert'''" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

{| class="wikitable"
|-
! Reine Stimmung
! Mitteltönige Temperatur
! Gleichstufige Stimmung
|-
| Alle Intervalle rein
| Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit
| Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein
|-
| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig
| Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen
| Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen
|}

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12-EDO]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12-EDO ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

== Verallgemeinerung ==
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:

* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.

* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:

* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe]]).

* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist. Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.

* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe]]n).

* Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19-EDO]] oder [[31-EDO]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur ''nicht'' unterstützen, wie [[22-EDO]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

== Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur ==
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme [[15-EDO]] und [[22-EDO]] gelten kann.

Bei dieser wird das Intervall [[250/243]] (welches entsprechend ''Porcupine-Komma'' heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall &lt;code&gt;1L+1s&lt;/code&gt;, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus &lt;code&gt;1L+3s&lt;/code&gt;.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, &lt;code&gt;Lssssss&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;sLsssss&lt;/code&gt;, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall &lt;code&gt;1L+2s&lt;/code&gt;, welches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala &lt;code&gt;Lssssss&lt;/code&gt; beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

== Mathematischer Ansatz ==
Was bis hier allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

== Katalog der regulären Temperaturen ==
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[:en:Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen in diesem Wiki:
* [[Blackwood-Limmisch]]
* [[Hanson-Kleismisch]]
* [[Liese]]
* [[Magische Temperaturen]] (septimalmagisch, Muggel, Astrology) 
* [[maqamisch]]
* [[Marvel]]
* [[Mavila]]
* [[Miracle]] (Miracle, Blackjack, Canasta)
* [[mitteltönig]]
** [[viertelkomma-mitteltönig]]
** [[drittelkomma-mitteltönig]]
** [[septimal-mitteltönig]]
** [[sechstelkomma-mitteltönig]]
** [[Lucy-Stimmung]]
* [[Mohajira]]
* [[Nautilus|Nautilus]]
* [[Negri]]
* [[Orwell]]
* [[Pajara]]
* [[Porcupine]] (Porcupine, Hedgehog)
* [[pythagoräisch]]
* [[Schismatische Temperaturen]] (Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi)
* [[Semiphor, Semaphor, Godzilla]]
* [[Sensi]]
* [[Superpyth]]
* [[Tetracot]]
* [[Übermässige Temperaturen]]
* [[Verminderte Temperaturen]]
* [[Vulture]]
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[[Kategorie:Begriff]]
[[Kategorie:Theorie]]
[[Kategorie:todo:eingängiger formulieren]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
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| de = Reguläre Temperatur
| en = Regular temperament
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| ja = レギュラーテンペラメントとランクrテンペラメント
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Das Paradigma der '''regulären Temperaturen''' ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig]]en Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

== Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur ==
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein [[Tonsystem]] mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "'''austemperiert'''" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

{| class="wikitable"
|-
! Reine Stimmung
! Mitteltönige Temperatur
! Gleichstufige Stimmung
|-
| Alle Intervalle rein
| Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit
| Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein
|-
| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig
| Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen
| Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen
|}

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12-EDO]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12-EDO ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

== Verallgemeinerung ==
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:

* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.

* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:

* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe]]).

* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist. Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.

* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe]]n).

* Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19-EDO]] oder [[31-EDO]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur ''nicht'' unterstützen, wie [[22-EDO]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

== Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur ==
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme [[15-EDO]] und [[22-EDO]] gelten kann.

Bei dieser wird das Intervall [[250/243]] (welches entsprechend ''Porcupine-Komma'' heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall &lt;code&gt;1L+1s&lt;/code&gt;, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus &lt;code&gt;1L+3s&lt;/code&gt;.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, &lt;code&gt;Lssssss&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;sLsssss&lt;/code&gt;, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall &lt;code&gt;1L+2s&lt;/code&gt;, welches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala &lt;code&gt;Lssssss&lt;/code&gt; beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

== Mathematischer Ansatz ==
Was bis hier allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

== Katalog der regulären Temperaturen ==
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[:en:Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen in diesem Wiki:
* [[Blackwood-Limmisch]]
* [[Hanson-Kleismisch]]
* [[Liese]]
* [[Magische Temperaturen]] (septimalmagisch, Muggel, Astrology) 
* [[maqamisch]]
* [[Marvel]]
* [[Mavila]]
* [[Miracle]] (Miracle, Blackjack, Canasta)
* [[mitteltönig]]
** [[Viertelkomma-mitteltönig]]
** [[Drittelkomma-mitteltönig]]
** [[septimal-mitteltönig]]
** [[Sechstelkomma-mitteltönig]]
** [[Lucy-Stimmung]]
* [[Mohajira]]
* [[Nautilus|Nautilus]]
* [[Negri]]
* [[Orwell]]
* [[Pajara]]
* [[Porcupine]] (Porcupine, Hedgehog)
* [[pythagoräisch]]
* [[Schismatische Temperaturen]] (Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi)
* [[Semiphor, Semaphor, Godzilla]]
* [[Sensi]]
* [[Superpyth]]
* [[Tetracot]]
* [[Übermässige Temperaturen]]
* [[Verminderte Temperaturen]]
* [[Vulture]]
* [[Würschmidt]]

[[Kategorie:Temperament| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;
[[Kategorie:Begriff]]
[[Kategorie:Theorie]]
[[Kategorie:todo:eingängiger formulieren]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
[[https://en.xen.wiki/w/Tour of Regular Temperaments]]</text>
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| de = Reguläre Temperatur
| en = Regular temperament
| es = 
| ja = レギュラーテンペラメントとランクrテンペラメント
}}
Das Paradigma der '''regulären Temperaturen''' ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig]]en Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

== Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur ==
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein [[Tonsystem]] mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "'''austemperiert'''" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

{| class="wikitable"
|-
! Reine Stimmung
! Mitteltönige Temperatur
! Gleichstufige Stimmung
|-
| Alle Intervalle rein
| Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit
| Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein
|-
| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig
| Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen
| Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen
|}

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12-EDO]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12-EDO ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

== Verallgemeinerung ==
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:

* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.

* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:

* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe]]).

* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist. Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.

* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe]]n).

* Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19-EDO]] oder [[31-EDO]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur ''nicht'' unterstützen, wie [[22-EDO]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

== Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur ==
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme [[15-EDO]] und [[22-EDO]] gelten kann.

Bei dieser wird das Intervall [[250/243]] (welches entsprechend ''Porcupine-Komma'' heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall &lt;code&gt;1L+1s&lt;/code&gt;, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus &lt;code&gt;1L+3s&lt;/code&gt;.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, &lt;code&gt;Lssssss&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;sLsssss&lt;/code&gt;, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall &lt;code&gt;1L+2s&lt;/code&gt;, welches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala &lt;code&gt;Lssssss&lt;/code&gt; beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

== Mathematischer Ansatz ==
Was bis hier allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

== Katalog der regulären Temperaturen ==
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[:en:Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen in diesem Wiki:
* [[Blackwood-Limmisch]]
* [[Hanson-Kleismisch]]
* [[Liese]]
* [[Magische Temperaturen]] (septimalmagisch, Muggel, Astrology) 
* [[maqamisch]]
* [[Marvel]]
* [[Mavila]]
* [[Miracle]] (Miracle, Blackjack, Canasta)
* [[mitteltönig]]
** [[Viertelkomma-mitteltönig]]
** [[Drittelkomma-mitteltönig]]
** [[septimal-mitteltönig]]
** [[Sechstelkomma-mitteltönig]]
** [[Lucy-Stimmung]]
* [[Mohajira]]
* [[Nautilus|Nautilus]]
* [[Negri]]
* [[Orwell]]
* [[Pajara]]
* [[Porcupine]] (Porcupine, Hedgehog)
* [[pythagoräisch]]
* [[Schismatische Temperaturen]] (Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi)
* [[Semiphor, Semaphor, Godzilla]]
* [[Sensi]]
* [[Slendrisch]]
* [[Superpyth]]
* [[Tetracot]]
* [[Übermässige Temperaturen]]
* [[Verminderte Temperaturen]]
* [[Vulture]]
* [[Würschmidt]]

[[Kategorie:Temperament| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;
[[Kategorie:Begriff]]
[[Kategorie:Theorie]]
[[Kategorie:todo:eingängiger formulieren]]

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Das Paradigma der '''regulären Temperaturen''' ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig]]en Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

== Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur ==
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein [[Tonsystem]] mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "'''austemperiert'''" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

{| class="wikitable"
|-
! Reine Stimmung
! Mitteltönige Temperatur
! Gleichstufige Stimmung
|-
| Alle Intervalle rein
| Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit
| Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein
|-
| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig
| Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen
| Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen
|}

Bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12-EDO]] ist die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12-EDO ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

== Verallgemeinerung ==
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:

* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.

* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:

* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe]]).

* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist. Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.

* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe]]n).

* Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19-EDO]] oder [[31-EDO]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur ''nicht'' unterstützen, wie [[22-EDO]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

== Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur ==
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme [[15-EDO]] und [[22-EDO]] gelten kann.

Bei dieser wird das Intervall [[250/243]] (welches entsprechend ''Porcupine-Komma'' heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall &lt;code&gt;1L+1s&lt;/code&gt;, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus &lt;code&gt;1L+3s&lt;/code&gt;.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, &lt;code&gt;Lssssss&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;sLsssss&lt;/code&gt;, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall &lt;code&gt;1L+2s&lt;/code&gt;, welches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala &lt;code&gt;Lssssss&lt;/code&gt; beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

== Mathematischer Ansatz ==
Was bis hier allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

== Katalog der regulären Temperaturen ==
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[:en:Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen in diesem Wiki:
* [[Blackwood-Limmisch]]
* [[Hanson-Kleismisch]]
* [[Liese]]
* [[Magische Temperaturen]] (septimalmagisch, Muggel, Astrology) 
* [[maqamisch]]
* [[Marvel]]
* [[Mavila]]
* [[Miracle]] (Miracle, Blackjack, Canasta)
* [[mitteltönig]]
** [[Viertelkomma-mitteltönig]]
** [[Drittelkomma-mitteltönig]]
** [[septimal-mitteltönig]]
** [[Sechstelkomma-mitteltönig]]
** [[Lucy-Stimmung]]
* [[Mohajira]]
* [[Nautilus|Nautilus]]
* [[Negri]]
* [[Orwell]]
* [[Pajara]]
* [[Porcupine]] (Porcupine, Hedgehog)
* [[pythagoräisch]]
* [[Schismatische Temperaturen]] (Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi)
* [[Semiphor, Semaphor, Godzilla]]
* [[Sensi]]
* [[Slendrisch]]
* [[Superpyth]]
* [[Tetracot]]
* [[Übermässige Temperaturen]]
* [[Verminderte Temperaturen]]
* [[Vulture]]
* [[Würschmidt]]

[[Kategorie:Temperament| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;
[[Kategorie:Begriff]]
[[Kategorie:Theorie]]
[[Kategorie:todo:eingängiger formulieren]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
[[https://en.xen.wiki/w/Tour of Regular Temperaments]]</text>
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| de = Reguläre Temperatur
| en = Regular temperament
| es = 
| ja = レギュラーテンペラメントとランクrテンペラメント
}}
Das Paradigma der '''regulären Temperaturen''' ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig]]en Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

== Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur ==
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein [[Tonsystem]] mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "'''austemperiert'''" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

{| class="wikitable"
|-
! Reine Stimmung
! Mitteltönige Temperatur
! Gleichstufige Stimmung
|-
| Alle Intervalle rein
| Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit
| Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein
|-
| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig
| Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen
| Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen
|}

Bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12-EDO]] ist die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwei gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12-EDO ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

== Verallgemeinerung ==
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:

* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.

* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:

* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe]]).

* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist. Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.

* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe]]n).

* Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19-EDO]] oder [[31-EDO]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur ''nicht'' unterstützen, wie [[22-EDO]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

== Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur ==
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme [[15-EDO]] und [[22-EDO]] gelten kann.

Bei dieser wird das Intervall [[250/243]] (welches entsprechend ''Porcupine-Komma'' heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall &lt;code&gt;1L+1s&lt;/code&gt;, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus &lt;code&gt;1L+3s&lt;/code&gt;.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, &lt;code&gt;Lssssss&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;sLsssss&lt;/code&gt;, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall &lt;code&gt;1L+2s&lt;/code&gt;, welches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala &lt;code&gt;Lssssss&lt;/code&gt; beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

== Mathematischer Ansatz ==
Was bis hier allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

== Katalog der regulären Temperaturen ==
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[:en:Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen in diesem Wiki:
* [[Blackwood-Limmisch]]
* [[Hanson-Kleismisch]]
* [[Liese]]
* [[Magische Temperaturen]] (septimalmagisch, Muggel, Astrology) 
* [[maqamisch]]
* [[Marvel]]
* [[Mavila]]
* [[Miracle]] (Miracle, Blackjack, Canasta)
* [[mitteltönig]]
** [[Viertelkomma-mitteltönig]]
** [[Drittelkomma-mitteltönig]]
** [[septimal-mitteltönig]]
** [[Sechstelkomma-mitteltönig]]
** [[Lucy-Stimmung]]
* [[Mohajira]]
* [[Nautilus|Nautilus]]
* [[Negri]]
* [[Orwell]]
* [[Pajara]]
* [[Porcupine]] (Porcupine, Hedgehog)
* [[pythagoräisch]]
* [[Schismatische Temperaturen]] (Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi)
* [[Semiphor, Semaphor, Godzilla]]
* [[Sensi]]
* [[Slendrisch]]
* [[Superpyth]]
* [[Tetracot]]
* [[Übermässige Temperaturen]]
* [[Verminderte Temperaturen]]
* [[Vulture]]
* [[Würschmidt]]

[[Kategorie:Temperament| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;
[[Kategorie:Begriff]]
[[Kategorie:Theorie]]
[[Kategorie:todo:eingängiger formulieren]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
[[https://en.xen.wiki/w/Tour of Regular Temperaments]]</text>
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| de = Reguläre Temperatur
| en = Regular temperament
| es = 
| ja = レギュラーテンペラメントとランクrテンペラメント
}}
Das Paradigma der '''regulären Temperaturen''' ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig]]en Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

== Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur ==
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein [[Tonsystem]] mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "'''austemperiert'''" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

{| class="wikitable"
|-
! Reine Stimmung
! Mitteltönige Temperatur
! Gleichstufige Stimmung
|-
| Alle Intervalle rein
| Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit
| Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein
|-
| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig
| Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen
| Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen
|}

Bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12-EDO]] ist die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwei gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12-EDO ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

== Verallgemeinerung ==
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:

* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.

* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:

* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe]]).

* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist. Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.

* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe]]n).

* Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19-EDO]] oder [[31-EDO]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur ''nicht'' unterstützen, wie [[22-EDO]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

== Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur ==
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme [[15-EDO]] und [[22-EDO]] gelten kann.

Bei dieser wird das Intervall [[250/243]] (welches entsprechend ''Porcupine-Komma'' heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall &lt;code&gt;1L+1s&lt;/code&gt;, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus &lt;code&gt;1L+3s&lt;/code&gt;.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, &lt;code&gt;Lssssss&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;sLsssss&lt;/code&gt;, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall &lt;code&gt;1L+2s&lt;/code&gt;, welches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala &lt;code&gt;Lssssss&lt;/code&gt; beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

== Mathematischer Ansatz ==
Was bis hier allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

== Katalog der regulären Temperaturen ==
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[:en:Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen in diesem Wiki:
* [[Blackwood-Limmisch]]
* [[Hanson-Kleismisch]]
* [[Liese]]
* [[Magische Temperaturen]] (septimalmagisch, Muggel, Astrology) 
* [[maqamisch]]
* [[Marvel]]
* [[Mavila]]
* [[Miracle]] (Miracle, Blackjack, Canasta)
* [[mitteltönig]]
** [[Viertelkomma-mitteltönig]]
** [[Drittelkomma-mitteltönig]]
** [[septimal-mitteltönig]]
** [[Sechstelkomma-mitteltönig]]
** [[Fünftelkomma-mitteltönig]]
** [[Lucy-Stimmung]]
* [[Mohajira]]
* [[Nautilus|Nautilus]]
* [[Negri]]
* [[Orwell]]
* [[Pajara]]
* [[Porcupine]] (Porcupine, Hedgehog)
* [[pythagoräisch]]
* [[Schismatische Temperaturen]] (Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi)
* [[Semiphor, Semaphor, Godzilla]]
* [[Sensi]]
* [[Slendrisch]]
* [[Superpyth]]
* [[Tetracot]]
* [[Übermässige Temperaturen]]
* [[Verminderte Temperaturen]]
* [[Vulture]]
* [[Würschmidt]]

[[Kategorie:Temperament| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;
[[Kategorie:Begriff]]
[[Kategorie:Theorie]]
[[Kategorie:todo:eingängiger formulieren]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
[[https://en.xen.wiki/w/Tour of Regular Temperaments]]</text>
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| de = Reguläre Temperatur
| en = Regular temperament
| es = 
| ja = レギュラーテンペラメントとランクrテンペラメント
}}
Das Paradigma der '''regulären Temperaturen''' ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig]]en Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

== Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur ==
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein [[Tonsystem]] mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "'''austemperiert'''" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

{| class="wikitable"
|-
! Reine Stimmung
! Mitteltönige Temperatur
! Gleichstufige Stimmung
|-
| Alle Intervalle rein
| Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit
| Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein
|-
| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig
| Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen
| Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen
|}

Bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12-EDO]] ist die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwei gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12-EDO ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

== Verallgemeinerung ==
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:

* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.

* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:

* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe]]).

* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist. Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.

* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe]]n).

* Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19-EDO]] oder [[31-EDO]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur ''nicht'' unterstützen, wie [[22-EDO]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

== Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur ==
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme [[15-EDO]] und [[22-EDO]] gelten kann.

Bei dieser wird das Intervall [[250/243]] (welches entsprechend ''Porcupine-Komma'' heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall &lt;code&gt;1L+1s&lt;/code&gt;, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus &lt;code&gt;1L+3s&lt;/code&gt;.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, &lt;code&gt;Lssssss&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;sLsssss&lt;/code&gt;, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall &lt;code&gt;1L+2s&lt;/code&gt;, welches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala &lt;code&gt;Lssssss&lt;/code&gt; beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

== Mathematischer Ansatz ==
Was bis hier allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

== Katalog der regulären Temperaturen ==
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[:en:Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen in diesem Wiki:
* [[Blackwood-Limmisch]]
* [[Hanson-Kleismisch]]
* [[Liese]]
* [[Magische Temperaturen]] (septimalmagisch, Muggel, Astrology) 
* [[maqamisch]]
* [[Marvel]]
* [[Mavila]]
* [[Miracle]] (Miracle, Blackjack, Canasta)
* [[mitteltönig]]
** [[Viertelkomma-mitteltönig]]
** [[Drittelkomma-mitteltönig]]
** [[septimal-mitteltönig]]
** [[Sechstelkomma-mitteltönig]]
** [[Fünftelkomma-mitteltönig]]
** [[Lucy-Stimmung]]
* [[Mohajira]]
* [[Nautilus|Nautilus]]
* [[Negri]]
* [[Orwell]]
* [[Pajara]]
* [[Porcupine]] (Porcupine, Hedgehog)
* [[pythagoräisch]]
* [[Schismatische Temperaturen]] (Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi)
* [[Semiphor, Semaphor, Godzilla]]
* [[Sensi]]
* [[Slendrisch]]
* [[Superpyth]]
* [[Tetracot]]
* [[Übermässige Temperaturen]]
* [[Verminderte Temperaturen]]
* [[Vulture]]
* [[Whitewood]]
* [[Würschmidt]]

[[Kategorie:Temperament| ]] &lt;!-- Hauptartikel --&gt;
[[Kategorie:Begriff]]
[[Kategorie:Theorie]]
[[Kategorie:todo:eingängiger formulieren]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
[[https://en.xen.wiki/w/Tour of Regular Temperaments]]</text>
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| en = Regular temperament
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| ja = レギュラーテンペラメント
}}
Das Paradigma der '''regulären Temperaturen''' ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig]]en Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

== Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur ==
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der [[Naturterz|reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent)]] liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein [[Tonsystem]] mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "'''austemperiert'''" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert so eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:

{| class="wikitable"
|-
! Reine Stimmung
! Mitteltönige Temperatur
! Gleichstufige Stimmung
|-
| Alle Intervalle rein
| Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit
| Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein
|-
| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig
| Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen
| Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen
|}

Bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12-EDO]] ist die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwei gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12-EDO ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

== Verallgemeinerung ==
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:

* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, das grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.

* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].)

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:

* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist. Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen (siehe auch [[Kommapumpe]]).

* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist. Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.

* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe]]n).

* Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19-EDO]] oder [[31-EDO]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur ''nicht'' unterstützen, wie [[22-EDO]], geht das zum Teil nicht so gut - was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte.

Die im vorherigen Kapitel beschriebene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.

== Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur ==
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme [[15-EDO]] und [[22-EDO]] gelten kann.

Bei dieser wird das Intervall [[250/243]] (welches entsprechend ''Porcupine-Komma'' heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).

Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist.

Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden. Das Intervall &lt;code&gt;1L+1s&lt;/code&gt;, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus &lt;code&gt;1L+3s&lt;/code&gt;.

Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, &lt;code&gt;Lssssss&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;sLsssss&lt;/code&gt;, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall &lt;code&gt;1L+2s&lt;/code&gt;, welches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala &lt;code&gt;Lssssss&lt;/code&gt; beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte.

Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.

== Mathematischer Ansatz ==
Was bis hier allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].

== Katalog der regulären Temperaturen ==
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[:en:Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen in diesem Wiki:
* [[Blackwood-Limmisch]]
* [[Hanson-Kleismisch]]
* [[Liese]]
* [[Magische Temperaturen]] (septimalmagisch, Muggel, Astrology) 
* [[maqamisch]]
* [[Marvel]]
* [[Mavila]]
* [[Miracle]] (Miracle, Blackjack, Canasta)
* [[mitteltönig]]
** [[Viertelkomma-mitteltönig]]
** [[Drittelkomma-mitteltönig]]
** [[septimal-mitteltönig]]
** [[Sechstelkomma-mitteltönig]]
** [[Fünftelkomma-mitteltönig]]
** [[Lucy-Stimmung]]
* [[Mohajira]]
* [[Nautilus|Nautilus]]
* [[Negri]]
* [[Orwell]]
* [[Pajara]]
* [[Porcupine]] (Porcupine, Hedgehog)
* [[pythagoräisch]]
* [[Schismatische Temperaturen]] (Schismatisch, Helmholtz, Garibaldi)
* [[Semiphor, Semaphor, Godzilla]]
* [[Sensi]]
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* [[Superpyth]]
* [[Tetracot]]
* [[Übermässige Temperaturen]]
* [[Verminderte Temperaturen]]
* [[Vulture]]
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* [[Würschmidt]]

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Der Begriff "reine Stimmung" wird hier in einer ganz leicht allgemeineren Bedeutung verwendet als er z.B. in der [http://de.wikipedia.org/wiki/Reine_Stimmung Wikipedia] beschrieben ist. Die dortige Definition reicht hin für die herkömmliche abendländische Musik, deren Tonsystem im Prinzip nur auf [[Oktave|Oktave]], Quinte und grosser Terz aufbaut, also nur Intervalle aus den [[Primzahlen|Primzahlen]] 2, 3 und 5 verwendet. [[Harry_Partch|Harry Partch]] hat für solche Stimmung den Begriff "5-[[Limit|Limit]]" geprägt.)

Die xenharmonische/mikrotonale Perspektive versteht Tonsysteme in reiner Stimmung - oder eher reinen Stimmungen - dahingegen als bestehend aus Intervallen, deren Frequenzverhältnisse beliebige rationale Zahlen sein können. Die [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung, welche Intervalle nur auf den Primzahlen 2 und 3 aufbaut (3-[[Limit|Limit]]) und im Wikipedia-Eintrag als Gegensatz zur "reinen Stimmung" aufgeführt wird, wird aus xenharmonischer Optik ebenfalls als eine spezielle reine Stimmung angesehen.

Der Gegensatz zu reinen Stimmungen sind [[Gleichstufige_Stimmungen|gleichstufige Stimmungen]].

Basisdefinitionen zur Beschreibung von reinen Stimmungen: [[Intervallraum|Intervallraum]]

Bezeichnungen für [[Reine_Intervalle|reine Intervalle]]: siehe [http://www.huygens-fokker.org/docs/intervalle.html Intervall- Liste der Huygens-Fokker-Stiftung] , oder auch [http://home.arcor.de/hfbclp/Alle-Intervallnamen-01.doc hier].

==Variationen von reiner Stimmung==
[[Obertonreihe|Obertonreihe]]

[[Reguläre_Temperamente|Reguläre Temperaturen]]

[[Adaptive_reine_Stimmung|Adaptive reine Stimmung]]  [[Category:Stimmung]]
[[Category:Theorie]]</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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Der Begriff "reine Stimmung" wird hier in einer ganz leicht allgemeineren Bedeutung verwendet als er z.B. in der [[http://de.wikipedia.org/wiki/Reine_Stimmung|Wikipedia]] beschrieben ist. Die dortige Definition reicht hin für die herkömmliche abendländische Musik, deren Tonsystem im Prinzip nur auf [[Oktave]], Quinte und grosser Terz aufbaut, also nur Intervalle aus den [[Primzahlen]] 2, 3 und 5 verwendet. [[Harry Partch]] hat für solche Stimmung den Begriff "5-[[Limit]]" geprägt.)

Die xenharmonische/mikrotonale Perspektive versteht Tonsysteme in reiner Stimmung - oder eher reinen Stimmungen - dahingegen als bestehend aus Intervallen, deren Frequenzverhältnisse beliebige rationale Zahlen sein können. Die [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung, welche Intervalle nur auf den Primzahlen 2 und 3 aufbaut (3-[[Limit]]) und im Wikipedia-Eintrag als Gegensatz zur "reinen Stimmung" aufgeführt wird, wird aus xenharmonischer Optik ebenfalls als eine spezielle reine Stimmung angesehen.

Der Gegensatz zu reinen Stimmungen sind [[Gleichstufige Stimmungen|gleichstufige Stimmungen]].

Basisdefinitionen zur Beschreibung von reinen Stimmungen: [[Intervallraum]]

Bezeichnungen für [[Reine Intervalle|reine Intervalle]]: siehe [[http://www.huygens-fokker.org/docs/intervalle.html|Intervall- Liste der Huygens-Fokker-Stiftung]] , oder auch [[http://home.arcor.de/hfbclp/Alle-Intervallnamen-01.doc|hier]].

==Variationen von reiner Stimmung== 
[[Obertonreihe]]
[[Reguläre Temperamente|Reguläre Temperaturen]]
[[Adaptive reine Stimmung]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Der Begriff &amp;amp;quot;reine Stimmung&amp;amp;quot; wird hier in einer ganz leicht allgemeineren Bedeutung verwendet als er z.B. in der &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Reine_Stimmung" rel="nofollow"&amp;gt;Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt; beschrieben ist. Die dortige Definition reicht hin für die herkömmliche abendländische Musik, deren Tonsystem im Prinzip nur auf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt;, Quinte und grosser Terz aufbaut, also nur Intervalle aus den &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; 2, 3 und 5 verwendet. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Harry%20Partch"&amp;gt;Harry Partch&amp;lt;/a&amp;gt; hat für solche Stimmung den Begriff &amp;amp;quot;5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot; geprägt.)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die xenharmonische/mikrotonale Perspektive versteht Tonsysteme in reiner Stimmung - oder eher reinen Stimmungen - dahingegen als bestehend aus Intervallen, deren Frequenzverhältnisse beliebige rationale Zahlen sein können. Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung, welche Intervalle nur auf den Primzahlen 2 und 3 aufbaut (3-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;) und im Wikipedia-Eintrag als Gegensatz zur &amp;amp;quot;reinen Stimmung&amp;amp;quot; aufgeführt wird, wird aus xenharmonischer Optik ebenfalls als eine spezielle reine Stimmung angesehen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Gegensatz zu reinen Stimmungen sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Stimmungen"&amp;gt;gleichstufige Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Basisdefinitionen zur Beschreibung von reinen Stimmungen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Bezeichnungen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Intervalle"&amp;gt;reine Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;: siehe &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.huygens-fokker.org/docs/intervalle.html" rel="nofollow"&amp;gt;Intervall- Liste der Huygens-Fokker-Stiftung&amp;lt;/a&amp;gt; , oder auch &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://home.arcor.de/hfbclp/Alle-Intervallnamen-01.doc" rel="nofollow"&amp;gt;hier&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Begriff "reine Stimmung" wird hier in einer ganz leicht allgemeineren Bedeutung verwendet als er z.B. in der [[http://de.wikipedia.org/wiki/Reine_Stimmung|Wikipedia]] beschrieben ist. Die dortige Definition reicht hin für die herkömmliche abendländische Musik, deren Tonsystem im Prinzip nur auf [[Oktave]], Quinte und grosser Terz aufbaut, also nur Intervalle aus den [[Primzahlen]] 2, 3 und 5 verwendet. [[Harry Partch]] hat für solche Stimmung den Begriff "5-[[Limit]]" geprägt.)

Die xenharmonische/mikrotonale Perspektive versteht Tonsysteme in reiner Stimmung - oder eher reinen Stimmungen - dahingegen als bestehend aus Intervallen, deren Frequenzverhältnisse beliebige rationale Zahlen sein können. Die [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung, welche Intervalle nur auf den Primzahlen 2 und 3 aufbaut (3-[[Limit]]) und im Wikipedia-Eintrag als Gegensatz zur "reinen Stimmung" aufgeführt wird, wird aus xenharmonischer Optik ebenfalls als eine spezielle reine Stimmung angesehen.

Der Gegensatz zu reinen Stimmungen sind [[Gleichstufige Stimmungen|gleichstufige Stimmungen]].

Basisdefinitionen zur Beschreibung von reinen Stimmungen: [[Intervallraum]]

Bezeichnungen für [[Reine Intervalle|reine Intervalle]]: siehe [[http://www.huygens-fokker.org/docs/intervalle.html|Intervall- Liste der Huygens-Fokker-Stiftung]] , oder auch [[http://home.arcor.de/hfbclp/Alle-Intervallnamen-01.doc|hier]].

==Variationen von reiner Stimmung== 
[[Obertonreihe]]
[[Reguläre Temperamente|Reguläre Temperaturen]]
[[Adaptive reine Stimmung]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Der Begriff &amp;amp;quot;reine Stimmung&amp;amp;quot; wird hier in einer ganz leicht allgemeineren Bedeutung verwendet als er z.B. in der &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Reine_Stimmung" rel="nofollow"&amp;gt;Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt; beschrieben ist. Die dortige Definition reicht hin für die herkömmliche abendländische Musik, deren Tonsystem im Prinzip nur auf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt;, Quinte und grosser Terz aufbaut, also nur Intervalle aus den &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; 2, 3 und 5 verwendet. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Harry%20Partch"&amp;gt;Harry Partch&amp;lt;/a&amp;gt; hat für solche Stimmung den Begriff &amp;amp;quot;5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot; geprägt.)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die xenharmonische/mikrotonale Perspektive versteht Tonsysteme in reiner Stimmung - oder eher reinen Stimmungen - dahingegen als bestehend aus Intervallen, deren Frequenzverhältnisse beliebige rationale Zahlen sein können. Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung, welche Intervalle nur auf den Primzahlen 2 und 3 aufbaut (3-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;) und im Wikipedia-Eintrag als Gegensatz zur &amp;amp;quot;reinen Stimmung&amp;amp;quot; aufgeführt wird, wird aus xenharmonischer Optik ebenfalls als eine spezielle reine Stimmung angesehen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Gegensatz zu reinen Stimmungen sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Stimmungen"&amp;gt;gleichstufige Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Basisdefinitionen zur Beschreibung von reinen Stimmungen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Bezeichnungen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Intervalle"&amp;gt;reine Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;: siehe &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.huygens-fokker.org/docs/intervalle.html" rel="nofollow"&amp;gt;Intervall- Liste der Huygens-Fokker-Stiftung&amp;lt;/a&amp;gt; , oder auch &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://home.arcor.de/hfbclp/Alle-Intervallnamen-01.doc" rel="nofollow"&amp;gt;hier&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Variationen von reiner Stimmung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Variationen von reiner Stimmung&amp;lt;/h2&amp;gt;
 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Obertonreihe"&amp;gt;Obertonreihe&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperamente"&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Just intonation|Just intonation]]

Der Begriff "reine Stimmung" wird hier in einer ganz leicht allgemeineren Bedeutung verwendet als er z.B. in der [[http://de.wikipedia.org/wiki/Reine_Stimmung|Wikipedia]] beschrieben ist. Die dortige Definition reicht hin für die herkömmliche abendländische Musik, deren Tonsystem im Prinzip nur auf [[Oktave]], Quinte und grosser Terz aufbaut, also nur Intervalle aus den [[Primzahlen]] 2, 3 und 5 verwendet. [[Harry Partch]] hat für solche Stimmung den Begriff "5-[[Limit]]" geprägt.)

Die xenharmonische/mikrotonale Perspektive versteht Tonsysteme in reiner Stimmung - oder eher reinen Stimmungen - dahingegen als bestehend aus Intervallen, deren Frequenzverhältnisse beliebige rationale Zahlen sein können. Die [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung, welche Intervalle nur auf den Primzahlen 2 und 3 aufbaut (3-[[Limit]]) und im Wikipedia-Eintrag als Gegensatz zur "reinen Stimmung" aufgeführt wird, wird aus xenharmonischer Optik ebenfalls als eine spezielle reine Stimmung angesehen.

Der Gegensatz zu reinen Stimmungen sind [[Gleichstufige Stimmungen|gleichstufige Stimmungen]].

Basisdefinitionen zur Beschreibung von reinen Stimmungen: [[Intervallraum]]

Bezeichnungen für [[Reine Intervalle|reine Intervalle]]: siehe [[http://www.huygens-fokker.org/docs/intervalle.html|Intervall- Liste der Huygens-Fokker-Stiftung]] , oder auch [[http://home.arcor.de/hfbclp/Alle-Intervallnamen-01.doc|hier]].

==Variationen von reiner Stimmung== 
[[Obertonreihe]]
[[Reguläre Temperamente]]
[[Adaptive reine Stimmung]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reine Stimmungen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Just%20intonation"&amp;gt;Just intonation&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Begriff &amp;amp;quot;reine Stimmung&amp;amp;quot; wird hier in einer ganz leicht allgemeineren Bedeutung verwendet als er z.B. in der &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Reine_Stimmung" rel="nofollow"&amp;gt;Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt; beschrieben ist. Die dortige Definition reicht hin für die herkömmliche abendländische Musik, deren Tonsystem im Prinzip nur auf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt;, Quinte und grosser Terz aufbaut, also nur Intervalle aus den &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; 2, 3 und 5 verwendet. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Harry%20Partch"&amp;gt;Harry Partch&amp;lt;/a&amp;gt; hat für solche Stimmung den Begriff &amp;amp;quot;5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot; geprägt.)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die xenharmonische/mikrotonale Perspektive versteht Tonsysteme in reiner Stimmung - oder eher reinen Stimmungen - dahingegen als bestehend aus Intervallen, deren Frequenzverhältnisse beliebige rationale Zahlen sein können. Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung, welche Intervalle nur auf den Primzahlen 2 und 3 aufbaut (3-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;) und im Wikipedia-Eintrag als Gegensatz zur &amp;amp;quot;reinen Stimmung&amp;amp;quot; aufgeführt wird, wird aus xenharmonischer Optik ebenfalls als eine spezielle reine Stimmung angesehen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Gegensatz zu reinen Stimmungen sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Stimmungen"&amp;gt;gleichstufige Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Basisdefinitionen zur Beschreibung von reinen Stimmungen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Bezeichnungen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Intervalle"&amp;gt;reine Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;: siehe &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.huygens-fokker.org/docs/intervalle.html" rel="nofollow"&amp;gt;Intervall- Liste der Huygens-Fokker-Stiftung&amp;lt;/a&amp;gt; , oder auch &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://home.arcor.de/hfbclp/Alle-Intervallnamen-01.doc" rel="nofollow"&amp;gt;hier&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Variationen von reiner Stimmung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Variationen von reiner Stimmung&amp;lt;/h2&amp;gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Just intonation|Just intonation]]

Der Begriff "reine Stimmung" wird hier in einer ganz leicht allgemeineren Bedeutung verwendet als er z.B. in der [[http://de.wikipedia.org/wiki/Reine_Stimmung|Wikipedia]] beschrieben ist. Die dortige Definition reicht hin für die herkömmliche abendländische Musik, deren Tonsystem im Prinzip nur auf [[Oktave]], Quinte und grosser Terz aufbaut, also nur Intervalle aus den [[Primzahlen]] 2, 3 und 5 verwendet. [[Harry Partch]] hat für solche Stimmung den Begriff "5-[[Limit]]" geprägt.)

Die xenharmonische/mikrotonale Perspektive versteht Tonsysteme in reiner Stimmung - oder eher reinen Stimmungen - dahingegen als bestehend aus Intervallen, deren Frequenzverhältnisse beliebige rationale Zahlen sein können. Die [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung, welche Intervalle nur auf den Primzahlen 2 und 3 aufbaut (3-[[Limit]]) und im Wikipedia-Eintrag als Gegensatz zur "reinen Stimmung" aufgeführt wird, wird aus xenharmonischer Optik ebenfalls als eine spezielle reine Stimmung angesehen.

Der Gegensatz zu reinen Stimmungen sind [[Gleichstufige Stimmungen|gleichstufige Stimmungen]].

Basisdefinitionen zur Beschreibung von reinen Stimmungen: [[Intervallraum]]

Bezeichnungen für [[Reine Intervalle|reine Intervalle]]: siehe [[http://www.huygens-fokker.org/docs/intervalle.html|Intervall- Liste der Huygens-Fokker-Stiftung]] .

==Variationen von reiner Stimmung== 
[[Obertonreihe]]
[[Reguläre Temperamente]]
[[Adaptive reine Stimmung]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Der Begriff &amp;amp;quot;reine Stimmung&amp;amp;quot; wird hier in einer ganz leicht allgemeineren Bedeutung verwendet als er z.B. in der &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Reine_Stimmung" rel="nofollow"&amp;gt;Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt; beschrieben ist. Die dortige Definition reicht hin für die herkömmliche abendländische Musik, deren Tonsystem im Prinzip nur auf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt;, Quinte und grosser Terz aufbaut, also nur Intervalle aus den &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; 2, 3 und 5 verwendet. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Harry%20Partch"&amp;gt;Harry Partch&amp;lt;/a&amp;gt; hat für solche Stimmung den Begriff &amp;amp;quot;5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot; geprägt.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die xenharmonische/mikrotonale Perspektive versteht Tonsysteme in reiner Stimmung - oder eher reinen Stimmungen - dahingegen als bestehend aus Intervallen, deren Frequenzverhältnisse beliebige rationale Zahlen sein können. Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung, welche Intervalle nur auf den Primzahlen 2 und 3 aufbaut (3-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;) und im Wikipedia-Eintrag als Gegensatz zur &amp;amp;quot;reinen Stimmung&amp;amp;quot; aufgeführt wird, wird aus xenharmonischer Optik ebenfalls als eine spezielle reine Stimmung angesehen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Gegensatz zu reinen Stimmungen sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Stimmungen"&amp;gt;gleichstufige Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Basisdefinitionen zur Beschreibung von reinen Stimmungen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Bezeichnungen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Intervalle"&amp;gt;reine Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;: siehe &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.huygens-fokker.org/docs/intervalle.html" rel="nofollow"&amp;gt;Intervall- Liste der Huygens-Fokker-Stiftung&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Variationen von reiner Stimmung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Variationen von reiner Stimmung&amp;lt;/h2&amp;gt;
 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Obertonreihe"&amp;gt;Obertonreihe&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperamente"&amp;gt;Reguläre Temperamente&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Just intonation|Just intonation]]

Der Begriff "reine Stimmung" wird hier in einer ganz leicht allgemeineren Bedeutung verwendet als er z.B. in der [[http://de.wikipedia.org/wiki/Reine_Stimmung|Wikipedia]] beschrieben ist. Die dortige Definition reicht hin für die herkömmliche abendländische Musik, deren Tonsystem im Prinzip nur auf [[Oktave]], Quinte und grosser Terz aufbaut, also nur Intervalle aus den [[Primzahlen]] 2, 3 und 5 verwendet.

Die xenharmonische/mikrotonale Perspektive versteht Tonsysteme in reiner Stimmung - oder eher reinen Stimmungen - dahingegen als bestehend aus Intervallen, deren Frequenzverhältnisse beliebige rationale Zahlen sein können. Die [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung, welche Intervalle nur auf den Primzahlen 2 und 3 aufbaut und im Wikipedia-Eintrag als Gegensatz zur "reinen Stimmung" aufgeführt wird, wird aus xenharmonischer Optik ebenfalls als eine spezielle reine Stimmung angesehen.

Der Gegensatz zu reinen Stimmungen sind [[Gleichstufige Stimmungen|gleichstufige Stimmungen]].

Basisdefinitionen zur Beschreibung von reinen Stimmungen: [[Intervallraum]]

Bezeichnungen für [[Reine Intervalle|reine Intervalle]]: siehe [[http://www.huygens-fokker.org/docs/intervalle.html|Intervall- Liste der Huygens-Fokker-Stiftung]] .

==Variationen von reiner Stimmung== 
[[Obertonreihe]]
[[Reguläre Temperamente]]
[[Adaptive reine Stimmung]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reine Stimmungen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Just%20intonation"&amp;gt;Just intonation&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Begriff &amp;amp;quot;reine Stimmung&amp;amp;quot; wird hier in einer ganz leicht allgemeineren Bedeutung verwendet als er z.B. in der &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Reine_Stimmung" rel="nofollow"&amp;gt;Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt; beschrieben ist. Die dortige Definition reicht hin für die herkömmliche abendländische Musik, deren Tonsystem im Prinzip nur auf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt;, Quinte und grosser Terz aufbaut, also nur Intervalle aus den &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; 2, 3 und 5 verwendet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die xenharmonische/mikrotonale Perspektive versteht Tonsysteme in reiner Stimmung - oder eher reinen Stimmungen - dahingegen als bestehend aus Intervallen, deren Frequenzverhältnisse beliebige rationale Zahlen sein können. Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung, welche Intervalle nur auf den Primzahlen 2 und 3 aufbaut und im Wikipedia-Eintrag als Gegensatz zur &amp;amp;quot;reinen Stimmung&amp;amp;quot; aufgeführt wird, wird aus xenharmonischer Optik ebenfalls als eine spezielle reine Stimmung angesehen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Gegensatz zu reinen Stimmungen sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Stimmungen"&amp;gt;gleichstufige Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Basisdefinitionen zur Beschreibung von reinen Stimmungen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bezeichnungen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Intervalle"&amp;gt;reine Intervalle&amp;lt;/a&amp;gt;: siehe &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.huygens-fokker.org/docs/intervalle.html" rel="nofollow"&amp;gt;Intervall- Liste der Huygens-Fokker-Stiftung&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Variationen von reiner Stimmung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Variationen von reiner Stimmung&amp;lt;/h2&amp;gt;
 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Obertonreihe"&amp;gt;Obertonreihe&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Der Begriff "reine Stimmung" wird hier in einer ganz leicht allgemeineren Bedeutung verwendet als er z.B. in der [[http://de.wikipedia.org/wiki/Reine_Stimmung|Wikipedia]] beschrieben ist. Die dortige Definition reicht hin für die herkömmliche abendländische Musik, deren Tonsystem im Prinzip nur auf [[Oktave]], Quinte und grosser Terz aufbaut, also nur Intervalle aus den [[Primzahlen]] 2, 3 und 5 verwendet.

Die xenharmonische/mikrotonale Perspektive versteht Tonsysteme in reiner Stimmung - oder eher reinen Stimmungen - dahingegen als bestehend aus Intervallen, deren Frequenzverhältnisse beliebige rationale Zahlen sein können. Die [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung, welche Intervalle nur auf den Primzahlen 2 und 3 aufbaut und im Wikipedia-Eintrag als Gegensatz zur "reinen Stimmung" aufgeführt wird, wird aus xenharmonischer Optik ebenfalls als eine spezielle reine Stimmung angesehen.

Der Gegensatz zu reinen Stimmungen sind [[Gleichstufige Stimmungen|gleichstufige Stimmungen]].

Basisdefinitionen zur Beschreibung von reinen Stimmungen: [[Intervallraum]]

Bezeichnungen für reine Intervalle: siehe [[http://www.huygens-fokker.org/docs/intervalle.html|Intervall- Liste der Huygens-Fokker-Stiftung]] .

==Variationen von reiner Stimmung== 
[[Obertonreihe]]
[[Reguläre Temperamente]]
[[Adaptive reine Stimmung]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Der Begriff &amp;amp;quot;reine Stimmung&amp;amp;quot; wird hier in einer ganz leicht allgemeineren Bedeutung verwendet als er z.B. in der &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Reine_Stimmung" rel="nofollow"&amp;gt;Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt; beschrieben ist. Die dortige Definition reicht hin für die herkömmliche abendländische Musik, deren Tonsystem im Prinzip nur auf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt;, Quinte und grosser Terz aufbaut, also nur Intervalle aus den &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; 2, 3 und 5 verwendet.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die xenharmonische/mikrotonale Perspektive versteht Tonsysteme in reiner Stimmung - oder eher reinen Stimmungen - dahingegen als bestehend aus Intervallen, deren Frequenzverhältnisse beliebige rationale Zahlen sein können. Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung, welche Intervalle nur auf den Primzahlen 2 und 3 aufbaut und im Wikipedia-Eintrag als Gegensatz zur &amp;amp;quot;reinen Stimmung&amp;amp;quot; aufgeführt wird, wird aus xenharmonischer Optik ebenfalls als eine spezielle reine Stimmung angesehen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Gegensatz zu reinen Stimmungen sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Stimmungen"&amp;gt;gleichstufige Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Basisdefinitionen zur Beschreibung von reinen Stimmungen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Bezeichnungen für reine Intervalle: siehe &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.huygens-fokker.org/docs/intervalle.html" rel="nofollow"&amp;gt;Intervall- Liste der Huygens-Fokker-Stiftung&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Variationen von reiner Stimmung"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Variationen von reiner Stimmung&amp;lt;/h2&amp;gt;
 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Obertonreihe"&amp;gt;Obertonreihe&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperamente"&amp;gt;Reguläre Temperamente&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Adaptive%20reine%20Stimmung"&amp;gt;Adaptive reine Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Der Begriff "reine Stimmung" wird hier in einer ganz leicht allgemeineren Bedeutung verwendet als er z.B. in der [[http://de.wikipedia.org/wiki/Reine_Stimmung|Wikipedia]] beschrieben ist. Die dortige Definition reicht hin für die herkömmliche abendländische Musik, deren Tonsystem im Prinzip nur auf [[Oktave]], Quinte und grosser Terz aufbaut, also nur Intervalle aus den [[Primzahlen]] 2, 3 und 5 verwendet.

Die xenharmonische/mikrotonale Perspektive versteht Tonsysteme in reiner Stimmung - oder eher reinen Stimmungen - dahingegen als bestehend aus Intervallen, deren Frequenzverhältnisse beliebige rationale Zahlen sein können. Die [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung, welche Intervalle nur auf den Primzahlen 2 und 3 aufbaut und im Wikipedia-Eintrag als Gegensatz zur "reinen Stimmung" aufgeführt wird, wird aus xenharmonischer Optik ebenfalls als eine spezielle reine Stimmung angesehen.

Der Gegensatz zu reinen Stimmungen sind [[Gleichstufige Stimmungen|gleichstufige Stimmungen]].

Basisdefinitionen zur Beschreibung von reinen Stimmungen: [[Intervallraum]]

==Variationen von reiner Stimmung== 

[[Obertonreihe]]
[[Reguläre Temperamente]]
[[Adaptive reine Stimmung]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Begriff &amp;amp;quot;reine Stimmung&amp;amp;quot; wird hier in einer ganz leicht allgemeineren Bedeutung verwendet als er z.B. in der &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Reine_Stimmung" rel="nofollow"&amp;gt;Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt; beschrieben ist. Die dortige Definition reicht hin für die herkömmliche abendländische Musik, deren Tonsystem im Prinzip nur auf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt;, Quinte und grosser Terz aufbaut, also nur Intervalle aus den &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; 2, 3 und 5 verwendet.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die xenharmonische/mikrotonale Perspektive versteht Tonsysteme in reiner Stimmung - oder eher reinen Stimmungen - dahingegen als bestehend aus Intervallen, deren Frequenzverhältnisse beliebige rationale Zahlen sein können. Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung, welche Intervalle nur auf den Primzahlen 2 und 3 aufbaut und im Wikipedia-Eintrag als Gegensatz zur &amp;amp;quot;reinen Stimmung&amp;amp;quot; aufgeführt wird, wird aus xenharmonischer Optik ebenfalls als eine spezielle reine Stimmung angesehen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Gegensatz zu reinen Stimmungen sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Stimmungen"&amp;gt;gleichstufige Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Basisdefinitionen zur Beschreibung von reinen Stimmungen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Begriff "reine Stimmung" wird hier in einer ganz leicht allgemeineren Bedeutung verwendet als er z.B. in der [[http://de.wikipedia.org/wiki/Reine_Stimmung|Wikipedia]] beschrieben ist. Die dortige Definition reicht hin für die herkömmliche abendländische Musik, deren Tonsystem im Prinzip nur auf Oktave, Quinte und grosser Terz aufbaut, also nur Intervalle aus den [[Primzahlen]] 2, 3 und 5 verwendet.

Die xenharmonische/mikrotonale Perspektive versteht Tonsysteme in reiner Stimmung - oder eher reinen Stimmungen - dahingegen als bestehend aus Intervallen, deren Frequenzverhältnisse beliebige rationale Zahlen sein können. Die [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung, welche Intervalle nur auf den Primzahlen 2 und 3 aufbaut und im Wikipedia-Eintrag als Gegensatz zur "reinen Stimmung" aufgeführt wird, wird aus xenharmonischer Optik ebenfalls als eine spezielle reine Stimmung angesehen.

Der Gegensatz zu reinen Stimmungen sind [[Gleichstufige Stimmungen|gleichstufige Stimmungen]].

Basisdefinitionen zur Beschreibung von reinen Stimmungen: [[Intervallraum]]

==Variationen von reiner Stimmung== 

[[Obertonreihe]]
[[Reguläre Temperamente]]
[[Adaptive reine Stimmung]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Der Begriff &amp;amp;quot;reine Stimmung&amp;amp;quot; wird hier in einer ganz leicht allgemeineren Bedeutung verwendet als er z.B. in der &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Reine_Stimmung" rel="nofollow"&amp;gt;Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt; beschrieben ist. Die dortige Definition reicht hin für die herkömmliche abendländische Musik, deren Tonsystem im Prinzip nur auf Oktave, Quinte und grosser Terz aufbaut, also nur Intervalle aus den &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; 2, 3 und 5 verwendet.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die xenharmonische/mikrotonale Perspektive versteht Tonsysteme in reiner Stimmung - oder eher reinen Stimmungen - dahingegen als bestehend aus Intervallen, deren Frequenzverhältnisse beliebige rationale Zahlen sein können. Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung, welche Intervalle nur auf den Primzahlen 2 und 3 aufbaut und im Wikipedia-Eintrag als Gegensatz zur &amp;amp;quot;reinen Stimmung&amp;amp;quot; aufgeführt wird, wird aus xenharmonischer Optik ebenfalls als eine spezielle reine Stimmung angesehen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Gegensatz zu reinen Stimmungen sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Stimmungen"&amp;gt;gleichstufige Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Begriff "reine Stimmung" wird hier in einer ganz leicht allgemeineren Bedeutung verwendet als er z.B. in der [[http://de.wikipedia.org/wiki/Reine_Stimmung|Wikipedia]] beschrieben ist. Die dortige Definition reicht hin für die herkömmliche abendländische Musik, deren Tonsystem im Prinzip nur auf Oktave, Quinte und grosser Terz aufbaut, also nur Intervalle aus den [[Primzahlen]] 2, 3 und 5 verwendet.

Die xenharmonische/mikrotonale Perspektive versteht Tonsysteme in reiner Stimmung - oder eher reinen Stimmungen - dahingegen als bestehend aus Intervallen, deren Frequenzverhältnisse beliebige rationale Zahlen sein können. Die pythagoräische Stimmung, welche Intervalle nur auf den Primzahlen 2 und 3 aufbaut und im Wikipedia-Eintrag als Gegensatz zur "reinen Stimmung" aufgeführt wird, wird aus xenharmonischer Optik ebenfalls als eine spezielle reine Stimmung angesehen.

Der Gegensatz zu reinen Stimmungen sind [[Gleichstufige Stimmungen|gleichstufige Stimmungen]].

Basisdefinitionen zur Beschreibung von reinen Stimmungen: [[Intervallraum]]

==Variationen von reiner Stimmung== 

[[Obertonreihe]]
[[Reguläre Temperamente]]
[[Adaptive reine Stimmung]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reine Stimmungen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Just%20intonation"&amp;gt;Just intonation&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Begriff &amp;amp;quot;reine Stimmung&amp;amp;quot; wird hier in einer ganz leicht allgemeineren Bedeutung verwendet als er z.B. in der &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Reine_Stimmung" rel="nofollow"&amp;gt;Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt; beschrieben ist. Die dortige Definition reicht hin für die herkömmliche abendländische Musik, deren Tonsystem im Prinzip nur auf Oktave, Quinte und grosser Terz aufbaut, also nur Intervalle aus den &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; 2, 3 und 5 verwendet.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die xenharmonische/mikrotonale Perspektive versteht Tonsysteme in reiner Stimmung - oder eher reinen Stimmungen - dahingegen als bestehend aus Intervallen, deren Frequenzverhältnisse beliebige rationale Zahlen sein können. Die pythagoräische Stimmung, welche Intervalle nur auf den Primzahlen 2 und 3 aufbaut und im Wikipedia-Eintrag als Gegensatz zur &amp;amp;quot;reinen Stimmung&amp;amp;quot; aufgeführt wird, wird aus xenharmonischer Optik ebenfalls als eine spezielle reine Stimmung angesehen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Gegensatz zu reinen Stimmungen sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Stimmungen"&amp;gt;gleichstufige Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Basisdefinitionen zur Beschreibung von reinen Stimmungen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Begriff "reine Stimmung" wird hier in einer ganz leicht allgemeineren Bedeutung verwendet als er z.B. in der [[http://de.wikipedia.org/wiki/Reine_Stimmung|Wikipedia]] beschrieben ist. Die dortige Definition reicht hin für die herkömmliche abendländische Musik, deren Tonsystem im Prinzip nur auf Oktave, Quinte und grosser Terz aufbaut, also nur Intervalle aus den [[Primzahlen]] 2, 3 und 5 verwendet.

Die xenharmonische/mikrotonale Perspektive versteht Tonsysteme in reiner Stimmung - oder eher reinen Stimmungen - dahingegen als bestehend aus Intervallen, deren Frequenzverhältnisse beliebige rationale Zahlen sein können. Die pythagoräische Stimmung, welche Intervalle nur auf den Primzahlen 2 und 3 aufbaut und im Wikipedia-Eintrag als Gegensatz zur "reinen Stimmung" aufgeführt wird, wird aus xenharmonischer Optik ebenfalls als eine spezielle reine Stimmung angesehen.

Der Gegensatz zu reinen Stimmungen sind [[edo|gleichstufige Stimmungen]].

Basisdefinitionen zur Beschreibung von reinen Stimmungen: [[Intervallraum]]

==Variationen von reiner Stimmung== 

[[Obertonreihe]]
[[Reguläre Temperamente]]
[[Adaptive reine Stimmung]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Der Begriff &amp;amp;quot;reine Stimmung&amp;amp;quot; wird hier in einer ganz leicht allgemeineren Bedeutung verwendet als er z.B. in der &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Reine_Stimmung" rel="nofollow"&amp;gt;Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt; beschrieben ist. Die dortige Definition reicht hin für die herkömmliche abendländische Musik, deren Tonsystem im Prinzip nur auf Oktave, Quinte und grosser Terz aufbaut, also nur Intervalle aus den &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&amp;gt;Primzahlen&amp;lt;/a&amp;gt; 2, 3 und 5 verwendet.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die xenharmonische/mikrotonale Perspektive versteht Tonsysteme in reiner Stimmung - oder eher reinen Stimmungen - dahingegen als bestehend aus Intervallen, deren Frequenzverhältnisse beliebige rationale Zahlen sein können. Die pythagoräische Stimmung, welche Intervalle nur auf den Primzahlen 2 und 3 aufbaut und im Wikipedia-Eintrag als Gegensatz zur &amp;amp;quot;reinen Stimmung&amp;amp;quot; aufgeführt wird, wird aus xenharmonischer Optik ebenfalls als eine spezielle reine Stimmung angesehen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Gegensatz zu reinen Stimmungen sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/edo"&amp;gt;gleichstufige Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Basisdefinitionen zur Beschreibung von reinen Stimmungen: &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperamente"&amp;gt;Reguläre Temperamente&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Begriff "reine Stimmung" wird hier in einer ganz leicht allgemeineren Bedeutung verwendet als er z.B. in der [[http://de.wikipedia.org/wiki/Reine_Stimmung|Wikipedia]] beschrieben ist. Die dortige Definition reicht hin für die herkömmliche abendländische Musik, deren Tonsystem im Prinzip nur auf Oktave, Quinte und grosser Terz aufbaut, also nur Intervalle aus den Primzahlen 2, 3 und 5 verwendet.

Die xenharmonische/mikrotonale Perspektive versteht Tonsysteme in reiner Stimmung dahingegen als bestehend aus Intervallen, deren Frequenzverhältnisse beliebige rationale Zahlen sein können.

XXX
[[Intervallraum]]

==Variationen von reiner Stimmung== 

[[Obertonreihe]]
[[Reguläre Temperamente]]
[[Adaptive reine Stimmung]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Reine Stimmungen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Just%20intonation"&amp;gt;Just intonation&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Begriff &amp;amp;quot;reine Stimmung&amp;amp;quot; wird hier in einer ganz leicht allgemeineren Bedeutung verwendet als er z.B. in der &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Reine_Stimmung" rel="nofollow"&amp;gt;Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt; beschrieben ist. Die dortige Definition reicht hin für die herkömmliche abendländische Musik, deren Tonsystem im Prinzip nur auf Oktave, Quinte und grosser Terz aufbaut, also nur Intervalle aus den Primzahlen 2, 3 und 5 verwendet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die xenharmonische/mikrotonale Perspektive versteht Tonsysteme in reiner Stimmung dahingegen als bestehend aus Intervallen, deren Frequenzverhältnisse beliebige rationale Zahlen sein können.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
XXX&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
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 &amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperamente"&amp;gt;Reguläre Temperamente&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Adaptive%20reine%20Stimmung"&amp;gt;Adaptive reine Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Der Begriff "reine Stimmung" wird hier in einer ganz leicht allgemeineren Bedeutung verwendet als er z.B. in der [[http://de.wikipedia.org/wiki/Reine_Stimmung|Wikipedia]] beschrieben ist.

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&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Begriff &amp;amp;quot;reine Stimmung&amp;amp;quot; wird hier in einer ganz leicht allgemeineren Bedeutung verwendet als er z.B. in der &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Reine_Stimmung" rel="nofollow"&amp;gt;Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt; beschrieben ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Begriff "reine Stimmung" wird hier in einer ganz leicht allgemeineren Bedeutung verwendet als er z.B. in der [http://de.wikipedia.org/wiki/Reine_Stimmung Wikipedia] beschrieben ist. Die dortige Definition reicht hin für die herkömmliche abendländische Musik, deren Tonsystem im Prinzip nur auf [[Oktave|Oktave]], Quinte und grosser Terz aufbaut, also nur Intervalle aus den [[Primzahlen|Primzahlen]] 2, 3 und 5 verwendet. [[Harry_Partch|Harry Partch]] hat für solche Stimmung den Begriff "5-[[Limit|Limit]]" geprägt.)

Die xenharmonische/mikrotonale Perspektive versteht Tonsysteme in reiner Stimmung - oder eher reinen Stimmungen - dahingegen als bestehend aus Intervallen, deren Frequenzverhältnisse beliebige rationale Zahlen sein können. Die [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung, welche Intervalle nur auf den Primzahlen 2 und 3 aufbaut (3-[[Limit|Limit]]) und im Wikipedia-Eintrag als Gegensatz zur "reinen Stimmung" aufgeführt wird, wird aus xenharmonischer Optik ebenfalls als eine spezielle reine Stimmung angesehen.

Der Gegensatz zu reinen Stimmungen sind [[Gleichstufige_Stimmungen|gleichstufige Stimmungen]].

Basisdefinitionen zur Beschreibung von reinen Stimmungen: [[Intervallraum|Intervallraum]]

Bezeichnungen für [[Reine_Intervalle|reine Intervalle]]: siehe [http://www.huygens-fokker.org/docs/intervalle.html Intervall- Liste der Huygens-Fokker-Stiftung] , oder auch [http://home.arcor.de/hfbclp/Alle-Intervallnamen-01.doc hier].

==Variationen von reiner Stimmung==
[[Obertonreihe|Obertonreihe]]

[[Reguläre_Temperamente|Reguläre Temperaturen]]

[[Adaptive_reine_Stimmung|Adaptive reine Stimmung]]  [[Category:Stimmung]]
[[Category:Theorie]]</text>
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Der Begriff "reine Stimmung" wird hier in einer ganz leicht allgemeineren Bedeutung verwendet als er z.B. in der [http://de.wikipedia.org/wiki/Reine_Stimmung Wikipedia] beschrieben ist. Die dortige Definition reicht hin für die herkömmliche abendländische Musik, deren Tonsystem im Prinzip nur auf [[Oktave|Oktave]], Quinte und grosser Terz aufbaut, also nur Intervalle aus den [[Primzahlen|Primzahlen]] 2, 3 und 5 verwendet. [[Harry_Partch|Harry Partch]] hat für solche Stimmung den Begriff "5-[[Limit|Limit]]" geprägt.)

Die xenharmonische/mikrotonale Perspektive versteht Tonsysteme in reiner Stimmung - oder eher reinen Stimmungen - dahingegen als bestehend aus Intervallen, deren Frequenzverhältnisse beliebige rationale Zahlen sein können. Die [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung, welche Intervalle nur auf den Primzahlen 2 und 3 aufbaut (3-[[Limit|Limit]]) und im Wikipedia-Eintrag als Gegensatz zur "reinen Stimmung" aufgeführt wird, wird aus xenharmonischer Optik ebenfalls als eine spezielle reine Stimmung angesehen.

Der Gegensatz zu reinen Stimmungen sind [[Gleichstufige_Stimmungen|gleichstufige Stimmungen]].

Basisdefinitionen zur Beschreibung von reinen Stimmungen: [[Intervallraum|Intervallraum]]

Bezeichnungen für [[Reine_Intervalle|reine Intervalle]]: siehe [http://www.huygens-fokker.org/docs/intervalle.html Intervall- Liste der Huygens-Fokker-Stiftung] , oder auch [http://home.arcor.de/hfbclp/Alle-Intervallnamen-01.doc hier].

==Variationen von reiner Stimmung==
[[Obertonreihe|Obertonreihe]]

[[Reguläre_Temperamente|Reguläre Temperaturen]]

[[Adaptive_reine_Stimmung|Adaptive reine Stimmung]]  [[Category:Stimmung]]
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Der Begriff "reine Stimmung" wird hier in einer ganz leicht allgemeineren Bedeutung verwendet als er z.B. in der [http://de.wikipedia.org/wiki/Reine_Stimmung Wikipedia] beschrieben ist. Die dortige Definition reicht hin für die herkömmliche abendländische Musik, deren Tonsystem im Prinzip nur auf [[Oktave|Oktave]], Quinte und grosser Terz aufbaut, also nur Intervalle aus den [[Primzahlen|Primzahlen]] 2, 3 und 5 verwendet. [[Harry_Partch|Harry Partch]] hat für solche Stimmung den Begriff "5-[[Limit|Limit]]" geprägt.)

Die xenharmonische/mikrotonale Perspektive versteht Tonsysteme in reiner Stimmung - oder eher reinen Stimmungen - dahingegen als bestehend aus Intervallen, deren Frequenzverhältnisse beliebige rationale Zahlen sein können. Die [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung, welche Intervalle nur auf den Primzahlen 2 und 3 aufbaut (3-[[Limit|Limit]]) und im Wikipedia-Eintrag als Gegensatz zur "reinen Stimmung" aufgeführt wird, wird aus xenharmonischer Optik ebenfalls als eine spezielle reine Stimmung angesehen.

Der Gegensatz zu reinen Stimmungen sind [[Gleichstufige_Stimmungen|gleichstufige Stimmungen]].

Basisdefinitionen zur Beschreibung von reinen Stimmungen: [[Intervallraum|Intervallraum]]

Bezeichnungen für [[Reine_Intervalle|reine Intervalle]]: siehe [http://www.huygens-fokker.org/docs/intervalle.html Intervall- Liste der Huygens-Fokker-Stiftung] , oder auch [http://home.arcor.de/hfbclp/Alle-Intervallnamen-01.doc hier].

==Variationen von reiner Stimmung==
[[Obertonreihe|Obertonreihe]]

[[Reguläre_Temperamente|Reguläre Temperaturen]]

[[Adaptive_reine_Stimmung|Adaptive reine Stimmung]]  

[[Neji]]
[[Category:Stimmung]]
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Der Begriff "reine Stimmung" wird hier in einer ganz leicht allgemeineren Bedeutung verwendet als er z.B. in der [http://de.wikipedia.org/wiki/Reine_Stimmung Wikipedia] beschrieben ist. Die dortige Definition reicht hin für die herkömmliche abendländische Musik, deren Tonsystem im Prinzip nur auf [[Oktave|Oktave]], Quinte und grosser Terz aufbaut, also nur Intervalle aus den [[Primzahlen|Primzahlen]] 2, 3 und 5 verwendet. [[Harry_Partch|Harry Partch]] hat für solche Stimmung den Begriff "5-[[Limit|Limit]]" geprägt.)

Die xenharmonische/mikrotonale Perspektive versteht Tonsysteme in reiner Stimmung - oder eher reinen Stimmungen - dahingegen als bestehend aus Intervallen, deren Frequenzverhältnisse beliebige rationale Zahlen sein können. Die [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung, welche Intervalle nur auf den Primzahlen 2 und 3 aufbaut (3-[[Limit|Limit]]) und im Wikipedia-Eintrag als Gegensatz zur "reinen Stimmung" aufgeführt wird, wird aus xenharmonischer Optik ebenfalls als eine spezielle reine Stimmung angesehen.

Der Gegensatz zu reinen Stimmungen sind [[Gleichstufige_Stimmungen|gleichstufige Stimmungen]].

Basisdefinitionen zur Beschreibung von reinen Stimmungen: [[Intervallraum|Intervallraum]]

Bezeichnungen für [[Reine_Intervalle|reine Intervalle]]: siehe [http://www.huygens-fokker.org/docs/intervalle.html Intervall- Liste der Huygens-Fokker-Stiftung] , oder auch [http://home.arcor.de/hfbclp/Alle-Intervallnamen-01.doc hier].

==Variationen von reiner Stimmung==
[[Obertonreihe|Obertonreihe]]

[[Reguläre_Temperamente|Reguläre Temperaturen]]

[[Adaptive_reine_Stimmung|Adaptive reine Stimmung]]  

[[Neji]]
[[Category:Stimmung]]
[[Category:Theorie]]
[[Category:Reine Stimmung|*]]&lt;!--Hauptartikel--&gt;</text>
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}}
Der Begriff "reine Stimmung" wird hier in einer ganz leicht allgemeineren Bedeutung verwendet als er z.B. in der [http://de.wikipedia.org/wiki/Reine_Stimmung Wikipedia] beschrieben ist. Die dortige Definition reicht hin für die herkömmliche abendländische Musik, deren Tonsystem im Prinzip nur auf [[Oktave]], Quinte und grosser Terz aufbaut, also nur Intervalle aus den [[Primzahlen]] 2, 3 und 5 verwendet. [[Harry Partch]] hat für solche Stimmung den Begriff "5-[[Limit]]" geprägt.)

Die xenharmonische/mikrotonale Perspektive versteht Tonsysteme in reiner Stimmung - oder eher reinen Stimmungen - dahingegen als bestehend aus Intervallen, deren Frequenzverhältnisse beliebige rationale Zahlen sein können. Die [[pythagoräisch]]e Stimmung, welche Intervalle nur auf den Primzahlen 2 und 3 aufbaut (3-[[Limit]]) und im Wikipedia-Eintrag als Gegensatz zur "reinen Stimmung" aufgeführt wird, wird aus xenharmonischer Sicht ebenfalls als eine spezielle reine Stimmung betrachtet.

Den Gegensatz zu reinen Stimmungen bilden [[gleichstufige Stimmungen]].

Basisdefinitionen zur Beschreibung von reinen Stimmungen: [[Intervallraum]]

Bezeichnungen für [[reine Intervalle]]: siehe [http://www.huygens-fokker.org/docs/intervalle.html Intervall- Liste der Huygens-Fokker-Stiftung].

== Variationen von reiner Stimmung ==

* [[Obertonreihe]]
* [[Reguläre Temperaturen]]
* [[Adaptive reine Stimmung]]  
* [[Neji]]

[[Category:Stimmung]]
[[Category:Theorie]]
[[Category:Reine Stimmung| ]] &lt;!--Hauptartikel--&gt;</text>
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      </contributor>
      <comment>-Link: Man kann nicht möglich alle reine Intervalle in einem Artikel beschreiben. +Limits als Ansatz für reine Stimmung</comment>
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}}
Der Begriff "reine Stimmung" wird hier in einer ganz leicht allgemeineren Bedeutung verwendet als er z.B. in der [http://de.wikipedia.org/wiki/Reine_Stimmung Wikipedia] beschrieben ist. Die dortige Definition reicht hin für die herkömmliche abendländische Musik, deren Tonsystem im Prinzip nur auf [[Oktave]], Quinte und grosser Terz aufbaut, also nur Intervalle aus den [[Primzahlen]] 2, 3 und 5 verwendet. [[Harry Partch]] hat für solche Stimmung den Begriff "5-[[Limit]]" geprägt.)

Die xenharmonische/mikrotonale Perspektive versteht Tonsysteme in reiner Stimmung - oder eher reinen Stimmungen - dahingegen als bestehend aus Intervallen, deren Frequenzverhältnisse beliebige rationale Zahlen sein können. Die [[pythagoräisch]]e Stimmung, welche Intervalle nur auf den Primzahlen 2 und 3 aufbaut (3-[[Limit]]) und im Wikipedia-Eintrag als Gegensatz zur "reinen Stimmung" aufgeführt wird, wird aus xenharmonischer Sicht ebenfalls als eine spezielle reine Stimmung betrachtet.

Den Gegensatz zu reinen Stimmungen bilden [[gleichstufige Stimmungen]].

Basisdefinitionen zur Beschreibung von reinen Stimmungen: [[Intervallraum]]

Bezeichnungen für reine Intervalle: siehe [http://www.huygens-fokker.org/docs/intervalle.html Intervall- Liste der Huygens-Fokker-Stiftung].

== Variationen von reiner Stimmung ==
* [[Obertonreihe]]
* [[P-Limit]]
* [[Odd-Limit]]
* [[Reguläre Temperaturen]]
* [[Adaptive reine Stimmung]]  
* [[Neji]]

[[Category:Stimmung]]
[[Category:Theorie]]
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Der Begriff "reine Stimmung" wird hier in einer ganz leicht allgemeineren Bedeutung verwendet als er z.B. in der [http://de.wikipedia.org/wiki/Reine_Stimmung Wikipedia] beschrieben ist. Die dortige Definition reicht hin für die herkömmliche abendländische Musik, deren Tonsystem im Prinzip nur auf [[Oktave]], Quinte und grosser Terz aufbaut, also nur Intervalle aus den [[Primzahlen]] 2, 3 und 5 verwendet. [[Harry Partch]] hat für solche Stimmung den Begriff "5-[[Limit]]" geprägt.)

Die xenharmonische/mikrotonale Perspektive versteht Tonsysteme in reiner Stimmung - oder eher reinen Stimmungen - dahingegen als bestehend aus Intervallen, deren Frequenzverhältnisse beliebige rationale Zahlen sein können. Die [[pythagoräisch]]e Stimmung, welche Intervalle nur auf den Primzahlen 2 und 3 aufbaut (3-[[Limit]]) und im Wikipedia-Eintrag als Gegensatz zur "reinen Stimmung" aufgeführt wird, wird aus xenharmonischer Sicht ebenfalls als eine spezielle reine Stimmung betrachtet.

Den Gegensatz zu reinen Stimmungen bilden [[gleichstufige Stimmungen]].

Basisdefinitionen zur Beschreibung von reinen Stimmungen: [[Intervallraum]]

Bezeichnungen für reine Intervalle: siehe [http://www.huygens-fokker.org/docs/intervalle.html Intervall- Liste der Huygens-Fokker-Stiftung].

== Variationen von reiner Stimmung ==
* [[Obertonreihe]]
* [[Untertonreihe]]
* [[P-Limit]]
* [[Odd-Limit]]
* [[Reguläre Temperaturen]]
* [[Adaptive reine Stimmung]]  
* [[Neji]]

[[Category:Stimmung]]
[[Category:Theorie]]
[[Category:Reine Stimmung| ]] &lt;!--Hauptartikel--&gt;</text>
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Der Begriff "'''reine Stimmung'''" wird hier in einer ganz leicht allgemeineren Bedeutung verwendet als er z.B. in der [http://de.wikipedia.org/wiki/Reine_Stimmung Wikipedia] beschrieben ist. Die dortige Definition reicht hin für die herkömmliche abendländische Musik, deren Tonsystem im Prinzip nur auf [[Oktave]], Quinte und grosser Terz aufbaut, also nur Intervalle aus den [[Primzahlen]] 2, 3 und 5 verwendet. [[Harry Partch]] hat für solche Stimmung den Begriff "5-[[Limit]]" geprägt.)

Die xenharmonische/mikrotonale Perspektive versteht Tonsysteme in reiner Stimmung - oder eher reinen Stimmungen - dahingegen als bestehend aus Intervallen, deren Frequenzverhältnisse beliebige rationale Zahlen sein können. Die [[pythagoräisch]]e Stimmung, welche Intervalle nur auf den Primzahlen 2 und 3 aufbaut (3-[[Limit]]) und im Wikipedia-Eintrag als Gegensatz zur "reinen Stimmung" aufgeführt wird, wird aus xenharmonischer Sicht ebenfalls als eine spezielle reine Stimmung betrachtet.

Den Gegensatz zu reinen Stimmungen bilden [[gleichstufige Stimmungen]].

Basisdefinitionen zur Beschreibung von reinen Stimmungen: [[Intervallraum]]

Bezeichnungen für reine Intervalle: siehe [http://www.huygens-fokker.org/docs/intervalle.html Intervall- Liste der Huygens-Fokker-Stiftung].

== Variationen von reiner Stimmung ==
* [[Obertonreihe]]
* [[Untertonreihe]]
* [[P-Limit]]
* [[Odd-Limit]]
* [[Reguläre Temperaturen]]
* [[Adaptive reine Stimmung]]  
* [[Neji]]

[[Category:Stimmung]]
[[Category:Theorie]]
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Der Begriff "'''reine Stimmung'''" wird hier in einer ganz leicht allgemeineren Bedeutung verwendet als er z.B. in der [http://de.wikipedia.org/wiki/Reine_Stimmung Wikipedia] beschrieben ist. Die dortige Definition reicht hin für die herkömmliche abendländische Musik, deren Tonsystem im Prinzip nur auf [[Oktave]], Quinte und grosser Terz aufbaut, also nur Intervalle aus den [[Primzahlen]] 2, 3 und 5 verwendet. [[Harry Partch]] hat für solche Stimmung den Begriff "5-[[Limit]]" geprägt.)

Die xenharmonische/mikrotonale Perspektive versteht Tonsysteme in reiner Stimmung - oder eher reinen Stimmungen - dahingegen als bestehend aus Intervallen, deren Frequenzverhältnisse beliebige rationale Zahlen sein können. Die [[pythagoräisch]]e Stimmung, welche Intervalle nur auf den Primzahlen 2 und 3 aufbaut (3-[[Limit]]) und im Wikipedia-Eintrag als Gegensatz zur "reinen Stimmung" aufgeführt wird, wird aus xenharmonischer Sicht ebenfalls als eine spezielle reine Stimmung betrachtet.

Den Gegensatz zu reinen Stimmungen bilden [[gleichstufige Stimmungen]].

Basisdefinitionen zur Beschreibung von reinen Stimmungen: [[Intervallraum]]

Bezeichnungen für reine Intervalle: siehe [http://www.huygens-fokker.org/docs/intervalle.html Intervall- Liste der Huygens-Fokker-Stiftung].

== Variationen von reiner Stimmung ==
* [[Obertonreihe]]
* [[Untertonreihe]]
* [[P-Limit]]
* [[Odd-Limit]]
* [[Reguläre Temperaturen]]
* [[Adaptive reine Stimmung]]  
* [[Neji]]

[[Category:Stimmung]]
[[Category:Theorie]]
[[Category:Reine Stimmung| ]] &lt;!--Hauptartikel--&gt;</text>
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Der Begriff "'''reine Stimmung'''" wird hier in einer ganz leicht allgemeineren Bedeutung verwendet als er z.B. in der [http://de.wikipedia.org/wiki/Reine_Stimmung Wikipedia] beschrieben ist. Die dortige Definition reicht hin für die herkömmliche abendländische Musik, deren Tonsystem im Prinzip nur auf [[Oktave]], Quinte und grosser Terz aufbaut, also nur Intervalle aus den [[Primzahlen]] 2, 3 und 5 verwendet. [[Harry Partch]] hat für solche Stimmung den Begriff "5-[[Limit]]" geprägt.)

Die xenharmonische/mikrotonale Perspektive versteht Tonsysteme in reiner Stimmung - oder eher reinen Stimmungen - dahingegen als bestehend aus Intervallen, deren Frequenzverhältnisse beliebige rationale Zahlen sein können. Die [[pythagoräisch]]e Stimmung, welche Intervalle nur auf den Primzahlen 2 und 3 aufbaut (3-[[Limit]]) und im Wikipedia-Eintrag als Gegensatz zur "reinen Stimmung" aufgeführt wird, wird aus xenharmonischer Sicht ebenfalls als eine spezielle reine Stimmung betrachtet.

Den Gegensatz zu reinen Stimmungen bilden [[gleichstufige Stimmungen]].

Basisdefinitionen zur Beschreibung von reinen Stimmungen: [[Intervallraum]]

Bezeichnungen für reine Intervalle: siehe [http://www.huygens-fokker.org/docs/intervalle.html Intervall- Liste der Huygens-Fokker-Stiftung].

== Variationen von reiner Stimmung ==
* [[Obertonreihe]]
* [[Untertonreihe]]
* [[P-Limit]]
* [[Odd-Limit]]
* [[Reguläre Temperaturen]]
* [[Adaptive reine Stimmung]]  
* [[CPS]]
* [[Neji]]

[[Category:Stimmung]]
[[Category:Theorie]]
[[Category:Reine Stimmung| ]] &lt;!--Hauptartikel--&gt;</text>
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Der Begriff "'''reine Stimmung'''" wird hier in einer ganz leicht allgemeineren Bedeutung verwendet als er z.B. in der [http://de.wikipedia.org/wiki/Reine_Stimmung Wikipedia] beschrieben ist. Die dortige Definition reicht hin für die herkömmliche abendländische Musik, deren [[Tonsystem]] im Prinzip nur auf [[Oktave]], Quinte und grosser Terz aufbaut, also nur Intervalle aus den [[Primzahlen]] 2, 3 und 5 verwendet. [[Harry Partch]] hat für solche Stimmung den Begriff "5-[[Limit]]" geprägt.)

Die xenharmonische/mikrotonale Perspektive versteht Tonsysteme in reiner Stimmung - oder eher reinen Stimmungen - dahingegen als bestehend aus Intervallen, deren Frequenzverhältnisse beliebige rationale Zahlen sein können. Die [[pythagoräisch]]e Stimmung, welche Intervalle nur auf den Primzahlen 2 und 3 aufbaut (3-[[Limit]]) und im Wikipedia-Eintrag als Gegensatz zur "reinen Stimmung" aufgeführt wird, wird aus xenharmonischer Sicht ebenfalls als eine spezielle reine Stimmung betrachtet.

Den Gegensatz zu reinen Stimmungen bilden [[gleichstufige Stimmungen]].

Basisdefinitionen zur Beschreibung von reinen Stimmungen: [[Intervallraum]]

Bezeichnungen für reine Intervalle: siehe [http://www.huygens-fokker.org/docs/intervalle.html Intervall- Liste der Huygens-Fokker-Stiftung].

== Variationen von reiner Stimmung ==
* [[Obertonreihe]]
* [[Untertonreihe]]
* [[P-Limit]]
* [[Odd-Limit]]
* [[Reguläre Temperaturen]]
* [[Adaptive reine Stimmung]]  
* [[CPS]]
* [[Neji]]

[[Category:Stimmung]]
[[Category:Theorie]]
[[Category:Reine Stimmung| ]] &lt;!--Hauptartikel--&gt;</text>
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Der Begriff "'''reine Stimmung'''" wird hier in einer ganz leicht allgemeineren Bedeutung verwendet als er z.B. in der [http://de.wikipedia.org/wiki/Reine_Stimmung Wikipedia] beschrieben ist. Die dortige Definition reicht hin für die herkömmliche abendländische Musik, deren [[Tonsystem]] im Prinzip nur auf [[Oktave]], Quinte und grosser Terz aufbaut, also nur Intervalle aus den [[Primzahlen]] 2, 3 und 5 verwendet. [[Harry Partch]] hat für solche Stimmung den Begriff "5-[[Limit]]" geprägt.)

Die xenharmonische/mikrotonale Perspektive versteht Tonsysteme in reiner Stimmung - oder eher reinen Stimmungen - dahingegen als bestehend aus Intervallen, deren Frequenzverhältnisse beliebige rationale Zahlen sein können. Die [[pythagoräisch]]e Stimmung, welche Intervalle nur auf den Primzahlen 2 und 3 aufbaut (3-[[Limit]]) und im Wikipedia-Eintrag als Gegensatz zur "reinen Stimmung" aufgeführt wird, wird aus xenharmonischer Sicht ebenfalls als eine spezielle reine Stimmung betrachtet.

Den Gegensatz zu reinen Stimmungen bilden [[gleichstufige Stimmungen]].

Basisdefinitionen zur Beschreibung von reinen Stimmungen: [[Intervallraum]]

Bezeichnungen für reine Intervalle: siehe [http://www.huygens-fokker.org/docs/intervalle.html Intervall- Liste der Huygens-Fokker-Stiftung].

== Variationen von reiner Stimmung ==
* [[Obertonreihe]]
* [[Untertonreihe]]
* [[P-Limit]]
* [[Odd-Limit]]
* [[Reguläre Temperaturen]]
* [[Adaptive reine Stimmung]]  
* [[CPS]]
* [[Neji]]
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[[Category:Stimmung]]
[[Category:Theorie]]
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Der Begriff "'''reine Stimmung'''" wird hier in einer ganz leicht allgemeineren Bedeutung verwendet als er z.B. in der [http://de.wikipedia.org/wiki/Reine_Stimmung Wikipedia] beschrieben ist. Die dortige Definition reicht hin für die herkömmliche abendländische Musik, deren [[Tonsystem]] im Prinzip nur auf [[Oktave]], Quinte und grosser Terz aufbaut, also nur Intervalle aus den [[Primzahlen]] 2, 3 und 5 verwendet. [[Harry Partch]] hat für solche Stimmung den Begriff "5-[[Limit]]" geprägt.

Die xenharmonische/mikrotonale Perspektive versteht Tonsysteme in reiner Stimmung - oder eher reinen Stimmungen - dahingegen als bestehend aus Intervallen, deren Frequenzverhältnisse beliebige rationale Zahlen sein können. Die [[pythagoräisch]]e Stimmung, welche Intervalle nur auf den Primzahlen 2 und 3 aufbaut (3-[[Limit]]) und im Wikipedia-Eintrag als Gegensatz zur "reinen Stimmung" aufgeführt wird, wird aus xenharmonischer Sicht ebenfalls als eine spezielle reine Stimmung betrachtet.

Den Gegensatz zu reinen Stimmungen bilden [[gleichstufige Stimmungen]].

Basisdefinitionen zur Beschreibung von reinen Stimmungen: [[Intervallraum]]

Bezeichnungen für reine Intervalle: siehe [http://www.huygens-fokker.org/docs/intervalle.html Intervall- Liste der Huygens-Fokker-Stiftung].

== Variationen von reiner Stimmung ==
* [[Obertonreihe]]
* [[Untertonreihe]]
* [[P-Limit]]
* [[Odd-Limit]]
* [[Reguläre Temperaturen]]
* [[Adaptive reine Stimmung]]  
* [[CPS]]
* [[Neji]]
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[[Category:Stimmung]]
[[Category:Theorie]]
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Der Begriff "'''reine Stimmung'''" wird hier in einer ganz leicht allgemeineren Bedeutung verwendet als er z.B. in der [http://de.wikipedia.org/wiki/Reine_Stimmung Wikipedia] beschrieben ist. Die dortige Definition reicht hin für die herkömmliche abendländische Musik, deren [[Tonsystem]] im Prinzip nur auf [[Oktave]], Quinte und grosser Terz aufbaut, also nur Intervalle aus den [[Primzahlen]] 2, 3 und 5 verwendet. [[Harry Partch]] hat für solche Stimmung den Begriff "5-[[Limit]]" geprägt.

Die xenharmonische/mikrotonale Perspektive versteht Tonsysteme in reiner Stimmung - oder eher reinen Stimmungen - dahingegen als bestehend aus Intervallen, deren Frequenzverhältnisse beliebige rationale Zahlen sein können. Die [[pythagoräisch]]e Stimmung, welche Intervalle nur auf den Primzahlen 2 und 3 aufbaut (3-[[Limit]]) und im Wikipedia-Eintrag als Gegensatz zur "reinen Stimmung" aufgeführt wird, wird aus xenharmonischer Sicht ebenfalls als eine spezielle reine Stimmung betrachtet.

Den Gegensatz zu reinen Stimmungen bilden [[gleichstufige Stimmungen]].

Basisdefinitionen zur Beschreibung von reinen Stimmungen: [[Intervallraum]]

Bezeichnungen für reine Intervalle: siehe [http://www.huygens-fokker.org/docs/intervalle.html Intervall- Liste der Huygens-Fokker-Stiftung].

== Variationen von reiner Stimmung ==
* [[Obertonreihe]]
* [[Untertonreihe]]
* [[P-Limit]]
* [[Odd-Limit]]
* [[Reguläre Temperaturen]]
* [[Adaptive reine Stimmung]]  
* [[CPS]]
* [[Neji]]
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[[Category:Stimmung]]
[[Category:Theorie]]
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Der Begriff "'''reine Stimmung'''" wird hier in einer ganz leicht allgemeineren Bedeutung verwendet als er z.B. in der [http://de.wikipedia.org/wiki/Reine_Stimmung Wikipedia] beschrieben ist. Die dortige Definition reicht hin für die herkömmliche abendländische Musik, deren [[Tonsystem]] im Prinzip nur auf [[Oktave]], Quinte und grosser Terz aufbaut, also nur Intervalle aus den [[Primzahlen]] 2, 3 und 5 verwendet. [[Harry Partch]] hat für solche Stimmung den Begriff "5-[[Limit]]" geprägt.

Die xenharmonische/mikrotonale Perspektive versteht Tonsysteme in reiner Stimmung - oder eher reinen Stimmungen - dahingegen als bestehend aus Intervallen, deren Frequenzverhältnisse beliebige rationale Zahlen sein können. Die [[pythagoräisch]]e Stimmung, welche Intervalle nur auf den Primzahlen 2 und 3 aufbaut (3-[[Limit]]) und im Wikipedia-Eintrag als Gegensatz zur "reinen Stimmung" aufgeführt wird, wird aus xenharmonischer Sicht ebenfalls als eine spezielle reine Stimmung betrachtet.

Den Gegensatz zu reinen Stimmungen bilden [[gleichstufige Stimmungen]].

Basisdefinitionen zur Beschreibung von reinen Stimmungen: [[Intervallraum]]

Bezeichnungen für reine Intervalle: siehe [http://www.huygens-fokker.org/docs/intervalle.html Intervall- Liste der Huygens-Fokker-Stiftung].

== Variationen von reiner Stimmung ==
* [[Obertonreihe]]
* [[Untertonreihe]]
* [[P-Limit]]
* [[Odd-Limit]]
* [[Reguläre Temperaturen]]
* [[Adaptive reine Stimmung]]  
* [[CPS]]
* [[Neji]]
* [[Primodalität]]

[[Category:Stimmung]]
[[Category:Theorie]]
[[Category:Reine Stimmung| ]] &lt;!--Hauptartikel--&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic:Rothenberg propriety|xenharmonic/Rothenberg propriety]] &lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Rothenberg-proper&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Rothenberg%20propriety"&amp;gt;xenharmonic/Rothenberg propriety&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Mike Battaglia</username>
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      <comment>Textersetzung - „(\[\[\:(dev|es|purdal|de|en):[^[:space:]\|]*) (.*])“ durch „$1|$3“</comment>
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    <title>Rundung</title>
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      <text bytes="1116" sha1="lma6hde3p1el1sxhqv5alzhbgp3qyup" xml:space="preserve">== Kaufmännisches Runden ==
&lt;ul&gt;&lt;li&gt;letzte Ziffer 0 bis 4 -&amp;gt; Abrunden&lt;/li&gt;&lt;li&gt;letzte Ziffer 5 bis 9 -&amp;gt; Aufrunden&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

== Mathematisches Runden ==
&lt;ul&gt;&lt;li&gt;letzte Ziffer 0 bis 4 -&amp;gt; Abrunden&lt;/li&gt;&lt;li&gt;letzte Ziffer 5 wird so gerundet, dass als letzte Ziffer eine gerade Zahl stehen bleibt 0.25 -&amp;gt; 0.2 und 0.35 -&amp;gt; 0,4&lt;/li&gt;&lt;li&gt;letzte Ziffer 5 (bei folgenden Ziffern ungleich 0) sowie 6 bis 9 -&amp;gt; Aufrunden&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

== Rundungsfehler ==
Durch das Runden von Angaben auf handliche Breite (z.B. [[Cent|Cents]] auf 0 bis 3 Nachkommastellen) ergibt sich ein systematischer Fehler, der oft erst beim Rechnen mit gerundeten Werten auffällt. Man kann (und sollte) die Fehler durch Rundung ggf. beziffern, so kann auf die zu erwartende Genauigkeit von Rechenergebnissen geschlossen werden. 

''todo: Beispiel''

Um Rundungsfehler klein zu halten, sollte man so spät wie möglich runden (also nach dem Rechnen), oder in einer Darstellung rechnen, die präzise Angaben ermöglicht, z.B. Frequenzverhältnisse beim Rechnen mit Reinen Intervallen.

''todo: Beispiel''  [[Category:meta]]
[[Category:methodik]]</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2016-11-10 05:17:02 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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== Kaufmännisches Runden ==
* letzte Ziffer 0 bis 4 -&amp;gt; Abrunden
* letzte Ziffer 5 bis 9 -&amp;gt; Aufrunden

== Mathematisches Runden ==
* letzte Ziffer 0 bis 4 -&amp;gt; Abrunden
* letzte Ziffer 5 wird so gerundet, dass als letzte Ziffer eine gerade Zahl stehen bleibt 0.25 -&amp;gt; 0.2 und 0.35 -&amp;gt; 0,4
* letzte Ziffer 5 (bei folgenden Ziffern ungleich 0) sowie 6 bis 9 -&amp;gt; Aufrunden

== Rundungsfehler ==
Durch das Runden von Angaben auf handliche Breite (z.B. [[Cent|Cents]] auf 0 bis 3 Nachkommastellen) ergibt sich ein systematischer Fehler, der oft erst beim Rechnen mit gerundeten Werten auffällt. Man kann (und sollte) die Fehler durch Rundung ggf. beziffern, so kann auf die zu erwartende Genauigkeit von Rechenergebnissen geschlossen werden. 
//todo: Beispiel//

Um Rundungsfehler klein zu halten, sollte man so spät wie möglich runden (also nach dem Rechnen), oder in einer Darstellung rechnen, die präzise Angaben ermöglicht, z.B. Frequenzverhältnisse beim Rechnen mit Reinen Intervallen.
//todo: Beispiel//&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Durch das Runden von Angaben auf handliche Breite (z.B. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cents&amp;lt;/a&amp;gt; auf 0 bis 3 Nachkommastellen) ergibt sich ein systematischer Fehler, der oft erst beim Rechnen mit gerundeten Werten auffällt. Man kann (und sollte) die Fehler durch Rundung ggf. beziffern, so kann auf die zu erwartende Genauigkeit von Rechenergebnissen geschlossen werden. &amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;em&amp;gt;todo: Beispiel&amp;lt;/em&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Um Rundungsfehler klein zu halten, sollte man so spät wie möglich runden (also nach dem Rechnen), oder in einer Darstellung rechnen, die präzise Angaben ermöglicht, z.B. Frequenzverhältnisse beim Rechnen mit Reinen Intervallen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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        <id>0</id>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2016-11-10 05:16:01 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;
== Kaufmännisches Runden ==
* letzte Ziffer 0 bis 4 -&amp;gt; Abrunden
* letzte Ziffer 5 bis 9 -&amp;gt; Aufrunden

== Mathematisches Runden ==
* letzte Ziffer 0 bis 4 -&amp;gt; Abrunden
* letzte Ziffer 5 wird so gerundet, dass als letzte Ziffer eine gerade Zahl stehen bleibt 0.25 -&amp;gt; 0.2 und 0.35 -&amp;gt; 0,4
* letzte Ziffer 5 (bei folgenden Ziffern ungleich 0) sowie 6 bis 9 -&amp;gt; Aufrunden

== Rundungsfehler ==
Durch das Runden von Angaben auf handliche Breite (z.B. [[Cent|Cents]] auf 0 bis 3 Nachkommastellen) ergibt sich ein systematischer Fehler, der sich u.a. beim Rechnen mit gerundeten Werten bemerkbar macht. Man kann (und sollte) die Fehler durch Rundung ggf. beziffern, so kann auf die zu erwartende Genauigkeit von Rechenergebnissen geschlossen werden. 
//todo: Beispiel//

Um Rundungsfehler klein zu halten, sollte man so spät wie möglich runden (also nach dem Rechnen), oder in einer Darstellung rechnen, die präzise Angaben ermöglicht, z.B. Frequenzverhältnisse beim Rechnen mit Reinen Intervallen.
//todo: Beispiel//&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2016-11-02 04:28:44 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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== Kaufmännisches Runden ==
* letzte Ziffer 0 bis 4 -&amp;gt; Abrunden
* letzte Ziffer 5 bis 9 -&amp;gt; Aufrunden

== Mathematisches Runden ==
* letzte Ziffer 0 bis 4 -&amp;gt; Abrunden
* letzte Ziffer 5 wird so gerundet, dass als letzte Ziffer eine gerade Zahl stehen bleibt 0.25 -&amp;gt; 0.2 und 0.35 -&amp;gt; 0,4
* letzte Ziffer 5 (bei folgenden Ziffern ungleich 0) sowie 6 bis 9 -&amp;gt; Aufrunden
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&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&lt;div class='external-image-warning' style='background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding-left: 0.5em; padding-right:0.5em; display:inline-block'&gt;
External image: http://sagittal.org/index_files/image005.gif&lt;br&gt;
: &lt;small&gt;&lt;b&gt;WARNING&lt;/b&gt;: MediaWiki doesn't have very good support for external images.&lt;/small&gt;&lt;br&gt;
: &lt;small&gt;Furthermore, since external images can break, we recommend that you replace the above with a local copy of the image.&lt;/small&gt;
&lt;/div&gt;
[[Category:IMPORTDEBUG - Change External Images]]

Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info YaHoo Tuning Forum] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [http://sagittal.org/ http://sagittal.org/] . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe [[:en:file/view/Sagittal.pdf sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen=
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle beschreiben soll. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein "grosser Halbton" von etwa 114 Cent).

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt. Die Intervalle, für die die Symbole stehen, sind hier alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich [[Komma|Kommas]].

Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das [[Syntonisches_Komma|syntonische Komma]] (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer [[Naturterz|reinen grossen Terz]]. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das [[64/63|Leipziger Komma]] (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime]], und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents, also praktisch einen Viertelton gross ist. Dieses Intervall wird manchmal '''undezimales Komma''' oder '''Viertelton von Al-Farabi''' genannt. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation [[arabisch,_türkisch,_persisch|arabischer und türkischer]] Skalen eignet - siehe auch [[Sagittalnotation#Software|weiter unten]].)

Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:

[[File:SagittalOvertoneSeries.jpg|alt=SagittalOvertoneSeries.jpg|SagittalOvertoneSeries.jpg]]

Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf [http://sagittal.org/ http://sagittal.org/] oder [[:en:file/view/Sagittal.pdf sagittal.pdf]] verwiesen.

=Pure und gemischte Sagittalnotation=
Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:

Die "'''gemischt-sagittale'''" Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrauten Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.

Demgegenüber verfolgt die "'''pur-sagittale'''" Notation den Ansatz, maximal ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, wobei auf ein konsistentes und logisches Design geachtet wurde; in dieser Philosophie sind auch # und b durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.

Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.

=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme=
Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:

&lt;ol&gt;&lt;li&gt;Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;

Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind. Der wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für [http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung enharmonische Verwechslungen]. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei [[mitteltönig|mitteltönigen]] gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe [[:en:file/view/Sagittal.pdf sagittal.pdf]] für Details.

==Beispiel 1: Vergleich der Notationen in verschiedenen gleichstufigen Systemen==
Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufigen Systeme präsentieren.

[[File:SagittalEDOExample.jpg|alt=SagittalEDOExample.jpg|SagittalEDOExample.jpg]]

Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.

In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.

In der Standardstimmung [[12edo|12edo]] etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12edo mit der traditionellen Notation überein.

[[22edo|22edo]] hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben. Der Unterschied zwischen den Approximationen von pythagoräischer und reiner grosser Terz beträgt einen 22edo-Schritt, welcher somit in 22edo als Approximation des syntonischen Kommas gilt (mit 54.55 Cent allerdings mehr als doppelt so gross ist wie die reine Version desselben Intervalls).

Es gilt ausserdem, dass in 22edo auch der Unterschied zwischen den Approximationen von Alphorn-Fa und reiner Quarte einen 22edo-Schritt beträgt - d.h. syntonisches und undezimales Komma fallen in 22edo zusammen, was wieder eines der beiden Symbole überflüssig macht. Insgesamt wird für die Notation von 22edo nur ein zusätzliches Symbol benötigt (bzw., genauer gesagt, zwei - eins aufwärts und eins abwärts), welches für Modifikation um einen 22edo-Schritt steht. Als empfohlenes Standardsymbol wurde dasjenige für das syntonische Komma definiert.

[[31edo|31edo]] schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12edo ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Das Leipziger Komma wiederum fällt hier mit dem undezimalen Komma zusammen - beide werden durch einen 31edo-Schritt angenähert. Als empfohlenes Standardsymbol für 31edo wurde dasjenige für das undezimale Komma (Viertelton) definiert - die harmonische Septime könnte man daher als B mit vorgestelltem Viertelton-Symbol schreiben. Dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31edo als [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigem]] System möglich ist.

==Beipiel 2: 11edo-Tonleiter==
Als zweites Beispiel eine [[11edo|11edo]]-Tonleiter. Beim Definieren einer Standardnotation trifft man hier auf einen zweiten potentiellen Problempunkt: in 11edo gibt es keine "gute" Approximation der reinen Quinte. Eine Definition der Notation gemäss Richtlinie 2 über Quintenschichtungen ist deshalb nicht sinnvoll - es würde zu seltsamen Effekten führen, sogar zum Widerspruch zu Richtlinie 1 (die geschriebene Note E würde wie in D klingen, die geschriebene Note Es hingegen wie ein E). Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - im vorliegenden Fall 11edo diejenigen von [[22edo|22edo]]. Aus analogen Gründen wird für [[16edo|16edo]] die Standardnotation von [[48edo|48edo]] empfohlen.

[[File:Sagittal11EDO.jpg|alt=Sagittal11EDO.jpg|409x233px|Sagittal11EDO.jpg]]

(Rendering Juhani Nuorvala)

Man beachte, dass beide Notenlinien dieselbe Tonleiter beschreiben! Das sehr verschiedene Aussehen kommt durch Effekte der enharmonischen Verwechslungen zustande. Die obere Linie kommt völlig ohne Zusatzsymbole aus, erweckt jedoch den falschen Eindruck einer Auf- und Abbewegung - in Wirklichkeit handelt es sich um eine aufsteigende Linie aus 11edo-Schritten. Die untere Linie benötigt Zusatzzeichen, ist dadurch aber intuitiver zu lesen.

=Software=
Sagittalnotation wird inzwischen von einer Reihe Softwareprodukte unterstützt. Auf [http://sagittal.org/ http://sagittal.org/] sind Fonts mit den Sagittalsymbolen verfügbar, mit deren Hilfe Sagittalnotation in Notensatzprogramme wie [http://www.klemm-music.de/makemusic/finale/index.php Finale], [http://www.sibelius.com Sibelius] oder [http://lilypond.org/ Lilypond] eingebaut werden kann. Es gibt auch schon Plugins, welche die Eingabe vereinfachen, namentlich:

[[:en:file/view/Sagibelius_2.0.zip Sagibelius]], ein Plugin von Jacob Barton für Sagittalnotation in Sibelius. Sagibelius ist "Donationware".

[http://x31eq.com/lilypond/ Sagittal-Lilypond], ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in Lilypond. (Sowohl Lilypond wie das Plugin sind Freeware.)

[http://www.mus2.com.tr/explore/ Mus2] ist eine Notensatz-Software, die besonders auf die Anforderungen für die Notation [[arabisch,_türkisch,_persisch|türkischer]] (und natürlich auch arabischer, persischer und anderer orientalischer) Musik ausgerichtet ist. Sie unterstützt Sagittalnotation "von Haus aus".

Weitere Informationen zu Software sind auf [http://sagittal.org/ http://sagittal.org/] zu finden.

=Noten in Sagittalnotation=
Es sind zur Zeit noch nicht sehr viele Musikstücke in Sagittalnotation verfügbar, aber die Liste ist am wachsen! Besonders zu erwähnen ist das [[:en:The_Sagittal_Songbook Sagittal Songbook]], das 48 Stücke in verschiedenen Stimmungssystemen in pur-sagittaler Notation versammelt.

Eine Liste aller bekannten verfügbaren Sagittalnoten wird derzeit auf dem [[:en:Sagittal_notation-Scores_in_Sagittal_notation englischen Xenharmonic Wiki]] aufgebaut.  [[Category:Praxis]]
[[Category:Software]]</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [[https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info|YaHoo Tuning Forum]] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [[http://sagittal.org/]] . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen= 
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle beschreiben soll. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein "grosser Halbton" von etwa 114 Cent).

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt. Die Intervalle, für die die Symbole stehen, sind hier alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich [[Komma|Kommas]].

Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer [[Naturterz|reinen grossen Terz]]. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das [[64_63|Leipziger Komma]] (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime]], und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem [[Alphorn-Fa]] und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents, also praktisch einen Viertelton gross ist. Dieses Intervall wird manchmal **undezimales Komma** oder **Viertelton von Al-Farabi** genannt. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation [[arabisch, türkisch, persisch|arabischer und türkischer]] Skalen eignet - siehe auch [[Sagittalnotation#Software|weiter unten]].)

Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:
[[image:SagittalOvertoneSeries.jpg]]

Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf [[http://sagittal.org/]] oder [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] verwiesen.

=Pure und gemischte Sagittalnotation= 
Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:

Die "**gemischt-sagittale**" Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrauten Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.

Demgegenüber verfolgt die "**pur-sagittale**" Notation den Ansatz, maximal ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, wobei auf ein konsistentes und logisches Design geachtet wurde; in dieser Philosophie sind auch # und b durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.

Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.

=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme= 
Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:
# Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.
# Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.

Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind. Der wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für [[http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung|enharmonische Verwechslungen]]. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei [[mitteltönig|mitteltönigen]] gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] für Details.

==Beispiel 1: Vergleich der Notationen in verschiedenen gleichstufigen Systemen== 
Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufigen Systeme präsentieren.

[[image:SagittalEDOExample.jpg]]

Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.

In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.

In der Standardstimmung [[12edo]] etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12edo mit der traditionellen Notation überein.

[[22edo]] hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben. Der Unterschied zwischen den Approximationen von pythagoräischer und reiner grosser Terz beträgt einen 22edo-Schritt, welcher somit in 22edo als Approximation des syntonischen Kommas gilt (mit 54.55 Cent allerdings mehr als doppelt so gross ist wie die reine Version desselben Intervalls).
Es gilt ausserdem, dass in 22edo auch der Unterschied zwischen den Approximationen von Alphorn-Fa und reiner Quarte einen 22edo-Schritt beträgt - d.h. syntonisches und undezimales Komma fallen in 22edo zusammen, was wieder eines der beiden Symbole überflüssig macht. Insgesamt wird für die Notation von 22edo nur ein zusätzliches Symbol benötigt (bzw., genauer gesagt, zwei - eins aufwärts und eins abwärts), welches für Modifikation um einen 22edo-Schritt steht. Als empfohlenes Standardsymbol wurde dasjenige für das syntonische Komma definiert.

[[31edo]] schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12edo ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Das Leipziger Komma wiederum fällt hier mit dem undezimalen Komma zusammen - beide werden durch einen 31edo-Schritt angenähert. Als empfohlenes Standardsymbol für 31edo wurde dasjenige für das undezimale Komma (Viertelton) definiert - die harmonische Septime könnte man daher als B mit vorgestelltem Viertelton-Symbol schreiben. Dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31edo als [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigem]] System möglich ist.

==Beipiel 2: 11edo-Tonleiter== 
Als zweites Beispiel eine [[11edo]]-Tonleiter. Beim Definieren einer Standardnotation trifft man hier auf einen zweiten potentiellen Problempunkt: in 11edo gibt es keine "gute" Approximation der reinen Quinte. Eine Definition der Notation gemäss Richtlinie 2 über Quintenschichtungen ist deshalb nicht sinnvoll - es würde zu seltsamen Effekten führen, sogar zum Widerspruch zu Richtlinie 1 (die geschriebene Note E würde wie in D klingen, die geschriebene Note Es hingegen wie ein E). Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - im vorliegenden Fall 11edo diejenigen von [[22edo]]. Aus analogen Gründen wird für [[16edo]] die Standardnotation von [[48edo]] empfohlen.
[[image:Sagittal11EDO.jpg width="409" height="233"]]
(Rendering Juhani Nuorvala)

Man beachte, dass beide Notenlinien dieselbe Tonleiter beschreiben! Das sehr verschiedene Aussehen kommt durch Effekte der enharmonischen Verwechslungen zustande. Die obere Linie kommt völlig ohne Zusatzsymbole aus, erweckt jedoch den falschen Eindruck einer Auf- und Abbewegung - in Wirklichkeit handelt es sich um eine aufsteigende Linie aus 11edo-Schritten. Die untere Linie benötigt Zusatzzeichen, ist dadurch aber intuitiver zu lesen.

=Software= 
Sagittalnotation wird inzwischen von einer Reihe Softwareprodukte unterstützt. Auf [[http://sagittal.org/]] sind Fonts mit den Sagittalsymbolen verfügbar, mit deren Hilfe Sagittalnotation in Notensatzprogramme wie [[http://www.klemm-music.de/makemusic/finale/index.php|Finale]], [[http://www.sibelius.com|Sibelius]] oder [[http://lilypond.org/|Lilypond]] eingebaut werden kann. Es gibt auch schon Plugins, welche die Eingabe vereinfachen, namentlich:

[[file:xenharmonic/Sagibelius_2.0.zip|Sagibelius]], ein Plugin von Jacob Barton für Sagittalnotation in Sibelius. Sagibelius ist "Donationware".
[[http://x31eq.com/lilypond/|Sagittal-Lilypond]], ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in Lilypond. (Sowohl Lilypond wie das Plugin sind Freeware.)

[[http://www.mus2.com.tr/explore/|Mus2]] ist eine Notensatz-Software, die besonders auf die Anforderungen für die Notation [[arabisch, türkisch, persisch|türkischer]] (und natürlich auch arabischer, persischer und anderer orientalischer) Musik ausgerichtet ist. Sie unterstützt Sagittalnotation "von Haus aus".

Weitere Informationen zu Software sind auf [[http://sagittal.org/]] zu finden.

=Noten in Sagittalnotation= 
Es sind zur Zeit noch nicht sehr viele Musikstücke in Sagittalnotation verfügbar, aber die Liste ist am wachsen! Besonders zu erwähnen ist das [[xenharmonic/The Sagittal Songbook|Sagittal Songbook]], das 48 Stücke in verschiedenen Stimmungssystemen in pur-sagittaler Notation versammelt.

Eine Liste aller bekannten verfügbaren Sagittalnoten wird derzeit auf dem [[xenharmonic/Sagittal notation#Scores%20in%20Sagittal%20notation|englischen Xenharmonic Wiki]] aufgebaut.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:21 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:22: --&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:22 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRemoteImageRule:32:&amp;amp;lt;div style=&amp;amp;quot;text-align: center&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://sagittal.org/index_files/image005.gif&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;/div&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div style="text-align: center"&amp;gt;&amp;lt;img src="http://sagittal.org/index_files/image005.gif" alt="external image image005.gif" title="external image image005.gif" /&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRemoteImageRule:32 --&amp;gt;Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info" rel="nofollow"&amp;gt;YaHoo Tuning Forum&amp;lt;/a&amp;gt; entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt; wie auch für alle Arten von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen Tonsystemen&amp;lt;/a&amp;gt; verwendbar zu sein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Intervalle beschreiben soll. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot; von etwa 114 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für Töne in reinen Stimmungen höherer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limits&amp;lt;/a&amp;gt; werden dann neue Symbole benötigt. Die Intervalle, für die die Symbole stehen, sind hier alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reinen grossen Terz&amp;lt;/a&amp;gt;. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Leipziger Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime&amp;lt;/a&amp;gt;, und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents, also praktisch einen Viertelton gross ist. Dieses Intervall wird manchmal &amp;lt;strong&amp;gt;undezimales Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;Viertelton von Al-Farabi&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;arabischer und türkischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen eignet - siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sagittalnotation#Software"&amp;gt;weiter unten&amp;lt;/a&amp;gt;.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:29:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SagittalOvertoneSeries.jpg/556445667/SagittalOvertoneSeries.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SagittalOvertoneSeries.jpg/556445667/SagittalOvertoneSeries.jpg" alt="SagittalOvertoneSeries.jpg" title="SagittalOvertoneSeries.jpg" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:29 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; verwiesen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Pure und gemischte Sagittalnotation"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Pure und gemischte Sagittalnotation&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;gemischt-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrauten Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Demgegenüber verfolgt die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;pur-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Notation den Ansatz, maximal ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, wobei auf ein konsistentes und logisches Design geachtet wurde; in dieser Philosophie sind auch # und b durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Anwendung für gleichstufige Tonsysteme"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Anwendung für gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind. Der wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung" rel="nofollow"&amp;gt;enharmonische Verwechslungen&amp;lt;/a&amp;gt;. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; für Details.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Anwendung für gleichstufige Tonsysteme-Beispiel 1: Vergleich der Notationen in verschiedenen gleichstufigen Systemen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Beispiel 1: Vergleich der Notationen in verschiedenen gleichstufigen Systemen&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufigen Systeme präsentieren.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:30:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SagittalEDOExample.jpg/556499465/SagittalEDOExample.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SagittalEDOExample.jpg/556499465/SagittalEDOExample.jpg" alt="SagittalEDOExample.jpg" title="SagittalEDOExample.jpg" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:30 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12edo mit der traditionellen Notation überein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben. Der Unterschied zwischen den Approximationen von pythagoräischer und reiner grosser Terz beträgt einen 22edo-Schritt, welcher somit in 22edo als Approximation des syntonischen Kommas gilt (mit 54.55 Cent allerdings mehr als doppelt so gross ist wie die reine Version desselben Intervalls).&amp;lt;br /&amp;gt;
Es gilt ausserdem, dass in 22edo auch der Unterschied zwischen den Approximationen von Alphorn-Fa und reiner Quarte einen 22edo-Schritt beträgt - d.h. syntonisches und undezimales Komma fallen in 22edo zusammen, was wieder eines der beiden Symbole überflüssig macht. Insgesamt wird für die Notation von 22edo nur ein zusätzliches Symbol benötigt (bzw., genauer gesagt, zwei - eins aufwärts und eins abwärts), welches für Modifikation um einen 22edo-Schritt steht. Als empfohlenes Standardsymbol wurde dasjenige für das syntonische Komma definiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12edo ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Das Leipziger Komma wiederum fällt hier mit dem undezimalen Komma zusammen - beide werden durch einen 31edo-Schritt angenähert. Als empfohlenes Standardsymbol für 31edo wurde dasjenige für das undezimale Komma (Viertelton) definiert - die harmonische Septime könnte man daher als B mit vorgestelltem Viertelton-Symbol schreiben. Dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31edo als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/septimal-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;septimal-mitteltönigem&amp;lt;/a&amp;gt; System möglich ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Anwendung für gleichstufige Tonsysteme-Beipiel 2: 11edo-Tonleiter"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Beipiel 2: 11edo-Tonleiter&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Als zweites Beispiel eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/11edo"&amp;gt;11edo&amp;lt;/a&amp;gt;-Tonleiter. Beim Definieren einer Standardnotation trifft man hier auf einen zweiten potentiellen Problempunkt: in 11edo gibt es keine &amp;amp;quot;gute&amp;amp;quot; Approximation der reinen Quinte. Eine Definition der Notation gemäss Richtlinie 2 über Quintenschichtungen ist deshalb nicht sinnvoll - es würde zu seltsamen Effekten führen, sogar zum Widerspruch zu Richtlinie 1 (die geschriebene Note E würde wie in D klingen, die geschriebene Note Es hingegen wie ein E). Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - im vorliegenden Fall 11edo diejenigen von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Aus analogen Gründen wird für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt; die Standardnotation von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/48edo"&amp;gt;48edo&amp;lt;/a&amp;gt; empfohlen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:31:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/Sagittal11EDO.jpg/556903777/409x233/Sagittal11EDO.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; style=&amp;amp;quot;height: 233px; width: 409px;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/Sagittal11EDO.jpg/556903777/409x233/Sagittal11EDO.jpg" alt="Sagittal11EDO.jpg" title="Sagittal11EDO.jpg" style="height: 233px; width: 409px;" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:31 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
(Rendering Juhani Nuorvala)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass beide Notenlinien dieselbe Tonleiter beschreiben! Das sehr verschiedene Aussehen kommt durch Effekte der enharmonischen Verwechslungen zustande. Die obere Linie kommt völlig ohne Zusatzsymbole aus, erweckt jedoch den falschen Eindruck einer Auf- und Abbewegung - in Wirklichkeit handelt es sich um eine aufsteigende Linie aus 11edo-Schritten. Die untere Linie benötigt Zusatzzeichen, ist dadurch aber intuitiver zu lesen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:10:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Software"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:10 --&amp;gt;Software&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Sagittalnotation wird inzwischen von einer Reihe Softwareprodukte unterstützt. Auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; sind Fonts mit den Sagittalsymbolen verfügbar, mit deren Hilfe Sagittalnotation in Notensatzprogramme wie &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.klemm-music.de/makemusic/finale/index.php" rel="nofollow"&amp;gt;Finale&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.sibelius.com" rel="nofollow"&amp;gt;Sibelius&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://lilypond.org/" rel="nofollow"&amp;gt;Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt; eingebaut werden kann. Es gibt auch schon Plugins, welche die Eingabe vereinfachen, namentlich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip');"&amp;gt;Sagibelius&amp;lt;/a&amp;gt;, ein Plugin von Jacob Barton für Sagittalnotation in Sibelius. Sagibelius ist &amp;amp;quot;Donationware&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://x31eq.com/lilypond/" rel="nofollow"&amp;gt;Sagittal-Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt;, ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in Lilypond. (Sowohl Lilypond wie das Plugin sind Freeware.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.mus2.com.tr/explore/" rel="nofollow"&amp;gt;Mus2&amp;lt;/a&amp;gt; ist eine Notensatz-Software, die besonders auf die Anforderungen für die Notation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;türkischer&amp;lt;/a&amp;gt; (und natürlich auch arabischer, persischer und anderer orientalischer) Musik ausgerichtet ist. Sie unterstützt Sagittalnotation &amp;amp;quot;von Haus aus&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Informationen zu Software sind auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; zu finden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Noten in Sagittalnotation"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 --&amp;gt;Noten in Sagittalnotation&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Es sind zur Zeit noch nicht sehr viele Musikstücke in Sagittalnotation verfügbar, aber die Liste ist am wachsen! Besonders zu erwähnen ist das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/The%20Sagittal%20Songbook"&amp;gt;Sagittal Songbook&amp;lt;/a&amp;gt;, das 48 Stücke in verschiedenen Stimmungssystemen in pur-sagittaler Notation versammelt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine Liste aller bekannten verfügbaren Sagittalnoten wird derzeit auf dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Sagittal%20notation#Scores%20in%20Sagittal%20notation"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; aufgebaut.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-08-22 10:30:23 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
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[[image:http://sagittal.org/index_files/image005.gif align="center"]]
Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [[https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info|YaHoo Tuning Forum]] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [[http://sagittal.org/]] . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen= 
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle beschreiben soll. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein "grosser Halbton" von etwa 114 Cent).

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt. Die Intervalle, für die die Symbole stehen, sind hier alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich [[Komma|Kommas]].

Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer [[Naturterz|reinen grossen Terz]]. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das [[64_63|Leipziger Komma]] (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime]], und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem [[Alphorn-Fa]] und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents, also praktisch einen Viertelton gross ist. Dieses Intervall wird manchmal **undezimales Komma** oder **Viertelton von Al-Farabi** genannt. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation [[arabisch, türkisch, persisch|arabischer und türkischer]] Skalen eignet - siehe auch [[Sagittalnotation#Software|weiter unten]].)

Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:
[[image:SagittalOvertoneSeries.jpg]]

Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf [[http://sagittal.org/]] oder [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] verwiesen.

=Pure und gemischte Sagittalnotation= 
Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:

Die "**gemischt-sagittale**" Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrauten Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.

Demgegenüber verfolgt die "**pur-sagittale**" Notation den Ansatz, maximal ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, wobei auf ein konsistentes und logisches Design geachtet wurde; in dieser Philosophie sind auch # und b durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.

Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.

=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme= 
Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:
# Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.
# Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.

Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind. Der wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für [[http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung|enharmonische Verwechslungen]]. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei [[mitteltönig|mitteltönigen]] gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] für Details.

==Beispiel 1: Vergleich der Notationen in verschiedenen gleichstufigen Systemen== 
Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufigen Systeme präsentieren.

[[image:SagittalEDOExample.jpg]]

Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.

In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.

In der Standardstimmung [[12edo]] etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12edo mit der traditionellen Notation überein.

[[22edo]] hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben. Der Unterschied zwischen den Approximationen von pythagoräischer und reiner grosser Terz beträgt einen 22edo-Schritt, welcher somit in 22edo als Approximation des syntonischen Kommas gilt (mit 54.55 Cent allerdings mehr als doppelt so gross ist wie die reine Version desselben Intervalls).
Es gilt ausserdem, dass in 22edo auch der Unterschied zwischen den Approximationen von Alphorn-Fa und reiner Quarte einen 22edo-Schritt beträgt - d.h. syntonisches und undezimales Komma fallen in 22edo zusammen, was wieder eines der beiden Symbole überflüssig macht. Insgesamt wird für die Notation von 22edo nur ein zusätzliches Symbol benötigt (bzw., genauer gesagt, zwei - eins aufwärts und eins abwärts), welches für Modifikation um einen 22edo-Schritt steht. Als empfohlenes Standardsymbol wurde dasjenige für das syntonische Komma definiert.

[[31edo]] schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12edo ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Das Leipziger Komma wiederum fällt hier mit dem undezimalen Komma zusammen - beide werden durch einen 31edo-Schritt angenähert. Als empfohlenes Standardsymbol für 31edo wurde dasjenige für das undezimale Komma (Viertelton) definiert - die harmonische Septime könnte man daher als B mit vorgestelltem Viertelton-Symbol schreiben. Dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31edo als [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigem]] System möglich ist.

==Beipiel 2: 11edo-Tonleiter== 
Als zweites Beispiel eine [[11edo]]-Tonleiter. Beim Definieren einer Standardnotation trifft man hier auf einen zweiten potentiellen Problempunkt: in 11edo gibt es keine "gute" Approximation der reinen Quinte. Eine Definition der Notation gemäss Richtlinie 2 über Quintenschichtungen ist deshalb nicht sinnvoll - es würde zu seltsamen Effekten führen, sogar zum Widerspruch zu Richtlinie 1 (die geschriebene Note E würde wie in D klingen, die geschriebene Note Es hingegen wie ein E). Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - im vorliegenden Fall 11edo diejenigen von [[22edo]]. Aus analogen Gründen wird für [[16edo]] die Standardnotation von [[48edo]] empfohlen.
[[image:Sagittal11EDO.jpg width="409" height="233"]]
(Rendering Juhani Nuorvala)

Man beachte, dass beide Notenlinien dieselbe Tonleiter beschreiben! Das sehr verschiedene Aussehen kommt durch Effekte der enharmonischen Verwechslungen zustande. Die obere Linie kommt völlig ohne Zusatzsymbole aus, erweckt jedoch den falschen Eindruck einer Auf- und Abbewegung - in Wirklichkeit handelt es sich um eine aufsteigende Linie aus 11edo-Schritten. Die untere Linie benötigt Zusatzzeichen, ist dadurch aber intuitiver zu lesen.

=Software= 
Sagittalnotation wird inzwischen von einer Reihe Softwareprodukte unterstützt. Auf [[http://sagittal.org/]] sind Fonts mit den Sagittalsymbolen verfügbar, mit deren Hilfe Sagittalnotation in Notensatzprogramme wie [[http://www.klemm-music.de/makemusic/finale/index.php|Finale]], [[http://www.sibelius.com|Sibelius]] oder [[http://lilypond.org/|Lilypond]] eingebaut werden kann. Es gibt auch schon Plugins, welche die Eingabe vereinfachen, namentlich:

[[file:xenharmonic/Sagibelius_2.0.zip|Sagibelius]], ein Plugin von Jacob Barton für Sagittalnotation in Sibelius. Sagibelius ist "Donationware".
[[http://x31eq.com/lilypond/|Sagittal-Lilypond]], ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in Lilypond. (Sowohl Lilypond wie das Plugin sind Freeware.)

[[http://www.mus2.com.tr/explore/|Mus2]] ist eine Notensatz-Software, die besonders auf die Anforderungen für die Notation [[arabisch, türkisch, persisch|türkischer]] (und natürlich auch arabischer, persischer und anderer orientalischer) Musik ausgerichtet ist. Sie unterstützt Sagittalnotation "von Haus aus".

Weitere Informationen zu Software sind auf [[http://sagittal.org/]] zu finden.

=Noten in Sagittalnotation= 
Es sind zur Zeit noch nicht sehr viele Musikstücke in Sagittalnotation verfügbar, aber die Liste ist am Wachsen! Besonders zu erwähnen ist das [[xenharmonic/The Sagittal Songbook|Sagittal Songbook]], das 48 Stücke in verschiedenen Stimmungssystemen in pur-sagittaler Notation versammelt.

Eine Liste aller bekannten verfügbaren Sagittalnoten wird auf dem [[xenharmonic/Sagittal notation#Scores%20in%20Sagittal%20notation|englischen Xenharmonic Wiki]] geführt.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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 Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot; von etwa 114 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind. Der wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung" rel="nofollow"&amp;gt;enharmonische Verwechslungen&amp;lt;/a&amp;gt;. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; für Details.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Anwendung für gleichstufige Tonsysteme-Beispiel 1: Vergleich der Notationen in verschiedenen gleichstufigen Systemen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Beispiel 1: Vergleich der Notationen in verschiedenen gleichstufigen Systemen&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufigen Systeme präsentieren.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:30:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SagittalEDOExample.jpg/556499465/SagittalEDOExample.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SagittalEDOExample.jpg/556499465/SagittalEDOExample.jpg" alt="SagittalEDOExample.jpg" title="SagittalEDOExample.jpg" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:30 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12edo mit der traditionellen Notation überein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben. Der Unterschied zwischen den Approximationen von pythagoräischer und reiner grosser Terz beträgt einen 22edo-Schritt, welcher somit in 22edo als Approximation des syntonischen Kommas gilt (mit 54.55 Cent allerdings mehr als doppelt so gross ist wie die reine Version desselben Intervalls).&amp;lt;br /&amp;gt;
Es gilt ausserdem, dass in 22edo auch der Unterschied zwischen den Approximationen von Alphorn-Fa und reiner Quarte einen 22edo-Schritt beträgt - d.h. syntonisches und undezimales Komma fallen in 22edo zusammen, was wieder eines der beiden Symbole überflüssig macht. Insgesamt wird für die Notation von 22edo nur ein zusätzliches Symbol benötigt (bzw., genauer gesagt, zwei - eins aufwärts und eins abwärts), welches für Modifikation um einen 22edo-Schritt steht. Als empfohlenes Standardsymbol wurde dasjenige für das syntonische Komma definiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12edo ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Das Leipziger Komma wiederum fällt hier mit dem undezimalen Komma zusammen - beide werden durch einen 31edo-Schritt angenähert. Als empfohlenes Standardsymbol für 31edo wurde dasjenige für das undezimale Komma (Viertelton) definiert - die harmonische Septime könnte man daher als B mit vorgestelltem Viertelton-Symbol schreiben. Dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31edo als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/septimal-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;septimal-mitteltönigem&amp;lt;/a&amp;gt; System möglich ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Anwendung für gleichstufige Tonsysteme-Beipiel 2: 11edo-Tonleiter"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Beipiel 2: 11edo-Tonleiter&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Als zweites Beispiel eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/11edo"&amp;gt;11edo&amp;lt;/a&amp;gt;-Tonleiter. Beim Definieren einer Standardnotation trifft man hier auf einen zweiten potentiellen Problempunkt: in 11edo gibt es keine &amp;amp;quot;gute&amp;amp;quot; Approximation der reinen Quinte. Eine Definition der Notation gemäss Richtlinie 2 über Quintenschichtungen ist deshalb nicht sinnvoll - es würde zu seltsamen Effekten führen, sogar zum Widerspruch zu Richtlinie 1 (die geschriebene Note E würde wie in D klingen, die geschriebene Note Es hingegen wie ein E). Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - im vorliegenden Fall 11edo diejenigen von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Aus analogen Gründen wird für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt; die Standardnotation von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/48edo"&amp;gt;48edo&amp;lt;/a&amp;gt; empfohlen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:31:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/Sagittal11EDO.jpg/556903777/409x233/Sagittal11EDO.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; style=&amp;amp;quot;height: 233px; width: 409px;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/Sagittal11EDO.jpg/556903777/409x233/Sagittal11EDO.jpg" alt="Sagittal11EDO.jpg" title="Sagittal11EDO.jpg" style="height: 233px; width: 409px;" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:31 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
(Rendering Juhani Nuorvala)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass beide Notenlinien dieselbe Tonleiter beschreiben! Das sehr verschiedene Aussehen kommt durch Effekte der enharmonischen Verwechslungen zustande. Die obere Linie kommt völlig ohne Zusatzsymbole aus, erweckt jedoch den falschen Eindruck einer Auf- und Abbewegung - in Wirklichkeit handelt es sich um eine aufsteigende Linie aus 11edo-Schritten. Die untere Linie benötigt Zusatzzeichen, ist dadurch aber intuitiver zu lesen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:10:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Software"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:10 --&amp;gt;Software&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Sagittalnotation wird inzwischen von einer Reihe Softwareprodukte unterstützt. Auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; sind Fonts mit den Sagittalsymbolen verfügbar, mit deren Hilfe Sagittalnotation in Notensatzprogramme wie &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.klemm-music.de/makemusic/finale/index.php" rel="nofollow"&amp;gt;Finale&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.sibelius.com" rel="nofollow"&amp;gt;Sibelius&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://lilypond.org/" rel="nofollow"&amp;gt;Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt; eingebaut werden kann. Es gibt auch schon Plugins, welche die Eingabe vereinfachen, namentlich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip');"&amp;gt;Sagibelius&amp;lt;/a&amp;gt;, ein Plugin von Jacob Barton für Sagittalnotation in Sibelius. Sagibelius ist &amp;amp;quot;Donationware&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://x31eq.com/lilypond/" rel="nofollow"&amp;gt;Sagittal-Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt;, ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in Lilypond. (Sowohl Lilypond wie das Plugin sind Freeware.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.mus2.com.tr/explore/" rel="nofollow"&amp;gt;Mus2&amp;lt;/a&amp;gt; ist eine Notensatz-Software, die besonders auf die Anforderungen für die Notation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;türkischer&amp;lt;/a&amp;gt; (und natürlich auch arabischer, persischer und anderer orientalischer) Musik ausgerichtet ist. Sie unterstützt Sagittalnotation &amp;amp;quot;von Haus aus&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Informationen zu Software sind auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; zu finden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Noten in Sagittalnotation"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 --&amp;gt;Noten in Sagittalnotation&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Es sind zur Zeit noch nicht sehr viele Musikstücke in Sagittalnotation verfügbar, aber die Liste ist am Wachsen! Besonders zu erwähnen ist das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/The%20Sagittal%20Songbook"&amp;gt;Sagittal Songbook&amp;lt;/a&amp;gt;, das 48 Stücke in verschiedenen Stimmungssystemen in pur-sagittaler Notation versammelt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine Liste aller bekannten verfügbaren Sagittalnoten wird auf dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Sagittal%20notation#Scores%20in%20Sagittal%20notation"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; geführt.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Sagittal notation|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[toc]]
[[image:http://sagittal.org/index_files/image005.gif align="center"]]
Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [[https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info|YaHoo Tuning Forum]] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [[http://sagittal.org/]] . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen= 
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle beschreiben soll. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein "grosser Halbton" von etwa 114 Cent).

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt. Die Intervalle, für die die Symbole stehen, sind hier alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich [[Komma|Kommas]].

Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer [[Naturterz|reinen grossen Terz]]. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das [[64_63|Leipziger Komma]] (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime]], und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem [[Alphorn-Fa]] und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents, also praktisch einen Viertelton gross ist. Dieses Intervall wird manchmal **undezimales Komma** oder **Viertelton von Al-Farabi** genannt. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation [[arabisch, türkisch, persisch|arabischer und türkischer]] Skalen eignet - siehe auch [[Sagittalnotation#Software|weiter unten]].)

Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:
[[image:SagittalOvertoneSeries.jpg]]

Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf [[http://sagittal.org/]] oder [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] verwiesen.

=Pure und gemischte Sagittalnotation= 
Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:

Die "**gemischt-sagittale**" Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrauten Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.

Demgegenüber verfolgt die "**pur-sagittale**" Notation den Ansatz, maximal ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, wobei auf ein konsistentes und logisches Design geachtet wurde; in dieser Philosophie sind auch # und b durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.

Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.

=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme= 
Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:
# Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.
# Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.

Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind.

Der erste und wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für [[http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung|enharmonische Verwechslungen]]. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei [[mitteltönig|mitteltönigen]] gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] für Details.

Zur Richtlinie 2 gibt es zu beachten, dass die Definition der traditionellen Notation gemäss Quintenschichtungen nur sinnvoll ist, wenn eine hinreichend gute Näherung für die reine Quinte verfügbar ist. Ansonsten können sich seltsame Effekte ergeben - bis zum Widerspruch zu Richtlinie 1, etwa bei [[16edo]], wo die geschriebene Note E eher wie ein Es klingen würde, die geschriebene Note Es hingegen wie ein E. Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - für 16edo beispielsweise die Symbole von [[48edo]], für [[11edo]] die von [[22edo]].

==Beispiele== 
Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufigen Systeme präsentieren.

[[image:SagittalEDOExample.jpg]]

Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.

In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.

In der Standardstimmung [[12edo]] etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12edo mit der traditionellen Notation überein.

[[22edo]] hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben. Der Unterschied zwischen den Approximationen von pythagoräischer und reiner grosser Terz beträgt einen 22edo-Schritt, welcher somit in 22edo als Approximation des syntonischen Kommas gilt (mit 54.55 Cent allerdings mehr als doppelt so gross ist wie die reine Version desselben Intervalls).
Es gilt ausserdem, dass in 22edo auch der Unterschied zwischen den Approximationen von Alphorn-Fa und reiner Quarte einen 22edo-Schritt beträgt - d.h. syntonisches und undezimales Komma fallen in 22edo zusammen, was wieder eines der beiden Symbole überflüssig macht. Insgesamt wird für die Notation von 22edo nur ein zusätzliches Symbol benötigt (bzw., genauer gesagt, zwei - eins aufwärts und eins abwärts), welches für Modifikation um einen 22edo-Schritt steht. Als empfohlenes Standardsymbol wurde dasjenige für das syntonische Komma definiert.

[[31edo]] schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12edo ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Das Leipziger Komma wiederum fällt hier mit dem undezimalen Komma zusammen - beide werden durch einen 31edo-Schritt angenähert. Als empfohlenes Standardsymbol für 31edo wurde dasjenige für das undezimale Komma (Viertelton) definiert - die harmonische Septime könnte man daher als B mit vorgestelltem Viertelton-Symbol schreiben. Dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31edo als [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigem]] System möglich ist.

Als zweites Beispiel eine [[11edo]]-Tonleiter, geschrieben nach dem Standard von 22edo (entsprechend der Anmerkung zu Richtlinie 2):
[[image:Sagittal11EDO.jpg width="409" height="233"]]
(Rendering Juhani Nuorvala)

Man beachte, dass beide Notenlinien dieselbe Tonleiter beschreiben! Das sehr verschiedene Aussehen kommt durch Effekte der enharmonischen Verwechslungen zustande. Die obere Linie kommt völlig ohne Zusatzsymbole aus, erweckt jedoch den falschen Eindruck einer Auf- und Abbewegung - in Wirklichkeit handelt es sich um eine aufsteigende Linie aus 11edo-Schritten. Die untere Linie benötigt Zusatzzeichen, ist dadurch aber intuitiver zu lesen.

=Software= 
Sagittalnotation wird inzwischen von einer Reihe Softwareprodukte unterstützt. Auf [[http://sagittal.org/]] sind Fonts mit den Sagittalsymbolen verfügbar, mit deren Hilfe Sagittalnotation in Notensatzprogramme wie [[http://www.klemm-music.de/makemusic/finale/index.php|Finale]], [[http://www.sibelius.com|Sibelius]] oder [[http://lilypond.org/|Lilypond]] eingebaut werden kann. Es gibt auch schon Plugins, welche die Eingabe vereinfachen, namentlich:

[[file:xenharmonic/Sagibelius_2.0.zip|Sagibelius]], ein Plugin von Jacob Barton für Sagittalnotation in Sibelius. Sagibelius ist "Donationware".
[[http://x31eq.com/lilypond/|Sagittal-Lilypond]], ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in Lilypond. (Sowohl Lilypond wie das Plugin sind Freeware.)

[[http://www.mus2.com.tr/explore/|Mus2]] ist eine Notensatz-Software, die besonders auf die Anforderungen für die Notation [[arabisch, türkisch, persisch|türkischer]] (und natürlich auch arabischer, persischer und anderer orientalischer) Musik ausgerichtet ist. Sie unterstützt Sagittalnotation "von Haus aus".

Weitere Informationen zu Software sind auf [[http://sagittal.org/]] zu finden.

=Noten in Sagittalnotation= 
Es sind zur Zeit noch nicht sehr viele Musikstücke in Sagittalnotation verfügbar, aber die Liste ist am Wachsen! Besonders zu erwähnen ist das [[xenharmonic/The Sagittal Songbook|Sagittal Songbook]], das 48 Stücke in verschiedenen Stimmungssystemen in pur-sagittaler Notation versammelt.

Eine Liste aller bekannten verfügbaren Sagittalnoten wird auf dem [[xenharmonic/Sagittal notation#Scores%20in%20Sagittal%20notation|englischen Xenharmonic Wiki]] geführt.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Sagittalnotation&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Sagittal%20notation"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:12:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@normal&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaToc&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/normal?w=225&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div id="toc"&amp;gt;&amp;lt;h1 class="nopad"&amp;gt;Table of Contents&amp;lt;/h1&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:12 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:13: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen"&amp;gt;Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:14: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Pure und gemischte Sagittalnotation"&amp;gt;Pure und gemischte Sagittalnotation&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:14 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:15: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Anwendung für gleichstufige Tonsysteme"&amp;gt;Anwendung für gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 2em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Anwendung für gleichstufige Tonsysteme-Beispiele"&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Software"&amp;gt;Software&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Noten in Sagittalnotation"&amp;gt;Noten in Sagittalnotation&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRemoteImageRule:29:&amp;amp;lt;div style=&amp;amp;quot;text-align: center&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://sagittal.org/index_files/image005.gif&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;/div&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div style="text-align: center"&amp;gt;&amp;lt;img src="http://sagittal.org/index_files/image005.gif" alt="external image image005.gif" title="external image image005.gif" /&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRemoteImageRule:29 --&amp;gt;Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info" rel="nofollow"&amp;gt;YaHoo Tuning Forum&amp;lt;/a&amp;gt; entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt; wie auch für alle Arten von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen Tonsystemen&amp;lt;/a&amp;gt; verwendbar zu sein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Intervalle beschreiben soll. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot; von etwa 114 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für Töne in reinen Stimmungen höherer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limits&amp;lt;/a&amp;gt; werden dann neue Symbole benötigt. Die Intervalle, für die die Symbole stehen, sind hier alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reinen grossen Terz&amp;lt;/a&amp;gt;. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Leipziger Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime&amp;lt;/a&amp;gt;, und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents, also praktisch einen Viertelton gross ist. Dieses Intervall wird manchmal &amp;lt;strong&amp;gt;undezimales Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;Viertelton von Al-Farabi&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;arabischer und türkischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen eignet - siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sagittalnotation#Software"&amp;gt;weiter unten&amp;lt;/a&amp;gt;.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:26:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SagittalOvertoneSeries.jpg/556445667/SagittalOvertoneSeries.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SagittalOvertoneSeries.jpg/556445667/SagittalOvertoneSeries.jpg" alt="SagittalOvertoneSeries.jpg" title="SagittalOvertoneSeries.jpg" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:26 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; verwiesen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Pure und gemischte Sagittalnotation"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Pure und gemischte Sagittalnotation&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;gemischt-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrauten Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Demgegenüber verfolgt die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;pur-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Notation den Ansatz, maximal ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, wobei auf ein konsistentes und logisches Design geachtet wurde; in dieser Philosophie sind auch # und b durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Anwendung für gleichstufige Tonsysteme"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Anwendung für gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der erste und wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung" rel="nofollow"&amp;gt;enharmonische Verwechslungen&amp;lt;/a&amp;gt;. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; für Details.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zur Richtlinie 2 gibt es zu beachten, dass die Definition der traditionellen Notation gemäss Quintenschichtungen nur sinnvoll ist, wenn eine hinreichend gute Näherung für die reine Quinte verfügbar ist. Ansonsten können sich seltsame Effekte ergeben - bis zum Widerspruch zu Richtlinie 1, etwa bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;, wo die geschriebene Note E eher wie ein Es klingen würde, die geschriebene Note Es hingegen wie ein E. Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - für 16edo beispielsweise die Symbole von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/48edo"&amp;gt;48edo&amp;lt;/a&amp;gt;, für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/11edo"&amp;gt;11edo&amp;lt;/a&amp;gt; die von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Anwendung für gleichstufige Tonsysteme-Beispiele"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufigen Systeme präsentieren.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:27:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SagittalEDOExample.jpg/556499465/SagittalEDOExample.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SagittalEDOExample.jpg/556499465/SagittalEDOExample.jpg" alt="SagittalEDOExample.jpg" title="SagittalEDOExample.jpg" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:27 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12edo mit der traditionellen Notation überein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben. Der Unterschied zwischen den Approximationen von pythagoräischer und reiner grosser Terz beträgt einen 22edo-Schritt, welcher somit in 22edo als Approximation des syntonischen Kommas gilt (mit 54.55 Cent allerdings mehr als doppelt so gross ist wie die reine Version desselben Intervalls).&amp;lt;br /&amp;gt;
Es gilt ausserdem, dass in 22edo auch der Unterschied zwischen den Approximationen von Alphorn-Fa und reiner Quarte einen 22edo-Schritt beträgt - d.h. syntonisches und undezimales Komma fallen in 22edo zusammen, was wieder eines der beiden Symbole überflüssig macht. Insgesamt wird für die Notation von 22edo nur ein zusätzliches Symbol benötigt (bzw., genauer gesagt, zwei - eins aufwärts und eins abwärts), welches für Modifikation um einen 22edo-Schritt steht. Als empfohlenes Standardsymbol wurde dasjenige für das syntonische Komma definiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12edo ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Das Leipziger Komma wiederum fällt hier mit dem undezimalen Komma zusammen - beide werden durch einen 31edo-Schritt angenähert. Als empfohlenes Standardsymbol für 31edo wurde dasjenige für das undezimale Komma (Viertelton) definiert - die harmonische Septime könnte man daher als B mit vorgestelltem Viertelton-Symbol schreiben. Dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31edo als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/septimal-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;septimal-mitteltönigem&amp;lt;/a&amp;gt; System möglich ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als zweites Beispiel eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/11edo"&amp;gt;11edo&amp;lt;/a&amp;gt;-Tonleiter, geschrieben nach dem Standard von 22edo (entsprechend der Anmerkung zu Richtlinie 2):&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:28:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/Sagittal11EDO.jpg/556903777/409x233/Sagittal11EDO.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; style=&amp;amp;quot;height: 233px; width: 409px;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/Sagittal11EDO.jpg/556903777/409x233/Sagittal11EDO.jpg" alt="Sagittal11EDO.jpg" title="Sagittal11EDO.jpg" style="height: 233px; width: 409px;" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:28 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
(Rendering Juhani Nuorvala)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass beide Notenlinien dieselbe Tonleiter beschreiben! Das sehr verschiedene Aussehen kommt durch Effekte der enharmonischen Verwechslungen zustande. Die obere Linie kommt völlig ohne Zusatzsymbole aus, erweckt jedoch den falschen Eindruck einer Auf- und Abbewegung - in Wirklichkeit handelt es sich um eine aufsteigende Linie aus 11edo-Schritten. Die untere Linie benötigt Zusatzzeichen, ist dadurch aber intuitiver zu lesen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Software"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Software&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Sagittalnotation wird inzwischen von einer Reihe Softwareprodukte unterstützt. Auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; sind Fonts mit den Sagittalsymbolen verfügbar, mit deren Hilfe Sagittalnotation in Notensatzprogramme wie &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.klemm-music.de/makemusic/finale/index.php" rel="nofollow"&amp;gt;Finale&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.sibelius.com" rel="nofollow"&amp;gt;Sibelius&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://lilypond.org/" rel="nofollow"&amp;gt;Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt; eingebaut werden kann. Es gibt auch schon Plugins, welche die Eingabe vereinfachen, namentlich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip');"&amp;gt;Sagibelius&amp;lt;/a&amp;gt;, ein Plugin von Jacob Barton für Sagittalnotation in Sibelius. Sagibelius ist &amp;amp;quot;Donationware&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://x31eq.com/lilypond/" rel="nofollow"&amp;gt;Sagittal-Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt;, ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in Lilypond. (Sowohl Lilypond wie das Plugin sind Freeware.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.mus2.com.tr/explore/" rel="nofollow"&amp;gt;Mus2&amp;lt;/a&amp;gt; ist eine Notensatz-Software, die besonders auf die Anforderungen für die Notation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;türkischer&amp;lt;/a&amp;gt; (und natürlich auch arabischer, persischer und anderer orientalischer) Musik ausgerichtet ist. Sie unterstützt Sagittalnotation &amp;amp;quot;von Haus aus&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Informationen zu Software sind auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; zu finden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Es sind zur Zeit noch nicht sehr viele Musikstücke in Sagittalnotation verfügbar, aber die Liste ist am Wachsen! Besonders zu erwähnen ist das &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/The%20Sagittal%20Songbook"&amp;gt;Sagittal Songbook&amp;lt;/a&amp;gt;, das 48 Stücke in verschiedenen Stimmungssystemen in pur-sagittaler Notation versammelt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine Liste aller bekannten verfügbaren Sagittalnoten wird auf dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Sagittal%20notation#Scores%20in%20Sagittal%20notation"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; geführt.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[image:http://sagittal.org/index_files/image005.gif align="center"]]
Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [[https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info|YaHoo Tuning Forum]] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [[http://sagittal.org/]] . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen= 
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle beschreiben soll. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein "grosser Halbton" von etwa 114 Cent).

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt. Die Intervalle, für die die Symbole stehen, sind hier alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich [[Komma|Kommas]].

Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer [[Naturterz|reinen grossen Terz]]. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das [[64_63|Leipziger Komma]] (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime]], und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem [[Alphorn-Fa]] und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents, also praktisch einen Viertelton gross ist. Dieses Intervall wird manchmal **undezimales Komma** oder **Viertelton von Al-Farabi** genannt. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation [[arabisch, türkisch, persisch|arabischer und türkischer]] Skalen eignet - siehe auch [[Sagittalnotation#Software|weiter unten]].)

Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:
[[image:SagittalOvertoneSeries.jpg]]

Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf [[http://sagittal.org/]] oder [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] verwiesen.

=Pure und gemischte Sagittalnotation= 
Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:

Die "**gemischt-sagittale**" Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrauten Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.

Demgegenüber verfolgt die "**pur-sagittale**" Notation den Ansatz, maximal ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, wobei auf ein konsistentes und logisches Design geachtet wurde; in dieser Philosophie sind auch # und b durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.

Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.

=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme= 
Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:
# Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.
# Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.

Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind.

Der erste und wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für [[http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung|enharmonische Verwechslungen]]. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei [[mitteltönig|mitteltönigen]] gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] für Details.

Zur Richtlinie 2 gibt es zu beachten, dass die Definition der traditionellen Notation gemäss Quintenschichtungen nur sinnvoll ist, wenn eine hinreichend gute Näherung für die reine Quinte verfügbar ist. Ansonsten können sich seltsame Effekte ergeben - bis zum Widerspruch zu Richtlinie 1, etwa bei [[16edo]], wo die geschriebene Note E eher wie ein Es klingen würde, die geschriebene Note Es hingegen wie ein E. Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - für 16edo beispielsweise die Symbole von [[48edo]], für [[11edo]] die von [[22edo]].

==Beispiele== 
Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufigen Systeme präsentieren.

[[image:SagittalEDOExample.jpg]]

Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.

In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.

In der Standardstimmung [[12edo]] etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12edo mit der traditionellen Notation überein.

[[22edo]] hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben. Der Unterschied zwischen den Approximationen von pythagoräischer und reiner grosser Terz beträgt einen 22edo-Schritt, welcher somit in 22edo als Approximation des syntonischen Kommas gilt (mit 54.55 Cent allerdings mehr als doppelt so gross ist wie die reine Version desselben Intervalls).
Es gilt ausserdem, dass in 22edo auch der Unterschied zwischen den Approximationen von Alphorn-Fa und reiner Quarte einen 22edo-Schritt beträgt - d.h. syntonisches und undezimales Komma fallen in 22edo zusammen, was wieder eines der beiden Symbole überflüssig macht. Insgesamt wird für die Notation von 22edo nur ein zusätzliches Symbol benötigt (bzw., genauer gesagt, zwei - eins aufwärts und eins abwärts), welches für Modifikation um einen 22edo-Schritt steht. Als empfohlenes Standardsymbol wurde dasjenige für das syntonische Komma definiert.

[[31edo]] schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12edo ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Das Leipziger Komma wiederum fällt hier mit dem undezimalen Komma zusammen - beide werden durch einen 31edo-Schritt angenähert. Als empfohlenes Standardsymbol für 31edo wurde dasjenige für das undezimale Komma (Viertelton) definiert - die harmonische Septime könnte man daher als B mit vorgestelltem Viertelton-Symbol schreiben. Dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31edo als [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigem]] System möglich ist.

Als zweites Beispiel eine [[11edo]]-Tonleiter, geschrieben nach dem Standard von 22edo (entsprechend der Anmerkung zu Richtlinie 2):
[[image:Sagittal11EDO.jpg width="409" height="233"]]
(Rendering Juhani Nuorvala)

Man beachte, dass beide Notenlinien dieselbe Tonleiter beschreiben! Das sehr verschiedene Aussehen kommt durch Effekte der enharmonischen Verwechslungen zustande. Die obere Linie kommt völlig ohne Zusatzsymbole aus, erweckt jedoch den falschen Eindruck einer Auf- und Abbewegung - in Wirklichkeit handelt es sich um eine aufsteigende Linie aus 11edo-Schritten. Die untere Linie benötigt Zusatzzeichen, ist dadurch aber intuitiver zu lesen.

=Software= 
Sagittalnotation wird inzwischen von einer Reihe Softwareprodukte unterstützt. Auf [[http://sagittal.org/]] sind Fonts mit den Sagittalsymbolen verfügbar, mit deren Hilfe Sagittalnotation in Notensatzprogramme wie [[http://www.klemm-music.de/makemusic/finale/index.php|Finale]], [[http://www.sibelius.com|Sibelius]] oder [[http://lilypond.org/|Lilypond]] eingebaut werden kann. Es gibt auch schon Plugins, welche die Eingabe vereinfachen, namentlich:

[[file:xenharmonic/Sagibelius_2.0.zip|Sagibelius]], ein Plugin von Jacob Barton für Sagittalnotation in Sibelius. Sagibelius ist "Donationware".
[[http://x31eq.com/lilypond/|Sagittal-Lilypond]], ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in Lilypond. (Sowohl Lilypond wie das Plugin sind Freeware.)

[[http://www.mus2.com.tr/explore/|Mus2]] ist eine Notensatz-Software, die besonders auf die Anforderungen für die Notation [[arabisch, türkisch, persisch|türkischer]] (und natürlich auch arabischer, persischer und anderer orientalischer) Musik ausgerichtet ist. Sie unterstützt Sagittalnotation "von Haus aus".

Weitere Informationen zu Software sind auf [[http://sagittal.org/]] zu finden.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Intervalle beschreiben soll. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot; von etwa 114 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für Töne in reinen Stimmungen höherer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limits&amp;lt;/a&amp;gt; werden dann neue Symbole benötigt. Die Intervalle, für die die Symbole stehen, sind hier alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reinen grossen Terz&amp;lt;/a&amp;gt;. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Leipziger Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime&amp;lt;/a&amp;gt;, und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents, also praktisch einen Viertelton gross ist. Dieses Intervall wird manchmal &amp;lt;strong&amp;gt;undezimales Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;Viertelton von Al-Farabi&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;arabischer und türkischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen eignet - siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sagittalnotation#Software"&amp;gt;weiter unten&amp;lt;/a&amp;gt;.)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;gemischt-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrauten Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Demgegenüber verfolgt die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;pur-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Notation den Ansatz, maximal ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, wobei auf ein konsistentes und logisches Design geachtet wurde; in dieser Philosophie sind auch # und b durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Anwendung für gleichstufige Tonsysteme"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Anwendung für gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der erste und wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung" rel="nofollow"&amp;gt;enharmonische Verwechslungen&amp;lt;/a&amp;gt;. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; für Details.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zur Richtlinie 2 gibt es zu beachten, dass die Definition der traditionellen Notation gemäss Quintenschichtungen nur sinnvoll ist, wenn eine hinreichend gute Näherung für die reine Quinte verfügbar ist. Ansonsten können sich seltsame Effekte ergeben - bis zum Widerspruch zu Richtlinie 1, etwa bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;, wo die geschriebene Note E eher wie ein Es klingen würde, die geschriebene Note Es hingegen wie ein E. Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - für 16edo beispielsweise die Symbole von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/48edo"&amp;gt;48edo&amp;lt;/a&amp;gt;, für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/11edo"&amp;gt;11edo&amp;lt;/a&amp;gt; die von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Anwendung für gleichstufige Tonsysteme-Beispiele"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufigen Systeme präsentieren.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:24:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SagittalEDOExample.jpg/556499465/SagittalEDOExample.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SagittalEDOExample.jpg/556499465/SagittalEDOExample.jpg" alt="SagittalEDOExample.jpg" title="SagittalEDOExample.jpg" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:24 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12edo mit der traditionellen Notation überein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben. Der Unterschied zwischen den Approximationen von pythagoräischer und reiner grosser Terz beträgt einen 22edo-Schritt, welcher somit in 22edo als Approximation des syntonischen Kommas gilt (mit 54.55 Cent allerdings mehr als doppelt so gross ist wie die reine Version desselben Intervalls).&amp;lt;br /&amp;gt;
Es gilt ausserdem, dass in 22edo auch der Unterschied zwischen den Approximationen von Alphorn-Fa und reiner Quarte einen 22edo-Schritt beträgt - d.h. syntonisches und undezimales Komma fallen in 22edo zusammen, was wieder eines der beiden Symbole überflüssig macht. Insgesamt wird für die Notation von 22edo nur ein zusätzliches Symbol benötigt (bzw., genauer gesagt, zwei - eins aufwärts und eins abwärts), welches für Modifikation um einen 22edo-Schritt steht. Als empfohlenes Standardsymbol wurde dasjenige für das syntonische Komma definiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12edo ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Das Leipziger Komma wiederum fällt hier mit dem undezimalen Komma zusammen - beide werden durch einen 31edo-Schritt angenähert. Als empfohlenes Standardsymbol für 31edo wurde dasjenige für das undezimale Komma (Viertelton) definiert - die harmonische Septime könnte man daher als B mit vorgestelltem Viertelton-Symbol schreiben. Dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31edo als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/septimal-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;septimal-mitteltönigem&amp;lt;/a&amp;gt; System möglich ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als zweites Beispiel eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/11edo"&amp;gt;11edo&amp;lt;/a&amp;gt;-Tonleiter, geschrieben nach dem Standard von 22edo (entsprechend der Anmerkung zu Richtlinie 2):&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:25:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/Sagittal11EDO.jpg/556903777/409x233/Sagittal11EDO.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; style=&amp;amp;quot;height: 233px; width: 409px;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/Sagittal11EDO.jpg/556903777/409x233/Sagittal11EDO.jpg" alt="Sagittal11EDO.jpg" title="Sagittal11EDO.jpg" style="height: 233px; width: 409px;" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:25 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
(Rendering Juhani Nuorvala)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass beide Notenlinien dieselbe Tonleiter beschreiben! Das sehr verschiedene Aussehen kommt durch Effekte der enharmonischen Verwechslungen zustande. Die obere Linie kommt völlig ohne Zusatzsymbole aus, erweckt jedoch den falschen Eindruck einer Auf- und Abbewegung - in Wirklichkeit handelt es sich um eine aufsteigende Linie aus 11edo-Schritten. Die untere Linie benötigt Zusatzzeichen, ist dadurch aber intuitiver zu lesen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Software"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Software&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Sagittalnotation wird inzwischen von einer Reihe Softwareprodukte unterstützt. Auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; sind Fonts mit den Sagittalsymbolen verfügbar, mit deren Hilfe Sagittalnotation in Notensatzprogramme wie &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.klemm-music.de/makemusic/finale/index.php" rel="nofollow"&amp;gt;Finale&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.sibelius.com" rel="nofollow"&amp;gt;Sibelius&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://lilypond.org/" rel="nofollow"&amp;gt;Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt; eingebaut werden kann. Es gibt auch schon Plugins, welche die Eingabe vereinfachen, namentlich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip');"&amp;gt;Sagibelius&amp;lt;/a&amp;gt;, ein Plugin von Jacob Barton für Sagittalnotation in Sibelius. Sagibelius ist &amp;amp;quot;Donationware&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://x31eq.com/lilypond/" rel="nofollow"&amp;gt;Sagittal-Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt;, ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in Lilypond. (Sowohl Lilypond wie das Plugin sind Freeware.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.mus2.com.tr/explore/" rel="nofollow"&amp;gt;Mus2&amp;lt;/a&amp;gt; ist eine Notensatz-Software, die besonders auf die Anforderungen für die Notation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;türkischer&amp;lt;/a&amp;gt; (und natürlich auch arabischer, persischer und anderer orientalischer) Musik ausgerichtet ist. Sie unterstützt Sagittalnotation &amp;amp;quot;von Haus aus&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Informationen zu Software sind auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; zu finden.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Sagittal notation|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[toc]]
[[image:http://sagittal.org/index_files/image005.gif align="center"]]
Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [[https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info|YaHoo Tuning Forum]] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [[http://sagittal.org/]] . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen= 
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle beschreiben soll. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein "grosser Halbton" von etwa 114 Cent).

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt. Die Intervalle, für die die Symbole stehen, sind hier alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich [[Komma|Kommas]].

Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer [[Naturterz|reinen grossen Terz]]. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das [[64_63|Leipziger Komma]] (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime]], und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem [[Alphorn-Fa]] und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents, also praktisch einen Viertelton gross ist. Dieses Intervall wird manchmal **undezimales Komma** oder **Viertelton von Al-Farabi** genannt. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation [[arabisch, türkisch, persisch|arabischer und türkischer]] Skalen eignet - siehe auch [[Sagittalnotation#Software|weiter unten]].)

Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:
[[image:SagittalOvertoneSeries.jpg]]

Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf [[http://sagittal.org/]] oder [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] verwiesen.

=Pure und gemischte Sagittalnotation= 
Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:

Die "**gemischt-sagittale**" Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrauten Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.

Demgegenüber verfolgt die "**pur-sagittale**" Notation den Ansatz, maximal ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, wobei auf ein konsistentes und logisches Design geachtet wurde; in dieser Philosophie sind auch # und b durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.

Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.

=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme= 
Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:
# Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.
# Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.

Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind.

Der erste und wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für [[http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung|enharmonische Verwechslungen]]. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei [[mitteltönig|mitteltönigen]] gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] für Details.

Zur Richtlinie 2 gibt es zu beachten, dass die Definition der traditionellen Notation gemäss Quintenschichtungen nur sinnvoll ist, wenn eine hinreichend gute Näherung für die reine Quinte verfügbar ist. Ansonsten können sich seltsame Effekte ergeben - bis zum Widerspruch zu Richtlinie 1, etwa bei [[16edo]], wo die geschriebene Note E eher wie ein Es klingen würde, die geschriebene Note Es hingegen wie ein E. Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - für 16edo beispielsweise die Symbole von [[48edo]], für [[11edo]] die von [[22edo]].

==Beispiele== 
Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufigen Systeme präsentieren.

[[image:SagittalEDOExample.jpg]]

Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.

In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.

In der Standardstimmung [[12edo]] etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12edo mit der traditionellen Notation überein.

[[22edo]] hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben. Der Unterschied zwischen den Approximationen von pythagoräischer und reiner grosser Terz beträgt einen 22edo-Schritt, welcher somit in 22edo als Approximation des syntonischen Kommas gilt (mit 54.55 Cent allerdings mehr als doppelt so gross ist wie die reine Version desselben Intervalls).
Es gilt ausserdem, dass in 22edo auch der Unterschied zwischen den Approximationen von Alphorn-Fa und reiner Quarte einen 22edo-Schritt beträgt - d.h. syntonisches und undezimales Komma fallen in 22edo zusammen, was wieder eines der beiden Symbole überflüssig macht. Insgesamt wird für die Notation von 22edo nur ein zusätzliches Symbol benötigt (bzw., genauer gesagt, zwei - eins aufwärts und eins abwärts), welches für Modifikation um einen 22edo-Schritt steht. Als empfohlenes Standardsymbol wurde dasjenige für das syntonische Komma definiert.

[[31edo]] schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12edo ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Das Leipziger Komma wiederum fällt hier mit dem undezimalen Komma zusammen - beide werden durch einen 31edo-Schritt angenähert. Als empfohlenes Standardsymbol für 31edo wurde dasjenige für das undezimale Komma (Viertelton) definiert - die Septime könnte man daher als B mit vorgestelltem Viertelton-Symbol schreiben. Dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31edo als [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigem]] System möglich ist.

Als zweites Beispiel eine [[11edo]]-Tonleiter, geschrieben nach dem Standard von 22edo (entsprechend der Anmerkung zu Richtlinie 2):
[[image:Sagittal11EDO.jpg width="409" height="233"]]
(Rendering Juhani Nuorvala)

Man beachte, dass beide Notenlinien dieselbe Tonleiter beschreiben! Das sehr verschiedene Aussehen kommt durch Effekte der enharmonischen Verwechslungen zustande. Die obere Linie kommt völlig ohne Zusatzsymbole aus, erweckt jedoch den falschen Eindruck einer Auf- und Abbewegung - in Wirklichkeit handelt es sich um eine aufsteigende Linie aus 11edo-Schritten. Die untere Linie benötigt Zusatzzeichen, ist dadurch aber intuitiver zu lesen.

=Software= 
Sagittalnotation wird inzwischen von einer Reihe Softwareprodukte unterstützt. Auf [[http://sagittal.org/]] sind Fonts mit den Sagittalsymbolen verfügbar, mit deren Hilfe Sagittalnotation in Notensatzprogramme wie [[http://www.klemm-music.de/makemusic/finale/index.php|Finale]], [[http://www.sibelius.com|Sibelius]] oder [[http://lilypond.org/|Lilypond]] eingebaut werden kann. Es gibt auch schon Plugins, welche die Eingabe vereinfachen, namentlich:

[[file:xenharmonic/Sagibelius_2.0.zip|Sagibelius]], ein Plugin von Jacob Barton für Sagittalnotation in Sibelius. Sagibelius ist "Donationware".
[[http://x31eq.com/lilypond/|Sagittal-Lilypond]], ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in Lilypond. (Sowohl Lilypond wie das Plugin sind Freeware.)

[[http://www.mus2.com.tr/explore/|Mus2]] ist eine Notensatz-Software, die besonders auf die Anforderungen für die Notation [[arabisch, türkisch, persisch|türkischer]] (und natürlich auch arabischer, persischer und anderer orientalischer) Musik ausgerichtet ist. Sie unterstützt Sagittalnotation "von Haus aus".

Weitere Informationen zu Software sind auf [[http://sagittal.org/]] zu finden.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Sagittalnotation&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Sagittal%20notation"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:10:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@normal&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaToc&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/normal?w=225&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div id="toc"&amp;gt;&amp;lt;h1 class="nopad"&amp;gt;Table of Contents&amp;lt;/h1&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:10 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:11: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen"&amp;gt;Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:11 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:12: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Pure und gemischte Sagittalnotation"&amp;gt;Pure und gemischte Sagittalnotation&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:12 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:13: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Anwendung für gleichstufige Tonsysteme"&amp;gt;Anwendung für gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:14: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 2em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Anwendung für gleichstufige Tonsysteme-Beispiele"&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:14 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:15: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Software"&amp;gt;Software&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16: --&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRemoteImageRule:26:&amp;amp;lt;div style=&amp;amp;quot;text-align: center&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://sagittal.org/index_files/image005.gif&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;/div&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div style="text-align: center"&amp;gt;&amp;lt;img src="http://sagittal.org/index_files/image005.gif" alt="external image image005.gif" title="external image image005.gif" /&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRemoteImageRule:26 --&amp;gt;Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info" rel="nofollow"&amp;gt;YaHoo Tuning Forum&amp;lt;/a&amp;gt; entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt; wie auch für alle Arten von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen Tonsystemen&amp;lt;/a&amp;gt; verwendbar zu sein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Intervalle beschreiben soll. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot; von etwa 114 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für Töne in reinen Stimmungen höherer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limits&amp;lt;/a&amp;gt; werden dann neue Symbole benötigt. Die Intervalle, für die die Symbole stehen, sind hier alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reinen grossen Terz&amp;lt;/a&amp;gt;. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Leipziger Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime&amp;lt;/a&amp;gt;, und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents, also praktisch einen Viertelton gross ist. Dieses Intervall wird manchmal &amp;lt;strong&amp;gt;undezimales Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;Viertelton von Al-Farabi&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;arabischer und türkischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen eignet - siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sagittalnotation#Software"&amp;gt;weiter unten&amp;lt;/a&amp;gt;.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:23:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SagittalOvertoneSeries.jpg/556445667/SagittalOvertoneSeries.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SagittalOvertoneSeries.jpg/556445667/SagittalOvertoneSeries.jpg" alt="SagittalOvertoneSeries.jpg" title="SagittalOvertoneSeries.jpg" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:23 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; verwiesen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Pure und gemischte Sagittalnotation"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Pure und gemischte Sagittalnotation&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;gemischt-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrauten Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Demgegenüber verfolgt die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;pur-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Notation den Ansatz, maximal ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, wobei auf ein konsistentes und logisches Design geachtet wurde; in dieser Philosophie sind auch # und b durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Anwendung für gleichstufige Tonsysteme"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Anwendung für gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der erste und wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung" rel="nofollow"&amp;gt;enharmonische Verwechslungen&amp;lt;/a&amp;gt;. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; für Details.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zur Richtlinie 2 gibt es zu beachten, dass die Definition der traditionellen Notation gemäss Quintenschichtungen nur sinnvoll ist, wenn eine hinreichend gute Näherung für die reine Quinte verfügbar ist. Ansonsten können sich seltsame Effekte ergeben - bis zum Widerspruch zu Richtlinie 1, etwa bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;, wo die geschriebene Note E eher wie ein Es klingen würde, die geschriebene Note Es hingegen wie ein E. Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - für 16edo beispielsweise die Symbole von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/48edo"&amp;gt;48edo&amp;lt;/a&amp;gt;, für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/11edo"&amp;gt;11edo&amp;lt;/a&amp;gt; die von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Anwendung für gleichstufige Tonsysteme-Beispiele"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufigen Systeme präsentieren.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:24:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SagittalEDOExample.jpg/556499465/SagittalEDOExample.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SagittalEDOExample.jpg/556499465/SagittalEDOExample.jpg" alt="SagittalEDOExample.jpg" title="SagittalEDOExample.jpg" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:24 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12edo mit der traditionellen Notation überein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben. Der Unterschied zwischen den Approximationen von pythagoräischer und reiner grosser Terz beträgt einen 22edo-Schritt, welcher somit in 22edo als Approximation des syntonischen Kommas gilt (mit 54.55 Cent allerdings mehr als doppelt so gross ist wie die reine Version desselben Intervalls).&amp;lt;br /&amp;gt;
Es gilt ausserdem, dass in 22edo auch der Unterschied zwischen den Approximationen von Alphorn-Fa und reiner Quarte einen 22edo-Schritt beträgt - d.h. syntonisches und undezimales Komma fallen in 22edo zusammen, was wieder eines der beiden Symbole überflüssig macht. Insgesamt wird für die Notation von 22edo nur ein zusätzliches Symbol benötigt (bzw., genauer gesagt, zwei - eins aufwärts und eins abwärts), welches für Modifikation um einen 22edo-Schritt steht. Als empfohlenes Standardsymbol wurde dasjenige für das syntonische Komma definiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12edo ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Das Leipziger Komma wiederum fällt hier mit dem undezimalen Komma zusammen - beide werden durch einen 31edo-Schritt angenähert. Als empfohlenes Standardsymbol für 31edo wurde dasjenige für das undezimale Komma (Viertelton) definiert - die Septime könnte man daher als B mit vorgestelltem Viertelton-Symbol schreiben. Dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31edo als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/septimal-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;septimal-mitteltönigem&amp;lt;/a&amp;gt; System möglich ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als zweites Beispiel eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/11edo"&amp;gt;11edo&amp;lt;/a&amp;gt;-Tonleiter, geschrieben nach dem Standard von 22edo (entsprechend der Anmerkung zu Richtlinie 2):&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:25:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/Sagittal11EDO.jpg/556903777/409x233/Sagittal11EDO.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; style=&amp;amp;quot;height: 233px; width: 409px;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/Sagittal11EDO.jpg/556903777/409x233/Sagittal11EDO.jpg" alt="Sagittal11EDO.jpg" title="Sagittal11EDO.jpg" style="height: 233px; width: 409px;" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:25 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
(Rendering Juhani Nuorvala)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass beide Notenlinien dieselbe Tonleiter beschreiben! Das sehr verschiedene Aussehen kommt durch Effekte der enharmonischen Verwechslungen zustande. Die obere Linie kommt völlig ohne Zusatzsymbole aus, erweckt jedoch den falschen Eindruck einer Auf- und Abbewegung - in Wirklichkeit handelt es sich um eine aufsteigende Linie aus 11edo-Schritten. Die untere Linie benötigt Zusatzzeichen, ist dadurch aber intuitiver zu lesen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Software"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Software&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Sagittalnotation wird inzwischen von einer Reihe Softwareprodukte unterstützt. Auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; sind Fonts mit den Sagittalsymbolen verfügbar, mit deren Hilfe Sagittalnotation in Notensatzprogramme wie &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.klemm-music.de/makemusic/finale/index.php" rel="nofollow"&amp;gt;Finale&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.sibelius.com" rel="nofollow"&amp;gt;Sibelius&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://lilypond.org/" rel="nofollow"&amp;gt;Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt; eingebaut werden kann. Es gibt auch schon Plugins, welche die Eingabe vereinfachen, namentlich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip');"&amp;gt;Sagibelius&amp;lt;/a&amp;gt;, ein Plugin von Jacob Barton für Sagittalnotation in Sibelius. Sagibelius ist &amp;amp;quot;Donationware&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://x31eq.com/lilypond/" rel="nofollow"&amp;gt;Sagittal-Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt;, ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in Lilypond. (Sowohl Lilypond wie das Plugin sind Freeware.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.mus2.com.tr/explore/" rel="nofollow"&amp;gt;Mus2&amp;lt;/a&amp;gt; ist eine Notensatz-Software, die besonders auf die Anforderungen für die Notation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;türkischer&amp;lt;/a&amp;gt; (und natürlich auch arabischer, persischer und anderer orientalischer) Musik ausgerichtet ist. Sie unterstützt Sagittalnotation &amp;amp;quot;von Haus aus&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Informationen zu Software sind auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; zu finden.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <comment>**Imported revision 557016863 - Original comment: **</comment>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-08-20 03:20:00 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
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[[image:http://sagittal.org/index_files/image005.gif align="center"]]
Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [[https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info|YaHoo Tuning Forum]] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [[http://sagittal.org/]] . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen= 
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle beschreiben soll. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein "grosser Halbton" von etwa 114 Cent).

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt. Die Intervalle, für die die Symbole stehen, sind hier alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich [[Komma|Kommas]].

Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer [[Naturterz|reinen grossen Terz]]. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das [[64_63|Leipziger Komma]] (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime]], und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem [[Alphorn-Fa]] und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents, also praktisch einen Virtelton gross ist. Dieses Intervall wird manchmal **undezimales Komma** oder **Viertelton von Al-Farabi** genannt. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation [[arabisch, türkisch, persisch|arabischer und türkischer]] Skalen eignet - siehe auch [[Sagittalnotation#Software|weiter unten]].)

Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:
[[image:SagittalOvertoneSeries.jpg]]

Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf [[http://sagittal.org/]] oder [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] verwiesen.

=Pure und gemischte Sagittalnotation= 
Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:

Die "**gemischt-sagittale**" Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrauten Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.

Demgegenüber verfolgt die "**pur-sagittale**" Notation den Ansatz, maximal ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, wobei auf ein konsistentes und logisches Design geachtet wurde; in dieser Philosophie sind auch # und b durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.

Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.

=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme= 
Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:
# Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.
# Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.

Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind.

Der erste und wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für [[http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung|enharmonische Verwechslungen]]. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei [[mitteltönig|mitteltönigen]] gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] für Details.

Zur Richtlinie 2 gibt es zu beachten, dass die Definition der traditionellen Notation gemäss Quintenschichtungen nur sinnvoll ist, wenn eine hinreichend gute Näherung für die reine Quinte verfügbar ist. Ansonsten können sich seltsame Effekte ergeben - bis zum Widerspruch zu Richtlinie 1, etwa bei [[16edo]], wo die geschriebene Note E eher wie ein Es klingen würde, die geschriebene Note Es hingegen wie ein E. Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - für 16edo beispielsweise die Symbole von [[48edo]], für [[11edo]] die von [[22edo]].

==Beispiele== 
Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufigen Systeme präsentieren.

[[image:SagittalEDOExample.jpg]]

Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.

In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.

In der Standardstimmung [[12edo]] etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12edo mit der traditionellen Notation überein.

[[22edo]] hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben. Der Unterschied zwischen den Approximationen von pythagoräischer und reiner grosser Terz beträgt einen 22edo-Schritt, welcher somit in 22edo als Approximation des syntonischen Kommas gilt (mit 54.55 Cent allerdings mehr als doppelt so gross ist wie die reine Version desselben Intervalls).
Es gilt ausserdem, dass in 22edo auch der Unterschied zwischen den Approximationen von Alphorn-Fa und reiner Quarte einen 22edo-Schritt beträgt - d.h. syntonisches und undezimales Komma fallen in 22edo zusammen, was wieder eines der beiden Symbole überflüssig macht. Insgesamt wird für die Notation von 22edo nur ein zusätzliches Symbol benötigt (bzw., genauer gesagt, zwei - eins aufwärts und eins abwärts), welches für Modifikation um einen 22edo-Schritt steht. Als empfohlenes Standardsymbol wurde dasjenige für das syntonische Komma definiert.

[[31edo]] schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12edo ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Das Leipziger Komma wiederum fällt hier mit dem undezimalen Komma zusammen - beide werden durch einen 31edo-Schritt angenähert. Als empfohlenes Standardsymbol für 31edo wurde dasjenige für das undezimale Komma (Viertelton) definiert - die Septime könnte man daher als B mit vorgestelltem Viertelton-Symbol schreiben. Dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31edo als [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigem]] System möglich ist.

Als zweites Beispiel eine [[11edo]]-Tonleiter, geschrieben nach dem Standard von 22edo (entsprechend der Anmerkung zu Richtlinie 2):
[[image:Sagittal11EDO.jpg width="409" height="233"]]
(Rendering Juhani Nuorvala)

Man beachte, dass beide Notenlinien dieselbe Tonleiter beschreiben! Das sehr verschiedene Aussehen kommt durch Effekte der enharmonischen Verwechslungen zustande. Die obere Linie kommt völlig ohne Zusatzsymbole aus, erweckt jedoch den falschen Eindruck einer Auf- und Abbewegung - in Wirklichkeit handelt es sich um eine aufsteigende Linie aus 11edo-Schritten. Die untere Linie benötigt Zusatzzeichen, ist dadurch aber intuitiver zu lesen.

=Software= 
Sagittalnotation wird inzwischen von einer Reihe Softwareprodukte unterstützt. Auf [[http://sagittal.org/]] sind Fonts mit den Sagittalsymbolen verfügbar, mit deren Hilfe Sagittalnotation in Notensatzprogramme wie [[http://www.klemm-music.de/makemusic/finale/index.php|Finale]], [[http://www.sibelius.com|Sibelius]] oder [[http://lilypond.org/|Lilypond]] eingebaut werden kann. Es gibt auch schon Plugins, welche die Eingabe vereinfachen, namentlich:

[[file:xenharmonic/Sagibelius_2.0.zip|Sagibelius]], ein Plugin von Jacob Barton für Sagittalnotation in Sibelius. Sagibelius ist "Donationware".
[[http://x31eq.com/lilypond/|Sagittal-Lilypond]], ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in Lilypond. (Sowohl Lilypond wie das Plugin sind Freeware.)

[[http://www.mus2.com.tr/explore/|Mus2]] ist eine Notensatz-Software, die besonders auf die Anforderungen für die Notation [[arabisch, türkisch, persisch|türkischer]] (und natürlich auch arabischer, persischer und anderer orientalischer) Musik ausgerichtet ist. Sie unterstützt Sagittalnotation "von Haus aus".

Weitere Informationen zu Software sind auf [[http://sagittal.org/]] zu finden.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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 Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Intervalle beschreiben soll. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot; von etwa 114 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für Töne in reinen Stimmungen höherer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limits&amp;lt;/a&amp;gt; werden dann neue Symbole benötigt. Die Intervalle, für die die Symbole stehen, sind hier alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Demgegenüber verfolgt die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;pur-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Notation den Ansatz, maximal ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, wobei auf ein konsistentes und logisches Design geachtet wurde; in dieser Philosophie sind auch # und b durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:&amp;lt;br /&amp;gt;
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Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der erste und wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung" rel="nofollow"&amp;gt;enharmonische Verwechslungen&amp;lt;/a&amp;gt;. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; für Details.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Zur Richtlinie 2 gibt es zu beachten, dass die Definition der traditionellen Notation gemäss Quintenschichtungen nur sinnvoll ist, wenn eine hinreichend gute Näherung für die reine Quinte verfügbar ist. Ansonsten können sich seltsame Effekte ergeben - bis zum Widerspruch zu Richtlinie 1, etwa bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;, wo die geschriebene Note E eher wie ein Es klingen würde, die geschriebene Note Es hingegen wie ein E. Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - für 16edo beispielsweise die Symbole von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/48edo"&amp;gt;48edo&amp;lt;/a&amp;gt;, für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/11edo"&amp;gt;11edo&amp;lt;/a&amp;gt; die von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Anwendung für gleichstufige Tonsysteme-Beispiele"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufigen Systeme präsentieren.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:24:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SagittalEDOExample.jpg/556499465/SagittalEDOExample.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SagittalEDOExample.jpg/556499465/SagittalEDOExample.jpg" alt="SagittalEDOExample.jpg" title="SagittalEDOExample.jpg" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:24 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12edo mit der traditionellen Notation überein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben. Der Unterschied zwischen den Approximationen von pythagoräischer und reiner grosser Terz beträgt einen 22edo-Schritt, welcher somit in 22edo als Approximation des syntonischen Kommas gilt (mit 54.55 Cent allerdings mehr als doppelt so gross ist wie die reine Version desselben Intervalls).&amp;lt;br /&amp;gt;
Es gilt ausserdem, dass in 22edo auch der Unterschied zwischen den Approximationen von Alphorn-Fa und reiner Quarte einen 22edo-Schritt beträgt - d.h. syntonisches und undezimales Komma fallen in 22edo zusammen, was wieder eines der beiden Symbole überflüssig macht. Insgesamt wird für die Notation von 22edo nur ein zusätzliches Symbol benötigt (bzw., genauer gesagt, zwei - eins aufwärts und eins abwärts), welches für Modifikation um einen 22edo-Schritt steht. Als empfohlenes Standardsymbol wurde dasjenige für das syntonische Komma definiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12edo ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Das Leipziger Komma wiederum fällt hier mit dem undezimalen Komma zusammen - beide werden durch einen 31edo-Schritt angenähert. Als empfohlenes Standardsymbol für 31edo wurde dasjenige für das undezimale Komma (Viertelton) definiert - die Septime könnte man daher als B mit vorgestelltem Viertelton-Symbol schreiben. Dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31edo als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/septimal-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;septimal-mitteltönigem&amp;lt;/a&amp;gt; System möglich ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Als zweites Beispiel eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/11edo"&amp;gt;11edo&amp;lt;/a&amp;gt;-Tonleiter, geschrieben nach dem Standard von 22edo (entsprechend der Anmerkung zu Richtlinie 2):&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:25:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/Sagittal11EDO.jpg/556903777/409x233/Sagittal11EDO.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; style=&amp;amp;quot;height: 233px; width: 409px;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/Sagittal11EDO.jpg/556903777/409x233/Sagittal11EDO.jpg" alt="Sagittal11EDO.jpg" title="Sagittal11EDO.jpg" style="height: 233px; width: 409px;" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:25 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
(Rendering Juhani Nuorvala)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass beide Notenlinien dieselbe Tonleiter beschreiben! Das sehr verschiedene Aussehen kommt durch Effekte der enharmonischen Verwechslungen zustande. Die obere Linie kommt völlig ohne Zusatzsymbole aus, erweckt jedoch den falschen Eindruck einer Auf- und Abbewegung - in Wirklichkeit handelt es sich um eine aufsteigende Linie aus 11edo-Schritten. Die untere Linie benötigt Zusatzzeichen, ist dadurch aber intuitiver zu lesen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Software"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Software&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Sagittalnotation wird inzwischen von einer Reihe Softwareprodukte unterstützt. Auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; sind Fonts mit den Sagittalsymbolen verfügbar, mit deren Hilfe Sagittalnotation in Notensatzprogramme wie &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.klemm-music.de/makemusic/finale/index.php" rel="nofollow"&amp;gt;Finale&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.sibelius.com" rel="nofollow"&amp;gt;Sibelius&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://lilypond.org/" rel="nofollow"&amp;gt;Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt; eingebaut werden kann. Es gibt auch schon Plugins, welche die Eingabe vereinfachen, namentlich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip');"&amp;gt;Sagibelius&amp;lt;/a&amp;gt;, ein Plugin von Jacob Barton für Sagittalnotation in Sibelius. Sagibelius ist &amp;amp;quot;Donationware&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://x31eq.com/lilypond/" rel="nofollow"&amp;gt;Sagittal-Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt;, ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in Lilypond. (Sowohl Lilypond wie das Plugin sind Freeware.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.mus2.com.tr/explore/" rel="nofollow"&amp;gt;Mus2&amp;lt;/a&amp;gt; ist eine Notensatz-Software, die besonders auf die Anforderungen für die Notation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;türkischer&amp;lt;/a&amp;gt; (und natürlich auch arabischer, persischer und anderer orientalischer) Musik ausgerichtet ist. Sie unterstützt Sagittalnotation &amp;amp;quot;von Haus aus&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Informationen zu Software sind auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; zu finden.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Sagittal notation|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[toc]]
[[image:http://sagittal.org/index_files/image005.gif align="center"]]
Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [[https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info|YaHoo Tuning Forum]] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [[http://sagittal.org/]] . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen= 
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle beschreiben soll. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein "grosser Halbton" von etwa 114 Cent).

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt. Die Intervalle, für die die Symbole stehen, sind hier alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich [[Komma|Kommas]].

Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer [[Naturterz|reinen grossen Terz]]. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das [[64_63|Leipziger Komma]] (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime]], und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem [[Alphorn-Fa]] und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents, also praktisch einen Virtelton gross ist. Dieses Intervall wird manchmal **undezimales Komma** oder **Viertelton von Al-Farabi** genannt. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation [[arabisch, türkisch, persisch|arabischer und türkischer]] Skalen eignet - siehe auch [[Sagittalnotation#Software|weiter unten]].)

Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:
[[image:SagittalOvertoneSeries.jpg]]

Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf [[http://sagittal.org/]] oder [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] verwiesen.

=Pure und gemischte Sagittalnotation= 
Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:

Die "**gemischt-sagittale**" Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrauten Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.

Demgegenüber verfolgt die "**pur-sagittale**" Notation den Ansatz, maximal ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, wobei auf ein konsistentes und logisches Design geachtet wurde; in dieser Philosophie sind auch # und b durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.

Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.

=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme= 
Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:
# Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.
# Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.

Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind.

Der erste und wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für [[http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung|enharmonische Verwechslungen]]. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei [[mitteltönig|mitteltönigen]] gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] für Details.

Zur Richtlinie 2 gibt es zu beachten, dass die Definition der traditionellen Notation gemäss Quintenschichtungen nur sinnvoll ist, wenn eine hinreichend gute Näherung für die reine Quinte verfügbar ist. Ansonsten können sich seltsame Effekte ergeben - bis zum Widerspruch zu Richtlinie 1, etwa bei [[16edo]], wo die geschriebene Note E eher wie ein Es klingen würde, die geschriebene Note Es hingegen wie ein E. Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - für 16edo beispielsweise die Symbole von [[48edo]], für [[11edo]] die von [[22edo]].

==Beispiele== 
Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufigen Systeme präsentieren.

[[image:SagittalEDOExample.jpg]]

Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.

In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.

In der Standardstimmung [[12edo]] etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12edo mit der traditionellen Notation überein.

[[22edo]] hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben. Der Unterschied zwischen pythagoräischer und reiner grosser Terz beträgt hier einen 22edo-Schritt, welcher somit in 22edo als Approximation des syntonischen Kommas gilt (mit 54.55 Cent allerdings mehr als doppelt so gross ist wie die reine Version desselben Intervalls).

Es gilt ausserdem, dass in 22edo auch der Unterschied zwischen den Approximationen von Alphorn-Fa und reiner Quarte einen 22edo-Schritt beträgt - d.h. syntonisches und undezimales Komma fallen in 22edo zusammen, was wieder eines der beiden Symbole überflüssig macht. Insgesamt wird für die Notation von 22edo nur ein zusätzliches Symbol benötigt (bzw. zwei - eins aufwärts und eins abwärts), welches für Modifikation um einen 22edo-Schritt steht. Als empfohlenes Standardsymbol wurde dasjenige für das syntonische Komma definiert.

[[31edo]] schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12edo ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Das Leipziger Komma wiederum fällt hier mit dem undezimalen Komma zusammen - beide werden durch einen 31edo-Schritt angenähert. Als empfohlenes Standardsymbol für 31edo wurde dasjenige für das undezimale Komma (Viertelton) definiert - die Septime könnte man daher als B mit vorgestelltem Viertelton-Symbol schreiben. Dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31edo als [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigem]] System möglich ist.

Als zweites Beispiel eine [[11edo]]-Tonleiter, geschrieben nach dem Standard von 22edo (entsprechend der Anmerkung zu Richtlinie 2):
[[image:Sagittal11EDO.jpg width="409" height="233"]]
(Rendering Juhani Nuorvala)

Man beachte, dass beide Notenlinien dieselbe Tonleiter beschreiben! Das sehr verschiedene Aussehen kommt durch Effekte der enharmonischen Verwechslungen zustande. Die obere Linie kommt völlig ohne Zusatzsymbole aus, erweckt jedoch den falschen Eindruck einer Auf- und Abbewegung - in Wirklichkeit handelt es sich um eine aufsteigende Linie aus 11edo-Schritten. Die untere Linie benötigt Zusatzzeichen, ist dadurch aber intuitiver zu lesen.

=Software= 
Sagittalnotation wird inzwischen von einer Reihe Softwareprodukte unterstützt. Auf [[http://sagittal.org/]] sind Fonts mit den Sagittalsymbolen verfügbar, mit deren Hilfe Sagittalnotation in Notensatzprogramme wie [[http://www.klemm-music.de/makemusic/finale/index.php|Finale]], [[http://www.sibelius.com|Sibelius]] oder [[http://lilypond.org/|Lilypond]] eingebaut werden kann. Es gibt auch schon Plugins, welche die Eingabe vereinfachen, namentlich:

[[file:xenharmonic/Sagibelius_2.0.zip|Sagibelius]], ein Plugin von Jacob Barton für Sagittalnotation in Sibelius. Sagibelius ist "Donationware".
[[http://x31eq.com/lilypond/|Sagittal-Lilypond]], ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in Lilypond. (Sowohl Lilypond wie das Plugin sind Freeware.)

[[http://www.mus2.com.tr/explore/|Mus2]] ist eine Notensatz-Software, die besonders auf die Anforderungen für die Notation [[arabisch, türkisch, persisch|türkischer]] (und natürlich auch arabischer, persischer und anderer orientalischer) Musik ausgerichtet ist. Sie unterstützt Sagittalnotation "von Haus aus".

Weitere Informationen zu Software sind auf [[http://sagittal.org/]] zu finden.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Sagittalnotation&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Sagittal%20notation"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:10:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@normal&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaToc&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/normal?w=225&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div id="toc"&amp;gt;&amp;lt;h1 class="nopad"&amp;gt;Table of Contents&amp;lt;/h1&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:10 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:11: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen"&amp;gt;Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:11 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:12: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Pure und gemischte Sagittalnotation"&amp;gt;Pure und gemischte Sagittalnotation&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:12 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:13: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Anwendung für gleichstufige Tonsysteme"&amp;gt;Anwendung für gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:14: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 2em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Anwendung für gleichstufige Tonsysteme-Beispiele"&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:14 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:15: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Software"&amp;gt;Software&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16: --&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRemoteImageRule:26:&amp;amp;lt;div style=&amp;amp;quot;text-align: center&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://sagittal.org/index_files/image005.gif&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;/div&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div style="text-align: center"&amp;gt;&amp;lt;img src="http://sagittal.org/index_files/image005.gif" alt="external image image005.gif" title="external image image005.gif" /&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRemoteImageRule:26 --&amp;gt;Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info" rel="nofollow"&amp;gt;YaHoo Tuning Forum&amp;lt;/a&amp;gt; entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt; wie auch für alle Arten von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen Tonsystemen&amp;lt;/a&amp;gt; verwendbar zu sein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Intervalle beschreiben soll. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot; von etwa 114 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für Töne in reinen Stimmungen höherer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limits&amp;lt;/a&amp;gt; werden dann neue Symbole benötigt. Die Intervalle, für die die Symbole stehen, sind hier alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reinen grossen Terz&amp;lt;/a&amp;gt;. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Leipziger Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime&amp;lt;/a&amp;gt;, und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents, also praktisch einen Virtelton gross ist. Dieses Intervall wird manchmal &amp;lt;strong&amp;gt;undezimales Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;Viertelton von Al-Farabi&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;arabischer und türkischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen eignet - siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sagittalnotation#Software"&amp;gt;weiter unten&amp;lt;/a&amp;gt;.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:23:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SagittalOvertoneSeries.jpg/556445667/SagittalOvertoneSeries.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SagittalOvertoneSeries.jpg/556445667/SagittalOvertoneSeries.jpg" alt="SagittalOvertoneSeries.jpg" title="SagittalOvertoneSeries.jpg" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:23 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; verwiesen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Pure und gemischte Sagittalnotation"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Pure und gemischte Sagittalnotation&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;gemischt-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrauten Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Demgegenüber verfolgt die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;pur-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Notation den Ansatz, maximal ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, wobei auf ein konsistentes und logisches Design geachtet wurde; in dieser Philosophie sind auch # und b durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Anwendung für gleichstufige Tonsysteme"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Anwendung für gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der erste und wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung" rel="nofollow"&amp;gt;enharmonische Verwechslungen&amp;lt;/a&amp;gt;. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; für Details.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zur Richtlinie 2 gibt es zu beachten, dass die Definition der traditionellen Notation gemäss Quintenschichtungen nur sinnvoll ist, wenn eine hinreichend gute Näherung für die reine Quinte verfügbar ist. Ansonsten können sich seltsame Effekte ergeben - bis zum Widerspruch zu Richtlinie 1, etwa bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;, wo die geschriebene Note E eher wie ein Es klingen würde, die geschriebene Note Es hingegen wie ein E. Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - für 16edo beispielsweise die Symbole von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/48edo"&amp;gt;48edo&amp;lt;/a&amp;gt;, für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/11edo"&amp;gt;11edo&amp;lt;/a&amp;gt; die von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Anwendung für gleichstufige Tonsysteme-Beispiele"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufigen Systeme präsentieren.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:24:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SagittalEDOExample.jpg/556499465/SagittalEDOExample.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SagittalEDOExample.jpg/556499465/SagittalEDOExample.jpg" alt="SagittalEDOExample.jpg" title="SagittalEDOExample.jpg" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:24 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12edo mit der traditionellen Notation überein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben. Der Unterschied zwischen pythagoräischer und reiner grosser Terz beträgt hier einen 22edo-Schritt, welcher somit in 22edo als Approximation des syntonischen Kommas gilt (mit 54.55 Cent allerdings mehr als doppelt so gross ist wie die reine Version desselben Intervalls).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Es gilt ausserdem, dass in 22edo auch der Unterschied zwischen den Approximationen von Alphorn-Fa und reiner Quarte einen 22edo-Schritt beträgt - d.h. syntonisches und undezimales Komma fallen in 22edo zusammen, was wieder eines der beiden Symbole überflüssig macht. Insgesamt wird für die Notation von 22edo nur ein zusätzliches Symbol benötigt (bzw. zwei - eins aufwärts und eins abwärts), welches für Modifikation um einen 22edo-Schritt steht. Als empfohlenes Standardsymbol wurde dasjenige für das syntonische Komma definiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12edo ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Das Leipziger Komma wiederum fällt hier mit dem undezimalen Komma zusammen - beide werden durch einen 31edo-Schritt angenähert. Als empfohlenes Standardsymbol für 31edo wurde dasjenige für das undezimale Komma (Viertelton) definiert - die Septime könnte man daher als B mit vorgestelltem Viertelton-Symbol schreiben. Dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31edo als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/septimal-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;septimal-mitteltönigem&amp;lt;/a&amp;gt; System möglich ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als zweites Beispiel eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/11edo"&amp;gt;11edo&amp;lt;/a&amp;gt;-Tonleiter, geschrieben nach dem Standard von 22edo (entsprechend der Anmerkung zu Richtlinie 2):&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:25:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/Sagittal11EDO.jpg/556903777/409x233/Sagittal11EDO.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; style=&amp;amp;quot;height: 233px; width: 409px;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/Sagittal11EDO.jpg/556903777/409x233/Sagittal11EDO.jpg" alt="Sagittal11EDO.jpg" title="Sagittal11EDO.jpg" style="height: 233px; width: 409px;" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:25 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
(Rendering Juhani Nuorvala)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass beide Notenlinien dieselbe Tonleiter beschreiben! Das sehr verschiedene Aussehen kommt durch Effekte der enharmonischen Verwechslungen zustande. Die obere Linie kommt völlig ohne Zusatzsymbole aus, erweckt jedoch den falschen Eindruck einer Auf- und Abbewegung - in Wirklichkeit handelt es sich um eine aufsteigende Linie aus 11edo-Schritten. Die untere Linie benötigt Zusatzzeichen, ist dadurch aber intuitiver zu lesen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Software"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Software&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Sagittalnotation wird inzwischen von einer Reihe Softwareprodukte unterstützt. Auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; sind Fonts mit den Sagittalsymbolen verfügbar, mit deren Hilfe Sagittalnotation in Notensatzprogramme wie &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.klemm-music.de/makemusic/finale/index.php" rel="nofollow"&amp;gt;Finale&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.sibelius.com" rel="nofollow"&amp;gt;Sibelius&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://lilypond.org/" rel="nofollow"&amp;gt;Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt; eingebaut werden kann. Es gibt auch schon Plugins, welche die Eingabe vereinfachen, namentlich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip');"&amp;gt;Sagibelius&amp;lt;/a&amp;gt;, ein Plugin von Jacob Barton für Sagittalnotation in Sibelius. Sagibelius ist &amp;amp;quot;Donationware&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://x31eq.com/lilypond/" rel="nofollow"&amp;gt;Sagittal-Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt;, ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in Lilypond. (Sowohl Lilypond wie das Plugin sind Freeware.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.mus2.com.tr/explore/" rel="nofollow"&amp;gt;Mus2&amp;lt;/a&amp;gt; ist eine Notensatz-Software, die besonders auf die Anforderungen für die Notation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;türkischer&amp;lt;/a&amp;gt; (und natürlich auch arabischer, persischer und anderer orientalischer) Musik ausgerichtet ist. Sie unterstützt Sagittalnotation &amp;amp;quot;von Haus aus&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Informationen zu Software sind auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; zu finden.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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      <comment>**Imported revision 557016069 - Original comment: **</comment>
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      <text bytes="32072" sha1="2yaxerjqw8bcjg6rxj709novh3uva88" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-08-20 03:05:47 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;557016069&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Sagittal notation|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[toc]]
[[image:http://sagittal.org/index_files/image005.gif align="center"]]
Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [[https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info|YaHoo Tuning Forum]] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [[http://sagittal.org/]] . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen= 
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle beschreiben soll. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein "grosser Halbton" von etwa 114 Cent).

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt. Die Intervalle, für die die Symbole stehen, sind hier alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich [[Komma|Kommas]].

Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer [[Naturterz|reinen grossen Terz]]. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das [[64_63|Leipziger Komma]] (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime]], und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem [[Alphorn-Fa]] und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents gross ist und manchmal **undezimales Komma** oder **Viertelton von Al-Farabi** genannt wird. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation [[arabisch, türkisch, persisch|arabischer und türkischer]] Skalen eignet - siehe auch [[Sagittalnotation#Software|weiter unten]].)

Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:
[[image:SagittalOvertoneSeries.jpg]]

Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf [[http://sagittal.org/]] oder [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] verwiesen.

=Pure und gemischte Sagittalnotation= 
Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:

Die "**gemischt-sagittale**" Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrauten Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.

Demgegenüber verfolgt die "**pur-sagittale**" Notation den Ansatz, maximal ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, wobei auf ein konsistentes und logisches Design geachtet wurde; in dieser Philosophie sind auch # und b durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.

Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.

=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme= 
Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:
# Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.
# Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.

Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind.

Der erste und wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für [[http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung|enharmonische Verwechslungen]]. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei [[mitteltönig|mitteltönigen]] gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] für Details.

Zur Richtlinie 2 gibt es zu beachten, dass die Definition der traditionellen Notation gemäss Quintenschichtungen nur sinnvoll ist, wenn eine hinreichend gute Näherung für die reine Quinte verfügbar ist. Ansonsten können sich seltsame Effekte ergeben - bis zum Widerspruch zu Richtlinie 1, etwa bei [[16edo]], wo die geschriebene Note E eher wie ein Es klingen würde, die geschriebene Note Es hingegen wie ein E. Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - für 16edo beispielsweise die Symbole von [[48edo]], für [[11edo]] die von [[22edo]].

==Beispiele== 
Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufigen Systeme präsentieren.

[[image:SagittalEDOExample.jpg]]

Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.

In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.

In der Standardstimmung [[12edo]] etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12edo mit der traditionellen Notation überein.

[[22edo]] hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben. Der Unterschied zwischen pythagoräischer und reiner grosser Terz beträgt hier einen 22edo-Schritt, welcher somit in 22edo als Approximation des syntonischen Kommas gilt (mit 54.55 Cent allerdings mehr als doppelt so gross ist wie die reine Version desselben Intervalls).

Es gilt ausserdem, dass in 22edo auch der Unterschied zwischen den Approximationen von Alphorn-Fa und reiner Quarte einen 22edo-Schritt beträgt - d.h. syntonisches und undezimales Komma fallen in 22edo zusammen, was wieder eines der beiden Symbole überflüssig macht. Insgesamt wird für die Notation von 22edo nur ein zusätzliches Symbol benötigt (bzw. zwei - eins aufwärts und eins abwärts), welches für Modifikation uim einen 22edo-Schritt steht. Als Standardsymbol wurde dasjenige für das syntonische Komma definiert.

[[31edo]] schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12edo ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Die Septime könnte man als B mit vorgestelltem Symbol für das Leipziger Komma schreiben; dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31edo als [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigem]] System möglich ist.

[todo undezimales Komma]

Als zweites Beispiel eine [[11edo]]-Tonleiter, geschrieben nach dem Standard von 22edo (entsprechend der Anmerkung zu Richtlinie 2):
[[image:Sagittal11EDO.jpg width="409" height="233"]]
(Rendering Juhani Nuorvala)

Man beachte, dass beide Notenlinien dieselbe Tonleiter beschreiben! Das sehr verschiedene Aussehen kommt durch Effekte der enharmonischen Verwechslungen zustande. Die obere Linie kommt völlig ohne Zusatzsymbole aus, erweckt jedoch den falschen Eindruck einer Auf- und Abbewegung - in Wirklichkeit handelt es sich um eine aufsteigende Linie aus 11edo-Schritten. Die untere Linie benötigt Zusatzzeichen, ist dadurch aber intuitiver zu lesen.

=Software= 
Sagittalnotation wird inzwischen von einer Reihe Softwareprodukte unterstützt. Auf [[http://sagittal.org/]] sind Fonts mit den Sagittalsymbolen verfügbar, mit deren Hilfe Sagittalnotation in Notensatzprogramme wie [[http://www.klemm-music.de/makemusic/finale/index.php|Finale]], [[http://www.sibelius.com|Sibelius]] oder [[http://lilypond.org/|Lilypond]] eingebaut werden kann. Es gibt auch schon Plugins, welche die Eingabe vereinfachen, namentlich:

[[file:xenharmonic/Sagibelius_2.0.zip|Sagibelius]], ein Plugin von Jacob Barton für Sagittalnotation in Sibelius. Sagibelius ist "Donationware".
[[http://x31eq.com/lilypond/|Sagittal-Lilypond]], ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in Lilypond. (Sowohl Lilypond wie das Plugin sind Freeware.)

[[http://www.mus2.com.tr/explore/|Mus2]] ist eine Notensatz-Software, die besonders auf die Anforderungen für die Notation [[arabisch, türkisch, persisch|türkischer]] (und natürlich auch arabischer, persischer und anderer orientalischer) Musik ausgerichtet ist. Sie unterstützt Sagittalnotation "von Haus aus".

Weitere Informationen zu Software sind auf [[http://sagittal.org/]] zu finden.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:10:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@normal&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaToc&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/normal?w=225&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div id="toc"&amp;gt;&amp;lt;h1 class="nopad"&amp;gt;Table of Contents&amp;lt;/h1&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:10 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:11: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen"&amp;gt;Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Intervalle beschreiben soll. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot; von etwa 114 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für Töne in reinen Stimmungen höherer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limits&amp;lt;/a&amp;gt; werden dann neue Symbole benötigt. Die Intervalle, für die die Symbole stehen, sind hier alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reinen grossen Terz&amp;lt;/a&amp;gt;. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Leipziger Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime&amp;lt;/a&amp;gt;, und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents gross ist und manchmal &amp;lt;strong&amp;gt;undezimales Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;Viertelton von Al-Farabi&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt wird. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;arabischer und türkischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen eignet - siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sagittalnotation#Software"&amp;gt;weiter unten&amp;lt;/a&amp;gt;.)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:23:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SagittalOvertoneSeries.jpg/556445667/SagittalOvertoneSeries.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SagittalOvertoneSeries.jpg/556445667/SagittalOvertoneSeries.jpg" alt="SagittalOvertoneSeries.jpg" title="SagittalOvertoneSeries.jpg" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:23 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; verwiesen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Pure und gemischte Sagittalnotation"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Pure und gemischte Sagittalnotation&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;gemischt-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrauten Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Demgegenüber verfolgt die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;pur-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Notation den Ansatz, maximal ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, wobei auf ein konsistentes und logisches Design geachtet wurde; in dieser Philosophie sind auch # und b durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der erste und wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung" rel="nofollow"&amp;gt;enharmonische Verwechslungen&amp;lt;/a&amp;gt;. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; für Details.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Zur Richtlinie 2 gibt es zu beachten, dass die Definition der traditionellen Notation gemäss Quintenschichtungen nur sinnvoll ist, wenn eine hinreichend gute Näherung für die reine Quinte verfügbar ist. Ansonsten können sich seltsame Effekte ergeben - bis zum Widerspruch zu Richtlinie 1, etwa bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;, wo die geschriebene Note E eher wie ein Es klingen würde, die geschriebene Note Es hingegen wie ein E. Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - für 16edo beispielsweise die Symbole von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/48edo"&amp;gt;48edo&amp;lt;/a&amp;gt;, für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/11edo"&amp;gt;11edo&amp;lt;/a&amp;gt; die von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Anwendung für gleichstufige Tonsysteme-Beispiele"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufigen Systeme präsentieren.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:24:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SagittalEDOExample.jpg/556499465/SagittalEDOExample.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SagittalEDOExample.jpg/556499465/SagittalEDOExample.jpg" alt="SagittalEDOExample.jpg" title="SagittalEDOExample.jpg" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:24 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12edo mit der traditionellen Notation überein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben. Der Unterschied zwischen pythagoräischer und reiner grosser Terz beträgt hier einen 22edo-Schritt, welcher somit in 22edo als Approximation des syntonischen Kommas gilt (mit 54.55 Cent allerdings mehr als doppelt so gross ist wie die reine Version desselben Intervalls).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Es gilt ausserdem, dass in 22edo auch der Unterschied zwischen den Approximationen von Alphorn-Fa und reiner Quarte einen 22edo-Schritt beträgt - d.h. syntonisches und undezimales Komma fallen in 22edo zusammen, was wieder eines der beiden Symbole überflüssig macht. Insgesamt wird für die Notation von 22edo nur ein zusätzliches Symbol benötigt (bzw. zwei - eins aufwärts und eins abwärts), welches für Modifikation uim einen 22edo-Schritt steht. Als Standardsymbol wurde dasjenige für das syntonische Komma definiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12edo ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Die Septime könnte man als B mit vorgestelltem Symbol für das Leipziger Komma schreiben; dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31edo als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/septimal-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;septimal-mitteltönigem&amp;lt;/a&amp;gt; System möglich ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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[todo undezimales Komma]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als zweites Beispiel eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/11edo"&amp;gt;11edo&amp;lt;/a&amp;gt;-Tonleiter, geschrieben nach dem Standard von 22edo (entsprechend der Anmerkung zu Richtlinie 2):&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:25:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/Sagittal11EDO.jpg/556903777/409x233/Sagittal11EDO.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; style=&amp;amp;quot;height: 233px; width: 409px;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/Sagittal11EDO.jpg/556903777/409x233/Sagittal11EDO.jpg" alt="Sagittal11EDO.jpg" title="Sagittal11EDO.jpg" style="height: 233px; width: 409px;" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:25 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
(Rendering Juhani Nuorvala)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass beide Notenlinien dieselbe Tonleiter beschreiben! Das sehr verschiedene Aussehen kommt durch Effekte der enharmonischen Verwechslungen zustande. Die obere Linie kommt völlig ohne Zusatzsymbole aus, erweckt jedoch den falschen Eindruck einer Auf- und Abbewegung - in Wirklichkeit handelt es sich um eine aufsteigende Linie aus 11edo-Schritten. Die untere Linie benötigt Zusatzzeichen, ist dadurch aber intuitiver zu lesen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Software"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Software&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Sagittalnotation wird inzwischen von einer Reihe Softwareprodukte unterstützt. Auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; sind Fonts mit den Sagittalsymbolen verfügbar, mit deren Hilfe Sagittalnotation in Notensatzprogramme wie &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.klemm-music.de/makemusic/finale/index.php" rel="nofollow"&amp;gt;Finale&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.sibelius.com" rel="nofollow"&amp;gt;Sibelius&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://lilypond.org/" rel="nofollow"&amp;gt;Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt; eingebaut werden kann. Es gibt auch schon Plugins, welche die Eingabe vereinfachen, namentlich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip');"&amp;gt;Sagibelius&amp;lt;/a&amp;gt;, ein Plugin von Jacob Barton für Sagittalnotation in Sibelius. Sagibelius ist &amp;amp;quot;Donationware&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://x31eq.com/lilypond/" rel="nofollow"&amp;gt;Sagittal-Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt;, ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in Lilypond. (Sowohl Lilypond wie das Plugin sind Freeware.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.mus2.com.tr/explore/" rel="nofollow"&amp;gt;Mus2&amp;lt;/a&amp;gt; ist eine Notensatz-Software, die besonders auf die Anforderungen für die Notation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;türkischer&amp;lt;/a&amp;gt; (und natürlich auch arabischer, persischer und anderer orientalischer) Musik ausgerichtet ist. Sie unterstützt Sagittalnotation &amp;amp;quot;von Haus aus&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Informationen zu Software sind auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; zu finden.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[image:http://sagittal.org/index_files/image005.gif align="center"]]
Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [[https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info|YaHoo Tuning Forum]] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [[http://sagittal.org/]] . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen= 
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle beschreiben soll. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein "grosser Halbton" von etwa 114 Cent).

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt. Die Intervalle, für die die Symbole stehen, sind hier alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich [[Komma|Kommas]].

Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer [[Naturterz|reinen grossen Terz]]. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das [[64_63|Leipziger Komma]] (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime]], und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem [[Alphorn-Fa]] und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents gross ist und manchmal **undezimales Komma** oder **Viertelton von Al-Farabi** genannt wird. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation [[arabisch, türkisch, persisch|arabischer und türkischer]] Skalen eignet - siehe auch [[Sagittalnotation#Software|weiter unten]].)

Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:
[[image:SagittalOvertoneSeries.jpg]]

Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf [[http://sagittal.org/]] oder [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] verwiesen.

=Pure und gemischte Sagittalnotation= 
Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:

Die "**gemischt-sagittale**" Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrauten Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.

Demgegenüber verfolgt die "**pur-sagittale**" Notation den Ansatz, maximal ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, wobei auf ein konsistentes und logisches Design geachtet wurde; in dieser Philosophie sind auch # und b durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.

Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.

=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme= 
Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:
# Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.
# Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.

Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind.

Der erste und wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für [[http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung|enharmonische Verwechslungen]]. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei [[mitteltönig|mitteltönigen]] gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] für Details.

Zur Richtlinie 2 gibt es zu beachten, dass die Definition der traditionellen Notation gemäss Quintenschichtungen nur sinnvoll ist, wenn eine hinreichend gute Näherung für die reine Quinte verfügbar ist. Ansonsten können sich seltsame Effekte ergeben - bis zum Widerspruch zu Richtlinie 1, etwa bei [[16edo]], wo die geschriebene Note E eher wie ein Es klingen würde, die geschriebene Note Es hingegen wie ein E. Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - für 16edo beispielsweise die Symbole von [[48edo]], für [[11edo]] die von [[22edo]].

==Beispiele== 
Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufigen Systeme präsentieren.

[[image:SagittalEDOExample.jpg]]

Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.

In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.

In der Standardstimmung [[12edo]] etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12edo mit der traditionellen Notation überein.

[[22edo]] hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben.

[[31edo]] schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12edo ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Die Septime könnte man als B mit vorgestelltem Symbol für das Leipziger Komma schreiben; dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31edo als [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigem]] System möglich ist.

Als zweites Beispiel eine [[11edo]]-Tonleiter, geschrieben nach dem Standard von 22edo (entsprechend der Anmerkung zu Richtlinie 2):
[[image:Sagittal11EDO.jpg width="409" height="233"]]
(Rendering Juhani Nuorvala)

Man beachte, dass beide Notenlinien dieselbe Tonleiter beschreiben! Das sehr verschiedene Aussehen kommt durch Effekte der enharmonischen Verwechslungen zustande. Die obere Linie kommt völlig ohne Zusatzsymbole aus, erweckt jedoch den falschen Eindruck einer Auf- und Abbewegung - in Wirklichkeit handelt es sich um eine aufsteigende Linie aus 11edo-Schritten. Die untere Linie benötigt Zusatzzeichen, ist dadurch aber intuitiver zu lesen.

=Software= 
Sagittalnotation wird inzwischen von einer Reihe Softwareprodukte unterstützt. Auf [[http://sagittal.org/]] sind Fonts mit den Sagittalsymbolen verfügbar, mit deren Hilfe Sagittalnotation in Notensatzprogramme wie [[http://www.klemm-music.de/makemusic/finale/index.php|Finale]], [[http://www.sibelius.com|Sibelius]] oder [[http://lilypond.org/|Lilypond]] eingebaut werden kann. Es gibt auch schon Plugins, welche die Eingabe vereinfachen, namentlich:

[[file:xenharmonic/Sagibelius_2.0.zip|Sagibelius]], ein Plugin von Jacob Barton für Sagittalnotation in Sibelius. Sagibelius ist "Donationware".
[[http://x31eq.com/lilypond/|Sagittal-Lilypond]], ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in Lilypond. (Sowohl Lilypond wie das Plugin sind Freeware.)

[[http://www.mus2.com.tr/explore/|Mus2]] ist eine Notensatz-Software, die besonders auf die Anforderungen für die Notation [[arabisch, türkisch, persisch|türkischer]] (und natürlich auch arabischer, persischer und anderer orientalischer) Musik ausgerichtet ist. Sie unterstützt Sagittalnotation "von Haus aus".

Weitere Informationen zu Software sind auf [[http://sagittal.org/]] zu finden.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Sagittalnotation&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Sagittal%20notation"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Intervalle beschreiben soll. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot; von etwa 114 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für Töne in reinen Stimmungen höherer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limits&amp;lt;/a&amp;gt; werden dann neue Symbole benötigt. Die Intervalle, für die die Symbole stehen, sind hier alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reinen grossen Terz&amp;lt;/a&amp;gt;. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Leipziger Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime&amp;lt;/a&amp;gt;, und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents gross ist und manchmal &amp;lt;strong&amp;gt;undezimales Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;Viertelton von Al-Farabi&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt wird. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;arabischer und türkischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen eignet - siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sagittalnotation#Software"&amp;gt;weiter unten&amp;lt;/a&amp;gt;.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:23:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SagittalOvertoneSeries.jpg/556445667/SagittalOvertoneSeries.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SagittalOvertoneSeries.jpg/556445667/SagittalOvertoneSeries.jpg" alt="SagittalOvertoneSeries.jpg" title="SagittalOvertoneSeries.jpg" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:23 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; verwiesen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Pure und gemischte Sagittalnotation"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Pure und gemischte Sagittalnotation&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;gemischt-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrauten Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Demgegenüber verfolgt die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;pur-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Notation den Ansatz, maximal ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, wobei auf ein konsistentes und logisches Design geachtet wurde; in dieser Philosophie sind auch # und b durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Anwendung für gleichstufige Tonsysteme"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Anwendung für gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der erste und wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung" rel="nofollow"&amp;gt;enharmonische Verwechslungen&amp;lt;/a&amp;gt;. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; für Details.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zur Richtlinie 2 gibt es zu beachten, dass die Definition der traditionellen Notation gemäss Quintenschichtungen nur sinnvoll ist, wenn eine hinreichend gute Näherung für die reine Quinte verfügbar ist. Ansonsten können sich seltsame Effekte ergeben - bis zum Widerspruch zu Richtlinie 1, etwa bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;, wo die geschriebene Note E eher wie ein Es klingen würde, die geschriebene Note Es hingegen wie ein E. Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - für 16edo beispielsweise die Symbole von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/48edo"&amp;gt;48edo&amp;lt;/a&amp;gt;, für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/11edo"&amp;gt;11edo&amp;lt;/a&amp;gt; die von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Anwendung für gleichstufige Tonsysteme-Beispiele"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufigen Systeme präsentieren.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:24:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SagittalEDOExample.jpg/556499465/SagittalEDOExample.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SagittalEDOExample.jpg/556499465/SagittalEDOExample.jpg" alt="SagittalEDOExample.jpg" title="SagittalEDOExample.jpg" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:24 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12edo mit der traditionellen Notation überein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12edo ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Die Septime könnte man als B mit vorgestelltem Symbol für das Leipziger Komma schreiben; dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31edo als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/septimal-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;septimal-mitteltönigem&amp;lt;/a&amp;gt; System möglich ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als zweites Beispiel eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/11edo"&amp;gt;11edo&amp;lt;/a&amp;gt;-Tonleiter, geschrieben nach dem Standard von 22edo (entsprechend der Anmerkung zu Richtlinie 2):&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:25:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/Sagittal11EDO.jpg/556903777/409x233/Sagittal11EDO.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; style=&amp;amp;quot;height: 233px; width: 409px;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/Sagittal11EDO.jpg/556903777/409x233/Sagittal11EDO.jpg" alt="Sagittal11EDO.jpg" title="Sagittal11EDO.jpg" style="height: 233px; width: 409px;" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:25 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
(Rendering Juhani Nuorvala)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass beide Notenlinien dieselbe Tonleiter beschreiben! Das sehr verschiedene Aussehen kommt durch Effekte der enharmonischen Verwechslungen zustande. Die obere Linie kommt völlig ohne Zusatzsymbole aus, erweckt jedoch den falschen Eindruck einer Auf- und Abbewegung - in Wirklichkeit handelt es sich um eine aufsteigende Linie aus 11edo-Schritten. Die untere Linie benötigt Zusatzzeichen, ist dadurch aber intuitiver zu lesen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Software"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Software&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Sagittalnotation wird inzwischen von einer Reihe Softwareprodukte unterstützt. Auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; sind Fonts mit den Sagittalsymbolen verfügbar, mit deren Hilfe Sagittalnotation in Notensatzprogramme wie &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.klemm-music.de/makemusic/finale/index.php" rel="nofollow"&amp;gt;Finale&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.sibelius.com" rel="nofollow"&amp;gt;Sibelius&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://lilypond.org/" rel="nofollow"&amp;gt;Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt; eingebaut werden kann. Es gibt auch schon Plugins, welche die Eingabe vereinfachen, namentlich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip');"&amp;gt;Sagibelius&amp;lt;/a&amp;gt;, ein Plugin von Jacob Barton für Sagittalnotation in Sibelius. Sagibelius ist &amp;amp;quot;Donationware&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://x31eq.com/lilypond/" rel="nofollow"&amp;gt;Sagittal-Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt;, ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in Lilypond. (Sowohl Lilypond wie das Plugin sind Freeware.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.mus2.com.tr/explore/" rel="nofollow"&amp;gt;Mus2&amp;lt;/a&amp;gt; ist eine Notensatz-Software, die besonders auf die Anforderungen für die Notation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;türkischer&amp;lt;/a&amp;gt; (und natürlich auch arabischer, persischer und anderer orientalischer) Musik ausgerichtet ist. Sie unterstützt Sagittalnotation &amp;amp;quot;von Haus aus&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Informationen zu Software sind auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; zu finden.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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      <format>text/x-wiki</format>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-08-19 06:51:34 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Sagittal notation|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[toc]]
[[image:http://sagittal.org/index_files/image005.gif align="center"]]
Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [[https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info|YaHoo Tuning Forum]] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [[http://sagittal.org/]] . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen= 
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle beschreiben soll. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein "grosser Halbton" von etwa 114 Cent).

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt. Die Intervalle, für die die Symbole stehen, sind hier alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich [[Komma|Kommas]].

Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer [[Naturterz|reinen grossen Terz]]. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das [[64_63|Leipziger Komma]] (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime]], und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem [[Alphorn-Fa]] und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents gross ist und manchmal **undezimales Komma** oder **Viertelton von Al-Farabi** genannt wird. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation [[arabisch, türkisch, persisch|arabischer und türkischer]] Skalen eignet - siehe auch [[Sagittalnotation#Software|weiter unten]].)

Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:
[[image:SagittalOvertoneSeries.jpg]]

Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf [[http://sagittal.org/]] oder [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] verwiesen.

=Pure und gemischte Sagittalnotation= 
Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:

Die "**gemischt-sagittale**" Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrauten Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.

Demgegenüber verfolgt die "**pur-sagittale**" Notation den Ansatz, maximal ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, wobei auf ein konsistentes und logisches Design geachtet wurde; in dieser Philosophie sind auch # und b durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.

Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.

=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme= 
Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:
# Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.
# Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.

Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind.

Der erste und wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für [[http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung|enharmonische Verwechslungen]]. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei [[mitteltönig|mitteltönigen]] gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] für Details.

Zur Richtlinie 2 gibt es zu beachten, dass die Definition der traditionellen Notation gemäss Quintenschichtungen nur sinnvoll ist, wenn eine hinreichend gute Näherung für die reine Quinte verfügbar ist. Ansonsten können sich seltsame Effekte ergeben - bis zum Widerspruch zu Richtlinie 1, etwa bei [[16edo]], wo die geschriebene Note E eher wie ein Es klingen würde, die geschriebene Note Es hingegen wie ein E. Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - für 16edo beispielsweise die Symbole von [[48edo]], für [[11edo]] die von [[22edo]].

==Beispiele== 
Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufigen Systeme präsentieren.

[[image:SagittalEDOExample.jpg]]

Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.

In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.

In der Standardstimmung [[12edo]] etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12edo mit der traditionellen Notation überein.

[[22edo]] hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben.

[[31edo]] schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12edo ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Die Septime könnte man als B mit vorgestelltem Symbol für das Leipziger Komma schreiben; dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31edo als [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigem]] System möglich ist.

Als zweites Beispiel eine [[11edo]]-Tonleiter, geschrieben nach dem Standard von 22edo (entsprechend der Anmerkung zu Richtlinie 2):
[[image:Sagittal11EDO.jpg width="409" height="233"]]
(Rendering Juhani Nuorvala)

Man beachte, dass beide Notenlinien dieselbe Tonleiter beschreiben! Das sehr verschiedene Aussehen kommt durch Effekte der enharmonischen Verwechslungen zustande. Die obere Linie kommt völlig ohne Zusatzsymbole aus, erweckt jedoch den falschen Eindruck einer Auf- und Abbewegung - in Wirklichkeit handelt es sich um eine aufsteigende Linie aus 11edo-Schritten. Die untere Linie benötigt Zusatzzeichen, ist dadurch aber intuitiver zu lesen.

==Zusätzliche Anmerkungen== 
Am Beispiel von 22edo hier noch ein paar Anmerkungen zu den vielleicht nicht auf den ersten Blick ersichtlichen Konsequenzen, die sich aus der gewählten Philosophie ergeben.

[todo]

=Software= 
Sagittalnotation wird inzwischen von einer Reihe Softwareprodukte unterstützt. Auf [[http://sagittal.org/]] sind Fonts mit den Sagittalsymbolen verfügbar, mit deren Hilfe Sagittalnotation in Notensatzprogramme wie [[http://www.klemm-music.de/makemusic/finale/index.php|Finale]], [[http://www.sibelius.com|Sibelius]] oder [[http://lilypond.org/|Lilypond]] eingebaut werden kann. Es gibt auch schon Plugins, welche die Eingabe vereinfachen, namentlich:

[[file:xenharmonic/Sagibelius_2.0.zip|Sagibelius]], ein Plugin von Jacob Barton für Sagittalnotation in Sibelius. Sagibelius ist "Donationware".
[[http://x31eq.com/lilypond/|Sagittal-Lilypond]], ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in Lilypond. (Sowohl Lilypond wie das Plugin sind Freeware.)

[[http://www.mus2.com.tr/explore/|Mus2]] ist eine Notensatz-Software, die besonders auf die Anforderungen für die Notation [[arabisch, türkisch, persisch|türkischer]] (und natürlich auch arabischer, persischer und anderer orientalischer) Musik ausgerichtet ist. Sie unterstützt Sagittalnotation "von Haus aus".

Weitere Informationen zu Software sind auf [[http://sagittal.org/]] zu finden.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Sagittalnotation&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Sagittal%20notation"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:12:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@normal&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaToc&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/normal?w=225&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div id="toc"&amp;gt;&amp;lt;h1 class="nopad"&amp;gt;Table of Contents&amp;lt;/h1&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:12 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:13: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen"&amp;gt;Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:14: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Pure und gemischte Sagittalnotation"&amp;gt;Pure und gemischte Sagittalnotation&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:14 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:15: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Anwendung für gleichstufige Tonsysteme"&amp;gt;Anwendung für gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 2em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Anwendung für gleichstufige Tonsysteme-Beispiele"&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 2em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Anwendung für gleichstufige Tonsysteme-Zusätzliche Anmerkungen"&amp;gt;Zusätzliche Anmerkungen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Software"&amp;gt;Software&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRemoteImageRule:29:&amp;amp;lt;div style=&amp;amp;quot;text-align: center&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://sagittal.org/index_files/image005.gif&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;/div&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div style="text-align: center"&amp;gt;&amp;lt;img src="http://sagittal.org/index_files/image005.gif" alt="external image image005.gif" title="external image image005.gif" /&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRemoteImageRule:29 --&amp;gt;Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info" rel="nofollow"&amp;gt;YaHoo Tuning Forum&amp;lt;/a&amp;gt; entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt; wie auch für alle Arten von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen Tonsystemen&amp;lt;/a&amp;gt; verwendbar zu sein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Intervalle beschreiben soll. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot; von etwa 114 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für Töne in reinen Stimmungen höherer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limits&amp;lt;/a&amp;gt; werden dann neue Symbole benötigt. Die Intervalle, für die die Symbole stehen, sind hier alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reinen grossen Terz&amp;lt;/a&amp;gt;. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Leipziger Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime&amp;lt;/a&amp;gt;, und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents gross ist und manchmal &amp;lt;strong&amp;gt;undezimales Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;Viertelton von Al-Farabi&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt wird. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;arabischer und türkischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen eignet - siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sagittalnotation#Software"&amp;gt;weiter unten&amp;lt;/a&amp;gt;.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:26:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SagittalOvertoneSeries.jpg/556445667/SagittalOvertoneSeries.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SagittalOvertoneSeries.jpg/556445667/SagittalOvertoneSeries.jpg" alt="SagittalOvertoneSeries.jpg" title="SagittalOvertoneSeries.jpg" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:26 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; verwiesen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Pure und gemischte Sagittalnotation"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Pure und gemischte Sagittalnotation&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;gemischt-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrauten Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Demgegenüber verfolgt die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;pur-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Notation den Ansatz, maximal ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, wobei auf ein konsistentes und logisches Design geachtet wurde; in dieser Philosophie sind auch # und b durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Anwendung für gleichstufige Tonsysteme"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Anwendung für gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der erste und wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung" rel="nofollow"&amp;gt;enharmonische Verwechslungen&amp;lt;/a&amp;gt;. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; für Details.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zur Richtlinie 2 gibt es zu beachten, dass die Definition der traditionellen Notation gemäss Quintenschichtungen nur sinnvoll ist, wenn eine hinreichend gute Näherung für die reine Quinte verfügbar ist. Ansonsten können sich seltsame Effekte ergeben - bis zum Widerspruch zu Richtlinie 1, etwa bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;, wo die geschriebene Note E eher wie ein Es klingen würde, die geschriebene Note Es hingegen wie ein E. Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - für 16edo beispielsweise die Symbole von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/48edo"&amp;gt;48edo&amp;lt;/a&amp;gt;, für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/11edo"&amp;gt;11edo&amp;lt;/a&amp;gt; die von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Anwendung für gleichstufige Tonsysteme-Beispiele"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufigen Systeme präsentieren.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:27:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SagittalEDOExample.jpg/556499465/SagittalEDOExample.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SagittalEDOExample.jpg/556499465/SagittalEDOExample.jpg" alt="SagittalEDOExample.jpg" title="SagittalEDOExample.jpg" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:27 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12edo mit der traditionellen Notation überein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12edo ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Die Septime könnte man als B mit vorgestelltem Symbol für das Leipziger Komma schreiben; dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31edo als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/septimal-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;septimal-mitteltönigem&amp;lt;/a&amp;gt; System möglich ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als zweites Beispiel eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/11edo"&amp;gt;11edo&amp;lt;/a&amp;gt;-Tonleiter, geschrieben nach dem Standard von 22edo (entsprechend der Anmerkung zu Richtlinie 2):&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:28:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/Sagittal11EDO.jpg/556903777/409x233/Sagittal11EDO.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; style=&amp;amp;quot;height: 233px; width: 409px;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/Sagittal11EDO.jpg/556903777/409x233/Sagittal11EDO.jpg" alt="Sagittal11EDO.jpg" title="Sagittal11EDO.jpg" style="height: 233px; width: 409px;" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:28 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
(Rendering Juhani Nuorvala)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass beide Notenlinien dieselbe Tonleiter beschreiben! Das sehr verschiedene Aussehen kommt durch Effekte der enharmonischen Verwechslungen zustande. Die obere Linie kommt völlig ohne Zusatzsymbole aus, erweckt jedoch den falschen Eindruck einer Auf- und Abbewegung - in Wirklichkeit handelt es sich um eine aufsteigende Linie aus 11edo-Schritten. Die untere Linie benötigt Zusatzzeichen, ist dadurch aber intuitiver zu lesen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Anwendung für gleichstufige Tonsysteme-Zusätzliche Anmerkungen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Zusätzliche Anmerkungen&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Am Beispiel von 22edo hier noch ein paar Anmerkungen zu den vielleicht nicht auf den ersten Blick ersichtlichen Konsequenzen, die sich aus der gewählten Philosophie ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[todo]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:10:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Software"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:10 --&amp;gt;Software&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Sagittalnotation wird inzwischen von einer Reihe Softwareprodukte unterstützt. Auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; sind Fonts mit den Sagittalsymbolen verfügbar, mit deren Hilfe Sagittalnotation in Notensatzprogramme wie &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.klemm-music.de/makemusic/finale/index.php" rel="nofollow"&amp;gt;Finale&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.sibelius.com" rel="nofollow"&amp;gt;Sibelius&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://lilypond.org/" rel="nofollow"&amp;gt;Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt; eingebaut werden kann. Es gibt auch schon Plugins, welche die Eingabe vereinfachen, namentlich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip');"&amp;gt;Sagibelius&amp;lt;/a&amp;gt;, ein Plugin von Jacob Barton für Sagittalnotation in Sibelius. Sagibelius ist &amp;amp;quot;Donationware&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://x31eq.com/lilypond/" rel="nofollow"&amp;gt;Sagittal-Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt;, ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in Lilypond. (Sowohl Lilypond wie das Plugin sind Freeware.)&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.mus2.com.tr/explore/" rel="nofollow"&amp;gt;Mus2&amp;lt;/a&amp;gt; ist eine Notensatz-Software, die besonders auf die Anforderungen für die Notation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;türkischer&amp;lt;/a&amp;gt; (und natürlich auch arabischer, persischer und anderer orientalischer) Musik ausgerichtet ist. Sie unterstützt Sagittalnotation &amp;amp;quot;von Haus aus&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Weitere Informationen zu Software sind auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; zu finden.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[image:http://sagittal.org/index_files/image005.gif align="center"]]
Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [[https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info|YaHoo Tuning Forum]] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [[http://sagittal.org/]] . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen= 
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle beschreiben soll. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein "grosser Halbton" von etwa 114 Cent).

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt. Die Intervalle, für die die Symbole stehen, sind hier alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich [[Komma|Kommas]].

Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer [[Naturterz|reinen grossen Terz]]. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das [[64_63|Leipziger Komma]] (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime]], und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem [[Alphorn-Fa]] und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents gross ist und manchmal **undezimales Komma** oder **Viertelton von Al-Farabi** genannt wird. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation [[arabisch, türkisch, persisch|arabischer und türkischer]] Skalen eignet - siehe auch [[Sagittalnotation#Software|weiter unten]].)

Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:
[[image:SagittalOvertoneSeries.jpg]]

Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf [[http://sagittal.org/]] oder [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] verwiesen.

=Pure und gemischte Sagittalnotation= 
Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:

Die "**gemischt-sagittale**" Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrauten Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.

Demgegenüber verfolgt die "**pur-sagittale**" Notation die Philosophie, möglichst nur ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, wobei auf ein konsistentes und logisches Design geachtet wurde; in dieser Philosophie sind auch # und b durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit und Konsistenz, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.

Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.

=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme= 
Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:
# Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.
# Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.

Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind.

Der erste und wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für [[http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung|enharmonische Verwechslungen]]. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei [[mitteltönig|mitteltönigen]] gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] für Details.

Zur Richtlinie 2 gibt es zu beachten, dass die Definition der traditionellen Notation gemäss Quintenschichtungen nur sinnvoll ist, wenn eine hinreichend gute Näherung für die reine Quinte verfügbar ist. Ansonsten können sich seltsame Effekte ergeben - bis zum Widerspruch zu Richtlinie 1, etwa bei [[16edo]], wo die geschriebene Note E eher wie ein Es klingen würde, die geschriebene Note Es hingegen wie ein E. Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - für 16edo beispielsweise die Symbole von [[48edo]], für [[11edo]] die von [[22edo]].

==Beispiele== 
Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufigen Systeme präsentieren.

[[image:SagittalEDOExample.jpg]]

Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.

In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.

In der Standardstimmung [[12edo]] etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12edo mit der traditionellen Notation überein.

[[22edo]] hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben.

[[31edo]] schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12edo ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Die Septime könnte man als B mit vorgestelltem Symbol für das Leipziger Komma schreiben; dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31edo als [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigem]] System möglich ist.

Als zweites Beispiel eine [[11edo]]-Tonleiter, geschrieben nach dem Standard von 22edo (entsprechend der Anmerkung zu Richtlinie 2):
[[image:Sagittal11EDO.jpg width="409" height="233"]]
(Rendering Juhani Nuorvala)

Man beachte, dass beide Notenlinien dieselbe Tonleiter beschreiben! Das sehr verschiedene Aussehen kommt durch Effekte der enharmonischen Verwechslungen zustande. Die obere Linie kommt völlig ohne Zusatzsymbole aus, erweckt jedoch den falschen Eindruck einer Auf- und Abbewegung - in Wirklichkeit handelt es sich um eine aufsteigende Linie aus 11edo-Schritten. Die untere Linie benötigt Zusatzzeichen, ist dadurch aber intuitiver zu lesen.

=Software= 
Sagittalnotation wird inzwischen von einer Reihe Softwareprodukte unterstützt. Auf [[http://sagittal.org/]] sind Fonts mit den Sagittalsymbolen verfügbar, mit deren Hilfe Sagittalnotation in Notensatzprogramme wie [[http://www.klemm-music.de/makemusic/finale/index.php|Finale]], [[http://www.sibelius.com|Sibelius]] oder [[http://lilypond.org/|Lilypond]] eingebaut werden kann. Es gibt auch schon Plugins, welche die Eingabe vereinfachen, namentlich:

[[file:xenharmonic/Sagibelius_2.0.zip|Sagibelius]], ein Plugin von Jacob Barton für Sagittalnotation in Sibelius. Sagibelius ist "Donationware".
[[http://x31eq.com/lilypond/|Sagittal-Lilypond]], ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in Lilypond. (Sowohl Lilypond wie das Plugin sind Freeware.)

[[http://www.mus2.com.tr/explore/|Mus2]] ist eine Notensatz-Software, die besonders auf die Anforderungen für die Notation [[arabisch, türkisch, persisch|türkischer]] (und natürlich auch arabischer, persischer und anderer orientalischer) Musik ausgerichtet ist. Sie unterstützt Sagittalnotation "von Haus aus".

Weitere Informationen zu Software sind auf [[http://sagittal.org/]] zu finden.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot; von etwa 114 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für Töne in reinen Stimmungen höherer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limits&amp;lt;/a&amp;gt; werden dann neue Symbole benötigt. Die Intervalle, für die die Symbole stehen, sind hier alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reinen grossen Terz&amp;lt;/a&amp;gt;. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Leipziger Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime&amp;lt;/a&amp;gt;, und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents gross ist und manchmal &amp;lt;strong&amp;gt;undezimales Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;Viertelton von Al-Farabi&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt wird. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;arabischer und türkischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen eignet - siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sagittalnotation#Software"&amp;gt;weiter unten&amp;lt;/a&amp;gt;.)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;gemischt-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrauten Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Demgegenüber verfolgt die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;pur-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Notation die Philosophie, möglichst nur ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, wobei auf ein konsistentes und logisches Design geachtet wurde; in dieser Philosophie sind auch # und b durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit und Konsistenz, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Anwendung für gleichstufige Tonsysteme"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Anwendung für gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der erste und wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung" rel="nofollow"&amp;gt;enharmonische Verwechslungen&amp;lt;/a&amp;gt;. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; für Details.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zur Richtlinie 2 gibt es zu beachten, dass die Definition der traditionellen Notation gemäss Quintenschichtungen nur sinnvoll ist, wenn eine hinreichend gute Näherung für die reine Quinte verfügbar ist. Ansonsten können sich seltsame Effekte ergeben - bis zum Widerspruch zu Richtlinie 1, etwa bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;, wo die geschriebene Note E eher wie ein Es klingen würde, die geschriebene Note Es hingegen wie ein E. Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - für 16edo beispielsweise die Symbole von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/48edo"&amp;gt;48edo&amp;lt;/a&amp;gt;, für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/11edo"&amp;gt;11edo&amp;lt;/a&amp;gt; die von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Anwendung für gleichstufige Tonsysteme-Beispiele"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufigen Systeme präsentieren.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:24:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SagittalEDOExample.jpg/556499465/SagittalEDOExample.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SagittalEDOExample.jpg/556499465/SagittalEDOExample.jpg" alt="SagittalEDOExample.jpg" title="SagittalEDOExample.jpg" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:24 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12edo mit der traditionellen Notation überein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12edo ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Die Septime könnte man als B mit vorgestelltem Symbol für das Leipziger Komma schreiben; dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31edo als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/septimal-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;septimal-mitteltönigem&amp;lt;/a&amp;gt; System möglich ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als zweites Beispiel eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/11edo"&amp;gt;11edo&amp;lt;/a&amp;gt;-Tonleiter, geschrieben nach dem Standard von 22edo (entsprechend der Anmerkung zu Richtlinie 2):&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:25:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/Sagittal11EDO.jpg/556903777/409x233/Sagittal11EDO.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; style=&amp;amp;quot;height: 233px; width: 409px;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/Sagittal11EDO.jpg/556903777/409x233/Sagittal11EDO.jpg" alt="Sagittal11EDO.jpg" title="Sagittal11EDO.jpg" style="height: 233px; width: 409px;" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:25 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
(Rendering Juhani Nuorvala)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass beide Notenlinien dieselbe Tonleiter beschreiben! Das sehr verschiedene Aussehen kommt durch Effekte der enharmonischen Verwechslungen zustande. Die obere Linie kommt völlig ohne Zusatzsymbole aus, erweckt jedoch den falschen Eindruck einer Auf- und Abbewegung - in Wirklichkeit handelt es sich um eine aufsteigende Linie aus 11edo-Schritten. Die untere Linie benötigt Zusatzzeichen, ist dadurch aber intuitiver zu lesen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Software"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Software&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Sagittalnotation wird inzwischen von einer Reihe Softwareprodukte unterstützt. Auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; sind Fonts mit den Sagittalsymbolen verfügbar, mit deren Hilfe Sagittalnotation in Notensatzprogramme wie &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.klemm-music.de/makemusic/finale/index.php" rel="nofollow"&amp;gt;Finale&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.sibelius.com" rel="nofollow"&amp;gt;Sibelius&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://lilypond.org/" rel="nofollow"&amp;gt;Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt; eingebaut werden kann. Es gibt auch schon Plugins, welche die Eingabe vereinfachen, namentlich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip');"&amp;gt;Sagibelius&amp;lt;/a&amp;gt;, ein Plugin von Jacob Barton für Sagittalnotation in Sibelius. Sagibelius ist &amp;amp;quot;Donationware&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://x31eq.com/lilypond/" rel="nofollow"&amp;gt;Sagittal-Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt;, ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in Lilypond. (Sowohl Lilypond wie das Plugin sind Freeware.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.mus2.com.tr/explore/" rel="nofollow"&amp;gt;Mus2&amp;lt;/a&amp;gt; ist eine Notensatz-Software, die besonders auf die Anforderungen für die Notation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;türkischer&amp;lt;/a&amp;gt; (und natürlich auch arabischer, persischer und anderer orientalischer) Musik ausgerichtet ist. Sie unterstützt Sagittalnotation &amp;amp;quot;von Haus aus&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Informationen zu Software sind auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; zu finden.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Sagittal notation|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[toc]]
[[image:http://sagittal.org/index_files/image005.gif align="center"]]
Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [[https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info|YaHoo Tuning Forum]] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [[http://sagittal.org/]] . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen= 
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle beschreiben soll. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein "grosser Halbton" von etwa 114 Cent).

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt. Die Intervalle, für die die Symbole stehen, sind hier alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich [[Komma|Kommas]].

Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer [[Naturterz|reinen grossen Terz]]. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das [[64_63|Leipziger Komma]] (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime]], und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem [[Alphorn-Fa]] und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents gross ist und manchmal **undezimales Komma** oder **Viertelton von Al-Farabi** genannt wird. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation [[arabisch, türkisch, persisch|arabischer und türkischer]] Skalen eignet - siehe auch [[Sagittalnotation#Software|weiter unten]].)

Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:
[[image:SagittalOvertoneSeries.jpg]]

Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf [[http://sagittal.org/]] oder [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] verwiesen.

=Pure und gemischte Sagittalnotation= 
Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:

Die "**gemischt-sagittale**" Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrauten Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.

Demgegenüber verfolgt die "**pur-sagittale**" Notation die Philosophie, möglichst nur ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, wobei auf ein konsistentes und logisches Design geachtet wurde; in dieser Philosophie sind auch # und b durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit und Konsistenz, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.

Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.

=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme= 
Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:
# Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.
# Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.

Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind.

Der erste und wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für [[http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung|enharmonische Verwechslungen]]. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei [[mitteltönig|mitteltönigen]] gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] für Details.

Zur Richtlinie 2 gibt es zu beachten, dass die Definition der traditionellen Notation gemäss Quintenschichtungen nur sinnvoll ist, wenn eine hinreichend gute Näherung für die reine Quinte verfügbar ist. Ansonsten können sich seltsame Effekte ergeben - bis zum Widerspruch zu Richtlinie 1, etwa bei [[16edo]], wo die Note "E" eher wie ein Es klingen würde. Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - für 16edo beispielsweise die Symbole von [[48edo]], für [[11edo]] die von [[22edo]].

==Beispiele== 
Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufigen Systeme präsentieren.

[[image:SagittalEDOExample.jpg]]

Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.

In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.

In der Standardstimmung [[12edo]] etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12edo mit der traditionellen Notation überein.

[[22edo]] hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben.

[[31edo]] schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12edo ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Die Septime könnte man als B mit vorgestelltem Symbol für das Leipziger Komma schreiben; dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31edo als [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigem]] System möglich ist.

Als zweites Beispiel eine [[11edo]]-Tonleiter, geschrieben nach dem Standard von 22edo (entsprechend der Anmerkung zu Richtlinie 2):
[[image:Sagittal11EDO.jpg width="409" height="233"]]
(Rendering Juhani Nuorvala)

Man beachte, dass beide Notenlinien dieselbe Tonleiter beschreiben! Das sehr verschiedene Aussehen kommt durch Effekte der enharmonischen Verwechslungen zustande. Die obere Linie kommt völlig ohne Zusatzsymbole aus, erweckt jedoch den falschen Eindruck einer Auf- und Abbewegung - in Wirklichkeit handelt es sich um eine aufsteigende Linie aus 11edo-Schritten. Die untere Linie benötigt Zusatzzeichen, ist dadurch aber intuitiver zu lesen.

=Software= 
Sagittalnotation wird inzwischen von einer Reihe Softwareprodukte unterstützt. Auf [[http://sagittal.org/]] sind Fonts mit den Sagittalsymbolen verfügbar, mit deren Hilfe Sagittalnotation in Notensatzprogramme wie [[http://www.klemm-music.de/makemusic/finale/index.php|Finale]], [[http://www.sibelius.com|Sibelius]] oder [[http://lilypond.org/|Lilypond]] eingebaut werden kann. Es gibt auch schon Plugins, welche die Eingabe vereinfachen, namentlich:

[[file:xenharmonic/Sagibelius_2.0.zip|Sagibelius]], ein Plugin von Jacob Barton für Sagittalnotation in Sibelius. Sagibelius ist "Donationware".
[[http://x31eq.com/lilypond/|Sagittal-Lilypond]], ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in Lilypond.

[[http://www.mus2.com.tr/explore/|Mus2]] ist eine Notensatz-Software, die besonders auf die Anforderungen für die Notation [[arabisch, türkisch, persisch|türkischer]] (und natürlich auch arabischer, persischer und anderer orientalischer) Musik ausgerichtet ist. Sie unterstützt Sagittalnotation "von Haus aus".

Weitere Informationen zu Software sind auf [[http://sagittal.org/]] zu finden.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Sagittalnotation&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Sagittal%20notation"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:10:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@normal&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaToc&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/normal?w=225&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div id="toc"&amp;gt;&amp;lt;h1 class="nopad"&amp;gt;Table of Contents&amp;lt;/h1&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:10 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:11: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen"&amp;gt;Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:11 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:12: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Pure und gemischte Sagittalnotation"&amp;gt;Pure und gemischte Sagittalnotation&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:14: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 2em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Anwendung für gleichstufige Tonsysteme-Beispiele"&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:14 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:15: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Software"&amp;gt;Software&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16: --&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRemoteImageRule:26:&amp;amp;lt;div style=&amp;amp;quot;text-align: center&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://sagittal.org/index_files/image005.gif&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;/div&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div style="text-align: center"&amp;gt;&amp;lt;img src="http://sagittal.org/index_files/image005.gif" alt="external image image005.gif" title="external image image005.gif" /&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRemoteImageRule:26 --&amp;gt;Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info" rel="nofollow"&amp;gt;YaHoo Tuning Forum&amp;lt;/a&amp;gt; entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt; wie auch für alle Arten von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen Tonsystemen&amp;lt;/a&amp;gt; verwendbar zu sein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Intervalle beschreiben soll. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot; von etwa 114 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für Töne in reinen Stimmungen höherer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limits&amp;lt;/a&amp;gt; werden dann neue Symbole benötigt. Die Intervalle, für die die Symbole stehen, sind hier alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reinen grossen Terz&amp;lt;/a&amp;gt;. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Leipziger Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime&amp;lt;/a&amp;gt;, und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents gross ist und manchmal &amp;lt;strong&amp;gt;undezimales Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;Viertelton von Al-Farabi&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt wird. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;arabischer und türkischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen eignet - siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sagittalnotation#Software"&amp;gt;weiter unten&amp;lt;/a&amp;gt;.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:23:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SagittalOvertoneSeries.jpg/556445667/SagittalOvertoneSeries.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SagittalOvertoneSeries.jpg/556445667/SagittalOvertoneSeries.jpg" alt="SagittalOvertoneSeries.jpg" title="SagittalOvertoneSeries.jpg" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:23 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; verwiesen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Pure und gemischte Sagittalnotation"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Pure und gemischte Sagittalnotation&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;gemischt-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrauten Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Demgegenüber verfolgt die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;pur-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Notation die Philosophie, möglichst nur ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, wobei auf ein konsistentes und logisches Design geachtet wurde; in dieser Philosophie sind auch # und b durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit und Konsistenz, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Anwendung für gleichstufige Tonsysteme"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Anwendung für gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der erste und wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung" rel="nofollow"&amp;gt;enharmonische Verwechslungen&amp;lt;/a&amp;gt;. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; für Details.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zur Richtlinie 2 gibt es zu beachten, dass die Definition der traditionellen Notation gemäss Quintenschichtungen nur sinnvoll ist, wenn eine hinreichend gute Näherung für die reine Quinte verfügbar ist. Ansonsten können sich seltsame Effekte ergeben - bis zum Widerspruch zu Richtlinie 1, etwa bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;, wo die Note &amp;amp;quot;E&amp;amp;quot; eher wie ein Es klingen würde. Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - für 16edo beispielsweise die Symbole von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/48edo"&amp;gt;48edo&amp;lt;/a&amp;gt;, für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/11edo"&amp;gt;11edo&amp;lt;/a&amp;gt; die von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Anwendung für gleichstufige Tonsysteme-Beispiele"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufigen Systeme präsentieren.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:24:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SagittalEDOExample.jpg/556499465/SagittalEDOExample.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SagittalEDOExample.jpg/556499465/SagittalEDOExample.jpg" alt="SagittalEDOExample.jpg" title="SagittalEDOExample.jpg" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:24 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12edo mit der traditionellen Notation überein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12edo ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Die Septime könnte man als B mit vorgestelltem Symbol für das Leipziger Komma schreiben; dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31edo als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/septimal-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;septimal-mitteltönigem&amp;lt;/a&amp;gt; System möglich ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als zweites Beispiel eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/11edo"&amp;gt;11edo&amp;lt;/a&amp;gt;-Tonleiter, geschrieben nach dem Standard von 22edo (entsprechend der Anmerkung zu Richtlinie 2):&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:25:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/Sagittal11EDO.jpg/556903777/409x233/Sagittal11EDO.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; style=&amp;amp;quot;height: 233px; width: 409px;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/Sagittal11EDO.jpg/556903777/409x233/Sagittal11EDO.jpg" alt="Sagittal11EDO.jpg" title="Sagittal11EDO.jpg" style="height: 233px; width: 409px;" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:25 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
(Rendering Juhani Nuorvala)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass beide Notenlinien dieselbe Tonleiter beschreiben! Das sehr verschiedene Aussehen kommt durch Effekte der enharmonischen Verwechslungen zustande. Die obere Linie kommt völlig ohne Zusatzsymbole aus, erweckt jedoch den falschen Eindruck einer Auf- und Abbewegung - in Wirklichkeit handelt es sich um eine aufsteigende Linie aus 11edo-Schritten. Die untere Linie benötigt Zusatzzeichen, ist dadurch aber intuitiver zu lesen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Software"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Software&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Sagittalnotation wird inzwischen von einer Reihe Softwareprodukte unterstützt. Auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; sind Fonts mit den Sagittalsymbolen verfügbar, mit deren Hilfe Sagittalnotation in Notensatzprogramme wie &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.klemm-music.de/makemusic/finale/index.php" rel="nofollow"&amp;gt;Finale&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.sibelius.com" rel="nofollow"&amp;gt;Sibelius&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://lilypond.org/" rel="nofollow"&amp;gt;Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt; eingebaut werden kann. Es gibt auch schon Plugins, welche die Eingabe vereinfachen, namentlich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip');"&amp;gt;Sagibelius&amp;lt;/a&amp;gt;, ein Plugin von Jacob Barton für Sagittalnotation in Sibelius. Sagibelius ist &amp;amp;quot;Donationware&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://x31eq.com/lilypond/" rel="nofollow"&amp;gt;Sagittal-Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt;, ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in Lilypond.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.mus2.com.tr/explore/" rel="nofollow"&amp;gt;Mus2&amp;lt;/a&amp;gt; ist eine Notensatz-Software, die besonders auf die Anforderungen für die Notation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;türkischer&amp;lt;/a&amp;gt; (und natürlich auch arabischer, persischer und anderer orientalischer) Musik ausgerichtet ist. Sie unterstützt Sagittalnotation &amp;amp;quot;von Haus aus&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Informationen zu Software sind auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; zu finden.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <id>1108</id>
      <timestamp>2015-08-18T16:48:25Z</timestamp>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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      <comment>**Imported revision 556906923 - Original comment: **</comment>
      <origin>1108</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="30230" sha1="o0w7nutp40dn2uflorntkng1d1afjqx" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-08-18 16:48:25 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;556906923&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Sagittal notation|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[toc]]
[[image:http://sagittal.org/index_files/image005.gif align="center"]]
Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [[https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info|YaHoo Tuning Forum]] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [[http://sagittal.org/]] . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen= 
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle beschreiben soll. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein "grosser Halbton" von etwa 114 Cent).

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt. Die Intervalle, für die die Symbole stehen, sind hier alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich [[Komma|Kommas]].

Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer [[Naturterz|reinen grossen Terz]]. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das [[64_63|Leipziger Komma]] (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime]], und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem [[Alphorn-Fa]] und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents gross ist und manchmal **undezimales Komma** oder **Viertelton von Al-Farabi** genannt wird. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation [[arabisch, türkisch, persisch|arabischer und türkischer]] Skalen eignet - siehe auch [[Sagittalnotation#Software|weiter unten]].)

Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:
[[image:SagittalOvertoneSeries.jpg]]

Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf [[http://sagittal.org/]] oder [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] verwiesen.

=Pure und gemischte Sagittalnotation= 
Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:

Die "**gemischt-sagittale**" Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrauten Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.

Demgegenüber verfolgt die "**pur-sagittale**" Notation die Philosophie, möglichst nur ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, wobei auf ein konsistentes und logisches Design geachtet wurde; in dieser Philosophie sind auch # und b durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit und Konsistenz, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.

Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.

=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme= 
Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:
# Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.
# Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.

Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind.

Der erste und wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für [[http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung|enharmonische Verwechslungen]]. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei [[mitteltönig|mitteltönigen]] gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] für Details.

Zur Richtlinie 2 gibt es zu beachten, dass die Definition der traditionellen Notation gemäss Quintenschichtungen nur sinnvoll ist, wenn eine hinreichend gute Näherung für die reine Quinte verfügbar ist. Ansonsten können sich seltsame Effekte ergeben - bis zum Widerspruch zu Richtlinie 1, etwa bei [[16edo]], wo die Note "E" eher wie ein Es klingen würde. Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - für 16edo beispielsweise die Symbole von [[48edo]], für [[11edo]] die von [[22edo]].

==Beispiele== 
Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufigen Systeme präsentieren.

[[image:SagittalEDOExample.jpg]]

Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.

In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.

In der Standardstimmung [[12edo]] etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12edo mit der traditionellen Notation überein.

[[22edo]] hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben.

[[31edo]] schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12edo ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Die Septime könnte man als B mit vorgestelltem Symbol für das Leipziger Komma schreiben; dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31edo als [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigem]] System möglich ist.

Als zweites Beispiel eine [[11edo]]-Tonleiter, geschrieben nach dem Standard von 22edo (entsprechend der Anmerkung zu Richtlinie 2):
[[image:Sagittal11EDO.jpg width="409" height="233"]]
(Rendering Juhani Nuorvala)

Man beachte, dass beide Notenlinien dieselbe Tonleiter beschreiben! Das sehr verschiedene Aussehen kommt durch Effekte der enharmonischen Verwechslungen zustande. Die obere Linie kommt völlig ohne Zusatzsymbole aus, erweckt jedoch den falschen Eindruck einer Auf- und Abbewegung - in Wirklichkeit handelt es sich um eine aufsteigende Linie aus 11edo-Schritten. Die untere Linie benötigt Zusatzzeichen, ist dadurch aber ibntuitiver zu lesen.

=Software= 
Sagittalnotation wird inzwischen von einer Reihe Softwareprodukte unterstützt. Auf [[http://sagittal.org/]] sind Fonts mit den Sagittalsymbolen verfügbar, mit deren Hilfe Sagittalnotation in Notensatzprogramme wie [[http://www.klemm-music.de/makemusic/finale/index.php|Finale]], [[http://www.sibelius.com|Sibelius]] oder [[http://lilypond.org/|Lilypond]] eingebaut werden kann. Es gibt auch schon Plugins, welche die Eingabe vereinfachen, namentlich:

[[file:xenharmonic/Sagibelius_2.0.zip|Sagibelius]], ein Plugin von Jacob Barton für Sagittalnotation in Sibelius. Sagibelius ist "Donationware".
[[http://x31eq.com/lilypond/|Sagittal-Lilypond]], ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in Lilypond.

[[http://www.mus2.com.tr/explore/|Mus2]] ist eine Notensatz-Software, die besonders auf die Anforderungen für die Notation [[arabisch, türkisch, persisch|türkischer]] (und natürlich auch arabischer, persischer und anderer orientalischer) Musik ausgerichtet ist. Sie unterstützt Sagittalnotation "von Haus aus".

Weitere Informationen zu Software sind auf [[http://sagittal.org/]] zu finden.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Sagittalnotation&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Sagittal%20notation"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:10:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@normal&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaToc&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/normal?w=225&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div id="toc"&amp;gt;&amp;lt;h1 class="nopad"&amp;gt;Table of Contents&amp;lt;/h1&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:10 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:11: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen"&amp;gt;Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:12 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:13: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Anwendung für gleichstufige Tonsysteme"&amp;gt;Anwendung für gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:14: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 2em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Anwendung für gleichstufige Tonsysteme-Beispiele"&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:14 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:15: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Software"&amp;gt;Software&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRemoteImageRule:26:&amp;amp;lt;div style=&amp;amp;quot;text-align: center&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://sagittal.org/index_files/image005.gif&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;/div&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div style="text-align: center"&amp;gt;&amp;lt;img src="http://sagittal.org/index_files/image005.gif" alt="external image image005.gif" title="external image image005.gif" /&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRemoteImageRule:26 --&amp;gt;Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info" rel="nofollow"&amp;gt;YaHoo Tuning Forum&amp;lt;/a&amp;gt; entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt; wie auch für alle Arten von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen Tonsystemen&amp;lt;/a&amp;gt; verwendbar zu sein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Intervalle beschreiben soll. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot; von etwa 114 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für Töne in reinen Stimmungen höherer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limits&amp;lt;/a&amp;gt; werden dann neue Symbole benötigt. Die Intervalle, für die die Symbole stehen, sind hier alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reinen grossen Terz&amp;lt;/a&amp;gt;. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Leipziger Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime&amp;lt;/a&amp;gt;, und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents gross ist und manchmal &amp;lt;strong&amp;gt;undezimales Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;Viertelton von Al-Farabi&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt wird. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;arabischer und türkischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen eignet - siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sagittalnotation#Software"&amp;gt;weiter unten&amp;lt;/a&amp;gt;.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:23:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SagittalOvertoneSeries.jpg/556445667/SagittalOvertoneSeries.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SagittalOvertoneSeries.jpg/556445667/SagittalOvertoneSeries.jpg" alt="SagittalOvertoneSeries.jpg" title="SagittalOvertoneSeries.jpg" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:23 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; verwiesen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Pure und gemischte Sagittalnotation"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Pure und gemischte Sagittalnotation&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;gemischt-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrauten Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Demgegenüber verfolgt die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;pur-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Notation die Philosophie, möglichst nur ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, wobei auf ein konsistentes und logisches Design geachtet wurde; in dieser Philosophie sind auch # und b durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit und Konsistenz, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Anwendung für gleichstufige Tonsysteme"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Anwendung für gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der erste und wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung" rel="nofollow"&amp;gt;enharmonische Verwechslungen&amp;lt;/a&amp;gt;. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; für Details.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zur Richtlinie 2 gibt es zu beachten, dass die Definition der traditionellen Notation gemäss Quintenschichtungen nur sinnvoll ist, wenn eine hinreichend gute Näherung für die reine Quinte verfügbar ist. Ansonsten können sich seltsame Effekte ergeben - bis zum Widerspruch zu Richtlinie 1, etwa bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;, wo die Note &amp;amp;quot;E&amp;amp;quot; eher wie ein Es klingen würde. Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - für 16edo beispielsweise die Symbole von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/48edo"&amp;gt;48edo&amp;lt;/a&amp;gt;, für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/11edo"&amp;gt;11edo&amp;lt;/a&amp;gt; die von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Anwendung für gleichstufige Tonsysteme-Beispiele"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufigen Systeme präsentieren.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:24:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SagittalEDOExample.jpg/556499465/SagittalEDOExample.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SagittalEDOExample.jpg/556499465/SagittalEDOExample.jpg" alt="SagittalEDOExample.jpg" title="SagittalEDOExample.jpg" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:24 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12edo mit der traditionellen Notation überein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12edo ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Die Septime könnte man als B mit vorgestelltem Symbol für das Leipziger Komma schreiben; dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31edo als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/septimal-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;septimal-mitteltönigem&amp;lt;/a&amp;gt; System möglich ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Als zweites Beispiel eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/11edo"&amp;gt;11edo&amp;lt;/a&amp;gt;-Tonleiter, geschrieben nach dem Standard von 22edo (entsprechend der Anmerkung zu Richtlinie 2):&amp;lt;br /&amp;gt;
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(Rendering Juhani Nuorvala)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Man beachte, dass beide Notenlinien dieselbe Tonleiter beschreiben! Das sehr verschiedene Aussehen kommt durch Effekte der enharmonischen Verwechslungen zustande. Die obere Linie kommt völlig ohne Zusatzsymbole aus, erweckt jedoch den falschen Eindruck einer Auf- und Abbewegung - in Wirklichkeit handelt es sich um eine aufsteigende Linie aus 11edo-Schritten. Die untere Linie benötigt Zusatzzeichen, ist dadurch aber ibntuitiver zu lesen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Sagittalnotation wird inzwischen von einer Reihe Softwareprodukte unterstützt. Auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; sind Fonts mit den Sagittalsymbolen verfügbar, mit deren Hilfe Sagittalnotation in Notensatzprogramme wie &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.klemm-music.de/makemusic/finale/index.php" rel="nofollow"&amp;gt;Finale&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.sibelius.com" rel="nofollow"&amp;gt;Sibelius&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://lilypond.org/" rel="nofollow"&amp;gt;Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt; eingebaut werden kann. Es gibt auch schon Plugins, welche die Eingabe vereinfachen, namentlich:&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip');"&amp;gt;Sagibelius&amp;lt;/a&amp;gt;, ein Plugin von Jacob Barton für Sagittalnotation in Sibelius. Sagibelius ist &amp;amp;quot;Donationware&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://x31eq.com/lilypond/" rel="nofollow"&amp;gt;Sagittal-Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt;, ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in Lilypond.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.mus2.com.tr/explore/" rel="nofollow"&amp;gt;Mus2&amp;lt;/a&amp;gt; ist eine Notensatz-Software, die besonders auf die Anforderungen für die Notation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;türkischer&amp;lt;/a&amp;gt; (und natürlich auch arabischer, persischer und anderer orientalischer) Musik ausgerichtet ist. Sie unterstützt Sagittalnotation &amp;amp;quot;von Haus aus&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Weitere Informationen zu Software sind auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; zu finden.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[image:http://sagittal.org/index_files/image005.gif align="center"]]
Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [[https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info|YaHoo Tuning Forum]] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [[http://sagittal.org/]] . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen= 
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle beschreiben soll. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein "grosser Halbton" von etwa 114 Cent).

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt. Die Intervalle, für die die Symbole stehen, sind hier alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich [[Komma|Kommas]].

Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer [[Naturterz|reinen grossen Terz]]. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das [[64_63|Leipziger Komma]] (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime]], und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem [[Alphorn-Fa]] und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents gross ist und manchmal **undezimales Komma** oder **Viertelton von Al-Farabi** genannt wird. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation [[arabisch, türkisch, persisch|arabischer und türkischer]] Skalen eignet - siehe auch [[Sagittalnotation#Software|weiter unten]].)

Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:
[[image:SagittalOvertoneSeries.jpg]]

Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf [[http://sagittal.org/]] oder [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] verwiesen.

=Pure und gemischte Sagittalnotation= 
Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:

Die "**gemischt-sagittale**" Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrauten Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.

Demgegenüber verfolgt die "**pur-sagittale**" Notation die Philosophie, möglichst nur ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, und auch # und b sind durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit und Konsistenz, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.

Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.

=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme= 
Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:
# Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.
# Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.

Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind.

Der erste und wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für [[http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung|enharmonische Verwechslungen]]. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei [[mitteltönig|mitteltönigen]] gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] für Details.

Zur Richtlinie 2 gibt es zu beachten, dass die Definition der traditionellen Notation gemäss Quintenschichtungen nur sinnvoll ist, wenn eine hinreichend gute Näherung für die reine Quinte verfügbar ist. Ansonsten können sich seltsame Effekte ergeben - bis zum Widerspruch zu Richtlinie 1, etwa bei [[16edo]], wo die Note "E" eher wie ein Es klingen würde. Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - für 16edo beispielsweise die Symbole von [[48edo]], für [[11edo]] die von [[22edo]].

==Beispiele== 
Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufigen Systeme präsentieren.

[[image:SagittalEDOExample.jpg]]

Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.

In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.

In der Standardstimmung [[12edo]] etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12edo mit der traditionellen Notation überein.

[[22edo]] hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben.

[[31edo]] schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12edo ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Die Septime könnte man als B mit vorgestelltem Symbol für das Leipziger Komma schreiben; dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31edo als [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigem]] System möglich ist.

Als zweites Beispiel eine [[11edo]]-Tonleiter, geschrieben nach dem Standard von 22edo (entsprechend der Anmerkung zu Richtlinie 2):
[[image:Sagittal11EDO.jpg width="409" height="233"]]
(Rendering @ Juhani Nuorvala)

Man beachte, dass beide Notenlinien dieselbe Tonleiter beschreiben! Das sehr verschiedene Aussehen kommt durch Effekte der enharmonischen Verwechslungen zustande. Die obere Linie kommt völlig ohne Zusatzsymbole aus, erweckt jedoch den falschen Eindruck einer Auf- und Abbewegung - in Wirklichkeit handelt es sich um eine aufsteigende Linie aus 11edo-Schritten. Die untere Linie benötigt Zusatzzeichen, entspricht dadurch aber eher den intuitiven Erwartungen.

[todo Diskussion zu 22edo]

=Software= 
Sagittalnotation wird inzwischen von einer Reihe Softwareprodukte unterstützt. Auf [[http://sagittal.org/]] sind Fonts mit den Sagittalsymbolen verfügbar, mit deren Hilfe Sagittalnotation in Notensatzprogramme wie [[http://www.klemm-music.de/makemusic/finale/index.php|Finale]], [[http://www.sibelius.com|Sibelius]] oder [[http://lilypond.org/|Lilypond]] eingebaut werden kann. Es gibt auch schon Plugins, welche die Eingabe vereinfachen, namentlich:

[[file:xenharmonic/Sagibelius_2.0.zip|Sagibelius]], ein Plugin von Jacob Barton für Sagittalnotation in Sibelius. Sagibelius ist "Donationware".
[[http://x31eq.com/lilypond/|Sagittal-Lilypond]], ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in Lilypond.

[[http://www.mus2.com.tr/explore/|Mus2]] ist eine Notensatz-Software, die besonders auf die Anforderungen für die Notation [[arabisch, türkisch, persisch|türkischer]] (und natürlich auch arabischer, persischer und anderer orientalischer) Musik ausgerichtet ist. Sie unterstützt Sagittalnotation "von Haus aus".

Weitere Informationen zu Software sind auf [[http://sagittal.org/]] zu finden.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Sagittalnotation&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Sagittal%20notation"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Intervalle beschreiben soll. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot; von etwa 114 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für Töne in reinen Stimmungen höherer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limits&amp;lt;/a&amp;gt; werden dann neue Symbole benötigt. Die Intervalle, für die die Symbole stehen, sind hier alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reinen grossen Terz&amp;lt;/a&amp;gt;. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Leipziger Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime&amp;lt;/a&amp;gt;, und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents gross ist und manchmal &amp;lt;strong&amp;gt;undezimales Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;Viertelton von Al-Farabi&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt wird. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;arabischer und türkischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen eignet - siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sagittalnotation#Software"&amp;gt;weiter unten&amp;lt;/a&amp;gt;.)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; verwiesen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Pure und gemischte Sagittalnotation"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Pure und gemischte Sagittalnotation&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;gemischt-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrauten Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Demgegenüber verfolgt die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;pur-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Notation die Philosophie, möglichst nur ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, und auch # und b sind durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit und Konsistenz, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Anwendung für gleichstufige Tonsysteme"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Anwendung für gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der erste und wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung" rel="nofollow"&amp;gt;enharmonische Verwechslungen&amp;lt;/a&amp;gt;. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; für Details.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zur Richtlinie 2 gibt es zu beachten, dass die Definition der traditionellen Notation gemäss Quintenschichtungen nur sinnvoll ist, wenn eine hinreichend gute Näherung für die reine Quinte verfügbar ist. Ansonsten können sich seltsame Effekte ergeben - bis zum Widerspruch zu Richtlinie 1, etwa bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;, wo die Note &amp;amp;quot;E&amp;amp;quot; eher wie ein Es klingen würde. Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - für 16edo beispielsweise die Symbole von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/48edo"&amp;gt;48edo&amp;lt;/a&amp;gt;, für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/11edo"&amp;gt;11edo&amp;lt;/a&amp;gt; die von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Anwendung für gleichstufige Tonsysteme-Beispiele"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Beispiele&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufigen Systeme präsentieren.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:24:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SagittalEDOExample.jpg/556499465/SagittalEDOExample.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SagittalEDOExample.jpg/556499465/SagittalEDOExample.jpg" alt="SagittalEDOExample.jpg" title="SagittalEDOExample.jpg" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:24 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12edo mit der traditionellen Notation überein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12edo ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Die Septime könnte man als B mit vorgestelltem Symbol für das Leipziger Komma schreiben; dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31edo als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/septimal-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;septimal-mitteltönigem&amp;lt;/a&amp;gt; System möglich ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als zweites Beispiel eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/11edo"&amp;gt;11edo&amp;lt;/a&amp;gt;-Tonleiter, geschrieben nach dem Standard von 22edo (entsprechend der Anmerkung zu Richtlinie 2):&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:25:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/Sagittal11EDO.jpg/556903777/409x233/Sagittal11EDO.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; style=&amp;amp;quot;height: 233px; width: 409px;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/Sagittal11EDO.jpg/556903777/409x233/Sagittal11EDO.jpg" alt="Sagittal11EDO.jpg" title="Sagittal11EDO.jpg" style="height: 233px; width: 409px;" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:25 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
(Rendering @ Juhani Nuorvala)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass beide Notenlinien dieselbe Tonleiter beschreiben! Das sehr verschiedene Aussehen kommt durch Effekte der enharmonischen Verwechslungen zustande. Die obere Linie kommt völlig ohne Zusatzsymbole aus, erweckt jedoch den falschen Eindruck einer Auf- und Abbewegung - in Wirklichkeit handelt es sich um eine aufsteigende Linie aus 11edo-Schritten. Die untere Linie benötigt Zusatzzeichen, entspricht dadurch aber eher den intuitiven Erwartungen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[todo Diskussion zu 22edo]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Software"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Software&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Sagittalnotation wird inzwischen von einer Reihe Softwareprodukte unterstützt. Auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; sind Fonts mit den Sagittalsymbolen verfügbar, mit deren Hilfe Sagittalnotation in Notensatzprogramme wie &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.klemm-music.de/makemusic/finale/index.php" rel="nofollow"&amp;gt;Finale&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.sibelius.com" rel="nofollow"&amp;gt;Sibelius&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://lilypond.org/" rel="nofollow"&amp;gt;Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt; eingebaut werden kann. Es gibt auch schon Plugins, welche die Eingabe vereinfachen, namentlich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip');"&amp;gt;Sagibelius&amp;lt;/a&amp;gt;, ein Plugin von Jacob Barton für Sagittalnotation in Sibelius. Sagibelius ist &amp;amp;quot;Donationware&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://x31eq.com/lilypond/" rel="nofollow"&amp;gt;Sagittal-Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt;, ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in Lilypond.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.mus2.com.tr/explore/" rel="nofollow"&amp;gt;Mus2&amp;lt;/a&amp;gt; ist eine Notensatz-Software, die besonders auf die Anforderungen für die Notation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;türkischer&amp;lt;/a&amp;gt; (und natürlich auch arabischer, persischer und anderer orientalischer) Musik ausgerichtet ist. Sie unterstützt Sagittalnotation &amp;amp;quot;von Haus aus&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Weitere Informationen zu Software sind auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; zu finden.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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      <origin>1110</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="26342" sha1="lcmcm06opqysbm6nrhdb77x9a2srqbs" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-08-12 06:56:13 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;556541661&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Sagittal notation|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[toc]]
[[image:http://sagittal.org/index_files/image005.gif align="center"]]
Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [[https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info|YaHoo Tuning Forum]] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [[http://sagittal.org/]] . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen= 
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle beschreiben soll. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein "grosser Halbton" von etwa 114 Cent).

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt. Von besonderer Bedeutung sind dabei die Intervalle, für die die Symbole stehen. Diese sind hier natürlich alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich [[Komma|Kommas]].

Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer reinen grossen Terz. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das [[64_63|Leipziger Komma]] (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime]], und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem [[Alphorn-Fa]] und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents gross ist und manchmal **undezimales Komma** oder **Viertelton von Al-Farabi** genannt wird. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation [[arabisch, türkisch, persisch|arabischer und türkischer]] Skalen eignet.)

Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:
[[image:SagittalOvertoneSeries.jpg]]

Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf [[http://sagittal.org/]] oder [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] verwiesen.

=Pure und gemischte Sagittalnotation= 
Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:

Die "**gemischt-sagittale**" Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrauten Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.

Demgegenüber verfolgt die "**pur-sagittale**" Notation die Philosophie, möglichst nur ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, und auch # und b sind durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit und Konsistenz, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.

Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.

=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme= 
Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:
# Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.
# Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.

Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind.

Der erste und wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für [[http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung|enharmonische Verwechslungen]]. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei [[mitteltönig|mitteltönigen]] gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] für Details.

Zur Richtlinie 2 gibt es zu beachten, dass die Definition der traditionellen Notation gemäss Quintenschichtungen nur sinnvoll ist, wenn eine hinreichend gute Näherung für die reine Quinte verfügbar ist. Ansonsten können sich seltsame Effekte ergeben - bis zum Widerspruch zu Richtlinie 1, etwa bei [[16edo]], wo die Note "E" eher wie ein Es klingen würde. Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - für 16edo beispielsweise die Symbole von [[48edo]], für [[11edo]] die von [[22edo]].

==Beispiel== 
Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufigen Systeme präsentieren.

[[image:SagittalEDOExample.jpg]]

Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.

In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.

In der Standardstimmung [[12edo]] etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12edo mit der traditionellen Notation überein.

[[22edo]] hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben.
[todo Diskussion]

[[31edo]] schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12edo ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Die Septime könnte man als B mit vorgestelltem Symbol für das Leipziger Komma schreiben; dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31edo als [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigem]] System möglich ist.

=Software-Plugins= 
[[file:xenharmonic/Sagibelius_2.0.zip|Sagibelius]] ist ein Plugin von Jacob Barton, das Sagittalnotation in der kommerziellen Notensatz-Software [[http://www.sibelius.com|Sibelius]] ermöglicht.
Sagibelius ist "Donationware".

[[http://x31eq.com/lilypond/|Sagittal-Lilypond]] ist ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in der freien Notensatz-Software [[http://lilypond.org/|Lilypond]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Sagittalnotation&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Sagittal%20notation"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:10:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@normal&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaToc&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/normal?w=225&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div id="toc"&amp;gt;&amp;lt;h1 class="nopad"&amp;gt;Table of Contents&amp;lt;/h1&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:10 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:11: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen"&amp;gt;Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:11 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:12: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Pure und gemischte Sagittalnotation"&amp;gt;Pure und gemischte Sagittalnotation&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:12 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:13: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Anwendung für gleichstufige Tonsysteme"&amp;gt;Anwendung für gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:14: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 2em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Anwendung für gleichstufige Tonsysteme-Beispiel"&amp;gt;Beispiel&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:14 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:15: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Software-Plugins"&amp;gt;Software-Plugins&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16: --&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRemoteImageRule:25:&amp;amp;lt;div style=&amp;amp;quot;text-align: center&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://sagittal.org/index_files/image005.gif&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;/div&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div style="text-align: center"&amp;gt;&amp;lt;img src="http://sagittal.org/index_files/image005.gif" alt="external image image005.gif" title="external image image005.gif" /&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRemoteImageRule:25 --&amp;gt;Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info" rel="nofollow"&amp;gt;YaHoo Tuning Forum&amp;lt;/a&amp;gt; entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt; wie auch für alle Arten von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen Tonsystemen&amp;lt;/a&amp;gt; verwendbar zu sein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Intervalle beschreiben soll. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot; von etwa 114 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für Töne in reinen Stimmungen höherer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limits&amp;lt;/a&amp;gt; werden dann neue Symbole benötigt. Von besonderer Bedeutung sind dabei die Intervalle, für die die Symbole stehen. Diese sind hier natürlich alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer reinen grossen Terz. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Leipziger Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime&amp;lt;/a&amp;gt;, und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents gross ist und manchmal &amp;lt;strong&amp;gt;undezimales Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;Viertelton von Al-Farabi&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt wird. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;arabischer und türkischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen eignet.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:23:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SagittalOvertoneSeries.jpg/556445667/SagittalOvertoneSeries.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SagittalOvertoneSeries.jpg/556445667/SagittalOvertoneSeries.jpg" alt="SagittalOvertoneSeries.jpg" title="SagittalOvertoneSeries.jpg" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:23 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; verwiesen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Pure und gemischte Sagittalnotation"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Pure und gemischte Sagittalnotation&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;gemischt-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrauten Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Demgegenüber verfolgt die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;pur-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Notation die Philosophie, möglichst nur ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, und auch # und b sind durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit und Konsistenz, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Anwendung für gleichstufige Tonsysteme"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Anwendung für gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der erste und wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung" rel="nofollow"&amp;gt;enharmonische Verwechslungen&amp;lt;/a&amp;gt;. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; für Details.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zur Richtlinie 2 gibt es zu beachten, dass die Definition der traditionellen Notation gemäss Quintenschichtungen nur sinnvoll ist, wenn eine hinreichend gute Näherung für die reine Quinte verfügbar ist. Ansonsten können sich seltsame Effekte ergeben - bis zum Widerspruch zu Richtlinie 1, etwa bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;, wo die Note &amp;amp;quot;E&amp;amp;quot; eher wie ein Es klingen würde. Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - für 16edo beispielsweise die Symbole von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/48edo"&amp;gt;48edo&amp;lt;/a&amp;gt;, für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/11edo"&amp;gt;11edo&amp;lt;/a&amp;gt; die von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Anwendung für gleichstufige Tonsysteme-Beispiel"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Beispiel&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufigen Systeme präsentieren.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:24:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SagittalEDOExample.jpg/556499465/SagittalEDOExample.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SagittalEDOExample.jpg/556499465/SagittalEDOExample.jpg" alt="SagittalEDOExample.jpg" title="SagittalEDOExample.jpg" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:24 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12edo mit der traditionellen Notation überein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben.&amp;lt;br /&amp;gt;
[todo Diskussion]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12edo ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Die Septime könnte man als B mit vorgestelltem Symbol für das Leipziger Komma schreiben; dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31edo als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/septimal-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;septimal-mitteltönigem&amp;lt;/a&amp;gt; System möglich ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Software-Plugins"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Software-Plugins&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip');"&amp;gt;Sagibelius&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Plugin von Jacob Barton, das Sagittalnotation in der kommerziellen Notensatz-Software &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.sibelius.com" rel="nofollow"&amp;gt;Sibelius&amp;lt;/a&amp;gt; ermöglicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
Sagibelius ist &amp;amp;quot;Donationware&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://x31eq.com/lilypond/" rel="nofollow"&amp;gt;Sagittal-Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in der freien Notensatz-Software &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://lilypond.org/" rel="nofollow"&amp;gt;Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
      <sha1>lcmcm06opqysbm6nrhdb77x9a2srqbs</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1111</id>
      <timestamp>2015-08-12T06:54:53Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
        <id>0</id>
      </contributor>
      <comment>**Imported revision 556541623 - Original comment: **</comment>
      <origin>1111</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="26342" sha1="6b4i7nbn870hxwv00pk36eje5p88juz" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-08-12 06:54:53 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Sagittal notation|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[toc]]
[[image:http://sagittal.org/index_files/image005.gif align="center"]]
Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [[https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info|YaHoo Tuning Forum]] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [[http://sagittal.org/]] . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen= 
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle beschreiben soll. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein "grosser Halbton" von etwa 114 Cent).

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt. Von besonderer Bedeutung sind dabei die Intervalle, für die die Symbole stehen. Diese sind hier natürlich alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich [[Komma|Kommas]].

Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer reinen grossen Terz. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das [[64_63|Leipziger Komma]] (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime]], und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem [[Alphorn-Fa]] und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents gross ist und manchmal **undezimales Komma** oder **Viertelton von Al-Farabi** genannt wird. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation [[arabisch, türkisch, persisch|arabischer und türkischer]] Skalen eignet.)

Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:
[[image:SagittalOvertoneSeries.jpg]]

Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf [[http://sagittal.org/]] oder [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] verwiesen.

=Pure und gemischte Sagittalnotation= 
Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:

Die "**gemischt-sagittale**" Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrautes Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.

Demgegenüber verfolgt die "**pur-sagittale**" Notation die Philosophie, möglichst nur ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, und auch # und b sind durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit und Konsistenz, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.

Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.

=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme= 
Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:
# Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.
# Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.

Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind.

Der erste und wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für [[http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung|enharmonische Verwechslungen]]. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei [[mitteltönig|mitteltönigen]] gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] für Details.

Zur Richtlinie 2 gibt es zu beachten, dass die Definition der traditionellen Notation gemäss Quintenschichtungen nur sinnvoll ist, wenn eine hinreichend gute Näherung für die reine Quinte verfügbar ist. Ansonsten können sich seltsame Effekte ergeben - bis zum Widerspruch zu Richtlinie 1, etwa bei [[16edo]], wo die Note "E" eher wie ein Es klingen würde. Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - für 16edo beispielsweise die Symbole von [[48edo]], für [[11edo]] die von [[22edo]].

==Beispiel== 
Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufigen Systeme präsentieren.

[[image:SagittalEDOExample.jpg]]

Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.

In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.

In der Standardstimmung [[12edo]] etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12edo mit der traditionellen Notation überein.

[[22edo]] hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben.
[todo Diskussion]

[[31edo]] schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12edo ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Die Septime könnte man als B mit vorgestelltem Symbol für das Leipziger Komma schreiben; dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31edo als [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigem]] System möglich ist.

=Software-Plugins= 
[[file:xenharmonic/Sagibelius_2.0.zip|Sagibelius]] ist ein Plugin von Jacob Barton, das Sagittalnotation in der kommerziellen Notensatz-Software [[http://www.sibelius.com|Sibelius]] ermöglicht.
Sagibelius ist "Donationware".

[[http://x31eq.com/lilypond/|Sagittal-Lilypond]] ist ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in der freien Notensatz-Software [[http://lilypond.org/|Lilypond]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Sagittalnotation&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Sagittal%20notation"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:10:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@normal&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaToc&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/normal?w=225&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div id="toc"&amp;gt;&amp;lt;h1 class="nopad"&amp;gt;Table of Contents&amp;lt;/h1&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:10 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:11: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen"&amp;gt;Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:12 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:13: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Anwendung für gleichstufige Tonsysteme"&amp;gt;Anwendung für gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:14: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 2em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Anwendung für gleichstufige Tonsysteme-Beispiel"&amp;gt;Beispiel&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Intervalle beschreiben soll. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot; von etwa 114 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für Töne in reinen Stimmungen höherer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limits&amp;lt;/a&amp;gt; werden dann neue Symbole benötigt. Von besonderer Bedeutung sind dabei die Intervalle, für die die Symbole stehen. Diese sind hier natürlich alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer reinen grossen Terz. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Leipziger Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime&amp;lt;/a&amp;gt;, und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents gross ist und manchmal &amp;lt;strong&amp;gt;undezimales Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;Viertelton von Al-Farabi&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt wird. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;arabischer und türkischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen eignet.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:23:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SagittalOvertoneSeries.jpg/556445667/SagittalOvertoneSeries.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SagittalOvertoneSeries.jpg/556445667/SagittalOvertoneSeries.jpg" alt="SagittalOvertoneSeries.jpg" title="SagittalOvertoneSeries.jpg" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:23 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; verwiesen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Pure und gemischte Sagittalnotation"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Pure und gemischte Sagittalnotation&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;gemischt-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrautes Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Demgegenüber verfolgt die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;pur-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Notation die Philosophie, möglichst nur ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, und auch # und b sind durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit und Konsistenz, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Anwendung für gleichstufige Tonsysteme"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Anwendung für gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der erste und wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung" rel="nofollow"&amp;gt;enharmonische Verwechslungen&amp;lt;/a&amp;gt;. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; für Details.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zur Richtlinie 2 gibt es zu beachten, dass die Definition der traditionellen Notation gemäss Quintenschichtungen nur sinnvoll ist, wenn eine hinreichend gute Näherung für die reine Quinte verfügbar ist. Ansonsten können sich seltsame Effekte ergeben - bis zum Widerspruch zu Richtlinie 1, etwa bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;, wo die Note &amp;amp;quot;E&amp;amp;quot; eher wie ein Es klingen würde. Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - für 16edo beispielsweise die Symbole von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/48edo"&amp;gt;48edo&amp;lt;/a&amp;gt;, für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/11edo"&amp;gt;11edo&amp;lt;/a&amp;gt; die von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Anwendung für gleichstufige Tonsysteme-Beispiel"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Beispiel&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufigen Systeme präsentieren.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:24:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SagittalEDOExample.jpg/556499465/SagittalEDOExample.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SagittalEDOExample.jpg/556499465/SagittalEDOExample.jpg" alt="SagittalEDOExample.jpg" title="SagittalEDOExample.jpg" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:24 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12edo mit der traditionellen Notation überein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben.&amp;lt;br /&amp;gt;
[todo Diskussion]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12edo ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Die Septime könnte man als B mit vorgestelltem Symbol für das Leipziger Komma schreiben; dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31edo als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/septimal-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;septimal-mitteltönigem&amp;lt;/a&amp;gt; System möglich ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Software-Plugins"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Software-Plugins&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip');"&amp;gt;Sagibelius&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Plugin von Jacob Barton, das Sagittalnotation in der kommerziellen Notensatz-Software &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.sibelius.com" rel="nofollow"&amp;gt;Sibelius&amp;lt;/a&amp;gt; ermöglicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
Sagibelius ist &amp;amp;quot;Donationware&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://x31eq.com/lilypond/" rel="nofollow"&amp;gt;Sagittal-Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in der freien Notensatz-Software &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://lilypond.org/" rel="nofollow"&amp;gt;Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-08-12 05:57:25 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
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[[image:http://sagittal.org/index_files/image005.gif align="center"]]
Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [[https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info|YaHoo Tuning Forum]] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [[http://sagittal.org/]] . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen= 
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen für [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle gelten. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein "grosser Halbton" von etwa 114 Cent).

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt. Von besonderer Bedeutung sind dabei die Intervalle, für die die Symbole stehen. Diese sind hier natürlich alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich [[Komma|Kommas]].

Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer reinen grossen Terz. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das [[64_63|Leipziger Komma]] (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime]], und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem [[Alphorn-Fa]] und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents gross ist und manchmal **undezimales Komma** oder **Viertelton von Al-Farabi** genannt wird. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation [[arabisch, türkisch, persisch|arabischer und türkischer]] Skalen eignet.)

Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:
[[image:SagittalOvertoneSeries.jpg]]

Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf [[http://sagittal.org/]] oder [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] verwiesen.

=Pure und gemischte Sagittalnotation= 
Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:

Die "**gemischt-sagittale**" Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrautes Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.

Demgegenüber verfolgt die "**pur-sagittale**" Notation die Philosophie, möglichst nur ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, und auch # und b sind durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit und Konsistenz, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.

Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.

=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme= 
Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:
# Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.
# Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.

Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind.

Der erste und wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für [[http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung|enharmonische Verwechslungen]]. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei [[mitteltönig|mitteltönigen]] gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] für Details.

Zur Richtlinie 2 gibt es zu beachten, dass die Definition der traditionellen Notation gemäss Quintenschichtungen nur sinnvoll ist, wenn eine hinreichend gute Näherung für die reine Quinte verfügbar ist. Ansonsten können sich seltsame Effekte ergeben - bis zum Widerspruch zu Richtlinie 1, etwa bei [[16edo]], wo die Note "E" eher wie ein Es klingen würde. Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - für 16edo beispielsweise die Symbole von [[48edo]], für [[11edo]] die von [[22edo]].

Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufigen Systeme präsentieren.

[[image:SagittalEDOExample.jpg]]

Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.

In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.

In der Standardstimmung [[12edo]] etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12edo mit der traditionellen Notation überein.

[[22edo]] hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben.
[todo Diskussion]

[[31edo]] schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12edo ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Die Septime könnte man als B mit vorgestelltem Symbol für das Leipziger Komma schreiben; dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31edo als [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigem]] System möglich ist.

=Software-Plugins= 
[[file:xenharmonic/Sagibelius_2.0.zip|Sagibelius]] ist ein Plugin von Jacob Barton, das Sagittalnotation in der kommerziellen Notensatz-Software [[http://www.sibelius.com|Sibelius]] ermöglicht.
Sagibelius ist "Donationware".

[[http://x31eq.com/lilypond/|Sagittal-Lilypond]] ist ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in der freien Notensatz-Software [[http://lilypond.org/|Lilypond]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Intervalle gelten. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot; von etwa 114 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für Töne in reinen Stimmungen höherer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limits&amp;lt;/a&amp;gt; werden dann neue Symbole benötigt. Von besonderer Bedeutung sind dabei die Intervalle, für die die Symbole stehen. Diese sind hier natürlich alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer reinen grossen Terz. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Leipziger Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime&amp;lt;/a&amp;gt;, und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents gross ist und manchmal &amp;lt;strong&amp;gt;undezimales Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;Viertelton von Al-Farabi&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt wird. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;arabischer und türkischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen eignet.)&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;gemischt-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrautes Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der erste und wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung" rel="nofollow"&amp;gt;enharmonische Verwechslungen&amp;lt;/a&amp;gt;. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; für Details.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Zur Richtlinie 2 gibt es zu beachten, dass die Definition der traditionellen Notation gemäss Quintenschichtungen nur sinnvoll ist, wenn eine hinreichend gute Näherung für die reine Quinte verfügbar ist. Ansonsten können sich seltsame Effekte ergeben - bis zum Widerspruch zu Richtlinie 1, etwa bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;, wo die Note &amp;amp;quot;E&amp;amp;quot; eher wie ein Es klingen würde. Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - für 16edo beispielsweise die Symbole von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/48edo"&amp;gt;48edo&amp;lt;/a&amp;gt;, für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/11edo"&amp;gt;11edo&amp;lt;/a&amp;gt; die von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufigen Systeme präsentieren.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In der Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12edo mit der traditionellen Notation überein.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12edo ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Die Septime könnte man als B mit vorgestelltem Symbol für das Leipziger Komma schreiben; dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31edo als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/septimal-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;septimal-mitteltönigem&amp;lt;/a&amp;gt; System möglich ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip');"&amp;gt;Sagibelius&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Plugin von Jacob Barton, das Sagittalnotation in der kommerziellen Notensatz-Software &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.sibelius.com" rel="nofollow"&amp;gt;Sibelius&amp;lt;/a&amp;gt; ermöglicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
Sagibelius ist &amp;amp;quot;Donationware&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://x31eq.com/lilypond/" rel="nofollow"&amp;gt;Sagittal-Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in der freien Notensatz-Software &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://lilypond.org/" rel="nofollow"&amp;gt;Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[image:http://sagittal.org/index_files/image005.gif align="center"]]
Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [[https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info|YaHoo Tuning Forum]] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [[http://sagittal.org/]] . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen= 
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen für [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle gelten. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein "grosser Halbton" von etwa 114 Cent).

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt. Von besonderer Bedeutung sind dabei die Intervalle, für die die Symbole stehen. Diese sind hier natürlich alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich [[Komma|Kommas]].

Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer reinen grossen Terz. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das [[64_63|Leipziger Komma]] (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime]], und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem [[Alphorn-Fa]] und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents gross ist und manchmal **undezimales Komma** oder **Viertelton von Al-Farabi** genannt wird. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation [[arabisch, türkisch, persisch|arabischer und türkischer]] Skalen eignet.)

Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:
[[image:SagittalOvertoneSeries.jpg]]

Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf [[http://sagittal.org/]] oder [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] verwiesen.

=Pure und gemischte Sagittalnotation= 
Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:

Die "**gemischt-sagittale**" Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrautes Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.

Demgegenüber verfolgt die "**pur-sagittale**" Notation die Philosophie, möglichst nur ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, und auch # und b sind durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit und Konsistenz, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.

Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.

=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme= 
Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:
# Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.
# Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.

Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind.

Der erste und wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für [[http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung|enharmonische Verwechslungen]]. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei [[mitteltönig|mitteltönigen]] gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] für Details.

Zur Richtlinie 2 gibt es zu beachten, dass die Definition der traditionellen Notation gemäss Quintenschichtungen nur sinnvoll ist, wenn eine hinreichend gute Näherung für die reine Quinte verfügbar ist. Ansonsten können sich seltsame Effekte ergeben - bis zum Widerspruch zu Richtlinie 1, etwa bei [[16edo]], wo die Note "E" eher wie ein Es klingen würde. Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - für 16edo beispielsweise die Symbole von [[48edo]], für [[11edo]] die von [[22edo]].

Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufugen Systeme präsentieren.

[[image:SagittalEDOExample.jpg]]

Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.

In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.

In der Standardstimmung [[12edo]] etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12edo mit der traditionellen Notation überein.

[[22edo]] hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben.
[todo Diskussion]

[[31edo]] schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12edo ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Die Septime könnte man als B mit vorgestelltem Symbol für das Leipziger Komma schreiben; dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31edo als [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigem]] System möglich ist.

=Software-Plugins= 
[[file:xenharmonic/Sagibelius_2.0.zip|Sagibelius]] ist ein Plugin von Jacob Barton, das Sagittalnotation in der kommerziellen Notensatz-Software [[http://www.sibelius.com|Sibelius]] ermöglicht.
Sagibelius ist "Donationware".

[[http://x31eq.com/lilypond/|Sagittal-Lilypond]] ist ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in der freien Notensatz-Software [[http://lilypond.org/|Lilypond]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Intervalle gelten. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot; von etwa 114 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;gemischt-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrautes Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Demgegenüber verfolgt die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;pur-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Notation die Philosophie, möglichst nur ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, und auch # und b sind durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit und Konsistenz, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der erste und wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung" rel="nofollow"&amp;gt;enharmonische Verwechslungen&amp;lt;/a&amp;gt;. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; für Details.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zur Richtlinie 2 gibt es zu beachten, dass die Definition der traditionellen Notation gemäss Quintenschichtungen nur sinnvoll ist, wenn eine hinreichend gute Näherung für die reine Quinte verfügbar ist. Ansonsten können sich seltsame Effekte ergeben - bis zum Widerspruch zu Richtlinie 1, etwa bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;, wo die Note &amp;amp;quot;E&amp;amp;quot; eher wie ein Es klingen würde. Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - für 16edo beispielsweise die Symbole von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/48edo"&amp;gt;48edo&amp;lt;/a&amp;gt;, für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/11edo"&amp;gt;11edo&amp;lt;/a&amp;gt; die von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufugen Systeme präsentieren.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:21:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SagittalEDOExample.jpg/556499465/SagittalEDOExample.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SagittalEDOExample.jpg/556499465/SagittalEDOExample.jpg" alt="SagittalEDOExample.jpg" title="SagittalEDOExample.jpg" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:21 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12edo mit der traditionellen Notation überein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben.&amp;lt;br /&amp;gt;
[todo Diskussion]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12edo ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Die Septime könnte man als B mit vorgestelltem Symbol für das Leipziger Komma schreiben; dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31edo als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/septimal-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;septimal-mitteltönigem&amp;lt;/a&amp;gt; System möglich ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Software-Plugins"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Software-Plugins&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip');"&amp;gt;Sagibelius&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Plugin von Jacob Barton, das Sagittalnotation in der kommerziellen Notensatz-Software &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.sibelius.com" rel="nofollow"&amp;gt;Sibelius&amp;lt;/a&amp;gt; ermöglicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
Sagibelius ist &amp;amp;quot;Donationware&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://x31eq.com/lilypond/" rel="nofollow"&amp;gt;Sagittal-Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in der freien Notensatz-Software &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://lilypond.org/" rel="nofollow"&amp;gt;Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[toc]]
[[image:http://sagittal.org/index_files/image005.gif align="center"]]
Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [[https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info|YaHoo Tuning Forum]] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [[http://sagittal.org/]] . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen= 
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen für [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle gelten. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein "grosser Halbton" von etwa 114 Cent).

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt. Von besonderer Bedeutung sind dabei die Intervalle, für die die Symbole stehen. Diese sind hier natürlich alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich [[Komma|Kommas]].

Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer reinen grossen Terz. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das [[64_63|Leipziger Komma]] (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime]], und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem [[Alphorn-Fa]] und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents gross ist und manchmal **undezimales Komma** oder **Viertelton von Al-Farabi** genannt wird. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation [[arabisch, türkisch, persisch|arabischer und türkischer]] Skalen eignet.)

Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:
[[image:SagittalOvertoneSeries.jpg]]

Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf [[http://sagittal.org/]] oder [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] verwiesen.

=Pure und gemischte Sagittalnotation= 
Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:

Die "**gemischt-sagittale**" Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrautes Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.

Demgegenüber verfolgt die "**pur-sagittale**" Notation die Philosophie, möglichst nur ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, und auch # und b sind durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit und Konsistenz, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.

Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.

=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme= 
Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:
# Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.
# Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.

Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind.

Der erste und wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für [[http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung|enharmonische Verwechslungen]]. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei [[mitteltönig|mitteltönigen]] gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] für Details.

Zur Richtlinie 2 gibt es zu beachten, dass die Definition der traditionellen Notation gemäss Quintenschichtungen nur sinnvoll ist, wenn eine hinreichend gute Näherung für die reine Quinte verfügbar ist. Ansonsten können sich seltsame Effekte ergeben - bis zum Widerspruch zu Richtlinie 1, etwa bei [[16edo]], wo die Note "E" eher wie ein Es klingen würde. Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - für 16edo beispielsweise die Symbole von [[48edo]], für [[11edo]] die von [[22edo]].

Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufugen Systeme präsentieren.

[[image:SagittalEDOExample.jpg]]

Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Overtönen 4 bis 7 (bzw., in den gelichstufigen Systemen, deren Approximation) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B. 

In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.

In der Standardstimmung [[12edo]] etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit einem "gewöhnlichen" (pythagoräischen) Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden.

[[22edo]] hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen bleibt hier das entsprechende Zeichen for dem E erhalten.
[todo Diskussion]

[[31edo]] schliesslich ist ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Die Septime könnte man als B mit vorgestelltem Symbol für das Leipziger Komma schreiben; dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31edo als [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigem]] System möglich ist.

=Software-Plugins= 
[[file:xenharmonic/Sagibelius_2.0.zip|Sagibelius]] ist ein Plugin von Jacob Barton, das Sagittalnotation in der kommerziellen Notensatz-Software [[http://www.sibelius.com|Sibelius]] ermöglicht.
Sagibelius ist "Donationware".

[[http://x31eq.com/lilypond/|Sagittal-Lilypond]] ist ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in der freien Notensatz-Software [[http://lilypond.org/|Lilypond]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Sagittalnotation&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Sagittal%20notation"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Intervalle gelten. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot; von etwa 114 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für Töne in reinen Stimmungen höherer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limits&amp;lt;/a&amp;gt; werden dann neue Symbole benötigt. Von besonderer Bedeutung sind dabei die Intervalle, für die die Symbole stehen. Diese sind hier natürlich alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer reinen grossen Terz. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Leipziger Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime&amp;lt;/a&amp;gt;, und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents gross ist und manchmal &amp;lt;strong&amp;gt;undezimales Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;Viertelton von Al-Farabi&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt wird. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;arabischer und türkischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen eignet.)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:20:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SagittalOvertoneSeries.jpg/556445667/SagittalOvertoneSeries.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SagittalOvertoneSeries.jpg/556445667/SagittalOvertoneSeries.jpg" alt="SagittalOvertoneSeries.jpg" title="SagittalOvertoneSeries.jpg" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:20 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; verwiesen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Pure und gemischte Sagittalnotation"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Pure und gemischte Sagittalnotation&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;gemischt-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrautes Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Demgegenüber verfolgt die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;pur-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Notation die Philosophie, möglichst nur ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, und auch # und b sind durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit und Konsistenz, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Anwendung für gleichstufige Tonsysteme"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Anwendung für gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der erste und wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung" rel="nofollow"&amp;gt;enharmonische Verwechslungen&amp;lt;/a&amp;gt;. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; für Details.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zur Richtlinie 2 gibt es zu beachten, dass die Definition der traditionellen Notation gemäss Quintenschichtungen nur sinnvoll ist, wenn eine hinreichend gute Näherung für die reine Quinte verfügbar ist. Ansonsten können sich seltsame Effekte ergeben - bis zum Widerspruch zu Richtlinie 1, etwa bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;, wo die Note &amp;amp;quot;E&amp;amp;quot; eher wie ein Es klingen würde. Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - für 16edo beispielsweise die Symbole von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/48edo"&amp;gt;48edo&amp;lt;/a&amp;gt;, für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/11edo"&amp;gt;11edo&amp;lt;/a&amp;gt; die von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufugen Systeme präsentieren.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:21:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SagittalEDOExample.jpg/556499465/SagittalEDOExample.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SagittalEDOExample.jpg/556499465/SagittalEDOExample.jpg" alt="SagittalEDOExample.jpg" title="SagittalEDOExample.jpg" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:21 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Overtönen 4 bis 7 (bzw., in den gelichstufigen Systemen, deren Approximation) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B. &amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit einem &amp;amp;quot;gewöhnlichen&amp;amp;quot; (pythagoräischen) Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen bleibt hier das entsprechende Zeichen for dem E erhalten.&amp;lt;br /&amp;gt;
[todo Diskussion]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; schliesslich ist ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Die Septime könnte man als B mit vorgestelltem Symbol für das Leipziger Komma schreiben; dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31edo als &amp;lt;a class="wiki_link" href="/septimal-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;septimal-mitteltönigem&amp;lt;/a&amp;gt; System möglich ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Software-Plugins"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Software-Plugins&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip');"&amp;gt;Sagibelius&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Plugin von Jacob Barton, das Sagittalnotation in der kommerziellen Notensatz-Software &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.sibelius.com" rel="nofollow"&amp;gt;Sibelius&amp;lt;/a&amp;gt; ermöglicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
Sagibelius ist &amp;amp;quot;Donationware&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://x31eq.com/lilypond/" rel="nofollow"&amp;gt;Sagittal-Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in der freien Notensatz-Software &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://lilypond.org/" rel="nofollow"&amp;gt;Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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      <comment>**Imported revision 556499419 - Original comment: **</comment>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-08-11 13:52:02 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Sagittal notation|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[toc]]
[[image:http://sagittal.org/index_files/image005.gif align="center"]]
Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [[https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info|YaHoo Tuning Forum]] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [[http://sagittal.org/]] . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen= 
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen für [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle gelten. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein "grosser Halbton" von etwa 114 Cent).

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt. Von besonderer Bedeutung sind dabei die Intervalle, für die die Symbole stehen. Diese sind hier natürlich alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich [[Komma|Kommas]].

Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer reinen grossen Terz. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das [[64_63|Leipziger Komma]] (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime]], und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem [[Alphorn-Fa]] und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents gross ist und manchmal **undezimales Komma** oder **Viertelton von Al-Farabi** genannt wird. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation [[arabisch, türkisch, persisch|arabischer und türkischer]] Skalen eignet.)

Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:
[[image:SagittalOvertoneSeries.jpg]]

Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf [[http://sagittal.org/]] oder [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] verwiesen.

=Pure und gemischte Sagittalnotation= 
Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:

Die "**gemischt-sagittale**" Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrautes Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.

Demgegenüber verfolgt die "**pur-sagittale**" Notation die Philosophie, möglichst nur ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, und auch # und b sind durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit und Konsistenz, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.

Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.

=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme= 
Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:
# Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.
# Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.

Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind.

Der erste und wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für [[http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung|enharmonische Verwechslungen]]. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei [[mitteltönig|mitteltönigen]] gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] für Details.

Zur Richtlinie 2 gibt es zu beachten, dass die Definition der traditionellen Notation gemäss Quintenschichtungen nur sinnvoll ist, wenn eine hinreichend gute Näherung für die reine Quinte verfügbar ist. Ansonsten können sich seltsame Effekte ergeben - bis zum Widerspruch zu Richtlinie 1, etwa bei [[16edo]], wo die Note "E" eher wie ein Es klingen würde. Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - für 16edo beispielsweise die Symbole von [[48edo]], für [[11edo]] die von [[22edo]].



[todo Example ]

=Software-Plugins= 
[[file:xenharmonic/Sagibelius_2.0.zip|Sagibelius]] ist ein Plugin von Jacob Barton, das Sagittalnotation in der kommerziellen Notensatz-Software [[http://www.sibelius.com|Sibelius]] ermöglicht.
Sagibelius ist "Donationware".

[[http://x31eq.com/lilypond/|Sagittal-Lilypond]] ist ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in der freien Notensatz-Software [[http://lilypond.org/|Lilypond]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Sagittalnotation&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Sagittal%20notation"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:8:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@normal&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaToc&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/normal?w=225&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div id="toc"&amp;gt;&amp;lt;h1 class="nopad"&amp;gt;Table of Contents&amp;lt;/h1&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:8 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:9: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen"&amp;gt;Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:9 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:10: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Pure und gemischte Sagittalnotation"&amp;gt;Pure und gemischte Sagittalnotation&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:10 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:11: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Anwendung für gleichstufige Tonsysteme"&amp;gt;Anwendung für gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:11 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:12: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Software-Plugins"&amp;gt;Software-Plugins&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:12 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:13: --&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRemoteImageRule:21:&amp;amp;lt;div style=&amp;amp;quot;text-align: center&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://sagittal.org/index_files/image005.gif&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;/div&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div style="text-align: center"&amp;gt;&amp;lt;img src="http://sagittal.org/index_files/image005.gif" alt="external image image005.gif" title="external image image005.gif" /&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRemoteImageRule:21 --&amp;gt;Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info" rel="nofollow"&amp;gt;YaHoo Tuning Forum&amp;lt;/a&amp;gt; entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt; wie auch für alle Arten von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen Tonsystemen&amp;lt;/a&amp;gt; verwendbar zu sein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Intervalle gelten. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot; von etwa 114 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für Töne in reinen Stimmungen höherer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limits&amp;lt;/a&amp;gt; werden dann neue Symbole benötigt. Von besonderer Bedeutung sind dabei die Intervalle, für die die Symbole stehen. Diese sind hier natürlich alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer reinen grossen Terz. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Leipziger Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime&amp;lt;/a&amp;gt;, und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents gross ist und manchmal &amp;lt;strong&amp;gt;undezimales Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;Viertelton von Al-Farabi&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt wird. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;arabischer und türkischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen eignet.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:20:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SagittalOvertoneSeries.jpg/556445667/SagittalOvertoneSeries.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SagittalOvertoneSeries.jpg/556445667/SagittalOvertoneSeries.jpg" alt="SagittalOvertoneSeries.jpg" title="SagittalOvertoneSeries.jpg" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:20 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; verwiesen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Pure und gemischte Sagittalnotation"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Pure und gemischte Sagittalnotation&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;gemischt-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrautes Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Demgegenüber verfolgt die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;pur-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Notation die Philosophie, möglichst nur ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, und auch # und b sind durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit und Konsistenz, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Anwendung für gleichstufige Tonsysteme"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Anwendung für gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der erste und wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung" rel="nofollow"&amp;gt;enharmonische Verwechslungen&amp;lt;/a&amp;gt;. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; für Details.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zur Richtlinie 2 gibt es zu beachten, dass die Definition der traditionellen Notation gemäss Quintenschichtungen nur sinnvoll ist, wenn eine hinreichend gute Näherung für die reine Quinte verfügbar ist. Ansonsten können sich seltsame Effekte ergeben - bis zum Widerspruch zu Richtlinie 1, etwa bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;, wo die Note &amp;amp;quot;E&amp;amp;quot; eher wie ein Es klingen würde. Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - für 16edo beispielsweise die Symbole von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/48edo"&amp;gt;48edo&amp;lt;/a&amp;gt;, für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/11edo"&amp;gt;11edo&amp;lt;/a&amp;gt; die von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[todo Example ]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Software-Plugins"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Software-Plugins&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip');"&amp;gt;Sagibelius&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Plugin von Jacob Barton, das Sagittalnotation in der kommerziellen Notensatz-Software &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.sibelius.com" rel="nofollow"&amp;gt;Sibelius&amp;lt;/a&amp;gt; ermöglicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
Sagibelius ist &amp;amp;quot;Donationware&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://x31eq.com/lilypond/" rel="nofollow"&amp;gt;Sagittal-Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in der freien Notensatz-Software &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://lilypond.org/" rel="nofollow"&amp;gt;Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-08-11 07:52:50 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Sagittal notation|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[toc]]
[[image:http://sagittal.org/index_files/image005.gif align="center"]]
Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [[https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info|YaHoo Tuning Forum]] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [[http://sagittal.org/]] . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen= 
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen für [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle gelten. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein "grosser Halbton" von etwa 114 Cent).

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt. Von besonderer Bedeutung sind dabei die Intervalle, für die die Symbole stehen. Diese sind hier natürlich alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich [[Komma|Kommas]].

Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer reinen grossen Terz. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das [[64_63|Leipziger Komma]] (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime]], und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem [[Alphorn-Fa]] und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents gross ist und manchmal **undezimales Komma** oder **Viertelton von Al-Farabi** genannt wird. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation [[arabisch, türkisch, persisch|arabischer und türkischer]] Skalen eignet.)

Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:
[[image:SagittalOvertoneSeries.jpg]]

Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf [[http://sagittal.org/]] oder [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] verwiesen.

=Pure und gemischte Sagittalnotation= 
Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:

Die "**gemischt-sagittale**" Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrautes Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.

Demgegenüber verfolgt die "**pur-sagittale**" Notation die Philosophie, möglichst nur ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, und auch # und b sind durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit und Konsistenz, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.

Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.

=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme= 
Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:
# Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.
# Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.

Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind.

Der erste und wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für [[http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung|enharmonischen Verwechslungen]]. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden typischerweise ganz - wie das syntonische Komma bei [[mitteltönig|mitteltönigen]] gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe
[[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] für Details.

Zur Richtlinie 2 gibt es zu beachten, dass die Definition der traditionellen Notation gemäss Quintenschichtungen nur sinnvoll ist, wenn eine hinreichend gute Näherung für die reine Quinte verfügbar ist. Ansonsten können sich seltsame Effekte ergeben - bis zum Widerspruch zu Richtlinie 1, etwa bei [[16edo]], wo die Notation "E" eher wie ein Es klingen würde. Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quitenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - für 16edo beispilsweise die Symbole von [[48edo]], für [[11edo]] die von [[22edo]].

[todo Example ]

=Software-Plugins= 
[[file:xenharmonic/Sagibelius_2.0.zip|Sagibelius]] ist ein Plugin von Jacob Barton, das Sagittalnotation in der kommerziellen Notensatz-Software [[http://www.sibelius.com|Sibelius]] ermöglicht.
Sagibelius ist "Donationware".

[[http://x31eq.com/lilypond/|Sagittal-Lilypond]] ist ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in der freien Notensatz-Software [[http://lilypond.org/|Lilypond]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Sagittalnotation&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Sagittal%20notation"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:8:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@normal&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaToc&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/normal?w=225&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div id="toc"&amp;gt;&amp;lt;h1 class="nopad"&amp;gt;Table of Contents&amp;lt;/h1&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:8 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:9: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen"&amp;gt;Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:9 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:10: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Pure und gemischte Sagittalnotation"&amp;gt;Pure und gemischte Sagittalnotation&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:10 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:11: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Anwendung für gleichstufige Tonsysteme"&amp;gt;Anwendung für gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:11 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:12: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Software-Plugins"&amp;gt;Software-Plugins&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:12 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:13: --&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRemoteImageRule:21:&amp;amp;lt;div style=&amp;amp;quot;text-align: center&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://sagittal.org/index_files/image005.gif&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;/div&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div style="text-align: center"&amp;gt;&amp;lt;img src="http://sagittal.org/index_files/image005.gif" alt="external image image005.gif" title="external image image005.gif" /&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRemoteImageRule:21 --&amp;gt;Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info" rel="nofollow"&amp;gt;YaHoo Tuning Forum&amp;lt;/a&amp;gt; entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt; wie auch für alle Arten von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen Tonsystemen&amp;lt;/a&amp;gt; verwendbar zu sein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Intervalle gelten. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot; von etwa 114 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für Töne in reinen Stimmungen höherer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limits&amp;lt;/a&amp;gt; werden dann neue Symbole benötigt. Von besonderer Bedeutung sind dabei die Intervalle, für die die Symbole stehen. Diese sind hier natürlich alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer reinen grossen Terz. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Leipziger Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime&amp;lt;/a&amp;gt;, und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents gross ist und manchmal &amp;lt;strong&amp;gt;undezimales Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;Viertelton von Al-Farabi&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt wird. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;arabischer und türkischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen eignet.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:20:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SagittalOvertoneSeries.jpg/556445667/SagittalOvertoneSeries.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SagittalOvertoneSeries.jpg/556445667/SagittalOvertoneSeries.jpg" alt="SagittalOvertoneSeries.jpg" title="SagittalOvertoneSeries.jpg" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:20 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; verwiesen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Pure und gemischte Sagittalnotation"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Pure und gemischte Sagittalnotation&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;gemischt-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrautes Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Demgegenüber verfolgt die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;pur-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Notation die Philosophie, möglichst nur ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, und auch # und b sind durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit und Konsistenz, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Anwendung für gleichstufige Tonsysteme"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Anwendung für gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der erste und wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung" rel="nofollow"&amp;gt;enharmonischen Verwechslungen&amp;lt;/a&amp;gt;. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden typischerweise ganz - wie das syntonische Komma bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; für Details.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Zur Richtlinie 2 gibt es zu beachten, dass die Definition der traditionellen Notation gemäss Quintenschichtungen nur sinnvoll ist, wenn eine hinreichend gute Näherung für die reine Quinte verfügbar ist. Ansonsten können sich seltsame Effekte ergeben - bis zum Widerspruch zu Richtlinie 1, etwa bei &amp;lt;a class="wiki_link" href="/16edo"&amp;gt;16edo&amp;lt;/a&amp;gt;, wo die Notation &amp;amp;quot;E&amp;amp;quot; eher wie ein Es klingen würde. Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quitenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - für 16edo beispilsweise die Symbole von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/48edo"&amp;gt;48edo&amp;lt;/a&amp;gt;, für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/11edo"&amp;gt;11edo&amp;lt;/a&amp;gt; die von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[todo Example ]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Software-Plugins"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Software-Plugins&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip');"&amp;gt;Sagibelius&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Plugin von Jacob Barton, das Sagittalnotation in der kommerziellen Notensatz-Software &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.sibelius.com" rel="nofollow"&amp;gt;Sibelius&amp;lt;/a&amp;gt; ermöglicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
Sagibelius ist &amp;amp;quot;Donationware&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://x31eq.com/lilypond/" rel="nofollow"&amp;gt;Sagittal-Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in der freien Notensatz-Software &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://lilypond.org/" rel="nofollow"&amp;gt;Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-08-11 07:04:20 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Sagittal notation|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[toc]]
[[image:http://sagittal.org/index_files/image005.gif align="center"]]
Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [[https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info|YaHoo Tuning Forum]] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [[http://sagittal.org/]] . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen= 
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen für [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle gelten. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein "grosser Halbton" von etwa 114 Cent).

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt. Von besonderer Bedeutung sind dabei die Intervalle, für die die Symbole stehen. Diese sind hier natürlich alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich [[Komma|Kommas]].

Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer reinen grossen Terz. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das [[64_63|Leipziger Komma]] (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime]], und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem [[Alphorn-Fa]] und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents gross ist und manchmal **undezimales Komma** oder **Viertelton von Al-Farabi** genannt wird. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation [[arabisch, türkisch, persisch|arabischer und türkischer]] Skalen eignet.)

Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:
[[image:SagittalOvertoneSeries.jpg]]

Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf [[http://sagittal.org/]] oder [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] verwiesen.

=Pure und gemischte Sagittalnotation= 
Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:

Die "**gemischt-sagittale**" Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrautes Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.

Demgegenüber verfolgt die "**pur-sagittale**" Notation die Philosophie, möglichst nur ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, und auch # und b sind durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit und Konsistenz, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.

Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.

=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme= 
Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:
# Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der glelichstufige Ton die beste Näherung ist.
# Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeicihnen, wobei als Quinte natürlich die beste Näherung für die reine Quinte im jeweiligen gleichstufigen System gilt.

Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind. 

Der erste und weichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse mehrdeutig.

[todo]

=Software-Plugins= 
[[file:xenharmonic/Sagibelius_2.0.zip|Sagibelius]] ist ein Plugin von Jacob Barton, das Sagittalnotation in der kommerziellen Notensatz-Software [[http://www.sibelius.com|Sibelius]] ermöglicht.
Sagibelius ist "Donationware".

[[http://x31eq.com/lilypond/|Sagittal-Lilypond]] ist ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in der freien Notensatz-Software [[http://lilypond.org/|Lilypond]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Sagittalnotation&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Sagittal%20notation"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:8:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@normal&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaToc&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/normal?w=225&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div id="toc"&amp;gt;&amp;lt;h1 class="nopad"&amp;gt;Table of Contents&amp;lt;/h1&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:8 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:9: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen"&amp;gt;Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:9 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:10: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Pure und gemischte Sagittalnotation"&amp;gt;Pure und gemischte Sagittalnotation&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:10 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:11: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Anwendung für gleichstufige Tonsysteme"&amp;gt;Anwendung für gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:11 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:12: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Software-Plugins"&amp;gt;Software-Plugins&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:12 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:13: --&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRemoteImageRule:21:&amp;amp;lt;div style=&amp;amp;quot;text-align: center&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://sagittal.org/index_files/image005.gif&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;/div&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div style="text-align: center"&amp;gt;&amp;lt;img src="http://sagittal.org/index_files/image005.gif" alt="external image image005.gif" title="external image image005.gif" /&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRemoteImageRule:21 --&amp;gt;Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info" rel="nofollow"&amp;gt;YaHoo Tuning Forum&amp;lt;/a&amp;gt; entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt; wie auch für alle Arten von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen Tonsystemen&amp;lt;/a&amp;gt; verwendbar zu sein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Intervalle gelten. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot; von etwa 114 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für Töne in reinen Stimmungen höherer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limits&amp;lt;/a&amp;gt; werden dann neue Symbole benötigt. Von besonderer Bedeutung sind dabei die Intervalle, für die die Symbole stehen. Diese sind hier natürlich alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer reinen grossen Terz. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Leipziger Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime&amp;lt;/a&amp;gt;, und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents gross ist und manchmal &amp;lt;strong&amp;gt;undezimales Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;Viertelton von Al-Farabi&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt wird. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;arabischer und türkischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen eignet.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:20:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SagittalOvertoneSeries.jpg/556445667/SagittalOvertoneSeries.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SagittalOvertoneSeries.jpg/556445667/SagittalOvertoneSeries.jpg" alt="SagittalOvertoneSeries.jpg" title="SagittalOvertoneSeries.jpg" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:20 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; verwiesen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Pure und gemischte Sagittalnotation"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Pure und gemischte Sagittalnotation&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;gemischt-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrautes Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Demgegenüber verfolgt die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;pur-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Notation die Philosophie, möglichst nur ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, und auch # und b sind durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit und Konsistenz, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Anwendung für gleichstufige Tonsysteme"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Anwendung für gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der glelichstufige Ton die beste Näherung ist.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeicihnen, wobei als Quinte natürlich die beste Näherung für die reine Quinte im jeweiligen gleichstufigen System gilt.&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind. &amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der erste und weichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse mehrdeutig.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[todo]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Software-Plugins"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Software-Plugins&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip');"&amp;gt;Sagibelius&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Plugin von Jacob Barton, das Sagittalnotation in der kommerziellen Notensatz-Software &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.sibelius.com" rel="nofollow"&amp;gt;Sibelius&amp;lt;/a&amp;gt; ermöglicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
Sagibelius ist &amp;amp;quot;Donationware&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://x31eq.com/lilypond/" rel="nofollow"&amp;gt;Sagittal-Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in der freien Notensatz-Software &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://lilypond.org/" rel="nofollow"&amp;gt;Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-08-10 15:48:56 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;556448023&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Sagittal notation|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[toc]]
[[image:http://sagittal.org/index_files/image005.gif align="center"]]
Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [[https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info|YaHoo Tuning Forum]] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [[http://sagittal.org/]] . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen= 
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen für [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle gelten. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein "grosser Halbton" von etwa 114 Cent).

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt. Von besonderer Bedeutung sind dabei die Intervalle, für die die Symbole stehen. Diese sind hier natürlich alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich [[Komma|Kommas]].

Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer reinen grossen Terz. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das [[64_63|Leipziger Komma]] (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime]], und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem [[Alphorn-Fa]] und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents gross ist und manchmal **undezimales Komma** oder **Viertelton von Al-Farabi** genannt wird. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation [[arabisch, türkisch, persisch|arabischer und türkischer]] Skalen eignet.)

Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:
[[image:SagittalOvertoneSeries.jpg]]

Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf [[http://sagittal.org/]] oder [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] verwiesen.

=Pure und gemischte Sagittalnotation= 
Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:

Die "**gemischt-sagittale**" Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrautes Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.

Demgegenüber verfolgt die "**pur-sagittale**" Notation die Philosophie, möglichst nur ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, und auch # und b sind durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit und Konsistenz, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.

Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.

=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme= 
Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde.

[todo]

=Software-Plugins= 
[[file:xenharmonic/Sagibelius_2.0.zip|Sagibelius]] ist ein Plugin von Jacob Barton, das Sagittalnotation in der kommerziellen Notensatz-Software [[http://www.sibelius.com|Sibelius]] ermöglicht.
Sagibelius ist "Donationware".

[[http://x31eq.com/lilypond/|Sagittal-Lilypond]] ist ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in der freien Notensatz-Software [[http://lilypond.org/|Lilypond]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Sagittalnotation&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Sagittal%20notation"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:8:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@normal&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaToc&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/normal?w=225&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div id="toc"&amp;gt;&amp;lt;h1 class="nopad"&amp;gt;Table of Contents&amp;lt;/h1&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:8 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:9: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen"&amp;gt;Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
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Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Intervalle gelten. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot; von etwa 114 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für Töne in reinen Stimmungen höherer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limits&amp;lt;/a&amp;gt; werden dann neue Symbole benötigt. Von besonderer Bedeutung sind dabei die Intervalle, für die die Symbole stehen. Diese sind hier natürlich alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer reinen grossen Terz. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Leipziger Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime&amp;lt;/a&amp;gt;, und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents gross ist und manchmal &amp;lt;strong&amp;gt;undezimales Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;Viertelton von Al-Farabi&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt wird. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;arabischer und türkischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen eignet.)&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:&amp;lt;br /&amp;gt;
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Demgegenüber verfolgt die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;pur-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Notation die Philosophie, möglichst nur ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, und auch # und b sind durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit und Konsistenz, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Anwendung für gleichstufige Tonsysteme"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Anwendung für gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Software-Plugins"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Software-Plugins&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagibelius_2.0.zip/263370958/Sagibelius_2.0.zip');"&amp;gt;Sagibelius&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Plugin von Jacob Barton, das Sagittalnotation in der kommerziellen Notensatz-Software &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.sibelius.com" rel="nofollow"&amp;gt;Sibelius&amp;lt;/a&amp;gt; ermöglicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
Sagibelius ist &amp;amp;quot;Donationware&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://x31eq.com/lilypond/" rel="nofollow"&amp;gt;Sagittal-Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in der freien Notensatz-Software &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://lilypond.org/" rel="nofollow"&amp;gt;Lilypond&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <comment>**Imported revision 556447175 - Original comment: **</comment>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-08-10 15:32:53 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;556447175&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Sagittal notation|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[toc]]
[[image:http://sagittal.org/index_files/image005.gif align="center"]]
Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [[https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info|YaHoo Tuning Forum]] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [[http://sagittal.org/]] . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen= 
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen für [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle gelten. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein "grosser Halbton" von etwa 114 Cent).

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt. Von besonderer Bedeutung sind dabei die Intervalle, für die die Symbole stehen. Diese sind hier natürlich alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich [[Komma|Kommas]].

Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer reinen grossen Terz. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das [[64_63|Leipziger Komma]] (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime]], und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem [[Alphorn-Fa]] und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents gross ist und manchmal **undezimales Komma** oder **Viertelton von Al-Farabi** genannt wird. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation [[arabisch, türkisch, persisch|arabischer und türkischer]] Skalen eignet.)

Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:
[[image:SagittalOvertoneSeries.jpg]]

Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf [[http://sagittal.org/]] oder [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] verwiesen.

=Pure und gemischte Sagittalnotation= 
Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:

Die "**gemischt-sagittale**" Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrautes Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.

Demgegenüber verfolgt die "**pur-sagittale**" Notation die Philosophie, möglichst nur ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, und auch # und b sind durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit und Konsistenz, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.

Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.

=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme= 
Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde.

[todo]

=Software-Plugins= 

[todo]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Sagittalnotation&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Sagittal%20notation"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:8:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@normal&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaToc&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/normal?w=225&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div id="toc"&amp;gt;&amp;lt;h1 class="nopad"&amp;gt;Table of Contents&amp;lt;/h1&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:8 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:9: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen"&amp;gt;Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Intervalle gelten. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot; von etwa 114 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für Töne in reinen Stimmungen höherer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limits&amp;lt;/a&amp;gt; werden dann neue Symbole benötigt. Von besonderer Bedeutung sind dabei die Intervalle, für die die Symbole stehen. Diese sind hier natürlich alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer reinen grossen Terz. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Leipziger Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime&amp;lt;/a&amp;gt;, und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents gross ist und manchmal &amp;lt;strong&amp;gt;undezimales Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;Viertelton von Al-Farabi&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt wird. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;arabischer und türkischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen eignet.)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:14:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SagittalOvertoneSeries.jpg/556445667/SagittalOvertoneSeries.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SagittalOvertoneSeries.jpg/556445667/SagittalOvertoneSeries.jpg" alt="SagittalOvertoneSeries.jpg" title="SagittalOvertoneSeries.jpg" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:14 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;gemischt-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrautes Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Demgegenüber verfolgt die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;pur-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Notation die Philosophie, möglichst nur ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, und auch # und b sind durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit und Konsistenz, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde.&amp;lt;br /&amp;gt;
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[todo]&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Software-Plugins"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Software-Plugins&amp;lt;/h1&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-08-10 15:27:03 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;556446959&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[toc]]

[[image:http://sagittal.org/index_files/image005.gif align="center"]]
Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [[https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info|YaHoo Tuning Forum]] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [[http://sagittal.org/]] . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen= 
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen für [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle gelten. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein "grosser Halbton" von etwa 114 Cent).

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt. Von besonderer Bedeutung sind dabei die Intervalle, für die die Symbole stehen. Diese sind hier natürlich alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich [[Komma|Kommas]].

Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer reinen grossen Terz. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das [[64_63|Leipziger Komma]] (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime]], und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem [[Alphorn-Fa]] und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents gross ist und manchmal **undezimales Komma** oder **Viertelton von Al-Farabi** genannt wird. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation [[arabisch, türkisch, persisch|arabischer und türkischer]] Skalen eignet.)

Mit den entsprechenden Sagittalsymbolen lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:
[[image:SagittalOvertoneSeries.jpg]]

Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf [[http://sagittal.org/]] oder [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] verwiesen.

=Pure und gemischte Sagittalnotation= 
Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:

Die "**gemischt-sagittale**" Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrautes Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.

Demgegenüber verfolgt die "**pur-sagittale**" Notation die Philosophie, möglichst nur ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, und auch # und b sind durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit und Konsistenz, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.

Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.

=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme= 
Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde,

[todo]

=Verfügbare Software-Plugins= 
[todo]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Sagittalnotation&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Sagittal%20notation"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:8:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@normal&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaToc&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/normal?w=225&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div id="toc"&amp;gt;&amp;lt;h1 class="nopad"&amp;gt;Table of Contents&amp;lt;/h1&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:8 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:9: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen"&amp;gt;Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:9 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:10: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Pure und gemischte Sagittalnotation"&amp;gt;Pure und gemischte Sagittalnotation&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:11 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:12: --&amp;gt;&amp;lt;div style="margin-left: 1em;"&amp;gt;&amp;lt;a href="#Verfügbare Software-Plugins"&amp;gt;Verfügbare Software-Plugins&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:12 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:13: --&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRemoteImageRule:15:&amp;amp;lt;div style=&amp;amp;quot;text-align: center&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://sagittal.org/index_files/image005.gif&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;/div&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div style="text-align: center"&amp;gt;&amp;lt;img src="http://sagittal.org/index_files/image005.gif" alt="external image image005.gif" title="external image image005.gif" /&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRemoteImageRule:15 --&amp;gt;Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info" rel="nofollow"&amp;gt;YaHoo Tuning Forum&amp;lt;/a&amp;gt; entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt; wie auch für alle Arten von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen Tonsystemen&amp;lt;/a&amp;gt; verwendbar zu sein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Intervalle gelten. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot; von etwa 114 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für Töne in reinen Stimmungen höherer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limits&amp;lt;/a&amp;gt; werden dann neue Symbole benötigt. Von besonderer Bedeutung sind dabei die Intervalle, für die die Symbole stehen. Diese sind hier natürlich alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer reinen grossen Terz. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Leipziger Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime&amp;lt;/a&amp;gt;, und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents gross ist und manchmal &amp;lt;strong&amp;gt;undezimales Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;Viertelton von Al-Farabi&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt wird. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;arabischer und türkischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen eignet.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Mit den entsprechenden Sagittalsymbolen lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:14:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SagittalOvertoneSeries.jpg/556445667/SagittalOvertoneSeries.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SagittalOvertoneSeries.jpg/556445667/SagittalOvertoneSeries.jpg" alt="SagittalOvertoneSeries.jpg" title="SagittalOvertoneSeries.jpg" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:14 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; verwiesen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Pure und gemischte Sagittalnotation"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Pure und gemischte Sagittalnotation&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;gemischt-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrautes Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Demgegenüber verfolgt die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;pur-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Notation die Philosophie, möglichst nur ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, und auch # und b sind durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit und Konsistenz, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Anwendung für gleichstufige Tonsysteme"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Anwendung für gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde,&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[todo]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verfügbare Software-Plugins"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Verfügbare Software-Plugins&amp;lt;/h1&amp;gt;
 [todo]&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
      <sha1>1wlaf8rqml2nuouafcab1myn2bosmqp</sha1>
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    <revision>
      <id>1121</id>
      <timestamp>2015-08-10T15:24:02Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
        <id>0</id>
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      <comment>**Imported revision 556446811 - Original comment: **</comment>
      <origin>1121</origin>
      <model>wikitext</model>
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      <text bytes="13650" sha1="lvnidc63vqy53wgf8f874h36uzm3ywk" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-08-10 15:24:02 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;556446811&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Sagittal notation|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[image:http://sagittal.org/index_files/image005.gif align="center"]]
Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [[https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info|YaHoo Tuning Forum]] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [[http://sagittal.org/]] . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen= 
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen für [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle gelten. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein "grosser Halbton" von etwa 114 Cent).

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt. Von besonderer Bedeutung sind dabei die Intervalle, für die die Symbole stehen. Diese sind hier natürlich alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich [[Komma|Kommas]].

Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]] (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer reinen grossen Terz. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das [[64_63|Leipziger Komma]] (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime]], und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem [[Alphorn-Fa]] und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents gross ist und manchmal **undezimales Komma** oder **Viertelton von Al-Farabi** genannt wird. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation [[arabisch, türkisch, persisch|arabischer und türkischer]] Skalen eignet.)

Mit den entsprechenden Sagittalsymbolen lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:
[[image:SagittalOvertoneSeries.jpg]]

Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf [[http://sagittal.org/]] oder [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] verwiesen.

=Pure und gemischte Sagittalnotation= 
Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:

Die "**gemischt-sagittale**" Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrautes Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.

Demgegenüber verfolgt die "**pur-sagittale**" Notation die Philosophie, möglichst nur ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, und auch # und b sind durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit und Konsistenz, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.

Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.

=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme= 
Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde,

[todo]

=Verfügbare Software-Plugins= 
[todo]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Sagittalnotation&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Sagittal%20notation"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRemoteImageRule:9:&amp;amp;lt;div style=&amp;amp;quot;text-align: center&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://sagittal.org/index_files/image005.gif&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;/div&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div style="text-align: center"&amp;gt;&amp;lt;img src="http://sagittal.org/index_files/image005.gif" alt="external image image005.gif" title="external image image005.gif" /&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRemoteImageRule:9 --&amp;gt;Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info" rel="nofollow"&amp;gt;YaHoo Tuning Forum&amp;lt;/a&amp;gt; entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt; wie auch für alle Arten von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen Tonsystemen&amp;lt;/a&amp;gt; verwendbar zu sein.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Intervalle gelten. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot; von etwa 114 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für Töne in reinen Stimmungen höherer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limits&amp;lt;/a&amp;gt; werden dann neue Symbole benötigt. Von besonderer Bedeutung sind dabei die Intervalle, für die die Symbole stehen. Diese sind hier natürlich alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer reinen grossen Terz. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Leipziger Komma&amp;lt;/a&amp;gt; (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;harmonischen Septime&amp;lt;/a&amp;gt;, und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa&amp;lt;/a&amp;gt; und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents gross ist und manchmal &amp;lt;strong&amp;gt;undezimales Komma&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;Viertelton von Al-Farabi&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt wird. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation &amp;lt;a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch"&amp;gt;arabischer und türkischer&amp;lt;/a&amp;gt; Skalen eignet.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Mit den entsprechenden Sagittalsymbolen lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:8:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SagittalOvertoneSeries.jpg/556445667/SagittalOvertoneSeries.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SagittalOvertoneSeries.jpg/556445667/SagittalOvertoneSeries.jpg" alt="SagittalOvertoneSeries.jpg" title="SagittalOvertoneSeries.jpg" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:8 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; verwiesen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Pure und gemischte Sagittalnotation"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Pure und gemischte Sagittalnotation&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;gemischt-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrautes Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Demgegenüber verfolgt die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;pur-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Notation die Philosophie, möglichst nur ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, und auch # und b sind durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit und Konsistenz, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Anwendung für gleichstufige Tonsysteme"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Anwendung für gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde,&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[todo]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verfügbare Software-Plugins"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Verfügbare Software-Plugins&amp;lt;/h1&amp;gt;
 [todo]&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <comment>**Imported revision 556388161 - Original comment: **</comment>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-08-09 14:24:17 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;556388161&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Sagittal notation|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[image:http://sagittal.org/index_files/image005.gif align="center"]]
Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [[https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info|YaHoo Tuning Forum]] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [[http://sagittal.org/]] . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen= 
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen für [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle gelten. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein "grosser Halbton" von etwa 114 Cent).

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt. Von besonderer Bedeutung sind dabei die Intervalle, für die die Symbole stehen. Diese sind hier natürlich alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich [[Komma|Kommas]].

Elementarstes und wichtigstes Beispel ist das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]], der Unterschied zwischen einer reinen und einer pythagoräischen grossen Terz. Im Beispiel unten eine pythagoräische und eine reine grosse Terz in Sagittalnotation nebeneinander.
[[image:SagittalSyntonicCommaExample.jpg width="252" height="121"]]
Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf [[http://sagittal.org/]] oder [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] verwiesen.

=Pure und gemischte Sagittalnotation= 
Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:

Die "**gemischt-sagittale**" Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrautes Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.

Demgegenüber verfolgt die "**pur-sagittale**" Notation die Philosophie, möglichst nur ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, und auch # und b sind durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit und Konsistenz, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.

Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.

=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme= 
Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde,

[todo]

=Verfügbare Software-Plugins= 
[todo]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Sagittalnotation&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Sagittal%20notation"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRemoteImageRule:9:&amp;amp;lt;div style=&amp;amp;quot;text-align: center&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://sagittal.org/index_files/image005.gif&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;/div&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div style="text-align: center"&amp;gt;&amp;lt;img src="http://sagittal.org/index_files/image005.gif" alt="external image image005.gif" title="external image image005.gif" /&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRemoteImageRule:9 --&amp;gt;Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info" rel="nofollow"&amp;gt;YaHoo Tuning Forum&amp;lt;/a&amp;gt; entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt; wie auch für alle Arten von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen Tonsystemen&amp;lt;/a&amp;gt; verwendbar zu sein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Intervalle gelten. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot; von etwa 114 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für Töne in reinen Stimmungen höherer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limits&amp;lt;/a&amp;gt; werden dann neue Symbole benötigt. Von besonderer Bedeutung sind dabei die Intervalle, für die die Symbole stehen. Diese sind hier natürlich alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Elementarstes und wichtigstes Beispel ist das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, der Unterschied zwischen einer reinen und einer pythagoräischen grossen Terz. Im Beispiel unten eine pythagoräische und eine reine grosse Terz in Sagittalnotation nebeneinander.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:8:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SagittalSyntonicCommaExample.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; style=&amp;amp;quot;height: 121px; width: 252px;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SagittalSyntonicCommaExample.jpg" alt="SagittalSyntonicCommaExample.jpg" title="SagittalSyntonicCommaExample.jpg" style="height: 121px; width: 252px;" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:8 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; verwiesen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Pure und gemischte Sagittalnotation"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Pure und gemischte Sagittalnotation&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;gemischt-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrautes Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Demgegenüber verfolgt die &amp;amp;quot;&amp;lt;strong&amp;gt;pur-sagittale&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;amp;quot; Notation die Philosophie, möglichst nur ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, und auch # und b sind durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit und Konsistenz, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Anwendung für gleichstufige Tonsysteme"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Anwendung für gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde,&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[todo]&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verfügbare Software-Plugins"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Verfügbare Software-Plugins&amp;lt;/h1&amp;gt;
 [todo]&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-08-09 14:10:45 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;556387757&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Sagittal notation|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[image:http://sagittal.org/index_files/image005.gif align="center"]]
Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [[https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info|YaHoo Tuning Forum]] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [[http://sagittal.org/]] . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen= 
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen für [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle gelten. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sir erhoben bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein "grosser Halbton" von etwa 114 Cent).

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt. Von besonderer Bedeutung sind dabei die Intervalle, für die die Symbole stehen. Diese sind hier natürlich alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich [[Komma|Kommas]].

Elementarstes und wichtigstes Beispel ist das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]], der Unterschied zwischen einer reinen und einer pythagoräischen grossen Terz. Im Beispiel unten eine pythagoräische und eine reine grosse Terz in Sagittalnotation nebeneinander.
[[image:SagittalSyntonicCommaExample.jpg width="252" height="121"]]
Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf [[http://sagittal.org/]] oder [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] verwiesen.

=Pure und gemischte Sagittalnotation= 
Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:

Die "gemischt-sagittale" Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrautes Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.

Demgegenüber verfolgt die "pur-sagittale" Notation die Phiolosophie, möglichst nur ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, und auch # und b sind durch Neukreationen ersetzt.

[todo]

Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite zeigt illustriert die Unterschiede ezwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.

=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme= 
[todo]

=Verfügbare Software-Plugins= 
[todo]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRemoteImageRule:9:&amp;amp;lt;div style=&amp;amp;quot;text-align: center&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://sagittal.org/index_files/image005.gif&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;/div&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div style="text-align: center"&amp;gt;&amp;lt;img src="http://sagittal.org/index_files/image005.gif" alt="external image image005.gif" title="external image image005.gif" /&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRemoteImageRule:9 --&amp;gt;Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info" rel="nofollow"&amp;gt;YaHoo Tuning Forum&amp;lt;/a&amp;gt; entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt; wie auch für alle Arten von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen Tonsystemen&amp;lt;/a&amp;gt; verwendbar zu sein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Intervalle gelten. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sir erhoben bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot; von etwa 114 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für Töne in reinen Stimmungen höherer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limits&amp;lt;/a&amp;gt; werden dann neue Symbole benötigt. Von besonderer Bedeutung sind dabei die Intervalle, für die die Symbole stehen. Diese sind hier natürlich alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Elementarstes und wichtigstes Beispel ist das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, der Unterschied zwischen einer reinen und einer pythagoräischen grossen Terz. Im Beispiel unten eine pythagoräische und eine reine grosse Terz in Sagittalnotation nebeneinander.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:8:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SagittalSyntonicCommaExample.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; style=&amp;amp;quot;height: 121px; width: 252px;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SagittalSyntonicCommaExample.jpg" alt="SagittalSyntonicCommaExample.jpg" title="SagittalSyntonicCommaExample.jpg" style="height: 121px; width: 252px;" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:8 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; verwiesen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Pure und gemischte Sagittalnotation"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Pure und gemischte Sagittalnotation&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;amp;quot;gemischt-sagittale&amp;amp;quot; Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrautes Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Demgegenüber verfolgt die &amp;amp;quot;pur-sagittale&amp;amp;quot; Notation die Phiolosophie, möglichst nur ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, und auch # und b sind durch Neukreationen ersetzt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[todo]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite zeigt illustriert die Unterschiede ezwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Anwendung für gleichstufige Tonsysteme"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&amp;gt;Anwendung für gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/h1&amp;gt;
 [todo]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Verfügbare Software-Plugins"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Verfügbare Software-Plugins&amp;lt;/h1&amp;gt;
 [todo]&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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      <comment>**Imported revision 556387279 - Original comment: **</comment>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-08-09 13:52:08 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;556387279&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Sagittal notation|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[image:http://sagittal.org/index_files/image005.gif align="center"]]
Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [[https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info|YaHoo Tuning Forum]] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [[http://sagittal.org/]] . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen= 
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen für [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle gelten. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sir erhoben bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein "grosser Halbton" von etwa 114 Cent).

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt. Von besonderer Bedeutung sind dabei die Intervalle, für die die Symbole stehen. Diese sind hier natürlich alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich [[Komma|Kommas]].

Elementarstes und wichtigstes Beispel ist das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]], der Unterschied zwischen einer reinen und einer pythagoräischen grossen Terz. Im Beispiel unten eine pythagoräische und eine reine grosse Terz in Sagittalnotation nebeneinander.
[[image:SagittalSyntonicCommaExample.jpg width="252" height="121"]]

Für eine komplette Liste aller Kommas und ihrer Symbole sei auf [[http://sagittal.org/]] oder [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] verwiesen.

=Pure und gemischte Sagittalnotation= 
[todo]

=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme= 
[todo]

=Verfügbare Software-Plugins= 
[todo]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Sagittalnotation&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Sagittal%20notation"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRemoteImageRule:9:&amp;amp;lt;div style=&amp;amp;quot;text-align: center&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://sagittal.org/index_files/image005.gif&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;/div&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div style="text-align: center"&amp;gt;&amp;lt;img src="http://sagittal.org/index_files/image005.gif" alt="external image image005.gif" title="external image image005.gif" /&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRemoteImageRule:9 --&amp;gt;Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info" rel="nofollow"&amp;gt;YaHoo Tuning Forum&amp;lt;/a&amp;gt; entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt; wie auch für alle Arten von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen Tonsystemen&amp;lt;/a&amp;gt; verwendbar zu sein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Intervalle gelten. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sir erhoben bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot; von etwa 114 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für Töne in reinen Stimmungen höherer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limits&amp;lt;/a&amp;gt; werden dann neue Symbole benötigt. Von besonderer Bedeutung sind dabei die Intervalle, für die die Symbole stehen. Diese sind hier natürlich alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Elementarstes und wichtigstes Beispel ist das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, der Unterschied zwischen einer reinen und einer pythagoräischen grossen Terz. Im Beispiel unten eine pythagoräische und eine reine grosse Terz in Sagittalnotation nebeneinander.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:8:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/SagittalSyntonicCommaExample.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; style=&amp;amp;quot;height: 121px; width: 252px;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/SagittalSyntonicCommaExample.jpg" alt="SagittalSyntonicCommaExample.jpg" title="SagittalSyntonicCommaExample.jpg" style="height: 121px; width: 252px;" /&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:8 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für eine komplette Liste aller Kommas und ihrer Symbole sei auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; verwiesen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-08-09 13:50:56 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;556387215&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[image:http://sagittal.org/index_files/image005.gif align="center"]]
[[toc|flat]]
Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [[https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info|YaHoo Tuning Forum]] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [[http://sagittal.org/]] . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen= 
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen für [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle gelten. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sir erhoben bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein "grosser Halbton" von etwa 114 Cent).

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt. Von besonderer Bedeutung sind dabei die Intervalle, für die die Symbole stehen. Diese sind hier natürlich alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich [[Komma|Kommas]].

Elementarstes und wichtigstes Beispel ist das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]], der Unterschied zwischen einer reinen und einer pythagoräischen grossen Terz. Im Beispiel unten eine pythagoräische und eine reine grosse Terz in Sagittalnotation nebeneinander.
[[image:SagittalSyntonicCommaExample.jpg width="252" height="121"]]

Für eine komplette Liste aller Kommas und ihrer Symbole sei auf [[http://sagittal.org/]] oder [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] verwiesen.

=Pure und gemischte Sagittalnotation= 
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=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme= 
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=Verfügbare Software-Plugins= 
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&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Sagittalnotation&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Sagittal%20notation"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRemoteImageRule:15:&amp;amp;lt;div style=&amp;amp;quot;text-align: center&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://sagittal.org/index_files/image005.gif&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;/div&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div style="text-align: center"&amp;gt;&amp;lt;img src="http://sagittal.org/index_files/image005.gif" alt="external image image005.gif" title="external image image005.gif" /&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRemoteImageRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:8:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:8 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:9: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen"&amp;gt;Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:9 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:10: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Pure und gemischte Sagittalnotation"&amp;gt;Pure und gemischte Sagittalnotation&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:10 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:11: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Anwendung für gleichstufige Tonsysteme"&amp;gt;Anwendung für gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:11 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:12: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Verfügbare Software-Plugins"&amp;gt;Verfügbare Software-Plugins&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:12 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:13: --&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --&amp;gt;Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info" rel="nofollow"&amp;gt;YaHoo Tuning Forum&amp;lt;/a&amp;gt; entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt; wie auch für alle Arten von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen Tonsystemen&amp;lt;/a&amp;gt; verwendbar zu sein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Intervalle gelten. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sir erhoben bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot; von etwa 114 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für Töne in reinen Stimmungen höherer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limits&amp;lt;/a&amp;gt; werden dann neue Symbole benötigt. Von besonderer Bedeutung sind dabei die Intervalle, für die die Symbole stehen. Diese sind hier natürlich alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Elementarstes und wichtigstes Beispel ist das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, der Unterschied zwischen einer reinen und einer pythagoräischen grossen Terz. Im Beispiel unten eine pythagoräische und eine reine grosse Terz in Sagittalnotation nebeneinander.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für eine komplette Liste aller Kommas und ihrer Symbole sei auf &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt; verwiesen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-08-09 07:15:17 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[image:http://sagittal.org/index_files/image005.gif align="center"]]
Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [[https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info|YaHoo Tuning Forum]] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [[http://sagittal.org/]] . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen= 
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen für [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle gelten. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sir erhoben bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein "grosser Halbton" von etwa 114 Cent).

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt. Von besonderer Bedeutung sind dabei die Intervalle, für die die Symbole stehen. Diese sind hier natürlich alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich [[Komma|Kommas]].

Elementarstes und wichtigstes Beispel ist das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]], der Unterschied zwischen einer reinen und einer pythagoräischen grossen Terz. Im Beispiel unten eine pythagoräische und eine reine grosse Terz in Sagittalnotation nebeneinander.
[[image:SagittalSyntonicCommaExample.jpg width="252" height="121"]]


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=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme= 
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=Verfügbare Software-Plugins= 
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRemoteImageRule:7:&amp;amp;lt;div style=&amp;amp;quot;text-align: center&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://sagittal.org/index_files/image005.gif&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;/div&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div style="text-align: center"&amp;gt;&amp;lt;img src="http://sagittal.org/index_files/image005.gif" alt="external image image005.gif" title="external image image005.gif" /&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRemoteImageRule:7 --&amp;gt;Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info" rel="nofollow"&amp;gt;YaHoo Tuning Forum&amp;lt;/a&amp;gt; entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt; wie auch für alle Arten von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen Tonsystemen&amp;lt;/a&amp;gt; verwendbar zu sein.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Intervalle gelten. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sir erhoben bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot; von etwa 114 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für Töne in reinen Stimmungen höherer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limits&amp;lt;/a&amp;gt; werden dann neue Symbole benötigt. Von besonderer Bedeutung sind dabei die Intervalle, für die die Symbole stehen. Diese sind hier natürlich alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Elementarstes und wichtigstes Beispel ist das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, der Unterschied zwischen einer reinen und einer pythagoräischen grossen Terz. Im Beispiel unten eine pythagoräische und eine reine grosse Terz in Sagittalnotation nebeneinander.&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-08-08 18:36:10 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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[[image:http://sagittal.org/index_files/image005.gif align="center"]]
Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [[https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info|YaHoo Tuning Forum]] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [[http://sagittal.org/]] . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen= 
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen für [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle gelten. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sir erhoben bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein "grosser Halbton" von etwa 114 Cent).

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt. Von besondere r Bedeutung sind dabei die Intervalle, für die die Symbole stehen. Diese sind hier natürlich alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich [[Komma|Kommas]].

Elementarstes und wichtigstes Beispel ist das [[Syntonisches Komma|syntonische Komma]], der Unterschied zwischen einer reinen und einer pythagoräischen grossen Terz.

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=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme= 
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=Verfügbare Software-Plugins= 
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Intervalle gelten. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sir erhoben bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot; von etwa 114 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für Töne in reinen Stimmungen höherer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limits&amp;lt;/a&amp;gt; werden dann neue Symbole benötigt. Von besondere r Bedeutung sind dabei die Intervalle, für die die Symbole stehen. Diese sind hier natürlich alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Elementarstes und wichtigstes Beispel ist das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonische Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, der Unterschied zwischen einer reinen und einer pythagoräischen grossen Terz.&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-08-08 18:32:23 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[image:http://sagittal.org/index_files/image005.gif align="center"]]
Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [[https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info|YaHoo Tuning Forum]] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [[http://sagittal.org/]] . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen= 
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen für [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle gelten. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sir erhoben bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagotäischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein "grosser Halbton" von etwa 114 Cent).

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt. Von besondere r Bedeutung sind dabei die Intervalle, für die die Symbole stehen. Diese sind hier natürlich alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich [[Komma|Kommas]].

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=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme= 
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=Verfügbare Software-Plugins= 
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRemoteImageRule:6:&amp;amp;lt;div style=&amp;amp;quot;text-align: center&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://sagittal.org/index_files/image005.gif&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;/div&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div style="text-align: center"&amp;gt;&amp;lt;img src="http://sagittal.org/index_files/image005.gif" alt="external image image005.gif" title="external image image005.gif" /&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRemoteImageRule:6 --&amp;gt;Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info" rel="nofollow"&amp;gt;YaHoo Tuning Forum&amp;lt;/a&amp;gt; entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt; wie auch für alle Arten von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen Tonsystemen&amp;lt;/a&amp;gt; verwendbar zu sein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Intervalle gelten. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sir erhoben bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagotäischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein &amp;amp;quot;grosser Halbton&amp;amp;quot; von etwa 114 Cent).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für Töne in reinen Stimmungen höherer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limits&amp;lt;/a&amp;gt; werden dann neue Symbole benötigt. Von besondere r Bedeutung sind dabei die Intervalle, für die die Symbole stehen. Diese sind hier natürlich alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-08-08 14:35:19 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
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[[image:http://sagittal.org/index_files/image005.gif align="center"]]
Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [[https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info|YaHoo Tuning Forum]] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [[http://sagittal.org/]] . Für eine ausführliche Einführung (auch in englischer Sprache) siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen= 
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen kö

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen für [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle gelten. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Die traditionellen Vorzeichen # und b 

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt.

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=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme= 
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=Verfügbare Software-Plugins= 
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-08-08 08:11:41 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;556357511&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Sagittal notation|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[image:http://sagittal.org/index_files/image005.gif align="center"]]
Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [[https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info|YaHoo Tuning Forum]] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [[http://sagittal.org/]] . Für eine ausführliche Einführung (auch in englischer Sprache) siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen= 
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen kö

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen für [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle gelten. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt.

[todo]

=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme= 
[todo]

=Verfügbare Software-Plugins= 
[todo]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Sagittalnotation&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Sagittal%20notation"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRemoteImageRule:6:&amp;amp;lt;div style=&amp;amp;quot;text-align: center&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://sagittal.org/index_files/image005.gif&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;/div&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div style="text-align: center"&amp;gt;&amp;lt;img src="http://sagittal.org/index_files/image005.gif" alt="external image image005.gif" title="external image image005.gif" /&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRemoteImageRule:6 --&amp;gt;Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info" rel="nofollow"&amp;gt;YaHoo Tuning Forum&amp;lt;/a&amp;gt; entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt; wie auch für alle Arten von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen Tonsystemen&amp;lt;/a&amp;gt; verwendbar zu sein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; . Für eine ausführliche Einführung (auch in englischer Sprache) siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen kö&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen für &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Intervalle gelten. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Für Töne in reinen Stimmungen höherer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limits&amp;lt;/a&amp;gt; werden dann neue Symbole benötigt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-08-07 17:20:06 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;556344013&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Sagittal notation|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [[https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info|YaHoo Tuning Forum]] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl fuer subtilste Schattierungen [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [[http://sagittal.org/]] . Für eine ausführliche Einführung (auch in englischer Sprache) siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundzüge= 
[todo]

=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme= 
[todo]

=Verfügbare Software-Plugins= 
[todo]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Sagittalnotation&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Sagittal%20notation"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info" rel="nofollow"&amp;gt;YaHoo Tuning Forum&amp;lt;/a&amp;gt; entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl fuer subtilste Schattierungen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt; wie auch für alle Arten von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen Tonsystemen&amp;lt;/a&amp;gt; verwendbar zu sein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die offizielle Webseite der Sagittalnotation allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; . Für eine ausführliche Einführung (auch in englischer Sprache) siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 [todo]&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Anwendung für gleichstufige Tonsysteme"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Anwendung für gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/h1&amp;gt;
 [todo]&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-08-07 17:17:34 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;556343921&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Sagittal notation|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [[https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info|YaHoo Tuning Forum]] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl fuer subtilste Schattierungen [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [[http://sagittal.org/]] . Für eine ausführliche Einführung (auch in englischer Sprache) siehe [[file:xenharmonic/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundzüge= 
[todo]

=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme= 
[todo]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Sagittalnotation&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Sagittal%20notation"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info" rel="nofollow"&amp;gt;YaHoo Tuning Forum&amp;lt;/a&amp;gt; entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl fuer subtilste Schattierungen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt; wie auch für alle Arten von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen Tonsystemen&amp;lt;/a&amp;gt; verwendbar zu sein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die offizielle Webseite der Sagittalnotation allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; . Für eine ausführliche Einführung (auch in englischer Sprache) siehe &amp;lt;a href="http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf" onclick="ws.common.trackFileLink('http://xenharmonic.wikispaces.com/file/view/Sagittal.pdf/243193787/Sagittal.pdf');"&amp;gt;sagittal.pdf&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Grundzüge"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Grundzüge&amp;lt;/h1&amp;gt;
 [todo]&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Anwendung für gleichstufige Tonsysteme"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt;Anwendung für gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/h1&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-08-07 15:04:54 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;556338471&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Sagittal notation|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [[https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info|YaHoo Tuning Forum ]]entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl fuer subtilste Schattierungen [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch fuer alle Arten von [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [[http://sagittal.org/]] .

todo&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info" rel="nofollow"&amp;gt;YaHoo Tuning Forum &amp;lt;/a&amp;gt;entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl fuer subtilste Schattierungen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reiner Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt; wie auch fuer alle Arten von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufigen Tonsystemen&amp;lt;/a&amp;gt; verwendbar zu sein.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die offizielle Webseite der Sagittalnotation allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://sagittal.org/" rel="nofollow"&amp;gt;http://sagittal.org/&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;br /&amp;gt;
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Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [[https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info|YaHoo Tuning Forum ]]entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl fuer subtile Schattierungen [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch fuer alle Arten von [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

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__FORCETOC__
[[File:sagittalnotation.gif]]

Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info YaHoo Tuning Forum] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [http://sagittal.org/ http://sagittal.org/] . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe [[:en:file/view/Sagittal.pdf sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen=
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle beschreiben soll. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein "grosser Halbton" von etwa 114 Cent).

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt. Die Intervalle, für die die Symbole stehen, sind hier alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich [[Komma|Kommas]].

Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das [[Syntonisches_Komma|syntonische Komma]] (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer [[Naturterz|reinen grossen Terz]]. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das [[64/63|Leipziger Komma]] (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime]], und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents, also praktisch einen Viertelton gross ist. Dieses Intervall wird manchmal '''undezimales Komma''' oder '''Viertelton von Al-Farabi''' genannt. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation [[arabisch,_türkisch,_persisch|arabischer und türkischer]] Skalen eignet - siehe auch [[Sagittalnotation#Software|weiter unten]].)

Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:

[[File:SagittalOvertoneSeries.jpg|alt=SagittalOvertoneSeries.jpg|SagittalOvertoneSeries.jpg]]

Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf [http://sagittal.org/ http://sagittal.org/] oder [[:en:file/view/Sagittal.pdf sagittal.pdf]] verwiesen.

=Pure und gemischte Sagittalnotation=
Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:

Die "'''gemischt-sagittale'''" Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrauten Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.

Demgegenüber verfolgt die "'''pur-sagittale'''" Notation den Ansatz, maximal ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, wobei auf ein konsistentes und logisches Design geachtet wurde; in dieser Philosophie sind auch # und b durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.

Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.

=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme=
Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:

&lt;ol&gt;&lt;li&gt;Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;

Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind. Der wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für [http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung enharmonische Verwechslungen]. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei [[mitteltönig|mitteltönigen]] gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe [[:en:file/view/Sagittal.pdf sagittal.pdf]] für Details.

==Beispiel 1: Vergleich der Notationen in verschiedenen gleichstufigen Systemen==
Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufigen Systeme präsentieren.

[[File:SagittalEDOExample.jpg|alt=SagittalEDOExample.jpg|SagittalEDOExample.jpg]]

Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.

In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.

In der Standardstimmung [[12edo|12edo]] etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12edo mit der traditionellen Notation überein.

[[22edo|22edo]] hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben. Der Unterschied zwischen den Approximationen von pythagoräischer und reiner grosser Terz beträgt einen 22edo-Schritt, welcher somit in 22edo als Approximation des syntonischen Kommas gilt (mit 54.55 Cent allerdings mehr als doppelt so gross ist wie die reine Version desselben Intervalls).

Es gilt ausserdem, dass in 22edo auch der Unterschied zwischen den Approximationen von Alphorn-Fa und reiner Quarte einen 22edo-Schritt beträgt - d.h. syntonisches und undezimales Komma fallen in 22edo zusammen, was wieder eines der beiden Symbole überflüssig macht. Insgesamt wird für die Notation von 22edo nur ein zusätzliches Symbol benötigt (bzw., genauer gesagt, zwei - eins aufwärts und eins abwärts), welches für Modifikation um einen 22edo-Schritt steht. Als empfohlenes Standardsymbol wurde dasjenige für das syntonische Komma definiert.

[[31edo|31edo]] schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12edo ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Das Leipziger Komma wiederum fällt hier mit dem undezimalen Komma zusammen - beide werden durch einen 31edo-Schritt angenähert. Als empfohlenes Standardsymbol für 31edo wurde dasjenige für das undezimale Komma (Viertelton) definiert - die harmonische Septime könnte man daher als B mit vorgestelltem Viertelton-Symbol schreiben. Dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31edo als [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigem]] System möglich ist.

==Beipiel 2: 11edo-Tonleiter==
Als zweites Beispiel eine [[11edo|11edo]]-Tonleiter. Beim Definieren einer Standardnotation trifft man hier auf einen zweiten potentiellen Problempunkt: in 11edo gibt es keine "gute" Approximation der reinen Quinte. Eine Definition der Notation gemäss Richtlinie 2 über Quintenschichtungen ist deshalb nicht sinnvoll - es würde zu seltsamen Effekten führen, sogar zum Widerspruch zu Richtlinie 1 (die geschriebene Note E würde wie in D klingen, die geschriebene Note Es hingegen wie ein E). Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - im vorliegenden Fall 11edo diejenigen von [[22edo|22edo]]. Aus analogen Gründen wird für [[16edo|16edo]] die Standardnotation von [[48edo|48edo]] empfohlen.

[[File:Sagittal11EDO.jpg|alt=Sagittal11EDO.jpg|409x233px|Sagittal11EDO.jpg]]

(Rendering Juhani Nuorvala)

Man beachte, dass beide Notenlinien dieselbe Tonleiter beschreiben! Das sehr verschiedene Aussehen kommt durch Effekte der enharmonischen Verwechslungen zustande. Die obere Linie kommt völlig ohne Zusatzsymbole aus, erweckt jedoch den falschen Eindruck einer Auf- und Abbewegung - in Wirklichkeit handelt es sich um eine aufsteigende Linie aus 11edo-Schritten. Die untere Linie benötigt Zusatzzeichen, ist dadurch aber intuitiver zu lesen.

=Software=
Sagittalnotation wird inzwischen von einer Reihe Softwareprodukte unterstützt. Auf [http://sagittal.org/ http://sagittal.org/] sind Fonts mit den Sagittalsymbolen verfügbar, mit deren Hilfe Sagittalnotation in Notensatzprogramme wie [http://www.klemm-music.de/makemusic/finale/index.php Finale], [http://www.sibelius.com Sibelius] oder [http://lilypond.org/ Lilypond] eingebaut werden kann. Es gibt auch schon Plugins, welche die Eingabe vereinfachen, namentlich:

[[:en:file/view/Sagibelius_2.0.zip Sagibelius]], ein Plugin von Jacob Barton für Sagittalnotation in Sibelius. Sagibelius ist "Donationware".

[http://x31eq.com/lilypond/ Sagittal-Lilypond], ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in Lilypond. (Sowohl Lilypond wie das Plugin sind Freeware.)

[http://www.mus2.com.tr/explore/ Mus2] ist eine Notensatz-Software, die besonders auf die Anforderungen für die Notation [[arabisch,_türkisch,_persisch|türkischer]] (und natürlich auch arabischer, persischer und anderer orientalischer) Musik ausgerichtet ist. Sie unterstützt Sagittalnotation "von Haus aus".

Weitere Informationen zu Software sind auf [http://sagittal.org/ http://sagittal.org/] zu finden.

=Noten in Sagittalnotation=
Es sind zur Zeit noch nicht sehr viele Musikstücke in Sagittalnotation verfügbar, aber die Liste ist am wachsen! Besonders zu erwähnen ist das [[:en:The_Sagittal_Songbook Sagittal Songbook]], das 48 Stücke in verschiedenen Stimmungssystemen in pur-sagittaler Notation versammelt.

Eine Liste aller bekannten verfügbaren Sagittalnoten wird derzeit auf dem [[:en:Sagittal_notation-Scores_in_Sagittal_notation englischen Xenharmonic Wiki]] aufgebaut.  [[Category:Praxis]]
[[Category:Software]]</text>
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__FORCETOC__
[[File:sagittalnotation.gif]]

Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info YaHoo Tuning Forum] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [http://sagittal.org/ http://sagittal.org/] . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe [[:en:file/view/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen=
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle beschreiben soll. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein "grosser Halbton" von etwa 114 Cent).

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt. Die Intervalle, für die die Symbole stehen, sind hier alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich [[Komma|Kommas]].

Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das [[Syntonisches_Komma|syntonische Komma]] (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer [[Naturterz|reinen grossen Terz]]. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das [[64/63|Leipziger Komma]] (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime]], und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents, also praktisch einen Viertelton gross ist. Dieses Intervall wird manchmal '''undezimales Komma''' oder '''Viertelton von Al-Farabi''' genannt. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation [[arabisch,_türkisch,_persisch|arabischer und türkischer]] Skalen eignet - siehe auch [[Sagittalnotation#Software|weiter unten]].)

Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:

[[File:SagittalOvertoneSeries.jpg|alt=SagittalOvertoneSeries.jpg|SagittalOvertoneSeries.jpg]]

Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf [http://sagittal.org/ http://sagittal.org/] oder [[:en:file/view/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] verwiesen.

=Pure und gemischte Sagittalnotation=
Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:

Die "'''gemischt-sagittale'''" Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrauten Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.

Demgegenüber verfolgt die "'''pur-sagittale'''" Notation den Ansatz, maximal ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, wobei auf ein konsistentes und logisches Design geachtet wurde; in dieser Philosophie sind auch # und b durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.

Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.

=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme=
Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:

&lt;ol&gt;&lt;li&gt;Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;

Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind. Der wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für [http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung enharmonische Verwechslungen]. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei [[mitteltönig|mitteltönigen]] gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe [[:en:file/view/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] für Details.

==Beispiel 1: Vergleich der Notationen in verschiedenen gleichstufigen Systemen==
Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufigen Systeme präsentieren.

[[File:SagittalEDOExample.jpg|alt=SagittalEDOExample.jpg|SagittalEDOExample.jpg]]

Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.

In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.

In der Standardstimmung [[12edo|12edo]] etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12edo mit der traditionellen Notation überein.

[[22edo|22edo]] hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben. Der Unterschied zwischen den Approximationen von pythagoräischer und reiner grosser Terz beträgt einen 22edo-Schritt, welcher somit in 22edo als Approximation des syntonischen Kommas gilt (mit 54.55 Cent allerdings mehr als doppelt so gross ist wie die reine Version desselben Intervalls).

Es gilt ausserdem, dass in 22edo auch der Unterschied zwischen den Approximationen von Alphorn-Fa und reiner Quarte einen 22edo-Schritt beträgt - d.h. syntonisches und undezimales Komma fallen in 22edo zusammen, was wieder eines der beiden Symbole überflüssig macht. Insgesamt wird für die Notation von 22edo nur ein zusätzliches Symbol benötigt (bzw., genauer gesagt, zwei - eins aufwärts und eins abwärts), welches für Modifikation um einen 22edo-Schritt steht. Als empfohlenes Standardsymbol wurde dasjenige für das syntonische Komma definiert.

[[31edo|31edo]] schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12edo ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Das Leipziger Komma wiederum fällt hier mit dem undezimalen Komma zusammen - beide werden durch einen 31edo-Schritt angenähert. Als empfohlenes Standardsymbol für 31edo wurde dasjenige für das undezimale Komma (Viertelton) definiert - die harmonische Septime könnte man daher als B mit vorgestelltem Viertelton-Symbol schreiben. Dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31edo als [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigem]] System möglich ist.

==Beipiel 2: 11edo-Tonleiter==
Als zweites Beispiel eine [[11edo|11edo]]-Tonleiter. Beim Definieren einer Standardnotation trifft man hier auf einen zweiten potentiellen Problempunkt: in 11edo gibt es keine "gute" Approximation der reinen Quinte. Eine Definition der Notation gemäss Richtlinie 2 über Quintenschichtungen ist deshalb nicht sinnvoll - es würde zu seltsamen Effekten führen, sogar zum Widerspruch zu Richtlinie 1 (die geschriebene Note E würde wie in D klingen, die geschriebene Note Es hingegen wie ein E). Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - im vorliegenden Fall 11edo diejenigen von [[22edo|22edo]]. Aus analogen Gründen wird für [[16edo|16edo]] die Standardnotation von [[48edo|48edo]] empfohlen.

[[File:Sagittal11EDO.jpg|alt=Sagittal11EDO.jpg|409x233px|Sagittal11EDO.jpg]]

(Rendering Juhani Nuorvala)

Man beachte, dass beide Notenlinien dieselbe Tonleiter beschreiben! Das sehr verschiedene Aussehen kommt durch Effekte der enharmonischen Verwechslungen zustande. Die obere Linie kommt völlig ohne Zusatzsymbole aus, erweckt jedoch den falschen Eindruck einer Auf- und Abbewegung - in Wirklichkeit handelt es sich um eine aufsteigende Linie aus 11edo-Schritten. Die untere Linie benötigt Zusatzzeichen, ist dadurch aber intuitiver zu lesen.

=Software=
Sagittalnotation wird inzwischen von einer Reihe Softwareprodukte unterstützt. Auf [http://sagittal.org/ http://sagittal.org/] sind Fonts mit den Sagittalsymbolen verfügbar, mit deren Hilfe Sagittalnotation in Notensatzprogramme wie [http://www.klemm-music.de/makemusic/finale/index.php Finale], [http://www.sibelius.com Sibelius] oder [http://lilypond.org/ Lilypond] eingebaut werden kann. Es gibt auch schon Plugins, welche die Eingabe vereinfachen, namentlich:

[[:en:file/view/Sagibelius_2.0.zip|Sagibelius]], ein Plugin von Jacob Barton für Sagittalnotation in Sibelius. Sagibelius ist "Donationware".

[http://x31eq.com/lilypond/ Sagittal-Lilypond], ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in Lilypond. (Sowohl Lilypond wie das Plugin sind Freeware.)

[http://www.mus2.com.tr/explore/ Mus2] ist eine Notensatz-Software, die besonders auf die Anforderungen für die Notation [[arabisch,_türkisch,_persisch|türkischer]] (und natürlich auch arabischer, persischer und anderer orientalischer) Musik ausgerichtet ist. Sie unterstützt Sagittalnotation "von Haus aus".

Weitere Informationen zu Software sind auf [http://sagittal.org/ http://sagittal.org/] zu finden.

=Noten in Sagittalnotation=
Es sind zur Zeit noch nicht sehr viele Musikstücke in Sagittalnotation verfügbar, aber die Liste ist am wachsen! Besonders zu erwähnen ist das [[:en:The_Sagittal_Songbook|Sagittal Songbook]], das 48 Stücke in verschiedenen Stimmungssystemen in pur-sagittaler Notation versammelt.

Eine Liste aller bekannten verfügbaren Sagittalnoten wird derzeit auf dem [[:en:Sagittal_notation-Scores_in_Sagittal_notation|englischen Xenharmonic Wiki]] aufgebaut.  [[Category:Praxis]]
[[Category:Software]]</text>
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__FORCETOC__
[[File:sagittalnotation.gif]]

Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info YaHoo Tuning Forum] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [http://sagittal.org/ http://sagittal.org/] . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe [[:en:file/view/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen=
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle beschreiben soll. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein "grosser Halbton" von etwa 114 Cent).

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt. Die Intervalle, für die die Symbole stehen, sind hier alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich [[Komma|Kommas]].

Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das [[Syntonisches_Komma|syntonische Komma]] (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer [[Naturterz|reinen grossen Terz]]. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das [[64/63|Leipziger Komma]] (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime]], und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents, also praktisch einen Viertelton gross ist. Dieses Intervall wird manchmal '''undezimales Komma''' oder '''Viertelton von Al-Farabi''' genannt. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation [[arabisch,_türkisch,_persisch|arabischer und türkischer]] Skalen eignet - siehe auch [[Sagittalnotation#Software|weiter unten]].)

Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:

[[File:SagittalOvertoneSeries.jpg|alt=SagittalOvertoneSeries.jpg|SagittalOvertoneSeries.jpg]]

Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf [http://sagittal.org/ http://sagittal.org/] oder [[:en:file/view/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] verwiesen.

=Pure und gemischte Sagittalnotation=
Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:

Die "'''gemischt-sagittale'''" Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrauten Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.

Demgegenüber verfolgt die "'''pur-sagittale'''" Notation den Ansatz, maximal ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, wobei auf ein konsistentes und logisches Design geachtet wurde; in dieser Philosophie sind auch # und b durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.

Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.

=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme=
Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:

&lt;ol&gt;&lt;li&gt;Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;

Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind. Der wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für [http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung enharmonische Verwechslungen]. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei [[mitteltönig|mitteltönigen]] gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe [[:en:file/view/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] für Details.

==Beispiel 1: Vergleich der Notationen in verschiedenen gleichstufigen Systemen==
Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufigen Systeme präsentieren.

[[File:SagittalEDOExample.jpg|alt=SagittalEDOExample.jpg|SagittalEDOExample.jpg]]

Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.

In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.

In der Standardstimmung [[12edo|12edo]] etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12edo mit der traditionellen Notation überein.

[[22edo|22edo]] hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben. Der Unterschied zwischen den Approximationen von pythagoräischer und reiner grosser Terz beträgt einen 22edo-Schritt, welcher somit in 22edo als Approximation des syntonischen Kommas gilt (mit 54.55 Cent allerdings mehr als doppelt so gross ist wie die reine Version desselben Intervalls).

Es gilt ausserdem, dass in 22edo auch der Unterschied zwischen den Approximationen von Alphorn-Fa und reiner Quarte einen 22edo-Schritt beträgt - d.h. syntonisches und undezimales Komma fallen in 22edo zusammen, was wieder eines der beiden Symbole überflüssig macht. Insgesamt wird für die Notation von 22edo nur ein zusätzliches Symbol benötigt (bzw., genauer gesagt, zwei - eins aufwärts und eins abwärts), welches für Modifikation um einen 22edo-Schritt steht. Als empfohlenes Standardsymbol wurde dasjenige für das syntonische Komma definiert.

[[31edo|31edo]] schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12edo ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Das Leipziger Komma wiederum fällt hier mit dem undezimalen Komma zusammen - beide werden durch einen 31edo-Schritt angenähert. Als empfohlenes Standardsymbol für 31edo wurde dasjenige für das undezimale Komma (Viertelton) definiert - die harmonische Septime könnte man daher als B mit vorgestelltem Viertelton-Symbol schreiben. Dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31edo als [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigem]] System möglich ist.

==Beipiel 2: 11edo-Tonleiter==
Als zweites Beispiel eine [[11edo|11edo]]-Tonleiter. Beim Definieren einer Standardnotation trifft man hier auf einen zweiten potentiellen Problempunkt: in 11edo gibt es keine "gute" Approximation der reinen Quinte. Eine Definition der Notation gemäss Richtlinie 2 über Quintenschichtungen ist deshalb nicht sinnvoll - es würde zu seltsamen Effekten führen, sogar zum Widerspruch zu Richtlinie 1 (die geschriebene Note E würde wie in D klingen, die geschriebene Note Es hingegen wie ein E). Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - im vorliegenden Fall 11edo diejenigen von [[22edo|22edo]]. Aus analogen Gründen wird für [[16edo|16edo]] die Standardnotation von [[48edo|48edo]] empfohlen.

[[File:Sagittal11EDO.jpg|alt=Sagittal11EDO.jpg|409x233px|Sagittal11EDO.jpg]]

(Rendering Juhani Nuorvala)

Man beachte, dass beide Notenlinien dieselbe Tonleiter beschreiben! Das sehr verschiedene Aussehen kommt durch Effekte der enharmonischen Verwechslungen zustande. Die obere Linie kommt völlig ohne Zusatzsymbole aus, erweckt jedoch den falschen Eindruck einer Auf- und Abbewegung - in Wirklichkeit handelt es sich um eine aufsteigende Linie aus 11edo-Schritten. Die untere Linie benötigt Zusatzzeichen, ist dadurch aber intuitiver zu lesen.

=Software=
Sagittalnotation wird inzwischen von einer Reihe Softwareprodukte unterstützt. Auf [http://sagittal.org/ http://sagittal.org/] sind Fonts mit den Sagittalsymbolen verfügbar, mit deren Hilfe Sagittalnotation in Notensatzprogramme wie [http://www.klemm-music.de/makemusic/finale/index.php Finale], [http://www.sibelius.com Sibelius] oder [http://lilypond.org/ Lilypond] eingebaut werden kann. Es gibt auch schon Plugins, welche die Eingabe vereinfachen, namentlich:

[[:en:file/view/Sagibelius_2.0.zip|Sagibelius]], ein Plugin von Jacob Barton für Sagittalnotation in Sibelius. Sagibelius ist "Donationware".

[http://x31eq.com/lilypond/ Sagittal-Lilypond], ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in Lilypond. (Sowohl Lilypond wie das Plugin sind Freeware.)

[http://www.mus2.com.tr/explore/ Mus2] ist eine Notensatz-Software, die besonders auf die Anforderungen für die Notation [[arabisch,_türkisch,_persisch|türkischer]] (und natürlich auch arabischer, persischer und anderer orientalischer) Musik ausgerichtet ist. Sie unterstützt Sagittalnotation "von Haus aus".

Weitere Informationen zu Software sind auf [http://sagittal.org/ http://sagittal.org/] zu finden.

=Noten in Sagittalnotation=
Es sind zur Zeit noch nicht sehr viele Musikstücke in Sagittalnotation verfügbar, aber die Liste ist am wachsen! Besonders zu erwähnen ist das [[:en:The_Sagittal_Songbook|Sagittal Songbook]], das 48 Stücke in verschiedenen Stimmungssystemen in pur-sagittaler Notation versammelt.

Eine Liste aller bekannten verfügbaren Sagittalnoten wird derzeit auf dem [[:en:Sagittal_notation-Scores_in_Sagittal_notation|englischen Xenharmonic Wiki]] aufgebaut.  [[Category:Praxis]]
[[Category:Software]]</text>
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__FORCETOC__
[[File:sagittalnotation.gif]]

Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info YaHoo Tuning Forum] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [http://sagittal.org/ http://sagittal.org/] . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe [[:en:file/view/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen=
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle beschreiben soll. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein "grosser Halbton" von etwa 114 Cent).

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt. Die Intervalle, für die die Symbole stehen, sind hier alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich [[Komma|Kommas]].

Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das [[Syntonisches_Komma|syntonische Komma]] (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer [[Naturterz|reinen grossen Terz]]. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das [[64/63|Leipziger Komma]] (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime]], und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents, also praktisch einen Viertelton gross ist. Dieses Intervall wird manchmal '''undezimales Komma''' oder '''Viertelton von Al-Farabi''' genannt. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation [[arabisch,_türkisch,_persisch|arabischer und türkischer]] Skalen eignet - siehe auch [[Sagittalnotation#Software|weiter unten]].)

Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:

[[File:SagittalOvertoneSeries.jpg|alt=SagittalOvertoneSeries.jpg|SagittalOvertoneSeries.jpg]]

Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf [http://sagittal.org/ http://sagittal.org/] oder [[:en:file/view/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] verwiesen.

=Pure und gemischte Sagittalnotation=
Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:

Die "'''gemischt-sagittale'''" Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrauten Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.

Demgegenüber verfolgt die "'''pur-sagittale'''" Notation den Ansatz, maximal ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, wobei auf ein konsistentes und logisches Design geachtet wurde; in dieser Philosophie sind auch # und b durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.

Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.

=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme=
Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:

&lt;ol&gt;&lt;li&gt;Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;

Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind. Der wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für [http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung enharmonische Verwechslungen]. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei [[mitteltönig|mitteltönigen]] gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe [[:en:file/view/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] für Details.

==Beispiel 1: Vergleich der Notationen in verschiedenen gleichstufigen Systemen==
Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufigen Systeme präsentieren.

[[File:SagittalEDOExample.jpg|alt=SagittalEDOExample.jpg|SagittalEDOExample.jpg]]

Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.

In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.

In der Standardstimmung [[12edo|12edo]] etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12edo mit der traditionellen Notation überein.

[[22edo|22edo]] hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben. Der Unterschied zwischen den Approximationen von pythagoräischer und reiner grosser Terz beträgt einen 22edo-Schritt, welcher somit in 22edo als Approximation des syntonischen Kommas gilt (mit 54.55 Cent allerdings mehr als doppelt so gross ist wie die reine Version desselben Intervalls).

Es gilt ausserdem, dass in 22edo auch der Unterschied zwischen den Approximationen von Alphorn-Fa und reiner Quarte einen 22edo-Schritt beträgt - d.h. syntonisches und undezimales Komma fallen in 22edo zusammen, was wieder eines der beiden Symbole überflüssig macht. Insgesamt wird für die Notation von 22edo nur ein zusätzliches Symbol benötigt (bzw., genauer gesagt, zwei - eins aufwärts und eins abwärts), welches für Modifikation um einen 22edo-Schritt steht. Als empfohlenes Standardsymbol wurde dasjenige für das syntonische Komma definiert.

[[31edo|31edo]] schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12edo ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Das Leipziger Komma wiederum fällt hier mit dem undezimalen Komma zusammen - beide werden durch einen 31edo-Schritt angenähert. Als empfohlenes Standardsymbol für 31edo wurde dasjenige für das undezimale Komma (Viertelton) definiert - die harmonische Septime könnte man daher als B mit vorgestelltem Viertelton-Symbol schreiben. Dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31edo als [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigem]] System möglich ist.

==Beipiel 2: 11edo-Tonleiter==
Als zweites Beispiel eine [[11edo|11edo]]-Tonleiter. Beim Definieren einer Standardnotation trifft man hier auf einen zweiten potentiellen Problempunkt: in 11edo gibt es keine "gute" Approximation der reinen Quinte. Eine Definition der Notation gemäss Richtlinie 2 über Quintenschichtungen ist deshalb nicht sinnvoll - es würde zu seltsamen Effekten führen, sogar zum Widerspruch zu Richtlinie 1 (die geschriebene Note E würde wie in D klingen, die geschriebene Note Es hingegen wie ein E). Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - im vorliegenden Fall 11edo diejenigen von [[22edo|22edo]]. Aus analogen Gründen wird für [[16edo|16edo]] die Standardnotation von [[48edo|48edo]] empfohlen.

[[File:Sagittal11EDO.jpg|alt=Sagittal11EDO.jpg|409x233px|Sagittal11EDO.jpg]]

(Rendering Juhani Nuorvala)

Man beachte, dass beide Notenlinien dieselbe Tonleiter beschreiben! Das sehr verschiedene Aussehen kommt durch Effekte der enharmonischen Verwechslungen zustande. Die obere Linie kommt völlig ohne Zusatzsymbole aus, erweckt jedoch den falschen Eindruck einer Auf- und Abbewegung - in Wirklichkeit handelt es sich um eine aufsteigende Linie aus 11edo-Schritten. Die untere Linie benötigt Zusatzzeichen, ist dadurch aber intuitiver zu lesen.

=Software=
Sagittalnotation wird inzwischen von einer Reihe Softwareprodukte unterstützt. Auf [http://sagittal.org/ http://sagittal.org/] sind Fonts mit den Sagittalsymbolen verfügbar, mit deren Hilfe Sagittalnotation in Notensatzprogramme wie [http://www.klemm-music.de/makemusic/finale/index.php Finale], [http://www.sibelius.com Sibelius] oder [http://lilypond.org/ Lilypond] eingebaut werden kann. Es gibt auch schon Plugins, welche die Eingabe vereinfachen, namentlich:

[[:en:file/view/Sagibelius_2.0.zip|Sagibelius]], ein Plugin von Jacob Barton für Sagittalnotation in Sibelius. Sagibelius ist "Donationware".

[http://x31eq.com/lilypond/ Sagittal-Lilypond], ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in Lilypond. (Sowohl Lilypond wie das Plugin sind Freeware.)

[http://www.mus2.com.tr/explore/ Mus2] ist eine Notensatz-Software, die besonders auf die Anforderungen für die Notation [[arabisch,_türkisch,_persisch|türkischer]] (und natürlich auch arabischer, persischer und anderer orientalischer) Musik ausgerichtet ist. Sie unterstützt Sagittalnotation "von Haus aus".

Weitere Informationen zu Software sind auf [http://sagittal.org/ http://sagittal.org/] zu finden.

=Noten in Sagittalnotation=
Es sind zur Zeit noch nicht sehr viele Musikstücke in Sagittalnotation verfügbar, aber die Liste ist am wachsen! Besonders zu erwähnen ist das [[:en:The_Sagittal_Songbook|Sagittal Songbook]], das 48 Stücke in verschiedenen Stimmungssystemen in pur-sagittaler Notation versammelt.

Eine Liste aller bekannten verfügbaren Sagittalnoten wird derzeit auf dem [[:en:Sagittal_notation#Scores_in_Sagittal_notation|englischen Xenharmonic Wiki]] aufgebaut.  [[Category:Praxis]]
[[Category:Software]]</text>
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__FORCETOC__
[[File:sagittalnotation.gif]]

Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info YaHoo Tuning Forum] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [http://sagittal.org/ http://sagittal.org/] . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe [[:en:file/view/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen=
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle beschreiben soll. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein "grosser Halbton" von etwa 114 Cent).

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt. Die Intervalle, für die die Symbole stehen, sind hier alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich [[Komma|Kommas]].

Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das [[Syntonisches_Komma|syntonische Komma]] (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer [[Naturterz|reinen grossen Terz]]. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das [[64/63|Leipziger Komma]] (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime]], und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents, also praktisch einen Viertelton gross ist. Dieses Intervall wird manchmal '''undezimales Komma''' oder '''Viertelton von Al-Farabi''' genannt. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation [[arabisch,_türkisch,_persisch|arabischer und türkischer]] Skalen eignet - siehe auch [[Sagittalnotation#Software|weiter unten]].)

Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:

[[File:SagittalOvertoneSeries.jpg|alt=SagittalOvertoneSeries.jpg|SagittalOvertoneSeries.jpg]]

Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf [http://sagittal.org/ http://sagittal.org/] oder [[:en:file/view/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] verwiesen.

=Pure und gemischte Sagittalnotation=
Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:

Die "'''gemischt-sagittale'''" Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrauten Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.

Demgegenüber verfolgt die "'''pur-sagittale'''" Notation den Ansatz, maximal ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, wobei auf ein konsistentes und logisches Design geachtet wurde; in dieser Philosophie sind auch # und b durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.

Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.

=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme=
Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:

&lt;ol&gt;&lt;li&gt;Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;

Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind. Der wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für [http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung enharmonische Verwechslungen]. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei [[mitteltönig|mitteltönigen]] gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe [[:en:file/view/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] für Details.

==Beispiel 1: Vergleich der Notationen in verschiedenen gleichstufigen Systemen==
Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufigen Systeme präsentieren.

[[File:SagittalEDOExample.jpg|alt=SagittalEDOExample.jpg|SagittalEDOExample.jpg]]

Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.

In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.

In der Standardstimmung [[12-EDO]] etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12-EDO mit der traditionellen Notation überein.

[[22-EDO]] hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben. Der Unterschied zwischen den Approximationen von pythagoräischer und reiner grosser Terz beträgt einen 22-EDO-Schritt, welcher somit in 22-EDO als Approximation des syntonischen Kommas gilt (mit 54.55 Cent allerdings mehr als doppelt so gross ist wie die reine Version desselben Intervalls).

Es gilt ausserdem, dass in 22-EDO auch der Unterschied zwischen den Approximationen von Alphorn-Fa und reiner Quarte einen 22-EDO-Schritt beträgt - d.h. syntonisches und undezimales Komma fallen in 22-EDO zusammen, was wieder eines der beiden Symbole überflüssig macht. Insgesamt wird für die Notation von 22-EDO nur ein zusätzliches Symbol benötigt (bzw., genauer gesagt, zwei - eins aufwärts und eins abwärts), welches für Modifikation um einen 22-EDO-Schritt steht. Als empfohlenes Standardsymbol wurde dasjenige für das syntonische Komma definiert.

[[31-EDO]] schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12-EDO ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Das Leipziger Komma wiederum fällt hier mit dem undezimalen Komma zusammen - beide werden durch einen 31-EDO-Schritt angenähert. Als empfohlenes Standardsymbol für 31-EDO wurde dasjenige für das undezimale Komma (Viertelton) definiert - die harmonische Septime könnte man daher als B mit vorgestelltem Viertelton-Symbol schreiben. Dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31-EDO als [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigem]] System möglich ist.

==Beipiel 2: 11-EDO-Tonleiter==
Als zweites Beispiel eine [[11-EDO]]-Tonleiter. Beim Definieren einer Standardnotation trifft man hier auf einen zweiten potentiellen Problempunkt: in 11-EDO gibt es keine "gute" Approximation der reinen Quinte. Eine Definition der Notation gemäss Richtlinie 2 über Quintenschichtungen ist deshalb nicht sinnvoll - es würde zu seltsamen Effekten führen, sogar zum Widerspruch zu Richtlinie 1 (die geschriebene Note E würde wie in D klingen, die geschriebene Note Es hingegen wie ein E). Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - im vorliegenden Fall 11-EDO diejenigen von [[22-EDO]]. Aus analogen Gründen wird für [[16-EDO]] die Standardnotation von [[48-EDO]] empfohlen.

[[File:Sagittal11EDO.jpg|alt=Sagittal11EDO.jpg|409x233px|Sagittal11EDO.jpg]]

(Rendering Juhani Nuorvala)

Man beachte, dass beide Notenlinien dieselbe Tonleiter beschreiben! Das sehr verschiedene Aussehen kommt durch Effekte der enharmonischen Verwechslungen zustande. Die obere Linie kommt völlig ohne Zusatzsymbole aus, erweckt jedoch den falschen Eindruck einer Auf- und Abbewegung - in Wirklichkeit handelt es sich um eine aufsteigende Linie aus 11-EDO-Schritten. Die untere Linie benötigt Zusatzzeichen, ist dadurch aber intuitiver zu lesen.

=Software=
Sagittalnotation wird inzwischen von einer Reihe Softwareprodukte unterstützt. Auf [http://sagittal.org/ http://sagittal.org/] sind Fonts mit den Sagittalsymbolen verfügbar, mit deren Hilfe Sagittalnotation in Notensatzprogramme wie [http://www.klemm-music.de/makemusic/finale/index.php Finale], [http://www.sibelius.com Sibelius] oder [http://lilypond.org/ Lilypond] eingebaut werden kann. Es gibt auch schon Plugins, welche die Eingabe vereinfachen, namentlich:

[[:en:file/view/Sagibelius_2.0.zip|Sagibelius]], ein Plugin von Jacob Barton für Sagittalnotation in Sibelius. Sagibelius ist "Donationware".

[http://x31eq.com/lilypond/ Sagittal-Lilypond], ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in Lilypond. (Sowohl Lilypond wie das Plugin sind Freeware.)

[http://www.mus2.com.tr/explore/ Mus2] ist eine Notensatz-Software, die besonders auf die Anforderungen für die Notation [[arabisch,_türkisch,_persisch|türkischer]] (und natürlich auch arabischer, persischer und anderer orientalischer) Musik ausgerichtet ist. Sie unterstützt Sagittalnotation "von Haus aus".

Weitere Informationen zu Software sind auf [http://sagittal.org/ http://sagittal.org/] zu finden.

=Noten in Sagittalnotation=
Es sind zur Zeit noch nicht sehr viele Musikstücke in Sagittalnotation verfügbar, aber die Liste ist am wachsen! Besonders zu erwähnen ist das [[:en:The_Sagittal_Songbook|Sagittal Songbook]], das 48 Stücke in verschiedenen Stimmungssystemen in pur-sagittaler Notation versammelt.

Eine Liste aller bekannten verfügbaren Sagittalnoten wird derzeit auf dem [[:en:Sagittal_notation#Scores_in_Sagittal_notation|englischen Xenharmonic Wiki]] aufgebaut.  [[Category:Praxis]]
[[Category:Software]]</text>
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__FORCETOC__
[[File:sagittalnotation.gif]]

Sagittalnotation ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info YaHoo Tuning Forum] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [http://sagittal.org/ http://sagittal.org/] . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe [[:en:file/view/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen=
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle beschreiben soll. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein "grosser Halbton" von etwa 114 Cent).

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt. Die Intervalle, für die die Symbole stehen, sind hier alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich [[Komma|Kommas]].

Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das [[Syntonisches_Komma|syntonische Komma]] (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer [[Naturterz|reinen grossen Terz]]. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das [[64/63|Leipziger Komma]] (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime]], und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents, also praktisch einen Viertelton gross ist. Dieses Intervall wird manchmal '''undezimales Komma''' oder '''Viertelton von Al-Farabi''' genannt. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation [[arabisch,_türkisch,_persisch|arabischer und türkischer]] Skalen eignet - siehe auch [[Sagittalnotation#Software|weiter unten]].)

Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:

[[File:SagittalOvertoneSeries.jpg|alt=SagittalOvertoneSeries.jpg|SagittalOvertoneSeries.jpg]]

Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf [http://sagittal.org/ http://sagittal.org/] oder [[:en:file/view/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] verwiesen.

=Pure und gemischte Sagittalnotation=
Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:

Die "'''gemischt-sagittale'''" Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrauten Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.

Demgegenüber verfolgt die "'''pur-sagittale'''" Notation den Ansatz, maximal ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, wobei auf ein konsistentes und logisches Design geachtet wurde; in dieser Philosophie sind auch # und b durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.

Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.

=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme=
Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:

&lt;ol&gt;&lt;li&gt;Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;

Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind. Der wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für [http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung enharmonische Verwechslungen]. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei [[mitteltönig|mitteltönigen]] gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe [[:en:file/view/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] für Details.

==Beispiel 1: Vergleich der Notationen in verschiedenen gleichstufigen Systemen==
Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufigen Systeme präsentieren.

[[File:SagittalEDOExample.jpg|alt=SagittalEDOExample.jpg|SagittalEDOExample.jpg]]

Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.

In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.

In der Standardstimmung [[12-EDO]] etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12-EDO mit der traditionellen Notation überein.

[[22-EDO]] hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben. Der Unterschied zwischen den Approximationen von pythagoräischer und reiner grosser Terz beträgt einen 22-EDO-Schritt, welcher somit in 22-EDO als Approximation des syntonischen Kommas gilt (mit 54.55 Cent allerdings mehr als doppelt so gross ist wie die reine Version desselben Intervalls).

Es gilt ausserdem, dass in 22-EDO auch der Unterschied zwischen den Approximationen von Alphorn-Fa und reiner Quarte einen 22-EDO-Schritt beträgt - d.h. syntonisches und undezimales Komma fallen in 22-EDO zusammen, was wieder eines der beiden Symbole überflüssig macht. Insgesamt wird für die Notation von 22-EDO nur ein zusätzliches Symbol benötigt (bzw., genauer gesagt, zwei - eins aufwärts und eins abwärts), welches für Modifikation um einen 22-EDO-Schritt steht. Als empfohlenes Standardsymbol wurde dasjenige für das syntonische Komma definiert.

[[31-EDO]] schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12-EDO ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Das Leipziger Komma wiederum fällt hier mit dem undezimalen Komma zusammen - beide werden durch einen 31-EDO-Schritt angenähert. Als empfohlenes Standardsymbol für 31-EDO wurde dasjenige für das undezimale Komma (Viertelton) definiert - die harmonische Septime könnte man daher als B mit vorgestelltem Viertelton-Symbol schreiben. Dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31-EDO als [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigem]] System möglich ist.

==Beipiel 2: 11-EDO-Tonleiter==
Als zweites Beispiel eine [[11-EDO]]-Tonleiter. Beim Definieren einer Standardnotation trifft man hier auf einen zweiten potentiellen Problempunkt: in 11-EDO gibt es keine "gute" Approximation der reinen Quinte. Eine Definition der Notation gemäss Richtlinie 2 über Quintenschichtungen ist deshalb nicht sinnvoll - es würde zu seltsamen Effekten führen, sogar zum Widerspruch zu Richtlinie 1 (die geschriebene Note E würde wie in D klingen, die geschriebene Note Es hingegen wie ein E). Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - im vorliegenden Fall 11-EDO diejenigen von [[22-EDO]]. Aus analogen Gründen wird für [[16-EDO]] die Standardnotation von [[48-EDO]] empfohlen.

[[File:Sagittal11EDO.jpg|alt=Sagittal11EDO.jpg|409x233px|Sagittal11EDO.jpg]]

(Rendering Juhani Nuorvala)

Man beachte, dass beide Notenlinien dieselbe Tonleiter beschreiben! Das sehr verschiedene Aussehen kommt durch Effekte der enharmonischen Verwechslungen zustande. Die obere Linie kommt völlig ohne Zusatzsymbole aus, erweckt jedoch den falschen Eindruck einer Auf- und Abbewegung - in Wirklichkeit handelt es sich um eine aufsteigende Linie aus 11-EDO-Schritten. Die untere Linie benötigt Zusatzzeichen, ist dadurch aber intuitiver zu lesen.

=Software=
Sagittalnotation wird inzwischen von einer Reihe Softwareprodukte unterstützt. Auf [http://sagittal.org/ http://sagittal.org/] sind Fonts mit den Sagittalsymbolen verfügbar, mit deren Hilfe Sagittalnotation in Notensatzprogramme wie [http://www.klemm-music.de/makemusic/finale/index.php Finale], [http://www.sibelius.com Sibelius] oder [http://lilypond.org/ Lilypond] eingebaut werden kann. Es gibt auch schon Plugins, welche die Eingabe vereinfachen, namentlich:

[[:en:file/view/Sagibelius_2.0.zip|Sagibelius]], ein Plugin von Jacob Barton für Sagittalnotation in Sibelius. Sagibelius ist "Donationware".

[http://x31eq.com/lilypond/ Sagittal-Lilypond], ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in Lilypond. (Sowohl Lilypond wie das Plugin sind Freeware.)

[http://www.mus2.com.tr/explore/ Mus2] ist eine Notensatz-Software, die besonders auf die Anforderungen für die Notation [[arabisch,_türkisch,_persisch|türkischer]] (und natürlich auch arabischer, persischer und anderer orientalischer) Musik ausgerichtet ist. Sie unterstützt Sagittalnotation "von Haus aus".

Weitere Informationen zu Software sind auf [http://sagittal.org/ http://sagittal.org/] zu finden.

=Noten in Sagittalnotation=
Es sind zur Zeit noch nicht sehr viele Musikstücke in Sagittalnotation verfügbar, aber die Liste ist am wachsen! Besonders zu erwähnen ist das [[:en:The_Sagittal_Songbook|Sagittal Songbook]], das 48 Stücke in verschiedenen Stimmungssystemen in pur-sagittaler Notation versammelt.

Eine Liste aller bekannten verfügbaren Sagittalnoten wird derzeit auf dem [[:en:Sagittal_notation#Scores_in_Sagittal_notation|englischen Xenharmonic Wiki]] aufgebaut.  

[[Kategorie:Notationssystem]]
[[Kategorie:Praxis]]
[[Kategorie:Software]]</text>
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__FORCETOC__
[[File:sagittalnotation.gif]]

'''Sagittalnotation''' ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info YaHoo Tuning Forum] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [http://sagittal.org/ http://sagittal.org/] . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe [[:en:file/view/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen=
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle beschreiben soll. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein "grosser Halbton" von etwa 114 Cent).

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt. Die Intervalle, für die die Symbole stehen, sind hier alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich [[Komma|Kommas]].

Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das [[Syntonisches_Komma|syntonische Komma]] (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer [[Naturterz|reinen grossen Terz]]. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das [[64/63|Leipziger Komma]] (64/63, 27.264 Cents), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime]], und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents, also praktisch einen Viertelton gross ist. Dieses Intervall wird manchmal '''undezimales Komma''' oder '''Viertelton von Al-Farabi''' genannt. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation [[arabisch,_türkisch,_persisch|arabischer und türkischer]] Skalen eignet - siehe auch [[Sagittalnotation#Software|weiter unten]].)

Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:

[[File:SagittalOvertoneSeries.jpg|alt=SagittalOvertoneSeries.jpg|SagittalOvertoneSeries.jpg]]

Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf [http://sagittal.org/ http://sagittal.org/] oder [[:en:file/view/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] verwiesen.

=Pure und gemischte Sagittalnotation=
Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:

Die "'''gemischt-sagittale'''" Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrauten Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.

Demgegenüber verfolgt die "'''pur-sagittale'''" Notation den Ansatz, maximal ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, wobei auf ein konsistentes und logisches Design geachtet wurde; in dieser Philosophie sind auch # und b durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.

Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.

=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme=
Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:

&lt;ol&gt;&lt;li&gt;Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;

Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind. Der wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für [http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung enharmonische Verwechslungen]. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei [[mitteltönig|mitteltönigen]] gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe [[:en:file/view/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] für Details.

==Beispiel 1: Vergleich der Notationen in verschiedenen gleichstufigen Systemen==
Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufigen Systeme präsentieren.

[[File:SagittalEDOExample.jpg|alt=SagittalEDOExample.jpg|SagittalEDOExample.jpg]]

Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.

In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.

In der Standardstimmung [[12-EDO]] etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12-EDO mit der traditionellen Notation überein.

[[22-EDO]] hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben. Der Unterschied zwischen den Approximationen von pythagoräischer und reiner grosser Terz beträgt einen 22-EDO-Schritt, welcher somit in 22-EDO als Approximation des syntonischen Kommas gilt (mit 54.55 Cent allerdings mehr als doppelt so gross ist wie die reine Version desselben Intervalls).

Es gilt ausserdem, dass in 22-EDO auch der Unterschied zwischen den Approximationen von Alphorn-Fa und reiner Quarte einen 22-EDO-Schritt beträgt - d.h. syntonisches und undezimales Komma fallen in 22-EDO zusammen, was wieder eines der beiden Symbole überflüssig macht. Insgesamt wird für die Notation von 22-EDO nur ein zusätzliches Symbol benötigt (bzw., genauer gesagt, zwei - eins aufwärts und eins abwärts), welches für Modifikation um einen 22-EDO-Schritt steht. Als empfohlenes Standardsymbol wurde dasjenige für das syntonische Komma definiert.

[[31-EDO]] schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12-EDO ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Das Leipziger Komma wiederum fällt hier mit dem undezimalen Komma zusammen - beide werden durch einen 31-EDO-Schritt angenähert. Als empfohlenes Standardsymbol für 31-EDO wurde dasjenige für das undezimale Komma (Viertelton) definiert - die harmonische Septime könnte man daher als B mit vorgestelltem Viertelton-Symbol schreiben. Dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31-EDO als [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigem]] System möglich ist.

==Beipiel 2: 11-EDO-Tonleiter==
Als zweites Beispiel eine [[11-EDO]]-Tonleiter. Beim Definieren einer Standardnotation trifft man hier auf einen zweiten potentiellen Problempunkt: in 11-EDO gibt es keine "gute" Approximation der reinen Quinte. Eine Definition der Notation gemäss Richtlinie 2 über Quintenschichtungen ist deshalb nicht sinnvoll - es würde zu seltsamen Effekten führen, sogar zum Widerspruch zu Richtlinie 1 (die geschriebene Note E würde wie in D klingen, die geschriebene Note Es hingegen wie ein E). Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - im vorliegenden Fall 11-EDO diejenigen von [[22-EDO]]. Aus analogen Gründen wird für [[16-EDO]] die Standardnotation von [[48-EDO]] empfohlen.

[[File:Sagittal11EDO.jpg|alt=Sagittal11EDO.jpg|409x233px|Sagittal11EDO.jpg]]

(Rendering Juhani Nuorvala)

Man beachte, dass beide Notenlinien dieselbe Tonleiter beschreiben! Das sehr verschiedene Aussehen kommt durch Effekte der enharmonischen Verwechslungen zustande. Die obere Linie kommt völlig ohne Zusatzsymbole aus, erweckt jedoch den falschen Eindruck einer Auf- und Abbewegung - in Wirklichkeit handelt es sich um eine aufsteigende Linie aus 11-EDO-Schritten. Die untere Linie benötigt Zusatzzeichen, ist dadurch aber intuitiver zu lesen.

=Software=
Sagittalnotation wird inzwischen von einer Reihe Softwareprodukte unterstützt. Auf [http://sagittal.org/ http://sagittal.org/] sind Fonts mit den Sagittalsymbolen verfügbar, mit deren Hilfe Sagittalnotation in Notensatzprogramme wie [http://www.klemm-music.de/makemusic/finale/index.php Finale], [http://www.sibelius.com Sibelius] oder [http://lilypond.org/ Lilypond] eingebaut werden kann. Es gibt auch schon Plugins, welche die Eingabe vereinfachen, namentlich:

[[:en:file/view/Sagibelius_2.0.zip|Sagibelius]], ein Plugin von Jacob Barton für Sagittalnotation in Sibelius. Sagibelius ist "Donationware".

[http://x31eq.com/lilypond/ Sagittal-Lilypond], ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in Lilypond. (Sowohl Lilypond wie das Plugin sind Freeware.)

[http://www.mus2.com.tr/explore/ Mus2] ist eine Notensatz-Software, die besonders auf die Anforderungen für die Notation [[arabisch,_türkisch,_persisch|türkischer]] (und natürlich auch arabischer, persischer und anderer orientalischer) Musik ausgerichtet ist. Sie unterstützt Sagittalnotation "von Haus aus".

Weitere Informationen zu Software sind auf [http://sagittal.org/ http://sagittal.org/] zu finden.

=Noten in Sagittalnotation=
Es sind zur Zeit noch nicht sehr viele Musikstücke in Sagittalnotation verfügbar, aber die Liste ist am wachsen! Besonders zu erwähnen ist das [[:en:The_Sagittal_Songbook|Sagittal Songbook]], das 48 Stücke in verschiedenen Stimmungssystemen in pur-sagittaler Notation versammelt.

Eine Liste aller bekannten verfügbaren Sagittalnoten wird derzeit auf dem [[:en:Sagittal_notation#Scores_in_Sagittal_notation|englischen Xenharmonic Wiki]] aufgebaut.  

[[Kategorie:Notationssystem]]
[[Kategorie:Praxis]]
[[Kategorie:Software]]</text>
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__FORCETOC__
[[File:sagittalnotation.gif]]

'''Sagittalnotation''' ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info YaHoo Tuning Forum] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [http://sagittal.org/ http://sagittal.org/] . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe [[:en:file/view/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen=
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle beschreiben soll. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein "grosser Halbton" von etwa 114 Cent).

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt. Die Intervalle, für die die Symbole stehen, sind hier alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich [[Komma|Kommas]].

Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das [[Syntonisches_Komma|syntonische Komma]] (Frequenzverhältnis 81/80, 21.506 Cents), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer [[Naturterz|reinen grossen Terz]]. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das [[64/63|Leipziger Komma]] (64/63, 27,264 Cent), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime]], und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53.273 Cents, also praktisch einen Viertelton gross ist. Dieses Intervall wird manchmal '''undezimales Komma''' oder '''Viertelton von Al-Farabi''' genannt. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation [[arabisch,_türkisch,_persisch|arabischer und türkischer]] Skalen eignet - siehe auch [[Sagittalnotation#Software|weiter unten]].)

Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:

[[File:SagittalOvertoneSeries.jpg|alt=SagittalOvertoneSeries.jpg|SagittalOvertoneSeries.jpg]]

Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf [http://sagittal.org/ http://sagittal.org/] oder [[:en:file/view/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] verwiesen.

=Pure und gemischte Sagittalnotation=
Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:

Die "'''gemischt-sagittale'''" Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrauten Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.

Demgegenüber verfolgt die "'''pur-sagittale'''" Notation den Ansatz, maximal ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, wobei auf ein konsistentes und logisches Design geachtet wurde; in dieser Philosophie sind auch # und b durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.

Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.

=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme=
Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:

&lt;ol&gt;&lt;li&gt;Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;

Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind. Der wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für [http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung enharmonische Verwechslungen]. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei [[mitteltönig|mitteltönigen]] gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe [[:en:file/view/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] für Details.

==Beispiel 1: Vergleich der Notationen in verschiedenen gleichstufigen Systemen==
Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufigen Systeme präsentieren.

[[File:SagittalEDOExample.jpg|alt=SagittalEDOExample.jpg|SagittalEDOExample.jpg]]

Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.

In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.

In der Standardstimmung [[12-EDO]] etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12-EDO mit der traditionellen Notation überein.

[[22-EDO]] hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben. Der Unterschied zwischen den Approximationen von pythagoräischer und reiner grosser Terz beträgt einen 22-EDO-Schritt, welcher somit in 22-EDO als Approximation des syntonischen Kommas gilt (mit 54.55 Cent allerdings mehr als doppelt so gross ist wie die reine Version desselben Intervalls).

Es gilt ausserdem, dass in 22-EDO auch der Unterschied zwischen den Approximationen von Alphorn-Fa und reiner Quarte einen 22-EDO-Schritt beträgt - d.h. syntonisches und undezimales Komma fallen in 22-EDO zusammen, was wieder eines der beiden Symbole überflüssig macht. Insgesamt wird für die Notation von 22-EDO nur ein zusätzliches Symbol benötigt (bzw., genauer gesagt, zwei - eins aufwärts und eins abwärts), welches für Modifikation um einen 22-EDO-Schritt steht. Als empfohlenes Standardsymbol wurde dasjenige für das syntonische Komma definiert.

[[31-EDO]] schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12-EDO ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Das Leipziger Komma wiederum fällt hier mit dem undezimalen Komma zusammen - beide werden durch einen 31-EDO-Schritt angenähert. Als empfohlenes Standardsymbol für 31-EDO wurde dasjenige für das undezimale Komma (Viertelton) definiert - die harmonische Septime könnte man daher als B mit vorgestelltem Viertelton-Symbol schreiben. Dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31-EDO als [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigem]] System möglich ist.

==Beipiel 2: 11-EDO-Tonleiter==
Als zweites Beispiel eine [[11-EDO]]-Tonleiter. Beim Definieren einer Standardnotation trifft man hier auf einen zweiten potentiellen Problempunkt: in 11-EDO gibt es keine "gute" Approximation der reinen Quinte. Eine Definition der Notation gemäss Richtlinie 2 über Quintenschichtungen ist deshalb nicht sinnvoll - es würde zu seltsamen Effekten führen, sogar zum Widerspruch zu Richtlinie 1 (die geschriebene Note E würde wie in D klingen, die geschriebene Note Es hingegen wie ein E). Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - im vorliegenden Fall 11-EDO diejenigen von [[22-EDO]]. Aus analogen Gründen wird für [[16-EDO]] die Standardnotation von [[48-EDO]] empfohlen.

[[File:Sagittal11EDO.jpg|alt=Sagittal11EDO.jpg|409x233px|Sagittal11EDO.jpg]]

(Rendering Juhani Nuorvala)

Man beachte, dass beide Notenlinien dieselbe Tonleiter beschreiben! Das sehr verschiedene Aussehen kommt durch Effekte der enharmonischen Verwechslungen zustande. Die obere Linie kommt völlig ohne Zusatzsymbole aus, erweckt jedoch den falschen Eindruck einer Auf- und Abbewegung - in Wirklichkeit handelt es sich um eine aufsteigende Linie aus 11-EDO-Schritten. Die untere Linie benötigt Zusatzzeichen, ist dadurch aber intuitiver zu lesen.

=Software=
Sagittalnotation wird inzwischen von einer Reihe Softwareprodukte unterstützt. Auf [http://sagittal.org/ http://sagittal.org/] sind Fonts mit den Sagittalsymbolen verfügbar, mit deren Hilfe Sagittalnotation in Notensatzprogramme wie [http://www.klemm-music.de/makemusic/finale/index.php Finale], [http://www.sibelius.com Sibelius] oder [http://lilypond.org/ Lilypond] eingebaut werden kann. Es gibt auch schon Plugins, welche die Eingabe vereinfachen, namentlich:

[[:en:file/view/Sagibelius_2.0.zip|Sagibelius]], ein Plugin von Jacob Barton für Sagittalnotation in Sibelius. Sagibelius ist "Donationware".

[http://x31eq.com/lilypond/ Sagittal-Lilypond], ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in Lilypond. (Sowohl Lilypond wie das Plugin sind Freeware.)

[http://www.mus2.com.tr/explore/ Mus2] ist eine Notensatz-Software, die besonders auf die Anforderungen für die Notation [[arabisch,_türkisch,_persisch|türkischer]] (und natürlich auch arabischer, persischer und anderer orientalischer) Musik ausgerichtet ist. Sie unterstützt Sagittalnotation "von Haus aus".

Weitere Informationen zu Software sind auf [http://sagittal.org/ http://sagittal.org/] zu finden.

=Noten in Sagittalnotation=
Es sind zur Zeit noch nicht sehr viele Musikstücke in Sagittalnotation verfügbar, aber die Liste ist am wachsen! Besonders zu erwähnen ist das [[:en:The_Sagittal_Songbook|Sagittal Songbook]], das 48 Stücke in verschiedenen Stimmungssystemen in pur-sagittaler Notation versammelt.

Eine Liste aller bekannten verfügbaren Sagittalnoten wird derzeit auf dem [[:en:Sagittal_notation#Scores_in_Sagittal_notation|englischen Xenharmonic Wiki]] aufgebaut.  

[[Kategorie:Notationssystem]]
[[Kategorie:Praxis]]
[[Kategorie:Software]]</text>
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[[File:sagittalnotation.gif]]

'''Sagittalnotation''' ist eine von Dave Keenan, George Secor und den Mitgliedern des [https://groups.yahoo.com/neo/groups/TUNING/info YaHoo Tuning Forum] entwickelte universelle Notenschrift. Sie hat den hohen Anspruch, sowohl für subtilste Schattierungen [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmungen]] wie auch für alle Arten von [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]] verwendbar zu sein.

Die offizielle Webseite der Sagittalnotation mit allen relevanten (und noch ein paar mehr) Informationen ist [http://sagittal.org/ http://sagittal.org/] . Für eine ausführliche Einführung (in englischer Sprache) siehe [[:en:file/view/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]].

=Grundideen, Anwendung für reine Stimmungen=
Wie man am Beispiel zuoberst auf dieser Seite sehen kann, setzt die Sagittalnotation auf der traditionellen Notenschrift auf, die im wesentlichen um eine Reihe zusätzlicher Symbole erweitert wird. Wer mit der traditionellen Notenschrift schon vertraut ist, wird Sagittalnotation deshalb recht einfach lernen können.

Für Töne in reinen Stimmungen gilt dabei, dass die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen [[pythagoräisch|pythagoräische]] Intervalle beschreiben soll. Dies liegt nahe, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die diatonische Skala, auf die die traditionellen Notenschrift ausgerichtet ist, aus Quintenschichtungen aufgebaut, also pythagoräischen Ursprung ist.

Die traditionellen Vorzeichen # und b haben in Sagittalnotation entsprechend ihre Bedeutung auch gemäß der pythagoräischen Stimmung: Sie erhöhen bzw. verringern die entsprechende Note um einen pythagoräischen chromatischen Halbton (auch Apotom genannt; ein "grosser Halbton" von etwa 114 Cent).

Für Töne in reinen Stimmungen höherer [[Limit|Limits]] werden dann neue Symbole benötigt. Die Intervalle, für die die Symbole stehen, sind hier alle in reiner Stimmung definiert, und es sind hauptsächlich [[Komma|Kommas]].

Elementarstes und wichtigstes Beispel im 5-Limit ist das [[Syntonisches_Komma|syntonische Komma]] (Frequenzverhältnis 81/80, 21,506 Cent), der Unterschied zwischen einer pythagoräischen und einer [[Naturterz|reinen grossen Terz]]. Entlang der Obertonreihe tauchen weitere elementare Kommas auf: im 7-Limit das [[64/63|Leipziger Komma]] (64/63, 27,264 Cent), der Unterschied zwischen einer kleinen und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime]], und im 11-Limit das Intervall 33/32, was dem Unterschied zwischen einem [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa]] und einer reinen Quarte entspricht - ein Intervall, das 53,273 Cent, also praktisch einen Viertelton gross ist. Dieses Intervall wird manchmal '''undezimales Komma''' oder '''Viertelton von Al-Farabi''' genannt. (An dieser Stelle sei auch erwähnt, dass die Sagittalnotation sich vorzüglich zur hochpräzisen Notation [[arabisch,_türkisch,_persisch|arabischer und türkischer]] Skalen eignet - siehe auch [[Sagittalnotation#Software|weiter unten]].)

Mit den Sagittalsymbolen für diese drei Kommas lässt sich dann etwa eine Tonleiter aus den Obertönen 4-11 wie folgt schreiben:

[[File:SagittalOvertoneSeries.jpg|alt=SagittalOvertoneSeries.jpg|SagittalOvertoneSeries.jpg]]

Für eine komplette Liste aller Kommasymbole sei auf [http://sagittal.org/ http://sagittal.org/] oder [[:en:file/view/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] verwiesen.

=Pure und gemischte Sagittalnotation=
Es gibt 2 Varianten der Sagittalnotation:

Die "'''gemischt-sagittale'''" Variante verwendet auch die traditionellen Symbole # und b, die bei Bedarf mit Kommasymbolen kombiniert werden. Das hat den Vorteil eines vertrauten Notenbildes, jedoch den Nachteil, dass öfters mehrere Zeichen vor einer Note stehen, was mehr Platz benötigt und bei komplexeren Akkorden zu Unübersichtlichkeit führen kann.

Demgegenüber verfolgt die "'''pur-sagittale'''" Notation den Ansatz, maximal ein Symbol pro Note zu benötigen. Anstelle von Symbolkombinationen werden zusätzliche Symbole verwendet, wobei auf ein konsistentes und logisches Design geachtet wurde; in dieser Philosophie sind auch # und b durch Neukreationen ersetzt. Das führt zu potentiell grösserer Klarheit, doch andererseits natürlich zu mehr Symbolen und allgemein einem etwas gewöhnungsbedürftigeren Notenbild.

Das Notenbeispiel am Anfang dieser Seite illustriert die Unterschiede zwischen purer und gemischter Sagittalnotation, indem es dieselbe Passage in beiden Varianten zeigt.

=Anwendung für gleichstufige Tonsysteme=
Ein besonderer Clou der Sagittalnotation ist, dass sie nicht nur für reine, sondern auch für gleichstufige Tonsysteme konzipiert wurde. Die Grundprinzipien zum Notieren in gleichstufigen Systemen sind dabei:

&lt;ol&gt;&lt;li&gt;Ein Ton eines gleichstufigen Systems ist zu notieren wie ein Ton in reiner Stimmung, für den der gleichstufige Ton die beste Näherung ist.&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Die traditionelle Notation ohne Zusatzzeichen soll Töne gemäss Quintenschichtungen bezeichnen, wobei als Quinte natürlich die beste gleichstufige Näherung der reinen Quinte gilt.&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;

Hierbei gibt es jedoch eine Reihe von Details, die zu beachten sind. Der wichtigste Punkt: eine solcherart definierte Notation ist in hohem Masse redundant. Jede Note eines gleichstufigen Systems ist beste Näherung für eine ganze Reihe von reinen Noten - theoretisch sogar unendlich viele. Es gibt, in anderen Worten, extrem viele Möglichkeiten für [http://de.wikipedia.org/wiki/Enharmonische_Verwechslung enharmonische Verwechslungen]. Das an sich muss kein Hinderungsgrund sein - enharmonische Verwechslungen gibt es ja auch in der traditionellen Notation schon. Aber im Interesse der möglichst zu erstrebenden Einfachheit ist es doch sinnvoll, die Möglichkeiten zu beschränken. Manche Kommas zum Beispiel verschwinden ganz - wie das syntonische Komma bei [[mitteltönig|mitteltönigen]] gleichstufigen Systemen; das entsprechende Kommasymbol wird dann aus naheliegenden Gründen nicht gebraucht. Andere Fälle sind weniger eindeutig. Die Entwickler der Sagittalnotation haben daher für jedes gleichstufige System eine empfohlene standardisierte Notation definiert. Siehe [[:en:file/view/Sagittal.pdf|sagittal.pdf]] für Details.

==Beispiel 1: Vergleich der Notationen in verschiedenen gleichstufigen Systemen==
Nachfolgend ein Beispiel, wie sich die Standardnotationen für die verschiedenen gleichstufigen Systeme präsentieren.

[[File:SagittalEDOExample.jpg|alt=SagittalEDOExample.jpg|SagittalEDOExample.jpg]]

Dargestellt wird der Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 (bzw., in den gleichstufigen Systemen, deren Approximationen) gebildet wird, ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt. Zuerst sieht man ihn in gemischter Sagittalnotation für reine Stimmung, mit dem Zeichen für das syntonische Komma vor dem E und demjenigen für das Leipziger Komma vor dem B.

In gleichstufigen Systemen könnte man ihn gemäss Richtlinie 1 an sich immer genau so schreiben - doch je nach System ergeben sich dabei verschiedene enharmonische Verwechslungen, welche andere, einfachere Schreibweisen nahelegen.

In der Standardstimmung [[12-EDO]] etwa, dem zweiten Beispiel, werden sowohl das syntonische wie das Leipziger Komma austemperiert, weswegen man die entsprechenden Zeichen weglassen kann. Die beste Approximation des Oberton-Vierklangs ist hier identisch mit derjenigen eines pythagoräischen Dominant-Septakkord und kann so geschrieben werden. Die Sagittalnotation stimmt also beim Notieren von Musik in der Standardstimmung 12-EDO mit der traditionellen Notation überein.

[[22-EDO]] hingegen (drittes Beispiel) temperiert das Leipziger Komma aus, nicht jedoch das syntonische Komma. Deswegen ist hier das entsprechende Zeichen vor dem B unnötig, dasjenige for dem E muss erhalten bleiben. Der Unterschied zwischen den Approximationen von pythagoräischer und reiner grosser Terz beträgt einen 22-EDO-Schritt, welcher somit in 22-EDO als Approximation des syntonischen Kommas gilt (mit 54.55 Cent allerdings mehr als doppelt so gross ist wie die reine Version desselben Intervalls).

Es gilt ausserdem, dass in 22-EDO auch der Unterschied zwischen den Approximationen von Alphorn-Fa und reiner Quarte einen 22-EDO-Schritt beträgt - d.h. syntonisches und undezimales Komma fallen in 22-EDO zusammen, was wieder eines der beiden Symbole überflüssig macht. Insgesamt wird für die Notation von 22-EDO nur ein zusätzliches Symbol benötigt (bzw., genauer gesagt, zwei - eins aufwärts und eins abwärts), welches für Modifikation um einen 22-EDO-Schritt steht. Als empfohlenes Standardsymbol wurde dasjenige für das syntonische Komma definiert.

[[31-EDO]] schliesslich (viertes Beispiel) ist wie 12-EDO ein mitteltöniges System und temperiert entsprechend das syntonische Koma aus, nicht jedoch das Leipziger Komma. Das Zeichen vor dem E ist deshalb wieder unnötig. Das Leipziger Komma wiederum fällt hier mit dem undezimalen Komma zusammen - beide werden durch einen 31-EDO-Schritt angenähert. Als empfohlenes Standardsymbol für 31-EDO wurde dasjenige für das undezimale Komma (Viertelton) definiert - die harmonische Septime könnte man daher als B mit vorgestelltem Viertelton-Symbol schreiben. Dieser Ton wird hier jedoch stattdessen enharmonisch äquivalent als Ais notiert, wie es in 31-EDO als [[septimal-mitteltönig|septimal-mitteltönigem]] System möglich ist.

==Beipiel 2: 11-EDO-Tonleiter==
Als zweites Beispiel eine [[11-EDO]]-Tonleiter. Beim Definieren einer Standardnotation trifft man hier auf einen zweiten potentiellen Problempunkt: in 11-EDO gibt es keine "gute" Approximation der reinen Quinte. Eine Definition der Notation gemäss Richtlinie 2 über Quintenschichtungen ist deshalb nicht sinnvoll - es würde zu seltsamen Effekten führen, sogar zum Widerspruch zu Richtlinie 1 (die geschriebene Note E würde wie in D klingen, die geschriebene Note Es hingegen wie ein E). Dieses Problem kann dadurch umgangen werden, dass für gleichstufige Systeme mit einer schlechten Quintenapproximation die Symbole eines feineren gleichstufigen Systems verwendet werden - im vorliegenden Fall 11-EDO diejenigen von [[22-EDO]]. Aus analogen Gründen wird für [[16-EDO]] die Standardnotation von [[48-EDO]] empfohlen.

[[File:Sagittal11EDO.jpg|alt=Sagittal11EDO.jpg|409x233px|Sagittal11EDO.jpg]]

(Rendering Juhani Nuorvala)

Man beachte, dass beide Notenlinien dieselbe Tonleiter beschreiben! Das sehr verschiedene Aussehen kommt durch Effekte der enharmonischen Verwechslungen zustande. Die obere Linie kommt völlig ohne Zusatzsymbole aus, erweckt jedoch den falschen Eindruck einer Auf- und Abbewegung - in Wirklichkeit handelt es sich um eine aufsteigende Linie aus 11-EDO-Schritten. Die untere Linie benötigt Zusatzzeichen, ist dadurch aber intuitiver zu lesen.

=Software=
Sagittalnotation wird inzwischen von einer Reihe Softwareprodukte unterstützt. Auf [http://sagittal.org/ http://sagittal.org/] sind Fonts mit den Sagittalsymbolen verfügbar, mit deren Hilfe Sagittalnotation in Notensatzprogramme wie [http://www.klemm-music.de/makemusic/finale/index.php Finale], [http://www.sibelius.com Sibelius] oder [http://lilypond.org/ Lilypond] eingebaut werden kann. Es gibt auch schon Plugins, welche die Eingabe vereinfachen, namentlich:

[[:en:file/view/Sagibelius_2.0.zip|Sagibelius]], ein Plugin von Jacob Barton für Sagittalnotation in Sibelius. Sagibelius ist "Donationware".

[http://x31eq.com/lilypond/ Sagittal-Lilypond], ein Plugin von Graham Breed für Sagittalnotation in Lilypond. (Sowohl Lilypond wie das Plugin sind Freeware.)

[http://www.mus2.com.tr/explore/ Mus2] ist eine Notensatz-Software, die besonders auf die Anforderungen für die Notation [[arabisch,_türkisch,_persisch|türkischer]] (und natürlich auch arabischer, persischer und anderer orientalischer) Musik ausgerichtet ist. Sie unterstützt Sagittalnotation "von Haus aus".

Weitere Informationen zu Software sind auf [http://sagittal.org/ http://sagittal.org/] zu finden.

=Noten in Sagittalnotation=
Es sind zur Zeit noch nicht sehr viele Musikstücke in Sagittalnotation verfügbar, aber die Liste ist am wachsen! Besonders zu erwähnen ist das [[:en:The_Sagittal_Songbook|Sagittal Songbook]], das 48 Stücke in verschiedenen Stimmungssystemen in pur-sagittaler Notation versammelt.

Eine Liste aller bekannten verfügbaren Sagittalnoten wird derzeit auf dem [[:en:Sagittal_notation#Scores_in_Sagittal_notation|englischen Xenharmonic Wiki]] aufgebaut.  

[[Kategorie:Notationssystem]]
[[Kategorie:Praxis]]
[[Kategorie:Software]]</text>
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== Tabellen-Optik ==

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Obiger Text sieht im Wikispaces-Quelltext wie folgt aus (Zeilenumbrüche von mir):
[[code]]
Links auf existierende Seiten (wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) können nicht von 
solchen auf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/nicht+existierende+Seiten"&amp;gt;nicht existierende Seiten&amp;lt;/a&amp;gt;
unterschieden werden.
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Dass hier jeweils die Klasse {{``wiki_link``}} benutzt wird, passt gut zu dem Umstand, dass selbst die URLs auf existierende und nicht existierende Wikiseiten ununterscheidbar sind. Um einen Link auf eine nicht existierende Seite unterschiedlich darzustellen, müsste man den //Inhalt// der verlinkten Seite untersuchen! Es ist wirklich ein Trauerspiel :-(

== Tabellen-Optik ==

Ich habe ein paar kleine Änderungen am [[https://xenharmonie.wikispaces.com/stylesheet/edit|benutzerspezifischen CSS]] vorgenommen, um den Umgang mit Tabellen zu erleichtern.

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|| Inhalt || Inhalt ||
|| Inhalt || Inhalt ||

||~ A || Inhalt || Inhalt ||
||~ B || Inhalt || Inhalt ||

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||~ A || Inhalt || Inhalt ||
||~ B || Inhalt || Inhalt ||&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;SandBox&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Links auf existierende Seiten (wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) können nicht von solchen auf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/nicht%20existierende%20Seiten"&amp;gt;nicht existierende Seiten&amp;lt;/a&amp;gt; unterschieden werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;hr /&amp;gt;
Obiger Text sieht im Wikispaces-Quelltext wie folgt aus (Zeilenumbrüche von mir):&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextCodeRule:1:
&amp;amp;lt;pre class=&amp;amp;quot;text&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;Links auf existierende Seiten (wie &amp;amp;amp;lt;a class=&amp;amp;amp;quot;wiki_link&amp;amp;amp;quot; href=&amp;amp;amp;quot;/Cent&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;amp;gt;Cent&amp;amp;amp;lt;/a&amp;amp;amp;gt;) können nicht von &amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;solchen auf &amp;amp;amp;lt;a class=&amp;amp;amp;quot;wiki_link&amp;amp;amp;quot; href=&amp;amp;amp;quot;/nicht+existierende+Seiten&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;amp;gt;nicht existierende Seiten&amp;amp;amp;lt;/a&amp;amp;amp;gt;&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;unterschieden werden.&amp;amp;lt;/pre&amp;amp;gt;
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/**
 * GeSHi (C) 2004 - 2007 Nigel McNie, 2007 - 2008 Benny Baumann
 * (http://qbnz.com/highlighter/ and http://geshi.org/)
 */
.text  {font-family:monospace;}
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&amp;lt;/style&amp;gt;&amp;lt;pre class="text"&amp;gt;Links auf existierende Seiten (wie &amp;amp;lt;a class=&amp;amp;quot;wiki_link&amp;amp;quot; href=&amp;amp;quot;/Cent&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;Cent&amp;amp;lt;/a&amp;amp;gt;) können nicht von 
solchen auf &amp;amp;lt;a class=&amp;amp;quot;wiki_link&amp;amp;quot; href=&amp;amp;quot;/nicht+existierende+Seiten&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;nicht existierende Seiten&amp;amp;lt;/a&amp;amp;gt;
unterschieden werden.&amp;lt;/pre&amp;gt;

&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextCodeRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Dass hier jeweils die Klasse &amp;lt;tt&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRawRule:00:``wiki_link`` --&amp;gt;wiki_link&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRawRule:00 --&amp;gt;&amp;lt;/tt&amp;gt; benutzt wird, passt gut zu dem Umstand, dass selbst die URLs auf existierende und nicht existierende Wikiseiten ununterscheidbar sind. Um einen Link auf eine nicht existierende Seite unterschiedlich darzustellen, müsste man den &amp;lt;em&amp;gt;Inhalt&amp;lt;/em&amp;gt; der verlinkten Seite untersuchen! Es ist wirklich ein Trauerspiel :-(&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Tabellen-Optik"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt; Tabellen-Optik &amp;lt;/h2&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ich habe ein paar kleine Änderungen am &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://xenharmonie.wikispaces.com/stylesheet/edit" rel="nofollow"&amp;gt;benutzerspezifischen CSS&amp;lt;/a&amp;gt; vorgenommen, um den Umgang mit Tabellen zu erleichtern.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
    &amp;lt;tr&amp;gt;
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        &amp;lt;th&amp;gt;??&amp;lt;br /&amp;gt;
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    <revision>
      <id>1138</id>
      <timestamp>2016-12-23T16:32:10Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;xenwolf</username>
        <id>0</id>
      </contributor>
      <comment>**Imported revision 602787466 - Original comment: **</comment>
      <origin>1138</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2016-12-23 16:32:10 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;602787466&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Links auf existierende Seiten (wie [[Cent]]) können nicht von solchen auf [[nicht existierende Seiten]] unterschieden werden.
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Obiger Text sieht im Wikispaces-Quelltext wie folgt aus (Zeilenumbrüche von mir):
[[code]]
Links auf existierende Seiten (wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) können nicht von 
solchen auf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/nicht+existierende+Seiten"&amp;gt;nicht existierende Seiten&amp;lt;/a&amp;gt;
unterschieden werden.
[[code]]

Dass hier jeweils die Klasse {{``wiki_link``}} benutzt wird, passt gut zu dem Umstand, dass selbst die URLs auf existierende und nicht existierende Wikiseiten ununterscheidbar sind. Um einen Link auf eine nicht existierende Seite unterschiedlich darzustellen, müsste man den //Inhalt// der verlinkten Seite untersuchen! Es ist wirklich ein Trauerspiel :-(

== Tabellen-Optik ==

||~ 1 ||~ 2 ||
|| Inhalt || Inhalt ||
|| Inhalt || Inhalt ||

||~ A || Inhalt || Inhalt ||
||~ B || Inhalt || Inhalt ||

||~ ?? ||~ 1 ||~ 2 ||
||~ A || Inhalt || Inhalt ||
||~ B || Inhalt || Inhalt ||&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;SandBox&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Links auf existierende Seiten (wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) können nicht von solchen auf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/nicht%20existierende%20Seiten"&amp;gt;nicht existierende Seiten&amp;lt;/a&amp;gt; unterschieden werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;hr /&amp;gt;
Obiger Text sieht im Wikispaces-Quelltext wie folgt aus (Zeilenumbrüche von mir):&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextCodeRule:1:
&amp;amp;lt;pre class=&amp;amp;quot;text&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;Links auf existierende Seiten (wie &amp;amp;amp;lt;a class=&amp;amp;amp;quot;wiki_link&amp;amp;amp;quot; href=&amp;amp;amp;quot;/Cent&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;amp;gt;Cent&amp;amp;amp;lt;/a&amp;amp;amp;gt;) können nicht von &amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;solchen auf &amp;amp;amp;lt;a class=&amp;amp;amp;quot;wiki_link&amp;amp;amp;quot; href=&amp;amp;amp;quot;/nicht+existierende+Seiten&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;amp;gt;nicht existierende Seiten&amp;amp;amp;lt;/a&amp;amp;amp;gt;&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;unterschieden werden.&amp;amp;lt;/pre&amp;amp;gt;
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 * GeSHi (C) 2004 - 2007 Nigel McNie, 2007 - 2008 Benny Baumann
 * (http://qbnz.com/highlighter/ and http://geshi.org/)
 */
.text  {font-family:monospace;}
.text .imp {font-weight: bold; color: red;}
.text span.xtra { display:block; }

--&amp;gt;
&amp;lt;/style&amp;gt;&amp;lt;pre class="text"&amp;gt;Links auf existierende Seiten (wie &amp;amp;lt;a class=&amp;amp;quot;wiki_link&amp;amp;quot; href=&amp;amp;quot;/Cent&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;Cent&amp;amp;lt;/a&amp;amp;gt;) können nicht von 
solchen auf &amp;amp;lt;a class=&amp;amp;quot;wiki_link&amp;amp;quot; href=&amp;amp;quot;/nicht+existierende+Seiten&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;nicht existierende Seiten&amp;amp;lt;/a&amp;amp;gt;
unterschieden werden.&amp;lt;/pre&amp;gt;

&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextCodeRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Dass hier jeweils die Klasse &amp;lt;tt&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRawRule:00:``wiki_link`` --&amp;gt;wiki_link&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRawRule:00 --&amp;gt;&amp;lt;/tt&amp;gt; benutzt wird, passt gut zu dem Umstand, dass selbst die URLs auf existierende und nicht existierende Wikiseiten ununterscheidbar sind. Um einen Link auf eine nicht existierende Seite unterschiedlich darzustellen, müsste man den &amp;lt;em&amp;gt;Inhalt&amp;lt;/em&amp;gt; der verlinkten Seite untersuchen! Es ist wirklich ein Trauerspiel :-(&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Tabellen-Optik"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt; Tabellen-Optik &amp;lt;/h2&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;


&amp;lt;table class="wiki_table"&amp;gt;
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        &amp;lt;th&amp;gt;1&amp;lt;br /&amp;gt;
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        &amp;lt;th&amp;gt;??&amp;lt;br /&amp;gt;
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        <username>Wikispaces&gt;xenwolf</username>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2016-12-23 06:35:41 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;602775240&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Links auf existierende Seiten (wie [[Cent]]) können nicht von solchen auf [[nicht existierende Seiten]] unterschieden werden.
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Obiger Text sieht im Wikispaces-Quelltext wie folgt aus (Zeilenumbrüche von mir):
[[code]]
Links auf existierende Seiten (wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) können nicht von 
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unterschieden werden.
[[code]]

Dass hier jeweils die Klasse {{``wiki_link``}} benutzt wird, passt gut zu dem Umstand, dass selbst die URLs auf existierende und nicht existierende Wikiseiten ununterscheidbar sind. Um einen Link auf eine nicht existierende Seite unterschiedlich darzustellen, müsste man den //Inhalt// der verlinkten Seite untersuchen! Es ist wirklich ein Trauerspiel :-(&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Obiger Text sieht im Wikispaces-Quelltext wie folgt aus (Zeilenumbrüche von mir):&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextCodeRule:1:
&amp;amp;lt;pre class=&amp;amp;quot;text&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;Links auf existierende Seiten (wie &amp;amp;amp;lt;a class=&amp;amp;amp;quot;wiki_link&amp;amp;amp;quot; href=&amp;amp;amp;quot;/Cent&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;amp;gt;Cent&amp;amp;amp;lt;/a&amp;amp;amp;gt;) können nicht von &amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;solchen auf &amp;amp;amp;lt;a class=&amp;amp;amp;quot;wiki_link&amp;amp;amp;quot; href=&amp;amp;amp;quot;/nicht+existierende+Seiten&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;amp;gt;nicht existierende Seiten&amp;amp;amp;lt;/a&amp;amp;amp;gt;&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;unterschieden werden.&amp;amp;lt;/pre&amp;amp;gt;
 --&amp;gt;
&amp;lt;style type="text/css"&amp;gt;&amp;lt;!--
/**
 * GeSHi (C) 2004 - 2007 Nigel McNie, 2007 - 2008 Benny Baumann
 * (http://qbnz.com/highlighter/ and http://geshi.org/)
 */
.text  {font-family:monospace;}
.text .imp {font-weight: bold; color: red;}
.text span.xtra { display:block; }

--&amp;gt;
&amp;lt;/style&amp;gt;&amp;lt;pre class="text"&amp;gt;Links auf existierende Seiten (wie &amp;amp;lt;a class=&amp;amp;quot;wiki_link&amp;amp;quot; href=&amp;amp;quot;/Cent&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;Cent&amp;amp;lt;/a&amp;amp;gt;) können nicht von 
solchen auf &amp;amp;lt;a class=&amp;amp;quot;wiki_link&amp;amp;quot; href=&amp;amp;quot;/nicht+existierende+Seiten&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;nicht existierende Seiten&amp;amp;lt;/a&amp;amp;gt;
unterschieden werden.&amp;lt;/pre&amp;gt;

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Dass hier jeweils die Klasse &amp;lt;tt&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextRawRule:00:``wiki_link`` --&amp;gt;wiki_link&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextRawRule:00 --&amp;gt;&amp;lt;/tt&amp;gt; benutzt wird, passt gut zu dem Umstand, dass selbst die URLs auf existierende und nicht existierende Wikiseiten ununterscheidbar sind. Um einen Link auf eine nicht existierende Seite unterschiedlich darzustellen, müsste man den &amp;lt;em&amp;gt;Inhalt&amp;lt;/em&amp;gt; der verlinkten Seite untersuchen! Es ist wirklich ein Trauerspiel :-(&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2016-12-23 06:28:23 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;602775064&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Links auf existierende Seiten (wie [[Cent]]) können nicht von solchen auf [[nicht existierende Seiten]] unterschieden werden.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;SandBox&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Links auf existierende Seiten (wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) können nicht von solchen auf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/nicht%20existierende%20Seiten"&amp;gt;nicht existierende Seiten&amp;lt;/a&amp;gt; unterschieden werden.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2016-12-23 05:34:08 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;602774138&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Links auf existierende Seiten (wie [[Cent]]) können (nicht) von solchen auf [[nicht existierende Seiten]] unterschieden werden.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;SandBox&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Links auf existierende Seiten (wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) können (nicht) von solchen auf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/nicht%20existierende%20Seiten"&amp;gt;nicht existierende Seiten&amp;lt;/a&amp;gt; unterschieden werden.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <text bytes="1522" sha1="avtua762vdrubqv4uor9ihzysn4m8wn" xml:space="preserve">Links auf existierende Seiten (wie [[Cent|Cent]]) können nicht von solchen auf [[nicht_existierende_Seiten|nicht existierende Seiten]] unterschieden werden.

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Obiger Text sieht im Wikispaces-Quelltext wie folgt aus (Zeilenumbrüche von mir):

&lt;pre&gt;Links auf existierende Seiten (wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) können nicht von 
solchen auf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/nicht+existierende+Seiten"&amp;gt;nicht existierende Seiten&amp;lt;/a&amp;gt;
unterschieden werden.&lt;/pre&gt;

Dass hier jeweils die Klasse &lt;tt&gt;wiki_link&lt;/tt&gt; benutzt wird, passt gut zu dem Umstand, dass selbst die URLs auf existierende und nicht existierende Wikiseiten ununterscheidbar sind. Um einen Link auf eine nicht existierende Seite unterschiedlich darzustellen, müsste man den ''Inhalt'' der verlinkten Seite untersuchen! Es ist wirklich ein Trauerspiel :-(

== Tabellen-Optik ==

Ich habe ein paar kleine Änderungen am [[stylesheet/edit|benutzerspezifischen CSS (Stylesheet, Abschnitt "Custom Stylesheet Additions")]] vorgenommen, um den Umgang mit Tabellen zu erleichtern.

{| class="wikitable"
|-
! | 1
! | 2
|-
| | Inhalt
| | Inhalt
|-
| | Inhalt
| | Inhalt
|}

{| class="wikitable"
|-
! | A
| | Inhalt
| | Inhalt
|-
! | B
| | Inhalt
| | Inhalt
|}

{| class="wikitable"
|-
! | ??
! | 1
! | 2
|-
! | A
| | Inhalt
| | Inhalt
|-
! | B
| | Inhalt
| | Inhalt
|}


{| class="wikitable sortable"
|-
! Schritte !! Größe
|-
| 24 || 50
|-
| 15 || 89
|-
| 12 || 100
|-
| 6  || 200
|}


[[Category:meta]]
[[Category:testing]]</text>
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      <contributor>
        <username>Xenwolf</username>
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      <comment>/* Tabellen-Optik */ aktualisiert</comment>
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      <text bytes="1216" sha1="756379f8bx8uns6iwu7b1u1q9q6vdoj" xml:space="preserve">Links auf existierende Seiten (wie [[Cent|Cent]]) können nicht von solchen auf [[nicht_existierende_Seiten|nicht existierende Seiten]] unterschieden werden.

-----
Obiger Text sieht im Wikispaces-Quelltext wie folgt aus (Zeilenumbrüche von mir):

&lt;pre&gt;Links auf existierende Seiten (wie &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;) können nicht von 
solchen auf &amp;lt;a class="wiki_link" href="/nicht+existierende+Seiten"&amp;gt;nicht existierende Seiten&amp;lt;/a&amp;gt;
unterschieden werden.&lt;/pre&gt;

Dass hier jeweils die Klasse &lt;tt&gt;wiki_link&lt;/tt&gt; benutzt wird, passt gut zu dem Umstand, dass selbst die URLs auf existierende und nicht existierende Wikiseiten ununterscheidbar sind. Um einen Link auf eine nicht existierende Seite unterschiedlich darzustellen, müsste man den ''Inhalt'' der verlinkten Seite untersuchen! Es ist wirklich ein Trauerspiel :-(

== Tabellen-Optik ==

{| 
|-
! A
! B
|-
| 1
| 2
|-
| x
| xx
|}

{| class="wikitable"
|-
! A
! B
|-
| 1
| 2
|-
| x
| xx
|}

{| class="wikitable"
|-
! ??
! 1
! 2
|-
! A
| a1
| a2
|-
! B
| b1
| b2
|}


{| class="wikitable sortable"
|-
! Schritte !! Größe
|-
| 24 || 50
|-
| 15 || 89
|-
| 12 || 100
|-
| 6  || 200
|}


[[Category:meta]]
[[Category:testing]]</text>
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      <contributor>
        <username>Xenwolf</username>
        <id>5</id>
      </contributor>
      <comment>Überholte Informationen gelöscht</comment>
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      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="356" sha1="kxj8w3vjykxfychf9utxrxaag3c5ufx" xml:space="preserve">
== Tabellen-Optik ==

{| 
|-
! A
! B
|-
| 1
| 2
|-
| x
| xx
|}

{| class="wikitable"
|-
! A
! B
|-
| 1
| 2
|-
| x
| xx
|}

{| class="wikitable"
|-
! ??
! 1
! 2
|-
! A
| a1
| a2
|-
! B
| b1
| b2
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{| class="wikitable sortable"
|-
! Schritte !! Größe
|-
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|-
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[[Category:meta]]
[[Category:testing]]</text>
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    <title>Schismatische Temperaturen</title>
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        <username>Wikispaces&gt;FREEZE</username>
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      </contributor>
      <origin>137</origin>
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      <text bytes="3718" sha1="qwcieq5j30gma3fzuuk7c8c6wr6od9q" xml:space="preserve">English: [[:en:Schismatic_family xenharmonic/Schismatic family]]

[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine schismatische Temperatur ist dadurch definiert, dass sie das [[32805/32768|Schisma]] austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem [[531441/524288|pythagoräischen]] und dem [[Syntonisches_Komma|syntonischen Komma]]. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt die Idee der schismatischen Temperatur einigermassen nahe.

Generator ist, wie bei einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal temperiert (für möglichst reine Naturterzen leicht tiefer; möglich ist jedoch auch ganz rein oder minimal höher). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird in der Regel nicht austemperiert; dementsprechend werden [[Naturterz|reine grosse Terz]] und [[81/64|pythagoräische grosse Terz]] unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.

Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischen Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufiges]] System ist [[53edo|53edo,]] dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme sind [[41edo|41edo]] und [[29edo|29edo]] (beide mit der Quinte etwas höher als rein). Die Standardstimmung [[12edo|12edo]] kann als Grenzfall (wo sowohl pythagoräisches als auch syntonisches Komma mit der Prim zusammenfallen) ebenfalls dazugezählt werden.

==Varianten==
Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas abwärts beträgt. Diese Temperatur, sozusagen "Achtelkomma-schismatisch" oder "achtelschismatisch", geht auf '''Hermann von Helmholtz''' und den norwegischen Komponisten '''Eivind Groven''' zurück. Es ist für sie deshalb auch der Name '''Helmholtz''' gebräuchlich.

Völlig reine Quinten ergeben von den Tonhöhen her die [[pythagoräisch|reine pythagoräische Stimmung]] - die man ebenfalls als mögliche Realisierung der schismatischen Temperatur (mit temperierten Naturterzen) ansehen kann.

Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 7-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]] heisst '''Garibaldi''', benannt nach Eduardo Sabat-Garibaldi (welcher ein Neuntelkomma-schismatisches System vorschlug), erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des [[225/224|septimalen Kleismas (225/224)]]. Dieses hat zur Folge, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] bilden - in schismatischen Generatorschritten sind das 2*(-8)+2=-14. Bei der Garibaldi-Temperatur erreicht man die Naturseptime also durch oktavbereinigtes Schichten von 14 Quinten abwärts (oder 14 Quarten aufwärts).

Durch Verwendung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[:en:Schismatic_family englischen Xenharmonic Wiki]] .</text>
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      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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      <comment>**Imported revision 562413609 - Original comment: **</comment>
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      <text bytes="10369" sha1="2gafna69kuqawid59yi3w7fycgs06lr" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-10-14 05:06:16 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Schismatic family]]

[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine schismatische Temperatur ist dadurch definiert, dass sie das [[32805_32768|Schisma]] austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem [[531441_524288|pythagoräischen]] und dem [[Syntonisches Komma|syntonischen Komma]]. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt die Idee der schismatischen Temperatur einigermassen nahe.

Generator ist, wie bei einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal temperiert (für möglichst reine Naturterzen leicht tiefer; möglich ist jedoch auch ganz rein oder minimal höher). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird in der Regel nicht austemperiert; dementsprechend werden [[Naturterz|reine grosse Terz]] und [[81_64|pythagoräische grosse Terz]] unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.

Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischen Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiges]] System ist [[53edo|53edo,]] dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme sind [[41edo]] und [[29edo]] (beide mit der Quinte etwas höher als rein). Die Standardstimmung [[12edo]] kann als Grenzfall (wo sowohl pythagoräisches als auch syntonisches Komma mit der Prim zusammenfallen) ebenfalls dazugezählt werden.

==Varianten== 
Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas abwärts beträgt. Diese Temperatur, sozusagen "Achtelkomma-schismatisch" oder "achtelschismatisch", geht auf **Hermann von Helmholtz** und den norwegischen Komponisten **Eivind Groven** zurück. Es ist für sie deshalb auch der Name **Helmholtz** gebräuchlich.

Völlig reine Quinten ergeben von den Tonhöhen her die [[pythagoräisch|reine pythagoräische Stimmung]] - die man ebenfalls als mögliche Realisierung der schismatischen Temperatur (mit temperierten Naturterzen) ansehen kann.

Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] heisst **Garibaldi**[[#Garibaldi]], benannt nach Eduardo Sabat-Garibaldi (welcher ein Neuntelkomma-schismatisches System vorschlug), erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des [[225_224|septimalen Kleismas (225/224)]]. Dieses hat zur Folge, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] bilden - in schismatischen Generatorschritten sind das 2*(-8)+2=-14. Bei der Garibaldi-Temperatur erreicht man die Naturseptime also durch oktavbereinigtes Schichten von 14 Quinten abwärts (oder 14 Quarten aufwärts).

Durch Verwendung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[xenharmonic/Schismatic family|englischen Xenharmonic Wiki]] .&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine schismatische Temperatur ist dadurch definiert, dass sie das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32805_32768"&amp;gt;Schisma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; und dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonischen Komma&amp;lt;/a&amp;gt;. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt die Idee der schismatischen Temperatur einigermassen nahe.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Generator ist, wie bei einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal temperiert (für möglichst reine Naturterzen leicht tiefer; möglich ist jedoch auch ganz rein oder minimal höher). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird in der Regel nicht austemperiert; dementsprechend werden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reine grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_64"&amp;gt;pythagoräische grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischen Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufiges&amp;lt;/a&amp;gt; System ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo,&amp;lt;/a&amp;gt; dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt; (beide mit der Quinte etwas höher als rein). Die Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; kann als Grenzfall (wo sowohl pythagoräisches als auch syntonisches Komma mit der Prim zusammenfallen) ebenfalls dazugezählt werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas abwärts beträgt. Diese Temperatur, sozusagen &amp;amp;quot;Achtelkomma-schismatisch&amp;amp;quot; oder &amp;amp;quot;achtelschismatisch&amp;amp;quot;, geht auf &amp;lt;strong&amp;gt;Hermann von Helmholtz&amp;lt;/strong&amp;gt; und den norwegischen Komponisten &amp;lt;strong&amp;gt;Eivind Groven&amp;lt;/strong&amp;gt; zurück. Es ist für sie deshalb auch der Name &amp;lt;strong&amp;gt;Helmholtz&amp;lt;/strong&amp;gt; gebräuchlich.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Völlig reine Quinten ergeben von den Tonhöhen her die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;reine pythagoräische Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; - die man ebenfalls als mögliche Realisierung der schismatischen Temperatur (mit temperierten Naturterzen) ansehen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 7-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; heisst &amp;lt;strong&amp;gt;Garibaldi&amp;lt;/strong&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextAnchorRule:2:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/i/anchor.gif&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiAnchor&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;Anchor&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@anchor@@Garibaldi&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Anchor: Garibaldi&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;a name="Garibaldi"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextAnchorRule:2 --&amp;gt;, benannt nach Eduardo Sabat-Garibaldi (welcher ein Neuntelkomma-schismatisches System vorschlug), erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;septimalen Kleismas (225/224)&amp;lt;/a&amp;gt;. Dieses hat zur Folge, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; bilden - in schismatischen Generatorschritten sind das 2*(-8)+2=-14. Bei der Garibaldi-Temperatur erreicht man die Naturseptime also durch oktavbereinigtes Schichten von 14 Quinten abwärts (oder 14 Quarten aufwärts).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Durch Verwendung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Schismatic%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine schismatische Temperatur ist dadurch definiert, dass sie das [[32805_32768|Schisma]] austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem [[531441_524288|pythagoräischen]] und dem [[Syntonisches Komma|syntonischen Komma]]. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt die Idee der schismatischen Temperatur einigermassen nahe.

Generator ist, wie bei einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal temperiert (für möglichst reine Naturterzen leicht tiefer; möglich ist jedoch auch ganz rein oder minimal höher). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird in der Regel nicht austemperiert; dementsprechend werden [[Naturterz|reine grosse Terz]] und [[81_64|pythagoräische grosse Terz]] unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.

Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischen Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiges]] System ist [[53edo|53edo,]] dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme sind [[41edo]] und [[29edo]] (beide mit der Quinte etwas höher als rein). Die Standardstimmung [[12edo]] kann als Grenzfall (wo sowohl pythagoräisches als auch syntonisches Komma mit der Prim zusammenfallen) ebenfalls dazugezählt werden.

==Varianten== 
Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas abwärts beträgt. Diese Temperatur, sozusagen "Achtelkomma-schismatisch" oder "achtelschismatisch", geht auf **Hermann von Helmholtz** und den norwegischen Komponisten **Eivind Groven** zurück. Es ist für sie deshalb auch der Name **Helmholtz** gebräuchlich.

Völlig reine Quinten ergeben von den Tonhöhen her die [[pythagoräisch|reine pythagoräische Stimmung]] - die man ebenfalls als mögliche Realisierung der schismatischen Temperatur (mit temperierten Naturterzen) ansehen kann.

Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] heisst **Garibaldi**, benannt nach Eduardo Sabat-Garibaldi (welcher ein Neuntelkomma-schismatisches System vorschlug), erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des [[225_224|septimalen Kleismas (225/224)]]. Dieses hat zur Folge, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] bilden - in schismatischen Generatorschritten sind das 2*(-8)+2=-14. Bei der Garibaldi-Temperatur erreicht man die Naturseptime also durch oktavbereinigtes Schichten von 14 Quinten abwärts (oder 14 Quarten aufwärts).

Durch Verwendung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[xenharmonic/Schismatic family|englischen Xenharmonic Wiki]] .&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine schismatische Temperatur ist dadurch definiert, dass sie das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32805_32768"&amp;gt;Schisma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; und dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonischen Komma&amp;lt;/a&amp;gt;. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt die Idee der schismatischen Temperatur einigermassen nahe.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Generator ist, wie bei einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal temperiert (für möglichst reine Naturterzen leicht tiefer; möglich ist jedoch auch ganz rein oder minimal höher). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird in der Regel nicht austemperiert; dementsprechend werden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reine grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_64"&amp;gt;pythagoräische grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischen Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufiges&amp;lt;/a&amp;gt; System ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo,&amp;lt;/a&amp;gt; dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt; (beide mit der Quinte etwas höher als rein). Die Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; kann als Grenzfall (wo sowohl pythagoräisches als auch syntonisches Komma mit der Prim zusammenfallen) ebenfalls dazugezählt werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas abwärts beträgt. Diese Temperatur, sozusagen &amp;amp;quot;Achtelkomma-schismatisch&amp;amp;quot; oder &amp;amp;quot;achtelschismatisch&amp;amp;quot;, geht auf &amp;lt;strong&amp;gt;Hermann von Helmholtz&amp;lt;/strong&amp;gt; und den norwegischen Komponisten &amp;lt;strong&amp;gt;Eivind Groven&amp;lt;/strong&amp;gt; zurück. Es ist für sie deshalb auch der Name &amp;lt;strong&amp;gt;Helmholtz&amp;lt;/strong&amp;gt; gebräuchlich.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Völlig reine Quinten ergeben von den Tonhöhen her die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;reine pythagoräische Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; - die man ebenfalls als mögliche Realisierung der schismatischen Temperatur (mit temperierten Naturterzen) ansehen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 7-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; heisst &amp;lt;strong&amp;gt;Garibaldi&amp;lt;/strong&amp;gt;, benannt nach Eduardo Sabat-Garibaldi (welcher ein Neuntelkomma-schismatisches System vorschlug), erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;septimalen Kleismas (225/224)&amp;lt;/a&amp;gt;. Dieses hat zur Folge, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; bilden - in schismatischen Generatorschritten sind das 2*(-8)+2=-14. Bei der Garibaldi-Temperatur erreicht man die Naturseptime also durch oktavbereinigtes Schichten von 14 Quinten abwärts (oder 14 Quarten aufwärts).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Durch Verwendung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Schismatic%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2014-08-14 05:50:32 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine schismatische Temperatur ist dadurch definiert, dass sie das [[32805_32768|Schisma]] austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem [[531441_524288|pythagoräischen]] und dem [[Syntonisches Komma|syntonischen Komma]]. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt die Idee der schismatischen Temperatur einigermassen nahe.

Generator ist, wie bei einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal temperiert (für möglichst reine Naturterzen leicht tiefer; möglich ist jedoch auch ganz rein oder minimal höher). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird in der Regel nicht austemperiert; dementsprechend werden [[Naturterz|reine grosse Terz]] und [[81_64|pythagoräische grosse Terz]] unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.

Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischen Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiges]] System ist [[53edo|53edo,]] dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme sind [[41edo]] und [[29edo]] (beide mit der Quinte etwas höher als rein). Die Standardstimmung [[12edo]] kann als Grenzfall (wo sowohl pythagoräisches als auch syntonisches Komma mit der Prim zusammenfallen) ebenfalls dazugezählt werden.

==Varianten== 
Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas abwärts beträgt. Diese Temperatur, sozusagen "Achtelkomma-schismatisch" oder "achtelschismatisch", geht auf **Hermann von Helmholtz** und den norwegischen Komponisten **Eivind Groven** zurück. Es ist für sie deshalb auch der Name **Helmholtz** gebräuchlich.

Völlig reine Quinten ergeben von den Tonhöhen her die [[pythagoräisch|reine pythagoräische Stimmung]] - die man ebenfalls als mögliche Realisierung der schismatischen Temperatur (mit temperierten Naturterzen) ansehen kann.

Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 4-Limit-Intervallraum heisst **Garibaldi**, benannt nach Eduardo Sabat-Garibaldi (welcher ein Neuntelkomma-schismatisches System vorschlug ), erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des [[225_224|septimalen Kleismas (225/224)]]. Dieses hat zur Folge, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] bilden - in schismatischen Generatorschritten sind das 2*(-8)+2=-14. Bei der Garibaldi-Temperatur erreicht man die Naturseptime also durch oktavbereinigtes Schichten von 14 Quinten abwärts (oder 14 Quarten aufwärts).

Durch Verwendung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[xenharmonic/Schismatic family|englischen Xenharmonic Wiki]] .&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine schismatische Temperatur ist dadurch definiert, dass sie das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32805_32768"&amp;gt;Schisma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; und dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonischen Komma&amp;lt;/a&amp;gt;. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt die Idee der schismatischen Temperatur einigermassen nahe.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Generator ist, wie bei einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal temperiert (für möglichst reine Naturterzen leicht tiefer; möglich ist jedoch auch ganz rein oder minimal höher). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird in der Regel nicht austemperiert; dementsprechend werden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reine grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_64"&amp;gt;pythagoräische grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischen Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufiges&amp;lt;/a&amp;gt; System ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo,&amp;lt;/a&amp;gt; dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt; (beide mit der Quinte etwas höher als rein). Die Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; kann als Grenzfall (wo sowohl pythagoräisches als auch syntonisches Komma mit der Prim zusammenfallen) ebenfalls dazugezählt werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Varianten&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas abwärts beträgt. Diese Temperatur, sozusagen &amp;amp;quot;Achtelkomma-schismatisch&amp;amp;quot; oder &amp;amp;quot;achtelschismatisch&amp;amp;quot;, geht auf &amp;lt;strong&amp;gt;Hermann von Helmholtz&amp;lt;/strong&amp;gt; und den norwegischen Komponisten &amp;lt;strong&amp;gt;Eivind Groven&amp;lt;/strong&amp;gt; zurück. Es ist für sie deshalb auch der Name &amp;lt;strong&amp;gt;Helmholtz&amp;lt;/strong&amp;gt; gebräuchlich.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Völlig reine Quinten ergeben von den Tonhöhen her die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;reine pythagoräische Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; - die man ebenfalls als mögliche Realisierung der schismatischen Temperatur (mit temperierten Naturterzen) ansehen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 4-Limit-Intervallraum heisst &amp;lt;strong&amp;gt;Garibaldi&amp;lt;/strong&amp;gt;, benannt nach Eduardo Sabat-Garibaldi (welcher ein Neuntelkomma-schismatisches System vorschlug ), erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;septimalen Kleismas (225/224)&amp;lt;/a&amp;gt;. Dieses hat zur Folge, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; bilden - in schismatischen Generatorschritten sind das 2*(-8)+2=-14. Bei der Garibaldi-Temperatur erreicht man die Naturseptime also durch oktavbereinigtes Schichten von 14 Quinten abwärts (oder 14 Quarten aufwärts).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Durch Verwendung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Schismatic%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2014-08-14 05:50:11 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine schismatische Temperatur ist dadurch definiert, dass sie das [[32805_32768|Schisma]] austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem [[531441_524288|pythagoräischen]] und dem [[Syntonisches Komma|syntonischen Komma]]. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt die Idee der schismatischen Temperatur einigermassen nahe.

Generator ist, wie bei einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal temperiert (für möglichst reine Naturterzen leicht tiefer; möglich ist jedoch auch ganz rein oder minimal höher). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird in der Regel nicht austemperiert; dementsprechend werden [[Naturterz|reine grosse Terz]] und [[81_64|pythagoräische grosse Terz]] unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.

Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischen Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiges]] System ist [[53edo|53edo,]] dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme sind [[41edo]] und [[29edo]]. (beide mit der Quinte etwas höher als rein). Die Standardstimmung [[12edo]] kann als Grenzfall (wo sowohl pythagoräisches als auch syntonisches Komma mit der Prim zusammenfallen) ebenfalls dazugezählt werden.

==Varianten== 
Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas abwärts beträgt. Diese Temperatur, sozusagen "Achtelkomma-schismatisch" oder "achtelschismatisch", geht auf **Hermann von Helmholtz** und den norwegischen Komponisten **Eivind Groven** zurück. Es ist für sie deshalb auch der Name **Helmholtz** gebräuchlich.

Völlig reine Quinten ergeben von den Tonhöhen her die [[pythagoräisch|reine pythagoräische Stimmung]] - die man ebenfalls als mögliche Realisierung der schismatischen Temperatur (mit temperierten Naturterzen) ansehen kann.

Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 4-Limit-Intervallraum heisst **Garibaldi**, benannt nach Eduardo Sabat-Garibaldi (welcher ein Neuntelkomma-schismatisches System vorschlug ), erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des [[225_224|septimalen Kleismas (225/224)]]. Dieses hat zur Folge, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] bilden - in schismatischen Generatorschritten sind das 2*(-8)+2=-14. Bei der Garibaldi-Temperatur erreicht man die Naturseptime also durch oktavbereinigtes Schichten von 14 Quinten abwärts (oder 14 Quarten aufwärts).

Durch Verwendung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[xenharmonic/Schismatic family|englischen Xenharmonic Wiki]] .&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine schismatische Temperatur ist dadurch definiert, dass sie das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32805_32768"&amp;gt;Schisma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; und dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonischen Komma&amp;lt;/a&amp;gt;. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt die Idee der schismatischen Temperatur einigermassen nahe.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Generator ist, wie bei einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal temperiert (für möglichst reine Naturterzen leicht tiefer; möglich ist jedoch auch ganz rein oder minimal höher). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird in der Regel nicht austemperiert; dementsprechend werden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reine grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_64"&amp;gt;pythagoräische grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischen Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufiges&amp;lt;/a&amp;gt; System ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo,&amp;lt;/a&amp;gt; dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;. (beide mit der Quinte etwas höher als rein). Die Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; kann als Grenzfall (wo sowohl pythagoräisches als auch syntonisches Komma mit der Prim zusammenfallen) ebenfalls dazugezählt werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas abwärts beträgt. Diese Temperatur, sozusagen &amp;amp;quot;Achtelkomma-schismatisch&amp;amp;quot; oder &amp;amp;quot;achtelschismatisch&amp;amp;quot;, geht auf &amp;lt;strong&amp;gt;Hermann von Helmholtz&amp;lt;/strong&amp;gt; und den norwegischen Komponisten &amp;lt;strong&amp;gt;Eivind Groven&amp;lt;/strong&amp;gt; zurück. Es ist für sie deshalb auch der Name &amp;lt;strong&amp;gt;Helmholtz&amp;lt;/strong&amp;gt; gebräuchlich.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 4-Limit-Intervallraum heisst &amp;lt;strong&amp;gt;Garibaldi&amp;lt;/strong&amp;gt;, benannt nach Eduardo Sabat-Garibaldi (welcher ein Neuntelkomma-schismatisches System vorschlug ), erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;septimalen Kleismas (225/224)&amp;lt;/a&amp;gt;. Dieses hat zur Folge, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; bilden - in schismatischen Generatorschritten sind das 2*(-8)+2=-14. Bei der Garibaldi-Temperatur erreicht man die Naturseptime also durch oktavbereinigtes Schichten von 14 Quinten abwärts (oder 14 Quarten aufwärts).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Durch Verwendung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Schismatic%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine schismatische Temperatur ist dadurch definiert, dass sie das [[32805_32768|Schisma]] austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem [[531441_524288|pythagoräischen]] und dem [[Syntonisches Komma|syntonischen Komma]]. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt die Idee der schismatischen Temperatur einigermassen nahe.

Generator ist, wie bei einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal temperiert (für möglichst reine Naturterzen leicht tiefer; möglich ist jedoch auch ganz rein oder minimal höher). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird in der Regel nicht austemperiert; dementsprechend werden [[Naturterz|reine grosse Terz]] und [[81_64|pythagoräische grosse Terz]] unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.

Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischen Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiges]] System ist [[53edo|53edo,]] dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme sind [[41edo]] und [[29edo]]. (beide mit der Quinte etwas höher als rein). Die Standardstimmung [[12edo]] kann als Grenzfall (wo sowohl pythagoräisches als auch syntonisches Komma mit der Prim zusammenfallen) ebenfalls dazugezählt werden.

==Varianten== 
Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas beträgt. Diese Temperatur, sozusagen "Achtelkomma-schismatisch" oder "achtelschismatisch", geht auf **Hermann von Helmholtz** und den norwegischen Komponisten **Eivind Groven** zurück. Es ist für sie deshalb auch der Name **Helmholtz** gebräuchlich.

Völlig reine Quinten ergeben von den Tonhöhen her die [[pythagoräisch|reine pythagoräische Stimmung]] - die man ebenfalls als mögliche Realisierung der schismatischen Temperatur (mit temperierten Naturterzen) ansehen kann.

Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 4-Limit-Intervallraum heisst **Garibaldi**, benannt nach Eduardo Sabat-Garibaldi (welcher ein Neuntelkomma-schismatisches System vorschlug ), erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des [[225_224|septimalen Kleismas (225/224)]]. Dieses hat zur Folge, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] bilden - in schismatischen Generatorschritten sind das 2*(-8)+2=-14. Bei der Garibaldi-Temperatur erreicht man die Naturseptime also durch oktavbereinigtes Schichten von 14 Quinten abwärts (oder 14 Quarten aufwärts).

Durch Verwendung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[xenharmonic/Schismatic family|englischen Xenharmonic Wiki]] .&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine schismatische Temperatur ist dadurch definiert, dass sie das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32805_32768"&amp;gt;Schisma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; und dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonischen Komma&amp;lt;/a&amp;gt;. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt die Idee der schismatischen Temperatur einigermassen nahe.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist, wie bei einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal temperiert (für möglichst reine Naturterzen leicht tiefer; möglich ist jedoch auch ganz rein oder minimal höher). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird in der Regel nicht austemperiert; dementsprechend werden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reine grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_64"&amp;gt;pythagoräische grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischen Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufiges&amp;lt;/a&amp;gt; System ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo,&amp;lt;/a&amp;gt; dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;. (beide mit der Quinte etwas höher als rein). Die Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; kann als Grenzfall (wo sowohl pythagoräisches als auch syntonisches Komma mit der Prim zusammenfallen) ebenfalls dazugezählt werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Varianten&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas beträgt. Diese Temperatur, sozusagen &amp;amp;quot;Achtelkomma-schismatisch&amp;amp;quot; oder &amp;amp;quot;achtelschismatisch&amp;amp;quot;, geht auf &amp;lt;strong&amp;gt;Hermann von Helmholtz&amp;lt;/strong&amp;gt; und den norwegischen Komponisten &amp;lt;strong&amp;gt;Eivind Groven&amp;lt;/strong&amp;gt; zurück. Es ist für sie deshalb auch der Name &amp;lt;strong&amp;gt;Helmholtz&amp;lt;/strong&amp;gt; gebräuchlich.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Völlig reine Quinten ergeben von den Tonhöhen her die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;reine pythagoräische Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; - die man ebenfalls als mögliche Realisierung der schismatischen Temperatur (mit temperierten Naturterzen) ansehen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 4-Limit-Intervallraum heisst &amp;lt;strong&amp;gt;Garibaldi&amp;lt;/strong&amp;gt;, benannt nach Eduardo Sabat-Garibaldi (welcher ein Neuntelkomma-schismatisches System vorschlug ), erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;septimalen Kleismas (225/224)&amp;lt;/a&amp;gt;. Dieses hat zur Folge, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; bilden - in schismatischen Generatorschritten sind das 2*(-8)+2=-14. Bei der Garibaldi-Temperatur erreicht man die Naturseptime also durch oktavbereinigtes Schichten von 14 Quinten abwärts (oder 14 Quarten aufwärts).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Durch Verwendung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Schismatic%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2014-08-14 05:47:04 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine schismatische Temperatur ist dadurch definiert, dass sie das [[32805_32768|Schisma]] austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem [[531441_524288|pythagoräischen]] und dem [[Syntonisches Komma|syntonischen Komma]]. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt die Idee der schismatischen Temperatur einigermassen nahe.

Generator ist, wie bei einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (sie kann auch ganz rein oder minimal höher temperiert sein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird in der Regel nicht austemperiert; dementsprechend werden [[Naturterz|reine grosse Terz]] und [[81_64|pythagoräische grosse Terz]] unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.

Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischen Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiges]] System ist [[53edo|53edo,]] dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme sind [[41edo]] und [[29edo]]. (beide mit der Quinte etwas höher als rein). Die Standardstimmung [[12edo]] kann als Grenzfall (wo sowohl pythagoräisches als auch syntonisches Komma mit der Prim zusammenfallen) ebenfalls dazugezählt werden.

==Varianten== 
Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas beträgt. Diese Temperatur, sozusagen "Achtelkomma-schismatisch" oder "achtelschismatisch", geht auf **Hermann von Helmholtz** und den norwegischen Komponisten **Eivind Groven** zurück. Es ist für sie deshalb auch der Name **Helmholtz** gebräuchlich.

Völlig reine Quinten ergeben von den Tonhöhen her die [[pythagoräisch|reine pythagoräische Stimmung]] - die man ebenfalls als mögliche Realisierung der schismatischen Temperatur (mit temperierten Naturterzen) ansehen kann.

Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 4-Limit-Intervallraum heisst **Garibaldi**, benannt nach Eduardo Sabat-Garibaldi (welcher ein Neuntelkomma-schismatisches System vorschlug ), erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des [[225_224|septimalen Kleismas (225/224)]]. Dieses hat zur Folge, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] bilden - in schismatischen Generatorschritten sind das 2*(-8)+2=-14. Bei der Garibaldi-Temperatur erreicht man die Naturseptime also durch oktavbereinigtes Schichten von 14 Quinten abwärts (oder 14 Quarten aufwärts).

Durch Verwendung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[xenharmonic/Schismatic family|englischen Xenharmonic Wiki]] .&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Schismatische Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Schismatic%20family"&amp;gt;xenharmonic/Schismatic family&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine schismatische Temperatur ist dadurch definiert, dass sie das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32805_32768"&amp;gt;Schisma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; und dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonischen Komma&amp;lt;/a&amp;gt;. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt die Idee der schismatischen Temperatur einigermassen nahe.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Generator ist, wie bei einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (sie kann auch ganz rein oder minimal höher temperiert sein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird in der Regel nicht austemperiert; dementsprechend werden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reine grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_64"&amp;gt;pythagoräische grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischen Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufiges&amp;lt;/a&amp;gt; System ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo,&amp;lt;/a&amp;gt; dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;. (beide mit der Quinte etwas höher als rein). Die Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; kann als Grenzfall (wo sowohl pythagoräisches als auch syntonisches Komma mit der Prim zusammenfallen) ebenfalls dazugezählt werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas beträgt. Diese Temperatur, sozusagen &amp;amp;quot;Achtelkomma-schismatisch&amp;amp;quot; oder &amp;amp;quot;achtelschismatisch&amp;amp;quot;, geht auf &amp;lt;strong&amp;gt;Hermann von Helmholtz&amp;lt;/strong&amp;gt; und den norwegischen Komponisten &amp;lt;strong&amp;gt;Eivind Groven&amp;lt;/strong&amp;gt; zurück. Es ist für sie deshalb auch der Name &amp;lt;strong&amp;gt;Helmholtz&amp;lt;/strong&amp;gt; gebräuchlich.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Völlig reine Quinten ergeben von den Tonhöhen her die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;reine pythagoräische Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; - die man ebenfalls als mögliche Realisierung der schismatischen Temperatur (mit temperierten Naturterzen) ansehen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 4-Limit-Intervallraum heisst &amp;lt;strong&amp;gt;Garibaldi&amp;lt;/strong&amp;gt;, benannt nach Eduardo Sabat-Garibaldi (welcher ein Neuntelkomma-schismatisches System vorschlug ), erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;septimalen Kleismas (225/224)&amp;lt;/a&amp;gt;. Dieses hat zur Folge, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; bilden - in schismatischen Generatorschritten sind das 2*(-8)+2=-14. Bei der Garibaldi-Temperatur erreicht man die Naturseptime also durch oktavbereinigtes Schichten von 14 Quinten abwärts (oder 14 Quarten aufwärts).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Durch Verwendung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Schismatic%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2014-08-13 14:12:55 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine schismatische Temperatur ist dadurch definiert, dass sie das [[32805_32768|Schisma]] austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem [[531441_524288|pythagoräischen]] und dem [[Syntonisches Komma|syntonischen Komma]]. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt die Idee der schismatischen Temperatur einigermassen nahe.

Generator ist, wie bei einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird in der Regel nicht austemperiert; dementsprechend werden [[Naturterz|reine grosse Terz]] und [[81_64|pythagoräische grosse Terz]] unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.

Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischen Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiges]] System ist [[53edo]], dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme sind [[41edo]] und [[29edo]]. Die Standardstimmung [[12edo]] kann als Grenzfall (wo sowohl pythagoräisches als auch syntonisches Komma mit der Prim zusammenfallen) ebenfalls dazugezählt werden.

==Varianten== 
Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas beträgt. Diese Temperatur, sozusagen "Achtelkomma-schismatisch" oder "achtelschismatisch", geht auf **Hermann von Helmholtz** und den norwegischen Komponisten **Eivind Groven** zurück. Es ist für sie deshalb auch der Name **Helmholtz** gebräuchlich.

Völlig reine Quinten ergeben von den Tonhöhen her die [[pythagoräisch|reine pythagoräische Stimmung]] - die man ebenfalls als mögliche Realisierung der schismatischen Temperatur (mit temperierten Naturterzen) ansehen kann.

Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 4-Limit-Intervallraum heisst **Garibaldi**, benannt nach Eduardo Sabat-Garibaldi (welcher ein Neuntelkomma-schismatisches System vorschlug ), erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des [[225_224|septimalen Kleismas (225/224)]]. Dieses hat zur Folge, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] bilden - in schismatischen Generatorschritten sind das 2*(-8)+2=-14. Bei der Garibaldi-Temperatur erreicht man die Naturseptime also durch oktavbereinigtes Schichten von 14 Quinten abwärts (oder 14 Quarten aufwärts).

Durch Verwendung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[xenharmonic/Schismatic family|englischen Xenharmonic Wiki]] .&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine schismatische Temperatur ist dadurch definiert, dass sie das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32805_32768"&amp;gt;Schisma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; und dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonischen Komma&amp;lt;/a&amp;gt;. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt die Idee der schismatischen Temperatur einigermassen nahe.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist, wie bei einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird in der Regel nicht austemperiert; dementsprechend werden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reine grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_64"&amp;gt;pythagoräische grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischen Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufiges&amp;lt;/a&amp;gt; System ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt;, dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Die Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; kann als Grenzfall (wo sowohl pythagoräisches als auch syntonisches Komma mit der Prim zusammenfallen) ebenfalls dazugezählt werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Varianten&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas beträgt. Diese Temperatur, sozusagen &amp;amp;quot;Achtelkomma-schismatisch&amp;amp;quot; oder &amp;amp;quot;achtelschismatisch&amp;amp;quot;, geht auf &amp;lt;strong&amp;gt;Hermann von Helmholtz&amp;lt;/strong&amp;gt; und den norwegischen Komponisten &amp;lt;strong&amp;gt;Eivind Groven&amp;lt;/strong&amp;gt; zurück. Es ist für sie deshalb auch der Name &amp;lt;strong&amp;gt;Helmholtz&amp;lt;/strong&amp;gt; gebräuchlich.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Völlig reine Quinten ergeben von den Tonhöhen her die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;reine pythagoräische Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; - die man ebenfalls als mögliche Realisierung der schismatischen Temperatur (mit temperierten Naturterzen) ansehen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 4-Limit-Intervallraum heisst &amp;lt;strong&amp;gt;Garibaldi&amp;lt;/strong&amp;gt;, benannt nach Eduardo Sabat-Garibaldi (welcher ein Neuntelkomma-schismatisches System vorschlug ), erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;septimalen Kleismas (225/224)&amp;lt;/a&amp;gt;. Dieses hat zur Folge, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; bilden - in schismatischen Generatorschritten sind das 2*(-8)+2=-14. Bei der Garibaldi-Temperatur erreicht man die Naturseptime also durch oktavbereinigtes Schichten von 14 Quinten abwärts (oder 14 Quarten aufwärts).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Durch Verwendung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Schismatic%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2014-08-13 13:34:05 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine schismatische Temperatur ist dadurch definiert, dass sie das [[32805_32768|Schisma]] austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem [[531441_524288|pythagoräischen]] und dem [[Syntonisches Komma|syntonischen Komma]]. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt die Idee der schismatischen Temperatur einigermassen nahe.

Generator ist, wie bei einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird in der Regel nicht austemperiert; dementsprechend werden [[Naturterz|reine grosse Terz]] und [[81_64|pythagoräische grosse Terz]] unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.

Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischen Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiges]] System ist [[53edo]], dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme, die man dazuzählen kann, sind [[41edo]] und [[29edo]]. Die Standardstimmung [[12edo]] kann als Grenzfall (wo sowohl pythagoräisches als auch syntonisches Komma mit der Prim zusammenfallen) ebenfalls dazugezählt werden.

==Varianten== 
Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas beträgt. Diese Temperatur, sozusagen "Achtelkomma-schismatisch" oder "achtelschismatisch", geht auf **Hermann von Helmholtz** und den norwegischen Komponisten **Eivind Groven** zurück. Es ist für sie deshalb auch der Name **Helmholtz** gebräuchlich.

Völlig reine Quinten ergeben von den Tonhöhen her die [[pythagoräisch|reine pythagoräische Stimmung]] - die man ebenfalls als mögliche Realisierung der schismatischen Temperatur (mit temperierten Naturterzen) ansehen kann.

Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 4-Limit-Intervallraum heisst **Garibaldi**, benannt nach Eduardo Sabat-Garibaldi (welcher ein Neuntelkomma-schismatisches System vorschlug ), erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des [[225_224|septimalen Kleismas (225/224)]]. Dieses hat zur Folge, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] bilden - in schismatischen Generatorschritten sind das 2*(-8)+2=-14. Bei der Garibaldi-Temperatur erreicht man die Naturseptime also durch oktavbereinigtes Schichten von 14 Quinten abwärts (oder 14 Quarten aufwärts).

Durch Verwendung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[xenharmonic/Schismatic family|englischen Xenharmonic Wiki]] .&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine schismatische Temperatur ist dadurch definiert, dass sie das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32805_32768"&amp;gt;Schisma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; und dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonischen Komma&amp;lt;/a&amp;gt;. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt die Idee der schismatischen Temperatur einigermassen nahe.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Generator ist, wie bei einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird in der Regel nicht austemperiert; dementsprechend werden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reine grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_64"&amp;gt;pythagoräische grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischen Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufiges&amp;lt;/a&amp;gt; System ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt;, dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme, die man dazuzählen kann, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Die Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; kann als Grenzfall (wo sowohl pythagoräisches als auch syntonisches Komma mit der Prim zusammenfallen) ebenfalls dazugezählt werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas beträgt. Diese Temperatur, sozusagen &amp;amp;quot;Achtelkomma-schismatisch&amp;amp;quot; oder &amp;amp;quot;achtelschismatisch&amp;amp;quot;, geht auf &amp;lt;strong&amp;gt;Hermann von Helmholtz&amp;lt;/strong&amp;gt; und den norwegischen Komponisten &amp;lt;strong&amp;gt;Eivind Groven&amp;lt;/strong&amp;gt; zurück. Es ist für sie deshalb auch der Name &amp;lt;strong&amp;gt;Helmholtz&amp;lt;/strong&amp;gt; gebräuchlich.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Völlig reine Quinten ergeben von den Tonhöhen her die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;reine pythagoräische Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; - die man ebenfalls als mögliche Realisierung der schismatischen Temperatur (mit temperierten Naturterzen) ansehen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 4-Limit-Intervallraum heisst &amp;lt;strong&amp;gt;Garibaldi&amp;lt;/strong&amp;gt;, benannt nach Eduardo Sabat-Garibaldi (welcher ein Neuntelkomma-schismatisches System vorschlug ), erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;septimalen Kleismas (225/224)&amp;lt;/a&amp;gt;. Dieses hat zur Folge, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; bilden - in schismatischen Generatorschritten sind das 2*(-8)+2=-14. Bei der Garibaldi-Temperatur erreicht man die Naturseptime also durch oktavbereinigtes Schichten von 14 Quinten abwärts (oder 14 Quarten aufwärts).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Durch Verwendung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Schismatic%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine schismatische Temperatur ist dadurch definiert, dass sie das [[32805_32768|Schisma]] austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem [[531441_524288|pythagoräischen]] und dem [[Syntonisches Komma|syntonischen Komma]]. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt die Idee der schismatischen Temperatur einigermassen nahe.

Generator ist, wie bei einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird in der Regel nicht austemperiert; dementsprechend werden [[Naturterz|reine grosse Terz]] und [[81_64|pythagoräische grosse Terz]] unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.

Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischen Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiges]] System ist [[53edo]], dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme, die man dazuzählen kann, sind [[41edo]] und [[29edo]]. Die Standardstimmung [[12edo]] kann als Grenzfall (wo sowohl pythagoräisches als auch syntonisches Komma mit der Prim zusammenfallen) ebenfalls dazugezählt werden.

==Varianten== 
Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas beträgt. Diese Temperatur, sozusagen "Achtelkomma-schismatisch" oder "achtelschismatisch", geht auf **Hermann von Helmholtz** und den norwegischen Komponisten **Eivind Groven** zurück. Es ist für sie deshalb auch der Name **Helmholtz** gebräuchlich.

Völlig reine Quinten ergeben von den Tonhöhen her die [[pythagoräisch|reine pythagoräische Stimmung]] - die man ebenfalls als mögliche Realisierung der schismatischen Temperatur (mit temperierten Naturterzen) ansehen kann.

Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 4-Limit-Intervallraum heisst **Garibaldi**, benannt nach Eduardo Sabat-Garibaldi (welcher ein Neuntelkomma-schismatisches System vorschlug ), erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des [[225_224|septimalen Kleismas (225/224)]]. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] wird dabei durch Aufeinanderschichten von 15 Generatorschritten erreicht.
[Todo stimmt die Definition für die Naurseptime? Und/Oder sind es 14 Generatorschritte abwärts?]

Durch Verwendung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[xenharmonic/Schismatic family|englischen Xenharmonic Wiki]] .&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Schismatische Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Schismatic%20family"&amp;gt;xenharmonic/Schismatic family&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine schismatische Temperatur ist dadurch definiert, dass sie das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32805_32768"&amp;gt;Schisma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; und dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonischen Komma&amp;lt;/a&amp;gt;. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt die Idee der schismatischen Temperatur einigermassen nahe.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist, wie bei einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird in der Regel nicht austemperiert; dementsprechend werden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reine grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_64"&amp;gt;pythagoräische grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischen Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufiges&amp;lt;/a&amp;gt; System ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt;, dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme, die man dazuzählen kann, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Die Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; kann als Grenzfall (wo sowohl pythagoräisches als auch syntonisches Komma mit der Prim zusammenfallen) ebenfalls dazugezählt werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Varianten&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas beträgt. Diese Temperatur, sozusagen &amp;amp;quot;Achtelkomma-schismatisch&amp;amp;quot; oder &amp;amp;quot;achtelschismatisch&amp;amp;quot;, geht auf &amp;lt;strong&amp;gt;Hermann von Helmholtz&amp;lt;/strong&amp;gt; und den norwegischen Komponisten &amp;lt;strong&amp;gt;Eivind Groven&amp;lt;/strong&amp;gt; zurück. Es ist für sie deshalb auch der Name &amp;lt;strong&amp;gt;Helmholtz&amp;lt;/strong&amp;gt; gebräuchlich.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Völlig reine Quinten ergeben von den Tonhöhen her die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;reine pythagoräische Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; - die man ebenfalls als mögliche Realisierung der schismatischen Temperatur (mit temperierten Naturterzen) ansehen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 4-Limit-Intervallraum heisst &amp;lt;strong&amp;gt;Garibaldi&amp;lt;/strong&amp;gt;, benannt nach Eduardo Sabat-Garibaldi (welcher ein Neuntelkomma-schismatisches System vorschlug ), erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;septimalen Kleismas (225/224)&amp;lt;/a&amp;gt;. Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; wird dabei durch Aufeinanderschichten von 15 Generatorschritten erreicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo stimmt die Definition für die Naurseptime? Und/Oder sind es 14 Generatorschritte abwärts?]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Durch Verwendung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Schismatic%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2014-08-13 06:03:01 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine schismatische Temperatur ist dadurch definiert, dass sie das [[32805_32768|Schisma]] austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem [[531441_524288|pythagoräischen]] und dem [[Syntonisches Komma|syntonischen Komma]]. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt die Idee der schismatischen Temperatur einigermassen nahe.

Generator ist, wie bei einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird in der Regel nicht austemperiert; dementsprechend werden [[Naturterz|reine grosse Terz]] und [[81_64|pythagoräische grosse Terz]] unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.

Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischen Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiges]] System ist [[53edo]], dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme, die man dazuzählen kann, sind [[41edo]] und [[29edo]]. Die Standardstimmung [[12edo]] kann als Grenzfall (wo sowohl pythagoräisches als auch syntonisches Komma mit der Prim zusammenfallen) ebenfalls dazugezählt werden.

==Varianten== 
Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas beträgt. Diese Temperatur, sozusagen "Achtelkomma-schismatisch" oder "achtelschismatisch", geht auf **Hermann von Helmholtz** und den norwegischen Komponisten **Eivind Groven** zurück. Es ist für sie deshalb auch der Name **Helmholtz** gebräuchlich.

Völlig reine Quinten ergeben von den Tonhöhen her die [[pythagoräisch|reine pythagoräische Stimmung]] - die man ebenfalls als mögliche Realisierung der schismatischen Temperatur (mit temperierten Naturterzen) ansehen kann.

Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 4-Limit-Intervallraum heisst **Garibaldi**, benannt nach Eduardo Sabat-Garibaldi (welcher ein Neuntelkomma-schismatisches System vorschlug ), erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des [[225_224|septimalen Kleismas (225/224)]]. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] wird dabei durch Aufeinanderschichten von 15 Generatorschritten erreicht.

Durch Verwendung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[xenharmonic/Schismatic family|englischen Xenharmonic Wiki]] .&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine schismatische Temperatur ist dadurch definiert, dass sie das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32805_32768"&amp;gt;Schisma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; und dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonischen Komma&amp;lt;/a&amp;gt;. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt die Idee der schismatischen Temperatur einigermassen nahe.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Generator ist, wie bei einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird in der Regel nicht austemperiert; dementsprechend werden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reine grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_64"&amp;gt;pythagoräische grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischen Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufiges&amp;lt;/a&amp;gt; System ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt;, dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme, die man dazuzählen kann, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Die Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; kann als Grenzfall (wo sowohl pythagoräisches als auch syntonisches Komma mit der Prim zusammenfallen) ebenfalls dazugezählt werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas beträgt. Diese Temperatur, sozusagen &amp;amp;quot;Achtelkomma-schismatisch&amp;amp;quot; oder &amp;amp;quot;achtelschismatisch&amp;amp;quot;, geht auf &amp;lt;strong&amp;gt;Hermann von Helmholtz&amp;lt;/strong&amp;gt; und den norwegischen Komponisten &amp;lt;strong&amp;gt;Eivind Groven&amp;lt;/strong&amp;gt; zurück. Es ist für sie deshalb auch der Name &amp;lt;strong&amp;gt;Helmholtz&amp;lt;/strong&amp;gt; gebräuchlich.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Völlig reine Quinten ergeben von den Tonhöhen her die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;reine pythagoräische Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; - die man ebenfalls als mögliche Realisierung der schismatischen Temperatur (mit temperierten Naturterzen) ansehen kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 4-Limit-Intervallraum heisst &amp;lt;strong&amp;gt;Garibaldi&amp;lt;/strong&amp;gt;, benannt nach Eduardo Sabat-Garibaldi (welcher ein Neuntelkomma-schismatisches System vorschlug ), erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;septimalen Kleismas (225/224)&amp;lt;/a&amp;gt;. Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; wird dabei durch Aufeinanderschichten von 15 Generatorschritten erreicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Durch Verwendung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Schismatic%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine schismatische Temperatur ist dadurch definiert, dass sie das [[32805_32768|Schisma]] austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem [[531441_524288|pythagoräischen]] und dem [[Syntonisches Komma|syntonischen Komma]]. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt die Idee der schismatischen Temperatur einigermassen nahe.

Generator ist, wie bei einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird in der Regel nicht austemperiert; dementsprechend werden [[Naturterz|reine grosse Terz]] und [[81_64|pythagoräische grosse Terz]] unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.

Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischen Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiges]] System ist [[53edo]], dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme, die man dazuzählen kann, sind [[41edo]] und [[29edo]]. Die Standardstimmung [[12edo]] kann als Grenzfall (wo sowohl pythagoräisches als auch syntonisches Komma mit der Prim zusammenfallen) ebenfalls dazugezählt werden.

==Varianten== 
Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas beträgt. Diese Temperatur, sozusagen "Achtelkomma-schismatisch" oder "achtelschismatisch", geht auf **Hermann von Helmholtz** und den norwegischen Komponisten **Eivind Groven** zurück. Es ist für sie deshalb auch der Name **Helmholtz** gebräuchlich.

Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 4-Limit-Intervallraum heisst **Garibaldi**, benannt nach Eduardo Sabat-Garibaldi (welcher ein Neuntelkomma-schismatisches System vorschlug ), erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des [[225_224|septimalen Kleismas (225/224)]]. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] wird dabei durch Aufeinanderschichten von 15 Generatorschritten erreicht.

Durch Verwendung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[xenharmonic/Schismatic family|englischen Xenharmonic Wiki]] .&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Eine schismatische Temperatur ist dadurch definiert, dass sie das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32805_32768"&amp;gt;Schisma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; und dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonischen Komma&amp;lt;/a&amp;gt;. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt die Idee der schismatischen Temperatur einigermassen nahe.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist, wie bei einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird in der Regel nicht austemperiert; dementsprechend werden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reine grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_64"&amp;gt;pythagoräische grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischen Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufiges&amp;lt;/a&amp;gt; System ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt;, dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme, die man dazuzählen kann, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Die Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; kann als Grenzfall (wo sowohl pythagoräisches als auch syntonisches Komma mit der Prim zusammenfallen) ebenfalls dazugezählt werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas beträgt. Diese Temperatur, sozusagen &amp;amp;quot;Achtelkomma-schismatisch&amp;amp;quot; oder &amp;amp;quot;achtelschismatisch&amp;amp;quot;, geht auf &amp;lt;strong&amp;gt;Hermann von Helmholtz&amp;lt;/strong&amp;gt; und den norwegischen Komponisten &amp;lt;strong&amp;gt;Eivind Groven&amp;lt;/strong&amp;gt; zurück. Es ist für sie deshalb auch der Name &amp;lt;strong&amp;gt;Helmholtz&amp;lt;/strong&amp;gt; gebräuchlich.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 4-Limit-Intervallraum heisst &amp;lt;strong&amp;gt;Garibaldi&amp;lt;/strong&amp;gt;, benannt nach Eduardo Sabat-Garibaldi (welcher ein Neuntelkomma-schismatisches System vorschlug ), erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;septimalen Kleismas (225/224)&amp;lt;/a&amp;gt;. Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; wird dabei durch Aufeinanderschichten von 15 Generatorschritten erreicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Durch Verwendung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Schismatic%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine schismatische Temperatur ist dadurch definiert, dass sie das [[32805_32768|Schisma]] austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem [[531441_524288|pythagoräischen]] und dem [[Syntonisches Komma|syntonischen Komma]]. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt die Idee der schismatischen Temperatur einigermassen nahe.

Generator ist, wie bei einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird in der Regel nicht austemperiert; dementsprechend werden [[Naturterz|reine grosse Terz]] und [[81_64|pythagoräische grosse Terz]] unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.

Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischen Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiges]] System ist [[53edo]], dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme, die man dazuzählen kann, sind [[41edo]] und [[29edo]]. Die Standardstimmung [[12edo]] kann als Grenzfall (wo sowohl pathagoräisches als auch syntonische Komma mit der Prim zusammenfallen) ebenfalls dazugezählt werden.

==Varianten== 
Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas beträgt. Diese Temperatur, sozusagen "Achtelkomma-schismatisch" oder "achtelschismatisch", geht auf **Hermann von Helmholtz** und den norwegischen Komponisten **Eivind Groven** zurück. Es ist für sie deshalb auch der Name **Helmholtz** gebräuchlich.

Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 4-Limit-Intervallraum heisst **Garibaldi**, benannt nach Eduardo Sabat-Garibaldi (welcher ein Neuntelkomma-schismatisches System vorschlug ), erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des [[225_224|septimalen Kleismas (225/224)]]. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] wird dabei durch Aufeinanderschichten von 15 Generatorschritten erreicht.

Durch Verwendung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[xenharmonic/Schismatic family|englischen Xenharmonic Wiki]] .&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine schismatische Temperatur ist dadurch definiert, dass sie das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32805_32768"&amp;gt;Schisma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; und dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonischen Komma&amp;lt;/a&amp;gt;. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt die Idee der schismatischen Temperatur einigermassen nahe.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist, wie bei einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird in der Regel nicht austemperiert; dementsprechend werden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reine grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_64"&amp;gt;pythagoräische grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischen Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufiges&amp;lt;/a&amp;gt; System ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt;, dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme, die man dazuzählen kann, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Die Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; kann als Grenzfall (wo sowohl pathagoräisches als auch syntonische Komma mit der Prim zusammenfallen) ebenfalls dazugezählt werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas beträgt. Diese Temperatur, sozusagen &amp;amp;quot;Achtelkomma-schismatisch&amp;amp;quot; oder &amp;amp;quot;achtelschismatisch&amp;amp;quot;, geht auf &amp;lt;strong&amp;gt;Hermann von Helmholtz&amp;lt;/strong&amp;gt; und den norwegischen Komponisten &amp;lt;strong&amp;gt;Eivind Groven&amp;lt;/strong&amp;gt; zurück. Es ist für sie deshalb auch der Name &amp;lt;strong&amp;gt;Helmholtz&amp;lt;/strong&amp;gt; gebräuchlich.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 4-Limit-Intervallraum heisst &amp;lt;strong&amp;gt;Garibaldi&amp;lt;/strong&amp;gt;, benannt nach Eduardo Sabat-Garibaldi (welcher ein Neuntelkomma-schismatisches System vorschlug ), erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;septimalen Kleismas (225/224)&amp;lt;/a&amp;gt;. Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; wird dabei durch Aufeinanderschichten von 15 Generatorschritten erreicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Durch Verwendung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Schismatic%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine schismatische Temperatur ist dadurch definiert, dass sie das [[32805_32768|Schisma]] austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem [[531441_524288|pythagoräischen]] und dem [[Syntonisches Komma|syntonischen Komma]]. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt die Idee der schismatischen Temperatur einigermassen nahe.

Generator ist, wie bei einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird in der Regel nicht austemperiert; dementsprechend werden [[Naturterz|reine grosse Terz]] und [[81_64|pythagoräische grosse Terz]] unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.

Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischen Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiges]] System dafür ist [[53edo]], dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme, die man dazuzählen kann, sind [[41edo]] und [[29edo]]. Die Standardstimmung [[12edo]] kann als Grenzfall (wo sowohl pathagoräisches als auch syntonische Komma mit der Prim zusammenfallen) ebenfalls dazugezählt werden.

==Varianten== 
Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas beträgt. Diese Temperatur, sozusagen "Achtelkomma-schismatisch" oder "achtelschismatisch", geht auf **Hermann von Helmholtz** und den norwegischen Komponisten **Eivind Groven** zurück. Es ist für sie deshalb auch der Name **Helmholtz** gebräuchlich.

Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 4-Limit-Intervallraum heisst **Garibaldi**, benannt nach Eduardo Sabat-Garibaldi (welcher ein Neuntelkomma-schismatisches System vorschlug ), erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des [[225_224|septimalen Kleismas (225/224)]]. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] wird dabei durch Aufeinanderschichten von 15 Generatorschritten erreicht.

Durch Verwendung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[xenharmonic/Schismatic family|englischen Xenharmonic Wiki]] .&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Eine schismatische Temperatur ist dadurch definiert, dass sie das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32805_32768"&amp;gt;Schisma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; und dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonischen Komma&amp;lt;/a&amp;gt;. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt die Idee der schismatischen Temperatur einigermassen nahe.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist, wie bei einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird in der Regel nicht austemperiert; dementsprechend werden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reine grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_64"&amp;gt;pythagoräische grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischen Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufiges&amp;lt;/a&amp;gt; System dafür ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt;, dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme, die man dazuzählen kann, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Die Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; kann als Grenzfall (wo sowohl pathagoräisches als auch syntonische Komma mit der Prim zusammenfallen) ebenfalls dazugezählt werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas beträgt. Diese Temperatur, sozusagen &amp;amp;quot;Achtelkomma-schismatisch&amp;amp;quot; oder &amp;amp;quot;achtelschismatisch&amp;amp;quot;, geht auf &amp;lt;strong&amp;gt;Hermann von Helmholtz&amp;lt;/strong&amp;gt; und den norwegischen Komponisten &amp;lt;strong&amp;gt;Eivind Groven&amp;lt;/strong&amp;gt; zurück. Es ist für sie deshalb auch der Name &amp;lt;strong&amp;gt;Helmholtz&amp;lt;/strong&amp;gt; gebräuchlich.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 4-Limit-Intervallraum heisst &amp;lt;strong&amp;gt;Garibaldi&amp;lt;/strong&amp;gt;, benannt nach Eduardo Sabat-Garibaldi (welcher ein Neuntelkomma-schismatisches System vorschlug ), erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;septimalen Kleismas (225/224)&amp;lt;/a&amp;gt;. Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; wird dabei durch Aufeinanderschichten von 15 Generatorschritten erreicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Durch Verwendung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Schismatic%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine schismatische Temperatur ist dadurch definiert, dass sie das [[32805_32768|Schisma]] austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem [[531441_524288|pythagoräischen]] und dem [[Syntonisches Komma|syntonischen Komma]]. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt die Idee der schismatischen Temperatur einigermassen nahe.

Generator ist, wie bei einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird in der Regel nicht austemperiert; dementsprechend werden [[Naturterz|reine grosse Terz]] und [[81_64|pythagoräische grosse Terz]] unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.

Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischen Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiges]] System dafür ist [[53edo]], dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme, die man dazuzählen kann, sind [[41edo]] und [[29edo]]. Die Standardstimmung [[12edo]] kann als Grenzfall (wo sowohl pathagoräisches als auch syntonische Komma mit der Prim zusammenfallen) ebenfalls dazugezählt werden.

==Varianten== 
Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas beträgt. Diese Temperatur, sozusagen "Achtelkomma-schismatisch" oder "achtelschismatisch", geht auf **Hermann von Helmholtz** und den norwegischen Komponisten **Eivind Groven** zurück. Es ist für sie deshalb auch der Name **Helmholtz** gebräuchlich.

Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 4-Limit-Intervallraum heisst **Garibaldi**, benannt nach Eduardo Sabat-Garibaldi (wlecher ein Neuntelkomma-schismatisches System vorschlug ), erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des [[225_224|septimalen Kleismas (225/224)]]. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] wird dabei durch Aufeinanderschichten von 15 Generatorschritten erreicht.

Durch Verwendung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[xenharmonic/Schismatic family|englischen Xenharmonic Wiki]] .&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Eine schismatische Temperatur ist dadurch definiert, dass sie das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32805_32768"&amp;gt;Schisma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; und dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonischen Komma&amp;lt;/a&amp;gt;. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt die Idee der schismatischen Temperatur einigermassen nahe.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist, wie bei einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird in der Regel nicht austemperiert; dementsprechend werden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reine grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_64"&amp;gt;pythagoräische grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischen Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufiges&amp;lt;/a&amp;gt; System dafür ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt;, dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme, die man dazuzählen kann, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Die Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; kann als Grenzfall (wo sowohl pathagoräisches als auch syntonische Komma mit der Prim zusammenfallen) ebenfalls dazugezählt werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Varianten&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas beträgt. Diese Temperatur, sozusagen &amp;amp;quot;Achtelkomma-schismatisch&amp;amp;quot; oder &amp;amp;quot;achtelschismatisch&amp;amp;quot;, geht auf &amp;lt;strong&amp;gt;Hermann von Helmholtz&amp;lt;/strong&amp;gt; und den norwegischen Komponisten &amp;lt;strong&amp;gt;Eivind Groven&amp;lt;/strong&amp;gt; zurück. Es ist für sie deshalb auch der Name &amp;lt;strong&amp;gt;Helmholtz&amp;lt;/strong&amp;gt; gebräuchlich.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 4-Limit-Intervallraum heisst &amp;lt;strong&amp;gt;Garibaldi&amp;lt;/strong&amp;gt;, benannt nach Eduardo Sabat-Garibaldi (wlecher ein Neuntelkomma-schismatisches System vorschlug ), erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;septimalen Kleismas (225/224)&amp;lt;/a&amp;gt;. Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; wird dabei durch Aufeinanderschichten von 15 Generatorschritten erreicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Durch Verwendung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Schismatic%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine schismatische Temperatur ist dadurch definiert, dass sie das [[32805_32768|Schisma]] austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem [[531441_524288|pythagoräischen]] und dem [[Syntonisches Komma|syntonischen Komma]]. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt die Idee der schismatischen Temperatur einigermassen nahe.

Generator ist, wie bei einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird nicht austemperiert; dementsprechend werden [[Naturterz|reine grosse Terz]] und [[81_64|pythagoräische grosse Terz]] unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.

Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischer Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiges]] System, das eine Unterstützung bietet, ist [[53edo]], dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme, die man dazuzählen kann, sind [[41edo]] und [[29edo]]. Die Standardstimmung [[12edo]] kann als Grenzfall (wo sowohl pathagoräisches als auch syntonische Komma mit der Prim zusammenfallen) dazugezählt werden.

==Varianten== 
Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas beträgt. Diese Temperatur, sozusagen "Achtelkomma-schismatisch" oder "achtelschismatisch", geht auf Hermann von Helmholtz und den norwegischen Komponisten Eivind Groven zurück. Es ist für sie deshalb auch der Name **Helmholtz** gebräuchlich.

Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 4-Limit-Intervallraum heisst **Garibaldi**, benannt nach Edoardo Sabat-Garibaldi, erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des [[225_224|septimalen Kleismas (225/224)]]. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] wird dabei durch Aufeinanderschichten von 15 Generatorschritten erreicht.

Durch Verwendung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[xenharmonic/Schismatic family|englischen Xenharmonic Wiki]] .&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Eine schismatische Temperatur ist dadurch definiert, dass sie das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32805_32768"&amp;gt;Schisma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; und dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonischen Komma&amp;lt;/a&amp;gt;. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt die Idee der schismatischen Temperatur einigermassen nahe.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist, wie bei einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird nicht austemperiert; dementsprechend werden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reine grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_64"&amp;gt;pythagoräische grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischer Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufiges&amp;lt;/a&amp;gt; System, das eine Unterstützung bietet, ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt;, dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme, die man dazuzählen kann, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Die Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; kann als Grenzfall (wo sowohl pathagoräisches als auch syntonische Komma mit der Prim zusammenfallen) dazugezählt werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas beträgt. Diese Temperatur, sozusagen &amp;amp;quot;Achtelkomma-schismatisch&amp;amp;quot; oder &amp;amp;quot;achtelschismatisch&amp;amp;quot;, geht auf Hermann von Helmholtz und den norwegischen Komponisten Eivind Groven zurück. Es ist für sie deshalb auch der Name &amp;lt;strong&amp;gt;Helmholtz&amp;lt;/strong&amp;gt; gebräuchlich.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 4-Limit-Intervallraum heisst &amp;lt;strong&amp;gt;Garibaldi&amp;lt;/strong&amp;gt;, benannt nach Edoardo Sabat-Garibaldi, erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;septimalen Kleismas (225/224)&amp;lt;/a&amp;gt;. Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; wird dabei durch Aufeinanderschichten von 15 Generatorschritten erreicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Durch Verwendung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Schismatic%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine schismatische Temeperatur ist dadurch definiert, dass sie das [[32805_32768|Schisma]] austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem [[531441_524288|pythagoräischen]] und dem [[Syntonisches Komma|syntonischen Komma]]. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt diese Idee einigermassen nahe.

Generator ist, wie bei einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird nicht austemperiert; dementsprechend werden [[Naturterz|reine grosse Terz]] und [[81_64|pythagoräische grosse Terz]] unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.

Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischer Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiges]] System, das eine Unterstützung bietet, ist [[53edo]], dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme, die man dazuzählen kann, sind [[41edo]] und [[29edo]]. Die Standardstimmung [[12edo]] kann als Grenzfall (wo sowohl pathagoräisches als auch syntonische Komma mit der Prim zusammenfallen) dazugezählt werden.

==Varianten== 
Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas beträgt. Diese Temperatur, sozusagen "Achtelkomma-schismatisch" oder "achtelschismatisch", geht auf Hermann von Helmholtz und den norwegischen Komponisten Eivind Groven zurück. Es ist für sie deshalb auch der Name **Helmholtz** gebräuchlich.

Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 4-Limit-Intervallraum heisst **Garibaldi**, benannt nach Edoardo Sabat-Garibaldi, erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des [[225_224|septimalen Kleismas (225/224)]]. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] wird dabei durch Aufeinanderschichten von 15 Generatorschritten erreicht.

Durch Verwendung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[xenharmonic/Schismatic family|englischen Xenharmonic Wiki]] .&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Eine schismatische Temeperatur ist dadurch definiert, dass sie das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32805_32768"&amp;gt;Schisma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; und dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonischen Komma&amp;lt;/a&amp;gt;. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt diese Idee einigermassen nahe.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist, wie bei einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird nicht austemperiert; dementsprechend werden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reine grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_64"&amp;gt;pythagoräische grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischer Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufiges&amp;lt;/a&amp;gt; System, das eine Unterstützung bietet, ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt;, dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme, die man dazuzählen kann, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Die Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; kann als Grenzfall (wo sowohl pathagoräisches als auch syntonische Komma mit der Prim zusammenfallen) dazugezählt werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas beträgt. Diese Temperatur, sozusagen &amp;amp;quot;Achtelkomma-schismatisch&amp;amp;quot; oder &amp;amp;quot;achtelschismatisch&amp;amp;quot;, geht auf Hermann von Helmholtz und den norwegischen Komponisten Eivind Groven zurück. Es ist für sie deshalb auch der Name &amp;lt;strong&amp;gt;Helmholtz&amp;lt;/strong&amp;gt; gebräuchlich.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 4-Limit-Intervallraum heisst &amp;lt;strong&amp;gt;Garibaldi&amp;lt;/strong&amp;gt;, benannt nach Edoardo Sabat-Garibaldi, erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;septimalen Kleismas (225/224)&amp;lt;/a&amp;gt;. Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; wird dabei durch Aufeinanderschichten von 15 Generatorschritten erreicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Durch Verwendung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Schismatic%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2014-08-13 04:58:23 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine schismatische Temeperatur ist dadurch definiert, dass sie das [[32805_32768|Schisma]] austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem [[531441_524288|pythagoräischen]] und dem [[Syntonisches Komma|syntonischen Komma]]. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt diese Idee einigermassen nahe.

Generator ist, wie bei einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird nicht austemperiert; dementsprechend werden [[Naturterz|reine grosse Terz]] und [[81_64|pythagoräische grosse Terz]] unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.

Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischer Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiges]] System, das eine Unterstützung bietet, ist [[53edo]], dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme, die man dazuzählen kann, sind [[41edo]] und [[29edo]]. Die Standardstimmung [[12edo]] kann als Grenzfall (wo sowohl pathagoräisches als auch syntonische Komma mit der Prim zusammenfallen) dazugezählt werden.

==Varianten== 
Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas beträgt. Diese Temperatur, sozusagen **"Achtelkomma-schismatisch"**, geht auf Hermann von Helmholtz und den norwegischen Komponisten Eivind Groven zurück. Es ist für sie deshalb auch der Name **Helmholtz** gebräuchlich.

Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 4-Limit-Intervallraum heisst **Garibaldi**, benannt nach Edoardo Sabat-Garibaldi, erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des [[225_224|septimalen Kleismas (225/224)]]. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] wird dabei durch Aufeinanderschichten von 15 Generatorschritten erreicht.

Durch Verwendung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[xenharmonic/Schismatic family|englischen Xenharmonic Wiki]] .&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Eine schismatische Temeperatur ist dadurch definiert, dass sie das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32805_32768"&amp;gt;Schisma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; und dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonischen Komma&amp;lt;/a&amp;gt;. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt diese Idee einigermassen nahe.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Generator ist, wie bei einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird nicht austemperiert; dementsprechend werden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reine grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_64"&amp;gt;pythagoräische grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischer Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufiges&amp;lt;/a&amp;gt; System, das eine Unterstützung bietet, ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt;, dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme, die man dazuzählen kann, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Die Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; kann als Grenzfall (wo sowohl pathagoräisches als auch syntonische Komma mit der Prim zusammenfallen) dazugezählt werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas beträgt. Diese Temperatur, sozusagen &amp;lt;strong&amp;gt;&amp;amp;quot;Achtelkomma-schismatisch&amp;amp;quot;&amp;lt;/strong&amp;gt;, geht auf Hermann von Helmholtz und den norwegischen Komponisten Eivind Groven zurück. Es ist für sie deshalb auch der Name &amp;lt;strong&amp;gt;Helmholtz&amp;lt;/strong&amp;gt; gebräuchlich.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 4-Limit-Intervallraum heisst &amp;lt;strong&amp;gt;Garibaldi&amp;lt;/strong&amp;gt;, benannt nach Edoardo Sabat-Garibaldi, erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;septimalen Kleismas (225/224)&amp;lt;/a&amp;gt;. Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; wird dabei durch Aufeinanderschichten von 15 Generatorschritten erreicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Durch Verwendung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Schismatic%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine schismatische Temeperatur ist dadurch definiert, dass sie das [[32805_32768|Schisma]] austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem [[531441_524288|pythagoräischen]] und dem [[Syntonisches Komma|syntonischen Komma]]. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt diese Idee einigermassen nahe.

Generator ist, wie bei einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird nicht austemperiert; dementsprechend werden [[Naturterz|reine grosse Terz]] und [[81_64|pythagoräische grosse Terz]] unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.

Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischer Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiges]] System, das eine Unterstützung bietet, ist [[53edo]], dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme, die man dazuzählen kann, sind [[41edo]] und [[29edo]]. Die Standardstimmung [[12edo]] kann als Grenzfall (wo sowohl pathagoräisches als auch syntonische Komma mit der Prim zusammenfallen) dazugezählt werden.

==Varianten== 
Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas beträgt. Diese Temperatur, sozusagen **"Achtelkomma-schismatisch"**, geht auf Hermann von Helmholtz und den norwegischen Komponisten Eivind Groven zurück. Es ist für sie deshalb auch der Name **Helmholtz** gebräuchlich.

Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 4-Limit-Intervallraum heisst **Garibaldi**, benannt nach Edoardo Sabat-Garibaldi, erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des [[225_224|septimalen Kleismas (225/224)]]. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] wird dabei durch Aufeinanderschichten von 15 Generatorschritten erreicht.

Durch Verwelndung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[xenharmonic/Schismatic family|englischen Xenharmonic Wiki]] .&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Eine schismatische Temeperatur ist dadurch definiert, dass sie das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32805_32768"&amp;gt;Schisma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; und dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonischen Komma&amp;lt;/a&amp;gt;. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt diese Idee einigermassen nahe.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist, wie bei einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird nicht austemperiert; dementsprechend werden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reine grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_64"&amp;gt;pythagoräische grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischer Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufiges&amp;lt;/a&amp;gt; System, das eine Unterstützung bietet, ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt;, dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme, die man dazuzählen kann, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Die Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; kann als Grenzfall (wo sowohl pathagoräisches als auch syntonische Komma mit der Prim zusammenfallen) dazugezählt werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas beträgt. Diese Temperatur, sozusagen &amp;lt;strong&amp;gt;&amp;amp;quot;Achtelkomma-schismatisch&amp;amp;quot;&amp;lt;/strong&amp;gt;, geht auf Hermann von Helmholtz und den norwegischen Komponisten Eivind Groven zurück. Es ist für sie deshalb auch der Name &amp;lt;strong&amp;gt;Helmholtz&amp;lt;/strong&amp;gt; gebräuchlich.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 4-Limit-Intervallraum heisst &amp;lt;strong&amp;gt;Garibaldi&amp;lt;/strong&amp;gt;, benannt nach Edoardo Sabat-Garibaldi, erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;septimalen Kleismas (225/224)&amp;lt;/a&amp;gt;. Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; wird dabei durch Aufeinanderschichten von 15 Generatorschritten erreicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Durch Verwelndung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Schismatic%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine schismatische Temeperatur ist dadurch definiert, dass sie das [[32805_32768|Schisma]] austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem [[531441_524288|pythagoräischen]] und dem [[Syntonisches Komma|syntonischen Komma]]. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt diese Idee einigermassen nahe.

Generator ist, wie bei einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird nicht austemperiert; dementsprechend werden [[Naturterz|reine grosse Terz]] und [[81_64|pythagoräische grosse Terz]] unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.

Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischer Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiges]] System, das eine Unterstützung bietet, ist [[53edo]], dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme, die man dazuzählen kann, sind [[41edo]] und [[29edo]]. Die Standardstimmung [[12edo]] kann als Grenzfall (wo sowohl pathagoräisches als auch syntonische Komma mit der Prim zusammenfallen) dazugezählt werden.

==Varianten== 
Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas beträgt. Diese Temperatur, sozusagen **"Achtelkomma-schismatisch"**, geht auf Hermann von Helmholtz und den norwegischen Komponisten Eivind Groven zurück. Es ist für sie deshalb auch der Name **Helmholtz** gebräuchlich.

Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 4-Limit-Intervallraum heisst **Garbaldi**, benannt nach Edoardo Sabat-Garibaldi, erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des [[225_224|septimalen Kleismas (225/224)]]. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] wird dabei durch Aufeinanderschichten von 15 Generatorschritten erreicht.

Durch Verwelndung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[xenharmonic/Schismatic family|englischen Xenharmonic Wiki]] .&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Schismatische Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Schismatic%20family"&amp;gt;xenharmonic/Schismatic family&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine schismatische Temeperatur ist dadurch definiert, dass sie das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32805_32768"&amp;gt;Schisma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; und dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonischen Komma&amp;lt;/a&amp;gt;. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt diese Idee einigermassen nahe.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist, wie bei einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird nicht austemperiert; dementsprechend werden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reine grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_64"&amp;gt;pythagoräische grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischer Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufiges&amp;lt;/a&amp;gt; System, das eine Unterstützung bietet, ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt;, dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme, die man dazuzählen kann, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Die Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; kann als Grenzfall (wo sowohl pathagoräisches als auch syntonische Komma mit der Prim zusammenfallen) dazugezählt werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Varianten&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas beträgt. Diese Temperatur, sozusagen &amp;lt;strong&amp;gt;&amp;amp;quot;Achtelkomma-schismatisch&amp;amp;quot;&amp;lt;/strong&amp;gt;, geht auf Hermann von Helmholtz und den norwegischen Komponisten Eivind Groven zurück. Es ist für sie deshalb auch der Name &amp;lt;strong&amp;gt;Helmholtz&amp;lt;/strong&amp;gt; gebräuchlich.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 4-Limit-Intervallraum heisst &amp;lt;strong&amp;gt;Garbaldi&amp;lt;/strong&amp;gt;, benannt nach Edoardo Sabat-Garibaldi, erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;septimalen Kleismas (225/224)&amp;lt;/a&amp;gt;. Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; wird dabei durch Aufeinanderschichten von 15 Generatorschritten erreicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Durch Verwelndung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Schismatic%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine schismatische Temeperatur ist dadurch definiert, dass sie das [[32805_32768|Schisma]] austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem [[531441_524288|pythagoräischen]] und dem [[Syntonisches Komma|syntonischen Komma]]. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt diese Idee einigermassen nahe.

Generator ist, wie bei einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird nicht austemperiert; dementsprechend werden [[Naturterz|reine grosse Terz]] und [[81_64|pythagoräische grosse Terz]] unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.

Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischer Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiges]] System, das eine Unterstützung bietet, ist [[53edo]], dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme, die man dazuzählen kann, sind [[41edo]] und [[29edo]]. Die Standardstimmung [[12edo]] kann als Grenzfall (wo sowohl pathagoräisches als auch syntonische Komma mit der Prim zusammenfallen) dazugezählt werden.

==Varianten== 
Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas beträgt. Diese Temperatur, sozusagen **"Achtelkomma-schismatisch"**, geht auf Hermann von Helmholtz und den norwegischen Komponisten Eivind Groven zurück. Es ist für sie deshalb auch der Namen **Helmholtz** gebräuchlich.

Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 4-Limit-Intervallraum heisst **Garbaldi**, benannt nach Edoardo Sabat-Garibaldi, erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des [[225_224|septimalen Kleismas (225/224)]]. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] wird dabei durch Aufeinanderschichten von 15 Generatorschritten erreicht.

Durch Verwelndung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[xenharmonic/Schismatic family|englischen Xenharmonic Wiki]] .&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Eine schismatische Temeperatur ist dadurch definiert, dass sie das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32805_32768"&amp;gt;Schisma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; und dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonischen Komma&amp;lt;/a&amp;gt;. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt diese Idee einigermassen nahe.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist, wie bei einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird nicht austemperiert; dementsprechend werden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reine grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_64"&amp;gt;pythagoräische grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischer Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufiges&amp;lt;/a&amp;gt; System, das eine Unterstützung bietet, ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt;, dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme, die man dazuzählen kann, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Die Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; kann als Grenzfall (wo sowohl pathagoräisches als auch syntonische Komma mit der Prim zusammenfallen) dazugezählt werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas beträgt. Diese Temperatur, sozusagen &amp;lt;strong&amp;gt;&amp;amp;quot;Achtelkomma-schismatisch&amp;amp;quot;&amp;lt;/strong&amp;gt;, geht auf Hermann von Helmholtz und den norwegischen Komponisten Eivind Groven zurück. Es ist für sie deshalb auch der Namen &amp;lt;strong&amp;gt;Helmholtz&amp;lt;/strong&amp;gt; gebräuchlich.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 4-Limit-Intervallraum heisst &amp;lt;strong&amp;gt;Garbaldi&amp;lt;/strong&amp;gt;, benannt nach Edoardo Sabat-Garibaldi, erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;septimalen Kleismas (225/224)&amp;lt;/a&amp;gt;. Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; wird dabei durch Aufeinanderschichten von 15 Generatorschritten erreicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Durch Verwelndung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Schismatic%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine schismatische Temeperatur ist dadurch definiert, dass sie das [[32805_32768|Schisma]] austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem [[531441_524288|pythagoräischen]] und dem [[Syntonisches Komma|syntonischen Komma]]. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt diese Idee einigermassen nahe.

Generator ist, wie bei einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird nicht austemperiert; dementsprechend werden [[Naturterz|reine grosse Terz]] und [[81_64|pythagoräische grosse Terz]] unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.

Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischer Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiges]] System, das eine Unterstützung bietet, ist [[53edo]], dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme, die man dazuzählen kann, sind [[41edo]] und [[29edo]]. Die Standardstimmung [[12edo]] kann als Grenzfall (wo sowohl pathagoräisches als auch syntonische Komma mit der Prim zusammenfallen) dazugezählt werden.

==Varianten== 
Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas beträgt. Diese Temperatur geht auf Hermann von Helmholtz und den norwegischen Komponisten Eivind Groven zurück. Es ist für sie deshalb auch der Namen **Helmholtz** gebräuchlich.

Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 4-Limit-Intervallraum heisst **Garbaldi**, benannt nach Edoardo Sabat-Garibaldi, erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des [[225_224|septimalen Kleismas (225/224)]]. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] wird dabei durch Aufeinanderschichten von 15 Generatorschritten erreicht.

Durch Verwelndung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[xenharmonic/Schismatic family|englischen Xenharmonic Wiki]] .&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine schismatische Temeperatur ist dadurch definiert, dass sie das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32805_32768"&amp;gt;Schisma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; und dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonischen Komma&amp;lt;/a&amp;gt;. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt diese Idee einigermassen nahe.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist, wie bei einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird nicht austemperiert; dementsprechend werden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reine grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_64"&amp;gt;pythagoräische grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischer Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufiges&amp;lt;/a&amp;gt; System, das eine Unterstützung bietet, ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt;, dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme, die man dazuzählen kann, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Die Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; kann als Grenzfall (wo sowohl pathagoräisches als auch syntonische Komma mit der Prim zusammenfallen) dazugezählt werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas beträgt. Diese Temperatur geht auf Hermann von Helmholtz und den norwegischen Komponisten Eivind Groven zurück. Es ist für sie deshalb auch der Namen &amp;lt;strong&amp;gt;Helmholtz&amp;lt;/strong&amp;gt; gebräuchlich.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 4-Limit-Intervallraum heisst &amp;lt;strong&amp;gt;Garbaldi&amp;lt;/strong&amp;gt;, benannt nach Edoardo Sabat-Garibaldi, erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;septimalen Kleismas (225/224)&amp;lt;/a&amp;gt;. Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; wird dabei durch Aufeinanderschichten von 15 Generatorschritten erreicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Durch Verwelndung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Schismatic%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2014-08-13 04:53:08 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Schismatic family]]

[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine schismatische Temeperatur ist dadurch definiert, dass sie das [[32805_32768|Schisma]] austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem [[531441_524288|pythagoräischen]] und dem [[Syntonisches Komma|syntonischen Komma]]. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt diese Idee einigermassen nahe.

Generator ist, wie bei einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird nicht austemperiert; dementsprechend werden [[Naturterz|reine grosse Terz]] und [[81_64|pythagoräische grosse Terz]] unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.

Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischer Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiges]] System, das eine Unterstützung bietet, ist [[53edo]], dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme, die man dazuzählen kann, sind [[41edo]] und [[29edo]]. Die Standardstimmung [[12edo]] kann als Grenzfall (wo sowohl pathagoräisches als auch syntonische Komma mit der Prim zusammenfallen) dazugezählt werden.

==Varianten== 
Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas beträgt. Diese Temperatur geht auf Hermann von Helmholtz und den norwegischen Komponisten Eivind Groven zurück. Diese Temperatur ist deshalb auch unter dem Namen **Helmholtz** bekannt.

Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 4-Limit-Intervallraum heisst **Garbaldi**, benannt nach Edoardo Sabat-Garibaldi, erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des [[225_224|septimalen Kleismas (225/224)]]. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] wird dabei durch Aufeinanderschichten von 15 Generatorschritten erreicht.

Durch Verwelndung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[xenharmonic/Schismatic family|englischen Xenharmonic Wiki]] .&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Schismatische Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Schismatic%20family"&amp;gt;xenharmonic/Schismatic family&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine schismatische Temeperatur ist dadurch definiert, dass sie das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32805_32768"&amp;gt;Schisma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; und dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonischen Komma&amp;lt;/a&amp;gt;. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt diese Idee einigermassen nahe.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Generator ist, wie bei einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird nicht austemperiert; dementsprechend werden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reine grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_64"&amp;gt;pythagoräische grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischer Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufiges&amp;lt;/a&amp;gt; System, das eine Unterstützung bietet, ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt;, dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme, die man dazuzählen kann, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Die Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; kann als Grenzfall (wo sowohl pathagoräisches als auch syntonische Komma mit der Prim zusammenfallen) dazugezählt werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas beträgt. Diese Temperatur geht auf Hermann von Helmholtz und den norwegischen Komponisten Eivind Groven zurück. Diese Temperatur ist deshalb auch unter dem Namen &amp;lt;strong&amp;gt;Helmholtz&amp;lt;/strong&amp;gt; bekannt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 4-Limit-Intervallraum heisst &amp;lt;strong&amp;gt;Garbaldi&amp;lt;/strong&amp;gt;, benannt nach Edoardo Sabat-Garibaldi, erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;septimalen Kleismas (225/224)&amp;lt;/a&amp;gt;. Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; wird dabei durch Aufeinanderschichten von 15 Generatorschritten erreicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Durch Verwelndung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Schismatic%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine schismatische Temeperatur ist dadurch definiert, dass sie das [[32805_32768|Schisma]] austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem [[531441_524288|pythagoräischen]] und dem [[Syntonisches Komma|syntonischen Komma]]. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt diese Idee einigermassen nahe.

Generator ist, wie bei einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird nicht austemperiert; dementsprechend werden [[Naturterz|reine grosse Terz]] und [[81_64|pythagoräische grosse Terz]] unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.

Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischer Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiges]] System, das eine Unterstützung bietet, ist [[53edo]], dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme, die man dazuzählen kann, sind [[41edo]] und [[29edo]]. Die Standardstimmung [[12edo]] kann als Grenzfall (wo sowohl pathagoräisches als auch syntonische Komma mit der Prim zusammenfallen) dazugezählt werden.

==Varianten== 
Die einfachste Variante einer schismatischen Temperatur, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[xenharmonie/Limit|Limit]]-[[xenharmonie/Intervallraum|Intervallraum]], ist auch unter dem **Helmholtz** bekannt, zurückgehend auf Hermann von Helmholtz und den norwegischen Komponisten Eivind Groven.

Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 4-Limit-Intervallraum heisst **Garbaldi**, benannt nach Edoardo Sabat-Garibaldi, erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des [[225_224|septimalen Kleismas (225/224)]]. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] wird dabei durch Aufeinanderschichten von 15 Generatorschritten erreicht.

Durch Verwelndung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[xenharmonic/Schismatic family|englischen Xenharmonic Wiki]] .&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Schismatische Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Schismatic%20family"&amp;gt;xenharmonic/Schismatic family&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine schismatische Temeperatur ist dadurch definiert, dass sie das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32805_32768"&amp;gt;Schisma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; und dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonischen Komma&amp;lt;/a&amp;gt;. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt diese Idee einigermassen nahe.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist, wie bei einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird nicht austemperiert; dementsprechend werden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reine grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_64"&amp;gt;pythagoräische grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischer Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufiges&amp;lt;/a&amp;gt; System, das eine Unterstützung bietet, ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt;, dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme, die man dazuzählen kann, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Die Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; kann als Grenzfall (wo sowohl pathagoräisches als auch syntonische Komma mit der Prim zusammenfallen) dazugezählt werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Die einfachste Variante einer schismatischen Temperatur, definiert auf dem dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;, ist auch unter dem &amp;lt;strong&amp;gt;Helmholtz&amp;lt;/strong&amp;gt; bekannt, zurückgehend auf Hermann von Helmholtz und den norwegischen Komponisten Eivind Groven.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 4-Limit-Intervallraum heisst &amp;lt;strong&amp;gt;Garbaldi&amp;lt;/strong&amp;gt;, benannt nach Edoardo Sabat-Garibaldi, erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;septimalen Kleismas (225/224)&amp;lt;/a&amp;gt;. Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; wird dabei durch Aufeinanderschichten von 15 Generatorschritten erreicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Durch Verwelndung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Schismatic%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine schismatische Temeperatur ist dadurch definiert, dass sie das [[32805_32768|Schisma]] austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem [[531441_524288|pythagoräischen]] und dem [[Syntonisches Komma|syntonischen Komma]]. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt diese Idee einigermassen nahe.

Generator ist, wie bei einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird nicht austemperiert; dementsprechend werden [[Naturterz|reine grosse Terz]] und [[81_64|pythagoräische grosse Terz]] unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.

Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischer Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiges]] System, das eine Unterstützung bietet, ist [[53edo]], dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme, die man dazuzählen kann, sind [[41edo]] und [[29edo]]. Die Standardstimmung [[12edo]] kann als Grenzfall (wo sowohl pathagoräisches als auch syntonische Komma mit der Prim zusammenfallen) dazugezählt werden.

==Varianten== 
Für die einfachste Variante einer schismatischen Temperatur, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[xenharmonie/Limit|Limit]]-[[xenharmonie/Intervallraum|Intervallraum]], wird manchmal auch der Name **Helmholtz** verwendet.

Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 4-Limit-Intervallraum heisst **Garbaldi**, definiert durch Austemperieren des [[225_224|septimalen Kleismas (225/224)]]. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] wird dabei durch Aufeinanderschichten von 15 Generatorschritten erreicht.

Durch Verwelndung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[xenharmonic/Schismatic family|englischen Xenharmonic Wiki]] .&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine schismatische Temeperatur ist dadurch definiert, dass sie das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32805_32768"&amp;gt;Schisma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; und dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonischen Komma&amp;lt;/a&amp;gt;. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt diese Idee einigermassen nahe.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Generator ist, wie bei einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird nicht austemperiert; dementsprechend werden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reine grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_64"&amp;gt;pythagoräische grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischer Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufiges&amp;lt;/a&amp;gt; System, das eine Unterstützung bietet, ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt;, dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme, die man dazuzählen kann, sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/41edo"&amp;gt;41edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/29edo"&amp;gt;29edo&amp;lt;/a&amp;gt;. Die Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; kann als Grenzfall (wo sowohl pathagoräisches als auch syntonische Komma mit der Prim zusammenfallen) dazugezählt werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Varianten&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Für die einfachste Variante einer schismatischen Temperatur, definiert auf dem dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;, wird manchmal auch der Name &amp;lt;strong&amp;gt;Helmholtz&amp;lt;/strong&amp;gt; verwendet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 4-Limit-Intervallraum heisst &amp;lt;strong&amp;gt;Garbaldi&amp;lt;/strong&amp;gt;, definiert durch Austemperieren des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;septimalen Kleismas (225/224)&amp;lt;/a&amp;gt;. Die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt; wird dabei durch Aufeinanderschichten von 15 Generatorschritten erreicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Durch Verwelndung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Schismatic%20family"&amp;gt;englischen Xenharmonic Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; .&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2014-08-13 03:59:08 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;518394146&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Schismatic family]]

[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine schismatische Temeperatur ist dadurch definiert, dass sie das [[32805_32768|Schisma]] austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem [[531441_524288|pythagoräischen]] und dem [[Syntonisches Komma|syntonischen Komma]]. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt diese Idee einigermassen nahe.

Generator ist, wie bei einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird nicht austemperiert; dementsprechend werden [[Naturterz|reine grosse Terz]] und [[81_64|pythagoräische grosse Terz]] unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.

Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischer Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Das kleinste [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] System, das eine annehmbare Unterstütziung bietet, ist [[53edo]] , dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt.

==Varianten== 
Für die einfachste Variante einer schismatischen Temperatur, definiert auf dem dreidimensionalen 5-[[xenharmonie/Limit|Limit]]-[[xenharmonie/Intervallraum|Intervallraum]], wird manchmal auch der Name **Helmholtz** verwendet.

[Todo Auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum ]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Schismatische Temperaturen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Schismatic%20family"&amp;gt;xenharmonic/Schismatic family&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine schismatische Temeperatur ist dadurch definiert, dass sie das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32805_32768"&amp;gt;Schisma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; und dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonischen Komma&amp;lt;/a&amp;gt;. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt diese Idee einigermassen nahe.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Generator ist, wie bei einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird nicht austemperiert; dementsprechend werden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reine grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_64"&amp;gt;pythagoräische grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischer Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Das kleinste &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; System, das eine annehmbare Unterstütziung bietet, ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt; , dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Varianten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt;Varianten&amp;lt;/h2&amp;gt;
 Für die einfachste Variante einer schismatischen Temperatur, definiert auf dem dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt;, wird manchmal auch der Name &amp;lt;strong&amp;gt;Helmholtz&amp;lt;/strong&amp;gt; verwendet.&amp;lt;br /&amp;gt;
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[Todo Auf dem vierdimensionalen 7-Limit-Intervallraum ]&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Schismatic family]]

[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine schismatische Temeperatur ist dadurch definiert, dass sie das [[32805_32768|Schisma]] austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem [[531441_524288|pythagoräischen]] und dem [[Syntonisches Komma|syntonischen Komma]]. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt diese Idee einigermassen nahe.

Generator ist, wie bei einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird nicht austemperiert; dementsprechend werden [[Naturterz|reine grosse Terz]] und [[81_64|pythagoräische grosse Terz]] unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.

Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischer Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Das kleinste [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] System, das eine annehmbare Unterstütziung bietet, ist [[53edo]] , dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Eine schismatische Temeperatur ist dadurch definiert, dass sie das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32805_32768"&amp;gt;Schisma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; und dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonischen Komma&amp;lt;/a&amp;gt;. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt diese Idee einigermassen nahe.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist, wie bei einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird nicht austemperiert; dementsprechend werden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reine grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_64"&amp;gt;pythagoräische grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischer Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Das kleinste &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; System, das eine annehmbare Unterstütziung bietet, ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt; , dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2014-08-13 03:45:51 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Schismatic family]]

[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine schismatische Temeperatur ist dadurch definiert, dass sie das [[32805_32768|Schisma]] austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem [[531441_524288|pythagoräischen]] und dem [[Syntonisches Komma|syntonischen Komma]]. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt diese Idee einigermassen nahe.

Generator ist, wie bei einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird nicht austemperiert; dementsprechend werden [[Naturterz|reine grosse Terz]] und [[81_64|pythagoräische grosse Terz]] unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.

Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervallte (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischer Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Das kleinste [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] System, das eine annehmbare Unterstütziung bietet, ist [[53edo]] , dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Eine schismatische Temeperatur ist dadurch definiert, dass sie das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32805_32768"&amp;gt;Schisma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; und dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonischen Komma&amp;lt;/a&amp;gt;. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt diese Idee einigermassen nahe.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist, wie bei einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird nicht austemperiert; dementsprechend werden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reine grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_64"&amp;gt;pythagoräische grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervallte (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischer Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Das kleinste &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; System, das eine annehmbare Unterstütziung bietet, ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt; , dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine schismatische Temeperatur ist dadurch definiert, dass sie das [[32805_32768|Schisma]] austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem [[531441_524288|pythagoräischen]] und dem [[Syntonisches Komma|syntonischen Komma]]. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt diese Idee einigermassen nahe.

Generator ist, wie bei einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird nicht austemperiert; dementsprechend werden [[5_4|reine gross Terz]] und [[81_64|pythagoräische grosse Terz]] unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.

Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervallte (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischer Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Das kleinste [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] System, das eine annehmbare Unterstütziung bietet, ist [[53edo]] , dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Eine schismatische Temeperatur ist dadurch definiert, dass sie das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32805_32768"&amp;gt;Schisma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; und dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonischen Komma&amp;lt;/a&amp;gt;. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt diese Idee einigermassen nahe.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist, wie bei einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird nicht austemperiert; dementsprechend werden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/5_4"&amp;gt;reine gross Terz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_64"&amp;gt;pythagoräische grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervallte (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischer Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Das kleinste &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; System, das eine annehmbare Unterstütziung bietet, ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/53edo"&amp;gt;53edo&amp;lt;/a&amp;gt; , dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine schismatische Temeperatur ist dadurch definiert, dass sie das [[32805_32768|Schisma]] austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem [[531441_524288|pythagoräischen]] und dem [[Syntonisches Komma|syntonischen Komma]]. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt diese Idee einigermassen nahe.

Generator ist, wie bei einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird nicht austemperiert; dementsprechend werden [[5_4|reine gross Terz]] und [[81_64|pythagoräische grosse Terz]] unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Eine schismatische Temeperatur ist dadurch definiert, dass sie das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/32805_32768"&amp;gt;Schisma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräischen&amp;lt;/a&amp;gt; und dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonischen Komma&amp;lt;/a&amp;gt;. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt diese Idee einigermassen nahe.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Generator ist, wie bei einer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal herabtemperiert (oder sogar ganz rein). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird nicht austemperiert; dementsprechend werden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/5_4"&amp;gt;reine gross Terz&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/81_64"&amp;gt;pythagoräische grosse Terz&amp;lt;/a&amp;gt; unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine schismatische Temperatur ist dadurch definiert, dass sie das [[32805/32768|Schisma]] austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem [[531441/524288|pythagoräischen]] und dem [[Syntonisches_Komma|syntonischen Komma]]. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt die Idee der schismatischen Temperatur einigermassen nahe.

Generator ist, wie bei einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal temperiert (für möglichst reine Naturterzen leicht tiefer; möglich ist jedoch auch ganz rein oder minimal höher). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird in der Regel nicht austemperiert; dementsprechend werden [[Naturterz|reine grosse Terz]] und [[81/64|pythagoräische grosse Terz]] unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.

Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischen Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufiges]] System ist [[53edo|53edo,]] dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme sind [[41edo|41edo]] und [[29edo|29edo]] (beide mit der Quinte etwas höher als rein). Die Standardstimmung [[12edo|12edo]] kann als Grenzfall (wo sowohl pythagoräisches als auch syntonisches Komma mit der Prim zusammenfallen) ebenfalls dazugezählt werden.

==Varianten==
Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas abwärts beträgt. Diese Temperatur, sozusagen "Achtelkomma-schismatisch" oder "achtelschismatisch", geht auf '''Hermann von Helmholtz''' und den norwegischen Komponisten '''Eivind Groven''' zurück. Es ist für sie deshalb auch der Name '''Helmholtz''' gebräuchlich.

Völlig reine Quinten ergeben von den Tonhöhen her die [[pythagoräisch|reine pythagoräische Stimmung]] - die man ebenfalls als mögliche Realisierung der schismatischen Temperatur (mit temperierten Naturterzen) ansehen kann.

Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 7-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]] heisst '''Garibaldi''', benannt nach Eduardo Sabat-Garibaldi (welcher ein Neuntelkomma-schismatisches System vorschlug), erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des [[225/224|septimalen Kleismas (225/224)]]. Dieses hat zur Folge, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] bilden - in schismatischen Generatorschritten sind das 2*(-8)+2=-14. Bei der Garibaldi-Temperatur erreicht man die Naturseptime also durch oktavbereinigtes Schichten von 14 Quinten abwärts (oder 14 Quarten aufwärts).

Durch Verwendung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[:en:Schismatic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] .</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine schismatische Temperatur ist dadurch definiert, dass sie das [[32805/32768|Schisma]] austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem [[531441/524288|pythagoräischen]] und dem [[Syntonisches_Komma|syntonischen Komma]]. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt die Idee der schismatischen Temperatur einigermassen nahe.

Generator ist, wie bei einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal temperiert (für möglichst reine Naturterzen leicht tiefer; möglich ist jedoch auch ganz rein oder minimal höher). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird in der Regel nicht austemperiert; dementsprechend werden [[Naturterz|reine grosse Terz]] und [[81/64|pythagoräische grosse Terz]] unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.

Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischen Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufiges]] System ist [[53edo|53edo,]] dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme sind [[41edo|41edo]] und [[29edo|29edo]] (beide mit der Quinte etwas höher als rein). Die Standardstimmung [[12edo|12edo]] kann als Grenzfall (wo sowohl pythagoräisches als auch syntonisches Komma mit der Prim zusammenfallen) ebenfalls dazugezählt werden.

==Varianten==
Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas abwärts beträgt. Diese Temperatur, sozusagen "Achtelkomma-schismatisch" oder "achtelschismatisch", geht auf '''Hermann von Helmholtz''' und den norwegischen Komponisten '''Eivind Groven''' zurück. Es ist für sie deshalb auch der Name '''Helmholtz''' gebräuchlich.

Völlig reine Quinten ergeben von den Tonhöhen her die [[pythagoräisch|reine pythagoräische Stimmung]] - die man ebenfalls als mögliche Realisierung der schismatischen Temperatur (mit temperierten Naturterzen) ansehen kann.

Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 7-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]] heisst '''Garibaldi''', benannt nach Eduardo Sabat-Garibaldi (welcher ein Neuntelkomma-schismatisches System vorschlug), erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des [[225/224|septimalen Kleismas (225/224)]]. Dieses hat zur Folge, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] bilden - in schismatischen Generatorschritten sind das 2*(-8)+2=-14. Bei der Garibaldi-Temperatur erreicht man die Naturseptime also durch oktavbereinigtes Schichten von 14 Quinten abwärts (oder 14 Quarten aufwärts).

Durch Verwendung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[:en:Schismatic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] .</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine ''schismatische Temperatur''' ist dadurch definiert, dass sie das [[32805/32768|Schisma]] austemperiert. Dieses ist der Unterschied zwischen dem [[531441/524288|pythagoräischen]] und dem [[Syntonisches_Komma|syntonischen Komma]]. Angesichts des Umstands, dass die beiden Kommas beinahe identisch sind (das Schisma ist weniger als 2 Cents gross), liegt die Idee der schismatischen Temperatur einigermassen nahe.

Generator ist, wie bei einer [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur, eine Quinte, allerdings im Vergleich zu ersterer nur minimal temperiert (für möglichst reine Naturterzen leicht tiefer; möglich ist jedoch auch ganz rein oder minimal höher). Zwölf Quintenschritte führen oktavbereinigt zur Approximation eines syntonischen Kommas. Das Komma selbst wird in der Regel nicht austemperiert; dementsprechend werden [[Naturterz|reine grosse Terz]] und [[81/64|pythagoräische grosse Terz]] unterschieden. Die pythagoräische grosse Terz erreicht man gemäss pythagoräischem Standard durch Übereinanderschichten von 4 Quinten, die reine grosse Terz von dort aus 12 Quinten abwärts, also 8 Quintenschritte unterhalb der Prim. In Noten nach pythagoräscher Logik (die sich hier auf natürliche Weise anbietet) wird eine reine grosse Terz über dem C etwas gewöhnungsbedürftig als Fes (Fb) notiert.

Schismatische Temperaturen zeichnen sich aus durch hohe Reinheit der wichtigen Intervalle (Quinten und Terzen) mit der besonderen Eigenschaft, dass die grosse Terz sowohl in einer reinen wie in einer pythagoräischen Variante zur Verfügung steht. Sie benötigen andererseits in der Regel eine grössere Anzahl Töne. Ein gutes [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufiges]] System ist [[53edo|53edo,]] dessen Grundintervall gerade zwischen syntonischem und pythagoräischem Komma liegt. Kleinere mögliche gleichstufige Systeme sind [[41edo|41edo]] und [[29edo|29edo]] (beide mit der Quinte etwas höher als rein). Die Standardstimmung [[12edo|12edo]] kann als Grenzfall (wo sowohl pythagoräisches als auch syntonisches Komma mit der Prim zusammenfallen) ebenfalls dazugezählt werden.

==Varianten==
Völlig reine Naturterzen erhält man, wenn die Temperierung der Quinte ein Achtel des Schismas abwärts beträgt. Diese Temperatur, sozusagen "Achtelkomma-schismatisch" oder "achtelschismatisch", geht auf '''Hermann von Helmholtz''' und den norwegischen Komponisten '''Eivind Groven''' zurück. Es ist für sie deshalb auch der Name '''Helmholtz''' gebräuchlich.

Völlig reine Quinten ergeben von den Tonhöhen her die [[pythagoräisch|reine pythagoräische Stimmung]] - die man ebenfalls als mögliche Realisierung der schismatischen Temperatur (mit temperierten Naturterzen) ansehen kann.

Eine bekannte Variante auf dem vierdimensionalen 7-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]] heisst '''Garibaldi''', benannt nach Eduardo Sabat-Garibaldi (welcher ein Neuntelkomma-schismatisches System vorschlug), erhältlich durch zusätzliches Austemperieren des [[225/224|septimalen Kleismas (225/224)]]. Dieses hat zur Folge, dass zwei reine grosse Terzen plus ein grosser Ganzton eine [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] bilden - in schismatischen Generatorschritten sind das 2*(-8)+2=-14. Bei der Garibaldi-Temperatur erreicht man die Naturseptime also durch oktavbereinigtes Schichten von 14 Quinten abwärts (oder 14 Quarten aufwärts).

Durch Verwendung von alternativen Kommas und/oder Hinzunahme von zusätzlichen Obertönen und Kommas ergeben sich weitere Varianten, siehe hierzu den Artikel im [[:en:Schismatic_family|englischen Xenharmonic Wiki]] .</text>
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todo: pragmatische Darstellung für Xenharmoniker

siehe vorerst [http://de.wikipedia.org/wiki/Schwebung Schwebung – Wikipedia]

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der '''Semiphor'''-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Kommas [[49/48|49/48]] (35.6968 Cent, '''Slendro-Diësis''', '''septimale Diësis''' oder '''septimaler Sechstelton''' genannt). Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen den Intervallen 7/6 (septimale kleine Terz) und 8/7 (grosser septimaler Ganzton), also den Intervallen, die in der [[Obertonreihe|Obertonreihe]] zwischen dem sechsten, dem siebten und dem achten Oberton auftreten. Die Kombination der beiden Intervalle ergibt eine reine Quarte 4/3, bei Temperierung auf dasselbe Intervall wird also eine Quarte in zwei gleiche Teile geteilt. Daraus ist der Name Semiphor hergeleitet, vom englischen semi-fourth (Halb-Quarte) nämlich. Diese temperierte Halbquarte fungiert auch als Generator.

In der [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] der Intervalle 7/6, 8/7 und auch 49/48 kommen nur die Primzahlen 2, 3 und 7 vor, die 5 fehlt. Eine Temperatur der Semiphor-Familie kann daher auf den [[Intervallraum|Intervallraum]] der Primzahlen 2, 3 und 7, unter Ausschluss der [[Naturterz|Naturterz 5/4]], beschränkt sein. Für diese Temperatur wurde der leicht modifizierte Name '''Semaphor''' geprägt.

Eine naheliegende Erweiterung für den Einbezug der Primzahl 5 ist das zusätzliche Austemperieren des allbekannten [[Syntonisches_Komma|syntonischen Kommas 81/80]], was dann eine Variante der [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmungsfamilie ergibt. Naheliegend unter anderem deshalb, weil zwei Schritte eines Semiphor-Generators eine Approximation der reinen Quarte bilden, welche als Oktavkomplement der Quinte auch als mitteltöniger Generator fungieren kann. Entsprechend wird die Approximation der Naturterz 5/4 durch Aufeinanderschichten von 8 Generatorschritten erreicht.

Die solcherart durch die Kommas 49/48 und 81/80 definierte 7-[[Limit|Limit]]-Temperatur wurde auf den Namen '''Godzilla''' getauft. Gute [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierungen von Godzilla sind [[19edo|19edo]] und [[24edo|24edo]].

An Semiphor-[[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] gibt es: eine fünftönige der Form 4L 1s sowie eine neuntönige der Form 5L 4s und eine vierzehntönige der Form 5L 9s. Die neuntönige ist dabei nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]].

In 19edo präsentiert sich die neuntönige Semiphor- bzw. Godzilla-Skala mit den Intervallschritten 3 3 1 3 1 3 1 3 1. Sie enthält eine traditionelle pentatonische Skala (5 3 5 3 3 in 19edo) als Teilmenge, jedoch keine herkömmliche diatonische.

Entsprechend ihrer Konstruktion sind Godzilla-Skalen reich an 7-Limit-Intervallen und -Dreiklängen, jedoch vergleichsweise arm an den von der traditionellen klassischen Musik her bekannten 5-Limit-Harmonien. Die neuntönige Godzilla-Skala z. B. enthält von ihrem Generator her 8 Approximationen der kleinen septimalen Terz 7/6 (temperiert identisch mit der Approximation des septimalen Ganztons 8/7), dagegen nur 3 Approximationen der kleinen Terz 6/5; 6 Approximationen der übergrossen septimalen Terz 9/7 steht eine einzige Approximation der Naturterz 5/4 gegenüber. Letztere markiert auch den einzigen Ort der neuntönigen Godzilla-Skala, wo sich ein 5-Limit-Dur- und ein 5-Limit-Molldreiklang findet.

[todo Klangbeispiele, weitere Eigenschaften]  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der **Semiphor**-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Kommas [[49_48|49/48]] (35.6968 Cent, **Slendro-Diësis**, **septimale Diësis** oder **septimaler Sechstelton** genannt). Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen den Intervallen 7/6 (septimale kleine Terz) und 8/7 (grosser septimaler Ganzton), also den Intervallen, die in der [[Obertonreihe]] zwischen dem sechsten, dem siebten und dem achten Oberton auftreten. Die Kombination der beiden Intervalle ergibt eine reine Quarte 4/3, bei Temperierung auf dasselbe Intervall wird also eine Quarte in zwei gleiche Teile geteilt. Daraus ist der Name Semiphor hergeleitet, vom englischen semi-fourth (Halb-Quarte) nämlich. Diese temperierte Halbquarte fungiert auch als Generator.

In der [[Primfaktorzerlegung]] der Intervalle 7/6, 8/7 und auch 49/48 kommen nur die Primzahlen 2, 3 und 7 vor, die 5 fehlt. Eine Temperatur der Semiphor-Familie kann daher auf den [[Intervallraum]] der Primzahlen 2, 3 und 7, unter Ausschluss der [[Naturterz|Naturterz 5/4]], beschränkt sein. Für diese Temperatur wurde der leicht modifizierte Name **Semaphor** geprägt.

Eine naheliegende Erweiterung für den Einbezug der Primzahl 5 ist das zusätzliche Austemperieren des allbekannten [[Syntonisches Komma|syntonischen Kommas 81/80]], was dann eine Variante der [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmungsfamilie ergibt. Naheliegend unter anderem deshalb, weil zwei Schritte eines Semiphor-Generators eine Approximation der reinen Quarte bilden, welche als Oktavkomplement der Quinte auch als mitteltöniger Generator fungieren kann. Entsprechend wird die Approximation der Naturterz 5/4 durch Aufeinanderschichten von 8 Generatorschritten erreicht.

Die solcherart durch die Kommas 49/48 und 81/80 definierte 7-[[Limit]]-Temperatur wurde auf den Namen **Godzilla** getauft. Gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierungen von Godzilla sind [[19edo]] und [[24edo]].

An Semiphor-[[MOS-Skalen]] gibt es: eine fünftönige der Form 4L 1s sowie eine neuntönige der Form 5L 4s und eine vierzehntönige der Form 5L 9s. Die neuntönige ist dabei nicht [[Rothenberg-proper]].

In 19edo präsentiert sich die neuntönige Semiphor- bzw. Godzilla-Skala mit den Intervallschritten 3 3 1 3 1 3 1 3 1. Sie enthält eine traditionelle pentatonische Skala (5 3 5 3 3 in 19edo) als Teilmenge, jedoch keine herkömmliche diatonische.

Entsprechend ihrer Konstruktion sind Godzilla-Skalen reich an 7-Limit-Intervallen und -Dreiklängen, jedoch vergleichsweise arm an den von der traditionellen klassischen Musik her bekannten 5-Limit-Harmonien. Die neuntönige Godzilla-Skala z. B. enthält von ihrem Generator her 8 Approximationen der kleinen septimalen Terz 7/6 (temperiert identisch mit der Approximation des septimalen Ganztons 8/7), dagegen nur 3 Approximationen der kleinen Terz 6/5; 6 Approximationen der übergrossen septimalen Terz 9/7 steht eine einzige Approximation der Naturterz 5/4 gegenüber. Letztere markiert auch den einzigen Ort der neuntönigen Godzilla-Skala, wo sich ein 5-Limit-Dur- und ein 5-Limit-Molldreiklang findet.

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Die Familie der &amp;lt;strong&amp;gt;Semiphor&amp;lt;/strong&amp;gt;-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Kommas &amp;lt;a class="wiki_link" href="/49_48"&amp;gt;49/48&amp;lt;/a&amp;gt; (35.6968 Cent, &amp;lt;strong&amp;gt;Slendro-Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt;, &amp;lt;strong&amp;gt;septimale Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;septimaler Sechstelton&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt). Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen den Intervallen 7/6 (septimale kleine Terz) und 8/7 (grosser septimaler Ganzton), also den Intervallen, die in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Obertonreihe"&amp;gt;Obertonreihe&amp;lt;/a&amp;gt; zwischen dem sechsten, dem siebten und dem achten Oberton auftreten. Die Kombination der beiden Intervalle ergibt eine reine Quarte 4/3, bei Temperierung auf dasselbe Intervall wird also eine Quarte in zwei gleiche Teile geteilt. Daraus ist der Name Semiphor hergeleitet, vom englischen semi-fourth (Halb-Quarte) nämlich. Diese temperierte Halbquarte fungiert auch als Generator.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine naheliegende Erweiterung für den Einbezug der Primzahl 5 ist das zusätzliche Austemperieren des allbekannten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonischen Kommas 81/80&amp;lt;/a&amp;gt;, was dann eine Variante der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmungsfamilie ergibt. Naheliegend unter anderem deshalb, weil zwei Schritte eines Semiphor-Generators eine Approximation der reinen Quarte bilden, welche als Oktavkomplement der Quinte auch als mitteltöniger Generator fungieren kann. Entsprechend wird die Approximation der Naturterz 5/4 durch Aufeinanderschichten von 8 Generatorschritten erreicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die solcherart durch die Kommas 49/48 und 81/80 definierte 7-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur wurde auf den Namen &amp;lt;strong&amp;gt;Godzilla&amp;lt;/strong&amp;gt; getauft. Gute &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Realisierungen von Godzilla sind &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/24edo"&amp;gt;24edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
An Semiphor-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; gibt es: eine fünftönige der Form 4L 1s sowie eine neuntönige der Form 5L 4s und eine vierzehntönige der Form 5L 9s. Die neuntönige ist dabei nicht &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rothenberg-proper"&amp;gt;Rothenberg-proper&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In 19edo präsentiert sich die neuntönige Semiphor- bzw. Godzilla-Skala mit den Intervallschritten 3 3 1 3 1 3 1 3 1. Sie enthält eine traditionelle pentatonische Skala (5 3 5 3 3 in 19edo) als Teilmenge, jedoch keine herkömmliche diatonische.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Entsprechend ihrer Konstruktion sind Godzilla-Skalen reich an 7-Limit-Intervallen und -Dreiklängen, jedoch vergleichsweise arm an den von der traditionellen klassischen Musik her bekannten 5-Limit-Harmonien. Die neuntönige Godzilla-Skala z. B. enthält von ihrem Generator her 8 Approximationen der kleinen septimalen Terz 7/6 (temperiert identisch mit der Approximation des septimalen Ganztons 8/7), dagegen nur 3 Approximationen der kleinen Terz 6/5; 6 Approximationen der übergrossen septimalen Terz 9/7 steht eine einzige Approximation der Naturterz 5/4 gegenüber. Letztere markiert auch den einzigen Ort der neuntönigen Godzilla-Skala, wo sich ein 5-Limit-Dur- und ein 5-Limit-Molldreiklang findet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[todo Klangbeispiele, weitere Eigenschaften]&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-05-17 10:51:01 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der **Semiphor**-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Kommas [[49_48|49/48]] (35.6968 Cent, **Slendro-Diësis**, **septimale Diësis** oder **septimaler Sechstelton** genannt). Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen den Intervallen 7/6 (septimale kleine Terz) und 8/7 (grosser septimaler Ganzton), also den Intervallen, die in der [[Obertonreihe]] zwischen dem sechsten, dem siebten und dem achten Oberton auftreten. Die Kombination der beiden Intervalle ergibt eine reine Quarte 4/3, bei Temperierung auf dasselbe Intervall wird also eine Quarte in zwei gleiche Teile geteilt. Daraus ist der Name Semiphor hergeleitet, vom englischen semi-fourth (Halb-Quarte) nämlich. Diese temperierte Halbquarte fungiert auch als Generator.

In der [[Primfaktorzerlegung]] der Intervalle 7/6, 8/7 und auch 49/48 kommen nur die Primzahlen 2, 3 und 7 vor, die 5 fehlt. Eine Temperatur der Semiphor-Familie kann daher auf den [[Intervallraum]] der Primzahlen 2, 3 und 7, unter Ausschluss der [[Naturterz|Naturterz 5/4]], beschränkt sein. Für diese Temperatur wurde der leicht modifizierte Name **Semaphor** geprägt.

Eine naheliegende Erweiterung für den Einbezug der Primzahl 5 ist das zusätzliche Austemperieren des allbekannten [[Syntonisches Komma|syntonischen Kommas 81/80]], was dann eine Variante der [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmungsfamilie ergibt. Naheliegend unter anderem deshalb, weil zwei Schritte eines Semiphor-Generators eine Approximation der reinen Quarte bilden, welche als Oktavkomplement der Quinte auch als mitteltöniger Generator fungieren kann. Entsprechend wird die Approximation der Naturterz 5/4 durch Aufeinanderschichten von 8 Generatorschritten erreicht.

Die solcherart durch die Kommas 49/48 und 81/80 definierte 7-[[Limit]]-Temperatur wurde auf den Namen **Godzilla** getauft. Eine besonders gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung von Godzilla ist [[19edo]].

An Semiphor-[[MOS-Skalen]] gibt es: eine fünftönige der Form 4L 1s sowie eine neuntönige der Form 5L 4s und eine vierzehntönige der Form 5L 9s. Die neuntönige ist dabei nicht [[Rothenberg-proper]].

In 19edo präsentiert sich die neuntönige Semiphor- bzw. Godzilla-Skala mit den Intervallschritten 3 3 1 3 1 3 1 3 1. Sie enthält eine traditionelle pentatonische Skala (5 3 5 3 3 in 19edo) als Teilmenge, jedoch keine herkömmliche diatonische.

Entsprechend ihrer Konstruktion sind Godzilla-Skalen reich an 7-Limit-Intervallen und -Dreiklängen, jedoch vergleichsweise arm an den von der traditionellen klassischen Musik her bekannten 5-Limit-Harmonien. Die neuntönige Godzilla-Skala z. B. enthält von ihrem Generator her 8 Approximationen der kleinen septimalen Terz 7/6 (temperiert identisch mit der Approximation des septimalen Ganztons 8/7), dagegen nur 3 Approximationen der kleinen Terz 6/5; 6 Approximationen der übergrossen septimalen Terz 9/7 steht eine einzige Approximation der Naturterz 5/4 gegenüber. Letztere markiert auch den einzigen Ort der neuntönigen Godzilla-Skala, wo sich ein 5-Limit-Dur- und ein 5-Limit-Molldreiklang findet.

[todo Klangbeispiele, weitere Eigenschaften]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Semiphor, Semaphor, Godzilla&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Semaphore%20and%20Godzilla"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Familie der &amp;lt;strong&amp;gt;Semiphor&amp;lt;/strong&amp;gt;-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Kommas &amp;lt;a class="wiki_link" href="/49_48"&amp;gt;49/48&amp;lt;/a&amp;gt; (35.6968 Cent, &amp;lt;strong&amp;gt;Slendro-Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt;, &amp;lt;strong&amp;gt;septimale Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;septimaler Sechstelton&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt). Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen den Intervallen 7/6 (septimale kleine Terz) und 8/7 (grosser septimaler Ganzton), also den Intervallen, die in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Obertonreihe"&amp;gt;Obertonreihe&amp;lt;/a&amp;gt; zwischen dem sechsten, dem siebten und dem achten Oberton auftreten. Die Kombination der beiden Intervalle ergibt eine reine Quarte 4/3, bei Temperierung auf dasselbe Intervall wird also eine Quarte in zwei gleiche Teile geteilt. Daraus ist der Name Semiphor hergeleitet, vom englischen semi-fourth (Halb-Quarte) nämlich. Diese temperierte Halbquarte fungiert auch als Generator.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; der Intervalle 7/6, 8/7 und auch 49/48 kommen nur die Primzahlen 2, 3 und 7 vor, die 5 fehlt. Eine Temperatur der Semiphor-Familie kann daher auf den &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; der Primzahlen 2, 3 und 7, unter Ausschluss der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz 5/4&amp;lt;/a&amp;gt;, beschränkt sein. Für diese Temperatur wurde der leicht modifizierte Name &amp;lt;strong&amp;gt;Semaphor&amp;lt;/strong&amp;gt; geprägt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine naheliegende Erweiterung für den Einbezug der Primzahl 5 ist das zusätzliche Austemperieren des allbekannten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonischen Kommas 81/80&amp;lt;/a&amp;gt;, was dann eine Variante der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmungsfamilie ergibt. Naheliegend unter anderem deshalb, weil zwei Schritte eines Semiphor-Generators eine Approximation der reinen Quarte bilden, welche als Oktavkomplement der Quinte auch als mitteltöniger Generator fungieren kann. Entsprechend wird die Approximation der Naturterz 5/4 durch Aufeinanderschichten von 8 Generatorschritten erreicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die solcherart durch die Kommas 49/48 und 81/80 definierte 7-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur wurde auf den Namen &amp;lt;strong&amp;gt;Godzilla&amp;lt;/strong&amp;gt; getauft. Eine besonders gute &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Realisierung von Godzilla ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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An Semiphor-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; gibt es: eine fünftönige der Form 4L 1s sowie eine neuntönige der Form 5L 4s und eine vierzehntönige der Form 5L 9s. Die neuntönige ist dabei nicht &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rothenberg-proper"&amp;gt;Rothenberg-proper&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In 19edo präsentiert sich die neuntönige Semiphor- bzw. Godzilla-Skala mit den Intervallschritten 3 3 1 3 1 3 1 3 1. Sie enthält eine traditionelle pentatonische Skala (5 3 5 3 3 in 19edo) als Teilmenge, jedoch keine herkömmliche diatonische.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Entsprechend ihrer Konstruktion sind Godzilla-Skalen reich an 7-Limit-Intervallen und -Dreiklängen, jedoch vergleichsweise arm an den von der traditionellen klassischen Musik her bekannten 5-Limit-Harmonien. Die neuntönige Godzilla-Skala z. B. enthält von ihrem Generator her 8 Approximationen der kleinen septimalen Terz 7/6 (temperiert identisch mit der Approximation des septimalen Ganztons 8/7), dagegen nur 3 Approximationen der kleinen Terz 6/5; 6 Approximationen der übergrossen septimalen Terz 9/7 steht eine einzige Approximation der Naturterz 5/4 gegenüber. Letztere markiert auch den einzigen Ort der neuntönigen Godzilla-Skala, wo sich ein 5-Limit-Dur- und ein 5-Limit-Molldreiklang findet.&amp;lt;br /&amp;gt;
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[todo Klangbeispiele, weitere Eigenschaften]&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der **Semiphor**-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Kommas 49/48 (35.6968 Cent, **Slendro-Diësis**, **septimale Diësis** oder **septimaler Sechstelton** genannt). Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen den Intervallen 7/6 (septimale kleine Terz) und 8/7 (grosser septimaler Ganzton), also den Intervallen, die in der [[Obertonreihe]] zwischen dem sechsten, dem siebten und dem achten Oberton auftreten. Die Kombination der beiden Intervalle ergibt eine reine Quarte 4/3, bei Temperierung auf dasselbe Intervall wird also eine Quarte in zwei gleiche Teile geteilt. Daraus ist der Name Semiphor hergeleitet, vom englischen semi-fourth (Halb-Quarte) nämlich. Diese temperierte Halbquarte fungiert auch als Generator.

In der [[Primfaktorzerlegung]] der Intervalle 7/6, 8/7 und auch 49/48 kommen nur die Primzahlen 2, 3 und 7 vor, die 5 fehlt. Eine Temperatur der Semiphor-Familie kann daher auf den [[Intervallraum]] der Primzahlen 2, 3 und 7, unter Ausschluss der [[Naturterz|Naturterz 5/4]], beschränkt sein. Für diese Temperatur wurde der leicht modifizierte Name **Semaphor** geprägt.

Eine naheliegende Erweiterung für den Einbezug der Primzahl 5 ist das zusätzliche Austemperieren des allbekannten [[Syntonisches Komma|syntonischen Kommas 81/80]], was dann eine Variante der [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmungsfamilie ergibt. Naheliegend unter anderem deshalb, weil zwei Schritte eines Semiphor-Generators eine Approximation der reinen Quarte bilden, welche als Oktavkomplement der Quinte auch als mitteltöniger Generator fungieren kann. Entsprechend wird die Approximation der Naturterz 5/4 durch Aufeinanderschichten von 8 Generatorschritten erreicht.

Die solcherart durch die Kommas 49/48 und 81/80 definierte 7-[[Limit]]-Temperatur wurde auf den Namen **Godzilla** getauft. Eine besonders gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung von Godzilla ist [[19edo]].

An Semiphor-[[MOS-Skalen]] gibt es: eine fünftönige der Form 4L 1s sowie eine neuntönige der Form 5L 4s und eine vierzehntönige der Form 5L 9s. Die neuntönige ist dabei nicht [[Rothenberg-proper]].

In 19edo präsentiert sich die neuntönige Semiphor- bzw. Godzilla-Skala mit den Intervallschritten 3 3 1 3 1 3 1 3 1. Sie enthält eine traditionelle pentatonische Skala (5 3 5 3 3 in 19edo) als Teilmenge, jedoch keine herkömmliche diatonische.

Entsprechend ihrer Konstruktion sind Godzilla-Skalen reich an 7-Limit-Intervallen und -Dreiklängen, jedoch vergleichsweise arm an den von der traditionellen klassischen Musik her bekannten 5-Limit-Harmonien. Die neuntönige Godzilla-Skala z. B. enthält von ihrem Generator her 8 Approximationen der kleinen septimalen Terz 7/6 (temperiert identisch mit der Approximation des septimalen Ganztons 8/7), dagegen nur 3 Approximationen der kleinen Terz 6/5; 6 Approximationen der übergrossen septimalen Terz 9/7 steht eine einzige Approximation der Naturterz 5/4 gegenüber. Letztere markiert auch den einzigen Ort der neuntönigen Godzilla-Skala, wo sich ein 5-Limit-Dur- und ein 5-Limit-Molldreiklang findet.

[todo Klangbeispiele, weitere Eigenschaften]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die Familie der &amp;lt;strong&amp;gt;Semiphor&amp;lt;/strong&amp;gt;-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Kommas 49/48 (35.6968 Cent, &amp;lt;strong&amp;gt;Slendro-Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt;, &amp;lt;strong&amp;gt;septimale Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;septimaler Sechstelton&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt). Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen den Intervallen 7/6 (septimale kleine Terz) und 8/7 (grosser septimaler Ganzton), also den Intervallen, die in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Obertonreihe"&amp;gt;Obertonreihe&amp;lt;/a&amp;gt; zwischen dem sechsten, dem siebten und dem achten Oberton auftreten. Die Kombination der beiden Intervalle ergibt eine reine Quarte 4/3, bei Temperierung auf dasselbe Intervall wird also eine Quarte in zwei gleiche Teile geteilt. Daraus ist der Name Semiphor hergeleitet, vom englischen semi-fourth (Halb-Quarte) nämlich. Diese temperierte Halbquarte fungiert auch als Generator.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; der Intervalle 7/6, 8/7 und auch 49/48 kommen nur die Primzahlen 2, 3 und 7 vor, die 5 fehlt. Eine Temperatur der Semiphor-Familie kann daher auf den &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; der Primzahlen 2, 3 und 7, unter Ausschluss der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz 5/4&amp;lt;/a&amp;gt;, beschränkt sein. Für diese Temperatur wurde der leicht modifizierte Name &amp;lt;strong&amp;gt;Semaphor&amp;lt;/strong&amp;gt; geprägt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine naheliegende Erweiterung für den Einbezug der Primzahl 5 ist das zusätzliche Austemperieren des allbekannten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonischen Kommas 81/80&amp;lt;/a&amp;gt;, was dann eine Variante der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmungsfamilie ergibt. Naheliegend unter anderem deshalb, weil zwei Schritte eines Semiphor-Generators eine Approximation der reinen Quarte bilden, welche als Oktavkomplement der Quinte auch als mitteltöniger Generator fungieren kann. Entsprechend wird die Approximation der Naturterz 5/4 durch Aufeinanderschichten von 8 Generatorschritten erreicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die solcherart durch die Kommas 49/48 und 81/80 definierte 7-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur wurde auf den Namen &amp;lt;strong&amp;gt;Godzilla&amp;lt;/strong&amp;gt; getauft. Eine besonders gute &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Realisierung von Godzilla ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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An Semiphor-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; gibt es: eine fünftönige der Form 4L 1s sowie eine neuntönige der Form 5L 4s und eine vierzehntönige der Form 5L 9s. Die neuntönige ist dabei nicht &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rothenberg-proper"&amp;gt;Rothenberg-proper&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In 19edo präsentiert sich die neuntönige Semiphor- bzw. Godzilla-Skala mit den Intervallschritten 3 3 1 3 1 3 1 3 1. Sie enthält eine traditionelle pentatonische Skala (5 3 5 3 3 in 19edo) als Teilmenge, jedoch keine herkömmliche diatonische.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Entsprechend ihrer Konstruktion sind Godzilla-Skalen reich an 7-Limit-Intervallen und -Dreiklängen, jedoch vergleichsweise arm an den von der traditionellen klassischen Musik her bekannten 5-Limit-Harmonien. Die neuntönige Godzilla-Skala z. B. enthält von ihrem Generator her 8 Approximationen der kleinen septimalen Terz 7/6 (temperiert identisch mit der Approximation des septimalen Ganztons 8/7), dagegen nur 3 Approximationen der kleinen Terz 6/5; 6 Approximationen der übergrossen septimalen Terz 9/7 steht eine einzige Approximation der Naturterz 5/4 gegenüber. Letztere markiert auch den einzigen Ort der neuntönigen Godzilla-Skala, wo sich ein 5-Limit-Dur- und ein 5-Limit-Molldreiklang findet.&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-04-04 10:06:07 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der **Semiphor**-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Kommas 49/48 (35.6968 Cent, **Slendro-Diësis**, **septimale Diësis** oder **septimaler Sechstelton** genannt). Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen den Intervallen 7/6 (septimale kleine Terz) und 8/7 (grosser septimaler Ganzton), also den Intervallen, die in der [[Obertonreihe]] zwischen dem sechsten, dem siebten und dem achten Oberton auftreten. Die Kombination der beiden Intervalle ergibt eine reine Quarte 4/3, bei Temperierung auf dasselbe Intervall wird also eine Quarte in zwei gleiche Teile geteilt. Daraus ist der Name Semiphor hergeleitet, vom englischen semi-fourth (Halb-Quarte) nämlich. Diese temperierte Halbquarte fungiert auch als Generator.

In der [[Primfaktorzerlegung]] der Intervalle 7/6, 8/7 und auch 49/48 kommen nur die Primzahlen 2, 3 und 7 vor, die 5 fehlt. Eine Temperatur der Semiphor-Familie kann daher auf den [[Intervallraum]] der Primzahlen 2, 3 und 7, unter Ausschluss der [[Naturterz|Naturterz 5/4]], beschränkt sein. Für diese Temperatur wurde der leicht modifizierte Name **Semaphor** geprägt.

Eine naheliegende Erweiterung für den Einbezug der Primzahl 5 ist das zusätzliche Austemperieren des allbekannten [[Syntonisches Komma|syntonischen Kommas 81/80]], was dann eine Variante der [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmungsfamilie ergibt. Naheliegend unter anderem deshalb, weil zwei Schritte eines Semiphor-Generators eine Approximation der reinen Quarte bilden, welche als Oktavkomplement der Quinte auch als mitteltöniger Generator fungieren kann. Entsprechend wird die Approximation der Naturterz 5/4 durch Aufeinanderschichten von 8 Generatorschritten erreicht.

Die solcherart durch die Kommas 49/48 und 81/80 definierte 7-[[Limit]]-Temperatur wurde auf den Namen **Godzilla** getauft. Eine besonders gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung von Godzilla ist [[19edo]].

An Semiphor-[[MOS-Skalen]] gibt es: eine fünftönige der Form 4L 1s sowie eine neuntönige der Form 5L 4s und eine vierzehntönige der Form 5L 9s. Die neuntönige ist dabei nicht [[Rothenberg-proper]].

In 19edo präsentiert sich die neuntönige Semiphor- bzw. Godzilla-Skala mit den Intervallschritten 3 3 1 3 1 3 1 3 1. Sie enthält eine traditionelle pentatonische Skala (5 3 5 3 3 in 19edo) als Teilmenge, jedoch keine herkömmliche diatonische.

Entsprechend ihrer Konstruktion sind Godzilla-Skalen reich an 7-Limit-Intervallen und -Dreiklängen, jedoch vergleichsweise arm an den von der traditionellen klassischen Musik her bekannten 5-Limit-Harmonien. Die neuntönige Godzilla-Skala z. B. enthält von ihrem Generator her 8 Approximationen der kleinen septimalen Terz 7/6 (temperiert identisch mit der Approximation des septimalen Ganztons 8/7), dagegen nur 3 Approximationen der kleinen Terz 6/5; 6 Approximationen der übergrossen septimalen Terz 9/7 steht eine einzige Approximation der Naturterz 5/4 gegenüber. Letztere markiert acuh den einzigen Ort der neuntönigen Godzilla-Skala, wo sich ein 5-Limit-Durdreiklang findet

[todo Klangbeispiele, weitere Eigenschaften]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Familie der &amp;lt;strong&amp;gt;Semiphor&amp;lt;/strong&amp;gt;-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Kommas 49/48 (35.6968 Cent, &amp;lt;strong&amp;gt;Slendro-Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt;, &amp;lt;strong&amp;gt;septimale Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;septimaler Sechstelton&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt). Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen den Intervallen 7/6 (septimale kleine Terz) und 8/7 (grosser septimaler Ganzton), also den Intervallen, die in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Obertonreihe"&amp;gt;Obertonreihe&amp;lt;/a&amp;gt; zwischen dem sechsten, dem siebten und dem achten Oberton auftreten. Die Kombination der beiden Intervalle ergibt eine reine Quarte 4/3, bei Temperierung auf dasselbe Intervall wird also eine Quarte in zwei gleiche Teile geteilt. Daraus ist der Name Semiphor hergeleitet, vom englischen semi-fourth (Halb-Quarte) nämlich. Diese temperierte Halbquarte fungiert auch als Generator.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; der Intervalle 7/6, 8/7 und auch 49/48 kommen nur die Primzahlen 2, 3 und 7 vor, die 5 fehlt. Eine Temperatur der Semiphor-Familie kann daher auf den &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; der Primzahlen 2, 3 und 7, unter Ausschluss der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz 5/4&amp;lt;/a&amp;gt;, beschränkt sein. Für diese Temperatur wurde der leicht modifizierte Name &amp;lt;strong&amp;gt;Semaphor&amp;lt;/strong&amp;gt; geprägt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine naheliegende Erweiterung für den Einbezug der Primzahl 5 ist das zusätzliche Austemperieren des allbekannten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonischen Kommas 81/80&amp;lt;/a&amp;gt;, was dann eine Variante der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmungsfamilie ergibt. Naheliegend unter anderem deshalb, weil zwei Schritte eines Semiphor-Generators eine Approximation der reinen Quarte bilden, welche als Oktavkomplement der Quinte auch als mitteltöniger Generator fungieren kann. Entsprechend wird die Approximation der Naturterz 5/4 durch Aufeinanderschichten von 8 Generatorschritten erreicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die solcherart durch die Kommas 49/48 und 81/80 definierte 7-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur wurde auf den Namen &amp;lt;strong&amp;gt;Godzilla&amp;lt;/strong&amp;gt; getauft. Eine besonders gute &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Realisierung von Godzilla ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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An Semiphor-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; gibt es: eine fünftönige der Form 4L 1s sowie eine neuntönige der Form 5L 4s und eine vierzehntönige der Form 5L 9s. Die neuntönige ist dabei nicht &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rothenberg-proper"&amp;gt;Rothenberg-proper&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In 19edo präsentiert sich die neuntönige Semiphor- bzw. Godzilla-Skala mit den Intervallschritten 3 3 1 3 1 3 1 3 1. Sie enthält eine traditionelle pentatonische Skala (5 3 5 3 3 in 19edo) als Teilmenge, jedoch keine herkömmliche diatonische.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Entsprechend ihrer Konstruktion sind Godzilla-Skalen reich an 7-Limit-Intervallen und -Dreiklängen, jedoch vergleichsweise arm an den von der traditionellen klassischen Musik her bekannten 5-Limit-Harmonien. Die neuntönige Godzilla-Skala z. B. enthält von ihrem Generator her 8 Approximationen der kleinen septimalen Terz 7/6 (temperiert identisch mit der Approximation des septimalen Ganztons 8/7), dagegen nur 3 Approximationen der kleinen Terz 6/5; 6 Approximationen der übergrossen septimalen Terz 9/7 steht eine einzige Approximation der Naturterz 5/4 gegenüber. Letztere markiert acuh den einzigen Ort der neuntönigen Godzilla-Skala, wo sich ein 5-Limit-Durdreiklang findet&amp;lt;br /&amp;gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der **Semiphor**-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Kommas 49/48 (35.6968 Cent, **Slendro-Diësis**, **septimale Diësis** oder **septimaler Sechstelton** genannt). Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen den Intervallen 7/6 (septimale kleine Terz) und 8/7 (grosser septimaler Ganzton), also den Intervallen, die in der [[Obertonreihe]] zwischen dem sechsten, dem siebten und dem achten Oberton auftreten. Die Kombination der beiden Intervalle ergibt eine reine Quarte 4/3, bei Temperierung auf dasselbe Intervall wird also eine Quarte in zwei gleiche Teile geteilt. Daraus ist der Name Semiphor hergeleitet, vom englischen semi-fourth (Halb-Quarte) nämlich. Diese temperierte Halbquarte fungiert auch als Generator.

In der [[Primfaktorzerlegung]] der Intervalle 7/6, 8/7 und auch 49/48 kommen nur die Primzahlen 2, 3 und 7 vor, die 5 fehlt. Eine Temperatur der Semiphor-Familie kann daher auf den [[Intervallraum]] der Primzahlen 2, 3 und 7, unter Ausschluss der [[Naturterz|Naturterz 5/4]], beschränkt sein. Für diese Temperatur wurde der leicht modifizierte Name **Semaphor** geprägt.

Eine naheliegende Erweiterung für den Einbezug der Primzahl 5 ist das zusätzliche Austemperieren des allbekannten [[Syntonisches Komma|syntonischen Kommas 81/80]], was dann eine Variante der [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmungsfamilie ergibt. Naheliegend unter anderem deshalb, weil zwei Schritte eines Semiphor-Generators eine Approximation der reinen Quarte bilden, welche als Oktavkomplement der Quinte auch als mitteltöniger Generator fungieren kann. Entsprechend wird die Approximation der Naturterz 5/4 durch Aufeinanderschichten von 8 Generatorschritten erreicht.

Die solcherart durch die Kommas 49/48 und 81/80 definierte 7-[[Limit]]-Temperatur wurde auf den Namen **Godzilla** getauft. Eine besonders gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung von Godzilla ist [[19edo]].

An Semiphor-[[MOS-Skalen]] gibt es: eine fünftönige der Form 4L 1s sowie eine neuntönige der Form 5L 4s und eine vierzehntönige der Form 5L 9s. Die neuntönige ist dabei nicht [[Rothenberg-proper]].

In 19edo präsentiert sich die neuntönige Semiphor- bzw. Godzilla-Skala mit den Intervallschritten 3 3 1 3 1 3 1 3 1. Sie enthält eine traditionelle pentatonische Skala (5 3 5 3 3 in 19edo) als Teilmenge, jedoch keine herkömmliche diatonische.

Entsprechend ihrer Konstruktion sind Godzilla-Skalen reich an 7-Limit-Intervallen und -Dreiklängen, jedoch vergleichsweise arm an den von der traditionellen klassischen Musik her bekannten 5-Limit-Harmonien. Die neuntönige Godzilla-Skala z. B. enthält von ihrem Generator her 8 Approximationen der kleinen septimalen Terz 7/6 (temperiert identisch mit der Approximation des septimalen Ganztons 8/7), dagegen nur 3 Approximationen der kleinen Terz 6/5; 6 Approximationen der übergrossen septimalen Terz 9/7 steht eine einzige Approximation der Naturterz 5/4 gegenüber.

[todo Klangbeispiele, weitere Eigenschaften]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Familie der &amp;lt;strong&amp;gt;Semiphor&amp;lt;/strong&amp;gt;-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Kommas 49/48 (35.6968 Cent, &amp;lt;strong&amp;gt;Slendro-Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt;, &amp;lt;strong&amp;gt;septimale Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;septimaler Sechstelton&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt). Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen den Intervallen 7/6 (septimale kleine Terz) und 8/7 (grosser septimaler Ganzton), also den Intervallen, die in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Obertonreihe"&amp;gt;Obertonreihe&amp;lt;/a&amp;gt; zwischen dem sechsten, dem siebten und dem achten Oberton auftreten. Die Kombination der beiden Intervalle ergibt eine reine Quarte 4/3, bei Temperierung auf dasselbe Intervall wird also eine Quarte in zwei gleiche Teile geteilt. Daraus ist der Name Semiphor hergeleitet, vom englischen semi-fourth (Halb-Quarte) nämlich. Diese temperierte Halbquarte fungiert auch als Generator.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; der Intervalle 7/6, 8/7 und auch 49/48 kommen nur die Primzahlen 2, 3 und 7 vor, die 5 fehlt. Eine Temperatur der Semiphor-Familie kann daher auf den &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; der Primzahlen 2, 3 und 7, unter Ausschluss der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz 5/4&amp;lt;/a&amp;gt;, beschränkt sein. Für diese Temperatur wurde der leicht modifizierte Name &amp;lt;strong&amp;gt;Semaphor&amp;lt;/strong&amp;gt; geprägt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine naheliegende Erweiterung für den Einbezug der Primzahl 5 ist das zusätzliche Austemperieren des allbekannten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonischen Kommas 81/80&amp;lt;/a&amp;gt;, was dann eine Variante der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmungsfamilie ergibt. Naheliegend unter anderem deshalb, weil zwei Schritte eines Semiphor-Generators eine Approximation der reinen Quarte bilden, welche als Oktavkomplement der Quinte auch als mitteltöniger Generator fungieren kann. Entsprechend wird die Approximation der Naturterz 5/4 durch Aufeinanderschichten von 8 Generatorschritten erreicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die solcherart durch die Kommas 49/48 und 81/80 definierte 7-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur wurde auf den Namen &amp;lt;strong&amp;gt;Godzilla&amp;lt;/strong&amp;gt; getauft. Eine besonders gute &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Realisierung von Godzilla ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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An Semiphor-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; gibt es: eine fünftönige der Form 4L 1s sowie eine neuntönige der Form 5L 4s und eine vierzehntönige der Form 5L 9s. Die neuntönige ist dabei nicht &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rothenberg-proper"&amp;gt;Rothenberg-proper&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In 19edo präsentiert sich die neuntönige Semiphor- bzw. Godzilla-Skala mit den Intervallschritten 3 3 1 3 1 3 1 3 1. Sie enthält eine traditionelle pentatonische Skala (5 3 5 3 3 in 19edo) als Teilmenge, jedoch keine herkömmliche diatonische.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Entsprechend ihrer Konstruktion sind Godzilla-Skalen reich an 7-Limit-Intervallen und -Dreiklängen, jedoch vergleichsweise arm an den von der traditionellen klassischen Musik her bekannten 5-Limit-Harmonien. Die neuntönige Godzilla-Skala z. B. enthält von ihrem Generator her 8 Approximationen der kleinen septimalen Terz 7/6 (temperiert identisch mit der Approximation des septimalen Ganztons 8/7), dagegen nur 3 Approximationen der kleinen Terz 6/5; 6 Approximationen der übergrossen septimalen Terz 9/7 steht eine einzige Approximation der Naturterz 5/4 gegenüber.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der **Semiphor**-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Kommas 49/48 (35.6968 Cent, **Slendro-Diësis**, **septimale Diësis** oder **septimaler Sechstelton** genannt). Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen den Intervallen 7/6 (septimale kleine Terz) und 8/7 (grosser septimaler Ganzton), also den Intervallen, die in der [[Obertonreihe]] zwischen dem sechsten, dem siebten und dem achten Oberton auftreten. Die Kombination der beiden Intervalle ergibt eine reine Quarte 4/3, bei Temperierung auf dasselbe Intervall wird also eine Quarte in zwei gleiche Teile geteilt. Daraus ist der Name Semiphor hergeleitet, vom englischen semi-fourth (Halb-Quarte) nämlich. Diese temperierte Halbquarte fungiert auch als Generator.

In der [[Primfaktorzerlegung]] der Intervalle 7/6, 8/7 und auch 49/48 kommen nur die Primzahlen 2, 3 und 7 vor, die 5 fehlt. Eine Temperatur der Semiphor-Familie kann daher auf den [[Intervallraum]] der Primzahlen 2, 3 und 7, unter Ausschluss der [[Naturterz|Naturterz 5/4]], beschränkt sein. Für diese Temperatur wurde der leicht modifizierte Name **Semaphor** geprägt.

Eine naheliegende Erweiterung für den Einbezug der Primzahl 5 ist das zusätzliche Austemperieren des allbekannten [[Syntonisches Komma|syntonischen Kommas 81/80]], was dann eine Variante der [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmungsfamilie ergibt. Naheliegend unter anderem deshalb, weil zwei Schritte eines Semiphor-Generators eine Approximation der reinen Quarte bilden, welche als Oktavkomplement der Quinte auch als mitteltöniger Generator fungieren kann. Entsprechend wird die Approximation der Naturterz 5/4 durch Aufeinanderschichten von 8 Generatorschritten erreicht.

Die solcherart durch die Kommas 49/48 und 81/80 definierte 7-[[Limit]]-Temperatur wurde auf den Namen **Godzilla** getauft. Eine besonders gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung von Godzilla ist [[19edo]].

An Semiphor-[[MOS-Skalen]] gibt es: eine fünftönige der Form 4L 1s sowie eine neuntönige der Form 5L 4s und eine vierzehntönige der Form 5L 9s. Die neuntönige ist dabei nicht [[Rothenberg-proper]].

In 19edo präsentiert sich die neuntönige Semiphor- bzw. Godzilla-Skala mit den Intervallschritten 3 3 1 3 1 3 1 3 1. Sie enthält eine traditionelle pentatonische Skala (5 3 5 3 3 in 19edo) als Teilmenge, jedoch keine herkömmliche diatonische.

Entsprechend ihrer Konstruktion sind Godzilla-Skalen reich an 7-Limit-Intervallen und -Dreiklängen, jedoch vergleichsweise arm an den von der traditionellen klassischen Musik her bekannten 5-Limit-Harmonien. Die neuntönige Godzilla-Skala z. B. enthält von ihrem Generator her 8 Approximationen der kleinen septimalen Terz (temperiert identisch mit der Approximation des septimalen Ganztons 8/7, dagegen nur 3 Approximationen der kleinen Terz 6/5; 6 Approximationen der übergrossen septimalen Terz 9/7 steht eine einzige Approximation der Naturterz 5/4 gegenüber.

[todo Klangbeispiele, weitere Eigenschaften]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Semiphor, Semaphor, Godzilla&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Semaphore%20and%20Godzilla"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Familie der &amp;lt;strong&amp;gt;Semiphor&amp;lt;/strong&amp;gt;-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Kommas 49/48 (35.6968 Cent, &amp;lt;strong&amp;gt;Slendro-Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt;, &amp;lt;strong&amp;gt;septimale Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;septimaler Sechstelton&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt). Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen den Intervallen 7/6 (septimale kleine Terz) und 8/7 (grosser septimaler Ganzton), also den Intervallen, die in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Obertonreihe"&amp;gt;Obertonreihe&amp;lt;/a&amp;gt; zwischen dem sechsten, dem siebten und dem achten Oberton auftreten. Die Kombination der beiden Intervalle ergibt eine reine Quarte 4/3, bei Temperierung auf dasselbe Intervall wird also eine Quarte in zwei gleiche Teile geteilt. Daraus ist der Name Semiphor hergeleitet, vom englischen semi-fourth (Halb-Quarte) nämlich. Diese temperierte Halbquarte fungiert auch als Generator.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; der Intervalle 7/6, 8/7 und auch 49/48 kommen nur die Primzahlen 2, 3 und 7 vor, die 5 fehlt. Eine Temperatur der Semiphor-Familie kann daher auf den &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; der Primzahlen 2, 3 und 7, unter Ausschluss der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz 5/4&amp;lt;/a&amp;gt;, beschränkt sein. Für diese Temperatur wurde der leicht modifizierte Name &amp;lt;strong&amp;gt;Semaphor&amp;lt;/strong&amp;gt; geprägt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine naheliegende Erweiterung für den Einbezug der Primzahl 5 ist das zusätzliche Austemperieren des allbekannten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonischen Kommas 81/80&amp;lt;/a&amp;gt;, was dann eine Variante der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmungsfamilie ergibt. Naheliegend unter anderem deshalb, weil zwei Schritte eines Semiphor-Generators eine Approximation der reinen Quarte bilden, welche als Oktavkomplement der Quinte auch als mitteltöniger Generator fungieren kann. Entsprechend wird die Approximation der Naturterz 5/4 durch Aufeinanderschichten von 8 Generatorschritten erreicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die solcherart durch die Kommas 49/48 und 81/80 definierte 7-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur wurde auf den Namen &amp;lt;strong&amp;gt;Godzilla&amp;lt;/strong&amp;gt; getauft. Eine besonders gute &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Realisierung von Godzilla ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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An Semiphor-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; gibt es: eine fünftönige der Form 4L 1s sowie eine neuntönige der Form 5L 4s und eine vierzehntönige der Form 5L 9s. Die neuntönige ist dabei nicht &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rothenberg-proper"&amp;gt;Rothenberg-proper&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In 19edo präsentiert sich die neuntönige Semiphor- bzw. Godzilla-Skala mit den Intervallschritten 3 3 1 3 1 3 1 3 1. Sie enthält eine traditionelle pentatonische Skala (5 3 5 3 3 in 19edo) als Teilmenge, jedoch keine herkömmliche diatonische.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Entsprechend ihrer Konstruktion sind Godzilla-Skalen reich an 7-Limit-Intervallen und -Dreiklängen, jedoch vergleichsweise arm an den von der traditionellen klassischen Musik her bekannten 5-Limit-Harmonien. Die neuntönige Godzilla-Skala z. B. enthält von ihrem Generator her 8 Approximationen der kleinen septimalen Terz (temperiert identisch mit der Approximation des septimalen Ganztons 8/7, dagegen nur 3 Approximationen der kleinen Terz 6/5; 6 Approximationen der übergrossen septimalen Terz 9/7 steht eine einzige Approximation der Naturterz 5/4 gegenüber.&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der **Semiphor**-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Kommas 49/48 (35.6968 Cent, **Slendro-Diësis**, **septimale Diësis** oder **septimaler Sechstelton** genannt). Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen den Intervallen 7/6 (septimale kleine Terz) und 8/7 (grosser septimaler Ganzton), also den Intervallen, die in der [[Obertonreihe]] zwischen dem sechsten, dem siebten und dem achten Oberton auftreten. Die Kombination der beiden Intervalle ergibt eine reine Quarte 4/3, bei Temperierung auf dasselbe Intervall wird also eine Quarte in zwei gleiche Teile geteilt. Daraus ist der Name Semiphor hergeleitet, vom englischen semi-fourth (Halb-Quarte) nämlich. Diese temperierte Halbquarte fungiert auch als Generator.

In der [[Primfaktorzerlegung]] der Intervalle 7/6, 8/7 und auch 49/48 kommen nur die Primzahlen 2, 3 und 7 vor, die 5 fehlt. Eine Temperatur der Semiphor-Familie kann daher auf den [[Intervallraum]] der Primzahlen 2, 3 und 7, unter Ausschluss der [[Naturterz|Naturterz 5/4]], beschränkt sein. Für diese Temperatur wurde der leicht modifizierte Name **Semaphor** geprägt.

Eine naheliegende Erweiterung für den Einbezug der Primzahl 5 ist das zusätzliche Austemperieren des allbekannten [[Syntonisches Komma|syntonischen Kommas 81/80]], was dann eine Variante der [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmungsfamilie ergibt. Naheliegend unter anderem deshalb, weil zwei Schritte eines Semiphor-Generators eine Approximation der reinen Quarte bilden, welche als Oktavkomplement der Quinte auch als mitteltöniger Generator fungieren kann. Entsprechend wird die Approximation der Naturterz 5/4 durch Aufeinanderschichten von 8 Generatorschritten erreicht.

Die solcherart durch die Kommas 49/48 und 81/80 definierte 7-[[Limit]]-Temperatur wurde auf den Namen **Godzilla** getauft. Eine besonders gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung von Godzilla ist [[19edo]].

An Semiphor-[[MOS-Skalen]] gibt es: eine fünftönige der Form 4L 1s sowie eine neuntönige der Form 5L 4s. Die neuntönige ist nicht [[Rothenberg-proper]].

In 19edo präsentiert sich die neuntönige Semiphor- bzw. Godzilla-Skala mit den Intervallschritten 3 3 1 3 1 3 1 3 1. Sie enthält eine traditionelle pentatonische Skala (5 3 5 3 3 in 19edo) als Teilmenge, jedoch keine herkömmliche diatonische.

[todo Klangbeispiele, weitere Eigenschaften]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Semiphor, Semaphor, Godzilla&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Semaphore%20and%20Godzilla"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Familie der &amp;lt;strong&amp;gt;Semiphor&amp;lt;/strong&amp;gt;-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Kommas 49/48 (35.6968 Cent, &amp;lt;strong&amp;gt;Slendro-Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt;, &amp;lt;strong&amp;gt;septimale Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;septimaler Sechstelton&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt). Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen den Intervallen 7/6 (septimale kleine Terz) und 8/7 (grosser septimaler Ganzton), also den Intervallen, die in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Obertonreihe"&amp;gt;Obertonreihe&amp;lt;/a&amp;gt; zwischen dem sechsten, dem siebten und dem achten Oberton auftreten. Die Kombination der beiden Intervalle ergibt eine reine Quarte 4/3, bei Temperierung auf dasselbe Intervall wird also eine Quarte in zwei gleiche Teile geteilt. Daraus ist der Name Semiphor hergeleitet, vom englischen semi-fourth (Halb-Quarte) nämlich. Diese temperierte Halbquarte fungiert auch als Generator.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; der Intervalle 7/6, 8/7 und auch 49/48 kommen nur die Primzahlen 2, 3 und 7 vor, die 5 fehlt. Eine Temperatur der Semiphor-Familie kann daher auf den &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; der Primzahlen 2, 3 und 7, unter Ausschluss der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz 5/4&amp;lt;/a&amp;gt;, beschränkt sein. Für diese Temperatur wurde der leicht modifizierte Name &amp;lt;strong&amp;gt;Semaphor&amp;lt;/strong&amp;gt; geprägt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine naheliegende Erweiterung für den Einbezug der Primzahl 5 ist das zusätzliche Austemperieren des allbekannten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonischen Kommas 81/80&amp;lt;/a&amp;gt;, was dann eine Variante der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmungsfamilie ergibt. Naheliegend unter anderem deshalb, weil zwei Schritte eines Semiphor-Generators eine Approximation der reinen Quarte bilden, welche als Oktavkomplement der Quinte auch als mitteltöniger Generator fungieren kann. Entsprechend wird die Approximation der Naturterz 5/4 durch Aufeinanderschichten von 8 Generatorschritten erreicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die solcherart durch die Kommas 49/48 und 81/80 definierte 7-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur wurde auf den Namen &amp;lt;strong&amp;gt;Godzilla&amp;lt;/strong&amp;gt; getauft. Eine besonders gute &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Realisierung von Godzilla ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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An Semiphor-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; gibt es: eine fünftönige der Form 4L 1s sowie eine neuntönige der Form 5L 4s. Die neuntönige ist nicht &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rothenberg-proper"&amp;gt;Rothenberg-proper&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In 19edo präsentiert sich die neuntönige Semiphor- bzw. Godzilla-Skala mit den Intervallschritten 3 3 1 3 1 3 1 3 1. Sie enthält eine traditionelle pentatonische Skala (5 3 5 3 3 in 19edo) als Teilmenge, jedoch keine herkömmliche diatonische.&amp;lt;br /&amp;gt;
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[todo Klangbeispiele, weitere Eigenschaften]&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der **Semiphor**-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Kommas 49/48 (35.6968 Cent, **Slendro-Diësis**, **septimale Diësis** oder **septimaler Sechstelton** genannt). Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen den Intervallen 7/6 (septimale kleine Terz) und 8/7 (grosser septimaler Ganzton), also den Intervallen, die in der [[Obertonreihe]] zwischen dem sechsten, dem siebten und dem achten Oberton auftreten. Die Kombination der beiden Intervalle ergibt eine reine Quarte 4/3, bei Temperierung auf dasselbe Intervall wird also eine Quarte in zwei gleiche Teile geteilt. Daraus ist der Name Semiphor hergeleitet, vom englischen semi-forth (Halb-Quarte) nämlich. Diese temperierte Halbquarte fungiert auch als Generator.

In der [[Primfaktorzerlegung]] der Intervalle 7/6, 8/7 und auch 49/48 kommen nur die Primzahlen 2, 3 und 7 vor, die 5 fehlt. Eine Temperatur der Semiphor-Familie kann daher auf den [[Intervallraum]] der Primzahlen 2, 3 und 7, unter Ausschluss der [[Naturterz|Naturterz 5/4]], beschränkt sein. Für diese Temperatur wurde der leicht modifizierte Name **Semaphor** geprägt.

Eine naheliegende Erweiterung für den Einbezug der Primzahl 5 ist das zusätzliche Austemperieren des allbekannten [[Syntonisches Komma|syntonischen Kommas 81/80]], was dann eine Variante der [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmungsfamilie ergibt. Naheliegend unter anderem deshalb, weil zwei Schritte eines Semiphor-Generators eine Approximation der reinen Quarte bilden, welche als Oktavkomplement der Quinte auch als mitteltöniger Generator fungieren kann. Entsprechend wird die Approximation der Naturterz 5/4 durch Aufeinanderschichten von 8 Generatorschritten erreicht.

Die solcherart durch die Kommas 49/48 und 81/80 definierte 7-[[Limit]]-Temperatur wurde auf den Namen **Godzilla** getauft. Eine besonders gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung von Godzilla ist [[19edo]].

An Semiphor-[[MOS-Skalen]] gibt es: eine fünftönige der Form 4L 1s sowie eine neuntönige der Form 5L 4s. Die neuntönige ist nicht [[Rothenberg-proper]].

In 19edo präsentiert sich die neuntönige Semiphor- bzw. Godzilla-Skala mit den Intervallschritten 3 3 1 3 1 3 1 3 1. Sie enthält eine traditionelle pentatonische Skala (5 3 5 3 3 in 19edo) als Teilmenge, jedoch keine herkömmliche diatonische.

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Die Familie der &amp;lt;strong&amp;gt;Semiphor&amp;lt;/strong&amp;gt;-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Kommas 49/48 (35.6968 Cent, &amp;lt;strong&amp;gt;Slendro-Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt;, &amp;lt;strong&amp;gt;septimale Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;septimaler Sechstelton&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt). Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen den Intervallen 7/6 (septimale kleine Terz) und 8/7 (grosser septimaler Ganzton), also den Intervallen, die in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Obertonreihe"&amp;gt;Obertonreihe&amp;lt;/a&amp;gt; zwischen dem sechsten, dem siebten und dem achten Oberton auftreten. Die Kombination der beiden Intervalle ergibt eine reine Quarte 4/3, bei Temperierung auf dasselbe Intervall wird also eine Quarte in zwei gleiche Teile geteilt. Daraus ist der Name Semiphor hergeleitet, vom englischen semi-forth (Halb-Quarte) nämlich. Diese temperierte Halbquarte fungiert auch als Generator.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; der Intervalle 7/6, 8/7 und auch 49/48 kommen nur die Primzahlen 2, 3 und 7 vor, die 5 fehlt. Eine Temperatur der Semiphor-Familie kann daher auf den &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; der Primzahlen 2, 3 und 7, unter Ausschluss der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz 5/4&amp;lt;/a&amp;gt;, beschränkt sein. Für diese Temperatur wurde der leicht modifizierte Name &amp;lt;strong&amp;gt;Semaphor&amp;lt;/strong&amp;gt; geprägt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine naheliegende Erweiterung für den Einbezug der Primzahl 5 ist das zusätzliche Austemperieren des allbekannten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonischen Kommas 81/80&amp;lt;/a&amp;gt;, was dann eine Variante der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmungsfamilie ergibt. Naheliegend unter anderem deshalb, weil zwei Schritte eines Semiphor-Generators eine Approximation der reinen Quarte bilden, welche als Oktavkomplement der Quinte auch als mitteltöniger Generator fungieren kann. Entsprechend wird die Approximation der Naturterz 5/4 durch Aufeinanderschichten von 8 Generatorschritten erreicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die solcherart durch die Kommas 49/48 und 81/80 definierte 7-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur wurde auf den Namen &amp;lt;strong&amp;gt;Godzilla&amp;lt;/strong&amp;gt; getauft. Eine besonders gute &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Realisierung von Godzilla ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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An Semiphor-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; gibt es: eine fünftönige der Form 4L 1s sowie eine neuntönige der Form 5L 4s. Die neuntönige ist nicht &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rothenberg-proper"&amp;gt;Rothenberg-proper&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In 19edo präsentiert sich die neuntönige Semiphor- bzw. Godzilla-Skala mit den Intervallschritten 3 3 1 3 1 3 1 3 1. Sie enthält eine traditionelle pentatonische Skala (5 3 5 3 3 in 19edo) als Teilmenge, jedoch keine herkömmliche diatonische.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[todo Klangbeispiele, weitere Eigenschaften]&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-04-04 04:45:43 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Semaphore and Godzilla|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der **Semiphor**-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Kommas 49/48 (35.6968 Cent, **Slendro-Diësis**, **septimale Diësis** oder **septimaler Sechstelton** genannt). Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen den Intervallen 7/6 (septimale kleine Terz) und 8/7 (grosser septimaler Ganzton), also den Intervallen, die in der [[Obertonreihe]] zwischen dem sechsten, dem siebten und dem achten Oberton auftreten. Die Kombination der beiden Intervalle ergibt eine reine Quarte 4/3, bei Temperierung auf dasselbe Intervall wird also eine Quarte in zwei gleiche Teile geteilt. Daraus ist der Name Semiphor hergeleitet, vom englischen semi-forth (Halb-Quarte) nämlich. Diese temperierte Halbquarte fungiert auch als Generator.

In der [[Primfaktorzerlegung]] der Intervalle 7/6, 8/7 und auch 49/48 kommen nur die Primzahlen 2, 3 und 7 vor, die 5 fehlt. Eine Temperatur der Semiphor-Familie kann daher auf den [[Intervallraum]] der Primzahlen 2, 3 und 7, unter Ausschluss der [[Naturterz|Naturterz 5/4]], beschränkt sein. Für diese Temperatur wurde der leicht modifizierte Name **Semaphor** geprägt.

Eine naheliegende Erweiterung für den Einbezug der Primzahl 5 ist das zusätzliche Austemperieren des allbekannten [[Syntonisches Komma|syntonischen Kommas 81/80]], was dann eine Variante der [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmungsfamilie ergibt. Naheliegend unter anderem deshalb, weil zwei Schritte eines Semiphor-Generators eine Approximation der reinen Quarte bilden, welche als Oktavkomplement der Quinte auch als mitteltöniger Generator fungieren kann. Entsprechend wird die Approximation der Naturterz 5/4 durch Aufeinanderschichten von 8 Generatorschritten erreicht.

Die solcherart durch die Kommas 49/48 und 81/80 definierte 7-[[Limit]]-Temperatur wurde auf den Namen **Godzilla** getauft. Eine besonders gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung von Godzilla ist [[19edo]].

[todo weitere Eigenschaften, MOS-Skalen, weitere EDOs]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Semiphor, Semaphor, Godzilla&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Semaphore%20and%20Godzilla"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Familie der &amp;lt;strong&amp;gt;Semiphor&amp;lt;/strong&amp;gt;-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Kommas 49/48 (35.6968 Cent, &amp;lt;strong&amp;gt;Slendro-Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt;, &amp;lt;strong&amp;gt;septimale Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;septimaler Sechstelton&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt). Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen den Intervallen 7/6 (septimale kleine Terz) und 8/7 (grosser septimaler Ganzton), also den Intervallen, die in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Obertonreihe"&amp;gt;Obertonreihe&amp;lt;/a&amp;gt; zwischen dem sechsten, dem siebten und dem achten Oberton auftreten. Die Kombination der beiden Intervalle ergibt eine reine Quarte 4/3, bei Temperierung auf dasselbe Intervall wird also eine Quarte in zwei gleiche Teile geteilt. Daraus ist der Name Semiphor hergeleitet, vom englischen semi-forth (Halb-Quarte) nämlich. Diese temperierte Halbquarte fungiert auch als Generator.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; der Intervalle 7/6, 8/7 und auch 49/48 kommen nur die Primzahlen 2, 3 und 7 vor, die 5 fehlt. Eine Temperatur der Semiphor-Familie kann daher auf den &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; der Primzahlen 2, 3 und 7, unter Ausschluss der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz 5/4&amp;lt;/a&amp;gt;, beschränkt sein. Für diese Temperatur wurde der leicht modifizierte Name &amp;lt;strong&amp;gt;Semaphor&amp;lt;/strong&amp;gt; geprägt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine naheliegende Erweiterung für den Einbezug der Primzahl 5 ist das zusätzliche Austemperieren des allbekannten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonischen Kommas 81/80&amp;lt;/a&amp;gt;, was dann eine Variante der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmungsfamilie ergibt. Naheliegend unter anderem deshalb, weil zwei Schritte eines Semiphor-Generators eine Approximation der reinen Quarte bilden, welche als Oktavkomplement der Quinte auch als mitteltöniger Generator fungieren kann. Entsprechend wird die Approximation der Naturterz 5/4 durch Aufeinanderschichten von 8 Generatorschritten erreicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die solcherart durch die Kommas 49/48 und 81/80 definierte 7-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur wurde auf den Namen &amp;lt;strong&amp;gt;Godzilla&amp;lt;/strong&amp;gt; getauft. Eine besonders gute &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Realisierung von Godzilla ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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[todo weitere Eigenschaften, MOS-Skalen, weitere EDOs]&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der **Semiphor**-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Kommas 49/48 (35.6968 Cent, **Slendro-Diësis**, **septimale Diësis** oder **septimaler Sechstelton** genannt). Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen den Intervallen 7/6 (septimale kleine Terz) und 8/7 (grosser septimaler Ganzton), also den Intervallen, die in der [[Obertonreihe]] zwischen dem sechsten, dem siebten und dem achten Oberton auftreten. Die Kombination der beiden Intervalle ergibt eine reine Quarte 4/3, bei Temperierung auf dasselbe Intervall wird also eine Quarte in zwei gleiche Teile geteilt. Daraus ist der Name Semiphor hergeleitet, vom englischen semi-forth (Halb-Quarte) nämlich. Diese temperierte Halbquarte fungiert auch als Generator.

In der [[Primfaktorzerlegung]] der Intervalle 7/6, 8/7 und auch 49/48 kommen nur die Primzahlen 2, 3 und 7 vor, die 5 fehlt. Eine Temperatur der Semiphor-Familie kann daher auf den [[Intervallraum]] der Primzahlen 2, 3 und 7, unter Ausschluss der [[Naturterz|Naturterz 5/4]], beschränkt sein. Für diese Temperatur wurde der leicht modifizierte Name **Semaphor** geprägt.

Eine naheliegende Erweiterung für den Einbezug der Primzahl 5 ist das zusätzliche Austemperieren des allbekannten [[Syntonisches Komma|syntonischen Kommas 81/80]], was dann eine Variante der [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmungsfamilie ergibt. Naheliegend unter anderem deshalb, weil zwei Schritte eines Semiphor-Generators eine Approximation der reinen Quarte bilden, welche als Oktavkomplement der Quinte auch als mitteltöniger Generator fungieren kann. Entsprechend wird die Approximation der Naturterz 5/4 durch Aufeinanderschichten von 8 Generatorschritten erreicht.

Die solcherart durch die Kommas 49/48 und 81/80 definierte 7-[[Limit]]-Temperatur wurde auf den Namen **Godzilla** getauft. Eine besonders gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung von Godzilla ist [[19edo]].

[todo weitere Eigenchaften, MOS-Skalen, weitere EDOs]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Familie der &amp;lt;strong&amp;gt;Semiphor&amp;lt;/strong&amp;gt;-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Kommas 49/48 (35.6968 Cent, &amp;lt;strong&amp;gt;Slendro-Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt;, &amp;lt;strong&amp;gt;septimale Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;septimaler Sechstelton&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt). Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen den Intervallen 7/6 (septimale kleine Terz) und 8/7 (grosser septimaler Ganzton), also den Intervallen, die in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Obertonreihe"&amp;gt;Obertonreihe&amp;lt;/a&amp;gt; zwischen dem sechsten, dem siebten und dem achten Oberton auftreten. Die Kombination der beiden Intervalle ergibt eine reine Quarte 4/3, bei Temperierung auf dasselbe Intervall wird also eine Quarte in zwei gleiche Teile geteilt. Daraus ist der Name Semiphor hergeleitet, vom englischen semi-forth (Halb-Quarte) nämlich. Diese temperierte Halbquarte fungiert auch als Generator.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; der Intervalle 7/6, 8/7 und auch 49/48 kommen nur die Primzahlen 2, 3 und 7 vor, die 5 fehlt. Eine Temperatur der Semiphor-Familie kann daher auf den &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; der Primzahlen 2, 3 und 7, unter Ausschluss der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz 5/4&amp;lt;/a&amp;gt;, beschränkt sein. Für diese Temperatur wurde der leicht modifizierte Name &amp;lt;strong&amp;gt;Semaphor&amp;lt;/strong&amp;gt; geprägt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine naheliegende Erweiterung für den Einbezug der Primzahl 5 ist das zusätzliche Austemperieren des allbekannten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonischen Kommas 81/80&amp;lt;/a&amp;gt;, was dann eine Variante der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmungsfamilie ergibt. Naheliegend unter anderem deshalb, weil zwei Schritte eines Semiphor-Generators eine Approximation der reinen Quarte bilden, welche als Oktavkomplement der Quinte auch als mitteltöniger Generator fungieren kann. Entsprechend wird die Approximation der Naturterz 5/4 durch Aufeinanderschichten von 8 Generatorschritten erreicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die solcherart durch die Kommas 49/48 und 81/80 definierte 7-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur wurde auf den Namen &amp;lt;strong&amp;gt;Godzilla&amp;lt;/strong&amp;gt; getauft. Eine besonders gute &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Realisierung von Godzilla ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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[todo weitere Eigenchaften, MOS-Skalen, weitere EDOs]&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der **Semiphor**-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Kommas 49/48 (35.6968 Cent, **Slendro-Diësis**, **septimale Diësis** oder **septimaler Sechstelton** genannt). Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen den Intervallen 7/6 (septimale kleine Terz) und 8/7 (grosser septimaler Ganzton), also den Intervallen, die in der [[Obertonreihe]] zwischen dem sechsten, dem siebten und dem achten Oberton auftreten. Die Kombination der beiden Intervalle ergibt eine reine Quarte 4/3, bei Temperierung auf dasselbe Intervall wird also eine Quarte in zwei gleiche Teile geteilt. Daraus ist der Name Semiphor hergeleitet, vom englischen semi-forth (Halb-Quarte) nämlich. Diese temperierte Halbquarte fungiert auch als Generator.

In der [[Primfaktorzerlegung]] der Intervalle 7/6, 8/7 und auch 49/48 kommen nur die Primzahlen 2, 3 und 7 vor, die 5 fehlt. Eine Temperatur der Semiphor-Familie kann daher auf den [[Intervallraum]] der Primzahlen 2, 3 und 7, unter Ausschluss der [[Naturterz|Naturterz 5/4]], beschränkt sein. Für diese Temperatur wurde der leicht modifizierte Name **Semaphor** geprägt.

Eine naheliegende Erweiterung für den Einbezug der Primzahl 5 ist das zusätzliche Austemperieren des allbekannten [[Syntonisches Komma|syntonischen Kommas 81/80]], was dann eine Variante der [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmungsfamilie ergibt. Naheliegend unter anderem deshalb, weil zwei Schritte eines Semiphor-Generators eine Approximation der reinen Quarte bilden, welche als Oktavkomplement der Quinte auch als mitteltöniger Generator fungieren kann. Entsprechend wird die Aprroximation der Naturterz 5/4 durch Aufeinanderschichten von 8 Generatorschritten erreicht.

Die solcherart durch die Kommas 49/48 und 81/80 definierte 7-[[Limit]]-Temperatur wurde auf den Namen **Godzilla** getauft. Eine besonders gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung von Godzilla ist [[19edo]].

[todo weitere Eigenchaften, MOS-Skalen, weitere EDOs]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Familie der &amp;lt;strong&amp;gt;Semiphor&amp;lt;/strong&amp;gt;-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Kommas 49/48 (35.6968 Cent, &amp;lt;strong&amp;gt;Slendro-Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt;, &amp;lt;strong&amp;gt;septimale Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;septimaler Sechstelton&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt). Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen den Intervallen 7/6 (septimale kleine Terz) und 8/7 (grosser septimaler Ganzton), also den Intervallen, die in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Obertonreihe"&amp;gt;Obertonreihe&amp;lt;/a&amp;gt; zwischen dem sechsten, dem siebten und dem achten Oberton auftreten. Die Kombination der beiden Intervalle ergibt eine reine Quarte 4/3, bei Temperierung auf dasselbe Intervall wird also eine Quarte in zwei gleiche Teile geteilt. Daraus ist der Name Semiphor hergeleitet, vom englischen semi-forth (Halb-Quarte) nämlich. Diese temperierte Halbquarte fungiert auch als Generator.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; der Intervalle 7/6, 8/7 und auch 49/48 kommen nur die Primzahlen 2, 3 und 7 vor, die 5 fehlt. Eine Temperatur der Semiphor-Familie kann daher auf den &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; der Primzahlen 2, 3 und 7, unter Ausschluss der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz 5/4&amp;lt;/a&amp;gt;, beschränkt sein. Für diese Temperatur wurde der leicht modifizierte Name &amp;lt;strong&amp;gt;Semaphor&amp;lt;/strong&amp;gt; geprägt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine naheliegende Erweiterung für den Einbezug der Primzahl 5 ist das zusätzliche Austemperieren des allbekannten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonischen Kommas 81/80&amp;lt;/a&amp;gt;, was dann eine Variante der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmungsfamilie ergibt. Naheliegend unter anderem deshalb, weil zwei Schritte eines Semiphor-Generators eine Approximation der reinen Quarte bilden, welche als Oktavkomplement der Quinte auch als mitteltöniger Generator fungieren kann. Entsprechend wird die Aprroximation der Naturterz 5/4 durch Aufeinanderschichten von 8 Generatorschritten erreicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die solcherart durch die Kommas 49/48 und 81/80 definierte 7-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur wurde auf den Namen &amp;lt;strong&amp;gt;Godzilla&amp;lt;/strong&amp;gt; getauft. Eine besonders gute &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Realisierung von Godzilla ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Semiphor-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Kommas 49/48 (35.6968 Cent, **Slendro-Diësis**, **septimale Diësis** oder **septimaler Sechstelton** genannt). Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen den Intervallen 7/6 (septimale kleine Terz) und 8/7 (grosser septimaler Ganzton), also den Intervallen, die in der [[Obertonreihe]] zwischen dem sechsten, dem siebten und dem achten Oberton auftreten. Die Kombination der beiden Intervalle ergibt eine reine Quarte 4/3, bei Temperierung auf dasselbe Intervall wird also eine Quarte in zwei gleiche Teile geteilt. Daraus ist der Name Semiphor hergeleitet, vom englischen semi-forth (Halb-Quarte) nämlich. Diese temperierte Halbquarte fungiert auch als Generator.

In der [[Primfaktorzerlegung]] der Intervalle 7/6, 8/7 und auch 49/48 kommen nur die Primzahlen 2, 3 und 7 vor, die 5 fehlt. Eine Temperatur der Semiphor-Familie kann daher auf den [[Intervallraum]] der Primzahlen 2, 3 und 7, unter Ausschluss der [[Naturterz|Naturterz 5/4]], beschränkt sein. Für diese Temperatur wurde der leicht modifizierte Name **Semaphor** geprägt.

Eine naheliegende Erweiterung für den Einbezug der Primzahl 5 ist das zusätzliche Austemperieren des allbekannten [[Syntonisches Komma|syntonischen Kommas 81/80]], was dann eine Variante der [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmungsfamilie ergibt. Naheliegend unter anderem deshalb, weil zwei Schritte eines Semiphor-Generators eine Approximation der reinen Quarte bilden, welche als Oktavkomplement der Quinte auch als mitteltöniger Generator fungieren kann. Entsprechend wird die Aprroximation der Naturterz 5/4 durch Aufeinanderschichten von 8 Generatorschritten erreicht.

Die solcherart durch die Kommas 49/48 und 81/80 definierte 7-[[Limit]]-Temperatur wurde auf den Namen **Godzilla** getauft. Eine besonders gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung von Godzilla ist [[19edo]].

[todo weitere Eigenchaften, MOS-Skalen, weitere EDOs]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Die Familie der Semiphor-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Kommas 49/48 (35.6968 Cent, &amp;lt;strong&amp;gt;Slendro-Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt;, &amp;lt;strong&amp;gt;septimale Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;septimaler Sechstelton&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt). Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen den Intervallen 7/6 (septimale kleine Terz) und 8/7 (grosser septimaler Ganzton), also den Intervallen, die in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Obertonreihe"&amp;gt;Obertonreihe&amp;lt;/a&amp;gt; zwischen dem sechsten, dem siebten und dem achten Oberton auftreten. Die Kombination der beiden Intervalle ergibt eine reine Quarte 4/3, bei Temperierung auf dasselbe Intervall wird also eine Quarte in zwei gleiche Teile geteilt. Daraus ist der Name Semiphor hergeleitet, vom englischen semi-forth (Halb-Quarte) nämlich. Diese temperierte Halbquarte fungiert auch als Generator.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; der Intervalle 7/6, 8/7 und auch 49/48 kommen nur die Primzahlen 2, 3 und 7 vor, die 5 fehlt. Eine Temperatur der Semiphor-Familie kann daher auf den &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; der Primzahlen 2, 3 und 7, unter Ausschluss der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz 5/4&amp;lt;/a&amp;gt;, beschränkt sein. Für diese Temperatur wurde der leicht modifizierte Name &amp;lt;strong&amp;gt;Semaphor&amp;lt;/strong&amp;gt; geprägt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine naheliegende Erweiterung für den Einbezug der Primzahl 5 ist das zusätzliche Austemperieren des allbekannten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonischen Kommas 81/80&amp;lt;/a&amp;gt;, was dann eine Variante der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmungsfamilie ergibt. Naheliegend unter anderem deshalb, weil zwei Schritte eines Semiphor-Generators eine Approximation der reinen Quarte bilden, welche als Oktavkomplement der Quinte auch als mitteltöniger Generator fungieren kann. Entsprechend wird die Aprroximation der Naturterz 5/4 durch Aufeinanderschichten von 8 Generatorschritten erreicht.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die solcherart durch die Kommas 49/48 und 81/80 definierte 7-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur wurde auf den Namen &amp;lt;strong&amp;gt;Godzilla&amp;lt;/strong&amp;gt; getauft. Eine besonders gute &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Realisierung von Godzilla ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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[todo weitere Eigenchaften, MOS-Skalen, weitere EDOs]&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Die Familie der Semiphor-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Kommas 49/48 (35.6968 Cent, **Slendro-Diësis**, **septimale Diësis** oder **septimaler Sechstelton** genannt). Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen den Intervallen 7/6 (septimale kleine Terz) und 8/7 (grosser septimaler Ganzton), also den Intervallen, die in der [[Obertonreihe]] zwischen dem sechsten, dem siebten und dem achten Oberton auftreten. Die Kombination der beiden Intervalle ergibt eine reine Quarte 4/3, bei Temperierung auf dasselbe Intervall wird also eine Quarte in zwei gleiche Teile geteilt. Daraus ist der Name Semiphor hergeleitet, vom englischen semi-forth (Halb-Quarte) nämlich. Diese temperierte Halbquarte fungiert auch als Generator.

In der [[Primfaktorzerlegung]] der Intervalle 7/6, 8/7 und auch 49/48 kommen nur die Primzahlen 2, 3 und 7 vor, die 5 fehlt. Eine Temperatur der Semiphor-Familie kann daher auf den [[Intervallraum]] der Primzahlen 2, 3 und 7, unter Ausschluss der [[Naturterz|Naturterz 5/4]], beschränkt sein. Für diese Temperatur wurde der leicht modifizierte Name **Semaphor** geprägt.

Eine naheliegende Erweiterung für den Einbezug der Primzahl 5 ist das zusätzliche Austemperieren des allbekannten [[Syntonisches Komma|syntonischen Kommas 81/80]], was dann eine Variante der [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmungsfamilie ergibt. Naheliegend unter anderem deshalb, weil zwei Schritte eines Semiphor-Generators eine Approximation der reinen Quarte bilden, welche als Oktavkomplement der Quinte auch als mitteltöniger Generator fungieren kann. Entsprechend wird die Aprroximation der Naturterz 5/4 durch Aufeinanderschichten von 8 Generatorschritten erreicht. 

Die solcherart durch die Kommas 49/48 und 81/80 definierte 7-[[Limit]]-Temperatur wurde auf den Namen **Godzilla** getauft. Eine besonders gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung von Godzilla ist [[19edo]].

[todo weitere Eigenchaften, MOS-Skalen, weitere EDOs]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Die Familie der Semiphor-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Kommas 49/48 (35.6968 Cent, &amp;lt;strong&amp;gt;Slendro-Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt;, &amp;lt;strong&amp;gt;septimale Diësis&amp;lt;/strong&amp;gt; oder &amp;lt;strong&amp;gt;septimaler Sechstelton&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt). Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen den Intervallen 7/6 (septimale kleine Terz) und 8/7 (grosser septimaler Ganzton), also den Intervallen, die in der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Obertonreihe"&amp;gt;Obertonreihe&amp;lt;/a&amp;gt; zwischen dem sechsten, dem siebten und dem achten Oberton auftreten. Die Kombination der beiden Intervalle ergibt eine reine Quarte 4/3, bei Temperierung auf dasselbe Intervall wird also eine Quarte in zwei gleiche Teile geteilt. Daraus ist der Name Semiphor hergeleitet, vom englischen semi-forth (Halb-Quarte) nämlich. Diese temperierte Halbquarte fungiert auch als Generator.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; der Intervalle 7/6, 8/7 und auch 49/48 kommen nur die Primzahlen 2, 3 und 7 vor, die 5 fehlt. Eine Temperatur der Semiphor-Familie kann daher auf den &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; der Primzahlen 2, 3 und 7, unter Ausschluss der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;Naturterz 5/4&amp;lt;/a&amp;gt;, beschränkt sein. Für diese Temperatur wurde der leicht modifizierte Name &amp;lt;strong&amp;gt;Semaphor&amp;lt;/strong&amp;gt; geprägt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine naheliegende Erweiterung für den Einbezug der Primzahl 5 ist das zusätzliche Austemperieren des allbekannten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma"&amp;gt;syntonischen Kommas 81/80&amp;lt;/a&amp;gt;, was dann eine Variante der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmungsfamilie ergibt. Naheliegend unter anderem deshalb, weil zwei Schritte eines Semiphor-Generators eine Approximation der reinen Quarte bilden, welche als Oktavkomplement der Quinte auch als mitteltöniger Generator fungieren kann. Entsprechend wird die Aprroximation der Naturterz 5/4 durch Aufeinanderschichten von 8 Generatorschritten erreicht. &amp;lt;br /&amp;gt;
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Die solcherart durch die Kommas 49/48 und 81/80 definierte 7-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur wurde auf den Namen &amp;lt;strong&amp;gt;Godzilla&amp;lt;/strong&amp;gt; getauft. Eine besonders gute &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Realisierung von Godzilla ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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[todo weitere Eigenchaften, MOS-Skalen, weitere EDOs]&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&amp;lt;/span&amp;gt;
Die Familie der Semiphor-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Kommas 49/48 (35.6968 Cent, Slendro-Diësis, septimale Diësis oder septimaler Sechstelton genannt). Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen den Intervallen 7/6 (septimale kleine Terz) und 8/7 (grosser septimaler Ganzton), also den Intervallen, die in der Obertonreihe zwischen dem sechsten, dem siebten und dem achten Oberton auftreten. Die Kombination der beiden Intervalle ergibt eine reine Quarte 4/3, bei Temperierung auf dasselbe Intervall wird also eine Quarte in zwei gleiche Teile geteilt. Daraus ist auch der Name Semiphor hergeleitet, vom englischen semi-forth (Halb-Quarte) nämlich. Diese temperierte Halbquarte fungiert auch als Generator.

In der [[Primfaktorzerlegung]] der Intervalle 7/6, 8/7 und auch 49/48 kommen nur die Primzahlen 2, 3 und 7 vor, die 5 fehlt. Eine Temperatur der Semiphor-Familie kann daher auf dem [[Intervallraum]] der Primzahlen 2, 3 und 7, unter Ausschluss der grossen Naturterz 5/4, beschränkt sein. Für diese Temperatur wurde der leicht modifizierte Name **Semaphor** geprägt.


[todo]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Die Familie der Semiphor-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Kommas 49/48 (35.6968 Cent, Slendro-Diësis, septimale Diësis oder septimaler Sechstelton genannt). Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen den Intervallen 7/6 (septimale kleine Terz) und 8/7 (grosser septimaler Ganzton), also den Intervallen, die in der Obertonreihe zwischen dem sechsten, dem siebten und dem achten Oberton auftreten. Die Kombination der beiden Intervalle ergibt eine reine Quarte 4/3, bei Temperierung auf dasselbe Intervall wird also eine Quarte in zwei gleiche Teile geteilt. Daraus ist auch der Name Semiphor hergeleitet, vom englischen semi-forth (Halb-Quarte) nämlich. Diese temperierte Halbquarte fungiert auch als Generator.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; der Intervalle 7/6, 8/7 und auch 49/48 kommen nur die Primzahlen 2, 3 und 7 vor, die 5 fehlt. Eine Temperatur der Semiphor-Familie kann daher auf dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; der Primzahlen 2, 3 und 7, unter Ausschluss der grossen Naturterz 5/4, beschränkt sein. Für diese Temperatur wurde der leicht modifizierte Name &amp;lt;strong&amp;gt;Semaphor&amp;lt;/strong&amp;gt; geprägt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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      <comment>Textersetzung - „(\[\[\:(dev|es|purdal|de|en):[^[:space:]\|]*) (.*])“ durch „$1|$3“</comment>
      <origin>1465</origin>
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      <text bytes="3483" sha1="fpdyppdmpg8fwo67gsypoyidjmuqez2" xml:space="preserve">&lt;span style="display: block; text-align: right;"&gt;[[:en:Semaphore_and_Godzilla|English]]&lt;/span&gt;

[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der '''Semiphor'''-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Kommas [[49/48|49/48]] (35.6968 Cent, '''Slendro-Diësis''', '''septimale Diësis''' oder '''septimaler Sechstelton''' genannt). Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen den Intervallen 7/6 (septimale kleine Terz) und 8/7 (grosser septimaler Ganzton), also den Intervallen, die in der [[Obertonreihe|Obertonreihe]] zwischen dem sechsten, dem siebten und dem achten Oberton auftreten. Die Kombination der beiden Intervalle ergibt eine reine Quarte 4/3, bei Temperierung auf dasselbe Intervall wird also eine Quarte in zwei gleiche Teile geteilt. Daraus ist der Name Semiphor hergeleitet, vom englischen semi-fourth (Halb-Quarte) nämlich. Diese temperierte Halbquarte fungiert auch als Generator.

In der [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] der Intervalle 7/6, 8/7 und auch 49/48 kommen nur die Primzahlen 2, 3 und 7 vor, die 5 fehlt. Eine Temperatur der Semiphor-Familie kann daher auf den [[Intervallraum|Intervallraum]] der Primzahlen 2, 3 und 7, unter Ausschluss der [[Naturterz|Naturterz 5/4]], beschränkt sein. Für diese Temperatur wurde der leicht modifizierte Name '''Semaphor''' geprägt.

Eine naheliegende Erweiterung für den Einbezug der Primzahl 5 ist das zusätzliche Austemperieren des allbekannten [[Syntonisches_Komma|syntonischen Kommas 81/80]], was dann eine Variante der [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmungsfamilie ergibt. Naheliegend unter anderem deshalb, weil zwei Schritte eines Semiphor-Generators eine Approximation der reinen Quarte bilden, welche als Oktavkomplement der Quinte auch als mitteltöniger Generator fungieren kann. Entsprechend wird die Approximation der Naturterz 5/4 durch Aufeinanderschichten von 8 Generatorschritten erreicht.

Die solcherart durch die Kommas 49/48 und 81/80 definierte 7-[[Limit|Limit]]-Temperatur wurde auf den Namen '''Godzilla''' getauft. Gute [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierungen von Godzilla sind [[19edo|19edo]] und [[24edo|24edo]].

An Semiphor-[[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] gibt es: eine fünftönige der Form 4L 1s sowie eine neuntönige der Form 5L 4s und eine vierzehntönige der Form 5L 9s. Die neuntönige ist dabei nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]].

In 19edo präsentiert sich die neuntönige Semiphor- bzw. Godzilla-Skala mit den Intervallschritten 3 3 1 3 1 3 1 3 1. Sie enthält eine traditionelle pentatonische Skala (5 3 5 3 3 in 19edo) als Teilmenge, jedoch keine herkömmliche diatonische.

Entsprechend ihrer Konstruktion sind Godzilla-Skalen reich an 7-Limit-Intervallen und -Dreiklängen, jedoch vergleichsweise arm an den von der traditionellen klassischen Musik her bekannten 5-Limit-Harmonien. Die neuntönige Godzilla-Skala z. B. enthält von ihrem Generator her 8 Approximationen der kleinen septimalen Terz 7/6 (temperiert identisch mit der Approximation des septimalen Ganztons 8/7), dagegen nur 3 Approximationen der kleinen Terz 6/5; 6 Approximationen der übergrossen septimalen Terz 9/7 steht eine einzige Approximation der Naturterz 5/4 gegenüber. Letztere markiert auch den einzigen Ort der neuntönigen Godzilla-Skala, wo sich ein 5-Limit-Dur- und ein 5-Limit-Molldreiklang findet.

[todo Klangbeispiele, weitere Eigenschaften]  [[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der '''Semiphor'''-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Kommas [[49/48|49/48]] (35.6968 Cent, '''Slendro-Diësis''', '''septimale Diësis''' oder '''septimaler Sechstelton''' genannt). Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen den Intervallen 7/6 (septimale kleine Terz) und 8/7 (grosser septimaler Ganzton), also den Intervallen, die in der [[Obertonreihe|Obertonreihe]] zwischen dem sechsten, dem siebten und dem achten Oberton auftreten. Die Kombination der beiden Intervalle ergibt eine reine Quarte 4/3, bei Temperierung auf dasselbe Intervall wird also eine Quarte in zwei gleiche Teile geteilt. Daraus ist der Name Semiphor hergeleitet, vom englischen semi-fourth (Halb-Quarte) nämlich. Diese temperierte Halbquarte fungiert auch als Generator.

In der [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] der Intervalle 7/6, 8/7 und auch 49/48 kommen nur die Primzahlen 2, 3 und 7 vor, die 5 fehlt. Eine Temperatur der Semiphor-Familie kann daher auf den [[Intervallraum|Intervallraum]] der Primzahlen 2, 3 und 7, unter Ausschluss der [[Naturterz|Naturterz 5/4]], beschränkt sein. Für diese Temperatur wurde der leicht modifizierte Name '''Semaphor''' geprägt.

Eine naheliegende Erweiterung für den Einbezug der Primzahl 5 ist das zusätzliche Austemperieren des allbekannten [[Syntonisches_Komma|syntonischen Kommas 81/80]], was dann eine Variante der [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmungsfamilie ergibt. Naheliegend unter anderem deshalb, weil zwei Schritte eines Semiphor-Generators eine Approximation der reinen Quarte bilden, welche als Oktavkomplement der Quinte auch als mitteltöniger Generator fungieren kann. Entsprechend wird die Approximation der Naturterz 5/4 durch Aufeinanderschichten von 8 Generatorschritten erreicht.

Die solcherart durch die Kommas 49/48 und 81/80 definierte 7-[[Limit|Limit]]-Temperatur wurde auf den Namen '''Godzilla''' getauft. Gute [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierungen von Godzilla sind [[19edo|19edo]] und [[24edo|24edo]].

An Semiphor-[[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] gibt es: eine fünftönige der Form 4L 1s sowie eine neuntönige der Form 5L 4s und eine vierzehntönige der Form 5L 9s. Die neuntönige ist dabei nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]].

In 19edo präsentiert sich die neuntönige Semiphor- bzw. Godzilla-Skala mit den Intervallschritten 3 3 1 3 1 3 1 3 1. Sie enthält eine traditionelle pentatonische Skala (5 3 5 3 3 in 19edo) als Teilmenge, jedoch keine herkömmliche diatonische.

Entsprechend ihrer Konstruktion sind Godzilla-Skalen reich an 7-Limit-Intervallen und -Dreiklängen, jedoch vergleichsweise arm an den von der traditionellen klassischen Musik her bekannten 5-Limit-Harmonien. Die neuntönige Godzilla-Skala z. B. enthält von ihrem Generator her 8 Approximationen der kleinen septimalen Terz 7/6 (temperiert identisch mit der Approximation des septimalen Ganztons 8/7), dagegen nur 3 Approximationen der kleinen Terz 6/5; 6 Approximationen der übergrossen septimalen Terz 9/7 steht eine einzige Approximation der Naturterz 5/4 gegenüber. Letztere markiert auch den einzigen Ort der neuntönigen Godzilla-Skala, wo sich ein 5-Limit-Dur- und ein 5-Limit-Molldreiklang findet.

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der '''Semiphor'''-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Kommas [[49/48|49/48]] (35.6968 Cent, '''Slendro-Diësis''', '''septimale Diësis''' oder '''septimaler Sechstelton''' genannt). Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen den Intervallen 7/6 (septimale kleine Terz) und 8/7 (grosser septimaler Ganzton), also den Intervallen, die in der [[Obertonreihe|Obertonreihe]] zwischen dem sechsten, dem siebten und dem achten Oberton auftreten. Die Kombination der beiden Intervalle ergibt eine reine Quarte 4/3, bei Temperierung auf dasselbe Intervall wird also eine Quarte in zwei gleiche Teile geteilt. Daraus ist der Name Semiphor hergeleitet, vom englischen semi-fourth (Halb-Quarte) nämlich. Diese temperierte Halbquarte fungiert auch als Generator.
== Varianten ==
=== Semaphor ===
In der [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] der Intervalle 7/6, 8/7 und auch 49/48 kommen nur die Primzahlen 2, 3 und 7 vor, die 5 fehlt. Eine Temperatur der Semiphor-Familie kann daher auf den [[Intervallraum|Intervallraum]] der Primzahlen 2, 3 und 7, unter Ausschluss der [[Naturterz|Naturterz 5/4]], beschränkt sein. Für diese Temperatur wurde der leicht modifizierte Name '''Semaphor''' geprägt.
=== Godzilla ===
Eine naheliegende Erweiterung für den Einbezug der Primzahl 5 ist das zusätzliche Austemperieren des allbekannten [[Syntonisches_Komma|syntonischen Kommas 81/80]], was dann eine Variante der [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmungsfamilie ergibt. Naheliegend unter anderem deshalb, weil zwei Schritte eines Semiphor-Generators eine Approximation der reinen Quarte bilden, welche als Oktavkomplement der Quinte auch als mitteltöniger Generator fungieren kann. Entsprechend wird die Approximation der Naturterz 5/4 durch Aufeinanderschichten von 8 Generatorschritten erreicht.

Die solcherart durch die Kommas 49/48 und 81/80 definierte 7-[[Limit|Limit]]-Temperatur wurde auf den Namen '''Godzilla''' getauft. Gute [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierungen von Godzilla sind [[19edo|19edo]] und [[24edo|24edo]].
== MOS-Skalen ==
An Semiphor-[[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] gibt es: eine fünftönige der Form 4L 1s sowie eine neuntönige der Form 5L 4s und eine vierzehntönige der Form 5L 9s. Die neuntönige ist dabei nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]].

In 19edo präsentiert sich die neuntönige Semiphor- bzw. Godzilla-Skala mit den Intervallschritten 3 3 1 3 1 3 1 3 1. Sie enthält eine traditionelle pentatonische Skala (5 3 5 3 3 in 19edo) als Teilmenge, jedoch keine herkömmliche diatonische.

Entsprechend ihrer Konstruktion sind Godzilla-Skalen reich an 7-Limit-Intervallen und -Dreiklängen, jedoch vergleichsweise arm an den von der traditionellen klassischen Musik her bekannten 5-Limit-Harmonien. Die neuntönige Godzilla-Skala z. B. enthält von ihrem Generator her 8 Approximationen der kleinen septimalen Terz 7/6 (temperiert identisch mit der Approximation des septimalen Ganztons 8/7), dagegen nur 3 Approximationen der kleinen Terz 6/5; 6 Approximationen der übergrossen septimalen Terz 9/7 steht eine einzige Approximation der Naturterz 5/4 gegenüber. Letztere markiert auch den einzigen Ort der neuntönigen Godzilla-Skala, wo sich ein 5-Limit-Dur- und ein 5-Limit-Molldreiklang findet.

[todo Klangbeispiele, weitere Eigenschaften]  [[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der '''Semiphor'''-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Kommas [[49/48|49/48]] (35.6968 Cent, '''Slendro-Diësis''', '''septimale Diësis''' oder '''septimaler Sechstelton''' genannt). Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen den Intervallen 7/6 (septimale kleine Terz) und 8/7 (grosser septimaler Ganzton), also den Intervallen, die in der [[Obertonreihe|Obertonreihe]] zwischen dem sechsten, dem siebten und dem achten Oberton auftreten. Die Kombination der beiden Intervalle ergibt eine reine Quarte 4/3, bei Temperierung auf dasselbe Intervall wird also eine Quarte in zwei gleiche Teile geteilt. Daraus ist der Name Semiphor hergeleitet, vom englischen semi-fourth (Halb-Quarte) nämlich. Diese temperierte Halbquarte fungiert auch als Generator.
== Varianten ==
=== Semaphor ===
In der [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] der Intervalle 7/6, 8/7 und auch 49/48 kommen nur die Primzahlen 2, 3 und 7 vor, die 5 fehlt. Eine Temperatur der Semiphor-Familie kann daher auf den [[Intervallraum|Intervallraum]] der Primzahlen 2, 3 und 7, unter Ausschluss der [[Naturterz|Naturterz 5/4]], beschränkt sein. Für diese Temperatur wurde der leicht modifizierte Name '''Semaphor''' geprägt.
=== Godzilla ===
Eine naheliegende Erweiterung für den Einbezug der Primzahl 5 ist das zusätzliche Austemperieren des allbekannten [[Syntonisches_Komma|syntonischen Kommas 81/80]], was dann eine Variante der [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmungsfamilie ergibt. Naheliegend unter anderem deshalb, weil zwei Schritte eines Semiphor-Generators eine Approximation der reinen Quarte bilden, welche als Oktavkomplement der Quinte auch als mitteltöniger Generator fungieren kann. Entsprechend wird die Approximation der Naturterz 5/4 durch Aufeinanderschichten von 8 Generatorschritten erreicht.

Die solcherart durch die Kommas 49/48 und 81/80 definierte 7-[[Limit|Limit]]-Temperatur wurde auf den Namen '''Godzilla''' getauft. Gute [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierungen von Godzilla sind [[19edo|19edo]] und [[24edo|24edo]].
== MOS-Skalen ==
An Semiphor-[[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] gibt es: eine fünftönige der Form 4L 1s sowie eine neuntönige der Form 5L 4s und eine vierzehntönige der Form 5L 9s. Die neuntönige ist dabei nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]].

[[Datei:Semaphor5-19edo.mp3]]

Fünftönige Semaphor-/Godzilla-Skala (4 4 3 4 4) in 19-EDO-Stimmung


[[Datei:Semaphor9-19edo.mp3]]

Neuntönige Semaphor-/Godzilla-Skala (3 1 3 1 3 3 1 3 1) in 19-EDO-Stimmung

In 19edo präsentiert sich die neuntönige Semiphor- bzw. Godzilla-Skala mit den Intervallschritten 3 3 1 3 1 3 1 3 1. Sie enthält eine traditionelle pentatonische Skala (5 3 5 3 3 in 19edo) als Teilmenge, jedoch keine herkömmliche diatonische.

Entsprechend ihrer Konstruktion sind Godzilla-Skalen reich an 7-Limit-Intervallen und -Dreiklängen, jedoch vergleichsweise arm an den von der traditionellen klassischen Musik her bekannten 5-Limit-Harmonien. Die neuntönige Godzilla-Skala z. B. enthält von ihrem Generator her 8 Approximationen der kleinen septimalen Terz 7/6 (temperiert identisch mit der Approximation des septimalen Ganztons 8/7), dagegen nur 3 Approximationen der kleinen Terz 6/5; 6 Approximationen der übergrossen septimalen Terz 9/7 steht eine einzige Approximation der Naturterz 5/4 gegenüber. Letztere markiert auch den einzigen Ort der neuntönigen Godzilla-Skala, wo sich ein 5-Limit-Dur- und ein 5-Limit-Molldreiklang findet.

[[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Der Name "Sensi" leitet sich her vom englischen Wort "semi-sixth", also Halb-Sexte. Dies bezieht sich auf den Generator dieser Temperatur, welcher als die Hälfte einer grossen Sexte (5/3) definiert ist, ein ziemlich xenharmonisches Intervall, das zwischen grosser Terz und reiner Quarte liegt. Im 7-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]] kann der Sensi-Generator mit dem Intervall 9/7 identifiziert werden, der übergrossen septimalen Terz, die noch leicht hochtemperiert wird, in der Erweiterung auf 13-Limit alternativ mit dem Intervall 13/10 (welches leicht herabtemperiert wird). Austemperierte [[Komma|Kommas]] sind entsprechend unter anderem:

in 7-Limit: 245/243 (14.19 Cent), der Unterschied zwischen einer grossen Sexte 5/3 und zwei septimalen grossen Terzen 9/7

in 13-Limit: 91/90 (19.13 Cent), der Unterschied zwischen 13/10 und 9/7

Ferner auch [[126/125|126/125 (Starling-Komma, septimales Semikomma)]]

[todo weitere Kommas]

7 Generatorschritte führen oktavreduziert zur Approximation der reinen Quinte 3/2, die Skala aus einem Grundton und 7 Generatorschritten bildet gleichzeitig eine achttönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]]. Weitere MOS-Skalen gibt es mit 11 und 19 Tönen.

[[File:sensi8_19edo.mp3]]

Sensi[8]-Skala ssLssLsL, in [[19edo|19edo]]

Die Sensi-Temperatur ist, ähnlich wie die [[Orwell|Orwell-Temperatur]], für traditionsorientierte Musik weniger geeignet, da sie zwar Approximationen für eine Reihe konsonanter Intervalle enthält, jedoch anderer bzw. mit anderen Beziehungen als die für die westliche Tradition bestimmende [[mitteltönig|mitteltönige]]. So enthält die achttönige MOS-Skala keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - die [[Naturterz|reine grosse Terz (5/4)]] enthät sie gar nicht, die reine kleine Terz 6/5 nur in Form des [[126/125|Starling-Vierklangs]]. Hingegen enthält sie enen "Dur"- und einen "Moll"-Dreiklang mit septimalen Terzen 9/7 und 7/6. Damit hat sie einiges Potential für dezidiert xenharmonische Musik.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige Tonsysteme]], die Sensi unterstützen, sind unter anderem [[19edo|19edo]], [[27edo|27edo]] und [[46edo|46edo]].

In 19edo hängen die acht- und die elftönige MOS-Skala so zusammen, das jeweils die eine das Komplement der anderen bildet. (Und die neunzehntönige MOS-Skala degnereriert dort zu der völlig gleichförmigen Skala aus sämtlichen Tönen von 19edo.)  [[Category:Temperament]]
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Der Name "Sensi" leitet sich her vom englischen Wort "semi-sixth", also Halb-Sexte. Dies bezieht sich auf den Generator dieser Temperatur, welcher als die Hälfte einer grossen Sexte (5/3) definiert ist, ein ziemlich xenharmonisches Intervall, das zwischen grosser Terz und reiner Quarte liegt. Im 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] kann der Sensi-Generator mit dem Intervall 9/7 identifiziert werden, der übergrossen septimalen Terz, die noch leicht hochtemperiert wird, in der Erweiterung auf 13-Limit alternativ mit dem Intervall 13/10 (welches leicht herabtemperiert wird). Austemperierte [[Komma|Kommas]] sind entsprechend unter anderem:

in 7-Limit: 245/243 (14.19 Cent), der Unterschied zwischen einer grossen Sexte 5/3 und zwei septimalen grossen Terzen 9/7
in 13-Limit: 91/90 (19.13 Cent), der Unterschied zwischen 13/10 und 9/7

Ferner auch [[126_125|126/125 (Starling-Komma, septimales Semikomma)]]
[todo weitere Kommas]

7 Generatorschritte führen oktavreduziert zur Approximation der reinen Quinte 3/2, die Skala aus einem Grundton und 7 Generatorschritten bildet gleichzeitig eine achttönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]]. Weitere MOS-Skalen gibt es mit 11 und 19 Tönen.

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Sensi[8]-Skala ssLssLsL, in [[19edo]]

Die Sensi-Temperatur ist, ähnlich wie die [[Orwell|Orwell-Temperatur]], für traditionsorientierte Musik weniger geeignet, da sie zwar Approximationen für eine Reihe konsonanter Intervalle enthält, jedoch anderer bzw. mit anderen Beziehungen als die für die westliche Tradition bestimmende [[mitteltönig|mitteltönige]]. So enthält die achttönige MOS-Skala keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - die [[Naturterz|reine grosse Terz (5/4)]] enthät sie gar nicht, die reine kleine Terz 6/5 nur in Form des [[126_125|Starling-Vierklangs]]. Hingegen enthält sie enen "Dur"- und einen "Moll"-Dreiklang mit septimalen Terzen 9/7 und 7/6. Damit hat sie einiges Potential für dezidiert xenharmonische Musik.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], die Sensi unterstützen, sind unter anderem [[19edo]], [[27edo]] und [[46edo]].

In 19edo hängen die acht- und die elftönige MOS-Skala so zusammen, das jeweils die eine das Komplement der anderen bildet. (Und die neunzehntönige MOS-Skala degnereriert dort zu der völlig gleichförmigen Skala aus sämtlichen Tönen von 19edo.)&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Name &amp;amp;quot;Sensi&amp;amp;quot; leitet sich her vom englischen Wort &amp;amp;quot;semi-sixth&amp;amp;quot;, also Halb-Sexte. Dies bezieht sich auf den Generator dieser Temperatur, welcher als die Hälfte einer grossen Sexte (5/3) definiert ist, ein ziemlich xenharmonisches Intervall, das zwischen grosser Terz und reiner Quarte liegt. Im 7-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; kann der Sensi-Generator mit dem Intervall 9/7 identifiziert werden, der übergrossen septimalen Terz, die noch leicht hochtemperiert wird, in der Erweiterung auf 13-Limit alternativ mit dem Intervall 13/10 (welches leicht herabtemperiert wird). Austemperierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt; sind entsprechend unter anderem:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
in 7-Limit: 245/243 (14.19 Cent), der Unterschied zwischen einer grossen Sexte 5/3 und zwei septimalen grossen Terzen 9/7&amp;lt;br /&amp;gt;
in 13-Limit: 91/90 (19.13 Cent), der Unterschied zwischen 13/10 und 9/7&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ferner auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/126_125"&amp;gt;126/125 (Starling-Komma, septimales Semikomma)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
[todo weitere Kommas]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
7 Generatorschritte führen oktavreduziert zur Approximation der reinen Quinte 3/2, die Skala aus einem Grundton und 7 Generatorschritten bildet gleichzeitig eine achttönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt;. Weitere MOS-Skalen gibt es mit 11 und 19 Tönen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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Sensi[8]-Skala ssLssLsL, in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Sensi-Temperatur ist, ähnlich wie die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Orwell"&amp;gt;Orwell-Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;, für traditionsorientierte Musik weniger geeignet, da sie zwar Approximationen für eine Reihe konsonanter Intervalle enthält, jedoch anderer bzw. mit anderen Beziehungen als die für die westliche Tradition bestimmende &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt;. So enthält die achttönige MOS-Skala keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;reine grosse Terz (5/4)&amp;lt;/a&amp;gt; enthät sie gar nicht, die reine kleine Terz 6/5 nur in Form des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/126_125"&amp;gt;Starling-Vierklangs&amp;lt;/a&amp;gt;. Hingegen enthält sie enen &amp;amp;quot;Dur&amp;amp;quot;- und einen &amp;amp;quot;Moll&amp;amp;quot;-Dreiklang mit septimalen Terzen 9/7 und 7/6. Damit hat sie einiges Potential für dezidiert xenharmonische Musik.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt;, die Sensi unterstützen, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/27edo"&amp;gt;27edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/46edo"&amp;gt;46edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In 19edo hängen die acht- und die elftönige MOS-Skala so zusammen, das jeweils die eine das Komplement der anderen bildet. (Und die neunzehntönige MOS-Skala degnereriert dort zu der völlig gleichförmigen Skala aus sämtlichen Tönen von 19edo.)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2016-06-06 06:50:57 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Der Name "Sensi" leitet sich her vom englischen Wort "semi-sixth", also Halb-Sexte. Dies bezieht sich auf den Generator dieser Temperatur, welcher als die Hälfte einer grossen Sexte (5/3) definiert ist, ein ziemlich xenharmonisches Intervall, das zwischen grosser Terz und reiner Quarte liegt. Im 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] kann der Sensi-Generator mit dem Intervall 9/7 identifiziert werden, der übergrossen septimalen Terz, die noch leicht hochtemperiert wird, in der Erweiterung auf 13-Limit alternativ mit dem Intervall 13/10 (welches leicht herabtemperiert wird). Austemperierte [[Komma|Kommas]] sind entsprechend unter anderem:

in 7-Limit: 245/243 (14.19 Cent), der Unterschied zwischen einer grossen Sexte 5/3 und zwei septimalen grossen Terzen 9/7
in 13-Limit: 91/90 (19.13 Cent), der Unterschied zwischen 13/10 und 9/7

Ferner auch [[126_125|126/125 (Starling-Komma, septimales Semikomma)]]
[todo weitere Kommas]

7 Generatorschritte führen oktavreduziert zur Approximation der reinen Quinte 3/2, die Skala aus einem Grundton und 7 Generatorschritten bildet gleichzeitig eine achttönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]]. Weitere MOS-Skalen gibt es mit 11 und 19 Tönen.

[[media type="file" key="sensi8_19edo.mp3" width="240" height="20"]]
Sensi[8]-Skala ssLssLsL, in [[19edo]]

Die Sensi-Temperatur ist, ähnlich wie die [[Orwell|Orwell-Temperatur]], für traditionsorientierte Musik weniger geeignet, da sie zwar Approximationen für eine Reihe konsonanter Intervalle enthält, jedoch anderer bzw. mit anderen Beziehungen als die für die westliche Tradition bestimmende [[mitteltönig|mitteltönige]]. So enthält die achttönige MOS-Skala
keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - die [[Naturterz|reine grosse Terz (5/4)]] enthät sie gar nicht, die reine kleine Terz 6/5 nur in Form des [[126_125|Starling-Vierklangs]]. Hingegen enthält sie enen "Dur"- und einen "Moll"-Dreiklang mit septimalen Terzen 9/7 und 7/6. Damit hat sie einiges Potential für dezidiert xenharmonische Musik.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], die Sensi unterstützen, sind unter anderem [[19edo]], [[27edo]] und [[46edo]].

In 19edo hängen die acht- und die elftönige MOS-Skala so zusammen, das jeweils die eine das Komplement der anderen bildet. (Und die neunzehntönige MOS-Skala degnereriert dort zu der völlig gleichförmigen Skala aus sämtlichen Tönen von 19edo.)&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Name &amp;amp;quot;Sensi&amp;amp;quot; leitet sich her vom englischen Wort &amp;amp;quot;semi-sixth&amp;amp;quot;, also Halb-Sexte. Dies bezieht sich auf den Generator dieser Temperatur, welcher als die Hälfte einer grossen Sexte (5/3) definiert ist, ein ziemlich xenharmonisches Intervall, das zwischen grosser Terz und reiner Quarte liegt. Im 7-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; kann der Sensi-Generator mit dem Intervall 9/7 identifiziert werden, der übergrossen septimalen Terz, die noch leicht hochtemperiert wird, in der Erweiterung auf 13-Limit alternativ mit dem Intervall 13/10 (welches leicht herabtemperiert wird). Austemperierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt; sind entsprechend unter anderem:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
in 7-Limit: 245/243 (14.19 Cent), der Unterschied zwischen einer grossen Sexte 5/3 und zwei septimalen grossen Terzen 9/7&amp;lt;br /&amp;gt;
in 13-Limit: 91/90 (19.13 Cent), der Unterschied zwischen 13/10 und 9/7&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ferner auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/126_125"&amp;gt;126/125 (Starling-Komma, septimales Semikomma)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
[todo weitere Kommas]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
7 Generatorschritte führen oktavreduziert zur Approximation der reinen Quinte 3/2, die Skala aus einem Grundton und 7 Generatorschritten bildet gleichzeitig eine achttönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt;. Weitere MOS-Skalen gibt es mit 11 und 19 Tönen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Sensi-Temperatur ist, ähnlich wie die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Orwell"&amp;gt;Orwell-Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt;, für traditionsorientierte Musik weniger geeignet, da sie zwar Approximationen für eine Reihe konsonanter Intervalle enthält, jedoch anderer bzw. mit anderen Beziehungen als die für die westliche Tradition bestimmende &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt;. So enthält die achttönige MOS-Skala&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt;, die Sensi unterstützen, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/27edo"&amp;gt;27edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/46edo"&amp;gt;46edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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In 19edo hängen die acht- und die elftönige MOS-Skala so zusammen, das jeweils die eine das Komplement der anderen bildet. (Und die neunzehntönige MOS-Skala degnereriert dort zu der völlig gleichförmigen Skala aus sämtlichen Tönen von 19edo.)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2016-05-01 13:09:42 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Der Name "Sensi" leitet sich her vom englischen Wort "semi-sixth", also Halb-Sexte. Dies bezieht sich auf den Generator dieser Temperatur, welcher als die Hälfte einer grossen Sexte (5/3) definiert ist, ein ziemlich xenharmonisches Intervall, das zwischen grosser Terz und reiner Quarte liegt. Im 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] kann der Sensi-Generator mit dem Intervall 9/7 identifiziert werden, der übergrossen septimalen Terz, die noch leicht hochtemperiert wird, in der Erweiterung auf 13-Limit alternativ mit dem Intervall 13/10 (welches leicht herabtemperiert wird). Austemperierte [[Komma|Kommas]] sind entsprechend unter anderem:

in 7-Limit: 245/243 (14.19 Cent), der Unterschied zwischen einer grossen Sexte 5/3 und zwei septimalen grossen Terzen 9/7
in 13-Limit: 91/90 (19.13 Cent), der Unterschied zwischen 13/10 und 9/7

Ferner auch [[126_125|126/125 (Starling-Komma, septimales Semikomma)]]
[todo weitere Kommas]

7 Generatorschritte führen oktavreduziert zur Approximation der reinen Quinte 3/2, die Skala aus einem Grundton und 7 Generatorschritten bildet gleichzeitig eine achttönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]]. Weitere MOS-Skalen gibt es mit 11 und 19 Tönen.

[[media type="file" key="sensi8_19edo.mp3"]]
Sensi[8]-Skala ssLssLsL, in [[19edo]]

[[Gleichstufige Tonsysteme]], die Sensi unterstützen, sind unter anderem [[19edo]], [[27edo]] und [[46edo]].
In 19edo hängen die acht- und die elftönige MOS-Skala so zusammen, das jeweils die eine das Komplement der anderen bildet. (Und die neunzehntönige MOS-Skala degnereriert dort zu der völlig gleichförmigen Skala aus sämtlichen Tönen von 19edo.)&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Der Name &amp;amp;quot;Sensi&amp;amp;quot; leitet sich her vom englischen Wort &amp;amp;quot;semi-sixth&amp;amp;quot;, also Halb-Sexte. Dies bezieht sich auf den Generator dieser Temperatur, welcher als die Hälfte einer grossen Sexte (5/3) definiert ist, ein ziemlich xenharmonisches Intervall, das zwischen grosser Terz und reiner Quarte liegt. Im 7-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; kann der Sensi-Generator mit dem Intervall 9/7 identifiziert werden, der übergrossen septimalen Terz, die noch leicht hochtemperiert wird, in der Erweiterung auf 13-Limit alternativ mit dem Intervall 13/10 (welches leicht herabtemperiert wird). Austemperierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt; sind entsprechend unter anderem:&amp;lt;br /&amp;gt;
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in 7-Limit: 245/243 (14.19 Cent), der Unterschied zwischen einer grossen Sexte 5/3 und zwei septimalen grossen Terzen 9/7&amp;lt;br /&amp;gt;
in 13-Limit: 91/90 (19.13 Cent), der Unterschied zwischen 13/10 und 9/7&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ferner auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/126_125"&amp;gt;126/125 (Starling-Komma, septimales Semikomma)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
[todo weitere Kommas]&amp;lt;br /&amp;gt;
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7 Generatorschritte führen oktavreduziert zur Approximation der reinen Quinte 3/2, die Skala aus einem Grundton und 7 Generatorschritten bildet gleichzeitig eine achttönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt;. Weitere MOS-Skalen gibt es mit 11 und 19 Tönen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Sensi[8]-Skala ssLssLsL, in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt;, die Sensi unterstützen, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/27edo"&amp;gt;27edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/46edo"&amp;gt;46edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
In 19edo hängen die acht- und die elftönige MOS-Skala so zusammen, das jeweils die eine das Komplement der anderen bildet. (Und die neunzehntönige MOS-Skala degnereriert dort zu der völlig gleichförmigen Skala aus sämtlichen Tönen von 19edo.)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2016-04-28 05:41:31 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Der Name "Sensi" leitet sich her vom englischen Wort "semi-sixth", also Halb-Sexte. Dies bezieht sich auf den Generator, welcher als die Hälfte einer grossen Sexte (5/3) definiert ist, ein ziemlich xenharmonisches Intervall, das zwischen grosser Terz und reiner Quarte liegt. Im 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] kann der Sensi-Generator mit dem Intervall 9/7 identifiziert werden, der übergrossen septimalen Terz, die noch leicht hochtemperiert wird, in der Erweiterung auf 13-Limit alternativ mit dem Intervall 13/10 (welches leicht herabtemperiert wird). Austemperierte [[Komma|Kommas]] sind entsprechend unter anderem:

in 7-Limit: 245/243 (14.19 Cent), der Unterschied zwischen einer grossen Sexte 5/3 und zwei septimalen grossen Terzen 9/7
in 13-Limit: 91/90 (19.13 Cent), der Unterschied zwischen 13/10 und 9/7

Ferner auch [[126_125|126/125 (Starling-Komma, septimales Semikomma)]]
[todo weitere Kommas]

7 Generatorschritte führen oktavreduziert zur Approximation der reinen Quinte 3/2, die Skala aus einem Grundton und 7 Generatorschritten bildet gleichzeitig eine achttönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]]. Weitere MOS-Skalen gibt es mit 11 und 19 Tönen.

[Todo Musikbeispiel]

[[Gleichstufige Tonsysteme]], die Sensi unterstützen, sind unter anderem [[19edo]], [[27edo]] und [[46edo]].
In 19edo hängen die acht- und die elftönige MOS-Skala so zusammen, das jeweils die eine das Komplement der anderen bildet. (Und die neunzehntönige MOS-Skala degnereriert dort zu der völlig gleichförmigen Skala aus sämtlichen Tönen von 19edo.)&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Der Name &amp;amp;quot;Sensi&amp;amp;quot; leitet sich her vom englischen Wort &amp;amp;quot;semi-sixth&amp;amp;quot;, also Halb-Sexte. Dies bezieht sich auf den Generator, welcher als die Hälfte einer grossen Sexte (5/3) definiert ist, ein ziemlich xenharmonisches Intervall, das zwischen grosser Terz und reiner Quarte liegt. Im 7-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; kann der Sensi-Generator mit dem Intervall 9/7 identifiziert werden, der übergrossen septimalen Terz, die noch leicht hochtemperiert wird, in der Erweiterung auf 13-Limit alternativ mit dem Intervall 13/10 (welches leicht herabtemperiert wird). Austemperierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt; sind entsprechend unter anderem:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
in 7-Limit: 245/243 (14.19 Cent), der Unterschied zwischen einer grossen Sexte 5/3 und zwei septimalen grossen Terzen 9/7&amp;lt;br /&amp;gt;
in 13-Limit: 91/90 (19.13 Cent), der Unterschied zwischen 13/10 und 9/7&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ferner auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/126_125"&amp;gt;126/125 (Starling-Komma, septimales Semikomma)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
[todo weitere Kommas]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
7 Generatorschritte führen oktavreduziert zur Approximation der reinen Quinte 3/2, die Skala aus einem Grundton und 7 Generatorschritten bildet gleichzeitig eine achttönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt;. Weitere MOS-Skalen gibt es mit 11 und 19 Tönen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Musikbeispiel]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt;, die Sensi unterstützen, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/27edo"&amp;gt;27edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/46edo"&amp;gt;46edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
In 19edo hängen die acht- und die elftönige MOS-Skala so zusammen, das jeweils die eine das Komplement der anderen bildet. (Und die neunzehntönige MOS-Skala degnereriert dort zu der völlig gleichförmigen Skala aus sämtlichen Tönen von 19edo.)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Der Name "Sensi" leitet sich her vom englischen Wort "semi-sixth", also Halb-Sexte. Dies bezieht sich auf den Generator, welcher als die Hälfte einer grossen Sexte (5/3) definiert ist, ein ziemlich xenharmonisches Intervall, das zwischen grosser Terz und reiner Quarte liegt. Im 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] kann der Sensi-Generator mit dem Intervall 9/7 identifiziert werden, der übergrossen septimalen Terz, die noch leicht hochtemperiert wird, in der Erweiterung auf 13-Limit alternativ mit dem Intervall 13/10 (welches leicht herabtemperiert wird). Austemperierte [[Komma|Kommas]] sind entsprechend unter anderem:

in 7-Limit: 245/243 (14.19 Cent), der Unterschied zwischen einer grossen Sexte 5/3 und zwei septimalen grossen Terzen 9/7
in 13-Limit: 91/90 (19.13 Cent), der Unterschied zwischen 13/10 und 9/7

Ferner auch [[126_125|126/125 (Starling-Komma, septimales Semikomma)]]
[todo weitere Kommas]

7 Generatorschritte führen oktavreduziert zur Approximation der reinen Quinte 3/2, die Skala aus einem Grundton und 7 Generatorschritten bildet gleichzeitig eine achttönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]]. Weitere MOS-Skalen gibt es mit 11 und 19 Tönen.

[Todo Musikbeispiel]

[[Gleichstufige Tonsysteme]], die Sensi unterstützen, sind unter anderem [[19edo]], [[27edo]] und [[46edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Der Name &amp;amp;quot;Sensi&amp;amp;quot; leitet sich her vom englischen Wort &amp;amp;quot;semi-sixth&amp;amp;quot;, also Halb-Sexte. Dies bezieht sich auf den Generator, welcher als die Hälfte einer grossen Sexte (5/3) definiert ist, ein ziemlich xenharmonisches Intervall, das zwischen grosser Terz und reiner Quarte liegt. Im 7-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; kann der Sensi-Generator mit dem Intervall 9/7 identifiziert werden, der übergrossen septimalen Terz, die noch leicht hochtemperiert wird, in der Erweiterung auf 13-Limit alternativ mit dem Intervall 13/10 (welches leicht herabtemperiert wird). Austemperierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt; sind entsprechend unter anderem:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
in 7-Limit: 245/243 (14.19 Cent), der Unterschied zwischen einer grossen Sexte 5/3 und zwei septimalen grossen Terzen 9/7&amp;lt;br /&amp;gt;
in 13-Limit: 91/90 (19.13 Cent), der Unterschied zwischen 13/10 und 9/7&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ferner auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/126_125"&amp;gt;126/125 (Starling-Komma, septimales Semikomma)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
[todo weitere Kommas]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
7 Generatorschritte führen oktavreduziert zur Approximation der reinen Quinte 3/2, die Skala aus einem Grundton und 7 Generatorschritten bildet gleichzeitig eine achttönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt;. Weitere MOS-Skalen gibt es mit 11 und 19 Tönen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt;, die Sensi unterstützen, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/27edo"&amp;gt;27edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/46edo"&amp;gt;46edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2016-04-27 05:40:50 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Der Name "Sensi" leitet sich her vom englischen Wort "semi-sixth", also Halb-Sexte, was sich auf den Generator bezieht, welcher als die Hälfte einer grossen Sexte (5/3) definiert ist, ein ziemlich xenharmonisches Intervall, das zwischen grosser Terz und reiner Quarte liegt. Im 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] kann der Sensi-Generator mit dem Intervall 9/7 identifiziert werden, der übergrossen septimalen Terz, die noch leicht hochtemperiert wird, in der Erweiterung auf 13-Limit alternativ mit dem Intervall 13/10 (welches leicht herabtemperiert wird). Austemperierte [[Komma|Kommas]] sind entsprechend unter anderem:

in 7-Limit: 245/243 (14.19 Cent), der Unterschied zwischen einer grossen Sexte 5/3 und zwei septimalen grossen Terzen 9/7
in 13-Limit: 91/90 (19.13 Cent), der Unterschied zwischen 13/10 und 9/7

Ferner auch [[126_125|126/125 (Starling-Komma, septimales Semikomma)]]
[todo weitere Kommas]

7 Generatorschritte führen oktavreduziert zur Approximation der reinen Quinte 3/2, die Skala aus einem Grundton und 7 Generatorschritten bildet gleichzeitig eine achttönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]]. Weitere MOS-Skalen gibt es mit 11 und 19 Tönen.

[Todo Musikbeispiel]

[[Gleichstufige Tonsysteme]], die Sensi unterstützen, sind unter anderem [[19edo]], [[27edo]] und [[46edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Der Name &amp;amp;quot;Sensi&amp;amp;quot; leitet sich her vom englischen Wort &amp;amp;quot;semi-sixth&amp;amp;quot;, also Halb-Sexte, was sich auf den Generator bezieht, welcher als die Hälfte einer grossen Sexte (5/3) definiert ist, ein ziemlich xenharmonisches Intervall, das zwischen grosser Terz und reiner Quarte liegt. Im 7-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; kann der Sensi-Generator mit dem Intervall 9/7 identifiziert werden, der übergrossen septimalen Terz, die noch leicht hochtemperiert wird, in der Erweiterung auf 13-Limit alternativ mit dem Intervall 13/10 (welches leicht herabtemperiert wird). Austemperierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt; sind entsprechend unter anderem:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
in 7-Limit: 245/243 (14.19 Cent), der Unterschied zwischen einer grossen Sexte 5/3 und zwei septimalen grossen Terzen 9/7&amp;lt;br /&amp;gt;
in 13-Limit: 91/90 (19.13 Cent), der Unterschied zwischen 13/10 und 9/7&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ferner auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/126_125"&amp;gt;126/125 (Starling-Komma, septimales Semikomma)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
[todo weitere Kommas]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
7 Generatorschritte führen oktavreduziert zur Approximation der reinen Quinte 3/2, die Skala aus einem Grundton und 7 Generatorschritten bildet gleichzeitig eine achttönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt;. Weitere MOS-Skalen gibt es mit 11 und 19 Tönen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Musikbeispiel]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt;, die Sensi unterstützen, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/27edo"&amp;gt;27edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/46edo"&amp;gt;46edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Der Name "Sensi" leitet sich her vom englischen Wort "semi-sixth", also Halb-Sexte, was sich auf den Generator bezieht, welcher als die Hälfte einer grossen Sexte (5/3) definiert ist, ein ziemlich xenharmonisches Intervall, das zwischen grosser Terz und reiner Quarte liegt. Im 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] kann der Sensi-Generator mit dem Intervall 9/7 identifiziert werden, der übergrossen septimalen Terz, die noch leicht hochtemperiert wird, in der Erweiterung auf 13-Limit alternativ mit dem Intervall 13/10 (welches leicht herabtemperiert wird). Austemperierte [[Komma|Kommas]] sind entsprechend unter anderem:
in 7-Limit: 245/243 (14.19 Cent), der Unterschied zwischen einer grossen Sexte 5/3 und zwei septimalen grossen Terzen 9/7
in 13-Limit: 91/90 (19.13 Cent), der Unterschied zwischen 13/10 und 9/7

Ferner auch [[126_125|126/125 (Starling-Komma, septimales Semikomma)]]
[todo weitere Kommas]

7 Generatorschritte führen oktavreduziert zur Approximation der reinen Quinte 3/2, die Skala aus einem Grundton und 7 Generatorschritten bildet gleichzeitig eine achttönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]]. Weitere MOS-Skalen gibt es mit 11 und 19 Tönen.

[Todo Musikbeispiel]

[[Gleichstufige Tonsysteme]], die Sensi unterstützen, sind unter anderem [[19edo]], [[27edo]] und [[46edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Der Name &amp;amp;quot;Sensi&amp;amp;quot; leitet sich her vom englischen Wort &amp;amp;quot;semi-sixth&amp;amp;quot;, also Halb-Sexte, was sich auf den Generator bezieht, welcher als die Hälfte einer grossen Sexte (5/3) definiert ist, ein ziemlich xenharmonisches Intervall, das zwischen grosser Terz und reiner Quarte liegt. Im 7-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; kann der Sensi-Generator mit dem Intervall 9/7 identifiziert werden, der übergrossen septimalen Terz, die noch leicht hochtemperiert wird, in der Erweiterung auf 13-Limit alternativ mit dem Intervall 13/10 (welches leicht herabtemperiert wird). Austemperierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt; sind entsprechend unter anderem:&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ferner auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="/126_125"&amp;gt;126/125 (Starling-Komma, septimales Semikomma)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
[todo weitere Kommas]&amp;lt;br /&amp;gt;
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7 Generatorschritte führen oktavreduziert zur Approximation der reinen Quinte 3/2, die Skala aus einem Grundton und 7 Generatorschritten bildet gleichzeitig eine achttönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt;. Weitere MOS-Skalen gibt es mit 11 und 19 Tönen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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[Todo Musikbeispiel]&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Der Name "Sensi" leitet sich her vom englischen Wort "semi-sixth", also Halb-Sexte, was sich auf den Generator bezieht, welcher als die Hälfte einer grossen Sexte (5/3) definiert ist, ein ziemlich xenharmonisches Intervall, das zwischen grosser Terz und reiner Quarte liegt. Im 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] kann der Sensi-Generator mit dem Intervall 9/7 identifiziert werden, der übergrossen septimalen Terz, die noch leicht hochtemperiert wird, in der Erweiterung auf 13-Limit alternativ mit dem Intervall 13/10 (welches leicht herabtemperiert wird). Austemperierte [[Komma|Kommas]] sind entsprechend unter anderem:
in 7-Limit: 245/243 (14.19 Cent), derUNterschied zwischen einer grossen Sexte 5/3 und zwei septimalen grossen Terzen 9/7
in 13-Limit: 91/90 (19.13 Cent), der Unterschied zwischen 13/10 und 9/7

[todo weitere Kommas]

7 Generatorschritte führen oktavreduziert zur Approximation der reinen Quinte 3/2, die Skala aus einem Grundton und 7 Generatorschritten bildet gleichzeitig eine achttönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]]. Weitere MOS-Skalen gibt es mit 11 und 19 Tönen.

[Todo Musikbeispiel]

[[Gleichstufige Tonsysteme]], die Sensi unterstützen, sind unter anderem [[19edo]], [[27edo]] und [[46edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Name &amp;amp;quot;Sensi&amp;amp;quot; leitet sich her vom englischen Wort &amp;amp;quot;semi-sixth&amp;amp;quot;, also Halb-Sexte, was sich auf den Generator bezieht, welcher als die Hälfte einer grossen Sexte (5/3) definiert ist, ein ziemlich xenharmonisches Intervall, das zwischen grosser Terz und reiner Quarte liegt. Im 7-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; kann der Sensi-Generator mit dem Intervall 9/7 identifiziert werden, der übergrossen septimalen Terz, die noch leicht hochtemperiert wird, in der Erweiterung auf 13-Limit alternativ mit dem Intervall 13/10 (welches leicht herabtemperiert wird). Austemperierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt; sind entsprechend unter anderem:&amp;lt;br /&amp;gt;
in 7-Limit: 245/243 (14.19 Cent), derUNterschied zwischen einer grossen Sexte 5/3 und zwei septimalen grossen Terzen 9/7&amp;lt;br /&amp;gt;
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[todo weitere Kommas]&amp;lt;br /&amp;gt;
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7 Generatorschritte führen oktavreduziert zur Approximation der reinen Quinte 3/2, die Skala aus einem Grundton und 7 Generatorschritten bildet gleichzeitig eine achttönige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skala&amp;lt;/a&amp;gt;. Weitere MOS-Skalen gibt es mit 11 und 19 Tönen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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[Todo Musikbeispiel]&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt;, die Sensi unterstützen, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/27edo"&amp;gt;27edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/46edo"&amp;gt;46edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Der Name "Sensi" leitet sich her vom englischen Wort "semi-sixth", also Halb-Sexte. Dies bezieht sich auf den Generator dieser Temperatur, welcher als die Hälfte einer grossen Sexte (5/3) definiert ist, ein ziemlich xenharmonisches Intervall, das zwischen grosser Terz und reiner Quarte liegt. Im 7-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]] kann der Sensi-Generator mit dem Intervall 9/7 identifiziert werden, der übergrossen septimalen Terz, die noch leicht hochtemperiert wird, in der Erweiterung auf 13-Limit alternativ mit dem Intervall 13/10 (welches leicht herabtemperiert wird). Austemperierte [[Komma|Kommas]] sind entsprechend unter anderem:

in 7-Limit: 245/243 (14.19 Cent), der Unterschied zwischen einer grossen Sexte 5/3 und zwei septimalen grossen Terzen 9/7

in 13-Limit: 91/90 (19.13 Cent), der Unterschied zwischen 13/10 und 9/7

Ferner auch [[126/125|126/125 (Starling-Komma, septimales Semikomma)]]

[todo weitere Kommas]

7 Generatorschritte führen oktavreduziert zur Approximation der reinen Quinte 3/2, die Skala aus einem Grundton und 7 Generatorschritten bildet gleichzeitig eine achttönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]]. Weitere MOS-Skalen gibt es mit 11 und 19 Tönen.

[[File:sensi8_19edo.mp3]]

Sensi[8]-Skala ssLssLsL, in [[19edo|19edo]]

Die Sensi-Temperatur ist, ähnlich wie die [[Orwell|Orwell-Temperatur]], für traditionsorientierte Musik weniger geeignet, da sie zwar Approximationen für eine Reihe konsonanter Intervalle enthält, jedoch anderer bzw. mit anderen Beziehungen als die für die westliche Tradition bestimmende [[mitteltönig|mitteltönige]]. So enthält die achttönige MOS-Skala keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - die [[Naturterz|reine grosse Terz (5/4)]] enthät sie gar nicht, die reine kleine Terz 6/5 nur in Form des [[126/125|Starling-Vierklangs]]. Hingegen enthält sie enen "Dur"- und einen "Moll"-Dreiklang mit septimalen Terzen 9/7 und 7/6. Damit hat sie einiges Potential für dezidiert xenharmonische Musik.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige Tonsysteme]], die Sensi unterstützen, sind unter anderem [[19edo|19edo]], [[27edo|27edo]] und [[46edo|46edo]].

In 19edo hängen die acht- und die elftönige MOS-Skala so zusammen, das jeweils die eine das Komplement der anderen bildet. (Und die neunzehntönige MOS-Skala degnereriert dort zu der völlig gleichförmigen Skala aus sämtlichen Tönen von 19edo.)  [[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Der Name "Sensi" leitet sich her vom englischen Wort "semi-sixth", also Halb-Sexte. Dies bezieht sich auf den Generator dieser Temperatur, welcher als die Hälfte einer grossen Sexte (5/3) definiert ist, ein ziemlich xenharmonisches Intervall, das zwischen grosser Terz und reiner Quarte liegt. Im 7-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]] kann der Sensi-Generator mit dem Intervall 9/7 identifiziert werden, der übergrossen septimalen Terz, die noch leicht hochtemperiert wird, in der Erweiterung auf 13-Limit alternativ mit dem Intervall 13/10 (welches leicht herabtemperiert wird). Austemperierte [[Komma|Kommas]] sind entsprechend unter anderem:

in 7-Limit: 245/243 (14.19 Cent), der Unterschied zwischen einer grossen Sexte 5/3 und zwei septimalen grossen Terzen 9/7

in 13-Limit: 91/90 (19.13 Cent), der Unterschied zwischen 13/10 und 9/7

Ferner auch [[126/125|126/125 (Starling-Komma, septimales Semikomma)]]

[todo weitere Kommas]

7 Generatorschritte führen oktavreduziert zur Approximation der reinen Quinte 3/2, die Skala aus einem Grundton und 7 Generatorschritten bildet gleichzeitig eine achttönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]]. Weitere MOS-Skalen gibt es mit 11 und 19 Tönen.

[[File:sensi8_19edo.mp3]]

Sensi[8]-Skala ssLssLsL, in [[19edo|19edo]]

Die Sensi-Temperatur ist, ähnlich wie die [[Orwell|Orwell-Temperatur]], für traditionsorientierte Musik weniger geeignet, da sie zwar Approximationen für eine Reihe konsonanter Intervalle enthält, jedoch anderer bzw. mit anderen Beziehungen als die für die westliche Tradition bestimmende [[mitteltönig|mitteltönige]]. So enthält die achttönige MOS-Skala keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - die [[Naturterz|reine grosse Terz (5/4)]] enthät sie gar nicht, die reine kleine Terz 6/5 nur in Form des [[126/125|Starling-Vierklangs]]. Hingegen enthält sie enen "Dur"- und einen "Moll"-Dreiklang mit septimalen Terzen 9/7 und 7/6. Damit hat sie einiges Potential für dezidiert xenharmonische Musik.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige Tonsysteme]], die Sensi unterstützen, sind unter anderem [[19edo|19edo]], [[27edo|27edo]] und [[46edo|46edo]].

In 19edo hängen die acht- und die elftönige MOS-Skala so zusammen, das jeweils die eine das Komplement der anderen bildet. (Und die neunzehntönige MOS-Skala degnereriert dort zu der völlig gleichförmigen Skala aus sämtlichen Tönen von 19edo.)  [[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Der Name "Sensi" leitet sich her vom englischen Wort "semi-sixth", also Halb-Sexte. Dies bezieht sich auf den Generator dieser Temperatur, welcher als die Hälfte einer grossen Sexte (5/3) definiert ist, ein ziemlich xenharmonisches Intervall, das zwischen grosser Terz und reiner Quarte liegt. Im 7-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]] kann der Sensi-Generator mit dem Intervall 9/7 identifiziert werden, der übergrossen septimalen Terz, die noch leicht hochtemperiert wird, in der Erweiterung auf 13-Limit alternativ mit dem Intervall 13/10 (welches leicht herabtemperiert wird). Austemperierte [[Komma|Kommas]] sind entsprechend unter anderem:

in 7-Limit: 245/243 (14.19 Cent), der Unterschied zwischen einer grossen Sexte 5/3 und zwei septimalen grossen Terzen 9/7

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Ferner auch [[126/125|126/125 (Starling-Komma, septimales Semikomma)]]

[todo weitere Kommas]

7 Generatorschritte führen oktavreduziert zur Approximation der reinen Quinte 3/2, die Skala aus einem Grundton und 7 Generatorschritten bildet gleichzeitig eine achttönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]]. Weitere MOS-Skalen gibt es mit 11 und 19 Tönen.

[[File:sensi8_19edo.mp3]]

Sensi[8]-Skala ssLssLsL, in [[19edo|19edo]]

Die Sensi-Temperatur ist, ähnlich wie die [[Orwell|Orwell-Temperatur]], für traditionsorientierte Musik weniger geeignet, da sie zwar Approximationen für eine Reihe konsonanter Intervalle enthält, jedoch anderer bzw. mit anderen Beziehungen als die für die westliche Tradition bestimmende [[mitteltönig|mitteltönige]]. So enthält die achttönige MOS-Skala keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - die [[Naturterz|reine grosse Terz (5/4)]] enthät sie gar nicht, die reine kleine Terz 6/5 nur in Form des [[126/125|Starling-Vierklangs]]. Hingegen enthält sie enen "Dur"- und einen "Moll"-Dreiklang mit septimalen Terzen 9/7 und 7/6. Damit hat sie einiges Potential für dezidiert xenharmonische Musik.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige Tonsysteme]], die Sensi unterstützen, sind unter anderem [[19edo|19edo]], [[27edo|27edo]] und [[46edo|46edo]].

In 19edo hängen die acht- und die elftönige MOS-Skala so zusammen, das jeweils die eine das Komplement der anderen bildet. (Und die neunzehntönige MOS-Skala degnereriert dort zu der völlig gleichförmigen Skala aus sämtlichen Tönen von 19edo.)  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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}}
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Der Name "Sensi" leitet sich her vom englischen Wort "semi-sixth", also Halb-Sexte. Dies bezieht sich auf den Generator dieser Temperatur, welcher als die Hälfte einer grossen Sexte (5/3) definiert ist, ein ziemlich xenharmonisches Intervall, das zwischen grosser Terz und reiner Quarte liegt. Im 7-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]] kann der Sensi-Generator mit dem Intervall 9/7 identifiziert werden, der übergrossen septimalen Terz, die noch leicht hochtemperiert wird, in der Erweiterung auf 13-Limit alternativ mit dem Intervall 13/10 (welches leicht herabtemperiert wird). Austemperierte [[Komma|Kommas]] sind entsprechend unter anderem:

in 7-Limit: 245/243 (14.19 Cent), der Unterschied zwischen einer grossen Sexte 5/3 und zwei septimalen grossen Terzen 9/7

in 13-Limit: 91/90 (19.13 Cent), der Unterschied zwischen 13/10 und 9/7

Ferner auch [[126/125|126/125 (Starling-Komma, septimales Semikomma)]]

[todo weitere Kommas]

7 Generatorschritte führen oktavreduziert zur Approximation der reinen Quinte 3/2, die Skala aus einem Grundton und 7 Generatorschritten bildet gleichzeitig eine achttönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]]. Weitere MOS-Skalen gibt es mit 11 und 19 Tönen.

[[File:sensi8_19edo.mp3]]

Sensi[8]-Skala ssLssLsL, in [[19edo|19edo]]

Die Sensi-Temperatur ist, ähnlich wie die [[Orwell|Orwell-Temperatur]], für traditionsorientierte Musik weniger geeignet, da sie zwar Approximationen für eine Reihe konsonanter Intervalle enthält, jedoch anderer bzw. mit anderen Beziehungen als die für die westliche Tradition bestimmende [[mitteltönig|mitteltönige]]. So enthält die achttönige MOS-Skala keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - die [[Naturterz|reine grosse Terz (5/4)]] enthät sie gar nicht, die reine kleine Terz 6/5 nur in Form des [[126/125|Starling-Vierklangs]]. Hingegen enthält sie enen "Dur"- und einen "Moll"-Dreiklang mit septimalen Terzen 9/7 und 7/6. Damit hat sie einiges Potential für dezidiert xenharmonische Musik.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige Tonsysteme]], die Sensi unterstützen, sind unter anderem [[19edo|19edo]], [[27edo|27edo]] und [[46edo|46edo]].

In 19edo hängen die acht- und die elftönige MOS-Skala so zusammen, das jeweils die eine das Komplement der anderen bildet. (Und die neunzehntönige MOS-Skala degnereriert dort zu der völlig gleichförmigen Skala aus sämtlichen Tönen von 19edo.)  [[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Der Name "Sensi" leitet sich her vom englischen Wort "semi-sixth", also Halb-Sexte. Dies bezieht sich auf den Generator dieser Temperatur, welcher als die Hälfte einer grossen Sexte (5/3) definiert ist, ein ziemlich xenharmonisches Intervall, das zwischen grosser Terz und reiner Quarte liegt. Im 7-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]] kann der Sensi-Generator mit dem Intervall 9/7 identifiziert werden, der übergrossen septimalen Terz, die noch leicht hochtemperiert wird, in der Erweiterung auf 13-Limit alternativ mit dem Intervall 13/10 (welches leicht herabtemperiert wird). Austemperierte [[Komma|Kommas]] sind entsprechend unter anderem:

in 7-Limit: [[245/243]] (14.19 Cent), der Unterschied zwischen einer grossen Sexte 5/3 und zwei septimalen grossen Terzen 9/7

in 13-Limit: 91/90 (19.13 Cent), der Unterschied zwischen 13/10 und 9/7

Ferner auch [[126/125|126/125 (Starling-Komma, septimales Semikomma)]]

[todo weitere Kommas]

7 Generatorschritte führen oktavreduziert zur Approximation der reinen Quinte 3/2, die Skala aus einem Grundton und 7 Generatorschritten bildet gleichzeitig eine achttönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]]. Weitere MOS-Skalen gibt es mit 11 und 19 Tönen.

[[File:sensi8_19edo.mp3]]

Sensi[8]-Skala ssLssLsL, in [[19edo|19edo]]

Die Sensi-Temperatur ist, ähnlich wie die [[Orwell|Orwell-Temperatur]], für traditionsorientierte Musik weniger geeignet, da sie zwar Approximationen für eine Reihe konsonanter Intervalle enthält, jedoch anderer bzw. mit anderen Beziehungen als die für die westliche Tradition bestimmende [[mitteltönig|mitteltönige]]. So enthält die achttönige MOS-Skala keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - die [[Naturterz|reine grosse Terz (5/4)]] enthät sie gar nicht, die reine kleine Terz 6/5 nur in Form des [[126/125|Starling-Vierklangs]]. Hingegen enthält sie enen "Dur"- und einen "Moll"-Dreiklang mit septimalen Terzen 9/7 und 7/6. Damit hat sie einiges Potential für dezidiert xenharmonische Musik.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige Tonsysteme]], die Sensi unterstützen, sind unter anderem [[19edo|19edo]], [[27edo|27edo]] und [[46edo|46edo]].

In 19edo hängen die acht- und die elftönige MOS-Skala so zusammen, das jeweils die eine das Komplement der anderen bildet. (Und die neunzehntönige MOS-Skala degnereriert dort zu der völlig gleichförmigen Skala aus sämtlichen Tönen von 19edo.)  [[Category:Temperament]]
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}}
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Der Name "Sensi" leitet sich her vom englischen Wort "semi-sixth", also Halb-Sexte. Dies bezieht sich auf den Generator dieser Temperatur, welcher als die Hälfte einer grossen Sexte (5/3) definiert ist, ein ziemlich xenharmonisches Intervall, das zwischen grosser Terz und reiner Quarte liegt. Im 7-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]] kann der Sensi-Generator mit dem Intervall 9/7 identifiziert werden, der übergrossen septimalen Terz, die noch leicht hochtemperiert wird, in der Erweiterung auf 13-Limit alternativ mit dem Intervall 13/10 (welches leicht herabtemperiert wird). Austemperierte [[Komma|Kommas]] sind entsprechend unter anderem:

in 7-Limit: [[245/243]] (14.19 Cent), der Unterschied zwischen einer grossen Sexte 5/3 und zwei septimalen grossen Terzen 9/7

in 13-Limit: 91/90 (19.13 Cent), der Unterschied zwischen 13/10 und 9/7

Zusätzlich wird das [[Starling-Komma oder septimales Semikomma 126/125|126/125]] austemperiert, was dazu führt, dass das Übereinanderschichten von drei grossen Sexten (also sechs septimalen grossen Terzen) oktavbereinigt zur Approximation einer [[7/6|septimalen kleinen Terz 7/6]] führt.

Die Kombination einer septimalen kleinen und einer septimalen grossen Terz führt zu einer Quinte; sieben Generatorschritte führen also oktavreduziert zur Approximation der reinen Quinte 3/2. Die Skala aus einem Grundton und 7 Generatorschritten bildet gleichzeitig eine achttönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]]. Weitere MOS-Skalen gibt es mit 11 und 19 Tönen.

[[File:sensi8_19edo.mp3]]

Sensi[8]-Skala ssLssLsL, in [[19edo|19edo]]

Die Sensi-Temperatur ist, ähnlich wie die [[Orwell|Orwell-Temperatur]], für traditionsorientierte Musik weniger geeignet, da sie zwar Approximationen für eine Reihe konsonanter Intervalle enthält, jedoch anderer bzw. mit anderen Beziehungen als die für die westliche Tradition bestimmende [[mitteltönig|mitteltönige]]. So enthält die achttönige MOS-Skala keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - die [[Naturterz|reine grosse Terz (5/4)]] enthät sie gar nicht, die reine kleine Terz 6/5 nur in Form des [[126/125|Starling-Vierklangs]]. Hingegen enthält sie enen "Dur"- und einen "Moll"-Dreiklang mit septimalen Terzen 9/7 und 7/6. Damit hat sie einiges Potential für dezidiert xenharmonische Musik.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige Tonsysteme]], die Sensi unterstützen, sind unter anderem [[19edo|19edo]], [[27edo|27edo]] und [[46edo|46edo]].

In 19edo hängen die acht- und die elftönige MOS-Skala so zusammen, das jeweils die eine das Komplement der anderen bildet. (Und die neunzehntönige MOS-Skala degnereriert dort zu der völlig gleichförmigen Skala aus sämtlichen Tönen von 19edo.)  [[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Der Name "Sensi" leitet sich her vom englischen Wort "semi-sixth", also Halb-Sexte. Dies bezieht sich auf den Generator dieser Temperatur, welcher als die Hälfte einer grossen Sexte (5/3) definiert ist, ein ziemlich xenharmonisches Intervall, das zwischen grosser Terz und reiner Quarte liegt. Im 7-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]] kann der Sensi-Generator mit dem Intervall 9/7 identifiziert werden, der übergrossen septimalen Terz, die noch leicht hochtemperiert wird, in der Erweiterung auf 13-Limit alternativ mit dem Intervall 13/10 (welches leicht herabtemperiert wird). Austemperierte [[Komma|Kommas]] sind in 7-Limit:

[[245/243]] (14.19 Cent), der Unterschied zwischen einer grossen Sexte 5/3 und zwei septimalen grossen Terzen 9/7

in 13-Limit ausserdem: 91/90 (19.13 Cent), der Unterschied zwischen 13/10 und 9/7

[[126/125]] (13.79 Cent, Starling-Komma oder septimales Semikomma), der Unterschied zwischen drei kleinen Terzen 6/5 und dem Komplement einer septimalen Terz 7/6 - oder dem zwischen drei grossen Sexten 5/3 (also sechs septimalen grossen Terzen) und oktavbereinigt einer [[7/6|septimalen kleinen Terz 7/6]].

Die Kombination einer septimalen kleinen und einer septimalen grossen Terz führt zu einer Quinte; sieben Generatorschritte führen also oktavreduziert zur Approximation der reinen Quinte 3/2. Die Skala aus einem Grundton und 7 Generatorschritten bildet gleichzeitig eine achttönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]]. Weitere MOS-Skalen gibt es mit 11 und 19 Tönen.

[[File:sensi8_19edo.mp3]]

Sensi[8]-Skala ssLssLsL, in [[19edo|19edo]]

Die Sensi-Temperatur ist, ähnlich wie die [[Orwell|Orwell-Temperatur]], für traditionsorientierte Musik weniger geeignet, da sie zwar Approximationen für eine Reihe konsonanter Intervalle enthält, jedoch anderer bzw. mit anderen Beziehungen als die für die westliche Tradition bestimmende [[mitteltönig|mitteltönige]]. So enthält die achttönige MOS-Skala keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - die [[Naturterz|reine grosse Terz (5/4)]] enthät sie gar nicht, die reine kleine Terz 6/5 nur in Form des [[126/125|Starling-Vierklangs]]. Hingegen enthält sie enen "Dur"- und einen "Moll"-Dreiklang mit septimalen Terzen 9/7 und 7/6. Damit hat sie einiges Potential für dezidiert xenharmonische Musik.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige Tonsysteme]], die Sensi unterstützen, sind unter anderem [[19edo|19edo]], [[27edo|27edo]] und [[46edo|46edo]].

In 19edo hängen die acht- und die elftönige MOS-Skala so zusammen, das jeweils die eine das Komplement der anderen bildet. (Und die neunzehntönige MOS-Skala degnereriert dort zu der völlig gleichförmigen Skala aus sämtlichen Tönen von 19edo.)  [[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Der Name "Sensi" leitet sich her vom englischen Wort "semi-sixth", also Halb-Sexte. Dies bezieht sich auf den Generator dieser Temperatur, welcher als die Hälfte einer grossen Sexte (5/3) definiert ist, ein ziemlich xenharmonisches Intervall, das zwischen grosser Terz und reiner Quarte liegt. Im 7-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]] kann der Sensi-Generator mit dem Intervall 9/7 identifiziert werden, der übergrossen septimalen Terz, die noch leicht hochtemperiert wird.

Austemperierte [[Komma|Kommas]] sind in 7-Limit:

[[245/243]] (14.19 Cent), der Unterschied zwischen einer grossen Sexte 5/3 und zwei septimalen grossen Terzen 9/7.

[[126/125]] (13.79 Cent, Starling-Komma oder septimales Semikomma), der Unterschied zwischen drei kleinen Terzen 6/5 und dem Komplement einer septimalen Terz 7/6 - oder dem zwischen drei grossen Sexten 5/3 (also sechs septimalen grossen Terzen) und oktavbereinigt einer [[7/6|septimalen kleinen Terz 7/6]].

=Grundlegende Eigenschaften=
Die Kombination einer septimalen kleinen und einer septimalen grossen Terz führt zu einer Quinte, sieben Generatorschritte führen also oktavreduziert zur Approximation der reinen Quinte 3/2. Die Skala aus einem Grundton und 7 Generatorschritten bildet gleichzeitig eine achttönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]]. Weitere MOS-Skalen gibt es mit 11 und 19 Tönen.

[[File:sensi8_19edo.mp3]]

Sensi[8]-Skala ssLssLsL, in [[19edo|19edo]]

Die Sensi-Temperatur ist, ähnlich wie die [[Orwell|Orwell-Temperatur]], für traditionsorientierte Musik weniger geeignet, da sie zwar Approximationen für eine Reihe konsonanter Intervalle enthält, jedoch anderer bzw. mit anderen Beziehungen als die für die westliche Tradition bestimmende [[mitteltönig|mitteltönige]]. So enthält die achttönige MOS-Skala keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - die [[Naturterz|reine grosse Terz (5/4)]] enthät sie gar nicht, die reine kleine Terz 6/5 nur in Form des [[126/125|Starling-Vierklangs]]. Hingegen enthält sie enen "Dur"- und einen "Moll"-Dreiklang mit septimalen Terzen 9/7 und 7/6. Damit hat sie einiges Potential für dezidiert xenharmonische Musik.

=Gleichstufige Tonsysteme=
[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige Tonsysteme]], die Sensi unterstützen, sind unter anderem [[19edo|19edo]], [[27edo|27edo]] und [[46edo|46edo]].

In 19edo hängen die acht- und die elftönige MOS-Skala so zusammen, das jeweils die eine das Komplement der anderen bildet. (Und die neunzehntönige MOS-Skala degnereriert dort zu der völlig gleichförmigen Skala aus sämtlichen Tönen von 19edo.)  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]
=Varianten=
Eine kanonische Erweiterung auf 13-Limit ergibt sich durch zusätlziches Austemperieren von 91/90 (19.13 Cent), dem Unterschied zwischen 13/10 und 9/7. Der Generator dort kann sowohl als hochtemperiertes 9/7 als auch als herabtemperiertes 13/10 angesehen werden.</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Der Name "Sensi" leitet sich her vom englischen Wort "semi-sixth", also Halb-Sexte. Dies bezieht sich auf den Generator dieser Temperatur, welcher als die Hälfte einer grossen Sexte (5/3) definiert ist, ein ziemlich xenharmonisches Intervall, das zwischen grosser Terz und reiner Quarte liegt. Im 7-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]] kann der Sensi-Generator mit dem Intervall 9/7 identifiziert werden, der übergrossen septimalen Terz, die noch leicht hochtemperiert wird.

Austemperierte [[Komma|Kommas]] sind in 7-Limit:

[[245/243]] (14.19 Cent), der Unterschied zwischen einer grossen Sexte 5/3 und zwei septimalen grossen Terzen 9/7.

[[126/125]] (13.79 Cent, Starling-Komma oder septimales Semikomma), der Unterschied zwischen drei kleinen Terzen 6/5 und dem Komplement einer septimalen Terz 7/6 - oder dem zwischen drei grossen Sexten 5/3 (also sechs septimalen grossen Terzen) und oktavbereinigt einer [[7/6|septimalen kleinen Terz 7/6]].

=Grundlegende Eigenschaften=
Die Kombination einer septimalen kleinen und einer septimalen grossen Terz führt zu einer Quinte, sieben Generatorschritte führen also oktavreduziert zur Approximation der reinen Quinte 3/2. Die Skala aus einem Grundton und 7 Generatorschritten bildet gleichzeitig eine achttönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]]. Weitere MOS-Skalen gibt es mit 11 und 19 Tönen.

[[File:sensi8_19edo.mp3]]

Sensi[8]-Skala ssLssLsL, in [[19edo|19edo]]

Die Sensi-Temperatur ist, ähnlich wie die [[Orwell|Orwell-Temperatur]], für traditionsorientierte Musik weniger geeignet, da sie zwar Approximationen für eine Reihe konsonanter Intervalle enthält, jedoch anderer bzw. mit anderen Beziehungen als die für die westliche Tradition bestimmende [[mitteltönig|mitteltönige]]. So enthält die achttönige MOS-Skala keinen herkömmlichen Dur- oder Molldreiklang - die [[Naturterz|reine grosse Terz (5/4)]] enthät sie gar nicht, die reine kleine Terz 6/5 nur in Form des [[126/125|Starling-Vierklangs]]. Hingegen enthält sie enen "Dur"- und einen "Moll"-Dreiklang mit septimalen Terzen 9/7 und 7/6. Damit hat sie einiges Potential für dezidiert xenharmonische Musik.

=Gleichstufige Tonsysteme=
[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige Tonsysteme]], die Sensi unterstützen, sind unter anderem [[19edo|19edo]], [[27edo|27edo]] und [[46edo|46edo]].

In 19edo hängen die acht- und die elftönige MOS-Skala so zusammen, das jeweils die eine das Komplement der anderen bildet. (Und die neunzehntönige MOS-Skala degnereriert dort zu der völlig gleichförmigen Skala aus sämtlichen Tönen von 19edo.)  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]
=Varianten=
Eine kanonische Erweiterung auf 13-Limit ergibt sich durch Austemperieren von 91/90 (19.13 Cent), dem Unterschied zwischen 13/10 und 9/7. Der Generator kann dann sowohl als hochtemperiertes 9/7 als auch als herabtemperiertes 13/10 angesehen werden.</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

[[mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die "ursprüngliche" [[mitteltönig|mitteltönige Temperatur]] basiert auf den Intervallen Quinte und grosse Terz und ist somit auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]] definiert. Die septimal-mitteltönige Temperatur ist eine Erweiterung auf 7-Limit-Intervalle, insbesondere die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Aus dem entsprechenden vierdimensionalen Intervallraum erhält man sie, indem man ausser dem syntonischen Komma noch die Kommas [[126/125|126/125]] (kleines septimales Komma, Starling-Komma) und [[225/224|225/224]] (septimales Kleisma) austemperiert.

Da die Konstruktion der mitteltönigen wesentlich das Tieferstimmen der reinen Quinte beinhaltet, folgt daraus, dass auch Ganztöne im Vergleich zur reinen Stimmung etwas tiefer gestimmt werden, die kleine Septime als Komplement zum Ganzton dagegen etwas höher. Die harmonische Septime, mit 968.826 Cent noch tiefer als die reine kleine Septime (16/9, 996.09 Cent), kann deshalb nicht gut als mitteltönige kleine Septime erscheinen. (Dies übrigens im Gegensatz zur [[Pajara|Pajara]]-Temperatur!)

Stattdessen gilt in der septimal-mitteltönigen Stimmung, dass das Intervall aus 5 übereinandergeschichteten Ganztönen (oder oktavbereinigt 10 Quinten) dem Intervall 7/4 entspricht. In gängiger musikalischer (bzw. mitteltöniger) Logik schreibt sich das als übermässige Sexte (C-Ais).

9 Quinten ergeben oktavreduziert die Approximation der septimalen kleine Terz 7/6, in mitteltöniger Logik eine übermässige Sekunde (C-Dis).

Aus dem Austemperieren des Kommas 126/125 folgt, dass das Komplement dieses Intervalls drei kleinen Terzen 6/5 entspricht,und ein septimal-mitteltöniger verminderter Septakkord aus drei Approximationen von 6/5 und einer von 7/6 besteht. Dieser Akkord wird auch '''Starling-Vierklang''' genannt.

Aus dem Austemperieren des Kommas 225/224 schliesslich folgt, dass das Komplement der übergrossen septimalen Terz 9/7 zwei grossen Terzen 5/4 entspricht, und ensprechend die Existenz eines übermässigen Dreiklangs aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz (genannt '''Marvel-Dreiklang''').

Ein gutes septimal-mitteltöniges [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufiges]] System ist [[31edo|31edo]], ein akzeptables ist [[19edo|19edo]] . [[12edo|12edo]] kann als Grenzfall dazugezählt werden, mit der Besonderheit, dass C-B (kleine Septime) und C-Ais (übermässige Sexte) zusammenfallen (ebenso wie auch die beiden kleinen Terzen 6/5 und 7/6). Allerdings ist die Approximation des Intervalls 7/4 (generell der 7-Limit-Intervalle) in 12edo eher schlecht.  [[Category:Temperament]]
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]
[[mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die "ursprüngliche" [[mitteltönig|mitteltönige Temperatur]] basiert auf den Intervallen Quinte und grosse Terz und ist somit auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]] definiert. Die septimal-mitteltönige Temperatur ist eine Erweiterung auf 7-Limit-Intervalle, insbesondere die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Aus dem entsprechenden vierdimensionalen Intervallraum erhält man sie, indem man ausser dem syntonischen Komma noch die Kommas [[126_125|126/125]] (kleines septimales Komma, Starling-Komma) und [[225_224|225/224]] (septimales Kleisma) austemperiert.

Da die Konstruktion der mitteltönigen wesentlich das Tieferstimmen der reinen Quinte beinhaltet, folgt daraus, dass auch Ganztöne im Vergleich zur reinen Stimmung etwas tiefer gestimmt werden, die kleine Septime als Komplement zum Ganzton dagegen etwas höher. Die harmonische Septime, mit 968.826 Cent noch tiefer als die reine kleine Septime (16/9, 996.09 Cent), kann deshalb nicht gut als mitteltönige kleine Septime erscheinen. (Dies übrigens im Gegensatz zur [[Pajara]]-Temperatur!)

Stattdessen gilt in der septimal-mitteltönigen Stimmung, dass das Intervall aus 5 übereinandergeschichteten Ganztönen (oder oktavbereinigt 10 Quinten) dem Intervall 7/4 entspricht. In gängiger musikalischer (bzw. mitteltöniger) Logik schreibt sich das als übermässige Sexte (C-Ais).

9 Quinten ergeben oktavreduziert die Approximation der septimalen kleine Terz 7/6, in mitteltöniger Logik eine übermässige Sekunde (C-Dis).
Aus dem Austemperieren des Kommas 126/125 folgt, dass das Komplement dieses Intervalls drei kleinen Terzen 6/5 entspricht,und ein septimal-mitteltöniger verminderter Septakkord aus drei Approximationen von 6/5 und einer von 7/6 besteht. Dieser Akkord wird auch **Starling-Vierklang** genannt.

Aus dem Austemperieren des Kommas 225/224 schliesslich folgt, dass das Komplement der übergrossen septimalen Terz 9/7 zwei grossen Terzen 5/4 entspricht, und ensprechend die Existenz eines übermässigen Dreiklangs aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz (genannt **Marvel-Dreiklang**).

Ein gutes septimal-mitteltöniges [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiges]] System ist [[31edo]], ein akzeptables ist [[19edo]] . [[12edo]] kann als Grenzfall dazugezählt werden, mit der Besonderheit, dass C-B (kleine Septime) und C-Ais (übermässige Sexte) zusammenfallen (ebenso wie auch die beiden kleinen Terzen 6/5 und 7/6). Allerdings ist die Approximation des Intervalls 7/4 (generell der 7-Limit-Intervalle) in 12edo eher schlecht.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Die &amp;amp;quot;ursprüngliche&amp;amp;quot; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; basiert auf den Intervallen Quinte und grosse Terz und ist somit auf dem dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; definiert. Die septimal-mitteltönige Temperatur ist eine Erweiterung auf 7-Limit-Intervalle, insbesondere die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;. Aus dem entsprechenden vierdimensionalen Intervallraum erhält man sie, indem man ausser dem syntonischen Komma noch die Kommas &amp;lt;a class="wiki_link" href="/126_125"&amp;gt;126/125&amp;lt;/a&amp;gt; (kleines septimales Komma, Starling-Komma) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;225/224&amp;lt;/a&amp;gt; (septimales Kleisma) austemperiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Da die Konstruktion der mitteltönigen wesentlich das Tieferstimmen der reinen Quinte beinhaltet, folgt daraus, dass auch Ganztöne im Vergleich zur reinen Stimmung etwas tiefer gestimmt werden, die kleine Septime als Komplement zum Ganzton dagegen etwas höher. Die harmonische Septime, mit 968.826 Cent noch tiefer als die reine kleine Septime (16/9, 996.09 Cent), kann deshalb nicht gut als mitteltönige kleine Septime erscheinen. (Dies übrigens im Gegensatz zur &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur!)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Stattdessen gilt in der septimal-mitteltönigen Stimmung, dass das Intervall aus 5 übereinandergeschichteten Ganztönen (oder oktavbereinigt 10 Quinten) dem Intervall 7/4 entspricht. In gängiger musikalischer (bzw. mitteltöniger) Logik schreibt sich das als übermässige Sexte (C-Ais).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
9 Quinten ergeben oktavreduziert die Approximation der septimalen kleine Terz 7/6, in mitteltöniger Logik eine übermässige Sekunde (C-Dis).&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus dem Austemperieren des Kommas 126/125 folgt, dass das Komplement dieses Intervalls drei kleinen Terzen 6/5 entspricht,und ein septimal-mitteltöniger verminderter Septakkord aus drei Approximationen von 6/5 und einer von 7/6 besteht. Dieser Akkord wird auch &amp;lt;strong&amp;gt;Starling-Vierklang&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus dem Austemperieren des Kommas 225/224 schliesslich folgt, dass das Komplement der übergrossen septimalen Terz 9/7 zwei grossen Terzen 5/4 entspricht, und ensprechend die Existenz eines übermässigen Dreiklangs aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz (genannt &amp;lt;strong&amp;gt;Marvel-Dreiklang&amp;lt;/strong&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ein gutes septimal-mitteltöniges &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufiges&amp;lt;/a&amp;gt; System ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, ein akzeptables ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; . &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; kann als Grenzfall dazugezählt werden, mit der Besonderheit, dass C-B (kleine Septime) und C-Ais (übermässige Sexte) zusammenfallen (ebenso wie auch die beiden kleinen Terzen 6/5 und 7/6). Allerdings ist die Approximation des Intervalls 7/4 (generell der 7-Limit-Intervalle) in 12edo eher schlecht.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]
[[mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die "ursprüngliche" [[mitteltönig|mitteltönige Temperatur]] basiert auf den Intervallen Quinte und grosse Terz und ist somit auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]] definiert. Die septimal-mitteltönige Temperatur ist eine Erweiterung auf 7-Limit-Intervalle, insbesondere die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Aus dem entsprechenden vierdimensionalen Intervallraum erhält man sie, indem man ausser dem syntonischen Komma noch die Kommas [[126_125|126/125]] (kleines septimales Komma, Starling-Komma) und [[225_224|225/224]] (septimales Kleisma) austemperiert.

Da die Konstruktion der mitteltönigen wesentlich das Tieferstimmen der reinen Quinte beinhaltet, folgt daraus, dass auch Ganztöne im Vergleich zur reinen Stimmung etwas tiefer gestimmt werden, die kleine Septime als Komplement zum Ganzton dagegen etwas höher. Die harmonische Septime, mit 968.826 Cent noch tiefer als die reine kleine Septime (16/9, 996.09 Cent), kann deshalb nicht gut als mitteltönige kleine Septime erscheinen. (Dies übrigens im Gegensatz zur [[Pajara]]-Temperatur!)

Stattdessen gilt in der septimal-mitteltönigen Stimmung, dass das Intervall aus 5 übereinandergeschichteten Ganztönen (oder oktavbereinigt 10 Quinten) dem Intervall 7/4 entspricht. In gängiger musikalischer (bzw. mitteltöniger) Logik schreibt sich das als übermässige Sexte (C-Ais).

9 Quinten ergeben oktavreduziert die Approximation der septimalen kleine Terz 7/6, in mitteltöniger Logik eine übermässige Sekunde (C-Dis).
Aus dem Austemperieren des Kommas 126/125 folgt, dass das Komplement dieses Intervalls drei kleinen Terzen 6/5 entspricht,und ein septimal-mitteltöniger verminderter Septakkord aus drei Approximationen von 6/5 und einer von 7/6 besteht. Dieser Akkord wird auch **Starling-Vierklang** genannt.

Aus dem Austemperieren des Kommas 225/224 schliesslich folgt, dass das Komplement der übergrossen septimalen Terz 9/7 zwei grossen Terzen 5/4 entspricht, und ensprechend die Existenz eines übermässigen Dreiklangs aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz.

Ein gutes septimal-mitteltöniges [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiges]] System ist [[31edo]], ein akzeptables ist [[19edo]] . [[12edo]] kann als Grenzfall dazugezählt werden, mit der Besonderheit, dass C-B (kleine Septime) und C-Ais (übermässige Sexte) zusammenfallen (ebenso wie auch die beiden kleinen Terzen 6/5 und 7/6). Allerdings ist die Approximation des Intervalls 7/4 (generell der 7-Limit-Intervalle) in 12edo eher schlecht.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die &amp;amp;quot;ursprüngliche&amp;amp;quot; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; basiert auf den Intervallen Quinte und grosse Terz und ist somit auf dem dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; definiert. Die septimal-mitteltönige Temperatur ist eine Erweiterung auf 7-Limit-Intervalle, insbesondere die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;. Aus dem entsprechenden vierdimensionalen Intervallraum erhält man sie, indem man ausser dem syntonischen Komma noch die Kommas &amp;lt;a class="wiki_link" href="/126_125"&amp;gt;126/125&amp;lt;/a&amp;gt; (kleines septimales Komma, Starling-Komma) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;225/224&amp;lt;/a&amp;gt; (septimales Kleisma) austemperiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Da die Konstruktion der mitteltönigen wesentlich das Tieferstimmen der reinen Quinte beinhaltet, folgt daraus, dass auch Ganztöne im Vergleich zur reinen Stimmung etwas tiefer gestimmt werden, die kleine Septime als Komplement zum Ganzton dagegen etwas höher. Die harmonische Septime, mit 968.826 Cent noch tiefer als die reine kleine Septime (16/9, 996.09 Cent), kann deshalb nicht gut als mitteltönige kleine Septime erscheinen. (Dies übrigens im Gegensatz zur &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur!)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Stattdessen gilt in der septimal-mitteltönigen Stimmung, dass das Intervall aus 5 übereinandergeschichteten Ganztönen (oder oktavbereinigt 10 Quinten) dem Intervall 7/4 entspricht. In gängiger musikalischer (bzw. mitteltöniger) Logik schreibt sich das als übermässige Sexte (C-Ais).&amp;lt;br /&amp;gt;
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9 Quinten ergeben oktavreduziert die Approximation der septimalen kleine Terz 7/6, in mitteltöniger Logik eine übermässige Sekunde (C-Dis).&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus dem Austemperieren des Kommas 126/125 folgt, dass das Komplement dieses Intervalls drei kleinen Terzen 6/5 entspricht,und ein septimal-mitteltöniger verminderter Septakkord aus drei Approximationen von 6/5 und einer von 7/6 besteht. Dieser Akkord wird auch &amp;lt;strong&amp;gt;Starling-Vierklang&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Aus dem Austemperieren des Kommas 225/224 schliesslich folgt, dass das Komplement der übergrossen septimalen Terz 9/7 zwei grossen Terzen 5/4 entspricht, und ensprechend die Existenz eines übermässigen Dreiklangs aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ein gutes septimal-mitteltöniges &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufiges&amp;lt;/a&amp;gt; System ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, ein akzeptables ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; . &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; kann als Grenzfall dazugezählt werden, mit der Besonderheit, dass C-B (kleine Septime) und C-Ais (übermässige Sexte) zusammenfallen (ebenso wie auch die beiden kleinen Terzen 6/5 und 7/6). Allerdings ist die Approximation des Intervalls 7/4 (generell der 7-Limit-Intervalle) in 12edo eher schlecht.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_meantone_temperament|Septimal meantone temperament (Wikipedia)]]

Die "ursprüngliche" [[mitteltönig|mitteltönige Temperatur]] basiert auf den Intervallen Quinte und grosse Terz und ist somit auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]] definiert. Die septimal-mitteltönige Temperatur ist eine Erweiterung auf 7-Limit-Intervalle, insbesondere die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Aus dem entsprechenden vierdimensionalen Intervallraum erhält man sie, indem man ausser dem syntonischen Komma noch die Kommas [[126_125|126/125]] (kleines septimales Komma, Starling-Komma) und [[225_224|225/224]] (septimales Kleisma) austemperiert.

Da die Konstruktion der mitteltönigen wesentlich das Tieferstimmen der reinen Quinte beinhaltet, folgt daraus, dass auch Ganztöne im Vergleich zur reinen Stimmung etwas tiefer gestimmt werden, die kleine Septime als Komplement zum Ganzton dagegen etwas höher. Die harmonische Septime, mit 968.826 Cent noch tiefer als die reine kleine Septime (16/9, 996.09 Cent), kann deshalb nicht gut als mitteltönige kleine Septime erscheinen. (Dies übrigens im Gegensatz zur [[Pajara]]-Temperatur!)

Stattdessen gilt in der septimal-mitteltönigen Stimmung, dass das Intervall aus 5 übereinandergeschichteten Ganztönen (oder oktavbereinigt 10 Quinten) dem Intervall 7/4 entspricht. In gängiger musikalischer (bzw. mitteltöniger) Logik schreibt sich das als übermässige Sexte (C-Ais).

9 Quinten ergeben oktavreduziert die Approximation der septimalen kleine Terz 7/6, in mitteltöniger Logik eine übermässige Sekunde (C-Dis).
Aus dem Austemperieren des Kommas 126/125 folgt, dass das Komplement dieses Intervalls drei kleinen Terzen 6/5 entspricht,und ein septimal-mitteltöniger verminderter Septakkord aus drei Approximationen von 6/5 und einer von 7/6 besteht. Dieser Akkord wird auch **Starling-Vierklang** genannt.

Aus dem Austemperieren des Kommas 225/224 schliesslich folgt, dass das Komplement der übergrossen septimalen Terz 9/7 zwei grossen Terzen 5/4 entspricht, und ensprechend die Existenz eines übermässigen Dreiklangs aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz.

Ein gutes septimal-mitteltöniges [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiges]] System ist [[31edo]], ein akzeptables ist [[19edo]] . [[12edo]] kann als Grenzfall dazugezählt werden, mit der Besonderheit, dass C-B (kleine Septime) und C-Ais (übermässige Sexte) zusammenfallen (ebenso wie auch die beiden kleinen Terzen 6/5 und 7/6). Allerdings ist die Approximation des Intervalls 7/4 (generell der 7-Limit-Intervalle) in 12edo eher schlecht.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_meantone_temperament" rel="nofollow"&amp;gt;Septimal meantone temperament (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die &amp;amp;quot;ursprüngliche&amp;amp;quot; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; basiert auf den Intervallen Quinte und grosse Terz und ist somit auf dem dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; definiert. Die septimal-mitteltönige Temperatur ist eine Erweiterung auf 7-Limit-Intervalle, insbesondere die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;. Aus dem entsprechenden vierdimensionalen Intervallraum erhält man sie, indem man ausser dem syntonischen Komma noch die Kommas &amp;lt;a class="wiki_link" href="/126_125"&amp;gt;126/125&amp;lt;/a&amp;gt; (kleines septimales Komma, Starling-Komma) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;225/224&amp;lt;/a&amp;gt; (septimales Kleisma) austemperiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Da die Konstruktion der mitteltönigen wesentlich das Tieferstimmen der reinen Quinte beinhaltet, folgt daraus, dass auch Ganztöne im Vergleich zur reinen Stimmung etwas tiefer gestimmt werden, die kleine Septime als Komplement zum Ganzton dagegen etwas höher. Die harmonische Septime, mit 968.826 Cent noch tiefer als die reine kleine Septime (16/9, 996.09 Cent), kann deshalb nicht gut als mitteltönige kleine Septime erscheinen. (Dies übrigens im Gegensatz zur &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur!)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Stattdessen gilt in der septimal-mitteltönigen Stimmung, dass das Intervall aus 5 übereinandergeschichteten Ganztönen (oder oktavbereinigt 10 Quinten) dem Intervall 7/4 entspricht. In gängiger musikalischer (bzw. mitteltöniger) Logik schreibt sich das als übermässige Sexte (C-Ais).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
9 Quinten ergeben oktavreduziert die Approximation der septimalen kleine Terz 7/6, in mitteltöniger Logik eine übermässige Sekunde (C-Dis).&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus dem Austemperieren des Kommas 126/125 folgt, dass das Komplement dieses Intervalls drei kleinen Terzen 6/5 entspricht,und ein septimal-mitteltöniger verminderter Septakkord aus drei Approximationen von 6/5 und einer von 7/6 besteht. Dieser Akkord wird auch &amp;lt;strong&amp;gt;Starling-Vierklang&amp;lt;/strong&amp;gt; genannt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus dem Austemperieren des Kommas 225/224 schliesslich folgt, dass das Komplement der übergrossen septimalen Terz 9/7 zwei grossen Terzen 5/4 entspricht, und ensprechend die Existenz eines übermässigen Dreiklangs aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein gutes septimal-mitteltöniges &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufiges&amp;lt;/a&amp;gt; System ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, ein akzeptables ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; . &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; kann als Grenzfall dazugezählt werden, mit der Besonderheit, dass C-B (kleine Septime) und C-Ais (übermässige Sexte) zusammenfallen (ebenso wie auch die beiden kleinen Terzen 6/5 und 7/6). Allerdings ist die Approximation des Intervalls 7/4 (generell der 7-Limit-Intervalle) in 12edo eher schlecht.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2016-04-26 11:39:05 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English:
[[xenharmonic/Meantone family#Septimal%20meantone|xenharmonic/Septimal meantone]]
[[https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_meantone_temperament|Septimal meantone temperament (Wikipedia)]]

Die "ursprüngliche" [[mitteltönig|mitteltönige Temperatur]] basiert auf den Intervallen Quinte und grosse Terz und ist somit auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]] definiert. Die septimal-mitteltönige Temperatur ist eine Erweiterung auf 7-Limit-Intervalle, insbesondere die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Aus dem entsprechenden vierdimensionalen Intervallraum erhält man sie, indem man ausser dem syntonischen Komma noch die Kommas [[126_125|126/125]] (kleines septimales Komma, Starling-Komma) und [[225_224|225/224]] (septimales Kleisma) austemperiert.

Da die Konstruktion der mitteltönigen wesentlich das Tieferstimmen der reinen Quinte beinhaltet, folgt daraus, dass auch Ganztöne im Vergleich zur reinen Stimmung etwas tiefer gestimmt werden, die kleine Septime als Komplement zum Ganzton dagegen etwas höher. Die harmonische Septime, mit 968.826 Cent noch tiefer als die reine kleine Septime (16/9, 996.09 Cent), kann deshalb nicht gut als mitteltönige kleine Septime erscheinen. (Dies übrigens im Gegensatz zur [[Pajara]]-Temperatur!)

Stattdessen gilt in der septimal-mitteltönigen Stimmung, dass das Intervall aus 5 übereinandergeschichteten Ganztönen (oder oktavbereinigt 10 Quinten) dem Intervall 7/4 entspricht. In gängiger musikalischer (bzw. mitteltöniger) Logik schreibt sich das als übermässige Sexte (C-Ais). 

9 Quinten ergeben oktavreduziert die Approximation der septimalen kleine Terz 7/6, in mitteltöniger Logik eine übermässige Sekunde (C-Dis).
Aus dem Austemperieren des Kommas 126/125 folgt, dass das Komplement dieses Intervalls drei kleinen Terzen 6/5 entspricht,und ein septimal-mitteltöniger verminderter Septakkord aus drei Approximationen von 6/5 und einer von 7/6 besteht. Dieser Akkord wird auch Starling-Vierklang genannt.

Ein gutes septimal-mitteltöniges [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiges]] System ist [[31edo]], ein akzeptables ist [[19edo]] . [[12edo]] kann als Grenzfall dazugezählt werden, mit der Besonderheit, dass C-B (kleine Septime) und C-Ais (übermässige Sexte) zusammenfallen (ebenso wie auch die beiden kleinen Terzen 6/5 und 7/6). Allerdings ist die Approximation des Intervalls 7/4 (generell der 7-Limit-Intervalle) in 12edo eher schlecht.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;septimal-mitteltönig&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Meantone%20family#Septimal%20meantone"&amp;gt;xenharmonic/Septimal meantone&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_meantone_temperament" rel="nofollow"&amp;gt;Septimal meantone temperament (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die &amp;amp;quot;ursprüngliche&amp;amp;quot; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; basiert auf den Intervallen Quinte und grosse Terz und ist somit auf dem dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; definiert. Die septimal-mitteltönige Temperatur ist eine Erweiterung auf 7-Limit-Intervalle, insbesondere die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;. Aus dem entsprechenden vierdimensionalen Intervallraum erhält man sie, indem man ausser dem syntonischen Komma noch die Kommas &amp;lt;a class="wiki_link" href="/126_125"&amp;gt;126/125&amp;lt;/a&amp;gt; (kleines septimales Komma, Starling-Komma) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;225/224&amp;lt;/a&amp;gt; (septimales Kleisma) austemperiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Da die Konstruktion der mitteltönigen wesentlich das Tieferstimmen der reinen Quinte beinhaltet, folgt daraus, dass auch Ganztöne im Vergleich zur reinen Stimmung etwas tiefer gestimmt werden, die kleine Septime als Komplement zum Ganzton dagegen etwas höher. Die harmonische Septime, mit 968.826 Cent noch tiefer als die reine kleine Septime (16/9, 996.09 Cent), kann deshalb nicht gut als mitteltönige kleine Septime erscheinen. (Dies übrigens im Gegensatz zur &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur!)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Stattdessen gilt in der septimal-mitteltönigen Stimmung, dass das Intervall aus 5 übereinandergeschichteten Ganztönen (oder oktavbereinigt 10 Quinten) dem Intervall 7/4 entspricht. In gängiger musikalischer (bzw. mitteltöniger) Logik schreibt sich das als übermässige Sexte (C-Ais). &amp;lt;br /&amp;gt;
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9 Quinten ergeben oktavreduziert die Approximation der septimalen kleine Terz 7/6, in mitteltöniger Logik eine übermässige Sekunde (C-Dis).&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus dem Austemperieren des Kommas 126/125 folgt, dass das Komplement dieses Intervalls drei kleinen Terzen 6/5 entspricht,und ein septimal-mitteltöniger verminderter Septakkord aus drei Approximationen von 6/5 und einer von 7/6 besteht. Dieser Akkord wird auch Starling-Vierklang genannt.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ein gutes septimal-mitteltöniges &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufiges&amp;lt;/a&amp;gt; System ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, ein akzeptables ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; . &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; kann als Grenzfall dazugezählt werden, mit der Besonderheit, dass C-B (kleine Septime) und C-Ais (übermässige Sexte) zusammenfallen (ebenso wie auch die beiden kleinen Terzen 6/5 und 7/6). Allerdings ist die Approximation des Intervalls 7/4 (generell der 7-Limit-Intervalle) in 12edo eher schlecht.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[xenharmonic/Meantone family#Septimal%20meantone|xenharmonic/Septimal meantone]]
[[https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_meantone_temperament|Septimal meantone temperament (Wikipedia)]]

Die "ursprüngliche" [[mitteltönig|mitteltönige Temperatur]] basiert auf den Intervallen Quinte und grosse Terz und ist somit auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]] definiert. Die septimal-mitteltönige Temperatur ist eine Erweiterung auf 7-Limit-Intervalle, insbesondere die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Aus dem entsprechenden vierdimensionalen Intervallraum erhält man sie, indem man ausser dem syntonischen Komma noch die Kommas [[126_125|126/125]] und [[225_224|225/224]] austemperiert.

Da die Konstruktion der mitteltönigen wesentlich das Tieferstimmen der reinen Quinte beinhaltet, folgt daraus, dass auch Ganztöne im Vergleich zur reinen Stimmung etwas tiefer gestimmt werden, die kleine Septime als Komplement zum Ganzton dagegen etwas höher. Die harmonische Septime, mit 968.826 Cent noch tiefer als die reine kleine Septime (16/9, 996.09 Cent), kann deshalb nicht gut als mitteltönige kleine Septime erscheinen. (Dies übrigens im Gegensatz zur [[Pajara]]-Temperatur!)

Stattdessen gilt in der septimal-mitteltönigen Stimmung, dass das Intervall aus 5 übereinandergeschichteten Ganztönen (oder oktavbereinigt 10 Quinten) dem Intervall 7/4 entspricht. In gängiger musikalischer (bzw. mitteltöniger) Logik schreibt sich das als übermässige Sexte (C-Ais).

Ein gutes septimal-mitteltöniges [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiges]] System ist [[31edo]], ein akzeptables ist [[19edo]] . [[12edo]] kann als Grenzfall dazugezählt werden, mit der Besonderheit, dass C-B (kleine Septime) und C-Ais (übermässige Sexte) zusammenfallen. Allerdings ist die Approximation des Intervalls 7/4 in 12edo eher schlecht.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Meantone%20family#Septimal%20meantone"&amp;gt;xenharmonic/Septimal meantone&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_meantone_temperament" rel="nofollow"&amp;gt;Septimal meantone temperament (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die &amp;amp;quot;ursprüngliche&amp;amp;quot; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; basiert auf den Intervallen Quinte und grosse Terz und ist somit auf dem dreidimensionalen 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; definiert. Die septimal-mitteltönige Temperatur ist eine Erweiterung auf 7-Limit-Intervalle, insbesondere die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;. Aus dem entsprechenden vierdimensionalen Intervallraum erhält man sie, indem man ausser dem syntonischen Komma noch die Kommas &amp;lt;a class="wiki_link" href="/126_125"&amp;gt;126/125&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;225/224&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Da die Konstruktion der mitteltönigen wesentlich das Tieferstimmen der reinen Quinte beinhaltet, folgt daraus, dass auch Ganztöne im Vergleich zur reinen Stimmung etwas tiefer gestimmt werden, die kleine Septime als Komplement zum Ganzton dagegen etwas höher. Die harmonische Septime, mit 968.826 Cent noch tiefer als die reine kleine Septime (16/9, 996.09 Cent), kann deshalb nicht gut als mitteltönige kleine Septime erscheinen. (Dies übrigens im Gegensatz zur &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur!)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Stattdessen gilt in der septimal-mitteltönigen Stimmung, dass das Intervall aus 5 übereinandergeschichteten Ganztönen (oder oktavbereinigt 10 Quinten) dem Intervall 7/4 entspricht. In gängiger musikalischer (bzw. mitteltöniger) Logik schreibt sich das als übermässige Sexte (C-Ais).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ein gutes septimal-mitteltöniges &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufiges&amp;lt;/a&amp;gt; System ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, ein akzeptables ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; . &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; kann als Grenzfall dazugezählt werden, mit der Besonderheit, dass C-B (kleine Septime) und C-Ais (übermässige Sexte) zusammenfallen. Allerdings ist die Approximation des Intervalls 7/4 in 12edo eher schlecht.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[xenharmonic/Meantone family#Septimal%20meantone|xenharmonic/Septimal meantone]]
[[https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_meantone_temperament|Septimal meantone temperament (Wikipedia)]]

Die "ursprüngliche" [[mitteltönig|mitteltönige Temperatur]] basiert auf den Intervallen Quinte und grosse Terz und ist somit auf dem 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]] definiert. Die septimal-mitteltönige Temperatur ist eine Erweiterung auf 7-Limit-Intervalle, insbesondere die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]].

[[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|Mathematisch]] erhält man die septimal-mitteltönige Temperatur aus dem vierdimensionalen Intervallraum, indem neben ausser syntonischen Komma noch die Kommas [[126_125|126/125]] und [[225_224|225/224]] austemperiert werden.

Da die Konstruktion der mitteltönigen wesentlich das Tieferstimmen der reinen Quinte beinhaltet, folgt daraus, dass auch Ganztöne im Vergleich zur reinen Stimmung etwas tiefer gestimmt werden, die kleine Septime als Komplement zum Ganzton dagegen etwas höher. Die harmonische Septime, mit 968.826 Cent noch tiefer als die reine kleine Septime (16/9, 996.09 Cent), kann deshalb nicht gut als mitteltönige kleine Septime erscheinen. (Dies übrigens im Gegensatz zur [[Pajara]]-Temperatur!)

Stattdessen gilt in der septimal-mitteltönigen Stimmung, dass das Intervall aus 5 übereinandergeschichteten Ganztönen (oder oktavbereinigt 10 Quinten) dem Intervall 7/4 entspricht. In gängiger musikalischer (bzw. mitteltöniger) Logik schreibt sich das als übermässige Sexte (C-Ais).

Ein gutes septimal-mitteltöniges [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiges]] System ist [[31edo]], ein akzeptables ist [[19edo]] . [[12edo]] kann als Grenzfall dazugezählt werden, mit der Besonderheit, dass C-B (kleine Septime) und C-Ais (übermässige Sexte) zusammenfallen. Allerdings ist die Approximation des Intervalls 7/4 in 12edo eher schlecht.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Meantone%20family#Septimal%20meantone"&amp;gt;xenharmonic/Septimal meantone&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_meantone_temperament" rel="nofollow"&amp;gt;Septimal meantone temperament (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die &amp;amp;quot;ursprüngliche&amp;amp;quot; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; basiert auf den Intervallen Quinte und grosse Terz und ist somit auf dem 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; definiert. Die septimal-mitteltönige Temperatur ist eine Erweiterung auf 7-Limit-Intervalle, insbesondere die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Mathematisch&amp;lt;/a&amp;gt; erhält man die septimal-mitteltönige Temperatur aus dem vierdimensionalen Intervallraum, indem neben ausser syntonischen Komma noch die Kommas &amp;lt;a class="wiki_link" href="/126_125"&amp;gt;126/125&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/225_224"&amp;gt;225/224&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert werden.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Da die Konstruktion der mitteltönigen wesentlich das Tieferstimmen der reinen Quinte beinhaltet, folgt daraus, dass auch Ganztöne im Vergleich zur reinen Stimmung etwas tiefer gestimmt werden, die kleine Septime als Komplement zum Ganzton dagegen etwas höher. Die harmonische Septime, mit 968.826 Cent noch tiefer als die reine kleine Septime (16/9, 996.09 Cent), kann deshalb nicht gut als mitteltönige kleine Septime erscheinen. (Dies übrigens im Gegensatz zur &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur!)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Stattdessen gilt in der septimal-mitteltönigen Stimmung, dass das Intervall aus 5 übereinandergeschichteten Ganztönen (oder oktavbereinigt 10 Quinten) dem Intervall 7/4 entspricht. In gängiger musikalischer (bzw. mitteltöniger) Logik schreibt sich das als übermässige Sexte (C-Ais).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Ein gutes septimal-mitteltöniges &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufiges&amp;lt;/a&amp;gt; System ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, ein akzeptables ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; . &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; kann als Grenzfall dazugezählt werden, mit der Besonderheit, dass C-B (kleine Septime) und C-Ais (übermässige Sexte) zusammenfallen. Allerdings ist die Approximation des Intervalls 7/4 in 12edo eher schlecht.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-08-15 10:49:39 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English:
[[xenharmonic/Meantone family#Septimal%20meantone|xenharmonic/Septimal meantone]]
[[https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_meantone_temperament|Septimal meantone temperament (Wikipedia)]]

Die "ursprüngliche" [[mitteltönig|mitteltönige Temperatur]] basiert auf den Intervallen Quinte und grosse Terz und ist somit auf dem 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]] definiert. Die septimal-mitteltönige Temperatur ist eine Erweiterung auf 7-Limit-Intervalle, insbesondere die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]].

Da die Konstruktion der mitteltönigen wesentlich das Tieferstimmen der reinen Quinte beinhaltet, folgt daraus, dass auch Ganztöne im Vergleich zur reinen Stimmung etwas tiefer gestimmt werden, die kleine Septime als Komplement zum Ganzton dagegen etwas höher. Die harmonische Septime, mit 968.826 Cent noch tiefer als die reine kleine Septime (16/9, 996.09 Cent), kann deshalb nicht gut als mitteltönige kleine Septime erscheinen. (Dies übrigens im Gegensatz zur [[Pajara]]-Temperatur!)

Stattdessen gilt in der septimal-mitteltönigen Stimmung, dass das Intervall aus 5 übereinandergeschichteten Ganztönen (oder oktavbereinigt 10 Quinten) dem Intervall 7/4 entspricht. In gängiger musikalischer (bzw. mitteltöniger) Logik schreibt sich das als übermässige Sexte (C-Ais).

Ein gutes septimal-mitteltöniges [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiges]] System ist [[31edo]], ein akzeptables ist [[19edo]] . [[12edo]] kann als Grenzfall dazugezählt werden, mit der Besonderheit, dass C-B (kleine Septime) und C-Ais (übermässige Sexte) zusammenfallen. Allerdings ist die Approximation des Intervalls 7/4 in 12edo eher schlecht.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;septimal-mitteltönig&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Meantone%20family#Septimal%20meantone"&amp;gt;xenharmonic/Septimal meantone&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_meantone_temperament" rel="nofollow"&amp;gt;Septimal meantone temperament (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;amp;quot;ursprüngliche&amp;amp;quot; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; basiert auf den Intervallen Quinte und grosse Terz und ist somit auf dem 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; definiert. Die septimal-mitteltönige Temperatur ist eine Erweiterung auf 7-Limit-Intervalle, insbesondere die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Da die Konstruktion der mitteltönigen wesentlich das Tieferstimmen der reinen Quinte beinhaltet, folgt daraus, dass auch Ganztöne im Vergleich zur reinen Stimmung etwas tiefer gestimmt werden, die kleine Septime als Komplement zum Ganzton dagegen etwas höher. Die harmonische Septime, mit 968.826 Cent noch tiefer als die reine kleine Septime (16/9, 996.09 Cent), kann deshalb nicht gut als mitteltönige kleine Septime erscheinen. (Dies übrigens im Gegensatz zur &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur!)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Stattdessen gilt in der septimal-mitteltönigen Stimmung, dass das Intervall aus 5 übereinandergeschichteten Ganztönen (oder oktavbereinigt 10 Quinten) dem Intervall 7/4 entspricht. In gängiger musikalischer (bzw. mitteltöniger) Logik schreibt sich das als übermässige Sexte (C-Ais).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Ein gutes septimal-mitteltöniges &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufiges&amp;lt;/a&amp;gt; System ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, ein akzeptables ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; . &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; kann als Grenzfall dazugezählt werden, mit der Besonderheit, dass C-B (kleine Septime) und C-Ais (übermässige Sexte) zusammenfallen. Allerdings ist die Approximation des Intervalls 7/4 in 12edo eher schlecht.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-07-18 07:13:19 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English:
[[xenharmonic/Meantone family#Septimal%20meantone|xenharmonic/Septimal meantone]]
[[https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_meantone_temperament|Septimal meantone temperament (Wikipedia)]]

Die "ursprüngliche" [[mitteltönig|mitteltönige Temperatur]] basiert auf den Intervallen Quinte und grosse Terz und ist somit auf dem 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]] definiert. Die septimal-mitteltönige Temperatur ist eine Erweiterung auf 7-Limit-Intervalle, insbesondere die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]].

Da die Konstruktion der mitteltönigen wesentlich das Tieferstimmen der reinen Quinte beinhaltet, folgt daraus, dass auch Ganztöne im Vergleich zur reinen Stimmung etwas tiefer gestimmt werden, die kleine Septime als Komplement zum Ganzton dagegen etwas höher. Die harmonische Septime, mit 968.826 Cent noch tiefer als die reine kleine Septime (16/9, 996.09 Cent), kann deshalb nicht gut als mitteltönige kleine Septime erscheinen. (Dies übrigens im Gegensatz zur [[Pajara]]-Temperatur!)

Stattdessen gilt in der septimal-mitteltönigen Stimmung, dass das Intervall aus 5 übereinandergeschichteten Ganztönen (oder oktavbereinigt 10 Quinten) dem Intervall 7/4 entspricht. In gängiger musikalischer (bzw. mitteltöniger) Logik schreibt sich das als übermässige Sexte (C-Ais).

[[19edo]] und [[31edo]] sind septimal-mitteltönige Systeme.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Meantone%20family#Septimal%20meantone"&amp;gt;xenharmonic/Septimal meantone&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_meantone_temperament" rel="nofollow"&amp;gt;Septimal meantone temperament (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;amp;quot;ursprüngliche&amp;amp;quot; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; basiert auf den Intervallen Quinte und grosse Terz und ist somit auf dem 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; definiert. Die septimal-mitteltönige Temperatur ist eine Erweiterung auf 7-Limit-Intervalle, insbesondere die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Da die Konstruktion der mitteltönigen wesentlich das Tieferstimmen der reinen Quinte beinhaltet, folgt daraus, dass auch Ganztöne im Vergleich zur reinen Stimmung etwas tiefer gestimmt werden, die kleine Septime als Komplement zum Ganzton dagegen etwas höher. Die harmonische Septime, mit 968.826 Cent noch tiefer als die reine kleine Septime (16/9, 996.09 Cent), kann deshalb nicht gut als mitteltönige kleine Septime erscheinen. (Dies übrigens im Gegensatz zur &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur!)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Stattdessen gilt in der septimal-mitteltönigen Stimmung, dass das Intervall aus 5 übereinandergeschichteten Ganztönen (oder oktavbereinigt 10 Quinten) dem Intervall 7/4 entspricht. In gängiger musikalischer (bzw. mitteltöniger) Logik schreibt sich das als übermässige Sexte (C-Ais).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; sind septimal-mitteltönige Systeme.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English:
[[xenharmonic/Meantone family#Septimal%20meantone|xenharmonic/Septimal meantone]]
[[https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_meantone_temperament|Septimal meantone temperament (Wikipedia)]]

Die "ursprüngliche" [[mitteltönig|mitteltönige Temperatur]] basiert auf den Intervallen Quinte und grosse Terz und ist somit auf dem 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]] definiert. Die septimal-mitteltönige Temperatur ist eine Erweiterung auf 7-Limit-Intervalle, insbesondere die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]].

Da die Konstruktion der mitteltönigen wesentlich das Tieferstimmen der reinen Quinte beinhaltet, folgt daraus, dass auch Ganztöne im Vergleich zur reinen Stimmung etwas tiefer gestimmt werden, die kleine Septime als Komplement zum Ganzton dagegen etwas höher. Die harmonische Septime, die noch tiefer als die reine kleine Septime ist, kann deshalb nicht gut als mitteltönige kleine Septime erscheinen. (Dies übrigens im Gegensatz zur [[Pajara]]-Temperatur!)

Stattdessen gilt in der septimal-mitteltönigen Stimmung, dass das Intervall aus 5 übereinandergeschichteten Ganztönen (oder oktavbereinigt 10 Quinten) dem Intervall 7/4 entspricht. In gängiger musikalischer (bzw. mitteltöniger Logik schreibt sich das als übermässige Sexte (C-Ais).

[[19edo]] und [[31edo]] sind septimal-mitteltönige Systeme.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Meantone%20family#Septimal%20meantone"&amp;gt;xenharmonic/Septimal meantone&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_meantone_temperament" rel="nofollow"&amp;gt;Septimal meantone temperament (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die &amp;amp;quot;ursprüngliche&amp;amp;quot; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; basiert auf den Intervallen Quinte und grosse Terz und ist somit auf dem 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; definiert. Die septimal-mitteltönige Temperatur ist eine Erweiterung auf 7-Limit-Intervalle, insbesondere die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Da die Konstruktion der mitteltönigen wesentlich das Tieferstimmen der reinen Quinte beinhaltet, folgt daraus, dass auch Ganztöne im Vergleich zur reinen Stimmung etwas tiefer gestimmt werden, die kleine Septime als Komplement zum Ganzton dagegen etwas höher. Die harmonische Septime, die noch tiefer als die reine kleine Septime ist, kann deshalb nicht gut als mitteltönige kleine Septime erscheinen. (Dies übrigens im Gegensatz zur &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur!)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Stattdessen gilt in der septimal-mitteltönigen Stimmung, dass das Intervall aus 5 übereinandergeschichteten Ganztönen (oder oktavbereinigt 10 Quinten) dem Intervall 7/4 entspricht. In gängiger musikalischer (bzw. mitteltöniger Logik schreibt sich das als übermässige Sexte (C-Ais).&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/19edo"&amp;gt;19edo&amp;lt;/a&amp;gt; und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt; sind septimal-mitteltönige Systeme.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonic/Meantone family#Septimal%20meantone|xenharmonic/Septimal meantone]]
[[https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_meantone_temperament|Septimal meantone temperament (Wikipedia)]]

Die "ursprüngliche" [[mitteltönig|mitteltönige Temperatur]] basiert auf den Interavllen Quinte und grosse Terz und ist somit auf dem 5-[[Limit]]-[[Intervallraum]] definiert. Die septimal-mitteltönige Temperatur ist eine Erweiterung auf 7-Limit-Intervalle, insbesondere die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]].

Da die Konstruktion der mitteltönigen wesentlich das Tieferstimmen der reinen Quinte beinhaltet, folgt daraus, dass auch Ganztöne im Vergleich zur reinen Stimmung etwas tiefer gestimmt werden, die kleine Septime als Komplement zum Ganzton dagegen etwas höher. Die harmonische Septime, die noch tiefer als die reine kleine Septime ist, kann deshalb nicht gut als mitteltönige kleine Septime erscheinen. (Dies übrigens im Gegensatz zur [[Pajara]]-Temperatur!)

Stattdessen gilt in der septimal-mitteltönigen Stimmung, dass das Intervall aus 5 übereinandergeschichteten Ganztönen (oder oktavbereinigt 10 Quinten) dem Intervall 7/4 entspricht. In gängiger musikalischer (bzw. mitteltöniger Logik schreibt sich das als übermässige Sexte (C-Ais).

[[19edo]] und [[31edo]] sind septimal-mitteltönige Systeme.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;septimal-mitteltönig&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Meantone%20family#Septimal%20meantone"&amp;gt;xenharmonic/Septimal meantone&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_meantone_temperament" rel="nofollow"&amp;gt;Septimal meantone temperament (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die &amp;amp;quot;ursprüngliche&amp;amp;quot; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; basiert auf den Interavllen Quinte und grosse Terz und ist somit auf dem 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; definiert. Die septimal-mitteltönige Temperatur ist eine Erweiterung auf 7-Limit-Intervalle, insbesondere die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Da die Konstruktion der mitteltönigen wesentlich das Tieferstimmen der reinen Quinte beinhaltet, folgt daraus, dass auch Ganztöne im Vergleich zur reinen Stimmung etwas tiefer gestimmt werden, die kleine Septime als Komplement zum Ganzton dagegen etwas höher. Die harmonische Septime, die noch tiefer als die reine kleine Septime ist, kann deshalb nicht gut als mitteltönige kleine Septime erscheinen. (Dies übrigens im Gegensatz zur &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt;-Temperatur!)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Stattdessen gilt in der septimal-mitteltönigen Stimmung, dass das Intervall aus 5 übereinandergeschichteten Ganztönen (oder oktavbereinigt 10 Quinten) dem Intervall 7/4 entspricht. In gängiger musikalischer (bzw. mitteltöniger Logik schreibt sich das als übermässige Sexte (C-Ais).&amp;lt;br /&amp;gt;
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[[xenharmonic/Meantone family#Septimal%20meantone|xenharmonic/Septimal meantone]]
[[https://en.wikipedia.org/wiki/Septimal_meantone_temperament|Septimal meantone temperament (Wikipedia)]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

[[mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die "ursprüngliche" [[mitteltönig|mitteltönige Temperatur]] basiert auf den Intervallen Quinte und grosse Terz und ist somit auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]] definiert. Die septimal-mitteltönige Temperatur ist eine Erweiterung auf 7-Limit-Intervalle, insbesondere die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Aus dem entsprechenden vierdimensionalen Intervallraum erhält man sie, indem man ausser dem syntonischen Komma noch die Kommas [[126/125|126/125]] (kleines septimales Komma, Starling-Komma) und [[225/224|225/224]] (septimales Kleisma) austemperiert.

Da die Konstruktion der mitteltönigen wesentlich das Tieferstimmen der reinen Quinte beinhaltet, folgt daraus, dass auch Ganztöne im Vergleich zur reinen Stimmung etwas tiefer gestimmt werden, die kleine Septime als Komplement zum Ganzton dagegen etwas höher. Die harmonische Septime, mit 968.826 Cent noch tiefer als die reine kleine Septime (16/9, 996.09 Cent), kann deshalb nicht gut als mitteltönige kleine Septime erscheinen. (Dies übrigens im Gegensatz zur [[Pajara|Pajara]]-Temperatur!)

Stattdessen gilt in der septimal-mitteltönigen Stimmung, dass das Intervall aus 5 übereinandergeschichteten Ganztönen (oder oktavbereinigt 10 Quinten) dem Intervall 7/4 entspricht. In gängiger musikalischer (bzw. mitteltöniger) Logik schreibt sich das als übermässige Sexte (C-Ais).

9 Quinten ergeben oktavreduziert die Approximation der septimalen kleine Terz 7/6, in mitteltöniger Logik eine übermässige Sekunde (C-Dis).

Aus dem Austemperieren des Kommas 126/125 folgt, dass das Komplement dieses Intervalls drei kleinen Terzen 6/5 entspricht,und ein septimal-mitteltöniger verminderter Septakkord aus drei Approximationen von 6/5 und einer von 7/6 besteht. Dieser Akkord wird auch '''Starling-Vierklang''' genannt.

Aus dem Austemperieren des Kommas 225/224 schliesslich folgt, dass das Komplement der übergrossen septimalen Terz 9/7 zwei grossen Terzen 5/4 entspricht, und ensprechend die Existenz eines übermässigen Dreiklangs aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz (genannt '''Marvel-Dreiklang''').

Ein gutes septimal-mitteltöniges [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufiges]] System ist [[31edo|31edo]], ein akzeptables ist [[19edo|19edo]] . [[12edo|12edo]] kann als Grenzfall dazugezählt werden, mit der Besonderheit, dass C-B (kleine Septime) und C-Ais (übermässige Sexte) zusammenfallen (ebenso wie auch die beiden kleinen Terzen 6/5 und 7/6). Allerdings ist die Approximation des Intervalls 7/4 (generell der 7-Limit-Intervalle) in 12edo eher schlecht.  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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[[en:Meantone_family-Septimal_meantone|English]]

[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

[[mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die "ursprüngliche" [[mitteltönig|mitteltönige Temperatur]] basiert auf den Intervallen Quinte und grosse Terz und ist somit auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]] definiert. Die septimal-mitteltönige Temperatur ist eine Erweiterung auf 7-Limit-Intervalle, insbesondere die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Aus dem entsprechenden vierdimensionalen Intervallraum erhält man sie, indem man ausser dem syntonischen Komma noch die Kommas [[126/125|126/125]] (kleines septimales Komma, Starling-Komma) und [[225/224|225/224]] (septimales Kleisma) austemperiert.

Da die Konstruktion der mitteltönigen wesentlich das Tieferstimmen der reinen Quinte beinhaltet, folgt daraus, dass auch Ganztöne im Vergleich zur reinen Stimmung etwas tiefer gestimmt werden, die kleine Septime als Komplement zum Ganzton dagegen etwas höher. Die harmonische Septime, mit 968.826 Cent noch tiefer als die reine kleine Septime (16/9, 996.09 Cent), kann deshalb nicht gut als mitteltönige kleine Septime erscheinen. (Dies übrigens im Gegensatz zur [[Pajara|Pajara]]-Temperatur!)

Stattdessen gilt in der septimal-mitteltönigen Stimmung, dass das Intervall aus 5 übereinandergeschichteten Ganztönen (oder oktavbereinigt 10 Quinten) dem Intervall 7/4 entspricht. In gängiger musikalischer (bzw. mitteltöniger) Logik schreibt sich das als übermässige Sexte (C-Ais).

9 Quinten ergeben oktavreduziert die Approximation der septimalen kleine Terz 7/6, in mitteltöniger Logik eine übermässige Sekunde (C-Dis).

Aus dem Austemperieren des Kommas 126/125 folgt, dass das Komplement dieses Intervalls drei kleinen Terzen 6/5 entspricht,und ein septimal-mitteltöniger verminderter Septakkord aus drei Approximationen von 6/5 und einer von 7/6 besteht. Dieser Akkord wird auch '''Starling-Vierklang''' genannt.

Aus dem Austemperieren des Kommas 225/224 schliesslich folgt, dass das Komplement der übergrossen septimalen Terz 9/7 zwei grossen Terzen 5/4 entspricht, und ensprechend die Existenz eines übermässigen Dreiklangs aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz (genannt '''Marvel-Dreiklang''').

Ein gutes septimal-mitteltöniges [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufiges]] System ist [[31edo|31edo]], ein akzeptables ist [[19edo|19edo]] . [[12edo|12edo]] kann als Grenzfall dazugezählt werden, mit der Besonderheit, dass C-B (kleine Septime) und C-Ais (übermässige Sexte) zusammenfallen (ebenso wie auch die beiden kleinen Terzen 6/5 und 7/6). Allerdings ist die Approximation des Intervalls 7/4 (generell der 7-Limit-Intervalle) in 12edo eher schlecht.  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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[[en:Meantone_family#Septimal_meantone|English]]

[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

[[mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die "ursprüngliche" [[mitteltönig|mitteltönige Temperatur]] basiert auf den Intervallen Quinte und grosse Terz und ist somit auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]] definiert. Die septimal-mitteltönige Temperatur ist eine Erweiterung auf 7-Limit-Intervalle, insbesondere die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Aus dem entsprechenden vierdimensionalen Intervallraum erhält man sie, indem man ausser dem syntonischen Komma noch die Kommas [[126/125|126/125]] (kleines septimales Komma, Starling-Komma) und [[225/224|225/224]] (septimales Kleisma) austemperiert.

Da die Konstruktion der mitteltönigen wesentlich das Tieferstimmen der reinen Quinte beinhaltet, folgt daraus, dass auch Ganztöne im Vergleich zur reinen Stimmung etwas tiefer gestimmt werden, die kleine Septime als Komplement zum Ganzton dagegen etwas höher. Die harmonische Septime, mit 968.826 Cent noch tiefer als die reine kleine Septime (16/9, 996.09 Cent), kann deshalb nicht gut als mitteltönige kleine Septime erscheinen. (Dies übrigens im Gegensatz zur [[Pajara|Pajara]]-Temperatur!)

Stattdessen gilt in der septimal-mitteltönigen Stimmung, dass das Intervall aus 5 übereinandergeschichteten Ganztönen (oder oktavbereinigt 10 Quinten) dem Intervall 7/4 entspricht. In gängiger musikalischer (bzw. mitteltöniger) Logik schreibt sich das als übermässige Sexte (C-Ais).

9 Quinten ergeben oktavreduziert die Approximation der septimalen kleine Terz 7/6, in mitteltöniger Logik eine übermässige Sekunde (C-Dis).

Aus dem Austemperieren des Kommas 126/125 folgt, dass das Komplement dieses Intervalls drei kleinen Terzen 6/5 entspricht,und ein septimal-mitteltöniger verminderter Septakkord aus drei Approximationen von 6/5 und einer von 7/6 besteht. Dieser Akkord wird auch '''Starling-Vierklang''' genannt.

Aus dem Austemperieren des Kommas 225/224 schliesslich folgt, dass das Komplement der übergrossen septimalen Terz 9/7 zwei grossen Terzen 5/4 entspricht, und ensprechend die Existenz eines übermässigen Dreiklangs aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz (genannt '''Marvel-Dreiklang''').

Ein gutes septimal-mitteltöniges [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufiges]] System ist [[31edo|31edo]], ein akzeptables ist [[19edo|19edo]] . [[12edo|12edo]] kann als Grenzfall dazugezählt werden, mit der Besonderheit, dass C-B (kleine Septime) und C-Ais (übermässige Sexte) zusammenfallen (ebenso wie auch die beiden kleinen Terzen 6/5 und 7/6). Allerdings ist die Approximation des Intervalls 7/4 (generell der 7-Limit-Intervalle) in 12edo eher schlecht.  [[Category:Temperament]]
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[[en:Meantone_family#Septimal_meantone|English]]

[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

[[mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die "ursprüngliche" [[mitteltönig|mitteltönige Temperatur]] basiert auf den Intervallen Quinte und grosse Terz und ist somit auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]] definiert. Die septimal-mitteltönige Temperatur ist eine Erweiterung auf 7-Limit-Intervalle, insbesondere die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Aus dem entsprechenden vierdimensionalen Intervallraum erhält man sie, indem man ausser dem syntonischen Komma noch die Kommas [[126/125|126/125]] (kleines septimales Komma, Starling-Komma) und [[225/224|225/224]] (septimales Kleisma) austemperiert.

Da die Konstruktion der mitteltönigen wesentlich das Tieferstimmen der reinen Quinte beinhaltet, folgt daraus, dass auch Ganztöne im Vergleich zur reinen Stimmung etwas tiefer gestimmt werden, die kleine Septime als Komplement zum Ganzton dagegen etwas höher. Die harmonische Septime, mit 968.826 Cent noch tiefer als die reine kleine Septime (16/9, 996.09 Cent), kann deshalb nicht gut als mitteltönige kleine Septime erscheinen. (Dies übrigens im Gegensatz zur [[Pajara|Pajara]]-Temperatur!)

Stattdessen gilt in der septimal-mitteltönigen Stimmung, dass das Intervall aus 5 übereinandergeschichteten Ganztönen (oder oktavbereinigt 10 Quinten) dem Intervall 7/4 entspricht. In gängiger musikalischer (bzw. mitteltöniger) Logik schreibt sich das als übermässige Sexte (C-Ais).

9 Quinten ergeben oktavreduziert die Approximation der septimalen kleine Terz 7/6, in mitteltöniger Logik eine übermässige Sekunde (C-Dis).

Aus dem Austemperieren des Kommas 126/125 folgt, dass das Komplement dieses Intervalls drei kleinen Terzen 6/5 entspricht,und ein septimal-mitteltöniger verminderter Septakkord aus drei Approximationen von 6/5 und einer von 7/6 besteht. Dieser Akkord wird auch '''Starling-Vierklang''' genannt.

Aus dem Austemperieren des Kommas 225/224 schliesslich folgt, dass das Komplement der übergrossen septimalen Terz 9/7 zwei grossen Terzen 5/4 entspricht, und ensprechend die Existenz eines übermässigen Dreiklangs aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz (genannt '''Marvel-Dreiklang''').

Ein gutes septimal-mitteltöniges [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufiges]] System ist [[31-EDO]], ein akzeptables ist [[19-EDO]] . [[12-EDO]] kann als Grenzfall dazugezählt werden, mit der Besonderheit, dass C-B (kleine Septime) und C-Ais (übermässige Sexte) zusammenfallen (ebenso wie auch die beiden kleinen Terzen 6/5 und 7/6). Allerdings ist die Approximation des Intervalls 7/4 (generell der 7-Limit-Intervalle) in 12-EDO eher schlecht.  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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[[en:Meantone_family#Septimal_meantone|English]]

[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

[[mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die "ursprüngliche" [[mitteltönig|mitteltönige Temperatur]] basiert auf den Intervallen Quinte und grosse Terz und ist somit auf dem dreidimensionalen 5-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]] definiert. Die septimal-mitteltönige Temperatur ist eine Erweiterung auf 7-Limit-Intervalle, insbesondere die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]]. Aus dem entsprechenden vierdimensionalen Intervallraum erhält man sie, indem man ausser dem syntonischen Komma noch die Kommas [[126/125|126/125]] (kleines septimales Komma, Starling-Komma) und [[225/224|225/224]] (septimales Kleisma) austemperiert.

Da die Konstruktion der mitteltönigen wesentlich das Tieferstimmen der reinen Quinte beinhaltet, folgt daraus, dass auch Ganztöne im Vergleich zur reinen Stimmung etwas tiefer gestimmt werden, die kleine Septime als Komplement zum Ganzton dagegen etwas höher. Die harmonische Septime, mit 968.826 Cent noch tiefer als die reine kleine Septime (16/9, 996.09 Cent), kann deshalb nicht gut als mitteltönige kleine Septime erscheinen. (Dies übrigens im Gegensatz zur [[Pajara|Pajara]]-Temperatur!)

Stattdessen gilt in der septimal-mitteltönigen Stimmung, dass das Intervall aus 5 übereinandergeschichteten Ganztönen (oder oktavbereinigt 10 Quinten) dem Intervall 7/4 entspricht. In gängiger musikalischer (bzw. mitteltöniger) Logik schreibt sich das als übermässige Sexte (C-Ais).

9 Quinten ergeben oktavreduziert die Approximation der septimalen kleine Terz 7/6, in mitteltöniger Logik eine übermässige Sekunde (C-Dis).

Aus dem Austemperieren des Kommas 126/125 folgt, dass das Komplement des Intervalls 7/6 drei kleinen Terzen 6/5 entspricht,und ein septimal-mitteltöniger verminderter Septakkord aus drei Approximationen von 6/5 und einer von 7/6 besteht. Dieser Akkord wird auch '''Starling-Vierklang''' genannt.

Aus dem Austemperieren des Kommas 225/224 schliesslich folgt, dass das Komplement der übergrossen septimalen Terz 9/7 zwei grossen Terzen 5/4 entspricht, und ensprechend die Existenz eines übermässigen Dreiklangs aus zwei reinen grossen und einer übergrossen septimalen Terz (genannt '''Marvel-Dreiklang''').

Ein gutes septimal-mitteltöniges [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufiges]] System ist [[31-EDO]], ein akzeptables ist [[19-EDO]] . [[12-EDO]] kann als Grenzfall dazugezählt werden, mit der Besonderheit, dass C-B (kleine Septime) und C-Ais (übermässige Sexte) zusammenfallen (ebenso wie auch die beiden kleinen Terzen 6/5 und 7/6). Allerdings ist die Approximation des Intervalls 7/4 (generell der 7-Limit-Intervalle) in 12-EDO eher schlecht.  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sagittalnotation" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;Sagittalnotation&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
                  &amp;lt;li class="includePageListPage"&amp;gt;&amp;lt;a href="http://xenharmonie.wikispaces.com/SuperCollider" class="includePageListPageUrl"&amp;gt;SuperCollider&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;
      &amp;lt;/ol&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextIncludeRule:00 --&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Mike Battaglia</username>
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      <comment>Textersetzung - „(\[\[\:(dev|es|purdal|de|en):[^[:space:]\|]*) (.*])“ durch „$1|$3“</comment>
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      <text bytes="571" sha1="2p00hs2eqf92sc1xpu0smbt82c2wgt2" xml:space="preserve">Die heutigen technischen Möglichkeiten machen es wesentlich leichter als früher, ins Feld der Xenharmonie vorzustossen.

Auf dem [[:en:Software|englischen Xenharmonic Wiki]] findet sich eine ausführliche Liste nützlicher Software für Mikrotöne und Xenharmonie

Seiten zu mikrotonaler Software auf diesem Wiki:

&lt;ol&gt;              &lt;li&gt;[[Csound|Csound]]&lt;/li&gt;                  &lt;li&gt;[[Python_Score|Python Score]]&lt;/li&gt;                  &lt;li&gt;[[Sagittalnotation|Sagittalnotation]]&lt;/li&gt;                  &lt;li&gt;[[SuperCollider|SuperCollider]]&lt;/li&gt;      &lt;/ol&gt;  [[Category:Praxis]]</text>
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      <text bytes="587" sha1="j8srxw25bji21fp8y7yj6pj7xv2g8oc" xml:space="preserve">[[en:Software]]
Die heutigen technischen Möglichkeiten machen es wesentlich leichter als früher, ins Feld der Xenharmonie vorzustossen.

Auf dem [[:en:Software|englischen Xenharmonic Wiki]] findet sich eine ausführliche Liste nützlicher Software für Mikrotöne und Xenharmonie

Seiten zu mikrotonaler Software auf diesem Wiki:

&lt;ol&gt;              &lt;li&gt;[[Csound|Csound]]&lt;/li&gt;                  &lt;li&gt;[[Python_Score|Python Score]]&lt;/li&gt;                  &lt;li&gt;[[Sagittalnotation|Sagittalnotation]]&lt;/li&gt;                  &lt;li&gt;[[SuperCollider|SuperCollider]]&lt;/li&gt;      &lt;/ol&gt;  [[Category:Praxis]]</text>
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| de = Software
| en = List of music software
| es = Herramientas útiles
| ja = 
}}
Die heutigen technischen Möglichkeiten machen es wesentlich leichter als früher, ins Feld der Xenharmonie vorzustossen.

Auf dem [[:en:Software|englischen Xenharmonic Wiki]] findet sich eine ausführliche Liste nützlicher Software für Mikrotöne und Xenharmonie

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&lt;ol&gt;              &lt;li&gt;[[Csound|Csound]]&lt;/li&gt;                  &lt;li&gt;[[Python_Score|Python Score]]&lt;/li&gt;                  &lt;li&gt;[[Sagittalnotation|Sagittalnotation]]&lt;/li&gt;                  &lt;li&gt;[[SuperCollider|SuperCollider]]&lt;/li&gt;      &lt;/ol&gt;  [[Category:Praxis]]</text>
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      <text bytes="372" sha1="kt5ea6vf66ztqy95zvwnhspnd5j41eg" xml:space="preserve">Unter '''Sonifikation''' versteht man das Hörbarmachen von Phänomenen, die der direkten Wahrnehmung nicht zugänglich sind.

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[http://www.youtube.com/watch?v=aQJfQXGbWQ4 TEDxPSU - Mark Ballora - Opening Your Ears to Data - YouTube]&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[http://de.wikipedia.org/wiki/Sonifikation Sonifikation – Wikipedia]&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;  [[Category:Analyse]]
[[Category:Technik]]</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-25 05:07:36 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;434192318&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Unter **Sonifikation** versteht man das Hörbarmachen von Phänomenen, die der direkten Wahrnehmung nicht zugänglich sind.

* [[http://www.youtube.com/watch?v=aQJfQXGbWQ4|TEDxPSU - Mark Ballora - Opening Your Ears to Data - YouTube]]
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Sonifikation|Sonifikation – Wikipedia]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.youtube.com/watch?v=aQJfQXGbWQ4" rel="nofollow"&amp;gt;TEDxPSU - Mark Ballora - Opening Your Ears to Data - YouTube&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Sonifikation" rel="nofollow"&amp;gt;Sonifikation – Wikipedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-25 04:40:36 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;[[http://de.wikipedia.org/wiki/Sonifikation|Sonifikation – Wikipedia]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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[[Willkommen|Deutsch]]

[[:en:home English]]

[[:en:Bienvenidos Español]]

[[:en:ようこそ！Xenharmonicの世界へ 日本語]]

-----
&lt;span style=""&gt;''''''''&lt;/span&gt;&lt;span style=""&gt;Favorites ''''&lt;/span&gt;        &lt;span style=""&gt;20&lt;/span&gt;&lt;ol&gt;&lt;/ol&gt;              ''''&lt;span style=""&gt;''''&lt;/span&gt;&lt;span style=""&gt;''''''''&lt;/span&gt;&lt;span style=""&gt;All Pages&lt;/span&gt;        &lt;span style=""&gt;20&lt;/span&gt;&lt;ol&gt;&lt;/ol&gt;                    ''''&lt;span style=""&gt;''''&lt;/span&gt;&lt;span style=""&gt;''''''''&lt;/span&gt;&lt;span style=""&gt;about&lt;/span&gt;        &lt;span style=""&gt;20&lt;/span&gt;&lt;ol&gt;  &lt;li&gt;    [[Anstelle_von_Spielregeln|Anstelle von Spielregeln]]  &lt;/li&gt;  &lt;li&gt;    [[Orientierung|Orientierung]]  &lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;                  ''''&lt;span style=""&gt;''''&lt;/span&gt;&lt;span style=""&gt;''''''''&lt;/span&gt;&lt;span style=""&gt;Theorie&lt;/span&gt;        &lt;span style=""&gt;20&lt;/span&gt;&lt;ol&gt;  &lt;li&gt;    [[Cent|Cent]]  &lt;/li&gt;  &lt;li&gt;    [[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige Tonsysteme]]  &lt;/li&gt;  &lt;li&gt;    [[Intervallraum|Intervallraum]]  &lt;/li&gt;  &lt;li&gt;    [[Komma|Komma]]  &lt;/li&gt;  &lt;li&gt;    [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]]  &lt;/li&gt;  &lt;li&gt;    [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]]  &lt;/li&gt;  &lt;li&gt;    [[Reguläre_Temperaturen|Reguläre Temperaturen]]  &lt;/li&gt;  &lt;li&gt;    [[Reine_Stimmungen|Reine Stimmungen]]  &lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;                  ''''&lt;span style=""&gt;''''&lt;/span&gt;&lt;span style=""&gt;''''''''&lt;/span&gt;&lt;span style=""&gt;Praxis&lt;/span&gt;        &lt;span style=""&gt;20&lt;/span&gt;&lt;ol&gt;  &lt;li&gt;    [[Sagittalnotation|Sagittalnotation]]  &lt;/li&gt;  &lt;li&gt;    [[Software|Software]]  &lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;                                                          &lt;span style=""&gt;Add&lt;/span&gt;                                              &lt;span style=""&gt;Add "All Pages"&lt;/span&gt;        Done        ''''</text>
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2016-10-31 17:53:34 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;===Sprachen=== 
[[Willkommen|Deutsch]]
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[[include component="navigation"]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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    &amp;lt;a href="/Regul%C3%A4re+Temperaturen" data-uniqid="151220596"&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;
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      <id>1214</id>
      <timestamp>2015-07-24T03:39:28Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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      <comment>**Imported revision 555689123 - Original comment: **</comment>
      <origin>1214</origin>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[Willkommen|Deutsch]]
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----
[[include component="navigation"]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;space.menu&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;h3&amp;gt;Sprachen&amp;lt;/h3&amp;gt;
 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Willkommen"&amp;gt;Deutsch&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/home"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/%E3%82%88%E3%81%86%E3%81%93%E3%81%9D%EF%BC%81Xenharmonic%E3%81%AE%E4%B8%96%E7%95%8C%E3%81%B8"&amp;gt;日本語&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;hr /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextIncludeRule:00:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/include/navigation?w=200&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaInclude&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@include@@component=&amp;amp;amp;quot;navigation&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Include navigation: component=&amp;amp;amp;quot;navigation&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="WikispacesNavbar" data-spaceid="10628220" data-navbarurl="/navbar"&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2015-06-11 02:14:24 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2014-11-21 16:37:17 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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  &amp;lt;/div&amp;gt;
  &amp;lt;div class="WikispacesNavbarEntryItems" id="WikispacesNavbar46b3931b9959c927df4fc65fdee94b07EntryItems"&amp;gt;
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&amp;lt;ol&amp;gt;
  &amp;lt;li&amp;gt;
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  &amp;lt;/li&amp;gt;
  &amp;lt;li&amp;gt;
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  &amp;lt;/div&amp;gt;
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  &amp;lt;/li&amp;gt;
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  &amp;lt;li&amp;gt;
    &amp;lt;a href="/MOS-Skalen" data-uniqid="151050946"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt;
  &amp;lt;/li&amp;gt;
  &amp;lt;li&amp;gt;
    &amp;lt;a href="/Primfaktorzerlegung" data-uniqid="151947010"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt;
  &amp;lt;/li&amp;gt;
  &amp;lt;li&amp;gt;
    &amp;lt;a href="/Regul%C3%A4re+Temperaturen" data-uniqid="151220596"&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;
  &amp;lt;/li&amp;gt;
  &amp;lt;li&amp;gt;
    &amp;lt;a href="/Reine+Stimmungen" data-uniqid="151205418"&amp;gt;Reine Stimmungen&amp;lt;/a&amp;gt;
  &amp;lt;/li&amp;gt;
&amp;lt;/ol&amp;gt;
  &amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;/div&amp;gt;      &amp;lt;div id="WikispacesNavbar5495888f8aae05023409b5cf853bbbceEntry" data-entryid="24548388" class="WikispacesNavbarEntry WikispacesNavbarSortableEntry WikispacesNavbarRemovableEntry WikispacesNavbarDraggableEntry"&amp;gt;
  &amp;lt;div class="WikispacesNavbarEntryHeader"&amp;gt;
        &amp;lt;i class="WikispacesNavbarSpinner fa fa-spinner fa-spin pull-right"&amp;gt;&amp;lt;/i&amp;gt;&amp;lt;span class="WikispacesNavbarHeaderAction WikispacesNavbarRemoveEntry close"&amp;gt;&amp;lt;i class="fa fa-times"&amp;gt;&amp;lt;/i&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span class="fa-fw"&amp;gt;&amp;lt;i class="WikispacesNavbarToggle WikispacesNavbarPlus fa fa-caret-right"&amp;gt;&amp;lt;/i&amp;gt;&amp;lt;i class="WikispacesNavbarToggle WikispacesNavbarMinus fa fa-caret-down"&amp;gt;&amp;lt;/i&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span&amp;gt;Praxis&amp;lt;/span&amp;gt;
  &amp;lt;/div&amp;gt;
  &amp;lt;div class="WikispacesNavbarEntryItems" id="WikispacesNavbar5495888f8aae05023409b5cf853bbbceEntryItems"&amp;gt;
    &amp;lt;span class="hidden WikispacesNavbarNum"&amp;gt;20&amp;lt;/span&amp;gt;
&amp;lt;ol&amp;gt;
  &amp;lt;li&amp;gt;
    &amp;lt;a href="/Sagittalnotation" data-uniqid="214854103"&amp;gt;Sagittalnotation&amp;lt;/a&amp;gt;
  &amp;lt;/li&amp;gt;
  &amp;lt;li&amp;gt;
    &amp;lt;a href="/Software" data-uniqid="154896936"&amp;gt;Software&amp;lt;/a&amp;gt;
  &amp;lt;/li&amp;gt;
&amp;lt;/ol&amp;gt;
  &amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;/div&amp;gt;    &amp;lt;/div&amp;gt;
  &amp;lt;div id="WikispacesNavbarOptions" class="WikispacesNavbarEntry WikispacesContent WikispacesBs3"&amp;gt;
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      &amp;lt;form class="WikispacesNavbarNewTagNavbarForm" action="/navbar/tag" method="post"&amp;gt;
        &amp;lt;div class="input-group"&amp;gt;
          &amp;lt;input type="text" name="tagName" placeholder="Tag" class="form-control" style="width: 135px;"/&amp;gt;
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            &amp;lt;button type="submit" name="submitTag" value="1" class="btn btn-default ws-btn-spinner"&amp;gt;&amp;lt;span&amp;gt;Add&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/button&amp;gt;
          &amp;lt;/div&amp;gt;
        &amp;lt;/div&amp;gt;
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        &amp;lt;button type="submit" class="btn btn-default WikispacesNavbarShowAllPages ws-btn-spinner" name="go" value="1"&amp;gt;&amp;lt;span&amp;gt;Add "All Pages"&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/button&amp;gt;
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  &amp;lt;/div&amp;gt;
&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextIncludeRule:00 --&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
      <sha1>kjq7i6vn1zmwvzz1iq43x1k26ojaorn</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1217</id>
      <timestamp>2014-11-21T16:34:45Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
        <id>0</id>
      </contributor>
      <comment>**Imported revision 532155400 - Original comment: **</comment>
      <origin>1217</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="9272" sha1="k7e7sacv0ce6lqiby3rseb7ub2rdli2" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2014-11-21 16:34:45 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;532155400&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;[[include component="navigation"]]
===Sprachen===
[[http://xenharmonic.wikispaces.com|English]] &lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;space.menu&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextIncludeRule:00:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/include/navigation?w=200&amp;amp;amp;h=100&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaInclude&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@include@@component=&amp;amp;amp;quot;navigation&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Include navigation: component=&amp;amp;amp;quot;navigation&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="WikispacesNavbar" data-spaceid="10628220" data-navbarurl="/navbar"&amp;gt;
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Neben der Erzeugung von [[Klangkunst|Klangkunst]] wird SupperCollider auch zur [[Sonifikation|Sonifikation]] von Daten genutzt.

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[http://supercollider.soureforge.net/ SuperCollider » About] - Homepage&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[http://supercollider.sourceforge.net/wiki/ SuperCollider wiki home - SuperCollider wiki]&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[http://de.wikipedia.org/wiki/SuperCollider SuperCollider – Wikipedia]&lt;/li&gt;&lt;li&gt;[http://en.wikipedia.org/wiki/SuperCollider SuperCollider - Wikipedia, the free encyclopedia]&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;[https://soundcloud.com/groups/supercollider SuperCollider’s stream on SoundCloud - Hear the world’s sounds]&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;  [[Category:Algorithmische_Komposition]]
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Neben der Erzeugung von [[Klangkunst]] wird SupperCollider auch zur [[Sonifikation]] von Daten genutzt.

* [[http://supercollider.soureforge.net/|SuperCollider » About]] - Homepage
* [[http://supercollider.sourceforge.net/wiki/|SuperCollider wiki home - SuperCollider wiki]]

* [[http://de.wikipedia.org/wiki/SuperCollider|SuperCollider – Wikipedia]]
* [[http://en.wikipedia.org/wiki/SuperCollider|SuperCollider - Wikipedia, the free encyclopedia]]

* [[https://soundcloud.com/groups/supercollider|SuperCollider’s stream on SoundCloud - Hear the world’s sounds]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Neben der Erzeugung von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Klangkunst"&amp;gt;Klangkunst&amp;lt;/a&amp;gt; wird SupperCollider auch zur &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sonifikation"&amp;gt;Sonifikation&amp;lt;/a&amp;gt; von Daten genutzt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

"Superpyth" steht für "super-pythagoräisch". Superpythagoräische Temperaturen haben, wie die [[mitteltönig|mitteltönigen]], eine Quinte als Generator; doch im Gegensatz zu den mitteltönigen ist die Quinte bei den superpythagoräischen ''höher'' als die reine Quinte. Die dabei entstehenden [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] haben dieselbe Struktur wie bei mitteltönigen Temperaturen; insbesondere gibt es auch eine diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse und 2 kleine Intervalle). Die Qualitäten der Intervalle sind allerdings unterschiedlich. Die Unterschiede zwischen grossen und kleinen Intervallen (also Sekunden, Terzen, Sexten und Septimen) sind ausgeprägter, die grossen Terzen sind also besonders gross, die kleinen Terzen besonders klein. Diese Eigenschaften hat auch die [[pythagoräisch|reine pythagoräische Stimmung]] im Vergleich zu den mitteltönigen; bei den superpythagoräischen Temperaturen sind sie noch stärker ausgeprägt - passend zum Namen "super-pythagoräisch". Mitteltönige Stimmungen tendieren demgegenüber dazu, den Unterschied zwischen grossen und kleinen Intervallen zu mildern.

Das [[Komma|Komma]], dessen Austemperieren eine superpythagräische Temperatur definiert, ist das [[64/63|Leipziger Komma 64/63]]. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz 81/64 und der septimalen (über-)grossen Terz 9/7 - Übereinanderschichten von 4 Superpyth-Quinten führt also zur Approximation von 9/7 (anstatt, wie bei mitteltönigen Temperaturen, zu [[Naturterz|5/4]]). Zwei Superpyth-Quartenschritte führen zur Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]], und die Approximation des Ganztons 9/8 fällt mit derjenigen für den septimalen Ganzton 8/7 zusammen.

Eine Approximation der Naturterz 5/4, wenn man sie denn haben will, ist bei einer superpythagoräischen Temperatur in der Regel nach 9 Quintenschritten zu erreichen, in pythagoräischer Notenschrift-Logik als C-Dis (C-E ist dagegen eben die septimale übergrosse Terz). In der natürlichsten Erweiterung auf 11-[[Limit|Limit]] führen sechs Quartenschritte zur Approximation des [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], notiert als C-Ges. Ges ist übrigens tiefer als Fis - eine weitere typische Eigenschaft auch der pythagoräischen Stimmung, die in superpythagoräischen Systemen noch stärker ausgeprägt ist (und genau umgekehrt wie in mitteltönigen Systemen).

Superpyth-Temperaturen können auf den ersten Blick "dissonanter" wirken als mitteltönige - was sie in der Regel auch sind, wenn traditionelle 5-Limit-Harmonie mit 5/4-Naturterzen der Massstab ist. Dafür bieten sie aber oft gute Approximationen für 7-Limit-Intervalle wie die Naturseptime 7/4 und die septimalen Terzen 9/7 und 7/6, die auf ihre eigene exotische Weise konsonant klingen.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufig]]e superpythagoräische Tonsysteme sind unter anderem [[17edo|17edo]], [[22edo|22edo]], [[27edo|27edo]], [[49edo|49edo]], in Grenzen [[5edo|5edo]].  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

"Superpyth" steht für "super-pythagoräisch". Superpythagoräische Temperaturen haben, wie die [[mitteltönig|mitteltönigen]], eine Quinte als Generator; doch im Gegensatz zu den mitteltönigen ist die Quinte bei den superpythagoräischen //höher// als die reine Quinte. Die dabei entstehenden [[MOS-Skalen]] haben dieselbe Struktur wie bei mitteltönigen Temperaturen; insbesondere gibt es auch eine diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse und 2 kleine Intervalle). Die Qualitäten der Intervalle sind allerdings unterschiedlich. Die Unterschiede zwischen grossen und kleinen Intervallen (also Sekunden, Terzen, Sexten und Septimen) sind ausgeprägter, die grossen Terzen sind also besonders gross, die kleinen Terzen besonders klein. Diese Eigenschaften hat auch die [[pythagoräisch|reine pythagoräische Stimmung]] im Vergleich zu den mitteltönigen; bei den superpythagoräischen Temperaturen sind sie noch stärker ausgeprägt - passend zum Namen "super-pythagoräisch". Mitteltönige Stimmungen tendieren demgegenüber dazu, den Unterschied zwischen grossen und kleinen Intervallen zu mildern.

Das [[Komma]], dessen Austemperieren eine superpythagräische Temperatur definiert, ist das [[64_63|Leipziger Komma 64/63]]. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz 81/64 und der septimalen (über-)grossen Terz 9/7 - Übereinanderschichten von 4 Superpyth-Quinten führt also zur Approximation von 9/7 (anstatt, wie bei mitteltönigen Temperaturen, zu [[Naturterz|5/4]]). Zwei Superpyth-Quartenschritte führen zur Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]], und die Approximation des Ganztons 9/8 fällt mit derjenigen für den septimalen Ganzton 8/7 zusammen.

Eine Approximation der Naturterz 5/4, wenn man sie denn haben will, ist bei einer superpythagoräischen Temperatur in der Regel nach 9 Quintenschritten zu erreichen, in pythagoräischer Notenschrift-Logik als C-Dis (C-E ist dagegen eben die septimale übergrosse Terz). In der natürlichsten Erweiterung auf 11-[[Limit]] führen sechs Quartenschritte zur Approximation des [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], notiert als C-Ges. Ges ist übrigens tiefer als Fis - eine weitere typische Eigenschaft auch der pythagoräischen Stimmung, die in superpythagoräischen Systemen noch stärker ausgeprägt ist (und genau umgekehrt wie in mitteltönigen Systemen).

Superpyth-Temperaturen können auf den ersten Blick "dissonanter" wirken als mitteltönige - was sie in der Regel auch sind, wenn traditionelle 5-Limit-Harmonie mit 5/4-Naturterzen der Massstab ist. Dafür bieten sie aber oft gute Approximationen für 7-Limit-Intervalle wie die Naturseptime 7/4 und die septimalen Terzen 9/7 und 7/6, die auf ihre eigene exotische Weise konsonant klingen.

[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufig]]e superpythagoräische Tonsysteme sind unter anderem [[17edo]], [[22edo]], [[27edo]], [[49edo]], in Grenzen [[5edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, dessen Austemperieren eine superpythagräische Temperatur definiert, ist das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Leipziger Komma 64/63&amp;lt;/a&amp;gt;. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz 81/64 und der septimalen (über-)grossen Terz 9/7 - Übereinanderschichten von 4 Superpyth-Quinten führt also zur Approximation von 9/7 (anstatt, wie bei mitteltönigen Temperaturen, zu &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturterz"&amp;gt;5/4&amp;lt;/a&amp;gt;). Zwei Superpyth-Quartenschritte führen zur Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;, und die Approximation des Ganztons 9/8 fällt mit derjenigen für den septimalen Ganzton 8/7 zusammen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine Approximation der Naturterz 5/4, wenn man sie denn haben will, ist bei einer superpythagoräischen Temperatur in der Regel nach 9 Quintenschritten zu erreichen, in pythagoräischer Notenschrift-Logik als C-Dis (C-E ist dagegen eben die septimale übergrosse Terz). In der natürlichsten Erweiterung auf 11-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt; führen sechs Quartenschritte zur Approximation des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa 11/8&amp;lt;/a&amp;gt;, notiert als C-Ges. Ges ist übrigens tiefer als Fis - eine weitere typische Eigenschaft auch der pythagoräischen Stimmung, die in superpythagoräischen Systemen noch stärker ausgeprägt ist (und genau umgekehrt wie in mitteltönigen Systemen).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Superpyth-Temperaturen können auf den ersten Blick &amp;amp;quot;dissonanter&amp;amp;quot; wirken als mitteltönige - was sie in der Regel auch sind, wenn traditionelle 5-Limit-Harmonie mit 5/4-Naturterzen der Massstab ist. Dafür bieten sie aber oft gute Approximationen für 7-Limit-Intervalle wie die Naturseptime 7/4 und die septimalen Terzen 9/7 und 7/6, die auf ihre eigene exotische Weise konsonant klingen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufig&amp;lt;/a&amp;gt;e superpythagoräische Tonsysteme sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/27edo"&amp;gt;27edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/49edo"&amp;gt;49edo&amp;lt;/a&amp;gt;, in Grenzen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/5edo"&amp;gt;5edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

"Superpyth" steht für "super-pythagoräisch". Superpythagoräische Temperaturen haben, wie die [[mitteltönig|mitteltönigen]], eine Quinte als Generator; doch im Gegensatz zu den mitteltönigen ist die Quinte bei den superpythagoräischen //höher// als die reine Quinte. Die dabei entstehenden [[MOS-Skalen]] haben dieselbe Struktur wie bei mitteltönigen Temperaturen; insbesondere gibt es auch eine diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse und 2 kleine Intervalle). Die Qualitäten der Intervalle sind allerdings unterschiedlich. Die Unterschiede zwischen grossen und kleinen Intervallen (also Sekunden, Terzen, Sexten und Septimen) sind ausgeprägter, die grossen Terzen sind also besonders gross, die kleinen Terzen besonders klein. Diese Eigenschaften hat auch die [[pythagoräisch|reine pythagoräische Stimmung]] im Vergleich zu den mitteltönigen; bei den superpythagoräischen Temperaturen sind sie noch stärker ausgeprägt - passend zum Namen "super-pythagoräisch". Mitteltönige Stimmungen tendieren demgegenüber dazu, den Unterschied zwischen grossen und kleinen Intervallen zu mildern.

Das [[Komma]], dessen Austemperieren eine superpythagräische Temperatur definiert, ist das [[64_63|Leipziger Komma 64/63]]. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz 81/64 und der septimalen (über-)grossen Terz 9/7 - Übereinanderschichten von 4 Superpyth-Quinten führt also zur Approximation von 9/7 (anstatt, wie bei mitteltönigen Temperaturen, zu 5/4). Zwei Superpyth-Quartenschritte führen zur Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]], und die Approximation des Ganztons 9/8 fällt mit derjenigen für den septimalen Ganzton 8/7 zusammen.

Eine Approximation der Naturterz 5/4, wenn man sie denn haben will, ist bei einer superpythagoräischen Temperatur in der Regel nach 9 Quintenschritten zu erreichen, in pythagoräischer Notenschrift-Logik als C-Dis (C-E ist dagegen eben die septimale übergrosse Terz). In der natürlichsten Erweiterung auf 11-[[Limit]] führen sechs Quartenschritte zur Approximation des [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], notiert als C-Ges. Ges ist übrigens tiefer als Fis - eine weitere typische Eigenschaft auch der pythagoräischen Stimmung, die in superpythagoräischen Systemen noch stärker ausgeprägt ist (und genau umgekehrt wie in mitteltönigen Systemen).

Superpyth-Temperaturen können auf den ersten Blick "dissonanter" wirken als mitteltönige - was sie in der Regel auch sind, wenn traditionelle 5-Limit-Harmonie mit 5/4-Naturterzen der Massstab ist. Dafür bieten sie aber oft gute Approximationen für 7-Limit-Intervalle wie die Naturseptime 7/4 und die septimalen Terzen 9/7 und 7/6, die auf ihre eigene exotische Weise konsonant klingen.

[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufig]]e superpythagoräische Tonsysteme sind unter anderem [[17edo]], [[22edo]], [[27edo]], [[49edo]], in Grenzen [[5edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;amp;quot;Superpyth&amp;amp;quot; steht für &amp;amp;quot;super-pythagoräisch&amp;amp;quot;. Superpythagoräische Temperaturen haben, wie die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt;, eine Quinte als Generator; doch im Gegensatz zu den mitteltönigen ist die Quinte bei den superpythagoräischen &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; als die reine Quinte. Die dabei entstehenden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; haben dieselbe Struktur wie bei mitteltönigen Temperaturen; insbesondere gibt es auch eine diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse und 2 kleine Intervalle). Die Qualitäten der Intervalle sind allerdings unterschiedlich. Die Unterschiede zwischen grossen und kleinen Intervallen (also Sekunden, Terzen, Sexten und Septimen) sind ausgeprägter, die grossen Terzen sind also besonders gross, die kleinen Terzen besonders klein. Diese Eigenschaften hat auch die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;reine pythagoräische Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; im Vergleich zu den mitteltönigen; bei den superpythagoräischen Temperaturen sind sie noch stärker ausgeprägt - passend zum Namen &amp;amp;quot;super-pythagoräisch&amp;amp;quot;. Mitteltönige Stimmungen tendieren demgegenüber dazu, den Unterschied zwischen grossen und kleinen Intervallen zu mildern.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, dessen Austemperieren eine superpythagräische Temperatur definiert, ist das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Leipziger Komma 64/63&amp;lt;/a&amp;gt;. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz 81/64 und der septimalen (über-)grossen Terz 9/7 - Übereinanderschichten von 4 Superpyth-Quinten führt also zur Approximation von 9/7 (anstatt, wie bei mitteltönigen Temperaturen, zu 5/4). Zwei Superpyth-Quartenschritte führen zur Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;, und die Approximation des Ganztons 9/8 fällt mit derjenigen für den septimalen Ganzton 8/7 zusammen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine Approximation der Naturterz 5/4, wenn man sie denn haben will, ist bei einer superpythagoräischen Temperatur in der Regel nach 9 Quintenschritten zu erreichen, in pythagoräischer Notenschrift-Logik als C-Dis (C-E ist dagegen eben die septimale übergrosse Terz). In der natürlichsten Erweiterung auf 11-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt; führen sechs Quartenschritte zur Approximation des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa 11/8&amp;lt;/a&amp;gt;, notiert als C-Ges. Ges ist übrigens tiefer als Fis - eine weitere typische Eigenschaft auch der pythagoräischen Stimmung, die in superpythagoräischen Systemen noch stärker ausgeprägt ist (und genau umgekehrt wie in mitteltönigen Systemen).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Superpyth-Temperaturen können auf den ersten Blick &amp;amp;quot;dissonanter&amp;amp;quot; wirken als mitteltönige - was sie in der Regel auch sind, wenn traditionelle 5-Limit-Harmonie mit 5/4-Naturterzen der Massstab ist. Dafür bieten sie aber oft gute Approximationen für 7-Limit-Intervalle wie die Naturseptime 7/4 und die septimalen Terzen 9/7 und 7/6, die auf ihre eigene exotische Weise konsonant klingen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufig&amp;lt;/a&amp;gt;e superpythagoräische Tonsysteme sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/27edo"&amp;gt;27edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/49edo"&amp;gt;49edo&amp;lt;/a&amp;gt;, in Grenzen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/5edo"&amp;gt;5edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Superpythagoräische Temperaturen haben, wie die [[mitteltönig|mitteltönigen]], eine Quinte als Generator; doch im Gegensatz zu den mitteltönigen ist die Quinte bei den superpythagoräischen //höher// als die reine Quinte. Die dabei entstehenden [[MOS-Skalen]] haben dieselbe Struktur wie bei mitteltönigen Temperaturen; insbesondere gibt es auch eine diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse und 2 kleine Intervalle). Die Qualitäten der Intervalle sind allerdings unterschiedlich. Die Unterschiede zwischen grossen und kleinen Intervallen (also Sekunden, Terzen, Sexten und Septimen) sind ausgeprägter, die grossen Terzen sind also besonders gross, die kleinen Terzen besonders klein. Diese Eigenschaften hat auch die [[pythagoräisch|reine pythagoräische Stimmung]] im Vergleich zu den mitteltönigen; bei den superpythagoräischen Temperaturen sind sie noch stärker ausgeprägt. Ebenso übrigens die Eigenschaft, dass Fis höher ist als Ges. Mitteltönige Stimmungen tendieren demgegenüber dazu, den Unterschied zwischen grossen und kleinen Intervallen zu mildern.

Das [[Komma]], dessen Austemperieren eine superpythagräische Temperatur definiert, ist das [[64_63|Leipziger Komma 64/63]]. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz 81/64 und der septimalen (über-)grossen Terz 9/7 - Übereinanderschichten von 4 Superpyth-Quinten führt also zur Approximation von 9/7 (anstatt, wie bei mitteltönigen Temperaturen, zu 5/4). Zwei Superpyth-Quartenschritte führen zur Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]], und die Approximation des Ganztons 9/8 fällt mit derjenigen für den septimalen Ganzton 8/7 zusammen.

Eine Approximation der Naturterz 5/4, wenn man sie denn haben will, ist bei einer superpythagoräischen Temperatur in der Regel nach 9 Quintenschritten zu erreichen, in pythagoräischer Notenschrift-Logik als C-Dis (C-E ist dagegen eben die septimale übergrosse Terz). In der natürlichsten Erweiterung auf 11-[[Limit]] führen sechs Quartenschritte zur Approximation des [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], notiert als C-Ges.

Superpyth-Temperaturen können auf den ersten Blick "dissonanter" wirken als mitteltönige - was sie in der Regel auch sind, wenn traditionelle 5-Limit-Harmonie mit 5/4-Naturterzen der Massstab ist. Dafür bieten sie aber oft gute Approximationen für 7-Limit-Intervalle wie die Naturseptime 7/4 und die septimalen Terzen 9/7 und 7/6, die auf ihre eigene exotische Weise konsonant klingen.

[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufig]]e superpythagoräische Tonsysteme sind unter anderem [[17edo]], [[22edo]], [[27edo]], [[49edo]], in Grenzen [[5edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Superpythagoräische Temperaturen haben, wie die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt;, eine Quinte als Generator; doch im Gegensatz zu den mitteltönigen ist die Quinte bei den superpythagoräischen &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; als die reine Quinte. Die dabei entstehenden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; haben dieselbe Struktur wie bei mitteltönigen Temperaturen; insbesondere gibt es auch eine diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse und 2 kleine Intervalle). Die Qualitäten der Intervalle sind allerdings unterschiedlich. Die Unterschiede zwischen grossen und kleinen Intervallen (also Sekunden, Terzen, Sexten und Septimen) sind ausgeprägter, die grossen Terzen sind also besonders gross, die kleinen Terzen besonders klein. Diese Eigenschaften hat auch die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;reine pythagoräische Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; im Vergleich zu den mitteltönigen; bei den superpythagoräischen Temperaturen sind sie noch stärker ausgeprägt. Ebenso übrigens die Eigenschaft, dass Fis höher ist als Ges. Mitteltönige Stimmungen tendieren demgegenüber dazu, den Unterschied zwischen grossen und kleinen Intervallen zu mildern.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, dessen Austemperieren eine superpythagräische Temperatur definiert, ist das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Leipziger Komma 64/63&amp;lt;/a&amp;gt;. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz 81/64 und der septimalen (über-)grossen Terz 9/7 - Übereinanderschichten von 4 Superpyth-Quinten führt also zur Approximation von 9/7 (anstatt, wie bei mitteltönigen Temperaturen, zu 5/4). Zwei Superpyth-Quartenschritte führen zur Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;, und die Approximation des Ganztons 9/8 fällt mit derjenigen für den septimalen Ganzton 8/7 zusammen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine Approximation der Naturterz 5/4, wenn man sie denn haben will, ist bei einer superpythagoräischen Temperatur in der Regel nach 9 Quintenschritten zu erreichen, in pythagoräischer Notenschrift-Logik als C-Dis (C-E ist dagegen eben die septimale übergrosse Terz). In der natürlichsten Erweiterung auf 11-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt; führen sechs Quartenschritte zur Approximation des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa 11/8&amp;lt;/a&amp;gt;, notiert als C-Ges.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Superpyth-Temperaturen können auf den ersten Blick &amp;amp;quot;dissonanter&amp;amp;quot; wirken als mitteltönige - was sie in der Regel auch sind, wenn traditionelle 5-Limit-Harmonie mit 5/4-Naturterzen der Massstab ist. Dafür bieten sie aber oft gute Approximationen für 7-Limit-Intervalle wie die Naturseptime 7/4 und die septimalen Terzen 9/7 und 7/6, die auf ihre eigene exotische Weise konsonant klingen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufig&amp;lt;/a&amp;gt;e superpythagoräische Tonsysteme sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/27edo"&amp;gt;27edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/49edo"&amp;gt;49edo&amp;lt;/a&amp;gt;, in Grenzen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/5edo"&amp;gt;5edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Superpythagoräische Temperaturen haben, wie die [[mitteltönig|mitteltönigen]], eine Quinte als Generator; doch im Gegensatz zu den mitteltönigen ist die Quinte bei den superpythagoräischen //höher// als die reine Quinte. Die dabei entstehenden [[MOS-Skalen]] haben dieselbe Struktur wie bei mitteltönigen Temperaturen; insbesondere gibt es auch eine diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse und 2 kleine Intervalle). Die Qualitäten der Intervalle sind allerdings unterschiedlich. Die Unterschiede zwischen grossen und kleinen Intervallen (also Sekunden, Terzen, Sexten und Septimen) sind ausgeprägter, die grossen Terzen sind also besonders gross, die kleinen Terzen besonders klein. Diese Eigenschaften hat auch die [[pythagoräisch|reine pythagoräische Stimmung]] im Vergleich zu den mitteltönigen; bei den superpythagoräischen Temperaturen sind sie noch stärker ausgeprägt. Ebenso übrigens die Eigenschaft, dass Fis höher ist als Ges. Mitteltönige Stimmungen tendieren demgegenüber dazu, den Unterschied zwischen grossen und kleinen Intervallen zu mildern.

Das [[Komma]], dessen Austemperieren eine superpythagräische Temperatur definiert, ist das [[64_63|Leipziger Komma 64/63]]. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz 81/64 und der septimalen (über-)grossen Terz 9/7 - Übereinanderschichten von 4 Superpyth-Quinten führt also zur Approximation von 9/7 (anstatt, wie bei mitteltönigen Temperaturen, zur 5/4). Zwei Superpyth-Quartenschritte führen zur Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]], und die Approximation des Ganztons 9/8 fällt mit derjenigen für den septimalen Ganzton 8/7 zusammen.

Eine Approximation der Naturterz 5/4, wenn man sie denn haben will, ist bei einer superpythagoräischen Temperatur in der Regel nach 9 Quintenschritten zu erreichen, in pythagoräischer Notenschrift-Logik als C-Dis (C-E ist dagegen eben die septimale übergrosse Terz). In der natürlichsten Erweiterung auf 11-Limit führen sechs Quartenschritte zur Approximation des [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], notiert als C-Ges.

Superpyth-Temperaturen können auf den ersten Blick "dissonanter" wirken als mitteltönige - was sie in der Regel auch sind, wenn traditionelle 5-[[Limit]]-Harmonie mit 5/4-Naturterzen der Massstab ist. Dafür bieten sie aber gute Approximationen für 7-Limit-Intervalle wie die Naturseptime 7/4 und die septimalen Terzen 9/7 und 7/6, die auf ihre eigene exotische Weise konsonant klingen.

[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufig]]e superpythagoräische Tonsysteme sind unter anderem [[17edo]], [[22edo]], [[27edo]], [[49edo]], in Grenzen [[5edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Superpythagoräische Temperaturen haben, wie die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt;, eine Quinte als Generator; doch im Gegensatz zu den mitteltönigen ist die Quinte bei den superpythagoräischen &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; als die reine Quinte. Die dabei entstehenden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; haben dieselbe Struktur wie bei mitteltönigen Temperaturen; insbesondere gibt es auch eine diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse und 2 kleine Intervalle). Die Qualitäten der Intervalle sind allerdings unterschiedlich. Die Unterschiede zwischen grossen und kleinen Intervallen (also Sekunden, Terzen, Sexten und Septimen) sind ausgeprägter, die grossen Terzen sind also besonders gross, die kleinen Terzen besonders klein. Diese Eigenschaften hat auch die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;reine pythagoräische Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; im Vergleich zu den mitteltönigen; bei den superpythagoräischen Temperaturen sind sie noch stärker ausgeprägt. Ebenso übrigens die Eigenschaft, dass Fis höher ist als Ges. Mitteltönige Stimmungen tendieren demgegenüber dazu, den Unterschied zwischen grossen und kleinen Intervallen zu mildern.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, dessen Austemperieren eine superpythagräische Temperatur definiert, ist das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Leipziger Komma 64/63&amp;lt;/a&amp;gt;. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz 81/64 und der septimalen (über-)grossen Terz 9/7 - Übereinanderschichten von 4 Superpyth-Quinten führt also zur Approximation von 9/7 (anstatt, wie bei mitteltönigen Temperaturen, zur 5/4). Zwei Superpyth-Quartenschritte führen zur Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;, und die Approximation des Ganztons 9/8 fällt mit derjenigen für den septimalen Ganzton 8/7 zusammen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine Approximation der Naturterz 5/4, wenn man sie denn haben will, ist bei einer superpythagoräischen Temperatur in der Regel nach 9 Quintenschritten zu erreichen, in pythagoräischer Notenschrift-Logik als C-Dis (C-E ist dagegen eben die septimale übergrosse Terz). In der natürlichsten Erweiterung auf 11-Limit führen sechs Quartenschritte zur Approximation des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa 11/8&amp;lt;/a&amp;gt;, notiert als C-Ges.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Superpyth-Temperaturen können auf den ersten Blick &amp;amp;quot;dissonanter&amp;amp;quot; wirken als mitteltönige - was sie in der Regel auch sind, wenn traditionelle 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-Harmonie mit 5/4-Naturterzen der Massstab ist. Dafür bieten sie aber gute Approximationen für 7-Limit-Intervalle wie die Naturseptime 7/4 und die septimalen Terzen 9/7 und 7/6, die auf ihre eigene exotische Weise konsonant klingen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufig&amp;lt;/a&amp;gt;e superpythagoräische Tonsysteme sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/27edo"&amp;gt;27edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/49edo"&amp;gt;49edo&amp;lt;/a&amp;gt;, in Grenzen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/5edo"&amp;gt;5edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Superpythagoräische Temperaturen haben, wie die [[mitteltönig|mitteltönigen]], eine Quinte als Generator; doch im Gegensatz zu den mitteltönigen ist die Quinte bei den superpythagoräischen //höher// als die reine Quinte. Die dabei entstehenden [[MOS-Skalen]] haben dieselbe Struktur wie bei mitteltönigen Temperaturen; insbesondere gibt es auch eine diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse und 2 kleine Intervalle). Die Qualitäten der Intervalle sind allerdings unterschiedlich. Die Unterschiede zwischen grossen und kleinen Intervallen (also Sekunden, Terzen, Sexten und Septimen) sind ausgeprägter, die grossen Terzen sind also besonders gross, die kleinen Terzen besonders klein. Diese Eigenschaften hat auch die [[pythagoräisch|reine pythagoräische Stimmung]] im Vergleich zu den mitteltönigen; bei den superpythagoräischen Temperaturen sind sie noch stärker ausgeprägt. Ebenso übrigens die Eigenschaft, dass Fis höher ist als Ges. Mitteltönige Stimmungen tendieren demgegenüber dazu, den Unterschied zwischen grossen und kleinen Intervallen zu mildern.

Das [[Komma]], dessen Austemperieren eine superpythagräische Temperatur definiert, ist das [[64_63|Leipziger Komma 64/63]]. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz 81/64 und der septimalen (über-)grossen Terz 9/7 - Übereinanderschichten von 4 Superpyth-Quinten führt also zur Approximation von 9/7 (anstatt, wie bei mitteltönigen Temperaturen, zur 5/4). Zwei Superpyth-Quartenschritte führen zur Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]], und die Approximation des Ganztons 9/8 fällt mit derjenigen für den septimalen Ganzton 8/7 zusammen.

Eine Approximation der Naturterz 5/4, wenn man sie denn haben will, ist bei einer superpythagoräischen Temperatur in der Regel nach 9 Quintenschritten zu erreichen, in pythagoräischer Notenschrift-Logik als C-Dis (C-E ist dagegen eben die septimale übergrosse Terz). In der natürlichsten Erweiterung auf 11-Limit führen sechs Quartenschritte zur Approximation des [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], notiert als C-Ges.

Superpyth-Temperaturen können auf den ersten Blick "dissonanter" wirken als mitteltönige - was sie in der Regel auch sind, wenn traditionelle 5-[[Limit]]-Harmonie mit 5/4-Naturterzen der Massstab ist. Dafür bieten sie aber gute Approximationen für 7-Limit-Intervalle wie die Naturseptime 7/4 und die septimalen Terzen 9/7 und 7/6, die auf ihre eigene exotische Weise konsonant klingen.



[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufig]]e superpythagoräische Tonsysteme sind unter anderem [[17edo]], [[22edo]], [[27edo]], [[49edo]], in Grenzen [[5edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, dessen Austemperieren eine superpythagräische Temperatur definiert, ist das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Leipziger Komma 64/63&amp;lt;/a&amp;gt;. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz 81/64 und der septimalen (über-)grossen Terz 9/7 - Übereinanderschichten von 4 Superpyth-Quinten führt also zur Approximation von 9/7 (anstatt, wie bei mitteltönigen Temperaturen, zur 5/4). Zwei Superpyth-Quartenschritte führen zur Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;, und die Approximation des Ganztons 9/8 fällt mit derjenigen für den septimalen Ganzton 8/7 zusammen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine Approximation der Naturterz 5/4, wenn man sie denn haben will, ist bei einer superpythagoräischen Temperatur in der Regel nach 9 Quintenschritten zu erreichen, in pythagoräischer Notenschrift-Logik als C-Dis (C-E ist dagegen eben die septimale übergrosse Terz). In der natürlichsten Erweiterung auf 11-Limit führen sechs Quartenschritte zur Approximation des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa 11/8&amp;lt;/a&amp;gt;, notiert als C-Ges.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Superpyth-Temperaturen können auf den ersten Blick &amp;amp;quot;dissonanter&amp;amp;quot; wirken als mitteltönige - was sie in der Regel auch sind, wenn traditionelle 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-Harmonie mit 5/4-Naturterzen der Massstab ist. Dafür bieten sie aber gute Approximationen für 7-Limit-Intervalle wie die Naturseptime 7/4 und die septimalen Terzen 9/7 und 7/6, die auf ihre eigene exotische Weise konsonant klingen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Superpythagoräische Temperaturen haben, wie die [[mitteltönig|mitteltönigen]], eine Quinte als Generator; doch im Gegensatz zu den mitteltönigen ist die Quinte bei den superpythagoräischen //höher// als die reine Quinte. Die dabei entstehenden [[MOS-Skalen]] haben dieselbe Struktur wie bei mitteltönigen Temperaturen; insbesondere gibt es auch eine diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse und 2 kleine Intervalle). Die Qualitäten der Intervalle sind allerdings unterschiedlich. Die Unterschiede zwischen grossen und kleinen Intervallen (also Sekunden, Terzen, Sexten und Septimen) sind ausgeprägter, die grossen Terzen sind also besonders gross, die kleinen Terzen besonders klein. Diese Eigenschaften hat auch die [[pythagoräisch|reine pythagoräische Stimmung]] im Vergleich zu den mitteltönigen; bei den superpythagoräischen Temperaturen sind sie noch stärker ausgeprägt. Ebenso übrigens die Eigenschaft, dass Fis höher ist als Ges. Mitteltönige Stimmungen tendieren demgegenüber dazu, den Unterschied zwischen grossen und kleinen Intervallen zu mildern.

Das [[Komma]], dessen Austemperieren eine superpythagräische Temperatur definiert, ist das [[64_63|Leipziger Komma 64/63]]. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz 81/64 und der septimalen (über-)grossen Terz 9/7 - Übereinanderschichten von 4 Superpyth-Quinten führt also zur Approximation von 9/7 (anstatt, wie bei mitteltönigen Temperaturen, zur 5/4). Zwei Superpyth-Quartenschritte führen zur Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]], und die Approximation des Ganztons 9/8 fällt mit derjenigen für den septimalen Ganzton 8/7 zusammen.

Eine Approximation der Naturterz 5/4, wenn man sie denn haben will, ist bei einer superpythagoräischen temperatur in der Regel nach 9 Quintenschritten zu erreichen, in pythagoräischer Notenschrift-Logik als C-Dis (C-E ist dagegen eben die septimale übergrosse Terz). In der natürlichsten Erweiterung auf 11-Limit führen sechs Quartenschritte zur Approximation des [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], notiert als C-Ges.

Superpyth-Temperaturen können auf den ersten Blick "dissonanter" wirken als mitteltönige - was sie in der Regel auch sind, wenn traditionelle 5-[[Limit]]-Harmonie mit 5/4-Naturterzen der Massstab ist. Dafür bieten sie aber gute Approximationen für 7-Limit-Intervalle wie die Naturseptime 7/4 und die septimalen Terzen 9/7 und 7/6, die auf ihre eigene exotische Weise konsonant klingen.



[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufig]]e superpythagoräische Tonsysteme sind unter anderem [[17edo]], [[22edo]], [[27edo]], [[49edo]], in Grenzen [[5edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Superpythagoräische Temperaturen haben, wie die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt;, eine Quinte als Generator; doch im Gegensatz zu den mitteltönigen ist die Quinte bei den superpythagoräischen &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; als die reine Quinte. Die dabei entstehenden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; haben dieselbe Struktur wie bei mitteltönigen Temperaturen; insbesondere gibt es auch eine diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse und 2 kleine Intervalle). Die Qualitäten der Intervalle sind allerdings unterschiedlich. Die Unterschiede zwischen grossen und kleinen Intervallen (also Sekunden, Terzen, Sexten und Septimen) sind ausgeprägter, die grossen Terzen sind also besonders gross, die kleinen Terzen besonders klein. Diese Eigenschaften hat auch die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;reine pythagoräische Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; im Vergleich zu den mitteltönigen; bei den superpythagoräischen Temperaturen sind sie noch stärker ausgeprägt. Ebenso übrigens die Eigenschaft, dass Fis höher ist als Ges. Mitteltönige Stimmungen tendieren demgegenüber dazu, den Unterschied zwischen grossen und kleinen Intervallen zu mildern.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, dessen Austemperieren eine superpythagräische Temperatur definiert, ist das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Leipziger Komma 64/63&amp;lt;/a&amp;gt;. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz 81/64 und der septimalen (über-)grossen Terz 9/7 - Übereinanderschichten von 4 Superpyth-Quinten führt also zur Approximation von 9/7 (anstatt, wie bei mitteltönigen Temperaturen, zur 5/4). Zwei Superpyth-Quartenschritte führen zur Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;, und die Approximation des Ganztons 9/8 fällt mit derjenigen für den septimalen Ganzton 8/7 zusammen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine Approximation der Naturterz 5/4, wenn man sie denn haben will, ist bei einer superpythagoräischen temperatur in der Regel nach 9 Quintenschritten zu erreichen, in pythagoräischer Notenschrift-Logik als C-Dis (C-E ist dagegen eben die septimale übergrosse Terz). In der natürlichsten Erweiterung auf 11-Limit führen sechs Quartenschritte zur Approximation des &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa"&amp;gt;Alphorn-Fa 11/8&amp;lt;/a&amp;gt;, notiert als C-Ges.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Superpyth-Temperaturen können auf den ersten Blick &amp;amp;quot;dissonanter&amp;amp;quot; wirken als mitteltönige - was sie in der Regel auch sind, wenn traditionelle 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-Harmonie mit 5/4-Naturterzen der Massstab ist. Dafür bieten sie aber gute Approximationen für 7-Limit-Intervalle wie die Naturseptime 7/4 und die septimalen Terzen 9/7 und 7/6, die auf ihre eigene exotische Weise konsonant klingen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Superpythagoräische Temperaturen haben, wie die [[mitteltönig|mitteltönigen]], eine Quinte als Generator; doch im Gegensatz zu den mitteltönigen ist die Quinte bei den superpythagoräischen //höher// als die reine Quinte. Die dabei entstehenden [[MOS-Skalen]] haben dieselbe Struktur wie bei mitteltönigen Temperaturen; insbesondere gibt es auch eine diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse und 2 kleine Intervalle). Die Qualitäten der Intervalle sind allerdings unterschiedlich. Die Unterschiede zwischen grossen und kleinen Intervallen (also Sekunden, Terzen, Sexten und Septimen) sind ausgeprägter, die grossen Terzen sind also besonders gross, die kleinen Terzen besonders klein. Diese Eigenschaften hat auch die [[pythagoräisch|reine pythagoräische Stimmung]] im Vergleich zu den mitteltönigen; bei den superpythagoräischen Temperaturen sind sie noch stärker ausgeprägt. Ebenso übrigens die Eigenschaft, dass Fis höher ist als Ges. Mitteltönige Stimmungen tendieren demgegenüber dazu, den Unterschied zwischen grossen und kleinen Intervallen zu mildern.

Das [[Komma]], dessen Austemperieren eine superpythagräische Temperatur definiert, ist das [[64_63|Leipziger Komma 64/63]]. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz 81/64 und der septimalen (über-)grossen Terz 9/7 - Übereinanderschichten von 4 Superpyth-Quinten führt also zur Approximation von 9/7 (anstatt, wie bei mitteltönigen Temperaturen, zur 5/4). Zwei Superpyth-Quartenschritte führen zur Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]], und die Approximation des Ganztons 9/8 fällt mit derjenigen für den septimalen Ganzton 8/7 zusammen.

Superpyth-Temperaturen können auf den ersten Blick "dissonater" wirken als mitteltönige - was sie wohl auch sind, wenn traditionelle 5-[[Limit]]-Harmonie mit 5/4-Naturterzen der Massstab ist. Dafür bieten sie aber gute Approximationen für 7-Limit-Intervalle wie die Naturseptime 7/4 und die septimalen Terzen 9/7 und 7/6, die auf ihre eigene exotische Weise konsonant klingen.

[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufig]]e superpythagoräische Tonsysteme sind unter anderem [[17edo]], [[22edo]], [[27edo]], [[49edo]], in Grenzen [[5edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Superpythagoräische Temperaturen haben, wie die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt;, eine Quinte als Generator; doch im Gegensatz zu den mitteltönigen ist die Quinte bei den superpythagoräischen &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; als die reine Quinte. Die dabei entstehenden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; haben dieselbe Struktur wie bei mitteltönigen Temperaturen; insbesondere gibt es auch eine diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse und 2 kleine Intervalle). Die Qualitäten der Intervalle sind allerdings unterschiedlich. Die Unterschiede zwischen grossen und kleinen Intervallen (also Sekunden, Terzen, Sexten und Septimen) sind ausgeprägter, die grossen Terzen sind also besonders gross, die kleinen Terzen besonders klein. Diese Eigenschaften hat auch die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;reine pythagoräische Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; im Vergleich zu den mitteltönigen; bei den superpythagoräischen Temperaturen sind sie noch stärker ausgeprägt. Ebenso übrigens die Eigenschaft, dass Fis höher ist als Ges. Mitteltönige Stimmungen tendieren demgegenüber dazu, den Unterschied zwischen grossen und kleinen Intervallen zu mildern.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, dessen Austemperieren eine superpythagräische Temperatur definiert, ist das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Leipziger Komma 64/63&amp;lt;/a&amp;gt;. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz 81/64 und der septimalen (über-)grossen Terz 9/7 - Übereinanderschichten von 4 Superpyth-Quinten führt also zur Approximation von 9/7 (anstatt, wie bei mitteltönigen Temperaturen, zur 5/4). Zwei Superpyth-Quartenschritte führen zur Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;, und die Approximation des Ganztons 9/8 fällt mit derjenigen für den septimalen Ganzton 8/7 zusammen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Superpyth-Temperaturen können auf den ersten Blick &amp;amp;quot;dissonater&amp;amp;quot; wirken als mitteltönige - was sie wohl auch sind, wenn traditionelle 5-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-Harmonie mit 5/4-Naturterzen der Massstab ist. Dafür bieten sie aber gute Approximationen für 7-Limit-Intervalle wie die Naturseptime 7/4 und die septimalen Terzen 9/7 und 7/6, die auf ihre eigene exotische Weise konsonant klingen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufig&amp;lt;/a&amp;gt;e superpythagoräische Tonsysteme sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/17edo"&amp;gt;17edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/27edo"&amp;gt;27edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/49edo"&amp;gt;49edo&amp;lt;/a&amp;gt;, in Grenzen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/5edo"&amp;gt;5edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Superpythagoräische Temperaturen haben, wie die [[mitteltönig|mitteltönigen]], eine Quinte als Generator; doch im Gegensatz zu den mitteltönigen ist die Quinte bei den superpythagoräischen //höher// als die reine Quinte. Die dabei entstehenden [[MOS-Skalen]] haben dieselbe Struktur wie bei mitteltönigen Temperaturen; insbesondere gibt es auch eine diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse und 2 kleine Intervalle). Die Qualitäten der Intervalle sind allerdings unterschiedlich. Die Unterschiede zwischen grossen und kleinen Intervallen (also Sekunden, Terzen, Sexten und Septimen) sind ausgeprägter, die grossen Terzen sind also besonders gross, die kleinen Terzen besonders klein. Diese Eigenschaften hat auch die [[pythagoräisch|reine pythagoräische Stimmung]] im Vergleich zu den mitteltönigen; bei den superpythagoräischen Temperaturen sind sie noch stärker ausgeprägt. Ebenso übrigens die Eigenschaft, dass Fis höher ist als Ges. Mitteltönige Stimmungen tendieren demgegenüber dazu, den Unterschied zwischen grossen und kleinen Intervallen zu mildern.

Das [[Komma]], dessen Austemperieren eine superpythagräische Temperatur definiert, ist das [[64_63|Leipziger Komma 64/63]]. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz 81/64 und der septimalen (über-)grossen Terz 9/7. Übereinanderschichten von 4 Superpyth-Quinten führt also zur Approximation von 9/7 (anstatt, wie bei mitteltönigen Tempraturen, zur 5/4). Zwei Superpyth-Quartenschritte führen zur Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]], und die Approximation des Ganztons 9/8 fällt mit derjenigen für den septimalen Ganzton 8/7 zusammen.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Superpythagoräische Temperaturen haben, wie die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt;, eine Quinte als Generator; doch im Gegensatz zu den mitteltönigen ist die Quinte bei den superpythagoräischen &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; als die reine Quinte. Die dabei entstehenden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; haben dieselbe Struktur wie bei mitteltönigen Temperaturen; insbesondere gibt es auch eine diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse und 2 kleine Intervalle). Die Qualitäten der Intervalle sind allerdings unterschiedlich. Die Unterschiede zwischen grossen und kleinen Intervallen (also Sekunden, Terzen, Sexten und Septimen) sind ausgeprägter, die grossen Terzen sind also besonders gross, die kleinen Terzen besonders klein. Diese Eigenschaften hat auch die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;reine pythagoräische Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; im Vergleich zu den mitteltönigen; bei den superpythagoräischen Temperaturen sind sie noch stärker ausgeprägt. Ebenso übrigens die Eigenschaft, dass Fis höher ist als Ges. Mitteltönige Stimmungen tendieren demgegenüber dazu, den Unterschied zwischen grossen und kleinen Intervallen zu mildern.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;, dessen Austemperieren eine superpythagräische Temperatur definiert, ist das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/64_63"&amp;gt;Leipziger Komma 64/63&amp;lt;/a&amp;gt;. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz 81/64 und der septimalen (über-)grossen Terz 9/7. Übereinanderschichten von 4 Superpyth-Quinten führt also zur Approximation von 9/7 (anstatt, wie bei mitteltönigen Tempraturen, zur 5/4). Zwei Superpyth-Quartenschritte führen zur Approximation der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Naturseptime"&amp;gt;Naturseptime 7/4&amp;lt;/a&amp;gt;, und die Approximation des Ganztons 9/8 fällt mit derjenigen für den septimalen Ganzton 8/7 zusammen.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Superpythagoräische Temperaturen haben, wie die [[mitteltönig|mitteltönigen]], eine Quinte als Generator; doch im Gegensatz zu den mitteltönigen ist die Quinte bei den superpythagoräischen //höher// als die reine Quinte. Die dabei entstehenden [[MOS-Skalen]] haben dieselbe Struktur wie bei mitteltönigen Temperaturen; insbesondere gibt es auch eine diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse und 2 kleine Intervalle). Die Qualitäten der Intervalle sind allerdings unterschiedlich. Die Unterschiede zwischen grossen und kleinen Intervallen (also Sekunden, Terzen, Sexten und Septimen) sind ausgeprägter, die grossen Terzen sind also besonders gross, die kleinen Terzen besonders klein. Diese Eigenschaften hat auch die [[pythagoräisch|reine pythagoräische Stimmung]] im Vergleich zu den mitteltönigen; bei den superpythagoräischen Temperaturen sind sie noch stärker ausgeprägt. Ebenso übrigens die Eigenschaft, dass Fis höher ist als Ges. Mitteltönige Stimmungen tendieren demgegenüber dazu, den Unterschied zwischen grossen und kleinen Intervallen zu mildern.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Superpythagoräische Temperaturen haben, wie die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt;, eine Quinte als Generator; doch im Gegensatz zu den mitteltönigen ist die Quinte bei den superpythagoräischen &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; als die reine Quinte. Die dabei entstehenden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; haben dieselbe Struktur wie bei mitteltönigen Temperaturen; insbesondere gibt es auch eine diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse und 2 kleine Intervalle). Die Qualitäten der Intervalle sind allerdings unterschiedlich. Die Unterschiede zwischen grossen und kleinen Intervallen (also Sekunden, Terzen, Sexten und Septimen) sind ausgeprägter, die grossen Terzen sind also besonders gross, die kleinen Terzen besonders klein. Diese Eigenschaften hat auch die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;reine pythagoräische Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; im Vergleich zu den mitteltönigen; bei den superpythagoräischen Temperaturen sind sie noch stärker ausgeprägt. Ebenso übrigens die Eigenschaft, dass Fis höher ist als Ges. Mitteltönige Stimmungen tendieren demgegenüber dazu, den Unterschied zwischen grossen und kleinen Intervallen zu mildern.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Superpythagoräische Temperaturen haben, wie die [[mitteltönig|mitteltönigen]], eine Quinte als Generator; doch im Gegensatz zu den mitteltönigen ist die Quinte bei den superpythagoräischen //höher// als die reine Quinte. Die dabei entstehenden [[MOS-Skalen]] haben dieselbe Struktur wie bei mitteltönigen Temperaturen; insbesondere gibt es auch eine diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse und 2 kleine Intervalle). Die Qualitäten der Intervalle sind allerdings unterschiedlich. Die Unterschiede zwischen grossen und kleinen Intervallen (also Sekunden, Terzen, Sexten und Septimen) sind ausgeprägter, die grossen Terzen sind also besonders gross, die kleinen Terzen besonders klein. Diese Eigenschaften hat auch die [[pythagoräisch|reine pythagäische Stimmung]] im Vergleich zu den mitteltönigen; bei den superpythagoräischen Temperaturen sind sie noch stärker ausgeprägt. Ebenso übrigens die Eigenschaft, dass Fis höher ist als Ges.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Superpythagoräische Temperaturen haben, wie die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt;, eine Quinte als Generator; doch im Gegensatz zu den mitteltönigen ist die Quinte bei den superpythagoräischen &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; als die reine Quinte. Die dabei entstehenden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; haben dieselbe Struktur wie bei mitteltönigen Temperaturen; insbesondere gibt es auch eine diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse und 2 kleine Intervalle). Die Qualitäten der Intervalle sind allerdings unterschiedlich. Die Unterschiede zwischen grossen und kleinen Intervallen (also Sekunden, Terzen, Sexten und Septimen) sind ausgeprägter, die grossen Terzen sind also besonders gross, die kleinen Terzen besonders klein. Diese Eigenschaften hat auch die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;reine pythagäische Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; im Vergleich zu den mitteltönigen; bei den superpythagoräischen Temperaturen sind sie noch stärker ausgeprägt. Ebenso übrigens die Eigenschaft, dass Fis höher ist als Ges.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Einführung: [[Reguläre Temperaturen]]

Superpythagoräische Temperaturen haben, wie die [[mitteltönig|mitteltönigen]], eine Quinte als Generator; doch im Gegensatz zu den mitteltönigen ist die Quinte bei den superpythagoräischen //höher// als die reine Quinte. Die dabei entstehenden [[MOS-Skalen]] haben dieselbe Struktur wie bei mitteltönigen Temperaturen; insbesondere gibt es auch eine diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse und 2 kleine Intervalle). Die Qualitäten der Intervalle sind allerdings unterschiedlich. Die Unterschiede zwischen grossen und kleinen Intervallen (also Sekiunden, Terzen, Sexten und Septimen) sind ausgeprägter, die grossen Terzen sind also besonders gross, die kleinen Terzen besonders klein. Diese Eigenschaften hat auch die [[pythagoräisch|reine pythagäische Stimmung]] im Vergleich zu den mitteltönigen; bei den superpythagoräischen Temperaturen sind sie noch stärker ausgeprägt. Ebenso übrigens die Eigenschaft, dass Fis höher ist als Ges.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Einführung: &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Superpythagoräische Temperaturen haben, wie die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt;, eine Quinte als Generator; doch im Gegensatz zu den mitteltönigen ist die Quinte bei den superpythagoräischen &amp;lt;em&amp;gt;höher&amp;lt;/em&amp;gt; als die reine Quinte. Die dabei entstehenden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; haben dieselbe Struktur wie bei mitteltönigen Temperaturen; insbesondere gibt es auch eine diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse und 2 kleine Intervalle). Die Qualitäten der Intervalle sind allerdings unterschiedlich. Die Unterschiede zwischen grossen und kleinen Intervallen (also Sekiunden, Terzen, Sexten und Septimen) sind ausgeprägter, die grossen Terzen sind also besonders gross, die kleinen Terzen besonders klein. Diese Eigenschaften hat auch die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;reine pythagäische Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; im Vergleich zu den mitteltönigen; bei den superpythagoräischen Temperaturen sind sie noch stärker ausgeprägt. Ebenso übrigens die Eigenschaft, dass Fis höher ist als Ges.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

"Superpyth" steht für "super-pythagoräisch". Superpythagoräische Temperaturen haben, wie die [[mitteltönig|mitteltönigen]], eine Quinte als Generator; doch im Gegensatz zu den mitteltönigen ist die Quinte bei den superpythagoräischen ''höher'' als die reine Quinte. Die dabei entstehenden [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] haben dieselbe Struktur wie bei mitteltönigen Temperaturen; insbesondere gibt es auch eine diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse und 2 kleine Intervalle). Die Qualitäten der Intervalle sind allerdings unterschiedlich. Die Unterschiede zwischen grossen und kleinen Intervallen (also Sekunden, Terzen, Sexten und Septimen) sind ausgeprägter, die grossen Terzen sind also besonders gross, die kleinen Terzen besonders klein. Diese Eigenschaften hat auch die [[pythagoräisch|reine pythagoräische Stimmung]] im Vergleich zu den mitteltönigen; bei den superpythagoräischen Temperaturen sind sie noch stärker ausgeprägt - passend zum Namen "super-pythagoräisch". Mitteltönige Stimmungen tendieren demgegenüber dazu, den Unterschied zwischen grossen und kleinen Intervallen zu mildern.

Das [[Komma|Komma]], dessen Austemperieren eine superpythagräische Temperatur definiert, ist das [[64/63|Leipziger Komma 64/63]]. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz 81/64 und der septimalen (über-)grossen Terz 9/7 - Übereinanderschichten von 4 Superpyth-Quinten führt also zur Approximation von 9/7 (anstatt, wie bei mitteltönigen Temperaturen, zu [[Naturterz|5/4]]). Zwei Superpyth-Quartenschritte führen zur Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]], und die Approximation des Ganztons 9/8 fällt mit derjenigen für den septimalen Ganzton 8/7 zusammen.

Eine Approximation der Naturterz 5/4, wenn man sie denn haben will, ist bei einer superpythagoräischen Temperatur in der Regel nach 9 Quintenschritten zu erreichen, in pythagoräischer Notenschrift-Logik als C-Dis (C-E ist dagegen eben die septimale übergrosse Terz). In der natürlichsten Erweiterung auf 11-[[Limit|Limit]] führen sechs Quartenschritte zur Approximation des [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], notiert als C-Ges. Ges ist übrigens tiefer als Fis - eine weitere typische Eigenschaft auch der pythagoräischen Stimmung, die in superpythagoräischen Systemen noch stärker ausgeprägt ist (und genau umgekehrt wie in mitteltönigen Systemen).

Superpyth-Temperaturen können auf den ersten Blick "dissonanter" wirken als mitteltönige - was sie in der Regel auch sind, wenn traditionelle 5-Limit-Harmonie mit 5/4-Naturterzen der Massstab ist. Dafür bieten sie aber oft gute Approximationen für 7-Limit-Intervalle wie die Naturseptime 7/4 und die septimalen Terzen 9/7 und 7/6, die auf ihre eigene exotische Weise konsonant klingen.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufig]]e superpythagoräische Tonsysteme sind unter anderem [[17edo|17edo]], [[22edo|22edo]], [[27edo|27edo]], [[49edo|49edo]], in Grenzen [[5edo|5edo]].  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

"Superpyth" steht für "super-pythagoräisch". Superpythagoräische Temperaturen haben, wie die [[mitteltönig|mitteltönigen]], eine Quinte als Generator; doch im Gegensatz zu den mitteltönigen ist die Quinte bei den superpythagoräischen ''höher'' als die reine Quinte. Die dabei entstehenden [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] haben dieselbe Struktur wie bei mitteltönigen Temperaturen; insbesondere gibt es auch eine diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse und 2 kleine Intervalle). Die Qualitäten der Intervalle sind allerdings unterschiedlich. Die Unterschiede zwischen grossen und kleinen Intervallen (also Sekunden, Terzen, Sexten und Septimen) sind ausgeprägter, die grossen Terzen sind also besonders gross, die kleinen Terzen besonders klein. Diese Eigenschaften hat auch die [[pythagoräisch|reine pythagoräische Stimmung]] im Vergleich zu den mitteltönigen; bei den superpythagoräischen Temperaturen sind sie noch stärker ausgeprägt - passend zum Namen "super-pythagoräisch". Mitteltönige Stimmungen tendieren demgegenüber dazu, den Unterschied zwischen grossen und kleinen Intervallen zu mildern.

Das [[Komma|Komma]], dessen Austemperieren eine superpythagräische Temperatur definiert, ist das [[64/63|Leipziger Komma 64/63]]. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz 81/64 und der septimalen (über-)grossen Terz 9/7 - Übereinanderschichten von 4 Superpyth-Quinten führt also zur Approximation von 9/7 (anstatt, wie bei mitteltönigen Temperaturen, zu [[Naturterz|5/4]]). Zwei Superpyth-Quartenschritte führen zur Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]], und die Approximation des Ganztons 9/8 fällt mit derjenigen für den septimalen Ganzton 8/7 zusammen.

Eine Approximation der Naturterz 5/4, wenn man sie denn haben will, ist bei einer superpythagoräischen Temperatur in der Regel nach 9 Quintenschritten zu erreichen, in pythagoräischer Notenschrift-Logik als C-Dis (C-E ist dagegen eben die septimale übergrosse Terz). In der natürlichsten Erweiterung auf 11-[[Limit|Limit]] führen sechs Quartenschritte zur Approximation des [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], notiert als C-Ges. Ges ist übrigens tiefer als Fis - eine weitere typische Eigenschaft auch der pythagoräischen Stimmung, die in superpythagoräischen Systemen noch stärker ausgeprägt ist (und genau umgekehrt wie in mitteltönigen Systemen).

Superpyth-Temperaturen können auf den ersten Blick "dissonanter" wirken als mitteltönige - was sie in der Regel auch sind, wenn traditionelle 5-Limit-Harmonie mit 5/4-Naturterzen der Massstab ist. Dafür bieten sie aber oft gute Approximationen für 7-Limit-Intervalle wie die Naturseptime 7/4 und die septimalen Terzen 9/7 und 7/6, die auf ihre eigene exotische Weise konsonant klingen.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufig]]e superpythagoräische Tonsysteme sind unter anderem [[17-EDO]], [[22-EDO]], [[27-EDO]], [[49-EDO]], in Grenzen [[5-EDO]].  [[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

"Superpyth" steht für "super-pythagoräisch". Superpythagoräische Temperaturen haben, wie die [[mitteltönig|mitteltönigen]], eine Quinte als Generator; doch im Gegensatz zu den mitteltönigen ist die Quinte bei den superpythagoräischen ''höher'' als die reine Quinte. Die dabei entstehenden [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] haben dieselbe Struktur wie bei mitteltönigen Temperaturen; insbesondere gibt es auch eine diatonische Skala mit der Struktur [[5L 2s]] (5 grosse und 2 kleine Intervalle). Die Qualitäten der Intervalle sind allerdings unterschiedlich. Die Unterschiede zwischen grossen und kleinen Intervallen (also Sekunden, Terzen, Sexten und Septimen) sind ausgeprägter, die grossen Terzen sind also besonders gross, die kleinen Terzen besonders klein. Diese Eigenschaften hat auch die [[pythagoräisch|reine pythagoräische Stimmung]] im Vergleich zu den mitteltönigen; bei den superpythagoräischen Temperaturen sind sie noch stärker ausgeprägt - passend zum Namen "super-pythagoräisch". Mitteltönige Stimmungen tendieren demgegenüber dazu, den Unterschied zwischen grossen und kleinen Intervallen zu mildern.

Das [[Komma|Komma]], dessen Austemperieren eine superpythagräische Temperatur definiert, ist das [[64/63|Leipziger Komma 64/63]]. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz 81/64 und der septimalen (über-)grossen Terz 9/7 - Übereinanderschichten von 4 Superpyth-Quinten führt also zur Approximation von 9/7 (anstatt, wie bei mitteltönigen Temperaturen, zu [[Naturterz|5/4]]). Zwei Superpyth-Quartenschritte führen zur Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]], und die Approximation des Ganztons 9/8 fällt mit derjenigen für den septimalen Ganzton 8/7 zusammen.

Eine Approximation der Naturterz 5/4, wenn man sie denn haben will, ist bei einer superpythagoräischen Temperatur in der Regel nach 9 Quintenschritten zu erreichen, in pythagoräischer Notenschrift-Logik als C-Dis (C-E ist dagegen eben die septimale übergrosse Terz). In der natürlichsten Erweiterung auf 11-[[Limit|Limit]] führen sechs Quartenschritte zur Approximation des [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], notiert als C-Ges. Ges ist übrigens tiefer als Fis - eine weitere typische Eigenschaft auch der pythagoräischen Stimmung, die in superpythagoräischen Systemen noch stärker ausgeprägt ist (und genau umgekehrt wie in mitteltönigen Systemen).

Superpyth-Temperaturen können auf den ersten Blick "dissonanter" wirken als mitteltönige - was sie in der Regel auch sind, wenn traditionelle 5-Limit-Harmonie mit 5/4-Naturterzen der Massstab ist. Dafür bieten sie aber oft gute Approximationen für 7-Limit-Intervalle wie die Naturseptime 7/4 und die septimalen Terzen 9/7 und 7/6, die auf ihre eigene exotische Weise konsonant klingen.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufig]]e superpythagoräische Tonsysteme sind unter anderem [[17-EDO]], [[22-EDO]], [[27-EDO]], [[49-EDO]], in Grenzen [[5-EDO]].  [[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

"Superpyth" steht für "super-pythagoräisch". Superpythagoräische Temperaturen haben, wie die [[mitteltönig|mitteltönigen]], eine Quinte als Generator; doch im Gegensatz zu den mitteltönigen ist die Quinte bei den superpythagoräischen ''höher'' als die reine Quinte. Die dabei entstehenden [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] haben dieselbe Struktur wie bei mitteltönigen Temperaturen; insbesondere gibt es auch eine diatonische Skala mit der Struktur [[5L 2s]] (5 grosse und 2 kleine Intervalle). Die Qualitäten der Intervalle sind allerdings unterschiedlich. Die Unterschiede zwischen grossen und kleinen Intervallen (also Sekunden, Terzen, Sexten und Septimen) sind ausgeprägter, die grossen Terzen sind also besonders gross, die kleinen Terzen besonders klein. Diese Eigenschaften hat auch die [[pythagoräisch|reine pythagoräische Stimmung]] im Vergleich zu den mitteltönigen; bei den superpythagoräischen Temperaturen sind sie noch stärker ausgeprägt - passend zum Namen "super-pythagoräisch". Mitteltönige Stimmungen tendieren demgegenüber dazu, den Unterschied zwischen grossen und kleinen Intervallen zu mildern.

Das [[Komma|Komma]], dessen Austemperieren eine superpythagräische Temperatur definiert, ist das [[64/63|Leipziger Komma 64/63]]. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz 81/64 und der septimalen (über-)grossen Terz 9/7 - Übereinanderschichten von 4 Superpyth-Quinten führt also zur Approximation von 9/7 (anstatt, wie bei mitteltönigen Temperaturen, zu [[Naturterz|5/4]]). Zwei Superpyth-Quartenschritte führen zur Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]], und die Approximation des Ganztons 9/8 fällt mit derjenigen für den septimalen Ganzton 8/7 zusammen.

Eine Approximation der Naturterz 5/4, wenn man sie denn haben will, ist bei einer superpythagoräischen Temperatur in der Regel nach 9 Quintenschritten zu erreichen, in pythagoräischer Notenschrift-Logik als C-Dis (C-E ist dagegen eben die septimale übergrosse Terz). In der natürlichsten Erweiterung auf 11-[[Limit|Limit]] führen sechs Quartenschritte zur Approximation des [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], notiert als C-Ges. Ges ist übrigens tiefer als Fis - eine weitere typische Eigenschaft auch der pythagoräischen Stimmung, die in superpythagoräischen Systemen noch stärker ausgeprägt ist (und genau umgekehrt wie in mitteltönigen Systemen).

Superpyth-Temperaturen können auf den ersten Blick "dissonanter" wirken als mitteltönige - was sie in der Regel auch sind, wenn traditionelle 5-Limit-Harmonie mit 5/4-Naturterzen der Massstab ist. Dafür bieten sie aber oft gute Approximationen für 7-Limit-Intervalle wie die Naturseptime 7/4 und die septimalen Terzen 9/7 und 7/6, die auf ihre eigene exotische Weise konsonant klingen.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufig]]e superpythagoräische Tonsysteme sind unter anderem [[17-EDO]], [[22-EDO]], [[27edo|27-EDO]], [[49-EDO]], in Grenzen [[5-EDO]].  [[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

"Superpyth" steht für "super-pythagoräisch". Superpythagoräische Temperaturen haben, wie die [[mitteltönig|mitteltönigen]], eine Quinte als Generator; doch im Gegensatz zu den mitteltönigen ist die Quinte bei den superpythagoräischen ''höher'' als die reine Quinte. Die dabei entstehenden [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] haben dieselbe Struktur wie bei mitteltönigen Temperaturen; insbesondere gibt es auch eine diatonische Skala mit der Struktur [[5L 2s]] (5 grosse und 2 kleine Intervalle). Die Qualitäten der Intervalle sind allerdings unterschiedlich. Die Unterschiede zwischen grossen und kleinen Intervallen (also Sekunden, Terzen, Sexten und Septimen) sind ausgeprägter, die grossen Terzen sind also besonders gross, die kleinen Terzen besonders klein. Diese Eigenschaften hat auch die [[pythagoräisch|reine pythagoräische Stimmung]] im Vergleich zu den mitteltönigen; bei den superpythagoräischen Temperaturen sind sie noch stärker ausgeprägt - passend zum Namen "super-pythagoräisch". Mitteltönige Stimmungen tendieren demgegenüber dazu, den Unterschied zwischen grossen und kleinen Intervallen zu mildern.

Das [[Komma|Komma]], dessen Austemperieren eine superpythagräische Temperatur definiert, ist das [[64/63|Leipziger Komma 64/63]]. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz 81/64 und der septimalen (über-)grossen Terz 9/7 - Übereinanderschichten von 4 Superpyth-Quinten führt also zur Approximation von 9/7 (anstatt, wie bei mitteltönigen Temperaturen, zu [[Naturterz|5/4]]). Zwei Superpyth-Quartenschritte führen zur Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]], und die Approximation des Ganztons 9/8 fällt mit derjenigen für den septimalen Ganzton 8/7 zusammen.

Eine Approximation der Naturterz 5/4, wenn man sie denn haben will, ist bei einer superpythagoräischen Temperatur in der Regel nach 9 Quintenschritten zu erreichen, in pythagoräischer Notenschrift-Logik als C-Dis (C-E ist dagegen eben die septimale übergrosse Terz). In der natürlichsten Erweiterung auf 11-[[Limit|Limit]] führen sechs Quartenschritte zur Approximation des [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], notiert als C-Ges. Ges ist übrigens tiefer als Fis - eine weitere typische Eigenschaft auch der pythagoräischen Stimmung, die in superpythagoräischen Systemen noch stärker ausgeprägt ist (und genau umgekehrt wie in mitteltönigen Systemen).

Superpyth-Temperaturen können auf den ersten Blick "dissonanter" wirken als mitteltönige - was sie in der Regel auch sind, wenn traditionelle 5-Limit-Harmonie mit 5/4-Naturterzen der Massstab ist. Dafür bieten sie aber oft gute Approximationen für 7-Limit-Intervalle wie die Naturseptime 7/4 und die septimalen Terzen 9/7 und 7/6, die auf ihre eigene exotische Weise konsonant klingen.

=Gleichstufige TonSysteme=
[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufig]]e superpythagoräische Tonsysteme sind unter anderem [[17-EDO]], [[22-EDO]], [[27edo|27-EDO]], [[49-EDO]], in Grenzen [[5-EDO]].  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]
=Varianten=
Superpythagoräische Tonsysteme können ähnlich wie mitteltönige klassifiziert werden. So wird die Drittelkomma- superpythagoräische Stimmung dadurch definiert, dass die Quinte um ein Drittel des Leipziger Kommas erhöht ist. Diese Temperatur ist besonders gut in [[27edo|27-EDO]] unterstützt.</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

"Superpyth" steht für "super-pythagoräisch". Superpythagoräische Temperaturen haben, wie die [[mitteltönig|mitteltönigen]], eine Quinte als Generator; doch im Gegensatz zu den mitteltönigen ist die Quinte bei den superpythagoräischen ''höher'' als die reine Quinte. Die dabei entstehenden [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] haben dieselbe Struktur wie bei mitteltönigen Temperaturen; insbesondere gibt es auch eine diatonische Skala mit der Struktur [[5L 2s]] (5 grosse und 2 kleine Intervalle). Die Qualitäten der Intervalle sind allerdings unterschiedlich. Die Unterschiede zwischen grossen und kleinen Intervallen (also Sekunden, Terzen, Sexten und Septimen) sind ausgeprägter, die grossen Terzen sind also besonders gross, die kleinen Terzen besonders klein. Diese Eigenschaften hat auch die [[pythagoräisch|reine pythagoräische Stimmung]] im Vergleich zu den mitteltönigen; bei den superpythagoräischen Temperaturen sind sie noch stärker ausgeprägt - passend zum Namen "super-pythagoräisch". Mitteltönige Stimmungen tendieren demgegenüber dazu, den Unterschied zwischen grossen und kleinen Intervallen zu mildern.

Das [[Komma|Komma]], dessen Austemperieren eine superpythagräische Temperatur definiert, ist das [[64/63|Leipziger Komma 64/63]]. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz 81/64 und der septimalen (über-)grossen Terz 9/7 - Übereinanderschichten von 4 Superpyth-Quinten führt also zur Approximation von 9/7 (anstatt, wie bei mitteltönigen Temperaturen, zu [[Naturterz|5/4]]). Zwei Superpyth-Quartenschritte führen zur Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]], und die Approximation des Ganztons 9/8 fällt mit derjenigen für den septimalen Ganzton 8/7 zusammen.

Eine Approximation der Naturterz 5/4, wenn man sie denn haben will, ist bei einer superpythagoräischen Temperatur in der Regel nach 9 Quintenschritten zu erreichen, in pythagoräischer Notenschrift-Logik als C-Dis (C-E ist dagegen eben die septimale übergrosse Terz). In der natürlichsten Erweiterung auf 11-[[Limit|Limit]] führen sechs Quartenschritte zur Approximation des [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], notiert als C-Ges. Ges ist übrigens tiefer als Fis - eine weitere typische Eigenschaft auch der pythagoräischen Stimmung, die in superpythagoräischen Systemen noch stärker ausgeprägt ist (und genau umgekehrt wie in mitteltönigen Systemen).

Superpyth-Temperaturen können auf den ersten Blick "dissonanter" wirken als mitteltönige - was sie in der Regel auch sind, wenn traditionelle 5-Limit-Harmonie mit 5/4-Naturterzen der Massstab ist. Dafür bieten sie aber oft gute Approximationen für 7-Limit-Intervalle wie die Naturseptime 7/4 und die septimalen Terzen 9/7 und 7/6, die auf ihre eigene exotische Weise konsonant klingen.

=Gleichstufige TonSysteme=
[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufig]]e superpythagoräische Tonsysteme sind unter anderem [[17-EDO]], [[22-EDO]], [[27edo|27-EDO]], [[49-EDO]], in Grenzen [[5-EDO]].  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]
=Varianten=
Superpythagoräische Tonsysteme können ähnlich wie mitteltönige klassifiziert werden. So wird die Drittelkomma- superpythagoräische Stimmung dadurch definiert, dass die Quinte um ein Drittel des Leipziger Kommas erhöht ist. Die septimaien kleinen Terzen 7/6 sind dann rein gestimmt. Diese Temperatur ist besonders gut in [[27edo|27-EDO]] unterstützt.</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

"Superpyth" steht für "super-pythagoräisch". Superpythagoräische Temperaturen haben, wie die [[mitteltönig|mitteltönigen]], eine Quinte als Generator; doch im Gegensatz zu den mitteltönigen ist die Quinte bei den superpythagoräischen ''höher'' als die reine Quinte. Die dabei entstehenden [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] haben dieselbe Struktur wie bei mitteltönigen Temperaturen; insbesondere gibt es auch eine diatonische Skala mit der Struktur [[5L 2s]] (5 grosse und 2 kleine Intervalle). Die Qualitäten der Intervalle sind allerdings unterschiedlich. Die Unterschiede zwischen grossen und kleinen Intervallen (also Sekunden, Terzen, Sexten und Septimen) sind ausgeprägter, die grossen Terzen sind also besonders gross, die kleinen Terzen besonders klein. Diese Eigenschaften hat auch die [[pythagoräisch|reine pythagoräische Stimmung]] im Vergleich zu den mitteltönigen; bei den superpythagoräischen Temperaturen sind sie noch stärker ausgeprägt - passend zum Namen "super-pythagoräisch". Mitteltönige Stimmungen tendieren demgegenüber dazu, den Unterschied zwischen grossen und kleinen Intervallen zu mildern.

Das [[Komma|Komma]], dessen Austemperieren eine superpythagräische Temperatur definiert, ist das [[64/63|Leipziger Komma 64/63]]. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz 81/64 und der septimalen (über-)grossen Terz 9/7 - Übereinanderschichten von 4 Superpyth-Quinten führt also zur Approximation von 9/7 (anstatt, wie bei mitteltönigen Temperaturen, zu [[Naturterz|5/4]]). Zwei Superpyth-Quartenschritte führen zur Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]], und die Approximation des Ganztons 9/8 fällt mit derjenigen für den septimalen Ganzton 8/7 zusammen.

Eine Approximation der Naturterz 5/4, wenn man sie denn haben will, ist bei einer superpythagoräischen Temperatur in der Regel nach 9 Quintenschritten zu erreichen, in pythagoräischer Notenschrift-Logik als C-Dis (C-E ist dagegen eben die septimale übergrosse Terz). In der natürlichsten Erweiterung auf 11-[[Limit|Limit]] führen sechs Quartenschritte zur Approximation des [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], notiert als C-Ges. Ges ist übrigens tiefer als Fis - eine weitere typische Eigenschaft auch der pythagoräischen Stimmung, die in superpythagoräischen Systemen noch stärker ausgeprägt ist (und genau umgekehrt wie in mitteltönigen Systemen).

Superpyth-Temperaturen können auf den ersten Blick "dissonanter" wirken als mitteltönige - was sie in der Regel auch sind, wenn traditionelle 5-Limit-Harmonie mit 5/4-Naturterzen der Massstab ist. Dafür bieten sie aber oft gute Approximationen für 7-Limit-Intervalle wie die Naturseptime 7/4 und die septimalen Terzen 9/7 und 7/6, die auf ihre eigene exotische Weise konsonant klingen.

=Gleichstufige TonSysteme=
[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufig]]e superpythagoräische Tonsysteme sind unter anderem [[17-EDO]], [[22-EDO]], [[27edo|27-EDO]], [[49-EDO]], in Grenzen [[5-EDO]].  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]
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Superpythagoräische Tonsysteme können ähnlich wie mitteltönige klassifiziert werden. So wird die drittelkomma- superpythagoräische Stimmung dadurch definiert, dass die Quinte um ein Drittel des Leipziger Kommas erhöht ist. Die septimaien kleinen Terzen 7/6 sind dann rein gestimmt. Diese Temperatur ist besonders gut in [[27edo|27-EDO]] unterstützt.</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

"Superpyth" steht für "super-pythagoräisch". Superpythagoräische Temperaturen haben, wie die [[mitteltönig|mitteltönigen]], eine Quinte als Generator; doch im Gegensatz zu den mitteltönigen ist die Quinte bei den superpythagoräischen ''höher'' als die reine Quinte. Die dabei entstehenden [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] haben dieselbe Struktur wie bei mitteltönigen Temperaturen; insbesondere gibt es auch eine diatonische Skala mit der Struktur [[5L 2s]] (5 grosse und 2 kleine Intervalle). Die Qualitäten der Intervalle sind allerdings unterschiedlich. Die Unterschiede zwischen grossen und kleinen Intervallen (also Sekunden, Terzen, Sexten und Septimen) sind ausgeprägter, die grossen Terzen sind also besonders gross, die kleinen Terzen besonders klein. Diese Eigenschaften hat auch die [[pythagoräisch|reine pythagoräische Stimmung]] im Vergleich zu den mitteltönigen; bei den superpythagoräischen Temperaturen sind sie noch stärker ausgeprägt - passend zum Namen "super-pythagoräisch". Mitteltönige Stimmungen tendieren demgegenüber dazu, den Unterschied zwischen grossen und kleinen Intervallen zu mildern.

Das [[Komma|Komma]], dessen Austemperieren eine superpythagräische Temperatur definiert, ist das [[64/63|Leipziger Komma 64/63]]. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz 81/64 und der septimalen (über-)grossen Terz 9/7 - Übereinanderschichten von 4 Superpyth-Quinten führt also zur Approximation von 9/7 (anstatt, wie bei mitteltönigen Temperaturen, zu [[Naturterz|5/4]]). Zwei Superpyth-Quartenschritte führen zur Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]], und die Approximation des Ganztons 9/8 fällt mit derjenigen für den septimalen Ganzton 8/7 zusammen.

Eine Approximation der Naturterz 5/4, wenn man sie denn haben will, ist bei einer superpythagoräischen Temperatur in der Regel nach 9 Quintenschritten zu erreichen, in pythagoräischer Notenschrift-Logik als C-Dis (C-E ist dagegen eben die septimale übergrosse Terz). In der natürlichsten Erweiterung auf 11-[[Limit|Limit]] führen sechs Quartenschritte zur Approximation des [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], notiert als C-Ges. Ges ist übrigens tiefer als Fis - eine weitere typische Eigenschaft auch der pythagoräischen Stimmung, die in superpythagoräischen Systemen noch stärker ausgeprägt ist (und genau umgekehrt wie in mitteltönigen Systemen).

Superpyth-Temperaturen können auf den ersten Blick "dissonanter" wirken als mitteltönige - was sie in der Regel auch sind, wenn traditionelle 5-Limit-Harmonie mit 5/4-Naturterzen der Massstab ist. Dafür bieten sie aber oft gute Approximationen für 7-Limit-Intervalle wie die Naturseptime 7/4 und die septimalen Terzen 9/7 und 7/6, die auf ihre eigene exotische Weise konsonant klingen.

=Gleichstufige TonSysteme=
[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufig]]e superpythagoräische Tonsysteme sind unter anderem [[17-EDO]], [[22-EDO]], [[27edo|27-EDO]], [[49-EDO]], in Grenzen [[5-EDO]].  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]
=Varianten=
Superpythagoräische Tonsysteme können ähnlich wie mitteltönige klassifiziert werden. So wird die '''drittelkomma- superpythagoräische''' Stimmung dadurch definiert, dass die Quinte um ein Drittel des Leipziger Kommas erhöht ist. Die septimalen kleinen Terzen 7/6 sind dann rein gestimmt. Diese Temperatur ist besonders gut in [[27edo|27-EDO]] unterstützt.</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

"Superpyth" steht für "super-pythagoräisch". Superpythagoräische Temperaturen haben, wie die [[mitteltönig|mitteltönigen]], eine Quinte als Generator; doch im Gegensatz zu den mitteltönigen ist die Quinte bei den superpythagoräischen ''höher'' als die reine Quinte. Die dabei entstehenden [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] haben dieselbe Struktur wie bei mitteltönigen Temperaturen; insbesondere gibt es auch eine diatonische Skala mit der Struktur [[5L 2s]] (5 grosse und 2 kleine Intervalle). Die Qualitäten der Intervalle sind allerdings unterschiedlich. Die Unterschiede zwischen grossen und kleinen Intervallen (also Sekunden, Terzen, Sexten und Septimen) sind ausgeprägter, die grossen Terzen sind also besonders gross, die kleinen Terzen besonders klein. Diese Eigenschaften hat auch die [[pythagoräisch|reine pythagoräische Stimmung]] im Vergleich zu den mitteltönigen; bei den superpythagoräischen Temperaturen sind sie noch stärker ausgeprägt - passend zum Namen "super-pythagoräisch". Mitteltönige Stimmungen tendieren demgegenüber dazu, den Unterschied zwischen grossen und kleinen Intervallen zu mildern.

Das [[Komma|Komma]], dessen Austemperieren eine superpythagräische Temperatur definiert, ist das [[64/63|Leipziger Komma 64/63]]. Dieses ist bekanntlich der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz 81/64 und der septimalen (über-)grossen Terz 9/7 - Übereinanderschichten von 4 Superpyth-Quinten führt also zur Approximation von 9/7 (anstatt, wie bei mitteltönigen Temperaturen, zu [[Naturterz|5/4]]). Zwei Superpyth-Quartenschritte führen zur Approximation der [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]], und die Approximation des Ganztons 9/8 fällt mit derjenigen für den septimalen Ganzton 8/7 zusammen.

Eine Approximation der Naturterz 5/4, wenn man sie denn haben will, ist bei einer superpythagoräischen Temperatur in der Regel nach 9 Quintenschritten zu erreichen, in pythagoräischer Notenschrift-Logik als C-Dis (C-E ist dagegen eben die septimale übergrosse Terz). In der natürlichsten Erweiterung auf 11-[[Limit|Limit]] führen sechs Quartenschritte zur Approximation des [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]], notiert als C-Ges. Ges ist übrigens tiefer als Fis - eine weitere typische Eigenschaft auch der pythagoräischen Stimmung, die in superpythagoräischen Systemen noch stärker ausgeprägt ist (und genau umgekehrt wie in mitteltönigen Systemen).

Superpyth-Temperaturen können auf den ersten Blick "dissonanter" wirken als mitteltönige - was sie in der Regel auch sind, wenn traditionelle 5-Limit-Harmonie mit 5/4-Naturterzen der Massstab ist. Dafür bieten sie aber oft gute Approximationen für 7-Limit-Intervalle wie die Naturseptime 7/4 und die septimalen Terzen 9/7 und 7/6, die auf ihre eigene exotische Weise konsonant klingen.

=Gleichstufige TonSysteme=
[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufig]]e superpythagoräische Tonsysteme sind unter anderem [[17-EDO]], [[22-EDO]], [[27edo|27-EDO]], [[49-EDO]], in Grenzen [[5-EDO]].  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]
=Varianten=
Superpythagoräische Tonsysteme können ähnlich wie mitteltönige klassifiziert werden. So wird die '''drittelkomma-superpythagoräische''' Stimmung dadurch definiert, dass die Quinte um ein Drittel des Leipziger Kommas erhöht ist. Die septimalen kleinen Terzen 7/6 sind dann rein gestimmt. Diese Temperatur ist besonders gut in [[27edo|27-EDO]] unterstützt.</text>
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Das '''syntonische Komma''' ist ein Intervall mit dem Frequenzverhältnis '''81/80''' (ca. 21,506 [[Cent|Cent]]). Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen einer [[Reine_Stimmungen|reinen]] großen Terz ([[Naturterz|Naturterz]]) [[5/4|5/4]] und einer [[pythagoräisch|pythagoräischen]] großen Terz [[81/64|81/64]], bzw. zwischen dem kleinen [[Ganzton|Ganzton]] [[10/9|10/9]] und dem großen Ganzton [[9/8|9/8]].

Durch das Austemperieren von 81/80 erhält man die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur.

English: [[:en:81/80 xenharmonic/81_80]]

Deutschsprachige Einführung: [http://de.wikipedia.org/wiki/Syntonisches_Komma Syntonisches Komma (Wikipedia)]  [[Category:Komma]]
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Durch das Austemperieren von 81/80 erhält man die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das '''syntonische Komma''' ist ein Intervall mit dem Frequenzverhältnis '''81/80''' (ca. 21,506 [[Cent|Cent]]). Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen einer [[Reine_Stimmungen|reinen]] großen Terz ([[Naturterz|Naturterz]]) [[5/4|5/4]] und einer [[pythagoräisch|pythagoräischen]] großen Terz [[81/64|81/64]], bzw. zwischen dem kleinen [[Ganzton|Ganzton]] [[10/9|10/9]] und dem großen Ganzton [[9/8|9/8]].

Durch das Austemperieren von 81/80 erhält man die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur.

English: [[:en:81/80|xenharmonic/81_80]]

Deutschsprachige Einführung: [http://de.wikipedia.org/wiki/Syntonisches_Komma Syntonisches Komma (Wikipedia)]  [[Category:Komma]]
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Der Ton als Intervall ist also größenmäßig vollkommen identisch mit dem [[Großer_Ganzton|großen Ganzton (9/8)]] (ca. 204 [[Cent|Cent]]).

siehe [http://www.tonalsoft.com/monzo/aristoxenus/aristoxenus.aspx http://www.tonalsoft.com/monzo/aristoxenus/aristoxenus.aspx]  [[Category:Intervallmaß]]</text>
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Der Ton als Intervall ist also größenmäßig vollkommen identisch mit dem [[Großer Ganzton|großen Ganzton (9/8)]] (ca. 204 [[Cent]]).

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Der Ton als Intervall ist also größenmäßig vollkommen identisch mit dem [[Großer Ganzton|großen Ganzton (9/8)]] (ca. 204 [[Cent]]).

siehe http://www.tonalsoft.com/monzo/aristoxenus/aristoxenus.aspx&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Ton&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Der &amp;lt;strong&amp;gt;Ton&amp;lt;/strong&amp;gt; ist ein klassisches Intervallmaß. Aristoxenus definierte es als den Unterschied zwischen der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Quinte"&amp;gt;reinen Quinte (3/2)&amp;lt;/a&amp;gt; und der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Quarte"&amp;gt;reinen Quarte (4/3)&amp;lt;/a&amp;gt;, den beiden nach der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave (2/1)&amp;lt;/a&amp;gt; einfachsten &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervall"&amp;gt;Intervallen&amp;lt;/a&amp;gt;. &amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Ton als Intervall ist also größenmäßig vollkommen identisch mit dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gro%C3%9Fer%20Ganzton"&amp;gt;großen Ganzton (9/8)&amp;lt;/a&amp;gt; (ca. 204 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Cent"&amp;gt;Cent&amp;lt;/a&amp;gt;).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
siehe &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextUrlRule:10:http://www.tonalsoft.com/monzo/aristoxenus/aristoxenus.aspx --&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.tonalsoft.com/monzo/aristoxenus/aristoxenus.aspx" rel="nofollow"&amp;gt;http://www.tonalsoft.com/monzo/aristoxenus/aristoxenus.aspx&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextUrlRule:10 --&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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}}
Der '''Ton''' ist ein klassisches [[Intervallmaß]]. Aristoxenus definierte es als den Unterschied zwischen der [[Reine Quinte|reinen Quinte (3/2)]] und der [[Reine_Quarte|reinen Quarte (4/3)]], den beiden nach der [[Oktave|Oktave (2/1)]] einfachsten [[Intervall]]en. 

Der Ton als Intervall ist also größenmäßig vollkommen identisch mit dem [[Großer_Ganzton|großen Ganzton (9/8)]] (ca. 204 [[Cent]]).

:''Siehe auch [http://www.tonalsoft.com/monzo/aristoxenus/aristoxenus.aspx http://www.tonalsoft.com/monzo/aristoxenus/aristoxenus.aspx]''

[[Category:Intervallmaß]]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

[[Verallgemeinerte_reguläre_Temperatur|Mathematischer Ansatz: Verallgemeinerte reguläre Temperaturen]]

Als "Val" wird eine lineare Funktion auf dem [[Intervallraum|Intervallraum]] bezeichnet, also, kurz gesagt, ein Mitglied des [https://de.wikipedia.org/wiki/Dualraum  dualen Vektorraums] zum Intervallraum.

Vals werden als BRA-Vektoren notiert. Die Anwendung der entsprechenden Funktion auf einen Intervallvektor wird dann als [http://mathworld.wolfram.com/Ket.html  Bra-Ket] notiert (siehe auch [[Primfaktorzerlegung#Umrechnung von Intervallvektoren in Cents| Umrechnung von Intervallvektoren in Cents ]] )

Der Prototyp eines Vals ist die Funktion, welche aus einem Intervallvektor den Zweier-Logarithmus des Frequenzverhätnisses des entsprechenden Intervalls errechnet, das Intervall der reinen Prim also auf 0 abbildet, die Oktave auf 1. Der BRA-Vektor dafür ist:

&amp;lt;log2(2), log2(3), log2(5),...|

bzw., in Dezimalzahlen:

&amp;lt;1, 1.58496, 2.32193,...|

Dieser Val beschreibt die untemperierte, "reine" Stimmung.

Eine [[Reguläre_Temperaturen|temperierte Stimmung]] kann man definieren, indem man einen (typischerweise nur leicht) anderen Val verwendet. Im Falle einer mitteltönigen Temperatur würde also der Intervallvektor der reinen Quinte |-1, 1, 0&amp;gt; nicht auf log2(3/2) abgebildet, sondern auf einen etwas kleineren Wert.

Der Prozess des Austemperierens eines [[Komma|Kommas]] stellt sich in Val-Sprache so dar, dass der Intervallvektor des Kommas vom Val auf 0 abgebildet wird - d. h. das Komma befindet sich im [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kern_%28Algebra%29  Kern] der Val-Abbildung.

Im Fall einer mitteltönigen Temperatur käme wieder das syntonische Komma 81/80 zum Zug, mit KET-Vektordarstellung |-4, 4, -1&amp;gt; . Für den Val &amp;lt;x1, x2, x3 | einer temperierten Stimmung, die dieses Komma austemperiert, muss dann gelten:

&amp;lt;x1,x2,x3||−4,4,−1&amp;gt;=0

also

−4∗x1+4∗x2−x3=0

Dies ist noch eine ziemlich allgemeine Bedingung mit einer grossen Zahl von Lösungen, von denen viele nicht sehr "musikalisch sinnvoll" sein werden. Eine für praktische Zwecke sinnvolle Zusatzbedingung ist, dass das Intervall der Oktave rein sein soll, also

&amp;lt;x1,x2,x3||1,0,0&amp;gt;=log2(2)=1

woraus folgt:

x1=1

In der obigen Gleicihung eingesetzt ergibt sich

4∗x2−x3−4=0

Dies ist immer noch eine Gleichung mit 2 Unbekannten und mehreren Lösungen, wleche für die verschiedenen möglichen mitteltönigen Temperaturen ( [[Drittelkomma-mitteltönig| 1/3-]], [[viertelkomma-mitteltönig| 1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig| 1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig| 2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung| Lucy-Stimmung]], und streng mathematisch auch die rein [[pythagoräisch| pythagoräische]] Stimmung sowie [[Superpyth| superpythagoräische ]]Systeme) stehen. Durch Hinzufügen einer weiteren Bedingung erhält man dann ein System von drei Gleichungen mit 3 Unbekannten und einer eindeutigen Lösung.

Beispielsweise erhält man die [[viertelkomma-mitteltönig| Viertelkomma-mitteltönige ]] Stimmung durch die Bedingung, dass die grosse Terz 5/4 ebenfalls rein intoniert werden soll, was die Gleichung &amp;lt;x1, x2, x3 ||-2, 0, 1&amp;gt; = log2(5/4) ergibt.

Die Bedingung, dass die kleine Terz 6/5 rein sein soll, ergibt demgegenüber die Gleichung &amp;lt;x1, x2, x3 ||1, 1, -1&amp;gt; = log2(6/5), und die entsprechende Temperatur ist die [[Drittelkomma-mitteltönig| Drittelkomma-mitteltönige]] Stimmung.

Die Bedingung schliesslich, dass die Quinte 3/2 rein sein soll, ergibt die Gleichung &amp;lt;x1, x2, x3 ||-1, 1, 0&amp;gt; = log2(3/2) und die [[pythagoräisch| pythagoräische]] Stimmung.</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-07-06 06:34:25 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]
[[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|Mathematischer Ansatz: Verallgemeinerte reguläre Temperaturen]]

Als "Val" wird eine lineare Funktion auf dem [[Intervallraum]] bezeichnet, also, kurz gesagt, ein Mitglied des [[https://de.wikipedia.org/wiki/Dualraum| dualen Vektorraums]] zum Intervallraum.
Vals werden als BRA-Vektoren notiert. Die Anwendung der entsprechenden Funktion auf einen Intervallvektor wird dann als [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html| Bra-Ket]] notiert (siehe auch [[xenharmonie/Primfaktorzerlegung#Umrechnung%20von%20Intervallvektoren%20in%20Cents| Umrechnung von Intervallvektoren in Cents ]] )

Der Prototyp eines Vals ist die Funktion, welche aus einem Intervallvektor den Zweier-Logarithmus des Frequenzverhätnisses des entsprechenden Intervalls errechnet, das Intervall der reinen Prim also auf 0 abbildet, die Oktave auf 1. Der BRA-Vektor dafür ist:

&amp;lt;log2(2), log2(3), log2(5),...|

bzw., in Dezimalzahlen:

&amp;lt;1, 1.58496, 2.32193,...|

Dieser Val beschreibt die untemperierte, "reine" Stimmung.

Eine [[Reguläre Temperaturen|temperierte Stimmung]] kann man definieren, indem man einen (typischerweise nur leicht) anderen Val verwendet. Im Falle einer mitteltönigen Temperatur würde also der Intervallvektor der reinen Quinte |-1, 1, 0&amp;gt; nicht auf log2(3/2) abgebildet, sondern auf einen etwas kleineren Wert.

Der Prozess des Austemperierens eines [[Komma|Kommas]] stellt sich in Val-Sprache so dar, dass der Intervallvektor des Kommas vom Val auf 0 abgebildet wird - d. h. das Komma befindet sich im [[https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kern_%28Algebra%29| Kern]] der Val-Abbildung.

Im Fall einer mitteltönigen Temperatur käme wieder das syntonische Komma 81/80 zum Zug, mit KET-Vektordarstellung |-4, 4, -1&amp;gt; . Für den Val &amp;lt;x1, x2, x3 | einer temperierten Stimmung, die dieses Komma austemperiert, muss dann gelten:

&amp;lt;x1,x2,x3||−4,4,−1&amp;gt;=0

also

−4∗x1+4∗x2−x3=0

Dies ist noch eine ziemlich allgemeine Bedingung mit einer grossen Zahl von Lösungen, von denen viele nicht sehr "musikalisch sinnvoll" sein werden. Eine für praktische Zwecke sinnvolle Zusatzbedingung ist, dass das Intervall der Oktave rein sein soll, also

&amp;lt;x1,x2,x3||1,0,0&amp;gt;=log2(2)=1

woraus folgt:

x1=1

In der obigen Gleicihung eingesetzt ergibt sich

4∗x2−x3−4=0

Dies ist immer noch eine Gleichung mit 2 Unbekannten und mehreren Lösungen, wleche für die verschiedenen möglichen mitteltönigen Temperaturen ( [[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig| 1/3-]], [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig| 1/4-]], [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig| 1/6-]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig| 2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung| Lucy-Stimmung]], und streng mathematisch auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch| pythagoräische]] Stimmung sowie [[xenharmonie/Superpyth| superpythagoräische ]]Systeme) stehen. Durch Hinzufügen einer weiteren Bedingung erhält man dann ein System von drei Gleichungen mit 3 Unbekannten und einer eindeutigen Lösung.

Beispielsweise erhält man die [[xenharmonie/viertelkomma-mitteltönig| Viertelkomma-mitteltönige ]] Stimmung durch die Bedingung, dass die grosse Terz 5/4 ebenfalls rein intoniert werden soll, was die Gleichung &amp;lt;x1, x2, x3 ||-2, 0, 1&amp;gt; = log2(5/4) ergibt.

Die Bedingung, dass die kleine Terz 6/5 rein sein soll, ergibt demgegenüber die Gleichung &amp;lt;x1, x2, x3 ||1, 1, -1&amp;gt; = log2(6/5), und die entsprechende Temperatur ist die [[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig| Drittelkomma-mitteltönige]] Stimmung.

Die Bedingung schliesslich, dass die Quinte 3/2 rein sein soll, ergibt die Gleichung &amp;lt;x1, x2, x3 ||-1, 1, 0&amp;gt; = log2(3/2) und die [[xenharmonie/pythagoräisch| pythagoräische]] Stimmung.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Als &amp;amp;quot;Val&amp;amp;quot; wird eine lineare Funktion auf dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet, also, kurz gesagt, ein Mitglied des &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://de.wikipedia.org/wiki/Dualraum" rel="nofollow"&amp;gt; dualen Vektorraums&amp;lt;/a&amp;gt; zum Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
Vals werden als BRA-Vektoren notiert. Die Anwendung der entsprechenden Funktion auf einen Intervallvektor wird dann als &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow"&amp;gt; Bra-Ket&amp;lt;/a&amp;gt; notiert (siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Primfaktorzerlegung#Umrechnung%20von%20Intervallvektoren%20in%20Cents"&amp;gt; Umrechnung von Intervallvektoren in Cents &amp;lt;/a&amp;gt; )&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Prototyp eines Vals ist die Funktion, welche aus einem Intervallvektor den Zweier-Logarithmus des Frequenzverhätnisses des entsprechenden Intervalls errechnet, das Intervall der reinen Prim also auf 0 abbildet, die Oktave auf 1. Der BRA-Vektor dafür ist:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;log2(2), log2(3), log2(5),...|&amp;lt;br /&amp;gt;
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bzw., in Dezimalzahlen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;1, 1.58496, 2.32193,...|&amp;lt;br /&amp;gt;
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Dieser Val beschreibt die untemperierte, &amp;amp;quot;reine&amp;amp;quot; Stimmung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;temperierte Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; kann man definieren, indem man einen (typischerweise nur leicht) anderen Val verwendet. Im Falle einer mitteltönigen Temperatur würde also der Intervallvektor der reinen Quinte |-1, 1, 0&amp;amp;gt; nicht auf log2(3/2) abgebildet, sondern auf einen etwas kleineren Wert.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Prozess des Austemperierens eines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt; stellt sich in Val-Sprache so dar, dass der Intervallvektor des Kommas vom Val auf 0 abgebildet wird - d. h. das Komma befindet sich im &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kern_%28Algebra%29" rel="nofollow"&amp;gt; Kern&amp;lt;/a&amp;gt; der Val-Abbildung.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Im Fall einer mitteltönigen Temperatur käme wieder das syntonische Komma 81/80 zum Zug, mit KET-Vektordarstellung |-4, 4, -1&amp;amp;gt; . Für den Val &amp;amp;lt;x1, x2, x3 | einer temperierten Stimmung, die dieses Komma austemperiert, muss dann gelten:&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;amp;lt;x1,x2,x3||−4,4,−1&amp;amp;gt;=0&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
−4∗x1+4∗x2−x3=0&amp;lt;br /&amp;gt;
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Dies ist noch eine ziemlich allgemeine Bedingung mit einer grossen Zahl von Lösungen, von denen viele nicht sehr &amp;amp;quot;musikalisch sinnvoll&amp;amp;quot; sein werden. Eine für praktische Zwecke sinnvolle Zusatzbedingung ist, dass das Intervall der Oktave rein sein soll, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1,x2,x3||1,0,0&amp;amp;gt;=log2(2)=1&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
woraus folgt:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
x1=1&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der obigen Gleicihung eingesetzt ergibt sich&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
4∗x2−x3−4=0&amp;lt;br /&amp;gt;
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Dies ist immer noch eine Gleichung mit 2 Unbekannten und mehreren Lösungen, wleche für die verschiedenen möglichen mitteltönigen Temperaturen ( &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt; 1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt; 1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt; 1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt; 2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Lucy-Stimmung"&amp;gt; Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt;, und streng mathematisch auch die rein &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt; pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung sowie &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&amp;gt; superpythagoräische &amp;lt;/a&amp;gt;Systeme) stehen. Durch Hinzufügen einer weiteren Bedingung erhält man dann ein System von drei Gleichungen mit 3 Unbekannten und einer eindeutigen Lösung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispielsweise erhält man die &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt; Viertelkomma-mitteltönige &amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung durch die Bedingung, dass die grosse Terz 5/4 ebenfalls rein intoniert werden soll, was die Gleichung &amp;amp;lt;x1, x2, x3 ||-2, 0, 1&amp;amp;gt; = log2(5/4) ergibt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Bedingung, dass die kleine Terz 6/5 rein sein soll, ergibt demgegenüber die Gleichung &amp;amp;lt;x1, x2, x3 ||1, 1, -1&amp;amp;gt; = log2(6/5), und die entsprechende Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt; Drittelkomma-mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Bedingung schliesslich, dass die Quinte 3/2 rein sein soll, ergibt die Gleichung &amp;amp;lt;x1, x2, x3 ||-1, 1, 0&amp;amp;gt; = log2(3/2) und die &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt; pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-07-06 06:33:16 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Vals and Tuning Space|English]] - [[xenharmonic/ヴァルと音程空間|日本語]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]
[[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|Mathematischer Ansatz: Verallgemeinerte reguläre Temperaturen]]

Als "Val" wird eine lineare Funktion auf dem [[Intervallraum]] bezeichnet, also, kurz gesagt, ein Mitglied des [[https://de.wikipedia.org/wiki/Dualraum| dualen Vektorraums]] zum Intervallraum.
Vals werden als BRA-Vektoren notiert. Die Anwendung der entsprechenden Funktion auf einen Intervallvektor wird dann als [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html| Bra-Ket]] notiert (siehe auch [[xenharmonie/Primfaktorzerlegung#Umrechnung%20von%20Intervallvektoren%20in%20Cents| Umrechnung von Intervallvektoren in Cents ]] )

Der Prototyp eines Vals ist die Funktion, welche aus einem Intervallvektor den Zweier-Logarithmus des Frequenzverhätnisses des entsprechenden Intervalls errechnet, das Intervall der reinen Prim also auf 0 abbildet, die Oktave auf 1. Der BRA-Vektor dafür ist:

&amp;lt;log2(2), log2(3), log2(5),...|

bzw., in Dezimalzahlen:

&amp;lt;1, 1.58496, 2.32193,...|

Dieser Val beschreibt die untemperierte, "reine" Stimmung.

Eine [[Reguläre Temperaturen|temperierte Stimmung]] kann man definieren, indem man einen (typischerweise nur leicht) anderen Val verwendet. Im Falle einer mitteltönigen Temperatur würde also der Intervallvektor der reinen Quinte |-1, 1, 0&amp;gt; nicht auf log2(3/2) abgebildet, sondern auf einen etwas kleineren Wert.

Der Prozess des Austemperierens eines [[Komma|Kommas]] stellt sich in Val-Sprache so dar, dass der Intervallvektor des Kommas vom Val auf 0 abgebildet wird - d. h. das Komma befindet sich im [[https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kern_%28Algebra%29| Kern]] der Val-Abbildung.

Im Fall einer mitteltönigen Temperatur käme wieder das syntonische Komma 81/80 zum Zug, mit KET-Vektordarstellung |-4, 4, -1&amp;gt; . Für den Val &amp;lt;x1, x2, x3 | einer temperierten Stimmung, die dieses Komma austemperiert, muss dann gelten:

&amp;lt;x1,x2,x3||−4,4,−1&amp;gt;=0

also

−4∗x1+4∗x2−x3=0

Dies ist noch eine ziemlich allgemeine Bedingung mit einer grossen Zahl von Lösungen, von denen viele nicht sehr "musikalisch sinnvoll" sein werden. Eine für praktische Zwecke sinnvolle Zusatzbedingung ist, dass das Intervall der Oktave rein sein soll, also

&amp;lt;x1,x2,x3||1,0,0&amp;gt;=log2(2)=1

woraus folgt:

x1=1

In der obigen Gleicihung eingesetzt ergibt sich

4∗x2−x3−4=0

Dies ist immer noch eine Gleichung mit 2 Unbekannten und mehreren Lösungen, wleche für die verschiedenen möglichen mitteltönigen Temperaturen ( [[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig| 1/3- ]] , [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig| 1/4- ]] , [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig| 1/6- ]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig| 2/7- ]] Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung| Lucy-Stimmung ]] , und streng mathematisch auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch| pythagoräische ]] Stimmung sowie [[xenharmonie/Superpyth| superpythagoräische ]] Systeme) stehen. Durch Hinzufügen einer weiteren Bedingung erhält man dann ein System von drei Gleichungen mit 3 Unbekannten und einer eindeutigen Lösung.

Beispielsweise erhält man die [[xenharmonie/viertelkomma-mitteltönig| Viertelkomma-mitteltönige ]] Stimmung durch die Bedingung, dass die grosse Terz 5/4 ebenfalls rein intoniert werden soll, was die Gleichung &amp;lt;x1, x2, x3 ||-2, 0, 1&amp;gt; = log2(5/4) ergibt.

Die Bedingung, dass die kleine Terz 6/5 rein sein soll, ergibt demgegenüber die Gleichung &amp;lt;x1, x2, x3 ||1, 1, -1&amp;gt; = log2(6/5), und die entsprechende Temperatur ist die [[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig| Drittelkomma-mitteltönige ]] Stimmung.

Die Bedingung schliesslich, dass die Quinte 3/2 rein sein soll, ergibt die Gleichung &amp;lt;x1, x2, x3 ||-1, 1, 0&amp;gt; = log2(3/2) und die [[xenharmonie/pythagoräisch| pythagoräische ]] Stimmung.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Val&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Vals%20and%20Tuning%20Space"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt; - &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%AB%E3%81%A8%E9%9F%B3%E7%A8%8B%E7%A9%BA%E9%96%93"&amp;gt;日本語&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Mathematischer Ansatz: Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als &amp;amp;quot;Val&amp;amp;quot; wird eine lineare Funktion auf dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet, also, kurz gesagt, ein Mitglied des &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://de.wikipedia.org/wiki/Dualraum" rel="nofollow"&amp;gt; dualen Vektorraums&amp;lt;/a&amp;gt; zum Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
Vals werden als BRA-Vektoren notiert. Die Anwendung der entsprechenden Funktion auf einen Intervallvektor wird dann als &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow"&amp;gt; Bra-Ket&amp;lt;/a&amp;gt; notiert (siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Primfaktorzerlegung#Umrechnung%20von%20Intervallvektoren%20in%20Cents"&amp;gt; Umrechnung von Intervallvektoren in Cents &amp;lt;/a&amp;gt; )&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Prototyp eines Vals ist die Funktion, welche aus einem Intervallvektor den Zweier-Logarithmus des Frequenzverhätnisses des entsprechenden Intervalls errechnet, das Intervall der reinen Prim also auf 0 abbildet, die Oktave auf 1. Der BRA-Vektor dafür ist:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;log2(2), log2(3), log2(5),...|&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
bzw., in Dezimalzahlen:&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;amp;lt;1, 1.58496, 2.32193,...|&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dieser Val beschreibt die untemperierte, &amp;amp;quot;reine&amp;amp;quot; Stimmung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;temperierte Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; kann man definieren, indem man einen (typischerweise nur leicht) anderen Val verwendet. Im Falle einer mitteltönigen Temperatur würde also der Intervallvektor der reinen Quinte |-1, 1, 0&amp;amp;gt; nicht auf log2(3/2) abgebildet, sondern auf einen etwas kleineren Wert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Prozess des Austemperierens eines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt; stellt sich in Val-Sprache so dar, dass der Intervallvektor des Kommas vom Val auf 0 abgebildet wird - d. h. das Komma befindet sich im &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kern_%28Algebra%29" rel="nofollow"&amp;gt; Kern&amp;lt;/a&amp;gt; der Val-Abbildung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Im Fall einer mitteltönigen Temperatur käme wieder das syntonische Komma 81/80 zum Zug, mit KET-Vektordarstellung |-4, 4, -1&amp;amp;gt; . Für den Val &amp;amp;lt;x1, x2, x3 | einer temperierten Stimmung, die dieses Komma austemperiert, muss dann gelten:&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;amp;lt;x1,x2,x3||−4,4,−1&amp;amp;gt;=0&amp;lt;br /&amp;gt;
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also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
−4∗x1+4∗x2−x3=0&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dies ist noch eine ziemlich allgemeine Bedingung mit einer grossen Zahl von Lösungen, von denen viele nicht sehr &amp;amp;quot;musikalisch sinnvoll&amp;amp;quot; sein werden. Eine für praktische Zwecke sinnvolle Zusatzbedingung ist, dass das Intervall der Oktave rein sein soll, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1,x2,x3||1,0,0&amp;amp;gt;=log2(2)=1&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
woraus folgt:&amp;lt;br /&amp;gt;
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x1=1&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der obigen Gleicihung eingesetzt ergibt sich&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
4∗x2−x3−4=0&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dies ist immer noch eine Gleichung mit 2 Unbekannten und mehreren Lösungen, wleche für die verschiedenen möglichen mitteltönigen Temperaturen ( &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt; 1/3- &amp;lt;/a&amp;gt; , &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt; 1/4- &amp;lt;/a&amp;gt; , &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt; 1/6- &amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt; 2/7- &amp;lt;/a&amp;gt; Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Lucy-Stimmung"&amp;gt; Lucy-Stimmung &amp;lt;/a&amp;gt; , und streng mathematisch auch die rein &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt; pythagoräische &amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung sowie &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&amp;gt; superpythagoräische &amp;lt;/a&amp;gt; Systeme) stehen. Durch Hinzufügen einer weiteren Bedingung erhält man dann ein System von drei Gleichungen mit 3 Unbekannten und einer eindeutigen Lösung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispielsweise erhält man die &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt; Viertelkomma-mitteltönige &amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung durch die Bedingung, dass die grosse Terz 5/4 ebenfalls rein intoniert werden soll, was die Gleichung &amp;amp;lt;x1, x2, x3 ||-2, 0, 1&amp;amp;gt; = log2(5/4) ergibt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Bedingung, dass die kleine Terz 6/5 rein sein soll, ergibt demgegenüber die Gleichung &amp;amp;lt;x1, x2, x3 ||1, 1, -1&amp;amp;gt; = log2(6/5), und die entsprechende Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt; Drittelkomma-mitteltönige &amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Bedingung schliesslich, dass die Quinte 3/2 rein sein soll, ergibt die Gleichung &amp;amp;lt;x1, x2, x3 ||-1, 1, 0&amp;amp;gt; = log2(3/2) und die &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt; pythagoräische &amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <id>1239</id>
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      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
        <id>0</id>
      </contributor>
      <comment>**Imported revision 615380959 - Original comment: **</comment>
      <origin>1239</origin>
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-07-06 06:30:36 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]
[[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|Mathematischer Ansatz: Verallgemeinerte reguläre Temperaturen]]

Als "Val" wird eine lineare Funktion auf dem [[Intervallraum]] bezeichnet, also, kurz gesagt, ein Mitglied des [[https://de.wikipedia.org/wiki/Dualraum| dualen Vektorraums]] zum Intervallraum.
Vals werden als BRA-Vektoren notiert. Die Anwendung der entsprechenden Funktion auf einen Intervallvektor wird dann als [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html| Bra-Ket]] notiert (siehe auch [[xenharmonie/Primfaktorzerlegung#Umrechnung%20von%20Intervallvektoren%20in%20Cents| Umrechnung von Intervallvektoren in Cents ]] )

Der Prototyp eines Vals ist die Funktion, welche aus einem Intervallvektor den Zweier-Logarithmus des Frequenzverhätnisses des entsprechenden Intervalls errechnet, das Intervall der reinen Prim also auf 0 abbildet, die Oktave auf 1. Der BRA-Vektor dafür ist:

&amp;lt;log2(2), log2(3), log2(5),...|

bzw., in Dezimalzahlen:

&amp;lt;1, 1.58496, 2.32193,...|

Dieser Val beschreibt die untemperierte, "reine" Stimmung.

Eine temperierte Stimmung erhält man naheliegenderweise, indem man einen (typischerweise nur leicht) anderen Val verwendet. Im Falle einer mitteltönigen Temperatur würde also der Intervallvektor der reinen Quinte |-1, 1, 0&amp;gt; nicht auf log2(3/2) abgebildet, sondern auf einen etwas kleineren Wert.

Der Prozess des Austemperierens eines Kommas stellt sich in Val-Sprache so dar, dass der Intervallvektor des Kommas vom Val auf 0 abgebildet wird - d. h. das Komma befindet sich im [[https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kern_%28Algebra%29| Kern ]] der Val-Abbildung.

Im Fall einer mitteltönigen Temperatur käme wieder das syntonische Komma 81/80 zum Zug, mit KET-Vektordarstellung |-4, 4, -1&amp;gt; . Für den Val &amp;lt;x1, x2, x3 | einer temperierten Stimmung, die dieses Komma austemperiert, muss dann gelten:

&amp;lt;x1,x2,x3||−4,4,−1&amp;gt;=0

also

−4∗x1+4∗x2−x3=0

Dies ist noch eine ziemlich allgemeine Bedingung mit einer grossen Zahl von Lösungen, von denen viele nicht sehr "musikalisch sinnvoll" sein werden. Eine für praktische Zwecke sinnvolle Zusatzbedingung ist, dass das Intervall der Oktave rein sein soll, also

&amp;lt;x1,x2,x3||1,0,0&amp;gt;=log2(2)=1

woraus folgt:

x1=1

In der obigen Gleicihung eingesetzt ergibt sich

4∗x2−x3−4=0

Dies ist immer noch eine Gleichung mit 2 Unbekannten und mehreren Lösungen, wleche für die verschiedenen möglichen mitteltönigen Temperaturen ( [[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig| 1/3- ]] , [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig| 1/4- ]] , [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig| 1/6- ]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig| 2/7- ]] Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung| Lucy-Stimmung ]] , und streng mathematisch auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch| pythagoräische ]] Stimmung sowie [[xenharmonie/Superpyth| superpythagoräische ]] Systeme) stehen. Durch Hinzufügen einer weiteren Bedingung erhält man dann ein System von drei Gleichungen mit 3 Unbekannten und einer eindeutigen Lösung.

Beispielsweise erhält man die [[xenharmonie/viertelkomma-mitteltönig| Viertelkomma-mitteltönige ]] Stimmung durch die Bedingung, dass die grosse Terz 5/4 ebenfalls rein intoniert werden soll, was die Gleichung &amp;lt;x1, x2, x3 ||-2, 0, 1&amp;gt; = log2(5/4) ergibt.

Die Bedingung, dass die kleine Terz 6/5 rein sein soll, ergibt demgegenüber die Gleichung &amp;lt;x1, x2, x3 ||1, 1, -1&amp;gt; = log2(6/5), und die entsprechende Temperatur ist die [[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig| Drittelkomma-mitteltönige ]] Stimmung.

Die Bedingung schliesslich, dass die Quinte 3/2 rein sein soll, ergibt die Gleichung &amp;lt;x1, x2, x3 ||-1, 1, 0&amp;gt; = log2(3/2) und die [[xenharmonie/pythagoräisch| pythagoräische ]] Stimmung.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Val&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Vals%20and%20Tuning%20Space"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt; - &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%AB%E3%81%A8%E9%9F%B3%E7%A8%8B%E7%A9%BA%E9%96%93"&amp;gt;日本語&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Als &amp;amp;quot;Val&amp;amp;quot; wird eine lineare Funktion auf dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; bezeichnet, also, kurz gesagt, ein Mitglied des &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://de.wikipedia.org/wiki/Dualraum" rel="nofollow"&amp;gt; dualen Vektorraums&amp;lt;/a&amp;gt; zum Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
Vals werden als BRA-Vektoren notiert. Die Anwendung der entsprechenden Funktion auf einen Intervallvektor wird dann als &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow"&amp;gt; Bra-Ket&amp;lt;/a&amp;gt; notiert (siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Primfaktorzerlegung#Umrechnung%20von%20Intervallvektoren%20in%20Cents"&amp;gt; Umrechnung von Intervallvektoren in Cents &amp;lt;/a&amp;gt; )&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Prototyp eines Vals ist die Funktion, welche aus einem Intervallvektor den Zweier-Logarithmus des Frequenzverhätnisses des entsprechenden Intervalls errechnet, das Intervall der reinen Prim also auf 0 abbildet, die Oktave auf 1. Der BRA-Vektor dafür ist:&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;amp;lt;log2(2), log2(3), log2(5),...|&amp;lt;br /&amp;gt;
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bzw., in Dezimalzahlen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;1, 1.58496, 2.32193,...|&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dieser Val beschreibt die untemperierte, &amp;amp;quot;reine&amp;amp;quot; Stimmung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine temperierte Stimmung erhält man naheliegenderweise, indem man einen (typischerweise nur leicht) anderen Val verwendet. Im Falle einer mitteltönigen Temperatur würde also der Intervallvektor der reinen Quinte |-1, 1, 0&amp;amp;gt; nicht auf log2(3/2) abgebildet, sondern auf einen etwas kleineren Wert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Prozess des Austemperierens eines Kommas stellt sich in Val-Sprache so dar, dass der Intervallvektor des Kommas vom Val auf 0 abgebildet wird - d. h. das Komma befindet sich im &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kern_%28Algebra%29" rel="nofollow"&amp;gt; Kern &amp;lt;/a&amp;gt; der Val-Abbildung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Im Fall einer mitteltönigen Temperatur käme wieder das syntonische Komma 81/80 zum Zug, mit KET-Vektordarstellung |-4, 4, -1&amp;amp;gt; . Für den Val &amp;amp;lt;x1, x2, x3 | einer temperierten Stimmung, die dieses Komma austemperiert, muss dann gelten:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1,x2,x3||−4,4,−1&amp;amp;gt;=0&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
−4∗x1+4∗x2−x3=0&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dies ist noch eine ziemlich allgemeine Bedingung mit einer grossen Zahl von Lösungen, von denen viele nicht sehr &amp;amp;quot;musikalisch sinnvoll&amp;amp;quot; sein werden. Eine für praktische Zwecke sinnvolle Zusatzbedingung ist, dass das Intervall der Oktave rein sein soll, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1,x2,x3||1,0,0&amp;amp;gt;=log2(2)=1&amp;lt;br /&amp;gt;
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woraus folgt:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
x1=1&amp;lt;br /&amp;gt;
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In der obigen Gleicihung eingesetzt ergibt sich&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
4∗x2−x3−4=0&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dies ist immer noch eine Gleichung mit 2 Unbekannten und mehreren Lösungen, wleche für die verschiedenen möglichen mitteltönigen Temperaturen ( &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt; 1/3- &amp;lt;/a&amp;gt; , &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt; 1/4- &amp;lt;/a&amp;gt; , &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt; 1/6- &amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt; 2/7- &amp;lt;/a&amp;gt; Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Lucy-Stimmung"&amp;gt; Lucy-Stimmung &amp;lt;/a&amp;gt; , und streng mathematisch auch die rein &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt; pythagoräische &amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung sowie &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&amp;gt; superpythagoräische &amp;lt;/a&amp;gt; Systeme) stehen. Durch Hinzufügen einer weiteren Bedingung erhält man dann ein System von drei Gleichungen mit 3 Unbekannten und einer eindeutigen Lösung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispielsweise erhält man die &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt; Viertelkomma-mitteltönige &amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung durch die Bedingung, dass die grosse Terz 5/4 ebenfalls rein intoniert werden soll, was die Gleichung &amp;amp;lt;x1, x2, x3 ||-2, 0, 1&amp;amp;gt; = log2(5/4) ergibt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Bedingung, dass die kleine Terz 6/5 rein sein soll, ergibt demgegenüber die Gleichung &amp;amp;lt;x1, x2, x3 ||1, 1, -1&amp;amp;gt; = log2(6/5), und die entsprechende Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt; Drittelkomma-mitteltönige &amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Bedingung schliesslich, dass die Quinte 3/2 rein sein soll, ergibt die Gleichung &amp;amp;lt;x1, x2, x3 ||-1, 1, 0&amp;amp;gt; = log2(3/2) und die &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt; pythagoräische &amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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      <comment>**Imported revision 615380881 - Original comment: **</comment>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-07-06 06:23:55 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;615380881&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[xenharmonic/Vals and Tuning Space|English]] - [[xenharmonic/ヴァルと音程空間|日本語]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]
[[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|Mathematischer Ansatz: Verallgemeinerte reguläre Temperaturen]]

Als "Val" wird eine lineare Funktion auf dem Intervallraum bezeichnet, also, kurz gesagt, ein Mitglied des [[https://de.wikipedia.org/wiki/Dualraum| dualen Vektorraums ]] zum Intervallraum.
Vals werden als BRA-Vektoren notiert. Die Anwendung der entsprechenden Funktion auf einen Intervallvektor wird dann als [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html| Bra-Ket ]] notiert (siehe auch [[xenharmonie/Primfaktorzerlegung#Umrechnung%20von%20Intervallvektoren%20in%20Cents| Umrechnung von Intervallvektoren in Cents ]] )

Der Prototyp eines Vals ist die Funktion, welche aus einem Intervallvektor den Zweier-Logarithmus des Frequenzverhätnisses des entsprechenden Intervalls errechnet, das Intervall der reinen Prim also auf 0 abbildet, die Oktave auf 1. Der BRA-Vektor dafür ist:

&amp;lt;log2(2), log2(3), log2(5),...|

bzw., in Dezimalzahlen:

&amp;lt;1, 1.58496, 2.32193,...|

Dieser Val beschreibt die untemperierte, "reine" Stimmung.

Eine temperierte Stimmung erhält man naheliegenderweise, indem man einen (typischerweise nur leicht) anderen Val verwendet. Im Falle einer mitteltönigen Temperatur würde also der Intervallvektor der reinen Quinte |-1, 1, 0&amp;gt; nicht auf log2(3/2) abgebildet, sondern auf einen etwas kleineren Wert.

Der Prozess des Austemperierens eines Kommas stellt sich in Val-Sprache so dar, dass der Intervallvektor des Kommas vom Val auf 0 abgebildet wird - d. h. das Komma befindet sich im [[https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kern_%28Algebra%29| Kern ]] der Val-Abbildung.

Im Fall einer mitteltönigen Temperatur käme wieder das syntonische Komma 81/80 zum Zug, mit KET-Vektordarstellung |-4, 4, -1&amp;gt; . Für den Val &amp;lt;x1, x2, x3 | einer temperierten Stimmung, die dieses Komma austemperiert, muss dann gelten:

&amp;lt;x1,x2,x3||−4,4,−1&amp;gt;=0

also

−4∗x1+4∗x2−x3=0

Dies ist noch eine ziemlich allgemeine Bedingung mit einer grossen Zahl von Lösungen, von denen viele nicht sehr "musikalisch sinnvoll" sein werden. Eine für praktische Zwecke sinnvolle Zusatzbedingung ist, dass das Intervall der Oktave rein sein soll, also

&amp;lt;x1,x2,x3||1,0,0&amp;gt;=log2(2)=1

woraus folgt:

x1=1

In der obigen Gleicihung eingesetzt ergibt sich

4∗x2−x3−4=0

Dies ist immer noch eine Gleichung mit 2 Unbekannten und mehreren Lösungen, wleche für die verschiedenen möglichen mitteltönigen Temperaturen ( [[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig| 1/3- ]] , [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig| 1/4- ]] , [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig| 1/6- ]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig| 2/7- ]] Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung| Lucy-Stimmung ]] , und streng mathematisch auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch| pythagoräische ]] Stimmung sowie [[xenharmonie/Superpyth| superpythagoräische ]] Systeme) stehen. Durch Hinzufügen einer weiteren Bedingung erhält man dann ein System von drei Gleichungen mit 3 Unbekannten und einer eindeutigen Lösung.

Beispielsweise erhält man die [[xenharmonie/viertelkomma-mitteltönig| Viertelkomma-mitteltönige ]] Stimmung durch die Bedingung, dass die grosse Terz 5/4 ebenfalls rein intoniert werden soll, was die Gleichung &amp;lt;x1, x2, x3 ||-2, 0, 1&amp;gt; = log2(5/4) ergibt.

Die Bedingung, dass die kleine Terz 6/5 rein sein soll, ergibt demgegenüber die Gleichung &amp;lt;x1, x2, x3 ||1, 1, -1&amp;gt; = log2(6/5), und die entsprechende Temperatur ist die [[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig| Drittelkomma-mitteltönige ]] Stimmung.

Die Bedingung schliesslich, dass die Quinte 3/2 rein sein soll, ergibt die Gleichung &amp;lt;x1, x2, x3 ||-1, 1, 0&amp;gt; = log2(3/2) und die [[xenharmonie/pythagoräisch| pythagoräische ]] Stimmung.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Val&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Vals%20and%20Tuning%20Space"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt; - &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%AB%E3%81%A8%E9%9F%B3%E7%A8%8B%E7%A9%BA%E9%96%93"&amp;gt;日本語&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&amp;gt;Mathematischer Ansatz: Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als &amp;amp;quot;Val&amp;amp;quot; wird eine lineare Funktion auf dem Intervallraum bezeichnet, also, kurz gesagt, ein Mitglied des &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://de.wikipedia.org/wiki/Dualraum" rel="nofollow"&amp;gt; dualen Vektorraums &amp;lt;/a&amp;gt; zum Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
Vals werden als BRA-Vektoren notiert. Die Anwendung der entsprechenden Funktion auf einen Intervallvektor wird dann als &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow"&amp;gt; Bra-Ket &amp;lt;/a&amp;gt; notiert (siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Primfaktorzerlegung#Umrechnung%20von%20Intervallvektoren%20in%20Cents"&amp;gt; Umrechnung von Intervallvektoren in Cents &amp;lt;/a&amp;gt; )&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Prototyp eines Vals ist die Funktion, welche aus einem Intervallvektor den Zweier-Logarithmus des Frequenzverhätnisses des entsprechenden Intervalls errechnet, das Intervall der reinen Prim also auf 0 abbildet, die Oktave auf 1. Der BRA-Vektor dafür ist:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;log2(2), log2(3), log2(5),...|&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
bzw., in Dezimalzahlen:&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;amp;lt;1, 1.58496, 2.32193,...|&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dieser Val beschreibt die untemperierte, &amp;amp;quot;reine&amp;amp;quot; Stimmung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine temperierte Stimmung erhält man naheliegenderweise, indem man einen (typischerweise nur leicht) anderen Val verwendet. Im Falle einer mitteltönigen Temperatur würde also der Intervallvektor der reinen Quinte |-1, 1, 0&amp;amp;gt; nicht auf log2(3/2) abgebildet, sondern auf einen etwas kleineren Wert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Prozess des Austemperierens eines Kommas stellt sich in Val-Sprache so dar, dass der Intervallvektor des Kommas vom Val auf 0 abgebildet wird - d. h. das Komma befindet sich im &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kern_%28Algebra%29" rel="nofollow"&amp;gt; Kern &amp;lt;/a&amp;gt; der Val-Abbildung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Im Fall einer mitteltönigen Temperatur käme wieder das syntonische Komma 81/80 zum Zug, mit KET-Vektordarstellung |-4, 4, -1&amp;amp;gt; . Für den Val &amp;amp;lt;x1, x2, x3 | einer temperierten Stimmung, die dieses Komma austemperiert, muss dann gelten:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1,x2,x3||−4,4,−1&amp;amp;gt;=0&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
−4∗x1+4∗x2−x3=0&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dies ist noch eine ziemlich allgemeine Bedingung mit einer grossen Zahl von Lösungen, von denen viele nicht sehr &amp;amp;quot;musikalisch sinnvoll&amp;amp;quot; sein werden. Eine für praktische Zwecke sinnvolle Zusatzbedingung ist, dass das Intervall der Oktave rein sein soll, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1,x2,x3||1,0,0&amp;amp;gt;=log2(2)=1&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
woraus folgt:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
x1=1&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der obigen Gleicihung eingesetzt ergibt sich&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
4∗x2−x3−4=0&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dies ist immer noch eine Gleichung mit 2 Unbekannten und mehreren Lösungen, wleche für die verschiedenen möglichen mitteltönigen Temperaturen ( &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt; 1/3- &amp;lt;/a&amp;gt; , &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt; 1/4- &amp;lt;/a&amp;gt; , &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt; 1/6- &amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt; 2/7- &amp;lt;/a&amp;gt; Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Lucy-Stimmung"&amp;gt; Lucy-Stimmung &amp;lt;/a&amp;gt; , und streng mathematisch auch die rein &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt; pythagoräische &amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung sowie &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&amp;gt; superpythagoräische &amp;lt;/a&amp;gt; Systeme) stehen. Durch Hinzufügen einer weiteren Bedingung erhält man dann ein System von drei Gleichungen mit 3 Unbekannten und einer eindeutigen Lösung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispielsweise erhält man die &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt; Viertelkomma-mitteltönige &amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung durch die Bedingung, dass die grosse Terz 5/4 ebenfalls rein intoniert werden soll, was die Gleichung &amp;amp;lt;x1, x2, x3 ||-2, 0, 1&amp;amp;gt; = log2(5/4) ergibt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Bedingung, dass die kleine Terz 6/5 rein sein soll, ergibt demgegenüber die Gleichung &amp;amp;lt;x1, x2, x3 ||1, 1, -1&amp;amp;gt; = log2(6/5), und die entsprechende Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt; Drittelkomma-mitteltönige &amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung.&amp;lt;br /&amp;gt;
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-07-06 06:17:23 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;615380819&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;[[xenharmonic/Vals and Tuning Space|English]] - [[xenharmonic/ヴァルと音程空間|日本語]]

[todo]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Val&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Vals%20and%20Tuning%20Space"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt; - &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%AB%E3%81%A8%E9%9F%B3%E7%A8%8B%E7%A9%BA%E9%96%93"&amp;gt;日本語&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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        <username>Mike Battaglia</username>
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      <comment>Textersetzung - „(\[\[\:(dev|es|purdal|de|en):[^[:space:]\|]*) (.*])“ durch „$1|$3“</comment>
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      <text bytes="3847" sha1="fckv1rx5qomdyms6kzop2g3ge138jdy" xml:space="preserve">&lt;span style="display: block; text-align: right;"&gt;[[:en:Vals_and_Tuning_Space|English]] - [[:en:ヴァルと音程空間|日本語]]&lt;/span&gt;

[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

[[Verallgemeinerte_reguläre_Temperatur|Mathematischer Ansatz: Verallgemeinerte reguläre Temperaturen]]

Als "Val" wird eine lineare Funktion auf dem [[Intervallraum|Intervallraum]] bezeichnet, also, kurz gesagt, ein Mitglied des [https://de.wikipedia.org/wiki/Dualraum  dualen Vektorraums] zum Intervallraum.

Vals werden als BRA-Vektoren notiert. Die Anwendung der entsprechenden Funktion auf einen Intervallvektor wird dann als [http://mathworld.wolfram.com/Ket.html  Bra-Ket] notiert (siehe auch [[Primfaktorzerlegung#Umrechnung von Intervallvektoren in Cents| Umrechnung von Intervallvektoren in Cents ]] )

Der Prototyp eines Vals ist die Funktion, welche aus einem Intervallvektor den Zweier-Logarithmus des Frequenzverhätnisses des entsprechenden Intervalls errechnet, das Intervall der reinen Prim also auf 0 abbildet, die Oktave auf 1. Der BRA-Vektor dafür ist:

&amp;lt;log2(2), log2(3), log2(5),...|

bzw., in Dezimalzahlen:

&amp;lt;1, 1.58496, 2.32193,...|

Dieser Val beschreibt die untemperierte, "reine" Stimmung.

Eine [[Reguläre_Temperaturen|temperierte Stimmung]] kann man definieren, indem man einen (typischerweise nur leicht) anderen Val verwendet. Im Falle einer mitteltönigen Temperatur würde also der Intervallvektor der reinen Quinte |-1, 1, 0&amp;gt; nicht auf log2(3/2) abgebildet, sondern auf einen etwas kleineren Wert.

Der Prozess des Austemperierens eines [[Komma|Kommas]] stellt sich in Val-Sprache so dar, dass der Intervallvektor des Kommas vom Val auf 0 abgebildet wird - d. h. das Komma befindet sich im [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kern_%28Algebra%29  Kern] der Val-Abbildung.

Im Fall einer mitteltönigen Temperatur käme wieder das syntonische Komma 81/80 zum Zug, mit KET-Vektordarstellung |-4, 4, -1&amp;gt; . Für den Val &amp;lt;x1, x2, x3 | einer temperierten Stimmung, die dieses Komma austemperiert, muss dann gelten:

&amp;lt;x1,x2,x3||−4,4,−1&amp;gt;=0

also

−4∗x1+4∗x2−x3=0

Dies ist noch eine ziemlich allgemeine Bedingung mit einer grossen Zahl von Lösungen, von denen viele nicht sehr "musikalisch sinnvoll" sein werden. Eine für praktische Zwecke sinnvolle Zusatzbedingung ist, dass das Intervall der Oktave rein sein soll, also

&amp;lt;x1,x2,x3||1,0,0&amp;gt;=log2(2)=1

woraus folgt:

x1=1

In der obigen Gleicihung eingesetzt ergibt sich

4∗x2−x3−4=0

Dies ist immer noch eine Gleichung mit 2 Unbekannten und mehreren Lösungen, wleche für die verschiedenen möglichen mitteltönigen Temperaturen ( [[Drittelkomma-mitteltönig| 1/3-]], [[viertelkomma-mitteltönig| 1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig| 1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig| 2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung| Lucy-Stimmung]], und streng mathematisch auch die rein [[pythagoräisch| pythagoräische]] Stimmung sowie [[Superpyth| superpythagoräische ]]Systeme) stehen. Durch Hinzufügen einer weiteren Bedingung erhält man dann ein System von drei Gleichungen mit 3 Unbekannten und einer eindeutigen Lösung.

Beispielsweise erhält man die [[viertelkomma-mitteltönig| Viertelkomma-mitteltönige ]] Stimmung durch die Bedingung, dass die grosse Terz 5/4 ebenfalls rein intoniert werden soll, was die Gleichung &amp;lt;x1, x2, x3 ||-2, 0, 1&amp;gt; = log2(5/4) ergibt.

Die Bedingung, dass die kleine Terz 6/5 rein sein soll, ergibt demgegenüber die Gleichung &amp;lt;x1, x2, x3 ||1, 1, -1&amp;gt; = log2(6/5), und die entsprechende Temperatur ist die [[Drittelkomma-mitteltönig| Drittelkomma-mitteltönige]] Stimmung.

Die Bedingung schliesslich, dass die Quinte 3/2 rein sein soll, ergibt die Gleichung &amp;lt;x1, x2, x3 ||-1, 1, 0&amp;gt; = log2(3/2) und die [[pythagoräisch| pythagoräische]] Stimmung.</text>
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| ja = ヴァルと音程空間
}}

[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

[[Verallgemeinerte_reguläre_Temperatur|Mathematischer Ansatz: Verallgemeinerte reguläre Temperaturen]]

Als "Val" wird eine lineare Funktion auf dem [[Intervallraum|Intervallraum]] bezeichnet, also, kurz gesagt, ein Mitglied des [https://de.wikipedia.org/wiki/Dualraum  dualen Vektorraums] zum Intervallraum.

Vals werden als BRA-Vektoren notiert. Die Anwendung der entsprechenden Funktion auf einen Intervallvektor wird dann als [http://mathworld.wolfram.com/Ket.html  Bra-Ket] notiert (siehe auch [[Primfaktorzerlegung#Umrechnung von Intervallvektoren in Cents| Umrechnung von Intervallvektoren in Cents ]] )

Der Prototyp eines Vals ist die Funktion, welche aus einem Intervallvektor den Zweier-Logarithmus des Frequenzverhätnisses des entsprechenden Intervalls errechnet, das Intervall der reinen Prim also auf 0 abbildet, die Oktave auf 1. Der BRA-Vektor dafür ist:

&amp;lt;log2(2), log2(3), log2(5),...|

bzw., in Dezimalzahlen:

&amp;lt;1, 1.58496, 2.32193,...|

Dieser Val beschreibt die untemperierte, "reine" Stimmung.

Eine [[Reguläre_Temperaturen|temperierte Stimmung]] kann man definieren, indem man einen (typischerweise nur leicht) anderen Val verwendet. Im Falle einer mitteltönigen Temperatur würde also der Intervallvektor der reinen Quinte |-1, 1, 0&amp;gt; nicht auf log2(3/2) abgebildet, sondern auf einen etwas kleineren Wert.

Der Prozess des Austemperierens eines [[Komma|Kommas]] stellt sich in Val-Sprache so dar, dass der Intervallvektor des Kommas vom Val auf 0 abgebildet wird - d. h. das Komma befindet sich im [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kern_%28Algebra%29  Kern] der Val-Abbildung.

Im Fall einer mitteltönigen Temperatur käme wieder das syntonische Komma 81/80 zum Zug, mit KET-Vektordarstellung |-4, 4, -1&amp;gt; . Für den Val &amp;lt;x1, x2, x3 | einer temperierten Stimmung, die dieses Komma austemperiert, muss dann gelten:

&amp;lt;x1,x2,x3||−4,4,−1&amp;gt;=0

also

−4∗x1+4∗x2−x3=0

Dies ist noch eine ziemlich allgemeine Bedingung mit einer grossen Zahl von Lösungen, von denen viele nicht sehr "musikalisch sinnvoll" sein werden. Eine für praktische Zwecke sinnvolle Zusatzbedingung ist, dass das Intervall der Oktave rein sein soll, also

&amp;lt;x1,x2,x3||1,0,0&amp;gt;=log2(2)=1

woraus folgt:

x1=1

In der obigen Gleicihung eingesetzt ergibt sich

4∗x2−x3−4=0

Dies ist immer noch eine Gleichung mit 2 Unbekannten und mehreren Lösungen, wleche für die verschiedenen möglichen mitteltönigen Temperaturen ( [[Drittelkomma-mitteltönig| 1/3-]], [[viertelkomma-mitteltönig| 1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig| 1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig| 2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung| Lucy-Stimmung]], und streng mathematisch auch die rein [[pythagoräisch| pythagoräische]] Stimmung sowie [[Superpyth| superpythagoräische ]]Systeme) stehen. Durch Hinzufügen einer weiteren Bedingung erhält man dann ein System von drei Gleichungen mit 3 Unbekannten und einer eindeutigen Lösung.

Beispielsweise erhält man die [[viertelkomma-mitteltönig| Viertelkomma-mitteltönige ]] Stimmung durch die Bedingung, dass die grosse Terz 5/4 ebenfalls rein intoniert werden soll, was die Gleichung &amp;lt;x1, x2, x3 ||-2, 0, 1&amp;gt; = log2(5/4) ergibt.

Die Bedingung, dass die kleine Terz 6/5 rein sein soll, ergibt demgegenüber die Gleichung &amp;lt;x1, x2, x3 ||1, 1, -1&amp;gt; = log2(6/5), und die entsprechende Temperatur ist die [[Drittelkomma-mitteltönig| Drittelkomma-mitteltönige]] Stimmung.

Die Bedingung schliesslich, dass die Quinte 3/2 rein sein soll, ergibt die Gleichung &amp;lt;x1, x2, x3 ||-1, 1, 0&amp;gt; = log2(3/2) und die [[pythagoräisch| pythagoräische]] Stimmung.</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine_Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der [[Generator|Generatoren]] nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.

Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;über eine normierte "[[Val|Val]]"-Liste&lt;/li&gt;&lt;li&gt;über eine normierte [[Komma|Komma]]-Liste&lt;/li&gt;&lt;li&gt;über einen "wedgie"&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Therie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):

Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: [http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf Tuning continua and keyboard layouts], Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.
__FORCETOC__
-----

=Charakterisierung über Kommas=
Im [[Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.

Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

&lt;math&gt;2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&lt;/math&gt;

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation Äquivalenzklassen] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul Quotientenmoduls]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submodul betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[:en:abstract_regular_temperament abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20 Basis] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "Vals"=
[[Val|Einführung in "Vals"]]

[Todo normierte Val-Listen ]

=Charakterisierung über "Wedgie"=
[Todo]

[[:en:Wedgies_and_Multivals englischsprachiger Artikel]]

=Höherdimensionale Temperaturen=
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum. Ein Beispiel dafür ist [[Marvel|Marvel]].

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.

=Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen=
Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige]] Temperatur.

Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das [[531441/524288|pythagoräische Komma]] austemperiert, erhält man das bekannte [[12edo|12edo]].

Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.

=Nichtoktavische Temperaturen=
[to do]  [[Category:todo:Beispiele_aufnehmen]]
[[Category:todo:eingängiger_formulieren]]</text>
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[xenharmonie/Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der [[Generator|Generatoren]] nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "[[Val]]"-Liste
* über eine normierte [[xenharmonie/Komma|Komma]]-Liste
* über einen "wedgie"

Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Therie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):
Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: [[http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf|Tuning continua and keyboard layouts]], Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.

[[toc|flat]]
----
=Charakterisierung über Kommas= 
Im [[xenharmonie/Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submodul betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[xenharmonie/Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [[http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20|Basis]] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "Vals"= 
[[Val|Einführung in "Vals"]]
[Todo normierte Val-Listen ]

=Charakterisierung über "Wedgie"= 
[Todo]
[[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]]

=[[#Höherdimensionale Temperaturen]]Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum. Ein Beispiel dafür ist [[Marvel]].

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[xenharmonie/Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.

=Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen= 
Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Temperatur.

Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das [[531441_524288|pythagoräische Komma]] austemperiert, erhält man das bekannte [[12edo]].

Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.

=Nichtoktavische Temperaturen= 
[to do]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Generator"&amp;gt;Generatoren&amp;lt;/a&amp;gt; nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Val"&amp;gt;Val&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Therie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):&amp;lt;br /&amp;gt;
Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;Tuning continua and keyboard layouts&amp;lt;/a&amp;gt;, Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:13:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:14: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Charakterisierung über Kommas"&amp;gt;Charakterisierung über Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:14 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:15: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;Vals&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen"&amp;gt;Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Nichtoktavische Temperaturen"&amp;gt;Nichtoktavische Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --&amp;gt;
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 Im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;amp;gt; generierten Submodul betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung (reine Quinten) sowie &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme (erhöhte Quinten).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Jede &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20" rel="nofollow"&amp;gt;Basis&amp;lt;/a&amp;gt; des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über &amp;amp;quot;Vals&amp;amp;quot;"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Val"&amp;gt;Einführung in &amp;amp;quot;Vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo normierte Val-Listen ]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/h1&amp;gt;
 [Todo]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextAnchorRule:21:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/i/anchor.gif&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiAnchor&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;Anchor&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@anchor@@Höherdimensionale Temperaturen&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Anchor: Höherdimensionale Temperaturen&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextAnchorRule:21 --&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum. Ein Beispiel dafür ist &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Marvel"&amp;gt;Marvel&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS&amp;lt;/a&amp;gt;-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert, erhält man das bekannte &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Nichtoktavische Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;Nichtoktavische Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 [to do]&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[@xenharmonic/abstract regular temperament|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[xenharmonie/Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der [[Generator|Generatoren]] nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "[[Val]]"-Liste
* über eine normierte [[xenharmonie/Komma|Komma]]-Liste
* über einen "wedgie"

Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Therie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):
Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: [[http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf|Tuning continua and keyboard layouts]], Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.

[[toc|flat]]
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=Charakterisierung über Kommas= 
Im [[xenharmonie/Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submodul betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[xenharmonie/Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [[http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20|Basis]] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "Vals"= 
[[Val|Einführung in "Vals"]]
[Todo normierte Val-Listen ]

=Charakterisierung über "Wedgie"= 
[Todo]
[[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]]

=[[#Höherdimensionale Temperaturen]]Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.

[Todo Beispiele]

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[xenharmonie/Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.

=Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen= 
Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Temperatur.

Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das [[531441_524288|pythagoräische Komma]] austemperiert, erhält man das bekannte [[12edo]].

Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.

=Nichtoktavische Temperaturen= 
[to do]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Generator"&amp;gt;Generatoren&amp;lt;/a&amp;gt; nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Val"&amp;gt;Val&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Therie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):&amp;lt;br /&amp;gt;
Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;Tuning continua and keyboard layouts&amp;lt;/a&amp;gt;, Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:13:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:14: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Charakterisierung über Kommas"&amp;gt;Charakterisierung über Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:14 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:15: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;Vals&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen"&amp;gt;Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Nichtoktavische Temperaturen"&amp;gt;Nichtoktavische Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:1:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über Kommas"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:1 --&amp;gt;Charakterisierung über Kommas&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;amp;gt; generierten Submodul betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung (reine Quinten) sowie &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme (erhöhte Quinten).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Jede &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20" rel="nofollow"&amp;gt;Basis&amp;lt;/a&amp;gt; des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über &amp;amp;quot;Vals&amp;amp;quot;"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Val"&amp;gt;Einführung in &amp;amp;quot;Vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo normierte Val-Listen ]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/h1&amp;gt;
 [Todo]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextAnchorRule:21:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/i/anchor.gif&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiAnchor&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;Anchor&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@anchor@@Höherdimensionale Temperaturen&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Anchor: Höherdimensionale Temperaturen&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextAnchorRule:21 --&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Beispiele]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS&amp;lt;/a&amp;gt;-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert, erhält man das bekannte &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Nichtoktavische Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;Nichtoktavische Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 [to do]&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
        <id>0</id>
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      <comment>**Imported revision 615380797 - Original comment: **</comment>
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      <text bytes="47237" sha1="lu0e5eivkuhpdmn4xq3uoqwcsrt3b0s" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;[[@xenharmonic/abstract regular temperament|English]]
&amp;lt;/span&amp;gt;
[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[xenharmonie/Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der [[Generator|Generatoren]] nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "[[Val]]"-Liste
* über eine normierte [[xenharmonie/Komma|Komma]]-Liste
* über einen "wedgie"

Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Therie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):
Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: [[http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf|Tuning continua and keyboard layouts]], Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.

[[toc|flat]]
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=Charakterisierung über Kommas= 
Im [[xenharmonie/Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submodul betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[xenharmonie/Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [[http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20|Basis]] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "vals"= 

[[xenharmonic/Vals and Tuning Space#x-Normal%20val%20lists|Englischsprachiger Artikel]]

Als "Val" wird eine lineare Funktion auf dem Intervallraum bezeichnet, also, kurz gesagt, ein Mitglied des [[https://de.wikipedia.org/wiki/Dualraum|dualen Vektorraums]] zum Intervallraum.
Vals werden als BRA-Vektoren notiert. Die Anwendung der entsprechenden Funktion auf einen Intervallvektor wird dann als [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html|Bra-Ket]] notiert (siehe auch [[xenharmonie/Primfaktorzerlegung#Umrechnung%20von%20Intervallvektoren%20in%20Cents|Umrechnung von Intervallvektoren in Cents]])

Der Prototyp eines Vals ist die Funktion, welche aus einem Intervallvektor den Zweier-Logarithmus des Frequenzverhätnisses des entsprechenden Intervalls errechnet, das Intervall der reinen Prim also auf 0 abbildet, die Oktave auf 1. Der BRA-Vektor dafür ist:

&amp;lt;log2(2), log2(3), log2(5),...|

bzw., in Dezimalzahlen:

&amp;lt;1, 1.58496, 2.32193,...|

Dieser Val beschreibt die untemperierte, "reine" Stimmung.

Eine temperierte Stimmung erhält man naheliegenderweise, indem man einen (typischerweise nur leicht) anderen Val verwendet. Im Falle einer mitteltönigen Temperatur würde also der Intervallvektor der reinen Quinte |-1, 1, 0&amp;gt; nicht auf log2(3/2) abgebildet, sondern auf einen etwas kleineren Wert.

Der Prozess des Austemperierens eines Kommas stellt sich in Val-Sprache so dar, dass der Intervallvektor des Kommas vom Val auf 0 abgebildet wird - d. h. das Komma befindet sich im [[https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kern_(Algebra)|Kern]] der Val-Abbildung.

Im Fall einer mitteltönigen Temperatur käme wieder das syntonische Komma 81/80 zum Zug, mit KET-Vektordarstellung |-4, 4, -1&amp;gt; . Für den Val &amp;lt;x1, x2, x3 | einer temperierten Stimmung, die dieses Komma austemperiert, muss dann gelten:

[[math]]
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt; = 0
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;[[math]]
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt; also
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt; [[math]]
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt; -4*x1 +4*x2 -x3 = 0
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;[[math]]
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt; Dies ist noch eine ziemlich allgemeine Bedingung mit einer grossen Zahl von Lösungen, von denen viele nicht sehr "musikalisch sinnvoll" sein werden. Eine für praktische Zwecke sinnvolle Zusatzbedingung ist, dass das Intervall der Oktave rein sein soll, also
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt; [[math]]
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt; &amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
=log2(2)= 
1
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;[[math]]
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt; woraus folgt:
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt; [[math]]
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt; x1 = 1
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;[[math]]
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt; In der obigen Gleicihung eingesetzt ergibt sich
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt; [[math]]
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt; 4*x2 -x3 - 4 = 0
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;[[math]]
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt; Dies ist immer noch eine Gleichung mit 2 Unbekannten und mehreren Lösungen, wleche für die verschiedenen möglichen mitteltönigen Temperaturen ([[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] , und streng mathematisch auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung sowie [[xenharmonie/Superpyth|superpythagoräische]] Systeme) stehen. Durch Hinzufügen einer weiteren Bedingung erhält man dann ein System von drei Gleichungen mit 3 Unbekannten und einer eindeutigen Lösung.
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt; Beispielsweise erhält man die [[viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönige]] Stimmung durch die Bedingung, dass die grosse Terz 5/4 ebenfalls rein intoniert werden soll, was die Gleichung &amp;lt;x1, x2, x3 ||-2, 0, 1&amp;gt; = log2(5/4) ergibt.
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt; Die Bedingung, dass die kleine Terz 6/5 rein sein soll, ergibt demgegenüber die Gleichung &amp;lt;x1, x2, x3 ||1, 1, -1&amp;gt; = log2(6/5), und die entsprechende Temperatur ist die [[Drittelkomma-mitteltönig|Drittelkomma-mitteltönige]] Stimmung.
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt; Die Bedingung schliesslich, dass die Quinte 3/2 rein sein soll, ergibt die Gleichung &amp;lt;x1, x2, x3 ||-1, 1, 0&amp;gt; = log2(3/2) und die [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung.
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt; [Todo normierte Val-Listen ]
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
=Charakterisierung über "Wedgie"= 
[Todo]
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt; [[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]]
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
=[[#Höherdimensionale Temperaturen]]Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt; [Todo Beispiele]
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt; Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[xenharmonie/Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
=Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen= 
Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Temperatur.
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt; Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das [[531441_524288|pythagoräische Komma]] austemperiert, erhält man das bekannte [[12edo]].
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt; Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
=Nichtoktavische Temperaturen= 
[to do]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;span style="display: block; text-align: right;"&amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;English&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Generator"&amp;gt;Generatoren&amp;lt;/a&amp;gt; nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Val"&amp;gt;Val&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Therie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):&amp;lt;br /&amp;gt;
Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;Tuning continua and keyboard layouts&amp;lt;/a&amp;gt;, Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:15:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Charakterisierung über Kommas"&amp;gt;Charakterisierung über Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#log2(2)"&amp;gt;log2(2)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:20 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:21: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen"&amp;gt;Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:21 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:22: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Nichtoktavische Temperaturen"&amp;gt;Nichtoktavische Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:22 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:23: --&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:23 --&amp;gt;&amp;lt;hr /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:1:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über Kommas"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:1 --&amp;gt;Charakterisierung über Kommas&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;amp;gt; generierten Submodul betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung (reine Quinten) sowie &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme (erhöhte Quinten).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Jede &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20" rel="nofollow"&amp;gt;Basis&amp;lt;/a&amp;gt; des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Vals%20and%20Tuning%20Space#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;Englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als &amp;amp;quot;Val&amp;amp;quot; wird eine lineare Funktion auf dem Intervallraum bezeichnet, also, kurz gesagt, ein Mitglied des &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://de.wikipedia.org/wiki/Dualraum" rel="nofollow"&amp;gt;dualen Vektorraums&amp;lt;/a&amp;gt; zum Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
Vals werden als BRA-Vektoren notiert. Die Anwendung der entsprechenden Funktion auf einen Intervallvektor wird dann als &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow"&amp;gt;Bra-Ket&amp;lt;/a&amp;gt; notiert (siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Primfaktorzerlegung#Umrechnung%20von%20Intervallvektoren%20in%20Cents"&amp;gt;Umrechnung von Intervallvektoren in Cents&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Prototyp eines Vals ist die Funktion, welche aus einem Intervallvektor den Zweier-Logarithmus des Frequenzverhätnisses des entsprechenden Intervalls errechnet, das Intervall der reinen Prim also auf 0 abbildet, die Oktave auf 1. Der BRA-Vektor dafür ist:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;log2(2), log2(3), log2(5),...|&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
bzw., in Dezimalzahlen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;1, 1.58496, 2.32193,...|&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dieser Val beschreibt die untemperierte, &amp;amp;quot;reine&amp;amp;quot; Stimmung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine temperierte Stimmung erhält man naheliegenderweise, indem man einen (typischerweise nur leicht) anderen Val verwendet. Im Falle einer mitteltönigen Temperatur würde also der Intervallvektor der reinen Quinte |-1, 1, 0&amp;amp;gt; nicht auf log2(3/2) abgebildet, sondern auf einen etwas kleineren Wert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Prozess des Austemperierens eines Kommas stellt sich in Val-Sprache so dar, dass der Intervallvektor des Kommas vom Val auf 0 abgebildet wird - d. h. das Komma befindet sich im &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kern_(Algebra)" rel="nofollow"&amp;gt;Kern&amp;lt;/a&amp;gt; der Val-Abbildung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Im Fall einer mitteltönigen Temperatur käme wieder das syntonische Komma 81/80 zum Zug, mit KET-Vektordarstellung |-4, 4, -1&amp;amp;gt; . Für den Val &amp;amp;lt;x1, x2, x3 | einer temperierten Stimmung, die dieses Komma austemperiert, muss dann gelten:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/math"&amp;gt;math&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt; = 0&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/math"&amp;gt;math&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt; also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/math"&amp;gt;math&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt; -4*x1 +4*x2 -x3 = 0&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/math"&amp;gt;math&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt; Dies ist noch eine ziemlich allgemeine Bedingung mit einer grossen Zahl von Lösungen, von denen viele nicht sehr &amp;amp;quot;musikalisch sinnvoll&amp;amp;quot; sein werden. Eine für praktische Zwecke sinnvolle Zusatzbedingung ist, dass das Intervall der Oktave rein sein soll, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/math"&amp;gt;math&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="log2(2)"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;log2(2)&amp;lt;/h1&amp;gt;
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&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||1,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||1,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||1,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt; x1 = 1&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||1,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/math"&amp;gt;math&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||1,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||1,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||1,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/math"&amp;gt;math&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||1,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt; 4*x2 -x3 - 4 = 0&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||1,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/math"&amp;gt;math&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||1,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||1,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt; Beispielsweise erhält man die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;Viertelkomma-mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung durch die Bedingung, dass die grosse Terz 5/4 ebenfalls rein intoniert werden soll, was die Gleichung &amp;amp;lt;x1, x2, x3 ||-2, 0, 1&amp;amp;gt; = log2(5/4) ergibt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||1,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||1,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt; Die Bedingung, dass die kleine Terz 6/5 rein sein soll, ergibt demgegenüber die Gleichung &amp;amp;lt;x1, x2, x3 ||1, 1, -1&amp;amp;gt; = log2(6/5), und die entsprechende Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;Drittelkomma-mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||1,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||1,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt; Die Bedingung schliesslich, dass die Quinte 3/2 rein sein soll, ergibt die Gleichung &amp;amp;lt;x1, x2, x3 ||-1, 1, 0&amp;amp;gt; = log2(3/2) und die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||1,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||1,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt; [Todo normierte Val-Listen ]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||1,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/h1&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextAnchorRule:24:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/i/anchor.gif&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiAnchor&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;Anchor&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@anchor@@Höherdimensionale Temperaturen&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Anchor: Höherdimensionale Temperaturen&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextAnchorRule:24 --&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 [to do]&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
        <id>0</id>
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      <comment>**Imported revision 615380761 - Original comment: **</comment>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]

[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[xenharmonie/Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der [[Generator|Generatoren]] nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "[[Val]]"-Liste
* über eine normierte [[xenharmonie/Komma|Komma]]-Liste
* über einen "wedgie"

Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Therie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):
Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: [[http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf|Tuning continua and keyboard layouts]], Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.

[[toc|flat]]
----
=Charakterisierung über Kommas= 
Im [[xenharmonie/Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submodul betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[xenharmonie/Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [[http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20|Basis]] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "vals"= 

[[xenharmonic/Vals and Tuning Space#x-Normal%20val%20lists|Englischsprachiger Artikel]]

Als "Val" wird eine lineare Funktion auf dem Intervallraum bezeichnet, also, kurz gesagt, ein Mitglied des [[https://de.wikipedia.org/wiki/Dualraum|dualen Vektorraums]] zum Intervallraum.
Vals werden als BRA-Vektoren notiert. Die Anwendung der entsprechenden Funktion auf einen Intervallvektor wird dann als [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html|Bra-Ket]] notiert (siehe auch [[xenharmonie/Primfaktorzerlegung#Umrechnung%20von%20Intervallvektoren%20in%20Cents|Umrechnung von Intervallvektoren in Cents]])

Der Prototyp eines Vals ist die Funktion, welche aus einem Intervallvektor den Zweier-Logarithmus des Frequenzverhätnisses des entsprechenden Intervalls errechnet, das Intervall der reinen Prim also auf 0 abbildet, die Oktave auf 1. Der BRA-Vektor dafür ist:

&amp;lt;log2(2), log2(3), log2(5),...|

bzw., in Dezimalzahlen:

&amp;lt;1, 1.58496, 2.32193,...|

Dieser Val beschreibt die untemperierte, "reine" Stimmung.

Eine temperierte Stimmung erhält man naheliegenderweise, indem man einen (typischerweise nur leicht) anderen Val verwendet. Im Falle einer mitteltönigen Temperatur würde also der Intervallvektor der reinen Quinte |-1, 1, 0&amp;gt; nicht auf log2(3/2) abgebildet, sondern auf einen etwas kleineren Wert.

Der Prozess des Austemperierens eines Kommas stellt sich in Val-Sprache so dar, dass der Intervallvektor des Kommas vom Val auf 0 abgebildet wird - d. h. das Komma befindet sich im [[https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kern_(Algebra)|Kern]] der Val-Abbildung.

Im Fall einer mitteltönigen Temperatur käme wieder das syntonische Komma 81/80 zum Zug, mit KET-Vektordarstellung |-4, 4, -1&amp;gt; . Für den Val &amp;lt;x1, x2, x3 | einer temperierten Stimmung, die dieses Komma austemperiert, muss dann gelten:

[[math]]
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt; = 0
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;[[math]]
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt; also
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt; [[math]]
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt; -4*x1 +4*x2 -x3 = 0
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;[[math]]
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt; Dies ist noch eine ziemlich allgemeine Bedingung mit einer grossen Zahl von Lösungen, von denen viele nicht sehr "musikalisch sinnvoll" sein werden. Eine für praktische Zwecke sinnvolle Zusatzbedingung ist, dass das Intervall der Oktave rein sein soll, also
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt; [[math]]
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt; &amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt; = log2(2) = 1
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;[[math]]
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt; woraus folgt:
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt; [[math]]
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt; x1 = 1
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;[[math]]
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt; In der obigen Gleicihung eingesetzt ergibt sich
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt; [[math]]
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt; 4*x2 -x3 - 4 = 0
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;[[math]]
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt; Dies ist immer noch eine Gleichung mit 2 Unbekannten und mehreren Lösungen, wleche für die verschiedenen möglichen mitteltönigen Temperaturen ([[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] , und streng mathematisch auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung sowie [[xenharmonie/Superpyth|superpythagoräische]] Systeme) stehen. Durch Hinzufügen einer weiteren Bedingung erhält man dann ein System von drei Gleichungen mit 3 Unbekannten und einer eindeutigen Lösung.
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt; Beispielsweise erhält man die [[viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönige]] Stimmung durch die Bedingung, dass die grosse Terz 5/4 ebenfalls rein intoniert werden soll, was die Gleichung &amp;lt;x1, x2, x3 ||-2, 0, 1&amp;gt; = log2(5/4) ergibt.
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt; Die Bedingung, dass die kleine Terz 6/5 rein sein soll, ergibt demgegenüber die Gleichung &amp;lt;x1, x2, x3 ||1, 1, -1&amp;gt; = log2(6/5), und die entsprechende Temperatur ist die [[Drittelkomma-mitteltönig|Drittelkomma-mitteltönige]] Stimmung.
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt; Die Bedingung schliesslich, dass die Quinte 3/2 rein sein soll, ergibt die Gleichung &amp;lt;x1, x2, x3 ||-1, 1, 0&amp;gt; = log2(3/2) und die [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung.
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt; [Todo normierte Val-Listen ]
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
=Charakterisierung über "Wedgie"= 
[Todo]
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt; [[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]]
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
=[[#Höherdimensionale Temperaturen]]Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt; [Todo Beispiele]
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt; Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[xenharmonie/Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
=Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen= 
Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Temperatur.
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt; Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das [[531441_524288|pythagoräische Komma]] austemperiert, erhält man das bekannte [[12edo]].
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt; Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||-4,="" 4,="" -1=""&amp;gt;&amp;lt;x1, x2,="" x3="" ||1,="" 0,="" 0=""&amp;gt;
=Nichtoktavische Temperaturen= 
[to do]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Generator"&amp;gt;Generatoren&amp;lt;/a&amp;gt; nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Val"&amp;gt;Val&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;amp;quot;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Therie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):&amp;lt;br /&amp;gt;
Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;Tuning continua and keyboard layouts&amp;lt;/a&amp;gt;, Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:15:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Charakterisierung über Kommas"&amp;gt;Charakterisierung über Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#log2(2)"&amp;gt; log2(2) &amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:20 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:21: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen"&amp;gt;Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:21 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:22: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Nichtoktavische Temperaturen"&amp;gt;Nichtoktavische Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:22 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:23: --&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:23 --&amp;gt;&amp;lt;hr /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:1:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über Kommas"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:1 --&amp;gt;Charakterisierung über Kommas&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;amp;gt; generierten Submodul betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung (reine Quinten) sowie &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme (erhöhte Quinten).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Jede &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20" rel="nofollow"&amp;gt;Basis&amp;lt;/a&amp;gt; des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Vals%20and%20Tuning%20Space#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;Englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als &amp;amp;quot;Val&amp;amp;quot; wird eine lineare Funktion auf dem Intervallraum bezeichnet, also, kurz gesagt, ein Mitglied des &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://de.wikipedia.org/wiki/Dualraum" rel="nofollow"&amp;gt;dualen Vektorraums&amp;lt;/a&amp;gt; zum Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
Vals werden als BRA-Vektoren notiert. Die Anwendung der entsprechenden Funktion auf einen Intervallvektor wird dann als &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow"&amp;gt;Bra-Ket&amp;lt;/a&amp;gt; notiert (siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Primfaktorzerlegung#Umrechnung%20von%20Intervallvektoren%20in%20Cents"&amp;gt;Umrechnung von Intervallvektoren in Cents&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Prototyp eines Vals ist die Funktion, welche aus einem Intervallvektor den Zweier-Logarithmus des Frequenzverhätnisses des entsprechenden Intervalls errechnet, das Intervall der reinen Prim also auf 0 abbildet, die Oktave auf 1. Der BRA-Vektor dafür ist:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;log2(2), log2(3), log2(5),...|&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
bzw., in Dezimalzahlen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;1, 1.58496, 2.32193,...|&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dieser Val beschreibt die untemperierte, &amp;amp;quot;reine&amp;amp;quot; Stimmung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine temperierte Stimmung erhält man naheliegenderweise, indem man einen (typischerweise nur leicht) anderen Val verwendet. Im Falle einer mitteltönigen Temperatur würde also der Intervallvektor der reinen Quinte |-1, 1, 0&amp;amp;gt; nicht auf log2(3/2) abgebildet, sondern auf einen etwas kleineren Wert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Prozess des Austemperierens eines Kommas stellt sich in Val-Sprache so dar, dass der Intervallvektor des Kommas vom Val auf 0 abgebildet wird - d. h. das Komma befindet sich im &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kern_(Algebra)" rel="nofollow"&amp;gt;Kern&amp;lt;/a&amp;gt; der Val-Abbildung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Im Fall einer mitteltönigen Temperatur käme wieder das syntonische Komma 81/80 zum Zug, mit KET-Vektordarstellung |-4, 4, -1&amp;amp;gt; . Für den Val &amp;amp;lt;x1, x2, x3 | einer temperierten Stimmung, die dieses Komma austemperiert, muss dann gelten:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/math"&amp;gt;math&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt; = 0&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/math"&amp;gt;math&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt; also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/math"&amp;gt;math&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt; -4*x1 +4*x2 -x3 = 0&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/math"&amp;gt;math&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt; Dies ist noch eine ziemlich allgemeine Bedingung mit einer grossen Zahl von Lösungen, von denen viele nicht sehr &amp;amp;quot;musikalisch sinnvoll&amp;amp;quot; sein werden. Eine für praktische Zwecke sinnvolle Zusatzbedingung ist, dass das Intervall der Oktave rein sein soll, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/math"&amp;gt;math&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt; &amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||1,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;  &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="log2(2)"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt; log2(2) &amp;lt;/h1&amp;gt;
 1&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||1,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/math"&amp;gt;math&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||1,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||1,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||1,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt; x1 = 1&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||1,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/math"&amp;gt;math&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||1,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||1,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt; In der obigen Gleicihung eingesetzt ergibt sich&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||1,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||1,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/math"&amp;gt;math&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||1,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt; 4*x2 -x3 - 4 = 0&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||1,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;lt;a class="wiki_link" href="/math"&amp;gt;math&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||1,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||1,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt; Dies ist immer noch eine Gleichung mit 2 Unbekannten und mehreren Lösungen, wleche für die verschiedenen möglichen mitteltönigen Temperaturen (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; , und streng mathematisch auch die rein &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung sowie &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme) stehen. Durch Hinzufügen einer weiteren Bedingung erhält man dann ein System von drei Gleichungen mit 3 Unbekannten und einer eindeutigen Lösung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||1,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||1,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt; Beispielsweise erhält man die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;Viertelkomma-mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung durch die Bedingung, dass die grosse Terz 5/4 ebenfalls rein intoniert werden soll, was die Gleichung &amp;amp;lt;x1, x2, x3 ||-2, 0, 1&amp;amp;gt; = log2(5/4) ergibt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||1,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||1,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt; Die Bedingung, dass die kleine Terz 6/5 rein sein soll, ergibt demgegenüber die Gleichung &amp;amp;lt;x1, x2, x3 ||1, 1, -1&amp;amp;gt; = log2(6/5), und die entsprechende Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;Drittelkomma-mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||1,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||1,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt; Die Bedingung schliesslich, dass die Quinte 3/2 rein sein soll, ergibt die Gleichung &amp;amp;lt;x1, x2, x3 ||-1, 1, 0&amp;amp;gt; = log2(3/2) und die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||1,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||1,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt; [Todo normierte Val-Listen ]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||1,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||-4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 4,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; -1=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;x1, x2,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; x3=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; ||1,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0,=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; 0=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/h1&amp;gt;
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 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]

[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[xenharmonie/Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der [[Generator|Generatoren]] nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste
* über eine normierte [[xenharmonie/Komma|Komma]]-Liste
* über einen "wedgie"

Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Therie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):
Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: [[http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf|Tuning continua and keyboard layouts]], Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.

[[toc|flat]]
----
=Charakterisierung über Kommas= 
Im [[xenharmonie/Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submodul betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[xenharmonie/Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [[http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20|Basis]] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "vals"= 

[[xenharmonic/Vals and Tuning Space#x-Normal%20val%20lists|Englischsprachiger Artikel]]

Als "Val" wird eine lineare Funktion auf dem Intervallraum bezeichnet, also, kurz gesagt, ein Mitglied des [[https://de.wikipedia.org/wiki/Dualraum|dualen Vektorraums]] zum Intervallraum.
Vals werden als BRA-Vektoren notiert. Die Anwendung der entsprechenden Funktion auf einen Intervallvektor wird dann als [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html|Bra-Ket]] notiert (siehe auch [[xenharmonie/Primfaktorzerlegung#Umrechnung%20von%20Intervallvektoren%20in%20Cents|Umrechnung von Intervallvektoren in Cents]])

Der Prototyp eines Vals ist die Funktion, welche aus einem Intervallvektor den Zweier-Logarithmus des Frequenzverhätnisses des entsprechenden Intervalls errechnet, das Intervall der reinen Prim also auf 0 abbildet, die Oktave auf 1. Der BRA-Vektor dafür ist:

&amp;lt;log2(2), log2(3), log2(5),...|

bzw., in Dezimalzahlen:

&amp;lt;1, 1.58496, 2.32193,...|

Dieser Val beschreibt die untemperierte, "reine" Stimmung.

Eine temperierte Stimmung erhält man naheliegenderweise, indem man einen (typischerweise nur leicht) anderen Val verwendet. Im Falle einer mitteltönigen Temperatur würde also der Intervallvektor der reinen Quinte |-1, 1, 0&amp;gt; nicht auf log2(3/2) abgebildet, sondern auf einen etwas kleineren Wert.

Der Prozess des Austemperierens eines Kommas stellt sich in Val-Sprache so dar, dass der Intervallvektor des Kommas vom Val auf 0 abgebildet wird - d. h. das Komma befindet sich im [[https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kern_(Algebra)|Kern]] der Val-Abbildung.

Im Fall einer mitteltönigen Temperatur käme wieder das syntonische Komma 81/80 zum Zug, mit KET-Vektordarstellung |-4, 4, -1&amp;gt; . Für den Val &amp;lt;x1, x2, x3 | einer temperierten Stimmung, die dieses Komma austemperiert, muss dann gelten:

[[math]]
&amp;lt;x1, x2, x3 ||-4, 4, -1&amp;gt; = 0
[[math]]

also

[[math]]
-4*x1 +4*x2 -x3 = 0
[[math]]

Dies ist noch eine ziemlich allgemeine Bedingung mit einer grossen Zahl von Lösungen, von denen viele nicht sehr "musikalisch sinnvoll" sein werden. Eine für praktische Zwecke sinnvolle Zusatzbedingung ist, dass das Intervall der Oktave rein sein soll, also

[[math]]
&amp;lt;x1, x2, x3 ||1, 0, 0&amp;gt; = log2(2) = 1
[[math]]

woraus folgt:

[[math]]
x1 = 1
[[math]]

In der obigen Gleicihung eingesetzt ergibt sich

[[math]]
4*x2 -x3 - 4 = 0
[[math]]

Dies ist immer noch eine Gleichung mit 2 Unbekannten und mehreren Lösungen, wleche für die verschiedenen möglichen mitteltönigen Temperaturen ([[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] , und streng mathematisch auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung sowie [[xenharmonie/Superpyth|superpythagoräische]] Systeme) stehen. Durch Hinzufügen einer weiteren Bedingung erhält man dann ein System von drei Gleichungen mit 3 Unbekannten und einer eindeutigen Lösung.

Beispielsweise erhält man die [[viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönige]] Stimmung durch die Bedingung, dass die grosse Terz 5/4 ebenfalls rein intoniert werden soll, was die Gleichung &amp;lt;x1, x2, x3 ||-2, 0, 1&amp;gt; = log2(5/4) ergibt.

Die Bedingung, dass die kleine Terz 6/5 rein sein soll, ergibt demgegenüber die Gleichung &amp;lt;x1, x2, x3 ||1, 1, -1&amp;gt; = log2(6/5), und die entsprechende Temperatur ist die [[Drittelkomma-mitteltönig|Drittelkomma-mitteltönige]] Stimmung. 

Die Bedingung schliesslich, dass die Quinte 3/2 rein sein soll, ergibt die Gleichung &amp;lt;x1, x2, x3 ||-1, 1, 0&amp;gt; = log2(3/2) und die [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung.

[Todo normierte Val-Listen ]

=Charakterisierung über "Wedgie"= 
[Todo]

[[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]]

=[[#Höherdimensionale Temperaturen]]Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.

[Todo Beispiele]

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[xenharmonie/Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.

=Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen= 
Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Temperatur.

Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das [[531441_524288|pythagoräische Komma]] austemperiert, erhält man das bekannte [[12edo]].

Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.

=Nichtoktavische Temperaturen= 
[to do]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Generator"&amp;gt;Generatoren&amp;lt;/a&amp;gt; nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Therie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):&amp;lt;br /&amp;gt;
Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;Tuning continua and keyboard layouts&amp;lt;/a&amp;gt;, Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Charakterisierung über Kommas"&amp;gt;Charakterisierung über Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:20 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:21: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:21 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:22: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:22 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:23: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen"&amp;gt;Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:23 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:24: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Nichtoktavische Temperaturen"&amp;gt;Nichtoktavische Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:24 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:25: --&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:25 --&amp;gt;&amp;lt;hr /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über Kommas"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&amp;gt;Charakterisierung über Kommas&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;amp;gt; generierten Submodul betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung (reine Quinten) sowie &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme (erhöhte Quinten).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Jede &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20" rel="nofollow"&amp;gt;Basis&amp;lt;/a&amp;gt; des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Vals%20and%20Tuning%20Space#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;Englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als &amp;amp;quot;Val&amp;amp;quot; wird eine lineare Funktion auf dem Intervallraum bezeichnet, also, kurz gesagt, ein Mitglied des &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://de.wikipedia.org/wiki/Dualraum" rel="nofollow"&amp;gt;dualen Vektorraums&amp;lt;/a&amp;gt; zum Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
Vals werden als BRA-Vektoren notiert. Die Anwendung der entsprechenden Funktion auf einen Intervallvektor wird dann als &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow"&amp;gt;Bra-Ket&amp;lt;/a&amp;gt; notiert (siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Primfaktorzerlegung#Umrechnung%20von%20Intervallvektoren%20in%20Cents"&amp;gt;Umrechnung von Intervallvektoren in Cents&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Prototyp eines Vals ist die Funktion, welche aus einem Intervallvektor den Zweier-Logarithmus des Frequenzverhätnisses des entsprechenden Intervalls errechnet, das Intervall der reinen Prim also auf 0 abbildet, die Oktave auf 1. Der BRA-Vektor dafür ist:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;log2(2), log2(3), log2(5),...|&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
bzw., in Dezimalzahlen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;1, 1.58496, 2.32193,...|&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dieser Val beschreibt die untemperierte, &amp;amp;quot;reine&amp;amp;quot; Stimmung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine temperierte Stimmung erhält man naheliegenderweise, indem man einen (typischerweise nur leicht) anderen Val verwendet. Im Falle einer mitteltönigen Temperatur würde also der Intervallvektor der reinen Quinte |-1, 1, 0&amp;amp;gt; nicht auf log2(3/2) abgebildet, sondern auf einen etwas kleineren Wert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Prozess des Austemperierens eines Kommas stellt sich in Val-Sprache so dar, dass der Intervallvektor des Kommas vom Val auf 0 abgebildet wird - d. h. das Komma befindet sich im &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kern_(Algebra)" rel="nofollow"&amp;gt;Kern&amp;lt;/a&amp;gt; der Val-Abbildung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Im Fall einer mitteltönigen Temperatur käme wieder das syntonische Komma 81/80 zum Zug, mit KET-Vektordarstellung |-4, 4, -1&amp;amp;gt; . Für den Val &amp;amp;lt;x1, x2, x3 | einer temperierten Stimmung, die dieses Komma austemperiert, muss dann gelten:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:1:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2, x3 ||-4, 4, -1&amp;amp;gt; = 0&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;&amp;lt;x1, x2, x3 ||-4, 4, -1&amp;gt; = 0&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:2:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
-4*x1 +4*x2 -x3 = 0&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;-4*x1 +4*x2 -x3 = 0&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:2 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dies ist noch eine ziemlich allgemeine Bedingung mit einer grossen Zahl von Lösungen, von denen viele nicht sehr &amp;amp;quot;musikalisch sinnvoll&amp;amp;quot; sein werden. Eine für praktische Zwecke sinnvolle Zusatzbedingung ist, dass das Intervall der Oktave rein sein soll, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:3:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2, x3 ||1, 0, 0&amp;amp;gt; = log2(2) = 1&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;&amp;lt;x1, x2, x3 ||1, 0, 0&amp;gt; = log2(2) = 1&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:3 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
woraus folgt:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:4:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
x1 = 1&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;x1 = 1&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:4 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der obigen Gleicihung eingesetzt ergibt sich&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:5:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
4*x2 -x3 - 4 = 0&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;4*x2 -x3 - 4 = 0&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:5 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dies ist immer noch eine Gleichung mit 2 Unbekannten und mehreren Lösungen, wleche für die verschiedenen möglichen mitteltönigen Temperaturen (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; , und streng mathematisch auch die rein &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung sowie &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme) stehen. Durch Hinzufügen einer weiteren Bedingung erhält man dann ein System von drei Gleichungen mit 3 Unbekannten und einer eindeutigen Lösung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispielsweise erhält man die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;Viertelkomma-mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung durch die Bedingung, dass die grosse Terz 5/4 ebenfalls rein intoniert werden soll, was die Gleichung &amp;amp;lt;x1, x2, x3 ||-2, 0, 1&amp;amp;gt; = log2(5/4) ergibt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Bedingung, dass die kleine Terz 6/5 rein sein soll, ergibt demgegenüber die Gleichung &amp;amp;lt;x1, x2, x3 ||1, 1, -1&amp;amp;gt; = log2(6/5), und die entsprechende Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;Drittelkomma-mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung. &amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Bedingung schliesslich, dass die Quinte 3/2 rein sein soll, ergibt die Gleichung &amp;amp;lt;x1, x2, x3 ||-1, 1, 0&amp;amp;gt; = log2(3/2) und die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo normierte Val-Listen ]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:10:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:10 --&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/h1&amp;gt;
 [Todo]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextAnchorRule:26:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/i/anchor.gif&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiAnchor&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;Anchor&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@anchor@@Höherdimensionale Temperaturen&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Anchor: Höherdimensionale Temperaturen&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextAnchorRule:26 --&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Beispiele]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS&amp;lt;/a&amp;gt;-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:14:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:14 --&amp;gt;Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert, erhält man das bekannte &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 [to do]&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]

[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[xenharmonie/Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste
* über eine normierte [[xenharmonie/Komma|Komma]]-Liste
* über einen "wedgie"

Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Therie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):
Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: [[http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf|Tuning continua and keyboard layouts]], Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.

[[toc|flat]]
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=Charakterisierung über Kommas= 
Im [[xenharmonie/Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submodul betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[xenharmonie/Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [[http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20|Basis]] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "vals"= 

[[xenharmonic/Vals and Tuning Space#x-Normal%20val%20lists|Englischsprachiger Artikel]]

Als "Val" wird eine lineare Funktion auf dem Intervallraum bezeichnet, also, kurz gesagt, ein Mitglied des [[https://de.wikipedia.org/wiki/Dualraum|dualen Vektorraums]] zum Intervallraum.
Vals werden als BRA-Vektoren notiert. Die Anwendung der entsprechenden Funktion auf einen Intervallvektor wird dann als [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html|Bra-Ket]] notiert (siehe auch [[xenharmonie/Primfaktorzerlegung#Umrechnung%20von%20Intervallvektoren%20in%20Cents|Umrechnung von Intervallvektoren in Cents]])

Der Prototyp eines Vals ist die Funktion, welche aus einem Intervallvektor den Zweier-Logarithmus des Frequenzverhätnisses des entsprechenden Intervalls errechnet, das Intervall der reinen Prim also auf 0 abbildet, die Oktave auf 1. Der BRA-Vektor dafür ist:

&amp;lt;log2(2), log2(3), log2(5),...|

bzw., in Dezimalzahlen:

&amp;lt;1, 1.58496, 2.32193,...|

Dieser Val beschreibt die untemperierte, "reine" Stimmung.

Eine temperierte Stimmung erhält man naheliegenderweise, indem man einen (typischerweise nur leicht) anderen Val verwendet. Im Falle einer mitteltönigen Temperatur würde also der Intervallvektor der reinen Quinte |-1, 1, 0&amp;gt; nicht auf log2(3/2) abgebildet, sondern auf einen etwas kleineren Wert.

Der Prozess des Austemperierens eines Kommas stellt sich in Val-Sprache so dar, dass der Intervallvektor des Kommas vom Val auf 0 abgebildet wird - d. h. das Komma befindet sich im [[https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kern_(Algebra)|Kern]] der Val-Abbildung.

Im Fall einer mitteltönigen Temperatur käme wieder das syntonische Komma 81/80 zum Zug, mit KET-Vektordarstellung |-4, 4, -1&amp;gt; . Für den Val &amp;lt;x1, x2, x3 | einer temperierten Stimmung, die dieses Komma austemperiert, muss dann gelten:

[[math]]
&amp;lt;x1, x2, x3 ||-4, 4, -1&amp;gt; = 0
[[math]]

also

[[math]]
-4*x1 +4*x2 -x3 = 0
[[math]]

Dies ist noch eine ziemlich allgemeine Bedingung mit einer grossen Zahl von Lösungen, von denen viele nicht sehr "musikalisch sinnvoll" sein werden. Eine für praktische Zwecke sinnvolle Zusatzbedingung ist, dass das Intervall der Oktave rein sein soll, also

[[math]]
&amp;lt;x1, x2, x3 ||1, 0, 0&amp;gt; = log2(2) = 1
[[math]]

woraus folgt:

[[math]]
x1 = 1
[[math]]

In der obigen Gleicihung eingesetzt ergibt sich

[[math]]
4*x2 -x3 - 4 = 0
[[math]]

Dies ist immer noch eine Gleichung mit 2 Unbekannten und mehreren Lösungen, wleche für die verschiedenen möglichen mitteltönigen Temperaturen ([[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] , und streng mathematisch auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung sowie [[xenharmonie/Superpyth|superpythagoräische]] Systeme) stehen. Durch Hinzufügen einer weiteren Bedingung erhält man dann ein System von drei Gleichungen mit 3 Unbekannten und einer eindeutigen Lösung.

Beispielsweise erhält man die [[viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönige]] Stimmung durch die Bedingung, dass die grosse Terz 5/4 ebenfalls rein intoniert werden soll, was die Gleichung &amp;lt;x1, x2, x3 ||-2, 0, 1&amp;gt; = log2(5/4) ergibt.

Die Bedingung, dass die kleine Terz 6/5 rein sein soll, ergibt demgegenüber die Gleichung &amp;lt;x1, x2, x3 ||1, 1, -1&amp;gt; = log2(6/5), und die entsprechende Temperatur ist die [[Drittelkomma-mitteltönig|Drittelkomma-mitteltönige]] Stimmung. 

Die Bedingung schliesslich, dass die Quinte 3/2 rein sein soll, ergibt die Gleichung &amp;lt;x1, x2, x3 ||-1, 1, 0&amp;gt; = log2(3/2) und die [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung.

[Todo normierte Val-Listen ]

=Charakterisierung über "Wedgie"= 
[Todo]

[[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]]

=[[#Höherdimensionale Temperaturen]]Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.

[Todo Beispiele]

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[xenharmonie/Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.

=Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen= 
Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Temperatur.

Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das [[531441_524288|pythagoräische Komma]] austemperiert, erhält man das bekannte [[12edo]].

Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.

=Nichtoktavische Temperaturen= 
[to do]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Therie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):&amp;lt;br /&amp;gt;
Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;Tuning continua and keyboard layouts&amp;lt;/a&amp;gt;, Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Charakterisierung über Kommas"&amp;gt;Charakterisierung über Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:20 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:21: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:21 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:22: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:22 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:23: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen"&amp;gt;Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:23 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:24: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Nichtoktavische Temperaturen"&amp;gt;Nichtoktavische Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:24 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:25: --&amp;gt;
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Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;amp;gt; generierten Submodul betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung (reine Quinten) sowie &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme (erhöhte Quinten).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Jede &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20" rel="nofollow"&amp;gt;Basis&amp;lt;/a&amp;gt; des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Vals%20and%20Tuning%20Space#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;Englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Als &amp;amp;quot;Val&amp;amp;quot; wird eine lineare Funktion auf dem Intervallraum bezeichnet, also, kurz gesagt, ein Mitglied des &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://de.wikipedia.org/wiki/Dualraum" rel="nofollow"&amp;gt;dualen Vektorraums&amp;lt;/a&amp;gt; zum Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
Vals werden als BRA-Vektoren notiert. Die Anwendung der entsprechenden Funktion auf einen Intervallvektor wird dann als &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow"&amp;gt;Bra-Ket&amp;lt;/a&amp;gt; notiert (siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Primfaktorzerlegung#Umrechnung%20von%20Intervallvektoren%20in%20Cents"&amp;gt;Umrechnung von Intervallvektoren in Cents&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;br /&amp;gt;
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Der Prototyp eines Vals ist die Funktion, welche aus einem Intervallvektor den Zweier-Logarithmus des Frequenzverhätnisses des entsprechenden Intervalls errechnet, das Intervall der reinen Prim also auf 0 abbildet, die Oktave auf 1. Der BRA-Vektor dafür ist:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;log2(2), log2(3), log2(5),...|&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
bzw., in Dezimalzahlen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;1, 1.58496, 2.32193,...|&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dieser Val beschreibt die untemperierte, &amp;amp;quot;reine&amp;amp;quot; Stimmung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine temperierte Stimmung erhält man naheliegenderweise, indem man einen (typischerweise nur leicht) anderen Val verwendet. Im Falle einer mitteltönigen Temperatur würde also der Intervallvektor der reinen Quinte |-1, 1, 0&amp;amp;gt; nicht auf log2(3/2) abgebildet, sondern auf einen etwas kleineren Wert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Prozess des Austemperierens eines Kommas stellt sich in Val-Sprache so dar, dass der Intervallvektor des Kommas vom Val auf 0 abgebildet wird - d. h. das Komma befindet sich im &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kern_(Algebra)" rel="nofollow"&amp;gt;Kern&amp;lt;/a&amp;gt; der Val-Abbildung.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Im Fall einer mitteltönigen Temperatur käme wieder das syntonische Komma 81/80 zum Zug, mit KET-Vektordarstellung |-4, 4, -1&amp;amp;gt; . Für den Val &amp;amp;lt;x1, x2, x3 | einer temperierten Stimmung, die dieses Komma austemperiert, muss dann gelten:&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;amp;lt;x1, x2, x3 ||-4, 4, -1&amp;amp;gt; = 0&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;&amp;lt;x1, x2, x3 ||-4, 4, -1&amp;gt; = 0&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Dies ist noch eine ziemlich allgemeine Bedingung mit einer grossen Zahl von Lösungen, von denen viele nicht sehr &amp;amp;quot;musikalisch sinnvoll&amp;amp;quot; sein werden. Eine für praktische Zwecke sinnvolle Zusatzbedingung ist, dass das Intervall der Oktave rein sein soll, also&amp;lt;br /&amp;gt;
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Dies ist immer noch eine Gleichung mit 2 Unbekannten und mehreren Lösungen, wleche für die verschiedenen möglichen mitteltönigen Temperaturen (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; , und streng mathematisch auch die rein &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung sowie &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme) stehen. Durch Hinzufügen einer weiteren Bedingung erhält man dann ein System von drei Gleichungen mit 3 Unbekannten und einer eindeutigen Lösung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispielsweise erhält man die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;Viertelkomma-mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung durch die Bedingung, dass die grosse Terz 5/4 ebenfalls rein intoniert werden soll, was die Gleichung &amp;amp;lt;x1, x2, x3 ||-2, 0, 1&amp;amp;gt; = log2(5/4) ergibt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Bedingung, dass die kleine Terz 6/5 rein sein soll, ergibt demgegenüber die Gleichung &amp;amp;lt;x1, x2, x3 ||1, 1, -1&amp;amp;gt; = log2(6/5), und die entsprechende Temperatur ist die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;Drittelkomma-mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung. &amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Bedingung schliesslich, dass die Quinte 3/2 rein sein soll, ergibt die Gleichung &amp;amp;lt;x1, x2, x3 ||-1, 1, 0&amp;amp;gt; = log2(3/2) und die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo normierte Val-Listen ]&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:10:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:10 --&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/h1&amp;gt;
 [Todo]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextAnchorRule:26:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/i/anchor.gif&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiAnchor&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;Anchor&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@anchor@@Höherdimensionale Temperaturen&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Anchor: Höherdimensionale Temperaturen&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextAnchorRule:26 --&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Beispiele]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS&amp;lt;/a&amp;gt;-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:14:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:14 --&amp;gt;Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert, erhält man das bekannte &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:16:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Nichtoktavische Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:16 --&amp;gt;Nichtoktavische Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 [to do]&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]

[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[xenharmonie/Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste
* über eine normierte [[xenharmonie/Komma|Komma]]-Liste
* über einen "wedgie"

Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Therie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):
Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: [[http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf|Tuning continua and keyboard layouts]], Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.

[[toc|flat]]
----
=Charakterisierung über Kommas= 
Im [[xenharmonie/Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submodul betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[xenharmonie/Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [[http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20|Basis]] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "vals"= 

[[xenharmonic/Vals and Tuning Space#x-Normal%20val%20lists|Englischsprachiger Artikel]]

Als "Val" wird eine lineare Funktion auf dem Intervallraum bezeichnet, also, kurz gesagt, ein Mitglied des [[https://de.wikipedia.org/wiki/Dualraum|dualen Vektorraums]] zum Intervallraum.
Vals werden als BRA-Vektoren notiert. Die Anwendung der entsprechenden Funktion auf einen Intervallvektor wird dann als [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html|Bra-Ket]] notiert (siehe auch [[xenharmonie/Primfaktorzerlegung#Umrechnung%20von%20Intervallvektoren%20in%20Cents|Umrechnung von Intervallvektoren in Cents]])

Der Prototyp eines Vals ist die Funktion, welche aus einem Intervallvektor den Zweier-Logarithmus des Frequenzverhätnisses des entsprechenden Intervalls errechnet, das Intervall der reinen Prim also auf 0 abbildet, die Oktave auf 1. Der BRA-Vektor dafür ist:

&amp;lt;log2(2), log2(3), log2(5),...|

bzw., in Dezimalzahlen:

&amp;lt;1, 1.58496, 2.32193,...|

Dieser Val beschreibt die untemperierte, "reine" Stimmung.

Eine temperierte Stimmung erhält man naheliegenderweise, indem man einen (typischerweise nur leicht) anderen Val verwendet. Im Falle einer mitteltönigen Temperatur würde also der Intervallvektor der reinen Quinte |-1, 1, 0&amp;gt; nicht auf log2(3/2) abgebildet, sondern auf einen etwas kleineren Wert.

Der Prozess des Austemperierens eines Kommas stellt sich in Val-Sprache so dar, dass der Intervallvektor des Kommas vom Val auf 0 abgebildet wird - d. h. das Komma befindet sich im [[https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kern_(Algebra)|Kern]] der Val-Abbildung.

Im Fall einer mitteltönigen Temperatur käme wieder das syntonische Komma 81/80 zum Zug, mit KET-Vektordarstellung |-4, 4, -1&amp;gt; . Für den Val &amp;lt;x1, x2, x3 | einer temperierten Stimmung, die dieses Komma austemperiert, muss dann gelten:

&amp;lt;x1, x2, x3 ||-4, 4, -1&amp;gt; = 0

also

-4*x1 +4*x2 -x3 = 0

Dies ist noch eine ziemlich allgemeine Bedingung mit einer grossen Zahl von Lösungen, von denen viele nicht sehr "musikalisch sinnvoll" sein werden. Eine für praktische Zwecke sinnvolle Zusatzbedingung ist, dass das Intervall der Oktave rein sein soll, also

&amp;lt;x1, x2, x3 ||1, 0, 0&amp;gt; = log2(2) = 1

woraus folgt:

x1 = 1

In der obigen Gleicihung eingesetzt ergibt sich

4*x2 -x3 - 4 = 0

Dies ist immer noch eine Gleichung mit 2 Unbekannten und mehreren Lösungen, wleche für die verschiedenen möglichen mitteltönigen Temperaturen ([[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] , und streng mathematisch auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung sowie [[xenharmonie/Superpyth|superpythagoräische]] Systeme) stehen. Durch Hinzufügen einer weiteren Bedingung erhält man dann ein System von drei Gleichungen mit 3 Unbekannten und einer eindeutigen Lösung - beispielsweise die [[viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönige]] Stimmung durch die Bedingung, dass die grosse Terz 5/4 ebenfalls rein intoniert werden soll, was die Gleichung &amp;lt;x1, x2, x3 ||-2, 0, 1&amp;gt; = log2(5/4) ergibt.
Die Bedingung, dass die Quinte rein sein soll, ergibt demgegenüber die Gleichung &amp;lt;x1, x2, x3 ||-1, 1, 0&amp;gt; = log2(3/2), und die entsprechende Temepratur ist die pythagoräische Stimmung.

[Todo normierte Val-Listen ]

=Charakterisierung über "Wedgie"= 
[Todo]

[[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]]

=[[#Höherdimensionale Temperaturen]]Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.

[Todo Beispiele]

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[xenharmonie/Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.

=Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen= 
Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Temperatur.

Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das [[531441_524288|pythagoräische Komma]] austemperiert, erhält man das bekannte [[12edo]].

Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.

=Nichtoktavische Temperaturen= 
[to do]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Therie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):&amp;lt;br /&amp;gt;
Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;Tuning continua and keyboard layouts&amp;lt;/a&amp;gt;, Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:15:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Charakterisierung über Kommas"&amp;gt;Charakterisierung über Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#log2(2)"&amp;gt; log2(2) &amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:20 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:21: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen"&amp;gt;Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:21 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:22: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Nichtoktavische Temperaturen"&amp;gt;Nichtoktavische Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:22 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:23: --&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:23 --&amp;gt;&amp;lt;hr /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:1:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über Kommas"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:1 --&amp;gt;Charakterisierung über Kommas&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;amp;gt; generierten Submodul betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung (reine Quinten) sowie &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme (erhöhte Quinten).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Jede &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20" rel="nofollow"&amp;gt;Basis&amp;lt;/a&amp;gt; des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Vals%20and%20Tuning%20Space#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;Englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als &amp;amp;quot;Val&amp;amp;quot; wird eine lineare Funktion auf dem Intervallraum bezeichnet, also, kurz gesagt, ein Mitglied des &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://de.wikipedia.org/wiki/Dualraum" rel="nofollow"&amp;gt;dualen Vektorraums&amp;lt;/a&amp;gt; zum Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
Vals werden als BRA-Vektoren notiert. Die Anwendung der entsprechenden Funktion auf einen Intervallvektor wird dann als &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow"&amp;gt;Bra-Ket&amp;lt;/a&amp;gt; notiert (siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Primfaktorzerlegung#Umrechnung%20von%20Intervallvektoren%20in%20Cents"&amp;gt;Umrechnung von Intervallvektoren in Cents&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Prototyp eines Vals ist die Funktion, welche aus einem Intervallvektor den Zweier-Logarithmus des Frequenzverhätnisses des entsprechenden Intervalls errechnet, das Intervall der reinen Prim also auf 0 abbildet, die Oktave auf 1. Der BRA-Vektor dafür ist:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;log2(2), log2(3), log2(5),...|&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
bzw., in Dezimalzahlen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;1, 1.58496, 2.32193,...|&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dieser Val beschreibt die untemperierte, &amp;amp;quot;reine&amp;amp;quot; Stimmung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine temperierte Stimmung erhält man naheliegenderweise, indem man einen (typischerweise nur leicht) anderen Val verwendet. Im Falle einer mitteltönigen Temperatur würde also der Intervallvektor der reinen Quinte |-1, 1, 0&amp;amp;gt; nicht auf log2(3/2) abgebildet, sondern auf einen etwas kleineren Wert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Prozess des Austemperierens eines Kommas stellt sich in Val-Sprache so dar, dass der Intervallvektor des Kommas vom Val auf 0 abgebildet wird - d. h. das Komma befindet sich im &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kern_(Algebra)" rel="nofollow"&amp;gt;Kern&amp;lt;/a&amp;gt; der Val-Abbildung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Im Fall einer mitteltönigen Temperatur käme wieder das syntonische Komma 81/80 zum Zug, mit KET-Vektordarstellung |-4, 4, -1&amp;amp;gt; . Für den Val &amp;amp;lt;x1, x2, x3 | einer temperierten Stimmung, die dieses Komma austemperiert, muss dann gelten:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2, x3 ||-4, 4, -1&amp;amp;gt; = 0&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
-4*x1 +4*x2 -x3 = 0&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dies ist noch eine ziemlich allgemeine Bedingung mit einer grossen Zahl von Lösungen, von denen viele nicht sehr &amp;amp;quot;musikalisch sinnvoll&amp;amp;quot; sein werden. Eine für praktische Zwecke sinnvolle Zusatzbedingung ist, dass das Intervall der Oktave rein sein soll, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2, x3 ||1, 0, 0&amp;amp;gt;  &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="log2(2)"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt; log2(2) &amp;lt;/h1&amp;gt;
 1&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
woraus folgt:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
x1 = 1&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der obigen Gleicihung eingesetzt ergibt sich&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
4*x2 -x3 - 4 = 0&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dies ist immer noch eine Gleichung mit 2 Unbekannten und mehreren Lösungen, wleche für die verschiedenen möglichen mitteltönigen Temperaturen (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; , und streng mathematisch auch die rein &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung sowie &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme) stehen. Durch Hinzufügen einer weiteren Bedingung erhält man dann ein System von drei Gleichungen mit 3 Unbekannten und einer eindeutigen Lösung - beispielsweise die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;Viertelkomma-mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung durch die Bedingung, dass die grosse Terz 5/4 ebenfalls rein intoniert werden soll, was die Gleichung &amp;amp;lt;x1, x2, x3 ||-2, 0, 1&amp;amp;gt; = log2(5/4) ergibt.&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Bedingung, dass die Quinte rein sein soll, ergibt demgegenüber die Gleichung &amp;amp;lt;x1, x2, x3 ||-1, 1, 0&amp;amp;gt; = log2(3/2), und die entsprechende Temepratur ist die pythagoräische Stimmung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo normierte Val-Listen ]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/h1&amp;gt;
 [Todo]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextAnchorRule:24:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/i/anchor.gif&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiAnchor&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;Anchor&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@anchor@@Höherdimensionale Temperaturen&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Anchor: Höherdimensionale Temperaturen&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextAnchorRule:24 --&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Beispiele]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS&amp;lt;/a&amp;gt;-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert, erhält man das bekannte &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:13:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Nichtoktavische Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:13 --&amp;gt;Nichtoktavische Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 [to do]&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
      <sha1>4hlagho4wk9zfak1rj8gyazhqgy58k5</sha1>
    </revision>
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      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
        <id>0</id>
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      <comment>**Imported revision 606455245 - Original comment: **</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-02-16 12:10:03 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]

[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[xenharmonie/Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste
* über eine normierte [[xenharmonie/Komma|Komma]]-Liste
* über einen "wedgie"

Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Therie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):
Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: [[http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf|Tuning continua and keyboard layouts]], Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.

[[toc|flat]]
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=Charakterisierung über Kommas= 
Im [[xenharmonie/Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submodul betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[xenharmonie/Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [[http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20|Basis]] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "vals"= 

[[xenharmonic/Vals and Tuning Space#x-Normal%20val%20lists|Englischsprachiger Artikel]]

Als "Val" wird eine lineare Funktion auf dem Intervallraum bezeichnet, also, kurz gesagt, ein Mitglied des [[https://de.wikipedia.org/wiki/Dualraum|dualen Vektorraums]] zum Intervallraum.
Vals werden als BRA-Vektoren notiert. Die Anwendung der entsprechenden Funktion auf einen Intervallvektor wird dann als [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html|Bra-Ket]] notiert (siehe auch [[xenharmonie/Primfaktorzerlegung#Umrechnung%20von%20Intervallvektoren%20in%20Cents|Umrechnung von Intervallvektoren in Cents]])

Der Prototyp eines Vals ist die Funktion, welche aus einem Intervallvektor den Zweier-Logarithmus des Frequenzverhätnisses des entsprechenden Intervalls errechnet, das Intervall der reinen Prim also auf 0 abbildet, die Oktave auf 1. Der BRA-Vektor dafür ist:

&amp;lt;log2(2), log2(3), log2(5),...|

bzw., in Dezimalzahlen:

&amp;lt;1, 1.58496, 2.32193,...|

Dieser Val beschreibt die untemperierte, "reine" Stimmung.

Eine temperierte Stimmung erhält man naheliegenderweise, indem man einen (typischerweise nur leicht) anderen Val verwendet. Im Falle einer mitteltönigen Temperatur würde also der Intervallvektor der reinen Quinte |-1, 1, 0&amp;gt; nicht auf log2(3/2) abgebildet, sondern auf einen etwas kleineren Wert.

Der Prozess des Austemperierens eines Kommas stellt sich in Val-Sprache so dar, dass der Intervallvektor des Kommas vom Val auf 0 abgebildet wird - d. h. das Komma befindet sich im [[https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kern_(Algebra)|Kern]] der Val-Abbildung.

Im Fall einer mitteltönigen Temperatur käme wieder das syntonische Komma 81/80 zum Zug, mit KET-Vektordarstellung |-4, 4, -1&amp;gt; . Für den Val &amp;lt;x1, x2, x3 | einer temperierten Stimmung, die dieses Komma austemperiert, muss dann gelten:

&amp;lt;x1, x2, x3 ||-4, 4, -1&amp;gt; = 0

also

-4*x1 +4*x2 -x3 = 0

Dies ist noch eine ziemlich allgemeine Bedingung mit einer grossen Zahl von Lösungen, von denen viele nicht sehr "musikalisch sinnvoll" sein werden. Eine für praktische Zwecke sinnvolle Zusatzbedingung ist, dass das Intervall der Oktave rein sein soll, also

&amp;lt;x1, x2, x3 ||1, 0, 0&amp;gt; =log2(2) = 1

woraus folgt:

x1 = 1

In der obigen Gleicihung eingesetzt ergibt sich

4*x2 -x3 - 4 = 0

Dies ist immer noch eine Gleichung mit 2 Unbekannten und mehreren Lösungen, wleche für die verschiedenen möglichen mitteltönigen Temperaturen ([[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] , und streng mathematisch auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung sowie [[xenharmonie/Superpyth|superpythagoräische]] Systeme) stehen. Durch Hinzufügen einer weiteren Bedingung erhält man dann ein System von drei Gleichungen mit 3 Unbekannten und einer eindeutigen Lösung - beispielsweise die [[viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönige]] Stimmung durch die Bedingung, dass die grosse Terz 5/4 ebenfalls rein intoniert werden soll, was die Gleichung &amp;lt;x1, x2, x3 ||-2, 0, 1&amp;gt; = log2(5/4) ergibt.
Die Bedingung, dass die Quinte rein sein soll, ergibt demgegenüber die Gleichung &amp;lt;x1, x2, x3 ||-1, 1, 0&amp;gt; = log2(3/2), und die entsprechende Temepratur ist die pythagoräische Stimmung.

[Todo normierte Val-Listen ]

=Charakterisierung über "Wedgie"= 
[Todo]

[[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]]

=[[#Höherdimensionale Temperaturen]]Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.

[Todo Beispiele]

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[xenharmonie/Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.

=Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen= 
Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Temperatur.

Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das [[531441_524288|pythagoräische Komma]] austemperiert, erhält man das bekannte [[12edo]].

Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.

=Nichtoktavische Temperaturen= 
[to do]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Therie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):&amp;lt;br /&amp;gt;
Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;Tuning continua and keyboard layouts&amp;lt;/a&amp;gt;, Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:15:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Charakterisierung über Kommas"&amp;gt;Charakterisierung über Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#log2(2)"&amp;gt;log2(2) &amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:20 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:21: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen"&amp;gt;Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:21 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:22: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Nichtoktavische Temperaturen"&amp;gt;Nichtoktavische Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:22 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:23: --&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:23 --&amp;gt;&amp;lt;hr /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:1:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über Kommas"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:1 --&amp;gt;Charakterisierung über Kommas&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;amp;gt; generierten Submodul betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung (reine Quinten) sowie &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme (erhöhte Quinten).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Jede &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20" rel="nofollow"&amp;gt;Basis&amp;lt;/a&amp;gt; des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Vals%20and%20Tuning%20Space#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;Englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als &amp;amp;quot;Val&amp;amp;quot; wird eine lineare Funktion auf dem Intervallraum bezeichnet, also, kurz gesagt, ein Mitglied des &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://de.wikipedia.org/wiki/Dualraum" rel="nofollow"&amp;gt;dualen Vektorraums&amp;lt;/a&amp;gt; zum Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
Vals werden als BRA-Vektoren notiert. Die Anwendung der entsprechenden Funktion auf einen Intervallvektor wird dann als &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow"&amp;gt;Bra-Ket&amp;lt;/a&amp;gt; notiert (siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Primfaktorzerlegung#Umrechnung%20von%20Intervallvektoren%20in%20Cents"&amp;gt;Umrechnung von Intervallvektoren in Cents&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Prototyp eines Vals ist die Funktion, welche aus einem Intervallvektor den Zweier-Logarithmus des Frequenzverhätnisses des entsprechenden Intervalls errechnet, das Intervall der reinen Prim also auf 0 abbildet, die Oktave auf 1. Der BRA-Vektor dafür ist:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;log2(2), log2(3), log2(5),...|&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
bzw., in Dezimalzahlen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;1, 1.58496, 2.32193,...|&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dieser Val beschreibt die untemperierte, &amp;amp;quot;reine&amp;amp;quot; Stimmung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine temperierte Stimmung erhält man naheliegenderweise, indem man einen (typischerweise nur leicht) anderen Val verwendet. Im Falle einer mitteltönigen Temperatur würde also der Intervallvektor der reinen Quinte |-1, 1, 0&amp;amp;gt; nicht auf log2(3/2) abgebildet, sondern auf einen etwas kleineren Wert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Prozess des Austemperierens eines Kommas stellt sich in Val-Sprache so dar, dass der Intervallvektor des Kommas vom Val auf 0 abgebildet wird - d. h. das Komma befindet sich im &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kern_(Algebra)" rel="nofollow"&amp;gt;Kern&amp;lt;/a&amp;gt; der Val-Abbildung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Im Fall einer mitteltönigen Temperatur käme wieder das syntonische Komma 81/80 zum Zug, mit KET-Vektordarstellung |-4, 4, -1&amp;amp;gt; . Für den Val &amp;amp;lt;x1, x2, x3 | einer temperierten Stimmung, die dieses Komma austemperiert, muss dann gelten:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2, x3 ||-4, 4, -1&amp;amp;gt; = 0&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
-4*x1 +4*x2 -x3 = 0&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dies ist noch eine ziemlich allgemeine Bedingung mit einer grossen Zahl von Lösungen, von denen viele nicht sehr &amp;amp;quot;musikalisch sinnvoll&amp;amp;quot; sein werden. Eine für praktische Zwecke sinnvolle Zusatzbedingung ist, dass das Intervall der Oktave rein sein soll, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2, x3 ||1, 0, 0&amp;amp;gt;  &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="log2(2)"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;log2(2) &amp;lt;/h1&amp;gt;
 1&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
woraus folgt:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
x1 = 1&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der obigen Gleicihung eingesetzt ergibt sich&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
4*x2 -x3 - 4 = 0&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dies ist immer noch eine Gleichung mit 2 Unbekannten und mehreren Lösungen, wleche für die verschiedenen möglichen mitteltönigen Temperaturen (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; , und streng mathematisch auch die rein &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung sowie &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme) stehen. Durch Hinzufügen einer weiteren Bedingung erhält man dann ein System von drei Gleichungen mit 3 Unbekannten und einer eindeutigen Lösung - beispielsweise die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;Viertelkomma-mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung durch die Bedingung, dass die grosse Terz 5/4 ebenfalls rein intoniert werden soll, was die Gleichung &amp;amp;lt;x1, x2, x3 ||-2, 0, 1&amp;amp;gt; = log2(5/4) ergibt.&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Bedingung, dass die Quinte rein sein soll, ergibt demgegenüber die Gleichung &amp;amp;lt;x1, x2, x3 ||-1, 1, 0&amp;amp;gt; = log2(3/2), und die entsprechende Temepratur ist die pythagoräische Stimmung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo normierte Val-Listen ]&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Beispiele]&amp;lt;br /&amp;gt;
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Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS&amp;lt;/a&amp;gt;-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert, erhält man das bekannte &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.&amp;lt;br /&amp;gt;
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[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[xenharmonie/Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste
* über eine normierte [[xenharmonie/Komma|Komma]]-Liste
* über einen "wedgie"

Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Therie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):
Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: [[http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf|Tuning continua and keyboard layouts]], Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.

[[toc|flat]]
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=Charakterisierung über Kommas= 
Im [[xenharmonie/Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submodul betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[xenharmonie/Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [[http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20|Basis]] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "vals"= 

[[xenharmonic/Vals and Tuning Space#x-Normal%20val%20lists|Englischsprachiger Artikel]]

Als "Val" wird eine lineare Funktion auf dem Intervallraum bezeichnet, also, kurz gesagt, ein Mitglied des [[https://de.wikipedia.org/wiki/Dualraum|dualen Vektorraums]] zum Intervallraum.
Vals werden als BRA-Vektoren notiert. Die Anwendung der entsprechenden Funktion auf einen Intervallvektor wird dann als [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html|Bra-Ket]] notiert (siehe auch [[xenharmonie/Primfaktorzerlegung#Umrechnung%20von%20Intervallvektoren%20in%20Cents|Umrechnung von Intervallvektoren in Cents]])

Der Prototyp eines Vals ist die Funktion, welche aus einem Intervallvektor den Zweier-Logarithmus des Frequenzverhätnisses des entsprechenden Intervalls errechnet, das Intervall der reinen Prim also auf 0 abbildet, die Oktave auf 1. Der BRA-Vektor dafür ist:

&amp;lt;log2(2), log2(3), log2(5),...|

bzw., in Dezimalzahlen:

&amp;lt;1, 1.58496, 2.32193,...|

Dieser Val beschreibt die untemperierte, "reine" Stimmung.

Eine temperierte Stimmung erhält man naheliegenderweise, indem man einen (typischerweise nur leicht) anderen Val verwendet. Im Falle einer mitteltönigen Temperatur würde also der Intervallvektor der reinen Quinte |-1, 1, 0&amp;gt; nicht auf log2(3/2) abgebildet, sondern auf einen etwas kleineren Wert.

Der Prozess des Austemperierens eines Kommas stellt sich in Val-Sprache so dar, dass der Intervallvektor des Kommas vom Val auf 0 abgebildet wird - d. h. das Komma befindet sich im [[https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kern_(Algebra)|Kern]] der Val-Abbildung.

Als Beispiel diene einmal mehr das syntonische Komma 81/80, mit KET-Vektordarstellung |-4, 4, -1&amp;gt; . Für den Val &amp;lt;x1, x2, x3 | einer temperierten Stimmung, die dieses Komma austemperiert, muss dann gelten:

&amp;lt;x1, x2, x3 ||-4, 4, -1&amp;gt; = 0

also

-4*x1 +4*x2 -x3 = 0

Dies ist noch eine ziemlich allgemeine Bedingung mit einer grossen Zahl von Lösungen, von denen viele nicht sehr "musikalisch sinnvoll" sien werden. Eine für praktische Zwecke ziemlich sinnvolle Zusatzbedingung ist, dass das Intervall der Oktave rein sein soll, also

&amp;lt;x1, x2, x3 ||1, 0, 0&amp;gt; = log2(2) = 1

woraus folgt:

x1 = 1

In der obigen Gleicihung eingesetzt ergibt sich

4*x2 -x3 - 4 = 0

Dies ist immer noch eine Gleichung mit 2 Unbekannten und mehreren Lösungen, wleche für die verschiedenen möglichen mitteltönigen Temperaturen ([[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] , und streng mathematisch auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung sowie [[xenharmonie/Superpyth|superpythagoräische]] Systeme) stehen. Durhc Hinzufügen einer weiteren Bedingung erhält man dann ein System von drei Gleichungen mit 3 Unbekannten und einer eindeutigen Lösung - Beispielsweise die [[viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönige]] Stimmung durch die Bedingung, dass die grosse Terz 5/4 ebenfalls rein intoniert werden soll, was die Gleichung &amp;lt;x1, x2, x3 ||-2, 0, 1&amp;gt; = log2(5/4) ergibt.

[Todo normierte Val-Listen ]

=Charakterisierung über "Wedgie"= 
[Todo]

[[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]]

=[[#Höherdimensionale Temperaturen]]Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.

[Todo Beispiele]

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[xenharmonie/Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.

=Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen= 
Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Temperatur.

Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das [[531441_524288|pythagoräische Komma]] austemperiert, erhält man das bekannte [[12edo]].

Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.

=Nichtoktavische Temperaturen= 
[to do]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Therie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):&amp;lt;br /&amp;gt;
Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;Tuning continua and keyboard layouts&amp;lt;/a&amp;gt;, Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:15:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Charakterisierung über Kommas"&amp;gt;Charakterisierung über Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#log2(2)"&amp;gt; log2(2) &amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:20 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:21: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen"&amp;gt;Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:21 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:22: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Nichtoktavische Temperaturen"&amp;gt;Nichtoktavische Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:22 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:23: --&amp;gt;
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 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;amp;gt; generierten Submodul betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung (reine Quinten) sowie &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme (erhöhte Quinten).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Jede &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20" rel="nofollow"&amp;gt;Basis&amp;lt;/a&amp;gt; des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Vals%20and%20Tuning%20Space#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;Englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als &amp;amp;quot;Val&amp;amp;quot; wird eine lineare Funktion auf dem Intervallraum bezeichnet, also, kurz gesagt, ein Mitglied des &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://de.wikipedia.org/wiki/Dualraum" rel="nofollow"&amp;gt;dualen Vektorraums&amp;lt;/a&amp;gt; zum Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
Vals werden als BRA-Vektoren notiert. Die Anwendung der entsprechenden Funktion auf einen Intervallvektor wird dann als &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow"&amp;gt;Bra-Ket&amp;lt;/a&amp;gt; notiert (siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Primfaktorzerlegung#Umrechnung%20von%20Intervallvektoren%20in%20Cents"&amp;gt;Umrechnung von Intervallvektoren in Cents&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Prototyp eines Vals ist die Funktion, welche aus einem Intervallvektor den Zweier-Logarithmus des Frequenzverhätnisses des entsprechenden Intervalls errechnet, das Intervall der reinen Prim also auf 0 abbildet, die Oktave auf 1. Der BRA-Vektor dafür ist:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;log2(2), log2(3), log2(5),...|&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
bzw., in Dezimalzahlen:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;1, 1.58496, 2.32193,...|&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dieser Val beschreibt die untemperierte, &amp;amp;quot;reine&amp;amp;quot; Stimmung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine temperierte Stimmung erhält man naheliegenderweise, indem man einen (typischerweise nur leicht) anderen Val verwendet. Im Falle einer mitteltönigen Temperatur würde also der Intervallvektor der reinen Quinte |-1, 1, 0&amp;amp;gt; nicht auf log2(3/2) abgebildet, sondern auf einen etwas kleineren Wert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Prozess des Austemperierens eines Kommas stellt sich in Val-Sprache so dar, dass der Intervallvektor des Kommas vom Val auf 0 abgebildet wird - d. h. das Komma befindet sich im &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kern_(Algebra)" rel="nofollow"&amp;gt;Kern&amp;lt;/a&amp;gt; der Val-Abbildung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als Beispiel diene einmal mehr das syntonische Komma 81/80, mit KET-Vektordarstellung |-4, 4, -1&amp;amp;gt; . Für den Val &amp;amp;lt;x1, x2, x3 | einer temperierten Stimmung, die dieses Komma austemperiert, muss dann gelten:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2, x3 ||-4, 4, -1&amp;amp;gt; = 0&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
-4*x1 +4*x2 -x3 = 0&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dies ist noch eine ziemlich allgemeine Bedingung mit einer grossen Zahl von Lösungen, von denen viele nicht sehr &amp;amp;quot;musikalisch sinnvoll&amp;amp;quot; sien werden. Eine für praktische Zwecke ziemlich sinnvolle Zusatzbedingung ist, dass das Intervall der Oktave rein sein soll, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;x1, x2, x3 ||1, 0, 0&amp;amp;gt;  &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="log2(2)"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt; log2(2) &amp;lt;/h1&amp;gt;
 1&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
woraus folgt:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
x1 = 1&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
In der obigen Gleicihung eingesetzt ergibt sich&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
4*x2 -x3 - 4 = 0&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dies ist immer noch eine Gleichung mit 2 Unbekannten und mehreren Lösungen, wleche für die verschiedenen möglichen mitteltönigen Temperaturen (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; , und streng mathematisch auch die rein &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung sowie &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme) stehen. Durhc Hinzufügen einer weiteren Bedingung erhält man dann ein System von drei Gleichungen mit 3 Unbekannten und einer eindeutigen Lösung - Beispielsweise die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;Viertelkomma-mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung durch die Bedingung, dass die grosse Terz 5/4 ebenfalls rein intoniert werden soll, was die Gleichung &amp;amp;lt;x1, x2, x3 ||-2, 0, 1&amp;amp;gt; = log2(5/4) ergibt.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo normierte Val-Listen ]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/h1&amp;gt;
 [Todo]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextAnchorRule:24:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/i/anchor.gif&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiAnchor&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;Anchor&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@anchor@@Höherdimensionale Temperaturen&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Anchor: Höherdimensionale Temperaturen&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextAnchorRule:24 --&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Beispiele]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS&amp;lt;/a&amp;gt;-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert, erhält man das bekannte &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:13:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc6"&amp;gt;&amp;lt;a name="Nichtoktavische Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:13 --&amp;gt;Nichtoktavische Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 [to do]&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
      <sha1>3hvq01ozayuesbyutahxaitsxr1gybj</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1251</id>
      <timestamp>2017-01-24T08:08:31Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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      </contributor>
      <comment>**Imported revision 604674527 - Original comment: **</comment>
      <origin>1251</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="22736" sha1="5kbexd211pn2v4pyev5g7m5ud8pw95s" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-01-24 08:08:31 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]

[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[xenharmonie/Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste
* über eine normierte [[xenharmonie/Komma|Komma]]-Liste
* über einen "wedgie"

Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Therie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):
Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: [[http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf|Tuning continua and keyboard layouts]], Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.

[[toc|flat]]
----
=Charakterisierung über Kommas= 
Im [[xenharmonie/Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submodul betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[xenharmonie/Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [[http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20|Basis]] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "vals"= 

[[xenharmonic/Vals and Tuning Space#x-Normal%20val%20lists|Englischsprachiger Artikel]]

Als "Val" wird eine lineare Funktion auf dem Intervallraum bezeichnet, also, kurz gesagt, ein Mitglied des [[https://de.wikipedia.org/wiki/Dualraum|dualen Vektorraums]] zum Intervallraum.
Vals werden als BRA-Vektoren notiert. Die Anwendung der entsprechenden Funktion auf einen Intervallvektor wird dann als [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html|Bra-Ket]] notiert (siehe auch [[xenharmonie/Primfaktorzerlegung#Umrechnung%20von%20Intervallvektoren%20in%20Cents|Umrechnung von Intervallvektoren in Cents]])

Der Prototyp eines Vals ist die Funktion, welche aus einem Intervallvektor den Zweier-Logarithmus des Frequenzverhätnisses des entsprechenden Intervalls errechnet, das Intervall der reinen Prim also auf 0 abbildet, die Oktave auf 1. Der BRA-Vektor dafür ist:

&amp;lt;log2(2), log2(3), log2(5),...|

Dieser Val beschreibt die untemperierte, "reine" Stimmung.

Eine temperierte Stimmung erhält man naheliegenderweise, indem man einen (typischerweise nur leicht) anderen Val verwendet. Im Falle einer mitteltönigen Temperatur würde also der Intervallvektor der reinen Quinte |-1, 1, 0&amp;gt; nicht auf log2(3/2) abgebildet, sondern auf einen etwas kleineren Wert.

Der Prozess des Austemperierens eines Kommas stellt sich in Val-Sprache so dar, dass der Intervallvektor des Kommas vom Val auf 0 abgebildet wird - d. h. das Komma befindet sich im [[https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kern_(Algebra)|Kern]] der Val-Abbildung.

[Todo Beispiel ]

=Charakterisierung über "Wedgie"= 
[Todo]

[[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]]

=[[#Höherdimensionale Temperaturen]]Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.

[Todo Beispiele]

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[xenharmonie/Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.

=Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen= 
Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Temperatur.

Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das [[531441_524288|pythagoräische Komma]] austemperiert, erhält man das bekannte [[12edo]].

Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.

=Nichtoktavische Temperaturen= 
[to do]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Therie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):&amp;lt;br /&amp;gt;
Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;Tuning continua and keyboard layouts&amp;lt;/a&amp;gt;, Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:13:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:14: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Charakterisierung über Kommas"&amp;gt;Charakterisierung über Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:14 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:15: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen"&amp;gt;Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Nichtoktavische Temperaturen"&amp;gt;Nichtoktavische Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:20 --&amp;gt;&amp;lt;hr /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:1:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über Kommas"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:1 --&amp;gt;Charakterisierung über Kommas&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;amp;gt; generierten Submodul betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung (reine Quinten) sowie &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme (erhöhte Quinten).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Jede &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20" rel="nofollow"&amp;gt;Basis&amp;lt;/a&amp;gt; des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Vals%20and%20Tuning%20Space#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;Englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als &amp;amp;quot;Val&amp;amp;quot; wird eine lineare Funktion auf dem Intervallraum bezeichnet, also, kurz gesagt, ein Mitglied des &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://de.wikipedia.org/wiki/Dualraum" rel="nofollow"&amp;gt;dualen Vektorraums&amp;lt;/a&amp;gt; zum Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
Vals werden als BRA-Vektoren notiert. Die Anwendung der entsprechenden Funktion auf einen Intervallvektor wird dann als &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow"&amp;gt;Bra-Ket&amp;lt;/a&amp;gt; notiert (siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Primfaktorzerlegung#Umrechnung%20von%20Intervallvektoren%20in%20Cents"&amp;gt;Umrechnung von Intervallvektoren in Cents&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Prototyp eines Vals ist die Funktion, welche aus einem Intervallvektor den Zweier-Logarithmus des Frequenzverhätnisses des entsprechenden Intervalls errechnet, das Intervall der reinen Prim also auf 0 abbildet, die Oktave auf 1. Der BRA-Vektor dafür ist:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;log2(2), log2(3), log2(5),...|&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dieser Val beschreibt die untemperierte, &amp;amp;quot;reine&amp;amp;quot; Stimmung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine temperierte Stimmung erhält man naheliegenderweise, indem man einen (typischerweise nur leicht) anderen Val verwendet. Im Falle einer mitteltönigen Temperatur würde also der Intervallvektor der reinen Quinte |-1, 1, 0&amp;amp;gt; nicht auf log2(3/2) abgebildet, sondern auf einen etwas kleineren Wert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Prozess des Austemperierens eines Kommas stellt sich in Val-Sprache so dar, dass der Intervallvektor des Kommas vom Val auf 0 abgebildet wird - d. h. das Komma befindet sich im &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kern_(Algebra)" rel="nofollow"&amp;gt;Kern&amp;lt;/a&amp;gt; der Val-Abbildung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Beispiel ]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/h1&amp;gt;
 [Todo]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextAnchorRule:21:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/i/anchor.gif&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiAnchor&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;Anchor&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@anchor@@Höherdimensionale Temperaturen&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Anchor: Höherdimensionale Temperaturen&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextAnchorRule:21 --&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Beispiele]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS&amp;lt;/a&amp;gt;-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert, erhält man das bekannte &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Nichtoktavische Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;Nichtoktavische Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 [to do]&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]

[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[xenharmonie/Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste
* über eine normierte [[xenharmonie/Komma|Komma]]-Liste
* über einen "wedgie"

Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Therie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):
Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: [[http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf|Tuning continua and keyboard layouts]], Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.

[[toc|flat]]
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=Charakterisierung über Kommas= 
Im [[xenharmonie/Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submodul betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[xenharmonie/Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [[http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20|Basis]] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "vals"= 

[[xenharmonic/Vals and Tuning Space#x-Normal%20val%20lists|Englischsprachiger Artikel]]

Als "Val" wird eine lineare Funktion auf dem Intervallraum bezeichnet, also, kurz gesagt, ein Mitglied des [[https://de.wikipedia.org/wiki/Dualraum|dualen Vektorraums]] zum Intervallraum.
Vals werden als BRA-Vektoren notiert. Die Anwendung der entsprechenden Funktion auf einen Intervallvektor wird dann als [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html|Bra-Ket]] notiert (siehe auch [[xenharmonie/Primfaktorzerlegung#Umrechnung%20von%20Intervallvektoren%20in%20Cents|Umrechnung von Intervallvektoren in Cents]])

Der Prototyp eines Vals ist die Funktion, welche aus einem Intervallvektor den Zweier-Logarithmus des Frequenzverhätnisses des entsprechenden Intervalls errechnet, das Intervall der reinen Prim also auf 0 abbildet, die Oktave auf 1. Der BRA-Vektor dafür ist:

&amp;lt;log2(2), log2(3), log2(5),...|

Dieser Val beschreibt die untemperierte, "reine" Stimmung.

Eine temperierte Stimmung erhält man naheliegenderweise, indem man einen (typischerweise nur leicht) anderen Val verwendet. Im Falle einer mitteltönigen Temperatur würde also der Intervallvektor der reinen Quinte |-1, 1, 0&amp;gt; nicht auf log2(3/2) abgebildet, sondern auf einen etwas kleineren Wert.

[Todo Austemperieren von Kommas ]

=Charakterisierung über "Wedgie"= 
[Todo]

[[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]]

=[[#Höherdimensionale Temperaturen]]Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.

[Todo Beispiele]

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[xenharmonie/Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.

=Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen= 
Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Temperatur.

Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das [[531441_524288|pythagoräische Komma]] austemperiert, erhält man das bekannte [[12edo]].

Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.

=Nichtoktavische Temperaturen= 
[to do]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Therie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):&amp;lt;br /&amp;gt;
Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;Tuning continua and keyboard layouts&amp;lt;/a&amp;gt;, Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:13:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:14: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Charakterisierung über Kommas"&amp;gt;Charakterisierung über Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:14 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:15: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen"&amp;gt;Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Nichtoktavische Temperaturen"&amp;gt;Nichtoktavische Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:20 --&amp;gt;&amp;lt;hr /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:1:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über Kommas"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:1 --&amp;gt;Charakterisierung über Kommas&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;amp;gt; generierten Submodul betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung (reine Quinten) sowie &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme (erhöhte Quinten).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Jede &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20" rel="nofollow"&amp;gt;Basis&amp;lt;/a&amp;gt; des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Vals%20and%20Tuning%20Space#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;Englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als &amp;amp;quot;Val&amp;amp;quot; wird eine lineare Funktion auf dem Intervallraum bezeichnet, also, kurz gesagt, ein Mitglied des &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://de.wikipedia.org/wiki/Dualraum" rel="nofollow"&amp;gt;dualen Vektorraums&amp;lt;/a&amp;gt; zum Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
Vals werden als BRA-Vektoren notiert. Die Anwendung der entsprechenden Funktion auf einen Intervallvektor wird dann als &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow"&amp;gt;Bra-Ket&amp;lt;/a&amp;gt; notiert (siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Primfaktorzerlegung#Umrechnung%20von%20Intervallvektoren%20in%20Cents"&amp;gt;Umrechnung von Intervallvektoren in Cents&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Prototyp eines Vals ist die Funktion, welche aus einem Intervallvektor den Zweier-Logarithmus des Frequenzverhätnisses des entsprechenden Intervalls errechnet, das Intervall der reinen Prim also auf 0 abbildet, die Oktave auf 1. Der BRA-Vektor dafür ist:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;log2(2), log2(3), log2(5),...|&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dieser Val beschreibt die untemperierte, &amp;amp;quot;reine&amp;amp;quot; Stimmung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine temperierte Stimmung erhält man naheliegenderweise, indem man einen (typischerweise nur leicht) anderen Val verwendet. Im Falle einer mitteltönigen Temperatur würde also der Intervallvektor der reinen Quinte |-1, 1, 0&amp;amp;gt; nicht auf log2(3/2) abgebildet, sondern auf einen etwas kleineren Wert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Austemperieren von Kommas ]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/h1&amp;gt;
 [Todo]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextAnchorRule:21:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/i/anchor.gif&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiAnchor&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;Anchor&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@anchor@@Höherdimensionale Temperaturen&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Anchor: Höherdimensionale Temperaturen&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextAnchorRule:21 --&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Beispiele]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS&amp;lt;/a&amp;gt;-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert, erhält man das bekannte &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Nichtoktavische Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;Nichtoktavische Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 [to do]&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
      <sha1>hq2bm82kx90zcknwzujkfz4rmzgnt9j</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1253</id>
      <timestamp>2017-01-16T06:32:17Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
        <id>0</id>
      </contributor>
      <comment>**Imported revision 604231630 - Original comment: **</comment>
      <origin>1253</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="21513" sha1="m2m2r3efqemli10o7s5nt2tphf5pu09" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]

[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[xenharmonie/Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste
* über eine normierte [[xenharmonie/Komma|Komma]]-Liste
* über einen "wedgie"

Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Therie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):
Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: [[http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf|Tuning continua and keyboard layouts]], Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.

[[toc|flat]]
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=Charakterisierung über Kommas= 
Im [[xenharmonie/Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submodul betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[xenharmonie/Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [[http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20|Basis]] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "vals"= 

[[xenharmonic/Vals and Tuning Space#x-Normal%20val%20lists|Englischsprachiger Artikel]]

Als "Val" wird eine lineare Funktion auf dem Intervallraum bezeichnet, also, kurz gesagt, ein Mitglied des [[https://de.wikipedia.org/wiki/Dualraum|dualen Vektorraums]] zum Intervallraum.
Vals werden als BRA-Vektoren notiert. Die Anwendung der entsprechenden Funktion auf einen Intervallvektor wird dann als [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html|Bra-Ket]] notiert (siehe auch [[xenharmonie/Primfaktorzerlegung#Umrechnung%20von%20Intervallvektoren%20in%20Cents|Umrechnung von Intervallvektoren in Cents]])

Der Prototyp eines Vals ist die Funktion, welche aus einem Intervallvektor den Zweier-Logarithmus des Frequenzverhätnisses des entsprechenden Intervalls errechnet, das Intervall der reinen Prim also auf 0 abbildet, die Oktave auf 1. Der BRA-Vektor dafür ist:

&amp;lt;log2(2), log2(3), log2(5),...|

Dieser Val beschreibt die untemperierte, "reine" Stimmung.


[Todo weiter]

=Charakterisierung über "Wedgie"= 
[Todo]

[[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]]

=[[#Höherdimensionale Temperaturen]]Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.

[Todo Beispiele]

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[xenharmonie/Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.

=Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen= 
Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Temperatur.

Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das [[531441_524288|pythagoräische Komma]] austemperiert, erhält man das bekannte [[12edo]].

Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.

=Nichtoktavische Temperaturen= 
[to do]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Therie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):&amp;lt;br /&amp;gt;
Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf" rel="nofollow"&amp;gt;Tuning continua and keyboard layouts&amp;lt;/a&amp;gt;, Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:13:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:14: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Charakterisierung über Kommas"&amp;gt;Charakterisierung über Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:14 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:15: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen"&amp;gt;Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Nichtoktavische Temperaturen"&amp;gt;Nichtoktavische Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:20 --&amp;gt;&amp;lt;hr /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:1:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über Kommas"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:1 --&amp;gt;Charakterisierung über Kommas&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;amp;gt; generierten Submodul betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung (reine Quinten) sowie &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme (erhöhte Quinten).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Jede &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20" rel="nofollow"&amp;gt;Basis&amp;lt;/a&amp;gt; des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/h1&amp;gt;
 &amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Vals%20and%20Tuning%20Space#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;Englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als &amp;amp;quot;Val&amp;amp;quot; wird eine lineare Funktion auf dem Intervallraum bezeichnet, also, kurz gesagt, ein Mitglied des &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://de.wikipedia.org/wiki/Dualraum" rel="nofollow"&amp;gt;dualen Vektorraums&amp;lt;/a&amp;gt; zum Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
Vals werden als BRA-Vektoren notiert. Die Anwendung der entsprechenden Funktion auf einen Intervallvektor wird dann als &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow"&amp;gt;Bra-Ket&amp;lt;/a&amp;gt; notiert (siehe auch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Primfaktorzerlegung#Umrechnung%20von%20Intervallvektoren%20in%20Cents"&amp;gt;Umrechnung von Intervallvektoren in Cents&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Prototyp eines Vals ist die Funktion, welche aus einem Intervallvektor den Zweier-Logarithmus des Frequenzverhätnisses des entsprechenden Intervalls errechnet, das Intervall der reinen Prim also auf 0 abbildet, die Oktave auf 1. Der BRA-Vektor dafür ist:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;amp;lt;log2(2), log2(3), log2(5),...|&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dieser Val beschreibt die untemperierte, &amp;amp;quot;reine&amp;amp;quot; Stimmung.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo weiter]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/h1&amp;gt;
 [Todo]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextAnchorRule:21:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/i/anchor.gif&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiAnchor&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;Anchor&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@anchor@@Höherdimensionale Temperaturen&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Anchor: Höherdimensionale Temperaturen&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextAnchorRule:21 --&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Beispiele]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS&amp;lt;/a&amp;gt;-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert, erhält man das bekannte &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Nichtoktavische Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;Nichtoktavische Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 [to do]&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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    <revision>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
        <id>0</id>
      </contributor>
      <comment>**Imported revision 603124570 - Original comment: **</comment>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]

[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[xenharmonie/Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste
* über eine normierte [[xenharmonie/Komma|Komma]]-Liste
* über einen "wedgie"

[[toc|flat]]
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=Charakterisierung über Kommas= 
Im [[xenharmonie/Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submodul betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[xenharmonie/Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [[http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20|Basis]] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "vals"= 
[Todo]

[[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]]

=Charakterisierung über "Wedgie"= 
[Todo]

[[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]]

=[[#Höherdimensionale Temperaturen]]Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.

[Todo Beispiele]

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[xenharmonie/Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.

=Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen= 
Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Temperatur.

Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das [[531441_524288|pythagoräische Komma]] austemperiert, erhält man das bekannte [[12edo]].

Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.

=Nichtoktavische Temperaturen= 
[to do]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:13:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:14: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Charakterisierung über Kommas"&amp;gt;Charakterisierung über Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:14 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:15: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen"&amp;gt;Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Nichtoktavische Temperaturen"&amp;gt;Nichtoktavische Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --&amp;gt;
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 Im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
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Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;amp;gt; generierten Submodul betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung (reine Quinten) sowie &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme (erhöhte Quinten).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Jede &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20" rel="nofollow"&amp;gt;Basis&amp;lt;/a&amp;gt; des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/h1&amp;gt;
 [Todo]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/h1&amp;gt;
 [Todo]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextAnchorRule:21:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/i/anchor.gif&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiAnchor&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;Anchor&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@anchor@@Höherdimensionale Temperaturen&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Anchor: Höherdimensionale Temperaturen&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextAnchorRule:21 --&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Beispiele]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS&amp;lt;/a&amp;gt;-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert, erhält man das bekannte &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc5"&amp;gt;&amp;lt;a name="Nichtoktavische Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&amp;gt;Nichtoktavische Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[xenharmonie/Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste
* über eine normierte [[xenharmonie/Komma|Komma]]-Liste
* über einen "wedgie"

[[toc|flat]]
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=Charakterisierung über Kommas= 
Im [[xenharmonie/Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submodul betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[xenharmonie/Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [[http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20|Basis]] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "vals"= 
[Todo]

[[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]]

=Charakterisierung über "Wedgie"= 
[Todo]

[[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]]

=[[#Höherdimensionale Temperaturen]]Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.

[Todo Beispiele]

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[xenharmonie/Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.

=Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen= 
Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Temperatur.

Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das [[531441_524288|pythagoräische Komma]] austemperiert, erhält man das bekannte [[12edo]].

Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:11:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:11 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:12: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Charakterisierung über Kommas"&amp;gt;Charakterisierung über Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:12 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:13: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:14: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:14 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:15: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen"&amp;gt;Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17: --&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:1:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über Kommas"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:1 --&amp;gt;Charakterisierung über Kommas&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;amp;gt; generierten Submodul betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung (reine Quinten) sowie &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme (erhöhte Quinten).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Jede &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20" rel="nofollow"&amp;gt;Basis&amp;lt;/a&amp;gt; des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/h1&amp;gt;
 [Todo]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/h1&amp;gt;
 [Todo]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextAnchorRule:18:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/i/anchor.gif&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiAnchor&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;Anchor&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@anchor@@Höherdimensionale Temperaturen&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Anchor: Höherdimensionale Temperaturen&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextAnchorRule:18 --&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Beispiele]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS&amp;lt;/a&amp;gt;-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert, erhält man das bekannte &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-08-13 09:14:24 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]

[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[xenharmonie/Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste
* über eine normierte [[xenharmonie/Komma|Komma]]-Liste
* über einen "wedgie"

[[toc|flat]]
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=Charakterisierung über Kommas= 
Im [[xenharmonie/Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submodul betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[xenharmonie/Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [[http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20|Basis]] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll.

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "vals"= 
[Todo]

[[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]]

=Charakterisierung über "Wedgie"= 
[Todo]

[[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]]

=[[#Höherdimensionale Temperaturen]]Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.

[Todo Beispiele]

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[xenharmonie/Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.

=Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen= 
Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Temperatur.

Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das [[531441_524288|pythagoräische Komma]] austemperiert, erhält man das bekannte [[12edo]].

Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:11:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:11 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:12: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Charakterisierung über Kommas"&amp;gt;Charakterisierung über Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:12 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:13: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:14: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:14 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:15: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen"&amp;gt;Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17: --&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&amp;gt;&amp;lt;hr /&amp;gt;
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 Im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;amp;gt; generierten Submodul betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung (reine Quinten) sowie &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme (erhöhte Quinten).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Jede &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20" rel="nofollow"&amp;gt;Basis&amp;lt;/a&amp;gt; des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/h1&amp;gt;
 [Todo]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/h1&amp;gt;
 [Todo]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextAnchorRule:18:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/i/anchor.gif&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiAnchor&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;Anchor&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@anchor@@Höherdimensionale Temperaturen&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Anchor: Höherdimensionale Temperaturen&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextAnchorRule:18 --&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Beispiele]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS&amp;lt;/a&amp;gt;-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert, erhält man das bekannte &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-07-05 10:27:59 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]

[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[xenharmonie/Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte [[xenharmonie/Komma|Komma]]-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])

[[toc|flat]]
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=Charakterisierung über Kommas= 
Im [[xenharmonie/Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submodul betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[xenharmonie/Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [[http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20|Basis]] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll.

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "vals"= 
[Todo]

=Charakterisierung über "Wedgie"= 
[Todo]

=[[#Höherdimensionale Temperaturen]]Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.

[Todo Beispiele]

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[xenharmonie/Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.

=Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen= 
Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann ein [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiges]] Tonsystem.

Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das [[531441_524288|pythagoräische Komma]] austemperiert, erhält man das bekannte [[12edo]].

Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:11:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:11 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:12: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Charakterisierung über Kommas"&amp;gt;Charakterisierung über Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:12 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:13: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:14: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:14 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:15: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen"&amp;gt;Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17: --&amp;gt;
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 Im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;amp;gt; generierten Submodul betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung (reine Quinten) sowie &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme (erhöhte Quinten).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Jede &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20" rel="nofollow"&amp;gt;Basis&amp;lt;/a&amp;gt; des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/h1&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/h1&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextAnchorRule:18:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/i/anchor.gif&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiAnchor&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;Anchor&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@anchor@@Höherdimensionale Temperaturen&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Anchor: Höherdimensionale Temperaturen&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextAnchorRule:18 --&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Beispiele]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS&amp;lt;/a&amp;gt;-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufiges&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsystem.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert, erhält man das bekannte &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]

[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[xenharmonie/Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte [[xenharmonie/Komma|Komma]]-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])

[[toc|flat]]
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=Charakterisierung über Kommas= 
Im [[xenharmonie/Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submodul betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[xenharmonie/Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [[http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20|Basis]] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll.

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "vals"= 
[Todo]

=Charakterisierung über "Wedgie"= 
[Todo]

=[[#Höherdimensionale Temperaturen]]Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.

[Todo Beispiele]

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[xenharmonie/Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.

=Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen= 
Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann ein [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiges]] Tonsystem.

Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das [[531441_524288|pythagoräische Komma]] austemperiert, erhält man das bekannte [[12edo]].

Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Das pythagoräische Komma kann man auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:11:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:11 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:12: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Charakterisierung über Kommas"&amp;gt;Charakterisierung über Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:12 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:13: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:14: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:14 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:15: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:15 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen"&amp;gt;Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17: --&amp;gt;
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 Im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;amp;gt; generierten Submodul betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung (reine Quinten) sowie &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme (erhöhte Quinten).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Jede &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20" rel="nofollow"&amp;gt;Basis&amp;lt;/a&amp;gt; des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/h1&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextAnchorRule:18:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/i/anchor.gif&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiAnchor&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;Anchor&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@anchor@@Höherdimensionale Temperaturen&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Anchor: Höherdimensionale Temperaturen&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextAnchorRule:18 --&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Beispiele]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS&amp;lt;/a&amp;gt;-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc4"&amp;gt;&amp;lt;a name="Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --&amp;gt;Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufiges&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsystem.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert, erhält man das bekannte &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Das pythagoräische Komma kann man auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-07-04 11:10:03 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;440466740&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]

[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[xenharmonie/Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte [[xenharmonie/Komma|Komma]]-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])

[[toc|flat]]
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=Charakterisierung über Kommas= 
Im [[xenharmonie/Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submodul betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[xenharmonie/Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [[http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20|Basis]] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll.

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "vals"= 
[Todo]

=Charakterisierung über "Wedgie"= 
[Todo]

=[[#Höherdimensionale Temperaturen]]Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.

[Todo Beispiele]

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[xenharmonie/Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.

Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann ein [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiges]] Tonsystem.

Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das [[531441_524288|pythagoräische Komma]] austemperiert, erhält man das bekannte [[12edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:9:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:9 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:10: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Charakterisierung über Kommas"&amp;gt;Charakterisierung über Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:10 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:11: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:11 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:12: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:12 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:13: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:14: --&amp;gt;
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 Im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;amp;gt; generierten Submodul betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung (reine Quinten) sowie &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme (erhöhte Quinten).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Jede &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20" rel="nofollow"&amp;gt;Basis&amp;lt;/a&amp;gt; des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS&amp;lt;/a&amp;gt;-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufiges&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsystem.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert, erhält man das bekannte &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]

[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[xenharmonie/Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte [[xenharmonie/Komma|Komma]]-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])

[[toc|flat]]
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=Charakterisierung über Kommas= 
Im [[xenharmonie/Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submodul betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[xenharmonie/Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [[http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20|Basis]] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll.

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "vals"= 
[Todo]

=Charakterisierung über "Wedgie"= 
[Todo]

=[[#Höherdimensionale Temperaturen]]Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.

[Todo Beispiele]

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[xenharmonie/Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.

Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtöliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten EInheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann ein [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiges]] Tonsystem.

Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das [[531441_524288|pythagoräische Komma]] austemperiert, erhält man das bekannte [[12edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:9:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:9 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:10: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Charakterisierung über Kommas"&amp;gt;Charakterisierung über Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:10 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:11: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:11 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:12: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:12 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:13: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:14: --&amp;gt;
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 Im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;amp;gt; generierten Submodul betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung (reine Quinten) sowie &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme (erhöhte Quinten).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Jede &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20" rel="nofollow"&amp;gt;Basis&amp;lt;/a&amp;gt; des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Beispiele]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS&amp;lt;/a&amp;gt;-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtöliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten EInheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann ein &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;gleichstufiges&amp;lt;/a&amp;gt; Tonsystem.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das &amp;lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&amp;gt;pythagoräische Komma&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert, erhält man das bekannte &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[xenharmonie/Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte [[xenharmonie/Komma|Komma]]-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])

[[toc|flat]]
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=Charakterisierung über Kommas= 
Im [[xenharmonie/Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submodul betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[xenharmonie/Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [[http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20|Basis]] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll.

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "vals"= 
[Todo]

=Charakterisierung über "Wedgie"= 
[Todo]

=[[#Höherdimensionale Temperaturen]]Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.

[Todo Beispiele]

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[xenharmonie/Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:9:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:9 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:10: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Charakterisierung über Kommas"&amp;gt;Charakterisierung über Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:10 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:11: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:11 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:12: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:12 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:13: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:14: --&amp;gt;
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 Im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;amp;gt; generierten Submodul betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung (reine Quinten) sowie &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme (erhöhte Quinten).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Jede &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20" rel="nofollow"&amp;gt;Basis&amp;lt;/a&amp;gt; des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/h1&amp;gt;
 [Todo]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/h1&amp;gt;
 [Todo]&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextAnchorRule:15:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/i/anchor.gif&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiAnchor&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;Anchor&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@anchor@@Höherdimensionale Temperaturen&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Anchor: Höherdimensionale Temperaturen&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextAnchorRule:15 --&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
[Todo Beispiele]&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS&amp;lt;/a&amp;gt;-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[xenharmonie/Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte [[xenharmonie/Komma|Komma]]-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])

[[toc|flat]]
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=Charakterisierung über Kommas= 
Im [[xenharmonie/Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submodul betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[xenharmonie/Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [[http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20|Basis]] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll.

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "vals"= 
[Todo]

=Charakterisierung über "Wedgie"= 
[Todo]

=[[#Höherdimensionale Temperaturen]]Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.

[[xenharmonie/Tsaharuk|Tsaharuk]] ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[xenharmonie/Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:9:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:9 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:10: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Charakterisierung über Kommas"&amp;gt;Charakterisierung über Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:10 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:11: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:11 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:12: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:12 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:13: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:14: --&amp;gt;
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 Im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
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2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;amp;gt; generierten Submodul betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung (reine Quinten) sowie &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme (erhöhte Quinten).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Jede &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20" rel="nofollow"&amp;gt;Basis&amp;lt;/a&amp;gt; des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/h1&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/h1&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextAnchorRule:15:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/i/anchor.gif&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiAnchor&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;Anchor&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@anchor@@Höherdimensionale Temperaturen&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Anchor: Höherdimensionale Temperaturen&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextAnchorRule:15 --&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Tsaharuk"&amp;gt;Tsaharuk&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS&amp;lt;/a&amp;gt;-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]

[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[xenharmonie/Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte [[xenharmonie/Komma|Komma]]-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])

[[toc|flat]]
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=Charakterisierung über Kommas= 
Im [[xenharmonie/Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submodul betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[xenharmonie/Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [[http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20|Basis]] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll.

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "vals"= 
XXX

=Charakterisierung über "Wedgie"= 
XXX

=[[#Höherdimensionale Temperaturen]]Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.

[[xenharmonie/Tsaharuk|Tsaharuk]] ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[xenharmonie/Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:9:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:9 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:10: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Charakterisierung über Kommas"&amp;gt;Charakterisierung über Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:10 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:11: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:11 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:12: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:12 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:13: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:14: --&amp;gt;
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 Im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;amp;gt; generierten Submodul betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung (reine Quinten) sowie &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme (erhöhte Quinten).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Jede &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20" rel="nofollow"&amp;gt;Basis&amp;lt;/a&amp;gt; des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Tsaharuk"&amp;gt;Tsaharuk&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS&amp;lt;/a&amp;gt;-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-06 15:09:35 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]

[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[xenharmonie/Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte [[xenharmonie/Komma|Komma]]-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])

[[toc|flat]]
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=Charakterisierung über Kommas= 
Im [[xenharmonie/Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4} \times 3^4 \times 5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submodul betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[xenharmonie/Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [[http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20|Basis]] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll.

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "vals"= 
XXX

=Charakterisierung über "Wedgie"= 
XXX

=[[#Höherdimensionale Temperaturen]]Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.

[[xenharmonie/Tsaharuk|Tsaharuk]] ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[xenharmonie/Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:9:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:9 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:10: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Charakterisierung über Kommas"&amp;gt;Charakterisierung über Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:10 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:11: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:11 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:12: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:12 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:13: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:14: --&amp;gt;
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 Im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
2^{-4} \times 3^4 \times 5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4} \times 3^4 \times 5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;amp;gt; generierten Submodul betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung (reine Quinten) sowie &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme (erhöhte Quinten).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Jede &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20" rel="nofollow"&amp;gt;Basis&amp;lt;/a&amp;gt; des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Tsaharuk"&amp;gt;Tsaharuk&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS&amp;lt;/a&amp;gt;-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-06 10:41:13 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[xenharmonie/Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte [[xenharmonie/Komma|Komma]]-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])

[[toc|flat]]
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=Charakterisierung über Kommas= 
Im [[xenharmonie/Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4} \times 3^4 \times 5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submoduls betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]). Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[xenharmonie/Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [[http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20|Basis]] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll.

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "vals"= 
XXX

=Charakterisierung über "Wedgie"= 
XXX

=[[#Höherdimensionale Temperaturen]]Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.

[[xenharmonie/Tsaharuk|Tsaharuk]] ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und MOS-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[xenharmonie/Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:9:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:9 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:10: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Charakterisierung über Kommas"&amp;gt;Charakterisierung über Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:10 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:11: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:11 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:12: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:12 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:13: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:14: --&amp;gt;
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 Im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
2^{-4} \times 3^4 \times 5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4} \times 3^4 \times 5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;amp;gt; generierten Submoduls betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;). Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung (reine Quinten) sowie &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme (erhöhte Quinten).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Jede &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20" rel="nofollow"&amp;gt;Basis&amp;lt;/a&amp;gt; des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/h1&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/h1&amp;gt;
 XXX&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextAnchorRule:15:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/i/anchor.gif&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiAnchor&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;Anchor&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@anchor@@Höherdimensionale Temperaturen&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Anchor: Höherdimensionale Temperaturen&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextAnchorRule:15 --&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Tsaharuk"&amp;gt;Tsaharuk&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und MOS-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-06 10:38:04 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[xenharmonie/Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte [[xenharmonie/Komma|Komma]]-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])

[[toc|flat]]
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=Charakterisierung über Kommas= 
Im [[xenharmonie/Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4} \times 3^4 \times 5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submoduls betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]). Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[xenharmonie/Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [[http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20|Basis]] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll.

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "vals"= 
XXX

=Charakterisierung über "Wedgie"= 
XXX

=[[#Höherdimensionale Temperaturen]]Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.

[[xenharmonie/Tsaharuk|Tsaharuk]] ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und MOS-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[xenharmonie/Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&amp;gt;Primfaktorzerlegung&amp;lt;/a&amp;gt; als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
2^{-4} \times 3^4 \times 5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4} \times 3^4 \times 5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;amp;gt; generierten Submoduls betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;). Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung (reine Quinten) sowie &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme (erhöhte Quinten).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Jede &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20" rel="nofollow"&amp;gt;Basis&amp;lt;/a&amp;gt; des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc1"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;vals&amp;amp;quot;&amp;lt;/h1&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc2"&amp;gt;&amp;lt;a name="Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/h1&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc3"&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextAnchorRule:15:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/i/anchor.gif&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiAnchor&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;Anchor&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@anchor@@Höherdimensionale Temperaturen&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Anchor: Höherdimensionale Temperaturen&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextAnchorRule:15 --&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/h1&amp;gt;
 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Tsaharuk"&amp;gt;Tsaharuk&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und MOS-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-06 10:36:38 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[xenharmonie/Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte [[xenharmonie/Komma|Komma]]-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])

[[toc|flat]]
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=Charakterisierung über Kommas= 
Im [[xenharmonie/Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4} \times 3^4 \times 5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submoduls betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]). Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[xenharmonie/Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [[http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20|Basis]] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll.

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "vals"= 
XXX

=Charakterisierung über "Wedgie"= 
XXX

=[[#Höherdimensionale Temperaturen]]Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.

[[xenharmonie/Tsaharuk|Tsaharuk]] ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und MOS-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[xenharmonie/Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;
2^{-4} \times 3^4 \times 5^{-1}&amp;amp;lt;br/&amp;amp;gt;[[math]]
 --&amp;gt;&amp;lt;script type="math/tex"&amp;gt;2^{-4} \times 3^4 \times 5^{-1}&amp;lt;/script&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;amp;gt; generierten Submoduls betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;). Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung (reine Quinten) sowie &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme (erhöhte Quinten).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Jede &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20" rel="nofollow"&amp;gt;Basis&amp;lt;/a&amp;gt; des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Tsaharuk"&amp;gt;Tsaharuk&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und MOS-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;hstraub</username>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-06 10:32:11 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[xenharmonie/Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte [[xenharmonie/Komma|Komma]]-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])

[[toc|flat]]
----
=Charakterisierung über Kommas= 
Im [[xenharmonie/Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

&amp;lt;span class="MathJax"&amp;gt;&amp;lt;span class="mn" style="font-family: MathJax_Main; font-size: 20px;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span class="mo" style="font-family: MathJax_Main; font-size: 14.1333px;"&amp;gt;−&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span class="mn" style="font-family: MathJax_Main; font-size: 14.1333px;"&amp;gt;4&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span class="mo" style="font-family: MathJax_Main; font-size: 20px;"&amp;gt;∗&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span class="mn" style="font-family: MathJax_Main; font-size: 20px;"&amp;gt;3&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span class="mn" style="font-family: MathJax_Main; font-size: 14.1333px;"&amp;gt;4&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span class="mo" style="font-family: MathJax_Main; font-size: 20px;"&amp;gt;∗&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span class="mn" style="font-family: MathJax_Main; font-size: 20px;"&amp;gt;5&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span class="mo" style="font-family: MathJax_Main; font-size: 14.1333px;"&amp;gt;−&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span class="mn" style="font-family: MathJax_Main; font-size: 14.1333px;"&amp;gt;1&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submoduls betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]). Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[xenharmonie/Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [[http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20|Basis]] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll.

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "vals"= 
XXX

=Charakterisierung über "Wedgie"= 
XXX

=[[#Höherdimensionale Temperaturen]]Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.

[[xenharmonie/Tsaharuk|Tsaharuk]] ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und MOS-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[xenharmonie/Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span class="MathJax"&amp;gt;&amp;lt;span style="font-family: MathJax_Main; font-size: 20px;" class="mn"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="font-family: MathJax_Main; font-size: 14.1333px;" class="mo"&amp;gt;−&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="font-family: MathJax_Main; font-size: 14.1333px;" class="mn"&amp;gt;4&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="font-family: MathJax_Main; font-size: 20px;" class="mo"&amp;gt;∗&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="font-family: MathJax_Main; font-size: 20px;" class="mn"&amp;gt;3&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="font-family: MathJax_Main; font-size: 14.1333px;" class="mn"&amp;gt;4&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="font-family: MathJax_Main; font-size: 20px;" class="mo"&amp;gt;∗&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="font-family: MathJax_Main; font-size: 20px;" class="mn"&amp;gt;5&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="font-family: MathJax_Main; font-size: 14.1333px;" class="mo"&amp;gt;−&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="font-family: MathJax_Main; font-size: 14.1333px;" class="mn"&amp;gt;1&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;amp;gt; generierten Submoduls betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;). Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung (reine Quinten) sowie &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme (erhöhte Quinten).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Jede &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20" rel="nofollow"&amp;gt;Basis&amp;lt;/a&amp;gt; des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Tsaharuk"&amp;gt;Tsaharuk&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und MOS-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-06 10:24:06 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[xenharmonie/Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte [[xenharmonie/Komma|Komma]]-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])

[[toc|flat]]

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=Charakterisierung über Kommas= 
Im [[xenharmonie/Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

&amp;lt;span class="MathJax"&amp;gt;&amp;lt;span class="mn" style="font-family: MathJax_Main; font-size: 20px;"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span class="mo" style="font-family: MathJax_Main; font-size: 14.1333px;"&amp;gt;−&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span class="mn" style="font-family: MathJax_Main; font-size: 14.1333px;"&amp;gt;4&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span class="mo" style="font-family: MathJax_Main; font-size: 20px;"&amp;gt;∗&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span class="mn" style="font-family: MathJax_Main; font-size: 20px;"&amp;gt;3&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span class="mn" style="font-family: MathJax_Main; font-size: 14.1333px;"&amp;gt;4&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span class="mo" style="font-family: MathJax_Main; font-size: 20px;"&amp;gt;∗&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span class="mn" style="font-family: MathJax_Main; font-size: 20px;"&amp;gt;5&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span class="mo" style="font-family: MathJax_Main; font-size: 14.1333px;"&amp;gt;−&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span class="mn" style="font-family: MathJax_Main; font-size: 14.1333px;"&amp;gt;1&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submoduls betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]). Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[xenharmonie/Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [[http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20|Basis]] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll.

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=[[#Verallgemeinerte reguläre Temperaturen]]= 
XXX

=Charakterisierung über "Wedgie"= 
XXX

=[[#Höherdimensionale Temperaturen]]Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.

[[xenharmonie/Tsaharuk|Tsaharuk]] ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und MOS-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[xenharmonie/Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:8:&amp;amp;lt;img id=&amp;amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Table of Contents&amp;amp;quot; src=&amp;amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;amp;h=16&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:8 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:9: --&amp;gt;&amp;lt;a href="#Charakterisierung über Kommas"&amp;gt;Charakterisierung über Kommas&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:9 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:10: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#toc1"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:10 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:11: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;"&amp;gt;Charakterisierung über &amp;amp;quot;Wedgie&amp;amp;quot;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:11 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:12: --&amp;gt; | &amp;lt;a href="#Höherdimensionale Temperaturen"&amp;gt;Höherdimensionale Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:12 --&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:13: --&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Im &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&amp;lt;br /&amp;gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;span class="MathJax"&amp;gt;&amp;lt;span style="font-family: MathJax_Main; font-size: 20px;" class="mn"&amp;gt;2&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="font-family: MathJax_Main; font-size: 14.1333px;" class="mo"&amp;gt;−&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="font-family: MathJax_Main; font-size: 14.1333px;" class="mn"&amp;gt;4&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="font-family: MathJax_Main; font-size: 20px;" class="mo"&amp;gt;∗&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="font-family: MathJax_Main; font-size: 20px;" class="mn"&amp;gt;3&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="font-family: MathJax_Main; font-size: 14.1333px;" class="mn"&amp;gt;4&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="font-family: MathJax_Main; font-size: 20px;" class="mo"&amp;gt;∗&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="font-family: MathJax_Main; font-size: 20px;" class="mn"&amp;gt;5&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="font-family: MathJax_Main; font-size: 14.1333px;" class="mo"&amp;gt;−&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;span style="font-family: MathJax_Main; font-size: 14.1333px;" class="mn"&amp;gt;1&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&amp;gt;Äquivalenzklassen&amp;lt;/a&amp;gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&amp;gt;Quotientenmoduls&amp;lt;/a&amp;gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;amp;gt; generierten Submoduls betrachtet.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt;). Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/3-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/4-&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;1/6-&amp;lt;/a&amp;gt; oder &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;2/7-&amp;lt;/a&amp;gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Lucy-Stimmung"&amp;gt;Lucy-Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&amp;gt;pythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Stimmung (reine Quinten) sowie &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&amp;gt;superpythagoräische&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme (erhöhte Quinten).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Jede &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20" rel="nofollow"&amp;gt;Basis&amp;lt;/a&amp;gt; des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Tsaharuk"&amp;gt;Tsaharuk&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und MOS-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara"&amp;gt;Pajara&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-31 02:36:56 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;435470526&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[xenharmonie/Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte [[xenharmonie/Komma|Komma]]-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])

Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]] (englischsprachiger Artikel)&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Verallgemeinerte reguläre Temperatur&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Reine%20Stimmungen"&amp;gt;reinen Stimmung&amp;lt;/a&amp;gt; auf eine &amp;amp;quot;abstrakte&amp;amp;quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.&amp;lt;br /&amp;gt;
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;amp;quot;val&amp;amp;quot;-Liste (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über eine normierte &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Komma"&amp;gt;Komma&amp;lt;/a&amp;gt;-Liste&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;über einen &amp;amp;quot;wedgie&amp;amp;quot; (&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&amp;gt;englischsprachiger Artikel&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Für weitere Charakterisierungsmöglichkeiten, siehe &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&amp;gt;abstract regular temperament&amp;lt;/a&amp;gt; (englischsprachiger Artikel)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-05-30 08:39:39 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine_Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der [[Generator|Generatoren]] nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.

Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;über eine normierte "[[Val|Val]]"-Liste&lt;/li&gt;&lt;li&gt;über eine normierte [[Komma|Komma]]-Liste&lt;/li&gt;&lt;li&gt;über einen "wedgie"&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Therie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):

Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: [http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf Tuning continua and keyboard layouts], Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.
__FORCETOC__
-----

=Charakterisierung über Kommas=
Im [[Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.

Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

&lt;math&gt;2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&lt;/math&gt;

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation Äquivalenzklassen] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul Quotientenmoduls]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submodul betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[:en:abstract_regular_temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20 Basis] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "Vals"=
[[Val|Einführung in "Vals"]]

[Todo normierte Val-Listen ]

=Charakterisierung über "Wedgie"=
[Todo]

[[:en:Wedgies_and_Multivals|englischsprachiger Artikel]]

=Höherdimensionale Temperaturen=
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum. Ein Beispiel dafür ist [[Marvel|Marvel]].

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.

=Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen=
Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige]] Temperatur.

Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das [[531441/524288|pythagoräische Komma]] austemperiert, erhält man das bekannte [[12edo|12edo]].

Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.

=Nichtoktavische Temperaturen=
[to do]  [[Category:todo:Beispiele_aufnehmen]]
[[Category:todo:eingängiger_formulieren]]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine_Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der [[Generator|Generatoren]] nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.

Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;über eine normierte "[[Val|Val]]"-Liste&lt;/li&gt;&lt;li&gt;über eine normierte [[Komma|Komma]]-Liste&lt;/li&gt;&lt;li&gt;über einen "wedgie"&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Therie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):

Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: [http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf Tuning continua and keyboard layouts], Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.
__FORCETOC__
-----

=Charakterisierung über Kommas=
Im [[Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.

Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

&lt;math&gt;2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&lt;/math&gt;

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation Äquivalenzklassen] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul Quotientenmoduls]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submodul betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[:en:abstract_regular_temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20 Basis] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "Vals"=
[[Val|Einführung in "Vals"]]

[Todo normierte Val-Listen ]

=Charakterisierung über "Wedgie"=
[Todo]

[[:en:Wedgies_and_Multivals|englischsprachiger Artikel]]

=Höherdimensionale Temperaturen=
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum. Ein Beispiel dafür ist [[Marvel|Marvel]].

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.

=Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen=
Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige]] Temperatur.

Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das [[531441/524288|pythagoräische Komma]] austemperiert, erhält man das bekannte [[12edo|12edo]].

Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.

=Nichtoktavische Temperaturen=
[to do]  [[Category:todo:Beispiele_aufnehmen]]
[[Category:todo:eingängiger_formulieren]]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine_Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der [[Generator|Generatoren]] nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.

Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;über eine normierte "[[Val|Val]]"-Liste&lt;/li&gt;&lt;li&gt;über eine normierte [[Komma|Komma]]-Liste&lt;/li&gt;&lt;li&gt;über einen "wedgie"&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Therie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):

Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: [http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf Tuning continua and keyboard layouts], Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.
__FORCETOC__
-----

=Charakterisierung über Kommas=
Im [[Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.

Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

&lt;math&gt;2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&lt;/math&gt;

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation Äquivalenzklassen] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul Quotientenmoduls]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submodul betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[:en:abstract_regular_temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20 Basis] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das [[Tonsystem]] einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "Vals"=
[[Val|Einführung in "Vals"]]

[Todo normierte Val-Listen ]

=Charakterisierung über "Wedgie"=
[Todo]

[[:en:Wedgies_and_Multivals|englischsprachiger Artikel]]

=Höherdimensionale Temperaturen=
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum. Ein Beispiel dafür ist [[Marvel|Marvel]].

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.

=Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen=
Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige]] Temperatur.

Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das [[531441/524288|pythagoräische Komma]] austemperiert, erhält man das bekannte [[12edo|12edo]].

Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.

=Nichtoktavische Temperaturen=
[to do]  [[Category:todo:Beispiele_aufnehmen]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine_Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der [[Generator|Generatoren]] nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.

Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;über eine normierte "[[Val|Val]]"-Liste&lt;/li&gt;&lt;li&gt;über eine normierte [[Komma|Komma]]-Liste&lt;/li&gt;&lt;li&gt;über einen "wedgie"&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Als lineare Transformationen im rationalen Intervallraum&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Therie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):

Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: [http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf Tuning continua and keyboard layouts], Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.
__FORCETOC__
-----

=Charakterisierung über Kommas=
Im [[Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.

Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

&lt;math&gt;2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&lt;/math&gt;

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation Äquivalenzklassen] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul Quotientenmoduls]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submodul betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[:en:abstract_regular_temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20 Basis] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das [[Tonsystem]] einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "Vals"=
[[Val|Einführung in "Vals"]]

[Todo normierte Val-Listen ]

=Charakterisierung über "Wedgie"=
[Todo]

[[:en:Wedgies_and_Multivals|englischsprachiger Artikel]]

=Höherdimensionale Temperaturen=
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum. Ein Beispiel dafür ist [[Marvel|Marvel]].

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.

=Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen=
Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige]] Temperatur.

Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das [[531441/524288|pythagoräische Komma]] austemperiert, erhält man das bekannte [[12edo|12edo]].

Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.

=Nichtoktavische Temperaturen=
[to do]  [[Category:todo:Beispiele_aufnehmen]]
[[Category:todo:eingängiger_formulieren]]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine_Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der [[Generator|Generatoren]] nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.

Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;über eine normierte "[[Val|Val]]"-Liste&lt;/li&gt;&lt;li&gt;über eine normierte [[Komma|Komma]]-Liste&lt;/li&gt;&lt;li&gt;über einen "wedgie"&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Als lineare Transformationen im rationalen Intervallraum&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Therie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):

Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: [http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf Tuning continua and keyboard layouts], Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.
__FORCETOC__
-----

=Charakterisierung über Kommas=
Im [[Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.

Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

&lt;math&gt;2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&lt;/math&gt;

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation Äquivalenzklassen] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul Quotientenmoduls]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submodul betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[:en:abstract_regular_temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20 Basis] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das [[Tonsystem]] einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "Vals"=
[[Val|Einführung in "Vals"]]

[Todo normierte Val-Listen ]

=Charakterisierung über "Wedgie"=
[Todo]

[[:en:Wedgies_and_Multivals|englischsprachiger Artikel]]

=Höherdimensionale Temperaturen=
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum. Ein Beispiel dafür ist [[Marvel|Marvel]].

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.

=Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen=
Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige]] Temperatur.

Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das [[531441/524288|pythagoräische Komma]] austemperiert, erhält man das bekannte [[12edo|12edo]].

Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine_Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der [[Generator|Generatoren]] nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.

Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;über eine normierte "[[Val|Val]]"-Liste&lt;/li&gt;&lt;li&gt;über eine normierte [[Komma|Komma]]-Liste&lt;/li&gt;&lt;li&gt;über einen "wedgie"&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Als lineare Transformationen im [[Gebrochenzahlige_Intervallvektoren|rationalen Intervallraum]]&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Therie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):

Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: [http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf Tuning continua and keyboard layouts], Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.
__FORCETOC__
-----

=Charakterisierung über Kommas=
Im [[Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.

Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

&lt;math&gt;2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&lt;/math&gt;

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation Äquivalenzklassen] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul Quotientenmoduls]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submodul betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[:en:abstract_regular_temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20 Basis] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das [[Tonsystem]] einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "Vals"=
[[Val|Einführung in "Vals"]]

[Todo normierte Val-Listen ]

=Charakterisierung über "Wedgie"=
[Todo]

[[:en:Wedgies_and_Multivals|englischsprachiger Artikel]]

=Höherdimensionale Temperaturen=
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum. Ein Beispiel dafür ist [[Marvel|Marvel]].

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.

=Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen=
Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige]] Temperatur.

Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das [[531441/524288|pythagoräische Komma]] austemperiert, erhält man das bekannte [[12edo|12edo]].

Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.

=Nichtoktavische Temperaturen=
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine_Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der [[Generator|Generatoren]] nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.

Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;über eine normierte "[[Val|Val]]"-Liste&lt;/li&gt;&lt;li&gt;über eine normierte [[Komma|Komma]]-Liste&lt;/li&gt;&lt;li&gt;über einen "wedgie"&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Als lineare Transformationen im [[Gebrochenzahlige_Intervallvektoren|rationalen Intervallraum]]&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Therie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):

Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: [http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf Tuning continua and keyboard layouts], Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.
__FORCETOC__
-----

=Charakterisierung über Kommas=
Im [[Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.

Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

&lt;math&gt;2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&lt;/math&gt;

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation Äquivalenzklassen] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul Quotientenmoduls]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submodul betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[:en:abstract_regular_temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20 Basis] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das [[Tonsystem]] einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "Vals"=
[[Val|Einführung in "Vals"]]

[Todo normierte Val-Listen ]

=Charakterisierung über "Wedgie"=
[Todo]

[[:en:Wedgies_and_Multivals|englischsprachiger Artikel]]

=Transformationen im rationalen Intervallraum=
[[Gebrochenzahlige_Intervallvektoren]]

=Höherdimensionale Temperaturen=
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum. Ein Beispiel dafür ist [[Marvel|Marvel]].

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.

=Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen=
Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige]] Temperatur.

Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das [[531441/524288|pythagoräische Komma]] austemperiert, erhält man das bekannte [[12edo|12edo]].

Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.

=Nichtoktavische Temperaturen=
[to do]  [[Category:todo:Beispiele_aufnehmen]]
[[Category:todo:eingängiger_formulieren]]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine_Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der [[Generator|Generatoren]] nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.

Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:

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Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Therie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):

Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: [http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf Tuning continua and keyboard layouts], Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.
__FORCETOC__
-----

=Charakterisierung über Kommas=
Im [[Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.

Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

&lt;math&gt;2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&lt;/math&gt;

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation Äquivalenzklassen] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul Quotientenmoduls]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submodul betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[:en:abstract_regular_temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20 Basis] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das [[Tonsystem]] einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "Vals"=
[[Val|Einführung in "Vals"]]

[Todo normierte Val-Listen ]

=Charakterisierung über "Wedgie"=
[Todo]

[[:en:Wedgies_and_Multivals|englischsprachiger Artikel]]

=Transformationen im rationalen Intervallraum=
[[Gebrochenzahlige_Intervallvektoren]]

=Höherdimensionale Temperaturen=
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum. Ein Beispiel dafür ist [[Marvel|Marvel]].

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.

=Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen=
Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige]] Temperatur.

Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das [[531441/524288|pythagoräische Komma]] austemperiert, erhält man das bekannte [[12edo|12edo]].

Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.

=Nichtoktavische Temperaturen=
[to do]  [[Category:todo:Beispiele_aufnehmen]]
[[Category:todo:eingängiger_formulieren]]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine_Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der [[Generator|Generatoren]] nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.

Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;über eine normierte "[[Val|Val]]"-Liste&lt;/li&gt;&lt;li&gt;über eine normierte [[Komma|Komma]]-Liste&lt;/li&gt;&lt;li&gt;über einen "wedgie"&lt;/li&gt;&lt;li&gt;als lineare Transformationen im [[Gebrochenzahlige_Intervallvektoren|rationalen Intervallraum]]&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Therie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):

Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: [http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf Tuning continua and keyboard layouts], Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.
__FORCETOC__
-----

=Charakterisierung über Kommas=
Im [[Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.

Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

&lt;math&gt;2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&lt;/math&gt;

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation Äquivalenzklassen] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul Quotientenmoduls]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submodul betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[:en:abstract_regular_temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkomma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20 Basis] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das [[Tonsystem]] einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "Vals"=
[[Val|Einführung in "Vals"]]

[Todo normierte Val-Listen ]

=Charakterisierung über "Wedgie"=
[Todo]

[[:en:Wedgies_and_Multivals|englischsprachiger Artikel]]

=Transformationen im rationalen Intervallraum=
[[Gebrochenzahlige_Intervallvektoren]]

=Höherdimensionale Temperaturen=
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum. Ein Beispiel dafür ist [[Marvel|Marvel]].

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.

=Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen=
Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige]] Temperatur.

Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das [[531441/524288|pythagoräische Komma]] austemperiert, erhält man das bekannte [[12edo|12edo]].

Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.

=Nichtoktavische Temperaturen=
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[[Category:todo:eingängiger_formulieren]]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine_Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der [[Generator|Generatoren]] nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.

Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;über eine normierte "[[Val|Val]]"-Liste&lt;/li&gt;&lt;li&gt;über eine normierte [[Komma|Komma]]-Liste&lt;/li&gt;&lt;li&gt;über einen "wedgie"&lt;/li&gt;&lt;li&gt;als lineare Transformationen im [[Gebrochenzahlige_Intervallvektoren|rationalen Intervallraum]]&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Theorie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):

Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: [http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf Tuning continua and keyboard layouts], Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.
__FORCETOC__
-----

=Charakterisierung über Kommas=
Im [[Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.

Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

&lt;math&gt;2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&lt;/math&gt;

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation Äquivalenzklassen] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul Quotientenmoduls]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submodul betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[:en:abstract_regular_temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkomma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20 Basis] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das [[Tonsystem]] einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "Vals"=
[[Val|Einführung in "Vals"]]

[Todo normierte Val-Listen ]

=Charakterisierung über "Wedgie"=
[Todo]

[[:en:Wedgies_and_Multivals|englischsprachiger Artikel]]

=Transformationen im rationalen Intervallraum=
[[Gebrochenzahlige_Intervallvektoren]]

=Höherdimensionale Temperaturen=
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum. Ein Beispiel dafür ist [[Marvel|Marvel]].

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.

=Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen=
Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige]] Temperatur.

Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das [[531441/524288|pythagoräische Komma]] austemperiert, erhält man das bekannte [[12edo|12edo]].

Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.

=Nichtoktavische Temperaturen=
[to do]  [[Category:todo:Beispiele_aufnehmen]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine_Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der [[Generator|Generatoren]] nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.

Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;über eine normierte "[[Val|Val]]"-Liste&lt;/li&gt;&lt;li&gt;über eine normierte [[Komma|Komma]]-Liste&lt;/li&gt;&lt;li&gt;über einen "wedgie"&lt;/li&gt;&lt;li&gt;als lineare Transformationen im [[Gebrochenzahlige_Intervallvektoren|rationalen Intervallraum]]&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Theorie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):

Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: [http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf Tuning continua and keyboard layouts], Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.
__FORCETOC__
-----

=Charakterisierung über Kommas=
Im [[Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.

Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

&lt;math&gt;2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&lt;/math&gt;

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation Äquivalenzklassen] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul Quotientenmoduls]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submodul betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[:en:abstract_regular_temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkomma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20 Basis] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das [[Tonsystem]] einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "Vals"=
[[Val|Einführung in "Vals"]]

[Todo normierte Val-Listen ]

=Charakterisierung über "Wedgie"=
[Todo]

[[:en:Wedgies_and_Multivals|englischsprachiger Artikel]]

=Transformationen im rationalen Intervallraum=
[[Gebrochenzahlige_Intervallvektoren]]

=Höherdimensionale Temperaturen=
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum. Ein Beispiel dafür ist [[Marvel|Marvel]].

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.

=Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen=
Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige]] Temperatur.

Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das [[531441/524288|pythagoräische Komma]] austemperiert, erhält man das bekannte [[12edo|12edo]].

Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Wenn man dort ein Komma austemperiert, ist das Resultat in der Regel ebenfalls eine gleichstufige Temperatur.

Es kommen natürlich auch nur Kommas n Frage, welche nur die Primzahlen 2 und 3 enthalten. Das trifft etwa auf das pythagoräische Komma zu; wenn man dieses in 3: Nimmt-Intervallraum austemperiert, bekommt man ebenfalls 12edo.

Weitere Beispiele von 3-Limit-Temperaturen: 


Austemperieren des [[256/243|pythagoräischen diatonischen Halbtons 256/243]] führt zu [[5-EDO]].

Austemperieren des [[2187/2048|pythagoräischen chromatischen Halbtons 2187/2048]] führt zu [[7-EDO]].

=Nichtoktavische Temperaturen=
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine_Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der [[Generator|Generatoren]] nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.

Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;über eine normierte "[[Val|Val]]"-Liste&lt;/li&gt;&lt;li&gt;über eine normierte [[Komma|Komma]]-Liste&lt;/li&gt;&lt;li&gt;über einen "wedgie"&lt;/li&gt;&lt;li&gt;als lineare Transformationen im [[Gebrochenzahlige_Intervallvektoren|rationalen Intervallraum]]&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Theorie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):

Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: [http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf Tuning continua and keyboard layouts], Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.
__FORCETOC__
-----

=Charakterisierung über Kommas=
Im [[Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.

Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

&lt;math&gt;2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&lt;/math&gt;

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation Äquivalenzklassen] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul Quotientenmoduls]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submodul betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[:en:abstract_regular_temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkomma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20 Basis] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das [[Tonsystem]] einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "Vals"=
[[Val|Einführung in "Vals"]]

[Todo normierte Val-Listen ]

=Charakterisierung über "Wedgie"=
[Todo]

[[:en:Wedgies_and_Multivals|englischsprachiger Artikel]]

=Transformationen im rationalen Intervallraum=
[[Gebrochenzahlige_Intervallvektoren]]

=Höherdimensionale Temperaturen=
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum. Ein Beispiel dafür ist [[Marvel|Marvel]].

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.

=Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen=
Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige]] Temperatur.

Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das [[531441/524288|pythagoräische Komma]] austemperiert, erhält man das bekannte [[12edo|12-EDO]].

Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Wenn man dort ein Komma austemperiert, ist das Resultat in der Regel ebenfalls eine gleichstufige Temperatur.

Es kommen natürlich auch nur Kommas in Frage, welche nur die Primzahlen 2 und 3 enthalten. Das trifft etwa auf das pythagoräische Komma zu; wenn man dieses in 3-Limit-Intervallraum austemperiert, bekommt man ebenfalls 12-EDO.

Weitere Beispiele von 3-Limit-Temperaturen: 


Austemperieren des [[256/243|pythagoräischen diatonischen Halbtons 256/243]] führt zu [[5-EDO]].

Austemperieren des [[2187/2048|pythagoräischen chromatischen Halbtons 2187/2048]] führt zu [[7-EDO]].

=Nichtoktavische Temperaturen=
[to do]  [[Category:todo:Beispiele_aufnehmen]]
[[Category:todo:eingängiger_formulieren]]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine_Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der [[Generator|Generatoren]] nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.

Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;über eine normierte "[[Val|Val]]"-Liste&lt;/li&gt;&lt;li&gt;über eine normierte [[Komma|Komma]]-Liste&lt;/li&gt;&lt;li&gt;über einen "wedgie"&lt;/li&gt;&lt;li&gt;als lineare Transformationen im [[Gebrochenzahlige_Intervallvektoren|rationalen Intervallraum]]&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Theorie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):

Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: [http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf Tuning continua and keyboard layouts], Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.
__FORCETOC__
-----

=Charakterisierung über Kommas=
Im [[Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.

Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

&lt;math&gt;2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&lt;/math&gt;

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation Äquivalenzklassen] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul Quotientenmoduls]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submodul betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[:en:abstract_regular_temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkomma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20 Basis] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das [[Tonsystem]] einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "Vals"=
[[Val|Einführung in "Vals"]]

[Todo normierte Val-Listen ]

=Charakterisierung über "Wedgie"=
[Todo]

[[:en:Wedgies_and_Multivals|englischsprachiger Artikel]]

=Transformationen im rationalen Intervallraum=
[[Gebrochenzahlige_Intervallvektoren]]

=Höherdimensionale Temperaturen=
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum. Ein Beispiel dafür ist [[Marvel|Marvel]].

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.

=Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen=
Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige]] Temperatur.

Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das [[531441/524288|pythagoräische Komma]] austemperiert, erhält man das bekannte [[12edo|12-EDO]].

Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Wenn man dort ein Komma austemperiert, ist das Resultat in der Regel ebenfalls eine gleichstufige Temperatur.

Es kommen natürlich auch nur Kommas in Frage, welche nur die Primzahlen 2 und 3 enthalten. Das trifft etwa auf das pythagoräische Komma zu; wenn man dieses in 3-Limit-Intervallraum austemperiert, bekommt man ebenfalls 12-EDO.

Weitere Beispiele von 3-Limit-Temperaturen: 

- Austemperieren des [[256/243|pythagoräischen diatonischen Halbtons 256/243]] führt zu [[5-EDO]].
- Austemperieren des [[2187/2048|pythagoräischen chromatischen Halbtons 2187/2048]] führt zu [[7-EDO]].

=Nichtoktavische Temperaturen=
[to do]  [[Category:todo:Beispiele_aufnehmen]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine_Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der [[Generator|Generatoren]] nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.

Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;über eine normierte "[[Val|Val]]"-Liste&lt;/li&gt;&lt;li&gt;über eine normierte [[Komma|Komma]]-Liste&lt;/li&gt;&lt;li&gt;über einen "wedgie"&lt;/li&gt;&lt;li&gt;als lineare Transformationen im [[Gebrochenzahlige_Intervallvektoren|rationalen Intervallraum]]&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Theorie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):

Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: [http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf Tuning continua and keyboard layouts], Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.
__FORCETOC__
-----

=Charakterisierung über Kommas=
Im [[Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.

Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

&lt;math&gt;2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&lt;/math&gt;

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation Äquivalenzklassen] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul Quotientenmoduls]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submodul betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[:en:abstract_regular_temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkomma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20 Basis] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das [[Tonsystem]] einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "Vals"=
[[Val|Einführung in "Vals"]]

[Todo normierte Val-Listen ]

=Charakterisierung über "Wedgie"=
[Todo]

[[:en:Wedgies_and_Multivals|englischsprachiger Artikel]]

=Transformationen im rationalen Intervallraum=
[[Gebrochenzahlige_Intervallvektoren]]

=Höherdimensionale Temperaturen=
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum. Ein Beispiel dafür ist [[Marvel|Marvel]].

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.

=Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen=
Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige]] Temperatur.

Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das [[531441/524288|pythagoräische Komma]] austemperiert, erhält man das bekannte [[12edo|12-EDO]].

Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Wenn man dort ein Komma austemperiert, ist das Resultat in der Regel ebenfalls eine gleichstufige Temperatur.

Es kommen natürlich auch nur Kommas in Frage, welche nur die Primzahlen 2 und 3 enthalten. Das trifft etwa auf das pythagoräische Komma zu; wenn man dieses in 3-Limit-Intervallraum austemperiert, bekommt man ebenfalls 12-EDO.

Weitere Beispiele von 3-Limit-Temperaturen: 

* Austemperieren des [[256/243|pythagoräischen diatonischen Halbtons 256/243]] führt zu [[5-EDO]].
 
* Austemperieren des [[2187/2048|pythagoräischen chromatischen Halbtons 2187/2048]] führt zu [[7-EDO]].

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine_Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der [[Generator|Generatoren]] nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.

Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;über eine normierte "[[Val|Val]]"-Liste&lt;/li&gt;&lt;li&gt;über eine normierte [[Komma|Komma]]-Liste&lt;/li&gt;&lt;li&gt;über einen "wedgie"&lt;/li&gt;&lt;li&gt;als lineare Transformationen im [[Gebrochenzahlige_Intervallvektoren|rationalen Intervallraum]]&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Theorie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):

Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: [http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf Tuning continua and keyboard layouts], Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.
__FORCETOC__
-----

=Charakterisierung über Kommas=
Im [[Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.

Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

&lt;math&gt;2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&lt;/math&gt;

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation Äquivalenzklassen] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul Quotientenmoduls]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submodul betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[:en:abstract_regular_temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkomma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20 Basis] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das [[Tonsystem]] einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "Vals"=
[[Val|Einführung in "Vals"]]

[Todo normierte Val-Listen ]

=Charakterisierung über "Wedgie"=
[Todo]

[[:en:Wedgies_and_Multivals|englischsprachiger Artikel]]

=Transformationen im rationalen Intervallraum=
[[Gebrochenzahlige_Intervallvektoren]]

=Höherdimensionale Temperaturen=
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum. Ein Beispiel dafür ist [[Marvel|Marvel]].

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.

=Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen=
Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige]] Temperatur.

Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das [[531441/524288|pythagoräische Komma]] austemperiert, erhält man das bekannte [[12edo|12-EDO]].

Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Wenn man dort ein Komma austemperiert, ist das Resultat in der Regel ebenfalls eine gleichstufige Temperatur.

Es kommen natürlich auch nur Kommas in Frage, welche nur die Primzahlen 2 und 3 enthalten. Das trifft etwa auf das pythagoräische Komma zu; wenn man dieses in 3-Limit-Intervallraum austemperiert, bekommt man ebenfalls 12-EDO.

Weitere Beispiele von 3-Limit-Temperaturen: 

* Austemperieren des [[256/243|pythagoräischen diatonischen Halbtons 256/243]] führt zu [[5-EDO]].
 
* Austemperieren des [[2187/2048|pythagoräischen chromatischen Halbtons 2187/2048]] führt zu [[7-EDO]].


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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine_Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der [[Generator|Generatoren]] nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.

Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;über eine normierte "[[Val|Val]]"-Liste&lt;/li&gt;&lt;li&gt;über eine normierte [[Komma|Komma]]-Liste&lt;/li&gt;&lt;li&gt;über einen "wedgie"&lt;/li&gt;&lt;li&gt;als lineare Transformationen im [[Gebrochenzahlige_Intervallvektoren|rationalen Intervallraum]]&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Theorie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):

Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: [http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf Tuning continua and keyboard layouts], Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.
__FORCETOC__
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=Charakterisierung über Kommas=
Im [[Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.

Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

&lt;math&gt;2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&lt;/math&gt;

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation Äquivalenzklassen] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul Quotientenmoduls]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submodul betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[:en:abstract_regular_temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkomma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20 Basis] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das [[Tonsystem]] einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "Vals"=
[[Val|Einführung in "Vals"]]

[Todo normierte Val-Listen ]

=Charakterisierung über "Wedgie"=
[Todo]

[[:en:Wedgies_and_Multivals|englischsprachiger Artikel]]

=Transformationen im rationalen Intervallraum=
[[Gebrochenzahlige_Intervallvektoren]]

=Höherdimensionale Temperaturen=
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum. Ein Beispiel dafür ist [[Marvel|Marvel]].

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.

=Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen=
Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige]] Temperatur.

Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das [[531441/524288|pythagoräische Komma]] austemperiert, erhält man das bekannte [[12edo|12-EDO]].

Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Wenn man dort ein Komma austemperiert, ist das Resultat in der Regel ebenfalls eine gleichstufige Temperatur.

Es kommen im 3-Limit-Intervallraum natürlich nur Kommas in Frage, welche nur die Primzahlen 2 und 3 enthalten. Das trifft etwa auf das pythagoräische Komma zu; wenn man dieses in 3-Limit-Intervallraum austemperiert, bekommt man ebenfalls 12-EDO.

Weitere Beispiele von 3-Limit-Temperaturen: 

* Austemperieren des [[256/243|pythagoräischen diatonischen Halbtons 256/243]] führt zu [[5-EDO]].
 
* Austemperieren des [[2187/2048|pythagoräischen chromatischen Halbtons 2187/2048]] führt zu [[7-EDO]].

= Nichtoktavische Temperaturen =
[to do]  [[Category:todo:Beispiele_aufnehmen]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine_Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der [[Generator|Generatoren]] nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.

Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;über eine normierte "[[Val|Val]]"-Liste&lt;/li&gt;&lt;li&gt;über eine normierte [[Komma|Komma]]-Liste&lt;/li&gt;&lt;li&gt;über einen "wedgie"&lt;/li&gt;&lt;li&gt;als lineare Transformationen im [[Gebrochenzahlige_Intervallvektoren|rationalen Intervallraum]]&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Theorie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):

Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: [http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf Tuning continua and keyboard layouts], Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.
__FORCETOC__
-----

=Charakterisierung über Kommas=
Im [[Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.

Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

&lt;math&gt;2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&lt;/math&gt;

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation Äquivalenzklassen] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul Quotientenmoduls]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submodul betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[:en:abstract_regular_temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkomma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20 Basis] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das [[Tonsystem]] einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "Vals"=
[[Val|Einführung in "Vals"]]

[Todo normierte Val-Listen ]

=Charakterisierung über "Wedgie"=
[Todo]

[[:en:Wedgies_and_Multivals|englischsprachiger Artikel]]

=Transformationen im rationalen Intervallraum=
[[Gebrochenzahlige_Intervallvektoren]]

=Höherdimensionale Temperaturen=
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum. Ein Beispiel dafür ist [[Marvel|Marvel]].

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.

=Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen=
Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige]] Temperatur.

Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das [[531441/524288|pythagoräische Komma]] austemperiert, erhält man das bekannte [[12edo|12-EDO]].

Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Wenn man dort ein Komma austemperiert, ist das Resultat in der Regel ebenfalls eine gleichstufige Temperatur.

Es kommen im 3-Limit-Intervallraum natürlich nur Kommas in Frage, welche nur die Primzahlen 2 und 3 enthalten. Das trifft etwa auf das pythagoräische Komma zu; wenn man dieses in 3-Limit-Intervallraum austemperiert, bekommt man ebenfalls 12-EDO.

Weitere Beispiele von 3-Limit-Temperaturen: 

* Austemperieren des [[256/243|pythagoräischen diatonischen Halbtons 256/243]] führt zu [[5-EDO]].
 
* Austemperieren des [[2187/2048|pythagoräischen chromatischen Halbtons 2187/2048]] führt zu [[7-EDO]].

= Nichtoktavische Temperaturen =
[to do]  

[https://en.xen.wiki/w/No-twos_subgroup_temperaments Englischsprachiger Artikel]  
[[Category:todo:Beispiele_aufnehmen]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine_Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der [[Generator|Generatoren]] nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.

Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;über eine normierte "[[Val|Val]]"-Liste&lt;/li&gt;&lt;li&gt;über eine normierte [[Komma|Komma]]-Liste&lt;/li&gt;&lt;li&gt;über einen "wedgie"&lt;/li&gt;&lt;li&gt;als lineare Transformationen im [[Gebrochenzahlige_Intervallvektoren|rationalen Intervallraum]]&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Theorie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):

Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: [http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf Tuning continua and keyboard layouts], Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.
__FORCETOC__
-----

=Charakterisierung über Kommas=
Im [[Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.

Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

&lt;math&gt;2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&lt;/math&gt;

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation Äquivalenzklassen] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul Quotientenmoduls]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submodul betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[:en:abstract_regular_temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkomma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20 Basis] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das [[Tonsystem]] einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "Vals"=
[[Val|Einführung in "Vals"]]

[Todo normierte Val-Listen ]

=Charakterisierung über "Wedgie"=
[Todo]

[[:en:Wedgies_and_Multivals|englischsprachiger Artikel]]

=Transformationen im rationalen Intervallraum=
[[Gebrochenzahlige_Intervallvektoren]]

=Höherdimensionale Temperaturen=
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum. Ein Beispiel dafür ist [[Marvel|Marvel]].

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.

=Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen=
Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige]] Temperatur.

Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das [[531441/524288|pythagoräische Komma]] austemperiert, erhält man das bekannte [[12edo|12-EDO]].

Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Wenn man dort ein Komma austemperiert, ist das Resultat in der Regel ebenfalls eine gleichstufige Temperatur.

Es kommen im 3-Limit-Intervallraum natürlich nur Kommas in Frage, welche nur die Primzahlen 2 und 3 enthalten. Das trifft etwa auf das pythagoräische Komma zu; wenn man dieses in 3-Limit-Intervallraum austemperiert, bekommt man ebenfalls 12-EDO.

Weitere Beispiele von 3-Limit-Temperaturen: 

* Austemperieren des [[256/243|pythagoräischen diatonischen Halbtons 256/243]] führt zu [[5-EDO]].
 
* Austemperieren des [[2187/2048|pythagoräischen chromatischen Halbtons 2187/2048]] führt zu [[7-EDO]].

= Nichtoktavische Temperaturen =
[to do]  


[[:en:No-twos_subgroup_temperaments|englischsprachiger Artikel]]

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[Reine_Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der [[Generator|Generatoren]] nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.

Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;über eine normierte "[[Val|Val]]"-Liste&lt;/li&gt;&lt;li&gt;über eine normierte [[Komma|Komma]]-Liste&lt;/li&gt;&lt;li&gt;über einen "wedgie"&lt;/li&gt;&lt;li&gt;als lineare Transformationen im [[Gebrochenzahlige_Intervallvektoren|rationalen Intervallraum]]&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Theorie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):

Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: [http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf Tuning continua and keyboard layouts], Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.
__FORCETOC__
-----

=Charakterisierung über Kommas=
Im [[Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.

Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

&lt;math&gt;2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&lt;/math&gt;

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&amp;gt;

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation Äquivalenzklassen] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul Quotientenmoduls]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&amp;gt; generierten Submodul betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[:en:abstract_regular_temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkomma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20 Basis] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&amp;gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das [[Tonsystem]] einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "Vals"=
[[Val|Einführung in "Vals"]]

[Todo normierte Val-Listen ]

=Charakterisierung über "Wedgie"=
[Todo]

[[:en:Wedgies_and_Multivals|englischsprachiger Artikel]]

=Transformationen im rationalen Intervallraum=
[[Gebrochenzahlige_Intervallvektoren]]

=Höherdimensionale Temperaturen=
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum. Ein Beispiel dafür ist [[Marvel|Marvel]].

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.

=Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen=
Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige]] Temperatur.

Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das [[531441/524288|pythagoräische Komma]] austemperiert, erhält man das bekannte [[12edo|12-EDO]].

Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Wenn man dort ein Komma austemperiert, ist das Resultat in der Regel ebenfalls eine gleichstufige Temperatur.

Es kommen im 3-Limit-Intervallraum natürlich nur Kommas in Frage, welche nur die Primzahlen 2 und 3 enthalten. Das trifft etwa auf das pythagoräische Komma zu; wenn man dieses in 3-Limit-Intervallraum austemperiert, bekommt man ebenfalls 12-EDO.

Weitere Beispiele von 3-Limit-Temperaturen: 

* Austemperieren des [[256/243|pythagoräischen diatonischen Halbtons 256/243]] führt zu [[5-EDO]].
 
* Austemperieren des [[2187/2048|pythagoräischen chromatischen Halbtons 2187/2048]] führt zu [[7-EDO]].

= Nichtoktavische Temperaturen =
[to do]  

[[:en:No-twos_subgroup_temperaments|englischsprachiger Artikel]]

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführung reguläre Temperaturen]]

Als '''verminderte Temperatur''' (Englisch: diminished temperament) kann man eine Temperatur bezeichnen, welche auf dem vierdimensionalen 7-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]] die beiden [[Komma|Kommas]] [[36/35|36/35]] (septimaler Viertelton) und [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] austemperiert.

Das Austemperieren von 50/49 hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt, und durch das Austemperieren von 36/35 wird seinerseits jeder Tritonus in zwei gleiche Teile geteilt. Es wird also eine Oktave in vier gleiche Teile geteilt - eine verminderte Temperatur ist charakterisiert durch die Existenz eines völlig symmetrischen verminderten Septakkords.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige Tonsysteme]], welche eine verminderte Temperatur unterstützen, sind - natürlich - solche, bei denen die Oktave in ein Vielfaches von 4 unterteilt wird, also 4n-EDOs, mit der Standardstimmung [[12edo|12edo]] als naheliegendstem Beispiel.

Verminderte Temperaturen haben eine Vierteloktave als Periode, und ihre [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] bestehen, auf die Oktave erweitert, aus Vereinigungen von verminderten Septakkorden, mit Skalengrössen natürlich ebenfalls Vielfachen von 4.

Von Bedeutung ist insbesondere die achttönige verminderte MOS-Skala, die ein regelmässiges Intervallmuster von jeweils abwechselnd einem grossen und einem kleinen Intervall aufweist. In der 12edo-Variante heisst sie auch '''Halbton-Ganzton-Skala''' und tritt öfters in Jazz-Kontexten auf, aber auch gelegentlich bei Komponisten wie Debussy oder Messiaen.

Siehe hierzu auch: [https://de.wikipedia.org/wiki/Verminderte_Skala Verminderte Skala (Wikipedia)], oder auch [https://en.wikipedia.org/wiki/Octatonic_scale Octatonic scale (Wikipedia, englischsprachiger Artikel)]. (Der Umstand, dass im englischen Sprachraum der Begriff "Octatonic scale", was wörtlich übersetzt eigentlich nur "achttönige Skala" bedeutet, oft konkret für die verminderte achttönige Skala steht, unterstreicht deren Bedeutung!)

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[[Category:Temperament]]
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[[Reguläre Temperaturen|Einführung reguläre Temperaturen]]

Als **verminderte Temperatur** (Englisch: diminished temperament) kann man eine Temperatur bezeichnen, welche auf dem vierdimensionalen 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] die beiden [[Komma|Kommas]] [[36_35|36/35]] (septimaler Viertelton) und [[50_49|50/49 (Jubilisma)]] austemperiert.

Das Austemperieren von 50/49 hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt, und durch das Austemperieren von 36/35 wird seinerseits jeder Tritonus in zwei gleiche Teile geteilt. Es wird also eine Oktave in vier gleiche Teile geteilt - eine verminderte Temperatur ist charakterisiert durch die Existenz eines völlig symmetrischen verminderten Septakkords.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche eine verminderte Temperatur unterstützen, sind - natürlich - solche, bei denen die Oktave in ein Vielfaches von 4 unterteilt wird, also 4n-EDOs, mit der Standardstimmung [[12edo]] als naheliegendstem Beispiel.

Verminderte Temperaturen haben eine Vierteloktave als Periode, und ihre [[MOS-Skalen]] bestehen, auf die Oktave erweitert, aus Vereinigungen von verminderten Septakkorden, mit Skalengrössen natürlich ebenfalls Vielfachen von 4.

Von Bedeutung ist insbesondere die achttönige verminderte MOS-Skala, die ein regelmässiges Intervallmuster von jeweils abwechselnd einem grossen und einem kleinen Intervall aufweist. In der 12edo-Variante heisst sie auch **Halbton-Ganzton-Skala** und tritt öfters in Jazz-Kontexten auf, aber auch gelegentlich bei Komponisten wie Debussy oder Messiaen.

Siehe hierzu auch: [[https://de.wikipedia.org/wiki/Verminderte_Skala|Verminderte Skala (Wikipedia)]], oder auch [[https://en.wikipedia.org/wiki/Octatonic_scale|Octatonic scale (Wikipedia, englischsprachiger Artikel)]]. (Der Umstand, dass im englischen Sprachraum der Begriff "Octatonic scale", was wörtlich übersetzt eigentlich nur "achttönige Skala" bedeutet, oft konkret für die verminderte achttönige Skala steht, unterstreicht deren Bedeutung!)

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Als &amp;lt;strong&amp;gt;verminderte Temperatur&amp;lt;/strong&amp;gt; (Englisch: diminished temperament) kann man eine Temperatur bezeichnen, welche auf dem vierdimensionalen 7-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; die beiden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/36_35"&amp;gt;36/35&amp;lt;/a&amp;gt; (septimaler Viertelton) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;50/49 (Jubilisma)&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Austemperieren von 50/49 hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt, und durch das Austemperieren von 36/35 wird seinerseits jeder Tritonus in zwei gleiche Teile geteilt. Es wird also eine Oktave in vier gleiche Teile geteilt - eine verminderte Temperatur ist charakterisiert durch die Existenz eines völlig symmetrischen verminderten Septakkords.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt;, welche eine verminderte Temperatur unterstützen, sind - natürlich - solche, bei denen die Oktave in ein Vielfaches von 4 unterteilt wird, also 4n-EDOs, mit der Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; als naheliegendstem Beispiel.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Verminderte Temperaturen haben eine Vierteloktave als Periode, und ihre &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; bestehen, auf die Oktave erweitert, aus Vereinigungen von verminderten Septakkorden, mit Skalengrössen natürlich ebenfalls Vielfachen von 4.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Von Bedeutung ist insbesondere die achttönige verminderte MOS-Skala, die ein regelmässiges Intervallmuster von jeweils abwechselnd einem grossen und einem kleinen Intervall aufweist. In der 12edo-Variante heisst sie auch &amp;lt;strong&amp;gt;Halbton-Ganzton-Skala&amp;lt;/strong&amp;gt; und tritt öfters in Jazz-Kontexten auf, aber auch gelegentlich bei Komponisten wie Debussy oder Messiaen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Siehe hierzu auch: &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://de.wikipedia.org/wiki/Verminderte_Skala" rel="nofollow"&amp;gt;Verminderte Skala (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;, oder auch &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Octatonic_scale" rel="nofollow"&amp;gt;Octatonic scale (Wikipedia, englischsprachiger Artikel)&amp;lt;/a&amp;gt;. (Der Umstand, dass im englischen Sprachraum der Begriff &amp;amp;quot;Octatonic scale&amp;amp;quot;, was wörtlich übersetzt eigentlich nur &amp;amp;quot;achttönige Skala&amp;amp;quot; bedeutet, oft konkret für die verminderte achttönige Skala steht, unterstreicht deren Bedeutung!)&amp;lt;br /&amp;gt;
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[[Reguläre Temperaturen|Einführung reguläre Temperaturen]]

Als **verminderte Temperatur** (Englisch: diminished temperament) kann man eine Temperatur bezeichnen, welche auf dem vierdimensionalen 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] die beiden [[Komma|Kommas]] [[36_35|36/35]] (septimaler Viertelton) und [[50_49|50/49 (Jubilisma)]] austemperiert.

Das Austemperieren von 50/49 hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt, und durch das Austemperieren von 36/35 wird seinerseits jeder Tritonus in zwei gleiche Teile geteilt. Es wird also eine Oktave in vier gleiche Teile geteilt - eine verminderte Temperatur ist charakterisiert durch die Existenz eines völlig symmetrischen verminderten Septakkords.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche eine verminderte Temperatur unterstützen, sind - natürlich - solche, bei denen die Oktave in ein Vielfaches von 4 unterteilt wird, also 4n-EDOs, mit der Standardstimmung [[12edo]] als naheliegendstem Beispiel.

Verminderte Temperaturen haben eine Vierteloktave als Periode, und ihre [[MOS-Skalen]] bestehen, auf die Oktave erweitert, aus Vereinigungen von verminderten Septakkorden, mit Skalengrössen natürlich ebenfalls Vielfachen von 4.

Von Bedeutung ist insbesondere die achttönige verminderte MOS-Skala, die ein regelmässiges Intervallmuster von jeweils abwechselnd einem grossen und einem kleinen Intervall aufweist. In der 12edo-Variante heisst sie auch **Halbton-Ganzton-Skala** und tritt öfters in Jazz-Kontexten auf, aber auch gelegentlich bei Komponisten wie Debussy oder Messiaen.

Siehe hierzu auch: [[https://de.wikipedia.org/wiki/Verminderte_Skala|Verminderte Skala (Wikipedia)]], oder auch [[https://en.wikipedia.org/wiki/Octatonic_scale|Octatonic scale (Wikipedia, englischsprachiger Artikel)]]. (Die Tatsache, dass im englischen Sprachraum der Begriff "Octatonic scale", was wörtlich übersetzt eigentlich nur "achttönige Skala" bedeutet, oft konkret für die verminderte achttönige Skala steht, unterstreicht deren Bedeutung!)

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Das Austemperieren von 50/49 hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt, und durch das Austemperieren von 36/35 wird seinerseits jeder Tritonus in zwei gleiche Teile geteilt. Es wird also eine Oktave in vier gleiche Teile geteilt - eine verminderte Temperatur ist charakterisiert durch die Existenz eines völlig symmetrischen verminderten Septakkords.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Verminderte Temperaturen haben eine Vierteloktave als Periode, und ihre &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; bestehen, auf die Oktave erweitert, aus Vereinigungen von verminderten Septakkorden, mit Skalengrössen natürlich ebenfalls Vielfachen von 4.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Von Bedeutung ist insbesondere die achttönige verminderte MOS-Skala, die ein regelmässiges Intervallmuster von jeweils abwechselnd einem grossen und einem kleinen Intervall aufweist. In der 12edo-Variante heisst sie auch &amp;lt;strong&amp;gt;Halbton-Ganzton-Skala&amp;lt;/strong&amp;gt; und tritt öfters in Jazz-Kontexten auf, aber auch gelegentlich bei Komponisten wie Debussy oder Messiaen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Siehe hierzu auch: &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://de.wikipedia.org/wiki/Verminderte_Skala" rel="nofollow"&amp;gt;Verminderte Skala (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;, oder auch &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Octatonic_scale" rel="nofollow"&amp;gt;Octatonic scale (Wikipedia, englischsprachiger Artikel)&amp;lt;/a&amp;gt;. (Die Tatsache, dass im englischen Sprachraum der Begriff &amp;amp;quot;Octatonic scale&amp;amp;quot;, was wörtlich übersetzt eigentlich nur &amp;amp;quot;achttönige Skala&amp;amp;quot; bedeutet, oft konkret für die verminderte achttönige Skala steht, unterstreicht deren Bedeutung!)&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-11-29 14:33:20 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[Reguläre Temperaturen|Einführung reguläre Temperaturen]]

Als **verminderte Temperatur** (Englisch: diminished temperament) kann man eine Temperatur bezeichnen, welche auf dem vierdimensionalen 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] die beiden [[Komma|Kommas]] [[36_35|36/35]] (septimaler Viertelton) und [[50_49|50/49 (Jubilisma)]] austemperiert.

Das Austemperieren von 50/49 hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt, und durch das Austemperieren von 36/35 wird seinerseits jeder Tritonus in zwei gleiche Teile geteilt. Es wird also eine Oktave in vier gleiche Teile geteilt - eine verminderte Temperatur ist charakterisiert durch die Existenz eines völlig symmetrischen verminderten Septakkords.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche eine verminderte Temperatur unterstützen, sind - natürlich - solche, bei denen die Oktave in ein Vielfaches von 4 unterteilt wird, also 4n-EDOs, mit der Standardstimmung [[12edo]] als naheliegendstem Beispiel.

Verminderte Temperaturen haben eine Vierteloktave als Periode, und ihre [[MOS-Skalen]] bestehen, auf die Oktave erweitert, aus Vereinigungen von verminderten Septakkorden, mit Skalengrössen natürlich ebenfalls Vielfachen von 4.

Von Bedeutung ist insbesondere die achttönige verminderte MOS-Skala, die ein regelmässiges Intervallmuster von jeweils abwechselnd einem grossen und einem kleinen Intervall aufweist. In der 12edo-Variante heisst sie auch **Halbton-Ganzton-Skala** und tritt öfters in Jazz-Kontexten auf, aber auch gelegentlich bei Komponisten wie Debussy oder Messiaen.

Siehe hierzu auch: [[https://de.wikipedia.org/wiki/Verminderte_Skala|Verminderte Skala (Wikipedia)]], oder auch [[https://en.wikipedia.org/wiki/Octatonic_scale|Octatonic scale (Wikipedia, englischsprachiger Artikel)]]. (Die Tatsache, dass im englischen Sprachraum der Begriff "Octatonic scale", was wörtlich übersetzt eigentlich nur "achttönige Skala" bedeutet, oft konkret für die verminderte achttönige Skala steht, unterstreicht deren Bedeutung!)

|| [[media type="file" key="htgt12edo.mp3"]] || [[media type="file" key="htgt16edo.mp3"]] ||
|| Verminderte achttönige Skala in 12edo-Standardstimmung || Verminderte achttönige Skala in 16edo-Stimmung ||&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführung reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Als &amp;lt;strong&amp;gt;verminderte Temperatur&amp;lt;/strong&amp;gt; (Englisch: diminished temperament) kann man eine Temperatur bezeichnen, welche auf dem vierdimensionalen 7-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; die beiden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/36_35"&amp;gt;36/35&amp;lt;/a&amp;gt; (septimaler Viertelton) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;50/49 (Jubilisma)&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das Austemperieren von 50/49 hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt, und durch das Austemperieren von 36/35 wird seinerseits jeder Tritonus in zwei gleiche Teile geteilt. Es wird also eine Oktave in vier gleiche Teile geteilt - eine verminderte Temperatur ist charakterisiert durch die Existenz eines völlig symmetrischen verminderten Septakkords.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufige Tonsysteme&amp;lt;/a&amp;gt;, welche eine verminderte Temperatur unterstützen, sind - natürlich - solche, bei denen die Oktave in ein Vielfaches von 4 unterteilt wird, also 4n-EDOs, mit der Standardstimmung &amp;lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&amp;gt;12edo&amp;lt;/a&amp;gt; als naheliegendstem Beispiel.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Verminderte Temperaturen haben eine Vierteloktave als Periode, und ihre &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; bestehen, auf die Oktave erweitert, aus Vereinigungen von verminderten Septakkorden, mit Skalengrössen natürlich ebenfalls Vielfachen von 4.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Von Bedeutung ist insbesondere die achttönige verminderte MOS-Skala, die ein regelmässiges Intervallmuster von jeweils abwechselnd einem grossen und einem kleinen Intervall aufweist. In der 12edo-Variante heisst sie auch &amp;lt;strong&amp;gt;Halbton-Ganzton-Skala&amp;lt;/strong&amp;gt; und tritt öfters in Jazz-Kontexten auf, aber auch gelegentlich bei Komponisten wie Debussy oder Messiaen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Siehe hierzu auch: &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://de.wikipedia.org/wiki/Verminderte_Skala" rel="nofollow"&amp;gt;Verminderte Skala (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;, oder auch &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Octatonic_scale" rel="nofollow"&amp;gt;Octatonic scale (Wikipedia, englischsprachiger Artikel)&amp;lt;/a&amp;gt;. (Die Tatsache, dass im englischen Sprachraum der Begriff &amp;amp;quot;Octatonic scale&amp;amp;quot;, was wörtlich übersetzt eigentlich nur &amp;amp;quot;achttönige Skala&amp;amp;quot; bedeutet, oft konkret für die verminderte achttönige Skala steht, unterstreicht deren Bedeutung!)&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2017-11-26 06:24:35 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[Reguläre Temperaturen|Einführung reguläre Temperaturen]]

Als **verminderte Temperatur** (Englisch: diminished temperament) kann man eine Temperatur bezeichnen, welche auf dem vierdimensionalen 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] die beiden [[Komma|Kommas]] [[36_35|36/35]] (septimaler Viertelton) und [[50_49|50/49 (Jubilisma)]] austemperiert.

Das Austemperieren von 50/49 hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt, und durch das Austemperieren von 36/35 wird seinerseits jeder Tritonus in zwei gleiche Teile geteilt. Es wird also eine Oktave in vier gleiche Teile geteilt - eine verminderte Temperatur ist charakterisiert durch die Existenz eines völlig symmetrischen verminderten Septakkords.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche eine verminderte Temperatur unterstützen, sind - natürlich - solche, bei denen die Oktave in ein Vielfaches von 4 unterteilt wird, also 4n-EDOs, mit der Standardstimmung [[12edo]] als naheliegendstem Beispiel.

Verminderte Temperaturen haben eine Vierteloktave als Periode, und ihre [[MOS-Skalen]] bestehen, auf die Oktave erweitert, aus Vereinigungen von verminderten Septakkorden, mit Skalengrössen natürlich ebenfalls Vielfachen von 4.

Von Bedeutung ist insbesondere die achttönige verminderte MOS-Skala, die ein regelmässiges Intervallmuster von jeweils abwechselnd einem grossen und einem kleinen Intervall aufweist. In der 12edo-Variante heisst sie auch **Halbton-Ganzton-Skala** und tritt öfters in Jazz-Kontexten auf, aber auch gelegentlich bei Komponisten wie Debussy oder Messiaen. 

Siehe hierzu auch: [[https://de.wikipedia.org/wiki/Verminderte_Skala|Verminderte Skala (Wikipedia)]], oder auch [[https://en.wikipedia.org/wiki/Octatonic_scale|Octatonic scale (Wikipedia, englischsprachiger Artikel)]]. (Die Tatsache, dass im englischen Sprachraum der Begriff "Octatonic scale", was wörtlich übersetzt eigentlich nur "achttönige Skala" bedeutet, oft konkret für die verminderte achttönige Skala steht, unterstreicht deren Bedeutung!)

[todo Mikrotonale Musikbeispiele]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführung reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Als &amp;lt;strong&amp;gt;verminderte Temperatur&amp;lt;/strong&amp;gt; (Englisch: diminished temperament) kann man eine Temperatur bezeichnen, welche auf dem vierdimensionalen 7-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; die beiden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/36_35"&amp;gt;36/35&amp;lt;/a&amp;gt; (septimaler Viertelton) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;50/49 (Jubilisma)&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Austemperieren von 50/49 hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt, und durch das Austemperieren von 36/35 wird seinerseits jeder Tritonus in zwei gleiche Teile geteilt. Es wird also eine Oktave in vier gleiche Teile geteilt - eine verminderte Temperatur ist charakterisiert durch die Existenz eines völlig symmetrischen verminderten Septakkords.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Verminderte Temperaturen haben eine Vierteloktave als Periode, und ihre &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; bestehen, auf die Oktave erweitert, aus Vereinigungen von verminderten Septakkorden, mit Skalengrössen natürlich ebenfalls Vielfachen von 4.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Von Bedeutung ist insbesondere die achttönige verminderte MOS-Skala, die ein regelmässiges Intervallmuster von jeweils abwechselnd einem grossen und einem kleinen Intervall aufweist. In der 12edo-Variante heisst sie auch &amp;lt;strong&amp;gt;Halbton-Ganzton-Skala&amp;lt;/strong&amp;gt; und tritt öfters in Jazz-Kontexten auf, aber auch gelegentlich bei Komponisten wie Debussy oder Messiaen. &amp;lt;br /&amp;gt;
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Siehe hierzu auch: &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://de.wikipedia.org/wiki/Verminderte_Skala" rel="nofollow"&amp;gt;Verminderte Skala (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;, oder auch &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Octatonic_scale" rel="nofollow"&amp;gt;Octatonic scale (Wikipedia, englischsprachiger Artikel)&amp;lt;/a&amp;gt;. (Die Tatsache, dass im englischen Sprachraum der Begriff &amp;amp;quot;Octatonic scale&amp;amp;quot;, was wörtlich übersetzt eigentlich nur &amp;amp;quot;achttönige Skala&amp;amp;quot; bedeutet, oft konkret für die verminderte achttönige Skala steht, unterstreicht deren Bedeutung!)&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;/span&amp;gt;
[[Reguläre Temperaturen|Einführung reguläre Temperaturen]]

Als **verminderte Temperatur** (Englisch: diminished temperament) kann man eine Temperatur bezeichnen, welche auf dem vierdimensionalen 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] die beiden [[Komma|Kommas]] [[36_35|36/35]] (septimaler Viertelton) und [[50_49|50/49 (Jubilisma)]] austemperiert.

Das Austemperieren von 50/49 hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt, und durch das Austemperieren von 36/35 wird seinerseits jeder Tritonus in zwei gleiche Teile geteilt. Es wird also eine Oktave in vier gleiche Teile geteilt - eine verminderte Temperatur ist charakterisiert durch die Existenz eines völlig symmetrischen verminderten Septakkords.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche eine verminderte Temepratur unterstützen, sind - natürlich - solche, bei denen die Oktave in ein Vielfaches von 4 unterteilt wird, also 4n-EDOs, mit der Standardstimmung [[12edo]] als naheliegendstem Beispiel.

Verminderte Temperaturen haben eine Vierteloktave als Periode, und ihre [[MOS-Skalen]] bestehen, auf die Oktave erweitert, aus Vereinigungen von verminderten Septakkorden, mit Skalengrössen natürlich ebenfalls Vielfachen von 4.

Von Bedeutung ist insbesondere die achttönige verminderte MOS-Skala, die ein regelmässiges Intervallmuster von jeweils abwechselnd einem grossen und einem kleinen Intervall aufweist. In der 12edo-Variante heisst sie auch **Halbton-Ganzton-Skala** und tritt öfters in Jazz-Kontexten auf, aber auch gelegentlich bei Komponisten wie Debussy oder Messiaen. Siehe hierzu auch: [[https://de.wikipedia.org/wiki/Verminderte_Skala|Verminderte Skala (Wikipedia)]]

[todo Mikrotonale Musikbeispiele]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Als &amp;lt;strong&amp;gt;verminderte Temperatur&amp;lt;/strong&amp;gt; (Englisch: diminished temperament) kann man eine Temperatur bezeichnen, welche auf dem vierdimensionalen 7-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; die beiden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/36_35"&amp;gt;36/35&amp;lt;/a&amp;gt; (septimaler Viertelton) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;50/49 (Jubilisma)&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Austemperieren von 50/49 hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt, und durch das Austemperieren von 36/35 wird seinerseits jeder Tritonus in zwei gleiche Teile geteilt. Es wird also eine Oktave in vier gleiche Teile geteilt - eine verminderte Temperatur ist charakterisiert durch die Existenz eines völlig symmetrischen verminderten Septakkords.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Verminderte Temperaturen haben eine Vierteloktave als Periode, und ihre &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; bestehen, auf die Oktave erweitert, aus Vereinigungen von verminderten Septakkorden, mit Skalengrössen natürlich ebenfalls Vielfachen von 4.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Von Bedeutung ist insbesondere die achttönige verminderte MOS-Skala, die ein regelmässiges Intervallmuster von jeweils abwechselnd einem grossen und einem kleinen Intervall aufweist. In der 12edo-Variante heisst sie auch &amp;lt;strong&amp;gt;Halbton-Ganzton-Skala&amp;lt;/strong&amp;gt; und tritt öfters in Jazz-Kontexten auf, aber auch gelegentlich bei Komponisten wie Debussy oder Messiaen. Siehe hierzu auch: &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://de.wikipedia.org/wiki/Verminderte_Skala" rel="nofollow"&amp;gt;Verminderte Skala (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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[[Reguläre Temperaturen|Einführung reguläre Temperaturen]]

Als **verminderte Temperatur** (Englisch: diminished temperament) kann man eine Temperatur bezeichnen, welche auf dem vierdimensionalen 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] die beiden [[Komma|Kommas]] [[36_35|36/35]] (septimaler Viertelton) und [[50_49|50/49 (Jubilisma)]] austemperiert.

Das Austemperieren von 50/49 hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt, und durch das Austemperieren von 36/35 wird seinerseits jeder Tritonus in zwei gleiche Teile geteilt. Es wird also eine Oktave in vier gleiche Teile geteilt - eine verminderte Temperatur ist charakterisiert durch die Existenz eines völlig symmetrischen verminderten Septakkords.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche eine verminderte Temepratur unterstützen, sind - natürlich - solche, bei denen die Oktave in ein Vielfaches von 4 unterteilt wird, also 4n-EDOs, mit der Standardstimmung [[12edo]] als naheliegendstes Beispiel.

Verminderte Temperaturen haben eine Vierteloktave als Periode, und ihre [[MOS-Skalen]] bestehen, auf die Oktave erweitert, aus Vereinigungen von verminderten Septakkorden, mit Skalengrössen natürlich ebenfalls Vielfachen von 4.

Von Bedeutung ist insbesondere die achttönige verminderte MOS-Skala, die ein regelmässiges Intervallmuster von jeweils abwechselnd einem grossen und einem kleinen Intervall aufweist. In der 12edo-Variante heisst sie auch **Halbton-Ganzton-Skala** und tritt öfters in Jazz-Kontexten auf, aber auch gelegentlich bei Komponisten wie Debussy oder Messiaen. Siehe hierzu auch: [[https://de.wikipedia.org/wiki/Verminderte_Skala|Verminderte Skala (Wikipedia)]]

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Als &amp;lt;strong&amp;gt;verminderte Temperatur&amp;lt;/strong&amp;gt; (Englisch: diminished temperament) kann man eine Temperatur bezeichnen, welche auf dem vierdimensionalen 7-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Limit"&amp;gt;Limit&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&amp;gt;Intervallraum&amp;lt;/a&amp;gt; die beiden &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&amp;gt;Kommas&amp;lt;/a&amp;gt; &amp;lt;a class="wiki_link" href="/36_35"&amp;gt;36/35&amp;lt;/a&amp;gt; (septimaler Viertelton) und &amp;lt;a class="wiki_link" href="/50_49"&amp;gt;50/49 (Jubilisma)&amp;lt;/a&amp;gt; austemperiert.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Das Austemperieren von 50/49 hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt, und durch das Austemperieren von 36/35 wird seinerseits jeder Tritonus in zwei gleiche Teile geteilt. Es wird also eine Oktave in vier gleiche Teile geteilt - eine verminderte Temperatur ist charakterisiert durch die Existenz eines völlig symmetrischen verminderten Septakkords.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Verminderte Temperaturen haben eine Vierteloktave als Periode, und ihre &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt; bestehen, auf die Oktave erweitert, aus Vereinigungen von verminderten Septakkorden, mit Skalengrössen natürlich ebenfalls Vielfachen von 4.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Von Bedeutung ist insbesondere die achttönige verminderte MOS-Skala, die ein regelmässiges Intervallmuster von jeweils abwechselnd einem grossen und einem kleinen Intervall aufweist. In der 12edo-Variante heisst sie auch &amp;lt;strong&amp;gt;Halbton-Ganzton-Skala&amp;lt;/strong&amp;gt; und tritt öfters in Jazz-Kontexten auf, aber auch gelegentlich bei Komponisten wie Debussy oder Messiaen. Siehe hierzu auch: &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://de.wikipedia.org/wiki/Verminderte_Skala" rel="nofollow"&amp;gt;Verminderte Skala (Wikipedia)&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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[[Reguläre Temperaturen|Einführung reguläre Temperaturen]]

Als **verminderte Temperatur** (Englisch: diminished temperament) kann man eine Temperatur bezeichnen, welche auf dem vierdimensionalen 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] die beiden [[Komma|Kommas]] [[36_35|36/35]] (septimaler Viertelton) und [[50_49|50/49 (Jubilisma)]] austemperiert.

Das Austemperieren von 50/49 hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt, und durch das Austemperieren von 36/35 wird seinerseits jeder Tritonus in zwei gleiche Teile geteilt. Es wird also eine Oktave in vier gleiche Teile geteilt - eine verminderte Temperatur ist charakterisiert durch die Existenz eines völlig symmetrischen verminderten Septakkords.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Das Austemperieren von 50/49 hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt, und durch das Austemperieren von 36/35 wird seinerseits jeder Tritonus in zwei gleiche Teile geteilt. Es wird also eine Oktave in vier gleiche Teile geteilt - eine verminderte Temperatur ist charakterisiert durch die Existenz eines völlig symmetrischen verminderten Septakkords.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführung reguläre Temperaturen]]

Als '''verminderte Temperatur''' (Englisch: diminished temperament) kann man eine Temperatur bezeichnen, welche auf dem vierdimensionalen 7-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]] die beiden [[Komma|Kommas]] [[36/35|36/35]] (septimaler Viertelton) und [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] austemperiert.

Das Austemperieren von 50/49 hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt, und durch das Austemperieren von 36/35 wird seinerseits jeder Tritonus in zwei gleiche Teile geteilt. Es wird also eine Oktave in vier gleiche Teile geteilt - eine verminderte Temperatur ist charakterisiert durch die Existenz eines völlig symmetrischen verminderten Septakkords.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige Tonsysteme]], welche eine verminderte Temperatur unterstützen, sind - natürlich - solche, bei denen die Oktave in ein Vielfaches von 4 unterteilt wird, also 4n-EDOs, mit der Standardstimmung [[12edo|12edo]] als naheliegendstem Beispiel.

Verminderte Temperaturen haben eine Vierteloktave als Periode, und ihre [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] bestehen, auf die Oktave erweitert, aus Vereinigungen von verminderten Septakkorden, mit Skalengrössen natürlich ebenfalls Vielfachen von 4.

Von Bedeutung ist insbesondere die achttönige verminderte MOS-Skala, die ein regelmässiges Intervallmuster von jeweils abwechselnd einem grossen und einem kleinen Intervall aufweist. In der 12edo-Variante heisst sie auch '''Halbton-Ganzton-Skala''' und tritt öfters in Jazz-Kontexten auf, aber auch gelegentlich bei Komponisten wie Debussy oder Messiaen.

Siehe hierzu auch: [https://de.wikipedia.org/wiki/Verminderte_Skala Verminderte Skala (Wikipedia)], oder auch [https://en.wikipedia.org/wiki/Octatonic_scale Octatonic scale (Wikipedia, englischsprachiger Artikel)]. (Der Umstand, dass im englischen Sprachraum der Begriff "Octatonic scale", was wörtlich übersetzt eigentlich nur "achttönige Skala" bedeutet, oft konkret für die verminderte achttönige Skala steht, unterstreicht deren Bedeutung!)

{| class="wikitable"
|-
| | [[File:htgt12edo.mp3]]
| | [[File:htgt16edo.mp3]]
|-
| | Verminderte achttönige Skala in 12edo-Standardstimmung
| | Verminderte achttönige Skala in [[16edo|16edo]]-Stimmung
|}
[[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführung reguläre Temperaturen]]

Als '''verminderte Temperatur''' (Englisch: diminished temperament) kann man eine Temperatur bezeichnen, welche auf dem vierdimensionalen 7-[[Limit|Limit]]-[[Intervallraum|Intervallraum]] die beiden [[Komma|Kommas]] [[36/35|36/35]] (septimaler Viertelton) und [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] austemperiert.

Das Austemperieren von 50/49 hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt, und durch das Austemperieren von 36/35 wird seinerseits jeder Tritonus in zwei gleiche Teile geteilt. Es wird also eine Oktave in vier gleiche Teile geteilt - eine verminderte Temperatur ist charakterisiert durch die Existenz eines völlig symmetrischen verminderten Septakkords.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige Tonsysteme]], welche eine verminderte Temperatur unterstützen, sind - natürlich - solche, bei denen die Oktave in ein Vielfaches von 4 unterteilt wird, also 4n-EDOs, mit der Standardstimmung [[12edo|12edo]] als naheliegendstem Beispiel.

Verminderte Temperaturen haben eine Vierteloktave als Periode, und ihre [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] bestehen, auf die Oktave erweitert, aus Vereinigungen von verminderten Septakkorden, mit Skalengrössen natürlich ebenfalls Vielfachen von 4.

Von Bedeutung ist insbesondere die achttönige verminderte MOS-Skala, die ein regelmässiges Intervallmuster von jeweils abwechselnd einem grossen und einem kleinen Intervall aufweist. In der 12edo-Variante heisst sie auch '''Halbton-Ganzton-Skala''' und tritt öfters in Jazz-Kontexten auf, aber auch gelegentlich bei Komponisten wie Debussy oder Messiaen.

Siehe hierzu auch: [https://de.wikipedia.org/wiki/Verminderte_Skala Verminderte Skala (Wikipedia)], oder auch [https://en.wikipedia.org/wiki/Octatonic_scale Octatonic scale (Wikipedia, englischsprachiger Artikel)]. (Der Umstand, dass im englischen Sprachraum der Begriff "Octatonic scale", was wörtlich übersetzt eigentlich nur "achttönige Skala" bedeutet, oft konkret für die verminderte achttönige Skala steht, unterstreicht deren Bedeutung!)

{| class="wikitable"
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| | [[File:htgt12edo.mp3]]
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| | Verminderte achttönige Skala in 12edo-Standardstimmung
| | Verminderte achttönige Skala in [[16edo|16edo]]-Stimmung
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[[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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      <text bytes="2393" sha1="68s94ltn4jymxi0pukrz4qibr5ax04p" xml:space="preserve">[[Reguläre_Temperaturen|Einführung reguläre Temperaturen]]

Als '''verminderte Temperatur''' (Englisch: diminished temperament) kann man eine Temperatur bezeichnen, welche auf dem vierdimensionalen 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] die beiden [[Komma|Kommas]] [[36/35]] (septimaler Viertelton) und [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] austemperiert.

Das Austemperieren von 50/49 hat zur Folge, dass es nur eine Grösse Tritonus gibt, welcher sein eigenes Komplement ist und somit die Oktave in zwei gleiche Teile teilt, und durch das Austemperieren von 36/35 wird seinerseits jeder Tritonus in zwei gleiche Teile geteilt. Es wird also eine Oktave in vier gleiche Teile geteilt - eine verminderte Temperatur ist charakterisiert durch die Existenz eines völlig symmetrischen verminderten Septakkords.

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige Tonsysteme]], welche eine verminderte Temperatur unterstützen, sind - natürlich - solche, bei denen die Oktave in ein Vielfaches von 4 unterteilt wird, also 4n-EDOs, mit der Standardstimmung [[12edo]] als naheliegendstem Beispiel.

Verminderte Temperaturen haben eine Vierteloktave als Periode, und ihre [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]] bestehen, auf die Oktave erweitert, aus Vereinigungen von verminderten Septakkorden, mit Skalengrössen natürlich ebenfalls Vielfachen von 4.

Von Bedeutung ist insbesondere die achttönige verminderte MOS-Skala, die ein regelmässiges Intervallmuster von jeweils abwechselnd einem grossen und einem kleinen Intervall aufweist. In der 12edo-Variante heisst sie auch '''Halbton-Ganzton-Skala''' und tritt öfters in Jazz-Kontexten auf, aber auch gelegentlich bei Komponisten wie Debussy oder Messiaen.

Siehe hierzu auch: [https://de.wikipedia.org/wiki/Verminderte_Skala Verminderte Skala (Wikipedia)], oder auch [https://en.wikipedia.org/wiki/Octatonic_scale Octatonic scale (Wikipedia, englischsprachiger Artikel)]. (Der Umstand, dass im englischen Sprachraum der Begriff "Octatonic scale", was wörtlich übersetzt eigentlich nur "achttönige Skala" bedeutet, oft konkret für die verminderte achttönige Skala steht, unterstreicht deren Bedeutung!)

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|+ Verminderte achttönige Skala ...
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[[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]

&lt;!-- Interwiki-Links --&gt;
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Ist die [[mitteltönig|mitteltönige]] die historisch bedeutsamste aller [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], so ist die viertelkomma-mitteltönige Stimmung die wichtigste Vairante innerhalb der verschiedenen möglichen mitteltönigen Systeme. Wenn von mitteltöniger Stimmung ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist in der Regel die viertelkomma-mitteltönige Variante gemeint.

Deutschsprachige Ressourcen:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Tonstruktur_%28mathematische_Beschreibung%29#Intervalle_der_1.2F4-Komma_mittelt.C3.B6nigen_Stimmung Intervalle der 1/4-Komma-mitteltönigen Stimmung (Wikipedia)]

[http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung1.php Mitteltönige Stimmung (lehrklaenge.de)]  [[Category:Temperament]]
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Ist die [[mitteltönig|mitteltönige]] die historisch bedeutsamste aller [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], so ist die viertelkomma-mitteltönige Stimmung die wichtigste Vairante innerhalb der verschiedenen möglichen mitteltönigen Systeme. Wenn von mitteltöniger Stimmung ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist in der Regel die viertelkomma-mitteltönige Variante gemeint.

Deutschsprachige Ressourcen:
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Tonstruktur_%28mathematische_Beschreibung%29#Intervalle_der_1.2F4-Komma_mittelt.C3.B6nigen_Stimmung|Intervalle der 1/4-Komma-mitteltönigen Stimmung (Wikipedia)]]
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Ist die [[mitteltönig|mitteltönige]] die historisch bedeutsamste aller [[Reguläre_Temperaturen|regulären Temperaturen]], so ist die viertelkomma-mitteltönige Stimmung die wichtigste Vairante innerhalb der verschiedenen möglichen mitteltönigen Systeme. Wenn von mitteltöniger Stimmung ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist in der Regel die viertelkomma-mitteltönige Variante gemeint.

Deutschsprachige Ressourcen:

[http://de.wikipedia.org/wiki/Tonstruktur_%28mathematische_Beschreibung%29#Intervalle_der_1.2F4-Komma_mittelt.C3.B6nigen_Stimmung Intervalle der 1/4-Komma-mitteltönigen Stimmung (Wikipedia)]

[http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung1.php Mitteltönige Stimmung (lehrklaenge.de)]  [[Category:Temperament]]
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Die '''viertelkomma-mitteltönige''' Stimmung unterteilt das [[syntonische Komma]] (81/80) in vier gleiche Teile von je ca. 5.377 cent und verkleinert alle reinen Quiten um diesen Betrag. Im Ergebnis sind die [[große Terz]] (5/4) und die [[kleine Sexte]] ([[8/5]]) rein gestimmt.

Ist die [[mitteltönig|mitteltönige]] die historisch bedeutsamste aller [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], so ist die viertelkomma-mitteltönige Stimmung die wichtigste Variante innerhalb der verschiedenen möglichen mitteltönigen Systeme. Wenn von mitteltöniger Stimmung ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist in der Regel die viertelkomma-mitteltönige Variante gemeint.

== Weblinks ==

* [http://de.wikipedia.org/wiki/Tonstruktur_%28mathematische_Beschreibung%29#Intervalle_der_1.2F4-Komma_mittelt.C3.B6nigen_Stimmung Intervalle der 1/4-Komma-mitteltönigen Stimmung (Wikipedia)]
* [http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung1.php Mitteltönige Stimmung (lehrklaenge.de)]

[[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

[[Mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die '''viertelkomma-mitteltönige''' Stimmung unterteilt das [[syntonische Komma]] (81/80) in vier gleiche Teile von je ca. 5.377 cent und verkleinert alle reinen Quinten um diesen Betrag. Im Ergebnis sind die [[große Terz]] (5/4) und die [[kleine Sexte]] ([[8/5]]) rein gestimmt.

Ist die [[mitteltönig|mitteltönige]] die historisch bedeutsamste aller [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], so ist die viertelkomma-mitteltönige Stimmung die wichtigste Variante innerhalb der verschiedenen möglichen mitteltönigen Systeme. Wenn von mitteltöniger Stimmung ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist in der Regel die viertelkomma-mitteltönige Variante gemeint.

== Weblinks ==

* [http://de.wikipedia.org/wiki/Tonstruktur_%28mathematische_Beschreibung%29#Intervalle_der_1.2F4-Komma_mittelt.C3.B6nigen_Stimmung Intervalle der 1/4-Komma-mitteltönigen Stimmung (Wikipedia)]
* [http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung1.php Mitteltönige Stimmung (lehrklaenge.de)]

[[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

[[Mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die '''Viertelkomma-mitteltönige''' Stimmung unterteilt das [[syntonische Komma]] (81/80) in vier gleiche Teile von je ca. 5.377 Cent und verkleinert alle reinen Quinten um diesen Betrag. Im Ergebnis sind die [[große Terz]] (5/4) und die [[kleine Sexte]] ([[8/5]]) rein gestimmt.

Ist die [[mitteltönig|mitteltönige]] die historisch bedeutsamste aller [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]], so ist die viertelkomma-mitteltönige Stimmung die wichtigste Variante innerhalb der verschiedenen möglichen mitteltönigen Systeme. Wenn von mitteltöniger Stimmung ohne Zusatzbezeichnung die Rede ist, dann ist in der Regel die viertelkomma-mitteltönige Variante gemeint.

== Weblinks ==

* [http://de.wikipedia.org/wiki/Tonstruktur_%28mathematische_Beschreibung%29#Intervalle_der_1.2F4-Komma_mittelt.C3.B6nigen_Stimmung Intervalle der 1/4-Komma-mitteltönigen Stimmung (Wikipedia)]
* [http://www.lehrklaenge.de/PHP/Tonsystem/MitteltoenigeStimmung1.php Mitteltönige Stimmung (lehrklaenge.de)]

[[Category:Temperament]]
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      <text bytes="163" sha1="09vnr2ihkn71wugwab2v9fhywlmmj1c" xml:space="preserve">Das [http://de.wikipedia.org/wiki/Vogelsches_Tonnetz Vogelsche Tonnetz] ist eine Erweiterung des Eulerschen Tonnetzes um die Dimension reiner [[Septime|Septime]]n.</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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[https://de.wikipedia.org/wiki/Wendy_Carlos Wendy Carlos (Wikipedia)]

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[https://de.wikipedia.org/wiki/Wendy_Carlos Wendy Carlos (Wikipedia)]

Die Komponistin und Elektronikmusikerin Wendy Carlos hat für ihr Album [[wikipedia:Beauty_in_the_Beast|Beauty in the Beast]] eine Reihe neuer Skalen designt, namentlich diejenigen, die als [[Carlos Alpha]], [[Carlos Beta]] und [[Carlos Gamma]] bekannt geworden sind. 



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[https://de.wikipedia.org/wiki/Wendy_Carlos Wendy Carlos (Wikipedia)]

Die Komponistin und Elektronikmusikerin Wendy Carlos hat für ihr Album [[wikipedia:Beauty_in_the_Beast|Beauty in the Beast]] eine Reihe neuer Skalen designt, namentlich diejenigen, die als [[Carlos Alpha]], [[Carlos Beta]] und [[Carlos Gamma]] bekannt geworden sind. 

== Carlos Alpha, Beta und Gamma ==
Die Idee hinter den Skalen Carlos Alpha, Beta und Gamma kann man so formulieren, dass eine gleichstufige Tonleiter gesucht wird, die möglichst gute Approximationen für die reine Quinte 3/2, die grosse Terz 5/4 sowie die kleine Terz 6/5 anbietet, also die Intervalle des reinen Dur-Dreiklangs, wobei nicht zwingend eine gute Approximationen der Oktave 2/1 erreicht werden muss. Das läuft in der Praxis auf eine gleichstufige Unterteilung der reinen oder einer leicht temperierten Quinte heraus.

 

[[Carlos Alpha]]

[[Carlos Beta]]

[[Carlos Gamma]]



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[https://de.wikipedia.org/wiki/Wendy_Carlos Wendy Carlos (Wikipedia)]

Die Komponistin und Elektronikmusikerin Wendy Carlos hat für ihr Album [[wikipedia:Beauty_in_the_Beast|Beauty in the Beast]] eine Reihe neuer Skalen designt, namentlich diejenigen, die als [[Carlos Alpha]], [[Carlos Beta]] und [[Carlos Gamma]] bekannt geworden sind. 

== Carlos Alpha, Beta und Gamma ==
Die Idee hinter den Skalen Carlos Alpha, Beta und Gamma kann man so formulieren, dass eine gleichstufige Tonleiter gesucht wird, die möglichst gute Approximationen für die reine Quinte 3/2, die grosse Terz 5/4 sowie die kleine Terz 6/5 anbietet, also die Intervalle des reinen Dur-Dreiklangs, wobei nicht zwingend eine gute Approximationen der Oktave 2/1 erreicht werden muss. Das läuft in der Praxis auf eine gleichstufige Unterteilung einer reinen oder leicht temperierten Quinte heraus.

Für eine gute Einführung mit Details zur mathematischen Verleihung siehe etwa:

[https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/17459737.2025.2568834 Andrew V. Sills, Generalized Carlos Scales, Journal of Mathematics and Music, Vol. 19, 2025, Issue 3] .

 

[[Carlos Alpha|9-EDF (Carlos Alpha)]]

[[Carlos Beta]]

[[Carlos Gamma]]



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}}
[https://de.wikipedia.org/wiki/Wendy_Carlos Wendy Carlos (Wikipedia)]

Die Komponistin und Elektronikmusikerin Wendy Carlos hat für ihr Album [[wikipedia:Beauty_in_the_Beast|Beauty in the Beast]] eine Reihe neuer Skalen designt, namentlich diejenigen, die als [[Carlos Alpha]], [[Carlos Beta]] und [[Carlos Gamma]] bekannt geworden sind. 

== Carlos Alpha, Beta und Gamma ==
Die Idee hinter den Skalen Carlos Alpha, Beta und Gamma kann man so formulieren, dass eine gleichstufige Tonleiter gesucht wird, die möglichst gute Approximationen für die reine Quinte 3/2, die grosse Terz 5/4 sowie die kleine Terz 6/5 anbietet, also die Intervalle des reinen Dur-Dreiklangs, wobei nicht zwingend eine gute Approximationen der Oktave 2/1 erreicht werden muss. Das läuft in der Praxis auf eine gleichstufige Unterteilung einer reinen oder leicht temperierten Quinte heraus.

Für eine gute Einführung mit Details zur mathematischen Herleitung siehe etwa:

[https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/17459737.2025.2568834 Andrew V. Sills, Generalized Carlos Scales, Journal of Mathematics and Music, Vol. 19, 2025, Issue 3] .

 

[[Carlos Alpha|9-EDF (Carlos Alpha)]]

[[Carlos Beta]]

[[Carlos Gamma]]



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[https://de.wikipedia.org/wiki/Wendy_Carlos Wendy Carlos (Wikipedia)]

Die Komponistin und Elektronikmusikerin Wendy Carlos hat für ihr Album [[wikipedia:Beauty_in_the_Beast|Beauty in the Beast]] eine Reihe neuer Skalen designt, namentlich diejenigen, die als [[Carlos Alpha]], [[Carlos Beta]] und [[Carlos Gamma]] bekannt geworden sind. 

== Carlos Alpha, Beta und Gamma ==
Die Idee hinter den Skalen Carlos Alpha, Beta und Gamma kann man so formulieren, dass eine gleichstufige Tonleiter gesucht wird, die möglichst gute Approximationen für die reine Quinte 3/2, die grosse Terz 5/4 sowie die kleine Terz 6/5 anbietet, also die Intervalle des reinen Dur-Dreiklangs, wobei nicht zwingend eine gute Approximationen der Oktave 2/1 erreicht werden muss. Das läuft in der Praxis auf eine gleichstufige Unterteilung einer reinen oder leicht temperierten Quinte heraus.

Für eine gute Einführung mit Details zur mathematischen Herleitung siehe etwa:

[https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/17459737.2025.2568834 Andrew V. Sills, Generalized Carlos Scales, Journal of Mathematics and Music, Vol. 19, 2025, Issue 3] .

 

[[Carlos Alpha|9-EDF (Carlos Alpha)]]

[[Carlos Beta]]

[[Carlos Gamma]]

== Referenzen ==

* [https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/17459737.2025.2568834 Andrew V. Sills, Generalized Carlos Scales, Journal of Mathematics and Music, Vol. 19, 2025, Issue 3] .

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Die Komponistin und Elektronikmusikerin Wendy Carlos hat für ihr Album [[wikipedia:Beauty_in_the_Beast|Beauty in the Beast]] eine Reihe neuer Skalen designt, namentlich diejenigen, die als [[Carlos Alpha]], [[Carlos Beta]] und [[Carlos Gamma]] bekannt geworden sind.

== Carlos Alpha, Beta und Gamma ==
Die Idee hinter den Skalen Carlos Alpha, Beta und Gamma kann man so formulieren, dass eine gleichstufige Tonleiter gesucht wird, die möglichst gute Approximationen für die reine Quinte 3/2, die grosse Terz 5/4 sowie die kleine Terz 6/5 anbietet, also die Intervalle des reinen Dur-Dreiklangs, wobei nicht zwingend eine gute Approximationen der Oktave 2/1 erreicht werden muss. Das läuft in der Praxis auf eine gleichstufige Unterteilung einer reinen oder leicht temperierten Quinte heraus.

Für eine gute Einführung mit Details zur mathematischen Herleitung siehe etwa:

[https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/17459737.2025.2568834 Andrew V. Sills, Generalized Carlos Scales, Journal of Mathematics and Music, Vol. 19, 2025, Issue 3] .

 

[[Carlos Alpha|9-EDF (Carlos Alpha)]]

[[Carlos Beta]]

[[Carlos Gamma]]

== Referenzen ==

* [https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/17459737.2025.2568834 Andrew V. Sills, Generalized Carlos Scales, Journal of Mathematics and Music, Vol. 19, 2025, Issue 3] .

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Die Komponistin und Elektronikmusikerin Wendy Carlos hat für ihr Album [[wikipedia:Beauty_in_the_Beast|Beauty in the Beast]] eine Reihe neuer Skalen designt, namentlich diejenigen, die als [[Carlos Alpha]], [[Carlos Beta]] und [[Carlos Gamma]] bekannt geworden sind.

== Carlos Alpha, Beta und Gamma ==
Die Idee hinter den Skalen Carlos Alpha, Beta und Gamma kann man so formulieren, dass eine gleichstufige Tonleiter gesucht wird, die möglichst gute Approximationen für die reine Quinte 3/2, die grosse Terz 5/4 sowie die kleine Terz 6/5 anbietet, also die Intervalle des reinen Dur-Dreiklangs, wobei nicht zwingend eine gute Approximationen der Oktave 2/1 erreicht werden muss. Das läuft in der Praxis auf eine gleichstufige Unterteilung einer reinen oder leicht temperierten Quinte heraus.

Für eine gute Einführung mit Details zur mathematischen Herleitung siehe etwa:

[https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/17459737.2025.2568834 Andrew V. Sills, Generalized Carlos Scales, Journal of Mathematics and Music, Vol. 19, 2025, Issue 3] .

 

[[Carlos Alpha|9-EDF (Carlos Alpha)]]

[[Carlos Beta]]

[[Carlos Gamma]]

== Referenzen ==

* [https://de.wikipedia.org/wiki/Wendy_Carlos Wendy Carlos (Wikipedia)]
* [https://www.wendycarlos.com/ Offizielle Homepage]
* [https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/17459737.2025.2568834 Andrew V. Sills, Generalized Carlos Scales, Journal of Mathematics and Music, Vol. 19, 2025, Issue 3] .

 [[Category:edf]]
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Die Komponistin und Elektronikmusikerin Wendy Carlos hat für ihr Album [[wikipedia:Beauty_in_the_Beast|Beauty in the Beast]] eine Reihe neuer Skalen designt, namentlich diejenigen, die als [[Carlos Alpha]], [[Carlos Beta]] und [[Carlos Gamma]] bekannt geworden sind.

== Carlos Alpha, Beta und Gamma ==
Die Idee hinter den Skalen Carlos Alpha, Beta und Gamma kann man so formulieren, dass eine gleichstufige Tonleiter gesucht wird, die möglichst gute Approximationen für die reine Quinte 3/2, die grosse Terz 5/4 sowie die kleine Terz 6/5 anbietet, also die Intervalle des reinen Dur-Dreiklangs, wobei nicht zwingend eine gute Approximationen der Oktave 2/1 erreicht werden muss. Das läuft in der Praxis auf eine gleichstufige Unterteilung einer reinen oder leicht temperierten Quinte heraus.

Für eine gute Einführung mit Details zur mathematischen Herleitung siehe etwa &lt;ref&gt;&lt;nowiki&gt;[https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/17459737.2025.2568834 Andrew V. Sills, Generalized Carlos Scales, Journal of Mathematics and Music, Vol. 19, 2025, Issue 3]&lt;/nowiki&gt; .

&lt;/ref&gt;


[[Carlos Alpha|9-EDF (Carlos Alpha)]]

[[Carlos Beta]]

[[Carlos Gamma]]

== Referenzen ==

* [https://de.wikipedia.org/wiki/Wendy_Carlos Wendy Carlos (Wikipedia)]
* [https://www.wendycarlos.com/ Offizielle Homepage]
* [https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/17459737.2025.2568834 Andrew V. Sills, Generalized Carlos Scales, Journal of Mathematics and Music, Vol. 19, 2025, Issue 3] .

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Die Komponistin und Elektronikmusikerin Wendy Carlos hat für ihr Album [[wikipedia:Beauty_in_the_Beast|Beauty in the Beast]] eine Reihe neuer Skalen designt, namentlich diejenigen, die als [[Carlos Alpha]], [[Carlos Beta]] und [[Carlos Gamma]] bekannt geworden sind.

== Carlos Alpha, Beta und Gamma ==
Die Idee hinter den Skalen Carlos Alpha, Beta und Gamma kann man so formulieren, dass eine gleichstufige Tonleiter gesucht wird, die möglichst gute Approximationen für die reine Quinte 3/2, die grosse Terz 5/4 sowie die kleine Terz 6/5 anbietet, also die Intervalle des reinen Dur-Dreiklangs, wobei nicht zwingend eine gute Approximationen der Oktave 2/1 erreicht werden muss. Das läuft in der Praxis auf eine gleichstufige Unterteilung einer reinen oder leicht temperierten Quinte heraus.

Für eine gute Einführung mit Details zur mathematischen Herleitung siehe etwa den Artikel von Andrew W. Sills in den Referenzen.


[[Carlos Alpha|9-EDF (Carlos Alpha)]]

[[Carlos Beta]]

[[Carlos Gamma]]

== Referenzen ==

* [https://de.wikipedia.org/wiki/Wendy_Carlos Wendy Carlos (Wikipedia)]
* [https://www.wendycarlos.com/ Offizielle Homepage]
* [https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/17459737.2025.2568834 Andrew V. Sills, Generalized Carlos Scales, Journal of Mathematics and Music, Vol. 19, 2025, Issue 3] .

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Die Komponistin und Elektronikmusikerin Wendy Carlos hat für ihr Album [[wikipedia:Beauty_in_the_Beast|Beauty in the Beast]] eine Reihe neuer Skalen designt, namentlich diejenigen, die als [[Carlos Alpha]], [[Carlos Beta]] und [[Carlos Gamma]] bekannt geworden sind.

== Carlos Alpha, Beta und Gamma ==
Die Idee hinter den Skalen Carlos Alpha, Beta und Gamma kann man so formulieren, dass eine gleichstufige Tonleiter gesucht wird, die möglichst gute Approximationen für die reine Quinte 3/2, die grosse Terz 5/4 sowie die kleine Terz 6/5 anbietet, also die Intervalle des reinen Dur-Dreiklangs, wobei nicht zwingend eine gute Approximationen der Oktave 2/1 erreicht werden muss. Das läuft in der Praxis auf eine gleichstufige Unterteilung einer reinen oder leicht temperierten Quinte heraus.

Für eine gute Einführung mit Details zur mathematischen Herleitung siehe etwa den Artikel von Andrew W. Sills in den Referenzen.


[[Carlos Alpha|9-EDF (Carlos Alpha)]]

[[Carlos Beta]]

[[Carlos Gamma]]

== Referenzen ==

* [https://www.wendycarlos.com/ Offizielle Homepage]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Wendy_Carlos Wendy Carlos (Wikipedia)]
* [https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/17459737.2025.2568834 Andrew V. Sills, Generalized Carlos Scales, Journal of Mathematics and Music, Vol. 19, 2025, Issue 3] .

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Die Komponistin und Elektronikmusikerin Wendy Carlos hat für ihr Album [[wikipedia:Beauty_in_the_Beast|Beauty in the Beast]] eine Reihe neuer Skalen designt, namentlich diejenigen, die als [[Carlos Alpha]], [[Carlos Beta]] und [[Carlos Gamma]] bekannt geworden sind.

== Carlos Alpha, Beta und Gamma ==
Die Idee hinter den Skalen Carlos Alpha, Beta und Gamma kann man so formulieren, dass eine gleichstufige Tonleiter gesucht wird, die möglichst gute Approximationen für die reine Quinte 3/2, die grosse Terz 5/4 sowie die kleine Terz 6/5 anbietet, also die Intervalle des reinen Dur-Dreiklangs, wobei nicht zwingend eine gute Approximationen der Oktave 2/1 erreicht werden muss. Das läuft in der Praxis auf eine gleichstufige Unterteilung einer reinen oder leicht temperierten Quinte heraus.

Für eine gute Einführung mit Details zur mathematischen Herleitung siehe etwa [https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/17459737.2025.2568834 Andrew V. Sills, Generalized Carlos Scales, Journal of Mathematics and Music, Vol. 19, 2025, Issue 3] .



[[Carlos Alpha|9-EDF (Carlos Alpha)]]

[[Carlos Beta]]

[[Carlos Gamma]]

== Referenzen ==

* [https://www.wendycarlos.com/ Offizielle Homepage]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Wendy_Carlos Wendy Carlos (Wikipedia)]
* [https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/17459737.2025.2568834 Andrew V. Sills, Generalized Carlos Scales, Journal of Mathematics and Music, Vol. 19, 2025, Issue 3] .

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Die Komponistin und Elektronikmusikerin Wendy Carlos hat für ihr Album [[wikipedia:Beauty_in_the_Beast|Beauty in the Beast]] eine Reihe neuer Skalen designt, namentlich diejenigen, die als [[Carlos Alpha]], [[Carlos Beta]] und [[Carlos Gamma]] bekannt geworden sind.

== Carlos Alpha, Beta und Gamma ==
Die Idee hinter den Skalen Carlos Alpha, Beta und Gamma kann man so formulieren, dass eine gleichstufige Tonleiter gesucht wird, die möglichst gute Approximationen für die reine Quinte 3/2, die grosse Terz 5/4 sowie die kleine Terz 6/5 anbietet, also die Intervalle des reinen Dur-Dreiklangs, wobei nicht zwingend eine gute Approximationen der Oktave 2/1 erreicht werden muss. Das läuft in der Praxis auf eine gleichstufige Unterteilung einer reinen oder leicht temperierten Quinte heraus.

Für eine gute Einführung mit Details zur mathematischen Herleitung siehe etwa [https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/17459737.2025.2568834 Andrew V. Sills, Generalized Carlos Scales, Journal of Mathematics and Music, Vol. 19, 2025, Issue 3] .



[[Carlos Alpha|9-EDF (Carlos Alpha)]]

[[Carlos Beta|11-EDF (Carlos Beta)]]

[[Carlos Gamma]]

== Referenzen ==

* [https://www.wendycarlos.com/ Offizielle Homepage]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Wendy_Carlos Wendy Carlos (Wikipedia)]
* [https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/17459737.2025.2568834 Andrew V. Sills, Generalized Carlos Scales, Journal of Mathematics and Music, Vol. 19, 2025, Issue 3] .

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Die Komponistin und Elektronikmusikerin Wendy Carlos hat für ihr Album [[wikipedia:Beauty_in_the_Beast|Beauty in the Beast]] eine Reihe neuer Skalen designt, namentlich diejenigen, die als [[Carlos Alpha]], [[Carlos Beta]] und [[Carlos Gamma]] bekannt geworden sind.

== Carlos Alpha, Beta und Gamma ==
Die Idee hinter den Skalen Carlos Alpha, Beta und Gamma kann man so formulieren, dass eine gleichstufige Tonleiter gesucht wird, die möglichst gute Approximationen für die reine Quinte 3/2, die grosse Terz 5/4 sowie die kleine Terz 6/5 anbietet, also die Intervalle des reinen Dur-Dreiklangs, wobei nicht zwingend eine gute Approximationen der Oktave 2/1 erreicht werden muss. Das läuft in der Praxis auf eine gleichstufige Unterteilung einer reinen oder leicht temperierten Quinte heraus.

Für eine gute Einführung mit Details zur mathematischen Herleitung siehe etwa [https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/17459737.2025.2568834 Andrew V. Sills, Generalized Carlos Scales, Journal of Mathematics and Music, Vol. 19, 2025, Issue 3] .



[[Carlos Alpha|9-EDF (Carlos Alpha)]]

[[Carlos Beta|11-EDF (Carlos Beta)]]

[[Carlos Gamma|20-EDF (Carlos Gamma)]]

== Referenzen ==

* [https://www.wendycarlos.com/ Offizielle Homepage]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Wendy_Carlos Wendy Carlos (Wikipedia)]
* [https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/17459737.2025.2568834 Andrew V. Sills, Generalized Carlos Scales, Journal of Mathematics and Music, Vol. 19, 2025, Issue 3] .

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Die Komponistin und Elektronikmusikerin Wendy Carlos hat für ihr Album [[wikipedia:Beauty_in_the_Beast|Beauty in the Beast]] eine Reihe neuer Skalen designt, namentlich diejenigen, die als [[Carlos Alpha]], [[Carlos Beta]] und [[Carlos Gamma]] bekannt geworden sind.

== Carlos Alpha, Beta und Gamma ==
Die Idee hinter den Skalen Carlos Alpha, Beta und Gamma kann man so formulieren, dass eine gleichstufige Tonleiter gesucht wird, die möglichst gute Approximationen für die reine Quinte 3/2, die grosse Terz 5/4 sowie die kleine Terz 6/5 anbietet, also die Intervalle des reinen Dur-Dreiklangs, wobei nicht zwingend eine gute Approximationen der Oktave 2/1 erreicht werden muss. Das läuft in der Praxis auf eine gleichstufige Unterteilung einer reinen oder leicht temperierten Quinte heraus.

Für eine gute Einführung mit Details zur mathematischen Herleitung siehe etwa [https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/17459737.2025.2568834 Andrew V. Sills, Generalized Carlos Scales, Journal of Mathematics and Music, Vol. 19, 2025, Issue 3] .



[[Carlos Alpha|9-EDF (Carlos Alpha)]]

[[Carlos Beta|11-EDF (Carlos Beta)]]

[[Carlos Gamma|20-EDF (Carlos Gamma)]]

== Referenzen ==

* [https://www.wendycarlos.com/ Homepage Wendy Carlos]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Wendy_Carlos Wendy Carlos (Wikipedia)]
* [https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/17459737.2025.2568834 Andrew V. Sills, Generalized Carlos Scales, Journal of Mathematics and Music, Vol. 19, 2025, Issue 3] .

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Die Komponistin und Elektronikmusikerin Wendy Carlos hat für ihr Album [[wikipedia:Beauty_in_the_Beast|Beauty in the Beast]] eine Reihe neuer Skalen designt, namentlich diejenigen, die als [[Carlos Alpha]], [[Carlos Beta]] und [[Carlos Gamma]] bekannt geworden sind.

== Carlos Alpha, Beta und Gamma ==
Die Idee hinter den Skalen Carlos Alpha, Beta und Gamma kann man so formulieren, dass eine gleichstufige Tonleiter gesucht wird, die möglichst gute Approximationen für die reine Quinte 3/2, die grosse Terz 5/4 sowie die kleine Terz 6/5 anbietet, also die Intervalle des reinen Dur-Dreiklangs, wobei nicht zwingend eine gute Approximation der Oktave 2/1 erreicht werden muss. Das läuft in der Praxis auf eine gleichstufige Unterteilung einer reinen oder leicht temperierten Quinte heraus.

Für eine gute Einführung mit Details zur mathematischen Herleitung siehe etwa [https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/17459737.2025.2568834 Andrew V. Sills, Generalized Carlos Scales, Journal of Mathematics and Music, Vol. 19, 2025, Issue 3] .



[[Carlos Alpha|9-EDF (Carlos Alpha)]]

[[Carlos Beta|11-EDF (Carlos Beta)]]

[[Carlos Gamma|20-EDF (Carlos Gamma)]]

== Referenzen ==

* [https://www.wendycarlos.com/ Homepage Wendy Carlos]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Wendy_Carlos Wendy Carlos (Wikipedia)]
* [https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/17459737.2025.2568834 Andrew V. Sills, Generalized Carlos Scales, Journal of Mathematics and Music, Vol. 19, 2025, Issue 3] .

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Klangbeispiele können z.B. mit [http://de.wikipedia.org/wiki/Csound Csound] erstellt werden, allerdings ist es nicht ganz leicht, sich für einen Sound zu entscheiden (Csound ist sehr reichhaltig und man verliert besonders anfangs schnell den Überblick). Ein kleines Ärgernis ist dabei auch, dass Csound das MP3-Format nicht direkt unterstützt, zur Umwandlung benötigt man weitere Werkzeuge wie z.B. [[Audacity|Audacity]] (inkl. der LAME-Bibliothek).

== Beispiele ==
[[File:orwell-tetrad-in-22edo.mp3]]

[[Orwell|Orwell]]-Vierklang, in [[22edo|22edo]] (Quelltext: [[:File:orwell-tetrad-in-22edo.csd|file:orwell-tetrad-in-22edo.csd]])

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Orwell-Vierklang, in "reiner Stimmung" (Quelltext: [[:File:orwell-tetrad-in-JI|file:orwell-tetrad-in-JI.csd]])</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Klangbeispiele können z.B. mit [[http://de.wikipedia.org/wiki/Csound|Csound]] erstellt werden, allerdings ist es nicht ganz leicht, sich für einen Sound zu entscheiden (Csound ist sehr reichhaltig und man verliert besonders anfangs schnell den Überblick). Ein kleines Ärgernis ist dabei auch, dass Csound das MP3-Format nicht direkt unterstützt, zur Umwandlung benötigt man weitere Werkzeuge wie z.B. [[Audacity]] (inkl. der LAME-Bibliothek).
== Beispiele ==
[[media type="file" key="xenharmonie:orwell-tetrad-in-22edo.mp3"]]
[[Orwell]]-Vierklang, in [[22edo]] (Quelltext: [[http://xenharmonie.wikispaces.com/file/detail/orwell-tetrad-in-22edo.csd|file:orwell-tetrad-in-22edo.csd]])

[[media type="file" key="xenharmonie:orwell-tetrad-in-JI.mp3"]]
Orwell-Vierklang, in "reiner Stimmung" (Quelltext: [[http://xenharmonie.wikispaces.com/file/detail/orwell-tetrad-in-JI|file:orwell-tetrad-in-JI.csd]])

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Klangbeispiele können z.B. mit &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Csound" rel="nofollow"&amp;gt;Csound&amp;lt;/a&amp;gt; erstellt werden, allerdings ist es nicht ganz leicht, sich für einen Sound zu entscheiden (Csound ist sehr reichhaltig und man verliert besonders anfangs schnell den Überblick). Ein kleines Ärgernis ist dabei auch, dass Csound das MP3-Format nicht direkt unterstützt, zur Umwandlung benötigt man weitere Werkzeuge wie z.B. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Audacity"&amp;gt;Audacity&amp;lt;/a&amp;gt; (inkl. der LAME-Bibliothek).&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:0:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/xenharmonie%3Aorwell-tetrad-in-22edo.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;xenharmonie:orwell-tetrad-in-22edo.mp3&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252Forwell-tetrad-in-22edo.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Orwell"&amp;gt;Orwell&amp;lt;/a&amp;gt;-Vierklang, in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; (Quelltext: &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/file/detail/orwell-tetrad-in-22edo.csd" rel="nofollow"&amp;gt;file:orwell-tetrad-in-22edo.csd&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:1:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/xenharmonie%3Aorwell-tetrad-in-JI.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;xenharmonie:orwell-tetrad-in-JI.mp3&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252Forwell-tetrad-in-JI.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Orwell-Vierklang, in &amp;amp;quot;reiner Stimmung&amp;amp;quot; (Quelltext: &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/file/detail/orwell-tetrad-in-JI" rel="nofollow"&amp;gt;file:orwell-tetrad-in-JI.csd&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2015-03-23 16:44:19 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Klangbeispiele können z.B. mit [[Csound]] erstellt werden, allerdings ist es nicht ganz leicht, sich für einen Sound zu entscheiden (Csound ist sehr reichhaltig und man verliert besonders anfangs schnell den Überblick). Ein kleines Ärgernis ist dabei auch, dass Csound das MP3-Format nicht direkt unterstützt, zur Umwandlung benötigt man weitere Werkzeuge wie z.B. [[Audacity]] (inkl. der LAME-Bibliothek).

== Beispiele ==
[[media type="file" key="xenharmonie:orwell-tetrad-in-22edo.mp3"]]
[[Orwell]]-Vierklang, in [[22edo]] (Quelltext: [[http://xenharmonie.wikispaces.com/file/detail/orwell-tetrad-in-22edo.csd|file:orwell-tetrad-in-22edo.csd]])

[[media type="file" key="xenharmonie:orwell-tetrad-in-JI.mp3"]]
Orwell-Vierklang, in "reiner Stimmung" (Quelltext: [[http://xenharmonie.wikispaces.com/file/detail/orwell-tetrad-in-JI|file:orwell-tetrad-in-JI.csd]])

&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Werkzeug für Klangbeispiele&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Klangbeispiele können z.B. mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Csound"&amp;gt;Csound&amp;lt;/a&amp;gt; erstellt werden, allerdings ist es nicht ganz leicht, sich für einen Sound zu entscheiden (Csound ist sehr reichhaltig und man verliert besonders anfangs schnell den Überblick). Ein kleines Ärgernis ist dabei auch, dass Csound das MP3-Format nicht direkt unterstützt, zur Umwandlung benötigt man weitere Werkzeuge wie z.B. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Audacity"&amp;gt;Audacity&amp;lt;/a&amp;gt; (inkl. der LAME-Bibliothek).&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-Beispiele"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&amp;gt; Beispiele &amp;lt;/h2&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Orwell"&amp;gt;Orwell&amp;lt;/a&amp;gt;-Vierklang, in &amp;lt;a class="wiki_link" href="/22edo"&amp;gt;22edo&amp;lt;/a&amp;gt; (Quelltext: &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/file/detail/orwell-tetrad-in-22edo.csd" rel="nofollow"&amp;gt;file:orwell-tetrad-in-22edo.csd&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextMediaRule:1:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file-audio/xenharmonie%3Aorwell-tetrad-in-JI.mp3?h=20&amp;amp;amp;w=240&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiMedia WikiMediaFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@media@@type=&amp;amp;amp;quot;file&amp;amp;amp;quot; key=&amp;amp;amp;quot;xenharmonie:orwell-tetrad-in-JI.mp3&amp;amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;Local Media File&amp;amp;quot;height=&amp;amp;quot;20&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;240&amp;amp;quot;/&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;embed src="/s/mediaplayer.swf" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" quality="high" width="240" height="20" wmode="transparent" flashvars="file=http%253A%252F%252Fxenharmonie.wikispaces.com%252Ffile%252Fview%252Forwell-tetrad-in-JI.mp3?file_extension=mp3&amp;amp;autostart=false&amp;amp;repeat=false&amp;amp;showdigits=true&amp;amp;showfsbutton=false&amp;amp;width=240&amp;amp;height=20"&amp;gt;&amp;lt;/embed&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextMediaRule:1 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Orwell-Vierklang, in &amp;amp;quot;reiner Stimmung&amp;amp;quot; (Quelltext: &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/file/detail/orwell-tetrad-in-JI" rel="nofollow"&amp;gt;file:orwell-tetrad-in-JI.csd&amp;lt;/a&amp;gt;)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2015-03-23 16:41:29 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Klangbeispiele können z.B. mit [[Csound]] erstellt werden, allerdings ist es nicht ganz leicht, sich für einen Sound zu entscheiden (Csound ist sehr reichhaltig und man verliert besonders anfangs schnell den Überblick). Ein kleines Ärgernis ist dabei auch, dass Csound das MP3-Format nicht direkt unterstützt, zur Umwandlung benötigt man weitere Werkzeuge wie z.B. [[Audacity]] (inkl. der LAME-Bibliothek).

== Beispiele ==
[[media type="file" key="xenharmonie:orwell-tetrad-in-22edo.mp3"]]
[[Orwell]]-Vierklang, in [[22edo]] (Quelltext: [[file:orwell-tetrad-in-22edo.csd]])

[[media type="file" key="xenharmonie:orwell-tetrad-in-JI.mp3"]]
Orwell-Vierklang, in "reiner Stimmung" (Quelltext: [[file:orwell-tetrad-in-JI.csd]])

&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Werkzeug für Klangbeispiele&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Klangbeispiele können z.B. mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Csound"&amp;gt;Csound&amp;lt;/a&amp;gt; erstellt werden, allerdings ist es nicht ganz leicht, sich für einen Sound zu entscheiden (Csound ist sehr reichhaltig und man verliert besonders anfangs schnell den Überblick). Ein kleines Ärgernis ist dabei auch, dass Csound das MP3-Format nicht direkt unterstützt, zur Umwandlung benötigt man weitere Werkzeuge wie z.B. &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Audacity"&amp;gt;Audacity&amp;lt;/a&amp;gt; (inkl. der LAME-Bibliothek).&amp;lt;br /&amp;gt;
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Orwell-Vierklang, in &amp;amp;quot;reiner Stimmung&amp;amp;quot; (Quelltext: &amp;lt;!-- ws:start:WikiTextFileRule:5:&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;http://www.wikispaces.com/site/embedthumbnail/file/orwell-tetrad-in-JI.csd?h=52&amp;amp;amp;w=320&amp;amp;quot; class=&amp;amp;quot;WikiFile&amp;amp;quot; id=&amp;amp;quot;wikitext@@file@@orwell-tetrad-in-JI.csd&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;File: orwell-tetrad-in-JI.csd&amp;amp;quot; width=&amp;amp;quot;320&amp;amp;quot; height=&amp;amp;quot;52&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div class="objectEmbed"&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/orwell-tetrad-in-JI.csd/545041008/orwell-tetrad-in-JI.csd" onclick="ws.common.trackFileLink('/file/view/orwell-tetrad-in-JI.csd/545041008/orwell-tetrad-in-JI.csd');"&amp;gt;&amp;lt;img src="http://www.wikispaces.com/i/mime/32/empty.png" height="32" width="32" alt="orwell-tetrad-in-JI.csd" /&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;div&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/orwell-tetrad-in-JI.csd/545041008/orwell-tetrad-in-JI.csd" onclick="ws.common.trackFileLink('/file/view/orwell-tetrad-in-JI.csd/545041008/orwell-tetrad-in-JI.csd');" class="filename" title="orwell-tetrad-in-JI.csd"&amp;gt;orwell-tetrad-in-JI.csd&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;&amp;lt;ul&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/detail/orwell-tetrad-in-JI.csd"&amp;gt;Details&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li&amp;gt;&amp;lt;a href="/file/view/orwell-tetrad-in-JI.csd/545041008/orwell-tetrad-in-JI.csd"&amp;gt;Download&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;li style="color: #666"&amp;gt;1 KB&amp;lt;/li&amp;gt;&amp;lt;/ul&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextFileRule:5 --&amp;gt;)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Klangbeispiele können z.B. mit [http://de.wikipedia.org/wiki/Csound Csound] erstellt werden, allerdings ist es nicht ganz leicht, sich für einen Sound zu entscheiden (Csound ist sehr reichhaltig und man verliert besonders anfangs schnell den Überblick). Ein kleines Ärgernis ist dabei auch, dass Csound das MP3-Format nicht direkt unterstützt, zur Umwandlung benötigt man weitere Werkzeuge wie z.B. [[Audacity|Audacity]] (inkl. der LAME-Bibliothek).

== Beispiele ==
[[File:orwell-tetrad-in-22edo.mp3]]

[[Orwell|Orwell]]-Vierklang, in [[22edo|22edo]] (Quelltext: [[:File:orwell-tetrad-in-22edo.csd|file:orwell-tetrad-in-22edo.csd]])

[[File:orwell-tetrad-in-JI.mp3]]

Orwell-Vierklang, in "reiner Stimmung" (Quelltext: [[:File:orwell-tetrad-in-JI.csd|file:orwell-tetrad-in-JI.csd]])</text>
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Klangbeispiele können z.B. mit [http://de.wikipedia.org/wiki/Csound Csound] erstellt werden, allerdings ist es nicht ganz leicht, sich für einen Sound zu entscheiden (Csound ist sehr reichhaltig und man verliert besonders anfangs schnell den Überblick). Ein kleines Ärgernis ist dabei auch, dass Csound das MP3-Format nicht direkt unterstützt, zur Umwandlung benötigt man weitere Werkzeuge wie z.B. [[Audacity|Audacity]] (inkl. der LAME-Bibliothek).

== Beispiele ==
[[File:orwell-tetrad-in-22edo.mp3]]

[[Orwell|Orwell]]-Vierklang, in [[22-EDO]] (Quelltext: [[:File:orwell-tetrad-in-22edo.csd|file:orwell-tetrad-in-22edo.csd]])

[[File:orwell-tetrad-in-JI.mp3]]

Orwell-Vierklang, in "reiner Stimmung" (Quelltext: [[:File:orwell-tetrad-in-JI.csd|file:orwell-tetrad-in-JI.csd]])</text>
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      <text bytes="686" sha1="fxyrgqpodthw8vp80gronogm3bvhps3" xml:space="preserve">'''Wikis''' sind ein Medium, über das Wissen auf eine Weise geteilt und entwickelt werden kann, die mit anderen Mitteln nicht möglich ist. 

Die Wiki-Idee wurde 1995 von [http://de.wikipedia.org/wiki/Ward_Cunningham Ward Cunningham] geboren, als er eine Möglichkeit suchte, sich mit seinen Kollegen über Software-Muster auszutauschen, ohne seine Karteikartensammlung (Ja, Papier!) aus der Hand geben zu müssen.

Nicht zu vergessen: Die meisten "echten" Wikis sind nicht mit Wikipedia zu vergleichen, weil sie nicht den Anspruch haben, die ganze Welt mit gesicherten Wissen zu versorgen - im Gegenteil: viele Wikis dienen der Sammlung von ersten Ideen und der Grundlagenforschung...</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-04-17 17:05:43 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;424089986&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Die Wiki-Idee wurde 1995 von [[http://de.wikipedia.org/wiki/Ward_Cunningham|Ward Cunningham]] geboren, als er eine Möglichkeit suchte, sich mit seinen Kollegen über Software-Muster auszutauschen, ohne seine Karteikartensammlung (Ja, Papier!) aus der Hand geben zu müssen.

Nicht zu vergessen: Die meisten "echten" Wikis sind nicht mit Wikipedia zu vergleichen, weil sie nicht den Anspruch haben, die ganze Welt mit gesicherten Wissen zu versorgen - im Gegenteil: viele Wikis dienen der Sammlung von ersten Ideen und der Grundlagenforschung...&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Wiki-Idee wurde 1995 von &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Ward_Cunningham" rel="nofollow"&amp;gt;Ward Cunningham&amp;lt;/a&amp;gt; geboren, als er eine Möglichkeit suchte, sich mit seinen Kollegen über Software-Muster auszutauschen, ohne seine Karteikartensammlung (Ja, Papier!) aus der Hand geben zu müssen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Nicht zu vergessen: Die meisten &amp;amp;quot;echten&amp;amp;quot; Wikis sind nicht mit Wikipedia zu vergleichen, weil sie nicht den Anspruch haben, die ganze Welt mit gesicherten Wissen zu versorgen - im Gegenteil: viele Wikis dienen der Sammlung von ersten Ideen und der Grundlagenforschung...&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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Wikipedia: [http://en.wikipedia.org/wiki/William_Sethares William Sethares - Wikipedia, the free encyclopedia]

== William Sethares - Topology of musical data ==
&lt;youtube&gt;PFzy_5RVqF4&lt;/youtube&gt;  [[Category:Person]]</text>
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Wikipedia: [[http://en.wikipedia.org/wiki/William_Sethares|William Sethares - Wikipedia, the free encyclopedia]]

== William Sethares - Topology of musical data ==
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&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Wikipedia: &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://en.wikipedia.org/wiki/William_Sethares" rel="nofollow"&amp;gt;William Sethares - Wikipedia, the free encyclopedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:1:&amp;amp;lt;h2&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h2 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="x-William Sethares - Topology of musical data"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:1 --&amp;gt; William Sethares - Topology of musical data &amp;lt;/h2&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-07-08 10:06:41 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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Wikipedia: [[http://en.wikipedia.org/wiki/William_Sethares|William Sethares - Wikipedia, the free encyclopedia]]

[[media type="youtube" key="PFzy_5RVqF4?feature=player_detailpage" height="360" width="640"]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Wikipedia: &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://en.wikipedia.org/wiki/William_Sethares" rel="nofollow"&amp;gt;William Sethares - Wikipedia, the free encyclopedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Bill Sethares]]
Wikipedia: [[http://en.wikipedia.org/wiki/William_Sethares|William Sethares - Wikipedia, the free encyclopedia]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Wiliam Sethares&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Bill%20Sethares"&amp;gt;xenharmonic/Bill Sethares&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Wikipedia: &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://en.wikipedia.org/wiki/William_Sethares" rel="nofollow"&amp;gt;William Sethares - Wikipedia, the free encyclopedia&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;English: [[xenharmonic/Bill Sethares]]&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Wiliam Sethares&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;English: &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Bill%20Sethares"&amp;gt;xenharmonic/Bill Sethares&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Mike Battaglia</username>
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      <text bytes="271" sha1="09n4fl9uc2n7h7rqpds5p19kaggy6xy" xml:space="preserve">English: [[:en:Bill_Sethares|xenharmonic/Bill Sethares]]

Wikipedia: [http://en.wikipedia.org/wiki/William_Sethares William Sethares - Wikipedia, the free encyclopedia]

== William Sethares - Topology of musical data ==
&lt;youtube&gt;PFzy_5RVqF4&lt;/youtube&gt;  [[Category:Person]]</text>
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      <text bytes="621" sha1="b1qzcjkpj2jbvokah7bwlcd7gupp8np" xml:space="preserve">Das '''Xenharmonie-Wiki''' bietet wissenden und wissbegierigen [[Xenharmonie|Xenharmonikern]] - Menschen, die davon überzeugt sind, dass Musik auch jenseits der 12 ''wohltemperierten'' Töne möglich ist - die Möglichkeit, ihre Ideen auszutauschen und zu vertiefen. Es startete als deutschsprachiges [[Schwesterwiki|Schwesterwiki]] zum [[:en:home xenharmonic wiki]].

[[File:Zwischen_den_Tasten_lesen.jpg|alt=Zwischen den Tasten lesen.jpg|Zwischen den Tasten lesen.jpg]]&lt;span style="text-align: center;
display: block;"&gt;Wie viele Töne passen in eine [[Oktave|Oktave]]? ... und wie viele [[Mikroton|Mikrotöne]]?&lt;/span&gt;</text>
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      <text bytes="3212" sha1="2hhrjx3ov1hekwtu1fxld2ewxpzkzie" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Das **Xenharmonie-Wiki** bietet wissenden und wissbegierigen [[Xenharmonie|Xenharmonikern]] - Menschen, die davon überzeugt sind, dass Musik auch jenseits der 12 //wohltemperierten// Töne möglich ist - die Möglichkeit, ihre Ideen auszutauschen und zu vertiefen. Es startete als deutschsprachiges [[Schwesterwiki]] zum [[xenharmonic:home|xenharmonic wiki]].
[[image:Zwischen den Tasten lesen.jpg align="center"]]
&amp;lt;span style="text-align: center;
display: block;"&amp;gt;Wie viele Töne passen in eine [[Oktave]]? ... und wie viele [[Mikroton|Mikrotöne]]?&amp;lt;/span&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Willkommen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Das &amp;lt;strong&amp;gt;Xenharmonie-Wiki&amp;lt;/strong&amp;gt; bietet wissenden und wissbegierigen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Xenharmonie"&amp;gt;Xenharmonikern&amp;lt;/a&amp;gt; - Menschen, die davon überzeugt sind, dass Musik auch jenseits der 12 &amp;lt;em&amp;gt;wohltemperierten&amp;lt;/em&amp;gt; Töne möglich ist - die Möglichkeit, ihre Ideen auszutauschen und zu vertiefen. Es startete als deutschsprachiges &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Schwesterwiki"&amp;gt;Schwesterwiki&amp;lt;/a&amp;gt; zum &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/home"&amp;gt;xenharmonic wiki&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:0:&amp;amp;lt;div style=&amp;amp;quot;text-align: center&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/Zwischen%20den%20Tasten%20lesen.jpg/436770308/Zwischen%20den%20Tasten%20lesen.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;/div&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div style="text-align: center"&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/Zwischen%20den%20Tasten%20lesen.jpg/436770308/Zwischen%20den%20Tasten%20lesen.jpg" alt="Zwischen den Tasten lesen.jpg" title="Zwischen den Tasten lesen.jpg" /&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;span style="text-align: center;
display: block;"&amp;gt;Wie viele Töne passen in eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&amp;gt;Oktave&amp;lt;/a&amp;gt;? ... und wie viele &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Mikroton"&amp;gt;Mikrotöne&amp;lt;/a&amp;gt;?&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <comment>**Imported revision 436772396 - Original comment: Versuch, die Hauptseite ansprechender zu gestalten**</comment>
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      <text bytes="2970" sha1="ti4d4wim65ojtbqysqyyp6vmh3xn8e6" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Das **Xenharmonie-Wiki** bietet wissenden und wissbegierigen [[Xenharmonie|Xenharmonikern]] - Menschen, die davon überzeugt sind, dass Musik auch jenseits der 12 wohltemperierten Töne möglich ist - die Möglichkeit, ihre Ideen auszutauschen und zu vertiefen. 

[[image:Zwischen den Tasten lesen.jpg align="center"]]

Dieses [[Wiki]] startete als deutschsprachiges Schwesterwiki zum [[xenharmonic:home|xenharmonic wiki]], das seit Jahren von Wikispaces gehostet wird.
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Willkommen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Das &amp;lt;strong&amp;gt;Xenharmonie-Wiki&amp;lt;/strong&amp;gt; bietet wissenden und wissbegierigen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Xenharmonie"&amp;gt;Xenharmonikern&amp;lt;/a&amp;gt; - Menschen, die davon überzeugt sind, dass Musik auch jenseits der 12 wohltemperierten Töne möglich ist - die Möglichkeit, ihre Ideen auszutauschen und zu vertiefen. &amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextLocalImageRule:0:&amp;amp;lt;div style=&amp;amp;quot;text-align: center&amp;amp;quot;&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;img src=&amp;amp;quot;/file/view/Zwischen%20den%20Tasten%20lesen.jpg/436770308/Zwischen%20den%20Tasten%20lesen.jpg&amp;amp;quot; alt=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; title=&amp;amp;quot;&amp;amp;quot; /&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;/div&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;div style="text-align: center"&amp;gt;&amp;lt;img src="/file/view/Zwischen%20den%20Tasten%20lesen.jpg/436770308/Zwischen%20den%20Tasten%20lesen.jpg" alt="Zwischen den Tasten lesen.jpg" title="Zwischen den Tasten lesen.jpg" /&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextLocalImageRule:0 --&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
Dieses &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Wiki"&amp;gt;Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; startete als deutschsprachiges Schwesterwiki zum &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/home"&amp;gt;xenharmonic wiki&amp;lt;/a&amp;gt;, das seit Jahren von Wikispaces gehostet wird.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <text bytes="2100" sha1="87dgeul99po73vhgpwjv9qtnvvnrwzh" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-06-06 01:41:15 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;436658644&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Hier im **Xenharmonie-Wiki** haben wissende und wissbegierige [[Xenharmonie|Xenharmoniker]] und ihre Gäste die Möglichkeit, ihre Ideen in deutscher Sprache auszutauschen und zu vertiefen.

Dieses [[Wiki]] startete als deutschsprachiges Schwesterwiki zum [[xenharmonic:home|xenharmonic wiki]], das seit Jahren von Wikispaces gehostet wird.
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Willkommen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Hier im &amp;lt;strong&amp;gt;Xenharmonie-Wiki&amp;lt;/strong&amp;gt; haben wissende und wissbegierige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Xenharmonie"&amp;gt;Xenharmoniker&amp;lt;/a&amp;gt; und ihre Gäste die Möglichkeit, ihre Ideen in deutscher Sprache auszutauschen und zu vertiefen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dieses &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Wiki"&amp;gt;Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; startete als deutschsprachiges Schwesterwiki zum &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/home"&amp;gt;xenharmonic wiki&amp;lt;/a&amp;gt;, das seit Jahren von Wikispaces gehostet wird.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <comment>**Imported revision 431244178 - Original comment: **</comment>
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      <text bytes="2037" sha1="9swxk3uhf2ltzugvkw80jqyfnge2eq9" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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: The original revision id was &lt;tt&gt;431244178&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Hier haben wissende und wissbegierige [[Xenharmonie|Xenharmoniker]] und ihre Gäste die Möglichkeit, ihre Ideen in deutscher Sprache auszutauschen und zu vertiefen.

Dieses [[Wiki]] versteht sich als deutschsprachiges Schwesterwiki zum [[xenharmonic:home|xenharmonic wiki]], das seit Jahren von Wikispaces gehostet wird.
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Willkommen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Hier haben wissende und wissbegierige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Xenharmonie"&amp;gt;Xenharmoniker&amp;lt;/a&amp;gt; und ihre Gäste die Möglichkeit, ihre Ideen in deutscher Sprache auszutauschen und zu vertiefen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
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The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Hier haben wissende und wissbegierige [[Xenharmonie|Xenharmoniker]] und ihre Gäste die Möglichkeit, ihre Ideen in deutscher Sprache auszutauschen und zu vertiefen.

Dieses [[Wiki]] versteht sich als deutschsprachiges Schwesterwiki zum [[xenharmonic:home|xenharmonic wiki]], das seit Jahren von Wikispaces gehostet wird.

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Wer in die [[http://xenharmonie.wikispaces.com/wiki/changes|letzten Änderungen]] schaut, wird vermutlich einige Seiten entdecken, die nichts mit Xenharmonie zu tun zu haben scheinen. Da liegt der Beobachter goldrichtig ;) bei diesem Wiki handelt es sich um ein recyceltes; ich hatte es ursprünglich gestartet, um eine Art von Wortspielen zu sammeln (wen es interessiert: die entsprechenden Inhalte sind nun in den [[wortspielraum:home|WortSpielRaum]] umgezogen, aber die Spuren dieses Erbes sind - wie gesagt - noch zu erkennen).&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Willkommen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Hier haben wissende und wissbegierige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Xenharmonie"&amp;gt;Xenharmoniker&amp;lt;/a&amp;gt; und ihre Gäste die Möglichkeit, ihre Ideen in deutscher Sprache auszutauschen und zu vertiefen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dieses &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Wiki"&amp;gt;Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; versteht sich als deutschsprachiges Schwesterwiki zum &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/home"&amp;gt;xenharmonic wiki&amp;lt;/a&amp;gt;, das seit Jahren von Wikispaces gehostet wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;hr /&amp;gt;
Wer in die &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/wiki/changes" rel="nofollow"&amp;gt;letzten Änderungen&amp;lt;/a&amp;gt; schaut, wird vermutlich einige Seiten entdecken, die nichts mit Xenharmonie zu tun zu haben scheinen. Da liegt der Beobachter goldrichtig ;) bei diesem Wiki handelt es sich um ein recyceltes; ich hatte es ursprünglich gestartet, um eine Art von Wortspielen zu sammeln (wen es interessiert: die entsprechenden Inhalte sind nun in den &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://wortspielraum.wikispaces.com/home"&amp;gt;WortSpielRaum&amp;lt;/a&amp;gt; umgezogen, aber die Spuren dieses Erbes sind - wie gesagt - noch zu erkennen).&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Hier haben wissende und wissbegierige [[Xenharmonie|Xenharmoniker]] und ihre Gäste die Möglichkeit, ihre Ideen in deutscher Sprache auszutauschen und zu vertiefen.

Dieses [[Wiki]] versteht sich als deutschsprachiges Schwesterwiki zum [[xenharmonic:home|xenharmonic wiki]], das seit Jahren von Wikispaces gehostet wird.

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Wer in die letzten Änderungen schaut, wird einige Seiten sehen, die nichts mit Xenharmonie zu tun zu haben scheinen. Da liegt der Beobachter goldrichtig ;) bei diesem Wiki handelt es sich um ein recyceltes; ich hatte es ursprünglich gestartet, um eine Art von Wortspielen zu sammeln (wen es interessiert: die entsprechenden Inhalte sind nun in den [[wortspielraum:home|WortSpielRaum]] umgezogen, aber die Spuren dieses Erbes sind - wie gesagt - noch zu erkennen).&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Willkommen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Hier haben wissende und wissbegierige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Xenharmonie"&amp;gt;Xenharmoniker&amp;lt;/a&amp;gt; und ihre Gäste die Möglichkeit, ihre Ideen in deutscher Sprache auszutauschen und zu vertiefen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dieses &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Wiki"&amp;gt;Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; versteht sich als deutschsprachiges Schwesterwiki zum &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/home"&amp;gt;xenharmonic wiki&amp;lt;/a&amp;gt;, das seit Jahren von Wikispaces gehostet wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wer in die letzten Änderungen schaut, wird einige Seiten sehen, die nichts mit Xenharmonie zu tun zu haben scheinen. Da liegt der Beobachter goldrichtig ;) bei diesem Wiki handelt es sich um ein recyceltes; ich hatte es ursprünglich gestartet, um eine Art von Wortspielen zu sammeln (wen es interessiert: die entsprechenden Inhalte sind nun in den &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://wortspielraum.wikispaces.com/home"&amp;gt;WortSpielRaum&amp;lt;/a&amp;gt; umgezogen, aber die Spuren dieses Erbes sind - wie gesagt - noch zu erkennen).&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;xenwolf</username>
        <id>0</id>
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      <comment>**Imported revision 424108150 - Original comment: **</comment>
      <origin>1297</origin>
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      <text bytes="3072" sha1="5gt7d10d5uagd93xcpey0bhksgzahes" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Hier haben wissende und wissbegierige [[Xenharmonie|Xenharmoniker]] und ihre Gäste die Möglichkeit, ihre Ideen in deutscher Sprache auszutauschen und zu vertiefen.

Dieses [[Wiki]] versteht sich als deutschsprachiges Schwesterwiki zum [[xenharmonic:home|xenharmonic wiki]], das seit Jahren von Wikispaces gehostet wird.

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Wer in die letzten Änderungen schaut, wird einige Seiten sehen, die nichts mit Xenharmonie zu tun zu haben scheinen. Da liegt der Beobachter goldrichtig ;) bei diesem Wiki handelt es sich um ein recyceltes; ich hatte es ursprünglich gestartet, um eine Art von Wortspielen zu sammeln (wen es interessiert: die entsprechenden Inhalte sind nun in den [[wortspielraum:home|WortSpielRaum]] umgezogen, aber die Spuren dieses Erbes sind -wie gesagt - noch zu erkennen).&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Willkommen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Hier haben wissende und wissbegierige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Xenharmonie"&amp;gt;Xenharmoniker&amp;lt;/a&amp;gt; und ihre Gäste die Möglichkeit, ihre Ideen in deutscher Sprache auszutauschen und zu vertiefen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dieses &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Wiki"&amp;gt;Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; versteht sich als deutschsprachiges Schwesterwiki zum &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/home"&amp;gt;xenharmonic wiki&amp;lt;/a&amp;gt;, das seit Jahren von Wikispaces gehostet wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wer in die letzten Änderungen schaut, wird einige Seiten sehen, die nichts mit Xenharmonie zu tun zu haben scheinen. Da liegt der Beobachter goldrichtig ;) bei diesem Wiki handelt es sich um ein recyceltes; ich hatte es ursprünglich gestartet, um eine Art von Wortspielen zu sammeln (wen es interessiert: die entsprechenden Inhalte sind nun in den &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://wortspielraum.wikispaces.com/home"&amp;gt;WortSpielRaum&amp;lt;/a&amp;gt; umgezogen, aber die Spuren dieses Erbes sind -wie gesagt - noch zu erkennen).&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <id>0</id>
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      <comment>**Imported revision 424107940 - Original comment: **</comment>
      <origin>1298</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3044" sha1="o27pti8xrlocimqtyieusur64mjb3jw" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Hier haben wissende und wissbegierige [[Xenharmonie|Xenharmoniker]] und ihre Gäste die Möglichkeit, ihre Ideen in deutscher Sprache auszutauschen und zu vertiefen.

Dieses [[Wiki]] versteht sich als deutschsprachiges Schwesterwiki zum [[xenharmonic:home|xenharmonic wiki]], das seit Jahren von Wikispaces gehostet wird.

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Wer in die letzten Änderungen schaut, wird einige Seiten sehen, die nichts mit Xenharmonie zu tun zu haben scheinen. Da liegt der Beobachter goldrichtig ;) bei diesem Wiki handelt es sich um ein recyceltes; ich hatte es ursprünglich gestartet, um eine Art von Wortspielen zu sammeln (wen es interessiert: die entsprechenden Inhalte sind nun in den [[wortspielraum:home|WortSpielRaum]] umgezogen, aber die Spuren dieses Erbes sind noch zu erkennen).&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Willkommen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Hier haben wissende und wissbegierige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Xenharmonie"&amp;gt;Xenharmoniker&amp;lt;/a&amp;gt; und ihre Gäste die Möglichkeit, ihre Ideen in deutscher Sprache auszutauschen und zu vertiefen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dieses &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Wiki"&amp;gt;Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; versteht sich als deutschsprachiges Schwesterwiki zum &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/home"&amp;gt;xenharmonic wiki&amp;lt;/a&amp;gt;, das seit Jahren von Wikispaces gehostet wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wer in die letzten Änderungen schaut, wird einige Seiten sehen, die nichts mit Xenharmonie zu tun zu haben scheinen. Da liegt der Beobachter goldrichtig ;) bei diesem Wiki handelt es sich um ein recyceltes; ich hatte es ursprünglich gestartet, um eine Art von Wortspielen zu sammeln (wen es interessiert: die entsprechenden Inhalte sind nun in den &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://wortspielraum.wikispaces.com/home"&amp;gt;WortSpielRaum&amp;lt;/a&amp;gt; umgezogen, aber die Spuren dieses Erbes sind noch zu erkennen).&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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      <text bytes="3046" sha1="r8c5mhut8vwtr6nsqrmxljek0lm6xfl" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-04-17 18:13:59 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Hier haben wissende und wissbegierige [[Xenharmonie|Xenharmonikern]] und ihre Gäste die Möglichkeit, ihre Ideen in deutscher Sprache auszutauschen und zu vertiefen.

Dieses [[Wiki]] versteht sich als deutschsprachiges Schwesterwiki zum [[xenharmonic:home|xenharmonic wiki]], das seit Jahren von Wikispaces gehostet wird.

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Wer in die letzten Änderungen schaut, wird einige Seiten sehen, die nichts mit Xenharmonie zu tun zu haben scheinen. Da liegt der Beobachter goldrichtig ;) bei diesem Wiki handelt es sich um ein recyceltes; ich hatte es ursprünglich gestartet, um eine Art von Wortspielen zu sammeln (wen es interessiert: die entsprechenden Inhalte sind nun in den [[wortspielraum:home|WortSpielRaum]] umgezogen, aber die Spuren dieses Erbes sind noch zu erkennen).&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Willkommen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Hier haben wissende und wissbegierige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Xenharmonie"&amp;gt;Xenharmonikern&amp;lt;/a&amp;gt; und ihre Gäste die Möglichkeit, ihre Ideen in deutscher Sprache auszutauschen und zu vertiefen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Dieses &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Wiki"&amp;gt;Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; versteht sich als deutschsprachiges Schwesterwiki zum &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/home"&amp;gt;xenharmonic wiki&amp;lt;/a&amp;gt;, das seit Jahren von Wikispaces gehostet wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
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Wer in die letzten Änderungen schaut, wird einige Seiten sehen, die nichts mit Xenharmonie zu tun zu haben scheinen. Da liegt der Beobachter goldrichtig ;) bei diesem Wiki handelt es sich um ein recyceltes; ich hatte es ursprünglich gestartet, um eine Art von Wortspielen zu sammeln (wen es interessiert: die entsprechenden Inhalte sind nun in den &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://wortspielraum.wikispaces.com/home"&amp;gt;WortSpielRaum&amp;lt;/a&amp;gt; umgezogen, aber die Spuren dieses Erbes sind noch zu erkennen).&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;xenwolf</username>
        <id>0</id>
      </contributor>
      <comment>**Imported revision 424106306 - Original comment: **</comment>
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      <text bytes="3046" sha1="qylqiinalcot7zieeitk3oavqkgzhcv" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-04-17 18:13:32 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;424106306&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Hier haben wissende und wissbegierige [[Xenharmonie|Xenharmonikern]] und ihre Gäste die Möglichkeit, ihre Ideen in deutscher Sprache auszutauschen und zu vertiefen.

Dieses [[Wiki]] versteht sich als deutschsprachiges Schwesterwiki zum [[xenharmonic:home|xenharmonic wiki]], das seit Jahren von Wikispaces gehostet wird.

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Wer in die letzten Änderungen schaut, wird einige Seiten sehen, die nichts mit Xenharmonie zu tun zu haben scheinen. Da liegt der Beobachter goldrichtig ;) bei diesem Wiki handelt es sich um ein recyceltes, ich hatte es ursprünglich gestartet, um eine Art von Wortspielen zu sammeln (wen es interessiert: die entsprechenden Inhalte sind nun in den [[wortspielraum:home|WortSpielRaum]] umgezogen, aber die Spuren dieses Erbes sind noch zu erkennen).&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Willkommen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Hier haben wissende und wissbegierige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Xenharmonie"&amp;gt;Xenharmonikern&amp;lt;/a&amp;gt; und ihre Gäste die Möglichkeit, ihre Ideen in deutscher Sprache auszutauschen und zu vertiefen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dieses &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Wiki"&amp;gt;Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; versteht sich als deutschsprachiges Schwesterwiki zum &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/home"&amp;gt;xenharmonic wiki&amp;lt;/a&amp;gt;, das seit Jahren von Wikispaces gehostet wird.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;hr /&amp;gt;
Wer in die letzten Änderungen schaut, wird einige Seiten sehen, die nichts mit Xenharmonie zu tun zu haben scheinen. Da liegt der Beobachter goldrichtig ;) bei diesem Wiki handelt es sich um ein recyceltes, ich hatte es ursprünglich gestartet, um eine Art von Wortspielen zu sammeln (wen es interessiert: die entsprechenden Inhalte sind nun in den &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://wortspielraum.wikispaces.com/home"&amp;gt;WortSpielRaum&amp;lt;/a&amp;gt; umgezogen, aber die Spuren dieses Erbes sind noch zu erkennen).&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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    </revision>
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      <text bytes="2038" sha1="4d4tieco417vny6mqfb6gzlyo1buu6i" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-04-17 17:07:54 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;Hier haben wissende und wissbegierige [[Xenharmonie|Xenharmonikern]] und ihre Gäste die Möglichkeit, ihre Ideen in deutscher Sprache auszutauschen und zu vertiefen.

Dieses [[Wiki]] versteht sich als deutschsprachiges Schwesterwiki zum [[xenharmonic:home|xenharmonic wiki]], das seit Jahren von Wikispaces gehostet wird.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Willkommen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;Hier haben wissende und wissbegierige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Xenharmonie"&amp;gt;Xenharmonikern&amp;lt;/a&amp;gt; und ihre Gäste die Möglichkeit, ihre Ideen in deutscher Sprache auszutauschen und zu vertiefen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dieses &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Wiki"&amp;gt;Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; versteht sich als deutschsprachiges Schwesterwiki zum &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/home"&amp;gt;xenharmonic wiki&amp;lt;/a&amp;gt;, das seit Jahren von Wikispaces gehostet wird.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;= Willkommen =

Hier haben wissende und wissbegierige [[Xenharmonie|Xenharmonikern]] und ihre Gäste die Möglichkeit, ihre Ideen in deutscher Sprache auszutauschen und zu vertiefen.

Dieses [[Wiki]] versteht sich als deutschsprachiges Schwesterwiki zum [[xenharmonic:home|xenharmonic wiki]], das seit Jahren von Wikispaces gehostet wird.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Willkommen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Willkommen"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt; Willkommen &amp;lt;/h1&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Hier haben wissende und wissbegierige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Xenharmonie"&amp;gt;Xenharmonikern&amp;lt;/a&amp;gt; und ihre Gäste die Möglichkeit, ihre Ideen in deutscher Sprache auszutauschen und zu vertiefen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dieses &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Wiki"&amp;gt;Wiki&amp;lt;/a&amp;gt; versteht sich als deutschsprachiges Schwesterwiki zum &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/home"&amp;gt;xenharmonic wiki&amp;lt;/a&amp;gt;, das seit Jahren von Wikispaces gehostet wird.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;= Aktuell: Umbauarbeiten =

Der Wortspielplatz zieht in diesen Tagen um in den [[wortspielraum:home|WortSpielRaum]], um Platz zu schaffen für die ersten Seiten eines [[Xenharmonie]]-[[Wiki|Wikis]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Willkommen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Aktuell: Umbauarbeiten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt; Aktuell: Umbauarbeiten &amp;lt;/h1&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Wortspielplatz zieht in diesen Tagen um in den &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://wortspielraum.wikispaces.com/home"&amp;gt;WortSpielRaum&amp;lt;/a&amp;gt;, um Platz zu schaffen für die ersten Seiten eines &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Xenharmonie"&amp;gt;Xenharmonie&amp;lt;/a&amp;gt;-&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Wiki"&amp;gt;Wikis&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;xenwolf</username>
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      <text bytes="1818" sha1="fxzpi9t9tq0efqpg2w121upymr7pkjp" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2013-04-17 04:35:58 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;= Aktuell: Umbauarbeiten =

Der Wortspielplatz zieht um in den [[wortspielraum:home|WortSpielRaum]], um Platz zu schaffen für die ersten Seiten eines Xenharmonie-Wikis.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Willkommen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Aktuell: Umbauarbeiten"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt; Aktuell: Umbauarbeiten &amp;lt;/h1&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Der Wortspielplatz zieht um in den &amp;lt;a class="wiki_link" href="http://wortspielraum.wikispaces.com/home"&amp;gt;WortSpielRaum&amp;lt;/a&amp;gt;, um Platz zu schaffen für die ersten Seiten eines Xenharmonie-Wikis.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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        <username>Wikispaces&gt;xenwolf</username>
        <id>0</id>
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      <comment>**Imported revision 277850318 - Original comment: **</comment>
      <origin>1305</origin>
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      <text bytes="3146" sha1="5lbau82e4ef9ikj1ijvyudjw4wl8d7p" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2011-11-21 16:12:03 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;277850318&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;
= Willkomen auf dem [[Wortspielplatz]]! =

Dieses Wiki soll dem [[Spiel]] mit [[Wort]]en einen [[Platz]] bieten. Das Steckenpferd, das zum [[Start]] des Wikis führte, treibt mich schon einige [[Jahr]]e um, und ich denke es ist an der [[Zeit]], es mit anderen zu teilen. Ich sammle Wörter, die sich dann aus der Kombination zweier zusammengesetzter Wörter ergeben, wenn das Hauptwort des einen zugleich dem Bestimmungswort des anderen ist; das sich ergebende Wort soll nicht nur unbekannt sein, sondern auf eine unerwartete Weise einen neuen [[Sinn]] ergeben.

Das schöne an der Sammlung per Wiki sind die zahlreichen Verknüpfungsmöglichkeiten.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Willkommen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Willkomen auf dem Wortspielplatz!"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt; Willkomen auf dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Wortspielplatz"&amp;gt;Wortspielplatz&amp;lt;/a&amp;gt;! &amp;lt;/h1&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Dieses Wiki soll dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Spiel"&amp;gt;Spiel&amp;lt;/a&amp;gt; mit &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Wort"&amp;gt;Wort&amp;lt;/a&amp;gt;en einen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Platz"&amp;gt;Platz&amp;lt;/a&amp;gt; bieten. Das Steckenpferd, das zum &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Start"&amp;gt;Start&amp;lt;/a&amp;gt; des Wikis führte, treibt mich schon einige &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Jahr"&amp;gt;Jahr&amp;lt;/a&amp;gt;e um, und ich denke es ist an der &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Zeit"&amp;gt;Zeit&amp;lt;/a&amp;gt;, es mit anderen zu teilen. Ich sammle Wörter, die sich dann aus der Kombination zweier zusammengesetzter Wörter ergeben, wenn das Hauptwort des einen zugleich dem Bestimmungswort des anderen ist; das sich ergebende Wort soll nicht nur unbekannt sein, sondern auf eine unerwartete Weise einen neuen &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Sinn"&amp;gt;Sinn&amp;lt;/a&amp;gt; ergeben.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Das schöne an der Sammlung per Wiki sind die zahlreichen Verknüpfungsmöglichkeiten.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
      <sha1>5lbau82e4ef9ikj1ijvyudjw4wl8d7p</sha1>
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      <contributor>
        <username>Wikispaces&gt;xenwolf</username>
        <id>0</id>
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      <comment>**Imported revision 277850174 - Original comment: **</comment>
      <origin>1306</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3037" sha1="af10i9k8wlrxam5h1vwomuyy43v5grc" xml:space="preserve">&lt;h2&gt;IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES&lt;/h2&gt;
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on &lt;tt&gt;2011-11-21 16:11:38 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The original revision id was &lt;tt&gt;277850174&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
: The revision comment was: &lt;tt&gt;&lt;/tt&gt;&lt;br&gt;
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.&lt;br&gt;
&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;
= Willkomen auf dem [[Wortspielplatz]]! =

Dieses Wiki soll dem [[Spiel]] mit [[Wort]]en einen [[Platz]] bieten. Das Steckenpferd, das zum Start des Wikis führte, treibt mich schon einige Jahre um, und ich denke es ist an der [[Zeit]], es mit anderen zu teilen. Ich sammle Wörter, die sich dann aus der Kombination zweier zusammengesetzter Wörter ergeben, wenn das Hauptwort des einen zugleich dem Bestimmungswort des anderen ist; das sich ergebende Wort soll nicht nur unbekannt sein, sondern auf eine unerwartete Weise einen neuen [[Sinn]] ergeben.

Das schöne an der Sammlung per Wiki sind die zahlreichen Verknüpfungsmöglichkeiten.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
&lt;div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"&gt;&lt;pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"&gt;&amp;lt;html&amp;gt;&amp;lt;head&amp;gt;&amp;lt;title&amp;gt;Willkommen&amp;lt;/title&amp;gt;&amp;lt;/head&amp;gt;&amp;lt;body&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;amp;lt;h1&amp;amp;gt; --&amp;gt;&amp;lt;h1 id="toc0"&amp;gt;&amp;lt;a name="Willkomen auf dem Wortspielplatz!"&amp;gt;&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&amp;gt; Willkomen auf dem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Wortspielplatz"&amp;gt;Wortspielplatz&amp;lt;/a&amp;gt;! &amp;lt;/h1&amp;gt;
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[[File:Zwischen_den_Tasten_lesen.jpg|alt=Zwischen den Tasten lesen.jpg|Zwischen den Tasten lesen.jpg]]&lt;span style="text-align: center;
display: block;"&gt;Wie viele Töne passen in eine [[Oktave|Oktave]]? ... und wie viele [[Mikroton|Mikrotöne]]?&lt;/span&gt;</text>
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[[File:Zwischen_den_Tasten_lesen.jpg|alt=Zwischen den Tasten lesen.jpg|Zwischen den Tasten lesen.jpg]]&lt;span style="text-align: center;
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Das '''Xenharmonie-Wiki''' bietet wissenden und wissbegierigen [[Xenharmonie|Xenharmonikern]] - Menschen, die davon überzeugt sind, dass Musik auch jenseits der 12 ''wohltemperierten'' Töne möglich ist - die Möglichkeit, ihre Ideen auszutauschen und zu vertiefen. Es startete als deutschsprachiges [[Schwesterwiki|Schwesterwiki]] zum [[:en:home|xenharmonic wiki]].

Inzwischen gibt es auch eine [[:es:Página principal|Spanische Version]].</text>
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Das '''Xenharmonie-Wiki''' bietet wissenden und wissbegierigen [[Xenharmonie|Xenharmonikern]] - Menschen, die davon überzeugt sind, dass Musik auch jenseits der 12 ''wohltemperierten'' Töne möglich ist - die Möglichkeit, ihre Ideen auszutauschen und zu vertiefen. Es startete als deutschsprachiges [[Schwesterwiki|Schwesterwiki]] zum [[:en:home|xenharmonic wiki]].

Inzwischen gibt es auch eine [[:es:home|Spanische Version]].</text>
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[[File:Zwischen_den_Tasten_lesen.jpg|200px|thumb|right|Wie viele Töne passen in eine [[Oktave|Oktave]]? ... und wie viele [[Mikroton|Mikrotöne]]?]]

Das '''Xenharmonie-Wiki''' bietet wissenden und wissbegierigen [[Xenharmonie|Xenharmonikern]] - Menschen, die davon überzeugt sind, dass Musik auch jenseits der 12 ''wohltemperierten'' Töne möglich ist - die Möglichkeit, ihre Ideen auszutauschen und zu vertiefen. Es startete als deutschsprachiges [[Schwesterwiki|Schwesterwiki]] zum [[:en:home|xenharmonic wiki]].

Inzwischen gibt es auch eine [[:es:home|Spanische Version]].</text>
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Das '''Xenharmonie-Wiki''' bietet wissenden und wissbegierigen [[Xenharmonie|Xenharmonikern]] - Menschen, die davon überzeugt sind, dass Musik auch jenseits der 12 ''wohltemperierten'' Töne möglich ist - die Möglichkeit, ihre Ideen auszutauschen und zu vertiefen. Und unsere [[Anstelle von Spielregeln|"Spielregeln"]] sind ganz einfach.

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| Theorie: [[Orientierung]] &amp;middot; [[Gleichstufige Tonsysteme]] &amp;middot; [[Intervallraum]] &amp;middot; [[MOS-Skalen]] &amp;middot; [[Reguläre Temperaturen]] &amp;middot; [[Reine Stimmungen]]
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| Praxis: [[Sagittalnotation]] &amp;middot; [[Software]] &amp;middot; [[Primfaktorzerlegung]]
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| Glossar: [[Komma]] &amp;middot; [[Cent]] 
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Dieses Wiki startete als deutscher Ableger des englischen [[:en:home|xenharmonic wiki]]. Inzwischen gibt es das Xenwiki in vier Sprachen. Unsere [[Schwesterwiki]]s sind &lt;br/&gt;
[[:en:home|Englisch]] &amp;middot; [[:es:home|Spanisch]] &amp;middot; [[:en:ようこそ！Xenharmonicの世界へ|Japanisch]]</text>
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[[File:Zwischen_den_Tasten_lesen.jpg|200px|thumb|right|Wo sind die [[Mikroton|Mikrotöne]]?]]

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Das deutsche Wiki startete als Ableger des englischen xenharmonic wiki. Inzwischen gibt es das Xenwiki in vier Sprachen. &lt;br/&gt;
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Würschmidt-Temperatur (benannt nach José Würschmidt) ist ein Stimmungssystem, das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; die [[Magische_Temperaturen|magische Temperatur]] ist ein weiteres wichtiges Beispiel.) Man kann sie (wie auch die magische Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die Würschmidt-Temperatur von einer grossen Terz aus, welche minimal hochtemperiert wird, so dass 8 grosse Terzen oktvbereinigt eine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementsprechend der oktavbereinigte Unterschied zwischen 8 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Quinte (3/2) - es hat das Frequenzverhältnis 393'216/390'625, ist 11.445 Cents gross und heisst natürlich "Würschmidt-Komma".

Würschmidt-temperierte Stimmungen verfügen wie mitteltönige (und, in der Regel, magische) über gute Approximationen von Terzen und Quinten (welche hier rein, kleiner oder grösser sein können). Die Struktur ihrer Skalen ist jedoch anders als in mitteltönigen. Die grosse Terz als Generator führt nach drei Schichtungsschritten zu einem Intervall, das ungefähr einen Viertelton (genauer gesagt, eine [[128/125|kleine Diësis]]) unter der Oktave liegt; dieser Viertelton bildet das kleine Intervall für eine Reihe von [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]]. Die Würschmidt-Temperatur ist reich an MOS-Skalen: neben solchen mit 7 Tönen (3L 4s) gibt es auch solche mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und noch mehr Tönen. Die kleineren MOS-Skalen sind allerdings musikalisch eher ungünstig - der Viertelton ist fast zu klein, um als Melodieschritt zu funktionieren, und das grosse Intervall gerät umgekehrt extrem gross. Insbesondere sind die kleineren MOS-Skalen von Würschmidt nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]].

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche die Würschmidt-Temperatur unterstützen, sind unter anderem [[31edo|31edo]], [[34edo|34edo]], [[65edo|65edo]], [[96edo|96edo]].

Musikbeispiele:

Chris Vaisvil - [http://chrisvaisvil.com/ancient-stardust-wurschmidt13/ Ancient Stardust] (Klavierimprovisation in einer dreizehntönigen Würschmidt-Skala)

Jake Freivald - [https://soundcloud.com/jdfreivald/extrospection Extrospection] (Orchester, sechzehntönige Würschmidt-Skala in 31edo).  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Würschmidt-Temperatur (benannt nach José Würschmidt) ist ein Stimmungssystem, das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; die [[Magische Temperaturen|magische Temperatur]] ist ein weiteres wichtiges Beispiel.) Man kann sie (wie auch die magische Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die Würschmidt-Temperatur von einer grossen Terz aus, welche minimal hochtemperiert wird, so dass 8 grosse Terzen oktvbereinigt eine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementsprechend der oktavbereinigte Unterschied zwischen 8 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Quinte (3/2) - es hat das Frequenzverhältnis 393'216/390'625, ist 11.445 Cents gross und heisst natürlich "Würschmidt-Komma".

Würschmidt-temperierte Stimmungen verfügen wie mitteltönige (und, in der Regel, magische) über gute Approximationen von Terzen und Quinten (welche hier rein, kleiner oder grösser sein können). Die Struktur ihrer Skalen ist jedoch anders als in mitteltönigen. Die grosse Terz als Generator führt nach drei Schichtungsschritten zu einem Intervall, das ungefähr einen Viertelton (genauer gesagt, eine [[128_125|kleine Diësis]]) unter der Oktave liegt; dieser Viertelton bildet das kleine Intervall für eine Reihe von [[MOS-Skalen]]. Die Würschmidt-Temperatur ist reich an MOS-Skalen: neben solchen mit 7 Tönen (3L 4s) gibt es auch solche mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und noch mehr Tönen. Die kleineren MOS-Skalen sind allerdings musikalisch eher ungünstig - der Viertelton ist fast zu klein, um als Melodieschritt zu funktionieren, und das grosse Intervall gerät umgekehrt extrem gross. Insbesondere sind die kleineren MOS-Skalen von Würschmidt nicht [[Rothenberg-proper]].

[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche die Würschmidt-Temperatur unterstützen, sind unter anderem [[31edo]], [[34edo]], [[65edo]], [[96edo]].

Musikbeispiele:

Chris Vaisvil - [[http://chrisvaisvil.com/ancient-stardust-wurschmidt13/|Ancient Stardust]] (Klavierimprovisation in einer dreizehntönigen Würschmidt-Skala)
Jake Freivald - [[https://soundcloud.com/jdfreivald/extrospection|Extrospection]] (Orchester, sechzehntönige Würschmidt-Skala in 31edo).&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die Würschmidt-Temperatur (benannt nach José Würschmidt) ist ein Stimmungssystem, das wie die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Magische%20Temperaturen"&amp;gt;magische Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres wichtiges Beispiel.) Man kann sie (wie auch die magische Temperatur) als &amp;amp;quot;duales&amp;amp;quot; System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die Würschmidt-Temperatur von einer grossen Terz aus, welche minimal hochtemperiert wird, so dass 8 grosse Terzen oktvbereinigt eine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementsprechend der oktavbereinigte Unterschied zwischen 8 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Quinte (3/2) - es hat das Frequenzverhältnis 393'216/390'625, ist 11.445 Cents gross und heisst natürlich &amp;amp;quot;Würschmidt-Komma&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Würschmidt-temperierte Stimmungen verfügen wie mitteltönige (und, in der Regel, magische) über gute Approximationen von Terzen und Quinten (welche hier rein, kleiner oder grösser sein können). Die Struktur ihrer Skalen ist jedoch anders als in mitteltönigen. Die grosse Terz als Generator führt nach drei Schichtungsschritten zu einem Intervall, das ungefähr einen Viertelton (genauer gesagt, eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/128_125"&amp;gt;kleine Diësis&amp;lt;/a&amp;gt;) unter der Oktave liegt; dieser Viertelton bildet das kleine Intervall für eine Reihe von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt;. Die Würschmidt-Temperatur ist reich an MOS-Skalen: neben solchen mit 7 Tönen (3L 4s) gibt es auch solche mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und noch mehr Tönen. Die kleineren MOS-Skalen sind allerdings musikalisch eher ungünstig - der Viertelton ist fast zu klein, um als Melodieschritt zu funktionieren, und das grosse Intervall gerät umgekehrt extrem gross. Insbesondere sind die kleineren MOS-Skalen von Würschmidt nicht &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rothenberg-proper"&amp;gt;Rothenberg-proper&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Musikbeispiele:&amp;lt;br /&amp;gt;
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Chris Vaisvil - &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://chrisvaisvil.com/ancient-stardust-wurschmidt13/" rel="nofollow"&amp;gt;Ancient Stardust&amp;lt;/a&amp;gt; (Klavierimprovisation in einer dreizehntönigen Würschmidt-Skala)&amp;lt;br /&amp;gt;
Jake Freivald - &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://soundcloud.com/jdfreivald/extrospection" rel="nofollow"&amp;gt;Extrospection&amp;lt;/a&amp;gt; (Orchester, sechzehntönige Würschmidt-Skala in 31edo).&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Würschmidt-Temperatur (benannt nach José Würschmidt) ist ein Stimmungssystem, das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; die [[Magische Temperaturen|magische Temperatur]] ist ein weiteres wichtiges Beispiel.) Man kann sie (wie auch die magische Temepratur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die Würschmidt-Temperatur von einer grossen Terz aus, welche minimal hochtemperiert wird, so dass 8 grosse Terzen oktvbereinigt eine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementsprechend der oktavbereinigte Unterschied zwischen 8 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Quinte (3/2) - es hat das Frequenzverhältnis 393216/390625, ist 11.445 Cents gross und heisst natürlich "Würschmidt-Komma".

Würschmidt-temperierte Stimmungen verfügen wie mitteltönige (und, in der Regel, magische) über gute Approximationen von Terzen und Quinten (welche hier rein, kleiner oder grösser sein können). Die Struktur ihrer Skalen ist jedoch anders als in mitteltönigen. Die grosse Terz als Generator führt nach drei Schichtungsschritten zu einem Intervall, das ungefähr einen Viertelton (genauer gesagt, eine [[128_125|kleine Diësis]]) unter der Oktave liegt; dieser Viertelton bildet das kleine Intervall für eine Reihe von [[MOS-Skalen]]. Die Würschmidt-Temperatur ist reich an MOS-Skalen: neben solchen mit 7 Tönen (3L 4s) gibt es auch solche mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und noch mehr Tönen. Die kleineren MOS-Skalen sind allerdings musikalisch eher ungünstig - der Viertelton ist fast zu klein, um als Melodieschritt zu funktionieren, und das grosse Intervall gerät umgekehrt extrem gross. Insbesondere sind die kleineren MOS-Skalen von Würschmidt nicht [[Rothenberg-proper]].

[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche die Würschmidt-Temperatur unterstützen, sind unter anderem [[31edo]], [[34edo]], [[65edo]], [[96edo]].

Musikbeispiele:

Chris Vaisvil - [[http://chrisvaisvil.com/ancient-stardust-wurschmidt13/|Ancient Stardust]] (Klavierimprovisation in einer dreizehntönigen Würschmidt-Skala)
Jake Freivald - [[https://soundcloud.com/jdfreivald/extrospection|Extrospection]] (Orchester, sechzehntönige Würschmidt-Skala in 31edo).&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Die Würschmidt-Temperatur (benannt nach José Würschmidt) ist ein Stimmungssystem, das wie die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Magische%20Temperaturen"&amp;gt;magische Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres wichtiges Beispiel.) Man kann sie (wie auch die magische Temepratur) als &amp;amp;quot;duales&amp;amp;quot; System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die Würschmidt-Temperatur von einer grossen Terz aus, welche minimal hochtemperiert wird, so dass 8 grosse Terzen oktvbereinigt eine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementsprechend der oktavbereinigte Unterschied zwischen 8 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Quinte (3/2) - es hat das Frequenzverhältnis 393216/390625, ist 11.445 Cents gross und heisst natürlich &amp;amp;quot;Würschmidt-Komma&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Würschmidt-temperierte Stimmungen verfügen wie mitteltönige (und, in der Regel, magische) über gute Approximationen von Terzen und Quinten (welche hier rein, kleiner oder grösser sein können). Die Struktur ihrer Skalen ist jedoch anders als in mitteltönigen. Die grosse Terz als Generator führt nach drei Schichtungsschritten zu einem Intervall, das ungefähr einen Viertelton (genauer gesagt, eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/128_125"&amp;gt;kleine Diësis&amp;lt;/a&amp;gt;) unter der Oktave liegt; dieser Viertelton bildet das kleine Intervall für eine Reihe von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt;. Die Würschmidt-Temperatur ist reich an MOS-Skalen: neben solchen mit 7 Tönen (3L 4s) gibt es auch solche mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und noch mehr Tönen. Die kleineren MOS-Skalen sind allerdings musikalisch eher ungünstig - der Viertelton ist fast zu klein, um als Melodieschritt zu funktionieren, und das grosse Intervall gerät umgekehrt extrem gross. Insbesondere sind die kleineren MOS-Skalen von Würschmidt nicht &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rothenberg-proper"&amp;gt;Rothenberg-proper&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Chris Vaisvil - &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://chrisvaisvil.com/ancient-stardust-wurschmidt13/" rel="nofollow"&amp;gt;Ancient Stardust&amp;lt;/a&amp;gt; (Klavierimprovisation in einer dreizehntönigen Würschmidt-Skala)&amp;lt;br /&amp;gt;
Jake Freivald - &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://soundcloud.com/jdfreivald/extrospection" rel="nofollow"&amp;gt;Extrospection&amp;lt;/a&amp;gt; (Orchester, sechzehntönige Würschmidt-Skala in 31edo).&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Würschmidt-Temperatur (benannt nach José Würschmidt) ist ein Stimmungssystem, das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; die [[Magische Temperaturen|magische Temperatur]] ist ein weiteres wichtiges Beispiel.) Man kann sie (wie auch die magische Temepratur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die Würschmidt-Temperatur von einer grossen Terz aus, welche minimal hochtemperiert wird, so dass 8 grosse Terzen oktvbereinigt eine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementsprechend der oktavbereinigte Unterschied zwischen 8 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Quinte (3/2) - es hat das Frequenzverhältnis 393216/390625, ist 11.445 Cents gross und heisst natürlich "Würschmidt-Komma".

Würschmidt-temperierte Stimmungen verfügen wie mitteltönige (und, in der Regel, magische) über gute Approximationen von Terzen und Quinten (welche hier rein, kleiner oder grösser sein können). Die Struktur ihrer Skalen ist jedoch anders als in mitteltönigen. Die grosse Terz als Generator führt nach drei Schichtungsschritten zu einem Intervall, das ungefähr einen Viertelton (genauer gesagt, eine [[128_125|kleine Diësis]]) unter der Oktave liegt; dieser Viertelton bildet das kleine Intervall für eine Reihe von [[MOS-Skalen]]. Die Würschmidt-Temperatur ist reich an MOS-Skalen: neben solchen mit 7 Tönen (3L 4s) gibt es auch solche mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und noch mehr Tönen. Die kleineren MOS-Skalen sind allerdings musikalisch eher ungünstig - der Viertelton ist fast zu klein, um als Melodieschritt zu funktionieren, und das grosse Intervall gerät umgekehrt extrem gross. Insbesondere sind die kleineren MOS-Skalen von Würschmidt nicht [[Rothenberg-proper]].

[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche die Würschmidt-Temperatur unterstützen, sind unter anderem [[31edo]], [[34edo]], [[65edo]], [[96edo]].

Musikbeispiele:hris Vaisvil - [[http://chrisvaisvil.com/ancient-stardust-wurschmidt13/|Ancient Stardust]] (Klavierimprovisation in einer dreizehntönigen Würschmidt-Skala)
Jake Freivald - [[https://soundcloud.com/jdfreivald/extrospection|Extrospection]] (Orchester, sechzehntönige Würschmidt-Skala in 31edo).&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Würschmidt-Temperatur (benannt nach José Würschmidt) ist ein Stimmungssystem, das wie die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Magische%20Temperaturen"&amp;gt;magische Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres wichtiges Beispiel.) Man kann sie (wie auch die magische Temepratur) als &amp;amp;quot;duales&amp;amp;quot; System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die Würschmidt-Temperatur von einer grossen Terz aus, welche minimal hochtemperiert wird, so dass 8 grosse Terzen oktvbereinigt eine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementsprechend der oktavbereinigte Unterschied zwischen 8 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Quinte (3/2) - es hat das Frequenzverhältnis 393216/390625, ist 11.445 Cents gross und heisst natürlich &amp;amp;quot;Würschmidt-Komma&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Würschmidt-temperierte Stimmungen verfügen wie mitteltönige (und, in der Regel, magische) über gute Approximationen von Terzen und Quinten (welche hier rein, kleiner oder grösser sein können). Die Struktur ihrer Skalen ist jedoch anders als in mitteltönigen. Die grosse Terz als Generator führt nach drei Schichtungsschritten zu einem Intervall, das ungefähr einen Viertelton (genauer gesagt, eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/128_125"&amp;gt;kleine Diësis&amp;lt;/a&amp;gt;) unter der Oktave liegt; dieser Viertelton bildet das kleine Intervall für eine Reihe von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt;. Die Würschmidt-Temperatur ist reich an MOS-Skalen: neben solchen mit 7 Tönen (3L 4s) gibt es auch solche mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und noch mehr Tönen. Die kleineren MOS-Skalen sind allerdings musikalisch eher ungünstig - der Viertelton ist fast zu klein, um als Melodieschritt zu funktionieren, und das grosse Intervall gerät umgekehrt extrem gross. Insbesondere sind die kleineren MOS-Skalen von Würschmidt nicht &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Rothenberg-proper"&amp;gt;Rothenberg-proper&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Musikbeispiele:hris Vaisvil - &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://chrisvaisvil.com/ancient-stardust-wurschmidt13/" rel="nofollow"&amp;gt;Ancient Stardust&amp;lt;/a&amp;gt; (Klavierimprovisation in einer dreizehntönigen Würschmidt-Skala)&amp;lt;br /&amp;gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Würschmidt-Temperatur (benannt nach José Würschmidt) ist ein Stimmungssystem, das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; die [[Magische Temperaturen|magische Temperatur]] ist ein weiteres wichtiges Beispiel.) Man kann sie (wie auch die magische Temepratur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die Würschmidt-Temperatur von einer grossen Terz aus, welche minimal hochtemperiert wird, so dass 8 grosse Terzen oktvbereinigt eine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementsprechend der oktavbereinigte Unterschied zwischen 8 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Quinte (3/2) - es hat das Frequenzverhältnis 393216/390625, ist 11.445 Cents gross und heisst natürlich "Würschmidt-Komma".

Würschmidt-temperierte Stimmungen verfügen wie mitteltönige (und, in der Regel, magische) über gute Approximationen von Terzen und Quinten (welche hier rein, kleiner oder grösser sein können). Die Struktur ihrer Skalen ist jedoch anders als in mitteltönigen. Die grosse Terz als Generator führt nach drei Schichtungsschritten zu einem Intervall, das ungefähr einen Viertelton (genauer gesagt, eine [[128_125|kleine Diësis]]) unter der Oktave liegt; dieser Viertelton bildet das kleine Intervall für eine Reihe von [[MOS-Skalen]]. Die Würschmidt-Temperatur ist reich an MOS-Skalen: neben solchen mit 7 Tönen (3L 4s) gibt es auch solche mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und noch mehr Tönen.

[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche die Würschmidt-Temperatur unterstützen, sind unter anderem [[31edo]], [[34edo]], [[65edo]], [[96edo]].

Musikbeispiele:
Chris Vaisvil - [[http://chrisvaisvil.com/ancient-stardust-wurschmidt13/|Ancient Stardust]] (Klavierimprovisation in einer dreizehntönigen Würschmidt-Skala)
Jake Freivald - [[https://soundcloud.com/jdfreivald/extrospection|Extrospection]] (Orchester, sechzehntönige Würschmidt-Skala in 31edo).&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die Würschmidt-Temperatur (benannt nach José Würschmidt) ist ein Stimmungssystem, das wie die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Magische%20Temperaturen"&amp;gt;magische Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres wichtiges Beispiel.) Man kann sie (wie auch die magische Temepratur) als &amp;amp;quot;duales&amp;amp;quot; System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die Würschmidt-Temperatur von einer grossen Terz aus, welche minimal hochtemperiert wird, so dass 8 grosse Terzen oktvbereinigt eine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementsprechend der oktavbereinigte Unterschied zwischen 8 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Quinte (3/2) - es hat das Frequenzverhältnis 393216/390625, ist 11.445 Cents gross und heisst natürlich &amp;amp;quot;Würschmidt-Komma&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Würschmidt-temperierte Stimmungen verfügen wie mitteltönige (und, in der Regel, magische) über gute Approximationen von Terzen und Quinten (welche hier rein, kleiner oder grösser sein können). Die Struktur ihrer Skalen ist jedoch anders als in mitteltönigen. Die grosse Terz als Generator führt nach drei Schichtungsschritten zu einem Intervall, das ungefähr einen Viertelton (genauer gesagt, eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/128_125"&amp;gt;kleine Diësis&amp;lt;/a&amp;gt;) unter der Oktave liegt; dieser Viertelton bildet das kleine Intervall für eine Reihe von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt;. Die Würschmidt-Temperatur ist reich an MOS-Skalen: neben solchen mit 7 Tönen (3L 4s) gibt es auch solche mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und noch mehr Tönen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme, welche die Würschmidt-Temperatur unterstützen, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/65edo"&amp;gt;65edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/96edo"&amp;gt;96edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Musikbeispiele:&amp;lt;br /&amp;gt;
Chris Vaisvil - &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://chrisvaisvil.com/ancient-stardust-wurschmidt13/" rel="nofollow"&amp;gt;Ancient Stardust&amp;lt;/a&amp;gt; (Klavierimprovisation in einer dreizehntönigen Würschmidt-Skala)&amp;lt;br /&amp;gt;
Jake Freivald - &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="https://soundcloud.com/jdfreivald/extrospection" rel="nofollow"&amp;gt;Extrospection&amp;lt;/a&amp;gt; (Orchester, sechzehntönige Würschmidt-Skala in 31edo).&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-09-25 07:35:59 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Würschmidt-Temperatur (benannt nach José Würschmidt) ist ein Stimmungssystem, das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; die [[Magische Temperaturen|magische Temperatur]] ist ein weiteres wichtiges Beispiel.) Man kann sie (wie auch die magische Temepratur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die Würschmidt-Temperatur von einer grossen Terz aus, welche minimal hochtemperiert wird, so dass 8 grosse Terzen oktvbereinigt eine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementsprechend der oktavbereinigte Unterschied zwischen 8 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Quinte (3/2) - es hat das Frequenzverhältnis 393216/390625, ist 11.445 Cents gross und heisst natürlich "Würschmidt-Komma".

Würschmidt-temperierte Stimmungen verfügen wie mitteltönige (und, in der Regel, magische) über gute Approximationen von Terzen und Quinten (welche hier rein, kleiner oder grösser sein können). Die Struktur ihrer Skalen ist jedoch anders als in mitteltönigen. Die grosse Terz als Generator führt nach drei Schichtungsschritten zu einem Intervall, das ungefähr einen Viertelton (genauer gesagt, eine [[128_125|kleine Diësis]]) unter der Oktave liegt; dieser Viertelton bildet das kleine Intervall für eine Reihe von [[MOS-Skalen]]. Die Würschmidt-Temperatur ist reich an MOS-Skalen: neben solchen mit 7 Tönen (3L 4s) gibt es auch solche mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und noch mehr Tönen.

[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche die Würschmidt-Temperatur unterstützen, sind unter anderem [[31edo]], [[34edo]], [[65edo]], [[96edo]].

Musikbeispiel:
Chris Vaisvil - [[http://chrisvaisvil.com/ancient-stardust-wurschmidt13/|Ancient Stardust]] (Klavierimprovisation in einer dreizehntönigen Würschmidt-Skala)&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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Die Würschmidt-Temperatur (benannt nach José Würschmidt) ist ein Stimmungssystem, das wie die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Magische%20Temperaturen"&amp;gt;magische Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres wichtiges Beispiel.) Man kann sie (wie auch die magische Temepratur) als &amp;amp;quot;duales&amp;amp;quot; System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die Würschmidt-Temperatur von einer grossen Terz aus, welche minimal hochtemperiert wird, so dass 8 grosse Terzen oktvbereinigt eine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementsprechend der oktavbereinigte Unterschied zwischen 8 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Quinte (3/2) - es hat das Frequenzverhältnis 393216/390625, ist 11.445 Cents gross und heisst natürlich &amp;amp;quot;Würschmidt-Komma&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Würschmidt-temperierte Stimmungen verfügen wie mitteltönige (und, in der Regel, magische) über gute Approximationen von Terzen und Quinten (welche hier rein, kleiner oder grösser sein können). Die Struktur ihrer Skalen ist jedoch anders als in mitteltönigen. Die grosse Terz als Generator führt nach drei Schichtungsschritten zu einem Intervall, das ungefähr einen Viertelton (genauer gesagt, eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/128_125"&amp;gt;kleine Diësis&amp;lt;/a&amp;gt;) unter der Oktave liegt; dieser Viertelton bildet das kleine Intervall für eine Reihe von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt;. Die Würschmidt-Temperatur ist reich an MOS-Skalen: neben solchen mit 7 Tönen (3L 4s) gibt es auch solche mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und noch mehr Tönen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme, welche die Würschmidt-Temperatur unterstützen, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/65edo"&amp;gt;65edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/96edo"&amp;gt;96edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Chris Vaisvil - &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://chrisvaisvil.com/ancient-stardust-wurschmidt13/" rel="nofollow"&amp;gt;Ancient Stardust&amp;lt;/a&amp;gt; (Klavierimprovisation in einer dreizehntönigen Würschmidt-Skala)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Würschmidt-Temperatur (benannt nach José Würschmidt) ist ein Stimmungssystem, das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; die [[Magische Temperaturen|magische Temperatur]] ist ein weiteres wichtiges Beispiel.) Man kann sie (wie auch die magische Temepratur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die Würschmidt-Temperatur von einer grossen Terz aus, welche minimal hochtemperiert wird, so dass 8 grosse Terzen oktvbereinigt eine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementsprechend der oktavbereinigte Unterschied zwischen 8 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Quinte (3/2) - es hat das Frequenzverhältnis 393216/390625, ist 11.445 Cents gross und heisst natürlich "Würschmidt-Komma".

Würschmidt-temperierte Stimmungen verfügen wie mitteltönige (und, in der Regel, magische) über gute Approximationen von Quinten (welche hier rein, kleiner oder grösser sein können) und Terzen. Die Struktur ihrer Skalen ist jedoch anders als in mitteltönigen. Die grosse Terz als Generator führt nach drei Schichtungsschritten zu einem Intervall, das ungefähr einen Viertelton (genauer gesagt, eine [[128_125|kleine Diësis]]) unter der Oktave liegt; dieser Viertelton bildet das kleine Intervall für eine Reihe von [[MOS-Skalen]]. Die Würschmidt-Temperatur ist reich an MOS-Skalen: neben solchen mit 7 Tönen (3L 4s) gibt es auch solche mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und noch mehr Tönen.

[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche die Würschmidt-Temperatur unterstützen, sind unter anderem [[31edo]], [[34edo]], [[65edo]], [[96edo]].

Musikbeispiel:
Chris Vaisvil - [[http://chrisvaisvil.com/ancient-stardust-wurschmidt13/|Ancient Stardust]] (Klavierimprovisation in einer dreizehntönigen Würschmidt-Skala)&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die Würschmidt-Temperatur (benannt nach José Würschmidt) ist ein Stimmungssystem, das wie die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Magische%20Temperaturen"&amp;gt;magische Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres wichtiges Beispiel.) Man kann sie (wie auch die magische Temepratur) als &amp;amp;quot;duales&amp;amp;quot; System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die Würschmidt-Temperatur von einer grossen Terz aus, welche minimal hochtemperiert wird, so dass 8 grosse Terzen oktvbereinigt eine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementsprechend der oktavbereinigte Unterschied zwischen 8 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Quinte (3/2) - es hat das Frequenzverhältnis 393216/390625, ist 11.445 Cents gross und heisst natürlich &amp;amp;quot;Würschmidt-Komma&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Würschmidt-temperierte Stimmungen verfügen wie mitteltönige (und, in der Regel, magische) über gute Approximationen von Quinten (welche hier rein, kleiner oder grösser sein können) und Terzen. Die Struktur ihrer Skalen ist jedoch anders als in mitteltönigen. Die grosse Terz als Generator führt nach drei Schichtungsschritten zu einem Intervall, das ungefähr einen Viertelton (genauer gesagt, eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/128_125"&amp;gt;kleine Diësis&amp;lt;/a&amp;gt;) unter der Oktave liegt; dieser Viertelton bildet das kleine Intervall für eine Reihe von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt;. Die Würschmidt-Temperatur ist reich an MOS-Skalen: neben solchen mit 7 Tönen (3L 4s) gibt es auch solche mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und noch mehr Tönen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme, welche die Würschmidt-Temperatur unterstützen, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/65edo"&amp;gt;65edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/96edo"&amp;gt;96edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Chris Vaisvil - &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://chrisvaisvil.com/ancient-stardust-wurschmidt13/" rel="nofollow"&amp;gt;Ancient Stardust&amp;lt;/a&amp;gt; (Klavierimprovisation in einer dreizehntönigen Würschmidt-Skala)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Würschmidt-Temperatur (benannt nach José Würschmidt) ist ein Stimmungssystem, das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; die [[Magische Temperaturen|magische Temperatur]] ist ein weiteres wichtiges Beispiel.) Man kann sie (wie auch die magische Temepratur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die Würschmidt-Temperatur von einer grossen Terz aus, welche minimal hochtemperiert wird, so dass 8 grosse Terzen oktvbereinigt eine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementsprechend der oktavbereinigte Unterschied zwischen 8 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Quinte (3/2) - es hat das Frequenzverhältnis 393216/390625, ist 11.445 Cents gross und heisst natürlich "Würschmidt-Komma".

Würschmidt-temperierte Stimmungen verfügen wie mitteltönige (und magische) über gute Approximationen von Quinten und Terzen; die Struktur ihrer Skalen ist jedoch verschieden. Die grosse Terz als Generator führt nach drei Schichtungsschritten zu einem Intervall, das ungefähr einen Viertelton (genauer gesagt, eine [[128_125|kleine Diësis]]) unter der Oktave liegt; dieser Viertelton bildet das kleine Intervall für eine Reihe von [[MOS-Skalen]]. Die Würschmidt-Temperatur ist reich an MOS-Skalen: neben solchen mit 7 Tönen (3L 4s) gibt es auch solche mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und noch mehr Tönen.

[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche die Würschmidt-Temperatur unterstützen, sind unter anderem [[31edo]], [[34edo]], [[65edo]], [[96edo]].

Musikbeispiel:
Chris Vaisvil - [[http://chrisvaisvil.com/ancient-stardust-wurschmidt13/|Ancient Stardust]] (Klavierimprovisation in einer dreizehntönigen Würschmidt-Skala)&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Würschmidt-Temperatur (benannt nach José Würschmidt) ist ein Stimmungssystem, das wie die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Magische%20Temperaturen"&amp;gt;magische Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres wichtiges Beispiel.) Man kann sie (wie auch die magische Temepratur) als &amp;amp;quot;duales&amp;amp;quot; System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die Würschmidt-Temperatur von einer grossen Terz aus, welche minimal hochtemperiert wird, so dass 8 grosse Terzen oktvbereinigt eine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementsprechend der oktavbereinigte Unterschied zwischen 8 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Quinte (3/2) - es hat das Frequenzverhältnis 393216/390625, ist 11.445 Cents gross und heisst natürlich &amp;amp;quot;Würschmidt-Komma&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Würschmidt-temperierte Stimmungen verfügen wie mitteltönige (und magische) über gute Approximationen von Quinten und Terzen; die Struktur ihrer Skalen ist jedoch verschieden. Die grosse Terz als Generator führt nach drei Schichtungsschritten zu einem Intervall, das ungefähr einen Viertelton (genauer gesagt, eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/128_125"&amp;gt;kleine Diësis&amp;lt;/a&amp;gt;) unter der Oktave liegt; dieser Viertelton bildet das kleine Intervall für eine Reihe von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt;. Die Würschmidt-Temperatur ist reich an MOS-Skalen: neben solchen mit 7 Tönen (3L 4s) gibt es auch solche mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und noch mehr Tönen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme, welche die Würschmidt-Temperatur unterstützen, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/65edo"&amp;gt;65edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/96edo"&amp;gt;96edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Musikbeispiel:&amp;lt;br /&amp;gt;
Chris Vaisvil - &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://chrisvaisvil.com/ancient-stardust-wurschmidt13/" rel="nofollow"&amp;gt;Ancient Stardust&amp;lt;/a&amp;gt; (Klavierimprovisation in einer dreizehntönigen Würschmidt-Skala)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-09-25 06:47:34 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Würschmidt-Temperatur (benannt nach José Würschmidt) ist ein Stimmungssystem, das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; die [[Magische Temperaturen|magische Temperatur]] ist ein weiteres wichtiges Beispiel.) Man kann sie als eine Art "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die Würschmidt-Temperatur von einer grossen Terz aus, welche minimal hochtemperiert wird, so dass 8 grosse Terzen oktvbereinigt eine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementsprechend der oktavbereinigte Unterschied zwischen 8 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Quinte (3/2) - es hat das Frequenzverhältnis 393216/390625, ist 11.445 Cents gross und heisst natürlich "Würschmidt-Komma".

Würschmidt-temperierte Stimmungen verfügen wie mitteltönige (und magische) über gute Approximationen von Quinten und Terzen; die Struktur ihrer Skalen ist jedoch verschieden. Die grosse Terz als Generator führt nach drei Schichtungsschritten zu einem Intervall, das ungefähr einen Viertelton (genauer gesagt, eine [[128_125|kleine Diësis]]) unter der Oktave liegt; dieser Viertelton bildet das kleine Intervall für eine Reihe von [[MOS-Skalen]]. Die Würschmidt-Temperatur ist reich an MOS-Skalen: neben solchen mit 7 Tönen (3L 4s) gibt es auch solche mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und noch mehr Tönen.

[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche die Würschmidt-Temperatur unterstützen, sind unter anderem [[31edo]], [[34edo]], [[65edo]], [[96edo]].

Musikbeispiel:
Chris Vaisvil - [[http://chrisvaisvil.com/ancient-stardust-wurschmidt13/|Ancient Stardust]] (Klavierimprovisation in einer dreizehntönigen Würschmidt-Skala)&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die Würschmidt-Temperatur (benannt nach José Würschmidt) ist ein Stimmungssystem, das wie die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönige&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; die &amp;lt;a class="wiki_link" href="/Magische%20Temperaturen"&amp;gt;magische Temperatur&amp;lt;/a&amp;gt; ist ein weiteres wichtiges Beispiel.) Man kann sie als eine Art &amp;amp;quot;duales&amp;amp;quot; System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die Würschmidt-Temperatur von einer grossen Terz aus, welche minimal hochtemperiert wird, so dass 8 grosse Terzen oktvbereinigt eine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementsprechend der oktavbereinigte Unterschied zwischen 8 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Quinte (3/2) - es hat das Frequenzverhältnis 393216/390625, ist 11.445 Cents gross und heisst natürlich &amp;amp;quot;Würschmidt-Komma&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Würschmidt-temperierte Stimmungen verfügen wie mitteltönige (und magische) über gute Approximationen von Quinten und Terzen; die Struktur ihrer Skalen ist jedoch verschieden. Die grosse Terz als Generator führt nach drei Schichtungsschritten zu einem Intervall, das ungefähr einen Viertelton (genauer gesagt, eine &amp;lt;a class="wiki_link" href="/128_125"&amp;gt;kleine Diësis&amp;lt;/a&amp;gt;) unter der Oktave liegt; dieser Viertelton bildet das kleine Intervall für eine Reihe von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt;. Die Würschmidt-Temperatur ist reich an MOS-Skalen: neben solchen mit 7 Tönen (3L 4s) gibt es auch solche mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und noch mehr Tönen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme, welche die Würschmidt-Temperatur unterstützen, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/65edo"&amp;gt;65edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/96edo"&amp;gt;96edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Chris Vaisvil - &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://chrisvaisvil.com/ancient-stardust-wurschmidt13/" rel="nofollow"&amp;gt;Ancient Stardust&amp;lt;/a&amp;gt; (Klavierimprovisation in einer dreizehntönigen Würschmidt-Skala)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Würschmidt-Temperatur (benannt nach José Würschmidt) kann man als eine Art "duales" System zur [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die Würschmidt-Temperatur von einer grossen Terz aus, welche minimal hochtemperiert wird, so dass 8 grosse Terzen oktvbereinigt eine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementsprechend der oktavbereinigte Unterschied zwischen 8 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Quinte (3/2) - es hat das Frequenzverhältnis 393216/390625, ist 11.445 Cents gross und heisst natürlich "Würschmidt-Komma".

Würschmidt-temperierte Stimmungen verfügen wie mitteltönige über gute Approximationen von Quinten und Terzen; die Struktur ihrer Skalen ist jedoch verschieden. Die grosse Terz als Generator führt nach drei Schichtungsschritten zu einem Intervall, das ungefähr einen Viertelton unter der Oktave liegt; dieser Viertelton bildet das kleine Intervall für eine Reihe von [[MOS-Skalen]]. Die Würschmidt-Temperatur ist reich an MOS-Skalen: neben solchen mit 7 Tönen (3L 4s) gibt es auch solche mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und noch mehr Tönen.

[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche die Würschmidt-Temperatur unterstützen, sind unter anderem [[31edo]], [[34edo]], [[65edo]], [[96edo]].

Musikbeispiel:
Chris Vaisvil - [[http://chrisvaisvil.com/ancient-stardust-wurschmidt13/|Ancient Stardust]] (Klavierimprovisation in einer dreizehntönigen Würschmidt-Skala)&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Würschmidt-Temperatur (benannt nach José Würschmidt) kann man als eine Art &amp;amp;quot;duales&amp;amp;quot; System zur &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die Würschmidt-Temperatur von einer grossen Terz aus, welche minimal hochtemperiert wird, so dass 8 grosse Terzen oktvbereinigt eine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementsprechend der oktavbereinigte Unterschied zwischen 8 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Quinte (3/2) - es hat das Frequenzverhältnis 393216/390625, ist 11.445 Cents gross und heisst natürlich &amp;amp;quot;Würschmidt-Komma&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Würschmidt-temperierte Stimmungen verfügen wie mitteltönige über gute Approximationen von Quinten und Terzen; die Struktur ihrer Skalen ist jedoch verschieden. Die grosse Terz als Generator führt nach drei Schichtungsschritten zu einem Intervall, das ungefähr einen Viertelton unter der Oktave liegt; dieser Viertelton bildet das kleine Intervall für eine Reihe von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt;. Die Würschmidt-Temperatur ist reich an MOS-Skalen: neben solchen mit 7 Tönen (3L 4s) gibt es auch solche mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und noch mehr Tönen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme, welche die Würschmidt-Temperatur unterstützen, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/65edo"&amp;gt;65edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/96edo"&amp;gt;96edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Musikbeispiel:&amp;lt;br /&amp;gt;
Chris Vaisvil - &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://chrisvaisvil.com/ancient-stardust-wurschmidt13/" rel="nofollow"&amp;gt;Ancient Stardust&amp;lt;/a&amp;gt; (Klavierimprovisation in einer dreizehntönigen Würschmidt-Skala)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Würschmidt-Temperatur (benannt nach José Würschmidt) kann man als eine Art "duales" System zur [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die Würschmidt-Temperatur von einer grossen Terz aus, welche minimal hochtemperiert wird, so dass 8 grosse Terzen oktvbereinigt eine reine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementsprechend der oktavbereinigte Unterschied zwischen 8 reinen grossen Terzen und einer reinen Quinte - es hat das Frequenzverhältnis 393216/390625, ist 11.445 Cents gross und heisst natürlich "Würschmidt-Komma".

Würschmidt-temperierte Stimmungen verfügen wie mitteltönige über gute Approximationen von Quinten und Terzen; die Struktur ihrer Skalen ist jedoch verschieden. Die grosse Terz als Generator führt nach drei Schichtungsschritten zu einem Intervall, das ungefähr einen Viertelton unter der Oktave liegt; dieser Viertelton bildet das kleine Intervall für eine Reihe von [[MOS-Skalen]]. Die Würschmidt-Temperatur ist reich an MOS-Skalen: neben solchen mit 7 Tönen (3L 4s) gibt es auch solche mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und noch mehr Tönen.

[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche die Würschmidt-Temperatur unterstützen, sind unter anderem [[31edo]], [[34edo]], [[65edo]], [[96edo]].

Musikbeispiel:
Chris Vaisvil - [[http://chrisvaisvil.com/ancient-stardust-wurschmidt13/|Ancient Stardust]] (Klavierimprovisation in einer dreizehntönigen Würschmidt-Skala)&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Würschmidt-Temperatur (benannt nach José Würschmidt) kann man als eine Art &amp;amp;quot;duales&amp;amp;quot; System zur &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die Würschmidt-Temperatur von einer grossen Terz aus, welche minimal hochtemperiert wird, so dass 8 grosse Terzen oktvbereinigt eine reine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementsprechend der oktavbereinigte Unterschied zwischen 8 reinen grossen Terzen und einer reinen Quinte - es hat das Frequenzverhältnis 393216/390625, ist 11.445 Cents gross und heisst natürlich &amp;amp;quot;Würschmidt-Komma&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Würschmidt-temperierte Stimmungen verfügen wie mitteltönige über gute Approximationen von Quinten und Terzen; die Struktur ihrer Skalen ist jedoch verschieden. Die grosse Terz als Generator führt nach drei Schichtungsschritten zu einem Intervall, das ungefähr einen Viertelton unter der Oktave liegt; dieser Viertelton bildet das kleine Intervall für eine Reihe von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt;. Die Würschmidt-Temperatur ist reich an MOS-Skalen: neben solchen mit 7 Tönen (3L 4s) gibt es auch solche mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und noch mehr Tönen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme, welche die Würschmidt-Temperatur unterstützen, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/65edo"&amp;gt;65edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/96edo"&amp;gt;96edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Musikbeispiel:&amp;lt;br /&amp;gt;
Chris Vaisvil - &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://chrisvaisvil.com/ancient-stardust-wurschmidt13/" rel="nofollow"&amp;gt;Ancient Stardust&amp;lt;/a&amp;gt; (Klavierimprovisation in einer dreizehntönigen Würschmidt-Skala)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:&lt;br&gt;
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on &lt;tt&gt;2013-08-14 15:30:06 UTC&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Würschmidt-Temperatur (benannt nach José Würschmidt) kann man als eine Art "duales" System zur [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die Würschmidt-Temperatur von einer grossen Terz aus, welche minimal hochtemperiert wird, so dass 8 grosse Terzen oktvbereinigt eine reine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementprechend der oktavbereinigte Unterschied zwischen 8 reinen grossen Terzen und einer reine Quinte - es hat das Frequenzverhältnis 393216/390625, ist 11.445 Cents gross und heisst natürlich "Würschmidt-Komma".

Würschmidt-temperierte Stimmungen verfügen wie mitteltönige über gute Approximationen von Quinten und Terzen; die Struktur ihrer Skalen ist jedoch verschieden. Die grosse Terz als Generator führt nach drei Schichtungsschritten zu einem Intervall, das ungefähr einen Viertelton unter der Oktave liegt; dieser Viertelton bildet das kleine Intervall für eine Reihe von [[MOS-Skalen]]. Die Würschmidt-Temperatur ist reich an MOS-Skalen: neben solchen mit 7 Tönen (3L 4s) gibt es auch solche mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und noch mehr Tönen.

[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche die Würschmidt-Temperatur unterstützen, sind unter anderem [[31edo]], [[34edo]], [[65edo]], [[96edo]].

Musikbeispiel: 
Chris Vaisvil - [[http://chrisvaisvil.com/ancient-stardust-wurschmidt13/|Ancient Stardust]] (Klavierimprovisation in einer dreizehntönigen Würschmidt-Skala)&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
&lt;h4&gt;Original HTML content:&lt;/h4&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Würschmidt-Temperatur (benannt nach José Würschmidt) kann man als eine Art &amp;amp;quot;duales&amp;amp;quot; System zur &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die Würschmidt-Temperatur von einer grossen Terz aus, welche minimal hochtemperiert wird, so dass 8 grosse Terzen oktvbereinigt eine reine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementprechend der oktavbereinigte Unterschied zwischen 8 reinen grossen Terzen und einer reine Quinte - es hat das Frequenzverhältnis 393216/390625, ist 11.445 Cents gross und heisst natürlich &amp;amp;quot;Würschmidt-Komma&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Würschmidt-temperierte Stimmungen verfügen wie mitteltönige über gute Approximationen von Quinten und Terzen; die Struktur ihrer Skalen ist jedoch verschieden. Die grosse Terz als Generator führt nach drei Schichtungsschritten zu einem Intervall, das ungefähr einen Viertelton unter der Oktave liegt; dieser Viertelton bildet das kleine Intervall für eine Reihe von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt;. Die Würschmidt-Temperatur ist reich an MOS-Skalen: neben solchen mit 7 Tönen (3L 4s) gibt es auch solche mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und noch mehr Tönen.&amp;lt;br /&amp;gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme, welche die Würschmidt-Temperatur unterstützen, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/65edo"&amp;gt;65edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/96edo"&amp;gt;96edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Musikbeispiel: &amp;lt;br /&amp;gt;
Chris Vaisvil - &amp;lt;a class="wiki_link_ext" href="http://chrisvaisvil.com/ancient-stardust-wurschmidt13/" rel="nofollow"&amp;gt;Ancient Stardust&amp;lt;/a&amp;gt; (Klavierimprovisation in einer dreizehntönigen Würschmidt-Skala)&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Würschmidt-Temperatur (benannt nach José Würschmidt) kann man als eine Art "duale" Temperatur zur [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die Würschmidt-Temperatur von einer grossen Terz aus, welche minimal hochtemperiert wird, so dass 8 grosse Terzen oktvbereinigt eine reine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementprechend der oktavbereinigte Unterschied zwischen 8 reinen grossen Terzen und einer reine Quinte - es hat das Frequenzverhältnis 393216/390625, ist 11.445 Cents gross und heisst natürlich "Würschmidt-Komma".

Würschmidt-temperierte Stimmungen verfügen wie mitteltönige über gute Approximationen von Quinten und Terzen; die Struktur ihrer Skalen ist jedoch verschieden. Die Terz als Generator führt nach drei Schichtungsschritten zu einem Intervall, das ungefähr einen Viertelton unter der Oktave liegt; dieser Viertelton bildet das kleine Intervall für eine Reihe von [[MOS-Skalen]]. Die Würschmidt-Temperatur ist reich an MOS-Skalen: neben solchen mit 7 Tönen (3L 4s) gibt es auch solche mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und noch mehr Tönen.

[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche die Würschmidt-Temperatur unterstützen, sind unter anderem [[31edo]], [[34edo]], [[65edo]], [[96edo]].&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
Die Würschmidt-Temperatur (benannt nach José Würschmidt) kann man als eine Art &amp;amp;quot;duale&amp;amp;quot; Temperatur zur &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die Würschmidt-Temperatur von einer grossen Terz aus, welche minimal hochtemperiert wird, so dass 8 grosse Terzen oktvbereinigt eine reine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementprechend der oktavbereinigte Unterschied zwischen 8 reinen grossen Terzen und einer reine Quinte - es hat das Frequenzverhältnis 393216/390625, ist 11.445 Cents gross und heisst natürlich &amp;amp;quot;Würschmidt-Komma&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Würschmidt-temperierte Stimmungen verfügen wie mitteltönige über gute Approximationen von Quinten und Terzen; die Struktur ihrer Skalen ist jedoch verschieden. Die Terz als Generator führt nach drei Schichtungsschritten zu einem Intervall, das ungefähr einen Viertelton unter der Oktave liegt; dieser Viertelton bildet das kleine Intervall für eine Reihe von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt;. Die Würschmidt-Temperatur ist reich an MOS-Skalen: neben solchen mit 7 Tönen (3L 4s) gibt es auch solche mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und noch mehr Tönen.&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;br /&amp;gt;
&amp;lt;a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme"&amp;gt;Gleichstufige&amp;lt;/a&amp;gt; Systeme, welche die Würschmidt-Temperatur unterstützen, sind unter anderem &amp;lt;a class="wiki_link" href="/31edo"&amp;gt;31edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/34edo"&amp;gt;34edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/65edo"&amp;gt;65edo&amp;lt;/a&amp;gt;, &amp;lt;a class="wiki_link" href="/96edo"&amp;gt;96edo&amp;lt;/a&amp;gt;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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&lt;h4&gt;Original Wikitext content:&lt;/h4&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Würschmidt-Temperatur (benannt nach José Würschmidt) kann man als eine Art "duale" Temperatur zur [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die Würschmidt-Temperatur von einer grossen Terz aus, welche minimal hochtemperiert wird, so dass 8 grosse Terzen oktvbereinigt eine reine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementprechend der oktavbereinigte Unterschied zwischen 8 reinen grossen Terzen und einer reine Quinte - es hat das Frequenzverhältnis 393216/390625, ist 11.445 Cents gross und heisst natürlich "Würschmidt-Komma".

Würschmidt-temperierte Stimmungen verfügen wie mitteltönige über gute Approximationen von Quinten und Terzen; die Struktur ihrer Skalen ist jedoch verschieden. Die Terz als Generator führt nach drei Schichtungsschritten zu einem Intervall, das ungefähr einen Viertelton unter der Oktave liegt; dieser Viertelton bildet das kleine Intervall für eine Reihe von [[MOS-Skalen]]. Die Würschmidt-Temperatur ist reich an MOS-Skalen: neben solchen mit 7 Tönen (3L 4s) gibt es auch solche mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und noch mehr Tönen.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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Die Würschmidt-Temperatur (benannt nach José Würschmidt) kann man als eine Art &amp;amp;quot;duale&amp;amp;quot; Temperatur zur &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die Würschmidt-Temperatur von einer grossen Terz aus, welche minimal hochtemperiert wird, so dass 8 grosse Terzen oktvbereinigt eine reine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementprechend der oktavbereinigte Unterschied zwischen 8 reinen grossen Terzen und einer reine Quinte - es hat das Frequenzverhältnis 393216/390625, ist 11.445 Cents gross und heisst natürlich &amp;amp;quot;Würschmidt-Komma&amp;amp;quot;.&amp;lt;br /&amp;gt;
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Würschmidt-temperierte Stimmungen verfügen wie mitteltönige über gute Approximationen von Quinten und Terzen; die Struktur ihrer Skalen ist jedoch verschieden. Die Terz als Generator führt nach drei Schichtungsschritten zu einem Intervall, das ungefähr einen Viertelton unter der Oktave liegt; dieser Viertelton bildet das kleine Intervall für eine Reihe von &amp;lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&amp;gt;MOS-Skalen&amp;lt;/a&amp;gt;. Die Würschmidt-Temperatur ist reich an MOS-Skalen: neben solchen mit 7 Tönen (3L 4s) gibt es auch solche mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und noch mehr Tönen.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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: The original revision id was &lt;tt&gt;444810378&lt;/tt&gt;.&lt;br&gt;
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[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Würschmidt-Temperatur (benannt nach José Würschmidt) kann man als eine Art "duale" Temperatur zur [[mitteltönig|mitteltönigen]] Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die Würschmidt-Temperatur von einer grossen Terz aus, welche minimal hochtemperiert wird, so dass 8 grosse Terzen oktvbereinigt eine reine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementprechend der oktavbereinigte Unterschied zwischen 8 reinen grossen Terzen und einer reine Quinte - es hat das Frequenzverhältnis 393216/390625, ist 11.445 Cents gross und heisst natürlich "Würschmidt-Komma".&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&amp;gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&amp;lt;/a&amp;gt;&amp;lt;br /&amp;gt;
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Die Würschmidt-Temperatur (benannt nach José Würschmidt) kann man als eine Art &amp;amp;quot;duale&amp;amp;quot; Temperatur zur &amp;lt;a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig"&amp;gt;mitteltönigen&amp;lt;/a&amp;gt; Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die Würschmidt-Temperatur von einer grossen Terz aus, welche minimal hochtemperiert wird, so dass 8 grosse Terzen oktvbereinigt eine reine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementprechend der oktavbereinigte Unterschied zwischen 8 reinen grossen Terzen und einer reine Quinte - es hat das Frequenzverhältnis 393216/390625, ist 11.445 Cents gross und heisst natürlich &amp;amp;quot;Würschmidt-Komma&amp;amp;quot;.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Würschmidt-Temperatur (benannt nach José Würschmidt) ist ein Stimmungssystem, das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; die [[Magische_Temperaturen|magische Temperatur]] ist ein weiteres wichtiges Beispiel.) Man kann sie (wie auch die magische Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die Würschmidt-Temperatur von einer grossen Terz aus, welche minimal hochtemperiert wird, so dass 8 grosse Terzen oktvbereinigt eine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementsprechend der oktavbereinigte Unterschied zwischen 8 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Quinte (3/2) - es hat das Frequenzverhältnis 393'216/390'625, ist 11.445 Cents gross und heisst natürlich "Würschmidt-Komma".

Würschmidt-temperierte Stimmungen verfügen wie mitteltönige (und, in der Regel, magische) über gute Approximationen von Terzen und Quinten (welche hier rein, kleiner oder grösser sein können). Die Struktur ihrer Skalen ist jedoch anders als in mitteltönigen. Die grosse Terz als Generator führt nach drei Schichtungsschritten zu einem Intervall, das ungefähr einen Viertelton (genauer gesagt, eine [[128/125|kleine Diësis]]) unter der Oktave liegt; dieser Viertelton bildet das kleine Intervall für eine Reihe von [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]]. Die Würschmidt-Temperatur ist reich an MOS-Skalen: neben solchen mit 7 Tönen (3L 4s) gibt es auch solche mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und noch mehr Tönen. Die kleineren MOS-Skalen sind allerdings musikalisch eher ungünstig - der Viertelton ist fast zu klein, um als Melodieschritt zu funktionieren, und das grosse Intervall gerät umgekehrt extrem gross. Insbesondere sind die kleineren MOS-Skalen von Würschmidt nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]].

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche die Würschmidt-Temperatur unterstützen, sind unter anderem [[31edo|31edo]], [[34edo|34edo]], [[65edo|65edo]], [[96edo|96edo]].

Musikbeispiele:

Chris Vaisvil - [http://chrisvaisvil.com/ancient-stardust-wurschmidt13/ Ancient Stardust] (Klavierimprovisation in einer dreizehntönigen Würschmidt-Skala)

Jake Freivald - [https://soundcloud.com/jdfreivald/extrospection Extrospection] (Orchester, sechzehntönige Würschmidt-Skala in 31edo).  [[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Würschmidt-Temperatur (benannt nach José Würschmidt) ist ein Stimmungssystem, das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; die [[Magische_Temperaturen|magische Temperatur]] ist ein weiteres wichtiges Beispiel.) Man kann sie (wie auch die magische Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine grosse Terz bilden, so geht die Würschmidt-Temperatur von einer grossen Terz aus, welche minimal hochtemperiert wird, so dass 8 grosse Terzen oktvbereinigt eine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementsprechend der oktavbereinigte Unterschied zwischen 8 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Quinte (3/2) - es hat das Frequenzverhältnis 393'216/390'625, ist 11.445 Cents gross und heisst natürlich "Würschmidt-Komma".

Würschmidt-temperierte Stimmungen verfügen wie mitteltönige (und, in der Regel, magische) über gute Approximationen von Terzen und Quinten (welche hier rein, kleiner oder grösser sein können). Die Struktur ihrer Skalen ist jedoch anders als in mitteltönigen. Die grosse Terz als Generator führt nach drei Schichtungsschritten zu einem Intervall, das ungefähr einen Viertelton (genauer gesagt, eine [[128/125|kleine Diësis]]) unter der Oktave liegt; dieser Viertelton bildet das kleine Intervall für eine Reihe von [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]]. Die Würschmidt-Temperatur ist reich an MOS-Skalen: neben solchen mit 7 Tönen (3L 4s) gibt es auch solche mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und noch mehr Tönen. Die kleineren MOS-Skalen sind allerdings musikalisch eher ungünstig - der Viertelton ist fast zu klein, um als Melodieschritt zu funktionieren, und das grosse Intervall gerät umgekehrt extrem gross. Insbesondere sind die kleineren MOS-Skalen von Würschmidt nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]].

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche die Würschmidt-Temperatur unterstützen, sind unter anderem [[31edo|31edo]], [[34edo|34edo]], [[65edo|65edo]], [[96edo|96edo]].

Musikbeispiele:

Chris Vaisvil - [http://chrisvaisvil.com/ancient-stardust-wurschmidt13/ Ancient Stardust] (Klavierimprovisation in einer dreizehntönigen Würschmidt-Skala)

Jake Freivald - [https://soundcloud.com/jdfreivald/extrospection Extrospection] (Orchester, sechzehntönige Würschmidt-Skala in 31edo).  [[Category:Temperament]]
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}}
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Würschmidt-Temperatur (benannt nach José Würschmidt) ist ein Stimmungssystem, das wie die [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur auf den Intervallen Quinte und grosse Terz aufbaut. (Es gibt mehrere von dieser Art; die [[Magische_Temperaturen|magische Temperatur]] ist ein weiteres wichtiges Beispiel.) Man kann sie (wie auch die magische Temperatur) als "duales" System zur mitteltönigen Temperatur sehen: Bildet bei letzterer eine Quinte das Generatorintervall, welches etwas herabtemperiert wird, so dass 4 Quinten oktavbereinigt eine [[Naturterz|grosse Terz]] bilden, so geht die Würschmidt-Temperatur von einer grossen Terz aus, welche minimal hochtemperiert wird, so dass 8 grosse Terzen oktvbereinigt eine Quinte ergeben. Das austemperierte Komma ist dementsprechend der oktavbereinigte Unterschied zwischen 8 reinen grossen Terzen (5/4) und einer reinen Quinte (3/2) - es hat das Frequenzverhältnis 393'216/390'625, ist 11.445 Cents gross und heisst natürlich "Würschmidt-Komma".

Würschmidt-temperierte Stimmungen verfügen wie mitteltönige (und, in der Regel, magische) über gute Approximationen von Terzen und Quinten (welche hier rein, kleiner oder grösser sein können). Die Struktur ihrer Skalen ist jedoch anders als in mitteltönigen. Die grosse Terz als Generator führt nach drei Schichtungsschritten zu einem Intervall, das ungefähr einen Viertelton (genauer gesagt, eine [[128/125|kleine Diësis]]) unter der Oktave liegt; dieser Viertelton bildet das kleine Intervall für eine Reihe von [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]]. Die Würschmidt-Temperatur ist reich an MOS-Skalen: neben solchen mit 7 Tönen (3L 4s) gibt es auch solche mit 10 (3L 7s), 13 (3L 10 s), 16 (3L 13s), 19 (3L 16s), 22 (3L 19s) und noch mehr Tönen. Die kleineren MOS-Skalen sind allerdings musikalisch eher ungünstig - der Viertelton ist fast zu klein, um als Melodieschritt zu funktionieren, und das grosse Intervall gerät umgekehrt extrem gross. Insbesondere sind die kleineren MOS-Skalen von Würschmidt nicht [[Rothenberg-proper|Rothenberg-proper]].

[[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige]] Systeme, welche die Würschmidt-Temperatur unterstützen, sind unter anderem [[31edo|31edo]], [[34edo|34edo]], [[65edo|65edo]], [[96edo|96edo]].

Musikbeispiele:

Chris Vaisvil - [http://chrisvaisvil.com/ancient-stardust-wurschmidt13/ Ancient Stardust] (Klavierimprovisation in einer dreizehntönigen Würschmidt-Skala)

Jake Freivald - [https://soundcloud.com/jdfreivald/extrospection Extrospection] (Orchester, sechzehntönige Würschmidt-Skala in 31edo).  [[Category:Temperament]]
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...im weiteren Sinne steht der Begriff für den Wunsch und die Fähigkeit, mit Fremdem oder fremd Erscheinendem in Harmonie zu leben.</text>
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...im weiteren Sinne steht der Begriff für den Wunsch und die Fähigkeit, mit Fremdem oder fremd Erscheinendem in Harmonie zu leben.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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...im weiteren Sinne steht der Begriff für den Wunsch und die Fähigkeit, mit Fremdem oder fremd Erscheinendem in Harmonie zu leben.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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...im weiteren Sinne steht der Begriff für den Wunsch und die Fähigkeit, mit Fremden oder fremd Erscheinenden in Harmonie zu leben.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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&amp;lt;br /&amp;gt;
...im weiteren Sinne steht der Begriff für den Wunsch und die Fähigkeit, mit Fremden oder fremd Erscheinenden in Harmonie zu leben.&amp;lt;/body&amp;gt;&amp;lt;/html&amp;gt;&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;</text>
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...im weiteren Sinne steht der Begriff für den Wunsch und die Fähigkeit, mit Fremden oder fremd Erscheinenden in Harmonie zu leben.&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;
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...im weiteren Sinne steht der Begriff für den Wunsch und die Fähigkeit, mit Fremdem oder fremd Erscheinendem in Harmonie zu leben.</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Als '''übermässige Temperaturen''' (Englisch: augmented temperament) kann man reguläre Temperaturen bezeichnen, welche das Intervall [[128/125|128_125 (Diësis, kleine Diësis, enharmonisches Komma)]] austemperieren.Sie zeichnen sich unter anderem aus durch die Existenz eines vollsymmetrischen übermässigen Dreiklangs (daher der Name).

Details siehe [[128/125|128_125]].

[Todo Terminologie - der Name "übermässige Temperatur" ist nicht ganz optimal...)  [[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Als '''übermässige Temperaturen''' (Englisch: augmented temperament) kann man reguläre Temperaturen bezeichnen, welche das Intervall [[128/125|128_125 (Diësis, kleine Diësis, enharmonisches Komma)]] austemperieren.Sie zeichnen sich unter anderem aus durch die Existenz eines vollsymmetrischen übermässigen Dreiklangs (daher der Name).

Details siehe [[128/125|128_125]].

[Todo Terminologie - der Name "übermässige Temperatur" ist nicht ganz optimal...)  [[Category:Temperament]]
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[Todo Terminologie - der Name "übermässige Temperatur" ist nicht ganz optimal...)

== Siehe auch ==
* [[128/125]] &amp;mdash; für weitere Details
* [[Reguläre Temperaturen]] &amp;mdash; ein Einführungsartikel

[[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]

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[Todo Terminologie - der Name "übermässige Temperatur" ist nicht ganz optimal...)

== Siehe auch ==
* [[128/125]] ... für weitere Details

[[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]

&lt;!-- interwiki links --&gt;
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[Todo Terminologie - der Name "übermässige Temperatur" ist nicht ganz optimal...)

[[Gleichstufige Stimmungen]], welche übermässige Temperaturen unterstützen, sind Unterteilungen der Oktave in ein Vielfaches von 3, mit der Standardstimmung [[12edo]] als verbreitetstes Beispiel. 

=== Erweiterungen in 7-[[Limit]] ===
[Todo]


== Siehe auch ==
* [[128/125]] ... für weitere Details

[[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]

&lt;!-- interwiki links --&gt;
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[[Gleichstufige Stimmungen]], welche übermässige Temperaturen unterstützen, sind Unterteilungen der Oktave in ein Vielfaches von 3, mit der Standardstimmung [[12edo]] als verbreitetstem Beispiel. 

=== Erweiterungen in 7-[[Limit]] ===
[Todo]


== Siehe auch ==
* [[128/125]] ... für weitere Details

[[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]

&lt;!-- interwiki links --&gt;
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Als '''übermässige Temperaturen''' (Englisch: augmented temperament) kann man [[Reguläre Temperaturen|reguläre Temperaturen]] bezeichnen, welche das Intervall [[128/125|128/125 (Diësis, kleine Diësis, enharmonisches Komma)]] austemperieren. Dieses Komma ist der Unterschied zwischen einer Oktave und drei reinen [[Naturterz|reinen grossen Terzen 5/4]]. Aus dessen Austemperieren folgt die Existenz eines vollsymmetrischen übermässigen Dreiklangs (daher der Name). Die Periode ist entsprechend eine Dritteloktave. Als Generator für [[MOS-Skalen]] prädestiniert ist das Intervall Quinte, bzw. eine solche modulo Dritteloktave, also eine Art Halbton.

[[Gleichstufige Stimmungen]], welche übermässige Temperaturen unterstützen, sind Unterteilungen der Oktave in ein Vielfaches von 3, mit der Standardstimmung [[12edo]] als verbreitetstem Beispiel. 

=== Erweiterungen in 7-[[Limit]] ===
[Todo]


== Siehe auch ==
* [[128/125]] ... für weitere Details

[[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]

&lt;!-- interwiki links --&gt;
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Als '''übermässige Temperaturen''' (Englisch: augmented temperament) kann man [[Reguläre Temperaturen|reguläre Temperaturen]] bezeichnen, welche das Intervall [[128/125|128/125 (Diësis, kleine Diësis, enharmonisches Komma)]] austemperieren. Dieses Komma ist der Unterschied zwischen einer Oktave und drei reinen [[Naturterz|reinen grossen Terzen 5/4]]. Aus dessen Austemperieren folgt die Existenz eines vollsymmetrischen übermässigen Dreiklangs (daher der Name). Die Periode ist entsprechend eine Dritteloktave. Als Generator für [[MOS-Skalen]] prädestiniert ist das Intervall Quinte, bzw. eine solche modulo Dritteloktave, also eine Art Halbton.

[[Gleichstufige Stimmungen]], welche übermässige Temperaturen unterstützen, sind Unterteilungen der Oktave in ein Vielfaches von 3, mit der Standardstimmung [[12edo]] als verbreitetstem Beispiel. 

== Erweiterungen ==
Im 
in 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] ergeben sich verschiedene Varianten, je nach Wahl des zweiten auszutemperierenden Kommas.

[Todo]


== Siehe auch ==
* [[128/125]] ... für weitere Details

[[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]

&lt;!-- interwiki links --&gt;
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Als '''übermässige Temperaturen''' (Englisch: augmented temperament) kann man [[Reguläre Temperaturen|reguläre Temperaturen]] bezeichnen, welche das Intervall [[128/125|128/125 (Diësis, kleine Diësis, enharmonisches Komma)]] austemperieren. Dieses Komma ist der Unterschied zwischen einer Oktave und drei reinen [[Naturterz|reinen grossen Terzen 5/4]]. Aus dessen Austemperieren folgt die Existenz eines vollsymmetrischen übermässigen Dreiklangs (daher der Name). Die Periode ist entsprechend eine Dritteloktave. Als Generator für [[MOS-Skalen]] prädestiniert ist das Intervall Quinte, bzw. eine solche modulo Dritteloktave, also eine Art Halbton.

[[Gleichstufige Stimmungen]], welche übermässige Temperaturen unterstützen, sind Unterteilungen der Oktave in ein Vielfaches von 3, mit der Standardstimmung [[12edo]] als verbreitetstem Beispiel. 

== Erweiterungen ==
Im 
in 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] ergeben sich verschiedene Varianten, je nach Wahl des zweiten auszutemperierenden Kommas.

[Todo]


== Siehe auch ==
* [[128/125]] ... für weitere Details

[[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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}}

[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Als '''übermässige Temperaturen''' (Englisch: augmented temperament) kann man [[Reguläre Temperaturen|reguläre Temperaturen]] bezeichnen, welche das Intervall [[128/125|128/125 (Diësis, kleine Diësis, enharmonisches Komma)]] austemperieren. Dieses Komma ist der Unterschied zwischen einer Oktave und drei reinen [[Naturterz|reinen grossen Terzen 5/4]]. Aus dessen Austemperieren folgt die Existenz eines vollsymmetrischen übermässigen Dreiklangs (daher der Name). Die Periode ist entsprechend eine Dritteloktave. Als Generator für [[MOS-Skalen]] prädestiniert ist das Intervall Quinte, bzw. eine solche modulo Dritteloktave, also eine Art Halbton.

[[Gleichstufige Stimmungen]], welche übermässige Temperaturen unterstützen, sind Unterteilungen der Oktave in ein Vielfaches von 3, mit der Standardstimmung [[12edo]] als verbreitetstem Beispiel. 

== Erweiterungen ==
Im 
in 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] ergeben sich verschiedene Varianten, je nach Wahl des zweiten auszutemperierenden Kommas.

Austemperieren von [[36/35|36/35 (septimaler Viertelton)]] ergibt eine Temperatur, die auf den Namen '''August''' getauft wurde.

[Todo Eigenschaften]

'''Augene''' ist die Temperatur, die durch Austemperieren von [[64/63|64/63 (Leipziger Komma)]] entsteht.

[Todo Eigenschaften]

== Siehe auch ==
* [[128/125]] ... für weitere Details

[[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Als '''übermässige Temperaturen''' (Englisch: augmented temperament) kann man [[Reguläre Temperaturen|reguläre Temperaturen]] bezeichnen, welche das Intervall [[128/125|128/125 (Diësis, kleine Diësis, enharmonisches Komma)]] austemperieren. Dieses Komma ist der Unterschied zwischen einer Oktave und drei reinen [[Naturterz|reinen grossen Terzen 5/4]]. Aus dessen Austemperieren folgt die Existenz eines vollsymmetrischen übermässigen Dreiklangs (daher der Name). Die Periode ist entsprechend eine Dritteloktave. Als Generator für [[MOS-Skalen]] prädestiniert ist das Intervall Quinte, bzw. eine solche modulo Dritteloktave, also eine Art Halbton.

[[Gleichstufige Stimmungen]], welche übermässige Temperaturen unterstützen, sind Unterteilungen der Oktave in ein Vielfaches von 3, mit der Standardstimmung [[12edo]] als verbreitetstem Beispiel. 

== Erweiterungen ==
Im 
in 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] ergeben sich verschiedene Varianten, je nach Wahl des zweiten auszutemperierenden Kommas.

Austemperieren von [[36/35|36/35 (septimaler Viertelton)]] ergibt eine Temperatur, die auf den Namen '''August''' getauft wurde.

[Todo Eigenschaften]

'''Augene''' ist die Temperatur, die durch Austemperieren von [[64/63|64/63 (Leipziger Komma)]] entsteht.

[Todo Eigenschaften]

Austemperieren von [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] ergibt eine Temperatur namens '''Hexe'''. Da das Austemperieren von 50/49 eine Teilung der Oktave in 2 gleiche Teile ergibt, haben Hexe-Temperaturen eine Unterteilung der Oktave in sechs gleiche Teile, sie enthalten also eine gleichstufige Ganztonskala. Gleichstufige Tonsysteme, die Hexe unterstützen, sind Unterteilungen in Vielfache von 6.

== Siehe auch ==
* [[128/125]] ... für weitere Details

[[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Als '''übermässige Temperaturen''' (Englisch: augmented temperament) kann man [[Reguläre Temperaturen|reguläre Temperaturen]] bezeichnen, welche das Intervall [[128/125|128/125 (Diësis, kleine Diësis, enharmonisches Komma)]] austemperieren. Dieses Komma ist der Unterschied zwischen einer Oktave und drei reinen [[Naturterz|reinen grossen Terzen 5/4]]. Aus dessen Austemperieren folgt die Existenz eines vollsymmetrischen übermässigen Dreiklangs (daher der Name). Die Periode ist entsprechend eine Dritteloktave. Als Generator für [[MOS-Skalen]] prädestiniert ist das Intervall Quinte, bzw. eine solche modulo Dritteloktave, also eine Art Halbton.

[[Gleichstufige Stimmungen]], welche übermässige Temperaturen unterstützen, sind Unterteilungen der Oktave in ein Vielfaches von 3, mit der Standardstimmung [[12edo]] als verbreitetstem Beispiel. 

== Erweiterungen ==
Im 
in 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] ergeben sich verschiedene Varianten, je nach Wahl des zweiten auszutemperierenden Kommas.

Austemperieren von [[36/35|36/35 (septimaler Viertelton)]] ergibt eine Temperatur, die auf den Namen '''August''' getauft wurde.

[Todo Eigenschaften]

'''Augene''' ist die Temperatur, die durch Austemperieren von [[64/63|64/63 (Leipziger Komma)]] entsteht.

[Todo Eigenschaften]

=== Hexe ===
Austemperieren von 128/5 und [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] ergibt eine Temperatur namens '''Hexe'''. Da das Austemperieren von 50/49 eine Teilung der Oktave in 2 gleiche Teile ergibt, haben Hexe-Temperaturen eine Unterteilung der Oktave in sechs gleiche Teile, sie enthalten also eine gleichstufige Ganztonskala. Gleichstufige Tonsysteme, die Hexe unterstützen, sind Unterteilungen in Vielfache von 6.

== Siehe auch ==
* [[128/125]] ... für weitere Details

[[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Als '''übermässige Temperaturen''' (Englisch: augmented temperament) kann man [[Reguläre Temperaturen|reguläre Temperaturen]] bezeichnen, welche das Intervall [[128/125|128/125 (Diësis, kleine Diësis, enharmonisches Komma)]] austemperieren. Dieses Komma ist der Unterschied zwischen einer Oktave und drei reinen [[Naturterz|reinen grossen Terzen 5/4]]. Aus dessen Austemperieren folgt die Existenz eines vollsymmetrischen übermässigen Dreiklangs (daher der Name). Die Periode ist entsprechend eine Dritteloktave. Als Generator für [[MOS-Skalen]] prädestiniert ist das Intervall Quinte, bzw. eine solche modulo Dritteloktave, also eine Art Halbton.

[[Gleichstufige Stimmungen]], welche übermässige Temperaturen unterstützen, sind Unterteilungen der Oktave in ein Vielfaches von 3, mit der Standardstimmung [[12edo]] als verbreitetstem Beispiel. 

== Erweiterungen ==
Im 
in 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] ergeben sich verschiedene Varianten, je nach Wahl des zweiten auszutemperierenden Kommas.

Austemperieren von [[36/35|36/35 (septimaler Viertelton)]] ergibt eine Temperatur, die auf den Namen '''August''' getauft wurde.

[Todo Eigenschaften]

'''Augene''' ist die Temperatur, die durch Austemperieren von [[64/63|64/63 (Leipziger Komma)]] entsteht.

[Todo Eigenschaften]

=== Hexe ===
Austemperieren von 128/125 und [[50/49|50/49 (Jubilisma)]] ergibt eine Temperatur namens '''Hexe'''. Da das Austemperieren von 50/49 eine Teilung der Oktave in 2 gleiche Teile ergibt, haben Hexe-Temperaturen eine Unterteilung der Oktave in sechs gleiche Teile, sie enthalten also eine gleichstufige Ganztonskala. Gleichstufige Tonsysteme, die Hexe unterstützen, sind Unterteilungen in Vielfache von 6.

Weitere Varianten siehe die Seite im englischen Xenwiki.

== Siehe auch ==
* [[128/125]] ... für weitere Details

[[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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'''All discussion below is archived from the Wikispaces export in its original unaltered form.'''
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== Einbindung statt Weiterleitung ==
Was ist davon zu halten?

Auf diese Art würden wir diverse Probleme loswerden und anschaulich ist es auch, finde ich.

- '''xenwolf''' May 23, 2013, 05:10:45 AM UTC-0700
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&lt;div style="text-align:center; background-color: #fee;"&gt;&lt;big&gt;'''This page contains archived discussion from Wikispaces.'''&lt;/big&gt;&lt;br/&gt;This archived discussion can be found at [[{{FULLPAGENAME}}/WikispacesArchive]].&lt;br/&gt;Please add any new discussion &lt;strong&gt;below&lt;/strong&gt; this section, at the bottom of the page.&lt;br/&gt;Do not add any new discussion above this section.&lt;/div&gt;
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&lt;div style="text-align:center; background-color: #fee;"&gt;&lt;big&gt;'''This page contains archived discussion from Wikispaces.'''&lt;/big&gt;&lt;br/&gt;This archived discussion can be found at [[{{FULLPAGENAME}}/WikispacesArchive]].&lt;br/&gt;Please add any new discussion &lt;strong&gt;below&lt;/strong&gt; this section, at the bottom of the page.&lt;br/&gt;Do not add any new discussion above this section.&lt;/div&gt;
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'''All discussion below is archived from the Wikispaces export in its original unaltered form.'''
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== Approximation ==
Was wäre von &lt;em&gt;Näherung&lt;/em&gt; zu halten? Ich meine, mit dem Wort Approximation habe ich kein Problem, aber je weniger Fremdwörter, desto leichter verständlich ist ein Text, finde ich.

- '''xenwolf''' May 12, 2013, 01:14:46 PM UTC-0700
----
Kein Problem!

- '''hstraub''' June 10, 2015, 04:53:45 AM UTC-0700
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      <comment>Inthar verschob die Seite [[Diskussion:22edo]] nach [[Diskussion:22-EDO]]: "n-EDO"-Schreibung</comment>
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'''All discussion below is archived from the Wikispaces export in its original unaltered form.'''
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== Orientierung ==
Ich habe mich einfach mal an einer Orientierung probiert; wenn ihr damit was anfangen könnt, können wir die Seite zusammen erweitern, falls nicht schreibt bitte was euch stört.

Falls wir uns nicht einig werden sollten kann ja jeder der will eine eigene Orientierung schreiben, und wir verlinken die unterschiedlichen Ansätze mit Kennzeichnung des Autors von einer Übersichtsseite aus.

- '''Gedankenwelt''' April 25, 2013, 11:35:26 AM UTC-0700
----
Gefällt mir so weit recht gut.

Teile davon würden auch gut auf die Einführungsseite "Reguläre Temperaturen" passen - ich hatte so was vor. Aber hier passt es auch gut her. Dann mal überlegen, was wir auf die Seite "Reguläre Temperaturen" schreiben sollen.

- '''hstraub''' April 26, 2013, 12:05:15 AM UTC-0700
----
So, ich habe das mal wie von dir vorgeschlagen ausgelagert, das hatte ich sowieso vorgehabt. ;)

- '''Gedankenwelt''' May 01, 2013, 06:57:05 AM UTC-0700
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&lt;div style="text-align:center; background-color: #fee;"&gt;&lt;big&gt;'''This page contains archived discussion from Wikispaces.'''&lt;/big&gt;&lt;br/&gt;This archived discussion can be found at [[{{FULLPAGENAME}}/WikispacesArchive]].&lt;br/&gt;Please add any new discussion &lt;strong&gt;below&lt;/strong&gt; this section, at the bottom of the page.&lt;br/&gt;Do not add any new discussion above this section.&lt;/div&gt;
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&lt;div style="text-align:center; background-color: #fee;"&gt;&lt;big&gt;'''This page contains archived discussion from Wikispaces.'''&lt;/big&gt;&lt;br/&gt;This archived discussion can be found at [[{{FULLPAGENAME}}/WikispacesArchive]].&lt;br/&gt;Please add any new discussion &lt;strong&gt;below&lt;/strong&gt; this section, at the bottom of the page.&lt;br/&gt;Do not add any new discussion above this section.&lt;/div&gt;
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'''All discussion below is archived from the Wikispaces export in its original unaltered form.'''
----

== Limit und Dimensionen ==
Die Zahl der Dimensionen ergibt sich nicht direkt aus dem Limit, sondern nur ihre Obergrenze. So ist 7-Limit max. 4-dimensional...

- '''xenwolf''' July 09, 2013, 07:48:09 AM UTC-0700
----

== Sorry... ==
...falls das gerade schlimm aussieht. Der Einstieg der Seite ist mir inhaltlich schon klar. Das Problem ist: viele, die ihre mathematische Ader nur noch nicht entdeckt haben, fühlen sich abgeschreckt, wenn sie umfangreiche Sätze mit vielen Fachbegriffen lesen. Viele der Begriffe haben die Leute in der Schule zurückgelassen:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;ganze Zahlen&lt;/li&gt;&lt;li&gt;rationale Zahlen&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Primzahlen&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Potenzen&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;Dazu kommt, dass die Primfaktorzerlegung in der Schule - falls überhaupt - nur zusammen mit den natürlichen Zahlen gezeigt wird. Was negative ganzzahlige Exponenten bedeuten, werden die meisten auch nicht mehr wissen. Ich möchte sowieso eine Seite zur Primfaktorzerlegung schreiben. Aber im Moment werde ich mit den ersten beiden Sätzen der Seite Intervallraum nicht so richtig fertig. Ich hoffe der aktuelle Zwischenstand ist nicht gar zu schlimm...

Grüße,

Wolf

- '''xenwolf''' April 28, 2013, 11:59:58 PM UTC-0700
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Ich habe nun eine Seite zur Primfaktorzerlegung geschieben, dorthin sollten Teile dieser Seite wandern, denke ich.

- '''xenwolf''' June 04, 2013, 11:59:35 PM UTC-0700
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Ich habe die Inhalte jetzt einfach gelöscht, die Einarbeitung war zu knifflig. Ich hätte lieber eine eingängige Darstellung mit vielen konkreten Beispielen. Die Generalisierung (mit all ihrer mathematischen Eleganz) bietet aus meiner Sicht keinen leichten Einstieg in ein Thema.

- '''xenwolf''' June 05, 2013, 12:14:22 AM UTC-0700
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'''All discussion below is archived from the Wikispaces export in its original unaltered form.'''
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== Werkzeug für Klangbeispiele ==
Womit kann man am besten Klangbeispiele wie die auf dieser Seite erzeugen?

- '''xenwolf''' March 16, 2015, 02:45:38 AM UTC-0700
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Bei dem Beispiel des Orwell-Vierklangs fällt mir auf, dass die Töne unterschiedlich laut sind. Grob klingt es für mich in etwa so: &lt;em&gt;f p p f&lt;/em&gt; - wie kommt das?

- '''xenwolf''' March 16, 2015, 02:55:24 AM UTC-0700
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Das kommt daher, dass ich das Beispiel auf meinem Keyboard eingespielt habe - und dabei offensichtlich die Tastendrücke etwas verschieden stark herauskamen... Das ergibt einen "Human Touch", macht andererseits die verschiedenen Beispiele weniger direkt vergleichbar. Wäre vielleicht diskutabel, ob hier "human" oder "maschinell" besser ist.

Der Klang stammt aus dem Roland JV1010, den ich dazu auf 22edo umgestimmt habe. Gibt einen schönen Klang, ist aber nicht unbedingt die einfachste Methode...

Allgemein braucht man irgend einen mikrotonfähigen Klangerzeuger. Ein freier und gut verwendbarer auf Software-Basis ist ZynAddSubFX, mit dem ich z. B. die Klangbeispiele auf der Mavila-Seite gemacht habe.

- '''hstraub''' March 18, 2015, 12:48:09 AM UTC-0700
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Ich habe mal eine Seite zu dem Thema begonnen: Werkzeug für Klangbeispiele

- '''xenwolf''' March 23, 2015, 01:50:12 PM UTC-0700
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Ja, Csound ist generell eine gute Wahl - völlige Freiheit bei den Tonhöhen uind lauffähig auf einem üblichen PC, ohne Notwendigkeit von anderer Hardware.

- '''hstraub''' March 25, 2015, 01:45:30 AM UTC-0700
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== extern verlinken/nutzen ==
In Wikispaces kann man Medien aus anderen Wikis einbetten: genau wie bei Links setzt man den Wikinamen, gefolgt von einem Doppelpunkt, vor die Seite. In diesem Falle also &lt;tt&gt;xenharmonic:&lt;/tt&gt;

- '''xenwolf''' March 16, 2015, 02:43:13 AM UTC-0700
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    <title>Diskussion:Komma</title>
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'''All discussion below is archived from the Wikispaces export in its original unaltered form.'''
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== Formatierung ==
Ich weiß jetzt nicht, wie es mit anderen Betriebssystemen ist, aber ich nehme an dasselbe wie bei Windows: Die Anwendungen lokalisieren gnadenlos - und eigentlich überflüssigerweise. Aber warum sollte die englische Formatierung besser sein? Die Konvertierung bei Sprachwechsel ist natürlich lästig.

Wie dem auch sei: ich wollte niemandem ins Handwerk pfuschen - betrachtet die aktuelle (deutsche) Formatierung (ohne Tausenderpunkt) eher als Vorschlag. Eine Lösung über CSS und/oder JavaScript wäre ideal.

- '''xenwolf''' August 05, 2014, 02:21:03 AM UTC-0700
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== Tag-Listen und Selbstreferenz ==
Je nach Formulierung kann es sinnvoll sein, auch die Seite selbst zu listen. Da Tags leichtgewichtige Mitmach-Angebote sind würde ich bei ihnen gern minimal restriktiv sein.

- '''xenwolf''' May 23, 2013, 05:02:16 AM UTC-0700
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Nö, restriktiv müssen wir da nicht sein. Im jetzigen Stadium des Wikis finde ich Tag-Listen halt ein gutes Mittel, um auf einfache Weise Inhaltsverzeichnisse zu erstellen. Wenn das Wiki grösser wird, wird das wohl irgendwann eh zu unübersichtlich, dann muss man die Verzeichnisse wohl von Hand pflegen (wies im englischen Wiki ja schon geschieht).

- '''hstraub''' May 23, 2013, 12:27:34 PM UTC-0700
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Ok. Ich hatte nur gesehen, dass du das Tag Komma bei der Seite Komma gelöscht hattest, was bei dieser Wikisoftware sicherlich auch gut begründbar ist: wir haben kein Kategoriensystem, dafür aber eine Suche, die bei perfekten Treffern nicht direkt in die Seite wechselt (gottseidank!)

- '''xenwolf''' May 24, 2013, 12:10:34 AM UTC-0700
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Ich hatte das Tag weggenommen, damit die Komma-Hauptseite nicht als Link in ihrem eigenen Verzeichnis auftaucht. Aber gerade dort sieht man ja jetzt schon die Unflexibilität der Tag-Liste, weil dieselben Kommas teils mehrfach auftacuhen. Ich denke, ich ändere das auf explizite Links.

- '''hstraub''' May 24, 2013, 03:22:43 AM UTC-0700
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    <title>Diskussion:Verminderte Temperaturen</title>
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== 4n-EDO ==
Wenn die Oktave in vier gleiche Teile geteilt wird, scheinen allen EDOs mit einer durch 4 teilbaren Anzahl von Stufen gleichermaßen geeignet als verminderte Temperaturen. Oder gibt es eine Mindestgröße (wie z.B. 12)?

- '''xenwolf''' November 24, 2017, 05:00:28 AM UTC-0800
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Ich denke, es gibt keine Mindestgrösse. Sowohl 4edo wie auch 8edo sind auch im englischen Xenwiki als mögliche Realisierungen angegeben - wobei das natürlich eher musikalisch nicht so interessante Grenzfälle sind.

- '''hstraub''' November 25, 2017, 03:00:19 PM UTC-0800
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    <title>Diskussion:Gleichstufige Tonsysteme</title>
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'''All discussion below is archived from the Wikispaces export in its original unaltered form.'''
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== Stimmungen ==
(1) Das Wort hat sich in der DE-Wikipedia als problematisch erwiesen. Was wäre von Tonsystemen zu halten?

(2) Was würdest du vom Terminus Äquidistant bzw. Equidistant halten?

- '''xenwolf''' April 24, 2013, 04:35:34 AM UTC-0700
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Tonsystem finde ich OK.

Äquidistant ist von der Bedeutung her korrekt, kann man in jedem Fall als Synonym verwenden. Allerdings scheint mir im Musikbereich das Wort "gleichstufig" gebräuchlicher - das legen jedenfalls die Treffer in Google bei der entsprechenden Stichwortsuche nah.

WIkipedia spricht übrigens weiterhin von "gleichstufiger Stimmung": 

http://de.wikipedia.org/wiki/Gleichstufige_Stimmung

- '''hstraub''' April 24, 2013, 05:16:35 AM UTC-0700
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Also benennen wir die Seite um in Gleichstufiges Tonsystem, (mit Weiterleitung, versteht sich) ok?

- '''xenwolf''' April 24, 2013, 06:13:10 AM UTC-0700
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...bzw. Die Mehrzahl davon...

- '''xenwolf''' April 24, 2013, 06:13:35 AM UTC-0700
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"Gleichstuifiges Tonsystem" ist gut, ja.

- '''hstraub''' April 24, 2013, 06:33:20 AM UTC-0700
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    <title>Diskussion:Beyreuther Musikprinzip</title>
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== Bildverfärbungen ==
Mit Flachbildschirmen unterlaufen mir manchmal kleine Fehler in der Farbgestaltung. So auch hier: die hellgrauen Tasten links sind natürlich auch weiß.

- '''xenwolf''' June 07, 2013, 03:58:13 AM UTC-0700
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== Was bedeutet "regulär" ==
Was wären z.B. nicht reguläre Temperaturen? Vielleicht sollte das drin stehen, die Abgrenzung würde es noch verständlicher machen...

Ich denke auch, die Konstruktion eines Tonvorrates mittels Periode und Generator ist zwar an sich regulär, aber eine Temperatur ist damit nicht vorprogrammiert.

Würde man die Oktave als Periode z.B. nach dem goldenen Schnitt teilen - was würde dann (aus-)temperiert?

Sind es nicht wirklich eigentlich die Kommas, die eine Temperatur ausmachen?

- '''xenwolf''' June 04, 2013, 01:16:21 AM UTC-0700
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"Temperatur" im allgemeinsten Sinn steht, würde ich sagen, für ein System. wo Approximationen von reinen Intervallen verwendet werden, welche jedoch mit Absicht ganz leicht verstimmt werden. Siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Temperierte_Stimmung . Die Bezeichnung "regulär" bezieht sich auf das Konzept der "regulären Abbildungen" (regular mapping), und das ist tatsächlich eng mit Generator und Periode verbunden. Nicht-reguläre Temperaturen wären z.B. die wohltemperierten Systeme, die historisch zwischen der mitteltönigen und der gleichstufigen Stimmung anzusiedeln sind.

Kommas sind tatsächlich essentiell für eine reguläre Temperatur - ich hoffe, im Kapitel über Porcupine gelang es mir, das deutlich zu machen. Andererseits kann man tatsächlich irgend einen Generator nehmen, also auch den Goldenen Schnitt, und dann sehen, welche Kommas das resultierende System austemperiert. Ich würde Periode/Generator und Kommas als zwei Seiten derselben Medaille ansehen - wie man dabei vom einen zum anderen kommt, ist mir auch noch nicht hundertprozentig klar. Im Xenharmonic Wiki stehen da einige Informationen zu, ich glaube rund um die Stichworte val, wedgie, aber ggf. auch Kettenbrüche (continued fractions) spielen da hinein. Wie genau, bin ich zur Zeit aber überfagt...

- '''hstraub''' June 04, 2013, 03:38:40 AM UTC-0700
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== Terminologiefrage... ==
Ich frage mich, wie "regular temperament" auf Deutsch heissen soll. Mir ist zur Zeit keine Übersetzung bekannt - vielleicht gibt es noch keine?

Meine erste Idee "reguläres Temperament"  gefällt mir nicht so recht...  Vielleicht wäre "regelmäßiges Temperament" besser?

- '''hstraub''' April 23, 2013, 01:01:03 PM UTC-0700
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Temperierung und Temperament kann man beides verwenden - die Frage ist, ob das Wort "regulär" gut ist. "Regelmässig" oder "ebenmässig" - oder vielleicht "halbgleichstufig" (als Übersetzung von semi-equalized) kämen mir da noch in den Sinn. Aber vielelicht bleiben wir dann doch bei "regulär".

- '''hstraub''' April 24, 2013, 01:44:56 AM UTC-0700
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Was heißt den regulär genau? Verrückt, aber das weiß ich nicht, weil ich EDO-fanatisch bin.

- '''xenwolf''' April 24, 2013, 01:58:16 AM UTC-0700
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Hmm, ich weiss auch nicht, warum das "regular temperament" genannt wurde - das war ja alles schon erfunden, bevor ich zur mikrotonalen Szene stiess. Und ich benutze bisher eigetnlich auch nur EDOs... Vielleicht finde ich noch was irigendwo im englischen Xenwki.

- '''hstraub''' April 24, 2013, 03:50:33 AM UTC-0700
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Hi,

"temperament" ist im Deutschen einfach Temperatur oder Temperierung, vgl. z.B. "mitteltönige Temperatur". "Temperament" kenne ich im Deutschen nicht, insbesondere im Zusammenhang mit "mitteltönig" liefert mir google keine sinnvollen Treffer. Kennt ihr da Beispiele, wo das im Deutschen verwendet wird?

Ich vermute mit "regular" ist gemeint, dass die Abbildung von reinen Intervallen auf temperierte Intervalle (vals) eindeutig ist in dem Sinne, dass jedem reinen Intervall ein eindeutiges temperiertes Intervall zugewiesen ist (i.d.R. aber nicht umgekehrt). Also dass der folgende Fall ausgeschlossen ist: http://x31eq.com/paradigm.html#incompatinco

Ich kann ja mal in der Tuning-Liste nachfragen.

Insgesamt würde ich zu "reguläre Temperaturen" (oder ggf. Temperierungen) tendieren.

- '''Gedankenwelt''' April 24, 2013, 06:51:25 AM UTC-0700
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Aha, anscheinend bedeutet "regular", dass jeder Generator mit einem eindeutigen Intervall assoziiert ist:

http://x31eq.com/paradigm.html#keytemper

"regelmäßig" wäre demnach also auch eine Option, wobei meine persönliche Präferenz dennoch bei "regulär" liegt. Sollen wir bei der Gelegenheit auch direkt "regular tuning" mit "reguläre Stimmung" übersetzen?

- '''Gedankenwelt''' April 24, 2013, 07:08:33 AM UTC-0700
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Hmm, tatsächlich scheint das Wort "Temperament" im Deutschen hier nicht bentuzt zu werden - jedenfalls wenn man Google glaubt... Da ist entweder von "Temperatur" oder von "Stimmung" die Rede - letzteres deutlich häufiger.

Die Definition für "regular" auf 31eq.com ist ja in der Tat ziemlich klar - das heisst dann wohl "regulär". "Regular tuning" wäre dann "reguläre Stimmung" oder "reguläres Tonsystem", wobei ich  hier das Wort Tonsystem vorziehen würde.

Für "Regular temperaments" demnach vielleicht "reguläre temperierte Tonsysteme"?

- '''hstraub''' April 24, 2013, 07:31:38 AM UTC-0700
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Der Begriff "tuning" ist soweit ich das sehe relativ neutral, und lässt sich fast 1:1 mit "Stimmung" übersetzen, z.B. "pythagorean tuning" = pythagoreische Stimmung, "quarter-comma meantone tuning" = 1/4-Komma mitteltönige Stimmung. Auch ist der englische Wikipedia-Artikel "musical tuning" mit dem deutschen Artikel "Stimmung (Musik)" verknüpft.

Mit der genauen Bedeutung des Begriffs "Tonsystem" habe ich mich noch nicht so genau befasst, aber nach kurzem Überfliegen des Wikipedia-Artikels habe ich den Eindruck dass der über die Bedeutung des Begriffs "tuning" hinausgeht. Z.B. ist von dem(!) Tonsystem der antiken Griechen die Rede, das sich als einzelnes "tuning" (Stimmung) nicht zusammenfassen lässt, von daher denke ich dass sich dieser Begriff als Übersetzung nicht so gut eignet.

Eine Temperatur ist in erster Linie keine Stimmung, sondern ein Konzept. Z.B. schließt eine mitteltönige Temperatur Varianten wie die 1/3-, 2/7- oder 1/4-Komma mitteltönige Stimmung mit ein. Insbesondere "regular temperaments" kann man auch so betrachten, dass die austemperierten Intervalle lediglich Äquivalenzrelationen ausdrücken, also z.B. dass "mitteltönig" (-&amp;gt; 81:80 wird austemperiert) bedeuten kann, dass Intervalle wie 9:8 und 10:9 austauschbar sind, weil sie sich um 81:80 unterscheiden, ohne dass man eine temperierte Stimmung verwenden muss, in der beide Intervalle tatsächlich identisch sind. Die Philosophie wird z.B. hier beschrieben:

xenharmonic.wikispaces.com/maqamic (Abschnitt "Harmonically, intervals in this temperament...")

Von daher sollte man bei der Übersetzung von "regular temperament" darauf achten, dass nicht der Eindruck entsteht es handle sich um eine konkrete Stimmung. Wie gesagt, ich denke "reguläre Temperatur" (oder Temperierung) trifft es am Besten, wobei ich Alternativvorschlägen gegenüber natürlich offen stehe.

- '''Gedankenwelt''' April 24, 2013, 10:44:21 AM UTC-0700
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...nur dass mich keiner missversteht: Der Begriff "Temperatur" / "temperament" kann auch im Sinne von "Stimmung" / "tuning" verwendet werden, aber in erster Linie ist eine (insbesondere "reguläre") Temperatur nur eine Liste von austemperierten Kommas, bzw. eine Abbildung von reinen Intervallen auf Linearkombinationen von Generatoren.

- '''Gedankenwelt''' April 24, 2013, 10:52:02 AM UTC-0700
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Ich habe jetzt einfach mal "abstract regular temperament" mit "verallgemeinerte reguläre Temperatur" übersetzt, und "regular temperament" (falls die Generatoren konkret angegeben sind) mit "regulär temperierter Stimmung". Bei "reguläre Temperatur" lasse ich offen, was von beiden gemeint ist.

"Verallgemeinert" gefällt mir besser als "abstrakt", da es weniger abschreckend ist, und m.M.n. auch sehr gut passt. Ein Stück z.B., das für "verallgemeinerte mitteltönige Temperatur" notiert ist ist eine sehr anwendungsbezogene, praktische Sache. Da wäre es schade wenn jemand sich nicht damit beschäftigt, weil er denkt es handle sich "nur" um ein abstraktes Konzept.

Wie seht ihr das mit "Stimmung" vs "Tonsystem"? Ich persönlich würde immer noch "Stimmung bevorzugen" (insbesondere "gleichstufige Stimmung" ist ja recht gut etabliert im Vergleich zu "gleichstufiges Tonsystem"), ich würde mich aber dem Konsens anschließen. ;)

- '''Gedankenwelt''' May 01, 2013, 07:23:52 AM UTC-0700
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Ich würde dazu tendieren, allgemein etablierte Begriffe auf jeden Fall (zumindest auch) zu verwenden. Das erleichtert den Einstieg für neue Leute.

- '''hstraub''' May 02, 2013, 08:18:01 AM UTC-0700
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Mehrere Begriffe bieten (neben dem Google-Magnetismus) die Chance der Abgrenzung. Und die Möglichkeit, mit dieser so lange zu warten, bis wir sie schlüssig darstellen können.

Ich &lt;em&gt;fühle&lt;/em&gt; z.B. gegenwärtig, dass Stimmung und Tonsystem nicht dasselbe sind, kann aber nicht erklären warum. Und deshalb würde ich mit der (temporären) Synonym-Annahme gut leben können.

ps: Wikis wollen ja genau das: unfertige Gedanken zur Diskussion stellen. Vielleicht sollte die (/diese) "Kontroverse" ja besser auf den entsprechenden Seiten dargestellt (bzw. verlinkt) werden.

- '''xenwolf''' May 03, 2013, 12:16:23 AM UTC-0700
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Danke für eure Antworten!

Ich denke auch, dass mehrere Begriffe nicht verkehrt sind, so dass man je nach Kontext den Begriff verwenden kann, der gerade besser passt.

- '''Gedankenwelt''' May 09, 2013, 07:56:40 AM UTC-0700
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Reguläre oder regelmäßige Temperierung?

- '''xenwolf''' April 23, 2013, 10:33:59 PM UTC-0700
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== Mitteltönige Quinte? ==
Wie müsste man dann "mitteltönig" definieren (der Weg scheint mir etwas indirekt)? Gilt das auch für die Gleichteilung der Quinte schlechthin?

- '''xenwolf''' March 11, 2015, 02:30:00 AM UTC-0700
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Hmm, "mitteltönig" ist doch klar definiert, oder nicht? Nicht auf dieser Seite, aber im Link zur Seite "mitteltönig".

Mit "mitteltönige Quinte" ist der Generator einer mitteltönigen Temperatur gemeint, also eine um einen kleinen Betrag herabtemperierte reine Quinte - wobei der exakte Betrag von der konkreten Variante der verwendeten mitteltönigen Temperatur abhängt (bei 24edo ist das ein anderer Betrag als bei 31edo).

Aber zu Mohajira gäbe es wohl tatsächlich noch mehr zu sagen, als was dort zur Zeit steht. Es fehlen z.B: Informationen über austemperierte Kommas (eine "formale" Definition könnte über die Angabe der austemperierten Kommas gehen.)

Vor kurzem gabs in der Facebook-Gruppe ein paar Beiträge von Margo Schulter über Mohajira - sollte ich dann vielleicht nochmals etwas genauer anschauen....

- '''hstraub''' March 11, 2015, 04:02:51 AM UTC-0700
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Ja, ich habe das nachgelesen 4-te Wurzel aus 5 sozusagen; aber die dann noch zu halbieren, *das* erschien mir irgendwie indirekt, vielleicht weil die doppelt oktavierte Terz für sich genommen schon ein "komplizierteres" Intervall ist als die Quinte. Was für mich an diesem Artikel vielleicht das Problem ist: "mitteltönig" würde ich nicht als eine Kategorie der orientalischen Musik vermuten. Mein Fehlschluss liegt offensichtlich darin begründet, 

&lt;em&gt;Mohajira&lt;/em&gt; für eine "klassische" Bezeichnung dieses Kulturraums gehalten zu haben. (Möglich, dass nicht nur ich diesen Fehler begehe...)

Die Idee, eine Quinte zu halbieren, scheint mir hingegen sehr direkt.

- '''xenwolf''' March 11, 2015, 05:15:40 AM UTC-0700
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    <title>Diskussion:Klassische Notation</title>
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== Teile und herrsche ==
Hier zeigt sich eine Anwendung von 

Divide et impera – Wikipedia bzw. Teile und herrsche (Informatik) – Wikipedia

- '''xenwolf''' June 14, 2013, 12:06:23 PM UTC-0700
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...indem man versucht, die Aufgabe der Notation über Stammtöne und Vorzeichen zu lösen; im Gegensatz dazu haben MIDI-Noten einfach eine Nummer...

- '''xenwolf''' June 14, 2013, 12:08:43 PM UTC-0700
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&lt;div style="text-align:center; background-color: #fee;"&gt;&lt;big&gt;'''This page contains archived discussion from Wikispaces.'''&lt;/big&gt;&lt;br/&gt;This archived discussion can be found at [[{{FULLPAGENAME}}/WikispacesArchive]].&lt;br/&gt;Please add any new discussion &lt;strong&gt;below&lt;/strong&gt; this section, at the bottom of the page.&lt;br/&gt;Do not add any new discussion above this section.&lt;/div&gt;
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'''All discussion below is archived from the Wikispaces export in its original unaltered form.'''
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== Quellenangabe ==
Ich habe die Grafik von spt3125 ins Deutsche übersetzt

17ed2-001.svg

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;Details&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Download&lt;/li&gt;&lt;li style="color: #666"&gt;19 KB&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

http://xenharmonic.wikispaces.com/file/detail/17ed2-001.svg

- '''xenwolf''' January 08, 2014, 12:13:29 AM UTC-0800
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'''All discussion below is archived from the Wikispaces export in its original unaltered form.'''
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== 8edo? ==
Ist auch 8edo (in ähnlichen Grenzen wie 5edo) als superpythagoräisch einzustufen? Hier ist die Quinte (5\8) 750 Cent groß.

- '''xenwolf''' July 06, 2016, 04:47:00 AM UTC-0700
----
Hmm, bei einer Quinte von 750 Cent würde die durch Quintenschichtungen erreichte "grosse Terz" 600 Cents, also grösser als die "Quarte" (450 Cents) - das scheint mir doch zu verrückt.

Bei steigender Grösse der "Quinte" wird ja die "Quarte" immer kleiner, die "grosse Terz" immer grösser, und 5edo ist genau der Punkt, wo "grosse Terz" und "Quarte" zusammenfallen. Es ist wohl sinnvoll, die Grenze dort zu ziehen.

- '''hstraub''' July 07, 2016, 01:30:24 AM UTC-0700
----
Danke :) Jetzt verstehe ich besser, dass es nicht beliebig ist, um wie viel man eine Quinte steckt. Mit 3\5 läge die Grenze bei 720 Cent, in http://www.bestii.com/%7Emschulter/IntervalSpectrumRegions.txt lese ich, dass es Situationen geben kann, in denen 732 als Quinte brauchbar wird ("intervals rather larger than 732 cents may sometimes serve musically as perfect fifths")

- '''xenwolf''' July 07, 2016, 01:49:13 AM UTC-0700
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    <title>Diskussion:Verallgemeinerte reguläre Temperatur</title>
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'''All discussion below is archived from the Wikispaces export in its original unaltered form.'''
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== Ich würde das gern besser verstehen ==
Die aktuelle Darstellung wirkt sehr mathematisch (und &lt;em&gt;abstrakt&lt;/em&gt;). Wenn man es zusätzlich mit einfachen Worten erklären könnte, würden sich mathematisch unbeschlagene Xenharmoniker sicherlich freuen. Vielleicht ist ein Beispiel möglich oder eine Gegenüberstellung, wobei man die Verweise auf landläufige Konzepte beschränken sollte.

- '''xenwolf''' May 31, 2013, 12:19:56 AM UTC-0700
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Ich habe so was auch schon gedacht. Bin auch schon dabei, einen besser verständlichen Einführungstext auszuarbeiten.

- '''hstraub''' May 31, 2013, 01:36:38 AM UTC-0700
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Dafür danke ich im Voraus schon herzlich :) 

Du bist ja in Mathematik vermutlich bewandert (ich denke da an MaMuTh). Ich würde oft gern mehr davon verstehen - ist mein Steckenpferd seit meiner Kindheit -, aber die verwendete(n) Sprache(n) und Schrift(en) stellen bilden oft eine hohe Einstiegshürde. So nutze ich jeden praktischen Anlass, ein Stück mehr zu verstehen...

- '''xenwolf''' May 31, 2013, 02:39:03 AM UTC-0700
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Ich habe jetzt im Hauptartikel über reguläre Temperaturen einen hoffentlich etwas allgemeinverständlichen Abschnitt über verallgemeinerte reguläre Temperaturen eingefügt ( http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re+Temperaturen#Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperaturen ). Ich denke, man kann die Informationen auf dieser Seite hier damit zusammenführen und diese separate Seite dann löschen.

- '''hstraub''' June 04, 2013, 04:58:29 AM UTC-0700
----
Ich halte kurze Artikel für wertvoll in Anbetracht der Zeitknappheit der Wissbegierigen. Knapp umreißbare Konzepte sollten deshalb nicht in textreichen Artikeln untertauchen. Die "Buchform" mit echten Kapiteln wird von einigen Wikis gut unterstützt, sollte man hier mal sehen... ich könnte mir ein friedvolles Miteinander beider Formen als Optimum vorstellen. Das ist natürlich Zukunftsmusik.

Aber erst einmal möchte ich dir für die Mühe danken, die du auf den Artikel verwendet hast, ich hab immer schon mal drüber gelesen, sollte es vielleicht auch noch einmal wirklich gründlich tun.

- '''xenwolf''' June 04, 2013, 05:40:02 AM UTC-0700
----
ps: mit &lt;em&gt;dem Artikel&lt;/em&gt; meinte ich Reguläre Temperaturen

- '''xenwolf''' June 04, 2013, 05:41:17 AM UTC-0700
----
Der Einführungsartikel zu regulären Temperaturen ist inzwischen hoffentlich etwas verständlicher... Lang geworden ist er allerdings schon.

Ich denke jetzt, die separate Seite zu verallgemeinerten regulären Temperaturen soll bestehen bleiben und ausgebaut werden um die eher abstrakten mathematischen Dinge, inkl. Quotientenmodul und die noch fehlenden Begriffe wie val und Wedgie.

- '''hstraub''' June 04, 2013, 06:13:59 AM UTC-0700
----
Deine neusten Inhalte zu Vals lesen sich sehr verständlich, endlich begreife ich das eigentlich Naheliegende. Einziges Problem sind die Math-Blöcke: keine Ahnung warum, mein Browser schafft es nicht, die nötigen Fonts zu laden, ich sehe also [Math Processing Error] anstelle der eigentlichen Informationen. Vielleicht wäre es ja besser hier eine landläufige Programmiersprache zu verwenden anstelle mathematischer Formeln. Gut ich verstehe, dass man Gleichungen eher schlecht in C oder Python schreiben kann, außer per "assert(wahre Aussage)".

- '''xenwolf''' February 17, 2017, 12:30:24 AM UTC-0800
----
Ach, blöd... Gut, werd mal sehen, wie ich das anders formatieren kann...

- '''hstraub''' February 23, 2017, 09:42:34 AM UTC-0800
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'''All discussion below is archived from the Wikispaces export in its original unaltered form.'''
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== Ein paar Zahlen zur Illustration ==
372,41 9\29 (-13,9 ct) 

386,31 Naturterz

413,79 10\29 (+27,48 ct)

- '''xenwolf''' October 12, 2015, 06:00:04 AM UTC-0700
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      <comment>Xenwolf verschob die Seite [[Diskussion:29edo]] nach [[Diskussion:29 EDO]]: Großschreibung zur Verdeutlichung der Abkürzung, Lücke zur besseren Lesbarkeit (Weiterleitungen bleiben erhalten)</comment>
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      <comment>Xenwolf verschob die Seite [[Diskussion:29 EDO]] nach [[Diskussion:29-EDO]]: Das ist die bessere Wahl (siehe [[XW:K]]), auch führte die Lücke optisch zum "Auseinanderbrechen".</comment>
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&lt;div style="text-align:center; background-color: #fee;"&gt;&lt;big&gt;'''This page contains archived discussion from Wikispaces.'''&lt;/big&gt;&lt;br/&gt;This archived discussion can be found at [[{{FULLPAGENAME}}/WikispacesArchive]].&lt;br/&gt;Please add any new discussion &lt;strong&gt;below&lt;/strong&gt; this section, at the bottom of the page.&lt;br/&gt;Do not add any new discussion above this section.&lt;/div&gt;
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    <title>Diskussion:Cent</title>
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      <text bytes="497" sha1="n8ymjiepqy1ptay2yjj1ler92jy084b" xml:space="preserve">= ARCHIVED WIKISPACES DISCUSSION BELOW =
'''All discussion below is archived from the Wikispaces export in its original unaltered form.'''
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== ld (logarithmus dualis) ==
ich würde ld oder vielleicht log2 vorziehen, wobei mir letzteres etwas nach Programmieren aussieht. Momentan wird lb in der deutschen Wikipedia etwas bevorzugt

http://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus_dualis#Bezeichnungen

Ansonsten: Guter Start, der Artikel :)

- '''xenwolf''' April 22, 2013, 12:34:24 AM UTC-0700
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&lt;div style="text-align:center; background-color: #fee;"&gt;&lt;big&gt;'''This page contains archived discussion from Wikispaces.'''&lt;/big&gt;&lt;br/&gt;This archived discussion can be found at [[{{FULLPAGENAME}}/WikispacesArchive]].&lt;br/&gt;Please add any new discussion &lt;strong&gt;below&lt;/strong&gt; this section, at the bottom of the page.&lt;br/&gt;Do not add any new discussion above this section.&lt;/div&gt;
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&lt;div style="text-align:center; background-color: #fee;"&gt;&lt;big&gt;'''This page contains archived discussion from Wikispaces.'''&lt;/big&gt;&lt;br/&gt;This archived discussion can be found at [[{{FULLPAGENAME}}/WikispacesArchive]].&lt;br/&gt;Please add any new discussion &lt;strong&gt;below&lt;/strong&gt; this section, at the bottom of the page.&lt;br/&gt;Do not add any new discussion above this section.&lt;/div&gt;
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    <title>Diskussion:Syntonisches Komma</title>
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'''All discussion below is archived from the Wikispaces export in its original unaltered form.'''
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== Weiterleitungen ==
Leider bietet Wikispaces ärmliche Weiterleitungen, mit denen man sich (a) sehr früh auf Artikelnamen (Lemmata) festlegen muss und (b) diese, wenn über sie verlinkt wird, nicht von fehlenden Artikeln unterscheiden kann. Deshalb würde ich das explizite siehe vielleicht vorziehen. Oder weiß jemand von euch schon eine bessere Lösung?

- '''xenwolf''' May 15, 2013, 09:54:58 PM UTC-0700
----
Explizites Verlinken scheint mir sinnvoll.

- '''hstraub''' May 16, 2013, 06:27:02 AM UTC-0700
----</text>
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&lt;div style="text-align:center; background-color: #fee;"&gt;&lt;big&gt;'''This page contains archived discussion from Wikispaces.'''&lt;/big&gt;&lt;br/&gt;This archived discussion can be found at [[{{FULLPAGENAME}}/WikispacesArchive]].&lt;br/&gt;Please add any new discussion &lt;strong&gt;below&lt;/strong&gt; this section, at the bottom of the page.&lt;br/&gt;Do not add any new discussion above this section.&lt;/div&gt;
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&lt;div style="text-align:center; background-color: #fee;"&gt;&lt;big&gt;'''This page contains archived discussion from Wikispaces.'''&lt;/big&gt;&lt;br/&gt;This archived discussion can be found at [[{{FULLPAGENAME}}/WikispacesArchive]].&lt;br/&gt;Please add any new discussion &lt;strong&gt;below&lt;/strong&gt; this section, at the bottom of the page.&lt;br/&gt;Do not add any new discussion above this section.&lt;/div&gt;
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    <title>Diskussion:Primzahl</title>
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'''All discussion below is archived from the Wikispaces export in its original unaltered form.'''
----

== XXX ==
Ähm, was bedeutet eigentlich XXX:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;Todo?&lt;/li&gt;&lt;li&gt;In Arbeit?&lt;/li&gt;&lt;li&gt;?&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

- '''xenwolf''' June 07, 2013, 04:15:39 AM UTC-0700
----
IM Prinzip "Todo"... Kann man dann ändern.

- '''hstraub''' June 07, 2013, 04:28:36 AM UTC-0700
----</text>
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&lt;div style="text-align:center; background-color: #fee;"&gt;&lt;big&gt;'''This page contains archived discussion from Wikispaces.'''&lt;/big&gt;&lt;br/&gt;This archived discussion can be found at [[{{FULLPAGENAME}}/WikispacesArchive]].&lt;br/&gt;Please add any new discussion &lt;strong&gt;below&lt;/strong&gt; this section, at the bottom of the page.&lt;br/&gt;Do not add any new discussion above this section.&lt;/div&gt;
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&lt;div style="text-align:center; background-color: #fee;"&gt;&lt;big&gt;'''This page contains archived discussion from Wikispaces.'''&lt;/big&gt;&lt;br/&gt;This archived discussion can be found at [[{{FULLPAGENAME}}/WikispacesArchive]].&lt;br/&gt;Please add any new discussion &lt;strong&gt;below&lt;/strong&gt; this section, at the bottom of the page.&lt;br/&gt;Do not add any new discussion above this section.&lt;/div&gt;
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        <username>Xenwolf</username>
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      <minor/>
      <comment>Xenwolf verschob die Seite [[Diskussion:Primzahlen]] nach [[Diskussion:Primzahl]]: Singularform, um das Verlinken zu erleichtern</comment>
      <origin>1649</origin>
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&lt;div style="text-align:center; background-color: #fee;"&gt;&lt;big&gt;'''This page contains archived discussion from Wikispaces.'''&lt;/big&gt;&lt;br/&gt;This archived discussion can be found at [[{{FULLPAGENAME}}/WikispacesArchive]].&lt;br/&gt;Please add any new discussion &lt;strong&gt;below&lt;/strong&gt; this section, at the bottom of the page.&lt;br/&gt;Do not add any new discussion above this section.&lt;/div&gt;
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      <text bytes="117" sha1="mvrolkak1luyamzxswkkks03caggk95" xml:space="preserve">== Summary ==
Imported file from Wikispaces. File was uploaded on 2014-01-08 03:10:39 by xenwolf, and is 27510 bytes.</text>
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      <text bytes="117" sha1="mvrolkak1luyamzxswkkks03caggk95" xml:space="preserve">== Summary ==
Imported file from Wikispaces. File was uploaded on 2014-01-08 03:10:39 by xenwolf, and is 27510 bytes.</text>
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      <text bytes="116" sha1="tstv6k0vi1excq64so5zn9s7aaqlt0h" xml:space="preserve">== Summary ==
Imported file from Wikispaces. File was uploaded on 2014-04-24 02:34:58 by hstraub, and is 7062 bytes.</text>
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      <text bytes="116" sha1="tstv6k0vi1excq64so5zn9s7aaqlt0h" xml:space="preserve">== Summary ==
Imported file from Wikispaces. File was uploaded on 2014-04-24 02:34:58 by hstraub, and is 7062 bytes.</text>
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      <text bytes="118" sha1="p3jghfgpskcwgeezv8h7ajnjlfjbni2" xml:space="preserve">== Summary ==
Imported file from Wikispaces. File was uploaded on 2013-08-17 09:15:37 by hstraub, and is 352881 bytes.</text>
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      <text bytes="118" sha1="p3jghfgpskcwgeezv8h7ajnjlfjbni2" xml:space="preserve">== Summary ==
Imported file from Wikispaces. File was uploaded on 2013-08-17 09:15:37 by hstraub, and is 352881 bytes.</text>
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Imported file from Wikispaces. File was uploaded on 2013-06-07 11:53:42 by xenwolf, and is 17784 bytes.</text>
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      <text bytes="117" sha1="ssqkw9300ydt8lb8w5ch0f0slh4ofka" xml:space="preserve">== Summary ==
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      <comment>**Imported file from Wikispaces. File was uploaded on 2016-07-09 07:53:15 by hstraub, and is 208353 bytes.**</comment>
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Imported file from Wikispaces. File was uploaded on 2016-07-09 07:53:15 by hstraub, and is 208353 bytes.</text>
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Imported file from Wikispaces. File was uploaded on 2016-07-09 07:53:15 by hstraub, and is 208353 bytes.</text>
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    <title>Datei:ValFedozIntro.mp3</title>
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Imported file from Wikispaces. File was uploaded on 2015-10-09 05:56:50 by hstraub, and is 650202 bytes.</text>
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    <title>Datei:Zwischen den Tasten lesen.jpg</title>
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      <comment>**Imported file from Wikispaces. File was uploaded on 2013-06-06 13:34:04 by xenwolf, and is 154005 bytes.**</comment>
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      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="118" sha1="gop9qasj55eqcbq8onhqsgo5f2idmh9" xml:space="preserve">== Summary ==
Imported file from Wikispaces. File was uploaded on 2013-06-06 13:34:04 by xenwolf, and is 154005 bytes.</text>
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      <timestamp>2018-09-12T06:48:49Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Maintenance script</username>
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      </contributor>
      <comment>Maintenance script lud [[Datei:Zwischen den Tasten lesen.jpg]] hoch</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="118" sha1="gop9qasj55eqcbq8onhqsgo5f2idmh9" xml:space="preserve">== Summary ==
Imported file from Wikispaces. File was uploaded on 2013-06-06 13:34:04 by xenwolf, and is 154005 bytes.</text>
      <sha1>gop9qasj55eqcbq8onhqsgo5f2idmh9</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Xenharmonie Wiki:Wikispaces Wikitext Reference</title>
    <ns>4</ns>
    <id>228</id>
    <revision>
      <id>1387</id>
      <timestamp>2018-08-19T06:07:14Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>PreImportHandChanges&gt;Battaglia01</username>
        <id>0</id>
      </contributor>
      <comment>Wikispaces wikitext reference</comment>
      <origin>1387</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="16927" sha1="lkdjm0f73dpxx0fv90tq2hsc3dlszdc" xml:space="preserve">'''Below is the original Wikispaces wikitext specification, as seen previously on Wikispaces.'''

''' It is archived here for reference, which may be useful when looking at old Wikispaces revisions and trying to understand the wikitext markup.'''

'''Note that this wikitext format is ''NOT'' the same as MediaWiki's wikitext format.'''
__NOTOC__
----

= Wikispaces Wikitext =
Last Updated: May 06, 2015 12:35AM BST

=== Text Formatting ===
{| class="wikitable"
|Bold
|&lt;code&gt;**bold**&lt;/code&gt;
| colspan="2" |'''bold'''
|-
|Italics
|&lt;code&gt;//italics//&lt;/code&gt;
| colspan="2" |''italics''
|-
|Underline
|&lt;code&gt;__underline__&lt;/code&gt;
| colspan="2" |underline
|-
|Monospaced font
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{{monospace}}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
| colspan="2" |&lt;code&gt;monospace&lt;/code&gt;
|-
|Headings
|&lt;code&gt;=heading 1=&lt;/code&gt;&lt;code&gt;==heading 2==&lt;/code&gt;&lt;code&gt;===heading 3===&lt;/code&gt;...etc.
| colspan="2" |
= heading 1 =

== heading 2 ==

=== heading 3 ===
|-
|Bulleted lists
|&lt;code&gt;* list 1&lt;/code&gt;&lt;code&gt;** list 2&lt;/code&gt;&lt;code&gt;*** list 3&lt;/code&gt;...etc.
| colspan="2" |
* list 1
** list 2
*** list 3
|-
|Numbered lists
|&lt;code&gt;# numbered 1&lt;/code&gt;&lt;code&gt;## numbered 2&lt;/code&gt;&lt;code&gt;### numbered 3&lt;/code&gt;...etc.
| colspan="2" |
# numbered 1
## numbered 2
### numbered 3
|-
|Indenting
|&lt;code&gt;&gt; indent 1&lt;/code&gt;&lt;code&gt;&gt;&gt; indent 2&lt;/code&gt;&lt;code&gt;&gt;&gt;&gt; indent 3&lt;/code&gt;...etc.
| colspan="2" |
* indent 1
** indent 2
*** indent 3
|-
|Horizontal line
|&lt;code&gt;----&lt;/code&gt;
| colspan="2" |
----
|-
|Right-to-left text
(to format languages
that read right-to-left)
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[rtl]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;זה עברית
...etc.
&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[rtl]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;'''Note:''' &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[rtl]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; tags must

be on their own lines.
| colspan="2" |זה עברית

...etc.
|-
| colspan="4" |''When you want to display characters that have other meanings in wikitext, you can escape the wikitext formatting by putting double backtick characters on either side of your text. The backtick shares a key with the tilde.''
|-
|Escaping
|&lt;code&gt;``**escaping**``&lt;/code&gt;
| colspan="2" |**escaping**
|}

=== Links ===
{| class="wikitable"
|Page link
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|}

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Anchors let you link to a particular part of a page.
{| class="wikitable"
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|Link to an anchor
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|}

=== Images ===
{| class="wikitable"
| colspan="3" |
==== Include an image ====
|-
|Include external image
|&lt;code&gt;image:&lt;nowiki&gt;http://imagelocation.url&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
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|-
|Include uploaded image
|&lt;code&gt;image:imagename&lt;/code&gt;
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[image:wikispaces-logo.png]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
| colspan="3" |
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|&lt;code&gt;width="pixel"&lt;/code&gt;
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[image:wikispaces-logo.png width="80"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Determine height of image
|&lt;code&gt;height="pixel"&lt;/code&gt;
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[image:wikispaces-logo.png height="80"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Float the image to the left and wrap the text around it
|&lt;code&gt;align="left"&lt;/code&gt;
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[image:wikispaces-logo.png align="left"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Float the image to the right and wrap the text around it
|&lt;code&gt;align="right"&lt;/code&gt;
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[image:wikispaces-logo.png align="right"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
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|&lt;code&gt;align="center"&lt;/code&gt;
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[image:wikispaces-logo.png align="center"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Add a caption for the image
|&lt;code&gt;caption="an image caption"&lt;/code&gt;
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[image:wikispaces-logo.png caption="This is the Wikispaces logo"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
| rowspan="3" |Make the image a link to another page or URL
|&lt;code&gt;link="page"&lt;/code&gt;
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[image:wikispaces-logo.png link="home"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|&lt;code&gt;link="Wiki:PageName"&lt;/code&gt;
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[image:wikispaces-logo.png link="help:home"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|&lt;code&gt;link="&lt;nowiki&gt;http://some.url&lt;/nowiki&gt;"&lt;/code&gt;
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[image:wikispaces-logo.png link="http://help.wikispaces.com/"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|}

=== Files ===
&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[file:name.txt]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;Just replace ''name.txt'' with the name of any file you have uploaded to your wiki.

=== Tables ===
{| class="wikitable"
|Table
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;|| table cell || table cell || table cell ||&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Table heading cell
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;||~ heading1 ||~ heading2 ||&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Table cell alignment
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;||= centered ||&gt; right ||&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Table column spans (merging columns together)
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;|||| spans 2 columns ||&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;|| col1 || col2 ||&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Table row spans (merging rows together)
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;|| spans 2 rows || row 1 ||&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;||^ || row 2 ||&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|}

=== Code ===
{| class="wikitable"
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[code]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;code&gt;This is plaintext.&lt;/code&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[code]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|
 This is plaintext.
|-
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[code format="php"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;code&gt;// hello world&lt;/code&gt;&lt;code&gt;echo "hello world";&lt;/code&gt;&lt;code&gt;exit();&lt;/code&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[code]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|
 ''// hello world''
 echo "hello world";
 exit();
|}
'''Note''' that both &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[code]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; tags must be on a line by themselves without leading spaces.

=== Supported languages ===
{| class="wikitable"
|
* 4cs
* abap
* actionscript
* actionscript3
* ada
* apache (Apache configuration files)
* applescript
* apt_sources
* asm (x86 Assembler)
* asp (Active Server Pages)
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* bf (Brainf**k)
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* blitzbasic
* boo
* bnf (BNF: Backus-Naur form)
* c
* cfdg (Context-Free Design Grammar)
* cfm (Coldfusion)
* chaiscript
* cil
* clojure
* cmake
* cobol
* cpp (C++)
* cpp-qt (C++ (QT)
* csharp (C#)
* css (Cascading Style Sheets)
* cuesheet
* d (D programming language)
* dcs
* delphi (Delphi Object Pascal)
* diff
* div
* dos
* dot
* ecmascript (ECMAScript)
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* email (Email (mbox, eml, RFC format))
* erlang
* f#
* fo (FO (abas-ERP))
* fortran
* freebasic
* gambas
* gdb
* genero
* genie
* gettext
* glsl (glSlang)
* gml (Game Maker Language)
|
* gnuplot
* groovy
* gwbasic
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* hq9plus (HQ9+)
* html4strict
* icon
* idl (Uno IDL)
* ini
* inno (Inno Script Object Pascal)
* intercal
* io
* j
* java
* java5 (Java programming language, version 5 syntax)
* javascript
* jquery
* kixtart (KixTart)
* klonec (Klone C)
* klonecpp (Klone C++)
* latex
* lb (Liberty Basic)
* linoleum
* lisp
* locobasic (Locomotive Basic)
* logtalk
* lolcode
* lotusformulas (Lotus Notes @Formulas)
* lotusscript (LotusScript)
* lsl2
* lscript (LScript)
* lua
* magicksf
* make
* mapbasic
* matlab
* mirc
* mmix
* modula2
* modula3
* m68k (Motorola 68000 Assembler)
* mxml
* mysql (MySQL-specific SQL)
* newlisp
* oberon2 (Oberon-2)
* pf (OpenBSD Packet Filter)
* oracle8 (Oracle-specific SQL)
* oracle11 (Oracle 11i SQL)
* ocaml (Objective Caml)
* oxygene (Oxygene Delphi Prism)
* oz
* pascal
* pcre
* per
* perl
* perl6
|
* php
* pic16
* pike
* pixelbender
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* postgresql
* povray
* powerbuilder
* powershell (posh)
* progress
* prolog
* properties
* providex (ProvideX)
* purebasic (PureBasic)
* python
* q (q/kdb+)
* qbasic
* rsplus (R / S+)
* rails
* rebol
* reg (Microsoft Registry)
* robots (Robots.txt)
* rpmspec (RPM Specification File)
* ruby
* sas
* scala
* scheme
* scilab (SciLab)
* sdlbasic
* smalltalk
* smarty (Smarty PHP template language)
* sql
* systemverilog
* tcl
* terraterm (Tera Term Maco)
* text (No highlighting)
* thinbasic
* tsql (Transact-SQL)
* typoscript
* unicon (Unified Extended Dialect of Icon)
* vala
* verilog
* vb (Visual Basic)
* vbnet (Visual Basic .NET)
* vhdl (VHSICADL, very high speed integrated circuit HDL)
* vim (Vim Script)
* visualfoxpro
* visualprolog
* whitespace
* whois
* winbatch (Windows Batch Scripting)
* xbasic
* xorg_conf (X.org configuration)
* xml
* z80 (ZiLOG Z80 Assembler)
|}

=== References (Footnotes) ===
{| class="wikitable"
|Add citation
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;&lt;ref&gt;&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; ...&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;&lt;/ref&gt;&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
| rowspan="2" |&lt;code&gt;I am making a very important point, but it needs a reference.&lt;nowiki&gt;&lt;ref&gt;This is the reference to back up my point.&lt;/ref&gt;&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
&lt;code&gt;I am now pointing out something else, and referencing it.&lt;nowiki&gt;&lt;ref&gt;This is my second citation.&lt;/ref&gt;&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
&lt;code&gt;**I'd like my references right here:**&lt;/code&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;&lt;references /&gt;&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;code&gt;----&lt;/code&gt;&lt;code&gt;Look, text after my references section!&lt;/code&gt;
| rowspan="2" |I am making a very important point, but it needs a reference.[1]
I am now pointing out something else, and referencing it.[2]
'''I'd like my references right here:'''
# ^ This is the reference to back up my point.
# ^ This is my second citation.
----Look, text after my references section!
|-
|Place references
(if you don't use this tag, references will appear at the bottom of the page)
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;&lt;references /&gt;&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|}

=== RSS Feeds ===
&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[rss url="http://source.url/feed"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;Replace ''&lt;nowiki&gt;http://source.url/feed&lt;/nowiki&gt;'' with the URL of your RSS feed. By default, this will display the last ten updates as text links, but you can make the following modifications to how your feed will be displayed:

{| class="wikitable"
|'''url'''
|'''full URL to the feed (required)'''
|-
|title
|title text to display above the feed (or blank for none)
|-
|number
|how many items to show, default 10
|-
|description
|to show each item's description text, either "true" or default "false"
|-
|date
|to show the item date after the title, either "true" or default "false"
|-
|author
|to show the author of the item after the title, either "true" or default "false"
|-
|length
|the number of characters to show in the description, max. 250
|-
|enclosure
|to show each item's media enclosures (audio, video, pictures), either "true" or default "false"
|}

=== Variables ===
The variables below will let you place dynamic content in your pages. Since pages are sometimes cached after being created, some items, such as the number of pages in the wiki, may not be updated immediately.

==== Supported variables ====
{| class="wikitable"
| colspan="2" |'''Namespace'''
|-
|Wiki name
|&lt;code&gt;{$spacename}&lt;/code&gt;
|-
|Wiki text
|&lt;code&gt;{$spacetext}&lt;/code&gt;
|-
|Wiki description
|&lt;code&gt;{$spacedescription}&lt;/code&gt;
|-
|Page Count
|&lt;code&gt;{$pagesinspace}&lt;/code&gt;
|-
|Servername (the hostname of the wiki)
|&lt;code&gt;{$servername}&lt;/code&gt;
|-
|Server (the url for the main page of the wiki)
|&lt;code&gt;{$server}&lt;/code&gt;
|-
|License
|&lt;code&gt;{$licensename}&lt;/code&gt;
|-
|License URL
|&lt;code&gt;{$licenseurl}&lt;/code&gt;
|-
|Member Count
|&lt;code&gt;{$membersinspace}&lt;/code&gt;
|-
|Organizer Count
|&lt;code&gt;{$organizersinspace}&lt;/code&gt;
|-
|Project Name
|&lt;code&gt;{$project}&lt;/code&gt;
|-
|Team Name
|&lt;code&gt;{$team}&lt;/code&gt;
|-
| colspan="2" |'''Page'''
|-
|Page Name
|&lt;code&gt;{$page}&lt;/code&gt;
|-
|Revision count
|&lt;code&gt;{$pagerevisions}&lt;/code&gt;
|-
|Full Page Name (alias for &lt;code&gt;{$spacename}:{$page})&lt;/code&gt;
|&lt;code&gt;{$fullpagename}&lt;/code&gt;
|-
| colspan="2" |'''Revision'''
|-
|Editor (Username of the user, or the IP address of the guest, who create this revision)
|&lt;code&gt;{$revisioneditor}&lt;/code&gt;
|-
|Comment
|&lt;code&gt;{$revisioncomment}&lt;/code&gt;
|-
|Revision ID
|&lt;code&gt;{$revisionid}&lt;/code&gt;
|-
| colspan="2" |'''Revision Dates'''
|-
|Date (In human readable format)
|&lt;code&gt;{$revisiondate}&lt;/code&gt;
|-
|Day
|&lt;code&gt;{$revisionday}&lt;/code&gt;
|-
|Day (with leading zero)
|&lt;code&gt;{$revisionday2}&lt;/code&gt;
|-
|Month
|&lt;code&gt;{$revisionmonth}&lt;/code&gt;
|-
|Year
|&lt;code&gt;{$revisionyear}&lt;/code&gt;
|-
|Timestamp (In ISO 8601 Format)
|&lt;code&gt;{$revisiontimestamp}&lt;/code&gt;
|-
| colspan="2" |'''Creation'''
|-
|Creator(Username of the user, or the IP address of the guest, who created this page)
|&lt;code&gt;{$creator}&lt;/code&gt;
|-
|Comment
|&lt;code&gt;{$creationcomment}&lt;/code&gt;
|-
|Creation Page ID
|&lt;code&gt;{$creationid}&lt;/code&gt;
|-
| colspan="2" |'''Creation Dates'''
|-
|Date (In human readable format)
|&lt;code&gt;{$creationdate}&lt;/code&gt;
|-
|Day
|&lt;code&gt;{$creationday}&lt;/code&gt;
|-
|Day (with leading zero)
|&lt;code&gt;{$creationday2}&lt;/code&gt;
|-
|Month
|&lt;code&gt;{$creationmonth}&lt;/code&gt;
|-
|Year
|&lt;code&gt;{$creationyear}&lt;/code&gt;
|-
|Timestamp (In ISO 8601 Format)
|&lt;code&gt;{$creationtimestamp}&lt;/code&gt;
|-
| colspan="2" |'''User'''
|-
|User Name
|&lt;code&gt;{$username}&lt;/code&gt;
|}

==== Variable modifiers ====
Modifiers are used to change the value of the variable into a different format. Modifiers are separated from the variable name with the pipe (|) character, and can be combined together — for example, &lt;code&gt;{$pagename|ignoreinclude|url}&lt;/code&gt;.

{| class="wikitable"
| colspan="3" |'''Output modifiers'''
|-
|URL escaping
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;|url&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{$server|url}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
| colspan="3" |'''Scope modifiers'''
|-
|Ignore include
This modifier tells the variable to return the value of the original page it's on, even if that page is included in another page (see below).
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;|ignoreinclude&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{$page|ignoreinclude}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|}

==== Javascript variables ====
While editing Pages, it is possible to include Javascript inside an Embedded Object.
Several variables can be accessed from the client side to determine the current state of the application, as follows:
{| class="wikitable"
| colspan="3" |'''User/space definition variables'''
|-
|&lt;code&gt;wikispaces_isUserLoggedIn&lt;/code&gt;
|boolean
|set if user has entered valid login information
|-
|&lt;code&gt;wikispaces_username&lt;/code&gt;
|string
|set to current user's login handle
|-
|&lt;code&gt;wikispaces_spaceName&lt;/code&gt;
|string
|set to current Space that user is viewing
|-
| colspan="3" |'''URL construction variables'''
|-
|&lt;code&gt;wikispaces_method&lt;/code&gt;
|string
|system - type of function being performed ( 'view', etc. )
|-
|&lt;code&gt;wikispaces_object&lt;/code&gt;
|string
|system - type of object being viewed/modified ( 'message', etc. )
|-
|&lt;code&gt;wikispaces_page&lt;/code&gt;
|string
|set to name of current wikipage
|-
|&lt;code&gt;wikispaces_id&lt;/code&gt;
|string
|system - object identifier ( for messages )
|}

=== Contents of Another Wiki Page ===
The entire contents of one page can be pasted into another with the &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[include]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; tag. This can be useful in breaking a large page up into smaller, more manageable pieces, or to create reusable components, like headers and footers. The only required attribute of the include tag is the '''page''' attribute.

==== Supported includes ====
{| class="wikitable"
|Basic page include
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[include page="PAGENAME"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Include page with section title
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[include page="PAGENAME" title="Section Title"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Include page with direct edit button
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[include page="PAGENAME" editable="true"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Include a list of pages
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[include component="pageList"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Include a list of pages with a tag
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[include component="pageList" tag="TAGNAME"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Include a tag cloud
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[include component="tagCloud" ]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Include a discussion page
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[include page="PAGENAME" component="comments"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Include a list of links to this page
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[include page="PAGENAME" component="backlinks"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Include page from another wiki
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[include page="WIKINAME:PAGENAME"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|}

=== Other Special Tags ===
{| class="wikitable"
|Signature
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;~~~&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Signature with date
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;~~~~&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Mathematics
(supporting LaTeX math markup)
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[math]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;code&gt;\tilde{f}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t}\,dt&lt;/code&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[math]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;('''Note''' that the &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[math]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; tags must be on their own lines.)
|-
|Embedded media
|&lt;code&gt;[[media&lt;/code&gt; ... &lt;code&gt;]]&lt;/code&gt;
|-
|Table of contents, flat
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[toc|flat]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Table of contents
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[toc]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|}</text>
      <sha1>lkdjm0f73dpxx0fv90tq2hsc3dlszdc</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>3915</id>
      <parentid>1387</parentid>
      <timestamp>2026-07-19T06:50:29Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Fredg999</username>
        <id>11</id>
      </contributor>
      <minor/>
      <comment>Fredg999 verschob die Seite [[Wikispaces Wikitext Reference]] nach [[Xenharmonie Wiki:Wikispaces Wikitext Reference]]: Namensräume</comment>
      <origin>1387</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="16927" sha1="lkdjm0f73dpxx0fv90tq2hsc3dlszdc" xml:space="preserve">'''Below is the original Wikispaces wikitext specification, as seen previously on Wikispaces.'''

''' It is archived here for reference, which may be useful when looking at old Wikispaces revisions and trying to understand the wikitext markup.'''

'''Note that this wikitext format is ''NOT'' the same as MediaWiki's wikitext format.'''
__NOTOC__
----

= Wikispaces Wikitext =
Last Updated: May 06, 2015 12:35AM BST

=== Text Formatting ===
{| class="wikitable"
|Bold
|&lt;code&gt;**bold**&lt;/code&gt;
| colspan="2" |'''bold'''
|-
|Italics
|&lt;code&gt;//italics//&lt;/code&gt;
| colspan="2" |''italics''
|-
|Underline
|&lt;code&gt;__underline__&lt;/code&gt;
| colspan="2" |underline
|-
|Monospaced font
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{{monospace}}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
| colspan="2" |&lt;code&gt;monospace&lt;/code&gt;
|-
|Headings
|&lt;code&gt;=heading 1=&lt;/code&gt;&lt;code&gt;==heading 2==&lt;/code&gt;&lt;code&gt;===heading 3===&lt;/code&gt;...etc.
| colspan="2" |
= heading 1 =

== heading 2 ==

=== heading 3 ===
|-
|Bulleted lists
|&lt;code&gt;* list 1&lt;/code&gt;&lt;code&gt;** list 2&lt;/code&gt;&lt;code&gt;*** list 3&lt;/code&gt;...etc.
| colspan="2" |
* list 1
** list 2
*** list 3
|-
|Numbered lists
|&lt;code&gt;# numbered 1&lt;/code&gt;&lt;code&gt;## numbered 2&lt;/code&gt;&lt;code&gt;### numbered 3&lt;/code&gt;...etc.
| colspan="2" |
# numbered 1
## numbered 2
### numbered 3
|-
|Indenting
|&lt;code&gt;&gt; indent 1&lt;/code&gt;&lt;code&gt;&gt;&gt; indent 2&lt;/code&gt;&lt;code&gt;&gt;&gt;&gt; indent 3&lt;/code&gt;...etc.
| colspan="2" |
* indent 1
** indent 2
*** indent 3
|-
|Horizontal line
|&lt;code&gt;----&lt;/code&gt;
| colspan="2" |
----
|-
|Right-to-left text
(to format languages
that read right-to-left)
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[rtl]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;זה עברית
...etc.
&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[rtl]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;'''Note:''' &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[rtl]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; tags must

be on their own lines.
| colspan="2" |זה עברית

...etc.
|-
| colspan="4" |''When you want to display characters that have other meanings in wikitext, you can escape the wikitext formatting by putting double backtick characters on either side of your text. The backtick shares a key with the tilde.''
|-
|Escaping
|&lt;code&gt;``**escaping**``&lt;/code&gt;
| colspan="2" |**escaping**
|}

=== Links ===
{| class="wikitable"
|Page link
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[PageName]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Labeled page link
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[PageName|DisplayText]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Link to page in another wiki
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[WikiName:PageName]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Labeled link to page in another wiki
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[WikiName:PageName|DisplayText]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|URL
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;http://some.url&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[http://some.url]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Labeled URL
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[http://some.url|DisplayText]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Email
|&lt;code&gt;help@wikispaces.com&lt;/code&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[mailto:help@wikispaces.com]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Labeled email
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[mailto:help@wikispaces.org|DisplayText]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|}

=== Anchors ===
Anchors let you link to a particular part of a page.
{| class="wikitable"
|Place an anchor
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[#AnchorName]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Link to an anchor
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[PageName#AnchorName|DisplayText]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|}

=== Images ===
{| class="wikitable"
| colspan="3" |
==== Include an image ====
|-
|Include external image
|&lt;code&gt;image:&lt;nowiki&gt;http://imagelocation.url&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[image:http://www.wikispaces.com/i/l.png]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Include uploaded image
|&lt;code&gt;image:imagename&lt;/code&gt;
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[image:wikispaces-logo.png]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
| colspan="3" |
==== Image attributes ====
|-
|Determine width of image
|&lt;code&gt;width="pixel"&lt;/code&gt;
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[image:wikispaces-logo.png width="80"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Determine height of image
|&lt;code&gt;height="pixel"&lt;/code&gt;
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[image:wikispaces-logo.png height="80"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Float the image to the left and wrap the text around it
|&lt;code&gt;align="left"&lt;/code&gt;
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[image:wikispaces-logo.png align="left"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Float the image to the right and wrap the text around it
|&lt;code&gt;align="right"&lt;/code&gt;
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[image:wikispaces-logo.png align="right"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Center the image in the middle of the page or table cell
|&lt;code&gt;align="center"&lt;/code&gt;
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[image:wikispaces-logo.png align="center"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Add a caption for the image
|&lt;code&gt;caption="an image caption"&lt;/code&gt;
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[image:wikispaces-logo.png caption="This is the Wikispaces logo"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
| rowspan="3" |Make the image a link to another page or URL
|&lt;code&gt;link="page"&lt;/code&gt;
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[image:wikispaces-logo.png link="home"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|&lt;code&gt;link="Wiki:PageName"&lt;/code&gt;
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[image:wikispaces-logo.png link="help:home"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|&lt;code&gt;link="&lt;nowiki&gt;http://some.url&lt;/nowiki&gt;"&lt;/code&gt;
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[image:wikispaces-logo.png link="http://help.wikispaces.com/"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|}

=== Files ===
&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[file:name.txt]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;Just replace ''name.txt'' with the name of any file you have uploaded to your wiki.

=== Tables ===
{| class="wikitable"
|Table
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;|| table cell || table cell || table cell ||&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Table heading cell
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;||~ heading1 ||~ heading2 ||&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Table cell alignment
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;||= centered ||&gt; right ||&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Table column spans (merging columns together)
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;|||| spans 2 columns ||&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;|| col1 || col2 ||&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Table row spans (merging rows together)
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;|| spans 2 rows || row 1 ||&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;||^ || row 2 ||&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|}

=== Code ===
{| class="wikitable"
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[code]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;code&gt;This is plaintext.&lt;/code&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[code]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|
 This is plaintext.
|-
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[code format="php"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;code&gt;// hello world&lt;/code&gt;&lt;code&gt;echo "hello world";&lt;/code&gt;&lt;code&gt;exit();&lt;/code&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[code]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|
 ''// hello world''
 echo "hello world";
 exit();
|}
'''Note''' that both &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[code]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; tags must be on a line by themselves without leading spaces.

=== Supported languages ===
{| class="wikitable"
|
* 4cs
* abap
* actionscript
* actionscript3
* ada
* apache (Apache configuration files)
* applescript
* apt_sources
* asm (x86 Assembler)
* asp (Active Server Pages)
* autoconf
* autohotkey
* autoit (AutoIt Window automation script)
* avisynth
* bash (Bourne Again Shell)
* basic4gl
* bb4w
* bf (Brainf**k)
* bibtext (BibTeX)
* blitzbasic
* boo
* bnf (BNF: Backus-Naur form)
* c
* cfdg (Context-Free Design Grammar)
* cfm (Coldfusion)
* chaiscript
* cil
* clojure
* cmake
* cobol
* cpp (C++)
* cpp-qt (C++ (QT)
* csharp (C#)
* css (Cascading Style Sheets)
* cuesheet
* d (D programming language)
* dcs
* delphi (Delphi Object Pascal)
* diff
* div
* dos
* dot
* ecmascript (ECMAScript)
* eiffel
* email (Email (mbox, eml, RFC format))
* erlang
* f#
* fo (FO (abas-ERP))
* fortran
* freebasic
* gambas
* gdb
* genero
* genie
* gettext
* glsl (glSlang)
* gml (Game Maker Language)
|
* gnuplot
* groovy
* gwbasic
* haskell
* hicest (HicEst)
* hq9plus (HQ9+)
* html4strict
* icon
* idl (Uno IDL)
* ini
* inno (Inno Script Object Pascal)
* intercal
* io
* j
* java
* java5 (Java programming language, version 5 syntax)
* javascript
* jquery
* kixtart (KixTart)
* klonec (Klone C)
* klonecpp (Klone C++)
* latex
* lb (Liberty Basic)
* linoleum
* lisp
* locobasic (Locomotive Basic)
* logtalk
* lolcode
* lotusformulas (Lotus Notes @Formulas)
* lotusscript (LotusScript)
* lsl2
* lscript (LScript)
* lua
* magicksf
* make
* mapbasic
* matlab
* mirc
* mmix
* modula2
* modula3
* m68k (Motorola 68000 Assembler)
* mxml
* mysql (MySQL-specific SQL)
* newlisp
* oberon2 (Oberon-2)
* pf (OpenBSD Packet Filter)
* oracle8 (Oracle-specific SQL)
* oracle11 (Oracle 11i SQL)
* ocaml (Objective Caml)
* oxygene (Oxygene Delphi Prism)
* oz
* pascal
* pcre
* per
* perl
* perl6
|
* php
* pic16
* pike
* pixelbender
* plsql (PL/SQL)
* postgresql
* povray
* powerbuilder
* powershell (posh)
* progress
* prolog
* properties
* providex (ProvideX)
* purebasic (PureBasic)
* python
* q (q/kdb+)
* qbasic
* rsplus (R / S+)
* rails
* rebol
* reg (Microsoft Registry)
* robots (Robots.txt)
* rpmspec (RPM Specification File)
* ruby
* sas
* scala
* scheme
* scilab (SciLab)
* sdlbasic
* smalltalk
* smarty (Smarty PHP template language)
* sql
* systemverilog
* tcl
* terraterm (Tera Term Maco)
* text (No highlighting)
* thinbasic
* tsql (Transact-SQL)
* typoscript
* unicon (Unified Extended Dialect of Icon)
* vala
* verilog
* vb (Visual Basic)
* vbnet (Visual Basic .NET)
* vhdl (VHSICADL, very high speed integrated circuit HDL)
* vim (Vim Script)
* visualfoxpro
* visualprolog
* whitespace
* whois
* winbatch (Windows Batch Scripting)
* xbasic
* xorg_conf (X.org configuration)
* xml
* z80 (ZiLOG Z80 Assembler)
|}

=== References (Footnotes) ===
{| class="wikitable"
|Add citation
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;&lt;ref&gt;&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; ...&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;&lt;/ref&gt;&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
| rowspan="2" |&lt;code&gt;I am making a very important point, but it needs a reference.&lt;nowiki&gt;&lt;ref&gt;This is the reference to back up my point.&lt;/ref&gt;&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
&lt;code&gt;I am now pointing out something else, and referencing it.&lt;nowiki&gt;&lt;ref&gt;This is my second citation.&lt;/ref&gt;&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
&lt;code&gt;**I'd like my references right here:**&lt;/code&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;&lt;references /&gt;&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;code&gt;----&lt;/code&gt;&lt;code&gt;Look, text after my references section!&lt;/code&gt;
| rowspan="2" |I am making a very important point, but it needs a reference.[1]
I am now pointing out something else, and referencing it.[2]
'''I'd like my references right here:'''
# ^ This is the reference to back up my point.
# ^ This is my second citation.
----Look, text after my references section!
|-
|Place references
(if you don't use this tag, references will appear at the bottom of the page)
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;&lt;references /&gt;&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|}

=== RSS Feeds ===
&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[rss url="http://source.url/feed"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;Replace ''&lt;nowiki&gt;http://source.url/feed&lt;/nowiki&gt;'' with the URL of your RSS feed. By default, this will display the last ten updates as text links, but you can make the following modifications to how your feed will be displayed:

{| class="wikitable"
|'''url'''
|'''full URL to the feed (required)'''
|-
|title
|title text to display above the feed (or blank for none)
|-
|number
|how many items to show, default 10
|-
|description
|to show each item's description text, either "true" or default "false"
|-
|date
|to show the item date after the title, either "true" or default "false"
|-
|author
|to show the author of the item after the title, either "true" or default "false"
|-
|length
|the number of characters to show in the description, max. 250
|-
|enclosure
|to show each item's media enclosures (audio, video, pictures), either "true" or default "false"
|}

=== Variables ===
The variables below will let you place dynamic content in your pages. Since pages are sometimes cached after being created, some items, such as the number of pages in the wiki, may not be updated immediately.

==== Supported variables ====
{| class="wikitable"
| colspan="2" |'''Namespace'''
|-
|Wiki name
|&lt;code&gt;{$spacename}&lt;/code&gt;
|-
|Wiki text
|&lt;code&gt;{$spacetext}&lt;/code&gt;
|-
|Wiki description
|&lt;code&gt;{$spacedescription}&lt;/code&gt;
|-
|Page Count
|&lt;code&gt;{$pagesinspace}&lt;/code&gt;
|-
|Servername (the hostname of the wiki)
|&lt;code&gt;{$servername}&lt;/code&gt;
|-
|Server (the url for the main page of the wiki)
|&lt;code&gt;{$server}&lt;/code&gt;
|-
|License
|&lt;code&gt;{$licensename}&lt;/code&gt;
|-
|License URL
|&lt;code&gt;{$licenseurl}&lt;/code&gt;
|-
|Member Count
|&lt;code&gt;{$membersinspace}&lt;/code&gt;
|-
|Organizer Count
|&lt;code&gt;{$organizersinspace}&lt;/code&gt;
|-
|Project Name
|&lt;code&gt;{$project}&lt;/code&gt;
|-
|Team Name
|&lt;code&gt;{$team}&lt;/code&gt;
|-
| colspan="2" |'''Page'''
|-
|Page Name
|&lt;code&gt;{$page}&lt;/code&gt;
|-
|Revision count
|&lt;code&gt;{$pagerevisions}&lt;/code&gt;
|-
|Full Page Name (alias for &lt;code&gt;{$spacename}:{$page})&lt;/code&gt;
|&lt;code&gt;{$fullpagename}&lt;/code&gt;
|-
| colspan="2" |'''Revision'''
|-
|Editor (Username of the user, or the IP address of the guest, who create this revision)
|&lt;code&gt;{$revisioneditor}&lt;/code&gt;
|-
|Comment
|&lt;code&gt;{$revisioncomment}&lt;/code&gt;
|-
|Revision ID
|&lt;code&gt;{$revisionid}&lt;/code&gt;
|-
| colspan="2" |'''Revision Dates'''
|-
|Date (In human readable format)
|&lt;code&gt;{$revisiondate}&lt;/code&gt;
|-
|Day
|&lt;code&gt;{$revisionday}&lt;/code&gt;
|-
|Day (with leading zero)
|&lt;code&gt;{$revisionday2}&lt;/code&gt;
|-
|Month
|&lt;code&gt;{$revisionmonth}&lt;/code&gt;
|-
|Year
|&lt;code&gt;{$revisionyear}&lt;/code&gt;
|-
|Timestamp (In ISO 8601 Format)
|&lt;code&gt;{$revisiontimestamp}&lt;/code&gt;
|-
| colspan="2" |'''Creation'''
|-
|Creator(Username of the user, or the IP address of the guest, who created this page)
|&lt;code&gt;{$creator}&lt;/code&gt;
|-
|Comment
|&lt;code&gt;{$creationcomment}&lt;/code&gt;
|-
|Creation Page ID
|&lt;code&gt;{$creationid}&lt;/code&gt;
|-
| colspan="2" |'''Creation Dates'''
|-
|Date (In human readable format)
|&lt;code&gt;{$creationdate}&lt;/code&gt;
|-
|Day
|&lt;code&gt;{$creationday}&lt;/code&gt;
|-
|Day (with leading zero)
|&lt;code&gt;{$creationday2}&lt;/code&gt;
|-
|Month
|&lt;code&gt;{$creationmonth}&lt;/code&gt;
|-
|Year
|&lt;code&gt;{$creationyear}&lt;/code&gt;
|-
|Timestamp (In ISO 8601 Format)
|&lt;code&gt;{$creationtimestamp}&lt;/code&gt;
|-
| colspan="2" |'''User'''
|-
|User Name
|&lt;code&gt;{$username}&lt;/code&gt;
|}

==== Variable modifiers ====
Modifiers are used to change the value of the variable into a different format. Modifiers are separated from the variable name with the pipe (|) character, and can be combined together — for example, &lt;code&gt;{$pagename|ignoreinclude|url}&lt;/code&gt;.

{| class="wikitable"
| colspan="3" |'''Output modifiers'''
|-
|URL escaping
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;|url&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{$server|url}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
| colspan="3" |'''Scope modifiers'''
|-
|Ignore include
This modifier tells the variable to return the value of the original page it's on, even if that page is included in another page (see below).
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;|ignoreinclude&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{$page|ignoreinclude}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|}

==== Javascript variables ====
While editing Pages, it is possible to include Javascript inside an Embedded Object.
Several variables can be accessed from the client side to determine the current state of the application, as follows:
{| class="wikitable"
| colspan="3" |'''User/space definition variables'''
|-
|&lt;code&gt;wikispaces_isUserLoggedIn&lt;/code&gt;
|boolean
|set if user has entered valid login information
|-
|&lt;code&gt;wikispaces_username&lt;/code&gt;
|string
|set to current user's login handle
|-
|&lt;code&gt;wikispaces_spaceName&lt;/code&gt;
|string
|set to current Space that user is viewing
|-
| colspan="3" |'''URL construction variables'''
|-
|&lt;code&gt;wikispaces_method&lt;/code&gt;
|string
|system - type of function being performed ( 'view', etc. )
|-
|&lt;code&gt;wikispaces_object&lt;/code&gt;
|string
|system - type of object being viewed/modified ( 'message', etc. )
|-
|&lt;code&gt;wikispaces_page&lt;/code&gt;
|string
|set to name of current wikipage
|-
|&lt;code&gt;wikispaces_id&lt;/code&gt;
|string
|system - object identifier ( for messages )
|}

=== Contents of Another Wiki Page ===
The entire contents of one page can be pasted into another with the &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[include]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; tag. This can be useful in breaking a large page up into smaller, more manageable pieces, or to create reusable components, like headers and footers. The only required attribute of the include tag is the '''page''' attribute.

==== Supported includes ====
{| class="wikitable"
|Basic page include
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[include page="PAGENAME"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Include page with section title
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[include page="PAGENAME" title="Section Title"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Include page with direct edit button
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[include page="PAGENAME" editable="true"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Include a list of pages
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[include component="pageList"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Include a list of pages with a tag
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[include component="pageList" tag="TAGNAME"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Include a tag cloud
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[include component="tagCloud" ]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Include a discussion page
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[include page="PAGENAME" component="comments"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Include a list of links to this page
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[include page="PAGENAME" component="backlinks"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Include page from another wiki
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[include page="WIKINAME:PAGENAME"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|}

=== Other Special Tags ===
{| class="wikitable"
|Signature
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;~~~&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Signature with date
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;~~~~&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Mathematics
(supporting LaTeX math markup)
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[math]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;code&gt;\tilde{f}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t}\,dt&lt;/code&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[math]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;('''Note''' that the &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[math]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; tags must be on their own lines.)
|-
|Embedded media
|&lt;code&gt;[[media&lt;/code&gt; ... &lt;code&gt;]]&lt;/code&gt;
|-
|Table of contents, flat
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[toc|flat]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Table of contents
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[toc]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|}</text>
      <sha1>lkdjm0f73dpxx0fv90tq2hsc3dlszdc</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>3917</id>
      <parentid>3915</parentid>
      <timestamp>2026-07-19T06:50:53Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Fredg999</username>
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      </contributor>
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      <comment>Interwiki</comment>
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      <model>wikitext</model>
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      <text bytes="17113" sha1="j8evan91py8figmyo8lo8x0jx5wp7k9" xml:space="preserve">{{Interwiki
| de = Xenharmonie Wiki:Wikispaces Wikitext Reference
| en = Xenharmonic Wiki:Wikispaces Wikitext Reference
| es = Wiki Xenarmónico:Wikispaces Wikitext Reference
| ja = 
}}
'''Below is the original Wikispaces wikitext specification, as seen previously on Wikispaces.'''

''' It is archived here for reference, which may be useful when looking at old Wikispaces revisions and trying to understand the wikitext markup.'''

'''Note that this wikitext format is ''NOT'' the same as MediaWiki's wikitext format.'''
__NOTOC__
----

= Wikispaces Wikitext =
Last Updated: May 06, 2015 12:35AM BST

=== Text Formatting ===
{| class="wikitable"
|Bold
|&lt;code&gt;**bold**&lt;/code&gt;
| colspan="2" |'''bold'''
|-
|Italics
|&lt;code&gt;//italics//&lt;/code&gt;
| colspan="2" |''italics''
|-
|Underline
|&lt;code&gt;__underline__&lt;/code&gt;
| colspan="2" |underline
|-
|Monospaced font
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{{monospace}}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
| colspan="2" |&lt;code&gt;monospace&lt;/code&gt;
|-
|Headings
|&lt;code&gt;=heading 1=&lt;/code&gt;&lt;code&gt;==heading 2==&lt;/code&gt;&lt;code&gt;===heading 3===&lt;/code&gt;...etc.
| colspan="2" |
= heading 1 =

== heading 2 ==

=== heading 3 ===
|-
|Bulleted lists
|&lt;code&gt;* list 1&lt;/code&gt;&lt;code&gt;** list 2&lt;/code&gt;&lt;code&gt;*** list 3&lt;/code&gt;...etc.
| colspan="2" |
* list 1
** list 2
*** list 3
|-
|Numbered lists
|&lt;code&gt;# numbered 1&lt;/code&gt;&lt;code&gt;## numbered 2&lt;/code&gt;&lt;code&gt;### numbered 3&lt;/code&gt;...etc.
| colspan="2" |
# numbered 1
## numbered 2
### numbered 3
|-
|Indenting
|&lt;code&gt;&gt; indent 1&lt;/code&gt;&lt;code&gt;&gt;&gt; indent 2&lt;/code&gt;&lt;code&gt;&gt;&gt;&gt; indent 3&lt;/code&gt;...etc.
| colspan="2" |
* indent 1
** indent 2
*** indent 3
|-
|Horizontal line
|&lt;code&gt;----&lt;/code&gt;
| colspan="2" |
----
|-
|Right-to-left text
(to format languages
that read right-to-left)
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[rtl]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;זה עברית
...etc.
&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[rtl]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;'''Note:''' &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[rtl]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; tags must

be on their own lines.
| colspan="2" |זה עברית

...etc.
|-
| colspan="4" |''When you want to display characters that have other meanings in wikitext, you can escape the wikitext formatting by putting double backtick characters on either side of your text. The backtick shares a key with the tilde.''
|-
|Escaping
|&lt;code&gt;``**escaping**``&lt;/code&gt;
| colspan="2" |**escaping**
|}

=== Links ===
{| class="wikitable"
|Page link
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[PageName]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Labeled page link
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[PageName|DisplayText]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Link to page in another wiki
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[WikiName:PageName]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Labeled link to page in another wiki
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[WikiName:PageName|DisplayText]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|URL
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;http://some.url&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[http://some.url]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Labeled URL
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[http://some.url|DisplayText]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Email
|&lt;code&gt;help@wikispaces.com&lt;/code&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[mailto:help@wikispaces.com]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Labeled email
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[mailto:help@wikispaces.org|DisplayText]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|}

=== Anchors ===
Anchors let you link to a particular part of a page.
{| class="wikitable"
|Place an anchor
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[#AnchorName]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Link to an anchor
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[PageName#AnchorName|DisplayText]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|}

=== Images ===
{| class="wikitable"
| colspan="3" |
==== Include an image ====
|-
|Include external image
|&lt;code&gt;image:&lt;nowiki&gt;http://imagelocation.url&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[image:http://www.wikispaces.com/i/l.png]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Include uploaded image
|&lt;code&gt;image:imagename&lt;/code&gt;
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[image:wikispaces-logo.png]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
| colspan="3" |
==== Image attributes ====
|-
|Determine width of image
|&lt;code&gt;width="pixel"&lt;/code&gt;
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[image:wikispaces-logo.png width="80"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Determine height of image
|&lt;code&gt;height="pixel"&lt;/code&gt;
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[image:wikispaces-logo.png height="80"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Float the image to the left and wrap the text around it
|&lt;code&gt;align="left"&lt;/code&gt;
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[image:wikispaces-logo.png align="left"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Float the image to the right and wrap the text around it
|&lt;code&gt;align="right"&lt;/code&gt;
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[image:wikispaces-logo.png align="right"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Center the image in the middle of the page or table cell
|&lt;code&gt;align="center"&lt;/code&gt;
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[image:wikispaces-logo.png align="center"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Add a caption for the image
|&lt;code&gt;caption="an image caption"&lt;/code&gt;
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[image:wikispaces-logo.png caption="This is the Wikispaces logo"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
| rowspan="3" |Make the image a link to another page or URL
|&lt;code&gt;link="page"&lt;/code&gt;
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[image:wikispaces-logo.png link="home"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|&lt;code&gt;link="Wiki:PageName"&lt;/code&gt;
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[image:wikispaces-logo.png link="help:home"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|&lt;code&gt;link="&lt;nowiki&gt;http://some.url&lt;/nowiki&gt;"&lt;/code&gt;
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[image:wikispaces-logo.png link="http://help.wikispaces.com/"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|}

=== Files ===
&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[file:name.txt]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;Just replace ''name.txt'' with the name of any file you have uploaded to your wiki.

=== Tables ===
{| class="wikitable"
|Table
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;|| table cell || table cell || table cell ||&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Table heading cell
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;||~ heading1 ||~ heading2 ||&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Table cell alignment
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;||= centered ||&gt; right ||&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Table column spans (merging columns together)
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;|||| spans 2 columns ||&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;|| col1 || col2 ||&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Table row spans (merging rows together)
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;|| spans 2 rows || row 1 ||&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;||^ || row 2 ||&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|}

=== Code ===
{| class="wikitable"
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[code]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;code&gt;This is plaintext.&lt;/code&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[code]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|
 This is plaintext.
|-
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[code format="php"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;code&gt;// hello world&lt;/code&gt;&lt;code&gt;echo "hello world";&lt;/code&gt;&lt;code&gt;exit();&lt;/code&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[code]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|
 ''// hello world''
 echo "hello world";
 exit();
|}
'''Note''' that both &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[code]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; tags must be on a line by themselves without leading spaces.

=== Supported languages ===
{| class="wikitable"
|
* 4cs
* abap
* actionscript
* actionscript3
* ada
* apache (Apache configuration files)
* applescript
* apt_sources
* asm (x86 Assembler)
* asp (Active Server Pages)
* autoconf
* autohotkey
* autoit (AutoIt Window automation script)
* avisynth
* bash (Bourne Again Shell)
* basic4gl
* bb4w
* bf (Brainf**k)
* bibtext (BibTeX)
* blitzbasic
* boo
* bnf (BNF: Backus-Naur form)
* c
* cfdg (Context-Free Design Grammar)
* cfm (Coldfusion)
* chaiscript
* cil
* clojure
* cmake
* cobol
* cpp (C++)
* cpp-qt (C++ (QT)
* csharp (C#)
* css (Cascading Style Sheets)
* cuesheet
* d (D programming language)
* dcs
* delphi (Delphi Object Pascal)
* diff
* div
* dos
* dot
* ecmascript (ECMAScript)
* eiffel
* email (Email (mbox, eml, RFC format))
* erlang
* f#
* fo (FO (abas-ERP))
* fortran
* freebasic
* gambas
* gdb
* genero
* genie
* gettext
* glsl (glSlang)
* gml (Game Maker Language)
|
* gnuplot
* groovy
* gwbasic
* haskell
* hicest (HicEst)
* hq9plus (HQ9+)
* html4strict
* icon
* idl (Uno IDL)
* ini
* inno (Inno Script Object Pascal)
* intercal
* io
* j
* java
* java5 (Java programming language, version 5 syntax)
* javascript
* jquery
* kixtart (KixTart)
* klonec (Klone C)
* klonecpp (Klone C++)
* latex
* lb (Liberty Basic)
* linoleum
* lisp
* locobasic (Locomotive Basic)
* logtalk
* lolcode
* lotusformulas (Lotus Notes @Formulas)
* lotusscript (LotusScript)
* lsl2
* lscript (LScript)
* lua
* magicksf
* make
* mapbasic
* matlab
* mirc
* mmix
* modula2
* modula3
* m68k (Motorola 68000 Assembler)
* mxml
* mysql (MySQL-specific SQL)
* newlisp
* oberon2 (Oberon-2)
* pf (OpenBSD Packet Filter)
* oracle8 (Oracle-specific SQL)
* oracle11 (Oracle 11i SQL)
* ocaml (Objective Caml)
* oxygene (Oxygene Delphi Prism)
* oz
* pascal
* pcre
* per
* perl
* perl6
|
* php
* pic16
* pike
* pixelbender
* plsql (PL/SQL)
* postgresql
* povray
* powerbuilder
* powershell (posh)
* progress
* prolog
* properties
* providex (ProvideX)
* purebasic (PureBasic)
* python
* q (q/kdb+)
* qbasic
* rsplus (R / S+)
* rails
* rebol
* reg (Microsoft Registry)
* robots (Robots.txt)
* rpmspec (RPM Specification File)
* ruby
* sas
* scala
* scheme
* scilab (SciLab)
* sdlbasic
* smalltalk
* smarty (Smarty PHP template language)
* sql
* systemverilog
* tcl
* terraterm (Tera Term Maco)
* text (No highlighting)
* thinbasic
* tsql (Transact-SQL)
* typoscript
* unicon (Unified Extended Dialect of Icon)
* vala
* verilog
* vb (Visual Basic)
* vbnet (Visual Basic .NET)
* vhdl (VHSICADL, very high speed integrated circuit HDL)
* vim (Vim Script)
* visualfoxpro
* visualprolog
* whitespace
* whois
* winbatch (Windows Batch Scripting)
* xbasic
* xorg_conf (X.org configuration)
* xml
* z80 (ZiLOG Z80 Assembler)
|}

=== References (Footnotes) ===
{| class="wikitable"
|Add citation
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;&lt;ref&gt;&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; ...&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;&lt;/ref&gt;&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
| rowspan="2" |&lt;code&gt;I am making a very important point, but it needs a reference.&lt;nowiki&gt;&lt;ref&gt;This is the reference to back up my point.&lt;/ref&gt;&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
&lt;code&gt;I am now pointing out something else, and referencing it.&lt;nowiki&gt;&lt;ref&gt;This is my second citation.&lt;/ref&gt;&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
&lt;code&gt;**I'd like my references right here:**&lt;/code&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;&lt;references /&gt;&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;code&gt;----&lt;/code&gt;&lt;code&gt;Look, text after my references section!&lt;/code&gt;
| rowspan="2" |I am making a very important point, but it needs a reference.[1]
I am now pointing out something else, and referencing it.[2]
'''I'd like my references right here:'''
# ^ This is the reference to back up my point.
# ^ This is my second citation.
----Look, text after my references section!
|-
|Place references
(if you don't use this tag, references will appear at the bottom of the page)
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;&lt;references /&gt;&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|}

=== RSS Feeds ===
&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[rss url="http://source.url/feed"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;Replace ''&lt;nowiki&gt;http://source.url/feed&lt;/nowiki&gt;'' with the URL of your RSS feed. By default, this will display the last ten updates as text links, but you can make the following modifications to how your feed will be displayed:

{| class="wikitable"
|'''url'''
|'''full URL to the feed (required)'''
|-
|title
|title text to display above the feed (or blank for none)
|-
|number
|how many items to show, default 10
|-
|description
|to show each item's description text, either "true" or default "false"
|-
|date
|to show the item date after the title, either "true" or default "false"
|-
|author
|to show the author of the item after the title, either "true" or default "false"
|-
|length
|the number of characters to show in the description, max. 250
|-
|enclosure
|to show each item's media enclosures (audio, video, pictures), either "true" or default "false"
|}

=== Variables ===
The variables below will let you place dynamic content in your pages. Since pages are sometimes cached after being created, some items, such as the number of pages in the wiki, may not be updated immediately.

==== Supported variables ====
{| class="wikitable"
| colspan="2" |'''Namespace'''
|-
|Wiki name
|&lt;code&gt;{$spacename}&lt;/code&gt;
|-
|Wiki text
|&lt;code&gt;{$spacetext}&lt;/code&gt;
|-
|Wiki description
|&lt;code&gt;{$spacedescription}&lt;/code&gt;
|-
|Page Count
|&lt;code&gt;{$pagesinspace}&lt;/code&gt;
|-
|Servername (the hostname of the wiki)
|&lt;code&gt;{$servername}&lt;/code&gt;
|-
|Server (the url for the main page of the wiki)
|&lt;code&gt;{$server}&lt;/code&gt;
|-
|License
|&lt;code&gt;{$licensename}&lt;/code&gt;
|-
|License URL
|&lt;code&gt;{$licenseurl}&lt;/code&gt;
|-
|Member Count
|&lt;code&gt;{$membersinspace}&lt;/code&gt;
|-
|Organizer Count
|&lt;code&gt;{$organizersinspace}&lt;/code&gt;
|-
|Project Name
|&lt;code&gt;{$project}&lt;/code&gt;
|-
|Team Name
|&lt;code&gt;{$team}&lt;/code&gt;
|-
| colspan="2" |'''Page'''
|-
|Page Name
|&lt;code&gt;{$page}&lt;/code&gt;
|-
|Revision count
|&lt;code&gt;{$pagerevisions}&lt;/code&gt;
|-
|Full Page Name (alias for &lt;code&gt;{$spacename}:{$page})&lt;/code&gt;
|&lt;code&gt;{$fullpagename}&lt;/code&gt;
|-
| colspan="2" |'''Revision'''
|-
|Editor (Username of the user, or the IP address of the guest, who create this revision)
|&lt;code&gt;{$revisioneditor}&lt;/code&gt;
|-
|Comment
|&lt;code&gt;{$revisioncomment}&lt;/code&gt;
|-
|Revision ID
|&lt;code&gt;{$revisionid}&lt;/code&gt;
|-
| colspan="2" |'''Revision Dates'''
|-
|Date (In human readable format)
|&lt;code&gt;{$revisiondate}&lt;/code&gt;
|-
|Day
|&lt;code&gt;{$revisionday}&lt;/code&gt;
|-
|Day (with leading zero)
|&lt;code&gt;{$revisionday2}&lt;/code&gt;
|-
|Month
|&lt;code&gt;{$revisionmonth}&lt;/code&gt;
|-
|Year
|&lt;code&gt;{$revisionyear}&lt;/code&gt;
|-
|Timestamp (In ISO 8601 Format)
|&lt;code&gt;{$revisiontimestamp}&lt;/code&gt;
|-
| colspan="2" |'''Creation'''
|-
|Creator(Username of the user, or the IP address of the guest, who created this page)
|&lt;code&gt;{$creator}&lt;/code&gt;
|-
|Comment
|&lt;code&gt;{$creationcomment}&lt;/code&gt;
|-
|Creation Page ID
|&lt;code&gt;{$creationid}&lt;/code&gt;
|-
| colspan="2" |'''Creation Dates'''
|-
|Date (In human readable format)
|&lt;code&gt;{$creationdate}&lt;/code&gt;
|-
|Day
|&lt;code&gt;{$creationday}&lt;/code&gt;
|-
|Day (with leading zero)
|&lt;code&gt;{$creationday2}&lt;/code&gt;
|-
|Month
|&lt;code&gt;{$creationmonth}&lt;/code&gt;
|-
|Year
|&lt;code&gt;{$creationyear}&lt;/code&gt;
|-
|Timestamp (In ISO 8601 Format)
|&lt;code&gt;{$creationtimestamp}&lt;/code&gt;
|-
| colspan="2" |'''User'''
|-
|User Name
|&lt;code&gt;{$username}&lt;/code&gt;
|}

==== Variable modifiers ====
Modifiers are used to change the value of the variable into a different format. Modifiers are separated from the variable name with the pipe (|) character, and can be combined together — for example, &lt;code&gt;{$pagename|ignoreinclude|url}&lt;/code&gt;.

{| class="wikitable"
| colspan="3" |'''Output modifiers'''
|-
|URL escaping
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;|url&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{$server|url}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
| colspan="3" |'''Scope modifiers'''
|-
|Ignore include
This modifier tells the variable to return the value of the original page it's on, even if that page is included in another page (see below).
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;|ignoreinclude&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{$page|ignoreinclude}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|}

==== Javascript variables ====
While editing Pages, it is possible to include Javascript inside an Embedded Object.
Several variables can be accessed from the client side to determine the current state of the application, as follows:
{| class="wikitable"
| colspan="3" |'''User/space definition variables'''
|-
|&lt;code&gt;wikispaces_isUserLoggedIn&lt;/code&gt;
|boolean
|set if user has entered valid login information
|-
|&lt;code&gt;wikispaces_username&lt;/code&gt;
|string
|set to current user's login handle
|-
|&lt;code&gt;wikispaces_spaceName&lt;/code&gt;
|string
|set to current Space that user is viewing
|-
| colspan="3" |'''URL construction variables'''
|-
|&lt;code&gt;wikispaces_method&lt;/code&gt;
|string
|system - type of function being performed ( 'view', etc. )
|-
|&lt;code&gt;wikispaces_object&lt;/code&gt;
|string
|system - type of object being viewed/modified ( 'message', etc. )
|-
|&lt;code&gt;wikispaces_page&lt;/code&gt;
|string
|set to name of current wikipage
|-
|&lt;code&gt;wikispaces_id&lt;/code&gt;
|string
|system - object identifier ( for messages )
|}

=== Contents of Another Wiki Page ===
The entire contents of one page can be pasted into another with the &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[include]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; tag. This can be useful in breaking a large page up into smaller, more manageable pieces, or to create reusable components, like headers and footers. The only required attribute of the include tag is the '''page''' attribute.

==== Supported includes ====
{| class="wikitable"
|Basic page include
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[include page="PAGENAME"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Include page with section title
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[include page="PAGENAME" title="Section Title"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Include page with direct edit button
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[include page="PAGENAME" editable="true"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Include a list of pages
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[include component="pageList"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Include a list of pages with a tag
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[include component="pageList" tag="TAGNAME"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Include a tag cloud
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[include component="tagCloud" ]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Include a discussion page
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[include page="PAGENAME" component="comments"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Include a list of links to this page
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[include page="PAGENAME" component="backlinks"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Include page from another wiki
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[include page="WIKINAME:PAGENAME"]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|}

=== Other Special Tags ===
{| class="wikitable"
|Signature
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;~~~&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Signature with date
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;~~~~&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Mathematics
(supporting LaTeX math markup)
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[math]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;code&gt;\tilde{f}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t}\,dt&lt;/code&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[math]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;('''Note''' that the &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[math]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; tags must be on their own lines.)
|-
|Embedded media
|&lt;code&gt;[[media&lt;/code&gt; ... &lt;code&gt;]]&lt;/code&gt;
|-
|Table of contents, flat
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[toc|flat]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|-
|Table of contents
|&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[toc]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;
|}</text>
      <sha1>j8evan91py8figmyo8lo8x0jx5wp7k9</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Datei:Sagittalnotation.gif</title>
    <ns>6</ns>
    <id>229</id>
    <revision>
      <id>1418</id>
      <timestamp>2018-09-12T06:48:52Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Maintenance script</username>
        <id>2</id>
      </contributor>
      <origin>1418</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="33" sha1="9ujza1xr3254vsesmeda0texqe77jft" xml:space="preserve">== Beschreibung ==
Importing file</text>
      <sha1>9ujza1xr3254vsesmeda0texqe77jft</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Datei:External-063a41d011058c510990a4d81b3baa73-withext.jpg</title>
    <ns>6</ns>
    <id>230</id>
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      <id>1426</id>
      <timestamp>2018-09-12T06:48:53Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Maintenance script</username>
        <id>2</id>
      </contributor>
      <origin>1426</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="33" sha1="9ujza1xr3254vsesmeda0texqe77jft" xml:space="preserve">== Beschreibung ==
Importing file</text>
      <sha1>9ujza1xr3254vsesmeda0texqe77jft</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Migration FAQ</title>
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    <id>231</id>
    <redirect title="en:Migration FAQ" />
    <revision>
      <id>1428</id>
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      <contributor>
        <username>Mike Battaglia</username>
        <id>3</id>
      </contributor>
      <comment>Weiterleitung nach [[en:Migration FAQ]] erstellt</comment>
      <origin>1428</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="30" sha1="r6mg1s4g50wmcy3a7allmzope54u0vw" xml:space="preserve">#REDIRECT [[en:Migration_FAQ]]</text>
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    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Willkommen</title>
    <ns>0</ns>
    <id>232</id>
    <redirect title="Hauptseite" />
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      <contributor>
        <username>Mike Battaglia</username>
        <id>3</id>
      </contributor>
      <comment>Battaglia01 verschob die Seite [[Willkommen]] nach [[Hauptseite]]</comment>
      <origin>1430</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="29" sha1="35sq4ah6mnh9k5gxhz9sad8lvbzhhtw" xml:space="preserve">#WEITERLEITUNG [[Hauptseite]]</text>
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    </revision>
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  <page>
    <title>MediaWiki:Sidebar</title>
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      <contributor>
        <username>Mike Battaglia</username>
        <id>3</id>
      </contributor>
      <comment>Die Seite wurde neu angelegt: „ * navigation ** mainpage|mainpage-description ** recentchanges-url|recentchanges ** randompage-url|randompage ** helppage|help * SEARCH * TOOLBOX * LANGUAGES…“</comment>
      <origin>1431</origin>
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* navigation
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* SEARCH
* TOOLBOX
* LANGUAGES
-----
* Sprachen
** [[Willkommen|Deutsch]]
** [[:en:home|English]]
** [[:en:Bienvenidos|Español]]
** [[:en:ようこそ|Xenharmonicの世界へ 日本語]]
-----
* About
** [[Anstelle_von_Spielregeln|Anstelle von Spielregeln]]
** [[Orientierung|Orientierung]]
-----
* Theorie
** [[Cent|Cent]]
** [[Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige Tonsysteme]]
** [[Intervallraum|Intervallraum]]
** [[Komma|Komma]]
** [[MOS-Skalen|MOS-Skalen]]
** [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]]
** [[Reguläre_Temperaturen|Reguläre Temperaturen]]
** [[Reine_Stimmungen|Reine Stimmungen]]
-----
* Praxis
** [[Sagittalnotation|Sagittalnotation]]
** [[Software|Software]]</text>
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      </contributor>
      <origin>1432</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
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** Orientierung|Orientierung
-----
* Theorie
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** Intervallraum|Intervallraum
** Komma|Komma
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-----
* Praxis
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      <sha1>h86gspp826wu8kqw8v6y3dmwet7wfy8</sha1>
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        <username>Mike Battaglia</username>
        <id>3</id>
      </contributor>
      <origin>1433</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="756" sha1="33zksh0u7ek2oaacjn8a8ss91s6k45y" xml:space="preserve">
* navigation
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* About
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** Orientierung|Orientierung
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** Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung
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* Praxis
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* SEARCH
* TOOLBOX
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        <username>Mike Battaglia</username>
        <id>3</id>
      </contributor>
      <comment>Language links were wrong</comment>
      <origin>1543</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="763" sha1="q5mhadhrlchpydd90qym7hwznpo5mnd" xml:space="preserve">
* navigation
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** Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung
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-----
* Praxis
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        <username>Xenwolf</username>
        <id>5</id>
      </contributor>
      <comment>moved LANGUAGES up</comment>
      <origin>1574</origin>
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* navigation
** mainpage|mainpage-description
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** helppage|help
-----
* LANGUAGES
-----
* Sprachen
** Willkommen|Deutsch
** :en:Main_Page|English
** :en:Bienvenidos|Español
** :en:ようこそ！Xenharmonicの世界へ|日本語
-----
* About
** Anstelle_von_Spielregeln|Anstelle von Spielregeln
** Orientierung|Orientierung
-----
* Theorie
** Cent|Cent
** Gleichstufige_Tonsysteme|Gleichstufige Tonsysteme
** Intervallraum|Intervallraum
** Komma|Komma
** MOS-Skalen|MOS-Skalen
** Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung
** Reguläre_Temperaturen|Reguläre Temperaturen
** Reine_Stimmungen|Reine Stimmungen
-----
* Praxis
** Sagittalnotation|Sagittalnotation
** Software|Software
-----
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      <text bytes="162" sha1="7eaxovfbg60dwp0ok0vkdv1n3odli9h" xml:space="preserve">Hallo in die Runde, wer mit mir in Kontakt treten möchte, kann dies (öffentlich) auf "meiner" Diskussionsseite tun oder mich (privat) per Wiki-Mail anschreiben.</text>
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      <text bytes="269" sha1="r65asn6x1kyj8tf61xvtkhw4llrwyrg" xml:space="preserve">Hallo in die Runde, wer mit mir in Kontakt treten möchte, kann dies (öffentlich) auf "meiner" Diskussionsseite tun oder mich (privat) per Wiki-Mail anschreiben.

&lt;small&gt;siehe auch [https://en.xen.wiki/w/User:Xenwolf meiner Benutzerseite im englischen Xenwiki]&lt;/small&gt;</text>
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      <text bytes="287" sha1="efnamjr0urgipek7jr7lvqq9mlm4c89" xml:space="preserve">Hallo in die Runde, wer mit mir in Kontakt treten möchte, kann dies (öffentlich) auf "meiner" Diskussionsseite tun oder mich (privat) per Wiki-Mail anschreiben.

Bin ich ein Bot?

&lt;small&gt;siehe auch [https://en.xen.wiki/w/User:Xenwolf meiner Benutzerseite im englischen Xenwiki]&lt;/small&gt;</text>
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      <comment>Änderung 1544 von [[Special:Contributions/Xenwolf|Xenwolf]] ([[User talk:Xenwolf|Diskussion]]) rückgängig gemacht. Test abgeschlossen</comment>
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      <text bytes="269" sha1="r65asn6x1kyj8tf61xvtkhw4llrwyrg" xml:space="preserve">Hallo in die Runde, wer mit mir in Kontakt treten möchte, kann dies (öffentlich) auf "meiner" Diskussionsseite tun oder mich (privat) per Wiki-Mail anschreiben.

&lt;small&gt;siehe auch [https://en.xen.wiki/w/User:Xenwolf meiner Benutzerseite im englischen Xenwiki]&lt;/small&gt;</text>
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      <text bytes="309" sha1="n15a23fot794cyomaoaf8aqpwpjbjvi" xml:space="preserve">Hallo in die Runde, wer mit mir in Kontakt treten möchte, kann dies (öffentlich) auf "meiner" Diskussionsseite tun oder mich (privat) per Wiki-Mail anschreiben.

&lt;small&gt;siehe auch [https://en.xen.wiki/w/User:Xenwolf meiner Benutzerseite im englischen Xenwiki]&lt;/small&gt;

&lt;!-- Interwiki --&gt;
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      <text bytes="308" sha1="dubkwm3y77vswidb70q4lkffr7ef4s7" xml:space="preserve">Hallo in die Runde, wer mit mir in Kontakt treten möchte, kann dies (öffentlich) auf "meiner" Diskussionsseite tun oder mich (privat) per Wiki-Mail anschreiben.

&lt;small&gt;siehe auch [https://en.xen.wiki/w/User:Xenwolf meine Benutzerseite im englischen Xenwiki]&lt;/small&gt;

&lt;!-- Interwiki --&gt;
[[en:User:Xenwolf]]</text>
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      <comment>plus Links zu Benutzerdiskussion und Wikimail</comment>
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      <text bytes="383" sha1="6eyg559ix40ryvlsuhcylqa7ekcrozd" xml:space="preserve">Hallo in die Runde, wer mit mir in Kontakt treten möchte, kann dies (öffentlich) [[{{TALKPAGENAME}}|auf "meiner" Diskussionsseite]] tun oder mich (privat) [https://de.xen.wiki/w/Spezial:E-Mail_senden/Xenwolf per Wiki-Mail] anschreiben.

&lt;small&gt;siehe auch [https://en.xen.wiki/w/User:Xenwolf meine Benutzerseite im englischen Xenwiki]&lt;/small&gt;

&lt;!-- Interwiki --&gt;
[[en:User:Xenwolf]]</text>
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      <text bytes="403" sha1="1h05xctewc1wx5fldhw6t91d3shpugj" xml:space="preserve">Hallo in die Runde, wer mit mir in Kontakt treten möchte, kann dies (öffentlich) [[{{TALKPAGENAME}}|auf "meiner" Diskussionsseite]] tun oder mich (privat) [https://de.xen.wiki/w/Spezial:E-Mail_senden/Xenwolf per Wiki-Mail] anschreiben.

&lt;small&gt;siehe auch [https://en.xen.wiki/w/User:Xenwolf meine Benutzerseite im englischen Xenwiki]&lt;/small&gt;

&lt;!-- Interwiki --&gt;
[[en:User:Xenwolf]]
[[es:User:Xenwolf]]</text>
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float: right;
"&gt;[[:de:User:Xenwolf|de]] [[:en:User:Xenwolf|en]] [[:es:User:Xenwolf|es]] [[:dev:User:Xenwolf|dev]]&lt;/div&gt;

Hallo in die Runde, wer mit mir in Kontakt treten möchte, kann dies (öffentlich) [[{{TALKPAGENAME}}|auf "meiner" Diskussionsseite]] tun oder mich (privat) [https://de.xen.wiki/w/Spezial:E-Mail_senden/Xenwolf per Wiki-Mail] anschreiben.

&lt;small&gt;siehe auch [https://en.xen.wiki/w/User:Xenwolf meine Benutzerseite im englischen Xenwiki]&lt;/small&gt;

&lt;!-- Interwiki --&gt;
[[en:User:Xenwolf]]
[[es:User:Xenwolf]]</text>
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        <username>Xenwolf</username>
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      <comment>todo ergänzt</comment>
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"&gt;[[:de:User:Xenwolf|de]] [[:en:User:Xenwolf|en]] [[:es:User:Xenwolf|es]] [[:dev:User:Xenwolf|dev]]&lt;/div&gt;

Hallo in die Runde, wer mit mir in Kontakt treten möchte, kann dies (öffentlich) [[{{TALKPAGENAME}}|auf "meiner" Diskussionsseite]] tun oder mich (privat) [https://de.xen.wiki/w/Spezial:E-Mail_senden/Xenwolf per Wiki-Mail] anschreiben.

&lt;small&gt;siehe auch [https://en.xen.wiki/w/User:Xenwolf meine Benutzerseite im englischen Xenwiki]&lt;/small&gt;

todo 
* [https://de.xen.wiki/index.php?search=%E6%97%A5%E6%9C%AC%E8%AA%9E&amp;title=Spezial%3ASuche&amp;profile=default&amp;fulltext=1 Inline-Navigation für 日本語 und English ersetzen]
* ggf. [[Vorlage:interwiki]] nach [[:es:Plantilla:interwiki|Spanisch]] portieren!
* ggf. [[Vorlage:interwiki]] anpassen. Auch eine visuelle Navigation in der Seite wäre möglich, also so wie vorher, nur leichter zu warten

&lt;!-- Interwiki --&gt;
[[en:User:Xenwolf]]
[[es:User:Xenwolf]]</text>
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margin: 0 0 0.25em 0.5em;
padding: 0.25em 0.5em;
float: right;
"&gt;[[:de:User:Xenwolf|de]] [[:en:User:Xenwolf|en]] [[:es:User:Xenwolf|es]] [[:dev:User:Xenwolf|dev]]&lt;/div&gt;

Hallo in die Runde, wer mit mir in Kontakt treten möchte, kann dies (öffentlich) [[{{TALKPAGENAME}}|auf "meiner" Diskussionsseite]] tun oder mich (privat) [https://de.xen.wiki/w/Spezial:E-Mail_senden/Xenwolf per Wiki-Mail] anschreiben.

&lt;small&gt;siehe auch [https://en.xen.wiki/w/User:Xenwolf meine Benutzerseite im englischen Xenwiki]&lt;/small&gt;

todo 
* Inline-Navigation durch [[Vorlage:interwiki]] ersetzen 
** [https://de.xen.wiki/index.php?search=%E6%97%A5%E6%9C%AC%E8%AA%9E&amp;title=Spezial%3ASuche&amp;profile=default&amp;fulltext=1 Suche nach ''日本語'']
** [https://de.xen.wiki/index.php?search=English&amp;title=Spezial%3ASuche&amp;profile=default&amp;fulltext=1 Suche nach ''English'']
* [[Vorlage:interwiki]] nach [[:es:Plantilla:interwiki|Spanisch]] portieren!
* ggf. [[Vorlage:interwiki]] anpassen. Auch eine visuelle Navigation in der Seite wäre möglich, also so wie vorher, nur leichter zu warten

&lt;!-- Interwiki --&gt;
[[en:User:Xenwolf]]
[[es:User:Xenwolf]]</text>
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padding: 0.25em 0.5em;
float: right;
"&gt;[[:de:User:Xenwolf|de]] [[:en:User:Xenwolf|en]] [[:es:User:Xenwolf|es]] [[:dev:User:Xenwolf|dev]]&lt;/div&gt;

Hallo in die Runde, wer mit mir in Kontakt treten möchte, kann dies (öffentlich) [[{{TALKPAGENAME}}|auf "meiner" Diskussionsseite]] tun oder mich (privat) [https://de.xen.wiki/w/Spezial:E-Mail_senden/Xenwolf per Wiki-Mail] anschreiben.

&lt;small&gt;siehe auch [https://en.xen.wiki/w/User:Xenwolf meine Benutzerseite im englischen Xenwiki]&lt;/small&gt;

todo 
* Inline-Navigation durch [[Vorlage:interwiki]] ersetzen 
** [https://de.xen.wiki/index.php?search=%E6%97%A5%E6%9C%AC%E8%AA%9E&amp;title=Spezial%3ASuche&amp;profile=default&amp;fulltext=1 Suche nach ''日本語'']
** [https://de.xen.wiki/index.php?search=English&amp;title=Spezial%3ASuche&amp;profile=default&amp;fulltext=1 Suche nach ''English'']
* Dokumentation in [[:es:Plantilla:interwiki|Plantilla:interwiki]] übersetzen!
* ggf. [[Vorlage:interwiki]] anpassen. Auch eine '''visuelle Navigation direkt in der Seite''' wäre möglich, also so wie vorher, nur leichter zu warten

&lt;!-- Interwiki --&gt;
[[en:User:Xenwolf]]
[[es:User:Xenwolf]]</text>
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float: right;
"&gt;[[:de:User:Xenwolf|de]] [[:en:User:Xenwolf|en]] [[:es:User:Xenwolf|es]] [[:dev:User:Xenwolf|dev]]&lt;/div&gt;

Hallo in die Runde, wer mit mir in Kontakt treten möchte, kann dies (öffentlich) [[{{TALKPAGENAME}}|auf "meiner" Diskussionsseite]] tun oder mich (privat) [https://de.xen.wiki/w/Spezial:E-Mail_senden/Xenwolf per Wiki-Mail] anschreiben.

&lt;small&gt;siehe auch [https://en.xen.wiki/w/User:Xenwolf meine Benutzerseite im englischen Xenwiki]&lt;/small&gt;

todo 
* klären, warum [[Spezial:Benutzerkonto bestätigen]] unter [[Spezial:Letzte Änderungen]] verlinkt ist
* Inline-Navigation durch [[Vorlage:interwiki]] ersetzen 
** [https://de.xen.wiki/index.php?search=%E6%97%A5%E6%9C%AC%E8%AA%9E&amp;title=Spezial%3ASuche&amp;profile=default&amp;fulltext=1 Suche nach ''日本語'']
** [https://de.xen.wiki/index.php?search=English&amp;title=Spezial%3ASuche&amp;profile=default&amp;fulltext=1 Suche nach ''English'']
* Dokumentation in [[:es:Plantilla:interwiki|Plantilla:interwiki]] übersetzen!
* ggf. [[Vorlage:interwiki]] anpassen. Auch eine '''visuelle Navigation direkt in der Seite''' wäre möglich, also so wie vorher, nur leichter zu warten

&lt;!-- Interwiki --&gt;
[[en:User:Xenwolf]]
[[es:User:Xenwolf]]</text>
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"&gt;[[:de:User:Xenwolf|de]] [[:en:User:Xenwolf|en]] [[:es:User:Xenwolf|es]] [[:dev:User:Xenwolf|dev]]&lt;/div&gt;

Hallo in die Runde, wer mit mir in Kontakt treten möchte, kann dies (öffentlich) [[{{TALKPAGENAME}}|auf "meiner" Diskussionsseite]] tun oder mich (privat) [https://de.xen.wiki/w/Spezial:E-Mail_senden/Xenwolf per Wiki-Mail] anschreiben.

&lt;small&gt;siehe auch [https://en.xen.wiki/w/User:Xenwolf meine Benutzerseite im englischen Xenwiki]&lt;/small&gt;

todo:

* klären, warum [[Spezial:Benutzerkonto bestätigen]] unter [[Spezial:Letzte Änderungen]] verlinkt ist
* Inline-Navigation durch [[Vorlage:interwiki]] ersetzen 
** [https://de.xen.wiki/index.php?search=%E6%97%A5%E6%9C%AC%E8%AA%9E&amp;title=Spezial%3ASuche&amp;profile=default&amp;fulltext=1 Suche nach ''日本語'']
** [https://de.xen.wiki/index.php?search=English&amp;title=Spezial%3ASuche&amp;profile=default&amp;fulltext=1 Suche nach ''English'']
* Dokumentation in [[:es:Plantilla:interwiki|Plantilla:interwiki]] übersetzen!
* ggf. [[Vorlage:interwiki]] anpassen. Auch eine '''visuelle Navigation direkt in der Seite''' wäre möglich, also so wie vorher, nur leichter zu warten

links:

* http://math.sfsu.edu/beck/teach/masters/michael.pdf

&lt;!-- Interwiki --&gt;
[[en:User:Xenwolf]]
[[es:User:Xenwolf]]</text>
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Hallo in die Runde, wer mit mir in Kontakt treten möchte, kann dies (öffentlich) [[{{TALKPAGENAME}}|auf "meiner" Diskussionsseite]] tun oder mich (privat) [https://de.xen.wiki/w/Spezial:E-Mail_senden/Xenwolf per Wiki-Mail] anschreiben.

&lt;small&gt;siehe auch [https://en.xen.wiki/w/User:Xenwolf meine Benutzerseite im englischen Xenwiki]&lt;/small&gt;

todo:

* klären, warum [[Spezial:Benutzerkonto bestätigen]] unter [[Spezial:Letzte Änderungen]] verlinkt ist
* Inline-Navigation durch [[Vorlage:interwiki]] ersetzen 
** [https://de.xen.wiki/index.php?search=%E6%97%A5%E6%9C%AC%E8%AA%9E&amp;title=Spezial%3ASuche&amp;profile=default&amp;fulltext=1 Suche nach ''日本語'']
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* Dokumentation in [[:es:Plantilla:interwiki|Plantilla:interwiki]] übersetzen!
* ggf. [[Vorlage:interwiki]] anpassen. Auch eine '''visuelle Navigation direkt in der Seite''' wäre möglich, also so wie vorher, nur leichter zu warten

links:

* [http://math.sfsu.edu/beck/teach/masters/michael.pdf Farey-Folgen &amp; Ford-Kreise] -- Bachelor-Arbeit von Michael Müller, FU Berlin, 2020

&lt;!-- Interwiki --&gt;
[[en:User:Xenwolf]]
[[es:User:Xenwolf]]</text>
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      <text bytes="983" sha1="mzt7orqzeu3gw621tfxeotu80n5mlmb" xml:space="preserve">== Änderung an [[MediaWiki:Sidebar]] ==

Hallo Hans, ich habe &lt;tt&gt;LANGUAGES&lt;/tt&gt; nach oben verschoben. Im englischen Wiki stand es schon in dieser Position. Ich denke, dass die Seitennavigation besser mit Inhalten ausgestattet ist, die kontextsensitiv sind, genau wie in Wikipedia. Das war bei Wikispaces nicht möglich, abrt nun haben wir diese Möglichkeit. Ich würde auch dazu neigen, die nichtsensitiven Inhalte herauszunehmen und auf die Hauptseite zu "verbannen", zu dieser gelangt man ja mit einem Klick aufs Logo oder auf den Text ''Hauptseite'' direkt unterm Logo. Ich habe mir von Mike Admin- und Bürokratenrechte geben lassen, weil ich den obigen Systemtext bearbeiten wollte. Er meinte, dass die Rolle "Organizer" ansonsten alles ermöglichen würde. Vielleicht schauen wir mal, was anfällt und ob es da irgendwelche Hemmnisse gibt und justieren ggf. nach? Grüße --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 16:37, 29. Sep. 2018 (UTC)</text>
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Hallo Hans, ich habe &lt;tt&gt;LANGUAGES&lt;/tt&gt; nach oben verschoben. Im englischen Wiki stand es schon in dieser Position. Ich denke, dass die Seitennavigation besser mit Inhalten ausgestattet ist, die kontextsensitiv sind, genau wie in Wikipedia. Das war bei Wikispaces nicht möglich, abrt nun haben wir diese Möglichkeit. Ich würde auch dazu neigen, die nichtsensitiven Inhalte herauszunehmen und auf die Hauptseite zu "verbannen", zu dieser gelangt man ja mit einem Klick aufs Logo oder auf den Text ''Hauptseite'' direkt unterm Logo. Ich habe mir von Mike Admin- und Bürokratenrechte geben lassen, weil ich den obigen Systemtext bearbeiten wollte. Er meinte, dass die Rolle "Organizer" ansonsten alles ermöglichen würde. Vielleicht schauen wir mal, was anfällt und ob es da irgendwelche Hemmnisse gibt und justieren ggf. nach? Grüße --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 16:37, 29. Sep. 2018 (UTC)
::Ea ist sehr cool, dass jetzt alle Sprachversionen automatisch in der Seitennavigstion angezeigt werden können. Es ist gut, wenn das etwas höher oben ist.

Du meinst, nicht-kontextsensitive Inhalte generell aus der Seitennavigatiion raus? Ich denke, eine Grobunterteilung der Haupt-Themenbereiche (allgemeine Theorie, mathematische Theorie, Praxis,  Software etc.) fände ich schon sinnvoll in der Seitennavigation, auf der Hsuptseite übrigens ebenso. Dinge wie Cent, Kmma, Sagitalnotation oder Primfsktorzerlegng müssen sicher nicht in der Seitennavigation erscheinen (und auf der Hauptseite auch nicht).</text>
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Hallo Hans, ich habe &lt;tt&gt;LANGUAGES&lt;/tt&gt; nach oben verschoben. Im englischen Wiki stand es schon in dieser Position. Ich denke, dass die Seitennavigation besser mit Inhalten ausgestattet ist, die kontextsensitiv sind, genau wie in Wikipedia. Das war bei Wikispaces nicht möglich, abrt nun haben wir diese Möglichkeit. Ich würde auch dazu neigen, die nichtsensitiven Inhalte herauszunehmen und auf die Hauptseite zu "verbannen", zu dieser gelangt man ja mit einem Klick aufs Logo oder auf den Text ''Hauptseite'' direkt unterm Logo. Ich habe mir von Mike Admin- und Bürokratenrechte geben lassen, weil ich den obigen Systemtext bearbeiten wollte. Er meinte, dass die Rolle "Organizer" ansonsten alles ermöglichen würde. Vielleicht schauen wir mal, was anfällt und ob es da irgendwelche Hemmnisse gibt und justieren ggf. nach? Grüße --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 16:37, 29. Sep. 2018 (UTC)
::Ea ist sehr cool, dass jetzt alle Sprachversionen automatisch in der Seitennavigstion angezeigt werden können. Es ist gut, wenn das etwas höher oben ist.

Du meinst, nicht-kontextsensitive Inhalte generell aus der Seitennavigatiion raus? Ich denke, eine Grobunterteilung der Haupt-Themenbereiche (allgemeine Theorie, mathematische Theorie, Praxis,  Software etc.) fände ich schon sinnvoll in der Seitennavigation, auf der Hsuptseite übrigens ebenso. Dinge wie Cent, Kmma, Sagitalnotation oder Primfsktorzerlegng müssen sicher nicht in der Seitennavigation erscheinen (und auf der Hauptseite auch nicht).[[Benutzer:Hstraub|Hstraub]] ([[Benutzer Diskussion:Hstraub|Diskussion]]) 20:20, 2. Okt. 2018 (UTC)</text>
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Hallo Hans, ich habe &lt;tt&gt;LANGUAGES&lt;/tt&gt; nach oben verschoben. Im englischen Wiki stand es schon in dieser Position. Ich denke, dass die Seitennavigation besser mit Inhalten ausgestattet ist, die kontextsensitiv sind, genau wie in Wikipedia. Das war bei Wikispaces nicht möglich, abrt nun haben wir diese Möglichkeit. Ich würde auch dazu neigen, die nichtsensitiven Inhalte herauszunehmen und auf die Hauptseite zu "verbannen", zu dieser gelangt man ja mit einem Klick aufs Logo oder auf den Text ''Hauptseite'' direkt unterm Logo. Ich habe mir von Mike Admin- und Bürokratenrechte geben lassen, weil ich den obigen Systemtext bearbeiten wollte. Er meinte, dass die Rolle "Organizer" ansonsten alles ermöglichen würde. Vielleicht schauen wir mal, was anfällt und ob es da irgendwelche Hemmnisse gibt und justieren ggf. nach? Grüße --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 16:37, 29. Sep. 2018 (UTC)
::Ea ist sehr cool, dass jetzt alle Sprachversionen automatisch in der Seitennavigstion angezeigt werden können. Es ist gut, wenn das etwas höher oben ist.

Du meinst, nicht-kontextsensitive Inhalte generell aus der Seitennavigatiion raus? Ich denke, eine Grobunterteilung der Haupt-Themenbereiche (allgemeine Theorie, mathematische Theorie, Praxis,  Software etc.) fände ich schon sinnvoll in der Seitennavigation, auf der Hsuptseite übrigens ebenso. Dinge wie Cent, Komma, Sagitalnotation oder Primfsktorzerlegng müssen sicher nicht in der Seitennavigation erscheinen (und auf der Hauptseite auch nicht).[[Benutzer:Hstraub|Hstraub]] ([[Benutzer Diskussion:Hstraub|Diskussion]]) 20:20, 2. Okt. 2018 (UTC)</text>
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      <text bytes="2309" sha1="5j7v1wafl1witrqpmk7okxiec9zhmfe" xml:space="preserve">== Änderung an [[MediaWiki:Sidebar]] ==

Hallo Hans, ich habe &lt;tt&gt;LANGUAGES&lt;/tt&gt; nach oben verschoben. Im englischen Wiki stand es schon in dieser Position. Ich denke, dass die Seitennavigation besser mit Inhalten ausgestattet ist, die kontextsensitiv sind, genau wie in Wikipedia. Das war bei Wikispaces nicht möglich, abrt nun haben wir diese Möglichkeit. Ich würde auch dazu neigen, die nichtsensitiven Inhalte herauszunehmen und auf die Hauptseite zu "verbannen", zu dieser gelangt man ja mit einem Klick aufs Logo oder auf den Text ''Hauptseite'' direkt unterm Logo. Ich habe mir von Mike Admin- und Bürokratenrechte geben lassen, weil ich den obigen Systemtext bearbeiten wollte. Er meinte, dass die Rolle "Organizer" ansonsten alles ermöglichen würde. Vielleicht schauen wir mal, was anfällt und ob es da irgendwelche Hemmnisse gibt und justieren ggf. nach? Grüße --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 16:37, 29. Sep. 2018 (UTC)
::Ea ist sehr cool, dass jetzt alle Sprachversionen automatisch in der Seitennavigstion angezeigt werden können. Es ist gut, wenn das etwas höher oben ist.

Du meinst, nicht-kontextsensitive Inhalte generell aus der Seitennavigatiion raus? Ich denke, eine Grobunterteilung der Haupt-Themenbereiche (allgemeine Theorie, mathematische Theorie, Praxis,  Software etc.) fände ich schon sinnvoll in der Seitennavigation, auf der Hsuptseite übrigens ebenso. Dinge wie Cent, Komma, Sagitalnotation oder Primfsktorzerlegng müssen sicher nicht in der Seitennavigation erscheinen (und auf der Hauptseite auch nicht).[[Benutzer:Hstraub|Hstraub]] ([[Benutzer Diskussion:Hstraub|Diskussion]]) 20:20, 2. Okt. 2018 (UTC)

== Hauptseite und Sidebar jetzt ==

Hallo Hans,
ich habe mein Bestes versucht. Mut ist natürlich immer notwendig. Mir gefällt es jetzt auf jeden Fall besser, da wir noch nicht so viele Inhalte haben, habe ich nur den Link auf [[Oktave]] gestrichen, aber den Rest auf die Hauptseite verschoben. Für diese gehe ich davon aus, dass das Layout ohne weiteres von normalen Seiten abweicht, um dem '''Wiki ein Gesicht''' zu geben. Das hat es jetzt ein bisschen, glaube ich, vorher hatte es das nicht. Viele Grüße --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 10:17, 14. Okt. 2018 (UTC)</text>
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Hallo Hans, ich habe &lt;tt&gt;LANGUAGES&lt;/tt&gt; nach oben verschoben. Im englischen Wiki stand es schon in dieser Position. Ich denke, dass die Seitennavigation besser mit Inhalten ausgestattet ist, die kontextsensitiv sind, genau wie in Wikipedia. Das war bei Wikispaces nicht möglich, abrt nun haben wir diese Möglichkeit. Ich würde auch dazu neigen, die nichtsensitiven Inhalte herauszunehmen und auf die Hauptseite zu "verbannen", zu dieser gelangt man ja mit einem Klick aufs Logo oder auf den Text ''Hauptseite'' direkt unterm Logo. Ich habe mir von Mike Admin- und Bürokratenrechte geben lassen, weil ich den obigen Systemtext bearbeiten wollte. Er meinte, dass die Rolle "Organizer" ansonsten alles ermöglichen würde. Vielleicht schauen wir mal, was anfällt und ob es da irgendwelche Hemmnisse gibt und justieren ggf. nach? Grüße --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 16:37, 29. Sep. 2018 (UTC)
::Ea ist sehr cool, dass jetzt alle Sprachversionen automatisch in der Seitennavigstion angezeigt werden können. Es ist gut, wenn das etwas höher oben ist.

Du meinst, nicht-kontextsensitive Inhalte generell aus der Seitennavigatiion raus? Ich denke, eine Grobunterteilung der Haupt-Themenbereiche (allgemeine Theorie, mathematische Theorie, Praxis,  Software etc.) fände ich schon sinnvoll in der Seitennavigation, auf der Hsuptseite übrigens ebenso. Dinge wie Cent, Komma, Sagitalnotation oder Primfsktorzerlegng müssen sicher nicht in der Seitennavigation erscheinen (und auf der Hauptseite auch nicht).[[Benutzer:Hstraub|Hstraub]] ([[Benutzer Diskussion:Hstraub|Diskussion]]) 20:20, 2. Okt. 2018 (UTC)

== Hauptseite und Sidebar jetzt ==

Hallo Hans,
ich habe mein Bestes versucht. Mut ist natürlich immer notwendig. Mir gefällt es jetzt auf jeden Fall besser, da wir noch nicht so viele Inhalte haben, habe ich nur den Link auf [[Oktave]] gestrichen, aber den Rest auf die Hauptseite verschoben. Für diese gehe ich davon aus, dass das Layout ohne weiteres von normalen Seiten abweicht, um dem '''Wiki ein Gesicht''' zu geben. Das hat es jetzt ein bisschen, glaube ich, vorher hatte es das nicht. Viele Grüße --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 10:17, 14. Okt. 2018 (UTC)

Die neue Hauptseite ist wirklich schön geworden!
Da hat früher wirklich Inhalt gefehlt, muss man rückwirkend sagen. Genau dies Informstionen erwartet man auf einer Einstiegsseire. Gruss [[Benutzer:Hstraub|Hstraub]] ([[Benutzer Diskussion:Hstraub|Diskussion]]) 19:26, 17. Okt. 2018 (UTC)</text>
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Hallo Hans, ich habe &lt;tt&gt;LANGUAGES&lt;/tt&gt; nach oben verschoben. Im englischen Wiki stand es schon in dieser Position. Ich denke, dass die Seitennavigation besser mit Inhalten ausgestattet ist, die kontextsensitiv sind, genau wie in Wikipedia. Das war bei Wikispaces nicht möglich, abrt nun haben wir diese Möglichkeit. Ich würde auch dazu neigen, die nichtsensitiven Inhalte herauszunehmen und auf die Hauptseite zu "verbannen", zu dieser gelangt man ja mit einem Klick aufs Logo oder auf den Text ''Hauptseite'' direkt unterm Logo. Ich habe mir von Mike Admin- und Bürokratenrechte geben lassen, weil ich den obigen Systemtext bearbeiten wollte. Er meinte, dass die Rolle "Organizer" ansonsten alles ermöglichen würde. Vielleicht schauen wir mal, was anfällt und ob es da irgendwelche Hemmnisse gibt und justieren ggf. nach? Grüße --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 16:37, 29. Sep. 2018 (UTC)
::Ea ist sehr cool, dass jetzt alle Sprachversionen automatisch in der Seitennavigstion angezeigt werden können. Es ist gut, wenn das etwas höher oben ist.

Du meinst, nicht-kontextsensitive Inhalte generell aus der Seitennavigatiion raus? Ich denke, eine Grobunterteilung der Haupt-Themenbereiche (allgemeine Theorie, mathematische Theorie, Praxis,  Software etc.) fände ich schon sinnvoll in der Seitennavigation, auf der Hsuptseite übrigens ebenso. Dinge wie Cent, Komma, Sagitalnotation oder Primfsktorzerlegng müssen sicher nicht in der Seitennavigation erscheinen (und auf der Hauptseite auch nicht).[[Benutzer:Hstraub|Hstraub]] ([[Benutzer Diskussion:Hstraub|Diskussion]]) 20:20, 2. Okt. 2018 (UTC)

== Hauptseite und Sidebar jetzt ==

Hallo Hans,
ich habe mein Bestes versucht. Mut ist natürlich immer notwendig. Mir gefällt es jetzt auf jeden Fall besser, da wir noch nicht so viele Inhalte haben, habe ich nur den Link auf [[Oktave]] gestrichen, aber den Rest auf die Hauptseite verschoben. Für diese gehe ich davon aus, dass das Layout ohne weiteres von normalen Seiten abweicht, um dem '''Wiki ein Gesicht''' zu geben. Das hat es jetzt ein bisschen, glaube ich, vorher hatte es das nicht. Viele Grüße --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 10:17, 14. Okt. 2018 (UTC)

Die neue Hauptseite ist wirklich schön geworden!
Da hat früher wirklich Inhalt gefehlt, muss man rückwirkend sagen. Genau dies Informstionen erwartet man auf einer Einstiegsseire. Gruss [[Benutzer:Hstraub|Hstraub]] ([[Benutzer Diskussion:Hstraub|Diskussion]]) 19:26, 17. Okt. 2018 (UTC)
: das freut mich :) &lt;br/&gt; Was denkst du zu [[Diskussion:Nichtganzzahlige Intervallvektoren]]? Grüße --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 20:11, 28. Okt. 2018 (UTC)</text>
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= ARCHIVED WIKISPACES DISCUSSION BELOW =
&lt;div style="text-align:center; background-color: #fee;"&gt;
&lt;big&gt;'''All discussion below is archived from the Wikispaces export in its original unaltered form.'''&lt;/big&gt;&lt;br/&gt;Please do not add any new discussion to this archive page.&lt;br/&gt;All new discussion should go on [[Talk:{{BASEPAGENAME}}]].&lt;/div&gt;
----


== Quellenangabe ==
Ich habe die Grafik von spt3125 ins Deutsche übersetzt

17ed2-001.svg

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;Details&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Download&lt;/li&gt;&lt;li style="color: #666"&gt;19 KB&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

http://xenharmonic.wikispaces.com/file/detail/17ed2-001.svg

- '''xenwolf''' January 08, 2014, 12:13:29 AM UTC-0800
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= ARCHIVED WIKISPACES DISCUSSION BELOW =
&lt;div style="text-align:center; background-color: #fee;"&gt;
&lt;big&gt;'''All discussion below is archived from the Wikispaces export in its original unaltered form.'''&lt;/big&gt;&lt;br/&gt;Please do not add any new discussion to this archive page.&lt;br/&gt;All new discussion should go on [[Talk:{{BASEPAGENAME}}]].&lt;/div&gt;
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== Quellenangabe ==
Ich habe die Grafik von spt3125 ins Deutsche übersetzt

17ed2-001.svg

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;Details&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Download&lt;/li&gt;&lt;li style="color: #666"&gt;19 KB&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

http://xenharmonic.wikispaces.com/file/detail/17ed2-001.svg

- '''xenwolf''' January 08, 2014, 12:13:29 AM UTC-0800
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&lt;div style="text-align:center; background-color: #fee;"&gt;
&lt;big&gt;'''All discussion below is archived from the Wikispaces export in its original unaltered form.'''&lt;/big&gt;&lt;br/&gt;Please do not add any new discussion to this archive page.&lt;br/&gt;All new discussion should go on [[Talk:{{BASEPAGENAME}}]].&lt;/div&gt;
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== Approximation ==
Was wäre von &lt;em&gt;Näherung&lt;/em&gt; zu halten? Ich meine, mit dem Wort Approximation habe ich kein Problem, aber je weniger Fremdwörter, desto leichter verständlich ist ein Text, finde ich.

- '''xenwolf''' May 12, 2013, 01:14:46 PM UTC-0700
----
Kein Problem!

- '''hstraub''' June 10, 2015, 04:53:45 AM UTC-0700
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== Approximation ==
Was wäre von &lt;em&gt;Näherung&lt;/em&gt; zu halten? Ich meine, mit dem Wort Approximation habe ich kein Problem, aber je weniger Fremdwörter, desto leichter verständlich ist ein Text, finde ich.

- '''xenwolf''' May 12, 2013, 01:14:46 PM UTC-0700
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      <comment>Inthar verschob die Seite [[Diskussion:22edo/WikispacesArchive]] nach [[Diskussion:22-EDO/WikispacesArchive]]: "n-EDO"-Schreibung</comment>
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&lt;big&gt;'''All discussion below is archived from the Wikispaces export in its original unaltered form.'''&lt;/big&gt;&lt;br/&gt;Please do not add any new discussion to this archive page.&lt;br/&gt;All new discussion should go on [[Talk:{{BASEPAGENAME}}]].&lt;/div&gt;
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== Approximation ==
Was wäre von &lt;em&gt;Näherung&lt;/em&gt; zu halten? Ich meine, mit dem Wort Approximation habe ich kein Problem, aber je weniger Fremdwörter, desto leichter verständlich ist ein Text, finde ich.

- '''xenwolf''' May 12, 2013, 01:14:46 PM UTC-0700
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- '''hstraub''' June 10, 2015, 04:53:45 AM UTC-0700
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== Ein paar Zahlen zur Illustration ==
372,41 9\29 (-13,9 ct)

386,31 Naturterz

413,79 10\29 (+27,48 ct)

- '''xenwolf''' October 12, 2015, 06:00:04 AM UTC-0700
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= ARCHIVED WIKISPACES DISCUSSION BELOW =
&lt;div style="text-align:center; background-color: #fee;"&gt;
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== Ein paar Zahlen zur Illustration ==
372,41 9\29 (-13,9 ct)

386,31 Naturterz

413,79 10\29 (+27,48 ct)

- '''xenwolf''' October 12, 2015, 06:00:04 AM UTC-0700
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      <comment>Xenwolf verschob die Seite [[Diskussion:29edo/WikispacesArchive]] nach [[Diskussion:29 EDO/WikispacesArchive]]: Großschreibung zur Verdeutlichung der Abkürzung, Lücke zur besseren Lesbarkeit (Weiterleitungen bleiben erhalten)</comment>
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&lt;big&gt;'''All discussion below is archived from the Wikispaces export in its original unaltered form.'''&lt;/big&gt;&lt;br/&gt;Please do not add any new discussion to this archive page.&lt;br/&gt;All new discussion should go on [[Talk:{{BASEPAGENAME}}]].&lt;/div&gt;
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== Ein paar Zahlen zur Illustration ==
372,41 9\29 (-13,9 ct)

386,31 Naturterz

413,79 10\29 (+27,48 ct)

- '''xenwolf''' October 12, 2015, 06:00:04 AM UTC-0700
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      <comment>Xenwolf verschob die Seite [[Diskussion:29 EDO/WikispacesArchive]] nach [[Diskussion:29-EDO/WikispacesArchive]]: Das ist die bessere Wahl (siehe [[XW:K]]), auch führte die Lücke optisch zum "Auseinanderbrechen".</comment>
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&lt;div style="text-align:center; background-color: #fee;"&gt;
&lt;big&gt;'''All discussion below is archived from the Wikispaces export in its original unaltered form.'''&lt;/big&gt;&lt;br/&gt;Please do not add any new discussion to this archive page.&lt;br/&gt;All new discussion should go on [[Talk:{{BASEPAGENAME}}]].&lt;/div&gt;
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== Ein paar Zahlen zur Illustration ==
372,41 9\29 (-13,9 ct)

386,31 Naturterz

413,79 10\29 (+27,48 ct)

- '''xenwolf''' October 12, 2015, 06:00:04 AM UTC-0700
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    <title>Diskussion:Beyreuther Musikprinzip/WikispacesArchive</title>
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= ARCHIVED WIKISPACES DISCUSSION BELOW =
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&lt;big&gt;'''All discussion below is archived from the Wikispaces export in its original unaltered form.'''&lt;/big&gt;&lt;br/&gt;Please do not add any new discussion to this archive page.&lt;br/&gt;All new discussion should go on [[Talk:{{BASEPAGENAME}}]].&lt;/div&gt;
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== Bildverfärbungen ==
Mit Flachbildschirmen unterlaufen mir manchmal kleine Fehler in der Farbgestaltung. So auch hier: die hellgrauen Tasten links sind natürlich auch weiß.

- '''xenwolf''' June 07, 2013, 03:58:13 AM UTC-0700
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== Bildverfärbungen ==
Mit Flachbildschirmen unterlaufen mir manchmal kleine Fehler in der Farbgestaltung. So auch hier: die hellgrauen Tasten links sind natürlich auch weiß.

- '''xenwolf''' June 07, 2013, 03:58:13 AM UTC-0700
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    <title>Diskussion:Cent/WikispacesArchive</title>
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= ARCHIVED WIKISPACES DISCUSSION BELOW =
&lt;div style="text-align:center; background-color: #fee;"&gt;
&lt;big&gt;'''All discussion below is archived from the Wikispaces export in its original unaltered form.'''&lt;/big&gt;&lt;br/&gt;Please do not add any new discussion to this archive page.&lt;br/&gt;All new discussion should go on [[Talk:{{BASEPAGENAME}}]].&lt;/div&gt;
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== ld (logarithmus dualis) ==
ich würde ld oder vielleicht log2 vorziehen, wobei mir letzteres etwas nach Programmieren aussieht. Momentan wird lb in der deutschen Wikipedia etwas bevorzugt

http://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus_dualis#Bezeichnungen

Ansonsten: Guter Start, der Artikel :)

- '''xenwolf''' April 22, 2013, 12:34:24 AM UTC-0700
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&lt;div style="text-align:center; background-color: #fee;"&gt;
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== ld (logarithmus dualis) ==
ich würde ld oder vielleicht log2 vorziehen, wobei mir letzteres etwas nach Programmieren aussieht. Momentan wird lb in der deutschen Wikipedia etwas bevorzugt

http://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus_dualis#Bezeichnungen

Ansonsten: Guter Start, der Artikel :)

- '''xenwolf''' April 22, 2013, 12:34:24 AM UTC-0700
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    <title>Diskussion:Gleichstufige Tonsysteme/WikispacesArchive</title>
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= ARCHIVED WIKISPACES DISCUSSION BELOW =
&lt;div style="text-align:center; background-color: #fee;"&gt;
&lt;big&gt;'''All discussion below is archived from the Wikispaces export in its original unaltered form.'''&lt;/big&gt;&lt;br/&gt;Please do not add any new discussion to this archive page.&lt;br/&gt;All new discussion should go on [[Talk:{{BASEPAGENAME}}]].&lt;/div&gt;
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== Stimmungen ==
(1) Das Wort hat sich in der DE-Wikipedia als problematisch erwiesen. Was wäre von Tonsystemen zu halten?

(2) Was würdest du vom Terminus Äquidistant bzw. Equidistant halten?

- '''xenwolf''' April 24, 2013, 04:35:34 AM UTC-0700
----
Tonsystem finde ich OK.

Äquidistant ist von der Bedeutung her korrekt, kann man in jedem Fall als Synonym verwenden. Allerdings scheint mir im Musikbereich das Wort "gleichstufig" gebräuchlicher - das legen jedenfalls die Treffer in Google bei der entsprechenden Stichwortsuche nah.

WIkipedia spricht übrigens weiterhin von "gleichstufiger Stimmung":

http://de.wikipedia.org/wiki/Gleichstufige_Stimmung

- '''hstraub''' April 24, 2013, 05:16:35 AM UTC-0700
----
Also benennen wir die Seite um in Gleichstufiges Tonsystem, (mit Weiterleitung, versteht sich) ok?

- '''xenwolf''' April 24, 2013, 06:13:10 AM UTC-0700
----
...bzw. Die Mehrzahl davon...

- '''xenwolf''' April 24, 2013, 06:13:35 AM UTC-0700
----
"Gleichstuifiges Tonsystem" ist gut, ja.

- '''hstraub''' April 24, 2013, 06:33:20 AM UTC-0700
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= ARCHIVED WIKISPACES DISCUSSION BELOW =
&lt;div style="text-align:center; background-color: #fee;"&gt;
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== Stimmungen ==
(1) Das Wort hat sich in der DE-Wikipedia als problematisch erwiesen. Was wäre von Tonsystemen zu halten?

(2) Was würdest du vom Terminus Äquidistant bzw. Equidistant halten?

- '''xenwolf''' April 24, 2013, 04:35:34 AM UTC-0700
----
Tonsystem finde ich OK.

Äquidistant ist von der Bedeutung her korrekt, kann man in jedem Fall als Synonym verwenden. Allerdings scheint mir im Musikbereich das Wort "gleichstufig" gebräuchlicher - das legen jedenfalls die Treffer in Google bei der entsprechenden Stichwortsuche nah.

WIkipedia spricht übrigens weiterhin von "gleichstufiger Stimmung":

http://de.wikipedia.org/wiki/Gleichstufige_Stimmung

- '''hstraub''' April 24, 2013, 05:16:35 AM UTC-0700
----
Also benennen wir die Seite um in Gleichstufiges Tonsystem, (mit Weiterleitung, versteht sich) ok?

- '''xenwolf''' April 24, 2013, 06:13:10 AM UTC-0700
----
...bzw. Die Mehrzahl davon...

- '''xenwolf''' April 24, 2013, 06:13:35 AM UTC-0700
----
"Gleichstuifiges Tonsystem" ist gut, ja.

- '''hstraub''' April 24, 2013, 06:33:20 AM UTC-0700
----</text>
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    <title>Diskussion:Intervallraum/WikispacesArchive</title>
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= ARCHIVED WIKISPACES DISCUSSION BELOW =
&lt;div style="text-align:center; background-color: #fee;"&gt;
&lt;big&gt;'''All discussion below is archived from the Wikispaces export in its original unaltered form.'''&lt;/big&gt;&lt;br/&gt;Please do not add any new discussion to this archive page.&lt;br/&gt;All new discussion should go on [[Talk:{{BASEPAGENAME}}]].&lt;/div&gt;
----


== Limit und Dimensionen ==
Die Zahl der Dimensionen ergibt sich nicht direkt aus dem Limit, sondern nur ihre Obergrenze. So ist 7-Limit max. 4-dimensional...

- '''xenwolf''' July 09, 2013, 07:48:09 AM UTC-0700
----

== Sorry... ==
...falls das gerade schlimm aussieht. Der Einstieg der Seite ist mir inhaltlich schon klar. Das Problem ist: viele, die ihre mathematische Ader nur noch nicht entdeckt haben, fühlen sich abgeschreckt, wenn sie umfangreiche Sätze mit vielen Fachbegriffen lesen. Viele der Begriffe haben die Leute in der Schule zurückgelassen:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;ganze Zahlen&lt;/li&gt;&lt;li&gt;rationale Zahlen&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Primzahlen&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Potenzen&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;Dazu kommt, dass die Primfaktorzerlegung in der Schule - falls überhaupt - nur zusammen mit den natürlichen Zahlen gezeigt wird. Was negative ganzzahlige Exponenten bedeuten, werden die meisten auch nicht mehr wissen. Ich möchte sowieso eine Seite zur Primfaktorzerlegung schreiben. Aber im Moment werde ich mit den ersten beiden Sätzen der Seite Intervallraum nicht so richtig fertig. Ich hoffe der aktuelle Zwischenstand ist nicht gar zu schlimm...

Grüße,

Wolf

- '''xenwolf''' April 28, 2013, 11:59:58 PM UTC-0700
----
Ich habe nun eine Seite zur Primfaktorzerlegung geschieben, dorthin sollten Teile dieser Seite wandern, denke ich.

- '''xenwolf''' June 04, 2013, 11:59:35 PM UTC-0700
----
Ich habe die Inhalte jetzt einfach gelöscht, die Einarbeitung war zu knifflig. Ich hätte lieber eine eingängige Darstellung mit vielen konkreten Beispielen. Die Generalisierung (mit all ihrer mathematischen Eleganz) bietet aus meiner Sicht keinen leichten Einstieg in ein Thema.

- '''xenwolf''' June 05, 2013, 12:14:22 AM UTC-0700
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&lt;big&gt;'''All discussion below is archived from the Wikispaces export in its original unaltered form.'''&lt;/big&gt;&lt;br/&gt;Please do not add any new discussion to this archive page.&lt;br/&gt;All new discussion should go on [[Talk:{{BASEPAGENAME}}]].&lt;/div&gt;
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== Limit und Dimensionen ==
Die Zahl der Dimensionen ergibt sich nicht direkt aus dem Limit, sondern nur ihre Obergrenze. So ist 7-Limit max. 4-dimensional...

- '''xenwolf''' July 09, 2013, 07:48:09 AM UTC-0700
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== Sorry... ==
...falls das gerade schlimm aussieht. Der Einstieg der Seite ist mir inhaltlich schon klar. Das Problem ist: viele, die ihre mathematische Ader nur noch nicht entdeckt haben, fühlen sich abgeschreckt, wenn sie umfangreiche Sätze mit vielen Fachbegriffen lesen. Viele der Begriffe haben die Leute in der Schule zurückgelassen:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;ganze Zahlen&lt;/li&gt;&lt;li&gt;rationale Zahlen&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Primzahlen&lt;/li&gt;&lt;li&gt;Potenzen&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;Dazu kommt, dass die Primfaktorzerlegung in der Schule - falls überhaupt - nur zusammen mit den natürlichen Zahlen gezeigt wird. Was negative ganzzahlige Exponenten bedeuten, werden die meisten auch nicht mehr wissen. Ich möchte sowieso eine Seite zur Primfaktorzerlegung schreiben. Aber im Moment werde ich mit den ersten beiden Sätzen der Seite Intervallraum nicht so richtig fertig. Ich hoffe der aktuelle Zwischenstand ist nicht gar zu schlimm...

Grüße,

Wolf

- '''xenwolf''' April 28, 2013, 11:59:58 PM UTC-0700
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Ich habe nun eine Seite zur Primfaktorzerlegung geschieben, dorthin sollten Teile dieser Seite wandern, denke ich.

- '''xenwolf''' June 04, 2013, 11:59:35 PM UTC-0700
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Ich habe die Inhalte jetzt einfach gelöscht, die Einarbeitung war zu knifflig. Ich hätte lieber eine eingängige Darstellung mit vielen konkreten Beispielen. Die Generalisierung (mit all ihrer mathematischen Eleganz) bietet aus meiner Sicht keinen leichten Einstieg in ein Thema.

- '''xenwolf''' June 05, 2013, 12:14:22 AM UTC-0700
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    <title>Diskussion:Klassische Notation/WikispacesArchive</title>
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= ARCHIVED WIKISPACES DISCUSSION BELOW =
&lt;div style="text-align:center; background-color: #fee;"&gt;
&lt;big&gt;'''All discussion below is archived from the Wikispaces export in its original unaltered form.'''&lt;/big&gt;&lt;br/&gt;Please do not add any new discussion to this archive page.&lt;br/&gt;All new discussion should go on [[Talk:{{BASEPAGENAME}}]].&lt;/div&gt;
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== Teile und herrsche ==
Hier zeigt sich eine Anwendung von

Divide et impera – Wikipedia bzw. Teile und herrsche (Informatik) – Wikipedia

- '''xenwolf''' June 14, 2013, 12:06:23 PM UTC-0700
----
...indem man versucht, die Aufgabe der Notation über Stammtöne und Vorzeichen zu lösen; im Gegensatz dazu haben MIDI-Noten einfach eine Nummer...

- '''xenwolf''' June 14, 2013, 12:08:43 PM UTC-0700
----</text>
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&lt;big&gt;'''All discussion below is archived from the Wikispaces export in its original unaltered form.'''&lt;/big&gt;&lt;br/&gt;Please do not add any new discussion to this archive page.&lt;br/&gt;All new discussion should go on [[Talk:{{BASEPAGENAME}}]].&lt;/div&gt;
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== Teile und herrsche ==
Hier zeigt sich eine Anwendung von

Divide et impera – Wikipedia bzw. Teile und herrsche (Informatik) – Wikipedia

- '''xenwolf''' June 14, 2013, 12:06:23 PM UTC-0700
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...indem man versucht, die Aufgabe der Notation über Stammtöne und Vorzeichen zu lösen; im Gegensatz dazu haben MIDI-Noten einfach eine Nummer...

- '''xenwolf''' June 14, 2013, 12:08:43 PM UTC-0700
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    <title>Diskussion:Komma/WikispacesArchive</title>
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----


== Formatierung ==
Ich weiß jetzt nicht, wie es mit anderen Betriebssystemen ist, aber ich nehme an dasselbe wie bei Windows: Die Anwendungen lokalisieren gnadenlos - und eigentlich überflüssigerweise. Aber warum sollte die englische Formatierung besser sein? Die Konvertierung bei Sprachwechsel ist natürlich lästig.

Wie dem auch sei: ich wollte niemandem ins Handwerk pfuschen - betrachtet die aktuelle (deutsche) Formatierung (ohne Tausenderpunkt) eher als Vorschlag. Eine Lösung über CSS und/oder JavaScript wäre ideal.

- '''xenwolf''' August 05, 2014, 02:21:03 AM UTC-0700
----

== Tag-Listen und Selbstreferenz ==
Je nach Formulierung kann es sinnvoll sein, auch die Seite selbst zu listen. Da Tags leichtgewichtige Mitmach-Angebote sind würde ich bei ihnen gern minimal restriktiv sein.

- '''xenwolf''' May 23, 2013, 05:02:16 AM UTC-0700
----
Nö, restriktiv müssen wir da nicht sein. Im jetzigen Stadium des Wikis finde ich Tag-Listen halt ein gutes Mittel, um auf einfache Weise Inhaltsverzeichnisse zu erstellen. Wenn das Wiki grösser wird, wird das wohl irgendwann eh zu unübersichtlich, dann muss man die Verzeichnisse wohl von Hand pflegen (wies im englischen Wiki ja schon geschieht).

- '''hstraub''' May 23, 2013, 12:27:34 PM UTC-0700
----
Ok. Ich hatte nur gesehen, dass du das Tag Komma bei der Seite Komma gelöscht hattest, was bei dieser Wikisoftware sicherlich auch gut begründbar ist: wir haben kein Kategoriensystem, dafür aber eine Suche, die bei perfekten Treffern nicht direkt in die Seite wechselt (gottseidank!)

- '''xenwolf''' May 24, 2013, 12:10:34 AM UTC-0700
----
Ich hatte das Tag weggenommen, damit die Komma-Hauptseite nicht als Link in ihrem eigenen Verzeichnis auftaucht. Aber gerade dort sieht man ja jetzt schon die Unflexibilität der Tag-Liste, weil dieselben Kommas teils mehrfach auftacuhen. Ich denke, ich ändere das auf explizite Links.

- '''hstraub''' May 24, 2013, 03:22:43 AM UTC-0700
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= ARCHIVED WIKISPACES DISCUSSION BELOW =
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== Formatierung ==
Ich weiß jetzt nicht, wie es mit anderen Betriebssystemen ist, aber ich nehme an dasselbe wie bei Windows: Die Anwendungen lokalisieren gnadenlos - und eigentlich überflüssigerweise. Aber warum sollte die englische Formatierung besser sein? Die Konvertierung bei Sprachwechsel ist natürlich lästig.

Wie dem auch sei: ich wollte niemandem ins Handwerk pfuschen - betrachtet die aktuelle (deutsche) Formatierung (ohne Tausenderpunkt) eher als Vorschlag. Eine Lösung über CSS und/oder JavaScript wäre ideal.

- '''xenwolf''' August 05, 2014, 02:21:03 AM UTC-0700
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== Tag-Listen und Selbstreferenz ==
Je nach Formulierung kann es sinnvoll sein, auch die Seite selbst zu listen. Da Tags leichtgewichtige Mitmach-Angebote sind würde ich bei ihnen gern minimal restriktiv sein.

- '''xenwolf''' May 23, 2013, 05:02:16 AM UTC-0700
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Nö, restriktiv müssen wir da nicht sein. Im jetzigen Stadium des Wikis finde ich Tag-Listen halt ein gutes Mittel, um auf einfache Weise Inhaltsverzeichnisse zu erstellen. Wenn das Wiki grösser wird, wird das wohl irgendwann eh zu unübersichtlich, dann muss man die Verzeichnisse wohl von Hand pflegen (wies im englischen Wiki ja schon geschieht).

- '''hstraub''' May 23, 2013, 12:27:34 PM UTC-0700
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Ok. Ich hatte nur gesehen, dass du das Tag Komma bei der Seite Komma gelöscht hattest, was bei dieser Wikisoftware sicherlich auch gut begründbar ist: wir haben kein Kategoriensystem, dafür aber eine Suche, die bei perfekten Treffern nicht direkt in die Seite wechselt (gottseidank!)

- '''xenwolf''' May 24, 2013, 12:10:34 AM UTC-0700
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Ich hatte das Tag weggenommen, damit die Komma-Hauptseite nicht als Link in ihrem eigenen Verzeichnis auftaucht. Aber gerade dort sieht man ja jetzt schon die Unflexibilität der Tag-Liste, weil dieselben Kommas teils mehrfach auftacuhen. Ich denke, ich ändere das auf explizite Links.

- '''hstraub''' May 24, 2013, 03:22:43 AM UTC-0700
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    <title>Diskussion:Mohajira/WikispacesArchive</title>
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== Mitteltönige Quinte? ==
Wie müsste man dann "mitteltönig" definieren (der Weg scheint mir etwas indirekt)? Gilt das auch für die Gleichteilung der Quinte schlechthin?

- '''xenwolf''' March 11, 2015, 02:30:00 AM UTC-0700
----
Hmm, "mitteltönig" ist doch klar definiert, oder nicht? Nicht auf dieser Seite, aber im Link zur Seite "mitteltönig".

Mit "mitteltönige Quinte" ist der Generator einer mitteltönigen Temperatur gemeint, also eine um einen kleinen Betrag herabtemperierte reine Quinte - wobei der exakte Betrag von der konkreten Variante der verwendeten mitteltönigen Temperatur abhängt (bei 24edo ist das ein anderer Betrag als bei 31edo).

Aber zu Mohajira gäbe es wohl tatsächlich noch mehr zu sagen, als was dort zur Zeit steht. Es fehlen z.B: Informationen über austemperierte Kommas (eine "formale" Definition könnte über die Angabe der austemperierten Kommas gehen.)

Vor kurzem gabs in der Facebook-Gruppe ein paar Beiträge von Margo Schulter über Mohajira - sollte ich dann vielleicht nochmals etwas genauer anschauen....

- '''hstraub''' March 11, 2015, 04:02:51 AM UTC-0700
----
Ja, ich habe das nachgelesen 4-te Wurzel aus 5 sozusagen; aber die dann noch zu halbieren, *das* erschien mir irgendwie indirekt, vielleicht weil die doppelt oktavierte Terz für sich genommen schon ein "komplizierteres" Intervall ist als die Quinte. Was für mich an diesem Artikel vielleicht das Problem ist: "mitteltönig" würde ich nicht als eine Kategorie der orientalischen Musik vermuten. Mein Fehlschluss liegt offensichtlich darin begründet,

&lt;em&gt;Mohajira&lt;/em&gt; für eine "klassische" Bezeichnung dieses Kulturraums gehalten zu haben. (Möglich, dass nicht nur ich diesen Fehler begehe...)

Die Idee, eine Quinte zu halbieren, scheint mir hingegen sehr direkt.

- '''xenwolf''' March 11, 2015, 05:15:40 AM UTC-0700
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== Mitteltönige Quinte? ==
Wie müsste man dann "mitteltönig" definieren (der Weg scheint mir etwas indirekt)? Gilt das auch für die Gleichteilung der Quinte schlechthin?

- '''xenwolf''' March 11, 2015, 02:30:00 AM UTC-0700
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Hmm, "mitteltönig" ist doch klar definiert, oder nicht? Nicht auf dieser Seite, aber im Link zur Seite "mitteltönig".

Mit "mitteltönige Quinte" ist der Generator einer mitteltönigen Temperatur gemeint, also eine um einen kleinen Betrag herabtemperierte reine Quinte - wobei der exakte Betrag von der konkreten Variante der verwendeten mitteltönigen Temperatur abhängt (bei 24edo ist das ein anderer Betrag als bei 31edo).

Aber zu Mohajira gäbe es wohl tatsächlich noch mehr zu sagen, als was dort zur Zeit steht. Es fehlen z.B: Informationen über austemperierte Kommas (eine "formale" Definition könnte über die Angabe der austemperierten Kommas gehen.)

Vor kurzem gabs in der Facebook-Gruppe ein paar Beiträge von Margo Schulter über Mohajira - sollte ich dann vielleicht nochmals etwas genauer anschauen....

- '''hstraub''' March 11, 2015, 04:02:51 AM UTC-0700
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Ja, ich habe das nachgelesen 4-te Wurzel aus 5 sozusagen; aber die dann noch zu halbieren, *das* erschien mir irgendwie indirekt, vielleicht weil die doppelt oktavierte Terz für sich genommen schon ein "komplizierteres" Intervall ist als die Quinte. Was für mich an diesem Artikel vielleicht das Problem ist: "mitteltönig" würde ich nicht als eine Kategorie der orientalischen Musik vermuten. Mein Fehlschluss liegt offensichtlich darin begründet,

&lt;em&gt;Mohajira&lt;/em&gt; für eine "klassische" Bezeichnung dieses Kulturraums gehalten zu haben. (Möglich, dass nicht nur ich diesen Fehler begehe...)

Die Idee, eine Quinte zu halbieren, scheint mir hingegen sehr direkt.

- '''xenwolf''' March 11, 2015, 05:15:40 AM UTC-0700
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    <title>Diskussion:Orientierung/WikispacesArchive</title>
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== Orientierung ==
Ich habe mich einfach mal an einer Orientierung probiert; wenn ihr damit was anfangen könnt, können wir die Seite zusammen erweitern, falls nicht schreibt bitte was euch stört.

Falls wir uns nicht einig werden sollten kann ja jeder der will eine eigene Orientierung schreiben, und wir verlinken die unterschiedlichen Ansätze mit Kennzeichnung des Autors von einer Übersichtsseite aus.

- '''Gedankenwelt''' April 25, 2013, 11:35:26 AM UTC-0700
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Gefällt mir so weit recht gut.

Teile davon würden auch gut auf die Einführungsseite "Reguläre Temperaturen" passen - ich hatte so was vor. Aber hier passt es auch gut her. Dann mal überlegen, was wir auf die Seite "Reguläre Temperaturen" schreiben sollen.

- '''hstraub''' April 26, 2013, 12:05:15 AM UTC-0700
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So, ich habe das mal wie von dir vorgeschlagen ausgelagert, das hatte ich sowieso vorgehabt. ;)

- '''Gedankenwelt''' May 01, 2013, 06:57:05 AM UTC-0700
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= ARCHIVED WIKISPACES DISCUSSION BELOW =
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&lt;big&gt;'''All discussion below is archived from the Wikispaces export in its original unaltered form.'''&lt;/big&gt;&lt;br/&gt;Please do not add any new discussion to this archive page.&lt;br/&gt;All new discussion should go on [[Talk:{{BASEPAGENAME}}]].&lt;/div&gt;
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== Orientierung ==
Ich habe mich einfach mal an einer Orientierung probiert; wenn ihr damit was anfangen könnt, können wir die Seite zusammen erweitern, falls nicht schreibt bitte was euch stört.

Falls wir uns nicht einig werden sollten kann ja jeder der will eine eigene Orientierung schreiben, und wir verlinken die unterschiedlichen Ansätze mit Kennzeichnung des Autors von einer Übersichtsseite aus.

- '''Gedankenwelt''' April 25, 2013, 11:35:26 AM UTC-0700
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Gefällt mir so weit recht gut.

Teile davon würden auch gut auf die Einführungsseite "Reguläre Temperaturen" passen - ich hatte so was vor. Aber hier passt es auch gut her. Dann mal überlegen, was wir auf die Seite "Reguläre Temperaturen" schreiben sollen.

- '''hstraub''' April 26, 2013, 12:05:15 AM UTC-0700
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So, ich habe das mal wie von dir vorgeschlagen ausgelagert, das hatte ich sowieso vorgehabt. ;)

- '''Gedankenwelt''' May 01, 2013, 06:57:05 AM UTC-0700
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&lt;big&gt;'''All discussion below is archived from the Wikispaces export in its original unaltered form.'''&lt;/big&gt;&lt;br/&gt;Please do not add any new discussion to this archive page.&lt;br/&gt;All new discussion should go on [[Talk:{{BASEPAGENAME}}]].&lt;/div&gt;
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== Werkzeug für Klangbeispiele ==
Womit kann man am besten Klangbeispiele wie die auf dieser Seite erzeugen?

- '''xenwolf''' March 16, 2015, 02:45:38 AM UTC-0700
----
Bei dem Beispiel des Orwell-Vierklangs fällt mir auf, dass die Töne unterschiedlich laut sind. Grob klingt es für mich in etwa so: &lt;em&gt;f p p f&lt;/em&gt; - wie kommt das?

- '''xenwolf''' March 16, 2015, 02:55:24 AM UTC-0700
----
Das kommt daher, dass ich das Beispiel auf meinem Keyboard eingespielt habe - und dabei offensichtlich die Tastendrücke etwas verschieden stark herauskamen... Das ergibt einen "Human Touch", macht andererseits die verschiedenen Beispiele weniger direkt vergleichbar. Wäre vielleicht diskutabel, ob hier "human" oder "maschinell" besser ist.

Der Klang stammt aus dem Roland JV1010, den ich dazu auf 22edo umgestimmt habe. Gibt einen schönen Klang, ist aber nicht unbedingt die einfachste Methode...

Allgemein braucht man irgend einen mikrotonfähigen Klangerzeuger. Ein freier und gut verwendbarer auf Software-Basis ist ZynAddSubFX, mit dem ich z. B. die Klangbeispiele auf der Mavila-Seite gemacht habe.

- '''hstraub''' March 18, 2015, 12:48:09 AM UTC-0700
----
Ich habe mal eine Seite zu dem Thema begonnen: Werkzeug für Klangbeispiele

- '''xenwolf''' March 23, 2015, 01:50:12 PM UTC-0700
----
Ja, Csound ist generell eine gute Wahl - völlige Freiheit bei den Tonhöhen uind lauffähig auf einem üblichen PC, ohne Notwendigkeit von anderer Hardware.

- '''hstraub''' March 25, 2015, 01:45:30 AM UTC-0700
----

== extern verlinken/nutzen ==
In Wikispaces kann man Medien aus anderen Wikis einbetten: genau wie bei Links setzt man den Wikinamen, gefolgt von einem Doppelpunkt, vor die Seite. In diesem Falle also &lt;tt&gt;xenharmonic:&lt;/tt&gt;

- '''xenwolf''' March 16, 2015, 02:43:13 AM UTC-0700
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== Werkzeug für Klangbeispiele ==
Womit kann man am besten Klangbeispiele wie die auf dieser Seite erzeugen?

- '''xenwolf''' March 16, 2015, 02:45:38 AM UTC-0700
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Bei dem Beispiel des Orwell-Vierklangs fällt mir auf, dass die Töne unterschiedlich laut sind. Grob klingt es für mich in etwa so: &lt;em&gt;f p p f&lt;/em&gt; - wie kommt das?

- '''xenwolf''' March 16, 2015, 02:55:24 AM UTC-0700
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Das kommt daher, dass ich das Beispiel auf meinem Keyboard eingespielt habe - und dabei offensichtlich die Tastendrücke etwas verschieden stark herauskamen... Das ergibt einen "Human Touch", macht andererseits die verschiedenen Beispiele weniger direkt vergleichbar. Wäre vielleicht diskutabel, ob hier "human" oder "maschinell" besser ist.

Der Klang stammt aus dem Roland JV1010, den ich dazu auf 22edo umgestimmt habe. Gibt einen schönen Klang, ist aber nicht unbedingt die einfachste Methode...

Allgemein braucht man irgend einen mikrotonfähigen Klangerzeuger. Ein freier und gut verwendbarer auf Software-Basis ist ZynAddSubFX, mit dem ich z. B. die Klangbeispiele auf der Mavila-Seite gemacht habe.

- '''hstraub''' March 18, 2015, 12:48:09 AM UTC-0700
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Ich habe mal eine Seite zu dem Thema begonnen: Werkzeug für Klangbeispiele

- '''xenwolf''' March 23, 2015, 01:50:12 PM UTC-0700
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Ja, Csound ist generell eine gute Wahl - völlige Freiheit bei den Tonhöhen uind lauffähig auf einem üblichen PC, ohne Notwendigkeit von anderer Hardware.

- '''hstraub''' March 25, 2015, 01:45:30 AM UTC-0700
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== extern verlinken/nutzen ==
In Wikispaces kann man Medien aus anderen Wikis einbetten: genau wie bei Links setzt man den Wikinamen, gefolgt von einem Doppelpunkt, vor die Seite. In diesem Falle also &lt;tt&gt;xenharmonic:&lt;/tt&gt;

- '''xenwolf''' March 16, 2015, 02:43:13 AM UTC-0700
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    <title>Diskussion:Porcupine-Komma/WikispacesArchive</title>
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== Einbindung statt Weiterleitung ==
Was ist davon zu halten?

Auf diese Art würden wir diverse Probleme loswerden und anschaulich ist es auch, finde ich.

- '''xenwolf''' May 23, 2013, 05:10:45 AM UTC-0700
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== Einbindung statt Weiterleitung ==
Was ist davon zu halten?

Auf diese Art würden wir diverse Probleme loswerden und anschaulich ist es auch, finde ich.

- '''xenwolf''' May 23, 2013, 05:10:45 AM UTC-0700
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== XXX ==
Ähm, was bedeutet eigentlich XXX:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;Todo?&lt;/li&gt;&lt;li&gt;In Arbeit?&lt;/li&gt;&lt;li&gt;?&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

- '''xenwolf''' June 07, 2013, 04:15:39 AM UTC-0700
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IM Prinzip "Todo"... Kann man dann ändern.

- '''hstraub''' June 07, 2013, 04:28:36 AM UTC-0700
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== XXX ==
Ähm, was bedeutet eigentlich XXX:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;Todo?&lt;/li&gt;&lt;li&gt;In Arbeit?&lt;/li&gt;&lt;li&gt;?&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

- '''xenwolf''' June 07, 2013, 04:15:39 AM UTC-0700
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IM Prinzip "Todo"... Kann man dann ändern.

- '''hstraub''' June 07, 2013, 04:28:36 AM UTC-0700
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      <comment>Xenwolf verschob die Seite [[Diskussion:Primzahlen/WikispacesArchive]] nach [[Diskussion:Primzahl/WikispacesArchive]]: Singularform, um das Verlinken zu erleichtern</comment>
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== XXX ==
Ähm, was bedeutet eigentlich XXX:

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;Todo?&lt;/li&gt;&lt;li&gt;In Arbeit?&lt;/li&gt;&lt;li&gt;?&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

- '''xenwolf''' June 07, 2013, 04:15:39 AM UTC-0700
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IM Prinzip "Todo"... Kann man dann ändern.

- '''hstraub''' June 07, 2013, 04:28:36 AM UTC-0700
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    <title>Diskussion:Reguläre Temperatur/WikispacesArchive</title>
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== Was bedeutet "regulär" ==
Was wären z.B. nicht reguläre Temperaturen? Vielleicht sollte das drin stehen, die Abgrenzung würde es noch verständlicher machen...

Ich denke auch, die Konstruktion eines Tonvorrates mittels Periode und Generator ist zwar an sich regulär, aber eine Temperatur ist damit nicht vorprogrammiert.

Würde man die Oktave als Periode z.B. nach dem goldenen Schnitt teilen - was würde dann (aus-)temperiert?

Sind es nicht wirklich eigentlich die Kommas, die eine Temperatur ausmachen?

- '''xenwolf''' June 04, 2013, 01:16:21 AM UTC-0700
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"Temperatur" im allgemeinsten Sinn steht, würde ich sagen, für ein System. wo Approximationen von reinen Intervallen verwendet werden, welche jedoch mit Absicht ganz leicht verstimmt werden. Siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Temperierte_Stimmung . Die Bezeichnung "regulär" bezieht sich auf das Konzept der "regulären Abbildungen" (regular mapping), und das ist tatsächlich eng mit Generator und Periode verbunden. Nicht-reguläre Temperaturen wären z.B. die wohltemperierten Systeme, die historisch zwischen der mitteltönigen und der gleichstufigen Stimmung anzusiedeln sind.

Kommas sind tatsächlich essentiell für eine reguläre Temperatur - ich hoffe, im Kapitel über Porcupine gelang es mir, das deutlich zu machen. Andererseits kann man tatsächlich irgend einen Generator nehmen, also auch den Goldenen Schnitt, und dann sehen, welche Kommas das resultierende System austemperiert. Ich würde Periode/Generator und Kommas als zwei Seiten derselben Medaille ansehen - wie man dabei vom einen zum anderen kommt, ist mir auch noch nicht hundertprozentig klar. Im Xenharmonic Wiki stehen da einige Informationen zu, ich glaube rund um die Stichworte val, wedgie, aber ggf. auch Kettenbrüche (continued fractions) spielen da hinein. Wie genau, bin ich zur Zeit aber überfagt...

- '''hstraub''' June 04, 2013, 03:38:40 AM UTC-0700
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== Terminologiefrage... ==
Ich frage mich, wie "regular temperament" auf Deutsch heissen soll. Mir ist zur Zeit keine Übersetzung bekannt - vielleicht gibt es noch keine?

Meine erste Idee "reguläres Temperament"  gefällt mir nicht so recht...  Vielleicht wäre "regelmäßiges Temperament" besser?

- '''hstraub''' April 23, 2013, 01:01:03 PM UTC-0700
----
Temperierung und Temperament kann man beides verwenden - die Frage ist, ob das Wort "regulär" gut ist. "Regelmässig" oder "ebenmässig" - oder vielleicht "halbgleichstufig" (als Übersetzung von semi-equalized) kämen mir da noch in den Sinn. Aber vielelicht bleiben wir dann doch bei "regulär".

- '''hstraub''' April 24, 2013, 01:44:56 AM UTC-0700
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Was heißt den regulär genau? Verrückt, aber das weiß ich nicht, weil ich EDO-fanatisch bin.

- '''xenwolf''' April 24, 2013, 01:58:16 AM UTC-0700
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Hmm, ich weiss auch nicht, warum das "regular temperament" genannt wurde - das war ja alles schon erfunden, bevor ich zur mikrotonalen Szene stiess. Und ich benutze bisher eigetnlich auch nur EDOs... Vielleicht finde ich noch was irigendwo im englischen Xenwki.

- '''hstraub''' April 24, 2013, 03:50:33 AM UTC-0700
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Hi,

"temperament" ist im Deutschen einfach Temperatur oder Temperierung, vgl. z.B. "mitteltönige Temperatur". "Temperament" kenne ich im Deutschen nicht, insbesondere im Zusammenhang mit "mitteltönig" liefert mir google keine sinnvollen Treffer. Kennt ihr da Beispiele, wo das im Deutschen verwendet wird?

Ich vermute mit "regular" ist gemeint, dass die Abbildung von reinen Intervallen auf temperierte Intervalle (vals) eindeutig ist in dem Sinne, dass jedem reinen Intervall ein eindeutiges temperiertes Intervall zugewiesen ist (i.d.R. aber nicht umgekehrt). Also dass der folgende Fall ausgeschlossen ist: http://x31eq.com/paradigm.html#incompatinco

Ich kann ja mal in der Tuning-Liste nachfragen.

Insgesamt würde ich zu "reguläre Temperaturen" (oder ggf. Temperierungen) tendieren.

- '''Gedankenwelt''' April 24, 2013, 06:51:25 AM UTC-0700
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Aha, anscheinend bedeutet "regular", dass jeder Generator mit einem eindeutigen Intervall assoziiert ist:

http://x31eq.com/paradigm.html#keytemper

"regelmäßig" wäre demnach also auch eine Option, wobei meine persönliche Präferenz dennoch bei "regulär" liegt. Sollen wir bei der Gelegenheit auch direkt "regular tuning" mit "reguläre Stimmung" übersetzen?

- '''Gedankenwelt''' April 24, 2013, 07:08:33 AM UTC-0700
----
Hmm, tatsächlich scheint das Wort "Temperament" im Deutschen hier nicht bentuzt zu werden - jedenfalls wenn man Google glaubt... Da ist entweder von "Temperatur" oder von "Stimmung" die Rede - letzteres deutlich häufiger.

Die Definition für "regular" auf 31eq.com ist ja in der Tat ziemlich klar - das heisst dann wohl "regulär". "Regular tuning" wäre dann "reguläre Stimmung" oder "reguläres Tonsystem", wobei ich  hier das Wort Tonsystem vorziehen würde.

Für "Regular temperaments" demnach vielleicht "reguläre temperierte Tonsysteme"?

- '''hstraub''' April 24, 2013, 07:31:38 AM UTC-0700
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Der Begriff "tuning" ist soweit ich das sehe relativ neutral, und lässt sich fast 1:1 mit "Stimmung" übersetzen, z.B. "pythagorean tuning" = pythagoreische Stimmung, "quarter-comma meantone tuning" = 1/4-Komma mitteltönige Stimmung. Auch ist der englische Wikipedia-Artikel "musical tuning" mit dem deutschen Artikel "Stimmung (Musik)" verknüpft.

Mit der genauen Bedeutung des Begriffs "Tonsystem" habe ich mich noch nicht so genau befasst, aber nach kurzem Überfliegen des Wikipedia-Artikels habe ich den Eindruck dass der über die Bedeutung des Begriffs "tuning" hinausgeht. Z.B. ist von dem(!) Tonsystem der antiken Griechen die Rede, das sich als einzelnes "tuning" (Stimmung) nicht zusammenfassen lässt, von daher denke ich dass sich dieser Begriff als Übersetzung nicht so gut eignet.

Eine Temperatur ist in erster Linie keine Stimmung, sondern ein Konzept. Z.B. schließt eine mitteltönige Temperatur Varianten wie die 1/3-, 2/7- oder 1/4-Komma mitteltönige Stimmung mit ein. Insbesondere "regular temperaments" kann man auch so betrachten, dass die austemperierten Intervalle lediglich Äquivalenzrelationen ausdrücken, also z.B. dass "mitteltönig" (-&amp;gt; 81:80 wird austemperiert) bedeuten kann, dass Intervalle wie 9:8 und 10:9 austauschbar sind, weil sie sich um 81:80 unterscheiden, ohne dass man eine temperierte Stimmung verwenden muss, in der beide Intervalle tatsächlich identisch sind. Die Philosophie wird z.B. hier beschrieben:

xenharmonic.wikispaces.com/maqamic (Abschnitt "Harmonically, intervals in this temperament...")

Von daher sollte man bei der Übersetzung von "regular temperament" darauf achten, dass nicht der Eindruck entsteht es handle sich um eine konkrete Stimmung. Wie gesagt, ich denke "reguläre Temperatur" (oder Temperierung) trifft es am Besten, wobei ich Alternativvorschlägen gegenüber natürlich offen stehe.

- '''Gedankenwelt''' April 24, 2013, 10:44:21 AM UTC-0700
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...nur dass mich keiner missversteht: Der Begriff "Temperatur" / "temperament" kann auch im Sinne von "Stimmung" / "tuning" verwendet werden, aber in erster Linie ist eine (insbesondere "reguläre") Temperatur nur eine Liste von austemperierten Kommas, bzw. eine Abbildung von reinen Intervallen auf Linearkombinationen von Generatoren.

- '''Gedankenwelt''' April 24, 2013, 10:52:02 AM UTC-0700
----
Ich habe jetzt einfach mal "abstract regular temperament" mit "verallgemeinerte reguläre Temperatur" übersetzt, und "regular temperament" (falls die Generatoren konkret angegeben sind) mit "regulär temperierter Stimmung". Bei "reguläre Temperatur" lasse ich offen, was von beiden gemeint ist.

"Verallgemeinert" gefällt mir besser als "abstrakt", da es weniger abschreckend ist, und m.M.n. auch sehr gut passt. Ein Stück z.B., das für "verallgemeinerte mitteltönige Temperatur" notiert ist ist eine sehr anwendungsbezogene, praktische Sache. Da wäre es schade wenn jemand sich nicht damit beschäftigt, weil er denkt es handle sich "nur" um ein abstraktes Konzept.

Wie seht ihr das mit "Stimmung" vs "Tonsystem"? Ich persönlich würde immer noch "Stimmung bevorzugen" (insbesondere "gleichstufige Stimmung" ist ja recht gut etabliert im Vergleich zu "gleichstufiges Tonsystem"), ich würde mich aber dem Konsens anschließen. ;)

- '''Gedankenwelt''' May 01, 2013, 07:23:52 AM UTC-0700
----
Ich würde dazu tendieren, allgemein etablierte Begriffe auf jeden Fall (zumindest auch) zu verwenden. Das erleichtert den Einstieg für neue Leute.

- '''hstraub''' May 02, 2013, 08:18:01 AM UTC-0700
----
Mehrere Begriffe bieten (neben dem Google-Magnetismus) die Chance der Abgrenzung. Und die Möglichkeit, mit dieser so lange zu warten, bis wir sie schlüssig darstellen können.

Ich &lt;em&gt;fühle&lt;/em&gt; z.B. gegenwärtig, dass Stimmung und Tonsystem nicht dasselbe sind, kann aber nicht erklären warum. Und deshalb würde ich mit der (temporären) Synonym-Annahme gut leben können.

ps: Wikis wollen ja genau das: unfertige Gedanken zur Diskussion stellen. Vielleicht sollte die (/diese) "Kontroverse" ja besser auf den entsprechenden Seiten dargestellt (bzw. verlinkt) werden.

- '''xenwolf''' May 03, 2013, 12:16:23 AM UTC-0700
----
Danke für eure Antworten!

Ich denke auch, dass mehrere Begriffe nicht verkehrt sind, so dass man je nach Kontext den Begriff verwenden kann, der gerade besser passt.

- '''Gedankenwelt''' May 09, 2013, 07:56:40 AM UTC-0700
----
Reguläre oder regelmäßige Temperierung?

- '''xenwolf''' April 23, 2013, 10:33:59 PM UTC-0700
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= ARCHIVED WIKISPACES DISCUSSION BELOW =
&lt;div style="text-align:center; background-color: #fee;"&gt;
&lt;big&gt;'''All discussion below is archived from the Wikispaces export in its original unaltered form.'''&lt;/big&gt;&lt;br/&gt;Please do not add any new discussion to this archive page.&lt;br/&gt;All new discussion should go on [[Talk:{{BASEPAGENAME}}]].&lt;/div&gt;
----


== Was bedeutet "regulär" ==
Was wären z.B. nicht reguläre Temperaturen? Vielleicht sollte das drin stehen, die Abgrenzung würde es noch verständlicher machen...

Ich denke auch, die Konstruktion eines Tonvorrates mittels Periode und Generator ist zwar an sich regulär, aber eine Temperatur ist damit nicht vorprogrammiert.

Würde man die Oktave als Periode z.B. nach dem goldenen Schnitt teilen - was würde dann (aus-)temperiert?

Sind es nicht wirklich eigentlich die Kommas, die eine Temperatur ausmachen?

- '''xenwolf''' June 04, 2013, 01:16:21 AM UTC-0700
----
"Temperatur" im allgemeinsten Sinn steht, würde ich sagen, für ein System. wo Approximationen von reinen Intervallen verwendet werden, welche jedoch mit Absicht ganz leicht verstimmt werden. Siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Temperierte_Stimmung . Die Bezeichnung "regulär" bezieht sich auf das Konzept der "regulären Abbildungen" (regular mapping), und das ist tatsächlich eng mit Generator und Periode verbunden. Nicht-reguläre Temperaturen wären z.B. die wohltemperierten Systeme, die historisch zwischen der mitteltönigen und der gleichstufigen Stimmung anzusiedeln sind.

Kommas sind tatsächlich essentiell für eine reguläre Temperatur - ich hoffe, im Kapitel über Porcupine gelang es mir, das deutlich zu machen. Andererseits kann man tatsächlich irgend einen Generator nehmen, also auch den Goldenen Schnitt, und dann sehen, welche Kommas das resultierende System austemperiert. Ich würde Periode/Generator und Kommas als zwei Seiten derselben Medaille ansehen - wie man dabei vom einen zum anderen kommt, ist mir auch noch nicht hundertprozentig klar. Im Xenharmonic Wiki stehen da einige Informationen zu, ich glaube rund um die Stichworte val, wedgie, aber ggf. auch Kettenbrüche (continued fractions) spielen da hinein. Wie genau, bin ich zur Zeit aber überfagt...

- '''hstraub''' June 04, 2013, 03:38:40 AM UTC-0700
----

== Terminologiefrage... ==
Ich frage mich, wie "regular temperament" auf Deutsch heissen soll. Mir ist zur Zeit keine Übersetzung bekannt - vielleicht gibt es noch keine?

Meine erste Idee "reguläres Temperament"  gefällt mir nicht so recht...  Vielleicht wäre "regelmäßiges Temperament" besser?

- '''hstraub''' April 23, 2013, 01:01:03 PM UTC-0700
----
Temperierung und Temperament kann man beides verwenden - die Frage ist, ob das Wort "regulär" gut ist. "Regelmässig" oder "ebenmässig" - oder vielleicht "halbgleichstufig" (als Übersetzung von semi-equalized) kämen mir da noch in den Sinn. Aber vielelicht bleiben wir dann doch bei "regulär".

- '''hstraub''' April 24, 2013, 01:44:56 AM UTC-0700
----
Was heißt den regulär genau? Verrückt, aber das weiß ich nicht, weil ich EDO-fanatisch bin.

- '''xenwolf''' April 24, 2013, 01:58:16 AM UTC-0700
----
Hmm, ich weiss auch nicht, warum das "regular temperament" genannt wurde - das war ja alles schon erfunden, bevor ich zur mikrotonalen Szene stiess. Und ich benutze bisher eigetnlich auch nur EDOs... Vielleicht finde ich noch was irigendwo im englischen Xenwki.

- '''hstraub''' April 24, 2013, 03:50:33 AM UTC-0700
----
Hi,

"temperament" ist im Deutschen einfach Temperatur oder Temperierung, vgl. z.B. "mitteltönige Temperatur". "Temperament" kenne ich im Deutschen nicht, insbesondere im Zusammenhang mit "mitteltönig" liefert mir google keine sinnvollen Treffer. Kennt ihr da Beispiele, wo das im Deutschen verwendet wird?

Ich vermute mit "regular" ist gemeint, dass die Abbildung von reinen Intervallen auf temperierte Intervalle (vals) eindeutig ist in dem Sinne, dass jedem reinen Intervall ein eindeutiges temperiertes Intervall zugewiesen ist (i.d.R. aber nicht umgekehrt). Also dass der folgende Fall ausgeschlossen ist: http://x31eq.com/paradigm.html#incompatinco

Ich kann ja mal in der Tuning-Liste nachfragen.

Insgesamt würde ich zu "reguläre Temperaturen" (oder ggf. Temperierungen) tendieren.

- '''Gedankenwelt''' April 24, 2013, 06:51:25 AM UTC-0700
----
Aha, anscheinend bedeutet "regular", dass jeder Generator mit einem eindeutigen Intervall assoziiert ist:

http://x31eq.com/paradigm.html#keytemper

"regelmäßig" wäre demnach also auch eine Option, wobei meine persönliche Präferenz dennoch bei "regulär" liegt. Sollen wir bei der Gelegenheit auch direkt "regular tuning" mit "reguläre Stimmung" übersetzen?

- '''Gedankenwelt''' April 24, 2013, 07:08:33 AM UTC-0700
----
Hmm, tatsächlich scheint das Wort "Temperament" im Deutschen hier nicht bentuzt zu werden - jedenfalls wenn man Google glaubt... Da ist entweder von "Temperatur" oder von "Stimmung" die Rede - letzteres deutlich häufiger.

Die Definition für "regular" auf 31eq.com ist ja in der Tat ziemlich klar - das heisst dann wohl "regulär". "Regular tuning" wäre dann "reguläre Stimmung" oder "reguläres Tonsystem", wobei ich  hier das Wort Tonsystem vorziehen würde.

Für "Regular temperaments" demnach vielleicht "reguläre temperierte Tonsysteme"?

- '''hstraub''' April 24, 2013, 07:31:38 AM UTC-0700
----
Der Begriff "tuning" ist soweit ich das sehe relativ neutral, und lässt sich fast 1:1 mit "Stimmung" übersetzen, z.B. "pythagorean tuning" = pythagoreische Stimmung, "quarter-comma meantone tuning" = 1/4-Komma mitteltönige Stimmung. Auch ist der englische Wikipedia-Artikel "musical tuning" mit dem deutschen Artikel "Stimmung (Musik)" verknüpft.

Mit der genauen Bedeutung des Begriffs "Tonsystem" habe ich mich noch nicht so genau befasst, aber nach kurzem Überfliegen des Wikipedia-Artikels habe ich den Eindruck dass der über die Bedeutung des Begriffs "tuning" hinausgeht. Z.B. ist von dem(!) Tonsystem der antiken Griechen die Rede, das sich als einzelnes "tuning" (Stimmung) nicht zusammenfassen lässt, von daher denke ich dass sich dieser Begriff als Übersetzung nicht so gut eignet.

Eine Temperatur ist in erster Linie keine Stimmung, sondern ein Konzept. Z.B. schließt eine mitteltönige Temperatur Varianten wie die 1/3-, 2/7- oder 1/4-Komma mitteltönige Stimmung mit ein. Insbesondere "regular temperaments" kann man auch so betrachten, dass die austemperierten Intervalle lediglich Äquivalenzrelationen ausdrücken, also z.B. dass "mitteltönig" (-&amp;gt; 81:80 wird austemperiert) bedeuten kann, dass Intervalle wie 9:8 und 10:9 austauschbar sind, weil sie sich um 81:80 unterscheiden, ohne dass man eine temperierte Stimmung verwenden muss, in der beide Intervalle tatsächlich identisch sind. Die Philosophie wird z.B. hier beschrieben:

xenharmonic.wikispaces.com/maqamic (Abschnitt "Harmonically, intervals in this temperament...")

Von daher sollte man bei der Übersetzung von "regular temperament" darauf achten, dass nicht der Eindruck entsteht es handle sich um eine konkrete Stimmung. Wie gesagt, ich denke "reguläre Temperatur" (oder Temperierung) trifft es am Besten, wobei ich Alternativvorschlägen gegenüber natürlich offen stehe.

- '''Gedankenwelt''' April 24, 2013, 10:44:21 AM UTC-0700
----
...nur dass mich keiner missversteht: Der Begriff "Temperatur" / "temperament" kann auch im Sinne von "Stimmung" / "tuning" verwendet werden, aber in erster Linie ist eine (insbesondere "reguläre") Temperatur nur eine Liste von austemperierten Kommas, bzw. eine Abbildung von reinen Intervallen auf Linearkombinationen von Generatoren.

- '''Gedankenwelt''' April 24, 2013, 10:52:02 AM UTC-0700
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Ich habe jetzt einfach mal "abstract regular temperament" mit "verallgemeinerte reguläre Temperatur" übersetzt, und "regular temperament" (falls die Generatoren konkret angegeben sind) mit "regulär temperierter Stimmung". Bei "reguläre Temperatur" lasse ich offen, was von beiden gemeint ist.

"Verallgemeinert" gefällt mir besser als "abstrakt", da es weniger abschreckend ist, und m.M.n. auch sehr gut passt. Ein Stück z.B., das für "verallgemeinerte mitteltönige Temperatur" notiert ist ist eine sehr anwendungsbezogene, praktische Sache. Da wäre es schade wenn jemand sich nicht damit beschäftigt, weil er denkt es handle sich "nur" um ein abstraktes Konzept.

Wie seht ihr das mit "Stimmung" vs "Tonsystem"? Ich persönlich würde immer noch "Stimmung bevorzugen" (insbesondere "gleichstufige Stimmung" ist ja recht gut etabliert im Vergleich zu "gleichstufiges Tonsystem"), ich würde mich aber dem Konsens anschließen. ;)

- '''Gedankenwelt''' May 01, 2013, 07:23:52 AM UTC-0700
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Ich würde dazu tendieren, allgemein etablierte Begriffe auf jeden Fall (zumindest auch) zu verwenden. Das erleichtert den Einstieg für neue Leute.

- '''hstraub''' May 02, 2013, 08:18:01 AM UTC-0700
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Mehrere Begriffe bieten (neben dem Google-Magnetismus) die Chance der Abgrenzung. Und die Möglichkeit, mit dieser so lange zu warten, bis wir sie schlüssig darstellen können.

Ich &lt;em&gt;fühle&lt;/em&gt; z.B. gegenwärtig, dass Stimmung und Tonsystem nicht dasselbe sind, kann aber nicht erklären warum. Und deshalb würde ich mit der (temporären) Synonym-Annahme gut leben können.

ps: Wikis wollen ja genau das: unfertige Gedanken zur Diskussion stellen. Vielleicht sollte die (/diese) "Kontroverse" ja besser auf den entsprechenden Seiten dargestellt (bzw. verlinkt) werden.

- '''xenwolf''' May 03, 2013, 12:16:23 AM UTC-0700
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Danke für eure Antworten!

Ich denke auch, dass mehrere Begriffe nicht verkehrt sind, so dass man je nach Kontext den Begriff verwenden kann, der gerade besser passt.

- '''Gedankenwelt''' May 09, 2013, 07:56:40 AM UTC-0700
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Reguläre oder regelmäßige Temperierung?

- '''xenwolf''' April 23, 2013, 10:33:59 PM UTC-0700
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      <comment>Xenwolf verschob die Seite [[Diskussion:Reguläre Temperaturen/WikispacesArchive]] nach [[Diskussion:Reguläre Temperatur/WikispacesArchive]]: Singularform</comment>
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= ARCHIVED WIKISPACES DISCUSSION BELOW =
&lt;div style="text-align:center; background-color: #fee;"&gt;
&lt;big&gt;'''All discussion below is archived from the Wikispaces export in its original unaltered form.'''&lt;/big&gt;&lt;br/&gt;Please do not add any new discussion to this archive page.&lt;br/&gt;All new discussion should go on [[Talk:{{BASEPAGENAME}}]].&lt;/div&gt;
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== Was bedeutet "regulär" ==
Was wären z.B. nicht reguläre Temperaturen? Vielleicht sollte das drin stehen, die Abgrenzung würde es noch verständlicher machen...

Ich denke auch, die Konstruktion eines Tonvorrates mittels Periode und Generator ist zwar an sich regulär, aber eine Temperatur ist damit nicht vorprogrammiert.

Würde man die Oktave als Periode z.B. nach dem goldenen Schnitt teilen - was würde dann (aus-)temperiert?

Sind es nicht wirklich eigentlich die Kommas, die eine Temperatur ausmachen?

- '''xenwolf''' June 04, 2013, 01:16:21 AM UTC-0700
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"Temperatur" im allgemeinsten Sinn steht, würde ich sagen, für ein System. wo Approximationen von reinen Intervallen verwendet werden, welche jedoch mit Absicht ganz leicht verstimmt werden. Siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Temperierte_Stimmung . Die Bezeichnung "regulär" bezieht sich auf das Konzept der "regulären Abbildungen" (regular mapping), und das ist tatsächlich eng mit Generator und Periode verbunden. Nicht-reguläre Temperaturen wären z.B. die wohltemperierten Systeme, die historisch zwischen der mitteltönigen und der gleichstufigen Stimmung anzusiedeln sind.

Kommas sind tatsächlich essentiell für eine reguläre Temperatur - ich hoffe, im Kapitel über Porcupine gelang es mir, das deutlich zu machen. Andererseits kann man tatsächlich irgend einen Generator nehmen, also auch den Goldenen Schnitt, und dann sehen, welche Kommas das resultierende System austemperiert. Ich würde Periode/Generator und Kommas als zwei Seiten derselben Medaille ansehen - wie man dabei vom einen zum anderen kommt, ist mir auch noch nicht hundertprozentig klar. Im Xenharmonic Wiki stehen da einige Informationen zu, ich glaube rund um die Stichworte val, wedgie, aber ggf. auch Kettenbrüche (continued fractions) spielen da hinein. Wie genau, bin ich zur Zeit aber überfagt...

- '''hstraub''' June 04, 2013, 03:38:40 AM UTC-0700
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== Terminologiefrage... ==
Ich frage mich, wie "regular temperament" auf Deutsch heissen soll. Mir ist zur Zeit keine Übersetzung bekannt - vielleicht gibt es noch keine?

Meine erste Idee "reguläres Temperament"  gefällt mir nicht so recht...  Vielleicht wäre "regelmäßiges Temperament" besser?

- '''hstraub''' April 23, 2013, 01:01:03 PM UTC-0700
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Temperierung und Temperament kann man beides verwenden - die Frage ist, ob das Wort "regulär" gut ist. "Regelmässig" oder "ebenmässig" - oder vielleicht "halbgleichstufig" (als Übersetzung von semi-equalized) kämen mir da noch in den Sinn. Aber vielelicht bleiben wir dann doch bei "regulär".

- '''hstraub''' April 24, 2013, 01:44:56 AM UTC-0700
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Was heißt den regulär genau? Verrückt, aber das weiß ich nicht, weil ich EDO-fanatisch bin.

- '''xenwolf''' April 24, 2013, 01:58:16 AM UTC-0700
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Hmm, ich weiss auch nicht, warum das "regular temperament" genannt wurde - das war ja alles schon erfunden, bevor ich zur mikrotonalen Szene stiess. Und ich benutze bisher eigetnlich auch nur EDOs... Vielleicht finde ich noch was irigendwo im englischen Xenwki.

- '''hstraub''' April 24, 2013, 03:50:33 AM UTC-0700
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Hi,

"temperament" ist im Deutschen einfach Temperatur oder Temperierung, vgl. z.B. "mitteltönige Temperatur". "Temperament" kenne ich im Deutschen nicht, insbesondere im Zusammenhang mit "mitteltönig" liefert mir google keine sinnvollen Treffer. Kennt ihr da Beispiele, wo das im Deutschen verwendet wird?

Ich vermute mit "regular" ist gemeint, dass die Abbildung von reinen Intervallen auf temperierte Intervalle (vals) eindeutig ist in dem Sinne, dass jedem reinen Intervall ein eindeutiges temperiertes Intervall zugewiesen ist (i.d.R. aber nicht umgekehrt). Also dass der folgende Fall ausgeschlossen ist: http://x31eq.com/paradigm.html#incompatinco

Ich kann ja mal in der Tuning-Liste nachfragen.

Insgesamt würde ich zu "reguläre Temperaturen" (oder ggf. Temperierungen) tendieren.

- '''Gedankenwelt''' April 24, 2013, 06:51:25 AM UTC-0700
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Aha, anscheinend bedeutet "regular", dass jeder Generator mit einem eindeutigen Intervall assoziiert ist:

http://x31eq.com/paradigm.html#keytemper

"regelmäßig" wäre demnach also auch eine Option, wobei meine persönliche Präferenz dennoch bei "regulär" liegt. Sollen wir bei der Gelegenheit auch direkt "regular tuning" mit "reguläre Stimmung" übersetzen?

- '''Gedankenwelt''' April 24, 2013, 07:08:33 AM UTC-0700
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Hmm, tatsächlich scheint das Wort "Temperament" im Deutschen hier nicht bentuzt zu werden - jedenfalls wenn man Google glaubt... Da ist entweder von "Temperatur" oder von "Stimmung" die Rede - letzteres deutlich häufiger.

Die Definition für "regular" auf 31eq.com ist ja in der Tat ziemlich klar - das heisst dann wohl "regulär". "Regular tuning" wäre dann "reguläre Stimmung" oder "reguläres Tonsystem", wobei ich  hier das Wort Tonsystem vorziehen würde.

Für "Regular temperaments" demnach vielleicht "reguläre temperierte Tonsysteme"?

- '''hstraub''' April 24, 2013, 07:31:38 AM UTC-0700
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Der Begriff "tuning" ist soweit ich das sehe relativ neutral, und lässt sich fast 1:1 mit "Stimmung" übersetzen, z.B. "pythagorean tuning" = pythagoreische Stimmung, "quarter-comma meantone tuning" = 1/4-Komma mitteltönige Stimmung. Auch ist der englische Wikipedia-Artikel "musical tuning" mit dem deutschen Artikel "Stimmung (Musik)" verknüpft.

Mit der genauen Bedeutung des Begriffs "Tonsystem" habe ich mich noch nicht so genau befasst, aber nach kurzem Überfliegen des Wikipedia-Artikels habe ich den Eindruck dass der über die Bedeutung des Begriffs "tuning" hinausgeht. Z.B. ist von dem(!) Tonsystem der antiken Griechen die Rede, das sich als einzelnes "tuning" (Stimmung) nicht zusammenfassen lässt, von daher denke ich dass sich dieser Begriff als Übersetzung nicht so gut eignet.

Eine Temperatur ist in erster Linie keine Stimmung, sondern ein Konzept. Z.B. schließt eine mitteltönige Temperatur Varianten wie die 1/3-, 2/7- oder 1/4-Komma mitteltönige Stimmung mit ein. Insbesondere "regular temperaments" kann man auch so betrachten, dass die austemperierten Intervalle lediglich Äquivalenzrelationen ausdrücken, also z.B. dass "mitteltönig" (-&amp;gt; 81:80 wird austemperiert) bedeuten kann, dass Intervalle wie 9:8 und 10:9 austauschbar sind, weil sie sich um 81:80 unterscheiden, ohne dass man eine temperierte Stimmung verwenden muss, in der beide Intervalle tatsächlich identisch sind. Die Philosophie wird z.B. hier beschrieben:

xenharmonic.wikispaces.com/maqamic (Abschnitt "Harmonically, intervals in this temperament...")

Von daher sollte man bei der Übersetzung von "regular temperament" darauf achten, dass nicht der Eindruck entsteht es handle sich um eine konkrete Stimmung. Wie gesagt, ich denke "reguläre Temperatur" (oder Temperierung) trifft es am Besten, wobei ich Alternativvorschlägen gegenüber natürlich offen stehe.

- '''Gedankenwelt''' April 24, 2013, 10:44:21 AM UTC-0700
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...nur dass mich keiner missversteht: Der Begriff "Temperatur" / "temperament" kann auch im Sinne von "Stimmung" / "tuning" verwendet werden, aber in erster Linie ist eine (insbesondere "reguläre") Temperatur nur eine Liste von austemperierten Kommas, bzw. eine Abbildung von reinen Intervallen auf Linearkombinationen von Generatoren.

- '''Gedankenwelt''' April 24, 2013, 10:52:02 AM UTC-0700
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Ich habe jetzt einfach mal "abstract regular temperament" mit "verallgemeinerte reguläre Temperatur" übersetzt, und "regular temperament" (falls die Generatoren konkret angegeben sind) mit "regulär temperierter Stimmung". Bei "reguläre Temperatur" lasse ich offen, was von beiden gemeint ist.

"Verallgemeinert" gefällt mir besser als "abstrakt", da es weniger abschreckend ist, und m.M.n. auch sehr gut passt. Ein Stück z.B., das für "verallgemeinerte mitteltönige Temperatur" notiert ist ist eine sehr anwendungsbezogene, praktische Sache. Da wäre es schade wenn jemand sich nicht damit beschäftigt, weil er denkt es handle sich "nur" um ein abstraktes Konzept.

Wie seht ihr das mit "Stimmung" vs "Tonsystem"? Ich persönlich würde immer noch "Stimmung bevorzugen" (insbesondere "gleichstufige Stimmung" ist ja recht gut etabliert im Vergleich zu "gleichstufiges Tonsystem"), ich würde mich aber dem Konsens anschließen. ;)

- '''Gedankenwelt''' May 01, 2013, 07:23:52 AM UTC-0700
----
Ich würde dazu tendieren, allgemein etablierte Begriffe auf jeden Fall (zumindest auch) zu verwenden. Das erleichtert den Einstieg für neue Leute.

- '''hstraub''' May 02, 2013, 08:18:01 AM UTC-0700
----
Mehrere Begriffe bieten (neben dem Google-Magnetismus) die Chance der Abgrenzung. Und die Möglichkeit, mit dieser so lange zu warten, bis wir sie schlüssig darstellen können.

Ich &lt;em&gt;fühle&lt;/em&gt; z.B. gegenwärtig, dass Stimmung und Tonsystem nicht dasselbe sind, kann aber nicht erklären warum. Und deshalb würde ich mit der (temporären) Synonym-Annahme gut leben können.

ps: Wikis wollen ja genau das: unfertige Gedanken zur Diskussion stellen. Vielleicht sollte die (/diese) "Kontroverse" ja besser auf den entsprechenden Seiten dargestellt (bzw. verlinkt) werden.

- '''xenwolf''' May 03, 2013, 12:16:23 AM UTC-0700
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Danke für eure Antworten!

Ich denke auch, dass mehrere Begriffe nicht verkehrt sind, so dass man je nach Kontext den Begriff verwenden kann, der gerade besser passt.

- '''Gedankenwelt''' May 09, 2013, 07:56:40 AM UTC-0700
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Reguläre oder regelmäßige Temperierung?

- '''xenwolf''' April 23, 2013, 10:33:59 PM UTC-0700
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= ARCHIVED WIKISPACES DISCUSSION BELOW =
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&lt;big&gt;'''All discussion below is archived from the Wikispaces export in its original unaltered form.'''&lt;/big&gt;&lt;br/&gt;Please do not add any new discussion to this archive page.&lt;br/&gt;All new discussion should go on [[Talk:{{BASEPAGENAME}}]].&lt;/div&gt;
----


== 8edo? ==
Ist auch 8edo (in ähnlichen Grenzen wie 5edo) als superpythagoräisch einzustufen? Hier ist die Quinte (5\8) 750 Cent groß.

- '''xenwolf''' July 06, 2016, 04:47:00 AM UTC-0700
----
Hmm, bei einer Quinte von 750 Cent würde die durch Quintenschichtungen erreichte "grosse Terz" 600 Cents, also grösser als die "Quarte" (450 Cents) - das scheint mir doch zu verrückt.

Bei steigender Grösse der "Quinte" wird ja die "Quarte" immer kleiner, die "grosse Terz" immer grösser, und 5edo ist genau der Punkt, wo "grosse Terz" und "Quarte" zusammenfallen. Es ist wohl sinnvoll, die Grenze dort zu ziehen.

- '''hstraub''' July 07, 2016, 01:30:24 AM UTC-0700
----
Danke :) Jetzt verstehe ich besser, dass es nicht beliebig ist, um wie viel man eine Quinte steckt. Mit 3\5 läge die Grenze bei 720 Cent, in http://www.bestii.com/%7Emschulter/IntervalSpectrumRegions.txt lese ich, dass es Situationen geben kann, in denen 732 als Quinte brauchbar wird ("intervals rather larger than 732 cents may sometimes serve musically as perfect fifths")

- '''xenwolf''' July 07, 2016, 01:49:13 AM UTC-0700
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&lt;big&gt;'''All discussion below is archived from the Wikispaces export in its original unaltered form.'''&lt;/big&gt;&lt;br/&gt;Please do not add any new discussion to this archive page.&lt;br/&gt;All new discussion should go on [[Talk:{{BASEPAGENAME}}]].&lt;/div&gt;
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== 8edo? ==
Ist auch 8edo (in ähnlichen Grenzen wie 5edo) als superpythagoräisch einzustufen? Hier ist die Quinte (5\8) 750 Cent groß.

- '''xenwolf''' July 06, 2016, 04:47:00 AM UTC-0700
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Hmm, bei einer Quinte von 750 Cent würde die durch Quintenschichtungen erreichte "grosse Terz" 600 Cents, also grösser als die "Quarte" (450 Cents) - das scheint mir doch zu verrückt.

Bei steigender Grösse der "Quinte" wird ja die "Quarte" immer kleiner, die "grosse Terz" immer grösser, und 5edo ist genau der Punkt, wo "grosse Terz" und "Quarte" zusammenfallen. Es ist wohl sinnvoll, die Grenze dort zu ziehen.

- '''hstraub''' July 07, 2016, 01:30:24 AM UTC-0700
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Danke :) Jetzt verstehe ich besser, dass es nicht beliebig ist, um wie viel man eine Quinte steckt. Mit 3\5 läge die Grenze bei 720 Cent, in http://www.bestii.com/%7Emschulter/IntervalSpectrumRegions.txt lese ich, dass es Situationen geben kann, in denen 732 als Quinte brauchbar wird ("intervals rather larger than 732 cents may sometimes serve musically as perfect fifths")

- '''xenwolf''' July 07, 2016, 01:49:13 AM UTC-0700
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    <title>Diskussion:Syntonisches Komma/WikispacesArchive</title>
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= ARCHIVED WIKISPACES DISCUSSION BELOW =
&lt;div style="text-align:center; background-color: #fee;"&gt;
&lt;big&gt;'''All discussion below is archived from the Wikispaces export in its original unaltered form.'''&lt;/big&gt;&lt;br/&gt;Please do not add any new discussion to this archive page.&lt;br/&gt;All new discussion should go on [[Talk:{{BASEPAGENAME}}]].&lt;/div&gt;
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== Weiterleitungen ==
Leider bietet Wikispaces ärmliche Weiterleitungen, mit denen man sich (a) sehr früh auf Artikelnamen (Lemmata) festlegen muss und (b) diese, wenn über sie verlinkt wird, nicht von fehlenden Artikeln unterscheiden kann. Deshalb würde ich das explizite siehe vielleicht vorziehen. Oder weiß jemand von euch schon eine bessere Lösung?

- '''xenwolf''' May 15, 2013, 09:54:58 PM UTC-0700
----
Explizites Verlinken scheint mir sinnvoll.

- '''hstraub''' May 16, 2013, 06:27:02 AM UTC-0700
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&lt;big&gt;'''All discussion below is archived from the Wikispaces export in its original unaltered form.'''&lt;/big&gt;&lt;br/&gt;Please do not add any new discussion to this archive page.&lt;br/&gt;All new discussion should go on [[Talk:{{BASEPAGENAME}}]].&lt;/div&gt;
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== Weiterleitungen ==
Leider bietet Wikispaces ärmliche Weiterleitungen, mit denen man sich (a) sehr früh auf Artikelnamen (Lemmata) festlegen muss und (b) diese, wenn über sie verlinkt wird, nicht von fehlenden Artikeln unterscheiden kann. Deshalb würde ich das explizite siehe vielleicht vorziehen. Oder weiß jemand von euch schon eine bessere Lösung?

- '''xenwolf''' May 15, 2013, 09:54:58 PM UTC-0700
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Explizites Verlinken scheint mir sinnvoll.

- '''hstraub''' May 16, 2013, 06:27:02 AM UTC-0700
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    <title>Diskussion:Verallgemeinerte reguläre Temperatur/WikispacesArchive</title>
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== Ich würde das gern besser verstehen ==
Die aktuelle Darstellung wirkt sehr mathematisch (und &lt;em&gt;abstrakt&lt;/em&gt;). Wenn man es zusätzlich mit einfachen Worten erklären könnte, würden sich mathematisch unbeschlagene Xenharmoniker sicherlich freuen. Vielleicht ist ein Beispiel möglich oder eine Gegenüberstellung, wobei man die Verweise auf landläufige Konzepte beschränken sollte.

- '''xenwolf''' May 31, 2013, 12:19:56 AM UTC-0700
----
Ich habe so was auch schon gedacht. Bin auch schon dabei, einen besser verständlichen Einführungstext auszuarbeiten.

- '''hstraub''' May 31, 2013, 01:36:38 AM UTC-0700
----
Dafür danke ich im Voraus schon herzlich :)

Du bist ja in Mathematik vermutlich bewandert (ich denke da an MaMuTh). Ich würde oft gern mehr davon verstehen - ist mein Steckenpferd seit meiner Kindheit -, aber die verwendete(n) Sprache(n) und Schrift(en) stellen bilden oft eine hohe Einstiegshürde. So nutze ich jeden praktischen Anlass, ein Stück mehr zu verstehen...

- '''xenwolf''' May 31, 2013, 02:39:03 AM UTC-0700
----
Ich habe jetzt im Hauptartikel über reguläre Temperaturen einen hoffentlich etwas allgemeinverständlichen Abschnitt über verallgemeinerte reguläre Temperaturen eingefügt ( http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re+Temperaturen#Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperaturen ). Ich denke, man kann die Informationen auf dieser Seite hier damit zusammenführen und diese separate Seite dann löschen.

- '''hstraub''' June 04, 2013, 04:58:29 AM UTC-0700
----
Ich halte kurze Artikel für wertvoll in Anbetracht der Zeitknappheit der Wissbegierigen. Knapp umreißbare Konzepte sollten deshalb nicht in textreichen Artikeln untertauchen. Die "Buchform" mit echten Kapiteln wird von einigen Wikis gut unterstützt, sollte man hier mal sehen... ich könnte mir ein friedvolles Miteinander beider Formen als Optimum vorstellen. Das ist natürlich Zukunftsmusik.

Aber erst einmal möchte ich dir für die Mühe danken, die du auf den Artikel verwendet hast, ich hab immer schon mal drüber gelesen, sollte es vielleicht auch noch einmal wirklich gründlich tun.

- '''xenwolf''' June 04, 2013, 05:40:02 AM UTC-0700
----
ps: mit &lt;em&gt;dem Artikel&lt;/em&gt; meinte ich Reguläre Temperaturen

- '''xenwolf''' June 04, 2013, 05:41:17 AM UTC-0700
----
Der Einführungsartikel zu regulären Temperaturen ist inzwischen hoffentlich etwas verständlicher... Lang geworden ist er allerdings schon.

Ich denke jetzt, die separate Seite zu verallgemeinerten regulären Temperaturen soll bestehen bleiben und ausgebaut werden um die eher abstrakten mathematischen Dinge, inkl. Quotientenmodul und die noch fehlenden Begriffe wie val und Wedgie.

- '''hstraub''' June 04, 2013, 06:13:59 AM UTC-0700
----
Deine neusten Inhalte zu Vals lesen sich sehr verständlich, endlich begreife ich das eigentlich Naheliegende. Einziges Problem sind die Math-Blöcke: keine Ahnung warum, mein Browser schafft es nicht, die nötigen Fonts zu laden, ich sehe also [Math Processing Error] anstelle der eigentlichen Informationen. Vielleicht wäre es ja besser hier eine landläufige Programmiersprache zu verwenden anstelle mathematischer Formeln. Gut ich verstehe, dass man Gleichungen eher schlecht in C oder Python schreiben kann, außer per "assert(wahre Aussage)".

- '''xenwolf''' February 17, 2017, 12:30:24 AM UTC-0800
----
Ach, blöd... Gut, werd mal sehen, wie ich das anders formatieren kann...

- '''hstraub''' February 23, 2017, 09:42:34 AM UTC-0800
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&lt;big&gt;'''All discussion below is archived from the Wikispaces export in its original unaltered form.'''&lt;/big&gt;&lt;br/&gt;Please do not add any new discussion to this archive page.&lt;br/&gt;All new discussion should go on [[Talk:{{BASEPAGENAME}}]].&lt;/div&gt;
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== Ich würde das gern besser verstehen ==
Die aktuelle Darstellung wirkt sehr mathematisch (und &lt;em&gt;abstrakt&lt;/em&gt;). Wenn man es zusätzlich mit einfachen Worten erklären könnte, würden sich mathematisch unbeschlagene Xenharmoniker sicherlich freuen. Vielleicht ist ein Beispiel möglich oder eine Gegenüberstellung, wobei man die Verweise auf landläufige Konzepte beschränken sollte.

- '''xenwolf''' May 31, 2013, 12:19:56 AM UTC-0700
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Ich habe so was auch schon gedacht. Bin auch schon dabei, einen besser verständlichen Einführungstext auszuarbeiten.

- '''hstraub''' May 31, 2013, 01:36:38 AM UTC-0700
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Dafür danke ich im Voraus schon herzlich :)

Du bist ja in Mathematik vermutlich bewandert (ich denke da an MaMuTh). Ich würde oft gern mehr davon verstehen - ist mein Steckenpferd seit meiner Kindheit -, aber die verwendete(n) Sprache(n) und Schrift(en) stellen bilden oft eine hohe Einstiegshürde. So nutze ich jeden praktischen Anlass, ein Stück mehr zu verstehen...

- '''xenwolf''' May 31, 2013, 02:39:03 AM UTC-0700
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Ich habe jetzt im Hauptartikel über reguläre Temperaturen einen hoffentlich etwas allgemeinverständlichen Abschnitt über verallgemeinerte reguläre Temperaturen eingefügt ( http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re+Temperaturen#Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperaturen ). Ich denke, man kann die Informationen auf dieser Seite hier damit zusammenführen und diese separate Seite dann löschen.

- '''hstraub''' June 04, 2013, 04:58:29 AM UTC-0700
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Ich halte kurze Artikel für wertvoll in Anbetracht der Zeitknappheit der Wissbegierigen. Knapp umreißbare Konzepte sollten deshalb nicht in textreichen Artikeln untertauchen. Die "Buchform" mit echten Kapiteln wird von einigen Wikis gut unterstützt, sollte man hier mal sehen... ich könnte mir ein friedvolles Miteinander beider Formen als Optimum vorstellen. Das ist natürlich Zukunftsmusik.

Aber erst einmal möchte ich dir für die Mühe danken, die du auf den Artikel verwendet hast, ich hab immer schon mal drüber gelesen, sollte es vielleicht auch noch einmal wirklich gründlich tun.

- '''xenwolf''' June 04, 2013, 05:40:02 AM UTC-0700
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ps: mit &lt;em&gt;dem Artikel&lt;/em&gt; meinte ich Reguläre Temperaturen

- '''xenwolf''' June 04, 2013, 05:41:17 AM UTC-0700
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Der Einführungsartikel zu regulären Temperaturen ist inzwischen hoffentlich etwas verständlicher... Lang geworden ist er allerdings schon.

Ich denke jetzt, die separate Seite zu verallgemeinerten regulären Temperaturen soll bestehen bleiben und ausgebaut werden um die eher abstrakten mathematischen Dinge, inkl. Quotientenmodul und die noch fehlenden Begriffe wie val und Wedgie.

- '''hstraub''' June 04, 2013, 06:13:59 AM UTC-0700
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Deine neusten Inhalte zu Vals lesen sich sehr verständlich, endlich begreife ich das eigentlich Naheliegende. Einziges Problem sind die Math-Blöcke: keine Ahnung warum, mein Browser schafft es nicht, die nötigen Fonts zu laden, ich sehe also [Math Processing Error] anstelle der eigentlichen Informationen. Vielleicht wäre es ja besser hier eine landläufige Programmiersprache zu verwenden anstelle mathematischer Formeln. Gut ich verstehe, dass man Gleichungen eher schlecht in C oder Python schreiben kann, außer per "assert(wahre Aussage)".

- '''xenwolf''' February 17, 2017, 12:30:24 AM UTC-0800
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Ach, blöd... Gut, werd mal sehen, wie ich das anders formatieren kann...

- '''hstraub''' February 23, 2017, 09:42:34 AM UTC-0800
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&lt;big&gt;'''All discussion below is archived from the Wikispaces export in its original unaltered form.'''&lt;/big&gt;&lt;br/&gt;Please do not add any new discussion to this archive page.&lt;br/&gt;All new discussion should go on [[Talk:{{BASEPAGENAME}}]].&lt;/div&gt;
----


== 4n-EDO ==
Wenn die Oktave in vier gleiche Teile geteilt wird, scheinen allen EDOs mit einer durch 4 teilbaren Anzahl von Stufen gleichermaßen geeignet als verminderte Temperaturen. Oder gibt es eine Mindestgröße (wie z.B. 12)?

- '''xenwolf''' November 24, 2017, 05:00:28 AM UTC-0800
----
Ich denke, es gibt keine Mindestgrösse. Sowohl 4edo wie auch 8edo sind auch im englischen Xenwiki als mögliche Realisierungen angegeben - wobei das natürlich eher musikalisch nicht so interessante Grenzfälle sind.

- '''hstraub''' November 25, 2017, 03:00:19 PM UTC-0800
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== 4n-EDO ==
Wenn die Oktave in vier gleiche Teile geteilt wird, scheinen allen EDOs mit einer durch 4 teilbaren Anzahl von Stufen gleichermaßen geeignet als verminderte Temperaturen. Oder gibt es eine Mindestgröße (wie z.B. 12)?

- '''xenwolf''' November 24, 2017, 05:00:28 AM UTC-0800
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Ich denke, es gibt keine Mindestgrösse. Sowohl 4edo wie auch 8edo sind auch im englischen Xenwiki als mögliche Realisierungen angegeben - wobei das natürlich eher musikalisch nicht so interessante Grenzfälle sind.

- '''hstraub''' November 25, 2017, 03:00:19 PM UTC-0800
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      <comment>Die Seite wurde neu angelegt: „&lt;includeonly&gt;&lt;span style="white-space: nowrap;"&gt;&amp;#124; {{{1|{{{text|0}}}}}} &amp;gt;&lt;/span&gt;&lt;/includeonly&gt;&lt;noinclude&gt;  Diese Vorlage vereinfacht die Verwendung der…“</comment>
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Diese Vorlage vereinfacht die Verwendung der [[:en:Monzo|Monzo notation]], denn sowohl das Pipe-Symbol (&lt;code&gt;&amp;#124;&lt;/code&gt;) als auch das Größer-als-Zeichen wird von der MediaWiki-Software bzw. in HTML auf besondere Weise interpretiert.

Beispiel zur Benutzung:
 &lt;nowiki&gt;{{Monzo|-19 12}}&lt;/nowiki&gt;

... wird dargestellt als

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[[Kategorie:Vorlagen]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
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Diese Vorlage vereinfacht die Verwendung der [[:en:Monzo|Monzo notation]], denn sowohl das Pipe-Symbol (&lt;code&gt;&amp;#124;&lt;/code&gt;) als auch das Größer-als-Zeichen wird von der MediaWiki-Software bzw. in HTML auf besondere Weise interpretiert.

Beispiel zur Benutzung:
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... wird dargestellt als

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[[Kategorie:Vorlagen]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
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Diese Vorlage vereinfacht die Verwendung der [[:en:Monzo|Monzo notation]], denn sowohl das Pipe-Symbol (&lt;code&gt;&amp;#124;&lt;/code&gt;) als auch das Größer-als-Zeichen wird von der MediaWiki-Software bzw. in HTML auf besondere Weise interpretiert.

Beispiel zur Benutzung:
 &lt;nowiki&gt;{{Monzo|-19 12}}&lt;/nowiki&gt;

... wird dargestellt als

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[[Kategorie:Vorlagen]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
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[[es:Plantilla:Monzo]]

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Diese Vorlage vereinfacht die Verwendung der [[:en:Monzo|Monzo notation]], denn sowohl das Pipe-Symbol (&lt;code&gt;&amp;#124;&lt;/code&gt;) als auch das oft als Ersatz für &lt;code&gt;&amp;#x27E9;&lt;/code&gt; ([https://www.compart.com/de/unicode/U+27E9 U+27E9]) genutzte Größer-als-Zeichen (&lt;code&gt;&amp;gt;&lt;/code&gt;) wird von der MediaWiki-Software bzw. in HTML auf besondere Weise interpretiert.

Beispiel zur Benutzung:
 &lt;nowiki&gt;{{Monzo|-19 12}}&lt;/nowiki&gt;

... wird dargestellt als

&amp;#124;-19 12&amp;#x27E9;


:''siehe auch [[Vorlage:Val]]
[[Kategorie:Vorlagen]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
[[en:Template:Monzo]]
[[es:Plantilla:Monzo]]

&lt;/noinclude&gt;</text>
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'''Hauptseite: [[Komma]]'''

[[Kategorie:Theorie]]</text>
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[[Kategorie:Notation]]

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[[en:Monzos]]</text>
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[[Kategorie:Notation]]

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[[en:Monzos]]
[[es:Monzo]]</text>
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todo: Informationen aus dem englischen Xenwiki-Artikel [[:en:Monzos]] übernehmen

[[Kategorie:Notation]]</text>
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todo: Informationen aus dem englischen Xenwiki-Artikel [[:en:Monzos]] übernehmen

[[Kategorie:Notation]]</text>
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todo: Informationen aus dem englischen Xenwiki-Artikel [[:en:Monzo]] übernehmen

Die '''Monzo'''-Notation setzt an die Stelle von Brüchen die Potenzen ihrer [[Primfaktor]]en (2, 3, 5, 7, 11, ...). Brüche lassen sich wie ganze Zahlen in Primfaktoren zerlegen, diese Zerlegung ist eindeutig für Brüche, die nicht weiter gekürzt werden können. Anders als bei ganzen Zahlen, treten Primfaktoren bei Brüchen auch im Nenner auf, was sich in negativen Exponenten niederschlägt. 

{| class="wikitable"
! Bruch
! Monzo
|-
| 1/1
| {{Monzo| 0 }}
|-
| 2/1
| {{Monzo| 1 }}
|-
| 3/2
| {{Monzo| -1 1 }}
|-
| 4/3
| {{Monzo| 2 -1 }}
|-
| 6/5
| {{Monzo| 1 1 -1 }}
|}

Die Zerlegung in Primfaktoren kann einen erheblichen Mehraufwand bedeuten, allerdings bieten Monzos Erleichterungen beim Rechnen: genau wie die Intervalle werden die entsprechenden Monzos addiert und subtrahiert, wo die entsprechenden Brüche multipliziert und dividiert werden.

[[Kategorie:Notation]]</text>
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    <title>Pythagoreisches Komma</title>
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      <comment>Weiterleitung nach [[531441/524288]] erstellt</comment>
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    <title>Monzo-Schreibweise</title>
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      <comment>Weiterleitung nach [[Monzo-Notation]] erstellt</comment>
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      </contributor>
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      <text bytes="80" sha1="clak9ft0r6zb1qxe6xojwwgvk85txuk" xml:space="preserve">== Beschreibung ==
(Super-)pythagoräische diatonische Skala und Kadenz in 29edo</text>
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    <title>Datei:12edoDiatonic.mp3</title>
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Traditionelle diatonische Durskala in 12edo</text>
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      <text bytes="113" sha1="3i46wb9yunha91fxbzdea40ig832hxn" xml:space="preserve">Übersicht über Artikel mit Bezug zu '''[[Mitteltönig]]en''' Temperamenten.

&lt;!-- interwiki --&gt;
[[en:Meantone]]</text>
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      <comment>interwiki korrigiert, +kat</comment>
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      <text bytes="149" sha1="rxf0czgcg9v09jy90d2e6mwnbe37ogs" xml:space="preserve">Übersicht über Artikel mit Bezug zu '''[[Mitteltönig]]en''' Temperamenten.

[[Kategorie:Temperament]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
[[en:category:Meantone]]</text>
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    <title>Kategorie:Temperament</title>
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      <text bytes="351" sha1="cjbbnlsg2hysfuhcs7wpwb8gp3rsxrb" xml:space="preserve">Übersicht über Artikel zum Thema Temperamente/Temperaturen.

Haupt- bzw. Überblicksartikel: '''[[Reguläre Temperaturen]]'''

:''todo: Klären, ob zwischen [[:Kategorie:Temperatur]] und [[:Kategorie:Temperament]] unterschieden werden sollte, oder ob die beiden Kat. Zusammengeführt werden sollten.''

&lt;!-- interwiki --&gt;
[[en:Category:Temperament]]</text>
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[[Kategorie:Theorie]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
[[en:Category:Math]]
[[es:Categoría:Matemáticas]]</text>
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&lt;!-- interwiki --&gt;
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&lt;!-- interwiki --&gt;
[[en:Category:Edo]]
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|}
&lt;/div&gt;&lt;noinclude&gt;

Die '''Infobox Intervall''' soll helfen, bestimmte grundlegende Informationen zu Intervallen in einer übereinstimmenden Form zu präsentieren, so dass die auf einen Blick erfasst werden können und nicht im Text nach ihnen gesucht werden muss. Auch die Formatierung des Artikeltextes wird damit leichter, weil die Inhalte im Wiki-Quelltext in einer einheitlichen Form geschrieben werden können, so steht vor jeder Bestimmungsgröße eines Intervalls ihre Bezeichnung.

Die Vorlage unterstützt folgende Parameter (notwendige Parameter ''fett''):

{| class="wikitable"
! Parameter
! Bedeutung
! Hinweise zur Benutzung, Bemerungen
|-
| Icon
| Bild oder Symbol, falls vorhanden
| Angabe bitte vollständig ggf. mit Präfix und eckigen Klammern
|-
| '''Bruch'''
| Verhältnis der beteiligten Schwingungen
|
|-
| '''Cents'''
| Größenangabe in [[Cent]]
|
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| '''Monzo'''
| Parameter der [[Monzo-Schreibweise]]
|
|-
| '''Namen''' &lt;br/&gt; oder '''Name'''
| Bezeichnung(en) des Intervalls
| '''''Sollte das besser auch optional sein?'''''
|-
| Sound
| Sounddatei falls vorhanden
| Nur Name ohne Präfix "File:" (und ohne eckigen Klammern)
|}

Hier die Benutzung der Vorlage am Beispiel der Oktave ([[2/1]]).
 &lt;nowiki&gt;{{Infobox Intervall
| Bruch = 2/1
| Cents = 1200
| Monzo = 1
| Namen = Oktave
}}&lt;/nowiki&gt;

[[Kategorie:Vorlagen]]
&lt;/noinclude&gt;</text>
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&lt;/div&gt;&lt;noinclude&gt;

Die '''Infobox Intervall''' soll helfen, bestimmte grundlegende (formale) Informationen zu [[Intervall]]en in einer übereinstimmenden Form zu präsentieren, so dass die auf einen Blick erfasst werden können und nicht im Text nach ihnen gesucht werden muss. Auch die Formatierung des Artikeltextes wird damit leichter, weil die Inhalte im Wiki-Quelltext in einer einheitlichen Form geschrieben werden können, so steht vor jeder Bestimmungsgröße eines Intervalls ihre Bezeichnung.

Die Vorlage unterstützt folgende Parameter (notwendige Parameter ''fett''):

{| class="wikitable"
! Parameter
! Bedeutung
! Hinweise zur Benutzung, Bemerungen
|-
| Icon
| Bild oder Symbol, falls vorhanden
| Angabe bitte vollständig ggf. mit Präfix und eckigen Klammern
|-
| '''Bruch'''
| Verhältnis der beteiligten Schwingungen
|
|-
| '''Cents'''
| Größenangabe in [[Cent]]
|
|-
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| Parameter der [[Monzo-Schreibweise]]
|
|-
| '''Namen''' &lt;br/&gt; oder '''Name'''
| Bezeichnung(en) des Intervalls
| '''''Sollte das besser auch optional sein?'''''
|-
| Sound
| Sounddatei falls vorhanden
| Nur Name ohne Präfix "File:" (und ohne eckigen Klammern)
|}

Hier die Benutzung der Vorlage am Beispiel der Oktave ([[2/1]]).
 &lt;nowiki&gt;{{Infobox Intervall
| Bruch = 2/1
| Cents = 1200
| Monzo = 1
| Namen = Oktave
}}&lt;/nowiki&gt;

[[Kategorie:Vorlagen]]
&lt;/noinclude&gt;</text>
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&lt;/div&gt;&lt;noinclude&gt;

Die '''Infobox Intervall''' soll helfen, bestimmte grundlegende (formale) Informationen zu [[Intervall]]en in einer übereinstimmenden Form zu präsentieren, so dass die auf einen Blick erfasst werden können und nicht im Text nach ihnen gesucht werden muss. Auch die Formatierung des Artikeltextes wird damit leichter, weil die Inhalte im Wiki-Quelltext in einer einheitlichen Form geschrieben werden können, so steht vor jeder Bestimmungsgröße eines Intervalls ihre Bezeichnung.

Die Vorlage unterstützt folgende Parameter (notwendige Parameter ''fett''):

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! Parameter
! Bedeutung
! Hinweise zur Benutzung, Bemerungen
|-
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| Bild oder Symbol, falls vorhanden
| Angabe bitte vollständig ggf. mit Präfix und eckigen Klammern
|-
| '''Bruch'''
| Verhältnis der beteiligten Schwingungen
|
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| Größenangabe in [[Cent]]
|
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|
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| '''Namen''' &lt;br/&gt; oder '''Name'''
| Bezeichnung(en) des Intervalls
| '''''Sollte das besser auch optional sein?'''''
|-
| Sound
| Sounddatei falls vorhanden
| Nur Name ohne Präfix "File:" (und ohne eckigen Klammern)
|}

Hier die Benutzung der Vorlage am Beispiel der Oktave ([[2/1]]).
 &lt;nowiki&gt;{{Infobox Intervall
| Bruch = 2/1
| Cents = 1200
| Monzo = 1
| Namen = Oktave
}}&lt;/nowiki&gt;

[[Kategorie:Vorlagen]]
&lt;/noinclude&gt;</text>
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|}
&lt;/div&gt;&lt;noinclude&gt;

Die '''Infobox Intervall''' soll helfen, bestimmte grundlegende (formale) Informationen zu [[Intervall]]en in einer übereinstimmenden Form zu präsentieren, so dass die auf einen Blick erfasst werden können und nicht im Text nach ihnen gesucht werden muss. Auch die Formatierung des Artikeltextes wird damit leichter, weil die Inhalte im Wiki-Quelltext in einer einheitlichen Form geschrieben werden können, so steht vor jeder Bestimmungsgröße eines Intervalls ihre Bezeichnung.

Die Vorlage unterstützt folgende Parameter (notwendige Parameter ''fett''):

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! Parameter
! Bedeutung
! Hinweise zur Benutzung, Bemerungen
|-
| Icon
| Bild oder Symbol, falls vorhanden
| Angabe bitte vollständig ggf. mit Präfix und eckigen Klammern
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|
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| Bezeichnung(en) des Intervalls
| '''''Sollte das besser auch optional sein?'''''
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| Sound
| Sounddatei falls vorhanden
| Nur Name ohne Präfix "File:" (und ohne eckigen Klammern)
|}

Hier die Benutzung der Vorlage am Beispiel der Oktave ([[2/1]]).
 &lt;nowiki&gt;{{Infobox Intervall
| Bruch = 2/1
| Cents = 1200
| Monzo = 1
| Namen = Oktave
}}&lt;/nowiki&gt;

[[Kategorie:Vorlagen]]
&lt;/noinclude&gt;</text>
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&lt;/div&gt;&lt;noinclude&gt;

Die '''Infobox Intervall''' soll helfen, bestimmte grundlegende (formale) Informationen zu [[Intervall]]en in einer übereinstimmenden Form zu präsentieren, so dass die auf einen Blick erfasst werden können und nicht im Text nach ihnen gesucht werden muss. Auch die Formatierung des Artikeltextes wird damit leichter, weil die Inhalte im Wiki-Quelltext in einer einheitlichen Form geschrieben werden können, so steht vor jeder Bestimmungsgröße eines Intervalls ihre Bezeichnung.

Die Vorlage unterstützt folgende Parameter (notwendige Parameter ''fett''):

{| class="wikitable"
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! Bedeutung
! Hinweise zur Benutzung, Bemerungen
|-
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| Bild oder Symbol, falls vorhanden
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|
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| Bezeichnung(en) des Intervalls
| '''''Sollte das besser auch optional sein?'''''
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| Sounddatei falls vorhanden
| Nur Name ohne Präfix "File:" (und ohne eckigen Klammern)
|}

Hier die Benutzung der Vorlage am Beispiel der Oktave ([[2/1]]).
 &lt;nowiki&gt;{{Infobox Intervall
| Bruch = 2/1
| Cents = 1200
| Monzo = 1
| Namen = Oktave
}}&lt;/nowiki&gt;

[[Kategorie:Vorlagen]]
&lt;/noinclude&gt;</text>
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      <comment>Umstellung der Ausrichtung: Beschriftung rechtsbündig, Werte linksbündig; optionale Icons uns Sounds mittig, Links zur Erläuterung verbreitert; Hinweise ergänzt; Anzeige von "Schwingungsverhältnis" anstelle von Bruch</comment>
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|+ '''Intervall-Info'''
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}}
|}
&lt;/div&gt;&lt;noinclude&gt;

Die '''Infobox Intervall''' soll helfen, bestimmte grundlegende (formale) Informationen zu [[Intervall]]en in einer übereinstimmenden Form zu präsentieren, so dass die auf einen Blick erfasst werden können und nicht im Text nach ihnen gesucht werden muss. Auch die Formatierung des Artikeltextes wird damit leichter, weil die Inhalte im Wiki-Quelltext in einer einheitlichen Form geschrieben werden können, so steht vor jeder Bestimmungsgröße eines Intervalls ihre Bezeichnung.

Die Vorlage unterstützt folgende Parameter (notwendige Parameter ''fett''):

{| class="wikitable"
! Parameter
! Bedeutung
! Hinweise zur Benutzung, Bemerungen
|-
| Icon
| Bild oder Symbol, falls vorhanden
| Angabe bitte vollständig ggf. mit Präfix und eckigen Klammern
|-
| '''Bruch'''
| Verhältnis der beteiligten Schwingungen
| '''''Solle es alternativ "Schwingungsverhältnis" heißen?'''''
|-
| '''Cents'''
| Größenangabe in [[Cent]]
|
|-
| '''Monzo'''
| Parameter der [[Monzo-Schreibweise]]
|
|-
| '''Namen''' &lt;br/&gt; oder '''Name'''
| Bezeichnung(en) des Intervalls
| '''''Sollte das besser optional sein?'''''
|-
| Sound
| Sounddatei falls vorhanden
| Nur Name ohne Präfix "File:" (und ohne eckigen Klammern)
|}

Hier die Benutzung der Vorlage am Beispiel der Oktave ([[2/1]]).
 &lt;nowiki&gt;{{Infobox Intervall
| Bruch = 2/1
| Cents = 1200
| Monzo = 1
| Namen = Oktave
}}&lt;/nowiki&gt;

[[Kategorie:Vorlagen]]
&lt;/noinclude&gt;</text>
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      <comment>Typographischen Fehler beseitigt, Leere Kopiervorlage hinzugefügt, interwiki-Link auf englische Version</comment>
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{|
|+ '''Intervall-Info'''
{{#if: {{{Icon|}}} |
  {{!}} colspan="2" style="text-align:center" {{!}} {{{Icon}}}
}}
|-
| style="text-align:right" | Schwingungsverhältnis&amp;nbsp; || '''{{{Bruch|[[Vorlage:Infobox Intervall|Bruch?]]}}}'''
|-
| style="text-align:right" | [[Monzo-Notation]]&amp;nbsp; || '''{{Monzo|{{{Monzo|[[Vorlage:Infobox Intervall|Monzo?]]}}} }}'''
|-
| style="text-align:right" | Größe in [[Cent|Cents (&amp;cent;)]]&amp;nbsp; || '''{{{Cents|[[Vorlage:Infobox Intervall|Cents?]]}}}'''
|-
| style="text-align:right" | Name(n)&amp;nbsp; || '''{{{Name|{{{Namen|[[Vorlage:Infobox Intervall|Namen?]]}}}}}}'''
|-
{{#if: {{{Sound|}}} |
  {{!}} colspan="2" style="text-align: center;" {{!}} [[File:{{{Sound}}}]]&lt;br/&gt;&lt;small&gt;[[:File:{{{Sound}}}|[Sound-Info]]]&lt;/small&gt;
}}
|}
&lt;/div&gt;&lt;noinclude&gt;

Die '''Infobox Intervall''' soll helfen, bestimmte grundlegende (formale) Informationen zu [[Intervall]]en in einer übereinstimmenden Form zu präsentieren, so dass die auf einen Blick erfasst werden können und nicht im Text nach ihnen gesucht werden muss. Auch die Formatierung des Artikeltextes wird damit leichter, weil die Inhalte im Wiki-Quelltext in einer einheitlichen Form geschrieben werden können, so steht vor jeder Bestimmungsgröße eines Intervalls ihre Bezeichnung.

Die Vorlage unterstützt folgende Parameter (notwendige Parameter '''fett'''):

{| class="wikitable"
! Parameter
! Bedeutung
! Hinweise zur Benutzung, Bemerungen
|-
| Icon
| Bild oder Symbol, falls vorhanden
| Angabe bitte vollständig ggf. mit Präfix und eckigen Klammern
|-
| '''Bruch'''
| Verhältnis der beteiligten Schwingungen
| '''''Solle es alternativ "Schwingungsverhältnis" heißen?'''''
|-
| '''Cents'''
| Größenangabe in [[Cent]]
|
|-
| '''Monzo'''
| Parameter der [[Monzo-Schreibweise]]
|
|-
| '''Namen''' &lt;br/&gt; oder '''Name'''
| Bezeichnung(en) des Intervalls
| '''''Sollte das besser optional sein?'''''
|-
| Sound
| Sounddatei falls vorhanden
| Nur Name ohne Präfix "File:" (und ohne eckigen Klammern)
|}

Hier die Benutzung der Vorlage am Beispiel der Oktave ([[2/1]]).
 &lt;nowiki&gt;{{Infobox Intervall
| Bruch = 2/1
| Cents = 1200
| Monzo = 1
| Namen = Oktave
}}&lt;/nowiki&gt;

Leere Kopiervorlage:
 &lt;nowiki&gt;{{Infobox Intervall
| Icon =
| Bruch = 
| Cents = 
| Monzo = 
| Namen = 
| Sound =
}}&lt;/nowiki&gt;


[[Kategorie:Vorlagen]]

[[en:Template:Infobox Interval]]
&lt;/noinclude&gt;</text>
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|+ '''Intervall-Info'''
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|-
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{{#if: {{{Sound|}}} |
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|}
&lt;/div&gt;&lt;noinclude&gt;

Die '''Infobox Intervall''' soll helfen, bestimmte grundlegende (formale) Informationen zu [[Intervall]]en in einer übereinstimmenden Form zu präsentieren, so dass die auf einen Blick erfasst werden können und nicht im Text nach ihnen gesucht werden muss. Auch die Formatierung des Artikeltextes wird damit leichter, weil die Inhalte im Wiki-Quelltext in einer einheitlichen Form geschrieben werden können, so steht vor jeder Bestimmungsgröße eines Intervalls ihre Bezeichnung.

Die Vorlage unterstützt folgende Parameter (notwendige Parameter '''fett'''):

{| class="wikitable"
! Parameter
! Bedeutung
! Hinweise zur Benutzung, Bemerungen
|-
| Icon
| Bild oder Symbol, falls vorhanden
| Angabe bitte vollständig ggf. mit Präfix und eckigen Klammern
|-
| '''Bruch'''
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| '''''Solle es alternativ "Schwingungsverhältnis" heißen?'''''
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|
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| '''Monzo'''
| Parameter der [[Monzo-Schreibweise]]
|
|-
| '''Namen''' &lt;br/&gt; oder '''Name'''
| Bezeichnung(en) des Intervalls
| '''''Sollte das besser optional sein?'''''
|-
| Sound
| Sounddatei falls vorhanden
| Nur Name ohne Präfix "File:" (und ohne eckigen Klammern)
|}

Hier die Benutzung der Vorlage am Beispiel der Oktave ([[2/1]]).
 &lt;nowiki&gt;{{Infobox Intervall
| Bruch = 2/1
| Cents = 1200
| Monzo = 1
| Namen = Oktave
}}&lt;/nowiki&gt;

Leere Kopiervorlage:
 &lt;nowiki&gt;{{Infobox Intervall
| Icon =
| Bruch = 
| Cents = 
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}}&lt;/nowiki&gt;


[[Kategorie:Vorlagen]]

[[en:Template:Infobox Interval]]
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[[en:Category:Interval]]</text>
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Diese Vorlage steuert wie Links auf japanische Seiten angezeigt werden die derzeit noch im 
englischen Xenwiki (en.xen.wiki) enthalten sind, zukünftig aber nach jp.xen.wiki wandern könnten.

Benutze sie so:
 &lt;nowiki&gt;{{Japanische Seite| &lt;/nowiki&gt;''Name der Wikiseite ohne eckige Klammern und ohne en:-Präfix''&lt;nowiki&gt; }}&lt;/nowiki&gt;

oder so, falls der Seitenname ein Gleichheitszeichen (&lt;code&gt;=&lt;/code&gt;) enthält:
 &lt;nowiki&gt;{{Japanische Seite| Seitenname = &lt;/nowiki&gt;''Name der Wikiseite ohne eckige Klammern und ohne en:-Präfix''&lt;nowiki&gt; }}&lt;/nowiki&gt;

Das führt dazu, dass rechts oben eine kleiner Kasten mit der Aufschrift erscheint und die Seite 
zusätzlich in die [[:Kategorie:Seiten die auf japanische Seiten verweisen]] um sie später leichter 
zu finden: Wenn die japanischen Seiten in ein eigenes Wiki verschoben sind kann man die Verweise in normale Interwiki-Links abändern.

[[Kategorie:Vorlagen]]
&lt;/noinclude&gt;&lt;includeonly&gt;[[Kategorie:Seiten die auf japanische Seiten verweisen]]&lt;/includeonly&gt;</text>
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}}
&lt;/div&gt;

Diese Vorlage steuert wie Links auf japanische Seiten angezeigt werden die derzeit noch im 
englischen Xenwiki (en.xen.wiki) enthalten sind, zukünftig aber nach jp.xen.wiki wandern könnten.

Benutze sie so:
 &lt;nowiki&gt;{{Japanische Seite| &lt;/nowiki&gt;''Name der Wikiseite ohne eckige Klammern und ohne en:-Präfix''&lt;nowiki&gt; }}&lt;/nowiki&gt;

oder so, falls der Seitenname ein Gleichheitszeichen (&lt;code&gt;=&lt;/code&gt;) enthält:
 &lt;nowiki&gt;{{Japanische Seite| Seitenname = &lt;/nowiki&gt;''Name der Wikiseite ohne eckige Klammern und ohne en:-Präfix''&lt;nowiki&gt; }}&lt;/nowiki&gt;

Das führt dazu, dass rechts oben eine kleiner Kasten mit der Aufschrift erscheint und die Seite 
zusätzlich in die [[:Kategorie:Seiten die auf japanische Seiten verweisen]] um sie später leichter 
zu finden: Wenn die japanischen Seiten in ein eigenes Wiki verschoben sind kann man die Verweise in normale Interwiki-Links abändern.

[[Kategorie:Vorlagen]]
&lt;/noinclude&gt;&lt;includeonly&gt;[[Kategorie:Seiten die auf japanische Seiten verweisen]]&lt;/includeonly&gt;</text>
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&lt;/div&gt;

Diese Vorlage steuert wie Links auf japanische Seiten angezeigt werden die derzeit noch im 
englischen Xenwiki (en.xen.wiki) enthalten sind, zukünftig aber nach jp.xen.wiki wandern könnten.

Benutze sie so:
 &lt;nowiki&gt;{{Japanische Seite| &lt;/nowiki&gt;''Name der Wikiseite ohne eckige Klammern und ohne en:-Präfix''&lt;nowiki&gt; }}&lt;/nowiki&gt;

oder so, falls der Seitenname ein Gleichheitszeichen (&lt;code&gt;=&lt;/code&gt;) enthält:
 &lt;nowiki&gt;{{Japanische Seite| Seitenname = &lt;/nowiki&gt;''Name der Wikiseite ohne eckige Klammern und ohne en:-Präfix''&lt;nowiki&gt; }}&lt;/nowiki&gt;

Das führt dazu, dass rechts oben eine kleiner Kasten mit der Aufschrift erscheint und die Seite 
zusätzlich in die [[:Kategorie:Seiten die auf japanische Seiten verweisen]] um sie später leichter 
zu finden: Wenn die japanischen Seiten in ein eigenes Wiki verschoben sind kann man die Verweise in normale Interwiki-Links abändern.

[[Kategorie:Vorlagen]]
&lt;/noinclude&gt;&lt;includeonly&gt;[[Kategorie:Seiten die auf japanische Seiten verweisen]]&lt;/includeonly&gt;</text>
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&lt;/div&gt;

Diese Vorlage steuert wie Links auf japanische Seiten angezeigt werden die derzeit noch im 
englischen Xenwiki (en.xen.wiki) enthalten sind, zukünftig aber nach jp.xen.wiki wandern könnten.

Benutze sie so:
 &lt;nowiki&gt;{{Japanische Seite| &lt;/nowiki&gt;''Name der Wikiseite ohne eckige Klammern und ohne en:-Präfix''&lt;nowiki&gt; }}&lt;/nowiki&gt;

oder so, falls der Seitenname ein Gleichheitszeichen (&lt;code&gt;=&lt;/code&gt;) enthält:
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Das führt dazu, dass rechts oben eine kleiner Kasten mit der Aufschrift erscheint und die Seite 
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[[Kategorie:Vorlagen]]
&lt;/noinclude&gt;&lt;includeonly&gt;[[Kategorie:Seiten die auf japanische Seiten verweisen]]&lt;/includeonly&gt;</text>
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&lt;/div&gt;

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Benutze sie so:
 &lt;nowiki&gt;{{Japanische Seite| &lt;/nowiki&gt;''Name der Wikiseite ohne eckige Klammern und ohne en:-Präfix''&lt;nowiki&gt; }}&lt;/nowiki&gt;

oder so, falls der Seitenname ein Gleichheitszeichen (&lt;code&gt;=&lt;/code&gt;) enthält:
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Das führt dazu, dass rechts oben eine kleiner Kasten mit der Aufschrift erscheint und die Seite 
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[[Kategorie:Vorlagen]]
&lt;/noinclude&gt;&lt;includeonly&gt;[[Kategorie:Seiten die auf japanische Seiten verweisen]]&lt;/includeonly&gt;</text>
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  [[:en:{{{1|{{{Seitenname|}}}}}}|日本語]] |
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}}
&lt;/div&gt;&lt;noinclude&gt;

Diese Vorlage steuert wie Links auf japanische Seiten angezeigt werden die derzeit noch im 
englischen Xenwiki (en.xen.wiki) enthalten sind, zukünftig aber nach jp.xen.wiki wandern könnten.

Benutze sie so:
 &lt;nowiki&gt;{{Japanische Seite| &lt;/nowiki&gt;''Name der Wikiseite ohne eckige Klammern und ohne en:-Präfix''&lt;nowiki&gt; }}&lt;/nowiki&gt;

oder so, falls der Seitenname ein Gleichheitszeichen (&lt;code&gt;=&lt;/code&gt;) enthält:
 &lt;nowiki&gt;{{Japanische Seite| Seitenname = &lt;/nowiki&gt;''Name der Wikiseite ohne eckige Klammern und ohne en:-Präfix''&lt;nowiki&gt; }}&lt;/nowiki&gt;

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[[Kategorie:Vorlagen]]
&lt;/noinclude&gt;&lt;includeonly&gt;[[Kategorie:Seiten die auf japanische Seiten verweisen]]&lt;/includeonly&gt;</text>
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"&gt;{{#if: {{{1|{{{Seitenname|}}}}}} |
  [[:en:{{{1|{{{Seitenname|}}}}}}|日本語]] |
  &lt;noinclude&gt;日本語&lt;/noinclude&gt;&lt;includeonly&gt;Fehler: Parameter '''Seitenname''' fehlt oder ungültig! [[Vorlage:Japanische Seite|Hilfe zu ''Vorlage:Japanische Seite'' ...]]&lt;/includeonly&gt;
}}
&lt;/div&gt;&lt;noinclude&gt;

Diese Vorlage steuert wie Links auf japanische Seiten angezeigt werden die derzeit noch im 
englischen Xenwiki (en.xen.wiki) enthalten sind, zukünftig aber nach jp.xen.wiki wandern könnten.

Benutze sie so:
 &lt;nowiki&gt;{{Japanische Seite| &lt;/nowiki&gt;''Name der Wikiseite ohne eckige Klammern und ohne en:-Präfix''&lt;nowiki&gt; }}&lt;/nowiki&gt;

oder so, falls der Seitenname ein Gleichheitszeichen (&lt;code&gt;=&lt;/code&gt;) enthält:
 &lt;nowiki&gt;{{Japanische Seite| Seitenname = &lt;/nowiki&gt;''Name der Wikiseite ohne eckige Klammern und ohne en:-Präfix''&lt;nowiki&gt; }}&lt;/nowiki&gt;

Das führt dazu, dass rechts oben eine kleiner Kasten mit der Aufschrift erscheint und die Seite 
zusätzlich in die [[:Kategorie:Seiten die auf japanische Seiten verweisen]] um sie später leichter 
zu finden: Wenn die japanischen Seiten in ein eigenes Wiki verschoben sind kann man die Verweise in normale Interwiki-Links abändern.

[[Kategorie:Veraltet. Bitte nicht mehr benutzen!]]
&lt;/noinclude&gt;&lt;includeonly&gt;[[Kategorie:Seiten die auf japanische Seiten verweisen]]&lt;/includeonly&gt;</text>
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    <title>Kategorie:Seiten die auf japanische Seiten verweisen</title>
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      <comment>Die Seite wurde neu angelegt: „Hier eine Liste von Seiten, die auch japanische Seiten im englischen Xenwiki verweisen. ''Siehe auch [[Vorlage:Japanische Seite]]!''  [[Kategorie:Todo]]“</comment>
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      <text bytes="152" sha1="q6dm2f1m25170i866xa9x8g8d2rrpw4" xml:space="preserve">Hier eine Liste von Seiten, die auch japanische Seiten im englischen Xenwiki verweisen. ''Siehe auch [[Vorlage:Japanische Seite]]!''

[[Kategorie:Todo]]</text>
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      <text bytes="184" sha1="ghas7gd9i8ch13bqywi0b3mp57jyji4" xml:space="preserve">Hier eine Liste von Seiten, die auch japanische Seiten im englischen Xenwiki verweisen. ''Siehe auch [[Vorlage:Japanische Seite]]!''

[[Kategorie:Veraltet. Bitte nicht mehr benutzen!]]</text>
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  }} |
}}{{#if: {{{en|}}} |
  [[en:{{{en}}}]] |
}}{{#if: {{{es|}}} |
  [[es:{{{es}}}]] |
}}&lt;noinclude&gt;

Diese Vorlage regelt die Verarbeitung Interwiki-Links im deutschen Wiki.

Folgende Parameter werden unterstützt:

{| class="wikitable"
! Name !! Optionaler Wert und Anmerkungen
|-
| de || Seitename im deutschen Wiki
|-
| en || Seitename im englischen Wiki 
|-
| es || Seitename im spanischen Wiki 
|-
| ja || Name der japanischen Seite im englischen Wiki 
|}

Es ist sinnvoll auch den de-Parameter zu belegen, damit kann dieser Abschnitt zwischen den Wikis ausgetauscht werden.
Alle Parameter sind als reine Seitennamen anzugeben, also ohne Präfixe und ohne eckige Klammern.
Der Wert hinter den Parametern kann einfach weggelassen, wo noch keine entsprechende Seite existiert.

Hier die Benutzung am Beispiel der [[12edo]]-Seite:
 &lt;nowiki&gt;{{interwiki&lt;/nowiki&gt;
 | de = 12edo
 | en = 12edo
 | es = 12 EDO
 | ja = 12平均律
 &lt;nowiki&gt;}}&lt;/nowiki&gt;

Hier eine leere Kopiervorlage mit allen Parametern in alphabetischer Reihenfolge:
 &lt;nowiki&gt;{{interwiki&lt;/nowiki&gt;
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 | ja = 
 &lt;nowiki&gt;}}&lt;/nowiki&gt;

Für Links auf japanische Seiten im englischen Xenwiki wird eine Box eingeblendet, die restlichen Sprachen werden im ''MediaWiki-Sidebar'' angezeigt.

[[Kategorie:Vorlagen]]
&lt;/noinclude&gt;</text>
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  }} |
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}}&lt;noinclude&gt;

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{| class="wikitable"
! Name !! Optionaler Wert und Anmerkungen
|-
| de || Seitename im deutschen Wiki
|-
| en || Seitename im englischen Wiki 
|-
| es || Seitename im spanischen Wiki 
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| ja || Name der japanischen Seite im englischen Wiki 
|}

Es ist sinnvoll auch den de-Parameter zu belegen, damit kann dieser Abschnitt zwischen den Wikis ausgetauscht werden.
Alle Parameter sind als reine Seitennamen anzugeben, also ohne Präfixe und ohne eckige Klammern.
Der Wert hinter den Parametern kann einfach weggelassen, wo noch keine entsprechende Seite existiert.

Hier die Benutzung am Beispiel der [[12edo]]-Seite:
 &lt;nowiki&gt;{{interwiki&lt;/nowiki&gt;
 | de = 12edo
 | en = 12edo
 | es = 12 EDO
 | ja = 12平均律
 &lt;nowiki&gt;}}&lt;/nowiki&gt;

Hier eine leere Kopiervorlage mit allen Parametern in alphabetischer Reihenfolge:
 &lt;nowiki&gt;{{interwiki&lt;/nowiki&gt;
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 &lt;nowiki&gt;}}&lt;/nowiki&gt;

[[Kategorie:Vorlagen]]
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}}&lt;noinclude&gt;

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! Name !! Optionaler Wert und Anmerkungen
|-
| de || Seitename im deutschen Wiki
|-
| en || Seitename im englischen Wiki 
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| ja || Name der japanischen Seite im englischen Wiki 
|}

Es ist sinnvoll auch den de-Parameter zu belegen, damit kann dieser Abschnitt zwischen den Wikis ausgetauscht werden.
Alle Parameter sind als reine Seitennamen anzugeben, also ohne Präfixe und ohne eckige Klammern.
Der Wert hinter den Parametern kann einfach weggelassen, wo noch keine entsprechende Seite existiert.

Hier die Benutzung am Beispiel der [[12edo]]-Seite:
 &lt;nowiki&gt;{{interwiki&lt;/nowiki&gt;
 | de = 12edo
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 | es = 12 EDO
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 &lt;nowiki&gt;}}&lt;/nowiki&gt;

Hier eine leere Kopiervorlage mit allen Parametern in alphabetischer Reihenfolge:
 &lt;nowiki&gt;{{interwiki&lt;/nowiki&gt;
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 &lt;nowiki&gt;}}&lt;/nowiki&gt;

[[Kategorie:Vorlagen]]
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|-
| de || Seitename im deutschen Wiki
|-
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|-
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|}

Es ist sinnvoll auch den de-Parameter zu belegen, damit kann dieser Abschnitt zwischen den Wikis ausgetauscht werden.
Alle Parameter sind als reine Seitennamen anzugeben, also ohne Präfixe und ohne eckige Klammern.
Der Wert hinter den Parametern kann einfach weggelassen, wo noch keine entsprechende Seite existiert.

Hier die Benutzung am Beispiel der [[12edo]]-Seite:
 &lt;nowiki&gt;{{interwiki&lt;/nowiki&gt;
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Hier eine leere Kopiervorlage mit allen Parametern in alphabetischer Reihenfolge:
 &lt;nowiki&gt;{{interwiki&lt;/nowiki&gt;
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[[Kategorie:Vorlagen]]
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}}&lt;noinclude&gt;

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Folgende Parameter werden unterstützt:

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! Name !! Optionaler Wert und Anmerkungen
|-
| de || Seitename im deutschen Wiki
|-
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|-
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Es ist sinnvoll auch den de-Parameter zu belegen, damit kann dieser Abschnitt zwischen den Wikis ausgetauscht werden.
Alle Parameter sind als reine Seitennamen anzugeben, also ohne Präfixe und ohne eckige Klammern.
Der Wert hinter den Parametern kann einfach weggelassen, wo noch keine entsprechende Seite existiert.

Hier die Benutzung am Beispiel der [[12edo]]-Seite:
 &lt;nowiki&gt;{{interwiki&lt;/nowiki&gt;
 | de = 12edo
 | en = 12edo
 | es = 12 EDO
 | ja = 12平均律
 &lt;nowiki&gt;}}&lt;/nowiki&gt;

Hier eine leere Kopiervorlage mit allen Parametern in alphabetischer Reihenfolge:
 &lt;nowiki&gt;{{interwiki&lt;/nowiki&gt;
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 | ja = 
 &lt;nowiki&gt;}}&lt;/nowiki&gt;

[[Kategorie:Vorlagen]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
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&lt;/noinclude&gt;</text>
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  }} |
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}}&lt;noinclude&gt;
Diese Vorlage regelt die Verarbeitung Interwiki-Links im deutschen Wiki.

Folgende Parameter werden unterstützt:

{| class="wikitable"
! Name !! Optionaler Wert und Anmerkungen
|-
| de || Seitename im deutschen Wiki
|-
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|}

Es ist sinnvoll auch den de-Parameter zu belegen, damit kann dieser Abschnitt zwischen den Wikis ausgetauscht werden.
Alle Parameter sind als reine Seitennamen anzugeben, also ohne Präfixe und ohne eckige Klammern.
Der Wert hinter den Parametern kann einfach weggelassen, wo noch keine entsprechende Seite existiert.

Hier die Benutzung am Beispiel der [[12edo]]-Seite:
 &lt;nowiki&gt;{{interwiki&lt;/nowiki&gt;
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 | en = 12edo
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Hier eine leere Kopiervorlage mit allen Parametern in alphabetischer Reihenfolge:
 &lt;nowiki&gt;{{interwiki&lt;/nowiki&gt;
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 | en = 
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 | ja = 
 &lt;nowiki&gt;}}&lt;/nowiki&gt;

[[Kategorie:Vorlagen]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
[[en:Template:Interwiki]]
[[es:Plantilla:Interwiki]]
&lt;/noinclude&gt;</text>
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}}&lt;noinclude&gt;
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Folgende Parameter werden unterstützt:

{| class="wikitable"
! Name !! Optionaler Wert und Anmerkungen
|-
| de || Seitename im deutschen Wiki
|-
| en || Seitename im englischen Wiki 
|-
| es || Seitename im spanischen Wiki 
|-
| ja || Name der japanischen Seite im englischen Wiki 
|}

Es ist sinnvoll auch den de-Parameter zu belegen, damit kann dieser Abschnitt zwischen den Wikis ausgetauscht werden.
Alle Parameter sind als reine Seitennamen anzugeben, also ohne Präfixe und ohne eckige Klammern.
Der Wert hinter den Parametern kann einfach weggelassen, wo noch keine entsprechende Seite existiert.

Hier die Benutzung am Beispiel der [[12edo]]-Seite:
 &lt;nowiki&gt;{{interwiki&lt;/nowiki&gt;
 | de = 12edo
 | en = 12edo
 | es = 12 EDO
 | ja = 12平均律
 &lt;nowiki&gt;}}&lt;/nowiki&gt;

Hier eine leere Kopiervorlage mit allen Parametern in alphabetischer Reihenfolge:
 &lt;nowiki&gt;{{interwiki&lt;/nowiki&gt;
 | de = 
 | en = 
 | es = 
 | ja = 
 &lt;nowiki&gt;}}&lt;/nowiki&gt;

[[Kategorie:Vorlagen]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
[[en:Template:Interwiki]]
[[es:Plantilla:Interwiki]]
&lt;/noinclude&gt;</text>
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      <comment>Selbstreferenz auch auf Kategorieseiten unterbinden</comment>
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    [[de:{{{de}}}]] &lt;!-- um auf buchstabengetreue Schreibung zu prüfen und möglicherweise für künftige Zwecke --&gt;
  }} |
}}{{#if: {{{en|}}} |
  [[en:{{{en}}}]] |
}}{{#if: {{{es|}}} |
  [[es:{{{es}}}]] |
}}{{#if: {{{ja|}}} |
  [[ja:{{{ja}}}]] |
}}&lt;noinclude&gt;
Diese Vorlage regelt die Verarbeitung Interwiki-Links im deutschen Wiki.

Folgende Parameter werden unterstützt:

{| class="wikitable"
! Name !! Optionaler Wert und Anmerkungen
|-
| de || Seitename im deutschen Wiki
|-
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|-
| es || Seitename im spanischen Wiki 
|-
| ja || Name der japanischen Seite im englischen Wiki 
|}

Es ist sinnvoll auch den de-Parameter zu belegen, damit kann dieser Abschnitt zwischen den Wikis ausgetauscht werden.
Alle Parameter sind als reine Seitennamen anzugeben, also ohne Präfixe und ohne eckige Klammern.
Der Wert hinter den Parametern kann einfach weggelassen, wo noch keine entsprechende Seite existiert.

Hier die Benutzung am Beispiel der [[12edo]]-Seite:
 &lt;nowiki&gt;{{interwiki&lt;/nowiki&gt;
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[[Kategorie:Vorlagen]]

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}}
{{Infobox Intervall
| Bruch = 10/7
| Cents = 617,49
| Monzo = 1 0 1 -1
| Namen = großer septimaler Tritonus
}}

Der '''große Tritonus''' (auch '''Eulers Tritonus''' &lt;ref&gt;[http://www.huygens-fokker.org/docs/intervalle.html Intervall-Liste auf huygens-fokker.org]&lt;/ref&gt;) (617,49 [[Cent|Cent]]) hat das Schwingungsverhältnis '''10:7''', sein [[komplementäre Intervalle|Komplementärintervall]] ist [[7/5]].

todo: Inhalte hinzufügen

== Siehe auch ==
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Tritonus Tritonus - Wikipedia]

&lt;references /&gt;

[[Kategorie:Intervall]]
[[Kategorie:7-limit]]
[[Kategorie:Tritonus]]</text>
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todo

== Verweise ==
; [https://addons.mozilla.org/de/firefox/addon/url2clipboard/ Copy URL To Clipboard]
: Eine Erweiterung für Firefox und Chrome, die für Webseiten URL und Titel automatisch in MediaWiki-Syntax ins Clipboard bringen kann. Um die Funktion über das Popup-Menü zu aktivieren, muss man in den Optionen (Abschnitt "Toolbar Button Icon") ''Auto'' auswählen und in der Browser-Konfiguration (&lt;tt&gt;about:config&lt;/tt&gt;) außerdem '''&lt;tt&gt;svg.context-properties.content.enabled&lt;/tt&gt;''' auf '''&lt;tt&gt;true&lt;/tt&gt;''' setzen.

[[Kategorie:Hilfe]]</text>
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Orwell[9]-Skala LsLsLsLss, in 22edo</text>
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[To do]</text>
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}}
Eine [[Reguläre Temperaturen|temperierte Stimmung]] heisst '''konsistent''', wenn, umgangssprachlich gesagt, die temperierten Intervalle untereinander dieselben Beziehungen zeigen wie ihre reinen Äquivalente, also z. B. wenn eine temperierte grosse Terz kombiniert mit einer temperierten kleinen Terz eine temperierte Quinte ergibt.

In einem [[Intervallraum]], wo Intervalle als Vektoren repräsentiert sind, präsentiert sich das Kombinieren von Ontervallen als einfache Vektoraddition. Wenn eine temperierte Stimmung als eine Abbildung T in einem [[Gebrochenzahlige Intervallvektoren|rationalen Intervallraum]] repräsentiert ist, bedeutet Konsistenz:

T(a) + T(a) = T(a+b)

D. h. die Temperatur-Abbildung T ist eine [https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abbildung lineare Abbildung].



[To do]</text>
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| de = konsistent
| en = Consistent
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}}
Eine [[Reguläre Temperaturen|temperierte Stimmung]] heisst '''konsistent''', wenn, umgangssprachlich gesagt, die temperierten Intervalle untereinander dieselben Beziehungen zeigen wie ihre reinen Äquivalente, also z. B. wenn eine temperierte grosse Terz kombiniert mit einer temperierten kleinen Terz eine temperierte Quinte ergibt.

In einem [[Intervallraum]], wo Intervalle als Vektoren repräsentiert sind, präsentiert sich das Kombinieren von Ontervallen als einfache Vektoraddition. Wenn eine temperierte Stimmung als eine Abbildung T in einem [[Gebrochenzahlige Intervallvektoren|rationalen Intervallraum]] repräsentiert ist, bedeutet Konsistenz:

&lt;math&gt;T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2)&lt;/math&gt;

D. h. die Temperatur-Abbildung T ist eine [https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abbildung lineare Abbildung].



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}}
Eine [[Reguläre Temperaturen|temperierte Stimmung]] heisst '''konsistent''', wenn, umgangssprachlich gesagt, die temperierten Intervalle untereinander dieselben Beziehungen zeigen wie ihre reinen Äquivalente, also z. B. wenn eine temperierte grosse Terz kombiniert mit einer temperierten kleinen Terz eine temperierte Quinte ergibt.

In einem [[Intervallraum]], wo Intervalle als Vektoren repräsentiert sind, präsentiert sich das Kombinieren von Intervallen als einfache Vektoraddition. Wenn eine temperierte Stimmung als eine Abbildung T in einem [[Gebrochenzahlige Intervallvektoren|rationalen Intervallraum]] repräsentiert ist, bedeutet Konsistenz:

&lt;math&gt;T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2)&lt;/math&gt;

D. h. die Temperatur-Abbildung T ist eine [https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abbildung lineare Abbildung]. Sie kann als Matrix geschrieben werden.

In der Praxis wird Konsistenz in der Regel nur auf einer endlichen Menge reiner Intervalle geprüft, typischerweise auf die Intervalle eines 
[[Odd-Limit]]-[[Tonalitätsdiamant|Tonalitätsdiamanten]]. Eine temperierte Stimmung ist in der Praxis in der Regel auch nur für eine begrenzte Menge Intervalle relevant, obwohl man rein mathematisch die entsprechende lineare Abbildung theoretisch auf beliebige Intervalle anwenden kann.

== Beispiel ==
Ein Beispiel für eine temperierte Stimmung, die '''nicht''' konsistent ist, ist [[25-EDO]], verstanden als Abbildung T definiert durch &lt;math&gt;T(v) = "die beste Approximation des reinen Intervalls v durch ein Element von 25-EDO". Sie ist, genauer gesagt, nicht konsistent in 7-Odd-Limit: die Approximation der harmonischen Septime ist 20 25-EDO-Schritte gross, die der reinen Quinte 15 Schritte. Die Differenz, 5 Schritte, entspricht jedoch nicht der besten Approximation von 7/6, welches in reiner Stimmung die Differenz zwischen 7/4 und 3/2 ist (die beste Approximation dafür wäre 6 Schritte groß). 

[To do]</text>
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}}
Eine [[Reguläre Temperaturen|temperierte Stimmung]] heisst '''konsistent''', wenn, umgangssprachlich gesagt, die temperierten Intervalle untereinander dieselben Beziehungen zeigen wie ihre reinen Äquivalente, also z. B. wenn eine temperierte grosse Terz kombiniert mit einer temperierten kleinen Terz eine temperierte Quinte ergibt.

In einem [[Intervallraum]], wo Intervalle als Vektoren repräsentiert sind, präsentiert sich das Kombinieren von Intervallen als einfache Vektoraddition. Wenn eine temperierte Stimmung als eine Abbildung T in einem [[Gebrochenzahlige Intervallvektoren|rationalen Intervallraum]] repräsentiert ist, bedeutet Konsistenz:

&lt;math&gt;T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2)&lt;/math&gt;

D. h. die Temperatur-Abbildung T ist eine [https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abbildung lineare Abbildung]. Sie kann als Matrix geschrieben werden.

In der Praxis wird Konsistenz in der Regel nur auf einer endlichen Menge reiner Intervalle geprüft, typischerweise auf die Intervalle eines 
[[Odd-Limit]]-[[Tonalitätsdiamant|Tonalitätsdiamanten]]. Eine temperierte Stimmung ist in der Praxis in der Regel auch nur für eine begrenzte Menge Intervalle relevant, obwohl man rein mathematisch die entsprechende lineare Abbildung theoretisch auf beliebige Intervalle anwenden kann.

== Beispiel ==
Ein Beispiel für eine temperierte Stimmung, die '''nicht''' konsistent ist, ist [[25-EDO]], verstanden als Abbildung T definiert durch 

T(v) = "die beste Approximation des reinen Intervalls v durch ein Element von 25-EDO". 

Sie ist, genauer gesagt, nicht konsistent in 7-Odd-Limit: die Approximation der [[Naturseptime|harmonischen Septime 7/4]] ist 20 25-EDO-Schritte gross, die der reinen Quinte 15 Schritte. Die Differenz, 5 Schritte, entspricht jedoch nicht der besten Approximation von 7/6, welches in reiner Stimmung die Differenz zwischen 7/4 und 3/2 ist - die beste Approximation dafür wäre 6 Schritte groß.</text>
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| ja = 一貫性
}}
Eine [[Reguläre Temperaturen|temperierte Stimmung]] heisst '''konsistent''', wenn, umgangssprachlich gesagt, die temperierten Intervalle untereinander dieselben Beziehungen zeigen wie ihre reinen Äquivalente, also z. B. wenn eine temperierte grosse Terz kombiniert mit einer temperierten kleinen Terz eine temperierte Quinte ergibt.

In einem [[Intervallraum]], wo Intervalle als Vektoren repräsentiert sind, präsentiert sich das Kombinieren von Intervallen als einfache Vektoraddition. Wenn eine temperierte Stimmung als eine Abbildung T in einem [[Gebrochenzahlige Intervallvektoren|rationalen Intervallraum]] repräsentiert ist, bedeutet Konsistenz:

&lt;math&gt;T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2)&lt;/math&gt;

D. h. die Temperatur-Abbildung T ist eine [https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abbildung lineare Abbildung]. Sie kann als Matrix geschrieben werden.

In der Praxis wird Konsistenz in der Regel nur auf einer endlichen Menge reiner Intervalle geprüft, typischerweise auf die Intervalle eines 
[[Odd-Limit]]-[[Tonalitätsdiamant|Tonalitätsdiamanten]]. Eine temperierte Stimmung ist in der Praxis in der Regel auch nur für eine begrenzte Menge Intervalle relevant, obwohl man rein mathematisch die entsprechende lineare Abbildung theoretisch auf beliebige Intervalle anwenden kann.

== Beispiel ==
Ein Beispiel für eine temperierte Stimmung, die '''nicht''' konsistent ist, ist [[25-EDO]], verstanden als Abbildung T definiert durch 

T(v) = "die beste Approximation des reinen Intervalls v durch ein Element von 25-EDO". 

Sie ist, genauer gesagt, nicht konsistent in 7-Odd-Limit: die Approximation der [[Naturseptime|harmonischen Septime 7/4]] ist 20 25-EDO-Schritte gross, die der reinen Quinte 15 Schritte. Die Differenz, 5 Schritte, entspricht jedoch nicht der besten Approximation von 7/6, welches in reiner Stimmung die Differenz zwischen 7/4 und 3/2 ist - die beste Approximation dafür wäre 6 Schritte groß.</text>
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Was wäre von einer Umbenennung in [[Gebrochenzahligen Intervallvektoren]] oder [[Rationalen Intervallvektoren]] zu halten? Natürlich sprechen sich auch diese Titel nicht leicht aus, aber die Negation ist immerhin nicht drin und dazu ist die Aussage auch spezifischer. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 20:09, 28. Okt. 2018 (UTC)</text>
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Was wäre von einer Umbenennung in [[Gebrochenzahligen Intervallvektoren]] oder [[Rationalen Intervallvektoren]] zu halten? Natürlich sprechen sich auch diese Titel nicht leicht aus, aber die Negation ist immerhin nicht drin und dazu ist die Aussage auch spezifischer. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 20:09, 28. Okt. 2018 (UTC)
:“Gebrochenzahlig“ wäre ok für mich. [[Benutzer:Hstraub|Hstraub]] ([[Benutzer Diskussion:Hstraub|Diskussion]]) 21:50, 28. Okt. 2018 (UTC)</text>
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Was wäre von einer Umbenennung in [[Gebrochenzahligen Intervallvektoren]] oder [[Rationalen Intervallvektoren]] zu halten? Natürlich sprechen sich auch diese Titel nicht leicht aus, aber die Negation ist immerhin nicht drin und dazu ist die Aussage auch spezifischer. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 20:09, 28. Okt. 2018 (UTC)
:“Gebrochenzahlig“ wäre ok für mich. [[Benutzer:Hstraub|Hstraub]] ([[Benutzer Diskussion:Hstraub|Diskussion]]) 21:50, 28. Okt. 2018 (UTC)
:: Hoppla, ich hatte mich ja voll bei der Gramatik vertan, dann fassen wir also ''[[Gebrochenzahlige Intervallvektoren]]'' ins Auge. (aber es eilt im Moment nicht) --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 23:11, 28. Okt. 2018 (UTC)</text>
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Was wäre von einer Umbenennung in [[Gebrochenzahligen Intervallvektoren]] oder [[Rationalen Intervallvektoren]] zu halten? Natürlich sprechen sich auch diese Titel nicht leicht aus, aber die Negation ist immerhin nicht drin und dazu ist die Aussage auch spezifischer. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 20:09, 28. Okt. 2018 (UTC)
:“Gebrochenzahlig“ wäre ok für mich. [[Benutzer:Hstraub|Hstraub]] ([[Benutzer Diskussion:Hstraub|Diskussion]]) 21:50, 28. Okt. 2018 (UTC)
:: Hoppla, ich hatte mich ja voll bei der Gramatik vertan, dann fassen wir also ''[[Gebrochenzahlige Intervallvektoren]]'' ins Auge. (aber es eilt im Moment nicht) --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 23:11, 28. Okt. 2018 (UTC)</text>
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Nicetone-Sala und Kadenz in 29edo</text>
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[[Kategorie:Gleichstufiges Temperament]]

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[[Kategorie:Gleichstufiges Temperament]]

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[[Kategorie:Gleichstufiges Temperament]]

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Die Negri-Temperatur ist definiert durch das Autemperieren des Kommas 16875/16384. Dieses ist der Unterschied zwischen einer [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] und drei diatonischen Halbtönen 16/15. 

Einen diatonischen Halbton über der reinen grossen Terz liegt die reine Quarte 4/3, somit ist das Komma ebenso der Unterschied zwischen einer reinen Quarte und 4 diatonischen Halbtönen.

Der entsprechend (leicht hoch-)temperierte diatonische Halbton bietet sich als Generator an. Acht Generatorschritte führen zu einer kleinen Septime, dem Komplement eines Ganztons. Das ergibt eine neuntönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]], aufgebaut aus einem Ganzton und acht "grossen Halbtönen". Besonders erwähenswert ist deren Modus der Form ssssLssss, der die Approximation eines 4:5:6-Dur-Dreiklangs auf der Tonika enthält.

[ToDo Soundbeispiele]

Die Negri-temperatur ist eine wichtige Temperatur, die besonders gut in [[19edo]] unterstützt ist.</text>
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}}[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Negri-Temperatur ist definiert durch das Autemperieren des Kommas 16875/16384. Dieses ist der Unterschied zwischen einer [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] und drei diatonischen Halbtönen 16/15. 

Einen diatonischen Halbton über der reinen grossen Terz liegt die reine Quarte 4/3, somit ist das Komma ebenso der Unterschied zwischen einer reinen Quarte und 4 diatonischen Halbtönen.

Der entsprechend (leicht hoch-)temperierte diatonische Halbton bietet sich als Generator an. Acht Generatorschritte führen zu einer kleinen Septime, dem Komplement eines Ganztons. Das ergibt eine neuntönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]], aufgebaut aus einem Ganzton und acht "grossen Halbtönen". Besonders erwähenswert ist deren Modus der Form ssssLssss, der die Approximation eines 4:5:6-Dur-Dreiklangs auf der Tonika enthält.

[ToDo Soundbeispiele]

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}}[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Negri-Temperatur ist definiert durch das Autemperieren des Kommas 16875/16384. Dieses ist der Unterschied zwischen einer [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] und drei diatonischen Halbtönen 16/15. 

Einen diatonischen Halbton über der reinen grossen Terz liegt die reine Quarte 4/3, somit ist das Komma ebenso der Unterschied zwischen einer reinen Quarte und 4 diatonischen Halbtönen.

Der entsprechend (leicht hoch-)temperierte diatonische Halbton bietet sich als Generator an. Acht Generatorschritte führen zu einer kleinen Septime, dem Komplement eines Ganztons. Das ergibt eine neuntönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]], aufgebaut aus einem Ganzton und acht "grossen Halbtönen". Besonders erwähenswert ist deren Modus der Form ssssLssss, der die Approximation eines 4:5:6-Dur-Dreiklangs auf der Tonika enthält.

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}}[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Negri-Temperatur ist definiert durch das Autemperieren des [[Komma|Kommas]] 16875/16384. Dieses ist der Unterschied zwischen einer [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] und drei [[16/15|diatonischen Halbtönen 16/15]]. 

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Der entsprechend (leicht hoch-)temperierte diatonische Halbton bietet sich als Generator an. Acht Generatorschritte führen zu einer kleinen Septime, dem Komplement eines Ganztons. Das ergibt eine neuntönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]], aufgebaut aus einem Ganzton und acht "grossen Halbtönen". Besonders erwähenswert ist deren Modus der Form ssssLssss, der die Approximation eines 4:5:6-Dur-Dreiklangs auf der Tonika enthält.

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}}[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Negri-Temperatur ist definiert durch das Autemperieren des [[Komma|Kommas]] 16875/16384. Dieses ist der Unterschied zwischen einer [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] und drei [[16/15|diatonischen Halbtönen 16/15]]. 

Einen diatonischen Halbton über der reinen grossen Terz liegt die [[4/3|reine Quarte 4/3]], somit ist das Komma ebenso der Unterschied zwischen einer reinen Quarte und 4 diatonischen Halbtönen.

Der entsprechend (leicht hoch-)temperierte diatonische Halbton bietet sich als Generator an. Acht Generatorschritte führen zu einer kleinen Septime, dem Komplement eines Ganztons. Das ergibt eine neuntönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]], aufgebaut aus einem Ganzton und acht "grossen Halbtönen". Besonders erwähenswert ist deren Modus der Form ssssLssss, der die Approximation eines 4:5:6-Dur-Dreiklangs auf der Tonika enthält.

[ToDo Soundbeispiele]

Die Negri-Temperatur ist eine wichtige Temperatur, mit guten Repräsentationen für die elementaren reinen Terzen, Quarten und Quinten. Eine besonders gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Unterstützung ist [[19edo]].</text>
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}}[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Negri-Temperatur ist definiert durch das Autemperieren des [[Komma|Kommas]] 16875/16384. Dieses ist der Unterschied zwischen einer [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] und drei [[16/15|diatonischen (grossen) Halbtönen 16/15]]. 

Einen diatonischen Halbton über der reinen grossen Terz liegt die [[4/3|reine Quarte 4/3]], somit ist das Komma ebenso der Unterschied zwischen einer reinen Quarte und 4 diatonischen Halbtönen.

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[ToDo Soundbeispiele]

Die Negri-Temperatur ist eine wichtige Temperatur, mit guten Repräsentationen für die elementaren reinen Terzen, Quarten und Quinten. Eine besonders gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Unterstützung ist [[19edo]].</text>
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}}[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Negri-Temperatur ist definiert durch das Autemperieren des [[Komma|Kommas]] 16875/16384. Dieses ist der Unterschied zwischen einer [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] und drei [[16/15|diatonischen (grossen) Halbtönen 16/15]]. 

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Der entsprechend (leicht hoch-)temperierte diatonische Halbton bietet sich als Generator an. Acht Generatorschritte führen zu einer kleinen Septime, dem Komplement eines Ganztons. Das ergibt eine neuntönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]], aufgebaut aus einem Ganzton und acht "grossen Halbtönen". Besonders erwähnenswert ist deren Modus der Form ssssLssss, der die Approximation eines 4:5:6-Dur-Dreiklangs auf der Tonika enthält.

[ToDo Soundbeispiele]

Die Negri-Temperatur ist eine wichtige Temperatur, mit guten Repräsentationen für die elementaren reinen Terzen, Quarten und Quinten. Eine besonders gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Unterstützung ist [[19edo]].</text>
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}}[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Negri-Temperatur ist eine wichtige Temperatur, mit guten Repräsentationen für die elementaren reinen Terzen, Quarten und Quinten. Sie ist definiert durch das Autemperieren des [[Komma|Kommas]] 16875/16384, dem Unterschied zwischen einer [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] und drei [[16/15|diatonischen (grossen) Halbtönen 16/15]]. 

Einen diatonischen Halbton über der reinen grossen Terz liegt die [[4/3|reine Quarte 4/3]], somit ist das Komma ebenso der Unterschied zwischen einer reinen Quarte und 4 diatonischen Halbtönen.

Der entsprechend (leicht hoch-)temperierte grosse Halbton bietet sich als Generator an. Acht Generatorschritte führen zu einer kleinen Septime, dem Komplement eines Ganztons. Das ergibt eine neuntönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]], aufgebaut aus einem Ganzton und acht grossen Halbtönen. Besonders erwähnenswert ist deren Modus der Form ssssLssss, der die Approximation eines 4:5:6-Dur-Dreiklangs auf der Tonika enthält. Ein Generatorschritt mehr ergibt eine zehntönige MOS-Skala, aufgebaut aus neun grossen und einem kleinen Halbton.

Eine besonders gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Unterstützung der Negri-Temperatur bietet [[19edo]]. Die neun- und die zehntönige Skala hängen dort so zusameen, das die eine jeweils das Komplement der anderen ist.

[ToDo Soundbeispiele]</text>
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}}[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Negri-Temperatur, benannt nach John Negri&lt;ref&gt;John Negri, The Nineteen-Tone System as Ten Plus Nine, [http://interval.xentonic.org Interval] vol. 5 no. 3, Winter 1986-1987, S. 11-13.
&lt;/ref&gt;, ist eine wichtige Temperatur, mit guten Repräsentationen für die elementaren reinen Terzen, Quarten und Quinten. Sie ist definiert durch das Autemperieren des [[Komma|Kommas]] 16875/16384, dem Unterschied zwischen einer [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] und drei [[16/15|diatonischen (grossen) Halbtönen 16/15]]. 

Einen diatonischen Halbton über der reinen grossen Terz liegt die [[4/3|reine Quarte 4/3]], somit ist das Komma ebenso der Unterschied zwischen einer reinen Quarte und 4 diatonischen Halbtönen.

Der entsprechend (leicht hoch-)temperierte grosse Halbton bietet sich als Generator an. Acht Generatorschritte führen zu einer kleinen Septime, dem Komplement eines Ganztons. Das ergibt eine neuntönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]], aufgebaut aus einem Ganzton und acht grossen Halbtönen. Besonders erwähnenswert ist deren Modus der Form ssssLssss, der die Approximation eines 4:5:6-Dur-Dreiklangs auf der Tonika enthält. Ein Generatorschritt mehr ergibt eine zehntönige MOS-Skala, aufgebaut aus neun grossen und einem kleinen Halbton.

Eine besonders gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Unterstützung der Negri-Temperatur bietet [[19edo]]. Die neun- und die zehntönige Skala hängen dort so zusameen, das die eine jeweils das Komplement der anderen ist.

[ToDo Soundbeispiele]

== Referenz ==
&lt;references /&gt;</text>
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}}[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Negri-Temperatur, benannt nach John Negri&lt;ref&gt;John Negri, The Nineteen-Tone System as Ten Plus Nine, [http://interval.xentonic.org Interval] vol. 5 no. 3, Winter 1986-1987, S. 11-13.
&lt;/ref&gt;, ist eine wichtige Temperatur, mit guten Repräsentationen für die elementaren reinen Terzen, Quarten und Quinten. Sie ist definiert durch das Autemperieren des [[Komma|Kommas]] 16875/16384, dem Unterschied zwischen einer [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] und drei [[16/15|diatonischen (grossen) Halbtönen 16/15]]. 

Einen diatonischen Halbton über der reinen grossen Terz liegt die [[4/3|reine Quarte 4/3]], somit ist das Komma ebenso der Unterschied zwischen einer reinen Quarte und 4 diatonischen Halbtönen.

Der entsprechend (leicht hoch-)temperierte grosse Halbton bietet sich als Generator an. Vier Generatorschritte bilden eine Quarte, die also auch in zwei gleiche Teile teilbar ist - ein Merkmal von [[Semiphor|Semiphor]]-Temperaturen. Das Austemperieren des entsprechenden Kommas [[49/48]] definiert die natürliche Erweiterung von Negri in 7-[[p-Limit|Limit]]. Zwei Generatorschritte bilden die Approximation sowohl des septimalen Ganztons 8/7 als auch der kleinen septimalen Terz 7/6.

Acht Generatorschritte führen zu einer kleinen Septime, dem Komplement eines Ganztons. Das ergibt eine neuntönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]], aufgebaut aus einem Ganzton und acht grossen Halbtönen. Besonders erwähnenswert ist deren Modus der Form ssssLssss, der die Approximation eines 4:5:6-Dur-Dreiklangs auf der Tonika enthält. Ein Generatorschritt mehr ergibt eine zehntönige MOS-Skala, aufgebaut aus neun grossen und einem kleinen Halbton.

[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige]] Tonsysteme mit guter Unterstützung der Negri-Temperatur sind [[19edo]] und [[29edo]]. In 19edo hängen die neun- und die zehntönige Skala so zusameen, das die eine jeweils das Komplement der anderen ist.

[ToDo Soundbeispiele]

== Referenz ==
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}}[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Negri-Temperatur, benannt nach John Negri&lt;ref&gt;John Negri, The Nineteen-Tone System as Ten Plus Nine, [http://interval.xentonic.org Interval] vol. 5 no. 3, Winter 1986-1987, S. 11-13.
&lt;/ref&gt;, ist eine wichtige Temperatur, mit guten Repräsentationen für die elementaren reinen Terzen, Quarten und Quinten. Sie ist definiert durch das Autemperieren des [[Komma|Kommas]] 16875/16384, dem Unterschied zwischen einer [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] und drei [[16/15|diatonischen (grossen) Halbtönen 16/15]]. 

Einen diatonischen Halbton über der reinen grossen Terz liegt die [[4/3|reine Quarte 4/3]], somit ist das Komma ebenso der Unterschied zwischen einer reinen Quarte und 4 diatonischen Halbtönen.

Der entsprechend (leicht hoch-)temperierte grosse Halbton bietet sich als Generator an. Vier Generatorschritte bilden eine Quarte, die also auch in zwei gleiche Teile teilbar ist - ein Merkmal von [[Semiphor, Semiphor, Godzilla|Semiphor]]-Temperaturen. Das Austemperieren des entsprechenden Kommas [[49/48]] definiert die natürliche Erweiterung von Negri in 7-[[p-Limit|Limit]]. Zwei Generatorschritte bilden die Approximation sowohl des septimalen Ganztons 8/7 als auch der kleinen septimalen Terz 7/6.

Acht Generatorschritte führen zu einer kleinen Septime, dem Komplement eines Ganztons. Das ergibt eine neuntönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]], aufgebaut aus einem Ganzton und acht grossen Halbtönen. Besonders erwähnenswert ist deren Modus der Form ssssLssss, der die Approximation eines 4:5:6-Dur-Dreiklangs auf der Tonika enthält. Ein Generatorschritt mehr ergibt eine zehntönige MOS-Skala, aufgebaut aus neun grossen und einem kleinen Halbton.

[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige]] Tonsysteme mit guter Unterstützung der Negri-Temperatur sind [[19edo]] und [[29edo]]. In 19edo hängen die neun- und die zehntönige Skala so zusameen, das die eine jeweils das Komplement der anderen ist.

[ToDo Soundbeispiele]

== Referenz ==
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}}[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Negri-Temperatur, benannt nach John Negri&lt;ref&gt;John Negri, The Nineteen-Tone System as Ten Plus Nine, [http://interval.xentonic.org Interval] vol. 5 no. 3, Winter 1986-1987, S. 11-13.
&lt;/ref&gt;, ist eine wichtige Temperatur, mit guten Repräsentationen für die elementaren reinen Terzen, Quarten und Quinten. Sie ist definiert durch das Autemperieren des [[Komma|Kommas]] 16875/16384, dem Unterschied zwischen einer [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] und drei [[16/15|diatonischen (grossen) Halbtönen 16/15]]. 

Einen diatonischen Halbton über der reinen grossen Terz liegt die [[4/3|reine Quarte 4/3]], somit ist das Komma ebenso der Unterschied zwischen einer reinen Quarte und 4 diatonischen Halbtönen.

Der entsprechend (leicht hoch-)temperierte grosse Halbton bietet sich als Generator an. Vier Generatorschritte bilden eine Quarte, die also auch in zwei gleiche Teile teilbar ist - ein Merkmal von [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semiphor]]-Temperaturen. Das Austemperieren des entsprechenden Kommas [[49/48]] definiert die natürliche Erweiterung von Negri in 7-[[p-Limit|Limit]]. Zwei Generatorschritte bilden die Approximation sowohl des septimalen Ganztons 8/7 als auch der kleinen septimalen Terz 7/6.

Acht Generatorschritte führen zu einer kleinen Septime, dem Komplement eines Ganztons. Das ergibt eine neuntönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]], aufgebaut aus einem Ganzton und acht grossen Halbtönen. Besonders erwähnenswert ist deren Modus der Form ssssLssss, der die Approximation eines 4:5:6-Dur-Dreiklangs auf der Tonika enthält. Ein Generatorschritt mehr ergibt eine zehntönige MOS-Skala, aufgebaut aus neun grossen und einem kleinen Halbton.

[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige]] Tonsysteme mit guter Unterstützung der Negri-Temperatur sind [[19edo]] und [[29edo]]. In 19edo hängen die neun- und die zehntönige Skala so zusameen, das die eine jeweils das Komplement der anderen ist.

[ToDo Soundbeispiele]

== Referenz ==
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}}[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Negri-Temperatur, benannt nach John Negri&lt;ref&gt;John Negri, The Nineteen-Tone System as Ten Plus Nine, [http://interval.xentonic.org Interval] vol. 5 no. 3, Winter 1986-1987, S. 11-13.
&lt;/ref&gt;, ist eine wichtige Temperatur, mit guten Repräsentationen für die elementaren reinen Terzen, Quarten und Quinten. Sie ist definiert durch das Autemperieren des [[Komma|Kommas]] 16875/16384, dem Unterschied zwischen einer [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] und drei [[16/15|diatonischen (grossen) Halbtönen 16/15]]. 

Einen diatonischen Halbton über der reinen grossen Terz liegt die [[4/3|reine Quarte 4/3]], somit ist das Komma ebenso der Unterschied zwischen einer reinen Quarte und 4 diatonischen Halbtönen.

Der entsprechend (leicht hoch-)temperierte grosse Halbton bietet sich als Generator an. Vier Generatorschritte bilden eine Quarte, die also auch in zwei gleiche Teile teilbar ist - ein Merkmal von [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semiphor]]-Temperaturen. Das Austemperieren des entsprechenden Kommas [[49/48]] definiert die natürliche Erweiterung von Negri in 7-[[p-Limit|Limit]]. Zwei Generatorschritte bilden die Approximation sowohl des septimalen Ganztons 8/7 als auch der kleinen septimalen Terz 7/6.

Acht Generatorschritte führen zu einer kleinen Septime, dem Komplement eines Ganztons. Das ergibt eine neuntönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]], aufgebaut aus einem Ganzton und acht grossen Halbtönen. Besonders erwähnenswert ist deren Modus der Form ssssLssss, der die Approximation eines 4:5:6-Dur-Dreiklangs auf der Tonika enthält. Ein Generatorschritt mehr ergibt eine zehntönige MOS-Skala, aufgebaut aus neun grossen und einem kleinen Halbton.

[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige]] Tonsysteme mit guter Unterstützung der Negri-Temperatur sind [[19edo]] und [[29edo]]. In 19edo hängen die neun- und die zehntönige Skala so zusammen, das die eine jeweils das Komplement der anderen ist.

[ToDo Soundbeispiele]

== Referenz ==
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}}[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Negri-Temperatur, benannt nach John Negri&lt;ref&gt;John Negri, The Nineteen-Tone System as Ten Plus Nine, [http://interval.xentonic.org Interval] vol. 5 no. 3, Winter 1986-1987, S. 11-13.
&lt;/ref&gt;, ist eine wichtige Temperatur, mit guten Repräsentationen für die elementaren reinen Terzen, Quarten und Quinten. Sie ist definiert durch das Autemperieren des [[Komma|Kommas]] 16875/16384, dem Unterschied zwischen einer [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] und drei [[16/15|diatonischen (grossen) Halbtönen 16/15]]. 

Einen diatonischen Halbton über der reinen grossen Terz liegt die [[4/3|reine Quarte 4/3]], somit ist das Komma ebenso der Unterschied zwischen einer reinen Quarte und 4 diatonischen Halbtönen.

Der entsprechend (leicht hoch-)temperierte grosse Halbton bietet sich als Generator an. Vier Generatorschritte bilden eine Quarte, die also auch in zwei gleiche Teile teilbar ist - ein Merkmal von [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semiphor]]-Temperaturen. Das Austemperieren des entsprechenden Kommas [[49/48]] definiert die natürliche Erweiterung von Negri in 7-[[p-Limit|Limit]]. Zwei Generatorschritte bilden die Approximation sowohl des septimalen Ganztons 8/7 als auch der kleinen septimalen Terz 7/6.

Ein in zwei gleiche Teile teilbarer septimaler Ganzton ist wiederum ein typisches Merkmal von [[Marvel]]- Temperaturen - 7-Limit-Negri ist auch eine Marvel-Temperatur, den Unterschied zwischen 16/15 und 15/14 austemperierend.

== MOS-Skalen ==
Acht Generatorschritte führen zu einer kleinen Septime, dem Komplement eines Ganztons. Das ergibt eine neuntönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]], aufgebaut aus einem Ganzton und acht grossen Halbtönen. Besonders erwähnenswert ist deren Modus der Form ssssLssss, der die Approximation eines 4:5:6-Dur-Dreiklangs auf der Tonika enthält. 

Ein Generatorschritt mehr ergibt eine zehntönige MOS-Skala, aufgebaut aus neun grossen und einem kleinen Halbton.

== Gleichstufige Tonsysteme ==
[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige]] Tonsysteme mit guter Unterstützung der Negri-Temperatur sind [[19edo]] und [[29edo]]. In 19edo hängen die neun- und die zehntönige Skala so zusammen, das die eine jeweils das Komplement der anderen ist.

[ToDo Soundbeispiele]

== Referenz ==
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}}[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Negri-Temperatur, benannt nach John Negri&lt;ref&gt;John Negri, The Nineteen-Tone System as Ten Plus Nine, [http://interval.xentonic.org Interval] vol. 5 no. 3, Winter 1986-1987, S. 11-13.
&lt;/ref&gt;, ist eine wichtige Temperatur, mit guten Repräsentationen für die elementaren reinen Terzen, Quarten und Quinten. Sie ist definiert durch das Autemperieren des [[Komma|Kommas]] 16875/16384, dem Unterschied zwischen einer [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] und drei [[16/15|diatonischen (grossen) Halbtönen 16/15]]. 

Einen diatonischen Halbton über der reinen grossen Terz liegt die [[4/3|reine Quarte 4/3]], somit ist das Komma ebenso der Unterschied zwischen einer reinen Quarte und 4 diatonischen Halbtönen.

Der entsprechend (leicht hoch-)temperierte grosse Halbton bietet sich als Generator an. Vier Generatorschritte bilden eine Quarte, die also auch in zwei gleiche Teile teilbar ist - ein Merkmal von [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semiphor]]-Temperaturen. Das Austemperieren des entsprechenden Kommas [[49/48]] definiert die natürliche Erweiterung von Negri in 7-[[p-Limit|Limit]]. Zwei Generatorschritte bilden die Approximation sowohl des septimalen Ganztons 8/7 als auch der kleinen septimalen Terz 7/6.

Ein in zwei gleiche Teile teilbarer septimaler Ganzton ist wiederum ein typisches Merkmal von [[Marvel]]- Temperaturen - 7-Limit-Negri ist auch eine Marvel-Temperatur, den Unterschied zwischen 16/15 und 15/14 austemperierend.

== MOS-Skalen ==
Acht Generatorschritte führen zu einer kleinen Septime, dem Komplement eines Ganztons. Das ergibt eine neuntönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]], aufgebaut aus einem Ganzton und acht grossen Halbtönen. Besonders erwähnenswert ist deren Modus der Form ssssLssss, der die Approximation eines 4:5:6-Dur-Dreiklangs auf der Tonika enthält. 

Ein Generatorschritt mehr ergibt eine zehntönige MOS-Skala, aufgebaut aus neun grossen und einem kleinen Halbton.

== Gleichstufige Tonsysteme ==
[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige]] Tonsysteme mit guter Unterstützung der Negri-Temperatur bis zu 7-Limit sind [[19edo]] und [[29edo]]. In 19edo hängen die neun- und die zehntönige Skala so zusammen, das die eine jeweils das Komplement der anderen ist.

[ToDo Soundbeispiele]

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}}[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Negri-Temperatur, benannt nach John Negri&lt;ref&gt;John Negri, The Nineteen-Tone System as Ten Plus Nine, [http://interval.xentonic.org Interval] vol. 5 no. 3, Winter 1986-1987, S. 11-13.
&lt;/ref&gt;, ist eine wichtige Temperatur, mit guten Repräsentationen für die elementaren reinen Terzen, Quarten und Quinten. Sie ist definiert durch das Autemperieren des [[Komma|Kommas]] 16875/16384, dem Unterschied zwischen einer [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] und drei [[16/15|diatonischen (grossen) Halbtönen 16/15]]. 

Einen diatonischen Halbton über der reinen grossen Terz liegt die [[4/3|reine Quarte 4/3]], somit ist das Komma ebenso der Unterschied zwischen einer reinen Quarte und 4 diatonischen Halbtönen.

Der entsprechend (leicht hoch-)temperierte grosse Halbton bietet sich als Generator an. Vier Generatorschritte bilden eine Quarte, die also auch in zwei gleiche Teile teilbar ist - ein Merkmal von [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semiphor]]-Temperaturen. Das Austemperieren des entsprechenden Kommas [[49/48]] definiert die natürliche Erweiterung von Negri in 7-[[p-Limit|Limit]]. Zwei Generatorschritte bilden die Approximation sowohl des septimalen Ganztons 8/7 als auch der kleinen septimalen Terz 7/6.

Ein in zwei gleiche Teile teilbarer septimaler Ganzton ist wiederum ein typisches Merkmal von [[Marvel]]- Temperaturen - 7-Limit-Negri ist auch eine Marvel-Temperatur, den Unterschied zwischen 16/15 und 15/14 austemperierend.

== MOS-Skalen ==
Acht Generatorschritte führen zu einer kleinen Septime, dem Komplement eines Ganztons. Das ergibt eine neuntönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]], aufgebaut aus einem Ganzton und acht grossen Halbtönen. Besonders erwähnenswert ist deren Modus der Form ssssLssss, der die Approximation eines 4:5:6-Dur-Dreiklangs auf der Tonika enthält. 

Ein Generatorschritt mehr ergibt eine zehntönige MOS-Skala, aufgebaut aus neun grossen und einem kleinen Halbton.

== Gleichstufige Tonsysteme ==
[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige]] Tonsysteme mit guter Unterstützung der Negri-Temperatur bis zu 7-Limit sind [[19edo]] und [[29edo]]. In 19edo hängen die neun- und die zehntönige Skala so zusammen, das die eine jeweils das Komplement der anderen ist.

Weitere denkbare gleichstufige Systeme (teils Grenzfälle) sind [[9edo]], [[10edo]], [[28edo]], [[47edo]], [[48edo]]. Im Grenzfall 9edo degeneriert die neuntönige MOS-Skala zu einer völlig gleichförmigen, alle Töne von 9edo enthaltenden Skala, in 10edo passiert dasselbe mit der zehntönigen MOS-Skala.

== Referenz ==
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}}[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Negri-Temperatur, benannt nach John Negri&lt;ref&gt;John Negri, The Nineteen-Tone System as Ten Plus Nine, [http://interval.xentonic.org Interval] vol. 5 no. 3, Winter 1986-1987, S. 11-13.
&lt;/ref&gt;, ist eine wichtige Temperatur, mit guten Repräsentationen für die elementaren reinen Terzen, Quarten und Quinten. Sie ist definiert durch das Autemperieren des [[Komma|Kommas]] 16875/16384, dem Unterschied zwischen einer [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] und drei [[16/15|diatonischen (grossen) Halbtönen 16/15]]. 

Einen diatonischen Halbton über der reinen grossen Terz liegt die [[4/3|reine Quarte 4/3]], somit ist das Komma ebenso der Unterschied zwischen einer reinen Quarte und 4 diatonischen Halbtönen.

Der entsprechend (leicht hoch-)temperierte grosse Halbton bietet sich als Generator an. Vier Generatorschritte bilden eine Quarte, die also auch in zwei gleiche Teile teilbar ist - ein Merkmal von [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semiphor]]-Temperaturen. Das Austemperieren des entsprechenden Kommas [[49/48]] definiert die natürliche Erweiterung von Negri in 7-[[p-Limit|Limit]]. Zwei Generatorschritte bilden die Approximation sowohl des septimalen Ganztons 8/7 als auch der kleinen septimalen Terz 7/6.

Ein in zwei gleiche Teile teilbarer septimaler Ganzton ist wiederum ein typisches Merkmal von [[Marvel]]- Temperaturen - 7-Limit-Negri ist auch eine Marvel-Temperatur, den Unterschied zwischen 16/15 und 15/14 austemperierend.

== MOS-Skalen ==
Acht Generatorschritte führen zu einer kleinen Septime, dem Komplement eines Ganztons. Das ergibt eine neuntönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]], aufgebaut aus einem Ganzton und acht grossen Halbtönen. Besonders erwähnenswert ist deren Modus der Form ssssLssss, der die Approximation eines 4:5:6-Dur-Dreiklangs auf der Tonika enthält. 

Ein Generatorschritt mehr ergibt eine zehntönige MOS-Skala, aufgebaut aus neun grossen und einem kleinen Halbton.

[ToDo Soundbeispiele]

== Gleichstufige Tonsysteme ==
[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige]] Tonsysteme mit guter Unterstützung der Negri-Temperatur bis zu 7-Limit sind [[19edo]] und [[29edo]]. In 19edo hängen die neun- und die zehntönige Skala so zusammen, das die eine jeweils das Komplement der anderen ist.

Weitere denkbare gleichstufige Systeme (teils Grenzfälle) sind [[9edo]], [[10edo]], [[28edo]], [[47edo]], [[48edo]]. Im Grenzfall 9edo degeneriert die neuntönige MOS-Skala zu einer völlig gleichförmigen, alle Töne von 9edo enthaltenden Skala, in 10edo passiert dasselbe mit der zehntönigen MOS-Skala.

== Referenz ==
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}}[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Negri-Temperatur, benannt nach John Negri&lt;ref&gt;John Negri, The Nineteen-Tone System as Ten Plus Nine, [http://interval.xentonic.org Interval] vol. 5 no. 3, Winter 1986-1987, S. 11-13.
&lt;/ref&gt;, ist eine wichtige Temperatur, mit guten Repräsentationen für die elementaren reinen Terzen, Quarten und Quinten. Sie ist definiert durch das Autemperieren des [[Komma|Kommas]] 16875/16384, dem Unterschied zwischen einer [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] und drei [[16/15|diatonischen (grossen) Halbtönen 16/15]]. 

Einen diatonischen Halbton über der reinen grossen Terz liegt die [[4/3|reine Quarte 4/3]], somit ist das Komma ebenso der Unterschied zwischen einer reinen Quarte und 4 diatonischen Halbtönen.

Der entsprechend (leicht hoch-)temperierte grosse Halbton bietet sich als Generator an. Vier Generatorschritte bilden eine Quarte, die also auch in zwei gleiche Teile teilbar ist - ein Merkmal von [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semiphor]]-Temperaturen. Das Austemperieren des entsprechenden Kommas [[49/48]] definiert die natürliche Erweiterung von Negri in 7-[[p-Limit|Limit]]. Zwei Generatorschritte bilden die Approximation sowohl des septimalen Ganztons 8/7 als auch der kleinen septimalen Terz 7/6.

Ein in zwei gleiche Teile teilbarer septimaler Ganzton ist wiederum ein typisches Merkmal von [[Marvel]]- Temperaturen - 7-Limit-Negri ist auch eine Marvel-Temperatur, den Unterschied zwischen 16/15 und 15/14 austemperierend.

== MOS-Skalen ==
Acht Generatorschritte führen zu einer kleinen Septime, dem Komplement eines Ganztons. Das ergibt eine neuntönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]], aufgebaut aus einem Ganzton und acht grossen Halbtönen. Besonders erwähnenswert ist deren Modus der Form ssssLssss, der die Approximation eines 4:5:6-Dur-Dreiklangs auf der Tonika enthält. 

Ein Generatorschritt mehr ergibt eine zehntönige MOS-Skala, aufgebaut aus neun grossen und einem kleinen Halbton.

[ToDo Soundbeispiele]

== Gleichstufige Tonsysteme ==
[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige]] Tonsysteme mit guter Unterstützung der Negri-Temperatur bis zu 7-Limit sind [[19edo]] und [[29edo]]. In 19edo hängen die neun- und die zehntönige Skala so zusammen, dass die eine jeweils das Komplement der anderen ist.

Weitere denkbare gleichstufige Systeme (teils Grenzfälle) sind [[9edo]], [[10edo]], [[28edo]], [[47edo]], [[48edo]]. Im Grenzfall 9edo degeneriert die neuntönige MOS-Skala zu einer völlig gleichförmigen, alle Töne von 9edo enthaltenden Skala, in 10edo passiert dasselbe mit der zehntönigen MOS-Skala.

== Referenz ==
&lt;references /&gt;</text>
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      <contributor>
        <username>Hstraub</username>
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}}[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Negri-Temperatur, benannt nach John Negri&lt;ref&gt;John Negri, The Nineteen-Tone System as Ten Plus Nine, [http://interval.xentonic.org Interval] vol. 5 no. 3, Winter 1986-1987, S. 11-13.
&lt;/ref&gt;, ist eine wichtige Temperatur, mit guten Repräsentationen für die elementaren reinen Terzen, Quarten und Quinten. Sie ist definiert durch das Autemperieren des [[Komma|Kommas]] 16875/16384, dem Unterschied zwischen einer [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] und drei [[16/15|diatonischen (grossen) Halbtönen 16/15]]. 

Einen diatonischen Halbton über der reinen grossen Terz liegt die [[4/3|reine Quarte 4/3]], somit ist das Komma ebenso der Unterschied zwischen einer reinen Quarte und 4 diatonischen Halbtönen.

Der entsprechend (leicht hoch-)temperierte grosse Halbton bietet sich als Generator an. Vier Generatorschritte bilden eine Quarte, die also auch in zwei gleiche Teile teilbar ist - ein Merkmal von [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semiphor]]-Temperaturen. Das Austemperieren des entsprechenden Kommas [[49/48]] definiert die natürliche Erweiterung von Negri in 7-[[p-Limit|Limit]]. Zwei Generatorschritte bilden die Approximation sowohl des septimalen Ganztons 8/7 als auch der kleinen septimalen Terz 7/6.

Ein in zwei gleiche Teile teilbarer septimaler Ganzton ist wiederum ein typisches Merkmal von [[Marvel]]- Temperaturen - 7-Limit-Negri ist auch eine Marvel-Temperatur, den Unterschied zwischen 16/15 und 15/14 austemperierend.

== MOS-Skalen ==
Acht Generatorschritte führen zu einer kleinen Septime, dem Komplement eines Ganztons. Das ergibt eine neuntönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]], aufgebaut aus einem Ganzton und acht grossen Halbtönen. Besonders erwähnenswert ist deren Modus der Form ssssLssss, der die Approximation eines 4:5:6-Dur-Dreiklangs auf der Tonika enthält. 

Ein Generatorschritt mehr ergibt eine zehntönige MOS-Skala, aufgebaut aus neun grossen und einem kleinen Halbton.

[ToDo Soundbeispiele]

== Gleichstufige Tonsysteme ==
[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige]] Tonsysteme mit guter Unterstützung der Negri-Temperatur bis zu 7-Limit sind [[19edo]] und [[29edo]]. In 19edo hängen die neun- und die zehntönige Skala so zusammen, dass die eine jeweils das Komplement der anderen ist.

Weitere denkbare gleichstufige Systeme (teils Grenzfälle) sind [[9edo]], [[10edo]], [[28edo]], [[47edo]], [[48edo]]. Im Grenzfall 9edo degeneriert die neuntönige MOS-Skala zu einer völlig gleichförmigen, alle Töne von 9edo enthaltenden Skala, im Grenzfall 10edo passiert dasselbe mit der zehntönigen MOS-Skala.

== Referenz ==
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}}[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Negri-Temperatur, benannt nach John Negri&lt;ref&gt;John Negri, The Nineteen-Tone System as Ten Plus Nine, [http://interval.xentonic.org Interval] vol. 5 no. 3, Winter 1986-1987, S. 11-13.
&lt;/ref&gt;, ist eine wichtige Temperatur, mit guten Repräsentationen für die elementaren reinen Terzen, Quarten und Quinten. Sie ist definiert durch das Autemperieren des [[Komma|Kommas]] 16875/16384, dem Unterschied zwischen einer [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] und drei [[16/15|diatonischen (grossen) Halbtönen 16/15]]. 

Einen diatonischen Halbton über der reinen grossen Terz liegt die [[4/3|reine Quarte 4/3]], somit ist das Komma ebenso der Unterschied zwischen einer reinen Quarte und 4 diatonischen Halbtönen.

Der entsprechend (leicht hoch-)temperierte grosse Halbton bietet sich als Generator an. Vier Generatorschritte bilden eine Quarte, die also auch in zwei gleiche Teile teilbar ist - ein Merkmal von [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semiphor]]-Temperaturen. Das Austemperieren des entsprechenden Kommas [[49/48]] definiert die natürliche Erweiterung von Negri in 7-[[p-Limit|Limit]]. Zwei Generatorschritte bilden die Approximation sowohl des septimalen Ganztons 8/7 als auch der kleinen septimalen Terz 7/6.

Ein in zwei gleiche Teile teilbarer septimaler Ganzton ist wiederum ein typisches Merkmal von [[Marvel]]- Temperaturen - 7-Limit-Negri ist auch eine Marvel-Temperatur, den Unterschied zwischen 16/15 und 15/14 austemperierend.

== MOS-Skalen ==
Acht Generatorschritte führen zu einer kleinen Septime, dem Komplement eines Ganztons. Das ergibt eine neuntönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]], aufgebaut aus einem Ganzton und acht grossen Halbtönen. Von ihren 9 Modi verfügen zwei über die Approximation eines 4:5:6-Dur-Dreiklangs in der Tonika, weitere zwei die eines Moll-Dreiklangs. Erwähnenswert ist der vollsymmetrische Dur-Modus der Form ssssLssss, ferner der Moll-Modus Lssssssss, welcher in der Tonika einen Moll-Vierklang mit einer angefügten Sexte und in der Quinte (Dominante) dessen Umkehrung, einen 4:5:6:7-Dominant-Septakkord, enthält. 

Potentiell interessant ist auch, dass eine siebentönige Teilmenge der neuntönigen Negri-Skala der bekannten https://de.m.wikipedia.org/wiki/Zigeunertonleiter entspricht.

Ein Generatorschritt mehr ergibt eine zehntönige MOS-Skala, aufgebaut aus neun grossen und einem kleinen Halbton.

[ToDo Soundbeispiele]

== Gleichstufige Tonsysteme ==
[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige]] Tonsysteme mit guter Unterstützung der Negri-Temperatur bis zu 7-Limit sind [[19edo]] und [[29edo]]. In 19edo hängen die neun- und die zehntönige Skala so zusammen, dass die eine jeweils das Komplement der anderen ist.

Weitere denkbare gleichstufige Systeme (teils Grenzfälle) sind [[9edo]], [[10edo]], [[28edo]], [[47edo]], [[48edo]]. Im Grenzfall 9edo degeneriert die neuntönige MOS-Skala zu einer völlig gleichförmigen, alle Töne von 9edo enthaltenden Skala, im Grenzfall 10edo passiert dasselbe mit der zehntönigen MOS-Skala.

== Referenz ==
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}}[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Negri-Temperatur, benannt nach John Negri&lt;ref&gt;John Negri, The Nineteen-Tone System as Ten Plus Nine, [http://interval.xentonic.org Interval] vol. 5 no. 3, Winter 1986-1987, S. 11-13.
&lt;/ref&gt;, ist eine wichtige Temperatur, mit guten Repräsentationen für die elementaren reinen Terzen, Quarten und Quinten. Sie ist definiert durch das Autemperieren des [[Komma|Kommas]] 16875/16384, dem Unterschied zwischen einer [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] und drei [[16/15|diatonischen (grossen) Halbtönen 16/15]]. 

Einen diatonischen Halbton über der reinen grossen Terz liegt die [[4/3|reine Quarte 4/3]], somit ist das Komma ebenso der Unterschied zwischen einer reinen Quarte und 4 diatonischen Halbtönen.

Der entsprechend (leicht hoch-)temperierte grosse Halbton bietet sich als Generator an. Vier Generatorschritte bilden eine Quarte, die also auch in zwei gleiche Teile teilbar ist - ein Merkmal von [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semiphor]]-Temperaturen. Das Austemperieren des entsprechenden Kommas [[49/48]] definiert die natürliche Erweiterung von Negri in 7-[[p-Limit|Limit]]. Zwei Generatorschritte bilden die Approximation sowohl des septimalen Ganztons 8/7 als auch der kleinen septimalen Terz 7/6.

Ein in zwei gleiche Teile teilbarer septimaler Ganzton ist wiederum ein typisches Merkmal von [[Marvel]]- Temperaturen - 7-Limit-Negri ist auch eine Marvel-Temperatur, den Unterschied zwischen 16/15 und 15/14 austemperierend.

== MOS-Skalen ==
Acht Generatorschritte führen zu einer kleinen Septime, dem Komplement eines Ganztons. Das ergibt eine neuntönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]], aufgebaut aus einem Ganzton und acht grossen Halbtönen. Von ihren 9 Modi verfügen zwei über die Approximation eines 4:5:6-Dur-Dreiklangs in der Tonika, weitere zwei die eines Moll-Dreiklangs. Erwähnenswert ist der vollsymmetrische Dur-Modus der Form ssssLssss, ferner der Moll-Modus Lssssssss, welcher in der Tonika einen Moll-Vierklang mit einer angefügten Sexte und in der Quinte (Dominante) dessen Umkehrung, einen 4:5:6:7-Dominant-Septakkord, enthält. 

Potentiell interessant ist auch, dass eine siebentönige Teilmenge der neuntönigen Negri-Skala die bekannte [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Zigeunertonleiter "Zigeunertonleiter"] bildet.

Ein Generatorschritt mehr ergibt eine zehntönige MOS-Skala, aufgebaut aus neun grossen und einem kleinen Halbton.

[ToDo Soundbeispiele]

== Gleichstufige Tonsysteme ==
[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige]] Tonsysteme mit guter Unterstützung der Negri-Temperatur bis zu 7-Limit sind [[19edo]] und [[29edo]]. In 19edo hängen die neun- und die zehntönige Skala so zusammen, dass die eine jeweils das Komplement der anderen ist.

Weitere denkbare gleichstufige Systeme (teils Grenzfälle) sind [[9edo]], [[10edo]], [[28edo]], [[47edo]], [[48edo]]. Im Grenzfall 9edo degeneriert die neuntönige MOS-Skala zu einer völlig gleichförmigen, alle Töne von 9edo enthaltenden Skala, im Grenzfall 10edo passiert dasselbe mit der zehntönigen MOS-Skala.

== Referenz ==
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}}[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Negri-Temperatur, benannt nach John Negri&lt;ref&gt;John Negri, The Nineteen-Tone System as Ten Plus Nine, [http://interval.xentonic.org Interval] vol. 5 no. 3, Winter 1986-1987, S. 11-13.
&lt;/ref&gt;, ist eine wichtige Temperatur, mit guten Repräsentationen für die elementaren reinen Terzen, Quarten und Quinten. Sie ist definiert durch das Autemperieren des [[Komma|Kommas]] 16875/16384, dem Unterschied zwischen einer [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] und drei [[16/15|diatonischen (grossen) Halbtönen 16/15]]. 

Einen diatonischen Halbton über der reinen grossen Terz liegt die [[4/3|reine Quarte 4/3]], somit ist das Komma ebenso der Unterschied zwischen einer reinen Quarte und 4 diatonischen Halbtönen.

Der entsprechend (leicht hoch-)temperierte grosse Halbton bietet sich als Generator an. Vier Generatorschritte bilden eine Quarte, die also auch in zwei gleiche Teile teilbar ist - ein Merkmal von [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semiphor]]-Temperaturen. Das Austemperieren des entsprechenden Kommas [[49/48]] definiert die natürliche Erweiterung von Negri in 7-[[p-Limit|Limit]]. Zwei Generatorschritte bilden die Approximation sowohl des septimalen Ganztons 8/7 als auch der kleinen septimalen Terz 7/6.

Ein in zwei gleiche Teile teilbarer septimaler Ganzton ist wiederum ein typisches Merkmal von [[Marvel]]- Temperaturen - 7-Limit-Negri ist auch eine Marvel-Temperatur, den Unterschied zwischen 16/15 und 15/14 austemperierend.

== MOS-Skalen ==
Acht Generatorschritte führen zu einer kleinen Septime, dem Komplement eines Ganztons. Das ergibt eine neuntönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]], aufgebaut aus einem Ganzton und acht grossen Halbtönen. Von ihren 9 Modi verfügen zwei über die Approximation eines 4:5:6-Dur-Dreiklangs in der Tonika, weitere zwei die eines Moll-Dreiklangs. Erwähnenswert ist der vollsymmetrische Dur-Modus der Form ssssLssss, ferner der Moll-Modus Lssssssss, welcher in der Tonika einen Moll-Vierklang mit angefügter Sexte und in der Quinte (Dominante) dessen Umkehrung, einen 4:5:6:7-Dominant-Septakkord, enthält. 

Potentiell interessant ist auch, dass eine siebentönige Teilmenge der neuntönigen Negri-Skala die bekannte [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Zigeunertonleiter "Zigeunertonleiter"] bildet.

Ein Generatorschritt mehr ergibt eine zehntönige MOS-Skala, aufgebaut aus neun grossen und einem kleinen Halbton.

[ToDo Soundbeispiele]

== Gleichstufige Tonsysteme ==
[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige]] Tonsysteme mit guter Unterstützung der Negri-Temperatur bis zu 7-Limit sind [[19edo]] und [[29edo]]. In 19edo hängen die neun- und die zehntönige Skala so zusammen, dass die eine jeweils das Komplement der anderen ist.

Weitere denkbare gleichstufige Systeme (teils Grenzfälle) sind [[9edo]], [[10edo]], [[28edo]], [[47edo]], [[48edo]]. Im Grenzfall 9edo degeneriert die neuntönige MOS-Skala zu einer völlig gleichförmigen, alle Töne von 9edo enthaltenden Skala, im Grenzfall 10edo passiert dasselbe mit der zehntönigen MOS-Skala.

== Referenz ==
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}}[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Negri-Temperatur, benannt nach John Negri&lt;ref&gt;John Negri, The Nineteen-Tone System as Ten Plus Nine, [http://interval.xentonic.org Interval] vol. 5 no. 3, Winter 1986-1987, S. 11-13.
&lt;/ref&gt;, ist eine wichtige Temperatur, mit guten Repräsentationen für die elementaren reinen Terzen, Quarten und Quinten. Sie ist definiert durch das Autemperieren des [[Komma|Kommas]] 16875/16384, dem Unterschied zwischen einer [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] und drei [[16/15|diatonischen (grossen) Halbtönen 16/15]]. 

Einen diatonischen Halbton über der reinen grossen Terz liegt die [[4/3|reine Quarte 4/3]], somit ist das Komma ebenso der Unterschied zwischen einer reinen Quarte und 4 diatonischen Halbtönen.

Der entsprechend (leicht hoch-)temperierte grosse Halbton bietet sich als Generator an. Vier Generatorschritte bilden eine Quarte, die also auch in zwei gleiche Teile teilbar ist - ein Merkmal von [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semiphor]]-Temperaturen. Das Austemperieren des entsprechenden Kommas [[49/48]] definiert die natürliche Erweiterung von Negri in 7-[[p-Limit|Limit]]. Zwei Generatorschritte bilden die Approximation sowohl des septimalen Ganztons 8/7 als auch der kleinen septimalen Terz 7/6.

Ein in zwei gleiche Teile teilbarer septimaler Ganzton ist wiederum ein typisches Merkmal von [[Marvel]]- Temperaturen - 7-Limit-Negri ist auch eine Marvel-Temperatur, den Unterschied zwischen 16/15 und 15/14 austemperierend.

== MOS-Skalen ==
Acht Generatorschritte führen zu einer kleinen Septime, dem Komplement eines Ganztons. Das ergibt eine neuntönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]], aufgebaut aus einem Ganzton und acht grossen Halbtönen. 

Von den 9 Modi der neuntönigen Negri-Skala verfügen zwei über die Approximation eines 4:5:6-Dur-Dreiklangs in der Tonika, weitere zwei über die eines Moll-Dreiklangs. 

Erwähnenswert ist der Dur-Modus der Form ssssLssss, welcher, analog zu den Tetrachorden der [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Musiktheorie_im_antiken_Griechenland altgriechischen Musiktheorie], zwei vollsymmetrische "Pentachorde" enthält.

Interessant ist ferner der Moll-Modus Lssssssss, welcher in der Tonika einen Moll-Vierklang mit angefügter Sexte und in der Quinte (Dominante) dessen Umkehrung, einen 4:5:6:7-Dominant-Septakkord, enthält. 

Potentiell interessant ist auch, dass eine siebentönige Teilmenge der neuntönigen Negri-Skala die bekannte [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Zigeunertonleiter "Zigeunertonleiter"] bildet.

Ein Generatorschritt mehr ergibt eine zehntönige MOS-Skala, aufgebaut aus neun grossen und einem kleinen Halbton.

[ToDo Soundbeispiele]

== Gleichstufige Tonsysteme ==
[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige]] Tonsysteme mit guter Unterstützung der Negri-Temperatur bis zu 7-Limit sind [[19edo]] und [[29edo]]. In 19edo hängen die neun- und die zehntönige Skala so zusammen, dass die eine jeweils das Komplement der anderen ist.

Weitere denkbare gleichstufige Systeme (teils Grenzfälle) sind [[9edo]], [[10edo]], [[28edo]], [[47edo]], [[48edo]]. Im Grenzfall 9edo degeneriert die neuntönige MOS-Skala zu einer völlig gleichförmigen, alle Töne von 9edo enthaltenden Skala, im Grenzfall 10edo passiert dasselbe mit der zehntönigen MOS-Skala.

== Referenz ==
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}}[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Negri-Temperatur, benannt nach John Negri&lt;ref&gt;John Negri, The Nineteen-Tone System as Ten Plus Nine, [http://interval.xentonic.org Interval] vol. 5 no. 3, Winter 1986-1987, S. 11-13.
&lt;/ref&gt;, ist eine wichtige Temperatur, mit guten Repräsentationen für die elementaren reinen Terzen, Quarten und Quinten. Sie ist definiert durch das Autemperieren des [[Komma|Kommas]] 16875/16384, dem Unterschied zwischen einer [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] und drei [[16/15|diatonischen (grossen) Halbtönen 16/15]]. 

Einen diatonischen Halbton über der reinen grossen Terz liegt die [[4/3|reine Quarte 4/3]], somit ist das Komma ebenso der Unterschied zwischen einer reinen Quarte und 4 diatonischen Halbtönen.

Der entsprechend (leicht hoch-)temperierte grosse Halbton bietet sich als Generator an. Vier Generatorschritte bilden eine Quarte, die also auch in zwei gleiche Teile teilbar ist - ein Merkmal von [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semiphor]]-Temperaturen. Das Austemperieren des entsprechenden Kommas [[49/48]] definiert die natürliche Erweiterung von Negri in 7-[[p-Limit|Limit]]. Zwei Generatorschritte bilden die Approximation sowohl des septimalen Ganztons 8/7 als auch der kleinen septimalen Terz 7/6.

Ein in zwei gleiche Teile teilbarer septimaler Ganzton ist wiederum ein typisches Merkmal von [[Marvel]]- Temperaturen - 7-Limit-Negri ist auch eine Marvel-Temperatur, den Unterschied zwischen 16/15 und 15/14 austemperierend.

== MOS-Skalen ==
Acht Generatorschritte führen zu einer kleinen Septime, dem Komplement eines Ganztons. Das ergibt eine neuntönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]], aufgebaut aus einem Ganzton und acht grossen Halbtönen. 

Von den 9 Modi der neuntönigen Negri-Skala verfügen zwei über die Approximation eines 4:5:6-Dur-Dreiklangs in der Tonika, weitere zwei über die eines Moll-Dreiklangs. 

Erwähnenswert ist der Dur-Modus der Form ssssLssss, welcher, analog zu den Tetrachorden der [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Musiktheorie_im_antiken_Griechenland altgriechischen Musiktheorie], zwei vollsymmetrische "Pentachorde" enthält.

Interessant ist ferner der Moll-Modus Lssssssss, welcher in der Tonika einen Moll-Vierklang mit angefügter Sexte und in der Quinte (Dominante) dessen Umkehrung, einen 4:5:6:7-Dominant-Septakkord, enthält. 

Potentiell interessant ist auch, dass eine siebentönige Teilmenge der neuntönigen Negri-Skala die bekannte [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Zigeunertonleiter "Zigeunertonleiter"] bildet.

Ein Generatorschritt mehr ergibt eine zehntönige MOS-Skala, aufgebaut aus neun grossen und einem kleinen Halbton.

[ToDo Soundbeispiele]

== Gleichstufige Tonsysteme ==
[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige]] Tonsysteme mit guter Unterstützung der Negri-Temperatur bis zu 7-Limit sind [[19edo]] und [[29edo]]. In 19edo hängen die neun- und die zehntönige Skala so zusammen, dass die eine jeweils das Komplement der anderen ist.

Weitere denkbare gleichstufige Systeme (teils Grenzfälle) sind [[9edo]], [[10edo]], [[28edo]], [[47edo]], [[48edo]]. Im Grenzfall 9edo degeneriert die neuntönige MOS-Skala zu einer völlig gleichförmigen, alle Töne von 9edo enthaltenden Skala, im Grenzfall 10edo passiert dasselbe mit der zehntönigen MOS-Skala.

== Varianten ==
Neben der bereits erwähnten natürlichen Erweiterung in 7-Limit gibt es noch eine natürliche Erweiterung in den [[Intervallraum]], welcher aus dem 7-Limit-Raum durch Hinzunehmen der Primzahl 13 entsteht (jedoch unter Auslassen der 11). Zwei Generatorschritte approximieren dann neben 8/7 und 7/6 auch 15/13, drei Schritte neben 5/4 auch 16/13. Austemperierte Kommas sind 65/64 und 91/90.

In 11-Limit gibt es verschiedene Varianten. Siehe [[en:https://en:Negri_extensions]] (englischsprachiger Artikel).

== Referenz ==
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| de = Negri
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}}[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Negri-Temperatur, benannt nach John Negri&lt;ref&gt;John Negri, The Nineteen-Tone System as Ten Plus Nine, [http://interval.xentonic.org Interval] vol. 5 no. 3, Winter 1986-1987, S. 11-13.
&lt;/ref&gt;, ist eine wichtige Temperatur, mit guten Repräsentationen für die elementaren reinen Terzen, Quarten und Quinten. Sie ist definiert durch das Autemperieren des [[Komma|Kommas]] 16875/16384, dem Unterschied zwischen einer [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] und drei [[16/15|diatonischen (grossen) Halbtönen 16/15]]. 

Einen diatonischen Halbton über der reinen grossen Terz liegt die [[4/3|reine Quarte 4/3]], somit ist das Komma ebenso der Unterschied zwischen einer reinen Quarte und 4 diatonischen Halbtönen.

Der entsprechend (leicht hoch-)temperierte grosse Halbton bietet sich als Generator an. Vier Generatorschritte bilden eine Quarte, die also auch in zwei gleiche Teile teilbar ist - ein Merkmal von [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semiphor]]-Temperaturen. Das Austemperieren des entsprechenden Kommas [[49/48]] definiert die natürliche Erweiterung von Negri in 7-[[p-Limit|Limit]]. Zwei Generatorschritte bilden die Approximation sowohl des septimalen Ganztons 8/7 als auch der kleinen septimalen Terz 7/6.

Ein in zwei gleiche Teile teilbarer septimaler Ganzton ist wiederum ein typisches Merkmal von [[Marvel]]- Temperaturen - 7-Limit-Negri ist auch eine Marvel-Temperatur, den Unterschied zwischen 16/15 und 15/14 austemperierend.

== MOS-Skalen ==
Acht Generatorschritte führen zu einer kleinen Septime, dem Komplement eines Ganztons. Das ergibt eine neuntönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]], aufgebaut aus einem Ganzton und acht grossen Halbtönen. 

Von den 9 Modi der neuntönigen Negri-Skala verfügen zwei über die Approximation eines 4:5:6-Dur-Dreiklangs in der Tonika, weitere zwei über die eines Moll-Dreiklangs. 

Erwähnenswert ist der Dur-Modus der Form ssssLssss, welcher, analog zu den Tetrachorden der [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Musiktheorie_im_antiken_Griechenland altgriechischen Musiktheorie], zwei vollsymmetrische "Pentachorde" enthält.

Interessant ist ferner der Moll-Modus Lssssssss, welcher in der Tonika einen Moll-Vierklang mit angefügter Sexte und in der Quinte (Dominante) dessen Umkehrung, einen 4:5:6:7-Dominant-Septakkord, enthält. 

Potentiell interessant ist auch, dass eine siebentönige Teilmenge der neuntönigen Negri-Skala die bekannte [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Zigeunertonleiter "Zigeunertonleiter"] bildet.

Ein Generatorschritt mehr ergibt eine zehntönige MOS-Skala, aufgebaut aus neun grossen und einem kleinen Halbton.

[ToDo Soundbeispiele]

== Gleichstufige Tonsysteme ==
[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige]] Tonsysteme mit guter Unterstützung der Negri-Temperatur bis zu 7-Limit sind [[19edo]] und [[29edo]]. In 19edo hängen die neun- und die zehntönige Skala so zusammen, dass die eine jeweils das Komplement der anderen ist.

Weitere denkbare gleichstufige Systeme (teils Grenzfälle) sind [[9edo]], [[10edo]], [[28edo]], [[47edo]], [[48edo]]. Im Grenzfall 9edo degeneriert die neuntönige MOS-Skala zu einer völlig gleichförmigen, alle Töne von 9edo enthaltenden Skala, im Grenzfall 10edo passiert dasselbe mit der zehntönigen MOS-Skala.

== Varianten ==
Neben der bereits erwähnten natürlichen Erweiterung in 7-Limit gibt es noch eine natürliche Erweiterung in den [[Intervallraum]], welcher aus dem 7-Limit-Raum durch Hinzunehmen der Primzahl 13 entsteht (jedoch unter Auslassen der 11). Zwei Generatorschritte approximieren dann neben 8/7 und 7/6 auch 15/13, drei Schritte neben 5/4 auch 16/13. Austemperierte Kommas sind 65/64 und 91/90.

In 11-Limit gibt es verschiedene Varianten. Siehe [[:en:Negri_extensions]] (englischsprachiger Artikel).

== Referenz ==
&lt;references /&gt;</text>
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}}[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Negri-Temperatur, benannt nach John Negri&lt;ref&gt;John Negri, The Nineteen-Tone System as Ten Plus Nine, [http://interval.xentonic.org Interval] vol. 5 no. 3, Winter 1986-1987, S. 11-13.
&lt;/ref&gt;, ist eine wichtige Temperatur, mit guten Repräsentationen für die elementaren reinen Terzen, Quarten und Quinten. Sie ist definiert durch das Autemperieren des [[Komma|Kommas]] 16875/16384, dem Unterschied zwischen einer [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] und drei [[16/15|diatonischen (grossen) Halbtönen 16/15]]. 

Einen diatonischen Halbton über der reinen grossen Terz liegt die [[4/3|reine Quarte 4/3]], somit ist das Komma ebenso der Unterschied zwischen einer reinen Quarte und 4 diatonischen Halbtönen.

Der entsprechend (leicht hoch-)temperierte grosse Halbton bietet sich als Generator an. Vier Generatorschritte bilden eine Quarte, die also auch in zwei gleiche Teile teilbar ist - ein Merkmal von [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semiphor]]-Temperaturen. Das Austemperieren des entsprechenden Kommas [[49/48]] definiert die natürliche Erweiterung von Negri in 7-[[p-Limit|Limit]]. Zwei Generatorschritte bilden die Approximation sowohl des septimalen Ganztons 8/7 als auch der kleinen septimalen Terz 7/6.

Ein in zwei gleiche Teile teilbarer septimaler Ganzton ist wiederum ein typisches Merkmal von [[Marvel]]- Temperaturen - 7-Limit-Negri ist auch eine Marvel-Temperatur, den Unterschied zwischen 16/15 und 15/14 austemperierend.

== MOS-Skalen ==
Acht Generatorschritte führen zu einer kleinen Septime, dem Komplement eines Ganztons. Das ergibt eine neuntönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]], aufgebaut aus einem Ganzton und acht grossen Halbtönen. 

Von den 9 Modi der neuntönigen Negri-Skala verfügen zwei über die Approximation eines 4:5:6-Dur-Dreiklangs in der Tonika, weitere zwei über die eines Moll-Dreiklangs. 

Erwähnenswert ist der Dur-Modus der Form ssssLssss, welcher, analog zu den Tetrachorden der [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Musiktheorie_im_antiken_Griechenland altgriechischen Musiktheorie], zwei vollsymmetrische "Pentachorde" enthält.

Interessant ist ferner der Moll-Modus Lssssssss, welcher in der Tonika einen Moll-Vierklang mit angefügter Sexte und in der Quinte (Dominante) dessen Umkehrung, einen 4:5:6:7-Dominant-Septakkord, enthält. 

Potentiell interessant ist auch, dass eine siebentönige Teilmenge der neuntönigen Negri-Skala die bekannte [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Zigeunertonleiter "Zigeunertonleiter"] bildet.

Ein Generatorschritt mehr ergibt eine zehntönige MOS-Skala, aufgebaut aus neun grossen und einem kleinen Halbton.

[ToDo Soundbeispiele]

== Gleichstufige Tonsysteme ==
[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige]] Tonsysteme mit guter Unterstützung der Negri-Temperatur bis zu 7-Limit sind [[19edo]] und [[29edo]]. In 19edo hängen die neun- und die zehntönige Skala so zusammen, dass die eine jeweils das Komplement der anderen ist.

Weitere denkbare gleichstufige Systeme (teils Grenzfälle) sind [[9edo]], [[10edo]], [[28edo]], [[47edo]], [[48edo]]. Im Grenzfall 9edo degeneriert die neuntönige MOS-Skala zu einer völlig gleichförmigen, alle Töne von 9edo enthaltenden Skala, im Grenzfall 10edo passiert dasselbe mit der zehntönigen MOS-Skala.

== Varianten ==
Neben der bereits erwähnten natürlichen Erweiterung in 7-Limit gibt es noch eine natürliche Erweiterung in den [[Intervallraum]], welcher aus dem 7-Limit-Raum durch Hinzunehmen der Primzahl 13 entsteht (jedoch unter Auslassen der 11). Zwei Generatorschritte approximieren dann neben 8/7 und 7/6 auch 15/13, drei Schritte neben 5/4 auch 16/13. Austemperierte Kommas sind 65/64 und 91/90.

In 11-Limit gibt es verschiedene Varianten. Siehe dazu im [[:en:Negri_extensions|englischsprachigen Xenwiki]].

== Referenz ==
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}}[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Negri-Temperatur, benannt nach John Negri&lt;ref&gt;John Negri, The Nineteen-Tone System as Ten Plus Nine, [http://interval.xentonic.org Interval] vol. 5 no. 3, Winter 1986-1987, S. 11-13.
&lt;/ref&gt;, ist eine wichtige Temperatur, mit guten Repräsentationen für die elementaren reinen Terzen, Quarten und Quinten. Sie ist definiert durch das Autemperieren des [[Komma|Kommas]] 16875/16384, dem Unterschied zwischen einer [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] und drei [[16/15|diatonischen (grossen) Halbtönen 16/15]]. 

Einen diatonischen Halbton über der reinen grossen Terz liegt die [[4/3|reine Quarte 4/3]], somit ist das Komma ebenso der Unterschied zwischen einer reinen Quarte und 4 diatonischen Halbtönen.

Der entsprechend (leicht hoch-)temperierte grosse Halbton bietet sich als Generator an. Vier Generatorschritte bilden eine Quarte, die also auch in zwei gleiche Teile teilbar ist - ein Merkmal von [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semiphor]]-Temperaturen. Das Austemperieren des entsprechenden Kommas [[49/48]] definiert die natürliche Erweiterung von Negri in 7-[[p-Limit|Limit]]. Zwei Generatorschritte bilden die Approximation sowohl des septimalen Ganztons 8/7 als auch der kleinen septimalen Terz 7/6.

Ein in zwei gleiche Teile teilbarer septimaler Ganzton ist wiederum ein typisches Merkmal von [[Marvel]]- Temperaturen - 7-Limit-Negri ist auch eine Marvel-Temperatur, den Unterschied zwischen 16/15 und 15/14 austemperierend.

== MOS-Skalen ==
Acht Generatorschritte führen zu einer kleinen Septime, dem Komplement eines Ganztons. Das ergibt eine neuntönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]], aufgebaut aus einem Ganzton und acht grossen Halbtönen. 

Von den 9 Modi der neuntönigen Negri-Skala verfügen zwei über die Approximation eines 4:5:6-Dur-Dreiklangs in der Tonika, weitere zwei über die eines Moll-Dreiklangs. 

Erwähnenswert ist der Dur-Modus der Form ssssLssss, welcher, analog zu den Tetrachorden der [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Musiktheorie_im_antiken_Griechenland altgriechischen Musiktheorie], zwei vollsymmetrische "Pentachorde" enthält.

Interessant ist ferner der Moll-Modus Lssssssss, welcher in der Tonika einen Moll-Vierklang mit angefügter Sexte und in der Quinte (Dominante) dessen Umkehrung, einen 4:5:6:7-Dominant-Septakkord, enthält. 

Potentiell interessant ist auch, dass eine siebentönige Teilmenge der neuntönigen Negri-Skala die bekannte [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Zigeunertonleiter "Zigeunertonleiter"] bildet.

Ein Generatorschritt mehr ergibt eine zehntönige MOS-Skala, aufgebaut aus neun grossen und einem kleinen Halbton.

[ToDo Soundbeispiele]

== Gleichstufige Tonsysteme ==
[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige]] Tonsysteme mit guter Unterstützung der Negri-Temperatur bis zu 7-Limit sind [[19edo]] und [[29edo]]. In 19edo hängen die neun- und die zehntönige Skala so zusammen, dass die eine jeweils das Komplement der anderen ist.

Weitere denkbare gleichstufige Systeme (teils Grenzfälle) sind [[9edo]], [[10edo]], [[28edo]], [[47edo]], [[48edo]]. Im Grenzfall 9edo degeneriert die neuntönige MOS-Skala zu einer völlig gleichförmigen, alle Töne von 9edo enthaltenden Skala, im Grenzfall 10edo passiert dasselbe mit der zehntönigen MOS-Skala.

== Varianten ==
Neben der bereits erwähnten natürlichen Erweiterung in 7-Limit gibt es noch eine natürliche Erweiterung in den [[Intervallraum]], welcher aus dem 7-Limit-Raum durch Hinzunehmen der Primzahl 13 entsteht (jedoch unter Auslassen der 11). Zwei Generatorschritte approximieren dann neben 8/7 und 7/6 auch 15/13, drei Schritte neben 5/4 auch 16/13. Austemperierte [[Komma|Kommas]] sind 65/64 und 91/90.

In 11-Limit gibt es verschiedene Varianten. Siehe dazu im [[:en:Negri_extensions|englischsprachigen Xenwiki]].

== Referenz ==
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}}[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Negri-Temperatur, benannt nach John Negri&lt;ref&gt;John Negri, The Nineteen-Tone System as Ten Plus Nine, [http://interval.xentonic.org Interval] vol. 5 no. 3, Winter 1986-1987, S. 11-13.
&lt;/ref&gt;, ist eine wichtige Temperatur, mit guten Repräsentationen für die elementaren reinen Terzen, Quarten und Quinten. Sie ist definiert durch das Autemperieren des [[Komma|Kommas]] 16875/16384, dem Unterschied zwischen einer [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] und drei [[16/15|diatonischen (grossen) Halbtönen 16/15]]. 

Einen diatonischen Halbton über der reinen grossen Terz liegt die [[4/3|reine Quarte 4/3]], somit ist das Komma ebenso der Unterschied zwischen einer reinen Quarte und 4 diatonischen Halbtönen.

Der entsprechend (leicht hoch-)temperierte grosse Halbton bietet sich als Generator an. Vier Generatorschritte bilden eine Quarte, die also auch in zwei gleiche Teile teilbar ist - ein Merkmal von [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semiphor]]-Temperaturen. Das Austemperieren des entsprechenden Kommas [[49/48]] definiert die natürliche Erweiterung von Negri in 7-[[p-Limit|Limit]]. Zwei Generatorschritte bilden die Approximation sowohl des septimalen Ganztons 8/7 als auch der kleinen septimalen Terz 7/6.

Ein in zwei gleiche Teile teilbarer septimaler Ganzton ist wiederum ein typisches Merkmal von [[Marvel]]- Temperaturen - 7-Limit-Negri ist auch eine Marvel-Temperatur, den Unterschied zwischen 16/15 und 15/14 austemperierend.

== MOS-Skalen ==
Acht Generatorschritte führen zu einer kleinen Septime, dem Komplement eines Ganztons. Das ergibt eine neuntönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]], aufgebaut aus einem Ganzton und acht grossen Halbtönen. 

Von den 9 Modi der neuntönigen Negri-Skala verfügen zwei über die Approximation eines 4:5:6-Dur-Dreiklangs in der Tonika, weitere zwei über die eines Moll-Dreiklangs. 

Erwähnenswert ist der Dur-Modus der Form ssssLssss, welcher, analog zu den Tetrachorden der [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Musiktheorie_im_antiken_Griechenland altgriechischen Musiktheorie], zwei vollsymmetrische "Pentachorde" enthält.

Interessant ist ferner der Moll-Modus Lssssssss, welcher in der Tonika einen Moll-Vierklang mit angefügter Sexte und in der Quinte (Dominante) dessen Umkehrung, einen 4:5:6:7-Dominant-Septakkord, enthält. 

Potentiell interessant ist auch, dass eine siebentönige Teilmenge der neuntönigen Negri-Skala die bekannte [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Zigeunertonleiter "Zigeunertonleiter"] bildet.


[[Datei:19edoNegriSymmetricalMajor.mp3|Neuntönige Negri-Skala, Dur-Modus ssssLssss, in 19edo]]

Neuntönige Negri-Skala, Dur-Modus ssssLssss, in 19edo

Ein Generatorschritt mehr ergibt eine zehntönige MOS-Skala, aufgebaut aus neun grossen und einem kleinen Halbton.

== Gleichstufige Tonsysteme ==
[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige]] Tonsysteme mit guter Unterstützung der Negri-Temperatur bis zu 7-Limit sind [[19edo]] und [[29edo]]. In 19edo hängen die neun- und die zehntönige Skala so zusammen, dass die eine jeweils das Komplement der anderen ist.

Weitere denkbare gleichstufige Systeme (teils Grenzfälle) sind [[9edo]], [[10edo]], [[28edo]], [[47edo]], [[48edo]]. Im Grenzfall 9edo degeneriert die neuntönige MOS-Skala zu einer völlig gleichförmigen, alle Töne von 9edo enthaltenden Skala, im Grenzfall 10edo passiert dasselbe mit der zehntönigen MOS-Skala.

== Varianten ==
Neben der bereits erwähnten natürlichen Erweiterung in 7-Limit gibt es noch eine natürliche Erweiterung in den [[Intervallraum]], welcher aus dem 7-Limit-Raum durch Hinzunehmen der Primzahl 13 entsteht (jedoch unter Auslassen der 11). Zwei Generatorschritte approximieren dann neben 8/7 und 7/6 auch 15/13, drei Schritte neben 5/4 auch 16/13. Austemperierte [[Komma|Kommas]] sind 65/64 und 91/90.

In 11-Limit gibt es verschiedene Varianten. Siehe dazu im [[:en:Negri_extensions|englischsprachigen Xenwiki]].

== Referenz ==
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}}[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Negri-Temperatur, benannt nach John Negri&lt;ref&gt;John Negri, The Nineteen-Tone System as Ten Plus Nine, [http://interval.xentonic.org Interval] vol. 5 no. 3, Winter 1986-1987, S. 11-13.
&lt;/ref&gt;, ist eine wichtige Temperatur, mit guten Repräsentationen für die elementaren reinen Terzen, Quarten und Quinten. Sie ist definiert durch das Autemperieren des [[Komma|Kommas]] 16875/16384, dem Unterschied zwischen einer [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] und drei [[16/15|diatonischen (grossen) Halbtönen 16/15]]. 

Einen diatonischen Halbton über der reinen grossen Terz liegt die [[4/3|reine Quarte 4/3]], somit ist das Komma ebenso der Unterschied zwischen einer reinen Quarte und 4 diatonischen Halbtönen.

Der entsprechend (leicht hoch-)temperierte grosse Halbton bietet sich als Generator an. Vier Generatorschritte bilden eine Quarte, die also auch in zwei gleiche Teile teilbar ist - ein Merkmal von [[Semiphor, Semaphor, Godzilla|Semiphor]]-Temperaturen. Das Austemperieren des entsprechenden Kommas [[49/48]] definiert die natürliche Erweiterung von Negri in 7-[[p-Limit|Limit]]. Zwei Generatorschritte bilden die Approximation sowohl des septimalen Ganztons 8/7 als auch der kleinen septimalen Terz 7/6.

Ein in zwei gleiche Teile teilbarer septimaler Ganzton ist wiederum ein typisches Merkmal von [[Marvel]]- Temperaturen - 7-Limit-Negri ist auch eine Marvel-Temperatur, den Unterschied zwischen 16/15 und 15/14 austemperierend.

== MOS-Skalen ==
Acht Generatorschritte führen zu einer kleinen Septime, dem Komplement eines Ganztons. Das ergibt eine neuntönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]], aufgebaut aus einem Ganzton und acht grossen Halbtönen. 

Von den 9 Modi der neuntönigen Negri-Skala verfügen zwei über die Approximation eines 4:5:6-Dur-Dreiklangs in der Tonika, weitere zwei über die eines Moll-Dreiklangs. 

Erwähnenswert ist der Dur-Modus der Form ssssLssss, welcher, analog zu den Tetrachorden der [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Musiktheorie_im_antiken_Griechenland altgriechischen Musiktheorie], zwei vollsymmetrische "Pentachorde" enthält.

[[Datei:19edoNegriSymmetricalMajor.mp3|Neuntönige Negri-Skala, Dur-Modus ssssLssss, in 19edo]]

Neuntönige Negri-Skala, Dur-Modus ssssLssss, in 19edo

Interessant ist ferner der Moll-Modus Lssssssss, welcher in der Tonika einen Moll-Vierklang mit angefügter Sexte und in der Quinte (Dominante) dessen Umkehrung, einen 4:5:6:7-Dominant-Septakkord, enthält. 

Potentiell interessant ist auch, dass eine siebentönige Teilmenge der neuntönigen Negri-Skala die bekannte [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Zigeunertonleiter "Zigeunertonleiter"] bildet.

Ein Generatorschritt mehr ergibt eine zehntönige MOS-Skala, aufgebaut aus neun grossen und einem kleinen Halbton.

== Gleichstufige Tonsysteme ==
[[Gleichstufige Tonsysteme|Gleichstufige]] Tonsysteme mit guter Unterstützung der Negri-Temperatur bis zu 7-Limit sind [[19edo]] und [[29edo]]. In 19edo hängen die neun- und die zehntönige Skala so zusammen, dass die eine jeweils das Komplement der anderen ist.

Weitere denkbare gleichstufige Systeme (teils Grenzfälle) sind [[9edo]], [[10edo]], [[28edo]], [[47edo]], [[48edo]]. Im Grenzfall 9edo degeneriert die neuntönige MOS-Skala zu einer völlig gleichförmigen, alle Töne von 9edo enthaltenden Skala, im Grenzfall 10edo passiert dasselbe mit der zehntönigen MOS-Skala.

== Varianten ==
Neben der bereits erwähnten natürlichen Erweiterung in 7-Limit gibt es noch eine natürliche Erweiterung in den [[Intervallraum]], welcher aus dem 7-Limit-Raum durch Hinzunehmen der Primzahl 13 entsteht (jedoch unter Auslassen der 11). Zwei Generatorschritte approximieren dann neben 8/7 und 7/6 auch 15/13, drei Schritte neben 5/4 auch 16/13. Austemperierte [[Komma|Kommas]] sind 65/64 und 91/90.

In 11-Limit gibt es verschiedene Varianten. Siehe dazu im [[:en:Negri_extensions|englischsprachigen Xenwiki]].

== Referenz ==
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      <comment>Hstraub verschob die Seite [[Limit]] nach [[P-Limit]]: Begriffsklärung (Unterscheidung von Prim-Limit und Odd-Limit)</comment>
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Der Begriff “Odd-Limit”, wie auch der verwandte, jedoch nicht zu verwechselnde Begriff [[P-Limit|Prim-Limit oder P-Limit]], geht zurück auf [[Harry_Partch|Harry Partch]].


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Der Begriff “Odd-Limit”, wie auch der verwandte, jedoch nicht zu verwechselnde Begriff [[P-Limit|Prim-Limit oder P-Limit]], geht zurück auf [[Harry_Partch|Harry Partch]]. Der englische Begriff wäre am ehesten mit “ungerade-Limit” zu übersetzen, denn er ist definiert für ungerade Zahlen (auf Englisch odd number).

Für eine positive ungerade Zahl q und eine beliebige rationale Zahl r gilt: r hat die q-Odd-Limit-Eigenschaft, wenn r von der Form  2^i*u/v ist, mit positiven ungeraden Zahlen u, v kleiner oder gleich q und einer beliebigen (positiven oder negativen) ganzen Zahl.

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Der Begriff “Odd-Limit”, wie auch der verwandte, jedoch nicht zu verwechselnde Begriff [[P-Limit|Prim-Limit oder P-Limit]], geht zurück auf [[Harry_Partch|Harry Partch]]. Der englische Begriff wäre am ehesten mit “ungerade-Limit” zu übersetzen, denn er ist definiert für ungerade Zahlen (auf Englisch odd number).

Für eine positive ungerade Zahl q und eine beliebige rationale Zahl r gilt: r hat die q-Odd-Limit-Eigenschaft, wenn r von der Form  2^i*u/v ist, mit positiven ungeraden Zahlen u, v kleiner oder gleich q und einer beliebigen (positiven oder negativen) ganzen Zahl.

Die Menge der q-Odd-Limit-Intervalle besteht also namentlich aus den Obertönen bis zu Nummer q, den Intervallen zwischen diesen sowie deren Inversen.

Odd-Limit ist natürlich auch für Primzahlen definiert, die Eigenschaft ist jedoch von Prim-Limit verschieden. So sind die Intervalle 3/2 (reine Quinte) und 4/3 (reine Quarte) sowohl 3-Prim- wie 3-Odd-Limit; der große Ganzton 9/8 hingegen ist 3-Prim-Limit, jedoch 9-Odd-Limit, und der kleine Ganzton 10/9 ist ebenfalls 9-Odd-Limit, aber 5-Prim-Limit.



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Der Begriff “Odd-Limit”, wie auch der verwandte, jedoch nicht zu verwechselnde Begriff [[P-Limit|Prim-Limit oder P-Limit]], geht zurück auf [[Harry_Partch|Harry Partch]]. Der englische Begriff wäre am ehesten mit “ungerade-Limit” zu übersetzen, denn er ist definiert für ungerade Zahlen (auf Englisch odd number).

Für eine positive ungerade Zahl q und eine beliebige rationale Zahl r gilt: r hat die q-Odd-Limit-Eigenschaft, wenn r von der Form  2^i*u/v ist, mit positiven ungeraden Zahlen u, v kleiner oder gleich q und einer beliebigen (positiven oder negativen) ganzen Zahl.

Die Menge der q-Odd-Limit-Intervalle besteht also namentlich aus den Obertönen bis zu Nummer q, den Intervallen zwischen diesen sowie deren Inversen.

Odd-Limit ist natürlich auch für Primzahlen definiert, die Eigenschaft ist jedoch von Prim-Limit verschieden. So sind die Intervalle 3/2 (reine Quinte) und 4/3 (reine Quarte) sowohl 3-Prim- wie 3-Odd-Limit; der große Ganzton 9/8 hingegen ist 3-Prim-Limit, jedoch 9-Odd-Limit, und der kleine Ganzton 10/9 ist ebenfalls 9-Odd-Limit, aber 5-Prim-Limit.

Sinnvoll ist eine Beschränkung g auf Frequenzverhältnisse zwischen 1/1 und 2/1 (Intervalle in oktavreduzierter Form). Die Gesamtzahl der oktavreduzierten Odd-Limit-Intervalle zu einer gegebenen Zahl q ist endlich (ein weiterer Gegensatz zu den Prim-Limit-Intervallen).</text>
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Der Begriff “Odd-Limit”, wie auch der verwandte, jedoch nicht zu verwechselnde Begriff [[P-Limit|Prim-Limit oder P-Limit]], geht zurück auf [[Harry_Partch|Harry Partch]]. Der englische Begriff wäre am ehesten mit “ungerade-Limit” zu übersetzen, denn er ist definiert für ungerade Zahlen (auf Englisch odd number).

Für eine positive ungerade Zahl q und eine beliebige rationale Zahl r gilt: r hat die q-Odd-Limit-Eigenschaft, wenn r von der Form  2^i*u/v ist, mit positiven ungeraden Zahlen u, v kleiner oder gleich q und i einer beliebigen (positiven oder negativen) ganzen Zahl.

Die Menge der q-Odd-Limit-Intervalle besteht also namentlich aus den Obertönen bis zu Nummer q, den Intervallen zwischen diesen sowie deren Inversen.

Odd-Limit ist natürlich auch für Primzahlen definiert, die Eigenschaft ist jedoch von Prim-Limit verschieden. So sind die Intervalle 3/2 (reine Quinte) und 4/3 (reine Quarte) sowohl 3-Prim- wie 3-Odd-Limit; der große Ganzton 9/8 hingegen ist 3-Prim-Limit, jedoch 9-Odd-Limit, und der kleine Ganzton 10/9 ist ebenfalls 9-Odd-Limit, aber 5-Prim-Limit.

Sinnvoll ist eine Beschränkung auf Frequenzverhältnisse zwischen 1/1 und 2/1 (Intervalle in oktavreduzierter Form). Die Gesamtzahl der oktavreduzierten Odd-Limit-Intervalle zu einer gegebenen Zahl q ist endlich (ein weiterer Gegensatz zu den Prim-Limit-Intervallen). Odd-Limit liefert so eine praktikable Definition für etwa die Aufgabe, eine vollständige Liste aller Intervalle mit “einfachen” Frequenzverhältnissen zu erstellen.

Die oktavreduzierten q-Odd-Limit-Intervalle bilden die Grundmenge des [[Tonaliätsdiamant|Tonalitätsdiamanten]] zur Zahl q.</text>
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Der Begriff “Odd-Limit”, wie auch der verwandte, jedoch nicht zu verwechselnde Begriff [[P-Limit|Prim-Limit oder P-Limit]], geht zurück auf [[Harry_Partch|Harry Partch]]. Der englische Begriff wäre am ehesten mit “ungerade-Limit” zu übersetzen, denn er ist definiert für ungerade Zahlen (auf Englisch odd number).

Für eine positive ungerade Zahl q und eine beliebige rationale Zahl r gilt: r hat die q-Odd-Limit-Eigenschaft, wenn r von der Form  2^i*u/v ist, mit positiven ungeraden Zahlen u, v kleiner oder gleich q und i einer beliebigen (positiven oder negativen) ganzen Zahl.

Die Menge der q-Odd-Limit-Intervalle besteht also namentlich aus den Obertönen bis zu Nummer q, den Intervallen zwischen diesen sowie deren Inversen.

Odd-Limit ist natürlich auch für Primzahlen definiert, die Eigenschaft ist jedoch von Prim-Limit verschieden. So sind die Intervalle 3/2 (reine Quinte) und 4/3 (reine Quarte) sowohl 3-Prim- wie 3-Odd-Limit; der große Ganzton 9/8 hingegen ist 3-Prim-Limit, jedoch 9-Odd-Limit, und der kleine Ganzton 10/9 ist ebenfalls 9-Odd-Limit, aber 5-Prim-Limit.

Sinnvoll ist eine Beschränkung auf Frequenzverhältnisse zwischen 1/1 und 2/1 (Intervalle in oktavreduzierter Form). Die Gesamtzahl der oktavreduzierten Odd-Limit-Intervalle zu einer gegebenen Zahl q ist endlich (ein weiterer Gegensatz zu den Prim-Limit-Intervallen). Odd-Limit liefert so eine praktikable Definition für etwa die Aufgabe, eine vollständige Liste aller Intervalle mit “einfachen” Frequenzverhältnissen zu erstellen.

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Der Begriff “Odd-Limit”, wie auch der verwandte, jedoch nicht zu verwechselnde Begriff [[P-Limit|Prim-Limit oder P-Limit]], geht zurück auf [[Harry_Partch|Harry Partch]]. Der englische Begriff wäre am ehesten mit “ungerade-Limit” zu übersetzen, denn er ist definiert für ungerade Zahlen (auf Englisch odd number).

Für eine positive ungerade Zahl q und eine beliebige rationale Zahl r gilt: r hat die q-Odd-Limit-Eigenschaft, wenn r von der Form  2^i*u/v ist, mit positiven ungeraden Zahlen u, v kleiner oder gleich q und i einer beliebigen (positiven oder negativen) ganzen Zahl.

Die Menge der q-Odd-Limit-Intervalle besteht also namentlich aus den Obertönen bis zu Nummer q, den Intervallen zwischen diesen sowie deren Inversen.

Odd-Limit ist natürlich auch für Primzahlen definiert, die Eigenschaft ist jedoch von Prim-Limit verschieden. So sind die Intervalle 3/2 (reine Quinte) und 4/3 (reine Quarte) sowohl 3-Prim- wie 3-Odd-Limit; der große Ganzton 9/8 hingegen ist 3-Prim-Limit, jedoch 9-Odd-Limit, und der kleine Ganzton 10/9 ist ebenfalls 9-Odd-Limit, aber 5-Prim-Limit.

Sinnvoll ist eine Beschränkung auf Frequenzverhältnisse zwischen 1/1 und 2/1 (Intervalle in oktavreduzierter Form). Die Gesamtzahl der oktavreduzierten Odd-Limit-Intervalle zu einer gegebenen Zahl q ist endlich (ein weiterer Gegensatz zu den Prim-Limit-Intervallen). Odd-Limit liefert so eine praktikable Definition für etwa die Aufgabe, eine vollständige Liste aller Intervalle mit “einfachen” Frequenzverhältnissen zu erstellen.

Die oktavreduzierten q-Odd-Limit-Intervalle bilden die Grundmenge des [[Tonalitätsdiamant|Tonalitätsdiamanten]] zur Zahl q.
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Der Begriff “Odd-Limit”, wie auch der verwandte, jedoch nicht zu verwechselnde Begriff [[P-Limit|Prim-Limit oder P-Limit]], geht zurück auf [[Harry_Partch|Harry Partch]]. Der englische Begriff wäre am ehesten mit “ungerade-Limit” zu übersetzen, denn er ist definiert für ungerade Zahlen (auf Englisch odd number).

Für eine positive ungerade Zahl q und eine beliebige rationale Zahl r gilt: r hat die q-Odd-Limit-Eigenschaft, wenn r von der Form  2^i*u/v ist, mit positiven ungeraden Zahlen u, v kleiner oder gleich q und i einer beliebigen (positiven oder negativen) ganzen Zahl.

Die Menge der q-Odd-Limit-Intervalle besteht also namentlich aus den Obertönen bis zu Nummer q, den Intervallen zwischen diesen sowie deren Inversen.

Odd-Limit ist natürlich auch für Primzahlen definiert, die Eigenschaft ist jedoch von Prim-Limit verschieden. So sind die Intervalle 3/2 (reine Quinte) und 4/3 (reine Quarte) sowohl 3-Prim- wie 3-Odd-Limit; der große Ganzton 9/8 hingegen ist 3-Prim-Limit, jedoch 9-Odd-Limit, und der kleine Ganzton 10/9 ist ebenfalls 9-Odd-Limit, aber 5-Prim-Limit.

Sinnvoll ist eine Beschränkung auf Frequenzverhältnisse zwischen 1/1 und 2/1 (Intervalle in oktavreduzierter Form). Die Gesamtzahl der oktavreduzierten Odd-Limit-Intervalle zu einer gegebenen Zahl q ist endlich (ein weiterer Gegensatz zu den Prim-Limit-Intervallen). Odd-Limit liefert so eine praktikable Definition für etwa die Aufgabe, eine vollständige Liste aller Intervalle mit “einfachen” Frequenzverhältnissen zu erstellen.

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Der Begriff '''Odd-Limit''', wie auch der verwandte, jedoch nicht zu verwechselnde Begriff [[P-Limit|Prim-Limit oder P-Limit]], geht zurück auf [[Harry_Partch|Harry Partch]]. Der englische Begriff wäre am ehesten mit “ungerade-Limit” zu übersetzen, denn er ist definiert für ungerade Zahlen (auf Englisch odd number).

Für eine positive ungerade Zahl q und eine beliebige rationale Zahl r gilt: r hat die q-Odd-Limit-Eigenschaft, wenn r von der Form  2^i*u/v ist, mit positiven ungeraden Zahlen u, v kleiner oder gleich q und i einer beliebigen (positiven oder negativen) ganzen Zahl.

Die Menge der q-Odd-Limit-Intervalle besteht also namentlich aus den Obertönen bis zu Nummer q, den Intervallen zwischen diesen sowie deren Inversen.

Odd-Limit ist natürlich auch für Primzahlen definiert, die Eigenschaft ist jedoch von Prim-Limit verschieden. So sind die Intervalle 3/2 (reine Quinte) und 4/3 (reine Quarte) sowohl 3-Prim- wie 3-Odd-Limit; der große Ganzton 9/8 hingegen ist 3-Prim-Limit, jedoch 9-Odd-Limit, und der kleine Ganzton 10/9 ist ebenfalls 9-Odd-Limit, aber 5-Prim-Limit.

Sinnvoll ist eine Beschränkung auf Frequenzverhältnisse zwischen 1/1 und 2/1 (Intervalle in oktavreduzierter Form). Die Gesamtzahl der oktavreduzierten Odd-Limit-Intervalle zu einer gegebenen Zahl q ist endlich (ein weiterer Gegensatz zu den Prim-Limit-Intervallen). Odd-Limit liefert so eine praktikable Definition für etwa die Aufgabe, eine vollständige Liste aller Intervalle mit “einfachen” Frequenzverhältnissen zu erstellen.

Die oktavreduzierten q-Odd-Limit-Intervalle bilden die Grundmenge des [[Tonalitätsdiamant|Tonalitätsdiamanten]] zur Zahl q.

[[Category:Reine Stimmung]]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

'''Miracle''' ist der Name einer Temperatur, die im Jahre 1975 von [https://en.wikipedia.org/wiki/George_Secor George Secor] entfeckt wurde. Sie ist definiert durch das Austemperieren der [[Komma|Kommas]] 225/224, 1029/1024 im 7-[[Limit]]-[[Intervallraunm]] sowei, im 11-Limit-Intervallraum, des Kommas 385/384.


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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

'''Miracle''' ist der Name einer Temperatur, die im Jahre 1974 von [https://en.wikipedia.org/wiki/George_Secor George Secor] entdeckt wurde. Sie ist definiert durch das Austemperieren der [[Komma|Kommas]] [[225/224]], 1029/1024 im 7-[[Limit]]-[[Intervallraunm]] sowie, im 11-Limit-Intervallraum, des Kommas 385/384.

Das Komma 225/224 (septimales Kleisma, Marvel-Komma, 7.7 Cents) ist der Unterschied zwischen den Intervallen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird.

Das Komma 1029/1024 wiederum ist der Unterschied zwischen drei septimalen Ganztönen 8/7 und einer einer reinen Quinte 3/2. Austemperieren dieses Kommas führt dazu, dass die Quinte in drei gleiche Teile geteilt wird. Da der setimale Ganzton durch das Austemperieren des Kommas 225/224 seinerseits in zwei gleiche Teile geteilt wird, ergibt sich eine Unterteilung der Quinte in sechs gleiche Teile.

Dieser Sechstel der Oktave, eine Art grosser Halbton, ist als Generator für die Temperatur prädestiniert. Zu Ehren des Entdeckers wurde er '''Secor''' genannt.


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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

'''Miracle''' ist der Name einer Temperatur, die im Jahre 1974 von [https://en.wikipedia.org/wiki/George_Secor George Secor] entdeckt wurde. Sie ist definiert durch das Austemperieren der [[Komma|Kommas]] [[225/224]], 1029/1024 im 7-[[Limit]]-[[Intervallraunm]] sowie, im 11-Limit-Intervallraum, des Kommas 385/384.

Das Komma 225/224 (septimales Kleisma, Marvel-Komma, 7.7 Cents) ist der Unterschied zwischen den Intervallen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird.

Das Komma 1029/1024 (Gamelisma) wiederum ist der Unterschied zwischen drei septimalen Ganztönen 8/7 und einer reinen Quinte 3/2. Austemperieren dieses Kommas führt dazu, dass die Quinte in drei gleiche Teile geteilt wird. Da der setimale Ganzton durch das Austemperieren des Kommas 225/224 seinerseits in zwei gleiche Teile geteilt wird, ergibt sich eine Unterteilung der Quinte in sechs gleiche Teile.

Dieser Sechstel der Oktave, eine Art grosser Halbton, ist als Generator für die Temperatur prädestiniert. Zu Ehren des Entdeckers wurde er '''Secor''' genannt.

Da 6 eine gerade Zahl ist, ist eine Miracle-temperierte Quinte auch in zwei gleiche Teile teilbar, neutrale Terzen also, dem Intervall 11/9 entsprechend. 


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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

'''Miracle''' ist der Name einer Temperatur, die im Jahre 1974 von [https://en.wikipedia.org/wiki/George_Secor George Secor] entdeckt wurde. Sie ist definiert durch das Austemperieren der [[Komma|Kommas]] [[225/224]], 1029/1024 im 7-[[Limit]]-[[Intervallraunm]] sowie, im 11-Limit-Intervallraum, des Kommas 243/242 (oder, analog, 385/384).

Das Komma 225/224 (septimales Kleisma, Marvel-Komma, 7.7 Cents) ist der Unterschied zwischen den Intervallen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird.

Das Komma 1029/1024 (Gamelisma) wiederum ist der Unterschied zwischen drei septimalen Ganztönen 8/7 und einer reinen Quinte 3/2. Austemperieren dieses Kommas führt dazu, dass die Quinte in drei gleiche Teile geteilt wird. Da der setimale Ganzton durch das Austemperieren des Kommas 225/224 seinerseits in zwei gleiche Teile geteilt wird, ergibt sich eine Unterteilung der Quinte in sechs gleiche Teile.

Dieser Sechstel der Oktave, eine Art grosser Halbton, ist als Generator für die Temperatur prädestiniert. Zu Ehren des Entdeckers wurde er '''Secor''' genannt.

Da 6 eine gerade Zahl ist, ist eine Miracle-temperierte Quinte auch in zwei gleiche Teile teilbar, neutrale Terzen also, in 11-Limit dem Intervall 11/9 entsprechend. Der Unterschied zwischen der Quinte und zwei neutralen Terzen, das Komma 243/242, wird daher ebenfalls austemperiert.  


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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

'''Miracle''' ist der Name einer Temperatur, die im Jahre 1974 von [https://en.wikipedia.org/wiki/George_Secor George Secor] entdeckt wurde. Sie ist definiert durch das Austemperieren der [[Komma|Kommas]] [[225/224]], 1029/1024 im 7-[[Limit]]-[[Intervallraunm]] sowie, im 11-Limit-Intervallraum, des Kommas 243/242 (oder, analog, 385/384).

Das Komma 225/224 (septimales Kleisma, Marvel-Komma, 7.7 Cents) ist der Unterschied zwischen den Intervallen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird.

Das Komma 1029/1024 (Gamelisma) wiederum ist der Unterschied zwischen drei septimalen Ganztönen 8/7 und einer reinen Quinte 3/2. Austemperieren dieses Kommas führt dazu, dass die Quinte in drei gleiche Teile geteilt wird. Da der setimale Ganzton durch das Austemperieren des Kommas 225/224 seinerseits in zwei gleiche Teile geteilt wird, ergibt sich eine Unterteilung der Quinte in sechs gleiche Teile.

Dieser Sechstel der Oktave, eine Art grosser Halbton, ist als Generator für die Temperatur prädestiniert. Zu Ehren des Entdeckers wurde er '''Secor''' genannt.

Da 6 eine gerade Zahl ist, ist eine Miracle-temperierte Quinte auch in zwei gleiche Teile teilbar, neutrale Terzen also. Im 11-Limit-Intervallraum erhält man eine Zweiteilung der Quinte, indem man den Untershied zwischen dieser und zwei Intervallen mit Frequenzverhältnis 11/9 austemperiert, was dem Komma 243/242 entspricht  


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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

'''Miracle''' ist der Name einer Temperatur, die im Jahre 1974 von [https://en.wikipedia.org/wiki/George_Secor George Secor] entdeckt wurde. Sie ist definiert durch das Austemperieren der [[Komma|Kommas]] [[225/224]], 1029/1024 im 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] sowie, im 11-Limit-Intervallraum, des Kommas 243/242 (oder, analog, 385/384).

Das Komma 225/224 (septimales Kleisma, Marvel-Komma, 7.7 Cents) ist der Unterschied zwischen den Intervallen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird.

Das Komma 1029/1024 (Gamelisma) wiederum ist der Unterschied zwischen drei septimalen Ganztönen 8/7 und einer reinen Quinte 3/2. Austemperieren dieses Kommas führt dazu, dass die Quinte in drei gleiche Teile geteilt wird. Da der setimale Ganzton durch das Austemperieren des Kommas 225/224 seinerseits in zwei gleiche Teile geteilt wird, ergibt sich eine Unterteilung der Quinte in sechs gleiche Teile.

Dieser Sechstel der Oktave, eine Art grosser Halbton, ist als Generator für die Temperatur prädestiniert. Zu Ehren des Entdeckers wurde er '''Secor''' genannt.

Da 6 eine gerade Zahl ist, ist eine Miracle-temperierte Quinte auch in zwei gleiche Teile teilbar, neutrale Terzen also. Im 11-Limit-Intervallraum erhält man eine Zweiteilung der Quinte, indem man den Untershied zwischen dieser und zwei Intervallen mit Frequenzverhältnis 11/9 austemperiert, was dem Komma 243/242 entspricht  

Eine gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung der Miracle-Temperatur bietet [[72edo]]. Ein Secor-Halbton ist dort 7 Schritte gross. 6 Secors mit je 7 Schritten bilden eine Quinte, gegenüber 7 "Standard"-Halbtönen mit je 6 Schritten.

Von den [[MOS-Skalen]] ist die mit zehn Tönen von Bedeutung, bestehend aus 9 Secors und einem grösseren Intervall (einer Art neutraler Sekunde). Die manchmal anzutreffende Bezeichnung '''Miracle-Skala''' bezieht sich auf diese zehntönige.  

Daneben von Bedeutung ist die einundzwanzigtönige Miracle-Skala, die eine gewisse Bekanntheit unter dem Namen '''Blackjack-Skala''' hat.
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

'''Miracle''' ist der Name einer Temperatur, die im Jahre 1974 von [https://en.wikipedia.org/wiki/George_Secor George Secor] entdeckt wurde. Sie ist definiert durch das Austemperieren der [[Komma|Kommas]] [[225/224]], 1029/1024 im 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] sowie, im 11-Limit-Intervallraum, des Kommas 243/242 (oder, analog, 385/384).

Das Komma 225/224 (septimales Kleisma, Marvel-Komma, 7.7 Cents) ist der Unterschied zwischen den Intervallen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird.

Das Komma 1029/1024 (Gamelisma) wiederum ist der Unterschied zwischen drei septimalen Ganztönen 8/7 und einer reinen Quinte 3/2. Austemperieren dieses Kommas führt dazu, dass die Quinte in drei gleiche Teile geteilt wird. Da der setimale Ganzton durch das Austemperieren des Kommas 225/224 seinerseits in zwei gleiche Teile geteilt wird, ergibt sich eine Unterteilung der Quinte in sechs gleiche Teile.

Dieser Sechstel der Quinte, eine Art grosser Halbton, ist als Generator für die Skalen der Temperatur prädestiniert. Zu Ehren des Entdeckers wurde er '''Secor''' genannt.

Da 6 eine gerade Zahl ist, ist eine Miracle-temperierte Quinte auch in zwei gleiche Teile teilbar, neutrale Terzen also. Im 11-Limit-Intervallraum erhält man eine Zweiteilung der Quinte, indem man den Unterschied zwischen dieser und zwei Intervallen mit Frequenzverhältnis 11/9 austemperiert, was dem Komma 243/242 entspricht  

Eine gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung der Miracle-Temperatur bietet [[72edo]]. Ein Secor-Halbton ist dort 7 Schritte gross. 6 Secors mit je 7 Schritten bilden eine Quinte, ebenso wie natürlich 7 "Standard"-Halbtöne mit je 6 Schritten.

Von den [[MOS-Skalen]] ist die mit zehn Tönen von Bedeutung, bestehend aus 9 Secors und einem grösseren Intervall (einer Art neutraler Sekunde). Die manchmal anzutreffende Bezeichnung '''Miracle-Skala''' bezieht sich auf diese zehntönige.  

Daneben von Bedeutung ist die einundzwanzigtönige Miracle-Skala, die eine gewisse Bekanntheit unter dem Namen '''Blackjack-Skala''' hat.

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

'''Miracle''' ist der Name einer Temperatur, die im Jahre 1974 von [https://en.wikipedia.org/wiki/George_Secor George Secor] entdeckt wurde. Sie ist definiert durch das Austemperieren der [[Komma|Kommas]] [[225/224]], 1029/1024 im 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] sowie, im 11-Limit-Intervallraum, des Kommas 243/242 (oder, analog, 385/384).

Das Komma 225/224 (septimales Kleisma, Marvel-Komma, 7.7 Cents) ist der Unterschied zwischen den Intervallen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird.

Das Komma 1029/1024 (Gamelisma) wiederum ist der Unterschied zwischen drei septimalen Ganztönen 8/7 und einer reinen Quinte 3/2. Austemperieren dieses Kommas führt dazu, dass die Quinte in drei gleiche Teile geteilt wird. Da der septimale Ganzton durch das Austemperieren des Kommas 225/224 seinerseits in zwei gleiche Teile geteilt wird, ergibt sich eine Unterteilung der Quinte in sechs gleiche Teile.

Dieser Sechstel der Quinte, eine Art grosser Halbton, ist als Generator für die Skalen der Temperatur prädestiniert. Zu Ehren des Entdeckers wurde er '''Secor''' genannt.

Da 6 eine gerade Zahl ist, ist eine Miracle-temperierte Quinte auch in zwei gleiche Teile teilbar, neutrale Terzen also. Im 11-Limit-Intervallraum erhält man eine Zweiteilung der Quinte, indem man den Unterschied zwischen dieser und zwei Intervallen mit Frequenzverhältnis 11/9 austemperiert, was dem Komma 243/242 entspricht  

Eine gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung der Miracle-Temperatur bietet [[72edo]]. Ein Secor-Halbton ist 7 72edo-Schritte gross. 6 Secors mit je 7 72edo-Schritten bilden eine Quinte, ebenso wie natürlich 7 "Standard"-Halbtöne mit je 6 72edo-Schritten.

Von den [[MOS-Skalen]] ist die mit zehn Tönen von Bedeutung, bestehend aus 9 Secors und einem grösseren Intervall (einer Art neutraler Sekunde). Die manchmal anzutreffende Bezeichnung '''Miracle-Skala''' bezieht sich auf diese zehntönige.  

Daneben von Bedeutung ist die einundzwanzigtönige Miracle-Skala, die eine gewisse Bekanntheit unter dem Namen '''Blackjack-Skala''' hat.

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

'''Miracle''' ist der Name einer Temperatur, die im Jahre 1974 von [https://en.wikipedia.org/wiki/George_Secor George Secor] entdeckt wurde. Sie ist definiert durch das Austemperieren der [[Komma|Kommas]] [[225/224]], 1029/1024 im 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] sowie, im 11-Limit-Intervallraum, des Kommas 243/242 (oder, analog, 385/384).

Das Komma 225/224 (septimales Kleisma, Marvel-Komma, 7.7 Cents) ist der Unterschied zwischen den Intervallen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird.

Das Komma 1029/1024 (Gamelisma) wiederum ist der Unterschied zwischen drei septimalen Ganztönen 8/7 und einer reinen Quinte 3/2. Austemperieren dieses Kommas führt dazu, dass die Quinte in drei gleiche Teile geteilt wird. Da der septimale Ganzton durch das Austemperieren des Kommas 225/224 seinerseits in zwei gleiche Teile geteilt wird, ergibt sich eine Unterteilung der Quinte in sechs gleiche Teile.

Dieser Sechstel der Quinte, eine Art grosser Halbton, ist als Generator für die Skalen der Temperatur prädestiniert. Zu Ehren des Entdeckers wurde er '''Secor''' genannt.

Da 6 eine gerade Zahl ist, ist eine Miracle-temperierte Quinte auch in zwei gleiche Teile teilbar, neutrale Terzen also. Im 11-Limit-Intervallraum erhält man eine Zweiteilung der Quinte, indem man den Unterschied zwischen dieser und zwei Intervallen mit Frequenzverhältnis 11/9 austemperiert, was dem Komma 243/242 entspricht  

Eine gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung der Miracle-Temperatur bietet [[72edo]]. Ein Secor-Halbton ist sieben 72edo-Schritte gross. 6 Secors mit je sieben 72edo-Schritten bilden eine Quinte, ebenso wie natürlich 7 "Standard"-Halbtöne mit je sechs 72edo-Schritten.

Von den [[MOS-Skalen]] ist die mit zehn Tönen von Bedeutung, bestehend aus 9 Secors und einem grösseren Intervall (einer Art neutraler Sekunde). Die manchmal anzutreffende Bezeichnung '''Miracle-Skala''' bezieht sich auf diese zehntönige.  

Daneben von Bedeutung ist die einundzwanzigtönige Miracle-Skala, die eine gewisse Bekanntheit unter dem Namen '''Blackjack-Skala''' hat.

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

'''Miracle''' ist der Name einer Temperatur, die im Jahre 1974 von [https://en.wikipedia.org/wiki/George_Secor George Secor] entdeckt wurde. Sie ist definiert durch das Austemperieren der [[Komma|Kommas]] [[225/224]], 1029/1024 im 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] sowie, im 11-Limit-Intervallraum, des Kommas 243/242 (oder, analog, 385/384).

Das Komma 225/224 (septimales Kleisma, Marvel-Komma, 7.7 Cents) ist der Unterschied zwischen den Intervallen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird.

Das Komma 1029/1024 (Gamelisma) wiederum ist der Unterschied zwischen drei septimalen Ganztönen 8/7 und einer reinen Quinte 3/2. Austemperieren dieses Kommas führt dazu, dass die Quinte in drei gleiche Teile geteilt wird. Da der septimale Ganzton durch das Austemperieren des Kommas 225/224 seinerseits in zwei gleiche Teile geteilt wird, ergibt sich eine Unterteilung der Quinte in sechs gleiche Teile.

Dieser Sechstel der Quinte, eine Art grosser Halbton, ist als Generator für die Skalen der Temperatur prädestiniert. Zu Ehren des Entdeckers wurde er '''Secor''' genannt.

Da 6 eine gerade Zahl ist, ist eine Miracle-temperierte Quinte auch in zwei gleiche Teile teilbar, neutrale Terzen also. Im 11-Limit-Intervallraum erhält man eine Zweiteilung der Quinte, indem man den Unterschied zwischen dieser und zwei Intervallen mit Frequenzverhältnis 11/9 austemperiert, was dem Komma 243/242 entspricht  

Eine gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung der Miracle-Temperatur bietet [[72edo]]. Ein Secor-Halbton ist sieben 72edo-Schritte gross. 6 Secors mit je sieben 72edo-Schritten bilden eine Quinte, ebenso wie natürlich 7 "Standard"-Halbtöne mit je sechs 72edo-Schritten.

Von den [[MOS-Skalen]] ist die mit zehn Tönen von Bedeutung, bestehend aus 9 Secors und einem grösseren Intervall (einer Art neutraler Sekunde). Die manchmal anzutreffende Bezeichnung '''Miracle-Skala''' bezieht sich auf diese zehntönige.  

Daneben von Bedeutung ist die einundzwanzigtönige Miracle-Skala, die eine gewisse Bekanntheit unter dem Namen '''Blackjack-Skala''' hat.

[Todo Klangbeispiele]

Referenz:
George Secor, The Miracle Temperament and Decimal Keyboard, Xenharmonikon 18, 2006.
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

'''Miracle''' ist der Name einer Temperatur, die im Jahre 1974 von [https://en.wikipedia.org/wiki/George_Secor George Secor] entdeckt wurde. Sie ist definiert durch das Austemperieren der [[Komma|Kommas]] [[225/224]], 1029/1024 im 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] sowie, im 11-Limit-Intervallraum, des Kommas 243/242 (oder, analog, 385/384).

Das Komma 225/224 (septimales Kleisma, Marvel-Komma, 7.7 Cents) ist der Unterschied zwischen den Intervallen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird.

Das Komma 1029/1024 (Gamelisma) wiederum ist der Unterschied zwischen drei septimalen Ganztönen 8/7 und einer reinen Quinte 3/2. Austemperieren dieses Kommas führt dazu, dass die Quinte in drei gleiche Teile geteilt wird. Da der septimale Ganzton durch das Austemperieren des Kommas 225/224 seinerseits in zwei gleiche Teile geteilt wird, ergibt sich eine Unterteilung der Quinte in sechs gleiche Teile.

Dieser Sechstel der Quinte, eine Art grosser Halbton, ist als Generator für die Skalen der Temperatur prädestiniert. Zu Ehren des Entdeckers wurde er '''Secor''' genannt.

Da 6 eine gerade Zahl ist, ist eine Miracle-temperierte Quinte auch in zwei gleiche Teile teilbar, neutrale Terzen also. Im 11-Limit-Intervallraum erhält man eine Zweiteilung der Quinte, indem man den Unterschied zwischen dieser und zwei Intervallen mit Frequenzverhältnis 11/9 austemperiert, was dem Komma 243/242 entspricht  

Eine gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung der Miracle-Temperatur bietet [[72edo]]. Ein Secor-Halbton ist sieben 72edo-Schritte gross. 6 Secors mit je sieben 72edo-Schritten bilden eine Quinte, ebenso wie natürlich 7 "Standard"-Halbtöne mit je sechs 72edo-Schritten.

Von den [[MOS-Skalen]] ist die mit zehn Tönen von Bedeutung, bestehend aus 9 Secors und einem grösseren Intervall (einer Art neutraler Sekunde). Die manchmal anzutreffende Bezeichnung '''Miracle-Skala''' bezieht sich auf diese zehntönige.  

Daneben von Bedeutung ist die einundzwanzigtönige Miracle-Skala, die eine gewisse Bekanntheit unter dem Namen '''Blackjack-Skala''' hat.

[Todo Klangbeispiele]

Referenz:
George Secor, The Miracle Temperament and Decimal Keyboard, Xenharmonikon 18, 2006.
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

'''Miracle''' ist der Name einer Temperatur, die im Jahre 1974 von [https://en.wikipedia.org/wiki/George_Secor George Secor] entdeckt wurde. Sie ist definiert durch das Austemperieren der [[Komma|Kommas]] [[225/224]], 1029/1024 im 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] sowie, im 11-Limit-Intervallraum, des Kommas 243/242 (oder, analog, 385/384).

Das Komma 225/224 (septimales Kleisma, Marvel-Komma, 7.7 Cents) ist der Unterschied zwischen den Intervallen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird.

Das Komma 1029/1024 (Gamelisma) wiederum ist der Unterschied zwischen drei septimalen Ganztönen 8/7 und einer reinen Quinte 3/2. Austemperieren dieses Kommas führt dazu, dass die Quinte in drei gleiche Teile geteilt wird. Da der septimale Ganzton durch das Austemperieren des Kommas 225/224 seinerseits in zwei gleiche Teile geteilt wird, ergibt sich eine Unterteilung der Quinte in sechs gleiche Teile.

Dieser Sechstel der Quinte, eine Art grosser Halbton, ist als Generator für die Skalen der Temperatur prädestiniert. Zu Ehren des Entdeckers wurde er '''Secor''' genannt.

Da 6 eine gerade Zahl ist, ist eine Miracle-temperierte Quinte auch in zwei gleiche Teile teilbar, neutrale Terzen also. Im 11-Limit-Intervallraum erhält man eine Zweiteilung der Quinte, indem man den Unterschied zwischen dieser und zwei Intervallen mit Frequenzverhältnis 11/9 austemperiert, was dem Komma 243/242 entspricht  

Eine gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung der Miracle-Temperatur bietet [[72edo]]. Ein Secor-Halbton ist sieben 72edo-Schritte gross. 6 Secors mit je sieben 72edo-Schritten bilden eine Quinte, ebenso wie natürlich 7 "Standard"-Halbtöne mit je sechs 72edo-Schritten.

Von den [[MOS-Skalen]] ist die mit zehn Tönen von Bedeutung, bestehend aus 9 Secors und einem grösseren Intervall (einer Art neutraler Sekunde). Die manchmal anzutreffende Bezeichnung '''Miracle-Skala''' bezieht sich auf diese zehntönige.  

Daneben von Bedeutung ist die einundzwanzigtönige Miracle-Skala, die eine gewisse Verbreitung unter dem Namen '''Blackjack-Skala''' gefunden hat.

[Todo Klangbeispiele]

Referenz:
George Secor, The Miracle Temperament and Decimal Keyboard, Xenharmonikon 18, 2006.
[http://www.anaphoria.com/SecorMiracle.pdf http://www.anaphoria.com/SecorMiracle.pdf]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

'''Miracle''' ist der Name einer Temperatur, die im Jahre 1974 von [https://en.wikipedia.org/wiki/George_Secor George Secor] entdeckt wurde. Sie ist definiert durch das Austemperieren der [[Komma|Kommas]] [[225/224]], 1029/1024 im 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] sowie, im 11-Limit-Intervallraum, des Kommas 243/242 (oder, analog, 385/384).

Das Komma 225/224 (septimales Kleisma, Marvel-Komma, 7.7 Cents) ist der Unterschied zwischen den Intervallen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird.

Das Komma 1029/1024 (Gamelisma) wiederum ist der Unterschied zwischen drei septimalen Ganztönen 8/7 und einer reinen Quinte 3/2. Austemperieren dieses Kommas führt dazu, dass die Quinte in drei gleiche Teile geteilt wird. Da der septimale Ganzton durch das Austemperieren des Kommas 225/224 seinerseits in zwei gleiche Teile geteilt wird, ergibt sich eine Unterteilung der Quinte in sechs gleiche Teile.

Dieser Sechstel der Quinte, eine Art grosser Halbton, ist als Generator für die Skalen der Temperatur prädestiniert. Zu Ehren des Entdeckers wurde er '''Secor''' genannt.

Da 6 eine gerade Zahl ist, ist eine Miracle-temperierte Quinte auch in zwei gleiche Teile teilbar, neutrale Terzen also. Im 11-Limit-Intervallraum erhält man eine Zweiteilung der Quinte, indem man den Unterschied zwischen dieser und zwei Intervallen mit Frequenzverhältnis 11/9 austemperiert, was dem Komma 243/242 entspricht  

Gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierungen der Miracle-Temperatur bieten [[41edo]] und [[72edo]]. In 72edo ist ein Secor-Halbton sieben Schritte gross. 6 Secors mit je sieben 72edo-Schritten bilden eine Quinte, ebenso wie natürlich 7 "Standard"-Halbtöne mit je sechs 72edo-Schritten.

Von den [[MOS-Skalen]] ist die mit zehn Tönen von Bedeutung, bestehend aus 9 Secors und einem grösseren Intervall (einer Art neutraler Sekunde). Die manchmal anzutreffende Bezeichnung '''Miracle-Skala''' bezieht sich auf diese zehntönige.  

Daneben von Bedeutung ist die einundzwanzigtönige Miracle-Skala, die eine gewisse Verbreitung unter dem Namen '''Blackjack-Skala''' gefunden hat.

[Todo Klangbeispiele]

Referenz:
George Secor, The Miracle Temperament and Decimal Keyboard, Xenharmonikon 18, 2006.
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

'''Miracle''' ist der Name einer Temperatur, die im Jahre 1974 von [https://en.wikipedia.org/wiki/George_Secor George Secor] entdeckt wurde. Sie ist definiert durch das Austemperieren der [[Komma|Kommas]] [[225/224]], 1029/1024 im 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] sowie, im 11-Limit-Intervallraum, des Kommas 243/242 (oder, analog, 385/384).

Das Komma 225/224 (septimales Kleisma, Marvel-Komma, 7.7 Cents) ist der Unterschied zwischen den Intervallen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird.

Das Komma 1029/1024 (Gamelisma) wiederum ist der Unterschied zwischen drei septimalen Ganztönen 8/7 und einer reinen Quinte 3/2. Austemperieren dieses Kommas führt dazu, dass die Quinte in drei gleiche Teile geteilt wird. Da der septimale Ganzton durch das Austemperieren des Kommas 225/224 seinerseits in zwei gleiche Teile geteilt wird, ergibt sich eine Unterteilung der Quinte in sechs gleiche Teile.

Dieser Sechstel der Quinte, eine Art grosser Halbton, ist als Generator für die Skalen der Temperatur prädestiniert. Zu Ehren des Entdeckers wurde er '''Secor''' genannt.

Da 6 eine gerade Zahl ist, ist eine Miracle-temperierte Quinte auch in zwei gleiche Teile teilbar, neutrale Terzen also. Im 11-Limit-Intervallraum erhält man eine Zweiteilung der Quinte, indem man den Unterschied zwischen dieser und zwei Intervallen mit Frequenzverhältnis 11/9 austemperiert, was dem Komma 243/242 entspricht  

Gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierungen der Miracle-Temperatur bieten [[41edo]] und [[72edo]]. In 72edo ist ein Secor-Halbton sieben Schritte gross, und 6 Secors mit je sieben 72edo-Schritten bilden eine Quinte, ebenso wie natürlich 7 "Standard"-Halbtöne mit je sechs 72edo-Schritten.

Von den [[MOS-Skalen]] ist die mit zehn Tönen von Bedeutung, bestehend aus 9 Secors und einem grösseren Intervall (einer Art neutraler Sekunde). Die manchmal anzutreffende Bezeichnung '''Miracle-Skala''' bezieht sich auf diese zehntönige.  

Daneben von Bedeutung ist die einundzwanzigtönige Miracle-Skala, die eine gewisse Verbreitung unter dem Namen '''Blackjack-Skala''' gefunden hat.

[Todo Klangbeispiele]

Referenz:
George Secor, The Miracle Temperament and Decimal Keyboard, Xenharmonikon 18, 2006.
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]
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'''Miracle''' ist der Name einer Temperatur, die im Jahre 1974 von [https://en.wikipedia.org/wiki/George_Secor George Secor] entdeckt wurde. Sie ist definiert durch das Austemperieren der [[Komma|Kommas]] [[225/224]], 1029/1024 im 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] sowie, im 11-Limit-Intervallraum, des Kommas 243/242 (oder, analog, 385/384).

Das Komma 225/224 (septimales Kleisma, Marvel-Komma, 7.7 Cents) ist der Unterschied zwischen den Intervallen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird.

Das Komma 1029/1024 (Gamelisma) wiederum ist der Unterschied zwischen drei septimalen Ganztönen 8/7 und einer reinen Quinte 3/2. Austemperieren dieses Kommas führt dazu, dass die Quinte in drei gleiche Teile geteilt wird. Da der septimale Ganzton durch das Austemperieren des Kommas 225/224 seinerseits in zwei gleiche Teile geteilt wird, ergibt sich eine Unterteilung der Quinte in sechs gleiche Teile.

Dieser Sechstel der Quinte, eine Art grosser Halbton, ist als Generator für die Skalen der Temperatur prädestiniert. Zu Ehren des Entdeckers wurde er '''Secor''' genannt.

Da 6 eine gerade Zahl ist, ist eine Miracle-temperierte Quinte auch in zwei gleiche Teile teilbar, neutrale Terzen also. Im 11-Limit-Intervallraum erhält man eine Zweiteilung der Quinte, indem man den Unterschied zwischen dieser und zwei Intervallen mit Frequenzverhältnis 11/9 austemperiert, was dem Komma 243/242 entspricht  
=Gleichstufige Systeme=
Gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierungen der Miracle-Temperatur bieten [[41edo]] und [[72edo]]. In 72edo ist ein Secor-Halbton sieben Schritte gross, und 6 Secors mit je sieben 72edo-Schritten bilden eine Quinte, ebenso wie natürlich 7 "Standard"-Halbtöne mit je sechs 72edo-Schritten.
=MOS-Skalen=
==Miracle[10]==
Von den [[MOS-Skalen]] ist die mit zehn Tönen von Bedeutung, bestehend aus 9 Secors und einem grösseren Intervall, einer Art neutraler Sekunde (MOS vom Typ 1L 9s). Die manchmal anzutreffende Bezeichnung '''Miracle-Skala''' bezieht sich auf diese zehntönige.  

[Todo Klangbeispiele]

==Blackjack (Miracle[21])==
Daneben von Bedeutung ist die einundzwanzigtönige Miracle-Skala, die eine gewisse Verbreitung unter dem Namen '''Blackjack-Skala''' gefunden hat.

[Todo Klangbeispiele]

=Referenz=
George Secor, The Miracle Temperament and Decimal Keyboard, Xenharmonikon 18, 2006.
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

__FORCETOC__
=Definition, Kommas=
'''Miracle''' ist der Name einer Temperatur, die im Jahre 1974 von [https://en.wikipedia.org/wiki/George_Secor George Secor] entdeckt wurde. Sie ist definiert durch das Austemperieren der [[Komma|Kommas]] [[225/224]], 1029/1024 im 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] sowie, im 11-Limit-Intervallraum, des Kommas 243/242 (oder, analog, 385/384).

Das Komma 225/224 (septimales Kleisma, Marvel-Komma, 7.7 Cents) ist der Unterschied zwischen den Intervallen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird.

Das Komma 1029/1024 (Gamelisma) wiederum ist der Unterschied zwischen drei septimalen Ganztönen 8/7 und einer reinen Quinte 3/2. Austemperieren dieses Kommas führt dazu, dass die Quinte in drei gleiche Teile geteilt wird. Da der septimale Ganzton durch das Austemperieren des Kommas 225/224 seinerseits in zwei gleiche Teile geteilt wird, ergibt sich eine Unterteilung der Quinte in sechs gleiche Teile.

Dieser Sechstel der Quinte, eine Art grosser Halbton, ist als Generator für die Skalen der Temperatur prädestiniert. Zu Ehren des Entdeckers wurde er '''Secor''' genannt.

Da 6 eine gerade Zahl ist, ist eine Miracle-temperierte Quinte auch in zwei gleiche Teile teilbar, neutrale Terzen also. Im 11-Limit-Intervallraum erhält man eine Zweiteilung der Quinte, indem man den Unterschied zwischen dieser und zwei Intervallen mit Frequenzverhältnis 11/9 austemperiert, was dem Komma 243/242 entspricht.  
=Gleichstufige Systeme=
Gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierungen der Miracle-Temperatur bieten [[41edo]] und [[72edo]]. In 72edo ist ein Secor-Halbton sieben Schritte gross, und 6 Secors mit je sieben 72edo-Schritten bilden eine Quinte, ebenso wie natürlich 7 "Standard"-Halbtöne mit je sechs 72edo-Schritten.
=MOS-Skalen=
==Miracle[10]==
Von den [[MOS-Skalen]] ist die mit zehn Tönen von Bedeutung, bestehend aus 9 Secors und einem grösseren Intervall, einer Art neutraler Sekunde (MOS vom Typ 1L 9s). Die manchmal anzutreffende Bezeichnung '''Miracle-Skala''' bezieht sich auf diese zehntönige.  

[Todo Klangbeispiele]

==Blackjack (Miracle[21])==
Daneben von Bedeutung ist die einundzwanzigtönige Miracle-Skala, die eine gewisse Verbreitung unter dem Namen '''Blackjack-Skala''' gefunden hat.

Die Blackjack-Skala ist vom Typ 10L 11s (10 grössere und 11 kleinere Intervalle), wobei L hier eine Art kleiner Halbton ist und s etwa ein Sechstelton (s von Blackjack ist das Chroma der zehntönigen Miracle-Skala, also L - s in Miracle[10]). L + s in Blackjack bilden den Secor-Halbton.

Das kleine Intervall s ist die temperierte Approximation einer ganzen Reihe kleiner Schritte im oberen Bereich der Obertonskala, namentlich 45/44, 49/48, 50/49, 55/54, 56/55 und 64/63. Für den direkten Gebrauch als einzelnes Melodieintervall ist es etwas zu klein, bietet jedoch vielfältige Möglichkeiten in Kombination mit grösseren Intervallen.

[Todo Klangbeispiele]

=Referenz=
George Secor, The Miracle Temperament and Decimal Keyboard, Xenharmonikon 18, 2006. 
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

__FORCETOC__
=Definition, Kommas=
'''Miracle''' ist der Name einer Temperatur, die im Jahre 1974 von [https://en.wikipedia.org/wiki/George_Secor George Secor] entdeckt wurde. Sie ist definiert durch das Austemperieren der [[Komma|Kommas]] [[225/224]], 1029/1024 im 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] sowie, im 11-Limit-Intervallraum, des Kommas 243/242 (oder, analog, 385/384).

Das Komma 225/224 (septimales Kleisma, Marvel-Komma, 7.7 Cents) ist der Unterschied zwischen den Intervallen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird.

Das Komma 1029/1024 (Gamelisma) wiederum ist der Unterschied zwischen drei septimalen Ganztönen 8/7 und einer reinen Quinte 3/2. Austemperieren dieses Kommas führt dazu, dass die Quinte in drei gleiche Teile geteilt wird. Da der septimale Ganzton durch das Austemperieren des Kommas 225/224 seinerseits in zwei gleiche Teile geteilt wird, ergibt sich eine Unterteilung der Quinte in sechs gleiche Teile.

Dieser Sechstel der Quinte, eine Art grosser Halbton, ist als Generator für die Skalen der Temperatur prädestiniert. Zu Ehren des Entdeckers wurde er '''Secor''' genannt.

Da 6 eine gerade Zahl ist, ist eine Miracle-temperierte Quinte auch in zwei gleiche Teile teilbar, neutrale Terzen also. Im 11-Limit-Intervallraum erhält man eine Zweiteilung der Quinte, indem man den Unterschied zwischen dieser und zwei Intervallen mit Frequenzverhältnis 11/9 austemperiert, was dem Komma 243/242 entspricht.  
=Gleichstufige Systeme=
Gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierungen der Miracle-Temperatur bieten [[41edo]] und [[72edo]]. In 72edo ist ein Secor-Halbton sieben Schritte gross, und 6 Secors mit je sieben 72edo-Schritten bilden eine Quinte, ebenso wie natürlich 7 "Standard"-Halbtöne mit je sechs 72edo-Schritten.
=MOS-Skalen=
==Miracle[10]==
Von den [[MOS-Skalen]] ist die mit zehn Tönen von Bedeutung, bestehend aus 9 Secors und einem grösseren Intervall, einer Art neutraler Sekunde (MOS vom Typ 1L 9s). Die manchmal anzutreffende Bezeichnung '''Miracle-Skala''' bezieht sich auf diese zehntönige.  

[Todo Klangbeispiele]

==Blackjack (Miracle[21])==
Daneben von Bedeutung ist die einundzwanzigtönige Miracle-Skala, die eine gewisse Verbreitung unter dem Namen '''Blackjack-Skala''' gefunden hat.

Die Blackjack-Skala ist vom Typ 10L 11s (10 grössere und 11 kleinere Intervalle), wobei L hier eine Art kleiner Halbton ist und s etwa ein Sechstelton (s von Blackjack ist das Chroma der zehntönigen Miracle-Skala, also L - s in Miracle[10]). L + s in Blackjack bilden den Secor-Halbton.

Das kleine Intervall s ist für den direkten Gebrauch als einzelner Melodies Britt etwas zu klein. Es ist jedoch die temperierte Approximation einer ganzen Reihe kleiner Schritte im oberen Bereich der Obertonskala, namentlich 45/44, 49/48, 50/49, 55/54, 56/55 und 64/63. Diese Eigenschaft bietet vielfältige Möglichkeiten in Kombination mit grösseren Intervallen

[Todo Klangbeispiele]

=Referenz=
George Secor, The Miracle Temperament and Decimal Keyboard, Xenharmonikon 18, 2006. 
http://www.anaphoria.com/SecorMiracle.pdf</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

__FORCETOC__
=Definition, Kommas=
'''Miracle''' ist der Name einer Temperatur, die im Jahre 1974 von [https://en.wikipedia.org/wiki/George_Secor George Secor] entdeckt wurde. Sie ist definiert durch das Austemperieren der [[Komma|Kommas]] [[225/224]], 1029/1024 im 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] sowie, im 11-Limit-Intervallraum, des Kommas 243/242 (oder, analog, 385/384).

Das Komma 225/224 (septimales Kleisma, Marvel-Komma, 7.7 Cents) ist der Unterschied zwischen den Intervallen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird.

Das Komma 1029/1024 (Gamelisma) wiederum ist der Unterschied zwischen drei septimalen Ganztönen 8/7 und einer reinen Quinte 3/2. Austemperieren dieses Kommas führt dazu, dass die Quinte in drei gleiche Teile geteilt wird. Da der septimale Ganzton durch das Austemperieren des Kommas 225/224 seinerseits in zwei gleiche Teile geteilt wird, ergibt sich eine Unterteilung der Quinte in sechs gleiche Teile.

Dieser Sechstel der Quinte, eine Art grosser Halbton, ist als Generator für die Skalen der Temperatur prädestiniert. Zu Ehren des Entdeckers wurde er '''Secor''' genannt.

Da 6 eine gerade Zahl ist, ist eine Miracle-temperierte Quinte auch in zwei gleiche Teile teilbar, neutrale Terzen also. Im 11-Limit-Intervallraum erhält man eine Zweiteilung der Quinte, indem man den Unterschied zwischen dieser und zwei Intervallen mit Frequenzverhältnis 11/9 austemperiert, was dem Komma 243/242 entspricht.  
=Gleichstufige Systeme=
Gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierungen der Miracle-Temperatur bieten [[41edo]] und [[72edo]]. In 72edo ist ein Secor-Halbton sieben Schritte gross, und 6 Secors mit je sieben 72edo-Schritten bilden eine Quinte, ebenso wie natürlich 7 "Standard"-Halbtöne mit je sechs 72edo-Schritten.
=MOS-Skalen=
==Miracle[10]==
Von den [[MOS-Skalen]] ist die mit zehn Tönen von Bedeutung, bestehend aus 9 Secors und einem grösseren Intervall, einer Art neutraler Sekunde (MOS vom Typ 1L 9s). Die manchmal anzutreffende Bezeichnung '''Miracle-Skala''' bezieht sich auf diese zehntönige.  

[Todo Klangbeispiele]

==Blackjack (Miracle[21])==
Daneben von Bedeutung ist die einundzwanzigtönige Miracle-Skala, die eine gewisse Verbreitung unter dem Namen '''Blackjack-Skala''' gefunden hat.

Die Blackjack-Skala ist vom Typ 10L 11s (10 grössere und 11 kleinere Intervalle), wobei L hier eine Art kleiner Halbton ist und s etwa ein Sechstelton (s von Blackjack ist das Chroma der zehntönigen Miracle-Skala, also L - s in Miracle[10]). L + s in Blackjack bilden den Secor-Halbton.

Das kleine Intervall s ist für den direkten Gebrauch als einzelner Melodieschritt etwas zu klein. Es ist jedoch die temperierte Approximation einer ganzen Reihe kleiner Schritte im oberen Bereich der Obertonskala, namentlich 45/44, 49/48, 50/49, 55/54, 56/55 und 64/63. Diese Eigenschaft bietet vielfältige Möglichkeiten in Kombination mit grösseren Intervallen

[Todo Klangbeispiele]

=Referenz=
George Secor, The Miracle Temperament and Decimal Keyboard, Xenharmonikon 18, 2006. 
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

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=Definition, Kommas=
'''Miracle''' ist der Name einer Temperatur, die im Jahre 1974 von [https://en.wikipedia.org/wiki/George_Secor George Secor] entdeckt wurde. Sie ist definiert durch das Austemperieren der [[Komma|Kommas]] [[225/224]], 1029/1024 im 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] sowie, im 11-Limit-Intervallraum, des Kommas 243/242 (oder, analog, 385/384).

Das Komma 225/224 (septimales Kleisma, Marvel-Komma, 7.7 Cents) ist der Unterschied zwischen den Intervallen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird.

Das Komma 1029/1024 (Gamelisma) wiederum ist der Unterschied zwischen drei septimalen Ganztönen 8/7 und einer reinen Quinte 3/2. Austemperieren dieses Kommas führt dazu, dass die Quinte in drei gleiche Teile geteilt wird. Da der septimale Ganzton durch das Austemperieren des Kommas 225/224 seinerseits in zwei gleiche Teile geteilt wird, ergibt sich eine Unterteilung der Quinte in sechs gleiche Teile.

Dieser Sechstel der Quinte, eine Art grosser Halbton, ist als Generator für die Skalen der Temperatur prädestiniert. Zu Ehren des Entdeckers wurde er '''Secor''' genannt.

Da 6 eine gerade Zahl ist, ist eine Miracle-temperierte Quinte auch in zwei gleiche Teile teilbar, neutrale Terzen also. Im 11-Limit-Intervallraum erhält man eine Zweiteilung der Quinte, indem man den Unterschied zwischen dieser und zwei Intervallen mit Frequenzverhältnis 11/9 austemperiert, was dem Komma 243/242 entspricht.  
=Gleichstufige Systeme=
Gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierungen der Miracle-Temperatur bieten [[31edo]], [[41edo]] und [[72edo]]. 

In 72edo ist ein Secor-Halbton sieben Schritte gross, und 6 Secors mit je sieben 72edo-Schritten bilden eine Quinte, ebenso wie natürlich 7 "Standard"-Halbtöne mit je sechs 72edo-Schritten.

In 31edo fällt der Secor-Halbton mit dem Halbton der diatonischen Skala zusammen.
=MOS-Skalen=
==Miracle[10]==
Von den [[MOS-Skalen]] ist die mit zehn Tönen von Bedeutung, bestehend aus 9 Secors und einem grösseren Intervall, einer Art neutraler Sekunde (MOS vom Typ 1L 9s). Die manchmal anzutreffende Bezeichnung '''Miracle-Skala''' bezieht sich auf diese zehntönige.  

[Todo Klangbeispiele]

==Blackjack (Miracle[21])==
Daneben von Bedeutung ist die einundzwanzigtönige Miracle-Skala, die eine gewisse Verbreitung unter dem Namen '''Blackjack-Skala''' gefunden hat.

Die Blackjack-Skala ist vom Typ 10L 11s (10 grössere und 11 kleinere Intervalle), wobei L hier eine Art kleiner Halbton ist und s etwa ein Sechstelton (s von Blackjack ist das Chroma der zehntönigen Miracle-Skala, also L - s in Miracle[10]). L + s in Blackjack bilden den Secor-Halbton.

Das kleine Intervall s ist für den direkten Gebrauch als einzelner Melodieschritt etwas zu klein. Es ist jedoch die temperierte Approximation einer ganzen Reihe kleiner Schritte im oberen Bereich der Obertonskala, namentlich 45/44, 49/48, 50/49, 55/54, 56/55 und 64/63. Diese Eigenschaft bietet vielfältige Möglichkeiten in Kombination mit grösseren Intervallen

[Todo Klangbeispiele]

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George Secor, The Miracle Temperament and Decimal Keyboard, Xenharmonikon 18, 2006. 
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

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=Definition, Kommas=
'''Miracle''' ist der Name einer Temperatur, die im Jahre 1974 von [https://en.wikipedia.org/wiki/George_Secor George Secor] entdeckt wurde. Sie ist definiert durch das Austemperieren der [[Komma|Kommas]] [[225/224]], 1029/1024 im 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] sowie, im 11-Limit-Intervallraum, des Kommas 243/242 (oder, analog, 385/384).

Das Komma 225/224 (septimales Kleisma, Marvel-Komma, 7.7 Cents) ist der Unterschied zwischen den Intervallen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird.

Das Komma 1029/1024 (Gamelisma) wiederum ist der Unterschied zwischen drei septimalen Ganztönen 8/7 und einer reinen Quinte 3/2. Austemperieren dieses Kommas führt dazu, dass die Quinte in drei gleiche Teile geteilt wird. Da der septimale Ganzton durch das Austemperieren des Kommas 225/224 seinerseits in zwei gleiche Teile geteilt wird, ergibt sich eine Unterteilung der Quinte in sechs gleiche Teile.

Dieser Sechstel der Quinte, eine Art grosser Halbton, ist als Generator für die Skalen der Temperatur prädestiniert. Zu Ehren des Entdeckers wurde er '''Secor''' genannt.

Da 6 eine gerade Zahl ist, ist eine Miracle-temperierte Quinte auch in zwei gleiche Teile teilbar, neutrale Terzen also. Im 11-Limit-Intervallraum erhält man eine Zweiteilung der Quinte, indem man den Unterschied zwischen dieser und zwei Intervallen mit Frequenzverhältnis 11/9 austemperiert, was dem Komma 243/242 entspricht.  
=Gleichstufige Systeme=
Gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierungen der Miracle-Temperatur bieten [[31edo]], [[41edo]] und [[72edo]]. 

In 72edo ist ein Secor-Halbton sieben Schritte gross, und 6 Secors mit je sieben 72edo-Schritten bilden eine Quinte, ebenso wie natürlich 7 "Standard"-Halbtöne mit je sechs 72edo-Schritten.

In 31edo fällt der Secor-Halbton mit dem Halbton der diatonischen Skala zusammen.
=MOS-Skalen=
==Miracle[10]==
Von den [[MOS-Skalen]] ist die mit zehn Tönen von Bedeutung, bestehend aus 9 Secors und einem grösseren Intervall, einer Art neutraler Sekunde (MOS vom Typ 1L 9s). Die manchmal anzutreffende Bezeichnung '''Miracle-Skala''' bezieht sich auf diese zehntönige.  

[Todo Klangbeispiele]

==Blackjack (Miracle[21])==
Daneben von Bedeutung ist die einundzwanzigtönige Miracle-Skala, die eine gewisse Verbreitung unter dem Namen '''Blackjack-Skala''' gefunden hat.

Die Blackjack-Skala ist vom Typ 10L 11s (10 grössere und 11 kleinere Intervalle), wobei L hier eine Art kleiner Halbton ist und s etwa ein Sechstelton (s von Blackjack ist das Chroma der zehntönigen Miracle-Skala, also L - s in Miracle[10]). L + s in Blackjack bilden den Secor-Halbton.

Das kleine Intervall s ist für den direkten Gebrauch als einzelner Melodieschritt etwas zu klein. Es ist jedoch die temperierte Approximation einer ganzen Reihe kleiner Schritte im oberen Bereich der Obertonskala, namentlich 45/44, 49/48, 50/49, 55/54, 56/55 und 64/63. Diese Eigenschaft bietet vielfältige Möglichkeiten in Kombination mit grösseren Intervallen.

[Todo Klangbeispiele]
==Canasta (Miracle[31])==
Auch die nächstgrößere MOS-Skala von Miracle, mit 31 Tönen, hat eine gewisse Bekanntheit gefunden, unter dem Namen ‘’’Canasta’’’. Sie ist vom Typ 10L 21s, wobei jedoch beide Grundintervalle für den direkten Gebrauch eigentlich zu klein sind (L ist etwa einen Viertelton groß). Blackjack wie Canasta eignen sich gut als Basistonvorrat, wenn man im wesentlichen in reinen Intervallen denken, dabei aber die Komplexität der Intervallbeziehungen und den Tonvorrat etwas reduziert haben möchte.

In 31edo, das ja insgesamt nur 31 Töne hat, degeneriert die Canasta-Skala zu einer vollständig gleichförmigen Skala mit sämtlichen Tönen des Systems.

[Todo Klangbeispiele]

=Referenz=
George Secor, The Miracle Temperament and Decimal Keyboard, Xenharmonikon 18, 2006. 
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

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=Definition, Kommas=
'''Miracle''' ist der Name einer Temperatur, die im Jahre 1974 von [https://en.wikipedia.org/wiki/George_Secor George Secor] entdeckt wurde. Sie ist definiert durch das Austemperieren der [[Komma|Kommas]] [[225/224]], 1029/1024 im 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] sowie, im 11-Limit-Intervallraum, des Kommas 243/242 (oder, analog, 385/384).

Das Komma 225/224 (septimales Kleisma, Marvel-Komma, 7.7 Cents) ist der Unterschied zwischen den Intervallen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird.

Das Komma 1029/1024 (Gamelisma) wiederum ist der Unterschied zwischen drei septimalen Ganztönen 8/7 und einer reinen Quinte 3/2. Austemperieren dieses Kommas führt dazu, dass die Quinte in drei gleiche Teile geteilt wird. Da der septimale Ganzton durch das Austemperieren des Kommas 225/224 seinerseits in zwei gleiche Teile geteilt wird, ergibt sich eine Unterteilung der Quinte in sechs gleiche Teile.

Dieser Sechstel der Quinte, eine Art grosser Halbton, ist als Generator für die Skalen der Temperatur prädestiniert. Zu Ehren des Entdeckers wurde er '''Secor''' genannt.

Da 6 eine gerade Zahl ist, ist eine Miracle-temperierte Quinte auch in zwei gleiche Teile teilbar, neutrale Terzen also. Im 11-Limit-Intervallraum erhält man eine Zweiteilung der Quinte, indem man den Unterschied zwischen dieser und zwei Intervallen mit Frequenzverhältnis 11/9 austemperiert, was dem Komma 243/242 entspricht.  
=Gleichstufige Systeme=
Gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierungen der Miracle-Temperatur bieten [[31edo]], [[41edo]] und [[72edo]]. 

In 72edo ist ein Secor-Halbton sieben Schritte gross, und 6 Secors mit je sieben 72edo-Schritten bilden eine Quinte, ebenso wie natürlich 7 Standard-Halbtöne mit je sechs 72edo-Schritten.

In 31edo fällt der Secor-Halbton mit dem Halbton der diatonischen Skala zusammen.

=MOS-Skalen=
==Miracle[10]==
Von den [[MOS-Skalen]] ist die mit zehn Tönen von Bedeutung, bestehend aus 9 Secors und einem grösseren Intervall, einer Art neutraler Sekunde (MOS vom Typ 1L 9s). Die manchmal anzutreffende Bezeichnung '''Miracle-Skala''' bezieht sich auf diese zehntönige.  

[Todo Klangbeispiele]

==Blackjack (Miracle[21])==
Daneben von Bedeutung ist die einundzwanzigtönige Miracle-Skala, die eine gewisse Verbreitung unter dem Namen '''Blackjack-Skala''' gefunden hat.

Die Blackjack-Skala ist vom Typ 10L 11s (10 grössere und 11 kleinere Intervalle), wobei L hier eine Art kleiner Halbton ist und s etwa ein Sechstelton (s von Blackjack ist das Chroma der zehntönigen Miracle-Skala, also L - s in Miracle[10]). L + s in Blackjack bilden den Secor-Halbton.

Das kleine Intervall s ist für den direkten Gebrauch als einzelner Melodieschritt etwas zu klein. Es ist jedoch die temperierte Approximation einer ganzen Reihe kleiner Schritte im oberen Bereich der Obertonskala, namentlich 45/44, 49/48, 50/49, 55/54, 56/55 und 64/63. Diese Eigenschaft bietet vielfältige Möglichkeiten in Kombination mit grösseren Intervallen.

[Todo Klangbeispiele]
==Canasta (Miracle[31])==
Auch die nächstgrößere MOS-Skala von Miracle, mit 31 Tönen, hat eine gewisse Bekanntheit gefunden, unter dem Namen ‘’’Canasta’’’. Sie ist vom Typ 10L 21s, wobei jedoch beide Grundintervalle für den direkten Gebrauch eigentlich zu klein sind (L ist etwa einen Viertelton groß). Blackjack wie Canasta eignen sich gut als Basistonvorrat, wenn man im wesentlichen in reinen Intervallen denken, dabei aber die Komplexität der Intervallbeziehungen und den Tonvorrat etwas reduziert haben möchte.

In 31edo, das ja insgesamt nur 31 Töne hat, degeneriert die Canasta-Skala zu einer vollständig gleichförmigen Skala mit sämtlichen Tönen des Systems.

[Todo Klangbeispiele]

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George Secor, The Miracle Temperament and Decimal Keyboard, Xenharmonikon 18, 2006. 
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

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=Definition, Kommas=
'''Miracle''' ist der Name einer Temperatur, die im Jahre 1974 von [https://en.wikipedia.org/wiki/George_Secor George Secor] entdeckt wurde. Sie ist definiert durch das Austemperieren der [[Komma|Kommas]] [[225/224]], 1029/1024 im 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] sowie, im 11-Limit-Intervallraum, des Kommas 243/242 (oder, analog, 385/384).

Das Komma 225/224 (septimales Kleisma, Marvel-Komma, 7.7 Cents) ist der Unterschied zwischen den Intervallen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird.

Das Komma 1029/1024 (Gamelisma) wiederum ist der Unterschied zwischen drei septimalen Ganztönen 8/7 und einer reinen Quinte 3/2. Austemperieren dieses Kommas führt dazu, dass die Quinte in drei gleiche Teile geteilt wird. Da der septimale Ganzton durch das Austemperieren des Kommas 225/224 seinerseits in zwei gleiche Teile geteilt wird, ergibt sich eine Unterteilung der Quinte in sechs gleiche Teile.

Dieser Sechstel der Quinte, eine Art grosser Halbton, ist als Generator für die Skalen der Temperatur prädestiniert. Zu Ehren des Entdeckers wurde er '''Secor''' genannt.

Da 6 eine gerade Zahl ist, ist eine Miracle-temperierte Quinte auch in zwei gleiche Teile teilbar, neutrale Terzen also. Im 11-Limit-Intervallraum erhält man eine Zweiteilung der Quinte, indem man den Unterschied zwischen dieser und zwei Intervallen mit Frequenzverhältnis 11/9 austemperiert, was dem Komma 243/242 entspricht.  
=Gleichstufige Systeme=
Gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierungen der Miracle-Temperatur bieten [[31edo]], [[41edo]] und [[72edo]]. 

In 72edo ist ein Secor-Halbton sieben Schritte gross, und 6 Secors mit je sieben 72edo-Schritten bilden eine Quinte, ebenso wie natürlich 7 Standard-Halbtöne mit je sechs 72edo-Schritten.

In 31edo fällt der Secor-Halbton mit dem Halbton der diatonischen Skala zusammen.

=MOS-Skalen=
==Miracle[10]==
Von den [[MOS-Skalen]] ist die mit zehn Tönen von Bedeutung, bestehend aus 9 Secors und einem grösseren Intervall, einer Art neutraler Sekunde (MOS vom Typ 1L 9s). Die manchmal anzutreffende Bezeichnung '''Miracle-Skala''' bezieht sich auf diese zehntönige.  

[Todo Klangbeispiele]

==Blackjack (Miracle[21])==
Daneben von Bedeutung ist die einundzwanzigtönige Miracle-Skala, die eine gewisse Verbreitung unter dem Namen '''Blackjack''' gefunden hat.

Die Blackjack-Skala ist vom Typ 10L 11s (10 grössere und 11 kleinere Intervalle), wobei L hier eine Art kleiner Halbton ist und s etwa ein Sechstelton (s von Blackjack ist das Chroma der zehntönigen Miracle-Skala, also L - s in Miracle[10]). L + s in Blackjack bilden den Secor-Halbton.

Das kleine Intervall s ist für den direkten Gebrauch als einzelner Melodieschritt etwas zu klein. Es ist jedoch die temperierte Approximation einer ganzen Reihe kleiner Schritte im oberen Bereich der Obertonskala, namentlich 45/44, 49/48, 50/49, 55/54, 56/55 und 64/63. Diese Eigenschaft bietet vielfältige Möglichkeiten in Kombination mit grösseren Intervallen.

[Todo Klangbeispiele]

==Canasta (Miracle[31])==
Auch die nächstgrößere MOS-Skala von Miracle, mit 31 Tönen, hat eine gewisse Bekanntheit gefunden, unter dem Namen ‘’’Canasta’’’. Sie ist vom Typ 10L 21s, wobei jedoch beide Grundintervalle für den direkten Gebrauch eigentlich zu klein sind (L ist etwa einen Viertelton groß). Blackjack wie Canasta eignen sich gut als Basistonvorrat, wenn man im wesentlichen in reinen Intervallen denken, dabei aber die Komplexität der Intervallbeziehungen und den Tonvorrat etwas reduziert haben möchte.

In 31edo, das ja insgesamt nur 31 Töne hat, degeneriert die Canasta-Skala zu einer vollständig gleichförmigen Skala mit sämtlichen Tönen des Systems.

[Todo Klangbeispiele]

=Referenz=
George Secor, The Miracle Temperament and Decimal Keyboard, Xenharmonikon 18, 2006. 
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

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=Definition, Kommas=
'''Miracle''' ist der Name einer Temperatur, die im Jahre 1974 von [https://en.wikipedia.org/wiki/George_Secor George Secor] entdeckt wurde. Sie ist definiert durch das Austemperieren der [[Komma|Kommas]] [[225/224]], 1029/1024 im 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] sowie, im 11-Limit-Intervallraum, des Kommas 243/242 (oder, analog, 385/384).

Das Komma 225/224 (septimales Kleisma, Marvel-Komma, 7.7 Cents) ist der Unterschied zwischen den Intervallen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird.

Das Komma 1029/1024 (Gamelisma) wiederum ist der Unterschied zwischen drei septimalen Ganztönen 8/7 und einer reinen Quinte 3/2. Austemperieren dieses Kommas führt dazu, dass die Quinte in drei gleiche Teile geteilt wird. Da der septimale Ganzton durch das Austemperieren des Kommas 225/224 seinerseits in zwei gleiche Teile geteilt wird, ergibt sich eine Unterteilung der Quinte in sechs gleiche Teile.

Dieser Sechstel der Quinte, eine Art grosser Halbton, ist als Generator für die Skalen der Temperatur prädestiniert. Zu Ehren des Entdeckers wurde er '''Secor''' genannt.

Da 6 eine gerade Zahl ist, ist eine Miracle-temperierte Quinte auch in zwei gleiche Teile teilbar, neutrale Terzen also. Im 11-Limit-Intervallraum erhält man eine Zweiteilung der Quinte, indem man den Unterschied zwischen dieser und zwei Intervallen mit Frequenzverhältnis 11/9 austemperiert, was dem Komma 243/242 entspricht.  
=Gleichstufige Systeme=
Gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierungen der Miracle-Temperatur bieten [[31edo]], [[41edo]] und [[72edo]]. 

In 72edo ist ein Secor-Halbton sieben Schritte gross, und 6 Secors mit je sieben 72edo-Schritten bilden eine Quinte, ebenso wie natürlich 7 Standard-Halbtöne mit je sechs 72edo-Schritten.

In 31edo fällt der Secor-Halbton mit dem Halbton der diatonischen Skala zusammen.

=MOS-Skalen=
==Miracle[10]==
Von den [[MOS-Skalen]] ist die mit zehn Tönen von Bedeutung, bestehend aus 9 Secors und einem grösseren Intervall, einer Art neutraler Sekunde (MOS vom Typ 1L 9s). Die manchmal anzutreffende Bezeichnung '''Miracle-Skala''' bezieht sich auf diese zehntönige.  

[Todo Klangbeispiele]

==Blackjack (Miracle[21])==
Daneben von Bedeutung ist die einundzwanzigtönige Miracle-Skala, die eine gewisse Verbreitung unter dem Namen '''Blackjack''' gefunden hat.

Die Blackjack-Skala ist vom Typ 10L 11s (10 grössere und 11 kleinere Intervalle), wobei L hier eine Art kleiner Halbton ist und s etwa ein Sechstelton (s von Blackjack ist das Chroma der zehntönigen Miracle-Skala, also L - s in Miracle[10]). L + s in Blackjack bilden den Secor-Halbton.

Das kleine Intervall s ist für den direkten Gebrauch als einzelner Melodieschritt etwas zu klein. Es ist jedoch die temperierte Approximation einer ganzen Reihe kleiner Schritte im oberen Bereich der Obertonskala, namentlich 45/44, 49/48, 50/49, 55/54, 56/55 und 64/63. Diese Eigenschaft bietet vielfältige Möglichkeiten in Kombination mit grösseren Intervallen.

[Todo Klangbeispiele]

==Canasta (Miracle[31])==
Auch die nächstgrößere MOS-Skala von Miracle, mit 31 Tönen, hat eine gewisse Bekanntheit gefunden, unter dem Namen Canasta. Sie ist vom Typ 10L 21s, wobei jedoch beide Grundintervalle für den direkten Gebrauch eigentlich zu klein sind (L ist etwa einen Viertelton groß). Blackjack wie Canasta eignen sich gut als Basistonvorrat, wenn man im wesentlichen in reinen Intervallen denken, dabei aber die Komplexität der Intervallbeziehungen und den Tonvorrat etwas reduziert haben möchte.

In 31edo, das ja insgesamt nur 31 Töne hat, degeneriert die Canasta-Skala zu einer vollständig gleichförmigen Skala mit sämtlichen Tönen des Systems.

[Todo Klangbeispiele]


=Referenz=
George Secor, The Miracle Temperament and Decimal Keyboard, Xenharmonikon 18, 2006. 
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

__FORCETOC__
=Definition, Kommas=
'''Miracle''' ist der Name einer Temperatur, die im Jahre 1974 von [https://en.wikipedia.org/wiki/George_Secor George Secor] entdeckt wurde. Sie ist definiert durch das Austemperieren der [[Komma|Kommas]] [[225/224]], 1029/1024 im 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] sowie, im 11-Limit-Intervallraum, des Kommas 243/242 (oder, analog, 385/384).

Das Komma 225/224 (septimales Kleisma, Marvel-Komma, 7.7 Cents) ist der Unterschied zwischen den Intervallen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird.

Das Komma 1029/1024 (Gamelisma) wiederum ist der Unterschied zwischen drei septimalen Ganztönen 8/7 und einer reinen Quinte 3/2. Austemperieren dieses Kommas führt dazu, dass die Quinte in drei gleiche Teile geteilt wird. Da der septimale Ganzton durch das Austemperieren des Kommas 225/224 seinerseits in zwei gleiche Teile geteilt wird, ergibt sich eine Unterteilung der Quinte in sechs gleiche Teile.

Dieser Sechstel der Quinte, eine Art grosser Halbton, ist als Generator für die Skalen der Temperatur prädestiniert. Zu Ehren des Entdeckers wurde er '''Secor''' genannt.

Da 6 eine gerade Zahl ist, ist eine Miracle-temperierte Quinte auch in zwei gleiche Teile teilbar, neutrale Terzen also. Im 11-Limit-Intervallraum erhält man eine Zweiteilung der Quinte, indem man den Unterschied zwischen dieser und zwei Intervallen mit Frequenzverhältnis 11/9 austemperiert, was dem Komma 243/242 entspricht.  
=Gleichstufige Systeme=
Gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierungen der Miracle-Temperatur bieten [[31edo]], [[41edo]] und [[72edo]]. 

In 72edo ist ein Secor-Halbton sieben Schritte gross, und 6 Secors mit je sieben 72edo-Schritten bilden eine Quinte, ebenso wie natürlich 7 Standard-Halbtöne mit je sechs 72edo-Schritten.

In 31edo fällt der Secor-Halbton mit dem Halbton der diatonischen Skala zusammen.

=MOS-Skalen=
==Miracle[10]==
Von den [[MOS-Skalen]] ist die mit zehn Tönen von Bedeutung, bestehend aus 9 Secors und einem grösseren Intervall, einer Art neutraler Sekunde (MOS vom Typ 1L 9s). Die manchmal anzutreffende Bezeichnung '''Miracle-Skala''' bezieht sich auf diese zehntönige.  

[Todo Klangbeispiele]

==Blackjack (Miracle[21])==
Daneben von Bedeutung ist die einundzwanzigtönige Miracle-Skala, die eine gewisse Verbreitung unter dem Namen '''Blackjack''' gefunden hat.

Die Blackjack-Skala ist vom Typ 10L 11s (10 grössere und 11 kleinere Intervalle), wobei L hier eine Art kleiner Halbton ist und s etwa ein Sechstelton (s von Blackjack ist das Chroma der zehntönigen Miracle-Skala, also L - s in Miracle[10]). L + s in Blackjack bilden den Secor-Halbton.

Das kleine Intervall s ist für den direkten Gebrauch als einzelner Melodieschritt etwas zu klein. Es ist jedoch die temperierte Approximation einer ganzen Reihe kleiner Schritte im oberen Bereich der Obertonskala, namentlich 45/44, 49/48, 50/49, 55/54, 56/55 und 64/63. Diese Eigenschaft bietet vielfältige Möglichkeiten in Kombination mit grösseren Intervallen.

[Todo Klangbeispiele]

==Canasta (Miracle[31])==
Auch die nächstgrößere MOS-Skala von Miracle, mit 31 Tönen, hat eine gewisse Bekanntheit gefunden, unter dem Namen '''Canasta'''. Sie ist vom Typ 10L 21s, wobei jedoch beide Grundintervalle für den direkten Gebrauch eigentlich zu klein sind (L ist etwa einen Viertelton groß). Blackjack wie Canasta eignen sich gut als Basistonvorrat, wenn man im wesentlichen in reinen Intervallen denken, dabei aber die Komplexität der Intervallbeziehungen und den Tonvorrat etwas reduziert haben möchte.

In 31edo, das ja insgesamt nur 31 Töne hat, degeneriert die Canasta-Skala zu einer vollständig gleichförmigen Skala mit sämtlichen Tönen des Systems.

[Todo Klangbeispiele]

=Referenz=
George Secor, The Miracle Temperament and Decimal Keyboard, Xenharmonikon 18, 2006. 
http://www.anaphoria.com/SecorMiracle.pdf</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

__FORCETOC__
=Definition, Kommas=
'''Miracle''' ist der Name einer Temperatur, die im Jahre 1974 von [https://en.wikipedia.org/wiki/George_Secor George Secor] entdeckt wurde. Sie ist definiert durch das Austemperieren der [[Komma|Kommas]] [[225/224]], 1029/1024 im 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] sowie, im 11-Limit-Intervallraum, des Kommas 243/242 (oder, analog, 385/384).

Das Komma 225/224 (septimales Kleisma, Marvel-Komma, 7.7 Cents) ist der Unterschied zwischen den Intervallen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird.

Das Komma 1029/1024 (Gamelisma) wiederum ist der Unterschied zwischen drei septimalen Ganztönen 8/7 und einer reinen Quinte 3/2. Austemperieren dieses Kommas führt dazu, dass die Quinte in drei gleiche Teile geteilt wird. Da der septimale Ganzton durch das Austemperieren des Kommas 225/224 seinerseits in zwei gleiche Teile geteilt wird, ergibt sich eine Unterteilung der Quinte in sechs gleiche Teile.

Dieser Sechstel der Quinte, eine Art grosser Halbton, ist als Generator für die Skalen der Temperatur prädestiniert. Zu Ehren des Entdeckers wurde er '''Secor''' genannt.

Da 6 eine gerade Zahl ist, ist eine Miracle-temperierte Quinte auch in zwei gleiche Teile teilbar, neutrale Terzen also. Im 11-Limit-Intervallraum erhält man eine Zweiteilung der Quinte, indem man den Unterschied zwischen dieser und zwei Intervallen mit Frequenzverhältnis 11/9 austemperiert, was dem Komma 243/242 entspricht.  
=Gleichstufige Systeme=
Gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierungen der Miracle-Temperatur bieten [[31edo]], [[41edo]] und [[72edo]]. 

In 72edo ist ein Secor-Halbton sieben Schritte gross, und 6 Secors mit je sieben 72edo-Schritten bilden eine Quinte, ebenso wie natürlich 7 Standard-Halbtöne mit je sechs 72edo-Schritten.

In 31edo fällt der Secor-Halbton mit dem Halbton der diatonischen Skala zusammen.

=MOS-Skalen=
==Miracle[10]==
Von den [[MOS-Skalen]] ist die mit zehn Tönen von Bedeutung, bestehend aus 9 Secors und einem grösseren Intervall, einer Art neutraler Sekunde (MOS vom Typ 1L 9s). Die manchmal anzutreffende Bezeichnung '''Miracle-Skala''' bezieht sich auf diese zehntönige.  

[Todo Klangbeispiele]

==Blackjack (Miracle[21])==
Daneben von Bedeutung ist die einundzwanzigtönige Miracle-Skala, die eine gewisse Verbreitung unter dem Namen '''Blackjack''' gefunden hat. Namentlich der Komponist [https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph_Pehrson Joseph Pehrson] hat mehrere Kompositionen in Blackjack geschrieben (eine davon sogar mit dem Titel “Blackjack”).

Die Blackjack-Skala ist vom Typ 10L 11s (10 grössere und 11 kleinere Intervalle), wobei L hier eine Art kleiner Halbton ist und s etwa ein Sechstelton (s von Blackjack ist das Chroma der zehntönigen Miracle-Skala, also L - s in Miracle[10]). L + s in Blackjack bilden den Secor-Halbton.

Das kleine Intervall s ist für den direkten Gebrauch als einzelner Melodieschritt etwas zu klein. Es ist jedoch die temperierte Approximation einer ganzen Reihe kleiner Schritte im oberen Bereich der Obertonskala, namentlich 45/44, 49/48, 50/49, 55/54, 56/55 und 64/63. Diese Eigenschaft bietet vielfältige Möglichkeiten in Kombination mit grösseren Intervallen.

[Todo Klangbeispiele]

==Canasta (Miracle[31])==
Auch die nächstgrößere MOS-Skala von Miracle, mit 31 Tönen, hat eine gewisse Bekanntheit gefunden, unter dem Namen '''Canasta'''. Sie ist vom Typ 10L 21s, wobei jedoch beide Grundintervalle für den direkten Gebrauch eigentlich zu klein sind (L ist etwa einen Viertelton groß). Blackjack wie Canasta eignen sich gut als Basistonvorrat, wenn man im wesentlichen in reinen Intervallen denken, dabei aber die Komplexität der Intervallbeziehungen und den Tonvorrat etwas reduziert haben möchte.

In 31edo, das ja insgesamt nur 31 Töne hat, degeneriert die Canasta-Skala zu einer vollständig gleichförmigen Skala mit sämtlichen Tönen des Systems.

[Todo Klangbeispiele]

=Referenz=
George Secor, The Miracle Temperament and Decimal Keyboard, Xenharmonikon 18, 2006. 
http://www.anaphoria.com/SecorMiracle.pdf</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

__FORCETOC__
=Definition, Kommas=
'''Miracle''' ist der Name einer Temperatur, die im Jahre 1974 von [https://en.wikipedia.org/wiki/George_Secor George Secor] entdeckt wurde. Sie ist definiert durch das Austemperieren der [[Komma|Kommas]] [[225/224]], 1029/1024 im 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] sowie, im 11-Limit-Intervallraum, des Kommas 243/242 (oder, analog, 385/384).

Das Komma 225/224 (septimales Kleisma, Marvel-Komma, 7.7 Cents) ist der Unterschied zwischen den Intervallen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird.

Das Komma 1029/1024 (Gamelisma) wiederum ist der Unterschied zwischen drei septimalen Ganztönen 8/7 und einer reinen Quinte 3/2. Austemperieren dieses Kommas führt dazu, dass die Quinte in drei gleiche Teile geteilt wird. Da der septimale Ganzton durch das Austemperieren des Kommas 225/224 seinerseits in zwei gleiche Teile geteilt wird, ergibt sich eine Unterteilung der Quinte in sechs gleiche Teile.

Dieser Sechstel der Quinte, eine Art grosser Halbton, ist als Generator für die Skalen der Temperatur prädestiniert. Zu Ehren des Entdeckers wurde er '''Secor''' genannt.

Da 6 eine gerade Zahl ist, ist eine Miracle-temperierte Quinte auch in zwei gleiche Teile teilbar, neutrale Terzen also. Im 11-Limit-Intervallraum erhält man eine Zweiteilung der Quinte, indem man den Unterschied zwischen dieser und zwei Intervallen mit Frequenzverhältnis 11/9 austemperiert, was dem Komma 243/242 entspricht.  
=Gleichstufige Systeme=
Gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierungen der Miracle-Temperatur bieten [[31edo]], [[41edo]] und [[72edo]]. 

In 72edo ist ein Secor-Halbton sieben Schritte gross, und 6 Secors mit je sieben 72edo-Schritten bilden eine Quinte, ebenso wie natürlich 7 Standard-Halbtöne mit je sechs 72edo-Schritten.

In 31edo fällt der Secor-Halbton mit dem Halbton der diatonischen Skala zusammen.

=MOS-Skalen=
==Miracle[10]==
Von den [[MOS-Skalen]] ist die mit zehn Tönen von Bedeutung, bestehend aus 9 Secors und einem grösseren Intervall, einer Art neutraler Sekunde (MOS vom Typ 1L 9s). Die manchmal anzutreffende Bezeichnung '''Miracle-Skala''' bezieht sich auf diese zehntönige.  

[Todo Klangbeispiele]

==Blackjack (Miracle[21])==
Daneben von Bedeutung ist die einundzwanzigtönige Miracle-Skala, die eine gewisse Verbreitung unter dem Namen '''Blackjack''' gefunden hat. Namentlich der Komponist [https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph_Pehrson Joseph Pehrson] hat mehrere Kompositionen in Blackjack geschrieben (eine davon sogar mit dem Titel “Blackjack”).

Die Blackjack-Skala ist vom Typ 10L 11s (10 grössere und 11 kleinere Intervalle), wobei L hier eine Art kleiner Halbton ist und s etwa ein Sechstelton (s von Blackjack ist das Chroma der zehntönigen Miracle-Skala, also L - s in Miracle[10]). L + s in Blackjack bilden den Secor-Halbton.

Das kleine Intervall s ist für den direkten Gebrauch als einzelner Melodieschritt etwas zu klein. Es ist jedoch die temperierte Approximation einer ganzen Reihe kleiner Schritte im oberen Bereich der Obertonskala, namentlich 45/44, 49/48, 50/49, 55/54, 56/55 und 64/63. Diese Eigenschaft bietet vielfältige Möglichkeiten in Kombination mit grösseren Intervallen. Man kann Blackjack so als Basistonvorrat sehen, der es erlaubt, im wesentlichen in reinen Intervallen denken, aber mit deutlich reduzierter Komplexität der Intervallbeziehungen (und deutlich weniger verschiedenen Tönen, natürlich).

[Todo Klangbeispiele]

==Canasta (Miracle[31])==
Auch die nächstgrößere MOS-Skala von Miracle, mit 31 Tönen, hat eine gewisse Bekanntheit gefunden, unter dem Namen '''Canasta'''. Sie ist vom Typ 10L 21s, wobei jedoch beide Grundintervalle für den direkten Gebrauch eigentlich zu klein sind (L ist etwa einen Viertelton groß). Blackjack wie Canasta eignen sich gut als Basistonvorrat, wenn man im wesentlichen in reinen Intervallen denken, dabei aber die Komplexität der Intervallbeziehungen und den Tonvorrat etwas reduziert haben möchte.

In 31edo, das ja insgesamt nur 31 Töne hat, degeneriert die Canasta-Skala zu einer vollständig gleichförmigen Skala mit sämtlichen Tönen des Systems.

[Todo Klangbeispiele]

=Referenz=
George Secor, The Miracle Temperament and Decimal Keyboard, Xenharmonikon 18, 2006. 
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

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=Definition, Kommas=
'''Miracle''' ist der Name einer Temperatur, die im Jahre 1974 von [https://en.wikipedia.org/wiki/George_Secor George Secor] entdeckt wurde. Sie ist definiert durch das Austemperieren der [[Komma|Kommas]] [[225/224]], 1029/1024 im 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] sowie, im 11-Limit-Intervallraum, des Kommas 243/242 (oder, analog, 385/384).

Das Komma 225/224 (septimales Kleisma, Marvel-Komma, 7.7 Cents) ist der Unterschied zwischen den Intervallen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird.

Das Komma 1029/1024 (Gamelisma) wiederum ist der Unterschied zwischen drei septimalen Ganztönen 8/7 und einer reinen Quinte 3/2. Austemperieren dieses Kommas führt dazu, dass die Quinte in drei gleiche Teile geteilt wird. Da der septimale Ganzton durch das Austemperieren des Kommas 225/224 seinerseits in zwei gleiche Teile geteilt wird, ergibt sich eine Unterteilung der Quinte in sechs gleiche Teile.

Dieser Sechstel der Quinte, eine Art grosser Halbton, ist als Generator für die Skalen der Temperatur prädestiniert. Zu Ehren des Entdeckers wurde er '''Secor''' genannt.

Da 6 eine gerade Zahl ist, ist eine Miracle-temperierte Quinte auch in zwei gleiche Teile teilbar, neutrale Terzen also. Im 11-Limit-Intervallraum erhält man eine Zweiteilung der Quinte, indem man den Unterschied zwischen dieser und zwei Intervallen mit Frequenzverhältnis 11/9 austemperiert, was dem Komma 243/242 entspricht.  
=Gleichstufige Systeme=
Gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierungen der Miracle-Temperatur bieten [[31edo]], [[41edo]] und [[72edo]]. 

In 72edo ist ein Secor-Halbton sieben Schritte gross, und 6 Secors mit je sieben 72edo-Schritten bilden eine Quinte, ebenso wie natürlich 7 Standard-Halbtöne mit je sechs 72edo-Schritten.

In 31edo fällt der Secor-Halbton mit dem Halbton der diatonischen Skala zusammen.

=MOS-Skalen=
==Miracle[10]==
Von den [[MOS-Skalen]] ist die mit zehn Tönen von Bedeutung, bestehend aus 9 Secors und einem grösseren Intervall, einer Art neutraler Sekunde (MOS vom Typ 1L 9s). Die manchmal anzutreffende Bezeichnung '''Miracle-Skala''' bezieht sich auf diese zehntönige.  

[Todo Klangbeispiele]

==Blackjack (Miracle[21])==
Daneben von Bedeutung ist die einundzwanzigtönige Miracle-Skala, die eine gewisse Verbreitung unter dem Namen '''Blackjack''' gefunden hat. Namentlich der Komponist [https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph_Pehrson Joseph Pehrson] hat mehrere Kompositionen in Blackjack geschrieben (eine davon sogar mit dem Titel “Blackjack”).

Die Blackjack-Skala ist vom Typ 10L 11s (10 grössere und 11 kleinere Intervalle), wobei L hier eine Art kleiner Halbton ist und s etwa ein Sechstelton (s von Blackjack ist das Chroma der zehntönigen Miracle-Skala, also L - s in Miracle[10]). L + s in Blackjack bilden den Secor-Halbton.

Das kleine Intervall s ist für den direkten Gebrauch als einzelner Melodieschritt etwas zu klein. Es ist jedoch die temperierte Approximation einer ganzen Reihe kleiner Schritte im oberen Bereich der Obertonskala, namentlich 45/44, 49/48, 50/49, 55/54, 56/55 und 64/63. Diese Eigenschaft bietet vielfältige Möglichkeiten in Kombination mit grösseren Intervallen. Man kann Blackjack so als Basistonvorrat sehen, der es erlaubt, im wesentlichen in reinen Intervallen denken, aber mit deutlich reduzierter Komplexität der Intervallbeziehungen (und deutlich weniger verschiedenen Tönen, natürlich).

[Todo Klangbeispiele]

==Canasta (Miracle[31])==
Auch die nächstgrößere MOS-Skala von Miracle, mit 31 Tönen, hat eine gewisse Bekanntheit gefunden, unter dem Namen '''Canasta'''. Sie ist vom Typ 10L 21s, wobei jedoch beide Grundintervalle für den direkten Gebrauch eigentlich zu klein sind (L ist etwa einen Viertelton groß). Wie Blackjack eignet sich Canasta gut als Basistonvorrat, wenn man im wesentlichen in reinen Intervallen denken, dabei aber die Komplexität der Intervallbeziehungen und den Tonvorrat etwas reduziert haben möchte.

In 31edo, das ja insgesamt nur 31 Töne hat, degeneriert die Canasta-Skala zu einer vollständig gleichförmigen Skala mit sämtlichen Tönen des Systems.

[Todo Klangbeispiele]

=Referenz=
George Secor, The Miracle Temperament and Decimal Keyboard, Xenharmonikon 18, 2006. 
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

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=Definition, Kommas=
'''Miracle''' ist der Name einer Temperatur, die im Jahre 1974 von [https://en.wikipedia.org/wiki/George_Secor George Secor] entdeckt wurde. Sie ist definiert durch das Austemperieren der [[Komma|Kommas]] [[225/224]], 1029/1024 im 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] sowie, im 11-Limit-Intervallraum, des Kommas 243/242 (oder, analog, 385/384).

Das Komma 225/224 (septimales Kleisma, Marvel-Komma, 7.7 Cents) ist der Unterschied zwischen den Intervallen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird.

Das Komma 1029/1024 (Gamelisma) wiederum ist der Unterschied zwischen drei septimalen Ganztönen 8/7 und einer reinen Quinte 3/2. Austemperieren dieses Kommas führt dazu, dass die Quinte in drei gleiche Teile geteilt wird. Da der septimale Ganzton durch das Austemperieren des Kommas 225/224 seinerseits in zwei gleiche Teile geteilt wird, ergibt sich eine Unterteilung der Quinte in sechs gleiche Teile.

Dieser Sechstel der Quinte, eine Art grosser Halbton, ist als Generator für die Skalen der Temperatur prädestiniert. Zu Ehren des Entdeckers wurde er '''Secor''' genannt.

Da 6 eine gerade Zahl ist, ist eine Miracle-temperierte Quinte auch in zwei gleiche Teile teilbar, neutrale Terzen also. Im 11-Limit-Intervallraum erhält man eine Zweiteilung der Quinte, indem man den Unterschied zwischen dieser und zwei Intervallen mit Frequenzverhältnis 11/9 austemperiert, was dem Komma 243/242 entspricht.  
=Gleichstufige Systeme=
Gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierungen der Miracle-Temperatur bieten [[31edo]], [[41edo]] und [[72edo]]. 

In 72edo ist ein Secor-Halbton sieben Schritte gross, und 6 Secors mit je sieben 72edo-Schritten bilden eine Quinte, ebenso wie natürlich 7 Standard-Halbtöne mit je sechs 72edo-Schritten.

In 31edo fällt der Secor-Halbton mit dem Halbton der diatonischen Skala zusammen.

=MOS-Skalen=
==Miracle[10]==
Von den [[MOS-Skalen]] ist die mit zehn Tönen von Bedeutung, bestehend aus 9 Secors und einem grösseren Intervall, einer Art neutraler Sekunde (MOS vom Typ 1L 9s). Die manchmal anzutreffende Bezeichnung '''Miracle-Skala''' bezieht sich auf diese zehntönige.  

[Todo Klangbeispiele]

==Blackjack (Miracle[21])==
Daneben von Bedeutung ist die einundzwanzigtönige Miracle-Skala, die eine gewisse Verbreitung unter dem Namen '''Blackjack''' gefunden hat. Namentlich der Komponist [https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph_Pehrson Joseph Pehrson] hat mehrere Kompositionen in Blackjack geschrieben (eine davon sogar mit dem Titel “Blackjack”).

Die Blackjack-Skala ist vom Typ 10L 11s (10 grössere und 11 kleinere Intervalle), wobei L hier eine Art kleiner Halbton ist und s etwa ein Sechstelton (s von Blackjack ist das Chroma der zehntönigen Miracle-Skala, also L - s in Miracle[10]). L + s in Blackjack bilden den Secor-Halbton.

Das kleine Intervall s ist für den direkten Gebrauch als einzelner Melodieschritt etwas zu klein. Es ist jedoch die temperierte Approximation einer ganzen Reihe kleiner Schritte im oberen Bereich der Obertonskala, namentlich 45/44, 49/48, 50/49, 55/54, 56/55 und 64/63. Diese Eigenschaft bietet vielfältige Möglichkeiten in Kombination mit grösseren Intervallen. Man kann Blackjack so als Basistonvorrat sehen, der es erlaubt, im wesentlichen in reinen Intervallen zu denken, aber mit deutlich reduzierter Komplexität der Intervallbeziehungen (und deutlich weniger verschiedenen Tönen, natürlich).

[Todo Klangbeispiele]

==Canasta (Miracle[31])==
Auch die nächstgrößere MOS-Skala von Miracle, mit 31 Tönen, hat eine gewisse Bekanntheit gefunden, unter dem Namen '''Canasta'''. Sie ist vom Typ 10L 21s, wobei jedoch beide Grundintervalle für den direkten Gebrauch eigentlich zu klein sind (L ist etwa einen Viertelton groß). Wie Blackjack eignet sich Canasta gut als Basistonvorrat, wenn man im wesentlichen in reinen Intervallen denken, dabei aber die Komplexität der Intervallbeziehungen und den Tonvorrat etwas reduziert haben möchte.

In 31edo, das ja insgesamt nur 31 Töne hat, degeneriert die Canasta-Skala zu einer vollständig gleichförmigen Skala mit sämtlichen Tönen des Systems.

[Todo Klangbeispiele]

=Referenz=
George Secor, The Miracle Temperament and Decimal Keyboard, Xenharmonikon 18, 2006. 
http://www.anaphoria.com/SecorMiracle.pdf</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

__FORCETOC__
=Definition, Kommas=
'''Miracle''' ist der Name einer Temperatur, die im Jahre 1974 von [https://en.wikipedia.org/wiki/George_Secor George Secor] entdeckt wurde. Sie ist definiert durch das Austemperieren der [[Komma|Kommas]] [[225/224]], 1029/1024 im 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] sowie, im 11-Limit-Intervallraum, des Kommas 243/242 (oder, analog, 385/384).

Das Komma 225/224 (septimales Kleisma, Marvel-Komma, 7.7 Cents) ist der Unterschied zwischen den Intervallen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird.

Das Komma 1029/1024 (Gamelisma) wiederum ist der Unterschied zwischen drei septimalen Ganztönen 8/7 und einer reinen Quinte 3/2. Austemperieren dieses Kommas führt dazu, dass die Quinte in drei gleiche Teile geteilt wird. Da der septimale Ganzton durch das Austemperieren des Kommas 225/224 seinerseits in zwei gleiche Teile geteilt wird, ergibt sich eine Unterteilung der Quinte in sechs gleiche Teile.

Dieser Sechstel der Quinte, eine Art grosser Halbton, ist als Generator für die Skalen der Temperatur prädestiniert. Zu Ehren des Entdeckers wurde er '''Secor''' genannt.

Da 6 eine gerade Zahl ist, ist eine Miracle-temperierte Quinte auch in zwei gleiche Teile teilbar, neutrale Terzen also. Im 11-Limit-Intervallraum erhält man eine Zweiteilung der Quinte, indem man den Unterschied zwischen dieser und zwei Intervallen mit Frequenzverhältnis 11/9 austemperiert, was dem Komma 243/242 entspricht.  
=Gleichstufige Systeme=
Gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierungen der Miracle-Temperatur bieten [[31edo]], [[41edo]] und [[72edo]]. 

In 72edo ist ein Secor-Halbton sieben Schritte gross, und 6 Secors mit je sieben 72edo-Schritten bilden eine Quinte, ebenso wie natürlich 7 Standard-Halbtöne mit je sechs 72edo-Schritten.

In 31edo fällt der Secor-Halbton mit dem Halbton der diatonischen Skala zusammen.

=MOS-Skalen=
==Miracle[10]==
Von den [[MOS-Skalen]] ist die mit zehn Tönen von Bedeutung, bestehend aus 9 Secors und einem grösseren Intervall, einer Art neutraler Sekunde (MOS vom Typ 1L 9s). Die manchmal anzutreffende Bezeichnung '''Miracle-Skala''' bezieht sich auf diese zehntönige.  

[Todo Klangbeispiele]

==Blackjack (Miracle[21])==
Daneben von Bedeutung ist die einundzwanzigtönige Miracle-Skala, die eine gewisse Verbreitung unter dem Namen '''Blackjack''' gefunden hat. Namentlich der Komponist [https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph_Pehrson Joseph Pehrson] hat mehrere Kompositionen in Blackjack geschrieben (eine davon sogar mit dem Titel “Blackjack”).

Die Blackjack-Skala ist vom Typ 10L 11s (10 grössere und 11 kleinere Intervalle), wobei L hier eine Art kleiner Halbton ist und s etwa ein Sechstelton (s von Blackjack ist das Chroma der zehntönigen Miracle-Skala, also L - s in Miracle[10]). L + s in Blackjack bilden den Secor-Halbton.

Das kleine Intervall s ist für den direkten Gebrauch als einzelner Melodieschritt etwas zu klein. Es ist jedoch die temperierte Approximation einer ganzen Reihe kleiner Schritte im oberen Bereich der Obertonskala, namentlich 45/44, 49/48, 50/49, 55/54, 56/55 und 64/63. Diese Eigenschaft bietet vielfältige Möglichkeiten in Kombination mit grösseren Intervallen. Man kann Blackjack so als Basistonvorrat sehen, der es erlaubt, im wesentlichen in reinen Intervallen zu denken, aber mit deutlich reduzierter Komplexität der Intervallbeziehungen (und deutlich weniger verschiedenen Tönen, natürlich).

[Todo Klangbeispiele]

==Canasta (Miracle[31])==
Auch die nächstgrößere MOS-Skala von Miracle, mit 31 Tönen, hat eine gewisse Bekanntheit gefunden, unter dem Namen '''Canasta'''. Sie ist vom Typ 10L 21s, wobei jedoch beide Grundintervalle für den direkten Gebrauch eigentlich zu klein sind - L ist etwa einen Viertelton groß. L + 2s ergibt den Secor-Halbton.

Wie Blackjack eignet sich Canasta gut als Basistonvorrat, wenn man im wesentlichen in reinen Intervallen denken, dabei aber die Komplexität der Intervallbeziehungen und den Tonvorrat etwas reduziert haben möchte.

In 31edo, das ja insgesamt nur 31 Töne hat, degeneriert die Canasta-Skala zu einer vollständig gleichförmigen Skala mit sämtlichen Tönen des Systems.

[Todo Klangbeispiele]

=Referenz=
George Secor, The Miracle Temperament and Decimal Keyboard, Xenharmonikon 18, 2006. 
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

__FORCETOC__
=Definition, Kommas=
'''Miracle''' ist der Name einer Temperatur, die im Jahre 1974 von [https://en.wikipedia.org/wiki/George_Secor George Secor] entdeckt wurde. Sie ist definiert durch das Austemperieren der [[Komma|Kommas]] [[225/224]], 1029/1024 im 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] sowie, im 11-Limit-Intervallraum, des Kommas 243/242 (oder, analog, 385/384).

Das Komma 225/224 (septimales Kleisma, Marvel-Komma, 7.7 Cents) ist der Unterschied zwischen den Intervallen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird.

Das Komma [[1029/1024]] (Gamelisma) wiederum ist der Unterschied zwischen drei septimalen Ganztönen 8/7 und einer reinen Quinte 3/2. Austemperieren dieses Kommas führt dazu, dass die Quinte in drei gleiche Teile geteilt wird. Da der septimale Ganzton durch das Austemperieren des Kommas 225/224 seinerseits in zwei gleiche Teile geteilt wird, ergibt sich eine Unterteilung der Quinte in sechs gleiche Teile.

Dieser Sechstel der Quinte, eine Art grosser Halbton, ist als Generator für die Skalen der Temperatur prädestiniert. Zu Ehren des Entdeckers wurde er '''Secor''' genannt.

Da 6 eine gerade Zahl ist, ist eine Miracle-temperierte Quinte auch in zwei gleiche Teile teilbar, neutrale Terzen also. Im 11-Limit-Intervallraum erhält man eine Zweiteilung der Quinte, indem man den Unterschied zwischen dieser und zwei Intervallen mit Frequenzverhältnis 11/9 austemperiert, was dem Komma 243/242 entspricht.

=Gleichstufige Systeme=
Gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierungen der Miracle-Temperatur bieten [[31edo]], [[41edo]] und [[72edo]]. 

In 72edo ist ein Secor-Halbton sieben Schritte gross, und 6 Secors mit je sieben 72edo-Schritten bilden eine Quinte, ebenso wie natürlich 7 Standard-Halbtöne mit je sechs 72edo-Schritten.

In 31edo fällt der Secor-Halbton mit dem Halbton der diatonischen Skala zusammen.

=MOS-Skalen=
==Miracle[10]==
Von den [[MOS-Skalen]] ist die mit zehn Tönen von Bedeutung, bestehend aus 9 Secors und einem grösseren Intervall, einer Art neutraler Sekunde (MOS vom Typ 1L 9s). Die manchmal anzutreffende Bezeichnung '''Miracle-Skala''' bezieht sich auf diese zehntönige.  

[Todo Klangbeispiele]

==Blackjack (Miracle[21])==
Daneben von Bedeutung ist die einundzwanzigtönige Miracle-Skala, die eine gewisse Verbreitung unter dem Namen '''Blackjack''' gefunden hat. Namentlich der Komponist [https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph_Pehrson Joseph Pehrson] hat mehrere Kompositionen in Blackjack geschrieben (eine davon sogar mit dem Titel “Blackjack”).

Die Blackjack-Skala ist vom Typ 10L 11s (10 grössere und 11 kleinere Intervalle), wobei L hier eine Art kleiner Halbton ist und s etwa ein Sechstelton (s von Blackjack ist das Chroma der zehntönigen Miracle-Skala, also L - s in Miracle[10]). L + s in Blackjack bilden den Secor-Halbton.

Das kleine Intervall s ist für den direkten Gebrauch als einzelner Melodieschritt etwas zu klein. Es ist jedoch die temperierte Approximation einer ganzen Reihe kleiner Schritte im oberen Bereich der Obertonskala, namentlich 45/44, 49/48, 50/49, 55/54, 56/55 und 64/63. Diese Eigenschaft bietet vielfältige Möglichkeiten in Kombination mit grösseren Intervallen. Man kann Blackjack so als Basistonvorrat sehen, der es erlaubt, im wesentlichen in reinen Intervallen zu denken, aber mit deutlich reduzierter Komplexität der Intervallbeziehungen (und deutlich weniger verschiedenen Tönen, natürlich).

[Todo Klangbeispiele]

==Canasta (Miracle[31])==
Auch die nächstgrößere MOS-Skala von Miracle, mit 31 Tönen, hat eine gewisse Bekanntheit gefunden, unter dem Namen '''Canasta'''. Sie ist vom Typ 10L 21s, wobei jedoch beide Grundintervalle für den direkten Gebrauch eigentlich zu klein sind - L ist etwa einen Viertelton groß. L + 2s ergibt den Secor-Halbton.

Wie Blackjack eignet sich Canasta gut als Basistonvorrat, wenn man im wesentlichen in reinen Intervallen denken, dabei aber die Komplexität der Intervallbeziehungen und den Tonvorrat etwas reduziert haben möchte.

In 31edo, das ja insgesamt nur 31 Töne hat, degeneriert die Canasta-Skala zu einer vollständig gleichförmigen Skala mit sämtlichen Tönen des Systems.

[Todo Klangbeispiele]

=Referenz=
George Secor, The Miracle Temperament and Decimal Keyboard, Xenharmonikon 18, 2006. 
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

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=Definition, Kommas=
'''Miracle''' ist der Name einer Temperatur, die im Jahre 1974 von [https://en.wikipedia.org/wiki/George_Secor George Secor] entdeckt wurde. Sie ist definiert durch das Austemperieren der [[Komma|Kommas]] [[225/224]], [[1029/1024]] im 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] sowie, im 11-Limit-Intervallraum, des Kommas 243/242 (oder, analog, 385/384).

Das Komma 225/224 (septimales Kleisma, Marvel-Komma, 7.7 Cents) ist der Unterschied zwischen den Intervallen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird.

Das Komma [[1029/1024]] (Gamelisma) wiederum ist der Unterschied zwischen drei septimalen Ganztönen 8/7 und einer reinen Quinte 3/2. Austemperieren dieses Kommas führt dazu, dass die Quinte in drei gleiche Teile geteilt wird. Da der septimale Ganzton durch das Austemperieren des Kommas 225/224 seinerseits in zwei gleiche Teile geteilt wird, ergibt sich eine Unterteilung der Quinte in sechs gleiche Teile.

Dieser Sechstel der Quinte, eine Art grosser Halbton, ist als Generator für die Skalen der Temperatur prädestiniert. Zu Ehren des Entdeckers wurde er '''Secor''' genannt.

Da 6 eine gerade Zahl ist, ist eine Miracle-temperierte Quinte auch in zwei gleiche Teile teilbar, neutrale Terzen also. Im 11-Limit-Intervallraum erhält man eine Zweiteilung der Quinte, indem man den Unterschied zwischen dieser und zwei Intervallen mit Frequenzverhältnis 11/9 austemperiert, was dem Komma 243/242 entspricht.

=Gleichstufige Systeme=
Gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierungen der Miracle-Temperatur bieten [[31edo]], [[41edo]] und [[72edo]]. 

In 72edo ist ein Secor-Halbton sieben Schritte gross, und 6 Secors mit je sieben 72edo-Schritten bilden eine Quinte, ebenso wie natürlich 7 Standard-Halbtöne mit je sechs 72edo-Schritten.

In 31edo fällt der Secor-Halbton mit dem Halbton der diatonischen Skala zusammen.

=MOS-Skalen=
==Miracle[10]==
Von den [[MOS-Skalen]] ist die mit zehn Tönen von Bedeutung, bestehend aus 9 Secors und einem grösseren Intervall, einer Art neutraler Sekunde (MOS vom Typ 1L 9s). Die manchmal anzutreffende Bezeichnung '''Miracle-Skala''' bezieht sich auf diese zehntönige.  

[Todo Klangbeispiele]

==Blackjack (Miracle[21])==
Daneben von Bedeutung ist die einundzwanzigtönige Miracle-Skala, die eine gewisse Verbreitung unter dem Namen '''Blackjack''' gefunden hat. Namentlich der Komponist [https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph_Pehrson Joseph Pehrson] hat mehrere Kompositionen in Blackjack geschrieben (eine davon sogar mit dem Titel “Blackjack”).

Die Blackjack-Skala ist vom Typ 10L 11s (10 grössere und 11 kleinere Intervalle), wobei L hier eine Art kleiner Halbton ist und s etwa ein Sechstelton (s von Blackjack ist das Chroma der zehntönigen Miracle-Skala, also L - s in Miracle[10]). L + s in Blackjack bilden den Secor-Halbton.

Das kleine Intervall s ist für den direkten Gebrauch als einzelner Melodieschritt etwas zu klein. Es ist jedoch die temperierte Approximation einer ganzen Reihe kleiner Schritte im oberen Bereich der Obertonskala, namentlich 45/44, 49/48, 50/49, 55/54, 56/55 und 64/63. Diese Eigenschaft bietet vielfältige Möglichkeiten in Kombination mit grösseren Intervallen. Man kann Blackjack so als Basistonvorrat sehen, der es erlaubt, im wesentlichen in reinen Intervallen zu denken, aber mit deutlich reduzierter Komplexität der Intervallbeziehungen (und deutlich weniger verschiedenen Tönen, natürlich).

[Todo Klangbeispiele]

==Canasta (Miracle[31])==
Auch die nächstgrößere MOS-Skala von Miracle, mit 31 Tönen, hat eine gewisse Bekanntheit gefunden, unter dem Namen '''Canasta'''. Sie ist vom Typ 10L 21s, wobei jedoch beide Grundintervalle für den direkten Gebrauch eigentlich zu klein sind - L ist etwa einen Viertelton groß. L + 2s ergibt den Secor-Halbton.

Wie Blackjack eignet sich Canasta gut als Basistonvorrat, wenn man im wesentlichen in reinen Intervallen denken, dabei aber die Komplexität der Intervallbeziehungen und den Tonvorrat etwas reduziert haben möchte.

In 31edo, das ja insgesamt nur 31 Töne hat, degeneriert die Canasta-Skala zu einer vollständig gleichförmigen Skala mit sämtlichen Tönen des Systems.

[Todo Klangbeispiele]

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

__FORCETOC__
=Definition, Kommas=
'''Miracle''' ist der Name einer Temperatur, die im Jahre 1974 von [https://en.wikipedia.org/wiki/George_Secor George Secor] entdeckt wurde. Sie ist definiert durch das Austemperieren der [[Komma|Kommas]] [[225/224]], [[1029/1024]] im 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] sowie, im 11-Limit-Intervallraum, des Kommas 243/242 (oder, analog, 385/384).

Das Komma 225/224 (septimales Kleisma, Marvel-Komma, 7.7 Cents) ist der Unterschied zwischen den Intervallen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird.

Das Komma [[1029/1024]] (Gamelisma) wiederum ist der Unterschied zwischen drei septimalen Ganztönen 8/7 und einer reinen Quinte 3/2. Austemperieren dieses Kommas führt dazu, dass die Quinte in drei gleiche Teile geteilt wird. Da der septimale Ganzton durch das Austemperieren des Kommas 225/224 seinerseits in zwei gleiche Teile geteilt wird, ergibt sich eine Unterteilung der Quinte in sechs gleiche Teile.

Dieser Sechstel der Quinte, eine Art grosser Halbton, ist als Generator für die Skalen der Temperatur prädestiniert. Zu Ehren des Entdeckers wurde er '''Secor''' genannt.

Da 6 eine gerade Zahl ist, ist eine Miracle-temperierte Quinte auch in zwei gleiche Teile teilbar, neutrale Terzen also. Im 11-Limit-Intervallraum erhält man eine Zweiteilung der Quinte, indem man den Unterschied zwischen dieser und zwei Intervallen mit Frequenzverhältnis 11/9 austemperiert, was dem Komma 243/242 entspricht.

=Gleichstufige Systeme=
Gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierungen der Miracle-Temperatur bieten [[31edo]], [[41edo]] und [[72edo]], akzeptable ferner [[21-EDO]]. 

In 72edo ist ein Secor-Halbton sieben Schritte gross, und 6 Secors mit je sieben 72edo-Schritten bilden eine Quinte, ebenso wie natürlich 7 Standard-Halbtöne mit je sechs 72edo-Schritten.

In 31edo fällt der Secor-Halbton mit dem Halbton der diatonischen Skala zusammen.

=MOS-Skalen=
==Miracle[10]==
Von den [[MOS-Skalen]] ist die mit zehn Tönen von Bedeutung, bestehend aus 9 Secors und einem grösseren Intervall, einer Art neutraler Sekunde (MOS vom Typ 1L 9s). Die manchmal anzutreffende Bezeichnung '''Miracle-Skala''' bezieht sich auf diese zehntönige.  

[Todo Klangbeispiele]

==Blackjack (Miracle[21])==
Daneben von Bedeutung ist die einundzwanzigtönige Miracle-Skala, die eine gewisse Verbreitung unter dem Namen '''Blackjack''' gefunden hat. Namentlich der Komponist [https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph_Pehrson Joseph Pehrson] hat mehrere Kompositionen in Blackjack geschrieben (eine davon sogar mit dem Titel “Blackjack”).

Die Blackjack-Skala ist vom Typ 10L 11s (10 grössere und 11 kleinere Intervalle), wobei L hier eine Art kleiner Halbton ist und s etwa ein Sechstelton (s von Blackjack ist das Chroma der zehntönigen Miracle-Skala, also L - s in Miracle[10]). L + s in Blackjack bilden den Secor-Halbton.

Das kleine Intervall s ist für den direkten Gebrauch als einzelner Melodieschritt etwas zu klein. Es ist jedoch die temperierte Approximation einer ganzen Reihe kleiner Schritte im oberen Bereich der Obertonskala, namentlich 45/44, 49/48, 50/49, 55/54, 56/55 und 64/63. Diese Eigenschaft bietet vielfältige Möglichkeiten in Kombination mit grösseren Intervallen. Man kann Blackjack so als Basistonvorrat sehen, der es erlaubt, im wesentlichen in reinen Intervallen zu denken, aber mit deutlich reduzierter Komplexität der Intervallbeziehungen (und deutlich weniger verschiedenen Tönen, natürlich).

[Todo Klangbeispiele]

==Canasta (Miracle[31])==
Auch die nächstgrößere MOS-Skala von Miracle, mit 31 Tönen, hat eine gewisse Bekanntheit gefunden, unter dem Namen '''Canasta'''. Sie ist vom Typ 10L 21s, wobei jedoch beide Grundintervalle für den direkten Gebrauch eigentlich zu klein sind - L ist etwa einen Viertelton groß. L + 2s ergibt den Secor-Halbton.

Wie Blackjack eignet sich Canasta gut als Basistonvorrat, wenn man im wesentlichen in reinen Intervallen denken, dabei aber die Komplexität der Intervallbeziehungen und den Tonvorrat etwas reduziert haben möchte.

In 31edo, das ja insgesamt nur 31 Töne hat, degeneriert die Canasta-Skala zu einer vollständig gleichförmigen Skala mit sämtlichen Tönen des Systems.

[Todo Klangbeispiele]

=Referenz=
George Secor, The Miracle Temperament and Decimal Keyboard, Xenharmonikon 18, 2006. 
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      <text bytes="4776" sha1="88aw7zjjmqkb98umgn1xwtk2nee02xw" xml:space="preserve">[[en:Miracle]]
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

__FORCETOC__
=Definition, Kommas=
'''Miracle''' ist der Name einer Temperatur, die im Jahre 1974 von [https://en.wikipedia.org/wiki/George_Secor George Secor] entdeckt wurde. Sie ist definiert durch das Austemperieren der [[Komma|Kommas]] [[225/224]], [[1029/1024]] im 7-[[Limit]]-[[Intervallraum]] sowie, im 11-Limit-Intervallraum, des Kommas 243/242 (oder, analog, 385/384).

Das Komma 225/224 (septimales Kleisma, Marvel-Komma, 7.7 Cents) ist der Unterschied zwischen den Intervallen 16/15 (diatonischer Halbton) und 15/14 (septimaler diatonischer Halbton), also den Intervallen zwischen dem vierzehnten, fünfzehnten und sechzehnten Oberton. Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass das dem septimalen Ganzton (8/7, Oktavkomplement zur [[Naturseptime]]) entsprechende Intervall in zwei gleiche Teile geteilt wird.

Das Komma [[1029/1024]] (Gamelisma) wiederum ist der Unterschied zwischen drei septimalen Ganztönen 8/7 und einer reinen Quinte 3/2. Austemperieren dieses Kommas führt dazu, dass die Quinte in drei gleiche Teile geteilt wird. Da der septimale Ganzton durch das Austemperieren des Kommas 225/224 seinerseits in zwei gleiche Teile geteilt wird, ergibt sich eine Unterteilung der Quinte in sechs gleiche Teile.

Dieser Sechstel der Quinte, eine Art grosser Halbton, ist als Generator für die Skalen der Temperatur prädestiniert. Zu Ehren des Entdeckers wurde er '''Secor''' genannt.

Da 6 eine gerade Zahl ist, ist eine Miracle-temperierte Quinte auch in zwei gleiche Teile teilbar, neutrale Terzen also. Im 11-Limit-Intervallraum erhält man eine Zweiteilung der Quinte, indem man den Unterschied zwischen dieser und zwei Intervallen mit Frequenzverhältnis 11/9 austemperiert, was dem Komma 243/242 entspricht.

=Gleichstufige Systeme=
Gute [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierungen der Miracle-Temperatur bieten [[31edo]], [[41edo]] und [[72edo]], akzeptable ferner [[21-EDO]], als Grenzfall [[10-EDO]]. 

In 72edo ist ein Secor-Halbton sieben Schritte gross, und 6 Secors mit je sieben 72edo-Schritten bilden eine Quinte, ebenso wie natürlich 7 Standard-Halbtöne mit je sechs 72edo-Schritten.

In 31edo fällt der Secor-Halbton mit dem Halbton der diatonischen Skala zusammen.

=MOS-Skalen=
==Miracle[10]==
Von den [[MOS-Skalen]] ist die mit zehn Tönen von Bedeutung, bestehend aus 9 Secors und einem grösseren Intervall, einer Art neutraler Sekunde (MOS vom Typ 1L 9s). Die manchmal anzutreffende Bezeichnung '''Miracle-Skala''' bezieht sich auf diese zehntönige.  

[Todo Klangbeispiele]

==Blackjack (Miracle[21])==
Daneben von Bedeutung ist die einundzwanzigtönige Miracle-Skala, die eine gewisse Verbreitung unter dem Namen '''Blackjack''' gefunden hat. Namentlich der Komponist [https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph_Pehrson Joseph Pehrson] hat mehrere Kompositionen in Blackjack geschrieben (eine davon sogar mit dem Titel “Blackjack”).

Die Blackjack-Skala ist vom Typ 10L 11s (10 grössere und 11 kleinere Intervalle), wobei L hier eine Art kleiner Halbton ist und s etwa ein Sechstelton (s von Blackjack ist das Chroma der zehntönigen Miracle-Skala, also L - s in Miracle[10]). L + s in Blackjack bilden den Secor-Halbton.

Das kleine Intervall s ist für den direkten Gebrauch als einzelner Melodieschritt etwas zu klein. Es ist jedoch die temperierte Approximation einer ganzen Reihe kleiner Schritte im oberen Bereich der Obertonskala, namentlich 45/44, 49/48, 50/49, 55/54, 56/55 und 64/63. Diese Eigenschaft bietet vielfältige Möglichkeiten in Kombination mit grösseren Intervallen. Man kann Blackjack so als Basistonvorrat sehen, der es erlaubt, im wesentlichen in reinen Intervallen zu denken, aber mit deutlich reduzierter Komplexität der Intervallbeziehungen (und deutlich weniger verschiedenen Tönen, natürlich).

[Todo Klangbeispiele]

==Canasta (Miracle[31])==
Auch die nächstgrößere MOS-Skala von Miracle, mit 31 Tönen, hat eine gewisse Bekanntheit gefunden, unter dem Namen '''Canasta'''. Sie ist vom Typ 10L 21s, wobei jedoch beide Grundintervalle für den direkten Gebrauch eigentlich zu klein sind - L ist etwa einen Viertelton groß. L + 2s ergibt den Secor-Halbton.

Wie Blackjack eignet sich Canasta gut als Basistonvorrat, wenn man im wesentlichen in reinen Intervallen denken, dabei aber die Komplexität der Intervallbeziehungen und den Tonvorrat etwas reduziert haben möchte.

In 31edo, das ja insgesamt nur 31 Töne hat, degeneriert die Canasta-Skala zu einer vollständig gleichförmigen Skala mit sämtlichen Tönen des Systems.

[Todo Klangbeispiele]

=Referenz=
George Secor, The Miracle Temperament and Decimal Keyboard, Xenharmonikon 18, 2006. 
http://www.anaphoria.com/SecorMiracle.pdf</text>
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Diese Vorlage vereinfacht die Verwendung der [[:en:Monzo|Monzo notation]], denn sowohl das Pipe-Symbol (&lt;code&gt;&amp;#124;&lt;/code&gt;) als auch das oft als Ersatz für &lt;code&gt;&amp;#x27E8;&lt;/code&gt; ([https://www.compart.com/de/unicode/U+27E8 U+27E8]) genutzte Größer-als-Zeichen (&lt;code&gt;&amp;lt;&lt;/code&gt;) wird von der MediaWiki-Software bzw. in HTML auf besondere Weise interpretiert.

Beispiel zur Benutzung:
 &lt;nowiki&gt;{{Val|-19 12}}&lt;/nowiki&gt;

... wird dargestellt als

&amp;#x27E8;-19 12&amp;#124;


:''siehe auch [[Vorlage:Monzo]]
[[Kategorie:Vorlagen]]

&lt;!-- interwiki --&gt;
[[en:Template:Val]]
[[es:Plantilla:Val]]

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:''siehe auch [[Vorlage:Monzo]]
[[Kategorie:Vorlagen]]

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/* Don't display the function "rollback with one click" */
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Hallo. Ich spreche überhaupt nicht viel Deutsch, vielmehr ist meine Muttersprache Englisch. Der größte Teil meiner Arbeit hier dient dazu, meine Arbeit im englischen Wiki für diese Site ins Deutsche zu übersetzen. Wenn Sie Englisch sprechen, können Sie meine Arbeit an der englischen Version sehen.  Ich habe selbst einiges an Musiktheorie zu dieser Diskussion beizutragen, da ich einen Hintergrund in 24edo habe.  Als Beispiel habe ich einen anderen Satz von Begriffen für die Skalengrade, die ich bei der Arbeit in mikrotonalen Gemeinschaften verwende.  Um das Verständnis einiger der auf meinen Seiten verwendeten Begriffe für die Skalengrade zu fördern - ganz zu schweigen von ihren zugehörigen diatonischen Funktionen - ist es daher notwendig, dass ich sie definiere, obwohl diese Definitionen in Zukunft wahrscheinlich geändert werden.</text>
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Hallo. Ich spreche überhaupt nicht viel Deutsch, vielmehr ist meine Muttersprache Englisch. Der größte Teil meiner Arbeit hier dient dazu, meine Arbeit im englischen Wiki für diese Site ins Deutsche zu übersetzen. Wenn Sie Englisch sprechen, können Sie meine Arbeit an der englischen Version sehen.  Ich habe selbst einiges an Musiktheorie zu dieser Diskussion beizutragen, da ich einen Hintergrund in 24edo habe.  Als Beispiel habe ich einen anderen Satz von Begriffen für die Skalengrade, die ich bei der Arbeit in mikrotonalen Gemeinschaften verwende.  Um das Verständnis einiger der auf meinen Seiten verwendeten Begriffe für die Skalengrade zu fördern - ganz zu schweigen von ihren zugehörigen diatonischen Funktionen - ist es daher notwendig, dass ich sie definiere, obwohl diese Definitionen in Zukunft wahrscheinlich geändert werden.

'''Tonika''' - Dies ist die Note, die als tonales Zentrum und damit als Hauptauflösungston dient und nach der Skalen benannt sind (z. B. ist die Tonart C-Dur so benannt, weil in dieser Skala C als Tonika dient). Weitere Informationen zu den allgemeinen Funktionalitäten und Eigenschaften der Tonika finden Sie im [https://de.wikipedia.org/wiki/Tonika Artikel von Wikipedia].

'''Kontraleitton''' - Dies ist meine Bezeichnung für einen Ton, der in Intervallen zwischen 160/153 und 14/13 vom Grundton entfernt vorkommt und der als Leitton in die entgegengesetzte Richtung der Tonleiter-Konstruktionsrichtung dient - die in der meisten modernen Musik vom Bass aufwärts verläuft. Das bedeutet, dass in der meisten Musik der Kontraton als abgesenkte zweite Skalenstufe auftritt.

'''Doppeldominante''' - Dies ist die Note, die etwa im Intervall zwischen 567/512 und 256/225 von der Tonika entfernt auftritt und als Dominante der Dominante dient.  Im Englischen hängt der Name dieser Skalenstufe von der Aufbaurichtung der Skala ab, die in der traditionellen Musiktheorie immer vom Bass aufwärts verläuft.  Der Begriff "Doppeldominante" bedeutet in diesem Fall ins Englische übersetzt "Supertonic".</text>
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      <text bytes="396" sha1="tg9jpw92z4iyasdmqjjyk0kb16bcnwu" xml:space="preserve">== Willkommen ==

Hallo Aura, &lt;br&gt;
ich hoffe, du fühlst ich hier wohl (wie du siehst, ist gerade nicht so viel los). Das deutsche Wiki ist dem englischen sehr ähnlich, hat aber viel weniger Seiten. Sollte es Probleme mit fehlenden Vorlagen (missing templates) geben, melde dich einfach! &lt;br&gt;
--[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 21:49, 20. Dez. 2020 (UTC)</text>
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      <text bytes="752" sha1="csfymdv6fez3sip3y4j6h7oeg8oxi9b" xml:space="preserve">== Willkommen ==

Hallo Aura, &lt;br&gt;
ich hoffe, du fühlst ich hier wohl (wie du siehst, ist gerade nicht so viel los). Das deutsche Wiki ist dem englischen sehr ähnlich, hat aber viel weniger Seiten. Sollte es Probleme mit fehlenden Vorlagen (missing templates) geben, melde dich einfach! &lt;br&gt;
--[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 21:49, 20. Dez. 2020 (UTC)

== Intervallnamen (naming intervals) ==

Please note that in German really nobody uses "Fünfte", it's only "Quinte": All intervals are derived from Latin ordinals, see https://de.wikipedia.org/wiki/Intervall_(Musik)#Intervallnamen_und_Tonleiterstufen --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 23:37, 20. Dez. 2020 (UTC)</text>
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Hallo Aura, &lt;br&gt;
ich hoffe, du fühlst ich hier wohl (wie du siehst, ist gerade nicht so viel los). Das deutsche Wiki ist dem englischen sehr ähnlich, hat aber viel weniger Seiten. Sollte es Probleme mit fehlenden Vorlagen (missing templates) geben, melde dich einfach! &lt;br&gt;
--[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 21:49, 20. Dez. 2020 (UTC)

== Intervallnamen (naming intervals) ==

Please note that in German really nobody uses "Fünfte", it's only "Quinte": All intervals are derived from Latin ordinals, see https://de.wikipedia.org/wiki/Intervall_(Musik)#Intervallnamen_und_Tonleiterstufen --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 23:37, 20. Dez. 2020 (UTC)

: Right.  Unfortunately, I'm using Google Translate to make the German text. --[[Benutzer:Aura|Aura]] ([[Benutzer Diskussion:Aura|Diskussion]]) 23:38, 20. Dez. 2020 (UTC)</text>
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Hallo Aura, &lt;br&gt;
ich hoffe, du fühlst ich hier wohl (wie du siehst, ist gerade nicht so viel los). Das deutsche Wiki ist dem englischen sehr ähnlich, hat aber viel weniger Seiten. Sollte es Probleme mit fehlenden Vorlagen (missing templates) geben, melde dich einfach! &lt;br&gt;
--[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 21:49, 20. Dez. 2020 (UTC)

== Intervallnamen (naming intervals) ==

Please note that in German really nobody uses "Fünfte", it's only "Quinte": All intervals are derived from Latin ordinals, see https://de.wikipedia.org/wiki/Intervall_(Musik)#Intervallnamen_und_Tonleiterstufen --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 23:37, 20. Dez. 2020 (UTC)

: Right.  Unfortunately, I'm using Google Translate to make the German text. --[[Benutzer:Aura|Aura]] ([[Benutzer Diskussion:Aura|Diskussion]]) 23:38, 20. Dez. 2020 (UTC)

:: You should really give a try to DeepL, as already suggested. But although deep learning algorithms find good translations (if you pass enough (con-)text to them), they get worse as we leave the mainstream area. The biggest data is average data. ;) --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 23:43, 20. Dez. 2020 (UTC)</text>
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Hallo Aura, &lt;br&gt;
ich hoffe, du fühlst ich hier wohl (wie du siehst, ist gerade nicht so viel los). Das deutsche Wiki ist dem englischen sehr ähnlich, hat aber viel weniger Seiten. Sollte es Probleme mit fehlenden Vorlagen (missing templates) geben, melde dich einfach! &lt;br&gt;
--[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 21:49, 20. Dez. 2020 (UTC)

== Intervallnamen (naming intervals) ==

Please note that in German really nobody uses "Fünfte", it's only "Quinte": All intervals are derived from Latin ordinals, see https://de.wikipedia.org/wiki/Intervall_(Musik)#Intervallnamen_und_Tonleiterstufen --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 23:37, 20. Dez. 2020 (UTC)

: Right.  Unfortunately, I'm using Google Translate to make the German text. --[[Benutzer:Aura|Aura]] ([[Benutzer Diskussion:Aura|Diskussion]]) 23:38, 20. Dez. 2020 (UTC)

:: You should really give a try to [https://www.deepl.com/translator DeepL], as already suggested. But although deep learning algorithms find good translations (if you pass enough (con-)text to them), they get worse as we leave the mainstream area. The biggest data is average data. ;) --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 23:43, 20. Dez. 2020 (UTC)</text>
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      <comment>Die Seite wurde neu angelegt: „{{interwiki | de = 159edo | en = 159edo | es =  | ja =  }} Genau wie bei 53edo, hat 159edo eine sehr gute Darstellung von [[5/4]] und [[81/64]], und ein perfek…“</comment>
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Genau wie bei 53edo, hat 159edo eine sehr gute Darstellung von [[5/4]] und [[81/64]], und ein perfektes Fünftel das fast perfekt ist (nur 0.07 Cent Unterschied). Dazu fügt, 159edo eine außergewöhnliche Darstellung von [[Alphorn-Fa|11/8]] (nur 0.37 Cent Unterschied) und [[17/16]] (nur 0.70 Cent Unterschied) hinzu.</text>
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Genau wie [[53edo]] hat '''159edo''' eine sehr gute Darstellung von [[5/4]] und [[81/64]] und eine reine Quinte, die fast perfekt ist (nur 0,07 [[Cent]] Unterschied). Dazu kommt, dass 159edo eine außergewöhnlich gute Darstellung von [[Alphorn-Fa|11/8]] (nur 0,37 Cent Unterschied) und [[17/16]] (nur 0.70 Cent Unterschied) enthält.</text>
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Genau wie [[53edo]] hat '''159edo''' eine sehr gute Darstellung von [[5/4]] und [[81/64]] und eine reine Quinte, die fast perfekt ist (nur 0.07 [[Cent]] Unterschied). Dazu kommt, dass 159edo eine außergewöhnlich gute Darstellung von [[Alphorn-Fa|11/8]] (nur 0,37 Cent Unterschied) und [[17/16]] (nur 0.70 Cent Unterschied) enthält.

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Genau wie [[53edo]] hat '''159edo''' eine sehr gute Darstellung von [[5/4]] und [[81/64]] und eine reine Quinte, die fast perfekt ist (nur 0.07 [[Cent]] Unterschied). Dazu kommt, dass 159edo eine außergewöhnlich gute Darstellung von [[Alphorn-Fa|11/8]] (nur 0.37 Cent Unterschied) und [[17/16]] (nur 0.70 Cent Unterschied) enthält.

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Genau wie [[53edo]] hat '''159edo''' eine sehr gute Darstellung von [[5/4]] und eine sehr gute Darstellung vo [[81/64]] und eine reine Quinte, die fast perfekt ist (nur 0,07 [[Cent]] Unterschied). Dazu kommt, dass 159edo eine außergewöhnlich gute Darstellung von [[Alphorn-Fa|11/8]] (nur 0,37 Cent Unterschied) und [[17/16]] (nur 0,70 Cent Unterschied) enthält.

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Genau wie [[53edo]] hat '''159edo''' eine sehr gute Darstellung von [[5/4]], eine sehr gute Darstellung vo [[81/64]], und, eine reine Quinte, die fast perfekt ist (nur 0,07 [[Cent]] Unterschied). Dazu kommt, dass 159edo eine außergewöhnlich gute Darstellung von [[Alphorn-Fa|11/8]] (nur 0,37 Cent Unterschied) und [[17/16]] (nur 0,70 Cent Unterschied) enthält.

[[Kategorie:EDO]]</text>
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Genau wie 53edo hat 159edo sehr gute Darstellungen von sowohl 5/4 als auch 81/64 sowie eine fast perfekte Quinte (nur 0,07 Cent Unterschied). Dazu kommt, dass 159edo eine außergewöhnlich gute Darstellung von [[Alphorn-Fa|11/8]] (nur 0,37 Cent Unterschied) und [[17/16]] (nur 0,70 Cent Unterschied) enthält.

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Genau wie [[53edo]] hat '''159edo''' sehr gute Darstellungen von sowohl [[5/4]] als auch [[81/64]] sowie eine fast perfekte Quinte (nur 0,07 Cent Unterschied). Dazu kommt, dass 159edo eine außergewöhnlich gute Darstellung von [[Alphorn-Fa|11/8]] (nur 0,37 Cent Unterschied) und [[17/16]] (nur 0,70 Cent Unterschied) enthält.

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Genau wie [[53edo]] hat '''159edo''' sehr gute Darstellungen von sowohl [[5/4]] als auch [[81/64]] sowie eine fast perfekte Quinte (nur 0,07 [[Cent]]s Unterschied). Dazu kommt, dass 159edo eine außergewöhnlich gute Darstellung von [[Alphorn-Fa|11/8]] (nur 0,37 [[Cent]]s Unterschied) und [[17/16]] (nur 0,70 Cent Unterschied) enthält.

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Genau wie [[53edo]] hat '''159edo''' sehr gute Darstellungen von sowohl [[5/4]] als auch [[81/64]] sowie eine fast perfekte Quinte (nur 0,07 [[Cent]]s Unterschied). Dazu kommt, dass 159edo eine außergewöhnlich gute Darstellung von [[Alphorn-Fa|11/8]] (nur 0,37 [[Cent]]s Unterschied) und [[17/16]] (nur 0,70 Cent Unterschied) enthält.

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'''159 EDO''' hat (genau wie [[53 EDO]]) sehr gute Darstellungen von sowohl [[5/4]] als auch [[81/64]] sowie eine fast perfekte Quinte (nur 0,07 [[Cent]]s Unterschied). Dazu kommt, dass 159 EDO eine außergewöhnlich gute Darstellung von [[Alphorn-Fa|11/8]] (nur 0,37 [[Cent]]s Unterschied) und [[17/16]] (nur 0,70 Cent Unterschied) enthält.

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'''159 EDO''' hat (genau wie [[53 EDO]]) sehr gute Darstellungen von sowohl [[5/4]] als auch [[81/64]] sowie eine fast perfekte Quinte (nur 0,07 [[Cent]]s Unterschied). Dazu kommt, dass 159 EDO eine außergewöhnlich gute Darstellung von [[Alphorn-Fa|11/8]] (nur 0,37 [[Cent]]s Unterschied) und [[17/16]] (nur 0,70 Cent Unterschied) enthält.

[[Kategorie:EDO]]</text>
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'''159-EDO''' hat (genau wie [[53-EDO]]) sehr gute Darstellungen von sowohl [[5/4]] als auch [[81/64]] sowie eine fast perfekte Quinte (nur 0,07 [[Cent]]s Unterschied). Dazu kommt, dass 159-EDO eine außergewöhnlich gute Darstellung von [[Alphorn-Fa|11/8]] (nur 0,37 [[Cent]]s Unterschied) und [[17/16]] (nur 0,70 Cent Unterschied) enthält.

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'''159-EDO''' hat (genau wie [[53-EDO]]) sehr gute Darstellungen von sowohl [[5/4]] als auch [[81/64]] sowie eine fast perfekte Quinte (nur 0,07 [[Cent]]s Unterschied). Dazu kommt, dass 159-EDO eine außergewöhnlich gute Darstellung von [[Alphorn-Fa|11/8]] (nur 0,37 [[Cent]]s Unterschied) und [[17/16]] (nur 0,70 Cent Unterschied) enthält.

Der türkische Musikwissenschaftler [[:en:Ozan_Yarman|Ozan Yarman]] hat auf Basis von 159-EDO ein Tonsystem für traditionelle [[Arabisch, türkisch, persisch|türkische]] entwickelt.

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'''159-EDO''' hat (genau wie [[53-EDO]]) sehr gute Darstellungen von sowohl [[5/4]] als auch [[81/64]] sowie eine fast perfekte Quinte (nur 0,07 [[Cent]]s Unterschied). Dazu kommt, dass 159-EDO eine außergewöhnlich gute Darstellung von [[Alphorn-Fa|11/8]] (nur 0,37 [[Cent]]s Unterschied) und [[17/16]] (nur 0,70 Cent Unterschied) enthält.

Der türkische Musikwissenschaftler [[:en:Ozan_Yarman|Ozan Yarman]] hat auf Basis von 159-EDO ein Tonsystem für traditionelle [[Arabisch, türkisch, persisch|türkische]] Musik entwickelt.

[[Kategorie:EDO]]</text>
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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''159-EDO''' hat (genau wie [[53-EDO]]) sehr gute Darstellungen von sowohl [[5/4]] als auch [[81/64]] sowie eine fast perfekte Quinte (nur 0,07 [[Cent]]s Unterschied). Dazu kommt, dass 159-EDO eine außergewöhnlich gute Darstellung von [[Alphorn-Fa|11/8]] (nur 0,37 [[Cent]]s Unterschied) und [[17/16]] (nur 0,70 Cent Unterschied) enthält.

Der türkische Musikwissenschaftler [[:en:Ozan_Yarman|Ozan Yarman]] hat auf Basis von 159-EDO ein Tonsystem für traditionelle [[Arabisch, türkisch, persisch|türkische]] Musik entwickelt.

[[Kategorie:EDO]]</text>
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Eine in Oktaven wiederholte Note ist ein Beispiel für ein Triviales Temperament. Das heißt, es ist in einigen Fällen aus musikalischer Sicht tatsächlich nützlich - insbesondere als Teilmenge größerer EDOs.</text>
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Eine in Oktaven wiederholte Note ist ein Beispiel für ein Triviales Temperament. Das heißt, es ist in einigen Fällen aus musikalischer Sicht tatsächlich nützlich - insbesondere als Teilmenge größerer EDOs.</text>
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Eine in [[Oktave]]n wiederholte Note ist ein Beispiel für ein Triviales Temperament. Das heißt, es ist in einigen Fällen aus musikalischer Sicht tatsächlich nützlich - insbesondere als Teilmenge größerer [[EDO]]s.

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Eine in [[Oktave]]n wiederholte Note ist ein Beispiel für ein Triviales Temperament. Das heißt, es ist in einigen Fällen aus musikalischer Sicht tatsächlich nützlich - insbesondere als Teilmenge größerer [[EDO]]s.

[[Kategorie:EDO]]</text>
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'''1 EDO''', eine in [[Oktave]]n wiederholte Note ist ein Beispiel für ein ''triviales'' Temperament. Das heißt, es ist in einigen Fällen aus musikalischer Sicht tatsächlich nützlich - insbesondere als Teilmenge größerer [[EDO]]s.

== Musik ==
* [https://soundcloud.com/elizamccarthy/ligeti-musica-ricercata-i Ligeti &amp;#45; Musica ricercata&amp;#58; I. Sostenuto &amp;#45; Misurato &amp;#45; Prestissimo von Eliza McCarthy]

[[Kategorie:EDO]]</text>
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}}
'''1 EDO''', eine in [[Oktave]]n wiederholte Note ist ein Beispiel für ein ''triviales'' Temperament. Das heißt, es ist in einigen Fällen aus musikalischer Sicht tatsächlich nützlich - insbesondere als Teilmenge größerer [[EDO]]s.

== Musik ==
* [https://soundcloud.com/elizamccarthy/ligeti-musica-ricercata-i Ligeti &amp;#45; Musica ricercata&amp;#58; I. Sostenuto &amp;#45; Misurato &amp;#45; Prestissimo von Eliza McCarthy]

[[Kategorie:EDO]]</text>
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}}
'''1-EDO''', eine in [[Oktave]]n wiederholte Note ist ein Beispiel für ein ''triviales'' Temperament. Das heißt, es ist in einigen Fällen aus musikalischer Sicht tatsächlich nützlich - insbesondere als Teilmenge größerer [[EDO]]s.

== Musik ==
* [https://soundcloud.com/elizamccarthy/ligeti-musica-ricercata-i Ligeti &amp;#45; Musica ricercata&amp;#58; I. Sostenuto &amp;#45; Misurato &amp;#45; Prestissimo von Eliza McCarthy]

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}}
'''1-EDO''', eine in [[Oktave]]n wiederholte Note ist ein Beispiel für ein ''triviales'' Temperament. Das heißt, es ist in einigen Fällen aus musikalischer Sicht tatsächlich nützlich - insbesondere als Teilmenge größerer [[EDO]]s.

== Musik ==
* [https://soundcloud.com/elizamccarthy/ligeti-musica-ricercata-i Ligeti &amp;#45; Musica ricercata&amp;#58; I. Sostenuto &amp;#45; Misurato &amp;#45; Prestissimo von Eliza McCarthy]

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Wenn man versucht, 2edo als tatsächliche Skala zu verwenden, würde man die Oktave in zwei gleiche Teile mit einer Größe von jeweils 600 Cent teilen, dh sqrt (2) als Frequenzverhältnis. Es stellt das 3-Limit konsistent dar und kann verwendet werden, um eine skelettierte Version der 3-Limit-Musik zu erhalten, wie sie im mittelalterlichen Europa verwendet wurde, indem der fünfte und damit der vierte auf 600 Cent abgebildet wird.</text>
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Wenn man versucht, '''2edo''' als tatsächliche Skala zu verwenden, würde man die [[Oktave]] in zwei gleiche Teile mit einer Größe von jeweils 600 Cent teilen, d.h. &lt;code&gt;sqrt(2)&lt;/code&gt; als Frequenzverhältnis. Es stellt das [[3-Limit]] konsistent dar und kann verwendet werden, um eine skelettierte Version der 3-Limit-Musik zu erhalten, wie sie im mittelalterlichen Europa verwendet wurde, indem [[Quinte]] und [[Quarte]] auf 600 Cent abgebildet werden.</text>
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Wenn man versucht, '''2edo''' als tatsächliche Skala zu verwenden, würde man die [[Oktave]] in zwei gleiche Teile mit einer Größe von jeweils 600 Cent teilen, d.h. &lt;code&gt;sqrt(2)&lt;/code&gt; als Frequenzverhältnis. Es stellt das [[3-Limit]] konsistent dar und kann verwendet werden, um eine skelettierte Version der 3-Limit-Musik zu erhalten, wie sie im mittelalterlichen Europa verwendet wurde, indem [[Quinte]] und [[Quarte]] auf 600 Cent abgebildet werden.

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Wenn man versucht, '''2edo''' als tatsächliche Skala zu verwenden, würde man die [[Oktave]] in zwei gleiche Teile mit einer Größe von jeweils 600 Cent teilen, d.h. &lt;code&gt;sqrt(2)&lt;/code&gt; als Frequenzverhältnis. Es stellt das [[3-Limit]] konsistent dar und kann verwendet werden, um eine skelettierte Version der 3-Limit-Musik zu erhalten, wie sie im mittelalterlichen Europa verwendet wurde, indem [[Quinte]] und [[Quarte]] auf 600 Cent abgebildet werden.  Man kann sagen, dass sich die Harmonie, die in 2edo zu finden ist, um den Tonic-Antitonic-Kontrast dreht, wobei die 600 Cent vom Tonic entfernte Note eine Funktion hat, die der verminderten fünften von 12edo ähnelt.

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Wenn man versucht, '''2edo''' als tatsächliche Skala zu verwenden, würde man die [[Oktave]] in zwei gleiche Teile mit einer Größe von jeweils 600 Cent teilen, d.h. &lt;code&gt;sqrt(2)&lt;/code&gt; als Frequenzverhältnis. Es stellt das [[3-Limit]] konsistent dar und kann verwendet werden, um eine skelettierte Version der 3-Limit-Musik zu erhalten, wie sie im mittelalterlichen Europa verwendet wurde, indem [[Quinte]] und [[Quarte]] auf 600 Cent abgebildet werden.  Man kann sagen, dass sich die Harmonie, die in 2edo zu finden ist, um den Tonika-Antitonika-Kontrast dreht, wobei die 600 Cent vom Grundton entfernte Note eine Funktion hat, die der verminderten Quinte von [[12edo]] ähnelt.

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Wenn man versucht, '''2edo''' als tatsächliche Skala zu verwenden, würde man die [[Oktave]] in zwei gleiche Teile mit einer Größe von jeweils 600 Cent teilen, d.h. &lt;code&gt;sqrt(2)&lt;/code&gt; als Frequenzverhältnis. Es stellt das [[3-Limit]] konsistent dar und kann verwendet werden, um eine skelettierte Version der 3-Limit-Musik zu erhalten, wie sie im mittelalterlichen Europa verwendet wurde, indem [[Quinte]] und [[Quarte]] auf 600 Cent abgebildet werden.  Man kann sagen, dass sich die Harmonie, die in 2edo zu finden ist, um den Tonika-Antitonika-Kontrast dreht, wobei die 600 Cent vom Grundton entfernte Note eine Funktion hat, die der verminderten Quinte von [[12edo]] ähnelt.

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Wenn man versucht, '''2 EDO''' als tatsächliche Skala zu verwenden, würde man die [[Oktave]] in zwei gleiche Teile mit einer Größe von jeweils 600 [[Cent]] teilen, d.h. &lt;code&gt;sqrt(2)&lt;/code&gt; als Frequenzverhältnis. Es stellt das [[3-Limit]] konsistent dar und kann verwendet werden, um eine skelettierte Version der 3-Limit-Musik zu erhalten, wie sie im mittelalterlichen Europa verwendet wurde, indem [[Quinte]] und [[Quarte]] auf 600 Cent abgebildet werden.  Man kann sagen, dass sich die Harmonie, die in 2edo zu finden ist, um den Tonika-Antitonika-Kontrast dreht, wobei die 600 Cent vom Grundton entfernte Note eine Funktion hat, die der verminderten Quinte von [[12 EDO]] ähnelt.

[[Kategorie:EDO]]
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Wenn man versucht, '''2 EDO''' als tatsächliche Skala zu verwenden, würde man die [[Oktave]] in zwei gleiche Teile mit einer Größe von jeweils 600 [[Cent]] teilen, d.h. &lt;code&gt;sqrt(2)&lt;/code&gt; als Frequenzverhältnis. Es stellt das [[3-Limit]] konsistent dar und kann verwendet werden, um eine skelettierte Version der 3-Limit-Musik zu erhalten, wie sie im mittelalterlichen Europa verwendet wurde, indem [[Quinte]] und [[Quarte]] auf 600 Cent abgebildet werden.  Man kann sagen, dass sich die Harmonie, die in 2edo zu finden ist, um den Tonika-Antitonika-Kontrast dreht, wobei die 600 Cent vom Grundton entfernte Note eine Funktion hat, die der verminderten Quinte von [[12 EDO]] ähnelt.

[[Kategorie:EDO]]
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Wenn man versucht, '''2-EDO''' als tatsächliche Skala zu verwenden, würde man die [[Oktave]] in zwei gleiche Teile mit einer Größe von jeweils 600 [[Cent]] teilen, d.h. &lt;code&gt;sqrt(2)&lt;/code&gt; als Frequenzverhältnis. Es stellt das [[3-Limit]] konsistent dar und kann verwendet werden, um eine skelettierte Version der 3-Limit-Musik zu erhalten, wie sie im mittelalterlichen Europa verwendet wurde, indem [[Quinte]] und [[Quarte]] auf 600 Cent abgebildet werden. Man kann sagen, dass sich die Harmonie, die in 2-EDO zu finden ist, um den Tonika-Antitonika-Kontrast dreht, wobei die 600 Cent vom Grundton entfernte Note eine Funktion hat, die der verminderten Quinte von [[12-EDO]] ähnelt.

[[Kategorie:EDO]]
[[Kategorie:Prim-EDO]]</text>
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      <comment>Die Seite wurde neu angelegt: „{{interwiki | de = 3edo | en = 3edo | es =  | ja =  }} Während einige argumentieren würden, dass 3edo mehr Akkord als Tonleiter ist, da es für das, was 12ed…“</comment>
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Während einige argumentieren würden, dass 3edo mehr Akkord als Tonleiter ist, da es für das, was 12edo als erweiterte Triade verwendet, identisch ist, es in dieser Eigenschaft bekannt ist, ist es dennoch möglich, Musik darin zu machen. Insbesondere wird die Tonalität tatsächlich mit nur zwei Noten gleichzeitig festgelegt, im Gegensatz zu drei - abgesehen von Oktavreduzierungen des Tonics - und die beiden Noten direkt über dem Tonic werden zusammen als Kontrastakkord verwendet.</text>
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Während einige argumentieren würden, dass '''3edo''' mehr Akkord als Tonleiter ist, da es mit dem identisch ist, was 12edo als erweiterte Triade verwendet, ist es dennoch möglich, Musik darin zu machen. Insbesondere wird die Tonalität tatsächlich mit nur zwei Noten gleichzeitig festgelegt, im Gegensatz zu drei - abgesehen von Oktavierungen des Grundtons - und die beiden Noten direkt über dem Grundton werden zusammen als Kontrastakkord verwendet.

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Während einige argumentieren würden, dass '''3edo''' mehr Akkord als Tonleiter ist, da es mit dem identisch ist, was [[12edo]] als übermäßigen Dreiklang verwendet, ist es dennoch möglich, Musik darin zu machen. Insbesondere wird die Tonalität tatsächlich mit nur zwei Noten gleichzeitig festgelegt, im Gegensatz zu drei - abgesehen von Oktavierungen des Grundtons - und die beiden Noten direkt über dem Grundton werden zusammen als Kontrastakkord verwendet.

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Während einige argumentieren würden, dass '''3edo''' mehr Akkord als Tonleiter ist, da es mit dem identisch ist, was [[12edo]] als übermäßigen Dreiklang verwendet, ist es dennoch möglich, Musik darin zu machen. Insbesondere wird die Tonalität tatsächlich mit nur zwei Noten gleichzeitig festgelegt, im Gegensatz zu drei - abgesehen von Oktavierungen des Grundtons - und die beiden Noten direkt über dem Grundton werden zusammen als Kontrastakkord verwendet.

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Während einige argumentieren würden, dass '''3 EDO''' mehr Akkord als Tonleiter ist, da es mit dem identisch ist, was [[12 EDO]] als übermäßigen Dreiklang verwendet, ist es dennoch möglich, Musik darin zu machen. Insbesondere wird die Tonalität tatsächlich mit nur zwei Noten gleichzeitig festgelegt, im Gegensatz zu drei - abgesehen von Oktavierungen des Grundtons - und die beiden Noten direkt über dem Grundton werden zusammen als Kontrastakkord verwendet.

[[Kategorie:EDO]]
[[Kategorie:Prim-EDO]]</text>
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      <comment>Xenwolf verschob die Seite [[3 EDO]] nach [[3-EDO]]: Das ist die bessere Wahl (siehe [[XW:K]]), auch führte die Lücke optisch zum "Auseinanderbrechen".</comment>
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Während einige argumentieren würden, dass '''3 EDO''' mehr Akkord als Tonleiter ist, da es mit dem identisch ist, was [[12 EDO]] als übermäßigen Dreiklang verwendet, ist es dennoch möglich, Musik darin zu machen. Insbesondere wird die Tonalität tatsächlich mit nur zwei Noten gleichzeitig festgelegt, im Gegensatz zu drei - abgesehen von Oktavierungen des Grundtons - und die beiden Noten direkt über dem Grundton werden zusammen als Kontrastakkord verwendet.

[[Kategorie:EDO]]
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Während einige argumentieren würden, dass '''3-EDO''' mehr Akkord als Tonleiter ist, da es mit dem identisch ist, was [[12-EDO]] als übermäßigen Dreiklang verwendet, ist es dennoch möglich, Musik darin zu machen. Insbesondere wird die Tonalität tatsächlich mit nur zwei Noten gleichzeitig festgelegt, im Gegensatz zu drei - abgesehen von Oktavierungen des Grundtons - und die beiden Noten direkt über dem Grundton werden zusammen als Kontrastakkord verwendet.

[[Kategorie:EDO]]
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Wie [[3edo]] ist 4edo bereits als Akkord von [[12edo]] bekannt. Nicht nur das, sondern 4edo stellt die Tonalität auf die gleiche Weise her wie 3edo - mit nur zwei Noten gleichzeitig im Gegensatz zu drei, abgesehen von Oktavreduzierungen des Tonic, obwohl der Tonic-Antitonic-Kontrast von 2edo auch funktioniert. Ebenso wie bei 3edo hat es ein theoretisches Interesse daran, dass es eine Art Umriss oder Skelett der melodischen Bewegung beibehält und gleichzeitig wichtige Unterscheidungen in Bezug auf Harmonie aufhebt.</text>
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Wie [[3edo]] ist '''4edo''' bereits als Akkord von [[12edo]] bekannt. Nicht nur das, sondern 4edo stellt die Tonalität auf die gleiche Weise her wie 3edo - mit nur zwei Noten gleichzeitig im Gegensatz zu drei, abgesehen von Oktavreduzierungen des Tonic, obwohl der Tonic-Antitonic-Kontrast von 2edo auch funktioniert. Ebenso wie bei 3edo hat es ein theoretisches Interesse daran, dass es eine Art Umriss oder Skelett der melodischen Bewegung beibehält und gleichzeitig wichtige Unterscheidungen in Bezug auf Harmonie aufhebt.</text>
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Wie [[3edo]] ist '''4edo''' bereits als Akkord von [[12edo]] bekannt. Nicht nur das, sondern 4edo stellt die Tonalität auf die gleiche Weise her wie 3edo - mit nur zwei Noten gleichzeitig im Gegensatz zu drei, abgesehen von Oktavreduzierungen des Tonic, obwohl der Tonika-Antitonika-Kontrast von 2edo auch funktioniert. Ebenso wie bei 3edo hat es ein theoretisches Interesse daran, dass es eine Art Umriss oder Skelett der melodischen Bewegung beibehält und gleichzeitig wichtige Unterscheidungen in Bezug auf Harmonie aufhebt.</text>
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Wie [[3edo]] ist auch '''4edo''' bereits als Akkord von [[12edo]] bekannt. Nicht nur das, sondern 4edo etabliert die Tonalität auf ähnliche Weise wie 3edo - mit jeweils nur zwei statt drei Noten, abgesehen von Oktavverdoppelungen der Tonika, obwohl der Tonika-Antitonika-Kontrast von 2edo auch funktioniert. Wie bei 3edo besteht auch hier ein theoretisches Interesse darin, dass eine Art Umriss oder Skelett der melodischen Bewegung erhalten bleibt, während wichtige Unterscheidungen in Bezug auf die Harmonie ausgelöscht werden.</text>
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Wie [[3edo]] ist auch '''4edo''' bereits als Akkord von [[12edo]] bekannt. Nicht nur das, sondern 4edo etabliert die Tonalität auf ähnliche Weise wie 3edo - mit jeweils nur zwei statt drei Noten, abgesehen von Oktavverdoppelungen der Tonika, obwohl der Tonika-Antitonika-Kontrast von 2edo auch funktioniert. Wie bei 3edo besteht auch hier ein theoretisches Interesse darin, dass eine Art Umriss oder Skelett der melodischen Bewegung erhalten bleibt, während wichtige Unterscheidungen in Bezug auf die Harmonie ausgelöscht werden.

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Mein Deutsch ist (oder war) auf dem Niveau B1.</text>
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Hi, ich bin '''Inthar''' (betont wird die zweite Silbe). Ich interessiere mich hauptsätzlich für diese EDO-Systeme (wie z. B. [[13edo]] und [[18edo]]) und [[MOS]]-Skalen, die meistens keine gute Approximationen an "low-complexity JI" haben.

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Hi, ich bin '''Inthar''' (betont wird die zweite Silbe). Ich interessiere mich hauptsätzlich für diese EDO-Systeme (wie z. B. [[13edo]] und [[18edo]]) und [[MOS]]-Skalen, die meistens keine gute Approximationen an "low-complexity JI" haben.

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Hi, ich bin '''Inthar''' (betont wird die zweite Silbe). Ich interessiere mich hauptsätzlich für diese EDO-Systeme (wie z. B. [[13 EDO|13edo]] und [[18 EDO|18edo]]) und [[MOS]]-Skalen, die meistens keine gute Approximationen an "low-complexity JI" haben.

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Hi, ich bin '''Inthar''' (betont wird die zweite Silbe). Ich interessiere mich hauptsätzlich für diese EDO-Systeme (wie z. B. [[13 EDO|13edo]] und [[18 EDO|18edo]]) und [[MOS]]-Skalen (z. B. [[4L 3s]] und [[5L 3s]]), die meistens keine gute Approximationen an "low-complexity JI" haben.

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Hi, ich bin '''Inthar''' (betont wird die zweite Silbe). Ich interessiere mich hauptsächlich für diese EDO-Systeme (wie z. B. [[13-EDO]] und [[18-EDO]]), [[MOS-Skalen]] (z. B. [[4L 3s]] und [[5L 3s]]) und [[Neji]]s, die meistens keine gute Approximationen an "low-complexity JI" haben.

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Hi, ich bin '''Inthar''' (betont wird die zweite Silbe). Ich interessiere mich hauptsächlich für diese EDO-Systeme (wie z. B. [[13-EDO]] und [[18-EDO]]), [[MOS-Skalen]] (z. B. [[4L 3s]] und [[5L 3s]]) und [[Neji]]s, die meistens keine gute Approximationen an "low-complexity JI" haben.

Mein Deutsch ist (oder war) auf dem Niveau B1.

Artikel, die ich geschrieben habe:
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Hi, ich bin '''Inthar''' (betont wird die zweite Silbe). Ich interessiere mich hauptsächlich für diese EDO-Systeme (wie z. B. [[13-EDO]] und [[18-EDO]]), [[MOS-Skalen]] (z. B. [[4L 3s]] und [[5L 3s]]) und [[Neji]]s, die meistens keine gute Approximationen an "low-complexity JI" haben.

Mein Deutsch ist (oder war) auf dem Niveau B1.

Artikel, die ich geschrieben habe:
* [[Neji]]
* [[Benutzer:Inthar/Primodalität]]</text>
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Hi, ich bin '''Inthar''' (betont wird die zweite Silbe). Ich interessiere mich hauptsächlich für diese EDO-Systeme (wie z. B. [[13-EDO]] und [[18-EDO]]), [[MOS-Skalen]] (z. B. [[4L 3s]] und [[5L 3s]]) und [[Neji]]s, die meistens keine gute Approximationen an "low-complexity JI" haben.

Mein Deutsch ist (oder war) auf dem Niveau B1.

Artikel, die ich geschrieben habe:
* [[Neji]]
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Hi, ich bin '''Inthar''' (betont wird die zweite Silbe). Ich interessiere mich hauptsächlich für diese EDO-Systeme (wie z. B. [[13-EDO]] und [[18-EDO]]), [[MOS-Skalen]] (z. B. [[4L 3s]] und [[5L 3s]]) und [[Neji]]s, die meistens keine gute Approximationen an "low-complexity JI" haben.

Mein Deutsch ist (oder war) auf dem Niveau B1.

Artikel, die ich geschrieben habe:
* [[Neji]]
* [[Primodalität]]
[[Kategorie:User en-4]][[Kategorie:User de-2]]</text>
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Hi, ich bin '''Inthar''' (betont wird die zweite Silbe). Ich interessiere mich hauptsächlich für diese EDO-Systeme (wie z. B. [[13-EDO]] und [[18-EDO]]), [[MOS-Skalen]] (z. B. [[4L 3s]] und [[5L 3s]]) und [[Neji]]s, die meistens keine gute Approximationen an "low-complexity JI" haben.

Mein Deutsch ist (oder war) auf dem Niveau B1.

Artikel, die ich geschrieben habe:
* [[Neji]]
* [[Primodalität]]
* [[Mediant]]
* [[5L2s]]
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      <text bytes="548" sha1="04vkzrr9tpesusts7056yeqcyrns47c" xml:space="preserve">{{interwiki
| de = Benutzer:Inthar
| en = User:Inthar
| es = 
| ja = 
}}
Hi, ich bin '''Inthar''' (betont wird die zweite Silbe). Ich interessiere mich hauptsächlich für diese EDO-Systeme (wie z. B. [[13-EDO]] und [[18-EDO]]), [[MOS-Skalen]] (z. B. [[4L 3s]] und [[5L 3s]]) und [[Neji]]s, die meistens keine gute Approximationen an "low-complexity JI" haben.

Mein Deutsch ist (oder war) auf dem Niveau B1.

Artikel, die ich geschrieben habe:
* [[Neji]]
* [[Primodalität]]
* [[Mediant]]
* [[5L2s]]

[[Kategorie:User en-4]][[Kategorie:User de-2]]</text>
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Hallo Inthar, &lt;br&gt;
Willkommen im deutschen XenWiki. Bei Deutsch-Fragen stehe ich dir gern mit Rat und Tat zur Seite. Es kann sein, dass hier (noch) nicht alle Vorlagen (Templates) der englischen Fassung zur Verfügung stehen. Bitte melde dich, falls du dringenden Bedarf hast, gern auch per Wiki-E-Mail. &lt;br&gt; 
Viele Grüße --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 08:01, 12. Jun. 2021 (UTC)</text>
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Hallo Inthar, &lt;br&gt;
Willkommen im deutschen XenWiki. Bei Deutsch-Fragen stehe ich dir gern mit Rat und Tat zur Seite. Es kann sein, dass hier (noch) nicht alle Vorlagen (Templates) der englischen Fassung zur Verfügung stehen. Bitte melde dich, falls du dringenden Bedarf hast, gern auch per Wiki-E-Mail. &lt;br&gt; 
Viele Grüße --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 08:01, 12. Jun. 2021 (UTC)

PS: Zum Übersetzen zwischen den Sprachen Deutsch und Englisch empfehle ich wärmstens den Dienst [https://www.deepl.com/translator ''DeepL''] (ein deutsches Unternehmen). Je umfangreicher der zu übersetzende Text, desto besser sind die Ergebnisse (Stichwort: Kontext). --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 08:05, 12. Jun. 2021 (UTC)</text>
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Hallo Inthar, &lt;br&gt;
Willkommen im deutschen XenWiki. Bei Deutsch-Fragen stehe ich dir gern mit Rat und Tat zur Seite. Es kann sein, dass hier (noch) nicht alle Vorlagen (Templates) der englischen Fassung zur Verfügung stehen. Bitte melde dich, falls du dringenden Bedarf hast, gern auch per Wiki-E-Mail. &lt;br&gt; 
Viele Grüße --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 08:01, 12. Jun. 2021 (UTC)

PS: Zum Übersetzen zwischen den Sprachen Deutsch und Englisch empfehle ich wärmstens den Dienst [https://www.deepl.com/translator ''DeepL''] (ein deutsches Unternehmen). Je umfangreicher der zu übersetzende Text, desto besser sind die Ergebnisse (Stichwort: Kontext). --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 08:05, 12. Jun. 2021 (UTC)

Danke schön. :) Hoffentlich kann ich irgendwie mit diesem Wiki helfen. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 13:17, 12. Jun. 2021 (UTC)</text>
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Hallo Inthar, &lt;br&gt;
Willkommen im deutschen XenWiki. Bei Deutsch-Fragen stehe ich dir gern mit Rat und Tat zur Seite. Es kann sein, dass hier (noch) nicht alle Vorlagen (Templates) der englischen Fassung zur Verfügung stehen. Bitte melde dich, falls du dringenden Bedarf hast, gern auch per Wiki-E-Mail. &lt;br&gt; 
Viele Grüße --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 08:01, 12. Jun. 2021 (UTC)

PS: Zum Übersetzen zwischen den Sprachen Deutsch und Englisch empfehle ich wärmstens den Dienst [https://www.deepl.com/translator ''DeepL''] (ein deutsches Unternehmen). Je umfangreicher der zu übersetzende Text, desto besser sind die Ergebnisse (Stichwort: Kontext). --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 08:05, 12. Jun. 2021 (UTC)

: Danke schön. :) Hoffentlich kann ich irgendwie mit diesem Wiki helfen. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 13:17, 12. Jun. 2021 (UTC)</text>
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Hallo Inthar, &lt;br&gt;
Willkommen im deutschen XenWiki. Bei Deutsch-Fragen stehe ich dir gern mit Rat und Tat zur Seite. Es kann sein, dass hier (noch) nicht alle Vorlagen (Templates) der englischen Fassung zur Verfügung stehen. Bitte melde dich, falls du dringenden Bedarf hast, gern auch per Wiki-E-Mail. &lt;br&gt; 
Viele Grüße --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 08:01, 12. Jun. 2021 (UTC)

PS: Zum Übersetzen zwischen den Sprachen Deutsch und Englisch empfehle ich wärmstens den Dienst [https://www.deepl.com/translator ''DeepL''] (ein deutsches Unternehmen). Je umfangreicher der zu übersetzende Text, desto besser sind die Ergebnisse (Stichwort: Kontext). --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 08:05, 12. Jun. 2021 (UTC)

: Danke schön. :) Hoffentlich kann ich irgendwie mit diesem Wiki helfen. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 13:17, 12. Jun. 2021 (UTC)

:: Ich finde, dass deine Beiträge schon viel gebracht haben. Und nun haben wir auch gleich etwas mehr Leben in diesem Wiki! --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 22:58, 28. Jun. 2021 (UTC)</text>
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      <comment>Xenwolf verschob die Seite [[15edo]] nach [[15 EDO]]: Großschreibung zur Verdeutlichung der Abkürzung, Lücke zur besseren Lesbarkeit (Weiterleitungen bleiben erhalten)</comment>
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    <title>Benutzer Diskussion:Inthar/vector.css</title>
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      <contributor>
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      <comment>Neuer Abschnitt /* Compressing CSS */</comment>
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      <text bytes="624" sha1="nubgvi8drjgllejm55xh760t1cl9rt7" xml:space="preserve">== Compressing CSS ==

... is done anyway by the wiki software, compare [[MediaWiki:Common.css]] (the wiki page) and [https://de.xen.wiki/load.php?lang=de&amp;modules=site.styles&amp;only=styles&amp;skin=timeless the same CSS in its compressed form]. I mention this because I was interested in what your personal CSS may look like. But the compressed form is hard to read for humans 😉 &lt;br&gt;
This is nothing that "has to be fixed" but maybe an interesting aspect because adjusting things is easier if there are comments and spacing. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 17:29, 13. Jun. 2021 (UTC)</text>
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    <title>Xenharmonie Wiki:Konventionen</title>
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      <contributor>
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      </contributor>
      <comment>Die Seite wurde neu angelegt: „In diesem Wiki mischen sich teils die Regeln, weil es Beiträge aus der Schweiz und Beiträge aus Deutschland gibt. Man sollte sich also z.B. nicht durch manch…“</comment>
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      <text bytes="888" sha1="604293qexflwnlp99zhwxni4x1yc0ha" xml:space="preserve">In diesem Wiki mischen sich teils die Regeln, weil es Beiträge aus der Schweiz und Beiträge aus Deutschland gibt. Man sollte sich also z.B. nicht durch manch ungewohnte Schreibung von ß oder ss irritieren lassen.

Hier die wenigen Regeln, die aktuell (Juni 2021) sinnvoll erscheinen (aber nicht konsequent verfolgt werden/wurden):

* ''EDO'' wird als Abkürzung im normalen Text in Großbuchstaben groß geschrieben.
* Die Verbindung aus Zahl und ''EDO'' wird mit Bindestrich geschrieben, also z.B. ''10-EDO''. Diese Regel deckt sich mit [https://www.korrekturen.de/regelwerk/pdf/Regeln_2018.pdf §40 Deutsche Rechtschreibung], ist auch am wenigsten missverständlich und dazu sowohl optisch akzeptabel als auch was die ggf. nötige Trennung am Zeilenende betrifft.

:''Kürzel für diese Seite (leicht merken für die Zusammenfassung von Bearbeitungen: [[XW:K]]''

[[Kategorie:Hilfe]]</text>
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    <title>XW:K</title>
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        <username>Xenwolf</username>
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      </contributor>
      <comment>Weiterleitung nach [[Xenharmonie Wiki:Konventionen]] erstellt</comment>
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      <text bytes="43" sha1="1m4fs4yofehge2bl6ybuezhsp420pmv" xml:space="preserve">#redirect [[Xenharmonie Wiki:Konventionen]]</text>
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      <comment>Xenwolf verschob die Seite [[29 EDO]] nach [[29-EDO]]: Das ist die bessere Wahl (siehe [[XW:K]]), auch führte die Lücke optisch zum "Auseinanderbrechen".</comment>
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    <title>Diskussion:29 EDO</title>
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      <comment>Xenwolf verschob die Seite [[Diskussion:29 EDO]] nach [[Diskussion:29-EDO]]: Das ist die bessere Wahl (siehe [[XW:K]]), auch führte die Lücke optisch zum "Auseinanderbrechen".</comment>
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    <title>Diskussion:29 EDO/WikispacesArchive</title>
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      <comment>Xenwolf verschob die Seite [[Diskussion:29 EDO/WikispacesArchive]] nach [[Diskussion:29-EDO/WikispacesArchive]]: Das ist die bessere Wahl (siehe [[XW:K]]), auch führte die Lücke optisch zum "Auseinanderbrechen".</comment>
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      <comment>Xenwolf verschob die Seite [[3 EDO]] nach [[3-EDO]]: Das ist die bessere Wahl (siehe [[XW:K]]), auch führte die Lücke optisch zum "Auseinanderbrechen".</comment>
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      <comment>Xenwolf verschob die Seite [[10 EDO]] nach [[10-EDO]]: Das ist die bessere Wahl (siehe [[XW:K]]), auch führte die Lücke optisch zum "Auseinanderbrechen".</comment>
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      <comment>Xenwolf verschob die Seite [[17 EDO]] nach [[17-EDO]]: Das ist die bessere Wahl (siehe [[XW:K]]), auch führte die Lücke optisch zum "Auseinanderbrechen".</comment>
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'''13-EDO''' teilt die [[Oktave]] in 13 gleiche Stufen von ungefähr 92,3 [[Cent]].

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'''13-EDO''' teilt die [[Oktave]] in 13 gleiche Stufen von ungefähr 92,3 [[Cent]].

[[Kategorie:EDO]]
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'''18-EDO''' teilt die [[Oktave]] in 18 gleiche Teile der Größe 66⅔ [[Cent]], sprich Dritteltöne.

[[Kategorie:EDO]]</text>
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'''5-EDO''' teilt die [[Oktave]] in 5 gleichgroße Stufen von je 240 [[Cent]] Größe.

[[Kategorie:EDO]]
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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''5-EDO''' teilt die [[Oktave]] in 5 gleichgroße Stufen von je 240 [[Cent]] Größe. 

Es ist das kleinste wirklich xenharmonische gleichstufige Tonsystem (die EDOs darunter, 1-EDO, 2-EDO, 3-EDO und 4-EDO, sind sämtlich Teilmengen der Standardstimmung [[12-EDO]]). Es bietet als erstes eine annehmbare Approximation der reinen Quinte 3/2 und ihres Oktav-Komplements, der reinen Quarte 4/3. Die Approximationen sind nicht besonders gut - die Approximation der Quarte ist 480 [[Cent}} gross, die der Quinte 720 Cent, rund 18 Cent entfernt vom reinen Intervall - bei insgesamt so wenig Tönen ist das aber durchaus nicht schlecht. 

Eine Skala aus allen Tönen von 5-EDO hat eine grosse Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Tonleiter.

 [ToDo Klangbeispiel]

[[Kategorie:EDO]]
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[[EDO|Übersicht EDO]]

[[5n-EDO|Übersicht gleichstufige Tonsysteme mit Vielfachen von 5]]

'''5-EDO''' teilt die [[Oktave]] in 5 gleichgroße Stufen von je 240 [[Cent]] Größe. 

Es ist das kleinste wirklich xenharmonische gleichstufige Tonsystem (die EDOs darunter, 1-EDO, 2-EDO, 3-EDO und 4-EDO, sind sämtlich Teilmengen der Standardstimmung [[12-EDO]]). Es bietet als erstes eine annehmbare Approximation der reinen Quinte 3/2 und ihres Oktav-Komplements, der reinen Quarte 4/3. Die Approximationen sind nicht besonders gut - die Approximation der Quarte ist 480 [[Cent}} gross, die der Quinte 720 Cent, rund 18 Cent entfernt vom reinen Intervall - bei insgesamt so wenig Tönen ist das aber durchaus nicht schlecht. 

Eine Skala aus allen Tönen von 5-EDO hat eine grosse Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Tonleiter.

 [ToDo Klangbeispiel]

[[Kategorie:EDO]]
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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

[[5n-EDO|Übersicht gleichstufige Tonsysteme mit Vielfachen von 5]]

'''5-EDO''' teilt die [[Oktave]] in 5 gleichgroße Stufen von je 240 [[Cent]] Größe. 

Es ist das kleinste wirklich xenharmonische gleichstufige Tonsystem (die EDOs darunter, 1-EDO, 2-EDO, 3-EDO und 4-EDO, sind sämtlich Teilmengen der Standardstimmung [[12-EDO]]). Es bietet als erstes eine annehmbare Approximation der reinen Quinte 3/2 und ihres Oktav-Komplements, der reinen Quarte 4/3. Die Approximationen sind nicht besonders gut - die Approximation der Quarte ist 480 [[Cent}} gross, die der Quinte 720 Cent, rund 18 Cent entfernt vom reinen Intervall - bei insgesamt so wenig Tönen ist das aber durchaus nicht schlecht. 

Eine Skala aus allen Tönen von 5-EDO hat eine grosse Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Tonleiter.

[[Datei:5edo.mp3|mini|5-EDO-Skala]]
[[Kategorie:EDO]]
[[Kategorie:Prim-EDO]]</text>
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[[EDO|Übersicht EDO]]

[[5n-EDO|Übersicht gleichstufige Tonsysteme mit Vielfachen von 5]]

'''5-EDO''' teilt die [[Oktave]] in 5 gleichgroße Stufen von je 240 [[Cent]] Größe. 

Es ist das kleinste wirklich xenharmonische gleichstufige Tonsystem (die EDOs darunter, 1-EDO, 2-EDO, 3-EDO und 4-EDO, sind sämtlich Teilmengen der Standardstimmung [[12-EDO]]). Es bietet als erstes eine annehmbare Approximation der reinen Quinte 3/2 und ihres Oktav-Komplements, der reinen Quarte 4/3. Die Approximationen sind nicht besonders gut - die Approximation der Quarte ist 480 [[Cent}} gross, die der Quinte 720 Cent, rund 18 Cent entfernt vom reinen Intervall - bei insgesamt so wenig Tönen ist das aber durchaus nicht schlecht. 

Eine Skala aus allen Tönen von 5-EDO hat eine grosse Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Tonleiter.

[[Datei:5edo.mp3|5-EDO-Skala]]
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[[EDO|Übersicht EDO]]

[[5n-EDO|Übersicht gleichstufige Tonsysteme mit Vielfachen von 5]]

'''5-EDO''' teilt die [[Oktave]] in 5 gleich große Stufen von je 240 [[Cent]] Größe. 

Es ist das kleinste wirklich xenharmonische gleichstufige Tonsystem (die EDOs darunter, 1-EDO, 2-EDO, 3-EDO und 4-EDO, sind sämtlich Teilmengen der Standardstimmung [[12-EDO]]). Es bietet als erstes eine annehmbare Approximation der reinen Quinte 3/2 und ihres Oktav-Komplements, der reinen Quarte 4/3. Die Approximationen sind nicht besonders gut - die Approximation der Quarte ist 480 [[Cent}} gross, die der Quinte 720 Cent, rund 18 Cent entfernt vom reinen Intervall - bei insgesamt so wenig Tönen ist das aber durchaus nicht schlecht. 

Eine Skala aus allen Tönen von 5-EDO hat eine grosse Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Tonleiter.

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[[EDO|Übersicht EDO]]

[[5n-EDO|Übersicht gleichstufige Tonsysteme mit Vielfachen von 5]]

'''5-EDO''' teilt die [[Oktave]] in 5 gleich große Stufen von je 240 [[Cent]] Größe. 

Es ist das kleinste wirklich xenharmonische gleichstufige Tonsystem (die EDOs darunter, 1-EDO, 2-EDO, 3-EDO und 4-EDO, sind sämtlich Teilmengen der Standardstimmung [[12-EDO]]). Es bietet als erstes eine annehmbare Approximation der reinen Quinte 3/2 und ihres Oktav-Komplements, der reinen Quarte 4/3. Die Approximationen sind nicht besonders gut - die Approximation der Quarte ist 480 [[Cent}} gross, die der Quinte 720 Cent, beide rund 18 Cent entfernt vom reinen Intervall - bei insgesamt so wenig Tönen ist das aber durchaus nicht schlecht. 

Eine Skala aus allen Tönen von 5-EDO hat eine grosse Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Tonleiter.

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[[EDO|Übersicht EDO]]

[[5n-EDO|Übersicht gleichstufige Tonsysteme mit Vielfachen von 5]]

'''5-EDO''' teilt die [[Oktave]] in 5 gleich große Stufen von je 240 [[Cent]] Größe. 

Es ist das kleinste wirklich xenharmonische gleichstufige Tonsystem (die EDOs darunter, [[1edo|1-EDO]], [[2edo|2-EDO]], [[3edo|3-EDO]] und [[4edo|4-EDO]], sind sämtlich Teilmengen der Standardstimmung [[12-EDO]]). Es bietet als erstes eine annehmbare Approximation der reinen Quinte 3/2 und ihres Oktav-Komplements, der reinen Quarte 4/3. Die Approximationen sind nicht besonders gut - die Approximation der Quarte ist 480 [[Cent}} gross, die der Quinte 720 Cent, beide rund 18 Cent entfernt vom reinen Intervall - bei insgesamt so wenig Tönen ist das aber durchaus nicht schlecht. 

Eine Skala aus allen Tönen von 5-EDO hat eine grosse Ähnlichkeit mit einer klassischen pentatonischen Tonleiter.

[[Datei:5edo.mp3|5-EDO-Skala]]
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'''7-EDO''' teilt die [[Oktave]] in 7 gleiche Stufen von ungefähr 171,4 [[Cent]]. Dieses System spielt allem Anschein nach eine Rolle in der Polyphonen Gesang der Georgier, alternative Erklärungen laufen auf [[4-EDF]] hinaus (ein System, das auf reinen Quinten aufbaut, die in vier gleiche Stufen unterteilt werden).

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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''7-EDO''' teilt die [[Oktave]] in 7 gleiche Stufen von ungefähr 171,4 [[Cent]]. 

Dieses System spielt allem Anschein nach eine Rolle in der Polyphonen Gesang der Georgier, alternative Erklärungen laufen auf [[4-EDF]] hinaus (ein System, das auf reinen Quinten aufbaut, die in vier gleiche Stufen unterteilt werden).

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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''7-EDO''' teilt die [[Oktave]] in 7 gleiche Stufen von ungefähr 171,4 [[Cent]]. Es ist nach [[5-EDO]] das zweitkleinste echt xenharmonischer EDO-System.

[Todo weitere Eigenschaften]

= Bedeutung =
Dieses System spielt allem Anschein nach eine Rolle in der Polyphonen Gesang der Georgier, alternative Erklärungen laufen auf [[4-EDF]] hinaus (ein System, das auf reinen Quinten aufbaut, die in vier gleiche Stufen unterteilt werden).

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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''7-EDO''' teilt die [[Oktave]] in 7 gleiche Stufen von ungefähr 171,4 [[Cent]]. Es ist nach [[5-EDO]] das zweitkleinste wirklich xenharmonische (d. h. nicht in der Standardstimung [[12-EDO]] enthaltene) EDO-System.

[Todo weitere Eigenschaften]

= Bedeutung =
Dieses System spielt allem Anschein nach eine Rolle in der Polyphonen Gesang der Georgier, alternative Erklärungen laufen auf [[4-EDF]] hinaus (ein System, das auf reinen Quinten aufbaut, die in vier gleiche Stufen unterteilt werden).

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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''7-EDO''' teilt die [[Oktave]] in 7 gleiche Stufen von ungefähr 171,4 [[Cent]]. Es ist nach [[5-EDO]] das zweitkleinste wirklich xenharmonische (d. h. nicht in der Standardstimung [[12-EDO]] enthaltene) EDO-System.

= Approximation reiner Intervalle =
Ein Basisschritt von 7-EDO ist 171.429 [[Cent]] gross, ein ziemlich kleiner Ganzton bzw. eine gezwisse neutrale Sekunde.

Die beste Approximation der Quinte 3/2 ist 685.714 Cent gross, 16.242 Cent tiefer als das reine Intervall - im Vergleich zur Standardstimung [[12-EDO]] nicht besonders gut, aber angesichts der insgesamt geringeren Anzahl Töne durchaus in Ordnung. 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] hingegen ist mit 342.857 Cent mehr als 40 Cent zu tief; das ist keine grosse Terz mehr, sondern eine neutrale. Dasselbe Intervall ist auch die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 (27 Cents Abweichung).

Etwas interessant ist der Vergleich mit den verbreiteten diatonischen Tonleitern der Standardstimmung (Durtonleiter, Molltonleiter, Dorisch, Mixolydisch etc.), die ja auch aus sieben Tönen bestehen. 7-EDO kann wie eine spezielle Art diatonischen Tonleiter wirken, mit der Eigenschaft, dass die weder Die noch Moll ist(der Unterschied zwischen grossen und kleinen Intervallen ist eingeebnet).

= Bedeutung =
Dieses System spielt allem Anschein nach eine Rolle in der Polyphonen Gesang der Georgier, alternative Erklärungen laufen auf [[4-EDF]] hinaus (ein System, das auf reinen Quinten aufbaut, die in vier gleiche Stufen unterteilt werden).

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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''7-EDO''' teilt die [[Oktave]] in 7 gleiche Stufen von ungefähr 171,4 [[Cent]]. Es ist nach [[5-EDO]] das zweitkleinste wirklich xenharmonische (d. h. nicht in der Standardstimung [[12-EDO]] enthaltene) EDO-System.

= Approximation reiner Intervalle =
Ein Basisschritt von 7-EDO ist 171.429 [[Cent]] gross, ein ziemlich kleiner Ganzton bzw. eine grosse neutrale Sekunde.

Die beste Approximation der Quinte 3/2 ist 685.714 Cent gross, 16.242 Cent tiefer als das reine Intervall - im Vergleich zur Standardstimung [[12-EDO]] nicht besonders gut, aber angesichts der insgesamt geringeren Anzahl Töne durchaus in Ordnung. 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] hingegen ist mit 342.857 Cent mehr als 40 Cent zu tief; das ist keine grosse Terz mehr, sondern eine neutrale. Dasselbe Intervall ist auch die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 (27 Cents Abweichung).

Die wichtigen reinen Intervalle werden also tendenziell tiefer angenähert - dies ein Kontrast zu [[5-EDO]], wo die Intervalle tendenziell höher sind als ihre reinen Konterparts 

Etwas interessant ist der Vergleich mit den verbreiteten diatonischen Tonleitern der Standardstimmung (Durtonleiter, Molltonleiter, Dorisch, Mixolydisch etc.), die ja auch aus sieben Tönen bestehen. 7-EDO kann wie eine spezielle Art diatonischer Tonleiter wirken, mit der Eigenschaft, dass die weder Dur noch Moll ist (der Unterschied zwischen grossen und kleinen Intervallen ist eingeebnet).

= Bedeutung =
Dieses System spielt allem Anschein nach eine Rolle in der Polyphonen Gesang der Georgier, alternative Erklärungen laufen auf [[4-EDF]] hinaus (ein System, das auf reinen Quinten aufbaut, die in vier gleiche Stufen unterteilt werden).

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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''7-EDO''' teilt die [[Oktave]] in 7 gleiche Stufen von ungefähr 171,4 [[Cent]]. Es ist nach [[5-EDO]] das zweitkleinste wirklich xenharmonische (d. h. nicht in der Standardstimung [[12-EDO]] enthaltene) EDO-System.

= Approximation reiner Intervalle =
Ein Basisschritt von 7-EDO ist 171.429 [[Cent]] gross, ein ziemlich kleiner Ganzton bzw. eine grosse neutrale Sekunde.

Die beste Approximation der Quinte 3/2 ist 685.714 Cent gross, 16.242 Cent tiefer als das reine Intervall - im Vergleich zur Standardstimung [[12-EDO]] nicht besonders gut, aber angesichts der insgesamt geringeren Anzahl Töne durchaus in Ordnung. 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] hingegen ist mit 342.857 Cent mehr als 40 Cent zu tief; das ist keine grosse Terz mehr, sondern eine neutrale. Dasselbe Intervall ist auch die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 (27 Cent Abweichung).

Die wichtigen reinen Intervalle werden also tendenziell tiefer angenähert - dies ein Kontrast zu [[5-EDO]], wo die Intervalle tendenziell höher sind als ihre reinen Konterparts.

Etwas interessant ist der Vergleich mit den verbreiteten diatonischen Tonleitern der Standardstimmung (Durtonleiter, Molltonleiter, Dorisch, Mixolydisch etc.), die ja auch aus sieben Tönen bestehen. 7-EDO kann wie eine spezielle Art diatonischer Tonleiter wirken, mit der Eigenschaft, dass die weder Dur noch Moll ist (der Unterschied zwischen grossen und kleinen Intervallen ist eingeebnet).

= Bedeutung =
Dieses System spielt allem Anschein nach eine Rolle in der Polyphonen Gesang der Georgier, alternative Erklärungen laufen auf [[4-EDF]] hinaus (ein System, das auf reinen Quinten aufbaut, die in vier gleiche Stufen unterteilt werden).

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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''7-EDO''' teilt die [[Oktave]] in 7 gleiche Stufen von ungefähr 171,4 [[Cent]]. Es ist nach [[5-EDO]] das zweitkleinste wirklich xenharmonische (d. h. nicht in der Standardstimung [[12-EDO]] enthaltene) EDO-System.

= Approximation reiner Intervalle =
Ein Basisschritt von 7-EDO ist 171.429 [[Cent]] gross, ein ziemlich kleiner Ganzton bzw. eine grosse neutrale Sekunde.

Die beste Approximation der Quinte 3/2 ist 685.714 Cent gross, 16.242 Cent tiefer als das reine Intervall - im Vergleich zur Standardstimung [[12-EDO]] nicht besonders gut, aber angesichts der insgesamt geringeren Anzahl Töne durchaus in Ordnung. 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] hingegen ist mit 342.857 Cent mehr als 40 Cent zu tief; das ist keine grosse Terz mehr, sondern eine neutrale. Dasselbe Intervall ist auch die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 (27 Cent Abweichung).

Die wichtigen reinen Intervalle werden also tendenziell tiefer angenähert - dies ein Kontrast zu [[5-EDO]], wo die Intervalle tendenziell höher sind als ihre reinen Konterparts.

Etwas interessant ist der Vergleich mit den verbreiteten diatonischen Tonleitern der Standardstimmung (Durtonleiter, Molltonleiter, Dorisch, Mixolydisch etc.), die ja auch aus sieben Tönen bestehen. 7-EDO kann wie eine spezielle Art diatonischer Tonleiter wirken, mit der Eigenschaft, dass sie weder Dur noch Moll ist (der Unterschied zwischen grossen und kleinen Intervallen ist eingeebnet).
= Reguläre Temperaturen =
7-EDO ist so ungefähr das kleinste gleichstufige System, bei dem das Konzept der [[Regulären Temperaturen]] sowie die Konstruktion von [[MOS-Skalen]] etwas mehr als triviale Resultate ergeben. 

Skalen in 7-EDO können natürlich nie mehr als 7 Töne haben, Übereinanderschichtungen jedes beliebigen Intervalls führen nach sieben Schritten oktavreduziert unweigerlich zum Ursprung zurück.

Im Fall der Quinte bedeutet dies, dass das Intervall [[2187/2048]] (pythagoräischer chromatischer Halbton, Apotom) austemperiert wird, somit 7-EDO die einfachste gleichstufige Realisierung einer [[Whitewood]]-Temperatur ist. 

[Todo weitere]

= Bedeutung =
Dieses System spielt allem Anschein nach eine Rolle in der Polyphonen Gesang der Georgier, alternative Erklärungen laufen auf [[4-EDF]] hinaus (ein System, das auf reinen Quinten aufbaut, die in vier gleiche Stufen unterteilt werden).

[[Kategorie:EDO]]
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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''7-EDO''' teilt die [[Oktave]] in 7 gleiche Stufen von ungefähr 171,4 [[Cent]]. Es ist nach [[5-EDO]] das zweitkleinste wirklich xenharmonische (d. h. nicht in der Standardstimung [[12-EDO]] enthaltene) EDO-System.

= Approximation reiner Intervalle =
Ein Basisschritt von 7-EDO ist 171.429 [[Cent]] gross, ein ziemlich kleiner Ganzton bzw. eine grosse neutrale Sekunde.

Die beste Approximation der Quinte 3/2 ist 685.714 Cent gross, 16.242 Cent tiefer als das reine Intervall - im Vergleich zur Standardstimung [[12-EDO]] nicht besonders gut, aber angesichts der insgesamt geringeren Anzahl Töne durchaus in Ordnung. 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] hingegen ist mit 342.857 Cent mehr als 40 Cent zu tief; das ist keine grosse Terz mehr, sondern eine neutrale. Dasselbe Intervall ist auch die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 (27 Cent Abweichung).

Die wichtigen reinen Intervalle werden also tendenziell tiefer angenähert - dies ein Kontrast zu [[5-EDO]], wo die Intervalle tendenziell höher sind als ihre reinen Konterparts.

Etwas interessant ist der Vergleich mit den verbreiteten diatonischen Tonleitern der Standardstimmung (Durtonleiter, Molltonleiter, Dorisch, Mixolydisch etc.), die ja auch aus sieben Tönen bestehen. 7-EDO kann wie eine spezielle Art diatonischer Tonleiter wirken, mit der Eigenschaft, dass sie weder Dur noch Moll ist (der Unterschied zwischen grossen und kleinen Intervallen ist eingeebnet).
= Reguläre Temperaturen =
7-EDO ist so ungefähr das kleinste gleichstufige System, bei dem das Konzept der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] sowie die Konstruktion von [[MOS-Skalen]] etwas mehr als triviale Resultate ergeben. 

Skalen in 7-EDO können natürlich nie mehr als 7 Töne haben, Übereinanderschichtungen jedes beliebigen Intervalls führen nach sieben Schritten oktavreduziert unweigerlich zum Ursprung zurück.

Im Fall der Quinte bedeutet dies, dass das Intervall [[2187/2048]] (pythagoräischer chromatischer Halbton, Apotom) austemperiert wird, somit 7-EDO die einfachste gleichstufige Realisierung einer [[Whitewood]]-Temperatur ist. 

[Todo weitere]

= Bedeutung =
Dieses System spielt allem Anschein nach eine Rolle in der Polyphonen Gesang der Georgier, alternative Erklärungen laufen auf [[4-EDF]] hinaus (ein System, das auf reinen Quinten aufbaut, die in vier gleiche Stufen unterteilt werden).

[[Kategorie:EDO]]
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| ja = 7平均律
}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

'''7-EDO''' teilt die [[Oktave]] in 7 gleiche Stufen von ungefähr 171,4 [[Cent]]. Es ist nach [[5-EDO]] das zweitkleinste wirklich xenharmonische (d. h. nicht in der Standardstimung [[12-EDO]] enthaltene) EDO-System.

= Approximation reiner Intervalle =
Ein Basisschritt von 7-EDO ist 171.429 [[Cent]] gross, ein ziemlich kleiner Ganzton bzw. eine grosse neutrale Sekunde.

Die beste Approximation der Quinte 3/2 ist 685.714 Cent gross, 16.242 Cent tiefer als das reine Intervall - im Vergleich zur Standardstimung [[12-EDO]] nicht besonders gut, aber angesichts der insgesamt geringeren Anzahl Töne durchaus in Ordnung. 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] hingegen ist mit 342.857 Cent mehr als 40 Cent zu tief; das ist keine grosse Terz mehr, sondern eine neutrale. Dasselbe Intervall ist auch die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 (27 Cent Abweichung).

Die wichtigen reinen Intervalle werden also tendenziell tiefer angenähert - dies ein Kontrast zu [[5-EDO]], wo die Intervalle tendenziell höher sind als ihre reinen Konterparts.

Etwas interessant ist der Vergleich mit den verbreiteten diatonischen Tonleitern der Standardstimmung (Durtonleiter, Molltonleiter, Dorisch, Mixolydisch etc.), die ja auch aus sieben Tönen bestehen. 7-EDO kann wie eine spezielle Art diatonischer Tonleiter wirken, mit der Eigenschaft, dass sie weder Dur noch Moll ist (der Unterschied zwischen grossen und kleinen Intervallen ist eingeebnet).
= Reguläre Temperaturen =
7-EDO ist so ungefähr das kleinste gleichstufige System, bei dem das Konzept der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] sowie die Konstruktion von [[MOS-Skalen]] etwas mehr als triviale Resultate ergeben. 

Skalen in 7-EDO können natürlich nie mehr als 7 Töne haben, Übereinanderschichtungen jedes beliebigen Intervalls führen nach sieben Schritten oktavreduziert unweigerlich zum Ursprung zurück.

Im Fall der Quinte bedeutet dies, dass das Intervall [[2187/2048]] (pythagoräischer chromatischer Halbton, Apotom) austemperiert wird, womit 7-EDO die einfachste gleichstufige Realisierung einer [[Whitewood]]-Temperatur ist. 

[Todo weitere]

= Bedeutung =
Dieses System spielt allem Anschein nach eine Rolle in der Polyphonen Gesang der Georgier, alternative Erklärungen laufen auf [[4-EDF]] hinaus (ein System, das auf reinen Quinten aufbaut, die in vier gleiche Stufen unterteilt werden).

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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

'''7-EDO''' teilt die [[Oktave]] in 7 gleiche Stufen von ungefähr 171,4 [[Cent]]. Es ist nach [[5-EDO]] das zweitkleinste wirklich xenharmonische (d. h. nicht in der Standardstimung [[12-EDO]] enthaltene) EDO-System.

= Approximation reiner Intervalle =
Ein Basisschritt von 7-EDO ist 171.429 [[Cent]] gross, ein ziemlich kleiner Ganzton bzw. eine grosse neutrale Sekunde.

Die beste Approximation der Quinte 3/2 ist 685.714 Cent gross, 16.242 Cent tiefer als das reine Intervall - im Vergleich zur Standardstimung [[12-EDO]] nicht besonders gut, aber angesichts der insgesamt geringeren Anzahl Töne durchaus in Ordnung. 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] hingegen ist mit 342.857 Cent mehr als 40 Cent zu tief; das ist keine grosse Terz mehr, sondern eine neutrale. Dasselbe Intervall ist auch die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 (27 Cent Abweichung).

Die wichtigen reinen Intervalle werden also tendenziell tiefer angenähert - dies ein Kontrast zu [[5-EDO]], wo die Intervalle tendenziell höher sind als ihre reinen Konterparts.

Etwas interessant ist der Vergleich mit den verbreiteten diatonischen Tonleitern der Standardstimmung (Durtonleiter, Molltonleiter, Dorisch, Mixolydisch etc.), die ja auch aus sieben Tönen bestehen. 7-EDO kann wie eine spezielle Art diatonischer Tonleiter wirken, mit der Eigenschaft, dass sie weder Dur noch Moll ist (der Unterschied zwischen grossen und kleinen Intervallen ist eingeebnet).
= Reguläre Temperaturen =
7-EDO ist so ungefähr das kleinste gleichstufige System, bei dem das Konzept der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] sowie die Konstruktion von [[MOS-Skalen]] etwas mehr als triviale Resultate ergeben. 

Skalen in 7-EDO können natürlich nie mehr als 7 Töne haben, Übereinanderschichtungen jedes beliebigen Intervalls führen nach sieben Schritten oktavreduziert unweigerlich zum Ursprung zurück.

Im Fall der Quinte bedeutet dies, dass das Intervall [[2187/2048]] (pythagoräischer chromatischer Halbton, Apotom) austemperiert wird, womit 7-EDO die einfachste gleichstufige Realisierung einer [[Whitewood]]-Temperatur ist.

In Bezug auf zwei andere wichtige Temperaturen, bei denen MOS-Skalen durch Schichtungen von Quinten konstruiert werden, [[mitteltönig|mitteltönigen]] und [[Mavila]], nimmt 7-EDO genau eine Zwischenstellung ein: die Quinte von 7-EDO bildet die Grenze zwischen mitteltönigen und Mavila-Temperaturen. la. eine Quinte kleiner als die 685.7 Cent von 7-EDO, erhält man durch Aufeinanderschichten von sechs Quinten eine antidiatonische Mavila-Skala, ist sie höher, eine diatonische mitteltönige. 

[Todo weitere]

= Bedeutung =
Dieses System spielt allem Anschein nach eine Rolle in der Polyphonen Gesang der Georgier, alternative Erklärungen laufen auf [[4-EDF]] hinaus (ein System, das auf reinen Quinten aufbaut, die in vier gleiche Stufen unterteilt werden).

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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''7-EDO''' teilt die [[Oktave]] in 7 gleiche Stufen von ungefähr 171,4 [[Cent]]. Es ist nach [[5-EDO]] das zweitkleinste wirklich xenharmonische (d. h. nicht in der Standardstimung [[12-EDO]] enthaltene) EDO-System.

= Approximation reiner Intervalle =
Ein Basisschritt von 7-EDO ist 171.429 [[Cent]] gross, ein ziemlich kleiner Ganzton bzw. eine grosse neutrale Sekunde.

Die beste Approximation der Quinte 3/2 ist 685.714 Cent gross, 16.242 Cent tiefer als das reine Intervall - im Vergleich zur Standardstimung [[12-EDO]] nicht besonders gut, aber angesichts der insgesamt geringeren Anzahl Töne durchaus in Ordnung. 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] hingegen ist mit 342.857 Cent mehr als 40 Cent zu tief; das ist keine grosse Terz mehr, sondern eine neutrale. Dasselbe Intervall ist auch die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 (27 Cent Abweichung).

Die wichtigen reinen Intervalle werden also tendenziell tiefer angenähert - dies ein Kontrast zu [[5-EDO]], wo die Intervalle tendenziell höher sind als ihre reinen Konterparts.

Etwas interessant ist der Vergleich mit den verbreiteten diatonischen Tonleitern der Standardstimmung (Durtonleiter, Molltonleiter, Dorisch, Mixolydisch etc.), die ja auch aus sieben Tönen bestehen. 7-EDO kann wie eine spezielle Art diatonischer Tonleiter wirken, mit der Eigenschaft, dass sie weder Dur noch Moll ist (der Unterschied zwischen grossen und kleinen Intervallen ist eingeebnet).
= Reguläre Temperaturen =
7-EDO ist so ungefähr das kleinste gleichstufige System, bei dem das Konzept der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] sowie die Konstruktion von [[MOS-Skalen]] etwas mehr als triviale Resultate ergeben. 

Skalen in 7-EDO können natürlich nie mehr als 7 Töne haben, Übereinanderschichtungen jedes beliebigen Intervalls führen nach sieben Schritten oktavreduziert unweigerlich zum Ursprung zurück.

Im Fall der Quinte bedeutet dies, dass das Intervall [[2187/2048]] (pythagoräischer chromatischer Halbton, Apotom) austemperiert wird, womit 7-EDO die einfachste gleichstufige Realisierung einer [[Whitewood]]-Temperatur ist.

In Bezug auf zwei andere wichtige Temperaturen, bei denen MOS-Skalen durch Schichtungen von Quinten konstruiert werden, [[mitteltönig|mitteltönigen]] und [[Mavila]], nimmt 7-EDO genau eine Zwischenstellung ein: die Quinte von 7-EDO bildet die Grenze zwischen mitteltönigen und Mavila-Temperaturen. Ist eine Quinte kleiner als die 685.7 Cent von 7-EDO, erhält man durch Aufeinanderschichten von sechs Quinten eine antidiatonische Mavila-Skala, ist sie höher, eine diatonische mitteltönige. 

[Todo weitere]

= Bedeutung =
Dieses System spielt allem Anschein nach eine Rolle in der Polyphonen Gesang der Georgier, alternative Erklärungen laufen auf [[4-EDF]] hinaus (ein System, das auf reinen Quinten aufbaut, die in vier gleiche Stufen unterteilt werden).

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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''7-EDO''' teilt die [[Oktave]] in 7 gleiche Stufen von ungefähr 171,4 [[Cent]]. Es ist nach [[5-EDO]] das zweitkleinste wirklich xenharmonische (d. h. nicht in der Standardstimung [[12-EDO]] enthaltene) EDO-System.

= Approximation reiner Intervalle =
Ein Basisschritt von 7-EDO ist 171.429 [[Cent]] gross, ein ziemlich kleiner Ganzton bzw. eine grosse neutrale Sekunde.

Die beste Approximation der Quinte 3/2 ist 685.714 Cent gross, 16.242 Cent tiefer als das reine Intervall - im Vergleich zur Standardstimung [[12-EDO]] nicht besonders gut, aber angesichts der insgesamt geringeren Anzahl Töne durchaus in Ordnung. 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] hingegen ist mit 342.857 Cent mehr als 40 Cent zu tief; das ist keine grosse Terz mehr, sondern eine neutrale. Dasselbe Intervall ist auch die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 (27 Cent Abweichung).

Die wichtigen reinen Intervalle werden also tendenziell tiefer angenähert - dies ein Kontrast zu [[5-EDO]], wo die Intervalle tendenziell höher sind als ihre reinen Konterparts.

Etwas interessant ist der Vergleich mit den verbreiteten diatonischen Tonleitern der Standardstimmung (Durtonleiter, Molltonleiter, Dorisch, Mixolydisch etc.), die ja auch aus sieben Tönen bestehen. 7-EDO kann wie eine spezielle Art diatonischer Tonleiter wirken, mit der Eigenschaft, dass sie weder Dur noch Moll ist (der Unterschied zwischen grossen und kleinen Intervallen ist eingeebnet).
= Reguläre Temperaturen =
7-EDO ist so ungefähr das kleinste gleichstufige System, bei dem das Konzept der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] sowie die Konstruktion von [[MOS-Skalen]] etwas mehr als triviale Resultate ergeben. 

Skalen in 7-EDO können natürlich nie mehr als 7 Töne haben, Übereinanderschichtungen jedes beliebigen Intervalls führen nach sieben Schritten oktavreduziert unweigerlich zum Ursprung zurück.

Im Fall der Quinte bedeutet dies, dass das Intervall [[2187/2048]] (pythagoräischer chromatischer Halbton, Apotom) austemperiert wird, womit 7-EDO die einfachste gleichstufige Realisierung einer [[Whitewood]]-Temperatur ist.

In Bezug auf zwei andere wichtige Temperaturen, bei denen MOS-Skalen durch Schichtungen von Quinten konstruiert werden, [[mitteltönig|mitteltönigen]] und [[Mavila]], nimmt 7-EDO genau eine Zwischenstellung ein: die Quinte von 7-EDO bildet die Grenze zwischen mitteltönigen und Mavila-Temperaturen. Ist eine Quinte kleiner als die 685.7 Cent von 7-EDO, erhält man durch Aufeinanderschichten von sechs Quinten eine antidiatonische Mavila-Skala, ist sie höher, eine diatonische mitteltönige. 

[Todo weitere]

= Bedeutung =
Dieses System spielt allem Anschein nach eine Rolle im polyphonen Gesang der [https://en.xen.wiki/w/Music_of_Georgia Georgier], alternative Erklärungen laufen auf [[4-EDF]] hinaus (ein System, das auf reinen Quinten aufbaut, die in vier gleiche Stufen unterteilt werden).

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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''7-EDO''' teilt die [[Oktave]] in 7 gleiche Stufen von ungefähr 171,4 [[Cent]]. Es ist nach [[5-EDO]] das zweitkleinste wirklich xenharmonische (d. h. nicht in der Standardstimung [[12-EDO]] enthaltene) EDO-System.

= Approximation reiner Intervalle =
Ein Basisschritt von 7-EDO ist 171.429 [[Cent]] gross, ein ziemlich kleiner Ganzton bzw. eine grosse neutrale Sekunde.

Die beste Approximation der Quinte 3/2 ist 685.714 Cent gross, 16.242 Cent tiefer als das reine Intervall - im Vergleich zur Standardstimung [[12-EDO]] nicht besonders gut, aber angesichts der insgesamt geringeren Anzahl Töne durchaus in Ordnung. 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] hingegen ist mit 342.857 Cent mehr als 40 Cent zu tief; das ist keine grosse Terz mehr, sondern eine neutrale. Dasselbe Intervall ist auch die beste Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 (27 Cent Abweichung).

Die wichtigen reinen Intervalle werden also tendenziell tiefer angenähert - dies ein Kontrast zu [[5-EDO]], wo die Intervalle tendenziell höher sind als ihre reinen Konterparts.

Etwas interessant ist der Vergleich mit den verbreiteten diatonischen Tonleitern der Standardstimmung (Durtonleiter, Molltonleiter, Dorisch, Mixolydisch etc.), die ja auch aus sieben Tönen bestehen. 7-EDO kann wie eine spezielle Art diatonischer Tonleiter wirken, mit der Eigenschaft, dass sie weder Dur noch Moll ist (der Unterschied zwischen grossen und kleinen Intervallen ist eingeebnet).
= Reguläre Temperaturen =
7-EDO ist so ungefähr das kleinste gleichstufige System, bei dem das Konzept der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] sowie die Konstruktion von [[MOS-Skalen]] etwas mehr als triviale Resultate ergeben. 

Skalen in 7-EDO können natürlich nie mehr als 7 Töne haben, Übereinanderschichtungen jedes beliebigen Intervalls führen nach sieben Schritten oktavreduziert unweigerlich zum Ursprung zurück.

Im Fall der Quinte bedeutet dies, dass das Intervall [[2187/2048]] (pythagoräischer chromatischer Halbton, Apotom) austemperiert wird, womit 7-EDO die einfachste gleichstufige Realisierung einer [[Whitewood]]-Temperatur ist.

In Bezug auf zwei andere wichtige Temperaturen, bei denen MOS-Skalen durch Schichtungen von Quinten konstruiert werden, [[mitteltönig|mitteltönigen]] und [[Mavila]], nimmt 7-EDO genau eine Zwischenstellung ein: die Quinte von 7-EDO bildet die Grenze zwischen mitteltönigen und Mavila-Temperaturen. Ist eine Quinte kleiner als die 685.7 Cent von 7-EDO, erhält man durch Aufeinanderschichten von sechs Quinten eine antidiatonische Mavila-Skala, ist sie höher, eine diatonische mitteltönige. 

[Todo weitere]

= Bedeutung =
Dieses System spielt allem Anschein nach eine Rolle im polyphonen Gesang der [https://en.xen.wiki/w/Music_of_Georgia Georgier], alternative Erklärungen laufen auf [[4-EDF]] hinaus (ein System, das auf reinen Quinten aufbaut, die in vier gleiche Stufen unterteilt werden).

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'''26-EDO''' teilt die [[Oktave]] in 26 gleiche Stufen von ungefähr 46,2 [[Cent]]. Es ist ein [[mitteltönig]]es System mit einer sehr [[stumpf]]en Quinte.

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'''26-EDO''' teilt die [[Oktave]] in 26 gleiche Stufen von ungefähr 46,2 [[Cent]]. Es ist ein [[mitteltönig]]es System mit einer sehr [[stumpf]]en Quinte (9,6 Cent zu niedrig). Es enthält eine ausgesprochen gute Annäherung an die [[Naturseptime]] (nur 0.4 Cent zu hoch).

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      <text bytes="659" sha1="rznt1c49i60a2156i4a9kixpkxc9bmv" xml:space="preserve">Mit dem Begriff '''Neji''' /nɛd͡ʒi/ (für ''near-equal just intonation'' 'fast gleichstufige reine Stimmung') bezeichnet man eine Skala, die an eine irrationale Skala (sowie ein [[EDO]] bzw. eine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]]) mit aus einem Modus (der Menge von Obertönen von ''n'' bis 2''n'', wobei ''n'' eine positive ganze Zahl ist) der [[Obertonreihe]] ausgewählten Tonhöhen approximiert. In einer Neji-Skala entspricht aller Tonhöhe der ursprünglichen Skala ein Oberton in diesem Obertonreihe-Modus.

Zum Beispiel: 22:23:25:26:28:30:31:33:35:37:39:42:44 ist die 12-tönige Neji-Skala (oder 12-Neji), kür die [[Zhea Erose]]s "Eurybia" geschrieben ist.</text>
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Zum Beispiel: 22:23:25:26:28:30:31:33:35:37:39:42:44 ist die 12-tönige Neji-Skala (oder 12-Neji), kür die [[Zhea Erose]]s "Eurybia" geschrieben ist.</text>
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Der Konzept von Obertonreihe-Approximationen war bereits unter einem anderen Namen bekannt, [[George Secor]] erwähnte diesen Konzept und nennte ihn ''quasi-equal rational tuning''.

== Beispiele ==
22:23:25:26:28:30:31:33:35:37:39:42:44 ist die 12-tönige Neji-Skala (oder 12-Neji), kür die [[Zhea Erose]]s "Eurybia" geschrieben ist.</text>
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Der Konzept von Obertonreihe-Approximationen war bereits unter einem anderen Namen bekannt, [[George Secor]] erwähnte diesen Konzept und nennte ihn ''quasi-equal rational tuning''.

== Beispiele ==
22:23:25:26:28:30:31:33:35:37:39:42:44 ist die 12-tönige Neji-Skala (oder 12-Neji), kür die [[Zhea Erose]]s "Eurybia" geschrieben ist.</text>
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Der Konzept von Obertonreihe-Approximationen war bereits unter einem anderen Namen bekannt, [[George Secor]] erwähnte diesen Konzept und nennte ihn ''quasi-equal rational tuning''.

== Beispiele ==
22:23:25:26:28:30:31:33:35:37:39:42:44 ist die 12-tönige Neji-Skala (oder 12-Neji), kür die [[Zhea Erose]]s "Eurybia" geschrieben ist.</text>
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Als Zhea Erose ihren Begriff "neji" prägte, war der Konzept von Obertonreihe-Approximationen bereits unter einem anderen Namen bekannt, [[George Secor]] erwähnte diesen Konzept und nennte ihn ''quasi-equal rational tuning''.

== Beispiele ==
22:23:25:26:28:30:31:33:35:37:39:42:44 ist die 12-tönige Neji-Skala (oder 12-Neji), kür die [[Zhea Erose]]s "Eurybia" geschrieben ist.</text>
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Den Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch der Konzept von Obertonreihe-Approximationen bereits unter einem anderen Namen bekannt, [[George Secor]] erwähnte diesen Konzept und nennte ihn ''quasi-equal rational tuning''.

== Beispiele ==
22:23:25:26:28:30:31:33:35:37:39:42:44 ist die 12-tönige Neji-Skala (oder 12-Neji), kür die [[Zhea Erose]]s "Eurybia" geschrieben ist.</text>
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Den Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch der Konzept von Obertonreihe-Approximationen bereits unter einem anderen Namen bekannt, [[George Secor]] erwähnte diesen Konzept und nennte ihn ''quasi-equal rational tuning''.

== Beispiele ==
22:23:25:26:28:30:31:33:35:37:39:42:44 ist die 12-tönige Neji-Skala (oder 12-Neji), kür die [[Zhea Erose]]s "Eurybia" geschrieben ist.</text>
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== Geschichte ==
Den Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch der Konzept von Obertonreihe-Approximationen bereits unter einem anderen Namen bekannt, [[George Secor]] erwähnte diesen Konzept und nennte ihn ''quasi-equal rational tuning''.

== Beispiele ==
22:23:25:26:28:30:31:33:35:37:39:42:44 ist die 12-tönige Neji-Skala (oder 12-Neji), kür die [[Zhea Erose]]s "Eurybia" geschrieben ist.</text>
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== Geschichte ==
Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch der Konzept von Obertonreihe-Approximationen bereits unter einem anderen Namen bekannt, [[George Secor]] erwähnte diesen Konzept und nennte ihn ''quasi-equal rational tuning''.

== Beispiele ==
22:23:25:26:28:30:31:33:35:37:39:42:44 ist die 12-tönige Neji-Skala (oder 12-Neji), kür die [[Zhea Erose]]s "Eurybia" geschrieben ist.</text>
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== Geschichte ==
Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch der Konzept von Obertonreihe-Approximationen bereits war unter einem anderen Namen bekannt, [[George Secor]] erwähnte diesen Konzept und nennte ihn ''quasi-equal rational tuning''.

== Beispiele ==
22:23:25:26:28:30:31:33:35:37:39:42:44 ist die 12-tönige Neji-Skala (oder 12-Neji), kür die [[Zhea Erose]]s "Eurybia" geschrieben ist.</text>
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== Geschichte ==
Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch der Konzept von Obertonreihe-Approximationen war bereits unter einem anderen Namen bekannt, [[George Secor]] erwähnte diesen Konzept und nennte ihn ''quasi-equal rational tuning''.

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== Geschichte ==
Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch der Konzept von Obertonreihe-Approximationen war bereits unter einem anderen Namen bekannt, [[George Secor]] erwähnte diesen Konzept und nennte ihn ''quasi-equal rational tuning''.

== Beispiele ==
22:23:25:26:28:30:31:33:35:37:39:42:44 ist die 12-tönige Neji-Skala (oder 12-Neji), kür die [[Zhea Erose]]s "Eurybia" geschrieben ist.</text>
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== Geschichte ==
Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch der Konzept von Obertonreihe-Approximationen war bereits unter einem anderen Namen bekannt, [[George Secor]] erwähnte diesen Konzept und nennte ihn ''quasi-equal rational tuning''.

== Beispiele ==
22:23:25:26:28:30:31:33:35:37:39:42:44 ist die 12-tönige Neji-Skala (oder 12-Neji), kür die [[Zhea Erose]]s "Eurybia" geschrieben ist.</text>
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== Geschichte ==
Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch der Konzept von Obertonreihe-Approximationen war bereits unter einem anderen Namen bekannt, [[George Secor]] erwähnte diesen Konzept und nennte ihn ''quasi-equal rational tuning''.

== Beispiele ==
22:23:25:26:28:30:31:33:35:37:39:42:44 ist die 12-tönige Neji-Skala (oder 12-Neji), in der die [[Zhea Erose]]s "Eurybia" geschrieben ist.</text>
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== Geschichte ==
Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch der Konzept von Obertonreihe-Approximationen war bereits unter einem anderen Namen bekannt, [[George Secor]] erwähnte diesen Konzept und nennte ihn ''quasi-equal rational tuning''.

== Beispiele ==
22:23:25:26:28:30:31:33:35:37:39:42:44 ist die 12-tönige Neji-Skala (oder 12-Neji), in der [[Zhea Erose]]s "Eurybia" geschrieben ist.</text>
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== Geschichte ==
Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch das Konzept der Obertonreihe-Approximationen war bereits unter einem anderen Namen bekannt: bereits [[George Secor]] erwähnte es als ''quasi-equal rational tuning''.

== Beispiele ==
22:23:25:26:28:30:31:33:35:37:39:42:44 ist die 12-tönige Neji-Skala (oder 12-Neji), in der [[Zhea Erose]]s "Eurybia" geschrieben ist.</text>
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== Geschichte ==
Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch das Konzept der Obertonreihe-Approximationen war bereits unter einem anderen Namen bekannt: bereits [[George Secor]] erwähnte es als ''quasi-equal rational tuning''.

== Beispiele ==
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Mit dem Begriff '''Neji''' /nɛd͡ʒi/ (für ''near-equal just intonation'' 'fast gleichstufige [[reine Stimmung]]') bezeichnet man eine Skala, die an eine irrationale Skala (sowie ein [[EDO]] bzw. eine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]]) mit aus einem Modus der [[Obertonreihe]] (der Menge von Obertönen von ''n'' bis 2''n'', wobei ''n'' eine positive ganze Zahl ist) ausgewählten Tonhöhen approximiert. In einer Neji-Skala entspricht jeder Tonhöhe der ursprünglichen Skala ein Oberton in diesem Obertonreihe-Modus. Nejis spielen eine wichtige Rolle in [[Zhea Erose]]s [[Primodalität]]s-Theorie. Doch Nejis müssen nicht nur dem Zweck dienen, "primodale" Musik zu komponieren.

== Geschichte ==
Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch das Konzept der Obertonreihe-Approximationen war bereits unter einem anderen Namen bekannt: bereits [[George Secor]] erwähnte es als ''quasi-equal rational tuning''.

== Beispiele ==
22:23:25:26:28:30:31:33:35:37:39:42:44 ist die 12-tönige Neji-Skala (oder 12-Neji), in der [[Zhea Erose]]s "Eurybia" geschrieben ist.</text>
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Mit dem Begriff '''Neji''' /nɛd͡ʒi/ (für ''near-equal just intonation'' 'fast gleichstufige [[reine Stimmung]]') bezeichnet man eine Skala, die an eine irrationale Skala (sowie ein [[EDO]] bzw. eine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]]) mit aus einem Modus der [[Obertonreihe]] (Obertönen von ''n'' bis 2''n'', wobei ''n'' eine positive ganze Zahl ist) ausgewählten Tonhöhen approximiert. In einer Neji-Skala entspricht jeder Tonhöhe der ursprünglichen Skala ein Oberton in diesem Obertonreihe-Modus.

Warum verwendet man ein Neji? Von Standpunkt der Melodie und der Modulation aus verhält sich eine Neji-Skala meist ähnlich wie die Skala, an die sie approximiert, aber die Klangfarbe eines Neji-Akkordes ist weniger rau als beim entsprechenden irrationalen Akkord; da ein Neji ein (gewöhnlich relativ niedriges) Teil der Obertonreihe bildet, ist die Schwingung des Zusammenklangs periodisch, anders als bei einem irrationalen Akkord.

Nejis spielen eine wichtige Rolle in [[Zhea Erose]]s [[Primodalität]]s-Theorie. Doch Nejis müssen nicht nur dem Zweck dienen, "primodale" Musik zu komponieren.

== Geschichte ==
Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch das Konzept der Obertonreihe-Approximationen war bereits unter einem anderen Namen bekannt: bereits [[George Secor]] erwähnte es als ''quasi-equal rational tuning''.

== Beispiele ==
22:23:25:26:28:30:31:33:35:37:39:42:44 ist die 12-tönige Neji-Skala (oder 12-Neji), in der [[Zhea Erose]]s "Eurybia" geschrieben ist.</text>
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Mit dem Begriff '''Neji''' /nɛd͡ʒi/ (für ''near-equal just intonation'' 'fast gleichstufige [[reine Stimmung]]') bezeichnet man eine Skala, die an eine irrationale Skala (sowie ein [[EDO]] bzw. eine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]]) mit aus einem Modus der [[Obertonreihe]] (Obertönen von ''n'' bis 2''n'', wobei ''n'' eine positive ganze Zahl ist) ausgewählten Tonhöhen approximiert. In einer Neji-Skala entspricht jeder Tonhöhe der ursprünglichen Skala ein Oberton in diesem Obertonreihe-Modus.

Warum verwendet man ein Neji? Vom Standpunkt der Melodie und der Modulation aus verhält sich eine Neji-Skala meist ähnlich wie die Skala, an die sie approximiert, aber die Klangfarbe eines Neji-Akkordes ist weniger rau als beim entsprechenden irrationalen Akkord; da ein Neji ein (gewöhnlich relativ niedriges) Teil der Obertonreihe bildet, ist die Schwingung des Zusammenklangs periodisch, anders als bei einem irrationalen Akkord.

Nejis spielen eine wichtige Rolle in [[Zhea Erose]]s [[Primodalität]]s-Theorie. Doch Nejis müssen nicht nur dem Zweck dienen, "primodale" Musik zu komponieren.

== Geschichte ==
Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch das Konzept der Obertonreihe-Approximationen war bereits unter einem anderen Namen bekannt: bereits [[George Secor]] erwähnte es als ''quasi-equal rational tuning''.

== Beispiele ==
22:23:25:26:28:30:31:33:35:37:39:42:44 ist die 12-tönige Neji-Skala (oder 12-Neji), in der [[Zhea Erose]]s "Eurybia" geschrieben ist.</text>
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Mit dem Begriff '''Neji''' /nɛd͡ʒi/ (für ''near-equal just intonation'' 'fast gleichstufige [[reine Stimmung]]') bezeichnet man eine Skala, die an eine irrationale Skala (sowie ein [[EDO]] bzw. eine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]]) mit aus einem Modus der [[Obertonreihe]] (Obertönen von ''n'' bis 2''n'', wobei ''n'' eine positive ganze Zahl ist) ausgewählten Tonhöhen approximiert. In einer Neji-Skala entspricht jeder Tonhöhe der ursprünglichen Skala ein Oberton in diesem Obertonreihe-Modus.

Warum verwendet man ein Neji?
* Vom Standpunkt der Melodie und der Modulation aus verhält sich eine Neji-Skala meist ähnlich wie die Skala, an die sie approximiert, aber die Klangfarbe eines Neji-Akkordes ist weniger rau als beim entsprechenden irrationalen Akkord; da ein Neji ein (gewöhnlich relativ niedriges) Teil der Obertonreihe bildet, ist die Schwingung des Zusammenklangs periodisch, anders als bei einem irrationalen Akkord.
* Eine Neji-Skala bietet leichte Variationen in der Klangfarbe eines Akkords und den Tonartencharakteren bei verschiedenen Tonarten, der in einem EDO vorhanden ist, wie eine [[wohltemperierte Stimmung]].

Nejis spielen eine wichtige Rolle in [[Zhea Erose]]s [[Primodalität]]s-Theorie. Doch Nejis müssen nicht nur dem Zweck dienen, "primodale" Musik zu komponieren.

== Geschichte ==
Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch das Konzept der Obertonreihe-Approximationen war bereits unter einem anderen Namen bekannt: bereits [[George Secor]] erwähnte es als ''quasi-equal rational tuning''.

== Beispiele ==
22:23:25:26:28:30:31:33:35:37:39:42:44 ist die 12-tönige Neji-Skala (oder 12-Neji), in der [[Zhea Erose]]s "Eurybia" geschrieben ist.</text>
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Mit dem Begriff '''Neji''' /nɛd͡ʒi/ (für ''near-equal just intonation'' 'fast gleichstufige [[reine Stimmung]]') bezeichnet man eine Skala, die an eine irrationale Skala (sowie ein [[EDO]] bzw. eine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]]) mit aus einem Modus der [[Obertonreihe]] (Obertönen von ''n'' bis 2''n'', wobei ''n'' eine positive ganze Zahl ist) ausgewählten Tonhöhen approximiert. In einer Neji-Skala entspricht jeder Tonhöhe der ursprünglichen Skala ein Oberton in diesem Obertonreihe-Modus.

Warum verwendet man ein Neji?
* Vom Standpunkt der Melodie und der Modulation aus verhält sich eine Neji-Skala meist ähnlich wie die Skala, an die sie approximiert, aber die Klangfarbe eines Neji-Akkordes ist weniger rau als beim entsprechenden irrationalen Akkord; da ein Neji ein (gewöhnlich relativ niedriges) Teil der Obertonreihe bildet, ist die Schwingung des Zusammenklangs periodisch, anders als bei einem irrationalen Akkord.
* Eine Neji-Skala bietet leichte Variationen in der Klangfarbe eines EDO-Akkords und den Tonartencharakteren bei verschiedenen Tonarten, wie eine [[wohltemperierte Stimmung]].

Nejis spielen eine wichtige Rolle in [[Zhea Erose]]s [[Primodalität]]s-Theorie. Doch Nejis müssen nicht nur dem Zweck dienen, "primodale" Musik zu komponieren.

== Geschichte ==
Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch das Konzept der Obertonreihe-Approximationen war bereits unter einem anderen Namen bekannt: bereits [[George Secor]] erwähnte es als ''quasi-equal rational tuning''.

== Beispiele ==
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Mit dem Begriff '''Neji''' /nɛd͡ʒi/ (für ''near-equal just intonation'' 'fast gleichstufige [[reine Stimmung]]') bezeichnet man eine Skala, die an eine irrationale Skala (sowie ein [[EDO]] bzw. eine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]]) mit aus einem Modus der [[Obertonreihe]] (Obertönen von ''n'' bis 2''n'', wobei ''n'' eine positive ganze Zahl ist) ausgewählten Tonhöhen approximiert. In einer Neji-Skala entspricht jeder Tonhöhe der ursprünglichen Skala ein Oberton in diesem Obertonreihe-Modus.

Warum verwendet man ein Neji?
* Vom Standpunkt der Melodie und der Modulation aus verhält sich eine Neji-Skala meist ähnlich wie die Skala, an die sie approximiert, aber die Klangfarbe eines Neji-Akkordes ist weniger rau als beim entsprechenden irrationalen Akkord; da ein Neji ein (gewöhnlich relativ niedriges) Teil der Obertonreihe bildet, ist die Schwingung des Zusammenklangs periodisch, anders als bei einem irrationalen Akkord.
* Eine Neji-Skala bietet leichte Variationen in der Klangfarbe eines EDO-Akkords und den Tonartencharakteren bei verschiedenen Tonarten, wie eine [[wohltemperierte Stimmung]].

Nejis spielen eine wichtige Rolle in [[Zhea Erose]]s [[Primodalität]]s-Theorie. Doch Nejis müssen nicht nur dem Zweck dienen, "primodale" Musik zu komponieren.
== Tools zum Erzeugen von Nejis ==
* Die Software [[Skala]] hat eine Funktion "Approximate" &gt; "Fit to harmonic scale", die sukzessive höhere und bessere Neji-Versionen der aktuellen Skala generiert.
* In ScaleWorkshop: "Modify" &gt; "Approximate by harmonics", dann den gemeinsamen Nenner aller Frequenzverhältnisse (äquivalent: den Obertonreihe-Modus) eingeben.

== Geschichte ==
Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch das Konzept der Obertonreihe-Approximationen war bereits unter einem anderen Namen bekannt: bereits [[George Secor]] erwähnte es als ''quasi-equal rational tuning''.

== Beispiele ==
22:23:25:26:28:30:31:33:35:37:39:42:44 ist die 12-tönige Neji-Skala (oder 12-Neji), in der [[Zhea Erose]]s "Eurybia" geschrieben ist.</text>
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Mit dem Begriff '''Neji''' /nɛd͡ʒi/ (für ''near-equal just intonation'' 'fast gleichstufige [[reine Stimmung]]') bezeichnet man eine Skala, die an eine irrationale Skala (sowie ein [[EDO]] bzw. eine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]]) mit aus einem Modus der [[Obertonreihe]] (Obertönen von ''n'' bis 2''n'', wobei ''n'' eine positive ganze Zahl ist) ausgewählten Tonhöhen approximiert. In einer Neji-Skala entspricht jeder Tonhöhe der ursprünglichen Skala ein Oberton in diesem Obertonreihe-Modus.

Warum verwendet man ein Neji?
* Vom Standpunkt der Melodie und der Modulation aus verhält sich eine Neji-Skala meist ähnlich wie die Skala, an die sie approximiert, aber die Klangfarbe eines Neji-Akkordes ist weniger rau als beim entsprechenden irrationalen Akkord; da ein Neji ein (gewöhnlich relativ niedriges) Teil der Obertonreihe bildet, ist die Schwingung des Zusammenklangs periodisch, anders als bei einem irrationalen Akkord.
* Eine Neji-Skala bietet leichte Variationen in der Klangfarbe eines EDO-Akkords und den Tonartencharakteren bei verschiedenen Tonarten, wie eine [[wohltemperierte Stimmung]].

Nejis spielen eine wichtige Rolle in [[Zhea Erose]]s [[Primodalität]]s-Theorie. Doch Nejis müssen nicht nur dem Zweck dienen, "primodale" Musik zu komponieren.
== Tools zum Erzeugen von Nejis ==
* Die Software [[Scala]] hat eine Funktion "Approximate" &gt; "Fit to harmonic scale", die sukzessive höhere und bessere Neji-Versionen der aktuellen Skala generiert.
* In ScaleWorkshop: "Modify" &gt; "Approximate by harmonics", dann den gemeinsamen Nenner aller Frequenzverhältnisse (äquivalent: den Obertonreihe-Modus) eingeben.

== Geschichte ==
Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch das Konzept der Obertonreihe-Approximationen war bereits unter einem anderen Namen bekannt: bereits [[George Secor]] erwähnte es als ''quasi-equal rational tuning''.

== Beispiele ==
22:23:25:26:28:30:31:33:35:37:39:42:44 ist die 12-tönige Neji-Skala (oder 12-Neji), in der [[Zhea Erose]]s "Eurybia" geschrieben ist.</text>
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Mit dem Begriff '''Neji''' /nɛd͡ʒi/ (für ''near-equal just intonation'' 'fast gleichstufige [[reine Stimmung]]') bezeichnet man eine Skala, die an eine irrationale Skala (sowie ein [[EDO]] bzw. eine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]]) mit aus einem Modus der [[Obertonreihe]] (Obertönen von ''n'' bis 2''n'', wobei ''n'' eine positive ganze Zahl ist) ausgewählten Tonhöhen approximiert. In einer Neji-Skala entspricht jeder Tonhöhe der ursprünglichen Skala ein Oberton in diesem Obertonreihe-Modus.

Warum verwendet man ein Neji?
* Vom Standpunkt der Melodie und der Modulation aus verhält sich eine Neji-Skala meist ähnlich wie die Skala, an die sie approximiert, aber die Klangfarbe eines Neji-Akkordes ist weniger rau als beim entsprechenden irrationalen Akkord; da ein Neji ein (gewöhnlich relativ niedriges) Teil der Obertonreihe bildet, ist die Schwingung des Zusammenklangs periodisch, anders als bei einem irrationalen Akkord.
* Eine Neji-Skala bietet leichte Variationen in der Klangfarbe eines EDO-Akkords und den Tonartencharakteren bei verschiedenen Tonarten, wie eine [[wohltemperierte Stimmung]].

Nejis spielen eine wichtige Rolle in [[Zhea Erose]]s [[Primodalität]]s-Theorie. Doch Nejis müssen nicht nur dem Zweck dienen, "primodale" Musik zu komponieren.

== Beispiele ==
22:23:25:26:28:30:31:33:35:37:39:42:44 ist die 12-tönige Neji-Skala (oder 12-Neji), in der [[Zhea Erose]]s "Eurybia" geschrieben ist.

== Tools zum Erzeugen von Nejis ==
* Die Software [[Scala]] hat eine Funktion "Approximate" &gt; "Fit to harmonic scale", die sukzessive höhere und bessere Neji-Versionen der aktuellen Skala generiert.
* In ScaleWorkshop: "Modify" &gt; "Approximate by harmonics", dann den gemeinsamen Nenner aller Frequenzverhältnisse (äquivalent: den Obertonreihe-Modus) eingeben.

== Geschichte ==
Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch das Konzept der Obertonreihe-Approximationen war bereits unter einem anderen Namen bekannt: bereits [[George Secor]] erwähnte es als ''quasi-equal rational tuning''.</text>
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Mit dem Begriff '''Neji''' /nɛd͡ʒi/ (für ''near-equal just intonation'' 'fast gleichstufige [[reine Stimmung]]') bezeichnet man eine Skala, die an eine irrationale Skala (sowie ein [[EDO]] bzw. eine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]]) mit aus einem Modus der [[Obertonreihe]] (Obertönen von ''n'' bis 2''n'', wobei ''n'' eine positive ganze Zahl ist) ausgewählten Tonhöhen approximiert. In einer Neji-Skala entspricht jeder Tonhöhe der ursprünglichen Skala ein Oberton in diesem Obertonreihe-Modus.

Warum verwendet man ein Neji?
* Vom Standpunkt der Melodie und der Modulation aus verhält sich eine Neji-Skala meist ähnlich wie die Skala, an die sie approximiert, aber die Klangfarbe eines Neji-Akkordes ist weniger rau als beim entsprechenden irrationalen Akkord (bei einem harmonischen Timbre); da ein Neji ein (gewöhnlich relativ niedriges) Teil der Obertonreihe bildet, ist die Schwingung des Zusammenklangs periodisch, anders als bei einem irrationalen Akkord.
* Eine Neji-Skala bietet leichte Variationen in der Klangfarbe eines EDO-Akkords und den Tonartencharakteren bei verschiedenen Tonarten, wie eine [[wohltemperierte Stimmung]].

Nejis spielen eine wichtige Rolle in [[Zhea Erose]]s [[Primodalität]]s-Theorie. Doch Nejis müssen nicht nur dem Zweck dienen, "primodale" Musik zu komponieren.

== Beispiele ==
22:23:25:26:28:30:31:33:35:37:39:42:44 ist die 12-tönige Neji-Skala (oder 12-Neji), in der [[Zhea Erose]]s "Eurybia" geschrieben ist.

== Tools zum Erzeugen von Nejis ==
* Die Software [[Scala]] hat eine Funktion "Approximate" &gt; "Fit to harmonic scale", die sukzessive höhere und bessere Neji-Versionen der aktuellen Skala generiert.
* In ScaleWorkshop: "Modify" &gt; "Approximate by harmonics", dann den gemeinsamen Nenner aller Frequenzverhältnisse (äquivalent: den Obertonreihe-Modus) eingeben.

== Geschichte ==
Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch das Konzept der Obertonreihe-Approximationen war bereits unter einem anderen Namen bekannt: bereits [[George Secor]] erwähnte es als ''quasi-equal rational tuning''.</text>
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Mit dem Begriff '''Neji''' /nɛd͡ʒi/ (für ''near-equal just intonation'' 'fast gleichstufige [[reine Stimmung]]') bezeichnet man eine Skala, die an eine irrationale Skala (sowie ein [[EDO]] bzw. eine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]]) mit aus einem Modus der [[Obertonreihe]] (Obertönen von ''n'' bis 2''n'', wobei ''n'' eine positive ganze Zahl ist) ausgewählten Tonhöhen approximiert. In einer Neji-Skala entspricht jeder Tonhöhe der ursprünglichen Skala ein Oberton in diesem Obertonreihe-Modus.

Einleitendes Beispiel: Nehmen wir an, wir wollen eine (nicht so präzise, aber sehr konsonante) Annäherung am [[diatonisch]]en Modus Lydisch (in [[12-EDO]]: 0¢-200¢-400¢-600¢-700¢-900¢-1100¢-1200¢). Dann bietet der Obertonreihe-Modus 14, d. h. die Obertöne 14, 15, 16, 17, ..., 28 eine Möglichkeit: der Akkord 14:16:18:19:21:24:27:28 (als eine Tonleiter gesehen: 14/14) approximiert an die lydische Tonleiter mit [[Cent]]-Werten 0¢-231¢-435ċ-617ċ-702ċ-933ċ-1137ċ-1200ċ. Ein weiteres Beispiel eines Lydisch-Nejis stellt 16:18:20:23:24:27:30:32 dar, mit Cent-Werten 0¢-204ċ-386¢-628ċ-702ċ-906ċ-1088ċ-1200¢

Warum verwendet man ein Neji?
* Vom Standpunkt der Melodie und der Modulation aus verhält sich eine Neji-Skala meist ähnlich wie die Skala, an die sie approximiert, aber die Klangfarbe eines Neji-Akkordes ist weniger rau als beim entsprechenden irrationalen Akkord (bei einem harmonischen Timbre); da ein Neji ein (gewöhnlich relativ niedriges) Teil der Obertonreihe bildet, ist die Schwingung des Zusammenklangs periodisch, anders als bei einem irrationalen Akkord.
* Eine Neji-Skala bietet leichte Variationen in der Klangfarbe eines EDO-Akkords und den Tonartencharakteren bei verschiedenen Tonarten, wie eine [[wohltemperierte Stimmung]].

Nejis spielen eine wichtige Rolle in [[Zhea Erose]]s [[Primodalität]]s-Theorie. Doch Nejis müssen nicht nur dem Zweck dienen, "primodale" Musik zu komponieren.

== Tools zum Erzeugen von Nejis ==
* Die Software [[Scala]] hat eine Funktion "Approximate" &gt; "Fit to harmonic scale", die sukzessive höhere und bessere Neji-Versionen der aktuellen Skala generiert.
* In ScaleWorkshop: "Modify" &gt; "Approximate by harmonics", dann den gemeinsamen Nenner aller Frequenzverhältnisse (äquivalent: den Obertonreihe-Modus) eingeben.

== Geschichte ==
Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch das Konzept der Obertonreihe-Approximationen war bereits unter einem anderen Namen bekannt: bereits [[George Secor]] erwähnte es als ''quasi-equal rational tuning''.</text>
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Mit dem Begriff '''Neji''' /nɛd͡ʒi/ (für ''near-equal just intonation'' 'fast gleichstufige [[reine Stimmung]]') bezeichnet man eine Skala, die an eine irrationale Skala (sowie ein [[EDO]] bzw. eine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]]) mit aus einem Modus der [[Obertonreihe]] (Obertönen von ''n'' bis 2''n'', wobei ''n'' eine positive ganze Zahl ist) ausgewählten Tonhöhen approximiert. In einer Neji-Skala entspricht jeder Tonhöhe der ursprünglichen Skala ein Oberton in diesem Obertonreihe-Modus.

Einleitendes Beispiel: Nehmen wir an, wir wollen eine (nicht so präzise, aber sehr konsonante) Annäherung am [[diatonisch]]en Modus Lydisch (in [[12-EDO]]: 0¢-200¢-400¢-600¢-700¢-900¢-1100¢-1200¢). Dann bietet der Obertonreihe-Modus 14, d. h. die Obertöne 14, 15, 16, 17, ..., 28 eine Möglichkeit: der Akkord 14:16:18:19:21:24:27:28 (als eine Tonleiter gesehen: 14/14) approximiert an die lydische Tonleiter mit [[Cent]]-Werten 0¢-231¢-435ċ-617ċ-702ċ-933ċ-1137ċ-1200ċ. Ein weiteres Beispiel eines Lydisch-Nejis stellt 16:18:20:23:24:27:30:32 dar, mit Cent-Werten 0¢-204ċ-386¢-628ċ-702ċ-906ċ-1088ċ-1200¢.

Warum verwendet man ein Neji?
* Vom Standpunkt der Melodie und der Modulation aus verhält sich eine Neji-Skala meist ähnlich wie die Skala, an die sie approximiert, aber die Klangfarbe eines Neji-Akkordes ist weniger rau als beim entsprechenden irrationalen Akkord (bei einem harmonischen Timbre); da ein Neji ein (gewöhnlich relativ niedriges) Teil der Obertonreihe bildet, ist die Schwingung des Zusammenklangs periodisch, anders als bei einem irrationalen Akkord.
* Eine Neji-Skala bietet leichte Variationen in der Klangfarbe eines EDO-Akkords und den Tonartencharakteren bei verschiedenen Tonarten, wie eine [[wohltemperierte Stimmung]].

Nejis spielen eine wichtige Rolle in [[Zhea Erose]]s [[Primodalität]]s-Theorie. Doch Nejis müssen nicht nur dem Zweck dienen, "primodale" Musik zu komponieren.

== Tools zum Erzeugen von Nejis ==
* Die Software [[Scala]] hat eine Funktion "Approximate" &gt; "Fit to harmonic scale", die sukzessive höhere und bessere Neji-Versionen der aktuellen Skala generiert.
* In ScaleWorkshop: "Modify" &gt; "Approximate by harmonics", dann den gemeinsamen Nenner aller Frequenzverhältnisse (äquivalent: den Obertonreihe-Modus) eingeben.

== Geschichte ==
Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch das Konzept der Obertonreihe-Approximationen war bereits unter einem anderen Namen bekannt: bereits [[George Secor]] erwähnte es als ''quasi-equal rational tuning''.</text>
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Mit dem Begriff '''Neji''' /nɛd͡ʒi/ (für ''near-equal just intonation'' 'fast gleichstufige [[reine Stimmung]]') bezeichnet man eine Skala, die an eine irrationale Skala (sowie ein [[EDO]] bzw. eine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]]) mit aus einem Modus der [[Obertonreihe]] (Obertönen von ''n'' bis 2''n'', wobei ''n'' eine positive ganze Zahl ist) ausgewählten Tonhöhen approximiert. In einer Neji-Skala entspricht jeder Tonhöhe der ursprünglichen Skala ein Oberton in diesem Obertonreihe-Modus.

Einleitendes Beispiel: Nehmen wir an, wir wollen eine (nicht so präzise, aber sehr konsonante) Annäherung am [[diatonisch]]en Modus Lydisch (in [[12-EDO]]: 0¢-200¢-400¢-600¢-700¢-900¢-1100¢-1200¢). Dann bietet der Obertonreihe-Modus 14, d. h. die Obertöne 14, 15, 16, 17, ..., 28 eine Möglichkeit: der Akkord 14:16:18:19:21:24:27:28 (als eine Tonleiter gesehen: 14/14) approximiert an die lydische Tonleiter mit [[Cent]]-Werten 0¢-231¢-435ċ-617ċ-702ċ-933ċ-1137ċ-1200ċ. Ein weiteres Beispiel eines Lydisch-Nejis stellt 16:18:20:23:24:27:30:32 (aus den Obertönen 16, 17, ..., 31, 32) dar, mit Cent-Werten 0¢-204ċ-386¢-628ċ-702ċ-906ċ-1088ċ-1200¢.

Warum verwendet man ein Neji?
* Vom Standpunkt der Melodie und der Modulation aus verhält sich eine Neji-Skala meist ähnlich wie die Skala, an die sie approximiert, aber die Klangfarbe eines Neji-Akkordes ist weniger rau als beim entsprechenden irrationalen Akkord (bei einem harmonischen Timbre); da ein Neji ein (gewöhnlich relativ niedriges) Teil der Obertonreihe bildet, ist die Schwingung des Zusammenklangs periodisch, anders als bei einem irrationalen Akkord.
* Eine Neji-Skala bietet leichte Variationen in der Klangfarbe eines EDO-Akkords und den Tonartencharakteren bei verschiedenen Tonarten, wie eine [[wohltemperierte Stimmung]].

Nejis spielen eine wichtige Rolle in [[Zhea Erose]]s [[Primodalität]]s-Theorie. Doch Nejis müssen nicht nur dem Zweck dienen, "primodale" Musik zu komponieren.

== Tools zum Erzeugen von Nejis ==
* Die Software [[Scala]] hat eine Funktion "Approximate" &gt; "Fit to harmonic scale", die sukzessive höhere und bessere Neji-Versionen der aktuellen Skala generiert.
* In ScaleWorkshop: "Modify" &gt; "Approximate by harmonics", dann den gemeinsamen Nenner aller Frequenzverhältnisse (äquivalent: den Obertonreihe-Modus) eingeben.

== Geschichte ==
Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch das Konzept der Obertonreihe-Approximationen war bereits unter einem anderen Namen bekannt: bereits [[George Secor]] erwähnte es als ''quasi-equal rational tuning''.</text>
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Mit dem Begriff '''Neji''' /nɛd͡ʒi/ (für ''near-equal just intonation'' 'fast gleichstufige [[reine Stimmung]]') bezeichnet man eine Skala, die an eine irrationale Skala (sowie ein [[EDO]] bzw. eine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]]) mit aus einem Modus der [[Obertonreihe]] (Obertönen von ''n'' bis 2''n'', wobei ''n'' eine positive ganze Zahl ist) ausgewählten Tonhöhen approximiert. In einer Neji-Skala entspricht jeder Tonhöhe der ursprünglichen Skala ein Oberton in diesem Obertonreihe-Modus.

Einleitendes Beispiel: Nehmen wir an, wir wollen eine (nicht so präzise, aber sehr konsonante) Neji-Annäherung am [[diatonisch]]en Modus Lydisch (in [[12-EDO]]: 0¢-200¢-400¢-600¢-700¢-900¢-1100¢-1200¢). Dann bietet der Obertonreihe-Modus 14, d. h. die Obertöne 14, 15, 16, 17, ..., 28 eine Möglichkeit: der Akkord 14:16:18:19:21:24:27:28 (als eine Tonleiter gesehen: 14/14) approximiert an die lydische Tonleiter mit [[Cent]]-Werten 0¢-231¢-435ċ-617ċ-702ċ-933ċ-1137ċ-1200ċ. Ein weiteres Beispiel eines Lydisch-Nejis stellt 16:18:20:23:24:27:30:32 (aus den Obertönen 16, 17, ..., 31, 32) dar, mit Cent-Werten 0¢-204ċ-386¢-628ċ-702ċ-906ċ-1088ċ-1200¢.

Warum verwendet man ein Neji?
* Vom Standpunkt der Melodie und der Modulation aus verhält sich eine Neji-Skala meist ähnlich wie die Skala, an die sie approximiert, aber die Klangfarbe eines Neji-Akkordes ist weniger rau als beim entsprechenden irrationalen Akkord (bei einem harmonischen Timbre); da ein Neji ein (gewöhnlich relativ niedriges) Teil der Obertonreihe bildet, ist die Schwingung des Zusammenklangs periodisch, anders als bei einem irrationalen Akkord.
* Eine Neji-Skala bietet leichte Variationen in der Klangfarbe eines EDO-Akkords und den Tonartencharakteren bei verschiedenen Tonarten, wie eine [[wohltemperierte Stimmung]].

Nejis spielen eine wichtige Rolle in [[Zhea Erose]]s [[Primodalität]]s-Theorie. Doch Nejis müssen nicht nur dem Zweck dienen, "primodale" Musik zu komponieren.

== Tools zum Erzeugen von Nejis ==
* Die Software [[Scala]] hat eine Funktion "Approximate" &gt; "Fit to harmonic scale", die sukzessive höhere und bessere Neji-Versionen der aktuellen Skala generiert.
* In ScaleWorkshop: "Modify" &gt; "Approximate by harmonics", dann den gemeinsamen Nenner aller Frequenzverhältnisse (äquivalent: den Obertonreihe-Modus) eingeben.

== Geschichte ==
Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch das Konzept der Obertonreihe-Approximationen war bereits unter einem anderen Namen bekannt: bereits [[George Secor]] erwähnte es als ''quasi-equal rational tuning''.</text>
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Mit dem Begriff '''Neji''' /nɛd͡ʒi/ (für ''near-equal just intonation'' 'fast gleichstufige [[reine Stimmung]]') bezeichnet man eine Skala, die an eine irrationale Skala (sowie ein [[EDO]] bzw. eine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]]) mit aus einem Modus der [[Obertonreihe]] (Obertönen von ''n'' bis 2''n'', wobei ''n'' eine positive ganze Zahl ist) ausgewählten Tonhöhen approximiert. In einer Neji-Skala entspricht jeder Tonhöhe der ursprünglichen Skala ein Oberton in diesem Obertonreihe-Modus.

Einleitendes Beispiel: Nehmen wir an, wir wollen eine (nicht so präzise, aber sehr konsonante) Neji-Annäherung am [[diatonisch]]en Modus Lydisch (in [[12-EDO]]: 0¢-200¢-400¢-600¢-700¢-900¢-1100¢-1200¢). Dann bietet der Obertonreihe-Modus 14, d. h. die Obertöne 14, 15, 16, 17, ..., 28 eine Möglichkeit: der Akkord 14:16:18:19:21:24:27:28 (als eine Tonleiter gesehen) approximiert an die lydische Tonleiter mit [[Cent]]-Werten 0¢-231¢-435ċ-617ċ-702ċ-933ċ-1137ċ-1200ċ. Ein weiteres Beispiel eines Lydisch-Nejis stellt 16:18:20:23:24:27:30:32 (aus den Obertönen 16, 17, ..., 31, 32) dar, mit Cent-Werten 0¢-204ċ-386¢-628ċ-702ċ-906ċ-1088ċ-1200¢.

Warum verwendet man ein Neji?
* Vom Standpunkt der Melodie und der Modulation aus verhält sich eine Neji-Skala meist ähnlich wie die Skala, an die sie approximiert, aber die Klangfarbe eines Neji-Akkordes ist weniger rau als beim entsprechenden irrationalen Akkord (bei einem harmonischen Timbre); da ein Neji ein (gewöhnlich relativ niedriges) Teil der Obertonreihe bildet, ist die Schwingung des Zusammenklangs periodisch, anders als bei einem irrationalen Akkord.
* Eine Neji-Skala bietet leichte Variationen in der Klangfarbe eines EDO-Akkords und den Tonartencharakteren bei verschiedenen Tonarten, wie eine [[wohltemperierte Stimmung]].

Nejis spielen eine wichtige Rolle in [[Zhea Erose]]s [[Primodalität]]s-Theorie. Doch Nejis müssen nicht nur dem Zweck dienen, "primodale" Musik zu komponieren.

== Tools zum Erzeugen von Nejis ==
* Die Software [[Scala]] hat eine Funktion "Approximate" &gt; "Fit to harmonic scale", die sukzessive höhere und bessere Neji-Versionen der aktuellen Skala generiert.
* In ScaleWorkshop: "Modify" &gt; "Approximate by harmonics", dann den gemeinsamen Nenner aller Frequenzverhältnisse (äquivalent: den Obertonreihe-Modus) eingeben.

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Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch das Konzept der Obertonreihe-Approximationen war bereits unter einem anderen Namen bekannt: bereits [[George Secor]] erwähnte es als ''quasi-equal rational tuning''.</text>
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Mit dem Begriff '''Neji''' /nɛd͡ʒi/ (für ''near-equal just intonation'' 'fast gleichstufige [[reine Stimmung]]') bezeichnet man eine Skala, die an eine irrationale Skala (sowie ein [[EDO]] bzw. eine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]]) mit aus einem Modus der [[Obertonreihe]] (Obertönen von ''n'' bis 2''n'', wobei ''n'' eine positive ganze Zahl ist) ausgewählten Tonhöhen approximiert. In einer Neji-Skala entspricht jeder Tonhöhe der ursprünglichen Skala ein Oberton in diesem Obertonreihe-Modus.

Einleitendes Beispiel: Nehmen wir an, wir wollen eine (nicht so präzise, aber sehr konsonante) Neji-Annäherung am [[diatonisch]]en Modus Lydisch (in [[12-EDO]]: 0¢-200¢-400¢-600¢-700¢-900¢-1100¢-1200¢). Dann bietet der Obertonreihe-Modus 14, d. h. die Obertöne 14, 15, 16, 17, ..., 28 eine Möglichkeit: der Akkord 14:16:18:20:21:24:27:28 (als eine Tonleiter gesehen) approximiert an die lydische Tonleiter mit [[Cent]]-Werten 0¢-231¢-435ċ-617ċ-702ċ-933ċ-1137ċ-1200ċ. Ein weiteres Beispiel eines Lydisch-Nejis stellt 16:18:20:23:24:27:30:32 (aus den Obertönen 16, 17, ..., 31, 32) dar, mit Cent-Werten 0¢-204ċ-386¢-628ċ-702ċ-906ċ-1088ċ-1200¢.

Warum verwendet man ein Neji?
* Vom Standpunkt der Melodie und der Modulation aus verhält sich eine Neji-Skala meist ähnlich wie die Skala, an die sie approximiert, aber die Klangfarbe eines Neji-Akkordes ist weniger rau als beim entsprechenden irrationalen Akkord (bei einem harmonischen Timbre); da ein Neji ein (gewöhnlich relativ niedriges) Teil der Obertonreihe bildet, ist die Schwingung des Zusammenklangs periodisch, anders als bei einem irrationalen Akkord.
* Eine Neji-Skala bietet leichte Variationen in der Klangfarbe eines EDO-Akkords und den Tonartencharakteren bei verschiedenen Tonarten, wie eine [[wohltemperierte Stimmung]].

Nejis spielen eine wichtige Rolle in [[Zhea Erose]]s [[Primodalität]]s-Theorie. Doch Nejis müssen nicht nur dem Zweck dienen, "primodale" Musik zu komponieren.

== Tools zum Erzeugen von Nejis ==
* Die Software [[Scala]] hat eine Funktion "Approximate" &gt; "Fit to harmonic scale", die sukzessive höhere und bessere Neji-Versionen der aktuellen Skala generiert.
* In ScaleWorkshop: "Modify" &gt; "Approximate by harmonics", dann den gemeinsamen Nenner aller Frequenzverhältnisse (äquivalent: den Obertonreihe-Modus) eingeben.

== Geschichte ==
Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch das Konzept der Obertonreihe-Approximationen war bereits unter einem anderen Namen bekannt: bereits [[George Secor]] erwähnte es als ''quasi-equal rational tuning''.</text>
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| de = Neji
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}}
Mit dem Begriff '''Neji''' /nɛd͡ʒi/ (für ''near-equal just intonation'' 'fast gleichstufige [[reine Stimmung]]') bezeichnet man eine Skala, die an eine irrationale Skala (sowie ein [[EDO]] bzw. eine [[MOS-Skalen|MOS-Skala]]) mit aus einem Modus der [[Obertonreihe]] (Obertönen von ''n'' bis 2''n'', wobei ''n'' eine positive ganze Zahl ist) ausgewählten Tonhöhen approximiert. In einer Neji-Skala entspricht jeder Tonhöhe der ursprünglichen Skala ein Oberton in diesem Obertonreihe-Modus.

Einleitendes Beispiel: Nehmen wir an, wir wollen eine (nicht so präzise, aber sehr konsonante) Neji-Annäherung an den [[diatonisch]]en Modus Lydisch (in [[12-EDO]]: 0¢-200¢-400¢-600¢-700¢-900¢-1100¢-1200¢). Dann bietet der Obertonreihe-Modus 14, d. h. die Obertöne 14, 15, 16, 17, ..., 28 eine Möglichkeit: der Akkord 14:16:18:20:21:24:27:28 (als eine Tonleiter gesehen) approximiert an die lydische Tonleiter mit [[Cent]]-Werten 0¢-231¢-435ċ-617ċ-702ċ-933ċ-1137ċ-1200ċ. Ein weiteres Beispiel eines Lydisch-Nejis stellt 16:18:20:23:24:27:30:32 (aus den Obertönen 16, 17, ..., 31, 32) dar, mit Cent-Werten 0¢-204ċ-386¢-628ċ-702ċ-906ċ-1088ċ-1200¢.

Warum verwendet man ein Neji?
* Vom Standpunkt der Melodie und der Modulation aus verhält sich eine Neji-Skala meist ähnlich wie die Skala, an die sie approximiert, aber die Klangfarbe eines Neji-Akkordes ist weniger rau als beim entsprechenden irrationalen Akkord (bei einem harmonischen Timbre); da ein Neji ein (gewöhnlich relativ niedriges) Teil der Obertonreihe bildet, ist die Schwingung des Zusammenklangs periodisch, anders als bei einem irrationalen Akkord.
* Eine Neji-Skala bietet leichte Variationen in der Klangfarbe eines EDO-Akkords und den Tonartencharakteren bei verschiedenen Tonarten, wie eine [[wohltemperierte Stimmung]].

Nejis spielen eine wichtige Rolle in [[Zhea Erose]]s [[Primodalität]]s-Theorie. Doch Nejis müssen nicht nur dem Zweck dienen, "primodale" Musik zu komponieren.

== Tools zum Erzeugen von Nejis ==
* Die Software [[Scala]] hat eine Funktion "Approximate" &gt; "Fit to harmonic scale", die sukzessive höhere und bessere Neji-Versionen der aktuellen Skala generiert.
* In ScaleWorkshop: "Modify" &gt; "Approximate by harmonics", dann den gemeinsamen Nenner aller Frequenzverhältnisse (äquivalent: den Obertonreihe-Modus) eingeben.

== Geschichte ==
Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch das Konzept der Obertonreihe-Approximationen war bereits unter einem anderen Namen bekannt: bereits [[George Secor]] erwähnte es als ''quasi-equal rational tuning''.</text>
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Mit dem Begriff '''Neji''' /nɛd͡ʒi/ (für ''near-equal just intonation'' 'fast gleichstufige [[reine Stimmung]]') bezeichnet man eine Skala, deren Töne nahezu gleiche Abstände haben, aber deren Frequenzverhältnisse rational sind. Eine solche Skala wird aus einer Auswahl von [[Obertonreihe|Obertönen]] erzeugt, die aus dem Bereich ''n'' bis ''2n'' stammen. Diesen Bereich nennt man auch ''Modus der Obertonreihe'' (z.B. entspricht ''n=4'' dem Modus ''4, 5, 6, 7, 8''). Dabei ist die Zahl ''n'' die Nummer eines ''Teiltons'', dem Wert 1 entspricht also immer die Grundfrequenz der jeweiligen Obertonreihe.

Einleitendes Beispiel: Nehmen wir an, wir wollen eine (nicht so präzise, aber sehr konsonante) Neji-Annäherung an den [[diatonisch]]en Modus Lydisch (in [[12-EDO]]: 0¢-200¢-400¢-600¢-700¢-900¢-1100¢-1200¢). Dann bietet der Obertonreihe-Modus 14, d. h. die Obertöne 14, 15, 16, 17, ..., 28 eine Möglichkeit: der Akkord 14:16:18:20:21:24:27:28 (als eine Tonleiter gesehen) approximiert an die lydische Tonleiter mit [[Cent]]-Werten 0¢-231¢-435ċ-617ċ-702ċ-933ċ-1137ċ-1200ċ. Ein weiteres Beispiel eines Lydisch-Nejis stellt 16:18:20:23:24:27:30:32 (aus den Obertönen 16, 17, ..., 31, 32) dar, mit Cent-Werten 0¢-204ċ-386¢-628ċ-702ċ-906ċ-1088ċ-1200¢.

Warum verwendet man ein Neji?
* Vom Standpunkt der Melodie und der Modulation aus verhält sich eine Neji-Skala meist ähnlich wie die Skala, an die sie approximiert, aber die Klangfarbe eines Neji-Akkordes ist weniger rau als beim entsprechenden irrationalen Akkord (bei einem harmonischen Timbre); da ein Neji ein (gewöhnlich relativ niedriges) Teil der Obertonreihe bildet, ist die Schwingung des Zusammenklangs periodisch, anders als bei einem irrationalen Akkord.
* Eine Neji-Skala bietet leichte Variationen in der Klangfarbe eines EDO-Akkords und den Tonartencharakteren bei verschiedenen Tonarten, wie eine [[wohltemperierte Stimmung]].

Nejis spielen eine wichtige Rolle in [[Zhea Erose]]s [[Primodalität]]s-Theorie. Doch Nejis müssen nicht nur dem Zweck dienen, "primodale" Musik zu komponieren.

== Tools zum Erzeugen von Nejis ==
* Die Software [[Scala]] hat eine Funktion "Approximate" &gt; "Fit to harmonic scale", die sukzessive höhere und bessere Neji-Versionen der aktuellen Skala generiert.
* In ScaleWorkshop: "Modify" &gt; "Approximate by harmonics", dann den gemeinsamen Nenner aller Frequenzverhältnisse (äquivalent: den Obertonreihe-Modus) eingeben.

== Geschichte ==
Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch das Konzept der Obertonreihe-Approximationen war bereits unter einem anderen Namen bekannt: bereits [[George Secor]] erwähnte es als ''quasi-equal rational tuning''.</text>
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      <comment>Andere Obertonreihe-Approximationen nennt man auch Nejis</comment>
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Mit dem Begriff '''Neji''' /nɛd͡ʒi/ (für ''near-equal just intonation'' 'fast gleichstufige [[reine Stimmung]]') bezeichnet man eine Skala, deren Töne nahezu gleiche Abstände haben, aber deren Frequenzverhältnisse rational sind. Eine solche Skala wird aus einer Auswahl von [[Obertonreihe|Obertönen]] erzeugt, die aus dem Bereich ''n'' bis ''2n'' stammen. Diesen Bereich nennt man auch ''Modus der Obertonreihe'' (z.B. entspricht ''n=4'' dem Modus ''4, 5, 6, 7, 8''). Dabei ist die Zahl ''n'' die Nummer eines ''Teiltons'', dem Wert 1 entspricht also immer die Grundfrequenz der jeweiligen Obertonreihe.

Informell bezeichnet der Begriff "Neji" oft auch Skalen, die an andere Skalen mit irrationalen Frequenzverhältnissen (sowie [[MOS-Skalen]]) mit einer solchen Auswahl von Obertönen approximieren. Deshalb kann man möglicherweise von einem diatonischen Neji sprechen, oder einem [[1L 6s]]-Neji, usw. Einleitendes Beispiel: Nehmen wir an, wir wollen eine (nicht so präzise, aber sehr konsonante) Neji-Annäherung an den [[diatonisch]]en Modus Lydisch (in [[12-EDO]]: 0¢-200¢-400¢-600¢-700¢-900¢-1100¢-1200¢). Dann bietet der Obertonreihe-Modus 14, d. h. die Obertöne 14, 15, 16, 17, ..., 28 eine Möglichkeit: der Akkord 14:16:18:20:21:24:27:28 (als eine Tonleiter gesehen) approximiert an die lydische Tonleiter mit [[Cent]]-Werten 0¢-231¢-435ċ-617ċ-702ċ-933ċ-1137ċ-1200ċ. Ein weiteres Beispiel eines Lydisch-Nejis stellt 16:18:20:23:24:27:30:32 (aus den Obertönen 16, 17, ..., 31, 32) dar, mit Cent-Werten 0¢-204ċ-386¢-628ċ-702ċ-906ċ-1088ċ-1200¢.

Warum verwendet man ein Neji?
* Vom Standpunkt der Melodie und der Modulation aus verhält sich eine Neji-Skala meist ähnlich wie die Skala, an die sie approximiert, aber die Klangfarbe eines Neji-Akkordes ist weniger rau als beim entsprechenden irrationalen Akkord (bei einem harmonischen Timbre); da ein Neji ein (gewöhnlich relativ niedriges) Teil der Obertonreihe bildet, ist die Schwingung des Zusammenklangs periodisch, anders als bei einem irrationalen Akkord.
* Eine Neji-Skala bietet leichte Variationen in der Klangfarbe eines EDO-Akkords und den Tonartencharakteren bei verschiedenen Tonarten, wie eine [[wohltemperierte Stimmung]].

Nejis spielen eine wichtige Rolle in [[Zhea Erose]]s [[Primodalität]]s-Theorie. Doch Nejis müssen nicht nur dem Zweck dienen, "primodale" Musik zu komponieren.

== Tools zum Erzeugen von Nejis ==
* Die Software [[Scala]] hat eine Funktion "Approximate" &gt; "Fit to harmonic scale", die sukzessive höhere und bessere Neji-Versionen der aktuellen Skala generiert.
* In ScaleWorkshop: "Modify" &gt; "Approximate by harmonics", dann den gemeinsamen Nenner aller Frequenzverhältnisse (äquivalent: den Obertonreihe-Modus) eingeben.

== Geschichte ==
Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch das Konzept der Obertonreihe-Approximationen war bereits unter einem anderen Namen bekannt: bereits [[George Secor]] erwähnte es als ''quasi-equal rational tuning''.</text>
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Mit dem Begriff '''Neji''' /nɛd͡ʒi/ (für ''near-equal just intonation'' 'fast gleichstufige [[reine Stimmung]]') bezeichnet man eine Skala, deren Töne nahezu gleiche Abstände haben, aber deren Frequenzverhältnisse rational sind. Eine solche Skala wird aus einer Auswahl von [[Obertonreihe|Obertönen]] erzeugt, die aus dem Bereich ''n'' bis ''2n'' stammen. Diesen Bereich nennt man auch ''Modus der Obertonreihe'' (z.B. entspricht ''n=4'' dem Modus ''4, 5, 6, 7, 8''). Dabei ist die Zahl ''n'' die Nummer eines ''Teiltons'', dem Wert 1 entspricht also immer die Grundfrequenz der jeweiligen Obertonreihe.

Informell bezeichnet der Begriff "Neji" oft auch Skalen, die an andere Skalen mit irrationalen Frequenzverhältnissen (sowie [[MOS-Skalen]]) mit einer solchen Auswahl von Obertönen approximieren. Deshalb kann man möglicherweise von einem diatonischen Neji sprechen, oder einem [[1L 6s]]-Neji, usw. Einleitendes Beispiel: Nehmen wir an, wir wollen eine (nicht so präzise, aber sehr konsonante) Neji-Annäherung an den [[diatonisch]]en Modus Lydisch (in [[12-EDO]]: 0¢-200¢-400¢-600¢-700¢-900¢-1100¢-1200¢). Dann bietet der Obertonreihe-Modus 14, d. h. die Obertöne 14, 15, 16, 17, ..., 28 eine Möglichkeit: der Akkord 14:16:18:20:21:24:27:28 (als eine Tonleiter gesehen) approximiert an die lydische Tonleiter mit [[Cent]]-Werten 0¢-231¢-435¢-617¢-702¢-933¢-1137¢-1200¢. Ein weiteres Beispiel eines Lydisch-Nejis stellt 16:18:20:23:24:27:30:32 (aus den Obertönen 16, 17, ..., 31, 32) dar, mit Cent-Werten 0¢-204¢-386¢-628¢-702¢-906¢-1088¢-1200¢.

Warum verwendet man ein Neji?
* Vom Standpunkt der Melodie und der Modulation aus verhält sich eine Neji-Skala meist ähnlich wie die Skala, an die sie approximiert, aber die Klangfarbe eines Neji-Akkordes ist weniger rau als beim entsprechenden irrationalen Akkord (bei einem harmonischen Timbre); da ein Neji ein (gewöhnlich relativ niedriges) Teil der Obertonreihe bildet, ist die Schwingung des Zusammenklangs periodisch, anders als bei einem irrationalen Akkord.
* Eine Neji-Skala bietet leichte Variationen in der Klangfarbe eines EDO-Akkords und den Tonartencharakteren bei verschiedenen Tonarten, wie eine [[wohltemperierte Stimmung]].

Nejis spielen eine wichtige Rolle in [[Zhea Erose]]s [[Primodalität]]s-Theorie. Doch Nejis müssen nicht nur dem Zweck dienen, "primodale" Musik zu komponieren.

== Tools zum Erzeugen von Nejis ==
* Die Software [[Scala]] hat eine Funktion "Approximate" &gt; "Fit to harmonic scale", die sukzessive höhere und bessere Neji-Versionen der aktuellen Skala generiert.
* In ScaleWorkshop: "Modify" &gt; "Approximate by harmonics", dann den gemeinsamen Nenner aller Frequenzverhältnisse (äquivalent: den Obertonreihe-Modus) eingeben.

== Geschichte ==
Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch das Konzept der Obertonreihe-Approximationen war bereits unter einem anderen Namen bekannt: bereits [[George Secor]] erwähnte es als ''quasi-equal rational tuning''.</text>
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Mit dem Begriff '''Neji''' /nɛd͡ʒi/ (für ''near-equal just intonation'' 'fast gleichstufige [[reine Stimmung]]') bezeichnet man eine Skala, deren Töne nahezu gleiche Abstände haben, aber deren Frequenzverhältnisse rational sind. Eine solche Skala wird aus einer Auswahl von [[Obertonreihe|Obertönen]] erzeugt, die aus dem Bereich ''n'' bis ''2n'' stammen. Diesen Bereich nennt man auch ''Modus der Obertonreihe'' (z.B. entspricht ''n=4'' dem Modus ''4, 5, 6, 7, 8''). Dabei ist die Zahl ''n'' die Nummer eines ''Teiltons'', dem Wert 1 entspricht also immer die Grundfrequenz der jeweiligen Obertonreihe.

Informell bezeichnet der Begriff "Neji" oft auch Skalen, die an andere Skalen mit irrationalen Frequenzverhältnissen (sowie [[MOS-Skalen]]) mit einer solchen Auswahl von Obertönen approximieren. Deshalb kann man möglicherweise von einem diatonischen Neji sprechen, oder einem [[1L 6s]]-Neji, usw. Dabei ist es auch wichtig zu beachten, dass Nejis eine Art von ''irregulärer'' Temperatur sind: anders als bei regulären Temperaturen oder bei MOS-Skalen hat ein Neji kein Generatorintervall, dessen Gróße sich nicht ändert.

Warum verwendet man ein Neji?
* Vom Standpunkt der Melodie und der Modulation aus verhält sich eine Neji-Skala meist ähnlich wie die Skala, an die sie approximiert, aber die Klangfarbe eines Neji-Akkordes ist weniger rau als beim entsprechenden irrationalen Akkord (bei einem harmonischen Timbre); da ein Neji ein (gewöhnlich relativ niedriges) Teil der Obertonreihe bildet, ist die Schwingung des Zusammenklangs periodisch, anders als bei einem irrationalen Akkord.
* Eine Neji-Skala bietet leichte Variationen in der Klangfarbe eines EDO-Akkords und den Tonartencharakteren bei verschiedenen Tonarten, wie eine [[wohltemperierte Stimmung]].

Nejis spielen eine wichtige Rolle in [[Zhea Erose]]s [[Primodalität]]s-Theorie. Doch Nejis müssen nicht nur dem Zweck dienen, "primodale" Musik zu komponieren.
== Beispiele ==
Nehmen wir an, wir wollen eine (nicht so präzise, aber sehr konsonante) Neji-Annäherung an den [[diatonisch]]en Modus Lydisch (in [[12-EDO]]: 0¢-200¢-400¢-600¢-700¢-900¢-1100¢-1200¢). Dann bietet der Obertonreihe-Modus 14, d. h. die Obertöne 14, 15, 16, 17, ..., 28 eine Möglichkeit: der Akkord 14:16:18:20:21:24:27:28 (als eine Tonleiter gesehen) approximiert an die lydische Tonleiter mit [[Cent]]-Werten 0¢-231¢-435¢-617¢-702¢-933¢-1137¢-1200¢. Ein weiteres Beispiel eines Lydisch-Nejis stellt 16:18:20:23:24:27:30:32 (aus den Obertönen 16, 17, ..., 31, 32) dar, mit Cent-Werten 0¢-204¢-386¢-628¢-702¢-906¢-1088¢-1200¢.

== Tools zum Erzeugen von Nejis ==
* Die Software [[Scala]] hat eine Funktion "Approximate" &gt; "Fit to harmonic scale", die sukzessive höhere und bessere Neji-Versionen der aktuellen Skala generiert.
* In ScaleWorkshop: "Modify" &gt; "Approximate by harmonics", dann den gemeinsamen Nenner aller Frequenzverhältnisse (äquivalent: den Obertonreihe-Modus) eingeben.

== Geschichte ==
Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch das Konzept der Obertonreihe-Approximationen war bereits unter einem anderen Namen bekannt: bereits [[George Secor]] erwähnte es als ''quasi-equal rational tuning''.</text>
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}}
Mit dem Begriff '''Neji''' /nɛd͡ʒi/ (für ''near-equal just intonation'' 'fast gleichstufige [[reine Stimmung]]') bezeichnet man eine Skala, deren Töne nahezu gleiche Abstände haben, aber deren Frequenzverhältnisse rational sind. Eine solche Skala wird aus einer Auswahl von [[Obertonreihe|Obertönen]] erzeugt, die aus dem Bereich ''n'' bis ''2n'' stammen. Diesen Bereich nennt man auch ''Modus der Obertonreihe'' (z.B. entspricht ''n=4'' dem Modus ''4, 5, 6, 7, 8''). Dabei ist die Zahl ''n'' die Nummer eines ''Teiltons'', dem Wert 1 entspricht also immer die Grundfrequenz der jeweiligen Obertonreihe.

Informell bezeichnet der Begriff "Neji" oft auch Skalen, die an andere Skalen mit irrationalen Frequenzverhältnissen (sowie [[MOS-Skalen]]) mit einer solchen Auswahl von Obertönen approximieren. Deshalb kann man möglicherweise von einem diatonischen Neji sprechen, oder einem [[1L 6s]]-Neji, usw. Dabei ist es auch wichtig zu beachten, dass Nejis eine Art von ''irregulärer'' Temperatur sind: anders als bei [[regulären Temperaturen|reguläre Temperaturen]] oder bei [[MOS-Skalen]] hat ein Neji kein Generatorintervall, dessen Gróße sich nicht ändert.

Warum verwendet man ein Neji?
* Vom Standpunkt der Melodie und der Modulation aus verhält sich eine Neji-Skala meist ähnlich wie die Skala, an die sie approximiert, aber die Klangfarbe eines Neji-Akkordes ist weniger rau als beim entsprechenden irrationalen Akkord (bei einem harmonischen Timbre); da ein Neji ein (gewöhnlich relativ niedriges) Teil der Obertonreihe bildet, ist die Schwingung des Zusammenklangs periodisch, anders als bei einem irrationalen Akkord.
* Eine Neji-Skala bietet leichte Variationen in der Klangfarbe eines EDO-Akkords und den Tonartencharakteren bei verschiedenen Tonarten, wie eine [[wohltemperierte Stimmung]].

Nejis spielen eine wichtige Rolle in [[Zhea Erose]]s [[Primodalität]]s-Theorie. Doch Nejis müssen nicht nur dem Zweck dienen, "primodale" Musik zu komponieren.
== Beispiele ==
Nehmen wir an, wir wollen eine (nicht so präzise, aber sehr konsonante) Neji-Annäherung an den [[diatonisch]]en Modus Lydisch (in [[12-EDO]]: 0¢-200¢-400¢-600¢-700¢-900¢-1100¢-1200¢). Dann bietet der Obertonreihe-Modus 14, d. h. die Obertöne 14, 15, 16, 17, ..., 28 eine Möglichkeit: der Akkord 14:16:18:20:21:24:27:28 (als eine Tonleiter gesehen) approximiert an die lydische Tonleiter mit [[Cent]]-Werten 0¢-231¢-435¢-617¢-702¢-933¢-1137¢-1200¢. Ein weiteres Beispiel eines Lydisch-Nejis stellt 16:18:20:23:24:27:30:32 (aus den Obertönen 16, 17, ..., 31, 32) dar, mit Cent-Werten 0¢-204¢-386¢-628¢-702¢-906¢-1088¢-1200¢.

== Tools zum Erzeugen von Nejis ==
* Die Software [[Scala]] hat eine Funktion "Approximate" &gt; "Fit to harmonic scale", die sukzessive höhere und bessere Neji-Versionen der aktuellen Skala generiert.
* In ScaleWorkshop: "Modify" &gt; "Approximate by harmonics", dann den gemeinsamen Nenner aller Frequenzverhältnisse (äquivalent: den Obertonreihe-Modus) eingeben.

== Geschichte ==
Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch das Konzept der Obertonreihe-Approximationen war bereits unter einem anderen Namen bekannt: bereits [[George Secor]] erwähnte es als ''quasi-equal rational tuning''.</text>
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Mit dem Begriff '''Neji''' /nɛd͡ʒi/ (für ''near-equal just intonation'' 'fast gleichstufige [[reine Stimmung]]') bezeichnet man eine Skala, deren Töne nahezu gleiche Abstände haben, aber deren Frequenzverhältnisse rational sind. Eine solche Skala wird aus einer Auswahl von [[Obertonreihe|Obertönen]] erzeugt, die aus dem Bereich ''n'' bis ''2n'' stammen. Diesen Bereich nennt man auch ''Modus der Obertonreihe'' (z.B. entspricht ''n=4'' dem Modus ''4, 5, 6, 7, 8''). Dabei ist die Zahl ''n'' die Nummer eines ''Teiltons'', dem Wert 1 entspricht also immer die Grundfrequenz der jeweiligen Obertonreihe.

Informell bezeichnet der Begriff "Neji" oft auch Skalen, die an andere Skalen mit irrationalen Frequenzverhältnissen (sowie [[MOS-Skalen]]) mit einer solchen Auswahl von Obertönen approximieren. Deshalb kann man möglicherweise von einem diatonischen Neji sprechen, oder einem [[1L 6s]]-Neji, usw. Dabei ist es auch wichtig zu beachten, dass Nejis eine Art von ''irregulärer'' Temperatur sind: anders als bei [[reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] oder bei [[MOS-Skalen]] hat ein Neji kein Generatorintervall, dessen Gróße sich nicht ändert.

Warum verwendet man ein Neji?
* Vom Standpunkt der Melodie und der Modulation aus verhält sich eine Neji-Skala meist ähnlich wie die Skala, an die sie approximiert, aber die Klangfarbe eines Neji-Akkordes ist weniger rau als beim entsprechenden irrationalen Akkord (bei einem harmonischen Timbre); da ein Neji ein (gewöhnlich relativ niedriges) Teil der Obertonreihe bildet, ist die Schwingung des Zusammenklangs periodisch, anders als bei einem irrationalen Akkord.
* Eine Neji-Skala bietet leichte Variationen in der Klangfarbe eines EDO-Akkords und den Tonartencharakteren bei verschiedenen Tonarten, wie eine [[wohltemperierte Stimmung]].

Nejis spielen eine wichtige Rolle in [[Zhea Erose]]s [[Primodalität]]s-Theorie. Doch Nejis müssen nicht nur dem Zweck dienen, "primodale" Musik zu komponieren.
== Beispiele ==
Nehmen wir an, wir wollen eine (nicht so präzise, aber sehr konsonante) Neji-Annäherung an den [[diatonisch]]en Modus Lydisch (in [[12-EDO]]: 0¢-200¢-400¢-600¢-700¢-900¢-1100¢-1200¢). Dann bietet der Obertonreihe-Modus 14, d. h. die Obertöne 14, 15, 16, 17, ..., 28 eine Möglichkeit: der Akkord 14:16:18:20:21:24:27:28 (als eine Tonleiter gesehen) approximiert an die lydische Tonleiter mit [[Cent]]-Werten 0¢-231¢-435¢-617¢-702¢-933¢-1137¢-1200¢. Ein weiteres Beispiel eines Lydisch-Nejis stellt 16:18:20:23:24:27:30:32 (aus den Obertönen 16, 17, ..., 31, 32) dar, mit Cent-Werten 0¢-204¢-386¢-628¢-702¢-906¢-1088¢-1200¢.

== Tools zum Erzeugen von Nejis ==
* Die Software [[Scala]] hat eine Funktion "Approximate" &gt; "Fit to harmonic scale", die sukzessive höhere und bessere Neji-Versionen der aktuellen Skala generiert.
* In ScaleWorkshop: "Modify" &gt; "Approximate by harmonics", dann den gemeinsamen Nenner aller Frequenzverhältnisse (äquivalent: den Obertonreihe-Modus) eingeben.

== Geschichte ==
Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch das Konzept der Obertonreihe-Approximationen war bereits unter einem anderen Namen bekannt: bereits [[George Secor]] erwähnte es als ''quasi-equal rational tuning''.</text>
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Mit dem Begriff '''Neji''' /nɛd͡ʒi/ (für ''near-equal just intonation'' 'fast gleichstufige [[reine Stimmung]]') bezeichnet man eine Skala, deren Töne nahezu gleiche Abstände haben, aber deren Frequenzverhältnisse rational sind. Eine solche Skala wird aus einer Auswahl von [[Obertonreihe|Obertönen]] erzeugt, die aus dem Bereich ''n'' bis ''2n'' stammen. Diesen Bereich nennt man auch ''Modus der Obertonreihe'' (z.B. entspricht ''n=4'' dem Modus ''4, 5, 6, 7, 8''). Dabei ist die Zahl ''n'' die Nummer eines ''Teiltons'', dem Wert 1 entspricht also immer die Grundfrequenz der jeweiligen Obertonreihe.

Informell bezeichnet der Begriff "Neji" oft auch Skalen, die an andere Skalen mit irrationalen Frequenzverhältnissen (sowie [[MOS-Skalen]]) mit einer solchen Auswahl von Obertönen approximieren. Deshalb kann man möglicherweise von einem diatonischen Neji sprechen, oder einem [[1L 6s]]-Neji, usw. Dabei ist es auch wichtig zu beachten, dass Nejis eine Art von ''irregulärer'' Temperatur sind: anders als bei [[reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] oder bei [[MOS-Skalen]] hat ein Neji kein Generatorintervall, dessen Gróße sich nicht ändert.

Warum verwendet man ein Neji?
* Vom Standpunkt der Melodie und der Modulation aus verhält sich eine Neji-Skala meist ähnlich wie die Skala, an die sie approximiert, aber die Klangfarbe eines Neji-Akkordes ist weniger rau als beim entsprechenden irrationalen Akkord (bei einem harmonischen Timbre); da ein Neji ein (gewöhnlich relativ niedriges) Teil der Obertonreihe bildet, ist die Schwingung des Zusammenklangs periodisch, anders als bei einem irrationalen Akkord.
* Eine Neji-Skala bietet leichte Variationen in der Klangfarbe eines EDO-Akkords und den Tonartencharakteren bei verschiedenen Tonarten, wie eine [[wohltemperierte Stimmung]].

Nejis spielen eine wichtige Rolle in [[Zhea Erose]]s [[Primodalität]]s-Theorie. Doch Nejis müssen nicht nur dem Zweck dienen, "primodale" Musik zu komponieren.
== Beispiele ==
Nehmen wir an, wir wollen eine (nicht so präzise, aber sehr konsonante) Neji-Annäherung an den [[diatonisch]]en Modus Lydisch (in [[12-EDO]]: 0¢-200¢-400¢-600¢-700¢-900¢-1100¢-1200¢). Dann bietet der Obertonreihe-Modus 14, d. h. die Obertöne 14, 15, 16, 17, ..., 28 eine Möglichkeit: der Akkord 14:16:18:20:21:24:27:28 (als eine Tonleiter gesehen) approximiert an die lydische Tonleiter mit [[Cent]]-Werten 0¢-231¢-435¢-617¢-702¢-933¢-1137¢-1200¢. Ein weiteres Beispiel eines Lydisch-Nejis stellt 16:18:20:23:24:27:30:32 (aus den Obertönen 16, 17, ..., 31, 32) dar, mit Cent-Werten 0¢-204¢-386¢-628¢-702¢-906¢-1088¢-1200¢.

== Tools zum Erzeugen von Nejis ==
* Die Software [[Scala]] hat eine Funktion "Approximate" &gt; "Fit to harmonic scale", die sukzessive höhere und bessere Neji-Versionen der aktuellen Skala generiert.
* In ScaleWorkshop: "Modify" &gt; "Approximate by harmonics", dann den gemeinsamen Nenner aller Frequenzverhältnisse (äquivalent: den Obertonreihe-Modus) eingeben.

== Geschichte ==
Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch das Konzept der Obertonreihe-Approximationen war bereits unter einem anderen Namen bekannt: bereits [[George Secor]] erwähnte es als ''quasi-equal rational tuning''.
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Mit dem Begriff '''Neji''' /nɛd͡ʒi/ (für ''near-equal just intonation'' 'fast gleichstufige [[reine Stimmung]]') bezeichnet man eine Skala, deren Töne nahezu gleiche Abstände haben, aber deren Frequenzverhältnisse rational sind. Eine solche Skala wird aus einer Auswahl von [[Obertonreihe|Obertönen]] erzeugt, die aus dem Bereich ''n'' bis ''2n'' stammen. Diesen Bereich nennt man auch ''Modus der Obertonreihe'' (z.B. entspricht ''n=4'' dem Modus ''4, 5, 6, 7, 8''). Dabei ist die Zahl ''n'' die Nummer eines ''Teiltons'', dem Wert 1 entspricht also immer die Grundfrequenz der jeweiligen Obertonreihe.

Informell bezeichnet der Begriff "Neji" oft auch Skalen, die an andere Skalen mit irrationalen Frequenzverhältnissen (sowie [[MOS-Skalen]]) mit einer solchen Auswahl von Obertönen approximieren. Deshalb kann man möglicherweise von einem diatonischen Neji sprechen, oder einem [[1L 6s]]-Neji, usw. Dabei ist es auch wichtig zu beachten, dass Nejis eine Art von ''irregulärer'' Temperatur sind: anders als bei [[reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] oder bei [[MOS-Skalen]] hat ein Neji kein Generatorintervall, dessen Gróße sich nicht ändert.

Warum verwendet man ein Neji?
* Vom Standpunkt der Melodie und der Modulation aus verhält sich eine Neji-Skala meist ähnlich wie die Skala, an die sie approximiert, aber die Klangfarbe eines Neji-Akkordes ist weniger rau als beim entsprechenden irrationalen Akkord (bei einem harmonischen Timbre); da ein Neji ein (gewöhnlich relativ niedriges) Teil der Obertonreihe bildet, ist die Schwingung des Zusammenklangs periodisch, anders als bei einem irrationalen Akkord.
* Eine Neji-Skala bietet leichte Variationen in der Klangfarbe eines EDO-Akkords und den Tonartencharakteren bei verschiedenen Tonarten, wie eine [[wohltemperierte Stimmung]].

Nejis spielen eine wichtige Rolle in der [[Primodalität]]s-Theorie der Xenharmonie-Theoristin [[Zhea Erose]]. Doch Nejis müssen nicht nur dem Zweck dienen, "primodale" Musik zu komponieren.
== Beispiele ==
Nehmen wir an, wir wollen eine (nicht so präzise, aber sehr konsonante) Neji-Annäherung an den [[diatonisch]]en Modus Lydisch (in [[12-EDO]]: 0¢-200¢-400¢-600¢-700¢-900¢-1100¢-1200¢). Dann bietet der Obertonreihe-Modus 14, d. h. die Obertöne 14, 15, 16, 17, ..., 28 eine Möglichkeit: der Akkord 14:16:18:20:21:24:27:28 (als eine Tonleiter gesehen) approximiert an die lydische Tonleiter mit [[Cent]]-Werten 0¢-231¢-435¢-617¢-702¢-933¢-1137¢-1200¢. Ein weiteres Beispiel eines Lydisch-Nejis stellt 16:18:20:23:24:27:30:32 (aus den Obertönen 16, 17, ..., 31, 32) dar, mit Cent-Werten 0¢-204¢-386¢-628¢-702¢-906¢-1088¢-1200¢.

== Tools zum Erzeugen von Nejis ==
* Die Software [[Scala]] hat eine Funktion "Approximate" &gt; "Fit to harmonic scale", die sukzessive höhere und bessere Neji-Versionen der aktuellen Skala generiert.
* In ScaleWorkshop: "Modify" &gt; "Approximate by harmonics", dann den gemeinsamen Nenner aller Frequenzverhältnisse (äquivalent: den Obertonreihe-Modus) eingeben.

== Geschichte ==
Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch das Konzept der Obertonreihe-Approximationen war bereits unter einem anderen Namen bekannt: bereits [[George Secor]] erwähnte es als ''quasi-equal rational tuning''.
[[Kategorie:Reine Stimmung]]</text>
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Mit dem Begriff '''Neji''' /nɛd͡ʒi/ (für ''near-equal just intonation'' 'fast gleichstufige [[reine Stimmung]]') bezeichnet man eine Skala, deren Töne nahezu gleiche Abstände haben, aber deren Frequenzverhältnisse rational sind. Eine solche Skala wird aus einer Auswahl von [[Obertonreihe|Obertönen]] erzeugt, die aus dem Bereich ''n'' bis ''2n'' stammen. Diesen Bereich nennt man auch ''Modus der Obertonreihe'' (z.B. entspricht ''n=4'' dem Modus ''4, 5, 6, 7, 8''). Dabei ist die Zahl ''n'' die Nummer eines ''Teiltons'', dem Wert 1 entspricht also immer die Grundfrequenz der jeweiligen Obertonreihe.

Informell bezeichnet der Begriff "Neji" oft auch Skalen, die an andere Skalen mit irrationalen Frequenzverhältnissen (sowie [[MOS-Skalen]]) mit einer solchen Auswahl von Obertönen approximieren. Deshalb kann man möglicherweise von einem diatonischen Neji sprechen, oder einem [[1L 6s]]-Neji, usw. Dabei ist es auch wichtig zu beachten, dass Nejis eine Art von ''irregulärer'' Temperatur sind: anders als bei [[reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] oder bei [[MOS-Skalen]] hat ein Neji kein Generatorintervall, dessen Gróße sich nicht ändert.

Warum verwendet man ein Neji?
* Vom Standpunkt der Melodie und der Modulation aus verhält sich eine Neji-Skala meist ähnlich wie die Skala, an die sie approximiert, aber die Klangfarbe eines Neji-Akkordes ist weniger rau als beim entsprechenden irrationalen Akkord (bei einem harmonischen Timbre); da ein Neji ein (gewöhnlich relativ niedriges) Teil der Obertonreihe bildet, ist die Schwingung des Zusammenklangs periodisch, anders als bei einem irrationalen Akkord.
* Eine Neji-Skala bietet leichte Variationen in der Klangfarbe eines EDO-Akkords und den Tonartencharakteren bei verschiedenen Tonarten, wie eine [[wohltemperierte Stimmung]].

Nejis spielen eine wichtige Rolle in der [[Primodalität]]s-Theorie der Xenharmonie-Komponistin [[Zhea Erose]]. Doch Nejis müssen nicht nur dem Zweck dienen, "primodale" Musik zu komponieren.
== Beispiele ==
Nehmen wir an, wir wollen eine (nicht so präzise, aber sehr konsonante) Neji-Annäherung an den [[diatonisch]]en Modus Lydisch (in [[12-EDO]]: 0¢-200¢-400¢-600¢-700¢-900¢-1100¢-1200¢). Dann bietet der Obertonreihe-Modus 14, d. h. die Obertöne 14, 15, 16, 17, ..., 28 eine Möglichkeit: der Akkord 14:16:18:20:21:24:27:28 (als eine Tonleiter gesehen) approximiert an die lydische Tonleiter mit [[Cent]]-Werten 0¢-231¢-435¢-617¢-702¢-933¢-1137¢-1200¢. Ein weiteres Beispiel eines Lydisch-Nejis stellt 16:18:20:23:24:27:30:32 (aus den Obertönen 16, 17, ..., 31, 32) dar, mit Cent-Werten 0¢-204¢-386¢-628¢-702¢-906¢-1088¢-1200¢.

== Tools zum Erzeugen von Nejis ==
* Die Software [[Scala]] hat eine Funktion "Approximate" &gt; "Fit to harmonic scale", die sukzessive höhere und bessere Neji-Versionen der aktuellen Skala generiert.
* In ScaleWorkshop: "Modify" &gt; "Approximate by harmonics", dann den gemeinsamen Nenner aller Frequenzverhältnisse (äquivalent: den Obertonreihe-Modus) eingeben.

== Geschichte ==
Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch das Konzept der Obertonreihe-Approximationen war bereits unter einem anderen Namen bekannt: bereits [[George Secor]] erwähnte es als ''quasi-equal rational tuning''.
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Mit dem Begriff '''Neji''' /nɛd͡ʒi/ (für ''near-equal just intonation'' 'fast gleichstufige [[reine Stimmung]]') bezeichnet man eine Skala, deren Töne nahezu gleiche Abstände haben, aber deren Frequenzverhältnisse rational sind. Eine solche Skala wird aus einer Auswahl von [[Obertonreihe|Obertönen]] erzeugt, die aus dem Bereich ''n'' bis ''2n'' stammen. Diesen Bereich nennt man auch ''Modus der Obertonreihe'' (z.B. entspricht ''n=4'' dem Modus ''4, 5, 6, 7, 8''). Dabei ist die Zahl ''n'' die Nummer eines ''Teiltons'', dem Wert 1 entspricht also immer die Grundfrequenz der jeweiligen Obertonreihe. Dabei ist es auch wichtig zu beachten, dass Nejis eine Art einer ''irregulären'' Skala sind: anders als bei [[reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] oder bei [[MOS-Skalen]] besitzt ein Neji kein "Generatorintervall", das man übereinander schichtet und dessen Gróße sich nicht ändert.

Informell bezeichnet der Begriff "Neji" oft auch Skalen, die an andere Skalen mit irrationalen Frequenzverhältnissen (sowie [[MOS-Skalen]]) mit einer solchen Auswahl von Obertönen approximieren. Deshalb kann man möglicherweise von einem diatonischen Neji sprechen, oder einem [[1L 6s]]-Neji, usw.

Warum verwendet man ein Neji?
* Vom Standpunkt der Melodie und der Modulation aus verhält sich eine Neji-Skala meist ähnlich wie die Skala, an die sie approximiert, aber die Klangfarbe eines Neji-Akkordes ist weniger rau als beim entsprechenden irrationalen Akkord (bei einem harmonischen Timbre); da ein Neji ein (gewöhnlich relativ niedriges) Teil der Obertonreihe bildet, ist die Schwingung des Zusammenklangs periodisch, anders als bei einem irrationalen Akkord.
* Eine Neji-Skala bietet leichte Variationen in der Klangfarbe eines EDO-Akkords und den Tonartencharakteren bei verschiedenen Tonarten, wie eine [[wohltemperierte Stimmung]].

Nejis spielen eine wichtige Rolle in der [[Primodalität]]s-Theorie der Xenharmonie-Komponistin [[Zhea Erose]]. Doch Nejis müssen nicht nur dem Zweck dienen, "primodale" Musik zu komponieren.

== Beispiele ==
Nehmen wir an, wir wollen eine (nicht so präzise, aber sehr konsonante) Neji-Annäherung an den [[diatonisch]]en Modus Lydisch (in [[12-EDO]]: 0¢-200¢-400¢-600¢-700¢-900¢-1100¢-1200¢). Dann bietet der Obertonreihe-Modus 14, d. h. die Obertöne 14, 15, 16, 17, ..., 28 eine Möglichkeit: der Akkord 14:16:18:20:21:24:27:28 (als eine Tonleiter gesehen) approximiert an die lydische Tonleiter mit [[Cent]]-Werten 0¢-231¢-435¢-617¢-702¢-933¢-1137¢-1200¢. Ein weiteres Beispiel eines Lydisch-Nejis stellt 16:18:20:23:24:27:30:32 (aus den Obertönen 16, 17, ..., 31, 32) dar, mit Cent-Werten 0¢-204¢-386¢-628¢-702¢-906¢-1088¢-1200¢.

== Tools zum Erzeugen von Nejis ==
* Die Software [[Scala]] hat eine Funktion "Approximate" &gt; "Fit to harmonic scale", die sukzessive höhere und bessere Neji-Versionen der aktuellen Skala generiert.
* In ScaleWorkshop: "Modify" &gt; "Approximate by harmonics", dann den gemeinsamen Nenner aller Frequenzverhältnisse (äquivalent: den Obertonreihe-Modus) eingeben.

== Geschichte ==
Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch das Konzept der Obertonreihe-Approximationen war bereits unter einem anderen Namen bekannt: bereits [[George Secor]] erwähnte es als ''quasi-equal rational tuning''.
[[Kategorie:Reine Stimmung]]</text>
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Mit dem Begriff '''Neji''' /nɛd͡ʒi/ (für ''near-equal just intonation'' 'fast gleichstufige [[reine Stimmung]]') bezeichnet man eine Skala, deren Töne nahezu gleiche Abstände haben, aber deren Frequenzverhältnisse rational sind. Eine solche Skala wird aus einer Auswahl von [[Obertonreihe|Obertönen]] erzeugt, die aus dem Bereich ''n'' bis ''2n'' stammen. Diesen Bereich nennt man auch ''Modus der Obertonreihe'' (z.B. entspricht ''n=4'' dem Modus ''4, 5, 6, 7, 8''). Dabei ist die Zahl ''n'' die Nummer eines ''Teiltons'', dem Wert 1 entspricht also immer die Grundfrequenz der jeweiligen Obertonreihe. Dabei ist es auch wichtig zu beachten, dass Nejis eine Art einer ''irregulären'' Skala sind: anders als bei [[reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] oder bei [[MOS-Skalen]] besitzt ein Neji kein "Generatorintervall", das man übereinander schichtet und dessen Gróße sich nicht ändert.

Informell bezeichnet der Begriff "Neji" oft auch Skalen, die an andere Skalen mit irrationalen Frequenzverhältnissen (sowie [[MOS-Skalen]]) mit einer solchen Auswahl von Obertönen approximieren. Deshalb kann man möglicherweise von einem diatonischen Neji sprechen, oder einem [[1L 6s]]-Neji, usw.

Warum verwendet man ein Neji?
* Vom Standpunkt der Melodie und der Modulation aus verhält sich eine Neji-Skala meist ähnlich wie die Skala, an die sie approximiert. Darum behält ein Neji praktisch alle Vorteile von [[EDO]]s bei. Aber die Klangfarbe eines Neji-Akkordes ist weniger rau als beim entsprechenden irrationalen Akkord (bei einem harmonischen Timbre). Dies stammt daraus, dass bei einem Neji ist die Schwingung des Zusammenklangs periodisch, anders als bei einem irrationalen Akkord, da ein Neji ein Teil der Obertonreihe bildet.
* Eine Neji-Skala bietet leichte Variationen in der Klangfarbe eines EDO-Akkords und den Tonartencharakteren bei verschiedenen Tonarten, wie eine [[wohltemperierte Stimmung]].

Nejis spielen eine wichtige Rolle in der [[Primodalität]]s-Theorie der Xenharmonie-Komponistin [[Zhea Erose]]. Doch Nejis müssen nicht nur dem Zweck dienen, "primodale" Musik zu komponieren.

== Beispiele ==
Nehmen wir an, wir wollen eine (nicht so präzise, aber sehr konsonante) Neji-Annäherung an den [[diatonisch]]en Modus Lydisch (in [[12-EDO]]: 0¢-200¢-400¢-600¢-700¢-900¢-1100¢-1200¢). Dann bietet der Obertonreihe-Modus 14, d. h. die Obertöne 14, 15, 16, 17, ..., 28 eine Möglichkeit: der Akkord 14:16:18:20:21:24:27:28 (als eine Tonleiter gesehen) approximiert an die lydische Tonleiter mit [[Cent]]-Werten 0¢-231¢-435¢-617¢-702¢-933¢-1137¢-1200¢. Ein weiteres Beispiel eines Lydisch-Nejis stellt 16:18:20:23:24:27:30:32 (aus den Obertönen 16, 17, ..., 31, 32) dar, mit Cent-Werten 0¢-204¢-386¢-628¢-702¢-906¢-1088¢-1200¢.

== Tools zum Erzeugen von Nejis ==
* Die Software [[Scala]] hat eine Funktion "Approximate" &gt; "Fit to harmonic scale", die sukzessive höhere und bessere Neji-Versionen der aktuellen Skala generiert.
* In ScaleWorkshop: "Modify" &gt; "Approximate by harmonics", dann den gemeinsamen Nenner aller Frequenzverhältnisse (äquivalent: den Obertonreihe-Modus) eingeben.

== Geschichte ==
Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch das Konzept der Obertonreihe-Approximationen war bereits unter einem anderen Namen bekannt: bereits [[George Secor]] erwähnte es als ''quasi-equal rational tuning''.
[[Kategorie:Reine Stimmung]]</text>
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Mit dem Begriff '''Neji''' /nɛd͡ʒi/ (für ''near-equal just intonation'' 'fast gleichstufige [[reine Stimmung]]') bezeichnet man eine Skala, deren Töne nahezu gleiche Abstände haben, aber deren Frequenzverhältnisse rational sind. Eine solche Skala wird aus einer Auswahl von [[Obertonreihe|Obertönen]] erzeugt, die aus dem Bereich ''n'' bis ''2n'' stammen. Diesen Bereich nennt man auch ''Modus der Obertonreihe'' (z.B. entspricht ''n=4'' dem Modus ''4, 5, 6, 7, 8''). Dabei ist die Zahl ''n'' die Nummer eines ''Teiltons'', dem Wert 1 entspricht also immer die Grundfrequenz der jeweiligen Obertonreihe. Dabei ist es auch wichtig zu beachten, dass Nejis eine Art einer ''irregulären'' Skala sind: anders als [[reguläre Temperaturen]] oder [[MOS-Skalen]], besitzt ein Neji kein "Generatorintervall", das man übereinander schichtet und dessen Größe sich nicht ändert.

Informell bezeichnet der Begriff "Neji" oft auch Skalen, die an andere Skalen mit irrationalen Frequenzverhältnissen (sowie [[MOS-Skalen]]) mit einer solchen Auswahl von Obertönen approximieren. Deshalb kann man möglicherweise von einem diatonischen Neji sprechen, oder einem [[1L 6s]]-Neji, usw.

Warum verwendet man ein Neji?
* Vom Standpunkt der Melodie und der Modulation aus verhält sich eine Neji-Skala meist ähnlich wie die Skala, an die sie approximiert. Darum behält ein Neji praktisch alle Vorteile von [[EDO]]s bei. Aber die Klangfarbe eines Neji-Akkordes ist weniger rau als beim entsprechenden irrationalen Akkord (bei einem harmonischen Timbre). Dies stammt daraus, dass bei einem Neji ist die Schwingung des Zusammenklangs periodisch, anders als bei einem irrationalen Akkord, da ein Neji ein Teil der Obertonreihe bildet.
* Eine Neji-Skala bietet leichte Variationen in der Klangfarbe eines EDO-Akkords und den Tonartencharakteren bei verschiedenen Tonarten, wie eine [[wohltemperierte Stimmung]].

Nejis spielen eine wichtige Rolle in der [[Primodalität]]s-Theorie der Xenharmonie-Komponistin [[Zhea Erose]]. Doch Nejis müssen nicht nur dem Zweck dienen, "primodale" Musik zu komponieren.

== Beispiele ==

Nehmen wir an, wir wollen eine (nicht so präzise, aber sehr konsonante) Neji-Annäherung an den [[diatonisch]]en Modus Lydisch (in [[12-EDO]]: 0¢-200¢-400¢-600¢-700¢-900¢-1100¢-1200¢). Dann bietet der Obertonreihen-Modus 14, d. h. die Obertöne 14, 15, 16, 17, ..., 28 eine Möglichkeit: der Akkord 14:16:18:20:21:24:27:28 (als eine Tonleiter gesehen) approximiert an die lydische Tonleiter mit [[Cent]]-Werten 0¢-231¢-435¢-617¢-702¢-933¢-1137¢-1200¢. Ein weiteres Beispiel eines Lydisch-Nejis stellt 16:18:20:23:24:27:30:32 (aus den Obertönen 16, 17, ..., 31, 32) dar, mit Cent-Werten 0¢-204¢-386¢-628¢-702¢-906¢-1088¢-1200¢.

== Tools zum Erzeugen von Nejis ==

* Die Software [[Scala]] hat eine Funktion "Approximate" &gt; "Fit to harmonic scale", die sukzessive höhere und bessere Neji-Versionen der aktuellen Skala generiert.
* In ScaleWorkshop: "Modify" &gt; "Approximate by harmonics", dann den gemeinsamen Nenner aller Frequenzverhältnisse (äquivalent: den Obertonreihen-Modus) eingeben.

== Geschichte ==

Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch das zu Grunde liegende Konzept der Obertonreihen-Approximation war zuvor bereits von [[George Secor]] als ''quasi-equal rational tuning'' beschrieben worden.

[[Kategorie:Reine Stimmung]]</text>
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      <comment>Satz vereinfacht. Im Deutschen kann man zwar sehr verschachtelt konstruieren, aber das erschwert sowohl das fehlerfreie Schreiben als auch das flüssige Lesen. Deshalb "entschachtele" ich Sätze gern.</comment>
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Mit dem Begriff '''Neji''' /nɛd͡ʒi/ (für ''near-equal just intonation'' 'fast gleichstufige [[reine Stimmung]]') bezeichnet man eine Skala, deren Töne nahezu gleiche Abstände haben, aber deren Frequenzverhältnisse rational sind. Eine solche Skala wird aus einer Auswahl von [[Obertonreihe|Obertönen]] erzeugt, die aus dem Bereich ''n'' bis ''2n'' stammen. Diesen Bereich nennt man auch ''Modus der Obertonreihe'' (z.B. entspricht ''n=4'' dem Modus ''4, 5, 6, 7, 8''). Dabei ist die Zahl ''n'' die Nummer eines ''Teiltons'', dem Wert 1 entspricht also immer die Grundfrequenz der jeweiligen Obertonreihe. Dabei ist es auch wichtig zu beachten, dass Nejis eine Art einer ''irregulären'' Skala sind: anders als [[reguläre Temperaturen]] oder [[MOS-Skalen]], besitzt ein Neji kein "Generatorintervall", das man übereinander schichtet und dessen Größe sich nicht ändert.

Informell bezeichnet der Begriff "Neji" oft auch Skalen, die an andere Skalen mit irrationalen Frequenzverhältnissen (sowie [[MOS-Skalen]]) mit einer solchen Auswahl von Obertönen approximieren. Deshalb kann man möglicherweise von einem diatonischen Neji sprechen, oder einem [[1L 6s]]-Neji, usw.

Warum verwendet man ein Neji?
* Vom Standpunkt der Melodie und der Modulation aus verhält sich eine Neji-Skala meist ähnlich wie die Skala, an die sie approximiert. Darum behält ein Neji praktisch alle Vorteile von [[EDO]]s bei. Aber die Klangfarbe eines Neji-Akkordes ist weniger rau als beim entsprechenden irrationalen Akkord (bei einem harmonischen Timbre). Dies ergibt sich daraus, dass ein Neji einen Teil der Obertonreihe bildet: bei einem Neji ist die Schwingung des Zusammenklangs periodisch, anders als bei einem irrationalen Akkord.
* Eine Neji-Skala bietet leichte Variationen in der Klangfarbe eines EDO-Akkords und den Tonartencharakteren bei verschiedenen Tonarten, wie eine [[wohltemperierte Stimmung]].

Nejis spielen eine wichtige Rolle in der [[Primodalität]]s-Theorie der Xenharmonie-Komponistin [[Zhea Erose]]. Doch Nejis müssen nicht nur dem Zweck dienen, "primodale" Musik zu komponieren.

== Beispiele ==

Nehmen wir an, wir wollen eine (nicht so präzise, aber sehr konsonante) Neji-Annäherung an den [[diatonisch]]en Modus Lydisch (in [[12-EDO]]: 0¢-200¢-400¢-600¢-700¢-900¢-1100¢-1200¢). Dann bietet der Obertonreihen-Modus 14, d. h. die Obertöne 14, 15, 16, 17, ..., 28 eine Möglichkeit: der Akkord 14:16:18:20:21:24:27:28 (als eine Tonleiter gesehen) approximiert an die lydische Tonleiter mit [[Cent]]-Werten 0¢-231¢-435¢-617¢-702¢-933¢-1137¢-1200¢. Ein weiteres Beispiel eines Lydisch-Nejis stellt 16:18:20:23:24:27:30:32 (aus den Obertönen 16, 17, ..., 31, 32) dar, mit Cent-Werten 0¢-204¢-386¢-628¢-702¢-906¢-1088¢-1200¢.

== Tools zum Erzeugen von Nejis ==

* Die Software [[Scala]] hat eine Funktion "Approximate" &gt; "Fit to harmonic scale", die sukzessive höhere und bessere Neji-Versionen der aktuellen Skala generiert.
* In ScaleWorkshop: "Modify" &gt; "Approximate by harmonics", dann den gemeinsamen Nenner aller Frequenzverhältnisse (äquivalent: den Obertonreihen-Modus) eingeben.

== Geschichte ==

Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch das zu Grunde liegende Konzept der Obertonreihen-Approximation war zuvor bereits von [[George Secor]] als ''quasi-equal rational tuning'' beschrieben worden.

[[Kategorie:Reine Stimmung]]</text>
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Mit dem Begriff '''Neji''' /nɛd͡ʒi/ (für ''near-equal just intonation'' 'fast gleichstufige [[reine Stimmung]]') bezeichnet man eine Skala, deren Töne nahezu gleiche Abstände haben, aber deren Frequenzverhältnisse rational sind. Eine solche Skala wird aus einer Auswahl von [[Obertonreihe|Obertönen]] erzeugt, die aus dem Bereich ''n'' bis ''2n'' stammen. Diesen Bereich nennt man auch ''Modus der Obertonreihe'' (z.B. entspricht ''n=4'' dem Modus ''4, 5, 6, 7, 8''). Dabei ist die Zahl ''n'' die Nummer eines ''Teiltons'', dem Wert 1 entspricht also immer die Grundfrequenz der jeweiligen Obertonreihe. Dabei ist es auch wichtig zu beachten, dass Nejis eine Art einer ''irregulären'' Skala sind: anders als [[reguläre Temperaturen]] oder [[MOS-Skalen]], besitzt ein Neji kein "Generatorintervall", das man übereinander schichtet und dessen Größe sich nicht ändert.

Informell bezeichnet der Begriff "Neji" oft auch Skalen, die an andere Skalen mit irrationalen Frequenzverhältnissen (sowie [[MOS-Skalen]]) mit einer solchen Auswahl von Obertönen approximieren. Deshalb kann man möglicherweise von einem diatonischen Neji sprechen, oder einem [[1L 6s]]-Neji, usw.

Warum verwendet man ein Neji?
* Vom Standpunkt der Melodie und der Modulation aus verhält sich eine Neji-Skala meist ähnlich wie die Skala, an die sie approximiert. Darum behält ein Neji praktisch alle Vorteile von [[EDO]]s bei. Aber die Klangfarbe eines Neji-Akkordes ist weniger rau als beim entsprechenden irrationalen Akkord (bei einem harmonischen Timbre). Dies ergibt sich daraus, dass ein Neji einen Teil der Obertonreihe bildet: bei einem Neji ist die Schwingung des Zusammenklangs periodisch, anders als bei einem irrationalen Akkord.
* Eine Neji-Skala bietet leichte Variationen in der Klangfarbe eines EDO-Akkords und den Tonartencharakteren bei verschiedenen Tonarten, wie eine [[wohltemperierte Stimmung]].

Nejis spielen eine wichtige Rolle in der [[Primodalität]]s-Theorie der Xenharmonie-Komponistin [[Zhea Erose]]. Doch Nejis müssen nicht nur dem Zweck dienen, "primodale" Musik zu komponieren.

== Beispiele ==
Nehmen wir an, wir wollen eine (nicht so präzise, aber sehr konsonante) Neji-Annäherung an den [[diatonisch]]en Modus Lydisch (in [[12-EDO]]: 0¢-200¢-400¢-600¢-700¢-900¢-1100¢-1200¢). Dann bietet der Obertonreihen-Modus 14, d. h. die Obertöne 14, 15, 16, 17, ..., 28 eine Möglichkeit: der Akkord 14:16:18:20:21:24:27:28 (als eine Tonleiter gesehen) approximiert an die lydische Tonleiter mit [[Cent]]-Werten 0¢-231¢-435¢-617¢-702¢-933¢-1137¢-1200¢. Ein weiteres Beispiel eines Lydisch-Nejis stellt 16:18:20:23:24:27:30:32 (aus den Obertönen 16, 17, ..., 31, 32) dar, mit Cent-Werten 0¢-204¢-386¢-628¢-702¢-906¢-1088¢-1200¢.

Ein Beispiel für ein primodales 12-Neji (d. h. eine rationale Approximation an [[12-EDO]]) ist die folgende "undezimale" Skala (d. h. eine Skala, in der die Tonika den Prim-Oberton 11 darstellt), die Zhea Erose in "[https://www.youtube.com/watch?v=ubPwKxcp87g Eurybia]" verwendet: 22:23:25:26:28:30:31:33:35:37:39:42:44 (mit Cent-Werten 77¢-221¢-289¢-417¢-537¢-594¢-702¢-804¢-900¢-991¢-1119¢-1200¢).

== Tools zum Erzeugen von Nejis ==

* Die Software [[Scala]] hat eine Funktion "Approximate" &gt; "Fit to harmonic scale", die sukzessive höhere und bessere Neji-Versionen der aktuellen Skala generiert.
* In ScaleWorkshop: "Modify" &gt; "Approximate by harmonics", dann den gemeinsamen Nenner aller Frequenzverhältnisse (äquivalent: den Obertonreihen-Modus) eingeben.

== Geschichte ==

Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch das zu Grunde liegende Konzept der Obertonreihen-Approximation war zuvor bereits von [[George Secor]] als ''quasi-equal rational tuning'' beschrieben worden.

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Mit dem Begriff '''Neji''' /nɛd͡ʒi/ (für ''near-equal just intonation'' 'fast gleichstufige [[reine Stimmung]]') bezeichnet man eine Skala, deren Töne nahezu gleiche Abstände haben, aber deren Frequenzverhältnisse rational sind. Eine solche Skala wird aus einer Auswahl von [[Obertonreihe|Obertönen]] erzeugt, die aus dem Bereich ''n'' bis ''2n'' stammen. Diesen Bereich nennt man auch ''Modus der Obertonreihe'' (z.B. entspricht ''n=4'' dem Modus ''4, 5, 6, 7, 8''). Dabei ist die Zahl ''n'' die Nummer eines ''Teiltons'', dem Wert 1 entspricht also immer die Grundfrequenz der jeweiligen Obertonreihe. Dabei ist es auch wichtig zu beachten, dass Nejis eine Art einer ''irregulären'' Skala sind: anders als [[reguläre Temperaturen]] oder [[MOS-Skalen]], besitzt ein Neji kein "Generatorintervall", das man übereinander schichtet und dessen Größe sich nicht ändert.

Informell bezeichnet der Begriff "Neji" oft auch Skalen, die an andere Skalen mit irrationalen Frequenzverhältnissen (sowie [[MOS-Skalen]]) mit einer solchen Auswahl von Obertönen approximieren. Deshalb kann man möglicherweise von einem diatonischen Neji sprechen, oder einem [[1L 6s]]-Neji, usw.

Warum verwendet man ein Neji?
* Vom Standpunkt der Melodie und der Modulation aus verhält sich eine Neji-Skala meist ähnlich wie die Skala, an die sie approximiert. Darum behält ein Neji praktisch alle Vorteile von [[EDO]]s bei. Aber die Klangfarbe eines Neji-Akkordes ist weniger rau als beim entsprechenden irrationalen Akkord (bei einem harmonischen Timbre). Dies ergibt sich daraus, dass ein Neji einen Teil der Obertonreihe bildet: bei einem Neji ist die Schwingung des Zusammenklangs periodisch, anders als bei einem irrationalen Akkord.
* Eine Neji-Skala bietet leichte Variationen in der Klangfarbe eines EDO-Akkords und den Tonartencharakteren bei verschiedenen Tonarten, wie eine [[wohltemperierte Stimmung]].

Nejis spielen eine wichtige Rolle in der [[Primodalität]]s-Theorie der Xenharmonie-Komponistin [[Zhea Erose]]. Doch Nejis müssen nicht nur dem Zweck dienen, "primodale" Musik zu komponieren.

== Beispiele ==
Nehmen wir an, wir wollen eine (nicht so präzise, aber sehr konsonante) Neji-Annäherung an den [[diatonisch]]en Modus Lydisch (in [[12-EDO]]: 0¢-200¢-400¢-600¢-700¢-900¢-1100¢-1200¢). Dann bietet der Obertonreihen-Modus 14, d. h. die Obertöne 14, 15, 16, 17, ..., 28 eine Möglichkeit: der Akkord 14:16:18:20:21:24:27:28 (als eine Tonleiter gesehen) approximiert an die lydische Tonleiter mit [[Cent]]-Werten 0¢-231¢-435¢-617¢-702¢-933¢-1137¢-1200¢. Ein weiteres Beispiel eines Lydisch-Nejis stellt 16:18:20:23:24:27:30:32 (aus den Obertönen 16, 17, ..., 31, 32) dar, mit Cent-Werten 0¢-204¢-386¢-628¢-702¢-906¢-1088¢-1200¢.

Ein Beispiel für ein primodales 12-Neji (d. h. eine rationale Approximation an [[12-EDO]]) ist die folgende "undezimale" Skala, die Zhea Erose in "[https://www.youtube.com/watch?v=ubPwKxcp87g Eurybia]" verwendet: 22:23:25:26:28:30:31:33:35:37:39:42:44 (mit Cent-Werten 77¢-221¢-289¢-417¢-537¢-594¢-702¢-804¢-900¢-991¢-1119¢-1200¢). (In Zheas Primodalitäts-Theorie heißt ein Neji oder ein Akkord ''undezimal'', wenn die Tonika den Prim-Oberton 11 darstellt. Man beachte, dass hier das Voicing eine Rolle spielt: wenn die Tonika dieser Skala, der 22. Oberton, um eine Oktave niedriger erklingt, wird sie zum 11. Oberton; siehe [[Primodalität]].)

== Tools zum Erzeugen von Nejis ==

* Die Software [[Scala]] hat eine Funktion "Approximate" &gt; "Fit to harmonic scale", die sukzessive höhere und bessere Neji-Versionen der aktuellen Skala generiert.
* In ScaleWorkshop: "Modify" &gt; "Approximate by harmonics", dann den gemeinsamen Nenner aller Frequenzverhältnisse (äquivalent: den Obertonreihen-Modus) eingeben.

== Geschichte ==

Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch das zu Grunde liegende Konzept der Obertonreihen-Approximation war zuvor bereits von [[George Secor]] als ''quasi-equal rational tuning'' beschrieben worden.

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Mit dem Begriff '''Neji''' /nɛd͡ʒi/ (für ''near-equal just intonation'' 'fast gleichstufige [[reine Stimmung]]') bezeichnet man eine Skala, deren Töne nahezu gleiche Abstände haben, aber deren Frequenzverhältnisse rational sind. Eine solche Skala wird aus einer Auswahl von [[Obertonreihe|Obertönen]] erzeugt, die aus dem Bereich ''n'' bis ''2n'' stammen. Diesen Bereich nennt man auch ''Modus der Obertonreihe'' (z.B. entspricht ''n=4'' dem Modus ''4, 5, 6, 7, 8''). Dabei ist die Zahl ''n'' die Nummer eines ''Teiltons'', dem Wert 1 entspricht also immer die Grundfrequenz der jeweiligen Obertonreihe. Dabei ist es auch wichtig zu beachten, dass Nejis eine Art einer ''irregulären'' Skala sind: anders als [[reguläre Temperaturen]] oder [[MOS-Skalen]], besitzt ein Neji kein "Generatorintervall", das man übereinander schichtet und dessen Größe sich nicht ändert.

Informell bezeichnet der Begriff "Neji" oft auch Skalen, die an andere Skalen mit irrationalen Frequenzverhältnissen (sowie [[MOS-Skalen]]) mit einer solchen Auswahl von Obertönen approximieren. Deshalb kann man möglicherweise von einem diatonischen Neji sprechen, oder einem [[1L 6s]]-Neji, usw.

Warum verwendet man ein Neji?
* Vom Standpunkt der Melodie und der Modulation aus verhält sich eine Neji-Skala meist ähnlich wie die Skala, an die sie approximiert. Darum behält ein Neji praktisch alle Vorteile von [[EDO]]s bei. Aber die Klangfarbe eines Neji-Akkordes ist weniger rau als beim entsprechenden irrationalen Akkord (bei einem harmonischen Timbre). Dies ergibt sich daraus, dass ein Neji einen Teil der Obertonreihe bildet: bei einem Neji ist die Schwingung des Zusammenklangs periodisch, anders als bei einem irrationalen Akkord.
* Eine Neji-Skala bietet leichte Variationen in der Klangfarbe eines EDO-Akkords und den Tonartencharakteren bei verschiedenen Tonarten, wie eine [[wohltemperierte Stimmung]].

Nejis spielen eine wichtige Rolle in der [[Primodalität]]s-Theorie der Xenharmonie-Komponistin [[Zhea Erose]]. Doch Nejis müssen nicht nur dem Zweck dienen, "primodale" Musik zu komponieren.

== Beispiele ==
Nehmen wir an, wir wollen eine (nicht so präzise, aber sehr konsonante) Neji-Annäherung an den [[diatonisch]]en Modus Lydisch, mit [[12-EDO]]-Werten 0¢-200¢-400¢-600¢-700¢-900¢-1100¢-1200¢. Dann bietet der Obertonreihen-Modus 14, d. h. die Obertöne 14, 15, 16, 17, ..., 28 eine Möglichkeit: der Akkord 14:16:18:20:21:24:27:28 (als eine Tonleiter gesehen) approximiert an die lydische Tonleiter mit [[Cent]]-Werten 0¢-231¢-435¢-617¢-702¢-933¢-1137¢-1200¢. Ein weiteres Beispiel eines Lydisch-Nejis stellt 16:18:20:23:24:27:30:32 (aus den Obertönen 16, 17, ..., 31, 32) dar, mit Cent-Werten 0¢-204¢-386¢-628¢-702¢-906¢-1088¢-1200¢.

Ein Beispiel für ein primodales 12-Neji (d. h. eine rationale Approximation an [[12-EDO]]) ist die folgende "undezimale" Skala, die Zhea Erose in "[https://www.youtube.com/watch?v=ubPwKxcp87g Eurybia]" verwendet: 22:23:25:26:28:30:31:33:35:37:39:42:44, mit Cent-Werten 77¢-221¢-289¢-417¢-537¢-594¢-702¢-804¢-900¢-991¢-1119¢-1200¢. (In Zheas Primodalitäts-Theorie heißt ein Neji oder ein Akkord ''undezimal'', wenn die Tonika den Prim-Oberton 11 darstellt. Man beachte, dass hier das Voicing eine Rolle spielt: wenn die Tonika dieser Skala, der 22. Oberton, um eine Oktave niedriger erklingt, wird sie zum 11. Oberton; siehe [[Primodalität]].)

== Tools zum Erzeugen von Nejis ==

* Die Software [[Scala]] hat eine Funktion "Approximate" &gt; "Fit to harmonic scale", die sukzessive höhere und bessere Neji-Versionen der aktuellen Skala generiert.
* In ScaleWorkshop: "Modify" &gt; "Approximate by harmonics", dann den gemeinsamen Nenner aller Frequenzverhältnisse (äquivalent: den Obertonreihen-Modus) eingeben.

== Geschichte ==

Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch das zu Grunde liegende Konzept der Obertonreihen-Approximation war zuvor bereits von [[George Secor]] als ''quasi-equal rational tuning'' beschrieben worden.

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}}
Mit dem Begriff '''Neji''' /nɛd͡ʒi/ (für ''near-equal just intonation'' 'fast gleichstufige [[reine Stimmung]]') bezeichnet man eine Skala, deren Töne nahezu gleiche Abstände haben, aber deren Frequenzverhältnisse rational sind. Eine solche Skala wird aus einer Auswahl von [[Obertonreihe|Obertönen]] erzeugt, die aus dem Bereich ''n'' bis ''2n'' stammen. Diesen Bereich nennt man auch ''Modus der Obertonreihe'' (z.B. entspricht ''n=4'' dem Modus ''4, 5, 6, 7, 8''). Dabei ist die Zahl ''n'' die Nummer eines ''Teiltons'', dem Wert 1 entspricht also immer die Grundfrequenz der jeweiligen Obertonreihe. Dabei ist es auch wichtig zu beachten, dass Nejis eine Art einer ''irregulären'' Skala sind: anders als [[reguläre Temperaturen]] oder [[MOS-Skalen]], besitzt ein Neji kein "Generatorintervall", das man übereinander schichtet und dessen Größe sich nicht ändert.

Informell bezeichnet der Begriff "Neji" oft auch Skalen, die an andere Skalen mit irrationalen Frequenzverhältnissen (sowie [[MOS-Skalen]]) mit einer solchen Auswahl von Obertönen approximieren. Deshalb kann man möglicherweise von einem diatonischen Neji sprechen, oder einem [[1L 6s]]-Neji, usw.

Warum verwendet man ein Neji?
* Vom Standpunkt der Melodie und der Modulation aus verhält sich eine Neji-Skala meist ähnlich wie die Skala, an die sie approximiert. Darum behält ein Neji praktisch alle Vorteile von [[EDO]]s bei. Aber die Klangfarbe eines Neji-Akkordes ist weniger rau als beim entsprechenden irrationalen Akkord (bei einem harmonischen Timbre). Dies ergibt sich daraus, dass ein Neji einen Teil der Obertonreihe bildet: bei einem Neji ist die Schwingung des Zusammenklangs periodisch, anders als bei einem irrationalen Akkord.
* Eine Neji-Skala bietet leichte Variationen in der Klangfarbe eines EDO-Akkords und den Tonartencharakteren bei verschiedenen Tonarten, wie eine [[wohltemperierte Stimmung]].

Nejis spielen eine wichtige Rolle in der [[Primodalität]]s-Theorie der Xenharmonie-Komponistin [[Zhea Erose]]. Doch Nejis müssen nicht nur dem Zweck dienen, "primodale" Musik zu komponieren.

== Beispiele ==
Nehmen wir an, wir wollen eine (nicht so präzise, aber sehr konsonante) Neji-Annäherung an den [[diatonisch]]en Modus Lydisch, mit [[12-EDO]]-Werten 0¢-200¢-400¢-600¢-700¢-900¢-1100¢-1200¢. Dann bietet der Obertonreihen-Modus 14, d. h. die Obertöne 14, 15, 16, 17, ..., 28 eine Möglichkeit: der Akkord 14:16:18:20:21:24:27:28 (als eine Tonleiter gesehen) approximiert an die lydische Tonleiter mit [[Cent]]-Werten 0¢-231¢-435¢-617¢-702¢-933¢-1137¢-1200¢. Ein weiteres Beispiel eines Lydisch-Nejis stellt 16:18:20:23:24:27:30:32 (aus den Obertönen 16, 17, ..., 31, 32) dar, mit Cent-Werten 0¢-204¢-386¢-628¢-702¢-906¢-1088¢-1200¢.

Ein Beispiel für ein primodales 12-Neji (d. h. eine rationale Approximation an [[12-EDO]]) ist die folgende "undezimale" Skala, die Zhea Erose in "[https://www.youtube.com/watch?v=ubPwKxcp87g Eurybia]" verwendet: 22:23:25:26:28:30:31:33:35:37:39:42:44, mit Cent-Werten 77¢-221¢-289¢-417¢-537¢-594¢-702¢-804¢-900¢-991¢-1119¢-1200¢. (In Zheas Primodalitäts-Theorie heißt ein Neji oder ein reiner Akkord ''undezimal'', wenn die Tonika den Prim-Oberton 11 darstellt. Man beachte, dass hier das Voicing eine Rolle spielt: wenn die Tonika dieser Skala, der 22. Oberton, um eine Oktave niedriger erklingt, wird sie zum 11. Oberton; siehe [[Primodalität]].)

== Tools zum Erzeugen von Nejis ==

* Die Software [[Scala]] hat eine Funktion "Approximate" &gt; "Fit to harmonic scale", die sukzessive höhere und bessere Neji-Versionen der aktuellen Skala generiert.
* In ScaleWorkshop: "Modify" &gt; "Approximate by harmonics", dann den gemeinsamen Nenner aller Frequenzverhältnisse (äquivalent: den Obertonreihen-Modus) eingeben.

== Geschichte ==

Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch das zu Grunde liegende Konzept der Obertonreihen-Approximation war zuvor bereits von [[George Secor]] als ''quasi-equal rational tuning'' beschrieben worden.

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| de = Neji
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}}
Mit dem Begriff '''Neji''' /nɛd͡ʒi/ (für ''near-equal just intonation'' 'fast gleichstufige [[reine Stimmung]]') bezeichnet man eine Skala, deren Töne nahezu gleiche Abstände haben, aber deren Frequenzverhältnisse rational sind. Eine solche Skala wird aus einer Auswahl von [[Obertonreihe|Obertönen]] erzeugt, die aus dem Bereich ''n'' bis ''2n'' stammen. Diesen Bereich nennt man auch ''Modus der Obertonreihe'' (z.B. entspricht ''n=4'' dem Modus ''4, 5, 6, 7, 8''). Dabei ist die Zahl ''n'' die Nummer eines ''Teiltons'', dem Wert 1 entspricht also immer die Grundfrequenz der jeweiligen Obertonreihe. Dabei ist es auch wichtig zu beachten, dass Nejis eine Art einer ''irregulären'' Skala sind: anders als [[reguläre Temperaturen]] oder [[MOS-Skalen]], besitzt ein Neji kein "Generatorintervall", das man übereinander schichtet und dessen Größe sich nicht ändert. Man ignoriert auch das [[Odd-Limit]] oder das [[Limit|Prim-Limit]], wenn man ein Neji konstruiert.

Informell bezeichnet der Begriff "Neji" oft auch Skalen, die an andere Skalen mit irrationalen Frequenzverhältnissen (sowie [[MOS-Skalen]]) mit einer solchen Auswahl von Obertönen approximieren. Deshalb kann man möglicherweise von einem diatonischen Neji sprechen, oder einem [[1L 6s]]-Neji, usw.

Warum verwendet man ein Neji?
* Vom Standpunkt der Melodie und der Modulation aus verhält sich eine Neji-Skala meist ähnlich wie die Skala, an die sie approximiert. Darum behält ein Neji praktisch alle Vorteile von [[EDO]]s bei. Aber die Klangfarbe eines Neji-Akkordes ist weniger rau als beim entsprechenden irrationalen Akkord (bei einem harmonischen Timbre). Dies ergibt sich daraus, dass ein Neji einen Teil der Obertonreihe bildet: bei einem Neji ist die Schwingung des Zusammenklangs periodisch, anders als bei einem irrationalen Akkord.
* Eine Neji-Skala bietet leichte Variationen in der Klangfarbe eines EDO-Akkords und den Tonartencharakteren bei verschiedenen Tonarten, wie eine [[wohltemperierte Stimmung]].

Nejis spielen eine wichtige Rolle in der [[Primodalität]]s-Theorie der Xenharmonie-Komponistin [[Zhea Erose]]. Doch Nejis müssen nicht nur dem Zweck dienen, "primodale" Musik zu komponieren.

== Beispiele ==
Nehmen wir an, wir wollen eine (nicht so präzise, aber sehr konsonante) Neji-Annäherung an den [[diatonisch]]en Modus Lydisch, mit [[12-EDO]]-Werten 0¢-200¢-400¢-600¢-700¢-900¢-1100¢-1200¢. Dann bietet der Obertonreihen-Modus 14, d. h. die Obertöne 14, 15, 16, 17, ..., 28 eine Möglichkeit: der Akkord 14:16:18:20:21:24:27:28 (als eine Tonleiter gesehen) approximiert an die lydische Tonleiter mit [[Cent]]-Werten 0¢-231¢-435¢-617¢-702¢-933¢-1137¢-1200¢. Ein weiteres Beispiel eines Lydisch-Nejis stellt 16:18:20:23:24:27:30:32 (aus den Obertönen 16, 17, ..., 31, 32) dar, mit Cent-Werten 0¢-204¢-386¢-628¢-702¢-906¢-1088¢-1200¢.

Ein Beispiel für ein primodales 12-Neji (d. h. eine rationale Approximation an [[12-EDO]]) ist die folgende "undezimale" Skala, die Zhea Erose in "[https://www.youtube.com/watch?v=ubPwKxcp87g Eurybia]" verwendet: 22:23:25:26:28:30:31:33:35:37:39:42:44, mit Cent-Werten 77¢-221¢-289¢-417¢-537¢-594¢-702¢-804¢-900¢-991¢-1119¢-1200¢. (In Zheas Primodalitäts-Theorie heißt ein Neji oder ein reiner Akkord ''undezimal'', wenn die Tonika den Prim-Oberton 11 darstellt. Man beachte, dass hier das Voicing eine Rolle spielt: wenn die Tonika dieser Skala, der 22. Oberton, um eine Oktave niedriger erklingt, wird sie zum 11. Oberton; siehe [[Primodalität]].)

== Tools zum Erzeugen von Nejis ==

* Die Software [[Scala]] hat eine Funktion "Approximate" &gt; "Fit to harmonic scale", die sukzessive höhere und bessere Neji-Versionen der aktuellen Skala generiert.
* In ScaleWorkshop: "Modify" &gt; "Approximate by harmonics", dann den gemeinsamen Nenner aller Frequenzverhältnisse (äquivalent: den Obertonreihen-Modus) eingeben.

== Geschichte ==

Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch das zu Grunde liegende Konzept der Obertonreihen-Approximation war zuvor bereits von [[George Secor]] als ''quasi-equal rational tuning'' beschrieben worden.

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}}
Mit dem Begriff '''Neji''' /nɛd͡ʒi/ (für ''near-equal just intonation'' 'fast gleichstufige [[reine Stimmung]]') bezeichnet man eine Skala, deren Töne nahezu gleiche Abstände haben, aber deren Frequenzverhältnisse rational sind. Eine solche Skala wird aus einer Auswahl von [[Obertonreihe|Obertönen]] erzeugt, die aus dem Bereich ''n'' bis ''2n'' stammen. Diesen Bereich nennt man auch ''Modus der Obertonreihe'' (z.B. entspricht ''n=4'' dem Modus ''4, 5, 6, 7, 8''). Dabei ist die Zahl ''n'' die Nummer eines ''Teiltons'', dem Wert 1 entspricht also immer die Grundfrequenz der jeweiligen Obertonreihe. Dabei ist es auch wichtig zu beachten, dass Nejis eine Art einer ''irregulären'' Skala sind: anders als [[reguläre Temperaturen]] oder [[MOS-Skalen]], besitzt ein Neji kein "Generatorintervall", das man übereinander schichtet und dessen Größe sich nicht ändert. Man ignoriert auch das [[Odd-Limit]] oder das [[Limit|Prim-Limit]], wenn man ein Neji konstruiert.

Informell bezeichnet der Begriff "Neji" oft auch Skalen, die an andere Skalen mit irrationalen Frequenzverhältnissen (sowie [[MOS-Skalen]]) mit einer solchen Auswahl von Obertönen approximieren. Deshalb kann man möglicherweise von einem diatonischen Neji sprechen, oder einem [[1L 6s]]-Neji, usw.

Warum verwendet man ein Neji?
* Vom Standpunkt der Melodie und der Modulation aus verhält sich eine Neji-Skala meist ähnlich wie die Skala, an die sie approximiert. Darum behält ein Neji praktisch alle Vorteile von [[EDO]]s bei. Aber die Klangfarbe eines Neji-Akkordes ist weniger rau als beim entsprechenden irrationalen Akkord (bei einem harmonischen Timbre). Dies ergibt sich daraus, dass ein Neji einen Teil der Obertonreihe bildet: bei einem Neji ist die Schwingung des Zusammenklangs periodisch, anders als bei einem irrationalen Akkord.
* Eine Neji-Skala bietet leichte Variationen in der Klangfarbe eines EDO-Akkords und den Tonartencharakteren bei verschiedenen Tonarten, wie eine [[wohltemperierte Stimmung]].

Nejis spielen eine wichtige Rolle in der [[Primodalität]]s-Theorie der Xenharmonie-Komponistin [[Zhea Erose]]. Doch Nejis müssen nicht nur dem Zweck dienen, "primodale" Musik zu komponieren.

== Beispiele ==
Nehmen wir an, wir wollen eine (nicht so präzise, aber sehr konsonante) Neji-Annäherung an den [[diatonisch]]en Modus Lydisch, mit [[12-EDO]]-Werten 0¢-200¢-400¢-600¢-700¢-900¢-1100¢-1200¢. Dann bietet der Obertonreihen-Modus 14, d. h. die Obertöne 14, 15, 16, 17, ..., 28 eine Möglichkeit: der Akkord 14:16:18:20:21:24:27:28 (als eine Tonleiter gesehen) approximiert an die lydische Tonleiter mit [[Cent]]-Werten 0¢-231¢-435¢-617¢-702¢-933¢-1137¢-1200¢. Ein weiteres Beispiel eines Lydisch-Nejis stellt 16:18:20:23:24:27:30:32 (aus den Obertönen 16, 17, ..., 31, 32) dar, mit Cent-Werten 0¢-204¢-386¢-628¢-702¢-906¢-1088¢-1200¢.

Ein Beispiel für ein primodales 12-Neji (d. h. eine rationale Approximation an [[12-EDO]]) ist die folgende "undezimale" Skala, die Zhea Erose in "[https://www.youtube.com/watch?v=ubPwKxcp87g Eurybia]" verwendet: 22:23:25:26:28:30:31:33:35:37:39:42:44, mit Cent-Werten 77¢-221¢-289¢-417¢-537¢-594¢-702¢-804¢-900¢-991¢-1119¢-1200¢. (In Zheas Primodalitäts-Theorie heißt ein Neji oder ein reiner Akkord ''undezimal'', wenn die Tonika den Prim-Oberton 11 darstellt. Man beachte, dass hier das Voicing eine Rolle spielt: wenn die Tonika dieser Skala, der 22. Oberton, um eine Oktave niedriger erklingt, wird sie zum 11. Oberton; siehe [[Primodalität]].)

== Tools zum Erzeugen von Nejis ==

* Die Software [[Scala]] hat eine Funktion "Approximate" &gt; "Fit to harmonic scale", die sukzessive höhere und bessere Neji-Versionen der aktuellen Skala generiert.
* In ScaleWorkshop: "Modify" &gt; "Approximate by harmonics", dann den gemeinsamen Nenner aller Frequenzverhältnisse (äquivalent: den Obertonreihen-Modus) eingeben.

== Geschichte ==

Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch das zu Grunde liegende Konzept der Obertonreihen-Approximation war zuvor bereits von [[George Secor]] als ''quasi-equal rational tuning'' beschrieben worden.

[[Kategorie:Reine Stimmung]]
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Mit dem Begriff '''Neji''' /nɛd͡ʒi/ (für ''near-equal just intonation'' 'fast gleichstufige [[reine Stimmung]]') bezeichnet man eine Skala, deren Töne nahezu gleiche Abstände haben, aber deren Frequenzverhältnisse rational sind. Eine solche Skala wird aus einer Auswahl von [[Obertonreihe|Obertönen]] erzeugt, die aus dem Bereich ''n'' bis ''2n'' stammen. Diesen Bereich nennt man auch ''Modus der Obertonreihe'' (z.B. entspricht ''n=4'' dem Modus ''4, 5, 6, 7, 8''). Dabei ist die Zahl ''n'' die Nummer eines ''Teiltons'', dem Wert 1 entspricht also immer die Grundfrequenz der jeweiligen Obertonreihe. Dabei ist es auch wichtig zu beachten, dass Nejis eine Art einer ''irregulären'' Skala sind: anders als [[reguläre Temperaturen]] oder [[MOS-Skalen]], besitzt ein Neji kein "Generatorintervall", das man übereinander schichtet und dessen Größe sich nicht ändert. Man ignoriert auch das [[Odd-Limit]] oder das [[Limit|Prim-Limit]], wenn man ein Neji konstruiert.

Informell bezeichnet der Begriff "Neji" oft auch Skalen, die an andere Skalen mit irrationalen Frequenzverhältnissen (sowie [[MOS-Skalen]]) mit einer solchen Auswahl von Obertönen approximieren. Deshalb kann man möglicherweise von einem diatonischen Neji sprechen, oder einem [[1L 6s]]-Neji, usw.

Warum verwendet man ein Neji?
* Vom Standpunkt der Melodie und der Modulation aus verhält sich eine Neji-Skala meist ähnlich wie die Skala, an die sie approximiert. Darum behält ein Neji praktisch alle Vorteile von [[EDO]]s bei. Aber die Klangfarbe eines Neji-Akkordes ist weniger rau als beim entsprechenden irrationalen Akkord (bei einem harmonischen Timbre). Dies ergibt sich daraus, dass ein Neji einen Teil der Obertonreihe bildet: bei einem Neji ist die Schwingung des Zusammenklangs periodisch, anders als bei einem irrationalen Akkord.
* Eine Neji-Skala bietet leichte Variationen in der Klangfarbe eines EDO-Akkords und den Tonartencharakteren bei verschiedenen Tonarten, wie eine [[wohltemperierte Stimmung]].

Nejis spielen eine wichtige Rolle in der [[Primodalität]]s-Theorie der Xenharmonie-Komponistin [[Zhea Erose]]. Doch Nejis müssen nicht nur dem Zweck dienen, "primodale" Musik zu komponieren.

== Beispiele ==
Nehmen wir an, wir wollen eine (nicht so präzise, aber sehr konsonante) Neji-Annäherung an den [[diatonisch]]en Modus Lydisch, mit [[12-EDO]]-Werten 0¢-200¢-400¢-600¢-700¢-900¢-1100¢-1200¢. Dann bietet der Obertonreihen-Modus 14, d. h. die Teiltöne 14, 15, 16, 17, ..., 28 eine Möglichkeit: der Akkord 14:16:18:20:21:24:27:28 (als eine Tonleiter gesehen) approximiert an die lydische Tonleiter mit [[Cent]]-Werten 0¢-231¢-435¢-617¢-702¢-933¢-1137¢-1200¢. Ein weiteres Beispiel eines Lydisch-Nejis stellt 16:18:20:23:24:27:30:32 (aus den Teiltönen 16, 17, ..., 31, 32) dar, mit Cent-Werten 0¢-204¢-386¢-628¢-702¢-906¢-1088¢-1200¢.

Ein Beispiel für ein primodales 12-Neji (d. h. eine rationale Approximation an [[12-EDO]]) ist die folgende "undezimale" Skala, die Zhea Erose in "[https://www.youtube.com/watch?v=ubPwKxcp87g Eurybia]" verwendet: 22:23:25:26:28:30:31:33:35:37:39:42:44, mit Cent-Werten 77¢-221¢-289¢-417¢-537¢-594¢-702¢-804¢-900¢-991¢-1119¢-1200¢. (In Zheas Primodalitäts-Theorie heißt ein Neji oder ein reiner Akkord ''undezimal'', wenn die Tonika den Prim-Teilon 11 darstellt. Man beachte, dass hier das Voicing eine Rolle spielt: wenn die Tonika dieser Skala, der 22. Teilton, um eine Oktave niedriger erklingt, wird sie zum 11. Teilton; siehe [[Primodalität]].)

== Tools zum Erzeugen von Nejis ==

* Die Software [[Scala]] hat eine Funktion "Approximate" &gt; "Fit to harmonic scale", die sukzessive höhere und bessere Neji-Versionen der aktuellen Skala generiert.
* In ScaleWorkshop: "Modify" &gt; "Approximate by harmonics", dann den gemeinsamen Nenner aller Frequenzverhältnisse (äquivalent: den Obertonreihen-Modus) eingeben.

== Geschichte ==

Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch das zu Grunde liegende Konzept der Obertonreihen-Approximation war zuvor bereits von [[George Secor]] als ''quasi-equal rational tuning'' beschrieben worden.

[[Kategorie:Reine Stimmung]]
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}}
Mit dem Begriff '''Neji''' /nɛd͡ʒi/ (für ''near-equal just intonation'' 'fast gleichstufige [[reine Stimmung]]') bezeichnet man eine Skala, deren Töne nahezu gleiche Abstände haben, aber deren Frequenzverhältnisse rational sind. Eine solche Skala wird aus einer Auswahl von [[Obertonreihe|Obertönen]] erzeugt, die aus dem Bereich ''n'' bis ''2n'' stammen. Diesen Bereich nennt man auch ''Modus der Obertonreihe'' (z.B. entspricht ''n=4'' dem Modus ''4, 5, 6, 7, 8''). Dabei ist die Zahl ''n'' die Nummer eines ''Teiltons'', dem Wert 1 entspricht also immer die Grundfrequenz der jeweiligen Obertonreihe. Dabei ist es auch wichtig zu beachten, dass Nejis eine Art einer ''irregulären'' Skala sind: anders als [[reguläre Temperaturen]] oder [[MOS-Skalen]], besitzt ein Neji kein "Generatorintervall", das man übereinander schichtet und dessen Größe sich nicht ändert. Man ignoriert auch das [[Odd-Limit]] oder das [[Limit|Prim-Limit]], wenn man ein Neji konstruiert.

Informell bezeichnet der Begriff "Neji" oft auch Skalen, die an andere Skalen mit irrationalen Frequenzverhältnissen (sowie [[MOS-Skalen]]) mit einer solchen Auswahl von Obertönen approximieren. Deshalb kann man möglicherweise von einem diatonischen Neji sprechen, oder einem [[1L 6s]]-Neji, usw.

Warum verwendet man ein Neji?
* Vom Standpunkt der Melodie und der Modulation aus verhält sich eine Neji-Skala meist ähnlich wie die Skala, an die sie approximiert. Darum behält ein Neji praktisch alle Vorteile von [[EDO]]s bei. Aber die Klangfarbe eines Neji-Akkordes ist weniger rau als beim entsprechenden irrationalen Akkord (bei einem harmonischen Timbre). Dies ergibt sich daraus, dass ein Neji einen Teil der Obertonreihe bildet: bei einem Neji ist die Schwingung des Zusammenklangs periodisch, anders als bei einem irrationalen Akkord.
* Eine Neji-Skala bietet leichte Variationen in der Klangfarbe eines EDO-Akkords und den Tonartencharakteren bei verschiedenen Tonarten, wie eine [[wohltemperierte Stimmung]].

Nejis spielen eine wichtige Rolle in der [[Primodalität]]s-Theorie der Xenharmonie-Komponistin [[Zhea Erose]]. Doch Nejis müssen nicht nur dem Zweck dienen, "primodale" Musik zu komponieren.

== Beispiele ==
Nehmen wir an, wir wollen eine (nicht so präzise, aber sehr konsonante) Neji-Annäherung an den [[diatonisch]]en Modus Lydisch, mit [[12-EDO]]-Werten 0¢-200¢-400¢-600¢-700¢-900¢-1100¢-1200¢. Dann bietet der Obertonreihen-Modus 14, d. h. die Teiltöne 14, 15, 16, 17, ..., 28 eine Möglichkeit: der Akkord 14:16:18:20:21:24:27:28 (als eine Tonleiter gesehen) approximiert an die lydische Tonleiter mit [[Cent]]-Werten 0¢-231¢-435¢-617¢-702¢-933¢-1137¢-1200¢. Ein weiteres Beispiel eines Lydisch-Nejis stellt 16:18:20:23:24:27:30:32 (aus den Teiltönen 16, 17, ..., 31, 32) dar, mit Cent-Werten 0¢-204¢-386¢-628¢-702¢-906¢-1088¢-1200¢.

Ein Beispiel für ein primodales 12-Neji (d. h. eine rationale Approximation an [[12-EDO]]) ist die folgende "undezimale" Skala, die Zhea Erose in "[https://www.youtube.com/watch?v=ubPwKxcp87g Eurybia]" verwendet: 22:23:25:26:28:30:31:33:35:37:39:42:44, mit Cent-Werten 77¢-221¢-289¢-417¢-537¢-594¢-702¢-804¢-900¢-991¢-1119¢-1200¢. (In Zheas Primodalitäts-Theorie heißt ein Neji oder ein reiner Akkord ''undezimal'', wenn die Tonika den Prim-Teilon 11 darstellt. Man beachte, dass hier das Voicing eine Rolle spielt: wenn die Tonika dieser Skala, der 22. Teilton, um eine Oktave niedriger erklingt, wird sie zum 11. Teilton; siehe [[Primodalität]].)

== Tools zum Erzeugen von Nejis ==

* Die Software [[Scala]] hat eine Funktion "Approximate" &gt; "Fit to harmonic scale", die sukzessive höhere und nähere Neji-Versionen der aktuellen Skala generiert.
* In ScaleWorkshop: "Modify" &gt; "Approximate by harmonics", dann den gemeinsamen Nenner aller Frequenzverhältnisse (äquivalent: den Obertonreihen-Modus) eingeben.

== Geschichte ==

Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch das zu Grunde liegende Konzept der Obertonreihen-Approximation war zuvor bereits von [[George Secor]] als ''quasi-equal rational tuning'' beschrieben worden.

[[Kategorie:Reine Stimmung]]
[[Kategorie:Obertonreihe]]</text>
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}}
Mit dem Begriff '''Neji''' /nɛd͡ʒi/ (für ''near-equal just intonation'' 'fast gleichstufige [[reine Stimmung]]') bezeichnet man eine Skala, deren Töne nahezu gleiche Abstände haben, aber deren Frequenzverhältnisse rational sind. Eine solche Skala wird aus einer Auswahl von [[Obertonreihe|Obertönen]] erzeugt, die aus dem Bereich ''n'' bis ''2n'' stammen. Diesen Bereich nennt man auch ''Modus der Obertonreihe'' (z.B. entspricht ''n=4'' dem Modus ''4, 5, 6, 7, 8''). Dabei ist die Zahl ''n'' die Nummer eines ''Teiltons'', dem Wert 1 entspricht also immer die Grundfrequenz der jeweiligen Obertonreihe. Dabei ist es auch wichtig zu beachten, dass Nejis eine Art einer ''irregulären'' Skala sind: anders als [[reguläre Temperaturen]] oder [[MOS-Skalen]], besitzt ein Neji kein "Generatorintervall", das man übereinander schichtet und dessen Größe sich nicht ändert. Man ignoriert auch das [[Odd-Limit]] oder das [[Limit|Prim-Limit]], wenn man ein Neji konstruiert.

Informell bezeichnet der Begriff "Neji" oft auch Skalen, die an andere Skalen mit irrationalen Frequenzverhältnissen (sowie [[MOS-Skalen]]) mit einer solchen Auswahl von Obertönen approximieren. Deshalb kann man möglicherweise von einem diatonischen Neji sprechen, oder einem [[1L 6s]]-Neji, usw.

Warum verwendet man ein Neji?
* Vom Standpunkt der Melodie und der Modulation aus verhält sich eine Neji-Skala meist ähnlich wie die Skala, an die sie approximiert. Darum behält ein Neji praktisch alle Vorteile von [[EDO]]s bei. Aber die Klangfarbe eines Neji-Akkordes ist weniger rau als beim entsprechenden irrationalen Akkord (bei einem harmonischen Timbre). Dies ergibt sich daraus, dass ein Neji einen Teil der Obertonreihe bildet: bei einem Neji ist die Schwingung des Zusammenklangs periodisch, anders als bei einem irrationalen Akkord.
* Eine Neji-Skala bietet leichte Variationen in der Klangfarbe eines EDO-Akkords und den Tonartencharakteren bei verschiedenen Tonarten, wie eine [[wohltemperierte Stimmung]].

Nejis spielen eine wichtige Rolle in der [[Primodalität]]s-Theorie der Xenharmonie-Komponistin [[Zhea Erose]]. Doch Nejis müssen nicht nur dem Zweck dienen, "primodale" Musik zu komponieren.

== Beispiele ==
Nehmen wir an, wir wollen eine (nicht so präzise, aber sehr konsonante) Neji-Annäherung an den [[diatonisch]]en Modus Lydisch, mit [[12-EDO]]-Werten 0¢-200¢-400¢-600¢-700¢-900¢-1100¢-1200¢. Dann bietet der Obertonreihen-Modus 14, d. h. die Teiltöne 14, 15, 16, 17, ..., 28 eine Möglichkeit: der Akkord 14:16:18:20:21:24:27:28 (als eine Tonleiter gesehen) approximiert an die lydische Tonleiter mit [[Cent]]-Werten 0¢-231¢-435¢-617¢-702¢-933¢-1137¢-1200¢. Ein weiteres Beispiel eines Lydisch-Nejis stellt 16:18:20:23:24:27:30:32 (aus den Teiltönen 16, 17, ..., 31, 32) dar, mit Cent-Werten 0¢-204¢-386¢-628¢-702¢-906¢-1088¢-1200¢.

Ein Beispiel für ein primodales 12-Neji (d. h. eine rationale Approximation an [[12-EDO]]) ist die folgende "undezimale" Skala, die Zhea Erose in "[https://www.youtube.com/watch?v=ubPwKxcp87g Eurybia]" verwendet: 22:23:25:26:28:30:31:33:35:37:39:42:44, mit Cent-Werten 77¢-221¢-289¢-417¢-537¢-594¢-702¢-804¢-900¢-991¢-1119¢-1200¢. (In Zheas Primodalitäts-Theorie heißt ein Neji oder ein reiner Akkord ''undezimal'', wenn die Tonika den Prim-Teilton 11 darstellt. Man beachte, dass hier das Voicing eine Rolle spielt: wenn die Tonika dieser Skala, der 22. Teilton, um eine Oktave niedriger erklingt, wird sie zum 11. Teilton; siehe [[Primodalität]].)

== Tools zum Erzeugen von Nejis ==

* Die Software [[Scala]] hat eine Funktion "Approximate" &gt; "Fit to harmonic scale", die sukzessive höhere und nähere Neji-Versionen der aktuellen Skala generiert.
* In ScaleWorkshop: "Modify" &gt; "Approximate by harmonics", dann den gemeinsamen Nenner aller Frequenzverhältnisse (äquivalent: den Obertonreihen-Modus) eingeben.

== Geschichte ==

Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch das zu Grunde liegende Konzept der Obertonreihen-Approximation war zuvor bereits von [[George Secor]] als ''quasi-equal rational tuning'' beschrieben worden.

[[Kategorie:Reine Stimmung]]
[[Kategorie:Obertonreihe]]</text>
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Mit dem Begriff '''Neji''' /nɛd͡ʒi/ (für ''near-equal just intonation'' 'fast gleichstufige [[reine Stimmung]]') bezeichnet man eine Skala, deren Töne nahezu gleiche Abstände haben, aber deren Frequenzverhältnisse rational sind. Eine solche Skala wird aus einer Auswahl von [[Obertonreihe|Obertönen]] erzeugt, die aus dem Bereich ''n'' bis ''2n'' stammen. Diesen Bereich nennt man auch ''Modus der Obertonreihe'' (z.B. entspricht ''n=4'' dem Modus ''4, 5, 6, 7, 8''). Dabei ist die Zahl ''n'' die Nummer eines ''Teiltons'', dem Wert 1 entspricht also immer die Grundfrequenz der jeweiligen Obertonreihe. Dabei ist es auch wichtig zu beachten, dass Nejis eine Art einer ''irregulären'' Skala sind: anders als [[reguläre Temperaturen]] oder [[MOS-Skalen]], besitzt ein Neji kein "Generatorintervall", das man übereinander schichtet und dessen Größe sich nicht ändert. Man ignoriert auch das [[Odd-Limit]] oder das [[Limit|Prim-Limit]], wenn man ein Neji konstruiert.

Informell bezeichnet der Begriff "Neji" oft auch Skalen, die an andere Skalen mit irrationalen Frequenzverhältnissen (sowie [[MOS-Skalen]]) mit einer solchen Auswahl von Obertönen approximieren. Deshalb kann man möglicherweise von einem diatonischen Neji sprechen, oder einem [[1L 6s]]-Neji, usw.

Warum verwendet man ein Neji?
* Vom Standpunkt der Melodie und der Modulation aus verhält sich eine Neji-Skala meist ähnlich wie die Skala, an die sie approximiert. Darum behält ein Neji praktisch alle Vorteile von [[EDO]]s bei. Aber die Klangfarbe eines Neji-Akkordes ist weniger rau als beim entsprechenden irrationalen Akkord (bei einem harmonischen Timbre). Dies ergibt sich daraus, dass ein Neji einen Teil der Obertonreihe bildet: bei einem Neji ist die Schwingung des Zusammenklangs periodisch, anders als bei einem irrationalen Akkord.
* Eine Neji-Skala bietet leichte Variationen in der Klangfarbe eines EDO-Akkords und den Tonartencharakteren bei verschiedenen Tonarten, wie eine [[wohltemperierte Stimmung]].

Nejis spielen eine wichtige Rolle in der [[Primodalität]]s-Theorie der Xenharmonie-Komponistin [[Zhea Erose]]. Doch Nejis müssen nicht nur dem Zweck dienen, "primodale" Musik zu komponieren.

== Beispiele ==
Nehmen wir an, wir wollen eine (nicht so präzise, aber sehr konsonante) Neji-Annäherung an den [[diatonisch]]en Modus Lydisch, mit [[12-EDO]]-Werten 0¢-200¢-400¢-600¢-700¢-900¢-1100¢-1200¢. Dann bietet der Obertonreihen-Modus 14, d. h. die Teiltöne 14, 15, 16, 17, ..., 28 eine Möglichkeit: der Akkord 14:16:18:20:21:24:27:28 (als eine Tonleiter gesehen) approximiert an die lydische Tonleiter mit [[Cent]]-Werten 0¢-231¢-435¢-617¢-702¢-933¢-1137¢-1200¢. Ein weiteres Beispiel eines Lydisch-Nejis stellt 16:18:20:23:24:27:30:32 (aus den Teiltönen 16, 17, ..., 31, 32) dar, mit Cent-Werten 0¢-204¢-386¢-628¢-702¢-906¢-1088¢-1200¢.

Ein Beispiel für ein primodales 12-Neji (d. h. eine rationale Approximation an [[12-EDO]]) ist die folgende "undezimale" Skala, die Zhea Erose in "[https://www.youtube.com/watch?v=ubPwKxcp87g Eurybia]" verwendet: 22:23:25:26:28:30:31:33:35:37:39:42:44, mit Cent-Werten 77¢-221¢-289¢-417¢-537¢-594¢-702¢-804¢-900¢-991¢-1119¢-1200¢. (In Zheas Primodalitäts-Theorie heißt ein Neji oder ein reiner Akkord ''undezimal'', wenn die Tonika den Prim-Teilton 11 darstellt. Man beachte, dass hier das Voicing eine Rolle spielt: wenn die Tonika dieser Skala, der 22. Teilton, um eine Oktave niedriger erklingt, wird sie zum 11. Teilton; siehe [[Primodalität]].)

== Tools zum Erzeugen von Nejis ==

* Die Software [[Scala]] hat eine Funktion "Approximate" &gt; "Fit to harmonic scale", die sukzessive höhere und nähere Neji-Versionen der aktuellen Skala generiert.
* In ScaleWorkshop: "Modify" &gt; "Approximate by harmonics", dann den gemeinsamen Nenner aller Frequenzverhältnisse (äquivalent: den Obertonreihen-Modus) eingeben.

== Geschichte ==

Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch das zu Grunde liegende Konzept der Obertonreihen-Approximation war zuvor bereits von [[George Secor]] als ''quasi-equal rational tuning'' beschrieben worden.

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[[Kategorie:Obertonreihe]]
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Mit dem Begriff '''Neji''' /nɛd͡ʒi/ (für ''near-equal just intonation'' 'fast gleichstufige [[reine Stimmung]]') bezeichnet man eine Skala, deren Töne nahezu gleiche Abstände haben, aber deren Frequenzverhältnisse rational sind. Eine solche Skala wird aus einer Auswahl von [[Obertonreihe|Obertönen]] erzeugt, die aus dem Bereich ''n'' bis ''2n'' stammen. Diesen Bereich nennt man auch ''Modus der Obertonreihe'' (z.B. entspricht ''n=4'' dem Modus ''4, 5, 6, 7, 8''). Dabei ist die Zahl ''n'' die Nummer eines ''Teiltons'', dem Wert 1 entspricht also immer die Grundfrequenz der jeweiligen Obertonreihe. Dabei ist es auch wichtig zu beachten, dass Nejis eine Art einer ''irregulären'' Skala sind: anders als [[reguläre Temperaturen]] oder [[MOS-Skalen]], besitzt ein Neji kein "Generatorintervall", das man übereinander schichtet und dessen Größe sich nicht ändert. Man ignoriert auch das [[Odd-Limit]] oder das [[Limit|Prim-Limit]], wenn man ein Neji konstruiert.

Informell bezeichnet der Begriff "Neji" oft auch Skalen, die an andere Skalen mit irrationalen Frequenzverhältnissen (sowie [[MOS-Skalen]]) mit einer solchen Auswahl von Obertönen approximieren. Deshalb kann man möglicherweise von einem diatonischen Neji sprechen, oder einem [[1L 6s]]-Neji, usw.

Wozu verwendet man Nejis?
* Vom Standpunkt der Melodie und der Modulation aus verhält sich eine Neji-Skala meist ähnlich wie die Skala, an die sie approximiert. Darum behält ein Neji praktisch alle Vorteile von [[EDO]]s bei. Aber die Klangfarbe eines Neji-Akkordes ist weniger rau als beim entsprechenden irrationalen Akkord (bei einem harmonischen Timbre). Dies ergibt sich daraus, dass ein Neji einen Teil der Obertonreihe bildet: bei einem Neji ist die Schwingung des Zusammenklangs periodisch, anders als bei einem irrationalen Akkord.
* Eine Neji-Skala bietet leichte Variationen in der Klangfarbe eines EDO-Akkords und den Tonartencharakteren bei verschiedenen Tonarten, wie eine [[wohltemperierte Stimmung]].

Nejis spielen eine wichtige Rolle in der [[Primodalität]]s-Theorie der Xenharmonie-Komponistin [[Zhea Erose]]. Doch Nejis müssen nicht nur dem Zweck dienen, "primodale" Musik zu komponieren.

== Beispiele ==
Nehmen wir an, wir wollen eine (nicht so präzise, aber sehr konsonante) Neji-Annäherung an den [[diatonisch]]en Modus Lydisch, mit [[12-EDO]]-Werten 0¢-200¢-400¢-600¢-700¢-900¢-1100¢-1200¢. Dann bietet der Obertonreihen-Modus 14, d. h. die Teiltöne 14, 15, 16, 17, ..., 28 eine Möglichkeit: der Akkord 14:16:18:20:21:24:27:28 (als eine Tonleiter gesehen) approximiert an die lydische Tonleiter mit [[Cent]]-Werten 0¢-231¢-435¢-617¢-702¢-933¢-1137¢-1200¢. Ein weiteres Beispiel eines Lydisch-Nejis stellt 16:18:20:23:24:27:30:32 (aus den Teiltönen 16, 17, ..., 31, 32) dar, mit Cent-Werten 0¢-204¢-386¢-628¢-702¢-906¢-1088¢-1200¢.

Ein Beispiel für ein primodales 12-Neji (d. h. eine rationale Approximation an [[12-EDO]]) ist die folgende "undezimale" Skala, die Zhea Erose in "[https://www.youtube.com/watch?v=ubPwKxcp87g Eurybia]" verwendet: 22:23:25:26:28:30:31:33:35:37:39:42:44, mit Cent-Werten 77¢-221¢-289¢-417¢-537¢-594¢-702¢-804¢-900¢-991¢-1119¢-1200¢. (In Zheas Primodalitäts-Theorie heißt ein Neji oder ein reiner Akkord ''undezimal'', wenn die Tonika den Prim-Teilton 11 darstellt. Man beachte, dass hier das Voicing eine Rolle spielt: wenn die Tonika dieser Skala, der 22. Teilton, um eine Oktave niedriger erklingt, wird sie zum 11. Teilton; siehe [[Primodalität]].)

== Tools zum Erzeugen von Nejis ==

* Die Software [[Scala]] hat eine Funktion "Approximate" &gt; "Fit to harmonic scale", die sukzessive höhere und nähere Neji-Versionen der aktuellen Skala generiert.
* In ScaleWorkshop: "Modify" &gt; "Approximate by harmonics", dann den gemeinsamen Nenner aller Frequenzverhältnisse (äquivalent: den Obertonreihen-Modus) eingeben.

== Geschichte ==

Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch das zu Grunde liegende Konzept der Obertonreihen-Approximation war zuvor bereits von [[George Secor]] als ''quasi-equal rational tuning'' beschrieben worden.

[[Kategorie:Reine Stimmung]]
[[Kategorie:Obertonreihe]]
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Mit dem Begriff '''Neji''' /nɛd͡ʒi/ (für ''near-equal just intonation'' 'fast gleichstufige [[reine Stimmung]]') bezeichnet man eine Skala, deren Töne nahezu gleiche Abstände haben, aber deren Frequenzverhältnisse rational sind. Eine solche Skala wird aus einer Auswahl von [[Obertonreihe|Obertönen]] erzeugt, die aus dem Bereich ''n'' bis ''2n'' stammen. Diesen Bereich nennt man auch ''Modus der Obertonreihe'' (z.B. entspricht ''n=4'' dem Modus ''4, 5, 6, 7, 8''). Dabei ist die Zahl ''n'' die Nummer eines ''Teiltons'', dem Wert 1 entspricht also immer die Grundfrequenz der jeweiligen Obertonreihe. Dabei ist es auch wichtig zu beachten, dass Nejis eine Art einer ''irregulären'' Skala sind: anders als [[reguläre Temperaturen]] oder [[MOS-Skalen]] besitzt ein Neji kein "Generatorintervall", das man übereinander schichtet und dessen Größe sich nicht ändert. Man ignoriert auch das [[Odd-Limit]] oder das [[Limit|Prim-Limit]], wenn man ein Neji konstruiert.

Informell bezeichnet der Begriff "Neji" oft auch Skalen, die an andere Skalen mit irrationalen Frequenzverhältnissen (sowie [[MOS-Skalen]]) mit einer solchen Auswahl von Obertönen approximieren. Deshalb kann man möglicherweise von einem diatonischen Neji sprechen, oder einem [[1L 6s]]-Neji, usw.

Wozu verwendet man Nejis?
* Vom Standpunkt der Melodie und der Modulation aus verhält sich eine Neji-Skala meist ähnlich wie die Skala, an die sie approximiert. Darum behält ein Neji praktisch alle Vorteile von [[EDO]]s bei. Aber die Klangfarbe eines Neji-Akkordes ist weniger rau als beim entsprechenden irrationalen Akkord (bei einem harmonischen Timbre). Dies ergibt sich daraus, dass ein Neji einen Teil der Obertonreihe bildet: bei einem Neji ist die Schwingung des Zusammenklangs periodisch, anders als bei einem irrationalen Akkord.
* Eine Neji-Skala bietet leichte Variationen in der Klangfarbe eines EDO-Akkords und den Tonartencharakteren bei verschiedenen Tonarten, wie eine [[wohltemperierte Stimmung]].

Nejis spielen eine wichtige Rolle in der [[Primodalität]]s-Theorie der Xenharmonie-Komponistin [[Zhea Erose]]. Doch Nejis müssen nicht nur dem Zweck dienen, "primodale" Musik zu komponieren.

== Beispiele ==
Nehmen wir an, wir wollen eine (nicht so präzise, aber sehr konsonante) Neji-Annäherung an den [[diatonisch]]en Modus Lydisch, mit [[12-EDO]]-Werten 0¢-200¢-400¢-600¢-700¢-900¢-1100¢-1200¢. Dann bietet der Obertonreihen-Modus 14, d. h. die Teiltöne 14, 15, 16, 17, ..., 28 eine Möglichkeit: der Akkord 14:16:18:20:21:24:27:28 (als eine Tonleiter gesehen) approximiert an die lydische Tonleiter mit [[Cent]]-Werten 0¢-231¢-435¢-617¢-702¢-933¢-1137¢-1200¢. Ein weiteres Beispiel eines Lydisch-Nejis stellt 16:18:20:23:24:27:30:32 (aus den Teiltönen 16, 17, ..., 31, 32) dar, mit Cent-Werten 0¢-204¢-386¢-628¢-702¢-906¢-1088¢-1200¢.

Ein Beispiel für ein primodales 12-Neji (d. h. eine rationale Approximation an [[12-EDO]]) ist die folgende "undezimale" Skala, die Zhea Erose in "[https://www.youtube.com/watch?v=ubPwKxcp87g Eurybia]" verwendet: 22:23:25:26:28:30:31:33:35:37:39:42:44, mit Cent-Werten 77¢-221¢-289¢-417¢-537¢-594¢-702¢-804¢-900¢-991¢-1119¢-1200¢. (In Zheas Primodalitäts-Theorie heißt ein Neji oder ein reiner Akkord ''undezimal'', wenn die Tonika den Prim-Teilton 11 darstellt. Man beachte, dass hier das Voicing eine Rolle spielt: wenn die Tonika dieser Skala, der 22. Teilton, um eine Oktave niedriger erklingt, wird sie zum 11. Teilton; siehe [[Primodalität]].)

== Tools zum Erzeugen von Nejis ==

* Die Software [[Scala]] hat eine Funktion "Approximate" &gt; "Fit to harmonic scale", die sukzessive höhere und nähere Neji-Versionen der aktuellen Skala generiert.
* In ScaleWorkshop: "Modify" &gt; "Approximate by harmonics", dann den gemeinsamen Nenner aller Frequenzverhältnisse (äquivalent: den Obertonreihen-Modus) eingeben.

== Geschichte ==

Den heutzutage gebräuchlichsten Begriff "neji" prägte Zhea Erose, doch das zu Grunde liegende Konzept der Obertonreihen-Approximation war zuvor bereits von [[George Secor]] als ''quasi-equal rational tuning'' beschrieben worden.

[[Kategorie:Reine Stimmung]]
[[Kategorie:Obertonreihe]]
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'''21-EDO''' teilt die [[Oktave]] in 21 gleiche Stufen von ungefähr 57,1 [[Cent]].

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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''21-EDO''' teilt die [[Oktave]] in 21 gleiche Stufen von ungefähr 57,1 [[Cent]].

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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''21-EDO''' teilt die [[Oktave]] in 21 gleiche Stufen von ungefähr 57,1 [[Cent]].

= Grundeigenschaften, Approximation reiner Intervalle =
21 ist gleich 3*7, und 21-EDO kombiniert entsprechend die Eigenschaften der entsprechenden kleineren EDOs. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 ist dieselbe wie die von 7-EDO, mit 685.71 [[Cent]] ziemlich tief (und für ein System dieser Grösse nicht übermässig gut). Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist dieselbe wie die von 3-EDO wir auch der Standardstimmung [[12-EDO]], relativ gut, aber auch nicht übermässig gut angesichts der Grösse des Systems.

[Todo weitere Eigenschaften]


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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''21-EDO''' teilt die [[Oktave]] in 21 gleiche Stufen von ungefähr 57,1 [[Cent]].

= Grundeigenschaften, Approximation reiner Intervalle =
21 ist gleich 3*7, und 21-EDO kombiniert entsprechend die Eigenschaften dieser beiden kleineren EDOs. 

Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 ist dieselbe wie die von 7-EDO, mit 685.71 [[Cent]] etwa 16.242 Cent tiefer als die reine Version (durchaus annehmbar, aber deutlich weniger gut als in der Standardstimung 12-EDO - und das, obwohl 21-EDO fast doppelt so viele Töne hat). 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist gleich gut wie die von 3-EDO wie auch der Standardstimmung [[12-EDO]] (13.686 Cent höher).

[Todo weitere Eigenschaften]


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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

'''21-EDO''' teilt die [[Oktave]] in 21 gleiche Stufen von ungefähr 57,1 [[Cent]].

= Grundeigenschaften, Approximation reiner Intervalle =
21 ist gleich 3*7, und 21-EDO kombiniert entsprechend die Eigenschaften dieser beiden kleineren EDOs. 

Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 ist dieselbe wie die von [[7-EDO]], mit 685.71 [[Cent]] etwa 16.242 Cent tiefer als die reine Version (durchaus annehmbar, aber deutlich weniger gut als in der Standardstimung [[12-EDO]] - und das, obwohl 21-EDO fast doppelt so viele Töne hat). 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist gleich gut wie die von 3-EDO wie auch der Standardstimmung 12-EDO (13.686 Cent höher).

[Todo weitere Eigenschaften]


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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''21-EDO''' teilt die [[Oktave]] in 21 gleiche Stufen von ungefähr 57,1 [[Cent]].

= Grundeigenschaften, Approximation reiner Intervalle =
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Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 ist dieselbe wie die von 7-EDO, mit 685.71 [[Cent]] etwa 16.242 Cent tiefer als die reine Version (durchaus annehmbar, aber deutlich weniger gut als in der Standardstimung [[12-EDO]] - und das, obwohl 21-EDO fast doppelt so viele Töne hat). 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist gleich gut wie die von 3-EDO wie auch der Standardstimmung 12-EDO (13.686 Cent höher).

[Todo weitere Eigenschaften]


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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''21-EDO''' teilt die [[Oktave]] in 21 gleiche Stufen von ungefähr 57,1 [[Cent]].

= Grundeigenschaften, Approximation reiner Intervalle =
21 ist gleich 3*7, und 21-EDO kombiniert entsprechend die Eigenschaften der beiden kleineren EDOs [[3-EDO]] und [[7-EDO]]. 

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Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist gleich gut wie die von 3-EDO wie auch der Standardstimmung 12-EDO (13.686 Cent höher).

[Todo weitere Eigenschaften]


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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''21-EDO''' teilt die [[Oktave]] in 21 gleiche Stufen von ungefähr 57,1 [[Cent]].

= Grundeigenschaften, Approximation reiner Intervalle =
21 ist gleich 3*7, und 21-EDO kombiniert entsprechend die Eigenschaften der beiden kleineren EDOs [[3-EDO]] und [[7-EDO]]. 

Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 ist dieselbe wie die von 7-EDO, mit 685.71 [[Cent]] etwa 16.242 Cent tiefer als die reine Version (durchaus annehmbar, aber deutlich weniger gut als in der Standardstimung [[12-EDO]] - und das, obwohl 21-EDO fast doppelt so viele Töne hat). 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist gleich gut wie die von 3-EDO wie auch der Standardstimmung 12-EDO (13.686 Cent höher).
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Als gleichstufiges Tonsystem mit durch 3 teilbarer Anzahl Töne enthält 21-EDO den vollsymmetrischen übermässigen Dreiklang und unterstützt die [[Übermässige Temperaturen|übermässige]] Temperatur. 

Als gleichstufiges Tonsystem mit durch 7 teilbarer Anzahl Töne unterstützt es die [[Whitewood]]-Temperatur, bis 7-[[P-Limit]].

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[Todo weitere]

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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''21-EDO''' teilt die [[Oktave]] in 21 gleiche Stufen von ungefähr 57,1 [[Cent]].

= Grundeigenschaften, Approximation reiner Intervalle =
21 ist gleich 3*7, und 21-EDO kombiniert entsprechend die Eigenschaften der beiden kleineren EDOs [[3-EDO]] und [[7-EDO]]. 

Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 ist dieselbe wie die von 7-EDO, mit 685.71 [[Cent]] etwa 16.242 Cent tiefer als die reine Version (durchaus annehmbar, aber deutlich weniger gut als in der Standardstimung [[12-EDO]] - und das, obwohl 21-EDO fast doppelt so viele Töne hat). 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist gleich gut wie die von 3-EDO wie auch der Standardstimmung 12-EDO (13.686 Cent höher).
= Reguläre Temperaturen =
Als gleichstufiges Tonsystem mit durch 3 teilbarer Anzahl Töne enthält 21-EDO den vollsymmetrischen übermässigen Dreiklang und unterstützt die [[Übermässige Temperaturen|übermässige]] Temperatur. 

Als gleichstufiges Tonsystem mit durch 7 teilbarer Anzahl Töne unterstützt es die [[Whitewood]]-Temperatur, bis 7-[[P-Limit]].

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[Todo weitere]

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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''21-EDO''' teilt die [[Oktave]] in 21 gleiche Stufen von ungefähr 57,1 [[Cent]].

= Grundeigenschaften, Approximation reiner Intervalle =
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Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 ist dieselbe wie die von 7-EDO, mit 685.71 [[Cent]] etwa 16.242 Cent tiefer als die reine Version (durchaus annehmbar, aber deutlich weniger gut als in der Standardstimung [[12-EDO]] - und das, obwohl 21-EDO fast doppelt so viele Töne hat). 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist gleich gut wie die von 3-EDO wie auch der Standardstimmung 12-EDO (13.686 Cent höher).
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Als gleichstufiges Tonsystem mit durch 3 teilbarer Anzahl Töne enthält 21-EDO den vollsymmetrischen übermässigen Dreiklang und unterstützt die [[Übermässige Temperaturen|übermässige]] Temperatur. 

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[[Datei:Whitewood14 21edo.mp3|Vierzehntönige Whitewood-Skala (sLsLsLsLsLsLsL) in 21-EDO]]

Vierzehntönige Whitewood-Skala (Dur, sLsLsLsLsLsLsL) in 21-EDO

Ferner unterstützt 21-EDO die [[Slendrisch|slendrische Temperatur]] mit der Teilung der Quinte in 3 gleiche Teile, in der [[Slendrisch#Gorgo|Gorgo]]- Variante.

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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''21-EDO''' teilt die [[Oktave]] in 21 gleiche Stufen von ungefähr 57,1 [[Cent]].

= Grundeigenschaften, Approximation reiner Intervalle =
21 ist gleich 3*7, und 21-EDO kombiniert entsprechend die Eigenschaften der beiden kleineren EDOs [[3-EDO]] und [[7-EDO]]. 

Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 ist dieselbe wie die von 7-EDO, mit 685.71 [[Cent]] etwa 16.242 Cent tiefer als die reine Version (durchaus annehmbar, aber deutlich weniger gut als in der Standardstimung [[12-EDO]] - und das, obwohl 21-EDO fast doppelt so viele Töne hat). 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist gleich gut wie die von 3-EDO wie auch der Standardstimmung 12-EDO (13.686 Cent höher).
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Als gleichstufiges Tonsystem mit durch 3 teilbarer Anzahl Töne enthält 21-EDO den vollsymmetrischen übermässigen Dreiklang und unterstützt die [[Übermässige Temperaturen|übermässige]] Temperatur. 

Als gleichstufiges Tonsystem mit durch 7 teilbarer Anzahl Töne unterstützt es die [[Whitewood]]-Temperatur, bis 7-[[P-Limit]].

[[Datei:Whitewood14 21edo.mp3|Vierzehntönige Whitewood-Skala (sLsLsLsLsLsLsL) in 21-EDO]]

Vierzehntönige Whitewood-Skala (Dur, sLsLsLsLsLsLsL) in 21-EDO

Ferner unterstützt 21-EDO die [[Slendrisch|slendrische Temperatur]] mit der Teilung der Quinte in 3 gleiche Teile, in der [[Slendrisch#Gorgo|Gorgo]]- Variante.

Weitere Varianten siehe im [https://en.xen.wiki/w/21edo englischen Xenwiki]
[[en:21edo]].

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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''21-EDO''' teilt die [[Oktave]] in 21 gleiche Stufen von ungefähr 57,1 [[Cent]].

= Grundeigenschaften, Approximation reiner Intervalle =
21 ist gleich 3*7, und 21-EDO kombiniert entsprechend die Eigenschaften der beiden kleineren EDOs [[3-EDO]] und [[7-EDO]]. 

Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 ist dieselbe wie die von 7-EDO, mit 685.71 [[Cent]] etwa 16.242 Cent tiefer als die reine Version (durchaus annehmbar, aber deutlich weniger gut als in der Standardstimung [[12-EDO]] - und das, obwohl 21-EDO fast doppelt so viele Töne hat). 

Die beste Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] ist gleich gut wie die von 3-EDO wie auch der Standardstimmung 12-EDO (13.686 Cent höher).
= Reguläre Temperaturen =
Als gleichstufiges Tonsystem mit durch 3 teilbarer Anzahl Töne enthält 21-EDO den vollsymmetrischen übermässigen Dreiklang und unterstützt die [[Übermässige Temperaturen|übermässige]] Temperatur. 

Als gleichstufiges Tonsystem mit durch 7 teilbarer Anzahl Töne unterstützt es die [[Whitewood]]-Temperatur, bis 7-[[P-Limit]].

[[Datei:Whitewood14 21edo.mp3|Vierzehntönige Whitewood-Skala (sLsLsLsLsLsLsL) in 21-EDO]]

Vierzehntönige Whitewood-Skala (Dur, sLsLsLsLsLsLsL) in 21-EDO

Ferner unterstützt 21-EDO die [[Slendrisch|slendrische Temperatur]] mit der Teilung der Quinte in 3 gleiche Teile, in der [[Slendrisch#Gorgo|Gorgo]]- Variante. 

Die Quinte von 21-EDO ist sogar in sechs gleich Teile teilbar, was eine [[Miracle]]-Temperatur ergibt.

Weitere Varianten siehe im [https://en.xen.wiki/w/21edo englischen Xenwiki]
[[en:21edo]].

[[Kategorie:EDO]]</text>
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'''11-EDO''' teilt die [[Oktave]] in 11 gleiche Stufen von ungefähr 109,1 [[Cent]].

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Der einleitende Satz ist zu kompliziert. Kein Mensch hat ein so großes Arbeitsgedächtnis, das es ihm erlauben würde, ihn zu verstehen, ohne mehrmals von vorne beginnen zu müssen. Also ich komme jedenfalls so nicht durch. Soweit ich weiß, besteht eine solche Skala aus Tönen der Obertonreihe, einer Auswahl aus einem Bereich n bis 2n, wobei n für eine Partialtonnummer steht. Also z.B. &lt;code&gt;5, 6, 7, 8, 9, 10&lt;/code&gt;. Von echten Nejis spricht man vermutlich erst ab einer gewissen Größe von n, so dass tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird und man nicht jeden Oberton einbezieht. Also z.B. &lt;code&gt;10, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 20&lt;/code&gt;. Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen. Stimmt das so? Ich denke, man sollte die Einleitung lieber in mehrere Sätze aufteilen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 22:13, 15. Jun. 2021 (UTC)</text>
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      <text bytes="1886" sha1="cfmbnxnngeece68vb8hlcmmihsw810h" xml:space="preserve">== Einleitung ==

Der einleitende Satz ist zu kompliziert. Kein Mensch hat ein so großes Arbeitsgedächtnis, das es ihm erlauben würde, ihn zu verstehen, ohne mehrmals von vorne beginnen zu müssen. Also ich komme jedenfalls so nicht durch. Soweit ich weiß, besteht eine solche Skala aus Tönen der Obertonreihe, einer Auswahl aus einem Bereich n bis 2n, wobei n für eine Partialtonnummer steht. Also z.B. &lt;code&gt;5, 6, 7, 8, 9, 10&lt;/code&gt;. Von echten Nejis spricht man vermutlich erst ab einer gewissen Größe von n, so dass tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird und man nicht jeden Oberton einbezieht. Also z.B. &lt;code&gt;10, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 20&lt;/code&gt;. Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen. Stimmt das so? Ich denke, man sollte die Einleitung lieber in mehrere Sätze aufteilen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 22:13, 15. Jun. 2021 (UTC)

:"tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird": Ja, man wählt ein konkretes ''n'' und wählt aus den Obertönen n, n+1, n+2, ..., 2n-1, 2n diese Tonhöhen, die als Ganzes betrachtet an die ursprüngliche Skala gut genug annähern. Es ist möglich, dass man einen hohen Wert von ''n'' braucht (weil man eine sehr präzise Approximation an die Skala möchte). Oder man kann möglicherweise ein niedrigeres ''n'' wählen, für einen deutlicheren akustischen Effekt von JI.

: "Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen." Das hängt davon ab, an welche Skala man approximieren will. Bei EDOs würde man mehr Töne im ''hohen'' Bereich auslassen, denn die Obertonreihe hat mehr Töne für die gleiche Raumgröße in hohen Bereichen.

: Ich hoffe, ein Kommentar hat klargestellt, was ich geschrieben habe. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 00:19, 16. Jun. 2021 (UTC)</text>
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      <text bytes="1886" sha1="racic856888ifbi0pspgyha328w6nzi" xml:space="preserve">== Einleitung ==

Der einleitende Satz ist zu kompliziert. Kein Mensch hat ein so großes Arbeitsgedächtnis, das es ihm erlauben würde, ihn zu verstehen, ohne mehrmals von vorne beginnen zu müssen. Also ich komme jedenfalls so nicht durch. Soweit ich weiß, besteht eine solche Skala aus Tönen der Obertonreihe, einer Auswahl aus einem Bereich n bis 2n, wobei n für eine Partialtonnummer steht. Also z.B. &lt;code&gt;5, 6, 7, 8, 9, 10&lt;/code&gt;. Von echten Nejis spricht man vermutlich erst ab einer gewissen Größe von n, so dass tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird und man nicht jeden Oberton einbezieht. Also z.B. &lt;code&gt;10, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 20&lt;/code&gt;. Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen. Stimmt das so? Ich denke, man sollte die Einleitung lieber in mehrere Sätze aufteilen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 22:13, 15. Jun. 2021 (UTC)

:"tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird": Ja, man wählt ein konkretes ''n'' und wählt aus den Obertönen n, n+1, n+2, ..., 2n-1, 2n diese Tonhöhen, die als Ganzes betrachtet an die ursprüngliche Skala gut genug annähern. Es ist möglich, dass man einen hohen Wert von ''n'' braucht (weil man eine sehr präzise Approximation an die Skala möchte). Oder man kann möglicherweise ein niedrigeres ''n'' wählen, für einen deutlicheren akustischen Effekt von JI.

: "Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen." Das hängt davon ab, an welche Skala man approximieren will. Bei EDOs würde man mehr Töne im ''hohen'' Bereich auslassen, denn die Obertonreihe hat mehr Töne für die gleiche Raumgröße in hohen Bereichen.

: Ich hoffe, meine Antwort hat klargestellt, was ich geschrieben habe. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 00:19, 16. Jun. 2021 (UTC)</text>
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Der einleitende Satz ist zu kompliziert. Kein Mensch hat ein so großes Arbeitsgedächtnis, das es ihm erlauben würde, ihn zu verstehen, ohne mehrmals von vorne beginnen zu müssen. Also ich komme jedenfalls so nicht durch. Soweit ich weiß, besteht eine solche Skala aus Tönen der Obertonreihe, einer Auswahl aus einem Bereich n bis 2n, wobei n für eine Partialtonnummer steht. Also z.B. &lt;code&gt;5, 6, 7, 8, 9, 10&lt;/code&gt;. Von echten Nejis spricht man vermutlich erst ab einer gewissen Größe von n, so dass tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird und man nicht jeden Oberton einbezieht. Also z.B. &lt;code&gt;10, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 20&lt;/code&gt;. Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen. Stimmt das so? Ich denke, man sollte die Einleitung lieber in mehrere Sätze aufteilen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 22:13, 15. Jun. 2021 (UTC)

:"tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird": Ja, man wählt ein konkretes ''n'' und wählt aus den Obertönen n, n+1, n+2, ..., 2n-1, 2n diese Tonhöhen, die als Ganzes betrachtet an die ursprüngliche Skala gut genug annähern. Es ist möglich, dass man einen hohen Wert von ''n'' braucht (weil man eine sehr präzise Approximation an die Skala möchte). Oder man kann möglicherweise ein niedrigeres ''n'' wählen, für einen deutlicheren akustischen Effekt von JI.

: "Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen." Das hängt davon ab, an welche Skala man approximieren will. Bei EDOs würde man mehr Töne im ''hohen'' Bereich auslassen, denn die Obertonreihe hat mehr Töne für die gleiche Raumgröße in hohen Bereichen.

: Ich hoffe, meine Antwort (und die neuen Beispiele im Artikel) hat klargestellt, was ich geschrieben habe. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 00:19, 16. Jun. 2021 (UTC)</text>
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Der einleitende Satz ist zu kompliziert. Kein Mensch hat ein so großes Arbeitsgedächtnis, das es ihm erlauben würde, ihn zu verstehen, ohne mehrmals von vorne beginnen zu müssen. Also ich komme jedenfalls so nicht durch. Soweit ich weiß, besteht eine solche Skala aus Tönen der Obertonreihe, einer Auswahl aus einem Bereich n bis 2n, wobei n für eine Partialtonnummer steht. Also z.B. &lt;code&gt;5, 6, 7, 8, 9, 10&lt;/code&gt;. Von echten Nejis spricht man vermutlich erst ab einer gewissen Größe von n, so dass tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird und man nicht jeden Oberton einbezieht. Also z.B. &lt;code&gt;10, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 20&lt;/code&gt;. Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen. Stimmt das so? Ich denke, man sollte die Einleitung lieber in mehrere Sätze aufteilen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 22:13, 15. Jun. 2021 (UTC)

:"tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird": Ja, man wählt ein konkretes ''n'' und wählt aus den Obertönen n, n+1, n+2, ..., 2n-1, 2n diese Tonhöhen, die als Ganzes betrachtet an die ursprüngliche Skala gut genug annähern. Es ist möglich, dass man einen hohen Wert von ''n'' braucht (weil man eine sehr präzise Approximation an die Skala möchte). Oder man kann möglicherweise ein niedrigeres ''n'' wählen, für einen deutlicheren akustischen Effekt von JI.

: "Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen." Das hängt davon ab, an welche Skala man approximieren will. Bei EDOs würde man mehr Töne im ''hohen'' Bereich auslassen, denn die Obertonreihe hat mehr Töne für die gleiche Raumgröße in hohen Bereichen.

: Ich hoffe, meine Antwort (und die neuen Beispiele im Artikel) hat klargestellt, was ich geschrieben habe. Ich habe auch versucht einige mögliche Gründe zu erklären, warum man ein Neji verwenden möchte. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 00:19, 16. Jun. 2021 (UTC)</text>
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Der einleitende Satz ist zu kompliziert. Kein Mensch hat ein so großes Arbeitsgedächtnis, das es ihm erlauben würde, ihn zu verstehen, ohne mehrmals von vorne beginnen zu müssen. Also ich komme jedenfalls so nicht durch. Soweit ich weiß, besteht eine solche Skala aus Tönen der Obertonreihe, einer Auswahl aus einem Bereich n bis 2n, wobei n für eine Partialtonnummer steht. Also z.B. &lt;code&gt;5, 6, 7, 8, 9, 10&lt;/code&gt;. Von echten Nejis spricht man vermutlich erst ab einer gewissen Größe von n, so dass tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird und man nicht jeden Oberton einbezieht. Also z.B. &lt;code&gt;10, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 20&lt;/code&gt;. Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen. Stimmt das so? Ich denke, man sollte die Einleitung lieber in mehrere Sätze aufteilen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 22:13, 15. Jun. 2021 (UTC)

:"tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird": Ja, man wählt ein konkretes ''n'' und wählt aus den Obertönen n, n+1, n+2, ..., 2n-1, 2n diese Tonhöhen, die als Ganzes betrachtet an die ursprüngliche Skala gut genug annähern. Es ist möglich, dass man einen hohen Wert von ''n'' braucht (weil man eine sehr präzise Approximation an die Skala möchte). Oder man kann möglicherweise ein niedrigeres ''n'' wählen, für einen deutlicheren akustischen Effekt von JI.

: "Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen." Das hängt davon ab, an welche Skala man approximieren will. Bei EDOs würde man mehr Töne im ''hohen'' Bereich auslassen, denn die Obertonreihe hat mehr Töne für die gleiche Raumgröße in hohen Bereichen.

: Ich hoffe, meine Antwort (und die neuen Beispiele im Artikel) hat klargestellt, was ich geschrieben habe. Ich habe auch versucht einige mögliche Gründe zu erklären, warum man ein Neji verwenden würde. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 00:19, 16. Jun. 2021 (UTC)</text>
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Der einleitende Satz ist zu kompliziert. Kein Mensch hat ein so großes Arbeitsgedächtnis, das es ihm erlauben würde, ihn zu verstehen, ohne mehrmals von vorne beginnen zu müssen. Also ich komme jedenfalls so nicht durch. Soweit ich weiß, besteht eine solche Skala aus Tönen der Obertonreihe, einer Auswahl aus einem Bereich n bis 2n, wobei n für eine Partialtonnummer steht. Also z.B. &lt;code&gt;5, 6, 7, 8, 9, 10&lt;/code&gt;. Von echten Nejis spricht man vermutlich erst ab einer gewissen Größe von n, so dass tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird und man nicht jeden Oberton einbezieht. Also z.B. &lt;code&gt;10, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 20&lt;/code&gt;. Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen. Stimmt das so? Ich denke, man sollte die Einleitung lieber in mehrere Sätze aufteilen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 22:13, 15. Jun. 2021 (UTC)

:"tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird": Ja, man wählt ein konkretes ''n'' und wählt aus den Obertönen n, n+1, n+2, ..., 2n-1, 2n diese Tonhöhen, die als Ganzes betrachtet an die ursprüngliche Skala (für seinen Zweck) gut genug annähern. Es ist möglich, dass man einen hohen Wert von ''n'' braucht (weil man eine sehr präzise Approximation an die Skala möchte). Oder man kann möglicherweise ein niedrigeres ''n'' wählen, für einen deutlicheren akustischen Effekt von JI.

: "Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen." Das hängt davon ab, an welche Skala man approximieren will. Bei EDOs würde man mehr Töne im ''hohen'' Bereich auslassen, denn die Obertonreihe hat mehr Töne für die gleiche Raumgröße in hohen Bereichen.

: Ich hoffe, meine Antwort (und die neuen Beispiele im Artikel) hat klargestellt, was ich geschrieben habe. Ich habe auch versucht einige mögliche Gründe zu erklären, warum man ein Neji verwenden würde. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 00:19, 16. Jun. 2021 (UTC)</text>
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Der einleitende Satz ist zu kompliziert. Kein Mensch hat ein so großes Arbeitsgedächtnis, das es ihm erlauben würde, ihn zu verstehen, ohne mehrmals von vorne beginnen zu müssen. Also ich komme jedenfalls so nicht durch. Soweit ich weiß, besteht eine solche Skala aus Tönen der Obertonreihe, einer Auswahl aus einem Bereich n bis 2n, wobei n für eine Partialtonnummer steht. Also z.B. &lt;code&gt;5, 6, 7, 8, 9, 10&lt;/code&gt;. Von echten Nejis spricht man vermutlich erst ab einer gewissen Größe von n, so dass tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird und man nicht jeden Oberton einbezieht. Also z.B. &lt;code&gt;10, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 20&lt;/code&gt;. Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen. Stimmt das so? Ich denke, man sollte die Einleitung lieber in mehrere Sätze aufteilen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 22:13, 15. Jun. 2021 (UTC)

:"tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird": Ja, man wählt ein konkretes ''n'' und wählt aus den Obertönen n, n+1, n+2, ..., 2n-1, 2n diese Tonhöhen, die als Ganzes betrachtet an die ursprüngliche Skala (für seinen Zweck) gut genug annähern. Es ist möglich, dass man einen hohen Wert von ''n'' braucht (weil man eine sehr präzise Approximation an die Skala möchte). Oder man kann möglicherweise ein niedrigeres ''n'' wählen, für einen deutlicheren akustischen Effekt von JI. Manchmal hat man Glück und findet einen relativ niedrigen Modus ''n'', der trotzdem daran relativ gut approximiert.

: "Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen." Das hängt davon ab, an welche Skala man approximieren will. Bei EDOs würde man mehr Töne im ''hohen'' Bereich auslassen, denn die Obertonreihe hat mehr Töne für die gleiche Raumgröße in hohen Bereichen.

: Ich hoffe, meine Antwort (und die neuen Beispiele im Artikel) hat klargestellt, was ich geschrieben habe. Ich habe auch versucht einige mögliche Gründe zu erklären, warum man ein Neji verwenden würde. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 00:19, 16. Jun. 2021 (UTC)</text>
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Der einleitende Satz ist zu kompliziert. Kein Mensch hat ein so großes Arbeitsgedächtnis, das es ihm erlauben würde, ihn zu verstehen, ohne mehrmals von vorne beginnen zu müssen. Also ich komme jedenfalls so nicht durch. Soweit ich weiß, besteht eine solche Skala aus Tönen der Obertonreihe, einer Auswahl aus einem Bereich n bis 2n, wobei n für eine Partialtonnummer steht. Also z.B. &lt;code&gt;5, 6, 7, 8, 9, 10&lt;/code&gt;. Von echten Nejis spricht man vermutlich erst ab einer gewissen Größe von n, so dass tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird und man nicht jeden Oberton einbezieht. Also z.B. &lt;code&gt;10, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 20&lt;/code&gt;. Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen. Stimmt das so? Ich denke, man sollte die Einleitung lieber in mehrere Sätze aufteilen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 22:13, 15. Jun. 2021 (UTC)

:"tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird": Ja, man wählt ein konkretes ''n'' und wählt aus den Obertönen n, n+1, n+2, ..., 2n-1, 2n diese Tonhöhen, die als Ganzes betrachtet an die ursprüngliche Skala (für seinen Zweck) gut genug annähern. Es ist möglich, dass man einen hohen Wert von ''n'' braucht (weil man eine sehr präzise Approximation an die Skala möchte). Oder man kann möglicherweise ein niedrigeres ''n'' wählen, für einen deutlicheren akustischen Effekt von JI. Manchmal hat man Glück und findet einen relativ niedrigen Modus ''n'', der trotzdem daran relativ gut approximiert.

: "Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen." Das hängt davon ab, an welche Skala man approximieren will. Bei EDOs würde man mehr Töne im ''hohen'' Bereich auslassen, denn die Obertonreihe hat mehr Töne für die gleiche Raumgröße in hohen Bereichen.

: Ich hoffe, meine Antwort (und die neuen Beispiele im Artikel) hat klargestellt, was ich geschrieben habe. Ich habe auch versucht einige mögliche Gründe zu erklären, warum man ein Neji verwenden würde. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 00:19, 16. Jun. 2021 (UTC)

: "Ich denke, man sollte die Einleitung lieber in mehrere Sätze aufteilen." Ok, wir wollen irgendwie das ganze Verfahren bezeichnen: (1) die ursprünglichen Skala, (2) das Auswählen einer Oktave in der Obertonreihe, d.h. die Obertöne n, ..., 2n, und (3) das Auswählen von Tönen. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 01:04, 16. Jun. 2021 (UTC)</text>
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Der einleitende Satz ist zu kompliziert. Kein Mensch hat ein so großes Arbeitsgedächtnis, das es ihm erlauben würde, ihn zu verstehen, ohne mehrmals von vorne beginnen zu müssen. Also ich komme jedenfalls so nicht durch. Soweit ich weiß, besteht eine solche Skala aus Tönen der Obertonreihe, einer Auswahl aus einem Bereich n bis 2n, wobei n für eine Partialtonnummer steht. Also z.B. &lt;code&gt;5, 6, 7, 8, 9, 10&lt;/code&gt;. Von echten Nejis spricht man vermutlich erst ab einer gewissen Größe von n, so dass tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird und man nicht jeden Oberton einbezieht. Also z.B. &lt;code&gt;10, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 20&lt;/code&gt;. Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen. Stimmt das so? Ich denke, man sollte die Einleitung lieber in mehrere Sätze aufteilen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 22:13, 15. Jun. 2021 (UTC)

:"tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird": Ja, man wählt ein konkretes ''n'' und wählt aus den Obertönen n, n+1, n+2, ..., 2n-1, 2n diese Tonhöhen, die als Ganzes betrachtet an die ursprüngliche Skala (für seinen Zweck) gut genug annähern. Es ist möglich, dass man einen hohen Wert von ''n'' braucht (weil man eine sehr präzise Approximation an die Skala möchte). Oder man kann möglicherweise ein niedrigeres ''n'' wählen, für einen deutlicheren akustischen Effekt von JI. Manchmal hat man Glück und findet einen relativ niedrigen Modus ''n'', der trotzdem daran relativ gut approximiert.

: "Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen." Das hängt davon ab, an welche Skala man approximieren will. Bei EDOs würde man mehr Töne im ''hohen'' Bereich auslassen, denn die Obertonreihe hat mehr Töne für die gleiche Raumgröße in hohen Bereichen.

: Ich hoffe, meine Antwort (und die neuen Beispiele im Artikel) hat klargestellt, was ich geschrieben habe. Ich habe auch versucht einige mögliche Gründe zu erklären, warum man ein Neji verwenden würde. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 00:19, 16. Jun. 2021 (UTC)

: "Ich denke, man sollte die Einleitung lieber in mehrere Sätze aufteilen." Ok, wir wollen irgendwie das ganze Verfahren bezeichnen: (1) die ursprünglichen Skala, (2) das Auswählen eines Bereiches in der Obertonreihe, der eine Oktave bildet: d.h. die Obertöne n, ..., 2n, und (3) das Auswählen von Tönen. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 01:04, 16. Jun. 2021 (UTC)</text>
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      <text bytes="2568" sha1="jax8g5afkyuuc79rc1pwsmc6m7e0yt4" xml:space="preserve">== Einleitung ==

Der einleitende Satz ist zu kompliziert. Kein Mensch hat ein so großes Arbeitsgedächtnis, das es ihm erlauben würde, ihn zu verstehen, ohne mehrmals von vorne beginnen zu müssen. Also ich komme jedenfalls so nicht durch. Soweit ich weiß, besteht eine solche Skala aus Tönen der Obertonreihe, einer Auswahl aus einem Bereich n bis 2n, wobei n für eine Partialtonnummer steht. Also z.B. &lt;code&gt;5, 6, 7, 8, 9, 10&lt;/code&gt;. Von echten Nejis spricht man vermutlich erst ab einer gewissen Größe von n, so dass tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird und man nicht jeden Oberton einbezieht. Also z.B. &lt;code&gt;10, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 20&lt;/code&gt;. Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen. Stimmt das so? Ich denke, man sollte die Einleitung lieber in mehrere Sätze aufteilen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 22:13, 15. Jun. 2021 (UTC)

:"tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird": Ja, man wählt ein konkretes ''n'' und wählt aus den Obertönen n, n+1, n+2, ..., 2n-1, 2n diese Tonhöhen, die als Ganzes betrachtet an die ursprüngliche Skala (für seinen Zweck) gut genug annähern. Es ist möglich, dass man einen hohen Wert von ''n'' braucht (weil man eine sehr präzise Approximation an die Skala möchte). Oder man kann möglicherweise ein niedrigeres ''n'' wählen, für einen deutlicheren akustischen Effekt von JI. Manchmal hat man Glück und findet einen relativ niedrigen Modus ''n'', der trotzdem daran relativ gut approximiert.

: "Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen." Das hängt davon ab, an welche Skala man approximieren will. Bei EDOs würde man mehr Töne im ''hohen'' Bereich auslassen, denn die Obertonreihe hat mehr Töne für die gleiche Raumgröße in hohen Bereichen.

: Ich hoffe, meine Antwort (und die neuen Beispiele im Artikel) hat klargestellt, was ich geschrieben habe. Ich habe auch versucht einige mögliche Gründe zu erklären, warum man ein Neji verwenden würde. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 00:19, 16. Jun. 2021 (UTC)

: "Ich denke, man sollte die Einleitung lieber in mehrere Sätze aufteilen." Ok, wir wollen irgendwie das ganze Verfahren bezeichnen: (1) die ursprüngliche Skala, (2) das Auswählen eines Bereiches in der Obertonreihe, der eine Oktave bildet: d.h. die Obertöne n, ..., 2n, und (3) das Auswählen von Tönen. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 01:04, 16. Jun. 2021 (UTC)</text>
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Der einleitende Satz ist zu kompliziert. Kein Mensch hat ein so großes Arbeitsgedächtnis, das es ihm erlauben würde, ihn zu verstehen, ohne mehrmals von vorne beginnen zu müssen. Also ich komme jedenfalls so nicht durch. Soweit ich weiß, besteht eine solche Skala aus Tönen der Obertonreihe, einer Auswahl aus einem Bereich n bis 2n, wobei n für eine Partialtonnummer steht. Also z.B. &lt;code&gt;5, 6, 7, 8, 9, 10&lt;/code&gt;. Von echten Nejis spricht man vermutlich erst ab einer gewissen Größe von n, so dass tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird und man nicht jeden Oberton einbezieht. Also z.B. &lt;code&gt;10, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 20&lt;/code&gt;. Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen. Stimmt das so? Ich denke, man sollte die Einleitung lieber in mehrere Sätze aufteilen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 22:13, 15. Jun. 2021 (UTC)

:"tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird": Ja, man wählt ein konkretes ''n'' und wählt aus den Obertönen n, n+1, n+2, ..., 2n-1, 2n diese Tonhöhen, die als Ganzes betrachtet an die ursprüngliche Skala (für seinen Zweck) gut genug annähern. Es ist möglich, dass man einen hohen Wert von ''n'' braucht (weil man eine sehr präzise Approximation an die Skala möchte). Oder man kann möglicherweise ein niedrigeres ''n'' wählen, für einen deutlicheren akustischen Effekt von JI. Manchmal hat man Glück und findet einen relativ niedrigen Modus ''n'', der trotzdem daran relativ gut approximiert.

: "Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen." Das hängt davon ab, an welche Skala man approximieren will. Bei EDOs würde man mehr Töne im ''hohen'' Bereich auslassen, denn die Obertonreihe hat mehr Töne für die gleiche Raumgröße in hohen Bereichen.

: Ich hoffe, meine Antwort (und die neuen Beispiele im Artikel) hat klargestellt, was ich geschrieben habe. Ich habe auch versucht einige mögliche Gründe zu erklären, warum man ein Neji verwenden würde. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 00:19, 16. Jun. 2021 (UTC)

: "Ich denke, man sollte die Einleitung lieber in mehrere Sätze aufteilen." Ok, wir wollen irgendwie das ganze Verfahren bezeichnen: (1) die ursprüngliche Skala, (2) das Auswählen eines Bereiches in der Obertonreihe, der eine Oktave bildet: d.h. die Obertöne n, ..., 2n, und (3) das Auswählen von Tönen. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 01:04, 16. Jun. 2021 (UTC)

:: Ich habe die Einleitung jetzt umgeschrieben, es kann sein, dass nicht mehr jeder Teilaspekt enthalten ist, aber verständlicher sollte es auf jeden Fall sein. Zur Vertiefung (falls nötig) kann man ja weitere Sätze anschließen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 06:25, 16. Jun. 2021 (UTC)</text>
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Der einleitende Satz ist zu kompliziert. Kein Mensch hat ein so großes Arbeitsgedächtnis, das es ihm erlauben würde, ihn zu verstehen, ohne mehrmals von vorne beginnen zu müssen. Also ich komme jedenfalls so nicht durch. Soweit ich weiß, besteht eine solche Skala aus Tönen der Obertonreihe, einer Auswahl aus einem Bereich n bis 2n, wobei n für eine Partialtonnummer steht. Also z.B. &lt;code&gt;5, 6, 7, 8, 9, 10&lt;/code&gt;. Von echten Nejis spricht man vermutlich erst ab einer gewissen Größe von n, so dass tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird und man nicht jeden Oberton einbezieht. Also z.B. &lt;code&gt;10, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 20&lt;/code&gt;. Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen. Stimmt das so? Ich denke, man sollte die Einleitung lieber in mehrere Sätze aufteilen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 22:13, 15. Jun. 2021 (UTC)

:"tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird": Ja, man wählt ein konkretes ''n'' und wählt aus den Obertönen n, n+1, n+2, ..., 2n-1, 2n diese Tonhöhen, die als Ganzes betrachtet an die ursprüngliche Skala (für seinen Zweck) gut genug annähern. Es ist möglich, dass man einen hohen Wert von ''n'' braucht (weil man eine sehr präzise Approximation an die Skala möchte). Oder man kann möglicherweise ein niedrigeres ''n'' wählen, für einen deutlicheren akustischen Effekt von JI. Manchmal hat man Glück und findet einen relativ niedrigen Modus ''n'', der trotzdem daran relativ gut approximiert.

: "Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen." Das hängt davon ab, an welche Skala man approximieren will. Bei EDOs würde man mehr Töne im ''hohen'' Bereich auslassen, denn die Obertonreihe hat mehr Töne für die gleiche Raumgröße in hohen Bereichen.

: Ich hoffe, meine Antwort (und die neuen Beispiele im Artikel) hat klargestellt, was ich geschrieben habe. Ich habe auch versucht einige mögliche Gründe zu erklären, warum man ein Neji verwenden würde. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 00:19, 16. Jun. 2021 (UTC)

: "Ich denke, man sollte die Einleitung lieber in mehrere Sätze aufteilen." Ok, wir wollen irgendwie das ganze Verfahren bezeichnen: (1) die ursprüngliche Skala, (2) das Auswählen eines Bereiches in der Obertonreihe, der eine Oktave bildet: d.h. die Obertöne n, ..., 2n, und (3) das Auswählen von Tönen. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 01:04, 16. Jun. 2021 (UTC)

:: Ich habe die Einleitung jetzt umgeschrieben, es kann sein, dass nicht mehr jeder Teilaspekt enthalten ist, aber verständlicher sollte es auf jeden Fall sein. Zur Vertiefung (falls nötig) kann man ja weitere Sätze anschließen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 06:25, 16. Jun. 2021 (UTC)
:: Ich habe einen weiteren Sinn des Begriffs erklärt: "Informell bezeichnet der Begriff "Neji" oft auch Skalen, die an andere Skalen mit irrationalen Frequenzverhältnissen (sowie MOS-Skalen) mit einer solchen Auswahl von Obertönen approximieren. Deshalb kann man möglicherweise von einem diatonischen Neji sprechen, oder einem 1L 6s-Neji, usw." [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 11:31, 16. Jun. 2021 (UTC)</text>
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Der einleitende Satz ist zu kompliziert. Kein Mensch hat ein so großes Arbeitsgedächtnis, das es ihm erlauben würde, ihn zu verstehen, ohne mehrmals von vorne beginnen zu müssen. Also ich komme jedenfalls so nicht durch. Soweit ich weiß, besteht eine solche Skala aus Tönen der Obertonreihe, einer Auswahl aus einem Bereich n bis 2n, wobei n für eine Partialtonnummer steht. Also z.B. &lt;code&gt;5, 6, 7, 8, 9, 10&lt;/code&gt;. Von echten Nejis spricht man vermutlich erst ab einer gewissen Größe von n, so dass tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird und man nicht jeden Oberton einbezieht. Also z.B. &lt;code&gt;10, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 20&lt;/code&gt;. Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen. Stimmt das so? Ich denke, man sollte die Einleitung lieber in mehrere Sätze aufteilen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 22:13, 15. Jun. 2021 (UTC)

:"tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird": Ja, man wählt ein konkretes ''n'' und wählt aus den Obertönen n, n+1, n+2, ..., 2n-1, 2n diese Tonhöhen, die als Ganzes betrachtet an die ursprüngliche Skala (für seinen Zweck) gut genug annähern. Es ist möglich, dass man einen hohen Wert von ''n'' braucht (weil man eine sehr präzise Approximation an die Skala möchte). Oder man kann möglicherweise ein niedrigeres ''n'' wählen, für einen deutlicheren akustischen Effekt von JI. Manchmal hat man Glück und findet einen relativ niedrigen Modus ''n'', der trotzdem daran relativ gut approximiert.

: "Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen." Das hängt davon ab, an welche Skala man approximieren will. Bei EDOs würde man mehr Töne im ''hohen'' Bereich auslassen, denn die Obertonreihe hat mehr Töne für die gleiche Raumgröße in hohen Bereichen.

: Ich hoffe, meine Antwort (und die neuen Beispiele im Artikel) hat klargestellt, was ich geschrieben habe. Ich habe auch versucht einige mögliche Gründe zu erklären, warum man ein Neji verwenden würde. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 00:19, 16. Jun. 2021 (UTC)

: "Ich denke, man sollte die Einleitung lieber in mehrere Sätze aufteilen." Ok, wir wollen irgendwie das ganze Verfahren bezeichnen: (1) die ursprüngliche Skala, (2) das Auswählen eines Bereiches in der Obertonreihe, der eine Oktave bildet: d.h. die Obertöne n, ..., 2n, und (3) das Auswählen von Tönen. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 01:04, 16. Jun. 2021 (UTC)

:: Ich habe die Einleitung jetzt umgeschrieben, es kann sein, dass nicht mehr jeder Teilaspekt enthalten ist, aber verständlicher sollte es auf jeden Fall sein. Zur Vertiefung (falls nötig) kann man ja weitere Sätze anschließen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 06:25, 16. Jun. 2021 (UTC)
:: Ich habe einen weiteren Sinn des Begriffs erklärt: "Informell bezeichnet der Begriff "Neji" oft auch Skalen, die an andere Skalen mit irrationalen Frequenzverhältnissen (sowie MOS-Skalen) mit einer solchen Auswahl von Obertönen approximieren. Deshalb kann man möglicherweise von einem diatonischen Neji sprechen, oder einem 1L 6s-Neji, usw." [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 11:31, 16. Jun. 2021 (UTC)
:: Es ist auch zu erklären, dass Nejis eine Art einer ''irregulären'' Temperatur ist: anders als bei [[Reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]] oder bei [[MOS-Skalen]] gibt es kein Generatorintervall, dessen Gróße sich nicht ändert. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 11:46, 16. Jun. 2021 (UTC)</text>
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Der einleitende Satz ist zu kompliziert. Kein Mensch hat ein so großes Arbeitsgedächtnis, das es ihm erlauben würde, ihn zu verstehen, ohne mehrmals von vorne beginnen zu müssen. Also ich komme jedenfalls so nicht durch. Soweit ich weiß, besteht eine solche Skala aus Tönen der Obertonreihe, einer Auswahl aus einem Bereich n bis 2n, wobei n für eine Partialtonnummer steht. Also z.B. &lt;code&gt;5, 6, 7, 8, 9, 10&lt;/code&gt;. Von echten Nejis spricht man vermutlich erst ab einer gewissen Größe von n, so dass tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird und man nicht jeden Oberton einbezieht. Also z.B. &lt;code&gt;10, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 20&lt;/code&gt;. Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen. Stimmt das so? Ich denke, man sollte die Einleitung lieber in mehrere Sätze aufteilen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 22:13, 15. Jun. 2021 (UTC)

:"tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird": Ja, man wählt ein konkretes ''n'' und wählt aus den Obertönen n, n+1, n+2, ..., 2n-1, 2n diese Tonhöhen, die als Ganzes betrachtet an die ursprüngliche Skala (für seinen Zweck) gut genug annähern. Es ist möglich, dass man einen hohen Wert von ''n'' braucht (weil man eine sehr präzise Approximation an die Skala möchte). Oder man kann möglicherweise ein niedrigeres ''n'' wählen, für einen deutlicheren akustischen Effekt von JI. Manchmal hat man Glück und findet einen relativ niedrigen Modus ''n'', der trotzdem daran relativ gut approximiert.

: "Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen." Das hängt davon ab, an welche Skala man approximieren will. Bei EDOs würde man mehr Töne im ''hohen'' Bereich auslassen, denn die Obertonreihe hat mehr Töne für die gleiche Raumgröße in hohen Bereichen.

: Ich hoffe, meine Antwort (und die neuen Beispiele im Artikel) hat klargestellt, was ich geschrieben habe. Ich habe auch versucht einige mögliche Gründe zu erklären, warum man ein Neji verwenden würde. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 00:19, 16. Jun. 2021 (UTC)

: "Ich denke, man sollte die Einleitung lieber in mehrere Sätze aufteilen." Ok, wir wollen irgendwie das ganze Verfahren bezeichnen: (1) die ursprüngliche Skala, (2) das Auswählen eines Bereiches in der Obertonreihe, der eine Oktave bildet: d.h. die Obertöne n, ..., 2n, und (3) das Auswählen von Tönen. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 01:04, 16. Jun. 2021 (UTC)

:: Ich habe die Einleitung jetzt umgeschrieben, es kann sein, dass nicht mehr jeder Teilaspekt enthalten ist, aber verständlicher sollte es auf jeden Fall sein. Zur Vertiefung (falls nötig) kann man ja weitere Sätze anschließen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 06:25, 16. Jun. 2021 (UTC)
:: Ich habe einen weiteren Sinn des Begriffs erklärt: "Informell bezeichnet der Begriff "Neji" oft auch Skalen, die an andere Skalen mit irrationalen Frequenzverhältnissen (sowie MOS-Skalen) mit einer solchen Auswahl von Obertönen approximieren. Deshalb kann man möglicherweise von einem diatonischen Neji sprechen, oder einem 1L 6s-Neji, usw." [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 11:31, 16. Jun. 2021 (UTC)
:: Mann sollte auch erklären, dass Nejis eine Art ''irregulärer'' Temperaturen sind: anders als bei [[Reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]] oder bei [[MOS-Skalen]] hat ein Neji kein Generatorintervall, dessen Gróße sich nicht ändert. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 11:46, 16. Jun. 2021 (UTC)</text>
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Der einleitende Satz ist zu kompliziert. Kein Mensch hat ein so großes Arbeitsgedächtnis, das es ihm erlauben würde, ihn zu verstehen, ohne mehrmals von vorne beginnen zu müssen. Also ich komme jedenfalls so nicht durch. Soweit ich weiß, besteht eine solche Skala aus Tönen der Obertonreihe, einer Auswahl aus einem Bereich n bis 2n, wobei n für eine Partialtonnummer steht. Also z.B. &lt;code&gt;5, 6, 7, 8, 9, 10&lt;/code&gt;. Von echten Nejis spricht man vermutlich erst ab einer gewissen Größe von n, so dass tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird und man nicht jeden Oberton einbezieht. Also z.B. &lt;code&gt;10, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 20&lt;/code&gt;. Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen. Stimmt das so? Ich denke, man sollte die Einleitung lieber in mehrere Sätze aufteilen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 22:13, 15. Jun. 2021 (UTC)

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: "Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen." Das hängt davon ab, an welche Skala man approximieren will. Bei EDOs würde man mehr Töne im ''hohen'' Bereich auslassen, denn die Obertonreihe hat mehr Töne für die gleiche Raumgröße in hohen Bereichen.

: Ich hoffe, meine Antwort (und die neuen Beispiele im Artikel) hat klargestellt, was ich geschrieben habe. Ich habe auch versucht einige mögliche Gründe zu erklären, warum man ein Neji verwenden würde. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 00:19, 16. Jun. 2021 (UTC)

: "Ich denke, man sollte die Einleitung lieber in mehrere Sätze aufteilen." Ok, wir wollen irgendwie das ganze Verfahren bezeichnen: (1) die ursprüngliche Skala, (2) das Auswählen eines Bereiches in der Obertonreihe, der eine Oktave bildet: d.h. die Obertöne n, ..., 2n, und (3) das Auswählen von Tönen. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 01:04, 16. Jun. 2021 (UTC)

:: Ich habe die Einleitung jetzt umgeschrieben, es kann sein, dass nicht mehr jeder Teilaspekt enthalten ist, aber verständlicher sollte es auf jeden Fall sein. Zur Vertiefung (falls nötig) kann man ja weitere Sätze anschließen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 06:25, 16. Jun. 2021 (UTC)
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Der einleitende Satz ist zu kompliziert. Kein Mensch hat ein so großes Arbeitsgedächtnis, das es ihm erlauben würde, ihn zu verstehen, ohne mehrmals von vorne beginnen zu müssen. Also ich komme jedenfalls so nicht durch. Soweit ich weiß, besteht eine solche Skala aus Tönen der Obertonreihe, einer Auswahl aus einem Bereich n bis 2n, wobei n für eine Partialtonnummer steht. Also z.B. &lt;code&gt;5, 6, 7, 8, 9, 10&lt;/code&gt;. Von echten Nejis spricht man vermutlich erst ab einer gewissen Größe von n, so dass tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird und man nicht jeden Oberton einbezieht. Also z.B. &lt;code&gt;10, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 20&lt;/code&gt;. Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen. Stimmt das so? Ich denke, man sollte die Einleitung lieber in mehrere Sätze aufteilen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 22:13, 15. Jun. 2021 (UTC)

:"tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird": Ja, man wählt ein konkretes ''n'' und wählt aus den Obertönen n, n+1, n+2, ..., 2n-1, 2n diese Tonhöhen, die als Ganzes betrachtet an die ursprüngliche Skala (für seinen Zweck) gut genug annähern. Es ist möglich, dass man einen hohen Wert von ''n'' braucht (weil man eine sehr präzise Approximation an die Skala möchte). Oder man kann möglicherweise ein niedrigeres ''n'' wählen, für einen deutlicheren akustischen Effekt von JI. Manchmal hat man Glück und findet einen relativ niedrigen Modus ''n'', der trotzdem daran relativ gut approximiert.

: "Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen." Das hängt davon ab, an welche Skala man approximieren will. Bei EDOs würde man mehr Töne im ''hohen'' Bereich auslassen, denn die Obertonreihe hat mehr Töne für die gleiche Raumgröße in hohen Bereichen.

: Ich hoffe, meine Antwort (und die neuen Beispiele im Artikel) hat klargestellt, was ich geschrieben habe. Ich habe auch versucht einige mögliche Gründe zu erklären, warum man ein Neji verwenden würde. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 00:19, 16. Jun. 2021 (UTC)

: "Ich denke, man sollte die Einleitung lieber in mehrere Sätze aufteilen." Ok, wir wollen irgendwie das ganze Verfahren bezeichnen: (1) die ursprüngliche Skala, (2) das Auswählen eines Bereiches in der Obertonreihe, der eine Oktave bildet: d.h. die Obertöne n, ..., 2n, und (3) das Auswählen von Tönen. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 01:04, 16. Jun. 2021 (UTC)

:: Ich habe die Einleitung jetzt umgeschrieben, es kann sein, dass nicht mehr jeder Teilaspekt enthalten ist, aber verständlicher sollte es auf jeden Fall sein. Zur Vertiefung (falls nötig) kann man ja weitere Sätze anschließen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 06:25, 16. Jun. 2021 (UTC)
:: Ich habe einen weiteren Sinn des Begriffs erklärt: "Informell bezeichnet der Begriff "Neji" oft auch Skalen, die an andere Skalen mit irrationalen Frequenzverhältnissen (sowie MOS-Skalen) mit einer solchen Auswahl von Obertönen approximieren. Deshalb kann man möglicherweise von einem diatonischen Neji sprechen, oder einem 1L 6s-Neji, usw."
:: Man sollte auch erklären, dass Nejis eine Art ''irregulärer'' Temperaturen sind: anders als bei [[Reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]] oder bei [[MOS-Skalen]] hat ein Neji kein Generatorintervall, dessen Gróße sich nicht ändert. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 11:46, 16. Jun. 2021 (UTC)
:: Ok, vorerst höre ich mit den Bearbeitungen auf. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 14:56, 16. Jun. 2021 (UTC)</text>
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Der einleitende Satz ist zu kompliziert. Kein Mensch hat ein so großes Arbeitsgedächtnis, das es ihm erlauben würde, ihn zu verstehen, ohne mehrmals von vorne beginnen zu müssen. Also ich komme jedenfalls so nicht durch. Soweit ich weiß, besteht eine solche Skala aus Tönen der Obertonreihe, einer Auswahl aus einem Bereich n bis 2n, wobei n für eine Partialtonnummer steht. Also z.B. &lt;code&gt;5, 6, 7, 8, 9, 10&lt;/code&gt;. Von echten Nejis spricht man vermutlich erst ab einer gewissen Größe von n, so dass tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird und man nicht jeden Oberton einbezieht. Also z.B. &lt;code&gt;10, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 20&lt;/code&gt;. Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen. Stimmt das so? Ich denke, man sollte die Einleitung lieber in mehrere Sätze aufteilen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 22:13, 15. Jun. 2021 (UTC)

:"tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird": Ja, man wählt ein konkretes ''n'' und wählt aus den Obertönen n, n+1, n+2, ..., 2n-1, 2n diese Tonhöhen, die als Ganzes betrachtet an die ursprüngliche Skala (für seinen Zweck) gut genug annähern. Es ist möglich, dass man einen hohen Wert von ''n'' braucht (weil man eine sehr präzise Approximation an die Skala möchte). Oder man kann möglicherweise ein niedrigeres ''n'' wählen, für einen deutlicheren akustischen Effekt von JI. Manchmal hat man Glück und findet einen relativ niedrigen Modus ''n'', der trotzdem daran relativ gut approximiert.

: "Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen." Das hängt davon ab, an welche Skala man approximieren will. Bei EDOs würde man mehr Töne im ''hohen'' Bereich auslassen, denn die Obertonreihe hat mehr Töne für die gleiche Raumgröße in hohen Bereichen.

: Ich hoffe, meine Antwort (und die neuen Beispiele im Artikel) hat klargestellt, was ich geschrieben habe. Ich habe auch versucht einige mögliche Gründe zu erklären, warum man ein Neji verwenden würde. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 00:19, 16. Jun. 2021 (UTC)

: "Ich denke, man sollte die Einleitung lieber in mehrere Sätze aufteilen." Ok, wir wollen irgendwie das ganze Verfahren bezeichnen: (1) die ursprüngliche Skala, (2) das Auswählen eines Bereiches in der Obertonreihe, der eine Oktave bildet: d.h. die Obertöne n, ..., 2n, und (3) das Auswählen von Tönen. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 01:04, 16. Jun. 2021 (UTC)

:: Ich habe die Einleitung jetzt umgeschrieben, es kann sein, dass nicht mehr jeder Teilaspekt enthalten ist, aber verständlicher sollte es auf jeden Fall sein. Zur Vertiefung (falls nötig) kann man ja weitere Sätze anschließen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 06:25, 16. Jun. 2021 (UTC)
:: Ich habe einen weiteren Sinn des Begriffs erklärt: "Informell bezeichnet der Begriff "Neji" oft auch Skalen, die an andere Skalen mit irrationalen Frequenzverhältnissen (sowie MOS-Skalen) mit einer solchen Auswahl von Obertönen approximieren. Deshalb kann man möglicherweise von einem diatonischen Neji sprechen, oder einem 1L 6s-Neji, usw."
:: Man sollte auch erklären, dass Nejis eine Art ''irregulärer'' Temperaturen sind: anders als bei [[Reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]] oder bei [[MOS-Skalen]] hat ein Neji kein Generatorintervall, dessen Gróße sich nicht ändert. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 11:46, 16. Jun. 2021 (UTC)
:: Ok, vorerst höre ich mit den Bearbeitungen auf. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 14:56, 16. Jun. 2021 (UTC)

== 5-Limit-Dur-Skala als Neji? ==

Ich hatte vor langer Zeit mal diese Darstellung einer Durtonleiter berechnet (klanglich eher traditionell):
 24 27 30 32 36 40 45 48
die man wohl auch als Neji (Modus 24) einordnen könnte. &lt;br&gt;
@Inthar: Würdest du hier zustimmen? --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 15:44, 16. Jun. 2021 (UTC)</text>
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Der einleitende Satz ist zu kompliziert. Kein Mensch hat ein so großes Arbeitsgedächtnis, das es ihm erlauben würde, ihn zu verstehen, ohne mehrmals von vorne beginnen zu müssen. Also ich komme jedenfalls so nicht durch. Soweit ich weiß, besteht eine solche Skala aus Tönen der Obertonreihe, einer Auswahl aus einem Bereich n bis 2n, wobei n für eine Partialtonnummer steht. Also z.B. &lt;code&gt;5, 6, 7, 8, 9, 10&lt;/code&gt;. Von echten Nejis spricht man vermutlich erst ab einer gewissen Größe von n, so dass tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird und man nicht jeden Oberton einbezieht. Also z.B. &lt;code&gt;10, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 20&lt;/code&gt;. Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen. Stimmt das so? Ich denke, man sollte die Einleitung lieber in mehrere Sätze aufteilen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 22:13, 15. Jun. 2021 (UTC)

:"tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird": Ja, man wählt ein konkretes ''n'' und wählt aus den Obertönen n, n+1, n+2, ..., 2n-1, 2n diese Tonhöhen, die als Ganzes betrachtet an die ursprüngliche Skala (für seinen Zweck) gut genug annähern. Es ist möglich, dass man einen hohen Wert von ''n'' braucht (weil man eine sehr präzise Approximation an die Skala möchte). Oder man kann möglicherweise ein niedrigeres ''n'' wählen, für einen deutlicheren akustischen Effekt von JI. Manchmal hat man Glück und findet einen relativ niedrigen Modus ''n'', der trotzdem daran relativ gut approximiert.

: "Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen." Das hängt davon ab, an welche Skala man approximieren will. Bei EDOs würde man mehr Töne im ''hohen'' Bereich auslassen, denn die Obertonreihe hat mehr Töne für die gleiche Raumgröße in hohen Bereichen.

: Ich hoffe, meine Antwort (und die neuen Beispiele im Artikel) hat klargestellt, was ich geschrieben habe. Ich habe auch versucht einige mögliche Gründe zu erklären, warum man ein Neji verwenden würde. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 00:19, 16. Jun. 2021 (UTC)

: "Ich denke, man sollte die Einleitung lieber in mehrere Sätze aufteilen." Ok, wir wollen irgendwie das ganze Verfahren bezeichnen: (1) die ursprüngliche Skala, (2) das Auswählen eines Bereiches in der Obertonreihe, der eine Oktave bildet: d.h. die Obertöne n, ..., 2n, und (3) das Auswählen von Tönen. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 01:04, 16. Jun. 2021 (UTC)

:: Ich habe die Einleitung jetzt umgeschrieben, es kann sein, dass nicht mehr jeder Teilaspekt enthalten ist, aber verständlicher sollte es auf jeden Fall sein. Zur Vertiefung (falls nötig) kann man ja weitere Sätze anschließen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 06:25, 16. Jun. 2021 (UTC)
:: Ich habe einen weiteren Sinn des Begriffs erklärt: "Informell bezeichnet der Begriff "Neji" oft auch Skalen, die an andere Skalen mit irrationalen Frequenzverhältnissen (sowie MOS-Skalen) mit einer solchen Auswahl von Obertönen approximieren. Deshalb kann man möglicherweise von einem diatonischen Neji sprechen, oder einem 1L 6s-Neji, usw."
:: Man sollte auch erklären, dass Nejis eine Art ''irregulärer'' Temperaturen sind: anders als bei [[Reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]] oder bei [[MOS-Skalen]] hat ein Neji kein Generatorintervall, dessen Gróße sich nicht ändert. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 11:46, 16. Jun. 2021 (UTC)
:: Ok, vorerst höre ich mit den Bearbeitungen auf. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 14:56, 16. Jun. 2021 (UTC)

== 5-Limit-Dur-Skala als Neji? ==

Ich hatte vor langer Zeit mal diese Darstellung einer Durtonleiter berechnet (klanglich eher traditionell):
 24 27 30 32 36 40 45 48
die man wohl auch als Neji (Modus 24) einordnen könnte. &lt;br&gt;
@Inthar: Würdest du hier zustimmen? --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 15:44, 16. Jun. 2021 (UTC)
:Ok, aber das ist ein eher "triviales" Beispiel. (das ist die Zarlino-Skala, nicht wahr?). Meistens spricht man über Nejis, wenn man Limits ignorieren will. Ich würde also auch noch ein primodales Exemplar erwähnen, z. B. Zheas "undezimales" Eurybia-Neji (denn Zhea ist eine der Personen, die Nejis am meisten verwenden). [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 16:36, 16. Jun. 2021 (UTC)</text>
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Der einleitende Satz ist zu kompliziert. Kein Mensch hat ein so großes Arbeitsgedächtnis, das es ihm erlauben würde, ihn zu verstehen, ohne mehrmals von vorne beginnen zu müssen. Also ich komme jedenfalls so nicht durch. Soweit ich weiß, besteht eine solche Skala aus Tönen der Obertonreihe, einer Auswahl aus einem Bereich n bis 2n, wobei n für eine Partialtonnummer steht. Also z.B. &lt;code&gt;5, 6, 7, 8, 9, 10&lt;/code&gt;. Von echten Nejis spricht man vermutlich erst ab einer gewissen Größe von n, so dass tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird und man nicht jeden Oberton einbezieht. Also z.B. &lt;code&gt;10, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 20&lt;/code&gt;. Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen. Stimmt das so? Ich denke, man sollte die Einleitung lieber in mehrere Sätze aufteilen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 22:13, 15. Jun. 2021 (UTC)

:"tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird": Ja, man wählt ein konkretes ''n'' und wählt aus den Obertönen n, n+1, n+2, ..., 2n-1, 2n diese Tonhöhen, die als Ganzes betrachtet an die ursprüngliche Skala (für seinen Zweck) gut genug annähern. Es ist möglich, dass man einen hohen Wert von ''n'' braucht (weil man eine sehr präzise Approximation an die Skala möchte). Oder man kann möglicherweise ein niedrigeres ''n'' wählen, für einen deutlicheren akustischen Effekt von JI. Manchmal hat man Glück und findet einen relativ niedrigen Modus ''n'', der trotzdem daran relativ gut approximiert.

: "Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen." Das hängt davon ab, an welche Skala man approximieren will. Bei EDOs würde man mehr Töne im ''hohen'' Bereich auslassen, denn die Obertonreihe hat mehr Töne für die gleiche Raumgröße in hohen Bereichen.

: Ich hoffe, meine Antwort (und die neuen Beispiele im Artikel) hat klargestellt, was ich geschrieben habe. Ich habe auch versucht einige mögliche Gründe zu erklären, warum man ein Neji verwenden würde. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 00:19, 16. Jun. 2021 (UTC)

: "Ich denke, man sollte die Einleitung lieber in mehrere Sätze aufteilen." Ok, wir wollen irgendwie das ganze Verfahren bezeichnen: (1) die ursprüngliche Skala, (2) das Auswählen eines Bereiches in der Obertonreihe, der eine Oktave bildet: d.h. die Obertöne n, ..., 2n, und (3) das Auswählen von Tönen. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 01:04, 16. Jun. 2021 (UTC)

:: Ich habe die Einleitung jetzt umgeschrieben, es kann sein, dass nicht mehr jeder Teilaspekt enthalten ist, aber verständlicher sollte es auf jeden Fall sein. Zur Vertiefung (falls nötig) kann man ja weitere Sätze anschließen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 06:25, 16. Jun. 2021 (UTC)
:: Ich habe einen weiteren Sinn des Begriffs erklärt: "Informell bezeichnet der Begriff "Neji" oft auch Skalen, die an andere Skalen mit irrationalen Frequenzverhältnissen (sowie MOS-Skalen) mit einer solchen Auswahl von Obertönen approximieren. Deshalb kann man möglicherweise von einem diatonischen Neji sprechen, oder einem 1L 6s-Neji, usw."
:: Man sollte auch erklären, dass Nejis eine Art ''irregulärer'' Temperaturen sind: anders als bei [[Reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]] oder bei [[MOS-Skalen]] hat ein Neji kein Generatorintervall, dessen Gróße sich nicht ändert. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 11:46, 16. Jun. 2021 (UTC)
:: Ok, vorerst höre ich mit den Bearbeitungen auf. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 14:56, 16. Jun. 2021 (UTC)

== 5-Limit-Dur-Skala als Neji? ==

Ich hatte vor langer Zeit mal diese Darstellung einer Durtonleiter berechnet (klanglich eher traditionell):
 24 27 30 32 36 40 45 48
die man wohl auch als Neji (Modus 24) einordnen könnte. &lt;br&gt;
@Inthar: Würdest du hier zustimmen? --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 15:44, 16. Jun. 2021 (UTC)
:Ok, aber das ist ein eher "triviales" Beispiel. (das ist die Zarlino-Skala, nicht wahr?). Meistens spricht man über Nejis, wenn man Limits ignorieren will. Ich würde also auch noch ein primodales Exemplar erwähnen, z. B. Zheas "undezimales" Eurybia-Neji (denn Zhea ist eine der Personen, die Nejis am meisten verwenden). Hier bedeutet "undezimal" nicht 11-Limit, sondern das, dass der Tonik der 11. oder der 22. Oberton ist. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 16:36, 16. Jun. 2021 (UTC)</text>
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Der einleitende Satz ist zu kompliziert. Kein Mensch hat ein so großes Arbeitsgedächtnis, das es ihm erlauben würde, ihn zu verstehen, ohne mehrmals von vorne beginnen zu müssen. Also ich komme jedenfalls so nicht durch. Soweit ich weiß, besteht eine solche Skala aus Tönen der Obertonreihe, einer Auswahl aus einem Bereich n bis 2n, wobei n für eine Partialtonnummer steht. Also z.B. &lt;code&gt;5, 6, 7, 8, 9, 10&lt;/code&gt;. Von echten Nejis spricht man vermutlich erst ab einer gewissen Größe von n, so dass tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird und man nicht jeden Oberton einbezieht. Also z.B. &lt;code&gt;10, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 20&lt;/code&gt;. Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen. Stimmt das so? Ich denke, man sollte die Einleitung lieber in mehrere Sätze aufteilen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 22:13, 15. Jun. 2021 (UTC)

:"tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird": Ja, man wählt ein konkretes ''n'' und wählt aus den Obertönen n, n+1, n+2, ..., 2n-1, 2n diese Tonhöhen, die als Ganzes betrachtet an die ursprüngliche Skala (für seinen Zweck) gut genug annähern. Es ist möglich, dass man einen hohen Wert von ''n'' braucht (weil man eine sehr präzise Approximation an die Skala möchte). Oder man kann möglicherweise ein niedrigeres ''n'' wählen, für einen deutlicheren akustischen Effekt von JI. Manchmal hat man Glück und findet einen relativ niedrigen Modus ''n'', der trotzdem daran relativ gut approximiert.

: "Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen." Das hängt davon ab, an welche Skala man approximieren will. Bei EDOs würde man mehr Töne im ''hohen'' Bereich auslassen, denn die Obertonreihe hat mehr Töne für die gleiche Raumgröße in hohen Bereichen.

: Ich hoffe, meine Antwort (und die neuen Beispiele im Artikel) hat klargestellt, was ich geschrieben habe. Ich habe auch versucht einige mögliche Gründe zu erklären, warum man ein Neji verwenden würde. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 00:19, 16. Jun. 2021 (UTC)

: "Ich denke, man sollte die Einleitung lieber in mehrere Sätze aufteilen." Ok, wir wollen irgendwie das ganze Verfahren bezeichnen: (1) die ursprüngliche Skala, (2) das Auswählen eines Bereiches in der Obertonreihe, der eine Oktave bildet: d.h. die Obertöne n, ..., 2n, und (3) das Auswählen von Tönen. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 01:04, 16. Jun. 2021 (UTC)

:: Ich habe die Einleitung jetzt umgeschrieben, es kann sein, dass nicht mehr jeder Teilaspekt enthalten ist, aber verständlicher sollte es auf jeden Fall sein. Zur Vertiefung (falls nötig) kann man ja weitere Sätze anschließen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 06:25, 16. Jun. 2021 (UTC)
:: Ich habe einen weiteren Sinn des Begriffs erklärt: "Informell bezeichnet der Begriff "Neji" oft auch Skalen, die an andere Skalen mit irrationalen Frequenzverhältnissen (sowie MOS-Skalen) mit einer solchen Auswahl von Obertönen approximieren. Deshalb kann man möglicherweise von einem diatonischen Neji sprechen, oder einem 1L 6s-Neji, usw."
:: Man sollte auch erklären, dass Nejis eine Art ''irregulärer'' Temperaturen sind: anders als bei [[Reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]] oder bei [[MOS-Skalen]] hat ein Neji kein Generatorintervall, dessen Gróße sich nicht ändert. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 11:46, 16. Jun. 2021 (UTC)
:: Ok, vorerst höre ich mit den Bearbeitungen auf. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 14:56, 16. Jun. 2021 (UTC)

== 5-Limit-Dur-Skala als Neji? ==

Ich hatte vor langer Zeit mal diese Darstellung einer Durtonleiter berechnet (klanglich eher traditionell):
 24 27 30 32 36 40 45 48
die man wohl auch als Neji (Modus 24) einordnen könnte. &lt;br&gt;
@Inthar: Würdest du hier zustimmen? --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 15:44, 16. Jun. 2021 (UTC)
:Ok, aber das ist ein eher "triviales" Beispiel. (das ist die Zarlino-Skala, nicht wahr?). Meistens spricht man über Nejis, wenn man Limits ignorieren will. Ich würde also auch noch ein primodales Exemplar erwähnen, z. B. Zheas "undezimales" Eurybia-Neji (denn Zhea ist eine der Personen, die Nejis am meisten verwenden). Hier bedeutet "undezimal" nicht 11-Limit, sondern das, dass der Tonik der 11. oder der 22. Oberton ist. Möglicherweise auch 44. oder 88., aber laut Zhea kann das resultierende Zusammenklang bei "höheren Oktaven des 11. Obertons" seine undezimale Identität leicht verlieren. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 16:36, 16. Jun. 2021 (UTC)</text>
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Der einleitende Satz ist zu kompliziert. Kein Mensch hat ein so großes Arbeitsgedächtnis, das es ihm erlauben würde, ihn zu verstehen, ohne mehrmals von vorne beginnen zu müssen. Also ich komme jedenfalls so nicht durch. Soweit ich weiß, besteht eine solche Skala aus Tönen der Obertonreihe, einer Auswahl aus einem Bereich n bis 2n, wobei n für eine Partialtonnummer steht. Also z.B. &lt;code&gt;5, 6, 7, 8, 9, 10&lt;/code&gt;. Von echten Nejis spricht man vermutlich erst ab einer gewissen Größe von n, so dass tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird und man nicht jeden Oberton einbezieht. Also z.B. &lt;code&gt;10, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 20&lt;/code&gt;. Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen. Stimmt das so? Ich denke, man sollte die Einleitung lieber in mehrere Sätze aufteilen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 22:13, 15. Jun. 2021 (UTC)

:"tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird": Ja, man wählt ein konkretes ''n'' und wählt aus den Obertönen n, n+1, n+2, ..., 2n-1, 2n diese Tonhöhen, die als Ganzes betrachtet an die ursprüngliche Skala (für seinen Zweck) gut genug annähern. Es ist möglich, dass man einen hohen Wert von ''n'' braucht (weil man eine sehr präzise Approximation an die Skala möchte). Oder man kann möglicherweise ein niedrigeres ''n'' wählen, für einen deutlicheren akustischen Effekt von JI. Manchmal hat man Glück und findet einen relativ niedrigen Modus ''n'', der trotzdem daran relativ gut approximiert.

: "Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen." Das hängt davon ab, an welche Skala man approximieren will. Bei EDOs würde man mehr Töne im ''hohen'' Bereich auslassen, denn die Obertonreihe hat mehr Töne für die gleiche Raumgröße in hohen Bereichen.

: Ich hoffe, meine Antwort (und die neuen Beispiele im Artikel) hat klargestellt, was ich geschrieben habe. Ich habe auch versucht einige mögliche Gründe zu erklären, warum man ein Neji verwenden würde. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 00:19, 16. Jun. 2021 (UTC)

: "Ich denke, man sollte die Einleitung lieber in mehrere Sätze aufteilen." Ok, wir wollen irgendwie das ganze Verfahren bezeichnen: (1) die ursprüngliche Skala, (2) das Auswählen eines Bereiches in der Obertonreihe, der eine Oktave bildet: d.h. die Obertöne n, ..., 2n, und (3) das Auswählen von Tönen. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 01:04, 16. Jun. 2021 (UTC)

:: Ich habe die Einleitung jetzt umgeschrieben, es kann sein, dass nicht mehr jeder Teilaspekt enthalten ist, aber verständlicher sollte es auf jeden Fall sein. Zur Vertiefung (falls nötig) kann man ja weitere Sätze anschließen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 06:25, 16. Jun. 2021 (UTC)
:: Ich habe einen weiteren Sinn des Begriffs erklärt: "Informell bezeichnet der Begriff "Neji" oft auch Skalen, die an andere Skalen mit irrationalen Frequenzverhältnissen (sowie MOS-Skalen) mit einer solchen Auswahl von Obertönen approximieren. Deshalb kann man möglicherweise von einem diatonischen Neji sprechen, oder einem 1L 6s-Neji, usw."
:: Man sollte auch erklären, dass Nejis eine Art ''irregulärer'' Temperaturen sind: anders als bei [[Reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]] oder bei [[MOS-Skalen]] hat ein Neji kein Generatorintervall, dessen Gróße sich nicht ändert. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 11:46, 16. Jun. 2021 (UTC)
:: Ok, vorerst höre ich mit den Bearbeitungen auf. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 14:56, 16. Jun. 2021 (UTC)

== 5-Limit-Dur-Skala als Neji? ==

Ich hatte vor langer Zeit mal diese Darstellung einer Durtonleiter berechnet (klanglich eher traditionell):
 24 27 30 32 36 40 45 48
die man wohl auch als Neji (Modus 24) einordnen könnte. &lt;br&gt;
@Inthar: Würdest du hier zustimmen? --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 15:44, 16. Jun. 2021 (UTC)
:Ok, aber das ist ein eher "triviales" Beispiel. (das ist die Zarlino-Skala, nicht wahr?). Meistens spricht man über Nejis, wenn man Limits ignorieren will. Ich würde also auch noch ein primodales Exemplar erwähnen, z. B. Zheas "undezimales" Eurybia-Neji denn Zhea ist eine der Personen, die Nejis am meisten verwenden. (Hier bedeutet "undezimal" nicht 11-Limit, sondern das, dass der Tonik der 11. oder der 22. Oberton ist. Möglicherweise auch 44. oder 88., aber laut Zhea kann das resultierende Zusammenklang bei "höheren Oktaven des 11. Obertons" seine undezimale Identität leicht verlieren.) [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 16:36, 16. Jun. 2021 (UTC)</text>
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Der einleitende Satz ist zu kompliziert. Kein Mensch hat ein so großes Arbeitsgedächtnis, das es ihm erlauben würde, ihn zu verstehen, ohne mehrmals von vorne beginnen zu müssen. Also ich komme jedenfalls so nicht durch. Soweit ich weiß, besteht eine solche Skala aus Tönen der Obertonreihe, einer Auswahl aus einem Bereich n bis 2n, wobei n für eine Partialtonnummer steht. Also z.B. &lt;code&gt;5, 6, 7, 8, 9, 10&lt;/code&gt;. Von echten Nejis spricht man vermutlich erst ab einer gewissen Größe von n, so dass tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird und man nicht jeden Oberton einbezieht. Also z.B. &lt;code&gt;10, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 20&lt;/code&gt;. Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen. Stimmt das so? Ich denke, man sollte die Einleitung lieber in mehrere Sätze aufteilen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 22:13, 15. Jun. 2021 (UTC)

:"tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird": Ja, man wählt ein konkretes ''n'' und wählt aus den Obertönen n, n+1, n+2, ..., 2n-1, 2n diese Tonhöhen, die als Ganzes betrachtet an die ursprüngliche Skala (für seinen Zweck) gut genug annähern. Es ist möglich, dass man einen hohen Wert von ''n'' braucht (weil man eine sehr präzise Approximation an die Skala möchte). Oder man kann möglicherweise ein niedrigeres ''n'' wählen, für einen deutlicheren akustischen Effekt von JI. Manchmal hat man Glück und findet einen relativ niedrigen Modus ''n'', der trotzdem daran relativ gut approximiert.

: "Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen." Das hängt davon ab, an welche Skala man approximieren will. Bei EDOs würde man mehr Töne im ''hohen'' Bereich auslassen, denn die Obertonreihe hat mehr Töne für die gleiche Raumgröße in hohen Bereichen.

: Ich hoffe, meine Antwort (und die neuen Beispiele im Artikel) hat klargestellt, was ich geschrieben habe. Ich habe auch versucht einige mögliche Gründe zu erklären, warum man ein Neji verwenden würde. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 00:19, 16. Jun. 2021 (UTC)

: "Ich denke, man sollte die Einleitung lieber in mehrere Sätze aufteilen." Ok, wir wollen irgendwie das ganze Verfahren bezeichnen: (1) die ursprüngliche Skala, (2) das Auswählen eines Bereiches in der Obertonreihe, der eine Oktave bildet: d.h. die Obertöne n, ..., 2n, und (3) das Auswählen von Tönen. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 01:04, 16. Jun. 2021 (UTC)

:: Ich habe die Einleitung jetzt umgeschrieben, es kann sein, dass nicht mehr jeder Teilaspekt enthalten ist, aber verständlicher sollte es auf jeden Fall sein. Zur Vertiefung (falls nötig) kann man ja weitere Sätze anschließen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 06:25, 16. Jun. 2021 (UTC)
:: Ich habe einen weiteren Sinn des Begriffs erklärt: "Informell bezeichnet der Begriff "Neji" oft auch Skalen, die an andere Skalen mit irrationalen Frequenzverhältnissen (sowie MOS-Skalen) mit einer solchen Auswahl von Obertönen approximieren. Deshalb kann man möglicherweise von einem diatonischen Neji sprechen, oder einem 1L 6s-Neji, usw."
:: Man sollte auch erklären, dass Nejis eine Art ''irregulärer'' Temperaturen sind: anders als bei [[Reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]] oder bei [[MOS-Skalen]] hat ein Neji kein Generatorintervall, dessen Gróße sich nicht ändert. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 11:46, 16. Jun. 2021 (UTC)
:: Ok, vorerst höre ich mit den Bearbeitungen auf. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 14:56, 16. Jun. 2021 (UTC)

== 5-Limit-Dur-Skala als Neji? ==

Ich hatte vor langer Zeit mal diese Darstellung einer Durtonleiter berechnet (klanglich eher traditionell):
 24 27 30 32 36 40 45 48
die man wohl auch als Neji (Modus 24) einordnen könnte. &lt;br&gt;
@Inthar: Würdest du hier zustimmen? --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 15:44, 16. Jun. 2021 (UTC)
:Ok, aber das ist ein eher "triviales" Beispiel. (das ist die Zarlino-Skala, nicht wahr?). Meistens spricht man über Nejis, wenn man wie Zhea Limits ignorieren will. Ich würde also auch noch ein primodales Exemplar erwähnen, z. B. Zheas "undezimales" Eurybia-Neji denn Zhea ist eine der Personen, die Nejis am meisten verwenden. (Hier bedeutet "undezimal" nicht 11-Limit, sondern das, dass der Tonik der 11. oder der 22. Oberton ist. Möglicherweise auch 44. oder 88., aber laut Zhea kann das resultierende Zusammenklang bei "höheren Oktaven des 11. Obertons" seine undezimale Identität leicht verlieren.) [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 16:36, 16. Jun. 2021 (UTC)</text>
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Der einleitende Satz ist zu kompliziert. Kein Mensch hat ein so großes Arbeitsgedächtnis, das es ihm erlauben würde, ihn zu verstehen, ohne mehrmals von vorne beginnen zu müssen. Also ich komme jedenfalls so nicht durch. Soweit ich weiß, besteht eine solche Skala aus Tönen der Obertonreihe, einer Auswahl aus einem Bereich n bis 2n, wobei n für eine Partialtonnummer steht. Also z.B. &lt;code&gt;5, 6, 7, 8, 9, 10&lt;/code&gt;. Von echten Nejis spricht man vermutlich erst ab einer gewissen Größe von n, so dass tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird und man nicht jeden Oberton einbezieht. Also z.B. &lt;code&gt;10, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 20&lt;/code&gt;. Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen. Stimmt das so? Ich denke, man sollte die Einleitung lieber in mehrere Sätze aufteilen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 22:13, 15. Jun. 2021 (UTC)

:"tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird": Ja, man wählt ein konkretes ''n'' und wählt aus den Obertönen n, n+1, n+2, ..., 2n-1, 2n diese Tonhöhen, die als Ganzes betrachtet an die ursprüngliche Skala (für seinen Zweck) gut genug annähern. Es ist möglich, dass man einen hohen Wert von ''n'' braucht (weil man eine sehr präzise Approximation an die Skala möchte). Oder man kann möglicherweise ein niedrigeres ''n'' wählen, für einen deutlicheren akustischen Effekt von JI. Manchmal hat man Glück und findet einen relativ niedrigen Modus ''n'', der trotzdem daran relativ gut approximiert.

: "Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen." Das hängt davon ab, an welche Skala man approximieren will. Bei EDOs würde man mehr Töne im ''hohen'' Bereich auslassen, denn die Obertonreihe hat mehr Töne für die gleiche Raumgröße in hohen Bereichen.

: Ich hoffe, meine Antwort (und die neuen Beispiele im Artikel) hat klargestellt, was ich geschrieben habe. Ich habe auch versucht einige mögliche Gründe zu erklären, warum man ein Neji verwenden würde. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 00:19, 16. Jun. 2021 (UTC)

: "Ich denke, man sollte die Einleitung lieber in mehrere Sätze aufteilen." Ok, wir wollen irgendwie das ganze Verfahren bezeichnen: (1) die ursprüngliche Skala, (2) das Auswählen eines Bereiches in der Obertonreihe, der eine Oktave bildet: d.h. die Obertöne n, ..., 2n, und (3) das Auswählen von Tönen. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 01:04, 16. Jun. 2021 (UTC)

:: Ich habe die Einleitung jetzt umgeschrieben, es kann sein, dass nicht mehr jeder Teilaspekt enthalten ist, aber verständlicher sollte es auf jeden Fall sein. Zur Vertiefung (falls nötig) kann man ja weitere Sätze anschließen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 06:25, 16. Jun. 2021 (UTC)
:: Ich habe einen weiteren Sinn des Begriffs erklärt: "Informell bezeichnet der Begriff "Neji" oft auch Skalen, die an andere Skalen mit irrationalen Frequenzverhältnissen (sowie MOS-Skalen) mit einer solchen Auswahl von Obertönen approximieren. Deshalb kann man möglicherweise von einem diatonischen Neji sprechen, oder einem 1L 6s-Neji, usw."
:: Man sollte auch erklären, dass Nejis eine Art ''irregulärer'' Temperaturen sind: anders als bei [[Reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]] oder bei [[MOS-Skalen]] hat ein Neji kein Generatorintervall, dessen Gróße sich nicht ändert. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 11:46, 16. Jun. 2021 (UTC)
:: Ok, vorerst höre ich mit den Bearbeitungen auf. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 14:56, 16. Jun. 2021 (UTC)

== 5-Limit-Dur-Skala als Neji? ==

Ich hatte vor langer Zeit mal diese Darstellung einer Durtonleiter berechnet (klanglich eher traditionell):
 24 27 30 32 36 40 45 48
die man wohl auch als Neji (Modus 24) einordnen könnte. &lt;br&gt;
@Inthar: Würdest du hier zustimmen? --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 15:44, 16. Jun. 2021 (UTC)

: Ok, aber das ist ein eher "triviales" Beispiel. (das ist die Zarlino-Skala, nicht wahr?). Meistens spricht man über Nejis, wenn man wie Zhea Limits ignorieren will. Ich würde also auch noch ein primodales Exemplar erwähnen, z. B. Zheas "undezimales" Eurybia-Neji denn Zhea ist eine der Personen, die Nejis am meisten verwenden. (Hier bedeutet "undezimal" nicht 11-Limit, sondern das, dass der Tonik der 11. oder der 22. Oberton ist. Möglicherweise auch 44. oder 88., aber laut Zhea kann das resultierende Zusammenklang bei "höheren Oktaven des 11. Obertons" seine undezimale Identität leicht verlieren.) [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 16:36, 16. Jun. 2021 (UTC)

:: Ja genau. Ich wusste nicht, dass das Ding ''Zarlino-Skala'' heißt, danke für die Info. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 18:22, 16. Jun. 2021 (UTC)</text>
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Der einleitende Satz ist zu kompliziert. Kein Mensch hat ein so großes Arbeitsgedächtnis, das es ihm erlauben würde, ihn zu verstehen, ohne mehrmals von vorne beginnen zu müssen. Also ich komme jedenfalls so nicht durch. Soweit ich weiß, besteht eine solche Skala aus Tönen der Obertonreihe, einer Auswahl aus einem Bereich n bis 2n, wobei n für eine Partialtonnummer steht. Also z.B. &lt;code&gt;5, 6, 7, 8, 9, 10&lt;/code&gt;. Von echten Nejis spricht man vermutlich erst ab einer gewissen Größe von n, so dass tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird und man nicht jeden Oberton einbezieht. Also z.B. &lt;code&gt;10, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 20&lt;/code&gt;. Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen. Stimmt das so? Ich denke, man sollte die Einleitung lieber in mehrere Sätze aufteilen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 22:13, 15. Jun. 2021 (UTC)

:"tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird": Ja, man wählt ein konkretes ''n'' und wählt aus den Obertönen n, n+1, n+2, ..., 2n-1, 2n diese Tonhöhen, die als Ganzes betrachtet an die ursprüngliche Skala (für seinen Zweck) gut genug annähern. Es ist möglich, dass man einen hohen Wert von ''n'' braucht (weil man eine sehr präzise Approximation an die Skala möchte). Oder man kann möglicherweise ein niedrigeres ''n'' wählen, für einen deutlicheren akustischen Effekt von JI. Manchmal hat man Glück und findet einen relativ niedrigen Modus ''n'', der trotzdem daran relativ gut approximiert.

: "Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen." Das hängt davon ab, an welche Skala man approximieren will. Bei EDOs würde man mehr Töne im ''hohen'' Bereich auslassen, denn die Obertonreihe hat mehr Töne für die gleiche Raumgröße in hohen Bereichen.

: Ich hoffe, meine Antwort (und die neuen Beispiele im Artikel) hat klargestellt, was ich geschrieben habe. Ich habe auch versucht einige mögliche Gründe zu erklären, warum man ein Neji verwenden würde. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 00:19, 16. Jun. 2021 (UTC)

: "Ich denke, man sollte die Einleitung lieber in mehrere Sätze aufteilen." Ok, wir wollen irgendwie das ganze Verfahren bezeichnen: (1) die ursprüngliche Skala, (2) das Auswählen eines Bereiches in der Obertonreihe, der eine Oktave bildet: d.h. die Obertöne n, ..., 2n, und (3) das Auswählen von Tönen. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 01:04, 16. Jun. 2021 (UTC)

:: Ich habe die Einleitung jetzt umgeschrieben, es kann sein, dass nicht mehr jeder Teilaspekt enthalten ist, aber verständlicher sollte es auf jeden Fall sein. Zur Vertiefung (falls nötig) kann man ja weitere Sätze anschließen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 06:25, 16. Jun. 2021 (UTC)
:: Ich habe einen weiteren Sinn des Begriffs erklärt: "Informell bezeichnet der Begriff "Neji" oft auch Skalen, die an andere Skalen mit irrationalen Frequenzverhältnissen (sowie MOS-Skalen) mit einer solchen Auswahl von Obertönen approximieren. Deshalb kann man möglicherweise von einem diatonischen Neji sprechen, oder einem 1L 6s-Neji, usw."
:: Man sollte auch erklären, dass Nejis eine Art ''irregulärer'' Temperaturen sind: anders als bei [[Reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]] oder bei [[MOS-Skalen]] hat ein Neji kein Generatorintervall, dessen Gróße sich nicht ändert. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 11:46, 16. Jun. 2021 (UTC)
:: Ok, vorerst höre ich mit den Bearbeitungen auf. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 14:56, 16. Jun. 2021 (UTC)

== 5-Limit-Dur-Skala als Neji? ==

Ich hatte vor langer Zeit mal diese Darstellung einer Durtonleiter berechnet (klanglich eher traditionell):
 24 27 30 32 36 40 45 48
die man wohl auch als Neji (Modus 24) einordnen könnte. &lt;br&gt;
@Inthar: Würdest du hier zustimmen? --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 15:44, 16. Jun. 2021 (UTC)

: Ok, aber das ist ein eher "triviales" Beispiel. (das ist die Zarlino-Skala, nicht wahr?). Meistens spricht man über Nejis, wenn man wie Zhea Limits ignorieren will. Ich würde also auch noch ein primodales Exemplar erwähnen, z. B. Zheas "undezimales" Eurybia-Neji denn Zhea ist eine der Personen, die Nejis am meisten verwenden. (Hier bedeutet "undezimal" nicht 11-Limit, sondern das, dass der Tonik der 11. oder der 22. Oberton ist. Möglicherweise auch 44. oder 88., aber laut Zhea kann das resultierende Zusammenklang bei "höheren Oktaven des 11. Obertons" seine undezimale Identität leicht verlieren.) [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 16:36, 16. Jun. 2021 (UTC)

:: Ja genau. Ich wusste nicht, dass das Ding ''Zarlino-Skala'' heißt, danke für die Info. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 18:22, 16. Jun. 2021 (UTC)

::: Ich sehe gerade [[Wikipedia: Ptolemy's intense diatonic scale]], diese Skala ist als noch viel älter! --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 18:35, 16. Jun. 2021 (UTC)</text>
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      <comment>/* 5-Limit-Dur-Skala als Neji? */ Ich meinte nicht "easily", sondern "a bit" bzw. "to some extent"</comment>
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Der einleitende Satz ist zu kompliziert. Kein Mensch hat ein so großes Arbeitsgedächtnis, das es ihm erlauben würde, ihn zu verstehen, ohne mehrmals von vorne beginnen zu müssen. Also ich komme jedenfalls so nicht durch. Soweit ich weiß, besteht eine solche Skala aus Tönen der Obertonreihe, einer Auswahl aus einem Bereich n bis 2n, wobei n für eine Partialtonnummer steht. Also z.B. &lt;code&gt;5, 6, 7, 8, 9, 10&lt;/code&gt;. Von echten Nejis spricht man vermutlich erst ab einer gewissen Größe von n, so dass tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird und man nicht jeden Oberton einbezieht. Also z.B. &lt;code&gt;10, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 20&lt;/code&gt;. Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen. Stimmt das so? Ich denke, man sollte die Einleitung lieber in mehrere Sätze aufteilen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 22:13, 15. Jun. 2021 (UTC)

:"tatsächlich aus einem Bestand ausgewählt wird": Ja, man wählt ein konkretes ''n'' und wählt aus den Obertönen n, n+1, n+2, ..., 2n-1, 2n diese Tonhöhen, die als Ganzes betrachtet an die ursprüngliche Skala (für seinen Zweck) gut genug annähern. Es ist möglich, dass man einen hohen Wert von ''n'' braucht (weil man eine sehr präzise Approximation an die Skala möchte). Oder man kann möglicherweise ein niedrigeres ''n'' wählen, für einen deutlicheren akustischen Effekt von JI. Manchmal hat man Glück und findet einen relativ niedrigen Modus ''n'', der trotzdem daran relativ gut approximiert.

: "Also werden tendenziell mehr Töne im niedrigen Bereich ausgelassen als im hohen." Das hängt davon ab, an welche Skala man approximieren will. Bei EDOs würde man mehr Töne im ''hohen'' Bereich auslassen, denn die Obertonreihe hat mehr Töne für die gleiche Raumgröße in hohen Bereichen.

: Ich hoffe, meine Antwort (und die neuen Beispiele im Artikel) hat klargestellt, was ich geschrieben habe. Ich habe auch versucht einige mögliche Gründe zu erklären, warum man ein Neji verwenden würde. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 00:19, 16. Jun. 2021 (UTC)

: "Ich denke, man sollte die Einleitung lieber in mehrere Sätze aufteilen." Ok, wir wollen irgendwie das ganze Verfahren bezeichnen: (1) die ursprüngliche Skala, (2) das Auswählen eines Bereiches in der Obertonreihe, der eine Oktave bildet: d.h. die Obertöne n, ..., 2n, und (3) das Auswählen von Tönen. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 01:04, 16. Jun. 2021 (UTC)

:: Ich habe die Einleitung jetzt umgeschrieben, es kann sein, dass nicht mehr jeder Teilaspekt enthalten ist, aber verständlicher sollte es auf jeden Fall sein. Zur Vertiefung (falls nötig) kann man ja weitere Sätze anschließen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 06:25, 16. Jun. 2021 (UTC)
:: Ich habe einen weiteren Sinn des Begriffs erklärt: "Informell bezeichnet der Begriff "Neji" oft auch Skalen, die an andere Skalen mit irrationalen Frequenzverhältnissen (sowie MOS-Skalen) mit einer solchen Auswahl von Obertönen approximieren. Deshalb kann man möglicherweise von einem diatonischen Neji sprechen, oder einem 1L 6s-Neji, usw."
:: Man sollte auch erklären, dass Nejis eine Art ''irregulärer'' Temperaturen sind: anders als bei [[Reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]] oder bei [[MOS-Skalen]] hat ein Neji kein Generatorintervall, dessen Gróße sich nicht ändert. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 11:46, 16. Jun. 2021 (UTC)
:: Ok, vorerst höre ich mit den Bearbeitungen auf. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 14:56, 16. Jun. 2021 (UTC)

== 5-Limit-Dur-Skala als Neji? ==

Ich hatte vor langer Zeit mal diese Darstellung einer Durtonleiter berechnet (klanglich eher traditionell):
 24 27 30 32 36 40 45 48
die man wohl auch als Neji (Modus 24) einordnen könnte. &lt;br&gt;
@Inthar: Würdest du hier zustimmen? --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 15:44, 16. Jun. 2021 (UTC)

: Ok, aber das ist ein eher "triviales" Beispiel. (das ist die Zarlino-Skala, nicht wahr?). Meistens spricht man über Nejis, wenn man wie Zhea Limits ignorieren will. Ich würde also auch noch ein primodales Exemplar erwähnen, z. B. Zheas "undezimales" Eurybia-Neji denn Zhea ist eine der Personen, die Nejis am meisten verwenden. (Hier bedeutet "undezimal" nicht 11-Limit, sondern das, dass der Tonik der 11. oder der 22. Oberton ist. Möglicherweise auch 44. oder 88., aber laut Zhea kann das resultierende Zusammenklang bei "höheren Oktaven des 11. Obertons" einigermaßen seine undezimale Identität verlieren.) [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 16:36, 16. Jun. 2021 (UTC)

:: Ja genau. Ich wusste nicht, dass das Ding ''Zarlino-Skala'' heißt, danke für die Info. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 18:22, 16. Jun. 2021 (UTC)

::: Ich sehe gerade [[Wikipedia: Ptolemy's intense diatonic scale]], diese Skala ist als noch viel älter! --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 18:35, 16. Jun. 2021 (UTC)</text>
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      <text bytes="204" sha1="ski601nb54ixcr40jncyjvssbpk5vd8" xml:space="preserve">== Frage zu Artikel-Titeln ==

Sollte Artikel-Titel stets singular sein (wie auf der deutschen Wikipedia)? [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 20:27, 16. Jun. 2021 (UTC)</text>
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Sollte Artikel-Titel stets singular sein (wie auf der deutschen Wikipedia)? Ich sehe Titel wie [[Reguläre Temperaturen]] und [[Reine Stimmungen]]. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 20:27, 16. Jun. 2021 (UTC)</text>
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Sollten Artikel-Titel stets singular sein (wie auf der deutschen Wikipedia)? Ich sehe Titel wie [[Reguläre Temperaturen]] und [[Reine Stimmungen]]. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 20:27, 16. Jun. 2021 (UTC)</text>
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Sollten Artikel-Titel stets singular sein (wie auf der deutschen Wikipedia)? Ich sehe Titel wie [[Reguläre Temperaturen]] und [[Reine Stimmungen]]. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 20:27, 16. Jun. 2021 (UTC)

: Ja, das ist auch im Deutschen sinnvoll. Allerdings ist der Nutzen nicht so hoch wie im Englischen, das liegt an den Umlauten, die häufig  bei Mehrzahlen auftreten (''Ton'', ''Töne'') und an den Fallendungen, die zusammengesetzte Lemmas "sprengen" (die ''reine Stimmung'' (Nom., Akk.), der ''reinen Stimmung'' (Gen., Dat.)). Wir können das gern umstellen, wo es uns auffällt (inkl. Weiterleitung). --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 20:53, 16. Jun. 2021 (UTC)</text>
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      <comment>Die Seite wurde neu angelegt: „'''Primodalität''' ist eine neue Theorie der Harmonie in [[reine Stimmung|reiner Stimmung]], die von der Xenharmonie-Komponistin und -Theoristin [[Zhea Erose]…“</comment>
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      <text bytes="1037" sha1="ek25yhyfddh3a9aru4j8kob2o9q0noz" xml:space="preserve">'''Primodalität''' ist eine neue Theorie der Harmonie in [[reine Stimmung|reiner Stimmung]], die von der Xenharmonie-Komponistin und -Theoristin [[Zhea Erose]] entwickelt wurde. Die Theorie behandelt vertikale [[Obertonreihe]]n-Akkorde, die durch Auswahl eines konkreten [[Teilton]] als Grundton und den anschließenden Aufbau einer harmonischen Struktur auf den Grundton konstruiert werden. Insbesondere entspreche jedem ''Prim''-Teilton seine besondere Klangfarbe und seine Identität, daher der Begriff ''Primodalität''. Wesentlich sei dabei die sogenannte ''gestalt'', also die intrinsische Tonfarbe des gesamten vertikalen Zusammenklangs: diese Tonfarbe ändere sich, je nach dem Teilton, auf dem das Akkord basiert. Zum Beispiel sei die ''undezimale'' (auf dem Teilton 11 basierende) Identität zwar bei einzelnen Intervallen wie 11:13 oder 11:14 nicht hörbar, aber diese Identität werde deutlich, wenn alle Töne in einem großen Undezimal-Akkord oder in einer gesamten Undezimal-Skala erklingen.

[[Kategorie:Reine Stimmung]]</text>
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Der Name ''Primodalität'' stammt daraus, dass sich ein ''Obertonerihen-Modus'' also ein Oktavenbereich der Obertonreihe ergibt, wenn man einen ''Prim-Teilton'' als Grundton eines Akkords oder Tonika einer Skala wählt, gegebenenfalls in irgendwelcher Oktave über dem Prim-Teilton. Also ist die zu Grunde liegende Obertonen-Skala bei gegebenem Prim-Teilton ''p'' folgende:
 p, p+1, p+2, ..., 2p (Oktave über p), 2p+1, ..., 3p, 3p+1, ..., 4p (2 Oktaven über p)
 ...
Man teilt diese Töne in Oktavenbereiche über den Teilton ''p'' und nennt den Modus ''p'', d.h. ''p'':...:''2p'' "die 1. Oktave von ''p''", und den Modus ''2p'', d.h. ''2p'':...:''4p'' "die 2. Oktave von ''p''", usw.

Dies liegt wiederum daran, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Chord-Scales'' basiert: sie sieht keinen Unterschied zwischen einer Skala und einem Akkord sieht: eine Skala ist nur ein großer Akkord mit unbestimmtem Voicing.

[[Kategorie:Reine Stimmung]]
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      <text bytes="1995" sha1="amlrq5mn3qpzi1f7huwre8xjnasrhb8" xml:space="preserve">'''Primodalität''' (''primodality'') ist eine neue Theorie der Harmonie in [[reine Stimmung|reiner Stimmung]], die von der Xenharmonie-Komponistin und -Theoristin [[Zhea Erose]] entwickelt wurde. Die Theorie behandelt vertikale [[Obertonreihe]]n-Akkorde, die durch die Auswahl eines konkreten [[Teilton]]s als Grundton und den anschließenden Aufbau einer harmonischen Struktur auf den Grundton konstruiert werden. Dabei ergebe jeder ''Prim''-Teilton als Grundton seine besondere Klangfarbe und seine Identität. Wesentlich sei dabei die sogenannte "''gestalt''" des Akkords, also die intrinsische Tonfarbe des gesamten vertikalen Zusammenklangs. Diese Tonfarbe ändere sich, je nach dem Teilton, auf dem das Akkord basiert. Zum Beispiel sei die ''undezimale'' (auf dem Teilton 11 basierende) Identität zwar bei einzelnen Intervallen wie 11:13 oder 11:14 nicht leicht hörbar, aber diese Identität werde deutlich, wenn alle Töne in einem großen Undezimal-Akkord oder in einer Undezimal-Skala gleichzeitig erklingen.

Der Name ''Primodalität'' stammt daraus, dass sich ein ''Obertonerihen-Modus'' also ein Oktavenbereich der Obertonreihe ergibt, wenn man einen ''Prim-Teilton'' als Grundton eines Akkords oder Tonika einer Skala wählt, gegebenenfalls in irgendwelcher Oktave über dem Prim-Teilton. Also ist die zu Grunde liegende Obertonen-Skala bei gegebenem Prim-Teilton ''p'' folgende:
 p, p+1, p+2, ..., 2p (Oktave über p), 2p+1, ..., 3p, 3p+1, ..., 4p (2 Oktaven über p)
 ...
Man teilt diese Töne in Oktavenbereiche über den Teilton ''p'' und nennt den Modus ''p'', d.h. ''p'':...:''2p'' "die 1. Oktave von ''p''", und den Modus ''2p'', d.h. ''2p'':...:''4p'' "die 2. Oktave von ''p''", usw.

Dies liegt wiederum daran, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Chord-Scales'' basiert. Daher sieht sie keinen Unterschied zwischen einer Skala und einem Akkord: eine Skala ist nur ein großer Akkord mit unbestimmtem Voicing.

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Der Name ''Primodalität'' stammt daraus, dass sich ein ''Obertonerihen-Modus'' also ein Oktavenbereich der Obertonreihe ergibt, wenn man einen ''Prim-Teilton'' als Grundton eines Akkords oder Tonika einer Skala wählt, gegebenenfalls in irgendwelcher Oktave über dem Prim-Teilton. Also ist die zu Grunde liegende Obertonen-Skala bei gegebenem Prim-Teilton ''p'' folgende:
 p, p+1, p+2, ..., 2p (Oktave über p), 2p+1, ..., 3p, 3p+1, ..., 4p (2 Oktaven über p)
 ...
Man teilt diese Töne in Oktavenbereiche über den Teilton ''p'' und nennt den Modus ''p'', d.h. ''p'':...:''2p'' "die 1. Oktave von ''p''", und den Modus ''2p'', d.h. ''2p'':...:''4p'' "die 2. Oktave von ''p''", usw.

Dies liegt wiederum daran, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Chord-Scales'' basiert. Also sieht sie keinen Unterschied zwischen einer Skala und einem Akkord: eine Skala ist nur ein großer Akkord mit unbestimmtem Voicing.

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Der Name ''Primodalität'' stammt daraus, dass sich ein ''Obertonerihen-Modus'' also ein Oktavenbereich der Obertonreihe ergibt, wenn man einen ''Prim-Teilton'' als Grundton eines Akkords oder Tonika einer Skala wählt, gegebenenfalls in irgendwelcher Oktave über dem Prim-Teilton. Also ist die zu Grunde liegende Obertonen-Skala bei gegebenem Prim-Teilton ''p'' folgende:
 p, p+1, p+2, ..., 2p (Oktave über p), 2p+1, ..., 3p, 3p+1, ..., 4p (2 Oktaven über p)
 ...
Man teilt diese Töne in Oktavenbereiche über den Teilton ''p'' und nennt den Modus ''p'', d.h. ''p'':...:''2p'' "die 1. Oktave von ''p''", und den Modus ''2p'', d.h. ''2p'':...:''4p'' "die 2. Oktave von ''p''", usw.

Dies liegt wiederum daran, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Chord-Scales'' basiert. Also sieht sie keinen Unterschied zwischen Skalen und Akkorden: eine Skala ist nur ein großer Akkord mit unbestimmtem Voicing.

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Der Name ''Primodalität'' stammt daraus, dass sich ein ''Obertonerihen-Modus'' also ein Oktavenbereich der Obertonreihe ergibt, wenn man einen ''Prim-Teilton'' als Grundton eines Akkords oder Tonika einer Skala wählt, gegebenenfalls in irgendwelcher Oktave über dem Prim-Teilton. Also ist die zu Grunde liegende Obertonen-Skala bei gegebenem Prim-Teilton ''p'' folgende:
 p, p+1, p+2, ..., 2p (Oktave über p), 2p+1, ..., 3p, 3p+1, ..., 4p (2 Oktaven über p)
 ...
Man teilt diese Töne in Oktavenbereiche über den Teilton ''p'' und nennt den Modus ''p'', d.h. ''p'':...:''2p'' "die 1. Oktave von ''p''", und den Modus ''2p'', d.h. ''2p'':...:''4p'' "die 2. Oktave von ''p''", usw.

Dies liegt wiederum daran, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Chord-Scales'' basiert. Also sieht sie grob gesagt keinen Unterschied zwischen Skalen und Akkorden: eine Skala ist nur ein großer Akkord mit unbestimmtem Voicing.

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Der Name ''Primodalität'' stammt daraus, dass sich ein ''Obertonerihen-Modus'' also ein Oktavenbereich der Obertonreihe ergibt, wenn man einen ''Prim-Teilton'' als Grundton eines Akkords oder Tonika einer Skala wählt, gegebenenfalls in irgendwelcher Oktave über dem Prim-Teilton. Also ist die zu Grunde liegende Obertonen-Skala bei gegebenem Prim-Teilton ''p'' folgende:
 p, p+1, p+2, ..., 2p (Oktave über p), 2p+1, ..., 3p, 3p+1, ..., 4p (2 Oktaven über p)
 ...
Man teilt diese Töne in Oktavenbereiche über den Teilton ''p'' und nennt den Modus ''p'', d.h. ''p'':...:''2p'' "die 1. Oktave von ''p''", und den Modus ''2p'', d.h. ''2p'':...:''4p'' "die 2. Oktave von ''p''", usw.

Dies liegt wiederum daran, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Chord-Scales'' basiert. Also sieht sie grob gesagt keinen Unterschied zwischen Skalen und Akkorden: eine Skala sei nur ein großer Akkord mit unbestimmtem Voicing.

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Der Name ''Primodalität'' stammt daraus, dass sich ein ''Obertonreihen-Modus'' also ein Oktavenbereich der Obertonreihe ergibt, wenn man einen ''Prim-Teilton'' als Grundton eines Akkords oder Tonika einer Skala wählt, gegebenenfalls in irgendwelcher Oktave über dem Prim-Teilton. Also ist die zu Grunde liegende Obertonen-Skala bei gegebenem Prim-Teilton ''p'' folgende:
 p, p+1, p+2, ..., 2p (Oktave über p), 2p+1, ..., 3p, 3p+1, ..., 4p (2 Oktaven über p)
 ...
Man teilt diese Töne in Oktavenbereiche über den Teilton ''p'' und nennt den Modus ''p'', d.h. ''p'':...:''2p'' "die 1. Oktave von ''p''", und den Modus ''2p'', d.h. ''2p'':...:''4p'' "die 2. Oktave von ''p''", usw.

Dies liegt wiederum daran, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Chord-Scales'' basiert. Also sieht sie grob gesagt keinen Unterschied zwischen Skalen und Akkorden: eine Skala sei nur ein großer Akkord mit unbestimmtem Voicing.

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Der Name ''Primodalität'' stammt daraus, dass die Primodalität auf ''Obertonreihen-Modi'' basiert, die sich ergeben, wenn man einen ''Prim-Teilton'' als Grundton eines Akkords oder Tonika einer Skala wählt, gegebenenfalls in irgendwelcher Oktave über dem Prim-Teilton. Also ist die zu Grunde liegende Obertonen-Skala bei gegebenem Prim-Teilton ''p'' folgende:
 p, p+1, p+2, ..., 2p (Oktave über p), 2p+1, ..., 3p, 3p+1, ..., 4p (2 Oktaven über p)
 ...
Man teilt diese Töne in Oktavenbereiche über den Teilton ''p'' und nennt den Modus ''p'', d.h. ''p'':...:''2p'' "die 1. Oktave von ''p''", und den Modus ''2p'', d.h. ''2p'':...:''4p'' "die 2. Oktave von ''p''", usw.

Dies liegt wiederum daran, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Chord-Scales'' basiert. Also sieht sie grob gesagt keinen Unterschied zwischen Skalen und Akkorden: eine Skala sei nur ein großer Akkord mit unbestimmtem Voicing.

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Der Name ''Primodalität'' stammt daraus, dass die Primodalität auf ''Obertonreihen-Modi'' basiert, die sich ergeben, wenn man einen ''Prim-Teilton'' als Grundton eines Akkords oder Tonika einer Skala wählt, gegebenenfalls in irgendwelcher Oktave über dem Prim-Teilton. Also ist die zu Grunde liegende Obertonen-Skala bei gegebenem Prim-Teilton ''p'' folgende:
 p, p+1, p+2, ..., 2p (Oktave über p), 2p+1, ..., 3p, 3p+1, ..., 4p (2 Oktaven über p)
 ...
Man teilt diese Töne in Oktavenbereiche über den Teilton ''p'' und nennt den Modus ''p'', d.h. ''p'':...:''2p'' "die 1. Oktave von ''p''", und den Modus ''2p'', d.h. ''2p'':...:''4p'' "die 2. Oktave von ''p''", usw.

Dies liegt wiederum daran, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Chord-Scales'' basiert. Also sieht sie grob gesagt keinen Unterschied zwischen Skalen und Akkorden: eine Skala sei nur ein großer Akkord mit unbestimmtem Voicing.

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Der Name ''Primodalität'' stammt daraus, dass die Primodalität auf ''Obertonreihen-Modi'' basiert, die sich ergeben, wenn man einen ''Prim-Teilton'' als Grundton eines Akkords oder Tonika einer Skala wählt, gegebenenfalls in irgendwelcher Oktave über dem Prim-Teilton. Also ist die zu Grunde liegende Obertonen-Skala bei gegebenem Prim-Teilton ''p'' folgende:
 p, p+1, p+2, ..., 2p (Oktave über p), 
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 ...
Man teilt diese Töne in Oktavenbereiche über den Teilton ''p'' und nennt den Modus ''p'', d.h. ''p'':...:''2p'' "die 1. Oktave von ''p''", und den Modus ''2p'', d.h. ''2p'':...:''4p'' "die 2. Oktave von ''p''", usw.

Dies liegt wiederum daran, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Chord-Scales'' basiert. Also sieht sie grob gesagt keinen Unterschied zwischen Skalen und Akkorden: eine Skala sei nur ein großer Akkord mit unbestimmtem Voicing.

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Der Name ''Primodalität'' stammt daraus, dass die Primodalität auf ''Obertonreihen-Modi'' basiert, die sich ergeben, wenn man einen ''Prim-Teilton'' als Grundton eines Akkords oder Tonika einer Skala wählt, gegebenenfalls in irgendwelcher Oktave über dem Prim-Teilton. Also ist die zu Grunde liegende Oberton-Skala bei gegebenem Prim-Teilton ''p'' folgende:
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 ...
Man teilt diese Töne in Oktavenbereiche über den Teilton ''p'' und nennt den Modus ''p'', d.h. ''p'':...:''2p'' "die 1. Oktave von ''p''", und den Modus ''2p'', d.h. ''2p'':...:''4p'' "die 2. Oktave von ''p''", usw.

Dies liegt wiederum daran, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Chord-Scales'' basiert. Also sieht sie grob gesagt keinen Unterschied zwischen Skalen und Akkorden: eine Skala sei nur ein großer Akkord mit unbestimmtem Voicing.

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Der Name ''Primodalität'' stammt daraus, dass die Primodalität auf ''Obertonreihen-Modi'' basiert, die sich ergeben, wenn man einen ''Prim-Teilton'' als Grundton eines Akkords oder Tonika einer Skala wählt, gegebenenfalls in irgendwelcher Oktave über dem Prim-Teilton. Also ist die zu Grunde liegende Oberton-Skala bei gegebenem Prim-Teilton ''p'' folgende:
 p, p+1, p+2, ..., 2p (Oktave über p), 
 2p+1, ..., 3p, 3p+1, ..., 4p (2 Oktaven über p),
 ...
Man teilt diese Töne in Oktavenbereiche über den Teilton ''p'' und nennt den Modus ''p'', d.h. ''p'':...:''2p'' "die 1. Oktave von ''p''", und den Modus ''2p'', d.h. ''2p'':...:''4p'' "die 2. Oktave von ''p''", usw.

Dies liegt wiederum daran, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Chord-Scales'' basiert. Also sieht sie grob gesagt keinen Unterschied zwischen Skalen und Akkorden: eine Skala sei nur ein großer Akkord mit unbestimmtem Voicing.

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Der Name ''Primodalität'' stammt daraus, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Obertonreihen-Modi'' basiert, die sich ergeben, wenn man einen ''Prim-Teilton'' als Grundton eines Akkords oder Tonika einer Skala wählt, gegebenenfalls in irgendwelcher Oktave über dem Prim-Teilton. Also ist die zu Grunde liegende Oberton-Skala bei gegebenem Prim-Teilton ''p'' folgende:
 p, p+1, p+2, ..., 2p (Oktave über p), 
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Man teilt diese Töne in Oktavenbereiche über den Teilton ''p'' und nennt den Modus ''p'', d.h. ''p'':...:''2p'' "die 1. Oktave von ''p''", und den Modus ''2p'', d.h. ''2p'':...:''4p'' "die 2. Oktave von ''p''", usw.

Dies liegt wiederum daran, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Chord-Scales'' basiert. Also sieht sie grob gesagt keinen Unterschied zwischen Skalen und Akkorden: eine Skala sei nur ein großer Akkord mit unbestimmtem Voicing.

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Der Name ''Primodalität'' stammt daraus, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Obertonreihen-Modi'' basiert, die sich ergeben, wenn man einen ''Prim-Teilton'' als Grundton eines Akkords oder Tonika einer Skala wählt, gegebenenfalls in irgendwelcher Oktave über dem Prim-Teilton. Also ist die zu Grunde liegende Oberton-Skala bei gegebenem Prim-Teilton ''p'' folgende:
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Man teilt diese Töne in Oktavenbereiche über den Teilton ''p'' und nennt den Modus ''p'', d.h. ''p'':...:''2p'' "die 1. Oktave von ''p''", und den Modus ''2p'', d.h. ''2p'':...:''4p'' "die 2. Oktave von ''p''", usw.

Dies liegt wiederum daran, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Chord-Scales'' basiert. Also sieht sie grob gesagt keinen Unterschied zwischen Skalen und Akkorden: eine Skala sei nur ein großer Akkord mit unbestimmtem Voicing.

== Zusammenhang mit Nejis ==
Die Primodalität wird oft zusammen mit einer anderen Technik verwendet, nämlich [[Neji]]-Stimmungen, die die primodalen Eigenschaften beibehalten und auch den Vorteil haben, dass sie über nahezu gleiche Intervalle verfügen.

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Der Name ''Primodalität'' stammt daraus, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Obertonreihen-Modi'' basiert, die sich ergeben, wenn man einen ''Prim-Teilton'' als Grundton eines Akkords oder Tonika einer Skala wählt, gegebenenfalls in irgendwelcher Oktave über dem Prim-Teilton. Also ist die zu Grunde liegende Oberton-Skala bei gegebenem Prim-Teilton ''p'' folgende:
 p, p+1, p+2, ..., 2p (Oktave über p), 
 2p+1, ..., 3p, 3p+1, ..., 4p (2 Oktaven über p),
 ...
Man teilt diese Töne in Oktavenbereiche über den Teilton ''p'' und nennt den Modus ''p'', d.h. ''p'':...:''2p'' "die 1. Oktave von ''p''", und den Modus ''2p'', d.h. ''2p'':...:''4p'' "die 2. Oktave von ''p''", usw.

Dies liegt wiederum daran, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Chord-Scales'' basiert. Also sieht sie grob gesagt keinen Unterschied zwischen Skalen und Akkorden: eine Skala sei nur ein großer Akkord mit unbestimmtem Voicing.

== Zusammenhang mit Nejis ==
Die Primodalität wird oft zusammen mit einer anderen Lieblingstechnik von Zhea verwendet, nämlich [[Neji]]-Stimmungen, die die primodalen Eigenschaften beibehalten und auch den Vorteil haben, dass sie über nahezu gleiche Intervalle verfügen.

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Der Name ''Primodalität'' stammt daraus, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Obertonreihen-Modi'' basiert, die sich ergeben, wenn man einen ''Prim-Teilton'' als Grundton eines Akkords oder Tonika einer Skala wählt, gegebenenfalls in irgendwelcher Oktave über dem Prim-Teilton. Also ist die zu Grunde liegende Oberton-Skala bei gegebenem Prim-Teilton ''p'' folgende:
 p, p+1, p+2, ..., 2p (Oktave über p), 
 2p+1, ..., 3p, 3p+1, ..., 4p (2 Oktaven über p),
 ...
Man teilt diese Töne in Oktavenbereiche über den Teilton ''p'' und nennt den Modus ''p'', d.h. ''p'':...:''2p'' "die 1. Oktave von ''p''", und den Modus ''2p'', d.h. ''2p'':...:''4p'' "die 2. Oktave von ''p''", usw.

Dies liegt wiederum daran, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Chord-Scales'' basiert. Also sieht sie grob gesagt keinen Unterschied zwischen Skalen und Akkorden: eine Skala sei nur ein großer Akkord mit unbestimmtem Voicing.

== Zusammenhang mit Nejis ==
Die Primodalität wird oft zusammen mit einer anderen Lieblingstechnik von Zhea Erose verwendet, nämlich [[Neji]]-Stimmungen, die die primodalen Eigenschaften beibehalten und auch den Vorteil haben, dass sie über nahezu gleiche Intervalle verfügen.

[[Kategorie:Reine Stimmung]]
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Der Name ''Primodalität'' stammt daraus, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Obertonreihen-Modi'' basiert, die sich ergeben, wenn man einen ''Prim-Teilton'' als Grundton eines Akkords oder Tonika einer Skala wählt, gegebenenfalls in irgendwelcher Oktave über dem Prim-Teilton. Also ist die zu Grunde liegende Oberton-Skala bei gegebenem Prim-Teilton ''p'' folgende:
 p, p+1, p+2, ..., 2p (Oktave über p), 
 2p+1, ..., 3p, 3p+1, ..., 4p (2 Oktaven über p),
 ...
Man teilt diese Töne in Oktavenbereiche über den Teilton ''p'' und nennt den Modus ''p'', d.h. ''p'':...:''2p'' "die 1. Oktave von ''p''", und den Modus ''2p'', d.h. ''2p'':...:''4p'' "die 2. Oktave von ''p''", usw.

Dies liegt wiederum daran, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Chord-Scales'' basiert. Also sieht sie grob gesagt keinen Unterschied zwischen Skalen und Akkorden: eine Skala sei nur ein großer Akkord mit unbestimmtem Voicing.

== Zusammenhang mit Nejis ==
Die Primodalität wird oft zusammen mit einer anderen Lieblingstechnik von Zhea Erose verwendet, nämlich [[Neji]]-Stimmungen, die die primodalen Eigenschaften beibehalten und auch den Vorteil haben, dass sie über nahezu gleiche Intervalle verfügen.

== Musikbeispiele ==
*[https://youtu.be/ZIn6uis5duw Zhea Erose - Novemdeca (in a 12-note 19-primodal scale)]
*[https://youtu.be/ZSUdXVI0tO0 Zhea Erose - Pandelia (in 2*17-primodal + 3/2)]
*[https://youtu.be/KpiOqPr4m9M benyamind - A Story (in the Novemdeca tuning)]
*[https://www.youtube.com/watch?v=a63V_fAPNaA Zhea Erose - WXTCHCRXFT [37-tone Just Intonation&amp;#93;]
*[https://www.youtube.com/watch?v=ubPwKxcp87g Zhea Erose - Eurybia [just intonation&amp;#93;]
*[https://www.youtube.com/watch?v=3iWRlf3wrPs Zhea Erose - Spiritualistica [just intonation&amp;#93;]
*[https://www.youtube.com/watch?v=4BBdJly4-OY Zhea Erose - Fluorescence [acoustic just intonation&amp;#93;]

== Siehe auch ==
Im englischen Wiki:
* '''[[:en:Primodal Archive]]'''
* [[:en:Undecimal Primodality]]

[[Kategorie:Reine Stimmung]]
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Der Name ''Primodalität'' stammt daraus, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Obertonreihen-Modi'' basiert, die sich ergeben, wenn man einen ''Prim-Teilton'' als Grundton eines Akkords oder Tonika einer Skala wählt, gegebenenfalls in irgendwelcher Oktave über dem Prim-Teilton. Also ist die zu Grunde liegende Oberton-Skala bei gegebenem Prim-Teilton ''p'' folgende:
 p, p+1, p+2, ..., 2p (Oktave über p), 
 2p+1, ..., 3p, 3p+1, ..., 4p (2 Oktaven über p),
 ...
Man teilt diese Töne in Oktavenbereiche über den Teilton ''p'' und nennt den Modus ''p'', d.h. ''p'':...:''2p'' "die 1. Oktave von ''p''", und den Modus ''2p'', d.h. ''2p'':...:''4p'' "die 2. Oktave von ''p''", usw.

Dies liegt wiederum daran, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Chord-Scales'' basiert. Also sieht sie grob gesagt keinen Unterschied zwischen Skalen und Akkorden: eine Skala sei nur ein großer Akkord mit unbestimmtem Voicing.

== Zusammenhang mit Nejis ==
Die Primodalität wird oft zusammen mit einer anderen Lieblingstechnik von Zhea Erose verwendet, nämlich [[Neji]]-Stimmungen, die die primodalen Eigenschaften beibehalten und auch den Vorteil haben, dass sie über nahezu gleiche Intervalle verfügen.

== Musikbeispiele ==
*[https://youtu.be/ZIn6uis5duw Zhea Erose - Novemdeca [in Just Intonation&amp;#93;]
*[https://youtu.be/ZSUdXVI0tO0 Zhea Erose - Pandelia [Just Intonation&amp;#93;]
*[https://youtu.be/KpiOqPr4m9M A story | microtonal music in Zhea Erose's novemdecimal tuning] (von benyamind)
*[https://www.youtube.com/watch?v=a63V_fAPNaA Zhea Erose - WXTCHCRXFT [37-tone Just Intonation&amp;#93;]
*[https://www.youtube.com/watch?v=ubPwKxcp87g Zhea Erose - Eurybia [just intonation&amp;#93;]
*[https://www.youtube.com/watch?v=3iWRlf3wrPs Zhea Erose - Spiritualistica [just intonation&amp;#93;]
*[https://www.youtube.com/watch?v=4BBdJly4-OY Zhea Erose - Fluorescence [acoustic just intonation&amp;#93;]

== Siehe auch ==
Im englischen Wiki:
* '''[[:en:Primodal Archive]]'''
* [[:en:Undecimal Primodality]]

[[Kategorie:Reine Stimmung]]
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      <comment>Inthar verschob die Seite [[Benutzer:Inthar/Primodalität]] nach [[Primodalität]]: Es sollte nicht schaden, den Artikel nach Hauptnamensraum zu verschieben. Und es gibt auch Links die nach Primodalität verlinken</comment>
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Der Name ''Primodalität'' stammt daraus, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Obertonreihen-Modi'' basiert, die sich ergeben, wenn man einen ''Prim-Teilton'' als Grundton eines Akkords oder Tonika einer Skala wählt, gegebenenfalls in irgendwelcher Oktave über dem Prim-Teilton. Also ist die zu Grunde liegende Oberton-Skala bei gegebenem Prim-Teilton ''p'' folgende:
 p, p+1, p+2, ..., 2p (Oktave über p), 
 2p+1, ..., 3p, 3p+1, ..., 4p (2 Oktaven über p),
 ...
Man teilt diese Töne in Oktavenbereiche über den Teilton ''p'' und nennt den Modus ''p'', d.h. ''p'':...:''2p'' "die 1. Oktave von ''p''", und den Modus ''2p'', d.h. ''2p'':...:''4p'' "die 2. Oktave von ''p''", usw.

Dies liegt wiederum daran, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Chord-Scales'' basiert. Also sieht sie grob gesagt keinen Unterschied zwischen Skalen und Akkorden: eine Skala sei nur ein großer Akkord mit unbestimmtem Voicing.

== Zusammenhang mit Nejis ==
Die Primodalität wird oft zusammen mit einer anderen Lieblingstechnik von Zhea Erose verwendet, nämlich [[Neji]]-Stimmungen, die die primodalen Eigenschaften beibehalten und auch den Vorteil haben, dass sie über nahezu gleiche Intervalle verfügen.

== Musikbeispiele ==
*[https://youtu.be/ZIn6uis5duw Zhea Erose - Novemdeca [in Just Intonation&amp;#93;]
*[https://youtu.be/ZSUdXVI0tO0 Zhea Erose - Pandelia [Just Intonation&amp;#93;]
*[https://youtu.be/KpiOqPr4m9M A story | microtonal music in Zhea Erose's novemdecimal tuning] (von benyamind)
*[https://www.youtube.com/watch?v=a63V_fAPNaA Zhea Erose - WXTCHCRXFT [37-tone Just Intonation&amp;#93;]
*[https://www.youtube.com/watch?v=ubPwKxcp87g Zhea Erose - Eurybia [just intonation&amp;#93;]
*[https://www.youtube.com/watch?v=3iWRlf3wrPs Zhea Erose - Spiritualistica [just intonation&amp;#93;]
*[https://www.youtube.com/watch?v=4BBdJly4-OY Zhea Erose - Fluorescence [acoustic just intonation&amp;#93;]

== Siehe auch ==
Im englischen Wiki:
* '''[[:en:Primodal Archive]]'''
* [[:en:Undecimal Primodality]]

[[Kategorie:Reine Stimmung]]
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}}
'''Primodalität''' (''primodality'') ist eine neue Theorie der Harmonie in [[reine Stimmung|reiner Stimmung]], die von der Xenharmonie-Komponistin und -Theoristin [[Zhea Erose]] entwickelt wurde. Die Theorie behandelt vertikale [[Obertonreihe]]n-Akkorde, die durch die Auswahl eines konkreten [[Teilton]]s als Grundton und den anschließenden Aufbau einer harmonischen Struktur auf den Grundton konstruiert werden. Dabei ergebe jeder ''Prim''-Teilton als Grundton seine besondere Klangfarbe und seine Identität. Wesentlich sei dabei die sogenannte "''gestalt''" des Akkords, also die intrinsische Klangfarbe des gesamten vertikalen Zusammenklangs. Diese Klangfarbe ändere sich, je nach dem Teilton, auf dem das Akkord basiert. Zum Beispiel sei die ''undezimale'' (auf dem Teilton 11 basierende) Identität zwar bei einzelnen Intervallen wie 11:13 oder 22:25 nicht leicht hörbar, aber diese Identität werde deutlich, wenn alle Töne in einem großen Undezimal-Akkord oder in einer Undezimal-Skala gleichzeitig erklingen.

Der Name ''Primodalität'' stammt daraus, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Obertonreihen-Modi'' basiert, die sich ergeben, wenn man einen ''Prim-Teilton'' als Grundton eines Akkords oder Tonika einer Skala wählt, gegebenenfalls in irgendwelcher Oktave über dem Prim-Teilton. Also ist die zu Grunde liegende Oberton-Skala bei gegebenem Prim-Teilton ''p'' folgende:
 p, p+1, p+2, ..., 2p (Oktave über p), 
 2p+1, ..., 3p, 3p+1, ..., 4p (2 Oktaven über p),
 ...
Man teilt diese Töne in Oktavenbereiche über den Teilton ''p'' und nennt den Modus ''p'', d.h. ''p'':...:''2p'' "die 1. Oktave von ''p''", und den Modus ''2p'', d.h. ''2p'':...:''4p'' "die 2. Oktave von ''p''", usw.

Dies liegt wiederum daran, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Chord-Scales'' basiert. Also sieht sie grob gesagt keinen Unterschied zwischen Skalen und Akkorden: eine Skala sei nur ein großer Akkord mit unbestimmtem Voicing.

== Zusammenhang mit Nejis ==
Die Primodalität wird oft zusammen mit einer anderen Lieblingstechnik von Zhea Erose verwendet, nämlich [[Neji]]-Stimmungen, die die primodalen Eigenschaften beibehalten und auch den Vorteil haben, dass sie über nahezu gleiche Intervalle verfügen.

== Musikbeispiele ==
*[https://youtu.be/ZIn6uis5duw Zhea Erose - Novemdeca [in Just Intonation&amp;#93;]
*[https://youtu.be/ZSUdXVI0tO0 Zhea Erose - Pandelia [Just Intonation&amp;#93;]
*[https://youtu.be/KpiOqPr4m9M A story | microtonal music in Zhea Erose's novemdecimal tuning] (von benyamind)
*[https://www.youtube.com/watch?v=a63V_fAPNaA Zhea Erose - WXTCHCRXFT [37-tone Just Intonation&amp;#93;]
*[https://www.youtube.com/watch?v=ubPwKxcp87g Zhea Erose - Eurybia [just intonation&amp;#93;]
*[https://www.youtube.com/watch?v=3iWRlf3wrPs Zhea Erose - Spiritualistica [just intonation&amp;#93;]
*[https://www.youtube.com/watch?v=4BBdJly4-OY Zhea Erose - Fluorescence [acoustic just intonation&amp;#93;]

== Siehe auch ==
Im englischen Wiki:
* '''[[:en:Primodal Archive]]'''
* [[:en:Undecimal Primodality]]

[[Kategorie:Reine Stimmung]]
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'''Primodalität''' (''primodality'') ist eine neue Theorie der Harmonie in [[reine Stimmung|reiner Stimmung]], die von der Xenharmonie-Komponistin und -Theoristin [[Zhea Erose]] entwickelt wurde. Die Theorie behandelt vertikale [[Obertonreihe]]n-Akkorde, die durch die Auswahl eines konkreten [[Teilton]]s als Grundton und den anschließenden Aufbau einer harmonischen Struktur auf den Grundton konstruiert werden. Dabei ergebe jeder ''Prim''-Teilton als Grundton seine besondere Klangfarbe und seine Identität. Wesentlich sei dabei die sogenannte "''gestalt''" des Akkords, also die intrinsische Klangfarbe des gesamten vertikalen Zusammenklangs. Diese Klangfarbe ändere sich, je nach dem Teilton, auf dem das Akkord basiert. Zum Beispiel sei die ''undezimale'' (auf dem Teilton 11 basierende) Identität zwar bei einzelnen Intervallen wie 11:13 oder 22:25 nicht leicht hörbar, aber diese Identität werde deutlich, wenn alle Töne in einem großen Undezimal-Akkord oder in einer Undezimal-Skala gleichzeitig erklingen.

Der Name ''Primodalität'' stammt daraus, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Obertonreihen-Modi'' basiert, die sich ergeben, wenn man einen ''Prim-Teilton'' (oder einen einige Oktave darüber liegenden Teilton) als Grundton eines Akkords oder Tonika einer Skala wählt. Also ist die zu Grunde liegende Oberton-Skala bei gegebenem Prim-Teilton ''p'' folgende:
 p, p+1, p+2, ..., 2p (Oktave über p), 
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 ...
Man teilt diese Töne in Oktavenbereiche über den Teilton ''p'' und nennt den Modus ''p'', d.h. ''p'':...:''2p'' "die 1. Oktave von ''p''", und den Modus ''2p'', d.h. ''2p'':...:''4p'' "die 2. Oktave von ''p''", usw.

Dies liegt wiederum daran, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Chord-Scales'' basiert. Also sieht sie grob gesagt keinen Unterschied zwischen Skalen und Akkorden: eine Skala sei nur ein großer Akkord mit unbestimmtem Voicing.

== Zusammenhang mit Nejis ==
Die Primodalität wird oft zusammen mit einer anderen Lieblingstechnik von Zhea Erose verwendet, nämlich [[Neji]]-Stimmungen, die die primodalen Eigenschaften beibehalten und auch den Vorteil haben, dass sie über nahezu gleiche Intervalle verfügen.

== Musikbeispiele ==
*[https://youtu.be/ZIn6uis5duw Zhea Erose - Novemdeca [in Just Intonation&amp;#93;]
*[https://youtu.be/ZSUdXVI0tO0 Zhea Erose - Pandelia [Just Intonation&amp;#93;]
*[https://youtu.be/KpiOqPr4m9M A story | microtonal music in Zhea Erose's novemdecimal tuning] (von benyamind)
*[https://www.youtube.com/watch?v=a63V_fAPNaA Zhea Erose - WXTCHCRXFT [37-tone Just Intonation&amp;#93;]
*[https://www.youtube.com/watch?v=ubPwKxcp87g Zhea Erose - Eurybia [just intonation&amp;#93;]
*[https://www.youtube.com/watch?v=3iWRlf3wrPs Zhea Erose - Spiritualistica [just intonation&amp;#93;]
*[https://www.youtube.com/watch?v=4BBdJly4-OY Zhea Erose - Fluorescence [acoustic just intonation&amp;#93;]

== Siehe auch ==
Im englischen Wiki:
* '''[[:en:Primodal Archive]]'''
* [[:en:Undecimal Primodality]]

[[Kategorie:Reine Stimmung]]
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'''Primodalität''' (''primodality'') ist eine neue Theorie der Harmonie in [[reine Stimmung|reiner Stimmung]], die von der Xenharmonie-Komponistin und -Theoristin [[Zhea Erose]] entwickelt wurde. Die Theorie behandelt vertikale [[Obertonreihe]]n-Akkorde, die durch die Auswahl eines konkreten [[Teilton]]s als Grundton und den anschließenden Aufbau einer harmonischen Struktur auf den Grundton konstruiert werden. Dabei ergebe jeder ''Prim''-Teilton als Grundton seine besondere Klangfarbe und seine Identität. Wesentlich sei dabei die sogenannte "''gestalt''" des Akkords, also die intrinsische Klangfarbe des gesamten vertikalen Zusammenklangs. Diese Klangfarbe ändere sich, je nach dem Teilton, auf dem das Akkord basiert. Zum Beispiel sei die ''undezimale'' (auf dem Teilton 11 basierende) Identität zwar bei einzelnen Intervallen wie 11:13 oder 22:25 nicht leicht hörbar, aber diese Identität werde deutlich, wenn alle Töne in einem großen Undezimal-Akkord oder in einer Undezimal-Skala gleichzeitig erklingen.

Der Name ''Primodalität'' stammt daraus, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Obertonreihen-Modi'' basiert, die sich ergeben, wenn man einen ''Prim-Teilton'' (oder einen einige Oktave darüber liegenden Teilton) als Grundton eines Akkords oder Tonika einer Skala wählt. 
Man teilt diese Töne in Oktavenbereiche über den Teilton ''p'' und nennt den Modus ''p'', d.h. ''p'':...:''2p'' "die 1. Oktave von ''p''", und den Modus ''2p'', d.h. ''2p'':...:''4p'' "die 2. Oktave von ''p''", usw. Also ist die zu Grunde liegenden Oberton-Skalen bei gegebenem Prim-Teilton ''p'' folgende:
 1. Oktave von p: p        p+1       p+2    ...     2p-1      2p, 
 2. Oktave von p: 2p 2p+1 2p+2 2p+3 2p+4 ... 3p ... 4p-2 4p-1 4p,
 ...

Dies liegt wiederum daran, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Chord-Scales'' basiert. Also sieht sie grob gesagt keinen Unterschied zwischen Skalen und Akkorden: eine Skala sei nur ein großer Akkord mit unbestimmtem Voicing.

== Zusammenhang mit Nejis ==
Die Primodalität wird oft zusammen mit einer anderen Lieblingstechnik von Zhea Erose verwendet, nämlich [[Neji]]-Stimmungen, die die primodalen Eigenschaften beibehalten und auch den Vorteil haben, dass sie über nahezu gleiche Intervalle verfügen.

== Musikbeispiele ==
*[https://youtu.be/ZIn6uis5duw Zhea Erose - Novemdeca [in Just Intonation&amp;#93;]
*[https://youtu.be/ZSUdXVI0tO0 Zhea Erose - Pandelia [Just Intonation&amp;#93;]
*[https://youtu.be/KpiOqPr4m9M A story | microtonal music in Zhea Erose's novemdecimal tuning] (von benyamind)
*[https://www.youtube.com/watch?v=a63V_fAPNaA Zhea Erose - WXTCHCRXFT [37-tone Just Intonation&amp;#93;]
*[https://www.youtube.com/watch?v=ubPwKxcp87g Zhea Erose - Eurybia [just intonation&amp;#93;]
*[https://www.youtube.com/watch?v=3iWRlf3wrPs Zhea Erose - Spiritualistica [just intonation&amp;#93;]
*[https://www.youtube.com/watch?v=4BBdJly4-OY Zhea Erose - Fluorescence [acoustic just intonation&amp;#93;]

== Siehe auch ==
Im englischen Wiki:
* '''[[:en:Primodal Archive]]'''
* [[:en:Undecimal Primodality]]

[[Kategorie:Reine Stimmung]]
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'''Primodalität''' (''primodality'') ist eine neue Theorie der Harmonie in [[reine Stimmung|reiner Stimmung]], die von der Xenharmonie-Komponistin und -Theoristin [[Zhea Erose]] entwickelt wurde. Die Theorie behandelt vertikale [[Obertonreihe]]n-Akkorde, die durch die Auswahl eines konkreten [[Teilton]]s als Grundton und den anschließenden Aufbau einer harmonischen Struktur auf den Grundton konstruiert werden. Dabei ergebe jeder ''Prim''-Teilton als Grundton seine besondere Klangfarbe und seine Identität. Wesentlich sei dabei die sogenannte "''gestalt''" des Akkords, also die intrinsische Klangfarbe des gesamten vertikalen Zusammenklangs. Diese Klangfarbe ändere sich, je nach dem Teilton, auf dem das Akkord basiert. Zum Beispiel sei die ''undezimale'' (auf dem Teilton 11 basierende) Identität zwar bei einzelnen Intervallen wie 11:13 oder 22:25 nicht leicht hörbar, aber diese Identität werde deutlich, wenn alle Töne in einem großen Undezimal-Akkord oder in einer Undezimal-Skala gleichzeitig erklingen.

Der Name ''Primodalität'' stammt daraus, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Obertonreihen-Modi'' basiert, die sich ergeben, wenn man einen ''Prim-Teilton'' (oder einen einige Oktave darüber liegenden Teilton) als Grundton eines Akkords oder Tonika einer Skala wählt. 
Man teilt diese Töne in Oktavenbereiche über den Teilton ''p'' und nennt den Modus ''p'', d.h. ''p'':...:''2p'' "die 1. Oktave von ''p''", und den Modus ''2p'', d.h. ''2p'':...:''4p'' "die 2. Oktave von ''p''", usw. Also ist die zu Grunde liegenden Oberton-Skalen bei gegebenem Prim-Teilton ''p'' folgende:
 1. Oktave von p: p        p+1       p+2    ...     2p-1      2p, 
 2. Oktave von p: 2p 2p+1 2p+2 2p+3 2p+4 ... 3p ... 4p-2 4p-1 4p,
 ...

Dies liegt wiederum daran, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Chord-Scales'' basiert. Also sieht sie grob gesagt keinen Unterschied zwischen Skalen und Akkorden: eine Skala sei nur ein großer Akkord mit unbestimmtem Voicing.

todo: Wozu dienen Primzahlen in der Primodalität?
== Zusammenhang mit Nejis ==
Die Primodalität wird oft zusammen mit einer anderen Lieblingstechnik von Zhea Erose verwendet, nämlich [[Neji]]-Stimmungen, die die primodalen Eigenschaften beibehalten und auch den Vorteil haben, dass sie über nahezu gleiche Intervalle verfügen.

== Musikbeispiele ==
*[https://youtu.be/ZIn6uis5duw Zhea Erose - Novemdeca [in Just Intonation&amp;#93;]
*[https://youtu.be/ZSUdXVI0tO0 Zhea Erose - Pandelia [Just Intonation&amp;#93;]
*[https://youtu.be/KpiOqPr4m9M A story | microtonal music in Zhea Erose's novemdecimal tuning] (von benyamind)
*[https://www.youtube.com/watch?v=a63V_fAPNaA Zhea Erose - WXTCHCRXFT [37-tone Just Intonation&amp;#93;]
*[https://www.youtube.com/watch?v=ubPwKxcp87g Zhea Erose - Eurybia [just intonation&amp;#93;]
*[https://www.youtube.com/watch?v=3iWRlf3wrPs Zhea Erose - Spiritualistica [just intonation&amp;#93;]
*[https://www.youtube.com/watch?v=4BBdJly4-OY Zhea Erose - Fluorescence [acoustic just intonation&amp;#93;]

== Siehe auch ==
Im englischen Wiki:
* '''[[:en:Primodal Archive]]'''
* [[:en:Undecimal Primodality]]

[[Kategorie:Reine Stimmung]]
[[Kategorie:Primodalität| ]]</text>
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'''Primodalität''' (''primodality'') ist eine neue Theorie der Harmonie in [[reine Stimmung|reiner Stimmung]], die von der Xenharmonie-Komponistin und -Theoristin [[Zhea Erose]] entwickelt wurde. Die Theorie behandelt vertikale [[Obertonreihe]]n-Akkorde, die durch die Auswahl eines konkreten [[Teilton]]s als Grundton und den anschließenden Aufbau einer harmonischen Struktur auf den Grundton konstruiert werden. Dabei ergebe jeder ''Prim''-Teilton als Grundton seine besondere Klangfarbe und seine Identität. Wesentlich sei dabei die sogenannte "''gestalt''" des Akkords, also die intrinsische Klangfarbe des gesamten vertikalen Zusammenklangs. Diese Klangfarbe ändere sich, je nach dem Teilton, auf dem das Akkord basiert. Zum Beispiel sei die ''undezimale'' (auf dem Teilton 11 basierende) Identität zwar bei einzelnen Intervallen wie 11:13 oder 22:25 nicht leicht hörbar, aber diese Identität werde deutlich, wenn alle Töne in einem großen Undezimal-Akkord oder in einer Undezimal-Skala gleichzeitig erklingen.

Der Name ''Primodalität'' stammt daraus, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Obertonreihen-Modi'' basiert, die sich ergeben, wenn man einen ''Prim-Teilton'' (oder einen einige Oktave darüber liegenden Teilton) als Grundton eines Akkords oder Tonika einer Skala wählt. 
Man teilt diese Töne in Oktavenbereiche über den Teilton ''p'' und nennt den Modus ''p'', d.h. ''p'':...:''2p'' "die 1. Oktave von ''p''", und den Modus ''2p'', d.h. ''2p'':...:''4p'' "die 2. Oktave von ''p''", usw. Also ist die zu Grunde liegenden Oberton-Skalen bei gegebenem Prim-Teilton ''p'' folgende:
 1. Oktave von p: p        p+1       p+2    ...     2p-1      2p, 
 2. Oktave von p: 2p 2p+1 2p+2 2p+3 2p+4 ... 3p ... 4p-2 4p-1 4p,
 ...

Dies liegt wiederum daran, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Chord-Scales'' basiert. Also sieht sie grob gesagt keinen Unterschied zwischen Skalen und Akkorden: eine Skala sei nur ein großer Akkord mit unbestimmtem Voicing.

todo: Wozu dienen Primzahlen in der Primodalität? Warum ausgerechnet Prim-Modi?
== Zusammenhang mit Nejis ==
Die Primodalität wird oft zusammen mit einer anderen Lieblingstechnik von Zhea Erose verwendet, nämlich [[Neji]]-Stimmungen, die die primodalen Eigenschaften beibehalten und auch den Vorteil haben, dass sie über nahezu gleiche Intervalle verfügen.

== Musikbeispiele ==
*[https://youtu.be/ZIn6uis5duw Zhea Erose - Novemdeca [in Just Intonation&amp;#93;]
*[https://youtu.be/ZSUdXVI0tO0 Zhea Erose - Pandelia [Just Intonation&amp;#93;]
*[https://youtu.be/KpiOqPr4m9M A story | microtonal music in Zhea Erose's novemdecimal tuning] (von benyamind)
*[https://www.youtube.com/watch?v=a63V_fAPNaA Zhea Erose - WXTCHCRXFT [37-tone Just Intonation&amp;#93;]
*[https://www.youtube.com/watch?v=ubPwKxcp87g Zhea Erose - Eurybia [just intonation&amp;#93;]
*[https://www.youtube.com/watch?v=3iWRlf3wrPs Zhea Erose - Spiritualistica [just intonation&amp;#93;]
*[https://www.youtube.com/watch?v=4BBdJly4-OY Zhea Erose - Fluorescence [acoustic just intonation&amp;#93;]

== Siehe auch ==
Im englischen Wiki:
* '''[[:en:Primodal Archive]]'''
* [[:en:Undecimal Primodality]]

[[Kategorie:Reine Stimmung]]
[[Kategorie:Primodalität| ]]</text>
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'''Primodalität''' (''primodality'') ist eine neue Theorie der Harmonie in [[reine Stimmung|reiner Stimmung]], die von der Xenharmonie-Komponistin und -Theoristin [[Zhea Erose]] entwickelt wurde. Die Theorie behandelt vertikale [[Obertonreihe]]n-Akkorde, die durch die Auswahl eines konkreten [[Teilton]]s als Grundton und den anschließenden Aufbau einer harmonischen Struktur auf den Grundton konstruiert werden. Dabei ergebe jeder ''Prim''-Teilton als Grundton seine besondere Klangfarbe und seine Identität. Wesentlich sei dabei die sogenannte "''gestalt''" des Akkords, also die intrinsische Klangfarbe des gesamten vertikalen Zusammenklangs. Diese Klangfarbe ändere sich, je nach dem Teilton, auf dem das Akkord basiert. Zum Beispiel sei die ''undezimale'' (auf dem Teilton 11 basierende) Identität zwar bei einzelnen Intervallen wie 11:13 oder 22:25 nicht leicht hörbar, aber diese Identität werde deutlich, wenn alle Töne in einem großen Undezimal-Akkord oder in einer Undezimal-Skala gleichzeitig erklingen.

Der Name ''Primodalität'' stammt daraus, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Obertonreihen-Modi'' basiert, die sich ergeben, wenn man einen ''Prim-Teilton'' (oder einen einige Oktave darüber liegenden Teilton) als Grundton eines Akkords oder Tonika einer Skala wählt. 
Man teilt diese Töne in Oktavenbereiche über den Teilton ''p'' und nennt den Modus ''p'', d.h. ''p'':...:''2p'' "die 1. Oktave von ''p''", und den Modus ''2p'', d.h. ''2p'':...:''4p'' "die 2. Oktave von ''p''", usw. Also ist die zu Grunde liegenden Oberton-Skalen bei gegebenem Prim-Teilton ''p'' folgende:
 1. Oktave von p: p        p+1       p+2    ...     2p-1      2p, 
 2. Oktave von p: 2p 2p+1 2p+2 2p+3 2p+4 ... 3p ... 4p-2 4p-1 4p,
 ...

Dies wiederum liegt daran, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Chord-Scales'' basiert. Also sieht sie grob gesagt keinen Unterschied zwischen Skalen und Akkorden: eine Skala sei nur ein großer Akkord mit unbestimmtem Voicing.

todo: Wozu dienen Primzahlen in der Primodalität? Warum ausgerechnet Prim-Modi?
== Zusammenhang mit Nejis ==
Die Primodalität wird oft zusammen mit einer anderen Lieblingstechnik von Zhea Erose verwendet, nämlich [[Neji]]-Stimmungen, die die primodalen Eigenschaften beibehalten und auch den Vorteil haben, dass sie über nahezu gleiche Intervalle verfügen.

== Musikbeispiele ==
*[https://youtu.be/ZIn6uis5duw Zhea Erose - Novemdeca [in Just Intonation&amp;#93;]
*[https://youtu.be/ZSUdXVI0tO0 Zhea Erose - Pandelia [Just Intonation&amp;#93;]
*[https://youtu.be/KpiOqPr4m9M A story | microtonal music in Zhea Erose's novemdecimal tuning] (von benyamind)
*[https://www.youtube.com/watch?v=a63V_fAPNaA Zhea Erose - WXTCHCRXFT [37-tone Just Intonation&amp;#93;]
*[https://www.youtube.com/watch?v=ubPwKxcp87g Zhea Erose - Eurybia [just intonation&amp;#93;]
*[https://www.youtube.com/watch?v=3iWRlf3wrPs Zhea Erose - Spiritualistica [just intonation&amp;#93;]
*[https://www.youtube.com/watch?v=4BBdJly4-OY Zhea Erose - Fluorescence [acoustic just intonation&amp;#93;]

== Siehe auch ==
Im englischen Wiki:
* '''[[:en:Primodal Archive]]'''
* [[:en:Undecimal Primodality]]

[[Kategorie:Reine Stimmung]]
[[Kategorie:Primodalität| ]]</text>
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}}
'''Primodalität''' (''primodality'') ist eine neue Theorie der Harmonie in [[reine Stimmung|reiner Stimmung]], die von der Xenharmonie-Komponistin und -Theoristin [[Zhea Erose]] entwickelt wurde. Die Theorie behandelt vertikale [[Obertonreihe]]n-Akkorde, die durch die Auswahl eines konkreten [[Teilton]]s als Grundton und den anschließenden Aufbau einer harmonischen Struktur auf den Grundton konstruiert werden. Dabei ergebe jeder ''Prim''-Teilton als Grundton seine besondere Klangfarbe und seine Identität. Wesentlich sei dabei die sogenannte "''gestalt''" des Akkords, also die intrinsische Klangfarbe des gesamten vertikalen Zusammenklangs. Diese Klangfarbe ändere sich, je nach dem Teilton, auf dem das Akkord basiert. Zum Beispiel sei die ''undezimale'' (auf dem Teilton 11 basierende) Identität zwar bei einzelnen Intervallen wie 11:13 oder 22:25 nicht leicht hörbar, aber diese Identität werde deutlich, wenn alle Töne in einem großen Undezimal-Akkord oder in einer Undezimal-Skala gleichzeitig erklingen.

Der Name ''Primodalität'' stammt daraus, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Obertonreihen-Modi'' basiert, die sich ergeben, wenn man einen ''Prim-Teilton'' (oder einen einige Oktave darüber liegenden Teilton) als Grundton eines Akkords oder Tonika einer Skala wählt. 
Man teilt diese Töne in Oktavbereiche über den Teilton ''p'' und nennt den Modus ''p'', d.h. ''p'':...:''2p'' "die 1. Oktave von ''p''", und den Modus ''2p'', d.h. ''2p'':...:''4p'' "die 2. Oktave von ''p''", usw. Also ist die zu Grunde liegenden Oberton-Skalen bei gegebenem Prim-Teilton ''p'' folgende:
 1. Oktave von p: p        p+1       p+2    ...     2p-1      2p, 
 2. Oktave von p: 2p 2p+1 2p+2 2p+3 2p+4 ... 3p ... 4p-2 4p-1 4p,
 ...

Dies wiederum liegt daran, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Chord-Scales'' basiert. Also sieht sie grob gesagt keinen Unterschied zwischen Skalen und Akkorden: eine Skala sei nur ein großer Akkord mit unbestimmtem Voicing.

todo: Wozu dienen Primzahlen in der Primodalität? Warum ausgerechnet Prim-Modi?

== Zusammenhang mit Nejis ==
Die Primodalität wird oft zusammen mit einer anderen Lieblingstechnik von Zhea Erose verwendet, nämlich [[Neji]]-Stimmungen, die die primodalen Eigenschaften beibehalten und auch den Vorteil haben, dass sie über nahezu gleiche Intervalle verfügen.

== Musikbeispiele ==
*[https://youtu.be/ZIn6uis5duw Zhea Erose - Novemdeca [in Just Intonation&amp;#93;]
*[https://youtu.be/ZSUdXVI0tO0 Zhea Erose - Pandelia [Just Intonation&amp;#93;]
*[https://youtu.be/KpiOqPr4m9M A story | microtonal music in Zhea Erose's novemdecimal tuning] (von benyamind)
*[https://www.youtube.com/watch?v=a63V_fAPNaA Zhea Erose - WXTCHCRXFT [37-tone Just Intonation&amp;#93;]
*[https://www.youtube.com/watch?v=ubPwKxcp87g Zhea Erose - Eurybia [just intonation&amp;#93;]
*[https://www.youtube.com/watch?v=3iWRlf3wrPs Zhea Erose - Spiritualistica [just intonation&amp;#93;]
*[https://www.youtube.com/watch?v=4BBdJly4-OY Zhea Erose - Fluorescence [acoustic just intonation&amp;#93;]

== Siehe auch ==
Im englischen Wiki:
* '''[[:en:Primodal Archive]]'''
* [[:en:Undecimal Primodality]]

[[Kategorie:Reine Stimmung]]
[[Kategorie:Primodalität| ]]</text>
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'''Primodalität''' (''primodality'') ist eine neue Theorie der Harmonie in [[reine Stimmung|reiner Stimmung]], die von der Xenharmonie-Komponistin und -Theoristin [[Zhea Erose]] entwickelt wurde. Die Theorie behandelt vertikale [[Obertonreihe]]n-Akkorde, die durch die Auswahl eines konkreten [[Teilton]]s als Grundton und den anschließenden Aufbau einer harmonischen Struktur auf den Grundton konstruiert werden. Dabei ergebe jeder ''Prim''-Teilton als Grundton seine besondere Klangfarbe und seine Identität. Wesentlich sei dabei die sogenannte "''gestalt''" des Akkords, also die intrinsische Klangfarbe des gesamten vertikalen Zusammenklangs. Diese Klangfarbe ändere sich, je nach dem Teilton, auf dem das Akkord basiert. Zum Beispiel sei die ''undezimale'' (auf dem Teilton 11 basierende) Identität zwar bei einzelnen Intervallen wie 11:13 oder 22:25 nicht leicht hörbar, aber diese Identität werde deutlich, wenn alle Töne in einem großen Undezimal-Akkord oder in einer Undezimal-Skala gleichzeitig erklingen.

Der Name ''Primodalität'' stammt daraus, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Obertonreihen-Modi'' basiert, die sich ergeben, wenn man einen ''Prim-Teilton'' (oder einen einige Oktave darüber liegenden Teilton) als Grundton eines Akkords oder Tonika einer Skala wählt. 
Man teilt diese Töne in Oktavbereiche über den Teilton ''p'' und nennt den Modus ''p'', d.h. ''p'':...:''2p'' "die 1. Oktave von ''p''", und den Modus ''2p'', d.h. ''2p'':...:''4p'' "die 2. Oktave von ''p''", usw. Also ist die zu Grunde liegenden Oberton-Skalen bei gegebenem Prim-Teilton ''p'' folgende:
 1. Oktave von p: p        p+1       p+2    ...     2p-1      2p, 
 2. Oktave von p: 2p 2p+1 2p+2 2p+3 2p+4 ... 3p ... 4p-2 4p-1 4p,
 ...
Die gesammte Sammlung der Obertöne bzw. Intervalle, d.h. ''p'':(''p'' + 1):(''p'' + 2):..., die über einem gegebenen Prim-Teiltön ''p'' vorkommen, wird als ''Prim-Familie'' bezeichnet und wird als "/p" geschrieben (z. B. /11 für die Undezimal-Familie).

Dies wiederum liegt daran, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Chord-Scales'' basiert. Also sieht sie grob gesagt keinen Unterschied zwischen Skalen und Akkorden: eine Skala sei nur ein großer Akkord mit unbestimmtem Voicing.

todo: Wozu dienen Primzahlen in der Primodalität? Warum ausgerechnet Prim-Modi?

== Zusammenhang mit Nejis ==
Die Primodalität wird oft zusammen mit einer anderen Lieblingstechnik von Zhea Erose verwendet, nämlich [[Neji]]-Stimmungen, die die primodalen Eigenschaften beibehalten und auch den Vorteil haben, dass sie über nahezu gleiche Intervalle verfügen.

== Musikbeispiele ==
*[https://youtu.be/ZIn6uis5duw Zhea Erose - Novemdeca [in Just Intonation&amp;#93;]
*[https://youtu.be/ZSUdXVI0tO0 Zhea Erose - Pandelia [Just Intonation&amp;#93;]
*[https://youtu.be/KpiOqPr4m9M A story | microtonal music in Zhea Erose's novemdecimal tuning] (von benyamind)
*[https://www.youtube.com/watch?v=a63V_fAPNaA Zhea Erose - WXTCHCRXFT [37-tone Just Intonation&amp;#93;]
*[https://www.youtube.com/watch?v=ubPwKxcp87g Zhea Erose - Eurybia [just intonation&amp;#93;]
*[https://www.youtube.com/watch?v=3iWRlf3wrPs Zhea Erose - Spiritualistica [just intonation&amp;#93;]
*[https://www.youtube.com/watch?v=4BBdJly4-OY Zhea Erose - Fluorescence [acoustic just intonation&amp;#93;]

== Siehe auch ==
Im englischen Wiki:
* '''[[:en:Primodal Archive]]'''
* [[:en:Undecimal Primodality]]

[[Kategorie:Reine Stimmung]]
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'''Primodalität''' (''primodality'') ist eine neue Theorie der Harmonie in [[reine Stimmung|reiner Stimmung]], die von der Xenharmonie-Komponistin und -Theoristin [[Zhea Erose]] entwickelt wurde. Die Theorie behandelt vertikale [[Obertonreihe]]n-Akkorde, die durch die Auswahl eines konkreten [[Teilton]]s als Grundton und den anschließenden Aufbau einer harmonischen Struktur auf den Grundton konstruiert werden. Dabei ergebe jeder ''Prim''-Teilton als Grundton seine besondere Klangfarbe und seine Identität. Wesentlich sei dabei die sogenannte "''gestalt''" des Akkords, also die intrinsische Klangfarbe des gesamten vertikalen Zusammenklangs. Diese Klangfarbe ändere sich, je nach dem Teilton, auf dem das Akkord basiert. Zum Beispiel sei die ''undezimale'' (auf dem Teilton 11 basierende) Identität zwar bei einzelnen Intervallen wie 11:13 oder 22:25 nicht leicht hörbar, aber diese Identität werde deutlich, wenn alle Töne in einem großen Undezimal-Akkord oder in einer Undezimal-Skala gleichzeitig erklingen.

Der Name ''Primodalität'' stammt daraus, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Obertonreihen-Modi'' basiert, die sich ergeben, wenn man einen ''Prim-Teilton'' (oder einen einige Oktave darüber liegenden Teilton) als Grundton eines Akkords oder Tonika einer Skala wählt. 
Man teilt diese Töne in Oktavbereiche über den Teilton ''p'' und nennt den Modus ''p'', d.h. ''p'':...:''2p'' "die 1. Oktave von ''p''", und den Modus ''2p'', d.h. ''2p'':...:''4p'' "die 2. Oktave von ''p''", usw. Also ist die zu Grunde liegenden Oberton-Skalen bei gegebenem Prim-Teilton ''p'' folgende:
 1. Oktave von p: p        p+1       p+2    ...     2p-1      2p, 
 2. Oktave von p: 2p 2p+1 2p+2 2p+3 2p+4 ... 3p ... 4p-2 4p-1 4p,
 ...
Die gesammte Sammlung der Obertöne bzw. Intervalle, d.h. ''p'':(''p'' + 1):(''p'' + 2):..., die über einem gegebenen Prim-Teilton ''p'' vorkommen, wird als ''Prim-Familie'' bezeichnet und wird als "/p" geschrieben (z. B. /11 für die Undezimal-Familie).

Dies wiederum liegt daran, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Chord-Scales'' basiert. Also sieht sie grob gesagt keinen Unterschied zwischen Skalen und Akkorden: eine Skala sei nur ein großer Akkord mit unbestimmtem Voicing.

todo: Wozu dienen Primzahlen in der Primodalität? Warum ausgerechnet Prim-Modi?

== Zusammenhang mit Nejis ==
Die Primodalität wird oft zusammen mit einer anderen Lieblingstechnik von Zhea Erose verwendet, nämlich [[Neji]]-Stimmungen, die die primodalen Eigenschaften beibehalten und auch den Vorteil haben, dass sie über nahezu gleiche Intervalle verfügen.

== Musikbeispiele ==
*[https://youtu.be/ZIn6uis5duw Zhea Erose - Novemdeca [in Just Intonation&amp;#93;]
*[https://youtu.be/ZSUdXVI0tO0 Zhea Erose - Pandelia [Just Intonation&amp;#93;]
*[https://youtu.be/KpiOqPr4m9M A story | microtonal music in Zhea Erose's novemdecimal tuning] (von benyamind)
*[https://www.youtube.com/watch?v=a63V_fAPNaA Zhea Erose - WXTCHCRXFT [37-tone Just Intonation&amp;#93;]
*[https://www.youtube.com/watch?v=ubPwKxcp87g Zhea Erose - Eurybia [just intonation&amp;#93;]
*[https://www.youtube.com/watch?v=3iWRlf3wrPs Zhea Erose - Spiritualistica [just intonation&amp;#93;]
*[https://www.youtube.com/watch?v=4BBdJly4-OY Zhea Erose - Fluorescence [acoustic just intonation&amp;#93;]

== Siehe auch ==
Im englischen Wiki:
* '''[[:en:Primodal Archive]]'''
* [[:en:Undecimal Primodality]]

[[Kategorie:Reine Stimmung]]
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'''Primodalität''' (''primodality'') ist eine neue Theorie der Harmonie in [[reine Stimmung|reiner Stimmung]], die von der Xenharmonie-Komponistin und -Theoristin [[Zhea Erose]] entwickelt wurde. Die Theorie behandelt vertikale [[Obertonreihe]]n-Akkorde, die durch die Auswahl eines konkreten [[Teilton]]s als Grundton und den anschließenden Aufbau einer harmonischen Struktur auf den Grundton konstruiert werden. Dabei ergebe jeder ''Prim''-Teilton als Grundton seine besondere Klangfarbe und seine Identität. Wesentlich sei dabei die sogenannte "''gestalt''" des Akkords, also die intrinsische Klangfarbe des gesamten vertikalen Zusammenklangs. Diese Klangfarbe ändere sich, je nach dem Teilton, auf dem das Akkord basiert. Zum Beispiel sei die ''undezimale'' (auf dem Teilton 11 basierende) Identität zwar bei einzelnen Intervallen wie 11:13 oder 22:25 nicht leicht hörbar, aber diese Identität werde deutlich, wenn alle Töne in einem großen Undezimal-Akkord oder in einer Undezimal-Skala gleichzeitig erklingen.

Der Name ''Primodalität'' stammt daraus, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Obertonreihen-Modi'' basiert, die sich ergeben, wenn man einen ''Prim-Teilton'' (oder einen einige Oktave darüber liegenden Teilton) als Grundton eines Akkords oder Tonika einer Skala wählt. 
Man teilt diese Töne in Oktavbereiche über den Teilton ''p'' und nennt den Modus ''p'', d.h. ''p'':...:''2p'' "die 1. Oktave von ''p''", und den Modus ''2p'', d.h. ''2p'':...:''4p'' "die 2. Oktave von ''p''", usw. Also ist die zu Grunde liegenden Oberton-Skalen bei gegebenem Prim-Teilton ''p'' folgende:
 1. Oktave von p: p        p+1       p+2    ...     2p-1      2p, 
 2. Oktave von p: 2p 2p+1 2p+2 2p+3 2p+4 ... 3p ... 4p-2 4p-1 4p,
 ...
Die gesamte Sammlung der Obertöne bzw. Intervalle, d.h. ''p'':(''p'' + 1):(''p'' + 2):..., die über einem gegebenen Prim-Teilton ''p'' vorkommen, wird als ''Prim-Familie'' bezeichnet und wird als "/''p''" geschrieben (z. B. /11 für die Undezimal-Familie).

Dies wiederum liegt daran, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Chord-Scales'' basiert. Also sieht sie grob gesagt keinen Unterschied zwischen Skalen und Akkorden: eine Skala sei nur ein großer Akkord mit unbestimmtem Voicing.

todo: Wozu dienen Primzahlen in der Primodalität? Warum ausgerechnet Prim-Modi?

== Zusammenhang mit Nejis ==
Die Primodalität wird oft zusammen mit einer anderen Lieblingstechnik von Zhea Erose verwendet, nämlich [[Neji]]-Stimmungen, die die primodalen Eigenschaften beibehalten und auch den Vorteil haben, dass sie über nahezu gleiche Intervalle verfügen.

== Musikbeispiele ==
*[https://youtu.be/ZIn6uis5duw Zhea Erose - Novemdeca [in Just Intonation&amp;#93;]
*[https://youtu.be/ZSUdXVI0tO0 Zhea Erose - Pandelia [Just Intonation&amp;#93;]
*[https://youtu.be/KpiOqPr4m9M A story | microtonal music in Zhea Erose's novemdecimal tuning] (von benyamind)
*[https://www.youtube.com/watch?v=a63V_fAPNaA Zhea Erose - WXTCHCRXFT [37-tone Just Intonation&amp;#93;]
*[https://www.youtube.com/watch?v=ubPwKxcp87g Zhea Erose - Eurybia [just intonation&amp;#93;]
*[https://www.youtube.com/watch?v=3iWRlf3wrPs Zhea Erose - Spiritualistica [just intonation&amp;#93;]
*[https://www.youtube.com/watch?v=4BBdJly4-OY Zhea Erose - Fluorescence [acoustic just intonation&amp;#93;]

== Siehe auch ==
Im englischen Wiki:
* '''[[:en:Primodal Archive]]'''
* [[:en:Undecimal Primodality]]

[[Kategorie:Reine Stimmung]]
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'''Primodalität''' (''primodality'') ist eine neue Theorie der Harmonie in [[reine Stimmung|reiner Stimmung]], die von der Xenharmonie-Komponistin und -Theoristin [[Zhea Erose]] entwickelt wurde. Die Theorie behandelt vertikale [[Obertonreihe]]n-Akkorde, die durch die Auswahl eines konkreten [[Teilton]]s als Grundton und den anschließenden Aufbau einer harmonischen Struktur auf den Grundton konstruiert werden. Dabei ergebe jeder ''Prim''-Teilton als Grundton seine besondere Klangfarbe und seine Identität. Wesentlich sei dabei die sogenannte "''gestalt''" des Akkords, also die intrinsische Klangfarbe des gesamten vertikalen Zusammenklangs. Diese Klangfarbe ändere sich, je nach dem Teilton, auf dem das Akkord basiert. Zum Beispiel sei die ''undezimale'' (auf dem Teilton 11 basierende) Identität zwar bei einzelnen Intervallen wie 11:13 oder 22:25 nicht leicht hörbar, aber diese Identität werde deutlich, wenn alle Töne in einem großen Undezimal-Akkord oder in einer Undezimal-Skala gleichzeitig erklingen.

Der Name ''Primodalität'' stammt daraus, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Obertonreihen-Modi'' basiert, die sich ergeben, wenn man einen ''Prim-Teilton'' (oder einen einige Oktave darüber liegenden Teilton) als Grundton eines Akkords oder Tonika einer Skala wählt. 
Man teilt diese Töne in Oktavbereiche über den Teilton ''p'' und nennt den Modus ''p'', d.h. ''p'':...:''2p'' "die 1. Oktave von ''p''", und den Modus ''2p'', d.h. ''2p'':...:''4p'' "die 2. Oktave von ''p''", usw. Also ist die zu Grunde liegenden Oberton-Skalen bei gegebenem Prim-Teilton ''p'' folgende:
 1. Oktave von p: p        p+1       p+2    ...     2p-1      2p, 
 2. Oktave von p: 2p 2p+1 2p+2 2p+3 2p+4 ... 3p ... 4p-2 4p-1 4p,
 ...
Die gesamte Sammlung der Obertöne bzw. Intervalle, d.h. ''p'':(''p'' + 1):(''p'' + 2):..., die über einem gegebenen Prim-Teilton ''p'' vorkommen, wird als ''Prim-Familie'' bezeichnet und wird als "/''p''" geschrieben (z. B. /11 für die Undezimal-Familie).

Dies wiederum liegt daran, dass die Primodalitäts-Theorie auf ''Chord-Scales'' basiert. Also sieht sie grob gesagt keinen Unterschied zwischen Skalen und Akkorden: eine Skala sei nur ein großer Akkord mit unbestimmtem Voicing.

todo: Wozu dienen Primzahlen in der Primodalität? Warum ausgerechnet Prim-Modi?

== Zusammenhang mit Nejis ==
Die Primodalität wird oft zusammen mit einer anderen Lieblingstechnik von Zhea Erose verwendet, nämlich [[Neji]]-Stimmungen, die die primodalen Eigenschaften beibehalten und auch den Vorteil haben, dass sie über nahezu gleiche Intervalle verfügen.

== Musikbeispiele ==
* [https://youtu.be/ZIn6uis5duw Zhea Erose - Novemdeca [in Just Intonation&amp;#93;]
* [https://youtu.be/ZSUdXVI0tO0 Zhea Erose - Pandelia [Just Intonation&amp;#93;]
* [https://youtu.be/KpiOqPr4m9M A story | microtonal music in Zhea Erose's novemdecimal tuning] (von benyamind)
* [https://www.youtube.com/watch?v=a63V_fAPNaA Zhea Erose - WXTCHCRXFT [37-tone Just Intonation&amp;#93;]
* [https://www.youtube.com/watch?v=ubPwKxcp87g Zhea Erose - Eurybia [just intonation&amp;#93;]
* [https://www.youtube.com/watch?v=3iWRlf3wrPs Zhea Erose - Spiritualistica [just intonation&amp;#93;]
* [https://www.youtube.com/watch?v=4BBdJly4-OY Zhea Erose - Fluorescence [acoustic just intonation&amp;#93;]

== Siehe auch ==
Im englischen Wiki:
* '''[[:en:Primodal Archive]]'''
* [[:en:Undecimal Primodality]]

[[Kategorie:Reine Stimmung]]
[[Kategorie:Primodalität| ]] &lt;!-- Hauptseite --&gt;</text>
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    <title>Diskussion:Primodalität</title>
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      <text bytes="275" sha1="k62l000raaev63anw9goxneiogdlf35" xml:space="preserve">== Namensherkunft ==

Es wäre gut, wenn man etwas dazu erfahren würde. Ist es ein Kofferwort, ergibt sich ''primodal'' aus der Zusammensetzung von ''prim'' und ''modal''? --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 05:46, 17. Jun. 2021 (UTC)</text>
      <sha1>k62l000raaev63anw9goxneiogdlf35</sha1>
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      <text bytes="386" sha1="86k9fj9784i5b17cvdehh4bp2ojadk5" xml:space="preserve">== Namensherkunft ==

Es wäre gut, wenn man etwas dazu erfahren würde. Ist es ein Kofferwort, ergibt sich ''primodal'' aus der Zusammensetzung von ''prim'' und ''modal''? --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 05:46, 17. Jun. 2021 (UTC)

Hmm, genau. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 13:46, 17. Jun. 2021 (UTC)</text>
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Es wäre gut, wenn man etwas dazu erfahren würde. Ist es ein Kofferwort, ergibt sich ''primodal'' aus der Zusammensetzung von ''prim'' und ''modal''? --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 05:46, 17. Jun. 2021 (UTC)

: Hmm, genau. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 13:46, 17. Jun. 2021 (UTC)</text>
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Es wäre gut, wenn man etwas dazu erfahren würde. Ist es ein Kofferwort, ergibt sich ''primodal'' aus der Zusammensetzung von ''prim'' und ''modal''? --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 05:46, 17. Jun. 2021 (UTC)

: Hmm, genau. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 13:46, 17. Jun. 2021 (UTC)</text>
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      <text bytes="378" sha1="pbf5kiajd0qdncpi1eszg362swqrf8t" xml:space="preserve">Das '''FJS''' oder das '''Naturtonfunktionssystem''' ist ein [[Notation|Notationssystem]], das zur Notation in [[reiner Stimmung]] entwickelt wurde. Das FJS zeichnet sich durch einen einfachen "Master-Algorithmus" aus, der es ermöglicht, die Notation einer beliebigen Tonhöhe in reiner Stimmung zu berechnen.

[https://misotanni.github.io/fjs/de/ Deutschsprachige Einführung]</text>
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[https://misotanni.github.io/fjs/de/ Deutschsprachige Beschreibung des FJS]

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Das '''FJS''' (''Functional Just System'') oder das '''Naturtonfunktionssystem''' ist ein [[Notation|Notationssystem]], das zur Notation in [[reine Stimmung|reiner Stimmung]] entwickelt wurde. Das FJS zeichnet sich durch einen einfachen "Master-Algorithmus" aus, der es ermöglicht, die Notation einer beliebigen Tonhöhe in reiner Stimmung zu berechnen. Der Algorithmus hat nur einen freien Parameter, der ''Toleranzradius'' λ, der standardmäßig gleich 65/63 ist.

[https://misotanni.github.io/fjs/de/ Deutschsprachige Beschreibung des FJS]

[[Kategorie:Notationssystem]]</text>
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Das '''FJS''' (''Functional Just System'') oder das '''Naturtonfunktionssystem''' ist ein [[Notation|Notationssystem]], das zur Notation in [[reine Stimmung|reiner Stimmung]] entwickelt wurde. Das FJS zeichnet sich durch einen einfachen "Master-Algorithmus" aus, der es ermöglicht, die Notation einer beliebigen Tonhöhe in reiner Stimmung zu berechnen. Der Algorithmus hat nur einen freien Parameter, der ''Toleranzradius'' λ, der standardmäßig gleich 65/63 ist.
== Ressourcen ==
* [https://misotanni.github.io/fjs/de/ Deutschsprachige Beschreibung des FJS]
* [https://misotanni.github.io/fjs/de/calc.html FJS-Rechner]

[[Kategorie:Notationssystem]]</text>
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Das '''FJS''' (''Functional Just System'') oder das '''Naturtonfunktionssystem''' ist ein [[Notation|Notationssystem]], das zur Notation in [[reine Stimmung|reiner Stimmung]] entwickelt wurde. Das FJS zeichnet sich durch einen einfachen "Master-Algorithmus" aus, der es ermöglicht, die Notation einer beliebigen Tonhöhe in reiner Stimmung zu berechnen. Der Algorithmus hat nur einen freien Parameter, den ''Toleranzradius'' λ, der standardmäßig gleich 65/63 ist.
== Ressourcen ==
* [https://misotanni.github.io/fjs/de/ Deutschsprachige Beschreibung des FJS]
* [https://misotanni.github.io/fjs/de/calc.html FJS-Rechner]

[[Kategorie:Notationssystem]]</text>
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      <comment>Inthar verschob die Seite [[Benutzer:Inthar/Primodalität]] nach [[Primodalität]]: Es sollte nicht schaden, den Artikel nach Hauptnamensraum zu verschieben. Und es gibt auch Links die nach Primodalität verlinken</comment>
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      <comment>Die Seite wurde neu angelegt: „Der Begriff '''Tonsystem''' beschreibt einen gegebenen Bestand von Tönen und deren Beziehungen.  todo  == Siehe auch ==  * [[Temperament]] * [[EDO]] * [https:…“</comment>
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      <text bytes="240" sha1="diu6tx0lbes8wm2vkwol8ecwj3b00ds" xml:space="preserve">Der Begriff '''Tonsystem''' beschreibt einen gegebenen Bestand von Tönen und deren Beziehungen.

todo

== Siehe auch ==

* [[Temperament]]
* [[EDO]]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Tonsystem Tonsystem – Wikipedia]

[[Kategorie:Begriff]]</text>
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todo

== Siehe auch ==

* [[Temperament]]
* [[Gleichstufige Tonsysteme]]
* [[EDO]]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Tonsystem Tonsystem – Wikipedia]

[[Kategorie:Begriff]]</text>
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todo

== Siehe auch ==

* [[Temperament]]
* [[Gleichstufige Tonsysteme]]
* [[EDO]]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Tonsystem Tonsystem – Wikipedia]

[[Kategorie:Theorie]]
[[Kategorie:Begriff]]</text>
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      <text bytes="255" sha1="n37dwh5fmfvkznd9cf2gqud8g1b44at" xml:space="preserve">Geschützt, weil dies keine Inhaltsvorlage ist, sondern eine "Meta"-Vorlage. Bitte sagt mir Bescheid, falls es im Beschreibungstext irgendwelche Fehler gibt. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 18:13, 30. Jun. 2021 (UTC)</text>
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      <text bytes="269" sha1="iskb0u8qtlz1rpoi6ro2a7ru1luicar" xml:space="preserve">Geschützt, weil dies keine Inhaltsvorlage ist, sondern eine "Meta"- oder Strukturvorlage. Bitte sagt mir Bescheid, falls es im Beschreibungstext irgendwelche Fehler gibt. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 18:13, 30. Jun. 2021 (UTC)</text>
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Geschützt, weil dies keine Inhaltsvorlage ist, sondern eine "Meta"- oder Strukturvorlage. Bitte sagt mir Bescheid, falls es im Beschreibungstext irgendwelche Fehler gibt. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 18:13, 30. Jun. 2021 (UTC)

: Tut mir leid, dir hier zu widersprechen, Inthar, solange es keinen Anlass gibt, benötigen wir solche Maßnahmen nicht. Die drei vom Betreiber geschützten Seiten könnten bei unbemerkter Abfälschung rechtliche Konsequenzen haben. Bei den anderen Seiten scheint mir das nicht gegeben. Die Anzahl der (aktiven) Benutzer dieses Wikis ist ohnehin so überschaubar, dass bislang keinerlei Stress mit unerwünschten Bearbeitungen entstanden ist, ich gehe nicht davon aus, dass sich das so schnell ändern wird. Dementsprechend habe ich den '''Seitenschutz wieder aufgehoben.''' --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 22:31, 30. Jun. 2021 (UTC)</text>
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Geschützt, weil dies keine Inhaltsvorlage ist, sondern eine "Meta"- oder Strukturvorlage. Bitte sagt mir Bescheid, falls es im Beschreibungstext irgendwelche Fehler gibt. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 18:13, 30. Jun. 2021 (UTC)

: Tut mir leid, dir hier zu widersprechen, Inthar, solange es keinen Anlass gibt, benötigen wir solche Maßnahmen nicht. Die drei vom Betreiber geschützten Seiten könnten bei unbemerkter Abfälschung rechtliche Konsequenzen haben. Bei den anderen Seiten scheint mir das nicht gegeben. Die Anzahl der (aktiven) Benutzer dieses Wikis ist ohnehin so überschaubar, dass bislang keinerlei Stress mit unerwünschten Bearbeitungen entstanden ist, ich gehe nicht davon aus, dass sich das so schnell ändern wird. Dementsprechend habe ich den '''Seitenschutz wieder aufgehoben.''' --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 22:31, 30. Jun. 2021 (UTC)

Sorry. Ich musste erst dies mit dir diskutiert, bevor ich das gemacht habe. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 23:21, 30. Jun. 2021 (UTC)</text>
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Geschützt, weil dies keine Inhaltsvorlage ist, sondern eine "Meta"- oder Strukturvorlage. Bitte sagt mir Bescheid, falls es im Beschreibungstext irgendwelche Fehler gibt. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 18:13, 30. Jun. 2021 (UTC)

: Tut mir leid, dir hier zu widersprechen, Inthar, solange es keinen Anlass gibt, benötigen wir solche Maßnahmen nicht. Die drei vom Betreiber geschützten Seiten könnten bei unbemerkter Abfälschung rechtliche Konsequenzen haben. Bei den anderen Seiten scheint mir das nicht gegeben. Die Anzahl der (aktiven) Benutzer dieses Wikis ist ohnehin so überschaubar, dass bislang keinerlei Stress mit unerwünschten Bearbeitungen entstanden ist, ich gehe nicht davon aus, dass sich das so schnell ändern wird. Dementsprechend habe ich den '''Seitenschutz wieder aufgehoben.''' --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 22:31, 30. Jun. 2021 (UTC)

:: Sorry. Ich musste erst dies mit dir diskutiert, bevor ich das gemacht habe. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 23:21, 30. Jun. 2021 (UTC)</text>
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Geschützt, weil dies keine Inhaltsvorlage ist, sondern eine "Meta"- oder Strukturvorlage. Bitte sagt mir Bescheid, falls es im Beschreibungstext irgendwelche Fehler gibt. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 18:13, 30. Jun. 2021 (UTC)

: Tut mir leid, dir hier zu widersprechen, Inthar, solange es keinen Anlass gibt, benötigen wir solche Maßnahmen nicht. Die drei vom Betreiber geschützten Seiten könnten bei unbemerkter Abfälschung rechtliche Konsequenzen haben. Bei den anderen Seiten scheint mir das nicht gegeben. Die Anzahl der (aktiven) Benutzer dieses Wikis ist ohnehin so überschaubar, dass bislang keinerlei Stress mit unerwünschten Bearbeitungen entstanden ist, ich gehe nicht davon aus, dass sich das so schnell ändern wird. Dementsprechend habe ich den '''Seitenschutz wieder aufgehoben.''' --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 22:31, 30. Jun. 2021 (UTC)

:: Sorry. Ich musste erst die Maßnahme mit dir diskutiert, bevor ich das gemacht habe. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 23:21, 30. Jun. 2021 (UTC)</text>
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Geschützt, weil dies keine Inhaltsvorlage ist, sondern eine "Meta"- oder Strukturvorlage. Bitte sagt mir Bescheid, falls es im Beschreibungstext irgendwelche Fehler gibt. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 18:13, 30. Jun. 2021 (UTC)

: Tut mir leid, dir hier zu widersprechen, Inthar, solange es keinen Anlass gibt, benötigen wir solche Maßnahmen nicht. Die drei vom Betreiber geschützten Seiten könnten bei unbemerkter Abfälschung rechtliche Konsequenzen haben. Bei den anderen Seiten scheint mir das nicht gegeben. Die Anzahl der (aktiven) Benutzer dieses Wikis ist ohnehin so überschaubar, dass bislang keinerlei Stress mit unerwünschten Bearbeitungen entstanden ist, ich gehe nicht davon aus, dass sich das so schnell ändern wird. Dementsprechend habe ich den '''Seitenschutz wieder aufgehoben.''' --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 22:31, 30. Jun. 2021 (UTC)

:: Sorry. Ich musste erst die Maßnahme mit dir diskutiert, bevor ich das gemacht habe. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 23:21, 30. Jun. 2021 (UTC)

::: Kein Grund zur Sorge, damit hast du es gleich mal ausprobiert. Man weiß ja nie, wann es vielleicht doch nötig ist. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 00:00, 1. Jul. 2021 (UTC)</text>
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| Pattern = LLLsLLs
| Neutral = 3L 4s
}}
--&gt;
Eine mögliche Definition für die '''diatonische''' Skala ist als der durch das Übereinanderschichten von "Quinten" (bzw. "Quarten") erzeugte [[MOS|MOS-Skalentyp]] mit dem Schrittmuster '''5L 2s'''.</text>
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}}
--&gt;
Eine mögliche Definition für die '''diatonische''' Skala ist als der durch das Übereinanderschichten von "Quinten" (bzw. "Quarten") erzeugte [[MOS|MOS-Skalentyp]] mit dem Schrittmuster '''5L 2s'''.</text>
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}}
--&gt;
Eine mögliche Definition für die '''diatonische''' Skala ist als der durch das Übereinanderschichten von "Quinten" (bzw. "Quarten") erzeugte [[MOS|MOS-Skalentyp]] namens '''5L 2s''', also mit 5 großen Schritten und 2 kleinen Schritten. Das entsprechende Schrittmuster lautet LLLsLLs (wenn man verschiedene Modi ignoriert).</text>
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}}
--&gt;
Eine mögliche Definition für die '''diatonische''' Skala ist als der durch das Übereinanderschichten von "Quinten" (bzw. "Quarten") erzeugte [[MOS|MOS-Skalentyp]] namens '''5L 2s''', also mit 5 großen Schritten und 2 kleinen Schritten. Das entsprechende Schrittmuster lautet LLLsLLs (wenn man die verschiedene Modi ignoriert).</text>
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&lt;!--{{Infobox MOS
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}}
--&gt;
Eine mögliche Definition für die '''diatonische''' Skala ist als der durch das Übereinanderschichten von "Quinten" (bzw. "Quarten") erzeugte [[MOS|MOS-Skalentyp]] namens '''5L 2s''', also mit 5 großen Schritten und 2 kleinen Schritten. Das entsprechende Schrittmuster lautet LLLsLLs (wenn man die verschiedene Modi ignoriert).
== Modi ==
Die Diatonische Modi haben bekannte Namen aus der klassischen westlichen Musiktheorie: 

{| class="wikitable center-all"
|-
! Modus
! [[UDP-Notation|UDP]]
! Name
|-
| LLLsLLs
| &lt;nowiki&gt;6|0&lt;/nowiki&gt;
| Lydisch
|-
| LLsLLLs
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| Ionisch
|-
| LLsLLsL
| &lt;nowiki&gt;4|2&lt;/nowiki&gt;
| Mixolydisch
|-
| LsLLLsL
| &lt;nowiki&gt;3|3&lt;/nowiki&gt;
| Dorisch
|-
| LsLLsLL
| &lt;nowiki&gt;2|4&lt;/nowiki&gt;
| Äolisch
|-
| sLLLsLL
| &lt;nowiki&gt;1|5&lt;/nowiki&gt;
| Phrygisch
|-
| sLLsLLL
| &lt;nowiki&gt;0|6&lt;/nowiki&gt;
| Lokrisch
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| en = 5L 2s
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| ja = 
}}
&lt;!--{{Infobox MOS
| Name = diatonic
| Periods = 1
| nLargeSteps = 5
| nSmallSteps = 2
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| Neutral = 3L 4s
}}
--&gt;
Eine mögliche Definition für die '''diatonische''' Skala ist als der durch das Übereinanderschichten von "Quinten" (bzw. "Quarten") erzeugte [[MOS|MOS-Skalentyp]] namens '''5L 2s''', also mit 5 großen Schritten und 2 kleinen Schritten. Das entsprechende Schrittmuster lautet LLLsLLs (wenn man die verschiedene Modi ignoriert).
== Modi ==
Die diatonischen Modi haben bekannte Namen aus der klassischen westlichen Musiktheorie: 

{| class="wikitable center-all"
|-
! Modus
! [[UDP-Notation|UDP]]
! Name
|-
| LLLsLLs
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| Lydisch
|-
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| Ionisch
|-
| LLsLLsL
| &lt;nowiki&gt;4|2&lt;/nowiki&gt;
| Mixolydisch
|-
| LsLLLsL
| &lt;nowiki&gt;3|3&lt;/nowiki&gt;
| Dorisch
|-
| LsLLsLL
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| Äolisch
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      <comment>/* Modi */Skalenbaum-Abschnitt erstellt. Auskommentiert, was ich nicht übersetzen konnte</comment>
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| ja = 
}}
&lt;!--{{Infobox MOS
| Name = diatonic
| Periods = 1
| nLargeSteps = 5
| nSmallSteps = 2
| Equalized = 4
| Paucitonic = 3
| Pattern = LLLsLLs
| Neutral = 3L 4s
}}
--&gt;
Eine mögliche Definition für die '''diatonische''' Skala ist als der durch das Übereinanderschichten von "Quinten" (bzw. "Quarten") erzeugte [[MOS|MOS-Skalentyp]] namens '''5L 2s''', also mit 5 großen Schritten und 2 kleinen Schritten. Das entsprechende Schrittmuster lautet LLLsLLs (wenn man die verschiedene Modi ignoriert).
== Modi ==
Die diatonischen Modi haben bekannte Namen aus der klassischen westlichen Musiktheorie: 

{| class="wikitable center-all"
|-
! Modus
! [[UDP-Notation|UDP]]
! Name
|-
| LLLsLLs
| &lt;nowiki&gt;6|0&lt;/nowiki&gt;
| Lydisch
|-
| LLsLLLs
| &lt;nowiki&gt;5|1&lt;/nowiki&gt;
| Ionisch
|-
| LLsLLsL
| &lt;nowiki&gt;4|2&lt;/nowiki&gt;
| Mixolydisch
|-
| LsLLLsL
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| Dorisch
|-
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| Äolisch
|-
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| Phrygisch
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| Lokrisch
|}
== Skalenbaum ==
Wenn man das Intervall 4\7 (vier Schritte von 7-EDO) auf ein Ende setzt und 3\5 (three degrees of [[5-EDO]]) auf das andere, liegen alle andere möglichen 5L 2s-Skalen in einem Kontinuum zwischen den zweien Enden. Man kann dieses Kontinuum unterteilen, indem man die Zähler addiert und dann die Nenner addiert (diese Operation heißt die [[Mediant]]-Operation oder die Farey-Summe). Zwischen 4\7 und 3\5 entsteht also (4+3)\(7+5) = 7\12, also sieben Schritte von 12-EDO.

{| class="wikitable"
|-
| 4\7 || 
|-
| || 7\12
|-
| 3\5 ||
|}

Wenn man diese Mediant-Operation weiter ausführt, tauchen im Kontinuum größere EDOs auf.

{| class="wikitable center-all"
! colspan="7" | Generator
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! Comments
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| 4\7 || || || || || || || 685.714 || 1 || 1 || 1.000 ||
|-
| || || || || || || 27\47 || 689.362 || 7 || 6 || 1.167 ||
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| || || || 18\31 || || || || 696.774 || 5 || 3 || 1.667 || Mitteltönige Stimmungen sind in dieser Generatorregion
|-
| || || || || || || 61\105 || 697.143 || 17 || 10 || 1.700 ||
|-
| || || || || || 43\74 || || 697.297 || 12 || 7 || 1.714 ||
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| || || || || || || 39\67 || 698.507 || 11 || 6 || 1.833 ||
|-
| || 7\12 || || || || || || 700.000 || 2 || 1 || 2.000 || &lt;!--Basic diatonic&lt;br&gt;(Generators smaller than this are proper)--&gt;
|-
| || || || || || || 38\65 || 701.539 || 11 || 5 || 2.200 ||
|-
| || || || || || 31\53 || || 701.887 || 9 || 4 || 2.250 || Das EDO-Generatorintervall, das unter EDOs &lt;= 200 zum reinen [[3/2]] am nächsten ist
|-
| || || || || || || 55\94 || 702.128 || 16 || 7 || 2.286 ||
|-
| || || || || 24\41 || || || 702.409 || 7 || 3 || 2.333 ||
|-
| || || || || || || 65\111 || 702.703 || 19 || 8 || 2.375 ||
|-
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|-
| || || || || || || 58\99 || 703.030 || 17 || 7 || 2.428 ||
|-
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|-
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|-
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|-
| || || || || || || 71\121 || 704.132 || 21 || 8 || 2.625 || Goldene "Neogotisch"-Stimmung
|-
| || || || || 27\46 || || || 704.348 || 8 || 3 || 2.667 || "Neogotisch"-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 64\109 || 704.587 || 19 || 7 || 2.714 ||
|-
| || || || || || 37\63 || || 704.762 || 11 || 4 || 2.750 ||
|-
| || || || || || || 47\80 || 705.000 || 14 || 5 || 2.800 ||
|-
| || || 10\17 || || || || || 705.882 || 3 || 1 || 3.000 || L/s = 3/1
|-
| || || || || || || 43\73 || 706.849 || 13 || 4 || 3.250 ||
|-
| || || || || || 33\56 || || 707.143 || 10 || 3 || 3.333 ||
|-
| || || || || || || 56\95 || 707.368 || 17 || 5 || 3.400 ||
|-
| || || || || 23\39 || || || 707.692 || 7 || 2 || 3.500 ||
|-
| || || || || || || 59\100 || 708.000 || 18 || 5 || 3.600 ||
|-
| || || || || || 36\61 || || 708.197 || 11 || 3 || 3.667 ||
|-
| || || || || || || 49\83 || 708.434 || 15 || 4 || 3.750 ||
|-
| || || || 13\22 || || || || 709.091 || 4 || 1 || 4.000 || [[Archy]]-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 42\71 || 709.859 || 13 || 3 || 4.333 ||
|-
| || || || || || 29\49 || || 710.204 || 9 || 2 || 4.500 ||
|-
| || || || || || || 45\76 || 710.526 || 14 || 3 || 4.667 ||
|-
| || || || || 16\27 || || || 711.111 || 5 || 1 || 5.000 ||
|-
| || || || || || || 35\59 || 711.864 || 11 || 2 || 5.500 ||
|-
| || || || || || 19\32 || || 712.500 || 6 || 1 || 6.000 ||
|-
| || || || || || || 22\37 || 713.514 || 7 || 1 || 7.000 ||
|-
| 3\5 || || || || || || || 720.000 || 1 || 0 || → inf ||
|}
&lt;!--
Tunings above 7\12 on this chart are called "negative tunings" (as they lessen the size of the fifth) and include meantone systems such as 1/3-comma (close to 11\19) and 1/4-comma (close to 18\31). As these tunings approach 4\7, the majors become flatter and the minors become sharper.

Tunings below 7\12 on this chart are called "positive tunings" and they include Pythagorean tuning itself (well approximated by 31\53) as well as superpyth tunings such as 10\17 and 13\22. As these tunings approach 3\5, the majors become sharper and the minors become flatter. Around 13\22 through 16\27, the thirds fall closer to 7-limit than 5-limit intervals: 7:6 and 9:7 as opposed to 6:5 and 5:4.

[[File:5L2s.jpg|alt=5L2s.jpg|5L2s.jpg]]

5L 2s contains the pentatonic MOS [[2L_3s|2L 3s]] and (with the sole exception of the 5L 2s of 12EDO) is itself contained in a dodecaphonic MOS: either [[7L_5s|7L 5s]] or [[5L_7s|5L 7s]], depending on whether the fifth is flatter than or sharper than 7\12 (700c).--&gt;</text>
      <sha1>72kc3qijodfknl0nqgi79u6gfcajw87</sha1>
    </revision>
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      <id>2561</id>
      <parentid>2560</parentid>
      <timestamp>2021-07-01T02:42:56Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Inthar</username>
        <id>9</id>
      </contributor>
      <comment>/* Skalenbaum */</comment>
      <origin>2561</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7260" sha1="2r4h6qqnlryy8glbu7jteeqqmg42exb" xml:space="preserve">{{interwiki
| de = 5L 2s
| en = 5L 2s
| es = 
| ja = 
}}
&lt;!--{{Infobox MOS
| Name = diatonic
| Periods = 1
| nLargeSteps = 5
| nSmallSteps = 2
| Equalized = 4
| Paucitonic = 3
| Pattern = LLLsLLs
| Neutral = 3L 4s
}}
--&gt;
Eine mögliche Definition für die '''diatonische''' Skala ist als der durch das Übereinanderschichten von "Quinten" (bzw. "Quarten") erzeugte [[MOS|MOS-Skalentyp]] namens '''5L 2s''', also mit 5 großen Schritten und 2 kleinen Schritten. Das entsprechende Schrittmuster lautet LLLsLLs (wenn man die verschiedene Modi ignoriert).
== Modi ==
Die diatonischen Modi haben bekannte Namen aus der klassischen westlichen Musiktheorie: 

{| class="wikitable center-all"
|-
! Modus
! [[UDP-Notation|UDP]]
! Name
|-
| LLLsLLs
| &lt;nowiki&gt;6|0&lt;/nowiki&gt;
| Lydisch
|-
| LLsLLLs
| &lt;nowiki&gt;5|1&lt;/nowiki&gt;
| Ionisch
|-
| LLsLLsL
| &lt;nowiki&gt;4|2&lt;/nowiki&gt;
| Mixolydisch
|-
| LsLLLsL
| &lt;nowiki&gt;3|3&lt;/nowiki&gt;
| Dorisch
|-
| LsLLsLL
| &lt;nowiki&gt;2|4&lt;/nowiki&gt;
| Äolisch
|-
| sLLLsLL
| &lt;nowiki&gt;1|5&lt;/nowiki&gt;
| Phrygisch
|-
| sLLsLLL
| &lt;nowiki&gt;0|6&lt;/nowiki&gt;
| Lokrisch
|}
== Skalenbaum ==
Wenn man das Intervall 4\7 (vier Schritte von 7-EDO) auf ein Ende setzt und 3\5 (three degrees of [[5-EDO]]) auf das andere, liegen alle andere möglichen 5L 2s-Skalen in einem Kontinuum zwischen den zweien Enden. Man kann dieses Kontinuum unterteilen, indem man die Zähler der beiden Endbrüche addiert und dann die Nenner addiert (diese Operation heißt die [[Mediant]]-Operation oder die Farey-Summe). Zwischen 4\7 und 3\5 entsteht also (4+3)\(7+5) = 7\12, also sieben Schritte von 12-EDO.

{| class="wikitable"
|-
| 4\7 || 
|-
| || 7\12
|-
| 3\5 ||
|}

Wenn man diese Mediant-Operation weiter ausführt, tauchen im Kontinuum größere EDOs auf.

{| class="wikitable center-all"
! colspan="7" | Generator
! Cents
! L
! s
! L/s
! Comments
|-
| 4\7 || || || || || || || 685.714 || 1 || 1 || 1.000 ||
|-
| || || || || || || 27\47 || 689.362 || 7 || 6 || 1.167 ||
|-
| || || || || || 23\40 || || 690.000 || 6 || 5 || 1.200 ||
|-
| || || || || || || 42\73 || 690.411 || 11 || 9 || 1.222 ||
|-
| || || || || 19\33 || || || 690.909 || 5 || 4 || 1.250 ||
|-
| || || || || || || 53\92 || 691.304 || 14 || 11 || 1.273 ||
|-
| || || || || || 34\59 || || 691.525 || 9 || 7 || 1.286 ||
|-
| || || || || || || 49\85 || 691.765 || 13 || 10 || 1.300 ||
|-
| || || || 15\26 || || || || 692.308 || 4 || 3 || 1.333 ||
|-
| || || || || || || 56\97 || 692.784 || 15 || 11 || 1.364 ||
|-
| || || || || || 41\71 || || 692.958 || 11 || 8 || 1.375 ||
|-
| || || || || || || 67\116 || 693.103 || 18 || 13 || 1.385 ||
|-
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|-
| || || || || || || 63\109 || 693.578 || 17 || 12 || 1.417 ||
|-
| || || || || || 37\64 || || 693.750 || 10 || 7 || 1.429 ||
|-
| || || || || || || 48\83 || 693.976 || 13 || 9 || 1.444 ||
|-
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|-
| || || || || || || 51\88 || 695.455 || 14 || 9 || 1.556 ||
|-
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|-
| || || || || || || 69\119 || 695.798 || 19 || 12 || 1.583 ||
|-
| || || || || 29\50 || || || 696.000 || 8 || 5 || 1.600 ||
|-
| || || || || || || 66\131 || 696.183 || 21 || |13 || 1.615 || Goldene mitteltönige Stimmung
|-
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|-
| || || || || || || 65\112 || 696.429 || 18 || 11 || 1.636 || 
|-
| || || || 18\31 || || || || 696.774 || 5 || 3 || 1.667 || Mitteltönige Stimmungen sind in dieser Generatorregion
|-
| || || || || || || 61\105 || 697.143 || 17 || 10 || 1.700 ||
|-
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|-
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|-
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|-
| || || || || || || 57\98 || 697.959 || 16 || 9 || 1.778 ||
|-
| || || || || ||32\55 || || 698.182 || 9 || 5 || 1.800 ||
|-
| || || || || || || 39\67 || 698.507 || 11 || 6 || 1.833 ||
|-
| || 7\12 || || || || || || 700.000 || 2 || 1 || 2.000 || &lt;!--Basic diatonic&lt;br&gt;(Generators smaller than this are proper)--&gt;
|-
| || || || || || || 38\65 || 701.539 || 11 || 5 || 2.200 ||
|-
| || || || || || 31\53 || || 701.887 || 9 || 4 || 2.250 || Das EDO-Generatorintervall, das unter EDOs &lt;= 200 zum reinen [[3/2]] am nächsten ist
|-
| || || || || || || 55\94 || 702.128 || 16 || 7 || 2.286 ||
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| || || || || || || 71\121 || 704.132 || 21 || 8 || 2.625 || Goldene "Neogotisch"-Stimmung
|-
| || || || || 27\46 || || || 704.348 || 8 || 3 || 2.667 || "Neogotisch"-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 64\109 || 704.587 || 19 || 7 || 2.714 ||
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|-
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|-
| 3\5 || || || || || || || 720.000 || 1 || 0 || → inf ||
|}
&lt;!--
Tunings above 7\12 on this chart are called "negative tunings" (as they lessen the size of the fifth) and include meantone systems such as 1/3-comma (close to 11\19) and 1/4-comma (close to 18\31). As these tunings approach 4\7, the majors become flatter and the minors become sharper.

Tunings below 7\12 on this chart are called "positive tunings" and they include Pythagorean tuning itself (well approximated by 31\53) as well as superpyth tunings such as 10\17 and 13\22. As these tunings approach 3\5, the majors become sharper and the minors become flatter. Around 13\22 through 16\27, the thirds fall closer to 7-limit than 5-limit intervals: 7:6 and 9:7 as opposed to 6:5 and 5:4.

[[File:5L2s.jpg|alt=5L2s.jpg|5L2s.jpg]]

5L 2s contains the pentatonic MOS [[2L_3s|2L 3s]] and (with the sole exception of the 5L 2s of 12EDO) is itself contained in a dodecaphonic MOS: either [[7L_5s|7L 5s]] or [[5L_7s|5L 7s]], depending on whether the fifth is flatter than or sharper than 7\12 (700c).--&gt;</text>
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      <contributor>
        <username>Inthar</username>
        <id>9</id>
      </contributor>
      <comment>/* Skalenbaum */</comment>
      <origin>2562</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7265" sha1="jzms5qruxnkewgybigt31dmjc6e0sme" xml:space="preserve">{{interwiki
| de = 5L 2s
| en = 5L 2s
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| ja = 
}}
&lt;!--{{Infobox MOS
| Name = diatonic
| Periods = 1
| nLargeSteps = 5
| nSmallSteps = 2
| Equalized = 4
| Paucitonic = 3
| Pattern = LLLsLLs
| Neutral = 3L 4s
}}
--&gt;
Eine mögliche Definition für die '''diatonische''' Skala ist als der durch das Übereinanderschichten von "Quinten" (bzw. "Quarten") erzeugte [[MOS|MOS-Skalentyp]] namens '''5L 2s''', also mit 5 großen Schritten und 2 kleinen Schritten. Das entsprechende Schrittmuster lautet LLLsLLs (wenn man die verschiedene Modi ignoriert).
== Modi ==
Die diatonischen Modi haben bekannte Namen aus der klassischen westlichen Musiktheorie: 

{| class="wikitable center-all"
|-
! Modus
! [[UDP-Notation|UDP]]
! Name
|-
| LLLsLLs
| &lt;nowiki&gt;6|0&lt;/nowiki&gt;
| Lydisch
|-
| LLsLLLs
| &lt;nowiki&gt;5|1&lt;/nowiki&gt;
| Ionisch
|-
| LLsLLsL
| &lt;nowiki&gt;4|2&lt;/nowiki&gt;
| Mixolydisch
|-
| LsLLLsL
| &lt;nowiki&gt;3|3&lt;/nowiki&gt;
| Dorisch
|-
| LsLLsLL
| &lt;nowiki&gt;2|4&lt;/nowiki&gt;
| Äolisch
|-
| sLLLsLL
| &lt;nowiki&gt;1|5&lt;/nowiki&gt;
| Phrygisch
|-
| sLLsLLL
| &lt;nowiki&gt;0|6&lt;/nowiki&gt;
| Lokrisch
|}
== Skalenbaum ==
Wenn man das Intervall 4\7 (vier Schritte von [[7-EDO]]) auf ein Ende setzt und 3\5 (drei Schritte von [[5-EDO]]) auf das andere, liegen alle andere möglichen 5L 2s-Skalen in einem Kontinuum zwischen den zweien Enden. Man kann dieses Kontinuum unterteilen, indem man die Zähler der beiden Endbrüche addiert und dann die Nenner addiert (diese Operation heißt die [[Mediant]]-Operation oder die Farey-Summe). Zwischen 4\7 und 3\5 entsteht also (4+3)\(7+5) = 7\12, also sieben Schritte von 12-EDO.

{| class="wikitable"
|-
| 4\7 || 
|-
| || 7\12
|-
| 3\5 ||
|}

Wenn man diese Mediant-Operation weiter ausführt, tauchen im Kontinuum größere EDOs auf.

{| class="wikitable center-all"
! colspan="7" | Generator
! Cents
! L
! s
! L/s
! Comments
|-
| 4\7 || || || || || || || 685.714 || 1 || 1 || 1.000 ||
|-
| || || || || || || 27\47 || 689.362 || 7 || 6 || 1.167 ||
|-
| || || || || || 23\40 || || 690.000 || 6 || 5 || 1.200 ||
|-
| || || || || || || 42\73 || 690.411 || 11 || 9 || 1.222 ||
|-
| || || || || 19\33 || || || 690.909 || 5 || 4 || 1.250 ||
|-
| || || || || || || 53\92 || 691.304 || 14 || 11 || 1.273 ||
|-
| || || || || || 34\59 || || 691.525 || 9 || 7 || 1.286 ||
|-
| || || || || || || 49\85 || 691.765 || 13 || 10 || 1.300 ||
|-
| || || || 15\26 || || || || 692.308 || 4 || 3 || 1.333 ||
|-
| || || || || || || 56\97 || 692.784 || 15 || 11 || 1.364 ||
|-
| || || || || || 41\71 || || 692.958 || 11 || 8 || 1.375 ||
|-
| || || || || || || 67\116 || 693.103 || 18 || 13 || 1.385 ||
|-
| || || || || 26\45 || || || 693.333 || 7 || 5 || 1.400 ||
|-
| || || || || || || 63\109 || 693.578 || 17 || 12 || 1.417 ||
|-
| || || || || || 37\64 || || 693.750 || 10 || 7 || 1.429 ||
|-
| || || || || || || 48\83 || 693.976 || 13 || 9 || 1.444 ||
|-
| || || 11\19 || || || || || 694.737 || 3 || 2 || 1.500 || L/s = 3/2
|-
| || || || || || || 51\88 || 695.455 || 14 || 9 || 1.556 ||
|-
| || || || || || 40\69 || || 695.652 || 11 || 7 || 1.571 ||
|-
| || || || || || || 69\119 || 695.798 || 19 || 12 || 1.583 ||
|-
| || || || || 29\50 || || || 696.000 || 8 || 5 || 1.600 ||
|-
| || || || || || || 66\131 || 696.183 || 21 || |13 || 1.615 || Goldene mitteltönige Stimmung
|-
| || || || || || 47\81 || || 696.296 || 13 || 8 || 1.625 ||
|-
| || || || || || || 65\112 || 696.429 || 18 || 11 || 1.636 || 
|-
| || || || 18\31 || || || || 696.774 || 5 || 3 || 1.667 || Mitteltönige Stimmungen sind in dieser Generatorregion
|-
| || || || || || || 61\105 || 697.143 || 17 || 10 || 1.700 ||
|-
| || || || || || 43\74 || || 697.297 || 12 || 7 || 1.714 ||
|-
| || || || || || || 68\117 || 697.436 || 19 || 11 || 1.727 ||
|-
| || || || || 25\43 || || || 697.674 || 7 || 4 || 1.750 ||
|-
| || || || || || || 57\98 || 697.959 || 16 || 9 || 1.778 ||
|-
| || || || || ||32\55 || || 698.182 || 9 || 5 || 1.800 ||
|-
| || || || || || || 39\67 || 698.507 || 11 || 6 || 1.833 ||
|-
| || 7\12 || || || || || || 700.000 || 2 || 1 || 2.000 || &lt;!--Basic diatonic&lt;br&gt;(Generators smaller than this are proper)--&gt;
|-
| || || || || || || 38\65 || 701.539 || 11 || 5 || 2.200 ||
|-
| || || || || || 31\53 || || 701.887 || 9 || 4 || 2.250 || Das EDO-Generatorintervall, das unter EDOs &lt;= 200 zum reinen [[3/2]] am nächsten ist
|-
| || || || || || || 55\94 || 702.128 || 16 || 7 || 2.286 ||
|-
| || || || || 24\41 || || || 702.409 || 7 || 3 || 2.333 ||
|-
| || || || || || || 65\111 || 702.703 || 19 || 8 || 2.375 ||
|-
| || || || || || 41\70 || || 702.857 || 12 || 5 || 2.400 ||
|-
| || || || || || || 58\99 || 703.030 || 17 || 7 || 2.428 ||
|-
| || || || 17\29 || || || || 703.448 || 5 || 2 || 2.500 ||
|-
| || || || || || || 61\104 || 703.846 || 18 || 7 || 2.571 ||
|-
| || || || || || 44\75 || || 704.000 || 13 || 5 || 2.600 ||
|-
| || || || || || || 71\121 || 704.132 || 21 || 8 || 2.625 || Goldene "Neogotisch"-Stimmung
|-
| || || || || 27\46 || || || 704.348 || 8 || 3 || 2.667 || "Neogotisch"-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 64\109 || 704.587 || 19 || 7 || 2.714 ||
|-
| || || || || || 37\63 || || 704.762 || 11 || 4 || 2.750 ||
|-
| || || || || || || 47\80 || 705.000 || 14 || 5 || 2.800 ||
|-
| || || 10\17 || || || || || 705.882 || 3 || 1 || 3.000 || L/s = 3/1
|-
| || || || || || || 43\73 || 706.849 || 13 || 4 || 3.250 ||
|-
| || || || || || 33\56 || || 707.143 || 10 || 3 || 3.333 ||
|-
| || || || || || || 56\95 || 707.368 || 17 || 5 || 3.400 ||
|-
| || || || || 23\39 || || || 707.692 || 7 || 2 || 3.500 ||
|-
| || || || || || || 59\100 || 708.000 || 18 || 5 || 3.600 ||
|-
| || || || || || 36\61 || || 708.197 || 11 || 3 || 3.667 ||
|-
| || || || || || || 49\83 || 708.434 || 15 || 4 || 3.750 ||
|-
| || || || 13\22 || || || || 709.091 || 4 || 1 || 4.000 || [[Archy]]-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 42\71 || 709.859 || 13 || 3 || 4.333 ||
|-
| || || || || || 29\49 || || 710.204 || 9 || 2 || 4.500 ||
|-
| || || || || || || 45\76 || 710.526 || 14 || 3 || 4.667 ||
|-
| || || || || 16\27 || || || 711.111 || 5 || 1 || 5.000 ||
|-
| || || || || || || 35\59 || 711.864 || 11 || 2 || 5.500 ||
|-
| || || || || || 19\32 || || 712.500 || 6 || 1 || 6.000 ||
|-
| || || || || || || 22\37 || 713.514 || 7 || 1 || 7.000 ||
|-
| 3\5 || || || || || || || 720.000 || 1 || 0 || → inf ||
|}
&lt;!--
Tunings above 7\12 on this chart are called "negative tunings" (as they lessen the size of the fifth) and include meantone systems such as 1/3-comma (close to 11\19) and 1/4-comma (close to 18\31). As these tunings approach 4\7, the majors become flatter and the minors become sharper.

Tunings below 7\12 on this chart are called "positive tunings" and they include Pythagorean tuning itself (well approximated by 31\53) as well as superpyth tunings such as 10\17 and 13\22. As these tunings approach 3\5, the majors become sharper and the minors become flatter. Around 13\22 through 16\27, the thirds fall closer to 7-limit than 5-limit intervals: 7:6 and 9:7 as opposed to 6:5 and 5:4.

[[File:5L2s.jpg|alt=5L2s.jpg|5L2s.jpg]]

5L 2s contains the pentatonic MOS [[2L_3s|2L 3s]] and (with the sole exception of the 5L 2s of 12EDO) is itself contained in a dodecaphonic MOS: either [[7L_5s|7L 5s]] or [[5L_7s|5L 7s]], depending on whether the fifth is flatter than or sharper than 7\12 (700c).--&gt;</text>
      <sha1>jzms5qruxnkewgybigt31dmjc6e0sme</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>2563</id>
      <parentid>2562</parentid>
      <timestamp>2021-07-01T02:49:44Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Inthar</username>
        <id>9</id>
      </contributor>
      <comment>/* Skalenbaum */+link [[Skalenbaum]]</comment>
      <origin>2563</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7320" sha1="frsit25dnfy7hjd57vop1mhob6h6p6g" xml:space="preserve">{{interwiki
| de = 5L 2s
| en = 5L 2s
| es = 
| ja = 
}}
&lt;!--{{Infobox MOS
| Name = diatonic
| Periods = 1
| nLargeSteps = 5
| nSmallSteps = 2
| Equalized = 4
| Paucitonic = 3
| Pattern = LLLsLLs
| Neutral = 3L 4s
}}
--&gt;
Eine mögliche Definition für die '''diatonische''' Skala ist als der durch das Übereinanderschichten von "Quinten" (bzw. "Quarten") erzeugte [[MOS|MOS-Skalentyp]] namens '''5L 2s''', also mit 5 großen Schritten und 2 kleinen Schritten. Das entsprechende Schrittmuster lautet LLLsLLs (wenn man die verschiedene Modi ignoriert).
== Modi ==
Die diatonischen Modi haben bekannte Namen aus der klassischen westlichen Musiktheorie: 

{| class="wikitable center-all"
|-
! Modus
! [[UDP-Notation|UDP]]
! Name
|-
| LLLsLLs
| &lt;nowiki&gt;6|0&lt;/nowiki&gt;
| Lydisch
|-
| LLsLLLs
| &lt;nowiki&gt;5|1&lt;/nowiki&gt;
| Ionisch
|-
| LLsLLsL
| &lt;nowiki&gt;4|2&lt;/nowiki&gt;
| Mixolydisch
|-
| LsLLLsL
| &lt;nowiki&gt;3|3&lt;/nowiki&gt;
| Dorisch
|-
| LsLLsLL
| &lt;nowiki&gt;2|4&lt;/nowiki&gt;
| Äolisch
|-
| sLLLsLL
| &lt;nowiki&gt;1|5&lt;/nowiki&gt;
| Phrygisch
|-
| sLLsLLL
| &lt;nowiki&gt;0|6&lt;/nowiki&gt;
| Lokrisch
|}
== Skalenbaum ==
Wenn man das Intervall 4\7 (vier Schritte von [[7-EDO]]) auf ein Ende setzt und 3\5 (drei Schritte von [[5-EDO]]) auf das andere, liegen alle andere möglichen 5L 2s-Skalen in einem Kontinuum zwischen den zweien Enden. Man kann dieses Kontinuum unterteilen, indem man die Zähler der beiden Endbrüche addiert und dann die Nenner addiert (diese Operation heißt die [[Mediant]]-Operation oder die Farey-Summe). Zwischen 4\7 und 3\5 entsteht also (4+3)\(7+5) = 7\12, also sieben Schritte von 12-EDO:

{| class="wikitable"
|-
| 4\7 || 
|-
| || 7\12
|-
| 3\5 ||
|}

Wenn man diese Mediant-Operation weiter ausführt, tauchen im Kontinuum größere EDOs auf. Also ist das diatonische [[Skalenbaum]] wie folgendes:

{| class="wikitable center-all"
! colspan="7" | Generator
! Cents
! L
! s
! L/s
! Comments
|-
| 4\7 || || || || || || || 685.714 || 1 || 1 || 1.000 ||
|-
| || || || || || || 27\47 || 689.362 || 7 || 6 || 1.167 ||
|-
| || || || || || 23\40 || || 690.000 || 6 || 5 || 1.200 ||
|-
| || || || || || || 42\73 || 690.411 || 11 || 9 || 1.222 ||
|-
| || || || || 19\33 || || || 690.909 || 5 || 4 || 1.250 ||
|-
| || || || || || || 53\92 || 691.304 || 14 || 11 || 1.273 ||
|-
| || || || || || 34\59 || || 691.525 || 9 || 7 || 1.286 ||
|-
| || || || || || || 49\85 || 691.765 || 13 || 10 || 1.300 ||
|-
| || || || 15\26 || || || || 692.308 || 4 || 3 || 1.333 ||
|-
| || || || || || || 56\97 || 692.784 || 15 || 11 || 1.364 ||
|-
| || || || || || 41\71 || || 692.958 || 11 || 8 || 1.375 ||
|-
| || || || || || || 67\116 || 693.103 || 18 || 13 || 1.385 ||
|-
| || || || || 26\45 || || || 693.333 || 7 || 5 || 1.400 ||
|-
| || || || || || || 63\109 || 693.578 || 17 || 12 || 1.417 ||
|-
| || || || || || 37\64 || || 693.750 || 10 || 7 || 1.429 ||
|-
| || || || || || || 48\83 || 693.976 || 13 || 9 || 1.444 ||
|-
| || || 11\19 || || || || || 694.737 || 3 || 2 || 1.500 || L/s = 3/2
|-
| || || || || || || 51\88 || 695.455 || 14 || 9 || 1.556 ||
|-
| || || || || || 40\69 || || 695.652 || 11 || 7 || 1.571 ||
|-
| || || || || || || 69\119 || 695.798 || 19 || 12 || 1.583 ||
|-
| || || || || 29\50 || || || 696.000 || 8 || 5 || 1.600 ||
|-
| || || || || || || 66\131 || 696.183 || 21 || |13 || 1.615 || Goldene mitteltönige Stimmung
|-
| || || || || || 47\81 || || 696.296 || 13 || 8 || 1.625 ||
|-
| || || || || || || 65\112 || 696.429 || 18 || 11 || 1.636 || 
|-
| || || || 18\31 || || || || 696.774 || 5 || 3 || 1.667 || Mitteltönige Stimmungen sind in dieser Generatorregion
|-
| || || || || || || 61\105 || 697.143 || 17 || 10 || 1.700 ||
|-
| || || || || || 43\74 || || 697.297 || 12 || 7 || 1.714 ||
|-
| || || || || || || 68\117 || 697.436 || 19 || 11 || 1.727 ||
|-
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|-
| || || || || || || 57\98 || 697.959 || 16 || 9 || 1.778 ||
|-
| || || || || ||32\55 || || 698.182 || 9 || 5 || 1.800 ||
|-
| || || || || || || 39\67 || 698.507 || 11 || 6 || 1.833 ||
|-
| || 7\12 || || || || || || 700.000 || 2 || 1 || 2.000 || &lt;!--Basic diatonic&lt;br&gt;(Generators smaller than this are proper)--&gt;
|-
| || || || || || || 38\65 || 701.539 || 11 || 5 || 2.200 ||
|-
| || || || || || 31\53 || || 701.887 || 9 || 4 || 2.250 || Das EDO-Generatorintervall, das unter EDOs &lt;= 200 zum reinen [[3/2]] am nächsten ist
|-
| || || || || || || 55\94 || 702.128 || 16 || 7 || 2.286 ||
|-
| || || || || 24\41 || || || 702.409 || 7 || 3 || 2.333 ||
|-
| || || || || || || 65\111 || 702.703 || 19 || 8 || 2.375 ||
|-
| || || || || || 41\70 || || 702.857 || 12 || 5 || 2.400 ||
|-
| || || || || || || 58\99 || 703.030 || 17 || 7 || 2.428 ||
|-
| || || || 17\29 || || || || 703.448 || 5 || 2 || 2.500 ||
|-
| || || || || || || 61\104 || 703.846 || 18 || 7 || 2.571 ||
|-
| || || || || || 44\75 || || 704.000 || 13 || 5 || 2.600 ||
|-
| || || || || || || 71\121 || 704.132 || 21 || 8 || 2.625 || Goldene "Neogotisch"-Stimmung
|-
| || || || || 27\46 || || || 704.348 || 8 || 3 || 2.667 || "Neogotisch"-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 64\109 || 704.587 || 19 || 7 || 2.714 ||
|-
| || || || || || 37\63 || || 704.762 || 11 || 4 || 2.750 ||
|-
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|-
| || || 10\17 || || || || || 705.882 || 3 || 1 || 3.000 || L/s = 3/1
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| || || || 13\22 || || || || 709.091 || 4 || 1 || 4.000 || [[Archy]]-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 42\71 || 709.859 || 13 || 3 || 4.333 ||
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| || || || || || 19\32 || || 712.500 || 6 || 1 || 6.000 ||
|-
| || || || || || || 22\37 || 713.514 || 7 || 1 || 7.000 ||
|-
| 3\5 || || || || || || || 720.000 || 1 || 0 || → inf ||
|}
&lt;!--
Tunings above 7\12 on this chart are called "negative tunings" (as they lessen the size of the fifth) and include meantone systems such as 1/3-comma (close to 11\19) and 1/4-comma (close to 18\31). As these tunings approach 4\7, the majors become flatter and the minors become sharper.

Tunings below 7\12 on this chart are called "positive tunings" and they include Pythagorean tuning itself (well approximated by 31\53) as well as superpyth tunings such as 10\17 and 13\22. As these tunings approach 3\5, the majors become sharper and the minors become flatter. Around 13\22 through 16\27, the thirds fall closer to 7-limit than 5-limit intervals: 7:6 and 9:7 as opposed to 6:5 and 5:4.

[[File:5L2s.jpg|alt=5L2s.jpg|5L2s.jpg]]

5L 2s contains the pentatonic MOS [[2L_3s|2L 3s]] and (with the sole exception of the 5L 2s of 12EDO) is itself contained in a dodecaphonic MOS: either [[7L_5s|7L 5s]] or [[5L_7s|5L 7s]], depending on whether the fifth is flatter than or sharper than 7\12 (700c).--&gt;</text>
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      <id>2564</id>
      <parentid>2563</parentid>
      <timestamp>2021-07-01T02:51:09Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Inthar</username>
        <id>9</id>
      </contributor>
      <comment>/* Skalenbaum */"Region" scheint ein geographischer Begriff zu sein</comment>
      <origin>2564</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7321" sha1="qi7o4dllkpmv74wlpdehfm0szyhx16b" xml:space="preserve">{{interwiki
| de = 5L 2s
| en = 5L 2s
| es = 
| ja = 
}}
&lt;!--{{Infobox MOS
| Name = diatonic
| Periods = 1
| nLargeSteps = 5
| nSmallSteps = 2
| Equalized = 4
| Paucitonic = 3
| Pattern = LLLsLLs
| Neutral = 3L 4s
}}
--&gt;
Eine mögliche Definition für die '''diatonische''' Skala ist als der durch das Übereinanderschichten von "Quinten" (bzw. "Quarten") erzeugte [[MOS|MOS-Skalentyp]] namens '''5L 2s''', also mit 5 großen Schritten und 2 kleinen Schritten. Das entsprechende Schrittmuster lautet LLLsLLs (wenn man die verschiedene Modi ignoriert).
== Modi ==
Die diatonischen Modi haben bekannte Namen aus der klassischen westlichen Musiktheorie: 

{| class="wikitable center-all"
|-
! Modus
! [[UDP-Notation|UDP]]
! Name
|-
| LLLsLLs
| &lt;nowiki&gt;6|0&lt;/nowiki&gt;
| Lydisch
|-
| LLsLLLs
| &lt;nowiki&gt;5|1&lt;/nowiki&gt;
| Ionisch
|-
| LLsLLsL
| &lt;nowiki&gt;4|2&lt;/nowiki&gt;
| Mixolydisch
|-
| LsLLLsL
| &lt;nowiki&gt;3|3&lt;/nowiki&gt;
| Dorisch
|-
| LsLLsLL
| &lt;nowiki&gt;2|4&lt;/nowiki&gt;
| Äolisch
|-
| sLLLsLL
| &lt;nowiki&gt;1|5&lt;/nowiki&gt;
| Phrygisch
|-
| sLLsLLL
| &lt;nowiki&gt;0|6&lt;/nowiki&gt;
| Lokrisch
|}
== Skalenbaum ==
Wenn man das Intervall 4\7 (vier Schritte von [[7-EDO]]) auf ein Ende setzt und 3\5 (drei Schritte von [[5-EDO]]) auf das andere, liegen alle andere möglichen 5L 2s-Skalen in einem Kontinuum zwischen den zweien Enden. Man kann dieses Kontinuum unterteilen, indem man die Zähler der beiden Endbrüche addiert und dann die Nenner addiert (diese Operation heißt die [[Mediant]]-Operation oder die Farey-Summe). Zwischen 4\7 und 3\5 entsteht also (4+3)\(7+5) = 7\12, also sieben Schritte von 12-EDO:

{| class="wikitable"
|-
| 4\7 || 
|-
| || 7\12
|-
| 3\5 ||
|}

Wenn man diese Mediant-Operation weiter ausführt, tauchen im Kontinuum größere EDOs auf. Also ist das diatonische [[Skalenbaum]] wie folgendes:

{| class="wikitable center-all"
! colspan="7" | Generator
! Cents
! L
! s
! L/s
! Comments
|-
| 4\7 || || || || || || || 685.714 || 1 || 1 || 1.000 ||
|-
| || || || || || || 27\47 || 689.362 || 7 || 6 || 1.167 ||
|-
| || || || || || 23\40 || || 690.000 || 6 || 5 || 1.200 ||
|-
| || || || || || || 42\73 || 690.411 || 11 || 9 || 1.222 ||
|-
| || || || || 19\33 || || || 690.909 || 5 || 4 || 1.250 ||
|-
| || || || || || || 53\92 || 691.304 || 14 || 11 || 1.273 ||
|-
| || || || || || 34\59 || || 691.525 || 9 || 7 || 1.286 ||
|-
| || || || || || || 49\85 || 691.765 || 13 || 10 || 1.300 ||
|-
| || || || 15\26 || || || || 692.308 || 4 || 3 || 1.333 ||
|-
| || || || || || || 56\97 || 692.784 || 15 || 11 || 1.364 ||
|-
| || || || || || 41\71 || || 692.958 || 11 || 8 || 1.375 ||
|-
| || || || || || || 67\116 || 693.103 || 18 || 13 || 1.385 ||
|-
| || || || || 26\45 || || || 693.333 || 7 || 5 || 1.400 ||
|-
| || || || || || || 63\109 || 693.578 || 17 || 12 || 1.417 ||
|-
| || || || || || 37\64 || || 693.750 || 10 || 7 || 1.429 ||
|-
| || || || || || || 48\83 || 693.976 || 13 || 9 || 1.444 ||
|-
| || || 11\19 || || || || || 694.737 || 3 || 2 || 1.500 || L/s = 3/2
|-
| || || || || || || 51\88 || 695.455 || 14 || 9 || 1.556 ||
|-
| || || || || || 40\69 || || 695.652 || 11 || 7 || 1.571 ||
|-
| || || || || || || 69\119 || 695.798 || 19 || 12 || 1.583 ||
|-
| || || || || 29\50 || || || 696.000 || 8 || 5 || 1.600 ||
|-
| || || || || || || 66\131 || 696.183 || 21 || |13 || 1.615 || Goldene mitteltönige Stimmung
|-
| || || || || || 47\81 || || 696.296 || 13 || 8 || 1.625 ||
|-
| || || || || || || 65\112 || 696.429 || 18 || 11 || 1.636 || 
|-
| || || || 18\31 || || || || 696.774 || 5 || 3 || 1.667 || Mitteltönige Stimmungen sind in diesem Generatorbereich
|-
| || || || || || || 61\105 || 697.143 || 17 || 10 || 1.700 ||
|-
| || || || || || 43\74 || || 697.297 || 12 || 7 || 1.714 ||
|-
| || || || || || || 68\117 || 697.436 || 19 || 11 || 1.727 ||
|-
| || || || || 25\43 || || || 697.674 || 7 || 4 || 1.750 ||
|-
| || || || || || || 57\98 || 697.959 || 16 || 9 || 1.778 ||
|-
| || || || || ||32\55 || || 698.182 || 9 || 5 || 1.800 ||
|-
| || || || || || || 39\67 || 698.507 || 11 || 6 || 1.833 ||
|-
| || 7\12 || || || || || || 700.000 || 2 || 1 || 2.000 || &lt;!--Basic diatonic&lt;br&gt;(Generators smaller than this are proper)--&gt;
|-
| || || || || || || 38\65 || 701.539 || 11 || 5 || 2.200 ||
|-
| || || || || || 31\53 || || 701.887 || 9 || 4 || 2.250 || Das EDO-Generatorintervall, das unter EDOs &lt;= 200 zum reinen [[3/2]] am nächsten ist
|-
| || || || || || || 55\94 || 702.128 || 16 || 7 || 2.286 ||
|-
| || || || || 24\41 || || || 702.409 || 7 || 3 || 2.333 ||
|-
| || || || || || || 65\111 || 702.703 || 19 || 8 || 2.375 ||
|-
| || || || || || 41\70 || || 702.857 || 12 || 5 || 2.400 ||
|-
| || || || || || || 58\99 || 703.030 || 17 || 7 || 2.428 ||
|-
| || || || 17\29 || || || || 703.448 || 5 || 2 || 2.500 ||
|-
| || || || || || || 61\104 || 703.846 || 18 || 7 || 2.571 ||
|-
| || || || || || 44\75 || || 704.000 || 13 || 5 || 2.600 ||
|-
| || || || || || || 71\121 || 704.132 || 21 || 8 || 2.625 || Goldene "Neogotisch"-Stimmung
|-
| || || || || 27\46 || || || 704.348 || 8 || 3 || 2.667 || "Neogotisch"-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 64\109 || 704.587 || 19 || 7 || 2.714 ||
|-
| || || || || || 37\63 || || 704.762 || 11 || 4 || 2.750 ||
|-
| || || || || || || 47\80 || 705.000 || 14 || 5 || 2.800 ||
|-
| || || 10\17 || || || || || 705.882 || 3 || 1 || 3.000 || L/s = 3/1
|-
| || || || || || || 43\73 || 706.849 || 13 || 4 || 3.250 ||
|-
| || || || || || 33\56 || || 707.143 || 10 || 3 || 3.333 ||
|-
| || || || || || || 56\95 || 707.368 || 17 || 5 || 3.400 ||
|-
| || || || || 23\39 || || || 707.692 || 7 || 2 || 3.500 ||
|-
| || || || || || || 59\100 || 708.000 || 18 || 5 || 3.600 ||
|-
| || || || || || 36\61 || || 708.197 || 11 || 3 || 3.667 ||
|-
| || || || || || || 49\83 || 708.434 || 15 || 4 || 3.750 ||
|-
| || || || 13\22 || || || || 709.091 || 4 || 1 || 4.000 || [[Archy]]-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 42\71 || 709.859 || 13 || 3 || 4.333 ||
|-
| || || || || || 29\49 || || 710.204 || 9 || 2 || 4.500 ||
|-
| || || || || || || 45\76 || 710.526 || 14 || 3 || 4.667 ||
|-
| || || || || 16\27 || || || 711.111 || 5 || 1 || 5.000 ||
|-
| || || || || || || 35\59 || 711.864 || 11 || 2 || 5.500 ||
|-
| || || || || || 19\32 || || 712.500 || 6 || 1 || 6.000 ||
|-
| || || || || || || 22\37 || 713.514 || 7 || 1 || 7.000 ||
|-
| 3\5 || || || || || || || 720.000 || 1 || 0 || → inf ||
|}
&lt;!--
Tunings above 7\12 on this chart are called "negative tunings" (as they lessen the size of the fifth) and include meantone systems such as 1/3-comma (close to 11\19) and 1/4-comma (close to 18\31). As these tunings approach 4\7, the majors become flatter and the minors become sharper.

Tunings below 7\12 on this chart are called "positive tunings" and they include Pythagorean tuning itself (well approximated by 31\53) as well as superpyth tunings such as 10\17 and 13\22. As these tunings approach 3\5, the majors become sharper and the minors become flatter. Around 13\22 through 16\27, the thirds fall closer to 7-limit than 5-limit intervals: 7:6 and 9:7 as opposed to 6:5 and 5:4.

[[File:5L2s.jpg|alt=5L2s.jpg|5L2s.jpg]]

5L 2s contains the pentatonic MOS [[2L_3s|2L 3s]] and (with the sole exception of the 5L 2s of 12EDO) is itself contained in a dodecaphonic MOS: either [[7L_5s|7L 5s]] or [[5L_7s|5L 7s]], depending on whether the fifth is flatter than or sharper than 7\12 (700c).--&gt;</text>
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      <contributor>
        <username>Inthar</username>
        <id>9</id>
      </contributor>
      <comment>/* Skalenbaum */</comment>
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| de = 5L 2s
| en = 5L 2s
| es = 
| ja = 
}}
&lt;!--{{Infobox MOS
| Name = diatonic
| Periods = 1
| nLargeSteps = 5
| nSmallSteps = 2
| Equalized = 4
| Paucitonic = 3
| Pattern = LLLsLLs
| Neutral = 3L 4s
}}
--&gt;
Eine mögliche Definition für die '''diatonische''' Skala ist als der durch das Übereinanderschichten von "Quinten" (bzw. "Quarten") erzeugte [[MOS|MOS-Skalentyp]] namens '''5L 2s''', also mit 5 großen Schritten und 2 kleinen Schritten. Das entsprechende Schrittmuster lautet LLLsLLs (wenn man die verschiedene Modi ignoriert).
== Modi ==
Die diatonischen Modi haben bekannte Namen aus der klassischen westlichen Musiktheorie: 

{| class="wikitable center-all"
|-
! Modus
! [[UDP-Notation|UDP]]
! Name
|-
| LLLsLLs
| &lt;nowiki&gt;6|0&lt;/nowiki&gt;
| Lydisch
|-
| LLsLLLs
| &lt;nowiki&gt;5|1&lt;/nowiki&gt;
| Ionisch
|-
| LLsLLsL
| &lt;nowiki&gt;4|2&lt;/nowiki&gt;
| Mixolydisch
|-
| LsLLLsL
| &lt;nowiki&gt;3|3&lt;/nowiki&gt;
| Dorisch
|-
| LsLLsLL
| &lt;nowiki&gt;2|4&lt;/nowiki&gt;
| Äolisch
|-
| sLLLsLL
| &lt;nowiki&gt;1|5&lt;/nowiki&gt;
| Phrygisch
|-
| sLLsLLL
| &lt;nowiki&gt;0|6&lt;/nowiki&gt;
| Lokrisch
|}
== Skalenbaum ==
Wenn man das Intervall 4\7 (vier Schritte von [[7-EDO]]) auf ein Ende setzt und 3\5 (drei Schritte von [[5-EDO]]) auf das andere, liegen alle andere möglichen 5L 2s-Skalen in einem Kontinuum zwischen den zweien Enden. Man kann dieses Kontinuum unterteilen, indem man die Zähler der beiden Endbrüche addiert und dann die Nenner addiert (diese Operation heißt die [[Mediant]]-Operation oder die Farey-Summe). Zwischen 4\7 und 3\5 entsteht also (4+3)\(7+5) = 7\12, also sieben Schritte von 12-EDO:

{| class="wikitable"
|-
| 4\7 || 
|-
| || 7\12
|-
| 3\5 ||
|}

Wenn man diese Mediant-Operation weiter ausführt, tauchen im Kontinuum größere EDOs auf. Also ist das resultierende diatonische [[Skalenbaum]] wie folgt:

{| class="wikitable center-all"
! colspan="7" | Generator
! Cents
! L
! s
! L/s
! Comments
|-
| 4\7 || || || || || || || 685.714 || 1 || 1 || 1.000 ||
|-
| || || || || || || 27\47 || 689.362 || 7 || 6 || 1.167 ||
|-
| || || || || || 23\40 || || 690.000 || 6 || 5 || 1.200 ||
|-
| || || || || || || 42\73 || 690.411 || 11 || 9 || 1.222 ||
|-
| || || || || 19\33 || || || 690.909 || 5 || 4 || 1.250 ||
|-
| || || || || || || 53\92 || 691.304 || 14 || 11 || 1.273 ||
|-
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|-
| || || || || || || 49\85 || 691.765 || 13 || 10 || 1.300 ||
|-
| || || || 15\26 || || || || 692.308 || 4 || 3 || 1.333 ||
|-
| || || || || || || 56\97 || 692.784 || 15 || 11 || 1.364 ||
|-
| || || || || || 41\71 || || 692.958 || 11 || 8 || 1.375 ||
|-
| || || || || || || 67\116 || 693.103 || 18 || 13 || 1.385 ||
|-
| || || || || 26\45 || || || 693.333 || 7 || 5 || 1.400 ||
|-
| || || || || || || 63\109 || 693.578 || 17 || 12 || 1.417 ||
|-
| || || || || || 37\64 || || 693.750 || 10 || 7 || 1.429 ||
|-
| || || || || || || 48\83 || 693.976 || 13 || 9 || 1.444 ||
|-
| || || 11\19 || || || || || 694.737 || 3 || 2 || 1.500 || L/s = 3/2
|-
| || || || || || || 51\88 || 695.455 || 14 || 9 || 1.556 ||
|-
| || || || || || 40\69 || || 695.652 || 11 || 7 || 1.571 ||
|-
| || || || || || || 69\119 || 695.798 || 19 || 12 || 1.583 ||
|-
| || || || || 29\50 || || || 696.000 || 8 || 5 || 1.600 ||
|-
| || || || || || || 66\131 || 696.183 || 21 || |13 || 1.615 || Goldene mitteltönige Stimmung
|-
| || || || || || 47\81 || || 696.296 || 13 || 8 || 1.625 ||
|-
| || || || || || || 65\112 || 696.429 || 18 || 11 || 1.636 || 
|-
| || || || 18\31 || || || || 696.774 || 5 || 3 || 1.667 || Mitteltönige Stimmungen sind in diesem Generatorbereich
|-
| || || || || || || 61\105 || 697.143 || 17 || 10 || 1.700 ||
|-
| || || || || || 43\74 || || 697.297 || 12 || 7 || 1.714 ||
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| || || || || || || 39\67 || 698.507 || 11 || 6 || 1.833 ||
|-
| || 7\12 || || || || || || 700.000 || 2 || 1 || 2.000 || &lt;!--Basic diatonic&lt;br&gt;(Generators smaller than this are proper)--&gt;
|-
| || || || || || || 38\65 || 701.539 || 11 || 5 || 2.200 ||
|-
| || || || || || 31\53 || || 701.887 || 9 || 4 || 2.250 || Das EDO-Generatorintervall, das unter EDOs &lt;= 200 zum reinen [[3/2]] am nächsten ist
|-
| || || || || || || 55\94 || 702.128 || 16 || 7 || 2.286 ||
|-
| || || || || 24\41 || || || 702.409 || 7 || 3 || 2.333 ||
|-
| || || || || || || 65\111 || 702.703 || 19 || 8 || 2.375 ||
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| || || || || || || 71\121 || 704.132 || 21 || 8 || 2.625 || Goldene "Neogotisch"-Stimmung
|-
| || || || || 27\46 || || || 704.348 || 8 || 3 || 2.667 || "Neogotisch"-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 64\109 || 704.587 || 19 || 7 || 2.714 ||
|-
| || || || || || 37\63 || || 704.762 || 11 || 4 || 2.750 ||
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| || || || || || || 49\83 || 708.434 || 15 || 4 || 3.750 ||
|-
| || || || 13\22 || || || || 709.091 || 4 || 1 || 4.000 || [[Archy]]-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 42\71 || 709.859 || 13 || 3 || 4.333 ||
|-
| || || || || || 29\49 || || 710.204 || 9 || 2 || 4.500 ||
|-
| || || || || || || 45\76 || 710.526 || 14 || 3 || 4.667 ||
|-
| || || || || 16\27 || || || 711.111 || 5 || 1 || 5.000 ||
|-
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|-
| || || || || || 19\32 || || 712.500 || 6 || 1 || 6.000 ||
|-
| || || || || || || 22\37 || 713.514 || 7 || 1 || 7.000 ||
|-
| 3\5 || || || || || || || 720.000 || 1 || 0 || → inf ||
|}
&lt;!--
Tunings above 7\12 on this chart are called "negative tunings" (as they lessen the size of the fifth) and include meantone systems such as 1/3-comma (close to 11\19) and 1/4-comma (close to 18\31). As these tunings approach 4\7, the majors become flatter and the minors become sharper.

Tunings below 7\12 on this chart are called "positive tunings" and they include Pythagorean tuning itself (well approximated by 31\53) as well as superpyth tunings such as 10\17 and 13\22. As these tunings approach 3\5, the majors become sharper and the minors become flatter. Around 13\22 through 16\27, the thirds fall closer to 7-limit than 5-limit intervals: 7:6 and 9:7 as opposed to 6:5 and 5:4.

[[File:5L2s.jpg|alt=5L2s.jpg|5L2s.jpg]]

5L 2s contains the pentatonic MOS [[2L_3s|2L 3s]] and (with the sole exception of the 5L 2s of 12EDO) is itself contained in a dodecaphonic MOS: either [[7L_5s|7L 5s]] or [[5L_7s|5L 7s]], depending on whether the fifth is flatter than or sharper than 7\12 (700c).--&gt;</text>
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      <timestamp>2021-07-01T02:54:58Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Inthar</username>
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      <text bytes="7349" sha1="4uwq3ykoe9t8o1mup7de3kqmdusha54" xml:space="preserve">{{interwiki
| de = 5L 2s
| en = 5L 2s
| es = 
| ja = 
}}
&lt;!--{{Infobox MOS
| Name = diatonic
| Periods = 1
| nLargeSteps = 5
| nSmallSteps = 2
| Equalized = 4
| Paucitonic = 3
| Pattern = LLLsLLs
| Neutral = 3L 4s
}}
--&gt;
Eine mögliche Definition für die '''diatonische''' Skala ist als der durch das Übereinanderschichten von "Quinten" (bzw. "Quarten") erzeugte [[MOS|MOS-Skalentyp]] namens '''5L 2s''', also mit 5 großen Schritten und 2 kleinen Schritten. Das entsprechende Schrittmuster lautet LLLsLLs (wenn man die verschiedene Modi ignoriert).
== Modi ==
Die diatonischen Modi haben bekannte Namen aus der klassischen westlichen Musiktheorie: 

{| class="wikitable center-all"
|-
! Modus
! [[UDP-Notation|UDP]]
! Name
|-
| LLLsLLs
| &lt;nowiki&gt;6|0&lt;/nowiki&gt;
| Lydisch
|-
| LLsLLLs
| &lt;nowiki&gt;5|1&lt;/nowiki&gt;
| Ionisch
|-
| LLsLLsL
| &lt;nowiki&gt;4|2&lt;/nowiki&gt;
| Mixolydisch
|-
| LsLLLsL
| &lt;nowiki&gt;3|3&lt;/nowiki&gt;
| Dorisch
|-
| LsLLsLL
| &lt;nowiki&gt;2|4&lt;/nowiki&gt;
| Äolisch
|-
| sLLLsLL
| &lt;nowiki&gt;1|5&lt;/nowiki&gt;
| Phrygisch
|-
| sLLsLLL
| &lt;nowiki&gt;0|6&lt;/nowiki&gt;
| Lokrisch
|}
== Skalenbaum ==
Wenn man das Intervall 4\7 (vier Schritte von [[7-EDO]]) auf ein Ende setzt und 3\5 (drei Schritte von [[5-EDO]]) auf das andere, liegen alle andere möglichen 5L 2s-Skalen in einem Kontinuum zwischen den zweien Enden. Man kann dieses Kontinuum unterteilen, indem man die Zähler der beiden Endbrüche addiert und dann die Nenner addiert (diese Operation heißt die [[Mediant]]-Operation oder die Farey-Summe). Zwischen 4\7 und 3\5 entsteht also (4+3)\(7+5) = 7\12, also sieben Schritte von 12-EDO:

{| class="wikitable"
|-
| 4\7 || 
|-
| || 7\12
|-
| 3\5 ||
|}

Wenn man diese Mediant-Operation weiter ausführt, tauchen im Kontinuum größere EDOs auf. Also ist das resultierende diatonische [[Skalenbaum]] (bis zur Tiefe 6) wie folgt:

{| class="wikitable center-all"
! colspan="7" | Generator
! Cents
! L
! s
! L/s
! Comments
|-
| 4\7 || || || || || || || 685.714 || 1 || 1 || 1.000 ||
|-
| || || || || || || 27\47 || 689.362 || 7 || 6 || 1.167 ||
|-
| || || || || || 23\40 || || 690.000 || 6 || 5 || 1.200 ||
|-
| || || || || || || 42\73 || 690.411 || 11 || 9 || 1.222 ||
|-
| || || || || 19\33 || || || 690.909 || 5 || 4 || 1.250 ||
|-
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|-
| || || || || || 34\59 || || 691.525 || 9 || 7 || 1.286 ||
|-
| || || || || || || 49\85 || 691.765 || 13 || 10 || 1.300 ||
|-
| || || || 15\26 || || || || 692.308 || 4 || 3 || 1.333 ||
|-
| || || || || || || 56\97 || 692.784 || 15 || 11 || 1.364 ||
|-
| || || || || || 41\71 || || 692.958 || 11 || 8 || 1.375 ||
|-
| || || || || || || 67\116 || 693.103 || 18 || 13 || 1.385 ||
|-
| || || || || 26\45 || || || 693.333 || 7 || 5 || 1.400 ||
|-
| || || || || || || 63\109 || 693.578 || 17 || 12 || 1.417 ||
|-
| || || || || || 37\64 || || 693.750 || 10 || 7 || 1.429 ||
|-
| || || || || || || 48\83 || 693.976 || 13 || 9 || 1.444 ||
|-
| || || 11\19 || || || || || 694.737 || 3 || 2 || 1.500 || L/s = 3/2
|-
| || || || || || || 51\88 || 695.455 || 14 || 9 || 1.556 ||
|-
| || || || || || 40\69 || || 695.652 || 11 || 7 || 1.571 ||
|-
| || || || || || || 69\119 || 695.798 || 19 || 12 || 1.583 ||
|-
| || || || || 29\50 || || || 696.000 || 8 || 5 || 1.600 ||
|-
| || || || || || || 66\131 || 696.183 || 21 || |13 || 1.615 || Goldene mitteltönige Stimmung
|-
| || || || || || 47\81 || || 696.296 || 13 || 8 || 1.625 ||
|-
| || || || || || || 65\112 || 696.429 || 18 || 11 || 1.636 || 
|-
| || || || 18\31 || || || || 696.774 || 5 || 3 || 1.667 || Mitteltönige Stimmungen sind in diesem Generatorbereich
|-
| || || || || || || 61\105 || 697.143 || 17 || 10 || 1.700 ||
|-
| || || || || || 43\74 || || 697.297 || 12 || 7 || 1.714 ||
|-
| || || || || || || 68\117 || 697.436 || 19 || 11 || 1.727 ||
|-
| || || || || 25\43 || || || 697.674 || 7 || 4 || 1.750 ||
|-
| || || || || || || 57\98 || 697.959 || 16 || 9 || 1.778 ||
|-
| || || || || ||32\55 || || 698.182 || 9 || 5 || 1.800 ||
|-
| || || || || || || 39\67 || 698.507 || 11 || 6 || 1.833 ||
|-
| || 7\12 || || || || || || 700.000 || 2 || 1 || 2.000 || &lt;!--Basic diatonic&lt;br&gt;(Generators smaller than this are proper)--&gt;
|-
| || || || || || || 38\65 || 701.539 || 11 || 5 || 2.200 ||
|-
| || || || || || 31\53 || || 701.887 || 9 || 4 || 2.250 || Das EDO-Generatorintervall, das unter EDOs &lt;= 200 zum reinen [[3/2]] am nächsten ist
|-
| || || || || || || 55\94 || 702.128 || 16 || 7 || 2.286 ||
|-
| || || || || 24\41 || || || 702.409 || 7 || 3 || 2.333 ||
|-
| || || || || || || 65\111 || 702.703 || 19 || 8 || 2.375 ||
|-
| || || || || || 41\70 || || 702.857 || 12 || 5 || 2.400 ||
|-
| || || || || || || 58\99 || 703.030 || 17 || 7 || 2.428 ||
|-
| || || || 17\29 || || || || 703.448 || 5 || 2 || 2.500 ||
|-
| || || || || || || 61\104 || 703.846 || 18 || 7 || 2.571 ||
|-
| || || || || || 44\75 || || 704.000 || 13 || 5 || 2.600 ||
|-
| || || || || || || 71\121 || 704.132 || 21 || 8 || 2.625 || Goldene "Neogotisch"-Stimmung
|-
| || || || || 27\46 || || || 704.348 || 8 || 3 || 2.667 || "Neogotisch"-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 64\109 || 704.587 || 19 || 7 || 2.714 ||
|-
| || || || || || 37\63 || || 704.762 || 11 || 4 || 2.750 ||
|-
| || || || || || || 47\80 || 705.000 || 14 || 5 || 2.800 ||
|-
| || || 10\17 || || || || || 705.882 || 3 || 1 || 3.000 || L/s = 3/1
|-
| || || || || || || 43\73 || 706.849 || 13 || 4 || 3.250 ||
|-
| || || || || || 33\56 || || 707.143 || 10 || 3 || 3.333 ||
|-
| || || || || || || 56\95 || 707.368 || 17 || 5 || 3.400 ||
|-
| || || || || 23\39 || || || 707.692 || 7 || 2 || 3.500 ||
|-
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|-
| || || || || || 36\61 || || 708.197 || 11 || 3 || 3.667 ||
|-
| || || || || || || 49\83 || 708.434 || 15 || 4 || 3.750 ||
|-
| || || || 13\22 || || || || 709.091 || 4 || 1 || 4.000 || [[Archy]]-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 42\71 || 709.859 || 13 || 3 || 4.333 ||
|-
| || || || || || 29\49 || || 710.204 || 9 || 2 || 4.500 ||
|-
| || || || || || || 45\76 || 710.526 || 14 || 3 || 4.667 ||
|-
| || || || || 16\27 || || || 711.111 || 5 || 1 || 5.000 ||
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|-
| 3\5 || || || || || || || 720.000 || 1 || 0 || → inf ||
|}
&lt;!--
Tunings above 7\12 on this chart are called "negative tunings" (as they lessen the size of the fifth) and include meantone systems such as 1/3-comma (close to 11\19) and 1/4-comma (close to 18\31). As these tunings approach 4\7, the majors become flatter and the minors become sharper.

Tunings below 7\12 on this chart are called "positive tunings" and they include Pythagorean tuning itself (well approximated by 31\53) as well as superpyth tunings such as 10\17 and 13\22. As these tunings approach 3\5, the majors become sharper and the minors become flatter. Around 13\22 through 16\27, the thirds fall closer to 7-limit than 5-limit intervals: 7:6 and 9:7 as opposed to 6:5 and 5:4.

[[File:5L2s.jpg|alt=5L2s.jpg|5L2s.jpg]]

5L 2s contains the pentatonic MOS [[2L_3s|2L 3s]] and (with the sole exception of the 5L 2s of 12EDO) is itself contained in a dodecaphonic MOS: either [[7L_5s|7L 5s]] or [[5L_7s|5L 7s]], depending on whether the fifth is flatter than or sharper than 7\12 (700c).--&gt;</text>
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| en = 5L 2s
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| ja = 
}}
&lt;!--{{Infobox MOS
| Name = diatonic
| Periods = 1
| nLargeSteps = 5
| nSmallSteps = 2
| Equalized = 4
| Paucitonic = 3
| Pattern = LLLsLLs
| Neutral = 3L 4s
}}
--&gt;
Eine mögliche Definition für die '''diatonische''' Skala ist als der durch das Übereinanderschichten von "Quinten" (bzw. "Quarten") erzeugte [[MOS|MOS-Skalentyp]] namens '''5L 2s''', also mit 5 großen Schritten und 2 kleinen Schritten. Das entsprechende Schrittmuster lautet LLLsLLs (wenn man die verschiedene Modi ignoriert).
== Generatorbereiche ==

== Modi ==
Die diatonischen Modi haben bekannte Namen aus der klassischen westlichen Musiktheorie: 

{| class="wikitable center-all"
|-
! Modus
! [[UDP-Notation|UDP]]
! Name
|-
| LLLsLLs
| &lt;nowiki&gt;6|0&lt;/nowiki&gt;
| Lydisch
|-
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|-
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|-
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|-
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| Phrygisch
|-
| sLLsLLL
| &lt;nowiki&gt;0|6&lt;/nowiki&gt;
| Lokrisch
|}
== Skalenbaum ==
Wenn man das Intervall 4\7 (vier Schritte von [[7-EDO]]) auf ein Ende setzt und 3\5 (drei Schritte von [[5-EDO]]) auf das andere, liegen alle andere möglichen 5L 2s-Skalen in einem Kontinuum zwischen den zweien Enden. Man kann dieses Kontinuum unterteilen, indem man die Zähler der beiden Endbrüche addiert und dann die Nenner addiert (diese Operation heißt die [[Mediant]]-Operation oder die Farey-Summe). Zwischen 4\7 und 3\5 entsteht also (4+3)\(7+5) = 7\12, also sieben Schritte von 12-EDO:

{| class="wikitable"
|-
| 4\7 || 
|-
| || 7\12
|-
| 3\5 ||
|}

Wenn man diese Mediant-Operation weiter ausführt, tauchen im Kontinuum größere EDOs auf. Also ist das resultierende diatonische [[Skalenbaum]] (bis zur Tiefe 6) wie folgt:

{| class="wikitable center-all"
! colspan="7" | Generator
! Cents
! L
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! L/s
! Comments
|-
| 4\7 || || || || || || || 685.714 || 1 || 1 || 1.000 ||
|-
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|-
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|-
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|-
| || || || 18\31 || || || || 696.774 || 5 || 3 || 1.667 || Mitteltönige Stimmungen sind in diesem Generatorbereich
|-
| || || || || || || 61\105 || 697.143 || 17 || 10 || 1.700 ||
|-
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|-
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|-
| || 7\12 || || || || || || 700.000 || 2 || 1 || 2.000 || &lt;!--Basic diatonic&lt;br&gt;(Generators smaller than this are proper)--&gt;
|-
| || || || || || || 38\65 || 701.539 || 11 || 5 || 2.200 ||
|-
| || || || || || 31\53 || || 701.887 || 9 || 4 || 2.250 || Das EDO-Generatorintervall, das unter EDOs &lt;= 200 zum reinen [[3/2]] am nächsten ist
|-
| || || || || || || 55\94 || 702.128 || 16 || 7 || 2.286 ||
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| || || || || || || 71\121 || 704.132 || 21 || 8 || 2.625 || Goldene "Neogotisch"-Stimmung
|-
| || || || || 27\46 || || || 704.348 || 8 || 3 || 2.667 || "Neogotisch"-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 64\109 || 704.587 || 19 || 7 || 2.714 ||
|-
| || || || || || 37\63 || || 704.762 || 11 || 4 || 2.750 ||
|-
| || || || || || || 47\80 || 705.000 || 14 || 5 || 2.800 ||
|-
| || || 10\17 || || || || || 705.882 || 3 || 1 || 3.000 || L/s = 3/1
|-
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|-
| || || || || || 33\56 || || 707.143 || 10 || 3 || 3.333 ||
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| || || || 13\22 || || || || 709.091 || 4 || 1 || 4.000 || [[Archy]]-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 42\71 || 709.859 || 13 || 3 || 4.333 ||
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| || || || || || || 22\37 || 713.514 || 7 || 1 || 7.000 ||
|-
| 3\5 || || || || || || || 720.000 || 1 || 0 || → inf ||
|}
&lt;!--
Tunings above 7\12 on this chart are called "negative tunings" (as they lessen the size of the fifth) and include meantone systems such as 1/3-comma (close to 11\19) and 1/4-comma (close to 18\31). As these tunings approach 4\7, the majors become flatter and the minors become sharper.

Tunings below 7\12 on this chart are called "positive tunings" and they include Pythagorean tuning itself (well approximated by 31\53) as well as superpyth tunings such as 10\17 and 13\22. As these tunings approach 3\5, the majors become sharper and the minors become flatter. Around 13\22 through 16\27, the thirds fall closer to 7-limit than 5-limit intervals: 7:6 and 9:7 as opposed to 6:5 and 5:4.

[[File:5L2s.jpg|alt=5L2s.jpg|5L2s.jpg]]

5L 2s contains the pentatonic MOS [[2L_3s|2L 3s]] and (with the sole exception of the 5L 2s of 12EDO) is itself contained in a dodecaphonic MOS: either [[7L_5s|7L 5s]] or [[5L_7s|5L 7s]], depending on whether the fifth is flatter than or sharper than 7\12 (700c).--&gt;</text>
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      <timestamp>2021-07-01T02:58:43Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Inthar</username>
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      </contributor>
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| de = 5L 2s
| en = 5L 2s
| es = 
| ja = 
}}
&lt;!--{{Infobox MOS
| Name = diatonic
| Periods = 1
| nLargeSteps = 5
| nSmallSteps = 2
| Equalized = 4
| Paucitonic = 3
| Pattern = LLLsLLs
| Neutral = 3L 4s
}}
--&gt;
Eine mögliche Definition für die '''diatonische''' Skala ist als der durch das Übereinanderschichten von "Quinten" (bzw. "Quarten") erzeugte [[MOS|MOS-Skalentyp]] namens '''5L 2s''', also mit 5 großen Schritten und 2 kleinen Schritten. Das entsprechende Schrittmuster lautet LLLsLLs (wenn man die verschiedene Modi ignoriert).
== Generatorbereiche ==

== Modi ==
Die diatonischen Modi haben bekannte Namen aus der klassischen westlichen Musiktheorie: 

{| class="wikitable center-all"
|-
! Modus
! [[UDP-Notation|UDP]]
! Name
|-
| LLLsLLs
| &lt;nowiki&gt;6|0&lt;/nowiki&gt;
| Lydisch
|-
| LLsLLLs
| &lt;nowiki&gt;5|1&lt;/nowiki&gt;
| Ionisch
|-
| LLsLLsL
| &lt;nowiki&gt;4|2&lt;/nowiki&gt;
| Mixolydisch
|-
| LsLLLsL
| &lt;nowiki&gt;3|3&lt;/nowiki&gt;
| Dorisch
|-
| LsLLsLL
| &lt;nowiki&gt;2|4&lt;/nowiki&gt;
| Äolisch
|-
| sLLLsLL
| &lt;nowiki&gt;1|5&lt;/nowiki&gt;
| Phrygisch
|-
| sLLsLLL
| &lt;nowiki&gt;0|6&lt;/nowiki&gt;
| Lokrisch
|}
== Skalenbaum ==
Wenn man das Intervall 4\7 (vier Schritte von [[7-EDO]]) auf ein Ende setzt und 3\5 (drei Schritte von [[5-EDO]]) auf das andere, liegen alle andere möglichen 5L 2s-Skalen in einem Kontinuum zwischen den zweien Enden. Man kann dieses Kontinuum unterteilen, indem man die Zähler der beiden Endbrüche addiert und dann die Nenner addiert (diese Operation heißt die [[Mediant]]-Operation oder die Farey-Summe). Zwischen 4\7 und 3\5 entsteht also (4+3)\(7+5) = 7\12, also sieben Schritte von 12-EDO:

{| class="wikitable"
|-
| 4\7 || 
|-
| || 7\12
|-
| 3\5 ||
|}

Wenn man diese Mediant-Operation weiter ausführt, tauchen im Kontinuum größere EDOs auf. Also ist das resultierende diatonische [[Skalenbaum]] (bis zur Tiefe 6) wie folgt:

{| class="wikitable center-all"
! colspan="7" | Generator
! Cents
! L
! s
! L/s
! Comments
|-
| 4\7 || || || || || || || 685.714 || 1 || 1 || 1.000 ||
|-
| || || || || || || 27\47 || 689.362 || 7 || 6 || 1.167 ||
|-
| || || || || || 23\40 || || 690.000 || 6 || 5 || 1.200 ||
|-
| || || || || || || 42\73 || 690.411 || 11 || 9 || 1.222 ||
|-
| || || || || 19\33 || || || 690.909 || 5 || 4 || 1.250 ||
|-
| || || || || || || 53\92 || 691.304 || 14 || 11 || 1.273 ||
|-
| || || || || || 34\59 || || 691.525 || 9 || 7 || 1.286 ||
|-
| || || || || || || 49\85 || 691.765 || 13 || 10 || 1.300 ||
|-
| || || || 15\26 || || || || 692.308 || 4 || 3 || 1.333 ||
|-
| || || || || || || 56\97 || 692.784 || 15 || 11 || 1.364 ||
|-
| || || || || || 41\71 || || 692.958 || 11 || 8 || 1.375 ||
|-
| || || || || || || 67\116 || 693.103 || 18 || 13 || 1.385 ||
|-
| || || || || 26\45 || || || 693.333 || 7 || 5 || 1.400 ||
|-
| || || || || || || 63\109 || 693.578 || 17 || 12 || 1.417 ||
|-
| || || || || || 37\64 || || 693.750 || 10 || 7 || 1.429 ||
|-
| || || || || || || 48\83 || 693.976 || 13 || 9 || 1.444 ||
|-
| || || 11\19 || || || || || 694.737 || 3 || 2 || 1.500 || L/s = 3/2
|-
| || || || || || || 51\88 || 695.455 || 14 || 9 || 1.556 ||
|-
| || || || || || 40\69 || || 695.652 || 11 || 7 || 1.571 ||
|-
| || || || || || || 69\119 || 695.798 || 19 || 12 || 1.583 ||
|-
| || || || || 29\50 || || || 696.000 || 8 || 5 || 1.600 ||
|-
| || || || || || || 66\131 || 696.183 || 21 || |13 || 1.615 || Goldene mitteltönige Stimmung
|-
| || || || || || 47\81 || || 696.296 || 13 || 8 || 1.625 ||
|-
| || || || || || || 65\112 || 696.429 || 18 || 11 || 1.636 || 
|-
| || || || 18\31 || || || || 696.774 || 5 || 3 || 1.667 || Mitteltönige Stimmungen sind in diesem Generatorbereich
|-
| || || || || || || 61\105 || 697.143 || 17 || 10 || 1.700 ||
|-
| || || || || || 43\74 || || 697.297 || 12 || 7 || 1.714 ||
|-
| || || || || || || 68\117 || 697.436 || 19 || 11 || 1.727 ||
|-
| || || || || 25\43 || || || 697.674 || 7 || 4 || 1.750 ||
|-
| || || || || || || 57\98 || 697.959 || 16 || 9 || 1.778 ||
|-
| || || || || ||32\55 || || 698.182 || 9 || 5 || 1.800 ||
|-
| || || || || || || 39\67 || 698.507 || 11 || 6 || 1.833 ||
|-
| || 7\12 || || || || || || 700.000 || 2 || 1 || 2.000 || &lt;!--Basic diatonic&lt;br&gt;(Generators smaller than this are proper)--&gt;
|-
| || || || || || || 38\65 || 701.539 || 11 || 5 || 2.200 ||
|-
| || || || || || 31\53 || || 701.887 || 9 || 4 || 2.250 || Das EDO-Generatorintervall, das unter EDOs &lt;= 200 zum reinen [[3/2]] am nächsten ist
|-
| || || || || || || 55\94 || 702.128 || 16 || 7 || 2.286 ||
|-
| || || || || 24\41 || || || 702.409 || 7 || 3 || 2.333 ||
|-
| || || || || || || 65\111 || 702.703 || 19 || 8 || 2.375 ||
|-
| || || || || || 41\70 || || 702.857 || 12 || 5 || 2.400 ||
|-
| || || || || || || 58\99 || 703.030 || 17 || 7 || 2.428 ||
|-
| || || || 17\29 || || || || 703.448 || 5 || 2 || 2.500 ||
|-
| || || || || || || 61\104 || 703.846 || 18 || 7 || 2.571 ||
|-
| || || || || || 44\75 || || 704.000 || 13 || 5 || 2.600 ||
|-
| || || || || || || 71\121 || 704.132 || 21 || 8 || 2.625 || Goldene "Neogotisch"-Stimmung
|-
| || || || || 27\46 || || || 704.348 || 8 || 3 || 2.667 || "Neogotisch"-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 64\109 || 704.587 || 19 || 7 || 2.714 ||
|-
| || || || || || 37\63 || || 704.762 || 11 || 4 || 2.750 ||
|-
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|-
| || || 10\17 || || || || || 705.882 || 3 || 1 || 3.000 || L/s = 3/1
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| || || || 13\22 || || || || 709.091 || 4 || 1 || 4.000 || [[Archy]]-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 42\71 || 709.859 || 13 || 3 || 4.333 ||
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| 3\5 || || || || || || || 720.000 || 1 || 0 || → inf ||
|}
&lt;!--
Tunings above 7\12 on this chart are called "negative tunings" (as they lessen the size of the fifth) and include meantone systems such as 1/3-comma (close to 11\19) and 1/4-comma (close to 18\31). As these tunings approach 4\7, the majors become flatter and the minors become sharper.

Tunings below 7\12 on this chart are called "positive tunings" and they include Pythagorean tuning itself (well approximated by 31\53) as well as superpyth tunings such as 10\17 and 13\22. As these tunings approach 3\5, the majors become sharper and the minors become flatter. Around 13\22 through 16\27, the thirds fall closer to 7-limit than 5-limit intervals: 7:6 and 9:7 as opposed to 6:5 and 5:4.

[[File:5L2s.jpg|alt=5L2s.jpg|5L2s.jpg]]

5L 2s contains the pentatonic MOS [[2L_3s|2L 3s]] and (with the sole exception of the 5L 2s of 12EDO) is itself contained in a dodecaphonic MOS: either [[7L_5s|7L 5s]] or [[5L_7s|5L 7s]], depending on whether the fifth is flatter than or sharper than 7\12 (700c).--&gt;
== Temperaturen ==</text>
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        <username>Inthar</username>
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}}
&lt;!--{{Infobox MOS
| Name = diatonic
| Periods = 1
| nLargeSteps = 5
| nSmallSteps = 2
| Equalized = 4
| Paucitonic = 3
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| Neutral = 3L 4s
}}
--&gt;
Eine mögliche Definition für die '''diatonische''' Skala ist als der durch das Übereinanderschichten von "Quinten" (bzw. "Quarten") erzeugte [[MOS|MOS-Skalentyp]] namens '''5L 2s''', also mit 5 großen Schritten und 2 kleinen Schritten. Das entsprechende Schrittmuster lautet LLLsLLs (wenn man die verschiedene Modi ignoriert).
== Generatorbereiche ==

== Modi ==
Die diatonischen Modi haben bekannte Namen aus der klassischen westlichen Musiktheorie: 

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|-
! Modus
! [[UDP-Notation|UDP]]
! Name
|-
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|-
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| &lt;nowiki&gt;0|6&lt;/nowiki&gt;
| Lokrisch
|}
== Skalenbaum ==
Wenn man das Intervall 4\7 (vier Schritte von [[7-EDO]]) auf ein Ende setzt und 3\5 (drei Schritte von [[5-EDO]]) auf das andere, liegen alle andere möglichen 5L 2s-Skalen in einem Kontinuum zwischen den zweien Enden. Man kann dieses Kontinuum unterteilen, indem man die Zähler der beiden Endbrüche addiert und dann die Nenner addiert (diese Operation heißt die [[Mediant]]-Operation oder die Farey-Summe). Zwischen 4\7 und 3\5 entsteht also (4+3)\(7+5) = 7\12, also sieben Schritte von 12-EDO:

{| class="wikitable"
|-
| 4\7 || 
|-
| || 7\12
|-
| 3\5 ||
|}

Wenn man diese Mediant-Operation weiter ausführt, tauchen im Kontinuum größere EDOs auf. Also ist der resultierende diatonische [[Skalenbaum]] (bis zur Tiefe 6) wie folgt:

{| class="wikitable center-all"
! colspan="7" | Generator
! Cents
! L
! s
! L/s
! Comments
|-
| 4\7 || || || || || || || 685.714 || 1 || 1 || 1.000 ||
|-
| || || || || || || 27\47 || 689.362 || 7 || 6 || 1.167 ||
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|-
| || || || || || || 39\67 || 698.507 || 11 || 6 || 1.833 ||
|-
| || 7\12 || || || || || || 700.000 || 2 || 1 || 2.000 || &lt;!--Basic diatonic&lt;br&gt;(Generators smaller than this are proper)--&gt;
|-
| || || || || || || 38\65 || 701.539 || 11 || 5 || 2.200 ||
|-
| || || || || || 31\53 || || 701.887 || 9 || 4 || 2.250 || Das EDO-Generatorintervall, das unter EDOs &lt;= 200 zum reinen [[3/2]] am nächsten ist
|-
| || || || || || || 55\94 || 702.128 || 16 || 7 || 2.286 ||
|-
| || || || || 24\41 || || || 702.409 || 7 || 3 || 2.333 ||
|-
| || || || || || || 65\111 || 702.703 || 19 || 8 || 2.375 ||
|-
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|-
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|-
| || || || 17\29 || || || || 703.448 || 5 || 2 || 2.500 ||
|-
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|-
| || || || || || 44\75 || || 704.000 || 13 || 5 || 2.600 ||
|-
| || || || || || || 71\121 || 704.132 || 21 || 8 || 2.625 || Goldene "Neogotisch"-Stimmung
|-
| || || || || 27\46 || || || 704.348 || 8 || 3 || 2.667 || "Neogotisch"-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 64\109 || 704.587 || 19 || 7 || 2.714 ||
|-
| || || || || || 37\63 || || 704.762 || 11 || 4 || 2.750 ||
|-
| || || || || || || 47\80 || 705.000 || 14 || 5 || 2.800 ||
|-
| || || 10\17 || || || || || 705.882 || 3 || 1 || 3.000 || L/s = 3/1
|-
| || || || || || || 43\73 || 706.849 || 13 || 4 || 3.250 ||
|-
| || || || || || 33\56 || || 707.143 || 10 || 3 || 3.333 ||
|-
| || || || || || || 56\95 || 707.368 || 17 || 5 || 3.400 ||
|-
| || || || || 23\39 || || || 707.692 || 7 || 2 || 3.500 ||
|-
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|-
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|-
| || || || || || || 49\83 || 708.434 || 15 || 4 || 3.750 ||
|-
| || || || 13\22 || || || || 709.091 || 4 || 1 || 4.000 || [[Archy]]-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 42\71 || 709.859 || 13 || 3 || 4.333 ||
|-
| || || || || || 29\49 || || 710.204 || 9 || 2 || 4.500 ||
|-
| || || || || || || 45\76 || 710.526 || 14 || 3 || 4.667 ||
|-
| || || || || 16\27 || || || 711.111 || 5 || 1 || 5.000 ||
|-
| || || || || || || 35\59 || 711.864 || 11 || 2 || 5.500 ||
|-
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|-
| || || || || || || 22\37 || 713.514 || 7 || 1 || 7.000 ||
|-
| 3\5 || || || || || || || 720.000 || 1 || 0 || → inf ||
|}
&lt;!--
Tunings above 7\12 on this chart are called "negative tunings" (as they lessen the size of the fifth) and include meantone systems such as 1/3-comma (close to 11\19) and 1/4-comma (close to 18\31). As these tunings approach 4\7, the majors become flatter and the minors become sharper.

Tunings below 7\12 on this chart are called "positive tunings" and they include Pythagorean tuning itself (well approximated by 31\53) as well as superpyth tunings such as 10\17 and 13\22. As these tunings approach 3\5, the majors become sharper and the minors become flatter. Around 13\22 through 16\27, the thirds fall closer to 7-limit than 5-limit intervals: 7:6 and 9:7 as opposed to 6:5 and 5:4.

[[File:5L2s.jpg|alt=5L2s.jpg|5L2s.jpg]]

5L 2s contains the pentatonic MOS [[2L_3s|2L 3s]] and (with the sole exception of the 5L 2s of 12EDO) is itself contained in a dodecaphonic MOS: either [[7L_5s|7L 5s]] or [[5L_7s|5L 7s]], depending on whether the fifth is flatter than or sharper than 7\12 (700c).--&gt;

== Temperaturen ==</text>
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      <contributor>
        <username>Inthar</username>
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| de = 5L 2s
| en = 5L 2s
| es = 
| ja = 
}}
&lt;!--{{Infobox MOS
| Name = diatonic
| Periods = 1
| nLargeSteps = 5
| nSmallSteps = 2
| Equalized = 4
| Paucitonic = 3
| Pattern = LLLsLLs
| Neutral = 3L 4s
}}
--&gt;
Eine mögliche Definition für die '''diatonische''' Skala ist als der durch das Übereinanderschichten von "Quinten" (bzw. "Quarten") erzeugte [[MOS|MOS-Skalentyp]] namens '''5L 2s''', also mit 5 großen Schritten und 2 kleinen Schritten. Das entsprechende Schrittmuster lautet LLLsLLs (wenn man die verschiedene Modi ignoriert).
== Generatorbereiche ==

== Modi ==
Die diatonischen Modi haben bekannte Namen aus der klassischen westlichen Musiktheorie: 

{| class="wikitable center-all"
|-
! Modus
! [[UDP-Notation|UDP]]
! Name
|-
| LLLsLLs
| &lt;nowiki&gt;6|0&lt;/nowiki&gt;
| Lydisch
|-
| LLsLLLs
| &lt;nowiki&gt;5|1&lt;/nowiki&gt;
| Ionisch
|-
| LLsLLsL
| &lt;nowiki&gt;4|2&lt;/nowiki&gt;
| Mixolydisch
|-
| LsLLLsL
| &lt;nowiki&gt;3|3&lt;/nowiki&gt;
| Dorisch
|-
| LsLLsLL
| &lt;nowiki&gt;2|4&lt;/nowiki&gt;
| Äolisch
|-
| sLLLsLL
| &lt;nowiki&gt;1|5&lt;/nowiki&gt;
| Phrygisch
|-
| sLLsLLL
| &lt;nowiki&gt;0|6&lt;/nowiki&gt;
| Lokrisch
|}
== Skalenbaum ==
Wenn man das Intervall 4\7 (vier Schritte von [[7-EDO]]) auf ein Ende setzt und 3\5 (drei Schritte von [[5-EDO]]) auf das andere, liegen alle andere möglichen 5L-2s-Skalen in einem Kontinuum zwischen den zweien Enden. Man kann dieses Kontinuum unterteilen, indem man die Zähler der beiden Endbrüche addiert und dann die Nenner addiert (diese Operation heißt die [[Mediant]]-Operation oder die Farey-Summe). Zwischen 4\7 und 3\5 entsteht also (4+3)\(7+5) = 7\12, also sieben Schritte von 12-EDO:

{| class="wikitable"
|-
| 4\7 || 
|-
| || 7\12
|-
| 3\5 ||
|}

Wenn man diese Mediant-Operation weiter ausführt, tauchen im Kontinuum größere EDOs auf. Also ist der resultierende diatonische [[Skalenbaum]] (bis zur Tiefe 6) wie folgt:

{| class="wikitable center-all"
! colspan="7" | Generator
! Cents
! L
! s
! L/s
! Comments
|-
| 4\7 || || || || || || || 685.714 || 1 || 1 || 1.000 ||
|-
| || || || || || || 27\47 || 689.362 || 7 || 6 || 1.167 ||
|-
| || || || || || 23\40 || || 690.000 || 6 || 5 || 1.200 ||
|-
| || || || || || || 42\73 || 690.411 || 11 || 9 || 1.222 ||
|-
| || || || || 19\33 || || || 690.909 || 5 || 4 || 1.250 ||
|-
| || || || || || || 53\92 || 691.304 || 14 || 11 || 1.273 ||
|-
| || || || || || 34\59 || || 691.525 || 9 || 7 || 1.286 ||
|-
| || || || || || || 49\85 || 691.765 || 13 || 10 || 1.300 ||
|-
| || || || 15\26 || || || || 692.308 || 4 || 3 || 1.333 ||
|-
| || || || || || || 56\97 || 692.784 || 15 || 11 || 1.364 ||
|-
| || || || || || 41\71 || || 692.958 || 11 || 8 || 1.375 ||
|-
| || || || || || || 67\116 || 693.103 || 18 || 13 || 1.385 ||
|-
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|-
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|-
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|-
| || || || || || || 48\83 || 693.976 || 13 || 9 || 1.444 ||
|-
| || || 11\19 || || || || || 694.737 || 3 || 2 || 1.500 || L/s = 3/2
|-
| || || || || || || 51\88 || 695.455 || 14 || 9 || 1.556 ||
|-
| || || || || || 40\69 || || 695.652 || 11 || 7 || 1.571 ||
|-
| || || || || || || 69\119 || 695.798 || 19 || 12 || 1.583 ||
|-
| || || || || 29\50 || || || 696.000 || 8 || 5 || 1.600 ||
|-
| || || || || || || 66\131 || 696.183 || 21 || |13 || 1.615 || Goldene mitteltönige Stimmung
|-
| || || || || || 47\81 || || 696.296 || 13 || 8 || 1.625 ||
|-
| || || || || || || 65\112 || 696.429 || 18 || 11 || 1.636 || 
|-
| || || || 18\31 || || || || 696.774 || 5 || 3 || 1.667 || Mitteltönige Stimmungen sind in diesem Generatorbereich
|-
| || || || || || || 61\105 || 697.143 || 17 || 10 || 1.700 ||
|-
| || || || || || 43\74 || || 697.297 || 12 || 7 || 1.714 ||
|-
| || || || || || || 68\117 || 697.436 || 19 || 11 || 1.727 ||
|-
| || || || || 25\43 || || || 697.674 || 7 || 4 || 1.750 ||
|-
| || || || || || || 57\98 || 697.959 || 16 || 9 || 1.778 ||
|-
| || || || || ||32\55 || || 698.182 || 9 || 5 || 1.800 ||
|-
| || || || || || || 39\67 || 698.507 || 11 || 6 || 1.833 ||
|-
| || 7\12 || || || || || || 700.000 || 2 || 1 || 2.000 || &lt;!--Basic diatonic&lt;br&gt;(Generators smaller than this are proper)--&gt;
|-
| || || || || || || 38\65 || 701.539 || 11 || 5 || 2.200 ||
|-
| || || || || || 31\53 || || 701.887 || 9 || 4 || 2.250 || Das EDO-Generatorintervall, das unter EDOs &lt;= 200 zum reinen [[3/2]] am nächsten ist
|-
| || || || || || || 55\94 || 702.128 || 16 || 7 || 2.286 ||
|-
| || || || || 24\41 || || || 702.409 || 7 || 3 || 2.333 ||
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| || || || || || || 71\121 || 704.132 || 21 || 8 || 2.625 || Goldene "Neogotisch"-Stimmung
|-
| || || || || 27\46 || || || 704.348 || 8 || 3 || 2.667 || "Neogotisch"-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 64\109 || 704.587 || 19 || 7 || 2.714 ||
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| || || || 13\22 || || || || 709.091 || 4 || 1 || 4.000 || [[Archy]]-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 42\71 || 709.859 || 13 || 3 || 4.333 ||
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| || || || || || || 22\37 || 713.514 || 7 || 1 || 7.000 ||
|-
| 3\5 || || || || || || || 720.000 || 1 || 0 || → inf ||
|}
&lt;!--
Tunings above 7\12 on this chart are called "negative tunings" (as they lessen the size of the fifth) and include meantone systems such as 1/3-comma (close to 11\19) and 1/4-comma (close to 18\31). As these tunings approach 4\7, the majors become flatter and the minors become sharper.

Tunings below 7\12 on this chart are called "positive tunings" and they include Pythagorean tuning itself (well approximated by 31\53) as well as superpyth tunings such as 10\17 and 13\22. As these tunings approach 3\5, the majors become sharper and the minors become flatter. Around 13\22 through 16\27, the thirds fall closer to 7-limit than 5-limit intervals: 7:6 and 9:7 as opposed to 6:5 and 5:4.

[[File:5L2s.jpg|alt=5L2s.jpg|5L2s.jpg]]

5L 2s contains the pentatonic MOS [[2L_3s|2L 3s]] and (with the sole exception of the 5L 2s of 12EDO) is itself contained in a dodecaphonic MOS: either [[7L_5s|7L 5s]] or [[5L_7s|5L 7s]], depending on whether the fifth is flatter than or sharper than 7\12 (700c).--&gt;

== Temperaturen ==</text>
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      <contributor>
        <username>Inthar</username>
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      <minor/>
      <comment>Inthar verschob die Seite [[5L 2s]] nach [[5L2s]]: Bei "5L 2s" benötigt man den Bindestrich in z. B. "5L-2s-Skala" und bei Skalen mit anderen "Äquaven" sieht "2L3s&lt;3/2&gt;" besser aus als "2L 3s&lt;3/2&gt;". Ich glaube, wir können uns die Freiheit nehmen, andere Konventionen als im englischen Wiki zu haben.</comment>
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| de = 5L 2s
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}}
&lt;!--{{Infobox MOS
| Name = diatonic
| Periods = 1
| nLargeSteps = 5
| nSmallSteps = 2
| Equalized = 4
| Paucitonic = 3
| Pattern = LLLsLLs
| Neutral = 3L 4s
}}
--&gt;
Eine mögliche Definition für die '''diatonische''' Skala ist als der durch das Übereinanderschichten von "Quinten" (bzw. "Quarten") erzeugte [[MOS|MOS-Skalentyp]] namens '''5L 2s''', also mit 5 großen Schritten und 2 kleinen Schritten. Das entsprechende Schrittmuster lautet LLLsLLs (wenn man die verschiedene Modi ignoriert).
== Generatorbereiche ==

== Modi ==
Die diatonischen Modi haben bekannte Namen aus der klassischen westlichen Musiktheorie: 

{| class="wikitable center-all"
|-
! Modus
! [[UDP-Notation|UDP]]
! Name
|-
| LLLsLLs
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| Lydisch
|-
| LLsLLLs
| &lt;nowiki&gt;5|1&lt;/nowiki&gt;
| Ionisch
|-
| LLsLLsL
| &lt;nowiki&gt;4|2&lt;/nowiki&gt;
| Mixolydisch
|-
| LsLLLsL
| &lt;nowiki&gt;3|3&lt;/nowiki&gt;
| Dorisch
|-
| LsLLsLL
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| Äolisch
|-
| sLLLsLL
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| Phrygisch
|-
| sLLsLLL
| &lt;nowiki&gt;0|6&lt;/nowiki&gt;
| Lokrisch
|}
== Skalenbaum ==
Wenn man das Intervall 4\7 (vier Schritte von [[7-EDO]]) auf ein Ende setzt und 3\5 (drei Schritte von [[5-EDO]]) auf das andere, liegen alle andere möglichen 5L-2s-Skalen in einem Kontinuum zwischen den zweien Enden. Man kann dieses Kontinuum unterteilen, indem man die Zähler der beiden Endbrüche addiert und dann die Nenner addiert (diese Operation heißt die [[Mediant]]-Operation oder die Farey-Summe). Zwischen 4\7 und 3\5 entsteht also (4+3)\(7+5) = 7\12, also sieben Schritte von 12-EDO:

{| class="wikitable"
|-
| 4\7 || 
|-
| || 7\12
|-
| 3\5 ||
|}

Wenn man diese Mediant-Operation weiter ausführt, tauchen im Kontinuum größere EDOs auf. Also ist der resultierende diatonische [[Skalenbaum]] (bis zur Tiefe 6) wie folgt:

{| class="wikitable center-all"
! colspan="7" | Generator
! Cents
! L
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! L/s
! Comments
|-
| 4\7 || || || || || || || 685.714 || 1 || 1 || 1.000 ||
|-
| || || || || || || 27\47 || 689.362 || 7 || 6 || 1.167 ||
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|-
| || || 11\19 || || || || || 694.737 || 3 || 2 || 1.500 || L/s = 3/2
|-
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|-
| || || || || || 40\69 || || 695.652 || 11 || 7 || 1.571 ||
|-
| || || || || || || 69\119 || 695.798 || 19 || 12 || 1.583 ||
|-
| || || || || 29\50 || || || 696.000 || 8 || 5 || 1.600 ||
|-
| || || || || || || 66\131 || 696.183 || 21 || |13 || 1.615 || Goldene mitteltönige Stimmung
|-
| || || || || || 47\81 || || 696.296 || 13 || 8 || 1.625 ||
|-
| || || || || || || 65\112 || 696.429 || 18 || 11 || 1.636 || 
|-
| || || || 18\31 || || || || 696.774 || 5 || 3 || 1.667 || Mitteltönige Stimmungen sind in diesem Generatorbereich
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| || 7\12 || || || || || || 700.000 || 2 || 1 || 2.000 || &lt;!--Basic diatonic&lt;br&gt;(Generators smaller than this are proper)--&gt;
|-
| || || || || || || 38\65 || 701.539 || 11 || 5 || 2.200 ||
|-
| || || || || || 31\53 || || 701.887 || 9 || 4 || 2.250 || Das EDO-Generatorintervall, das unter EDOs &lt;= 200 zum reinen [[3/2]] am nächsten ist
|-
| || || || || || || 55\94 || 702.128 || 16 || 7 || 2.286 ||
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| || || || || 27\46 || || || 704.348 || 8 || 3 || 2.667 || "Neogotisch"-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 64\109 || 704.587 || 19 || 7 || 2.714 ||
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| || || || 13\22 || || || || 709.091 || 4 || 1 || 4.000 || [[Archy]]-Generatorbereich
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| 3\5 || || || || || || || 720.000 || 1 || 0 || → inf ||
|}
&lt;!--
Tunings above 7\12 on this chart are called "negative tunings" (as they lessen the size of the fifth) and include meantone systems such as 1/3-comma (close to 11\19) and 1/4-comma (close to 18\31). As these tunings approach 4\7, the majors become flatter and the minors become sharper.

Tunings below 7\12 on this chart are called "positive tunings" and they include Pythagorean tuning itself (well approximated by 31\53) as well as superpyth tunings such as 10\17 and 13\22. As these tunings approach 3\5, the majors become sharper and the minors become flatter. Around 13\22 through 16\27, the thirds fall closer to 7-limit than 5-limit intervals: 7:6 and 9:7 as opposed to 6:5 and 5:4.

[[File:5L2s.jpg|alt=5L2s.jpg|5L2s.jpg]]

5L 2s contains the pentatonic MOS [[2L_3s|2L 3s]] and (with the sole exception of the 5L 2s of 12EDO) is itself contained in a dodecaphonic MOS: either [[7L_5s|7L 5s]] or [[5L_7s|5L 7s]], depending on whether the fifth is flatter than or sharper than 7\12 (700c).--&gt;

== Temperaturen ==</text>
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      <contributor>
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| de = 5L 2s
| en = 5L 2s
| es = 
| ja = 
}}
&lt;!--{{Infobox MOS
| Name = diatonic
| Periods = 1
| nLargeSteps = 5
| nSmallSteps = 2
| Equalized = 4
| Paucitonic = 3
| Pattern = LLLsLLs
| Neutral = 3L 4s
}}
--&gt;
Eine mögliche Definition für die '''diatonische''' Skala ist als der durch das Übereinanderschichten von "Quinten" (bzw. "Quarten") erzeugte [[MOS|MOS-Skalentyp]] namens '''5L2s''', also mit 5 großen Schritten und 2 kleinen Schritten. Das entsprechende Schrittmuster lautet LLLsLLs (wenn man die verschiedene Modi ignoriert).

== Generatorbereiche ==

== Modi ==
Die diatonischen Modi haben bekannte Namen aus der klassischen westlichen Musiktheorie: 

{| class="wikitable center-all"
|-
! Modus
! [[UDP-Notation|UDP]]
! Name
|-
| LLLsLLs
| &lt;nowiki&gt;6|0&lt;/nowiki&gt;
| Lydisch
|-
| LLsLLLs
| &lt;nowiki&gt;5|1&lt;/nowiki&gt;
| Ionisch
|-
| LLsLLsL
| &lt;nowiki&gt;4|2&lt;/nowiki&gt;
| Mixolydisch
|-
| LsLLLsL
| &lt;nowiki&gt;3|3&lt;/nowiki&gt;
| Dorisch
|-
| LsLLsLL
| &lt;nowiki&gt;2|4&lt;/nowiki&gt;
| Äolisch
|-
| sLLLsLL
| &lt;nowiki&gt;1|5&lt;/nowiki&gt;
| Phrygisch
|-
| sLLsLLL
| &lt;nowiki&gt;0|6&lt;/nowiki&gt;
| Lokrisch
|}
== Skalenbaum ==
Wenn man das Intervall 4\7 (vier Schritte von [[7-EDO]]) auf ein Ende setzt und 3\5 (drei Schritte von [[5-EDO]]) auf das andere, liegen alle andere möglichen 5L-2s-Skalen in einem Kontinuum zwischen den zweien Enden. Man kann dieses Kontinuum unterteilen, indem man die Zähler der beiden Endbrüche addiert und dann die Nenner addiert (diese Operation heißt die [[Mediant]]-Operation oder die Farey-Summe). Zwischen 4\7 und 3\5 entsteht also (4+3)\(7+5) = 7\12, also sieben Schritte von 12-EDO:

{| class="wikitable"
|-
| 4\7 || 
|-
| || 7\12
|-
| 3\5 ||
|}

Wenn man diese Mediant-Operation weiter ausführt, tauchen im Kontinuum größere EDOs auf. Also ist der resultierende diatonische [[Skalenbaum]] (bis zur Tiefe 6) wie folgt:

{| class="wikitable center-all"
! colspan="7" | Generator
! Cents
! L
! s
! L/s
! Comments
|-
| 4\7 || || || || || || || 685.714 || 1 || 1 || 1.000 ||
|-
| || || || || || || 27\47 || 689.362 || 7 || 6 || 1.167 ||
|-
| || || || || || 23\40 || || 690.000 || 6 || 5 || 1.200 ||
|-
| || || || || || || 42\73 || 690.411 || 11 || 9 || 1.222 ||
|-
| || || || || 19\33 || || || 690.909 || 5 || 4 || 1.250 ||
|-
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|-
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|-
| || || || || || || 49\85 || 691.765 || 13 || 10 || 1.300 ||
|-
| || || || 15\26 || || || || 692.308 || 4 || 3 || 1.333 ||
|-
| || || || || || || 56\97 || 692.784 || 15 || 11 || 1.364 ||
|-
| || || || || || 41\71 || || 692.958 || 11 || 8 || 1.375 ||
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| || || || || || 47\81 || || 696.296 || 13 || 8 || 1.625 ||
|-
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|-
| || || || 18\31 || || || || 696.774 || 5 || 3 || 1.667 || Mitteltönige Stimmungen sind in diesem Generatorbereich
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| || 7\12 || || || || || || 700.000 || 2 || 1 || 2.000 || &lt;!--Basic diatonic&lt;br&gt;(Generators smaller than this are proper)--&gt;
|-
| || || || || || || 38\65 || 701.539 || 11 || 5 || 2.200 ||
|-
| || || || || || 31\53 || || 701.887 || 9 || 4 || 2.250 || Das EDO-Generatorintervall, das unter EDOs &lt;= 200 zum reinen [[3/2]] am nächsten ist
|-
| || || || || || || 55\94 || 702.128 || 16 || 7 || 2.286 ||
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|-
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|-
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|-
| || || || || || || 71\121 || 704.132 || 21 || 8 || 2.625 || Goldene "Neogotisch"-Stimmung
|-
| || || || || 27\46 || || || 704.348 || 8 || 3 || 2.667 || "Neogotisch"-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 64\109 || 704.587 || 19 || 7 || 2.714 ||
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|-
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| 3\5 || || || || || || || 720.000 || 1 || 0 || → inf ||
|}
&lt;!--
Tunings above 7\12 on this chart are called "negative tunings" (as they lessen the size of the fifth) and include meantone systems such as 1/3-comma (close to 11\19) and 1/4-comma (close to 18\31). As these tunings approach 4\7, the majors become flatter and the minors become sharper.

Tunings below 7\12 on this chart are called "positive tunings" and they include Pythagorean tuning itself (well approximated by 31\53) as well as superpyth tunings such as 10\17 and 13\22. As these tunings approach 3\5, the majors become sharper and the minors become flatter. Around 13\22 through 16\27, the thirds fall closer to 7-limit than 5-limit intervals: 7:6 and 9:7 as opposed to 6:5 and 5:4.

[[File:5L2s.jpg|alt=5L2s.jpg|5L2s.jpg]]

5L 2s contains the pentatonic MOS [[2L_3s|2L 3s]] and (with the sole exception of the 5L 2s of 12EDO) is itself contained in a dodecaphonic MOS: either [[7L_5s|7L 5s]] or [[5L_7s|5L 7s]], depending on whether the fifth is flatter than or sharper than 7\12 (700c).--&gt;

== Temperaturen ==</text>
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| de = 5L 2s
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}}
&lt;!--{{Infobox MOS
| Name = diatonic
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| nSmallSteps = 2
| Equalized = 4
| Paucitonic = 3
| Pattern = LLLsLLs
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}}
--&gt;
Eine mögliche Definition für die '''diatonische''' Skala ist als der durch das Übereinanderschichten von "Quinten" (bzw. "Quarten") erzeugte [[MOS|MOS-Skalentyp]] namens '''5L2s''', also mit 5 großen Schritten und 2 kleinen Schritten. Das entsprechende Schrittmuster lautet LLLsLLs (wenn man die verschiedene Modi ignoriert).

== Generatorbereiche ==

== Modi ==
Die diatonischen Modi haben bekannte Namen aus der klassischen westlichen Musiktheorie: 

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|-
! Modus
! [[UDP-Notation|UDP]]
! Name
|-
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| Lydisch
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|-
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|-
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|-
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| Phrygisch
|-
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| Lokrisch
|}
== Skalenbaum ==
Wenn man das Intervall 4\7 (vier Schritte von [[7-EDO]]) auf ein Ende setzt und 3\5 (drei Schritte von [[5-EDO]]) auf das andere, liegen alle andere möglichen 5L2s-Skalen in einem Kontinuum zwischen den zweien Enden. Man kann dieses Kontinuum unterteilen, indem man die Zähler der beiden Endbrüche addiert und dann die Nenner addiert (diese Operation heißt die [[Mediant]]-Operation oder die Farey-Summe). Zwischen 4\7 und 3\5 entsteht also (4+3)\(7+5) = 7\12, also sieben Schritte von 12-EDO:

{| class="wikitable"
|-
| 4\7 || 
|-
| || 7\12
|-
| 3\5 ||
|}

Wenn man diese Mediant-Operation weiter ausführt, tauchen im Kontinuum größere EDOs auf. Also ist der resultierende diatonische [[Skalenbaum]] (bis zur Tiefe 6) wie folgt:

{| class="wikitable center-all"
! colspan="7" | Generator
! Cents
! L
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! Comments
|-
| 4\7 || || || || || || || 685.714 || 1 || 1 || 1.000 ||
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|-
| || || || || || 23\40 || || 690.000 || 6 || 5 || 1.200 ||
|-
| || || || || || || 42\73 || 690.411 || 11 || 9 || 1.222 ||
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| || || || || || || 51\88 || 695.455 || 14 || 9 || 1.556 ||
|-
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|-
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|-
| || || || || 29\50 || || || 696.000 || 8 || 5 || 1.600 ||
|-
| || || || || || || 66\131 || 696.183 || 21 || |13 || 1.615 || Goldene mitteltönige Stimmung
|-
| || || || || || 47\81 || || 696.296 || 13 || 8 || 1.625 ||
|-
| || || || || || || 65\112 || 696.429 || 18 || 11 || 1.636 || 
|-
| || || || 18\31 || || || || 696.774 || 5 || 3 || 1.667 || Mitteltönige Stimmungen sind in diesem Generatorbereich
|-
| || || || || || || 61\105 || 697.143 || 17 || 10 || 1.700 ||
|-
| || || || || || 43\74 || || 697.297 || 12 || 7 || 1.714 ||
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| || 7\12 || || || || || || 700.000 || 2 || 1 || 2.000 || &lt;!--Basic diatonic&lt;br&gt;(Generators smaller than this are proper)--&gt;
|-
| || || || || || || 38\65 || 701.539 || 11 || 5 || 2.200 ||
|-
| || || || || || 31\53 || || 701.887 || 9 || 4 || 2.250 || Das EDO-Generatorintervall, das unter EDOs &lt;= 200 zum reinen [[3/2]] am nächsten ist
|-
| || || || || || || 55\94 || 702.128 || 16 || 7 || 2.286 ||
|-
| || || || || 24\41 || || || 702.409 || 7 || 3 || 2.333 ||
|-
| || || || || || || 65\111 || 702.703 || 19 || 8 || 2.375 ||
|-
| || || || || || 41\70 || || 702.857 || 12 || 5 || 2.400 ||
|-
| || || || || || || 58\99 || 703.030 || 17 || 7 || 2.428 ||
|-
| || || || 17\29 || || || || 703.448 || 5 || 2 || 2.500 ||
|-
| || || || || || || 61\104 || 703.846 || 18 || 7 || 2.571 ||
|-
| || || || || || 44\75 || || 704.000 || 13 || 5 || 2.600 ||
|-
| || || || || || || 71\121 || 704.132 || 21 || 8 || 2.625 || Goldene "Neogotisch"-Stimmung
|-
| || || || || 27\46 || || || 704.348 || 8 || 3 || 2.667 || "Neogotisch"-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 64\109 || 704.587 || 19 || 7 || 2.714 ||
|-
| || || || || || 37\63 || || 704.762 || 11 || 4 || 2.750 ||
|-
| || || || || || || 47\80 || 705.000 || 14 || 5 || 2.800 ||
|-
| || || 10\17 || || || || || 705.882 || 3 || 1 || 3.000 || L/s = 3/1
|-
| || || || || || || 43\73 || 706.849 || 13 || 4 || 3.250 ||
|-
| || || || || || 33\56 || || 707.143 || 10 || 3 || 3.333 ||
|-
| || || || || || || 56\95 || 707.368 || 17 || 5 || 3.400 ||
|-
| || || || || 23\39 || || || 707.692 || 7 || 2 || 3.500 ||
|-
| || || || || || || 59\100 || 708.000 || 18 || 5 || 3.600 ||
|-
| || || || || || 36\61 || || 708.197 || 11 || 3 || 3.667 ||
|-
| || || || || || || 49\83 || 708.434 || 15 || 4 || 3.750 ||
|-
| || || || 13\22 || || || || 709.091 || 4 || 1 || 4.000 || [[Archy]]-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 42\71 || 709.859 || 13 || 3 || 4.333 ||
|-
| || || || || || 29\49 || || 710.204 || 9 || 2 || 4.500 ||
|-
| || || || || || || 45\76 || 710.526 || 14 || 3 || 4.667 ||
|-
| || || || || 16\27 || || || 711.111 || 5 || 1 || 5.000 ||
|-
| || || || || || || 35\59 || 711.864 || 11 || 2 || 5.500 ||
|-
| || || || || || 19\32 || || 712.500 || 6 || 1 || 6.000 ||
|-
| || || || || || || 22\37 || 713.514 || 7 || 1 || 7.000 ||
|-
| 3\5 || || || || || || || 720.000 || 1 || 0 || → inf ||
|}
&lt;!--
Tunings above 7\12 on this chart are called "negative tunings" (as they lessen the size of the fifth) and include meantone systems such as 1/3-comma (close to 11\19) and 1/4-comma (close to 18\31). As these tunings approach 4\7, the majors become flatter and the minors become sharper.

Tunings below 7\12 on this chart are called "positive tunings" and they include Pythagorean tuning itself (well approximated by 31\53) as well as superpyth tunings such as 10\17 and 13\22. As these tunings approach 3\5, the majors become sharper and the minors become flatter. Around 13\22 through 16\27, the thirds fall closer to 7-limit than 5-limit intervals: 7:6 and 9:7 as opposed to 6:5 and 5:4.

[[File:5L2s.jpg|alt=5L2s.jpg|5L2s.jpg]]

5L 2s contains the pentatonic MOS [[2L_3s|2L 3s]] and (with the sole exception of the 5L 2s of 12EDO) is itself contained in a dodecaphonic MOS: either [[7L_5s|7L 5s]] or [[5L_7s|5L 7s]], depending on whether the fifth is flatter than or sharper than 7\12 (700c).--&gt;

== Temperaturen ==</text>
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      <timestamp>2021-07-01T03:25:26Z</timestamp>
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        <username>Inthar</username>
        <id>9</id>
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      <text bytes="7392" sha1="11m3bf27uqyfods4a03veetdyqne7pc" xml:space="preserve">{{interwiki
| de = 5L2s
| en = 5L 2s
| es = 
| ja = 
}}
&lt;!--{{Infobox MOS
| Name = diatonic
| Periods = 1
| nLargeSteps = 5
| nSmallSteps = 2
| Equalized = 4
| Paucitonic = 3
| Pattern = LLLsLLs
| Neutral = 3L 4s
}}
--&gt;
Eine mögliche Definition für die '''diatonische''' Skala ist als der durch das Übereinanderschichten von "Quinten" (bzw. "Quarten") erzeugte [[MOS|MOS-Skalentyp]] namens '''5L2s''', also mit 5 großen Schritten und 2 kleinen Schritten. Das entsprechende Schrittmuster lautet LLLsLLs (wenn man die verschiedene Modi ignoriert).

== Generatorbereiche ==

== Modi ==
Die diatonischen Modi haben bekannte Namen aus der klassischen westlichen Musiktheorie: 

{| class="wikitable center-all"
|-
! Modus
! [[UDP-Notation|UDP]]
! Name
|-
| LLLsLLs
| &lt;nowiki&gt;6|0&lt;/nowiki&gt;
| Lydisch
|-
| LLsLLLs
| &lt;nowiki&gt;5|1&lt;/nowiki&gt;
| Ionisch
|-
| LLsLLsL
| &lt;nowiki&gt;4|2&lt;/nowiki&gt;
| Mixolydisch
|-
| LsLLLsL
| &lt;nowiki&gt;3|3&lt;/nowiki&gt;
| Dorisch
|-
| LsLLsLL
| &lt;nowiki&gt;2|4&lt;/nowiki&gt;
| Äolisch
|-
| sLLLsLL
| &lt;nowiki&gt;1|5&lt;/nowiki&gt;
| Phrygisch
|-
| sLLsLLL
| &lt;nowiki&gt;0|6&lt;/nowiki&gt;
| Lokrisch
|}
== Skalenbaum ==
Wenn man das Intervall 4\7 (vier Schritte von [[7-EDO]]) auf ein Ende setzt und 3\5 (drei Schritte von [[5-EDO]]) auf das andere, liegen alle andere möglichen 5L2s-Skalen in einem Kontinuum zwischen den zweien Enden. Man kann dieses Kontinuum unterteilen, indem man die Zähler der beiden Endbrüche addiert und dann die Nenner addiert (diese Operation heißt die [[Mediant]]-Operation oder die Farey-Summe). Zwischen 4\7 und 3\5 entsteht also (4+3)\(7+5) = 7\12, also sieben Schritte von 12-EDO:

{| class="wikitable"
|-
| 4\7 || 
|-
| || 7\12
|-
| 3\5 ||
|}

Wenn man diese Mediant-Operation weiter ausführt, tauchen im Kontinuum größere EDOs auf. Also ist der resultierende diatonische [[Skalenbaum]] (bis zur Tiefe 6) wie folgt:

{| class="wikitable center-all"
! colspan="7" | Generator
! Cents
! L
! s
! L/s
! Comments
|-
| 4\7 || || || || || || || 685.714 || 1 || 1 || 1.000 ||
|-
| || || || || || || 27\47 || 689.362 || 7 || 6 || 1.167 ||
|-
| || || || || || 23\40 || || 690.000 || 6 || 5 || 1.200 ||
|-
| || || || || || || 42\73 || 690.411 || 11 || 9 || 1.222 ||
|-
| || || || || 19\33 || || || 690.909 || 5 || 4 || 1.250 ||
|-
| || || || || || || 53\92 || 691.304 || 14 || 11 || 1.273 ||
|-
| || || || || || 34\59 || || 691.525 || 9 || 7 || 1.286 ||
|-
| || || || || || || 49\85 || 691.765 || 13 || 10 || 1.300 ||
|-
| || || || 15\26 || || || || 692.308 || 4 || 3 || 1.333 ||
|-
| || || || || || || 56\97 || 692.784 || 15 || 11 || 1.364 ||
|-
| || || || || || 41\71 || || 692.958 || 11 || 8 || 1.375 ||
|-
| || || || || || || 67\116 || 693.103 || 18 || 13 || 1.385 ||
|-
| || || || || 26\45 || || || 693.333 || 7 || 5 || 1.400 ||
|-
| || || || || || || 63\109 || 693.578 || 17 || 12 || 1.417 ||
|-
| || || || || || 37\64 || || 693.750 || 10 || 7 || 1.429 ||
|-
| || || || || || || 48\83 || 693.976 || 13 || 9 || 1.444 ||
|-
| || || 11\19 || || || || || 694.737 || 3 || 2 || 1.500 || L/s = 3/2
|-
| || || || || || || 51\88 || 695.455 || 14 || 9 || 1.556 ||
|-
| || || || || || 40\69 || || 695.652 || 11 || 7 || 1.571 ||
|-
| || || || || || || 69\119 || 695.798 || 19 || 12 || 1.583 ||
|-
| || || || || 29\50 || || || 696.000 || 8 || 5 || 1.600 ||
|-
| || || || || || || 66\131 || 696.183 || 21 || |13 || 1.615 || Goldene mitteltönige Stimmung
|-
| || || || || || 47\81 || || 696.296 || 13 || 8 || 1.625 ||
|-
| || || || || || || 65\112 || 696.429 || 18 || 11 || 1.636 || 
|-
| || || || 18\31 || || || || 696.774 || 5 || 3 || 1.667 || Mitteltönige Stimmungen sind in diesem Generatorbereich
|-
| || || || || || || 61\105 || 697.143 || 17 || 10 || 1.700 ||
|-
| || || || || || 43\74 || || 697.297 || 12 || 7 || 1.714 ||
|-
| || || || || || || 68\117 || 697.436 || 19 || 11 || 1.727 ||
|-
| || || || || 25\43 || || || 697.674 || 7 || 4 || 1.750 ||
|-
| || || || || || || 57\98 || 697.959 || 16 || 9 || 1.778 ||
|-
| || || || || ||32\55 || || 698.182 || 9 || 5 || 1.800 ||
|-
| || || || || || || 39\67 || 698.507 || 11 || 6 || 1.833 ||
|-
| || 7\12 || || || || || || 700.000 || 2 || 1 || 2.000 || &lt;!--Basic diatonic&lt;br&gt;(Generators smaller than this are proper)--&gt;
|-
| || || || || || || 38\65 || 701.539 || 11 || 5 || 2.200 ||
|-
| || || || || || 31\53 || || 701.887 || 9 || 4 || 2.250 || Das EDO-Generatorintervall, das unter EDOs &lt;= 200 zum reinen [[3/2]] am nächsten ist
|-
| || || || || || || 55\94 || 702.128 || 16 || 7 || 2.286 ||
|-
| || || || || 24\41 || || || 702.409 || 7 || 3 || 2.333 ||
|-
| || || || || || || 65\111 || 702.703 || 19 || 8 || 2.375 ||
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| || || || || || 44\75 || || 704.000 || 13 || 5 || 2.600 ||
|-
| || || || || || || 71\121 || 704.132 || 21 || 8 || 2.625 || Goldene "Neogotisch"-Stimmung
|-
| || || || || 27\46 || || || 704.348 || 8 || 3 || 2.667 || "Neogotisch"-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 64\109 || 704.587 || 19 || 7 || 2.714 ||
|-
| || || || || || 37\63 || || 704.762 || 11 || 4 || 2.750 ||
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| || || || 13\22 || || || || 709.091 || 4 || 1 || 4.000 || [[Archy]]-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 42\71 || 709.859 || 13 || 3 || 4.333 ||
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| || || || || || || 22\37 || 713.514 || 7 || 1 || 7.000 ||
|-
| 3\5 || || || || || || || 720.000 || 1 || 0 || → inf ||
|}
&lt;!--
Tunings above 7\12 on this chart are called "negative tunings" (as they lessen the size of the fifth) and include meantone systems such as 1/3-comma (close to 11\19) and 1/4-comma (close to 18\31). As these tunings approach 4\7, the majors become flatter and the minors become sharper.

Tunings below 7\12 on this chart are called "positive tunings" and they include Pythagorean tuning itself (well approximated by 31\53) as well as superpyth tunings such as 10\17 and 13\22. As these tunings approach 3\5, the majors become sharper and the minors become flatter. Around 13\22 through 16\27, the thirds fall closer to 7-limit than 5-limit intervals: 7:6 and 9:7 as opposed to 6:5 and 5:4.

[[File:5L2s.jpg|alt=5L2s.jpg|5L2s.jpg]]

5L 2s contains the pentatonic MOS [[2L_3s|2L 3s]] and (with the sole exception of the 5L 2s of 12EDO) is itself contained in a dodecaphonic MOS: either [[7L_5s|7L 5s]] or [[5L_7s|5L 7s]], depending on whether the fifth is flatter than or sharper than 7\12 (700c).--&gt;

== Temperaturen ==</text>
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        <username>Inthar</username>
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      <comment>/* Skalenbaum */</comment>
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| de = 5L2s
| en = 5L 2s
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| ja = 
}}
&lt;!--{{Infobox MOS
| Name = diatonic
| Periods = 1
| nLargeSteps = 5
| nSmallSteps = 2
| Equalized = 4
| Paucitonic = 3
| Pattern = LLLsLLs
| Neutral = 3L 4s
}}
--&gt;
Eine mögliche Definition für die '''diatonische''' Skala ist als der durch das Übereinanderschichten von "Quinten" (bzw. "Quarten") erzeugte [[MOS|MOS-Skalentyp]] namens '''5L2s''', also mit 5 großen Schritten und 2 kleinen Schritten. Das entsprechende Schrittmuster lautet LLLsLLs (wenn man die verschiedene Modi ignoriert).

== Generatorbereiche ==

== Modi ==
Die diatonischen Modi haben bekannte Namen aus der klassischen westlichen Musiktheorie: 

{| class="wikitable center-all"
|-
! Modus
! [[UDP-Notation|UDP]]
! Name
|-
| LLLsLLs
| &lt;nowiki&gt;6|0&lt;/nowiki&gt;
| Lydisch
|-
| LLsLLLs
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|-
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| Mixolydisch
|-
| LsLLLsL
| &lt;nowiki&gt;3|3&lt;/nowiki&gt;
| Dorisch
|-
| LsLLsLL
| &lt;nowiki&gt;2|4&lt;/nowiki&gt;
| Äolisch
|-
| sLLLsLL
| &lt;nowiki&gt;1|5&lt;/nowiki&gt;
| Phrygisch
|-
| sLLsLLL
| &lt;nowiki&gt;0|6&lt;/nowiki&gt;
| Lokrisch
|}
== Skalenbaum ==
Wenn man das Intervall 4\7 (vier Schritte von [[7-EDO]]) auf ein Ende setzt und 3\5 (drei Schritte von [[5-EDO]]) auf das andere, liegen alle andere möglichen 5L2s-Skalen in einem Kontinuum zwischen den zweien Enden. Man kann dieses Kontinuum unterteilen, indem man die Zähler der beiden Endbrüche addiert und dann die Nenner addiert (diese Operation heißt die [[Mediant]]-Operation oder die Farey-Summe). Zwischen 4\7 und 3\5 entsteht also (4+3)\(7+5) = 7\12, also sieben Schritte von 12-EDO:

{| class="wikitable"
|-
| 4\7 || 
|-
| || 7\12
|-
| 3\5 ||
|}

Wenn man diese Mediant-Operation weiter ausführt, tauchen im Kontinuum größere EDOs auf. Also ist der resultierende diatonische [[Skalenbaum]] (bis zur Tiefe 6) wie folgt:

{| class="wikitable center-all"
! colspan="7" | Generatorintervall
! Cent-Größe
! L
! s
! L/s
! Hinweis
|-
| 4\7 || || || || || || || 685.714 || 1 || 1 || 1.000 ||
|-
| || || || || || || 27\47 || 689.362 || 7 || 6 || 1.167 ||
|-
| || || || || || 23\40 || || 690.000 || 6 || 5 || 1.200 ||
|-
| || || || || || || 42\73 || 690.411 || 11 || 9 || 1.222 ||
|-
| || || || || 19\33 || || || 690.909 || 5 || 4 || 1.250 ||
|-
| || || || || || || 53\92 || 691.304 || 14 || 11 || 1.273 ||
|-
| || || || || || 34\59 || || 691.525 || 9 || 7 || 1.286 ||
|-
| || || || || || || 49\85 || 691.765 || 13 || 10 || 1.300 ||
|-
| || || || 15\26 || || || || 692.308 || 4 || 3 || 1.333 ||
|-
| || || || || || || 56\97 || 692.784 || 15 || 11 || 1.364 ||
|-
| || || || || || 41\71 || || 692.958 || 11 || 8 || 1.375 ||
|-
| || || || || || || 67\116 || 693.103 || 18 || 13 || 1.385 ||
|-
| || || || || 26\45 || || || 693.333 || 7 || 5 || 1.400 ||
|-
| || || || || || || 63\109 || 693.578 || 17 || 12 || 1.417 ||
|-
| || || || || || 37\64 || || 693.750 || 10 || 7 || 1.429 ||
|-
| || || || || || || 48\83 || 693.976 || 13 || 9 || 1.444 ||
|-
| || || 11\19 || || || || || 694.737 || 3 || 2 || 1.500 || L/s = 3/2
|-
| || || || || || || 51\88 || 695.455 || 14 || 9 || 1.556 ||
|-
| || || || || || 40\69 || || 695.652 || 11 || 7 || 1.571 ||
|-
| || || || || || || 69\119 || 695.798 || 19 || 12 || 1.583 ||
|-
| || || || || 29\50 || || || 696.000 || 8 || 5 || 1.600 ||
|-
| || || || || || || 66\131 || 696.183 || 21 || |13 || 1.615 || Goldene mitteltönige Stimmung
|-
| || || || || || 47\81 || || 696.296 || 13 || 8 || 1.625 ||
|-
| || || || || || || 65\112 || 696.429 || 18 || 11 || 1.636 || 
|-
| || || || 18\31 || || || || 696.774 || 5 || 3 || 1.667 || Mitteltönige Stimmungen sind in diesem Generatorbereich
|-
| || || || || || || 61\105 || 697.143 || 17 || 10 || 1.700 ||
|-
| || || || || || 43\74 || || 697.297 || 12 || 7 || 1.714 ||
|-
| || || || || || || 68\117 || 697.436 || 19 || 11 || 1.727 ||
|-
| || || || || 25\43 || || || 697.674 || 7 || 4 || 1.750 ||
|-
| || || || || || || 57\98 || 697.959 || 16 || 9 || 1.778 ||
|-
| || || || || ||32\55 || || 698.182 || 9 || 5 || 1.800 ||
|-
| || || || || || || 39\67 || 698.507 || 11 || 6 || 1.833 ||
|-
| || 7\12 || || || || || || 700.000 || 2 || 1 || 2.000 || &lt;!--Basic diatonic&lt;br&gt;(Generators smaller than this are proper)--&gt;
|-
| || || || || || || 38\65 || 701.539 || 11 || 5 || 2.200 ||
|-
| || || || || || 31\53 || || 701.887 || 9 || 4 || 2.250 || Das EDO-Generatorintervall, das unter EDOs &lt;= 200 zum reinen [[3/2]] am nächsten ist
|-
| || || || || || || 55\94 || 702.128 || 16 || 7 || 2.286 ||
|-
| || || || || 24\41 || || || 702.409 || 7 || 3 || 2.333 ||
|-
| || || || || || || 65\111 || 702.703 || 19 || 8 || 2.375 ||
|-
| || || || || || 41\70 || || 702.857 || 12 || 5 || 2.400 ||
|-
| || || || || || || 58\99 || 703.030 || 17 || 7 || 2.428 ||
|-
| || || || 17\29 || || || || 703.448 || 5 || 2 || 2.500 ||
|-
| || || || || || || 61\104 || 703.846 || 18 || 7 || 2.571 ||
|-
| || || || || || 44\75 || || 704.000 || 13 || 5 || 2.600 ||
|-
| || || || || || || 71\121 || 704.132 || 21 || 8 || 2.625 || Goldene "Neogotisch"-Stimmung
|-
| || || || || 27\46 || || || 704.348 || 8 || 3 || 2.667 || "Neogotisch"-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 64\109 || 704.587 || 19 || 7 || 2.714 ||
|-
| || || || || || 37\63 || || 704.762 || 11 || 4 || 2.750 ||
|-
| || || || || || || 47\80 || 705.000 || 14 || 5 || 2.800 ||
|-
| || || 10\17 || || || || || 705.882 || 3 || 1 || 3.000 || L/s = 3/1
|-
| || || || || || || 43\73 || 706.849 || 13 || 4 || 3.250 ||
|-
| || || || || || 33\56 || || 707.143 || 10 || 3 || 3.333 ||
|-
| || || || || || || 56\95 || 707.368 || 17 || 5 || 3.400 ||
|-
| || || || || 23\39 || || || 707.692 || 7 || 2 || 3.500 ||
|-
| || || || || || || 59\100 || 708.000 || 18 || 5 || 3.600 ||
|-
| || || || || || 36\61 || || 708.197 || 11 || 3 || 3.667 ||
|-
| || || || || || || 49\83 || 708.434 || 15 || 4 || 3.750 ||
|-
| || || || 13\22 || || || || 709.091 || 4 || 1 || 4.000 || [[Archy]]-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 42\71 || 709.859 || 13 || 3 || 4.333 ||
|-
| || || || || || 29\49 || || 710.204 || 9 || 2 || 4.500 ||
|-
| || || || || || || 45\76 || 710.526 || 14 || 3 || 4.667 ||
|-
| || || || || 16\27 || || || 711.111 || 5 || 1 || 5.000 ||
|-
| || || || || || || 35\59 || 711.864 || 11 || 2 || 5.500 ||
|-
| || || || || || 19\32 || || 712.500 || 6 || 1 || 6.000 ||
|-
| || || || || || || 22\37 || 713.514 || 7 || 1 || 7.000 ||
|-
| 3\5 || || || || || || || 720.000 || 1 || 0 || → inf ||
|}
&lt;!--
Tunings above 7\12 on this chart are called "negative tunings" (as they lessen the size of the fifth) and include meantone systems such as 1/3-comma (close to 11\19) and 1/4-comma (close to 18\31). As these tunings approach 4\7, the majors become flatter and the minors become sharper.

Tunings below 7\12 on this chart are called "positive tunings" and they include Pythagorean tuning itself (well approximated by 31\53) as well as superpyth tunings such as 10\17 and 13\22. As these tunings approach 3\5, the majors become sharper and the minors become flatter. Around 13\22 through 16\27, the thirds fall closer to 7-limit than 5-limit intervals: 7:6 and 9:7 as opposed to 6:5 and 5:4.

[[File:5L2s.jpg|alt=5L2s.jpg|5L2s.jpg]]

5L 2s contains the pentatonic MOS [[2L_3s|2L 3s]] and (with the sole exception of the 5L 2s of 12EDO) is itself contained in a dodecaphonic MOS: either [[7L_5s|7L 5s]] or [[5L_7s|5L 7s]], depending on whether the fifth is flatter than or sharper than 7\12 (700c).--&gt;

== Temperaturen ==</text>
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    <revision>
      <id>2581</id>
      <parentid>2577</parentid>
      <timestamp>2021-07-01T04:25:23Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Inthar</username>
        <id>9</id>
      </contributor>
      <comment>/* Temperaturen */ Kat</comment>
      <origin>2581</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7426" sha1="dvah6a5xwtktvq0dlg0zth9jyq8m7gi" xml:space="preserve">{{interwiki
| de = 5L2s
| en = 5L 2s
| es = 
| ja = 
}}
&lt;!--{{Infobox MOS
| Name = diatonic
| Periods = 1
| nLargeSteps = 5
| nSmallSteps = 2
| Equalized = 4
| Paucitonic = 3
| Pattern = LLLsLLs
| Neutral = 3L 4s
}}
--&gt;
Eine mögliche Definition für die '''diatonische''' Skala ist als der durch das Übereinanderschichten von "Quinten" (bzw. "Quarten") erzeugte [[MOS|MOS-Skalentyp]] namens '''5L2s''', also mit 5 großen Schritten und 2 kleinen Schritten. Das entsprechende Schrittmuster lautet LLLsLLs (wenn man die verschiedene Modi ignoriert).

== Generatorbereiche ==

== Modi ==
Die diatonischen Modi haben bekannte Namen aus der klassischen westlichen Musiktheorie: 

{| class="wikitable center-all"
|-
! Modus
! [[UDP-Notation|UDP]]
! Name
|-
| LLLsLLs
| &lt;nowiki&gt;6|0&lt;/nowiki&gt;
| Lydisch
|-
| LLsLLLs
| &lt;nowiki&gt;5|1&lt;/nowiki&gt;
| Ionisch
|-
| LLsLLsL
| &lt;nowiki&gt;4|2&lt;/nowiki&gt;
| Mixolydisch
|-
| LsLLLsL
| &lt;nowiki&gt;3|3&lt;/nowiki&gt;
| Dorisch
|-
| LsLLsLL
| &lt;nowiki&gt;2|4&lt;/nowiki&gt;
| Äolisch
|-
| sLLLsLL
| &lt;nowiki&gt;1|5&lt;/nowiki&gt;
| Phrygisch
|-
| sLLsLLL
| &lt;nowiki&gt;0|6&lt;/nowiki&gt;
| Lokrisch
|}
== Skalenbaum ==
Wenn man das Intervall 4\7 (vier Schritte von [[7-EDO]]) auf ein Ende setzt und 3\5 (drei Schritte von [[5-EDO]]) auf das andere, liegen alle andere möglichen 5L2s-Skalen in einem Kontinuum zwischen den zweien Enden. Man kann dieses Kontinuum unterteilen, indem man die Zähler der beiden Endbrüche addiert und dann die Nenner addiert (diese Operation heißt die [[Mediant]]-Operation oder die Farey-Summe). Zwischen 4\7 und 3\5 entsteht also (4+3)\(7+5) = 7\12, also sieben Schritte von 12-EDO:

{| class="wikitable"
|-
| 4\7 || 
|-
| || 7\12
|-
| 3\5 ||
|}

Wenn man diese Mediant-Operation weiter ausführt, tauchen im Kontinuum größere EDOs auf. Also ist der resultierende diatonische [[Skalenbaum]] (bis zur Tiefe 6) wie folgt:

{| class="wikitable center-all"
! colspan="7" | Generatorintervall
! Cent-Größe
! L
! s
! L/s
! Hinweis
|-
| 4\7 || || || || || || || 685.714 || 1 || 1 || 1.000 ||
|-
| || || || || || || 27\47 || 689.362 || 7 || 6 || 1.167 ||
|-
| || || || || || 23\40 || || 690.000 || 6 || 5 || 1.200 ||
|-
| || || || || || || 42\73 || 690.411 || 11 || 9 || 1.222 ||
|-
| || || || || 19\33 || || || 690.909 || 5 || 4 || 1.250 ||
|-
| || || || || || || 53\92 || 691.304 || 14 || 11 || 1.273 ||
|-
| || || || || || 34\59 || || 691.525 || 9 || 7 || 1.286 ||
|-
| || || || || || || 49\85 || 691.765 || 13 || 10 || 1.300 ||
|-
| || || || 15\26 || || || || 692.308 || 4 || 3 || 1.333 ||
|-
| || || || || || || 56\97 || 692.784 || 15 || 11 || 1.364 ||
|-
| || || || || || 41\71 || || 692.958 || 11 || 8 || 1.375 ||
|-
| || || || || || || 67\116 || 693.103 || 18 || 13 || 1.385 ||
|-
| || || || || 26\45 || || || 693.333 || 7 || 5 || 1.400 ||
|-
| || || || || || || 63\109 || 693.578 || 17 || 12 || 1.417 ||
|-
| || || || || || 37\64 || || 693.750 || 10 || 7 || 1.429 ||
|-
| || || || || || || 48\83 || 693.976 || 13 || 9 || 1.444 ||
|-
| || || 11\19 || || || || || 694.737 || 3 || 2 || 1.500 || L/s = 3/2
|-
| || || || || || || 51\88 || 695.455 || 14 || 9 || 1.556 ||
|-
| || || || || || 40\69 || || 695.652 || 11 || 7 || 1.571 ||
|-
| || || || || || || 69\119 || 695.798 || 19 || 12 || 1.583 ||
|-
| || || || || 29\50 || || || 696.000 || 8 || 5 || 1.600 ||
|-
| || || || || || || 66\131 || 696.183 || 21 || |13 || 1.615 || Goldene mitteltönige Stimmung
|-
| || || || || || 47\81 || || 696.296 || 13 || 8 || 1.625 ||
|-
| || || || || || || 65\112 || 696.429 || 18 || 11 || 1.636 || 
|-
| || || || 18\31 || || || || 696.774 || 5 || 3 || 1.667 || Mitteltönige Stimmungen sind in diesem Generatorbereich
|-
| || || || || || || 61\105 || 697.143 || 17 || 10 || 1.700 ||
|-
| || || || || || 43\74 || || 697.297 || 12 || 7 || 1.714 ||
|-
| || || || || || || 68\117 || 697.436 || 19 || 11 || 1.727 ||
|-
| || || || || 25\43 || || || 697.674 || 7 || 4 || 1.750 ||
|-
| || || || || || || 57\98 || 697.959 || 16 || 9 || 1.778 ||
|-
| || || || || ||32\55 || || 698.182 || 9 || 5 || 1.800 ||
|-
| || || || || || || 39\67 || 698.507 || 11 || 6 || 1.833 ||
|-
| || 7\12 || || || || || || 700.000 || 2 || 1 || 2.000 || &lt;!--Basic diatonic&lt;br&gt;(Generators smaller than this are proper)--&gt;
|-
| || || || || || || 38\65 || 701.539 || 11 || 5 || 2.200 ||
|-
| || || || || || 31\53 || || 701.887 || 9 || 4 || 2.250 || Das EDO-Generatorintervall, das unter EDOs &lt;= 200 zum reinen [[3/2]] am nächsten ist
|-
| || || || || || || 55\94 || 702.128 || 16 || 7 || 2.286 ||
|-
| || || || || 24\41 || || || 702.409 || 7 || 3 || 2.333 ||
|-
| || || || || || || 65\111 || 702.703 || 19 || 8 || 2.375 ||
|-
| || || || || || 41\70 || || 702.857 || 12 || 5 || 2.400 ||
|-
| || || || || || || 58\99 || 703.030 || 17 || 7 || 2.428 ||
|-
| || || || 17\29 || || || || 703.448 || 5 || 2 || 2.500 ||
|-
| || || || || || || 61\104 || 703.846 || 18 || 7 || 2.571 ||
|-
| || || || || || 44\75 || || 704.000 || 13 || 5 || 2.600 ||
|-
| || || || || || || 71\121 || 704.132 || 21 || 8 || 2.625 || Goldene "Neogotisch"-Stimmung
|-
| || || || || 27\46 || || || 704.348 || 8 || 3 || 2.667 || "Neogotisch"-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 64\109 || 704.587 || 19 || 7 || 2.714 ||
|-
| || || || || || 37\63 || || 704.762 || 11 || 4 || 2.750 ||
|-
| || || || || || || 47\80 || 705.000 || 14 || 5 || 2.800 ||
|-
| || || 10\17 || || || || || 705.882 || 3 || 1 || 3.000 || L/s = 3/1
|-
| || || || || || || 43\73 || 706.849 || 13 || 4 || 3.250 ||
|-
| || || || || || 33\56 || || 707.143 || 10 || 3 || 3.333 ||
|-
| || || || || || || 56\95 || 707.368 || 17 || 5 || 3.400 ||
|-
| || || || || 23\39 || || || 707.692 || 7 || 2 || 3.500 ||
|-
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|-
| || || || || || 36\61 || || 708.197 || 11 || 3 || 3.667 ||
|-
| || || || || || || 49\83 || 708.434 || 15 || 4 || 3.750 ||
|-
| || || || 13\22 || || || || 709.091 || 4 || 1 || 4.000 || [[Archy]]-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 42\71 || 709.859 || 13 || 3 || 4.333 ||
|-
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|-
| || || || || || || 45\76 || 710.526 || 14 || 3 || 4.667 ||
|-
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|-
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|-
| || || || || || 19\32 || || 712.500 || 6 || 1 || 6.000 ||
|-
| || || || || || || 22\37 || 713.514 || 7 || 1 || 7.000 ||
|-
| 3\5 || || || || || || || 720.000 || 1 || 0 || → inf ||
|}
&lt;!--
Tunings above 7\12 on this chart are called "negative tunings" (as they lessen the size of the fifth) and include meantone systems such as 1/3-comma (close to 11\19) and 1/4-comma (close to 18\31). As these tunings approach 4\7, the majors become flatter and the minors become sharper.

Tunings below 7\12 on this chart are called "positive tunings" and they include Pythagorean tuning itself (well approximated by 31\53) as well as superpyth tunings such as 10\17 and 13\22. As these tunings approach 3\5, the majors become sharper and the minors become flatter. Around 13\22 through 16\27, the thirds fall closer to 7-limit than 5-limit intervals: 7:6 and 9:7 as opposed to 6:5 and 5:4.

[[File:5L2s.jpg|alt=5L2s.jpg|5L2s.jpg]]

5L 2s contains the pentatonic MOS [[2L_3s|2L 3s]] and (with the sole exception of the 5L 2s of 12EDO) is itself contained in a dodecaphonic MOS: either [[7L_5s|7L 5s]] or [[5L_7s|5L 7s]], depending on whether the fifth is flatter than or sharper than 7\12 (700c).--&gt;

== Temperaturen ==

[[Kategorie:MOS]]</text>
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    <revision>
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      <parentid>2581</parentid>
      <timestamp>2021-07-01T04:41:49Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Inthar</username>
        <id>9</id>
      </contributor>
      <comment>/* Skalenbaum */ Es scheint, die kombinierende Form von "-ant"- oder "-ent"-Substantiven nimmt "-en"</comment>
      <origin>2584</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7428" sha1="5ec2m10q8mrv07n13nciyz4iai7uqoz" xml:space="preserve">{{interwiki
| de = 5L2s
| en = 5L 2s
| es = 
| ja = 
}}
&lt;!--{{Infobox MOS
| Name = diatonic
| Periods = 1
| nLargeSteps = 5
| nSmallSteps = 2
| Equalized = 4
| Paucitonic = 3
| Pattern = LLLsLLs
| Neutral = 3L 4s
}}
--&gt;
Eine mögliche Definition für die '''diatonische''' Skala ist als der durch das Übereinanderschichten von "Quinten" (bzw. "Quarten") erzeugte [[MOS|MOS-Skalentyp]] namens '''5L2s''', also mit 5 großen Schritten und 2 kleinen Schritten. Das entsprechende Schrittmuster lautet LLLsLLs (wenn man die verschiedene Modi ignoriert).

== Generatorbereiche ==

== Modi ==
Die diatonischen Modi haben bekannte Namen aus der klassischen westlichen Musiktheorie: 

{| class="wikitable center-all"
|-
! Modus
! [[UDP-Notation|UDP]]
! Name
|-
| LLLsLLs
| &lt;nowiki&gt;6|0&lt;/nowiki&gt;
| Lydisch
|-
| LLsLLLs
| &lt;nowiki&gt;5|1&lt;/nowiki&gt;
| Ionisch
|-
| LLsLLsL
| &lt;nowiki&gt;4|2&lt;/nowiki&gt;
| Mixolydisch
|-
| LsLLLsL
| &lt;nowiki&gt;3|3&lt;/nowiki&gt;
| Dorisch
|-
| LsLLsLL
| &lt;nowiki&gt;2|4&lt;/nowiki&gt;
| Äolisch
|-
| sLLLsLL
| &lt;nowiki&gt;1|5&lt;/nowiki&gt;
| Phrygisch
|-
| sLLsLLL
| &lt;nowiki&gt;0|6&lt;/nowiki&gt;
| Lokrisch
|}
== Skalenbaum ==
Wenn man das Intervall 4\7 (vier Schritte von [[7-EDO]]) auf ein Ende setzt und 3\5 (drei Schritte von [[5-EDO]]) auf das andere, liegen alle andere möglichen 5L2s-Skalen in einem Kontinuum zwischen den zweien Enden. Man kann dieses Kontinuum unterteilen, indem man die Zähler der beiden Endbrüche addiert und dann die Nenner addiert (diese Operation heißt die [[Mediant]]-Operation oder die Farey-Summe). Zwischen 4\7 und 3\5 entsteht also (4+3)\(7+5) = 7\12, also sieben Schritte von 12-EDO:

{| class="wikitable"
|-
| 4\7 || 
|-
| || 7\12
|-
| 3\5 ||
|}

Wenn man diese Medianten-Operation weiter ausführt, tauchen im Kontinuum größere EDOs auf. Also ist der resultierende diatonische [[Skalenbaum]] (bis zur Tiefe 6) wie folgt:

{| class="wikitable center-all"
! colspan="7" | Generatorintervall
! Cent-Größe
! L
! s
! L/s
! Hinweis
|-
| 4\7 || || || || || || || 685.714 || 1 || 1 || 1.000 ||
|-
| || || || || || || 27\47 || 689.362 || 7 || 6 || 1.167 ||
|-
| || || || || || 23\40 || || 690.000 || 6 || 5 || 1.200 ||
|-
| || || || || || || 42\73 || 690.411 || 11 || 9 || 1.222 ||
|-
| || || || || 19\33 || || || 690.909 || 5 || 4 || 1.250 ||
|-
| || || || || || || 53\92 || 691.304 || 14 || 11 || 1.273 ||
|-
| || || || || || 34\59 || || 691.525 || 9 || 7 || 1.286 ||
|-
| || || || || || || 49\85 || 691.765 || 13 || 10 || 1.300 ||
|-
| || || || 15\26 || || || || 692.308 || 4 || 3 || 1.333 ||
|-
| || || || || || || 56\97 || 692.784 || 15 || 11 || 1.364 ||
|-
| || || || || || 41\71 || || 692.958 || 11 || 8 || 1.375 ||
|-
| || || || || || || 67\116 || 693.103 || 18 || 13 || 1.385 ||
|-
| || || || || 26\45 || || || 693.333 || 7 || 5 || 1.400 ||
|-
| || || || || || || 63\109 || 693.578 || 17 || 12 || 1.417 ||
|-
| || || || || || 37\64 || || 693.750 || 10 || 7 || 1.429 ||
|-
| || || || || || || 48\83 || 693.976 || 13 || 9 || 1.444 ||
|-
| || || 11\19 || || || || || 694.737 || 3 || 2 || 1.500 || L/s = 3/2
|-
| || || || || || || 51\88 || 695.455 || 14 || 9 || 1.556 ||
|-
| || || || || || 40\69 || || 695.652 || 11 || 7 || 1.571 ||
|-
| || || || || || || 69\119 || 695.798 || 19 || 12 || 1.583 ||
|-
| || || || || 29\50 || || || 696.000 || 8 || 5 || 1.600 ||
|-
| || || || || || || 66\131 || 696.183 || 21 || |13 || 1.615 || Goldene mitteltönige Stimmung
|-
| || || || || || 47\81 || || 696.296 || 13 || 8 || 1.625 ||
|-
| || || || || || || 65\112 || 696.429 || 18 || 11 || 1.636 || 
|-
| || || || 18\31 || || || || 696.774 || 5 || 3 || 1.667 || Mitteltönige Stimmungen sind in diesem Generatorbereich
|-
| || || || || || || 61\105 || 697.143 || 17 || 10 || 1.700 ||
|-
| || || || || || 43\74 || || 697.297 || 12 || 7 || 1.714 ||
|-
| || || || || || || 68\117 || 697.436 || 19 || 11 || 1.727 ||
|-
| || || || || 25\43 || || || 697.674 || 7 || 4 || 1.750 ||
|-
| || || || || || || 57\98 || 697.959 || 16 || 9 || 1.778 ||
|-
| || || || || ||32\55 || || 698.182 || 9 || 5 || 1.800 ||
|-
| || || || || || || 39\67 || 698.507 || 11 || 6 || 1.833 ||
|-
| || 7\12 || || || || || || 700.000 || 2 || 1 || 2.000 || &lt;!--Basic diatonic&lt;br&gt;(Generators smaller than this are proper)--&gt;
|-
| || || || || || || 38\65 || 701.539 || 11 || 5 || 2.200 ||
|-
| || || || || || 31\53 || || 701.887 || 9 || 4 || 2.250 || Das EDO-Generatorintervall, das unter EDOs &lt;= 200 zum reinen [[3/2]] am nächsten ist
|-
| || || || || || || 55\94 || 702.128 || 16 || 7 || 2.286 ||
|-
| || || || || 24\41 || || || 702.409 || 7 || 3 || 2.333 ||
|-
| || || || || || || 65\111 || 702.703 || 19 || 8 || 2.375 ||
|-
| || || || || || 41\70 || || 702.857 || 12 || 5 || 2.400 ||
|-
| || || || || || || 58\99 || 703.030 || 17 || 7 || 2.428 ||
|-
| || || || 17\29 || || || || 703.448 || 5 || 2 || 2.500 ||
|-
| || || || || || || 61\104 || 703.846 || 18 || 7 || 2.571 ||
|-
| || || || || || 44\75 || || 704.000 || 13 || 5 || 2.600 ||
|-
| || || || || || || 71\121 || 704.132 || 21 || 8 || 2.625 || Goldene "Neogotisch"-Stimmung
|-
| || || || || 27\46 || || || 704.348 || 8 || 3 || 2.667 || "Neogotisch"-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 64\109 || 704.587 || 19 || 7 || 2.714 ||
|-
| || || || || || 37\63 || || 704.762 || 11 || 4 || 2.750 ||
|-
| || || || || || || 47\80 || 705.000 || 14 || 5 || 2.800 ||
|-
| || || 10\17 || || || || || 705.882 || 3 || 1 || 3.000 || L/s = 3/1
|-
| || || || || || || 43\73 || 706.849 || 13 || 4 || 3.250 ||
|-
| || || || || || 33\56 || || 707.143 || 10 || 3 || 3.333 ||
|-
| || || || || || || 56\95 || 707.368 || 17 || 5 || 3.400 ||
|-
| || || || || 23\39 || || || 707.692 || 7 || 2 || 3.500 ||
|-
| || || || || || || 59\100 || 708.000 || 18 || 5 || 3.600 ||
|-
| || || || || || 36\61 || || 708.197 || 11 || 3 || 3.667 ||
|-
| || || || || || || 49\83 || 708.434 || 15 || 4 || 3.750 ||
|-
| || || || 13\22 || || || || 709.091 || 4 || 1 || 4.000 || [[Archy]]-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 42\71 || 709.859 || 13 || 3 || 4.333 ||
|-
| || || || || || 29\49 || || 710.204 || 9 || 2 || 4.500 ||
|-
| || || || || || || 45\76 || 710.526 || 14 || 3 || 4.667 ||
|-
| || || || || 16\27 || || || 711.111 || 5 || 1 || 5.000 ||
|-
| || || || || || || 35\59 || 711.864 || 11 || 2 || 5.500 ||
|-
| || || || || || 19\32 || || 712.500 || 6 || 1 || 6.000 ||
|-
| || || || || || || 22\37 || 713.514 || 7 || 1 || 7.000 ||
|-
| 3\5 || || || || || || || 720.000 || 1 || 0 || → inf ||
|}
&lt;!--
Tunings above 7\12 on this chart are called "negative tunings" (as they lessen the size of the fifth) and include meantone systems such as 1/3-comma (close to 11\19) and 1/4-comma (close to 18\31). As these tunings approach 4\7, the majors become flatter and the minors become sharper.

Tunings below 7\12 on this chart are called "positive tunings" and they include Pythagorean tuning itself (well approximated by 31\53) as well as superpyth tunings such as 10\17 and 13\22. As these tunings approach 3\5, the majors become sharper and the minors become flatter. Around 13\22 through 16\27, the thirds fall closer to 7-limit than 5-limit intervals: 7:6 and 9:7 as opposed to 6:5 and 5:4.

[[File:5L2s.jpg|alt=5L2s.jpg|5L2s.jpg]]

5L 2s contains the pentatonic MOS [[2L_3s|2L 3s]] and (with the sole exception of the 5L 2s of 12EDO) is itself contained in a dodecaphonic MOS: either [[7L_5s|7L 5s]] or [[5L_7s|5L 7s]], depending on whether the fifth is flatter than or sharper than 7\12 (700c).--&gt;

== Temperaturen ==

[[Kategorie:MOS]]</text>
      <sha1>5ec2m10q8mrv07n13nciyz4iai7uqoz</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>2585</id>
      <parentid>2584</parentid>
      <timestamp>2021-07-01T04:42:18Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Inthar</username>
        <id>9</id>
      </contributor>
      <minor/>
      <comment>/* Skalenbaum */</comment>
      <origin>2585</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7430" sha1="36nb44um9mec58srmsh10c16wozdf0y" xml:space="preserve">{{interwiki
| de = 5L2s
| en = 5L 2s
| es = 
| ja = 
}}
&lt;!--{{Infobox MOS
| Name = diatonic
| Periods = 1
| nLargeSteps = 5
| nSmallSteps = 2
| Equalized = 4
| Paucitonic = 3
| Pattern = LLLsLLs
| Neutral = 3L 4s
}}
--&gt;
Eine mögliche Definition für die '''diatonische''' Skala ist als der durch das Übereinanderschichten von "Quinten" (bzw. "Quarten") erzeugte [[MOS|MOS-Skalentyp]] namens '''5L2s''', also mit 5 großen Schritten und 2 kleinen Schritten. Das entsprechende Schrittmuster lautet LLLsLLs (wenn man die verschiedene Modi ignoriert).

== Generatorbereiche ==

== Modi ==
Die diatonischen Modi haben bekannte Namen aus der klassischen westlichen Musiktheorie: 

{| class="wikitable center-all"
|-
! Modus
! [[UDP-Notation|UDP]]
! Name
|-
| LLLsLLs
| &lt;nowiki&gt;6|0&lt;/nowiki&gt;
| Lydisch
|-
| LLsLLLs
| &lt;nowiki&gt;5|1&lt;/nowiki&gt;
| Ionisch
|-
| LLsLLsL
| &lt;nowiki&gt;4|2&lt;/nowiki&gt;
| Mixolydisch
|-
| LsLLLsL
| &lt;nowiki&gt;3|3&lt;/nowiki&gt;
| Dorisch
|-
| LsLLsLL
| &lt;nowiki&gt;2|4&lt;/nowiki&gt;
| Äolisch
|-
| sLLLsLL
| &lt;nowiki&gt;1|5&lt;/nowiki&gt;
| Phrygisch
|-
| sLLsLLL
| &lt;nowiki&gt;0|6&lt;/nowiki&gt;
| Lokrisch
|}
== Skalenbaum ==
Wenn man das Intervall 4\7 (vier Schritte von [[7-EDO]]) auf ein Ende setzt und 3\5 (drei Schritte von [[5-EDO]]) auf das andere, liegen alle andere möglichen 5L2s-Skalen in einem Kontinuum zwischen den zweien Enden. Man kann dieses Kontinuum unterteilen, indem man die Zähler der beiden Endbrüche addiert und dann die Nenner addiert (diese Operation heißt die [[Mediant]]en-Operation oder die Farey-Summe). Zwischen 4\7 und 3\5 entsteht also (4+3)\(7+5) = 7\12, also sieben Schritte von 12-EDO:

{| class="wikitable"
|-
| 4\7 || 
|-
| || 7\12
|-
| 3\5 ||
|}

Wenn man diese Medianten-Operation weiter ausführt, tauchen im Kontinuum größere EDOs auf. Also ist der resultierende diatonische [[Skalenbaum]] (bis zur Tiefe 6) wie folgt:

{| class="wikitable center-all"
! colspan="7" | Generatorintervall
! Cent-Größe
! L
! s
! L/s
! Hinweis
|-
| 4\7 || || || || || || || 685.714 || 1 || 1 || 1.000 ||
|-
| || || || || || || 27\47 || 689.362 || 7 || 6 || 1.167 ||
|-
| || || || || || 23\40 || || 690.000 || 6 || 5 || 1.200 ||
|-
| || || || || || || 42\73 || 690.411 || 11 || 9 || 1.222 ||
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| || || 11\19 || || || || || 694.737 || 3 || 2 || 1.500 || L/s = 3/2
|-
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|-
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|-
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|-
| || || || || 29\50 || || || 696.000 || 8 || 5 || 1.600 ||
|-
| || || || || || || 66\131 || 696.183 || 21 || |13 || 1.615 || Goldene mitteltönige Stimmung
|-
| || || || || || 47\81 || || 696.296 || 13 || 8 || 1.625 ||
|-
| || || || || || || 65\112 || 696.429 || 18 || 11 || 1.636 || 
|-
| || || || 18\31 || || || || 696.774 || 5 || 3 || 1.667 || Mitteltönige Stimmungen sind in diesem Generatorbereich
|-
| || || || || || || 61\105 || 697.143 || 17 || 10 || 1.700 ||
|-
| || || || || || 43\74 || || 697.297 || 12 || 7 || 1.714 ||
|-
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|-
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|-
| || || || || || || 39\67 || 698.507 || 11 || 6 || 1.833 ||
|-
| || 7\12 || || || || || || 700.000 || 2 || 1 || 2.000 || &lt;!--Basic diatonic&lt;br&gt;(Generators smaller than this are proper)--&gt;
|-
| || || || || || || 38\65 || 701.539 || 11 || 5 || 2.200 ||
|-
| || || || || || 31\53 || || 701.887 || 9 || 4 || 2.250 || Das EDO-Generatorintervall, das unter EDOs &lt;= 200 zum reinen [[3/2]] am nächsten ist
|-
| || || || || || || 55\94 || 702.128 || 16 || 7 || 2.286 ||
|-
| || || || || 24\41 || || || 702.409 || 7 || 3 || 2.333 ||
|-
| || || || || || || 65\111 || 702.703 || 19 || 8 || 2.375 ||
|-
| || || || || || 41\70 || || 702.857 || 12 || 5 || 2.400 ||
|-
| || || || || || || 58\99 || 703.030 || 17 || 7 || 2.428 ||
|-
| || || || 17\29 || || || || 703.448 || 5 || 2 || 2.500 ||
|-
| || || || || || || 61\104 || 703.846 || 18 || 7 || 2.571 ||
|-
| || || || || || 44\75 || || 704.000 || 13 || 5 || 2.600 ||
|-
| || || || || || || 71\121 || 704.132 || 21 || 8 || 2.625 || Goldene "Neogotisch"-Stimmung
|-
| || || || || 27\46 || || || 704.348 || 8 || 3 || 2.667 || "Neogotisch"-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 64\109 || 704.587 || 19 || 7 || 2.714 ||
|-
| || || || || || 37\63 || || 704.762 || 11 || 4 || 2.750 ||
|-
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|-
| || || 10\17 || || || || || 705.882 || 3 || 1 || 3.000 || L/s = 3/1
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| || || || || || 19\32 || || 712.500 || 6 || 1 || 6.000 ||
|-
| || || || || || || 22\37 || 713.514 || 7 || 1 || 7.000 ||
|-
| 3\5 || || || || || || || 720.000 || 1 || 0 || → inf ||
|}
&lt;!--
Tunings above 7\12 on this chart are called "negative tunings" (as they lessen the size of the fifth) and include meantone systems such as 1/3-comma (close to 11\19) and 1/4-comma (close to 18\31). As these tunings approach 4\7, the majors become flatter and the minors become sharper.

Tunings below 7\12 on this chart are called "positive tunings" and they include Pythagorean tuning itself (well approximated by 31\53) as well as superpyth tunings such as 10\17 and 13\22. As these tunings approach 3\5, the majors become sharper and the minors become flatter. Around 13\22 through 16\27, the thirds fall closer to 7-limit than 5-limit intervals: 7:6 and 9:7 as opposed to 6:5 and 5:4.

[[File:5L2s.jpg|alt=5L2s.jpg|5L2s.jpg]]

5L 2s contains the pentatonic MOS [[2L_3s|2L 3s]] and (with the sole exception of the 5L 2s of 12EDO) is itself contained in a dodecaphonic MOS: either [[7L_5s|7L 5s]] or [[5L_7s|5L 7s]], depending on whether the fifth is flatter than or sharper than 7\12 (700c).--&gt;

== Temperaturen ==

[[Kategorie:MOS]]</text>
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      <timestamp>2021-07-01T05:18:29Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Inthar</username>
        <id>9</id>
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      <comment>/* Skalenbaum */ Grammatik</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7430" sha1="dymrplrtp5vgjh4cotqrgoqhzb7w964" xml:space="preserve">{{interwiki
| de = 5L2s
| en = 5L 2s
| es = 
| ja = 
}}
&lt;!--{{Infobox MOS
| Name = diatonic
| Periods = 1
| nLargeSteps = 5
| nSmallSteps = 2
| Equalized = 4
| Paucitonic = 3
| Pattern = LLLsLLs
| Neutral = 3L 4s
}}
--&gt;
Eine mögliche Definition für die '''diatonische''' Skala ist als der durch das Übereinanderschichten von "Quinten" (bzw. "Quarten") erzeugte [[MOS|MOS-Skalentyp]] namens '''5L2s''', also mit 5 großen Schritten und 2 kleinen Schritten. Das entsprechende Schrittmuster lautet LLLsLLs (wenn man die verschiedene Modi ignoriert).

== Generatorbereiche ==

== Modi ==
Die diatonischen Modi haben bekannte Namen aus der klassischen westlichen Musiktheorie: 

{| class="wikitable center-all"
|-
! Modus
! [[UDP-Notation|UDP]]
! Name
|-
| LLLsLLs
| &lt;nowiki&gt;6|0&lt;/nowiki&gt;
| Lydisch
|-
| LLsLLLs
| &lt;nowiki&gt;5|1&lt;/nowiki&gt;
| Ionisch
|-
| LLsLLsL
| &lt;nowiki&gt;4|2&lt;/nowiki&gt;
| Mixolydisch
|-
| LsLLLsL
| &lt;nowiki&gt;3|3&lt;/nowiki&gt;
| Dorisch
|-
| LsLLsLL
| &lt;nowiki&gt;2|4&lt;/nowiki&gt;
| Äolisch
|-
| sLLLsLL
| &lt;nowiki&gt;1|5&lt;/nowiki&gt;
| Phrygisch
|-
| sLLsLLL
| &lt;nowiki&gt;0|6&lt;/nowiki&gt;
| Lokrisch
|}
== Skalenbaum ==
Wenn man das Intervall 4\7 (vier Schritte von [[7-EDO]]) auf ein Ende setzt und 3\5 (drei Schritte von [[5-EDO]]) auf das andere, liegen alle andere möglichen 5L2s-Skalen in einem Kontinuum zwischen den beiden Enden. Man kann dieses Kontinuum unterteilen, indem man die Zähler der beiden Endbrüche addiert und dann die Nenner addiert (diese Operation heißt die [[Mediant]]en-Operation oder die Farey-Summe). Zwischen 4\7 und 3\5 entsteht also (4+3)\(7+5) = 7\12, also sieben Schritte von 12-EDO:

{| class="wikitable"
|-
| 4\7 || 
|-
| || 7\12
|-
| 3\5 ||
|}

Wenn man diese Medianten-Operation weiter ausführt, tauchen im Kontinuum größere EDOs auf. Also ist der resultierende diatonische [[Skalenbaum]] (bis zur Tiefe 6) wie folgt:

{| class="wikitable center-all"
! colspan="7" | Generatorintervall
! Cent-Größe
! L
! s
! L/s
! Hinweis
|-
| 4\7 || || || || || || || 685.714 || 1 || 1 || 1.000 ||
|-
| || || || || || || 27\47 || 689.362 || 7 || 6 || 1.167 ||
|-
| || || || || || 23\40 || || 690.000 || 6 || 5 || 1.200 ||
|-
| || || || || || || 42\73 || 690.411 || 11 || 9 || 1.222 ||
|-
| || || || || 19\33 || || || 690.909 || 5 || 4 || 1.250 ||
|-
| || || || || || || 53\92 || 691.304 || 14 || 11 || 1.273 ||
|-
| || || || || || 34\59 || || 691.525 || 9 || 7 || 1.286 ||
|-
| || || || || || || 49\85 || 691.765 || 13 || 10 || 1.300 ||
|-
| || || || 15\26 || || || || 692.308 || 4 || 3 || 1.333 ||
|-
| || || || || || || 56\97 || 692.784 || 15 || 11 || 1.364 ||
|-
| || || || || || 41\71 || || 692.958 || 11 || 8 || 1.375 ||
|-
| || || || || || || 67\116 || 693.103 || 18 || 13 || 1.385 ||
|-
| || || || || 26\45 || || || 693.333 || 7 || 5 || 1.400 ||
|-
| || || || || || || 63\109 || 693.578 || 17 || 12 || 1.417 ||
|-
| || || || || || 37\64 || || 693.750 || 10 || 7 || 1.429 ||
|-
| || || || || || || 48\83 || 693.976 || 13 || 9 || 1.444 ||
|-
| || || 11\19 || || || || || 694.737 || 3 || 2 || 1.500 || L/s = 3/2
|-
| || || || || || || 51\88 || 695.455 || 14 || 9 || 1.556 ||
|-
| || || || || || 40\69 || || 695.652 || 11 || 7 || 1.571 ||
|-
| || || || || || || 69\119 || 695.798 || 19 || 12 || 1.583 ||
|-
| || || || || 29\50 || || || 696.000 || 8 || 5 || 1.600 ||
|-
| || || || || || || 66\131 || 696.183 || 21 || |13 || 1.615 || Goldene mitteltönige Stimmung
|-
| || || || || || 47\81 || || 696.296 || 13 || 8 || 1.625 ||
|-
| || || || || || || 65\112 || 696.429 || 18 || 11 || 1.636 || 
|-
| || || || 18\31 || || || || 696.774 || 5 || 3 || 1.667 || Mitteltönige Stimmungen sind in diesem Generatorbereich
|-
| || || || || || || 61\105 || 697.143 || 17 || 10 || 1.700 ||
|-
| || || || || || 43\74 || || 697.297 || 12 || 7 || 1.714 ||
|-
| || || || || || || 68\117 || 697.436 || 19 || 11 || 1.727 ||
|-
| || || || || 25\43 || || || 697.674 || 7 || 4 || 1.750 ||
|-
| || || || || || || 57\98 || 697.959 || 16 || 9 || 1.778 ||
|-
| || || || || ||32\55 || || 698.182 || 9 || 5 || 1.800 ||
|-
| || || || || || || 39\67 || 698.507 || 11 || 6 || 1.833 ||
|-
| || 7\12 || || || || || || 700.000 || 2 || 1 || 2.000 || &lt;!--Basic diatonic&lt;br&gt;(Generators smaller than this are proper)--&gt;
|-
| || || || || || || 38\65 || 701.539 || 11 || 5 || 2.200 ||
|-
| || || || || || 31\53 || || 701.887 || 9 || 4 || 2.250 || Das EDO-Generatorintervall, das unter EDOs &lt;= 200 zum reinen [[3/2]] am nächsten ist
|-
| || || || || || || 55\94 || 702.128 || 16 || 7 || 2.286 ||
|-
| || || || || 24\41 || || || 702.409 || 7 || 3 || 2.333 ||
|-
| || || || || || || 65\111 || 702.703 || 19 || 8 || 2.375 ||
|-
| || || || || || 41\70 || || 702.857 || 12 || 5 || 2.400 ||
|-
| || || || || || || 58\99 || 703.030 || 17 || 7 || 2.428 ||
|-
| || || || 17\29 || || || || 703.448 || 5 || 2 || 2.500 ||
|-
| || || || || || || 61\104 || 703.846 || 18 || 7 || 2.571 ||
|-
| || || || || || 44\75 || || 704.000 || 13 || 5 || 2.600 ||
|-
| || || || || || || 71\121 || 704.132 || 21 || 8 || 2.625 || Goldene "Neogotisch"-Stimmung
|-
| || || || || 27\46 || || || 704.348 || 8 || 3 || 2.667 || "Neogotisch"-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 64\109 || 704.587 || 19 || 7 || 2.714 ||
|-
| || || || || || 37\63 || || 704.762 || 11 || 4 || 2.750 ||
|-
| || || || || || || 47\80 || 705.000 || 14 || 5 || 2.800 ||
|-
| || || 10\17 || || || || || 705.882 || 3 || 1 || 3.000 || L/s = 3/1
|-
| || || || || || || 43\73 || 706.849 || 13 || 4 || 3.250 ||
|-
| || || || || || 33\56 || || 707.143 || 10 || 3 || 3.333 ||
|-
| || || || || || || 56\95 || 707.368 || 17 || 5 || 3.400 ||
|-
| || || || || 23\39 || || || 707.692 || 7 || 2 || 3.500 ||
|-
| || || || || || || 59\100 || 708.000 || 18 || 5 || 3.600 ||
|-
| || || || || || 36\61 || || 708.197 || 11 || 3 || 3.667 ||
|-
| || || || || || || 49\83 || 708.434 || 15 || 4 || 3.750 ||
|-
| || || || 13\22 || || || || 709.091 || 4 || 1 || 4.000 || [[Archy]]-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 42\71 || 709.859 || 13 || 3 || 4.333 ||
|-
| || || || || || 29\49 || || 710.204 || 9 || 2 || 4.500 ||
|-
| || || || || || || 45\76 || 710.526 || 14 || 3 || 4.667 ||
|-
| || || || || 16\27 || || || 711.111 || 5 || 1 || 5.000 ||
|-
| || || || || || || 35\59 || 711.864 || 11 || 2 || 5.500 ||
|-
| || || || || || 19\32 || || 712.500 || 6 || 1 || 6.000 ||
|-
| || || || || || || 22\37 || 713.514 || 7 || 1 || 7.000 ||
|-
| 3\5 || || || || || || || 720.000 || 1 || 0 || → inf ||
|}
&lt;!--
Tunings above 7\12 on this chart are called "negative tunings" (as they lessen the size of the fifth) and include meantone systems such as 1/3-comma (close to 11\19) and 1/4-comma (close to 18\31). As these tunings approach 4\7, the majors become flatter and the minors become sharper.

Tunings below 7\12 on this chart are called "positive tunings" and they include Pythagorean tuning itself (well approximated by 31\53) as well as superpyth tunings such as 10\17 and 13\22. As these tunings approach 3\5, the majors become sharper and the minors become flatter. Around 13\22 through 16\27, the thirds fall closer to 7-limit than 5-limit intervals: 7:6 and 9:7 as opposed to 6:5 and 5:4.

[[File:5L2s.jpg|alt=5L2s.jpg|5L2s.jpg]]

5L 2s contains the pentatonic MOS [[2L_3s|2L 3s]] and (with the sole exception of the 5L 2s of 12EDO) is itself contained in a dodecaphonic MOS: either [[7L_5s|7L 5s]] or [[5L_7s|5L 7s]], depending on whether the fifth is flatter than or sharper than 7\12 (700c).--&gt;

== Temperaturen ==

[[Kategorie:MOS]]</text>
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        <username>Inthar</username>
        <id>9</id>
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      <comment>/* Skalenbaum */ Punkt &gt; Komma für Dezimalzahlen; "negative/positive tunings" sind noch keine standardisierte Begriffe</comment>
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| de = 5L2s
| en = 5L 2s
| es = 
| ja = 
}}
&lt;!--{{Infobox MOS
| Name = diatonic
| Periods = 1
| nLargeSteps = 5
| nSmallSteps = 2
| Equalized = 4
| Paucitonic = 3
| Pattern = LLLsLLs
| Neutral = 3L 4s
}}
--&gt;
Eine mögliche Definition für die '''diatonische''' Skala ist als der durch das Übereinanderschichten von "Quinten" (bzw. "Quarten") erzeugte [[MOS|MOS-Skalentyp]] namens '''5L2s''', also mit 5 großen Schritten und 2 kleinen Schritten. Das entsprechende Schrittmuster lautet LLLsLLs (wenn man die verschiedene Modi ignoriert).

== Generatorbereiche ==

== Modi ==
Die diatonischen Modi haben bekannte Namen aus der klassischen westlichen Musiktheorie: 

{| class="wikitable center-all"
|-
! Modus
! [[UDP-Notation|UDP]]
! Name
|-
| LLLsLLs
| &lt;nowiki&gt;6|0&lt;/nowiki&gt;
| Lydisch
|-
| LLsLLLs
| &lt;nowiki&gt;5|1&lt;/nowiki&gt;
| Ionisch
|-
| LLsLLsL
| &lt;nowiki&gt;4|2&lt;/nowiki&gt;
| Mixolydisch
|-
| LsLLLsL
| &lt;nowiki&gt;3|3&lt;/nowiki&gt;
| Dorisch
|-
| LsLLsLL
| &lt;nowiki&gt;2|4&lt;/nowiki&gt;
| Äolisch
|-
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| &lt;nowiki&gt;1|5&lt;/nowiki&gt;
| Phrygisch
|-
| sLLsLLL
| &lt;nowiki&gt;0|6&lt;/nowiki&gt;
| Lokrisch
|}
== Skalenbaum ==
Wenn man das Intervall 4\7 (vier Schritte von [[7-EDO]]) auf ein Ende setzt und 3\5 (drei Schritte von [[5-EDO]]) auf das andere, liegen alle andere möglichen 5L2s-Skalen in einem Kontinuum zwischen den beiden Enden. Man kann dieses Kontinuum unterteilen, indem man die Zähler der beiden Endbrüche addiert und dann die Nenner addiert (diese Operation heißt die [[Mediant]]en-Operation oder die Farey-Summe). Zwischen 4\7 und 3\5 entsteht also (4+3)\(7+5) = 7\12, also sieben Schritte von 12-EDO:

{| class="wikitable"
|-
| 4\7 || 
|-
| || 7\12
|-
| 3\5 ||
|}

Wenn man diese Medianten-Operation weiter ausführt, tauchen im Kontinuum größere EDOs auf, Also ist der resultierende diatonische [[Skalenbaum]] (bis zur Tiefe 6) wie folgt:

{| class="wikitable center-all"
! colspan="7" | Generatorintervall
! Cent-Größe
! L
! s
! L/s
! Hinweis
|-
| 4\7 || || || || || || || 685,714 || 1 || 1 || 1,000 ||
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| || || || || || 41\71 || || 692,958 || 11 || 8 || 1,375 ||
|-
| || || || || || || 67\116 || 693,103 || 18 || 13 || 1,385 ||
|-
| || || || || 26\45 || || || 693,333 || 7 || 5 || 1,400 ||
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| || || || || || || 66\131 || 696,183 || 21 || |13 || 1,615 || Goldene mitteltönige Stimmung
|-
| || || || || || 47\81 || || 696,296 || 13 || 8 || 1,625 ||
|-
| || || || || || || 65\112 || 696,429 || 18 || 11 || 1,636 || 
|-
| || || || 18\31 || || || || 696,774 || 5 || 3 || 1,667 || Mitteltönige Stimmungen sind in diesem Generatorbereich
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| || || || || || || 39\67 || 698,507 || 11 || 6 || 1,833 ||
|-
| || 7\12 || || || || || || 700,000 || 2 || 1 || 2,000 || &lt;!--Basic diatonic&lt;br&gt;(Generators smaller than this are proper)--&gt;
|-
| || || || || || || 38\65 || 701,539 || 11 || 5 || 2,200 ||
|-
| || || || || || 31\53 || || 701,887 || 9 || 4 || 2,250 || Das EDO-Generatorintervall, das unter EDOs &lt;= 200 zum reinen [[3/2]] am nächsten ist
|-
| || || || || || || 55\94 || 702,128 || 16 || 7 || 2,286 ||
|-
| || || || || 24\41 || || || 702,409 || 7 || 3 || 2,333 ||
|-
| || || || || || || 65\111 || 702,703 || 19 || 8 || 2,375 ||
|-
| || || || || || 41\70 || || 702,857 || 12 || 5 || 2,400 ||
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| || || || || 27\46 || || || 704,348 || 8 || 3 || 2,667 || "Neogotisch"-Generatorbereich
|-
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|-
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|-
| || || || || || || 47\80 || 705,000 || 14 || 5 || 2,800 ||
|-
| || || 10\17 || || || || || 705,882 || 3 || 1 || 3,000 || L/s = 3/1
|-
| || || || || || || 43\73 || 706,849 || 13 || 4 || 3,250 ||
|-
| || || || || || 33\56 || || 707,143 || 10 || 3 || 3,333 ||
|-
| || || || || || || 56\95 || 707,368 || 17 || 5 || 3,400 ||
|-
| || || || || 23\39 || || || 707,692 || 7 || 2 || 3,500 ||
|-
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|-
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|-
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|-
| || || || 13\22 || || || || 709,091 || 4 || 1 || 4,000 || [[Archy]]-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 42\71 || 709,859 || 13 || 3 || 4,333 ||
|-
| || || || || || 29\49 || || 710,204 || 9 || 2 || 4,500 ||
|-
| || || || || || || 45\76 || 710,526 || 14 || 3 || 4,667 ||
|-
| || || || || 16\27 || || || 711,111 || 5 || 1 || 5,000 ||
|-
| || || || || || || 35\59 || 711,864 || 11 || 2 || 5,500 ||
|-
| || || || || || 19\32 || || 712,500 || 6 || 1 || 6,000 ||
|-
| || || || || || || 22\37 || 713,514 || 7 || 1 || 7,000 ||
|-
| 3\5 || || || || || || || 720,000 || 1 || 0 || → inf ||
|}

== Temperaturen ==

[[Kategorie:MOS]]</text>
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      <contributor>
        <username>Inthar</username>
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| de = 5L2s
| en = 5L 2s
| es = 
| ja = 
}}
&lt;!--{{Infobox MOS
| Name = diatonic
| Periods = 1
| nLargeSteps = 5
| nSmallSteps = 2
| Equalized = 4
| Paucitonic = 3
| Pattern = LLLsLLs
| Neutral = 3L 4s
}}
--&gt;
Eine mögliche Definition für die '''diatonische''' Skala ist als der durch das Übereinanderschichten von "Quinten" (bzw. "Quarten") erzeugte [[MOS|MOS-Skalentyp]] namens '''5L2s''', also mit 5 großen Schritten und 2 kleinen Schritten. Das entsprechende Schrittmuster lautet LLLsLLs (wenn man die verschiedene Modi ignoriert).

== Generatorbereiche ==

== Modi ==
Die diatonischen Modi haben bekannte Namen aus der klassischen westlichen Musiktheorie: 

{| class="wikitable center-all"
|-
! Modus
! [[UDP-Notation|UDP]]
! Name
|-
| LLLsLLs
| &lt;nowiki&gt;6|0&lt;/nowiki&gt;
| Lydisch
|-
| LLsLLLs
| &lt;nowiki&gt;5|1&lt;/nowiki&gt;
| Ionisch
|-
| LLsLLsL
| &lt;nowiki&gt;4|2&lt;/nowiki&gt;
| Mixolydisch
|-
| LsLLLsL
| &lt;nowiki&gt;3|3&lt;/nowiki&gt;
| Dorisch
|-
| LsLLsLL
| &lt;nowiki&gt;2|4&lt;/nowiki&gt;
| Äolisch
|-
| sLLLsLL
| &lt;nowiki&gt;1|5&lt;/nowiki&gt;
| Phrygisch
|-
| sLLsLLL
| &lt;nowiki&gt;0|6&lt;/nowiki&gt;
| Lokrisch
|}
== Skalenbaum ==
Wenn man das Intervall 4\7 (vier Schritte von [[7-EDO]]) auf ein Ende setzt und 3\5 (drei Schritte von [[5-EDO]]) auf das andere, liegen alle andere möglichen 5L2s-Skalen in einem Kontinuum zwischen den beiden Enden. Man kann dieses Kontinuum unterteilen, indem man die Zähler der beiden Endbrüche addiert und dann die Nenner addiert (diese Operation heißt die [[Mediant]]en-Operation oder die Farey-Summe). Zwischen 4\7 und 3\5 entsteht also (4+3)\(7+5) = 7\12, also sieben Schritte von 12-EDO:

{| class="wikitable"
|-
| 4\7 || 
|-
| || 7\12
|-
| 3\5 ||
|}

Wenn man diese Medianten-Operation weiter ausführt, tauchen im Kontinuum größere EDOs auf, Also ist der resultierende diatonische [[Skalenbaum]] (bis zur Tiefe 6) wie folgt:

{| class="wikitable center-all"
! colspan="7" | Generatorintervall
! Cent-Größe
! L
! s
! L/s
! Hinweis
|-
| 4\7 || || || || || || || 685,714 || 1 || 1 || 1,000 ||
|-
| || || || || || || 27\47 || 689,362 || 7 || 6 || 1,167 ||
|-
| || || || || || 23\40 || || 690,000 || 6 || 5 || 1,200 ||
|-
| || || || || || || 42\73 || 690,411 || 11 || 9 || 1,222 ||
|-
| || || || || 19\33 || || || 690,909 || 5 || 4 || 1,250 ||
|-
| || || || || || || 53\92 || 691,304 || 14 || 11 || 1,273 ||
|-
| || || || || || 34\59 || || 691,525 || 9 || 7 || 1,286 ||
|-
| || || || || || || 49\85 || 691,765 || 13 || 10 || 1,300 ||
|-
| || || || 15\26 || || || || 692,308 || 4 || 3 || 1,333 ||
|-
| || || || || || || 56\97 || 692,784 || 15 || 11 || 1,364 ||
|-
| || || || || || 41\71 || || 692,958 || 11 || 8 || 1,375 ||
|-
| || || || || || || 67\116 || 693,103 || 18 || 13 || 1,385 ||
|-
| || || || || 26\45 || || || 693,333 || 7 || 5 || 1,400 ||
|-
| || || || || || || 63\109 || 693,578 || 17 || 12 || 1,417 ||
|-
| || || || || || 37\64 || || 693,750 || 10 || 7 || 1,429 ||
|-
| || || || || || || 48\83 || 693,976 || 13 || 9 || 1,444 ||
|-
| || || 11\19 || || || || || 694,737 || 3 || 2 || 1,500 || L/s = 3/2
|-
| || || || || || || 51\88 || 695,455 || 14 || 9 || 1,556 ||
|-
| || || || || || 40\69 || || 695,652 || 11 || 7 || 1,571 ||
|-
| || || || || || || 69\119 || 695,798 || 19 || 12 || 1,583 ||
|-
| || || || || 29\50 || || || 696,000 || 8 || 5 || 1,600 ||
|-
| || || || || || || 66\131 || 696,183 || 21 || |13 || 1,615 || Goldene mitteltönige Stimmung
|-
| || || || || || 47\81 || || 696,296 || 13 || 8 || 1,625 ||
|-
| || || || || || || 65\112 || 696,429 || 18 || 11 || 1,636 || 
|-
| || || || 18\31 || || || || 696,774 || 5 || 3 || 1,667 || Mitteltönige Stimmungen sind in diesem Generatorbereich
|-
| || || || || || || 61\105 || 697,143 || 17 || 10 || 1,700 ||
|-
| || || || || || 43\74 || || 697,297 || 12 || 7 || 1,714 ||
|-
| || || || || || || 68\117 || 697,436 || 19 || 11 || 1,727 ||
|-
| || || || || 25\43 || || || 697,674 || 7 || 4 || 1,750 ||
|-
| || || || || || || 57\98 || 697,959 || 16 || 9 || 1,778 ||
|-
| || || || || ||32\55 || || 698,182 || 9 || 5 || 1,800 ||
|-
| || || || || || || 39\67 || 698,507 || 11 || 6 || 1,833 ||
|-
| || 7\12 || || || || || || 700,000 || 2 || 1 || 2,000 || &lt;!--Basic diatonic&lt;br&gt;(Generators smaller than this are proper)--&gt;
|-
| || || || || || || 38\65 || 701,539 || 11 || 5 || 2,200 ||
|-
| || || || || || 31\53 || || 701,887 || 9 || 4 || 2,250 || Das EDO-Generatorintervall, das unter EDOs &lt;= 200 zum reinen [[3/2]] am nächsten ist
|-
| || || || || || || 55\94 || 702,128 || 16 || 7 || 2,286 ||
|-
| || || || || 24\41 || || || 702,409 || 7 || 3 || 2,333 ||
|-
| || || || || || || 65\111 || 702,703 || 19 || 8 || 2,375 ||
|-
| || || || || || 41\70 || || 702,857 || 12 || 5 || 2,400 ||
|-
| || || || || || || 58\99 || 703,030 || 17 || 7 || 2,428 ||
|-
| || || || 17\29 || || || || 703,448 || 5 || 2 || 2,500 ||
|-
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|-
| || || || || || 44\75 || || 704,000 || 13 || 5 || 2,600 ||
|-
| || || || || || || 71\121 || 704,132 || 21 || 8 || 2,625 || Goldene "Neogotisch"-Stimmung
|-
| || || || || 27\46 || || || 704,348 || 8 || 3 || 2,667 || "Neogotisch"-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 64\109 || 704,587 || 19 || 7 || 2,714 ||
|-
| || || || || || 37\63 || || 704,762 || 11 || 4 || 2,750 ||
|-
| || || || || || || 47\80 || 705,000 || 14 || 5 || 2,800 ||
|-
| || || 10\17 || || || || || 705,882 || 3 || 1 || 3,000 || L/s = 3/1
|-
| || || || || || || 43\73 || 706,849 || 13 || 4 || 3,250 ||
|-
| || || || || || 33\56 || || 707,143 || 10 || 3 || 3,333 ||
|-
| || || || || || || 56\95 || 707,368 || 17 || 5 || 3,400 ||
|-
| || || || || 23\39 || || || 707,692 || 7 || 2 || 3,500 ||
|-
| || || || || || || 59\100 || 708,000 || 18 || 5 || 3,600 ||
|-
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|-
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|-
| || || || 13\22 || || || || 709,091 || 4 || 1 || 4,000 || [[Archy]]-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 42\71 || 709,859 || 13 || 3 || 4,333 ||
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| 3\5 || || || || || || || 720,000 || 1 || 0 || → ∞ ||
|}

== Temperaturen ==

[[Kategorie:MOS]]</text>
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| de = 5L2s
| en = 5L 2s
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| ja = 
}}
&lt;!--{{Infobox MOS
| Name = diatonic
| Periods = 1
| nLargeSteps = 5
| nSmallSteps = 2
| Equalized = 4
| Paucitonic = 3
| Pattern = LLLsLLs
| Neutral = 3L 4s
}}
--&gt;
Eine mögliche Definition für die '''diatonische''' Skala ist als der durch das Übereinanderschichten von "Quinten" (bzw. "Quarten") erzeugte [[MOS|MOS-Skalentyp]] namens '''5L2s''', also mit 5 großen Schritten und 2 kleinen Schritten. Das entsprechende Schrittmuster lautet LLLsLLs (wenn man die verschiedene Modi ignoriert).

== Generatorbereiche ==

== Modi ==
Die diatonischen Modi haben bekannte Namen aus der klassischen westlichen Musiktheorie: 

{| class="wikitable center-all"
|-
! Modus
! [[UDP-Notation|UDP]]
! Name
|-
| LLLsLLs
| &lt;nowiki&gt;6|0&lt;/nowiki&gt;
| Lydisch
|-
| LLsLLLs
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| Ionisch
|-
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| Mixolydisch
|-
| LsLLLsL
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| Dorisch
|-
| LsLLsLL
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| Äolisch
|-
| sLLLsLL
| &lt;nowiki&gt;1|5&lt;/nowiki&gt;
| Phrygisch
|-
| sLLsLLL
| &lt;nowiki&gt;0|6&lt;/nowiki&gt;
| Lokrisch
|}
== Skalenbaum ==
Wenn man das Intervall 4\7 (vier Schritte von [[7-EDO]]) auf ein Ende setzt und 3\5 (drei Schritte von [[5-EDO]]) auf das andere, liegen alle andere möglichen 5L2s-Skalen in einem Kontinuum zwischen den beiden Enden. Man kann dieses Kontinuum unterteilen, indem man die Zähler der beiden Endbrüche addiert und dann die Nenner addiert (diese Operation heißt die [[Mediant]]en-Operation oder die Farey-Summe). Zwischen 4\7 und 3\5 entsteht also (4+3)\(7+5) = 7\12, also sieben Schritte von 12-EDO:

{| class="wikitable"
|-
| 4\7 || 
|-
| || 7\12
|-
| 3\5 ||
|}

Wenn man diese Medianten-Operation weiter ausführt, tauchen im Kontinuum größere EDOs auf. Also ist der resultierende diatonische [[Skalenbaum]] (bis zur Tiefe 6) wie folgt:

{| class="wikitable center-all"
! colspan="7" | Generatorintervall
! Cent-Größe
! L
! s
! L/s
! Hinweis
|-
| 4\7 || || || || || || || 685,714 || 1 || 1 || 1,000 ||
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| || || || 18\31 || || || || 696,774 || 5 || 3 || 1,667 || Mitteltönige Stimmungen sind in diesem Generatorbereich
|-
| || || || || || || 61\105 || 697,143 || 17 || 10 || 1,700 ||
|-
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|-
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|-
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|-
| || 7\12 || || || || || || 700,000 || 2 || 1 || 2,000 || &lt;!--Basic diatonic&lt;br&gt;(Generators smaller than this are proper)--&gt;
|-
| || || || || || || 38\65 || 701,539 || 11 || 5 || 2,200 ||
|-
| || || || || || 31\53 || || 701,887 || 9 || 4 || 2,250 || Das EDO-Generatorintervall, das unter EDOs &lt;= 200 zum reinen [[3/2]] am nächsten ist
|-
| || || || || || || 55\94 || 702,128 || 16 || 7 || 2,286 ||
|-
| || || || || 24\41 || || || 702,409 || 7 || 3 || 2,333 ||
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| || || || || || || 56\95 || 707,368 || 17 || 5 || 3,400 ||
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| || || || 13\22 || || || || 709,091 || 4 || 1 || 4,000 || [[Archy]]-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 42\71 || 709,859 || 13 || 3 || 4,333 ||
|-
| || || || || || 29\49 || || 710,204 || 9 || 2 || 4,500 ||
|-
| || || || || || || 45\76 || 710,526 || 14 || 3 || 4,667 ||
|-
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|-
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|-
| || || || || || 19\32 || || 712,500 || 6 || 1 || 6,000 ||
|-
| || || || || || || 22\37 || 713,514 || 7 || 1 || 7,000 ||
|-
| 3\5 || || || || || || || 720,000 || 1 || 0 || → ∞ ||
|}

== Temperaturen ==

[[Kategorie:MOS]]</text>
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        <username>Inthar</username>
        <id>9</id>
      </contributor>
      <comment>Grammatik</comment>
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| de = 5L2s
| en = 5L 2s
| es = 
| ja = 
}}
&lt;!--{{Infobox MOS
| Name = diatonic
| Periods = 1
| nLargeSteps = 5
| nSmallSteps = 2
| Equalized = 4
| Paucitonic = 3
| Pattern = LLLsLLs
| Neutral = 3L 4s
}}
--&gt;
Eine mögliche Definition für die '''diatonische''' Skala ist als der durch das Übereinanderschichten von "Quinten" (bzw. "Quarten") erzeugte [[MOS|MOS-Skalentyp]] namens '''5L2s''', also mit 5 großen Schritten und 2 kleinen Schritten. Das entsprechende Schrittmuster lautet LLLsLLs (wenn man die verschiedenen Modi ignoriert).

== Generatorbereiche ==

== Modi ==
Die diatonischen Modi haben bekannte Namen aus der klassischen westlichen Musiktheorie: 

{| class="wikitable center-all"
|-
! Modus
! [[UDP-Notation|UDP]]
! Name
|-
| LLLsLLs
| &lt;nowiki&gt;6|0&lt;/nowiki&gt;
| Lydisch
|-
| LLsLLLs
| &lt;nowiki&gt;5|1&lt;/nowiki&gt;
| Ionisch
|-
| LLsLLsL
| &lt;nowiki&gt;4|2&lt;/nowiki&gt;
| Mixolydisch
|-
| LsLLLsL
| &lt;nowiki&gt;3|3&lt;/nowiki&gt;
| Dorisch
|-
| LsLLsLL
| &lt;nowiki&gt;2|4&lt;/nowiki&gt;
| Äolisch
|-
| sLLLsLL
| &lt;nowiki&gt;1|5&lt;/nowiki&gt;
| Phrygisch
|-
| sLLsLLL
| &lt;nowiki&gt;0|6&lt;/nowiki&gt;
| Lokrisch
|}
== Skalenbaum ==
Wenn man das Intervall 4\7 (vier Schritte von [[7-EDO]]) auf ein Ende setzt und 3\5 (drei Schritte von [[5-EDO]]) auf das andere, liegen alle andere möglichen 5L2s-Skalen in einem Kontinuum zwischen den beiden Enden. Man kann dieses Kontinuum unterteilen, indem man die Zähler der beiden Endbrüche addiert und dann die Nenner addiert (diese Operation heißt die [[Mediant]]en-Operation oder die Farey-Summe). Zwischen 4\7 und 3\5 entsteht also (4+3)\(7+5) = 7\12, also sieben Schritte von 12-EDO:

{| class="wikitable"
|-
| 4\7 || 
|-
| || 7\12
|-
| 3\5 ||
|}

Wenn man diese Medianten-Operation weiter ausführt, tauchen im Kontinuum größere EDOs auf. Also ist der resultierende diatonische [[Skalenbaum]] (bis zur Tiefe 6) wie folgt:

{| class="wikitable center-all"
! colspan="7" | Generatorintervall
! Cent-Größe
! L
! s
! L/s
! Hinweis
|-
| 4\7 || || || || || || || 685,714 || 1 || 1 || 1,000 ||
|-
| || || || || || || 27\47 || 689,362 || 7 || 6 || 1,167 ||
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| || || || || || 34\59 || || 691,525 || 9 || 7 || 1,286 ||
|-
| || || || || || || 49\85 || 691,765 || 13 || 10 || 1,300 ||
|-
| || || || 15\26 || || || || 692,308 || 4 || 3 || 1,333 ||
|-
| || || || || || || 56\97 || 692,784 || 15 || 11 || 1,364 ||
|-
| || || || || || 41\71 || || 692,958 || 11 || 8 || 1,375 ||
|-
| || || || || || || 67\116 || 693,103 || 18 || 13 || 1,385 ||
|-
| || || || || 26\45 || || || 693,333 || 7 || 5 || 1,400 ||
|-
| || || || || || || 63\109 || 693,578 || 17 || 12 || 1,417 ||
|-
| || || || || || 37\64 || || 693,750 || 10 || 7 || 1,429 ||
|-
| || || || || || || 48\83 || 693,976 || 13 || 9 || 1,444 ||
|-
| || || 11\19 || || || || || 694,737 || 3 || 2 || 1,500 || L/s = 3/2
|-
| || || || || || || 51\88 || 695,455 || 14 || 9 || 1,556 ||
|-
| || || || || || 40\69 || || 695,652 || 11 || 7 || 1,571 ||
|-
| || || || || || || 69\119 || 695,798 || 19 || 12 || 1,583 ||
|-
| || || || || 29\50 || || || 696,000 || 8 || 5 || 1,600 ||
|-
| || || || || || || 66\131 || 696,183 || 21 || |13 || 1,615 || Goldene mitteltönige Stimmung
|-
| || || || || || 47\81 || || 696,296 || 13 || 8 || 1,625 ||
|-
| || || || || || || 65\112 || 696,429 || 18 || 11 || 1,636 || 
|-
| || || || 18\31 || || || || 696,774 || 5 || 3 || 1,667 || Mitteltönige Stimmungen sind in diesem Generatorbereich
|-
| || || || || || || 61\105 || 697,143 || 17 || 10 || 1,700 ||
|-
| || || || || || 43\74 || || 697,297 || 12 || 7 || 1,714 ||
|-
| || || || || || || 68\117 || 697,436 || 19 || 11 || 1,727 ||
|-
| || || || || 25\43 || || || 697,674 || 7 || 4 || 1,750 ||
|-
| || || || || || || 57\98 || 697,959 || 16 || 9 || 1,778 ||
|-
| || || || || ||32\55 || || 698,182 || 9 || 5 || 1,800 ||
|-
| || || || || || || 39\67 || 698,507 || 11 || 6 || 1,833 ||
|-
| || 7\12 || || || || || || 700,000 || 2 || 1 || 2,000 || &lt;!--Basic diatonic&lt;br&gt;(Generators smaller than this are proper)--&gt;
|-
| || || || || || || 38\65 || 701,539 || 11 || 5 || 2,200 ||
|-
| || || || || || 31\53 || || 701,887 || 9 || 4 || 2,250 || Das EDO-Generatorintervall, das unter EDOs &lt;= 200 zum reinen [[3/2]] am nächsten ist
|-
| || || || || || || 55\94 || 702,128 || 16 || 7 || 2,286 ||
|-
| || || || || 24\41 || || || 702,409 || 7 || 3 || 2,333 ||
|-
| || || || || || || 65\111 || 702,703 || 19 || 8 || 2,375 ||
|-
| || || || || || 41\70 || || 702,857 || 12 || 5 || 2,400 ||
|-
| || || || || || || 58\99 || 703,030 || 17 || 7 || 2,428 ||
|-
| || || || 17\29 || || || || 703,448 || 5 || 2 || 2,500 ||
|-
| || || || || || || 61\104 || 703,846 || 18 || 7 || 2,571 ||
|-
| || || || || || 44\75 || || 704,000 || 13 || 5 || 2,600 ||
|-
| || || || || || || 71\121 || 704,132 || 21 || 8 || 2,625 || Goldene "Neogotisch"-Stimmung
|-
| || || || || 27\46 || || || 704,348 || 8 || 3 || 2,667 || "Neogotisch"-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 64\109 || 704,587 || 19 || 7 || 2,714 ||
|-
| || || || || || 37\63 || || 704,762 || 11 || 4 || 2,750 ||
|-
| || || || || || || 47\80 || 705,000 || 14 || 5 || 2,800 ||
|-
| || || 10\17 || || || || || 705,882 || 3 || 1 || 3,000 || L/s = 3/1
|-
| || || || || || || 43\73 || 706,849 || 13 || 4 || 3,250 ||
|-
| || || || || || 33\56 || || 707,143 || 10 || 3 || 3,333 ||
|-
| || || || || || || 56\95 || 707,368 || 17 || 5 || 3,400 ||
|-
| || || || || 23\39 || || || 707,692 || 7 || 2 || 3,500 ||
|-
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|-
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|-
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|-
| || || || 13\22 || || || || 709,091 || 4 || 1 || 4,000 || [[Archy]]-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 42\71 || 709,859 || 13 || 3 || 4,333 ||
|-
| || || || || || 29\49 || || 710,204 || 9 || 2 || 4,500 ||
|-
| || || || || || || 45\76 || 710,526 || 14 || 3 || 4,667 ||
|-
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|-
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|-
| || || || || || 19\32 || || 712,500 || 6 || 1 || 6,000 ||
|-
| || || || || || || 22\37 || 713,514 || 7 || 1 || 7,000 ||
|-
| 3\5 || || || || || || || 720,000 || 1 || 0 || → ∞ ||
|}

== Temperaturen ==

[[Kategorie:MOS]]</text>
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      <comment>Fredg999 verschob die Seite [[5L2s]] nach [[5L 2s]] und überschrieb dabei eine Weiterleitung</comment>
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| de = 5L2s
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| ja = 
}}
&lt;!--{{Infobox MOS
| Name = diatonic
| Periods = 1
| nLargeSteps = 5
| nSmallSteps = 2
| Equalized = 4
| Paucitonic = 3
| Pattern = LLLsLLs
| Neutral = 3L 4s
}}
--&gt;
Eine mögliche Definition für die '''diatonische''' Skala ist als der durch das Übereinanderschichten von "Quinten" (bzw. "Quarten") erzeugte [[MOS|MOS-Skalentyp]] namens '''5L2s''', also mit 5 großen Schritten und 2 kleinen Schritten. Das entsprechende Schrittmuster lautet LLLsLLs (wenn man die verschiedenen Modi ignoriert).

== Generatorbereiche ==

== Modi ==
Die diatonischen Modi haben bekannte Namen aus der klassischen westlichen Musiktheorie: 

{| class="wikitable center-all"
|-
! Modus
! [[UDP-Notation|UDP]]
! Name
|-
| LLLsLLs
| &lt;nowiki&gt;6|0&lt;/nowiki&gt;
| Lydisch
|-
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| Ionisch
|-
| LLsLLsL
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|-
| LsLLLsL
| &lt;nowiki&gt;3|3&lt;/nowiki&gt;
| Dorisch
|-
| LsLLsLL
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| Äolisch
|-
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| &lt;nowiki&gt;1|5&lt;/nowiki&gt;
| Phrygisch
|-
| sLLsLLL
| &lt;nowiki&gt;0|6&lt;/nowiki&gt;
| Lokrisch
|}
== Skalenbaum ==
Wenn man das Intervall 4\7 (vier Schritte von [[7-EDO]]) auf ein Ende setzt und 3\5 (drei Schritte von [[5-EDO]]) auf das andere, liegen alle andere möglichen 5L2s-Skalen in einem Kontinuum zwischen den beiden Enden. Man kann dieses Kontinuum unterteilen, indem man die Zähler der beiden Endbrüche addiert und dann die Nenner addiert (diese Operation heißt die [[Mediant]]en-Operation oder die Farey-Summe). Zwischen 4\7 und 3\5 entsteht also (4+3)\(7+5) = 7\12, also sieben Schritte von 12-EDO:

{| class="wikitable"
|-
| 4\7 || 
|-
| || 7\12
|-
| 3\5 ||
|}

Wenn man diese Medianten-Operation weiter ausführt, tauchen im Kontinuum größere EDOs auf. Also ist der resultierende diatonische [[Skalenbaum]] (bis zur Tiefe 6) wie folgt:

{| class="wikitable center-all"
! colspan="7" | Generatorintervall
! Cent-Größe
! L
! s
! L/s
! Hinweis
|-
| 4\7 || || || || || || || 685,714 || 1 || 1 || 1,000 ||
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| || || || 18\31 || || || || 696,774 || 5 || 3 || 1,667 || Mitteltönige Stimmungen sind in diesem Generatorbereich
|-
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|-
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|-
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|-
| || 7\12 || || || || || || 700,000 || 2 || 1 || 2,000 || &lt;!--Basic diatonic&lt;br&gt;(Generators smaller than this are proper)--&gt;
|-
| || || || || || || 38\65 || 701,539 || 11 || 5 || 2,200 ||
|-
| || || || || || 31\53 || || 701,887 || 9 || 4 || 2,250 || Das EDO-Generatorintervall, das unter EDOs &lt;= 200 zum reinen [[3/2]] am nächsten ist
|-
| || || || || || || 55\94 || 702,128 || 16 || 7 || 2,286 ||
|-
| || || || || 24\41 || || || 702,409 || 7 || 3 || 2,333 ||
|-
| || || || || || || 65\111 || 702,703 || 19 || 8 || 2,375 ||
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| || || || 13\22 || || || || 709,091 || 4 || 1 || 4,000 || [[Archy]]-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 42\71 || 709,859 || 13 || 3 || 4,333 ||
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| || || || || || || 22\37 || 713,514 || 7 || 1 || 7,000 ||
|-
| 3\5 || || || || || || || 720,000 || 1 || 0 || → ∞ ||
|}

== Temperaturen ==

[[Kategorie:MOS]]</text>
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| de = 5L 2s
| en = 5L 2s
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| ja = 5L 2s
}}
&lt;!--{{Infobox MOS
| Name = diatonic
| Periods = 1
| nLargeSteps = 5
| nSmallSteps = 2
| Equalized = 4
| Paucitonic = 3
| Pattern = LLLsLLs
| Neutral = 3L 4s
}}
--&gt;
Eine mögliche Definition für die '''diatonische''' Skala ist als der durch das Übereinanderschichten von "Quinten" (bzw. "Quarten") erzeugte [[MOS|MOS-Skalentyp]] namens '''5L2s''', also mit 5 großen Schritten und 2 kleinen Schritten. Das entsprechende Schrittmuster lautet LLLsLLs (wenn man die verschiedenen Modi ignoriert).

== Generatorbereiche ==

== Modi ==
Die diatonischen Modi haben bekannte Namen aus der klassischen westlichen Musiktheorie: 

{| class="wikitable center-all"
|-
! Modus
! [[UDP-Notation|UDP]]
! Name
|-
| LLLsLLs
| &lt;nowiki&gt;6|0&lt;/nowiki&gt;
| Lydisch
|-
| LLsLLLs
| &lt;nowiki&gt;5|1&lt;/nowiki&gt;
| Ionisch
|-
| LLsLLsL
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| Mixolydisch
|-
| LsLLLsL
| &lt;nowiki&gt;3|3&lt;/nowiki&gt;
| Dorisch
|-
| LsLLsLL
| &lt;nowiki&gt;2|4&lt;/nowiki&gt;
| Äolisch
|-
| sLLLsLL
| &lt;nowiki&gt;1|5&lt;/nowiki&gt;
| Phrygisch
|-
| sLLsLLL
| &lt;nowiki&gt;0|6&lt;/nowiki&gt;
| Lokrisch
|}
== Skalenbaum ==
Wenn man das Intervall 4\7 (vier Schritte von [[7-EDO]]) auf ein Ende setzt und 3\5 (drei Schritte von [[5-EDO]]) auf das andere, liegen alle andere möglichen 5L2s-Skalen in einem Kontinuum zwischen den beiden Enden. Man kann dieses Kontinuum unterteilen, indem man die Zähler der beiden Endbrüche addiert und dann die Nenner addiert (diese Operation heißt die [[Mediant]]en-Operation oder die Farey-Summe). Zwischen 4\7 und 3\5 entsteht also (4+3)\(7+5) = 7\12, also sieben Schritte von 12-EDO:

{| class="wikitable"
|-
| 4\7 || 
|-
| || 7\12
|-
| 3\5 ||
|}

Wenn man diese Medianten-Operation weiter ausführt, tauchen im Kontinuum größere EDOs auf. Also ist der resultierende diatonische [[Skalenbaum]] (bis zur Tiefe 6) wie folgt:

{| class="wikitable center-all"
! colspan="7" | Generatorintervall
! Cent-Größe
! L
! s
! L/s
! Hinweis
|-
| 4\7 || || || || || || || 685,714 || 1 || 1 || 1,000 ||
|-
| || || || || || || 27\47 || 689,362 || 7 || 6 || 1,167 ||
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| || || || || || || 56\97 || 692,784 || 15 || 11 || 1,364 ||
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| || || || || || 37\64 || || 693,750 || 10 || 7 || 1,429 ||
|-
| || || || || || || 48\83 || 693,976 || 13 || 9 || 1,444 ||
|-
| || || 11\19 || || || || || 694,737 || 3 || 2 || 1,500 || L/s = 3/2
|-
| || || || || || || 51\88 || 695,455 || 14 || 9 || 1,556 ||
|-
| || || || || || 40\69 || || 695,652 || 11 || 7 || 1,571 ||
|-
| || || || || || || 69\119 || 695,798 || 19 || 12 || 1,583 ||
|-
| || || || || 29\50 || || || 696,000 || 8 || 5 || 1,600 ||
|-
| || || || || || || 66\131 || 696,183 || 21 || |13 || 1,615 || Goldene mitteltönige Stimmung
|-
| || || || || || 47\81 || || 696,296 || 13 || 8 || 1,625 ||
|-
| || || || || || || 65\112 || 696,429 || 18 || 11 || 1,636 || 
|-
| || || || 18\31 || || || || 696,774 || 5 || 3 || 1,667 || Mitteltönige Stimmungen sind in diesem Generatorbereich
|-
| || || || || || || 61\105 || 697,143 || 17 || 10 || 1,700 ||
|-
| || || || || || 43\74 || || 697,297 || 12 || 7 || 1,714 ||
|-
| || || || || || || 68\117 || 697,436 || 19 || 11 || 1,727 ||
|-
| || || || || 25\43 || || || 697,674 || 7 || 4 || 1,750 ||
|-
| || || || || || || 57\98 || 697,959 || 16 || 9 || 1,778 ||
|-
| || || || || ||32\55 || || 698,182 || 9 || 5 || 1,800 ||
|-
| || || || || || || 39\67 || 698,507 || 11 || 6 || 1,833 ||
|-
| || 7\12 || || || || || || 700,000 || 2 || 1 || 2,000 || &lt;!--Basic diatonic&lt;br&gt;(Generators smaller than this are proper)--&gt;
|-
| || || || || || || 38\65 || 701,539 || 11 || 5 || 2,200 ||
|-
| || || || || || 31\53 || || 701,887 || 9 || 4 || 2,250 || Das EDO-Generatorintervall, das unter EDOs &lt;= 200 zum reinen [[3/2]] am nächsten ist
|-
| || || || || || || 55\94 || 702,128 || 16 || 7 || 2,286 ||
|-
| || || || || 24\41 || || || 702,409 || 7 || 3 || 2,333 ||
|-
| || || || || || || 65\111 || 702,703 || 19 || 8 || 2,375 ||
|-
| || || || || || 41\70 || || 702,857 || 12 || 5 || 2,400 ||
|-
| || || || || || || 58\99 || 703,030 || 17 || 7 || 2,428 ||
|-
| || || || 17\29 || || || || 703,448 || 5 || 2 || 2,500 ||
|-
| || || || || || || 61\104 || 703,846 || 18 || 7 || 2,571 ||
|-
| || || || || || 44\75 || || 704,000 || 13 || 5 || 2,600 ||
|-
| || || || || || || 71\121 || 704,132 || 21 || 8 || 2,625 || Goldene "Neogotisch"-Stimmung
|-
| || || || || 27\46 || || || 704,348 || 8 || 3 || 2,667 || "Neogotisch"-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 64\109 || 704,587 || 19 || 7 || 2,714 ||
|-
| || || || || || 37\63 || || 704,762 || 11 || 4 || 2,750 ||
|-
| || || || || || || 47\80 || 705,000 || 14 || 5 || 2,800 ||
|-
| || || 10\17 || || || || || 705,882 || 3 || 1 || 3,000 || L/s = 3/1
|-
| || || || || || || 43\73 || 706,849 || 13 || 4 || 3,250 ||
|-
| || || || || || 33\56 || || 707,143 || 10 || 3 || 3,333 ||
|-
| || || || || || || 56\95 || 707,368 || 17 || 5 || 3,400 ||
|-
| || || || || 23\39 || || || 707,692 || 7 || 2 || 3,500 ||
|-
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|-
| || || || || || 36\61 || || 708,197 || 11 || 3 || 3,667 ||
|-
| || || || || || || 49\83 || 708,434 || 15 || 4 || 3,750 ||
|-
| || || || 13\22 || || || || 709,091 || 4 || 1 || 4,000 || [[Archy]]-Generatorbereich
|-
| || || || || || || 42\71 || 709,859 || 13 || 3 || 4,333 ||
|-
| || || || || || 29\49 || || 710,204 || 9 || 2 || 4,500 ||
|-
| || || || || || || 45\76 || 710,526 || 14 || 3 || 4,667 ||
|-
| || || || || 16\27 || || || 711,111 || 5 || 1 || 5,000 ||
|-
| || || || || || || 35\59 || 711,864 || 11 || 2 || 5,500 ||
|-
| || || || || || 19\32 || || 712,500 || 6 || 1 || 6,000 ||
|-
| || || || || || || 22\37 || 713,514 || 7 || 1 || 7,000 ||
|-
| 3\5 || || || || || || || 720,000 || 1 || 0 || → ∞ ||
|}

== Temperaturen ==

[[Kategorie:MOS]]</text>
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| de = 5L 2s
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| ja = 5L 2s
}}
&lt;!--{{Infobox MOS
| Name = diatonic
| Periods = 1
| nLargeSteps = 5
| nSmallSteps = 2
| Equalized = 4
| Paucitonic = 3
| Pattern = LLLsLLs
| Neutral = 3L 4s
}}
--&gt;
Eine mögliche Definition für die '''diatonische''' Skala ist als der durch das Übereinanderschichten von "Quinten" (bzw. "Quarten") erzeugte [[MOS|MOS-Skalentyp]] namens '''5L 2s''', also mit 5 großen Schritten und 2 kleinen Schritten. Das entsprechende Schrittmuster lautet LLLsLLs (wenn man die verschiedenen Modi ignoriert).

== Generatorbereiche ==

== Modi ==
Die diatonischen Modi haben bekannte Namen aus der klassischen westlichen Musiktheorie: 

{| class="wikitable center-all"
|-
! Modus
! [[UDP-Notation|UDP]]
! Name
|-
| LLLsLLs
| &lt;nowiki&gt;6|0&lt;/nowiki&gt;
| Lydisch
|-
| LLsLLLs
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| Ionisch
|-
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| Mixolydisch
|-
| LsLLLsL
| &lt;nowiki&gt;3|3&lt;/nowiki&gt;
| Dorisch
|-
| LsLLsLL
| &lt;nowiki&gt;2|4&lt;/nowiki&gt;
| Äolisch
|-
| sLLLsLL
| &lt;nowiki&gt;1|5&lt;/nowiki&gt;
| Phrygisch
|-
| sLLsLLL
| &lt;nowiki&gt;0|6&lt;/nowiki&gt;
| Lokrisch
|}
== Skalenbaum ==
Wenn man das Intervall 4\7 (vier Schritte von [[7-EDO]]) auf ein Ende setzt und 3\5 (drei Schritte von [[5-EDO]]) auf das andere, liegen alle andere möglichen 5L 2s-Skalen in einem Kontinuum zwischen den beiden Enden. Man kann dieses Kontinuum unterteilen, indem man die Zähler der beiden Endbrüche addiert und dann die Nenner addiert (diese Operation heißt die [[Mediant]]en-Operation oder die Farey-Summe). Zwischen 4\7 und 3\5 entsteht also (4+3)\(7+5) = 7\12, also sieben Schritte von 12-EDO:

{| class="wikitable"
|-
| 4\7 || 
|-
| || 7\12
|-
| 3\5 ||
|}

Wenn man diese Medianten-Operation weiter ausführt, tauchen im Kontinuum größere EDOs auf. Also ist der resultierende diatonische [[Skalenbaum]] (bis zur Tiefe 6) wie folgt:

{| class="wikitable center-all"
! colspan="7" | Generatorintervall
! Cent-Größe
! L
! s
! L/s
! Hinweis
|-
| 4\7 || || || || || || || 685,714 || 1 || 1 || 1,000 ||
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| || || || 18\31 || || || || 696,774 || 5 || 3 || 1,667 || Mitteltönige Stimmungen sind in diesem Generatorbereich
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
| || 7\12 || || || || || || 700,000 || 2 || 1 || 2,000 || &lt;!--Basic diatonic&lt;br&gt;(Generators smaller than this are proper)--&gt;
|-
| || || || || || || 38\65 || 701,539 || 11 || 5 || 2,200 ||
|-
| || || || || || 31\53 || || 701,887 || 9 || 4 || 2,250 || Das EDO-Generatorintervall, das unter EDOs &lt;= 200 zum reinen [[3/2]] am nächsten ist
|-
| || || || || || || 55\94 || 702,128 || 16 || 7 || 2,286 ||
|-
| || || || || 24\41 || || || 702,409 || 7 || 3 || 2,333 ||
|-
| || || || || || || 65\111 || 702,703 || 19 || 8 || 2,375 ||
|-
| || || || || || 41\70 || || 702,857 || 12 || 5 || 2,400 ||
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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== Temperaturen ==

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Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' der (vollständig gekürzten) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist (''a''+''b'')/(''c''+''d''). Für diese Brüche gilt:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+b}{c+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Medianten-Operation ist sehr wichtig und praktisch nützlich in der xenharmonischen Musiktheorie.

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Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' der (vollständig gekürzten) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist (''a''+''b'')/(''c''+''d''). Für diese Brüche gilt:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+b}{c+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der xenharmonischen Musiktheorie und auch praktisch nützlich.

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Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' der (vollständig gekürzten) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''b'')/(''c''+''d''). Für diese Brüche gilt:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+b}{c+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der xenharmonischen Musiktheorie und auch praktisch nützlich.

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Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' der (vollständig gekürzten) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''b'')/(''c''+''d''). Wenn a/b &lt; c/d, gilt für diese Brüche:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+b}{c+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der xenharmonischen Musiktheorie und auch praktisch nützlich.

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Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' der (vollständig gekürzten) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''b'')/(''c''+''d''). Wenn a/b &lt; c/d, gilt für diese Brüche:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+b}{c+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der xenharmonischen Musiktheorie und auch praktisch nützlich.

== Der Mediant in reiner Stimmung ==
== Der Mediant in MOS-Skalen und Temperaturen ==

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Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' der (vollständig gekürzten) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''b'')/(''c''+''d''). Wenn a/b &lt; c/d, gilt für diese Brüche:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+b}{c+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der xenharmonischen Musiktheorie und auch praktisch nützlich. Grund dafür ist, dass sukzessive Medianten-Operationen dazu dienen können, an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit zu approximieren.

== Der Mediant in reiner Stimmung ==
== Der Mediant in MOS-Skalen und Temperaturen ==

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Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' der (vollständig gekürzten) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''b'')/(''c''+''d''). Wenn a/b &lt; c/d, gilt für diese Brüche:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+b}{c+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der xenharmonischen Musiktheorie und auch praktisch nützlich. Grund dafür ist, dass sukzessive Medianten-Operationen dazu dienen können, an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit zu approximieren. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== Der Mediant in reiner Stimmung ==
== Der Mediant in MOS-Skalen und Temperaturen ==

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Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' der (vollständig gekürzten) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''b'')/(''c''+''d''). Wenn a/b &lt; c/d, gilt für diese Brüche:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+b}{c+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der xenharmonischen Musiktheorie und auch praktisch nützlich, aus folgenden Gründen:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Sukzessive Medianten-Operationen dazu dienen können, an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit zu approximieren. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== Der Mediant in reiner Stimmung ==
== Der Mediant in MOS-Skalen und Temperaturen ==

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Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' der (vollständig gekürzten) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''b'')/(''c''+''d''). Wenn a/b &lt; c/d, gilt für diese Brüche:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+b}{c+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der xenharmonischen Musiktheorie und auch praktisch nützlich, aus folgenden Gründen:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Sukzessive Medianten-Operationen können dazu dienen, an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit zu approximieren. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== Der Mediant in reiner Stimmung ==
== Der Mediant in MOS-Skalen und Temperaturen ==

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Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' der (vollständig gekürzten) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''b'')/(''c''+''d''). Wenn a/b &lt; c/d, gilt für diese Brüche:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+b}{c+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der xenharmonischen Musiktheorie und auch praktisch nützlich, aus folgenden Gründen:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Sukzessive Medianten-Operationen können dazu dienen, einen Wert zu finden, der an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit approximiert. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== Der Mediant in reiner Stimmung ==
== Der Mediant in MOS-Skalen und Temperaturen ==

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Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' der (vollständig gekürzten) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''b'')/(''c''+''d''). Der Mediant ist immer zwischen die zwei Brüche: wenn a/b &lt; c/d, gilt für ihren Medianten:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+b}{c+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der xenharmonischen Musiktheorie und auch praktisch nützlich, aus folgenden Gründen:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Sukzessive Medianten-Operationen können dazu dienen, einen Wert zu finden, der an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit approximiert. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== Der Mediant in reiner Stimmung ==
== Der Mediant in MOS-Skalen und Temperaturen ==

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Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' der (vollständig gekürzten) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''b'')/(''c''+''d''). Der Mediant ist immer zwischen die zwei Brüche: wenn a/b &lt; c/d, gilt für ihren Medianten:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} &lt; \frac{a+b}{c+d} &lt; \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der xenharmonischen Musiktheorie und auch praktisch nützlich, aus folgenden Gründen:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Sukzessive Medianten-Operationen können dazu dienen, einen Wert zu finden, der an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit approximiert. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== Der Mediant in reiner Stimmung ==
== Der Mediant in MOS-Skalen und Temperaturen ==

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Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''). Der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der (xenharmonischen) Musiktheorie und auch praktisch nützlich. Die Gründe dafür sind:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Sukzessive Medianten-Operationen können dazu dienen, einen Wert zu finden, der an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit approximiert. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== Der Mediant in reiner Stimmung ==
== Der Mediant in MOS-Skalen und Temperaturen ==

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}}
Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der (xenharmonischen) Musiktheorie und auch praktisch nützlich. Die Gründe dafür sind:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Sukzessive Medianten-Operationen können dazu dienen, einen Wert zu finden, der an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit approximiert. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== Der Mediant in reiner Stimmung ==
== Der Mediant in MOS-Skalen und Temperaturen ==

[[Kategorie:Mathematik]]</text>
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Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der (xenharmonischen) Musiktheorie und auch praktisch nützlich. Die Gründe dafür sind:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Sukzessive Medianten-Operationen können dazu dienen, einen Wert zu finden, der an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit approximiert. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], also die reine perfekte Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein leicht komplizierteres Beispiel: Nehmen wir an, dass wir ein JI-Wert in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten. Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]].
# M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = 3/2 (≈ 702 Cent) &gt; 450 Cent. Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2.
# M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = 4/3 (≈ 498 Cent) &gt; 450 Cent. Neues R = 4/3.
# M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = 5/4 (≈ 386 Cent) &lt; 450 Cent. Neues L = 5/4.
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# M(4/3, 9/7) = (4+9)/(3+7) = 13/10 (≈ 454 Cent) &gt; 450 Cent. Neues R = 13/10.
# ... (Wenn für uns das Ergebnis eines Schritts nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, können wir dann stoppen. Anders machen wir weiter.)

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
In Zusammenhang mit MOS-Skalen bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische [[MOS-Skala]] ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:

# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]

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Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der (xenharmonischen) Musiktheorie und auch praktisch nützlich. Die Gründe dafür sind:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Sukzessive Medianten-Operationen können dazu dienen, einen Wert zu finden, der an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit approximiert. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], also die reine perfekte Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein leicht komplizierteres Beispiel: Nehmen wir an, dass wir ein JI-Wert in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]]. Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent) &gt; 450 Cent.
# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2. Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent) (&gt; 450 Cent)
# Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3. Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = '''5/4''' (≈ 386 Cent).
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# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7. Ergebnis = M(4/3, 9/7) = (4+9)/(3+7) = '''13/10''' (≈ 454 Cent).
# ... (Wenn für uns das Ergebnis eines Schritts nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, können wir dann stoppen. Anders machen wir weiter.)

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
In Zusammenhang mit MOS-Skalen bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische [[MOS-Skala]] ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:

# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]

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Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der (xenharmonischen) Musiktheorie und auch praktisch nützlich. Die Gründe dafür sind:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Sukzessive Medianten-Operationen können dazu dienen, einen Wert zu finden, der an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit approximiert. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], also die reine perfekte Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel: Nehmen wir an, dass wir ein JI-Wert in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]]. Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent) &gt; 450 Cent.
# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2. Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent) (&gt; 450 Cent)
# Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3. Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = '''5/4''' (≈ 386 Cent).
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# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7. Ergebnis = M(4/3, 9/7) = (4+9)/(3+7) = '''13/10''' (≈ 454 Cent).
# ... (Wenn für uns das Ergebnis eines Schritts nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, können wir dann stoppen. Anders machen wir weiter.)

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
In Zusammenhang mit MOS-Skalen bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische [[MOS-Skala]] ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:

# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]

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Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der (xenharmonischen) Musiktheorie und auch praktisch nützlich. Die Gründe dafür sind:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Sukzessive Medianten-Operationen können dazu dienen, einen Wert zu finden, der an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit approximiert. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], also die reine perfekte Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel: Nehmen wir an, dass wir ein JI-Wert in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]]. Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent).
# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2. Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent)
# Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3. Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = '''5/4''' (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4. Ergebnis = M(4/3, 5/4) = (4+5)/(3+4) = '''9/7''' (≈ 435 Cent).
# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7. Ergebnis = M(4/3, 9/7) = (4+9)/(3+7) = '''13/10''' (≈ 454 Cent).
# ... (Wenn für uns das Ergebnis eines Schritts nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, können wir dann stoppen. Anders machen wir weiter.)

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
In Zusammenhang mit MOS-Skalen bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische [[MOS-Skala]] ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:

# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]

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Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der (xenharmonischen) Musiktheorie und auch praktisch nützlich. Die Gründe dafür sind:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Sukzessive Medianten-Operationen können dazu dienen, einen Wert zu finden, der an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit approximiert. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], also die reine perfekte Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein JI-Wert in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]]. Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent).
# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2. Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent)
# Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3. Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = '''5/4''' (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4. Ergebnis = M(4/3, 5/4) = (4+5)/(3+4) = '''9/7''' (≈ 435 Cent).
# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7. Ergebnis = M(4/3, 9/7) = (4+9)/(3+7) = '''13/10''' (≈ 454 Cent).
# ... (Wenn für uns das Ergebnis eines Schritts nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, können wir dann stoppen. Anders machen wir weiter.)

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
In Zusammenhang mit MOS-Skalen bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische [[MOS-Skala]] ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:

# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]

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}}
Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der (xenharmonischen) Musiktheorie und auch praktisch nützlich. Die Gründe dafür sind:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Sukzessive Medianten-Operationen können dazu dienen, einen Wert zu finden, der an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit approximiert. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], also die reine perfekte Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir einen reinen Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]]. Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent).
# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2. Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent)
# Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3. Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = '''5/4''' (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4. Ergebnis = M(4/3, 5/4) = (4+5)/(3+4) = '''9/7''' (≈ 435 Cent).
# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7. Ergebnis = M(4/3, 9/7) = (4+9)/(3+7) = '''13/10''' (≈ 454 Cent).
# ... (Wenn für uns das Ergebnis eines Schritts nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, können wir dann stoppen. Anders machen wir weiter.)

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
In Zusammenhang mit MOS-Skalen bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische [[MOS-Skala]] ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:

# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]

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}}
Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der (xenharmonischen) Musiktheorie und auch praktisch nützlich. Die Gründe dafür sind:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Sukzessive Medianten-Operationen können dazu dienen, einen Wert zu finden, der an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit approximiert. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], also die reine perfekte Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]]. Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent).
# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2. Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent)
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# ... (Wenn für uns das Ergebnis eines Schritts nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, können wir dann stoppen. Anders machen wir weiter.)

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
In Zusammenhang mit MOS-Skalen bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische [[MOS-Skala]] ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:

# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]

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Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der (xenharmonischen) Musiktheorie und auch praktisch nützlich. Die Gründe dafür sind:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Sukzessive Medianten-Operationen können dazu dienen, einen Wert zu finden, der an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit approximiert. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], also die reine perfekte Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]]. Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent).
# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2. Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent)
# Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3. Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = '''5/4''' (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4. Ergebnis = M(4/3, 5/4) = (4+5)/(3+4) = '''9/7''' (≈ 435 Cent).
# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7. Ergebnis = M(4/3, 9/7) = (4+9)/(3+7) = '''13/10''' (≈ 454 Cent).
# ... (Wenn für uns das Ergebnis eines Schritts nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, können wir dann stoppen. Anders machen wir weiter.)

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
In Zusammenhang mit MOS-Skalen bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische [[MOS-Skala]] ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:
# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]

Wegen der Grundeigenschaft, dass der Mediant immer zwischen den beiden ursprünglichen Werten liegt, sind die Ergebnisse der Medianten-Operation immer diatonische Generatorintervallen.

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Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen und ist selbst ein gekürzter Bruch:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der (xenharmonischen) Musiktheorie und auch praktisch nützlich. Die Gründe dafür sind:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Sukzessive Medianten-Operationen können dazu dienen, einen Wert zu finden, der an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit approximiert. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], also die reine perfekte Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]]. Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent).
# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2. Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent)
# Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3. Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = '''5/4''' (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4. Ergebnis = M(4/3, 5/4) = (4+5)/(3+4) = '''9/7''' (≈ 435 Cent).
# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7. Ergebnis = M(4/3, 9/7) = (4+9)/(3+7) = '''13/10''' (≈ 454 Cent).
# ... (Wenn für uns das Ergebnis eines Schritts nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, können wir dann stoppen. Anders machen wir weiter.)

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
In Zusammenhang mit MOS-Skalen bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische [[MOS-Skala]] ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:
# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessive Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an einer gewünschten Größe angepasst ist.

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Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen und ist selbst ein gekürzter Bruch:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der (xenharmonischen) Musiktheorie und auch praktisch nützlich. Die Gründe dafür sind:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Sukzessive Medianten-Operationen können dazu dienen, einen Wert zu finden, der an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit approximiert. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], also die reine perfekte Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]]. Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent).
# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2. Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent)
# Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3. Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = '''5/4''' (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4. Ergebnis = M(4/3, 5/4) = (4+5)/(3+4) = '''9/7''' (≈ 435 Cent).
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# ... (Wenn für uns das Ergebnis eines Schritts nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, können wir dann stoppen. Anders machen wir weiter.)

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
In Zusammenhang mit MOS-Skalen bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische [[MOS-Skala]] ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:
# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessive Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an einer gewünschten Größe angepasst ist. Dies ist der Unterbaum des Stern-Brocot-Baumes, der sich von (3\5, 4\7) ergibt, er ist also ein "Mikrokosmos" des gesamten Stern-Brocot-Baum.

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Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen und ist selbst ein gekürzter Bruch:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der (xenharmonischen) Musiktheorie und auch praktisch nützlich. Die Gründe dafür sind:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Sukzessive Medianten-Operationen können dazu dienen, einen Wert zu finden, der an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit approximiert. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], also die reine perfekte Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]]. Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent).
# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2. Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent)
# Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3. Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = '''5/4''' (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4. Ergebnis = M(4/3, 5/4) = (4+5)/(3+4) = '''9/7''' (≈ 435 Cent).
# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7. Ergebnis = M(4/3, 9/7) = (4+9)/(3+7) = '''13/10''' (≈ 454 Cent).
# ... (Wenn für uns das Ergebnis eines Schritts nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, können wir dann stoppen. Anders machen wir weiter.)

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
In Zusammenhang mit MOS-Skalen bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische [[MOS-Skala]] ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:
# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessive Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an einer gewünschten Größe angepasst ist. Dies ist der Unterbaum des Stern-Brocot-Baumes, der sich von (3\5, 4\7) ergibt, er ist also ein "Mikrokosmos" des gesamten Stern-Brocot-Baumes.

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Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen und ist selbst ein gekürzter Bruch:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der (xenharmonischen) Musiktheorie und auch praktisch nützlich. Die Gründe dafür sind:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Sukzessive Medianten-Operationen können dazu dienen, einen Wert zu finden, der an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit approximiert. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], also die reine perfekte Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]]. Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent).
# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2. Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent)
# Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3. Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = '''5/4''' (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4. Ergebnis = M(4/3, 5/4) = (4+5)/(3+4) = '''9/7''' (≈ 435 Cent).
# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7. Ergebnis = M(4/3, 9/7) = (4+9)/(3+7) = '''13/10''' (≈ 454 Cent).
# ... (Wenn für uns das Ergebnis eines Schritts nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, können wir dann stoppen. Anders machen wir weiter.)

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
In Zusammenhang mit MOS-Skalen bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische [[MOS-Skala]] ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:
# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessive Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an einer gewünschten Größe angepasst ist. Dies ist der Unterbaum des Stern-Brocot-Baumes, der sich von (3\5, 4\7) ergibt, er ist sozusagen ein "Mikrokosmos" des gesamten Stern-Brocot-Baumes.

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}}
Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen und ist selbst ein gekürzter Bruch:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der (xenharmonischen) Musiktheorie und auch praktisch nützlich. Die Gründe dafür sind:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Sukzessive Medianten-Operationen können dazu dienen, einen Wert zu finden, der an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit approximiert. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], also die reine perfekte Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]]. Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent).
# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2. Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent)
# Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3. Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = '''5/4''' (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4. Ergebnis = M(4/3, 5/4) = (4+5)/(3+4) = '''9/7''' (≈ 435 Cent).
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# ... (Wenn für uns das Ergebnis eines Schritts nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, können wir dann stoppen. Anders machen wir weiter.)

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
In Zusammenhang mit MOS-Skalen wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte dar.

Hier bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische [[MOS-Skala]] ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:
# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessive Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an einer gewünschten Größe angepasst ist. Dies ist der Unterbaum des Stern-Brocot-Baumes, der sich von (3\5, 4\7) ergibt, er ist sozusagen ein "Mikrokosmos" des gesamten Stern-Brocot-Baumes.

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}}
Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen und ist selbst ein gekürzter Bruch:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der (xenharmonischen) Musiktheorie und auch praktisch nützlich. Die Gründe dafür sind:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Sukzessive Medianten-Operationen können dazu dienen, einen Wert zu finden, der an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit approximiert. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], also die reine perfekte Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]]. Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent).
# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2. Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent)
# Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3. Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = '''5/4''' (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4. Ergebnis = M(4/3, 5/4) = (4+5)/(3+4) = '''9/7''' (≈ 435 Cent).
# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7. Ergebnis = M(4/3, 9/7) = (4+9)/(3+7) = '''13/10''' (≈ 454 Cent).
# ... (Wenn für uns das Ergebnis eines Schritts nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, können wir dann stoppen. Anders machen wir weiter.)

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
In Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte dar.

Hier bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:
# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessive Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an einer gewünschten Größe angepasst ist. Dies ist der Unterbaum des Stern-Brocot-Baumes, der sich von (3\5, 4\7) ergibt, er ist sozusagen ein "Mikrokosmos" des gesamten Stern-Brocot-Baumes.

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}}
Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen und ist selbst ein gekürzter Bruch:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der (xenharmonischen) Musiktheorie und auch praktisch nützlich. Die Gründe dafür sind:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Sukzessive Medianten-Operationen können dazu dienen, einen Wert zu finden, der an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit approximiert. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], also die reine perfekte Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]]. Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent).
# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2. Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent)
# Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3. Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = '''5/4''' (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4. Ergebnis = M(4/3, 5/4) = (4+5)/(3+4) = '''9/7''' (≈ 435 Cent).
# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7. Ergebnis = M(4/3, 9/7) = (4+9)/(3+7) = '''13/10''' (≈ 454 Cent).
# ... (Wenn für uns das Ergebnis eines Schritts nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, können wir dann stoppen. Anders machen wir weiter.)

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
In Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte dar.

Hier bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:
# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessive Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an einer gewünschten Größe angepasst ist. Dies ist der Unterbaum des Stern-Brocot-Baumes, der sich von (3\5, 4\7) ergibt, er ist sozusagen ein "Mikrokosmos" des gesamten Stern-Brocot-Baumes.

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Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen und ist selbst ein gekürzter Bruch:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der (xenharmonischen) Musiktheorie und auch praktisch nützlich. Die Gründe dafür sind:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Sukzessive Medianten-Operationen können dazu dienen, einen Wert zu finden, der an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit approximiert. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], also die reine perfekte Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]]. Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent).
# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2. Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent)
# Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3. Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = '''5/4''' (≈ 386 Cent).
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# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7. Ergebnis = M(4/3, 9/7) = (4+9)/(3+7) = '''13/10''' (≈ 454 Cent).
# ... (Wenn für uns das Ergebnis eines Schritts nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, können wir dann stoppen. Anders machen wir weiter.)

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
In Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte dar.

Hier bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wohingegen wenn man weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:
# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessive Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an einer gewünschten Größe angepasst ist. Dies ist der Unterbaum des Stern-Brocot-Baumes, der sich von (3\5, 4\7) ergibt, er ist sozusagen ein "Mikrokosmos" des gesamten Stern-Brocot-Baumes.

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Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen und ist selbst ein gekürzter Bruch:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der (xenharmonischen) Musiktheorie und auch praktisch nützlich. Die Gründe dafür sind:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Sukzessive Medianten-Operationen können dazu dienen, einen Wert zu finden, der an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit approximiert. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], also die reine perfekte Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]]. Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent).
# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2. Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent)
# Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3. Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = '''5/4''' (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4. Ergebnis = M(4/3, 5/4) = (4+5)/(3+4) = '''9/7''' (≈ 435 Cent).
# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7. Ergebnis = M(4/3, 9/7) = (4+9)/(3+7) = '''13/10''' (≈ 454 Cent).
# ... (Wenn für uns das Ergebnis eines Schritts nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, können wir dann stoppen. Anders machen wir weiter.)

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
In Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO).

Hier bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wohingegen wenn man weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:
# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessive Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an einer gewünschten Größe angepasst ist. Dies ist der Unterbaum des Stern-Brocot-Baumes, der sich von (3\5, 4\7) ergibt, er ist sozusagen ein "Mikrokosmos" des gesamten Stern-Brocot-Baumes.

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}}
Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen und ist selbst ein gekürzter Bruch:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der (xenharmonischen) Musiktheorie und auch praktisch nützlich. Die Gründe dafür sind:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Sukzessive Medianten-Operationen können dazu dienen, einen Wert zu finden, der an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit approximiert. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], also die reine perfekte Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]]. Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent).
# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2. Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent)
# Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3. Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = '''5/4''' (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4. Ergebnis = M(4/3, 5/4) = (4+5)/(3+4) = '''9/7''' (≈ 435 Cent).
# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7. Ergebnis = M(4/3, 9/7) = (4+9)/(3+7) = '''13/10''' (≈ 454 Cent).
# ... (Wenn für uns das Ergebnis eines Schritts nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, können wir dann stoppen. Anders machen wir weiter.)

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
In Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO).

Hier bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die den L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wohingegen wenn man weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:
# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessive Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an einer gewünschten Größe angepasst ist. Dies ist der Unterbaum des Stern-Brocot-Baumes, der sich von (3\5, 4\7) ergibt, er ist sozusagen ein "Mikrokosmos" des gesamten Stern-Brocot-Baumes.

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}}
Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen und ist selbst ein gekürzter Bruch:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der (xenharmonischen) Musiktheorie und auch praktisch nützlich. Die Gründe dafür sind:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Sukzessive Medianten-Operationen können dazu dienen, einen Wert zu finden, der an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit approximiert. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], also die reine perfekte Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]]. Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent).
# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2. Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent)
# Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3. Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = '''5/4''' (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4. Ergebnis = M(4/3, 5/4) = (4+5)/(3+4) = '''9/7''' (≈ 435 Cent).
# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7. Ergebnis = M(4/3, 9/7) = (4+9)/(3+7) = '''13/10''' (≈ 454 Cent).
# ... (Wenn für uns das Ergebnis eines Schritts nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, können wir dann stoppen. Anders machen wir weiter.)

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
In Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO).

Hier bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wohingegen wenn man weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:
# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessive Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an einer gewünschten Größe angepasst ist. Dies ist der Unterbaum des Stern-Brocot-Baumes, der sich von (3\5, 4\7) ergibt, er ist sozusagen ein "Mikrokosmos" des gesamten Stern-Brocot-Baumes.

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}}
Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen und ist selbst ein gekürzter Bruch:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der (xenharmonischen) Musiktheorie und auch praktisch nützlich. Die Gründe dafür sind:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Sukzessive Medianten-Operationen können dazu dienen, einen Wert zu finden, der an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit approximiert. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], also die reine perfekte Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]]. Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent).
# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2. Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent)
# Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3. Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = '''5/4''' (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4. Ergebnis = M(4/3, 5/4) = (4+5)/(3+4) = '''9/7''' (≈ 435 Cent).
# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7. Ergebnis = M(4/3, 9/7) = (4+9)/(3+7) = '''13/10''' (≈ 454 Cent).
# ... (Wenn für uns das Ergebnis eines Schritts nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, können wir dann stoppen. Anders machen wir weiter.)

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
In Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO).

Hier bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wohingegen wenn man weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:
# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessive Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an einer gewünschten Größe angepasst ist. Dies ist der Unterbaum des Stern-Brocot-Baumes, der sich von (3\5, 4\7) ergibt, er ist sozusagen ein "Mikrokosmos" des gesamten Stern-Brocot-Baumes.

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}}
Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen und ist selbst ein gekürzter Bruch:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der (xenharmonischen) Musiktheorie und auch praktisch nützlich. Die Gründe dafür sind:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Sukzessive Medianten-Operationen können dazu dienen, einen Wert zu finden, der an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit approximiert. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], also die reine perfekte Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]]. Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent).
# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2. Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent)
# Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3. Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = '''5/4''' (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4. Ergebnis = M(4/3, 5/4) = (4+5)/(3+4) = '''9/7''' (≈ 435 Cent).
# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7. Ergebnis = M(4/3, 9/7) = (4+9)/(3+7) = '''13/10''' (≈ 454 Cent).
# ... (Wenn für uns das Ergebnis eines Schritts nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, können wir dann stoppen. Anders machen wir weiter.)

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
In Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO).

Hier bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der L/s-Wert deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wohingegen wenn man weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:
# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessive Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an einer gewünschten Größe angepasst ist. Dies ist der Unterbaum des Stern-Brocot-Baumes, der sich von (3\5, 4\7) ergibt, er ist sozusagen ein "Mikrokosmos" des gesamten Stern-Brocot-Baumes.

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}}
Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen und ist selbst ein gekürzter Bruch:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der (xenharmonischen) Musiktheorie und auch praktisch nützlich. Die Gründe dafür sind:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Sukzessive Medianten-Operationen können dazu dienen, einen Wert zu finden, der an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit approximiert. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], also die reine perfekte Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]]. Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent).
# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2. Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent)
# Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3. Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = '''5/4''' (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4. Ergebnis = M(4/3, 5/4) = (4+5)/(3+4) = '''9/7''' (≈ 435 Cent).
# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7. Ergebnis = M(4/3, 9/7) = (4+9)/(3+7) = '''13/10''' (≈ 454 Cent).
# ... (Wenn für uns das Ergebnis eines Schritts nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, können wir dann stoppen. Anders machen wir weiter.)

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
In Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO).

Hier bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der L/s-Wert dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wohingegen wenn man weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:
# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessive Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an einer gewünschten Größe angepasst ist. Dies ist der Unterbaum des Stern-Brocot-Baumes, der sich von (3\5, 4\7) ergibt, er ist sozusagen ein "Mikrokosmos" des gesamten Stern-Brocot-Baumes.

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}}
Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen und ist selbst ein gekürzter Bruch:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der (xenharmonischen) Musiktheorie und auch praktisch nützlich. Die Gründe dafür sind:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Sukzessive Medianten-Operationen können dazu dienen, einen Wert zu finden, der an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit approximiert. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], also die reine perfekte Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]]. Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent).
# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2. Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent)
# Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3. Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = '''5/4''' (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4. Ergebnis = M(4/3, 5/4) = (4+5)/(3+4) = '''9/7''' (≈ 435 Cent).
# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7. Ergebnis = M(4/3, 9/7) = (4+9)/(3+7) = '''13/10''' (≈ 454 Cent).
# ... (Wenn für uns das Ergebnis eines Schritts nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, können wir dann stoppen. Anders machen wir weiter.)

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
In Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO).

Hier bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der L/s-Wert dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wohingegen wenn man weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:
# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessive Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an eine gewünschte Größe angepasst ist. Dies ist der Unterbaum des Stern-Brocot-Baumes, der sich von (3\5, 4\7) ergibt, er ist sozusagen ein "Mikrokosmos" des gesamten Stern-Brocot-Baumes.

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}}
Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen und ist selbst ein gekürzter Bruch:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der (xenharmonischen) Musiktheorie und auch praktisch nützlich. Die Gründe dafür sind:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Sukzessive Medianten-Operationen können dazu dienen, einen Wert zu finden, der an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit approximiert. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], also die reine perfekte Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]]. Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent).
# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2. Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent)
# Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3. Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = '''5/4''' (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4. Ergebnis = M(4/3, 5/4) = (4+5)/(3+4) = '''9/7''' (≈ 435 Cent).
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# ... (Wenn für uns das Ergebnis eines Schritts nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, können wir dann stoppen. Anders machen wir weiter.)

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
Im Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO).

Hier bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der L/s-Wert dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wohingegen wenn man weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:
# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessive Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an eine gewünschte Größe angepasst ist. Dies ist der Unterbaum des Stern-Brocot-Baumes, der sich von (3\5, 4\7) ergibt, er ist sozusagen ein "Mikrokosmos" des gesamten Stern-Brocot-Baumes.

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}}
Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen und ist selbst ein gekürzter Bruch:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der (xenharmonischen) Musiktheorie und auch praktisch nützlich. Die Gründe dafür sind:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Sukzessive Medianten-Operationen können dazu dienen, einen Wert zu finden, der an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit approximiert. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], also die reine perfekte Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]]. Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent).
# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2. Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent)
# Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3. Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = '''5/4''' (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4. Ergebnis = M(4/3, 5/4) = (4+5)/(3+4) = '''9/7''' (≈ 435 Cent).
# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7. Ergebnis = M(4/3, 9/7) = (4+9)/(3+7) = '''13/10''' (≈ 454 Cent).
# ... (Wenn für uns das Ergebnis eines Schritts nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, können wir dann stoppen. Anders machen wir weiter.)

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
Im Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO).

Hier bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der L/s-Wert dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wohingegen wenn man weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:
# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessiven Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an eine gewünschte Größe angepasst ist. Dies ist der Unterbaum des Stern-Brocot-Baumes, der sich von (3\5, 4\7) ergibt, er ist sozusagen ein "Mikrokosmos" des gesamten Stern-Brocot-Baumes.

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}}
Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), ebenfalls in gekürzter Form. Der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Bedeutung der Medianten-Operation für Theorie und Praxis der (xenharmonischen) Musik ergibt sich aus folgenden Eigenheiten:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Wiederholte Medianten-Operationen lassen sich nutzen, um eine nichtrationale Zahl mit beliebiger Genauigkeit durch eine rationale Zahl anzunähern. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], die reine Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]]. Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent).
# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2. Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent)
# Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3. Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = '''5/4''' (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4. Ergebnis = M(4/3, 5/4) = (4+5)/(3+4) = '''9/7''' (≈ 435 Cent).
# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7. Ergebnis = M(4/3, 9/7) = (4+9)/(3+7) = '''13/10''' (≈ 454 Cent).
# ... (sobald das Ergebnis nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, stoppen wir)

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
Im Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO).

Hier bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der L/s-Wert dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man hingegen weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:
# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessiven Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an eine gewünschte Größe angepasst ist. Dies ist der Unterbaum des Stern-Brocot-Baumes, der sich von (3\5, 4\7) ergibt, er ist sozusagen ein "Mikrokosmos" des gesamten Stern-Brocot-Baumes.

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Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), ebenfalls in gekürzter Form. Der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Bedeutung der Medianten-Operation für Theorie und Praxis der (xenharmonischen) Musik ergibt sich aus folgenden Eigenheiten:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Wiederholte Medianten-Operationen lassen sich nutzen, um eine nichtrationale Zahl mit beliebiger Genauigkeit durch eine rationale Zahl anzunähern. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], die reine Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]]. Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent).
# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2. Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent)
# Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3. Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = '''5/4''' (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4. Ergebnis = M(4/3, 5/4) = (4+5)/(3+4) = '''9/7''' (≈ 435 Cent).
# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7. Ergebnis = M(4/3, 9/7) = (4+9)/(3+7) = '''13/10''' (≈ 454 Cent).
# ... (sobald das Ergebnis nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, stoppen wir)

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
Im Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO).

Hier bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der L/s-Wert dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man hingegen weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:
# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessiven Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an eine gewünschte Größe angepasst ist. Dieser Unterbaum, der sich von (3\5, 4\7) ergibt, wird in der Tat eine exakte Kopie des ganzen Baumes, wenn seine Knoten mit den entsprechenden Schrittverhältniswerten markiert wird.

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}}
Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), ebenfalls in gekürzter Form. Der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Bedeutung der Medianten-Operation für Theorie und Praxis der (xenharmonischen) Musik ergibt sich aus folgenden Eigenheiten:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Wiederholte Medianten-Operationen lassen sich nutzen, um eine nichtrationale Zahl mit beliebiger Genauigkeit durch eine rationale Zahl anzunähern. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], die reine Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]]. Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent).
# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2. Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent)
# Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3. Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = '''5/4''' (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4. Ergebnis = M(4/3, 5/4) = (4+5)/(3+4) = '''9/7''' (≈ 435 Cent).
# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7. Ergebnis = M(4/3, 9/7) = (4+9)/(3+7) = '''13/10''' (≈ 454 Cent).
# ... (sobald das Ergebnis nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, stoppen wir)

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
Im Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO).

Hier bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der L/s-Wert dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man hingegen weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:
# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessiven Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an eine gewünschte Größe angepasst ist. Dieser Unterbaum, der sich von (3\5, 4\7) ergibt, wird in der Tat eine exakte Kopie des ganzen Baumes, wenn seine Knoten mit den entsprechenden L/s-Schrittverhältniswerten markiert wird.

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}}
Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), ebenfalls in gekürzter Form. Der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Bedeutung der Medianten-Operation für Theorie und Praxis der (xenharmonischen) Musik ergibt sich aus folgenden Eigenheiten:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Wiederholte Medianten-Operationen lassen sich nutzen, um eine nichtrationale Zahl mit beliebiger Genauigkeit durch eine rationale Zahl anzunähern. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], die reine Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]]. Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent).
# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2. Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent)
# Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3. Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = '''5/4''' (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4. Ergebnis = M(4/3, 5/4) = (4+5)/(3+4) = '''9/7''' (≈ 435 Cent).
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# ... (sobald das Ergebnis nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, stoppen wir)

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
Im Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO).

Hier bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der L/s-Wert dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man hingegen weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:
# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessiven Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an eine gewünschte Größe angepasst ist. Dieser Unterbaum, der sich von (3\5, 4\7) ergibt, wird in der Tat eine exakte Kopie des ganzen Baumes, wenn seine Knoten mit den entsprechenden L/s-Schrittverhältniswerten markiert werden.

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}}
Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), ebenfalls in gekürzter Form. Der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Bedeutung der Medianten-Operation für Theorie und Praxis der (xenharmonischen) Musik ergibt sich aus folgenden Eigenheiten:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Wiederholte Medianten-Operationen lassen sich nutzen, um eine nichtrationale Zahl mit beliebiger Genauigkeit durch eine rationale Zahl anzunähern. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], die reine Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]]. Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent).
# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2. Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent)
# Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3. Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = '''5/4''' (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4. Ergebnis = M(4/3, 5/4) = (4+5)/(3+4) = '''9/7''' (≈ 435 Cent).
# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7. Ergebnis = M(4/3, 9/7) = (4+9)/(3+7) = '''13/10''' (≈ 454 Cent).
# ... (sobald das Ergebnis nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, stoppen wir)

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
Im Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO).

Hier bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der L/s-Wert dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man hingegen weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:
# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessiven Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an eine gewünschte Größe angepasst ist. Dieser Unterbaum, der sich von (3\5, 4\7) ergibt, wird in der Tat eine exakte Kopie des ganzen Baumes, wenn seine Knoten mit den entsprechenden L/s-Schrittverhältniswerten markiert werden. In diesem Zusammenhang (bei gegebenem MOS-Muster) nennt man diesen Baum der '''Skalenbaum''' des MOS-Musters.

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Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), ebenfalls in gekürzter Form. Der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Bedeutung der Medianten-Operation für Theorie und Praxis der (xenharmonischen) Musik ergibt sich aus folgenden Eigenheiten:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Wiederholte Medianten-Operationen lassen sich nutzen, um eine nichtrationale Zahl mit beliebiger Genauigkeit durch eine rationale Zahl anzunähern. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], die reine Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]]. Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent).
# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2. Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent)
# Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3. Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = '''5/4''' (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4. Ergebnis = M(4/3, 5/4) = (4+5)/(3+4) = '''9/7''' (≈ 435 Cent).
# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7. Ergebnis = M(4/3, 9/7) = (4+9)/(3+7) = '''13/10''' (≈ 454 Cent).
# ... (sobald das Ergebnis nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, stoppen wir)

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
Im Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO).

Hier bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der L/s-Wert dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man hingegen weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:
# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessiven Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an eine gewünschte Größe angepasst ist. Dieser Unterbaum, der sich von (3\5, 4\7) ergibt, wird in der Tat eine exakte Kopie des ganzen Baumes, wenn seine Knoten mit den entsprechenden L/s-Schrittverhältniswerten markiert werden. In diesem Zusammenhang (bei gegebenem MOS-Muster) nennt man diesen Baum der '''Skalenbaum''' des MOS-Musters.

== Siehe auch ==

* [https://www.oemg.ac.at/DK/Didaktikhefte/2006%20Band%2039/VortragHumenberger.pdf Nachbarbrüche, Medianten und Farey-Reihen – entdeckender und verständiger Umgang mit Brüchen]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Farey-Folge Farey&amp;#45;Folge – Wikipedia]
* [[Wikipedia: Mediant (mathematics)]] (englisch)

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Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), ebenfalls in gekürzter Form. Der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Bedeutung der Medianten-Operation für Theorie und Praxis der (xenharmonischen) Musik ergibt sich aus folgenden Eigenheiten:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Wiederholte Medianten-Operationen lassen sich nutzen, um eine nichtrationale Zahl mit beliebiger Genauigkeit durch eine rationale Zahl anzunähern. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], die reine Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]]. Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent).
# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2. Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent)
# Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3. Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = '''5/4''' (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4. Ergebnis = M(4/3, 5/4) = (4+5)/(3+4) = '''9/7''' (≈ 435 Cent).
# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7. Ergebnis = M(4/3, 9/7) = (4+9)/(3+7) = '''13/10''' (≈ 454 Cent).
# ... (sobald das Ergebnis nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, stoppen wir)

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
Im Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO).

Hier bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der L/s-Wert dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man hingegen weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:
# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessiven Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an eine gewünschte Größe angepasst ist. Dieser Unterbaum, der sich von (3\5, 4\7) ergibt, wird in der Tat eine exakte Kopie des ganzen Baumes, wenn seine Knoten mit den entsprechenden L/s-Schrittverhältniswerten markiert werden. In diesem Zusammenhang (bei gegebenem MOS-Muster) heißt dieser Baum der '''Skalenbaum''' des MOS-Musters.

== Siehe auch ==

* [https://www.oemg.ac.at/DK/Didaktikhefte/2006%20Band%2039/VortragHumenberger.pdf Nachbarbrüche, Medianten und Farey-Reihen – entdeckender und verständiger Umgang mit Brüchen]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Farey-Folge Farey&amp;#45;Folge – Wikipedia]
* [[Wikipedia: Mediant (mathematics)]] (englisch)

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| de = Mediant
| en = Mediant
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}}
Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), ebenfalls in gekürzter Form. Der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Bedeutung der Medianten-Operation für Theorie und Praxis der (xenharmonischen) Musik ergibt sich aus folgenden Eigenheiten:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Wiederholte Medianten-Operationen lassen sich nutzen, um eine nichtrationale Zahl mit beliebiger Genauigkeit durch eine rationale Zahl anzunähern. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], die reine Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]]. Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent).
# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2. Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent)
# Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3. Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = '''5/4''' (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4. Ergebnis = M(4/3, 5/4) = (4+5)/(3+4) = '''9/7''' (≈ 435 Cent).
# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7. Ergebnis = M(4/3, 9/7) = (4+9)/(3+7) = '''13/10''' (≈ 454 Cent).
# ... (sobald das Ergebnis nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, stoppen wir)

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
Im Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO). Hier heißt dieser Baum der '''Skalenbaum''' des MOS-Musters.

Hier bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der L/s-Wert dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man hingegen weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:
# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessiven Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an eine gewünschte Größe angepasst ist. Dieser Unterbaum, der sich von (3\5, 4\7) ergibt, wird in der Tat eine exakte Kopie des ganzen Baumes, wenn seine Knoten mit den entsprechenden L/s-Schrittverhältniswerten markiert werden.

== Siehe auch ==

* [https://www.oemg.ac.at/DK/Didaktikhefte/2006%20Band%2039/VortragHumenberger.pdf Nachbarbrüche, Medianten und Farey-Reihen – entdeckender und verständiger Umgang mit Brüchen]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Farey-Folge Farey&amp;#45;Folge – Wikipedia]
* [[Wikipedia: Mediant (mathematics)]] (englisch)

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}}
Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), ebenfalls in gekürzter Form. Der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Bedeutung der Medianten-Operation für Theorie und Praxis der (xenharmonischen) Musik ergibt sich aus folgenden Eigenheiten:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Wiederholte Medianten-Operationen lassen sich nutzen, um eine nichtrationale Zahl mit beliebiger Genauigkeit durch eine rationale Zahl anzunähern. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], die reine Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]]. Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent).
# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2. Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent)
# Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3. Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = '''5/4''' (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4. Ergebnis = M(4/3, 5/4) = (4+5)/(3+4) = '''9/7''' (≈ 435 Cent).
# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7. Ergebnis = M(4/3, 9/7) = (4+9)/(3+7) = '''13/10''' (≈ 454 Cent).
# ... (sobald das Ergebnis nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, stoppen wir)

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
Im Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO). Hier heißt der sich ergebende Baum der '''Skalenbaum''' des MOS-Musters.

Hier bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der L/s-Wert dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man hingegen weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:
# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessiven Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an eine gewünschte Größe angepasst ist. Dieser Unterbaum, der sich von (3\5, 4\7) ergibt, wird in der Tat eine exakte Kopie des ganzen Baumes, wenn seine Knoten mit den entsprechenden L/s-Schrittverhältniswerten markiert werden.

== Siehe auch ==

* [https://www.oemg.ac.at/DK/Didaktikhefte/2006%20Band%2039/VortragHumenberger.pdf Nachbarbrüche, Medianten und Farey-Reihen – entdeckender und verständiger Umgang mit Brüchen]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Farey-Folge Farey&amp;#45;Folge – Wikipedia]
* [[Wikipedia: Mediant (mathematics)]] (englisch)

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}}
Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), ebenfalls in gekürzter Form. Der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Bedeutung der Medianten-Operation für Theorie und Praxis der (xenharmonischen) Musik ergibt sich aus folgenden Eigenheiten:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Wiederholte Medianten-Operationen lassen sich nutzen, um eine nichtrationale Zahl mit beliebiger Genauigkeit durch eine rationale Zahl anzunähern. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], die reine Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]]. Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent).
# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2. Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent)
# Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3. Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = '''5/4''' (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4. Ergebnis = M(4/3, 5/4) = (4+5)/(3+4) = '''9/7''' (≈ 435 Cent).
# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7. Ergebnis = M(4/3, 9/7) = (4+9)/(3+7) = '''13/10''' (≈ 454 Cent).
# ... (sobald das Ergebnis nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, stoppen wir)

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
Im Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO). Hier heißt der sich ergebende Baum der '''Skalenbaum''' des MOS-Musters: er wird genauso wie der Stern-Brocot-Baum durch Medianten-Operationen konstruiert.

Hier bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der L/s-Wert dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man hingegen weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:
# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessiven Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an eine gewünschte Größe angepasst ist. Dieser Unterbaum, der sich von (3\5, 4\7) ergibt, wird in der Tat eine exakte Kopie des ganzen Baumes, wenn seine Knoten mit den entsprechenden L/s-Schrittverhältniswerten markiert werden.

== Siehe auch ==

* [https://www.oemg.ac.at/DK/Didaktikhefte/2006%20Band%2039/VortragHumenberger.pdf Nachbarbrüche, Medianten und Farey-Reihen – entdeckender und verständiger Umgang mit Brüchen]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Farey-Folge Farey&amp;#45;Folge – Wikipedia]
* [[Wikipedia: Mediant (mathematics)]] (englisch)

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}}
Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), ebenfalls in gekürzter Form. Der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Bedeutung der Medianten-Operation für Theorie und Praxis der (xenharmonischen) Musik ergibt sich aus folgenden Eigenheiten:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Wiederholte Medianten-Operationen lassen sich nutzen, um eine nichtrationale Zahl mit beliebiger Genauigkeit durch eine rationale Zahl anzunähern. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], die reine Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]]. Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent).
# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2. Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent)
# Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3. Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = '''5/4''' (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4. Ergebnis = M(4/3, 5/4) = (4+5)/(3+4) = '''9/7''' (≈ 435 Cent).
# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7. Ergebnis = M(4/3, 9/7) = (4+9)/(3+7) = '''13/10''' (≈ 454 Cent).
# ... (sobald das Ergebnis nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, stoppen wir)

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
Im Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO). Hier heißt der sich ergebende Baum der '''Skalenbaum''' des MOS-Musters, er wird genauso wie der Stern-Brocot-Baum durch Medianten-Operationen konstruiert.

Hier bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der L/s-Wert dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man hingegen weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:
# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessiven Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an eine gewünschte Größe angepasst ist. Dieser Unterbaum, der sich von (3\5, 4\7) ergibt, wird in der Tat eine exakte Kopie des ganzen Baumes, wenn seine Knoten mit den entsprechenden L/s-Schrittverhältniswerten markiert werden.

== Siehe auch ==

* [https://www.oemg.ac.at/DK/Didaktikhefte/2006%20Band%2039/VortragHumenberger.pdf Nachbarbrüche, Medianten und Farey-Reihen – entdeckender und verständiger Umgang mit Brüchen]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Farey-Folge Farey&amp;#45;Folge – Wikipedia]
* [[Wikipedia: Mediant (mathematics)]] (englisch)

[[Kategorie:Mathematik]]</text>
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}}
Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), ebenfalls in gekürzter Form. Der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Bedeutung der Medianten-Operation für Theorie und Praxis der (xenharmonischen) Musik ergibt sich aus folgenden Eigenheiten:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Wiederholte Medianten-Operationen lassen sich nutzen, um eine nichtrationale Zahl mit beliebiger Genauigkeit durch eine rationale Zahl anzunähern. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], die reine Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]]. Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent).
# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2. Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent)
# Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3. Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = '''5/4''' (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4. Ergebnis = M(4/3, 5/4) = (4+5)/(3+4) = '''9/7''' (≈ 435 Cent).
# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7. Ergebnis = M(4/3, 9/7) = (4+9)/(3+7) = '''13/10''' (≈ 454 Cent).
# ... (sobald das Ergebnis nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, stoppen wir)

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
Im Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO). Hier heißt der sich ergebende Baum der '''Skalenbaum''' des MOS-Musters, er wird genauso wie der Stern-Brocot-Baum durch Medianten-Operationen konstruiert.

Hier bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der L/s-Wert dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man hingegen weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:
# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessiven Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, also zwischen 4\7 und 3\5. Aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an eine gewünschte Größe angepasst ist. Dieser Unterbaum, der sich von (3\5, 4\7) ergibt, wird in der Tat eine exakte Kopie des ganzen Baumes, wenn seine Knoten mit den entsprechenden L/s-Schrittverhältniswerten markiert werden.

== Siehe auch ==

* [https://www.oemg.ac.at/DK/Didaktikhefte/2006%20Band%2039/VortragHumenberger.pdf Nachbarbrüche, Medianten und Farey-Reihen – entdeckender und verständiger Umgang mit Brüchen]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Farey-Folge Farey&amp;#45;Folge – Wikipedia]
* [[Wikipedia: Mediant (mathematics)]] (englisch)

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}}
Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), ebenfalls in gekürzter Form. Der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Bedeutung der Medianten-Operation für Theorie und Praxis der (xenharmonischen) Musik ergibt sich aus folgenden Eigenheiten:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Wiederholte Medianten-Operationen lassen sich nutzen, um eine nichtrationale Zahl mit beliebiger Genauigkeit durch eine rationale Zahl anzunähern. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], die reine Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]]. 
#: Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent).
# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2. 
#: Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent)
# Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3.
#: Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = '''5/4''' (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4.
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# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7.
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# ... (sobald das Ergebnis nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, stoppen wir)

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
Im Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO). Hier heißt der sich ergebende Baum der '''Skalenbaum''' des MOS-Musters, er wird genauso wie der Stern-Brocot-Baum durch Medianten-Operationen konstruiert.

Hier bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der L/s-Wert dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man hingegen weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:
# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessiven Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, also zwischen 4\7 und 3\5. Aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an eine gewünschte Größe angepasst ist. Dieser Unterbaum, der sich von (3\5, 4\7) ergibt, wird in der Tat eine exakte Kopie des ganzen Baumes, wenn seine Knoten mit den entsprechenden L/s-Schrittverhältniswerten markiert werden.

== Siehe auch ==

* [https://www.oemg.ac.at/DK/Didaktikhefte/2006%20Band%2039/VortragHumenberger.pdf Nachbarbrüche, Medianten und Farey-Reihen – entdeckender und verständiger Umgang mit Brüchen]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Farey-Folge Farey&amp;#45;Folge – Wikipedia]
* [[Wikipedia: Mediant (mathematics)]] (englisch)

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}}
Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), ebenfalls in gekürzter Form. Der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Bedeutung der Medianten-Operation für Theorie und Praxis der (xenharmonischen) Musik ergibt sich aus folgenden Eigenheiten:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Wiederholte Medianten-Operationen lassen sich nutzen, um eine nichtrationale Zahl mit beliebiger Genauigkeit durch eine rationale Zahl anzunähern. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], die reine Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]]. 
#: Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent).
# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2. 
#: Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent)
# Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3.
#: Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = '''5/4''' (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4.
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# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7.
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# ... (sobald das Ergebnis nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, stoppen wir)

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
Im Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO). Hier heißt der sich ergebende Baum der '''Skalenbaum''' des MOS-Musters, er wird genauso wie der Stern-Brocot-Baum durch Medianten-Operationen konstruiert.

Hier bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der L/s-Wert dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man hingegen weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:
# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessiven Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, also zwischen 4\7 und 3\5. Aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an eine gewünschte Größe angepasst ist. Dieser Unterbaum, der sich von (3\5, 4\7) ergibt, wird in der Tat eine exakte Kopie des ganzen Baumes, wenn seine Knoten mit den entsprechenden L/s-Schrittverhältniswerten markiert werden.

== Siehe auch ==

* [https://www.oemg.ac.at/DK/Didaktikhefte/2006%20Band%2039/VortragHumenberger.pdf Nachbarbrüche, Medianten und Farey-Reihen – entdeckender und verständiger Umgang mit Brüchen]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Farey-Folge Farey&amp;#45;Folge – Wikipedia]
* [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch Kettenbruch – Wikipedia]
* [[Wikipedia: Mediant (mathematics)]] (englisch)

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}}
Der '''Mediant''', die '''Mediante''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), ebenfalls in gekürzter Form. Der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Bedeutung der Medianten-Operation für Theorie und Praxis der (xenharmonischen) Musik ergibt sich aus folgenden Eigenheiten:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Wiederholte Medianten-Operationen lassen sich nutzen, um eine nichtrationale Zahl mit beliebiger Genauigkeit durch eine rationale Zahl anzunähern. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], die reine Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]]. 
#: Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent).
# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2. 
#: Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent)
# Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3.
#: Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = '''5/4''' (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4.
#: Ergebnis = M(4/3, 5/4) = (4+5)/(3+4) = '''9/7''' (≈ 435 Cent).
# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7.
#: Ergebnis = M(4/3, 9/7) = (4+9)/(3+7) = '''13/10''' (≈ 454 Cent).
# ... (sobald das Ergebnis nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, stoppen wir)

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
Im Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO). Hier heißt der sich ergebende Baum der '''Skalenbaum''' des MOS-Musters, er wird genauso wie der Stern-Brocot-Baum durch Medianten-Operationen konstruiert.

Hier bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der L/s-Wert dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man hingegen weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:
# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessiven Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, also zwischen 4\7 und 3\5. Aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an eine gewünschte Größe angepasst ist. Dieser Unterbaum, der sich von (3\5, 4\7) ergibt, wird in der Tat eine exakte Kopie des ganzen Baumes, wenn seine Knoten mit den entsprechenden L/s-Schrittverhältniswerten markiert werden.

== Siehe auch ==

* [https://www.oemg.ac.at/DK/Didaktikhefte/2006%20Band%2039/VortragHumenberger.pdf Nachbarbrüche, Medianten und Farey-Reihen – entdeckender und verständiger Umgang mit Brüchen]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Farey-Folge Farey&amp;#45;Folge – Wikipedia]
* [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch Kettenbruch – Wikipedia]
* [[Wikipedia: Mediant (mathematics)]] (englisch)

[[Kategorie:Mathematik]]</text>
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}}
Der '''Mediant''', die '''Mediante''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), ebenfalls in gekürzter Form. Der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:

&lt;math&gt;\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.&lt;/math&gt;

Die Bedeutung der Medianten-Operation für Theorie und Praxis der (xenharmonischen) Musik ergibt sich aus folgenden Eigenheiten:
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Wiederholte Medianten-Operationen lassen sich nutzen, um eine nichtrationale Zahl mit beliebiger Genauigkeit durch eine rationale Zahl anzunähern. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], die reine Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]]. 
#: Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent).
# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2. 
#: Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent)
# Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3.
#: Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = '''5/4''' (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4.
#: Ergebnis = M(4/3, 5/4) = (4+5)/(3+4) = '''9/7''' (≈ 435 Cent).
# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7.
#: Ergebnis = M(4/3, 9/7) = (4+9)/(3+7) = '''13/10''' (≈ 454 Cent).
# ... (sobald das Ergebnis nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, stoppen wir)

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
Im Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO). Hier heißt der sich ergebende Baum der '''Skalenbaum''' des MOS-Musters, er wird genauso wie der Stern-Brocot-Baum durch Medianten-Operationen konstruiert.

Hier bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der L/s-Wert dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man hingegen weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:
# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessiven Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, also zwischen 4\7 und 3\5. Aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an eine gewünschte Größe angepasst ist. Dieser Unterbaum, der sich von (3\5, 4\7) ergibt, wird in der Tat eine exakte Kopie des ganzen Baumes, wenn seine Knoten mit den entsprechenden L/s-Schrittverhältniswerten markiert werden.

== Siehe auch ==

* [https://www.oemg.ac.at/DK/Didaktikhefte/2006%20Band%2039/VortragHumenberger.pdf Nachbarbrüche, Medianten und Farey-Reihen – entdeckender und verständiger Umgang mit Brüchen]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_der_Mittelzahlen Regel der Mittelzahlen – Wikipedia]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Farey-Folge Farey&amp;#45;Folge – Wikipedia]
* [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch Kettenbruch – Wikipedia]
* [[Wikipedia: Mediant (mathematics)]] (englisch)

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      <contributor>
        <username>Inthar</username>
        <id>9</id>
      </contributor>
      <comment>Leichte Änderungen und Korrektur (Der Mediant zweier gekürzter Brüche muss nicht gekürzt sein, oft ist es nicht das Beste, den Medianten als gekürzt anzusehen (31 + 5 = 36 und 6\31 (+) 1\5 = 7\36)</comment>
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| de = Mediant
| en = Mediant
| es = 
| ja =
}}
Der '''Mediant''', die '''Mediante''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier Brüche a/b und c/d ist definiert als (a+c)/(b+d), gegebenenfalls ungekürzt. Der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:

[math]\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.[/math]

Die Bedeutung der Medianten-Operation für Theorie und Praxis der (xenharmonischen) Musik ergibt sich aus folgenden Eigenheiten:

# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Wiederholte Medianten-Operationen lassen sich nutzen, um eine nichtrationale Zahl mit beliebiger Genauigkeit durch eine rationale Zahl anzunähern. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der (bloß formalen) Brüche [[1/1]] (Einklang) und 1/0 (undefiniert, aber hat Bedeutung im 1-dimensionalen projektiven Raum) ist 2/1, die Oktave. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.

# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = 1/0.  Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 1/0) = (1+1)/(1+0) = 2/1 (≈ 1200 Cent).
# Da 2/1 über 450 Cent liegt, setzen wir den rechten Grenzwert auf R := 2/1.  Ergebnis = M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = 3/2 (≈ 702 Cent)
# Da 3/2 über 450 Cent liegt, setzen wir nochmals den rechten Grenzwert auf R := 3/2.  Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = 4/3 (≈ 498 Cent)
# 4/3 &gt; 450 Cent, neues R = 4/3.  Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = 5/4 (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4.  Ergebnis = M(5/4, 4/3) = (5+4)/(4+3) = 9/7 (≈ 435 Cent).
# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7.  Ergebnis = M(9/7, 4/3) = (9+4)/(7+3) = 13/10 (≈ 454 Cent).
# ... (sobald das Ergebnis nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, stoppen wir)

Jeglicher Schritt dieses Algorithmus ergibt einen Bruch in gekürzter Form.

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
Im Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO). Hier heißt der sich ergebende Baum der Skalenbaum des MOS-Musters, er wird genauso wie der Stern-Brocot-Baum durch Medianten-Operationen konstruiert.

Hier bieten [[Diatonisch|diatonische]] Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der L/s-Schrittverhältniswert dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man hingegen weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:

# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]. L/s = 3/1
## Um das noch größer zu machen, berechnen wir noch einmal den Medianten mit 3\5. Dabei erhalten wir M(10\17, 3\5) = 13\22 (709 Cent), die Quinte des Superpyth-EDOs 22-EDO. L/s = 4/1
### Ein Diatonisch-EDO mit L/s-Wert 5/1
### Ein Diatonisch-EDO mit L/s-Wert 7/2
## Um das ein bisschen zu verkleinern: M(10\17, 4\7) = 15\29 (703 Cent), die Quinte des “Neogotisch”-EDOs 29-EDO. L/s = 5/2
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]] 
## M(11\19, 7\12) = 18\31 (697 Cent), vom mitteltönigen EDO 31-EDO, mit L/s-Wert 5/3
## M(11\19, 4\7) = 15\26 (692 Cent), vom Flattone-EDO 26-EDO, mit L/s-Wert 4/3

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessiven Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, also zwischen 4\7 und 3\5. Aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an eine gewünschte Größe angepasst ist. Dieser Unterbaum, der sich vom diatonischen “Generatorpaar” (3\5, 4\7) ergibt, lässt sich in der Tat als eine exakte Kopie des ganzen Baumes ansehen, wenn seine Knoten mit den entsprechenden diatonischen L/s-Werten markiert werden.
# 

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], die reine Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]]. 
#: Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent).
# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2. 
#: Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent)
# Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3.
#: Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = '''5/4''' (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4.
#: Ergebnis = M(4/3, 5/4) = (4+5)/(3+4) = '''9/7''' (≈ 435 Cent).
# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7.
#: Ergebnis = M(4/3, 9/7) = (4+9)/(3+7) = '''13/10''' (≈ 454 Cent).
# ... (sobald das Ergebnis nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, stoppen wir)

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
Im Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO). Hier heißt der sich ergebende Baum der '''Skalenbaum''' des MOS-Musters, er wird genauso wie der Stern-Brocot-Baum durch Medianten-Operationen konstruiert.

Hier bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der L/s-Wert dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man hingegen weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:
# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessiven Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, also zwischen 4\7 und 3\5. Aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an eine gewünschte Größe angepasst ist. Dieser Unterbaum, der sich von (3\5, 4\7) ergibt, wird in der Tat eine exakte Kopie des ganzen Baumes, wenn seine Knoten mit den entsprechenden L/s-Schrittverhältniswerten markiert werden.

== Siehe auch ==

* [https://www.oemg.ac.at/DK/Didaktikhefte/2006%20Band%2039/VortragHumenberger.pdf Nachbarbrüche, Medianten und Farey-Reihen – entdeckender und verständiger Umgang mit Brüchen]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_der_Mittelzahlen Regel der Mittelzahlen – Wikipedia]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Farey-Folge Farey&amp;#45;Folge – Wikipedia]
* [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch Kettenbruch – Wikipedia]
* [[Wikipedia: Mediant (mathematics)]] (englisch)

[[Kategorie:Mathematik]]</text>
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| de = Mediant
| en = Mediant
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| ja =
}}
Der '''Mediant''', die '''Mediante''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier Brüche a/b und c/d ist definiert als (a+c)/(b+d), gegebenenfalls ungekürzt. Der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:

[math]\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.[/math]

Die Bedeutung der Medianten-Operation für Theorie und Praxis der (xenharmonischen) Musik ergibt sich aus folgenden Eigenheiten:

# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Wiederholte Medianten-Operationen lassen sich nutzen, um eine nichtrationale Zahl mit beliebiger Genauigkeit durch eine rationale Zahl anzunähern. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der (bloß formalen) Brüche [[1/1]] (Einklang) und 1/0 (undefiniert, aber hat Bedeutung im 1-dimensionalen projektiven Raum) ist 2/1, die Oktave. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.

# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = 1/0.  Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 1/0) = (1+1)/(1+0) = 2/1 (≈ 1200 Cent).
# Da 2/1 über 450 Cent liegt, setzen wir den rechten Grenzwert auf R := 2/1.  Ergebnis = M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = 3/2 (≈ 702 Cent)
# Da 3/2 über 450 Cent liegt, setzen wir nochmals den rechten Grenzwert auf R := 3/2.  Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = 4/3 (≈ 498 Cent)
# 4/3 &gt; 450 Cent, neues R = 4/3.  Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = 5/4 (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4.  Ergebnis = M(5/4, 4/3) = (5+4)/(4+3) = 9/7 (≈ 435 Cent).
# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7.  Ergebnis = M(9/7, 4/3) = (9+4)/(7+3) = 13/10 (≈ 454 Cent).
# ... (sobald das Ergebnis nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, stoppen wir)

Jeglicher Schritt dieses Algorithmus ergibt einen Bruch in gekürzter Form.

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
Im Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO). Hier heißt der sich ergebende Baum der Skalenbaum des MOS-Musters, er wird genauso wie der Stern-Brocot-Baum durch Medianten-Operationen konstruiert.

Hier bieten [[Diatonisch|diatonische]] Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der L/s-Schrittverhältniswert dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man hingegen weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:

# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]. L/s = 3/1
## Um das noch größer zu machen, berechnen wir noch einmal den Medianten mit 3\5. Dabei erhalten wir M(10\17, 3\5) = 13\22 (709 Cent), die Quinte des Superpyth-EDOs 22-EDO. L/s = 4/1
### Ein Diatonisch-EDO mit L/s-Wert 5/1
### Ein Diatonisch-EDO mit L/s-Wert 7/2
## Um das ein bisschen zu verkleinern: M(10\17, 4\7) = 15\29 (703 Cent), die Quinte des “Neogotisch”-EDOs 29-EDO. L/s = 5/2
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]] 
## M(11\19, 7\12) = 18\31 (697 Cent), vom mitteltönigen EDO 31-EDO, mit L/s-Wert 5/3
## M(11\19, 4\7) = 15\26 (692 Cent), vom Flattone-EDO 26-EDO, mit L/s-Wert 4/3

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessiven Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, also zwischen 4\7 und 3\5. Aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an eine gewünschte Größe angepasst ist. Dieser Unterbaum, der sich vom diatonischen “Generatorpaar” (3\5, 4\7) ergibt, lässt sich in der Tat als eine exakte Kopie des ganzen Baumes ansehen, wenn seine Knoten mit den entsprechenden diatonischen L/s-Werten markiert werden.
# 

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
Im Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO). Hier heißt der sich ergebende Baum der '''Skalenbaum''' des MOS-Musters, er wird genauso wie der Stern-Brocot-Baum durch Medianten-Operationen konstruiert.

Hier bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der L/s-Wert dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man hingegen weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:
# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessiven Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, also zwischen 4\7 und 3\5. Aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an eine gewünschte Größe angepasst ist. Dieser Unterbaum, der sich von (3\5, 4\7) ergibt, wird in der Tat eine exakte Kopie des ganzen Baumes, wenn seine Knoten mit den entsprechenden L/s-Schrittverhältniswerten markiert werden.

== Siehe auch ==

* [https://www.oemg.ac.at/DK/Didaktikhefte/2006%20Band%2039/VortragHumenberger.pdf Nachbarbrüche, Medianten und Farey-Reihen – entdeckender und verständiger Umgang mit Brüchen]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_der_Mittelzahlen Regel der Mittelzahlen – Wikipedia]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Farey-Folge Farey&amp;#45;Folge – Wikipedia]
* [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch Kettenbruch – Wikipedia]
* [[Wikipedia: Mediant (mathematics)]] (englisch)

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| de = Mediant
| en = Mediant
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}}
Der '''Mediant''', die '''Mediante''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier Brüche a/b und c/d ist definiert als (a+c)/(b+d), gegebenenfalls ungekürzt. Der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:

[math]\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.[/math]

Die Bedeutung der Medianten-Operation für Theorie und Praxis der (xenharmonischen) Musik ergibt sich aus folgenden Eigenheiten:

# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Wiederholte Medianten-Operationen lassen sich nutzen, um eine nichtrationale Zahl mit beliebiger Genauigkeit durch eine rationale Zahl anzunähern. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der (bloß formalen) Brüche [[1/1]] (Einklang) und 1/0 (undefiniert, aber hat Bedeutung im 1-dimensionalen projektiven Raum) ist 2/1, die Oktave. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.

# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = 1/0.  Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 1/0) = (1+1)/(1+0) = 2/1 (≈ 1200 Cent).
# Da 2/1 über 450 Cent liegt, setzen wir den rechten Grenzwert auf R := 2/1.  Ergebnis = M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = 3/2 (≈ 702 Cent)
# Da 3/2 über 450 Cent liegt, setzen wir nochmals den rechten Grenzwert auf R := 3/2.  Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = 4/3 (≈ 498 Cent)
# 4/3 &gt; 450 Cent, neues R = 4/3.  Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = 5/4 (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4.  Ergebnis = M(5/4, 4/3) = (5+4)/(4+3) = 9/7 (≈ 435 Cent).
# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7.  Ergebnis = M(9/7, 4/3) = (9+4)/(7+3) = 13/10 (≈ 454 Cent).
# ... (sobald das Ergebnis nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, stoppen wir)

Jeglicher Schritt dieses Algorithmus ergibt einen Bruch in gekürzter Form.

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
Im Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO). Hier heißt der sich ergebende Baum der Skalenbaum des MOS-Musters, er wird genauso wie der Stern-Brocot-Baum durch Medianten-Operationen konstruiert.

Hier bieten [[Diatonisch|diatonische]] Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der L/s-Schrittverhältniswert dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man hingegen weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:

# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]. L/s = 3/1
## Um das noch größer zu machen, berechnen wir noch einmal den Medianten mit 3\5. Dabei erhalten wir M(10\17, 3\5) = 13\22 (709 Cent), die Quinte des Superpyth-EDOs 22-EDO. L/s = 4/1
### Ein Diatonisch-EDO mit L/s-Wert 5/1
### Ein Diatonisch-EDO mit L/s-Wert 7/2
## Um das ein bisschen zu verkleinern: M(10\17, 4\7) = 15\29 (703 Cent), die Quinte des “Neogotisch”-EDOs 29-EDO. L/s = 5/2
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]] 
## M(11\19, 7\12) = 18\31 (697 Cent), vom mitteltönigen EDO 31-EDO, mit L/s-Wert 5/3
## M(11\19, 4\7) = 15\26 (692 Cent), vom Flattone-EDO 26-EDO, mit L/s-Wert 4/3

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessiven Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, also zwischen 4\7 und 3\5. Aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an eine gewünschte Größe angepasst ist. Dieser Unterbaum, der sich vom diatonischen “Generatorpaar” (3\5, 4\7) ergibt, lässt sich in der Tat als eine exakte Kopie des ganzen Baumes ansehen, wenn seine Knoten mit den entsprechenden diatonischen L/s-Werten markiert werden.
# 

== Siehe auch ==

* [https://www.oemg.ac.at/DK/Didaktikhefte/2006%20Band%2039/VortragHumenberger.pdf Nachbarbrüche, Medianten und Farey-Reihen – entdeckender und verständiger Umgang mit Brüchen]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_der_Mittelzahlen Regel der Mittelzahlen – Wikipedia]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Farey-Folge Farey&amp;#45;Folge – Wikipedia]
* [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch Kettenbruch – Wikipedia]
* [[Wikipedia: Mediant (mathematics)]] (englisch)

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| de = Mediant
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| es = 
| ja =
}}
Der '''Mediant''', die '''Mediante''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier Brüche a/b und c/d ist definiert als (a+c)/(b+d), gegebenenfalls ungekürzt. Der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:

[math]\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.[/math]

Die Bedeutung der Medianten-Operation für Theorie und Praxis der (xenharmonischen) Musik ergibt sich aus folgenden Eigenheiten:

# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Wiederholte Medianten-Operationen lassen sich nutzen, um eine nichtrationale Zahl mit beliebiger Genauigkeit durch eine rationale Zahl anzunähern. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der (bloß formalen) Brüche [[1/1]] (Einklang) und 1/0 (undefiniert, aber hat Bedeutung im 1-dimensionalen projektiven Raum) ist 2/1, die Oktave. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.

# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = 1/0.  Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 1/0) = (1+1)/(1+0) = 2/1 (≈ 1200 Cent).
# Da 2/1 über 450 Cent liegt, setzen wir den rechten Grenzwert auf R := 2/1.  Ergebnis = M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = 3/2 (≈ 702 Cent)
# Da 3/2 über 450 Cent liegt, setzen wir nochmals den rechten Grenzwert auf R := 3/2.  Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = 4/3 (≈ 498 Cent)
# 4/3 &gt; 450 Cent, neues R = 4/3.  Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = 5/4 (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4.  Ergebnis = M(5/4, 4/3) = (5+4)/(4+3) = 9/7 (≈ 435 Cent).
# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7.  Ergebnis = M(9/7, 4/3) = (9+4)/(7+3) = 13/10 (≈ 454 Cent).
# ... (sobald das Ergebnis nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, stoppen wir)

Jeglicher Schritt dieses Algorithmus ergibt einen Bruch in gekürzter Form.

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
Im Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO). Hier heißt der sich ergebende Baum der Skalenbaum des MOS-Musters, er wird genauso wie der Stern-Brocot-Baum durch Medianten-Operationen konstruiert.

Hier bieten [[Diatonisch|diatonische]] Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der L/s-Schrittverhältniswert dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man hingegen weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:

# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]], mit L/s-Wert 3/1
## Um das noch größer zu machen, berechnen wir noch einmal den Medianten mit 3\5. Dabei erhalten wir M(10\17, 3\5) = 13\22 (709 Cent) vom Superpyth-EDO 22-EDO, mit L/s-Wert 4/1
### M(13\22, 3\5) = 16\27 vom Superpyth-EDO [[27-EDO]] mit L/s-Wert 5/1
### M(13\22, 10\17) = 23\39 von [[39-EDO]], mit L/s-Wert 7/2
## Um das ein bisschen zu verkleinern: M(10\17, 4\7) = 15\29 (703 Cent), vom “Neogotisch”-EDO 29-EDO mit L/s-Wert 5/2
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), vom mitteltönigen EDO [[19-EDO]] mit L/s-Wert 3/2
## M(11\19, 7\12) = 18\31 (697 Cent), vom mitteltönigen EDO 31-EDO mit L/s-Wert 5/3
## M(11\19, 4\7) = 15\26 (692 Cent), vom Flattone-EDO 26-EDO, mit L/s-Wert 4/3

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessiven Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, also zwischen 4\7 und 3\5. Aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an eine gewünschte Größe angepasst ist. Dieser Unterbaum, der sich vom diatonischen “Generatorpaar” (3\5, 4\7) ergibt, lässt sich in der Tat als eine exakte Kopie des ganzen Baumes ansehen, wenn seine Knoten mit den entsprechenden diatonischen L/s-Werten markiert werden.

== Siehe auch ==

* [https://www.oemg.ac.at/DK/Didaktikhefte/2006%20Band%2039/VortragHumenberger.pdf Nachbarbrüche, Medianten und Farey-Reihen – entdeckender und verständiger Umgang mit Brüchen]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_der_Mittelzahlen Regel der Mittelzahlen – Wikipedia]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Farey-Folge Farey&amp;#45;Folge – Wikipedia]
* [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch Kettenbruch – Wikipedia]
* [[Wikipedia: Mediant (mathematics)]] (englisch)

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}}
Der '''Mediant''', die '''Mediante''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier Brüche a/b und c/d ist definiert als (a+c)/(b+d), gegebenenfalls ungekürzt. Der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:

[math]\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.[/math]

Die Bedeutung der Medianten-Operation für Theorie und Praxis der (xenharmonischen) Musik ergibt sich aus folgenden Eigenheiten:

# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Wiederholte Medianten-Operationen lassen sich nutzen, um eine nichtrationale Zahl mit beliebiger Genauigkeit durch eine rationale Zahl anzunähern. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der (bloß formalen) Brüche [[1/1]] (Einklang) und 1/0 (undefiniert, aber hat Bedeutung im 1-dimensionalen projektiven Raum) ist 2/1, die Oktave. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.

# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = 1/0.  Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 1/0) = (1+1)/(1+0) = 2/1 (≈ 1200 Cent).
# Da 2/1 über 450 Cent liegt, setzen wir den rechten Grenzwert auf R := 2/1.  Ergebnis = M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = 3/2 (≈ 702 Cent)
# Da 3/2 über 450 Cent liegt, setzen wir nochmals den rechten Grenzwert auf R := 3/2.  Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = 4/3 (≈ 498 Cent)
# 4/3 &gt; 450 Cent, neues R = 4/3.  Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = 5/4 (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4.  Ergebnis = M(5/4, 4/3) = (5+4)/(4+3) = 9/7 (≈ 435 Cent).
# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7.  Ergebnis = M(9/7, 4/3) = (9+4)/(7+3) = 13/10 (≈ 454 Cent).
# ... (sobald das Ergebnis nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, stoppen wir)

Jeglicher Schritt dieses Algorithmus ergibt einen Bruch in gekürzter Form.

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
Im Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO). Hier heißt der sich ergebende Baum der Skalenbaum des MOS-Musters, er wird genauso wie der Stern-Brocot-Baum durch Medianten-Operationen konstruiert.

Hier bieten [[Diatonisch|diatonische]] Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der L/s-Schrittverhältniswert dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man hingegen weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:

# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]], mit L/s-Wert 3/1
## Um das noch größer zu machen, berechnen wir noch einmal den Medianten mit 3\5. Dabei erhalten wir M(10\17, 3\5) = 13\22 (709 Cent) vom Superpyth-EDO [[22-EDO]], mit L/s-Wert 4/1
### M(13\22, 3\5) = 16\27 vom Superpyth-EDO [[27-EDO]] mit L/s-Wert 5/1
### M(13\22, 10\17) = 23\39 von [[39-EDO]], mit L/s-Wert 7/2
## Um das ein bisschen zu verkleinern: M(10\17, 4\7) = 15\29 (703 Cent), vom “Neogotisch”-EDO [[29-EDO]] mit L/s-Wert 5/2
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), vom mitteltönigen EDO [[19-EDO]] mit L/s-Wert 3/2
## M(11\19, 7\12) = 18\31 (697 Cent), vom mitteltönigen EDO [[31-EDO]] mit L/s-Wert 5/3
## M(11\19, 4\7) = 15\26 (692 Cent), vom Flattone-EDO [[26-EDO]], mit L/s-Wert 4/3

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessiven Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, also zwischen 4\7 und 3\5. Aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an eine gewünschte Größe angepasst ist. Dieser Unterbaum, der sich vom diatonischen “Generatorpaar” (3\5, 4\7) ergibt, lässt sich in der Tat als eine exakte Kopie des ganzen Baumes ansehen, wenn seine Knoten mit den entsprechenden diatonischen L/s-Werten markiert werden.

== Siehe auch ==

* [https://www.oemg.ac.at/DK/Didaktikhefte/2006%20Band%2039/VortragHumenberger.pdf Nachbarbrüche, Medianten und Farey-Reihen – entdeckender und verständiger Umgang mit Brüchen]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_der_Mittelzahlen Regel der Mittelzahlen – Wikipedia]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Farey-Folge Farey&amp;#45;Folge – Wikipedia]
* [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch Kettenbruch – Wikipedia]
* [[Wikipedia: Mediant (mathematics)]] (englisch)

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| de = Mediant
| en = Mediant
| es = 
| ja =
}}
Der '''Mediant''', die '''Mediante''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier Brüche a/b und c/d ist definiert als (a+c)/(b+d), gegebenenfalls ungekürzt. Der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:

[math]\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.[/math]

Die Bedeutung der Medianten-Operation für Theorie und Praxis der (xenharmonischen) Musik ergibt sich aus folgenden Eigenheiten:

# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Wiederholte Medianten-Operationen lassen sich nutzen, um eine nichtrationale Zahl mit beliebiger Genauigkeit durch eine rationale Zahl anzunähern. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der (bloß formalen) Brüche [[1/1]] (Einklang) und 1/0 (undefiniert, aber hat abstraktere Bedeutung im 1-dimensionalen projektiven Raum) ist 2/1, die Oktave. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.

# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = 1/0.  Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 1/0) = (1+1)/(1+0) = 2/1 (≈ 1200 Cent).
# Da 2/1 über 450 Cent liegt, setzen wir den rechten Grenzwert auf R := 2/1.  Ergebnis = M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = 3/2 (≈ 702 Cent)
# Da 3/2 über 450 Cent liegt, setzen wir nochmals den rechten Grenzwert auf R := 3/2.  Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = 4/3 (≈ 498 Cent)
# 4/3 &gt; 450 Cent, neues R = 4/3.  Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = 5/4 (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4.  Ergebnis = M(5/4, 4/3) = (5+4)/(4+3) = 9/7 (≈ 435 Cent).
# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7.  Ergebnis = M(9/7, 4/3) = (9+4)/(7+3) = 13/10 (≈ 454 Cent).
# ... (sobald das Ergebnis nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, stoppen wir)

Jeglicher Schritt dieses Algorithmus ergibt einen Bruch in gekürzter Form.

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
Im Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO). Hier heißt der sich ergebende Baum der Skalenbaum des MOS-Musters, er wird genauso wie der Stern-Brocot-Baum durch Medianten-Operationen konstruiert.

Hier bieten [[Diatonisch|diatonische]] Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der L/s-Schrittverhältniswert dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man hingegen weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:

# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]], mit L/s-Wert 3/1
## Um das noch größer zu machen, berechnen wir noch einmal den Medianten mit 3\5. Dabei erhalten wir M(10\17, 3\5) = 13\22 (709 Cent) vom Superpyth-EDO [[22-EDO]], mit L/s-Wert 4/1
### M(13\22, 3\5) = 16\27 vom Superpyth-EDO [[27-EDO]] mit L/s-Wert 5/1
### M(13\22, 10\17) = 23\39 von [[39-EDO]], mit L/s-Wert 7/2
## Um das ein bisschen zu verkleinern: M(10\17, 4\7) = 15\29 (703 Cent), vom “Neogotisch”-EDO [[29-EDO]] mit L/s-Wert 5/2
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), vom mitteltönigen EDO [[19-EDO]] mit L/s-Wert 3/2
## M(11\19, 7\12) = 18\31 (697 Cent), vom mitteltönigen EDO [[31-EDO]] mit L/s-Wert 5/3
## M(11\19, 4\7) = 15\26 (692 Cent), vom Flattone-EDO [[26-EDO]], mit L/s-Wert 4/3

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessiven Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, also zwischen 4\7 und 3\5. Aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an eine gewünschte Größe angepasst ist. Dieser Unterbaum, der sich vom diatonischen “Generatorpaar” (3\5, 4\7) ergibt, lässt sich in der Tat als eine exakte Kopie des ganzen Baumes ansehen, wenn seine Knoten mit den entsprechenden diatonischen L/s-Werten markiert werden.

== Siehe auch ==

* [https://www.oemg.ac.at/DK/Didaktikhefte/2006%20Band%2039/VortragHumenberger.pdf Nachbarbrüche, Medianten und Farey-Reihen – entdeckender und verständiger Umgang mit Brüchen]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_der_Mittelzahlen Regel der Mittelzahlen – Wikipedia]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Farey-Folge Farey&amp;#45;Folge – Wikipedia]
* [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch Kettenbruch – Wikipedia]
* [[Wikipedia: Mediant (mathematics)]] (englisch)

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| de = Mediant
| en = Mediant
| es = 
| ja =
}}
Der '''Mediant''', die '''Mediante''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier Brüche a/b und c/d ist definiert als (a+c)/(b+d), gegebenenfalls ungekürzt. Der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:

[math]\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.[/math]

Die Bedeutung der Medianten-Operation für Theorie und Praxis der (xenharmonischen) Musik ergibt sich aus folgenden Eigenheiten:

# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Wiederholte Medianten-Operationen lassen sich nutzen, um eine nichtrationale Zahl mit beliebiger Genauigkeit durch eine rationale Zahl anzunähern. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der (bloß formalen) Brüche [[1/1]] (Einklang) und 1/0 (undefiniert, aber hat abstraktere Bedeutung im 1-dimensionalen projektiven Raum) ist 2/1, die Oktave. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.

# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = 1/0.  Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 1/0) = (1+1)/(1+0) = 2/1 (≈ 1200 Cent).
# Da 2/1 über 450 Cent liegt, setzen wir den rechten Grenzwert auf R := 2/1.  Ergebnis = M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = 3/2 (≈ 702 Cent)
# Da 3/2 über 450 Cent liegt, setzen wir nochmals den rechten Grenzwert auf R := 3/2.  Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = 4/3 (≈ 498 Cent)
# 4/3 &gt; 450 Cent, neues R = 4/3.  Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = 5/4 (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4.  Ergebnis = M(5/4, 4/3) = (5+4)/(4+3) = 9/7 (≈ 435 Cent).
# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7.  Ergebnis = M(9/7, 4/3) = (9+4)/(7+3) = 13/10 (≈ 454 Cent).
# ... (sobald das Ergebnis nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, stoppen wir)

Jeglicher Schritt dieses Algorithmus ergibt einen Bruch in gekürzter Form.

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
Im Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO). Hier heißt der sich ergebende Baum der Skalenbaum des MOS-Musters, er wird genauso wie der Stern-Brocot-Baum durch Medianten-Operationen konstruiert.

Hier bieten [[Diatonisch|diatonische]] Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der L/s-Schrittverhältniswert dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man hingegen weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:

# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]], mit L/s-Wert 3/1
## Um das noch größer zu machen, berechnen wir noch einmal den Medianten mit 3\5. Dabei erhalten wir M(10\17, 3\5) = 13\22 (709 Cent) vom Superpyth-EDO [[22-EDO]], mit L/s-Wert 4/1
### M(13\22, 3\5) = 16\27 vom Superpyth-EDO [[27-EDO]] mit L/s-Wert 5/1
### M(13\22, 10\17) = 23\39 von [[39-EDO]], mit L/s-Wert 7/2
## Um das ein bisschen zu verkleinern: M(10\17, 4\7) = 15\29 (703 Cent), vom “Neogotisch”-EDO [[29-EDO]] mit L/s-Wert 5/2
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), vom mitteltönigen EDO [[19-EDO]] mit L/s-Wert 3/2
## M(11\19, 7\12) = 18\31 (697 Cent), vom mitteltönigen EDO [[31-EDO]] mit L/s-Wert 5/3
## M(11\19, 4\7) = 15\26 (692 Cent), vom Flattone-EDO [[26-EDO]], mit L/s-Wert 4/3

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation bleiben die Ergebnisse der sukzessiven Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, also zwischen 4\7 und 3\5. Aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an eine gewünschte Größe angepasst ist. Dieser Unterbaum, der sich vom diatonischen “Generatorpaar” (3\5, 4\7) ergibt, lässt sich in der Tat als eine exakte Kopie des ganzen Baumes ansehen, wenn seine Knoten mit den entsprechenden diatonischen L/s-Werten markiert werden.

== Siehe auch ==

* [https://www.oemg.ac.at/DK/Didaktikhefte/2006%20Band%2039/VortragHumenberger.pdf Nachbarbrüche, Medianten und Farey-Reihen – entdeckender und verständiger Umgang mit Brüchen]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_der_Mittelzahlen Regel der Mittelzahlen – Wikipedia]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Farey-Folge Farey&amp;#45;Folge – Wikipedia]
* [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch Kettenbruch – Wikipedia]
* [[Wikipedia: Mediant (mathematics)]] (englisch)

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| de = Mediant
| en = Mediant
| es = 
| ja =
}}
Der '''Mediant''', die '''Mediante''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier Brüche a/b und c/d ist definiert als (a+c)/(b+d), gegebenenfalls ungekürzt. Der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:

[math]\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.[/math]

Die Bedeutung der Medianten-Operation für Theorie und Praxis der (xenharmonischen) Musik ergibt sich aus folgenden Eigenheiten:

# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Wiederholte Medianten-Operationen lassen sich nutzen, um eine nichtrationale Zahl mit beliebiger Genauigkeit durch eine rationale Zahl anzunähern. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der (bloß formalen) Brüche [[1/1]] (Einklang) und 1/0 (undefiniert, aber hat abstraktere Bedeutung im 1-dimensionalen projektiven Raum) ist 2/1, die Oktave. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.

# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = 1/0.  Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 1/0) = (1+1)/(1+0) = 2/1 (≈ 1200 Cent).
# Da 2/1 über 450 Cent liegt, setzen wir den rechten Grenzwert auf R := 2/1.  Ergebnis = M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = 3/2 (≈ 702 Cent)
# Da 3/2 über 450 Cent liegt, setzen wir nochmals den rechten Grenzwert auf R := 3/2.  Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = 4/3 (≈ 498 Cent)
# 4/3 &gt; 450 Cent, neues R = 4/3.  Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = 5/4 (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4.  Ergebnis = M(5/4, 4/3) = (5+4)/(4+3) = 9/7 (≈ 435 Cent).
# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7.  Ergebnis = M(9/7, 4/3) = (9+4)/(7+3) = 13/10 (≈ 454 Cent).
# ... (sobald das Ergebnis nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, stoppen wir)

Jeglicher Schritt dieses Algorithmus ergibt einen Bruch in gekürzter Form.

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
Im Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO). Hier heißt der sich ergebende Baum der Skalenbaum des MOS-Musters, er wird genauso wie der Stern-Brocot-Baum durch Medianten-Operationen konstruiert.

Hier bieten [[Diatonisch|diatonische]] Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der L/s-Schrittverhältniswert dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man hingegen weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:

# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]], mit L/s-Wert 3/1
## Um das noch größer zu machen, berechnen wir noch einmal den Medianten mit 3\5. Dabei erhalten wir M(10\17, 3\5) = 13\22 (709 Cent) vom Superpyth-EDO [[22-EDO]], mit L/s-Wert 4/1
### M(13\22, 3\5) = 16\27 vom Superpyth-EDO [[27-EDO]] mit L/s-Wert 5/1
### M(13\22, 10\17) = 23\39 von [[39-EDO]], mit L/s-Wert 7/2
## Um das ein bisschen zu verkleinern: M(10\17, 4\7) = 15\29 (703 Cent), vom “[[Neogotisch]]”-EDO [[29-EDO]] mit L/s-Wert 5/2
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), vom [[mitteltönig]]en EDO [[19-EDO]] mit L/s-Wert 3/2
## M(11\19, 7\12) = 18\31 (697 Cent), vom mitteltönigen EDO [[31-EDO]] mit L/s-Wert 5/3
## M(11\19, 4\7) = 15\26 (692 Cent), vom [[Flattone]]-EDO [[26-EDO]], mit L/s-Wert 4/3

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation bleiben die Ergebnisse der sukzessiven Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, also zwischen 4\7 und 3\5. Aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an eine gewünschte Größe angepasst ist. Dieser Unterbaum, der sich vom diatonischen “Generatorpaar” (3\5, 4\7) ergibt, lässt sich in der Tat als eine exakte Kopie des ganzen Baumes ansehen, wenn seine Knoten mit den entsprechenden diatonischen L/s-Werten markiert werden.

== Siehe auch ==

* [https://www.oemg.ac.at/DK/Didaktikhefte/2006%20Band%2039/VortragHumenberger.pdf Nachbarbrüche, Medianten und Farey-Reihen – entdeckender und verständiger Umgang mit Brüchen]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_der_Mittelzahlen Regel der Mittelzahlen – Wikipedia]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Farey-Folge Farey&amp;#45;Folge – Wikipedia]
* [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch Kettenbruch – Wikipedia]
* [[Wikipedia: Mediant (mathematics)]] (englisch)

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}}
Der '''Mediant''', die '''Mediante''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier Brüche a/b und c/d ist definiert als (a+c)/(b+d), gegebenenfalls ungekürzt. Der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:

[math]\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.[/math]

Die Bedeutung der Medianten-Operation für Theorie und Praxis der (xenharmonischen) Musik ergibt sich aus folgenden Eigenheiten:

# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Wiederholte Medianten-Operationen lassen sich nutzen, um eine nichtrationale Zahl mit beliebiger Genauigkeit durch eine rationale Zahl anzunähern. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der (bloß formalen) Brüche [[1/1]] (Einklang) und 1/0 (undefiniert, aber hat abstraktere Bedeutung im 1-dimensionalen projektiven Raum) ist 2/1, die Oktave. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.

# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = 1/0.  Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 1/0) = (1+1)/(1+0) = 2/1 (≈ 1200 Cent).
# Da 2/1 über 450 Cent liegt, setzen wir den rechten Grenzwert auf R := 2/1.  Ergebnis = M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = 3/2 (≈ 702 Cent)
# Da 3/2 über 450 Cent liegt, setzen wir nochmals den rechten Grenzwert auf R := 3/2.  Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = 4/3 (≈ 498 Cent)
# 4/3 &gt; 450 Cent, neues R = 4/3.  Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = 5/4 (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4.  Ergebnis = M(5/4, 4/3) = (5+4)/(4+3) = 9/7 (≈ 435 Cent).
# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7.  Ergebnis = M(9/7, 4/3) = (9+4)/(7+3) = 13/10 (≈ 454 Cent).
# ... (sobald das Ergebnis nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, stoppen wir)

Jeglicher Schritt dieses Algorithmus ergibt einen Bruch in gekürzter Form.

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
Im Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO). Hier heißt der sich ergebende Baum der Skalenbaum des MOS-Musters, er wird genauso wie der Stern-Brocot-Baum durch Medianten-Operationen konstruiert.

Hier bieten [[Diatonisch|diatonische]] Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der L/s-Schrittverhältniswert dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man hingegen weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:

# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]], mit L/s-Wert 3/1
## Um das noch größer zu machen, berechnen wir noch einmal den Medianten mit 3\5. Dabei erhalten wir M(10\17, 3\5) = 13\22 (709 Cent) vom [[Superpyth]]-EDO [[22-EDO]], mit L/s-Wert 4/1
### M(13\22, 3\5) = 16\27 vom Superpyth-EDO [[27-EDO]] mit L/s-Wert 5/1
### M(13\22, 10\17) = 23\39 von [[39-EDO]], mit L/s-Wert 7/2
## Um das ein bisschen zu verkleinern: M(10\17, 4\7) = 15\29 (703 Cent), vom “[[Neogotisch]]”-EDO [[29-EDO]] mit L/s-Wert 5/2
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), vom [[mitteltönig]]en EDO [[19-EDO]] mit L/s-Wert 3/2
## M(11\19, 7\12) = 18\31 (697 Cent), vom mitteltönigen EDO [[31-EDO]] mit L/s-Wert 5/3
## M(11\19, 4\7) = 15\26 (692 Cent), vom [[Flattone]]-EDO [[26-EDO]], mit L/s-Wert 4/3

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation bleiben die Ergebnisse der sukzessiven Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, also zwischen 4\7 und 3\5. Aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an eine gewünschte Größe angepasst ist. Dieser Unterbaum, der sich vom diatonischen “Generatorpaar” (3\5, 4\7) ergibt, lässt sich in der Tat als eine exakte Kopie des ganzen Baumes ansehen, wenn seine Knoten mit den entsprechenden diatonischen L/s-Werten markiert werden.

== Siehe auch ==

* [https://www.oemg.ac.at/DK/Didaktikhefte/2006%20Band%2039/VortragHumenberger.pdf Nachbarbrüche, Medianten und Farey-Reihen – entdeckender und verständiger Umgang mit Brüchen]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_der_Mittelzahlen Regel der Mittelzahlen – Wikipedia]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Farey-Folge Farey&amp;#45;Folge – Wikipedia]
* [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch Kettenbruch – Wikipedia]
* [[Wikipedia: Mediant (mathematics)]] (englisch)

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| en = Mediant
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| ja =
}}
Der '''Mediant''', die '''Mediante''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier Brüche a/b und c/d ist definiert als (a+c)/(b+d), gegebenenfalls ungekürzt. Der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:

[math]\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.[/math]

Die Bedeutung der Medianten-Operation für Theorie und Praxis der (xenharmonischen) Musik ergibt sich aus folgenden Eigenheiten:

# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Wiederholte Medianten-Operationen lassen sich nutzen, um eine nichtrationale Zahl mit beliebiger Genauigkeit durch eine rationale Zahl anzunähern. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der (bloß formalen) Brüche [[1/1]] (Einklang) und 1/0 (undefiniert, aber hat abstraktere Bedeutung im 1-dimensionalen projektiven Raum) ist 2/1, die Oktave. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.

# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = 1/0.  Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 1/0) = (1+1)/(1+0) = 2/1 (≈ 1200 Cent).
# Da 2/1 über 450 Cent liegt, setzen wir den rechten Grenzwert auf R := 2/1.  Ergebnis = M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = 3/2 (≈ 702 Cent)
# Da 3/2 über 450 Cent liegt, setzen wir nochmals den rechten Grenzwert auf R := 3/2.  Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = 4/3 (≈ 498 Cent)
# 4/3 &gt; 450 Cent, neues R = 4/3.  Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = 5/4 (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4.  Ergebnis = M(5/4, 4/3) = (5+4)/(4+3) = 9/7 (≈ 435 Cent).
# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7.  Ergebnis = M(9/7, 4/3) = (9+4)/(7+3) = 13/10 (≈ 454 Cent).
# ... (sobald das Ergebnis nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, stoppen wir)

Jeglicher Schritt dieses Algorithmus ergibt einen Bruch in gekürzter Form.

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
Im Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO). Hier heißt der sich ergebende Baum der Skalenbaum des MOS-Musters, er wird genauso wie der Stern-Brocot-Baum durch Medianten-Operationen konstruiert.

Hier bieten [[Diatonisch|diatonische]] Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist die [[Härte]], also der L/s-Wert, dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man hingegen weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:

# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]], mit L/s-Wert 3/1
## Um das noch größer zu machen, berechnen wir noch einmal den Medianten mit 3\5. Dabei erhalten wir M(10\17, 3\5) = 13\22 (709 Cent) vom [[Superpyth]]-EDO [[22-EDO]], mit L/s-Wert 4/1
### M(13\22, 3\5) = 16\27 vom Superpyth-EDO [[27-EDO]] mit L/s-Wert 5/1
### M(13\22, 10\17) = 23\39 von [[39-EDO]], mit L/s-Wert 7/2
## Um das ein bisschen zu verkleinern: M(10\17, 4\7) = 15\29 (703 Cent), vom “[[Neogotisch]]”-EDO [[29-EDO]] mit L/s-Wert 5/2
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), vom [[mitteltönig]]en EDO [[19-EDO]] mit L/s-Wert 3/2
## M(11\19, 7\12) = 18\31 (697 Cent), vom mitteltönigen EDO [[31-EDO]] mit L/s-Wert 5/3
## M(11\19, 4\7) = 15\26 (692 Cent), vom [[Flattone]]-EDO [[26-EDO]], mit L/s-Wert 4/3

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation bleiben die Ergebnisse der sukzessiven Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, also zwischen 4\7 und 3\5. Aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an eine gewünschte Größe angepasst ist. Dieser Unterbaum, der sich vom diatonischen “Generatorpaar” (3\5, 4\7) ergibt, lässt sich in der Tat als eine exakte Kopie des ganzen Baumes ansehen, wenn seine Knoten mit den entsprechenden diatonischen L/s-Werten markiert werden.

== Siehe auch ==

* [https://www.oemg.ac.at/DK/Didaktikhefte/2006%20Band%2039/VortragHumenberger.pdf Nachbarbrüche, Medianten und Farey-Reihen – entdeckender und verständiger Umgang mit Brüchen]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_der_Mittelzahlen Regel der Mittelzahlen – Wikipedia]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Farey-Folge Farey&amp;#45;Folge – Wikipedia]
* [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch Kettenbruch – Wikipedia]
* [[Wikipedia: Mediant (mathematics)]] (englisch)

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| de = Mediant
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}}
Der '''Mediant''', die '''Mediante''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier Brüche a/b und c/d ist definiert als (a+c)/(b+d), gegebenenfalls ungekürzt. Der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:

[math]\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.[/math]

Die Bedeutung der Medianten-Operation für Theorie und Praxis der (xenharmonischen) Musik ergibt sich aus folgenden Eigenheiten:

# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Wiederholte Medianten-Operationen lassen sich nutzen, um eine nichtrationale Zahl mit beliebiger Genauigkeit durch eine rationale Zahl anzunähern. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der (bloß formalen) Brüche [[1/1]] (Einklang) und 1/0 (undefiniert, aber hat abstraktere Bedeutung im 1-dimensionalen projektiven Raum) ist 2/1, die Oktave. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.

# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = 1/0.  Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 1/0) = (1+1)/(1+0) = 2/1 (≈ 1200 Cent).
# Da 2/1 über 450 Cent liegt, setzen wir den rechten Grenzwert auf R := 2/1.  Ergebnis = M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = 3/2 (≈ 702 Cent)
# Da 3/2 über 450 Cent liegt, setzen wir nochmals den rechten Grenzwert auf R := 3/2.  Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = 4/3 (≈ 498 Cent)
# 4/3 &gt; 450 Cent, neues R = 4/3.  Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = 5/4 (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4.  Ergebnis = M(5/4, 4/3) = (5+4)/(4+3) = 9/7 (≈ 435 Cent).
# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7.  Ergebnis = M(9/7, 4/3) = (9+4)/(7+3) = 13/10 (≈ 454 Cent).
# ... (sobald das Ergebnis nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, stoppen wir)

Jeglicher Schritt dieses Algorithmus ergibt einen Bruch in gekürzter Form.

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
Im Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO). Hier heißt der sich ergebende Baum der Skalenbaum des MOS-Musters, er wird genauso wie der Stern-Brocot-Baum durch Medianten-Operationen konstruiert.

Hier bieten [[Diatonisch|diatonische]] Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der [[Härte|L/s-Wert]], dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man hingegen weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:

# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]], mit L/s-Wert 3/1
## Um das noch größer zu machen, berechnen wir noch einmal den Medianten mit 3\5. Dabei erhalten wir M(10\17, 3\5) = 13\22 (709 Cent) vom [[Superpyth]]-EDO [[22-EDO]], mit L/s-Wert 4/1
### M(13\22, 3\5) = 16\27 vom Superpyth-EDO [[27-EDO]] mit L/s-Wert 5/1
### M(13\22, 10\17) = 23\39 von [[39-EDO]], mit L/s-Wert 7/2
## Um das ein bisschen zu verkleinern: M(10\17, 4\7) = 15\29 (703 Cent), vom “[[Neogotisch]]”-EDO [[29-EDO]] mit L/s-Wert 5/2
# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), vom [[mitteltönig]]en EDO [[19-EDO]] mit L/s-Wert 3/2
## M(11\19, 7\12) = 18\31 (697 Cent), vom mitteltönigen EDO [[31-EDO]] mit L/s-Wert 5/3
## M(11\19, 4\7) = 15\26 (692 Cent), vom [[Flattone]]-EDO [[26-EDO]], mit L/s-Wert 4/3

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation bleiben die Ergebnisse der sukzessiven Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, also zwischen 4\7 und 3\5. Aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an eine gewünschte Größe angepasst ist. Dieser Unterbaum, der sich vom diatonischen “Generatorpaar” (3\5, 4\7) ergibt, lässt sich in der Tat als eine exakte Kopie des ganzen Baumes ansehen, wenn seine Knoten mit den entsprechenden diatonischen L/s-Werten markiert werden.

== Siehe auch ==

* [https://www.oemg.ac.at/DK/Didaktikhefte/2006%20Band%2039/VortragHumenberger.pdf Nachbarbrüche, Medianten und Farey-Reihen – entdeckender und verständiger Umgang mit Brüchen]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_der_Mittelzahlen Regel der Mittelzahlen – Wikipedia]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Farey-Folge Farey&amp;#45;Folge – Wikipedia]
* [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch Kettenbruch – Wikipedia]
* [[Wikipedia: Mediant (mathematics)]] (englisch)

[[Kategorie:Mathematik]]</text>
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Der '''Mediant''', die '''Mediante''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier Brüche a/b und c/d ist definiert als (a+c)/(b+d), gegebenenfalls ungekürzt. Der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:

[math]\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.[/math]

Die Bedeutung der Medianten-Operation für Theorie und Praxis der (xenharmonischen) Musik ergibt sich aus folgenden Eigenheiten:

# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
# Wiederholte Medianten-Operationen lassen sich nutzen, um eine nichtrationale Zahl mit beliebiger Genauigkeit durch eine rationale Zahl anzunähern. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der (bloß formalen) Brüche [[1/1]] (Einklang) und 1/0 (undefiniert, aber hat abstraktere Bedeutung im 1-dimensionalen projektiven Raum) ist 2/1, die Oktave. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.

# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = 1/0.  Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 1/0) = (1+1)/(1+0) = 2/1 (≈ 1200 Cent).
# Da 2/1 über 450 Cent liegt, setzen wir den rechten Grenzwert auf R := 2/1.  Ergebnis = M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = 3/2 (≈ 702 Cent)
# Da 3/2 über 450 Cent liegt, setzen wir nochmals den rechten Grenzwert auf R := 3/2.  Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = 4/3 (≈ 498 Cent)
# 4/3 &gt; 450 Cent, neues R = 4/3.  Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = 5/4 (≈ 386 Cent).
# 5/4 &lt; 450 Cent, neues L = 5/4.  Ergebnis = M(5/4, 4/3) = (5+4)/(4+3) = 9/7 (≈ 435 Cent).
# 9/7 &lt; 450 Cent, neues L = 9/7.  Ergebnis = M(9/7, 4/3) = (9+4)/(7+3) = 13/10 (≈ 454 Cent).
# ... (sobald das Ergebnis nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, stoppen wir)

Jeglicher Schritt dieses Algorithmus ergibt einen Bruch in gekürzter Form.

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
Im Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO). Hier heißt der sich ergebende Baum der Skalenbaum des MOS-Musters, er wird genauso wie der Stern-Brocot-Baum durch Medianten-Operationen konstruiert.

Hier bieten [[Diatonisch|diatonische]] Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der [[Härte|L/s-Wert]] dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man hingegen weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:

# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]], mit L/s-Wert 3/1
## Um das noch größer zu machen, berechnen wir noch einmal den Medianten mit 3\5. Dabei erhalten wir M(10\17, 3\5) = 13\22 (709 Cent) vom [[Superpyth]]-EDO [[22-EDO]], mit L/s-Wert 4/1
### M(13\22, 3\5) = 16\27 vom Superpyth-EDO [[27-EDO]] mit L/s-Wert 5/1
### M(13\22, 10\17) = 23\39 von [[39-EDO]], mit L/s-Wert 7/2
## Um das ein bisschen zu verkleinern: M(10\17, 4\7) = 15\29 (703 Cent), vom “[[Neogotisch]]”-EDO [[29-EDO]] mit L/s-Wert 5/2
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## M(11\19, 7\12) = 18\31 (697 Cent), vom mitteltönigen EDO [[31-EDO]] mit L/s-Wert 5/3
## M(11\19, 4\7) = 15\26 (692 Cent), vom [[Flattone]]-EDO [[26-EDO]], mit L/s-Wert 4/3

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation bleiben die Ergebnisse der sukzessiven Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, also zwischen 4\7 und 3\5. Aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an eine gewünschte Größe angepasst ist. Dieser Unterbaum, der sich vom diatonischen “Generatorpaar” (3\5, 4\7) ergibt, lässt sich in der Tat als eine exakte Kopie des ganzen Baumes ansehen, wenn seine Knoten mit den entsprechenden diatonischen L/s-Werten markiert werden.

== Siehe auch ==

* [https://www.oemg.ac.at/DK/Didaktikhefte/2006%20Band%2039/VortragHumenberger.pdf Nachbarbrüche, Medianten und Farey-Reihen – entdeckender und verständiger Umgang mit Brüchen]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_der_Mittelzahlen Regel der Mittelzahlen – Wikipedia]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Farey-Folge Farey&amp;#45;Folge – Wikipedia]
* [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch Kettenbruch – Wikipedia]
* [[Wikipedia: Mediant (mathematics)]] (englisch)

[[Kategorie:Mathematik]]</text>
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Sorry, falls ich Bearbeitungskonflikte ausgelöst haben sollte: ich lass meine Finger jetzt wieder raus. Ein paar konkrete Beispiele könnten helfen, die praktische Bedeutung offensichtlich zu machen. Mein Lieblingsbeispiel ist die Halbierung der Oktave &lt;code&gt;M(2/1, 1/1) =&gt; 3/2&lt;/code&gt;, daher habe ich ''xenharmonisch'' auch in Klammern gesetzt. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 06:11, 1. Jul. 2021 (UTC)</text>
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Sorry, falls ich Bearbeitungskonflikte ausgelöst haben sollte: ich lass meine Finger jetzt wieder raus. Ein paar konkrete Beispiele könnten helfen, die praktische Bedeutung offensichtlich zu machen. Mein Lieblingsbeispiel ist die Halbierung der Oktave &lt;code&gt;M(2/1, 1/1) =&gt; 3/2&lt;/code&gt;, daher habe ich ''xenharmonisch'' auch in Klammern gesetzt. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 06:11, 1. Jul. 2021 (UTC)

== "der Mediant" oder "die Mediante"? ==

Welche Form ist üblicher? (Ich gebe zu, für den Bruch-Konzept würde ich lieber "der Mediant" sagen, denn "die Mediante" bedeutet bereits die musiktheoretische Funktion.) [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 12:52, 1. Jul. 2021 (UTC)</text>
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Sorry, falls ich Bearbeitungskonflikte ausgelöst haben sollte: ich lass meine Finger jetzt wieder raus. Ein paar konkrete Beispiele könnten helfen, die praktische Bedeutung offensichtlich zu machen. Mein Lieblingsbeispiel ist die Halbierung der Oktave &lt;code&gt;M(2/1, 1/1) =&gt; 3/2&lt;/code&gt;, daher habe ich ''xenharmonisch'' auch in Klammern gesetzt. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 06:11, 1. Jul. 2021 (UTC)

== "der Mediant" oder "die Mediante"? ==

Welche Form ist üblicher? (Ich gebe zu, für den Bruch-Konzept würde ich lieber "der Mediant" sagen, denn "die Mediante" bedeutet bereits die musiktheoretische Funktion.) [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 12:52, 1. Jul. 2021 (UTC)

Ich sah "der Mediant" in Wikipedia ([http://math.sfsu.edu/beck/teach/masters/michael.pdf und in diesem Textbuch]) aber der Link über Kettenbrüche schreibt "die Mediante". Ich habe klargestellt, dass "die Mediante" eine mögliche Form ist. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 13:10, 1. Jul. 2021 (UTC)</text>
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Sorry, falls ich Bearbeitungskonflikte ausgelöst haben sollte: ich lass meine Finger jetzt wieder raus. Ein paar konkrete Beispiele könnten helfen, die praktische Bedeutung offensichtlich zu machen. Mein Lieblingsbeispiel ist die Halbierung der Oktave &lt;code&gt;M(2/1, 1/1) =&gt; 3/2&lt;/code&gt;, daher habe ich ''xenharmonisch'' auch in Klammern gesetzt. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 06:11, 1. Jul. 2021 (UTC)

== "der Mediant" oder "die Mediante"? ==

Welche Form ist üblicher? (Ich gebe zu, für den Bruch-Konzept würde ich lieber "der Mediant" sagen, denn "die Mediante" bedeutet bereits die musiktheoretische Funktion.) [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 12:52, 1. Jul. 2021 (UTC)

Ich sah "der Mediant" in Wikipedia ([http://math.sfsu.edu/beck/teach/masters/michael.pdf und in diesem Textbuch]) aber der Link über Kettenbrüche schreibt "die Mediante". Ich habe klargestellt, dass "die Mediante" eine mögliche Form ist. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 13:10, 1. Jul. 2021 (UTC)

: Witzig, zu genau zu dem Punkt wollte ich mich gerade hier äußern (hatte das schon in paar Stunden in der Pipeline&lt;sup&gt;[siehe auch meine email]&lt;/sup&gt;): 
: In der deutschen Wikipedia habe ich ''die Mediante'' (unter [https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_der_Mittelzahlen Regel der Mittelzahlen – Wikipedia] gefunden, den Link sollte man im Artikel auch noch einfügen), in einer bereits verlinkten (das Thema weiter vertiefenden) Arbeit (aus Österreich) zur Didaktik in der Mathematik wird ebenfalls konsistent ''die Mediante'' benutzt. Ich würde das in diesem Artikel das Geschlecht wechseln. Damit haben wir nun also - genau wie im Englischen - ''vollkommene Übereinstimmung'' von [https://de.wikipedia.org/wiki/Mediante Mediante] (Harmonielehre) und [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Mediante_(Mathematik)&amp;redirect=no Mediante (Mathematik)] erreicht (aber die Unterscheidung wäre auch sonst nicht einfacher gewesen). Mediant wird mit Sicherheit in etlichen Fachgebieten ebenfalls verwendet, Verständnisschwierigkeiten wegen des Wortgeschlechts sind also nicht zu befürchten. Aber die weibliche Form scheint mir tatsächlich gebräuchlicher (das ist sicherlich zum Teil auch aus Sprachfluss und Klang zu begründen). --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 16:04, 1. Jul. 2021 (UTC)</text>
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Sorry, falls ich Bearbeitungskonflikte ausgelöst haben sollte: ich lass meine Finger jetzt wieder raus. Ein paar konkrete Beispiele könnten helfen, die praktische Bedeutung offensichtlich zu machen. Mein Lieblingsbeispiel ist die Halbierung der Oktave &lt;code&gt;M(2/1, 1/1) =&gt; 3/2&lt;/code&gt;, daher habe ich ''xenharmonisch'' auch in Klammern gesetzt. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 06:11, 1. Jul. 2021 (UTC)

== "der Mediant" oder "die Mediante"? ==

Welche Form ist üblicher? (Ich gebe zu, für den Bruch-Konzept würde ich lieber "der Mediant" sagen, denn "die Mediante" bedeutet bereits die musiktheoretische Funktion.) [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 12:52, 1. Jul. 2021 (UTC)

Ich sah "der Mediant" in Wikipedia ([http://math.sfsu.edu/beck/teach/masters/michael.pdf und in diesem Textbuch]) aber der Link über Kettenbrüche schreibt "die Mediante". Ich habe klargestellt, dass "die Mediante" eine mögliche Form ist. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 13:10, 1. Jul. 2021 (UTC)

: Witzig, zu genau zu dem Punkt wollte ich mich gerade hier äußern (hatte das schon in paar Stunden in der Pipeline&lt;sup&gt;[siehe auch meine E-Mail]&lt;/sup&gt;): 
: In der deutschen Wikipedia habe ich ''die Mediante'' (unter [https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_der_Mittelzahlen Regel der Mittelzahlen – Wikipedia] gefunden, den Link sollte man im Artikel auch noch einfügen), in einer bereits verlinkten (das Thema weiter vertiefenden) Arbeit (aus Österreich) zur Didaktik in der Mathematik wird ebenfalls konsistent ''die Mediante'' benutzt. Ich würde das in diesem Artikel das Geschlecht wechseln. Damit haben wir nun also - genau wie im Englischen - ''vollkommene Übereinstimmung'' von [https://de.wikipedia.org/wiki/Mediante Mediante] (Harmonielehre) und [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Mediante_(Mathematik)&amp;redirect=no Mediante (Mathematik)] erreicht (aber die Unterscheidung wäre auch sonst nicht einfacher gewesen). Mediant wird mit Sicherheit in etlichen Fachgebieten ebenfalls verwendet, Verständnisschwierigkeiten wegen des Wortgeschlechts sind also nicht zu befürchten. Aber die weibliche Form scheint mir tatsächlich gebräuchlicher (das ist sicherlich zum Teil auch aus Sprachfluss und Klang zu begründen). --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 16:04, 1. Jul. 2021 (UTC)</text>
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      <text bytes="2461" sha1="pa216crilsrmgqmzth8jpujqeh8z0pj" xml:space="preserve">== Hinweise ==

Sorry, falls ich Bearbeitungskonflikte ausgelöst haben sollte: ich lass meine Finger jetzt wieder raus. Ein paar konkrete Beispiele könnten helfen, die praktische Bedeutung offensichtlich zu machen. Mein Lieblingsbeispiel ist die Halbierung der Oktave &lt;code&gt;M(2/1, 1/1) =&gt; 3/2&lt;/code&gt;, daher habe ich ''xenharmonisch'' auch in Klammern gesetzt. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 06:11, 1. Jul. 2021 (UTC)

== "der Mediant" oder "die Mediante"? ==

Welche Form ist üblicher? (Ich gebe zu, für den Bruch-Konzept würde ich lieber "der Mediant" sagen, denn "die Mediante" bedeutet bereits die musiktheoretische Funktion.) [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 12:52, 1. Jul. 2021 (UTC)

Ich sah "der Mediant" in Wikipedia ([http://math.sfsu.edu/beck/teach/masters/michael.pdf und in diesem Textbuch]) aber der Link über Kettenbrüche schreibt "die Mediante". Ich habe klargestellt, dass "die Mediante" eine mögliche Form ist. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 13:10, 1. Jul. 2021 (UTC)

: Witzig, zu genau zu dem Punkt wollte ich mich gerade hier äußern (hatte das schon in paar Stunden in der Pipeline&lt;sup&gt;[siehe auch meine E-Mail]&lt;/sup&gt;): 
: In der deutschen Wikipedia habe ich ''die Mediante'' (unter [https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_der_Mittelzahlen Regel der Mittelzahlen – Wikipedia] gefunden, den Link sollte man im Artikel auch noch einfügen), in einer bereits verlinkten (das Thema weiter vertiefenden) Arbeit (aus Österreich) zur Didaktik in der Mathematik wird ebenfalls konsistent ''die Mediante'' benutzt. Ich würde deshalb in diesem Artikel das Geschlecht wechseln. Damit haben wir nun also - genau wie im Englischen - ''vollkommene Übereinstimmung'' von [https://de.wikipedia.org/wiki/Mediante Mediante] (Harmonielehre) und [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Mediante_(Mathematik)&amp;redirect=no Mediante (Mathematik)] erreicht (aber die Unterscheidung wäre auch sonst nicht einfacher gewesen). Mediant wird mit Sicherheit in etlichen Fachgebieten ebenfalls verwendet, Verständnisschwierigkeiten wegen des Wortgeschlechts sind also nicht zu befürchten. Aber die weibliche Form scheint mir tatsächlich gebräuchlicher (das ist sicherlich zum Teil auch aus Sprachfluss und Klang zu begründen). --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 16:04, 1. Jul. 2021 (UTC)</text>
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Sorry, falls ich Bearbeitungskonflikte ausgelöst haben sollte: ich lass meine Finger jetzt wieder raus. Ein paar konkrete Beispiele könnten helfen, die praktische Bedeutung offensichtlich zu machen. Mein Lieblingsbeispiel ist die Halbierung der Oktave &lt;code&gt;M(2/1, 1/1) =&gt; 3/2&lt;/code&gt;, daher habe ich ''xenharmonisch'' auch in Klammern gesetzt. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 06:11, 1. Jul. 2021 (UTC)

== "der Mediant" oder "die Mediante"? ==

Welche Form ist üblicher? (Ich gebe zu, für den Bruch-Konzept würde ich lieber "der Mediant" sagen, denn "die Mediante" bedeutet bereits die musiktheoretische Funktion.) [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 12:52, 1. Jul. 2021 (UTC)

Ich sah "der Mediant" in Wikipedia ([http://math.sfsu.edu/beck/teach/masters/michael.pdf und in diesem Textbuch]) aber der Link über Kettenbrüche schreibt "die Mediante". Ich habe klargestellt, dass "die Mediante" eine mögliche Form ist. [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 13:10, 1. Jul. 2021 (UTC)

: Witzig, zu genau zu dem Punkt wollte ich mich gerade hier äußern (hatte das schon in paar Stunden in der Pipeline&lt;sup&gt;[siehe auch meine E-Mail]&lt;/sup&gt;): 
: In der deutschen Wikipedia habe ich ''die Mediante'' (unter [https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_der_Mittelzahlen Regel der Mittelzahlen – Wikipedia] gefunden, den Link sollte man im Artikel auch noch einfügen), in einer bereits verlinkten (das Thema weiter vertiefenden) Arbeit (aus Österreich) zur Didaktik in der Mathematik wird ebenfalls konsistent ''die Mediante'' benutzt. Ich würde deshalb in diesem Artikel das Geschlecht wechseln. Damit haben wir nun also - genau wie im Englischen - ''vollkommene Übereinstimmung'' von [https://de.wikipedia.org/wiki/Mediante Mediante] (Harmonielehre) und [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Mediante_(Mathematik)&amp;redirect=no Mediante (Mathematik)] erreicht (aber die Unterscheidung wäre auch sonst nicht einfacher gewesen). Mediant wird mit Sicherheit in etlichen Fachgebieten ebenfalls verwendet, Verständnisschwierigkeiten wegen des Wortgeschlechts sind also nicht zu befürchten. Aber die weibliche Form scheint mir tatsächlich gebräuchlicher (das ist sicherlich zum Teil auch aus Sprachfluss und Klang zu begründen). --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 16:04, 1. Jul. 2021 (UTC)

== Kürzen und Größenverhältnisse ==

Mir war aufgefallen, dass die Ordnungsbeziehung zwischen &lt;code&gt;f1 = a/b&lt;/code&gt;, &lt;code&gt;f2 = c/d&lt;/code&gt; und &lt;code&gt;m = f1 ⊕ f2&lt;/code&gt; offenbar nicht durch die Wahl von &lt;code&gt;a, b, c, d&lt;/code&gt; eingeschränkt wird: &lt;code&gt;ord(f1, m) == ord(m, f2) == ord(f1, f2)&lt;/code&gt;, also auch dann gilt, wenn die Brüche nicht gekürzt werden. Es ist dann natürlich so, dass die "Mittigkeit" sehr viel weiter gefasst wird, aber gerade diese Erweiterung könnte sich als (xen)musikalisch nützlich erweisen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 16:54, 1. Jul. 2021 (UTC)</text>
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      <text bytes="1375" sha1="b3y9u7qnii5n04k5ohf9ild8121a2gj" xml:space="preserve">== "negative tunings" ==

Der [https://de.xen.wiki/index.php?title=5L2s&amp;type=revision&amp;diff=2601&amp;oldid=2594 gelöschte Kommentar (am Ende des Diffs)] klang spannend:
&lt;div style="border: 1px solid gray; margin-left: 2em"&gt;
Tunings above 7\12 on this chart are called "negative tunings" (as they lessen the size of the fifth) and include meantone systems such as 1/3-comma (close to 11\19) and 1/4-comma (close to 18\31). As these tunings approach 4\7, the majors become flatter and the minors become sharper.

Tunings below 7\12 on this chart are called "positive tunings" and they include Pythagorean tuning itself (well approximated by 31\53) as well as superpyth tunings such as 10\17 and 13\22. As these tunings approach 3\5, the majors become sharper and the minors become flatter. Around 13\22 through 16\27, the thirds fall closer to 7-limit than 5-limit intervals: 7:6 and 9:7 as opposed to 6:5 and 5:4.

[[:en:File:5L2s.jpg]]

5L 2s contains the pentatonic MOS [[2L_3s|2L 3s]] and (with the sole exception of the 5L 2s of 12EDO) is itself contained in a dodecaphonic MOS: either [[7L_5s|7L 5s]] or [[5L_7s|5L 7s]], depending on whether the fifth is flatter than or sharper than 7\12 (700c).
&lt;/div&gt;
Ich habe ihn noch nicht durchgearbeitet, will das aber später machen --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 06:30, 1. Jul. 2021 (UTC)</text>
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      <comment>Fredg999 verschob die Seite [[Diskussion:5L2s]] nach [[Diskussion:5L 2s]]</comment>
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Der [https://de.xen.wiki/index.php?title=5L2s&amp;type=revision&amp;diff=2601&amp;oldid=2594 gelöschte Kommentar (am Ende des Diffs)] klang spannend:
&lt;div style="border: 1px solid gray; margin-left: 2em"&gt;
Tunings above 7\12 on this chart are called "negative tunings" (as they lessen the size of the fifth) and include meantone systems such as 1/3-comma (close to 11\19) and 1/4-comma (close to 18\31). As these tunings approach 4\7, the majors become flatter and the minors become sharper.

Tunings below 7\12 on this chart are called "positive tunings" and they include Pythagorean tuning itself (well approximated by 31\53) as well as superpyth tunings such as 10\17 and 13\22. As these tunings approach 3\5, the majors become sharper and the minors become flatter. Around 13\22 through 16\27, the thirds fall closer to 7-limit than 5-limit intervals: 7:6 and 9:7 as opposed to 6:5 and 5:4.

[[:en:File:5L2s.jpg]]

5L 2s contains the pentatonic MOS [[2L_3s|2L 3s]] and (with the sole exception of the 5L 2s of 12EDO) is itself contained in a dodecaphonic MOS: either [[7L_5s|7L 5s]] or [[5L_7s|5L 7s]], depending on whether the fifth is flatter than or sharper than 7\12 (700c).
&lt;/div&gt;
Ich habe ihn noch nicht durchgearbeitet, will das aber später machen --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 06:30, 1. Jul. 2021 (UTC)</text>
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      <comment>Weiterleitung nach [[Mediant#Bedeutung bei MOS-Skalen]] erstellt</comment>
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      <comment>offensichtlich nützliche Weiterleitung, siehe Diskussion zum [[Mediant]]-Artikel</comment>
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    <title>MOS-Rautennotation</title>
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      <text bytes="367" sha1="b34b9tam6geu0l0bi0xlk45pgohr2ao" xml:space="preserve">== Credits ==

== Motivation ==

== Konzept und Partiturformat ==

== Notenzeilen ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Vorzeichen ==
=== Anzeigen von ModMOS-Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattsingen ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen von den Richtlinien ==

== Unterstützung in Software ==</text>
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      <comment>Inthar verschob die Seite [[MOS-Diamantennotation]] nach [[MOS-Rautennotation]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
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== Motivation ==

== Konzept und Partiturformat ==

== Notenzeilen ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Vorzeichen ==
=== Anzeigen von ModMOS-Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattsingen ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen von den Richtlinien ==

== Unterstützung in Software ==</text>
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      <text bytes="1147" sha1="3u2wmn8t8qwy55lw17f625yqxr2auq8" xml:space="preserve">Die '''MOS-Rautennotation''' ist ein mikrotonales Notationssystem, bestimmt für das Schreiben von nicht-diatonischen [[MOS-Skalen]] ohne Interpretation in Bezug auf die [[reine Stimmung]] oder [[reguläre Temperaturen]]. Die Notation wurde von Mitgliedern des XA Discordservers entworfen.
== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164), osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung wurde von Inthar#5959 (und jemandem anders, wahrscheinlich [[Benutzer:Xenwolf]]) beigesteuert.
== Motivation ==

== Konzept und Partiturformat ==

== Notenzeilen ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Vorzeichen ==
=== Anzeigen von ModMOS-Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattsingen ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen von den Richtlinien ==

== Unterstützung in Software ==</text>
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      <text bytes="2074" sha1="4d5tvxxuyna3a8syx0pr2xpuummhnza" xml:space="preserve">Die '''MOS-Rautennotation''' ist ein mikrotonales Notationssystem, bestimmt für das Schreiben von nicht-diatonischen [[MOS-Skalen]] ohne Interpretation in Bezug auf die [[reine Stimmung]] oder [[reguläre Temperaturen]]. Die Notation wurde von Mitgliedern des XA Discordservers entworfen.
== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164), osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung wurde von Inthar#5959 (und jemandem anders, wahrscheinlich [[Benutzer:Xenwolf]]) beigesteuert.
== Motivation ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder, und man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales System gedacht, das jede theoretische Schule in der Xenharmonie befriedigt. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßige Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Regeln zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Systemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==

== Notenzeilen ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Vorzeichen ==
=== Anzeigen von ModMOS-Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattsingen ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen von den Richtlinien ==

== Unterstützung in Software ==</text>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2083" sha1="rt2tucu3ofnz6wdk57kfzz8qui54c2t" xml:space="preserve">Die '''MOS-Rautennotation''' ist ein mikrotonales Notationssystem, bestimmt für das Schreiben von nicht-diatonischen [[MOS-Skalen]] ohne Interpretation in Bezug auf die [[reine Stimmung]] oder [[reguläre Temperaturen]]. Die Notation wurde von Mitgliedern des XA Discordservers entworfen.
== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164), osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung wurde von Inthar#5959 (und jemandem anders, wahrscheinlich [[Benutzer:Xenwolf]]) beigesteuert.
== Motivation ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder, und man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales System gedacht, das jede theoretische Schule in der Xenharmonie befriedigt. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßige Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Regeln zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==

== Notenzeilen ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Vorzeichen ==
=== Anzeigen von ModMOS-Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattsingen ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen von den Richtlinien ==

== Unterstützung in Software ==</text>
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      <text bytes="2079" sha1="iznyuupx7fa8kaenrw746mpgg03o4u3" xml:space="preserve">Die '''MOS-Rautennotation''' ist ein mikrotonales Notationssystem, bestimmt für das Schreiben von nicht-diatonischen [[MOS-Skalen]] ohne Interpretation in Bezug auf die [[reine Stimmung]] oder [[reguläre Temperaturen]]. Die Notation wurde von Mitgliedern des XA Discordservers entworfen.
== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164), osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung wurde von Inthar#5959 (und jemandem anders, wahrscheinlich [[Benutzer:Xenwolf]]) beigesteuert.
== Motivation ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales System gedacht, das jede theoretische Schule in der Xenharmonie befriedigt. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßige Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Regeln zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==

== Notenzeilen ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Vorzeichen ==
=== Anzeigen von ModMOS-Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattsingen ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen von den Richtlinien ==

== Unterstützung in Software ==</text>
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== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164), osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung wurde von Inthar#5959 (und jemandem anders, wahrscheinlich [[Benutzer:Xenwolf]]) beigesteuert.
== Motivation ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales System gedacht, das jede theoretische Schule in der Xenharmonie befriedigt. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Regeln zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==

== Notenzeilen ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Vorzeichen ==
=== Anzeigen von ModMOS-Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattsingen ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen von den Richtlinien ==

== Unterstützung in Software ==</text>
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== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164), osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung wurde von Inthar#5959 (und jemandem anders, wahrscheinlich [[Benutzer:Xenwolf]]) beigesteuert.
== Motivation ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales System gedacht, das jede theoretische Schule in der Xenharmonie befriedigt. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Regeln zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==

== Notenzeilen ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Vorzeichen ==
=== Anzeigen von ModMOS-Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattsingen ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen von den Richtlinien ==

== Unterstützung in Software ==</text>
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== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164), osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung wurde von Inthar#5959 (und jemandem anders, wahrscheinlich [[Benutzer:Xenwolf]]) beigesteuert.
== Motivation ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales System gedacht, das jede theoretische Schule in der Xenharmonie befriedigt. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Regeln zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==

== Notenzeilen ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Vorzeichen ==
=== Anzeigen von ModMOS-Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattsingen ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen von den Richtlinien ==

== Unterstützung in Software ==</text>
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== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164), osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung wurde von Inthar#5959 (und jemandem anders, wahrscheinlich [[Benutzer:Xenwolf]]) beigesteuert.
== Motivation ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales System gedacht, das jede theoretische Schule in der Xenharmonie befriedigt. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Regeln zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==

== Notenzeilen ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Vorzeichen ==
=== Anzeigen von ModMOS-Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattsingen ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen von den Richtlinien ==

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== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164), osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung wurde von Inthar#5959 (und jemandem anders, wahrscheinlich [[Benutzer:Xenwolf]]) beigesteuert.
== Motivation ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales System gedacht, das jede theoretische Schule in der Xenharmonie befriedigen würde. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Regeln zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==

== Notenzeilen ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Vorzeichen ==
=== Anzeigen von ModMOS-Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattsingen ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen von den Richtlinien ==

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== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164), osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung wurde von Inthar#5959 (und jemandem anders, wahrscheinlich [[Benutzer:Xenwolf]]) beigesteuert.
== Motivation ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Regeln zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==

== Notenzeilen ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Vorzeichen ==
=== Anzeigen von ModMOS-Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattsingen ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen von den Richtlinien ==

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== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164), osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung wurde von Inthar#5959 (und jemandem anders, wahrscheinlich [[Benutzer:Xenwolf]]) beigesteuert.
== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Regeln zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==

== Notenzeilen ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Vorzeichen ==
=== Anzeigen von ModMOS-Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattsingen ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen von den Richtlinien ==

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== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164), osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung wurde von Inthar#5959 (und jemandem anders, wahrscheinlich [[Benutzer:Xenwolf]]) beigesteuert.
== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Regeln zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==

== Notenzeilen ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Vorzeichen ==
=== Anzeigen von ModMOS-Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattsingen ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen von den Richtlinien ==

== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
[[Kategorie:Praxis]]</text>
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      <comment>/* Credits */</comment>
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      <text bytes="2175" sha1="hqwv3dmg871xlpydfdvb6h8eeqnxt14" xml:space="preserve">Die '''MOS-Rautennotation''' (eng. diamond-mos notation) ist ein mikrotonales Notationssystem, entwickelt für das Schreiben von nicht-diatonischen [[MOS-Skalen]] ohne Interpretation in Bezug auf die [[reine Stimmung]] oder [[reguläre Temperaturen]]. Die Notation wurde von Mitgliedern des XA Discordservers entworfen.
== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung wurde von Inthar#5959 (und jemandem anders, wahrscheinlich [[Benutzer:Xenwolf]]) beigesteuert.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Regeln zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==

== Notenzeilen ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Vorzeichen ==
=== Anzeigen von ModMOS-Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattsingen ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen von den Richtlinien ==

== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
[[Kategorie:Praxis]]</text>
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== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung wurde von Inthar#5959 (und jemandem anders, wahrscheinlich [[Benutzer:Xenwolf]]) beigesteuert.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Regeln zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
Die MOS-Rautennotation basiert auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Das MOS-Muster wird in Anzahlen von EDO-Stufen angegeben, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeilen (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus als wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die Notennamen A bis G. In diesem Fall muss das MOS-Muster auf den Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lässt derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche Tonhöhe “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

In der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben auf der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenzeilen ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Vorzeichen ==
=== Anzeigen von ModMOS-Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattsingen ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen von den Richtlinien ==

== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
[[Kategorie:Praxis]]</text>
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== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung wurde von Inthar#5959 (und jemandem anders, wahrscheinlich [[Benutzer:Xenwolf]]) beigesteuert.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Regeln zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
Die MOS-Rautennotation basiert standardmäßig auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Das MOS-Muster wird in Anzahlen von EDO-Stufen angegeben, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeilen (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus als wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die Notennamen A bis G. In diesem Fall muss das MOS-Muster auf den Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lässt derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche Tonhöhe “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

In der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben auf der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenzeilen ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Vorzeichen ==
=== Anzeigen von ModMOS-Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattsingen ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen von den Richtlinien ==

== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
[[Kategorie:Praxis]]</text>
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== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung wurde von Inthar#5959 (und jemandem anders, wahrscheinlich [[Benutzer:Xenwolf]]) beigesteuert.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Regeln zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
[[File:Apartment in the Sky Score Opening.png|thumb|478x478px|Der obere Teil einer Partitur in der MOS-Rautennotation.]]

Die MOS-Rautennotation basiert standardmäßig auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Das MOS-Muster wird in Anzahlen von EDO-Stufen angegeben, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeilen (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus als wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die Notennamen A bis G. In diesem Fall muss das MOS-Muster auf den Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lässt derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche Tonhöhe “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

In der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben auf der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenzeilen ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Vorzeichen ==
=== Anzeigen von ModMOS-Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattsingen ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen von den Richtlinien ==

== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
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== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung wurde von Inthar#5959 (und jemandem anders, wahrscheinlich [[Benutzer:Xenwolf]]) beigesteuert.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Regeln zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
[[File:Apartment in the Sky Score Opening.png|thumb|478x478px|Der obere Teil einer Partitur in der MOS-Rautennotation.]]

Die MOS-Rautennotation basiert standardmäßig auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Das MOS-Muster wird in Anzahlen von EDO-Stufen angegeben, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeilen (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus als wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die Standard-Notennamen. In diesem Fall muss das MOS-Muster auf den Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lässt derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche Tonhöhe “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

In der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben auf der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenzeilen ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Vorzeichen ==
=== Anzeigen von ModMOS-Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattsingen ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen von den Richtlinien ==

== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
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== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung wurde von Inthar#5959 (und jemandem anders, wahrscheinlich [[Benutzer:Xenwolf]]) beigesteuert.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Regeln zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
[[File:Apartment in the Sky Score Opening.png|thumb|478x478px|Der obere Teil einer Partitur in der MOS-Rautennotation.]]

Die MOS-Rautennotation basiert standardmäßig auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Das MOS-Muster wird in Anzahlen von EDO-Stufen angegeben, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeilen (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die Standard-Notennamen. In diesem Fall muss das MOS-Muster auf den Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lässt derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche Tonhöhe “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

In der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben auf der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenzeilen ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Vorzeichen ==
=== Anzeigen von ModMOS-Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattsingen ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen von den Richtlinien ==

== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
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      <text bytes="4306" sha1="6r3516tutsbb61i49c8jifddfhtq3w9" xml:space="preserve">Die '''MOS-Rautennotation''' (eng. diamond-mos notation) ist ein mikrotonales Notationssystem, entwickelt für das Schreiben von nicht-diatonischen [[MOS-Skalen]] ohne Interpretation in Bezug auf die [[reine Stimmung]] oder [[reguläre Temperaturen]]. Die Notation wurde von Mitgliedern des XA Discordservers entworfen.
== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung wurde von Inthar#5959 beigesteuert.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Regeln zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
[[File:Apartment in the Sky Score Opening.png|thumb|478x478px|Der obere Teil einer Partitur in der MOS-Rautennotation.]]

Die MOS-Rautennotation basiert standardmäßig auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Das MOS-Muster wird in Anzahlen von EDO-Stufen angegeben, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeilen (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die Standard-Notennamen. In diesem Fall muss das MOS-Muster auf den Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lässt derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche Tonhöhe “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

In der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben auf der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenzeilen ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Vorzeichen ==
=== Anzeigen von ModMOS-Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattsingen ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen von den Richtlinien ==

== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
[[Kategorie:Praxis]]</text>
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== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung wurde von Inthar#5959 beigesteuert.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Regeln zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
[[File:Apartment in the Sky Score Opening.png|thumb|478x478px|Der obere Teil einer Partitur in der MOS-Rautennotation.]]

Die MOS-Rautennotation basiert standardmäßig auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Das MOS-Muster wird in Anzahlen von EDO-Stufen angegeben, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeilen (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die Standard-Notennamen. In diesem Fall muss das MOS-Muster auf den Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lässt derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche Tonhöhe “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

Auf der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben auf der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenzeilen ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Vorzeichen ==
=== Anzeigen von ModMOS-Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattsingen ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen von den Richtlinien ==

== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
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== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung wurde von Inthar#5959 beigesteuert.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Regeln zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
[[File:Apartment in the Sky Score Opening.png|thumb|478x478px|Der obere Teil einer Partitur in der MOS-Rautennotation.]]

Die MOS-Rautennotation basiert standardmäßig auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Das MOS-Muster wird in Anzahlen von EDO-Stufen angegeben, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeilen (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die Standard-Notennamen. In diesem Fall muss das MOS-Muster auf den Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lässt derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche (absolute) Tonhöhe der (relativ zu einem MOS-Modus definierte) Notenname “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

Auf der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben auf der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenzeilen ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Vorzeichen ==
=== Anzeigen von ModMOS-Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattsingen ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen von den Richtlinien ==

== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
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== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung wurde von Inthar#5959 beigesteuert.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Regeln zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
[[File:Apartment in the Sky Score Opening.png|thumb|478x478px|Der obere Teil einer Partitur in der MOS-Rautennotation.]]

Die MOS-Rautennotation basiert standardmäßig auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Das MOS-Muster wird in Anzahlen von EDO-Stufen angegeben, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeilen (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die Standard-Notennamen. In diesem Fall muss das MOS-Muster auf den Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lässt derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche (absolute) Tonhöhe der (relativ zu einem MOS-Modus definierte) Notenname “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

Auf der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben auf der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenzeilen ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Tonartbezeichnungen (Vorzeichen) ==
=== Anzeigen von ModMOS-Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattsingen ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen von den Richtlinien ==

== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
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== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung wurde von Inthar#5959 beigesteuert.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Regeln zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
[[File:Apartment in the Sky Score Opening.png|thumb|478x478px|Der obere Teil einer Partitur in der MOS-Rautennotation.]]

Die MOS-Rautennotation basiert standardmäßig auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Das MOS-Muster wird in Anzahlen von EDO-Stufen angegeben, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeilen (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die Standard-Notennamen. In diesem Fall muss das MOS-Muster auf den Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lässt derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche (absolute) Tonhöhe der (relativ zu einem MOS-Modus definierte) Notenname “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

Auf der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben auf der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenzeilen ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Tonartbezeichnungen (Vorzeichen) ==
=== Anzeigen von ModMOS-Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattsingen ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen von den Richtlinien ==

== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
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== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung wurde von Inthar#5959 beigesteuert.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Regeln zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
[[File:Apartment in the Sky Score Opening.png|thumb|478x478px|Der obere Teil einer Partitur in der MOS-Rautennotation.]]

Die MOS-Rautennotation basiert standardmäßig auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Das MOS-Muster wird in Anzahlen von EDO-Stufen angegeben, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeilen (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die Standard-Notennamen. In diesem Fall muss das MOS-Muster auf den Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lässt derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche (absolute) Tonhöhe der (relativ zu einem MOS-Modus definierte) Notenname “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

Auf der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben auf der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenzeilen ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Tonartbezeichnungen (Vorzeichen) ==
=== Anzeigen von ModMOS-Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattsingen ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen von den Richtlinien ==

== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
[[Kategorie:Praxis]]</text>
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      <text bytes="4419" sha1="pdp9j736bsgm5j4niongrlfh19c3z8c" xml:space="preserve">Die '''MOS-Rautennotation''' (eng. diamond-mos notation) ist ein mikrotonales Notationssystem, entwickelt für das Schreiben von nicht-diatonischen [[MOS-Skalen]] ohne Interpretation mit [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] oder [[Reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]]. Die Notation wurde von Mitgliedern des XA Discordservers entworfen.
== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung wurde von Inthar#5959 beigesteuert.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Regeln zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
[[File:Apartment in the Sky Score Opening.png|thumb|478x478px|Der obere Teil einer Partitur in der MOS-Rautennotation.]]

Die MOS-Rautennotation basiert standardmäßig auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Das MOS-Muster wird in Anzahlen von EDO-Stufen angegeben, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeilen (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die Standard-Notennamen. In diesem Fall muss das MOS-Muster auf den Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lassen derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche (absolute) Tonhöhe der (relativ zu einem MOS-Modus definierte) Notenname “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

Auf der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben auf der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenzeilen ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Tonartbezeichnungen (Vorzeichen) ==
=== Anzeigen von ModMOS-Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattsingen ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen von den Richtlinien ==

== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
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== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung wurde von Inthar#5959 beigesteuert.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Regeln zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
[[File:Apartment in the Sky Score Opening.png|thumb|478x478px|Der obere Teil einer Partitur in der MOS-Rautennotation.]]

Die MOS-Rautennotation basiert standardmäßig auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Um ein MOS-Muster anzuzeigen, wird eine Folge von Zahlen angegeben, in der jede Zahl für ein Schritt der MOS-Skala steht, der so viele EDO-Stufen ausmacht, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeilen (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die Standard-Notennamen. In diesem Fall muss das MOS-Muster auf den Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lassen derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche (absolute) Tonhöhe der (relativ zu einem MOS-Modus definierte) Notenname “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

Auf der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben auf der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenzeilen ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Tonartbezeichnungen (Vorzeichen) ==
=== Anzeigen von ModMOS-Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattsingen ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen von den Richtlinien ==

== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
[[Kategorie:Praxis]]</text>
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== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung wurde von Inthar#5959 beigesteuert.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Regeln zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
[[File:Apartment in the Sky Score Opening.png|thumb|478x478px|Der obere Teil einer Partitur in der MOS-Rautennotation.]]

Die MOS-Rautennotation basiert standardmäßig auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Um ein MOS-Muster anzuzeigen, wird eine Folge von Zahlen angegeben, in der jede Zahl für einen Schritt der MOS-Skala steht, der so viele EDO-Stufen ausmacht, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeilen (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die Standard-Notennamen. In diesem Fall muss das MOS-Muster auf den Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lassen derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche (absolute) Tonhöhe der (relativ zu einem MOS-Modus definierte) Notenname “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

Auf der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben auf der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenzeilen ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Tonartbezeichnungen (Vorzeichen) ==
=== Anzeigen von ModMOS-Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattsingen ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen von den Richtlinien ==

== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
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== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung wurde von Inthar#5959 beigesteuert.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Regeln zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
[[File:Apartment in the Sky Score Opening.png|thumb|478x478px|Der obere Teil einer Partitur in der MOS-Rautennotation.]]

Die MOS-Rautennotation basiert standardmäßig auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Um ein MOS-Muster anzuzeigen, wird eine Folge von Zahlen angegeben: darin steht jede Zahl für einen Schritt der MOS-Skala, der so viele EDO-Stufen ausmacht, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeilen (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die Standard-Notennamen. In diesem Fall muss das MOS-Muster auf den Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lassen derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche (absolute) Tonhöhe der (relativ zu einem MOS-Modus definierte) Notenname “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

Auf der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben auf der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenzeilen ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Tonartbezeichnungen (Vorzeichen) ==
=== Anzeigen von ModMOS-Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattsingen ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen von den Richtlinien ==

== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
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== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung wurde von Inthar#5959 beigesteuert.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Konventionen zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
[[File:Apartment in the Sky Score Opening.png|thumb|478x478px|Der obere Teil einer Partitur in der MOS-Rautennotation.]]

Die MOS-Rautennotation basiert standardmäßig auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Um ein MOS-Muster anzuzeigen, wird eine Folge von Zahlen angegeben: darin steht jede Zahl für einen Schritt der MOS-Skala, der so viele EDO-Stufen ausmacht, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeilen (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die Standard-Notennamen. In diesem Fall muss das MOS-Muster auf den Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lassen derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche (absolute) Tonhöhe der (relativ zu einem MOS-Modus definierte) Notenname “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

Auf der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben auf der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenzeilen ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Tonartbezeichnungen (Vorzeichen) ==
=== Anzeigen von ModMOS-Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattsingen ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen von den Richtlinien ==

== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
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== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung wurde von Inthar#5959 beigesteuert.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Konventionen zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
[[File:Apartment in the Sky Score Opening.png|thumb|478x478px|Der obere Teil einer Partitur in der MOS-Rautennotation.]]

Die MOS-Rautennotation basiert standardmäßig auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Um ein MOS-Muster anzuzeigen, wird eine Folge von Zahlen angegeben: darin steht jede Zahl für einen Schritt der MOS-Skala, der so viele EDO-Stufen ausmacht, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeilen (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die Standard-Notennamen. In diesem Fall muss das MOS-Muster auf der Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lassen derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche (absolute) Tonhöhe der (relativ zu einem MOS-Modus definierte) Notenname “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

Auf der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben auf der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenzeilen ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Tonartbezeichnungen (Vorzeichen) ==
=== Anzeigen von ModMOS-Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattsingen ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen von den Richtlinien ==

== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
[[Kategorie:Praxis]]</text>
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== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Konventionen zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
[[File:Apartment in the Sky Score Opening.png|thumb|478x478px|Der obere Teil einer Partitur in der MOS-Rautennotation.]]

Die MOS-Rautennotation basiert standardmäßig auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Um ein MOS-Muster anzuzeigen, wird eine Folge von Zahlen angegeben: darin steht jede Zahl für einen Schritt der MOS-Skala, der so viele EDO-Stufen ausmacht, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeilen (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die Standard-Notennamen. In diesem Fall muss das MOS-Muster auf der Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lassen derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche (absolute) Tonhöhe der (relativ zu einem MOS-Modus definierte) Notenname “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

Auf der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben auf der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenzeilen ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Tonartbezeichnungen (Vorzeichen) ==
=== Anzeigen von ModMOS-Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattsingen ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen von den Richtlinien ==

== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
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== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Konventionen zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
[[File:Apartment in the Sky Score Opening.png|thumb|478x478px|Der obere Teil einer Partitur in der MOS-Rautennotation.]]

Die MOS-Rautennotation basiert standardmäßig auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Um ein MOS-Muster anzuzeigen, wird eine Folge von Zahlen angegeben: darin steht jede Zahl für einen Schritt der MOS-Skala, der so viele EDO-Stufen ausmacht, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeilen (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die Standard-Notennamen. In diesem Fall muss das MOS-Muster auf der Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lassen sich derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche (absolute) Tonhöhe der (relativ zu einem MOS-Modus definierte) Notenname “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

Auf der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben auf der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenzeilen ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Tonartbezeichnungen (Vorzeichen) ==
=== Anzeigen von ModMOS-Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattsingen ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen von den Richtlinien ==

== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
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Die '''MOS-Rautennotation''' (eng. diamond-mos notation) ist ein mikrotonales Notationssystem, entwickelt für das Schreiben von nicht-diatonischen [[MOS-Skalen]] ohne Interpretation mit [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] oder [[Reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]]. Die Notation wurde von Mitgliedern des XA Discordservers entworfen.

== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Konventionen zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
[[File:Apartment in the Sky Score Opening.png|thumb|478x478px|Der obere Teil einer Partitur in der MOS-Rautennotation.]]

Die MOS-Rautennotation basiert standardmäßig auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Um ein MOS-Muster anzuzeigen, wird eine Folge von Zahlen angegeben: darin steht jede Zahl für einen Schritt der MOS-Skala, der so viele EDO-Stufen ausmacht, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeilen (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die Standard-Notennamen. In diesem Fall muss das MOS-Muster auf der Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lassen sich derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche (absolute) Tonhöhe der (relativ zu einem MOS-Modus definierte) Notenname “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

Auf der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben auf der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenzeilen ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Tonartbezeichnungen (Vorzeichen) ==
=== Anzeigen von ModMOS-Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattsingen ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen von den Richtlinien ==

== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
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}}
Die '''MOS-Rautennotation''' (eng. diamond-mos notation) ist ein mikrotonales Notationssystem, entwickelt für das Schreiben von nicht-diatonischen [[MOS-Skalen]] ohne Interpretation mit [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] oder [[Reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]]. Die Notation wurde von Mitgliedern des XA Discordservers entworfen.

== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung wurde von Inthar#5959 beigesteuert.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Konventionen zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
[[File:Apartment in the Sky Score Opening.png|thumb|478x478px|Der obere Teil einer Partitur in der MOS-Rautennotation.]]

Die MOS-Rautennotation basiert standardmäßig auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Um ein MOS-Muster anzuzeigen, wird eine Folge von Zahlen angegeben: darin steht jede Zahl für einen Schritt der MOS-Skala, der so viele EDO-Stufen ausmacht, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeilen (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die Standard-Notennamen. In diesem Fall muss das MOS-Muster auf der Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lassen sich derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche (absolute) Tonhöhe der (relativ zu einem MOS-Modus definierte) Notenname “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

Auf der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben auf der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenzeilen ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Tonartbezeichnungen (Vorzeichen) ==
=== Anzeigen von ModMOS-Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattsingen ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen von den Richtlinien ==

== Unterstützung in Software ==

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Die '''MOS-Rautennotation''' (eng. diamond-mos notation) ist ein mikrotonales Notationssystem, entwickelt für das Schreiben von nicht-diatonischen [[MOS-Skalen]] ohne Interpretation mit [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] oder [[Reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]]. Die Notation wurde von Mitgliedern des XA Discordservers entworfen.

== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung der englischen Seite wurde von Inthar#5959 beigesteuert.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Konventionen zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
[[File:Apartment in the Sky Score Opening.png|thumb|478x478px|Der obere Teil einer Partitur in der MOS-Rautennotation.]]

Die MOS-Rautennotation basiert standardmäßig auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Um ein MOS-Muster anzuzeigen, wird eine Folge von Zahlen angegeben: darin steht jede Zahl für einen Schritt der MOS-Skala, der so viele EDO-Stufen ausmacht, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeilen (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die Standard-Notennamen. In diesem Fall muss das MOS-Muster auf der Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lassen sich derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche (absolute) Tonhöhe der (relativ zu einem MOS-Modus definierte) Notenname “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

Auf der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben auf der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenzeilen ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Tonartbezeichnungen (Vorzeichen) ==
=== Anzeigen von ModMOS-Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattsingen ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen von den Richtlinien ==

== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
[[Kategorie:Praxis]]</text>
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|de = MOS-Rautennotation
|en = Diamond-mos notation
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|ja =
}}
Die '''MOS-Rautennotation''' (eng. diamond-mos notation) ist ein mikrotonales Notationssystem, entwickelt für das Schreiben von nicht-diatonischen [[MOS-Skalen]] ohne Interpretation mit [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] oder [[Reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]]. Die Notation wurde von Mitgliedern des XA Discordservers entworfen.

== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung der englischen Seite wurde von Inthar#5959 beigesteuert.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Konventionen zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
[[File:Apartment in the Sky Score Opening.png|thumb|478x478px|Der obere Teil einer Partitur in der MOS-Rautennotation.]]

Die MOS-Rautennotation basiert standardmäßig auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Um ein MOS-Muster anzuzeigen, wird eine Folge von Zahlen angegeben: darin steht jede Zahl für einen Schritt der MOS-Skala, der so viele EDO-Stufen ausmacht, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeilen (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die üblichen Notennamen. In diesem Fall muss das MOS-Muster auf der Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lassen sich derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche (absolute) Tonhöhe der (relativ zu einem MOS-Modus definierte) Notenname “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

Auf der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben auf der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenzeilen ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Tonartbezeichnungen (Vorzeichen) ==
=== Anzeigen von ModMOS-Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattsingen ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen von den Richtlinien ==

== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
[[Kategorie:Praxis]]</text>
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}}
Die '''MOS-Rautennotation''' (eng. diamond-mos notation) ist ein mikrotonales Notationssystem, entwickelt für das Schreiben von nicht-diatonischen [[MOS-Skalen]] ohne Interpretation mit [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] oder [[Reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]]. Die Notation wurde von Mitgliedern des XA Discordservers entworfen.

== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung der englischen Seite wurde von Inthar#5959 beigesteuert.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Konventionen zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
[[File:Apartment in the Sky Score Opening.png|thumb|478x478px|Der obere Teil einer Partitur in der MOS-Rautennotation.]]

Die MOS-Rautennotation basiert standardmäßig auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Um ein MOS-Muster anzuzeigen, wird eine Folge von Zahlen angegeben: darin steht jede Zahl für einen Schritt der MOS-Skala, der so viele EDO-Stufen ausmacht, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeile (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die üblichen Notennamen. In diesem Fall muss das MOS-Muster auf der Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lassen sich derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche (absolute) Tonhöhe der (relativ zu einem MOS-Modus definierte) Notenname “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

Auf der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben auf der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenlinien ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Tonartbezeichnungen (Vorzeichen) ==
=== Anzeigen von ModMOS-Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattspiel ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen ==
* Es gibt eine Ausnahme von der Regel, dass die MOS-Rautennotation immer auf einer EDO-Stimmung basiert. Das System bietet eine Möglichkeit, eine Nicht-EDO-Stimmung einer MOS-Skala anzugeben. Man schreibe “Non-edo mos tuning” im oberen Teil der Partitur und gebe die Größe des Generatorintervalls an. [...] Beim Notieren einer Nicht-EDO-Stimmung haben die Akzidenzien ^/v keine Bedeutung und können nicht verwendet werden. Die einzigen möglichen Versetzungszeichen sind die MOS-Akzidenzien &amp;/@/e/a (oder #/b/t/d im Falle einer 5L2s-Stimmung). Da die Nicht-EDO-Notation keine endliche Menge Tonhöhen benutzt, sind Umstimmungen auf beliebige Skalen nicht möglich.
* Es ist möglich, Untermengen-EDOs als MOS-Skalen für Notation zu behandeln, beispielsweise [[9-EDO]] in [[18-EDO]]. In diesem Fall haben die Versetzungszeichen &amp;/@ keine Bedeutung und sind daher nicht möglich. Zudem stehen nach Taktstrichen keine Quadrate. Die einzigen möglichen Vorzeichen sind diejenigen, die alle Noten mit der gleichen Anzahl ^/v alterieren.
* Es ist möglich, 5L2s-Notation zu verwenden, auch in EDOs, in denen die beste Quinte 3\5 oder 4\7 ist. Das ist für Konsistenz mit bestehenden mikrotonalen Notationsschemen, die dies ermöglichen. Bei einer 4\7-Quinte versetzen die #/b-Zeichen Noten um null EDO-Stufen, und also sollte man diese Akzidenzien nicht benutzen. Triviale MOS-Stimmungen (mit L/s-Verhältnissen 1/0 und 1/1) sind nur im Falle von 5L2s möglich, nicht in anderen MOS-Skalen.
* Man kann in der MOS-Rautennotation in oktavfreien gleichstufigen Stimmungen und MOS-Skalen notieren. In diesem Fall kennzeichnen die Rauten die strukturelle [[Äquave]] (die Periode oder ggf. ein Vielfaches der Periode). Die Notennamen JKL… wiederholen sich in jeder Äquave. Man schreibe diese Äquave zusammen mit der Stimmung und dem MOS-Muster aus.
* Bisher sind wir davon ausgegangen, dass die Wahl der perfekte Quinte für die diatonische MOS-Skala eindeutig ist. Größere EDOs können aber mehr als ein mögliches 5L2s-Generatorintervall besitzen. Bei einer solchen EDO-Stimmung ist die standardmäßige Quinte zwecks diatonischer Notation die Quinte, die am nächsten zur reinen Quinte 3/2 liegt. Wenn für diatonische Notation eine andere Quinte gewünscht wird, so schreibe man das oben in der Partitur, z. B. "54edo, diatonic fifth = 31\54".
== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
[[Kategorie:Praxis]]</text>
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|de = MOS-Rautennotation
|en = Diamond-mos notation
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}}
Die '''MOS-Rautennotation''' (eng. diamond-mos notation) ist ein mikrotonales Notationssystem, entwickelt für das Schreiben von nicht-diatonischen [[MOS-Skalen]] ohne Interpretation mit [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] oder [[Reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]]. Die Notation wurde von Mitgliedern des XA Discordservers entworfen.

== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung der englischen Seite wurde von Inthar#5959 beigesteuert.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Konventionen zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
[[File:Apartment in the Sky Score Opening.png|thumb|478x478px|Der obere Teil einer Partitur in der MOS-Rautennotation.]]

Die MOS-Rautennotation basiert standardmäßig auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Um ein MOS-Muster anzuzeigen, wird eine Folge von Zahlen angegeben: darin steht jede Zahl für einen Schritt der MOS-Skala, der so viele EDO-Stufen ausmacht, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeile (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die üblichen Notennamen. In diesem Fall muss das MOS-Muster auf der Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lassen sich derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche (absolute) Tonhöhe der (relativ zu einem MOS-Modus definierte) Notenname “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

Auf der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben auf der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenlinien ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Tonartbezeichnungen (Vorzeichen) ==
=== Anzeigen von ModMOS-Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattspiel ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen ==
* Es gibt eine Ausnahme von der Regel, dass die MOS-Rautennotation immer auf einer EDO-Stimmung basiert. Das System bietet eine Möglichkeit, eine Nicht-EDO-Stimmung einer MOS-Skala anzugeben. Man schreibe “Non-edo mos tuning” im oberen Teil der Partitur und gebe die Größe des Generatorintervalls an. Man schreibe das MOS-Muster mit abstrakten Stufen L und s anstatt in EDO-Schritten, z. B. “LLsLsLs”. Beim Notieren einer Nicht-EDO-Stimmung haben die Akzidenzien ^/v keine Bedeutung und können nicht verwendet werden. Die einzigen möglichen Versetzungszeichen sind die MOS-Akzidenzien &amp;/@/e/a (oder #/b/t/d im Falle einer 5L2s-Stimmung). Da die Nicht-EDO-Notation keine endliche Menge Tonhöhen benutzt, sind Umstimmungen auf beliebige Skalen nicht möglich.
* Es ist möglich, Untermengen-EDOs als MOS-Skalen für Notation zu behandeln, beispielsweise [[9-EDO]] in [[18-EDO]]. In diesem Fall haben die Versetzungszeichen &amp;/@ keine Bedeutung und sind daher nicht möglich. Zudem stehen nach Taktstrichen keine Quadrate. Die einzigen möglichen Vorzeichen sind diejenigen, die alle Noten mit der gleichen Anzahl ^/v alterieren.
* Es ist möglich, 5L2s-Notation zu verwenden, auch in EDOs, in denen die beste Quinte 3\5 oder 4\7 ist. Das ist für Konsistenz mit bestehenden mikrotonalen Notationsschemen, die dies ermöglichen. Bei einer 4\7-Quinte versetzen die #/b-Zeichen Noten um null EDO-Stufen, und also sollte man diese Akzidenzien nicht benutzen. Triviale MOS-Stimmungen (mit L/s-Verhältnissen 1/0 und 1/1) sind nur im Falle von 5L2s möglich, nicht in anderen MOS-Skalen.
* Man kann in der MOS-Rautennotation in oktavfreien gleichstufigen Stimmungen und MOS-Skalen notieren. In diesem Fall kennzeichnen die Rauten die strukturelle [[Äquave]] (die Periode oder ggf. ein Vielfaches der Periode). Die Notennamen JKL… wiederholen sich in jeder Äquave. Man schreibe diese Äquave zusammen mit der Stimmung und dem MOS-Muster aus.
* Bisher sind wir davon ausgegangen, dass die Wahl der perfekte Quinte für die diatonische MOS-Skala eindeutig ist. Größere EDOs können aber mehr als ein mögliches 5L2s-Generatorintervall besitzen. Bei einer solchen EDO-Stimmung ist die standardmäßige Quinte zwecks diatonischer Notation die Quinte, die am nächsten zur reinen Quinte 3/2 liegt. Wenn für diatonische Notation eine andere Quinte gewünscht wird, so schreibe man das oben in der Partitur, z. B. "54edo, diatonic fifth = 31\54".

== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
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|de = MOS-Rautennotation
|en = Diamond-mos notation
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|ja =
}}
Die '''MOS-Rautennotation''' (eng. diamond-mos notation) ist ein mikrotonales Notationssystem, entwickelt für das Schreiben von nicht-diatonischen [[MOS-Skalen]] ohne Interpretation mit [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] oder [[Reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]]. Die Notation wurde von Mitgliedern des XA Discordservers entworfen.

== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung der englischen Seite wurde von Inthar#5959 beigesteuert.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Konventionen zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
[[File:Apartment in the Sky Score Opening.png|thumb|478x478px|Der obere Teil einer Partitur in der MOS-Rautennotation.]]

Die MOS-Rautennotation basiert standardmäßig auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Um ein MOS-Muster anzuzeigen, wird eine Folge von Zahlen angegeben: darin steht jede Zahl für einen Schritt der MOS-Skala, der so viele EDO-Stufen ausmacht, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeile (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die üblichen Notennamen. In diesem Fall muss das MOS-Muster auf der Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lassen sich derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche (absolute) Tonhöhe der (relativ zu einem MOS-Modus definierte) Notenname “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

Auf der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben auf der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenlinien ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Tonartbezeichnungen (Vorzeichen) ==
=== Anzeigen von ModMOS-Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattspiel ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen ==
* Es gibt eine Ausnahme von der Regel, dass die MOS-Rautennotation immer auf einer EDO-Stimmung basiert. Das System bietet eine Möglichkeit, eine Nicht-EDO-Stimmung einer MOS-Skala anzugeben. Man schreibe “Non-edo mos tuning” im oberen Teil der Partitur und gebe die Größe des Generatorintervalls an. Man schreibe das MOS-Muster mit abstrakten Schritten L und s anstatt in EDO-Schritten, z. B. “LLsLsLs”. Beim Notieren einer Nicht-EDO-Stimmung haben die Akzidenzien ^/v keine Bedeutung und können nicht verwendet werden. Die einzigen möglichen Versetzungszeichen sind die MOS-Akzidenzien &amp;/@/e/a (oder #/b/t/d im Falle einer 5L2s-Stimmung). Da die Nicht-EDO-Notation keine endliche Menge Tonhöhen benutzt, sind Umstimmungen auf beliebige Skalen nicht möglich.
* Es ist möglich, Untermengen-EDOs als MOS-Skalen für Notation zu behandeln, beispielsweise [[9-EDO]] in [[18-EDO]]. In diesem Fall haben die Versetzungszeichen &amp;/@ keine Bedeutung und sind daher nicht möglich. Zudem stehen nach Taktstrichen keine Quadrate. Die einzigen möglichen Vorzeichen sind diejenigen, die alle Noten mit der gleichen Anzahl ^/v alterieren.
* Es ist möglich, 5L2s-Notation zu verwenden, auch in EDOs, in denen die beste Quinte 3\5 oder 4\7 ist. Das ist für Konsistenz mit bestehenden mikrotonalen Notationsschemen, die dies ermöglichen. Bei einer 4\7-Quinte versetzen die #/b-Zeichen Noten um null EDO-Stufen, und also sollte man diese Akzidenzien nicht benutzen. Triviale MOS-Stimmungen (mit L/s-Verhältnissen 1/0 und 1/1) sind nur im Falle von 5L2s möglich, nicht in anderen MOS-Skalen.
* Man kann in der MOS-Rautennotation in oktavfreien gleichstufigen Stimmungen und MOS-Skalen notieren. In diesem Fall kennzeichnen die Rauten die strukturelle [[Äquave]] (die Periode oder ggf. ein Vielfaches der Periode). Die Notennamen JKL… wiederholen sich in jeder Äquave. Man schreibe diese Äquave zusammen mit der Stimmung und dem MOS-Muster aus.
* Bisher sind wir davon ausgegangen, dass die Wahl der perfekte Quinte für die diatonische MOS-Skala eindeutig ist. Größere EDOs können aber mehr als ein mögliches 5L2s-Generatorintervall besitzen. Bei einer solchen EDO-Stimmung ist die standardmäßige Quinte zwecks diatonischer Notation die Quinte, die am nächsten zur reinen Quinte 3/2 liegt. Wenn für diatonische Notation eine andere Quinte gewünscht wird, so schreibe man das oben in der Partitur, z. B. "54edo, diatonic fifth = 31\54".

== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
[[Kategorie:Praxis]]</text>
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|de = MOS-Rautennotation
|en = Diamond-mos notation
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}}
Die '''MOS-Rautennotation''' (eng. diamond-mos notation) ist ein mikrotonales Notationssystem, entwickelt für das Schreiben von nicht-diatonischen [[MOS-Skalen]] ohne Interpretation mit [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] oder [[Reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]]. Die Notation wurde von Mitgliedern des XA Discordservers entworfen.

== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung der englischen Seite wurde von Inthar#5959 beigesteuert.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Konventionen zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
[[File:Apartment in the Sky Score Opening.png|thumb|478x478px|Der obere Teil einer Partitur in der MOS-Rautennotation.]]

Die MOS-Rautennotation basiert standardmäßig auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Um ein MOS-Muster anzuzeigen, wird eine Folge von Zahlen angegeben: darin steht jede Zahl für einen Schritt der MOS-Skala, der so viele EDO-Stufen ausmacht, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeile (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die üblichen Notennamen. In diesem Fall muss das MOS-Muster auf der Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lassen sich derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche (absolute) Tonhöhe der (relativ zu einem MOS-Modus definierte) Notenname “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

Auf der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben auf der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenlinien ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Tonartbezeichnungen (Vorzeichen) ==
=== Anzeigen von ModMOS-Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattspiel ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen ==
* Es gibt eine Ausnahme von der Regel, dass die MOS-Rautennotation immer auf einer EDO-Stimmung basiert. Das System bietet eine Möglichkeit, eine Nicht-EDO-Stimmung einer MOS-Skala anzugeben. Man schreibe “Non-edo mos tuning” im oberen Teil der Partitur und gebe die Größe des Generatorintervalls an. Man schreibe das MOS-Muster mit abstrakten Schritten L und s anstatt in EDO-Schritten, z. B. “LLsLsLs”. Beim Notieren einer Nicht-EDO-Stimmung haben die Akzidenzien ^/v keine Bedeutung und können nicht verwendet werden. Die einzigen möglichen Versetzungszeichen sind die MOS-Akzidenzien &amp;/@/e/a (oder #/b/t/d im Falle einer 5L2s-Stimmung). Da die Nicht-EDO-Notation keine endliche Menge Tonhöhen benutzt, sind Umstimmungen auf beliebige Skalen nicht möglich.
* Es ist möglich, Untermengen-EDOs als MOS-Skalen für Notation zu behandeln, beispielsweise [[9-EDO]] in [[18-EDO]]. In diesem Fall haben die Versetzungszeichen &amp;/@ keine Bedeutung und sind daher nicht möglich. Zudem stehen nach Taktstrichen keine Quadrate. Die einzigen möglichen Vorzeichen sind diejenigen, die alle Noten mit der gleichen Anzahl ^/v alterieren.
* Es ist möglich, 5L2s-Notation zu verwenden, auch in EDOs, in denen die beste Quinte 3\5 oder 4\7 ist. Das ist für Konsistenz mit bestehenden mikrotonalen Notationsschemen, die dies ermöglichen. Bei einer 4\7-Quinte versetzen die #/b-Zeichen Noten um null EDO-Stufen, und also sollte man diese Akzidenzien nicht benutzen. Triviale MOS-Stimmungen (mit L/s-Verhältnissen 1/0 und 1/1) sind nur im Falle von 5L2s möglich, nicht in anderen MOS-Skalen.
* Man kann in der MOS-Rautennotation in oktavfreien gleichstufigen Stimmungen und MOS-Skalen notieren. In diesem Fall kennzeichnen die Rauten die strukturelle [[Äquave]] (die Periode oder ggf. ein Vielfaches der Periode). Die Notennamen JKL… wiederholen sich in jeder Äquave. Man schreibe diese Äquave zusammen mit der Stimmung und dem MOS-Muster aus.
* Bisher sind wir davon ausgegangen, dass die Wahl der perfekten Quinte für die diatonische MOS-Skala eindeutig ist. Größere EDOs können aber mehr als ein mögliches 5L2s-Generatorintervall besitzen. Bei einer solchen EDO-Stimmung ist die standardmäßige Quinte zwecks diatonischer Notation die Quinte, die am nächsten zur reinen Quinte 3/2 liegt. Wenn für diatonische Notation eine andere Quinte gewünscht wird, so schreibe man das oben in der Partitur, z. B. "54edo, diatonic fifth = 31\54".

== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
[[Kategorie:Praxis]]</text>
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Die '''MOS-Rautennotation''' (eng. diamond-mos notation) ist ein mikrotonales Notationssystem, entwickelt für das Schreiben von nicht-diatonischen [[MOS-Skalen]] ohne Interpretation mit [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] oder [[Reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]]. Die Notation wurde von Mitgliedern des XA Discordservers entworfen.

== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung der englischen Seite wurde von Inthar#5959 beigesteuert.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Konventionen zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
[[File:Apartment in the Sky Score Opening.png|thumb|478x478px|Der obere Teil einer Partitur in der MOS-Rautennotation.]]

Die MOS-Rautennotation basiert standardmäßig auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Um ein MOS-Muster anzuzeigen, wird eine Folge von Zahlen angegeben: darin steht jede Zahl für einen Schritt der MOS-Skala, der so viele EDO-Stufen ausmacht, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeile (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die üblichen Notennamen. In diesem Fall muss das MOS-Muster auf der Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lassen sich derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche (absolute) Tonhöhe der (relativ zu einem MOS-Modus definierte) Notenname “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

Auf der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben auf der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenlinien ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Tonartbezeichnungen (Vorzeichen) ==
=== Anzeigen von ModMOS-Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattspiel ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen ==
* Es gibt eine Ausnahme von der Regel, dass die MOS-Rautennotation immer auf einer EDO-Stimmung basiert. Das System bietet eine Möglichkeit, eine Nicht-EDO-Stimmung einer MOS-Skala anzugeben. Man schreibe “Non-edo mos tuning” im oberen Teil der Partitur und gebe die Größe des Generatorintervalls an. Man schreibe das MOS-Muster mit abstrakten Schritten L und s anstatt in EDO-Schritten, z. B. “LLsLsLs”. Bei Nicht-EDO-Notation haben die Akzidenzien ^/v keine Bedeutung und können nicht verwendet werden. Die einzigen möglichen Versetzungszeichen sind die MOS-Akzidenzien &amp;/@/e/a (oder #/b/t/d im Falle einer 5L2s-Stimmung). Da die Nicht-EDO-Notation keine endliche Menge Tonhöhen benutzt, sind Umstimmungen auf beliebige Skalen nicht möglich.
* Es ist möglich, Untermengen-EDOs als MOS-Skalen für Notation zu behandeln, beispielsweise [[9-EDO]] in [[18-EDO]]. In diesem Fall haben die Versetzungszeichen &amp;/@ keine Bedeutung und sind daher nicht möglich. Zudem stehen nach Taktstrichen keine Quadrate. Die einzigen möglichen Vorzeichen sind diejenigen, die alle Noten mit der gleichen Anzahl ^/v alterieren.
* Es ist möglich, 5L2s-Notation zu verwenden, auch in EDOs, in denen die beste Quinte 3\5 oder 4\7 ist. Das ist für Konsistenz mit bestehenden mikrotonalen Notationsschemen, die dies ermöglichen. Bei einer 4\7-Quinte versetzen die #/b-Zeichen Noten um null EDO-Stufen, und also sollte man diese Akzidenzien nicht benutzen. Triviale MOS-Stimmungen (mit L/s-Verhältnissen 1/0 und 1/1) sind nur im Falle von 5L2s möglich, nicht in anderen MOS-Skalen.
* Man kann in der MOS-Rautennotation in oktavfreien gleichstufigen Stimmungen und MOS-Skalen notieren. In diesem Fall kennzeichnen die Rauten die strukturelle [[Äquave]] (die Periode oder ggf. ein Vielfaches der Periode). Die Notennamen JKL… wiederholen sich in jeder Äquave. Man schreibe diese Äquave zusammen mit der Stimmung und dem MOS-Muster aus.
* Bisher sind wir davon ausgegangen, dass die Wahl der perfekten Quinte für die diatonische MOS-Skala eindeutig ist. Größere EDOs können aber mehr als ein mögliches 5L2s-Generatorintervall besitzen. Bei einer solchen EDO-Stimmung ist die standardmäßige Quinte zwecks diatonischer Notation die Quinte, die am nächsten zur reinen Quinte 3/2 liegt. Wenn für diatonische Notation eine andere Quinte gewünscht wird, so schreibe man das oben in der Partitur, z. B. "54edo, diatonic fifth = 31\54".

== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
[[Kategorie:Praxis]]</text>
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|de = MOS-Rautennotation
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}}
Die '''MOS-Rautennotation''' (eng. diamond-mos notation) ist ein mikrotonales Notationssystem, entwickelt für das Schreiben von nicht-diatonischen [[MOS-Skalen]] ohne Interpretation mit [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] oder [[Reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]]. Die Notation wurde von Mitgliedern des XA Discordservers entworfen.

== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung der englischen Seite wurde von Inthar#5959 beigesteuert.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Konventionen zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
[[File:Apartment in the Sky Score Opening.png|thumb|478x478px|Der obere Teil einer Partitur in der MOS-Rautennotation.]]

Die MOS-Rautennotation basiert standardmäßig auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Um ein MOS-Muster anzuzeigen, wird eine Folge von Zahlen angegeben: darin steht jede Zahl für einen Schritt der MOS-Skala, der so viele EDO-Stufen ausmacht, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeile (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die üblichen Notennamen. In diesem Fall muss das MOS-Muster in der Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lassen sich derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche (absolute) Tonhöhe der (relativ zu einem MOS-Modus definierte) Notenname “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

In der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben in der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenlinien ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Tonartbezeichnungen (Vorzeichen) ==
=== Anzeigen von ModMOS-Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattspiel ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen ==
* Es gibt eine Ausnahme von der Regel, dass die MOS-Rautennotation immer auf einer EDO-Stimmung basiert. Das System bietet eine Möglichkeit, eine Nicht-EDO-Stimmung einer MOS-Skala anzugeben. Man schreibe “Non-edo mos tuning” im oberen Teil der Partitur und gebe die Größe des Generatorintervalls an. Man schreibe das MOS-Muster mit abstrakten Schritten L und s anstatt in EDO-Schritten, z. B. “LLsLsLs”. Bei Nicht-EDO-Notation haben die Akzidenzien ^/v keine Bedeutung und können nicht verwendet werden. Die einzigen möglichen Versetzungszeichen sind die MOS-Akzidenzien &amp;/@/e/a (oder #/b/t/d im Falle einer 5L2s-Stimmung). Da die Nicht-EDO-Notation keine endliche Menge Tonhöhen benutzt, sind Umstimmungen auf beliebige Skalen nicht möglich.
* Es ist möglich, Untermengen-EDOs als MOS-Skalen für Notation zu behandeln, beispielsweise [[9-EDO]] in [[18-EDO]]. In diesem Fall haben die Versetzungszeichen &amp;/@ keine Bedeutung und sind daher nicht möglich. Zudem stehen nach Taktstrichen keine Quadrate. Die einzigen möglichen Vorzeichen sind diejenigen, die alle Noten mit der gleichen Anzahl ^/v alterieren.
* Es ist möglich, 5L2s-Notation zu verwenden, auch in EDOs, in denen die beste Quinte 3\5 oder 4\7 ist. Das ist für Konsistenz mit bestehenden mikrotonalen Notationsschemen, die dies ermöglichen. Bei einer 4\7-Quinte versetzen die #/b-Zeichen Noten um null EDO-Stufen, und also sollte man diese Akzidenzien nicht benutzen. Triviale MOS-Stimmungen (mit L/s-Verhältnissen 1/0 und 1/1) sind nur im Falle von 5L2s möglich, nicht in anderen MOS-Skalen.
* Man kann in der MOS-Rautennotation in oktavfreien gleichstufigen Stimmungen und MOS-Skalen notieren. In diesem Fall kennzeichnen die Rauten die strukturelle [[Äquave]] (die Periode oder ggf. ein Vielfaches der Periode). Die Notennamen JKL… wiederholen sich in jeder Äquave. Man schreibe diese Äquave zusammen mit der Stimmung und dem MOS-Muster aus.
* Bisher sind wir davon ausgegangen, dass die Wahl der perfekten Quinte für die diatonische MOS-Skala eindeutig ist. Größere EDOs können aber mehr als ein mögliches 5L2s-Generatorintervall besitzen. Bei einer solchen EDO-Stimmung ist die standardmäßige Quinte zwecks diatonischer Notation die Quinte, die am nächsten zur reinen Quinte 3/2 liegt. Wenn für diatonische Notation eine andere Quinte gewünscht wird, so schreibe man das oben in der Partitur, z. B. "54edo, diatonic fifth = 31\54".

== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
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|de = MOS-Rautennotation
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Die '''MOS-Rautennotation''' (eng. diamond-mos notation) ist ein mikrotonales Notationssystem, entwickelt für das Schreiben von nicht-diatonischen [[MOS-Skalen]] ohne Interpretation mit [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] oder [[Reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]]. Die Notation wurde von Mitgliedern des XA Discordservers entworfen.

== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung der englischen Seite wurde von Inthar#5959 beigesteuert.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Konventionen zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
[[File:Apartment in the Sky Score Opening.png|thumb|478x478px|Der obere Teil einer Partitur in der MOS-Rautennotation.]]

Die MOS-Rautennotation basiert standardmäßig auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Um ein MOS-Muster anzuzeigen, wird eine Folge von Zahlen angegeben: darin steht jede Zahl für einen Schritt der MOS-Skala, der so viele EDO-Stufen ausmacht, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeile (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die üblichen Notennamen. In diesem Fall muss das MOS-Muster in der Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lassen sich derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche (absolute) Tonhöhe der (relativ zu einem MOS-Modus definierte) Notenname “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

In der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben in der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenlinien ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Tonartbezeichnungen (Vorzeichen) ==
=== Anzeigen von alterierten (MODMOS-) Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattspiel ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen ==
* Es gibt eine Ausnahme von der Regel, dass die MOS-Rautennotation immer auf einer EDO-Stimmung basiert. Das System bietet eine Möglichkeit, eine Nicht-EDO-Stimmung einer MOS-Skala anzugeben. Man schreibe “Non-edo mos tuning” im oberen Teil der Partitur und gebe die Größe des Generatorintervalls an. Man schreibe das MOS-Muster mit abstrakten Schritten L und s anstatt in EDO-Schritten, z. B. “LLsLsLs”. Bei Nicht-EDO-Notation haben die Akzidenzien ^/v keine Bedeutung und können nicht verwendet werden. Die einzigen möglichen Versetzungszeichen sind die MOS-Akzidenzien &amp;/@/e/a (oder #/b/t/d im Falle einer 5L2s-Stimmung). Da die Nicht-EDO-Notation keine endliche Menge Tonhöhen benutzt, sind Umstimmungen auf beliebige Skalen nicht möglich.
* Es ist möglich, Untermengen-EDOs als MOS-Skalen für Notation zu behandeln, beispielsweise [[9-EDO]] in [[18-EDO]]. In diesem Fall haben die Versetzungszeichen &amp;/@ keine Bedeutung und sind daher nicht möglich. Zudem stehen nach Taktstrichen keine Quadrate. Die einzigen möglichen Vorzeichen sind diejenigen, die alle Noten mit der gleichen Anzahl ^/v alterieren.
* Es ist möglich, 5L2s-Notation zu verwenden, auch in EDOs, in denen die beste Quinte 3\5 oder 4\7 ist. Das ist für Konsistenz mit bestehenden mikrotonalen Notationsschemen, die dies ermöglichen. Bei einer 4\7-Quinte versetzen die #/b-Zeichen Noten um null EDO-Stufen, und also sollte man diese Akzidenzien nicht benutzen. Triviale MOS-Stimmungen (mit L/s-Verhältnissen 1/0 und 1/1) sind nur im Falle von 5L2s möglich, nicht in anderen MOS-Skalen.
* Man kann in der MOS-Rautennotation in oktavfreien gleichstufigen Stimmungen und MOS-Skalen notieren. In diesem Fall kennzeichnen die Rauten die strukturelle [[Äquave]] (die Periode oder ggf. ein Vielfaches der Periode). Die Notennamen JKL… wiederholen sich in jeder Äquave. Man schreibe diese Äquave zusammen mit der Stimmung und dem MOS-Muster aus.
* Bisher sind wir davon ausgegangen, dass die Wahl der perfekten Quinte für die diatonische MOS-Skala eindeutig ist. Größere EDOs können aber mehr als ein mögliches 5L2s-Generatorintervall besitzen. Bei einer solchen EDO-Stimmung ist die standardmäßige Quinte zwecks diatonischer Notation die Quinte, die am nächsten zur reinen Quinte 3/2 liegt. Wenn für diatonische Notation eine andere Quinte gewünscht wird, so schreibe man das oben in der Partitur, z. B. "54edo, diatonic fifth = 31\54".

== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
[[Kategorie:Praxis]]</text>
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|de = MOS-Rautennotation
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}}
Die '''MOS-Rautennotation''' (eng. diamond-mos notation) ist ein mikrotonales Notationssystem, entwickelt für das Schreiben von nicht-diatonischen [[MOS-Skalen]] ohne Interpretation mit [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] oder [[Reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]]. Die Notation wurde von Mitgliedern des XA Discordservers entworfen.

== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung der englischen Seite wurde von Inthar#5959 beigesteuert.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Konventionen zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
[[File:Apartment in the Sky Score Opening.png|thumb|478x478px|Der obere Teil einer Partitur in der MOS-Rautennotation.]]

Die MOS-Rautennotation basiert standardmäßig auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Um ein MOS-Muster anzuzeigen, wird eine Folge von Zahlen angegeben: darin steht jede Zahl für einen Schritt der MOS-Skala, der so viele EDO-Stufen ausmacht, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeile (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die üblichen Notennamen. In diesem Fall muss das MOS-Muster in der Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lassen sich derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche (absolute) Tonhöhe der (relativ zu einem MOS-Modus definierte) Notenname “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

In der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben in der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenlinien ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Tonartbezeichnungen (Vorzeichen) ==
=== Anzeigen von alterierten Modi ===

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattspiel ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen ==
* Es gibt eine Ausnahme von der Regel, dass die MOS-Rautennotation immer auf einer EDO-Stimmung basiert. Das System bietet eine Möglichkeit, eine Nicht-EDO-Stimmung einer MOS-Skala anzugeben. Man schreibe “Non-edo mos tuning” im oberen Teil der Partitur und gebe die Größe des Generatorintervalls an. Man schreibe das MOS-Muster mit abstrakten Schritten L und s anstatt in EDO-Schritten, z. B. “LLsLsLs”. Bei Nicht-EDO-Notation haben die Akzidenzien ^/v keine Bedeutung und können nicht verwendet werden. Die einzigen möglichen Versetzungszeichen sind die MOS-Akzidenzien &amp;/@/e/a (oder #/b/t/d im Falle einer 5L2s-Stimmung). Da die Nicht-EDO-Notation keine endliche Menge Tonhöhen benutzt, sind Umstimmungen auf beliebige Skalen nicht möglich.
* Es ist möglich, Untermengen-EDOs als MOS-Skalen für Notation zu behandeln, beispielsweise [[9-EDO]] in [[18-EDO]]. In diesem Fall haben die Versetzungszeichen &amp;/@ keine Bedeutung und sind daher nicht möglich. Zudem stehen nach Taktstrichen keine Quadrate. Die einzigen möglichen Vorzeichen sind diejenigen, die alle Noten mit der gleichen Anzahl ^/v alterieren.
* Es ist möglich, 5L2s-Notation zu verwenden, auch in EDOs, in denen die beste Quinte 3\5 oder 4\7 ist. Das ist für Konsistenz mit bestehenden mikrotonalen Notationsschemen, die dies ermöglichen. Bei einer 4\7-Quinte versetzen die #/b-Zeichen Noten um null EDO-Stufen, und also sollte man diese Akzidenzien nicht benutzen. Triviale MOS-Stimmungen (mit L/s-Verhältnissen 1/0 und 1/1) sind nur im Falle von 5L2s möglich, nicht in anderen MOS-Skalen.
* Man kann in der MOS-Rautennotation in oktavfreien gleichstufigen Stimmungen und MOS-Skalen notieren. In diesem Fall kennzeichnen die Rauten die strukturelle [[Äquave]] (die Periode oder ggf. ein Vielfaches der Periode). Die Notennamen JKL… wiederholen sich in jeder Äquave. Man schreibe diese Äquave zusammen mit der Stimmung und dem MOS-Muster aus.
* Bisher sind wir davon ausgegangen, dass die Wahl der perfekten Quinte für die diatonische MOS-Skala eindeutig ist. Größere EDOs können aber mehr als ein mögliches 5L2s-Generatorintervall besitzen. Bei einer solchen EDO-Stimmung ist die standardmäßige Quinte zwecks diatonischer Notation die Quinte, die am nächsten zur reinen Quinte 3/2 liegt. Wenn für diatonische Notation eine andere Quinte gewünscht wird, so schreibe man das oben in der Partitur, z. B. "54edo, diatonic fifth = 31\54".

== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
[[Kategorie:Praxis]]</text>
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Die '''MOS-Rautennotation''' (eng. diamond-mos notation) ist ein mikrotonales Notationssystem, entwickelt für das Schreiben von nicht-diatonischen [[MOS-Skalen]] ohne Interpretation mit [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] oder [[Reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]]. Die Notation wurde von Mitgliedern des XA Discordservers entworfen.

== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung der englischen Seite wurde von Inthar#5959 beigesteuert.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Konventionen zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
[[File:Apartment in the Sky Score Opening.png|thumb|478x478px|Der obere Teil einer Partitur in der MOS-Rautennotation.]]

Die MOS-Rautennotation basiert standardmäßig auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Um ein MOS-Muster anzuzeigen, wird eine Folge von Zahlen angegeben: darin steht jede Zahl für einen Schritt der MOS-Skala, der so viele EDO-Stufen ausmacht, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeile (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die üblichen Notennamen. In diesem Fall muss das MOS-Muster in der Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lassen sich derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche (absolute) Tonhöhe der (relativ zu einem MOS-Modus definierte) Notenname “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

In der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben in der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenlinien ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Tonartbezeichnungen (Vorzeichen) ==
=== Anzeigen von alterierten Modi ===
Der in der Partitur geschriebene und durch die Quadrate repräsentierte MOS-Modus muss ein purer, unalterierter MOS-Modus sein. Doch kann man Vorzeichen für alterierte MOS-Modi benutzen, sodass die Partitur mit Versetzungszeichen nicht überfrachtet wird. Erstens schreibe man die Tonart entsprechend der Tonika, als wäre der MOS-Modus nicht alteriert. (So kann man immer noch die Tonika finden, indem man die Akzidenzien zählt.) Als nächstes schreibe man die Alterationen als zusätzliche Akzidenzien rechts von den ursprünglichen. Aus Gründen der Klarheit setze man eine gestrichelte Linie zwischen den Akzidenzien für die pure MOS-Tonart und den alterierenden Akzidenzien. Die Buchstaben "ALT" (für Alteration) liegen unter der gestrichelten Linie. (Falls die pure MOS-Tonart leer ist, liegt die gestrichelte Linie links von den Alterationen, und links von der gestrichelten Linie befindet nichts.) Wie bereits erwähnt, überschreibt ein Versetzungszeichen in Diamond-MOS alle vorherigen Versetzungszeichen vollständig. Das bezieht auch Alterations-Akzidenzien in der Tonartbezeichnung ein.

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattspiel ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen ==
* Es gibt eine Ausnahme von der Regel, dass die MOS-Rautennotation immer auf einer EDO-Stimmung basiert. Das System bietet eine Möglichkeit, eine Nicht-EDO-Stimmung einer MOS-Skala anzugeben. Man schreibe “Non-edo mos tuning” im oberen Teil der Partitur und gebe die Größe des Generatorintervalls an. Man schreibe das MOS-Muster mit abstrakten Schritten L und s anstatt in EDO-Schritten, z. B. “LLsLsLs”. Bei Nicht-EDO-Notation haben die Akzidenzien ^/v keine Bedeutung und können nicht verwendet werden. Die einzigen möglichen Versetzungszeichen sind die MOS-Akzidenzien &amp;/@/e/a (oder #/b/t/d im Falle einer 5L2s-Stimmung). Da die Nicht-EDO-Notation keine endliche Menge Tonhöhen benutzt, sind Umstimmungen auf beliebige Skalen nicht möglich.
* Es ist möglich, Untermengen-EDOs als MOS-Skalen für Notation zu behandeln, beispielsweise [[9-EDO]] in [[18-EDO]]. In diesem Fall haben die Versetzungszeichen &amp;/@ keine Bedeutung und sind daher nicht möglich. Zudem stehen nach Taktstrichen keine Quadrate. Die einzigen möglichen Vorzeichen sind diejenigen, die alle Noten mit der gleichen Anzahl ^/v alterieren.
* Es ist möglich, 5L2s-Notation zu verwenden, auch in EDOs, in denen die beste Quinte 3\5 oder 4\7 ist. Das ist für Konsistenz mit bestehenden mikrotonalen Notationsschemen, die dies ermöglichen. Bei einer 4\7-Quinte versetzen die #/b-Zeichen Noten um null EDO-Stufen, und also sollte man diese Akzidenzien nicht benutzen. Triviale MOS-Stimmungen (mit L/s-Verhältnissen 1/0 und 1/1) sind nur im Falle von 5L2s möglich, nicht in anderen MOS-Skalen.
* Man kann in der MOS-Rautennotation in oktavfreien gleichstufigen Stimmungen und MOS-Skalen notieren. In diesem Fall kennzeichnen die Rauten die strukturelle [[Äquave]] (die Periode oder ggf. ein Vielfaches der Periode). Die Notennamen JKL… wiederholen sich in jeder Äquave. Man schreibe diese Äquave zusammen mit der Stimmung und dem MOS-Muster aus.
* Bisher sind wir davon ausgegangen, dass die Wahl der perfekten Quinte für die diatonische MOS-Skala eindeutig ist. Größere EDOs können aber mehr als ein mögliches 5L2s-Generatorintervall besitzen. Bei einer solchen EDO-Stimmung ist die standardmäßige Quinte zwecks diatonischer Notation die Quinte, die am nächsten zur reinen Quinte 3/2 liegt. Wenn für diatonische Notation eine andere Quinte gewünscht wird, so schreibe man das oben in der Partitur, z. B. "54edo, diatonic fifth = 31\54".

== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
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Die '''MOS-Rautennotation''' (eng. diamond-mos notation) ist ein mikrotonales Notationssystem, entwickelt für das Schreiben von nicht-diatonischen [[MOS-Skalen]] ohne Interpretation mit [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] oder [[Reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]]. Die Notation wurde von Mitgliedern des XA Discordservers entworfen.

== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung der englischen Seite wurde von Inthar#5959 beigesteuert.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Konventionen zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
[[File:Apartment in the Sky Score Opening.png|thumb|478x478px|Der obere Teil einer Partitur in der MOS-Rautennotation.]]

Die MOS-Rautennotation basiert standardmäßig auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Um ein MOS-Muster anzuzeigen, wird eine Folge von Zahlen angegeben: darin steht jede Zahl für einen Schritt der MOS-Skala, der so viele EDO-Stufen ausmacht, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeile (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die üblichen Notennamen. In diesem Fall muss das MOS-Muster in der Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lassen sich derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche (absolute) Tonhöhe der (relativ zu einem MOS-Modus definierte) Notenname “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

In der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben in der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenlinien ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Tonartbezeichnungen (Vorzeichen) ==
=== Anzeigen von alterierten Modi ===
Der in der Partitur geschriebene und durch die Quadrate repräsentierte MOS-Modus muss ein purer, unalterierter MOS-Modus sein. Doch kann man Vorzeichen für alterierte MOS-Modi benutzen, sodass die Partitur mit Versetzungszeichen nicht überfrachtet wird. Erstens schreibe man die Tonart entsprechend der Tonika, als wäre der MOS-Modus nicht alteriert. (So kann man immer noch die Tonika finden, indem man die Akzidenzien zählt.) Als nächstes schreibe man die Alterationen als zusätzliche Akzidenzien rechts von den ursprünglichen. Aus Gründen der Klarheit setze man eine gestrichelte Linie zwischen den Akzidenzien für die pure MOS-Tonart und den alterierenden Akzidenzien. Die Buchstaben "ALT" (für Alteration) liegen unter der gestrichelten Linie. (Falls die pure MOS-Tonart leer ist, liegt die gestrichelte Linie links von den Alterationen, und links von der gestrichelten Linie befindet nichts.) Wie bereits erwähnt, überschreibt ein Versetzungszeichen in der Rautennotation alle vorherigen Versetzungszeichen vollständig. Das bezieht auch Alterations-Akzidenzien in der Tonartbezeichnung ein.

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattspiel ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen ==
* Es gibt eine Ausnahme von der Regel, dass die MOS-Rautennotation immer auf einer EDO-Stimmung basiert. Das System bietet eine Möglichkeit, eine Nicht-EDO-Stimmung einer MOS-Skala anzugeben. Man schreibe “Non-edo mos tuning” im oberen Teil der Partitur und gebe die Größe des Generatorintervalls an. Man schreibe das MOS-Muster mit abstrakten Schritten L und s anstatt in EDO-Schritten, z. B. “LLsLsLs”. Bei Nicht-EDO-Notation haben die Akzidenzien ^/v keine Bedeutung und können nicht verwendet werden. Die einzigen möglichen Versetzungszeichen sind die MOS-Akzidenzien &amp;/@/e/a (oder #/b/t/d im Falle einer 5L2s-Stimmung). Da die Nicht-EDO-Notation keine endliche Menge Tonhöhen benutzt, sind Umstimmungen auf beliebige Skalen nicht möglich.
* Es ist möglich, Untermengen-EDOs als MOS-Skalen für Notation zu behandeln, beispielsweise [[9-EDO]] in [[18-EDO]]. In diesem Fall haben die Versetzungszeichen &amp;/@ keine Bedeutung und sind daher nicht möglich. Zudem stehen nach Taktstrichen keine Quadrate. Die einzigen möglichen Vorzeichen sind diejenigen, die alle Noten mit der gleichen Anzahl ^/v alterieren.
* Es ist möglich, 5L2s-Notation zu verwenden, auch in EDOs, in denen die beste Quinte 3\5 oder 4\7 ist. Das ist für Konsistenz mit bestehenden mikrotonalen Notationsschemen, die dies ermöglichen. Bei einer 4\7-Quinte versetzen die #/b-Zeichen Noten um null EDO-Stufen, und also sollte man diese Akzidenzien nicht benutzen. Triviale MOS-Stimmungen (mit L/s-Verhältnissen 1/0 und 1/1) sind nur im Falle von 5L2s möglich, nicht in anderen MOS-Skalen.
* Man kann in der MOS-Rautennotation in oktavfreien gleichstufigen Stimmungen und MOS-Skalen notieren. In diesem Fall kennzeichnen die Rauten die strukturelle [[Äquave]] (die Periode oder ggf. ein Vielfaches der Periode). Die Notennamen JKL… wiederholen sich in jeder Äquave. Man schreibe diese Äquave zusammen mit der Stimmung und dem MOS-Muster aus.
* Bisher sind wir davon ausgegangen, dass die Wahl der perfekten Quinte für die diatonische MOS-Skala eindeutig ist. Größere EDOs können aber mehr als ein mögliches 5L2s-Generatorintervall besitzen. Bei einer solchen EDO-Stimmung ist die standardmäßige Quinte zwecks diatonischer Notation die Quinte, die am nächsten zur reinen Quinte 3/2 liegt. Wenn für diatonische Notation eine andere Quinte gewünscht wird, so schreibe man das oben in der Partitur, z. B. "54edo, diatonic fifth = 31\54".

== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
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|de = MOS-Rautennotation
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}}
Die '''MOS-Rautennotation''' (eng. diamond-mos notation) ist ein mikrotonales Notationssystem, entwickelt für das Schreiben von nicht-diatonischen [[MOS-Skalen]] ohne Interpretation mit [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] oder [[Reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]]. Die Notation wurde von Mitgliedern des XA Discordservers entworfen.

== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung der englischen Seite wurde von Inthar#5959 beigesteuert.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Konventionen zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
[[File:Apartment in the Sky Score Opening.png|thumb|478x478px|Der obere Teil einer Partitur in der MOS-Rautennotation.]]

Die MOS-Rautennotation basiert standardmäßig auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Um ein MOS-Muster anzuzeigen, wird eine Folge von Zahlen angegeben: darin steht jede Zahl für einen Schritt der MOS-Skala, der so viele EDO-Stufen ausmacht, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeile (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die üblichen Notennamen. In diesem Fall muss das MOS-Muster in der Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lassen sich derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche (absolute) Tonhöhe der (relativ zu einem MOS-Modus definierte) Notenname “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

In der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben in der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenlinien ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Tonartbezeichnungen (Vorzeichen) ==
=== Anzeigen von alterierten Modi ===
[[File:D Ionian v3 v6 v7.png|alt=|thumb|Ein Vorzeichen, das den alterierten Modus D-Ionisch v3 v6 v7, z.B. in [[34-EDO]] repräsentiert. Das unveränderte D-Dur-Vorzeichen (mit zwei Kreuzen) befindet sich links neben von der gestrichelten Linie, wodurch die Tonika deutlich wird.]]
Der in der Partitur geschriebene und durch die Quadrate repräsentierte MOS-Modus muss ein purer, unalterierter MOS-Modus sein. Doch kann man Vorzeichen für alterierte MOS-Modi benutzen, sodass die Partitur mit Versetzungszeichen nicht überfrachtet wird. Erstens schreibe man die Tonart entsprechend der Tonika, als wäre der MOS-Modus nicht alteriert. (So kann man immer noch die Tonika finden, indem man die Akzidenzien zählt.) Als nächstes schreibe man die Alterationen als zusätzliche Akzidenzien rechts von den ursprünglichen. Aus Gründen der Klarheit setze man eine gestrichelte Linie zwischen den Akzidenzien für die pure MOS-Tonart und den alterierenden Akzidenzien. Die Buchstaben "ALT" (für Alteration) liegen unter der gestrichelten Linie. (Falls die pure MOS-Tonart leer ist, liegt die gestrichelte Linie links von den Alterationen, und links von der gestrichelten Linie befindet nichts.) Wie bereits erwähnt, überschreibt ein Versetzungszeichen in der Rautennotation alle vorherigen Versetzungszeichen vollständig. Das bezieht auch Alterations-Akzidenzien in der Tonartbezeichnung ein.

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattspiel ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen ==
* Es gibt eine Ausnahme von der Regel, dass die MOS-Rautennotation immer auf einer EDO-Stimmung basiert. Das System bietet eine Möglichkeit, eine Nicht-EDO-Stimmung einer MOS-Skala anzugeben. Man schreibe “Non-edo mos tuning” im oberen Teil der Partitur und gebe die Größe des Generatorintervalls an. Man schreibe das MOS-Muster mit abstrakten Schritten L und s anstatt in EDO-Schritten, z. B. “LLsLsLs”. Bei Nicht-EDO-Notation haben die Akzidenzien ^/v keine Bedeutung und können nicht verwendet werden. Die einzigen möglichen Versetzungszeichen sind die MOS-Akzidenzien &amp;/@/e/a (oder #/b/t/d im Falle einer 5L2s-Stimmung). Da die Nicht-EDO-Notation keine endliche Menge Tonhöhen benutzt, sind Umstimmungen auf beliebige Skalen nicht möglich.
* Es ist möglich, Untermengen-EDOs als MOS-Skalen für Notation zu behandeln, beispielsweise [[9-EDO]] in [[18-EDO]]. In diesem Fall haben die Versetzungszeichen &amp;/@ keine Bedeutung und sind daher nicht möglich. Zudem stehen nach Taktstrichen keine Quadrate. Die einzigen möglichen Vorzeichen sind diejenigen, die alle Noten mit der gleichen Anzahl ^/v alterieren.
* Es ist möglich, 5L2s-Notation zu verwenden, auch in EDOs, in denen die beste Quinte 3\5 oder 4\7 ist. Das ist für Konsistenz mit bestehenden mikrotonalen Notationsschemen, die dies ermöglichen. Bei einer 4\7-Quinte versetzen die #/b-Zeichen Noten um null EDO-Stufen, und also sollte man diese Akzidenzien nicht benutzen. Triviale MOS-Stimmungen (mit L/s-Verhältnissen 1/0 und 1/1) sind nur im Falle von 5L2s möglich, nicht in anderen MOS-Skalen.
* Man kann in der MOS-Rautennotation in oktavfreien gleichstufigen Stimmungen und MOS-Skalen notieren. In diesem Fall kennzeichnen die Rauten die strukturelle [[Äquave]] (die Periode oder ggf. ein Vielfaches der Periode). Die Notennamen JKL… wiederholen sich in jeder Äquave. Man schreibe diese Äquave zusammen mit der Stimmung und dem MOS-Muster aus.
* Bisher sind wir davon ausgegangen, dass die Wahl der perfekten Quinte für die diatonische MOS-Skala eindeutig ist. Größere EDOs können aber mehr als ein mögliches 5L2s-Generatorintervall besitzen. Bei einer solchen EDO-Stimmung ist die standardmäßige Quinte zwecks diatonischer Notation die Quinte, die am nächsten zur reinen Quinte 3/2 liegt. Wenn für diatonische Notation eine andere Quinte gewünscht wird, so schreibe man das oben in der Partitur, z. B. "54edo, diatonic fifth = 31\54".

== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
[[Kategorie:Praxis]]</text>
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|de = MOS-Rautennotation
|en = Diamond-mos notation
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|ja =
}}
Die '''MOS-Rautennotation''' (eng. diamond-mos notation) ist ein mikrotonales Notationssystem, entwickelt für das Schreiben von nicht-diatonischen [[MOS-Skalen]] ohne Interpretation mit [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] oder [[Reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]]. Die Notation wurde von Mitgliedern des XA Discordservers entworfen.

== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung der englischen Seite wurde von Inthar#5959 beigesteuert.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Konventionen zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
[[File:Apartment in the Sky Score Opening.png|thumb|478x478px|Der obere Teil einer Partitur in der MOS-Rautennotation.]]

Die MOS-Rautennotation basiert standardmäßig auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Um ein MOS-Muster anzuzeigen, wird eine Folge von Zahlen angegeben: darin steht jede Zahl für einen Schritt der MOS-Skala, der so viele EDO-Stufen ausmacht, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeile (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die üblichen Notennamen. In diesem Fall muss das MOS-Muster in der Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lassen sich derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche (absolute) Tonhöhe der (relativ zu einem MOS-Modus definierte) Notenname “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

In der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben in der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenlinien ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Tonartbezeichnungen (Vorzeichen) ==
=== Anzeigen von alterierten Modi ===
[[File:D Ionian v3 v6 v7.png|alt=|thumb|Ein Vorzeichen, das den alterierten Modus D-Ionisch v3 v6 v7, z.B. in [[34-EDO]], repräsentiert. Das unveränderte D-Dur-Vorzeichen (mit zwei Kreuzen) befindet sich links neben von der gestrichelten Linie, wodurch die Tonika deutlich wird.]]
Der in der Partitur geschriebene und durch die Quadrate repräsentierte MOS-Modus muss ein purer, unalterierter MOS-Modus sein. Doch kann man Vorzeichen für alterierte MOS-Modi benutzen, sodass die Partitur mit Versetzungszeichen nicht überfrachtet wird. Erstens schreibe man die Tonart entsprechend der Tonika, als wäre der MOS-Modus nicht alteriert. (So kann man immer noch die Tonika finden, indem man die Akzidenzien zählt.) Als nächstes schreibe man die Alterationen als zusätzliche Akzidenzien rechts von den ursprünglichen. Aus Gründen der Klarheit setze man eine gestrichelte Linie zwischen den Akzidenzien für die pure MOS-Tonart und den alterierenden Akzidenzien. Die Buchstaben "ALT" (für Alteration) liegen unter der gestrichelten Linie. (Falls die pure MOS-Tonart leer ist, liegt die gestrichelte Linie links von den Alterationen, und links von der gestrichelten Linie befindet nichts.) Wie bereits erwähnt, überschreibt ein Versetzungszeichen in der Rautennotation alle vorherigen Versetzungszeichen vollständig. Das bezieht auch Alterations-Akzidenzien in der Tonartbezeichnung ein.

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattspiel ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen ==
* Es gibt eine Ausnahme von der Regel, dass die MOS-Rautennotation immer auf einer EDO-Stimmung basiert. Das System bietet eine Möglichkeit, eine Nicht-EDO-Stimmung einer MOS-Skala anzugeben. Man schreibe “Non-edo mos tuning” im oberen Teil der Partitur und gebe die Größe des Generatorintervalls an. Man schreibe das MOS-Muster mit abstrakten Schritten L und s anstatt in EDO-Schritten, z. B. “LLsLsLs”. Bei Nicht-EDO-Notation haben die Akzidenzien ^/v keine Bedeutung und können nicht verwendet werden. Die einzigen möglichen Versetzungszeichen sind die MOS-Akzidenzien &amp;/@/e/a (oder #/b/t/d im Falle einer 5L2s-Stimmung). Da die Nicht-EDO-Notation keine endliche Menge Tonhöhen benutzt, sind Umstimmungen auf beliebige Skalen nicht möglich.
* Es ist möglich, Untermengen-EDOs als MOS-Skalen für Notation zu behandeln, beispielsweise [[9-EDO]] in [[18-EDO]]. In diesem Fall haben die Versetzungszeichen &amp;/@ keine Bedeutung und sind daher nicht möglich. Zudem stehen nach Taktstrichen keine Quadrate. Die einzigen möglichen Vorzeichen sind diejenigen, die alle Noten mit der gleichen Anzahl ^/v alterieren.
* Es ist möglich, 5L2s-Notation zu verwenden, auch in EDOs, in denen die beste Quinte 3\5 oder 4\7 ist. Das ist für Konsistenz mit bestehenden mikrotonalen Notationsschemen, die dies ermöglichen. Bei einer 4\7-Quinte versetzen die #/b-Zeichen Noten um null EDO-Stufen, und also sollte man diese Akzidenzien nicht benutzen. Triviale MOS-Stimmungen (mit L/s-Verhältnissen 1/0 und 1/1) sind nur im Falle von 5L2s möglich, nicht in anderen MOS-Skalen.
* Man kann in der MOS-Rautennotation in oktavfreien gleichstufigen Stimmungen und MOS-Skalen notieren. In diesem Fall kennzeichnen die Rauten die strukturelle [[Äquave]] (die Periode oder ggf. ein Vielfaches der Periode). Die Notennamen JKL… wiederholen sich in jeder Äquave. Man schreibe diese Äquave zusammen mit der Stimmung und dem MOS-Muster aus.
* Bisher sind wir davon ausgegangen, dass die Wahl der perfekten Quinte für die diatonische MOS-Skala eindeutig ist. Größere EDOs können aber mehr als ein mögliches 5L2s-Generatorintervall besitzen. Bei einer solchen EDO-Stimmung ist die standardmäßige Quinte zwecks diatonischer Notation die Quinte, die am nächsten zur reinen Quinte 3/2 liegt. Wenn für diatonische Notation eine andere Quinte gewünscht wird, so schreibe man das oben in der Partitur, z. B. "54edo, diatonic fifth = 31\54".

== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
[[Kategorie:Praxis]]</text>
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|de = MOS-Rautennotation
|en = Diamond-mos notation
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}}
Die '''MOS-Rautennotation''' (eng. diamond-mos notation) ist ein mikrotonales Notationssystem, entwickelt für das Schreiben von nicht-diatonischen [[MOS-Skalen]] ohne Interpretation mit [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] oder [[Reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]]. Die Notation wurde von Mitgliedern des XA Discordservers entworfen.

== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung der englischen Seite wurde von Inthar#5959 beigesteuert.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Konventionen zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
[[File:Apartment in the Sky Score Opening.png|thumb|478x478px|Der obere Teil einer Partitur in der MOS-Rautennotation.]]

Die MOS-Rautennotation basiert standardmäßig auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Um ein MOS-Muster anzuzeigen, wird eine Folge von Zahlen angegeben: darin steht jede Zahl für einen Schritt der MOS-Skala, der so viele EDO-Stufen ausmacht, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeile (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die üblichen Notennamen. In diesem Fall muss das MOS-Muster in der Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lassen sich derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche (absolute) Tonhöhe der (relativ zu einem MOS-Modus definierte) Notenname “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

In der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben in der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenlinien ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Tonartbezeichnungen (Vorzeichen) ==
=== Anzeigen von alterierten Modi ===
[[File:D Ionian v3 v6 v7.png|alt=|thumb|Ein Vorzeichen für den alterierten Modus D-Ionisch v3 v6 v7, z.B. in [[34-EDO]]. Das unveränderte D-Dur-Vorzeichen (mit zwei Kreuzen) befindet sich links neben von der gestrichelten Linie, wodurch die Tonika deutlich wird.]]
Der in der Partitur geschriebene und durch die Quadrate repräsentierte MOS-Modus muss ein purer, unalterierter MOS-Modus sein. Doch kann man Vorzeichen für alterierte MOS-Modi benutzen, sodass die Partitur mit Versetzungszeichen nicht überfrachtet wird. Erstens schreibe man die Tonart entsprechend der Tonika, als wäre der MOS-Modus nicht alteriert. (So kann man immer noch die Tonika finden, indem man die Akzidenzien zählt.) Als nächstes schreibe man die Alterationen als zusätzliche Akzidenzien rechts von den ursprünglichen. Aus Gründen der Klarheit setze man eine gestrichelte Linie zwischen den Akzidenzien für die pure MOS-Tonart und den alterierenden Akzidenzien. Die Buchstaben "ALT" (für Alteration) liegen unter der gestrichelten Linie. (Falls die pure MOS-Tonart leer ist, liegt die gestrichelte Linie links von den Alterationen, und links von der gestrichelten Linie befindet nichts.) Wie bereits erwähnt, überschreibt ein Versetzungszeichen in der Rautennotation alle vorherigen Versetzungszeichen vollständig. Das bezieht auch Alterations-Akzidenzien in der Tonartbezeichnung ein.

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattspiel ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen ==
* Es gibt eine Ausnahme von der Regel, dass die MOS-Rautennotation immer auf einer EDO-Stimmung basiert. Das System bietet eine Möglichkeit, eine Nicht-EDO-Stimmung einer MOS-Skala anzugeben. Man schreibe “Non-edo mos tuning” im oberen Teil der Partitur und gebe die Größe des Generatorintervalls an. Man schreibe das MOS-Muster mit abstrakten Schritten L und s anstatt in EDO-Schritten, z. B. “LLsLsLs”. Bei Nicht-EDO-Notation haben die Akzidenzien ^/v keine Bedeutung und können nicht verwendet werden. Die einzigen möglichen Versetzungszeichen sind die MOS-Akzidenzien &amp;/@/e/a (oder #/b/t/d im Falle einer 5L2s-Stimmung). Da die Nicht-EDO-Notation keine endliche Menge Tonhöhen benutzt, sind Umstimmungen auf beliebige Skalen nicht möglich.
* Es ist möglich, Untermengen-EDOs als MOS-Skalen für Notation zu behandeln, beispielsweise [[9-EDO]] in [[18-EDO]]. In diesem Fall haben die Versetzungszeichen &amp;/@ keine Bedeutung und sind daher nicht möglich. Zudem stehen nach Taktstrichen keine Quadrate. Die einzigen möglichen Vorzeichen sind diejenigen, die alle Noten mit der gleichen Anzahl ^/v alterieren.
* Es ist möglich, 5L2s-Notation zu verwenden, auch in EDOs, in denen die beste Quinte 3\5 oder 4\7 ist. Das ist für Konsistenz mit bestehenden mikrotonalen Notationsschemen, die dies ermöglichen. Bei einer 4\7-Quinte versetzen die #/b-Zeichen Noten um null EDO-Stufen, und also sollte man diese Akzidenzien nicht benutzen. Triviale MOS-Stimmungen (mit L/s-Verhältnissen 1/0 und 1/1) sind nur im Falle von 5L2s möglich, nicht in anderen MOS-Skalen.
* Man kann in der MOS-Rautennotation in oktavfreien gleichstufigen Stimmungen und MOS-Skalen notieren. In diesem Fall kennzeichnen die Rauten die strukturelle [[Äquave]] (die Periode oder ggf. ein Vielfaches der Periode). Die Notennamen JKL… wiederholen sich in jeder Äquave. Man schreibe diese Äquave zusammen mit der Stimmung und dem MOS-Muster aus.
* Bisher sind wir davon ausgegangen, dass die Wahl der perfekten Quinte für die diatonische MOS-Skala eindeutig ist. Größere EDOs können aber mehr als ein mögliches 5L2s-Generatorintervall besitzen. Bei einer solchen EDO-Stimmung ist die standardmäßige Quinte zwecks diatonischer Notation die Quinte, die am nächsten zur reinen Quinte 3/2 liegt. Wenn für diatonische Notation eine andere Quinte gewünscht wird, so schreibe man das oben in der Partitur, z. B. "54edo, diatonic fifth = 31\54".

== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
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|de = MOS-Rautennotation
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}}
Die '''MOS-Rautennotation''' (eng. diamond-mos notation) ist ein mikrotonales Notationssystem, entwickelt für das Schreiben von nicht-diatonischen [[MOS-Skalen]] ohne Interpretation mit [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] oder [[Reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]]. Die Notation wurde von Mitgliedern des XA Discordservers entworfen.

== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung der englischen Seite wurde von Inthar#5959 beigesteuert.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Konventionen zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
[[File:Apartment in the Sky Score Opening.png|thumb|478x478px|Der obere Teil einer Partitur in der MOS-Rautennotation.]]

Die MOS-Rautennotation basiert standardmäßig auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Um ein MOS-Muster anzuzeigen, wird eine Folge von Zahlen angegeben: darin steht jede Zahl für einen Schritt der MOS-Skala, der so viele EDO-Stufen ausmacht, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeile (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die üblichen Notennamen. In diesem Fall muss das MOS-Muster in der Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lassen sich derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche (absolute) Tonhöhe der (relativ zu einem MOS-Modus definierte) Notenname “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

In der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben in der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenlinien ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Tonartbezeichnungen (Vorzeichen) ==
=== Anzeigen von alterierten Modi ===
[[File:D Ionian v3 v6 v7.png|alt=|thumb|Ein Vorzeichen für den alterierten Modus D-Ionisch v3 v6 v7, z.B. in [[34-EDO]]. Das unveränderte D-Dur-Vorzeichen (mit zwei Kreuzen) befindet sich links neben von der gestrichelten Linie, wodurch die Tonika deutlich wird.]]
Der in der Partitur geschriebene und durch die Quadrate repräsentierte MOS-Modus muss ein purer, unalterierter MOS-Modus sein. Doch kann man Vorzeichen für alterierte MOS-Modi benutzen, sodass die Partitur mit Versetzungszeichen nicht überfrachtet wird. Erstens schreibe man die Tonart entsprechend der Tonika, als wäre der MOS-Modus nicht alteriert. (So kann man immer noch die Tonika finden, indem man die Akzidenzien zählt.) Als nächstes schreibe man die Alterationen als zusätzliche Akzidenzien rechts von den ursprünglichen. Aus Gründen der Klarheit setze man eine gestrichelte Linie zwischen den Akzidenzien für die pure MOS-Tonart und den alterierenden Akzidenzien. Die Buchstaben "ALT" (für Alteration) liegen unter der gestrichelten Linie. (Falls die pure MOS-Tonart keine Akzidenzien besitzt, liegt die gestrichelte Linie links von den Alterationen, und links von der gestrichelten Linie befindet nichts.) Wie bereits erwähnt, überschreibt ein Versetzungszeichen in der Rautennotation alle vorherigen Versetzungszeichen vollständig. Das bezieht auch Alterations-Akzidenzien in der Tonartbezeichnung ein.

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattspiel ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen ==
* Es gibt eine Ausnahme von der Regel, dass die MOS-Rautennotation immer auf einer EDO-Stimmung basiert. Das System bietet eine Möglichkeit, eine Nicht-EDO-Stimmung einer MOS-Skala anzugeben. Man schreibe “Non-edo mos tuning” im oberen Teil der Partitur und gebe die Größe des Generatorintervalls an. Man schreibe das MOS-Muster mit abstrakten Schritten L und s anstatt in EDO-Schritten, z. B. “LLsLsLs”. Bei Nicht-EDO-Notation haben die Akzidenzien ^/v keine Bedeutung und können nicht verwendet werden. Die einzigen möglichen Versetzungszeichen sind die MOS-Akzidenzien &amp;/@/e/a (oder #/b/t/d im Falle einer 5L2s-Stimmung). Da die Nicht-EDO-Notation keine endliche Menge Tonhöhen benutzt, sind Umstimmungen auf beliebige Skalen nicht möglich.
* Es ist möglich, Untermengen-EDOs als MOS-Skalen für Notation zu behandeln, beispielsweise [[9-EDO]] in [[18-EDO]]. In diesem Fall haben die Versetzungszeichen &amp;/@ keine Bedeutung und sind daher nicht möglich. Zudem stehen nach Taktstrichen keine Quadrate. Die einzigen möglichen Vorzeichen sind diejenigen, die alle Noten mit der gleichen Anzahl ^/v alterieren.
* Es ist möglich, 5L2s-Notation zu verwenden, auch in EDOs, in denen die beste Quinte 3\5 oder 4\7 ist. Das ist für Konsistenz mit bestehenden mikrotonalen Notationsschemen, die dies ermöglichen. Bei einer 4\7-Quinte versetzen die #/b-Zeichen Noten um null EDO-Stufen, und also sollte man diese Akzidenzien nicht benutzen. Triviale MOS-Stimmungen (mit L/s-Verhältnissen 1/0 und 1/1) sind nur im Falle von 5L2s möglich, nicht in anderen MOS-Skalen.
* Man kann in der MOS-Rautennotation in oktavfreien gleichstufigen Stimmungen und MOS-Skalen notieren. In diesem Fall kennzeichnen die Rauten die strukturelle [[Äquave]] (die Periode oder ggf. ein Vielfaches der Periode). Die Notennamen JKL… wiederholen sich in jeder Äquave. Man schreibe diese Äquave zusammen mit der Stimmung und dem MOS-Muster aus.
* Bisher sind wir davon ausgegangen, dass die Wahl der perfekten Quinte für die diatonische MOS-Skala eindeutig ist. Größere EDOs können aber mehr als ein mögliches 5L2s-Generatorintervall besitzen. Bei einer solchen EDO-Stimmung ist die standardmäßige Quinte zwecks diatonischer Notation die Quinte, die am nächsten zur reinen Quinte 3/2 liegt. Wenn für diatonische Notation eine andere Quinte gewünscht wird, so schreibe man das oben in der Partitur, z. B. "54edo, diatonic fifth = 31\54".

== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
[[Kategorie:Praxis]]</text>
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|de = MOS-Rautennotation
|en = Diamond-mos notation
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}}
Die '''MOS-Rautennotation''' (eng. diamond-mos notation) ist ein mikrotonales Notationssystem, entwickelt für das Schreiben von nicht-diatonischen [[MOS-Skalen]] ohne Interpretation mit [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] oder [[Reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]]. Die Notation wurde von Mitgliedern des XA Discordservers entworfen.

== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung der englischen Seite wurde von Inthar#5959 beigesteuert.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Konventionen zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
[[File:Apartment in the Sky Score Opening.png|thumb|478x478px|Der obere Teil einer Partitur in der MOS-Rautennotation.]]

Die MOS-Rautennotation basiert standardmäßig auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Um ein MOS-Muster anzuzeigen, wird eine Folge von Zahlen angegeben: darin steht jede Zahl für einen Schritt der MOS-Skala, der so viele EDO-Stufen ausmacht, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeile (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die üblichen Notennamen. In diesem Fall muss das MOS-Muster in der Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lassen sich derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche (absolute) Tonhöhe der (relativ zu einem MOS-Modus definierte) Notenname “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

In der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben in der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenlinien ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Tonartbezeichnungen (Vorzeichen) ==
=== Anzeigen von alterierten Modi ===
[[File:D Ionian v3 v6 v7.png|alt=|thumb|Ein Vorzeichen für den alterierten Modus D-Ionisch v3 v6 v7, z.B. in [[34-EDO]]. Das unveränderte D-Dur-Vorzeichen (mit zwei Kreuzen) befindet sich links neben von der gestrichelten Linie, wodurch die Tonika deutlich wird.]]
Der in der Partitur geschriebene und durch die Quadrate repräsentierte MOS-Modus muss ein purer, unalterierter MOS-Modus sein. Doch kann man Vorzeichen für alterierte MOS-Modi benutzen, sodass die Partitur nicht mit Versetzungszeichen überfrachtet wird. Erstens schreibe man die Tonart entsprechend der Tonika, als wäre der MOS-Modus nicht alteriert. (So kann man immer noch die Tonika finden, indem man die Akzidenzien zählt.) Als nächstes schreibe man die Alterationen als zusätzliche Akzidenzien rechts von den ursprünglichen. Aus Gründen der Klarheit setze man eine gestrichelte Linie zwischen den Akzidenzien für die pure MOS-Tonart und den alterierenden Akzidenzien. Die Buchstaben "ALT" (für Alteration) liegen unter der gestrichelten Linie. (Falls die pure MOS-Tonart keine Akzidenzien besitzt, liegt die gestrichelte Linie links von den Alterationen, und links von der gestrichelten Linie befindet nichts.) Wie bereits erwähnt, überschreibt ein Versetzungszeichen in der Rautennotation alle vorherigen Versetzungszeichen vollständig. Das bezieht auch Alterations-Akzidenzien in der Tonartbezeichnung ein.

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattspiel ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen ==
* Es gibt eine Ausnahme von der Regel, dass die MOS-Rautennotation immer auf einer EDO-Stimmung basiert. Das System bietet eine Möglichkeit, eine Nicht-EDO-Stimmung einer MOS-Skala anzugeben. Man schreibe “Non-edo mos tuning” im oberen Teil der Partitur und gebe die Größe des Generatorintervalls an. Man schreibe das MOS-Muster mit abstrakten Schritten L und s anstatt in EDO-Schritten, z. B. “LLsLsLs”. Bei Nicht-EDO-Notation haben die Akzidenzien ^/v keine Bedeutung und können nicht verwendet werden. Die einzigen möglichen Versetzungszeichen sind die MOS-Akzidenzien &amp;/@/e/a (oder #/b/t/d im Falle einer 5L2s-Stimmung). Da die Nicht-EDO-Notation keine endliche Menge Tonhöhen benutzt, sind Umstimmungen auf beliebige Skalen nicht möglich.
* Es ist möglich, Untermengen-EDOs als MOS-Skalen für Notation zu behandeln, beispielsweise [[9-EDO]] in [[18-EDO]]. In diesem Fall haben die Versetzungszeichen &amp;/@ keine Bedeutung und sind daher nicht möglich. Zudem stehen nach Taktstrichen keine Quadrate. Die einzigen möglichen Vorzeichen sind diejenigen, die alle Noten mit der gleichen Anzahl ^/v alterieren.
* Es ist möglich, 5L2s-Notation zu verwenden, auch in EDOs, in denen die beste Quinte 3\5 oder 4\7 ist. Das ist für Konsistenz mit bestehenden mikrotonalen Notationsschemen, die dies ermöglichen. Bei einer 4\7-Quinte versetzen die #/b-Zeichen Noten um null EDO-Stufen, und also sollte man diese Akzidenzien nicht benutzen. Triviale MOS-Stimmungen (mit L/s-Verhältnissen 1/0 und 1/1) sind nur im Falle von 5L2s möglich, nicht in anderen MOS-Skalen.
* Man kann in der MOS-Rautennotation in oktavfreien gleichstufigen Stimmungen und MOS-Skalen notieren. In diesem Fall kennzeichnen die Rauten die strukturelle [[Äquave]] (die Periode oder ggf. ein Vielfaches der Periode). Die Notennamen JKL… wiederholen sich in jeder Äquave. Man schreibe diese Äquave zusammen mit der Stimmung und dem MOS-Muster aus.
* Bisher sind wir davon ausgegangen, dass die Wahl der perfekten Quinte für die diatonische MOS-Skala eindeutig ist. Größere EDOs können aber mehr als ein mögliches 5L2s-Generatorintervall besitzen. Bei einer solchen EDO-Stimmung ist die standardmäßige Quinte zwecks diatonischer Notation die Quinte, die am nächsten zur reinen Quinte 3/2 liegt. Wenn für diatonische Notation eine andere Quinte gewünscht wird, so schreibe man das oben in der Partitur, z. B. "54edo, diatonic fifth = 31\54".

== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
[[Kategorie:Praxis]]</text>
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}}
Die '''MOS-Rautennotation''' (eng. diamond-mos notation) ist ein mikrotonales Notationssystem, entwickelt für das Schreiben von nicht-diatonischen [[MOS-Skalen]] ohne Interpretation mit [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] oder [[Reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]]. Die Notation wurde von Mitgliedern des XA Discordservers entworfen.

== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung der englischen Seite wurde von Inthar#5959 beigesteuert.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Konventionen zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
[[File:Apartment in the Sky Score Opening.png|thumb|478x478px|Der obere Teil einer Partitur in der MOS-Rautennotation.]]

Die MOS-Rautennotation basiert standardmäßig auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Um ein MOS-Muster anzuzeigen, wird eine Folge von Zahlen angegeben: darin steht jede Zahl für einen Schritt der MOS-Skala, der so viele EDO-Stufen ausmacht, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeile (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die üblichen Notennamen. In diesem Fall muss das MOS-Muster in der Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lassen sich derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche (absolute) Tonhöhe der (relativ zu einem MOS-Modus definierte) Notenname “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

In der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben in der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenlinien ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Tonartbezeichnungen (Vorzeichen) ==
=== Anzeigen von alterierten Modi ===
[[File:D Ionian v3 v6 v7.png|alt=|thumb|Ein Vorzeichen für den alterierten Modus D-Ionisch v3 v6 v7, z.B. in [[34-EDO]]. Das unveränderte D-Dur-Vorzeichen (mit zwei Kreuzen) befindet sich links neben von der gestrichelten Linie, wodurch die Tonika deutlich wird.]]
Der in der Partitur geschriebene und durch die Quadrate repräsentierte MOS-Modus muss ein purer, unalterierter MOS-Modus sein. Doch kann man Vorzeichen für alterierte MOS-Modi benutzen, sodass die Partitur nicht mit Versetzungszeichen überfrachtet wird. Erstens schreibe man die Tonart entsprechend der Tonika, als wäre der MOS-Modus nicht alteriert. (So kann man immer noch die Tonika finden, indem man die Akzidenzien in der puren MOS-Tonart zählt.) Als nächstes schreibe man die Alterationen als zusätzliche Akzidenzien rechts von den ursprünglichen. Aus Gründen der Klarheit setze man eine gestrichelte Linie zwischen den Akzidenzien für die pure MOS-Tonart und den alterierenden Akzidenzien. Die Buchstaben "ALT" (für Alteration) liegen unter der gestrichelten Linie. (Falls die pure MOS-Tonart keine Akzidenzien besitzt, liegt die gestrichelte Linie links von den Alterationen, und links von der gestrichelten Linie befindet nichts.) Wie bereits erwähnt, überschreibt ein Versetzungszeichen in der Rautennotation alle vorherigen Versetzungszeichen vollständig. Das bezieht auch Alterations-Akzidenzien in der Tonartbezeichnung ein.

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattspiel ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen ==
* Es gibt eine Ausnahme von der Regel, dass die MOS-Rautennotation immer auf einer EDO-Stimmung basiert. Das System bietet eine Möglichkeit, eine Nicht-EDO-Stimmung einer MOS-Skala anzugeben. Man schreibe “Non-edo mos tuning” im oberen Teil der Partitur und gebe die Größe des Generatorintervalls an. Man schreibe das MOS-Muster mit abstrakten Schritten L und s anstatt in EDO-Schritten, z. B. “LLsLsLs”. Bei Nicht-EDO-Notation haben die Akzidenzien ^/v keine Bedeutung und können nicht verwendet werden. Die einzigen möglichen Versetzungszeichen sind die MOS-Akzidenzien &amp;/@/e/a (oder #/b/t/d im Falle einer 5L2s-Stimmung). Da die Nicht-EDO-Notation keine endliche Menge Tonhöhen benutzt, sind Umstimmungen auf beliebige Skalen nicht möglich.
* Es ist möglich, Untermengen-EDOs als MOS-Skalen für Notation zu behandeln, beispielsweise [[9-EDO]] in [[18-EDO]]. In diesem Fall haben die Versetzungszeichen &amp;/@ keine Bedeutung und sind daher nicht möglich. Zudem stehen nach Taktstrichen keine Quadrate. Die einzigen möglichen Vorzeichen sind diejenigen, die alle Noten mit der gleichen Anzahl ^/v alterieren.
* Es ist möglich, 5L2s-Notation zu verwenden, auch in EDOs, in denen die beste Quinte 3\5 oder 4\7 ist. Das ist für Konsistenz mit bestehenden mikrotonalen Notationsschemen, die dies ermöglichen. Bei einer 4\7-Quinte versetzen die #/b-Zeichen Noten um null EDO-Stufen, und also sollte man diese Akzidenzien nicht benutzen. Triviale MOS-Stimmungen (mit L/s-Verhältnissen 1/0 und 1/1) sind nur im Falle von 5L2s möglich, nicht in anderen MOS-Skalen.
* Man kann in der MOS-Rautennotation in oktavfreien gleichstufigen Stimmungen und MOS-Skalen notieren. In diesem Fall kennzeichnen die Rauten die strukturelle [[Äquave]] (die Periode oder ggf. ein Vielfaches der Periode). Die Notennamen JKL… wiederholen sich in jeder Äquave. Man schreibe diese Äquave zusammen mit der Stimmung und dem MOS-Muster aus.
* Bisher sind wir davon ausgegangen, dass die Wahl der perfekten Quinte für die diatonische MOS-Skala eindeutig ist. Größere EDOs können aber mehr als ein mögliches 5L2s-Generatorintervall besitzen. Bei einer solchen EDO-Stimmung ist die standardmäßige Quinte zwecks diatonischer Notation die Quinte, die am nächsten zur reinen Quinte 3/2 liegt. Wenn für diatonische Notation eine andere Quinte gewünscht wird, so schreibe man das oben in der Partitur, z. B. "54edo, diatonic fifth = 31\54".

== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
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}}
Die '''MOS-Rautennotation''' (eng. diamond-mos notation) ist ein mikrotonales Notationssystem, entwickelt für das Schreiben von nicht-diatonischen [[MOS-Skalen]] ohne Interpretation mit [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] oder [[Reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]]. Die Notation wurde von Mitgliedern des XA Discordservers entworfen.

== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung der englischen Seite wurde von Inthar#5959 beigesteuert.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Konventionen zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
[[File:Apartment in the Sky Score Opening.png|thumb|478x478px|Der obere Teil einer Partitur in der MOS-Rautennotation.]]

Die MOS-Rautennotation basiert standardmäßig auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Um ein MOS-Muster anzuzeigen, wird eine Folge von Zahlen angegeben: darin steht jede Zahl für einen Schritt der MOS-Skala, der so viele EDO-Stufen ausmacht, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeile (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die üblichen Notennamen. In diesem Fall muss das MOS-Muster in der Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lassen sich derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche (absolute) Tonhöhe der (relativ zu einem MOS-Modus definierte) Notenname “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

In der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben in der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenlinien ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Tonartbezeichnungen (Vorzeichen) ==
=== Anzeigen von alterierten Modi ===
[[File:D Ionian v3 v6 v7.png|alt=|thumb|Das Vorzeichen für den alterierten Modus D-Ionisch v3 v6 v7, z.B. in [[34-EDO]]. Das unveränderte D-Dur-Vorzeichen (mit zwei Kreuzen) befindet sich links neben von der gestrichelten Linie, wodurch die Tonika deutlich wird.]]
Der in der Partitur geschriebene und durch die Quadrate repräsentierte MOS-Modus muss ein purer, unalterierter MOS-Modus sein. Doch kann man Vorzeichen für alterierte MOS-Modi benutzen, sodass die Partitur nicht mit Versetzungszeichen überfrachtet wird. Erstens schreibe man die Tonart entsprechend der Tonika, als wäre der MOS-Modus nicht alteriert. (So kann man immer noch die Tonika finden, indem man die Akzidenzien in der puren MOS-Tonart zählt.) Als nächstes schreibe man die Alterationen als zusätzliche Akzidenzien rechts von den ursprünglichen. Aus Gründen der Klarheit setze man eine gestrichelte Linie zwischen den Akzidenzien für die pure MOS-Tonart und den alterierenden Akzidenzien. Die Buchstaben "ALT" (für Alteration) liegen unter der gestrichelten Linie. (Falls die pure MOS-Tonart keine Akzidenzien besitzt, liegt die gestrichelte Linie links von den Alterationen, und links von der gestrichelten Linie befindet nichts.) Wie bereits erwähnt, überschreibt ein Versetzungszeichen in der Rautennotation alle vorherigen Versetzungszeichen vollständig. Das bezieht auch Alterations-Akzidenzien in der Tonartbezeichnung ein.

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattspiel ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen ==
* Es gibt eine Ausnahme von der Regel, dass die MOS-Rautennotation immer auf einer EDO-Stimmung basiert. Das System bietet eine Möglichkeit, eine Nicht-EDO-Stimmung einer MOS-Skala anzugeben. Man schreibe “Non-edo mos tuning” im oberen Teil der Partitur und gebe die Größe des Generatorintervalls an. Man schreibe das MOS-Muster mit abstrakten Schritten L und s anstatt in EDO-Schritten, z. B. “LLsLsLs”. Bei Nicht-EDO-Notation haben die Akzidenzien ^/v keine Bedeutung und können nicht verwendet werden. Die einzigen möglichen Versetzungszeichen sind die MOS-Akzidenzien &amp;/@/e/a (oder #/b/t/d im Falle einer 5L2s-Stimmung). Da die Nicht-EDO-Notation keine endliche Menge Tonhöhen benutzt, sind Umstimmungen auf beliebige Skalen nicht möglich.
* Es ist möglich, Untermengen-EDOs als MOS-Skalen für Notation zu behandeln, beispielsweise [[9-EDO]] in [[18-EDO]]. In diesem Fall haben die Versetzungszeichen &amp;/@ keine Bedeutung und sind daher nicht möglich. Zudem stehen nach Taktstrichen keine Quadrate. Die einzigen möglichen Vorzeichen sind diejenigen, die alle Noten mit der gleichen Anzahl ^/v alterieren.
* Es ist möglich, 5L2s-Notation zu verwenden, auch in EDOs, in denen die beste Quinte 3\5 oder 4\7 ist. Das ist für Konsistenz mit bestehenden mikrotonalen Notationsschemen, die dies ermöglichen. Bei einer 4\7-Quinte versetzen die #/b-Zeichen Noten um null EDO-Stufen, und also sollte man diese Akzidenzien nicht benutzen. Triviale MOS-Stimmungen (mit L/s-Verhältnissen 1/0 und 1/1) sind nur im Falle von 5L2s möglich, nicht in anderen MOS-Skalen.
* Man kann in der MOS-Rautennotation in oktavfreien gleichstufigen Stimmungen und MOS-Skalen notieren. In diesem Fall kennzeichnen die Rauten die strukturelle [[Äquave]] (die Periode oder ggf. ein Vielfaches der Periode). Die Notennamen JKL… wiederholen sich in jeder Äquave. Man schreibe diese Äquave zusammen mit der Stimmung und dem MOS-Muster aus.
* Bisher sind wir davon ausgegangen, dass die Wahl der perfekten Quinte für die diatonische MOS-Skala eindeutig ist. Größere EDOs können aber mehr als ein mögliches 5L2s-Generatorintervall besitzen. Bei einer solchen EDO-Stimmung ist die standardmäßige Quinte zwecks diatonischer Notation die Quinte, die am nächsten zur reinen Quinte 3/2 liegt. Wenn für diatonische Notation eine andere Quinte gewünscht wird, so schreibe man das oben in der Partitur, z. B. "54edo, diatonic fifth = 31\54".

== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
[[Kategorie:Praxis]]</text>
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|de = MOS-Rautennotation
|en = Diamond-mos notation
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}}
Die '''MOS-Rautennotation''' (eng. diamond-mos notation) ist ein mikrotonales Notationssystem, entwickelt für das Schreiben von nicht-diatonischen [[MOS-Skalen]] ohne Interpretation mit [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] oder [[Reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]]. Die Notation wurde von Mitgliedern des XA Discordservers entworfen.

== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung der englischen Seite wurde von Inthar#5959 beigesteuert.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Konventionen zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
[[File:Apartment in the Sky Score Opening.png|thumb|478x478px|Der obere Teil einer Partitur in der MOS-Rautennotation.]]

Die MOS-Rautennotation basiert standardmäßig auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Um ein MOS-Muster anzuzeigen, wird eine Folge von Zahlen angegeben: darin steht jede Zahl für einen Schritt der MOS-Skala, der so viele EDO-Stufen ausmacht, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeile (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die üblichen Notennamen. In diesem Fall muss das MOS-Muster in der Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lassen sich derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche (absolute) Tonhöhe der (relativ zu einem MOS-Modus definierte) Notenname “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

In der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben in der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenlinien ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Tonartbezeichnungen (Vorzeichen) ==
=== Anzeigen von alterierten Modi ===
[[File:D Ionian v3 v6 v7.png|alt=|thumb|Das Vorzeichen für den alterierten Modus D-Ionisch v3 v6 v7, z.B. in [[34-EDO]]. Das unveränderte D-Dur-Vorzeichen (mit zwei Kreuzen) befindet sich links neben von der gestrichelten Linie, wodurch die Tonika deutlich wird.]]
Der in der Partitur geschriebene und durch die Quadrate repräsentierte MOS-Modus muss ein purer MOS-Modus (ohne Alterationen) sein. Doch kann man Vorzeichen für alterierte MOS-Modi benutzen, sodass die Partitur nicht mit Versetzungszeichen überfrachtet wird. Erstens schreibe man die Tonart entsprechend der Tonika, als wäre der MOS-Modus nicht alteriert. (So kann man immer noch die Tonika finden, indem man die Akzidenzien in der puren MOS-Tonart zählt.) Als nächstes schreibe man die Alterationen als zusätzliche Akzidenzien rechts von den ursprünglichen. Aus Gründen der Klarheit setze man eine gestrichelte Linie zwischen den Akzidenzien für die pure MOS-Tonart und den alterierenden Akzidenzien. Die Buchstaben "ALT" (für Alteration) liegen unter der gestrichelten Linie. (Falls die pure MOS-Tonart keine Akzidenzien besitzt, liegt die gestrichelte Linie links von den Alterationen, und links von der gestrichelten Linie befindet nichts.) Wie bereits erwähnt, überschreibt ein Versetzungszeichen in der Rautennotation alle vorherigen Versetzungszeichen vollständig. Das bezieht auch Alterations-Akzidenzien in der Tonartbezeichnung ein.

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattspiel ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen ==
* Es gibt eine Ausnahme von der Regel, dass die MOS-Rautennotation immer auf einer EDO-Stimmung basiert. Das System bietet eine Möglichkeit, eine Nicht-EDO-Stimmung einer MOS-Skala anzugeben. Man schreibe “Non-edo mos tuning” im oberen Teil der Partitur und gebe die Größe des Generatorintervalls an. Man schreibe das MOS-Muster mit abstrakten Schritten L und s anstatt in EDO-Schritten, z. B. “LLsLsLs”. Bei Nicht-EDO-Notation haben die Akzidenzien ^/v keine Bedeutung und können nicht verwendet werden. Die einzigen möglichen Versetzungszeichen sind die MOS-Akzidenzien &amp;/@/e/a (oder #/b/t/d im Falle einer 5L2s-Stimmung). Da die Nicht-EDO-Notation keine endliche Menge Tonhöhen benutzt, sind Umstimmungen auf beliebige Skalen nicht möglich.
* Es ist möglich, Untermengen-EDOs als MOS-Skalen für Notation zu behandeln, beispielsweise [[9-EDO]] in [[18-EDO]]. In diesem Fall haben die Versetzungszeichen &amp;/@ keine Bedeutung und sind daher nicht möglich. Zudem stehen nach Taktstrichen keine Quadrate. Die einzigen möglichen Vorzeichen sind diejenigen, die alle Noten mit der gleichen Anzahl ^/v alterieren.
* Es ist möglich, 5L2s-Notation zu verwenden, auch in EDOs, in denen die beste Quinte 3\5 oder 4\7 ist. Das ist für Konsistenz mit bestehenden mikrotonalen Notationsschemen, die dies ermöglichen. Bei einer 4\7-Quinte versetzen die #/b-Zeichen Noten um null EDO-Stufen, und also sollte man diese Akzidenzien nicht benutzen. Triviale MOS-Stimmungen (mit L/s-Verhältnissen 1/0 und 1/1) sind nur im Falle von 5L2s möglich, nicht in anderen MOS-Skalen.
* Man kann in der MOS-Rautennotation in oktavfreien gleichstufigen Stimmungen und MOS-Skalen notieren. In diesem Fall kennzeichnen die Rauten die strukturelle [[Äquave]] (die Periode oder ggf. ein Vielfaches der Periode). Die Notennamen JKL… wiederholen sich in jeder Äquave. Man schreibe diese Äquave zusammen mit der Stimmung und dem MOS-Muster aus.
* Bisher sind wir davon ausgegangen, dass die Wahl der perfekten Quinte für die diatonische MOS-Skala eindeutig ist. Größere EDOs können aber mehr als ein mögliches 5L2s-Generatorintervall besitzen. Bei einer solchen EDO-Stimmung ist die standardmäßige Quinte zwecks diatonischer Notation die Quinte, die am nächsten zur reinen Quinte 3/2 liegt. Wenn für diatonische Notation eine andere Quinte gewünscht wird, so schreibe man das oben in der Partitur, z. B. "54edo, diatonic fifth = 31\54".

== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
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}}
Die '''MOS-Rautennotation''' (eng. diamond-mos notation) ist ein mikrotonales Notationssystem, entwickelt für das Schreiben von nicht-diatonischen [[MOS-Skalen]] ohne Interpretation mit [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] oder [[Reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]]. Die Notation wurde von Mitgliedern des XA Discordservers entworfen.

== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung der englischen Seite wurde von Inthar#5959 beigesteuert.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Konventionen zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
[[File:Apartment in the Sky Score Opening.png|thumb|478x478px|Der obere Teil einer Partitur in der MOS-Rautennotation.]]

Die MOS-Rautennotation basiert standardmäßig auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Um ein MOS-Muster anzuzeigen, wird eine Folge von Zahlen angegeben: darin steht jede Zahl für einen Schritt der MOS-Skala, der so viele EDO-Stufen ausmacht, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeile (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die üblichen Notennamen. In diesem Fall muss das MOS-Muster in der Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lassen sich derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche (absolute) Tonhöhe der (relativ zu einem MOS-Modus definierte) Notenname “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

In der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben in der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenlinien ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Tonartbezeichnungen (Vorzeichen) ==
=== Anzeigen von alterierten Modi ===
[[File:D Ionian v3 v6 v7.png|alt=|thumb|Das Vorzeichen für den alterierten Modus D-Ionisch v3 v6 v7, z.B. in [[34-EDO]]. Das unveränderte D-Dur-Vorzeichen (mit zwei Kreuzen) befindet sich links neben von der gestrichelten Linie, wodurch die Tonika deutlich wird.]]
Der in der Partitur geschriebene und durch die Quadrate repräsentierte MOS-Modus muss ein purer MOS-Modus (ohne Alterationen) sein. Doch kann man Vorzeichen für alterierte MOS-Modi benutzen, sodass die Partitur nicht mit Versetzungszeichen überfrachtet wird. Erstens schreibe man die Tonart entsprechend der Tonika, als wäre der MOS-Modus nicht alteriert. (So kann man immer noch die Tonika finden, indem man die Akzidenzien in der puren MOS-Tonart zählt.) Als nächstes schreibe man die Alterationen als zusätzliche Akzidenzien rechts von den ursprünglichen. Aus Gründen der Klarheit setze man eine gestrichelte Linie zwischen den Akzidenzien für die pure MOS-Tonart und den alterierenden Akzidenzien. Die Buchstaben "ALT" (für Alteration) liegen unter der gestrichelten Linie. (Falls die pure MOS-Tonart keine Akzidenzien besitzt, liegt die gestrichelte Linie links von den Alterationen, und links von der gestrichelten Linie befindet nichts.) Wie bereits erwähnt, überschreibt ein Versetzungszeichen in der Rautennotation alle vorherigen Versetzungszeichen vollständig. Das bezieht auch Alterations-Akzidenzien in der Tonartbezeichnung ein.

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattspiel ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen ==
* Es gibt eine Ausnahme von der Regel, dass die MOS-Rautennotation immer auf einer EDO-Stimmung basiert. Das System bietet eine Möglichkeit, eine Nicht-EDO-Stimmung einer MOS-Skala anzugeben. Man schreibe “Non-edo mos tuning” im oberen Teil der Partitur und gebe die Größe des Generatorintervalls an. Man schreibe das MOS-Muster mit abstrakten Schritten L und s anstatt in EDO-Schritten, z. B. “LLsLsLs”. Bei Nicht-EDO-Notation haben die Akzidenzien ^/v keine Bedeutung und können nicht verwendet werden. Die einzigen möglichen Versetzungszeichen sind die MOS-Akzidenzien &amp;/@/e/a (oder #/b/t/d im Falle einer 5L2s-Stimmung). Da die Nicht-EDO-Notation keine endliche Menge Tonhöhen benutzt, sind Umstimmungen auf beliebige Skalen nicht möglich.
* Es ist möglich, Untermengen-EDOs als MOS-Skalen für Notation zu behandeln, beispielsweise [[9-EDO]] in [[18-EDO]]. In diesem Fall haben die Versetzungszeichen &amp;/@ keine Bedeutung und sind daher nicht möglich. Zudem stehen nach Taktstrichen keine Quadrate. Die einzigen möglichen nicht alterierten Vorzeichen sind solche, die alle Noten mit der gleichen Anzahl ^/v alterieren.
* Es ist möglich, 5L2s-Notation zu verwenden, auch in EDOs, in denen die beste Quinte 3\5 oder 4\7 ist. Das ist für Konsistenz mit bestehenden mikrotonalen Notationsschemen, die dies ermöglichen. Bei einer 4\7-Quinte versetzen die #/b-Zeichen Noten um null EDO-Stufen, und also sollte man diese Akzidenzien nicht benutzen. Triviale MOS-Stimmungen (mit L/s-Verhältnissen 1/0 und 1/1) sind nur im Falle von 5L2s möglich, nicht in anderen MOS-Skalen.
* Man kann in der MOS-Rautennotation in oktavfreien gleichstufigen Stimmungen und MOS-Skalen notieren. In diesem Fall kennzeichnen die Rauten die strukturelle [[Äquave]] (die Periode oder ggf. ein Vielfaches der Periode). Die Notennamen JKL… wiederholen sich in jeder Äquave. Man schreibe diese Äquave zusammen mit der Stimmung und dem MOS-Muster aus.
* Bisher sind wir davon ausgegangen, dass die Wahl der perfekten Quinte für die diatonische MOS-Skala eindeutig ist. Größere EDOs können aber mehr als ein mögliches 5L2s-Generatorintervall besitzen. Bei einer solchen EDO-Stimmung ist die standardmäßige Quinte zwecks diatonischer Notation die Quinte, die am nächsten zur reinen Quinte 3/2 liegt. Wenn für diatonische Notation eine andere Quinte gewünscht wird, so schreibe man das oben in der Partitur, z. B. "54edo, diatonic fifth = 31\54".

== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
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Die '''MOS-Rautennotation''' (eng. diamond-mos notation) ist ein mikrotonales Notationssystem, entwickelt für das Schreiben von nicht-diatonischen [[MOS-Skalen]] ohne Interpretation mit [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] oder [[Reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]]. Die Notation wurde von Mitgliedern des XA Discordservers entworfen.

== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung der englischen Seite wurde von Inthar#5959 beigesteuert.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Konventionen zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
[[File:Apartment in the Sky Score Opening.png|thumb|478x478px|Der obere Teil einer Partitur in der MOS-Rautennotation.]]

Die MOS-Rautennotation basiert standardmäßig auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Um ein MOS-Muster anzuzeigen, wird eine Folge von Zahlen angegeben: darin steht jede Zahl für einen Schritt der MOS-Skala, der so viele EDO-Stufen ausmacht, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeile (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die üblichen Notennamen. In diesem Fall muss das MOS-Muster in der Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lassen sich derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche (absolute) Tonhöhe der (relativ zu einem MOS-Modus definierte) Notenname “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

In der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben in der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenlinien ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Tonartbezeichnungen (Vorzeichen) ==
=== Anzeigen von alterierten Modi ===
[[File:D Ionian v3 v6 v7.png|alt=|thumb|Das Vorzeichen für den alterierten Modus D-Ionisch v3 v6 v7, z.B. in [[34-EDO]]. Das unveränderte D-Dur-Vorzeichen (mit zwei Kreuzen) befindet sich links neben von der gestrichelten Linie, wodurch die Tonika deutlich wird.]]
Der in der Partitur geschriebene und durch die Quadrate repräsentierte MOS-Modus muss ein purer MOS-Modus (ohne Alterationen) sein. Doch kann man Vorzeichen für alterierte MOS-Modi benutzen, sodass die Partitur nicht mit Versetzungszeichen überfrachtet wird. Erstens schreibe man die Tonart entsprechend der Tonika, als wäre der MOS-Modus nicht alteriert. (So kann man immer noch die Tonika finden, indem man die Akzidenzien in der puren MOS-Tonart zählt.) Als nächstes schreibe man die Alterationen als zusätzliche Akzidenzien rechts von den ursprünglichen. Aus Gründen der Klarheit setze man eine gestrichelte Linie zwischen den Akzidenzien für die pure MOS-Tonart und den alterierenden Akzidenzien. Die Buchstaben "ALT" (für Alteration) liegen unter der gestrichelten Linie. (Falls die pure MOS-Tonart keine Akzidenzien besitzt, liegt die gestrichelte Linie links von den Alterationen, und links von der gestrichelten Linie befindet nichts.) Wie bereits erwähnt, überschreibt ein Versetzungszeichen in der Rautennotation alle vorherigen Versetzungszeichen vollständig. Das bezieht auch Alterations-Akzidenzien in der Tonartbezeichnung ein.

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattspiel ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen ==
* Es gibt eine Ausnahme von der Regel, dass die MOS-Rautennotation immer auf einer EDO-Stimmung basiert. Das System bietet eine Möglichkeit, eine Nicht-EDO-Stimmung einer MOS-Skala anzugeben. Man schreibe “Non-edo mos tuning” im oberen Teil der Partitur und gebe die Größe des Generatorintervalls an. Man schreibe das MOS-Muster mit abstrakten Schritten L und s anstatt in EDO-Schritten, z. B. “LLsLsLs”. Bei Nicht-EDO-Notation haben die Akzidenzien ^/v keine Bedeutung und können nicht verwendet werden. Die einzigen möglichen Versetzungszeichen sind die MOS-Akzidenzien &amp;/@/e/a (oder #/b/t/d im Falle einer 5L2s-Stimmung). Da die Nicht-EDO-Notation keine endliche Menge Tonhöhen benutzt, sind Umstimmungen auf beliebige Skalen nicht möglich.
* Es ist möglich, Untermengen-EDOs als MOS-Skalen für Notation zu behandeln, beispielsweise [[9-EDO]] in [[18-EDO]]. In diesem Fall haben die Versetzungszeichen &amp;/@ keine Bedeutung und sind daher nicht möglich. Zudem stehen nach Taktstrichen keine Quadrate. Die einzigen möglichen nicht alterierten Vorzeichen sind solche, die alle Noten mit der gleichen Anzahl ^/v versetzen.
* Es ist möglich, 5L2s-Notation zu verwenden, auch in EDOs, in denen die beste Quinte 3\5 oder 4\7 ist. Das ist für Konsistenz mit bestehenden mikrotonalen Notationsschemen, die dies ermöglichen. Bei einer 4\7-Quinte versetzen die #/b-Zeichen Noten um null EDO-Stufen, und also sollte man diese Akzidenzien nicht benutzen. Triviale MOS-Stimmungen (mit L/s-Verhältnissen 1/0 und 1/1) sind nur im Falle von 5L2s möglich, nicht in anderen MOS-Skalen.
* Man kann in der MOS-Rautennotation in oktavfreien gleichstufigen Stimmungen und MOS-Skalen notieren. In diesem Fall kennzeichnen die Rauten die strukturelle [[Äquave]] (die Periode oder ggf. ein Vielfaches der Periode). Die Notennamen JKL… wiederholen sich in jeder Äquave. Man schreibe diese Äquave zusammen mit der Stimmung und dem MOS-Muster aus.
* Bisher sind wir davon ausgegangen, dass die Wahl der perfekten Quinte für die diatonische MOS-Skala eindeutig ist. Größere EDOs können aber mehr als ein mögliches 5L2s-Generatorintervall besitzen. Bei einer solchen EDO-Stimmung ist die standardmäßige Quinte zwecks diatonischer Notation die Quinte, die am nächsten zur reinen Quinte 3/2 liegt. Wenn für diatonische Notation eine andere Quinte gewünscht wird, so schreibe man das oben in der Partitur, z. B. "54edo, diatonic fifth = 31\54".

== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
[[Kategorie:Praxis]]</text>
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|de = MOS-Rautennotation
|en = Diamond-mos notation
|es =
|ja =
}}
Die '''MOS-Rautennotation''' (eng. diamond-mos notation) ist ein mikrotonales Notationssystem, entwickelt für das Schreiben von nicht-diatonischen [[MOS-Skalen]] ohne Interpretation mit [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] oder [[Reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]]. Die Notation wurde von Mitgliedern des XA Discordservers entworfen.

== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung der englischen Seite wurde von Inthar#5959 beigesteuert.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Konventionen zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
[[File:Apartment in the Sky Score Opening.png|thumb|478x478px|Der obere Teil einer Partitur in der MOS-Rautennotation.]]

Die MOS-Rautennotation basiert standardmäßig auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Um ein MOS-Muster anzuzeigen, wird eine Folge von Zahlen angegeben: darin steht jede Zahl für einen Schritt der MOS-Skala, der so viele EDO-Stufen ausmacht, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeile (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die üblichen Notennamen. In diesem Fall muss das MOS-Muster in der Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lassen sich derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche (absolute) Tonhöhe der (relativ zu einem MOS-Modus definierte) Notenname “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

In der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben in der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenlinien ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Tonartbezeichnungen (Vorzeichen) ==
=== Anzeigen von alterierten Modi ===
[[File:D Ionian v3 v6 v7.png|alt=|thumb|Das Vorzeichen für den alterierten Modus D-Ionisch v3 v6 v7, z.B. in [[34-EDO]]. Das unveränderte D-Dur-Vorzeichen (mit zwei Kreuzen) befindet sich links neben von der gestrichelten Linie, wodurch die Tonika deutlich wird.]]
Der in der Partitur geschriebene und durch die Quadrate repräsentierte MOS-Modus muss ein purer MOS-Modus (ohne Alterationen) sein. Doch kann man Vorzeichen für alterierte MOS-Modi benutzen, sodass die Partitur nicht mit Versetzungszeichen überfrachtet wird. Erstens schreibe man die Tonart entsprechend der Tonika, als wäre der MOS-Modus nicht alteriert. (So kann man immer noch die Tonika finden, indem man die Akzidenzien in der puren MOS-Tonart zählt.) Als nächstes schreibe man die Alterationen als zusätzliche Akzidenzien rechts von den ursprünglichen. Aus Gründen der Klarheit setze man eine gestrichelte Linie zwischen den Akzidenzien für die pure MOS-Tonart und den alterierenden Akzidenzien. Die Buchstaben "ALT" (für Alteration) liegen unter der gestrichelten Linie. (Falls die pure MOS-Tonart keine Akzidenzien besitzt, liegt die gestrichelte Linie links von den Alterationen, und links von der gestrichelten Linie befindet nichts.) Wie bereits erwähnt, überschreibt ein Versetzungszeichen in der Rautennotation alle vorherigen Versetzungszeichen vollständig. Das bezieht auch Alterations-Akzidenzien in der Tonartbezeichnung ein.

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattspiel ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen ==
* Es gibt eine Ausnahme von der Regel, dass die MOS-Rautennotation immer auf einer EDO-Stimmung basiert. Das System bietet eine Möglichkeit, eine Nicht-EDO-Stimmung einer MOS-Skala anzugeben. Man schreibe “Non-edo mos tuning” im oberen Teil der Partitur und gebe die Größe des Generatorintervalls an. Man schreibe das MOS-Muster mit abstrakten Schritten L und s anstatt in EDO-Schritten, z. B. “LLsLsLs”. Bei Nicht-EDO-Notation haben die Akzidenzien ^/v keine Bedeutung und können nicht verwendet werden. Die einzigen möglichen Versetzungszeichen sind die MOS-Akzidenzien &amp;/@/e/a (oder #/b/t/d im Falle einer 5L2s-Stimmung). Da die Nicht-EDO-Notation keine endliche Menge Tonhöhen benutzt, sind Umstimmungen auf beliebige Skalen nicht möglich.
* Es ist möglich, Untermengen-EDOs als MOS-Skalen für Notation zu behandeln, beispielsweise [[9-EDO]] in [[18-EDO]]. In diesem Fall haben die Versetzungszeichen &amp;/@ keine Bedeutung und sind daher nicht möglich. Zudem stehen nach Taktstrichen keine Quadrate. Die einzigen möglichen nicht alterierten Vorzeichen sind solche, die alle Noten um der gleichen Anzahl ^/v versetzen.
* Es ist möglich, 5L2s-Notation zu verwenden, auch in EDOs, in denen die beste Quinte 3\5 oder 4\7 ist. Das ist für Konsistenz mit bestehenden mikrotonalen Notationsschemen, die dies ermöglichen. Bei einer 4\7-Quinte versetzen die #/b-Zeichen Noten um null EDO-Stufen, und also sollte man diese Akzidenzien nicht benutzen. Triviale MOS-Stimmungen (mit L/s-Verhältnissen 1/0 und 1/1) sind nur im Falle von 5L2s möglich, nicht in anderen MOS-Skalen.
* Man kann in der MOS-Rautennotation in oktavfreien gleichstufigen Stimmungen und MOS-Skalen notieren. In diesem Fall kennzeichnen die Rauten die strukturelle [[Äquave]] (die Periode oder ggf. ein Vielfaches der Periode). Die Notennamen JKL… wiederholen sich in jeder Äquave. Man schreibe diese Äquave zusammen mit der Stimmung und dem MOS-Muster aus.
* Bisher sind wir davon ausgegangen, dass die Wahl der perfekten Quinte für die diatonische MOS-Skala eindeutig ist. Größere EDOs können aber mehr als ein mögliches 5L2s-Generatorintervall besitzen. Bei einer solchen EDO-Stimmung ist die standardmäßige Quinte zwecks diatonischer Notation die Quinte, die am nächsten zur reinen Quinte 3/2 liegt. Wenn für diatonische Notation eine andere Quinte gewünscht wird, so schreibe man das oben in der Partitur, z. B. "54edo, diatonic fifth = 31\54".

== Unterstützung in Software ==

[[Kategorie:Notationssystem]]
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}}
Die '''MOS-Rautennotation''' (eng. diamond-mos notation) ist ein mikrotonales Notationssystem, entwickelt für das Schreiben von nicht-diatonischen [[MOS-Skalen]] ohne Interpretation mit [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] oder [[Reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]]. Die Notation wurde von Mitgliedern des XA Discordservers entworfen.

== Credits ==
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 ist zuständig für die meisten von den Grundideen und dem Design.
* Fox Adventure N64#4164, osmium#0444 und Inthar#5959 ([[Benutzer:Inthar]]) steuerten Design-Ideen und Feedback bei.
* HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 und Inthar#5959 schrieben diese Seite, und HEHEHE I AM A SUPAHSTAR SAGA#1163 erstellte die PNG-Beispielbilder.
* Die deutsche Übersetzung der englischen Seite wurde von Inthar#5959 beigesteuert.

== Zweck ==
Die bisherigen mikrotonalen Notationsschemen basieren meist auf der [[diatonisch]]en Skala (wie z. B. Helmholtz-Ellis, [[Sagittalnotation]], [[FJS]]). Diese bestehenden Systeme sind zwar für viele Zwecke nützlich, aber sie geben die Logik nicht-diatonischer MOS-Skalen nicht natürlich wieder: man benötigt viele Versetzungszeichen, um in diesen Skalen zu schreiben.

Die MOS-Rautennotation wurde entwickelt, um die Logik der MOS-Skalen in Kompositionen visuell darzustellen, und soll für Verallgemeinerung auf alle MOS-Muster geeignet sein. Sie ist nicht als ein universales, für jede theoretische Schule in der Xenharmonie geeignetes System gedacht. Die Notation ist gedacht als Erweiterung der standardmäßigen Musiknotation und versucht, möglichst auf neue Symbole und ungewohnte Konventionen zu beschränken. Darüber hinaus verwendet das System Sehhilfen und Redundanzen, um das Lesen von Musik in ungewohnten Stimmungssystemen zu erleichtern.

== Konzept und Partiturformat ==
[[File:Apartment in the Sky Score Opening.png|thumb|478x478px|Der obere Teil einer Partitur in der MOS-Rautennotation.]]

Die MOS-Rautennotation basiert standardmäßig auf [[EDO]]-Stimmungen. Die EDO-Stimmung, die man in einem bestimmten Teil eines Musikstückes verwendet, sollte oben auf der Partitur angezeigt werden. Um ein MOS-Muster anzuzeigen, wird eine Folge von Zahlen angegeben: darin steht jede Zahl für einen Schritt der MOS-Skala, der so viele EDO-Stufen ausmacht, z. B. “33133131” für die [[5L3s]]-Skala in [[18-EDO]]. Die in der Notenzeile (ohne Versetzungszeichen) gegebenen Tonhöhen bezeichnen den Modus der MOS-Skala, in dem das Stück geschrieben ist, mit mittlerem C als Grundnote.

In der MOS-Rautennotation hat die diatonische MOS-Skala ([[5L2s]]) einen besonderen Status. Wenn man eine 5L2s-Skala verwendet, sieht sich die Partitur genauso aus wie in Standardnotation: man benutzt standardmäßige Notenschlüssel, die Versetzungszeichen # und b, und die üblichen Notennamen. In diesem Fall muss das MOS-Muster in der Partitur nicht angezeigt werden, nur die EDO-Stimmung. Vorausgesetzt, dass die aktuelle EDO-Stimmung eine 5L2s-Skala besitzt, lassen sich derer Noten als unveränderliche Referenz nutzen, mit der andere MOS-Skalen verglichen werden können. Beispielsweise würde “P@ = Bb” anzeigen, welche (absolute) Tonhöhe der (relativ zu einem MOS-Modus definierte) Notenname “P@” bezeichnet.

Bei Verwendung einer nichtdiatonischen MOS-Skala sollte die Notation in demselben Modus geschrieben werden, in dem man komponiert. Diese Regel soll es ermöglichen, dass man die Tonika herausfinden kann, indem man die Vorzeichen liest. Diese Regel ist nicht strikt gemeint: sie kann gegebenenfalls gebrochen werden, z. B. wenn die Tonika nicht eindeutig ist oder sich verschiebt. In diesem Fall sollte auf der Partitur ein Hinweis darauf gegeben werden.

In der Partitur sollte stehen: "This score uses the diamond-mos notation standard. Visit xen.wiki for more information." Dies soll dafür sorgen, dass eine Person, die die Partitur liest, leicht Informationen zum Lesen der Partitur finden kann.

Es ist möglich, die EDO-Stimmung bzw. die MOS-Skala mitten in der Partitur zu wechseln. Dabei gibt man einfach solche Informationen an, die man oben in der Partitur schreibt, im Takt, in dem dieser Wechsel passiert.

== Notenlinien ==
== Versetzungszeichen ==

== Notennamen ==
== Tonartbezeichnungen (Vorzeichen) ==
=== Anzeigen von alterierten Modi ===
[[File:D Ionian v3 v6 v7.png|alt=|thumb|Das Vorzeichen für den alterierten Modus D-Ionisch v3 v6 v7, z.B. in [[34-EDO]]. Das unveränderte D-Dur-Vorzeichen (mit zwei Kreuzen) befindet sich links neben von der gestrichelten Linie, wodurch die Tonika deutlich wird.]]
Der in der Partitur geschriebene und durch die Quadrate repräsentierte MOS-Modus muss ein purer MOS-Modus (ohne Alterationen) sein. Doch kann man Vorzeichen für alterierte MOS-Modi benutzen, sodass die Partitur nicht mit Versetzungszeichen überfrachtet wird. Erstens schreibe man die Tonart entsprechend der Tonika, als wäre der MOS-Modus nicht alteriert. (So kann man immer noch die Tonika finden, indem man die Akzidenzien in der puren MOS-Tonart zählt.) Als nächstes schreibe man die Alterationen als zusätzliche Akzidenzien rechts von den ursprünglichen. Aus Gründen der Klarheit setze man eine gestrichelte Linie zwischen den Akzidenzien für die pure MOS-Tonart und den alterierenden Akzidenzien. Die Buchstaben "ALT" (für Alteration) liegen unter der gestrichelten Linie. (Falls die pure MOS-Tonart keine Akzidenzien besitzt, liegt die gestrichelte Linie links von den Alterationen, und links von der gestrichelten Linie befindet nichts.) Wie bereits erwähnt, überschreibt ein Versetzungszeichen in der Rautennotation alle vorherigen Versetzungszeichen vollständig. Das bezieht auch Alterations-Akzidenzien in der Tonartbezeichnung ein.

== Obermengen-EDO-Notation ==

== Schreiben von Nicht-EDO-Stimmungen ==

== Blattspiel ==

== Enharmonische Töne ==

== Ausnahmen ==
* Es gibt eine Ausnahme von der Regel, dass die MOS-Rautennotation immer auf einer EDO-Stimmung basiert. Das System bietet eine Möglichkeit, eine Nicht-EDO-Stimmung einer MOS-Skala anzugeben. Man schreibe “Non-edo mos tuning” im oberen Teil der Partitur und gebe die Größe des Generatorintervalls an. Man schreibe das MOS-Muster mit abstrakten Schritten L und s anstatt in EDO-Schritten, z. B. “LLsLsLs”. Bei Nicht-EDO-Notation haben die Akzidenzien ^/v keine Bedeutung und können nicht verwendet werden. Die einzigen möglichen Versetzungszeichen sind die MOS-Akzidenzien &amp;/@/e/a (oder #/b/t/d im Falle einer 5L2s-Stimmung). Da die Nicht-EDO-Notation keine endliche Menge Tonhöhen benutzt, sind Umstimmungen auf beliebige Skalen nicht möglich.
* Es ist möglich, Untermengen-EDOs als MOS-Skalen für Notation zu behandeln, beispielsweise [[9-EDO]] in [[18-EDO]]. In diesem Fall haben die Versetzungszeichen &amp;/@ keine Bedeutung und sind daher nicht möglich. Zudem stehen nach Taktstrichen keine Quadrate. Die einzigen möglichen nicht alterierten Vorzeichen sind solche, die alle Noten um die gleiche Anzahl ^/v versetzen.
* Es ist möglich, 5L2s-Notation zu verwenden, auch in EDOs, in denen die beste Quinte 3\5 oder 4\7 ist. Das ist für Konsistenz mit bestehenden mikrotonalen Notationsschemen, die dies ermöglichen. Bei einer 4\7-Quinte versetzen die #/b-Zeichen Noten um null EDO-Stufen, und also sollte man diese Akzidenzien nicht benutzen. Triviale MOS-Stimmungen (mit L/s-Verhältnissen 1/0 und 1/1) sind nur im Falle von 5L2s möglich, nicht in anderen MOS-Skalen.
* Man kann in der MOS-Rautennotation in oktavfreien gleichstufigen Stimmungen und MOS-Skalen notieren. In diesem Fall kennzeichnen die Rauten die strukturelle [[Äquave]] (die Periode oder ggf. ein Vielfaches der Periode). Die Notennamen JKL… wiederholen sich in jeder Äquave. Man schreibe diese Äquave zusammen mit der Stimmung und dem MOS-Muster aus.
* Bisher sind wir davon ausgegangen, dass die Wahl der perfekten Quinte für die diatonische MOS-Skala eindeutig ist. Größere EDOs können aber mehr als ein mögliches 5L2s-Generatorintervall besitzen. Bei einer solchen EDO-Stimmung ist die standardmäßige Quinte zwecks diatonischer Notation die Quinte, die am nächsten zur reinen Quinte 3/2 liegt. Wenn für diatonische Notation eine andere Quinte gewünscht wird, so schreibe man das oben in der Partitur, z. B. "54edo, diatonic fifth = 31\54".

== Unterstützung in Software ==

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Als '''Äquave''' bzw. '''Äquivalenzintervall''' bezeichnet man das Intervall, das bei Konstruktion einer Skala unterteilt wird, analog zu der Oktave ([[2/1]]) in [[EDO]]s und anderen Skalen. Dabei werden zwei Tonhöhe, die um ein Vielfaches der Äquave unterscheiden, als strukturell gleichwertig behandelt und mit dem gleichen Namen genannt. Wenn die Äquave nicht die Oktave ist, sondern ein anderes einfaches reines Frequenzverhältnis, ergeben sich Skalen wie [[EDT]]s (z. B. die [[Bohlen-Pierce]]-Skala) und [[EDF]]s, die die "Tritave" ([[3/1]]) bzw. die reine Quinte [[3/2]] unterteilen.</text>
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Als '''Äquave''' bzw. '''Äquivalenzintervall''' bezeichnet man das Intervall, das bei Konstruktion einer Skala unterteilt wird, analog zu der Oktave ([[2/1]]) in [[EDO]]s und anderen Skalen. Dabei werden zwei Tonhöhe, die um ein Vielfaches der Äquave unterscheiden, als strukturell gleichwertig behandelt und mit dem gleichen Namen genannt. Wenn die Äquave nicht die Oktave ist, sondern ein anderes einfaches reines Frequenzverhältnis, ergeben sich Skalen wie [[EDT]]s (z. B. die [[Bohlen-Pierce]]-Skala) und [[EDF]]s, die die "Tritave" ([[3/1]]) bzw. die reine Quinte [[3/2]] unterteilen.</text>
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Als '''Äquave''' bzw. '''Äquivalenzintervall''' bezeichnet man das Intervall, das bei Konstruktion einer Skala unterteilt wird, analog zu der Oktave ([[2/1]]) in [[EDO]]s und anderen Skalen. Dabei werden zwei Tonhöhe, die um ein Vielfaches der Äquave unterscheiden, als strukturell gleichwertig behandelt und mit dem gleichen Notennamen genannt. Wenn die Äquave nicht die Oktave ist, sondern ein anderes einfaches reines Frequenzverhältnis, ergeben sich Skalen wie [[EDT]]s (z. B. die [[Bohlen-Pierce]]-Skala) und [[EDF]]s, die die "Tritave" ([[3/1]]) bzw. die reine Quinte [[3/2]] unterteilen.</text>
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Als '''Äquave''' bzw. '''Äquivalenzintervall''' bezeichnet man das Intervall, das bei Konstruktion einer Skala unterteilt wird, analog zu der Oktave ([[2/1]]) in [[EDO]]s und anderen Skalen. Die Äquave unterscheidet sich von der [[Periode]] darin, dass zwei Tonhöhe, die um ein Vielfaches der Äquave unterscheiden, als strukturell gleichwertig behandelt und mit dem gleichen Notennamen genannt werden. Dabei kann die Periode möglicherweise ein Bruchteil der Äquave sein. 

Wenn die Äquave nicht die Oktave ist, sondern ein anderes einfaches reines Frequenzverhältnis, ergeben sich Skalen wie [[EDT]]s (z. B. die [[Bohlen-Pierce]]-Skala) und [[EDF]]s, die die "Tritave" ([[3/1]]) bzw. die reine Quinte [[3/2]] unterteilen.</text>
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Als '''Äquave''' bzw. '''Äquivalenzintervall''' bezeichnet man das Intervall, das bei Konstruktion einer Skala unterteilt wird, analog zu der Oktave ([[2/1]]) in [[EDO]]s und anderen Skalen. Die Äquave unterscheidet sich von der [[Periode]] darin, dass zwei Tonhöhe, die um ein Vielfaches der Äquave unterscheiden, als strukturell gleichwertig behandelt und mit dem gleichen Notennamen genannt werden. Dabei kann die Periode möglicherweise ein Bruchteil der Äquave sein. 

Wenn die Äquave nicht die Oktave ist, sondern ein anderes einfaches reines Frequenzverhältnis, ergeben sich Skalen wie [[EDT]]s (z. B. die [[Bohlen-Pierce]]-Skala) und [[EDF]]s (z. B. [[Carlos]]' Alpha-, Beta- und Gamma-Skalen), die die "Tritave" ([[3/1]]) bzw. die reine Quinte [[3/2]] unterteilen.</text>
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Als '''Äquave''' bzw. '''Äquivalenzintervall''' bezeichnet man das Intervall, das bei Konstruktion einer Skala unterteilt wird, analog zu der Oktave ([[2/1]]) in [[EDO]]s und anderen Skalen. Die Äquave unterscheidet sich von der [[Periode]] darin, dass zwei Tonhöhe, die um ein Vielfaches der Äquave unterscheiden, als strukturell gleichwertig behandelt und mit dem gleichen Notennamen genannt werden. Dabei kann die Periode möglicherweise ein Bruchteil der Äquave sein. 

Wenn die Äquave nicht die Oktave ist, sondern ein anderes einfaches reines Frequenzverhältnis, ergeben sich Skalen wie [[EDT]]s (z. B. die [[Bohlen-Pierce]]-Skala) und [[EDF]]s (z. B. [[Wendy Carlos]]' Alpha-, Beta- und Gamma-Skalen), die die "Tritave" ([[3/1]]) bzw. die reine Quinte [[3/2]] unterteilen.</text>
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Als '''Äquave''' bzw. '''Äquivalenzintervall''' bezeichnet man das Intervall, das bei Konstruktion einer Skala unterteilt wird, analog zu der Oktave ([[2/1]]) in [[EDO]]s und anderen Skalen. Die Äquave unterscheidet sich von der [[Periode]] darin, dass zwei Tonhöhe, die sich um ein Vielfaches der Äquave unterscheiden, als strukturell gleichwertig behandelt und mit dem gleichen Notennamen genannt werden. Dabei kann die Periode möglicherweise ein Bruchteil der Äquave sein. 

Wenn die Äquave nicht die Oktave ist, sondern ein anderes einfaches reines Frequenzverhältnis, ergeben sich Skalen wie [[EDT]]s (z. B. die [[Bohlen-Pierce]]-Skala) und [[EDF]]s (z. B. [[Wendy Carlos]]' Alpha-, Beta- und Gamma-Skalen), die die "Tritave" ([[3/1]]) bzw. die reine Quinte [[3/2]] unterteilen.</text>
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Als '''Äquave''' bzw. '''Äquivalenzintervall''' bezeichnet man das Intervall, das bei Konstruktion einer Skala unterteilt wird, analog zu der Oktave ([[2/1]]) in [[EDO]]s und anderen Skalen. Die Äquave unterscheidet sich von der [[Periode]] darin, dass zwei Tonhöhen, die sich um ein Vielfaches der Äquave unterscheiden, als strukturell gleichwertig behandelt und mit dem gleichen Notennamen genannt werden. Dabei kann die Periode möglicherweise ein Bruchteil der Äquave sein. 

Wenn die Äquave nicht die Oktave ist, sondern ein anderes einfaches reines Frequenzverhältnis, ergeben sich Skalen wie [[EDT]]s (z. B. die [[Bohlen-Pierce]]-Skala) und [[EDF]]s (z. B. [[Wendy Carlos]]' Alpha-, Beta- und Gamma-Skalen), die die "Tritave" ([[3/1]]) bzw. die reine Quinte [[3/2]] unterteilen.</text>
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Als '''Äquave''' bzw. '''Äquivalenzintervall''' bezeichnet man das Intervall, das bei Konstruktion einer Skala unterteilt wird, analog zu der Oktave ([[2/1]]) in [[EDO]]s und anderen Skalen. Die Äquave unterscheidet sich von der [[Periode]] darin, dass zwei Tonhöhen, die sich um ein Vielfaches der Äquave unterscheiden, als strukturell gleichwertig behandelt und mit dem gleichen Notennamen genannt werden. Dabei kann die Periode möglicherweise ein Bruchteil der Äquave sein. 

Wenn die Äquave nicht die Oktave ist, sondern ein anderes einfaches reines Frequenzverhältnis, ergeben sich Skalen wie [[EDT]]s (z. B. die [[Bohlen-Pierce]]-Skala) und [[EDF]]s (z. B. [[Wendy Carlos]]' Alpha-, Beta- und Gamma-Skalen), die die "Tritave" ([[3/1]]) bzw. die reine Quinte [[3/2]] unterteilen.

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Als '''Äquave''' bzw. '''Äquivalenzintervall''' bezeichnet man das Intervall, das bei Konstruktion einer Skala unterteilt wird, analog zu der Oktave ([[2/1]]) in [[EDO]]s und anderen Skalen. Die Äquave unterscheidet sich von der [[Periode]] darin, dass zwei Tonhöhen, die sich um ein Vielfaches der Äquave unterscheiden, als strukturell gleichwertig behandelt und mit dem gleichen Notennamen genannt werden. Dabei kann die Periode möglicherweise ein Bruchteil der Äquave sein. 

Wenn die Äquave nicht die Oktave ist, sondern ein anderes einfaches reines Frequenzverhältnis, ergeben sich Skalen wie [[EDT]]s (z. B. die [[Bohlen-Pierce]]-Skala) und [[EDF]]s (z. B. [[Wendy Carlos]]' Alpha-, Beta- und Gamma-Skalen), die die "Tritave" ([[3/1]]) bzw. die reine Quinte [[3/2]] unterteilen.

[[Kategorie:Begriff]]</text>
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Als '''Äquivalenzintervall''' bezeichnet man das Intervall, das bei Konstruktion einer Skala unterteilt wird, analog zu der Oktave ([[2/1]]) in [[EDO]]s und anderen Skalen. Die Äquave unterscheidet sich von der [[Periode]] darin, dass zwei Tonhöhen, die sich um ein Vielfaches des Äquivalenzintervalls unterscheiden, als strukturell gleichwertig behandelt und mit dem gleichen Notennamen genannt werden. Dabei kann die Periode möglicherweise ein Bruchteil der Äquave sein. 

Wenn das Äquivalenzintervall nicht die Oktave ist, sondern ein anderes einfaches reines Frequenzverhältnis, ergeben sich Skalen wie [[EDT]]s (z. B. die [[Bohlen-Pierce]]-Skala) und [[EDF]]s (z. B. [[Wendy Carlos]]' Alpha-, Beta- und Gamma-Skalen), die die "Tritave" ([[3/1]]) bzw. die reine Quinte [[3/2]] unterteilen.

[[Kategorie:Begriff]]</text>
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[[Kategorie:Reine Stimmung]]
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[[Kategorie:Reine Stimmung]]
[[Kategorie:MV3]]</text>
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Diasem kann als eine JI-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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Diasem kann als eine JI-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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Diasem kann als eine JI-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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Diasem kann als eine JI-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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Diasem kann als eine JI-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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Die Diasem-Skala kann als eine JI-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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Die Diasem-Skala kann als eine JI-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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Die Diasem-Skala kann als eine JI-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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Die Diasem-Skala kann als eine JI-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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'''Diasem''' ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLMS bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein mit sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnlichen Schrittmuster besitzt: man kann sie nämlich konstruieren, indem man zwei der kleinen Schritte der Semiquartal-Skala vergrößert und zwei davon verkleinert.

Die Diasem-Skala kann als eine JI-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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'''Diasem''' ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLMS bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein mit sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnlichen Schrittmuster besitzt: man kann sie nämlich konstruieren, indem man zwei der kleinen Schritte der Semiquartal-Skala vergrößert und zwei davon verkleinert.

Die Diasem-Skala kann als eine JI-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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! Name !! Struktur !! Schrittgrößen !! Grafische Darstellung
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Die Diasem-Skala kann als eine JI-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLMS bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein mit sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnlichen Schrittmuster besitzt: man kann sie nämlich konstruieren, indem man zwei der kleinen Schritte der Semiquartal-Skala vergrößert und zwei davon verkleinert.

Die Diasem-Skala kann als eine JI-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLMS bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein mit sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnliches Schrittmuster besitzt: man kann sie nämlich konstruieren, indem man zwei der kleinen Schritte der Semiquartal-Skala vergrößert und zwei davon verkleinert.

Die Diasem-Skala kann als eine JI-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLMS bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein mit sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnliches Schrittmuster besitzt: man kann sie nämlich konstruieren, indem man zwei der kleinen Schritte der Semiquartal-Skala vergrößert und zwei davon verkleinert.

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLMS bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie einSchrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: man kann sie nämlich konstruieren, indem man zwei der kleinen Schritte der Semiquartal-Skala vergrößert und zwei davon verkleinert.

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLMS bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: man kann sie nämlich konstruieren, indem man zwei der kleinen Schritte der Semiquartal-Skala vergrößert und zwei davon verkleinert.

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: man kann sie nämlich konstruieren, indem man zwei der kleinen Schritte der Semiquartal-Skala vergrößert und zwei davon verkleinert.

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: man kann sie nämlich konstruieren, indem man zwei der kleinen Schritte der Semiquartal-Skala vergrößert und zwei davon verkleinert.

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch 64/63 nicht und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei diësisgroße Schritte hinzu. Die Nicht-Temperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei 4/3 und einem 7/4 handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt, im Gegensatz zum syntonischen Komma, bei dem sich der Fehler auf vier perfekte Quinten verteilt. Infolgedessen sind die Ergebnisse der Temperierung von 81/80 nicht so schlecht, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das 5-Limit zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine Schrittweiten in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl 9/8 und 8/7 als auch 21/16 und 4/3 in derselben Skala verwenden kann. Die Semaphore-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der Superpyth-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: man kann sie nämlich konstruieren, indem man zwei der kleinen Schritte der Semiquartal-Skala vergrößert und zwei davon verkleinert.

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch 64/63 nicht und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei diësisgroße Schritte hinzu. Die Nicht-Temperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei 4/3 und einem 7/4 handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt, im Gegensatz zum syntonischen Komma, bei dem sich der Fehler auf vier perfekte Quinten verteilt. Infolgedessen ist die Wirkung der Temperierung von 81/80 nicht so schlecht, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das 5-Limit zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine Schrittweiten in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl 9/8 und 8/7 als auch 21/16 und 4/3 in derselben Skala verwenden kann. Die Semaphore-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der Superpyth-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: man kann sie nämlich konstruieren, indem man zwei der kleinen Schritte der Semiquartal-Skala vergrößert und zwei davon verkleinert.

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch 64/63 nicht und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei diësisgroße Schritte hinzu. Die Nicht-Temperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei 4/3 und einem 7/4 handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt, im Gegensatz zum syntonischen Komma, bei dem sich der Fehler auf vier perfekte Quinten verteilt. Infolgedessen ist die Wirkung der Temperierung von 81/80 nicht so schlecht, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das 5-Limit zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl 9/8 und 8/7 als auch 21/16 und 4/3 in derselben Skala verwenden kann. Die Semaphore-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der Superpyth-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: man kann sie nämlich konstruieren, indem man zwei der kleinen Schritte der Semiquartal-Skala vergrößert und zwei davon verkleinert.

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Temperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt, im Gegensatz zum [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]], bei dem sich der Fehler auf vier perfekte Quinten verteilt. Infolgedessen ist die Wirkung der Temperierung von 81/80 nicht so schlecht, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

[[Kategorie:Reine Stimmung]]
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}}
'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: man kann sie nämlich konstruieren, indem man zwei der kleinen Schritte der Semiquartal-Skala vergrößert und zwei davon verkleinert.

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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|+ Vergleich mit den [[5L4s]]- und [[5L2s]]-Skalen in 62-EDO
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| Semiquartal || 5L4s || 10\62, 3\62 || ├─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┤
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| Diasem || 5L2m2s || 10\62, 4\62, 2\62 || ├─────────┼───┼─────────┼─┼─────────┼───┼─────────┼─┼─────────┤
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| Diatonisch || 5L2s || 10\62, 6\62 (identisch mit der 5L2s-Skala in [[31-EDO]]) || ├─────────┼─────┼─────────╫─────────┼─────┼─────────╫─────────┤
|}
== In reiner Stimmung ==
Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Temperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt, im Gegensatz zum [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]], bei dem sich der Fehler auf vier perfekte Quinten verteilt. Infolgedessen ist die Wirkung der Temperierung von 81/80 nicht so schlecht, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

[[Kategorie:Reine Stimmung]]
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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: man kann sie nämlich konstruieren, indem man zwei der kleinen Schritte der Semiquartal-Skala vergrößert und zwei davon verkleinert.

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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== In reiner Stimmung ==
Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt, im Gegensatz zum [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]], bei dem sich der Fehler auf vier perfekte Quinten verteilt. Infolgedessen ist die Wirkung der Austemperierung von 81/80 nicht so schlecht, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: man kann sie nämlich konstruieren, indem man zwei der kleinen Schritte der Semiquartal-Skala vergrößert und zwei davon verkleinert.

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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== In reiner Stimmung ==
Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt, im Gegensatz zum [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]], bei dem sich der Fehler auf vier perfekte Quinten verteilt. Infolgedessen verliert die Wirkung der Austemperierung von 81/80 nur wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: man kann sie nämlich konstruieren, indem man zwei der kleinen Schritte der Semiquartal-Skala vergrößert und zwei davon verkleinert.

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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| Semiquartal || 5L4s || 10\62, 3\62 || ├─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┤
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== In reiner Stimmung ==
Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten, infolgedessen verliert die Wirkung der Austemperierung von 81/80 nur wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

[[Kategorie:Reine Stimmung]]
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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: man kann sie nämlich konstruieren, indem man zwei der kleinen Schritte der Semiquartal-Skala vergrößert und zwei davon verkleinert.

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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|+ Vergleich mit den [[5L4s]]- und [[5L2s]]-Skalen in 62-EDO
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! Name !! Struktur !! Schrittgrößen !! Grafische Darstellung
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| Semiquartal || 5L4s || 10\62, 3\62 || ├─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┤
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== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen verliert die Wirkung der Austemperierung von 81/80 nur wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: man kann sie nämlich konstruieren, indem man zwei der kleinen Schritte der Semiquartal-Skala vergrößert und zwei davon verkleinert.

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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|+ Vergleich mit den [[5L4s]]- und [[5L2s]]-Skalen in 62-EDO
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== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen wirkt die Austemperierung von 81/80 relativ wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

[[Kategorie:Reine Stimmung]]
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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: man kann sie nämlich konstruieren, indem man zwei der kleinen Schritte der Semiquartal-Skala vergrößert und zwei davon verkleinert.

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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|+ Vergleich mit den [[5L4s]]- und [[5L2s]]-Skalen in 62-EDO
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! Name !! Struktur !! Schrittgrößen !! Grafische Darstellung
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| Semiquartal || 5L4s || 10\62, 3\62 || ├─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┤
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== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen wirkt die Austemperierung von 81/80 relativ wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

[[Kategorie:Reine Stimmung]]
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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: man kann sie nämlich konstruieren, indem man zwei der kleinen Schritte der Semiquartal-Skala vergrößert und zwei davon verkleinert.

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

{| class="wikitable"
|+ Vergleich mit den [[5L4s]]- und [[5L2s]]-Skalen in 62-EDO
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! Name !! Struktur !! Schrittgrößen !! Grafische Darstellung
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| Semiquartal || 5L4s || 10\62, 3\62 || ├─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┤
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| Diasem (enthalten in [[31-EDO]]) || 5L2m2s || 10\62, 4\62, 2\62 || ├─────────┼───┼─────────┼─┼─────────┼───┼─────────┼─┼─────────┤
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| Diatonisch (enthalten in [[31-EDO]]) || 5L2s || 10\62, 6\62 || ├─────────┼─────┼─────────╫─────────┼─────┼─────────╫─────────┤
|}

== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
Der LMLSLMLSL-Modus besitzt folgende Intervalle (relativ der Tonika) in 2.3.7-JI: 

1/1 9/8 7/6 21/16 4/3 3/2 27/16 7/4 63/32 2/1.

Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen wirkt die Austemperierung von 81/80 relativ wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

[[Kategorie:Reine Stimmung]]
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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: man kann sie nämlich konstruieren, indem man zwei der kleinen Schritte der Semiquartal-Skala vergrößert und zwei davon verkleinert.

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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! Name !! Struktur !! Schrittgrößen !! Grafische Darstellung
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== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
In der 2.3.7-Untergruppe besitzt der LMLSLMLSL-Modus folgende Noten (relativ der Tonika): 

1/1 9/8 7/6 21/16 4/3 3/2 27/16 7/4 63/32 2/1.

Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen wirkt die Austemperierung von 81/80 relativ wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: man kann sie nämlich konstruieren, indem man zwei der kleinen Schritte der Semiquartal-Skala vergrößert und zwei davon verkleinert.

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
In der 2.3.7-Untergruppe besitzt der LMLSLMLSL-Modus folgende Noten (relativ der Tonika): 

1/1 9/8 7/6 21/16 4/3 3/2 27/16 7/4 63/32 2/1.

Ähnliche Diasem-Skalen in [[31-EDO]] und manche andere [[gleichstufige Temperaturen]] lassen sich berechnen, indem man den [[Patent-Val]] an jedes Interval anwendet.

Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen wirkt die Austemperierung von 81/80 relativ wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: man kann sie nämlich konstruieren, indem man zwei der kleinen Schritte der Semiquartal-Skala vergrößert und zwei davon verkleinert.

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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|+ Vergleich mit den [[5L4s]]- und [[5L2s]]-Skalen in 62-EDO
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== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
In der 2.3.7-Untergruppe besitzt der LMLSLMLSL-Modus folgende Noten (relativ der Tonika): 

1/1 9/8 7/6 21/16 4/3 3/2 27/16 7/4 63/32 2/1.

Ähnliche Diasem-Skalen in [[31-EDO]] und manchen anderen [[EDO]]s lassen sich berechnen, indem man den [[Patent-Val]] an jedes Interval anwendet.

Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen wirkt die Austemperierung von 81/80 relativ wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: man kann sie nämlich konstruieren, indem man zwei der kleinen Schritte der Semiquartal-Skala vergrößert und zwei davon verkleinert.

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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|+ Vergleich mit den [[5L4s]]- und [[5L2s]]-Skalen in 62-EDO
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== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
In der 2.3.7-Untergruppe besitzt der LMLSLMLSL-Modus folgende Noten (relativ der Tonika): 

1/1 9/8 7/6 21/16 4/3 3/2 27/16 7/4 63/32 2/1.

Ähnliche Diasem-Skalen in [[31-EDO]] und manchen anderen [[EDO]]s lassen sich berechnen, indem man den [[Patent-Val]] des EDOs an jedes Interval anwendet.

Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen wirkt die Austemperierung von 81/80 relativ wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: man kann sie nämlich konstruieren, indem man zwei der kleinen Schritte der Semiquartal-Skala vergrößert und zwei davon verkleinert.

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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|+ Vergleich mit den [[5L4s]]- und [[5L2s]]-Skalen in 62-EDO
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== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
In der 2.3.7-Untergruppe besitzt der LMLSLMLSL-Modus folgende Noten (relativ der Tonika): 

1/1 9/8 7/6 21/16 4/3 3/2 27/16 7/4 63/32 2/1.

Ähnliche Diasem-Skalen in [[31-EDO]] und manchen anderen [[EDO]]s lassen sich hieraus berechnen, indem man den [[Patent-Val]] des EDOs an jedes Interval anwendet.

Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen wirkt die Austemperierung von 81/80 relativ wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: man kann sie nämlich konstruieren, indem man zwei der kleinen Schritte der Semiquartal-Skala vergrößert und zwei davon verkleinert.

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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|+ Vergleich mit den [[5L4s]]- und [[5L2s]]-Skalen in 62-EDO
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! Name !! Struktur !! Schrittgrößen !! Grafische Darstellung
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| Semiquartal || 5L4s || 10\62, 3\62 || ├─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┤
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| Diasem (enthalten in [[31-EDO]]) || 5L2m2s || 10\62, 4\62, 2\62 || ├─────────┼───┼─────────┼─┼─────────┼───┼─────────┼─┼─────────┤
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| Diatonisch (enthalten in [[31-EDO]]) || 5L2s || 10\62, 6\62 || ├─────────┼─────┼─────────╫─────────┼─────┼─────────╫─────────┤
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== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
In der 2.3.7-Untergruppe besitzt der LMLSLMLSL-Modus folgende Noten (relativ der Tonika): 

1/1 9/8 7/6 21/16 4/3 3/2 27/16 7/4 63/32 2/1.

Ähnliche Diasem-Skalen in [[31-EDO]] und manchen anderen [[EDO]]s ergeben sich hieraus, indem man den [[Patent-Val]] des EDOs an jedes Interval anwendet.

Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen wirkt die Austemperierung von 81/80 relativ wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: man kann sie nämlich konstruieren, indem man zwei der kleinen Schritte der Semiquartal-Skala vergrößert und zwei davon verkleinert.

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
In der 2.3.7-Untergruppe besitzt der LMLSLMLSL-Modus folgende Noten (relativ der Tonika): 

1/1 9/8 7/6 21/16 4/3 3/2 27/16 7/4 63/32 2/1.

Ähnliche Diasem-Skalen in [[31-EDO]] und manchen anderen [[EDO]]s ergeben sich hieraus, indem man den [[Patent-Val]] des EDOs auf jedes Interval anwendet.

Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen wirkt die Austemperierung von 81/80 relativ wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: man kann sie nämlich konstruieren, indem man zwei der kleinen Schritte der Semiquartal-Skala vergrößert und zwei davon verkleinert. Hingegen verschwinden die kleine Schritte in der diatonischen Skala vollständig.

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
In der 2.3.7-Untergruppe besitzt der LMLSLMLSL-Modus folgende Noten (relativ der Tonika): 

1/1 9/8 7/6 21/16 4/3 3/2 27/16 7/4 63/32 2/1.

Ähnliche Diasem-Skalen in [[31-EDO]] und manchen anderen [[EDO]]s ergeben sich hieraus, indem man den [[Patent-Val]] des EDOs auf jedes Interval anwendet.

Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen wirkt die Austemperierung von 81/80 relativ wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: nämlich kann man die 5L4s-Skala konstruieren, indem man die mittleren und die kleinen Schritte der Diasem-Skala gleichstellt. Hingegen verschwinden die kleine Schritte in der diatonischen Skala vollständig.

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
In der 2.3.7-Untergruppe besitzt der LMLSLMLSL-Modus folgende Noten (relativ der Tonika): 

1/1 9/8 7/6 21/16 4/3 3/2 27/16 7/4 63/32 2/1.

Ähnliche Diasem-Skalen in [[31-EDO]] und manchen anderen [[EDO]]s ergeben sich hieraus, indem man den [[Patent-Val]] des EDOs auf jedes Interval anwendet.

Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen wirkt die Austemperierung von 81/80 relativ wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: nämlich kann man die 5L4s-Skala konstruieren, indem man die mittleren und die kleinen Schritte der Diasem-Skala gleichstellt. Hingegen verschwinden die kleinen Schritte in der diatonischen Skala vollständig.

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
In der 2.3.7-Untergruppe besitzt der LMLSLMLSL-Modus folgende Noten (relativ der Tonika): 

1/1 9/8 7/6 21/16 4/3 3/2 27/16 7/4 63/32 2/1.

Ähnliche Diasem-Skalen in [[31-EDO]] und manchen anderen [[EDO]]s ergeben sich hieraus, indem man den [[Patent-Val]] des EDOs auf jedes Interval anwendet.

Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen wirkt die Austemperierung von 81/80 relativ wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: nämlich kann man die 5L4s-Skala erhalten, indem man die mittleren und die kleinen Schritte der Diasem-Skala gleichstellt. Hingegen verschwinden die kleinen Schritte in der diatonischen Skala vollständig.

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
In der 2.3.7-Untergruppe besitzt der LMLSLMLSL-Modus folgende Noten (relativ der Tonika): 

1/1 9/8 7/6 21/16 4/3 3/2 27/16 7/4 63/32 2/1.

Ähnliche Diasem-Skalen in [[31-EDO]] und manchen anderen [[EDO]]s ergeben sich hieraus, indem man den [[Patent-Val]] des EDOs auf jedes Interval anwendet.

Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen wirkt die Austemperierung von 81/80 relativ wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: nämlich kann man die 5L4s-Skala erhalten, indem man die mittleren und die kleinen Schritte der Diasem-Skala gleichstellt. Hingegen verschwinden die kleinen Schritte in der diatonischen Skala vollständig.

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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|+ Vergleich mit den [[5L4s]]- und [[5L2s]]-Skalen in 62-EDO
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! Name !! Struktur !! Schrittgrößen !! Grafische Darstellung
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| Semiquartal || 5L4s || 10\62, 3\62 || ├─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┤
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| Diasem (enthalten in [[31-EDO]]) || 5L2m2s || 10\62, 4\62, 2\62 || ├─────────┼───┼─────────┼─┼─────────┼───┼─────────┼─┼─────────┤
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| Diatonisch (enthalten in [[31-EDO]]) || 5L2s || 10\62, 6\62 || ├─────────┼─────┼─────────╫─────────┼─────┼─────────╫─────────┤
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== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
In der 2.3.7-Untergruppe besitzt der LMLSLMLSL-Modus folgende Noten (relativ der Tonika): 

1/1 9/8 7/6 21/16 4/3 3/2 27/16 7/4 16/9 2/1.

Ähnliche Diasem-Skalen in [[31-EDO]] und manchen anderen [[EDO]]s ergeben sich hieraus, indem man den [[Patent-Val]] des EDOs auf jedes Interval anwendet.

Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen wirkt die Austemperierung von 81/80 relativ wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

[[Kategorie:Reine Stimmung]]
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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: nämlich kann man die 5L4s-Skala erhalten, indem man die mittleren und die kleinen Schritte der Diasem-Skala gleichstellt. Hingegen verschwinden die kleinen Schritte in der diatonischen Skala vollständig.

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
Als Skala in der 2.3.7-Untergruppe gesehen besitzt der LMLSLMLSL-Modus folgende Noten (relativ der Tonika): 

1/1 9/8 7/6 21/16 4/3 3/2 27/16 7/4 16/9 2/1.

Ähnliche Diasem-Skalen in [[31-EDO]] und manchen anderen [[EDO]]s ergeben sich hieraus, indem man den [[Patent-Val]] des EDOs auf jedes Interval anwendet.

Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen wirkt die Austemperierung von 81/80 relativ wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: nämlich kann man die 5L4s-Skala erhalten, indem man die mittleren und die kleinen Schritte der Diasem-Skala gleichstellt. Hingegen verschwinden die kleinen Schritte in der diatonischen Skala vollständig.

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
Als Skala in der 2.3.7-Untergruppe gesehen besitzt der LMLSLMLSL-Modus folgende Noten (relativ der Tonika): 

1/1 9/8 7/6 21/16 4/3 3/2 27/16 7/4 16/9 2/1.

Ähnliche Diasem-Skalen in [[31-EDO]] und manchen anderen [[EDO]]s ergeben sich hieraus, indem man den [[Patent-Val]] des EDOs auf jedes Interval anwendet.

Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen wirkt die Austemperierung von 81/80 relativ wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte des syntonischen Kommas adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: nämlich kann man die 5L4s-Skala erhalten, indem man die mittleren und die kleinen Schritte der Diasem-Skala gleichstellt. Hingegen verschwinden die kleinen Schritte in der diatonischen Skala vollständig.

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
Als Skala in der 2.3.7-Untergruppe gesehen besitzt der LMLSLMLSL-Modus folgende Noten (relativ der Tonika): 

1/1 9/8 7/6 21/16 4/3 3/2 27/16 7/4 16/9 2/1.

Ähnliche Diasem-Skalen in [[31-EDO]] und manchen anderen [[EDO]]s ergeben sich hieraus, indem man den [[Patent-Val]] des EDOs auf jedes Intervall anwendet.

Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen wirkt die Austemperierung von 81/80 relativ wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte des syntonischen Kommas adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: nämlich kann man die 5L4s-Skala erhalten, indem man die mittleren und die kleinen Schritte der Diasem-Skala gleichstellt. Hingegen verschwinden die kleinen Schritte in der diatonischen Skala vollständig.

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
Als Skala in der 2.3.7-Untergruppe gesehen besitzt der LMLSLMLSL-Modus folgende Noten (relativ der Tonika): 

1/1 9/8 7/6 21/16 4/3 3/2 27/16 7/4 16/9 2/1.

Ähnliche Diasem-Skalen in [[31-EDO]] und manchen anderen [[EDO]]s ergeben sich hieraus, indem man den [[Patent-Val]] des EDOs auf jedes Intervall anwendet.

Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen wirkt die Austemperierung von 81/80 relativ wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte des syntonischen Kommas adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

=== Beispiel in verschiedenen Diasem-EDOs ===
Eine Beispielkomposition in einem lydischartigen Diasem-Modus LSLLMLSLM. ([[:File:Diasem Lydian Example Score.pdf|score]])

[[File:Diasem Lydian Example 14edo.mp3]] [[14edo]], L:M:S = 2:1:1 (degeneriert; das ist [[5L4s]] mit L/s-Wert 2/1)

[[File:Diasem Lydian Example 16edo.mp3]] [[16edo]], L:M:S = 2:2:1 (degeneriert; das ist [[7L2s]] mit L/s-Wert 2/1)

[[File:Diasem Lydian Example 21edo.mp3]] [[21edo]], L:M:S = 3:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 26edo.mp3]] [[26edo]], L:M:S = 4:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 28edo.mp3]] [[28edo]], L:M:S = 4:3:1

[[File:Diasem Lydian Example 31edo.mp3]] [[31edo]], L:M:S = 5:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 33edo.mp3]] [[33edo]], L:M:S = 5:3:1

[[File:Diasem Lydian Example 35edo.mp3]] [[35edo]], L:M:S = 5:4:1

[[File:Diasem Lydian Example 36edo.mp3]] [[36edo]], L:M:S = 6:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 38edo.mp3]] [[38edo]], L:M:S = 6:3:1

[[File:Diasem Lydian Example 41edo.mp3]] [[41edo]], L:M:S = 7:2:1


[[Kategorie:Reine Stimmung]]
[[Kategorie:MV3]]</text>
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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: nämlich kann man die 5L4s-Skala erhalten, indem man die mittleren und die kleinen Schritte der Diasem-Skala gleichstellt. Hingegen verschwinden die kleinen Schritte in der diatonischen Skala vollständig.

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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|+ Vergleich mit den [[5L4s]]- und [[5L2s]]-Skalen in 62-EDO
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! Name !! Struktur !! Schrittgrößen !! Grafische Darstellung
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| Semiquartal || 5L4s || 10\62, 3\62 || ├─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┤
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== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
Als Skala in der 2.3.7-Untergruppe gesehen besitzt der LMLSLMLSL-Modus folgende Noten (relativ der Tonika): 

1/1 9/8 7/6 21/16 4/3 3/2 27/16 7/4 16/9 2/1.

Ähnliche Diasem-Skalen in [[31-EDO]] und manchen anderen [[EDO]]s ergeben sich hieraus, indem man den [[Patent-Val]] des EDOs auf jedes Intervall anwendet.

Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen wirkt die Austemperierung von 81/80 relativ wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte des syntonischen Kommas adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

=== Beispiel in verschiedenen Diasem-EDOs ===
Eine Beispielkomposition in einem lydischartigen Diasem-Modus LSLLMLSLM. ([[:File:Diasem Lydian Example Score.pdf|score]])

[[File:Diasem Lydian Example 14edo.mp3]] [[14--EDO]], L:M:S = 2:1:1 (degeneriert; das ist [[5L4s]] mit L/s-Wert 2/1)

[[File:Diasem Lydian Example 16edo.mp3]] [[16--EDO]], L:M:S = 2:2:1 (degeneriert; das ist [[7L2s]] mit L/s-Wert 2/1)

[[File:Diasem Lydian Example 21edo.mp3]] [[21-EDO]], L:M:S = 3:2:1

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[[Kategorie:Reine Stimmung]]
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|ja =
}}
'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: nämlich kann man die 5L4s-Skala erhalten, indem man die mittleren und die kleinen Schritte der Diasem-Skala gleichstellt. Hingegen verschwinden die kleinen Schritte in der diatonischen Skala vollständig.

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

{| class="wikitable"
|+ Vergleich mit den [[5L4s]]- und [[5L2s]]-Skalen in 62-EDO
|-
! Name !! Struktur !! Schrittgrößen !! Grafische Darstellung
|-
| Semiquartal || 5L4s || 10\62, 3\62 || ├─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┤
|-
| Diasem (enthalten in [[31-EDO]]) || 5L2m2s || 10\62, 4\62, 2\62 || ├─────────┼───┼─────────┼─┼─────────┼───┼─────────┼─┼─────────┤
|-
| Diatonisch (enthalten in [[31-EDO]]) || 5L2s || 10\62, 6\62 || ├─────────┼─────┼─────────╫─────────┼─────┼─────────╫─────────┤
|}

== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
Als Skala in der 2.3.7-Untergruppe gesehen besitzt der LMLSLMLSL-Modus folgende Noten (relativ der Tonika): 

1/1 9/8 7/6 21/16 4/3 3/2 27/16 7/4 16/9 2/1.

Ähnliche Diasem-Skalen in [[31-EDO]] und manchen anderen [[EDO]]s ergeben sich hieraus, indem man den [[Patent-Val]] des EDOs auf jedes Intervall anwendet.

Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen wirkt die Austemperierung von 81/80 relativ wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte des syntonischen Kommas adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

=== Beispiel in verschiedenen Diasem-EDOs ===
Eine Beispielkomposition in einem lydischartigen Diasem-Modus LSLLMLSLM. ([[:File:Diasem Lydian Example Score.pdf|score]])

[[File:Diasem Lydian Example 14edo.mp3]] [[14-EDO]], L:M:S = 2:1:1 (degeneriert; das ist [[5L4s]] mit L/s-Wert 2/1)

[[File:Diasem Lydian Example 16edo.mp3]] [[16--EDO]], L:M:S = 2:2:1 (degeneriert; das ist [[7L2s]] mit L/s-Wert 2/1)

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[[Kategorie:Reine Stimmung]]
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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: nämlich kann man die 5L4s-Skala erhalten, indem man die mittleren und die kleinen Schritte der Diasem-Skala gleichstellt. Hingegen verschwinden die kleinen Schritte in der diatonischen Skala vollständig.

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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|+ Vergleich mit den [[5L4s]]- und [[5L2s]]-Skalen in 62-EDO
|-
! Name !! Struktur !! Schrittgrößen !! Grafische Darstellung
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| Semiquartal || 5L4s || 10\62, 3\62 || ├─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┤
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| Diasem (enthalten in [[31-EDO]]) || 5L2m2s || 10\62, 4\62, 2\62 || ├─────────┼───┼─────────┼─┼─────────┼───┼─────────┼─┼─────────┤
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|}

== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
Als Skala in der 2.3.7-Untergruppe gesehen besitzt der LMLSLMLSL-Modus folgende Noten (relativ der Tonika): 

1/1 9/8 7/6 21/16 4/3 3/2 27/16 7/4 16/9 2/1.

Ähnliche Diasem-Skalen in [[31-EDO]] und manchen anderen [[EDO]]s ergeben sich hieraus, indem man den [[Patent-Val]] des EDOs auf jedes Intervall anwendet.

Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen wirkt die Austemperierung von 81/80 relativ wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte des syntonischen Kommas adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

=== Beispiel in verschiedenen Diasem-EDOs ===
Eine Beispielkomposition in einem lydischartigen Diasem-Modus LSLLMLSLM. ([[:File:Diasem Lydian Example Score.pdf|score]])

[[File:Diasem Lydian Example 14edo.mp3]] [[14-EDO]], L:M:S = 2:1:1 (degeneriert; das ist [[5L4s]] mit L/s-Wert 2/1)

[[File:Diasem Lydian Example 16edo.mp3]] [[16-EDO]], L:M:S = 2:2:1 (degeneriert; das ist [[7L2s]] mit L/s-Wert 2/1)

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[[File:Diasem Lydian Example 35edo.mp3]] [[35-EDO]], L:M:S = 5:4:1

[[File:Diasem Lydian Example 36edo.mp3]] [[36-EDO]], L:M:S = 6:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 38edo.mp3]] [[38-EDO]], L:M:S = 6:3:1

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[[Kategorie:Reine Stimmung]]
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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: nämlich kann man die 5L4s-Skala erhalten, indem man die mittleren und die kleinen Schritte der Diasem-Skala gleichstellt. Hingegen verschwinden die kleinen Schritte in der diatonischen Skala vollständig.

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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|+ Vergleich mit den [[5L4s]]- und [[5L2s]]-Skalen in 62-EDO
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| Semiquartal || 5L4s || 10\62, 3\62 || ├─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┤
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|}

== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
Als Skala in der 2.3.7-Untergruppe gesehen besitzt der LMLSLMLSL-Modus folgende Noten (relativ der Tonika): 

1/1 9/8 7/6 21/16 4/3 3/2 27/16 7/4 16/9 2/1.

Ähnliche Diasem-Skalen in [[31-EDO]] und manchen anderen [[EDO]]s ergeben sich hieraus, indem man den [[Patent-Val]] des EDOs auf jedes Intervall anwendet.

Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen wirkt die Austemperierung von 81/80 relativ wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte des syntonischen Kommas adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

=== Beispiel in verschiedenen Diasem-EDOs ===
Eine Beispielkomposition in einem lydischartigen Diasem-Modus LSLLMLSLM. ([[:File:Diasem Lydian Example Score.pdf|Noten]])

[[File:Diasem Lydian Example 14edo.mp3]] [[14-EDO]], L:M:S = 2:1:1 (degeneriert; das ist [[5L4s]] mit L/s-Wert 2/1)

[[File:Diasem Lydian Example 16edo.mp3]] [[16-EDO]], L:M:S = 2:2:1 (degeneriert; das ist [[7L2s]] mit L/s-Wert 2/1)

[[File:Diasem Lydian Example 21edo.mp3]] [[21-EDO]], L:M:S = 3:2:1

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[[File:Diasem Lydian Example 31edo.mp3]] [[31-EDO]], L:M:S = 5:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 33edo.mp3]] [[33-EDO]], L:M:S = 5:3:1

[[File:Diasem Lydian Example 35edo.mp3]] [[35-EDO]], L:M:S = 5:4:1

[[File:Diasem Lydian Example 36edo.mp3]] [[36-EDO]], L:M:S = 6:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 38edo.mp3]] [[38-EDO]], L:M:S = 6:3:1

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[[Kategorie:Reine Stimmung]]
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}}
'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: nämlich kann man die 5L4s-Skala erhalten, indem man die mittleren und die kleinen Schritte der Diasem-Skala gleichstellt. Hingegen verschwinden die kleinen Schritte in der diatonischen Skala vollständig.

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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|+ Vergleich mit den [[5L4s]]- und [[5L2s]]-Skalen in 62-EDO
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! Name !! Struktur !! Schrittgrößen !! Grafische Darstellung
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| Semiquartal || 5L4s || 10\62, 3\62 || ├─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┤
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== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
Als Skala in der 2.3.7-Untergruppe gesehen besitzt der LMLSLMLSL-Modus folgende Noten (relativ der Tonika): 

1/1 9/8 7/6 21/16 4/3 3/2 27/16 7/4 16/9 2/1.

Ähnliche Diasem-Skalen in [[31-EDO]] und manchen anderen [[EDO]]s ergeben sich hieraus, indem man den [[Patent-Val]] des EDOs auf jedes Intervall anwendet.

Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen wirkt die Austemperierung von 81/80 relativ wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte des syntonischen Kommas adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

=== Beispiel in verschiedenen Diasem-EDOs ===
Eine Beispielkomposition in einem lydischartigen Diasem-Modus LSLLMLSLM. ([[:File:Diasem Lydian Example Score.pdf|Noten]])

[[File:Diasem Lydian Example 14edo.mp3]] [[14-EDO]], L:M:S = 2:1:1 (degeneriert; [[5L4s]] mit L/s-Wert 2/1)

[[File:Diasem Lydian Example 16edo.mp3]] [[16-EDO]], L:M:S = 2:2:1 (degeneriert; [[7L2s]] mit L/s-Wert 2/1)

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|de = Diasem
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}}
'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: nämlich kann man die 5L4s-Skala erhalten, indem man die mittleren und die kleinen Schritte der Diasem-Skala gleichstellt. Hingegen verschwinden die kleinen Schritte in der diatonischen Skala vollständig.

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

{| class="wikitable"
|+ Vergleich mit den [[5L4s]]- und [[5L2s]]-Skalen in 62-EDO
|-
! Name !! Struktur !! Schrittgrößen !! Grafische Darstellung
|-
| Semiquartal || 5L4s || 10\62, 3\62 || ├─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┤
|-
| Diasem (enthalten in [[31-EDO]]) || 5L2m2s || 10\62, 4\62, 2\62 || ├─────────┼───┼─────────┼─┼─────────┼───┼─────────┼─┼─────────┤
|-
| Diatonisch (enthalten in [[31-EDO]]) || 5L2s || 10\62, 6\62 || ├─────────┼─────┼─────────╫─────────┼─────┼─────────╫─────────┤
|}

== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
Als Skala in der 2.3.7-Untergruppe gesehen besitzt der LMLSLMLSL-Modus folgende Noten (relativ der Tonika): 

1/1 9/8 7/6 21/16 4/3 3/2 27/16 7/4 16/9 2/1.

Ähnliche Diasem-Skalen in [[31-EDO]] und manchen anderen [[EDO]]s ergeben sich hieraus, indem man den [[Patent-Val]] des EDOs auf jedes Intervall anwendet.

Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen wirkt die Austemperierung von 81/80 relativ wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte des syntonischen Kommas adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

=== Beispiel in verschiedenen Diasem-EDOs ===
Eine Beispielkomposition im lydischartigen Diasem-Modus LSLLMLSLM. ([[:File:Diasem Lydian Example Score.pdf|Noten]])

[[File:Diasem Lydian Example 14edo.mp3]] [[14-EDO]], L:M:S = 2:1:1 (degeneriert; [[5L4s]] mit [[Härte|L/s-Wert]] 2/1)

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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: nämlich kann man die 5L4s-Skala erhalten, indem man die mittleren und die kleinen Schritte der Diasem-Skala gleichstellt. Hingegen verschwinden die kleinen Schritte in der diatonischen Skala vollständig. Die Skala ist generiert durch das Aufeinanderschichten von zwei abwechselnde Generatorintervallen, nämlich die "septimale kleine Terz" LM und die "septimale große Sekunde" LS.

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

{| class="wikitable"
|+ Vergleich mit den [[5L4s]]- und [[5L2s]]-Skalen in 62-EDO
|-
! Name !! Struktur !! Schrittgrößen !! Grafische Darstellung
|-
| Semiquartal || 5L4s || 10\62, 3\62 || ├─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┤
|-
| Diasem (enthalten in [[31-EDO]]) || 5L2m2s || 10\62, 4\62, 2\62 || ├─────────┼───┼─────────┼─┼─────────┼───┼─────────┼─┼─────────┤
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| Diatonisch (enthalten in [[31-EDO]]) || 5L2s || 10\62, 6\62 || ├─────────┼─────┼─────────╫─────────┼─────┼─────────╫─────────┤
|}

== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
Als Skala in der 2.3.7-Untergruppe gesehen besitzt der LMLSLMLSL-Modus folgende Noten (relativ der Tonika): 

1/1 9/8 7/6 21/16 4/3 3/2 27/16 7/4 16/9 2/1.

Ähnliche Diasem-Skalen in [[31-EDO]] und manchen anderen [[EDO]]s ergeben sich hieraus, indem man den [[Patent-Val]] des EDOs auf jedes Intervall anwendet.

Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen wirkt die Austemperierung von 81/80 relativ wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte des syntonischen Kommas adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

=== Beispiel in verschiedenen Diasem-EDOs ===
Eine Beispielkomposition im lydischartigen Diasem-Modus LSLLMLSLM. ([[:File:Diasem Lydian Example Score.pdf|Noten]])

[[File:Diasem Lydian Example 14edo.mp3]] [[14-EDO]], L:M:S = 2:1:1 (degeneriert; [[5L4s]] mit [[Härte|L/s-Wert]] 2/1)

[[File:Diasem Lydian Example 16edo.mp3]] [[16-EDO]], L:M:S = 2:2:1 (degeneriert; [[7L2s]] mit L/s-Wert 2/1)

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[[File:Diasem Lydian Example 21edo.mp3]] [[21-EDO]], L:M:S = 3:2:1

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[[Kategorie:Reine Stimmung]]
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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: nämlich kann man die 5L4s-Skala erhalten, indem man die mittleren und die kleinen Schritte der Diasem-Skala gleichstellt. Hingegen verschwinden die kleinen Schritte in der diatonischen Skala vollständig. Die Skala ist generiert durch das Aufeinanderschichten von zwei abwechselnde Generatorintervallen, nämlich die "septimale kleine Terz" LM und die "septimale große Sekunde" LS; man nennt diese Eigenschaft die AG-Eigenschaft (AG steht für ''alternating-generator'').

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

{| class="wikitable"
|+ Vergleich mit den [[5L4s]]- und [[5L2s]]-Skalen in 62-EDO
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! Name !! Struktur !! Schrittgrößen !! Grafische Darstellung
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| Semiquartal || 5L4s || 10\62, 3\62 || ├─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┤
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| Diatonisch (enthalten in [[31-EDO]]) || 5L2s || 10\62, 6\62 || ├─────────┼─────┼─────────╫─────────┼─────┼─────────╫─────────┤
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== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
Als Skala in der 2.3.7-Untergruppe gesehen besitzt der LMLSLMLSL-Modus folgende Noten (relativ der Tonika): 

1/1 9/8 7/6 21/16 4/3 3/2 27/16 7/4 16/9 2/1.

Ähnliche Diasem-Skalen in [[31-EDO]] und manchen anderen [[EDO]]s ergeben sich hieraus, indem man den [[Patent-Val]] des EDOs auf jedes Intervall anwendet.

Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen wirkt die Austemperierung von 81/80 relativ wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte des syntonischen Kommas adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

=== Beispiel in verschiedenen Diasem-EDOs ===
Eine Beispielkomposition im lydischartigen Diasem-Modus LSLLMLSLM. ([[:File:Diasem Lydian Example Score.pdf|Noten]])

[[File:Diasem Lydian Example 14edo.mp3]] [[14-EDO]], L:M:S = 2:1:1 (degeneriert; [[5L4s]] mit [[Härte|L/s-Wert]] 2/1)

[[File:Diasem Lydian Example 16edo.mp3]] [[16-EDO]], L:M:S = 2:2:1 (degeneriert; [[7L2s]] mit L/s-Wert 2/1)

[[File:Diasem Lydian Example 19edo.mp3]] [[19-EDO]], L:M:S = 3:1:1 (degeneriert; [[5L4s]] mit L/s-Wert 3/1)

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[[File:Diasem Lydian Example 26edo.mp3]] [[26-EDO]], L:M:S = 4:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 28edo.mp3]] [[28-EDO]], L:M:S = 4:3:1

[[File:Diasem Lydian Example 31edo.mp3]] [[31-EDO]], L:M:S = 5:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 33edo.mp3]] [[33-EDO]], L:M:S = 5:3:1

[[File:Diasem Lydian Example 35edo.mp3]] [[35-EDO]], L:M:S = 5:4:1

[[File:Diasem Lydian Example 36edo.mp3]] [[36-EDO]], L:M:S = 6:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 38edo.mp3]] [[38-EDO]], L:M:S = 6:3:1

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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: nämlich kann man die 5L4s-Skala erhalten, indem man die mittleren und die kleinen Schritte der Diasem-Skala gleichstellt. Hingegen verschwinden die kleinen Schritte in der diatonischen Skala vollständig. Die Skala ist generiert durch das Aufeinanderschichten von zwei abwechselnde Generatorintervallen, in diesem Fall die "septimale kleine Terz" LM und die "septimale große Sekunde" LS; man nennt diese Eigenschaft die AG-Eigenschaft (AG steht für ''alternating-generator'').

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

{| class="wikitable"
|+ Vergleich mit den [[5L4s]]- und [[5L2s]]-Skalen in 62-EDO
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! Name !! Struktur !! Schrittgrößen !! Grafische Darstellung
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| Semiquartal || 5L4s || 10\62, 3\62 || ├─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┤
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== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
Als Skala in der 2.3.7-Untergruppe gesehen besitzt der LMLSLMLSL-Modus folgende Noten (relativ der Tonika): 

1/1 9/8 7/6 21/16 4/3 3/2 27/16 7/4 16/9 2/1.

Ähnliche Diasem-Skalen in [[31-EDO]] und manchen anderen [[EDO]]s ergeben sich hieraus, indem man den [[Patent-Val]] des EDOs auf jedes Intervall anwendet.

Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen wirkt die Austemperierung von 81/80 relativ wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte des syntonischen Kommas adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

=== Beispiel in verschiedenen Diasem-EDOs ===
Eine Beispielkomposition im lydischartigen Diasem-Modus LSLLMLSLM. ([[:File:Diasem Lydian Example Score.pdf|Noten]])

[[File:Diasem Lydian Example 14edo.mp3]] [[14-EDO]], L:M:S = 2:1:1 (degeneriert; [[5L4s]] mit [[Härte|L/s-Wert]] 2/1)

[[File:Diasem Lydian Example 16edo.mp3]] [[16-EDO]], L:M:S = 2:2:1 (degeneriert; [[7L2s]] mit L/s-Wert 2/1)

[[File:Diasem Lydian Example 19edo.mp3]] [[19-EDO]], L:M:S = 3:1:1 (degeneriert; [[5L4s]] mit L/s-Wert 3/1)

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[[Kategorie:Reine Stimmung]]
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|de = Diasem
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}}
'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: nämlich kann man die 5L4s-Skala erhalten, indem man die mittleren und die kleinen Schritte der Diasem-Skala gleichstellt. Hingegen verschwinden die kleinen Schritte in der diatonischen Skala vollständig. Die Skala ist generiert durch das Aufeinanderschichten von zwei abwechselnde Generatorintervallen, in diesem Fall die "septimale kleine Terz" LM und die "septimale große Sekunde" LS; man nennt diese Eigenschaft die [[AG-Eigenschaft]] (AG steht für ''alternating-generator'').

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

{| class="wikitable"
|+ Vergleich mit den [[5L4s]]- und [[5L2s]]-Skalen in 62-EDO
|-
! Name !! Struktur !! Schrittgrößen !! Grafische Darstellung
|-
| Semiquartal || 5L4s || 10\62, 3\62 || ├─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┤
|-
| Diasem (enthalten in [[31-EDO]]) || 5L2m2s || 10\62, 4\62, 2\62 || ├─────────┼───┼─────────┼─┼─────────┼───┼─────────┼─┼─────────┤
|-
| Diatonisch (enthalten in [[31-EDO]]) || 5L2s || 10\62, 6\62 || ├─────────┼─────┼─────────╫─────────┼─────┼─────────╫─────────┤
|}

== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
Als Skala in der 2.3.7-Untergruppe gesehen besitzt der LMLSLMLSL-Modus folgende Noten (relativ der Tonika): 

1/1 9/8 7/6 21/16 4/3 3/2 27/16 7/4 16/9 2/1.

Ähnliche Diasem-Skalen in [[31-EDO]] und manchen anderen [[EDO]]s ergeben sich hieraus, indem man den [[Patent-Val]] des EDOs auf jedes Intervall anwendet.

Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen wirkt die Austemperierung von 81/80 relativ wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte des syntonischen Kommas adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

=== Beispiel in verschiedenen Diasem-EDOs ===
Eine Beispielkomposition im lydischartigen Diasem-Modus LSLLMLSLM. ([[:File:Diasem Lydian Example Score.pdf|Noten]])

[[File:Diasem Lydian Example 14edo.mp3]] [[14-EDO]], L:M:S = 2:1:1 (degeneriert; [[5L4s]] mit [[Härte|L/s-Wert]] 2/1)

[[File:Diasem Lydian Example 16edo.mp3]] [[16-EDO]], L:M:S = 2:2:1 (degeneriert; [[7L2s]] mit L/s-Wert 2/1)

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[[Kategorie:Reine Stimmung]]
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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: nämlich kann man die 5L4s-Skala erhalten, indem man die mittleren und die kleinen Schritte der Diasem-Skala gleichstellt. Hingegen verschwinden die kleinen Schritte in der diatonischen Skala vollständig. Die Skala ist generiert durch das Aufeinanderschichten von zwei abwechselnde Generatorintervallen, in diesem Fall die "septimale kleine Terz" LM und die "septimale große Sekunde" LS; man nennt diese Eigenschaft die [[AG-Eigenschaft]] (AG steht für ''alternating-generator'').

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

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|+ Vergleich mit den [[5L4s]]- und [[5L2s]]-Skalen in 62-EDO
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! Name !! Struktur !! Schrittgrößen !! Grafische Darstellung
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| Semiquartal || 5L4s || 10\62, 3\62 || ├─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┤
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|}

== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
Als Skala in der 2.3.7-Untergruppe gesehen besitzt der LMLSLMLSL-Modus folgende Noten (relativ der Tonika): 

1/1 9/8 7/6 21/16 4/3 3/2 27/16 7/4 16/9 2/1.

Ähnliche Diasem-Skalen in [[31-EDO]] und manchen anderen [[EDO]]s ergeben sich hieraus, indem man den [[Patent-Val]] des EDOs auf jedes Intervall anwendet.

Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen wirkt die Austemperierung von 81/80 relativ wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte des syntonischen Kommas adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

== Beispiel in verschiedenen Diasem-EDOs ==
Eine Beispielkomposition im lydischartigen Diasem-Modus LSLLMLSLM. ([[:File:Diasem Lydian Example Score.pdf|Noten]])

[[File:Diasem Lydian Example 14edo.mp3]] [[14-EDO]], L:M:S = 2:1:1 (degeneriert; [[5L4s]] mit [[Härte|L/s-Wert]] 2/1)

[[File:Diasem Lydian Example 16edo.mp3]] [[16-EDO]], L:M:S = 2:2:1 (degeneriert; [[7L2s]] mit L/s-Wert 2/1)

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[[File:Diasem Lydian Example 33edo.mp3]] [[33-EDO]], L:M:S = 5:3:1

[[File:Diasem Lydian Example 35edo.mp3]] [[35-EDO]], L:M:S = 5:4:1

[[File:Diasem Lydian Example 36edo.mp3]] [[36-EDO]], L:M:S = 6:2:1

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[[Kategorie:Reine Stimmung]]
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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: nämlich kann man die 5L4s-Skala erhalten, indem man die mittleren und die kleinen Schritte der Diasem-Skala gleichstellt. Hingegen verschwinden die kleinen Schritte in der diatonischen Skala vollständig. Die Skala ist generiert durch das Aufeinanderschichten von zwei abwechselnde Generatorintervallen, in diesem Fall die "kleine Terz" LM und die "große Sekunde" LS; man nennt diese Eigenschaft die [[AG-Eigenschaft]] (AG steht für ''alternating-generator'').

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

{| class="wikitable"
|+ Vergleich mit den [[5L4s]]- und [[5L2s]]-Skalen in 62-EDO
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! Name !! Struktur !! Schrittgrößen !! Grafische Darstellung
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| Semiquartal || 5L4s || 10\62, 3\62 || ├─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┤
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| Diatonisch (enthalten in [[31-EDO]]) || 5L2s || 10\62, 6\62 || ├─────────┼─────┼─────────╫─────────┼─────┼─────────╫─────────┤
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== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
Als Skala in der 2.3.7-Untergruppe gesehen besitzt der LMLSLMLSL-Modus folgende Noten (relativ der Tonika): 

1/1 9/8 7/6 21/16 4/3 3/2 27/16 7/4 16/9 2/1.

Ähnliche Diasem-Skalen in [[31-EDO]] und manchen anderen [[EDO]]s ergeben sich hieraus, indem man den [[Patent-Val]] des EDOs auf jedes Intervall anwendet.

Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen wirkt die Austemperierung von 81/80 relativ wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte des syntonischen Kommas adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

== Beispiel in verschiedenen Diasem-EDOs ==
Eine Beispielkomposition im lydischartigen Diasem-Modus LSLLMLSLM. ([[:File:Diasem Lydian Example Score.pdf|Noten]])

[[File:Diasem Lydian Example 14edo.mp3]] [[14-EDO]], L:M:S = 2:1:1 (degeneriert; [[5L4s]] mit [[Härte|L/s-Wert]] 2/1)

[[File:Diasem Lydian Example 16edo.mp3]] [[16-EDO]], L:M:S = 2:2:1 (degeneriert; [[7L2s]] mit L/s-Wert 2/1)

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[[File:Diasem Lydian Example 26edo.mp3]] [[26-EDO]], L:M:S = 4:2:1

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[[File:Diasem Lydian Example 31edo.mp3]] [[31-EDO]], L:M:S = 5:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 33edo.mp3]] [[33-EDO]], L:M:S = 5:3:1

[[File:Diasem Lydian Example 35edo.mp3]] [[35-EDO]], L:M:S = 5:4:1

[[File:Diasem Lydian Example 36edo.mp3]] [[36-EDO]], L:M:S = 6:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 38edo.mp3]] [[38-EDO]], L:M:S = 6:3:1

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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: nämlich kann man die 5L4s-Skala erhalten, indem man die mittleren und die kleinen Schritte der Diasem-Skala gleichstellt. Hingegen verschwinden die kleinen Schritte in der diatonischen Skala vollständig. Die Skala ist generiert durch das Aufeinanderschichten von zwei abwechselnde Generatorintervallen, in diesem Fall die "kleine Terz" LM und die "große Sekunde" LS; man nennt diese Eigenschaft die [[AG-Eigenschaft]] (AG steht für ''alternating-generator'').

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

{| class="wikitable"
|+ Vergleich mit den [[5L4s]]- und [[5L2s]]-Skalen in 62-EDO
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! Name !! Struktur !! Schrittgrößen !! Grafische Darstellung
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| Semiquartal || 5L4s || 10\62, 3\62 || ├─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┤
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== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
Als Skala in der 2.3.7-Untergruppe gesehen besitzt der LMLSLMLSL-Modus folgende Noten (relativ der Tonika): 

1/1 9/8 7/6 21/16 4/3 3/2 27/16 7/4 16/9 2/1,

und die zwei alternierende Generatorintervallen betragen [[7/6]], die septimale kleine Terz, bzw. [[8/7]] die septimale große Sekunde.

Ähnliche Diasem-Skalen in [[31-EDO]] und manchen anderen [[EDO]]s ergeben sich hieraus, indem man den [[Patent-Val]] des EDOs auf jedes Intervall anwendet.

Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen wirkt die Austemperierung von 81/80 relativ wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte des syntonischen Kommas adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

== Beispiel in verschiedenen Diasem-EDOs ==
Eine Beispielkomposition im lydischartigen Diasem-Modus LSLLMLSLM. ([[:File:Diasem Lydian Example Score.pdf|Noten]])

[[File:Diasem Lydian Example 14edo.mp3]] [[14-EDO]], L:M:S = 2:1:1 (degeneriert; [[5L4s]] mit [[Härte|L/s-Wert]] 2/1)

[[File:Diasem Lydian Example 16edo.mp3]] [[16-EDO]], L:M:S = 2:2:1 (degeneriert; [[7L2s]] mit L/s-Wert 2/1)

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[[Kategorie:Reine Stimmung]]
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|de = Diasem
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}}
'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: nämlich kann man die 5L4s-Skala erhalten, indem man die mittleren und die kleinen Schritte der Diasem-Skala gleichstellt. Hingegen verschwinden die kleinen Schritte in der diatonischen Skala vollständig. Die Skala ist generiert durch das Aufeinanderschichten von zwei abwechselnde Generatorintervallen, in diesem Fall die "kleine Terz" LM und die "große Sekunde" LS; man nennt diese Eigenschaft die [[AG-Eigenschaft]] (AG steht für ''alternating-generator'').

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

{| class="wikitable"
|+ Vergleich mit den [[5L4s]]- und [[5L2s]]-Skalen in 62-EDO
|-
! Name !! Struktur !! Schrittgrößen !! Grafische Darstellung
|-
| Semiquartal || 5L4s || 10\62, 3\62 || ├─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┤
|-
| Diasem (enthalten in [[31-EDO]]) || 5L2m2s || 10\62, 4\62, 2\62 || ├─────────┼───┼─────────┼─┼─────────┼───┼─────────┼─┼─────────┤
|-
| Diatonisch (enthalten in [[31-EDO]]) || 5L2s || 10\62, 6\62 || ├─────────┼─────┼─────────╫─────────┼─────┼─────────╫─────────┤
|}

== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
Als Skala in der 2.3.7-Untergruppe gesehen besitzt der LMLSLMLSL-Modus folgende Noten (relativ der Tonika): 

1/1 9/8 7/6 21/16 4/3 3/2 27/16 7/4 16/9 2/1,

und die zwei alternierenden Generatorintervallen betragen [[7/6]], die septimale kleine Terz, bzw. [[8/7]], die septimale große Sekunde.

Ähnliche Diasem-Skalen in [[31-EDO]] und manchen anderen [[EDO]]s ergeben sich hieraus, indem man den [[Patent-Val]] des EDOs auf jedes Intervall anwendet.

Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen wirkt die Austemperierung von 81/80 relativ wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte des syntonischen Kommas adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

== Beispiel in verschiedenen Diasem-EDOs ==
Eine Beispielkomposition im lydischartigen Diasem-Modus LSLLMLSLM. ([[:File:Diasem Lydian Example Score.pdf|Noten]])

[[File:Diasem Lydian Example 14edo.mp3]] [[14-EDO]], L:M:S = 2:1:1 (degeneriert; [[5L4s]] mit [[Härte|L/s-Wert]] 2/1)

[[File:Diasem Lydian Example 16edo.mp3]] [[16-EDO]], L:M:S = 2:2:1 (degeneriert; [[7L2s]] mit L/s-Wert 2/1)

[[File:Diasem Lydian Example 19edo.mp3]] [[19-EDO]], L:M:S = 3:1:1 (degeneriert; [[5L4s]] mit L/s-Wert 3/1)

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[[Kategorie:Reine Stimmung]]
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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: nämlich kann man die 5L4s-Skala erhalten, indem man die mittleren und die kleinen Schritte der Diasem-Skala gleichstellt. Hingegen verschwinden die kleinen Schritte in der diatonischen Skala vollständig. Die Skala ist generiert durch das Aufeinanderschichten von zwei abwechselnden Generatorintervallen, in diesem Fall die "kleine Terz" LM und die "große Sekunde" LS; man nennt diese Eigenschaft die [[AG-Eigenschaft]] (AG steht für ''alternating-generator'').

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

{| class="wikitable"
|+ Vergleich mit den [[5L4s]]- und [[5L2s]]-Skalen in 62-EDO
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! Name !! Struktur !! Schrittgrößen !! Grafische Darstellung
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| Semiquartal || 5L4s || 10\62, 3\62 || ├─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┤
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| Diatonisch (enthalten in [[31-EDO]]) || 5L2s || 10\62, 6\62 || ├─────────┼─────┼─────────╫─────────┼─────┼─────────╫─────────┤
|}

== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
Als Skala in der 2.3.7-Untergruppe gesehen besitzt der LMLSLMLSL-Modus folgende Noten (relativ der Tonika): 

1/1 9/8 7/6 21/16 4/3 3/2 27/16 7/4 16/9 2/1,

und die zwei alternierenden Generatorintervalle sind [7/6]] ≈ 266.9 Cent, die septimale kleine Terz, bzw. [[8/7]] ≈ 231.2 Cent, die septimale große Sekunde.

Ähnliche Diasem-Skalen in [[31-EDO]] und manchen anderen [[EDO]]s ergeben sich hieraus, indem man den [[Patent-Val]] des EDOs auf jedes Intervall anwendet.

Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen wirkt die Austemperierung von 81/80 relativ wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte des syntonischen Kommas adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

== Beispiel in verschiedenen Diasem-EDOs ==
Eine Beispielkomposition im lydischartigen Diasem-Modus LSLLMLSLM. ([[:File:Diasem Lydian Example Score.pdf|Noten]])

[[File:Diasem Lydian Example 14edo.mp3]] [[14-EDO]], L:M:S = 2:1:1 (degeneriert; [[5L4s]] mit [[Härte|L/s-Wert]] 2/1)

[[File:Diasem Lydian Example 16edo.mp3]] [[16-EDO]], L:M:S = 2:2:1 (degeneriert; [[7L2s]] mit L/s-Wert 2/1)

[[File:Diasem Lydian Example 19edo.mp3]] [[19-EDO]], L:M:S = 3:1:1 (degeneriert; [[5L4s]] mit L/s-Wert 3/1)

[[File:Diasem Lydian Example 21edo.mp3]] [[21-EDO]], L:M:S = 3:2:1

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[[File:Diasem Lydian Example 28edo.mp3]] [[28-EDO]], L:M:S = 4:3:1

[[File:Diasem Lydian Example 31edo.mp3]] [[31-EDO]], L:M:S = 5:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 33edo.mp3]] [[33-EDO]], L:M:S = 5:3:1

[[File:Diasem Lydian Example 35edo.mp3]] [[35-EDO]], L:M:S = 5:4:1

[[File:Diasem Lydian Example 36edo.mp3]] [[36-EDO]], L:M:S = 6:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 38edo.mp3]] [[38-EDO]], L:M:S = 6:3:1

[[File:Diasem Lydian Example 41edo.mp3]] [[41-EDO]], L:M:S = 7:2:1


[[Kategorie:Reine Stimmung]]
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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: nämlich kann man die 5L4s-Skala erhalten, indem man die mittleren und die kleinen Schritte der Diasem-Skala gleichstellt. Hingegen verschwinden die kleinen Schritte in der diatonischen Skala vollständig. Die Skala ist generiert durch das Aufeinanderschichten von zwei abwechselnden Generatorintervallen, in diesem Fall die "kleine Terz" LM und die "große Sekunde" LS; man nennt diese Eigenschaft die [[AG-Eigenschaft]] (AG steht für ''alternating-generator'').

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

{| class="wikitable"
|+ Vergleich mit den [[5L4s]]- und [[5L2s]]-Skalen in 62-EDO
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! Name !! Struktur !! Schrittgrößen !! Grafische Darstellung
|-
| Semiquartal || 5L4s || 10\62, 3\62 || ├─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┤
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|}

== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
Als Skala in der 2.3.7-Untergruppe gesehen besitzt der LMLSLMLSL-Modus folgende Noten (relativ der Tonika): 

1/1 9/8 7/6 21/16 4/3 3/2 27/16 7/4 16/9 2/1,

und die zwei alternierenden Generatorintervalle sind [[7/6]] ≈ 266.9 Cent, die septimale kleine Terz, bzw. [[8/7]] ≈ 231.2 Cent, die septimale große Sekunde.

Ähnliche Diasem-Skalen in [[31-EDO]] und manchen anderen [[EDO]]s ergeben sich hieraus, indem man den [[Patent-Val]] des EDOs auf jedes Intervall anwendet.

Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen wirkt die Austemperierung von 81/80 relativ wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte des syntonischen Kommas adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

== Beispiel in verschiedenen Diasem-EDOs ==
Eine Beispielkomposition im lydischartigen Diasem-Modus LSLLMLSLM. ([[:File:Diasem Lydian Example Score.pdf|Noten]])

[[File:Diasem Lydian Example 14edo.mp3]] [[14-EDO]], L:M:S = 2:1:1 (degeneriert; [[5L4s]] mit [[Härte|L/s-Wert]] 2/1)

[[File:Diasem Lydian Example 16edo.mp3]] [[16-EDO]], L:M:S = 2:2:1 (degeneriert; [[7L2s]] mit L/s-Wert 2/1)

[[File:Diasem Lydian Example 19edo.mp3]] [[19-EDO]], L:M:S = 3:1:1 (degeneriert; [[5L4s]] mit L/s-Wert 3/1)

[[File:Diasem Lydian Example 21edo.mp3]] [[21-EDO]], L:M:S = 3:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 24edo.mp3]] [[24-EDO]], L:M:S = 4:1:1 (degeneriert; [[5L4s]] mit L/s-Wert 4/1)

[[File:Diasem Lydian Example 26edo.mp3]] [[26-EDO]], L:M:S = 4:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 28edo.mp3]] [[28-EDO]], L:M:S = 4:3:1

[[File:Diasem Lydian Example 31edo.mp3]] [[31-EDO]], L:M:S = 5:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 33edo.mp3]] [[33-EDO]], L:M:S = 5:3:1

[[File:Diasem Lydian Example 35edo.mp3]] [[35-EDO]], L:M:S = 5:4:1

[[File:Diasem Lydian Example 36edo.mp3]] [[36-EDO]], L:M:S = 6:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 38edo.mp3]] [[38-EDO]], L:M:S = 6:3:1

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[[Kategorie:Reine Stimmung]]
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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: nämlich kann man die 5L4s-Skala erhalten, indem man die mittleren und die kleinen Schritte der Diasem-Skala gleichstellt. Hingegen verschwinden die kleinen Schritte in der diatonischen Skala vollständig. Die Skala ist generiert durch das Aufeinanderschichten von zwei abwechselnden Generatorintervallen, in diesem Fall die "kleine Terz" LM und die "große Sekunde" LS; man nennt diese Eigenschaft die [[AG-Eigenschaft]] (AG steht für ''alternating-generator'').

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

{| class="wikitable"
|+ Vergleich mit den [[5L4s]]- und [[5L2s]]-Skalen in 62-EDO
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! Name !! Struktur !! Schrittgrößen !! Grafische Darstellung
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| Semiquartal || 5L4s || 10\62, 3\62 || ├─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┤
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|}

== Intervalle ==
Es folgt eine Tabelle für Diasem-Intervalle und deren Größe, ausgedrückt als Kombinationen der Schrittgrößen L, m und s. Bei gegebenen konkreten Größen für L, m und s kann man mithilfe folgender Ausdrücke ein beliebiges Intervall in der Diasem-Skala berechnen.

{| class="wikitable right-2 right-3 right-4 "
|+ Intervallgrößen in der Diasem-Skala
|-
!colspan=2|Intervallklasse
! Größen(*)
! In [[31edo]] (L:m:s = 5:2:1)
|- bgcolor="#eaeaff"
!rowspan=3|[[TAMNAMS|1-Step]]
!| &lt;small&gt;klein&lt;/small&gt;
|| s
| 1\31, 38.71¢
|- bgcolor="#eaeaff"
!|&lt;small&gt;mittel&lt;/small&gt;
| m
| 2\31, 77.42¢
|- bgcolor="#eaeaff"
!|&lt;small&gt;groß&lt;/small&gt;
| L
| 5\31, 193.55¢
|-
!rowspan=3|[[TAMNAMS|2-Step]]
!|&lt;small&gt;klein&lt;/small&gt;
| L + s
| 6\31, 232.26¢
|-
!|&lt;small&gt;mittel&lt;/small&gt;
| L + m
| 7\31, 270.97¢
|-
!|&lt;small&gt;groß&lt;/small&gt;
| 2L
| 10\31, 387.10¢
|-  bgcolor="#eaeaff"
!rowspan=3|[[TAMNAMS|3-Step]]
!|&lt;small&gt;klein&lt;/small&gt;
| L + m + s
| 8\31, 309.68¢
|- bgcolor="#eaeaff"
!|&lt;small&gt;mittel&lt;/small&gt;
| 2L + s
| 11\31, 425.81¢
|- bgcolor="#eaeaff"
!|&lt;small&gt;groß&lt;/small&gt;
| 2L + m
| 12\31, 464.52¢
|- 
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!|&lt;small&gt;klein&lt;/small&gt;
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|-
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|- 
!rowspan=3|[[TAMNAMS|8-Step]]
!|&lt;small&gt;klein&lt;/small&gt;
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| 26\31, 1006.45¢
|-
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|-
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| 5L + 2m + s
| 30\31, 1161.29¢
|}
(*) In [[TAMNAMS]] bezeichnet der Begriff ''k-Step'' ein k-schrittiges Intervall in einer Skala. Die Oktave kann man als "perfektes 9-Step (9-schrittiges Intervall)" bezeichnen.

== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
Als Skala in der 2.3.7-Untergruppe gesehen besitzt der LMLSLMLSL-Modus folgende Noten (relativ der Tonika): 

1/1 9/8 7/6 21/16 4/3 3/2 27/16 7/4 16/9 2/1,

und die zwei alternierenden Generatorintervalle sind [[7/6]] ≈ 266.9 Cent, die septimale kleine Terz, bzw. [[8/7]] ≈ 231.2 Cent, die septimale große Sekunde.

Ähnliche Diasem-Skalen in [[31-EDO]] und manchen anderen [[EDO]]s ergeben sich hieraus, indem man den [[Patent-Val]] des EDOs auf jedes Intervall anwendet.

Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen wirkt die Austemperierung von 81/80 relativ wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte des syntonischen Kommas adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

== Beispiel in verschiedenen Diasem-EDOs ==
Eine Beispielkomposition im lydischartigen Diasem-Modus LSLLMLSLM. ([[:File:Diasem Lydian Example Score.pdf|Noten]])

[[File:Diasem Lydian Example 14edo.mp3]] [[14-EDO]], L:M:S = 2:1:1 (degeneriert; [[5L4s]] mit [[Härte|L/s-Wert]] 2/1)

[[File:Diasem Lydian Example 16edo.mp3]] [[16-EDO]], L:M:S = 2:2:1 (degeneriert; [[7L2s]] mit L/s-Wert 2/1)

[[File:Diasem Lydian Example 19edo.mp3]] [[19-EDO]], L:M:S = 3:1:1 (degeneriert; [[5L4s]] mit L/s-Wert 3/1)

[[File:Diasem Lydian Example 21edo.mp3]] [[21-EDO]], L:M:S = 3:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 24edo.mp3]] [[24-EDO]], L:M:S = 4:1:1 (degeneriert; [[5L4s]] mit L/s-Wert 4/1)

[[File:Diasem Lydian Example 26edo.mp3]] [[26-EDO]], L:M:S = 4:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 28edo.mp3]] [[28-EDO]], L:M:S = 4:3:1

[[File:Diasem Lydian Example 31edo.mp3]] [[31-EDO]], L:M:S = 5:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 33edo.mp3]] [[33-EDO]], L:M:S = 5:3:1

[[File:Diasem Lydian Example 35edo.mp3]] [[35-EDO]], L:M:S = 5:4:1

[[File:Diasem Lydian Example 36edo.mp3]] [[36-EDO]], L:M:S = 6:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 38edo.mp3]] [[38-EDO]], L:M:S = 6:3:1

[[File:Diasem Lydian Example 41edo.mp3]] [[41-EDO]], L:M:S = 7:2:1


[[Kategorie:Reine Stimmung]]
[[Kategorie:MV3]]</text>
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|de = Diasem
|en = Diasem
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}}
'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: nämlich kann man die 5L4s-Skala erhalten, indem man die mittleren und die kleinen Schritte der Diasem-Skala gleichstellt. Hingegen verschwinden die kleinen Schritte in der diatonischen Skala vollständig. Die Skala ist generiert durch das Aufeinanderschichten von zwei abwechselnden Generatorintervallen, in diesem Fall die "kleine Terz" LM und die "große Sekunde" LS; man nennt diese Eigenschaft die [[AG-Eigenschaft]] (AG steht für ''alternating-generator'').

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

{| class="wikitable"
|+ Vergleich mit den [[5L4s]]- und [[5L2s]]-Skalen in 62-EDO
|-
! Name !! Struktur !! Schrittgrößen !! Grafische Darstellung
|-
| Semiquartal || 5L4s || 10\62, 3\62 || ├─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┤
|-
| Diasem (enthalten in [[31-EDO]]) || 5L2m2s || 10\62, 4\62, 2\62 || ├─────────┼───┼─────────┼─┼─────────┼───┼─────────┼─┼─────────┤
|-
| Diatonisch (enthalten in [[31-EDO]]) || 5L2s || 10\62, 6\62 || ├─────────┼─────┼─────────╫─────────┼─────┼─────────╫─────────┤
|}

== Intervalle ==
Es folgt eine Tabelle für Diasem-Intervalle und deren Größe, ausgedrückt als Kombinationen der Schrittgrößen L, m und s. Bei gegebenen konkreten Größen für L, m und s kann man mithilfe folgender Ausdrücke ein beliebiges Intervall in der Diasem-Skala berechnen.

{| class="wikitable right-2 right-3 right-4 "
|+ Intervallgrößen in der Diasem-Skala
|-
!colspan=2|Intervallklasse
! Größen(*)
! In [[31edo]] (L:m:s = 5:2:1)
|- bgcolor="#eaeaff"
!rowspan=3|[[TAMNAMS|1-Step]]
!| &lt;small&gt;klein&lt;/small&gt;
|| s
| 1\31, 38.71¢
|- bgcolor="#eaeaff"
!|&lt;small&gt;mittel&lt;/small&gt;
| m
| 2\31, 77.42¢
|- bgcolor="#eaeaff"
!|&lt;small&gt;groß&lt;/small&gt;
| L
| 5\31, 193.55¢
|-
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!|&lt;small&gt;klein&lt;/small&gt;
| L + s
| 6\31, 232.26¢
|-
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|}
(*) In [[TAMNAMS]] bezeichnet der Begriff ''k-Step'' ein k-schrittiges Intervall in einer Skala, die perfekte Prime nennt man also ''perfektes 0-Step''. Die Oktave kann man als "perfektes 9-Step (9-schrittiges Intervall)" bezeichnen.

== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
Als Skala in der 2.3.7-Untergruppe gesehen besitzt der LMLSLMLSL-Modus folgende Noten (relativ der Tonika): 

1/1 9/8 7/6 21/16 4/3 3/2 27/16 7/4 16/9 2/1,

und die zwei alternierenden Generatorintervalle sind [[7/6]] ≈ 266.9 Cent, die septimale kleine Terz, bzw. [[8/7]] ≈ 231.2 Cent, die septimale große Sekunde.

Ähnliche Diasem-Skalen in [[31-EDO]] und manchen anderen [[EDO]]s ergeben sich hieraus, indem man den [[Patent-Val]] des EDOs auf jedes Intervall anwendet.

Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen wirkt die Austemperierung von 81/80 relativ wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte des syntonischen Kommas adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

== Beispiel in verschiedenen Diasem-EDOs ==
Eine Beispielkomposition im lydischartigen Diasem-Modus LSLLMLSLM. ([[:File:Diasem Lydian Example Score.pdf|Noten]])

[[File:Diasem Lydian Example 14edo.mp3]] [[14-EDO]], L:M:S = 2:1:1 (degeneriert; [[5L4s]] mit [[Härte|L/s-Wert]] 2/1)

[[File:Diasem Lydian Example 16edo.mp3]] [[16-EDO]], L:M:S = 2:2:1 (degeneriert; [[7L2s]] mit L/s-Wert 2/1)

[[File:Diasem Lydian Example 19edo.mp3]] [[19-EDO]], L:M:S = 3:1:1 (degeneriert; [[5L4s]] mit L/s-Wert 3/1)

[[File:Diasem Lydian Example 21edo.mp3]] [[21-EDO]], L:M:S = 3:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 24edo.mp3]] [[24-EDO]], L:M:S = 4:1:1 (degeneriert; [[5L4s]] mit L/s-Wert 4/1)

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[[File:Diasem Lydian Example 38edo.mp3]] [[38-EDO]], L:M:S = 6:3:1

[[File:Diasem Lydian Example 41edo.mp3]] [[41-EDO]], L:M:S = 7:2:1


[[Kategorie:Reine Stimmung]]
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|de = Diasem
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'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: nämlich kann man die 5L4s-Skala erhalten, indem man die mittleren und die kleinen Schritte der Diasem-Skala gleichstellt. Hingegen verschwinden die kleinen Schritte in der diatonischen Skala vollständig. Die Skala ist generiert durch das Aufeinanderschichten von zwei abwechselnden Generatorintervallen, in diesem Fall die "kleine Terz" LM und die "große Sekunde" LS; man nennt diese Eigenschaft die [[AG-Eigenschaft]] (AG steht für ''alternating-generator'').

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

{| class="wikitable"
|+ Vergleich mit den [[5L4s]]- und [[5L2s]]-Skalen in 62-EDO
|-
! Name !! Struktur !! Schrittgrößen !! Grafische Darstellung
|-
| Semiquartal || 5L4s || 10\62, 3\62 || ├─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┤
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| Diasem (enthalten in [[31-EDO]]) || 5L2m2s || 10\62, 4\62, 2\62 || ├─────────┼───┼─────────┼─┼─────────┼───┼─────────┼─┼─────────┤
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| Diatonisch (enthalten in [[31-EDO]]) || 5L2s || 10\62, 6\62 || ├─────────┼─────┼─────────╫─────────┼─────┼─────────╫─────────┤
|}

== Intervalle ==
Es folgt eine Tabelle für Diasem-Intervalle und deren Größe, ausgedrückt als Kombinationen der Schrittgrößen L, m und s. Bei gegebenen konkreten Größen für L, m und s kann man mithilfe folgender Ausdrücke ein beliebiges Intervall in der Diasem-Skala berechnen.

{| class="wikitable right-2 right-3 right-4 "
|+ Intervallgrößen in der Diasem-Skala
|-
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! In [[31edo]] (L:m:s = 5:2:1)
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| 5\31, 193.55¢
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| 23\31, 890.32¢
|-  bgcolor="#eaeaff"
!rowspan=3|[[TAMNAMS|7-Step]]
!|&lt;small&gt;klein&lt;/small&gt;
| 3L + 2m + 2s
| 21\31, 812.90¢
|- bgcolor="#eaeaff"
!|&lt;small&gt;mittel&lt;/small&gt;
| 4L + m + 2s
| 24\31, 929.03¢
|- bgcolor="#eaeaff"
!|&lt;small&gt;groß&lt;/small&gt;
| 4L + 2m + s
| 25\31, 967.74¢
|- 
!rowspan=3|[[TAMNAMS|8-Step]]
!|&lt;small&gt;klein&lt;/small&gt;
| 4L + 2m + 2s
| 26\31, 1006.45¢
|-
!|&lt;small&gt;mittel&lt;/small&gt;
| 5L + m + 2s
| 29\31, 1122.58¢
|-
!|&lt;small&gt;groß&lt;/small&gt;
| 5L + 2m + s
| 30\31, 1161.29¢
|}
(*) In [[TAMNAMS]] bezeichnet der Begriff ''k-Step'' ein k-schrittiges Intervall in einer Skala, dabei beginnt die Nummerierung bei 0 und die perfekte Prime nennt man also ''perfektes 0-Step''. Die Oktave kann man als "perfektes 9-Step (9-schrittiges Intervall)" bezeichnen.

== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
Als Skala in der 2.3.7-Untergruppe gesehen besitzt der LMLSLMLSL-Modus folgende Noten (relativ der Tonika): 

1/1 9/8 7/6 21/16 4/3 3/2 27/16 7/4 16/9 2/1,

und die zwei alternierenden Generatorintervalle sind [[7/6]] ≈ 266.9 Cent, die septimale kleine Terz, bzw. [[8/7]] ≈ 231.2 Cent, die septimale große Sekunde.

Ähnliche Diasem-Skalen in [[31-EDO]] und manchen anderen [[EDO]]s ergeben sich hieraus, indem man den [[Patent-Val]] des EDOs auf jedes Intervall anwendet.

Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen wirkt die Austemperierung von 81/80 relativ wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte des syntonischen Kommas adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

== Beispiel in verschiedenen Diasem-EDOs ==
Eine Beispielkomposition im lydischartigen Diasem-Modus LSLLMLSLM. ([[:File:Diasem Lydian Example Score.pdf|Noten]])

[[File:Diasem Lydian Example 14edo.mp3]] [[14-EDO]], L:M:S = 2:1:1 (degeneriert; [[5L4s]] mit [[Härte|L/s-Wert]] 2/1)

[[File:Diasem Lydian Example 16edo.mp3]] [[16-EDO]], L:M:S = 2:2:1 (degeneriert; [[7L2s]] mit L/s-Wert 2/1)

[[File:Diasem Lydian Example 19edo.mp3]] [[19-EDO]], L:M:S = 3:1:1 (degeneriert; [[5L4s]] mit L/s-Wert 3/1)

[[File:Diasem Lydian Example 21edo.mp3]] [[21-EDO]], L:M:S = 3:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 24edo.mp3]] [[24-EDO]], L:M:S = 4:1:1 (degeneriert; [[5L4s]] mit L/s-Wert 4/1)

[[File:Diasem Lydian Example 26edo.mp3]] [[26-EDO]], L:M:S = 4:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 28edo.mp3]] [[28-EDO]], L:M:S = 4:3:1

[[File:Diasem Lydian Example 31edo.mp3]] [[31-EDO]], L:M:S = 5:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 33edo.mp3]] [[33-EDO]], L:M:S = 5:3:1

[[File:Diasem Lydian Example 35edo.mp3]] [[35-EDO]], L:M:S = 5:4:1

[[File:Diasem Lydian Example 36edo.mp3]] [[36-EDO]], L:M:S = 6:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 38edo.mp3]] [[38-EDO]], L:M:S = 6:3:1

[[File:Diasem Lydian Example 41edo.mp3]] [[41-EDO]], L:M:S = 7:2:1


[[Kategorie:Reine Stimmung]]
[[Kategorie:MV3]]</text>
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|de = Diasem
|en = Diasem
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}}
'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: nämlich kann man die 5L4s-Skala erhalten, indem man die mittleren und die kleinen Schritte der Diasem-Skala gleichstellt. Hingegen verschwinden die kleinen Schritte in der diatonischen Skala vollständig. Die Skala ist generiert durch das Aufeinanderschichten von zwei abwechselnden Generatorintervallen, in diesem Fall die "kleine Terz" LM und die "große Sekunde" LS; man nennt diese Eigenschaft die [[AG-Eigenschaft]] (AG steht für ''alternating-generator'').

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

{| class="wikitable"
|+ Vergleich mit den [[5L4s]]- und [[5L2s]]-Skalen in 62-EDO
|-
! Name !! Struktur !! Schrittgrößen !! Grafische Darstellung
|-
| Semiquartal || 5L4s || 10\62, 3\62 || ├─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┤
|-
| Diasem (enthalten in [[31-EDO]]) || 5L2m2s || 10\62, 4\62, 2\62 || ├─────────┼───┼─────────┼─┼─────────┼───┼─────────┼─┼─────────┤
|-
| Diatonisch (enthalten in [[31-EDO]]) || 5L2s || 10\62, 6\62 || ├─────────┼─────┼─────────╫─────────┼─────┼─────────╫─────────┤
|}

== Intervalle ==
Es folgt eine Tabelle für Diasem-Intervalle und deren Größe, ausgedrückt als Kombinationen der Schrittgrößen L, m und s. Bei gegebenen konkreten Größen für L, m und s kann man mithilfe folgender Ausdrücke ein beliebiges Intervall in der Diasem-Skala berechnen.

{| class="wikitable right-2 right-3 right-4 "
|+ Intervallgrößen in der Diasem-Skala
|-
!colspan=2|Intervallklasse
! Größen(*)
! In [[31edo]] (L:m:s = 5:2:1)
|- bgcolor="#eaeaff"
!rowspan=3|[[TAMNAMS|1-Step]]
!| &lt;small&gt;klein&lt;/small&gt;
|| s
| 1\31, 38.71¢
|- bgcolor="#eaeaff"
!|&lt;small&gt;mittel&lt;/small&gt;
| m
| 2\31, 77.42¢
|- bgcolor="#eaeaff"
!|&lt;small&gt;groß&lt;/small&gt;
| L
| 5\31, 193.55¢
|-
!rowspan=3|[[TAMNAMS|2-Step]]
!|&lt;small&gt;klein&lt;/small&gt;
| L + s
| 6\31, 232.26¢
|-
!|&lt;small&gt;mittel&lt;/small&gt;
| L + m
| 7\31, 270.97¢
|-
!|&lt;small&gt;groß&lt;/small&gt;
| 2L
| 10\31, 387.10¢
|-  bgcolor="#eaeaff"
!rowspan=3|[[TAMNAMS|3-Step]]
!|&lt;small&gt;klein&lt;/small&gt;
| L + m + s
| 8\31, 309.68¢
|- bgcolor="#eaeaff"
!|&lt;small&gt;mittel&lt;/small&gt;
| 2L + s
| 11\31, 425.81¢
|- bgcolor="#eaeaff"
!|&lt;small&gt;groß&lt;/small&gt;
| 2L + m
| 12\31, 464.52¢
|- 
!rowspan=3|[[TAMNAMS|4-Step]]
!|&lt;small&gt;klein&lt;/small&gt;
| 2L + m + s
| 13\31, 503.23¢
|-
!|&lt;small&gt;mittel&lt;/small&gt;
| 3L + s
| 16\31, 619.35¢
|-
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| 17\31, 658.06¢
|- bgcolor="#eaeaff"
!rowspan=3|[[TAMNAMS|5-Step]]
!|&lt;small&gt;klein&lt;/small&gt;
| 2L + m + 2s
| 14\31, 541.94¢
|- bgcolor="#eaeaff"
!|&lt;small&gt;mittel&lt;/small&gt;
| 2L + 2m + s
| 15\31, 580.65¢
|- bgcolor="#eaeaff"
!|&lt;small&gt;groß&lt;/small&gt;
| 3L + m + s
| 18\31, 696.77¢
|-
!rowspan=3|[[TAMNAMS|6-Step]]
!|&lt;small&gt;klein&lt;/small&gt;
| 3L + m + 2s
| 19\31, 735.48¢
|-
!|&lt;small&gt;mittel&lt;/small&gt;
| 3L + 2m + s
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|-
!|&lt;small&gt;groß&lt;/small&gt;
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|-  bgcolor="#eaeaff"
!rowspan=3|[[TAMNAMS|7-Step]]
!|&lt;small&gt;klein&lt;/small&gt;
| 3L + 2m + 2s
| 21\31, 812.90¢
|- bgcolor="#eaeaff"
!|&lt;small&gt;mittel&lt;/small&gt;
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|- bgcolor="#eaeaff"
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| 25\31, 967.74¢
|- 
!rowspan=3|[[TAMNAMS|8-Step]]
!|&lt;small&gt;klein&lt;/small&gt;
| 4L + 2m + 2s
| 26\31, 1006.45¢
|-
!|&lt;small&gt;mittel&lt;/small&gt;
| 5L + m + 2s
| 29\31, 1122.58¢
|-
!|&lt;small&gt;groß&lt;/small&gt;
| 5L + 2m + s
| 30\31, 1161.29¢
|}
(*) In [[TAMNAMS]] bezeichnet der Begriff ''k-Step'' ein k-schrittiges Intervall in einer Skala, dabei beginnt die Nummerierung bei 0 und die perfekte Prime nennt man also ''perfektes 0-Step''. Die Oktave kann man als ''perfektes 9-Step'' bezeichnen.

== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
Als Skala in der 2.3.7-Untergruppe gesehen besitzt der LMLSLMLSL-Modus folgende Noten (relativ der Tonika): 

1/1 9/8 7/6 21/16 4/3 3/2 27/16 7/4 16/9 2/1,

und die zwei alternierenden Generatorintervalle sind [[7/6]] ≈ 266.9 Cent, die septimale kleine Terz, bzw. [[8/7]] ≈ 231.2 Cent, die septimale große Sekunde.

Ähnliche Diasem-Skalen in [[31-EDO]] und manchen anderen [[EDO]]s ergeben sich hieraus, indem man den [[Patent-Val]] des EDOs auf jedes Intervall anwendet.

Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen wirkt die Austemperierung von 81/80 relativ wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte des syntonischen Kommas adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

== Beispiel in verschiedenen Diasem-EDOs ==
Eine Beispielkomposition im lydischartigen Diasem-Modus LSLLMLSLM. ([[:File:Diasem Lydian Example Score.pdf|Noten]])

[[File:Diasem Lydian Example 14edo.mp3]] [[14-EDO]], L:M:S = 2:1:1 (degeneriert; [[5L4s]] mit [[Härte|L/s-Wert]] 2/1)

[[File:Diasem Lydian Example 16edo.mp3]] [[16-EDO]], L:M:S = 2:2:1 (degeneriert; [[7L2s]] mit L/s-Wert 2/1)

[[File:Diasem Lydian Example 19edo.mp3]] [[19-EDO]], L:M:S = 3:1:1 (degeneriert; [[5L4s]] mit L/s-Wert 3/1)

[[File:Diasem Lydian Example 21edo.mp3]] [[21-EDO]], L:M:S = 3:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 24edo.mp3]] [[24-EDO]], L:M:S = 4:1:1 (degeneriert; [[5L4s]] mit L/s-Wert 4/1)

[[File:Diasem Lydian Example 26edo.mp3]] [[26-EDO]], L:M:S = 4:2:1

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[[File:Diasem Lydian Example 33edo.mp3]] [[33-EDO]], L:M:S = 5:3:1

[[File:Diasem Lydian Example 35edo.mp3]] [[35-EDO]], L:M:S = 5:4:1

[[File:Diasem Lydian Example 36edo.mp3]] [[36-EDO]], L:M:S = 6:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 38edo.mp3]] [[38-EDO]], L:M:S = 6:3:1

[[File:Diasem Lydian Example 41edo.mp3]] [[41-EDO]], L:M:S = 7:2:1


[[Kategorie:Reine Stimmung]]
[[Kategorie:MV3]]</text>
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|de = Diasem
|en = Diasem
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|ja =
}}
'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: nämlich kann man die 5L4s-Skala erhalten, indem man die mittleren und die kleinen Schritte der Diasem-Skala gleichstellt. Hingegen verschwinden die kleinen Schritte in der diatonischen Skala vollständig. Die Skala ist generiert durch das Aufeinanderschichten von zwei abwechselnden Generatorintervallen, in diesem Fall die "kleine Terz" LM und die "große Sekunde" LS; man nennt diese Eigenschaft die [[AG-Eigenschaft]] (AG steht für ''alternating-generator'').

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

{| class="wikitable"
|+ Vergleich mit den [[5L4s]]- und [[5L2s]]-Skalen in 62-EDO
|-
! Name !! Struktur !! Schrittgrößen !! Grafische Darstellung
|-
| Semiquartal || 5L4s || 10\62, 3\62 || ├─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┤
|-
| Diasem (enthalten in [[31-EDO]]) || 5L2m2s || 10\62, 4\62, 2\62 || ├─────────┼───┼─────────┼─┼─────────┼───┼─────────┼─┼─────────┤
|-
| Diatonisch (enthalten in [[31-EDO]]) || 5L2s || 10\62, 6\62 || ├─────────┼─────┼─────────╫─────────┼─────┼─────────╫─────────┤
|}

== Intervalle ==
Es folgt eine Tabelle für Diasem-Intervalle und deren Größe, ausgedrückt als Kombinationen der Schrittgrößen L, m und s. Bei gegebenen konkreten Größen für L, m und s kann man mithilfe folgender Ausdrücke ein beliebiges Intervall in der Diasem-Skala berechnen.

{| class="wikitable right-2 right-3 right-4 "
|+ Intervallgrößen in der Diasem-Skala
|-
!colspan=2|Intervallklasse(*)
! Größen
! In [[31edo]] (L:m:s = 5:2:1)
|- bgcolor="#eaeaff"
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| 2\31, 77.42¢
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| L
| 5\31, 193.55¢
|-
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!|&lt;small&gt;klein&lt;/small&gt;
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| 6\31, 232.26¢
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| 29\31, 1122.58¢
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| 30\31, 1161.29¢
|}
(*) In [[TAMNAMS]] bezeichnet der Begriff ''k-Step'' ein k-schrittiges Intervall in einer Skala, dabei beginnt die Nummerierung bei 0 und die perfekte Prime nennt man also ''perfektes 0-Step''. Die Oktave kann man als ''perfektes 9-Step'' bezeichnen.

== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
Als Skala in der 2.3.7-Untergruppe gesehen besitzt der LMLSLMLSL-Modus folgende Noten (relativ der Tonika): 

1/1 9/8 7/6 21/16 4/3 3/2 27/16 7/4 16/9 2/1,

und die zwei alternierenden Generatorintervalle sind [[7/6]] ≈ 266.9 Cent, die septimale kleine Terz, bzw. [[8/7]] ≈ 231.2 Cent, die septimale große Sekunde.

Ähnliche Diasem-Skalen in [[31-EDO]] und manchen anderen [[EDO]]s ergeben sich hieraus, indem man den [[Patent-Val]] des EDOs auf jedes Intervall anwendet.

Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen wirkt die Austemperierung von 81/80 relativ wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte des syntonischen Kommas adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

== Beispiel in verschiedenen Diasem-EDOs ==
Eine Beispielkomposition im lydischartigen Diasem-Modus LSLLMLSLM. ([[:File:Diasem Lydian Example Score.pdf|Noten]])

[[File:Diasem Lydian Example 14edo.mp3]] [[14-EDO]], L:M:S = 2:1:1 (degeneriert; [[5L4s]] mit [[Härte|L/s-Wert]] 2/1)

[[File:Diasem Lydian Example 16edo.mp3]] [[16-EDO]], L:M:S = 2:2:1 (degeneriert; [[7L2s]] mit L/s-Wert 2/1)

[[File:Diasem Lydian Example 19edo.mp3]] [[19-EDO]], L:M:S = 3:1:1 (degeneriert; [[5L4s]] mit L/s-Wert 3/1)

[[File:Diasem Lydian Example 21edo.mp3]] [[21-EDO]], L:M:S = 3:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 24edo.mp3]] [[24-EDO]], L:M:S = 4:1:1 (degeneriert; [[5L4s]] mit L/s-Wert 4/1)

[[File:Diasem Lydian Example 26edo.mp3]] [[26-EDO]], L:M:S = 4:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 28edo.mp3]] [[28-EDO]], L:M:S = 4:3:1

[[File:Diasem Lydian Example 31edo.mp3]] [[31-EDO]], L:M:S = 5:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 33edo.mp3]] [[33-EDO]], L:M:S = 5:3:1

[[File:Diasem Lydian Example 35edo.mp3]] [[35-EDO]], L:M:S = 5:4:1

[[File:Diasem Lydian Example 36edo.mp3]] [[36-EDO]], L:M:S = 6:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 38edo.mp3]] [[38-EDO]], L:M:S = 6:3:1

[[File:Diasem Lydian Example 41edo.mp3]] [[41-EDO]], L:M:S = 7:2:1


[[Kategorie:Reine Stimmung]]
[[Kategorie:MV3]]</text>
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|de = Diasem
|en = Diasem
|es =
|ja =
}}
'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: nämlich kann man die 5L4s-Skala erhalten, indem man die mittleren und die kleinen Schritte der Diasem-Skala gleichstellt. Hingegen verschwinden die kleinen Schritte in der diatonischen Skala vollständig. Die Skala ist generiert durch das Aufeinanderschichten von zwei abwechselnden Generatorintervallen, in diesem Fall die "kleine Terz" LM und die "große Sekunde" LS; man nennt diese Eigenschaft die [[AG-Eigenschaft]] (AG steht für ''alternating-generator'').

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

{| class="wikitable"
|+ Vergleich mit den [[5L4s]]- und [[5L2s]]-Skalen in 62-EDO
|-
! Name !! Struktur !! Schrittgrößen !! Grafische Darstellung
|-
| Semiquartal || 5L4s || 10\62, 3\62 || ├─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┤
|-
| Diasem (enthalten in [[31-EDO]]) || 5L2m2s || 10\62, 4\62, 2\62 || ├─────────┼───┼─────────┼─┼─────────┼───┼─────────┼─┼─────────┤
|-
| Diatonisch (enthalten in [[31-EDO]]) || 5L2s || 10\62, 6\62 || ├─────────┼─────┼─────────╫─────────┼─────┼─────────╫─────────┤
|}

== Intervalle ==
Es folgt eine Tabelle für Diasem-Intervalle und deren Größe, ausgedrückt als Kombinationen der Schrittgrößen L, m und s. Bei gegebenen konkreten Größen für L, m und s kann man mithilfe folgender Ausdrücke ein beliebiges Intervall in der Diasem-Skala berechnen.

{| class="wikitable right-2 right-3 right-4 "
|+ Intervallgrößen in der Diasem-Skala
|-
!colspan=2|Intervallklasse(*)
! Größen
! In [[31-EDO]] (L:m:s = 5:2:1)
|- bgcolor="#eaeaff"
!rowspan=3|[[TAMNAMS|1-Step]]
!| &lt;small&gt;klein&lt;/small&gt;
|| s
| 1\31, 38.71¢
|- bgcolor="#eaeaff"
!|&lt;small&gt;mittel&lt;/small&gt;
| m
| 2\31, 77.42¢
|- bgcolor="#eaeaff"
!|&lt;small&gt;groß&lt;/small&gt;
| L
| 5\31, 193.55¢
|-
!rowspan=3|[[TAMNAMS|2-Step]]
!|&lt;small&gt;klein&lt;/small&gt;
| L + s
| 6\31, 232.26¢
|-
!|&lt;small&gt;mittel&lt;/small&gt;
| L + m
| 7\31, 270.97¢
|-
!|&lt;small&gt;groß&lt;/small&gt;
| 2L
| 10\31, 387.10¢
|-  bgcolor="#eaeaff"
!rowspan=3|[[TAMNAMS|3-Step]]
!|&lt;small&gt;klein&lt;/small&gt;
| L + m + s
| 8\31, 309.68¢
|- bgcolor="#eaeaff"
!|&lt;small&gt;mittel&lt;/small&gt;
| 2L + s
| 11\31, 425.81¢
|- bgcolor="#eaeaff"
!|&lt;small&gt;groß&lt;/small&gt;
| 2L + m
| 12\31, 464.52¢
|- 
!rowspan=3|[[TAMNAMS|4-Step]]
!|&lt;small&gt;klein&lt;/small&gt;
| 2L + m + s
| 13\31, 503.23¢
|-
!|&lt;small&gt;mittel&lt;/small&gt;
| 3L + s
| 16\31, 619.35¢
|-
!|&lt;small&gt;groß&lt;/small&gt;
| 3L + m
| 17\31, 658.06¢
|- bgcolor="#eaeaff"
!rowspan=3|[[TAMNAMS|5-Step]]
!|&lt;small&gt;klein&lt;/small&gt;
| 2L + m + 2s
| 14\31, 541.94¢
|- bgcolor="#eaeaff"
!|&lt;small&gt;mittel&lt;/small&gt;
| 2L + 2m + s
| 15\31, 580.65¢
|- bgcolor="#eaeaff"
!|&lt;small&gt;groß&lt;/small&gt;
| 3L + m + s
| 18\31, 696.77¢
|-
!rowspan=3|[[TAMNAMS|6-Step]]
!|&lt;small&gt;klein&lt;/small&gt;
| 3L + m + 2s
| 19\31, 735.48¢
|-
!|&lt;small&gt;mittel&lt;/small&gt;
| 3L + 2m + s
| 20\31, 774.19¢
|-
!|&lt;small&gt;groß&lt;/small&gt;
| 4L + m + s
| 23\31, 890.32¢
|-  bgcolor="#eaeaff"
!rowspan=3|[[TAMNAMS|7-Step]]
!|&lt;small&gt;klein&lt;/small&gt;
| 3L + 2m + 2s
| 21\31, 812.90¢
|- bgcolor="#eaeaff"
!|&lt;small&gt;mittel&lt;/small&gt;
| 4L + m + 2s
| 24\31, 929.03¢
|- bgcolor="#eaeaff"
!|&lt;small&gt;groß&lt;/small&gt;
| 4L + 2m + s
| 25\31, 967.74¢
|- 
!rowspan=3|[[TAMNAMS|8-Step]]
!|&lt;small&gt;klein&lt;/small&gt;
| 4L + 2m + 2s
| 26\31, 1006.45¢
|-
!|&lt;small&gt;mittel&lt;/small&gt;
| 5L + m + 2s
| 29\31, 1122.58¢
|-
!|&lt;small&gt;groß&lt;/small&gt;
| 5L + 2m + s
| 30\31, 1161.29¢
|}
(*) In [[TAMNAMS]] bezeichnet der Begriff ''k-Step'' ein k-schrittiges Intervall in einer Skala, dabei beginnt die Nummerierung bei 0 und die perfekte Prime nennt man also ''perfektes 0-Step''. Die Oktave kann man als ''perfektes 9-Step'' bezeichnen.

== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
Als Skala in der 2.3.7-Untergruppe gesehen besitzt der LMLSLMLSL-Modus folgende Noten (relativ der Tonika): 

1/1 9/8 7/6 21/16 4/3 3/2 27/16 7/4 16/9 2/1,

und die zwei alternierenden Generatorintervalle sind [[7/6]] ≈ 266.9 Cent, die septimale kleine Terz, bzw. [[8/7]] ≈ 231.2 Cent, die septimale große Sekunde.

Ähnliche Diasem-Skalen in [[31-EDO]] und manchen anderen [[EDO]]s ergeben sich hieraus, indem man den [[Patent-Val]] des EDOs auf jedes Intervall anwendet.

Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen wirkt die Austemperierung von 81/80 relativ wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte des syntonischen Kommas adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

== Beispiel in verschiedenen Diasem-EDOs ==
Eine Beispielkomposition im lydischartigen Diasem-Modus LSLLMLSLM. ([[:File:Diasem Lydian Example Score.pdf|Noten]])

[[File:Diasem Lydian Example 14edo.mp3]] [[14-EDO]], L:M:S = 2:1:1 (degeneriert; [[5L4s]] mit [[Härte|L/s-Wert]] 2/1)

[[File:Diasem Lydian Example 16edo.mp3]] [[16-EDO]], L:M:S = 2:2:1 (degeneriert; [[7L2s]] mit L/s-Wert 2/1)

[[File:Diasem Lydian Example 19edo.mp3]] [[19-EDO]], L:M:S = 3:1:1 (degeneriert; [[5L4s]] mit L/s-Wert 3/1)

[[File:Diasem Lydian Example 21edo.mp3]] [[21-EDO]], L:M:S = 3:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 24edo.mp3]] [[24-EDO]], L:M:S = 4:1:1 (degeneriert; [[5L4s]] mit L/s-Wert 4/1)

[[File:Diasem Lydian Example 26edo.mp3]] [[26-EDO]], L:M:S = 4:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 28edo.mp3]] [[28-EDO]], L:M:S = 4:3:1

[[File:Diasem Lydian Example 31edo.mp3]] [[31-EDO]], L:M:S = 5:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 33edo.mp3]] [[33-EDO]], L:M:S = 5:3:1

[[File:Diasem Lydian Example 35edo.mp3]] [[35-EDO]], L:M:S = 5:4:1

[[File:Diasem Lydian Example 36edo.mp3]] [[36-EDO]], L:M:S = 6:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 38edo.mp3]] [[38-EDO]], L:M:S = 6:3:1

[[File:Diasem Lydian Example 41edo.mp3]] [[41-EDO]], L:M:S = 7:2:1


[[Kategorie:Reine Stimmung]]
[[Kategorie:MV3]]</text>
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|de = Diasem
|en = Diasem
|es =
|ja =
}}
'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: nämlich kann man die 5L4s-Skala erhalten, indem man die mittleren und die kleinen Schritte der Diasem-Skala gleichstellt. Hingegen verschwinden die kleinen Schritte in der diatonischen Skala vollständig. Die Skala ist generiert durch das Aufeinanderschichten von zwei abwechselnden Generatorintervallen, in diesem Fall die "kleine Terz" LM und die "große Sekunde" LS; man nennt diese Eigenschaft die [[AG-Eigenschaft]] (AG steht für ''alternating-generator'').

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

{| class="wikitable"
|+ Vergleich mit den [[5L4s]]- und [[5L2s]]-Skalen in 62-EDO
|-
! Name !! Struktur !! Schrittgrößen !! Grafische Darstellung
|-
| Semiquartal || 5L4s || 10\62, 3\62 || ├─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┤
|-
| Diasem (enthalten in [[31-EDO]]) || 5L2m2s || 10\62, 4\62, 2\62 || ├─────────┼───┼─────────┼─┼─────────┼───┼─────────┼─┼─────────┤
|-
| Diatonisch (enthalten in [[31-EDO]]) || 5L2s || 10\62, 6\62 || ├─────────┼─────┼─────────╫─────────┼─────┼─────────╫─────────┤
|}

== Intervalle ==
Es folgt eine Tabelle für Diasem-Intervalle und deren Größen, ausgedrückt als Kombinationen der Schrittgrößen L, m und s. Bei gegebenen konkreten Größen für L, m und s kann man mithilfe folgender Ausdrücke ein beliebiges Intervall in der Diasem-Skala berechnen.

{| class="wikitable right-2 right-3 right-4 "
|+ Intervallgrößen in der Diasem-Skala
|-
!colspan=2|Intervallklasse(*)
! Größen
! In [[31-EDO]] (L:m:s = 5:2:1)
|- bgcolor="#eaeaff"
!rowspan=3|[[TAMNAMS|1-Step]]
!| &lt;small&gt;klein&lt;/small&gt;
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| 1\31, 38.71¢
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| 2\31, 77.42¢
|- bgcolor="#eaeaff"
!|&lt;small&gt;groß&lt;/small&gt;
| L
| 5\31, 193.55¢
|-
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!|&lt;small&gt;klein&lt;/small&gt;
| L + s
| 6\31, 232.26¢
|-
!|&lt;small&gt;mittel&lt;/small&gt;
| L + m
| 7\31, 270.97¢
|-
!|&lt;small&gt;groß&lt;/small&gt;
| 2L
| 10\31, 387.10¢
|-  bgcolor="#eaeaff"
!rowspan=3|[[TAMNAMS|3-Step]]
!|&lt;small&gt;klein&lt;/small&gt;
| L + m + s
| 8\31, 309.68¢
|- bgcolor="#eaeaff"
!|&lt;small&gt;mittel&lt;/small&gt;
| 2L + s
| 11\31, 425.81¢
|- bgcolor="#eaeaff"
!|&lt;small&gt;groß&lt;/small&gt;
| 2L + m
| 12\31, 464.52¢
|- 
!rowspan=3|[[TAMNAMS|4-Step]]
!|&lt;small&gt;klein&lt;/small&gt;
| 2L + m + s
| 13\31, 503.23¢
|-
!|&lt;small&gt;mittel&lt;/small&gt;
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| 16\31, 619.35¢
|-
!|&lt;small&gt;groß&lt;/small&gt;
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!|&lt;small&gt;klein&lt;/small&gt;
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| 14\31, 541.94¢
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!|&lt;small&gt;mittel&lt;/small&gt;
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| 15\31, 580.65¢
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| 25\31, 967.74¢
|- 
!rowspan=3|[[TAMNAMS|8-Step]]
!|&lt;small&gt;klein&lt;/small&gt;
| 4L + 2m + 2s
| 26\31, 1006.45¢
|-
!|&lt;small&gt;mittel&lt;/small&gt;
| 5L + m + 2s
| 29\31, 1122.58¢
|-
!|&lt;small&gt;groß&lt;/small&gt;
| 5L + 2m + s
| 30\31, 1161.29¢
|}
(*) In [[TAMNAMS]] bezeichnet der Begriff ''k-Step'' ein k-schrittiges Intervall in einer Skala, dabei beginnt die Nummerierung bei 0 und die perfekte Prime nennt man also ''perfektes 0-Step''. Die Oktave kann man als ''perfektes 9-Step'' bezeichnen.

== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
Als Skala in der 2.3.7-Untergruppe gesehen besitzt der LMLSLMLSL-Modus folgende Noten (relativ der Tonika): 

1/1 9/8 7/6 21/16 4/3 3/2 27/16 7/4 16/9 2/1,

und die zwei alternierenden Generatorintervalle sind [[7/6]] ≈ 266.9 Cent, die septimale kleine Terz, bzw. [[8/7]] ≈ 231.2 Cent, die septimale große Sekunde.

Ähnliche Diasem-Skalen in [[31-EDO]] und manchen anderen [[EDO]]s ergeben sich hieraus, indem man den [[Patent-Val]] des EDOs auf jedes Intervall anwendet.

Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen wirkt die Austemperierung von 81/80 relativ wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte des syntonischen Kommas adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

== Beispiel in verschiedenen Diasem-EDOs ==
Eine Beispielkomposition im lydischartigen Diasem-Modus LSLLMLSLM. ([[:File:Diasem Lydian Example Score.pdf|Noten]])

[[File:Diasem Lydian Example 14edo.mp3]] [[14-EDO]], L:M:S = 2:1:1 (degeneriert; [[5L4s]] mit [[Härte|L/s-Wert]] 2/1)

[[File:Diasem Lydian Example 16edo.mp3]] [[16-EDO]], L:M:S = 2:2:1 (degeneriert; [[7L2s]] mit L/s-Wert 2/1)

[[File:Diasem Lydian Example 19edo.mp3]] [[19-EDO]], L:M:S = 3:1:1 (degeneriert; [[5L4s]] mit L/s-Wert 3/1)

[[File:Diasem Lydian Example 21edo.mp3]] [[21-EDO]], L:M:S = 3:2:1

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[[File:Diasem Lydian Example 26edo.mp3]] [[26-EDO]], L:M:S = 4:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 28edo.mp3]] [[28-EDO]], L:M:S = 4:3:1

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[[File:Diasem Lydian Example 35edo.mp3]] [[35-EDO]], L:M:S = 5:4:1

[[File:Diasem Lydian Example 36edo.mp3]] [[36-EDO]], L:M:S = 6:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 38edo.mp3]] [[38-EDO]], L:M:S = 6:3:1

[[File:Diasem Lydian Example 41edo.mp3]] [[41-EDO]], L:M:S = 7:2:1


[[Kategorie:Reine Stimmung]]
[[Kategorie:MV3]]</text>
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      <contributor>
        <username>Inthar</username>
        <id>9</id>
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      <comment>/* Intervalle */</comment>
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      <text bytes="7819" sha1="oikreqwktmwpnnl49e9thjdbycvvtj8" xml:space="preserve">{{interwiki
|de = Diasem
|en = Diasem
|es =
|ja =
}}
'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine von der Komponistin [[ks26]] erfundene [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der Name Diasem ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: nämlich kann man die 5L4s-Skala erhalten, indem man die mittleren und die kleinen Schritte der Diasem-Skala gleichstellt. Hingegen verschwinden die kleinen Schritte in der diatonischen Skala vollständig. Die Skala ist generiert durch das Aufeinanderschichten von zwei abwechselnden Generatorintervallen, in diesem Fall die "kleine Terz" LM und die "große Sekunde" LS; man nennt diese Eigenschaft die [[AG-Eigenschaft]] (AG steht für ''alternating-generator'').

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

{| class="wikitable"
|+ Vergleich mit den [[5L4s]]- und [[5L2s]]-Skalen in 62-EDO
|-
! Name !! Struktur !! Schrittgrößen !! Grafische Darstellung
|-
| Semiquartal || 5L4s || 10\62, 3\62 || ├─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┤
|-
| Diasem (enthalten in [[31-EDO]]) || 5L2m2s || 10\62, 4\62, 2\62 || ├─────────┼───┼─────────┼─┼─────────┼───┼─────────┼─┼─────────┤
|-
| Diatonisch (enthalten in [[31-EDO]]) || 5L2s || 10\62, 6\62 || ├─────────┼─────┼─────────╫─────────┼─────┼─────────╫─────────┤
|}

== Intervalle ==
Es folgt eine Tabelle für Diasem-Intervalle und deren Größen, ausgedrückt als Kombinationen der Schrittgrößen L, m und s. Bei gegebenen konkreten Größen für L, m und s kann man mithilfe folgender Ausdrücke ein beliebiges Intervall in der Diasem-Skala berechnen.

{| class="wikitable right-2 right-3 right-4 "
|+ Intervallgrößen in der Diasem-Skala
|-
!colspan=2|Intervallklasse(*)
! Größen
! In [[31-EDO]] (L:m:s = 5:2:1)
|- bgcolor="#eaeaff"
!rowspan=3|[[TAMNAMS|1-Step]]
!| &lt;small&gt;klein&lt;/small&gt;
|| s
| 1\31, 38,71¢
|- bgcolor="#eaeaff"
!|&lt;small&gt;mittel&lt;/small&gt;
| m
| 2\31, 77,42¢
|- bgcolor="#eaeaff"
!|&lt;small&gt;groß&lt;/small&gt;
| L
| 5\31, 193,55¢
|-
!rowspan=3|[[TAMNAMS|2-Step]]
!|&lt;small&gt;klein&lt;/small&gt;
| L + s
| 6\31, 232,26¢
|-
!|&lt;small&gt;mittel&lt;/small&gt;
| L + m
| 7\31, 270,97¢
|-
!|&lt;small&gt;groß&lt;/small&gt;
| 2L
| 10\31, 387,10¢
|-  bgcolor="#eaeaff"
!rowspan=3|[[TAMNAMS|3-Step]]
!|&lt;small&gt;klein&lt;/small&gt;
| L + m + s
| 8\31, 309,68¢
|- bgcolor="#eaeaff"
!|&lt;small&gt;mittel&lt;/small&gt;
| 2L + s
| 11\31, 425,81¢
|- bgcolor="#eaeaff"
!|&lt;small&gt;groß&lt;/small&gt;
| 2L + m
| 12\31, 464,52¢
|- 
!rowspan=3|[[TAMNAMS|4-Step]]
!|&lt;small&gt;klein&lt;/small&gt;
| 2L + m + s
| 13\31, 503,23¢
|-
!|&lt;small&gt;mittel&lt;/small&gt;
| 3L + s
| 16\31, 619,35¢
|-
!|&lt;small&gt;groß&lt;/small&gt;
| 3L + m
| 17\31, 658,06¢
|- bgcolor="#eaeaff"
!rowspan=3|[[TAMNAMS|5-Step]]
!|&lt;small&gt;klein&lt;/small&gt;
| 2L + m + 2s
| 14\31, 541,94¢
|- bgcolor="#eaeaff"
!|&lt;small&gt;mittel&lt;/small&gt;
| 2L + 2m + s
| 15\31, 580,65¢
|- bgcolor="#eaeaff"
!|&lt;small&gt;groß&lt;/small&gt;
| 3L + m + s
| 18\31, 696,77¢
|-
!rowspan=3|[[TAMNAMS|6-Step]]
!|&lt;small&gt;klein&lt;/small&gt;
| 3L + m + 2s
| 19\31, 735,48¢
|-
!|&lt;small&gt;mittel&lt;/small&gt;
| 3L + 2m + s
| 20\31, 774,19¢
|-
!|&lt;small&gt;groß&lt;/small&gt;
| 4L + m + s
| 23\31, 890,32¢
|-  bgcolor="#eaeaff"
!rowspan=3|[[TAMNAMS|7-Step]]
!|&lt;small&gt;klein&lt;/small&gt;
| 3L + 2m + 2s
| 21\31, 812,90¢
|- bgcolor="#eaeaff"
!|&lt;small&gt;mittel&lt;/small&gt;
| 4L + m + 2s
| 24\31, 929,03¢
|- bgcolor="#eaeaff"
!|&lt;small&gt;groß&lt;/small&gt;
| 4L + 2m + s
| 25\31, 967,74¢
|- 
!rowspan=3|[[TAMNAMS|8-Step]]
!|&lt;small&gt;klein&lt;/small&gt;
| 4L + 2m + 2s
| 26\31, 1006,45¢
|-
!|&lt;small&gt;mittel&lt;/small&gt;
| 5L + m + 2s
| 29\31, 1122,58¢
|-
!|&lt;small&gt;groß&lt;/small&gt;
| 5L + 2m + s
| 30\31, 1161,29¢
|}
(*) In [[TAMNAMS]] bezeichnet der Begriff ''k-Step'' ein k-schrittiges Intervall in einer Skala, dabei beginnt die Nummerierung bei 0 und die perfekte Prime nennt man also ''perfektes 0-Step''. Die Oktave kann man als ''perfektes 9-Step'' bezeichnen.

== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
Als Skala in der 2.3.7-Untergruppe gesehen besitzt der LMLSLMLSL-Modus folgende Noten (relativ der Tonika): 

1/1 9/8 7/6 21/16 4/3 3/2 27/16 7/4 16/9 2/1,

und die zwei alternierenden Generatorintervalle sind [[7/6]] ≈ 266.9 Cent, die septimale kleine Terz, bzw. [[8/7]] ≈ 231.2 Cent, die septimale große Sekunde.

Ähnliche Diasem-Skalen in [[31-EDO]] und manchen anderen [[EDO]]s ergeben sich hieraus, indem man den [[Patent-Val]] des EDOs auf jedes Intervall anwendet.

Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen wirkt die Austemperierung von 81/80 relativ wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte des syntonischen Kommas adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

== Beispiel in verschiedenen Diasem-EDOs ==
Eine Beispielkomposition im lydischartigen Diasem-Modus LSLLMLSLM. ([[:File:Diasem Lydian Example Score.pdf|Noten]])

[[File:Diasem Lydian Example 14edo.mp3]] [[14-EDO]], L:M:S = 2:1:1 (degeneriert; [[5L4s]] mit [[Härte|L/s-Wert]] 2/1)

[[File:Diasem Lydian Example 16edo.mp3]] [[16-EDO]], L:M:S = 2:2:1 (degeneriert; [[7L2s]] mit L/s-Wert 2/1)

[[File:Diasem Lydian Example 19edo.mp3]] [[19-EDO]], L:M:S = 3:1:1 (degeneriert; [[5L4s]] mit L/s-Wert 3/1)

[[File:Diasem Lydian Example 21edo.mp3]] [[21-EDO]], L:M:S = 3:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 24edo.mp3]] [[24-EDO]], L:M:S = 4:1:1 (degeneriert; [[5L4s]] mit L/s-Wert 4/1)

[[File:Diasem Lydian Example 26edo.mp3]] [[26-EDO]], L:M:S = 4:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 28edo.mp3]] [[28-EDO]], L:M:S = 4:3:1

[[File:Diasem Lydian Example 31edo.mp3]] [[31-EDO]], L:M:S = 5:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 33edo.mp3]] [[33-EDO]], L:M:S = 5:3:1

[[File:Diasem Lydian Example 35edo.mp3]] [[35-EDO]], L:M:S = 5:4:1

[[File:Diasem Lydian Example 36edo.mp3]] [[36-EDO]], L:M:S = 6:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 38edo.mp3]] [[38-EDO]], L:M:S = 6:3:1

[[File:Diasem Lydian Example 41edo.mp3]] [[41-EDO]], L:M:S = 7:2:1


[[Kategorie:Reine Stimmung]]
[[Kategorie:MV3]]</text>
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|de = Diasem
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}}
'''Diasem''' (eng. /'daɪəsɛm/) ist eine [[MV3-Skala]] mit Schrittmuster LSLMLSLML bzw. LMLSLMLSL (Diasem ist ''chiral''; diese zwei Muster sind also Spiegelbilder und sind keine Modi voneinander). Der (von der Komponistin ks26 gegebene) Name ist ein Kofferwort aus den Wörtern ''diatonic'' und ''semiquartal'' (oder die Temperatur ''[[Semaphor|semaphore]]''), weil sie ein Schrittmuster besitzt, das sowohl der "Semiquartal"-Skala ([[5L4s]], LSLSLSLSL) als auch der [[diatonisch]]en Skala ähnelt: nämlich kann man die 5L4s-Skala erhalten, indem man die mittleren und die kleinen Schritte der Diasem-Skala gleichstellt. Hingegen verschwinden die kleinen Schritte in der diatonischen Skala vollständig. Die Skala ist generiert durch das Aufeinanderschichten von zwei abwechselnden Generatorintervallen, in diesem Fall die "kleine Terz" LM und die "große Sekunde" LS; man nennt diese Eigenschaft die [[AG-Eigenschaft]] (AG steht für ''alternating-generator'').

Die Diasem-Skala kann als eine [[reine Stimmung|JI]]-Skala in der 2.3.7-[[Untergruppe]] realisiert werden, doch sie lässt sich auch bloß als eine Folge aus Schrittgrößen L &gt; M &gt; S verstehen.

{| class="wikitable"
|+ Vergleich mit den [[5L4s]]- und [[5L2s]]-Skalen in 62-EDO
|-
! Name !! Struktur !! Schrittgrößen !! Grafische Darstellung
|-
| Semiquartal || 5L4s || 10\62, 3\62 || ├─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┼──┼─────────┤
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| Diasem (enthalten in [[31-EDO]]) || 5L2m2s || 10\62, 4\62, 2\62 || ├─────────┼───┼─────────┼─┼─────────┼───┼─────────┼─┼─────────┤
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| Diatonisch (enthalten in [[31-EDO]]) || 5L2s || 10\62, 6\62 || ├─────────┼─────┼─────────╫─────────┼─────┼─────────╫─────────┤
|}

== Intervalle ==
Es folgt eine Tabelle für Diasem-Intervalle und deren Größen, ausgedrückt als Kombinationen der Schrittgrößen L, m und s. Bei gegebenen konkreten Größen für L, m und s kann man mithilfe folgender Ausdrücke ein beliebiges Intervall in der Diasem-Skala berechnen.

{| class="wikitable right-2 right-3 right-4 "
|+ Intervallgrößen in der Diasem-Skala
|-
!colspan=2|Intervallklasse(*)
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! In [[31-EDO]] (L:m:s = 5:2:1)
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| 6\31, 232,26¢
|-
!|&lt;small&gt;mittel&lt;/small&gt;
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| 7\31, 270,97¢
|-
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| 10\31, 387,10¢
|-  bgcolor="#eaeaff"
!rowspan=3|[[TAMNAMS|3-Step]]
!|&lt;small&gt;klein&lt;/small&gt;
| L + m + s
| 8\31, 309,68¢
|- bgcolor="#eaeaff"
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| 11\31, 425,81¢
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|- 
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|- 
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!|&lt;small&gt;klein&lt;/small&gt;
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|}
(*) In [[TAMNAMS]] bezeichnet der Begriff ''k-Step'' ein k-schrittiges Intervall in einer Skala, dabei beginnt die Nummerierung bei 0 und die perfekte Prime nennt man also ''perfektes 0-Step''. Die Oktave kann man als ''perfektes 9-Step'' bezeichnen.

== In reiner und ähnlichen Stimmungen ==
Als Skala in der 2.3.7-Untergruppe gesehen besitzt der LMLSLMLSL-Modus folgende Noten (relativ der Tonika): 

1/1 9/8 7/6 21/16 4/3 3/2 27/16 7/4 16/9 2/1,

und die zwei alternierenden Generatorintervalle sind [[7/6]] ≈ 266.9 Cent, die septimale kleine Terz, bzw. [[8/7]] ≈ 231.2 Cent, die septimale große Sekunde.

Ähnliche Diasem-Skalen in [[31-EDO]] und manchen anderen [[EDO]]s ergeben sich hieraus, indem man den [[Patent-Val]] des EDOs auf jedes Intervall anwendet.

Wie Superpyth eignet sich Diasem hervorragend für diatonische Melodien in der Untergruppe 2.3.7; es temperiert jedoch [[64/63]] nicht aus und fügt damit einer normalerweise diatonischen Skala zwei [[diësis]]große Schritte hinzu. Die Nicht-Austemperierung von 64/63 ist eigentlich recht nützlich, da es sich um die Differenz zwischen nur zwei [[4/3]]-Quarten und einer [[7/4]]-Septime handelt, so dass sich der Fehler auf nur zwei perfekte Quarten verteilt. Beim [[syntonisches Komma|syntonischen Komma]] verteilt sich der Fehler hingegen auf vier perfekte Quinten. Infolgedessen wirkt die Austemperierung von 81/80 relativ wenig an Genauigkeit, weil jede Quinte nur um etwa die Hälfte des syntonischen Kommas adjustiert werden muss, um die gleiche Optimierung für das [[P-Limit|5-Limit]] zu erreichen. Im Fall von 2.3.7 kann es sich also tatsächlich lohnen, kleine (diësis- bzw. kommagroße) Schrittgrößen in Kauf zu nehmen, um die Stimmungsgenauigkeit zu verbessern. Ein weiterer Vorteil der Detemperierung des Septimalkommas ist, dass man sowohl [[9/8]] und [[8/7]] als auch [[21/16]] und [[4/3]] in derselben Skala verwenden kann. Die [[Semaphore]]-Temperierung bewirkt in gewisser Weise das Gegenteil vom Effekt der [[Superpyth]]-Temperierung, indem es 64/63 so weit übertreibt, dass 21/16 nicht mehr erkennbar ist und die kleinen Schritte von Diasem den mittleren Schritten gleich werden.

== Beispiel in verschiedenen Diasem-EDOs ==
Eine Beispielkomposition im lydischartigen Diasem-Modus LSLLMLSLM. ([[:File:Diasem Lydian Example Score.pdf|Noten]])

[[File:Diasem Lydian Example 14edo.mp3]] [[14-EDO]], L:M:S = 2:1:1 (degeneriert; [[5L4s]] mit [[Härte|L/s-Wert]] 2/1)

[[File:Diasem Lydian Example 16edo.mp3]] [[16-EDO]], L:M:S = 2:2:1 (degeneriert; [[7L2s]] mit L/s-Wert 2/1)

[[File:Diasem Lydian Example 19edo.mp3]] [[19-EDO]], L:M:S = 3:1:1 (degeneriert; [[5L4s]] mit L/s-Wert 3/1)

[[File:Diasem Lydian Example 21edo.mp3]] [[21-EDO]], L:M:S = 3:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 24edo.mp3]] [[24-EDO]], L:M:S = 4:1:1 (degeneriert; [[5L4s]] mit L/s-Wert 4/1)

[[File:Diasem Lydian Example 26edo.mp3]] [[26-EDO]], L:M:S = 4:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 28edo.mp3]] [[28-EDO]], L:M:S = 4:3:1

[[File:Diasem Lydian Example 31edo.mp3]] [[31-EDO]], L:M:S = 5:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 33edo.mp3]] [[33-EDO]], L:M:S = 5:3:1

[[File:Diasem Lydian Example 35edo.mp3]] [[35-EDO]], L:M:S = 5:4:1

[[File:Diasem Lydian Example 36edo.mp3]] [[36-EDO]], L:M:S = 6:2:1

[[File:Diasem Lydian Example 38edo.mp3]] [[38-EDO]], L:M:S = 6:3:1

[[File:Diasem Lydian Example 41edo.mp3]] [[41-EDO]], L:M:S = 7:2:1


[[Kategorie:Reine Stimmung]]
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      <text bytes="1056" sha1="7571ckh9ew42iqr4ywz7fim1349r6u3" xml:space="preserve">'''5L4s''' ist eine [[MOS-Skala|MOS-Struktur]], die aus fünf großen Schritten und vier kleinen Schritten besteht; das entsprechende Schrittmuster lautet '''LsLsLsLsL''' (wenn man die verschiedenen Modi ignoriert). Ihr [[Periode]] beträgt eine Oktave, und ihr [[Generatorintervall]] liegt zwischen 1\5 (= 240 Cent) und 2\9 (≈ 266.7 Cent) (oder deren Oktavkomplement). Wenn das Generatorintervall 1\5 ist, verschwinden die S-Schritten. Wenn das Generatorintervall hingegen 2\9 ist, haben die L- und S-Schritten die gleiche Größe.

In der [[TAMNAMS]]-Nomenklatur heißt die Skala '''Semiquartal''', weil ihr Generatorintervall eine nichtdiatonische Intervallkategorie namens "Semiquarte" darstellt, also die Hälfte einer Quarte zwischen 2\5 ≈ 480 Cent und 4\9 ≈ 533.3 Cent.

Die kleinsten Semiquartal-EDOs:
* [[9-EDO]] (trivial, L/s = 1/1)
* [[32-EDO]] (L/s = 4/3)
* [[23-EDO]] (L/s = 3/2)
* [[37-EDO]] (L/s = 5/3)
* [[14-EDO]] (L/s = 2/1)
* [[33-EDO]] (L/s = 5/2)
* [[19-EDO]] (L/s = 3/1)
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In der [[TAMNAMS]]-Nomenklatur heißt die Skala '''Semiquartal''', weil ihr Generatorintervall eine nichtdiatonische Intervallkategorie namens "Semiquarte" darstellt, also die Hälfte einer Quarte zwischen 2\5 ≈ 480 Cent und 4\9 ≈ 533.3 Cent.

Die kleinsten Semiquartal-EDOs:
* [[9-EDO]] (trivial, L/s = 1/1)
* [[32-EDO]] (L/s = 4/3)
* [[23-EDO]] (L/s = 3/2)
* [[37-EDO]] (L/s = 5/3)
* [[14-EDO]] (L/s = 2/1)
* [[33-EDO]] (L/s = 5/2)
* [[19-EDO]] (L/s = 3/1)
* [[24-EDO]] (L/s = 4/1)
* [[5-EDO]] (trivial, L/s = 1/0)
== Skalenbaum ==
== Temperaturen ==
:''Hauptartikel: [[Semiphor, Semaphor, Godzilla]]''

[[Kategorie:MOS]]</text>
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In der [[TAMNAMS]]-Nomenklatur heißt die Skala '''Semiquartal''', weil ihr Generatorintervall eine nichtdiatonische Intervallkategorie namens "Semiquarte" darstellt, also die Hälfte einer Quarte zwischen 2\5 ≈ 480 Cent und 4\9 ≈ 533.3 Cent.

Die kleinsten Semiquartal-EDOs:
* [[9-EDO]] (trivial, L/s = 1/1)
* [[32-EDO]] (L/s = 4/3)
* [[23-EDO]] (L/s = 3/2)
* [[37-EDO]] (L/s = 5/3)
* [[14-EDO]] (L/s = 2/1)
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* [[19-EDO]] (L/s = 3/1)
* [[24-EDO]] (L/s = 4/1)
* [[5-EDO]] (trivial, L/s = 1/0)
== Intervalle ==
== Stimmungen ==
== Modi ==
== Skalenbaum ==
== Temperaturen ==
:''Hauptartikel: [[Semiphor, Semaphor, Godzilla]]''

[[Kategorie:MOS]]</text>
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In der [[TAMNAMS]]-Nomenklatur heißt die Skala '''Semiquartal''', weil ihr Generatorintervall eine nichtdiatonische Intervallkategorie namens "Semiquarte" darstellt, also die Hälfte einer Quarte zwischen 2\5 ≈ 480 Cent und 4\9 ≈ 533.3 Cent.

Die kleinsten Semiquartal-EDOs:
* [[9-EDO]] (trivial, L/s = 1/1)
* [[32-EDO]] (L/s = 4/3)
* [[23-EDO]] (L/s = 3/2)
* [[37-EDO]] (L/s = 5/3)
* [[14-EDO]] (L/s = 2/1)
* [[33-EDO]] (L/s = 5/2)
* [[19-EDO]] (L/s = 3/1)
* [[24-EDO]] (L/s = 4/1)
* [[5-EDO]] (trivial, L/s = 1/0)

== Intervalle ==
== Stimmungen ==
== Modi ==
== Skalenbaum ==
== Temperaturen ==
:''Hauptartikel: [[Semiphor, Semaphor, Godzilla]]''

[[Kategorie:MOS]]</text>
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In der [[TAMNAMS]]-Nomenklatur heißt die Skala '''Semiquartal''', weil ihr Generatorintervall eine nichtdiatonische Intervallkategorie namens "Semiquarte" darstellt, also die Hälfte einer Quarte zwischen 2\5 ≈ 480 Cent und 4\9 ≈ 533.3 Cent.

Die kleinsten Semiquartal-EDOs:
* [[9-EDO]] (trivial, L/s = 1/1)
* [[32-EDO]] (L/s = 4/3)
* [[23-EDO]] (L/s = 3/2)
* [[37-EDO]] (L/s = 5/3)
* [[14-EDO]] (L/s = 2/1)
* [[33-EDO]] (L/s = 5/2)
* [[19-EDO]] (L/s = 3/1)
* [[24-EDO]] (L/s = 4/1)
* [[5-EDO]] (trivial, L/s = 1/0)

== Intervalle ==
== Stimmungen ==
== Modi ==
== Skalenbaum ==
== Temperaturen ==
:''Hauptartikel: [[Semiphor, Semaphor, Godzilla]]''

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In der [[TAMNAMS]]-Nomenklatur heißt die Skala '''Semiquartal''', weil ihr Generatorintervall eine nichtdiatonische Intervallkategorie namens "Semiquarte" darstellt, also die Hälfte einer Quarte zwischen 2\5 ≈ 480 Cent und 4\9 ≈ 533.3 Cent.

Die kleinsten Semiquartal-EDOs:
* [[9-EDO]] (trivial, L/s = 1/1)
* [[32-EDO]] (L/s = 4/3)
* [[23-EDO]] (L/s = 3/2)
* [[37-EDO]] (L/s = 5/3)
* [[14-EDO]] (L/s = 2/1)
* [[33-EDO]] (L/s = 5/2)
* [[19-EDO]] (L/s = 3/1)
* [[24-EDO]] (L/s = 4/1)
* [[5-EDO]] (trivial, L/s = 1/0)

== Intervalle ==
== Stimmungen ==
== Modi ==
== Skalenbaum ==
== Temperaturen ==
:''Hauptartikel: [[Semiphor, Semaphor, Godzilla]]''

[[Kategorie:MOS]]</text>
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In der [[TAMNAMS]]-Nomenklatur heißt die Skala '''Semiquartal''', weil ihr Generatorintervall eine nichtdiatonische Intervallkategorie namens "[[Semiquarte]]" darstellt, also die Hälfte einer Quarte zwischen 2\5 ≈ 480 Cent und 4\9 ≈ 533.3 Cent.

Die kleinsten Semiquartal-EDOs:
* [[9-EDO]] (trivial, L/s = 1/1)
* [[32-EDO]] (L/s = 4/3)
* [[23-EDO]] (L/s = 3/2)
* [[37-EDO]] (L/s = 5/3)
* [[14-EDO]] (L/s = 2/1)
* [[33-EDO]] (L/s = 5/2)
* [[19-EDO]] (L/s = 3/1)
* [[24-EDO]] (L/s = 4/1)
* [[5-EDO]] (trivial, L/s = 1/0)

== Intervalle ==
== Stimmungen ==
== Modi ==
== Skalenbaum ==
== Temperaturen ==
:''Hauptartikel: [[Semiphor, Semaphor, Godzilla]]''

[[Kategorie:MOS]]</text>
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In der [[TAMNAMS]]-Nomenklatur heißt die Skala '''Semiquartal''', weil ihr Generatorintervall eine nichtdiatonische Intervallkategorie namens "[[Semiquarte]]" darstellt, also die Hälfte einer Quarte zwischen 2\5 ≈ 480 Cent und 4\9 ≈ 533.3 Cent.

Die kleinsten Semiquartal-EDOs:
* [[9-EDO]] (trivial, L/s = 1/1, Gen. = 2\9)
* [[32-EDO]] (L/s = 4/3, Gen. = 7\32)
* [[23-EDO]] (L/s = 3/2, Gen. = 5\23)
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* [[5-EDO]] (trivial, L/s = 1/0, Gen. = 1\5)

== Intervalle ==
== Stimmungen ==
== Modi ==
== Skalenbaum ==
== Temperaturen ==
:''Hauptartikel: [[Semiphor, Semaphor, Godzilla]]''

[[Kategorie:MOS]]</text>
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In der [[TAMNAMS]]-Nomenklatur heißt die Skala '''Semiquartal''', weil ihr Generatorintervall eine nichtdiatonische Intervallkategorie namens "[[Semiquarte]]" darstellt, also die Hälfte einer Quarte zwischen 2\5 ≈ 480 Cent und 4\9 ≈ 533.3 Cent.

Die kleinsten Semiquartal-EDOs:
* [[9-EDO]] (trivial, L/s = 1/1, Gen. = 2\9)
* [[32-EDO]] (L/s = 4/3, Gen. = 7\32)
* [[23-EDO]] (L/s = 3/2, Gen. = 5\23)
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== Intervalle ==
== Stimmungen ==
== Modi ==
== Skalenbaum ==
== Temperaturen ==
:''Hauptartikel: [[Semiphor, Semaphor, Godzilla]]''

[[Kategorie:MOS]]</text>
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In der [[TAMNAMS]]-Nomenklatur heißt die Skala '''Semiquartal''', weil ihr Generatorintervall eine nichtdiatonische Intervallkategorie namens "[[Semiquarte]]" darstellt, also die Hälfte einer Quarte zwischen 2\5 ≈ 480 Cent und 4\9 ≈ 533.3 Cent.

Die kleinsten Semiquartal-EDOs:
* [[9-EDO]] (trivial, L/s = 1/1, Gen. = 2\9)
* [[32-EDO]] (L/s = 4/3, Gen. = 7\32)
* [[23-EDO]] (L/s = 3/2, Gen. = 5\23)
* [[37-EDO]] (L/s = 5/3, Gen. = 8\37)
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* [[5-EDO]] (trivial, L/s = 1/0, Gen. = 1\5)

== Intervalle ==
== Stimmungen ==
== Modi ==
== Skalenbaum ==
== Temperaturen ==
:''Hauptartikel: [[Semiphor, Semaphor, Godzilla]]''

[[Kategorie:MOS]]</text>
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'''5L 4s''' ist eine [[MOS-Skala|MOS-Struktur]], die aus fünf großen Schritten (L) und vier kleinen Schritten (s) besteht; das entsprechende Schrittmuster lautet '''LsLsLsLsL''' (wenn man die verschiedenen Modi ignoriert). Ihr [[Periode]] beträgt eine Oktave, und ihr [[Generatorintervall]] liegt zwischen 1\5 (= 240 Cent) und 2\9 (≈ 266.7 Cent) (äquivalent gesagt, deren Oktavkomplementen). Wenn das Generatorintervall 1\5 ist, verschwinden die S-Schritten. Wenn das Generatorintervall hingegen 2\9 ist, sind die L- und s-Schrittgrößen gleich.

In der [[TAMNAMS]]-Nomenklatur heißt die Skala '''Semiquartal''', weil ihr Generatorintervall eine nichtdiatonische Intervallkategorie namens "[[Semiquarte]]" darstellt, also die Hälfte einer Quarte zwischen 2\5 ≈ 480 Cent und 4\9 ≈ 533.3 Cent.

Die kleinsten Semiquartal-EDOs:
* [[9-EDO]] (trivial, L/s = 1/1, Gen. = 2\9)
* [[32-EDO]] (L/s = 4/3, Gen. = 7\32)
* [[23-EDO]] (L/s = 3/2, Gen. = 5\23)
* [[37-EDO]] (L/s = 5/3, Gen. = 8\37)
* [[14-EDO]] (L/s = 2/1, Gen. = 3\14)
* [[33-EDO]] (L/s = 5/2, Gen. = 7\33)
* [[19-EDO]] (L/s = 3/1, Gen. = 4\19)
* [[24-EDO]] (L/s = 4/1, Gen. = 5\24)
* [[5-EDO]] (trivial, L/s = 1/0, Gen. = 1\5)

== Intervalle ==
== Stimmungen ==
== Modi ==
== Skalenbaum ==
== Temperaturen ==
:''Hauptartikel: [[Semiphor, Semaphor, Godzilla]]''

[[Kategorie:MOS]]</text>
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Als '''Härte''' einer gegebenen [[MOS-Skala]] aLbs bezeichnet man das Verhältnis L/s zwischen den Größen der großen (L-)Schritt und der kleinen (s-)Schritt. Beispielsweise ist die [[5L2s]]-Skala in [[17-EDO]] härter als die in [[12-EDO]], weil die erste das L/s-Wert 3/1 besitzt und die zweite das L/s-Wert 2/1.</text>
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Mit '''Härte''' einer gegebenen [[MOS-Skala]] aLbs versteht man das Verhältnis L/s zwischen den Größen der großen (L-)Schritt und der kleinen (s-)Schritt der Skala. Beispielsweise ist die [[5L2s]]-Skala in [[17-EDO]] härter als die in [[12-EDO]], weil die erste das L/s-Wert 3/1 besitzt und die zweite das L/s-Wert 2/1.
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Mit '''Härte''' einer gegebenen [[MOS-Skala]] aLbs versteht man das Verhältnis L/s zwischen den Größen der großen (L-)Schritt und der kleinen (s-)Schritt der Skala. 

Beispielsweise ist die [[5L2s]]-Skala in [[17-EDO]] härter als die in [[12-EDO]], weil die erste das L/s-Wert 3/1 besitzt und die zweite das L/s-Wert 2/1. Mit Stimmungen der diatonischen Skala, die weicher als die diatonische Skala in 12-EDO sind (z. B. [[31-EDO]], [[19-EDO]], [[26-EDO]]), erhält man [[mitteltönig]]e Stimmungen und [[Flattone]]-Stimmungen, mit härteren diatonischen Stimmungen (z. B. [[29-EDO]], [[17-EDO]], [[22-EDO]]) erhält man [[Neogotisch]]- oder [[Superpyth]]-Stimmungen.
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Mit '''Härte''' einer gegebenen [[MOS-Skala]] aLbs versteht man das Verhältnis L/s zwischen den Größen der großen (L-)Schritt und der kleinen (s-)Schritt der Skala. 

Beispielsweise ist die [[5L2s]]-Skala in [[17-EDO]] härter als die in [[12-EDO]], weil die erste das L/s-Wert 3/1 besitzt und die zweite das L/s-Wert 2/1. Mit Stimmungen der diatonischen Skala, die weicher als die diatonische Skala in 12-EDO sind (z. B. [[31-EDO]], [[19-EDO]], [[26-EDO]]), erhält man [[mitteltönig]]e Stimmungen und [[Flattone]]-Stimmungen, mit härteren diatonischen Stimmungen (z. B. [[29-EDO]], [[17-EDO]], [[22-EDO]]) erhält man hingegen [[Neogotisch]]- oder [[Superpyth]]-Stimmungen.
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Mit '''Härte''' einer gegebenen [[MOS-Skala]] aLbs versteht man das Verhältnis L/s zwischen den Größen des großen Schrittes (L) und des kleinen (s) der Skala. 

Beispielsweise ist die [[5L2s]]-Skala in [[17-EDO]] härter als die in [[12-EDO]], weil die erste das L/s-Wert 3/1 besitzt und die zweite das L/s-Wert 2/1. Mit Stimmungen der diatonischen Skala, die weicher als die diatonische Skala in 12-EDO sind (z. B. [[31-EDO]], [[19-EDO]], [[26-EDO]]), erhält man [[mitteltönig]]e Stimmungen und [[Flattone]]-Stimmungen, mit härteren diatonischen Stimmungen (z. B. [[29-EDO]], [[17-EDO]], [[22-EDO]]) erhält man hingegen [[Neogotisch]]- oder [[Superpyth]]-Stimmungen.
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Mit '''Härte''' einer gegebenen [[MOS-Skala]] aLbs versteht man das Verhältnis L/s zwischen den Größen des großen Schrittes (L) und des kleinen (s) der Skala. 

Beispielsweise ist die [[5L2s]]-Skala in [[17-EDO]] "härter" als die in [[12-EDO]], weil die erste das L/s-Wert 3/1 besitzt und die zweite das L/s-Wert 2/1. Mit Stimmungen der diatonischen Skala, die "weicher" als die diatonische Skala in 12-EDO sind (z. B. [[31-EDO]], [[19-EDO]], [[26-EDO]]), erhält man [[mitteltönig]]e Stimmungen und [[Flattone]]-Stimmungen, mit härteren diatonischen Stimmungen (z. B. [[29-EDO]], [[17-EDO]], [[22-EDO]]) erhält man hingegen [[Neogotisch]]- oder [[Superpyth]]-Stimmungen.
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Mit '''Härte''' einer gegebenen [[MOS-Skala]] aLbs versteht man das Verhältnis L/s zwischen den Größen des großen Schrittes (L) und des kleinen (s) der Skala. Die Härte einer solchen Skala liegt immer zwischen 1/1 und ∞; die Extremwerte sind degenerierte Fälle und stellen die extreme Werte der die MOS-Skala unterstützenden Stimmungen dar.

Beispielsweise ist die [[5L2s]]-Skala in [[17-EDO]] "härter" als die in [[12-EDO]], weil die erste das L/s-Wert 3/1 besitzt und die zweite das L/s-Wert 2/1. Mit Stimmungen der diatonischen Skala, die "weicher" als die diatonische Skala in 12-EDO sind (z. B. [[31-EDO]], [[19-EDO]], [[26-EDO]]), erhält man [[mitteltönig]]e Stimmungen und [[Flattone]]-Stimmungen, mit härteren diatonischen Stimmungen (z. B. [[29-EDO]], [[17-EDO]], [[22-EDO]]) erhält man hingegen [[Neogotisch]]- oder [[Superpyth]]-Stimmungen.
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Mit '''Härte''' einer gegebenen [[MOS-Skala]] aLbs versteht man das Verhältnis L/s zwischen den Größen des großen Schrittes (L) und des kleinen (s) der Skala. Größere L/s-Werte nennt man "härter" und kleinere L/s-Werte nannt man "weicher". Die Härte einer solchen Skala liegt immer zwischen 1/1 und ∞; die Extremwerte sind degenerierte Fälle und stellen die extreme Werte der die MOS-Skala unterstützenden Stimmungen dar.

Beispielsweise ist die [[5L2s]]-Skala in [[17-EDO]] härter als die in [[12-EDO]], weil die erste das L/s-Wert 3/1 besitzt und die zweite das L/s-Wert 2/1. Mit Stimmungen der diatonischen Skala, die weicher als die diatonische Skala in 12-EDO sind (z. B. [[31-EDO]], [[19-EDO]], [[26-EDO]]), erhält man [[mitteltönig]]e Stimmungen und [[Flattone]]-Stimmungen, mit härteren diatonischen Stimmungen (z. B. [[29-EDO]], [[17-EDO]], [[22-EDO]]) erhält man hingegen [[Neogotisch]]- oder [[Superpyth]]-Stimmungen.
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Mit '''Härte''' einer gegebenen [[MOS-Skala]] aLbs versteht man das Verhältnis L/s zwischen den Größen des großen Schrittes (L) und des kleinen (s) der Skala. Größere L/s-Werte nennt man "härter" und kleinere L/s-Werte nennt man "weicher". Die Härte einer solchen Skala liegt immer zwischen 1/1 und ∞; die Extremwerte sind degenerierte Fälle und stellen die extreme Werte der die MOS-Skala unterstützenden Stimmungen dar.

Beispielsweise ist die [[5L2s]]-Skala in [[17-EDO]] härter als die in [[12-EDO]], weil die erste das L/s-Wert 3/1 besitzt und die zweite das L/s-Wert 2/1. Mit Stimmungen der diatonischen Skala, die weicher als die diatonische Skala in 12-EDO sind (z. B. [[31-EDO]], [[19-EDO]], [[26-EDO]]), erhält man [[mitteltönig]]e Stimmungen und [[Flattone]]-Stimmungen, mit härteren diatonischen Stimmungen (z. B. [[29-EDO]], [[17-EDO]], [[22-EDO]]) erhält man hingegen [[Neogotisch]]- oder [[Superpyth]]-Stimmungen.
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Mit '''Härte''' einer gegebenen [[MOS-Skala]] aLbs versteht man das Verhältnis L/s zwischen den Größen des großen Schrittes (L) und des kleinen (s) der Skala. Größere L/s-Werte (bei denen L und S unterschiedlicher sind) nennt man "härter" und kleinere L/s-Werte (bei denen L und S gleicher sind) nennt man "weicher". Die Härte einer solchen Skala liegt immer zwischen 1/1 und ∞; die Extremwerte sind degenerierte Fälle und stellen die extreme Werte der die MOS-Skala unterstützenden Stimmungen dar.

Beispielsweise ist die [[5L2s]]-Skala in [[17-EDO]] härter als die in [[12-EDO]], weil die erste das L/s-Wert 3/1 besitzt und die zweite das L/s-Wert 2/1. Mit Stimmungen der diatonischen Skala, die weicher als die diatonische Skala in 12-EDO sind (z. B. [[31-EDO]], [[19-EDO]], [[26-EDO]]), erhält man [[mitteltönig]]e Stimmungen und [[Flattone]]-Stimmungen, mit härteren diatonischen Stimmungen (z. B. [[29-EDO]], [[17-EDO]], [[22-EDO]]) erhält man hingegen [[Neogotisch]]- oder [[Superpyth]]-Stimmungen.
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Mit '''Härte''' einer gegebenen [[MOS-Skala]] aLbs versteht man das Verhältnis L/s zwischen den Größen des großen Schrittes (L) und des kleinen (s) der Skala. Größere L/s-Werte (bei denen L und S unterschiedlicher sind) nennt man "härter" und kleinere (an 1 nähere) L/s-Werte (bei denen L und S gleicher sind) nennt man "weicher". Die Härte einer solchen Skala liegt immer zwischen 1/1 und ∞; die Extremwerte sind degenerierte Fälle und stellen die extreme Werte der die MOS-Skala unterstützenden Stimmungen dar.

Beispielsweise ist die [[5L2s]]-Skala in [[17-EDO]] härter als die in [[12-EDO]], weil die erste das L/s-Wert 3/1 besitzt und die zweite das L/s-Wert 2/1. Mit Stimmungen der diatonischen Skala, die weicher als die diatonische Skala in 12-EDO sind (z. B. [[31-EDO]], [[19-EDO]], [[26-EDO]]), erhält man [[mitteltönig]]e Stimmungen und [[Flattone]]-Stimmungen, mit härteren diatonischen Stimmungen (z. B. [[29-EDO]], [[17-EDO]], [[22-EDO]]) erhält man hingegen [[Neogotisch]]- oder [[Superpyth]]-Stimmungen.
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Mit '''Härte''' einer gegebenen [[MOS-Skala]] aLbs versteht man das Verhältnis L/s zwischen den Größen des großen Schrittes (L) und des kleinen (s) der Skala. Größere L/s-Werte (bei denen L und S unterschiedlicher sind) nennt man "härter" und kleinere (an 1 nähere) L/s-Werte (bei denen L und S gleicher sind) nennt man "weicher". Die Härte einer solchen Skala liegt immer zwischen 1/1 und ∞; die Extremwerte sind degenerierte Fälle und stellen die extremen Werte der die MOS-Skala unterstützenden Stimmungen dar.

Beispielsweise ist die [[5L2s]]-Skala in [[17-EDO]] härter als die in [[12-EDO]], weil die erste das L/s-Wert 3/1 besitzt und die zweite das L/s-Wert 2/1. Mit Stimmungen der diatonischen Skala, die weicher als die diatonische Skala in 12-EDO sind (z. B. [[31-EDO]], [[19-EDO]], [[26-EDO]]), erhält man [[mitteltönig]]e Stimmungen und [[Flattone]]-Stimmungen, mit härteren diatonischen Stimmungen (z. B. [[29-EDO]], [[17-EDO]], [[22-EDO]]) erhält man hingegen [[Neogotisch]]- oder [[Superpyth]]-Stimmungen.
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Mit '''Härte''' einer gegebenen [[MOS-Skala]] aLbs versteht man das Verhältnis L/s zwischen den Größen des großen Schrittes (L) und des kleinen (s) der Skala. Größere L/s-Werte (bei denen L und S unterschiedlicher sind) nennt man "härter" und kleinere (an 1 nähere) L/s-Werte (bei denen L und S gleicher sind) nennt man "weicher". Die Härte einer solchen Skala liegt immer zwischen 1/1 und ∞; die Extremwerte sind degenerierte Fälle und stellen die Grenzwerte der die MOS-Skala unterstützenden Stimmungen dar.

Beispielsweise ist die [[5L2s]]-Skala in [[17-EDO]] härter als die in [[12-EDO]], weil die erste das L/s-Wert 3/1 besitzt und die zweite das L/s-Wert 2/1. Mit Stimmungen der diatonischen Skala, die weicher als die diatonische Skala in 12-EDO sind (z. B. [[31-EDO]], [[19-EDO]], [[26-EDO]]), erhält man [[mitteltönig]]e Stimmungen und [[Flattone]]-Stimmungen, mit härteren diatonischen Stimmungen (z. B. [[29-EDO]], [[17-EDO]], [[22-EDO]]) erhält man hingegen [[Neogotisch]]- oder [[Superpyth]]-Stimmungen.
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Mit '''Härte''' einer gegebenen [[MOS-Skala]] aLbs versteht man das Verhältnis L/s zwischen den Größen des großen Schrittes (L) und des kleinen (s) der Skala. Größere L/s-Werte (bei denen L und S unterschiedlicher sind) nennt man "härter" und kleinere (an 1 nähere) L/s-Werte (bei denen L und S gleicher sind) nennt man "weicher". Die Härte einer solchen Skala liegt immer zwischen 1/1 und ∞. Die Extremwerte sind degenerierte Fälle und stellen die Grenzwerte der die MOS-Skala unterstützenden Stimmungen dar, beispielsweise die Werte 4\7 (für L/s = 1/1) und 3\5 (für L/s 1/0) bei [[5L2s]].

Beispielsweise ist die [[5L2s]]-Skala in [[17-EDO]] härter als die in [[12-EDO]], weil die erste das L/s-Wert 3/1 besitzt und die zweite das L/s-Wert 2/1. Mit Stimmungen der diatonischen Skala, die weicher als die diatonische Skala in 12-EDO sind (z. B. [[31-EDO]], [[19-EDO]], [[26-EDO]]), erhält man [[mitteltönig]]e Stimmungen und [[Flattone]]-Stimmungen, mit härteren diatonischen Stimmungen (z. B. [[29-EDO]], [[17-EDO]], [[22-EDO]]) erhält man hingegen [[Neogotisch]]- oder [[Superpyth]]-Stimmungen.
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Mit '''Härte''' bzw. '''Schrittverhältnis''' einer gegebenen [[MOS-Skala]] aLbs versteht man das Verhältnis L/s zwischen den Größen des großen Schrittes (L) und des kleinen (s) der Skala. Größere L/s-Werte (bei denen L und S unterschiedlicher sind) nennt man "härter" und kleinere (an 1 nähere) L/s-Werte (bei denen L und S gleicher sind) nennt man "weicher". Die Härte einer solchen Skala liegt immer zwischen 1/1 und ∞. Die Extremwerte sind degenerierte Fälle und stellen die Grenzwerte der die MOS-Skala unterstützenden Stimmungen dar, beispielsweise die Werte 4\7 (für L/s = 1/1) und 3\5 (für L/s 1/0) bei [[5L2s]].

Beispielsweise ist die [[5L2s]]-Skala in [[17-EDO]] härter als die in [[12-EDO]], weil die erste das L/s-Wert 3/1 besitzt und die zweite das L/s-Wert 2/1. Mit Stimmungen der diatonischen Skala, die weicher als die diatonische Skala in 12-EDO sind (z. B. [[31-EDO]], [[19-EDO]], [[26-EDO]]), erhält man [[mitteltönig]]e Stimmungen und [[Flattone]]-Stimmungen, mit härteren diatonischen Stimmungen (z. B. [[29-EDO]], [[17-EDO]], [[22-EDO]]) erhält man hingegen [[Neogotisch]]- oder [[Superpyth]]-Stimmungen.
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Mit '''Härte''' bzw. '''Schrittverhältnis''' einer gegebenen [[MOS-Skala]] aLbs versteht man das Verhältnis L/s zwischen den Größen des großen Schrittes (L) und des kleinen (s) der Skala. Größere L/s-Werte (bei denen L und s unterschiedlicher sind) nennt man "härter" und kleinere (an 1 nähere) L/s-Werte (bei denen L und s gleicher sind) nennt man "weicher". Die Härte einer solchen Skala liegt immer zwischen 1/1 und ∞. Die Extremwerte sind degenerierte Fälle und stellen die Grenzwerte der die MOS-Skala unterstützenden Stimmungen dar, beispielsweise die Werte 4\7 (für L/s = 1/1) und 3\5 (für L/s 1/0) bei [[5L2s]].

Beispielsweise ist die [[5L2s]]-Skala in [[17-EDO]] härter als die in [[12-EDO]], weil die erste das L/s-Wert 3/1 besitzt und die zweite das L/s-Wert 2/1. Mit Stimmungen der diatonischen Skala, die weicher als die diatonische Skala in 12-EDO sind (z. B. [[31-EDO]], [[19-EDO]], [[26-EDO]]), erhält man [[mitteltönig]]e Stimmungen und [[Flattone]]-Stimmungen, mit härteren diatonischen Stimmungen (z. B. [[29-EDO]], [[17-EDO]], [[22-EDO]]) erhält man hingegen [[Neogotisch]]- oder [[Superpyth]]-Stimmungen.
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Mit '''Härte''' bzw. '''Schrittverhältnis''' einer gegebenen [[MOS-Skala]] aLbs versteht man das Verhältnis L/s zwischen den Größen des großen Schrittes (L) und des kleinen (s) der Skala. Größere L/s-Werte (bei denen L und s unterschiedlicher sind) nennt man "härter" und kleinere (an 1 nähere) L/s-Werte (bei denen L und s gleicher sind) nennt man "weicher". Die Härte einer solchen Skala liegt immer zwischen 1/1 und ∞. Die Extremwerte sind degenerierte Fälle und stellen die Grenzwerte der die MOS-Skala unterstützenden Stimmungen dar, beispielsweise die Werte 4\7 (für L/s = 1/1) und 3\5 (für L/s 1/0) bei der diatonischen MOS [[5L2s]].

Beispielsweise ist die [[5L2s]]-Skala in [[17-EDO]] härter als die in [[12-EDO]], weil die erste das L/s-Wert 3/1 besitzt und die zweite das L/s-Wert 2/1. Mit Stimmungen der diatonischen Skala, die weicher als die diatonische Skala in 12-EDO sind (z. B. [[31-EDO]], [[19-EDO]], [[26-EDO]]), erhält man [[mitteltönig]]e Stimmungen und [[Flattone]]-Stimmungen, mit härteren diatonischen Stimmungen (z. B. [[29-EDO]], [[17-EDO]], [[22-EDO]]) erhält man hingegen [[Neogotisch]]- oder [[Superpyth]]-Stimmungen.
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Mit '''Härte''' bzw. '''Schrittverhältnis''' einer gegebenen [[MOS-Skala]] aLbs versteht man das Verhältnis L/s zwischen den Größen des großen Schrittes (L) und des kleinen (s) der Skala. Größere L/s-Werte (bei denen L und s unterschiedlicher sind) nennt man "härter" und kleinere (an 1 nähere) L/s-Werte (bei denen L und s gleicher sind) nennt man "weicher". Die Härte einer solchen Skala liegt immer zwischen 1/1 und ∞. Die Extremwerte sind degenerierte Fälle und stellen die Grenzwerte der die MOS-Skala unterstützenden Stimmungen dar, beispielsweise die Werte 4\7 (für L/s = 1/1) und 3\5 (für L/s = 1/0) bei der diatonischen MOS [[5L2s]].

Beispielsweise ist die [[5L2s]]-Skala in [[17-EDO]] härter als die in [[12-EDO]], weil die erste das L/s-Wert 3/1 besitzt und die zweite das L/s-Wert 2/1. Mit Stimmungen der diatonischen Skala, die weicher als die diatonische Skala in 12-EDO sind (z. B. [[31-EDO]], [[19-EDO]], [[26-EDO]]), erhält man [[mitteltönig]]e Stimmungen und [[Flattone]]-Stimmungen, mit härteren diatonischen Stimmungen (z. B. [[29-EDO]], [[17-EDO]], [[22-EDO]]) erhält man hingegen [[Neogotisch]]- oder [[Superpyth]]-Stimmungen.
[[Kategorie:MOS]][[Kategorie:Begriff]]</text>
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Mit '''Härte''' bzw. '''Schrittverhältnis''' einer gegebenen [[MOS-Skala]] aLbs versteht man das Verhältnis L/s zwischen den Größen des großen Schrittes (L) und des kleinen (s) der Skala. Größere L/s-Werte (bei denen L und s unterschiedlicher sind) nennt man "härter" und kleinere (an 1 nähere) L/s-Werte (bei denen L und s gleicher sind) nennt man "weicher". Die Härte einer solchen Skala liegt immer zwischen 1/1 und ∞. Die Extremwerte sind degenerierte Fälle und stellen die Grenzwerte der die MOS-Skala unterstützenden Stimmungen dar, beispielsweise die Werte 4\7 (für L/s = 1/1) und 3\5 (für L/s = 1/0) bei der diatonischen MOS [[5L2s]].

Beispielsweise ist die [[5L2s]]-Skala in [[17-EDO]] härter als die in [[12-EDO]], weil die erste das L/s-Wert 3/1 besitzt und die zweite das L/s-Wert 2/1. Mit Stimmungen der diatonischen Skala, die weicher als die diatonische Skala in 12-EDO sind (z. B. [[31-EDO]], [[19-EDO]], [[26-EDO]]), erhält man [[mitteltönig]]e Stimmungen und [[Flattone]]-Stimmungen, mit härteren diatonischen Stimmungen (z. B. [[29-EDO]], [[17-EDO]], [[22-EDO]]) erhält man hingegen [[Neogotisch]]- oder [[Superpyth]]-Stimmungen.
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}}
Mit '''Schrittverhältnis''' bzw. '''Härte''' einer gegebenen [[MOS-Skala]] aLbs versteht man das Verhältnis L/s zwischen den Größen des großen Schrittes (L) und des kleinen (s) der Skala. Größere L/s-Werte (bei denen L und s unterschiedlicher sind) nennt man "härter" und kleinere (an 1 nähere) L/s-Werte (bei denen L und s gleicher sind) nennt man "weicher". Die Härte einer solchen Skala liegt immer zwischen 1/1 und ∞. Die Extremwerte sind degenerierte Fälle und stellen die Grenzwerte der die MOS-Skala unterstützenden Stimmungen dar, beispielsweise die Werte 4\7 (für L/s = 1/1) und 3\5 (für L/s = 1/0) bei der diatonischen MOS [[5L2s]].

Beispielsweise ist die [[5L2s]]-Skala in [[17-EDO]] härter als die in [[12-EDO]], weil die erste das L/s-Wert 3/1 besitzt und die zweite das L/s-Wert 2/1. Mit Stimmungen der diatonischen Skala, die weicher als die diatonische Skala in 12-EDO sind (z. B. [[31-EDO]], [[19-EDO]], [[26-EDO]]), erhält man [[mitteltönig]]e Stimmungen und [[Flattone]]-Stimmungen, mit härteren diatonischen Stimmungen (z. B. [[29-EDO]], [[17-EDO]], [[22-EDO]]) erhält man hingegen [[Neogotisch]]- oder [[Superpyth]]-Stimmungen.
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}}
Mit '''Schrittverhältnis''' bzw. '''Härte''' einer gegebenen [[MOS-Skala]] aLbs versteht man das Verhältnis L/s zwischen den Größen des großen Schrittes (L) und des kleinen (s) der Skala. Größere L/s-Werte (bei denen L und s unterschiedlicher sind) nennt man "härter" und kleinere (an 1 nähere) L/s-Werte (bei denen L und s gleicher sind) nennt man "weicher". Die Härte einer solchen Skala liegt immer zwischen 1/1 und ∞. Die Extremwerte sind degenerierte Fälle und stellen die Grenzwerte der die MOS-Skala unterstützenden Stimmungen dar, beispielsweise die Werte 4\7 (für L/s = 1/1) und 3\5 (für L/s = 1/0) bei der diatonischen MOS [[5L2s]].

Beispielsweise ist die [[5L2s]]-Skala in [[17-EDO]] härter als die in [[12-EDO]], weil die erste das L/s-Wert 3/1 besitzt und die zweite das L/s-Wert 2/1. Mit Stimmungen der diatonischen Skala, die weicher als die diatonische Skala in 12-EDO sind (z. B. [[31-EDO]], [[19-EDO]], [[26-EDO]]), erhält man [[mitteltönig]]e Stimmungen und [[Flattone]]-Stimmungen, mit härteren diatonischen Stimmungen (z. B. [[29-EDO]], [[17-EDO]], [[22-EDO]]) erhält man hingegen [[Neogotisch]]- oder [[Superpyth]]-Stimmungen.
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Das englische ''step ratio'' ist aus meiner Sicht treffender. Ins Deutschen wäre das vielleicht als Schrittverhältnis, Schrittweitenverhältnis oder Schrittweitenbalance zu übersetzen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 17:37, 12. Aug. 2021 (UTC)</text>
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Das englische ''[[en:step ratio|step ratio]]'' ist aus meiner Sicht treffender. Ins Deutschen wäre das vielleicht als Schrittverhältnis, Schrittweitenverhältnis oder Schrittweitenbalance zu übersetzen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 17:37, 12. Aug. 2021 (UTC)</text>
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Das englische ''[[en:step ratio|step ratio]]'' ist aus meiner Sicht treffender. Ins Deutschen wäre das vielleicht als Schrittverhältnis, Schrittweitenverhältnis oder Schrittweitenbalance zu übersetzen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 17:57, 12. Aug. 2021 (UTC)</text>
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Das englische ''[[en:step ratio|step ratio]]'' ist aus meiner Sicht treffender. Ins Deutschen wäre das vielleicht als Schrittverhältnis, Schrittweitenverhältnis oder Schrittweitenbalance zu übersetzen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 17:57, 12. Aug. 2021 (UTC)

== Wertebereich ==

Ich halte einen Wertebereich von 1 bis ∞ für eher unpraktisch. Da die Definition aber aus dem Englischen stammt, wäre es besser die Diskussion dort zu führen (siehe dortigen Abschnitt [[en:talk:step ratio#Range of values|''Range of values'']]). --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 18:00, 12. Aug. 2021 (UTC)</text>
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      <text bytes="733" sha1="fjapp7ya8y545ezxpp4vpw39j7jaw3s" xml:space="preserve">== Benennung ==

Das englische ''[[en:step ratio|step ratio]]'' ist aus meiner Sicht treffender. Ins Deutschen wäre das vielleicht als Schrittverhältnis, Schrittweitenverhältnis oder Schrittweitenbalance zu übersetzen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 17:57, 12. Aug. 2021 (UTC)

== Wertebereich ==

Ich halte den Wertebereich von &lt;code&gt;1&lt;/code&gt; bis &lt;code&gt;∞&lt;/code&gt; für wenig praxisgerecht. Da die Definition aber aus dem englischen Artikel [[en:Step ratio|''Step ratio'']] stammt, habe ich Diskussion dort eröffnet (→[[en:talk:step ratio#Range of values|''Range of values'']]). --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 18:05, 12. Aug. 2021 (UTC)</text>
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Das englische ''[[en:step ratio|step ratio]]'' ist aus meiner Sicht treffender. Ins Deutschen wäre das vielleicht als Schrittverhältnis, Schrittweitenverhältnis oder Schrittweitenbalance zu übersetzen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 17:57, 12. Aug. 2021 (UTC)

: Hmm, ist "hart" und "weich" keine gute Metapher auf Deutsch für das Klang extremer und gleicher Schrittverhältnisse? [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 11:15, 19. Aug. 2022 (UTC)

== Wertebereich ==

Ich halte den Wertebereich von &lt;code&gt;1&lt;/code&gt; bis &lt;code&gt;∞&lt;/code&gt; für wenig praxisgerecht. Da die Definition aber aus dem englischen Artikel [[en:Step ratio|''Step ratio'']] stammt, habe ich Diskussion dort eröffnet (→[[en:talk:step ratio#Range of values|''Range of values'']]). --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 18:05, 12. Aug. 2021 (UTC)</text>
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Das englische ''[[en:step ratio|step ratio]]'' ist aus meiner Sicht treffender. Ins Deutschen wäre das vielleicht als Schrittverhältnis, Schrittweitenverhältnis oder Schrittweitenbalance zu übersetzen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 17:57, 12. Aug. 2021 (UTC)

: Hmm, ist "hart" und "weich" keine gute Metapher auf Deutsch für das Klang extremer und gleicher Schrittverhältnisse? [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 11:15, 19. Aug. 2022 (UTC)

== Wertebereich ==

Ich halte den Wertebereich von &lt;code&gt;1&lt;/code&gt; bis &lt;code&gt;∞&lt;/code&gt; für wenig praxisgerecht. Da die Definition aber aus dem englischen Artikel [[en:Step ratio|''Step ratio'']] stammt, habe ich Diskussion dort eröffnet (→[[en:talk:step ratio#Range of values|''Range of values'']]). --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 18:05, 12. Aug. 2021 (UTC)</text>
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Das englische ''[[en:step ratio|step ratio]]'' ist aus meiner Sicht treffender. Ins Deutschen wäre das vielleicht als Schrittverhältnis, Schrittweitenverhältnis oder Schrittweitenbalance zu übersetzen. --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 17:57, 12. Aug. 2021 (UTC)

: Hmm, ist "hart" und "weich" keine gute Metapher auf Deutsch für das Klang größerer und kleinerer Schrittverhältnisse? [[Benutzer:Inthar|Inthar]] ([[Benutzer Diskussion:Inthar|Diskussion]]) 11:15, 19. Aug. 2022 (UTC)

== Wertebereich ==

Ich halte den Wertebereich von &lt;code&gt;1&lt;/code&gt; bis &lt;code&gt;∞&lt;/code&gt; für wenig praxisgerecht. Da die Definition aber aus dem englischen Artikel [[en:Step ratio|''Step ratio'']] stammt, habe ich Diskussion dort eröffnet (→[[en:talk:step ratio#Range of values|''Range of values'']]). --[[Benutzer:Xenwolf|Xenwolf]] ([[Benutzer Diskussion:Xenwolf|Diskussion]]) 18:05, 12. Aug. 2021 (UTC)</text>
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	/*** Start editing here ***/

	// When you want to end your break?
	// no leading zeroes. (example: 9 - correct, 09 - incorrect)

	var date = { year: 2100, month: 2, day: 11};
	var time = { hours: 20, minutes: 22, seconds: 0 };

	/*** Stop editing here ***/
	
	var currentDate = new Date();
	var enforcedBreakEnd = new Date(
		date.year,date.month-1,date.day,time.hours,time.minutes,time.seconds);
	if (currentDate &lt;= enforcedBreakEnd) 
	{
		alert("Enforced wikibreak until "+enforcedBreakEnd.toLocaleString()
			+ "\n(now is "+currentDate.toLocaleString()+")\n\nBye!");
		mw.loader.using(["mediawiki.api", "mediawiki.user"]).then(function ()
		{
			new mw.Api().post(
			{
				action: 'logout',
				token: mw.user.tokens.get('csrfToken')
			}).done(function (data)
			{
				location = "//" + location.host + "/w/index.php?title="
					 + "Special:Userlogin&amp;returnto=Main_Page";
			}).fail(function ()
			{
				console.log("logout failed")
			});
		});
	}
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/*** END WIKIBREAK ENFORCER ***/</text>
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      <comment>Die Seite wurde neu angelegt: „{{interwiki | de = 23edo | en = 23edo | es =  | ja = 23平均律 }} [[EDO|Übersicht EDO]]  '''23-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 23 gleiche Teile von j…“</comment>
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| de = 23edo
| en = 23edo
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| ja = 23平均律
}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

'''23-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 23 gleiche Teile von je ca. 52.2 [[Cent]]s Grösse, zeichnet sich erst einmal dadurch aus, dass von den ungeraden Obertönen vom dritten bis zum elften '''kein einziger''' mit einer Genauigkeit von weniger als 20 Cents getroffen wird. Das bedeutet, diese Stimmung bietet weder [[Quinte]]n, noch Quarten, noch [[Naturterz]]en und auch keine [[Naturseptime]]n oder [[Alphorn-Fa]]s in zufriedenstellender Reinheit. Und nicht nur das - 23edo ist auch das feinste gleichstufige System mit dieser Eigenschaft - d. h. keine höhere Unterteilung bietet solche Verstimmung. Wenn man also nach einem Tonsystem sucht, das sich vom Standardsystem möglichst stark unterscheidet, ist 23edo ohne Zweifel einer der grossen Favoriten.

Dabei ist 23edo durchaus kein "nur-dissonantes" System. Die Intervalle der [[Obertonreihe]] selbst trifft es nur schlecht, aber die Intervalle zwischen ihnen ([[5/3]], [[7/3]], [[11/3]], [[7/5]], [[11/5]], [[11/7]]) and Kombinationen von ihnen ([[15/8]], [[21/16]], [[33/32]], [[35/32]], [[55/32]], [[77/64]]) trifft es teils sehr gut.

Es ist also sehr wohl möglich, konsonante, harmonische Musik damit zu machen - sie wird nur sehr anders klingen als man es gewohnt ist. Genau das kann ja eben sehr spannend sein.

[ToDo weitere Eigenschaften, Skalen, Harmonie]

[ToDo Historische Bedeutung]
 
[ToDo Hörbeispiele]</text>
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| de = 23edo
| en = 23edo
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| ja = 23平均律
}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

'''23-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 23 gleiche Teile von je ca. 52.2 [[Cent]]s Grösse, zeichnet sich erst einmal dadurch aus, dass von den ungeraden Obertönen vom dritten bis zum elften '''kein einziger''' mit einer Genauigkeit von weniger als 20 Cents getroffen wird. Das bedeutet, diese Stimmung bietet weder  [[Reine Quinte|Quintne]] , noch Quarten, noch [[Naturterz|Terzen]] und auch keine [[Naturseptime]]n oder [[Alphorn-Fa]]s in zufriedenstellender Reinheit. Und nicht nur das - 23edo ist auch das feinste gleichstufige System mit dieser Eigenschaft - d. h. keine höhere Unterteilung bietet solche Verstimmung. Wenn man also nach einem Tonsystem sucht, das sich vom Standardsystem möglichst stark unterscheidet, ist 23edo ohne Zweifel einer der grossen Favoriten.

Dabei ist 23edo durchaus kein "nur-dissonantes" System. Die Intervalle der [[Obertonreihe]] selbst trifft es nur schlecht, aber die Intervalle zwischen ihnen ([[5/3]], [[7/3]], [[11/3]], [[7/5]], [[11/5]], [[11/7]]) and Kombinationen von ihnen ([[15/8]], [[21/16]], [[33/32]], [[35/32]], [[55/32]], [[77/64]]) trifft es teils sehr gut.

Es ist also sehr wohl möglich, konsonante, harmonische Musik damit zu machen - sie wird nur sehr anders klingen als man es gewohnt ist. Genau das kann ja eben sehr spannend sein.

[ToDo weitere Eigenschaften, Skalen, Harmonie]

[ToDo Historische Bedeutung]
 
[ToDo Hörbeispiele]</text>
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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

'''23-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 23 gleiche Teile von je ca. 52.2 [[Cent]]s Grösse, zeichnet sich erst einmal dadurch aus, dass von den ungeraden Obertönen vom dritten bis zum elften '''kein einziger''' mit einer Genauigkeit von weniger als 20 Cents getroffen wird. Das bedeutet, diese Stimmung bietet weder  [[Reine Quinte|Quinten]] , noch Quarten, noch [[Naturterz|Terzen]] und auch keine [[Naturseptime]]n oder [[Alphorn-Fa]]s in zufriedenstellender Reinheit. Und nicht nur das - 23edo ist auch das feinste gleichstufige System mit dieser Eigenschaft - d. h. keine höhere Unterteilung bietet solche Verstimmung. Wenn man also nach einem Tonsystem sucht, das sich vom Standardsystem möglichst stark unterscheidet, ist 23edo ohne Zweifel einer der grossen Favoriten.

Dabei ist 23edo durchaus kein "nur-dissonantes" System. Die Intervalle der [[Obertonreihe]] selbst trifft es nur schlecht, aber die Intervalle zwischen ihnen ([[5/3]], [[7/3]], [[11/3]], [[7/5]], [[11/5]], [[11/7]]) and Kombinationen von ihnen ([[15/8]], [[21/16]], [[33/32]], [[35/32]], [[55/32]], [[77/64]]) trifft es teils sehr gut.

Es ist also sehr wohl möglich, konsonante, harmonische Musik damit zu machen - sie wird nur sehr anders klingen als man es gewohnt ist. Genau das kann ja eben sehr spannend sein.

[ToDo weitere Eigenschaften, Skalen, Harmonie]

[ToDo Historische Bedeutung]
 
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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

'''23-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 23 gleiche Teile von je ca. 52.2 [[Cent]]s Grösse, zeichnet sich erst einmal dadurch aus, dass von den ungeraden Obertönen vom dritten bis zum elften '''kein einziger''' mit einer Genauigkeit von weniger als 20 Cents getroffen wird. Das bedeutet, diese Stimmung bietet weder Quinten, noch Quarten, noch [[Naturterz|Terzen]] und auch keine [[Naturseptime]]n oder [[Alphorn-Fa]]s in zufriedenstellender Reinheit. Und nicht nur das - 23edo ist auch das feinste gleichstufige System mit dieser Eigenschaft - d. h. keine höhere Unterteilung bietet solche Verstimmung. Wenn man also nach einem Tonsystem sucht, das sich vom Standardsystem möglichst stark unterscheidet, ist 23edo ohne Zweifel einer der grossen Favoriten.

Dabei ist 23edo durchaus kein "nur-dissonantes" System. Die Intervalle der [[Obertonreihe]] selbst trifft es nur schlecht, aber die Intervalle zwischen ihnen ([[5/3]], [[7/3]], [[11/3]], [[7/5]], [[11/5]], [[11/7]]) and Kombinationen von ihnen ([[15/8]], [[21/16]], [[33/32]], [[35/32]], [[55/32]], [[77/64]]) trifft es teils sehr gut.

Es ist also sehr wohl möglich, konsonante, harmonische Musik damit zu machen - sie wird nur sehr anders klingen als man es gewohnt ist. Genau das kann ja eben sehr spannend sein.

[ToDo weitere Eigenschaften, Skalen, Harmonie]

[ToDo Historische Bedeutung]
 
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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''23-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 23 gleiche Teile von je ca. 52.2 [[Cent]]s Grösse, zeichnet sich erst einmal dadurch aus, dass von den ungeraden Obertönen vom dritten bis zum elften '''kein einziger''' mit einer Genauigkeit von weniger als 20 Cents getroffen wird. Das bedeutet, diese Stimmung bietet weder [[Quinte]]n, noch [[Quarte]]n, noch [[Naturterz|Terzen]] und auch keine [[Naturseptime]]n oder [[Alphorn-Fa]]s in zufriedenstellender Reinheit. Und nicht nur das - 23edo ist auch das feinste gleichstufige System mit dieser Eigenschaft - d. h. keine höhere Unterteilung bietet solche Verstimmung. Wenn man also nach einem Tonsystem sucht, das sich vom Standardsystem möglichst stark unterscheidet, ist 23edo ohne Zweifel einer der grossen Favoriten.

Dabei ist 23edo durchaus kein "nur-dissonantes" System. Die Intervalle der [[Obertonreihe]] selbst trifft es nur schlecht, aber die Intervalle zwischen ihnen ([[5/3]], [[7/3]], [[11/3]], [[7/5]], [[11/5]], [[11/7]]) and Kombinationen von ihnen ([[15/8]], [[21/16]], [[33/32]], [[35/32]], [[55/32]], [[77/64]]) trifft es teils sehr gut.

Es ist also sehr wohl möglich, konsonante, harmonische Musik damit zu machen - sie wird nur sehr anders klingen als man es gewohnt ist. Genau das kann ja eben sehr spannend sein.

[ToDo weitere Eigenschaften, Skalen, Harmonie]

[ToDo Historische Bedeutung]
 
[ToDo Hörbeispiele]</text>
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}}

[[EDO|Übersicht EDO]]

'''23-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 23 gleiche Teile von je ca. 52.2 [[Cent]]s Grösse, zeichnet sich erst einmal dadurch aus, dass von den ungeraden Obertönen vom dritten bis zum elften '''kein einziger''' mit einer Genauigkeit von weniger als 20 Cents getroffen wird. Das bedeutet, diese Stimmung bietet weder [[Quinte]]n, noch [[Quarte]]n, noch [[Naturterz|Terzen]] und auch keine [[Naturseptime]]n oder [[Alphorn-Fa]]s in zufriedenstellender Reinheit. Und nicht nur das - 23edo ist auch das feinste gleichstufige System mit dieser Eigenschaft - d. h. keine höhere Unterteilung bietet solche Verstimmung. Wenn man also nach einem Tonsystem sucht, das sich vom Standardsystem möglichst stark unterscheidet, ist 23edo ohne Zweifel einer der grossen Favoriten.

Dabei ist 23edo durchaus kein "nur-dissonantes" System. Die Intervalle der [[Obertonreihe]] selbst trifft es nur schlecht, aber die Intervalle zwischen ihnen ([[5/3]], [[7/3]], [[11/3]], [[7/5]], [[11/5]], [[11/7]]) and Kombinationen von ihnen ([[15/8]], [[21/16]], [[33/32]], [[35/32]], [[55/32]], [[77/64]]) trifft es teils sehr gut.

Es ist also sehr wohl möglich, konsonante, harmonische Musik damit zu machen - sie wird nur sehr anders klingen als man es gewohnt ist. Genau das kann ja eben sehr spannend sein.

[ToDo weitere Eigenschaften, Skalen, Harmonie]

[ToDo Historische Bedeutung]
 
[ToDo Hörbeispiele]</text>
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| de = 23edo
| en = 23edo
| ja = 23平均律
}}

[[EDO|Übersicht EDO]]

'''23-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 23 gleiche Teile von je ca. 52.2 [[Cent]]s Grösse, zeichnet sich erst einmal dadurch aus, dass von den ungeraden Obertönen vom dritten bis zum elften '''kein einziger''' mit einem Fehler von weniger als 20 Cents getroffen wird. Das bedeutet, diese Stimmung bietet weder [[Quinte]]n, noch [[Quarte]]n, noch [[Naturterz|Terzen]] und auch keine [[Naturseptime]]n oder [[Alphorn-Fa]]s in zufriedenstellender Reinheit. Und nicht nur das - 23edo ist auch das feinste gleichstufige System mit dieser Eigenschaft - d. h. keine höhere Unterteilung bietet solche Verstimmung. Wenn man also nach einem Tonsystem sucht, das sich vom Standardsystem möglichst stark unterscheidet, ist 23edo ohne Zweifel einer der grossen Favoriten.

Dabei ist 23edo durchaus kein "nur-dissonantes" System. Die Intervalle der [[Obertonreihe]] selbst trifft es nur schlecht, aber die Intervalle zwischen ihnen ([[5/3]], [[7/3]], [[11/3]], [[7/5]], [[11/5]], [[11/7]]) and Kombinationen von ihnen ([[15/8]], [[21/16]], [[33/32]], [[35/32]], [[55/32]], [[77/64]]) trifft es teils sehr gut.

Es ist also sehr wohl möglich, konsonante, harmonische Musik damit zu machen - sie wird nur sehr anders klingen als man es gewohnt ist. Genau das kann ja eben sehr spannend sein.

[ToDo weitere Eigenschaften, Skalen, Harmonie]

[ToDo Historische Bedeutung]
 
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}}

[[EDO|Übersicht EDO]]

'''23-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 23 gleiche Teile von je ca. 52.2 [[Cent]]s Grösse, zeichnet sich erst einmal dadurch aus, dass von den ungeraden Obertönen vom dritten bis zum elften '''kein einziger''' mit einem Fehler von weniger als 20 Cents getroffen wird. Das bedeutet, diese Stimmung bietet weder [[Quinte]]n, noch [[Quarte]]n, noch [[Naturterz|Terzen]] und auch keine [[Naturseptime]]n oder [[Alphorn-Fa]]s in zufriedenstellender Reinheit. Und nicht nur das - 23edo ist auch das kleinste gleichstufige System mit dieser Eigenschaft - d. h. keine höhere Unterteilung bietet solche Verstimmung. Wenn man also nach einem Tonsystem sucht, das sich vom Standardsystem möglichst stark unterscheidet, ist 23edo ohne Zweifel einer der grossen Favoriten.

Dabei ist 23edo durchaus kein "nur-dissonantes" System. Die Intervalle der [[Obertonreihe]] selbst trifft es nur schlecht, aber die Intervalle zwischen ihnen ([[5/3]], [[7/3]], [[11/3]], [[7/5]], [[11/5]], [[11/7]]) and Kombinationen von ihnen ([[15/8]], [[21/16]], [[33/32]], [[35/32]], [[55/32]], [[77/64]]) trifft es teils sehr gut.

Es ist also sehr wohl möglich, konsonante, harmonische Musik damit zu machen - sie wird nur sehr anders klingen als man es gewohnt ist. Genau das kann ja eben sehr spannend sein.

[ToDo Historische Bedeutung]
 
= Reguläre Temperaturen =
Die niedrige 23-EDO-Quinte (678.26 [[Cent]]) fungiert als Generator für eine [[Mavila]-Temperatur. Es gibt entsprechend die für Mavila typischen [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige "antidiatonische" (2 grosse und 5 kleine Intervall e) sowie eine neuntönige "superdiatonischen) (7 grosse und 2 kleine Intervalle).

[Todo Hörbeispiele]

= Gestreckte Stimmungen =
Die besten Approximationen für Quinte und grosse Terz sind in 23-EDO beide deutlich zu tief. Dies kann verbessert werden durch eine Streckung der Oktaven. Bei Verwendung einer gestreckten Oktave von ca. 1206 Cent verbessern sich diese Intervalle deutlich, und wir bekommen auch recht gute Versionen der antidiatonischen und der superdiatonischen [[Mavila]]-Skala, mit einer Quinte, die deutlich besser ist als etwas die von[[16-EDO]].</text>
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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''23-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 23 gleiche Teile von je ca. 52.2 [[Cent]]s Grösse, zeichnet sich erst einmal dadurch aus, dass von den ungeraden Obertönen vom dritten bis zum elften '''kein einziger''' mit einem Fehler von weniger als 20 Cents getroffen wird. Das bedeutet, diese Stimmung bietet weder [[Quinte]]n, noch [[Quarte]]n, noch [[Naturterz|Terzen]] und auch keine [[Naturseptime]]n oder [[Alphorn-Fa]]s in zufriedenstellender Reinheit. Und nicht nur das - 23edo ist auch das kleinste gleichstufige System mit dieser Eigenschaft - d. h. keine höhere Unterteilung bietet solche Verstimmung. Wenn man also nach einem Tonsystem sucht, das sich vom Standardsystem möglichst stark unterscheidet, ist 23edo ohne Zweifel einer der grossen Favoriten.

Dabei ist 23edo durchaus kein "nur-dissonantes" System. Die Intervalle der [[Obertonreihe]] selbst trifft es nur schlecht, aber die Intervalle zwischen ihnen ([[5/3]], [[7/3]], [[11/3]], [[7/5]], [[11/5]], [[11/7]]) and Kombinationen von ihnen ([[15/8]], [[21/16]], [[33/32]], [[35/32]], [[55/32]], [[77/64]]) trifft es teils sehr gut.

Es ist also sehr wohl möglich, konsonante, harmonische Musik damit zu machen - sie wird nur sehr anders klingen als man es gewohnt ist. Genau das kann ja eben sehr spannend sein.

[ToDo Historische Bedeutung]

= Reguläre Temperaturen =
Die niedrige 23-EDO-Quinte (678.26 [[Cent]]) fungiert als Generator für eine [[Mavila]-Temperatur. Es gibt entsprechend die für Mavila typischen [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige "antidiatonische" (2 grosse und 5 kleine Intervall e) sowie eine neuntönige "superdiatonischen) (7 grosse und 2 kleine Intervalle).

[Todo Hörbeispiele]

= Gestreckte Stimmungen =
Die besten Approximationen für Quinte und grosse Terz sind in 23-EDO beide deutlich zu tief. Dies kann verbessert werden durch eine Streckung der Oktaven. Bei Verwendung einer gestreckten Oktave von ca. 1206 Cent verbessern sich diese Intervalle deutlich, und wir bekommen auch recht gute Versionen der antidiatonischen und der superdiatonischen [[Mavila]]-Skala, mit einer Quinte, die deutlich besser ist als etwas die von[[16-EDO]].</text>
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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''23-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 23 gleiche Teile von je ca. 52.2 [[Cent]]s Grösse, zeichnet sich erst einmal dadurch aus, dass von den ungeraden Obertönen vom dritten bis zum elften '''kein einziger''' mit einem Fehler von weniger als 20 Cents getroffen wird. Das bedeutet, diese Stimmung bietet weder [[Quinte]]n, noch [[Quarte]]n, noch [[Naturterz|Terzen]] und auch keine [[Naturseptime]]n oder [[Alphorn-Fa]]s in zufriedenstellender Reinheit. Und nicht nur das - 23edo ist auch das kleinste gleichstufige System mit dieser Eigenschaft - d. h. keine höhere Unterteilung bietet solche Verstimmung. Wenn man also nach einem Tonsystem sucht, das sich vom Standardsystem möglichst stark unterscheidet, ist 23edo ohne Zweifel einer der grossen Favoriten.

Dabei ist 23edo durchaus kein "nur-dissonantes" System. Die Intervalle der [[Obertonreihe]] selbst trifft es nur schlecht, aber die Intervalle zwischen ihnen ([[5/3]], [[7/3]], [[11/3]], [[7/5]], [[11/5]], [[11/7]]) and Kombinationen von ihnen ([[15/8]], [[21/16]], [[33/32]], [[35/32]], [[55/32]], [[77/64]]) trifft es teils sehr gut.

Es ist also sehr wohl möglich, konsonante, harmonische Musik damit zu machen - sie wird nur sehr anders klingen als man es gewohnt ist. Genau das kann ja eben sehr spannend sein.

[ToDo Historische Bedeutung]

= Reguläre Temperaturen =
Die niedrige 23-EDO-Quinte (678.26 [[Cent]]) fungiert als Generator für eine [[Mavila]-Temperatur. Es gibt entsprechend die für Mavila typischen [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige "antidiatonische" (2 grosse und 5 kleine Intervall e) sowie eine neuntönige "superdiatonischen) (7 grosse und 2 kleine Intervalle).

[Todo Hörbeispiele]

= Gestreckte Stimmungen =
Die besten Approximationen für Quinte und grosse Terz sind in 23-EDO beide deutlich zu tief. Dies kann verbessert werden durch eine [[Gestreckte/gestauchte Stimmung|Streckung]] der Oktaven. Bei Verwendung einer gestreckten Oktave von ca. 1206 Cent verbessern sich diese Intervalle deutlich, und wir bekommen auch recht gute Versionen der antidiatonischen und der superdiatonischen [[Mavila]]-Skala, mit einer Quinte, die deutlich besser ist als etwas die von[[16-EDO]].

Siehe [[:en:23edo_and_octave_stretching]] im englischen Xenwiki.</text>
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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''23-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 23 gleiche Teile von je ca. 52.2 [[Cent]]s Grösse, zeichnet sich erst einmal dadurch aus, dass von den ungeraden Obertönen vom dritten bis zum elften '''kein einziger''' mit einem Fehler von weniger als 20 Cents getroffen wird. Das bedeutet, diese Stimmung bietet weder [[Quinte]]n, noch [[Quarte]]n, noch [[Naturterz|Terzen]] und auch keine [[Naturseptime]]n oder [[Alphorn-Fa]]s in zufriedenstellender Reinheit. Und nicht nur das - 23edo ist auch das kleinste gleichstufige System mit dieser Eigenschaft - d. h. keine höhere Unterteilung bietet solche Verstimmung. Wenn man also nach einem Tonsystem sucht, das sich vom Standardsystem möglichst stark unterscheidet, ist 23edo ohne Zweifel einer der grossen Favoriten.

Dabei ist 23edo durchaus kein "nur-dissonantes" System. Die Intervalle der [[Obertonreihe]] selbst trifft es nur schlecht, aber die Intervalle zwischen ihnen ([[5/3]], [[7/3]], [[11/3]], [[7/5]], [[11/5]], [[11/7]]) and Kombinationen von ihnen ([[15/8]], [[21/16]], [[33/32]], [[35/32]], [[55/32]], [[77/64]]) trifft es teils sehr gut.

Es ist also sehr wohl möglich, konsonante, harmonische Musik damit zu machen - sie wird nur sehr anders klingen als man es gewohnt ist. Genau das kann ja eben sehr spannend sein.

[ToDo Historische Bedeutung]

= Reguläre Temperaturen =
Die niedrige 23-EDO-Quinte (678.26 [[Cent]]) fungiert als Generator für eine [[Mavila]-Temperatur. Es gibt entsprechend die für Mavila typischen [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige "antidiatonische" (2 grosse und 5 kleine Intervall e) sowie eine neuntönige "superdiatonischen) (7 grosse und 2 kleine Intervalle).

[Todo Hörbeispiele]

= Gestreckte Stimmungen =
Die besten Approximationen für Quinte und grosse Terz sind in 23-EDO beide deutlich zu tief. Dies kann verbessert werden durch eine [[Gestreckte/gestauchte Stimmung|Streckung]] der Oktaven. Bei Verwendung einer gestreckten Oktave von ca. 1206 Cent verbessern sich diese Intervalle deutlich, und wir bekommen auch recht gute Versionen der antidiatonischen und der superdiatonischen [[Mavila]]-Skala, mit einer Quinte, die deutlich besser ist als etwas die von[[16-EDO]].

Siehe [[:en:23edo_and_octave_stretching|23edo and octave stretchinh]] im englischen Xenwiki.</text>
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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''23-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 23 gleiche Teile von je ca. 52.2 [[Cent]]s Grösse, zeichnet sich erst einmal dadurch aus, dass von den ungeraden Obertönen vom dritten bis zum elften '''kein einziger''' mit einem Fehler von weniger als 20 Cents getroffen wird. Das bedeutet, diese Stimmung bietet weder [[Quinte]]n, noch [[Quarte]]n, noch [[Naturterz|Terzen]] und auch keine [[Naturseptime]]n oder [[Alphorn-Fa]]s in zufriedenstellender Reinheit. Und nicht nur das - 23edo ist auch das kleinste gleichstufige System mit dieser Eigenschaft - d. h. keine höhere Unterteilung bietet solche Verstimmung. Wenn man also nach einem Tonsystem sucht, das sich vom Standardsystem möglichst stark unterscheidet, ist 23edo ohne Zweifel einer der grossen Favoriten.

Dabei ist 23edo durchaus kein "nur-dissonantes" System. Die Intervalle der [[Obertonreihe]] selbst trifft es nur schlecht, aber die Intervalle zwischen ihnen ([[5/3]], [[7/3]], [[11/3]], [[7/5]], [[11/5]], [[11/7]]) and Kombinationen von ihnen ([[15/8]], [[21/16]], [[33/32]], [[35/32]], [[55/32]], [[77/64]]) trifft es teils sehr gut.

Es ist also sehr wohl möglich, konsonante, harmonische Musik damit zu machen - sie wird nur sehr anders klingen als man es gewohnt ist. Genau das kann ja eben sehr spannend sein.

[ToDo Historische Bedeutung]

= Reguläre Temperaturen =
Die niedrige 23-EDO-Quinte (678.26 [[Cent]]) fungiert als Generator für eine [[Mavila]-Temperatur. Es gibt entsprechend die für Mavila typischen [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige "antidiatonische" (2 grosse und 5 kleine Intervall e) sowie eine neuntönige "superdiatonischen) (7 grosse und 2 kleine Intervalle).

[Todo Hörbeispiele]

= Gestreckte Stimmungen =
Die besten Approximationen für Quinte und grosse Terz sind in 23-EDO beide deutlich zu tief. Dies kann verbessert werden durch eine [[Gestreckte/gestauchte Stimmung|Streckung]] der Oktaven. Bei Verwendung einer gestreckten Oktave von ca. 1206 Cent verbessern sich diese Intervalle deutlich, und wir bekommen auch recht gute Versionen der antidiatonischen und der superdiatonischen [[Mavila]]-Skala, mit einer Quinte, die deutlich besser ist als etwas die von[[16-EDO]].

Siehe [[:en:23edo_and_octave_stretching|23edo and octave stretchigh]] im englischen Xenwiki.</text>
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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''23-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 23 gleiche Teile von je ca. 52.2 [[Cent]]s Grösse, zeichnet sich erst einmal dadurch aus, dass von den ungeraden Obertönen vom dritten bis zum elften '''kein einziger''' mit einem Fehler von weniger als 20 Cents getroffen wird. Das bedeutet, diese Stimmung bietet weder [[Quinte]]n, noch [[Quarte]]n, noch [[Naturterz|Terzen]] und auch keine [[Naturseptime]]n oder [[Alphorn-Fa]]s in zufriedenstellender Reinheit. Und nicht nur das - 23edo ist auch das kleinste gleichstufige System mit dieser Eigenschaft - d. h. keine höhere Unterteilung bietet solche Verstimmung. Wenn man also nach einem Tonsystem sucht, das sich vom Standardsystem möglichst stark unterscheidet, ist 23edo ohne Zweifel einer der grossen Favoriten.

Dabei ist 23edo durchaus kein "nur-dissonantes" System. Die Intervalle der [[Obertonreihe]] selbst trifft es nur schlecht, aber die Intervalle zwischen ihnen ([[5/3]], [[7/3]], [[11/3]], [[7/5]], [[11/5]], [[11/7]]) and Kombinationen von ihnen ([[15/8]], [[21/16]], [[33/32]], [[35/32]], [[55/32]], [[77/64]]) trifft es teils sehr gut.

Es ist also sehr wohl möglich, konsonante, harmonische Musik damit zu machen - sie wird nur sehr anders klingen als man es gewohnt ist. Genau das kann ja eben sehr spannend sein.

[ToDo Historische Bedeutung]

= Reguläre Temperaturen =
Die niedrige 23-EDO-Quinte (678.26 [[Cent]]) fungiert als Generator für eine [[Mavila]-Temperatur. Es gibt entsprechend die für Mavila typischen [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige "antidiatonische" (2 grosse und 5 kleine Intervall e) sowie eine neuntönige "superdiatonischen) (7 grosse und 2 kleine Intervalle).

[Todo Hörbeispiele]

= Gestreckte Stimmungen =
Die besten Approximationen für Quinte und grosse Terz sind in 23-EDO beide deutlich zu tief. Dies kann verbessert werden durch eine [[Gestreckte/gestauchte Stimmung|Streckung]] der Oktaven. Bei Verwendung einer gestreckten Oktave von ca. 1206 Cent verbessern sich diese Intervalle deutlich, und wir bekommen auch recht gute Versionen der antidiatonischen und der superdiatonischen [[Mavila]]-Skala, mit einer Quinte, die deutlich besser ist als etwa die von[[16-EDO]].

Siehe [[:en:23edo_and_octave_stretching|23edo and octave stretchigh]] im englischen Xenwiki.</text>
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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''23-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 23 gleiche Teile von je ca. 52.2 [[Cent]]s Grösse, zeichnet sich erst einmal dadurch aus, dass von den ungeraden Obertönen vom dritten bis zum elften '''kein einziger''' mit einem Fehler von weniger als 20 Cents getroffen wird. Das bedeutet, diese Stimmung bietet weder [[Quinte]]n, noch [[Quarte]]n, noch [[Naturterz|Terzen]] und auch keine [[Naturseptime]]n oder [[Alphorn-Fa]]s in zufriedenstellender Reinheit. Und nicht nur das - 23edo ist auch das kleinste gleichstufige System mit dieser Eigenschaft - d. h. keine höhere Unterteilung bietet solche Verstimmung. Wenn man also nach einem Tonsystem sucht, das sich vom Standardsystem möglichst stark unterscheidet, ist 23edo ohne Zweifel einer der grossen Favoriten.

Dabei ist 23edo durchaus kein "nur-dissonantes" System. Die Intervalle der [[Obertonreihe]] selbst trifft es nur schlecht, aber die Intervalle zwischen ihnen ([[5/3]], [[7/3]], [[11/3]], [[7/5]], [[11/5]], [[11/7]]) and Kombinationen von ihnen ([[15/8]], [[21/16]], [[33/32]], [[35/32]], [[55/32]], [[77/64]]) trifft es teils sehr gut.

Es ist also sehr wohl möglich, konsonante, harmonische Musik damit zu machen - sie wird nur sehr anders klingen als man es gewohnt ist. Genau das kann ja eben sehr spannend sein.

[ToDo Historische Bedeutung]

= Reguläre Temperaturen =
Die niedrige 23-EDO-Quinte (678.26 [[Cent]]) fungiert als Generator für eine [[Mavila]-Temperatur. Es gibt entsprechend die für Mavila typischen [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige "antidiatonische" (2 grosse und 5 kleine Intervall e) sowie eine neuntönige "superdiatonischen) (7 grosse und 2 kleine Intervalle).

[Todo Hörbeispiele]

= Gestreckte Stimmungen =
Die besten Approximationen für Quinte und grosse Terz sind in 23-EDO beide deutlich zu tief. Dies kann verbessert werden durch eine [[Gestreckte/gestauchte Stimmung|Streckung]] der Oktaven. Bei Verwendung einer gestreckten Oktave von ca. 1206 Cent verbessern sich diese Intervalle deutlich. Das so gestreckte 23-EDO kann als eines der besten Tonsysteme für die Skalen von [[Mavila]] (antidiatonisch und der superdiatonisch) angesehen werden, mit einer Quinte, die deutlich besser ist als etwa die von [[16-EDO]].

Siehe [[:en:23edo_and_octave_stretching|23edo and octave stretchigh]] im englischen Xenwiki.</text>
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| de = 23edo
| en = 23edo
| ja = 23平均律
}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

'''23-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 23 gleiche Teile von je ca. 52.2 [[Cent]]s Grösse, zeichnet sich erst einmal dadurch aus, dass von den ungeraden Obertönen vom dritten bis zum elften '''kein einziger''' mit einem Fehler von weniger als 20 Cents getroffen wird. Das bedeutet, diese Stimmung bietet weder [[Quinte]]n, noch [[Quarte]]n, noch [[Naturterz|Terzen]] und auch keine [[Naturseptime]]n oder [[Alphorn-Fa]]s in zufriedenstellender Reinheit. Und nicht nur das - 23edo ist auch das kleinste gleichstufige System mit dieser Eigenschaft - d. h. keine höhere Unterteilung bietet solche Verstimmung. Wenn man also nach einem Tonsystem sucht, das sich vom Standardsystem möglichst stark unterscheidet, ist 23edo ohne Zweifel einer der grossen Favoriten.

Dabei ist 23edo durchaus kein "nur-dissonantes" System. Die Intervalle der [[Obertonreihe]] selbst trifft es nur schlecht, aber die Intervalle zwischen ihnen ([[5/3]], [[7/3]], [[11/3]], [[7/5]], [[11/5]], [[11/7]]) and Kombinationen von ihnen ([[15/8]], [[21/16]], [[33/32]], [[35/32]], [[55/32]], [[77/64]]) trifft es teils sehr gut.

Es ist also sehr wohl möglich, konsonante, harmonische Musik damit zu machen - sie wird nur sehr anders klingen als man es gewohnt ist. Genau das kann ja eben sehr spannend sein.

[ToDo Historische Bedeutung]

= Reguläre Temperaturen =
Die niedrige 23-EDO-Quinte (678.26 [[Cent]]) fungiert als Generator für eine [[Mavila]-Temperatur. Es gibt entsprechend die für Mavila typischen [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige "antidiatonische" (2 grosse und 5 kleine Intervall e) sowie eine neuntönige "superdiatonischen) (7 grosse und 2 kleine Intervalle).

[Todo Hörbeispiele]

= Gestreckte Stimmungen =
Die besten Approximationen für Quinte und grosse Terz sind in 23-EDO beide deutlich zu tief. Dies kann verbessert werden durch eine [[Gestreckte/gestauchte Stimmung|Streckung]] der Oktaven. Bei Verwendung einer gestreckten Oktave von ca. 1206 Cent verbessern sich diese Intervalle deutlich. Das so gestreckte 23-EDO kann als eines der besten Tonsysteme für die Skalen von [[Mavila]] (antidiatonisch und der superdiatonisch) angesehen werden, mit einer Quinte, die deutlich besser ist als etwa die von [[16-EDO]].

Siehe [[:en:23edo_and_octave_stretching|23edo and octave stretching]] im englischen Xenwiki.</text>
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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

'''23-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 23 gleiche Teile von je ca. 52.2 [[Cent]]s Grösse, zeichnet sich erst einmal dadurch aus, dass von den ungeraden Obertönen vom dritten bis zum elften '''kein einziger''' mit einem Fehler von weniger als 20 Cents getroffen wird. Das bedeutet, diese Stimmung bietet weder [[Quinte]]n, noch [[Quarte]]n, noch [[Naturterz|Terzen]] und auch keine [[Naturseptime]]n oder [[Alphorn-Fa]]s in zufriedenstellender Reinheit. Und nicht nur das - 23edo ist auch das kleinste gleichstufige System mit dieser Eigenschaft - d. h. keine höhere Unterteilung bietet solche Verstimmung. Wenn man also nach einem Tonsystem sucht, das sich vom Standardsystem möglichst stark unterscheidet, ist 23edo ohne Zweifel einer der grossen Favoriten.

Dabei ist 23edo durchaus kein "nur-dissonantes" System. Die Intervalle der [[Obertonreihe]] selbst trifft es nur schlecht, aber die Intervalle zwischen ihnen ([[5/3]], [[7/3]], [[11/3]], [[7/5]], [[11/5]], [[11/7]]) and Kombinationen von ihnen ([[15/8]], [[21/16]], [[33/32]], [[35/32]], [[55/32]], [[77/64]]) trifft es teils sehr gut.

Es ist also sehr wohl möglich, konsonante, harmonische Musik damit zu machen - sie wird nur sehr anders klingen als man es gewohnt ist. Genau das kann ja eben sehr spannend sein.

[ToDo Historische Bedeutung]

= Reguläre Temperaturen =
Die niedrige 23-EDO-Quinte (678.26 [[Cent]]) fungiert als Generator für eine [[Mavila]-Temperatur. Es gibt entsprechend die für Mavila typischen [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige "antidiatonische" (2 grosse und 5 kleine Intervall e) sowie eine neuntönige "superdiatonischen) (7 grosse und 2 kleine Intervalle).

[Todo Hörbeispiele]

= Gestreckte Stimmungen =
Die besten Approximationen für Quinte und grosse Terz sind in 23-EDO beide deutlich zu tief. Dies kann verbessert werden durch eine [[Gestreckte/gestauchte Stimmung|Streckung]] der Oktaven. Bei Verwendung einer gestreckten Oktave von ca. 1206 Cent verbessern sich diese Intervalle deutlich. Das so gestreckte 23-EDO kann als eines der besten Tonsysteme für die Skalen von [[Mavila]] (antidiatonisch und superdiatonisch) angesehen werden, mit einer Quinte, die deutlich besser ist als etwa die von [[16-EDO]].

Siehe [[:en:23edo_and_octave_stretching|23edo and octave stretching]] im englischen Xenwiki.</text>
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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''23-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 23 gleiche Teile von je ca. 52.2 [[Cent]]s Grösse, zeichnet sich erst einmal dadurch aus, dass von den ungeraden Obertönen vom dritten bis zum elften '''kein einziger''' mit einem Fehler von weniger als 20 Cents getroffen wird. Das bedeutet, diese Stimmung bietet weder [[Quinte]]n, noch [[Quarte]]n, noch [[Naturterz|Terzen]] und auch keine [[Naturseptime]]n oder [[Alphorn-Fa]]s in zufriedenstellender Reinheit. Und nicht nur das - 23edo ist auch das kleinste gleichstufige System mit dieser Eigenschaft - d. h. keine höhere Unterteilung bietet solche Verstimmung. Wenn man also nach einem Tonsystem sucht, das sich vom Standardsystem möglichst stark unterscheidet, ist 23edo ohne Zweifel einer der grossen Favoriten.

Dabei ist 23edo durchaus kein "nur-dissonantes" System. Die Intervalle der [[Obertonreihe]] selbst trifft es nur schlecht, aber die Intervalle zwischen ihnen ([[5/3]], [[7/3]], [[11/3]], [[7/5]], [[11/5]], [[11/7]]) and Kombinationen von ihnen ([[15/8]], [[21/16]], [[33/32]], [[35/32]], [[55/32]], [[77/64]]) trifft es teils sehr gut.

Es ist also sehr wohl möglich, konsonante, harmonische Musik damit zu machen - sie wird nur sehr anders klingen als man es gewohnt ist. Genau das kann ja eben sehr spannend sein.

[ToDo Historische Bedeutung]

= Reguläre Temperaturen =
Die niedrige 23-EDO-Quinte (678.26 [[Cent]]) fungiert als Generator für eine [[Mavila]]-Temperatur. Es gibt entsprechend die für Mavila typischen [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige "antidiatonische" (2 grosse und 5 kleine Intervall e) sowie eine neuntönige "superdiatonischen) (7 grosse und 2 kleine Intervalle).

[Todo Hörbeispiele]

= Gestreckte Stimmungen =
Die besten Approximationen für Quinte und grosse Terz sind in 23-EDO beide deutlich zu tief. Dies kann verbessert werden durch eine [[Gestreckte/gestauchte Stimmung|Streckung]] der Oktaven. Bei Verwendung einer gestreckten Oktave von ca. 1206 Cent verbessern sich diese Intervalle deutlich. Das so gestreckte 23-EDO kann als eines der besten Tonsysteme für die Skalen von [[Mavila]] (antidiatonisch und superdiatonisch) angesehen werden, mit einer Quinte, die deutlich besser ist als etwa die von [[16-EDO]].

Siehe [[:en:23edo_and_octave_stretching|23edo and octave stretching]] im englischen Xenwiki.</text>
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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''23-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 23 gleiche Teile von je ca. 52.2 [[Cent]]s Grösse, zeichnet sich erst einmal dadurch aus, dass von den ungeraden Obertönen vom dritten bis zum elften '''kein einziger''' mit einem Fehler von weniger als 20 Cents getroffen wird. Das bedeutet, diese Stimmung bietet weder [[Quinte]]n, noch [[Quarte]]n, noch [[Naturterz|Terzen]] und auch keine [[Naturseptime]]n oder [[Alphorn-Fa]]s in zufriedenstellender Reinheit. Und nicht nur das - 23edo ist auch das kleinste gleichstufige System mit dieser Eigenschaft - d. h. keine höhere Unterteilung bietet solche Verstimmung. Wenn man also nach einem Tonsystem sucht, das sich vom Standardsystem möglichst stark unterscheidet, ist 23edo ohne Zweifel einer der grossen Favoriten.

Dabei ist 23edo durchaus kein "nur-dissonantes" System. Die Intervalle der [[Obertonreihe]] selbst trifft es nur schlecht, aber die Intervalle zwischen ihnen ([[5/3]], [[7/3]], [[11/3]], [[7/5]], [[11/5]], [[11/7]]) and Kombinationen von ihnen ([[15/8]], [[21/16]], [[33/32]], [[35/32]], [[55/32]], [[77/64]]) trifft es teils sehr gut.

Es ist also sehr wohl möglich, konsonante, harmonische Musik damit zu machen - sie wird nur sehr anders klingen als man es gewohnt ist. Genau das kann ja eben sehr spannend sein.

[Todo Hörbeispiele]

[ToDo Historische Bedeutung]

= Reguläre Temperaturen =
Die niedrige 23-EDO-Quinte (678.26 [[Cent]]) fungiert als Generator für eine [[Mavila]]-Temperatur. Es gibt entsprechend die für Mavila typischen [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige "antidiatonische" (2 grosse und 5 kleine Intervall e) sowie eine neuntönige "superdiatonischen) (7 grosse und 2 kleine Intervalle).

[Todo Hörbeispiele]

= Gestreckte Stimmungen =
Die besten Approximationen für Quinte und grosse Terz sind in 23-EDO beide deutlich zu tief. Dies kann verbessert werden durch eine [[Gestreckte/gestauchte Stimmung|Streckung]] der Oktaven. Bei Verwendung einer gestreckten Oktave von ca. 1206 Cent verbessern sich diese Intervalle deutlich. Das so gestreckte 23-EDO kann als eines der besten Tonsysteme für die Skalen von [[Mavila]] (antidiatonisch und superdiatonisch) angesehen werden, mit einer Quinte, die deutlich besser ist als etwa die von [[16-EDO]].

Siehe [[:en:23edo_and_octave_stretching|23edo and octave stretching]] im englischen Xenwiki.</text>
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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''23-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 23 gleiche Teile von je ca. 52.2 [[Cent]]s Grösse, zeichnet sich erst einmal dadurch aus, dass von den ungeraden Obertönen vom dritten bis zum elften '''kein einziger''' mit einem Fehler von weniger als 20 Cents getroffen wird. Das bedeutet, diese Stimmung bietet weder [[Quinte]]n, noch [[Quarte]]n, noch [[Naturterz|Terzen]] und auch keine [[Naturseptime]]n oder [[Alphorn-Fa]]s in zufriedenstellender Reinheit. Und nicht nur das - 23edo ist auch das kleinste gleichstufige System mit dieser Eigenschaft - d. h. keine höhere Unterteilung bietet solche Verstimmung. Wenn man also nach einem Tonsystem sucht, das sich vom Standardsystem möglichst stark unterscheidet, ist 23edo ohne Zweifel einer der grossen Favoriten.

Dabei ist 23edo durchaus kein "nur-dissonantes" System. Die Intervalle der [[Obertonreihe]] selbst trifft es nur schlecht, aber die Intervalle zwischen ihnen ([[5/3]], [[7/3]], [[11/3]], [[7/5]], [[11/5]], [[11/7]]) and Kombinationen von ihnen ([[15/8]], [[21/16]], [[33/32]], [[35/32]], [[55/32]], [[77/64]]) trifft es teils sehr gut.

Es ist also sehr wohl möglich, konsonante, harmonische Musik damit zu machen - sie wird nur sehr anders klingen als man es gewohnt ist. Genau das kann ja eben sehr spannend sein.

[Todo Hörbeispiele]

[ToDo Historische Bedeutung]

= Reguläre Temperaturen =
Die niedrige 23-EDO-Quinte (678.26 [[Cent]]) fungiert als Generator für eine [[Mavila]]-Temperatur. Es gibt entsprechend die für Mavila typischen [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige "antidiatonische" (2 grosse und 5 kleine Intervall e) sowie eine neuntönige "superdiatonischen) (7 grosse und 2 kleine Intervalle).

[Todo Hörbeispiele]

= Gestreckte Stimmungen =
Die besten Approximationen für Quinte und grosse Terz sind in 23-EDO beide deutlich zu tief. Dies kann verbessert werden durch eine [[Gestreckte/gestauchte Stimmung|Streckung]] der Oktaven. Bei Verwendung einer gestreckten Oktave von ca. 1206 Cent verbessern sich diese Intervalle deutlich. Das so gestreckte 23-EDO kann als eines der besten Tonsysteme für die Skalen von [[Mavila]] (antidiatonisch und superdiatonisch) angesehen werden, mit einer Quinte, die deutlich besser ist als etwa die von [[16-EDO]].

Siehe [[:en:23edo_and_octave_stretching|23edo and octave stretching]] im englischen Xenwiki.


[[Datei:Stretched23edo MavilaSuperdiatonic.mp3|Superdiatonische Mavila-Skala in gestreckter 23-EDO-Stimmung]]

Superdiatonische Mavila-Skala in gestreckter 23-EDO-Stimmung</text>
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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

'''23-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 23 gleiche Teile von je ca. 52.2 [[Cent]]s Grösse, zeichnet sich erst einmal dadurch aus, dass von den ungeraden Obertönen vom dritten bis zum elften '''kein einziger''' mit einem Fehler von weniger als 20 Cents getroffen wird. Das bedeutet, diese Stimmung bietet weder [[Quinte]]n, noch [[Quarte]]n, noch [[Naturterz|Terzen]] und auch keine [[Naturseptime]]n oder [[Alphorn-Fa]]s in zufriedenstellender Reinheit. Und nicht nur das - 23edo ist auch das kleinste gleichstufige System mit dieser Eigenschaft - d. h. keine höhere Unterteilung bietet solche Verstimmung. Wenn man also nach einem Tonsystem sucht, das sich vom Standardsystem möglichst stark unterscheidet, ist 23edo ohne Zweifel einer der grossen Favoriten.

Dabei ist 23edo durchaus kein "nur-dissonantes" System. Die Intervalle der [[Obertonreihe]] selbst trifft es nur schlecht, aber die Intervalle zwischen ihnen ([[5/3]], [[7/3]], [[11/3]], [[7/5]], [[11/5]], [[11/7]]) and Kombinationen von ihnen ([[15/8]], [[21/16]], [[33/32]], [[35/32]], [[55/32]], [[77/64]]) trifft es teils sehr gut.

Es ist also sehr wohl möglich, konsonante, harmonische Musik damit zu machen - sie wird nur sehr anders klingen als man es gewohnt ist. Genau das kann ja eben sehr spannend sein.

[Todo Hörbeispiele]

[ToDo Historische Bedeutung]

= Reguläre Temperaturen =
Die niedrige 23-EDO-Quinte (678.26 [[Cent]]) fungiert als Generator für eine [[Mavila]]-Temperatur. Es gibt entsprechend die für Mavila typischen [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige "antidiatonische" (2 grosse und 5 kleine Intervall e) sowie eine neuntönige "superdiatonischen) (7 grosse und 2 kleine Intervalle).

[Todo Hörbeispiele]

= Gestreckte Stimmungen =
Die besten Approximationen für Quinte und grosse Terz sind in 23-EDO beide deutlich zu tief. Dies kann verbessert werden durch eine [[Gestreckte/gestauchte Stimmung|Streckung]] der Oktaven. Bei Verwendung einer gestreckten Oktave von ca. 1206 Cent verbessern sich diese Intervalle deutlich. Das so gestreckte 23-EDO kann als eines der besten Tonsysteme für die Skalen von [[Mavila]] (antidiatonisch und superdiatonisch) angesehen werden, mit einer Quinte, die deutlich besser ist als etwa die von [[16-EDO]].

Siehe [[:en:23edo_and_octave_stretching|23edo and octave stretching]] im englischen Xenwiki.


[[Datei:Stretched23edo MavilaSuperdiatonic.mp3|Superdiatonische Mavila-Skala in gestreckter 23-EDO-Stimmung]]

Superdiatonische Mavila-Skala in gestreckter 23-EDO-Stimmung

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[[EDO|Übersicht EDO]]

'''23-EDO''', die Unterteilung der Oktave in 23 gleiche Teile von je ca. 52.2 [[Cent]]s Grösse, zeichnet sich erst einmal dadurch aus, dass von den ungeraden Obertönen vom dritten bis zum elften '''kein einziger''' mit einem Fehler von weniger als 20 Cents getroffen wird. Das bedeutet, diese Stimmung bietet weder [[Quinte]]n, noch [[Quarte]]n, noch [[Naturterz|Terzen]] und auch keine [[Naturseptime]]n oder [[Alphorn-Fa]]s in zufriedenstellender Reinheit. Und nicht nur das - 23edo ist auch das kleinste gleichstufige System mit dieser Eigenschaft - d. h. keine höhere Unterteilung bietet solche Verstimmung. Wenn man also nach einem Tonsystem sucht, das sich vom Standardsystem möglichst stark unterscheidet, ist 23edo ohne Zweifel einer der grossen Favoriten.

Dabei ist 23edo durchaus kein "nur-dissonantes" System. Die Intervalle der [[Obertonreihe]] selbst trifft es nur schlecht, aber die Intervalle zwischen ihnen ([[5/3]], [[7/3]], [[11/3]], [[7/5]], [[11/5]], [[11/7]]) and Kombinationen von ihnen ([[15/8]], [[21/16]], [[33/32]], [[35/32]], [[55/32]], [[77/64]]) trifft es teils sehr gut.

Es ist also sehr wohl möglich, konsonante, harmonische Musik damit zu machen - sie wird nur sehr anders klingen als man es gewohnt ist. Genau das kann ja eben sehr spannend sein.

[Todo Hörbeispiele]

[ToDo Historische Bedeutung]

= Reguläre Temperaturen =
Die niedrige 23-EDO-Quinte (678.26 [[Cent]]) fungiert als Generator für eine [[Mavila]]-Temperatur. Es gibt entsprechend die für Mavila typischen [[MOS-Skalen]]: eine siebentönige "antidiatonische" (2 grosse und 5 kleine Intervall e) sowie eine neuntönige "superdiatonischen) (7 grosse und 2 kleine Intervalle).

[Todo Hörbeispiele]

= Gestreckte Stimmungen =
Die besten Approximationen für Quinte und grosse Terz sind in 23-EDO beide deutlich zu tief. Dies kann verbessert werden durch eine [[Gestreckte/gestauchte Stimmung|Streckung]] der Oktaven. Bei Verwendung einer gestreckten Oktave von ca. 1206 Cent verbessern sich diese Intervalle deutlich. Das so gestreckte 23-EDO kann als eines der besten Tonsysteme für die Skalen von [[Mavila]] (antidiatonisch und superdiatonisch) angesehen werden, mit einer Quinte, die deutlich besser ist als etwa die von [[16-EDO]].

Siehe [[:en:23edo_and_octave_stretching|23edo and octave stretching]] im englischen Xenwiki.


[[Datei:Stretched23edo MavilaSuperdiatonic.mp3|Superdiatonische Mavila-Skala in gestreckter 23-EDO-Stimmung]]

Superdiatonische Mavila-Skala in gestreckter 23-EDO-Stimmung

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}}

Die Familie der Tetracot-Temperaturen ist definiert durch Austemperieren der Kommas [[100/99]] und [[243/243]].

100/99, das Ptolemäus-Komma, ist der Unterschied zwischen dem “kleinen Ganzton” [[10/9]] und der grossen neutralen Sekunde [[11/10]]. Dessen Austemperieren bewirkt, dass die diesen beiden Sekunden gebildete Terz, die große neutrale Terz [[11/9]], in zwei gleiche Teile geteilt wird.

243/242 ist der Unterschied zwischen zwei Intervallen der Größe 11/9 und einer [[3/2|reinen Quinte 3/2]]. Das Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass eine Quinte in zwei gleiche Teile geteilt wird. In Kombination mit dem Austemperieren des Ptolemäus-Kommas ergibt sich also eine Teilung der Quinte in vier gleiche Teile. Diese Viertelquinte, eine Art kleiner Ganzton, fungiert als a Generator für die [[MOS-Skalen]] der Temperatur.

[Todo]</text>
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Die Familie der Tetracot-Temperaturen ist definiert durch Austemperieren der Kommas [[100/99]] und [[243/242]].

100/99, das Ptolemäus-Komma, ist der Unterschied zwischen dem “kleinen Ganzton” [[10/9]] und der grossen neutralen Sekunde [[11/10]]. Dessen Austemperieren bewirkt, dass die diesen beiden Sekunden gebildete Terz, die große neutrale Terz [[11/9]], in zwei gleiche Teile geteilt wird.

243/242 ist der Unterschied zwischen zwei Intervallen der Größe 11/9 und einer [[3/2|reinen Quinte 3/2]]. Das Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass eine Quinte in zwei gleiche Teile geteilt wird. In Kombination mit dem Austemperieren des Ptolemäus-Kommas ergibt sich also eine Teilung der Quinte in vier gleiche Teile. Diese Viertelquinte, eine Art kleiner Ganzton, fungiert als a Generator für die [[MOS-Skalen]] der Temperatur.

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition=
Die Familie der Tetracot-Temperaturen ist definiert durch Austemperieren der Kommas [[100/99]] und [[243/242]].

100/99, das Ptolemäus-Komma, ist der Unterschied zwischen dem “kleinen Ganzton” [[10/9]] und der grossen neutralen Sekunde [[11/10]]. Dessen Austemperieren bewirkt, dass die diesen beiden Sekunden gebildete Terz, die große neutrale Terz [[11/9]], in zwei gleiche Teile geteilt wird.

243/242 ist der Unterschied zwischen zwei Intervallen der Größe 11/9 und einer reinen Quinte 3/2. Das Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass eine Quinte in zwei gleiche Teile geteilt wird. In Kombination mit dem Austemperieren des Ptolemäus-Kommas ergibt sich also eine Teilung der Quinte in vier gleiche Teile. Diese Viertelquinte, eine Art kleiner Ganzton, fungiert als Generator für die [[MOS-Skalen]] der Temperatur.

=Varianten=
==Grundvariante in 11-Limit==

Beide Kommas leben im 11-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]], genauer in einem Teilraum, der von den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 (also ohne die 7) aufgespannt wird. Entsprechend lebt auch die einfachste  Variante der Tetracot-Temperatur in diesem Teilraum.

==Basisvariante in 13-Limit==
Hinzunehmen der Primzahl 13 und gleichzeitig eines weiteren auszutmperierenden Kommas, [[144/143]], ergibt 13-Limit-Tetracot. Wenn nur von “Tetracot” ohne genauere Beschreibung die Rede ist, bezieht sich das in der Regel auf diese Variante.

Weitere Varianten siehe im englischen Xenwiki.</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition=
Die Familie der Tetracot-Temperaturen ist definiert durch Austemperieren der Kommas [[100/99]] und [[243/242]].

100/99, das Ptolemäus-Komma, ist der Unterschied zwischen dem “kleinen Ganzton” [[10/9]] und der grossen neutralen Sekunde [[11/10]]. Dessen Austemperieren bewirkt, dass die aus diesen beiden Sekunden gebildete Terz, die große neutrale Terz [[11/9]], in zwei gleiche Teile geteilt wird.

243/242 ist der Unterschied zwischen zwei Intervallen der Größe 11/9 und einer reinen Quinte 3/2. Das Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass eine Quinte in zwei gleiche Teile geteilt wird. In Kombination mit dem Austemperieren des Ptolemäus-Kommas ergibt sich also eine Teilung der Quinte in vier gleiche Teile. Diese Viertelquinte, eine Art kleiner Ganzton, fungiert als Generator für die [[MOS-Skalen]] der Temperatur.

=Varianten=
==Grundvariante in 11-Limit==

Beide Kommas leben im 11-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]], genauer in einem Teilraum, der von den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 (also ohne die 7) aufgespannt wird. Entsprechend lebt auch die einfachste  Variante der Tetracot-Temperatur in diesem Teilraum.

==Basisvariante in 13-Limit==
Hinzunehmen der Primzahl 13 und gleichzeitig eines weiteren auszutmperierenden Kommas, [[144/143]], ergibt 13-Limit-Tetracot. Wenn nur von “Tetracot” ohne genauere Beschreibung die Rede ist, bezieht sich das in der Regel auf diese Variante.

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition=
Die Familie der Tetracot-Temperaturen ist definiert durch Austemperieren der Kommas [[100/99]] und [[243/242]].

100/99, das Ptolemäus-Komma, ist der Unterschied zwischen dem “kleinen Ganzton” [[10/9]] und der grossen neutralen Sekunde [[11/10]]. Dessen Austemperieren bewirkt, dass die aus diesen beiden Sekunden gebildete Terz, die große neutrale Terz [[11/9]], in zwei gleiche Teile geteilt wird.

243/242 ist der Unterschied zwischen zwei Intervallen der Größe 11/9 und einer reinen Quinte 3/2. Das Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass eine Quinte in zwei gleiche Teile geteilt wird. In Kombination mit dem Austemperieren des Ptolemäus-Kommas ergibt sich also eine Teilung der Quinte in vier gleiche Teile. Diese Viertelquinte, eine Art kleiner Ganzton, fungiert als Generator für die [[MOS-Skalen]] der Temperatur.

=Varianten=
==Grundvariante in 11-Limit==

Beide Kommas leben im 11-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]], genauer in einem Teilraum, der von den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 (also ohne die 7) aufgespannt wird. Entsprechend lebt auch die einfachste  Variante der Tetracot-Temperatur in diesem Teilraum.

==Basisvariante in 13-Limit==
Hinzunehmen der Primzahl 13 und gleichzeitig eines weiteren auszutemperierenden Kommas, [[144/143]], ergibt 13-Limit-Tetracot. Wenn nur von “Tetracot” ohne genauere Beschreibung die Rede ist, bezieht sich das in der Regel auf diese Variante.

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition=
Die Familie der Tetracot-Temperaturen ist definiert durch Austemperieren der Kommas [[100/99]] und [[243/242]].

100/99, das Ptolemäus-Komma, ist der Unterschied zwischen dem “kleinen Ganzton” [[10/9]] und der grossen neutralen Sekunde [[11/10]]. Dessen Austemperieren bewirkt, dass die aus diesen beiden Sekunden gebildete Terz, die große neutrale Terz [[11/9]], in zwei gleiche Teile geteilt wird.

243/242 ist der Unterschied zwischen zwei Intervallen der Größe 11/9 und einer reinen Quinte 3/2. Das Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass eine Quinte in zwei gleiche Teile geteilt wird. In Kombination mit dem Austemperieren des Ptolemäus-Kommas ergibt sich also eine Teilung der Quinte in vier gleiche Teile. Diese Viertelquinte, eine Art kleiner Ganzton, fungiert als Generator für die [[MOS-Skalen]] der Temperatur.

=Varianten=
==Grundvariante in 11-Limit==

Beide Kommas leben im 11-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]], genauer in einem Teilraum, der von den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 (also ohne die 7) aufgespannt wird. Entsprechend lebt auch die einfachste  Variante der Tetracot-Temperatur in diesem Teilraum.

==Basisvariante in 13-Limit==
Hinzunehmen der Primzahl 13 und gleichzeitig eines weiteren auszutemperierenden Kommas, [[144/143]], ergibt 13-Limit-Tetracot. Wenn nur von “Tetracot” ohne genauere Beschreibung die Rede ist, bezieht sich das in der Regel auf diese Variante.

Weitere Varianten sind im [[:en:Tetracot_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben.
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition=
Die Familie der Tetracot-Temperaturen ist definiert durch Austemperieren der Kommas [[100/99]] und [[243/242]].

100/99, das Ptolemäus-Komma, ist der Unterschied zwischen dem “kleinen Ganzton” [[10/9]] und der grossen neutralen Sekunde [[11/10]]. Dessen Austemperieren bewirkt, dass die aus diesen beiden Sekunden gebildete Terz, die große neutrale Terz [[11/9]], in zwei gleiche Teile geteilt wird.

243/242 ist der Unterschied zwischen zwei Intervallen der Größe 11/9 und einer reinen Quinte 3/2. Das Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass eine Quinte in zwei gleiche Teile geteilt wird. In Kombination mit dem Austemperieren des Ptolemäus-Kommas ergibt sich also eine Teilung der Quinte in vier gleiche Teile. Diese Viertelquinte, eine Art kleiner Ganzton, fungiert als Generator für die [[MOS-Skalen]] der Temperatur.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche Tetracot unterstützen, sind unter anderem [[27edo]], [[34edo], [[41edo]].

=Varianten=
==Grundvariante in 11-Limit==

Beide Kommas leben im 11-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]], genauer in einem Teilraum, der von den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 (also ohne die 7) aufgespannt wird. Entsprechend lebt auch die einfachste  Variante der Tetracot-Temperatur in diesem Teilraum.

==Basisvariante in 13-Limit==
Hinzunehmen der Primzahl 13 und gleichzeitig eines weiteren auszutemperierenden Kommas, [[144/143]], ergibt 13-Limit-Tetracot. Wenn nur von “Tetracot” ohne genauere Beschreibung die Rede ist, bezieht sich das in der Regel auf diese Variante.

Weitere Varianten sind im [[:en:Tetracot_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben.
[[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition=
Die Familie der Tetracot-Temperaturen ist definiert durch Austemperieren der Kommas [[100/99]] und [[243/242]].

100/99, das Ptolemäus-Komma, ist der Unterschied zwischen dem “kleinen Ganzton” [[10/9]] und der grossen neutralen Sekunde [[11/10]]. Dessen Austemperieren bewirkt, dass die aus diesen beiden Sekunden gebildete Terz, die große neutrale Terz [[11/9]], in zwei gleiche Teile geteilt wird.

243/242 ist der Unterschied zwischen zwei Intervallen der Größe 11/9 und einer reinen Quinte 3/2. Das Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass eine Quinte in zwei gleiche Teile geteilt wird. In Kombination mit dem Austemperieren des Ptolemäus-Kommas ergibt sich also eine Teilung der Quinte in vier gleiche Teile. Diese Viertelquinte, eine Art kleiner Ganzton, fungiert als Generator für die [[MOS-Skalen]] der Temperatur.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche Tetracot unterstützen, sind unter anderem [[27edo]], [[34edo]], [[41edo]].

=Varianten=
==Grundvariante in 11-Limit==

Beide Kommas leben im 11-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]], genauer in einem Teilraum, der von den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 (also ohne die 7) aufgespannt wird. Entsprechend lebt auch die einfachste  Variante der Tetracot-Temperatur in diesem Teilraum.

==Basisvariante in 13-Limit==
Hinzunehmen der Primzahl 13 und gleichzeitig eines weiteren auszutemperierenden Kommas, [[144/143]], ergibt 13-Limit-Tetracot. Wenn nur von “Tetracot” ohne genauere Beschreibung die Rede ist, bezieht sich das in der Regel auf diese Variante.

Weitere Varianten sind im [[:en:Tetracot_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben.
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition=
Die Familie der Tetracot-Temperaturen ist definiert durch Austemperieren der Kommas [[100/99]] und [[243/242]].

100/99, das Ptolemäus-Komma, ist der Unterschied zwischen dem “kleinen Ganzton” [[10/9]] und der grossen neutralen Sekunde [[11/10]]. Dessen Austemperieren bewirkt, dass die aus diesen beiden Sekunden gebildete Terz, die große neutrale Terz [[11/9]], in zwei gleiche Teile geteilt wird.

243/242 ist der Unterschied zwischen zwei Intervallen der Größe 11/9 und einer reinen Quinte 3/2. Das Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass eine Quinte in zwei gleiche Teile geteilt wird. In Kombination mit dem Austemperieren des Ptolemäus-Kommas ergibt sich also eine Teilung der Quinte in vier gleiche Teile. Diese Viertelquinte, eine Art kleiner Ganzton, fungiert als Generator für die [[MOS-Skalen]] der Temperatur.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche Tetracot unterstützen, sind unter anderem [[27edo]], [[34edo]], [[41edo]].

=Varianten=
==Grundvariante in 11-Limit==

Beide Kommas leben im 11-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]], genauer in einem Teilraum, der von den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 (also ohne die 7) aufgespannt wird. Entsprechend lebt auch die einfachste  Variante der Tetracot-Temperatur in diesem Teilraum.

==Grundvariante in 13-Limit==
Hinzunehmen der Primzahl 13 und gleichzeitig eines weiteren auszutemperierenden Kommas, [[144/143]], ergibt 13-Limit-Tetracot. Wenn nur von “Tetracot” ohne genauere Beschreibung die Rede ist, bezieht sich das in der Regel auf diese Variante.

Weitere Varianten sind im [[:en:Tetracot_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben.
[[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition=
Die Familie der Tetracot-Temperaturen ist definiert durch Austemperieren der Kommas [[100/99]] und [[243/242]].

100/99, das Ptolemäus-Komma, ist der Unterschied zwischen dem “kleinen Ganzton” [[10/9]] und der grossen neutralen Sekunde [[11/10]]. Dessen Austemperieren bewirkt, dass die aus diesen beiden Sekunden gebildete Terz, die große neutrale Terz [[11/9]], in zwei gleiche Teile geteilt wird.

243/242 ist der Unterschied zwischen zwei Intervallen der Größe 11/9 und einer reinen Quinte 3/2. Das Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass eine Quinte in zwei gleiche Teile geteilt wird. In Kombination mit dem Austemperieren des Ptolemäus-Kommas ergibt sich also eine Teilung der Quinte in vier gleiche Teile. Diese Viertelquinte, eine Art kleiner Ganzton, fungiert als Generator für die [[MOS-Skalen]] der Temperatur.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche Tetracot unterstützen, sind unter anderem [[27edo]], [[34edo]], [[41edo]].

=MOS-Skalen=
Tetracot verfügt über eine siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] der Form 6L 1s, bestehend aus 6 kleinen Ganztönen und einer Art grossem Halbton.

=Varianten=
==Grundvariante in 11-Limit==

Beide Kommas leben im 11-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]], genauer in einem Teilraum, der von den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 (also ohne die 7) aufgespannt wird. Entsprechend lebt auch die einfachste  Variante der Tetracot-Temperatur in diesem Teilraum.

==Grundvariante in 13-Limit==
Hinzunehmen der Primzahl 13 und gleichzeitig eines weiteren auszutemperierenden Kommas, [[144/143]], ergibt 13-Limit-Tetracot. Wenn nur von “Tetracot” ohne genauere Beschreibung die Rede ist, bezieht sich das in der Regel auf diese Variante.

Weitere Varianten sind im [[:en:Tetracot_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben.
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition=
Die Familie der Tetracot-Temperaturen ist definiert durch Austemperieren der Kommas [[100/99]] und [[243/242]].

100/99, das Ptolemäus-Komma, ist der Unterschied zwischen dem “kleinen Ganzton” [[10/9]] und der grossen neutralen Sekunde [[11/10]]. Dessen Austemperieren bewirkt, dass die aus diesen beiden Sekunden gebildete Terz, die große neutrale Terz [[11/9]], in zwei gleiche Teile geteilt wird.

243/242 ist der Unterschied zwischen zwei Intervallen der Größe 11/9 und einer reinen Quinte 3/2. Das Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass eine Quinte in zwei gleiche Teile geteilt wird. In Kombination mit dem Austemperieren des Ptolemäus-Kommas ergibt sich also eine Teilung der Quinte in vier gleiche Teile. Diese Viertelquinte, eine Art kleiner Ganzton, fungiert als Generator für die [[MOS-Skalen]] der Temperatur.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche Tetracot unterstützen, sind unter anderem [[27edo]], [[34edo]], [[41edo]].



=MOS-Skalen=
Tetracot verfügt über eine siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] der Form 6L 1s, bestehend aus 6 kleinen Ganztönen und einer Art neutraler Sekunde.

[Todo Klangbeispiel]

Die beiden Intervalle der siebentönigen Tetracot-Skala haben recht ähnliche Grössen - der Unterschied beträgt nur etwa einen Sechstelton. Die grösseren MOS-Skalen von Tetracot - die dreizehntönige der Form 7L 6s und die zwanzigtönige der Form 7L 13s - haben diesen Sechstelton als kleineres Intervall und sind nicht [[Rothenberg-proper]].

=Varianten=
==Grundvariante in 11-Limit==

Beide Kommas leben im 11-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]], genauer in einem Teilraum, der von den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 (also ohne die 7) aufgespannt wird. Entsprechend lebt auch die einfachste  Variante der Tetracot-Temperatur in diesem Teilraum.

==Grundvariante in 13-Limit==
Hinzunehmen der Primzahl 13 und gleichzeitig eines weiteren auszutemperierenden Kommas, [[144/143]], ergibt 13-Limit-Tetracot. Wenn nur von “Tetracot” ohne genauere Beschreibung die Rede ist, bezieht sich das in der Regel auf diese Variante.

Weitere Varianten sind im [[:en:Tetracot_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben.
[[Category:Temperament]]
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}}
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition=
Die Familie der Tetracot-Temperaturen ist definiert durch Austemperieren der Kommas [[100/99]] und [[243/242]].

100/99, das Ptolemäus-Komma, ist der Unterschied zwischen dem “kleinen Ganzton” [[10/9]] und der grossen neutralen Sekunde [[11/10]]. Dessen Austemperieren bewirkt, dass die aus diesen beiden Sekunden gebildete Terz, die große neutrale Terz [[11/9]], in zwei gleiche Teile geteilt wird.

243/242 ist der Unterschied zwischen zwei Intervallen der Größe 11/9 und einer reinen Quinte 3/2. Das Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass eine Quinte in zwei gleiche Teile geteilt wird. In Kombination mit dem Austemperieren des Ptolemäus-Kommas ergibt sich also eine Teilung der Quinte in vier gleiche Teile. Diese Viertelquinte, eine Art kleiner Ganzton, fungiert als Generator für die [[MOS-Skalen]] der Temperatur.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche Tetracot unterstützen, sind unter anderem [[27edo]], [[34edo]], [[41edo]].



=MOS-Skalen=
Tetracot verfügt über eine siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] der Form 6L 1s, bestehend aus 6 kleinen Ganztönen und einer Art neutraler Sekunde.

[Todo Klangbeispiel]

Die beiden Intervalle der siebentönigen Tetracot-Skala haben recht ähnliche Grössen - der Unterschied beträgt nur etwa einen Sechstelton. Die grösseren MOS-Skalen von Tetracot - die dreizehntönige der Form 7L 6s und die zwanzigtönige der Form 7L 13s - haben diesen Sechstelton als kleineres Intervall und sind nicht [[Rothenberg-proper]].

=Varianten=
==Grundvariante in 11-Limit==

Beide Kommas leben im 11-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]], genauer in einem Teilraum, der von den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 (also ohne die 7) aufgespannt wird. Entsprechend lebt auch die einfachste  Variante der Tetracot-Temperatur in diesem Teilraum.

==Grundvariante in 13-Limit==
Hinzunehmen der Primzahl 13 und gleichzeitig eines weiteren auszutemperierenden Kommas, [[144/143]], ergibt 13-Limit-Tetracot. Wenn nur von “Tetracot” ohne genauere Beschreibung die Rede ist, bezieht sich das in der Regel auf diese Variante.

Das Komma 144/143 ist dabei der Unterschied zwischen den kleinen neutralen Sekunden 13/22 und 12/12.

Weitere Varianten sind im [[:en:Tetracot_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben.
[[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition=
Die Familie der Tetracot-Temperaturen ist definiert durch Austemperieren der Kommas [[100/99]] und [[243/242]].

100/99, das Ptolemäus-Komma, ist der Unterschied zwischen dem “kleinen Ganzton” [[10/9]] und der grossen neutralen Sekunde [[11/10]]. Dessen Austemperieren bewirkt, dass die aus diesen beiden Sekunden gebildete Terz, die große neutrale Terz [[11/9]], in zwei gleiche Teile geteilt wird.

243/242 ist der Unterschied zwischen zwei Intervallen der Größe 11/9 und einer reinen Quinte 3/2. Das Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass eine Quinte in zwei gleiche Teile geteilt wird. In Kombination mit dem Austemperieren des Ptolemäus-Kommas ergibt sich also eine Teilung der Quinte in vier gleiche Teile. Diese Viertelquinte, eine Art kleiner Ganzton, fungiert als Generator für die [[MOS-Skalen]] der Temperatur.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche Tetracot unterstützen, sind unter anderem [[27edo]], [[34edo]], [[41edo]].



=MOS-Skalen=
Tetracot verfügt über eine siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] der Form 6L 1s, bestehend aus 6 kleinen Ganztönen und einer Art neutraler Sekunde.

[Todo Klangbeispiel]

Die beiden Intervalle der siebentönigen Tetracot-Skala haben recht ähnliche Grössen - der Unterschied beträgt nur etwa einen Sechstelton. Die grösseren MOS-Skalen von Tetracot - die dreizehntönige der Form 7L 6s und die zwanzigtönige der Form 7L 13s - haben diesen Sechstelton als kleineres Intervall und sind nicht [[Rothenberg-proper]].

=Varianten=
==Grundvariante in 11-Limit==

Beide Kommas leben im 11-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]], genauer in einem Teilraum, der von den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 (also ohne die 7) aufgespannt wird. Entsprechend lebt auch die einfachste  Variante der Tetracot-Temperatur in diesem Teilraum.

==Grundvariante in 13-Limit==
Hinzunehmen der Primzahl 13 und gleichzeitig eines weiteren auszutemperierenden Kommas, [[144/143]], ergibt 13-Limit-Tetracot. Wenn nur von “Tetracot” ohne genauere Beschreibung die Rede ist, bezieht sich das in der Regel auf diese Variante.

Das Komma 144/143 ist dabei der Unterschied zwischen den kleinen neutralen Sekunden 13/12 und 12/11.

Weitere Varianten sind im [[:en:Tetracot_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben.
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition=
Die Familie der Tetracot-Temperaturen ist definiert durch Austemperieren der Kommas [[100/99]] und [[243/242]].

100/99, das Ptolemäus-Komma, ist der Unterschied zwischen dem “kleinen Ganzton” [[10/9]] und der grossen neutralen Sekunde [[11/10]]. Dessen Austemperieren bewirkt, dass die aus diesen beiden Sekunden gebildete Terz, die große neutrale Terz [[11/9]], in zwei gleiche Teile geteilt wird.

243/242 ist der Unterschied zwischen zwei Intervallen der Größe 11/9 und einer reinen Quinte 3/2. Das Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass eine Quinte in zwei gleiche Teile geteilt wird. In Kombination mit dem Austemperieren des Ptolemäus-Kommas ergibt sich also eine Teilung der Quinte in vier gleiche Teile. Diese Viertelquinte, eine Art kleiner Ganzton, fungiert als Generator für die [[MOS-Skalen]] der Temperatur.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche Tetracot unterstützen, sind unter anderem [[27edo]], [[34edo]], [[41edo]].



=MOS-Skalen=
Tetracot verfügt über eine siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] der Form 6L 1s, bestehend aus 6 kleinen Ganztönen und einer Art neutraler Sekunde.

[Todo Klangbeispiel]

Die beiden Intervalle der siebentönigen Tetracot-Skala haben recht ähnliche Grössen - der Unterschied beträgt nur etwa einen Sechstelton. Die grösseren MOS-Skalen von Tetracot - die dreizehntönige der Form 7L 6s und die zwanzigtönige der Form 7L 13s - haben diesen Sechstelton als kleineres Intervall und sind nicht [[Rothenberg-proper]].

=Varianten=
==Grundvariante in 11-Limit==

Beide Kommas leben im 11-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]], genauer in einem Teilraum, der von den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 (also ohne die 7) aufgespannt wird. Entsprechend lebt auch die einfachste  Variante der Tetracot-Temperatur in diesem Teilraum.

==Grundvariante in 13-Limit==
Hinzunehmen der Primzahl 13 und gleichzeitig eines weiteren auszutemperierenden Kommas, [[144/143]], ergibt 13-Limit-Tetracot. Wenn nur von “Tetracot” ohne Zusatzbeschreibung die Rede ist, bezieht sich das in der Regel auf diese Variante.

Das Komma 144/143 ist dabei der Unterschied zwischen den kleinen neutralen Sekunden 13/12 und 12/11. Das temperierte Intervall entspricht dem kleineren Intervall der siebentönigen MOS-Skala.

Weitere Varianten sind im [[:en:Tetracot_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben.
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition, austemperierte Kommas=
Die Familie der Tetracot-Temperaturen ist definiert durch Austemperieren der Kommas [[100/99]] und [[243/242]].

100/99, das Ptolemäus-Komma, ist der Unterschied zwischen dem “kleinen Ganzton” [[10/9]] und der grossen neutralen Sekunde [[11/10]]. Dessen Austemperieren bewirkt, dass die aus diesen beiden Sekunden gebildete Terz, die große neutrale Terz [[11/9]], in zwei gleiche Teile geteilt wird.

243/242 ist der Unterschied zwischen zwei Intervallen der Größe 11/9 und einer reinen Quinte 3/2. Das Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass eine Quinte in zwei gleiche Teile geteilt wird. In Kombination mit dem Austemperieren des Ptolemäus-Kommas ergibt sich also eine Teilung der Quinte in vier gleiche Teile. Diese Viertelquinte, eine Art kleiner Ganzton, fungiert als Generator für die [[MOS-Skalen]] der Temperatur.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche Tetracot unterstützen, sind unter anderem [[27edo]], [[34edo]], [[41edo]].

=MOS-Skalen=
Tetracot verfügt über eine siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] der Form 6L 1s, bestehend aus 6 kleinen Ganztönen und einer Art neutraler Sekunde.

[Todo Klangbeispiel]

Die beiden Intervalle der siebentönigen Tetracot-Skala haben recht ähnliche Grössen - der Unterschied beträgt nur etwa einen Sechstelton. Die grösseren MOS-Skalen von Tetracot - die dreizehntönige der Form 7L 6s und die zwanzigtönige der Form 7L 13s - haben diesen Sechstelton als kleineres Intervall und sind nicht [[Rothenberg-proper]].

=Varianten=
==Grundvariante in 11-Limit==

Beide Kommas leben im 11-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]], genauer in einem Teilraum, der von den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 (also ohne die 7) aufgespannt wird. Entsprechend lebt auch die einfachste  Variante der Tetracot-Temperatur in diesem Teilraum.

==Grundvariante in 13-Limit==
Hinzunehmen der Primzahl 13 und gleichzeitig eines weiteren auszutemperierenden Kommas, [[144/143]], ergibt 13-Limit-Tetracot. Wenn nur von “Tetracot” ohne Zusatzbeschreibung die Rede ist, bezieht sich das in der Regel auf diese Variante.

Das Komma 144/143 ist dabei der Unterschied zwischen den kleinen neutralen Sekunden 13/12 und 12/11. Das temperierte Intervall entspricht dem kleineren Intervall der siebentönigen MOS-Skala.

Weitere Varianten sind im [[:en:Tetracot_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben.
[[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition, austemperierte Kommas=
Die Familie der Tetracot-Temperaturen ist definiert durch Austemperieren der Kommas [[100/99]] und [[243/242]].

100/99, das Ptolemäus-Komma, ist der Unterschied zwischen dem “kleinen Ganzton” [[10/9]] und der grossen neutralen Sekunde [[11/10]]. Dessen Austemperieren bewirkt, dass die aus diesen beiden Sekunden gebildete Terz, die große neutrale Terz [[11/9]], in zwei gleiche Teile geteilt wird.

243/242 ist der Unterschied zwischen zwei Intervallen der Größe 11/9 und einer reinen Quinte 3/2. Das Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass eine Quinte in zwei gleiche Teile geteilt wird. In Kombination mit dem Austemperieren des Ptolemäus-Kommas ergibt sich also eine Teilung der Quinte in vier gleiche Teile. Diese Viertelquinte, eine Art kleiner Ganzton, fungiert als Generator für die [[MOS-Skalen]] der Temperatur.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche Tetracot unterstützen, sind unter anderem [[27edo]], [[34edo]], [[41edo]].

=MOS-Skalen=
Tetracot verfügt über eine siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] der Form 6L 1s, bestehend aus 6 kleinen Ganztönen und einer Art neutraler Sekunde.

[Todo Klangbeispiel]

Die beiden Intervalle der siebentönigen Tetracot-Skala haben recht ähnliche Grössen - der Unterschied beträgt nur etwa einen Sechstelton. Die grösseren MOS-Skalen von Tetracot - die dreizehntönige der Form 7L 6s und die zwanzigtönige der Form 7L 13s - haben diesen Sechstelton als kleineres Intervall und sind nicht [[Rothenberg-proper]].

=Varianten=
==Grundvariante in 11-Limit==

Beide Kommas leben im 11-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]], genauer in einem Teilraum, der von den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 (also ohne die 7) aufgespannt wird. Entsprechend lebt auch die einfachste  Variante der Tetracot-Temperatur in diesem Teilraum.

==Grundvariante in 13-Limit==
Hinzunehmen der Primzahl 13 und gleichzeitig eines weiteren auszutemperierenden Kommas, [[144/143]], ergibt 13-Limit-Tetracot. Wenn nur von Tetracot ohne Zusatzbeschreibung die Rede ist, bezieht sich das in der Regel auf diese Variante.

Das Komma 144/143 ist dabei der Unterschied zwischen den kleinen neutralen Sekunden 13/12 und 12/11. Das temperierte Intervall entspricht dem kleineren Intervall der siebentönigen MOS-Skala.

Weitere Varianten sind im [[:en:Tetracot_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben.
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition, austemperierte Kommas=
Die Familie der Tetracot-Temperaturen ist definiert durch Austemperieren der Kommas [[100/99]] und [[243/242]].

100/99, das Ptolemäus-Komma, ist der Unterschied zwischen dem “kleinen Ganzton” [[10/9]] und der grossen neutralen Sekunde [[11/10]]. Dessen Austemperieren bewirkt, dass die aus diesen beiden Sekunden gebildete Terz, die große neutrale Terz [[11/9]], in zwei gleiche Teile geteilt wird.

243/242 ist der Unterschied zwischen zwei Intervallen der Größe 11/9 und einer reinen Quinte 3/2. Das Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass eine Quinte in zwei gleiche Teile geteilt wird. In Kombination mit dem Austemperieren des Ptolemäus-Kommas ergibt sich also eine Teilung der Quinte in vier gleiche Teile. Diese Viertelquinte, eine Art kleiner Ganzton, fungiert als Generator für die [[MOS-Skalen]] der Temperatur.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche Tetracot unterstützen, sind unter anderem [[27edo]], [[34edo]], [[41edo]].

=MOS-Skalen=
Tetracot verfügt über eine siebentönige [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] der Form 6L 1s, bestehend aus 6 kleinen Ganztönen und einer Art neutraler Sekunde.

[Todo Klangbeispiel]

Die beiden Intervalle der siebentönigen Tetracot-Skala haben recht ähnliche Grössen - der Unterschied beträgt nur etwa einen Sechstelton. Die grösseren MOS-Skalen von Tetracot - die dreizehntönige der Form 7L 6s und die zwanzigtönige der Form 7L 13s - haben diesen Sechstelton als kleineres Intervall und sind nicht [[Rothenberg-proper]].

=Varianten=
==Grundvariante in 11-Limit==

Beide Kommas leben im 11-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]], genauer in einem Teilraum, der von den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 (also ohne die 7) aufgespannt wird. Entsprechend lebt auch die einfachste  Variante der Tetracot-Temperatur in diesem Teilraum.

==Grundvariante in 13-Limit==
Hinzunehmen der Primzahl 13 und gleichzeitig eines weiteren auszutemperierenden Kommas, [[144/143]], ergibt 13-Limit-Tetracot. Wenn nur von Tetracot ohne Zusatzbeschreibung die Rede ist, bezieht sich das in der Regel auf diese Variante.

Das Komma 144/143 ist dabei der Unterschied zwischen den kleinen neutralen Sekunden 13/12 und 12/11. Die temperierte Version dieser beiden Intervalle entspricht dem kleineren Intervall der siebentönigen MOS-Skala.

Weitere Varianten sind im [[:en:Tetracot_family|englischen Xenharmonic Wiki]] beschrieben.
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Das Intervall 243/242, 7.139 [[Cent]] gross, ist der Unterschied zwischen zwei Intervallen der Größe 11/9 und einer reinen Quinte 3/2. Das Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass eine Quinte in zwei gleiche Teile geteilt wird - d.h. es folgt daraus die Existenz einer neutralen Terz in der temperierten Stimmung.

Geläufige Bezeichnungen für dieses Komma sind (sehr simpel) "Neutrale-Terz-Komma" oder "Rastma", letzteres nach dem [[arabischen|arabisch, türkisch, persisch]] Modus Rast, welcher durch eine neutrale Terz gekennzeichnet ist.</text>
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Das Intervall 243/242, 7.139 [[Cent]] gross, ist der Unterschied zwischen zwei Intervallen der Größe 11/9 und einer reinen Quinte 3/2. Das Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass eine Quinte in zwei gleiche Teile geteilt wird - d.h. es folgt daraus die Existenz einer neutralen Terz in der temperierten Stimmung.

Geläufige Bezeichnungen für dieses Komma sind (sehr simpel) "Neutrale-Terz-Komma" oder "Rastma", letzteres nach dem [[arabisch, türkisch, persisch|arabischen]] Modus Rast, welcher durch eine neutrale Terz gekennzeichnet ist.</text>
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Das Intervall 243/242, 7.139 [[Cent]] gross, ist der Unterschied zwischen zwei Intervallen der Größe 11/9 und einer reinen Quinte 3/2. Das Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass eine Quinte in zwei gleiche Teile geteilt wird - d.h. es folgt daraus die Existenz einer neutralen Terz in der temperierten Stimmung.

Geläufige Bezeichnungen für dieses Komma sind (sehr simpel) "Neutrale-Terz-Komma" oder "Rastma", letzteres nach dem [[arabisch, türkisch, persisch|arabischen]] Modus [[http://www.maqamworld.com/de/maqam/rast.php|Rast]], welcher durch eine neutrale Terz gekennzeichnet ist.</text>
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Das Intervall 243/242, 7.139 [[Cent]] gross, ist der Unterschied zwischen zwei Intervallen der Größe 11/9 und einer reinen Quinte 3/2. Das Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass eine Quinte in zwei gleiche Teile geteilt wird - d.h. es folgt daraus die Existenz einer neutralen Terz in der temperierten Stimmung.

Geläufige Bezeichnungen für dieses Komma sind (sehr simpel) "Neutrale-Terz-Komma" oder "Rastma", letzteres nach dem [[arabisch, türkisch, persisch|arabischen]] Modus [http://www.maqamworld.com/de/maqam/rast.php], welcher durch eine neutrale Terz gekennzeichnet ist.</text>
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Das Intervall 243/242, 7.139 [[Cent]] gross, ist der Unterschied zwischen zwei Intervallen der Größe 11/9 und einer reinen Quinte 3/2. Das Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass eine Quinte in zwei gleiche Teile geteilt wird - d.h. es folgt daraus die Existenz einer neutralen Terz in der temperierten Stimmung.

Geläufige Bezeichnungen für dieses Komma sind (sehr simpel) "Neutrale-Terz-Komma" oder "Rastma", letzteres nach dem [[arabisch, türkisch, persisch|arabischen]] Modus "Rast" [http://www.maqamworld.com/de/maqam/rast.php], welcher durch eine neutrale Terz gekennzeichnet ist.</text>
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Das Intervall 243/242, 7.139 [[Cent]] gross, ist der Unterschied zwischen zwei Intervallen der Größe 11/9 und einer reinen Quinte 3/2. Das Austemperieren dieses Kommas bewirkt, dass eine Quinte in zwei gleiche Teile geteilt wird - d.h. es folgt daraus die Existenz einer neutralen Terz in der temperierten Stimmung.

Geläufige Bezeichnungen für dieses Komma sind (sehr simpel) "Neutrale-Terz-Komma" oder "Rastma", letzteres nach dem [[arabisch, türkisch, persisch|arabischen]] Modus [http://www.maqamworld.com/de/maqam/rast.php Rast], welcher durch eine neutrale Terz gekennzeichnet ist.</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Vulture-Temperaturen ist definiert durch das Austempererieren des Intervalls 10485760000/10460353203 (4.2 Cents), welches Vulture-Komma genannt wird. 

Das Vulture-Komma ist der Unterschied zwischen einem pythagoräischen diatonischen Halbton (Limma, 256/243) und vier syntonischen Kommas 81/80. Generator ist eine um etwa ein syntonisches Komma herabgestimmte Quarte.

Übereinanderschichten von vier reinen Quarten (4/3) führt bekanntlich zu einem Intervall, das einen pythagoräischen diatonischen Halbton über der reinen Duodezime 3/1 bzw., oktavbereinigt, über der reinen Quinte liegt. Dasselbe mit um ein syntonisches Komma verminderten Quarten fürht entsprechend, bei Temperierung des Vulture-Kommas, zur Approximation einer reinen Duodezime bzw. Quinte.

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der Vulture-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Intervalls 10485760000/10460353203 (4.2 [[Cent|Cents]]), welches Vulture-Komma genannt wird. 

Das Vulture-Komma ist der Unterschied zwischen einem pythagoräischen diatonischen Halbton (Limma, 256/243) und vier [[81/80|syntonischen Kommas 81/80]]. Generator ist eine um etwa ein syntonisches Komma herabgestimmte Quarte.

Übereinanderschichten von vier reinen Quarten (4/3) führt bekanntlich zu einem Intervall, das einen pythagoräischen diatonischen Halbton über der reinen Duodezime 3/1 bzw., oktavbereinigt, über der reinen Quinte liegt. Dasselbe mit um ein syntonisches Komma verminderten Quarten fürht entsprechend, bei Temperierung des Vulture-Kommas, zur Approximation einer reinen Duodezime bzw. Quinte.

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition=
Die Familie der Vulture-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Intervalls 10485760000/10460353203 (4.2 [[Cent|Cents]]), welches Vulture-Komma genannt wird. 

Das Vulture-Komma ist der Unterschied zwischen einem pythagoräischen diatonischen Halbton (Limma, 256/243) und vier [[81/80|syntonischen Kommas 81/80]]. Generator ist eine um etwa ein syntonisches Komma herabgestimmte Quarte.

Übereinanderschichten von vier reinen Quarten (4/3) führt bekanntlich zu einem Intervall, das einen pythagoräischen diatonischen Halbton über der reinen Duodezime 3/1 bzw., oktavbereinigt, über der reinen Quinte liegt. Dasselbe mit um ein syntonisches Komma verminderten Quarten führt entsprechend, bei Temperierung des Vulture-Kommas, zur Approximation einer reinen Duodezime bzw. Quinte.

=Grundlegende Eigenschaften=
[ToDo]

Ein prädestiniertes [[gleichstufiges Tonsystem|Gleichstufige Tonsysteme]] für Vulture ist [[53edo]], wo ein Schritt gerade einem syntpnsichen Komma entspricht und 4 Schritte einem kleinen Halbton. 

=Varianten=
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition=
Die Familie der Vulture-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Intervalls 10485760000/10460353203 (4.2 [[Cent|Cents]]), welches Vulture-Komma genannt wird. 

Das Vulture-Komma ist der Unterschied zwischen einem pythagoräischen diatonischen Halbton (Limma, 256/243) und vier [[81/80|syntonischen Kommas 81/80]]. Generator ist eine um etwa ein syntonisches Komma herabgestimmte Quarte.

Übereinanderschichten von vier reinen Quarten (4/3) führt bekanntlich zu einem Intervall, das einen pythagoräischen diatonischen Halbton über der reinen Duodezime 3/1 bzw., oktavbereinigt, über der reinen Quinte liegt. Dasselbe mit um ein syntonisches Komma verminderten Quarten führt entsprechend, bei Temperierung des Vulture-Kommas, zur Approximation einer reinen Duodezime bzw. Quinte.

=Grundlegende Eigenschaften=
[ToDo]

Ein prädestiniertes [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiges Tonsystem]] für Vulture ist [[53edo]], wo ein Schritt gerade einem syntonischen Komma entspricht und 4 Schritte einem kleinen Halbton. 

=Varianten=
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition=
Die Familie der Vulture-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Intervalls 10485760000/10460353203 (4.2 [[Cent|Cents]]), welches Vulture-Komma genannt wird. 

Das Vulture-Komma ist der Unterschied zwischen einem pythagoräischen diatonischen Halbton (Limma, 256/243) und vier [[81/80|syntonischen Kommas 81/80]]. Generator ist eine um etwa ein syntonisches Komma herabgestimmte Quarte.

Übereinanderschichten von vier reinen Quarten (4/3) führt bekanntlich zu einem Intervall, das einen pythagoräischen diatonischen Halbton über der reinen Duodezime 3/1 bzw., oktavbereinigt, über der reinen Quinte liegt. Dasselbe mit um ein syntonisches Komma verminderten Quarten führt entsprechend, bei Temperierung des Vulture-Kommas, zur Approximation einer reinen Duodezime bzw. Quinte.

=Grundlegende Eigenschaften=
[ToDo]

[[MOS-Skalen]] gibt es in den Grössen 3, 5, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48 und 53.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], die Vulture unterstützen, sind unter anderem [[5edo]], [[48edo]], [[53edo]], [[58edo]].

Prädestiniert ist insbesondere 53edo, wo ein Schritt gerade einem syntonischen Komma entspricht und 4 Schritte einem kleinen Halbton. Die 53-tönige MOS-Skala besteht dann natürlich aus sämtlichen Tönen des Tonsystems.

=Varianten=
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition=
Die Familie der Vulture-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Intervalls 10485760000/10460353203 (4.2 [[Cent|Cents]]), welches Vulture-Komma genannt wird. 

Das Vulture-Komma ist der Unterschied zwischen einem pythagoräischen diatonischen Halbton (Limma, 256/243) und vier [[81/80|syntonischen Kommas 81/80]]. Generator ist eine um etwa ein syntonisches Komma herabgestimmte Quarte.

Übereinanderschichten von vier reinen Quarten (4/3) führt bekanntlich zu einem Intervall, das einen pythagoräischen diatonischen Halbton über der reinen Duodezime 3/1 bzw., oktavbereinigt, über der reinen Quinte liegt. Dasselbe mit um ein syntonisches Komma verminderten Quarten führt entsprechend, bei Temperierung des Vulture-Kommas, zur Approximation einer reinen Duodezime bzw. Quinte.

=Grundlegende Eigenschaften=
[ToDo]

[[MOS-Skalen]] gibt es in den Grössen 3, 5, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48 und 53.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], die Vulture unterstützen, sind unter anderem [[5edo]], [[48edo]], [[53edo]], [[58edo]].

Prädestiniert ist insbesondere 53edo, wo ein Schritt gerade einem syntonischen Komma entspricht und 4 Schritte einem kleinen Halbton. Die 53-tönige MOS-Skala besteht dann natürlich aus sämtlichen Tönen des Tonsystems.

=Varianten=
==Septimal-Vulture==
[ToDo]

==Eagle==
[ToDo]

Weitere Varianten siehe im englischsprachigen Xenwiki.</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition=
Die Familie der Vulture-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Intervalls 10485760000/10460353203 (4.2 [[Cent|Cents]]), welches Vulture-Komma genannt wird. 

Das Vulture-Komma ist der Unterschied zwischen einem pythagoräischen diatonischen Halbton (Limma, 256/243) und vier [[81/80|syntonischen Kommas 81/80]]. Generator ist eine um etwa ein syntonisches Komma herabgestimmte Quarte.

Übereinanderschichten von vier reinen Quarten (4/3) führt bekanntlich zu einem Intervall, das einen pythagoräischen diatonischen Halbton über der reinen Duodezime 3/1 bzw., oktavbereinigt, über der reinen Quinte liegt. Dasselbe mit um ein syntonisches Komma verminderten Quarten führt entsprechend, bei Temperierung des Vulture-Kommas, zur Approximation einer reinen Duodezime bzw. Quinte.

=MOS-Skalen=

[[MOS-Skalen]] gibt es in den Grössen 3, 5, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48 und 53. Schon bei der achttönigen Skala (und den folgenden ebenfalls) ist dabei das kleine Intervall nur etwa so gross wie das syntonische Komma, als eigener Melodieschritt schon etwas zu klein. Wie bei den [[Miracle]]-Skalen Blackjack und Canasta dienen die grösseren MOS-Skalen von Vulture eher als Basistonvorrat, der es erlaubt, im wesentlichen in reinen Intervallen zu denken, aber mit reduzierter Komplexität der Intervallbeziehungen und weniger Tönen als bei uneingeschränkter reiner Stimmung.

=Gleichstufige Tonsysteme=
[[Gleichstufige Tonsysteme]], die Vulture unterstützen, sind unter anderem [[5edo]], [[48edo]], [[53edo]], [[58edo]].

Prädestiniert ist insbesondere 53edo, wo ein Schritt gerade einem syntonischen Komma entspricht und 4 Schritte einem kleinen Halbton. Die 53-tönige MOS-Skala besteht dann natürlich aus sämtlichen Tönen des Tonsystems.

=Varianten=
==Septimal-Vulture==
[ToDo]

==Eagle==
[ToDo]

Weitere Varianten siehe im englischsprachigen Xenwiki.</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition=
Die Familie der Vulture-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Intervalls 10485760000/10460353203 (4.2 [[Cent|Cents]]), welches Vulture-Komma genannt wird. 

Das Vulture-Komma ist der Unterschied zwischen einem pythagoräischen diatonischen Halbton (Limma, 256/243) und vier [[81/80|syntonischen Kommas 81/80]]. Generator ist eine um etwa ein syntonisches Komma herabgestimmte Quarte.

Übereinanderschichten von vier reinen Quarten (4/3) führt bekanntlich zu einem Intervall, das einen pythagoräischen diatonischen Halbton über der reinen Duodezime 3/1 bzw., oktavbereinigt, über der reinen Quinte liegt. Dasselbe mit um ein syntonisches Komma verminderten Quarten führt entsprechend, bei Temperierung des Vulture-Kommas, zur Approximation einer reinen Duodezime bzw. Quinte.

=MOS-Skalen=

[[MOS-Skalen]] gibt es in den Grössen 3, 5, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48 und 53. Schon bei der achttönigen Skala (und den folgenden ebenfalls) ist dabei das kleine Intervall nur etwa so gross wie das syntonische Komma, als eigener Melodieschritt schon etwas zu klein. Wie bei den [[Miracle]]-Skalen Blackjack und Canasta dienen die grösseren MOS-Skalen von Vulture eher als Basistonvorrat, der es erlaubt, im wesentlichen in reinen Intervallen zu denken, aber mit reduzierter Komplexität der Intervallbeziehungen und weniger Tönen als bei uneingeschränkter reiner Stimmung.

=Gleichstufige Tonsysteme=
[[Gleichstufige Tonsysteme]], die Vulture unterstützen, sind unter anderem [[5edo]], [[48edo]], [[53edo]], [[58edo]].

Prädestiniert ist insbesondere 53edo, wo ein Schritt gerade einem syntonischen Komma entspricht und 4 Schritte einem kleinen Halbton. Die 53-tönige MOS-Skala besteht dann natürlich aus sämtlichen Tönen des Tonsystems.

=Varianten=
==Septimal-Vulture==
Sozusagen die natürliche Erweiterung von Vulture in 7-Limit, namentlich in 53edo, geschieht über das zusätzliche Austemperieren des Kommas 4375/4374 und des Kommas 33'554'432/33'480'783, letzteres der Unterschied zwischen einem septimalen Ganzton 8/7 und zwei pythagoräischen grossen Halbtönen (Apotomen). Der septimale Ganzton (10 Schritte in 53edo, das grosse Intervall der achttönigen MOS-Skala) wird dabei in zwei gleiche Teile geteilt (je 5 Schritte in 53edo, gerade die Approximation des Apotoms).

==Eagle==
[ToDo]

Weitere Varianten siehe im englischsprachigen Xenwiki.</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition=
Die Familie der Vulture-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Intervalls 10485760000/10460353203 (4.2 [[Cent|Cents]]), welches Vulture-Komma genannt wird. 

Das Vulture-Komma ist der Unterschied zwischen einem pythagoräischen diatonischen Halbton (Limma, 256/243) und vier [[81/80|syntonischen Kommas 81/80]]. Generator ist eine um etwa ein syntonisches Komma herabgestimmte Quarte.

Übereinanderschichten von vier reinen Quarten (4/3) führt bekanntlich zu einem Intervall, das einen pythagoräischen diatonischen Halbton über der reinen Duodezime 3/1 bzw., oktavbereinigt, über der reinen Quinte liegt. Dasselbe mit um ein syntonisches Komma verminderten Quarten führt entsprechend, bei Temperierung des Vulture-Kommas, zur Approximation einer reinen Duodezime bzw. Quinte.

=MOS-Skalen=

[[MOS-Skalen]] gibt es in den Grössen 3, 5, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48 und 53. Schon bei der achttönigen Skala (und den folgenden ebenfalls) ist dabei das kleine Intervall nur etwa so gross wie das syntonische Komma, als eigener Melodieschritt schon etwas zu klein. Wie bei den [[Miracle]]-Skalen Blackjack und Canasta dienen die grösseren MOS-Skalen von Vulture eher als Basistonvorrat, der es erlaubt, im wesentlichen in reinen Intervallen zu denken, aber mit reduzierter Komplexität der Intervallbeziehungen und weniger Tönen als bei uneingeschränkter reiner Stimmung.

=Gleichstufige Tonsysteme=
[[Gleichstufige Tonsysteme]], die Vulture unterstützen, sind unter anderem [[5edo]], [[48edo]], [[53edo]], [[58edo]].

Prädestiniert ist insbesondere 53edo, wo ein Schritt gerade einem syntonischen Komma entspricht und 4 Schritte einem kleinen Halbton. Die 53-tönige MOS-Skala besteht dann natürlich aus sämtlichen Tönen des Tonsystems.

=Varianten=
==Septimal-Vulture==
Sozusagen die natürliche Erweiterung von Vulture in 7-[[P-Limit|Limit]], namentlich in 53edo, geschieht über das zusätzliche Austemperieren des Kommas 4375/4374 und des Kommas 33'554'432/33'480'783, letzteres der Unterschied zwischen einem septimalen Ganzton 8/7 und zwei pythagoräischen grossen Halbtönen (Apotomen). Der septimale Ganzton (10 Schritte in 53edo, das grosse Intervall der achttönigen MOS-Skala) wird dabei in zwei gleiche Teile geteilt (je 5 Schritte in 53edo, gerade die Approximation des Apotoms).

==Eagle==
[ToDo]

Weitere Varianten siehe im englischsprachigen Xenwiki.</text>
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}}
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition=
Die Familie der Vulture-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Intervalls 10485760000/10460353203 (4.2 [[Cent|Cents]]), welches Vulture-Komma genannt wird. 

Das Vulture-Komma ist der Unterschied zwischen einem pythagoräischen diatonischen Halbton (Limma, 256/243) und vier [[81/80|syntonischen Kommas 81/80]]. Generator ist eine um etwa ein syntonisches Komma herabgestimmte Quarte.

Übereinanderschichten von vier reinen Quarten (4/3) führt bekanntlich zu einem Intervall, das einen pythagoräischen diatonischen Halbton über der reinen Duodezime 3/1 bzw., oktavbereinigt, über der reinen Quinte liegt. Dasselbe mit um ein syntonisches Komma verminderten Quarten führt entsprechend, bei Temperierung des Vulture-Kommas, zur Approximation einer reinen Duodezime bzw. Quinte.

=MOS-Skalen=

[[MOS-Skalen]] gibt es in den Grössen 3, 5, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48 und 53. Schon bei der achttönigen Skala (und den folgenden ebenfalls) ist dabei das kleine Intervall nur etwa so gross wie das syntonische Komma, als eigener Melodieschritt schon etwas zu klein. Wie bei den [[Miracle]]-Skalen Blackjack und Canasta dienen die grösseren MOS-Skalen von Vulture eher als Basistonvorrat, der es erlaubt, im wesentlichen in reinen Intervallen zu denken, aber mit reduzierter Komplexität der Intervallbeziehungen und weniger Tönen als bei uneingeschränkter reiner Stimmung.

=Gleichstufige Tonsysteme=
[[Gleichstufige Tonsysteme]], die Vulture unterstützen, sind unter anderem [[5edo]], [[48edo]], [[53edo]], [[58edo]].

Prädestiniert ist insbesondere 53edo, wo ein Schritt gerade einem syntonischen Komma entspricht und 4 Schritte einem kleinen Halbton. Die 53-tönige MOS-Skala besteht dann natürlich aus sämtlichen Tönen des Tonsystems.

=Varianten=
==Septimal-Vulture==
Sozusagen die natürliche Erweiterung von Vulture in 7-[[P-Limit|Limit]], namentlich in 53edo, geschieht über das zusätzliche Austemperieren des Kommas 4375/4374 und des Kommas 33'554'432/33'480'783, letzteres der Unterschied zwischen einem septimalen Ganzton 8/7 und zwei pythagoräischen grossen Halbtönen (Apotomen). Der septimale Ganzton (10 Schritte in 53edo, das grosse Intervall der achttönigen MOS-Skala) wird dabei in zwei gleiche Teile geteilt (je 5 Schritte in 53edo, gerade die Approximation des Apotoms).

==Eagle==
Eine alternative 7-Limit-Erweiterung von Vulture ergibt sich mit dem Austemperieren des Kommas 2401/2400, dem Unterschied zwischen den Oberton-Intervallen 49/48 und 50/49. Diese Variante wird von [[53edo]] nicht unterstützt (die besten Approximationen für die genannten Intervalle sind dort unterschiedlich), dagegen von [[58edo]] (wo wiederum der septimale Ganzton nicht in zwei gleiche Teile teilbar ist). 

[ToDo]

Weitere Varianten siehe im englischsprachigen Xenwiki.</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition=
Die Familie der Vulture-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Intervalls 10485760000/10460353203 (4.2 [[Cent|Cents]]), welches Vulture-Komma genannt wird. 

Das Vulture-Komma ist der Unterschied zwischen einem pythagoräischen diatonischen Halbton (Limma, 256/243) und vier [[81/80|syntonischen Kommas 81/80]]. Generator ist eine um etwa ein syntonisches Komma herabgestimmte Quarte.

Übereinanderschichten von vier reinen Quarten (4/3) führt bekanntlich zu einem Intervall, das einen pythagoräischen diatonischen Halbton über der reinen Duodezime 3/1 bzw., oktavbereinigt, über der reinen Quinte liegt. Dasselbe mit um ein syntonisches Komma verminderten Quarten führt entsprechend, bei Temperierung des Vulture-Kommas, zur Approximation einer reinen Duodezime bzw. Quinte.

=MOS-Skalen=

[[MOS-Skalen]] gibt es in den Grössen 3, 5, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48 und 53. Schon bei der achttönigen Skala (und den folgenden ebenfalls) ist dabei das kleine Intervall nur etwa so gross wie das syntonische Komma, als eigener Melodieschritt schon etwas zu klein. Wie bei den [[Miracle]]-Skalen Blackjack und Canasta dienen die grösseren MOS-Skalen von Vulture eher als Basistonvorrat, der es erlaubt, im wesentlichen in reinen Intervallen zu denken, aber mit reduzierter Komplexität der Intervallbeziehungen und weniger Tönen als bei uneingeschränkter reiner Stimmung.

=Gleichstufige Tonsysteme=
[[Gleichstufige Tonsysteme]], die Vulture unterstützen, sind unter anderem [[5edo]], [[48edo]], [[53edo]], [[58edo]].

Prädestiniert ist insbesondere 53edo, wo ein Schritt gerade einem syntonischen Komma entspricht und 4 Schritte einem kleinen Halbton. Die 53-tönige MOS-Skala besteht dann natürlich aus sämtlichen Tönen des Tonsystems.

=Varianten=
==Septimal-Vulture==
Sozusagen die natürliche Erweiterung von Vulture in 7-[[P-Limit|Limit]], namentlich in 53edo, geschieht über das zusätzliche Austemperieren des Kommas 4375/4374 und des Kommas 33'554'432/33'480'783, letzteres der Unterschied zwischen einem septimalen Ganzton 8/7 und zwei pythagoräischen grossen Halbtönen (Apotomen). Der septimale Ganzton (10 Schritte in 53edo, das grosse Intervall der achttönigen MOS-Skala) wird dabei in zwei gleiche Teile geteilt (je 5 Schritte in 53edo, gerade die Approximation des Apotoms).

==Eagle==
Eine alternative 7-Limit-Erweiterung von Vulture ergibt sich mit dem Austemperieren des Kommas 2401/2400, dem Unterschied zwischen den Oberton-Intervallen 49/48 und 50/49. Diese Variante wird von [[53edo]] nicht unterstützt (die besten Approximationen für die genannten Intervalle sind dort unterschiedlich), dagegen von [[58edo]] (wo wiederum der septimale Ganzton nicht in zwei gleiche Teile teilbar ist). 

[ToDo]

==Weitere Varianten==
Es gibt noch weitere Varianten in 7-Limit und erst recht in höheren p-Limits. Siehe hierzu das [[:en:Vulture_family|englische Xenharmonic Wiki]].
[[Category:Temperament]]
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition=
Die Familie der Vulture-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Intervalls 10485760000/10460353203 (4.2 [[Cent|Cents]]), welches Vulture-Komma genannt wird. 

Das Vulture-Komma ist der Unterschied zwischen einem [[256/243|pythagoräischen diatonischen Halbton (Limma, 256/243)]] und vier [[81/80|syntonischen Kommas 81/80]]. Generator ist eine um etwa ein syntonisches Komma herabgestimmte Quarte.

Übereinanderschichten von vier reinen Quarten (4/3) führt bekanntlich zu einem Intervall, das einen pythagoräischen diatonischen Halbton über der reinen Duodezime 3/1 bzw., oktavbereinigt, über der reinen Quinte liegt. Dasselbe mit um ein syntonisches Komma verminderten Quarten führt entsprechend, bei Temperierung des Vulture-Kommas, zur Approximation einer reinen Duodezime bzw. Quinte.

=MOS-Skalen=

[[MOS-Skalen]] gibt es in den Grössen 3, 5, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48 und 53. Schon bei der achttönigen Skala (und den folgenden ebenfalls) ist dabei das kleine Intervall nur etwa so gross wie das syntonische Komma, als eigener Melodieschritt schon etwas zu klein. Wie bei den [[Miracle]]-Skalen Blackjack und Canasta dienen die grösseren MOS-Skalen von Vulture eher als Basistonvorrat, der es erlaubt, im wesentlichen in reinen Intervallen zu denken, aber mit reduzierter Komplexität der Intervallbeziehungen und weniger Tönen als bei uneingeschränkter reiner Stimmung.

=Gleichstufige Tonsysteme=
[[Gleichstufige Tonsysteme]], die Vulture unterstützen, sind unter anderem [[5edo]], [[48edo]], [[53edo]], [[58edo]].

Prädestiniert ist insbesondere 53edo, wo ein Schritt gerade einem syntonischen Komma entspricht und 4 Schritte einem kleinen Halbton. Die 53-tönige MOS-Skala besteht dann natürlich aus sämtlichen Tönen des Tonsystems.

=Varianten=
==Septimal-Vulture==
Sozusagen die natürliche Erweiterung von Vulture in 7-[[P-Limit|Limit]], namentlich in 53edo, geschieht über das zusätzliche Austemperieren des Kommas 4375/4374 und des Kommas 33'554'432/33'480'783, letzteres der Unterschied zwischen einem septimalen Ganzton 8/7 und zwei pythagoräischen grossen Halbtönen (Apotomen). Der septimale Ganzton (10 Schritte in 53edo, das grosse Intervall der achttönigen MOS-Skala) wird dabei in zwei gleiche Teile geteilt (je 5 Schritte in 53edo, gerade die Approximation des Apotoms).

==Eagle==
Eine alternative 7-Limit-Erweiterung von Vulture ergibt sich mit dem Austemperieren des Kommas 2401/2400, dem Unterschied zwischen den Oberton-Intervallen 49/48 und 50/49. Diese Variante wird von [[53edo]] nicht unterstützt (die besten Approximationen für die genannten Intervalle sind dort unterschiedlich), dagegen von [[58edo]] (wo wiederum der septimale Ganzton nicht in zwei gleiche Teile teilbar ist). 

[ToDo]

==Weitere Varianten==
Es gibt noch weitere Varianten in 7-Limit und erst recht in höheren p-Limits. Siehe hierzu das [[:en:Vulture_family|englische Xenharmonic Wiki]].
[[Category:Temperament]]
[[Category:Temperatur]]</text>
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      <comment>Die Seite wurde neu angelegt: „{{interwiki | de = 256/243 | en = 256/243 | es =  | ja =  }}  Das Intervall 256/243, genannt '''Limma''' oder '''pythagoräischer diatonischer Halbton''', ist…“</comment>
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Das Intervall 256/243, genannt '''Limma''' oder '''pythagoräischer diatonischer Halbton''', ist der Unterschied zwischen 5 reinen Quarten 4/3 und 2 Oktaven 2/1 bzw. (mit umgekehrtem Vorzeichen) der Unterscheid zwischen 5 reinen Quinten 3/2 und 3 Oktaven 2/1. Es ist ein wichtiges Intervall, das bei einer pythagoräischen diatonischen Tonleiter die Rolle des Halbtons spielt.

Siehe [https://de.wikipedia.org/wiki/Limma Limma (Wikipedia)]

Man kann das Limma auch als [[Komma]] ansehen und austemperieren. Dann erhält man eine [[Reguläre Temperaturen|temperierte Stimmung]], bei der Übereinanderschichten von 5 Quarten oktavreduziert zum Ausgangspunkt zurückführt. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die dies unterstützen, sind Unterteilungen der Oktave in ein Vielfaches von 5, also namentlich [[5edo]], [[10edo]], [[15edo]], [[20edo]], [[25edo]] und [[30edo]].

Die Familie der regulären Temperaturen, die durch Austemperieren des Limmas definiert wird, ist unter dem Namen [[Blackwood]] bekannt, benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.].</text>
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Das Intervall 256/243, genannt '''Limma''' oder '''pythagoräischer diatonischer Halbton''', ist der Unterschied zwischen 5 reinen Quarten 4/3 und 2 Oktaven 2/1 bzw. (mit umgekehrtem Vorzeichen) der Unterscheid zwischen 5 reinen Quinten 3/2 und 3 Oktaven 2/1. Es ist ein wichtiges Intervall, das bei einer pythagoräischen diatonischen Tonleiter die Rolle des Halbtons spielt.

Siehe [https://de.wikipedia.org/wiki/Limma Limma (Wikipedia)]

Man kann das Limma auch als [[Komma]] ansehen und austemperieren. Dann erhält man eine [[Reguläre Temperaturen|temperierte Stimmung]], bei der Übereinanderschichten von 5 Quarten oktavreduziert zum Ausgangspunkt zurückführt. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die dies unterstützen, sind Unterteilungen der Oktave in ein Vielfaches von 5, also namentlich [[5edo]], [[10edo]], [[15edo]], [[20edo]], [[25edo]] und [[30edo]].

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Das Intervall 256/243, genannt '''Limma''' oder '''pythagoräischer diatonischer Halbton''', ist der Unterschied zwischen 5 reinen Quarten 4/3 und 2 Oktaven 2/1 bzw. (mit umgekehrtem Vorzeichen) der Unterschied zwischen 5 reinen Quinten 3/2 und 3 Oktaven 2/1. Es ist ein wichtiges Intervall, das bei einer pythagoräischen diatonischen Tonleiter die Rolle des Halbtons spielt.

Siehe [https://de.wikipedia.org/wiki/Limma Limma (Wikipedia)]

Man kann das Limma auch als [[Komma]] ansehen und austemperieren. Dann erhält man eine [[Reguläre Temperaturen|temperierte Stimmung]], bei der Übereinanderschichten von 5 Quarten oktavreduziert zum Ausgangspunkt zurückführt. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die dies unterstützen, sind Unterteilungen der Oktave in ein Vielfaches von 5, also namentlich [[5edo]], [[10edo]], [[15edo]], [[20edo]], [[25edo]] und [[30edo]].

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der limmischen Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des [[256/243|Limmas 256/243]]. Die einfachste und verbreitetste Variante, bei welcher einfach auf dem 5-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] das Limma austemperiert wird, ist unter dem Namen '''Blackwood''' bekannt, benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.].

Das Intervall 256/243, das entsprechend auch '''Blackwood-Komma''' genannt werden kann, ist der Unterschied zwischen 5 reinen Quarten 4/3 und 2 Oktaven 2/1 bzw. (mit umgekehrtem Vorzeichen) der Unterschied zwischen 5 reinen Quinten 3/2 und 3 Oktaven 2/1. Es ist mit 90.2 [[Cent]] ziemlich gross für ein Komma, und das Austemperieren hat ein paar aus traditioneller Sicht durchaus merkwürdige Konsequenzen.

Direkt aus der Definition des Intervalls folgt, dass in der Blackwood-Temperatur das Intervall der Doppeloktave (4/1) in 5 gleiche Teile geteilt wird und ebenso das Intervall der Dreifachoktave (6/1), wobei das erstere Intervall, 480 Cent gross, die Quarte 4/3 approximiert und das letztere, 720 Cent gross, die Quinte 3/2. Beide Intervalle sind in ihren Grössen fix definiert, und es sind genau die Intervalle von [[5edo]]. 

Die Approximation der reinen Intervalle ist dabei ziemlich schlecht, rund 18 Cents beträgt der Fehler. 

[ToDo Weitere Eigenschaften]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die Familie der limmischen Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des [[256/243|Limmas 256/243]]. Die einfachste und verbreitetste Variante, bei welcher einfach auf dem 5-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] das Limma austemperiert wird, ist unter dem Namen '''Blackwood''' bekannt, benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.].

Das Intervall 256/243, das entsprechend auch '''Blackwood-Komma''' genannt werden kann, ist der Unterschied zwischen 5 reinen Quarten 4/3 und 2 Oktaven 2/1 bzw. (mit umgekehrtem Vorzeichen) der Unterschied zwischen 5 reinen Quinten 3/2 und 3 Oktaven 2/1. Es ist mit 90.2 [[Cent]] ziemlich gross für ein Komma, und das Austemperieren hat ein paar aus traditioneller Sicht durchaus merkwürdige Konsequenzen.

Direkt aus der Definition des Intervalls folgt, dass in der Blackwood-Temperatur das Intervall der Doppeloktave (4/1) in 5 gleiche Teile geteilt wird und ebenso das Intervall der Dreifachoktave (6/1), wobei das erstere Intervall, 480 Cent gross, die Quarte 4/3 approximiert und das letztere, 720 Cent gross, die Quinte 3/2. Beide Intervalle sind in ihren Grössen fix definiert, und es sind genau die Intervalle von [[5edo]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Blackwood unterstützen, sind allgemein Unterteilungen der Oktave in ein Vielfaches von 5.

Die Approximationen von Quarte und Quinte sind dabei ziemlich schlecht, rund 18 Cents beträgt der Fehler. Dies gilt übrigens, etwas überraschend, auch für eine Reihe weiterer 5n-EDOs: in [[10edo]] wie auch in [[15edo]], [[20edo]], [[25edo]] und [[30edo]] gibt es für Quarte und Quinte keine bessere Approximation als diejenigen, welche schon von 5edo geliefert werd. Erst [[35edo]] hat bessere Approximationen dieser Intervalle, doch auch diese sind immer noch um 15 Cent daneben.

 

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition, elementare Eigenschaften=
Die Familie der limmischen Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des [[256/243|Limmas 256/243]]. Die einfachste und verbreitetste Variante, bei welcher einfach auf dem 5-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] das Limma austemperiert wird, ist unter dem Namen '''Blackwood''' bekannt, benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.].

Das Intervall 256/243, das entsprechend auch '''Blackwood-Komma''' genannt werden kann, ist der Unterschied zwischen 5 reinen Quarten 4/3 und 2 Oktaven 2/1 bzw. (mit umgekehrtem Vorzeichen) der Unterschied zwischen 5 reinen Quinten 3/2 und 3 Oktaven 2/1. Es ist mit 90.2 [[Cent]] ziemlich gross für ein Komma, und das Austemperieren hat ein paar aus traditioneller Sicht durchaus merkwürdige Konsequenzen.

Direkt aus der Definition des Intervalls folgt, dass in einer Blackwood-Temperatur das Intervall der Doppeloktave (4/1) in 5 gleiche Teile geteilt wird und ebenso das Intervall der Dreifachoktave (6/1), wobei das erstere Intervall, 480 Cent gross, die Quarte 4/3 approximiert und das letztere, 720 Cent gross, die Quinte 3/2. Beide Intervalle sind in ihren Grössen fix definiert, und es sind genau die Intervalle von [[5edo]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Blackwood unterstützen, sind allgemein Unterteilungen der Oktave in ein Vielfaches von 5.

Die Approximationen von Quarte und Quinte sind dabei ziemlich schlecht, rund 18 Cents beträgt der Fehler. Dies gilt übrigens, etwas überraschend, auch für eine Reihe weiterer 5n-EDOs: in [[10edo]] wie auch in [[15edo]], [[20edo]], [[25edo]] und [[30edo]] gibt es für Quarte und Quinte keine bessere Approximation als diejenigen, welche schon von 5edo geliefert werd. Erst [[35edo]] hat bessere Approximationen dieser Intervalle, doch auch diese sind immer noch um 15 Cent daneben.

=Die zehntönige Blackwood-Skala=

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition, elementare Eigenschaften=
Die Familie der limmischen Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des [[256/243|Limmas 256/243]]. Die einfachste und verbreitetste Variante, bei welcher einfach auf dem 5-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] das Limma austemperiert wird, ist unter dem Namen '''Blackwood''' bekannt, benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.].

Das Intervall 256/243, das entsprechend auch '''Blackwood-Komma''' genannt werden kann, ist der Unterschied zwischen 5 reinen Quarten 4/3 und 2 Oktaven 2/1 bzw. (mit umgekehrtem Vorzeichen) der Unterschied zwischen 5 reinen Quinten 3/2 und 3 Oktaven 2/1. Es ist mit 90.2 [[Cent]] ziemlich gross für ein Komma, und das Austemperieren hat ein paar aus traditioneller Sicht durchaus merkwürdige Konsequenzen.

Direkt aus der Definition des Intervalls folgt, dass in einer Blackwood-Temperatur das Intervall der Doppeloktave (4/1) in 5 gleiche Teile geteilt wird und ebenso das Intervall der Dreifachoktave (6/1), wobei das erstere Intervall, 480 Cent gross, die Quarte 4/3 approximiert und das letztere, 720 Cent gross, die Quinte 3/2. Beide Intervalle sind in ihren Grössen fix definiert, und es sind genau die Intervalle von [[5edo]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Blackwood unterstützen, sind allgemein Unterteilungen der Oktave in ein Vielfaches von 5.

Die Approximationen von Quarte und Quinte sind dabei ziemlich schlecht, rund 18 Cents beträgt der Fehler. Dies gilt übrigens, etwas überraschend, auch für eine Reihe weiterer 5n-EDOs: in [[10edo]] wie auch in [[15edo]], [[20edo]], [[25edo]] und [[30edo]] gibt es für Quarte und Quinte keine bessere Approximation als diejenigen, welche schon von 5edo geliefert werd. Erst [[35edo]] hat bessere Approximationen dieser Intervalle, doch auch diese sind immer noch um 15 Cent daneben.

=Die zehntönige Blackwood-Skala=
[[MOS-Skalen]] von Blackwood haben eine Fünfteloktave als Periode, sie bestehen aus Vereinigungen mehrerer Instanzen von 5edo. Die wichtigste ist diejenige mit 10 Tönen, von der Form 5L 5s. Der KOmponist Easly Blackwood gilt als der erste, der diese Skala intensiv verwendet hat, und entsprechend ist sie unter seinem Namen bekannt geworden. Die Bezeichnung "Blackwood-Skala" ohne Zusatzbeschreibung bezieht sich in der Regel auf diese zehntönige Blackwood-MOS-Skala.

Alle 5n-EDOs grösser als 10edo enthalten diese zehntönige Blackwood-Skala (während sie in 10edo natürlich degeneriert zu einer völlig gleichförmigen, die aus sämtlichen Tönen von 10edo besteht). [[15edo]] ist die kleinste gelichstufige Stimmung, die eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala enthält.

Die zehntönige Blackwood-Skala hat nur zwei Modi, Dur (LsLsLsLsLs) und Moll (sLsLsLsLsL) - LsL entspricht einer grossen Terz und sLs einer kleinen. Wenn man in ihr Quinten übereinanderschichtet, erhält man zwei in sich geschlossene Fünferzyklen, bei der jede Note in dem einen Zyklus Grundton eines Dur-Dreiklangs ist und jede Note im anderen Zyklus Grundton eines Moll-Dreiklangs. Diese Eigenschaft findet sich in keiner anderen Skala mit zehn oder weniger Tönen.

[ToDo Klangbeispiele]

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition, elementare Eigenschaften=
Die Familie der limmischen Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des [[256/243|Limmas 256/243]]. Die einfachste und verbreitetste Variante, bei welcher einfach auf dem 5-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] das Limma austemperiert wird, ist unter dem Namen '''Blackwood''' bekannt, benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.].

Das Intervall 256/243, das entsprechend auch '''Blackwood-Komma''' genannt werden kann, ist der Unterschied zwischen 5 reinen Quarten 4/3 und 2 Oktaven 2/1 bzw. (mit umgekehrtem Vorzeichen) der Unterschied zwischen 5 reinen Quinten 3/2 und 3 Oktaven 2/1. Es ist mit 90.2 [[Cent]] ziemlich gross für ein Komma, und das Austemperieren hat ein paar aus traditioneller Sicht durchaus merkwürdige Konsequenzen.

Direkt aus der Definition des Intervalls folgt, dass in einer Blackwood-Temperatur das Intervall der Doppeloktave (4/1) in 5 gleiche Teile geteilt wird und ebenso das Intervall der Dreifachoktave (6/1), wobei das erstere Intervall, 480 Cent gross, die Quarte 4/3 approximiert und das letztere, 720 Cent gross, die Quinte 3/2. Beide Intervalle sind in ihren Grössen fix definiert, und es sind genau die Intervalle von [[5edo]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Blackwood unterstützen, sind allgemein Unterteilungen der Oktave in ein Vielfaches von 5.

Die Approximationen von Quarte und Quinte sind dabei ziemlich schlecht, rund 18 Cents beträgt der Fehler. Dies gilt übrigens, etwas überraschend, auch für eine Reihe weiterer 5n-EDOs: in [[10edo]] wie auch in [[15edo]], [[20edo]], [[25edo]] und [[30edo]] gibt es für Quarte und Quinte keine bessere Approximation als diejenigen, welche schon von 5edo geliefert werd. Erst [[35edo]] hat bessere Approximationen dieser Intervalle, doch auch diese sind immer noch um 15 Cent daneben.

=Die zehntönige Blackwood-Skala=
[[MOS-Skalen]] von Blackwood haben eine Fünfteloktave als Periode, sie bestehen aus Vereinigungen mehrerer Instanzen von 5edo. Die wichtigste ist diejenige mit 10 Tönen, von der Form 5L 5s. Der KOmponist Easly Blackwood gilt als der erste, der diese Skala intensiv verwendet hat, und entsprechend ist sie unter seinem Namen bekannt geworden. Die Bezeichnung "Blackwood-Skala" ohne Zusatzbeschreibung bezieht sich in der Regel auf diese zehntönige Blackwood-MOS-Skala.

Alle 5n-EDOs grösser als 10edo enthalten diese zehntönige Blackwood-Skala (während sie in 10edo natürlich degeneriert zu einer völlig gleichförmigen, die aus sämtlichen Tönen von 10edo besteht). [[15edo]] ist die kleinste gelichstufige Stimmung, die eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala enthält.

Die zehntönige Blackwood-Skala hat nur zwei Modi, Dur (LsLsLsLsLs) und Moll (sLsLsLsLsL) - LsL entspricht einer grossen Terz und sLs einer kleinen. Wenn man in ihr Quinten übereinanderschichtet, erhält man zwei in sich geschlossene Fünferzyklen, bei der jede Note in dem einen Zyklus Grundton eines Dur-Dreiklangs ist und jede Note im anderen Zyklus Grundton eines Moll-Dreiklangs. Diese Eigenschaft findet sich in keiner anderen Skala mit zehn oder weniger Tönen.

[ToDo Klangbeispiele]

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition, elementare Eigenschaften=
Die Familie der limmischen Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des [[256/243|Limmas 256/243]]. Die einfachste und verbreitetste Variante, bei welcher einfach auf dem 5-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] das Limma austemperiert wird, ist unter dem Namen '''Blackwood''' bekannt, benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.].

Das Intervall 256/243, das entsprechend auch '''Blackwood-Komma''' genannt werden kann, ist der Unterschied zwischen 5 reinen Quarten 4/3 und 2 Oktaven 2/1 bzw. (mit umgekehrtem Vorzeichen) der Unterschied zwischen 5 reinen Quinten 3/2 und 3 Oktaven 2/1. Es ist mit 90.2 [[Cent]] ziemlich gross für ein Komma, und das Austemperieren hat ein paar aus traditioneller Sicht durchaus merkwürdige Konsequenzen.

Direkt aus der Definition des Intervalls folgt, dass in einer Blackwood-Temperatur das Intervall der Doppeloktave (4/1) in 5 gleiche Teile geteilt wird und ebenso das Intervall der Dreifachoktave (6/1), wobei das erstere Intervall, 480 Cent gross, die Quarte 4/3 approximiert und das letztere, 720 Cent gross, die Quinte 3/2. Beide Intervalle sind in ihren Grössen fix definiert, und es sind genau die Intervalle von [[5edo]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Blackwood unterstützen, sind allgemein Unterteilungen der Oktave in ein Vielfaches von 5.

Die Approximationen von Quarte und Quinte sind dabei ziemlich schlecht, rund 18 Cents beträgt der Fehler. Dies gilt übrigens, etwas überraschend, auch für eine Reihe weiterer 5n-EDOs: in [[10edo]] wie auch in [[15edo]], [[20edo]], [[25edo]] und [[30edo]] gibt es für Quarte und Quinte keine bessere Approximation als diejenigen, welche schon von 5edo geliefert werden. Erst [[35edo]] hat bessere Approximationen dieser Intervalle, doch auch diese sind immer noch um 15 Cent daneben.

=Die zehntönige Blackwood-Skala=
[[MOS-Skalen]] von Blackwood haben eine Fünfteloktave als Periode, sie bestehen aus Vereinigungen mehrerer Instanzen von 5edo. Die wichtigste ist diejenige mit 10 Tönen, von der Form 5L 5s. Der KOmponist Easly Blackwood gilt als der erste, der diese Skala intensiv verwendet hat, und entsprechend ist sie unter seinem Namen bekannt geworden. Die Bezeichnung "Blackwood-Skala" ohne Zusatzbeschreibung bezieht sich in der Regel auf diese zehntönige Blackwood-MOS-Skala.

Alle 5n-EDOs grösser als 10edo enthalten diese zehntönige Blackwood-Skala (während sie in 10edo natürlich degeneriert zu einer völlig gleichförmigen, die aus sämtlichen Tönen von 10edo besteht). [[15edo]] ist die kleinste gelichstufige Stimmung, die eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala enthält.

Die zehntönige Blackwood-Skala hat nur zwei Modi, Dur (LsLsLsLsLs) und Moll (sLsLsLsLsL) - LsL entspricht einer grossen Terz und sLs einer kleinen. Wenn man in ihr Quinten übereinanderschichtet, erhält man zwei in sich geschlossene Fünferzyklen, bei der jede Note in dem einen Zyklus Grundton eines Dur-Dreiklangs ist und jede Note im anderen Zyklus Grundton eines Moll-Dreiklangs. Diese Eigenschaft findet sich in keiner anderen Skala mit zehn oder weniger Tönen.

[ToDo Klangbeispiele]

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition, elementare Eigenschaften=
Die Familie der limmischen Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des [[256/243|Limmas 256/243]]. Die einfachste und verbreitetste Variante, bei welcher einfach auf dem 5-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] das Limma austemperiert wird, ist unter dem Namen '''Blackwood''' bekannt, benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.].

Das Intervall 256/243, das entsprechend auch '''Blackwood-Komma''' genannt werden kann, ist der Unterschied zwischen 5 reinen Quarten 4/3 und 2 Oktaven 2/1 bzw. (mit umgekehrtem Vorzeichen) der Unterschied zwischen 5 reinen Quinten 3/2 und 3 Oktaven 2/1. Es ist mit 90.2 [[Cent]] ziemlich gross für ein Komma, und das Austemperieren hat ein paar aus traditioneller Sicht durchaus merkwürdige Konsequenzen.

Direkt aus der Definition des Intervalls folgt, dass in einer Blackwood-Temperatur das Intervall der Doppeloktave (4/1) in 5 gleiche Teile geteilt wird und ebenso das Intervall der Dreifachoktave (6/1), wobei das erstere Intervall, 480 Cent gross, die Quarte 4/3 approximiert und das letztere, 720 Cent gross, die Quinte 3/2. Beide Intervalle sind in ihren Grössen fix definiert, und es sind genau die Intervalle von [[5edo]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Blackwood unterstützen, sind allgemein Unterteilungen der Oktave in ein Vielfaches von 5.

Die Approximationen von Quarte und Quinte sind dabei ziemlich schlecht, rund 18 Cents beträgt der Fehler. Dies gilt übrigens, etwas überraschend, auch für eine Reihe weiterer 5n-EDOs: in [[10edo]] wie auch in [[15edo]], [[20edo]], [[25edo]] und [[30edo]] gibt es für Quarte und Quinte keine bessere Approximation als diejenigen, welche schon von 5edo geliefert werden. Erst [[35edo]] hat bessere Approximationen dieser Intervalle, doch auch diese sind immer noch um 15 Cent daneben.

=Die zehntönige Blackwood-Skala=
[[MOS-Skalen]] von Blackwood haben eine Fünfteloktave als Periode, sie bestehen aus Vereinigungen mehrerer Instanzen von 5edo. Die wichtigste ist diejenige mit 10 Tönen, von der Form 5L 5s. Der Komponist Easly Blackwood gilt als der erste, der diese Skala intensiv verwendet hat, und entsprechend ist sie unter seinem Namen bekannt geworden. Die Bezeichnung "Blackwood-Skala" ohne Zusatzbeschreibung bezieht sich in der Regel auf diese zehntönige Blackwood-MOS-Skala.

Alle 5n-EDOs grösser als 10edo enthalten diese zehntönige Blackwood-Skala (während sie in 10edo natürlich degeneriert zu einer völlig gleichförmigen, die aus sämtlichen Tönen von 10edo besteht). [[15edo]] ist die kleinste gelichstufige Stimmung, die eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala enthält.

Die zehntönige Blackwood-Skala hat nur zwei Modi, Dur (LsLsLsLsLs) und Moll (sLsLsLsLsL) - LsL entspricht einer grossen Terz und sLs einer kleinen. Wenn man in ihr Quinten übereinanderschichtet, erhält man zwei in sich geschlossene Fünferzyklen, bei der jede Note in dem einen Zyklus Grundton eines Dur-Dreiklangs ist und jede Note im anderen Zyklus Grundton eines Moll-Dreiklangs. Diese Eigenschaft findet sich in keiner anderen Skala mit zehn oder weniger Tönen.

[ToDo Klangbeispiele]

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition, elementare Eigenschaften=
Die Familie der limmischen Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des [[256/243|Limmas 256/243]]. Die einfachste und verbreitetste Variante, bei welcher einfach auf dem 5-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] das Limma austemperiert wird, ist unter dem Namen '''Blackwood''' bekannt, benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.].

Das Intervall 256/243, das entsprechend auch '''Blackwood-Komma''' genannt werden kann, ist der Unterschied zwischen 5 reinen Quarten 4/3 und 2 Oktaven 2/1 bzw. (mit umgekehrtem Vorzeichen) der Unterschied zwischen 5 reinen Quinten 3/2 und 3 Oktaven 2/1. Es ist mit 90.2 [[Cent]] ziemlich gross für ein Komma, und das Austemperieren hat ein paar aus traditioneller Sicht durchaus merkwürdige Konsequenzen.

Direkt aus der Definition des Intervalls folgt, dass in einer Blackwood-Temperatur das Intervall der Doppeloktave (4/1) in 5 gleiche Teile geteilt wird und ebenso das Intervall der Dreifachoktave (6/1), wobei das erstere Intervall, 480 Cent gross, die Quarte 4/3 approximiert und das letztere, 720 Cent gross, die Quinte 3/2. Beide Intervalle sind in ihren Grössen fix definiert, und es sind genau die Intervalle von [[5edo]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Blackwood unterstützen, sind allgemein Unterteilungen der Oktave in ein Vielfaches von 5.

Die Approximationen von Quarte und Quinte sind dabei ziemlich schlecht, rund 18 Cents beträgt der Fehler. Dies gilt übrigens, etwas überraschend, auch für eine Reihe weiterer 5n-EDOs: in [[10edo]] wie auch in [[15edo]], [[20edo]], [[25edo]] und [[30edo]] gibt es für Quarte und Quinte keine bessere Approximation als diejenigen, welche schon von 5edo geliefert werden. Erst [[35edo]] hat bessere Approximationen dieser Intervalle, doch auch diese sind immer noch um 15 Cent daneben.

=Die zehntönige Blackwood-Skala=
[[MOS-Skalen]] von Blackwood haben eine Fünfteloktave als Periode, sie bestehen aus Vereinigungen mehrerer Instanzen von 5edo. Die wichtigste ist diejenige mit 10 Tönen, von der Form 5L 5s. Der Komponist Easly Blackwood gilt als der erste, der diese Skala intensiv verwendet hat, und entsprechend ist sie unter seinem Namen bekannt geworden. Die Bezeichnung "Blackwood-Skala" ohne Zusatzbeschreibung bezieht sich in der Regel auf diese zehntönige Blackwood-MOS-Skala.

Alle 5n-EDOs grösser als 10edo enthalten eine Art der zehntönigen Blackwood-Skala (während sie in 10edo natürlich degeneriert zu einer völlig gleichförmigen, die aus sämtlichen Tönen von 10edo besteht). [[15edo]] ist die kleinste gelichstufige Stimmung, die eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala enthält.

Die zehntönige Blackwood-Skala hat nur zwei Modi, Dur (LsLsLsLsLs) und Moll (sLsLsLsLsL) - LsL entspricht einer grossen Terz und sLs einer kleinen. Wenn man in ihr Quinten übereinanderschichtet, erhält man zwei in sich geschlossene Fünferzyklen, bei der jede Note in dem einen Zyklus Grundton eines Dur-Dreiklangs ist und jede Note im anderen Zyklus Grundton eines Moll-Dreiklangs. Diese Eigenschaft findet sich in keiner anderen Skala mit zehn oder weniger Tönen.

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition, elementare Eigenschaften=
Die Familie der limmischen Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des [[256/243|Limmas 256/243]]. Die einfachste und verbreitetste Variante, bei welcher einfach auf dem 5-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] das Limma austemperiert wird, ist unter dem Namen '''Blackwood''' bekannt, benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.].

Das Intervall 256/243, das entsprechend auch '''Blackwood-Komma''' genannt werden kann, ist der Unterschied zwischen 5 reinen Quarten 4/3 und 2 Oktaven 2/1 bzw. (mit umgekehrtem Vorzeichen) der Unterschied zwischen 5 reinen Quinten 3/2 und 3 Oktaven 2/1. Es ist mit 90.2 [[Cent]] ziemlich gross für ein Komma, und das Austemperieren hat ein paar aus traditioneller Sicht durchaus merkwürdige Konsequenzen.

Direkt aus der Definition des Intervalls folgt, dass in einer Blackwood-Temperatur das Intervall der Doppeloktave (4/1) in 5 gleiche Teile geteilt wird und ebenso das Intervall der Dreifachoktave (6/1), wobei das erstere Intervall, 480 Cent gross, die Quarte 4/3 approximiert und das letztere, 720 Cent gross, die Quinte 3/2. Beide Intervalle sind in ihren Grössen fix definiert, und es sind genau die Intervalle von [[5edo]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Blackwood unterstützen, sind allgemein Unterteilungen der Oktave in ein Vielfaches von 5.

Die Approximationen von Quarte und Quinte sind dabei ziemlich schlecht, rund 18 Cents beträgt der Fehler. Dies gilt übrigens, etwas überraschend, auch für eine Reihe weiterer 5n-EDOs: in [[10edo]] wie auch in [[15edo]], [[20edo]], [[25edo]] und [[30edo]] gibt es für Quarte und Quinte keine bessere Approximation als diejenigen, welche schon von 5edo geliefert werden. Erst [[35edo]] hat bessere Approximationen dieser Intervalle, doch auch diese sind immer noch um 15 Cent daneben.

=Die zehntönige Blackwood-Skala=
[[MOS-Skalen]] von Blackwood haben eine Fünfteloktave als Periode, sie bestehen aus Vereinigungen mehrerer Instanzen von 5edo. Die wichtigste ist diejenige mit 10 Tönen, von der Form 5L 5s. Der Komponist Easly Blackwood gilt als der erste, der diese Skala intensiv verwendet hat, und entsprechend ist sie unter seinem Namen bekannt geworden. Die Bezeichnung "Blackwood-Skala" ohne Zusatzbeschreibung bezieht sich in der Regel auf diese zehntönige Blackwood-MOS-Skala.

Alle 5n-EDOs grösser als 10edo enthalten eine Art der zehntönigen Blackwood-Skala (während sie in 10edo natürlich degeneriert zu einer völlig gleichförmigen, die aus sämtlichen Tönen von 10edo besteht). [[15edo]] ist die kleinste glechstufige Stimmung, die eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala enthält.

Die zehntönige Blackwood-Skala hat nur zwei Modi, Dur (LsLsLsLsLs) und Moll (sLsLsLsLsL) - LsL entspricht einer grossen Terz und sLs einer kleinen. Wenn man in ihr Quinten übereinanderschichtet, erhält man zwei in sich geschlossene Fünferzyklen, bei der jede Note in dem einen Zyklus Grundton eines Dur-Dreiklangs ist und jede Note im anderen Zyklus Grundton eines Moll-Dreiklangs. Diese Eigenschaft findet sich in keiner anderen nicht völlig gleichförmigen Skala mit zehn oder weniger Tönen.

[ToDo Klangbeispiele]

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}}
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition, elementare Eigenschaften=
Die Familie der limmischen Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des [[256/243|Limmas 256/243]]. Die einfachste und verbreitetste Variante, bei welcher einfach auf dem 5-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] das Limma austemperiert wird, ist unter dem Namen '''Blackwood''' bekannt, benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.].

Das Intervall 256/243, das entsprechend auch '''Blackwood-Komma''' genannt werden kann, ist der Unterschied zwischen 5 reinen Quarten 4/3 und 2 Oktaven 2/1 bzw. (mit umgekehrtem Vorzeichen) der Unterschied zwischen 5 reinen Quinten 3/2 und 3 Oktaven 2/1. Es ist mit 90.2 [[Cent]] ziemlich gross für ein Komma, und das Austemperieren hat ein paar aus traditioneller Sicht durchaus merkwürdige Konsequenzen.

Direkt aus der Definition des Intervalls folgt, dass in einer Blackwood-Temperatur das Intervall der Doppeloktave (4/1) in 5 gleiche Teile geteilt wird und ebenso das Intervall der Dreifachoktave (6/1), wobei das erstere Intervall, 480 Cent gross, die Quarte 4/3 approximiert und das letztere, 720 Cent gross, die Quinte 3/2. Beide Intervalle sind in ihren Grössen fix definiert, und es sind genau die Intervalle von [[5edo]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Blackwood unterstützen, sind allgemein Unterteilungen der Oktave in ein Vielfaches von 5.

Die Approximationen von Quarte und Quinte sind dabei ziemlich schlecht, rund 18 Cents beträgt der Fehler. Dies gilt übrigens, etwas überraschend, auch für eine Reihe weiterer 5n-EDOs: in [[10edo]] wie auch in [[15edo]], [[20edo]], [[25edo]] und [[30edo]] gibt es für Quarte und Quinte keine bessere Approximation als diejenigen, welche schon von 5edo geliefert werden. Erst [[35edo]] hat bessere Approximationen dieser Intervalle, doch auch diese sind immer noch um 15 Cent daneben.

=Die zehntönige Blackwood-Skala=
[[MOS-Skalen]] von Blackwood haben eine Fünfteloktave als Periode, sie bestehen aus Vereinigungen mehrerer Instanzen von 5edo. Die wichtigste ist diejenige mit 10 Tönen, von der Form 5L 5s. Der Komponist Easly Blackwood gilt als der erste, der diese Skala intensiv verwendet hat, und entsprechend ist sie unter seinem Namen bekannt geworden. Die Bezeichnung "Blackwood-Skala" ohne Zusatzbeschreibung bezieht sich in der Regel auf diese zehntönige Blackwood-MOS-Skala.

Alle 5n-EDOs grösser als 10edo enthalten eine Art der zehntönigen Blackwood-Skala (während sie in 10edo natürlich degeneriert zu einer völlig gleichförmigen, die aus sämtlichen Tönen von 10edo besteht). [[15edo]] ist die kleinste glechstufige Stimmung, die eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala enthält.

Die zehntönige Blackwood-Skala hat nur zwei Modi, Dur (LsLsLsLsLs) und Moll (sLsLsLsLsL) - LsL entspricht einer grossen Terz und sLs einer kleinen. Wenn man in ihr Quinten übereinanderschichtet, erhält man zwei in sich geschlossene Fünferzyklen, bei der jede Note in dem einen Zyklus Grundton eines Dur-Dreiklangs ist und jede Note im anderen Zyklus Grundton eines Moll-Dreiklangs. Diese Eigenschaft findet sich in keiner anderen nicht völlig gleichförmigen Skala mit zehn oder weniger Tönen.

[[File:BlackwoodMajor 15edo.mp3]] [[:BlackwoodMajor 15edo.mp3|BlackwoodMajor 15edo.mp3]]

Blackwood-Dur-Skala in 15-EDO-Stimmung

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition, elementare Eigenschaften=
Die Familie der limmischen Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des [[256/243|Limmas 256/243]]. Die einfachste und verbreitetste Variante, bei welcher einfach auf dem 5-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] das Limma austemperiert wird, ist unter dem Namen '''Blackwood''' bekannt, benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.].

Das Intervall 256/243, das entsprechend auch '''Blackwood-Komma''' genannt werden kann, ist der Unterschied zwischen 5 reinen Quarten 4/3 und 2 Oktaven 2/1 bzw. (mit umgekehrtem Vorzeichen) der Unterschied zwischen 5 reinen Quinten 3/2 und 3 Oktaven 2/1. Es ist mit 90.2 [[Cent]] ziemlich gross für ein Komma, und das Austemperieren hat ein paar aus traditioneller Sicht durchaus merkwürdige Konsequenzen.

Direkt aus der Definition des Intervalls folgt, dass in einer Blackwood-Temperatur das Intervall der Doppeloktave (4/1) in 5 gleiche Teile geteilt wird und ebenso das Intervall der Dreifachoktave (6/1), wobei das erstere Intervall, 480 Cent gross, die Quarte 4/3 approximiert und das letztere, 720 Cent gross, die Quinte 3/2. Beide Intervalle sind in ihren Grössen fix definiert, und es sind genau die Intervalle von [[5edo]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Blackwood unterstützen, sind allgemein Unterteilungen der Oktave in ein Vielfaches von 5.

Die Approximationen von Quarte und Quinte sind dabei ziemlich schlecht, rund 18 Cents beträgt der Fehler. Dies gilt übrigens, etwas überraschend, auch für eine Reihe weiterer 5n-EDOs: in [[10edo]] wie auch in [[15edo]], [[20edo]], [[25edo]] und [[30edo]] gibt es für Quarte und Quinte keine bessere Approximation als diejenigen, welche schon von 5edo geliefert werden. Erst [[35edo]] hat bessere Approximationen dieser Intervalle, doch auch diese sind immer noch um 15 Cent daneben.

=Die zehntönige Blackwood-Skala=
[[MOS-Skalen]] von Blackwood haben eine Fünfteloktave als Periode, sie bestehen aus Vereinigungen mehrerer Instanzen von 5edo. Die wichtigste ist diejenige mit 10 Tönen, von der Form 5L 5s. Der Komponist Easley Blackwood gilt als der erste, der diese Skala intensiv verwendet hat, und entsprechend ist sie unter seinem Namen bekannt geworden. Die Bezeichnung "Blackwood-Skala" ohne Zusatzbeschreibung bezieht sich in der Regel auf diese zehntönige Blackwood-MOS-Skala.

Alle 5n-EDOs grösser als 10edo enthalten eine Art der zehntönigen Blackwood-Skala (während sie in 10edo natürlich degeneriert zu einer völlig gleichförmigen, die aus sämtlichen Tönen von 10edo besteht). [[15edo]] ist die kleinste glechstufige Stimmung, die eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala enthält.

Die zehntönige Blackwood-Skala hat nur zwei Modi, Dur (LsLsLsLsLs) und Moll (sLsLsLsLsL) - LsL entspricht einer grossen Terz und sLs einer kleinen. Wenn man in ihr Quinten übereinanderschichtet, erhält man zwei in sich geschlossene Fünferzyklen, bei der jede Note in dem einen Zyklus Grundton eines Dur-Dreiklangs ist und jede Note im anderen Zyklus Grundton eines Moll-Dreiklangs. Diese Eigenschaft findet sich in keiner anderen nicht völlig gleichförmigen Skala mit zehn oder weniger Tönen.

[[File:BlackwoodMajor 15edo.mp3]] [[:BlackwoodMajor 15edo.mp3|BlackwoodMajor 15edo.mp3]]

Blackwood-Dur-Skala in 15-EDO-Stimmung

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition, elementare Eigenschaften=
Die Familie der limmischen Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des [[256/243|Limmas 256/243]]. Die einfachste und verbreitetste Variante, bei welcher einfach auf dem 5-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] das Limma austemperiert wird, ist unter dem Namen '''Blackwood''' bekannt, benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.].

Das Intervall 256/243, das entsprechend auch '''Blackwood-Komma''' genannt werden kann, ist der Unterschied zwischen 5 reinen Quarten 4/3 und 2 Oktaven 2/1 bzw. (mit umgekehrtem Vorzeichen) der Unterschied zwischen 5 reinen Quinten 3/2 und 3 Oktaven 2/1. Es ist mit 90.2 [[Cent]] ziemlich gross für ein Komma, und das Austemperieren hat ein paar aus traditioneller Sicht durchaus merkwürdige Konsequenzen.

Direkt aus der Definition des Intervalls folgt, dass in einer Blackwood-Temperatur das Intervall der Doppeloktave (4/1) in 5 gleiche Teile geteilt wird und ebenso das Intervall der Dreifachoktave (6/1), wobei das erstere Intervall, 480 Cent gross, die Quarte 4/3 approximiert und das letztere, 720 Cent gross, die Quinte 3/2. Beide Intervalle sind in ihren Grössen fix definiert, und es sind genau die Intervalle von [[5edo]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Blackwood unterstützen, sind allgemein Unterteilungen der Oktave in ein Vielfaches von 5.

Die Approximationen von Quarte und Quinte sind dabei ziemlich schlecht, rund 18 Cents beträgt der Fehler. Dies gilt übrigens, etwas überraschend, auch für eine Reihe weiterer 5n-EDOs: in [[10edo]] wie auch in [[15edo]], [[20edo]], [[25edo]] und [[30edo]] gibt es für Quarte und Quinte keine bessere Approximation als diejenigen, welche schon von 5edo geliefert werden. Erst [[35edo]] hat bessere Approximationen dieser Intervalle, doch auch diese sind immer noch um 15 Cent daneben.

=Die zehntönige Blackwood-Skala=
[[MOS-Skalen]] von Blackwood haben eine Fünfteloktave als Periode, sie bestehen aus Vereinigungen mehrerer Instanzen von 5edo. Die wichtigste ist diejenige mit 10 Tönen, von der Form 5L 5s. Der Komponist [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.] gilt als der erste, der diese Skala intensiv verwendet hat, und entsprechend ist sie unter seinem Namen bekannt geworden. Die Bezeichnung "Blackwood-Skala" ohne Zusatzbeschreibung bezieht sich in der Regel auf diese zehntönige Blackwood-MOS-Skala.

Alle 5n-EDOs grösser als 10edo enthalten eine Art der zehntönigen Blackwood-Skala (während sie in 10edo natürlich degeneriert zu einer völlig gleichförmigen, die aus sämtlichen Tönen von 10edo besteht). [[15edo]] ist die kleinste glechstufige Stimmung, die eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala enthält.

Die zehntönige Blackwood-Skala hat nur zwei Modi, Dur (LsLsLsLsLs) und Moll (sLsLsLsLsL) - LsL entspricht einer grossen Terz und sLs einer kleinen. Wenn man in ihr Quinten übereinanderschichtet, erhält man zwei in sich geschlossene Fünferzyklen, bei der jede Note in dem einen Zyklus Grundton eines Dur-Dreiklangs ist und jede Note im anderen Zyklus Grundton eines Moll-Dreiklangs. Diese Eigenschaft findet sich in keiner anderen nicht völlig gleichförmigen Skala mit zehn oder weniger Tönen.

[[File:BlackwoodMajor 15edo.mp3]] [[:BlackwoodMajor 15edo.mp3|BlackwoodMajor 15edo.mp3]]

Blackwood-Dur-Skala in 15-EDO-Stimmung

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition, elementare Eigenschaften=
Die Familie der '''limmischen Temperaturen''' ist definiert durch das Austemperieren des [[256/243|Limmas 256/243]]. Die einfachste und verbreitetste Variante, bei welcher einfach auf dem 5-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] das Limma austemperiert wird, ist unter dem Namen '''Blackwood''' bekannt, benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.].

Das Intervall 256/243, das entsprechend auch '''Blackwood-Komma''' genannt werden kann, ist der Unterschied zwischen 5 reinen Quarten 4/3 und 2 Oktaven 2/1 bzw. (mit umgekehrtem Vorzeichen) der Unterschied zwischen 5 reinen Quinten 3/2 und 3 Oktaven 2/1. Es ist mit 90.2 [[Cent]] ziemlich gross für ein Komma, und das Austemperieren hat ein paar aus traditioneller Sicht durchaus merkwürdige Konsequenzen.

Direkt aus der Definition des Intervalls folgt, dass in einer Blackwood-Temperatur das Intervall der Doppeloktave (4/1) in 5 gleiche Teile geteilt wird und ebenso das Intervall der Dreifachoktave (6/1), wobei das erstere Intervall, 480 Cent gross, die Quarte 4/3 approximiert und das letztere, 720 Cent gross, die Quinte 3/2. Beide Intervalle sind in ihren Grössen fix definiert, und es sind genau die Intervalle von [[5edo]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Blackwood unterstützen, sind allgemein Unterteilungen der Oktave in ein Vielfaches von 5.

Die Approximationen von Quarte und Quinte sind dabei ziemlich schlecht, rund 18 Cents beträgt der Fehler. Dies gilt übrigens, etwas überraschend, auch für eine Reihe weiterer 5n-EDOs: in [[10edo]] wie auch in [[15edo]], [[20edo]], [[25edo]] und [[30edo]] gibt es für Quarte und Quinte keine bessere Approximation als diejenigen, welche schon von 5edo geliefert werden. Erst [[35edo]] hat bessere Approximationen dieser Intervalle, doch auch diese sind immer noch um 15 Cent daneben.

=Die zehntönige Blackwood-Skala=
[[MOS-Skalen]] von Blackwood haben eine Fünfteloktave als Periode, sie bestehen aus Vereinigungen mehrerer Instanzen von 5edo. Die wichtigste ist diejenige mit 10 Tönen, von der Form 5L 5s. Der Komponist [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.] gilt als der erste, der diese Skala intensiv verwendet hat, und entsprechend ist sie unter seinem Namen bekannt geworden. Die Bezeichnung "Blackwood-Skala" ohne Zusatzbeschreibung bezieht sich in der Regel auf diese zehntönige Blackwood-MOS-Skala.

Alle 5n-EDOs grösser als 10edo enthalten eine Art der zehntönigen Blackwood-Skala (während sie in 10edo natürlich degeneriert zu einer völlig gleichförmigen, die aus sämtlichen Tönen von 10edo besteht). [[15edo]] ist die kleinste glechstufige Stimmung, die eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala enthält.

Die zehntönige Blackwood-Skala hat nur zwei Modi, Dur (LsLsLsLsLs) und Moll (sLsLsLsLsL) - LsL entspricht einer grossen Terz und sLs einer kleinen. Wenn man in ihr Quinten übereinanderschichtet, erhält man zwei in sich geschlossene Fünferzyklen, bei der jede Note in dem einen Zyklus Grundton eines Dur-Dreiklangs ist und jede Note im anderen Zyklus Grundton eines Moll-Dreiklangs. Diese Eigenschaft findet sich in keiner anderen nicht völlig gleichförmigen Skala mit zehn oder weniger Tönen.

[[File:BlackwoodMajor 15edo.mp3]] [[:BlackwoodMajor 15edo.mp3|BlackwoodMajor 15edo.mp3]]

Blackwood-Dur-Skala in 15-EDO-Stimmung

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition, elementare Eigenschaften=
Die Familie der '''limmischen Temperaturen''' ist definiert durch das Austemperieren des [[256/243|Limmas 256/243]]. Die einfachste und verbreitetste Variante, bei welcher einfach auf dem 5-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] das Limma austemperiert wird, ist unter dem Namen '''Blackwood''' bekannt, benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.].

Das Intervall 256/243, das entsprechend auch '''Blackwood-Komma''' genannt werden kann, ist der Unterschied zwischen 5 reinen Quarten 4/3 und 2 Oktaven 2/1 bzw. (mit umgekehrtem Vorzeichen) der Unterschied zwischen 5 reinen Quinten 3/2 und 3 Oktaven 2/1. Es ist mit 90.2 [[Cent]] ziemlich gross für ein Komma, und das Austemperieren hat ein paar aus traditioneller Sicht durchaus merkwürdige Konsequenzen.

Direkt aus der Definition des Intervalls folgt, dass in einer Blackwood-Temperatur das Intervall der Doppeloktave (4/1) in 5 gleiche Teile geteilt wird und ebenso das Intervall der Dreifachoktave (6/1), wobei das erstere Intervall, 480 Cent gross, die Quarte 4/3 approximiert und das letztere, 720 Cent gross, die Quinte 3/2. Beide Intervalle sind in ihren Grössen fix definiert, und es sind genau die Intervalle von [[5edo]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Blackwood unterstützen, sind allgemein Unterteilungen der Oktave in ein Vielfaches von 5.

Die Approximationen von Quarte und Quinte sind dabei ziemlich schlecht, rund 18 Cents beträgt der Fehler. Dies gilt übrigens, etwas überraschend, auch für eine Reihe weiterer 5n-EDOs: in [[10edo]] wie auch in [[15edo]], [[20edo]], [[25edo]] und [[30edo]] gibt es für Quarte und Quinte keine bessere Approximation als diejenigen, welche schon von 5edo geliefert werden. Erst [[35edo]] hat bessere Approximationen dieser Intervalle, doch auch diese sind immer noch um 15 Cent daneben.

=Die zehntönige Blackwood-Skala=
[[MOS-Skalen]] von Blackwood haben eine Fünfteloktave als Periode, sie bestehen aus Vereinigungen mehrerer Instanzen von 5edo. Die wichtigste ist diejenige mit 10 Tönen, von der Form 5L 5s. Der Komponist [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.] gilt als der erste, der diese Skala intensiv verwendet hat, und entsprechend ist sie unter seinem Namen bekannt geworden. Die Bezeichnung "Blackwood-Skala" ohne Zusatzbeschreibung bezieht sich in der Regel auf diese zehntönige Blackwood-MOS-Skala.

Alle 5n-EDOs grösser als 10edo enthalten eine Art der zehntönigen Blackwood-Skala (während sie in 10edo natürlich degeneriert zu einer völlig gleichförmigen, die aus sämtlichen Tönen von 10edo besteht). [[15edo]] ist die kleinste gleichstufige Stimmung, die eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala enthält.

Die zehntönige Blackwood-Skala hat nur zwei Modi, Dur (LsLsLsLsLs) und Moll (sLsLsLsLsL) - LsL entspricht einer grossen Terz und sLs einer kleinen. Wenn man in ihr Quinten übereinanderschichtet, erhält man zwei in sich geschlossene Fünferzyklen, bei der jede Note in dem einen Zyklus Grundton eines Dur-Dreiklangs ist und jede Note im anderen Zyklus Grundton eines Moll-Dreiklangs. Diese Eigenschaft findet sich in keiner anderen nicht völlig gleichförmigen Skala mit zehn oder weniger Tönen.

[[File:BlackwoodMajor 15edo.mp3]] [[:BlackwoodMajor 15edo.mp3|BlackwoodMajor 15edo.mp3]]

Blackwood-Dur-Skala in 15-EDO-Stimmung

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition, elementare Eigenschaften=
Die Familie der '''limmischen Temperaturen''' ist definiert durch das Austemperieren des [[256/243|Limmas 256/243]]. Die einfachste und verbreitetste Variante, bei welcher einfach auf dem 5-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] das Limma austemperiert wird, ist unter dem Namen '''Blackwood''' bekannt, benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.].

Das Intervall 256/243, das entsprechend auch '''Blackwood-Komma''' genannt werden kann, ist der Unterschied zwischen 5 reinen Quarten 4/3 und 2 Oktaven 2/1 bzw. (mit umgekehrtem Vorzeichen) der Unterschied zwischen 5 reinen Quinten 3/2 und 3 Oktaven 2/1. Es ist mit 90.2 [[Cent]] ziemlich gross für ein Komma, und das Austemperieren hat ein paar aus traditioneller Sicht durchaus merkwürdige Konsequenzen.

Direkt aus der Definition des Intervalls folgt, dass in einer Blackwood-Temperatur das Intervall der Doppeloktave (4/1) in 5 gleiche Teile geteilt wird und ebenso das Intervall der Dreifachoktave (6/1), wobei das erstere Intervall, 480 Cent gross, die Quarte 4/3 approximiert und das letztere, 720 Cent gross, die Quinte 3/2. Beide Intervalle sind in ihren Grössen fix definiert, und es sind genau die Intervalle von [[5edo]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Blackwood unterstützen, sind allgemein Unterteilungen der Oktave in ein Vielfaches von 5.

Die Approximationen von Quarte und Quinte sind dabei ziemlich schlecht, rund 18 Cents beträgt der Fehler. Dies gilt übrigens, etwas überraschend, auch für eine Reihe weiterer 5n-EDOs: in [[10edo]] wie auch in [[15edo]], [[20edo]], [[25edo]] und [[30edo]] gibt es für Quarte und Quinte keine bessere Approximation als diejenigen, welche schon von 5edo geliefert werden. Erst [[35edo]] hat bessere Approximationen dieser Intervalle, doch auch diese sind immer noch um 15 Cent daneben.

=Die zehntönige Blackwood-Skala=
[[MOS-Skalen]] von Blackwood haben eine Fünfteloktave als Periode, sie bestehen, auf die Oktave fortgesetzt, aus Vereinigungen mehrerer Instanzen von 5edo. Die wichtigste ist diejenige mit 10 Tönen, von der Form 5L 5s. Der Komponist [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.] gilt als der erste, der diese Skala intensiv verwendet hat, und entsprechend ist sie unter seinem Namen bekannt geworden. Die Bezeichnung "Blackwood-Skala" ohne Zusatzbeschreibung bezieht sich in der Regel auf diese zehntönige Blackwood-MOS-Skala.

Alle 5n-EDOs grösser als 10edo enthalten eine Art der zehntönigen Blackwood-Skala (während sie in 10edo natürlich degeneriert zu einer völlig gleichförmigen, die aus sämtlichen Tönen von 10edo besteht). [[15edo]] ist die kleinste gleichstufige Stimmung, die eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala enthält.

Die zehntönige Blackwood-Skala hat nur zwei Modi, Dur (LsLsLsLsLs) und Moll (sLsLsLsLsL) - LsL entspricht einer grossen Terz und sLs einer kleinen. Wenn man in ihr Quinten übereinanderschichtet, erhält man zwei in sich geschlossene Fünferzyklen, bei der jede Note in dem einen Zyklus Grundton eines Dur-Dreiklangs ist und jede Note im anderen Zyklus Grundton eines Moll-Dreiklangs. Diese Eigenschaft findet sich in keiner anderen nicht völlig gleichförmigen Skala mit zehn oder weniger Tönen.

[[File:BlackwoodMajor 15edo.mp3]] [[:BlackwoodMajor 15edo.mp3|BlackwoodMajor 15edo.mp3]]

Blackwood-Dur-Skala in 15-EDO-Stimmung

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition, elementare Eigenschaften=
Die Familie der '''limmischen Temperaturen''' ist definiert durch das Austemperieren des [[256/243|Limmas 256/243]]. Die einfachste und verbreitetste Variante, bei welcher einfach auf dem 5-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] das Limma austemperiert wird, ist unter dem Namen '''Blackwood''' bekannt, benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.].

Das Intervall 256/243, das entsprechend auch '''Blackwood-Komma''' genannt werden kann, ist der Unterschied zwischen 5 reinen Quarten 4/3 und 2 Oktaven 2/1 bzw. (mit umgekehrtem Vorzeichen) der Unterschied zwischen 5 reinen Quinten 3/2 und 3 Oktaven 2/1. Es ist mit 90.2 [[Cent]] ziemlich gross für ein Komma, und das Austemperieren hat ein paar aus traditioneller Sicht durchaus merkwürdige Konsequenzen.

Direkt aus der Definition des Intervalls folgt, dass in einer Blackwood-Temperatur das Intervall der Doppeloktave (4/1) in 5 gleiche Teile geteilt wird und ebenso das Intervall der Dreifachoktave (6/1), wobei das erstere Intervall, 480 Cent gross, die Quarte 4/3 approximiert und das letztere, 720 Cent gross, die Quinte 3/2. Beide Intervalle sind in ihren Grössen fix definiert, und es sind genau die Intervalle von [[5edo]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Blackwood unterstützen, sind allgemein Unterteilungen der Oktave in ein [[Vielfaches von 5|5n-EDO]].

Die Approximationen von Quarte und Quinte sind dabei ziemlich schlecht, rund 18 Cents beträgt der Fehler. Dies gilt übrigens, etwas überraschend, auch für eine Reihe weiterer 5n-EDOs: in [[10edo]] wie auch in [[15edo]], [[20edo]], [[25edo]] und [[30edo]] gibt es für Quarte und Quinte keine bessere Approximation als diejenigen, welche schon von 5edo geliefert werden. Erst [[35edo]] hat bessere Approximationen dieser Intervalle, doch auch diese sind immer noch um 15 Cent daneben.

=Die zehntönige Blackwood-Skala=
[[MOS-Skalen]] von Blackwood haben eine Fünfteloktave als Periode, sie bestehen, auf die Oktave fortgesetzt, aus Vereinigungen mehrerer Instanzen von 5edo. Die wichtigste ist diejenige mit 10 Tönen, von der Form 5L 5s. Der Komponist [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.] gilt als der erste, der diese Skala intensiv verwendet hat, und entsprechend ist sie unter seinem Namen bekannt geworden. Die Bezeichnung "Blackwood-Skala" ohne Zusatzbeschreibung bezieht sich in der Regel auf diese zehntönige Blackwood-MOS-Skala.

Alle 5n-EDOs grösser als 10edo enthalten eine Art der zehntönigen Blackwood-Skala (während sie in 10edo natürlich degeneriert zu einer völlig gleichförmigen, die aus sämtlichen Tönen von 10edo besteht). [[15edo]] ist die kleinste gleichstufige Stimmung, die eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala enthält.

Die zehntönige Blackwood-Skala hat nur zwei Modi, Dur (LsLsLsLsLs) und Moll (sLsLsLsLsL) - LsL entspricht einer grossen Terz und sLs einer kleinen. Wenn man in ihr Quinten übereinanderschichtet, erhält man zwei in sich geschlossene Fünferzyklen, bei der jede Note in dem einen Zyklus Grundton eines Dur-Dreiklangs ist und jede Note im anderen Zyklus Grundton eines Moll-Dreiklangs. Diese Eigenschaft findet sich in keiner anderen nicht völlig gleichförmigen Skala mit zehn oder weniger Tönen.

[[File:BlackwoodMajor 15edo.mp3]] [[:BlackwoodMajor 15edo.mp3|BlackwoodMajor 15edo.mp3]]

Blackwood-Dur-Skala in 15-EDO-Stimmung

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition, elementare Eigenschaften=
Die Familie der '''limmischen Temperaturen''' ist definiert durch das Austemperieren des [[256/243|Limmas 256/243]]. Die einfachste und verbreitetste Variante, bei welcher einfach auf dem 5-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] das Limma austemperiert wird, ist unter dem Namen '''Blackwood''' bekannt, benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.].

Das Intervall 256/243, das entsprechend auch '''Blackwood-Komma''' genannt werden kann, ist der Unterschied zwischen 5 reinen Quarten 4/3 und 2 Oktaven 2/1 bzw. (mit umgekehrtem Vorzeichen) der Unterschied zwischen 5 reinen Quinten 3/2 und 3 Oktaven 2/1. Es ist mit 90.2 [[Cent]] ziemlich gross für ein Komma, und das Austemperieren hat ein paar aus traditioneller Sicht durchaus merkwürdige Konsequenzen.

Direkt aus der Definition des Intervalls folgt, dass in einer Blackwood-Temperatur das Intervall der Doppeloktave (4/1) in 5 gleiche Teile geteilt wird und ebenso das Intervall der Dreifachoktave (6/1), wobei das erstere Intervall, 480 Cent gross, die Quarte 4/3 approximiert und das letztere, 720 Cent gross, die Quinte 3/2. Beide Intervalle sind in ihren Grössen fix definiert, und es sind genau die Intervalle von [[5edo]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Blackwood unterstützen, sind allgemein Unterteilungen der Oktave in ein [[5n-EDO|Vielfaches von 5]].

Die Approximationen von Quarte und Quinte sind dabei ziemlich schlecht, rund 18 Cents beträgt der Fehler. Dies gilt übrigens, etwas überraschend, auch für eine Reihe weiterer 5n-EDOs: in [[10edo]] wie auch in [[15edo]], [[20edo]], [[25edo]] und [[30edo]] gibt es für Quarte und Quinte keine bessere Approximation als diejenigen, welche schon von 5edo geliefert werden. Erst [[35edo]] hat bessere Approximationen dieser Intervalle, doch auch diese sind immer noch um 15 Cent daneben.

=Die zehntönige Blackwood-Skala=
[[MOS-Skalen]] von Blackwood haben eine Fünfteloktave als Periode, sie bestehen, auf die Oktave fortgesetzt, aus Vereinigungen mehrerer Instanzen von 5edo. Die wichtigste ist diejenige mit 10 Tönen, von der Form 5L 5s. Der Komponist [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.] gilt als der erste, der diese Skala intensiv verwendet hat, und entsprechend ist sie unter seinem Namen bekannt geworden. Die Bezeichnung "Blackwood-Skala" ohne Zusatzbeschreibung bezieht sich in der Regel auf diese zehntönige Blackwood-MOS-Skala.

Alle 5n-EDOs grösser als 10edo enthalten eine Art der zehntönigen Blackwood-Skala (während sie in 10edo natürlich degeneriert zu einer völlig gleichförmigen, die aus sämtlichen Tönen von 10edo besteht). [[15edo]] ist die kleinste gleichstufige Stimmung, die eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala enthält.

Die zehntönige Blackwood-Skala hat nur zwei Modi, Dur (LsLsLsLsLs) und Moll (sLsLsLsLsL) - LsL entspricht einer grossen Terz und sLs einer kleinen. Wenn man in ihr Quinten übereinanderschichtet, erhält man zwei in sich geschlossene Fünferzyklen, bei der jede Note in dem einen Zyklus Grundton eines Dur-Dreiklangs ist und jede Note im anderen Zyklus Grundton eines Moll-Dreiklangs. Diese Eigenschaft findet sich in keiner anderen nicht völlig gleichförmigen Skala mit zehn oder weniger Tönen.

[[File:BlackwoodMajor 15edo.mp3]] [[:BlackwoodMajor 15edo.mp3|BlackwoodMajor 15edo.mp3]]

Blackwood-Dur-Skala in 15-EDO-Stimmung

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition, elementare Eigenschaften=
Die Familie der '''limmischen Temperaturen''' ist definiert durch das Austemperieren des [[256/243|Limmas 256/243]]. Die einfachste und verbreitetste Variante, bei welcher einfach auf dem 5-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] das Limma austemperiert wird, ist unter dem Namen '''Blackwood''' bekannt, benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.].

Das Intervall 256/243, das entsprechend auch '''Blackwood-Komma''' genannt werden kann, ist der Unterschied zwischen 5 reinen Quarten 4/3 und 2 Oktaven 2/1 bzw. (mit umgekehrtem Vorzeichen) der Unterschied zwischen 5 reinen Quinten 3/2 und 3 Oktaven 2/1. Es ist mit 90.2 [[Cent]] ziemlich gross für ein Komma, und das Austemperieren hat ein paar aus traditioneller Sicht durchaus merkwürdige Konsequenzen.

Direkt aus der Definition des Intervalls folgt, dass in einer Blackwood-Temperatur das Intervall der Doppeloktave (4/1) in 5 gleiche Teile geteilt wird und ebenso das Intervall der Dreifachoktave (6/1), wobei das erstere Intervall, 480 Cent gross, die Quarte 4/3 approximiert und das letztere, 720 Cent gross, die Quinte 3/2. Beide Intervalle sind in ihren Grössen fix definiert, und es sind genau die Intervalle von [[5edo]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Blackwood unterstützen, sind allgemein Unterteilungen der Oktave in ein [[5n-EDO|Vielfaches von 5]].

Die Approximationen von Quarte und Quinte sind dabei ziemlich schlecht, rund 18 Cents beträgt der Fehler. Dies gilt übrigens, etwas überraschend, auch für eine Reihe weiterer 5n-EDOs: in [[10edo]] wie auch in [[15edo]], [[20edo]], [[25edo]] und [[30edo]] gibt es für Quarte und Quinte keine bessere Approximation als diejenigen, welche schon von 5edo geliefert werden. Erst [[35edo]] hat bessere Approximationen dieser Intervalle, doch auch diese sind immer noch um 15 Cent daneben.

=Die zehntönige Blackwood-Skala=
[[MOS-Skalen]] von Blackwood haben eine Fünfteloktave als Periode, sie bestehen, auf die Oktave fortgesetzt, aus Vereinigungen mehrerer Instanzen von 5edo. Die wichtigste ist diejenige mit 10 Tönen, von der Form 5L 5s. Der Komponist [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.] gilt als der erste, der diese Skala intensiv verwendet hat, und entsprechend ist sie unter seinem Namen bekannt geworden. Die Bezeichnung "Blackwood-Skala" ohne Zusatzbeschreibung bezieht sich in der Regel auf diese zehntönige Blackwood-MOS-Skala.

Alle 5n-EDOs grösser als 10edo enthalten eine Art der zehntönigen Blackwood-Skala (während sie in 10edo natürlich degeneriert zu einer völlig gleichförmigen, die aus sämtlichen Tönen von 10edo besteht). [[15edo]] ist die kleinste gleichstufige Stimmung, die eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala enthält.

Die zehntönige Blackwood-Skala hat nur zwei Modi, Dur (LsLsLsLsLs) und Moll (sLsLsLsLsL) - LsL entspricht einer grossen Terz und sLs einer kleinen. Wenn man in ihr Quinten übereinanderschichtet, erhält man zwei in sich geschlossene Fünferzyklen, bei der jede Note in dem einen Zyklus Grundton eines Dur-Dreiklangs ist und jede Note im anderen Zyklus Grundton eines Moll-Dreiklangs. Diese Eigenschaft findet sich in keiner anderen nicht völlig gleichförmigen Skala mit zehn oder weniger Tönen.

[[File:BlackwoodMajor 15edo.mp3]] [[:BlackwoodMajor 15edo.mp3|BlackwoodMajor 15edo.mp3]]

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition, elementare Eigenschaften=
Die Familie der '''limmischen Temperaturen''' ist definiert durch das Austemperieren des [[256/243|Limmas 256/243]]. Die einfachste und verbreitetste Variante, bei welcher einfach auf dem 5-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] das Limma austemperiert wird, ist unter dem Namen '''Blackwood''' bekannt, benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.].

Das Intervall 256/243, das entsprechend auch '''Blackwood-Komma''' genannt werden kann, ist der Unterschied zwischen 5 reinen Quarten 4/3 und 2 Oktaven 2/1 bzw. (mit umgekehrtem Vorzeichen) der Unterschied zwischen 5 reinen Quinten 3/2 und 3 Oktaven 2/1. Es ist mit 90.2 [[Cent]] ziemlich gross für ein Komma, und das Austemperieren hat ein paar aus traditioneller Sicht durchaus merkwürdige Konsequenzen.

Direkt aus der Definition des Intervalls folgt, dass in einer Blackwood-Temperatur das Intervall der Doppeloktave (4/1) in 5 gleiche Teile geteilt wird und ebenso das Intervall der Dreifachoktave (6/1), wobei das erstere Intervall, 480 Cent gross, die Quarte 4/3 approximiert und das letztere, 720 Cent gross, die Quinte 3/2. Beide Intervalle sind in ihren Grössen fix definiert, und es sind genau die Intervalle von [[5edo]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Blackwood unterstützen, sind allgemein Unterteilungen der Oktave in ein [[5n-EDO|Vielfaches von 5]].

Die Approximationen von Quarte und Quinte sind dabei ziemlich schlecht, rund 18 Cents beträgt der Fehler. Dies gilt übrigens, etwas überraschend, nicht nur für 5-EDO, sondern auch eine Reihe weiterer 5n-EDOs, bis hinauf zu [[30-EDO]].

=Die zehntönige Blackwood-Skala=
[[MOS-Skalen]] von Blackwood haben eine Fünfteloktave als Periode, sie bestehen, auf die Oktave fortgesetzt, aus Vereinigungen mehrerer Instanzen von 5edo. Die wichtigste ist diejenige mit 10 Tönen, von der Form 5L 5s. Der Komponist [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.] gilt als der erste, der diese Skala intensiv verwendet hat, und entsprechend ist sie unter seinem Namen bekannt geworden. Die Bezeichnung "Blackwood-Skala" ohne Zusatzbeschreibung bezieht sich in der Regel auf diese zehntönige Blackwood-MOS-Skala.

Alle 5n-EDOs grösser als 10edo enthalten eine Art der zehntönigen Blackwood-Skala (während sie in 10edo natürlich degeneriert zu einer völlig gleichförmigen, die aus sämtlichen Tönen von 10edo besteht). [[15edo]] ist die kleinste gleichstufige Stimmung, die eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala enthält.

Die zehntönige Blackwood-Skala hat nur zwei Modi, Dur (LsLsLsLsLs) und Moll (sLsLsLsLsL) - LsL entspricht einer grossen Terz und sLs einer kleinen. Wenn man in ihr Quinten übereinanderschichtet, erhält man zwei in sich geschlossene Fünferzyklen, bei der jede Note in dem einen Zyklus Grundton eines Dur-Dreiklangs ist und jede Note im anderen Zyklus Grundton eines Moll-Dreiklangs. Diese Eigenschaft findet sich in keiner anderen nicht völlig gleichförmigen Skala mit zehn oder weniger Tönen.

[[File:BlackwoodMajor 15edo.mp3]] [[:BlackwoodMajor 15edo.mp3|BlackwoodMajor 15edo.mp3]]

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition, elementare Eigenschaften=
Die Familie der '''limmischen Temperaturen''' ist definiert durch das Austemperieren des [[256/243|Limmas 256/243]]. Die einfachste und verbreitetste Variante, bei welcher einfach auf dem 5-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] das Limma austemperiert wird, ist unter dem Namen '''Blackwood''' bekannt, benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.].

Das Intervall 256/243, das entsprechend auch '''Blackwood-Komma''' genannt werden kann, ist der Unterschied zwischen 5 reinen Quarten 4/3 und 2 Oktaven 2/1 bzw. (mit umgekehrtem Vorzeichen) der Unterschied zwischen 5 reinen Quinten 3/2 und 3 Oktaven 2/1. Es ist mit 90.2 [[Cent]] ziemlich gross für ein Komma, und das Austemperieren hat ein paar aus traditioneller Sicht durchaus merkwürdige Konsequenzen.

Direkt aus der Definition des Intervalls folgt, dass in einer Blackwood-Temperatur das Intervall der Doppeloktave (4/1) in 5 gleiche Teile geteilt wird und ebenso das Intervall der Dreifachoktave (6/1), wobei das erstere Intervall, 480 Cent gross, die Quarte 4/3 approximiert und das letztere, 720 Cent gross, die Quinte 3/2. Beide Intervalle sind in ihren Grössen fix definiert, und es sind genau die Intervalle von [[5edo]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Blackwood unterstützen, sind allgemein Unterteilungen der Oktave in ein [[5n-EDO|Vielfaches von 5]].

Die Approximationen von Quarte und Quinte sind dabei ziemlich schlecht, rund 18 Cents beträgt der Fehler. Dies gilt übrigens, etwas überraschend, nicht nur für 5-EDO, sondern auch eine Reihe weiterer 5n-EDOs, bis hinauf zu [[30-EDO]].

=Die zehntönige Blackwood-Skala=
[[MOS-Skalen]] von Blackwood haben eine Fünfteloktave als Periode, sie bestehen, auf die Oktave fortgesetzt, aus Vereinigungen mehrerer Instanzen von 5edo. Die wichtigste ist diejenige mit 10 Tönen, von der Form 5L 5s. Der Komponist [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.] gilt als der erste, der diese Skala intensiv verwendet hat, und entsprechend ist sie unter seinem Namen bekannt geworden. Die Bezeichnung "Blackwood-Skala" ohne Zusatzbeschreibung bezieht sich in der Regel auf diese zehntönige Blackwood-MOS-Skala.

Alle 5n-EDOs grösser als 10edo enthalten mindestens eine Art der zehntönigen Blackwood-Skala (während sie in 10edo natürlich degeneriert zu einer völlig gleichförmigen, die aus sämtlichen Tönen von 10edo besteht). [[15edo]] ist die kleinste gleichstufige Stimmung, die eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala enthält.

Die zehntönige Blackwood-Skala hat nur zwei Modi, Dur (LsLsLsLsLs) und Moll (sLsLsLsLsL) - LsL entspricht einer grossen Terz und sLs einer kleinen. Wenn man in ihr Quinten übereinanderschichtet, erhält man zwei in sich geschlossene Fünferzyklen, bei der jede Note in dem einen Zyklus Grundton eines Dur-Dreiklangs ist und jede Note im anderen Zyklus Grundton eines Moll-Dreiklangs. Diese Eigenschaft findet sich in keiner anderen nicht völlig gleichförmigen Skala mit zehn oder weniger Tönen.

[[File:BlackwoodMajor 15edo.mp3]] [[:BlackwoodMajor 15edo.mp3|BlackwoodMajor 15edo.mp3]]

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition, elementare Eigenschaften=
Die Familie der '''limmischen Temperaturen''' ist definiert durch das Austemperieren des [[256/243|Limmas 256/243]]. Die einfachste und verbreitetste Variante, bei welcher einfach auf dem 5-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] das Limma austemperiert wird, ist unter dem Namen '''Blackwood''' bekannt, benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.].

Das Intervall 256/243, das entsprechend auch '''Blackwood-Komma''' genannt werden kann, ist der Unterschied zwischen 5 reinen Quarten 4/3 und 2 Oktaven 2/1 bzw. (mit umgekehrtem Vorzeichen) der Unterschied zwischen 5 reinen Quinten 3/2 und 3 Oktaven 2/1. Es ist mit 90.2 [[Cent]] ziemlich gross für ein Komma, und das Austemperieren hat ein paar aus traditioneller Sicht durchaus merkwürdige Konsequenzen.

Direkt aus der Definition des Intervalls folgt, dass in einer Blackwood-Temperatur das Intervall der Doppeloktave (4/1) in 5 gleiche Teile geteilt wird und ebenso das Intervall der Dreifachoktave (6/1), wobei das erstere Intervall, 480 Cent gross, die Quarte 4/3 approximiert und das letztere, 720 Cent gross, die Quinte 3/2. Beide Intervalle sind in ihren Grössen fix definiert, und es sind genau die Intervalle von [[5edo]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Blackwood unterstützen, sind allgemein Unterteilungen der Oktave in ein [[5n-EDO|Vielfaches von 5]].

Die Approximationen von Quarte und Quinte sind dabei ziemlich schlecht, rund 18 Cents beträgt der Fehler. Dies gilt übrigens, etwas überraschend, nicht nur für 5-EDO, sondern auch eine Reihe weiterer 5n-EDOs, bis hinauf zu [[30-EDO]].

=Die zehntönige Blackwood-Skala=
[[MOS-Skalen]] von Blackwood haben eine Fünfteloktave als Periode, sie bestehen, auf die Oktave fortgesetzt, aus Vereinigungen mehrerer Instanzen von 5edo. Die wichtigste ist diejenige mit 10 Tönen, von der Form 5L 5s. Der Komponist [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.] gilt als der erste, der diese Skala intensiv verwendet hat, und entsprechend ist sie unter seinem Namen bekannt geworden. Die Bezeichnung "Blackwood-Skala" ohne Zusatzbeschreibung bezieht sich in der Regel auf diese zehntönige Blackwood-MOS-Skala.

Alle 5n-EDOs grösser als 10edo enthalten mindestens eine Art der zehntönigen Blackwood-Skala (während sie in 10edo natürlich degeneriert zu einer völlig gleichförmigen, die aus sämtlichen Tönen von 10edo besteht). [[15edo]] ist die kleinste gleichstufige Stimmung, die eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala enthält.

Die zehntönige Blackwood-Skala hat nur zwei Modi, Dur (LsLsLsLsLs) und Moll (sLsLsLsLsL) - LsL entspricht einer grossen Terz und sLs einer kleinen. Wenn man in ihr Quinten übereinanderschichtet, erhält man zwei in sich geschlossene Fünferzyklen, bei der jede Note in dem einen Zyklus Grundton eines Dur-Dreiklangs ist und jede Note im anderen Zyklus Grundton eines Moll-Dreiklangs. Diese Eigenschaft findet sich in keiner anderen nicht völlig gleichförmigen Skala mit zehn oder weniger Tönen.

[[File:BlackwoodMajor 15edo.mp3]] [[:BlackwoodMajor 15edo.mp3|BlackwoodMajor 15edo.mp3]]

Blackwood-Dur-Skala in 15-EDO-Stimmung


[[File:UnfairBlackwood 25edo.mp3]] [[:UnfairBlackwood 25edo.mp3|UnfairBlackwood 25edo.mp3]]

"Unfaire" Blackwood-Dur-Skala in 25-EDO-Stimmung


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"Faire" Blackwood-Dur-Skala in 25-EDO-Stimmung</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition, elementare Eigenschaften=
Die Familie der '''limmischen Temperaturen''' ist definiert durch das Austemperieren des [[256/243|Limmas 256/243]]. Die einfachste und verbreitetste Variante, bei welcher einfach auf dem 5-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] das Limma austemperiert wird, ist unter dem Namen '''Blackwood''' bekannt, benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.].

Das Intervall 256/243, das entsprechend auch '''Blackwood-Komma''' genannt werden kann, ist der Unterschied zwischen 5 reinen Quarten 4/3 und 2 Oktaven 2/1 bzw. (mit umgekehrtem Vorzeichen) der Unterschied zwischen 5 reinen Quinten 3/2 und 3 Oktaven 2/1. Es ist mit 90.2 [[Cent]] eigentlich von der Grösse eines Halbtons - es ist tatsächlich der diatonische Halbton der siebentönigen pythagoräischen Skala. Man kann es natürlich trotzdem austemperieren; das hat dann ein paar aus traditioneller Sicht durchaus merkwürdige Konsequenzen.

Direkt aus der Definition des Intervalls folgt, dass in einer Blackwood-Temperatur das Intervall der Doppeloktave (4/1) in 5 gleiche Teile geteilt wird und ebenso das Intervall der Dreifachoktave (6/1), wobei das erstere Intervall, 480 Cent gross, die Quarte 4/3 approximiert und das letztere, 720 Cent gross, die Quinte 3/2. Beide Intervalle sind in ihren Grössen fix definiert, und es sind genau die Intervalle von [[5edo]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Blackwood unterstützen, sind allgemein Unterteilungen der Oktave in ein [[5n-EDO|Vielfaches von 5]].

Die Approximationen von Quarte und Quinte sind dabei ziemlich schlecht, rund 18 Cents beträgt der Fehler. Dies gilt übrigens, etwas überraschend, nicht nur für 5-EDO, sondern auch eine Reihe weiterer 5n-EDOs, bis hinauf zu [[30-EDO]].

=Die zehntönige Blackwood-Skala=
[[MOS-Skalen]] von Blackwood haben eine Fünfteloktave als Periode, sie bestehen, auf die Oktave fortgesetzt, aus Vereinigungen mehrerer Instanzen von 5edo. Die wichtigste ist diejenige mit 10 Tönen, von der Form 5L 5s. Der Komponist [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.] gilt als der erste, der diese Skala intensiv verwendet hat, und entsprechend ist sie unter seinem Namen bekannt geworden. Die Bezeichnung "Blackwood-Skala" ohne Zusatzbeschreibung bezieht sich in der Regel auf diese zehntönige Blackwood-MOS-Skala.

Alle 5n-EDOs grösser als 10edo enthalten mindestens eine Art der zehntönigen Blackwood-Skala (während sie in 10edo natürlich degeneriert zu einer völlig gleichförmigen, die aus sämtlichen Tönen von 10edo besteht). [[15edo]] ist die kleinste gleichstufige Stimmung, die eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala enthält.

Die zehntönige Blackwood-Skala hat nur zwei Modi, Dur (LsLsLsLsLs) und Moll (sLsLsLsLsL) - LsL entspricht einer grossen Terz und sLs einer kleinen. Wenn man in ihr Quinten übereinanderschichtet, erhält man zwei in sich geschlossene Fünferzyklen, bei der jede Note in dem einen Zyklus Grundton eines Dur-Dreiklangs ist und jede Note im anderen Zyklus Grundton eines Moll-Dreiklangs. Diese Eigenschaft findet sich in keiner anderen nicht völlig gleichförmigen Skala mit zehn oder weniger Tönen.

[[File:BlackwoodMajor 15edo.mp3]] [[:BlackwoodMajor 15edo.mp3|BlackwoodMajor 15edo.mp3]]

Blackwood-Dur-Skala in 15-EDO-Stimmung


[[File:UnfairBlackwood 25edo.mp3]] [[:UnfairBlackwood 25edo.mp3|UnfairBlackwood 25edo.mp3]]

"Unfaire" Blackwood-Dur-Skala in 25-EDO-Stimmung


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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition, elementare Eigenschaften=
Die Familie der '''limmischen Temperaturen''' ist definiert durch das Austemperieren des [[256/243|Limmas 256/243]]. Die einfachste und verbreitetste Variante, bei welcher einfach auf dem 5-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] das Limma austemperiert wird, ist unter dem Namen '''Blackwood''' bekannt, benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.].

Das Intervall 256/243, das entsprechend auch '''Blackwood-Komma''' genannt werden kann, ist der Unterschied zwischen 5 reinen Quarten 4/3 und 2 Oktaven 2/1 bzw. (mit umgekehrtem Vorzeichen) der Unterschied zwischen 5 reinen Quinten 3/2 und 3 Oktaven 2/1. Es ist mit 90.2 [[Cent]] ziemlich viel grösser, als es Kommas sonst sind - für die meisten Menschen wird es wie ein Halbton klingen.  Und tatsächlich erscheint das Limma auch als diatonischer Halbton in der siebentönigen pythagoräischen Skala. Man kann es natürlich trotzdem austemperieren; das hat dann ein paar aus traditioneller Sicht durchaus merkwürdige Konsequenzen.

Direkt aus der Definition des Intervalls folgt, dass in einer Blackwood-Temperatur das Intervall der Doppeloktave (4/1) in 5 gleiche Teile geteilt wird und ebenso das Intervall der Dreifachoktave (6/1), wobei das erstere Intervall, 480 Cent gross, die Quarte 4/3 approximiert und das letztere, 720 Cent gross, die Quinte 3/2. Beide Intervalle sind in ihren Grössen fix definiert, und es sind genau die Intervalle von [[5edo]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Blackwood unterstützen, sind allgemein Unterteilungen der Oktave in ein [[5n-EDO|Vielfaches von 5]].

Die Approximationen von Quarte und Quinte sind dabei ziemlich schlecht, rund 18 Cents beträgt der Fehler. Dies gilt übrigens, etwas überraschend, nicht nur für 5-EDO, sondern auch eine Reihe weiterer 5n-EDOs, bis hinauf zu [[30-EDO]].

=Die zehntönige Blackwood-Skala=
[[MOS-Skalen]] von Blackwood haben eine Fünfteloktave als Periode, sie bestehen, auf die Oktave fortgesetzt, aus Vereinigungen mehrerer Instanzen von 5edo. Die wichtigste ist diejenige mit 10 Tönen, von der Form 5L 5s. Der Komponist [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.] gilt als der erste, der diese Skala intensiv verwendet hat, und entsprechend ist sie unter seinem Namen bekannt geworden. Die Bezeichnung "Blackwood-Skala" ohne Zusatzbeschreibung bezieht sich in der Regel auf diese zehntönige Blackwood-MOS-Skala.

Alle 5n-EDOs grösser als 10edo enthalten mindestens eine Art der zehntönigen Blackwood-Skala (während sie in 10edo natürlich degeneriert zu einer völlig gleichförmigen, die aus sämtlichen Tönen von 10edo besteht). [[15edo]] ist die kleinste gleichstufige Stimmung, die eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala enthält.

Die zehntönige Blackwood-Skala hat nur zwei Modi, Dur (LsLsLsLsLs) und Moll (sLsLsLsLsL) - LsL entspricht einer grossen Terz und sLs einer kleinen. Wenn man in ihr Quinten übereinanderschichtet, erhält man zwei in sich geschlossene Fünferzyklen, bei der jede Note in dem einen Zyklus Grundton eines Dur-Dreiklangs ist und jede Note im anderen Zyklus Grundton eines Moll-Dreiklangs. Diese Eigenschaft findet sich in keiner anderen nicht völlig gleichförmigen Skala mit zehn oder weniger Tönen.

[[File:BlackwoodMajor 15edo.mp3]] [[:BlackwoodMajor 15edo.mp3|BlackwoodMajor 15edo.mp3]]

Blackwood-Dur-Skala in 15-EDO-Stimmung


[[File:UnfairBlackwood 25edo.mp3]] [[:UnfairBlackwood 25edo.mp3|UnfairBlackwood 25edo.mp3]]

"Unfaire" Blackwood-Dur-Skala in 25-EDO-Stimmung


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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition, elementare Eigenschaften=
Die Familie der '''limmischen Temperaturen''' ist definiert durch das Austemperieren des [[256/243|Limmas 256/243]]. Die einfachste und verbreitetste Variante, bei welcher einfach auf dem 5-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] das Limma austemperiert wird, ist unter dem Namen '''Blackwood''' bekannt, benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.].

Das Intervall 256/243, das entsprechend auch '''Blackwood-Komma''' genannt werden kann, ist der Unterschied zwischen 5 reinen Quarten 4/3 und 2 Oktaven 2/1 bzw. (mit umgekehrtem Vorzeichen) der Unterschied zwischen 5 reinen Quinten 3/2 und 3 Oktaven 2/1. Es ist mit 90.2 [[Cent]] ziemlich viel grösser, als es Kommas sonst sind - für die meisten Menschen wird es wie ein Halbton klingen, und tatsächlich erscheint das Limma auch als diatonischer Halbton in der siebentönigen pythagoräischen Skala. Man kann es natürlich trotzdem austemperieren; das hat dann ein paar aus traditioneller Sicht durchaus merkwürdige Konsequenzen.

Direkt aus der Definition des Intervalls folgt, dass in einer Blackwood-Temperatur das Intervall der Doppeloktave (4/1) in 5 gleiche Teile geteilt wird und ebenso das Intervall der Dreifachoktave (6/1), wobei das erstere Intervall, 480 Cent gross, die Quarte 4/3 approximiert und das letztere, 720 Cent gross, die Quinte 3/2. Beide Intervalle sind in ihren Grössen fix definiert, und es sind genau die Intervalle von [[5edo]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Blackwood unterstützen, sind allgemein Unterteilungen der Oktave in ein [[5n-EDO|Vielfaches von 5]].

Die Approximationen von Quarte und Quinte sind dabei ziemlich schlecht, rund 18 Cents beträgt der Fehler. Dies gilt übrigens, etwas überraschend, nicht nur für 5-EDO, sondern auch eine Reihe weiterer 5n-EDOs, bis hinauf zu [[30-EDO]].

=Die zehntönige Blackwood-Skala=
[[MOS-Skalen]] von Blackwood haben eine Fünfteloktave als Periode, sie bestehen, auf die Oktave fortgesetzt, aus Vereinigungen mehrerer Instanzen von 5edo. Die wichtigste ist diejenige mit 10 Tönen, von der Form 5L 5s. Der Komponist [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.] gilt als der erste, der diese Skala intensiv verwendet hat, und entsprechend ist sie unter seinem Namen bekannt geworden. Die Bezeichnung "Blackwood-Skala" ohne Zusatzbeschreibung bezieht sich in der Regel auf diese zehntönige Blackwood-MOS-Skala.

Alle 5n-EDOs grösser als 10edo enthalten mindestens eine Art der zehntönigen Blackwood-Skala (während sie in 10edo natürlich degeneriert zu einer völlig gleichförmigen, die aus sämtlichen Tönen von 10edo besteht). [[15edo]] ist die kleinste gleichstufige Stimmung, die eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala enthält.

Die zehntönige Blackwood-Skala hat nur zwei Modi, Dur (LsLsLsLsLs) und Moll (sLsLsLsLsL) - LsL entspricht einer grossen Terz und sLs einer kleinen. Wenn man in ihr Quinten übereinanderschichtet, erhält man zwei in sich geschlossene Fünferzyklen, bei der jede Note in dem einen Zyklus Grundton eines Dur-Dreiklangs ist und jede Note im anderen Zyklus Grundton eines Moll-Dreiklangs. Diese Eigenschaft findet sich in keiner anderen nicht völlig gleichförmigen Skala mit zehn oder weniger Tönen.

[[File:BlackwoodMajor 15edo.mp3]] [[:BlackwoodMajor 15edo.mp3|BlackwoodMajor 15edo.mp3]]

Blackwood-Dur-Skala in 15-EDO-Stimmung


[[File:UnfairBlackwood 25edo.mp3]] [[:UnfairBlackwood 25edo.mp3|UnfairBlackwood 25edo.mp3]]

"Unfaire" Blackwood-Dur-Skala in 25-EDO-Stimmung


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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

=Definition, elementare Eigenschaften=
Die Familie der '''limmischen Temperaturen''' ist definiert durch das Austemperieren des [[256/243|Limmas 256/243]]. Die einfachste und verbreitetste Variante, bei welcher einfach auf dem 5-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] das Limma austemperiert wird, ist unter dem Namen '''Blackwood''' bekannt, benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.].

Das Intervall 256/243, das entsprechend auch '''Blackwood-Komma''' genannt werden kann, ist der Unterschied zwischen 5 reinen Quarten 4/3 und 2 Oktaven 2/1 bzw. (mit umgekehrtem Vorzeichen) der Unterschied zwischen 5 reinen Quinten 3/2 und 3 Oktaven 2/1. Es ist mit 90.2 [[Cent]] ziemlich viel grösser, als es Kommas sonst sind - für die meisten Menschen wird es wie ein Halbton klingen, und tatsächlich erscheint das Limma auch als diatonischer Halbton in der siebentönigen pythagoräischen Skala. Man kann es natürlich trotzdem austemperieren; das hat dann ein paar aus traditioneller Sicht durchaus merkwürdige Konsequenzen.

Direkt aus der Definition des Intervalls folgt, dass in einer Blackwood-Temperatur das Intervall der Doppeloktave (4/1) in 5 gleiche Teile geteilt wird und ebenso das Intervall der Dreifachoktave (6/1), wobei das erstere Intervall, 480 Cent gross, die Quarte 4/3 approximiert und das letztere, 720 Cent gross, die Quinte 3/2. Beide Intervalle sind (wenn wir die Oktave 2/1 als rein gestimmt voraussetzen) in ihren Grössen fix definiert, und es sind genau die Intervalle von [[5edo]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Blackwood unterstützen, sind allgemein Unterteilungen der Oktave in ein [[5n-EDO|Vielfaches von 5]].

Die Approximationen von Quarte und Quinte sind dabei ziemlich schlecht, rund 18 Cents beträgt der Fehler. Dies gilt übrigens, etwas überraschend, nicht nur für 5-EDO, sondern auch eine Reihe weiterer 5n-EDOs, bis hinauf zu [[30-EDO]].

=Die zehntönige Blackwood-Skala=
[[MOS-Skalen]] von Blackwood haben eine Fünfteloktave als Periode, sie bestehen, auf die Oktave fortgesetzt, aus Vereinigungen mehrerer Instanzen von 5edo. Die wichtigste ist diejenige mit 10 Tönen, von der Form 5L 5s. Der Komponist [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.] gilt als der erste, der diese Skala intensiv verwendet hat, und entsprechend ist sie unter seinem Namen bekannt geworden. Die Bezeichnung "Blackwood-Skala" ohne Zusatzbeschreibung bezieht sich in der Regel auf diese zehntönige Blackwood-MOS-Skala.

Alle 5n-EDOs grösser als 10edo enthalten mindestens eine Art der zehntönigen Blackwood-Skala (während sie in 10edo natürlich degeneriert zu einer völlig gleichförmigen, die aus sämtlichen Tönen von 10edo besteht). [[15edo]] ist die kleinste gleichstufige Stimmung, die eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala enthält.

Die zehntönige Blackwood-Skala hat nur zwei Modi, Dur (LsLsLsLsLs) und Moll (sLsLsLsLsL) - LsL entspricht einer grossen Terz und sLs einer kleinen. Wenn man in ihr Quinten übereinanderschichtet, erhält man zwei in sich geschlossene Fünferzyklen, bei der jede Note in dem einen Zyklus Grundton eines Dur-Dreiklangs ist und jede Note im anderen Zyklus Grundton eines Moll-Dreiklangs. Diese Eigenschaft findet sich in keiner anderen nicht völlig gleichförmigen Skala mit zehn oder weniger Tönen.

[[File:BlackwoodMajor 15edo.mp3]] [[:BlackwoodMajor 15edo.mp3|BlackwoodMajor 15edo.mp3]]

Blackwood-Dur-Skala in 15-EDO-Stimmung


[[File:UnfairBlackwood 25edo.mp3]] [[:UnfairBlackwood 25edo.mp3|UnfairBlackwood 25edo.mp3]]

"Unfaire" Blackwood-Dur-Skala in 25-EDO-Stimmung


[[File:FairBlackwood 25edo.mp3]] [[:FairBlackwood 25edo.mp3|FairBlackwood 25edo.mp3]]

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=Definition, elementare Eigenschaften=
Die Familie der '''limmischen Temperaturen''' ist definiert durch das Austemperieren des [[256/243|Limmas 256/243]]. Die einfachste und verbreitetste Variante, bei welcher einfach auf dem 5-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] das Limma austemperiert wird, ist unter dem Namen '''Blackwood''' bekannt, benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.].

Das Intervall 256/243, das entsprechend auch '''Blackwood-Komma''' genannt werden kann, ist der Unterschied zwischen 5 reinen Quarten 4/3 und 2 Oktaven 2/1 bzw. (mit umgekehrtem Vorzeichen) der Unterschied zwischen 5 reinen Quinten 3/2 und 3 Oktaven 2/1. Es ist mit 90.2 [[Cent]] ziemlich viel grösser, als es Kommas sonst sind - für die meisten Menschen wird es wie ein Halbton klingen, und tatsächlich erscheint das Limma auch als diatonischer Halbton in der siebentönigen pythagoräischen Skala. Man kann es natürlich trotzdem austemperieren; das hat dann ein paar aus traditioneller Sicht durchaus merkwürdige Konsequenzen.

Direkt aus der Definition des Intervalls folgt, dass in einer Blackwood-Temperatur das Intervall der Doppeloktave (4/1) in 5 gleiche Teile geteilt wird und ebenso das Intervall der Dreifachoktave (6/1), wobei das erstere Intervall, 480 Cent gross, die Quarte 4/3 approximiert und das letztere, 720 Cent gross, die Quinte 3/2. Beide Intervalle sind (wenn wir die Oktave 2/1 als rein gestimmt voraussetzen) in ihren Grössen fix definiert, und es sind genau die Intervalle von [[5-EDO]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Blackwood unterstützen, sind allgemein Unterteilungen der Oktave in ein [[5n-EDO|Vielfaches von 5]].

Die Approximationen von Quarte und Quinte sind dabei ziemlich schlecht, rund 18 Cents beträgt der Fehler. Dies gilt übrigens, etwas überraschend, nicht nur für 5-EDO, sondern auch eine Reihe weiterer 5n-EDOs, bis hinauf zu [[30-EDO]].

=Die zehntönige Blackwood-Skala=
[[MOS-Skalen]] von Blackwood haben eine Fünfteloktave als Periode, sie bestehen, auf die Oktave fortgesetzt, aus Vereinigungen mehrerer Instanzen von 5edo. Die wichtigste ist diejenige mit 10 Tönen, von der Form 5L 5s. Der Komponist [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.] gilt als der erste, der diese Skala intensiv verwendet hat, und entsprechend ist sie unter seinem Namen bekannt geworden. Die Bezeichnung "Blackwood-Skala" ohne Zusatzbeschreibung bezieht sich in der Regel auf diese zehntönige Blackwood-MOS-Skala.

Alle 5n-EDOs grösser als 10edo enthalten mindestens eine Art der zehntönigen Blackwood-Skala (während sie in 10edo natürlich degeneriert zu einer völlig gleichförmigen, die aus sämtlichen Tönen von 10edo besteht). [[15edo]] ist die kleinste gleichstufige Stimmung, die eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala enthält.

Die zehntönige Blackwood-Skala hat nur zwei Modi, Dur (LsLsLsLsLs) und Moll (sLsLsLsLsL) - LsL entspricht einer grossen Terz und sLs einer kleinen. Wenn man in ihr Quinten übereinanderschichtet, erhält man zwei in sich geschlossene Fünferzyklen, bei der jede Note in dem einen Zyklus Grundton eines Dur-Dreiklangs ist und jede Note im anderen Zyklus Grundton eines Moll-Dreiklangs. Diese Eigenschaft findet sich in keiner anderen nicht völlig gleichförmigen Skala mit zehn oder weniger Tönen.

[[File:BlackwoodMajor 15edo.mp3]] [[:BlackwoodMajor 15edo.mp3|BlackwoodMajor 15edo.mp3]]

Blackwood-Dur-Skala in 15-EDO-Stimmung


[[File:UnfairBlackwood 25edo.mp3]] [[:UnfairBlackwood 25edo.mp3|UnfairBlackwood 25edo.mp3]]

"Unfaire" Blackwood-Dur-Skala in 25-EDO-Stimmung


[[File:FairBlackwood 25edo.mp3]] [[:FairBlackwood 25edo.mp3|FairBlackwood 25edo.mp3]]

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[[5-EDO]], das kleinste 5n-EDO, ist gleichzeitig das kleinste wirklich xenharmonische gleichstufige Tonsystem (die EDOs darunter, 1-EDO, 2-EDO, 3-EDO und 4-EDO, sind sämtlich Teilmengen der Standardstimmung [[12-EDO]]). Es bietet als erstes eine annehmbare Approximation der reinen Quinte 3/2 udn ihres Komplents, der reinen Quarte 4/3. Die Approximationen sind nicht besonders gut - die Approxcimation der Quarte ist 480 [[Cent}} gross, die der Quinte 720 Cent, rund 18 Cent entfernt vom reinen Intervall - bei insgesamt so wenig Tönen ist das aber durchasu nicht schlecht.

Etwas überraschend ist aber, dass alle nächsthöheren 5n_EDOs, 10-EDO wie auch 15-EDO, 20-EDO, 25-EDO, ja selbst 30-EDO mit zweinhalb mal so viel Tönen wie 12-EDO, keine bessere Approximation der reinen Quinte liefern. 30-EDO hat zwar zwei Approximationen der reinen Quinte, die aber beide vergleichbar schlecht sind. Erst [[35-EDO]] hat eine bessere Quinte, und auch diese ist noch 15 Cent daneben.

[ToDo Blackkwood-Temperatur, Blackwood-Skala]

[ToDo Eignung für Gitarrenstimmung]</text>
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[[5-EDO]], das kleinste 5n-EDO, ist gleichzeitig das kleinste wirklich xenharmonische gleichstufige Tonsystem (die EDOs darunter, 1-EDO, 2-EDO, 3-EDO und 4-EDO, sind sämtlich Teilmengen der Standardstimmung [[12-EDO]]). Es bietet als erstes eine annehmbare Approximation der reinen Quinte 3/2 und ihres Oktaven-Komplements, der reinen Quarte 4/3. Die Approximationen sind nicht besonders gut - die Approximation der Quarte ist 480 [[Cent}} gross, die der Quinte 720 Cent, rund 18 Cent entfernt vom reinen Intervall - bei insgesamt so wenig Tönen ist das aber durchaus nicht schlecht.

Etwas überraschend ist aber, dass alle nächsthöheren 5n-EDOs, 10-EDO wie auch 15-EDO, 20-EDO, 25-EDO, ja selbst 30-EDO mit fast zweieinhalb mal so viel Tönen wie 12-EDO, keine bessere Approximation der reinen Quinte liefern. 30-EDO hat zwar zwei Approximationen der reinen Quinte, die aber beide vergleichbar schlecht sind. Erst [[35-EDO]] hat eine bessere Quinte, und auch diese ist noch 15 Cent daneben.

[ToDo Blackwood-Temperatur, Blackwood-Skala]

[ToDo Eignung für Gitarrenstimmung]</text>
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[[5-EDO]], das kleinste 5n-EDO, ist gleichzeitig das kleinste wirklich xenharmonische gleichstufige Tonsystem (die EDOs darunter, 1-EDO, 2-EDO, 3-EDO und 4-EDO, sind sämtlich Teilmengen der Standardstimmung [[12-EDO]]). Es bietet als erstes eine annehmbare Approximation der reinen Quinte 3/2 und ihres Oktaven-Komplements, der reinen Quarte 4/3. Die Approximationen sind nicht besonders gut - die Approximation der Quarte ist 480 [[Cent}} gross, die der Quinte 720 Cent, rund 18 Cent entfernt vom reinen Intervall - bei insgesamt so wenig Tönen ist das aber durchaus nicht schlecht.

Etwas überraschend ist aber, dass alle nächsthöheren 5n-EDOs, 10-EDO wie auch 15-EDO, 20-EDO, 25-EDO, ja selbst 30-EDO mit fast zweieinhalb mal so viel Tönen wie 12-EDO, keine bessere Approximation der reinen Quinte liefern. 30-EDO hat zwar zwei Approximationen der reinen Quinte, die aber beide vergleichbar schlecht sind. Erst [[35-EDO]] hat eine bessere Quinte, und auch diese ist noch 15 Cent daneben.

[ToDo Blackwood-Temperatur, Blackwood-Skala]

[ToDo Eignung für Gitarrenstimmung]

Eine ausführliche Beschreibung einiger Eigenschaften der 5n-EDOs in englischer Sprache ist:

[https://www.yumpu.com/en/document/read/11990259/five-is-not-an-odd-number-city-of-the-asleep Igliashon Jones: Five Is Not an Odd Number], An exploration of the benefits of</text>
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[[5-EDO]], das kleinste 5n-EDO, ist gleichzeitig das kleinste wirklich xenharmonische gleichstufige Tonsystem (die EDOs darunter, 1-EDO, 2-EDO, 3-EDO und 4-EDO, sind sämtlich Teilmengen der Standardstimmung [[12-EDO]]). Es bietet als erstes eine annehmbare Approximation der reinen Quinte 3/2 und ihres Oktaven-Komplements, der reinen Quarte 4/3. Die Approximationen sind nicht besonders gut - die Approximation der Quarte ist 480 [[Cent}} gross, die der Quinte 720 Cent, rund 18 Cent entfernt vom reinen Intervall - bei insgesamt so wenig Tönen ist das aber durchaus nicht schlecht.

Etwas überraschend ist aber, dass alle nächsthöheren 5n-EDOs, 10-EDO wie auch 15-EDO, 20-EDO, 25-EDO, ja selbst 30-EDO mit fast zweieinhalb mal so viel Tönen wie 12-EDO, keine bessere Approximation der reinen Quinte liefern. 30-EDO hat zwar zwei Approximationen der reinen Quinte, die aber beide vergleichbar schlecht sind. Erst [[35-EDO]] hat eine bessere Quinte, und auch diese ist noch 15 Cent daneben.

[ToDo Blackwood-Temperatur, Blackwood-Skala]

[ToDo Eignung für Gitarrenstimmung]

Eine ausführliche Beschreibung einiger Eigenschaften der 5n-EDOs in englischer Sprache kann hier gefunden werden:

[https://www.yumpu.com/en/document/read/11990259/five-is-not-an-odd-number-city-of-the-asleep Igliashon Jones: Five Is Not an Odd Number, An exploration of the benefits of equal divisions of the octave that are divisible by 5].</text>
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Die gleichstufigen Unterteilungen in ein Vielfaches von 5, also [[5-EDO]], [[10-EDO]], [[15-EDO]], [[20-EDO]], [[25-EDO]], [[30-EDO]] etc., haben ein paar interessante Eigenschaften gemeinsam.

[[5-EDO]], das kleinste 5n-EDO, ist gleichzeitig das kleinste wirklich xenharmonische gleichstufige Tonsystem (die EDOs darunter, 1-EDO, 2-EDO, 3-EDO und 4-EDO, sind sämtlich Teilmengen der Standardstimmung [[12-EDO]]). Es bietet als erstes eine annehmbare Approximation der reinen Quinte 3/2 und ihres Oktaven-Komplements, der reinen Quarte 4/3. Die Approximationen sind nicht besonders gut - die Approximation der Quarte ist 480 [[Cent}} gross, die der Quinte 720 Cent, rund 18 Cent entfernt vom reinen Intervall - bei insgesamt so wenig Tönen ist das aber durchaus nicht schlecht.

Etwas überraschend ist aber, dass alle nächsthöheren 5n-EDOs, 10-EDO wie auch 15-EDO, 20-EDO, 25-EDO, ja selbst 30-EDO mit fast zweieinhalb mal so viel Tönen wie 12-EDO, keine bessere Approximation der reinen Quinte liefern. 30-EDO hat zwar zwei Approximationen der reinen Quinte, die aber beide vergleichbar schlecht sind. Erst [[35-EDO]] hat eine bessere Quinte, und auch diese ist noch 15 Cent daneben.

Übereinanderschichten von 5-EDO-Quarten wie auch von 5EDO-Quinten führt nach 5 Schritten oktavreduziert zum Ursprung zurück. Aus der Perspektive der [[Reguläre Temperaturen|Regulären Temperaturen]] gesehen, entspricht dies der Austemperierung des [[256/243|Limmas 256/243]], mithin der Definition der [[Blackwood-Limmisch|Blackwood-Temperatur]]. Alle genannten 5n-EDOs unterstützen die Blackwood-Temperatur, und alle grösser als 10-EDO verfügen über eine nichttriviale Variante der zehntönigen Blackwood-Skala (siehe [[Blackwood-Limmisch|Blackwood-Temperatur]] für mehr Details). Temperatur wie Skala sind benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.], der diese Skala wie auch die 5n-EDOs als erster intensiv verwendet hat.

[ToDo Eignung für Gitarrenstimmung]

Eine ausführliche Beschreibung einiger Eigenschaften der 5n-EDOs in englischer Sprache kann hier gefunden werden:

[https://www.yumpu.com/en/document/read/11990259/five-is-not-an-odd-number-city-of-the-asleep Igliashon Jones: Five Is Not an Odd Number, An exploration of the benefits of equal divisions of the octave that are divisible by 5].</text>
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Die gleichstufigen Unterteilungen in ein Vielfaches von 5, also [[5-EDO]], [[10-EDO]], [[15-EDO]], [[20-EDO]], [[25-EDO]], [[30-EDO]] etc., haben ein paar interessante Eigenschaften gemeinsam.

[[5-EDO]], das kleinste 5n-EDO, ist gleichzeitig das kleinste wirklich xenharmonische gleichstufige Tonsystem (die EDOs darunter, 1-EDO, 2-EDO, 3-EDO und 4-EDO, sind sämtlich Teilmengen der Standardstimmung [[12-EDO]]). Es bietet als erstes eine annehmbare Approximation der reinen Quinte 3/2 und ihres Oktaven-Komplements, der reinen Quarte 4/3. Die Approximationen sind nicht besonders gut - die Approximation der Quarte ist 480 [[Cent}} gross, die der Quinte 720 Cent, rund 18 Cent entfernt vom reinen Intervall - bei insgesamt so wenig Tönen ist das aber durchaus nicht schlecht.

Etwas überraschend ist aber, dass alle nächsthöheren 5n-EDOs, 10-EDO wie auch 15-EDO, 20-EDO, 25-EDO, ja selbst 30-EDO mit fast zweieinhalb mal so viel Tönen wie 12-EDO, keine bessere Approximation der reinen Quinte liefern. 30-EDO hat zwar zwei Approximationen der reinen Quinte, die aber beide vergleichbar schlecht sind. Erst [[35-EDO]] hat eine bessere Quinte, und auch diese ist noch 15 Cent daneben.

= Reguläre Temperaturen =
Übereinanderschichten von 5-EDO-Quarten wie auch von 5-EDO-Quinten führt nach 5 Schritten oktavreduziert zum Ursprung zurück. Aus der Perspektive der [[Reguläre Temperaturen|Regulären Temperaturen]] gesehen, entspricht dies der Austemperierung des [[256/243|Limmas 256/243]], mithin der Definition der [[Blackwood-Limmisch|Blackwood-Temperatur]]. Alle genannten 5n-EDOs unterstützen die Blackwood-Temperatur, und alle grösser als 10-EDO verfügen über eine nichttriviale Variante der zehntönigen Blackwood-Skala (siehe [[Blackwood-Limmisch|Blackwood-Temperatur]] für mehr Details). Temperatur wie Skala sind benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.], der diese Skala wie auch die 5n-EDOs als erster intensiv verwendet hat.

= Eignung für Gitarrenstimmungen =
Die Eigenschaft der 5-EDO-Quarte, bei Übereinanderschichten nach 5 Scjritten oktavreduziert zum Ursprung zurückzukehren - nicht-oktavreduziert auf eine Doppeloktave - ist interessant im Hinblick auf die Verwendung für Gitarrenstimmungen. Eine Standard-Gitarre ist ja bekanntlich auch grösstenteils in Quarten gestimmt, mit einem Schritt einer grossen Terz dazwischen, wobei zwischen der tiefsten und der höchsten Saite genau zwei Oktaveb liegen. Wenn man nun die Saiten einer Gitarre in Schritten der 480-Cent-Quarte der 5n-EDOs stimmt, erhält man eine wie bei 12-EDO über eine Spanne von genau zwei Oktaven gehende, jedoch vollständig regelmässige Gitarrenstimmung. Dies macht alle 5n-EDOs attraktiv für das Spielen auf der Gitarre.

Als quasi ''das'' Referenzwerk kann man die [https://www.youtube.com/watch?v=YJQsR-Z5aDc Suite for guitar in 15-equal tuning], natürlich von [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.], ansehen.

= Referenzen =
Eine ausführliche Beschreibung einiger Eigenschaften der 5n-EDOs in englischer Sprache kann hier gefunden werden:

[https://www.yumpu.com/en/document/read/11990259/five-is-not-an-odd-number-city-of-the-asleep Igliashon Jones: Five Is Not an Odd Number, An exploration of the benefits of equal divisions of the octave that are divisible by 5].</text>
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Die gleichstufigen Unterteilungen in ein Vielfaches von 5, also [[5-EDO]], [[10-EDO]], [[15-EDO]], [[20-EDO]], [[25-EDO]], [[30-EDO]] etc., haben ein paar interessante Eigenschaften gemeinsam.

[[5-EDO]], das kleinste 5n-EDO, ist gleichzeitig das kleinste wirklich xenharmonische gleichstufige Tonsystem (die EDOs darunter, 1-EDO, 2-EDO, 3-EDO und 4-EDO, sind sämtlich Teilmengen der Standardstimmung [[12-EDO]]). Es bietet als erstes eine annehmbare Approximation der reinen Quinte 3/2 und ihres Oktaven-Komplements, der reinen Quarte 4/3. Die Approximationen sind nicht besonders gut - die Approximation der Quarte ist 480 [[Cent}} gross, die der Quinte 720 Cent, rund 18 Cent entfernt vom reinen Intervall - bei insgesamt so wenig Tönen ist das aber durchaus nicht schlecht.

Etwas überraschend ist aber, dass alle nächsthöheren 5n-EDOs, 10-EDO wie auch 15-EDO, 20-EDO, 25-EDO, ja selbst 30-EDO mit fast zweieinhalb mal so viel Tönen wie 12-EDO, keine bessere Approximation der reinen Quinte liefern. 30-EDO hat zwar zwei Approximationen der reinen Quinte, die aber beide vergleichbar schlecht sind. Erst [[35-EDO]] hat eine bessere Quinte, und auch diese ist noch 15 Cent daneben.

= Reguläre Temperaturen =
Übereinanderschichten von 5-EDO-Quarten wie auch von 5-EDO-Quinten führt nach 5 Schritten oktavreduziert zum Ursprung zurück. Aus der Perspektive der [[Reguläre Temperaturen|Regulären Temperaturen]] gesehen, entspricht dies der Austemperierung des [[256/243|Limmas 256/243]], mithin der Definition der [[Blackwood-Limmisch|Blackwood-Temperatur]]. Alle genannten 5n-EDOs unterstützen die Blackwood-Temperatur, und alle grösser als 10-EDO verfügen über eine nichttriviale Variante der zehntönigen Blackwood-Skala (siehe [[Blackwood-Limmisch|Blackwood-Temperatur]] für mehr Details). Temperatur wie Skala sind benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.], der diese Skala wie auch die 5n-EDOs als erster intensiv verwendet hat.

= Eignung für Gitarrenstimmungen =
Die Eigenschaft der 5-EDO-Quarte, bei Übereinanderschichten nach 5 Scjritten oktavreduziert zum Ursprung zurückzukehren - nicht-oktavreduziert auf eine Doppeloktave - ist interessant im Hinblick auf die Verwendung für Gitarrenstimmungen. Eine Standard-Gitarre ist ja bekanntlich auch grösstenteils in Quarten gestimmt, mit einem Schritt einer grossen Terz dazwischen, wobei zwischen der tiefsten und der höchsten Saite genau zwei Oktaven liegen. Wenn man nun die Saiten einer Gitarre in Schritten der 480-Cent-Quarte der 5n-EDOs stimmt, erhält man eine wie bei 12-EDO über eine Spanne von genau zwei Oktaven gehende, jedoch vollständig regelmässige Gitarrenstimmung. Dies macht alle 5n-EDOs attraktiv für das Spielen auf der Gitarre, sie haben entsprechend in der Gitarrenmusik eine gewisse Verbreitung gefunden.

Als quasi ''das'' Referenzwerk kann man die [https://www.youtube.com/watch?v=YJQsR-Z5aDc Suite for guitar in 15-equal tuning], natürlich von [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.], ansehen.

= Referenzen =
Eine ausführliche Beschreibung einiger Eigenschaften der 5n-EDOs in englischer Sprache kann hier gefunden werden:

[https://www.yumpu.com/en/document/read/11990259/five-is-not-an-odd-number-city-of-the-asleep Igliashon Jones: Five Is Not an Odd Number, An exploration of the benefits of equal divisions of the octave that are divisible by 5].</text>
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Die gleichstufigen Unterteilungen in ein Vielfaches von 5, also [[5-EDO]], [[10-EDO]], [[15-EDO]], [[20-EDO]], [[25-EDO]], [[30-EDO]] etc., haben ein paar interessante Eigenschaften gemeinsam.

[[5-EDO]], das kleinste 5n-EDO, ist gleichzeitig das kleinste wirklich xenharmonische gleichstufige Tonsystem (die EDOs darunter, 1-EDO, 2-EDO, 3-EDO und 4-EDO, sind sämtlich Teilmengen der Standardstimmung [[12-EDO]]). Es bietet als erstes eine annehmbare Approximation der reinen Quinte 3/2 und ihres Oktaven-Komplements, der reinen Quarte 4/3. Die Approximationen sind nicht besonders gut - die Approximation der Quarte ist 480 [[Cent}} gross, die der Quinte 720 Cent, rund 18 Cent entfernt vom reinen Intervall - bei insgesamt so wenig Tönen ist das aber durchaus nicht schlecht.

Etwas überraschend ist aber, dass alle nächsthöheren 5n-EDOs, 10-EDO wie auch 15-EDO, 20-EDO, 25-EDO, ja selbst 30-EDO mit fast zweieinhalb mal so viel Tönen wie 12-EDO, keine bessere Approximation der reinen Quinte liefern. 30-EDO hat zwar zwei Approximationen der reinen Quinte, die aber beide vergleichbar schlecht sind. Erst [[35-EDO]] hat eine bessere Quinte, und auch diese ist noch 15 Cent daneben.

= Reguläre Temperaturen =
Übereinanderschichten von 5-EDO-Quarten wie auch von 5-EDO-Quinten führt nach 5 Schritten oktavreduziert zum Ursprung zurück. Aus der Perspektive der [[Reguläre Temperaturen|Regulären Temperaturen]] gesehen, entspricht dies der Austemperierung des [[256/243|Limmas 256/243]], mithin der Definition der [[Blackwood-Limmisch|Blackwood-Temperatur]]. Alle genannten 5n-EDOs unterstützen die Blackwood-Temperatur, und alle grösser als 10-EDO verfügen über eine nichttriviale Variante der zehntönigen Blackwood-Skala (siehe [[Blackwood-Limmisch|Blackwood-Temperatur]] für mehr Details). Temperatur wie Skala sind benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.], der diese Skala wie auch die 5n-EDOs als erster intensiv verwendet hat.

= Eignung für Gitarrenstimmungen =
Die Eigenschaft der 5-EDO-Quarte, bei Übereinanderschichten nach 5 Scjritten oktavreduziert zum Ursprung zurückzukehren - nicht-oktavreduziert auf eine Doppeloktave - ist interessant im Hinblick auf die Verwendung für Gitarrenstimmungen. Eine Standard-Gitarre ist ja bekanntlich auch grösstenteils in Quarten gestimmt, mit einem Schritt einer grossen Terz dazwischen, wobei zwischen der tiefsten und der höchsten Saite genau zwei Oktaven liegen. Wenn man nun die Saiten einer Gitarre in Schritten der 480-Cent-Quarte der 5n-EDOs stimmt, erhält man eine wie bei 12-EDO über eine Spanne von genau zwei Oktaven gehende, jedoch vollständig regelmässige Gitarrenstimmung. Dies macht alle 5n-EDOs attraktiv für das Spielen auf der Gitarre, sie haben entsprechend in der Gitarrenmusik eine gewisse Verbreitung gefunden.

Als quasi ''das'' Referenzwerk kann man die [https://www.youtube.com/watch?v=YJQsR-Z5aDc Suite for Guitar in 15-Note Equal Tuning], natürlich von [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.], ansehen.

= Referenzen =
Eine ausführliche Beschreibung einiger Eigenschaften der 5n-EDOs in englischer Sprache kann hier gefunden werden:

[https://www.yumpu.com/en/document/read/11990259/five-is-not-an-odd-number-city-of-the-asleep Igliashon Jones: Five Is Not an Odd Number, An exploration of the benefits of equal divisions of the octave that are divisible by 5].</text>
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Die gleichstufigen Unterteilungen in ein Vielfaches von 5, also [[5-EDO]], [[10-EDO]], [[15-EDO]], [[20-EDO]], [[25-EDO]], [[30-EDO]] etc., haben ein paar interessante Eigenschaften gemeinsam.

[[5-EDO]], das kleinste 5n-EDO, ist gleichzeitig das kleinste wirklich xenharmonische gleichstufige Tonsystem (die EDOs darunter, 1-EDO, 2-EDO, 3-EDO und 4-EDO, sind sämtlich Teilmengen der Standardstimmung [[12-EDO]]). Es bietet als erstes eine annehmbare Approximation der reinen Quinte 3/2 und ihres Oktav-Komplements, der reinen Quarte 4/3. Die Approximationen sind nicht besonders gut - die Approximation der Quarte ist 480 [[Cent}} gross, die der Quinte 720 Cent, rund 18 Cent entfernt vom reinen Intervall - bei insgesamt so wenig Tönen ist das aber durchaus nicht schlecht.

Etwas überraschend ist aber, dass alle nächsthöheren 5n-EDOs, 10-EDO wie auch 15-EDO, 20-EDO, 25-EDO, ja selbst 30-EDO mit fast zweieinhalb mal so viel Tönen wie 12-EDO, keine bessere Approximation der reinen Quinte liefern. 30-EDO hat zwar zwei Approximationen der reinen Quinte, die aber beide vergleichbar schlecht sind. Erst [[35-EDO]] hat eine bessere Quinte, und auch diese ist noch 15 Cent daneben.

= Reguläre Temperaturen =
Übereinanderschichten von 5-EDO-Quarten wie auch von 5-EDO-Quinten führt nach 5 Schritten oktavreduziert zum Ursprung zurück. Aus der Perspektive der [[Reguläre Temperaturen|Regulären Temperaturen]] gesehen, entspricht dies der Austemperierung des [[256/243|Limmas 256/243]], mithin der Definition der [[Blackwood-Limmisch|Blackwood-Temperatur]]. Alle genannten 5n-EDOs unterstützen die Blackwood-Temperatur, und alle grösser als 10-EDO verfügen über eine nichttriviale Variante der zehntönigen Blackwood-Skala (siehe [[Blackwood-Limmisch|Blackwood-Temperatur]] für mehr Details). Temperatur wie Skala sind benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.], der diese Skala wie auch die 5n-EDOs als erster intensiv verwendet hat.

= Eignung für Gitarrenstimmungen =
Die Eigenschaft der 5-EDO-Quarte, bei Übereinanderschichten nach 5 Scjritten oktavreduziert zum Ursprung zurückzukehren - nicht-oktavreduziert auf eine Doppeloktave - ist interessant im Hinblick auf die Verwendung für Gitarrenstimmungen. Eine Standard-Gitarre ist ja bekanntlich auch grösstenteils in Quarten gestimmt, mit einem Schritt einer grossen Terz dazwischen, wobei zwischen der tiefsten und der höchsten Saite genau zwei Oktaven liegen. Wenn man nun die Saiten einer Gitarre in Schritten der 480-Cent-Quarte der 5n-EDOs stimmt, erhält man eine wie bei 12-EDO über eine Spanne von genau zwei Oktaven gehende, jedoch vollständig regelmässige Gitarrenstimmung. Dies macht alle 5n-EDOs attraktiv für das Spielen auf der Gitarre, sie haben entsprechend in der Gitarrenmusik eine gewisse Verbreitung gefunden.

Als quasi ''das'' Referenzwerk kann man die [https://www.youtube.com/watch?v=YJQsR-Z5aDc Suite for Guitar in 15-Note Equal Tuning], natürlich von [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.], ansehen.

= Referenzen =
Eine ausführliche Beschreibung einiger Eigenschaften der 5n-EDOs in englischer Sprache kann hier gefunden werden:

[https://www.yumpu.com/en/document/read/11990259/five-is-not-an-odd-number-city-of-the-asleep Igliashon Jones: Five Is Not an Odd Number, An exploration of the benefits of equal divisions of the octave that are divisible by 5].</text>
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Die gleichstufigen Unterteilungen in ein Vielfaches von 5, also [[5-EDO]], [[10-EDO]], [[15-EDO]], [[20-EDO]], [[25-EDO]], [[30-EDO]] etc., haben ein paar interessante Eigenschaften gemeinsam.

[[5-EDO]], das kleinste 5n-EDO, ist gleichzeitig das kleinste wirklich xenharmonische gleichstufige Tonsystem (die EDOs darunter, 1-EDO, 2-EDO, 3-EDO und 4-EDO, sind sämtlich Teilmengen der Standardstimmung [[12-EDO]]). Es bietet als erstes eine annehmbare Approximation der reinen Quinte 3/2 und ihres Oktav-Komplements, der reinen Quarte 4/3. Die Approximationen sind nicht besonders gut - die Approximation der Quarte ist 480 [[Cent]] gross, die der Quinte 720 Cent, rund 18 Cent entfernt vom reinen Intervall - bei insgesamt so wenig Tönen ist das aber durchaus nicht schlecht.

Etwas überraschend ist aber, dass alle nächsthöheren 5n-EDOs, 10-EDO wie auch 15-EDO, 20-EDO, 25-EDO, ja selbst 30-EDO mit fast zweieinhalb mal so viel Tönen wie 12-EDO, keine bessere Approximation der reinen Quinte liefern. 30-EDO hat zwar zwei Approximationen der reinen Quinte, die aber beide vergleichbar schlecht sind. Erst [[35-EDO]] hat eine bessere Quinte, und auch diese ist noch 15 Cent daneben.

= Reguläre Temperaturen =
Übereinanderschichten von 5-EDO-Quarten wie auch von 5-EDO-Quinten führt nach 5 Schritten oktavreduziert zum Ursprung zurück. Aus der Perspektive der [[Reguläre Temperaturen|Regulären Temperaturen]] gesehen, entspricht dies der Austemperierung des [[256/243|Limmas 256/243]], mithin der Definition der [[Blackwood-Limmisch|Blackwood-Temperatur]]. Alle genannten 5n-EDOs unterstützen die Blackwood-Temperatur, und alle grösser als 10-EDO verfügen über eine nichttriviale Variante der zehntönigen Blackwood-Skala (siehe [[Blackwood-Limmisch|Blackwood-Temperatur]] für mehr Details). Temperatur wie Skala sind benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.], der diese Skala wie auch die 5n-EDOs als erster intensiv verwendet hat.

= Eignung für Gitarrenstimmungen =
Die Eigenschaft der 5-EDO-Quarte, bei Übereinanderschichten nach 5 Scjritten oktavreduziert zum Ursprung zurückzukehren - nicht-oktavreduziert auf eine Doppeloktave - ist interessant im Hinblick auf die Verwendung für Gitarrenstimmungen. Eine Standard-Gitarre ist ja bekanntlich auch grösstenteils in Quarten gestimmt, mit einem Schritt einer grossen Terz dazwischen, wobei zwischen der tiefsten und der höchsten Saite genau zwei Oktaven liegen. Wenn man nun die Saiten einer Gitarre in Schritten der 480-Cent-Quarte der 5n-EDOs stimmt, erhält man eine wie bei 12-EDO über eine Spanne von genau zwei Oktaven gehende, jedoch vollständig regelmässige Gitarrenstimmung. Dies macht alle 5n-EDOs attraktiv für das Spielen auf der Gitarre, sie haben entsprechend in der Gitarrenmusik eine gewisse Verbreitung gefunden.

Als quasi ''das'' Referenzwerk kann man die [https://www.youtube.com/watch?v=YJQsR-Z5aDc Suite for Guitar in 15-Note Equal Tuning], natürlich von [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.], ansehen.

= Referenzen =
Eine ausführliche Beschreibung einiger Eigenschaften der 5n-EDOs in englischer Sprache kann hier gefunden werden:

[https://www.yumpu.com/en/document/read/11990259/five-is-not-an-odd-number-city-of-the-asleep Igliashon Jones: Five Is Not an Odd Number, An exploration of the benefits of equal divisions of the octave that are divisible by 5].</text>
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Die gleichstufigen Unterteilungen in ein Vielfaches von 5, also [[5-EDO]], [[10-EDO]], [[15-EDO]], [[20-EDO]], [[25-EDO]], [[30-EDO]] etc., haben ein paar interessante Eigenschaften gemeinsam.

[[5-EDO]], das kleinste 5n-EDO, ist gleichzeitig das kleinste wirklich xenharmonische gleichstufige Tonsystem (die EDOs darunter, 1-EDO, 2-EDO, 3-EDO und 4-EDO, sind sämtlich Teilmengen der Standardstimmung [[12-EDO]]). Es bietet als erstes eine annehmbare Approximation der reinen Quinte 3/2 und ihres Oktav-Komplements, der reinen Quarte 4/3. Die Approximationen sind nicht besonders gut - die Approximation der Quarte ist 480 [[Cent]] gross, die der Quinte 720 Cent, rund 18 Cent entfernt vom reinen Intervall - bei insgesamt so wenig Tönen ist das aber durchaus nicht schlecht.

Etwas überraschend ist aber, dass alle nächsthöheren 5n-EDOs, 10-EDO wie auch 15-EDO, 20-EDO, 25-EDO, ja selbst 30-EDO mit fast zweieinhalb mal so viel Tönen wie 12-EDO, keine bessere Approximation der reinen Quinte liefern. 30-EDO hat zwar zwei Approximationen der reinen Quinte, die aber beide vergleichbar schlecht sind. Erst [[35-EDO]] hat eine bessere Quinte, und auch diese ist noch 15 Cent daneben.

= Reguläre Temperaturen =
Übereinanderschichten von 5-EDO-Quarten wie auch von 5-EDO-Quinten führt nach 5 Schritten oktavreduziert zum Ursprung zurück. Aus der Perspektive der [[Reguläre Temperaturen|Regulären Temperaturen]] gesehen, entspricht dies der Austemperierung des [[256/243|Limmas 256/243]], mithin der Definition der [[Blackwood-Limmisch|Blackwood-Temperatur]]. Alle genannten 5n-EDOs unterstützen die Blackwood-Temperatur, und alle grösser als 10-EDO verfügen über eine nichttriviale Variante der '''zehntönigen Blackwood-Skala''' (siehe [[Blackwood-Limmisch|Blackwood-Temperatur]] für mehr Details). Temperatur wie Skala sind benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.], der diese Skala wie auch die 5n-EDOs als erster intensiv verwendet hat.

= Eignung für Gitarrenstimmungen =
Die Eigenschaft der 5-EDO-Quarte, bei Übereinanderschichten nach 5 Scjritten oktavreduziert zum Ursprung zurückzukehren - nicht-oktavreduziert auf eine Doppeloktave - ist interessant im Hinblick auf die Verwendung für Gitarrenstimmungen. Eine Standard-Gitarre ist ja bekanntlich auch grösstenteils in Quarten gestimmt, mit einem Schritt einer grossen Terz dazwischen, wobei zwischen der tiefsten und der höchsten Saite genau zwei Oktaven liegen. Wenn man nun die Saiten einer Gitarre in Schritten der 480-Cent-Quarte der 5n-EDOs stimmt, erhält man eine wie bei 12-EDO über eine Spanne von genau zwei Oktaven gehende, jedoch vollständig regelmässige Gitarrenstimmung. Dies macht alle 5n-EDOs attraktiv für das Spielen auf der Gitarre, sie haben entsprechend in der Gitarrenmusik eine gewisse Verbreitung gefunden.

Als quasi ''das'' Referenzwerk kann man die [https://www.youtube.com/watch?v=YJQsR-Z5aDc Suite for Guitar in 15-Note Equal Tuning], natürlich von [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.], ansehen.

= Referenzen =
Eine ausführliche Beschreibung einiger Eigenschaften der 5n-EDOs in englischer Sprache kann hier gefunden werden:

[https://www.yumpu.com/en/document/read/11990259/five-is-not-an-odd-number-city-of-the-asleep Igliashon Jones: Five Is Not an Odd Number, An exploration of the benefits of equal divisions of the octave that are divisible by 5].</text>
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Die gleichstufigen Unterteilungen in ein Vielfaches von 5, also [[5-EDO]], [[10-EDO]], [[15-EDO]], [[20-EDO]], [[25-EDO]], [[30-EDO]] etc., haben ein paar interessante Eigenschaften gemeinsam.

[[5-EDO]], das kleinste 5n-EDO, ist gleichzeitig das kleinste wirklich xenharmonische gleichstufige Tonsystem (die EDOs darunter, 1-EDO, 2-EDO, 3-EDO und 4-EDO, sind sämtlich Teilmengen der Standardstimmung [[12-EDO]]). Es bietet als erstes eine annehmbare Approximation der reinen Quinte 3/2 und ihres Oktav-Komplements, der reinen Quarte 4/3. Die Approximationen sind nicht besonders gut - die Approximation der Quarte ist 480 [[Cent]] gross, die der Quinte 720 Cent, rund 18 Cent entfernt vom reinen Intervall - bei insgesamt so wenig Tönen ist das aber durchaus nicht schlecht.

Etwas überraschend ist aber, dass alle nächsthöheren 5n-EDOs, 10-EDO wie auch 15-EDO, 20-EDO, 25-EDO, ja selbst 30-EDO mit fast zweieinhalb mal so viel Tönen wie 12-EDO, keine bessere Approximation der reinen Quinte liefern. 30-EDO hat zwar zwei Approximationen der reinen Quinte, die aber beide vergleichbar schlecht sind. Erst [[35-EDO]] hat eine bessere Quinte, und auch diese ist noch 15 Cent daneben.

= Reguläre Temperaturen =
Übereinanderschichten von 5-EDO-Quarten wie auch von 5-EDO-Quinten führt nach 5 Schritten oktavreduziert zum Ursprung zurück. Aus der Perspektive der [[Reguläre Temperaturen|Regulären Temperaturen]] gesehen, entspricht dies der Austemperierung des [[256/243|Limmas 256/243]], mithin der Definition der [[Blackwood-Limmisch|Blackwood-Temperatur]]. Alle genannten 5n-EDOs unterstützen die Blackwood-Temperatur, und alle grösser als 10-EDO verfügen über eine nichttriviale Variante der '''zehntönigen Blackwood-Skala''' (siehe [[Blackwood-Limmisch|Blackwood-Temperatur]] für mehr Details). Temperatur wie Skala sind benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.], der diese Skala wie auch die 5n-EDOs als erster intensiv verwendet hat.

= Eignung für Gitarrenstimmungen =
Die Eigenschaft der 5-EDO-Quarte, bei Übereinanderschichten nach 5 Schritten oktavreduziert zum Ursprung zurückzukehren - nicht-oktavreduziert auf eine Doppeloktave - ist interessant im Hinblick auf die Verwendung für Gitarrenstimmungen. Eine Standard-Gitarre ist ja bekanntlich auch grösstenteils in Quarten gestimmt, mit einem Schritt einer grossen Terz dazwischen, wobei zwischen der tiefsten und der höchsten Saite genau zwei Oktaven liegen. Wenn man nun die Saiten einer Gitarre in Schritten der 480-Cent-Quarte der 5n-EDOs stimmt, erhält man eine wie bei 12-EDO über eine Spanne von genau zwei Oktaven gehende, jedoch vollständig regelmässige Gitarrenstimmung. Dies macht alle 5n-EDOs attraktiv für das Spielen auf der Gitarre, sie haben entsprechend in der Gitarrenmusik eine gewisse Verbreitung gefunden.

Als quasi ''das'' Referenzwerk kann man die [https://www.youtube.com/watch?v=YJQsR-Z5aDc Suite for Guitar in 15-Note Equal Tuning], natürlich von [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.], ansehen.

= Referenzen =
Eine ausführliche Beschreibung einiger Eigenschaften der 5n-EDOs in englischer Sprache kann hier gefunden werden:

[https://www.yumpu.com/en/document/read/11990259/five-is-not-an-odd-number-city-of-the-asleep Igliashon Jones: Five Is Not an Odd Number, An exploration of the benefits of equal divisions of the octave that are divisible by 5].</text>
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Die gleichstufigen Unterteilungen in ein Vielfaches von 5, also [[5-EDO]], [[10-EDO]], [[15-EDO]], [[20-EDO]], [[25-EDO]], [[30-EDO]] etc., haben ein paar interessante Eigenschaften gemeinsam.

[[5-EDO]], das kleinste 5n-EDO, ist gleichzeitig das kleinste wirklich xenharmonische gleichstufige Tonsystem (die EDOs darunter, 1-EDO, 2-EDO, 3-EDO und 4-EDO, sind sämtlich Teilmengen der Standardstimmung [[12-EDO]]). Es bietet als erstes eine annehmbare Approximation der reinen Quinte 3/2 und ihres Oktav-Komplements, der reinen Quarte 4/3. Die Approximationen sind nicht besonders gut - die Approximation der Quarte ist 480 [[Cent]] gross, die der Quinte 720 Cent, rund 18 Cent entfernt vom reinen Intervall - bei insgesamt so wenig Tönen ist das aber durchaus nicht schlecht.

Etwas überraschend ist aber, dass alle nächsthöheren 5n-EDOs, 10-EDO wie auch 15-EDO, 20-EDO, 25-EDO, ja selbst 30-EDO mit fast zweieinhalb mal so viel Tönen wie 12-EDO, keine bessere Approximation der reinen Quinte liefern. 30-EDO hat zwar zwei Approximationen der reinen Quinte, die aber beide vergleichbar schlecht sind. Erst [[35-EDO]] hat eine bessere Quinte, und auch diese ist noch 15 Cent daneben.

= Reguläre Temperaturen =
Übereinanderschichten von 5-EDO-Quarten wie auch von 5-EDO-Quinten führt nach 5 Schritten oktavreduziert zum Ursprung zurück. Aus der Perspektive der [[Reguläre Temperaturen|Regulären Temperaturen]] gesehen, entspricht dies der Austemperierung des [[256/243|Limmas 256/243]], mithin der Definition der [[Blackwood-Limmisch|Blackwood-Temperatur]]. Alle genannten 5n-EDOs unterstützen die Blackwood-Temperatur, und alle grösser als 10-EDO verfügen über eine nichttriviale Variante der '''zehntönigen Blackwood-Skala''' (siehe [[Blackwood-Limmisch|Blackwood-Temperatur]] für mehr Details). Temperatur wie Skala sind benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.], der diese Skala wie auch die 5n-EDOs als erster intensiv verwendet hat.

= Eignung für Gitarrenstimmungen =
Die Eigenschaft der 5-EDO-Quarte, bei Übereinanderschichten nach 5 Schritten oktavreduziert zum Ursprung zurückzukehren - nicht-oktavreduziert auf eine Doppeloktave - ist interessant im Hinblick auf die Verwendung für Gitarrenstimmungen. Eine Standard-Gitarre ist ja bekanntlich auch grösstenteils in Quarten gestimmt, mit einem Schritt einer grossen Terz dazwischen, wobei zwischen der tiefsten und der höchsten Saite genau zwei Oktaven liegen. Wenn man nun die Saiten einer Gitarre in Schritten der 480-Cent-Quarte der 5n-EDOs stimmt, erhält man eine wie bei 12-EDO über eine Spanne von genau zwei Oktaven gehende, jedoch vollständig regelmässige Gitarrenstimmung. Dies macht alle 5n-EDOs attraktiv für das Spielen auf der Gitarre, sie haben entsprechend in der Gitarrenmusik eine gewisse Verbreitung gefunden.

Als Referenzwerk kann man die [https://www.youtube.com/watch?v=YJQsR-Z5aDc Suite for Guitar in 15-Note Equal Tuning], vom bereits genannten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.], ansehen.

= Referenzen =
Eine ausführliche Beschreibung einiger Eigenschaften der 5n-EDOs in englischer Sprache kann hier gefunden werden:

[https://www.yumpu.com/en/document/read/11990259/five-is-not-an-odd-number-city-of-the-asleep Igliashon Jones: Five Is Not an Odd Number, An exploration of the benefits of equal divisions of the octave that are divisible by 5].</text>
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Die gleichstufigen Unterteilungen in ein Vielfaches von 5, also [[5-EDO]], [[10-EDO]], [[15-EDO]], [[20-EDO]], [[25-EDO]], [[30-EDO]] etc., haben ein paar interessante Eigenschaften gemeinsam.

[[5-EDO]], das kleinste 5n-EDO, ist gleichzeitig das kleinste wirklich xenharmonische gleichstufige Tonsystem (die EDOs darunter, 1-EDO, 2-EDO, 3-EDO und 4-EDO, sind sämtlich Teilmengen der Standardstimmung [[12-EDO]]). Es bietet als erstes eine annehmbare Approximation der reinen Quinte 3/2 und ihres Oktav-Komplements, der reinen Quarte 4/3. Die Approximationen sind nicht besonders gut - die Approximation der Quarte ist 480 [[Cent]] gross, die der Quinte 720 Cent, rund 18 Cent entfernt vom reinen Intervall - bei insgesamt so wenig Tönen ist das aber durchaus nicht schlecht.

Etwas überraschend ist aber, dass alle nächsthöheren 5n-EDOs, 10-EDO wie auch 15-EDO, 20-EDO, 25-EDO, ja selbst 30-EDO mit fast zweieinhalb mal so viel Tönen wie 12-EDO, keine bessere Approximation der reinen Quinte liefern. 30-EDO hat zwar zwei Approximationen der reinen Quinte, die aber beide vergleichbar schlecht sind. Erst [[35-EDO]] hat eine bessere Quinte, und auch diese ist noch 15 Cent daneben.

= Reguläre Temperaturen =
Übereinanderschichten von 5-EDO-Quarten wie auch von 5-EDO-Quinten führt nach 5 Schritten oktavreduziert zum Ursprung zurück. Aus der Perspektive der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] gesehen, entspricht dies der Austemperierung des [[256/243|Limmas 256/243]], mithin der Definition der [[Blackwood-Limmisch|Blackwood-Temperatur]]. Alle genannten 5n-EDOs unterstützen die Blackwood-Temperatur, und alle grösser als 10-EDO verfügen über eine nichttriviale Variante der '''zehntönigen Blackwood-Skala''' (siehe [[Blackwood-Limmisch|Blackwood-Temperatur]] für mehr Details). Temperatur wie Skala sind benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.], der diese Skala wie auch die 5n-EDOs als erster intensiv verwendet hat.

= Eignung für Gitarrenstimmungen =
Die Eigenschaft der 5-EDO-Quarte, bei Übereinanderschichten nach 5 Schritten oktavreduziert zum Ursprung zurückzukehren - nicht-oktavreduziert auf eine Doppeloktave - ist interessant im Hinblick auf die Verwendung für Gitarrenstimmungen. Eine Standard-Gitarre ist ja bekanntlich auch grösstenteils in Quarten gestimmt, mit einem Schritt einer grossen Terz dazwischen, wobei zwischen der tiefsten und der höchsten Saite genau zwei Oktaven liegen. Wenn man nun die Saiten einer Gitarre in Schritten der 480-Cent-Quarte der 5n-EDOs stimmt, erhält man eine wie bei 12-EDO über eine Spanne von genau zwei Oktaven gehende, jedoch vollständig regelmässige Gitarrenstimmung. Dies macht alle 5n-EDOs attraktiv für das Spielen auf der Gitarre, sie haben entsprechend in der Gitarrenmusik eine gewisse Verbreitung gefunden.

Als Referenzwerk kann man die [https://www.youtube.com/watch?v=YJQsR-Z5aDc Suite for Guitar in 15-Note Equal Tuning], vom bereits genannten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.], ansehen.

= Referenzen =
Eine ausführliche Beschreibung einiger Eigenschaften der 5n-EDOs in englischer Sprache kann hier gefunden werden:

[https://www.yumpu.com/en/document/read/11990259/five-is-not-an-odd-number-city-of-the-asleep Igliashon Jones: Five Is Not an Odd Number, An exploration of the benefits of equal divisions of the octave that are divisible by 5].</text>
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Die gleichstufigen Unterteilungen in ein Vielfaches von 5, also [[5-EDO]], [[10-EDO]], [[15-EDO]], [[20-EDO]], [[25-EDO]], [[30-EDO]] etc., haben ein paar interessante Eigenschaften gemeinsam.

[[5-EDO]], das kleinste 5n-EDO, ist gleichzeitig das kleinste wirklich xenharmonische gleichstufige Tonsystem (die EDOs darunter, 1-EDO, 2-EDO, 3-EDO und 4-EDO, sind sämtlich Teilmengen der Standardstimmung [[12-EDO]]). Es bietet als erstes eine annehmbare Approximation der reinen Quinte 3/2 und ihres Oktav-Komplements, der reinen Quarte 4/3. Die Approximationen sind nicht besonders gut - die Approximation der Quarte ist 480 [[Cent]] gross, die der Quinte 720 Cent, rund 18 Cent entfernt vom reinen Intervall - bei insgesamt so wenig Tönen ist das aber durchaus nicht schlecht.

Etwas überraschend ist aber, dass '''alle''' nächsthöheren 5n-EDOs, 10-EDO wie auch 15-EDO, 20-EDO, 25-EDO, ja selbst 30-EDO mit fast zweieinhalb mal so viel Tönen wie 12-EDO, keine bessere Approximation der reinen Quinte liefern. 30-EDO hat zwar zwei Approximationen der reinen Quinte, die aber beide vergleichbar schlecht sind. Erst [[35-EDO]] hat eine bessere Quinte, und auch diese ist noch 15 Cent daneben.

= Reguläre Temperaturen =
Übereinanderschichten von 5-EDO-Quarten wie auch von 5-EDO-Quinten führt nach 5 Schritten oktavreduziert zum Ursprung zurück. Aus der Perspektive der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] gesehen, entspricht dies der Austemperierung des [[256/243|Limmas 256/243]], mithin der Definition der [[Blackwood-Limmisch|Blackwood-Temperatur]]. Alle genannten 5n-EDOs unterstützen die Blackwood-Temperatur, und alle grösser als 10-EDO verfügen über eine nichttriviale Variante der '''zehntönigen Blackwood-Skala''' (siehe [[Blackwood-Limmisch|Blackwood-Temperatur]] für mehr Details). Temperatur wie Skala sind benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.], der diese Skala wie auch die 5n-EDOs als erster intensiv verwendet hat.

= Eignung für Gitarrenstimmungen =
Die Eigenschaft der 5-EDO-Quarte, bei Übereinanderschichten nach 5 Schritten oktavreduziert zum Ursprung zurückzukehren - nicht-oktavreduziert auf eine Doppeloktave - ist interessant im Hinblick auf die Verwendung für Gitarrenstimmungen. Eine Standard-Gitarre ist ja bekanntlich auch grösstenteils in Quarten gestimmt, mit einem Schritt einer grossen Terz dazwischen, wobei zwischen der tiefsten und der höchsten Saite genau zwei Oktaven liegen. Wenn man nun die Saiten einer Gitarre in Schritten der 480-Cent-Quarte der 5n-EDOs stimmt, erhält man eine wie bei 12-EDO über eine Spanne von genau zwei Oktaven gehende, jedoch vollständig regelmässige Gitarrenstimmung. Dies macht alle 5n-EDOs attraktiv für das Spielen auf der Gitarre, sie haben entsprechend in der Gitarrenmusik eine gewisse Verbreitung gefunden.

Als Referenzwerk kann man die [https://www.youtube.com/watch?v=YJQsR-Z5aDc Suite for Guitar in 15-Note Equal Tuning], vom bereits genannten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.], ansehen.

= Referenzen =
Eine ausführliche Beschreibung einiger Eigenschaften der 5n-EDOs in englischer Sprache kann hier gefunden werden:

[https://www.yumpu.com/en/document/read/11990259/five-is-not-an-odd-number-city-of-the-asleep Igliashon Jones: Five Is Not an Odd Number, An exploration of the benefits of equal divisions of the octave that are divisible by 5].</text>
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Die gleichstufigen Unterteilungen in ein Vielfaches von 5, also [[5-EDO]], [[10-EDO]], [[15-EDO]], [[20-EDO]], [[25-EDO]], [[30-EDO]] etc., haben ein paar interessante Eigenschaften gemeinsam.

[[5-EDO]], das kleinste 5n-EDO, ist gleichzeitig das kleinste wirklich xenharmonische gleichstufige Tonsystem (die EDOs darunter, 1-EDO, 2-EDO, 3-EDO und 4-EDO, sind sämtlich Teilmengen der Standardstimmung [[12-EDO]]). Es bietet als erstes eine annehmbare Approximation der reinen Quinte 3/2 und ihres Oktav-Komplements, der reinen Quarte 4/3. Die Approximationen sind nicht besonders gut - die Approximation der Quarte ist 480 [[Cent]] gross, die der Quinte 720 Cent, rund 18 Cent entfernt vom reinen Intervall - bei insgesamt so wenig Tönen ist das aber durchaus nicht schlecht.

Etwas überraschend ist aber, dass '''alle''' nächsthöheren 5n-EDOs, 10-EDO wie auch 15-EDO, 20-EDO, 25-EDO, ja selbst 30-EDO mit fast zweieinhalb mal so viel Tönen wie 12-EDO, keine bessere Approximation der reinen Quinte liefern. 30-EDO hat zwar zwei Approximationen der reinen Quinte, die aber beide vergleichbar schlecht sind. Erst [[35-EDO]] hat eine bessere Quinte, und auch diese ist noch 15 Cent daneben.

= Reguläre Temperaturen =
Übereinanderschichten von 5-EDO-Quarten wie auch von 5-EDO-Quinten führt nach 5 Schritten oktavreduziert zum Ursprung zurück. Aus der Perspektive der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] gesehen, entspricht dies der Austemperierung des [[256/243|Limmas 256/243]], mithin der Definition der [[Blackwood-Limmisch|Blackwood-Temperatur]]. Alle genannten 5n-EDOs unterstützen die Blackwood-Temperatur, und alle grösser als 10-EDO verfügen über eine nichttriviale Variante der '''zehntönigen Blackwood-Skala''' (siehe [[Blackwood-Limmisch|Blackwood-Temperatur]] für mehr Details). Temperatur wie Skala sind benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.], der diese Skala wie auch die 5n-EDOs als erster intensiv verwendet hat.

= Eignung für Gitarrenstimmungen =
Die Eigenschaft der 5-EDO-Quarte, bei Übereinanderschichten nach 5 Schritten oktavreduziert zum Ursprung zurückzukehren - nicht-oktavreduziert auf eine Doppeloktave - ist interessant im Hinblick auf die Verwendung für Gitarrenstimmungen. Eine Standard-Gitarre ist ja bekanntlich auch grösstenteils in Quarten gestimmt, mit einem Schritt einer grossen Terz dazwischen, wobei zwischen der tiefsten und der höchsten Saite genau zwei Oktaven liegen. Wenn man nun die Saiten einer Gitarre in Schritten der 480-Cent-Quarte der 5n-EDOs stimmt, erhält man eine wie bei 12-EDO über eine Spanne von genau zwei Oktaven gehende, jedoch vollständig regelmässige Gitarrenstimmung. Dies macht alle 5n-EDOs attraktiv für das Spielen auf der Gitarre, sie haben entsprechend in der Gitarrenmusik eine gewisse Verbreitung gefunden.

Als Referenzwerk kann man die [https://www.youtube.com/watch?v=YJQsR-Z5aDc Suite for Guitar in 15-Note Equal Tuning], vom bereits genannten Konponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.], ansehen.

= Referenzen =
Eine ausführliche Beschreibung einiger Eigenschaften der 5n-EDOs in englischer Sprache kann hier gefunden werden:

[https://www.yumpu.com/en/document/read/11990259/five-is-not-an-odd-number-city-of-the-asleep Igliashon Jones: Five Is Not an Odd Number, An exploration of the benefits of equal divisions of the octave that are divisible by 5].</text>
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Die gleichstufigen Unterteilungen in ein Vielfaches von 5, also [[5-EDO]], [[10-EDO]], [[15-EDO]], [[20-EDO]], [[25-EDO]], [[30-EDO]] etc., haben ein paar interessante Eigenschaften gemeinsam.

[[5-EDO]], das kleinste 5n-EDO, ist gleichzeitig das kleinste wirklich xenharmonische gleichstufige Tonsystem (die EDOs darunter, [[1edo|1-EDO]], [[2edo|2-EDO]], [[3edo|3-EDO]] und [[4edo|4-EDO]], sind sämtlich Teilmengen der Standardstimmung [[12-EDO]]). Es bietet als erstes eine annehmbare Approximation der reinen Quinte 3/2 und ihres Oktav-Komplements, der reinen Quarte 4/3. Die Approximationen sind nicht besonders gut - die Approximation der Quarte ist 480 [[Cent]] gross, die der Quinte 720 Cent, rund 18 Cent entfernt vom reinen Intervall - bei insgesamt so wenig Tönen ist das aber durchaus nicht schlecht.

Etwas überraschend ist aber, dass '''alle''' nächsthöheren 5n-EDOs, 10-EDO wie auch 15-EDO, 20-EDO, 25-EDO, ja selbst 30-EDO mit fast zweieinhalb mal so viel Tönen wie 12-EDO, keine bessere Approximation der reinen Quinte liefern. 30-EDO hat zwar zwei Approximationen der reinen Quinte, die aber beide vergleichbar schlecht sind. Erst [[35-EDO]] hat eine bessere Quinte, und auch diese ist noch 15 Cent daneben.

= Reguläre Temperaturen =
Übereinanderschichten von 5-EDO-Quarten wie auch von 5-EDO-Quinten führt nach 5 Schritten oktavreduziert zum Ursprung zurück. Aus der Perspektive der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] gesehen, entspricht dies der Austemperierung des [[256/243|Limmas 256/243]], mithin der Definition der [[Blackwood-Limmisch|Blackwood-Temperatur]]. Alle genannten 5n-EDOs unterstützen die Blackwood-Temperatur, und alle grösser als 10-EDO verfügen über eine nichttriviale Variante der '''zehntönigen Blackwood-Skala''' (siehe [[Blackwood-Limmisch|Blackwood-Temperatur]] für mehr Details). Temperatur wie Skala sind benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.], der diese Skala wie auch die 5n-EDOs als erster intensiv verwendet hat.

= Eignung für Gitarrenstimmungen =
Die Eigenschaft der 5-EDO-Quarte, bei Übereinanderschichten nach 5 Schritten oktavreduziert zum Ursprung zurückzukehren - nicht-oktavreduziert auf eine Doppeloktave - ist interessant im Hinblick auf die Verwendung für Gitarrenstimmungen. Eine Standard-Gitarre ist ja bekanntlich auch grösstenteils in Quarten gestimmt, mit einem Schritt einer grossen Terz dazwischen, wobei zwischen der tiefsten und der höchsten Saite genau zwei Oktaven liegen. Wenn man nun die Saiten einer Gitarre in Schritten der 480-Cent-Quarte der 5n-EDOs stimmt, erhält man eine wie bei 12-EDO über eine Spanne von genau zwei Oktaven gehende, jedoch vollständig regelmässige Gitarrenstimmung. Dies macht alle 5n-EDOs attraktiv für das Spielen auf der Gitarre, sie haben entsprechend in der Gitarrenmusik eine gewisse Verbreitung gefunden.

Als Referenzwerk kann man die [https://www.youtube.com/watch?v=YJQsR-Z5aDc Suite for Guitar in 15-Note Equal Tuning], vom bereits genannten Konponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.], ansehen.

= Referenzen =
Eine ausführliche Beschreibung einiger Eigenschaften der 5n-EDOs in englischer Sprache kann hier gefunden werden:

[https://www.yumpu.com/en/document/read/11990259/five-is-not-an-odd-number-city-of-the-asleep Igliashon Jones: Five Is Not an Odd Number, An exploration of the benefits of equal divisions of the octave that are divisible by 5].</text>
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Die gleichstufigen Unterteilungen in ein Vielfaches von 5, also [[5-EDO]], [[10-EDO]], [[15-EDO]], [[20-EDO]], [[25-EDO]], [[30-EDO]] etc., haben ein paar interessante Eigenschaften gemeinsam.

[[5-EDO]], das kleinste 5n-EDO, ist gleichzeitig das kleinste wirklich xenharmonische gleichstufige Tonsystem (die EDOs darunter, [[1edo|1-EDO]], [[2edo|2-EDO]], [[3edo|3-EDO]] und [[4edo|4-EDO]], sind sämtlich Teilmengen der Standardstimmung [[12-EDO]]). Es bietet als erstes eine annehmbare Approximation der reinen Quinte 3/2 und ihres Oktav-Komplements, der reinen Quarte 4/3. Die Approximationen sind nicht besonders gut - die Approximation der Quarte ist 480 [[Cent]] gross, die der Quinte 720 Cent, jeweils rund 18 Cent entfernt vom reinen Intervall - bei insgesamt so wenig Tönen ist das aber durchaus nicht schlecht.

Etwas überraschend ist aber, dass '''alle''' nächsthöheren 5n-EDOs, 10-EDO wie auch 15-EDO, 20-EDO, 25-EDO, ja selbst 30-EDO mit fast zweieinhalb mal so viel Tönen wie 12-EDO, keine bessere Approximation der reinen Quinte liefern. 30-EDO hat zwar zwei Approximationen der reinen Quinte, die aber beide vergleichbar schlecht sind. Erst [[35-EDO]] hat eine bessere Quinte, und auch diese ist noch 15 Cent daneben.

= Reguläre Temperaturen =
Übereinanderschichten von 5-EDO-Quarten wie auch von 5-EDO-Quinten führt nach 5 Schritten oktavreduziert zum Ursprung zurück. Aus der Perspektive der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] gesehen, entspricht dies der Austemperierung des [[256/243|Limmas 256/243]], mithin der Definition der [[Blackwood-Limmisch|Blackwood-Temperatur]]. Alle genannten 5n-EDOs unterstützen die Blackwood-Temperatur, und alle grösser als 10-EDO verfügen über eine nichttriviale Variante der '''zehntönigen Blackwood-Skala''' (siehe [[Blackwood-Limmisch|Blackwood-Temperatur]] für mehr Details). Temperatur wie Skala sind benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.], der diese Skala wie auch die 5n-EDOs als erster intensiv verwendet hat.

= Eignung für Gitarrenstimmungen =
Die Eigenschaft der 5-EDO-Quarte, bei Übereinanderschichten nach 5 Schritten oktavreduziert zum Ursprung zurückzukehren - nicht-oktavreduziert auf eine Doppeloktave - ist interessant im Hinblick auf die Verwendung für Gitarrenstimmungen. Eine Standard-Gitarre ist ja bekanntlich auch grösstenteils in Quarten gestimmt, mit einem Schritt einer grossen Terz dazwischen, wobei zwischen der tiefsten und der höchsten Saite genau zwei Oktaven liegen. Wenn man nun die Saiten einer Gitarre in Schritten der 480-Cent-Quarte der 5n-EDOs stimmt, erhält man eine wie bei 12-EDO über eine Spanne von genau zwei Oktaven gehende, jedoch vollständig regelmässige Gitarrenstimmung. Dies macht alle 5n-EDOs attraktiv für das Spielen auf der Gitarre, sie haben entsprechend in der Gitarrenmusik eine gewisse Verbreitung gefunden.

Als Referenzwerk kann man die [https://www.youtube.com/watch?v=YJQsR-Z5aDc Suite for Guitar in 15-Note Equal Tuning], vom bereits genannten Konponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.], ansehen.

= Referenzen =
Eine ausführliche Beschreibung einiger Eigenschaften der 5n-EDOs in englischer Sprache kann hier gefunden werden:

[https://www.yumpu.com/en/document/read/11990259/five-is-not-an-odd-number-city-of-the-asleep Igliashon Jones: Five Is Not an Odd Number, An exploration of the benefits of equal divisions of the octave that are divisible by 5].</text>
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Die gleichstufigen Unterteilungen in ein Vielfaches von 5, also [[5-EDO]], [[10-EDO]], [[15-EDO]], [[20-EDO]], [[25-EDO]], [[30-EDO]] etc., haben ein paar interessante Eigenschaften gemeinsam.

[[5-EDO]], das kleinste 5n-EDO, ist gleichzeitig das kleinste wirklich xenharmonische gleichstufige Tonsystem (die EDOs darunter, [[1edo|1-EDO]], [[2edo|2-EDO]], [[3edo|3-EDO]] und [[4edo|4-EDO]], sind sämtlich Teilmengen der Standardstimmung [[12-EDO]]). Es bietet als erstes eine annehmbare Approximation der reinen Quinte 3/2 und ihres Oktav-Komplements, der reinen Quarte 4/3. Die Approximationen sind nicht besonders gut - die Approximation der Quarte ist 480 [[Cent]] gross, die der Quinte 720 Cent, jeweils rund 18 Cent entfernt vom reinen Intervall - bei insgesamt so wenig Tönen ist das aber durchaus nicht schlecht.

Etwas überraschend ist aber, dass '''alle''' nächsthöheren 5n-EDOs, 10-EDO wie auch 15-EDO, 20-EDO, 25-EDO, ja selbst 30-EDO mit fast zweieinhalb mal so viel Tönen wie 12-EDO, keine bessere Approximation der reinen Quinte liefern. 30-EDO hat zwar zwei Approximationen der reinen Quinte, die aber beide vergleichbar schlecht sind. Erst [[35-EDO]] hat eine bessere Quinte, und auch diese ist noch 15 Cent daneben.

= Reguläre Temperaturen =
Übereinanderschichten von 5-EDO-Quarten wie auch von 5-EDO-Quinten führt nach 5 Schritten oktavreduziert zum Ursprung zurück. Aus der Perspektive der [[Reguläre Temperaturen|regulären Temperaturen]] gesehen, entspricht dies der Austemperierung des [[256/243|Limmas 256/243]], mithin der Definition der [[Blackwood-Limmisch|Blackwood-Temperatur]]. Alle genannten 5n-EDOs unterstützen die Blackwood-Temperatur, und alle grösser als 10-EDO verfügen über eine nichttriviale Variante der '''zehntönigen Blackwood-Skala''' (siehe [[Blackwood-Limmisch|Blackwood-Temperatur]] für mehr Details). Temperatur wie Skala sind benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.], der diese Skala wie auch die 5n-EDOs als erster intensiv verwendet hat.

= Eignung für Gitarrenstimmungen =
Die Eigenschaft der 5-EDO-Quarte, bei Übereinanderschichten nach 5 Schritten oktavreduziert zum Ursprung zurückzukehren - nicht-oktavreduziert auf eine Doppeloktave - ist interessant im Hinblick auf die Verwendung für Gitarrenstimmungen. Eine Standard-Gitarre ist ja bekanntlich auch grösstenteils in Quarten gestimmt, mit einem Schritt einer grossen Terz dazwischen, wobei zwischen der tiefsten und der höchsten Saite genau zwei Oktaven liegen. Wenn man nun die Saiten einer Gitarre in Schritten der 480-Cent-Quarte der 5n-EDOs stimmt, erhält man eine wie bei 12-EDO über eine Spanne von genau zwei Oktaven gehende, jedoch vollständig regelmässige Gitarrenstimmung. Dies macht alle 5n-EDOs attraktiv für das Spielen auf der Gitarre, sie haben entsprechend in der Gitarrenmusik eine gewisse Verbreitung gefunden.

Als Referenzwerk kann man die [https://www.youtube.com/watch?v=YJQsR-Z5aDc Suite for Guitar in 15-Note Equal Tuning], vom bereits genannten Konponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.], ansehen.

= Referenzen =
Eine ausführliche Beschreibung einiger Eigenschaften der 5n-EDOs in englischer Sprache kann hier gefunden werden:

[https://www.yumpu.com/en/document/read/11990259/five-is-not-an-odd-number-city-of-the-asleep Igliashon Jones: Five Is Not an Odd Number, An exploration of the benefits of equal divisions of the octave that are divisible by 5].

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[[5n-EDO|Übersicht gleichstufige Tonsysteme mit Vielfachen von 5]]

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[[EDO|Übersicht EDO]]

[[5n-EDO|Übersicht gleichstufige Tonsysteme mit Vielfachen von 5]]

25-EDO ist das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 25 gleiche Teile geteilt wird. Das Grundintervall von 48 [[Cent]] Grösse ist sehr nah am 50-Cent-Viertelton von [[24-EDO]], doch die harmonischen Eigenschaften von 25-EDO sind ziemlich verschieden.

Hervorstechend ist erst einmal, dass die reine Quinte 3/2 mit rund 18 Cent zu hoch ziemlich schlecht approximiert wird, trotz insgesamt mehr als doppelt so viel Tönen wie [[12-EDO]]. 25-EDO verhält sich hier gleich wie die [[5n-EDO|5n-EDOs]] darunter.

Die Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] hingegen ist mit nur 2 Cent Fehler aussergewöhnlich gut, und auch die der septimalen grossen Terz 9/7 (rund 3 Cent Fehler). Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4 ]] wird mit rund 8 Cetn Fehler ebenfalls ordentlich getroffen.

Die Approximation der reinen Intervalle ist im vollen 7-[[Odd-Limit]] allerdings nicht [[konsistent]]: die Approximation der harmonischen Septime  ist 20 25-EDO-Schritte gross, die der reinen Quinte 15 Schritte. Die Differenz, 5 SChritte, entspricht jedoch nicht der besten Approximation von 7/6, welches in reiner Stimmung die Differenz zwischen 7/4 und 3/2 ist.

=Reguläre Temperaturen=
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[[EDO|Übersicht EDO]]

[[5n-EDO|Übersicht gleichstufige Tonsysteme mit Vielfachen von 5]]

25-EDO ist das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 25 gleiche Teile geteilt wird. Das Grundintervall von 48 [[Cent]] Grösse ist sehr nah am 50-Cent-Viertelton von [[24-EDO]], doch die harmonischen Eigenschaften von 25-EDO sind ziemlich verschieden.

Hervorstechend ist erst einmal, dass die reine Quinte 3/2 mit rund 18 Cent zu hoch ziemlich schlecht approximiert wird, trotz insgesamt mehr als doppelt so viel Tönen wie [[12-EDO]]. 25-EDO verhält sich hier gleich wie die [[5n-EDO|5n-EDOs]] darunter.

Die Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] hingegen ist mit nur 2 Cent Fehler aussergewöhnlich gut, und auch die der septimalen grossen Terz 9/7 (rund 3 Cent Fehler). Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4 ]] wird mit rund 8 Cetn Fehler ebenfalls ordentlich getroffen.

Die Approximation der reinen Intervalle ist im vollen 7-[[Odd-Limit]] allerdings nicht [[konsistent]]: die Approximation der harmonischen Septime  ist 20 25-EDO-Schritte gross, die der reinen Quinte 15 Schritte. Die Differenz, 5 SChritte, entspricht jedoch nicht der besten Approximation von 7/6, welches in reiner Stimmung die Differenz zwischen 7/4 und 3/2 ist.

=Reguläre Temperaturen=
Als Mitglied der [[5n-EDO]]-Familie unterstützt 25-EDO die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. VOn der zehntönigen Blackwood-[[MOS-Skala]] 5L 5s gibt es zwei Varianten. 

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[[EDO|Übersicht EDO]]

[[5n-EDO|Übersicht gleichstufige Tonsysteme mit Vielfachen von 5]]

25-EDO ist das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 25 gleiche Teile geteilt wird. Das Grundintervall von 48 [[Cent]] Grösse ist sehr nah am 50-Cent-Viertelton von [[24-EDO]], doch die harmonischen Eigenschaften von 25-EDO sind ziemlich verschieden.

Hervorstechend ist erst einmal, dass die reine Quinte 3/2 mit rund 18 Cent zu hoch ziemlich schlecht approximiert wird, trotz insgesamt mehr als doppelt so viel Tönen wie [[12-EDO]]. 25-EDO verhält sich hier gleich wie die [[5n-EDO|5n-EDOs]] darunter.

Die Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] hingegen ist mit nur 2 Cent Fehler aussergewöhnlich gut, und auch die der septimalen grossen Terz 9/7 (rund 3 Cent Fehler). Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4 ]] wird mit rund 8 Cetn Fehler ebenfalls ordentlich getroffen.

Die Approximation der reinen Intervalle ist im vollen 7-[[Odd-Limit]] allerdings nicht [[konsistent]]: die Approximation der harmonischen Septime  ist 20 25-EDO-Schritte gross, die der reinen Quinte 15 Schritte. Die Differenz, 5 SChritte, entspricht jedoch nicht der besten Approximation von 7/6, welches in reiner Stimmung die Differenz zwischen 7/4 und 3/2 ist.

=Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen=
Als Mitglied der [[5n-EDO]]-Familie unterstützt 25-EDO die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. VOn der zehntönigen Blackwood-[[MOS-Skala]] 5L 5s gibt es zwei Varianten. 

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[[EDO|Übersicht EDO]]

[[5n-EDO|Übersicht gleichstufige Tonsysteme mit Vielfachen von 5]]

25-EDO ist das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 25 gleiche Teile geteilt wird. Das Grundintervall von 48 [[Cent]] Grösse ist sehr nah am 50-Cent-Viertelton von [[24-EDO]], doch die harmonischen Eigenschaften von 25-EDO sind ziemlich verschieden.

Hervorstechend ist erst einmal, dass die reine Quinte 3/2 mit rund 18 Cent zu hoch ziemlich schlecht approximiert wird, trotz insgesamt mehr als doppelt so viel Tönen wie [[12-EDO]]. 25-EDO verhält sich hier gleich wie die [[5n-EDO|5n-EDOs]] darunter.

Die Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] hingegen ist mit nur 2 Cent Fehler aussergewöhnlich gut, und auch die der septimalen grossen Terz 9/7 (rund 3 Cent Fehler). Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4 ]] wird mit rund 8 Cent Fehler ebenfalls ordentlich getroffen.

Die Approximation der reinen Intervalle ist im vollen 7-[[Odd-Limit]] allerdings nicht [[konsistent]]: die Approximation der harmonischen Septime  ist 20 25-EDO-Schritte gross, die der reinen Quinte 15 Schritte. Die Differenz, 5 Schritte, entspricht jedoch nicht der besten Approximation von 7/6, welches in reiner Stimmung die Differenz zwischen 7/4 und 3/2 ist.

=Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen=
Als Mitglied der [[5n-EDO]]-Familie unterstützt 25-EDO die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. VOn der zehntönigen Blackwood-[[MOS-Skala]] 5L 5s gibt es zwei Varianten. 

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[[EDO|Übersicht EDO]]

[[5n-EDO|Übersicht gleichstufige Tonsysteme mit Vielfachen von 5]]

25-EDO ist das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 25 gleiche Teile geteilt wird. Das Grundintervall von 48 [[Cent]] Grösse ist sehr nah am 50-Cent-Viertelton von [[24-EDO]], doch die harmonischen Eigenschaften von 25-EDO sind ziemlich verschieden.

Hervorstechend ist erst einmal, dass die reine Quinte 3/2 mit rund 18 Cent zu hoch ziemlich schlecht approximiert wird, trotz insgesamt mehr als doppelt so viel Tönen wie [[12-EDO]]. 25-EDO verhält sich hier gleich wie die [[5n-EDO|5n-EDOs]] darunter.

Die Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] hingegen ist mit nur 2 Cent Fehler aussergewöhnlich gut, und auch die der septimalen grossen Terz 9/7 (rund 3 Cent Fehler). Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4 ]] wird mit rund 8 Cent Fehler ebenfalls ordentlich getroffen.

Die Approximation der reinen Intervalle ist im vollen 7-[[Odd-Limit]] allerdings nicht [[konsistent]]: die Approximation der harmonischen Septime  ist 20 25-EDO-Schritte gross, die der reinen Quinte 15 Schritte. Die Differenz, 5 Schritte, entspricht jedoch nicht der besten Approximation von 7/6, welches in reiner Stimmung die Differenz zwischen 7/4 und 3/2 ist.

=Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen=
Als Mitglied der [[5n-EDO]]-Familie unterstützt 25-EDO die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. VOn der zehntönigen Blackwood-[[MOS-Skala]] 5L 5s gibt es zwei Varianten: eine mit 4 25-EDO-Schritten (192 Cent) als grösserem und einem Schritt (48 Cent) als kleinerem Intervall und mit 3 Schritten (144 Cent) und 2 Schritten (96 Cent). Bei der ersteren haben die Dur-Dreiklänge die grosse septimale Terz mit 432 Cent, bei der letzteren die gute Terz mit 384 Cent.

[Todo Klangbeispiel]

Neben der hohen Blackwood-Quinte von 720 Cent gibt es noch eine [[Mavila]]-artige, sehr kleine Quinte von 672 Cent, welche, wie auch in [[16-EDO]], eine "antidiatonische" MOS-Skala 2L 5s sowie eine "superdiatonische" MOS-Skala 7L 2s generiert. 

[Todo Klangbeispiel]

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[[EDO|Übersicht EDO]]

[[5n-EDO|Übersicht gleichstufige Tonsysteme mit Vielfachen von 5]]

25-EDO ist das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 25 gleiche Teile geteilt wird. Das Grundintervall von 48 [[Cent]] Grösse ist sehr nah am 50-Cent-Viertelton von [[24-EDO]], doch die harmonischen Eigenschaften von 25-EDO sind ziemlich verschieden.

Hervorstechend ist erst einmal, dass die reine Quinte 3/2 mit rund 18 Cent zu hoch ziemlich schlecht approximiert wird, trotz insgesamt mehr als doppelt so viel Tönen wie [[12-EDO]]. 25-EDO verhält sich hier gleich wie die [[5n-EDO|5n-EDOs]] darunter.

Die Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] hingegen ist mit nur 2 Cent Fehler aussergewöhnlich gut, und auch die der septimalen grossen Terz 9/7 (rund 3 Cent Fehler). Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4 ]] wird mit rund 8 Cent Fehler ebenfalls ordentlich getroffen.

Die Approximation der reinen Intervalle ist im vollen 7-[[Odd-Limit]] allerdings nicht [[konsistent]]: die Approximation der harmonischen Septime  ist 20 25-EDO-Schritte gross, die der reinen Quinte 15 Schritte. Die Differenz, 5 Schritte, entspricht jedoch nicht der besten Approximation von 7/6, welches in reiner Stimmung die Differenz zwischen 7/4 und 3/2 ist.

=Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen=
Als Mitglied der [[5n-EDO]]-Familie unterstützt 25-EDO die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. Von der zehntönigen Blackwood-[[MOS-Skala]] 5L 5s gibt es zwei Varianten: eine mit 4 25-EDO-Schritten (192 Cent) als grösserem und einem Schritt (48 Cent) als kleinerem Intervall und mit 3 Schritten (144 Cent) und 2 Schritten (96 Cent). Bei der ersteren haben die Dur-Dreiklänge die grosse septimale Terz mit 432 Cent, bei der letzteren die gute Terz mit 384 Cent.

[Todo Klangbeispiel]

Neben der hohen Blackwood-Quinte von 720 Cent gibt es noch eine [[Mavila]]-artige, sehr kleine Quinte von 672 Cent, welche, wie auch in [[16-EDO]], eine "antidiatonische" MOS-Skala 2L 5s sowie eine "superdiatonische" MOS-Skala 7L 2s generiert. 

[Todo Klangbeispiel]

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[[EDO|Übersicht EDO]]

[[5n-EDO|Übersicht gleichstufige Tonsysteme mit Vielfachen von 5]]

25-EDO ist das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 25 gleiche Teile geteilt wird. Das Grundintervall von 48 [[Cent]] Grösse ist sehr nah am 50-Cent-Viertelton von [[24-EDO]], doch die harmonischen Eigenschaften von 25-EDO sind ziemlich verschieden.

Hervorstechend ist erst einmal, dass die reine Quinte 3/2 mit rund 18 Cent zu hoch ziemlich schlecht approximiert wird, trotz insgesamt mehr als doppelt so viel Tönen wie [[12-EDO]]. 25-EDO verhält sich hier gleich wie die [[5n-EDO|5n-EDOs]] darunter.

Die Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] hingegen ist mit nur 2 Cent Fehler aussergewöhnlich gut, und auch die der septimalen grossen Terz 9/7 (rund 3 Cent Fehler). Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4 ]] wird mit rund 8 Cent Fehler ebenfalls ordentlich getroffen.

Die Approximation der reinen Intervalle ist im vollen 7-[[Odd-Limit]] allerdings nicht [[konsistent]]: die Approximation der harmonischen Septime  ist 20 25-EDO-Schritte gross, die der reinen Quinte 15 Schritte. Die Differenz, 5 Schritte, entspricht jedoch nicht der besten Approximation von 7/6, welches in reiner Stimmung die Differenz zwischen 7/4 und 3/2 ist.

=Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen=
Als Mitglied der [[5n-EDO]]-Familie unterstützt 25-EDO die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. Von der zehntönigen Blackwood-[[MOS-Skala]] 5L 5s gibt es zwei Varianten: eine mit 4 25-EDO-Schritten (192 Cent) als grösserem und einem Schritt (48 Cent) als kleinerem Intervall und mit 3 Schritten (144 Cent) und 2 Schritten (96 Cent). Bei der ersteren haben die Dur-Dreiklänge die grosse septimale Terz mit 432 Cent, bei der letzteren die gute Terz mit 384 Cent.

[Todo Klangbeispiel]

Mit der guten, minimal herabtemperierten grosse Terz von 384 Cent als Generator unterstützt 25-EDO auch eine Variante der [[Magische Temperaturen|magischen Temperatur]] und verfügt über die entsprechenden MOS-Skalen 3L4s, 3L 7s, 3L 10s etc.

[Todo Klangbeispiel]

Ferner gibt es neben der hohen Blackwood-Quinte von 720 Cent noch eine [[Mavila]]-artige, sehr kleine Quinte von 672 Cent, welche, wie auch in [[16-EDO]], eine "antidiatonische" MOS-Skala 2L 5s sowie eine "superdiatonische" MOS-Skala 7L 2s generiert. 

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[[EDO|Übersicht EDO]]

[[5n-EDO|Übersicht gleichstufige Tonsysteme mit Vielfachen von 5]]

25-EDO ist das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 25 gleiche Teile geteilt wird. Das Grundintervall von 48 [[Cent]] Grösse ist sehr nah am 50-Cent-Viertelton von [[24-EDO]], doch die harmonischen Eigenschaften von 25-EDO sind ziemlich verschieden.

Hervorstechend ist erst einmal, dass die reine Quinte 3/2 mit rund 18 Cent zu hoch ziemlich schlecht approximiert wird, trotz insgesamt mehr als doppelt so viel Tönen wie [[12-EDO]]. 25-EDO verhält sich hier gleich wie die [[5n-EDO|5n-EDOs]] darunter.

Die Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] hingegen ist mit nur 2 Cent Fehler aussergewöhnlich gut, und auch die der septimalen übergrossen Terz 9/7 (rund 3 Cent Fehler). Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4 ]] wird mit rund 8 Cent Fehler ebenfalls ordentlich getroffen.

Die Approximation der reinen Intervalle ist im vollen 7-[[Odd-Limit]] allerdings nicht [[konsistent]]: die Approximation der harmonischen Septime  ist 20 25-EDO-Schritte gross, die der reinen Quinte 15 Schritte. Die Differenz, 5 Schritte, entspricht jedoch nicht der besten Approximation von 7/6, welches in reiner Stimmung die Differenz zwischen 7/4 und 3/2 ist.

=Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen=
Als Mitglied der [[5n-EDO]]-Familie unterstützt 25-EDO die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. Von der zehntönigen Blackwood-[[MOS-Skala]] 5L 5s gibt es zwei Varianten: eine mit 4 25-EDO-Schritten (192 Cent) als grösserem und einem Schritt (48 Cent) als kleinerem Intervall und mit 3 Schritten (144 Cent) und 2 Schritten (96 Cent). Bei der ersteren haben die Dur-Dreiklänge die grosse septimale Terz mit 432 Cent, bei der letzteren die gute Terz mit 384 Cent.

[Todo Klangbeispiel]

Mit der guten, minimal herabtemperierten grosse Terz von 384 Cent als Generator unterstützt 25-EDO auch eine Variante der [[Magische Temperaturen|magischen Temperatur]] und verfügt über die entsprechenden MOS-Skalen 3L4s, 3L 7s, 3L 10s etc.

[Todo Klangbeispiel]

Ferner gibt es neben der hohen Blackwood-Quinte von 720 Cent noch eine [[Mavila]]-artige, sehr kleine Quinte von 672 Cent, welche, wie auch in [[16-EDO]], eine "antidiatonische" MOS-Skala 2L 5s sowie eine "superdiatonische" MOS-Skala 7L 2s generiert. 

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[[EDO|Übersicht EDO]]

[[5n-EDO|Übersicht gleichstufige Tonsysteme mit Vielfachen von 5]]

25-EDO ist das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 25 gleiche Teile geteilt wird. Das Grundintervall von 48 [[Cent]] Grösse ist sehr nah am 50-Cent-Viertelton von [[24-EDO]], doch die harmonischen Eigenschaften von 25-EDO sind ziemlich verschieden.

Hervorstechend ist erst einmal, dass die reine Quinte 3/2 mit rund 18 Cent zu hoch ziemlich schlecht approximiert wird, trotz insgesamt mehr als doppelt so viel Tönen wie [[12-EDO]]. 25-EDO verhält sich hier gleich wie die [[5n-EDO|5n-EDOs]] darunter.

Die Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] hingegen ist mit nur 2 Cent Fehler aussergewöhnlich gut, und auch die der septimalen übergrossen Terz 9/7 (rund 3 Cent Fehler). Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4 ]] wird mit rund 8 Cent Fehler ebenfalls ordentlich getroffen.

Die Approximation der reinen Intervalle ist im vollen 7-[[Odd-Limit]] allerdings nicht [[konsistent]]: die Approximation der harmonischen Septime  ist 20 25-EDO-Schritte gross, die der reinen Quinte 15 Schritte. Die Differenz, 5 Schritte, entspricht jedoch nicht der besten Approximation von 7/6, welches in reiner Stimmung die Differenz zwischen 7/4 und 3/2 ist.

=Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen=
Als Mitglied der [[5n-EDO]]-Familie unterstützt 25-EDO die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. Von der zehntönigen Blackwood-[[MOS-Skala]] 5L 5s gibt es zwei Varianten: eine mit 4 25-EDO-Schritten (192 Cent) als grösserem und einem Schritt (48 Cent) als kleinerem Intervall und mit 3 Schritten (144 Cent) und 2 Schritten (96 Cent). Bei der ersteren haben die Dur-Dreiklänge die übergrosse septimale Terz mit 432 Cent, bei der letzteren die gute Terz mit 384 Cent.

[Todo Klangbeispiel]

Mit der guten, minimal herabtemperierten grosse Terz von 384 Cent als Generator unterstützt 25-EDO auch eine Variante der [[Magische Temperaturen|magischen Temperatur]] und verfügt über die entsprechenden MOS-Skalen 3L4s, 3L 7s, 3L 10s etc.

[Todo Klangbeispiel]

Ferner gibt es neben der hohen Blackwood-Quinte von 720 Cent noch eine [[Mavila]]-artige, sehr kleine Quinte von 672 Cent, welche, wie auch in [[16-EDO]], eine "antidiatonische" MOS-Skala 2L 5s sowie eine "superdiatonische" MOS-Skala 7L 2s generiert. 

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[[EDO|Übersicht EDO]]

[[5n-EDO|Übersicht gleichstufige Tonsysteme mit Vielfachen von 5]]

25-EDO ist das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 25 gleiche Teile geteilt wird. Das Grundintervall von 48 [[Cent]] Grösse ist sehr nah am 50-Cent-Viertelton von [[24-EDO]], doch die harmonischen Eigenschaften von 25-EDO sind ziemlich verschieden.

Hervorstechend ist erst einmal, dass die reine Quinte 3/2 mit rund 18 Cent zu hoch ziemlich schlecht approximiert wird, trotz insgesamt mehr als doppelt so viel Tönen wie [[12-EDO]]. 25-EDO verhält sich hier gleich wie die [[5n-EDO|5n-EDOs]] darunter.

Die Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] hingegen ist mit nur 2 Cent Fehler aussergewöhnlich gut, und auch die der septimalen übergrossen Terz 9/7 (rund 3 Cent Fehler). Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4 ]] wird mit rund 8 Cent Fehler ebenfalls ordentlich getroffen.

Die Approximation der reinen Intervalle ist im vollen 7-[[Odd-Limit]] allerdings nicht [[konsistent]]: die Approximation der harmonischen Septime  ist 20 25-EDO-Schritte gross, die der reinen Quinte 15 Schritte. Die Differenz, 5 Schritte, entspricht jedoch nicht der besten Approximation von 7/6, welches in reiner Stimmung die Differenz zwischen 7/4 und 3/2 ist (die beste Approximation dafür wäre 6S gritted groß)..

=Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen=
Als Mitglied der [[5n-EDO]]-Familie unterstützt 25-EDO die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. Von der zehntönigen Blackwood-[[MOS-Skala]] 5L 5s gibt es zwei Varianten: eine mit 4 25-EDO-Schritten (192 Cent) als grösserem und einem Schritt (48 Cent) als kleinerem Intervall und mit 3 Schritten (144 Cent) und 2 Schritten (96 Cent). Bei der ersteren haben die Dur-Dreiklänge die übergrosse septimale Terz mit 432 Cent, bei der letzteren die gute Terz mit 384 Cent.

[Todo Klangbeispiel]

Mit der guten, minimal herabtemperierten grosse Terz von 384 Cent als Generator unterstützt 25-EDO auch eine Variante der [[Magische Temperaturen|magischen Temperatur]] und verfügt über die entsprechenden MOS-Skalen 3L4s, 3L 7s, 3L 10s etc.

[Todo Klangbeispiel]

Ferner gibt es neben der hohen Blackwood-Quinte von 720 Cent noch eine [[Mavila]]-artige, sehr kleine Quinte von 672 Cent, welche, wie auch in [[16-EDO]], eine "antidiatonische" MOS-Skala 2L 5s sowie eine "superdiatonische" MOS-Skala 7L 2s generiert. 

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[[EDO|Übersicht EDO]]

[[5n-EDO|Übersicht gleichstufige Tonsysteme mit Vielfachen von 5]]

25-EDO ist das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 25 gleiche Teile geteilt wird. Das Grundintervall von 48 [[Cent]] Grösse ist sehr nah am 50-Cent-Viertelton von [[24-EDO]], doch die harmonischen Eigenschaften von 25-EDO sind ziemlich verschieden.

Hervorstechend ist erst einmal, dass die reine Quinte 3/2 mit rund 18 Cent zu hoch ziemlich schlecht approximiert wird, trotz insgesamt mehr als doppelt so viel Tönen wie [[12-EDO]]. 25-EDO verhält sich hier gleich wie die [[5n-EDO|5n-EDOs]] darunter.

Die Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] hingegen ist mit nur 2 Cent Fehler aussergewöhnlich gut, und auch die der septimalen übergrossen Terz 9/7 (rund 3 Cent Fehler). Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4 ]] wird mit rund 8 Cent Fehler ebenfalls ordentlich getroffen.

Die Approximation der reinen Intervalle ist im vollen 7-[[Odd-Limit]] allerdings nicht [[konsistent]]: die Approximation der harmonischen Septime  ist 20 25-EDO-Schritte gross, die der reinen Quinte 15 Schritte. Die Differenz, 5 Schritte, entspricht jedoch nicht der besten Approximation von 7/6, welches in reiner Stimmung die Differenz zwischen 7/4 und 3/2 ist (die beste Approximation dafür wäre 6 Schritte groß).

=Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen=
Als Mitglied der [[5n-EDO]]-Familie unterstützt 25-EDO die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. Von der zehntönigen Blackwood-[[MOS-Skala]] 5L 5s gibt es zwei Varianten: eine mit 4 25-EDO-Schritten (192 Cent) als grösserem und einem Schritt (48 Cent) als kleinerem Intervall und mit 3 Schritten (144 Cent) und 2 Schritten (96 Cent). Bei der ersteren haben die Dur-Dreiklänge die übergrosse septimale Terz mit 432 Cent, bei der letzteren die gute Terz mit 384 Cent.

[Todo Klangbeispiel]

Mit der guten, minimal herabtemperierten grosse Terz von 384 Cent als Generator unterstützt 25-EDO auch eine Variante der [[Magische Temperaturen|magischen Temperatur]] und verfügt über die entsprechenden MOS-Skalen 3L4s, 3L 7s, 3L 10s etc.

[Todo Klangbeispiel]

Ferner gibt es neben der hohen Blackwood-Quinte von 720 Cent noch eine [[Mavila]]-artige, sehr kleine Quinte von 672 Cent, welche, wie auch in [[16-EDO]], eine "antidiatonische" MOS-Skala 2L 5s sowie eine "superdiatonische" MOS-Skala 7L 2s generiert. 

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[[EDO|Übersicht EDO]]

[[5n-EDO|Übersicht gleichstufige Tonsysteme mit Vielfachen von 5]]

25-EDO ist das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 25 gleiche Teile geteilt wird. Das Grundintervall von 48 [[Cent]] Grösse ist sehr nah am 50-Cent-Viertelton von [[24-EDO]], doch die harmonischen Eigenschaften von 25-EDO sind ziemlich verschieden.

Hervorstechend ist erst einmal, dass die reine Quinte 3/2 mit rund 18 Cent zu hoch ziemlich schlecht approximiert wird, trotz insgesamt mehr als doppelt so viel Tönen wie [[12-EDO]]. 25-EDO verhält sich hier gleich wie die [[5n-EDO|5n-EDOs]] darunter.

Die Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] hingegen ist mit nur 2 Cent Fehler aussergewöhnlich gut, und auch die der septimalen übergrossen Terz 9/7 (rund 3 Cent Fehler). Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4 ]] wird mit rund 8 Cent Fehler ebenfalls ordentlich getroffen.

Die Approximation der reinen Intervalle ist im vollen 7-[[Odd-Limit]] allerdings nicht [[konsistent]]: die Approximation der harmonischen Septime  ist 20 25-EDO-Schritte gross, die der reinen Quinte 15 Schritte. Die Differenz, 5 Schritte, entspricht jedoch nicht der besten Approximation von 7/6, welches in reiner Stimmung die Differenz zwischen 7/4 und 3/2 ist (die beste Approximation dafür wäre 6 Schritte groß).

=Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen=
Als Mitglied der [[5n-EDO]]-Familie unterstützt 25-EDO die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. Von der zehntönigen Blackwood-[[MOS-Skala]] 5L 5s gibt es zwei Varianten: eine mit 4 25-EDO-Schritten (192 Cent) als grösserem und einem Schritt (48 Cent) als kleinerem Intervall und mit 3 Schritten (144 Cent) und 2 Schritten (96 Cent). Bei der ersteren haben die Dur-Dreiklänge die übergrosse septimale Terz mit 432 Cent, bei der letzteren die gute Terz mit 384 Cent.

[Todo Klangbeispiel]

Mit der guten, minimal herabtemperierten grossen Terz von 384 Cent als Generator unterstützt 25-EDO auch eine Variante der [[Magische Temperaturen|magischen Temperatur]] und verfügt über die entsprechenden MOS-Skalen 3L4s, 3L 7s, 3L 10s etc.

[Todo Klangbeispiel]

Ferner gibt es neben der hohen Blackwood-Quinte von 720 Cent noch eine [[Mavila]]-artige, sehr kleine Quinte von 672 Cent, welche, wie auch in [[16-EDO]], eine "antidiatonische" MOS-Skala 2L 5s sowie eine "superdiatonische" MOS-Skala 7L 2s generiert. 

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[[EDO|Übersicht EDO]]

[[5n-EDO|Übersicht gleichstufige Tonsysteme mit Vielfachen von 5]]

25-EDO ist das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 25 gleiche Teile geteilt wird. Das Grundintervall von 48 [[Cent]] Grösse ist sehr nah am 50-Cent-Viertelton von [[24-EDO]], doch die harmonischen Eigenschaften von 25-EDO sind ziemlich verschieden.

Hervorstechend ist erst einmal, dass die reine Quinte 3/2 mit rund 18 Cent zu hoch ziemlich schlecht approximiert wird, trotz insgesamt mehr als doppelt so viel Tönen wie [[12-EDO]]. 25-EDO verhält sich hier gleich wie die [[5n-EDO|5n-EDOs]] darunter.

Die Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] hingegen ist mit nur 2 Cent Fehler aussergewöhnlich gut, und auch die der septimalen übergrossen Terz 9/7 (rund 3 Cent Fehler). Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4 ]] wird mit rund 8 Cent Fehler ebenfalls ordentlich getroffen.

Die Approximation der reinen Intervalle ist im vollen 7-[[Odd-Limit]] allerdings nicht [[konsistent]]: die Approximation der harmonischen Septime  ist 20 25-EDO-Schritte gross, die der reinen Quinte 15 Schritte. Die Differenz, 5 Schritte, entspricht jedoch nicht der besten Approximation von 7/6, welches in reiner Stimmung die Differenz zwischen 7/4 und 3/2 ist (die beste Approximation dafür wäre 6 Schritte groß).

=Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen=
==Blackwood==
Als Mitglied der [[5n-EDO]]-Familie unterstützt 25-EDO die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. Von der zehntönigen Blackwood-[[MOS-Skala]] 5L 5s gibt es zwei Varianten: eine mit 4 25-EDO-Schritten (192 Cent) als grösserem und einem Schritt (48 Cent) als kleinerem Intervall und mit 3 Schritten (144 Cent) und 2 Schritten (96 Cent). Bei der ersteren haben die Dur-Dreiklänge die übergrosse septimale Terz mit 432 Cent, bei der letzteren die gute Terz mit 384 Cent.

[[File:UnfairBlackwood 25edo.mp3]] [[:UnfairBlackwood 25edo.mp3|UnfairBlackwood 25edo.mp3]]

"Unfaire" Blackwood-Dur-Skala in 25-EDO-Stimmung

[[File:FairBlackwood 25edo.mp3]] [[:FairBlackwood 25edo.mp3|FairBlackwood 25edo.mp3]]

"Faire" Blackwood-Dur-Skala in 25-EDO-Stimmung
==Magisch==
Mit der guten, minimal herabtemperierten grossen Terz von 384 Cent als Generator unterstützt 25-EDO auch eine Variante der [[Magische Temperaturen|magischen Temperatur]] und verfügt über die entsprechenden MOS-Skalen 3L4s, 3L 7s, 3L 10s etc.

[Todo Klangbeispiel]
==Mavila==
Ferner gibt es neben der hohen Blackwood-Quinte von 720 Cent noch eine [[Mavila]]-artige, sehr kleine Quinte von 672 Cent, welche, wie auch in [[16-EDO]], eine "antidiatonische" MOS-Skala 2L 5s sowie eine "superdiatonische" MOS-Skala 7L 2s generiert. 

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[[EDO|Übersicht EDO]]

[[5n-EDO|Übersicht gleichstufige Tonsysteme mit Vielfachen von 5]]
=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
25-EDO ist das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 25 gleiche Teile geteilt wird. Das Grundintervall von 48 [[Cent]] Grösse ist sehr nah am 50-Cent-Viertelton von [[24-EDO]], doch die harmonischen Eigenschaften von 25-EDO sind ziemlich verschieden.

Hervorstechend ist erst einmal, dass die reine Quinte 3/2 mit rund 18 Cent zu hoch ziemlich schlecht approximiert wird, trotz insgesamt mehr als doppelt so viel Tönen wie [[12-EDO]]. 25-EDO verhält sich hier gleich wie die [[5n-EDO|5n-EDOs]] darunter.

Die Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] hingegen ist mit nur 2 Cent Fehler aussergewöhnlich gut, und auch die der septimalen übergrossen Terz 9/7 (rund 3 Cent Fehler). Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4 ]] wird mit rund 8 Cent Fehler ebenfalls ordentlich getroffen.

Die Approximation der reinen Intervalle ist im vollen 7-[[Odd-Limit]] allerdings nicht [[konsistent]]: die Approximation der harmonischen Septime  ist 20 25-EDO-Schritte gross, die der reinen Quinte 15 Schritte. Die Differenz, 5 Schritte, entspricht jedoch nicht der besten Approximation von 7/6, welches in reiner Stimmung die Differenz zwischen 7/4 und 3/2 ist (die beste Approximation dafür wäre 6 Schritte groß).

=Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen=
==Blackwood==
Als Mitglied der [[5n-EDO]]-Familie unterstützt 25-EDO die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. Von der zehntönigen Blackwood-[[MOS-Skala]] 5L 5s gibt es zwei Varianten: eine mit 4 25-EDO-Schritten (192 Cent) als grösserem und einem Schritt (48 Cent) als kleinerem Intervall und mit 3 Schritten (144 Cent) und 2 Schritten (96 Cent). Bei der ersteren haben die Dur-Dreiklänge die übergrosse septimale Terz mit 432 Cent, bei der letzteren die gute Terz mit 384 Cent.

[[File:UnfairBlackwood 25edo.mp3]] [[:UnfairBlackwood 25edo.mp3|UnfairBlackwood 25edo.mp3]]

"Unfaire" Blackwood-Dur-Skala in 25-EDO-Stimmung

[[File:FairBlackwood 25edo.mp3]] [[:FairBlackwood 25edo.mp3|FairBlackwood 25edo.mp3]]

"Faire" Blackwood-Dur-Skala in 25-EDO-Stimmung
==Magisch==
Mit der guten, minimal herabtemperierten grossen Terz von 384 Cent als Generator unterstützt 25-EDO auch eine Variante der [[Magische Temperaturen|magischen Temperatur]] und verfügt über die entsprechenden MOS-Skalen 3L4s, 3L 7s, 3L 10s etc.

[Todo Klangbeispiel]
==Mavila==
Ferner gibt es neben der hohen Blackwood-Quinte von 720 Cent noch eine [[Mavila]]-artige, sehr kleine Quinte von 672 Cent, welche, wie auch in [[16-EDO]], eine "antidiatonische" MOS-Skala 2L 5s sowie eine "superdiatonische" MOS-Skala 7L 2s generiert. 

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[[EDO|Übersicht EDO]]

[[5n-EDO|Übersicht gleichstufige Tonsysteme mit Vielfachen von 5]]
=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
25-EDO ist das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 25 gleiche Teile geteilt wird. Das Grundintervall von 48 [[Cent]] Grösse ist sehr nah am 50-Cent-Viertelton von [[24-EDO]], doch die harmonischen Eigenschaften von 25-EDO sind ziemlich verschieden.

Hervorstechend ist erst einmal, dass die reine Quinte 3/2 mit rund 18 Cent zu hoch ziemlich schlecht approximiert wird, trotz insgesamt mehr als doppelt so viel Tönen wie [[12-EDO]]. 25-EDO verhält sich hier gleich wie die [[5n-EDO|5n-EDOs]] darunter.

Die Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] hingegen ist mit nur 2 Cent Fehler aussergewöhnlich gut, und auch die der septimalen übergrossen Terz 9/7 (rund 3 Cent Fehler). Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4 ]] wird mit rund 8 Cent Fehler ebenfalls ordentlich getroffen.

Die Approximation der reinen Intervalle ist im vollen 7-[[Odd-Limit]] allerdings nicht [[konsistent]]: die Approximation der harmonischen Septime  ist 20 25-EDO-Schritte gross, die der reinen Quinte 15 Schritte. Die Differenz, 5 Schritte, entspricht jedoch nicht der besten Approximation von 7/6, welches in reiner Stimmung die Differenz zwischen 7/4 und 3/2 ist (die beste Approximation dafür wäre 6 Schritte groß).

=Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen=
==Blackwood==
Als Mitglied der [[5n-EDO]]-Familie unterstützt 25-EDO die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. Von der zehntönigen Blackwood-[[MOS-Skala]] 5L 5s gibt es zwei Varianten: eine mit 4 25-EDO-Schritten (192 Cent) als grösserem und einem Schritt (48 Cent) als kleinerem Intervall und mit 3 Schritten (144 Cent) und 2 Schritten (96 Cent). Bei der ersteren haben die Dur-Dreiklänge die übergrosse septimale Terz mit 432 Cent, bei der letzteren die gute Terz mit 384 Cent.

[[File:UnfairBlackwood 25edo.mp3]] [[:UnfairBlackwood 25edo.mp3|UnfairBlackwood 25edo.mp3]]

"Unfaire" Blackwood-Dur-Skala in 25-EDO-Stimmung

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"Faire" Blackwood-Dur-Skala in 25-EDO-Stimmung
==Magisch==
Mit der guten, minimal herabtemperierten grossen Terz von 384 Cent als Generator unterstützt 25-EDO auch eine Variante der [[Magische Temperaturen|magischen Temperatur]] und verfügt über die entsprechenden MOS-Skalen 3L4s, 3L 7s, 3L 10s etc.

[Todo Klangbeispiel]
==Mavila==
Ferner gibt es neben der hohen Blackwood-Quinte von 720 Cent noch eine [[Mavila]]-artige, sehr kleine Quinte von 672 Cent, welche, wie die in [[16-EDO]], eine "antidiatonische" MOS-Skala 2L 5s sowie eine "superdiatonische" MOS-Skala 7L 2s generiert. 

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[[EDO|Übersicht EDO]]

[[5n-EDO|Übersicht gleichstufige Tonsysteme mit Vielfachen von 5]]
=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
25-EDO ist das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 25 gleiche Teile geteilt wird. Das Grundintervall von 48 [[Cent]] Grösse ist sehr nah am 50-Cent-Viertelton von [[24-EDO]], doch die harmonischen Eigenschaften von 25-EDO sind ziemlich verschieden.

Hervorstechend ist erst einmal, dass die reine Quinte 3/2 mit rund 18 Cent zu hoch ziemlich schlecht approximiert wird, trotz insgesamt mehr als doppelt so viel Tönen wie [[12-EDO]]. 25-EDO verhält sich hier gleich wie die [[5n-EDO|5n-EDOs]] darunter.

Die Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] hingegen ist mit nur 2 Cent Fehler aussergewöhnlich gut, und auch die der septimalen übergrossen Terz 9/7 (rund 3 Cent Fehler). Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4 ]] wird mit rund 8 Cent Fehler ebenfalls ordentlich getroffen.

Die Approximation der reinen Intervalle ist im vollen 7-[[Odd-Limit]] allerdings nicht [[konsistent]]: die Approximation der harmonischen Septime  ist 20 25-EDO-Schritte gross, die der reinen Quinte 15 Schritte. Die Differenz, 5 Schritte, entspricht jedoch nicht der besten Approximation von 7/6, welches in reiner Stimmung die Differenz zwischen 7/4 und 3/2 ist (die beste Approximation dafür wäre 6 Schritte groß).

=Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen=
==Blackwood==
Als Mitglied der [[5n-EDO]]-Familie unterstützt 25-EDO die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. Von der zehntönigen Blackwood-[[MOS-Skala]] 5L 5s gibt es zwei Varianten: eine mit 4 25-EDO-Schritten (192 Cent) als grösserem und einem Schritt (48 Cent) als kleinerem Intervall und mit 3 Schritten (144 Cent) und 2 Schritten (96 Cent). Bei der ersteren haben die Dur-Dreiklänge die übergrosse septimale Terz mit 432 Cent, bei der letzteren die gute Terz mit 384 Cent.

[[File:UnfairBlackwood 25edo.mp3]]

"Unfaire" Blackwood-Dur-Skala in 25-EDO-Stimmung

[[File:FairBlackwood 25edo.mp3]]

"Faire" Blackwood-Dur-Skala in 25-EDO-Stimmung

==Magisch==
Mit der guten, minimal herabtemperierten grossen Terz von 384 Cent als Generator unterstützt 25-EDO auch eine Variante der [[Magische Temperaturen|magischen Temperatur]] und verfügt über die entsprechenden MOS-Skalen 3L4s, 3L 7s, 3L 10s etc.

[Todo Klangbeispiel]
==Mavila==
Ferner gibt es neben der hohen Blackwood-Quinte von 720 Cent noch eine [[Mavila]]-artige, sehr kleine Quinte von 672 Cent, welche, wie die in [[16-EDO]], eine "antidiatonische" MOS-Skala 2L 5s sowie eine "superdiatonische" MOS-Skala 7L 2s generiert. 

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[[EDO|Übersicht EDO]]

[[5n-EDO|Übersicht gleichstufige Tonsysteme mit Vielfachen von 5]]
=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
25-EDO ist das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 25 gleiche Teile geteilt wird. Das Grundintervall von 48 [[Cent]] Grösse ist sehr nah am 50-Cent-Viertelton von [[24-EDO]], doch die harmonischen Eigenschaften von 25-EDO sind ziemlich verschieden.

Hervorstechend ist erst einmal, dass die reine Quinte 3/2 mit rund 18 Cent zu hoch ziemlich schlecht approximiert wird, trotz insgesamt mehr als doppelt so viel Tönen wie [[12-EDO]]. 25-EDO verhält sich hier gleich wie die [[5n-EDO|5n-EDOs]] darunter.

Die Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] hingegen ist mit nur 2 Cent Fehler aussergewöhnlich gut, und auch die der septimalen übergrossen Terz 9/7 (rund 3 Cent Fehler). Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4 ]] wird mit rund 8 Cent Fehler ebenfalls ordentlich getroffen.

Die Approximation der reinen Intervalle ist im vollen 7-[[Odd-Limit]] allerdings nicht [[konsistent]]: die Approximation der harmonischen Septime  ist 20 25-EDO-Schritte gross, die der reinen Quinte 15 Schritte. Die Differenz, 5 Schritte, entspricht jedoch nicht der besten Approximation von 7/6, welches in reiner Stimmung die Differenz zwischen 7/4 und 3/2 ist - die beste Approximation dafür wäre 6 Schritte groß.

=Reguläre Temperaturen, MOS-Skalen=
==Blackwood==
Als Mitglied der [[5n-EDO]]-Familie unterstützt 25-EDO die [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]]-Temperatur. Von der zehntönigen Blackwood-[[MOS-Skala]] 5L 5s gibt es zwei Varianten: eine mit 4 25-EDO-Schritten (192 Cent) als grösserem und einem Schritt (48 Cent) als kleinerem Intervall und mit 3 Schritten (144 Cent) und 2 Schritten (96 Cent). Bei der ersteren haben die Dur-Dreiklänge die übergrosse septimale Terz mit 432 Cent, bei der letzteren die gute Terz mit 384 Cent.

[[File:UnfairBlackwood 25edo.mp3]]

"Unfaire" Blackwood-Dur-Skala in 25-EDO-Stimmung

[[File:FairBlackwood 25edo.mp3]]

"Faire" Blackwood-Dur-Skala in 25-EDO-Stimmung

==Magisch==
Mit der guten, minimal herabtemperierten grossen Terz von 384 Cent als Generator unterstützt 25-EDO auch eine Variante der [[Magische Temperaturen|magischen Temperatur]] und verfügt über die entsprechenden MOS-Skalen 3L4s, 3L 7s, 3L 10s etc.

[Todo Klangbeispiel]
==Mavila==
Ferner gibt es neben der hohen Blackwood-Quinte von 720 Cent noch eine [[Mavila]]-artige, sehr kleine Quinte von 672 Cent, welche, wie die in [[16-EDO]], eine "antidiatonische" MOS-Skala 2L 5s sowie eine "superdiatonische" MOS-Skala 7L 2s generiert. 

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[[Mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die Sechstelkomma-mitteltönige Stimmung unterteilt das [[81/80|syntonische Komma (81/80)]] in sechs gleiche Teile von je ca. 3.584 [[Cent]] und verkleinert alle reinen Quinten um diesen Betrag. Die temperierten Quinten sind 698.371 Cent gross, und die temperierten grosse Terzen 393.484 Cent - etwa 7 Cent (ein Drittel des syntonischen Kommas) höher als die reine Variante, aber immer noch deutlich konsonanter als die [[81/64|pythagoräische grosse Terz]]. Sie liegt fast genau zwischen der reinen Naturterz (386.31 Cent) und der grossen Terz der Standardstimmung [[12-EDO]] (letztere kann man als Zwölftelkomma-mitteltönig ansehen).

Übereinanderschichten von sechs temperierten Quinten führt oktavbereinigt zum Interval 45/32, dem diatonischen Tritonus, welcher aus der Konbination eines grossen Ganzton 9/8 und einer reinen grossen Terz 5/4 gebildet wird. Das Intervall 45/32 wird in der Sechstelkomma-mitteltönigen Temperatur also rein gestimmt.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche nahe an der Sechstelkomma-mitteltönigen Temperatur sind, sind [[55-EDO]] und [[67-EDO]].

 
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

[[Mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die Sechstelkomma-mitteltönige Stimmung unterteilt das [[81/80|syntonische Komma (81/80)]] in sechs gleiche Teile von je ca. 3.584 [[Cent]] und verkleinert alle reinen Quinten um diesen Betrag. Die temperierten Quinten sind 698.371 Cent gross, und die temperierten grosse Terzen 393.484 Cent - etwa 7 Cent (ein Drittel des syntonischen Kommas) höher als die reine Variante, aber immer noch deutlich konsonanter als die [[81/64|pythagoräische grosse Terz]]. Sie liegt fast genau zwischen der reinen Naturterz (386.31 Cent) und der grossen Terz der Standardstimmung [[12-EDO]] (letztere kann man als Zwölftelkomma-mitteltönig ansehen).

Übereinanderschichten von sechs temperierten Quinten führt oktavbereinigt zum Interval 45/32, dem diatonischen Tritonus, welcher aus der Konbination eines grossen Ganzton 9/8 und einer reinen grossen Terz 5/4 gebildet wird. Das Intervall 45/32 wird in der Sechstelkomma-mitteltönigen Temperatur also rein gestimmt.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche nahe an der Sechstelkomma-mitteltönigen Temperatur sind, sind [[55-EDO]] und [[67-EDO]].

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[[Mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die Sechstelkomma-mitteltönige Stimmung unterteilt das [[81/80|syntonische Komma (81/80)]] in sechs gleiche Teile von je ca. 3.584 [[Cent]] und verkleinert alle reinen Quinten um diesen Betrag. Die temperierten Quinten sind 698.371 Cent gross, und die temperierten grosse Terzen 393.484 Cent - etwa 7 Cent (ein Drittel des syntonischen Kommas) höher als die reine Variante, aber immer noch deutlich konsonanter als die [[81/64|pythagoräische grosse Terz]]. Sie liegt fast genau zwischen der reinen Naturterz (386.31 Cent) und der grossen Terz der Standardstimmung [[12-EDO]] (letztere kann man als Zwölftelkomma-mitteltönig ansehen).

Übereinanderschichten von sechs temperierten Quinten führt oktavbereinigt zum Interval 45/32, dem diatonischen Tritonus, welcher aus der Konbination eines grossen Ganzton 9/8 und einer reinen grossen Terz 5/4 gebildet wird. Das Intervall 45/32 wird in der Sechstelkomma-mitteltönigen Temperatur also rein gestimmt.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche nahe an der Sechstelkomma-mitteltönigen Temperatur liegen, sind [[55-EDO]] und [[67-EDO]].

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[[Mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die Sechstelkomma-mitteltönige Stimmung unterteilt das [[81/80|syntonische Komma (81/80)]] in sechs gleiche Teile von je ca. 3.584 [[Cent]] und verkleinert alle reinen Quinten um diesen Betrag. Die temperierten Quinten sind 698.371 Cent gross, und die temperierten grosse Terzen 393.484 Cent - etwa 7 Cent (ein Drittel des syntonischen Kommas) höher als die reine Variante, aber immer noch deutlich konsonanter als die [[81/64|pythagoräische grosse Terz]]. Sie liegt fast genau zwischen der reinen Naturterz (386.31 Cent) und der grossen Terz der Standardstimmung [[12-EDO]] (letztere kann man als Zwölftelkomma-mitteltönig ansehen).

Übereinanderschichten von sechs temperierten Quinten führt oktavbereinigt zum Interval 45/32, dem diatonischen Tritonus, welcher aus der Konbination eines grossen Ganzton 9/8 und einer reinen grossen Terz 5/4 gebildet wird. Das Intervall 45/32 wird in der Sechstelkomma-mitteltönigen Temperatur also rein gestimmt.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche nahe an der Sechstelkomma-mitteltönigen Temperatur liegen, sind [[55-EDO]] und [[67-EDO]].

[ToDo Historische Bedeutung: zu Mozarts Zeiten]</text>
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Die Sechstelkomma-mitteltönige Stimmung unterteilt das [[81/80|syntonische Komma (81/80)]] in sechs gleiche Teile von je ca. 3.584 [[Cent]] und verkleinert alle reinen Quinten um diesen Betrag. Die temperierten Quinten sind 698.371 Cent gross, und die temperierten grossen Terzen 393.484 Cent - etwa 7 Cent (ein Drittel des syntonischen Kommas) höher als die reine Variante, aber immer noch deutlich konsonanter als die [[81/64|pythagoräische grosse Terz]]. Sie liegt fast genau zwischen der reinen Naturterz (386.31 Cent) und der grossen Terz der Standardstimmung [[12-EDO]] (letztere kann man als Zwölftelkomma-mitteltönig ansehen).

Übereinanderschichten von sechs temperierten Quinten führt oktavbereinigt zum Interval 45/32, dem diatonischen Tritonus, welcher aus der Konbination eines grossen Ganzton 9/8 und einer reinen grossen Terz 5/4 gebildet wird. Das Intervall 45/32 wird in der Sechstelkomma-mitteltönigen Temperatur also rein gestimmt.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche nahe an der Sechstelkomma-mitteltönigen Temperatur liegen, sind [[55-EDO]] und [[67-EDO]].

[ToDo Historische Bedeutung: zu Mozarts Zeiten]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

[[Mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die Sechstelkomma-mitteltönige Stimmung unterteilt das [[81/80|syntonische Komma (81/80)]] in sechs gleiche Teile von je ca. 3.584 [[Cent]] und verkleinert alle reinen Quinten um diesen Betrag. Die temperierten Quinten sind 698.371 Cent gross, und die temperierten grossen Terzen 393.484 Cent - etwa 7 Cent (ein Drittel des syntonischen Kommas) höher als die reine Variante, aber immer noch deutlich konsonanter als die [[81/64|pythagoräische grosse Terz]]. Die Sechstelkomma-mitteltönig temperierte grosse Terz liegt fast genau zwischen der reinen Naturterz (386.31 Cent) und der grossen Terz der Standardstimmung [[12-EDO]] (letztere kann man als Zwölftelkomma-mitteltönig ansehen).

Übereinanderschichten von sechs temperierten Quinten führt oktavbereinigt zum Interval 45/32, dem diatonischen Tritonus, welcher aus der Konbination eines grossen Ganzton 9/8 und einer reinen grossen Terz 5/4 gebildet wird. Das Intervall 45/32 wird in der Sechstelkomma-mitteltönigen Temperatur also rein gestimmt.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche nahe an der Sechstelkomma-mitteltönigen Temperatur liegen, sind [[55-EDO]] und [[67-EDO]].

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

[[Mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die Sechstelkomma-mitteltönige Stimmung unterteilt das [[81/80|syntonische Komma (81/80)]] in sechs gleiche Teile von je ca. 3.584 [[Cent]] und verkleinert alle reinen Quinten um diesen Betrag. Die temperierten Quinten sind 698.371 Cent gross, und die temperierten grossen Terzen 393.484 Cent - etwa 7 Cent (ein Drittel des syntonischen Kommas) höher als die reine Variante, aber immer noch deutlich konsonanter als die [[81/64|pythagoräische grosse Terz]]. Die Sechstelkomma-mitteltönig temperierte grosse Terz liegt fast genau zwischen der reinen Naturterz (386.31 Cent) und der grossen Terz der Standardstimmung [[12-EDO]] (letztere kann man als Zwölftelkomma-mitteltönig ansehen).

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[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche nahe an der Sechstelkomma-mitteltönigen Temperatur liegen, sind [[55-EDO]] und [[67-EDO]].

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

[[Mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die Sechstelkomma-mitteltönige oder sechstelmitteltönige Stimmung unterteilt das [[81/80|syntonische Komma (81/80)]] in sechs gleiche Teile von je ca. 3.584 [[Cent]] und verkleinert alle reinen Quinten um diesen Betrag. Die temperierten Quinten sind 698.371 Cent gross, und die temperierten grossen Terzen 393.484 Cent - etwa 7 Cent (ein Drittel des syntonischen Kommas) höher als die reine Variante, aber immer noch deutlich konsonanter als die [[81/64|pythagoräische grosse Terz]]. Die sechstelmitteltönig temperierte grosse Terz liegt fast genau zwischen der reinen Naturterz (386.31 Cent) und der grossen Terz der Standardstimmung [[12-EDO]] (letztere kann man als Zwölftelkomma-mitteltönig ansehen).

Übereinanderschichten von sechs temperierten Quinten führt oktavbereinigt zum Interval 45/32, dem diatonischen Tritonus, welcher aus der Kombination eines grossen Ganzton 9/8 und einer reinen grossen Terz 5/4 gebildet wird. Das Intervall 45/32 wird in der sechstelmitteltönigen Temperatur also rein gestimmt.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche nahe an der sechstelmitteltönige Temperatur liegen, sind [[55-EDO]] und [[67-EDO]].

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

[[Mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die '''Sechstelkomma-mitteltönige''' oder '''sechstelmitteltönige''' Stimmung unterteilt das [[81/80|syntonische Komma (81/80)]] in sechs gleiche Teile von je ca. 3.584 [[Cent]] und verkleinert alle reinen Quinten um diesen Betrag. Die temperierten Quinten sind 698.371 Cent gross, und die temperierten grossen Terzen 393.484 Cent - etwa 7 Cent (ein Drittel des syntonischen Kommas) höher als die reine Variante, aber immer noch deutlich konsonanter als die [[81/64|pythagoräische grosse Terz]]. Die sechstelmitteltönig temperierte grosse Terz liegt fast genau zwischen der reinen Naturterz (386.31 Cent) und der grossen Terz der Standardstimmung [[12-EDO]] (letztere kann man als Zwölftelkomma-mitteltönig ansehen).

Übereinanderschichten von sechs temperierten Quinten führt oktavbereinigt zum Interval 45/32, dem diatonischen Tritonus, welcher aus der Kombination eines grossen Ganzton 9/8 und einer reinen grossen Terz 5/4 gebildet wird. Das Intervall 45/32 wird in der sechstelmitteltönigen Temperatur also rein gestimmt.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche nahe an der sechstelmitteltönige Temperatur liegen, sind [[55-EDO]] und [[67-EDO]].

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

[[Mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die '''Sechstelkomma-mitteltönige''' oder '''sechstelmitteltönige''' Stimmung unterteilt das [[81/80|syntonische Komma (81/80)]] in sechs gleiche Teile von je ca. 3.584 [[Cent]] und verkleinert alle reinen Quinten um diesen Betrag. Die temperierten Quinten sind 698.371 Cent gross, und die temperierten grossen Terzen 393.484 Cent - etwa 7 Cent (ein Drittel des syntonischen Kommas) höher als die reine Variante, aber immer noch deutlich konsonanter als die [[81/64|pythagoräische grosse Terz]]. Die sechstelmitteltönig temperierte grosse Terz liegt fast genau zwischen der reinen Naturterz (386.31 Cent) und der 400 Cent grossen Terz der Standardstimmung [[12-EDO]] (letztere kann man als Zwölftelkomma-mitteltönig ansehen).

Übereinanderschichten von sechs temperierten Quinten führt oktavbereinigt zum Interval 45/32, dem diatonischen Tritonus, welcher aus der Kombination eines grossen Ganzton 9/8 und einer reinen grossen Terz 5/4 gebildet wird. Das Intervall 45/32 wird in der sechstelmitteltönigen Temperatur also rein gestimmt.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche nahe an der sechstelmitteltönige Temperatur liegen, sind [[55-EDO]] und [[67-EDO]].

[ToDo Historische Bedeutung: zu Mozarts Zeiten]</text>
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[[Mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die '''Sechstelkomma-mitteltönige''' oder '''sechstelmitteltönige''' Stimmung unterteilt das [[81/80|syntonische Komma (81/80)]] in sechs gleiche Teile von je ca. 3.584 [[Cent]] und verkleinert alle reinen Quinten um diesen Betrag. Die temperierten Quinten sind 698.371 Cent gross, und die temperierten grossen Terzen 393.484 Cent - etwa 7 Cent (ein Drittel des syntonischen Kommas) höher als die reine Variante, aber immer noch deutlich konsonanter als die [[81/64|pythagoräische grosse Terz]]. Die sechstelmitteltönig temperierte grosse Terz liegt fast genau zwischen der reinen Naturterz (386.31 Cent) und der 400 Cent grossen Terz der Standardstimmung [[12-EDO]] (letztere kann man als Zwölftelkomma-mitteltönig ansehen).

Übereinanderschichten von sechs temperierten Quinten führt oktavbereinigt zum Interval 45/32, dem diatonischen Tritonus, welcher aus der Kombination eines grossen Ganzton 9/8 und einer reinen grossen Terz 5/4 gebildet wird. Das Intervall 45/32 wird in der sechstelmitteltönigen Temperatur also rein gestimmt.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche nahe an der sechstelmitteltönige Temperatur liegen, sind [[55-EDO]] und [[67-EDO]].</text>
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[[Mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die '''Sechstelkomma-mitteltönige''' oder '''sechstelmitteltönige''' Stimmung unterteilt das [[81/80|syntonische Komma (81/80)]] in sechs gleiche Teile von je ca. 3.584 [[Cent]] und verkleinert alle reinen Quinten um diesen Betrag. Die temperierten Quinten sind 698.371 Cent gross, und die temperierten grossen Terzen 393.484 Cent - etwa 7 Cent (ein Drittel des syntonischen Kommas) höher als die reine Variante, aber immer noch deutlich konsonanter als die [[81/64|pythagoräische grosse Terz]]. Die sechstelmitteltönig temperierte grosse Terz liegt fast genau zwischen der reinen Naturterz (386.31 Cent) und der 400 Cent grossen Terz der Standardstimmung [[12-EDO]] (letztere kann man als Zwölftelkomma-mitteltönig ansehen).

Übereinanderschichten von sechs temperierten Quinten führt oktavbereinigt zum Interval 45/32, dem diatonischen Tritonus, welcher aus der Kombination eines grossen Ganzton 9/8 und einer reinen grossen Terz 5/4 gebildet wird. Das Intervall 45/32 wird in der sechstelmitteltönigen Temperatur also rein gestimmt. Die sechstelmitteltönige Temperatur wird deshalb manchmal auch '''tritonische Temperatur''' (englisch tritonic temperament) genannt.

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[[Mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die '''Sechstelkomma-mitteltönige''' oder '''sechstelmitteltönige''' Stimmung unterteilt das [[81/80|syntonische Komma (81/80)]] in sechs gleiche Teile von je ca. 3.584 [[Cent]] und verkleinert alle reinen Quinten um diesen Betrag. Die temperierten Quinten sind 698.371 Cent gross, und die temperierten grossen Terzen 393.484 Cent - etwa 7 Cent (ein Drittel des syntonischen Kommas) höher als die reine Variante, aber immer noch deutlich konsonanter als die [[81/64|pythagoräische grosse Terz]]. Die sechstelmitteltönig temperierte grosse Terz liegt fast genau zwischen der reinen Naturterz (386.31 Cent) und der 400 Cent grossen Terz der Standardstimmung [[12-EDO]] (letztere kann man als Zwölftelkomma-mitteltönig ansehen).

Übereinanderschichten von sechs temperierten Quinten führt oktavbereinigt zum Interval 45/32, dem diatonischen Tritonus, welcher aus der Kombination eines grossen Ganzton 9/8 und einer reinen grossen Terz 5/4 gebildet wird. Das Intervall 45/32 wird in der sechstelmitteltönigen Temperatur also rein gestimmt. Die sechstelmitteltönige Temperatur wird deshalb manchmal auch '''tritonische Temperatur''' (englisch tritonic temperament) genannt.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche nahe an der sechstelmitteltönige Temperatur liegen, sind [[55-EDO]] und [[67-EDO]].

Wie viele mitteltönige Stimmungssysteme hat auch die sechstelmitteltönige Temperatur eine gewisse historische Bedeutung: in der Periode des Barock und der Frühklassik wurde sie von manchen als optimal angesehen, so von [https://de.wikipedia.org/wiki/Leopold_Mozart Leopold Mozart] oder auch vom Komponisten [https://de.wikipedia.org/wiki/Georg_Philipp_Telemann#Musiktheoretische_und_musikp%C3%A4dagogische_Werke Georg Philipp Telemann], welcher 55-EDO als Tonsystem vorgeschlagen hat.</text>
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Die '''Sechstelkomma-mitteltönige''' oder '''sechstelmitteltönige''' Stimmung unterteilt das [[81/80|syntonische Komma (81/80)]] in sechs gleiche Teile von je ca. 3.584 [[Cent]] und verkleinert alle reinen Quinten um diesen Betrag. Die temperierten Quinten sind 698.371 Cent gross, und die temperierten grossen Terzen 393.484 Cent - etwa 7 Cent (ein Drittel des syntonischen Kommas) höher als die reine Variante, aber immer noch deutlich konsonanter als die [[81/64|pythagoräische grosse Terz]]. Die sechstelmitteltönig temperierte grosse Terz liegt fast genau zwischen der reinen Naturterz (386.31 Cent) und der 400 Cent grossen Terz der Standardstimmung [[12-EDO]] (letztere kann man als Zwölftelkomma-mitteltönig ansehen).

Übereinanderschichten von sechs temperierten Quinten führt oktavbereinigt zum Interval 45/32, dem diatonischen Tritonus, welcher aus der Kombination eines grossen Ganzton 9/8 und einer reinen grossen Terz 5/4 gebildet wird. Das Intervall 45/32 wird in der sechstelmitteltönigen Temperatur also rein gestimmt. Die sechstelmitteltönige Temperatur wird deshalb manchmal auch '''tritonische Temperatur''' (englisch tritonic temperament) genannt.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche nahe an der sechstelmitteltönige Temperatur liegen, sind [[55-EDO]] und [[67-EDO]].

Wie viele mitteltönige Stimmungssysteme hat auch die sechstelmitteltönige Temperatur eine gewisse historische Bedeutung: in der Periode des Barock und der Frühklassik wurde sie von manchen als optimal angesehen, so von [https://de.wikipedia.org/wiki/Leopold_Mozart Leopold Mozart] oder auch vom Komponisten [https://de.wikipedia.org/wiki/Georg_Philipp_Telemann#Musiktheoretische_und_musikp%C3%A4dagogische_Werke Georg Philipp Telemann], welcher 55-EDO als Tonsystem vorgeschlagen hat. Der Unterschied zwischen diatonischem und chromatischem Halbton ist in der sechstelmitteltönigen Stimmung gerade etwa ein syntonisches Komma (d. h. Dis ist etwa ein syntonisches Komma niedriger als Es). Zur Zeit von Mozart&lt;ref&gt;Chesnut, John (1977) ''Mozart's Teaching of Intonation'', '''Journal of the American Musicological Society''' Vol. 30, No. 2 (Summer, 1977), pp. 254-271 (Published By: University of California Press) [https://doi.org/10.2307/831219 doi.org/10.2307/831219], [http://www.jstor.org/stable/831219 https://www.jstor.org/stable/831219]&lt;/ref&gt; wurde dieses Verhältnis von diatonischem und chromatischem Halbton von manchen als optimal angesehen.
== Referenzen ==
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[[Mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die '''Sechstelkomma-mitteltönige''' oder '''sechstelmitteltönige''' Stimmung unterteilt das [[81/80|syntonische Komma (81/80)]] in sechs gleiche Teile von je ca. 3.584 [[Cent]] und verkleinert alle reinen Quinten um diesen Betrag. Die temperierten Quinten sind 698.371 Cent gross, und die temperierten grossen Terzen 393.484 Cent - etwa 7 Cent (ein Drittel des syntonischen Kommas) höher als die reine Variante, aber immer noch deutlich konsonanter als die [[81/64|pythagoräische grosse Terz]]. Die sechstelmitteltönig temperierte grosse Terz liegt fast genau zwischen der reinen Naturterz (386.31 Cent) und der 400 Cent grossen Terz der Standardstimmung [[12-EDO]] (letztere kann man als Zwölftelkomma-mitteltönig ansehen).

Übereinanderschichten von sechs temperierten Quinten führt oktavbereinigt zum Interval 45/32, dem diatonischen Tritonus, welcher aus der Kombination eines grossen Ganzton 9/8 und einer reinen grossen Terz 5/4 gebildet wird. Das Intervall 45/32 wird in der sechstelmitteltönigen Temperatur also rein gestimmt. Die sechstelmitteltönige Temperatur wird deshalb manchmal auch '''tritonische Temperatur''' (englisch tritonic temperament) genannt.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche nahe an der sechstelmitteltönigen Temperatur liegen, sind [[55-EDO]] und [[67-EDO]].

Wie viele mitteltönige Stimmungssysteme hat auch die sechstelmitteltönige Temperatur eine gewisse historische Bedeutung: in der Periode des Barock und der Frühklassik wurde sie von manchen als optimal angesehen, so von [https://de.wikipedia.org/wiki/Leopold_Mozart Leopold Mozart] oder auch vom Komponisten [https://de.wikipedia.org/wiki/Georg_Philipp_Telemann#Musiktheoretische_und_musikp%C3%A4dagogische_Werke Georg Philipp Telemann], welcher 55-EDO als Tonsystem vorgeschlagen hat. Der Unterschied zwischen diatonischem und chromatischem Halbton ist in der sechstelmitteltönigen Stimmung gerade etwa ein syntonisches Komma (d. h. Dis ist etwa ein syntonisches Komma niedriger als Es). Zur Zeit von Mozart&lt;ref&gt;Chesnut, John (1977) ''Mozart's Teaching of Intonation'', '''Journal of the American Musicological Society''' Vol. 30, No. 2 (Summer, 1977), pp. 254-271 (Published By: University of California Press) [https://doi.org/10.2307/831219 doi.org/10.2307/831219], [http://www.jstor.org/stable/831219 https://www.jstor.org/stable/831219]&lt;/ref&gt; wurde dieses Verhältnis von diatonischem und chromatischem Halbton von manchen als optimal angesehen.

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

[[Mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die '''Sechstelkomma-mitteltönige''' oder '''sechstelmitteltönige''' Stimmung unterteilt das [[81/80|syntonische Komma (81/80)]] in sechs gleiche Teile von je ca. 3.584 [[Cent]] und verkleinert alle reinen Quinten um diesen Betrag. Die temperierten Quinten sind 698.371 Cent gross, und die temperierten grossen Terzen 393.484 Cent - etwa 7 Cent (ein Drittel des syntonischen Kommas) höher als die reine Variante, aber immer noch deutlich konsonanter als die [[81/64|pythagoräische grosse Terz]]. Die sechstelmitteltönig temperierte grosse Terz liegt fast genau zwischen der reinen Naturterz (386.31 Cent) und der 400 Cent grossen Terz der Standardstimmung [[12-EDO]] (letztere kann man als Zwölftelkomma-mitteltönig ansehen).

Übereinanderschichten von sechs temperierten Quinten führt oktavbereinigt zum Interval 45/32, dem diatonischen Tritonus, welcher aus der Kombination eines grossen Ganzton 9/8 und einer reinen grossen Terz 5/4 gebildet wird. Das Intervall 45/32 wird in der sechstelmitteltönigen Temperatur also rein gestimmt. Die sechstelmitteltönige Temperatur wird deshalb manchmal auch '''tritonische Temperatur''' (englisch tritonic temperament) genannt.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche nahe an der sechstelmitteltönigen Temperatur liegen, sind [[55-EDO]] und [[67-EDO]].

Wie viele mitteltönige Stimmungssysteme hat auch die sechstelmitteltönige Temperatur eine gewisse historische Bedeutung: in der Periode des Barock und der Frühklassik wurde sie von manchen als optimal angesehen, so von [https://de.wikipedia.org/wiki/Leopold_Mozart Leopold Mozart]&lt;ref&gt;Chesnut, John (1977) ''Mozart's Teaching of Intonation'', '''Journal of the American Musicological Society''' Vol. 30, No. 2 (Summer, 1977), pp. 254-271 (Published By: University of California Press) [https://doi.org/10.2307/831219 doi.org/10.2307/831219], [http://www.jstor.org/stable/831219 https://www.jstor.org/stable/831219]&lt;/ref&gt; oder auch vom Komponisten [https://de.wikipedia.org/wiki/Georg_Philipp_Telemann#Musiktheoretische_und_musikp%C3%A4dagogische_Werke Georg Philipp Telemann], welcher 55-EDO als Tonsystem vorgeschlagen hat. Der Unterschied zwischen diatonischem und chromatischem Halbton ist in der sechstelmitteltönigen Stimmung gerade etwa ein syntonisches Komma (d. h. Dis ist etwa ein syntonisches Komma niedriger als Es).

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

[[Mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die '''Sechstelkomma-mitteltönige''' oder '''sechstelmitteltönige''' Stimmung unterteilt das [[81/80|syntonische Komma (81/80)]] in sechs gleiche Teile von je ca. 3.584 [[Cent]] und verkleinert alle reinen Quinten um diesen Betrag. Die temperierten Quinten sind 698.371 Cent gross, und die temperierten grossen Terzen 393.484 Cent - etwa 7 Cent (ein Drittel des syntonischen Kommas) höher als die reine Variante, aber immer noch deutlich konsonanter als die [[81/64|pythagoräische grosse Terz]]. Die sechstelmitteltönig temperierte grosse Terz liegt fast genau zwischen der reinen Naturterz (386.31 Cent) und der 400 Cent grossen Terz der Standardstimmung [[12-EDO]] (letztere kann man als Zwölftelkomma-mitteltönig ansehen).

Übereinanderschichten von sechs temperierten Quinten führt oktavbereinigt zum Interval 45/32, dem diatonischen Tritonus, welcher aus der Kombination eines grossen Ganzton 9/8 und einer reinen grossen Terz 5/4 gebildet wird. Das Intervall 45/32 wird in der sechstelmitteltönigen Temperatur also rein gestimmt. Die sechstelmitteltönige Temperatur wird deshalb manchmal auch '''tritonische Temperatur''' (englisch tritonic temperament) genannt.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche nahe an der sechstelmitteltönigen Temperatur liegen, sind [[55-EDO]] und [[67-EDO]].

== Historische Bedeutung ==
Wie viele mitteltönige Stimmungssysteme hat auch die sechstelmitteltönige Temperatur eine gewisse historische Bedeutung: in der Periode des Barock und der Frühklassik wurde sie von manchen als optimal angesehen, so von [https://de.wikipedia.org/wiki/Leopold_Mozart Leopold Mozart]&lt;ref&gt;Chesnut, John (1977) ''Mozart's Teaching of Intonation'', '''Journal of the American Musicological Society''' Vol. 30, No. 2 (Summer, 1977), pp. 254-271 (Published By: University of California Press) [https://doi.org/10.2307/831219 doi.org/10.2307/831219], [http://www.jstor.org/stable/831219 https://www.jstor.org/stable/831219]&lt;/ref&gt; oder auch vom Komponisten [https://de.wikipedia.org/wiki/Georg_Philipp_Telemann#Musiktheoretische_und_musikp%C3%A4dagogische_Werke Georg Philipp Telemann], welcher 55-EDO als Tonsystem vorgeschlagen hat. Der Unterschied zwischen diatonischem und chromatischem Halbton ist in der sechstelmitteltönigen Stimmung gerade etwa ein syntonisches Komma (d. h. Dis ist etwa ein syntonisches Komma niedriger als Es).

== Referenzen ==
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

[[Mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die '''Sechstelkomma-mitteltönige''' oder '''sechstelmitteltönige''' Stimmung unterteilt das [[81/80|syntonische Komma (81/80)]] in sechs gleiche Teile von je ca. 3.584 [[Cent]] und verkleinert alle reinen Quinten um diesen Betrag. Die temperierten Quinten sind 698.371 Cent gross, und die temperierten grossen Terzen 393.484 Cent - etwa 7 Cent (ein Drittel des syntonischen Kommas) höher als die reine Variante, aber immer noch deutlich konsonanter als die [[81/64|pythagoräische grosse Terz]] (407.82 Cent). Die sechstelmitteltönig temperierte grosse Terz liegt fast genau zwischen der reinen Naturterz (386.31 Cent) und der 400 Cent grossen Terz der Standardstimmung [[12-EDO]] (letztere kann man als Zwölftelkomma-mitteltönig ansehen).

Übereinanderschichten von sechs temperierten Quinten führt oktavbereinigt zum Interval 45/32, dem diatonischen Tritonus, welcher aus der Kombination eines grossen Ganzton 9/8 und einer reinen grossen Terz 5/4 gebildet wird. Das Intervall 45/32 wird in der sechstelmitteltönigen Temperatur also rein gestimmt. Die sechstelmitteltönige Temperatur wird deshalb manchmal auch '''tritonische Temperatur''' (englisch tritonic temperament) genannt.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche nahe an der sechstelmitteltönigen Temperatur liegen, sind [[55-EDO]] und [[67-EDO]].

== Historische Bedeutung ==
Wie viele mitteltönige Stimmungssysteme hat auch die sechstelmitteltönige Temperatur eine gewisse historische Bedeutung: in der Periode des Barock und der Frühklassik wurde sie von manchen als optimal angesehen, so von [https://de.wikipedia.org/wiki/Leopold_Mozart Leopold Mozart]&lt;ref&gt;Chesnut, John (1977) ''Mozart's Teaching of Intonation'', '''Journal of the American Musicological Society''' Vol. 30, No. 2 (Summer, 1977), pp. 254-271 (Published By: University of California Press) [https://doi.org/10.2307/831219 doi.org/10.2307/831219], [http://www.jstor.org/stable/831219 https://www.jstor.org/stable/831219]&lt;/ref&gt; oder auch vom Komponisten [https://de.wikipedia.org/wiki/Georg_Philipp_Telemann#Musiktheoretische_und_musikp%C3%A4dagogische_Werke Georg Philipp Telemann], welcher 55-EDO als Tonsystem vorgeschlagen hat. Der Unterschied zwischen diatonischem und chromatischem Halbton ist in der sechstelmitteltönigen Stimmung gerade etwa ein syntonisches Komma (d. h. Dis ist etwa ein syntonisches Komma niedriger als Es).

== Referenzen ==
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

[[Mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die '''Sechstelkomma-mitteltönige''' oder '''sechstelmitteltönige''' Stimmung unterteilt das [[81/80|syntonische Komma (81/80)]] in sechs gleiche Teile von je ca. 3.584 [[Cent]] und verkleinert alle reinen Quinten um diesen Betrag. Die temperierten Quinten sind 698.371 Cent gross, und die temperierten grossen Terzen 393.484 Cent - etwa 7 Cent (ein Drittel des syntonischen Kommas) höher als die reine Variante, aber immer noch deutlich konsonanter als die [[81/64|pythagoräische grosse Terz]] (407.82 Cent). Die sechstelmitteltönig temperierte grosse Terz liegt fast genau zwischen der reinen Naturterz (386.31 Cent) und der 400 Cent grossen Terz der Standardstimmung [[12-EDO]] (letztere kann man als Zwölftelkomma-mitteltönig ansehen).

Übereinanderschichten von sechs temperierten Quinten führt oktavbereinigt zum Interval 45/32, dem diatonischen Tritonus, welcher aus der Kombination eines grossen Ganzton 9/8 und einer reinen grossen Terz 5/4 gebildet wird. Das Intervall 45/32 wird in der sechstelmitteltönigen Temperatur also rein gestimmt. Die sechstelmitteltönige Temperatur wird deshalb manchmal auch '''tritonische Temperatur''' (englisch tritonic temperament) genannt. Sie ist auch unter der Bezeichnung [https://de.wikipedia.org/wiki/Silbermann-Sorge-Temperatur Silberman-Sorge-Temperatur] bekannt 

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche nahe an der sechstelmitteltönigen Temperatur liegen, sind [[55-EDO]] und [[67-EDO]].

== Historische Bedeutung ==
Wie viele mitteltönige Stimmungssysteme hat auch die sechstelmitteltönige Temperatur eine gewisse historische Bedeutung: in der Periode des Barock und der Frühklassik wurde sie von manchen als optimal angesehen, so von [https://de.wikipedia.org/wiki/Leopold_Mozart Leopold Mozart]&lt;ref&gt;Chesnut, John (1977) ''Mozart's Teaching of Intonation'', '''Journal of the American Musicological Society''' Vol. 30, No. 2 (Summer, 1977), pp. 254-271 (Published By: University of California Press) [https://doi.org/10.2307/831219 doi.org/10.2307/831219], [http://www.jstor.org/stable/831219 https://www.jstor.org/stable/831219]&lt;/ref&gt; oder auch vom Komponisten [https://de.wikipedia.org/wiki/Georg_Philipp_Telemann#Musiktheoretische_und_musikp%C3%A4dagogische_Werke Georg Philipp Telemann], welcher 55-EDO als Tonsystem vorgeschlagen hat. Der Unterschied zwischen diatonischem und chromatischem Halbton ist in der sechstelmitteltönigen Stimmung gerade etwa ein syntonisches Komma (d. h. Dis ist etwa ein syntonisches Komma niedriger als Es).

== Referenzen ==
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[[Mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die '''Sechstelkomma-mitteltönige''' oder '''sechstelmitteltönige''' Stimmung unterteilt das [[81/80|syntonische Komma (81/80)]] in sechs gleiche Teile von je ca. 3.584 [[Cent]] und verkleinert alle reinen Quinten um diesen Betrag. Die temperierten Quinten sind 698.371 Cent gross, und die temperierten grossen Terzen 393.484 Cent - etwa 7 Cent (ein Drittel des syntonischen Kommas) höher als die reine Variante, aber immer noch deutlich konsonanter als die [[81/64|pythagoräische grosse Terz]] (407.82 Cent). Die sechstelmitteltönig temperierte grosse Terz liegt fast genau zwischen der reinen Naturterz (386.31 Cent) und der 400 Cent grossen Terz der Standardstimmung [[12-EDO]] (letztere kann man als Zwölftelkomma-mitteltönig ansehen).

Übereinanderschichten von sechs temperierten Quinten führt oktavbereinigt zum Interval 45/32, dem diatonischen Tritonus, welcher aus der Kombination eines grossen Ganzton 9/8 und einer reinen grossen Terz 5/4 gebildet wird. Das Intervall 45/32 wird in der sechstelmitteltönigen Temperatur also rein gestimmt. Die sechstelmitteltönige Temperatur wird deshalb manchmal auch '''tritonische Temperatur''' (englisch tritonic temperament) genannt. Sie ist auch unter der Bezeichnung [https://de.wikipedia.org/wiki/Silbermann-Sorge-Temperatur Silberman-Sorge-Temperatur]  bekannt.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche nahe an der sechstelmitteltönigen Temperatur liegen, sind [[55-EDO]] und [[67-EDO]].

== Historische Bedeutung ==
Wie viele mitteltönige Stimmungssysteme hat auch die sechstelmitteltönige Temperatur eine gewisse historische Bedeutung: in der Periode des Barock und der Frühklassik wurde sie von manchen als optimal angesehen, so von [https://de.wikipedia.org/wiki/Leopold_Mozart Leopold Mozart]&lt;ref&gt;Chesnut, John (1977) ''Mozart's Teaching of Intonation'', '''Journal of the American Musicological Society''' Vol. 30, No. 2 (Summer, 1977), pp. 254-271 (Published By: University of California Press) [https://doi.org/10.2307/831219 doi.org/10.2307/831219], [http://www.jstor.org/stable/831219 https://www.jstor.org/stable/831219]&lt;/ref&gt; oder auch vom Komponisten [https://de.wikipedia.org/wiki/Georg_Philipp_Telemann#Musiktheoretische_und_musikp%C3%A4dagogische_Werke Georg Philipp Telemann], welcher 55-EDO als Tonsystem vorgeschlagen hat. Der Unterschied zwischen diatonischem und chromatischem Halbton ist in der sechstelmitteltönigen Stimmung gerade etwa ein syntonisches Komma (d. h. Dis ist etwa ein syntonisches Komma niedriger als Es).

== Referenzen ==
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[[Mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die '''Sechstelkomma-mitteltönige''' oder '''sechstelmitteltönige''' Stimmung unterteilt das [[81/80|syntonische Komma (81/80)]] in sechs gleiche Teile von je ca. 3.584 [[Cent]] und verkleinert alle reinen Quinten um diesen Betrag. Die temperierten Quinten sind 698.371 Cent gross, und die temperierten grossen Terzen 393.484 Cent - etwa 7 Cent (ein Drittel des syntonischen Kommas) höher als die reine Variante, aber immer noch deutlich konsonanter als die [[81/64|pythagoräische grosse Terz]] (407.82 Cent). Die sechstelmitteltönig temperierte grosse Terz liegt fast genau zwischen der reinen Naturterz (386.31 Cent) und der 400 Cent grossen Terz der Standardstimmung [[12-EDO]] (letztere kann man als Zwölftelkomma-mitteltönig ansehen).

Übereinanderschichten von sechs temperierten Quinten führt oktavbereinigt zum Interval 45/32, dem diatonischen Tritonus, welcher aus der Kombination eines grossen Ganzton 9/8 und einer reinen grossen Terz 5/4 gebildet wird. Das Intervall 45/32 wird in der sechstelmitteltönigen Temperatur also rein gestimmt. Die sechstelmitteltönige Temperatur wird deshalb manchmal auch '''tritonische Temperatur''' (englisch tritonic temperament) genannt. Sie ist auch unter der Bezeichnung [https://de.wikipedia.org/wiki/Silbermann-Sorge-Temperatur Silbermann-Sorge-Temperatur]  bekannt.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche nahe an der sechstelmitteltönigen Temperatur liegen, sind [[55-EDO]] und [[67-EDO]].

== Historische Bedeutung ==
Wie viele mitteltönige Stimmungssysteme hat auch die sechstelmitteltönige Temperatur eine gewisse historische Bedeutung: in der Periode des Barock und der Frühklassik wurde sie von manchen als optimal angesehen, so von [https://de.wikipedia.org/wiki/Leopold_Mozart Leopold Mozart]&lt;ref&gt;Chesnut, John (1977) ''Mozart's Teaching of Intonation'', '''Journal of the American Musicological Society''' Vol. 30, No. 2 (Summer, 1977), pp. 254-271 (Published By: University of California Press) [https://doi.org/10.2307/831219 doi.org/10.2307/831219], [http://www.jstor.org/stable/831219 https://www.jstor.org/stable/831219]&lt;/ref&gt; oder auch vom Komponisten [https://de.wikipedia.org/wiki/Georg_Philipp_Telemann#Musiktheoretische_und_musikp%C3%A4dagogische_Werke Georg Philipp Telemann], welcher 55-EDO als Tonsystem vorgeschlagen hat. Der Unterschied zwischen diatonischem und chromatischem Halbton ist in der sechstelmitteltönigen Stimmung gerade etwa ein syntonisches Komma (d. h. Dis ist etwa ein syntonisches Komma niedriger als Es).

== Referenzen ==
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[[Mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die '''Sechstelkomma-mitteltönige''' oder '''sechstelmitteltönige''' Stimmung unterteilt das [[81/80|syntonische Komma (81/80)]] in sechs gleiche Teile von je ca. 3.584 [[Cent]] und verkleinert alle reinen Quinten um diesen Betrag. Die temperierten Quinten sind 698.371 Cent gross, und die temperierten grossen Terzen 393.484 Cent - etwa 7 Cent (ein Drittel des syntonischen Kommas) höher als die reine Variante, aber immer noch deutlich konsonanter als die [[81/64|pythagoräische grosse Terz]] (407.82 Cent). Die sechstelmitteltönig temperierte grosse Terz liegt fast genau zwischen der reinen Naturterz (386.31 Cent) und der 400 Cent grossen Terz der Standardstimmung [[12-EDO]] (letztere kann man als Zwölftelkomma-mitteltönig ansehen).

Übereinanderschichten von sechs temperierten Quinten führt oktavbereinigt zum Interval 45/32, dem diatonischen Tritonus, welcher aus der Kombination eines grossen Ganzton 9/8 und einer reinen grossen Terz 5/4 gebildet wird. Das Intervall 45/32 wird in der sechstelmitteltönigen Temperatur also rein gestimmt. Die sechstelmitteltönige Temperatur wird deshalb manchmal auch '''tritonische Temperatur''' (englisch tritonic temperament) genannt. Sie ist auch unter der Bezeichnung [https://de.wikipedia.org/wiki/Silbermann-Sorge-Temperatur Silbermann-Sorge-Temperatur]  bekannt.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche nahe an der sechstelmitteltönigen Temperatur liegen, sind [[55-EDO]] und [[67-EDO]].

== Historische Bedeutung ==
Wie viele mitteltönige Stimmungssysteme hat auch die sechstelmitteltönige Temperatur eine gewisse historische Bedeutung: in der Periode des Barock und der Frühklassik wurde sie von manchen als optimal angesehen, so von [https://de.wikipedia.org/wiki/Leopold_Mozart Leopold Mozart]&lt;ref&gt;Chesnut, John (1977) ''Mozart's Teaching of Intonation'', '''Journal of the American Musicological Society''' Vol. 30, No. 2 (Summer, 1977), pp. 254-271 (Published By: University of California Press) [https://doi.org/10.2307/831219 doi.org/10.2307/831219], [http://www.jstor.org/stable/831219 https://www.jstor.org/stable/831219]&lt;/ref&gt; oder auch vom Komponisten [https://de.wikipedia.org/wiki/Georg_Philipp_Telemann#Musiktheoretische_und_musikp%C3%A4dagogische_Werke Georg Philipp Telemann], welcher 55-EDO als Tonsystem vorgeschlagen hat. Der Unterschied zwischen diatonischem und chromatischem Halbton ist in der sechstelmitteltönigen Stimmung gerade etwa ein syntonisches Komma (d. h. Dis ist etwa ein syntonisches Komma niedriger als Es).

Der Musiktheoretiker Georg Andreas Sorge hat die Sechzehntelkimma-mitteltönige Temperatur in einer Streitschrift&lt;ref&gt;
Georg Andreas Sorge, Gespräch zwischen einem Musico theoretico und einem Studioso Musices von der Prätorianischen, Printzischen Werkmeisterischen ... Temperatur, wie auch von dem neuen Systemate ... Telemanns zur Beförd. reiner Harmonie. [1748]&lt;/ref&gt; kritisch beschrieben. Sie wurde in der Folge auch unter den Namen Silbermann-Sorge-Temperatur bekannt.

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

[[Mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die '''Sechstelkomma-mitteltönige''' oder '''sechstelmitteltönige''' Stimmung unterteilt das [[81/80|syntonische Komma (81/80)]] in sechs gleiche Teile von je ca. 3.584 [[Cent]] und verkleinert alle reinen Quinten um diesen Betrag. Die temperierten Quinten sind 698.371 Cent gross, und die temperierten grossen Terzen 393.484 Cent - etwa 7 Cent (ein Drittel des syntonischen Kommas) höher als die reine Variante, aber immer noch deutlich konsonanter als die [[81/64|pythagoräische grosse Terz]] (407.82 Cent). Die sechstelmitteltönig temperierte grosse Terz liegt fast genau zwischen der reinen Naturterz (386.31 Cent) und der 400 Cent grossen Terz der Standardstimmung [[12-EDO]] (letztere kann man als Zwölftelkomma-mitteltönig ansehen).

Übereinanderschichten von sechs temperierten Quinten führt oktavbereinigt zum Interval 45/32, dem diatonischen Tritonus, welcher aus der Kombination eines grossen Ganzton 9/8 und einer reinen grossen Terz 5/4 gebildet wird. Das Intervall 45/32 wird in der sechstelmitteltönigen Temperatur also rein gestimmt. Die sechstelmitteltönige Temperatur wird deshalb manchmal auch '''tritonische Temperatur''' (englisch tritonic temperament) genannt. Sie ist auch unter der Bezeichnung [https://de.wikipedia.org/wiki/Silbermann-Sorge-Temperatur Silbermann-Sorge-Temperatur]  bekannt.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche nahe an der sechstelmitteltönigen Temperatur liegen, sind [[55-EDO]] und [[67-EDO]].

== Historische Bedeutung ==
Wie viele mitteltönige Stimmungssysteme hat auch die sechstelmitteltönige Temperatur eine gewisse historische Bedeutung: in der Periode des Barock und der Frühklassik wurde sie von manchen als optimal angesehen, so von [https://de.wikipedia.org/wiki/Leopold_Mozart Leopold Mozart]&lt;ref&gt;Chesnut, John (1977) ''Mozart's Teaching of Intonation'', '''Journal of the American Musicological Society''' Vol. 30, No. 2 (Summer, 1977), pp. 254-271 (Published By: University of California Press) [https://doi.org/10.2307/831219 doi.org/10.2307/831219], [http://www.jstor.org/stable/831219 https://www.jstor.org/stable/831219]&lt;/ref&gt; oder auch vom Komponisten [https://de.wikipedia.org/wiki/Georg_Philipp_Telemann#Musiktheoretische_und_musikp%C3%A4dagogische_Werke Georg Philipp Telemann], welcher 55-EDO als Tonsystem vorgeschlagen hat. Der Unterschied zwischen diatonischem und chromatischem Halbton ist in der sechstelmitteltönigen Stimmung gerade etwa ein syntonisches Komma (d. h. Dis ist etwa ein syntonisches Komma niedriger als Es).

Der Musiktheoretiker [https://de.wikipedia.org/wiki/Georg_Andreas_Sorge Georg Andreas Sorge] hat die Sechzehntelkimma-mitteltönige Temperatur in einer Streitschrift&lt;ref&gt;
Georg Andreas Sorge, Gespräch zwischen einem Musico theoretico und einem Studioso Musices von der Prätorianischen, Printzischen Werkmeisterischen ... Temperatur, wie auch von dem neuen Systemate ... Telemanns zur Beförd. reiner Harmonie. [1748]&lt;/ref&gt; kritisch beschrieben. Sie wurde in der Folge auch unter den Namen [https://de.wikipedia.org/wiki/Silbermann-Sorge-Temperatur Silbermann-Sorge-Temperatu]r bekannt.

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[[Mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die '''Sechstelkomma-mitteltönige''' oder '''sechstelmitteltönige''' Stimmung unterteilt das [[81/80|syntonische Komma (81/80)]] in sechs gleiche Teile von je ca. 3.584 [[Cent]] und verkleinert alle reinen Quinten um diesen Betrag. Die temperierten Quinten sind 698.371 Cent gross, und die temperierten grossen Terzen 393.484 Cent - etwa 7 Cent (ein Drittel des syntonischen Kommas) höher als die reine Variante, aber immer noch deutlich konsonanter als die [[81/64|pythagoräische grosse Terz]] (407.82 Cent). Die sechstelmitteltönig temperierte grosse Terz liegt fast genau zwischen der reinen Naturterz (386.31 Cent) und der 400 Cent grossen Terz der Standardstimmung [[12-EDO]] (letztere kann man als Zwölftelkomma-mitteltönig ansehen).

Übereinanderschichten von sechs temperierten Quinten führt oktavbereinigt zum Interval 45/32, dem diatonischen Tritonus, welcher aus der Kombination eines grossen Ganzton 9/8 und einer reinen grossen Terz 5/4 gebildet wird. Das Intervall 45/32 wird in der sechstelmitteltönigen Temperatur also rein gestimmt. Die sechstelmitteltönige Temperatur wird deshalb manchmal auch '''tritonische Temperatur''' (englisch tritonic temperament) genannt. Sie ist auch unter der Bezeichnung [https://de.wikipedia.org/wiki/Silbermann-Sorge-Temperatur Silbermann-Sorge-Temperatur]  bekannt.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche nahe an der sechstelmitteltönigen Temperatur liegen, sind [[55-EDO]] und [[67-EDO]].

== Historische Bedeutung ==
Wie viele mitteltönige Stimmungssysteme hat auch die sechstelmitteltönige Temperatur eine gewisse historische Bedeutung: in der Periode des Barock und der Frühklassik wurde sie von manchen als optimal angesehen, so von [https://de.wikipedia.org/wiki/Leopold_Mozart Leopold Mozart]&lt;ref&gt;Chesnut, John (1977) ''Mozart's Teaching of Intonation'', '''Journal of the American Musicological Society''' Vol. 30, No. 2 (Summer, 1977), pp. 254-271 (Published By: University of California Press) [https://doi.org/10.2307/831219 doi.org/10.2307/831219], [http://www.jstor.org/stable/831219 https://www.jstor.org/stable/831219]&lt;/ref&gt; oder auch vom Komponisten [https://de.wikipedia.org/wiki/Georg_Philipp_Telemann#Musiktheoretische_und_musikp%C3%A4dagogische_Werke Georg Philipp Telemann], welcher 55-EDO als Tonsystem vorgeschlagen hat. Der Unterschied zwischen diatonischem und chromatischem Halbton ist in der sechstelmitteltönigen Stimmung gerade etwa ein syntonisches Komma (d. h. Dis ist etwa ein syntonisches Komma niedriger als Es).

Der Musiktheoretiker [https://de.wikipedia.org/wiki/Georg_Andreas_Sorge Georg Andreas Sorge] hat die Sechzehntelkomma-mitteltönige Temperatur in einer Streitschrift&lt;ref&gt;
Georg Andreas Sorge, Gespräch zwischen einem Musico theoretico und einem Studioso Musices von der Prätorianischen, Printzischen Werkmeisterischen ... Temperatur, wie auch von dem neuen Systemate ... Telemanns zur Beförd. reiner Harmonie. [1748]&lt;/ref&gt; kritisch beschrieben. Sie wurde in der Folge auch unter den Namen [https://de.wikipedia.org/wiki/Silbermann-Sorge-Temperatur Silbermann-Sorge-Temperatu]r bekannt.

== Referenzen ==
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

[[Mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die '''Sechstelkomma-mitteltönige''' oder '''sechstelmitteltönige''' Stimmung unterteilt das [[81/80|syntonische Komma (81/80)]] in sechs gleiche Teile von je ca. 3.584 [[Cent]] und verkleinert alle reinen Quinten um diesen Betrag. Die temperierten Quinten sind 698.371 Cent gross, und die temperierten grossen Terzen 393.484 Cent - etwa 7 Cent (ein Drittel des syntonischen Kommas) höher als die reine Variante, aber immer noch deutlich konsonanter als die [[81/64|pythagoräische grosse Terz]] (407.82 Cent). Die sechstelmitteltönig temperierte grosse Terz liegt fast genau zwischen der reinen Naturterz (386.31 Cent) und der 400 Cent grossen Terz der Standardstimmung [[12-EDO]] (letztere kann man als Zwölftelkomma-mitteltönig ansehen).

Übereinanderschichten von sechs temperierten Quinten führt oktavbereinigt zum Interval 45/32, dem diatonischen Tritonus, welcher aus der Kombination eines grossen Ganzton 9/8 und einer reinen grossen Terz 5/4 gebildet wird. Das Intervall 45/32 wird in der sechstelmitteltönigen Temperatur also rein gestimmt. Die sechstelmitteltönige Temperatur wird deshalb manchmal auch '''tritonische Temperatur''' (englisch tritonic temperament) genannt. Sie ist auch unter der Bezeichnung [https://de.wikipedia.org/wiki/Silbermann-Sorge-Temperatur Silbermann-Sorge-Temperatur]  bekannt.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche nahe an der sechstelmitteltönigen Temperatur liegen, sind [[55-EDO]] und [[67-EDO]].

== Historische Bedeutung ==
Wie viele mitteltönige Stimmungssysteme hat auch die sechstelmitteltönige Temperatur eine gewisse historische Bedeutung: in der Periode des Barock und der Frühklassik wurde sie von manchen als optimal angesehen, so von [https://de.wikipedia.org/wiki/Leopold_Mozart Leopold Mozart]&lt;ref&gt;Chesnut, John (1977) ''Mozart's Teaching of Intonation'', '''Journal of the American Musicological Society''' Vol. 30, No. 2 (Summer, 1977), pp. 254-271 (Published By: University of California Press) [https://doi.org/10.2307/831219 doi.org/10.2307/831219], [http://www.jstor.org/stable/831219 https://www.jstor.org/stable/831219]&lt;/ref&gt; oder auch vom Komponisten [https://de.wikipedia.org/wiki/Georg_Philipp_Telemann#Musiktheoretische_und_musikp%C3%A4dagogische_Werke Georg Philipp Telemann], welcher 55-EDO als Tonsystem vorgeschlagen hat. Der Unterschied zwischen diatonischem und chromatischem Halbton ist in der sechstelmitteltönigen Stimmung gerade etwa ein syntonisches Komma (d. h. Dis ist etwa ein syntonisches Komma niedriger als Es).

Der Musiktheoretiker [https://de.wikipedia.org/wiki/Georg_Andreas_Sorge Georg Andreas Sorge] hat die Sechzehntelkomma-mitteltönige Temperatur in einer Streitschrift&lt;ref&gt;
Georg Andreas Sorge, Gespräch zwischen einem Musico theoretico und einem Studioso Musices von der Prätorianischen, Printzischen Werkmeisterischen ... Temperatur, wie auch von dem neuen Systemate ... Telemanns zur Beförd. reiner Harmonie. [1748]&lt;/ref&gt; kritisch beschrieben. Sie wurde in der Folge auch unter dem Namen [https://de.wikipedia.org/wiki/Silbermann-Sorge-Temperatur Silbermann-Sorge-Temperatu]r bekannt.

== Referenzen ==
&lt;references /&gt;</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

[[Mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die '''Sechstelkomma-mitteltönige''' oder '''sechstelmitteltönige''' Stimmung unterteilt das [[81/80|syntonische Komma (81/80)]] in sechs gleiche Teile von je ca. 3.584 [[Cent]] und verkleinert alle reinen Quinten um diesen Betrag. Die temperierten Quinten sind 698.371 Cent gross, und die temperierten grossen Terzen 393.484 Cent - etwa 7 Cent (ein Drittel des syntonischen Kommas) höher als die reine Variante, aber immer noch deutlich konsonanter als die [[81/64|pythagoräische grosse Terz]] (407.82 Cent). Die sechstelmitteltönig temperierte grosse Terz liegt fast genau zwischen der reinen Naturterz (386.31 Cent) und der 400 Cent grossen Terz der Standardstimmung [[12-EDO]] (letztere kann man als Zwölftelkomma-mitteltönig ansehen).

Übereinanderschichten von sechs temperierten Quinten führt oktavbereinigt zum Interval 45/32, dem diatonischen Tritonus, welcher aus der Kombination eines grossen Ganzton 9/8 und einer reinen grossen Terz 5/4 gebildet wird. Das Intervall 45/32 wird in der sechstelmitteltönigen Temperatur also rein gestimmt. Die sechstelmitteltönige Temperatur wird deshalb manchmal auch '''tritonische Temperatur''' (englisch tritonic temperament) genannt. Sie ist auch unter der Bezeichnung [https://de.wikipedia.org/wiki/Silbermann-Sorge-Temperatur Silbermann-Sorge-Temperatur]  bekannt.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche nahe an der sechstelmitteltönigen Temperatur liegen, sind [[55-EDO]] und [[67-EDO]].

== Historische Bedeutung ==
Wie viele mitteltönige Stimmungssysteme hat auch die sechstelmitteltönige Temperatur eine gewisse historische Bedeutung: in der Periode des Barock und der Frühklassik wurde sie von manchen als optimal angesehen, so von [https://de.wikipedia.org/wiki/Leopold_Mozart Leopold Mozart]&lt;ref&gt;Chesnut, John (1977) ''Mozart's Teaching of Intonation'', '''Journal of the American Musicological Society''' Vol. 30, No. 2 (Summer, 1977), pp. 254-271 (Published By: University of California Press) [https://doi.org/10.2307/831219 doi.org/10.2307/831219], [http://www.jstor.org/stable/831219 https://www.jstor.org/stable/831219]&lt;/ref&gt; oder auch vom Komponisten [https://de.wikipedia.org/wiki/Georg_Philipp_Telemann#Musiktheoretische_und_musikp%C3%A4dagogische_Werke Georg Philipp Telemann], welcher 55-EDO als Tonsystem vorgeschlagen hat. Der Unterschied zwischen diatonischem und chromatischem Halbton ist in der sechstelmitteltönigen Stimmung gerade etwa ein syntonisches Komma (d. h. Dis ist etwa ein syntonisches Komma niedriger als Es).

Der Musiktheoretiker [https://de.wikipedia.org/wiki/Georg_Andreas_Sorge Georg Andreas Sorge] hat die Sechzehntelkomma-mitteltönige Temperatur in einer Streitschrift&lt;ref&gt;
Georg Andreas Sorge: Gespräch zwischen einem Musico theoretico und einem Studioso musices. Lobenstein 1748&lt;/ref&gt; kritisch beschrieben. Sie wurde in der Folge auch unter dem Namen [https://de.wikipedia.org/wiki/Silbermann-Sorge-Temperatur Silbermann-Sorge-Temperatu]r bekannt.

== Referenzen ==
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Die '''Sechstelkomma-mitteltönige''' oder '''sechstelmitteltönige''' Stimmung unterteilt das [[81/80|syntonische Komma (81/80)]] in sechs gleiche Teile von je ca. 3.584 [[Cent]] und verkleinert alle reinen Quinten um diesen Betrag. Die temperierten Quinten sind 698.371 Cent gross, und die temperierten grossen Terzen 393.484 Cent - etwa 7 Cent (ein Drittel des syntonischen Kommas) höher als die reine Variante, aber immer noch deutlich konsonanter als die [[81/64|pythagoräische grosse Terz]] (407.82 Cent). Die sechstelmitteltönig temperierte grosse Terz liegt fast genau zwischen der reinen Naturterz (386.31 Cent) und der 400 Cent grossen Terz der Standardstimmung [[12-EDO]] (letztere kann man als Zwölftelkomma-mitteltönig ansehen).

Übereinanderschichten von sechs temperierten Quinten führt oktavbereinigt zum Interval 45/32, dem diatonischen Tritonus, welcher aus der Kombination eines grossen Ganzton 9/8 und einer reinen grossen Terz 5/4 gebildet wird. Das Intervall 45/32 wird in der sechstelmitteltönigen Temperatur also rein gestimmt. Die sechstelmitteltönige Temperatur wird deshalb manchmal auch '''tritonische Temperatur''' (englisch tritonic temperament) genannt. Sie ist auch unter der Bezeichnung [https://de.wikipedia.org/wiki/Silbermann-Sorge-Temperatur Silbermann-Sorge-Temperatur]  bekannt.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche nahe an der sechstelmitteltönigen Temperatur liegen, sind [[55-EDO]] und [[67-EDO]].

== Historische Bedeutung ==
Wie viele mitteltönige Stimmungssysteme hat auch die sechstelmitteltönige Temperatur eine gewisse historische Bedeutung: in der Periode des Barock und der Frühklassik wurde sie von manchen als optimal angesehen, so von [https://de.wikipedia.org/wiki/Leopold_Mozart Leopold Mozart]&lt;ref&gt;Chesnut, John (1977) ''Mozart's Teaching of Intonation'', '''Journal of the American Musicological Society''' Vol. 30, No. 2 (Summer, 1977), pp. 254-271 (Published By: University of California Press) [https://doi.org/10.2307/831219 doi.org/10.2307/831219], [http://www.jstor.org/stable/831219 https://www.jstor.org/stable/831219]&lt;/ref&gt; oder auch vom Komponisten [https://de.wikipedia.org/wiki/Georg_Philipp_Telemann#Musiktheoretische_und_musikp%C3%A4dagogische_Werke Georg Philipp Telemann], welcher 55-EDO als Tonsystem vorgeschlagen hat. Der Unterschied zwischen diatonischem und chromatischem Halbton ist in der sechstelmitteltönigen Stimmung gerade etwa ein syntonisches Komma (d. h. Dis ist etwa ein syntonisches Komma niedriger als Es).

Der Musiktheoretiker [https://de.wikipedia.org/wiki/Georg_Andreas_Sorge Georg Andreas Sorge] hat die Sechstelkomma-mitteltönige Temperatur in einer Streitschrift&lt;ref&gt;
Georg Andreas Sorge: Gespräch zwischen einem Musico theoretico und einem Studioso musices. Lobenstein 1748&lt;/ref&gt; kritisch beschrieben. Sie wurde in der Folge auch unter dem Namen [https://de.wikipedia.org/wiki/Silbermann-Sorge-Temperatur Silbermann-Sorge-Temperatu]r bekannt.

== Referenzen ==
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Die '''Sechstelkomma-mitteltönige''' oder '''sechstelmitteltönige''' Stimmung unterteilt das [[81/80|syntonische Komma (81/80)]] in sechs gleiche Teile von je ca. 3.584 [[Cent]] und verkleinert alle reinen Quinten um diesen Betrag. Die temperierten Quinten sind 698.371 Cent gross, und die temperierten grossen Terzen 393.484 Cent - etwa 7 Cent (ein Drittel des syntonischen Kommas) höher als die reine Variante, aber immer noch deutlich konsonanter als die [[81/64|pythagoräische grosse Terz]] (407.82 Cent). Die sechstelmitteltönig temperierte grosse Terz liegt fast genau zwischen der reinen Naturterz (386.31 Cent) und der 400 Cent grossen Terz der Standardstimmung [[12-EDO]] (letztere kann man als Zwölftelkomma-mitteltönig ansehen).

Übereinanderschichten von sechs temperierten Quinten führt oktavbereinigt zum Interval 45/32, dem diatonischen Tritonus, welcher aus der Kombination eines grossen Ganzton 9/8 und einer reinen grossen Terz 5/4 gebildet wird. Das Intervall 45/32 wird in der sechstelmitteltönigen Temperatur also rein gestimmt. Die sechstelmitteltönige Temperatur wird deshalb manchmal auch '''tritonische Temperatur''' (englisch tritonic temperament) genannt. Sie ist auch unter der Bezeichnung [https://de.wikipedia.org/wiki/Silbermann-Sorge-Temperatur Silbermann-Sorge-Temperatur]  bekannt.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche nahe an der sechstelmitteltönigen Temperatur liegen, sind [[55-EDO]] und [[67-EDO]].

== Historische Bedeutung ==
Wie viele mitteltönige Stimmungssysteme hat auch die sechstelmitteltönige Temperatur eine gewisse historische Bedeutung: in der Periode des Barock und der Frühklassik wurde sie von manchen als optimal angesehen, so von [https://de.wikipedia.org/wiki/Leopold_Mozart Leopold Mozart]&lt;ref&gt;Chesnut, John (1977) ''Mozart's Teaching of Intonation'', '''Journal of the American Musicological Society''' Vol. 30, No. 2 (Summer, 1977), pp. 254-271 (Published By: University of California Press) [https://doi.org/10.2307/831219 doi.org/10.2307/831219], [http://www.jstor.org/stable/831219 https://www.jstor.org/stable/831219]&lt;/ref&gt; oder auch vom Komponisten [https://de.wikipedia.org/wiki/Georg_Philipp_Telemann#Musiktheoretische_und_musikp%C3%A4dagogische_Werke Georg Philipp Telemann], welcher 55-EDO als Tonsystem vorgeschlagen hat. Der Unterschied zwischen diatonischem und chromatischem Halbton ist in der sechstelmitteltönigen Stimmung gerade etwa ein syntonisches Komma (d. h. Dis ist etwa ein syntonisches Komma niedriger als Es).

Der Musiktheoretiker [https://de.wikipedia.org/wiki/Georg_Andreas_Sorge Georg Andreas Sorge] hat die sechstelmitteltönige Temperatur in einer Streitschrift&lt;ref&gt;
Georg Andreas Sorge: Gespräch zwischen einem Musico theoretico und einem Studioso musices. Lobenstein 1748&lt;/ref&gt; kritisch beschrieben. Sie wurde in der Folge auch unter dem Namen [https://de.wikipedia.org/wiki/Silbermann-Sorge-Temperatur Silbermann-Sorge-Temperatu]r bekannt.

== Referenzen ==
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[[Mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die '''Sechstelkomma-mitteltönige''' oder '''sechstelmitteltönige''' Stimmung unterteilt das [[81/80|syntonische Komma (81/80)]] in sechs gleiche Teile von je ca. 3.584 [[Cent]] und verkleinert alle reinen Quinten um diesen Betrag. Die temperierten Quinten sind 698.371 Cent gross, und die temperierten grossen Terzen 393.484 Cent - etwa 7 Cent (ein Drittel des syntonischen Kommas) höher als die reine Variante, aber immer noch deutlich konsonanter als die [[81/64|pythagoräische grosse Terz]] (407.82 Cent). Die sechstelmitteltönig temperierte grosse Terz liegt fast genau zwischen der reinen Naturterz (386.31 Cent) und der 400 Cent grossen Terz der Standardstimmung [[12-EDO]] (letztere kann man als Zwölftelkomma-mitteltönig ansehen).

Übereinanderschichten von sechs temperierten Quinten führt oktavbereinigt zum Interval 45/32, dem diatonischen Tritonus, welcher aus der Kombination eines grossen Ganzton 9/8 und einer reinen grossen Terz 5/4 gebildet wird. Das Intervall 45/32 wird in der sechstelmitteltönigen Temperatur also rein gestimmt. Die sechstelmitteltönige Temperatur wird deshalb manchmal auch '''tritonische Temperatur''' (englisch tritonic temperament) genannt. Sie ist auch unter der Bezeichnung [https://de.wikipedia.org/wiki/Silbermann-Sorge-Temperatur Silbermann-Sorge-Temperatur]  bekannt.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche nahe an der sechstelmitteltönigen Temperatur liegen, sind [[55-EDO]] und [[67-EDO]].

== Historische Bedeutung ==
Wie viele mitteltönige Stimmungssysteme hat auch die sechstelmitteltönige Temperatur eine gewisse historische Bedeutung: in der Periode des Barock und der Frühklassik wurde sie von manchen als optimal angesehen, so von [https://de.wikipedia.org/wiki/Leopold_Mozart Leopold Mozart]&lt;ref&gt;Chesnut, John (1977) ''Mozart's Teaching of Intonation'', '''Journal of the American Musicological Society''' Vol. 30, No. 2 (Summer, 1977), pp. 254-271 (Published By: University of California Press) [https://doi.org/10.2307/831219 doi.org/10.2307/831219], [http://www.jstor.org/stable/831219 https://www.jstor.org/stable/831219]&lt;/ref&gt; oder auch vom Komponisten [https://de.wikipedia.org/wiki/Georg_Philipp_Telemann#Musiktheoretische_und_musikp%C3%A4dagogische_Werke Georg Philipp Telemann], welcher 55-EDO als Tonsystem vorgeschlagen hat. Der Unterschied zwischen diatonischem und chromatischem Halbton ist in der sechstelmitteltönigen Stimmung gerade etwa ein syntonisches Komma (d. h. Dis ist etwa ein syntonisches Komma niedriger als Es).

Der Musiktheoretiker [https://de.wikipedia.org/wiki/Georg_Andreas_Sorge Georg Andreas Sorge] hat die sechstelmitteltönige Temperatur in einer Streitschrift&lt;ref&gt;
Georg Andreas Sorge: Gespräch zwischen einem Musico theoretico und einem Studioso musices. Lobenstein 1748&lt;/ref&gt; kritisch beschrieben. Sie wurde in der Folge auch unter dem Namen [https://de.wikipedia.org/wiki/Silbermann-Sorge-Temperatur Silbermann-Sorge-Temperatur] bekannt.

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Die '''Sechstelkomma-mitteltönige''' oder '''sechstelmitteltönige''' Stimmung unterteilt das [[81/80|syntonische Komma (81/80)]] in sechs gleiche Teile von je ca. 3.584 [[Cent]] und verkleinert alle reinen Quinten um diesen Betrag. Die temperierten Quinten sind 698.371 Cent gross, und die temperierten grossen Terzen 393.484 Cent - etwa 7 Cent (ein Drittel des syntonischen Kommas) höher als die reine Variante, aber immer noch deutlich konsonanter als die [[81/64|pythagoräische grosse Terz]] (407.82 Cent). Die sechstelmitteltönig temperierte grosse Terz liegt fast genau zwischen der reinen Naturterz (386.31 Cent) und der 400 Cent grossen Terz der Standardstimmung [[12-EDO]] (letztere kann man als Zwölftelkomma-mitteltönig ansehen).

Übereinanderschichten von sechs temperierten Quinten führt oktavbereinigt zum Interval 45/32, dem diatonischen Tritonus, welcher aus der Kombination eines grossen Ganzton 9/8 und einer reinen grossen Terz 5/4 gebildet wird. Das Intervall 45/32 wird in der sechstelmitteltönigen Temperatur also rein gestimmt. Die sechstelmitteltönige Temperatur wird deshalb manchmal auch '''tritonische Temperatur''' (englisch tritonic temperament) genannt. Sie ist 
 ferner unter der Bezeichnung [https://de.wikipedia.org/wiki/Silbermann-Sorge-Temperatur Silbermann-Sorge-Temperatur]  bekannt.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche nahe an der sechstelmitteltönigen Temperatur liegen, sind [[55-EDO]] und [[67-EDO]].

== Historische Bedeutung ==
Wie viele mitteltönige Stimmungssysteme hat auch die sechstelmitteltönige Temperatur eine gewisse historische Bedeutung: in der Periode des Barock und der Frühklassik wurde sie von manchen als optimal angesehen, so von [https://de.wikipedia.org/wiki/Leopold_Mozart Leopold Mozart]&lt;ref&gt;Chesnut, John (1977) ''Mozart's Teaching of Intonation'', '''Journal of the American Musicological Society''' Vol. 30, No. 2 (Summer, 1977), pp. 254-271 (Published By: University of California Press) [https://doi.org/10.2307/831219 doi.org/10.2307/831219], [http://www.jstor.org/stable/831219 https://www.jstor.org/stable/831219]&lt;/ref&gt; oder auch vom Komponisten [https://de.wikipedia.org/wiki/Georg_Philipp_Telemann#Musiktheoretische_und_musikp%C3%A4dagogische_Werke Georg Philipp Telemann], welcher 55-EDO als Tonsystem vorgeschlagen hat. Der Unterschied zwischen diatonischem und chromatischem Halbton ist in der sechstelmitteltönigen Stimmung gerade etwa ein syntonisches Komma (d. h. Dis ist etwa ein syntonisches Komma niedriger als Es).

Der Musiktheoretiker [https://de.wikipedia.org/wiki/Georg_Andreas_Sorge Georg Andreas Sorge] hat die sechstelmitteltönige Temperatur in einer Streitschrift&lt;ref&gt;
Georg Andreas Sorge: Gespräch zwischen einem Musico theoretico und einem Studioso musices. Lobenstein 1748&lt;/ref&gt; kritisch beschrieben. Sie wurde in der Folge auch unter dem Namen [https://de.wikipedia.org/wiki/Silbermann-Sorge-Temperatur Silbermann-Sorge-Temperatur] bekannt.

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Die '''Sechstelkomma-mitteltönige''' oder '''sechstelmitteltönige''' Stimmung unterteilt das [[81/80|syntonische Komma (81/80)]] in sechs gleiche Teile von je ca. 3.584 [[Cent]] und verkleinert alle reinen Quinten um diesen Betrag. Die temperierten Quinten sind 698.371 Cent gross, und die temperierten grossen Terzen 393.484 Cent - etwa 7 Cent (ein Drittel des syntonischen Kommas) höher als die reine Variante, aber immer noch deutlich konsonanter als die [[81/64|pythagoräische grosse Terz]] (407.82 Cent). Die sechstelmitteltönig temperierte grosse Terz liegt fast genau zwischen der reinen Naturterz (386.31 Cent) und der 400 Cent grossen Terz der Standardstimmung [[12-EDO]] (letztere kann man als Zwölftelkomma-mitteltönig ansehen).

Übereinanderschichten von sechs temperierten Quinten führt oktavbereinigt zum Interval 45/32, dem diatonischen Tritonus, welcher aus der Kombination eines grossen Ganzton 9/8 und einer reinen grossen Terz 5/4 gebildet wird. Das Intervall 45/32 wird in der sechstelmitteltönigen Temperatur also rein gestimmt. Die sechstelmitteltönige Temperatur wird deshalb manchmal auch '''tritonische Temperatur''' (englisch tritonic temperament) genannt. Sie ist ferner unter der Bezeichnung [https://de.wikipedia.org/wiki/Silbermann-Sorge-Temperatur Silbermann-Sorge-Temperatur]  bekannt.

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche nahe an der sechstelmitteltönigen Temperatur liegen, sind [[55-EDO]] und [[67-EDO]].

== Historische Bedeutung ==
Wie viele mitteltönige Stimmungssysteme hat auch die sechstelmitteltönige Temperatur eine gewisse historische Bedeutung: in der Periode des Barock und der Frühklassik wurde sie von manchen als optimal angesehen, so von [https://de.wikipedia.org/wiki/Leopold_Mozart Leopold Mozart]&lt;ref&gt;Chesnut, John (1977) ''Mozart's Teaching of Intonation'', '''Journal of the American Musicological Society''' Vol. 30, No. 2 (Summer, 1977), pp. 254-271 (Published By: University of California Press) [https://doi.org/10.2307/831219 doi.org/10.2307/831219], [http://www.jstor.org/stable/831219 https://www.jstor.org/stable/831219]&lt;/ref&gt; oder auch vom Komponisten [https://de.wikipedia.org/wiki/Georg_Philipp_Telemann#Musiktheoretische_und_musikp%C3%A4dagogische_Werke Georg Philipp Telemann], welcher 55-EDO als Tonsystem vorgeschlagen hat. Der Unterschied zwischen diatonischem und chromatischem Halbton ist in der sechstelmitteltönigen Stimmung gerade etwa ein syntonisches Komma (d. h. Dis ist etwa ein syntonisches Komma niedriger als Es).

Der Musiktheoretiker [https://de.wikipedia.org/wiki/Georg_Andreas_Sorge Georg Andreas Sorge] hat die sechstelmitteltönige Temperatur in einer Streitschrift&lt;ref&gt;
Georg Andreas Sorge: Gespräch zwischen einem Musico theoretico und einem Studioso musices. Lobenstein 1748&lt;/ref&gt; kritisch beschrieben. Sie wurde in der Folge auch unter dem Namen [https://de.wikipedia.org/wiki/Silbermann-Sorge-Temperatur Silbermann-Sorge-Temperatur] bekannt.

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

[[Mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Die '''Sechstelkomma-mitteltönige''' oder '''sechstelmitteltönige''' Stimmung, auch [https://de.wikipedia.org/wiki/Silbermann-Sorge-Temperatur Silbermann-Sorge-Temperatur] genannt, unterteilt das [[81/80|syntonische Komma (81/80)]] in sechs gleiche Teile von je ca. 3.584 [[Cent]] und verkleinert alle reinen Quinten um diesen Betrag. Die temperierten Quinten sind 698.371 Cent gross, und die temperierten grossen Terzen 393.484 Cent - etwa 7 Cent (ein Drittel des syntonischen Kommas) höher als die reine Variante, aber immer noch deutlich konsonanter als die [[81/64|pythagoräische grosse Terz]] (407.82 Cent). Die sechstelmitteltönig temperierte grosse Terz liegt fast genau zwischen der reinen Naturterz (386.31 Cent) und der 400 Cent grossen Terz der Standardstimmung [[12-EDO]] (letztere kann man als Zwölftelkomma-mitteltönig ansehen).

Übereinanderschichten von sechs temperierten Quinten führt oktavbereinigt zum Interval 45/32, dem diatonischen Tritonus, welcher aus der Kombination eines grossen Ganzton 9/8 und einer reinen grossen Terz 5/4 gebildet wird. Das Intervall 45/32 wird in der sechstelmitteltönigen Temperatur also rein gestimmt. Die sechstelmitteltönige Temperatur wird deshalb manchmal auch '''tritonische Temperatur''' (englisch tritonic temperament) genannt. 

[[Gleichstufige Tonsysteme]], welche nahe an der sechstelmitteltönigen Temperatur liegen, sind [[55-EDO]] und [[67-EDO]].

== Historische Bedeutung ==
Wie viele mitteltönige Stimmungssysteme hat auch die sechstelmitteltönige Temperatur eine gewisse historische Bedeutung: in der Periode des Barock und der Frühklassik wurde sie von manchen als optimal angesehen, so von [https://de.wikipedia.org/wiki/Leopold_Mozart Leopold Mozart]&lt;ref&gt;Chesnut, John (1977) ''Mozart's Teaching of Intonation'', '''Journal of the American Musicological Society''' Vol. 30, No. 2 (Summer, 1977), pp. 254-271 (Published By: University of California Press) [https://doi.org/10.2307/831219 doi.org/10.2307/831219], [http://www.jstor.org/stable/831219 https://www.jstor.org/stable/831219]&lt;/ref&gt; oder auch vom Komponisten [https://de.wikipedia.org/wiki/Georg_Philipp_Telemann#Musiktheoretische_und_musikp%C3%A4dagogische_Werke Georg Philipp Telemann], welcher 55-EDO als Tonsystem vorgeschlagen hat. Der Unterschied zwischen diatonischem und chromatischem Halbton ist in der sechstelmitteltönigen Stimmung gerade etwa ein syntonisches Komma (d. h. Dis ist etwa ein syntonisches Komma niedriger als Es).

Der Musiktheoretiker [https://de.wikipedia.org/wiki/Georg_Andreas_Sorge Georg Andreas Sorge] hat die sechstelmitteltönige Temperatur in einer Streitschrift&lt;ref&gt;
Georg Andreas Sorge: Gespräch zwischen einem Musico theoretico und einem Studioso musices. Lobenstein 1748&lt;/ref&gt; kritisch beschrieben. Sie wurde in der Folge auch unter dem Namen [https://de.wikipedia.org/wiki/Silbermann-Sorge-Temperatur Silbermann-Sorge-Temperatur] bekannt.

== Referenzen ==
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55-EDO ist das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 55 gleiche Teile geteilt wird. Das Grundintervall ist 21.8 [[Cent]] gross.

Eine Gemeinsamkeit von 55-EDO mit [[53-EDO]] ist, dass die beste Approximation des grossen Ganztons (Frequenzverhältnis 9/8) 9 Basisschritte gross ist. Da der Basisschritt von 55-EDO kleiner ist als der von 53-EDO, ist natürlich auch die Approximation des grossen Ganztons kleiner (196.4 Cent gegenüber 203.8 Cent in 53-EDO). Zwei solche Ganztöne führen in 55-EDO zur Approximation einer [[Naturterz|Naturterz 5/4]], in 53-EDO dagegen zur Approximation einer [[81/64|pythagoräischen grossen Terz 81/64]]. 55-EDO, in anderen WOrten, ist ein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System, im Gegensatz zu 53-EDO.

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55-EDO ist das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 55 gleiche Teile geteilt wird. Das Grundintervall ist 21.8 [[Cent]] gross.

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[ToDo Historische Bedeutung: zu Mozarts Zeiten]</text>
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55-EDO ist das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 55 gleiche Teile geteilt wird. Das Grundintervall ist 21.8 [[Cent]] gross.

Eine Gemeinsamkeit von 55-EDO mit [[53-EDO]] ist, dass die beste Approximation des grossen Ganztons (Frequenzverhältnis 9/8) 9 Basisschritte gross ist. Da der Basisschritt von 55-EDO kleiner ist als der von 53-EDO, ist natürlich auch die Approximation des grossen Ganztons kleiner (196.4 Cent gegenüber 203.8 Cent in 53-EDO). Zwei solche Ganztöne führen in 55-EDO zur Approximation einer [[Naturterz|Naturterz 5/4]], in 53-EDO dagegen zur Approximation einer [[81/64|pythagoräischen grossen Terz 81/64]]. 55-EDO, in anderen Worten, ist ein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System. Es ist sehr nah an der [[Sechstelkomma-mitteltönig|Sechstelkomma-mitteltönigen Temperatur.]]

Wie viele mitteltönige Stimmungssysteme hat 55-EDO eine gewisse historische Bedeutung: unter anderem hat der Komponist [https://de.wikipedia.org/wiki/Georg_Philipp_Telemann#Musiktheoretische_und_musikp%C3%A4dagogische_Werke Georg Philipp Telemann] 55-EDO als Tonsystem vorgeschlagen. Das Verhältnis von diatonischem zu chromatischem Halbton 5/4 wurde von manchen als optimal angesehen.</text>
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55-EDO ist das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 55 gleiche Teile geteilt wird. Das Grundintervall ist 21.8 [[Cent]] gross.

Eine Gemeinsamkeit von 55-EDO mit [[53-EDO]] ist, dass die beste Approximation des grossen Ganztons (Frequenzverhältnis 9/8) 9 Basisschritte gross ist. Da der Basisschritt von 55-EDO kleiner ist als der von 53-EDO, ist natürlich auch die Approximation des grossen Ganztons kleiner (196.4 Cent gegenüber 203.8 Cent in 53-EDO). Zwei solche Ganztöne führen in 55-EDO zur Approximation einer [[Naturterz|Naturterz 5/4]], in 53-EDO dagegen zur Approximation einer [[81/64|pythagoräischen grossen Terz 81/64]]. 55-EDO, in anderen Worten, ist ein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System. Es ist sehr nah an der [[Sechstelkomma-mitteltönig|Sechstelkomma-mitteltönigen Temperatur.]]

Wie viele mitteltönige Stimmungssysteme hat 55-EDO eine gewisse historische Bedeutung: unter anderem hat der Komponist [https://de.wikipedia.org/wiki/Georg_Philipp_Telemann#Musiktheoretische_und_musikp%C3%A4dagogische_Werke Georg Philipp Telemann] 55-EDO als Tonsystem vorgeschlagen. Da ein Basisschritt von 55-EDO mit seinen 21.8 Cent fast mit dem [[81/80|syntonischen Komma]] (21.5 Cent) übereinstimmt, ergibt sich daraus die einfache Beziehung, dass ein diatonischer Halbton gerade um etwa ein Komma grösser ist als ein chromatischer (d. h. Dis ist ein Komma niedriger als Es). Zur Zeit von Mozart wurde dieses Verhältnis von diatonischem und chromatischem Halbton von manchen als optimal angesehen.</text>
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[[EDO|Übersicht EDO]]

55-EDO ist das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 55 gleiche Teile geteilt wird. Das Grundintervall ist 21.8 [[Cent]] gross.

Eine Gemeinsamkeit von 55-EDO mit [[53-EDO]] ist, dass die beste Approximation des grossen Ganztons (Frequenzverhältnis 9/8) 9 Basisschritte gross ist. Da der Basisschritt von 55-EDO kleiner ist als der von 53-EDO, ist natürlich auch die Approximation des grossen Ganztons kleiner (196.4 Cent gegenüber 203.8 Cent in 53-EDO). Zwei solche Ganztöne führen in 55-EDO zur Approximation einer [[Naturterz|Naturterz 5/4]], in 53-EDO dagegen zur Approximation einer [[81/64|pythagoräischen grossen Terz 81/64]]. 55-EDO, in anderen Worten, ist ein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System. Es ist sehr nah an der [[Sechstelkomma-mitteltönig|Sechstelkomma-mitteltönigen Temperatur.]]

Wie viele mitteltönige Stimmungssysteme hat 55-EDO eine gewisse historische Bedeutung: unter anderem hat der Komponist [https://de.wikipedia.org/wiki/Georg_Philipp_Telemann#Musiktheoretische_und_musikp%C3%A4dagogische_Werke Georg Philipp Telemann] 55-EDO als Tonsystem vorgeschlagen. Da ein Basisschritt von 55-EDO mit seinen 21.8 Cent fast mit dem [[81/80|syntonischen Komma]] (21.5 Cent) übereinstimmt, ergibt sich daraus die einfache Beziehung, dass ein diatonischer Halbton gerade um etwa ein Komma grösser ist als ein chromatischer (d. h. Dis ist ein Komma niedriger als Es). Zur Zeit von Mozart&lt;ref&gt;Chesnut, John (1977) ''Mozart's Teaching of Intonation'', '''Journal of the American Musicological Society''' Vol. 30, No. 2 (Summer, 1977), pp. 254-271 (Published By: University of California Press) [https://doi.org/10.2307/831219 doi.org/10.2307/831219], [http://www.jstor.org/stable/831219 https://www.jstor.org/stable/831219]&lt;/ref&gt; wurde dieses Verhältnis von diatonischem und chromatischem Halbton von manchen als optimal angesehen.
== Referenzen ==
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[[EDO|Übersicht EDO]]

55-EDO ist das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 55 gleiche Teile geteilt wird. Das Grundintervall ist 21.8 [[Cent]] gross.

Eine Gemeinsamkeit von 55-EDO mit [[53-EDO]] ist, dass die beste Approximation des grossen Ganztons (Frequenzverhältnis 9/8) 9 Basisschritte gross ist. Da der Basisschritt von 55-EDO kleiner ist als der von 53-EDO, ist natürlich auch die Approximation des grossen Ganztons kleiner (196.4 Cent gegenüber 203.8 Cent in 53-EDO). Zwei solche Ganztöne führen in 55-EDO zur Approximation einer [[Naturterz|Naturterz 5/4]], in 53-EDO dagegen zur Approximation einer [[81/64|pythagoräischen grossen Terz 81/64]]. 55-EDO, in anderen Worten, ist ein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System. Es ist sehr nah an der [[Sechstelkomma-mitteltönig|Sechstelkomma-mitteltönigen Temperatur.]]

Wie viele mitteltönige Stimmungssysteme hat 55-EDO eine gewisse historische Bedeutung: unter anderem hat der Komponist [https://de.wikipedia.org/wiki/Georg_Philipp_Telemann#Musiktheoretische_und_musikp%C3%A4dagogische_Werke Georg Philipp Telemann] 55-EDO als Tonsystem vorgeschlagen. Da ein Basisschritt von 55-EDO mit seinen 21.8 Cent fast mit dem [[81/80|syntonischen Komma]] (21.5 Cent) übereinstimmt, ergibt sich die einfache Beziehung, dass ein diatonischer Halbton gerade um etwa ein Komma grösser ist als ein chromatischer (d. h. Dis ist ein Komma niedriger als Es). Zur Zeit von Mozart&lt;ref&gt;Chesnut, John (1977) ''Mozart's Teaching of Intonation'', '''Journal of the American Musicological Society''' Vol. 30, No. 2 (Summer, 1977), pp. 254-271 (Published By: University of California Press) [https://doi.org/10.2307/831219 doi.org/10.2307/831219], [http://www.jstor.org/stable/831219 https://www.jstor.org/stable/831219]&lt;/ref&gt; wurde dieses Verhältnis von diatonischem und chromatischem Halbton von manchen als optimal angesehen.

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55-EDO ist das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 55 gleiche Teile geteilt wird. Das Grundintervall ist 21.8 [[Cent]] gross.

Eine Gemeinsamkeit von 55-EDO mit [[53-EDO]] ist, dass die beste Approximation des grossen Ganztons (Frequenzverhältnis 9/8) 9 Basisschritte gross ist. Da der Basisschritt von 55-EDO kleiner ist als der von 53-EDO, ist natürlich auch die Approximation des grossen Ganztons kleiner (196.4 Cent gegenüber 203.8 Cent in 53-EDO). Zwei solche Ganztöne führen in 55-EDO zur Approximation einer [[Naturterz|Naturterz 5/4]], in 53-EDO dagegen zur Approximation einer [[81/64|pythagoräischen grossen Terz 81/64]]. 55-EDO, in anderen Worten, ist ein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System. Es ist sehr nah an der [[Sechstelkomma-mitteltönig|Sechstelkomma-mitteltönigen Temperatur.]]
== Historische Bedeutung ==

Wie viele mitteltönige Stimmungssysteme hat 55-EDO eine gewisse historische Bedeutung: unter anderem hat der Komponist [https://de.wikipedia.org/wiki/Georg_Philipp_Telemann#Musiktheoretische_und_musikp%C3%A4dagogische_Werke Georg Philipp Telemann] 55-EDO als Tonsystem vorgeschlagen. Da ein Basisschritt von 55-EDO mit seinen 21.8 Cent fast mit dem [[81/80|syntonischen Komma]] (21.5 Cent) übereinstimmt, ergibt sich die einfache Beziehung, dass ein diatonischer Halbton gerade um etwa ein Komma grösser ist als ein chromatischer (d. h. Dis ist ein Komma niedriger als Es). Zur Zeit von Mozart&lt;ref&gt;Chesnut, John (1977) ''Mozart's Teaching of Intonation'', '''Journal of the American Musicological Society''' Vol. 30, No. 2 (Summer, 1977), pp. 254-271 (Published By: University of California Press) [https://doi.org/10.2307/831219 doi.org/10.2307/831219], [http://www.jstor.org/stable/831219 https://www.jstor.org/stable/831219]&lt;/ref&gt; wurde dieses Verhältnis von diatonischem und chromatischem Halbton von manchen als optimal angesehen.

== Referenzen ==
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[[EDO|Übersicht EDO]]

55-EDO ist das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 55 gleiche Teile geteilt wird. Das Grundintervall ist 21.8 [[Cent]] gross.

Eine Gemeinsamkeit von 55-EDO mit [[53-EDO]] ist, dass die beste Approximation des grossen Ganztons (Frequenzverhältnis 9/8) 9 Basisschritte gross ist. Da der Basisschritt von 55-EDO kleiner ist als der von 53-EDO, ist natürlich auch die Approximation des grossen Ganztons kleiner (196.4 Cent gegenüber 203.8 Cent in 53-EDO). Zwei solche Ganztöne führen in 55-EDO zur Approximation einer [[Naturterz|Naturterz 5/4]], in 53-EDO dagegen zur Approximation einer [[81/64|pythagoräischen grossen Terz 81/64]]. 55-EDO, in anderen Worten, ist ein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System. Es ist sehr nah an der [[Sechstelkomma-mitteltönig|Sechstelkomma-mitteltönigen Temperatur.]]
== Historische Bedeutung ==

Wie viele mitteltönige Stimmungssysteme hat 55-EDO eine gewisse historische Bedeutung: unter anderem hat der Komponist [https://de.wikipedia.org/wiki/Georg_Philipp_Telemann#Musiktheoretische_und_musikp%C3%A4dagogische_Werke Georg Philipp Telemann] 55-EDO als Tonsystem vorgeschlagen. Da ein Basisschritt von 55-EDO mit seinen 21.8 Cent fast mit dem [[81/80|syntonischen Komma]] (21.5 Cent) übereinstimmt, ergibt sich die einfache Beziehung, dass ein diatonischer Halbton gerade um etwa ein Komma grösser ist als ein chromatischer (d. h. Dis ist ein Komma niedriger als Es). Zur Zeit von Mozart&lt;ref&gt;Chesnut, John (1977) ''Mozart's Teaching of Intonation'', '''Journal of the American Musicological Society''' Vol. 30, No. 2 (Summer, 1977), pp. 254-271 (Published By: University of California Press) [https://doi.org/10.2307/831219 doi.org/10.2307/831219], [http://www.jstor.org/stable/831219 https://www.jstor.org/stable/831219]&lt;/ref&gt; wurde dieses Verhältnis von diatonischem und chromatischem Halbton von manchen als optimal angesehen.

== Referenzen ==
&lt;references /&gt;

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      <comment>Die Seite wurde neu angelegt: „{{interwiki | de = 9edo | en = 9edo | es =  | ja = 9平均律 }} [[EDO|Übersicht EDO]]  =Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle= 9-EDO unterteilt eine Oktave in 9 gleich grosse Teile zu je 133.3 [[Cent]]. Es ist das kleinste EDO zu einer ungeraden Nicht-[[Primzahl]], [[3-EDO]] ist eine Teilmenge davon.  9-EDO verfügt über dieselbe gute Approximation der reinen grossen Terz wie die Standardstimmung [[12-EDO]], ferner eine sehr gute…“</comment>
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[[EDO|Übersicht EDO]]

=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
9-EDO unterteilt eine Oktave in 9 gleich grosse Teile zu je 133.3 [[Cent]]. Es ist das kleinste EDO zu einer ungeraden Nicht-[[Primzahl]], [[3-EDO]] ist eine Teilmenge davon.

9-EDO verfügt über dieselbe gute Approximation der reinen grossen Terz wie die Standardstimmung [[12-EDO]], ferner eine sehr gute Approximation (weniger als 1 Cent Abweichung) der septimalen kleinen Terz 7/6 , dem Intervall zwischen dem sechsten und dem siebten [[Obertonreihe|Oberton]]. Die Obertöne eine Oktave höher, also die Intervalle zwischen dem zwölften, dem dreizehnten und dem vierzehnten Oberton (13/12 und 14/13), werden mit rund 5 Cent Abweichung getroffen.

Abgesehen davon ist es um die Annäherung der unteren Intervalle der Obertonreihe eher schlecht bestellt: weder Quinte noch Quarte noch kleine Terz noch Ganzton noch [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] werden akzeptabel getroffen, der Fehler ist jedesmal mehr als 30 Cent. Auch das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]] wird nicht besonders gut getroffen (wenn auch mit rund 18 Cent Abweichung schon besser als in der Standardstimmung 12-EDO).

Für traditionelle westliche Musik, die auf Quinten und Zerzen basiert, ist 9-EDO also definitiv kaum zu gebrauchen, und auch für Unterstützung von Intervallen in [[Reine Stimmung|reinen Stimmungen]] im allgemeinen kaum. Bei so wenig Tönen ist das allerdings auch nicht so erstaunlich

Bei den höheren Intervallen der Obertonreihe fällt etwas auf, dass ein paar 7-[[P-Limit|Limit]]-Intervalle sehr gut getroffen werden, neben 7/6 z. B. 27/25, 63/50, 49/36, 72/49. Die Tonleiter bestehend aus den 7-Limit-Itervallen 1/1, 27/25, 7/6, 63/50, 49/36, 72/49, 100/63, 12/7, 50/27 ist akustisch fast identisch mit 9-EDO.

=MOS-Skalen=
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[[EDO|Übersicht EDO]]

=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
9-EDO unterteilt eine Oktave in 9 gleich grosse Teile zu je 133.3 [[Cent]]. Es ist das kleinste EDO zu einer ungeraden Nicht-[[Primzahl]], [[3-EDO]] ist eine Teilmenge davon.

9-EDO verfügt über dieselbe gute Approximation der reinen grossen Terz wie die Standardstimmung [[12-EDO]], ferner eine sehr gute Approximation (weniger als 1 Cent Abweichung) der septimalen kleinen Terz 7/6 , dem Intervall zwischen dem sechsten und dem siebten [[Obertonreihe|Oberton]]. Die Obertöne eine Oktave höher, also die Intervalle zwischen dem zwölften, dem dreizehnten und dem vierzehnten Oberton (13/12 und 14/13), werden mit rund 5 Cent Abweichung getroffen.

Abgesehen davon ist es um die Annäherung der unteren Intervalle der Obertonreihe eher schlecht bestellt: weder Quinte noch Quarte noch kleine Terz noch Ganzton noch [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] werden akzeptabel getroffen, der Fehler ist jedesmal mehr als 30 Cent. Auch das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]] wird nicht besonders gut getroffen (wenn auch mit rund 18 Cent Abweichung schon besser als in der Standardstimmung 12-EDO).

Für traditionelle westliche Musik, die auf Quinten und Terzen basiert, ist 9-EDO also definitiv kaum zu gebrauchen, und auch für Unterstützung von Intervallen in [[Reine Stimmung|reinen Stimmungen]] im allgemeinen kaum. Bei so wenig Tönen ist das allerdings auch nicht so erstaunlich

Bei den höheren Intervallen der Obertonreihe fällt etwas auf, dass ein paar 7-[[P-Limit|Limit]]-Intervalle sehr gut getroffen werden, neben 7/6 z. B. 27/25, 63/50, 49/36, 72/49. Die Tonleiter bestehend aus den 7-Limit-Itervallen 1/1, 27/25, 7/6, 63/50, 49/36, 72/49, 100/63, 12/7, 50/27 ist akustisch fast identisch mit 9-EDO.

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[[EDO|Übersicht EDO]]

=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
9-EDO unterteilt eine Oktave in 9 gleich grosse Teile zu je 133.3 [[Cent]]. Es ist das kleinste EDO zu einer ungeraden Nicht-[[Primzahl]], [[3-EDO]] ist eine Teilmenge davon.

9-EDO verfügt über dieselbe gute Approximation der reinen grossen Terz wie die Standardstimmung [[12-EDO]], ferner eine sehr gute Approximation (weniger als 1 Cent Abweichung) der septimalen kleinen Terz 7/6 , dem Intervall zwischen dem sechsten und dem siebten [[Obertonreihe|Oberton]]. Die Obertöne eine Oktave höher, also die Intervalle zwischen dem zwölften, dem dreizehnten und dem vierzehnten Oberton (13/12 und 14/13), werden mit rund 5 Cent Abweichung getroffen.

Abgesehen davon ist es um die Annäherung der unteren Intervalle der Obertonreihe eher schlecht bestellt: weder Quinte noch Quarte noch kleine Terz noch Ganzton noch [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] werden akzeptabel getroffen, der Fehler ist jedesmal mehr als 30 Cent. Auch das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]] wird nicht besonders gut getroffen (wenn auch mit rund 18 Cent Abweichung schon besser als in der Standardstimmung 12-EDO).

Für traditionelle westliche Musik, die auf Quinten und Terzen basiert, ist 9-EDO also definitiv kaum zu gebrauchen, und auch für Unterstützung von Intervallen in [[Reine Stimmung|reinen Stimmungen]] im allgemeinen kaum. Bei so wenig Tönen ist das allerdings auch nicht so erstaunlich

Bei den höheren Intervallen der Obertonreihe fällt etwas auf, dass ein paar 7-[[P-Limit|Limit]]-Intervalle sehr gut getroffen werden, neben 7/6 z. B. 27/25, 63/50, 49/36, 72/49. Die Tonleiter bestehend aus den 7-Limit-Itervallen 1/1, 27/25, 7/6, 63/50, 49/36, 72/49, 100/63, 12/7, 50/27 ist akustisch fast identisch mit 9-EDO.

=MOS-Skalen=
Die 9-EDO-Approximation der Quinte 3/2, mit 666.67 Cent sehr niedrig und ziemlich unrein, kann dennoch wie die reine (oder eine [[Mitteltönig|mitteltönige]]) Quinte als Generator-Intervall für [[MOS-Skalen]] verwendet werden. Man erhält dann eine fünftönige Skala, wie die klassische pentatonische Skala von der Form 2L 3s (zwei grosse und drei kleine Intervalle - mit zienlich anderen Interavllgrössen allerdings), sowie eine siebentönige der Form 2L 5s (zwei grosse und fünf kleine Intervalle), eine '''antidiatonische''' Skala also, ähnlich wie auch [[16-EDO]]. 9-EDO ist das kleinste EDO, das eine antidiatonische Skala anbietet.

Bei Verwendung der Approximation von 7/6 als Generator erhält man eine viertönige MOS-Skala der Form 1L 3s sowie eine fünftönige der Form 4L 1s.

[ToDo Klangbeispiele]

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[[EDO|Übersicht EDO]]

=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
9-EDO unterteilt eine Oktave in 9 gleich grosse Teile zu je 133.3 [[Cent]]. Es ist das kleinste EDO zu einer ungeraden Nicht-[[Primzahl]], [[3-EDO]] ist eine Teilmenge davon.

9-EDO verfügt über dieselbe gute Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] wie die Standardstimmung [[12-EDO]], ferner eine sehr gute Approximation (weniger als 1 Cent Abweichung) der septimalen kleinen Terz 7/6 , dem Intervall zwischen dem sechsten und dem siebten [[Obertonreihe|Oberton]]. Die Obertöne eine Oktave höher, also die Intervalle zwischen dem zwölften, dem dreizehnten und dem vierzehnten Oberton (13/12 und 14/13), werden mit rund 5 Cent Abweichung getroffen.

Abgesehen davon ist es um die Annäherung der unteren Intervalle der Obertonreihe eher schlecht bestellt: weder Quinte noch Quarte noch kleine Terz noch Ganzton noch [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] werden akzeptabel getroffen, der Fehler ist jedesmal mehr als 30 Cent. Auch das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]] wird nicht besonders gut getroffen (wenn auch mit rund 18 Cent Abweichung schon besser als in der Standardstimmung 12-EDO).

Für traditionelle westliche Musik, die auf Quinten und Terzen basiert, ist 9-EDO also definitiv kaum zu gebrauchen, und auch für Unterstützung von Intervallen in [[Reine Stimmung|reinen Stimmungen]] im allgemeinen kaum. Bei so wenig Tönen ist das allerdings auch nicht so erstaunlich

Bei den höheren Intervallen der Obertonreihe fällt etwas auf, dass ein paar 7-[[P-Limit|Limit]]-Intervalle sehr gut getroffen werden, neben 7/6 z. B. 27/25, 63/50, 49/36, 72/49. Die Tonleiter bestehend aus den 7-Limit-Itervallen 1/1, 27/25, 7/6, 63/50, 49/36, 72/49, 100/63, 12/7, 50/27 ist akustisch fast identisch mit 9-EDO.

=MOS-Skalen=
Die 9-EDO-Approximation der Quinte 3/2, mit 666.67 Cent sehr niedrig und ziemlich unrein, kann dennoch wie die reine (oder eine [[Mitteltönig|mitteltönige]]) Quinte als Generator-Intervall für [[MOS-Skalen]] verwendet werden. Man erhält dann eine fünftönige Skala, wie die klassische pentatonische Skala von der Form 2L 3s (zwei grosse und drei kleine Intervalle - mit zienlich anderen Interavllgrössen allerdings), sowie eine siebentönige der Form 2L 5s (zwei grosse und fünf kleine Intervalle), eine '''antidiatonische''' Skala also, ähnlich wie auch [[16-EDO]]. 9-EDO ist das kleinste EDO, das eine antidiatonische Skala anbietet.

Bei Verwendung der Approximation von 7/6 als Generator erhält man eine viertönige MOS-Skala der Form 1L 3s sowie eine fünftönige der Form 4L 1s.

[ToDo Klangbeispiele]

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[[EDO|Übersicht EDO]]

=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
9-EDO unterteilt eine Oktave in 9 gleich grosse Teile zu je 133.3 [[Cent]]. Es ist das kleinste EDO zu einer ungeraden Nicht-[[Primzahl]], [[3-EDO]] ist eine Teilmenge davon.

9-EDO verfügt über dieselbe gute Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] wie die Standardstimmung [[12-EDO]], ferner eine sehr gute Approximation (weniger als 1 Cent Abweichung) der septimalen kleinen Terz 7/6 , dem Intervall zwischen dem sechsten und dem siebten [[Obertonreihe|Oberton]]. Die Obertöne eine Oktave höher, also die Intervalle zwischen dem zwölften, dem dreizehnten und dem vierzehnten Oberton (13/12 und 14/13), werden mit rund 5 Cent Abweichung getroffen.

Abgesehen davon ist es um die Annäherung der unteren Intervalle der Obertonreihe eher schlecht bestellt: weder Quinte noch Quarte noch kleine Terz noch Ganzton noch [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] werden akzeptabel getroffen, der Fehler ist jedesmal mehr als 30 Cent. Auch das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]] wird nicht besonders gut getroffen (wenn auch mit rund 18 Cent Abweichung schon besser als in der Standardstimmung 12-EDO).

Für traditionelle westliche Musik, die auf Quinten und Terzen basiert, ist 9-EDO also definitiv kaum zu gebrauchen, und auch für Unterstützung von Intervallen in [[Reine Stimmung|reinen Stimmungen]] im allgemeinen kaum. Bei so wenig Tönen ist das allerdings auch nicht so erstaunlich

Bei den höheren Intervallen der Obertonreihe fällt etwas auf, dass ein paar 7-[[P-Limit|Limit]]-Intervalle sehr gut getroffen werden, neben 7/6 z. B. 27/25, 63/50, 49/36, 72/49. Die Tonleiter bestehend aus den 7-Limit-Itervallen 1/1, 27/25, 7/6, 63/50, 49/36, 72/49, 100/63, 12/7, 50/27 ist akustisch fast identisch mit 9-EDO.

=MOS-Skalen=
Die 9-EDO-Approximation der Quinte 3/2, mit 666.67 Cent sehr niedrig und ziemlich unrein, kann dennoch wie die reine (oder eine [[Mitteltönig|mitteltönige]]) Quinte als Generator-Intervall für [[MOS-Skalen]] verwendet werden. Man erhält dann eine fünftönige Skala, wie die klassische pentatonische Skala von der Form 2L 3s (zwei grosse und drei kleine Intervalle - mit ziemlich anderen Interavllgrössen allerdings), sowie eine siebentönige der Form 2L 5s (zwei grosse und fünf kleine Intervalle), eine '''antidiatonische''' Skala also, ähnlich wie auch [[16-EDO]]. 9-EDO ist das kleinste EDO, das eine antidiatonische Skala anbietet.

Bei Verwendung der Approximation von 7/6 als Generator erhält man eine viertönige MOS-Skala der Form 1L 3s sowie eine fünftönige der Form 4L 1s.

[ToDo Klangbeispiele]

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[[EDO|Übersicht EDO]]

=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
9-EDO unterteilt eine Oktave in 9 gleich grosse Teile zu je 133.3 [[Cent]]. Es ist das kleinste EDO zu einer ungeraden Nicht-[[Primzahl]], [[3-EDO]] ist eine Teilmenge davon.

9-EDO verfügt über dieselbe gute Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] wie die Standardstimmung [[12-EDO]], ferner eine sehr gute Approximation (weniger als 1 Cent Abweichung) der septimalen kleinen Terz 7/6 , dem Intervall zwischen dem sechsten und dem siebten [[Obertonreihe|Oberton]]. Die Obertöne eine Oktave höher, also die Intervalle zwischen dem zwölften, dem dreizehnten und dem vierzehnten Oberton (13/12 und 14/13), werden mit rund 5 Cent Abweichung getroffen.

Abgesehen davon ist es um die Annäherung der unteren Intervalle der Obertonreihe eher schlecht bestellt: weder Quinte noch Quarte noch kleine Terz noch Ganzton noch [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] werden akzeptabel getroffen, der Fehler ist jedesmal mehr als 30 Cent. Auch das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]] wird nicht besonders gut getroffen (wenn auch mit rund 18 Cent Abweichung schon besser als in der Standardstimmung 12-EDO).

Für traditionelle westliche Musik, die auf Quinten und Terzen basiert, ist 9-EDO also definitiv kaum zu gebrauchen, und auch für Unterstützung von Intervallen in [[Reine Stimmung|reinen Stimmungen]] im allgemeinen kaum. Bei so wenig Tönen ist das allerdings auch nicht so erstaunlich

Bei den höheren Intervallen der Obertonreihe fällt etwas auf, dass ein paar 7-[[P-Limit|Limit]]-Intervalle sehr gut getroffen werden, neben 7/6 z. B. 27/25, 63/50, 49/36, 72/49. Die Tonleiter bestehend aus den 7-Limit-Itervallen 1/1, 27/25, 7/6, 63/50, 49/36, 72/49, 100/63, 12/7, 50/27 ist akustisch fast identisch mit 9-EDO.

=MOS-Skalen=
Die 9-EDO-Approximation der Quinte 3/2, mit 666.67 Cent sehr niedrig und ziemlich unrein, kann dennoch wie die reine (oder eine [[Mitteltönig|mitteltönige]]) Quinte als Generator-Intervall für [[MOS-Skalen]] verwendet werden. Man erhält dann eine fünftönige Skala, wie die klassische pentatonische Skala von der Form 2L 3s (zwei grosse und drei kleine Intervalle - mit ziemlich anderen Interavllgrössen allerdings), sowie eine siebentönige der Form 2L 5s (zwei grosse und fünf kleine Intervalle), eine '''antidiatonische''' Skala also, ähnlich wie auch [[16-EDO]]. 9-EDO ist das kleinste EDO, das eine antidiatonische Skala anbietet.

Bei Verwendung der Approximation von 7/6 als Generator erhält man eine viertönige MOS-Skala der Form 1L 3s sowie eine fünftönige der Form 4L 1s.

[ToDo Klangbeispiele]

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[[EDO|Übersicht EDO]]

=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
9-EDO unterteilt eine Oktave in 9 gleich grosse Teile zu je 133.3 [[Cent]]. Es ist das kleinste EDO zu einer ungeraden Nicht-[[Primzahl]], [[3-EDO]] ist eine Teilmenge davon.

9-EDO verfügt über dieselbe gute Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] wie die Standardstimmung [[12-EDO]], ferner eine sehr gute Approximation (weniger als 1 Cent Abweichung) der septimalen kleinen Terz 7/6 , dem Intervall zwischen dem sechsten und dem siebten [[Obertonreihe|Oberton]]. Die Obertöne eine Oktave höher, also die Intervalle zwischen dem zwölften, dem dreizehnten und dem vierzehnten Oberton (13/12 und 14/13), werden mit rund 5 Cent Abweichung getroffen.

Abgesehen davon ist es um die Annäherung der unteren Intervalle der Obertonreihe eher schlecht bestellt: weder Quinte noch Quarte noch kleine Terz noch Ganzton noch [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] werden akzeptabel getroffen, der Fehler ist jedesmal mehr als 30 Cent. Auch das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]] wird nicht besonders gut getroffen (wenn auch mit rund 18 Cent Abweichung schon besser als in der Standardstimmung 12-EDO).

Für traditionelle westliche Musik, die auf Quinten und Terzen basiert, ist 9-EDO also definitiv kaum zu gebrauchen, und auch für Unterstützung von Intervallen in [[Reine Stimmung|reinen Stimmungen]] im allgemeinen kaum. Bei so wenig Tönen ist das allerdings auch nicht so erstaunlich

Bei den höheren Intervallen der Obertonreihe fällt etwas auf, dass ein paar 7-[[P-Limit|Limit]]-Intervalle sehr gut getroffen werden, neben 7/6 z. B. 27/25, 63/50, 49/36, 72/49. Die Tonleiter bestehend aus den 7-Limit-Itervallen 1/1, 27/25, 7/6, 63/50, 49/36, 72/49, 100/63, 12/7, 50/27 ist akustisch fast identisch mit 9-EDO.

=MOS-Skalen=
Die 9-EDO-Approximation der Quinte 3/2, mit 666.67 Cent sehr niedrig und ziemlich unrein, kann dennoch wie die reine (oder eine [[Mitteltönig|mitteltönige]]) Quinte als Generator-Intervall für [[MOS-Skalen]] verwendet werden. Man erhält dann eine fünftönige Skala, wie die klassische pentatonische Skala von der Form 2L 3s (zwei grosse und drei kleine Intervalle - mit ziemlich anderen Interavllgrössen allerdings), sowie eine siebentönige der Form 2L 5s (zwei grosse und fünf kleine Intervalle), eine '''antidiatonische''' Skala also, ähnlich wie auch [[16-EDO]]. 9-EDO ist das kleinste EDO, das eine antidiatonische Skala anbietet.

Bei Verwendung der Approximation von 7/6 als Generator erhält man eine viertönige MOS-Skala der Form 1L 3s sowie eine fünftönige der Form 4L 1s.

[ToDo Klangbeispiele]

=Bedeutung=
Für traditionelle westliche Musik ist 9-EDO wie gesagt nicht wirklich geeignet. Es gibt jedoch Forschungsarbeiten, die eine 9-EDO Tradition in der indonesischen Gamelan-Musik nahelegen. Siehe:

[http://Martin%20Braun,%20Historical%20evidence%20for%20a%20nearly%20equidistant%209-tone%20gamelan%20pelog%20in%20Java Martin Braun, Historical evidence for a nearly equidistant 9-tone gamelan pelog in Java], in: Neuroscience of Music, S-671 95 Klässbol, Sweden, August 2002.

Als Unterteilung der Oktave in 3&lt;sup&gt;2&lt;/sub&gt; Teile, also eine starke Position der Zahl 3, legen auch eine Eignung als traditionelles Tonsystem für [https://de.wikipedia.org/wiki/V%C3%B6lker_und_Gruppierungen_im_Star-Trek-Universum#Klingonen klingonische] Musik nahe, da das traditionelle klingonische Zahlensystem auf der 3 basiert. Siehe hierzu:

[http://%5B%5Bhttps://www.youtube.com/watch?v=1LjcBv-OWtQ%5D%5D Levi McClain, Klingon music theory is weird]

[[Kategorie:EDO]]</text>
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[[EDO|Übersicht EDO]]

==Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle==
9-EDO unterteilt eine Oktave in 9 gleich grosse Teile zu je 133.3 [[Cent]]. Es ist das kleinste EDO zu einer ungeraden Nicht-[[Primzahl]], [[3-EDO]] ist eine Teilmenge davon.

9-EDO verfügt über dieselbe gute Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] wie die Standardstimmung [[12-EDO]], ferner eine sehr gute Approximation (weniger als 1 Cent Abweichung) der septimalen kleinen Terz 7/6 , dem Intervall zwischen dem sechsten und dem siebten [[Obertonreihe|Oberton]]. Die Obertöne eine Oktave höher, also die Intervalle zwischen dem zwölften, dem dreizehnten und dem vierzehnten Oberton (13/12 und 14/13), werden mit rund 5 Cent Abweichung getroffen.

Abgesehen davon ist es um die Annäherung der unteren Intervalle der Obertonreihe eher schlecht bestellt: weder Quinte noch Quarte noch kleine Terz noch Ganzton noch [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] werden akzeptabel getroffen, der Fehler ist jedesmal mehr als 30 Cent. Auch das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]] wird nicht besonders gut getroffen (wenn auch mit rund 18 Cent Abweichung schon besser als in der Standardstimmung 12-EDO).

Für traditionelle westliche Musik, die auf Quinten und Terzen basiert, ist 9-EDO also definitiv kaum zu gebrauchen, und auch für Unterstützung von Intervallen in [[Reine Stimmung|reinen Stimmungen]] im allgemeinen kaum. Bei so wenig Tönen ist das allerdings auch nicht so erstaunlich

Bei den höheren Intervallen der Obertonreihe fällt etwas auf, dass ein paar 7-[[P-Limit|Limit]]-Intervalle sehr gut getroffen werden, neben 7/6 z. B. 27/25, 63/50, 49/36, 72/49. Die Tonleiter bestehend aus den 7-Limit-Itervallen 1/1, 27/25, 7/6, 63/50, 49/36, 72/49, 100/63, 12/7, 50/27 ist akustisch fast identisch mit 9-EDO.

==MOS-Skalen==
Die 9-EDO-Approximation der Quinte 3/2, mit 666.67 Cent sehr niedrig und ziemlich unrein, kann dennoch wie die reine (oder eine [[Mitteltönig|mitteltönige]]) Quinte als Generator-Intervall für [[MOS-Skalen]] verwendet werden. Man erhält dann eine fünftönige Skala, wie die klassische pentatonische Skala von der Form 2L 3s (zwei grosse und drei kleine Intervalle - mit ziemlich anderen Interavllgrössen allerdings), sowie eine siebentönige der Form 2L 5s (zwei grosse und fünf kleine Intervalle), eine '''antidiatonische''' Skala also, ähnlich wie auch [[16-EDO]]. 9-EDO ist das kleinste EDO, das eine antidiatonische Skala anbietet.

Bei Verwendung der Approximation von 7/6 als Generator erhält man eine viertönige MOS-Skala der Form 1L 3s sowie eine fünftönige der Form 4L 1s.

[ToDo Klangbeispiele]

==Bedeutung==
Für traditionelle westliche Musik ist 9-EDO wie gesagt nicht wirklich geeignet. Es gibt jedoch Forschungsarbeiten, die eine 9-EDO Tradition in der indonesischen Gamelan-Musik nahelegen. Siehe:

[http://Martin%20Braun,%20Historical%20evidence%20for%20a%20nearly%20equidistant%209-tone%20gamelan%20pelog%20in%20Java Martin Braun, Historical evidence for a nearly equidistant 9-tone gamelan pelog in Java], in: Neuroscience of Music, S-671 95 Klässbol, Sweden, August 2002.

Als Unterteilung der Oktave in 3&lt;sup&gt;2&lt;/sub&gt; Teile, also eine starke Position der Zahl 3, legen auch eine Eignung als traditionelles Tonsystem für [https://de.wikipedia.org/wiki/V%C3%B6lker_und_Gruppierungen_im_Star-Trek-Universum#Klingonen klingonische] Musik nahe, da das traditionelle klingonische Zahlensystem auf der 3 basiert. Siehe hierzu:

[http://%5B%5Bhttps://www.youtube.com/watch?v=1LjcBv-OWtQ%5D%5D Levi McClain, Klingon music theory is weird]

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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]
__TOC__
==Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle==
9-EDO unterteilt eine Oktave in 9 gleich grosse Teile zu je 133.3 [[Cent]]. Es ist das kleinste EDO zu einer ungeraden Nicht-[[Primzahl]], [[3-EDO]] ist eine Teilmenge davon.

9-EDO verfügt über dieselbe gute Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] wie die Standardstimmung [[12-EDO]], ferner eine sehr gute Approximation (weniger als 1 Cent Abweichung) der septimalen kleinen Terz 7/6 , dem Intervall zwischen dem sechsten und dem siebten [[Obertonreihe|Oberton]]. Die Obertöne eine Oktave höher, also die Intervalle zwischen dem zwölften, dem dreizehnten und dem vierzehnten Oberton (13/12 und 14/13), werden mit rund 5 Cent Abweichung getroffen.

Abgesehen davon ist es um die Annäherung der unteren Intervalle der Obertonreihe eher schlecht bestellt: weder Quinte noch Quarte noch kleine Terz noch Ganzton noch [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] werden akzeptabel getroffen, der Fehler ist jedesmal mehr als 30 Cent. Auch das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]] wird nicht besonders gut getroffen (wenn auch mit rund 18 Cent Abweichung schon besser als in der Standardstimmung 12-EDO).

Für traditionelle westliche Musik, die auf Quinten und Terzen basiert, ist 9-EDO also definitiv kaum zu gebrauchen, und auch für Unterstützung von Intervallen in [[Reine Stimmung|reinen Stimmungen]] im allgemeinen kaum. Bei so wenig Tönen ist das allerdings auch nicht so erstaunlich

Bei den höheren Intervallen der Obertonreihe fällt etwas auf, dass ein paar 7-[[P-Limit|Limit]]-Intervalle sehr gut getroffen werden, neben 7/6 z. B. 27/25, 63/50, 49/36, 72/49. Die Tonleiter bestehend aus den 7-Limit-Itervallen 1/1, 27/25, 7/6, 63/50, 49/36, 72/49, 100/63, 12/7, 50/27 ist akustisch fast identisch mit 9-EDO.

==MOS-Skalen==
Die 9-EDO-Approximation der Quinte 3/2, mit 666.67 Cent sehr niedrig und ziemlich unrein, kann dennoch wie die reine (oder eine [[Mitteltönig|mitteltönige]]) Quinte als Generator-Intervall für [[MOS-Skalen]] verwendet werden. Man erhält dann eine fünftönige Skala, wie die klassische pentatonische Skala von der Form 2L 3s (zwei grosse und drei kleine Intervalle - mit ziemlich anderen Interavllgrössen allerdings), sowie eine siebentönige der Form 2L 5s (zwei grosse und fünf kleine Intervalle), eine '''antidiatonische''' Skala also, ähnlich wie auch [[16-EDO]]. 9-EDO ist das kleinste EDO, das eine antidiatonische Skala anbietet.

Bei Verwendung der Approximation von 7/6 als Generator erhält man eine viertönige MOS-Skala der Form 1L 3s sowie eine fünftönige der Form 4L 1s.

[ToDo Klangbeispiele]

==Bedeutung==
Für traditionelle westliche Musik ist 9-EDO wie gesagt nicht wirklich geeignet. Es gibt jedoch Forschungsarbeiten, die eine 9-EDO Tradition in der indonesischen Gamelan-Musik nahelegen. Siehe:

[http://Martin%20Braun,%20Historical%20evidence%20for%20a%20nearly%20equidistant%209-tone%20gamelan%20pelog%20in%20Java Martin Braun, Historical evidence for a nearly equidistant 9-tone gamelan pelog in Java], in: Neuroscience of Music, S-671 95 Klässbol, Sweden, August 2002.

Als Unterteilung der Oktave in 3&lt;sup&gt;2&lt;/sub&gt; Teile, also eine starke Position der Zahl 3, legen auch eine Eignung als traditionelles Tonsystem für [https://de.wikipedia.org/wiki/V%C3%B6lker_und_Gruppierungen_im_Star-Trek-Universum#Klingonen klingonische] Musik nahe, da das traditionelle klingonische Zahlensystem auf der 3 basiert. Siehe hierzu:

[http://%5B%5Bhttps://www.youtube.com/watch?v=1LjcBv-OWtQ%5D%5D Levi McClain, Klingon music theory is weird]

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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]
__TOC__
==Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle==
9-EDO unterteilt eine Oktave in 9 gleich grosse Teile zu je 133.3 [[Cent]]. Es ist das kleinste EDO zu einer ungeraden Nicht-[[Primzahl]], [[3-EDO]] ist eine Teilmenge davon.

9-EDO verfügt über dieselbe gute Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] wie die Standardstimmung [[12-EDO]], ferner eine sehr gute Approximation (weniger als 1 Cent Abweichung) der septimalen kleinen Terz 7/6 , dem Intervall zwischen dem sechsten und dem siebten [[Obertonreihe|Oberton]]. Die Obertöne eine Oktave höher, also die Intervalle zwischen dem zwölften, dem dreizehnten und dem vierzehnten Oberton (13/12 und 14/13), werden mit rund 5 Cent Abweichung getroffen.

Abgesehen davon ist es um die Annäherung der unteren Intervalle der Obertonreihe eher schlecht bestellt: weder Quinte noch Quarte noch kleine Terz noch Ganzton noch [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] werden akzeptabel getroffen, der Fehler ist jedesmal mehr als 30 Cent. Auch das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]] wird nicht besonders gut getroffen (wenn auch mit rund 18 Cent Abweichung schon besser als in der Standardstimmung 12-EDO).

Für traditionelle westliche Musik, die auf Quinten und Terzen basiert, ist 9-EDO also definitiv kaum zu gebrauchen, und auch für Unterstützung von Intervallen in [[Reine Stimmung|reinen Stimmungen]] im allgemeinen kaum. Bei so wenig Tönen ist das allerdings auch nicht so erstaunlich

Bei den höheren Intervallen der Obertonreihe fällt etwas auf, dass ein paar 7-[[P-Limit|Limit]]-Intervalle sehr gut getroffen werden, neben 7/6 z. B. 27/25, 63/50, 49/36, 72/49. Die Tonleiter bestehend aus den 7-Limit-Itervallen 1/1, 27/25, 7/6, 63/50, 49/36, 72/49, 100/63, 12/7, 50/27 ist akustisch fast identisch mit 9-EDO.

==MOS-Skalen==
Die 9-EDO-Approximation der Quinte 3/2, mit 666.67 Cent sehr niedrig und ziemlich unrein, kann dennoch wie die reine (oder eine [[Mitteltönig|mitteltönige]]) Quinte als Generator-Intervall für [[MOS-Skalen]] verwendet werden. Man erhält dann eine fünftönige Skala, wie die klassische pentatonische Skala von der Form 2L 3s (zwei grosse und drei kleine Intervalle - mit ziemlich anderen Interavllgrössen allerdings), sowie eine siebentönige der Form 2L 5s (zwei grosse und fünf kleine Intervalle), eine '''antidiatonische''' Skala also, ähnlich wie auch [[16-EDO]]. 9-EDO ist das kleinste EDO, das eine antidiatonische Skala anbietet.

Bei Verwendung der Approximation von 7/6 als Generator erhält man eine viertönige MOS-Skala der Form 1L 3s sowie eine fünftönige der Form 4L 1s.

[ToDo Klangbeispiele]

==Bedeutung==
Für traditionelle westliche Musik ist 9-EDO wie gesagt nicht wirklich geeignet. Es gibt jedoch Forschungsarbeiten, die eine 9-EDO Tradition in der indonesischen Gamelan-Musik nahelegen. Siehe:

[http://Martin%20Braun,%20Historical%20evidence%20for%20a%20nearly%20equidistant%209-tone%20gamelan%20pelog%20in%20Java Martin Braun, Historical evidence for a nearly equidistant 9-tone gamelan pelog in Java], in: Neuroscience of Music, S-671 95 Klässbol, Sweden, August 2002.

Als Unterteilung der Oktave in 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; Teile, also eine starke Position der Zahl 3, legen auch eine Eignung als traditionelles Tonsystem für [https://de.wikipedia.org/wiki/V%C3%B6lker_und_Gruppierungen_im_Star-Trek-Universum#Klingonen klingonische] Musik nahe, da das traditionelle klingonische Zahlensystem auf der 3 basiert. Siehe hierzu:

[http://%5B%5Bhttps://www.youtube.com/watch?v=1LjcBv-OWtQ%5D%5D Levi McClain, Klingon music theory is weird]

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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]
__TOC__
==Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle==
9-EDO unterteilt eine Oktave in 9 gleich grosse Teile zu je 133.3 [[Cent]]. Es ist das kleinste EDO zu einer ungeraden Nicht-[[Primzahl]], [[3-EDO]] ist eine Teilmenge davon.

9-EDO verfügt über dieselbe gute Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] wie die Standardstimmung [[12-EDO]], ferner eine sehr gute Approximation (weniger als 1 Cent Abweichung) der septimalen kleinen Terz 7/6 , dem Intervall zwischen dem sechsten und dem siebten [[Obertonreihe|Oberton]]. Die Obertöne eine Oktave höher, also die Intervalle zwischen dem zwölften, dem dreizehnten und dem vierzehnten Oberton (13/12 und 14/13), werden mit rund 5 Cent Abweichung getroffen.

Abgesehen davon ist es um die Annäherung der unteren Intervalle der Obertonreihe eher schlecht bestellt: weder Quinte noch Quarte noch kleine Terz noch Ganzton noch [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] werden akzeptabel getroffen, der Fehler ist jedesmal mehr als 30 Cent. Auch das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]] wird nicht besonders gut getroffen (wenn auch mit rund 18 Cent Abweichung schon besser als in der Standardstimmung 12-EDO).

Für traditionelle westliche Musik, die auf Quinten und Terzen basiert, ist 9-EDO also definitiv kaum zu gebrauchen, und auch für Unterstützung von Intervallen in [[Reine Stimmung|reinen Stimmungen]] im allgemeinen kaum. Bei so wenig Tönen ist das allerdings auch nicht so erstaunlich

Bei den höheren Intervallen der Obertonreihe fällt etwas auf, dass ein paar 7-[[P-Limit|Limit]]-Intervalle sehr gut getroffen werden, neben 7/6 z. B. 27/25, 63/50, 49/36, 72/49. Die Tonleiter bestehend aus den 7-Limit-Itervallen 1/1, 27/25, 7/6, 63/50, 49/36, 72/49, 100/63, 12/7, 50/27 ist akustisch fast identisch mit 9-EDO.

==MOS-Skalen==
Die 9-EDO-Approximation der Quinte 3/2 (5 Schritte von 9-EDO), mit 666.67 Cent sehr niedrig und ziemlich unrein, kann dennoch wie die reine (oder eine [[Mitteltönig|mitteltönige]]) Quinte als Generator-Intervall für [[MOS-Skalen]] verwendet werden. Man erhält dann eine fünftönige Skala, wie die klassische pentatonische Skala von der Form 2L 3s (zwei grosse und drei kleine Intervalle - mit ziemlich anderen Interavllgrössen allerdings), sowie eine siebentönige der Form 2L 5s (zwei grosse und fünf kleine Intervalle), eine '''antidiatonische''' Skala also, ähnlich wie auch [[16-EDO]]. 9-EDO ist das kleinste EDO, das eine antidiatonische Skala anbietet.

Bei Verwendung der Approximation von 7/6 (2 Schritte von 9-EDO) als Generator erhält man eine viertönige MOS-Skala der Form 1L 3s sowie eine fünftönige der Form 4L 1s.

[ToDo Klangbeispiele]

==Bedeutung==
Für traditionelle westliche Musik ist 9-EDO wie gesagt nicht wirklich geeignet. Es gibt jedoch Forschungsarbeiten, die eine 9-EDO Tradition in der indonesischen Gamelan-Musik nahelegen. Siehe:

[http://Martin%20Braun,%20Historical%20evidence%20for%20a%20nearly%20equidistant%209-tone%20gamelan%20pelog%20in%20Java Martin Braun, Historical evidence for a nearly equidistant 9-tone gamelan pelog in Java], in: Neuroscience of Music, S-671 95 Klässbol, Sweden, August 2002.

Als Unterteilung der Oktave in 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; Teile, also eine starke Position der Zahl 3, legen auch eine Eignung als traditionelles Tonsystem für [https://de.wikipedia.org/wiki/V%C3%B6lker_und_Gruppierungen_im_Star-Trek-Universum#Klingonen klingonische] Musik nahe, da das traditionelle klingonische Zahlensystem auf der 3 basiert. Siehe hierzu:

[http://%5B%5Bhttps://www.youtube.com/watch?v=1LjcBv-OWtQ%5D%5D Levi McClain, Klingon music theory is weird]

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[[EDO|Übersicht EDO]]
__TOC__
==Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle==
9-EDO unterteilt eine Oktave in 9 gleich grosse Teile zu je 133.3 [[Cent]]. Es ist das kleinste EDO zu einer ungeraden Nicht-[[Primzahl]], [[3-EDO]] ist eine Teilmenge davon.

9-EDO verfügt über dieselbe gute Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] wie die Standardstimmung [[12-EDO]], ferner eine sehr gute Approximation (weniger als 1 Cent Abweichung) der septimalen kleinen Terz 7/6 , dem Intervall zwischen dem sechsten und dem siebten [[Obertonreihe|Oberton]]. Die Obertöne eine Oktave höher, also die Intervalle zwischen dem zwölften, dem dreizehnten und dem vierzehnten Oberton (13/12 und 14/13), werden mit rund 5 Cent Abweichung getroffen.

Abgesehen davon ist es um die Annäherung der unteren Intervalle der Obertonreihe eher schlecht bestellt: weder Quinte noch Quarte noch kleine Terz noch Ganzton noch [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] werden akzeptabel getroffen, der Fehler ist jedesmal mehr als 30 Cent. Auch das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]] wird nicht besonders gut getroffen (wenn auch mit rund 18 Cent Abweichung schon besser als in der Standardstimmung 12-EDO).

Für traditionelle westliche Musik, die auf Quinten und Terzen basiert, ist 9-EDO also definitiv kaum zu gebrauchen, und auch für Unterstützung von Intervallen in [[Reine Stimmung|reinen Stimmungen]] im allgemeinen kaum. Bei so wenig Tönen ist das allerdings auch nicht so erstaunlich

Bei den höheren Intervallen der Obertonreihe fällt etwas auf, dass ein paar 7-[[P-Limit|Limit]]-Intervalle sehr gut getroffen werden, neben 7/6 z. B. 27/25, 63/50, 49/36, 72/49. Die Tonleiter bestehend aus den 7-Limit-Itervallen 1/1, 27/25, 7/6, 63/50, 49/36, 72/49, 100/63, 12/7, 50/27 ist akustisch fast identisch mit 9-EDO.

==MOS-Skalen==
Die 9-EDO-Approximation der Quinte 3/2 (5 Schritte von 9-EDO), mit 666.67 Cent sehr niedrig und ziemlich unrein, kann dennoch wie die reine (oder eine [[Mitteltönig|mitteltönige]]) Quinte als Generator-Intervall für [[MOS-Skalen]] verwendet werden. Man erhält dann eine fünftönige Skala, wie die klassische pentatonische Skala von der Form 2L 3s (zwei grosse und drei kleine Intervalle - mit ziemlich anderen Interavllgrössen allerdings), sowie eine siebentönige der Form 2L 5s (zwei grosse und fünf kleine Intervalle), eine '''antidiatonische''' Skala also, ähnlich wie auch [[16-EDO]]. 9-EDO ist das kleinste EDO, das eine antidiatonische Skala anbietet.

Bei Verwendung der Approximation von 7/6 (2 Schritte von 9-EDO) als Generator erhält man eine viertönige MOS-Skala der Form 1L 3s sowie eine fünftönige der Form 4L 1s.

[ToDo Klangbeispiele]

==Bedeutung==
Für traditionelle westliche Musik ist 9-EDO wie gesagt nicht wirklich geeignet. Es gibt jedoch Forschungsarbeiten, die eine 9-EDO Tradition in der indonesischen Gamelan-Musik nahelegen. Siehe:

[http://Martin%20Braun,%20Historical%20evidence%20for%20a%20nearly%20equidistant%209-tone%20gamelan%20pelog%20in%20Java Martin Braun, Historical evidence for a nearly equidistant 9-tone gamelan pelog in Java], in: Neuroscience of Music, S-671 95 Klässbol, Sweden, August 2002.

Als Unterteilung der Oktave in 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; Teile, also eine starke Position der Zahl 3, bietet doch 9-EDO auch als Tonsystem für [https://de.wikipedia.org/wiki/V%C3%B6lker_und_Gruppierungen_im_Star-Trek-Universum#Klingonen klingonische] Musik nahe, da das traditionelle klingonische Zahlensystem auf der 3 basiert. Siehe hierzu:

[http://%5B%5Bhttps://www.youtube.com/watch?v=1LjcBv-OWtQ%5D%5D Levi McClain, Klingon music theory is weird]

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[[EDO|Übersicht EDO]]
__TOC__
==Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle==
9-EDO unterteilt eine Oktave in 9 gleich grosse Teile zu je 133.3 [[Cent]]. Es ist das kleinste EDO zu einer ungeraden Nicht-[[Primzahl]], [[3-EDO]] ist eine Teilmenge davon.

9-EDO verfügt über dieselbe gute Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] wie die Standardstimmung [[12-EDO]], ferner eine sehr gute Approximation (weniger als 1 Cent Abweichung) der septimalen kleinen Terz 7/6 , dem Intervall zwischen dem sechsten und dem siebten [[Obertonreihe|Oberton]]. Die Obertöne eine Oktave höher, also die Intervalle zwischen dem zwölften, dem dreizehnten und dem vierzehnten Oberton (13/12 und 14/13), werden mit rund 5 Cent Abweichung getroffen.

Abgesehen davon ist es um die Annäherung der unteren Intervalle der Obertonreihe eher schlecht bestellt: weder Quinte noch Quarte noch kleine Terz noch Ganzton noch [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] werden akzeptabel getroffen, der Fehler ist jedesmal mehr als 30 Cent. Auch das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]] wird nicht besonders gut getroffen (wenn auch mit rund 18 Cent Abweichung schon besser als in der Standardstimmung 12-EDO).

Für traditionelle westliche Musik, die auf Quinten und Terzen basiert, ist 9-EDO also definitiv kaum zu gebrauchen, und auch für Unterstützung von Intervallen in [[Reine Stimmung|reinen Stimmungen]] im allgemeinen kaum. Bei so wenig Tönen ist das allerdings auch nicht so erstaunlich

Bei den höheren Intervallen der Obertonreihe fällt etwas auf, dass ein paar 7-[[P-Limit|Limit]]-Intervalle sehr gut getroffen werden, neben 7/6 z. B. 27/25, 63/50, 49/36, 72/49. Die Tonleiter bestehend aus den 7-Limit-Itervallen 1/1, 27/25, 7/6, 63/50, 49/36, 72/49, 100/63, 12/7, 50/27 ist akustisch fast identisch mit 9-EDO.

==MOS-Skalen==
Die 9-EDO-Approximation der Quinte 3/2 (5 Schritte von 9-EDO), mit 666.67 Cent sehr niedrig und ziemlich unrein, kann dennoch wie die reine (oder eine [[Mitteltönig|mitteltönige]]) Quinte als Generator-Intervall für [[MOS-Skalen]] verwendet werden. Man erhält dann eine fünftönige Skala, wie die klassische pentatonische Skala von der Form 2L 3s (zwei grosse und drei kleine Intervalle - mit ziemlich anderen Interavllgrössen allerdings), sowie eine siebentönige der Form 2L 5s (zwei grosse und fünf kleine Intervalle), eine '''antidiatonische''' Skala also, ähnlich wie auch [[16-EDO]]. 9-EDO ist das kleinste EDO, das eine antidiatonische Skala anbietet.

Bei Verwendung der Approximation von 7/6 (2 Schritte von 9-EDO) als Generator erhält man eine viertönige MOS-Skala der Form 1L 3s sowie eine fünftönige der Form 4L 1s.

[ToDo Klangbeispiele]

==Bedeutung==
Für traditionelle westliche Musik ist 9-EDO wie gesagt nicht wirklich geeignet. Es gibt jedoch Forschungsarbeiten, die eine 9-EDO- bzw. Fast-9-EDO-Tradition in der traditionellen indonesischen Musik nahelegen. Siehe:

[http://Martin%20Braun,%20Historical%20evidence%20for%20a%20nearly%20equidistant%209-tone%20gamelan%20pelog%20in%20Java Martin Braun, Historical evidence for a nearly equidistant 9-tone gamelan pelog in Java], in: Neuroscience of Music, S-671 95 Klässbol, Sweden, August 2002.

Als Unterteilung der Oktave in 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; Teile, also eine starke Position der Zahl 3, bietet doch 9-EDO auch als Tonsystem für [https://de.wikipedia.org/wiki/V%C3%B6lker_und_Gruppierungen_im_Star-Trek-Universum#Klingonen klingonische] Musik nahe, da das traditionelle klingonische Zahlensystem auf der 3 basiert. Siehe hierzu:

[http://%5B%5Bhttps://www.youtube.com/watch?v=1LjcBv-OWtQ%5D%5D Levi McClain, Klingon music theory is weird]

[[Kategorie:EDO]]</text>
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| de = 9edo
| en = 9edo
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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]
__TOC__
==Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle==
9-EDO unterteilt eine Oktave in 9 gleich grosse Teile zu je 133.3 [[Cent]]. Es ist das kleinste EDO zu einer ungeraden Nicht-[[Primzahl]], [[3-EDO]] ist eine Teilmenge davon.

9-EDO verfügt über dieselbe gute Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] wie die Standardstimmung [[12-EDO]], ferner eine sehr gute Approximation (weniger als 1 Cent Abweichung) der septimalen kleinen Terz 7/6 , dem Intervall zwischen dem sechsten und dem siebten [[Obertonreihe|Oberton]]. Die Obertöne eine Oktave höher, also die Intervalle zwischen dem zwölften, dem dreizehnten und dem vierzehnten Oberton (13/12 und 14/13), werden mit rund 5 Cent Abweichung getroffen.

Abgesehen davon ist es um die Annäherung der unteren Intervalle der Obertonreihe eher schlecht bestellt: weder Quinte noch Quarte noch kleine Terz noch Ganzton noch [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] werden akzeptabel getroffen, der Fehler ist jedesmal mehr als 30 Cent. Auch das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]] wird nicht besonders gut getroffen (wenn auch mit rund 18 Cent Abweichung schon besser als in der Standardstimmung 12-EDO).

Für traditionelle westliche Musik, die auf Quinten und Terzen basiert, ist 9-EDO also definitiv kaum zu gebrauchen, und auch für Unterstützung von Intervallen in [[Reine Stimmung|reinen Stimmungen]] im allgemeinen kaum. Bei so wenig Tönen ist das allerdings auch nicht so erstaunlich

Bei den höheren Intervallen der Obertonreihe fällt etwas auf, dass ein paar 7-[[P-Limit|Limit]]-Intervalle sehr gut getroffen werden, neben 7/6 z. B. 27/25, 63/50, 49/36, 72/49. Die Tonleiter bestehend aus den 7-Limit-Itervallen 1/1, 27/25, 7/6, 63/50, 49/36, 72/49, 100/63, 12/7, 50/27 ist akustisch fast identisch mit 9-EDO.

==MOS-Skalen==
Die 9-EDO-Approximation der Quinte 3/2 (5 Schritte von 9-EDO), mit 666.67 Cent sehr niedrig und ziemlich unrein, kann dennoch wie die reine (oder eine [[Mitteltönig|mitteltönige]]) Quinte als Generator-Intervall für [[MOS-Skalen]] verwendet werden. Man erhält dann eine fünftönige Skala, wie die klassische pentatonische Skala von der Form 2L 3s (zwei grosse und drei kleine Intervalle - mit ziemlich anderen Interavllgrössen allerdings), sowie eine siebentönige der Form 2L 5s (zwei grosse und fünf kleine Intervalle), eine '''antidiatonische''' Skala also, ähnlich wie auch [[16-EDO]]. 9-EDO ist das kleinste EDO, das eine antidiatonische Skala anbietet.

Bei Verwendung der Approximation von 7/6 (2 Schritte von 9-EDO) als Generator erhält man eine viertönige MOS-Skala der Form 1L 3s sowie eine fünftönige der Form 4L 1s.

[ToDo Klangbeispiele]

==Bedeutung==
Für traditionelle westliche Musik ist 9-EDO wie gesagt nicht wirklich geeignet. Es gibt jedoch Forschungsarbeiten, die eine 9-EDO- bzw. Fast-9-EDO-Tradition in der traditionellen indonesischen Musik nahelegen. Siehe:

[http://Martin%20Braun,%20Historical%20evidence%20for%20a%20nearly%20equidistant%209-tone%20gamelan%20pelog%20in%20Java Martin Braun, Historical evidence for a nearly equidistant 9-tone gamelan pelog in Java], in: Neuroscience of Music, S-671 95 Klässbol, Sweden, August 2002.

Als Unterteilung der Oktave in 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; Teile, also eine starke Position der Zahl 3, bietet sich 9-EDO auch als Tonsystem für [https://de.wikipedia.org/wiki/V%C3%B6lker_und_Gruppierungen_im_Star-Trek-Universum#Klingonen klingonische] Musik nahe, da das traditionelle klingonische Zahlensystem auf der 3 basiert. Siehe hierzu:

[http://%5B%5Bhttps://www.youtube.com/watch?v=1LjcBv-OWtQ%5D%5D Levi McClain, Klingon music theory is weird]

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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]
__TOC__
==Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle==
9-EDO unterteilt eine Oktave in 9 gleich grosse Teile zu je 133.3 [[Cent]]. Es ist das kleinste EDO zu einer ungeraden Nicht-[[Primzahl]], [[3-EDO]] ist eine Teilmenge davon.

9-EDO verfügt über dieselbe gute Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] wie die Standardstimmung [[12-EDO]], ferner eine sehr gute Approximation (weniger als 1 Cent Abweichung) der septimalen kleinen Terz 7/6 , dem Intervall zwischen dem sechsten und dem siebten [[Obertonreihe|Oberton]]. Die Obertöne eine Oktave höher, also die Intervalle zwischen dem zwölften, dem dreizehnten und dem vierzehnten Oberton (13/12 und 14/13), werden mit rund 5 Cent Abweichung getroffen.

Abgesehen davon ist es um die Annäherung der unteren Intervalle der Obertonreihe eher schlecht bestellt: weder Quinte noch Quarte noch kleine Terz noch Ganzton noch [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] werden akzeptabel getroffen, der Fehler ist jedesmal mehr als 30 Cent. Auch das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]] wird nicht besonders gut getroffen (wenn auch mit rund 18 Cent Abweichung schon besser als in der Standardstimmung 12-EDO).

Für traditionelle westliche Musik, die auf Quinten und Terzen basiert, ist 9-EDO also definitiv kaum zu gebrauchen, und auch für Unterstützung von Intervallen in [[Reine Stimmung|reinen Stimmungen]] im allgemeinen kaum. Bei so wenig Tönen ist das allerdings auch nicht so erstaunlich

Bei den höheren Intervallen der Obertonreihe fällt etwas auf, dass ein paar 7-[[P-Limit|Limit]]-Intervalle sehr gut getroffen werden, neben 7/6 z. B. 27/25, 63/50, 49/36, 72/49. Die Tonleiter bestehend aus den 7-Limit-Itervallen 1/1, 27/25, 7/6, 63/50, 49/36, 72/49, 100/63, 12/7, 50/27 ist akustisch fast identisch mit 9-EDO.

==MOS-Skalen==
Die 9-EDO-Approximation der Quinte 3/2 (5 Schritte von 9-EDO), mit 666.67 Cent sehr niedrig und ziemlich unrein, kann dennoch wie die reine (oder eine [[Mitteltönig|mitteltönige]]) Quinte als Generator-Intervall für [[MOS-Skalen]] verwendet werden. Man erhält dann eine fünftönige Skala, wie die klassische pentatonische Skala von der Form 2L 3s (zwei grosse und drei kleine Intervalle - mit ziemlich anderen Interavllgrössen allerdings), sowie eine siebentönige der Form 2L 5s (zwei grosse und fünf kleine Intervalle), eine '''antidiatonische''' Skala also, ähnlich wie auch [[16-EDO]]. 9-EDO ist das kleinste EDO, das eine antidiatonische Skala anbietet.

Bei Verwendung der Approximation von 7/6 (2 Schritte von 9-EDO) als Generator erhält man eine viertönige MOS-Skala der Form 1L 3s sowie eine fünftönige der Form 4L 1s.

[ToDo Klangbeispiele]

==Bedeutung==
Für traditionelle westliche Musik ist 9-EDO wie gesagt nicht wirklich geeignet. Es gibt jedoch Forschungsarbeiten, die eine 9-EDO- bzw. Fast-9-EDO-Tradition in der traditionellen indonesischen Musik nahelegen. Siehe:

[http://Martin%20Braun,%20Historical%20evidence%20for%20a%20nearly%20equidistant%209-tone%20gamelan%20pelog%20in%20Java Martin Braun, Historical evidence for a nearly equidistant 9-tone gamelan pelog in Java], in: Neuroscience of Music, S-671 95 Klässbol, Sweden, August 2002.

Als Unterteilung der Oktave in 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; Teile, also eine starke Position der Zahl 3, bietet sich 9-EDO auch als Tonsystem für [https://de.wikipedia.org/wiki/V%C3%B6lker_und_Gruppierungen_im_Star-Trek-Universum#Klingonen klingonische]  Musik an, da das traditionelle klingonische Zahlensystem auf der 3 basiert. Siehe hierzu:

[http://%5B%5Bhttps://www.youtube.com/watch?v=1LjcBv-OWtQ%5D%5D Levi McClain, Klingon music theory is weird]

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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]
__TOC__
==Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle==
9-EDO unterteilt eine Oktave in 9 gleich grosse Teile zu je 133.3 [[Cent]]. Es ist das kleinste EDO zu einer ungeraden Nicht-[[Primzahl]], [[3-EDO]] ist eine Teilmenge davon.

9-EDO verfügt über dieselbe gute Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] wie die Standardstimmung [[12-EDO]], ferner eine sehr gute Approximation (weniger als 1 Cent Abweichung) der septimalen kleinen Terz 7/6 , dem Intervall zwischen dem sechsten und dem siebten [[Obertonreihe|Oberton]]. Die Obertöne eine Oktave höher, also die Intervalle zwischen dem zwölften, dem dreizehnten und dem vierzehnten Oberton (13/12 und 14/13), werden mit rund 5 Cent Abweichung getroffen.

Abgesehen davon ist es um die Annäherung der unteren Intervalle der Obertonreihe eher schlecht bestellt: weder Quinte noch Quarte noch kleine Terz noch Ganzton noch [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] werden akzeptabel getroffen, der Fehler ist jedesmal mehr als 30 Cent. Auch das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]] wird nicht besonders gut getroffen (wenn auch mit rund 18 Cent Abweichung schon besser als in der Standardstimmung 12-EDO).

Für traditionelle westliche Musik, die auf Quinten und Terzen basiert, ist 9-EDO also definitiv kaum zu gebrauchen, und auch für Unterstützung von Intervallen in [[Reine Stimmung|reinen Stimmungen]] im allgemeinen kaum. Bei so wenig Tönen ist das allerdings auch nicht so erstaunlich.

Etwas bemerkenswert ist, dass ein paar 7-[[P-Limit|Limit]]-Intervalle an höheren Positionen der Obertonreihe sehr gut getroffen werden, neben 7/6 z. B. 27/25, 63/50, 49/36, 72/49. Die Tonleiter bestehend aus den 7-Limit-Itervallen 1/1, 27/25, 7/6, 63/50, 49/36, 72/49, 100/63, 12/7, 50/27 (und 2/1) ist akustisch fast identisch mit 9-EDO.

==MOS-Skalen==
Die 9-EDO-Approximation der Quinte 3/2 (5 Schritte von 9-EDO), mit 666.67 Cent sehr niedrig und ziemlich unrein, kann dennoch wie die reine (oder eine [[Mitteltönig|mitteltönige]]) Quinte als Generator-Intervall für [[MOS-Skalen]] verwendet werden. Man erhält dann eine fünftönige Skala, wie die klassische pentatonische Skala von der Form 2L 3s (zwei grosse und drei kleine Intervalle - mit ziemlich anderen Interavllgrössen allerdings), sowie eine siebentönige der Form 2L 5s (zwei grosse und fünf kleine Intervalle), eine '''antidiatonische''' Skala also, ähnlich wie auch [[16-EDO]]. 9-EDO ist das kleinste EDO, das eine antidiatonische Skala anbietet.

Bei Verwendung der Approximation von 7/6 (2 Schritte von 9-EDO) als Generator erhält man eine viertönige MOS-Skala der Form 1L 3s sowie eine fünftönige der Form 4L 1s.

[ToDo Klangbeispiele]

==Bedeutung==
Für traditionelle westliche Musik ist 9-EDO wie gesagt nicht wirklich geeignet. Es gibt jedoch Forschungsarbeiten, die eine 9-EDO- bzw. Fast-9-EDO-Tradition in der traditionellen indonesischen Musik nahelegen. Siehe:

[http://Martin%20Braun,%20Historical%20evidence%20for%20a%20nearly%20equidistant%209-tone%20gamelan%20pelog%20in%20Java Martin Braun, Historical evidence for a nearly equidistant 9-tone gamelan pelog in Java], in: Neuroscience of Music, S-671 95 Klässbol, Sweden, August 2002.

Als Unterteilung der Oktave in 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; Teile, also eine starke Position der Zahl 3, bietet sich 9-EDO auch als Tonsystem für [https://de.wikipedia.org/wiki/V%C3%B6lker_und_Gruppierungen_im_Star-Trek-Universum#Klingonen klingonische]  Musik an, da das traditionelle klingonische Zahlensystem auf der 3 basiert. Siehe hierzu:

[http://%5B%5Bhttps://www.youtube.com/watch?v=1LjcBv-OWtQ%5D%5D Levi McClain, Klingon music theory is weird]

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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]
__TOC__
==Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle==
9-EDO unterteilt eine Oktave in 9 gleich grosse Teile zu je 133.3 [[Cent]]. Es ist das kleinste EDO zu einer ungeraden Nicht-[[Primzahl]], [[3-EDO]] ist eine Teilmenge davon.

9-EDO verfügt über dieselbe gute Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] wie die Standardstimmung [[12-EDO]], ferner eine sehr gute Approximation (weniger als 1 Cent Abweichung) der septimalen kleinen Terz 7/6 , dem Intervall zwischen dem sechsten und dem siebten [[Obertonreihe|Oberton]]. Die Obertöne eine Oktave höher, also die Intervalle zwischen dem zwölften, dem dreizehnten und dem vierzehnten Oberton (13/12 und 14/13), werden mit rund 5 Cent Abweichung getroffen.

Abgesehen davon ist es um die Annäherung der unteren Intervalle der Obertonreihe eher schlecht bestellt: weder Quinte noch Quarte noch kleine Terz noch Ganzton noch [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] werden akzeptabel getroffen, der Fehler ist jedesmal mehr als 30 Cent. Auch das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]] wird nicht besonders gut getroffen (wenn auch mit rund 18 Cent Abweichung schon besser als in der Standardstimmung 12-EDO).

Für traditionelle westliche Musik, die auf Quinten und Terzen basiert, ist 9-EDO also definitiv kaum zu gebrauchen, und auch für Unterstützung von Intervallen in [[Reine Stimmung|reinen Stimmungen]] im allgemeinen kaum. Bei so wenig Tönen ist das allerdings auch nicht so erstaunlich.

Etwas bemerkenswert ist, dass ein paar 7-[[P-Limit|Limit]]-Intervalle an höheren Positionen der Obertonreihe sehr gut getroffen werden, neben 7/6 z. B. 27/25, 63/50, 49/36, 72/49. Die Tonleiter bestehend aus den 7-Limit-Intervallen 1/1, 27/25, 7/6, 63/50, 49/36, 72/49, 100/63, 12/7, 50/27 (und 2/1) ist akustisch fast identisch mit 9-EDO.

==MOS-Skalen==
Die 9-EDO-Approximation der Quinte 3/2 (5 Schritte von 9-EDO), mit 666.67 Cent sehr niedrig und ziemlich unrein, kann dennoch wie die reine (oder eine [[Mitteltönig|mitteltönige]]) Quinte als Generator-Intervall für [[MOS-Skalen]] verwendet werden. Man erhält dann eine fünftönige Skala, wie die klassische pentatonische Skala von der Form 2L 3s (zwei grosse und drei kleine Intervalle - mit ziemlich anderen Interavllgrössen allerdings), sowie eine siebentönige der Form 2L 5s (zwei grosse und fünf kleine Intervalle), eine '''antidiatonische''' Skala also, ähnlich wie auch [[16-EDO]]. 9-EDO ist das kleinste EDO, das eine antidiatonische Skala anbietet.

Bei Verwendung der Approximation von 7/6 (2 Schritte von 9-EDO) als Generator erhält man eine viertönige MOS-Skala der Form 1L 3s sowie eine fünftönige der Form 4L 1s.

[ToDo Klangbeispiele]

==Bedeutung==
Für traditionelle westliche Musik ist 9-EDO wie gesagt nicht wirklich geeignet. Es gibt jedoch Forschungsarbeiten, die eine 9-EDO- bzw. Fast-9-EDO-Tradition in der traditionellen indonesischen Musik nahelegen. Siehe:

[http://Martin%20Braun,%20Historical%20evidence%20for%20a%20nearly%20equidistant%209-tone%20gamelan%20pelog%20in%20Java Martin Braun, Historical evidence for a nearly equidistant 9-tone gamelan pelog in Java], in: Neuroscience of Music, S-671 95 Klässbol, Sweden, August 2002.

Als Unterteilung der Oktave in 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; Teile, also eine starke Position der Zahl 3, bietet sich 9-EDO auch als Tonsystem für [https://de.wikipedia.org/wiki/V%C3%B6lker_und_Gruppierungen_im_Star-Trek-Universum#Klingonen klingonische]  Musik an, da das traditionelle klingonische Zahlensystem auf der 3 basiert. Siehe hierzu:

[http://%5B%5Bhttps://www.youtube.com/watch?v=1LjcBv-OWtQ%5D%5D Levi McClain, Klingon music theory is weird]

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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]
__TOC__
==Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle==
9-EDO unterteilt eine Oktave in 9 gleich grosse Teile zu je 133.3 [[Cent]]. Es ist das kleinste EDO zu einer ungeraden Nicht-[[Primzahl]], [[3-EDO]] ist eine Teilmenge davon.

9-EDO verfügt über dieselbe gute Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] wie die Standardstimmung [[12-EDO]], ferner eine sehr gute Approximation (weniger als 1 Cent Abweichung) der septimalen kleinen Terz 7/6 , dem Intervall zwischen dem sechsten und dem siebten [[Obertonreihe|Oberton]]. Die Obertöne eine Oktave höher, also die Intervalle zwischen dem zwölften, dem dreizehnten und dem vierzehnten Oberton (13/12 und 14/13), werden mit rund 5 Cent Abweichung getroffen.

Abgesehen davon ist es um die Annäherung der unteren Intervalle der Obertonreihe eher schlecht bestellt: weder Quinte noch Quarte noch kleine Terz noch Ganzton noch [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] werden akzeptabel getroffen, der Fehler ist jedesmal mehr als 30 Cent. Auch das [[Alphorn-Fa|Alphorn-Fa 11/8]] wird nicht besonders gut getroffen (wenn auch mit rund 18 Cent Abweichung schon besser als in der Standardstimmung 12-EDO).

Für traditionelle westliche Musik, die auf Quinten und Terzen basiert, ist 9-EDO also definitiv kaum zu gebrauchen, und auch für Unterstützung von Intervallen in [[Reine Stimmung|reinen Stimmungen]] im allgemeinen kaum. Bei so wenig Tönen ist das allerdings auch nicht so erstaunlich.

Etwas bemerkenswert ist, dass ein paar 7-[[P-Limit|Limit]]-Intervalle an höheren Positionen der Obertonreihe sehr gut getroffen werden, neben 7/6 z. B. 27/25, 63/50, 49/36, 72/49. Die Tonleiter bestehend aus den 7-Limit-Intervallen 1/1, 27/25, 7/6, 63/50, 49/36, 72/49, 100/63, 12/7, 50/27 (und 2/1) ist akustisch fast identisch mit 9-EDO.

==MOS-Skalen==
Die 9-EDO-Approximation der Quinte 3/2 (5 Schritte von 9-EDO), mit 666.67 Cent sehr niedrig und ziemlich unrein, kann dennoch wie die reine (oder eine [[Mitteltönig|mitteltönige]]) Quinte als Generator-Intervall für [[MOS-Skalen]] verwendet werden. Man erhält dann eine fünftönige Skala, wie die klassische pentatonische Skala von der Form 2L 3s (zwei grosse und drei kleine Intervalle - mit ziemlich anderen Interavllgrössen allerdings), sowie eine siebentönige der Form 2L 5s (zwei grosse und fünf kleine Intervalle), eine '''antidiatonische''' Skala also, ähnlich wie auch [[16-EDO]]. 9-EDO ist das kleinste EDO, das eine antidiatonische Skala anbietet.

Mit der Approximation von 7/6 (2 Schritte von 9-EDO) als Generator erhält man eine viertönige MOS-Skala der Form 1L 3s sowie eine fünftönige der Form 4L 1s.

[ToDo Klangbeispiele]

==Bedeutung==
Für traditionelle westliche Musik ist 9-EDO wie gesagt nicht wirklich geeignet. Es gibt jedoch Forschungsarbeiten, die eine 9-EDO- bzw. Fast-9-EDO-Tradition in der traditionellen indonesischen Musik nahelegen. Siehe:

[http://Martin%20Braun,%20Historical%20evidence%20for%20a%20nearly%20equidistant%209-tone%20gamelan%20pelog%20in%20Java Martin Braun, Historical evidence for a nearly equidistant 9-tone gamelan pelog in Java], in: Neuroscience of Music, S-671 95 Klässbol, Sweden, August 2002.

Als Unterteilung der Oktave in 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; Teile, also eine starke Position der Zahl 3, bietet sich 9-EDO auch als Tonsystem für [https://de.wikipedia.org/wiki/V%C3%B6lker_und_Gruppierungen_im_Star-Trek-Universum#Klingonen klingonische]  Musik an, da das traditionelle klingonische Zahlensystem auf der 3 basiert. Siehe hierzu:

[http://%5B%5Bhttps://www.youtube.com/watch?v=1LjcBv-OWtQ%5D%5D Levi McClain, Klingon music theory is weird]

[[Kategorie:EDO]]</text>
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      <comment>Die Seite wurde neu angelegt: „{{interwiki | de = 27edo | en = 27edo | es =  | ja =  }} [[EDO|Übersicht EDO]]  27-EDO ist das Tonsystem, das durch eine [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Unterteilung einer Oktave in 27 gleiche Teile zu je 44.4 [[Cent]] entsteht.  =Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle= 27-EDO verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen [[Naturterz|Naturterz 5/4]] wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Die beste Approximati…“</comment>
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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

27-EDO ist das Tonsystem, das durch eine [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Unterteilung einer Oktave in 27 gleiche Teile zu je 44.4 [[Cent]] entsteht.

=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
27-EDO verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen [[Naturterz|Naturterz 5/4]] wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 ist um 9 Cent höher als das reine Intervall; 27-EDO ist also kein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System, sondern ein [[Superpyth|superpythagoräisches]]. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] wird mit 9 Cent Abweichung ebenfalls recht gut getroffen, und die anderen 7-[[P-Limit|Limit]]-Intervalle [[6/5]], [[7/5]], and [[7/6]] ebenfalls besser als in der Standardstimmung 12-EDO.</text>
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[[EDO|Übersicht EDO]]

27-EDO ist das Tonsystem, das durch eine [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Unterteilung einer Oktave in 27 gleiche Teile zu je 44.4 [[Cent]] entsteht.

=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
27-EDO verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen [[Naturterz|Naturterz 5/4]] wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 ist um 9 Cent höher als das reine Intervall; 27-EDO ist also kein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System, sondern ein [[Superpyth|superpythagoräisches]]. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] wird mit 9 Cent Abweichung ebenfalls recht gut getroffen, und die anderen 7-[[P-Limit|Limit]]-Intervalle [[6/5]], [[7/5]], and [[7/6]] ebenfalls besser als in der Standardstimmung 12-EDO.

Für ein Tonsystem in dieser Grössenordnung ist die Annäherung der reinen Intervalle nicht besonders gut. 27-EDO ist jedoch das kleinste gleichstufige Tonsystem, das alle Intervalle des 7-[[Odd-Limit]]-[[Tonalitätsdiamant|Tonalitätsdiamanten]] [[konsistent]] und eindeutig unterstützt - d. h. jedes Intervall des 7-Odd-Limit-Tonalitätsdiamanten hat eine eindeutige beste Approximation in 27-EDO-Schritten.

Die Dreiklänge aus den [[Obertonreihe|Obertönen]] Nr. 3, 5 und 7 sowie  5, 7 und 9 (Grunddreiklänge der [[Bohlen-Pierce]]-Stimmung) kommen ebenfalls rcht gut heraus - Bohlen-Pierce generell alleridngs eher nicht, weil die Unterstützung im 11-Limit eher schlecht ist.

27-EDO bietet auch eine recht gute Unterstützung von 13-Limit-Intervallen und teilweise auch 19-Limit-Intervallen. Die Approximation des Intervalls 19/10 (einer Art grossen Septime) ist auf weiniger als 1 Cent genau.

=Kommas, reguläre Temperaturen=
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[[EDO|Übersicht EDO]]

27-EDO ist das Tonsystem, das durch eine [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Unterteilung einer Oktave in 27 gleiche Teile zu je 44.4 [[Cent]] entsteht.

=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
27-EDO verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen [[Naturterz|Naturterz 5/4]] wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 ist um 9 Cent höher als das reine Intervall; 27-EDO ist also kein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System, sondern ein [[Superpyth|superpythagoräisches]]. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] wird mit 9 Cent Abweichung ebenfalls recht gut getroffen, und die anderen 7-[[P-Limit|Limit]]-Intervalle [[6/5]], [[7/5]], and [[7/6]] ebenfalls besser als in der Standardstimmung 12-EDO.

Für ein Tonsystem in dieser Grössenordnung ist die Annäherung der reinen Intervalle nicht besonders gut. 27-EDO ist jedoch das kleinste gleichstufige Tonsystem, das alle Intervalle des 7-[[Odd-Limit]]-[[Tonalitätsdiamant|Tonalitätsdiamanten]] [[konsistent]] und eindeutig unterstützt - d. h. jedes Intervall des 7-Odd-Limit-Tonalitätsdiamanten hat eine eindeutige beste Approximation in 27-EDO-Schritten.

Die Dreiklänge aus den [[Obertonreihe|Obertönen]] Nr. 3, 5 und 7 sowie  5, 7 und 9 (Grunddreiklänge der [[Bohlen-Pierce]]-Stimmung) kommen ebenfalls rcht gut heraus - Bohlen-Pierce generell alleridngs eher nicht, weil die Unterstützung im 11-Limit eher schlecht ist.

27-EDO bietet auch eine recht gute Unterstützung von 13-Limit-Intervallen und teilweise auch 19-Limit-Intervallen. Die Approximation des Intervalls 19/10 (einer Art grossen Septime) ist auf weiniger als 1 Cent genau.

=Kommas, reguläre Temperaturen=
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mit seiner 400-Cent-Terz, deren drei zusammen eine Oktave ergeben, temperiert 27-EDO die [[128/125|kleine Diesis 128/125]] aus, ferner auch das [[64/63|Leipziger Komma 64/63]] und das [[126/125|kleine septimale Komma 126/125]]. Diese Eingeschaften hat es mit der Standardstimmung 12 gemein, wodurch auch gewisse Intervallbeziehungen und melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe]]n) vertraut klingen.

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[[EDO|Übersicht EDO]]

27-EDO ist das Tonsystem, das durch eine [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Unterteilung einer Oktave in 27 gleiche Teile zu je 44.4 [[Cent]] entsteht.

=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
27-EDO verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen [[Naturterz|Naturterz 5/4]] wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 ist um 9 Cent höher als das reine Intervall; 27-EDO ist also kein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System, sondern ein [[Superpyth|superpythagoräisches]]. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] wird mit 9 Cent Abweichung ebenfalls recht gut getroffen, und die anderen 7-[[P-Limit|Limit]]-Intervalle [[6/5]], [[7/5]], and [[7/6]] ebenfalls besser als in der Standardstimmung 12-EDO.

Für ein Tonsystem in dieser Grössenordnung ist die Annäherung der reinen Intervalle nicht besonders gut. 27-EDO ist jedoch das kleinste gleichstufige Tonsystem, das alle Intervalle des 7-[[Odd-Limit]]-[[Tonalitätsdiamant|Tonalitätsdiamanten]] [[konsistent]] und eindeutig unterstützt - d. h. jedes Intervall des 7-Odd-Limit-Tonalitätsdiamanten hat eine eindeutige beste Approximation in 27-EDO-Schritten.

Die Dreiklänge aus den [[Obertonreihe|Obertönen]] Nr. 3, 5 und 7 sowie  5, 7 und 9 (Grunddreiklänge der [[Bohlen-Pierce]]-Stimmung) kommen ebenfalls rcht gut heraus - Bohlen-Pierce generell alleridngs eher nicht, weil die Unterstützung im 11-Limit eher schlecht ist.

27-EDO bietet auch eine recht gute Unterstützung von 13-Limit-Intervallen und teilweise auch 19-Limit-Intervallen. Die Approximation des Intervalls 19/10 (einer Art grossen Septime) ist auf weiniger als 1 Cent genau.

[ToDo Klangbeispiele]

=Kommas, reguläre Temperaturen=
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mit seiner 400-Cent-Terz, deren drei zusammen eine Oktave ergeben, temperiert 27-EDO die [[128/125|kleine Diesis 128/125]] aus, ferner auch das [[64/63|Leipziger Komma 64/63]] und das [[126/125|kleine septimale Komma 126/125]]. Diese Eigenschaften hat es mit der Standardstimmung 12 gemein, wodurch auch gewisse Intervallbeziehungen und melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe]]n) vertraut klingen.

Im Unterschied zu 12-EDO ist 27-EDO allerdings wie gesagt kein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System, sondern ein [[Superpyth|superpythagoräisches]], bei dem das Aufeinanderschichten von 4 Quinten nicht zur Approximation der Naturterz 5/4 führt, sondern zu jener der übergrossen [[9/7|septimalen Terz 9/7]].

Das Austemperieren des Kommas [[245/243]] zusammen mit dem Leipziger Komma ergibt ausserdem eine [[Sensi]]-Temperatur.

[ToDo Klangbeispiele]</text>
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[[EDO|Übersicht EDO]]

27-EDO ist das Tonsystem, das durch eine [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Unterteilung einer Oktave in 27 gleiche Teile zu je 44.4 [[Cent]] entsteht.

=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
27-EDO verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen [[Naturterz|Naturterz 5/4]] wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 ist um 9 Cent höher als das reine Intervall; 27-EDO ist also kein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System, sondern ein [[Superpyth|superpythagoräisches]]. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] wird mit 9 Cent Abweichung ebenfalls recht gut getroffen, und die anderen 7-[[P-Limit|Limit]]-Intervalle [[6/5]], [[7/5]], and [[7/6]] ebenfalls besser als in der Standardstimmung 12-EDO - 7/6 ausser fast perfekt.

Für ein Tonsystem in dieser Grössenordnung ist die Annäherung der reinen Intervalle nicht besonders gut. 27-EDO ist jedoch das kleinste gleichstufige Tonsystem, das alle Intervalle des 7-[[Odd-Limit]]-[[Tonalitätsdiamant|Tonalitätsdiamanten]] [[konsistent]] und eindeutig unterstützt - d. h. jedes Intervall des 7-Odd-Limit-Tonalitätsdiamanten hat eine eindeutige beste Approximation in 27-EDO-Schritten.

Die Dreiklänge aus den [[Obertonreihe|Obertönen]] Nr. 3, 5 und 7 sowie  5, 7 und 9 (Grunddreiklänge der [[Bohlen-Pierce]]-Stimmung) kommen ebenfalls rcht gut heraus - Bohlen-Pierce generell alleridngs eher nicht, weil die Unterstützung im 11-Limit eher schlecht ist.

27-EDO bietet auch eine recht gute Unterstützung von 13-Limit-Intervallen und teilweise auch 19-Limit-Intervallen. Die Approximation des Intervalls 19/10 (einer Art grossen Septime) ist auf weiniger als 1 Cent genau.

[ToDo Klangbeispiele]

=Kommas, reguläre Temperaturen=
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mit seiner 400-Cent-Terz, deren drei zusammen eine Oktave ergeben, temperiert 27-EDO die [[128/125|kleine Diesis 128/125]] aus, ferner auch das [[64/63|Leipziger Komma 64/63]] und das [[126/125|kleine septimale Komma 126/125]]. Diese Eigenschaften hat es mit der Standardstimmung 12 gemein, wodurch auch gewisse Intervallbeziehungen und melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe]]n) vertraut klingen.

Im Unterschied zu 12-EDO ist 27-EDO allerdings wie gesagt kein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System, sondern ein [[Superpyth|superpythagoräisches]], bei dem das Aufeinanderschichten von 4 Quinten nicht zur Approximation der Naturterz 5/4 führt, sondern zu jener der übergrossen [[9/7|septimalen Terz 9/7]].

Das Austemperieren des Kommas [[245/243]] zusammen mit dem Leipziger Komma ergibt ausserdem eine [[Sensi]]-Temperatur.

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[[EDO|Übersicht EDO]]

27-EDO ist das Tonsystem, das durch eine [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Unterteilung einer Oktave in 27 gleiche Teile zu je 44.4 [[Cent]] entsteht.

=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
27-EDO verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen [[Naturterz|Naturterz 5/4]] wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 ist um 9 Cent höher als das reine Intervall; 27-EDO ist also kein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System, sondern ein [[Superpyth|superpythagoräisches]]. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] wird mit 9 Cent Abweichung ebenfalls recht gut getroffen, und die anderen 7-[[P-Limit|Limit]]-Intervalle [[6/5]], [[7/5]], and [[7/6]] ebenfalls besser als in der Standardstimmung 12-EDO - 7/6 sogar fast perfekt.

Für ein Tonsystem in dieser Grössenordnung ist die Annäherung der reinen Intervalle nicht besonders gut. 27-EDO ist jedoch das kleinste gleichstufige Tonsystem, das alle Intervalle des 7-[[Odd-Limit]]-[[Tonalitätsdiamant|Tonalitätsdiamanten]] [[konsistent]] und eindeutig unterstützt - d. h. jedes Intervall des 7-Odd-Limit-Tonalitätsdiamanten hat eine eindeutige beste Approximation in 27-EDO-Schritten.

Die Dreiklänge aus den [[Obertonreihe|Obertönen]] Nr. 3, 5 und 7 sowie  5, 7 und 9 (Grunddreiklänge der [[Bohlen-Pierce]]-Stimmung) kommen ebenfalls rcht gut heraus - Bohlen-Pierce generell alleridngs eher nicht, weil die Unterstützung im 11-Limit eher schlecht ist.

27-EDO bietet auch eine recht gute Unterstützung von 13-Limit-Intervallen und teilweise auch 19-Limit-Intervallen. Die Approximation des Intervalls 19/10 (einer Art grossen Septime) ist auf weiniger als 1 Cent genau.

[ToDo Klangbeispiele]

=Kommas, reguläre Temperaturen=
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mit seiner 400-Cent-Terz, deren drei zusammen eine Oktave ergeben, temperiert 27-EDO die [[128/125|kleine Diesis 128/125]] aus, ferner auch das [[64/63|Leipziger Komma 64/63]] und das [[126/125|kleine septimale Komma 126/125]]. Diese Eigenschaften hat es mit der Standardstimmung 12 gemein, wodurch auch gewisse Intervallbeziehungen und melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe]]n) vertraut klingen.

Im Unterschied zu 12-EDO ist 27-EDO allerdings wie gesagt kein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System, sondern ein [[Superpyth|superpythagoräisches]], bei dem das Aufeinanderschichten von 4 Quinten nicht zur Approximation der Naturterz 5/4 führt, sondern zu jener der übergrossen [[9/7|septimalen Terz 9/7]].

Das Austemperieren des Kommas [[245/243]] zusammen mit dem Leipziger Komma ergibt ausserdem eine [[Sensi]]-Temperatur.

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[[EDO|Übersicht EDO]]

27-EDO ist das Tonsystem, das durch eine [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Unterteilung einer Oktave in 27 gleiche Teile zu je 44.4 [[Cent]] entsteht.

=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
27-EDO verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen [[Naturterz|Naturterz 5/4]] wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 ist um 9 Cent höher als das reine Intervall; 27-EDO ist also kein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System, sondern ein [[Superpyth|superpythagoräisches]]. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] wird mit 9 Cent Abweichung ebenfalls recht gut getroffen, und die anderen 7-[[P-Limit|Limit]]-Intervalle [[6/5]], [[7/5]], and [[7/6]] ebenfalls besser als in der Standardstimmung 12-EDO - 7/6 sogar fast perfekt.

Für ein Tonsystem in dieser Grössenordnung ist die Annäherung der reinen Intervalle nicht besonders gut. 27-EDO ist jedoch das kleinste gleichstufige Tonsystem, das alle Intervalle des 7-[[Odd-Limit]]-[[Tonalitätsdiamant|Tonalitätsdiamanten]] [[konsistent]] und eindeutig unterstützt - d. h. jedes Intervall des 7-Odd-Limit-Tonalitätsdiamanten hat eine eindeutige beste Approximation in 27-EDO-Schritten.

Die Dreiklänge aus den [[Obertonreihe|Obertönen]] Nr. 3, 5 und 7 sowie  5, 7 und 9 (Grunddreiklänge der [[Bohlen-Pierce]]-Stimmung) kommen ebenfalls rcht gut heraus - Bohlen-Pierce generell allerdings eher nicht, weil die Unterstützung im 11-Limit eher schlecht ist.

27-EDO bietet auch eine recht gute Unterstützung von 13-Limit-Intervallen und teilweise auch 19-Limit-Intervallen. Die Approximation des Intervalls 19/10 (einer Art grossen Septime) ist auf weiniger als 1 Cent genau.

[ToDo Klangbeispiele]

=Kommas, reguläre Temperaturen=
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mit seiner 400-Cent-Terz, deren drei zusammen eine Oktave ergeben, temperiert 27-EDO die [[128/125|kleine Diesis 128/125]] aus, ferner auch das [[64/63|Leipziger Komma 64/63]] und das [[126/125|kleine septimale Komma 126/125]]. Diese Eigenschaften hat es mit der Standardstimmung 12 gemein, wodurch auch gewisse Intervallbeziehungen und melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe]]n) vertraut klingen.

Im Unterschied zu 12-EDO ist 27-EDO allerdings wie gesagt kein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System, sondern ein [[Superpyth|superpythagoräisches]], bei dem das Aufeinanderschichten von 4 Quinten nicht zur Approximation der Naturterz 5/4 führt, sondern zu jener der übergrossen [[9/7|septimalen Terz 9/7]].

Das Austemperieren des Kommas [[245/243]] zusammen mit dem Leipziger Komma ergibt ausserdem eine [[Sensi]]-Temperatur.

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[[EDO|Übersicht EDO]]

27-EDO ist das Tonsystem, das durch eine [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Unterteilung einer Oktave in 27 gleiche Teile zu je 44.4 [[Cent]] entsteht.

=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
27-EDO verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen [[Naturterz|Naturterz 5/4]] wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 ist um 9 Cent höher als das reine Intervall; 27-EDO ist also kein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System, sondern ein [[Superpyth|superpythagoräisches]]. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] wird mit 9 Cent Abweichung ebenfalls recht gut getroffen, und die anderen 7-[[P-Limit|Limit]]-Intervalle [[6/5]], [[7/5]], and [[7/6]] ebenfalls besser als in der Standardstimmung 12-EDO - 7/6 sogar fast perfekt.

Für ein Tonsystem in dieser Grössenordnung ist die Annäherung der reinen Intervalle nicht besonders gut. 27-EDO ist jedoch das kleinste gleichstufige Tonsystem, das alle Intervalle des 7-[[Odd-Limit]]-[[Tonalitätsdiamant|Tonalitätsdiamanten]] [[konsistent]] und eindeutig unterstützt - d. h. jedes Intervall des 7-Odd-Limit-Tonalitätsdiamanten hat eine eindeutige beste Approximation in 27-EDO-Schritten.

Die Dreiklänge aus den [[Obertonreihe|Obertönen]] Nr. 3, 5 und 7 sowie  5, 7 und 9 (Grunddreiklänge der [[Bohlen-Pierce]]-Stimmung) kommen ebenfalls recht gut heraus - Bohlen-Pierce generell allerdings eher nicht, weil die Unterstützung im 11-Limit eher schlecht ist.

27-EDO bietet auch eine recht gute Unterstützung von 13-Limit-Intervallen und teilweise auch 19-Limit-Intervallen. Die Approximation des Intervalls 19/10 (einer Art grossen Septime) ist auf weiniger als 1 Cent genau.

[ToDo Klangbeispiele]

=Kommas, reguläre Temperaturen=
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mit seiner 400-Cent-Terz, deren drei zusammen eine Oktave ergeben, temperiert 27-EDO die [[128/125|kleine Diesis 128/125]] aus, ferner auch das [[64/63|Leipziger Komma 64/63]] und das [[126/125|kleine septimale Komma 126/125]]. Diese Eigenschaften hat es mit der Standardstimmung 12 gemein, wodurch auch gewisse Intervallbeziehungen und melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe]]n) vertraut klingen.

Im Unterschied zu 12-EDO ist 27-EDO allerdings wie gesagt kein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System, sondern ein [[Superpyth|superpythagoräisches]], bei dem das Aufeinanderschichten von 4 Quinten nicht zur Approximation der Naturterz 5/4 führt, sondern zu jener der übergrossen [[9/7|septimalen Terz 9/7]].

Das Austemperieren des Kommas [[245/243]] zusammen mit dem Leipziger Komma ergibt ausserdem eine [[Sensi]]-Temperatur.

[ToDo Klangbeispiele]</text>
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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

27-EDO ist das Tonsystem, das durch eine [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Unterteilung einer Oktave in 27 gleiche Teile zu je 44.4 [[Cent]] entsteht.

=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
27-EDO verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen [[Naturterz|Naturterz 5/4]] wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 ist um 9 Cent höher als das reine Intervall; 27-EDO ist also kein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System, sondern ein [[Superpyth|superpythagoräisches]]. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] wird mit 9 Cent Abweichung ebenfalls recht gut getroffen, und die anderen 7-[[P-Limit|Limit]]-Intervalle [[6/5]], [[7/5]], and [[7/6]] ebenfalls besser als in der Standardstimmung 12-EDO - 7/6 sogar fast perfekt.

Für ein Tonsystem in dieser Grössenordnung ist die Annäherung der reinen Intervalle nicht besonders gut. 27-EDO ist jedoch das kleinste gleichstufige Tonsystem, das alle Intervalle des 7-[[Odd-Limit]]-[[Tonalitätsdiamant|Tonalitätsdiamanten]] [[konsistent]] und eindeutig unterstützt - d. h. jedes Intervall des 7-Odd-Limit-Tonalitätsdiamanten hat eine eindeutige beste Approximation in 27-EDO-Schritten.

Die Dreiklänge aus den [[Obertonreihe|Obertönen]] Nr. 3, 5 und 7 sowie  5, 7 und 9 (Grunddreiklänge der [[Bohlen-Pierce]]-Stimmung) kommen ebenfalls recht gut heraus - Bohlen-Pierce generell allerdings eher nicht, weil die Unterstützung im 11-Limit eher schlecht ist.

27-EDO bietet auch eine recht gute Unterstützung von 13-Limit-Intervallen und teilweise auch 19-Limit-Intervallen. Die Approximation des Intervalls 19/10 (einer Art grossen Septime) ist auf weniger als 1 Cent genau.

[ToDo Klangbeispiele]

=Kommas, reguläre Temperaturen=
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mit seiner 400-Cent-Terz, deren drei zusammen eine Oktave ergeben, temperiert 27-EDO die [[128/125|kleine Diesis 128/125]] aus, ferner auch das [[64/63|Leipziger Komma 64/63]] und das [[126/125|kleine septimale Komma 126/125]]. Diese Eigenschaften hat es mit der Standardstimmung 12 gemein, wodurch auch gewisse Intervallbeziehungen und melodischen und harmonischen Wendungen ([[Kommapumpe]]n) vertraut klingen.

Im Unterschied zu 12-EDO ist 27-EDO allerdings wie gesagt kein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System, sondern ein [[Superpyth|superpythagoräisches]], bei dem das Aufeinanderschichten von 4 Quinten nicht zur Approximation der Naturterz 5/4 führt, sondern zu jener der übergrossen [[9/7|septimalen Terz 9/7]].

Das Austemperieren des Kommas [[245/243]] zusammen mit dem Leipziger Komma ergibt ausserdem eine [[Sensi]]-Temperatur.

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[[EDO|Übersicht EDO]]

27-EDO ist das Tonsystem, das durch eine [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Unterteilung einer Oktave in 27 gleiche Teile zu je 44.4 [[Cent]] entsteht.

=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
27-EDO verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen [[Naturterz|Naturterz 5/4]] wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 ist um 9 Cent höher als das reine Intervall; 27-EDO ist also kein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System, sondern ein [[Superpyth|superpythagoräisches]]. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] wird mit 9 Cent Abweichung ebenfalls recht gut getroffen, und die anderen 7-[[P-Limit|Limit]]-Intervalle [[6/5]], [[7/5]], and [[7/6]] ebenfalls besser als in der Standardstimmung 12-EDO - 7/6 sogar fast perfekt.

Für ein Tonsystem in dieser Grössenordnung ist die Annäherung der reinen Intervalle nicht besonders gut. 27-EDO ist jedoch das kleinste gleichstufige Tonsystem, das alle Intervalle des 7-[[Odd-Limit]]-[[Tonalitätsdiamant|Tonalitätsdiamanten]] [[konsistent]] und eindeutig unterstützt - d. h. jedes Intervall des 7-Odd-Limit-Tonalitätsdiamanten hat eine eindeutige beste Approximation in 27-EDO-Schritten.

Die Dreiklänge aus den [[Obertonreihe|Obertönen]] Nr. 3, 5 und 7 sowie  5, 7 und 9 (Grunddreiklänge der [[Bohlen-Pierce]]-Stimmung) kommen ebenfalls recht gut heraus - Bohlen-Pierce generell allerdings eher nicht, weil die Unterstützung im 11-Limit eher schlecht ist.

27-EDO bietet auch eine recht gute Unterstützung von 13-Limit-Intervallen und teilweise auch 19-Limit-Intervallen. Die Approximation des Intervalls 19/10 (einer Art grossen Septime) ist auf weniger als 1 Cent genau.

[ToDo Klangbeispiele]

=Kommas, reguläre Temperaturen=
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mit seiner 400-Cent-Terz, deren drei zusammen eine Oktave ergeben, temperiert 27-EDO die [[128/125|kleine Diesis 128/125]] aus. Austemperiert werden, ferner das [[64/63|Leipziger Komma 64/63]] und das [[126/125|kleine septimale Komma 126/125]]. Diese Eigenschaften hat 27-EDO  mit der Standardstimmung 12-EDO gemein, wodurch auch gewisse Intervallbeziehungen und melodische/harmonische Wendungen ([[Kommapumpe]]n) vertraut klingen.

Im Unterschied zu 12-EDO ist 27-EDO allerdings wie gesagt kein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System, sondern ein [[Superpyth|superpythagoräisches]], bei dem das Aufeinanderschichten von 4 Quinten nicht zur Approximation der Naturterz 5/4 führt, sondern zu jener der übergrossen [[9/7|septimalen Terz 9/7]].

Das Austemperieren des Kommas [[245/243]] zusammen mit dem Leipziger Komma ergibt ausserdem eine [[Sensi]]-Temperatur.

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[[EDO|Übersicht EDO]]

27-EDO ist das Tonsystem, das durch eine [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Unterteilung einer Oktave in 27 gleiche Teile zu je 44.4 [[Cent]] entsteht.

=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
27-EDO verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen [[Naturterz|Naturterz 5/4]] wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 ist um 9 Cent höher als das reine Intervall; 27-EDO ist also kein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System, sondern ein [[Superpyth|superpythagoräisches]]. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] wird mit 9 Cent Abweichung ebenfalls recht gut getroffen, und die anderen 7-[[P-Limit|Limit]]-Intervalle [[6/5]], [[7/5]], and [[7/6]] ebenfalls besser als in der Standardstimmung 12-EDO - 7/6 sogar fast perfekt.

Für ein Tonsystem in dieser Grössenordnung ist die Annäherung der reinen Intervalle nicht besonders gut. 27-EDO ist jedoch das kleinste gleichstufige Tonsystem, das alle Intervalle des 7-[[Odd-Limit]]-[[Tonalitätsdiamant|Tonalitätsdiamanten]] [[konsistent]] und eindeutig unterstützt - d. h. jedes Intervall des 7-Odd-Limit-Tonalitätsdiamanten hat eine eindeutige beste Approximation in 27-EDO-Schritten.

Die Dreiklänge aus den [[Obertonreihe|Obertönen]] Nr. 3, 5 und 7 sowie  5, 7 und 9 (Grunddreiklänge der [[Bohlen-Pierce]]-Stimmung) kommen ebenfalls recht gut heraus - Bohlen-Pierce generell allerdings eher nicht, weil die Unterstützung im 11-Limit eher schlecht ist.

27-EDO bietet auch eine recht gute Unterstützung von 13-Limit-Intervallen und teilweise auch 19-Limit-Intervallen. Die Approximation des Intervalls 19/10 (einer Art grossen Septime) ist auf weniger als 1 Cent genau.

[ToDo Klangbeispiele]

=Kommas, reguläre Temperaturen=
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mit seiner 400-Cent-Terz, deren drei zusammen eine Oktave ergeben, temperiert 27-EDO die [[128/125|kleine Diesis 128/125]] aus. Austemperiert werden, ferner das [[64/63|Leipziger Komma 64/63]] und das [[126/125|kleine septimale Komma 126/125]]. Diese Eigenschaften hat 27-EDO  mit der Standardstimmung 12-EDO gemein, wodurch auch gewisse Intervallbeziehungen und melodische/harmonische Wendungen ([[Kommapumpe]]n) vertraut klingen.

Im Unterschied zu 12-EDO ist 27-EDO allerdings wie gesagt kein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System, sondern ein [[Superpyth|superpythagoräisches]], bei dem das Aufeinanderschichten von 4 Quinten nicht zur Approximation der Naturterz 5/4 führt, sondern zu jener der übergrossen [[9/7|septimalen Terz 9/7]]. Mit einer Quinte, die gerade etwa um ein Drittel des Leipziger Kommas erhöht ist, und beinahe reinen septimalen kleinen Terzen ist 27-EDO die quasi optimale Realisierung der Drittelkomma-superpythagoräischen Temperatur, so etwas wie das superpythagoräische Gegenstück zu [[19-EDO]].

Das Austemperieren des Kommas [[245/243]] zusammen mit dem Leipziger Komma ergibt ausserdem eine [[Sensi]]-Temperatur.

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[[EDO|Übersicht EDO]]

27-EDO ist das Tonsystem, das durch eine [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Unterteilung einer Oktave in 27 gleiche Teile zu je 44.4 [[Cent]] entsteht.

=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
27-EDO verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen [[Naturterz|Naturterz 5/4]] wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 ist um 9 Cent höher als das reine Intervall; 27-EDO ist also kein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System, sondern ein [[Superpyth|superpythagoräisches]]. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] wird mit 9 Cent Abweichung ebenfalls recht gut getroffen, und die anderen 7-[[P-Limit|Limit]]-Intervalle [[6/5]], [[7/5]], and [[7/6]] ebenfalls besser als in der Standardstimmung 12-EDO - 7/6 sogar fast perfekt.

Für ein Tonsystem in dieser Grössenordnung ist die Annäherung der reinen Intervalle nicht besonders gut. 27-EDO ist jedoch das kleinste gleichstufige Tonsystem, das alle Intervalle des 7-[[Odd-Limit]]-[[Tonalitätsdiamant|Tonalitätsdiamanten]] [[konsistent]] und eindeutig unterstützt - d. h. jedes Intervall des 7-Odd-Limit-Tonalitätsdiamanten hat eine eindeutige beste Approximation in 27-EDO-Schritten.

Die Dreiklänge aus den [[Obertonreihe|Obertönen]] Nr. 3, 5 und 7 sowie  5, 7 und 9 (Grunddreiklänge der [[Bohlen-Pierce]]-Stimmung) kommen ebenfalls recht gut heraus - Bohlen-Pierce generell allerdings eher nicht, weil die Unterstützung im 11-Limit eher schlecht ist.

27-EDO bietet auch eine recht gute Unterstützung von 13-Limit-Intervallen und teilweise auch 19-Limit-Intervallen. Die Approximation des Intervalls 19/10 (einer Art grossen Septime) ist auf weniger als 1 Cent genau.

[ToDo Klangbeispiele]

=Kommas, reguläre Temperaturen=
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mit seiner 400-Cent-Terz, deren drei zusammen eine Oktave ergeben, temperiert 27-EDO die [[128/125|kleine Diesis 128/125]] aus. Austemperiert werden, ferner das [[64/63|Leipziger Komma 64/63]] und das [[126/125|kleine septimale Komma 126/125]]. Diese Eigenschaften hat 27-EDO  mit der Standardstimmung 12-EDO gemein, wodurch auch gewisse Intervallbeziehungen und melodische/harmonische Wendungen ([[Kommapumpe]]n) vertraut klingen.

Im Unterschied zu 12-EDO ist 27-EDO allerdings wie gesagt kein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System, sondern ein [[Superpyth|superpythagoräisches]], bei dem das Aufeinanderschichten von 4 Quinten nicht zur Approximation der Naturterz 5/4 führt, sondern zu jener der übergrossen [[9/7|septimalen Terz 9/7]]. Mit einer Quinte, die gerade etwa um ein Drittel des Leipziger Kommas erhöht ist, und beinahe reinen septimalen kleinen Terzen ist 27-EDO die quasi optimale Realisierung der drittelkomma-superpythagoräischen Temperatur, so etwas wie das superpythagoräische Gegenstück zu [[19-EDO]].

Das Austemperieren des Kommas [[245/243]] zusammen mit dem Leipziger Komma ergibt ausserdem eine [[Sensi]]-Temperatur.

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[[EDO|Übersicht EDO]]

27-EDO ist das Tonsystem, das durch eine [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Unterteilung einer Oktave in 27 gleiche Teile zu je 44.4 [[Cent]] entsteht.

=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
27-EDO verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen [[Naturterz|Naturterz 5/4]] wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 ist um 9 Cent höher als das reine Intervall; 27-EDO ist also kein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System, sondern ein [[Superpyth|superpythagoräisches]]. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] wird mit derselben Abweichung 9 auch recht gut getroffen, und die Intervalle [[6/5]], [[7/5]] und [[7/6]] ebenfalls besser als in der Standardstimmung 12-EDO - 7/6 sogar fast perfekt.

Für ein Tonsystem dieser Grösse ist die Annäherung der reinen Intervalle nicht besonders gut - 27-EDO ist jedoch das kleinste gleichstufige Tonsystem, das alle Intervalle des 7-[[Odd-Limit]]-[[Tonalitätsdiamant|Tonalitätsdiamanten]] [[konsistent]] und eindeutig unterstützt - d. h. jedes Intervall des 7-Odd-Limit-Tonalitätsdiamanten hat eine eindeutige beste Approximation in 27-EDO-Schritten.

Die Dreiklänge aus den [[Obertonreihe|Obertönen]] Nr. 3, 5 und 7 sowie  5, 7 und 9 (Grunddreiklänge der [[Bohlen-Pierce]]-Stimmung) kommen ebenfalls recht gut heraus - Bohlen-Pierce generell allerdings eher nicht, weil die Unterstützung im 11-Limit eher schlecht ist.

27-EDO bietet auch eine recht gute Unterstützung von 13-Limit-Intervallen und teilweise auch 19-Limit-Intervallen. Die Approximation des Intervalls 19/10 (einer Art grossen Septime) ist auf weniger als 1 Cent genau.

[ToDo Klangbeispiele]

=Kommas, reguläre Temperaturen=
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mit seiner 400-Cent-Terz, deren drei zusammen eine Oktave ergeben, temperiert 27-EDO die [[128/125|kleine Diesis 128/125]] aus. Austemperiert werden, ferner das [[64/63|Leipziger Komma 64/63]] und das [[126/125|kleine septimale Komma 126/125]]. Diese Eigenschaften hat 27-EDO  mit der Standardstimmung 12-EDO gemein, wodurch auch gewisse Intervallbeziehungen und melodische/harmonische Wendungen ([[Kommapumpe]]n) vertraut klingen.

Im Unterschied zu 12-EDO ist 27-EDO allerdings wie gesagt kein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System, sondern ein [[Superpyth|superpythagoräisches]], bei dem das Aufeinanderschichten von 4 Quinten nicht zur Approximation der Naturterz 5/4 führt, sondern zu jener der übergrossen [[9/7|septimalen Terz 9/7]]. Mit einer Quinte, die gerade etwa um ein Drittel des Leipziger Kommas erhöht ist, und beinahe reinen septimalen kleinen Terzen ist 27-EDO die quasi optimale Realisierung der drittelkomma-superpythagoräischen Temperatur, so etwas wie das superpythagoräische Gegenstück zu [[19-EDO]].

Das Austemperieren des Kommas [[245/243]] zusammen mit dem Leipziger Komma ergibt ausserdem eine [[Sensi]]-Temperatur.

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[[EDO|Übersicht EDO]]

27-EDO ist das Tonsystem, das durch eine [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Unterteilung einer Oktave in 27 gleiche Teile zu je 44.4 [[Cent]] entsteht.

=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
27-EDO verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen [[Naturterz|Naturterz 5/4]] wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 ist um 9 Cent höher als das reine Intervall; 27-EDO ist also kein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System, sondern ein [[Superpyth|superpythagoräisches]]. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] wird mit derselben Abweichung 9 auch recht gut getroffen, und die Intervalle [[6/5]], [[7/5]] und [[7/6]] ebenfalls besser als in der Standardstimmung 12-EDO - 7/6 sogar fast perfekt.

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Die Dreiklänge aus den [[Obertonreihe|Obertönen]] Nr. 3, 5 und 7 sowie  5, 7 und 9 (Grunddreiklänge der [[Bohlen-Pierce]]-Stimmung) kommen ebenfalls recht gut heraus - Bohlen-Pierce generell allerdings eher nicht, weil die Unterstützung im 11-Limit eher schlecht ist.

27-EDO bietet auch eine recht gute Unterstützung von 13-Limit-Intervallen und teilweise auch 19-Limit-Intervallen. Die Approximation des Intervalls 19/10 (eine Art grosse Septime) ist auf weniger als 1 Cent genau.

[ToDo Klangbeispiele]

=Kommas, reguläre Temperaturen=
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mit seiner 400-Cent-Terz, deren drei zusammen eine Oktave ergeben, temperiert 27-EDO die [[128/125|kleine Diesis 128/125]] aus. Austemperiert werden, ferner das [[64/63|Leipziger Komma 64/63]] und das [[126/125|kleine septimale Komma 126/125]]. Diese Eigenschaften hat 27-EDO  mit der Standardstimmung 12-EDO gemein, wodurch auch gewisse Intervallbeziehungen und melodische/harmonische Wendungen ([[Kommapumpe]]n) vertraut klingen.

Im Unterschied zu 12-EDO ist 27-EDO allerdings wie gesagt kein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System, sondern ein [[Superpyth|superpythagoräisches]], bei dem das Aufeinanderschichten von 4 Quinten nicht zur Approximation der Naturterz 5/4 führt, sondern zu jener der übergrossen [[9/7|septimalen Terz 9/7]]. Mit einer Quinte, die gerade etwa um ein Drittel des Leipziger Kommas erhöht ist, und beinahe reinen septimalen kleinen Terzen ist 27-EDO die quasi optimale Realisierung der drittelkomma-superpythagoräischen Temperatur, so etwas wie das superpythagoräische Gegenstück zu [[19-EDO]].

Das Austemperieren des Kommas [[245/243]] zusammen mit dem Leipziger Komma ergibt ausserdem eine [[Sensi]]-Temperatur.

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[[EDO|Übersicht EDO]]

27-EDO ist das Tonsystem, das durch eine [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Unterteilung einer Oktave in 27 gleiche Teile zu je 44.4 [[Cent]] entsteht.

=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
27-EDO verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen [[Naturterz|Naturterz 5/4]] wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 ist um 9 Cent höher als das reine Intervall; 27-EDO ist also kein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System, sondern ein [[Superpyth|superpythagoräisches]]. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] wird mit derselben Abweichung 9 auch recht gut getroffen, und die Intervalle [[6/5]], [[7/5]] und [[7/6]] ebenfalls besser als in der Standardstimmung 12-EDO - 7/6 sogar fast perfekt.

Für ein Tonsystem dieser Grösse ist die Annäherung der reinen Intervalle nicht besonders gut - 27-EDO ist jedoch das kleinste gleichstufige Tonsystem, das alle Intervalle des 7-[[Odd-Limit]]-[[Tonalitätsdiamant|Tonalitätsdiamanten]] [[konsistent]] und eindeutig unterstützt - d. h. jedes Intervall des 7-Odd-Limit-Tonalitätsdiamanten hat eine eindeutige beste Approximation in 27-EDO-Schritten.

Die Dreiklänge aus den [[Obertonreihe|Obertönen]] Nr. 3, 5 und 7 sowie  5, 7 und 9 (Grunddreiklänge der [[Bohlen-Pierce]]-Stimmung) kommen ebenfalls recht gut heraus - Bohlen-Pierce generell allerdings eher nicht, weil die Unterstützung im 11-Limit eher schlecht ist.

27-EDO bietet auch eine recht gute Unterstützung von 13-Limit-Intervallen und teilweise auch 19-Limit-Intervallen. Die Approximation des Intervalls 19/10 (eine Art grosse Septime) ist auf weniger als 1 Cent genau.

[ToDo Klangbeispiele]

=Kommas, reguläre Temperaturen=
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mit seiner 400-Cent-Terz, deren drei zusammen eine Oktave ergeben, temperiert 27-EDO die [[128/125|kleine Diesis 128/125]] aus. Austemperiert werden ferner das [[64/63|Leipziger Komma 64/63]] und das [[126/125|kleine septimale Komma 126/125]]. Diese Eigenschaften hat 27-EDO  mit der Standardstimmung 12-EDO gemein, wodurch auch gewisse Intervallbeziehungen und melodische/harmonische Wendungen ([[Kommapumpe]]n) vertraut klingen.

Im Unterschied zu 12-EDO ist 27-EDO allerdings wie gesagt kein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System, sondern ein [[Superpyth|superpythagoräisches]], bei dem das Aufeinanderschichten von 4 Quinten nicht zur Approximation der Naturterz 5/4 führt, sondern zu jener der übergrossen [[9/7|septimalen Terz 9/7]]. Mit einer Quinte, die gerade etwa um ein Drittel des Leipziger Kommas erhöht ist, und beinahe reinen septimalen kleinen Terzen ist 27-EDO die quasi optimale Realisierung der drittelkomma-superpythagoräischen Temperatur, so etwas wie das superpythagoräische Gegenstück zu [[19-EDO]].

Das Austemperieren des Kommas [[245/243]] zusammen mit dem Leipziger Komma ergibt ausserdem eine [[Sensi]]-Temperatur.

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}}
[[EDO|Übersicht EDO]]

27-EDO ist das Tonsystem, das durch eine [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Unterteilung einer Oktave in 27 gleiche Teile zu je 44.4 [[Cent]] entsteht.

=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
27-EDO verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen [[Naturterz|Naturterz 5/4]] wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 ist um 9 Cent höher als das reine Intervall; 27-EDO ist also kein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System, sondern ein [[Superpyth|superpythagoräisches]]. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] wird mit derselben Abweichung von 9 Cent auch recht gut getroffen, und die Intervalle [[6/5]], [[7/5]] und [[7/6]] ebenfalls besser als in der Standardstimmung 12-EDO - 7/6 sogar fast perfekt.

Für ein Tonsystem dieser Grösse ist die Annäherung der reinen Intervalle nicht besonders gut - 27-EDO ist jedoch das kleinste gleichstufige Tonsystem, das alle Intervalle des 7-[[Odd-Limit]]-[[Tonalitätsdiamant|Tonalitätsdiamanten]] [[konsistent]] und eindeutig unterstützt - d. h. jedes Intervall des 7-Odd-Limit-Tonalitätsdiamanten hat eine eindeutige beste Approximation in 27-EDO-Schritten.

Die Dreiklänge aus den [[Obertonreihe|Obertönen]] Nr. 3, 5 und 7 sowie  5, 7 und 9 (Grunddreiklänge der [[Bohlen-Pierce]]-Stimmung) kommen ebenfalls recht gut heraus - Bohlen-Pierce generell allerdings eher nicht, weil die Unterstützung im 11-Limit eher schlecht ist.

27-EDO bietet auch eine recht gute Unterstützung von 13-Limit-Intervallen und teilweise auch 19-Limit-Intervallen. Die Approximation des Intervalls 19/10 (eine Art grosse Septime) ist auf weniger als 1 Cent genau.

[ToDo Klangbeispiele]

=Kommas, reguläre Temperaturen=
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mit seiner 400-Cent-Terz, deren drei zusammen eine Oktave ergeben, temperiert 27-EDO die [[128/125|kleine Diesis 128/125]] aus. Austemperiert werden ferner das [[64/63|Leipziger Komma 64/63]] und das [[126/125|kleine septimale Komma 126/125]]. Diese Eigenschaften hat 27-EDO  mit der Standardstimmung 12-EDO gemein, wodurch auch gewisse Intervallbeziehungen und melodische/harmonische Wendungen ([[Kommapumpe]]n) vertraut klingen.

Im Unterschied zu 12-EDO ist 27-EDO allerdings wie gesagt kein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System, sondern ein [[Superpyth|superpythagoräisches]], bei dem das Aufeinanderschichten von 4 Quinten nicht zur Approximation der Naturterz 5/4 führt, sondern zu jener der übergrossen [[9/7|septimalen Terz 9/7]]. Mit einer Quinte, die gerade etwa um ein Drittel des Leipziger Kommas erhöht ist, und beinahe reinen septimalen kleinen Terzen ist 27-EDO die quasi optimale Realisierung der drittelkomma-superpythagoräischen Temperatur, so etwas wie das superpythagoräische Gegenstück zu [[19-EDO]].

Das Austemperieren des Kommas [[245/243]] zusammen mit dem Leipziger Komma ergibt ausserdem eine [[Sensi]]-Temperatur.

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[[EDO|Übersicht EDO]]

27-EDO ist das Tonsystem, das durch eine [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Unterteilung einer Oktave in 27 gleiche Teile zu je 44.4 [[Cent]] entsteht.

=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
27-EDO verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen [[Naturterz|Naturterz 5/4]] wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 ist um 9 Cent höher als das reine Intervall; 27-EDO ist also kein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System, sondern ein [[Superpyth|superpythagoräisches]]. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] wird mit derselben Abweichung von 9 Cent auch recht gut getroffen, und die Intervalle [[6/5]], [[7/5]] und [[7/6]] ebenfalls besser als in der Standardstimmung 12-EDO - 7/6 sogar fast perfekt.

Für ein Tonsystem dieser Grösse ist die Annäherung der reinen Intervalle nicht besonders gut - 27-EDO ist jedoch das kleinste gleichstufige Tonsystem, das alle Intervalle des 7-[[Odd-Limit]]-[[Tonalitätsdiamant|Tonalitätsdiamanten]] [[konsistent]] und eindeutig unterstützt - d. h. jedes Intervall des 7-Odd-Limit-Tonalitätsdiamanten hat eine eindeutige beste Approximation in 27-EDO-Schritten.

Die Dreiklänge aus den [[Obertonreihe|Obertönen]] Nr. 3, 5 und 7 sowie  5, 7 und 9 (Grunddreiklänge der [[Bohlen-Pierce]]-Stimmung) kommen ebenfalls recht gut heraus - Bohlen-Pierce generell allerdings eher nicht, weil die Unterstützung im 11-Limit eher schlecht ist.

27-EDO bietet auch eine recht gute Unterstützung von 13-Limit-Intervallen und teilweise auch 19-Limit-Intervallen. Die Approximation des Intervalls 19/10 (eine Art grosse Septime) ist auf weniger als 1 Cent genau.

[ToDo Klangbeispiele]

=Kommas, reguläre Temperaturen=
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mit seiner 400-Cent-Terz, deren drei zusammen eine Oktave ergeben, temperiert 27-EDO die [[128/125|kleine Diesis 128/125]] aus. Austemperiert werden ferner das [[64/63|Leipziger Komma 64/63]] und das [[126/125|kleine septimale Komma 126/125]]. Diese Eigenschaften hat 27-EDO  mit der Standardstimmung 12-EDO gemein, wodurch auch gewisse Intervallbeziehungen und melodische/harmonische Wendungen ([[Kommapumpe]]n) vertraut klingen.

Im Unterschied zu 12-EDO ist 27-EDO allerdings wie gesagt kein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System, sondern ein [[Superpyth|superpythagoräisches]], bei dem das Aufeinanderschichten von 4 Quinten nicht zur Approximation der Naturterz 5/4 führt, sondern zu jener der übergrossen [[9/7|septimalen Terz 9/7]]. Mit einer Quinte, die gerade etwa um ein Drittel des Leipziger Kommas erhöht ist, und in der Folge beinahe reinen septimalen kleinen Terzen ist 27-EDO die quasi optimale Realisierung der drittelkomma-superpythagoräischen Temperatur, so etwas wie das superpythagoräische Gegenstück zu [[19-EDO]].

Das Austemperieren des Kommas [[245/243]] zusammen mit dem Leipziger Komma ergibt ausserdem eine [[Sensi]]-Temperatur.

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[[EDO|Übersicht EDO]]

27-EDO ist das Tonsystem, das durch eine [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Unterteilung einer Oktave in 27 gleiche Teile zu je 44.4 [[Cent]] entsteht.

=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
27-EDO verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen [[Naturterz|Naturterz 5/4]] wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 ist mit 9 Cent Abweichung auch recht gut, wenn auch etwas schlechter als in 12-EDO. Da die 27-EDO-Quinte, im Gegensatz zu der in 12-EDO, höher ist als die reine, ist 27-EDO kein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System, sondern ein [[Superpyth|superpythagoräisches]]. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] wird mit derselben Abweichung von 9 Cent auch recht gut getroffen, und die Intervalle [[6/5]], [[7/5]] und [[7/6]] ebenfalls besser als in der Standardstimmung 12-EDO - 7/6 sogar fast perfekt.

Für ein Tonsystem dieser Grösse ist die Annäherung der reinen Intervalle nicht besonders gut - 27-EDO ist jedoch das kleinste gleichstufige Tonsystem, das alle Intervalle des 7-[[Odd-Limit]]-[[Tonalitätsdiamant|Tonalitätsdiamanten]] [[konsistent]] und eindeutig unterstützt - d. h. jedes Intervall des 7-Odd-Limit-Tonalitätsdiamanten hat eine eindeutige beste Approximation in 27-EDO-Schritten.

Die Dreiklänge aus den [[Obertonreihe|Obertönen]] Nr. 3, 5 und 7 sowie  5, 7 und 9 (Grunddreiklänge der [[Bohlen-Pierce]]-Stimmung) kommen ebenfalls recht gut heraus - Bohlen-Pierce generell allerdings eher nicht, weil die Unterstützung im 11-Limit eher schlecht ist.

27-EDO bietet auch eine recht gute Unterstützung von 13-Limit-Intervallen und teilweise auch 19-Limit-Intervallen. Die Approximation des Intervalls 19/10 (eine Art grosse Septime) ist auf weniger als 1 Cent genau.

[ToDo Klangbeispiele]

=Kommas, reguläre Temperaturen=
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mit seiner 400-Cent-Terz, deren drei zusammen eine Oktave ergeben, temperiert 27-EDO die [[128/125|kleine Diesis 128/125]] aus. Austemperiert werden ferner das [[64/63|Leipziger Komma 64/63]] und das [[126/125|kleine septimale Komma 126/125]]. Diese Eigenschaften hat 27-EDO  mit der Standardstimmung 12-EDO gemein, wodurch auch gewisse Intervallbeziehungen und melodische/harmonische Wendungen ([[Kommapumpe]]n) vertraut klingen.

Im Unterschied zu 12-EDO ist 27-EDO allerdings wie gesagt kein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System, sondern ein [[Superpyth|superpythagoräisches]], bei dem das Aufeinanderschichten von 4 Quinten nicht zur Approximation der Naturterz 5/4 führt, sondern zu jener der übergrossen [[9/7|septimalen Terz 9/7]]. Mit einer Quinte, die gerade etwa um ein Drittel des Leipziger Kommas erhöht ist, und in der Folge beinahe reinen septimalen kleinen Terzen ist 27-EDO die quasi optimale Realisierung der drittelkomma-superpythagoräischen Temperatur, so etwas wie das superpythagoräische Gegenstück zu [[19-EDO]].

Das Austemperieren des Kommas [[245/243]] zusammen mit dem Leipziger Komma ergibt ausserdem eine [[Sensi]]-Temperatur.

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[[EDO|Übersicht EDO]]

27-EDO ist das Tonsystem, das durch eine [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Unterteilung einer Oktave in 27 gleiche Teile zu je 44.4 [[Cent]] entsteht.

=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
27-EDO verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen [[Naturterz|Naturterz 5/4]] wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 ist mit 9 Cent Abweichung auch recht gut, wenn auch etwas schlechter als in 12-EDO. Da die 27-EDO-Quinte aber, im Gegensatz zu der in 12-EDO, höher ist als die reine, ist 27-EDO kein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System, sondern ein [[Superpyth|superpythagoräisches]]. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] wird mit derselben Abweichung von 9 Cent auch recht gut getroffen, und die Intervalle [[6/5]], [[7/5]] und [[7/6]] ebenfalls besser als in der Standardstimmung 12-EDO - 7/6 sogar fast perfekt.

Für ein Tonsystem dieser Grösse ist die Annäherung der reinen Intervalle nicht besonders gut - 27-EDO ist jedoch das kleinste gleichstufige Tonsystem, das alle Intervalle des 7-[[Odd-Limit]]-[[Tonalitätsdiamant|Tonalitätsdiamanten]] [[konsistent]] und eindeutig unterstützt - d. h. jedes Intervall des 7-Odd-Limit-Tonalitätsdiamanten hat eine eindeutige beste Approximation in 27-EDO-Schritten.

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27-EDO bietet auch eine recht gute Unterstützung von 13-Limit-Intervallen und teilweise auch 19-Limit-Intervallen. Die Approximation des Intervalls 19/10 (eine Art grosse Septime) ist auf weniger als 1 Cent genau.

[ToDo Klangbeispiele]

=Kommas, reguläre Temperaturen=
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mit seiner 400-Cent-Terz, deren drei zusammen eine Oktave ergeben, temperiert 27-EDO die [[128/125|kleine Diesis 128/125]] aus. Austemperiert werden ferner das [[64/63|Leipziger Komma 64/63]] und das [[126/125|kleine septimale Komma 126/125]]. Diese Eigenschaften hat 27-EDO  mit der Standardstimmung 12-EDO gemein, wodurch auch gewisse Intervallbeziehungen und melodische/harmonische Wendungen ([[Kommapumpe]]n) vertraut klingen.

Im Unterschied zu 12-EDO ist 27-EDO allerdings wie gesagt kein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System, sondern ein [[Superpyth|superpythagoräisches]], bei dem das Aufeinanderschichten von 4 Quinten nicht zur Approximation der Naturterz 5/4 führt, sondern zu jener der übergrossen [[9/7|septimalen Terz 9/7]]. Mit einer Quinte, die gerade etwa um ein Drittel des Leipziger Kommas erhöht ist, und in der Folge beinahe reinen septimalen kleinen Terzen ist 27-EDO die quasi optimale Realisierung der drittelkomma-superpythagoräischen Temperatur, so etwas wie das superpythagoräische Gegenstück zu [[19-EDO]].

Das Austemperieren des Kommas [[245/243]] zusammen mit dem Leipziger Komma ergibt ausserdem eine [[Sensi]]-Temperatur.

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[[EDO|Übersicht EDO]]

27-EDO ist das Tonsystem, das durch eine [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Unterteilung einer Oktave in 27 gleiche Teile zu je 44.4 [[Cent]] entsteht.

=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
27-EDO verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen [[Naturterz|Naturterz 5/4]] wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 ist mit 9 Cent Abweichung auch recht gut, wenn auch etwas schlechter als in 12-EDO. Ferner ist die 27-EDO-Quinte, im Gegensatz zu der in 12-EDO, höher als die reine; 27-EDO ist also kein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System, sondern ein [[Superpyth|superpythagoräisches]]. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] wird mit derselben Abweichung von 9 Cent auch recht gut getroffen, und die Intervalle [[6/5]], [[7/5]] und [[7/6]] ebenfalls besser als in der Standardstimmung 12-EDO - 7/6 sogar fast perfekt.

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27-EDO bietet auch eine recht gute Unterstützung von 13-Limit-Intervallen und teilweise auch 19-Limit-Intervallen. Die Approximation des Intervalls 19/10 (eine Art grosse Septime) ist auf weniger als 1 Cent genau.

[ToDo Klangbeispiele]

=Kommas, reguläre Temperaturen=
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mit seiner 400-Cent-Terz, deren drei zusammen eine Oktave ergeben, temperiert 27-EDO die [[128/125|kleine Diesis 128/125]] aus. Austemperiert werden ferner das [[64/63|Leipziger Komma 64/63]] und das [[126/125|kleine septimale Komma 126/125]]. Diese Eigenschaften hat 27-EDO  mit der Standardstimmung 12-EDO gemein, wodurch auch gewisse Intervallbeziehungen und melodische/harmonische Wendungen ([[Kommapumpe]]n) vertraut klingen.

Im Unterschied zu 12-EDO ist 27-EDO allerdings wie gesagt kein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System, sondern ein [[Superpyth|superpythagoräisches]], bei dem das Aufeinanderschichten von 4 Quinten nicht zur Approximation der Naturterz 5/4 führt, sondern zu jener der übergrossen [[9/7|septimalen Terz 9/7]]. Mit einer Quinte, die gerade etwa um ein Drittel des Leipziger Kommas erhöht ist, und in der Folge beinahe reinen septimalen kleinen Terzen ist 27-EDO die quasi optimale Realisierung der drittelkomma-superpythagoräischen Temperatur, so etwas wie das superpythagoräische Gegenstück zu [[19-EDO]].

Das Austemperieren des Kommas [[245/243]] zusammen mit dem Leipziger Komma ergibt ausserdem eine [[Sensi]]-Temperatur.

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[[EDO|Übersicht EDO]]

27-EDO ist das Tonsystem, das durch eine [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Unterteilung einer Oktave in 27 gleiche Teile zu je 44.4 [[Cent]] entsteht.

=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
27-EDO verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen [[Naturterz|Naturterz 5/4]] wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 ist mit 9 Cent Abweichung auch recht gut, wenn auch etwas schlechter als in 12-EDO. Ferner ist die 27-EDO-Quinte, im Gegensatz zu der in 12-EDO, höher als die reine; 27-EDO ist also kein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System, sondern ein [[Superpyth|superpythagoräisches]]. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] wird mit derselben Abweichung von 9 Cent auch recht gut getroffen, und die Intervalle [[6/5]], [[7/5]] und [[7/6]] ebenfalls besser als in der Standardstimmung 12-EDO - 7/6 sogar fast perfekt.

Für ein Tonsystem dieser Grösse ist die Annäherung der reinen Intervalle insgesamt nicht besonders gut - 27-EDO ist jedoch das kleinste gleichstufige Tonsystem, das alle Intervalle des 7-[[Odd-Limit]]-[[Tonalitätsdiamant|Tonalitätsdiamanten]] [[konsistent]] und eindeutig unterstützt - d. h. jedes Intervall des 7-Odd-Limit-Tonalitätsdiamanten hat eine eindeutige beste Approximation in 27-EDO-Schritten.

Die Dreiklänge aus den [[Obertonreihe|Obertönen]] Nr. 3, 5 und 7 sowie  5, 7 und 9 (Grunddreiklänge der [[Bohlen-Pierce]]-Stimmung) kommen ebenfalls recht gut heraus - Bohlen-Pierce generell allerdings eher nicht, weil die Unterstützung im 11-Limit eher schlecht ist.

27-EDO bietet auch eine recht gute Unterstützung von 13-Limit-Intervallen und teilweise auch 19-Limit-Intervallen. Die Approximation des Intervalls 19/10 (eine Art grosse Septime) ist auf weniger als 1 Cent genau.

[ToDo Klangbeispiele]

=Kommas, reguläre Temperaturen=
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mit seiner 400-Cent-Terz, deren drei zusammen eine Oktave ergeben, temperiert 27-EDO die [[128/125|kleine Diesis 128/125]] aus. Austemperiert werden ferner das [[64/63|Leipziger Komma 64/63]] und das [[126/125|kleine septimale Komma 126/125]]. Diese Eigenschaften hat 27-EDO  mit der Standardstimmung 12-EDO gemein, wodurch auch gewisse Intervallbeziehungen und melodische/harmonische Wendungen ([[Kommapumpe]]n) vertraut klingen.

Im Unterschied zu 12-EDO ist 27-EDO allerdings wie gesagt kein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System, sondern ein [[Superpyth|superpythagoräisches]], bei dem das Aufeinanderschichten von 4 Quinten nicht zur Approximation der Naturterz 5/4 führt, sondern zu jener der übergrossen [[9/7|septimalen Terz 9/7]]. Mit einer Quinte, die gerade etwa um ein Drittel des Leipziger Kommas erhöht ist, und in der Folge beinahe reinen septimalen kleinen Terzen ist 27-EDO die quasi optimale Realisierung der drittelkomma-superpythagoräischen Temperatur, so etwas wie das superpythagoräische Gegenstück zu [[19-EDO]].

Das Austemperieren des Kommas [[245/243]] zusammen mit dem Leipziger Komma ergibt ausserdem eine [[Sensi]]-Temperatur.

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[[EDO|Übersicht EDO]]

27-EDO ist das Tonsystem, das durch eine [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Unterteilung einer Oktave in 27 Teile zu je 44.4 [[Cent]] entsteht.

=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
27-EDO verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen [[Naturterz|Naturterz 5/4]] wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 ist mit 9 Cent Abweichung auch recht gut, wenn auch etwas schlechter als in 12-EDO. Ferner ist die 27-EDO-Quinte, im Gegensatz zu der in 12-EDO, höher als die reine; 27-EDO ist also kein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System, sondern ein [[Superpyth|superpythagoräisches]]. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] wird mit derselben Abweichung von 9 Cent auch recht gut getroffen, und die Intervalle [[6/5]], [[7/5]] und [[7/6]] ebenfalls besser als in der Standardstimmung 12-EDO - 7/6 sogar fast perfekt.

Für ein Tonsystem dieser Grösse ist die Annäherung der reinen Intervalle insgesamt nicht besonders gut - 27-EDO ist jedoch das kleinste gleichstufige Tonsystem, das alle Intervalle des 7-[[Odd-Limit]]-[[Tonalitätsdiamant|Tonalitätsdiamanten]] [[konsistent]] und eindeutig unterstützt - d. h. jedes Intervall des 7-Odd-Limit-Tonalitätsdiamanten hat eine eindeutige beste Approximation in 27-EDO-Schritten.

Die Dreiklänge aus den [[Obertonreihe|Obertönen]] Nr. 3, 5 und 7 sowie  5, 7 und 9 (Grunddreiklänge der [[Bohlen-Pierce]]-Stimmung) kommen ebenfalls recht gut heraus - Bohlen-Pierce generell allerdings eher nicht, weil die Unterstützung im 11-Limit eher schlecht ist.

27-EDO bietet auch eine recht gute Unterstützung von 13-Limit-Intervallen und teilweise auch 19-Limit-Intervallen. Die Approximation des Intervalls 19/10 (eine Art grosse Septime) ist auf weniger als 1 Cent genau.

[ToDo Klangbeispiele]

=Kommas, reguläre Temperaturen=
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mit seiner 400-Cent-Terz, deren drei zusammen eine Oktave ergeben, temperiert 27-EDO die [[128/125|kleine Diesis 128/125]] aus. Austemperiert werden ferner das [[64/63|Leipziger Komma 64/63]] und das [[126/125|kleine septimale Komma 126/125]]. Diese Eigenschaften hat 27-EDO  mit der Standardstimmung 12-EDO gemein, wodurch auch gewisse Intervallbeziehungen und melodische/harmonische Wendungen ([[Kommapumpe]]n) vertraut klingen.

Im Unterschied zu 12-EDO ist 27-EDO allerdings wie gesagt kein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System, sondern ein [[Superpyth|superpythagoräisches]], bei dem das Aufeinanderschichten von 4 Quinten nicht zur Approximation der Naturterz 5/4 führt, sondern zu jener der übergrossen [[9/7|septimalen Terz 9/7]]. Mit einer Quinte, die gerade etwa um ein Drittel des Leipziger Kommas erhöht ist, und in der Folge beinahe reinen septimalen kleinen Terzen ist 27-EDO die quasi optimale Realisierung der drittelkomma-superpythagoräischen Temperatur, so etwas wie das superpythagoräische Gegenstück zu [[19-EDO]].

Das Austemperieren des Kommas [[245/243]] zusammen mit dem Leipziger Komma ergibt ausserdem eine [[Sensi]]-Temperatur.

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[[EDO|Übersicht EDO]]

27-EDO ist das Tonsystem, das durch eine [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Unterteilung einer Oktave in 27 Teile zu je 44.4 [[Cent]] entsteht.

=Grundlegende Eigenschaften, Approximation reiner Intervalle=
27-EDO verfügt über dieselbe, recht gute Approximation der grossen [[Naturterz|Naturterz 5/4]] wie die Standardstimmung [[12-EDO]]. Die beste Approximation der reinen Quinte 3/2 ist mit 9 Cent Abweichung auch recht gut, wenn auch etwas schlechter als in 12-EDO. Ferner ist die 27-EDO-Quinte, im Gegensatz zu der in 12-EDO, höher als die reine; 27-EDO ist also kein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System, sondern ein [[Superpyth|superpythagoräisches]]. Die [[Naturseptime|Naturseptime 7/4]] wird mit derselben Abweichung von 9 Cent auch recht gut getroffen, und die Intervalle [[6/5]], [[7/5]] und [[7/6]] ebenfalls besser als in der Standardstimmung 12-EDO - 7/6 sogar fast perfekt.

Für ein Tonsystem dieser Grösse ist die Annäherung der reinen Intervalle insgesamt nicht besonders gut - 27-EDO ist jedoch das kleinste gleichstufige Tonsystem, das alle Intervalle des 7-[[Odd-Limit]]-[[Tonalitätsdiamant|Tonalitätsdiamanten]] [[konsistent]] und eindeutig unterstützt - d. h. jedes Intervall des 7-Odd-Limit-Tonalitätsdiamanten hat eine eindeutige beste Approximation in 27-EDO-Schritten.

Die Dreiklänge aus den [[Obertonreihe|Obertönen]] Nr. 3, 5 und 7 sowie  5, 7 und 9 (Grunddreiklänge der [[Bohlen-Pierce]]-Stimmung) kommen ebenfalls recht gut heraus - Bohlen-Pierce generell allerdings eher nicht, weil die Unterstützung im 11-Limit eher schlecht ist.

27-EDO bietet auch eine recht gute Unterstützung von 13-Limit-Intervallen und teilweise auch 19-Limit-Intervallen. Die Approximation des Intervalls 19/10 (eine Art grosse Septime) ist auf weniger als 1 Cent genau.

[ToDo Klangbeispiele]

=Kommas, reguläre Temperaturen=
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Mit seiner 400-Cent-Terz, deren drei zusammen eine Oktave ergeben, temperiert 27-EDO die [[128/125|kleine Diesis 128/125]] aus. Austemperiert werden ferner das [[64/63|Leipziger Komma 64/63]] und das [[126/125|kleine septimale Komma 126/125]]. Diese Eigenschaften hat 27-EDO  mit der Standardstimmung 12-EDO gemein, wodurch auch gewisse Intervallbeziehungen und melodische/harmonische Wendungen ([[Kommapumpe]]n) vertraut klingen.

Im Unterschied zu 12-EDO ist 27-EDO allerdings wie gesagt kein [[Mitteltönig|mitteltöniges]] System, sondern ein [[Superpyth|superpythagoräisches]], bei dem das Aufeinanderschichten von 4 Quinten nicht zur Approximation der Naturterz 5/4 führt, sondern zu jener der übergrossen [[9/7|septimalen Terz 9/7]]. Mit einer Quinte, die gerade etwa um ein Drittel des Leipziger Kommas erhöht ist, und in der Folge beinahe reinen septimalen kleinen Terzen ist 27-EDO die quasi optimale Realisierung der drittelkomma-superpythagoräischen Temperatur, so etwas wie das superpythagoräische Gegenstück zu [[19-EDO]].

Das Austemperieren des Kommas [[245/243]] zusammen mit dem Leipziger Komma ergibt ausserdem eine [[Sensi]]-Temperatur.

[ToDo Klangbeispiele]

[[Kategorie:EDO]]</text>
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[[Komma|Übersicht Komma]]
Das Intervall 245/243, 14.2 [[Cent]] gross, ist der Unterschioed zwischen zwei [[9/7|septimalen grossen Terzen 9/7]] und einer klassischen [[5/3|grossen Sexte 5/3]]. 

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Das Intervall 245/243, 14.2 [[Cent]] gross, ist der Unterschioed zwischen zwei [[9/7|septimalen grossen Terzen 9/7]] und einer klassischen [[5/3|grossen Sexte 5/3]]. 

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Das Intervall 245/243, 14.2 [[Cent]] gross, ist der Unterschied zwischen zwei [[9/7|septimalen grossen Terzen 9/7]] und einer klassischen [[5/3|grossen Sexte 5/3]]. 

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[[Komma|Übersicht Komma]]

Das Intervall 245/243, 14.2 [[Cent]] gross, ist der Unterschied zwischen zwei [[9/7|septimalen grossen Terzen 9/7]] und einer klassischen [[5/3|grossen Sexte 5/3]]. 

[[Reguläre Temperatur|Austemperieren]] nur dieses Kommas im 7-Limit-Intervallraum führt zu einer Temperatur, die "sensamagisch" getauft wurde, jedoch alleine nicht so von Bedeutung ist. Durch zusätzliches Austemperieren des Kommas [[126/125]] erhält man die bedeutend wichtigere [[Sensi]]-Temperatur.</text>
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[[Edf|Übersicht: gleichstufige Unterteilungen der Quinte]]

Die Carlos-Alpha-Skala entsteht durch die Unterteilung einer reinen (oder leicht temperierten) Quinte in 9 [[Gleichstufige Tonsysteme|gleiche]] Teller. Bei einer reinen Quinte als Periodenintervallidt ein Basis Schritt  77.965 [[Cent]] gross. 

5 Basisschritte bilden eine gute Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]], und 4 Basisschritte eine gute Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 (Abweichung in beiden Fällen nur rund 4 Cent). Dagegen gibt es keine akzeptable Approximation der Oktave 2/1 (die beste Annäherung hat immer noch mehr als 30 Cent Abweichung).  


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[[Edf|Übersicht: gleichstufige Unterteilungen der Quinte]]

Die Carlos-Alpha-Skala oder Csrlos-Alpha-Stimmung, eine der von [[Wendy Carlos]] erfundenen Skalen, entsteht durch die Unterteilung einer reinen (oder leicht temperierten) Quinte in 9 [[Gleichstufige Tonsysteme|gleiche]] Teller. Bei einer reinen Quinte als Periodenintervallidt ist ein Basisschritt  77.965 [[Cent]] gross. 

5 Basisschritte bilden eine gute Approximation der [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]], und 4 Basisschritte eine gute Approximation der reinen kleinen Terz 6/5 (Abweichung in beiden Fällen nur rund 4 Cent). Dagegen gibt es keine akzeptable Approximation der Oktave 2/1 (die beste Annäherung hat immer noch mehr als 30 Cent Abweichung).</text>
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[[Edf|Übersicht: gleichstufige Unterteilungen der Quinte]]

Die Carlos-Alpha-Skala oder Carlos-Alpha-Stimmung, eine der von [[Wendy Carlos]] erfundenen Skalen, entsteht durch die Unterteilung einer reinen (oder leicht temperierten) Quinte in 9 [[Gleichstufige Tonsysteme|gleiche]] Teller. Bei einer reinen Quinte als Periodenintervallidt ist ein Basisschritt  77.965 [[Cent]] gross. 

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[[Edf|Übersicht: gleichstufige Unterteilungen der Quinte]]

Die Carlos-Alpha-Skala oder Carlos-Alpha-Stimmung, eine der von [[Wendy Carlos]] erfundenen Skalen, entsteht durch die Unterteilung einer reinen (oder leicht temperierten) Quinte in 9 [[Gleichstufige Tonsysteme|gleiche]] Teile. Bei einer reinen Quinte als Periodenintervallidt ist ein Basisschritt  77.965 [[Cent]] gross. 

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[[Edf|Übersicht: gleichstufige Unterteilungen der Quinte]]

Die Carlos-Alpha-Skala oder Carlos-Alpha-Stimmung, eine der von [[Wendy Carlos]] erfundenen Skalen, entsteht durch die Unterteilung einer reinen (oder leicht temperierten) Quinte in 9 [[Gleichstufige Tonsysteme|gleiche]] Teile. Bei einer reinen Quinte als Periodenintervall ist ein Basisschritt  77.965 [[Cent]] gross. 

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[[Edf|Übersicht: gleichstufige Unterteilungen der Quinte]]

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[[Edf|Übersicht: gleichstufige Unterteilungen der Quinte]]

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[[Edf|Übersicht: gleichstufige Unterteilungen der Quinte]]

Carlos Gamma, eines der von [[Wendy Carlos]] erfundenen Tonsysteme, ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Quinte 3/2 in 20 gleiche Teile entsteht. Ein Grundschritt ist 35.0978 [[Cent]] gross.

Wir die anderen Carlos-Skalen hat Carlos Gamma vorzügliche Approximationen für reine grosse und kleine Terzen, ferner eine um knapp 7 Cent zu tiefe Oktave. Auf dieses Intervall fortgesetzt, hat Carlos. Gamma Grüsse Ähnlichkeit mit [[34edo]].</text>
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[[Edf|Übersicht: gleichstufige Unterteilungen der Quinte]]

Carlos Gamma, eines der von [[Wendy Carlos]] erfundenen Tonsysteme, ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der Quinte 3/2 in 20 gleiche Teile entsteht. Ein Grundschritt ist 35.0978 [[Cent]] gross.

Wir die anderen Carlos-Skalen hat Carlos Gamma vorzügliche Approximationen für reine grosse und kleine Terzen, ferner eine um knapp 7 Cent zu tiefe Oktave. Auf dieses Intervall fortgesetzt, hat Carlos Gamma grosse Ähnlichkeit mit [[34edo]].</text>
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[[Edf|Übersicht: gleichstufige Unterteilungen der Quinte]] 

18-EDF ist das Tonsystem, das durch eine Unterteilung der reinen Quinte 3/2 in 18 gleiche Teile entsteht, mit einem Grundschritt der Grösse 39 [[Cent]]. 

Der Grundschritt ist halb so gross wie der von [[Carlos Alpha]], und 18-EDF enthält natürlich alle Intervalle von Carlos Alpha. Zusätzlich erhält 18-EDF, im Gegensatz zu Carlos Alpha, eine vertretbare Approximation der Oktave 2/1 (8.9 Cent Abweichung). Auf dieses Intervall fortgesetzt ist 18-EDF quasi identisch mit [[31-EDO]], mit einer etwas hochtemperierten Oktave.</text>
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[[Komma|Übersicht Komma]]

Das Intervall 1029/1024, 8.43 [[Cent]] gross, ist der Unterschied zwischen drei septimalen Ganztönen 8/7 und einer reinen Quinte 3/2. Austemperieren dieses Kommas führt dazu, dass eine Quinte in drei gleiche Teile geteilt wird.</text>
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[[Komma|Übersicht Komma]]

Das Intervall 1029/1024, 8.43 [[Cent]] gross, ist der Unterschied zwischen drei septimalen Ganztönen 8/7 und einer reinen Quinte 3/2. Austemperieren dieses Kommas führt dazu, dass eine Quinte in drei gleiche Teile geteilt wird.

Diese Komma wird manchmal '''Gamelisma''' oder '''slendrisches Komma''' genannt. Dies bezieht sich auf die [https://de.wikipedia.org/wiki/Gamelan indonesische Gamelan-Musik]  bzw. die in dieser verwendeten [https://de.wikipedia.org/wiki/Slendro Slendro]-Skalen, welche nahe an [[5-EDO]] liegen. In 5-EDO ist die beste Approximation der Quinte in der Tat drei Schritte gross, und das Intervall 1029/1924 ist austemperiert. (Die traditionellen Slendro-Skalen sind allerdings nach heutigem Kenntnisstand nicht gleichstufige.)</text>
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[[Komma|Übersicht Komma]]

Das Intervall 1029/1024, 8.43 [[Cent]] gross, ist der Unterschied zwischen drei septimalen Ganztönen 8/7 und einer reinen Quinte 3/2. Austemperieren dieses Kommas führt dazu, dass eine Quinte in drei gleiche Teile geteilt wird.

Diese Komma wird manchmal '''Gamelisma''' oder '''slendrisches Komma''' genannt. Dies bezieht sich auf die [https://de.wikipedia.org/wiki/Gamelan indonesische Gamelan-Musik] bzw. die in dieser verwendeten [https://de.wikipedia.org/wiki/Slendro Slendro]-Skalen, welche nahe an [[5-EDO]] liegen. In 5-EDO ist die beste Approximation der Quinte in der Tat drei Schritte gross, und das Intervall 1029/1924 ist austemperiert. (Die traditionellen Slendro-Skalen sind allerdings nach heutigem Kenntnisstand nicht gleichstufige.)</text>
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[[Komma|Übersicht Komma]]

Das Intervall 1029/1024, 8.43 [[Cent]] gross, ist der Unterschied zwischen drei septimalen Ganztönen 8/7 und einer reinen Quinte 3/2. Austemperieren dieses Kommas führt dazu, dass eine Quinte in drei gleiche Teile geteilt wird.

Diese Komma wird manchmal '''Gamelisma''' oder '''slendrisches Komma''' genannt. Dies bezieht sich auf die [https://de.wikipedia.org/wiki/Gamelan indonesische Gamelan-Musik] bzw. die in dieser verwendeten [https://de.wikipedia.org/wiki/Slendro Slendro]-Skalen, welche nahe an [[5-EDO]] liegen. In 5-EDO ist die beste Approximation der Quinte in der Tat drei Schritte gross, und das Intervall 1029/1924 ist austemperiert. (Die traditionellen Slendro-Skalen sind allerdings nach heutigem Kenntnisstand nicht gleichstufig.)</text>
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[[Komma|Übersicht Komma]]

Das Intervall 1029/1024, 8.43 [[Cent]] gross, ist der Unterschied zwischen drei septimalen Ganztönen 8/7 und einer reinen Quinte 3/2. Austemperieren dieses Kommas führt dazu, dass eine Quinte in drei gleiche Teile geteilt wird.

Diese Komma wird manchmal '''Gamelisma''' oder '''slendrisches Komma''' genannt. Dies bezieht sich auf die [https://de.wikipedia.org/wiki/Gamelan indonesische Gamelan-Musik] bzw. die in dieser verwendeten [https://de.wikipedia.org/wiki/Slendro Slendro]-Skalen, welche nahe an [[5-EDO]] liegen. In 5-EDO ist die beste Approximation der Quinte in der Tat drei Schritte gross, und das Intervall 1029/1924 ist austemperiert. (Die traditionellen Slendro-Skalen sind allerdings nach heutigem Kenntnisstand nicht gleichstufig.)

Man beachte, dass dieses Komma zwar 7-[[P-Limit|Limit]] ist, die Primzahl 5 jedoch nicht enthält. Man kann vom [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3 und 7 (unter Ausschluss der 5) ausgehen und dieses Komma austemperieren; das ergibt eine [[Slendrisch|slendrische]] Temperatur.</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die slendrische Temperatur entsteht durch Austemperieren des Kommas [[1029/1024]] auf dem [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3 und 7 - d. h. ohne die 5. Sie bietet dementsprechend gute Unterstützung für eine Reihe 7-[[Limit]]- Intervalle, jedoch keine so gute für die in der europäischen Musik wichtige reine grosse Terz 5/4.

Generator ist ein leicht hochtemperierte übergrosse Sekunde 8/7. Drei Generatorschritte führen zu einer Approximation der Quinte (die Teilung der Quinte in drei gleiche Teile ist das Merkmal der slendrischen Temperatur).

An [[MOS-Skalen]] gibt es eine mit 5 Tönen der Form 1L 5s (ein grosses und 4 kleine Intervalle) sowie eine sechstönige der Form 5L 1s (5 grosse und ein kleines Intervall). Daneben gibt es noch eine mit 11 Tönen, die allerdings nicht [[Rothenberg-proper]] ist.

Die fünftönige MOS-Skala kann auch als Akkord gehört werden, genannt slendrischer Fünfklang (Englisch: slendric pebtad)

[Todo Klangbeispieke]abgeneigt leben</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die slendrische Temperatur entsteht durch Austemperieren des Kommas [[1029/1024]] auf dem [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3 und 7 - d. h. ohne die 5. Sie bietet dementsprechend gute Unterstützung für eine Reihe 7-[[Limit]]- Intervalle, jedoch keine so gute für die in der europäischen Musik wichtige reine grosse Terz 5/4.

Generator ist ein leicht hochtemperierte übergrosse Sekunde 8/7. Drei Generatorschritte führen zu einer Approximation der Quinte (die Teilung der Quinte in drei gleiche Teile ist das Merkmal der slendrischen Temperatur).

An [[MOS-Skalen]] gibt es eine mit 5 Tönen der Form 1L 5s (ein grosses und 4 kleine Intervalle) sowie eine sechstönige der Form 5L 1s (5 grosse und ein kleines Intervall). Daneben gibt es noch eine mit 11 Tönen, die allerdings nicht [[Rothenberg-proper]] ist.

Die fünftönige MOS-Skala mit ihren vier gleich grossen Tönen hat grosse Ähnlichkeit mit einer völlig gleichförmigen fünftönigen Skala (d. h. [[5-EDO]]). Sie kann übrigens auch als Akkord gehört werden, genannt '''slendrischer Fünfklang''' (Englisch: slendric pentad)

[[Gleichstufige Tonsysteme]] welche die slendrische Temperatur unterstützen, sind unter anderem [[21-EDO|21-EDO,]] [[26-EDO]], [[31-EDO]], [[36-EDO]], als Grenzfall auch [[5-EDO]].

.[Todo Klangbeispiele]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Die slendrische Temperatur entsteht durch Austemperieren des Kommas [[1029/1024]] auf dem [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3 und 7 - d. h. ohne die 5. Sie bietet dementsprechend gute Unterstützung für eine Reihe 7-[[Limit]]- Intervalle, jedoch keine so gute für die in der europäischen Musik wichtige reine grosse Terz 5/4.

Generator ist ein leicht hochtemperierte übergrosse Sekunde 8/7. Drei Generatorschritte führen zu einer Approximation der Quinte (die Teilung der Quinte in drei gleiche Teile ist das Merkmal der slendrischen Temperatur).

An [[MOS-Skalen]] gibt es eine mit 5 Tönen der Form 1L 5s (ein grosses und 4 kleine Intervalle) sowie eine sechstönige der Form 5L 1s (5 grosse und ein kleines Intervall). Daneben gibt es noch eine mit 11 Tönen, die allerdings nicht [[Rothenberg-proper]] ist.

Die fünftönige MOS-Skala mit ihren vier gleich grossen Tönen hat grosse Ähnlichkeit mit einer völlig gleichförmigen fünftönigen Skala (d. h. [[5-EDO]]). Sie ähnelt auch den traditionellen [https://de.wikipedia.org/wiki/Slendro Slendro]-Skalen in der [https://de.wikipedia.org/wiki/Gamelan indonesischen Gamelan-Musik], von denen sich der Name der Temperatur ableitet. 

Die fünfköpfige slendrische Skala kann auch als Akkord gehört werden, genannt '''slendrischer Fünfklang''' (Englisch: slendric pentad)

[[Gleichstufige Tonsysteme]] welche die slendrische Temperatur unterstützen, sind unter anderem [[21-EDO|21-EDO,]] [[26-EDO]], [[31-EDO]], [[36-EDO]], als Grenzfall auch [[5-EDO]].

.[Todo Klangbeispiele]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

== Definition, Kommas ==
Die slendrische Temperatur entsteht durch Austemperieren des Kommas [[1029/1024]] auf dem [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3 und 7 - d. h. ohne die 5. Sie bietet dementsprechend gute Unterstützung für eine Reihe 7-[[Limit]]- Intervalle, jedoch keine so gute für die in der europäischen Musik wichtige reine grosse Terz 5/4.

Generator ist ein leicht hochtemperierte übergrosse Sekunde 8/7. Drei Generatorschritte führen zu einer Approximation der Quinte (die Teilung der Quinte in drei gleiche Teile ist das Merkmal der slendrischen Temperatur).

== MOS-Skalen ==
An [[MOS-Skalen]] gibt es eine mit 5 Tönen der Form 1L 5s (ein grosses und 4 kleine Intervalle) sowie eine sechstönige der Form 5L 1s (5 grosse und ein kleines Intervall). Daneben gibt es noch eine mit 11 Tönen, die allerdings nicht [[Rothenberg-proper]] ist.

Die fünftönige MOS-Skala mit ihren vier gleich grossen Tönen hat grosse Ähnlichkeit mit einer völlig gleichförmigen fünftönigen Skala (d. h. [[5-EDO]]). Sie ähnelt auch den traditionellen [https://de.wikipedia.org/wiki/Slendro Slendro]-Skalen in der [https://de.wikipedia.org/wiki/Gamelan indonesischen Gamelan-Musik], von denen sich der Name der Temperatur ableitet.

Die fünfköpfige slendrische Skala kann auch als Akkord gehört werden, genannt '''slendrischer Fünfklang''' (Englisch: slendric pentad).

[Todo Klangbeispiele]

== Gleichstufige Realisierungen ==
[[Gleichstufige Tonsysteme]] welche die slendrische Temperatur unterstützen, sind unter anderem [[21-EDO|21-EDO,]] [[26-EDO]], [[31-EDO]], [[36-EDO]], als Grenzfall auch [[5-EDO]].</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

== Definition, Kommas ==
Die slendrische Temperatur entsteht durch Austemperieren des Kommas [[1029/1024]] auf dem [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3 und 7 - d. h. ohne die 5. Sie bietet dementsprechend gute Unterstützung für eine Reihe 7-[[Limit]]- Intervalle, jedoch keine so gute für die in der europäischen Musik wichtige reine [[Naturterz|reine grosse Terz 5/4]].

Generator ist ein leicht hochtemperierte übergrosse Sekunde 8/7. Drei Generatorschritte führen zu einer Approximation der Quinte (die Teilung der Quinte in drei gleiche Teile ist das Merkmal der slendrischen Temperatur).

== MOS-Skalen ==
An [[MOS-Skalen]] gibt es eine mit 5 Tönen der Form 1L 5s (ein grosses und 4 kleine Intervalle) sowie eine sechstönige der Form 5L 1s (5 grosse und ein kleines Intervall). Daneben gibt es noch eine mit 11 Tönen, die allerdings nicht [[Rothenberg-proper]] ist.

Die fünftönige MOS-Skala mit ihren vier gleich grossen Tönen hat grosse Ähnlichkeit mit einer völlig gleichförmigen fünftönigen Skala (d. h. [[5-EDO]]). Sie ähnelt auch den traditionellen [https://de.wikipedia.org/wiki/Slendro Slendro]-Skalen in der [https://de.wikipedia.org/wiki/Gamelan indonesischen Gamelan-Musik], von denen sich der Name der Temperatur ableitet.

Die fünfköpfige slendrische Skala kann auch als Akkord gehört werden, genannt '''slendrischer Fünfklang''' (Englisch: slendric pentad).

[Todo Klangbeispiele]

== Gleichstufige Realisierungen ==
[[Gleichstufige Tonsysteme]] welche die slendrische Temperatur unterstützen, sind unter anderem [[21-EDO|21-EDO,]] [[26-EDO]], [[31-EDO]], [[36-EDO]], als Grenzfall auch [[5-EDO]].</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

== Definition, Kommas ==
Die slendrische Temperatur entsteht durch Austemperieren des Kommas [[1029/1024]] auf dem [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3 und 7 - d. h. ohne die 5. Sie bietet dementsprechend gute Unterstützung für eine Reihe 7-[[Limit]]- Intervalle, jedoch keine so gute für die in der europäischen Musik wichtige reine [[Naturterz|reine grosse Terz 5/4]].

Generator ist ein leicht hochtemperierte übergrosse Sekunde 8/7. Drei Generatorschritte führen zu einer Approximation der Quinte (die Teilung der Quinte in drei gleiche Teile ist das Merkmal der slendrischen Temperatur).

== MOS-Skalen ==
An [[MOS-Skalen]] gibt es eine mit 5 Tönen der Form 1L 5s (ein grosses und 4 kleine Intervalle) sowie eine sechstönige der Form 5L 1s (5 grosse und ein kleines Intervall). Daneben gibt es noch eine mit 11 Tönen, die allerdings nicht [[Rothenberg-proper]] ist.

Die fünftönige MOS-Skala mit ihren vier gleich grossen Tönen hat grosse Ähnlichkeit mit einer völlig gleichförmigen fünftönigen Skala (d. h. [[5-EDO]]). Sie ähnelt auch den traditionellen [https://de.wikipedia.org/wiki/Slendro Slendro]-Skalen in der [https://de.wikipedia.org/wiki/Gamelan indonesischen Gamelan-Musik], von denen sich der Name der Temperatur ableitet.

Die fünfköpfige slendrische Skala kann auch als Akkord gehört werden, genannt '''slendrischer Fünfklang''' (Englisch: slendric pentad).

[Todo Klangbeispiele]

== Gleichstufige Realisierungen ==
[[Gleichstufige Tonsysteme]] welche die slendrische Temperatur unterstützen, sind unter anderem [[21-EDO|21-EDO,]] [[26-EDO]], [[31-EDO]], [[36-EDO]], als Grenzfall auch [[5-EDO]].

== Varianten, Erweiterungen ==

[[Miracle]]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

== Definition, Kommas ==
Die slendrische Temperatur entsteht durch Austemperieren des Kommas [[1029/1024]] auf dem [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3 und 7 - d. h. ohne die 5. Sie bietet dementsprechend gute Unterstützung für eine Reihe 7-[[Limit]]- Intervalle, jedoch keine so gute für die in der europäischen Musik wichtige reine [[Naturterz|reine grosse Terz 5/4]].

Generator ist ein leicht hochtemperierte übergrosse Sekunde 8/7. Drei Generatorschritte führen zu einer Approximation der Quinte (die Teilung der Quinte in drei gleiche Teile ist das Merkmal der slendrischen Temperatur).

== MOS-Skalen ==
An [[MOS-Skalen]] gibt es eine mit 5 Tönen der Form 1L 5s (ein grosses und 4 kleine Intervalle) sowie eine sechstönige der Form 5L 1s (5 grosse und ein kleines Intervall). Daneben gibt es noch eine mit 11 Tönen, die allerdings nicht [[Rothenberg-proper]] ist.

Die fünftönige MOS-Skala mit ihren vier gleich grossen Tönen hat grosse Ähnlichkeit mit einer völlig gleichförmigen fünftönigen Skala (d. h. [[5-EDO]]). Sie ähnelt auch den traditionellen [https://de.wikipedia.org/wiki/Slendro Slendro]-Skalen in der [https://de.wikipedia.org/wiki/Gamelan indonesischen Gamelan-Musik], von denen sich der Name der Temperatur ableitet.

Die fünfköpfige slendrische Skala kann auch als Akkord gehört werden, genannt '''slendrischer Fünfklang''' (Englisch: slendric pentad).

[Todo Klangbeispiele]

== Gleichstufige Realisierungen ==
[[Gleichstufige Tonsysteme]] welche die slendrische Temperatur unterstützen, sind unter anderem [[21-EDO|21-EDO,]] [[26-EDO]], [[31-EDO]], [[36-EDO]], als Grenzfall auch [[5-EDO]].

== Varianten, Erweiterungen ==
In höheren [[p-Limit]]-[[Intervallraum|Intervallräumen]], namentlich den vollen -7-Limt-Raum inkl. die Primzahl 5, ergeben sich verschiedene Varianten durch Austemperieren zusätzlicher Kommas.

Austemperieren des bekannten syntonische Kommas [[81/80]] ergibt eine [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur, die [[Mothra]] gereift wurde.

Austemperieren von [[225/224] ergibt [[Miracle]].</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

== Definition, Kommas ==
Die slendrische Temperatur entsteht durch Austemperieren des Kommas [[1029/1024]] auf dem [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3 und 7 - d. h. ohne die 5. Sie bietet dementsprechend gute Unterstützung für eine Reihe 7-[[Limit]]- Intervalle, jedoch keine so gute für die in der europäischen Musik wichtige reine [[Naturterz|reine grosse Terz 5/4]].

Generator ist ein leicht hochtemperierte übergrosse Sekunde 8/7. Drei Generatorschritte führen zu einer Approximation der Quinte (die Teilung der Quinte in drei gleiche Teile ist das Merkmal der slendrischen Temperatur).

== MOS-Skalen ==
An [[MOS-Skalen]] gibt es eine mit 5 Tönen der Form 1L 5s (ein grosses und 4 kleine Intervalle) sowie eine sechstönige der Form 5L 1s (5 grosse und ein kleines Intervall). Daneben gibt es noch eine mit 11 Tönen, die allerdings nicht [[Rothenberg-proper]] ist.

Die fünftönige MOS-Skala mit ihren vier gleich grossen Tönen hat grosse Ähnlichkeit mit einer völlig gleichförmigen fünftönigen Skala (d. h. [[5-EDO]]). Sie ähnelt auch den traditionellen [https://de.wikipedia.org/wiki/Slendro Slendro]-Skalen in der [https://de.wikipedia.org/wiki/Gamelan indonesischen Gamelan-Musik], von denen sich der Name der Temperatur ableitet.

Die fünfköpfige slendrische Skala kann auch als Akkord gehört werden, genannt '''slendrischer Fünfklang''' (Englisch: slendric pentad).

[Todo Klangbeispiele]

== Gleichstufige Realisierungen ==
[[Gleichstufige Tonsysteme]] welche die slendrische Temperatur unterstützen, sind unter anderem [[21-EDO|21-EDO,]] [[26-EDO]], [[31-EDO]], [[36-EDO]], als Grenzfall auch [[5-EDO]].

== Varianten, Erweiterungen ==
In höheren [[p-Limit]]-[[Intervallraum|Intervallräumen]], namentlich den vollen -7-Limt-Raum inkl. die Primzahl 5, ergeben sich verschiedene Varianten durch Austemperieren zusätzlicher Kommas.

* Austemperieren des bekannten syntonische Kommas [[81/80]] ergibt eine [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur, die [[Mothra]] gereift wurde.

* Austemperieren von [[225/224] ergibt [[Miracle]].</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

== Definition, Kommas ==
Die slendrische Temperatur entsteht durch Austemperieren des Kommas [[1029/1024]] auf dem [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3 und 7 - d. h. ohne die 5. Sie bietet dementsprechend gute Unterstützung für eine Reihe 7-[[Limit]]- Intervalle, jedoch keine so gute für die in der europäischen Musik wichtige reine [[Naturterz|reine grosse Terz 5/4]].

Generator ist ein leicht hochtemperierte übergrosse Sekunde 8/7. Drei Generatorschritte führen zu einer Approximation der Quinte (die Teilung der Quinte in drei gleiche Teile ist das Merkmal der slendrischen Temperatur).

== MOS-Skalen ==
An [[MOS-Skalen]] gibt es eine mit 5 Tönen der Form 1L 5s (ein grosses und 4 kleine Intervalle) sowie eine sechstönige der Form 5L 1s (5 grosse und ein kleines Intervall). Daneben gibt es noch eine mit 11 Tönen, die allerdings nicht [[Rothenberg-proper]] ist.

Die fünftönige MOS-Skala mit ihren vier gleich grossen Tönen hat grosse Ähnlichkeit mit einer völlig gleichförmigen fünftönigen Skala (d. h. [[5-EDO]]). Sie ähnelt auch den traditionellen [https://de.wikipedia.org/wiki/Slendro Slendro]-Skalen in der [https://de.wikipedia.org/wiki/Gamelan indonesischen Gamelan-Musik], von denen sich der Name der Temperatur ableitet.

Die fünfköpfige slendrische Skala kann auch als Akkord gehört werden, genannt '''slendrischer Fünfklang''' (Englisch: slendric pentad).

[Todo Klangbeispiele]

== Gleichstufige Realisierungen ==
[[Gleichstufige Tonsysteme]] welche die slendrische Temperatur unterstützen, sind unter anderem [[21-EDO|21-EDO,]] [[26-EDO]], [[31-EDO]], [[36-EDO]], als Grenzfall auch [[5-EDO]].

== Varianten, Erweiterungen ==
In höheren [[p-Limit]]-[[Intervallraum|Intervallräumen]], namentlich den vollen -7-Limt-Raum inkl. die Primzahl 5, ergeben sich verschiedene Varianten durch Austemperieren zusätzlicher Kommas.

* Austemperieren des bekannten syntonische Kommas [[81/80]] ergibt eine [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur, die [[Mothra]] gereift wurde.

* Austemperieren von [[225/224]] ergibt [[Miracle]].</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

== Definition, Kommas ==
Die slendrische Temperatur entsteht durch Austemperieren des Kommas [[1029/1024]] auf dem [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3 und 7 - d. h. ohne die 5. Sie bietet dementsprechend gute Unterstützung für eine Reihe 7-[[Limit]]- Intervalle, jedoch keine so gute für die in der europäischen Musik wichtige reine [[Naturterz|reine grosse Terz 5/4]].

Generator ist ein leicht hochtemperierte übergrosse Sekunde 8/7. Drei Generatorschritte führen zu einer Approximation der Quinte (die Teilung der Quinte in drei gleiche Teile ist das Merkmal der slendrischen Temperatur).

== MOS-Skalen ==
An [[MOS-Skalen]] gibt es eine mit 5 Tönen der Form 1L 5s (ein grosses und 4 kleine Intervalle) sowie eine sechstönige der Form 5L 1s (5 grosse und ein kleines Intervall). Daneben gibt es noch eine mit 11 Tönen, die allerdings nicht [[Rothenberg-proper]] ist.

Die fünftönige MOS-Skala mit ihren vier gleich grossen Tönen hat grosse Ähnlichkeit mit einer völlig gleichförmigen fünftönigen Skala (d. h. [[5-EDO]]). Sie ähnelt auch den traditionellen [https://de.wikipedia.org/wiki/Slendro Slendro]-Skalen in der [https://de.wikipedia.org/wiki/Gamelan indonesischen Gamelan-Musik], von denen sich der Name der Temperatur ableitet.

Die fünfköpfige slendrische Skala kann auch als Akkord gehört werden, genannt '''slendrischer Fünfklang''' (Englisch: slendric pentad).

[Todo Klangbeispiele]

== Gleichstufige Realisierungen ==
[[Gleichstufige Tonsysteme]] welche die slendrische Temperatur unterstützen, sind unter anderem [[21-EDO|21-EDO,]] [[26-EDO]], [[31-EDO]], [[36-EDO]], als Grenzfall auch [[5-EDO]].

== Varianten, Erweiterungen ==
In höheren [[p-Limit]]-[[Intervallraum|Intervallräumen]], namentlich den vollen -7-Limt-Raum inkl. die Primzahl 5, ergeben sich verschiedene Varianten durch Austemperieren zusätzlicher Kommas.

* Austemperieren des bekannten syntonische Kommas [[81/80]] ergibt eine [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur, die [[Mothra]] gereift wurde.

* Austemperieren von [[225/224]] septimakes Kleisma) ergibt [[Miracle]].</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

== Definition, Kommas ==
Die slendrische Temperatur entsteht durch Austemperieren des Kommas [[1029/1024]] auf dem [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3 und 7 - d. h. ohne die 5. Sie bietet dementsprechend gute Unterstützung für eine Reihe 7-[[Limit]]- Intervalle, jedoch keine so gute für die in der europäischen Musik wichtige reine [[Naturterz|reine grosse Terz 5/4]].

Generator ist ein leicht hochtemperierte übergrosse Sekunde 8/7. Drei Generatorschritte führen zu einer Approximation der Quinte (die Teilung der Quinte in drei gleiche Teile ist das Merkmal der slendrischen Temperatur).

== MOS-Skalen ==
An [[MOS-Skalen]] gibt es eine mit 5 Tönen der Form 1L 5s (ein grosses und 4 kleine Intervalle) sowie eine sechstönige der Form 5L 1s (5 grosse und ein kleines Intervall). Daneben gibt es noch eine mit 11 Tönen, die allerdings nicht [[Rothenberg-proper]] ist.

Die fünftönige MOS-Skala mit ihren vier gleich grossen Tönen hat grosse Ähnlichkeit mit einer völlig gleichförmigen fünftönigen Skala (d. h. [[5-EDO]]). Sie ähnelt auch den traditionellen [https://de.wikipedia.org/wiki/Slendro Slendro]-Skalen in der [https://de.wikipedia.org/wiki/Gamelan indonesischen Gamelan-Musik], von denen sich der Name der Temperatur ableitet.

Die fünfköpfige slendrische Skala kann auch als Akkord gehört werden, genannt '''slendrischer Fünfklang''' (Englisch: slendric pentad).

[Todo Klangbeispiele]

== Gleichstufige Realisierungen ==
[[Gleichstufige Tonsysteme]] welche die slendrische Temperatur unterstützen, sind unter anderem [[21-EDO|21-EDO,]] [[26-EDO]], [[31-EDO]], [[36-EDO]], als Grenzfall auch [[5-EDO]].

== Varianten, Erweiterungen ==
In höheren [[p-Limit]]-[[Intervallraum|Intervallräumen]], namentlich den vollen -7-Limt-Raum inkl. die Primzahl 5, ergeben sich verschiedene Varianten durch Austemperieren zusätzlicher Kommas.

* Austemperieren des bekannten syntonische Kommas [[81/80]] ergibt eine [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur, die [[Mothra]] getauft wurde.
* Austemperieren von [[225/224]] (septimales Kleisma) ergibt [[Miracle]].
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

== Definition, Kommas ==
Die slendrische Temperatur entsteht durch Austemperieren des Kommas [[1029/1024]] auf dem [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3 und 7 - d. h. ohne die 5. Sie bietet dementsprechend gute Unterstützung für eine Reihe 7-[[Limit]]- Intervalle, jedoch keine so gute für die in der europäischen Musik wichtige reine [[Naturterz|reine grosse Terz 5/4]].

Generator ist ein leicht hochtemperierte übergrosse Sekunde 8/7. Drei Generatorschritte führen zu einer Approximation der Quinte (die Teilung der Quinte in drei gleiche Teile ist das Merkmal der slendrischen Temperatur).

== MOS-Skalen ==
An [[MOS-Skalen]] gibt es eine mit 5 Tönen der Form 1L 5s (ein grosses und 4 kleine Intervalle) sowie eine sechstönige der Form 5L 1s (5 grosse und ein kleines Intervall). Daneben gibt es noch eine mit 11 Tönen, die allerdings nicht [[Rothenberg-proper]] ist.

Die fünftönige MOS-Skala mit ihren vier gleich grossen Tönen hat grosse Ähnlichkeit mit einer völlig gleichförmigen fünftönigen Skala (d. h. [[5-EDO]]). Sie ähnelt auch den traditionellen [https://de.wikipedia.org/wiki/Slendro Slendro]-Skalen in der [https://de.wikipedia.org/wiki/Gamelan indonesischen Gamelan-Musik], von denen sich der Name der Temperatur ableitet.

Die fünfköpfige slendrische Skala kann auch als Akkord gehört werden, genannt '''slendrischer Fünfklang''' (Englisch: slendric pentad).

[Todo Klangbeispiele]

== Gleichstufige Realisierungen ==
[[Gleichstufige Tonsysteme]] welche die slendrische Temperatur unterstützen, sind unter anderem [[21-EDO|21-EDO,]] [[26-EDO]], [[31-EDO]], [[36-EDO]], als Grenzfall auch [[5-EDO]].

== Varianten, Erweiterungen ==
In höheren [[p-Limit]]-[[Intervallraum|Intervallräumen]], namentlich den vollen -7-Limt-Raum inkl. die Primzahl 5, ergeben sich verschiedene Varianten durch Austemperieren zusätzlicher Kommas.
=== Mothra ===
* Austemperieren des bekannten syntonische Kommas [[81/80]] ergibt eine [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur, die Mothra getauft wurde.

=== Lemba ===
* Austemperieren von [[225/224]] (septimales Kleisma) ergibt [[Miracle]].
* Austemperieren von [[50/49]] (Jubilisma) ergibt Lemba.

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

== Definition, Kommas ==
Die slendrische Temperatur entsteht durch Austemperieren des Kommas [[1029/1024]] auf dem [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3 und 7 - d. h. ohne die 5. Sie bietet dementsprechend gute Unterstützung für eine Reihe 7-[[Limit]]- Intervalle, jedoch keine so gute für die in der europäischen Musik wichtige reine [[Naturterz|reine grosse Terz 5/4]].

Generator ist ein leicht hochtemperierte übergrosse Sekunde 8/7. Drei Generatorschritte führen zu einer Approximation der Quinte (die Teilung der Quinte in drei gleiche Teile ist das Merkmal der slendrischen Temperatur).

== MOS-Skalen ==
An [[MOS-Skalen]] gibt es eine mit 5 Tönen der Form 1L 5s (ein grosses und 4 kleine Intervalle) sowie eine sechstönige der Form 5L 1s (5 grosse und ein kleines Intervall). Daneben gibt es noch eine mit 11 Tönen, die allerdings nicht [[Rothenberg-proper]] ist.

Die fünftönige MOS-Skala mit ihren vier gleich grossen Tönen hat grosse Ähnlichkeit mit einer völlig gleichförmigen fünftönigen Skala (d. h. [[5-EDO]]). Sie ähnelt auch den traditionellen [https://de.wikipedia.org/wiki/Slendro Slendro]-Skalen in der [https://de.wikipedia.org/wiki/Gamelan indonesischen Gamelan-Musik], von denen sich der Name der Temperatur ableitet.

Die fünfköpfige slendrische Skala kann auch als Akkord gehört werden, genannt '''slendrischer Fünfklang''' (Englisch: slendric pentad).

[Todo Klangbeispiele]

== Gleichstufige Realisierungen ==
[[Gleichstufige Tonsysteme]] welche die slendrische Temperatur unterstützen, sind unter anderem [[21-EDO|21-EDO,]] [[26-EDO]], [[31-EDO]], [[36-EDO]], als Grenzfall auch [[5-EDO]].

== Varianten, Erweiterungen ==
In höheren [[p-Limit]]-[[Intervallraum|Intervallräumen]], namentlich den vollen 7-Limit-Raum inkl. die Primzahl 5, ergeben sich verschiedene Varianten durch Austemperieren zusätzlicher Kommas.
=== Mothra ===
Wenn ausser dem slendrischen Komma auch das bekannte syntonische Komma [[81/80]] austemperiert wird, haben wir [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur, die '''Mothra''' getauft wurde.

Der Generator von Mothra ist slendrisch, also eine Drittelquinte, und drei Generationen bilden einen üblichen mitteltönigen Generator. Die grosse Terz Zeit 5/4 wird also nach 12 Generatorschritten erreicht, ziemlich spät - weder in der fünftönigigen noch der sechstönigem, nicht einmal in der elftönigen MOS-Skala ist eine enthalten. 

[Todo weitere Eigenschaften, Klangbeispiele]

=== Miracle ===
Austemperieren von 1029/1024 und von [[225/224]] (septimales Kleisma) ergibt eine '''Miracle'''-Temperatur.

Siehe eigene Seite [[Miracle]]

=== Lemba ===
* Austemperieren von 1029/1024 und von [[50/49]] (Jubilisma) ergibt eine Temperatur mit Halboktave als Periodenintervall, die '''Lemba''' getauft wurde.

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}}
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

== Definition, Kommas ==
Die slendrische Temperatur entsteht durch Austemperieren des Kommas [[1029/1024]] auf dem [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3 und 7 - d. h. ohne die 5. Sie bietet dementsprechend gute Unterstützung für eine Reihe 7-[[Limit]]- Intervalle, jedoch keine so gute für die in der europäischen Musik wichtige reine [[Naturterz|reine grosse Terz 5/4]].

Generator ist ein leicht hochtemperierte übergrosse Sekunde 8/7. Drei Generatorschritte führen zu einer Approximation der Quinte (die Teilung der Quinte in drei gleiche Teile ist das Merkmal der slendrischen Temperatur).

== MOS-Skalen ==
An [[MOS-Skalen]] gibt es eine mit 5 Tönen der Form 1L 5s (ein grosses und 4 kleine Intervalle) sowie eine sechstönige der Form 5L 1s (5 grosse und ein kleines Intervall). Daneben gibt es noch eine mit 11 Tönen, die allerdings nicht [[Rothenberg-proper]] ist.

Die fünftönige MOS-Skala mit ihren vier gleich grossen Tönen hat grosse Ähnlichkeit mit einer völlig gleichförmigen fünftönigen Skala (d. h. [[5-EDO]]). Sie ähnelt auch den traditionellen [https://de.wikipedia.org/wiki/Slendro Slendro]-Skalen in der [https://de.wikipedia.org/wiki/Gamelan indonesischen Gamelan-Musik], von denen sich der Name der Temperatur ableitet.

Die fünfköpfige slendrische Skala kann auch als Akkord gehört werden, genannt '''slendrischer Fünfklang''' (Englisch: slendric pentad).

[Todo Klangbeispiele]

== Gleichstufige Realisierungen ==
[[Gleichstufige Tonsysteme]] welche die slendrische Temperatur unterstützen, sind unter anderem [[21-EDO|21-EDO,]] [[26-EDO]], [[31-EDO]], [[36-EDO]], als Grenzfall auch [[5-EDO]].

== Varianten, Erweiterungen ==
In höheren [[p-Limit]]-[[Intervallraum|Intervallräumen]], namentlich den vollen 7-Limit-Raum inkl. die Primzahl 5, ergeben sich verschiedene Varianten durch Austemperieren zusätzlicher Kommas.
=== Mothra ===
Wenn ausser dem slendrischen Komma auch das bekannte syntonische Komma [[81/80]] austemperiert wird, haben wir [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur, die '''Mothra''' getauft wurde.

Der Generator von Mothra ist slendrisch, also eine Drittelquinte, und drei Generationen bilden einen üblichen mitteltönigen Generator. Die grosse Terz Zeit 5/4 wird also nach 12 Generatorschritten erreicht, ziemlich spät - weder in der fünftönigigen noch der sechstönigem, nicht einmal in der elftönigen MOS-Skala ist eine enthalten. 

[Todo weitere Eigenschaften, Klangbeispiele]
=== Miracle ===
Austemperieren von 1029/1024 und von [[225/224]] (septimales Kleisma) ergibt eine '''Miracle'''-Temperatur.

Siehe eigene Seite [[Miracle]]
=== Lemba ===
* Austemperieren von 1029/1024 und von [[50/49]] (Jubilisma) ergibt eine Temperatur mit Halboktave als Periodenintervall, die '''Lemba''' getauft wurde.

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

== Definition, Kommas ==
Die slendrische Temperatur entsteht durch Austemperieren des Kommas [[1029/1024]] auf dem [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3 und 7 - d. h. ohne die 5. Sie bietet dementsprechend gute Unterstützung für eine Reihe 7-[[Limit]]- Intervalle, jedoch keine so gute für die in der europäischen Musik wichtige reine [[Naturterz|reine grosse Terz 5/4]].

Generator ist ein leicht hochtemperierte übergrosse Sekunde 8/7. Drei Generatorschritte führen zu einer Approximation der Quinte (die Teilung der Quinte in drei gleiche Teile ist das Merkmal der slendrischen Temperatur).

== MOS-Skalen ==
An [[MOS-Skalen]] gibt es eine mit 5 Tönen der Form 1L 5s (ein grosses und 4 kleine Intervalle) sowie eine sechstönige der Form 5L 1s (5 grosse und ein kleines Intervall). Daneben gibt es noch eine mit 11 Tönen, die allerdings nicht [[Rothenberg-proper]] ist.

Die fünftönige MOS-Skala mit ihren vier gleich grossen Tönen hat grosse Ähnlichkeit mit einer völlig gleichförmigen fünftönigen Skala (d. h. [[5-EDO]]). Sie ähnelt auch den traditionellen [https://de.wikipedia.org/wiki/Slendro Slendro]-Skalen in der [https://de.wikipedia.org/wiki/Gamelan indonesischen Gamelan-Musik], von denen sich der Name der Temperatur ableitet.

Die fünfköpfige slendrische Skala kann auch als Akkord gehört werden, genannt '''slendrischer Fünfklang''' (Englisch: slendric pentad).

[Todo Klangbeispiele]

== Gleichstufige Realisierungen ==
[[Gleichstufige Tonsysteme]] welche die slendrische Temperatur unterstützen, sind unter anderem [[21-EDO|21-EDO,]] [[26-EDO]], [[31-EDO]], [[36-EDO]], als Grenzfall auch [[5-EDO]].

== Varianten, Erweiterungen ==
In höheren [[p-Limit]]-[[Intervallraum|Intervallräumen]], namentlich den vollen 7-Limit-Raum inkl. die Primzahl 5, ergeben sich verschiedene Varianten durch Austemperieren zusätzlicher Kommas.
=== Mothra ===
Wenn ausser dem slendrischen Komma auch das bekannte syntonische Komma [[81/80]] austemperiert wird, haben wir eine [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur, die '''Mothra''' getauft wurde.

Der Generator von Mothra ist slendrisch, also eine Drittelquinte, und drei Generationen bilden einen üblichen mitteltönigen Generator. Die grosse Terz Zeit 5/4 wird also nach 12 Generatorschritten erreicht, ziemlich spät - weder in der fünftönigigen noch der sechstönigem, nicht einmal in der elftönigen MOS-Skala ist eine enthalten. 

[Todo weitere Eigenschaften, Klangbeispiele]

=== Miracle ===
Austemperieren von 1029/1024 und von [[225/224]] (septimales Kleisma) ergibt eine '''Miracle'''-Temperatur.

Siehe eigene Seite [[Miracle]]
=== Lemba ===
* Austemperieren von 1029/1024 und von [[50/49]] (Jubilisma) ergibt eine Temperatur mit Halboktave als Periodenintervall, die '''Lemba''' getauft wurde.

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

== Definition, Kommas ==
Die slendrische Temperatur entsteht durch Austemperieren des Kommas [[1029/1024]] auf dem [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3 und 7 - d. h. ohne die 5. Sie bietet dementsprechend gute Unterstützung für eine Reihe 7-[[Limit]]- Intervalle, jedoch keine so gute für die in der europäischen Musik wichtige reine [[Naturterz|reine grosse Terz 5/4]].

Generator ist ein leicht hochtemperierte übergrosse Sekunde 8/7. Drei Generatorschritte führen zu einer Approximation der Quinte (die Teilung der Quinte in drei gleiche Teile ist das Merkmal der slendrischen Temperatur).

== MOS-Skalen ==
An [[MOS-Skalen]] gibt es eine mit 5 Tönen der Form 1L 5s (ein grosses und 4 kleine Intervalle) sowie eine sechstönige der Form 5L 1s (5 grosse und ein kleines Intervall). Daneben gibt es noch eine mit 11 Tönen, die allerdings nicht [[Rothenberg-proper]] ist.

Die fünftönige MOS-Skala mit ihren vier gleich grossen Tönen hat grosse Ähnlichkeit mit einer völlig gleichförmigen fünftönigen Skala (d. h. [[5-EDO]]). Sie ähnelt auch den traditionellen [https://de.wikipedia.org/wiki/Slendro Slendro]-Skalen in der [https://de.wikipedia.org/wiki/Gamelan indonesischen Gamelan-Musik], von denen sich der Name der Temperatur ableitet.

Die fünfköpfige slendrische Skala kann auch als Akkord gehört werden, genannt '''slendrischer Fünfklang''' (Englisch: slendric pentad).

[Todo Klangbeispiele]

== Gleichstufige Realisierungen ==
[[Gleichstufige Tonsysteme]] welche die slendrische Temperatur unterstützen, sind unter anderem [[21-EDO|21-EDO,]] [[26-EDO]], [[31-EDO]], [[36-EDO]], als Grenzfall auch [[5-EDO]].

== Varianten, Erweiterungen ==
In höheren [[p-Limit]]-[[Intervallraum|Intervallräumen]], namentlich den vollen 7-Limit-Raum inkl. die Primzahl 5, ergeben sich verschiedene Varianten durch Austemperieren zusätzlicher Kommas.
=== Mothra ===
Wenn ausser dem slendrischen Komma auch das bekannte syntonische Komma [[81/80]] austemperiert wird, haben wir eine [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur, für die der Name '''Mothra''' gewählt wurde.

Der Generator von Mothra ist slendrisch, also eine Drittelquinte, und drei Generatoren bilden einen üblichen mitteltönigen Generator. Die grosse Terz Zeit 5/4 wird also nach 12 Generatorschritten erreicht, ziemlich spät - weder in der fünftönigigen noch der sechstönigem, nicht einmal in der elftönigen MOS-Skala ist eine enthalten. 

[Todo weitere Eigenschaften, Klangbeispiele]

=== Miracle ===
Austemperieren von 1029/1024 und von [[225/224]] (septimales Kleisma) ergibt eine '''Miracle'''-Temperatur.

Siehe eigene Seite [[Miracle]]
=== Lemba ===
* Austemperieren von 1029/1024 und von [[50/49]] (Jubilisma) ergibt eine Temperatur mit Halboktave als Periodenintervall, die '''Lemba''' getauft wurde.

[Todo Eigebschaften]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

== Definition, Kommas ==
Die slendrische Temperatur entsteht durch Austemperieren des Kommas [[1029/1024]] auf dem [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3 und 7 - d. h. ohne die 5. Sie bietet dementsprechend gute Unterstützung für eine Reihe 7-[[Limit]]- Intervalle, jedoch keine so gute für die in der europäischen Musik wichtige reine [[Naturterz|reine grosse Terz 5/4]].

Generator ist ein leicht hochtemperierte übergrosse Sekunde 8/7. Drei Generatorschritte führen zu einer Approximation der Quinte (die Teilung der Quinte in drei gleiche Teile ist das Merkmal der slendrischen Temperatur).

== MOS-Skalen ==
An [[MOS-Skalen]] gibt es eine mit 5 Tönen der Form 1L 5s (ein grosses und 4 kleine Intervalle) sowie eine sechstönige der Form 5L 1s (5 grosse und ein kleines Intervall). Daneben gibt es noch eine mit 11 Tönen, die allerdings nicht [[Rothenberg-proper]] ist.

Die fünftönige MOS-Skala mit ihren vier gleich grossen Tönen hat grosse Ähnlichkeit mit einer völlig gleichförmigen fünftönigen Skala (d. h. [[5-EDO]]). Sie ähnelt auch den traditionellen [https://de.wikipedia.org/wiki/Slendro Slendro]-Skalen in der [https://de.wikipedia.org/wiki/Gamelan indonesischen Gamelan-Musik], von denen sich der Name der Temperatur ableitet.

Die fünfköpfige slendrische Skala kann auch als Akkord gehört werden, genannt '''slendrischer Fünfklang''' (Englisch: slendric pentad).

[Todo Klangbeispiele]

== Gleichstufige Realisierungen ==
[[Gleichstufige Tonsysteme]] welche die slendrische Temperatur unterstützen, sind unter anderem [[21-EDO|21-EDO,]] [[26-EDO]], [[31-EDO]], [[36-EDO]], als Grenzfall auch [[5-EDO]].

== Varianten, Erweiterungen ==
In höheren [[p-Limit]]-[[Intervallraum|Intervallräumen]], namentlich den vollen 7-Limit-Raum inkl. die Primzahl 5, ergeben sich verschiedene Varianten durch Austemperieren zusätzlicher Kommas.
=== Mothra ===
Wenn ausser dem slendrischen Komma auch das bekannte syntonische Komma [[81/80]] austemperiert wird, haben wir eine [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur, für die der Name '''Mothra''' gewählt wurde.

Der Generator von Mothra ist slendrisch, also eine Drittelquinte, und drei Generatoren bilden einen üblichen mitteltönigen Generator. Die grosse Terz Zeit 5/4 wird also nach 12 Generatorschritten erreicht, ziemlich spät - weder in der fünftönigigen noch der sechstönigem, nicht einmal in der elftönigen MOS-Skala ist eine enthalten. 

[Todo weitere Eigenschaften, Klangbeispiele]

=== Miracle ===
Austemperieren von 1029/1024 und von [[225/224]] (septimales Kleisma) ergibt eine '''Miracle'''-Temperatur.

Siehe eigene Seite [[Miracle]]
=== Lemba ===
Austemperieren von 1029/1024 und von [[50/49]] (Jubilisma) ergibt eine Temperatur mit Halboktave als Periodenintervall, die '''Lemba''' getauft wurde.

[Todo Eigebschaften]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

== Definition, Kommas ==
Die slendrische Temperatur entsteht durch Austemperieren des Kommas [[1029/1024]] auf dem [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3 und 7 - d. h. ohne die 5. Sie bietet dementsprechend gute Unterstützung für eine Reihe 7-[[Limit]]- Intervalle, jedoch keine so gute für die in der europäischen Musik wichtige reine [[Naturterz|reine grosse Terz 5/4]].

Generator ist eine (typischerweise leicht hochtemperierte) septimale grosse Sekunde 8/7. Drei Generatorschritte führen zu einer Approximation der Quinte (die Teilung der Quinte in drei gleiche Teile ist das Merkmal der slendrischen Temperatur).

== MOS-Skalen ==
An [[MOS-Skalen]] gibt es eine mit 5 Tönen der Form 1L 5s (ein grosses und 4 kleine Intervalle) sowie eine sechstönige der Form 5L 1s (5 grosse und ein kleines Intervall). Daneben gibt es noch eine mit 11 Tönen, die allerdings nicht [[Rothenberg-proper]] ist.

Die fünftönige MOS-Skala mit ihren vier gleich grossen Tönen hat grosse Ähnlichkeit mit einer völlig gleichförmigen fünftönigen Skala (d. h. [[5-EDO]]). Sie ähnelt auch den traditionellen [https://de.wikipedia.org/wiki/Slendro Slendro]-Skalen in der [https://de.wikipedia.org/wiki/Gamelan indonesischen Gamelan-Musik], von denen sich der Name der Temperatur ableitet.

Die fünfköpfige slendrische Skala kann auch als Akkord gehört werden, genannt '''slendrischer Fünfklang''' (Englisch: slendric pentad).

[Todo Klangbeispiele]

== Gleichstufige Realisierungen ==
[[Gleichstufige Tonsysteme]] welche die slendrische Temperatur unterstützen, sind unter anderem [[21-EDO|21-EDO,]] [[26-EDO]], [[31-EDO]], [[36-EDO]], als Grenzfall auch [[5-EDO]].

== Varianten, Erweiterungen ==
In höheren [[p-Limit]]-[[Intervallraum|Intervallräumen]], namentlich den vollen 7-Limit-Raum inkl. die Primzahl 5, ergeben sich verschiedene Varianten durch Austemperieren zusätzlicher Kommas.
=== Mothra ===
Wenn ausser dem slendrischen Komma auch das bekannte syntonische Komma [[81/80]] austemperiert wird, haben wir eine [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur, für die der Name '''Mothra''' gewählt wurde.

Der Generator von Mothra ist slendrisch, also eine Drittelquinte, und drei Generatoren bilden einen üblichen mitteltönigen Generator. Die grosse Terz Zeit 5/4 wird also nach 12 Generatorschritten erreicht, ziemlich spät - weder in der fünftönigigen noch der sechstönigem, nicht einmal in der elftönigen MOS-Skala ist eine enthalten. 

[Todo weitere Eigenschaften, Klangbeispiele]

=== Miracle ===
Austemperieren von 1029/1024 und von [[225/224]] (septimales Kleisma) ergibt eine '''Miracle'''-Temperatur.

Siehe eigene Seite [[Miracle]]
=== Lemba ===
Austemperieren von 1029/1024 und von [[50/49]] (Jubilisma) ergibt eine Temperatur mit Halboktave als Periodenintervall, die '''Lemba''' getauft wurde.

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

== Definition, Kommas ==
Die slendrische Temperatur entsteht durch Austemperieren des Kommas [[1029/1024]] auf dem [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3 und 7 - d. h. ohne die 5. Sie bietet dementsprechend gute Unterstützung für eine Reihe 7-[[Limit]]- Intervalle, jedoch keine so gute für die in der europäischen Musik wichtige reine [[Naturterz|reine grosse Terz 5/4]].

Generator ist eine (typischerweise leicht hochtemperierte) septimale grosse Sekunde 8/7. Drei Generatorschritte führen zu einer Approximation der Quinte (die Teilung der Quinte in drei gleiche Teile ist das Merkmal der slendrischen Temperatur).

== MOS-Skalen ==
An [[MOS-Skalen]] gibt es eine mit 5 Tönen der Form 1L 5s (ein grosses und 4 kleine Intervalle) sowie eine sechstönige der Form 5L 1s (5 grosse und ein kleines Intervall). Daneben gibt es noch eine mit 11 Tönen, die allerdings nicht [[Rothenberg-proper]] ist.

Die fünftönige MOS-Skala mit ihren vier gleich grossen Tönen hat grosse Ähnlichkeit mit einer völlig gleichförmigen fünftönigen Skala (d. h. [[5-EDO]]). Sie ähnelt auch den traditionellen [https://de.wikipedia.org/wiki/Slendro Slendro]-Skalen in der [https://de.wikipedia.org/wiki/Gamelan indonesischen Gamelan-Musik], von denen sich der Name der Temperatur ableitet.

Die fünfköpfige slendrische Skala kann auch als Akkord gehört werden, genannt '''slendrischer Fünfklang''' (Englisch: slendric pentad).

[Todo Klangbeispiele]

== Gleichstufige Realisierungen ==
[[Gleichstufige Tonsysteme]] welche die slendrische Temperatur unterstützen, sind unter anderem [[21-EDO|21-EDO,]] [[26-EDO]], [[31-EDO]], [[36-EDO]], als Grenzfall auch [[5-EDO]].

== Varianten, Erweiterungen ==
In höheren [[p-Limit]]-[[Intervallraum|Intervallräumen]], namentlich den vollen 7-Limit-Raum inkl. die Primzahl 5, ergeben sich verschiedene Varianten durch Austemperieren zusätzlicher Kommas.
=== Mothra ===
Wenn ausser dem slendrischen Komma auch das bekannte syntonische Komma [[81/80]] austemperiert wird, haben wir eine [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur, für die der Name '''Mothra''' gewählt wurde.

Der Generator von Mothra ist slendrisch, also eine Drittelquinte, und drei Generatoren bilden einen üblichen mitteltönigen Generator. Die grosse Terz 5/4 wird also nach 12 Generatorschritten erreicht, ziemlich spät - weder in der fünftönigigen noch der sechstönigem, nicht einmal in der elftönigen MOS-Skala ist eine enthalten. 

[Todo weitere Eigenschaften, Klangbeispiele]

=== Miracle ===
Austemperieren von 1029/1024 und von [[225/224]] (septimales Kleisma) ergibt eine '''Miracle'''-Temperatur.

Siehe eigene Seite [[Miracle]]
=== Lemba ===
Austemperieren von 1029/1024 und von [[50/49]] (Jubilisma) ergibt eine Temperatur mit Halboktave als Periodenintervall, die '''Lemba''' getauft wurde.

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

== Definition, Kommas ==
Die slendrische Temperatur entsteht durch Austemperieren des Kommas [[1029/1024]] auf dem [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3 und 7 - d. h. ohne die 5. Sie bietet dementsprechend gute Unterstützung für eine Reihe 7-[[Limit]]- Intervalle, jedoch keine so gute für die in der europäischen Musik wichtige reine [[Naturterz|reine grosse Terz 5/4]].

Generator ist eine (typischerweise leicht hochtemperierte) septimale grosse Sekunde 8/7. Drei Generatorschritte führen zu einer Approximation der Quinte (die Teilung der Quinte in drei gleiche Teile ist das Merkmal der slendrischen Temperatur).

== MOS-Skalen ==
An [[MOS-Skalen]] gibt es eine mit 5 Tönen der Form 1L 5s (ein grosses und 4 kleine Intervalle) sowie eine sechstönige der Form 5L 1s (5 grosse und ein kleines Intervall). Daneben gibt es noch eine mit 11 Tönen, die allerdings nicht [[Rothenberg-proper]] ist.

Die fünftönige MOS-Skala mit ihren vier gleich grossen Tönen hat grosse Ähnlichkeit mit einer völlig gleichförmigen fünftönigen Skala (d. h. [[5-EDO]]). Sie ähnelt auch den traditionellen [https://de.wikipedia.org/wiki/Slendro Slendro]-Skalen in der [https://de.wikipedia.org/wiki/Gamelan indonesischen Gamelan-Musik], von denen sich der Name der Temperatur ableitet.

Die fünfköpfige slendrische Skala kann auch als Akkord gehört werden, genannt '''slendrischer Fünfklang''' (Englisch: slendric pentad).

[Todo Klangbeispiele]

== Gleichstufige Realisierungen ==
[[Gleichstufige Tonsysteme]] welche die slendrische Temperatur unterstützen, sind unter anderem [[21-EDO|21-EDO,]] [[26-EDO]], [[31-EDO]], [[36-EDO]], als Grenzfall auch [[5-EDO]].

== Varianten, Erweiterungen ==
In höheren [[p-Limit]]-[[Intervallraum|Intervallräumen]], namentlich den vollen 7-Limit-Raum inkl. die Primzahl 5, ergeben sich verschiedene Varianten durch Austemperieren zusätzlicher Kommas.
=== Mothra ===
Wenn ausser dem slendrischen Komma auch das bekannte syntonische Komma [[81/80]] austemperiert wird, haben wir eine [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur, für die der Name '''Mothra''' gewählt wurde.

Der Generator von Mothra ist slendrisch, also eine Drittelquinte, und drei Generatoren bilden einen üblichen mitteltönigen Generator. Die grosse Terz 5/4 wird also nach 12 Generatorschritten erreicht, ziemlich spät - weder in der fünftönigigen noch der sechstönigem, nicht einmal in der elftönigen MOS-Skala ist eine enthalten. 

[Todo weitere Eigenschaften, Klangbeispiele]

=== Gorgo ===
English: [[en:Gorgo]]

Bei der Gorgo-Temoeratur ist neben dem slendrischen Komma noch das Intervall [[36/35]] (septimaler Viertelton) austemperiert. Das Intervall 8/7 fällt dort mit 10/9 zusammen und wird tendenziell eher tiefer temperiert anstatt höher. Dies macht die aus drei temperierten 8/7 gebildete Quinte tendenziell ziemlich tief.

[[16-EDO]] und [[21-EDO]] sind gleichstufige Systeme, bei denen die slendrische Temperatur in der Gorgo-Variante auftritt.

=== Miracle ===
Austemperieren von 1029/1024 und von [[225/224]] (septimales Kleisma) ergibt eine '''Miracle'''-Temperatur.

Siehe eigene Seite [[Miracle]]
=== Lemba ===
Austemperieren von 1029/1024 und von [[50/49]] (Jubilisma) ergibt eine Temperatur mit Halboktave als Periodenintervall, die '''Lemba''' getauft wurde.

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| de = Slendrisch
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}}
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

== Definition, Kommas ==
Die slendrische Temperatur entsteht durch Austemperieren des Kommas [[1029/1024]] auf dem [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3 und 7 - d. h. ohne die 5. Sie bietet dementsprechend gute Unterstützung für eine Reihe 7-[[Limit]]- Intervalle, jedoch keine so gute für die in der europäischen Musik wichtige reine [[Naturterz|reine grosse Terz 5/4]].

Generator ist eine (typischerweise leicht hochtemperierte) septimale grosse Sekunde 8/7. Drei Generatorschritte führen zu einer Approximation der Quinte (die Teilung der Quinte in drei gleiche Teile ist das Merkmal der slendrischen Temperatur).

== MOS-Skalen ==
An [[MOS-Skalen]] gibt es eine mit 5 Tönen der Form 1L 5s (ein grosses und 4 kleine Intervalle) sowie eine sechstönige der Form 5L 1s (5 grosse und ein kleines Intervall). Daneben gibt es noch eine mit 11 Tönen, die allerdings nicht [[Rothenberg-proper]] ist.

Die fünftönige MOS-Skala mit ihren vier gleich grossen Tönen hat grosse Ähnlichkeit mit einer völlig gleichförmigen fünftönigen Skala (d. h. [[5-EDO]]). Sie ähnelt auch den traditionellen [https://de.wikipedia.org/wiki/Slendro Slendro]-Skalen in der [https://de.wikipedia.org/wiki/Gamelan indonesischen Gamelan-Musik], von denen sich der Name der Temperatur ableitet.

Die fünfköpfige slendrische Skala kann auch als Akkord gehört werden, genannt '''slendrischer Fünfklang''' (Englisch: slendric pentad).

[Todo Klangbeispiele]

== Gleichstufige Realisierungen ==
[[Gleichstufige Tonsysteme]] welche die slendrische Temperatur unterstützen, sind unter anderem [[21-EDO|21-EDO,]] [[26-EDO]], [[31-EDO]], [[36-EDO]], als Grenzfall auch [[5-EDO]].

== Varianten, Erweiterungen ==
In höheren [[p-Limit]]-[[Intervallraum|Intervallräumen]], namentlich den vollen 7-Limit-Raum inkl. die Primzahl 5, ergeben sich verschiedene Varianten durch Austemperieren zusätzlicher Kommas.
=== Mothra ===
Wenn ausser dem slendrischen Komma auch das bekannte syntonische Komma [[81/80]] austemperiert wird, haben wir eine [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur, für die der Name '''Mothra''' gewählt wurde.

Der Generator von Mothra ist slendrisch, also eine Drittelquinte, und drei Generatoren bilden einen üblichen mitteltönigen Generator. Die grosse Terz 5/4 wird also nach 12 Generatorschritten erreicht, ziemlich spät - weder in der fünftönigigen noch der sechstönigem, nicht einmal in der elftönigen MOS-Skala ist eine enthalten. 

[Todo weitere Eigenschaften, Klangbeispiele]

=== Gorgo ===
English: [[:en:Gorgo|Gorgo]] 

Bei der Gorgo-Temoeratur ist neben dem slendrischen Komma noch das Intervall [[36/35]] (septimaler Viertelton) austemperiert. Das Intervall 8/7 fällt dort mit 10/9 zusammen und wird tendenziell eher tiefer temperiert anstatt höher. Dies macht die aus drei temperierten 8/7 gebildete Quinte tendenziell ziemlich tief.

[[16-EDO]] und [[21-EDO]] sind gleichstufige Systeme, bei denen die slendrische Temperatur in der Gorgo-Variante auftritt.

=== Miracle ===
Austemperieren von 1029/1024 und von [[225/224]] (septimales Kleisma) ergibt eine '''Miracle'''-Temperatur.

Siehe eigene Seite [[Miracle]]
=== Lemba ===
Austemperieren von 1029/1024 und von [[50/49]] (Jubilisma) ergibt eine Temperatur mit Halboktave als Periodenintervall, die '''Lemba''' getauft wurde.

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

== Definition, Kommas ==
Die slendrische Temperatur entsteht durch Austemperieren des Kommas [[1029/1024]] auf dem [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3 und 7 - d. h. ohne die 5. Sie bietet dementsprechend gute Unterstützung für eine Reihe 7-[[Limit]]- Intervalle, jedoch keine so gute für die in der europäischen Musik wichtige reine [[Naturterz|reine grosse Terz 5/4]].

Generator ist eine (typischerweise leicht hochtemperierte) septimale grosse Sekunde 8/7. Drei Generatorschritte führen zu einer Approximation der Quinte (die Teilung der Quinte in drei gleiche Teile ist das Merkmal der slendrischen Temperatur).

== MOS-Skalen ==
An [[MOS-Skalen]] gibt es eine mit 5 Tönen der Form 1L 5s (ein grosses und 4 kleine Intervalle) sowie eine sechstönige der Form 5L 1s (5 grosse und ein kleines Intervall). Daneben gibt es noch eine mit 11 Tönen, die allerdings nicht [[Rothenberg-proper]] ist.

Die fünftönige MOS-Skala mit ihren vier gleich grossen Tönen hat grosse Ähnlichkeit mit einer völlig gleichförmigen fünftönigen Skala (d. h. [[5-EDO]]). Sie ähnelt auch den traditionellen [https://de.wikipedia.org/wiki/Slendro Slendro]-Skalen in der [https://de.wikipedia.org/wiki/Gamelan indonesischen Gamelan-Musik], von denen sich der Name der Temperatur ableitet.

Die fünfköpfige slendrische Skala kann auch als Akkord gehört werden, genannt '''slendrischer Fünfklang''' (Englisch: slendric pentad).

[Todo Klangbeispiele]

== Gleichstufige Realisierungen ==
[[Gleichstufige Tonsysteme]] welche die slendrische Temperatur unterstützen, sind unter anderem [[21-EDO|21-EDO,]] [[26-EDO]], [[31-EDO]], [[36-EDO]], als Grenzfall auch [[5-EDO]].

== Varianten, Erweiterungen ==
In höheren [[p-Limit]]-[[Intervallraum|Intervallräumen]], namentlich den vollen 7-Limit-Raum inkl. die Primzahl 5, ergeben sich verschiedene Varianten durch Austemperieren zusätzlicher Kommas.
=== Mothra ===
English: [[:en:Mothra|Mothra]]

Wenn ausser dem slendrischen Komma auch das bekannte syntonische Komma [[81/80]] austemperiert wird, haben wir eine [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur, für die der Name '''Mothra''' gewählt wurde.

Der Generator von Mothra ist slendrisch, also eine Drittelquinte, und drei Generatoren bilden einen üblichen mitteltönigen Generator. Die grosse Terz 5/4 wird also nach 12 Generatorschritten erreicht, ziemlich spät - weder in der fünftönigigen noch der sechstönigem, nicht einmal in der elftönigen MOS-Skala ist eine enthalten. 

[Todo weitere Eigenschaften, Klangbeispiele]

=== Gorgo ===
English: [[:en:Gorgo|Gorgo]] 

Bei der Gorgo-Temoeratur ist neben dem slendrischen Komma noch das Intervall [[36/35]] (septimaler Viertelton) austemperiert. Das Intervall 8/7 fällt dort mit 10/9 zusammen und wird tendenziell eher tiefer temperiert anstatt höher. Dies macht die aus drei temperierten 8/7 gebildete Quinte tendenziell ziemlich tief.

[[16-EDO]] und [[21-EDO]] sind gleichstufige Systeme, bei denen die slendrische Temperatur in der Gorgo-Variante auftritt.

=== Miracle ===
Austemperieren von 1029/1024 und von [[225/224]] (septimales Kleisma) ergibt eine '''Miracle'''-Temperatur.

Siehe eigene Seite [[Miracle]]
=== Lemba ===
Austemperieren von 1029/1024 und von [[50/49]] (Jubilisma) ergibt eine Temperatur mit Halboktave als Periodenintervall, die '''Lemba''' getauft wurde.

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

== Definition, Kommas ==
Die slendrische Temperatur entsteht durch Austemperieren des Kommas [[1029/1024]] auf dem [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3 und 7 - d. h. ohne die 5. Sie bietet dementsprechend gute Unterstützung für eine Reihe 7-[[Limit]]- Intervalle, jedoch keine so gute für die in der europäischen Musik wichtige reine [[Naturterz|reine grosse Terz 5/4]].

Generator ist eine (typischerweise leicht hochtemperierte) septimale grosse Sekunde 8/7. Drei Generatorschritte führen zu einer Approximation der Quinte (die Teilung der Quinte in drei gleiche Teile ist das Merkmal der slendrischen Temperatur).

== MOS-Skalen ==
An [[MOS-Skalen]] gibt es eine mit 5 Tönen der Form 1L 5s (ein grosses und 4 kleine Intervalle) sowie eine sechstönige der Form 5L 1s (5 grosse und ein kleines Intervall). Daneben gibt es noch eine mit 11 Tönen, die allerdings nicht [[Rothenberg-proper]] ist.

Die fünftönige MOS-Skala mit ihren vier gleich grossen Tönen hat grosse Ähnlichkeit mit einer völlig gleichförmigen fünftönigen Skala (d. h. [[5-EDO]]). Sie ähnelt auch den traditionellen [https://de.wikipedia.org/wiki/Slendro Slendro]-Skalen in der [https://de.wikipedia.org/wiki/Gamelan indonesischen Gamelan-Musik], von denen sich der Name der Temperatur ableitet.

Die fünfköpfige slendrische Skala kann auch als Akkord gehört werden, genannt '''slendrischer Fünfklang''' (Englisch: slendric pentad).

[Todo Klangbeispiele]

== Gleichstufige Realisierungen ==
[[Gleichstufige Tonsysteme]] welche die slendrische Temperatur unterstützen, sind unter anderem [[21-EDO|21-EDO,]] [[26-EDO]], [[31-EDO]], [[36-EDO]], als Grenzfall auch [[5-EDO]].

== Varianten, Erweiterungen ==
In höheren [[p-Limit]]-[[Intervallraum|Intervallräumen]], namentlich den vollen 7-Limit-Raum inkl. die Primzahl 5, ergeben sich verschiedene Varianten durch Austemperieren zusätzlicher Kommas.
=== Mothra ===
English: [[:en:Mothra|Mothra]]

Wenn ausser dem slendrischen Komma auch das bekannte syntonische Komma [[81/80]] austemperiert wird, haben wir eine [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur, für die der Name '''Mothra''' gewählt wurde.

Der Generator von Mothra ist slendrisch, also eine Drittelquinte, und drei Generatoren bilden einen üblichen mitteltönigen Generator. Die grosse Terz 5/4 wird also nach 12 Generatorschritten erreicht, ziemlich spät - weder in der fünftönigigen noch der sechstönigem, nicht einmal in der elftönigen MOS-Skala ist eine enthalten. 

[Todo weitere Eigenschaften, Klangbeispiele]

=== Gorgo ===
English: [[:en:Gorgo|Gorgo]] 

Bei der Gorgo-Temoeratur ist neben dem slendrischen Komma noch das Intervall [[36/35]] (septimaler Viertelton) austemperiert. Das Intervall 8/7 fällt dort mit 10/9 zusammen und wird tendenziell eher tiefer temperiert anstatt höher. Dies macht die aus drei temperierten 8/7 gebildete Quinte tendenziell ziemlich tief.

[[16-EDO]] und [[21-EDO]] sind gleichstufige Systeme, bei denen die slendrische Temperatur in der Gorgo-Variante auftritt.

=== Miracle ===
Austemperieren von 1029/1024 und von [[225/224]] (septimales Kleisma) ergibt eine '''Miracle'''-Temperatur.

Siehe eigene Seite [[Miracle]]
=== Lemba ===
English: [[:en:Lemba|Lemba]]

Austemperieren von 1029/1024 und von [[50/49]] (Jubilisma) ergibt eine Temperatur mit Halboktave als Periodenintervall, die '''Lemba''' getauft wurde.

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

== Definition, Kommas ==
Die slendrische Temperatur entsteht durch Austemperieren des Kommas [[1029/1024]] auf dem [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3 und 7 - d. h. ohne die 5. Sie bietet dementsprechend gute Unterstützung für eine Reihe 7-[[Limit]]- Intervalle, jedoch keine so gute für die in der europäischen Musik wichtige reine [[Naturterz|reine grosse Terz 5/4]].

Generator ist eine (typischerweise leicht hochtemperierte) septimale grosse Sekunde 8/7. Drei Generatorschritte führen zu einer Approximation der Quinte (die Teilung der Quinte in drei gleiche Teile ist das Merkmal der slendrischen Temperatur).

== MOS-Skalen ==
An [[MOS-Skalen]] gibt es eine mit 5 Tönen der Form 1L 5s (ein grosses und 4 kleine Intervalle) sowie eine sechstönige der Form 5L 1s (5 grosse und ein kleines Intervall). Daneben gibt es noch eine mit 11 Tönen, die allerdings nicht [[Rothenberg-proper]] ist.

Die fünftönige MOS-Skala mit ihren vier gleich grossen Tönen hat grosse Ähnlichkeit mit einer völlig gleichförmigen fünftönigen Skala (d. h. [[5-EDO]]). Sie ähnelt auch den traditionellen [https://de.wikipedia.org/wiki/Slendro Slendro]-Skalen in der [https://de.wikipedia.org/wiki/Gamelan indonesischen Gamelan-Musik], von denen sich der Name der Temperatur ableitet.

Die fünfköpfige slendrische Skala kann auch als Akkord gehört werden, genannt '''slendrischer Fünfklang''' (Englisch: slendric pentad).

[Todo Klangbeispiele]

== Gleichstufige Realisierungen ==
[[Gleichstufige Tonsysteme]] welche die slendrische Temperatur unterstützen, sind unter anderem [[21-EDO|21-EDO,]] [[26-EDO]], [[31-EDO]], [[36-EDO]], als Grenzfall auch [[5-EDO]].

== Varianten, Erweiterungen ==
In höheren [[p-Limit]]-[[Intervallraum|Intervallräumen]], namentlich den vollen 7-Limit-Raum inkl. die Primzahl 5, ergeben sich verschiedene Varianten durch Austemperieren zusätzlicher Kommas.
=== Mothra ===
English: [[:en:Mothra|Mothra]]

Wenn ausser dem slendrischen Komma auch das bekannte syntonische Komma [[81/80]] austemperiert wird, haben wir eine [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur, für die der Name '''Mothra''' gewählt wurde.

Der Generator von Mothra ist slendrisch, also eine Drittelquinte, und drei Generatoren bilden einen üblichen mitteltönigen Generator. Die grosse Terz 5/4 wird also nach 12 Generatorschritten erreicht, ziemlich spät - weder in der fünftönigigen noch der sechstönigem, nicht einmal in der elftönigen MOS-Skala ist eine enthalten. 

[Todo weitere Eigenschaften, Klangbeispiele]

=== Gorgo ===
English: [[:en:Gorgo|Gorgo]] 

Bei der Gorgo-Temperatur ist neben dem slendrischen Komma noch das Intervall [[36/35]] (septimaler Viertelton) austemperiert. Das Intervall 8/7 fällt dort mit 10/9 zusammen und wird tendenziell eher tiefer temperiert anstatt höher. Dies macht die aus drei temperierten 8/7 gebildete Quinte tendenziell ziemlich tief.

[[16-EDO]] und [[21-EDO]] sind gleichstufige Systeme, bei denen die slendrische Temperatur in der Gorgo-Variante auftritt.

=== Miracle ===
Austemperieren von 1029/1024 und von [[225/224]] (septimales Kleisma) ergibt eine '''Miracle'''-Temperatur.

Siehe eigene Seite [[Miracle]]
=== Lemba ===
English: [[:en:Lemba|Lemba]]

Austemperieren von 1029/1024 und von [[50/49]] (Jubilisma) ergibt eine Temperatur mit Halboktave als Periodenintervall, die '''Lemba''' getauft wurde.

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

== Definition, Kommas ==
Die slendrische Temperatur entsteht durch Austemperieren des Kommas [[1029/1024]] auf dem [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3 und 7 - d. h. ohne die 5. Sie bietet dementsprechend gute Unterstützung für eine Reihe 7-[[Limit]]- Intervalle, jedoch keine so gute für die in der europäischen Musik wichtige reine [[Naturterz|reine grosse Terz 5/4]].

Generator ist eine (typischerweise leicht hochtemperierte) septimale grosse Sekunde 8/7. Drei Generatorschritte führen zu einer Approximation der Quinte (die Teilung der Quinte in drei gleiche Teile ist das Merkmal der slendrischen Temperatur).

== MOS-Skalen ==
An [[MOS-Skalen]] gibt es eine mit 5 Tönen der Form 1L 5s (ein grosses und 4 kleine Intervalle) sowie eine sechstönige der Form 5L 1s (5 grosse und ein kleines Intervall). Daneben gibt es noch eine mit 11 Tönen, die allerdings nicht [[Rothenberg-proper]] ist.

Die fünftönige MOS-Skala mit ihren vier gleich grossen Tönen hat grosse Ähnlichkeit mit einer völlig gleichförmigen fünftönigen Skala (d. h. [[5-EDO]]). Sie ähnelt auch den traditionellen [https://de.wikipedia.org/wiki/Slendro Slendro]-Skalen in der [https://de.wikipedia.org/wiki/Gamelan indonesischen Gamelan-Musik], von denen sich der Name der Temperatur ableitet.

Die fünfköpfige slendrische Skala kann auch als Akkord gehört werden, genannt '''slendrischer Fünfklang''' (Englisch: slendric pentad).

[Todo Klangbeispiele]

== Gleichstufige Realisierungen ==
[[Gleichstufige Tonsysteme]] welche die slendrische Temperatur unterstützen, sind unter anderem [[21-EDO|21-EDO,]] [[26-EDO]], [[31-EDO]], [[36-EDO]], als Grenzfall auch [[5-EDO]].

== Varianten, Erweiterungen ==
In höheren [[p-Limit]]-[[Intervallraum|Intervallräumen]], namentlich den vollen 7-Limit-Raum inkl. die Primzahl 5, ergeben sich verschiedene Varianten durch Austemperieren zusätzlicher Kommas.
=== Mothra ===
English: [[:en:Mothra|Mothra]]

Wenn ausser dem slendrischen Komma auch das bekannte syntonische Komma [[81/80]] austemperiert wird, haben wir eine [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur, für die der Name '''Mothra''' gewählt wurde.

Der Generator von Mothra ist slendrisch, also eine Drittelquinte, und drei Generatoren bilden einen üblichen mitteltönigen Generator. Die grosse Terz 5/4 wird also nach 12 Generatorschritten erreicht, ziemlich spät - weder in der fünftönigigen noch der sechstönigem, nicht einmal in der elftönigen MOS-Skala ist eine enthalten. 

[Todo weitere Eigenschaften, Klangbeispiele]

=== Gorgo ===
English: [[:en:Gorgo|Gorgo]] 

Bei der Gorgo-Temperatur ist neben dem slendrischen Komma noch das Intervall [[36/35]] (septimaler Viertelton) austemperiert. Das Intervall 8/7 fällt dort mit 10/9 zusammen und wird tendenziell eher tiefer temperiert anstatt höher. Dies macht auch die aus drei temperierten 8/7 gebildete Quinte tendenziell ziemlich tief.

[[16-EDO]] und [[21-EDO]] sind gleichstufige Systeme, bei denen die slendrische Temperatur in der Gorgo-Variante auftritt.

=== Miracle ===
Austemperieren von 1029/1024 und von [[225/224]] (septimales Kleisma) ergibt eine '''Miracle'''-Temperatur.

Siehe eigene Seite [[Miracle]]
=== Lemba ===
English: [[:en:Lemba|Lemba]]

Austemperieren von 1029/1024 und von [[50/49]] (Jubilisma) ergibt eine Temperatur mit Halboktave als Periodenintervall, die '''Lemba''' getauft wurde.

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

== Definition, Kommas ==
Die slendrische Temperatur entsteht durch Austemperieren des Kommas [[1029/1024]] auf dem [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3 und 7 - d. h. ohne die 5. Sie bietet dementsprechend gute Unterstützung für eine Reihe 7-[[Limit]]- Intervalle, jedoch keine so gute für die in der europäischen Musik wichtige reine [[Naturterz|reine grosse Terz 5/4]].

Generator ist eine (typischerweise leicht hochtemperierte) septimale grosse Sekunde 8/7. Drei Generatorschritte führen zu einer Approximation der Quinte (die Teilung der Quinte in drei gleiche Teile ist das Merkmal der slendrischen Temperatur).

== MOS-Skalen ==
An [[MOS-Skalen]] gibt es eine mit 5 Tönen der Form 1L 5s (ein grosses und 4 kleine Intervalle) sowie eine sechstönige der Form 5L 1s (5 grosse und ein kleines Intervall). Daneben gibt es noch eine mit 11 Tönen, die allerdings nicht [[Rothenberg-proper]] ist.

Die fünftönige MOS-Skala mit ihren vier gleich grossen Tönen hat grosse Ähnlichkeit mit einer völlig gleichförmigen fünftönigen Skala (d. h. [[5-EDO]]). Sie ähnelt auch den traditionellen [https://de.wikipedia.org/wiki/Slendro Slendro]-Skalen in der [https://de.wikipedia.org/wiki/Gamelan indonesischen Gamelan-Musik], von denen sich der Name der Temperatur ableitet.

Die fünfköpfige slendrische Skala kann auch als Akkord gehört werden, genannt '''slendrischer Fünfklang''' (Englisch: slendric pentad).

[Todo Klangbeispiele]

== Gleichstufige Realisierungen ==
[[Gleichstufige Tonsysteme]] welche die slendrische Temperatur unterstützen, sind unter anderem [[21-EDO|21-EDO,]] [[26-EDO]], [[31-EDO]], [[36-EDO]], als Grenzfall auch [[5-EDO]].

== Varianten, Erweiterungen ==
In höheren [[p-Limit]]-[[Intervallraum|Intervallräumen]], namentlich den vollen 7-Limit-Raum inkl. die Primzahl 5, ergeben sich verschiedene Varianten durch Austemperieren zusätzlicher Kommas.
=== Mothra ===
English: [[:en:Mothra|Mothra]]

Wenn ausser dem slendrischen Komma auch das bekannte syntonische Komma [[81/80]] austemperiert wird, haben wir eine [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur, für die der Name '''Mothra''' gewählt wurde.

Der Generator von Mothra ist slendrisch, also eine Drittelquinte, und drei Generatoren bilden einen üblichen mitteltönigen Generator. Die grosse Terz 5/4 wird also nach 12 Generatorschritten erreicht, ziemlich spät - weder in der fünftönigigen noch der sechstönigem, nicht einmal in der elftönigen MOS-Skala ist eine enthalten. 

[Todo weitere Eigenschaften, Klangbeispiele]

=== Gorgo ===
English: [[:en:Gorgo|Gorgo]] 

Bei der Gorgo-Temperatur ist neben dem slendrischen Komma noch das Intervall [[36/35]] (septimaler Viertelton) austemperiert. Das Intervall 8/7 fällt dort mit 10/9 zusammen und wird tendenziell eher tiefer temperiert anstatt höher. Dies macht auch die aus drei temperierten 8/7 gebildete Quinte tendenziell ziemlich tief.

[[16-EDO]] und [[21-EDO]] sind gleichstufige Systeme, bei denen die slendrische Temperatur in der Gorgo-Variante auftritt.

[[Datei:16edoGorgo.mp3|Sechstönige Slendrisch-/Gorgo-Skala in 16-EDO]]

Sechstönige Slendrisch-/Gorgo-Skala und slendrischer Fünfklang in 16-EDO

=== Miracle ===
Austemperieren von 1029/1024 und von [[225/224]] (septimales Kleisma) ergibt eine '''Miracle'''-Temperatur.

Siehe eigene Seite [[Miracle]]
=== Lemba ===
English: [[:en:Lemba|Lemba]]

Austemperieren von 1029/1024 und von [[50/49]] (Jubilisma) ergibt eine Temperatur mit Halboktave als Periodenintervall, die '''Lemba''' getauft wurde.

[Todo Eigenschaften]</text>
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| de = Slendrisch
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}}
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

== Definition, Kommas ==
Die slendrische Temperatur entsteht durch Austemperieren des Kommas [[1029/1024]] auf dem [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3 und 7 - d. h. ohne die 5. Sie bietet dementsprechend gute Unterstützung für eine Reihe 7-[[Limit]]- Intervalle, jedoch keine so gute für die in der europäischen Musik wichtige reine [[Naturterz|reine grosse Terz 5/4]].

Generator ist eine (typischerweise leicht hochtemperierte) septimale grosse Sekunde 8/7. Drei Generatorschritte führen zu einer Approximation der Quinte (die Teilung der Quinte in drei gleiche Teile ist das Merkmal der slendrischen Temperatur).

== MOS-Skalen ==
An [[MOS-Skalen]] gibt es eine mit 5 Tönen der Form 1L 5s (ein grosses und 4 kleine Intervalle) sowie eine sechstönige der Form 5L 1s (5 grosse und ein kleines Intervall). Daneben gibt es noch eine mit 11 Tönen, die allerdings nicht [[Rothenberg-proper]] ist.

Die fünftönige MOS-Skala mit ihren vier gleich grossen Tönen hat grosse Ähnlichkeit mit einer völlig gleichförmigen fünftönigen Skala (d. h. [[5-EDO]]). Sie ähnelt auch den traditionellen [https://de.wikipedia.org/wiki/Slendro Slendro]-Skalen in der [https://de.wikipedia.org/wiki/Gamelan indonesischen Gamelan-Musik], von denen sich der Name der Temperatur ableitet.

Die fünfköpfige slendrische Skala kann auch als Akkord gehört werden, genannt '''slendrischer Fünfklang''' (Englisch: slendric pentad).

[Todo Klangbeispiele]

== Gleichstufige Realisierungen ==
[[Gleichstufige Tonsysteme]] welche die slendrische Temperatur unterstützen, sind unter anderem [[21-EDO|21-EDO,]] [[26-EDO]], [[31-EDO]], [[36-EDO]], als Grenzfall auch [[5-EDO]].

== Varianten, Erweiterungen ==
In höheren [[p-Limit]]-[[Intervallraum|Intervallräumen]], namentlich den vollen 7-Limit-Raum inkl. die Primzahl 5, ergeben sich verschiedene Varianten durch Austemperieren zusätzlicher Kommas.
=== Mothra ===
English: [[:en:Mothra|Mothra]]

Wenn ausser dem slendrischen Komma auch das bekannte syntonische Komma [[81/80]] austemperiert wird, haben wir eine [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur, für die der Name '''Mothra''' gewählt wurde.

Der Generator von Mothra ist slendrisch, also eine Drittelquinte, und drei Generatoren bilden einen üblichen mitteltönigen Generator. Die grosse Terz 5/4 wird also nach 12 Generatorschritten erreicht, ziemlich spät - weder in der fünftönigigen noch der sechstönigem, nicht einmal in der elftönigen MOS-Skala ist eine enthalten. 

[Todo weitere Eigenschaften, Klangbeispiele]

=== Gorgo ===
English: [[:en:Gorgo|Gorgo]] 

Bei der Gorgo-Temperatur ist neben dem slendrischen Komma noch das Intervall [[36/35]] (septimaler Viertelton) austemperiert. Das Intervall 8/7 fällt dort mit 10/9 zusammen und wird tendenziell eher tiefer temperiert anstatt höher. Dies macht auch die aus drei temperierten 8/7 gebildete Quinte tendenziell ziemlich tief.

[[16-EDO]] und [[21-EDO]] sind gleichstufige Systeme, bei denen die slendrische Temperatur in der Gorgo-Variante auftritt.

[[Datei:16edoGorgo.mp3|Sechstönige Slendrisch-/Gorgo-Skala in 16-EDO]]

Sechstönige Slendrisch-/Gorgo-Skala und slendrischer Fünfklang in 16-EDO


[[Datei:16EdoGorgoHendecatonic.mp3|Elftönige Slendrisch-/Gorgo-Skala in 16-EDO]]

Elftönige Slendrisch-/Gorgo-Skala in 16-EDO
=== Miracle ===
Austemperieren von 1029/1024 und von [[225/224]] (septimales Kleisma) ergibt eine '''Miracle'''-Temperatur.

Siehe eigene Seite [[Miracle]]
=== Lemba ===
English: [[:en:Lemba|Lemba]]

Austemperieren von 1029/1024 und von [[50/49]] (Jubilisma) ergibt eine Temperatur mit Halboktave als Periodenintervall, die '''Lemba''' getauft wurde.

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

== Definition, Kommas ==
Die slendrische Temperatur entsteht durch Austemperieren des Kommas [[1029/1024]] auf dem [[Intervallraum]] zu den Primzahlen 2, 3 und 7 - d. h. ohne die 5. Sie bietet dementsprechend gute Unterstützung für eine Reihe 7-[[Limit]]- Intervalle, jedoch keine so gute für die in der europäischen Musik wichtige reine [[Naturterz|reine grosse Terz 5/4]].

Generator ist eine (typischerweise leicht hochtemperierte) septimale grosse Sekunde 8/7. Drei Generatorschritte führen zu einer Approximation der Quinte (die Teilung der Quinte in drei gleiche Teile ist das Merkmal der slendrischen Temperatur).

== MOS-Skalen ==
An [[MOS-Skalen]] gibt es eine mit 5 Tönen der Form 1L 5s (ein grosses und 4 kleine Intervalle) sowie eine sechstönige der Form 5L 1s (5 grosse und ein kleines Intervall). Daneben gibt es noch eine mit 11 Tönen, die allerdings nicht [[Rothenberg-proper]] ist.

Die fünftönige MOS-Skala mit ihren vier gleich grossen Tönen hat grosse Ähnlichkeit mit einer völlig gleichförmigen fünftönigen Skala (d. h. [[5-EDO]]). Sie ähnelt auch den traditionellen [https://de.wikipedia.org/wiki/Slendro Slendro]-Skalen in der [https://de.wikipedia.org/wiki/Gamelan indonesischen Gamelan-Musik], von denen sich der Name der Temperatur ableitet.

Die fünfköpfige slendrische Skala kann auch als Akkord gehört werden, genannt '''slendrischer Fünfklang''' (Englisch: slendric pentad).

[Todo Klangbeispiele]

== Gleichstufige Realisierungen ==
[[Gleichstufige Tonsysteme]] welche die slendrische Temperatur unterstützen, sind unter anderem [[21-EDO|21-EDO,]] [[26-EDO]], [[31-EDO]], [[36-EDO]], als Grenzfall auch [[5-EDO]].

== Varianten, Erweiterungen ==
In höheren [[p-Limit]]-[[Intervallraum|Intervallräumen]], namentlich den vollen 7-Limit-Raum inkl. die Primzahl 5, ergeben sich verschiedene Varianten durch Austemperieren zusätzlicher Kommas.
=== Mothra ===
English: [[:en:Mothra|Mothra]]

Wenn ausser dem slendrischen Komma auch das bekannte syntonische Komma [[81/80]] austemperiert wird, haben wir eine [[mitteltönig|mitteltönige]] Temperatur, für die der Name '''Mothra''' gewählt wurde.

Der Generator von Mothra ist slendrisch, also eine Drittelquinte, und drei Generatoren bilden einen üblichen mitteltönigen Generator. Die grosse Terz 5/4 wird also nach 12 Generatorschritten erreicht, ziemlich spät - weder in der fünftönigen noch der sechstönigem, nicht einmal in der elftönigen MOS-Skala ist eine enthalten. 

[Todo weitere Eigenschaften, Klangbeispiele]

=== Gorgo ===
English: [[:en:Gorgo|Gorgo]] 

Bei der Gorgo-Temperatur ist neben dem slendrischen Komma noch das Intervall [[36/35]] (septimaler Viertelton) austemperiert. Das Intervall 8/7 fällt dort mit 10/9 zusammen und wird tendenziell eher tiefer temperiert anstatt höher. Dies macht auch die aus drei temperierten 8/7 gebildete Quinte tendenziell ziemlich tief.

[[16-EDO]] und [[21-EDO]] sind gleichstufige Systeme, bei denen die slendrische Temperatur in der Gorgo-Variante auftritt.

[[Datei:16edoGorgo.mp3|Sechstönige Slendrisch-/Gorgo-Skala in 16-EDO]]

Sechstönige Slendrisch-/Gorgo-Skala und slendrischer Fünfklang in 16-EDO


[[Datei:16EdoGorgoHendecatonic.mp3|Elftönige Slendrisch-/Gorgo-Skala in 16-EDO]]

Elftönige Slendrisch-/Gorgo-Skala in 16-EDO
=== Miracle ===
Austemperieren von 1029/1024 und von [[225/224]] (septimales Kleisma) ergibt eine '''Miracle'''-Temperatur.

Siehe eigene Seite [[Miracle]]
=== Lemba ===
English: [[:en:Lemba|Lemba]]

Austemperieren von 1029/1024 und von [[50/49]] (Jubilisma) ergibt eine Temperatur mit Halboktave als Periodenintervall, die '''Lemba''' getauft wurde.

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[[Komma|Übersicht Komma]]

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[[Komma|Übersicht Komma]]

Das Intervall 1029/1000 (49.49 Cent) ist der Unterschied zwischen einer reinen Duodezime 3/1 und drei Intervallen mit Frequenzverhältnis 10/7 (617.49 Cent, Eulers Tritonus, grosser Tritonus). Wird dieses Intervall austemperiert, führt das Übereinanderschichten von drei grossen Tritonus-Intervallen oktavbereinigt zu einer Quinte.</text>
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Das Intervall 15'626/15'552, genannt '''Kleisma''', ist der Unterschied zwischen sechs reinen kleinen Terzen 6/5 und einer reinen Duodezime 3/1.

[[Reguläre Temperaturen|Austemperieren]] dieses Kommas ergibt eine [[Hanson-Kleismisch|kleismische]]&lt;nowiki/&gt;bzw. '''Hanson'''-Temperatur.

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Das Intervall 15'626/15'552, genannt '''Kleisma''', ist der Unterschied zwischen sechs reinen kleinen Terzen 6/5 und einer reinen Duodezime 3/1.

[[Reguläre Temperaturen|Austemperieren]] dieses Kommas ergibt eine [[Hanson-Kleismisch|kleismische]] bzw. '''Hanson'''-Temperatur.

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Das Intervall 15'626/15'552, genannt '''Kleisma''', ist der Unterschied zwischen sechs reinen kleinen Terzen 6/5 und einer reinen Duodezime 3/1.

[[Reguläre Temperaturen|Austemperieren]] dieses Kommas ergibt eine [[Hanson-Kleismisch|kleismische]] bzw. '''Hanson'''-Temperatur.

[http://en.wikipedia.org/wiki/Kleisma Kleisma (Wikipedia, englischsprachiger Artikel)].</text>
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Das Intervall 25/24 tritt auf als Unterschied zwischen einer [[Naturterz|reinen grossen Terz 5/4]] und einer reinen kleinen Terz 6/5. Es ist 70.67 [[Cent]] gross und wird '''reiner chromatischer Halbton''' genannt.</text>
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[https://de.wikipedia.org/wiki/Streckung_(Musik) Streckung (Wikipedia)]

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Eine gestreckte oder gestauchte/komprimierte Stimmung ist eine [[Reguläre Temperaturen|temperierte]] Stimmung, bei der das Periodenintervall (typischerweise die [[Oktave]]) nicht rein, sondern auch temperiert ist (höher als rein für gestreckte Stimmung, tiefer für gestauchte/komprimierte Stimmung).

Gestreckte Stimmungen kommen auch in der Standardmusik vor, namentlich beim Stimmen von Klavieren, wo die physikalischen Eigenschaften der Saiten eine Streckung nahelegen. Siehe hierzu [https://de.wikipedia.org/wiki/Streckung_(Musik) Streckung (Wikipedia)].

Im Rahmen von xenharmonischer Musik sind gestreckte und komprimierte Stimmungen einfach ein weiterer Fall für [[Reguläre Temperaturen|Temperierung]].
 
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Eine gestreckte oder gestauchte/komprimierte Stimmung ist eine [[Reguläre Temperaturen|temperierte]] Stimmung, bei der das Periodenintervall (typischerweise die [[Oktave]]) nicht rein, sondern auch temperiert ist (höher als rein für gestreckte Stimmung, tiefer für gestauchte/komprimierte Stimmung).

Gestreckte Stimmungen kommen auch in der Standardmusik vor, namentlich beim Stimmen von Klavieren, wo die physikalischen Eigenschaften der Saiten eine Streckung nahelegen. Siehe hierzu [https://de.wikipedia.org/wiki/Streckung_(Musik) Streckung (Wikipedia)].

Im Rahmen von xenharmonischer Musik sind gestreckte und komprimierte Stimmungen einfach ein weiterer Fall für [[Reguläre Temperaturen|Temperierung]]. Beispielsweise sind die von [[Wendy Carlos]] entwickelten Tonsysteme darauf ausgelegt, Terzen und Quinten möglichst rein zu haben, ohne dass es zwingend eine reine Oktave geben muss.</text>
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Eine gestreckte oder gestauchte/komprimierte Stimmung ist eine [[Reguläre Temperaturen|temperierte]] Stimmung, bei der das Periodenintervall (typischerweise die [[Oktave]]) nicht rein, sondern auch temperiert ist (höher als rein für gestreckte Stimmung, tiefer für gestauchte/komprimierte Stimmung).

Gestreckte Stimmungen kommen auch in der Standardmusik vor, namentlich beim Stimmen von Klavieren, wo die physikalischen Eigenschaften der Saiten eine Streckung nahelegen. Siehe hierzu [https://de.wikipedia.org/wiki/Streckung_(Musik) Streckung (Wikipedia)].

Im Rahmen von xenharmonischer Musik sind gestreckte und komprimierte Stimmungen einfach ein weiterer Fall für [[Reguläre Temperaturen|Temperierung]]. 

Beispielsweise sind die von [[Wendy Carlos]] entwickelten Tonsysteme darauf ausgelegt, Terzen und Quinten möglichst rein zu haben, ohne dass es zwingend eine reine Oktave geben muss. Allgemein sind [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Tonsysteme mit einem gänzlich anderen Periodenintervall als der Oktave gestreckt oder gestaucht, wenn man sie auf die Oktave bezieht.</text>
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Eine gestreckte oder gestauchte/komprimierte Stimmung ist eine [[Reguläre Temperaturen|temperierte]] Stimmung, bei der das Periodenintervall (typischerweise die [[Oktave]]) nicht rein, sondern auch temperiert ist (höher als rein für gestreckte Stimmung, tiefer für gestauchte/komprimierte Stimmung).

Gestreckte Stimmungen kommen auch in der Standardmusik vor, namentlich beim Stimmen von Klavieren, wo die physikalischen Eigenschaften der Saiten eine Streckung nahelegen. Siehe hierzu [https://de.wikipedia.org/wiki/Streckung_(Musik) Streckung (Wikipedia)].

Im Rahmen von xenharmonischer Musik sind gestreckte und komprimierte Stimmungen einfach ein weiterer Fall für [[Reguläre Temperaturen|Temperierung]]. 

Beispielsweise sind die von [[Wendy Carlos]] entwickelten Tonsysteme darauf ausgelegt, Terzen und Quinten möglichst rein zu haben, ohne dass es zwingend eine reine Oktave geben muss. Allgemein sind [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Tonsysteme mit einem gänzlich anderen Periodenintervall als der Oktave gestreckt oder gestaucht, wenn man sie auf die Oktave bezieht. [[Carlos Beta]] beispielsweise kann als gestreckte Version von [[19-EDO]] gesehen werden, während [[27-EDT]], die Unterteilung des Intervalls 3/1 in 27 glaube Teile, alle komprimierte Variante von [[17-EDO]] gelten kann.</text>
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Eine gestreckte oder gestauchte/komprimierte Stimmung ist eine [[Reguläre Temperaturen|temperierte]] Stimmung, bei der das Periodenintervall (typischerweise die [[Oktave]]) nicht rein, sondern auch temperiert ist (höher als rein für gestreckte Stimmung, tiefer für gestauchte/komprimierte Stimmung).

Gestreckte Stimmungen kommen auch in der Standardmusik vor, namentlich beim Stimmen von Klavieren, wo die physikalischen Eigenschaften der Saiten eine Streckung nahelegen. Siehe hierzu [https://de.wikipedia.org/wiki/Streckung_(Musik) Streckung (Wikipedia)].

Im Rahmen von xenharmonischer Musik sind gestreckte und komprimierte Stimmungen einfach ein weiterer Fall für [[Reguläre Temperaturen|Temperierung]]. 

Beispielsweise sind die von [[Wendy Carlos]] entwickelten Tonsysteme darauf ausgelegt, Terzen und Quinten möglichst rein zu haben, ohne dass es zwingend eine reine Oktave geben muss. Allgemein sind [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Tonsysteme mit einem gänzlich anderen Periodenintervall als der Oktave gestreckt oder gestaucht, wenn man sie auf die Oktave bezieht. [[Carlos Beta]] beispielsweise kann als gestreckte Version von [[19-EDO]] gesehen werden, während [[27-EDT]], die Unterteilung des Intervalls 3/1 in 27 gleiche Teile, als komprimierte Variante von [[17-EDO]] gelten kann.</text>
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Eine '''gestreckte''' oder '''gestauchte/komprimierte''' Stimmung ist eine [[Reguläre Temperaturen|temperierte]] Stimmung, bei der das Periodenintervall (typischerweise die [[Oktave]]) nicht rein, sondern auch temperiert ist (höher als rein für gestreckte Stimmung, tiefer für gestauchte/komprimierte Stimmung).

Gestreckte Stimmungen kommen auch in der Standardmusik vor, namentlich beim Stimmen von Klavieren, wo die physikalischen Eigenschaften der Saiten eine Streckung nahelegen. Siehe hierzu [https://de.wikipedia.org/wiki/Streckung_(Musik) Streckung (Wikipedia)].

Im Rahmen von xenharmonischer Musik sind gestreckte und komprimierte Stimmungen einfach ein weiterer Fall für [[Reguläre Temperaturen|Temperierung]]. 

Beispielsweise sind die von [[Wendy Carlos]] entwickelten Tonsysteme darauf ausgelegt, Terzen und Quinten möglichst rein zu haben, ohne dass es zwingend eine reine Oktave geben muss. Allgemein sind [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Tonsysteme mit einem gänzlich anderen Periodenintervall als der Oktave gestreckt oder gestaucht, wenn man sie auf die Oktave bezieht. [[Carlos Beta]] beispielsweise kann als gestreckte Version von [[19-EDO]] gesehen werden, während [[27-EDT]], die Unterteilung des Intervalls 3/1 in 27 gleiche Teile, als komprimierte Variante von [[17-EDO]] gelten kann.</text>
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Eine '''gestreckte''' oder '''gestauchte/komprimierte''' Stimmung ist eine [[Reguläre Temperaturen|temperierte]] Stimmung, bei der das Periodenintervall (typischerweise die [[Oktave]]) nicht rein, sondern auch temperiert ist (höher als rein für gestreckte Stimmung, tiefer für gestauchte/komprimierte Stimmung).

Gestreckte Stimmungen kommen auch in der Standardmusik vor, namentlich beim Stimmen von Klavieren, wo die physikalischen Eigenschaften der Saiten eine Streckung nahelegen. Siehe hierzu [https://de.wikipedia.org/wiki/Streckung_(Musik) Streckung (Wikipedia)].

Im Rahmen von xenharmonischer Musik sind gestreckte und komprimierte Stimmungen einfach ein weiterer Fall für [[Reguläre Temperaturen|Temperierung]]. 

Beispielsweise sind die von [[Wendy Carlos]] entwickelten Tonsysteme darauf ausgelegt, Terzen und Quinten möglichst rein zu haben, ohne dass es zwingend eine reine Oktave geben muss. 

Allgemein sind [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Tonsysteme mit einem gänzlich anderen Periodenintervall als der Oktave gestreckt oder gestaucht, wenn man sie auf die Oktave bezieht. [[Carlos Beta]] beispielsweise kann als gestreckte Version von [[19-EDO]] gesehen werden, während [[27-EDT]], die Unterteilung des Intervalls 3/1 in 27 gleiche Teile, als komprimierte Variante von [[17-EDO]] gelten kann.</text>
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''p''-[[Limit]] für eine Primzahl ''p'' ist eine Untergruppe der reinen Stimmung, dieser Begriff bezieht sich aber auf ähnlichen doch allgemeineren Strukturen, deren Basen nicht notwendig ''alle'' Primzahlen bis ''p'' enthalten.</text>
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      <text bytes="752" sha1="6398ua6cy4lw1vfsbyer4soujnv3jbe" xml:space="preserve">Eine '''Untergruppe der reinen Stimmung''' baut man durch Aufeinanderschichtung von Elementen aus einem gewählten ''Erzeugendensystem'' bzw. einer gewählten ''Basis'' aus reinen Intervallen. Zum Beispiel baut man die 2.3.7-Untergruppe durch Aufeinanderschichtung von [[2/1]] (Oktave), [[3/1]] (reine Quinte + Oktave), [[5/1]] (der Naturterz + zwei Oktaven) und [[7/1]] (der Naturseptime + zwei Oktaven) --- 7/6 gehört daher zur 2.3.7-Untergruppe denn es besteht aus Primfaktoren 2, 3 und 7, nämlich 7 / (2 * 3).

''p''-[[Limit]] für eine Primzahl ''p'' ist eine Untergruppe der reinen Stimmung, dieser Begriff bezieht sich aber auf analogen doch allgemeineren Strukturen, deren Basen nicht notwendigerweise ''alle'' Primzahlen bis ''p'' enthalten.</text>
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''p''-[[Limit]] für eine Primzahl ''p'' ist eine Untergruppe der reinen Stimmung, dieser Begriff bezieht sich aber auf analogen doch allgemeineren Strukturen, deren Basen nicht notwendigerweise ''alle'' Primzahlen bis ''p'' enthalten.</text>
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''p''-[[Limit]] für eine Primzahl ''p'' ist eine Untergruppe der reinen Stimmung, dieser Begriff bezieht sich aber auf analogen doch allgemeineren Strukturen, deren Basen nicht notwendigerweise ''alle'' Primzahlen bis ''p'' enthalten.</text>
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''p''-[[Limit]] für eine Primzahl ''p'' ist eine Untergruppe der reinen Stimmung, dieser Begriff bezieht sich aber auf analogen doch allgemeineren Strukturen, deren Basen nicht notwendigerweise ''alle'' Primzahlen bis ''p'' enthalten.</text>
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''p''-[[Limit]] für eine Primzahl ''p'' ist eine Untergruppe der reinen Stimmung, dieser Begriff bezieht sich aber auf analogen doch allgemeineren Strukturen, deren Basen nicht notwendigerweise ''alle'' Primzahlen bis ''p'' enthalten.</text>
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''p''-[[Limit]] für eine Primzahl ''p'' ist eine Untergruppe der reinen Stimmung, dieser Begriff bezieht sich aber auf analogen doch allgemeineren Strukturen, deren Basen nicht notwendigerweise ''alle'' Primzahlen bis ''p'' enthalten.</text>
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''p''-[[Limit]] für eine Primzahl ''p'' ist eine Untergruppe der reinen Stimmung, dieser Begriff bezieht sich aber auf analogen doch allgemeineren Strukturen, deren Basen nicht notwendigerweise ''alle'' Primzahlen bis ''p'' enthalten.</text>
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Eine Untergruppe der reinen Stimmung ist mathematisch betracht eine Gruppe — genauer gesagt eine freie abelsche Gruppe.

''p''-[[Limit]] für eine Primzahl ''p'' ist eine Untergruppe der reinen Stimmung, dieser Begriff bezieht sich aber auf analogen doch allgemeineren Strukturen, deren Basen nicht notwendigerweise ''alle'' Primzahlen bis ''p'' enthalten.</text>
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Eine Untergruppe der reinen Stimmung ist mathematisch betracht eine Gruppe, genauer gesagt eine freie abelsche Gruppe.

''p''-[[Limit]] für eine Primzahl ''p'' ist eine Untergruppe der reinen Stimmung, dieser Begriff bezieht sich aber auf analogen doch allgemeineren Strukturen, deren Basen nicht notwendigerweise ''alle'' Primzahlen bis ''p'' enthalten.</text>
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Mathematisch betracht ist eine Untergruppe der reinen Stimmung eine Gruppe, genauer gesagt eine freie abelsche Gruppe.

''p''-[[Limit]] für eine Primzahl ''p'' ist eine Untergruppe der reinen Stimmung, dieser Begriff bezieht sich aber auf analogen doch allgemeineren Strukturen, deren Basen nicht notwendigerweise ''alle'' Primzahlen bis ''p'' enthalten.</text>
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Mathematisch betracht ist eine Untergruppe der reinen Stimmung eine Gruppe, genauer gesagt eine freie abelsche Gruppe, die durch die lineare Algebra untersuchen lässt.

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Mathematisch betracht ist eine Untergruppe der reinen Stimmung eine Gruppe, genauer gesagt eine freie abelsche Gruppe, die durch die lineare Algebra untersuchen lässt.

''p''-[[Limit]] für eine Primzahl ''p'' ist eine Untergruppe der reinen Stimmung, dieser Begriff bezieht sich aber auf analogen doch allgemeineren Strukturen, deren Basen nicht notwendigerweise ''alle'' Primzahlen bis ''p'' enthalten.</text>
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Mathematisch betracht ist eine Untergruppe der reinen Stimmung eine Gruppe, genauer gesagt eine freie abelsche Gruppe, die durch die lineare Algebra untersuchen lässt.

''p''-[[Limit]] für eine Primzahl ''p'' ist eine Untergruppe der reinen Stimmung, dieser Begriff bezieht sich aber auf analogen doch allgemeineren Strukturen, deren Basen nicht notwendigerweise ''alle'' Primzahlen bis ''p'' enthalten.</text>
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Mathematisch betracht ist eine Untergruppe der reinen Stimmung eine Gruppe, genauer gesagt eine freie abelsche Gruppe, die durch die lineare Algebra untersuchen lässt.

''p''-[[Limit]] für eine Primzahl ''p'' ist eine Untergruppe der reinen Stimmung, dieser Begriff bezieht sich aber auf analogen doch allgemeineren Strukturen, deren Basen nicht notwendigerweise ''alle'' Primzahlen bis ''p'' enthalten.</text>
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Mathematisch betracht ist eine Untergruppe der reinen Stimmung eine Gruppe, genauer gesagt eine freie abelsche Gruppe, die durch die lineare Algebra untersuchen lässt.

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Mathematisch betracht ist eine Untergruppe der reinen Stimmung eine Gruppe, genauer gesagt eine freie abelsche Gruppe, die durch die lineare Algebra untersuchen lässt.

''p''-[[Limit]] für eine Primzahl ''p'' ist eine Untergruppe der reinen Stimmung, dieser Begriff bezieht sich aber auf analogen Strukturen, deren Basen nicht notwendigerweise ''alle'' Primzahlen bis ''p'' enthalten.</text>
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Mathematisch betracht ist eine Untergruppe der reinen Stimmung eine Gruppe, genauer gesagt eine freie abelsche Gruppe, die in der Lehre der [[reguläre Temperatur|regulären Temperaturem]] durch die lineare Algebra untersuchen wird.

''p''-[[Limit]] für eine Primzahl ''p'' ist eine Untergruppe der reinen Stimmung, dieser Begriff bezieht sich aber auf analogen Strukturen, deren Basen nicht notwendigerweise ''alle'' Primzahlen bis ''p'' enthalten.</text>
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Mathematisch betracht ist eine Untergruppe der reinen Stimmung eine Gruppe, genauer gesagt eine freie abelsche Gruppe, die in der Lehre der [[reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]] durch die lineare Algebra untersuchen wird.

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{{Fortgeschritten|Mathematisch betracht ist eine Untergruppe der reinen Stimmung eine Gruppe, genauer gesagt eine freie abelsche Gruppe, die in der Lehre der [[reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]] durch die lineare Algebra untersuchen wird.}}

''p''-[[Limit]] für eine Primzahl ''p'' ist eine Untergruppe der reinen Stimmung, dieser Begriff bezieht sich aber auf analogen Strukturen, deren Basen nicht notwendigerweise ''alle'' Primzahlen bis ''p'' enthalten.</text>
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{{Fortgeschritten|Mathematisch betracht ist eine Untergruppe der reinen Stimmung eine Gruppe, genauer gesagt eine freie abelsche Gruppe (äquivalent ein &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;-Modul), die in der Lehre der [[reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]] durch die lineare Algebra untersuchen wird.}}

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Eine '''Untergruppe der reinen Stimmung''' baut man durch Aufeinanderschichtung von Elementen aus einem gewählten Menge (die ein ''Erzeugendensystem'' oder eine ''Basis'' heißt) aus [[Reine Stimmung|reinen Intervallen]]. Zum Beispiel besteht die 2.3.7-Untergruppe aus allen reinen Intervallen, die durch Aufeinanderschichtung (aufwärts oder abwärts) von [[2/1]] (Oktave), [[3/1]] ([[reine Quinte]] + Oktave) und [[7/1]] ([[Naturseptime]] + zwei Oktaven) bauen lassen — 7/6 gehört daher zur 2.3.7-Untergruppe, denn es "besteht" aus Primfaktoren 2, 3 und 7, nämlich 7/6 = 7 / (2 * 3).

{{Fortgeschritten|Mathematisch betracht ist eine Untergruppe der reinen Stimmung eine Gruppe, genauer gesagt eine freie abelsche Gruppe (äquivalent ein &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;-Modul), die in der Lehre der [[reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]] durch die lineare Algebra untersuchen wird.}}

''p''-[[Limit]] für eine Primzahl ''p'' ist eine Untergruppe der reinen Stimmung, dieser Begriff bezieht sich aber auf analogen Strukturen, deren Basen nicht notwendigerweise ''alle'' Primzahlen bis ''p'' enthalten.</text>
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Eine '''Untergruppe der reinen Stimmung''' baut man durch Aufeinanderschichtung von Elementen aus einem gewählten Menge (die ein ''Erzeugendensystem'' oder eine ''Basis'' heißt) aus [[Reine Stimmung|reinen Intervallen]]. Zum Beispiel besteht die 2.3.7-Untergruppe aus allen reinen Intervallen, die durch Aufeinanderschichtung (aufwärts oder abwärts) von [[2/1]] (Oktave), [[3/1]] ([[reine Quinte]] + Oktave) und [[7/1]] ([[Naturseptime]] + zwei Oktaven) bauen lassen — 7/6 gehört daher zur 2.3.7-Untergruppe, denn es "besteht" aus Primfaktoren 2, 3 und 7, nämlich 7/6 = 7 / (2 * 3).

{{Fortgeschritten|Mathematisch betracht ist eine Untergruppe der reinen Stimmung eine Gruppe, genauer gesagt eine freie abelsche Gruppe (äquivalent ein &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;-Modul), die in der Lehre der [[reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]] durch die lineare Algebra untersuchen wird.}}

''p''-[[Limit]] für eine Primzahl ''p'' ist eine Untergruppe der reinen Stimmung, dieser Begriff bezieht sich aber auf analogen Strukturen, deren Basen nicht notwendigerweise ''alle'' Primzahlen bis ''p'' enthalten.</text>
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Eine '''Untergruppe der reinen Stimmung''' baut man durch Aufeinanderschichtung von Elementen aus einem gewählten Menge (die ein ''Erzeugendensystem'' oder eine ''Basis'' heißt) aus [[Reine Stimmung|reinen Intervallen]]. Zum Beispiel besteht die 2.3.7-Untergruppe aus allen reinen Intervallen, die durch Aufeinanderschichtung (aufwärts oder abwärts) von [[2/1]] (Oktave), [[3/1]] ([[reine Quinte]] + Oktave) und [[7/1]] ([[Naturseptime]] + zwei Oktaven) bauen lassen — 7/6 gehört daher zur 2.3.7-Untergruppe, denn es "besteht" aus Primfaktoren 2, 3 und 7, nämlich 7/6 = 7 / (2 * 3).

{{Fortgeschritten|Mathematisch betracht ist eine Untergruppe der reinen Stimmung eine Gruppe, genauer gesagt eine freie abelsche Gruppe (äquivalent ein &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;-Modul), die in der Lehre der [[reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]] durch die lineare Algebra untersuchen wird.}}

''p''-[[Limit]] für eine Primzahl ''p'' ist eine Untergruppe der reinen Stimmung, dieser Begriff bezieht sich aber auf analogen Strukturen, deren Basen nicht notwendigerweise ''alle'' Primzahlen bis ''p'' enthalten.</text>
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Eine '''Untergruppe der reinen Stimmung''' baut man durch Aufeinanderschichtung von Elementen aus einer gewählten Menge (die ein ''Erzeugendensystem'' oder eine ''Basis'' heißt) aus [[Reine Stimmung|reinen Intervallen]]. Zum Beispiel besteht die 2.3.7-Untergruppe aus allen reinen Intervallen, die durch Aufeinanderschichtung (aufwärts oder abwärts) von [[2/1]] (Oktave), [[3/1]] ([[reine Quinte]] + Oktave) und [[7/1]] ([[Naturseptime]] + zwei Oktaven) bauen lassen — 7/6 gehört daher zur 2.3.7-Untergruppe, denn es "besteht" aus Primfaktoren 2, 3 und 7, nämlich 7/6 = 7 / (2 * 3).

{{Fortgeschritten|Mathematisch betracht ist eine Untergruppe der reinen Stimmung eine Gruppe, genauer gesagt eine freie abelsche Gruppe (äquivalent ein &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;-Modul), die in der Lehre der [[reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]] durch die lineare Algebra untersuchen wird.}}

''p''-[[Limit]] für eine Primzahl ''p'' ist eine Untergruppe der reinen Stimmung, dieser Begriff bezieht sich aber auf analogen Strukturen, deren Basen nicht notwendigerweise ''alle'' Primzahlen bis ''p'' enthalten.</text>
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Eine '''Untergruppe der reinen Stimmung''' baut man durch Aufeinanderschichtung von Elementen (''Erzeugenden'') aus einer gewählten Menge (die ein ''Erzeugendensystem'' oder eine ''Basis'' heißt) aus [[Reine Stimmung|reinen Intervallen]]. Zum Beispiel besteht die 2.3.7-Untergruppe aus allen reinen Intervallen, die durch Aufeinanderschichtung (aufwärts oder abwärts) von [[2/1]] (Oktave), [[3/1]] ([[reine Quinte]] + Oktave) und [[7/1]] ([[Naturseptime]] + zwei Oktaven) bauen lassen — 7/6 gehört daher zur 2.3.7-Untergruppe, denn es "besteht" aus Primfaktoren 2, 3 und 7, nämlich 7/6 = 7 / (2 * 3).

{{Fortgeschritten|Mathematisch betracht ist eine Untergruppe der reinen Stimmung eine Gruppe, genauer gesagt eine freie abelsche Gruppe (äquivalent ein &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;-Modul), die in der Lehre der [[reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]] durch die lineare Algebra untersuchen wird.}}

''p''-[[Limit]] für eine Primzahl ''p'' ist eine Untergruppe der reinen Stimmung, dieser Begriff bezieht sich aber auf analogen Strukturen, deren Basen nicht notwendigerweise ''alle'' Primzahlen bis ''p'' enthalten.</text>
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Eine '''Untergruppe der reinen Stimmung''' baut man durch Aufeinanderschichtung von Elementen (''Erzeugenden'') aus einer gewählten Menge (die ein ''Erzeugendensystem'' oder eine ''Basis'' heißt) aus [[Reine Stimmung|reinen Intervallen]]. Zum Beispiel besteht die 2.3.7-Untergruppe aus allen reinen Intervallen, die durch Aufeinanderschichtung (aufwärts oder abwärts) von [[2/1]] (Oktave), [[3/1]] ([[reine Quinte]] + Oktave) und [[7/1]] ([[Naturseptime]] + zwei Oktaven) bauen lassen — 7/6 gehört daher zur 2.3.7-Untergruppe, denn es "besteht" aus Primfaktoren 2, 3 und 7, nämlich 7/6 = 7 / (2 * 3).

[[reguläre Temperatur|Reguläre Temperaturen]] vereinfachen per [[Austemperieren]] von [[Komma]]ta die Struktur einer solchen Untergruppe.

{{Fortgeschritten|Mathematisch betracht ist eine Untergruppe der reinen Stimmung eine Gruppe, genauer gesagt eine freie abelsche Gruppe (äquivalent ein &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;-Modul), die in der Lehre der [[reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]] durch die lineare Algebra untersuchen wird.}}

''p''-[[Limit]] für eine Primzahl ''p'' ist eine Untergruppe der reinen Stimmung, dieser Begriff bezieht sich aber auf analogen Strukturen, deren Basen nicht notwendigerweise ''alle'' Primzahlen bis ''p'' enthalten.</text>
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Eine '''Untergruppe der reinen Stimmung''' baut man durch Aufeinanderschichtung von Elementen (''Erzeugenden'') aus einer gewählten Menge (die ein ''Erzeugendensystem'' oder eine ''Basis'' heißt) aus [[Reine Stimmung|reinen Intervallen]]. Zum Beispiel besteht die 2.3.7-Untergruppe aus allen reinen Intervallen, die durch Aufeinanderschichtung (aufwärts oder abwärts) von [[2/1]] (Oktave), [[3/1]] ([[reine Quinte]] + Oktave) und [[7/1]] ([[Naturseptime]] + zwei Oktaven) bauen lassen — 7/6 gehört daher zur 2.3.7-Untergruppe, denn es "besteht" aus Primfaktoren 2, 3 und 7, nämlich 7/6 = 7 / (2 * 3).

[[reguläre Temperatur|Reguläre Temperaturen]] vereinfachen durch [[Austemperieren]] von [[Komma]]ta die Struktur einer solchen Untergruppe.

{{Fortgeschritten|Mathematisch betracht ist eine Untergruppe der reinen Stimmung eine Gruppe, genauer gesagt eine freie abelsche Gruppe (äquivalent ein &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;-Modul), die in der Lehre der [[reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]] durch die lineare Algebra untersuchen wird.}}

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Eine '''Untergruppe der reinen Stimmung''' baut man durch Aufeinanderschichtung von Elementen (''Erzeugenden'') aus einer gewählten Menge (die ein ''Erzeugendensystem'' oder eine ''Basis'' heißt) aus [[Reine Stimmung|reinen Intervallen]]. Zum Beispiel besteht die 2.3.7-Untergruppe aus allen reinen Intervallen, die durch Aufeinanderschichtung (aufwärts oder abwärts) von [[2/1]] (Oktave), [[3/1]] ([[reine Quinte]] + Oktave) und [[7/1]] ([[Naturseptime]] + zwei Oktaven) bauen lassen — das Verhältnis 7/6 gehört daher zur 2.3.7-Untergruppe, denn es zerlegt sich in Primfaktoren 2, 3 und 7, nämlich 7/6 = 7 / (2 * 3).

[[reguläre Temperatur|Reguläre Temperaturen]] vereinfachen durch [[Austemperieren]] von [[Komma]]ta die Struktur einer solchen Untergruppe.

{{Fortgeschritten|Mathematisch betracht ist eine Untergruppe der reinen Stimmung eine Gruppe, genauer gesagt eine freie abelsche Gruppe (äquivalent ein &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;-Modul), die in der Lehre der [[reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]] durch die lineare Algebra untersuchen wird.}}

''p''-[[Limit]] für eine Primzahl ''p'' ist eine Untergruppe der reinen Stimmung, dieser Begriff bezieht sich aber auf analogen Strukturen, deren Basen nicht notwendigerweise ''alle'' Primzahlen bis ''p'' enthalten.</text>
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}}
Eine '''Untergruppe der reinen Stimmung''' baut man durch Aufeinanderschichtung von Elementen (''Erzeugenden'') aus einer gewählten Menge (die ein ''Erzeugendensystem'' oder eine ''Basis'' heißt) aus [[Reine Stimmung|reinen Intervallen]]. Zum Beispiel:
* Die 2.3.7-Untergruppe besteht aus allen reinen Intervallen, die durch Aufeinanderschichtung (aufwärts oder abwärts) von [[2/1]] (Oktave), [[3/1]] ([[reine Quinte]] + Oktave) und [[7/1]] ([[Naturseptime]] + zwei Oktaven) bauen lassen — das Verhältnis 7/6 gehört daher zur 2.3.7-Untergruppe, denn es zerlegt sich in Primfaktoren 2, 3 und 7, nämlich 7/6 = 7 / (2 * 3).
* Die 2.7/3.11/3-Untergruppe hat analog die Erzeugenden [[2/1]], [[7/3]] und [[11/3]]. Beispielsweise gehört [[14/11]] (417,5 Cent) = (7/3) / (11/3) * (2/1) zu dieser Untergruppe.

[[reguläre Temperatur|Reguläre Temperaturen]] vereinfachen durch [[Austemperieren]] von [[Komma]]ta die Struktur einer solchen Untergruppe.

{{Fortgeschritten|Mathematisch betracht ist eine Untergruppe der reinen Stimmung eine Gruppe, genauer gesagt eine freie abelsche Gruppe (äquivalent ein &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;-Modul), die in der Lehre der [[reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]] durch die lineare Algebra untersuchen wird.}}

''p''-[[Limit]] für eine Primzahl ''p'' ist eine Untergruppe der reinen Stimmung, dieser Begriff bezieht sich aber auf analogen Strukturen, deren Basen nicht notwendigerweise ''alle'' Primzahlen bis ''p'' enthalten.</text>
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Eine '''Untergruppe der reinen Stimmung''' baut man durch Aufeinanderschichtung von Elementen (''Erzeugenden'') aus einer gewählten Menge (die ein ''Erzeugendensystem'' oder eine ''Basis'' heißt) aus [[Reine Stimmung|reinen Intervallen]]. Zum Beispiel:
* Die 2.3.7-Untergruppe besteht aus allen reinen Intervallen, die durch Aufeinanderschichtung (aufwärts oder abwärts) von [[2/1]] (Oktave), [[3/1]] ([[reine Quinte]] + Oktave) und [[7/1]] ([[Naturseptime]] + zwei Oktaven) bauen lassen — das Verhältnis 7/6 gehört daher zur 2.3.7-Untergruppe, denn es zerlegt sich in Primfaktoren 2, 3 und 7, nämlich 7/6 = 7 / (2 * 3).
* Die 2.7/3.11/3-Untergruppe baut man ähnlich aus Erzeugenden [[2/1]], [[7/3]] und [[11/3]]. Beispielsweise gehört [[14/11]] (417,5 Cent) = (7/3) / (11/3) * (2/1) zu dieser Untergruppe.

[[reguläre Temperatur|Reguläre Temperaturen]] vereinfachen durch [[Austemperieren]] von [[Komma]]ta die Struktur einer solchen Untergruppe.

{{Fortgeschritten|Mathematisch betracht ist eine Untergruppe der reinen Stimmung eine Gruppe, genauer gesagt eine freie abelsche Gruppe (äquivalent ein &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;-Modul), die in der Lehre der [[reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]] durch die lineare Algebra untersuchen wird.}}

''p''-[[Limit]] für eine Primzahl ''p'' ist eine Untergruppe der reinen Stimmung, dieser Begriff bezieht sich aber auf analogen Strukturen, deren Basen nicht notwendigerweise ''alle'' Primzahlen bis ''p'' enthalten.</text>
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Eine '''Untergruppe der reinen Stimmung''' baut man durch Aufeinanderschichtung von Elementen (''Erzeugenden'') aus einer gewählten Menge (die ein ''Erzeugendensystem'' oder eine ''Basis'' heißt) aus [[Reine Stimmung|reinen Intervallen]]. Zum Beispiel:
* Die 2.3.7-Untergruppe besteht aus allen reinen Intervallen, die durch Aufeinanderschichtung (aufwärts oder abwärts) von [[2/1]] (Oktave), [[3/1]] ([[reine Quinte]] + Oktave) und [[7/1]] ([[Naturseptime]] + zwei Oktaven) bauen lassen — das Verhältnis 7/6 gehört daher zur 2.3.7-Untergruppe, denn es zerlegt sich in Primfaktoren 2, 3 und 7, nämlich 7/6 = 7 / (2 * 3).
* Die 2.7/3.11/3-Untergruppe baut man ähnlich aus Erzeugenden [[2/1]], [[7/3]] und [[11/3]]. Beispielsweise gehört [[14/11]] (417,5 Cent) = (7/3) / (11/3) * (2/1) zu dieser Untergruppe.

[[reguläre Temperatur|Reguläre Temperaturen]] vereinfachen durch [[Austemperieren]] von [[Komma]]ta die Struktur einer solchen Untergruppe.

{{Fortgeschritten|Mathematisch betracht ist eine Untergruppe der reinen Stimmung eine Gruppe, genauer gesagt eine freie abelsche Gruppe (äquivalent ein &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;-Modul), die in der Lehre der [[reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]] durch die lineare Algebra untersuchen wird.}}

''p''-[[Limit]] für eine Primzahl ''p'' ist eine Untergruppe der reinen Stimmung, dieser Begriff bezieht sich aber auf analogen Strukturen, deren Basen nicht notwendigerweise ''alle'' Primzahlen bis ''p'' enthalten.

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Eine '''Untergruppe der reinen Stimmung''' baut man durch Aufeinanderschichtung von Elementen (''Erzeugenden'') aus einer gewählten Menge (die ein ''Erzeugendensystem'' oder eine ''Basis'' heißt) aus [[Reine Stimmung|reinen Intervallen]]. Zum Beispiel:
* Die 2.3.7-Untergruppe besteht aus allen reinen Intervallen, die durch Aufeinanderschichtung (aufwärts oder abwärts) von [[2/1]] (Oktave), [[3/1]] ([[reine Quinte]] + Oktave) und [[7/1]] ([[Naturseptime]] + zwei Oktaven) bauen lassen — das Verhältnis 7/6 gehört daher zur 2.3.7-Untergruppe, denn es zerlegt sich in Primfaktoren 2, 3 und 7, nämlich 7/6 = 7 / (2 * 3).
* Die 2.7/3.11/3-Untergruppe baut man auf ähnliche Weise aus Erzeugenden [[2/1]], [[7/3]] und [[11/3]]. Beispielsweise gehört [[14/11]] (417,5 Cent) = (7/3) / (11/3) * (2/1) zu dieser Untergruppe.

[[reguläre Temperatur|Reguläre Temperaturen]] vereinfachen durch [[Austemperieren]] von [[Komma]]ta die Struktur einer solchen Untergruppe.

{{Fortgeschritten|Mathematisch betracht ist eine Untergruppe der reinen Stimmung eine Gruppe, genauer gesagt eine freie abelsche Gruppe (äquivalent ein &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;-Modul), die in der Lehre der [[reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]] durch die lineare Algebra untersuchen wird.}}

''p''-[[Limit]] für eine Primzahl ''p'' ist eine Untergruppe der reinen Stimmung, dieser Begriff bezieht sich aber auf analogen Strukturen, deren Basen nicht notwendigerweise ''alle'' Primzahlen bis ''p'' enthalten.

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Eine '''Untergruppe der reinen Stimmung''' baut man durch Aufeinanderschichtung von Elementen (''Erzeugenden'') aus einer gewählten Menge (die ein ''Erzeugendensystem'' oder eine ''Basis'' heißt) aus [[Reine Stimmung|reinen Intervallen]]. Zum Beispiel:
* Die 2.3.7-Untergruppe besteht aus allen reinen Intervallen, die durch Aufeinanderschichtung (aufwärts oder abwärts) von [[2/1]] (Oktave), [[3/1]] ([[reine Quinte]] + Oktave) und [[7/1]] ([[Naturseptime]] + zwei Oktaven) bauen lassen — das Verhältnis 7/6 gehört daher zur 2.3.7-Untergruppe, denn es zerlegt sich in Primfaktoren 2, 3 und 7, nämlich 7/6 = 7 / (2 * 3).
* Die 2.7/3.11/3-Untergruppe baut man auf ähnliche Weise aus Erzeugenden [[2/1]], [[7/3]] und [[11/3]]. Beispielsweise gehört [[14/11]] (417,5 Cent) = (7/3) / (11/3) * (2/1) zu dieser Untergruppe.

[[reguläre Temperatur|Reguläre Temperaturen]] vereinfachen durch [[Austemperieren]] von [[Komma]]ta die Struktur einer solchen Untergruppe.

{{Fortgeschritten|Mathematisch betracht ist eine Untergruppe der reinen Stimmung eine Gruppe, genauer gesagt eine freie abelsche Gruppe (äquivalent ein &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;-Modul), die in der Lehre der [[reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]] durch die lineare Algebra untersucht wird.}}

''p''-[[Limit]] für eine Primzahl ''p'' ist eine Untergruppe der reinen Stimmung, dieser Begriff bezieht sich aber auf analogen Strukturen, deren Basen nicht notwendigerweise ''alle'' Primzahlen bis ''p'' enthalten.

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Eine '''Untergruppe der reinen Stimmung''' baut man durch Aufeinanderschichtung von Elementen (''Erzeugenden'') aus einer gewählten Menge (die ein ''Erzeugendensystem'' oder eine ''Basis'' heißt) aus [[Reine Stimmung|reinen Intervallen]]. Zum Beispiel:
* Die 2.3.7-Untergruppe besteht aus allen reinen Intervallen, die durch Aufeinanderschichtung (aufwärts oder abwärts) von [[2/1]] (Oktave), [[3/1]] ([[reine Quinte]] + Oktave) und [[7/1]] ([[Naturseptime]] + zwei Oktaven) erreichen lassen — das Verhältnis 7/6 gehört daher zur 2.3.7-Untergruppe, denn es zerlegt sich in Primfaktoren 2, 3 und 7, nämlich 7/6 = 7 / (2 * 3).
* Die 2.7/3.11/3-Untergruppe baut man auf ähnliche Weise aus Erzeugenden [[2/1]], [[7/3]] und [[11/3]]. Beispielsweise gehört [[14/11]] (417,5 Cent) = (7/3) / (11/3) * (2/1) zu dieser Untergruppe.

[[reguläre Temperatur|Reguläre Temperaturen]] vereinfachen durch [[Austemperieren]] von [[Komma]]ta die Struktur einer solchen Untergruppe.

{{Fortgeschritten|Mathematisch betracht ist eine Untergruppe der reinen Stimmung eine Gruppe, genauer gesagt eine freie abelsche Gruppe (äquivalent ein &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;-Modul), die in der Lehre der [[reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]] durch die lineare Algebra untersucht wird.}}

''p''-[[Limit]] für eine Primzahl ''p'' ist eine Untergruppe der reinen Stimmung, dieser Begriff bezieht sich aber auf analogen Strukturen, deren Basen nicht notwendigerweise ''alle'' Primzahlen bis ''p'' enthalten.

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Eine '''Untergruppe der reinen Stimmung''' baut man durch Aufeinanderschichtung von Elementen (''Erzeugenden'') aus einer gewählten Menge (die ein ''Erzeugendensystem'' oder eine ''Basis'' heißt) aus [[Reine Stimmung|reinen Intervallen]]. Zum Beispiel:
* Die 2.3.7-Untergruppe besteht aus allen reinen Intervallen, die durch Aufeinanderschichtung (aufwärts oder abwärts) von [[2/1]] (Oktave), [[3/1]] ([[reine Quinte]] + Oktave) und [[7/1]] ([[Naturseptime]] + zwei Oktaven) erreichen lassen — das Verhältnis 7/6 gehört daher zur 2.3.7-Untergruppe, denn es zerlegt sich in Primfaktoren 2, 3 und 7, nämlich 7/6 = 7 / (2 * 3).
* Die 2.7/3.11/3-Untergruppe baut man auf ähnliche Weise aus Erzeugenden [[2/1]], [[7/3]] und [[11/3]]. Beispielsweise gehört [[14/11]] (417,5 Cent) = (7/3) / (11/3) * (2/1) zu dieser Untergruppe.

[[reguläre Temperatur|Reguläre Temperaturen]] vereinfachen durch [[Austemperieren]] von [[Komma]]ta die Struktur einer solchen Untergruppe und vermindern auch deren Rang (Dimensionalität).

{{Fortgeschritten|Mathematisch betracht ist eine Untergruppe der reinen Stimmung eine Gruppe, genauer gesagt eine freie abelsche Gruppe (äquivalent ein &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;-Modul), die in der Lehre der [[reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]] durch die lineare Algebra untersucht wird.}}

''p''-[[Limit]] für eine Primzahl ''p'' ist eine Untergruppe der reinen Stimmung, dieser Begriff bezieht sich aber auf analogen Strukturen, deren Basen nicht notwendigerweise ''alle'' Primzahlen bis ''p'' enthalten.

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Eine '''Untergruppe der reinen Stimmung''' baut man durch Aufeinanderschichtung von Elementen (''Erzeugenden'') aus einer gewählten Menge (die ein ''Erzeugendensystem'' oder eine ''Basis'' heißt) aus [[Reine Stimmung|reinen Intervallen]]. Zum Beispiel:
* Die 2.3.7-Untergruppe besteht aus allen reinen Intervallen, die durch Aufeinanderschichtung (aufwärts oder abwärts) von [[2/1]] (Oktave), [[3/1]] ([[reine Quinte]] + Oktave) und [[7/1]] ([[Naturseptime]] + zwei Oktaven) erreichen lassen — das Verhältnis 7/6 gehört daher zur 2.3.7-Untergruppe, denn es zerlegt sich in Primfaktoren 2, 3 und 7, nämlich 7/6 = 7 / (2 * 3).
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[[reguläre Temperatur|Reguläre Temperaturen]] vereinfachen durch [[Austemperieren]] von [[Komma]]ta die Struktur einer solchen Untergruppe und vermindern auch deren Rang (Dimensionalität), sodass wenigere Erzeugenden notwendig sind, um ein beliebiges Intervall in der Temperatur zu erreichen.

{{Fortgeschritten|Mathematisch betracht ist eine Untergruppe der reinen Stimmung eine Gruppe, genauer gesagt eine freie abelsche Gruppe (äquivalent ein &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;-Modul), die in der Lehre der [[reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]] durch die lineare Algebra untersucht wird.}}

''p''-[[Limit]] für eine Primzahl ''p'' ist eine Untergruppe der reinen Stimmung, dieser Begriff bezieht sich aber auf analogen Strukturen, deren Basen nicht notwendigerweise ''alle'' Primzahlen bis ''p'' enthalten.

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Eine '''Untergruppe der reinen Stimmung''' baut man durch Aufeinanderschichtung von Elementen (''Erzeugenden'' bzw. ''Basiselementen'') aus einer gewählten Menge (die ein ''Erzeugendensystem'' oder eine ''Basis'' heißt) aus [[Reine Stimmung|reinen Intervallen]]. Zum Beispiel:
* Die 2.3.7-Untergruppe besteht aus allen reinen Intervallen, die durch Aufeinanderschichtung (aufwärts oder abwärts) von [[2/1]] (Oktave), [[3/1]] ([[reine Quinte]] + Oktave) und [[7/1]] ([[Naturseptime]] + zwei Oktaven) erreichen lassen — das Verhältnis 7/6 gehört daher zur 2.3.7-Untergruppe, denn es zerlegt sich in Primfaktoren 2, 3 und 7, nämlich 7/6 = 7 / (2 * 3).
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[[reguläre Temperatur|Reguläre Temperaturen]] vereinfachen durch [[Austemperieren]] von [[Komma]]ta die Struktur einer solchen Untergruppe und vermindern auch deren Rang (Dimensionalität), sodass wenigere Erzeugenden notwendig sind, um ein beliebiges Intervall in der Temperatur zu erreichen.

{{Fortgeschritten|Mathematisch betracht ist eine Untergruppe der reinen Stimmung eine Gruppe, genauer gesagt eine freie abelsche Gruppe (äquivalent ein &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;-Modul), die in der Lehre der [[reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]] durch die lineare Algebra untersucht wird.}}

''p''-[[Limit]] für eine Primzahl ''p'' ist eine Untergruppe der reinen Stimmung, dieser Begriff bezieht sich aber auf analogen Strukturen, deren Basen nicht notwendigerweise ''alle'' Primzahlen bis ''p'' enthalten.

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Eine '''Untergruppe der reinen Stimmung''' baut man durch Aufeinanderschichtung von Elementen (''Erzeugenden'' bzw. ''Basiselementen'') aus einer gewählten Menge (die ein ''Erzeugendensystem'' oder eine ''Basis'' heißt) aus [[Reine Stimmung|reinen Intervallen]]. Zum Beispiel:
* Die 2.3.7-Untergruppe besteht aus allen reinen Intervallen, die durch Aufeinanderschichtung (aufwärts oder abwärts) von [[2/1]] (Oktave), [[3/1]] ([[reine Quinte]] + Oktave) und [[7/1]] ([[Naturseptime]] + zwei Oktaven) erreichen lassen — das Verhältnis 7/6 gehört daher zur 2.3.7-Untergruppe, denn es zerlegt sich in Primfaktoren 2, 3 und 7, nämlich 7/6 = 7 / (2 * 3).
* Die 2.7/3.11/3-Untergruppe baut man auf ähnliche Weise aus Erzeugenden [[2/1]], [[7/3]] und [[11/3]]. Beispielsweise gehört [[14/11]] (417,5 Cent) = (7/3) / (11/3) * (2/1) zu dieser Untergruppe.
''p''-[[Limit]] für eine Primzahl ''p'' ist eine Untergruppe der reinen Stimmung, dieser Begriff bezieht sich aber auf analogen Strukturen, deren Basen nicht notwendigerweise ''alle'' Primzahlen bis ''p'' enthalten.

[[reguläre Temperatur|Reguläre Temperaturen]] vereinfachen durch [[Austemperieren]] von [[Komma]]ta die Struktur einer solchen Untergruppe und vermindern auch deren Rang (Dimensionalität), sodass wenigere Erzeugenden notwendig sind, um ein beliebiges Intervall in der Temperatur zu erreichen.

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Eine '''Untergruppe der reinen Stimmung''' baut man durch Aufeinanderschichtung von Elementen (''Erzeugenden'' bzw. ''Basiselementen'') aus einer gewählten Menge (die ein ''Erzeugendensystem'' oder eine ''Basis'' heißt) aus [[Reine Stimmung|reinen Intervallen]]. Zum Beispiel:
* Die 2.3.7-Untergruppe besteht aus allen reinen Intervallen, die durch Aufeinanderschichtung (aufwärts oder abwärts) von [[2/1]] (Oktave), [[3/1]] ([[reine Quinte]] + Oktave) und [[7/1]] ([[Naturseptime]] + zwei Oktaven) erreichen lassen — das Verhältnis 7/6 gehört daher zur 2.3.7-Untergruppe, denn es zerlegt sich in Primfaktoren 2, 3 und 7, nämlich 7/6 = 7 / (2 * 3).
* Die 2.7/3.11/3-Untergruppe baut man auf ähnliche Weise aus Erzeugenden [[2/1]], [[7/3]] und [[11/3]]. Beispielsweise gehört [[14/11]] (417,5 Cent) = (7/3) / (11/3) * (2/1) zu dieser Untergruppe.
''p''-[[Limit]] für eine Primzahl ''p'' ist eine Untergruppe der reinen Stimmung, dieser Begriff bezieht sich aber auf analogen Strukturen, deren Basen nicht notwendigerweise ''alle'' Primzahlen bis ''p'' enthalten.

[[reguläre Temperatur|Reguläre Temperaturen]] vereinfachen durch [[Austemperieren]] von [[Komma]]ta die Struktur einer solchen Untergruppe und vermindern auch deren Rang (Dimensionalität), sodass wenigere Erzeugenden notwendig sind, um ein beliebiges Intervall in der Temperatur zu erreichen.

{{Fortgeschritten|Mathematisch betracht ist eine Untergruppe der reinen Stimmung eine Gruppe, genauer gesagt eine freie abelsche Gruppe (äquivalent ein &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;-Modul), die in der Lehre der [[reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]] durch die lineare Algebra untersucht wird.}}

== Siehe auch ==
* [[Intervallraum]]

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}}
Eine '''Untergruppe der reinen Stimmung''' baut man durch Aufeinanderschichtung (von endlich vielen Kopien) von Elementen (''Erzeugenden'' bzw. ''Basiselementen'') aus einer gewählten Menge (die ein ''Erzeugendensystem'' oder eine ''Basis'' heißt) aus [[Reine Stimmung|reinen Intervallen]]. Zum Beispiel:
* Die 2.3.7-Untergruppe besteht aus allen reinen Intervallen, die durch Aufeinanderschichtung (aufwärts oder abwärts) von [[2/1]] (Oktave), [[3/1]] ([[reine Quinte]] + Oktave) und [[7/1]] ([[Naturseptime]] + zwei Oktaven) erreichen lassen — das Verhältnis 7/6 gehört daher zur 2.3.7-Untergruppe, denn es zerlegt sich in Primfaktoren 2, 3 und 7, nämlich 7/6 = 7 / (2 * 3).
* Die 2.7/3.11/3-Untergruppe baut man auf ähnliche Weise aus Erzeugenden [[2/1]], [[7/3]] und [[11/3]]. Beispielsweise gehört [[14/11]] (417,5 Cent) = (7/3) / (11/3) * (2/1) zu dieser Untergruppe.
''p''-[[Limit]] für eine Primzahl ''p'' ist eine Untergruppe der reinen Stimmung, dieser Begriff bezieht sich aber auf analogen Strukturen, deren Basen nicht notwendigerweise ''alle'' Primzahlen bis ''p'' enthalten.

[[reguläre Temperatur|Reguläre Temperaturen]] vereinfachen durch [[Austemperieren]] von [[Komma]]ta die Struktur einer solchen Untergruppe und vermindern auch deren Rang (Dimensionalität), sodass wenigere Erzeugenden notwendig sind, um ein beliebiges Intervall in der Temperatur zu erreichen.

{{Fortgeschritten|Mathematisch betracht ist eine Untergruppe der reinen Stimmung eine Gruppe, genauer gesagt eine freie abelsche Gruppe (äquivalent ein &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;-Modul), die in der Lehre der [[reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]] durch die lineare Algebra untersucht wird.}}

== Siehe auch ==
* [[Intervallraum]]

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}}
Eine '''Untergruppe der reinen Stimmung''' baut man durch Aufeinanderschichtung (von endlich vielen Kopien) von Elementen (''Erzeugenden'' bzw. ''Basiselementen'') aus einer gewählten Menge (die ein ''Erzeugendensystem'' oder eine ''Basis'' heißt) aus [[Reine Stimmung|reinen Intervallen]]. Zum Beispiel:
* Die 2.3.7-Untergruppe besteht aus allen reinen Intervallen, die durch Aufeinanderschichtung (aufwärts oder abwärts) von [[2/1]] (Oktave), [[3/1]] ([[reine Quinte]] + Oktave) und [[7/1]] ([[Naturseptime]] + zwei Oktaven) erreichen lassen — das Verhältnis 7/6 gehört daher zur 2.3.7-Untergruppe, denn es zerlegt sich in Primfaktoren 2, 3 und 7, nämlich 7/6 = 7 / (2 * 3).
* Die 2.7/3.11/3-Untergruppe baut man auf ähnliche Weise aus Erzeugenden [[2/1]], [[7/3]] und [[11/3]]. Beispielsweise gehört [[14/11]] (417,5 Cent) = (7/3) / (11/3) * (2/1) zu dieser Untergruppe.
''p''-[[Limit]] für eine Primzahl ''p'' ist eine Untergruppe der reinen Stimmung, dieser Begriff bezieht sich aber auf analogen Strukturen, deren Basen nicht notwendigerweise ''alle'' Primzahlen bis ''p'' enthalten.

[[reguläre Temperatur|Reguläre Temperaturen]] vereinfachen durch [[Austemperieren]] von [[Komma]]ta die Struktur einer solchen Untergruppe und vermindern auch deren Rang (Dimensionalität), sodass wenigere Erzeugenden notwendig sind, um ein beliebiges Intervall in der Temperatur zu erreichen.

{{Fortgeschritten|Mathematisch betracht ist eine Untergruppe der reinen Stimmung eine Gruppe, genauer gesagt eine freie abelsche Gruppe (äquivalent ein &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;-Modul), die in der Lehre der [[reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]] mithilfe der linearen Algebra untersucht wird.}}

== Siehe auch ==
* [[Intervallraum]]

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Eine '''Untergruppe der reinen Stimmung''' baut man durch Aufeinanderschichtung (von endlich vielen Kopien) von Elementen (''Erzeugern'' bzw. ''Basiselementen'') aus einer gewählten Menge (die eine ''Basis'' heißt) aus [[Reine Stimmung|reinen Intervallen]]. Zum Beispiel:
* Die 2.3.7-Untergruppe besteht aus allen reinen Intervallen, die durch Aufeinanderschichtung (aufwärts oder abwärts) von [[2/1]] (Oktave), [[3/1]] ([[reine Quinte]] + Oktave) und [[7/1]] ([[Naturseptime]] + zwei Oktaven) erreichen lassen — das Verhältnis 7/6 gehört daher zur 2.3.7-Untergruppe, denn es zerlegt sich in Primfaktoren 2, 3 und 7, nämlich 7/6 = 7 / (2 * 3).
* Die 2.7/3.11/3-Untergruppe baut man auf ähnliche Weise aus Erzeugern [[2/1]], [[7/3]] und [[11/3]]. Beispielsweise gehört [[14/11]] (417,5 Cent) = (7/3) / (11/3) * (2/1) zu dieser Untergruppe.
''p''-[[Limit]] für eine Primzahl ''p'' ist eine Untergruppe der reinen Stimmung, dieser Begriff bezieht sich aber auf analogen Strukturen, deren Basen nicht notwendigerweise ''alle'' Primzahlen bis ''p'' enthalten.

[[reguläre Temperatur|Reguläre Temperaturen]] vereinfachen durch [[Austemperieren]] von [[Komma]]ta die Struktur einer solchen Untergruppe und vermindern auch deren Rang (Dimensionalität), sodass wenigere Erzeuger notwendig sind, um ein beliebiges Intervall in der Temperatur zu erreichen.

{{Fortgeschritten|Mathematisch betracht ist eine Untergruppe der reinen Stimmung eine Gruppe, genauer gesagt eine freie abelsche Gruppe (äquivalent ein &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;-Modul), die in der Lehre der [[reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]] mithilfe der linearen Algebra untersucht wird.}}

== Siehe auch ==
* [[Intervallraum]]

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Eine '''Untergruppe der reinen Stimmung''' baut man durch Aufeinanderschichtung (von endlich vielen Kopien) von Elementen (''Erzeugern'' bzw. ''Basiselementen'') aus einer gewählten Menge (''Basis'') aus [[Reine Stimmung|reinen Intervallen]]. Zum Beispiel:
* Die 2.3.7-Untergruppe besteht aus allen reinen Intervallen, die durch Aufeinanderschichtung (aufwärts oder abwärts) von [[2/1]] (Oktave), [[3/1]] ([[reine Quinte]] + Oktave) und [[7/1]] ([[Naturseptime]] + zwei Oktaven) erreichen lassen — das Verhältnis 7/6 gehört daher zur 2.3.7-Untergruppe, denn es zerlegt sich in Primfaktoren 2, 3 und 7, nämlich 7/6 = 7 / (2 * 3).
* Die 2.7/3.11/3-Untergruppe baut man auf ähnliche Weise aus Erzeugern [[2/1]], [[7/3]] und [[11/3]]. Beispielsweise gehört [[14/11]] (417,5 Cent) = (7/3) / (11/3) * (2/1) zu dieser Untergruppe.
''p''-[[Limit]] für eine Primzahl ''p'' ist eine Untergruppe der reinen Stimmung, dieser Begriff bezieht sich aber auf analogen Strukturen, deren Basen nicht notwendigerweise ''alle'' Primzahlen bis ''p'' enthalten.

[[reguläre Temperatur|Reguläre Temperaturen]] vereinfachen durch [[Austemperieren]] von [[Komma]]ta die Struktur einer solchen Untergruppe und vermindern auch deren Rang (Dimensionalität), sodass wenigere Erzeuger notwendig sind, um ein beliebiges Intervall in der Temperatur zu erreichen.

{{Fortgeschritten|Mathematisch betracht ist eine Untergruppe der reinen Stimmung eine Gruppe, genauer gesagt eine freie abelsche Gruppe (äquivalent ein &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;-Modul), die in der Lehre der [[reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]] mithilfe der linearen Algebra untersucht wird.}}

== Siehe auch ==
* [[Intervallraum]]

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Eine '''Untergruppe der reinen Stimmung''' baut man durch Aufeinanderschichtung (von endlich vielen Kopien) von Elementen (''Erzeugern'' bzw. ''Basiselementen'') aus einer gewählten Menge (''Basis'') aus [[Reine Stimmung|reinen Intervallen]]. Zum Beispiel:
* Die 2.3.7-Untergruppe besteht aus allen reinen Intervallen, die durch Aufeinanderschichtung (aufwärts oder abwärts) von [[2/1]] (Oktave), [[3/1]] ([[reine Quinte]] + Oktave) und [[7/1]] ([[Naturseptime]] + zwei Oktaven) erreichen lassen — das Verhältnis 7/6 gehört daher zur 2.3.7-Untergruppe, denn es zerlegt sich in Primfaktoren 2, 3 und 7, nämlich 7/6 = 7 / (2 * 3).
* Die 2.7/3.11/3-Untergruppe baut man auf ähnliche Weise aus Erzeugern [[2/1]], [[7/3]] und [[11/3]]. Beispielsweise gehört [[14/11]] (417,5 Cent) = (7/3) / (11/3) * (2/1) zu dieser Untergruppe.
''p''-[[Limit]] für eine Primzahl ''p'' ist eine Untergruppe der reinen Stimmung, dieser Begriff bezieht sich aber auf analogen Strukturen, deren Basen nicht notwendigerweise ''alle'' Primzahlen bis ''p'' enthalten.

[[reguläre Temperatur|Reguläre Temperaturen]] vereinfachen durch [[Austemperieren]] von [[Komma]]ta die Struktur einer solchen Untergruppe und vermindern auch deren Rang (Dimensionalität), sodass wenigere Erzeuger notwendig sind, um ein beliebiges Intervall in der Temperatur zu erreichen.

{{Fortgeschritten|Mathematisch betracht ist eine Untergruppe der reinen Stimmung eine Gruppe, genauer gesagt eine freie abelsche Gruppe (äquivalent ein freier &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;-Modul), die in der Lehre der [[reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]] mithilfe der linearen Algebra untersucht wird.}}

== Siehe auch ==
* [[Intervallraum]]

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Eine '''Untergruppe der reinen Stimmung''' baut man durch Aufeinanderschichtung {{fortgeschritten|(von endlich vielen Kopien)}} von Elementen (''Erzeugern'' bzw. ''Basiselementen'') aus einer gewählten Menge (''Basis'') aus [[Reine Stimmung|reinen Intervallen]]. Zum Beispiel:
* Die 2.3.7-Untergruppe besteht aus allen reinen Intervallen, die durch Aufeinanderschichtung (aufwärts oder abwärts) von [[2/1]] (Oktave), [[3/1]] ([[reine Quinte]] + Oktave) und [[7/1]] ([[Naturseptime]] + zwei Oktaven) erreichen lassen — das Verhältnis 7/6 gehört daher zur 2.3.7-Untergruppe, denn es zerlegt sich in Primfaktoren 2, 3 und 7, nämlich 7/6 = 7 / (2 * 3).
* Die 2.7/3.11/3-Untergruppe baut man auf ähnliche Weise aus Erzeugern [[2/1]], [[7/3]] und [[11/3]]. Beispielsweise gehört [[14/11]] (417,5 Cent) = (7/3) / (11/3) * (2/1) zu dieser Untergruppe.
''p''-[[Limit]] für eine Primzahl ''p'' ist eine Untergruppe der reinen Stimmung, dieser Begriff bezieht sich aber auf analogen Strukturen, deren Basen nicht notwendigerweise ''alle'' Primzahlen bis ''p'' enthalten.

[[reguläre Temperatur|Reguläre Temperaturen]] vereinfachen durch [[Austemperieren]] von [[Komma]]ta die Struktur einer solchen Untergruppe und vermindern auch deren Rang (Dimensionalität), sodass wenigere Erzeuger notwendig sind, um ein beliebiges Intervall in der Temperatur zu erreichen.

{{Fortgeschritten|Mathematisch betracht ist eine Untergruppe der reinen Stimmung eine Gruppe, genauer gesagt eine freie abelsche Gruppe (äquivalent ein freier &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;-Modul), die in der Lehre der [[reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]] mithilfe der linearen Algebra untersucht wird.}}

== Siehe auch ==
* [[Intervallraum]]

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Eine '''Untergruppe der reinen Stimmung''' baut man durch Aufeinanderschichtung {{fortgeschritten|(von endlich vielen Kopien)}} von Elementen (''Erzeugern'' bzw. ''Basiselementen'') aus einer gewählten Menge (''Basis'') aus [[Reine Stimmung|reinen Intervallen]]. Zum Beispiel:
* Die 2.3.7-Untergruppe besteht aus allen reinen Intervallen, die durch Aufeinanderschichtung (aufwärts oder abwärts) von [[2/1]] (Oktave), [[3/1]] ([[reine Quinte]] + Oktave) und [[7/1]] ([[Naturseptime]] + zwei Oktaven) erreichen lassen — das Verhältnis 7/6 gehört daher zur 2.3.7-Untergruppe, denn es zerlegt sich in Primfaktoren 2, 3 und 7, nämlich 7/6 = 7 / (2 * 3).
* Die 2.7/3.11/3-Untergruppe baut man auf ähnliche Weise aus Erzeugern [[2/1]], [[7/3]] und [[11/3]]. Beispielsweise gehört [[14/11]] (417,5 Cent) = (7/3) / (11/3) * (2/1) zu dieser Untergruppe.
''p''-[[Limit]] für eine Primzahl ''p'' ist eine Untergruppe der reinen Stimmung, dieser Begriff bezieht sich aber auf analogen Strukturen, deren Basen nicht notwendigerweise ''alle'' Primzahlen bis ''p'' enthalten.

[[reguläre Temperatur|Reguläre Temperaturen]] vereinfachen durch [[Austemperieren]] von [[Komma]]ta die Struktur einer solchen Untergruppe und vermindern auch deren Rang (Dimensionalität), sodass wenigere Erzeuger notwendig sind, um ein beliebiges Intervall in der Temperatur zu erreichen.

{{Fortgeschritten|Mathematisch betracht ist eine Untergruppe der reinen Stimmung eine Gruppe, genauer gesagt eine freie abelsche Gruppe (äquivalent ein freier &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;-Modul), die in der Lehre der [[reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]] mithilfe der linearen Algebra untersucht wird.}}

== Siehe auch ==
* [[Intervallraum]]

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Ein '''delta-rationaler Akkord''' besitzt "Obertonen", die selbst keine ganze Zahlen sind, deren ''Frequenzdifferenzen'' (''Deltas'') aber rationale Verhältnisse bilden.

Formal heißt ein Akkord &lt;math&gt;1=r_0 : r_1 : \cdots : r_n&lt;/math&gt; '''delta-rational''', falls Indizen &lt;math&gt;k, l&lt;/math&gt; existieren, sodass für &lt;math&gt;r_k, r_{k-1}, r_l, r_{l-1}&lt;/math&gt; gilt

&lt;math&gt;\frac{r_k - r_{k-1}}{r_l - r_{l-1}} \in \mathbb{Q}.&lt;/math&gt;

[[Kategorie:Begriff]]</text>
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Ein '''delta-rationaler Akkord''' besitzt "Obertonen", die im Gegensatz zu echt [[reine Stimmung|reinen]] Akkorden selbst keine ganze Zahlen sind, deren ''Frequenzdifferenzen'' (''Deltas'') aber rationale Verhältnisse bilden.

Formal heißt ein Akkord &lt;math&gt;1=r_0 : r_1 : \cdots : r_n&lt;/math&gt; '''delta-rational''', falls Indizen &lt;math&gt;k, l&lt;/math&gt; existieren, sodass für &lt;math&gt;r_k, r_{k-1}, r_l, r_{l-1}&lt;/math&gt; gilt

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Ein '''delta-rationaler Akkord''' besitzt "Obertonen", die im Gegensatz zu echt [[reine Stimmung|reinen]] Akkorden selbst keine ganzen Zahlen sind, deren ''Frequenzdifferenzen'' (''Deltas'') aber rationale Verhältnisse bilden.

Formal heißt ein Akkord &lt;math&gt;1=r_0 : r_1 : \cdots : r_n&lt;/math&gt; '''delta-rational''', falls Indizen &lt;math&gt;k, l&lt;/math&gt; existieren, sodass für &lt;math&gt;r_k, r_{k-1}, r_l, r_{l-1}&lt;/math&gt; gilt

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Ein '''delta-rationaler Akkord''' besitzt "Obertonen", die im Gegensatz zu echt [[reine Stimmung|reinen]] Akkorden selbst keine ganzen Zahlen sind, deren ''Frequenzdifferenzen'' (''Deltas'') aber rationale Verhältnisse bilden.

Formal heißt ein Akkord &lt;math&gt;r_0 : r_1 : \cdots : r_n&lt;/math&gt; '''delta-rational''', falls Indizen &lt;math&gt;k, l&lt;/math&gt; existieren, sodass für &lt;math&gt;r_k, r_{k-1}, r_l, r_{l-1}&lt;/math&gt; gilt

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Ein '''delta-rationaler Akkord''' besitzt "Obertonen", die im Gegensatz zu echt [[reine Stimmung|reinen]] Akkorden selbst keine ganzen Zahlen sind, deren ''Frequenzdifferenzen'' (''Deltas'') aber rationale Verhältnisse bilden.

Formal heißt ein Akkord &lt;math&gt;r_0 : r_1 : \cdots : r_n&lt;/math&gt; '''delta-rational''', falls Indizen &lt;math&gt;k, l, k \neq l&lt;/math&gt; existieren, sodass für &lt;math&gt;r_k, r_{k-1}, r_l, r_{l-1}&lt;/math&gt; gilt

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Ein '''delta-rationaler Akkord''' besitzt "Obertonen", die im Gegensatz zu echt [[reine Stimmung|reinen]] Akkorden selbst keine ganzen Zahlen sind, deren ''Frequenzdifferenzen'' (''Deltas'') aber ganzzahlige Verhältnisse bilden.

Formal heißt ein Akkord &lt;math&gt;r_0 : r_1 : \cdots : r_n&lt;/math&gt; '''delta-rational''', falls Indizen &lt;math&gt;k, l, k \neq l&lt;/math&gt; existieren, sodass für &lt;math&gt;r_k, r_{k-1}, r_l, r_{l-1}&lt;/math&gt; gilt

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Ein '''delta-rationaler Akkord''' besitzt "Obertonen", die im Gegensatz zu echt [[reine Stimmung|reinen]] Akkorden selbst keine ganzen Zahlen sind, deren ''Frequenzdifferenzen'' (''Deltas'') aber ganzzahlige Verhältnisse bilden.

== Definitionen ==
Formal heißt ein Akkord &lt;math&gt;r_0 : r_1 : \cdots : r_n&lt;/math&gt; '''delta-rational''', falls Indizen &lt;math&gt;k, l, k \neq l&lt;/math&gt; existieren, sodass für &lt;math&gt;r_k, r_{k-1}, r_l, r_{l-1}&lt;/math&gt; gilt

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Ein '''delta-rationaler Akkord''' besitzt "Obertonen", die im Gegensatz zu echt [[reine Stimmung|reinen]] Akkorden selbst keine ganzen Zahlen sind, deren ''Frequenzdifferenzen'' (''Deltas'') aber ganzzahlige Verhältnisse bilden.

== Definitionen ==
Formal heißt ein Akkord &lt;math&gt;r_0 : r_1 : \cdots : r_n&lt;/math&gt; '''delta-rational''', falls Indizen &lt;math&gt;k, l, k \neq l&lt;/math&gt; existieren, sodass für &lt;math&gt;r_k, r_{k-1}, r_l, r_{l-1}&lt;/math&gt; gilt

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Ein '''delta-rationaler Akkord''' besitzt "Obertonen", die im Gegensatz zu echt [[reine Stimmung|reinen]] Akkorden selbst keine ganzen Zahlen sind, deren ''Frequenzdifferenzen'' (''Deltas'') aber ganzzahlige Verhältnisse bilden.

== Definitionen ==
Formal heißt ein Akkord &lt;math&gt;r_0 : r_1 : \cdots : r_n&lt;/math&gt; '''delta-rational''', falls Indizen &lt;math&gt;k, l, k \neq l&lt;/math&gt; existieren, sodass für &lt;math&gt;r_k, r_{k-1}, r_l, r_{l-1}&lt;/math&gt; gilt

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Ein Akkord heißt '''vollstãndig delta-rational''', falls ''alle'' Verhältnisse zwischen Differenzen aufeinanderfolgender Tonhöhen rational sind.

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Ein '''delta-rationaler Akkord''' besitzt "Obertonen", die im Gegensatz zu echt [[reine Stimmung|reinen]] Akkorden selbst keine ganzen Zahlen sind, deren ''Frequenzdifferenzen'' (''Deltas'') aber ganzzahlige Verhältnisse bilden.

== Definitionen ==
Formal heißt ein Akkord &lt;math&gt;r_0 : r_1 : \cdots : r_n&lt;/math&gt; '''delta-rational''', falls Indizen &lt;math&gt;k, l, k \neq l&lt;/math&gt; existieren, sodass für &lt;math&gt;r_k, r_{k-1}, r_l, r_{l-1}&lt;/math&gt; gilt

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Ein Akkord heißt '''vollstãndig delta-rational''', falls ''alle'' Verhältnisse zwischen Differenzen aufeinanderfolgender Tonhöhen rational sind.

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Ein '''delta-rationaler Akkord''' besitzt "Obertonen", die im Gegensatz zu echt [[reine Stimmung|reinen]] Akkorden selbst keine ganzen Zahlen sind, deren ''Frequenzdifferenzen'' (''Deltas'') aber ganzzahlige Verhältnisse bilden.

== Definitionen ==
Formal heißt ein Akkord &lt;math&gt;r_0 : r_1 : \cdots : r_n, r_i &gt; 0,&lt;/math&gt; '''delta-rational''', falls Indizen &lt;math&gt;k, l, k \neq l&lt;/math&gt; existieren, sodass für &lt;math&gt;r_k, r_{k-1}, r_l, r_{l-1}&lt;/math&gt; gilt

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Ein Akkord heißt '''vollstãndig delta-rational''', falls ''alle'' Verhältnisse zwischen Differenzen aufeinanderfolgender Tonhöhen rational sind.

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Ein '''delta-rationaler Akkord''' besitzt "Obertonen", die im Gegensatz zu echt [[reine Stimmung|reinen]] Akkorden selbst keine ganzen Zahlen sind, deren ''Frequenzdifferenzen'' (''Deltas'') aber ganzzahlige Verhältnisse bilden.

== Definitionen ==
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Ein Akkord heißt '''vollstãndig delta-rational''', falls ''alle'' Verhältnisse zwischen Differenzen aufeinanderfolgender Tonhöhen rational sind.

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Ein '''delta-rationaler Akkord''' besitzt "Obertonen", die im Gegensatz zu echt [[reine Stimmung|reinen]] Akkorden selbst keine ganzen Zahlen sind, deren ''Frequenzdifferenzen'' (''Deltas'') aber ganzzahlige Verhältnisse bilden.

== Definitionen ==
Formal heißt ein Akkord &lt;math&gt;r_0 : r_1 : \cdots : r_n, r_i &gt; 0,&lt;/math&gt; '''delta-rational''', falls Indizen &lt;math&gt;k, l, k \neq l&lt;/math&gt; existieren, sodass für &lt;math&gt;r_k, r_{k-1}, r_l, r_{l-1}&lt;/math&gt; gilt

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Ein Akkord heißt '''vollstãndig delta-rational''', falls ''alle'' Verhältnisse zwischen Differenzen aufeinanderfolgender Tonhöhen rational sind.

Ein Akkord heißt '''isoharmonisch''', falls alle Differenzen aufeinanderfolgender Töne gleich sind.

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Ein '''delta-rationaler Akkord''' besitzt "Obertonen", die im Gegensatz zu echt [[reine Stimmung|reinen]] Akkorden selbst keine ganzen Zahlen sind, deren ''Frequenzdifferenzen'' (''Deltas'') aber ganzzahlige Verhältnisse bilden.

== Definitionen ==
Formal heißt ein Akkord &lt;math&gt;r_0 : r_1 : \cdots : r_n, r_i &gt; 0,&lt;/math&gt; '''delta-rational''', falls Indizen &lt;math&gt;k, l, k \neq l&lt;/math&gt; existieren, sodass für &lt;math&gt;r_k, r_{k-1}, r_l, r_{l-1}&lt;/math&gt; gilt

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Ein Akkord heißt '''vollstãndig delta-rational''', falls ''alle'' Verhältnisse zwischen Differenzen aufeinanderfolgender Tonhöhen rational sind.

Ein Akkord heißt '''isodifferential''', falls alle Differenzen aufeinanderfolgender Töne gleich sind.

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Ein '''delta-rationaler Akkord''' besitzt "Obertonen", die im Gegensatz zu echt [[reine Stimmung|reinen]] Akkorden selbst keine ganzen Zahlen sind, deren ''Frequenzdifferenzen'' (''Deltas'') aber ganzzahlige Verhältnisse bilden.

== Definitionen ==
Formal heißt ein Akkord &lt;math&gt;r_0 : r_1 : \cdots : r_n, r_i &gt; 0,&lt;/math&gt; '''delta-rational''', falls Indizen &lt;math&gt;k, l, k \neq l&lt;/math&gt; existieren, sodass für &lt;math&gt;r_k, r_{k-1}, r_l, r_{l-1}&lt;/math&gt; gilt

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Ein Akkord heißt '''vollstãndig delta-rational''', falls ''alle'' Verhältnisse zwischen Differenzen aufeinanderfolgender Tonhöhen rational sind.

Ein Akkord heißt '''isodifferential''', falls alle Differenzen aufeinanderfolgender Töne gleich sind.

Ein isodifferentialer Akkord heißt '''isoharmonisch''', wenn er ein reiner Akkord ist.

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Ein '''delta-rationaler Akkord''' besitzt "Obertonen", die im Gegensatz zu echt [[reine Stimmung|reinen]] Akkorden selbst keine ganzen Zahlen sind, deren ''Frequenzdifferenzen'' (''Deltas'') aber ganzzahlige Verhältnisse bilden.

== Definitionen ==
Formal heißt ein Akkord &lt;math&gt;r_0 : r_1 : \cdots : r_n, r_i &gt; 0,&lt;/math&gt; '''delta-rational''', falls Indizen &lt;math&gt;k, l, k \neq l&lt;/math&gt; existieren, sodass für &lt;math&gt;r_k, r_{k-1}, r_l, r_{l-1}&lt;/math&gt; gilt

&lt;math&gt;\frac{r_k - r_{k-1}}{r_l - r_{l-1}} \in \mathbb{Q}.&lt;/math&gt;

Ein Akkord heißt '''vollstãndig delta-rational''', falls ''alle'' Verhältnisse zwischen Differenzen aufeinanderfolgender Tonhöhen rational sind.

Ein Akkord heißt '''isodifferential''', falls alle Differenzen aufeinanderfolgender Töne gleich sind.

Ein isodifferentialer Akkord heißt '''isoharmonisch''', wenn er ein reiner Akkord ist.

== Psychoakustische Bedeutung ==
[[Kategorie:Begriff]]</text>
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Ein '''delta-rationaler Akkord''' besitzt "Obertonen", die im Gegensatz zu echt [[reine Stimmung|reinen]] Akkorden selbst keine ganzen Zahlen sind, deren ''Frequenzdifferenzen'' (''Deltas'') aber ganzzahlige Verhältnisse bilden.

== Definitionen ==
Formal heißt ein Akkord &lt;math&gt;r_0 : r_1 : \cdots : r_n, r_i &gt; 0,&lt;/math&gt; '''delta-rational''', falls Indizen &lt;math&gt;k, l, k \neq l&lt;/math&gt; existieren, sodass für &lt;math&gt;r_k, r_{k-1}, r_l, r_{l-1}&lt;/math&gt; gilt

&lt;math&gt;\frac{r_k - r_{k-1}}{r_l - r_{l-1}} \in \mathbb{Q}.&lt;/math&gt;

Ein Akkord heißt '''vollstãndig delta-rational''', falls ''alle'' Verhältnisse zwischen Differenzen aufeinanderfolgender Tonhöhen rational sind.

Ein Akkord heißt '''isodifferential''', falls alle Differenzen aufeinanderfolgender Töne gleich sind.

Ein ''reiner'' isodifferentialer Akkord heißt '''isoharmonisch'''.

== Psychoakustische Bedeutung ==
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Ein '''delta-rationaler Akkord''' besitzt "Obertonen", die im Gegensatz zu echt [[reine Stimmung|reinen]] Akkorden selbst keine ganzen Zahlen sind, deren ''Frequenzdifferenzen'' (''Deltas'') aber ganzzahlige Verhältnisse bilden.

== Definitionen ==
Formal heißt ein Akkord &lt;math&gt;r_0 : r_1 : \cdots : r_n, r_i &gt; 0,&lt;/math&gt; '''delta-rational''', falls Indizen &lt;math&gt;k, l, k \neq l&lt;/math&gt; existieren, sodass für &lt;math&gt;r_k, r_{k-1}, r_l, r_{l-1}&lt;/math&gt; gilt

&lt;math&gt;\frac{r_k - r_{k-1}}{r_l - r_{l-1}} \in \mathbb{Q}.&lt;/math&gt;

Ein Akkord heißt '''vollstãndig delta-rational''', falls ''alle'' Verhältnisse zwischen Differenzen aufeinanderfolgender Tonhöhen rational sind.

Ein Akkord heißt '''isodifferential''', falls alle Differenzen aufeinanderfolgender Töne gleich sind.

Ein ''reiner'' isodifferentialer Akkord heißt '''isoharmonisch'''.

== Beispiele ==
== Psychoakustische Bedeutung ==
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Ein '''delta-rationaler Akkord''' besitzt "Obertonen", die im Gegensatz zu echt [[reine Stimmung|reinen]] Akkorden selbst keine ganzen Zahlen sind, deren ''Frequenzdifferenzen'' (''Deltas'') aber ganzzahlige Verhältnisse bilden.

== Definitionen ==
Formal heißt ein Akkord &lt;math&gt;r_0 : r_1 : \cdots : r_n&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r_i &gt; 0&lt;/math&gt; '''delta-rational''', falls Indizen &lt;math&gt;k, l, k \neq l&lt;/math&gt; existieren, sodass für &lt;math&gt;r_k, r_{k-1}, r_l, r_{l-1}&lt;/math&gt; gilt

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Ein Akkord heißt '''vollstãndig delta-rational''', falls ''alle'' Verhältnisse zwischen Differenzen aufeinanderfolgender Tonhöhen rational sind.

Ein Akkord heißt '''isodifferential''', falls alle Differenzen aufeinanderfolgender Töne gleich sind.

Ein ''reiner'' isodifferentialer Akkord heißt '''isoharmonisch'''.

== Beispiele ==
== Psychoakustische Bedeutung ==
[[Kategorie:Begriff]]</text>
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Ein '''delta-rationaler Akkord''' besitzt "Obertonen", die im Gegensatz zu echt [[reine Stimmung|reinen]] Akkorden selbst keine ganzen Zahlen sind, deren ''Frequenzdifferenzen'' (''Deltas'') aber ganzzahlige Verhältnisse bilden.

== Definitionen ==
Formal heißt ein Akkord &lt;math&gt;r_0 : r_1 : \cdots : r_n&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r_i &gt; 0&lt;/math&gt; '''delta-rational''', falls Indizen &lt;math&gt;k, l \ (k \neq l)&lt;/math&gt; existieren, sodass für &lt;math&gt;r_k, r_{k-1}, r_l, r_{l-1}&lt;/math&gt; gilt

&lt;math&gt;\frac{r_k - r_{k-1}}{r_l - r_{l-1}} \in \mathbb{Q}.&lt;/math&gt;

Ein Akkord heißt '''vollstãndig delta-rational''', falls ''alle'' Verhältnisse zwischen Differenzen aufeinanderfolgender Tonhöhen rational sind.

Ein Akkord heißt '''isodifferential''', falls alle Differenzen aufeinanderfolgender Töne gleich sind.

Ein ''reiner'' isodifferentialer Akkord heißt '''isoharmonisch'''.

== Beispiele ==
== Psychoakustische Bedeutung ==
[[Kategorie:Begriff]]</text>
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Ein '''delta-rationaler Akkord''' besitzt "Obertonen", die im Gegensatz zu echt [[reine Stimmung|reinen]] Akkorden selbst keine ganzen Zahlen sind, deren ''Frequenzdifferenzen'' (''Deltas'') aber ganzzahlige Verhältnisse bilden.

== Definitionen ==
Formal heißt ein Akkord &lt;math&gt;r_0 : r_1 : \cdots : r_n&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r_i &gt; 0&lt;/math&gt; '''delta-rational''', falls Indizes &lt;math&gt;k, l \ (k \neq l)&lt;/math&gt; existieren, sodass für &lt;math&gt;r_k, r_{k-1}, r_l, r_{l-1}&lt;/math&gt; gilt

&lt;math&gt;\frac{r_k - r_{k-1}}{r_l - r_{l-1}} \in \mathbb{Q}.&lt;/math&gt;

Ein Akkord heißt '''vollstãndig delta-rational''', falls ''alle'' Verhältnisse zwischen Differenzen aufeinanderfolgender Tonhöhen rational sind.

Ein Akkord heißt '''isodifferential''', falls alle Differenzen aufeinanderfolgender Töne gleich sind.

Ein ''reiner'' isodifferentialer Akkord heißt '''isoharmonisch'''.

== Beispiele ==
== Psychoakustische Bedeutung ==
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Ein '''delta-rationaler Akkord''' besitzt "Obertonen", die im Gegensatz zu echt [[reine Stimmung|reinen]] Akkorden selbst keine ganzen Zahlen sind, deren ''Frequenzdifferenzen'' (''Deltas'') aber ganzzahlige Verhältnisse bilden.

== Definitionen ==
Formal heißt ein Akkord &lt;math&gt;r_0 : r_1 : \cdots : r_n&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r_i &gt; 0&lt;/math&gt; '''delta-rational''', falls Indizes &lt;math&gt;k, l \ (k \neq l)&lt;/math&gt; existieren, sodass für &lt;math&gt;r_k, r_{k-1}, r_l, r_{l-1}&lt;/math&gt; gilt

&lt;math&gt;\frac{r_k - r_{k-1}}{r_l - r_{l-1}} \in \mathbb{Q}.&lt;/math&gt;

Ein Akkord heißt '''vollstãndig delta-rational''', falls ''alle'' Verhältnisse zwischen Frequenzdifferenzen aufeinanderfolgender Tonhöhen rational sind.

Ein Akkord heißt '''isodifferential''', falls alle Frequenzdifferenzen aufeinanderfolgender Töne gleich sind.

Ein ''reiner'' isodifferentialer Akkord heißt '''isoharmonisch'''.

== Beispiele ==
== Psychoakustische Bedeutung ==
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Ein '''delta-rationaler Akkord''' besitzt "Obertonen", die im Gegensatz zu echt [[reine Stimmung|reinen]] Akkorden selbst keine ganzen Zahlen sind, deren ''Frequenzdifferenzen'' (''Deltas'') aber ganzzahlige Verhältnisse bilden.

== Definitionen ==
Formal heißt ein Akkord &lt;math&gt;r_0 : r_1 : \cdots : r_n&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r_i &gt; 0&lt;/math&gt; '''delta-rational''', falls es Indizes &lt;math&gt;k, l \ (k \neq l)&lt;/math&gt; gibt, sodass für &lt;math&gt;r_k, r_{k-1}, r_l, r_{l-1}&lt;/math&gt; gilt

&lt;math&gt;\frac{r_k - r_{k-1}}{r_l - r_{l-1}} \in \mathbb{Q}.&lt;/math&gt;

Ein Akkord heißt '''vollstãndig delta-rational''', falls ''alle'' Verhältnisse zwischen Frequenzdifferenzen aufeinanderfolgender Tonhöhen rational sind.

Ein Akkord heißt '''isodifferential''', falls alle Frequenzdifferenzen aufeinanderfolgender Töne gleich sind.

Ein ''reiner'' isodifferentialer Akkord heißt '''isoharmonisch'''.

== Beispiele ==
== Psychoakustische Bedeutung ==
[[Kategorie:Begriff]]</text>
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Ein '''delta-rationaler Akkord''' besitzt "Obertonen", die im Gegensatz zu echt [[reine Stimmung|reinen]] Akkorden selbst keine ganzen Zahlen sind, deren ''Frequenzdifferenzen'' (''Deltas'') aber ganzzahlige Verhältnisse bilden.

== Definitionen ==
Formal heißt ein Akkord &lt;math&gt;r_0 : r_1 : \cdots : r_n&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;0 &lt; r_0 &lt; r_1 &lt; \cdots &lt; r_n&lt;/math&gt; '''delta-rational''', falls es Indizes &lt;math&gt;k, l \ (k \neq l)&lt;/math&gt; gibt, sodass für &lt;math&gt;r_k, r_{k-1}, r_l, r_{l-1}&lt;/math&gt; gilt

&lt;math&gt;\frac{r_k - r_{k-1}}{r_l - r_{l-1}} \in \mathbb{Q}.&lt;/math&gt;

Ein Akkord heißt '''vollstãndig delta-rational''', falls ''alle'' Verhältnisse zwischen Frequenzdifferenzen aufeinanderfolgender Tonhöhen rational sind.

Ein Akkord heißt '''isodifferential''', falls alle Frequenzdifferenzen aufeinanderfolgender Töne gleich sind.

Ein ''reiner'' isodifferentialer Akkord heißt '''isoharmonisch'''.

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Ein '''delta-rationaler Akkord''' ('''DR-Akkord''') besitzt "Obertonen", die im Gegensatz zu echt [[reine Stimmung|reinen]] Akkorden selbst keine ganzen Zahlen sind, deren ''Frequenzdifferenzen'' (''Deltas'') aber ganzzahlige Verhältnisse bilden.

== Definitionen ==
Formal heißt ein Akkord &lt;math&gt;r_0 : r_1 : \cdots : r_n&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;0 &lt; r_0 &lt; r_1 &lt; \cdots &lt; r_n&lt;/math&gt; '''delta-rational''', falls es Indizes &lt;math&gt;k, l \ (k \neq l)&lt;/math&gt; gibt, sodass für &lt;math&gt;r_k, r_{k-1}, r_l, r_{l-1}&lt;/math&gt; gilt

&lt;math&gt;\frac{r_k - r_{k-1}}{r_l - r_{l-1}} \in \mathbb{Q}.&lt;/math&gt;

Ein Akkord heißt '''vollstãndig delta-rational''', falls ''alle'' Verhältnisse zwischen Frequenzdifferenzen aufeinanderfolgender Tonhöhen rational sind.

Ein Akkord heißt '''isodifferential''', falls alle Frequenzdifferenzen aufeinanderfolgender Töne gleich sind.

Ein ''reiner'' isodifferentialer Akkord heißt '''isoharmonisch'''.

== Beispiele ==
== Psychoakustische Bedeutung ==
[[Kategorie:Begriff]]</text>
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Ein '''delta-rationaler Akkord''' ('''DR-Akkord''') besitzt "Obertonen", die im Gegensatz zu echt [[reine Stimmung|reinen]] Akkorden selbst keine ganzen Zahlen sind, deren ''Frequenzdifferenzen'' (''Deltas'') aber ganzzahlige Verhältnisse bilden.

== Definitionen ==
Formal heißt ein Akkord &lt;math&gt;r_0 : r_1 : \cdots : r_n&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;0 &lt; r_0 &lt; r_1 &lt; \cdots &lt; r_n&lt;/math&gt; '''delta-rational''', falls es Indizes &lt;math&gt;k, l \ (k \neq l)&lt;/math&gt; gibt, sodass für &lt;math&gt;r_k, r_{k-1}, r_l, r_{l-1}&lt;/math&gt; gilt

&lt;math&gt;\frac{r_k - r_{k-1}}{r_l - r_{l-1}} \in \mathbb{Q}.&lt;/math&gt;

Ein Akkord heißt '''vollständig delta-rational''', falls ''alle'' Verhältnisse zwischen Frequenzdifferenzen aufeinanderfolgender Tonhöhen rational sind.

Ein Akkord heißt '''isodifferential''', falls alle Frequenzdifferenzen aufeinanderfolgender Töne gleich sind.

Ein ''reiner'' isodifferentialer Akkord heißt '''isoharmonisch'''.

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Ein '''delta-rationaler Akkord''' ('''DR-Akkord''') besitzt "Obertonen", die im Gegensatz zu echt [[reine Stimmung|reinen]] Akkorden selbst keine ganzen Zahlen sind, deren ''Frequenzdifferenzen'' (''Deltas'') aber ganzzahlige Verhältnisse bilden.

== Definitionen ==
Formal heißt ein Akkord &lt;math&gt;r_0 : r_1 : \cdots : r_n&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;0 &lt; r_0 &lt; r_1 &lt; \cdots &lt; r_n&lt;/math&gt; '''delta-rational''', falls es Indizes &lt;math&gt;k, l \ (k \neq l)&lt;/math&gt; gibt, sodass für &lt;math&gt;r_k, r_{k-1}, r_l, r_{l-1}&lt;/math&gt; gilt

&lt;math&gt;\frac{r_k - r_{k-1}}{r_l - r_{l-1}} \in \mathbb{Q}.&lt;/math&gt;

Ein Akkord heißt '''vollständig delta-rational''', falls ''alle'' Verhältnisse zwischen Frequenzdifferenzen aufeinanderfolgender Tonhöhen rational sind.

Ein Akkord heißt '''isodifferential''', falls alle Frequenzdifferenzen aufeinanderfolgender Töne gleich sind.

Ein ''reiner'' isodifferentialer Akkord heißt '''isoharmonisch'''.

== Beispiele ==
== Psychoakustische Bedeutung ==
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Ein '''delta-rationaler Akkord''' ('''DR-Akkord''') besitzt "Obertonen", die im Gegensatz zu echt [[reine Stimmung|reinen]] Akkorden selbst keine ganzen Zahlen sind, deren ''Frequenzdifferenzen'' (''Deltas'') aber ganzzahlige Verhältnisse bilden.

== Definitionen ==
Formal heißt ein Akkord &lt;math&gt;r_0 : r_1 : \cdots : r_n&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;0 &lt; r_0 &lt; r_1 &lt; \cdots &lt; r_n&lt;/math&gt; '''delta-rational''', falls es Indizes &lt;math&gt;k, l \ (k \neq l)&lt;/math&gt; gibt, sodass für &lt;math&gt;r_k, r_{k-1}, r_l, r_{l-1}&lt;/math&gt; gilt

&lt;math&gt;\frac{r_k - r_{k-1}}{r_l - r_{l-1}} \in \mathbb{Q}.&lt;/math&gt;

Ein Akkord heißt '''vollständig delta-rational''', falls ''alle'' Verhältnisse zwischen Frequenzdifferenzen aufeinanderfolgender Tonhöhen rational sind.

Ein Akkord heißt '''isodifferential''', falls alle Frequenzdifferenzen aufeinanderfolgender Töne gleich sind.

Ein ''reiner'' isodifferentialer Akkord heißt '''isoharmonisch'''.

== Beispiele ==
== Psychoakustische Bedeutung ==
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'''Hemifamity''' ist eine Rang-3 Temperatur im 7-[[Limit]], die die Kommata [[81/80]] und [[64/63]] ''gleichsetzt'', anstatt diese auszutemperieren. Sie temperiert daher das Komma 5120/5103 = (64/63)/(81/80) aus. Dies ist eine wichtige Temperatur in [[EDO]]s wie [[41-EDO]], [[46-EDO]] und [[53-EDO]], die die [[reine Stimmung]] genauer approximieren.

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'''Hemifamity''' ist eine Rang-3 Temperatur im 7-[[Limit]], die die Kommata [[81/80]] und [[64/63]] ''gleichsetzt'', anstatt diese auszutemperieren; sie temperiert daher das Komma 5120/5103 = (64/63)/(81/80) aus. Dies ist also eine wichtige Temperatur in [[EDO]]s wie [[41-EDO]], [[46-EDO]] und [[53-EDO]], die die [[reine Stimmung]] genauer approximieren.

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'''Hemifamity''' ist eine Rang-3 Temperatur im 7-[[Limit]], die die Kommata [[81/80]] und [[64/63]] ''gleichsetzt'', anstatt diese auszutemperieren; sie temperiert daher das Komma 5120/5103 = (64/63)/(81/80) aus. Das Intervall 36/35 ist auch in zwei gleiche Teile unterteilt.

Hemifamity ist eine wichtige Temperatur in [[EDO]]s wie [[41-EDO]], [[46-EDO]] und [[53-EDO]], die die [[reine Stimmung]] genauer approximieren als EDOs wie [[22-EDO]] und [[31-EDO]].

== Erweiterungen ==
Die wichtigste [[Erweiterung und Einschränkung|Erweiterung]] der Hemifamity-Temperatur auf höhere Limits ist vielleicht die Akea-Temperatur, die die Intervalle 36/35 = (81/80) * (64/63) mit 33/32 und 32/27 mit 13/11 gleichsetzt.
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'''Hemifamity''' ist eine Rang-3 Temperatur im 7-[[Limit]], die die Kommata [[81/80]] und [[64/63]] ''gleichsetzt'', anstatt diese auszutemperieren; sie temperiert daher das Komma 5120/5103 = (64/63)/(81/80) aus. Das Intervall 36/35 wird auch in zwei gleiche Teile unterteilt.

Hemifamity ist eine wichtige Temperatur in [[EDO]]s wie [[41-EDO]], [[46-EDO]] und [[53-EDO]], die die [[reine Stimmung]] genauer approximieren als EDOs wie [[22-EDO]] und [[31-EDO]].

== Erweiterungen ==
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'''Hemifamity''' ist eine Rang-3 Temperatur im 7-[[Limit]], die die Kommata [[81/80]] und [[64/63]] ''gleichsetzt'', anstatt diese [[austemperieren|auszutemperieren]]; sie temperiert daher das Komma 5120/5103 = (64/63)/(81/80) aus. Das Intervall 36/35 wird auch in zwei gleiche Teile unterteilt.

Hemifamity ist eine wichtige Temperatur in [[EDO]]s wie [[41-EDO]], [[46-EDO]] und [[53-EDO]], die die [[reine Stimmung]] genauer approximieren als EDOs wie [[22-EDO]] und [[31-EDO]].

== Erweiterungen ==
Die wichtigste [[Erweiterung und Einschränkung|Erweiterung]] der Hemifamity-Temperatur auf höhere Limits ist vielleicht die Akea-Temperatur, die 36/35 = (81/80) * (64/63) mit 33/32 und 32/27 mit 13/11 gleichsetzt.
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'''Hemifamity''' ist eine Rang-3 Temperatur im 7-[[Limit]], die die Kommata [[81/80]] und [[64/63]] ''gleichsetzt'', anstatt diese [[austemperieren|auszutemperieren]]; sie temperiert daher das Komma 5120/5103 = (64/63)/(81/80) aus. Das Intervall 36/35 wird auch in zwei gleiche Teile unterteilt und das pythagoräische Limma 256/243 mit 21/20 gleichgesetzt.

Hemifamity ist eine wichtige Temperatur in [[EDO]]s wie [[41-EDO]], [[46-EDO]] und [[53-EDO]], die die [[reine Stimmung]] genauer approximieren als EDOs wie [[22-EDO]] und [[31-EDO]].

== Erweiterungen ==
Die wichtigste [[Erweiterung und Einschränkung|Erweiterung]] der Hemifamity-Temperatur auf höhere Limits ist vielleicht die Akea-Temperatur, die 36/35 = (81/80) * (64/63) mit 33/32 und 32/27 mit 13/11 gleichsetzt.
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'''Hemifamity''' ist eine Rang-3 Temperatur im 7-[[Limit]], die die Kommata [[81/80]] und [[64/63]] ''gleichsetzt'', anstatt diese [[austemperieren|auszutemperieren]]; sie temperiert daher das Komma 5120/5103 = (64/63)/(81/80) aus. Das Intervall 36/35 wird auch in zwei gleiche Teile unterteilt und das pythagoräische Limma [[256/243]] mit 21/20 gleichgesetzt.

Hemifamity ist eine wichtige Temperatur in [[EDO]]s wie [[41-EDO]], [[46-EDO]] und [[53-EDO]], die die [[reine Stimmung]] genauer approximieren als EDOs wie [[22-EDO]] und [[31-EDO]].

== Erweiterungen ==
Die wichtigste [[Erweiterung und Einschränkung|Erweiterung]] der Hemifamity-Temperatur auf höhere Limits ist vielleicht die Akea-Temperatur, die 36/35 = (81/80) * (64/63) mit 33/32 und 32/27 mit 13/11 gleichsetzt.
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'''Hemifamity''' ist eine Rang-3 Temperatur im 7-[[Limit]], die die Kommata [[81/80]] und [[64/63]] ''gleichsetzt'', anstatt diese [[austemperieren|auszutemperieren]]; sie temperiert daher das Komma 5120/5103 = (64/63)/(81/80) aus. Das Intervall 36/35 wird auch in zwei gleiche Teile unterteilt und das pythagoräische Limma [[256/243]] mit 21/20 gleichgesetzt.

Hemifamity ist eine wichtige Temperatur in [[EDO]]s wie [[41-EDO]], [[46-EDO]] und [[53-EDO]], die die [[reine Stimmung]] genauer approximieren als EDOs wie [[22-EDO]] und [[31-EDO]].

== Erweiterungen ==
Die wichtigste [[Erweiterung und Einschränkung|Erweiterung]] der Hemifamity-Temperatur auf höhere Limits ist vielleicht die 13-Limit Akea-Temperatur, die 36/35 = (81/80) * (64/63) mit 33/32 und 32/27 mit 13/11 gleichsetzt.
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'''Hemifamity''' ist eine Rang-3 Temperatur im 7-[[Limit]], die die Kommata [[81/80]] und [[64/63]] ''gleichsetzt'', anstatt diese [[austemperieren|auszutemperieren]]; sie temperiert daher das Komma 5120/5103 = (64/63)/(81/80) aus. Das Intervall 36/35 wird auch in zwei gleiche Teile unterteilt und das pythagoräische Limma [[256/243]] mit 21/20 gleichgesetzt. Die Intervalle 5/4, 81/64 und 9/7 werden gleichmäßig beabstandet.

Hemifamity ist eine wichtige Temperatur in [[EDO]]s wie [[41-EDO]], [[46-EDO]] und [[53-EDO]], die die [[reine Stimmung]] genauer approximieren als EDOs wie [[22-EDO]] und [[31-EDO]].

== Erweiterungen ==
Die wichtigste [[Erweiterung und Einschränkung|Erweiterung]] der Hemifamity-Temperatur auf höhere Limits ist vielleicht die 13-Limit Akea-Temperatur, die 36/35 = (81/80) * (64/63) mit 33/32 und 32/27 mit 13/11 gleichsetzt.
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'''Hemifamity''' ist eine Rang-3 Temperatur im 7-[[Limit]], die die Kommata [[81/80]] und [[64/63]] ''gleichsetzt'', anstatt diese [[austemperieren|auszutemperieren]]; sie temperiert daher das Komma 5120/5103 = (64/63)/(81/80) aus. Das Intervall 36/35 wird auch in zwei gleiche Teile unterteilt und das pythagoräische Limma [[256/243]] mit 21/20 gleichgesetzt (und die Quinte 3/2 wird leicht hoch temperiert). Die Intervalle 5/4, 81/64 und 9/7 werden gleichmäßig beabstandet.

Hemifamity ist eine wichtige Temperatur in [[EDO]]s wie [[41-EDO]], [[46-EDO]] und [[53-EDO]], die die [[reine Stimmung]] genauer approximieren als EDOs wie [[22-EDO]] und [[31-EDO]].

== Erweiterungen ==
Die wichtigste [[Erweiterung und Einschränkung|Erweiterung]] der Hemifamity-Temperatur auf höhere Limits ist vielleicht die 13-Limit Akea-Temperatur, die 36/35 = (81/80) * (64/63) mit 33/32 und 32/27 mit 13/11 gleichsetzt.
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'''Hemifamity''' ist eine Rang-3 Temperatur im 7-[[Limit]], die die Kommata [[81/80]] und [[64/63]] ''gleichsetzt'', anstatt diese [[austemperieren|auszutemperieren]]; sie temperiert daher das Komma 5120/5103 = (64/63)/(81/80) aus. Das Intervall 36/35 wird auch in zwei gleiche Teile unterteilt und das pythagoräische Limma [[256/243]] mit 21/20 gleichgesetzt (und die Quinte 3/2 wird in der Regel leicht hoch temperiert). Die Intervalle 5/4, 81/64 und 9/7 werden gleichmäßig beabstandet.

Hemifamity ist eine wichtige Temperatur in [[EDO]]s wie [[41-EDO]], [[46-EDO]] und [[53-EDO]], die die [[reine Stimmung]] genauer approximieren als EDOs wie [[22-EDO]] und [[31-EDO]].

== Erweiterungen ==
Die wichtigste [[Erweiterung und Einschränkung|Erweiterung]] der Hemifamity-Temperatur auf höhere Limits ist vielleicht die 13-Limit Akea-Temperatur, die 36/35 = (81/80) * (64/63) mit 33/32 und 32/27 mit 13/11 gleichsetzt.
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'''Hemifamity''' ist eine Rang-3 Temperatur im 7-[[Limit]], die die Kommata [[81/80]] und [[64/63]] ''gleichsetzt'', anstatt diese [[austemperieren|auszutemperieren]]; sie temperiert daher das Komma 5120/5103 = (64/63)/(81/80) aus. Das Intervall 36/35 wird auch in zwei gleiche Teile unterteilt und das pythagoräische Limma [[256/243]] mit 21/20 gleichgesetzt (und die Quinte 3/2 wird also in der Regel leicht hoch temperiert). Die Intervalle 5/4, 81/64 und 9/7 werden gleichmäßig beabstandet.

Hemifamity ist eine wichtige Temperatur in [[EDO]]s wie [[41-EDO]], [[46-EDO]] und [[53-EDO]], die die [[reine Stimmung]] genauer approximieren als EDOs wie [[22-EDO]] und [[31-EDO]].

== Erweiterungen ==
Die wichtigste [[Erweiterung und Einschränkung|Erweiterung]] der Hemifamity-Temperatur auf höhere Limits ist vielleicht die 13-Limit Akea-Temperatur, die 36/35 = (81/80) * (64/63) mit 33/32 und 32/27 mit 13/11 gleichsetzt.
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'''Hemifamity''' ist eine Rang-3 [[reguläre Temperaturen|reguläre Temperatur]] im 7-[[Limit]], die die Kommata [[81/80]] und [[64/63]] ''gleichsetzt'', anstatt diese [[austemperieren|auszutemperieren]]; sie temperiert daher das Komma 5120/5103 = (64/63)/(81/80) aus. Das Intervall 36/35 wird auch in zwei gleiche Teile unterteilt und das pythagoräische Limma [[256/243]] mit 21/20 gleichgesetzt (und die Quinte 3/2 wird also in der Regel leicht hoch temperiert). Die Intervalle 5/4, 81/64 und 9/7 werden gleichmäßig beabstandet.

Hemifamity ist eine wichtige Temperatur in [[EDO]]s wie [[41-EDO]], [[46-EDO]] und [[53-EDO]], die die [[reine Stimmung]] genauer approximieren als EDOs wie [[22-EDO]] und [[31-EDO]].

== Erweiterungen ==
Die wichtigste [[Erweiterung und Einschränkung|Erweiterung]] der Hemifamity-Temperatur auf höhere Limits ist vielleicht die 13-Limit Akea-Temperatur, die 36/35 = (81/80) * (64/63) mit 33/32 und 32/27 mit 13/11 gleichsetzt.
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'''Hemifamity''' ist eine Rang-3 [[reguläre Temperatur]] im 7-[[Limit]], die die Kommata [[81/80]] und [[64/63]] ''gleichsetzt'', anstatt diese [[austemperieren|auszutemperieren]]; sie temperiert daher das Komma 5120/5103 = (64/63)/(81/80) aus. Das Intervall 36/35 wird auch in zwei gleiche Teile unterteilt und das pythagoräische Limma [[256/243]] mit 21/20 gleichgesetzt (und die Quinte 3/2 wird also in der Regel leicht hoch temperiert). Die Intervalle 5/4, 81/64 und 9/7 werden gleichmäßig beabstandet.

Hemifamity ist eine wichtige Temperatur in [[EDO]]s wie [[41-EDO]], [[46-EDO]] und [[53-EDO]], die die [[reine Stimmung]] genauer approximieren als EDOs wie [[22-EDO]] und [[31-EDO]].

== Erweiterungen ==
Die wichtigste [[Erweiterung und Einschränkung|Erweiterung]] der Hemifamity-Temperatur auf höhere Limits ist vielleicht die 13-Limit Akea-Temperatur, die 36/35 = (81/80) * (64/63) mit 33/32 und 32/27 mit 13/11 gleichsetzt.
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'''Hemifamity''' ist eine Rang-3 [[reguläre Temperatur]] im 7-[[Limit]], die die Kommata [[81/80]] und [[64/63]] ''gleichsetzt'', anstatt diese [[austemperieren|auszutemperieren]]; sie temperiert daher das Komma 5120/5103 = (64/63)/(81/80) aus. Das Intervall 36/35 wird auch in zwei gleiche Teile unterteilt und das pythagoräische Limma [[256/243]] mit 21/20 gleichgesetzt (und die Quinte 3/2 wird also in der Regel leicht hoch temperiert). Die Intervalle 5/4, 81/64 und 9/7 werden gleichmäßig beabstandet.

Hemifamity ist eine wichtige Temperatur in [[EDO]]s wie [[41-EDO]], [[46-EDO]] und [[53-EDO]], die die [[reine Stimmung]] genauer approximieren als EDOs wie [[22-EDO]] und [[31-EDO]].

== Erweiterungen ==
Die wichtigste [[Erweiterung und Einschränkung|Erweiterung]] der Hemifamity-Temperatur auf höhere Limits ist vielleicht die 13-Limit Akea-Temperatur, die 36/35 = (81/80) * (64/63) mit 33/32 und 32/27 mit 13/11 gleichsetzt.
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'''Aberrschismisch''' (aus '''''Aberr'''isma'' + ''Schisma'' für das Komma 5120/5103) ist eine Rang-3 [[reguläre Temperatur]] im 7-[[Limit]], die die Kommata [[81/80]] und [[64/63]] ''gleichsetzt'', anstatt diese [[austemperieren|auszutemperieren]]; sie temperiert daher das Komma 5120/5103 = (64/63)/(81/80) aus. Das Intervall 36/35 wird auch in zwei gleiche Teile unterteilt und das pythagoräische Limma [[256/243]] mit 21/20 gleichgesetzt (und die Quinte 3/2 wird also in der Regel leicht hoch temperiert). Die Intervalle 5/4, 81/64 und 9/7 werden gleichmäßig beabstandet.

Aberrschismisch ist eine wichtige Temperatur in [[EDO]]s wie [[41-EDO]], [[46-EDO]] und [[53-EDO]], die die [[reine Stimmung]] genauer approximieren als EDOs wie [[22-EDO]] und [[31-EDO]].

== Erweiterungen ==
Die wichtigste [[Erweiterung und Einschränkung|Erweiterung]] der Aberrschismisch-Temperatur auf höhere Limits ist vielleicht die 13-Limit Akea-Temperatur, die 36/35 = (81/80) * (64/63) mit 33/32 und 32/27 mit 13/11 gleichsetzt.
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'''Aberrschismisch''' (aus '''''aberr'''ation'' + ''Schisma'' für das Komma 5120/5103) ist eine Rang-3 [[reguläre Temperatur]] im 7-[[Limit]], die die Kommata ("Aberrismata") [[81/80]] und [[64/63]] ''gleichsetzt'', anstatt diese [[austemperieren|auszutemperieren]]; sie temperiert daher das Komma 5120/5103 = (64/63)/(81/80) aus. Das Intervall 36/35 wird auch in zwei gleiche Teile unterteilt und das pythagoräische Limma [[256/243]] mit 21/20 gleichgesetzt (und die Quinte 3/2 wird also in der Regel leicht hoch temperiert). Die Intervalle 5/4, 81/64 und 9/7 werden gleichmäßig beabstandet.

Aberrschismisch ist eine wichtige Temperatur in [[EDO]]s wie [[41-EDO]], [[46-EDO]] und [[53-EDO]], die die [[reine Stimmung]] genauer approximieren als EDOs wie [[22-EDO]] und [[31-EDO]].

== Erweiterungen ==
Die wichtigste [[Erweiterung und Einschränkung|Erweiterung]] der Aberrschismisch-Temperatur auf höhere Limits ist vielleicht die 13-Limit Akea-Temperatur, die 36/35 = (81/80) * (64/63) mit 33/32 und 32/27 mit 13/11 gleichsetzt.
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'''Aberrschismisch''' (aus '''''aberr'''ation'' + ''Schisma'' für das Komma 5120/5103) ist eine Rang-3 [[reguläre Temperatur]] im 7-[[Limit]], die die Kommata [[81/80]] und [[64/63]] (die 5-Limit resp. 7-Limit "Aberrismata") ''gleichsetzt'', anstatt diese [[austemperieren|auszutemperieren]]; sie temperiert daher das Komma 5120/5103 = (64/63)/(81/80) aus. Das Intervall 36/35 wird auch in zwei gleiche Teile unterteilt und das pythagoräische Limma [[256/243]] mit 21/20 gleichgesetzt (und die Quinte 3/2 wird also in der Regel leicht hoch temperiert). Die Intervalle 5/4, 81/64 und 9/7 werden gleichmäßig beabstandet.

Aberrschismisch ist eine wichtige Temperatur in [[EDO]]s wie [[41-EDO]], [[46-EDO]] und [[53-EDO]], die die [[reine Stimmung]] genauer approximieren als EDOs wie [[22-EDO]] und [[31-EDO]].

== Erweiterungen ==
Die wichtigste [[Erweiterung und Einschränkung|Erweiterung]] der Aberrschismisch-Temperatur auf höhere Limits ist vielleicht die 13-Limit Akea-Temperatur, die 36/35 = (81/80) * (64/63) mit 33/32 und 32/27 mit 13/11 gleichsetzt.
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Bei der '''Fünftelkomma-mitteltönigen''' Stimmung wird das [[81/80|syntonische Komma (81/80)]] nicht wie bei der verbreiteten [[Viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] in vier, sondern in fünf gleiche Teile von je ca. 4.31 [[Cent]] geteilt und reine Quinten um diesen Betrag verkleinert. 

Aufeinanderschichten von fünf solcher Quinten (der Grösse 697.65 Cent) führt oktavreduziert zum Intervall mit genau dem Frequenzverhältnis 15/8, der reinen grossen Septime. Die [[Naturterz|grosse Terz]] liegt eine temperierte Quinte darunter, mit 390.61 Cent um ein Fünftelkomma erhöht gegenüber der reinen Variante. Quinte und grosse Terz sind hier also beide um denselben Betrag (ein Fünftelkomma) verstimmt.

Als quasi optimale [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung der Fünftelkomma-mitteltönigen Stimmung gilt [[43-EDO]].

== Historische Bedeutung
Die Fünftelkomma-mitteltönige Temperatur wie auch deren gleichstufige Realisierung 43-EDO wurde vom französischen Mathematiker Joseph Saveur entwickelt. Ein Basisschritt von 43-EDO wurde von Saveur '''méride''' getauft.</text>
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[[Mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Bei der '''Fünftelkomma-mitteltönigen''' Stimmung wird das [[81/80|syntonische Komma (81/80)]] nicht wie bei der verbreiteten [[Viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] in vier, sondern in fünf gleiche Teile von je ca. 4.31 [[Cent]] geteilt und die reine Quinte um diesen Betrag verkleinert. Das ergibt eine Quinte der Grösse 697.65 Cent.

Aufeinanderschichten von fünf solcher Quinten führt oktavreduziert zum Intervall mit genau dem Frequenzverhältnis 15/8, der reinen grossen Septime. Die [[Naturterz|grosse Terz]] liegt eine temperierte Quinte darunter, mit 390.61 Cent um ein Fünftelkomma erhöht gegenüber der reinen Variante. Quinte und grosse Terz sind hier also beide um denselben Betrag (ein Fünftelkomma) verstimmt.

Als quasi optimale [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung der Fünftelkomma-mitteltönigen Stimmung gilt [[43-EDO]].

== Historische Bedeutung
Die Fünftelkomma-mitteltönige Temperatur wie auch deren gleichstufige Realisierung 43-EDO wurde vom französischen Mathematiker Joseph Saveur entwickelt. Ein Basisschritt von 43-EDO wurde von Saveur '''méride''' getauft.</text>
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[[Mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Bei der '''Fünftelkomma-mitteltönigen''' Stimmung wird das [[81/80|syntonische Komma (81/80)]] nicht wie bei der verbreiteten [[Viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] in vier, sondern in fünf gleiche Teile von je ca. 4.31 [[Cent]] geteilt und die reine Quinte um diesen Betrag verkleinert. Das ergibt eine Quinte der Grösse 697.65 Cent.

Aufeinanderschichten von fünf solcher Quinten führt oktavreduziert zum Intervall mit genau dem Frequenzverhältnis 15/8, der reinen grossen Septime. Die [[Naturterz|grosse Terz]] liegt eine temperierte Quinte darunter, mit 390.61 Cent um ein Fünftelkomma erhöht gegenüber der reinen Variante. Quinte und grosse Terz sind hier also beide um denselben Betrag (ein Fünftelkomma) verstimmt.

Als quasi optimale [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung der Fünftelkomma-mitteltönigen Stimmung gilt [[43-EDO]].

== Historische Bedeutung ==
Die Fünftelkomma-mitteltönige Temperatur wie auch deren gleichstufige Realisierung 43-EDO wurde vom französischen Mathematiker Joseph Sauveur entwickelt. Ein Basisschritt von 43-EDO wurde von Sauveur '''méride''' getauft.</text>
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[[Mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Bei der '''Fünftelkomma-mitteltönigen''' Stimmung wird das [[81/80|syntonische Komma (81/80)]] nicht wie bei der verbreiteten [[Viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] in vier, sondern in fünf gleiche Teile von je ca. 4.31 [[Cent]] geteilt und die reine Quinte um diesen Betrag verkleinert. Das ergibt eine Quinte der Grösse 697.65 Cent.

Aufeinanderschichten von fünf solcher Quinten führt oktavreduziert zum Intervall mit genau dem Frequenzverhältnis 15/8, der reinen grossen Septime. Die [[Naturterz|grosse Terz]] liegt eine temperierte Quinte darunter, mit 390.61 Cent um ein Fünftelkomma erhöht gegenüber der reinen Variante. Quinte und grosse Terz sind hier also beide um denselben Betrag (ein Fünftelkomma) verstimmt.

Als quasi optimale [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung der Fünftelkomma-mitteltönigen Stimmung gilt [[43-EDO]].

== Historische Bedeutung ==
Die Fünftelkomma-mitteltönige Temperatur wie auch deren gleichstufige Realisierung 43-EDO wurde vom französischen Mathematiker [[wikipedia:Joseph_Sauveur|Joseph Sauveur]] entwickelt. Ein Basisschritt von 43-EDO wurde von Sauveur '''méride''' getauft.</text>
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[[Mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Bei der '''Fünftelkomma-mitteltönigen''' Stimmung wird das [[81/80|syntonische Komma (81/80)]] nicht wie bei der verbreiteten [[Viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] in vier, sondern in fünf gleiche Teile von je ca. 4.31 [[Cent]] geteilt und die reine Quinte um diesen Betrag verkleinert. Das ergibt eine Quinte der Grösse 697.65 Cent.

Aufeinanderschichten von fünf solcher Quinten führt oktavreduziert zum Intervall mit genau dem Frequenzverhältnis 15/8, der reinen grossen Septime. Die [[Naturterz|grosse Terz]] liegt eine temperierte Quinte darunter, mit 390.61 Cent um ein Fünftelkomma erhöht gegenüber der reinen Variante. Quinte und grosse Terz sind hier also beide um denselben Betrag (ein Fünftelkomma) verstimmt.

Als quasi optimale [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung der Fünftelkomma-mitteltönigen Stimmung gilt [[43-EDO]].

== Historische Bedeutung ==
Die Fünftelkomma-mitteltönige Temperatur wie auch deren gleichstufige Realisierung 43-EDO wurde vom französischen Mathematiker [https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph_Sauveur Joseph Sauveur] entwickelt. Ein Basisschritt von 43-EDO wurde von Sauveur '''méride''' getauft.</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

[[Mitteltönig|Übersicht mitteltönige Temperaturen]]

Bei der '''Fünftelkomma-mitteltönigen''' Stimmung wird das [[81/80|syntonische Komma (81/80)]] nicht wie bei der verbreiteten [[Viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] in vier, sondern in fünf gleiche Teile von je ca. 4.31 [[Cent]] geteilt und die reine Quinte um diesen Betrag verkleinert. Das ergibt eine Quinte der Grösse 697.65 Cent.

Aufeinanderschichten von fünf solcher Quinten führt oktavreduziert zum Intervall mit genau dem Frequenzverhältnis 15/8, der reinen grossen Septime. Die [[Naturterz|grosse Terz]] liegt eine temperierte Quinte darunter, mit 390.61 Cent um ein Fünftelkomma erhöht gegenüber der reinen Variante. Quinte und grosse Terz sind hier also beide um denselben Betrag (ein Fünftelkomma) verstimmt.

Als quasi optimale [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Realisierung der Fünftelkomma-mitteltönigen Stimmung gilt [[43-EDO]].

== Historische Bedeutung ==
Die Fünftelkomma-mitteltönige Temperatur wie auch deren gleichstufige Realisierung 43-EDO wurde vom französischen Mathematiker [https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph_Sauveur Joseph Sauveur] entwickelt. Ein Basisschritt von 43-EDO wurde von Sauveur '''Méride''' getauft.</text>
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[[EDO|Übersicht EDO]]

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[[EDO|Übersicht EDO]]

[Todo]

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Die Familie der Whitewood-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Intervalls [[2187/2048]], des pythagoräischen chromatischen Halbtons oder pythagoräischen Apotoms. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen sieben reinen Quinten 3/2 und vier Oktaven 2/1, und das Austemperieren hat zur Folge, dass man beim Aufeinanderschichten von Quinten nach sieben Schritten auf der Oktave landet - d. h. wir bekommen genau [[7-EDO]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Whitewood unterstützen, sind natürlich Unterteilungen in Vielfache von 7.

Whitewood ist eine Art Gegenstück zu [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]], wo der pythagoräische diatonische Halbton (pythagoräisches Links) austemperiert wird und dessen gleichstufige Realisierungen alle Vielfache von[[5-EDO]] sind. Der Name Whitewood würde natürlich als Gegenstück zu Blackwood gewählt. 

Der pythagoräische chromatische Halbton ist 113.685 [[Cent]] gross, also sogar noch grösser als ein Standard-Halbton - ihn als [[Komma]] zu behandeln und auszutemperieren, führt tendenziell zu ziemlich "verstimmten" Intervallen, wie es die von 7-EDO sind. 

Da der pythagoräische chromatische Halbton im 3-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] liegt, liegt die theoretisch einfachste Variante der Whitewood-Temperatur auch dort - diese ist jedoch nichts anderes als 7-EDO, sie ist eindimensional und als reguläre Temperatur nicht so von Interesse.

Üblicherweise ist mit "Whitewood" ohne Zusatzbezeichnung die 5-Limit-Variante gemeint, die zweidimensional ist. Als Generator dient eine [[Naturterz|grosse Terz 5/4]].

[ToDo weitere Eigenschaften]</text>
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Die Familie der '''Whitewood'''-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Intervalls [[2187/2048]], des '''pythagoräischen chromatischen Halbtons''' oder '''pythagoräischen Apotoms'''. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen sieben reinen Quinten 3/2 und vier Oktaven 2/1, und das Austemperieren hat zur Folge, dass man beim Aufeinanderschichten von Quinten nach sieben Schritten auf der Oktave landet - d. h. wir bekommen genau [[7-EDO]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Whitewood unterstützen, sind natürlich Unterteilungen in Vielfache von 7.

Whitewood ist eine Art Gegenstück zu [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]], wo der pythagoräische diatonische Halbton (pythagoräisches Limma) austemperiert wird und dessen gleichstufige Realisierungen alle Vielfache von[[5-EDO]] sind. Der Name Whitewood würde natürlich als Gegenstück zu Blackwood gewählt. 

Der pythagoräische chromatische Halbton ist 113.685 [[Cent]] gross, also sogar noch grösser als ein Standard-Halbton - ihn als [[Komma]] zu behandeln und auszutemperieren, führt tendenziell zu ziemlich "verstimmten" Intervallen, wie es die von 7-EDO sind. 

Da der pythagoräische chromatische Halbton im 3-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] liegt, liegt die theoretisch einfachste Variante der Whitewood-Temperatur auch dort - diese ist jedoch nichts anderes als 7-EDO, sie ist eindimensional und als reguläre Temperatur nicht so von Interesse.

Üblicherweise ist mit "Whitewood" ohne Zusatzbezeichnung die 5-Limit-Variante gemeint, die zweidimensional ist. Als Generator dient eine [[Naturterz|grosse Terz 5/4]].

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Die Familie der '''Whitewood'''-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Intervalls [[2187/2048]], des '''pythagoräischen chromatischen Halbtons''' oder '''pythagoräischen Apotoms'''. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen sieben reinen Quinten 3/2 und vier Oktaven 2/1, und das Austemperieren hat zur Folge, dass man beim Aufeinanderschichten von Quinten nach sieben Schritten auf der Oktave landet - d. h. wir bekommen genau [[7-EDO]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Whitewood unterstützen, sind natürlich Unterteilungen in Vielfache von 7.

Whitewood ist eine Art Gegenstück zu [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]], wo der pythagoräische diatonische Halbton (pythagoräisches Limma) austemperiert wird und dessen gleichstufige Realisierungen alle Vielfache von[[5-EDO]] sind. Der Name Whitewood wurde natürlich als Gegenstück zu Blackwood gewählt. 

Der pythagoräische chromatische Halbton ist 113.685 [[Cent]] gross, also sogar noch grösser als ein Standard-Halbton - ihn als [[Komma]] zu behandeln und auszutemperieren, führt tendenziell zu ziemlich "verstimmten" Intervallen, wie es die von 7-EDO sind. 

Da der pythagoräische chromatische Halbton im 3-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] liegt, liegt die theoretisch einfachste Variante der Whitewood-Temperatur auch dort - diese ist jedoch nichts anderes als 7-EDO, sie ist eindimensional und als reguläre Temperatur nicht so von Interesse.

Üblicherweise ist mit "Whitewood" ohne Zusatzbezeichnung die 5-Limit-Variante gemeint, die zweidimensional ist. Als Generator dient eine [[Naturterz|grosse Terz 5/4]].

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= Definition =
Die Familie der '''Whitewood'''-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Intervalls [[2187/2048]], des '''pythagoräischen chromatischen Halbtons''' oder '''pythagoräischen Apotoms'''. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen sieben reinen Quinten 3/2 und vier Oktaven 2/1, und das Austemperieren hat zur Folge, dass man beim Aufeinanderschichten von Quinten nach sieben Schritten auf der Oktave landet - d. h. wir bekommen genau [[7-EDO]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Whitewood unterstützen, sind natürlich Unterteilungen in Vielfache von 7.

Whitewood ist eine Art Gegenstück zu [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]], wo der pythagoräische diatonische Halbton (pythagoräisches Limma) austemperiert wird und dessen gleichstufige Realisierungen alle Vielfache von[[5-EDO]] sind. Der Name Whitewood wurde natürlich als Gegenstück zu Blackwood gewählt. 

Der pythagoräische chromatische Halbton ist 113.685 [[Cent]] gross, also sogar noch grösser als ein Standard-Halbton - ihn als [[Komma]] zu behandeln und auszutemperieren, führt tendenziell zu ziemlich "verstimmten" Intervallen, wie es die von 7-EDO sind. 

Da der pythagoräische chromatische Halbton im 3-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] liegt, liegt die theoretisch einfachste Variante der Whitewood-Temperatur auch dort - diese ist jedoch nichts anderes als 7-EDO, sie ist eindimensional und als reguläre Temperatur nicht so von Interesse.

Üblicherweise ist mit "Whitewood" ohne Zusatzbezeichnung die 5-Limit-Variante gemeint, die zweidimensional ist. 

= MOS-Skalen =
Periodenintervall für [[MOS-Skalen]] von Whitewood ist eine Siebteloktave, und als Generator dient eine (modulo Siebteloktave reduzierte) [[Naturterz|grosse Terz 5/4]]. Auf eine volle Oktave fortgesetzt, erhält man Skalen, deren Anzahl Töne ein Vielfaches von 7 ist. Die einen [[21-EDO]] ist die kleinste gleichzeitige Stimmung, die eine nichttriviale Whitewood-Skala (mit 14 Tönen) enthält.

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= Definition =
Die Familie der '''Whitewood'''-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Intervalls [[2187/2048]], des '''pythagoräischen chromatischen Halbtons''' oder '''pythagoräischen Apotoms'''. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen sieben reinen Quinten 3/2 und vier Oktaven 2/1, und das Austemperieren hat zur Folge, dass man beim Aufeinanderschichten von Quinten nach sieben Schritten auf der Oktave landet - d. h. wir bekommen genau [[7-EDO]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Whitewood unterstützen, sind natürlich Unterteilungen in Vielfache von 7.

Whitewood ist eine Art Gegenstück zu [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]], wo der pythagoräische diatonische Halbton (pythagoräisches Limma) austemperiert wird und dessen gleichstufige Realisierungen alle Vielfache von[[5-EDO]] sind. Der Name Whitewood wurde natürlich als Gegenstück zu Blackwood gewählt. 

Der pythagoräische chromatische Halbton ist 113.685 [[Cent]] gross, also sogar noch grösser als ein Standard-Halbton - ihn als [[Komma]] zu behandeln und auszutemperieren, führt tendenziell zu ziemlich "verstimmten" Intervallen, wie es die von 7-EDO sind. 

Da der pythagoräische chromatische Halbton im 3-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] liegt, liegt die theoretisch einfachste Variante der Whitewood-Temperatur auch dort - diese ist jedoch nichts anderes als 7-EDO, sie ist eindimensional und als reguläre Temperatur nicht so von Interesse.

Üblicherweise ist mit "Whitewood" ohne Zusatzbezeichnung die 5-Limit-Variante gemeint, die zweidimensional ist. 

= MOS-Skalen =
Periodenintervall für [[MOS-Skalen]] von Whitewood ist eine Siebteloktave, und als Generator dient eine (modulo Siebteloktave reduzierte) [[Naturterz|grosse Terz 5/4]]. Auf eine volle Oktave fortgesetzt, erhält man Skalen, deren Anzahl Töne ein Vielfaches von 7 ist.[[21-EDO]] ist die kleinste gleichzeitige Stimmung, die eine nichttriviale Whitewood-Skala (mit 14 Tönen) enthält.

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

= Definition =
Die Familie der '''Whitewood'''-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Intervalls [[2187/2048]], des '''pythagoräischen chromatischen Halbtons''' oder '''pythagoräischen Apotoms'''. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen sieben reinen Quinten 3/2 und vier Oktaven 2/1, und das Austemperieren hat zur Folge, dass man beim Aufeinanderschichten von Quinten nach sieben Schritten auf der Oktave landet - d. h. wir bekommen genau [[7-EDO]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Whitewood unterstützen, sind natürlich Unterteilungen in Vielfache von 7.

Whitewood ist eine Art Gegenstück zu [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]], wo der pythagoräische diatonische Halbton (pythagoräisches Limma) austemperiert wird und dessen gleichstufige Realisierungen alle Vielfache von[[5-EDO]] sind. Der Name Whitewood wurde natürlich als Gegenstück zu Blackwood gewählt. 

Der pythagoräische chromatische Halbton ist 113.685 [[Cent]] gross, also sogar noch grösser als ein Standard-Halbton - ihn als [[Komma]] zu behandeln und auszutemperieren, führt tendenziell zu ziemlich "verstimmten" Intervallen, wie es die von 7-EDO sind. 

Da der pythagoräische chromatische Halbton im 3-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] liegt, liegt die theoretisch einfachste Variante der Whitewood-Temperatur auch dort - diese ist jedoch nichts anderes als 7-EDO, sie ist eindimensional und als reguläre Temperatur nicht so von Interesse.

Üblicherweise ist mit "Whitewood" ohne Zusatzbezeichnung die 5-Limit-Variante gemeint, die zweidimensional ist. 

= MOS-Skalen =
Periodenintervall für [[MOS-Skalen]] von Whitewood ist eine Siebteloktave, und als Generator dient eine (modulo Siebteloktave reduzierte) [[Naturterz|grosse Terz 5/4]]. Auf eine volle Oktave fortgesetzt, erhält man Skalen, deren Anzahl Töne ein Vielfaches von 7 ist.[[21-EDO]] ist die kleinste gleichzeitige Stimmung, die eine nichttriviale Whitewood-Skala (mit 14 Tönen) enthält.

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

= Definition =
Die Familie der '''Whitewood'''-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Intervalls [[2187/2048]], des '''pythagoräischen chromatischen Halbtons''' oder '''pythagoräischen Apotoms'''. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen sieben reinen Quinten 3/2 und vier Oktaven 2/1, und das Austemperieren hat zur Folge, dass man beim Aufeinanderschichten von Quinten nach sieben Schritten auf der Oktave landet - d. h. wir bekommen genau [[7-EDO]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Whitewood unterstützen, sind natürlich Unterteilungen in Vielfache von 7.

Whitewood ist eine Art Gegenstück zu [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]], wo der pythagoräische diatonische Halbton (pythagoräisches Limma) austemperiert wird und dessen gleichstufige Realisierungen alle Vielfache von[[5-EDO]] sind. Der Name Whitewood wurde natürlich als Gegenstück zu Blackwood gewählt. 

Der pythagoräische chromatische Halbton ist 113.685 [[Cent]] gross, also sogar noch grösser als ein Standard-Halbton - ihn als [[Komma]] zu behandeln und auszutemperieren, führt tendenziell zu ziemlich "verstimmten" Intervallen, wie es die von 7-EDO sind. 
= Varianten =
== 3-Limit ==
Da der pythagoräische chromatische Halbton im 3-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] liegt, liegt die theoretisch einfachste Variante der Whitewood-Temperatur auch dort - diese ist jedoch nichts anderes als 7-EDO, sie ist eindimensional und als reguläre Temperatur nicht so von Interesse.

== 5-Limit ==
Üblicherweise ist mit "Whitewood" ohne Zusatzbezeichnung die 5-Limit-Variante gemeint, die zweidimensional ist.

== 7-Limit ==
[Todo]

= MOS-Skalen =
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}}
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

= Definition =
Die Familie der '''Whitewood'''-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Intervalls [[2187/2048]], des '''pythagoräischen chromatischen Halbtons''' oder '''pythagoräischen Apotoms'''. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen sieben reinen Quinten 3/2 und vier Oktaven 2/1, und das Austemperieren hat zur Folge, dass man beim Aufeinanderschichten von Quinten nach sieben Schritten auf der Oktave landet - d. h. wir bekommen genau [[7-EDO]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Whitewood unterstützen, sind natürlich Unterteilungen in Vielfache von 7.

Whitewood ist eine Art Gegenstück zu [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]], wo der pythagoräische diatonische Halbton (pythagoräisches Limma) austemperiert wird und dessen gleichstufige Realisierungen alle Vielfache von[[5-EDO]] sind. Der Name Whitewood wurde natürlich als Gegenstück zu Blackwood gewählt. 

Der pythagoräische chromatische Halbton ist 113.685 [[Cent]] gross, also sogar noch grösser als ein Standard-Halbton - ihn als [[Komma]] zu behandeln und auszutemperieren, führt tendenziell zu ziemlich "verstimmten" Intervallen, wie es die von 7-EDO sind. 
= Varianten =
== 3-Limit ==
Da der pythagoräische chromatische Halbton im 3-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] liegt, liegt die theoretisch einfachste Variante der Whitewood-Temperatur auch dort - diese ist jedoch nichts anderes als 7-EDO, sie ist eindimensional und als reguläre Temperatur nicht so von Interesse.

== 5-Limit ==
Üblicherweise ist mit "Whitewood" ohne Zusatzbezeichnung die 5-Limit-Variante gemeint, die zweidimensional ist.

== 7-Limit ==
Die kanonische Erweiterung in 7-Limit, without duck der Name "7-Limit Whitewood" eingebürgert hat, beinhaltet im vierdimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 7 zusätzlich das Austemperieren des Kommas [[36/35]], wodurch 5/4 mit 9/7 und 6/5 mit 7/6 gleichsetzt wird. 

[Todo weitere Eigenschaften]

= MOS-Skalen =
Periodenintervall für [[MOS-Skalen]] von Whitewood ist eine Siebteloktave, und als Generator dient eine (modulo Siebteloktave reduzierte) [[Naturterz|grosse Terz 5/4]]. Auf eine volle Oktave fortgesetzt, erhält man Skalen, deren Anzahl Töne ein Vielfaches von 7 ist.[[21-EDO]] ist die kleinste gleichzeitige Stimmung, die eine nichttriviale Whitewood-Skala (mit 14 Tönen) enthält.

[ToDo weitere Eigenschaften, Tonbeispiele]</text>
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}}
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

= Definition =
Die Familie der '''Whitewood'''-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Intervalls [[2187/2048]], des '''pythagoräischen chromatischen Halbtons''' oder '''pythagoräischen Apotoms'''. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen sieben reinen Quinten 3/2 und vier Oktaven 2/1, und das Austemperieren hat zur Folge, dass man beim Aufeinanderschichten von Quinten nach sieben Schritten auf der Oktave landet - d. h. wir bekommen genau [[7-EDO]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Whitewood unterstützen, sind natürlich Unterteilungen in Vielfache von 7.

Whitewood ist eine Art Gegenstück zu [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]], wo der pythagoräische diatonische Halbton (pythagoräisches Limma) austemperiert wird und dessen gleichstufige Realisierungen alle Vielfache von[[5-EDO]] sind. Der Name Whitewood wurde natürlich als Gegenstück zu Blackwood gewählt. 

Der pythagoräische chromatische Halbton ist 113.685 [[Cent]] gross, also sogar noch grösser als ein Standard-Halbton - ihn als [[Komma]] zu behandeln und auszutemperieren, führt tendenziell zu ziemlich "verstimmten" Intervallen, wie es die von 7-EDO sind. 
= Varianten =
== 3-Limit ==
Da der pythagoräische chromatische Halbton im 3-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] liegt, liegt die theoretisch einfachste Variante der Whitewood-Temperatur auch dort - diese ist jedoch nichts anderes als 7-EDO, sie ist eindimensional und als reguläre Temperatur nicht so von Interesse.

== 5-Limit ==
Üblicherweise ist mit "Whitewood" ohne Zusatzbezeichnung die 5-Limit-Variante gemeint, die zweidimensional ist.

[Todo weitere Eigenschaften, Tonbeispiele]

== 7-Limit ==
Die kanonische Erweiterung in 7-Limit, without duck der Name "7-Limit Whitewood" eingebürgert hat, beinhaltet im vierdimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 7 zusätzlich das Austemperieren des Kommas [[36/35]], wodurch 5/4 mit 9/7 und 6/5 mit 7/6 gleichsetzt wird. 

[Todo weitere Eigenschaften]

= MOS-Skalen =
Periodenintervall für [[MOS-Skalen]] von Whitewood ist eine Siebteloktave, und als Generator dient eine (modulo Siebteloktave reduzierte) [[Naturterz|grosse Terz 5/4]]. Auf eine volle Oktave fortgesetzt, erhält man Skalen, deren Anzahl Töne ein Vielfaches von 7 ist.[[21-EDO]] ist die kleinste gleichzeitige Stimmung, die eine nichttriviale Whitewood-Skala (mit 14 Tönen) enthält.

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

= Definition =
Die Familie der '''Whitewood'''-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Intervalls [[2187/2048]], des '''pythagoräischen chromatischen Halbtons''' oder '''pythagoräischen Apotoms'''. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen sieben reinen Quinten 3/2 und vier Oktaven 2/1, und das Austemperieren hat zur Folge, dass man beim Aufeinanderschichten von Quinten nach sieben Schritten auf der Oktave landet - d. h. wir bekommen genau [[7-EDO]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Whitewood unterstützen, sind natürlich Unterteilungen in Vielfache von 7.

Whitewood ist eine Art Gegenstück zu [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]], wo der pythagoräische diatonische Halbton (pythagoräisches Limma) austemperiert wird und dessen gleichstufige Realisierungen alle Vielfache von[[5-EDO]] sind. Der Name Whitewood wurde natürlich als Gegenstück zu Blackwood gewählt. 

Der pythagoräische chromatische Halbton ist 113.685 [[Cent]] gross, also sogar noch grösser als ein Standard-Halbton - ihn als [[Komma]] zu behandeln und auszutemperieren, führt tendenziell zu ziemlich "verstimmten" Intervallen, wie es die von 7-EDO sind. 
= Varianten =
== 3-Limit ==
Da der pythagoräische chromatische Halbton im 3-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] liegt, liegt die theoretisch einfachste Variante der Whitewood-Temperatur auch dort - diese ist jedoch nichts anderes als 7-EDO, sie ist eindimensional und als reguläre Temperatur nicht so von Interesse.

== 5-Limit ==
Üblicherweise ist mit "Whitewood" ohne Zusatzbezeichnung die 5-Limit-Variante gemeint, die zweidimensional ist.

[Todo weitere Eigenschaften, Tonbeispiele]

== 7-Limit ==
Die kanonische Erweiterung in 7-Limit, für die sich der Name "7-Limit Whitewood" eingebürgert hat, beinhaltet im vierdimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 7 zusätzlich das Austemperieren des Kommas [[36/35]], wodurch 5/4 mit 9/7 und 6/5 mit 7/6 gleichsetzt wird. 

[Todo weitere Eigenschaften]

= MOS-Skalen =
Periodenintervall für [[MOS-Skalen]] von Whitewood ist eine Siebteloktave, und als Generator dient eine (modulo Siebteloktave reduzierte) [[Naturterz|grosse Terz 5/4]]. Auf eine volle Oktave fortgesetzt, erhält man Skalen, deren Anzahl Töne ein Vielfaches von 7 ist.[[21-EDO]] ist die kleinste gleichzeitige Stimmung, die eine nichttriviale Whitewood-Skala (mit 14 Tönen) enthält.

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}}
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

= Definition =
Die Familie der '''Whitewood'''-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Intervalls [[2187/2048]], des '''pythagoräischen chromatischen Halbtons''' oder '''pythagoräischen Apotoms'''. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen sieben reinen Quinten 3/2 und vier Oktaven 2/1, und das Austemperieren hat zur Folge, dass man beim Aufeinanderschichten von Quinten nach sieben Schritten auf der Oktave landet - d. h. wir bekommen genau [[7-EDO]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Whitewood unterstützen, sind natürlich Unterteilungen in Vielfache von 7.

Whitewood ist eine Art Gegenstück zu [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]], wo der pythagoräische diatonische Halbton (pythagoräisches Limma) austemperiert wird und dessen gleichstufige Realisierungen alle Vielfache von[[5-EDO]] sind. Der Name Whitewood wurde natürlich als Gegenstück zu Blackwood gewählt. 

Der pythagoräische chromatische Halbton ist 113.685 [[Cent]] gross, also sogar noch grösser als ein Standard-Halbton - ihn als [[Komma]] zu behandeln und auszutemperieren, führt tendenziell zu ziemlich "verstimmten" Intervallen, wie es die von 7-EDO sind. 
= Varianten =
== 3-Limit ==
Da der pythagoräische chromatische Halbton im 3-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] liegt, liegt die theoretisch einfachste Variante der Whitewood-Temperatur auch dort - diese ist jedoch nichts anderes als 7-EDO, sie ist eindimensional und als reguläre Temperatur nicht so von Interesse.

== 5-Limit ==
Üblicherweise ist mit "Whitewood" ohne Zusatzbezeichnung die 5-Limit-Variante gemeint, die zweidimensional ist.

Periodenintervall für [[MOS-Skalen]] von Whitewood ist eine Siebteloktave, und als Generator dient eine (modulo Siebteloktave reduzierte) [[Naturterz|grosse Terz 5/4]].

[Todo weitere Eigenschaften, Tonbeispiele]

== 7-Limit ==
Die kanonische Erweiterung in 7-Limit, für die sich der Name "7-Limit Whitewood" eingebürgert hat, beinhaltet im vierdimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 7 zusätzlich das Austemperieren des Kommas [[36/35]], wodurch 5/4 mit 9/7 und 6/5 mit 7/6 gleichsetzt wird. 

[Todo weitere Eigenschaften]

= MOS-Skalen =
Periodenintervall für [[MOS-Skalen]] von Whitewood ist eine Siebteloktave, und als Generator dient eine (modulo Siebteloktave reduzierte) [[Naturterz|grosse Terz 5/4]]. Auf eine volle Oktave fortgesetzt, erhält man Skalen, deren Anzahl Töne ein Vielfaches von 7 ist.[[21-EDO]] ist die kleinste gleichzeitige Stimmung, die eine nichttriviale Whitewood-Skala (mit 14 Tönen) enthält.

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}}
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

= Definition =
Die Familie der '''Whitewood'''-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Intervalls [[2187/2048]], des '''pythagoräischen chromatischen Halbtons''' oder '''pythagoräischen Apotoms'''. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen sieben reinen Quinten 3/2 und vier Oktaven 2/1, und das Austemperieren hat zur Folge, dass man beim Aufeinanderschichten von Quinten nach sieben Schritten auf der Oktave landet - d. h. wir bekommen genau [[7-EDO]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Whitewood unterstützen, sind natürlich Unterteilungen in Vielfache von 7.

Whitewood ist eine Art Gegenstück zu [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]], wo der pythagoräische diatonische Halbton (pythagoräisches Limma) austemperiert wird und dessen gleichstufige Realisierungen alle Vielfache von[[5-EDO]] sind. Der Name Whitewood wurde natürlich als Gegenstück zu Blackwood gewählt. 

Der pythagoräische chromatische Halbton ist 113.685 [[Cent]] gross, also sogar noch grösser als ein Standard-Halbton - ihn als [[Komma]] zu behandeln und auszutemperieren, führt tendenziell zu ziemlich "verstimmten" Intervallen, wie es die von 7-EDO sind. 
= Varianten =
== 3-Limit ==
Da der pythagoräische chromatische Halbton im 3-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] liegt, liegt die theoretisch einfachste Variante der Whitewood-Temperatur auch dort - diese ist jedoch nichts anderes als 7-EDO, sie ist eindimensional und als reguläre Temperatur nicht so von Interesse.

== 5-Limit ==
Üblicherweise ist mit "Whitewood" ohne Zusatzbezeichnung die 5-Limit-Variante gemeint, die zweidimensional ist.

Periodenintervall für [[MOS-Skalen]] von Whitewood ist eine Siebteloktave, und als Generator dient eine (modulo Siebteloktave reduzierte) [[Naturterz|grosse Terz 5/4]].

[Todo weitere Eigenschaften, Tonbeispiele]

== 7-Limit ==
Die kanonische Erweiterung in 7-Limit, für die sich der Name "7-Limit Whitewood" eingebürgert hat, beinhaltet im vierdimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 7 zusätzlich das Austemperieren des Kommas [[36/35]], wodurch 5/4 mit 9/7 und 6/5 mit 7/6 gleichsetzt wird. 

[Todo weitere Eigenschaften]

= MOS-Skalen =
Periodenintervall für [[MOS-Skalen]] von Whitewood ist eine Siebteloktave,  sie bestehen, auf die Oktave fortgesetzt, aus Vereinigungen mehrerer Instanzen von 7-EDO.

[[21-EDO]] ist die kleinste gleichzeitige Stimmung, die eine nichttriviale Whitewood-Skala (mit 14 Tönen) enthält.

Die vierzehntönige Whitewood-Skala ist in vielen Hinsicht analog zur zehntönigen [[Blsckwood#Die zehntönige Basckwood-Skala]]. Wie diese besteht die auf einer regelmässigen Abfolge von je einem gewissen und einem kleinen Intervall (von jedem je sieben, also Typ 7L 7s), und jeder Ton ist Grundton für einen Moll- oder Dur-Dreiklang.

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}}
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

= Definition =
Die Familie der '''Whitewood'''-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Intervalls [[2187/2048]], des '''pythagoräischen chromatischen Halbtons''' oder '''pythagoräischen Apotoms'''. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen sieben reinen Quinten 3/2 und vier Oktaven 2/1, und das Austemperieren hat zur Folge, dass man beim Aufeinanderschichten von Quinten nach sieben Schritten auf der Oktave landet - d. h. wir bekommen genau [[7-EDO]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Whitewood unterstützen, sind natürlich Unterteilungen in Vielfache von 7.

Whitewood ist eine Art Gegenstück zu [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]], wo der pythagoräische diatonische Halbton (pythagoräisches Limma) austemperiert wird und dessen gleichstufige Realisierungen alle Vielfache von[[5-EDO]] sind. Der Name Whitewood wurde natürlich als Gegenstück zu Blackwood gewählt. 

Der pythagoräische chromatische Halbton ist 113.685 [[Cent]] gross, also sogar noch grösser als ein Standard-Halbton - ihn als [[Komma]] zu behandeln und auszutemperieren, führt tendenziell zu ziemlich "verstimmten" Intervallen, wie es die von 7-EDO sind. 
= Varianten =
== 3-Limit ==
Da der pythagoräische chromatische Halbton im 3-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] liegt, liegt die theoretisch einfachste Variante der Whitewood-Temperatur auch dort - diese ist jedoch nichts anderes als 7-EDO, sie ist eindimensional und als reguläre Temperatur nicht so von Interesse.

== 5-Limit ==
Üblicherweise ist mit "Whitewood" ohne Zusatzbezeichnung die 5-Limit-Variante gemeint, die zweidimensional ist.

Periodenintervall für [[MOS-Skalen]] von Whitewood ist eine Siebteloktave, und als Generator dient eine (modulo Siebteloktave reduzierte) [[Naturterz|grosse Terz 5/4]].

[Todo weitere Eigenschaften, Tonbeispiele]

== 7-Limit ==
Die kanonische Erweiterung in 7-Limit, für die sich der Name "7-Limit Whitewood" eingebürgert hat, beinhaltet im vierdimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 7 zusätzlich das Austemperieren des Kommas [[36/35]], wodurch 5/4 mit 9/7 und 6/5 mit 7/6 gleichsetzt wird. 

[Todo weitere Eigenschaften]

= MOS-Skalen =
Periodenintervall für [[MOS-Skalen]] von Whitewood ist eine Siebteloktave,  sie bestehen, auf die Oktave fortgesetzt, aus Vereinigungen mehrerer Instanzen von 7-EDO.

[[21-EDO]] ist die kleinste gleichzeitige Stimmung, die eine nichttriviale Whitewood-Skala (mit 14 Tönen) enthält.

Die vierzehntönige Whitewood-Skala ist in vieler Hinsicht analog zur zehntönigen [[Blackwood#Die zehntönige Blackwood-Skala]]. Wie diese besteht die auf einer regelmässigen Abfolge von je einem gewissen und einem kleinen Intervall (von jedem je sieben, also Typ 7L 7s), und jeder Ton ist Grundton für einen Moll- oder Dur-Dreiklang.

[ToDo weitere Eigenschaften, Tonbeispiele]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

= Definition =
Die Familie der '''Whitewood'''-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Intervalls [[2187/2048]], des '''pythagoräischen chromatischen Halbtons''' oder '''pythagoräischen Apotoms'''. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen sieben reinen Quinten 3/2 und vier Oktaven 2/1, und das Austemperieren hat zur Folge, dass man beim Aufeinanderschichten von Quinten nach sieben Schritten auf der Oktave landet - d. h. wir bekommen genau [[7-EDO]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Whitewood unterstützen, sind natürlich Unterteilungen in Vielfache von 7.

Whitewood ist eine Art Gegenstück zu [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]], wo der pythagoräische diatonische Halbton (pythagoräisches Limma) austemperiert wird und dessen gleichstufige Realisierungen alle Vielfache von[[5-EDO]] sind. Der Name Whitewood wurde natürlich als Gegenstück zu Blackwood gewählt. 

Der pythagoräische chromatische Halbton ist 113.685 [[Cent]] gross, also sogar noch grösser als ein Standard-Halbton - ihn als [[Komma]] zu behandeln und auszutemperieren, führt tendenziell zu ziemlich "verstimmten" Intervallen, wie es die von 7-EDO sind. 
= Varianten =
== 3-Limit ==
Da der pythagoräische chromatische Halbton im 3-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] liegt, liegt die theoretisch einfachste Variante der Whitewood-Temperatur auch dort - diese ist jedoch nichts anderes als 7-EDO, sie ist eindimensional und als reguläre Temperatur nicht so von Interesse.

== 5-Limit ==
Üblicherweise ist mit "Whitewood" ohne Zusatzbezeichnung die 5-Limit-Variante gemeint, die zweidimensional ist.

Periodenintervall für [[MOS-Skalen]] von Whitewood ist eine Siebteloktave, und als Generator dient eine (modulo Siebteloktave reduzierte) [[Naturterz|grosse Terz 5/4]].

[Todo weitere Eigenschaften, Tonbeispiele]

== 7-Limit ==
Die kanonische Erweiterung in 7-Limit, für die sich der Name "7-Limit Whitewood" eingebürgert hat, beinhaltet im vierdimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 7 zusätzlich das Austemperieren des Kommas [[36/35]], wodurch 5/4 mit 9/7 und 6/5 mit 7/6 gleichsetzt wird. 

[Todo weitere Eigenschaften]

= MOS-Skalen =
Periodenintervall für [[MOS-Skalen]] von Whitewood ist eine Siebteloktave,  sie bestehen, auf die Oktave fortgesetzt, aus Vereinigungen mehrerer Instanzen von 7-EDO.

[[21-EDO]] ist die kleinste gleichzeitige Stimmung, die eine nichttriviale Whitewood-Skala (mit 14 Tönen) enthält.

Die vierzehntönige Whitewood-Skala ist in vieler Hinsicht analog zur [[Blackwood-Limmisch#Die zehntönige Blackwood-Skala|zehntönigen Blackwood-Skala]]. Wie diese besteht die auf einer regelmässigen Abfolge von je einem gewissen und einem kleinen Intervall (von jedem je sieben, also Typ 7L 7s), und jeder Ton ist Grundton für einen Moll- oder Dur-Dreiklang.

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

= Definition =
Die Familie der '''Whitewood'''-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Intervalls [[2187/2048]], des '''pythagoräischen chromatischen Halbtons''' oder '''pythagoräischen Apotoms'''. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen sieben reinen Quinten 3/2 und vier Oktaven 2/1, und das Austemperieren hat zur Folge, dass man beim Aufeinanderschichten von Quinten nach sieben Schritten auf der Oktave landet - d. h. wir bekommen genau [[7-EDO]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Whitewood unterstützen, sind natürlich Unterteilungen in Vielfache von 7.

Whitewood ist eine Art Gegenstück zu [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]], wo der pythagoräische diatonische Halbton (pythagoräisches Limma) austemperiert wird und dessen gleichstufige Realisierungen alle Vielfache von[[5-EDO]] sind. Der Name Whitewood wurde natürlich als Gegenstück zu Blackwood gewählt. 

Der pythagoräische chromatische Halbton ist 113.685 [[Cent]] gross, also sogar noch grösser als ein Standard-Halbton - ihn als [[Komma]] zu behandeln und auszutemperieren, führt tendenziell zu ziemlich "verstimmten" Intervallen, wie es die von 7-EDO sind. 
= Varianten =
== 3-Limit ==
Da der pythagoräische chromatische Halbton im 3-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] liegt, liegt die theoretisch einfachste Variante der Whitewood-Temperatur auch dort - diese ist jedoch nichts anderes als 7-EDO, sie ist eindimensional und als reguläre Temperatur nicht so von Interesse.

== 5-Limit ==
Üblicherweise ist mit "Whitewood" ohne Zusatzbezeichnung die 5-Limit-Variante gemeint, die zweidimensional ist.

Periodenintervall für [[MOS-Skalen]] von Whitewood ist eine Siebteloktave, und als Generator dient eine (modulo Siebteloktave reduzierte) [[Naturterz|grosse Terz 5/4]].

[Todo weitere Eigenschaften, Tonbeispiele]

== 7-Limit ==
Die kanonische Erweiterung in 7-Limit, für die sich der Name "7-Limit Whitewood" eingebürgert hat, beinhaltet im vierdimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 7 zusätzlich das Austemperieren des Kommas [[36/35]], wodurch 5/4 mit 9/7 und 6/5 mit 7/6 gleichsetzt wird. 

[Todo weitere Eigenschaften]

= MOS-Skalen =
Periodenintervall für [[MOS-Skalen]] von Whitewood ist eine Siebteloktave,  sie bestehen, auf die Oktave fortgesetzt, aus Vereinigungen mehrerer Instanzen von 7-EDO.

[[21-EDO]] ist die kleinste gleichzeitige Stimmung, die eine nichttriviale Whitewood-Skala (mit 14 Tönen) enthält.

Die vierzehntönige Whitewood-Skala ist in vieler Hinsicht analog zur [[Blackwood-Limmisch#Die zehntönige Blackwood-Skala|zehntönigen Blackwood-Skala]]. Wie diese besteht sie auf einer regelmässigen Abfolge von je einem grossen und einem kleinen Intervall (von jedem je sieben, also Typ 7L 7s), und jeder Ton ist Grundton für einen Moll- oder Dur-Dreiklang.

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

= Definition =
Die Familie der '''Whitewood'''-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Intervalls [[2187/2048]], des '''pythagoräischen chromatischen Halbtons''' oder '''pythagoräischen Apotoms'''. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen sieben reinen Quinten 3/2 und vier Oktaven 2/1, und das Austemperieren hat zur Folge, dass man beim Aufeinanderschichten von Quinten nach sieben Schritten auf der Oktave landet - d. h. wir bekommen genau [[7-EDO]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Whitewood unterstützen, sind natürlich Unterteilungen in Vielfache von 7.

Whitewood ist eine Art Gegenstück zu [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]], wo der pythagoräische diatonische Halbton (pythagoräisches Limma) austemperiert wird und dessen gleichstufige Realisierungen alle Vielfache von[[5-EDO]] sind. Der Name Whitewood wurde natürlich als Gegenstück zu Blackwood gewählt. 

Der pythagoräische chromatische Halbton ist 113.685 [[Cent]] gross, also sogar noch grösser als ein Standard-Halbton - ihn als [[Komma]] zu behandeln und auszutemperieren, führt tendenziell zu ziemlich "verstimmten" Intervallen, wie es die von 7-EDO sind. 
= Varianten =
== 3-Limit ==
Da der pythagoräische chromatische Halbton im 3-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] liegt, liegt die theoretisch einfachste Variante der Whitewood-Temperatur auch dort - diese ist jedoch nichts anderes als 7-EDO, sie ist eindimensional und als reguläre Temperatur nicht so von Interesse.

== 5-Limit ==
Üblicherweise ist mit "Whitewood" ohne Zusatzbezeichnung die 5-Limit-Variante gemeint, die zweidimensional ist.

Periodenintervall für [[MOS-Skalen]] von Whitewood ist eine Siebteloktave, und als Generator dient eine (modulo Siebteloktave reduzierte) [[Naturterz|grosse Terz 5/4]].

== 7-Limit ==
Die kanonische Erweiterung in 7-Limit, für die sich der Name "7-Limit Whitewood" eingebürgert hat, beinhaltet im vierdimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 7 zusätzlich das Austemperieren des Kommas [[36/35]], wodurch 5/4 mit 9/7 und 6/5 mit 7/6 gleichsetzt wird. 

[Todo weitere Eigenschaften]

= MOS-Skalen =
Periodenintervall für [[MOS-Skalen]] von Whitewood ist eine Siebteloktave,  sie bestehen, auf die Oktave fortgesetzt, aus Vereinigungen mehrerer Instanzen von 7-EDO.

[[21-EDO]] ist die kleinste gleichzeitige Stimmung, die eine nichttriviale Whitewood-Skala (mit 14 Tönen) enthält.

Die vierzehntönige Whitewood-Skala ist in vieler Hinsicht analog zur [[Blackwood-Limmisch#Die zehntönige Blackwood-Skala|zehntönigen Blackwood-Skala]]. Wie diese besteht sie auf einer regelmässigen Abfolge von je einem grossen und einem kleinen Intervall (von jedem je sieben, also Typ 7L 7s), und jeder Ton ist Grundton für einen Moll- oder Dur-Dreiklang.

[ToDo weitere Eigenschaften, Tonbeispiele]</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

= Definition =
Die Familie der '''Whitewood'''-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Intervalls [[2187/2048]], des '''pythagoräischen chromatischen Halbtons''' oder '''pythagoräischen Apotoms'''. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen sieben reinen Quinten 3/2 und vier Oktaven 2/1, und das Austemperieren hat zur Folge, dass man beim Aufeinanderschichten von Quinten nach sieben Schritten auf der Oktave landet - d. h. wir bekommen genau [[7-EDO]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Whitewood unterstützen, sind natürlich Unterteilungen in Vielfache von 7.

Whitewood ist eine Art Gegenstück zu [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]], wo der pythagoräische diatonische Halbton (pythagoräisches Limma) austemperiert wird und dessen gleichstufige Realisierungen alle Vielfache von[[5-EDO]] sind. Der Name Whitewood wurde natürlich als Gegenstück zu Blackwood gewählt. 

Der pythagoräische chromatische Halbton ist 113.685 [[Cent]] gross, also sogar noch grösser als ein Standard-Halbton - ihn als [[Komma]] zu behandeln und auszutemperieren, führt tendenziell zu ziemlich "verstimmten" Intervallen, wie es die von 7-EDO sind. 
= Varianten =
== 3-Limit ==
Da der pythagoräische chromatische Halbton im 3-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] liegt, liegt die theoretisch einfachste Variante der Whitewood-Temperatur auch dort - diese ist jedoch nichts anderes als 7-EDO, sie ist eindimensional und als reguläre Temperatur nicht so von Interesse.

== 5-Limit ==
Üblicherweise ist mit "Whitewood" ohne Zusatzbezeichnung die 5-Limit-Variante gemeint, die zweidimensional ist.

Periodenintervall für [[MOS-Skalen]] von Whitewood ist eine Siebteloktave, und als Generator dient eine (modulo Siebteloktave reduzierte) [[Naturterz|grosse Terz 5/4]].

== 7-Limit ==
Die kanonische Erweiterung in 7-Limit, für die sich der Name "7-Limit Whitewood" eingebürgert hat, beinhaltet im vierdimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 7 zusätzlich das Austemperieren des Kommas [[36/35]], wodurch 5/4 mit 9/7 und 6/5 mit 7/6 gleichsetzt wird. 

[Todo weitere Eigenschaften]

= MOS-Skalen =
Periodenintervall für [[MOS-Skalen]] von Whitewood ist eine Siebteloktave,  sie bestehen, auf die Oktave fortgesetzt, aus Vereinigungen mehrerer Instanzen von 7-EDO.

[[21-EDO]] ist die kleinste gleichstufige Stimmung, die eine nichttriviale Whitewood-Skala (mit 14 Tönen) enthält.

Die vierzehntönige Whitewood-Skala ist in vieler Hinsicht analog zur [[Blackwood-Limmisch#Die zehntönige Blackwood-Skala|zehntönigen Blackwood-Skala]]. Wie diese besteht sie aus einer regelmässigen Abfolge von je einem grossen und einem kleinen Intervall (von jedem je sieben, also Typ 7L 7s), jeder Ton ist Grundton für einen Moll- oder Dur-Dreiklang, und es gibt zwei Modi, Dur (LsLsLsLsLsLsLs) und Moll (sLsLsLsLsLsLsL).

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

= Definition =
Die Familie der '''Whitewood'''-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Intervalls [[2187/2048]], des '''pythagoräischen chromatischen Halbtons''' oder '''pythagoräischen Apotoms'''. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen sieben reinen Quinten 3/2 und vier Oktaven 2/1, und das Austemperieren hat zur Folge, dass man beim Aufeinanderschichten von Quinten nach sieben Schritten auf der Oktave landet - d. h. wir bekommen genau [[7-EDO]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Whitewood unterstützen, sind natürlich Unterteilungen in Vielfache von 7.

Whitewood ist eine Art Gegenstück zu [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]], wo der pythagoräische diatonische Halbton (pythagoräisches Limma) austemperiert wird und dessen gleichstufige Realisierungen alle Vielfache von[[5-EDO]] sind. Der Name Whitewood wurde natürlich als Gegenstück zu Blackwood gewählt. 

Der pythagoräische chromatische Halbton ist 113.685 [[Cent]] gross, also sogar noch grösser als ein Standard-Halbton - ihn als [[Komma]] zu behandeln und auszutemperieren, führt tendenziell zu ziemlich "verstimmten" Intervallen, wie es die von 7-EDO sind. 
= Varianten =
== 3-Limit ==
Da der pythagoräische chromatische Halbton im 3-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] liegt, liegt die theoretisch einfachste Variante der Whitewood-Temperatur auch dort - diese ist jedoch nichts anderes als 7-EDO, sie ist eindimensional und als reguläre Temperatur nicht so von Interesse.

== 5-Limit ==
Üblicherweise ist mit "Whitewood" ohne Zusatzbezeichnung die 5-Limit-Variante gemeint, die zweidimensional ist.

Periodenintervall für [[MOS-Skalen]] von Whitewood ist eine Siebteloktave, und als Generator dient eine (modulo Siebteloktave reduzierte) [[Naturterz|grosse Terz 5/4]].

[Todo weitere Eigenschaften]

== 7-Limit ==
Die kanonische Erweiterung in 7-Limit, für die sich der Name "7-Limit Whitewood" eingebürgert hat, beinhaltet im vierdimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 7 zusätzlich das Austemperieren des Kommas [[36/35]], wodurch 5/4 mit 9/7 und 6/5 mit 7/6 gleichsetzt wird. 

[Todo weitere Eigenschaften]

= MOS-Skalen =
Periodenintervall für [[MOS-Skalen]] von Whitewood ist eine Siebteloktave,  sie bestehen, auf die Oktave fortgesetzt, aus Vereinigungen mehrerer Instanzen von 7-EDO.

[[21-EDO]] ist die kleinste gleichstufige Stimmung, die eine nichttriviale Whitewood-Skala (mit 14 Tönen) enthält.

Die vierzehntönige Whitewood-Skala ist in vieler Hinsicht analog zur [[Blackwood-Limmisch#Die zehntönige Blackwood-Skala|zehntönigen Blackwood-Skala]]. Wie diese besteht sie aus einer regelmässigen Abfolge von je einem grossen und einem kleinen Intervall (von jedem je sieben, also Typ 7L 7s), jeder Ton ist Grundton für einen Moll- oder Dur-Dreiklang, und es gibt zwei Modi, Dur (LsLsLsLsLsLsLs) und Moll (sLsLsLsLsLsLsL).

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

= Definition =
Die Familie der '''Whitewood'''-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Intervalls [[2187/2048]], des '''pythagoräischen chromatischen Halbtons''' oder '''Apotoms'''. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen sieben reinen Quinten 3/2 und vier Oktaven 2/1, und das Austemperieren hat zur Folge, dass man beim Aufeinanderschichten von Quinten nach sieben Schritten auf der Oktave landet - d. h. wir bekommen genau [[7-EDO]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Whitewood unterstützen, sind natürlich Unterteilungen in Vielfache von 7.

Whitewood ist eine Art Gegenstück zu [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]], wo der pythagoräische diatonische Halbton (pythagoräisches Limma) austemperiert wird und dessen gleichstufige Realisierungen alle Vielfache von[[5-EDO]] sind. Der Name Whitewood wurde natürlich als Gegenstück zu Blackwood gewählt. 

Der pythagoräische chromatische Halbton ist 113.685 [[Cent]] gross, also sogar noch grösser als ein Standard-Halbton - ihn als [[Komma]] zu behandeln und auszutemperieren, führt tendenziell zu ziemlich "verstimmten" Intervallen, wie es die von 7-EDO sind.

= Varianten =
== 3-Limit ==
Da der pythagoräische chromatische Halbton im 3-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] liegt, liegt die theoretisch einfachste Variante der Whitewood-Temperatur auch dort - diese ist jedoch nichts anderes als 7-EDO, sie ist eindimensional und als reguläre Temperatur nicht so von Interesse.

== 5-Limit ==
Üblicherweise ist mit "Whitewood" ohne Zusatzbezeichnung die 5-Limit-Variante gemeint, die zweidimensional ist.

Periodenintervall für [[MOS-Skalen]] von Whitewood ist eine Siebteloktave, und als Generator dient eine (modulo Siebteloktave reduzierte) [[Naturterz|grosse Terz 5/4]].

[Todo weitere Eigenschaften]

== 7-Limit ==
Die kanonische Erweiterung in 7-Limit, für die sich der Name "7-Limit Whitewood" eingebürgert hat, beinhaltet im vierdimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 7 zusätzlich das Austemperieren des Kommas [[36/35]], wodurch 5/4 mit 9/7 und 6/5 mit 7/6 gleichsetzt wird. 

[Todo weitere Eigenschaften]

= MOS-Skalen =
Periodenintervall für [[MOS-Skalen]] von Whitewood ist eine Siebteloktave,  sie bestehen, auf die Oktave fortgesetzt, aus Vereinigungen mehrerer Instanzen von 7-EDO.

[[21-EDO]] ist die kleinste gleichstufige Stimmung, die eine nichttriviale Whitewood-Skala (mit 14 Tönen) enthält.

Die vierzehntönige Whitewood-Skala ist in vieler Hinsicht analog zur [[Blackwood-Limmisch#Die zehntönige Blackwood-Skala|zehntönigen Blackwood-Skala]]. Wie diese besteht sie aus einer regelmässigen Abfolge von je einem grossen und einem kleinen Intervall (von jedem je sieben, also Typ 7L 7s), jeder Ton ist Grundton für einen Moll- oder Dur-Dreiklang, und es gibt zwei Modi, Dur (LsLsLsLsLsLsLs) und Moll (sLsLsLsLsLsLsL).

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

= Definition =
Die Familie der '''Whitewood'''-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Intervalls [[2187/2048]], des '''pythagoräischen chromatischen Halbtons''' oder '''Apotoms'''. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen sieben reinen Quinten 3/2 und vier Oktaven 2/1, und das Austemperieren hat zur Folge, dass man beim Aufeinanderschichten von Quinten nach sieben Schritten auf der Oktave landet - d. h. wir bekommen genau [[7-EDO]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Whitewood unterstützen, sind natürlich Unterteilungen in Vielfache von 7.

Whitewood ist eine Art Gegenstück zu [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]], wo der pythagoräische diatonische Halbton (pythagoräisches Limma) austemperiert wird und dessen gleichstufige Realisierungen alle Vielfache von[[5-EDO]] sind. Der Name Whitewood wurde natürlich als Gegenstück zu Blackwood gewählt. 

Der pythagoräische chromatische Halbton ist 113.685 [[Cent]] gross, also sogar noch grösser als ein Standard-Halbton - ihn als [[Komma]] zu behandeln und auszutemperieren, führt tendenziell zu ziemlich "verstimmten" Intervallen, wie es die von 7-EDO sind.

= Varianten =
== 3-Limit ==
Da der pythagoräische chromatische Halbton im 3-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] liegt, liegt die theoretisch einfachste Variante der Whitewood-Temperatur auch dort - diese ist jedoch nichts anderes als 7-EDO, sie ist eindimensional und als reguläre Temperatur nicht so von Interesse.

== 5-Limit ==
Üblicherweise ist mit "Whitewood" ohne Zusatzbezeichnung die 5-Limit-Variante gemeint, die zweidimensional ist.

Periodenintervall für [[MOS-Skalen]] von Whitewood ist eine Siebteloktave, und als Generator dient eine (modulo Siebteloktave reduzierte) [[Naturterz|grosse Terz 5/4]].

[Todo weitere Eigenschaften]

== 7-Limit ==
Die kanonische Erweiterung in 7-Limit, für die sich der Name "7-Limit Whitewood" eingebürgert hat, beinhaltet im vierdimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 7 zusätzlich das Austemperieren des Kommas [[36/35]], wodurch 5/4 mit 9/7 und 6/5 mit 7/6 gleichsetzt wird. 

[Todo weitere Eigenschaften]

= MOS-Skalen =
Periodenintervall für [[MOS-Skalen]] von Whitewood ist eine Siebteloktave,  sie bestehen, auf die Oktave fortgesetzt, aus Vereinigungen mehrerer Instanzen von 7-EDO.

[[21-EDO]] ist die kleinste gleichstufige Stimmung, die eine nichttriviale Whitewood-Skala (mit 14 Tönen) enthält.

Die vierzehntönige Whitewood-Skala ist in vieler Hinsicht analog zur [[Blackwood-Limmisch#Die zehntönige Blackwood-Skala|zehntönigen Blackwood-Skala]]. Wie diese besteht sie aus einer regelmässigen Abfolge von je einem grossen und einem kleinen Intervall (von jedem je sieben, also Typ 7L 7s), jeder Ton ist Grundton für einen Moll- oder Dur-Dreiklang, und es gibt zwei Modi, Dur (LsLsLsLsLsLsLs) und Moll (sLsLsLsLsLsLsL).

[[Datei:Whitewood14 21edo.mp3|Vierzehntönige Whitewood-Skala (sLsLsLsLsLsLsL) in 21-EDO]]

Vierzehntönige Whitewood-Skala (sLsLsLsLsLsLsL) in 21-EDO</text>
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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

= Definition =
Die Familie der '''Whitewood'''-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Intervalls [[2187/2048]], des '''pythagoräischen chromatischen Halbtons''' oder '''Apotoms'''. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen sieben reinen Quinten 3/2 und vier Oktaven 2/1, und das Austemperieren hat zur Folge, dass man beim Aufeinanderschichten von Quinten nach sieben Schritten auf der Oktave landet - d. h. wir bekommen genau [[7-EDO]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Whitewood unterstützen, sind natürlich Unterteilungen in Vielfache von 7.

Whitewood ist eine Art Gegenstück zu [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]], wo der pythagoräische diatonische Halbton (pythagoräisches Limma) austemperiert wird und dessen gleichstufige Realisierungen alle Vielfache von[[5-EDO]] sind. Der Name Whitewood wurde natürlich als Gegenstück zu Blackwood gewählt. 

Der pythagoräische chromatische Halbton ist 113.685 [[Cent]] gross, also sogar noch grösser als ein Standard-Halbton - ihn als [[Komma]] zu behandeln und auszutemperieren, führt tendenziell zu ziemlich "verstimmten" Intervallen, wie es die von 7-EDO sind.

= Varianten =
== 3-Limit ==
Da der pythagoräische chromatische Halbton im 3-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] liegt, liegt die theoretisch einfachste Variante der Whitewood-Temperatur auch dort - diese ist jedoch nichts anderes als 7-EDO, sie ist eindimensional und als reguläre Temperatur nicht so von Interesse.

== 5-Limit ==
Üblicherweise ist mit "Whitewood" ohne Zusatzbezeichnung die 5-Limit-Variante gemeint, die zweidimensional ist.

Periodenintervall für [[MOS-Skalen]] von Whitewood ist eine Siebteloktave, und als Generator dient eine (modulo Siebteloktave reduzierte) [[Naturterz|grosse Terz 5/4]].

[Todo weitere Eigenschaften]

== 7-Limit ==
Die kanonische Erweiterung in 7-Limit, für die sich der Name "7-Limit Whitewood" eingebürgert hat, beinhaltet im vierdimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 7 zusätzlich das Austemperieren des Kommas [[36/35]], wodurch 5/4 mit 9/7 und 6/5 mit 7/6 gleichsetzt wird. 

[Todo weitere Eigenschaften]

= MOS-Skalen =
Periodenintervall für [[MOS-Skalen]] von Whitewood ist eine Siebteloktave,  sie bestehen, auf die Oktave fortgesetzt, aus Vereinigungen mehrerer Instanzen von 7-EDO.

[[21-EDO]] ist die kleinste gleichstufige Stimmung, die eine nichttriviale Whitewood-Skala (mit 14 Tönen) enthält.

Die vierzehntönige Whitewood-Skala ist in vieler Hinsicht analog zur [[Blackwood-Limmisch#Die zehntönige Blackwood-Skala|zehntönigen Blackwood-Skala]]. Wie diese besteht sie aus einer regelmässigen Abfolge von je einem grossen und einem kleinen Intervall (von jedem je sieben, also Typ 7L 7s), jeder Ton ist Grundton für einen Moll- oder Dur-Dreiklang, und es gibt zwei Modi, Dur (sLsLsLsLsLsLsL) und Moll (LsLsLsLsLsLsLs).

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[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

= Definition =
Die Familie der '''Whitewood'''-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Intervalls [[2187/2048]], des '''pythagoräischen chromatischen Halbtons''' oder '''Apotoms'''. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen sieben reinen Quinten 3/2 und vier Oktaven 2/1, und das Austemperieren hat zur Folge, dass man beim Aufeinanderschichten von Quinten nach sieben Schritten auf der Oktave landet - d. h. wir bekommen genau [[7-EDO]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Whitewood unterstützen, sind natürlich Unterteilungen in Vielfache von 7.

Whitewood ist eine Art Gegenstück zu [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]], wo der pythagoräische diatonische Halbton (pythagoräisches Limma) austemperiert wird und dessen gleichstufige Realisierungen alle Vielfache von [[5-EDO]] sind. Der Name Whitewood wurde natürlich als Gegenstück zu Blackwood gewählt. 

Der pythagoräische chromatische Halbton ist 113.685 [[Cent]] gross, also sogar noch grösser als ein Standard-Halbton - ihn als [[Komma]] zu behandeln und auszutemperieren, führt tendenziell zu ziemlich "verstimmten" Intervallen, wie es die von 7-EDO sind.

= Varianten =
== 3-Limit ==
Da der pythagoräische chromatische Halbton im 3-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] liegt, liegt die theoretisch einfachste Variante der Whitewood-Temperatur auch dort - diese ist jedoch nichts anderes als 7-EDO, sie ist eindimensional und als reguläre Temperatur nicht so von Interesse.

== 5-Limit ==
Üblicherweise ist mit "Whitewood" ohne Zusatzbezeichnung die 5-Limit-Variante gemeint, die zweidimensional ist.

Periodenintervall für [[MOS-Skalen]] von Whitewood ist eine Siebteloktave, und als Generator dient eine (modulo Siebteloktave reduzierte) [[Naturterz|grosse Terz 5/4]].

[Todo weitere Eigenschaften]

== 7-Limit ==
Die kanonische Erweiterung in 7-Limit, für die sich der Name "7-Limit Whitewood" eingebürgert hat, beinhaltet im vierdimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 7 zusätzlich das Austemperieren des Kommas [[36/35]], wodurch 5/4 mit 9/7 und 6/5 mit 7/6 gleichsetzt wird. 

[Todo weitere Eigenschaften]

= MOS-Skalen =
Periodenintervall für [[MOS-Skalen]] von Whitewood ist eine Siebteloktave,  sie bestehen, auf die Oktave fortgesetzt, aus Vereinigungen mehrerer Instanzen von 7-EDO.

[[21-EDO]] ist die kleinste gleichstufige Stimmung, die eine nichttriviale Whitewood-Skala (mit 14 Tönen) enthält.

Die vierzehntönige Whitewood-Skala ist in vieler Hinsicht analog zur [[Blackwood-Limmisch#Die zehntönige Blackwood-Skala|zehntönigen Blackwood-Skala]]. Wie diese besteht sie aus einer regelmässigen Abfolge von je einem grossen und einem kleinen Intervall (von jedem je sieben, also Typ 7L 7s), jeder Ton ist Grundton für einen Moll- oder Dur-Dreiklang, und es gibt zwei Modi, Dur (sLsLsLsLsLsLsL) und Moll (LsLsLsLsLsLsLs).

[[Datei:Whitewood14 21edo.mp3|Vierzehntönige Whitewood-Skala (sLsLsLsLsLsLsL) in 21-EDO]]

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| en = Whitewood
| de = Whitewood
}}
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

= Definition =
Die Familie der '''Whitewood'''-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Intervalls [[2187/2048]], des '''pythagoräischen chromatischen Halbtons''' oder '''Apotoms'''. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen sieben reinen Quinten 3/2 und vier Oktaven 2/1, und das Austemperieren hat zur Folge, dass man beim Aufeinanderschichten von Quinten nach sieben Schritten auf der Oktave landet - d. h. wir bekommen genau [[7-EDO]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Whitewood unterstützen, sind natürlich Unterteilungen in Vielfache von 7.

Whitewood ist eine Art Gegenstück zu [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]], wo der pythagoräische diatonische Halbton (Limma) austemperiert wird und dessen gleichstufige Realisierungen alle Vielfache von [[5-EDO]] sind. Der Name Whitewood wurde natürlich als Gegenstück zu Blackwood gewählt. 

Der pythagoräische chromatische Halbton ist 113.685 [[Cent]] gross, also sogar noch grösser als ein Standard-Halbton - ihn als [[Komma]] zu behandeln und auszutemperieren, führt tendenziell zu ziemlich "verstimmten" Intervallen, wie es die von 7-EDO sind.

= Varianten =
== 3-Limit ==
Da der pythagoräische chromatische Halbton im 3-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] liegt, liegt die theoretisch einfachste Variante der Whitewood-Temperatur auch dort - diese ist jedoch nichts anderes als 7-EDO, sie ist eindimensional und als reguläre Temperatur nicht so von Interesse.

== 5-Limit ==
Üblicherweise ist mit "Whitewood" ohne Zusatzbezeichnung die 5-Limit-Variante gemeint, die zweidimensional ist.

Periodenintervall für [[MOS-Skalen]] von Whitewood ist eine Siebteloktave, und als Generator dient eine (modulo Siebteloktave reduzierte) [[Naturterz|grosse Terz 5/4]].

[Todo weitere Eigenschaften]

== 7-Limit ==
Die kanonische Erweiterung in 7-Limit, für die sich der Name "7-Limit Whitewood" eingebürgert hat, beinhaltet im vierdimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 7 zusätzlich das Austemperieren des Kommas [[36/35]], wodurch 5/4 mit 9/7 und 6/5 mit 7/6 gleichsetzt wird. 

[Todo weitere Eigenschaften]

= MOS-Skalen =
Periodenintervall für [[MOS-Skalen]] von Whitewood ist eine Siebteloktave,  sie bestehen, auf die Oktave fortgesetzt, aus Vereinigungen mehrerer Instanzen von 7-EDO.

[[21-EDO]] ist die kleinste gleichstufige Stimmung, die eine nichttriviale Whitewood-Skala (mit 14 Tönen) enthält.

Die vierzehntönige Whitewood-Skala ist in vieler Hinsicht analog zur [[Blackwood-Limmisch#Die zehntönige Blackwood-Skala|zehntönigen Blackwood-Skala]]. Wie diese besteht sie aus einer regelmässigen Abfolge von je einem grossen und einem kleinen Intervall (von jedem je sieben, also Typ 7L 7s), jeder Ton ist Grundton für einen Moll- oder Dur-Dreiklang, und es gibt zwei Modi, Dur (sLsLsLsLsLsLsL) und Moll (LsLsLsLsLsLsLs).

[[Datei:Whitewood14 21edo.mp3|Vierzehntönige Whitewood-Skala (sLsLsLsLsLsLsL) in 21-EDO]]

Vierzehntönige Whitewood-Skala (Dur, sLsLsLsLsLsLsL) in 21-EDO</text>
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}}
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

= Definition =
Die Familie der '''Whitewood'''-Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des Intervalls [[2187/2048]], des '''pythagoräischen chromatischen Halbtons''' oder '''Apotoms'''. Dieses Intervall ist der Unterschied zwischen sieben reinen Quinten 3/2 und vier Oktaven 2/1, und das Austemperieren hat zur Folge, dass man beim Aufeinanderschichten von Quinten nach sieben Schritten auf der Oktave landet - d. h. wir bekommen genau [[7-EDO]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Whitewood unterstützen, sind natürlich Unterteilungen in Vielfache von 7.

Whitewood ist eine Art Gegenstück zu [[Blackwood-Limmisch|Blackwood]], wo der pythagoräische diatonische Halbton (Limma) austemperiert wird und dessen gleichstufige Realisierungen alle Vielfache von [[5-EDO]] sind. Der Name Whitewood wurde natürlich als Gegenstück zu Blackwood gewählt. 

Der pythagoräische chromatische Halbton ist 113.685 [[Cent]] gross, also sogar noch grösser als ein Standard-Halbton - ihn als [[Komma]] zu behandeln und auszutemperieren, führt tendenziell zu ziemlich "verstimmten" Intervallen, wie es die von 7-EDO sind.

= Varianten =
== 3-Limit ==
Da der pythagoräische chromatische Halbton im 3-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] liegt, liegt die theoretisch einfachste Variante der Whitewood-Temperatur auch dort - diese ist jedoch nichts anderes als 7-EDO, sie ist eindimensional und als reguläre Temperatur nicht so von Interesse.

== 5-Limit ==
Üblicherweise ist mit "Whitewood" ohne Zusatzbezeichnung die 5-Limit-Variante gemeint, die zweidimensional ist.

Periodenintervall für [[MOS-Skalen]] von Whitewood ist eine Siebteloktave, und als Generator dient eine (modulo Siebteloktave reduzierte) [[Naturterz|grosse Terz 5/4]].

[Todo weitere Eigenschaften]

== 7-Limit ==
Die kanonische Erweiterung in 7-Limit, für die sich der Name "7-Limit Whitewood" eingebürgert hat, beinhaltet im vierdimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 7 zusätzlich das Austemperieren des Kommas [[36/35]], wodurch 5/4 mit 9/7 und 6/5 mit 7/6 gleichgesetzt wird. 

[Todo weitere Eigenschaften]

= MOS-Skalen =
Periodenintervall für [[MOS-Skalen]] von Whitewood ist eine Siebteloktave,  sie bestehen, auf die Oktave fortgesetzt, aus Vereinigungen mehrerer Instanzen von 7-EDO.

[[21-EDO]] ist die kleinste gleichstufige Stimmung, die eine nichttriviale Whitewood-Skala (mit 14 Tönen) enthält.

Die vierzehntönige Whitewood-Skala ist in vieler Hinsicht analog zur [[Blackwood-Limmisch#Die zehntönige Blackwood-Skala|zehntönigen Blackwood-Skala]]. Wie diese besteht sie aus einer regelmässigen Abfolge von je einem grossen und einem kleinen Intervall (von jedem je sieben, also Typ 7L 7s), jeder Ton ist Grundton für einen Moll- oder Dur-Dreiklang, und es gibt zwei Modi, Dur (sLsLsLsLsLsLsL) und Moll (LsLsLsLsLsLsLs).

[[Datei:Whitewood14 21edo.mp3|Vierzehntönige Whitewood-Skala (sLsLsLsLsLsLsL) in 21-EDO]]

Vierzehntönige Whitewood-Skala (Dur, sLsLsLsLsLsLsL) in 21-EDO</text>
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